close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Nefedov 0AB55ED1CF

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ № 1–7
Санкт-Петербург
2008
1
Составители: В. Г. Нефедов, О. Н. Новикова, Э. А. Суказов
Рецензент кандидат технических наук, профессор О. С. Астратов
Содержатся методические указания к выполнению лабораторных работ, посвященных изучению физических явлений и эффектов, используемых в приборах и устройствах электроники и
микроэлектроники.
Предназначены для студентов всех специальностей при изучении дисциплин «Физические основы электроники» и «Физические основы микроэлектроники».
Подготовлены кафедрой электроники и оптической связи и
рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор А. В. Семенчук
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 10.10.08. Подписано к печати 18.11.08.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 4,6.
Уч.-изд. л. 4,9. Тираж 250 экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2008
2
Лабораторная работа № 1
ЭЛЕМЕНТЫ СТРУКТУРНОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Цель работы: изучить вопросы структурной кристаллографии, необходимые при рассмотрении физических свойств кристаллов.
1. Методические указания по подготовке к работе
По внешней форме кристаллы представляют собой симметричные многогранники. Симметрия внешних форм кристаллов,
как и симметрия их физических свойств, является следствием
симметрии их внутреннего строения. Симметрией фигуры называют способность фигуры самосовмещаться в результате симметричных преобразований (вращений, отражений, перемещений).
Различают пространственную и точечную группы симметрий.
Пространственной симметрией обладают фигуры, самосовмещение которых происходит в результате параллельного переноса
(трансляции). Этот вид симметрии присущ кристаллическим телам. Точечной симметрией обладают фигуры, которые при самосовмещении сохраняют неподвижной хотя бы одну точку. Для
описания точечной симметрии вводится понятие элементов симметрии.
Элементы симметрии – вспомогательные геометрические
образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых обнаруживается симметрия фигуры.
Плоскость симметрии Р – плоскость, которая делит фигуру
на две части, расположенные относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение.
Ось симметрии Ln – прямая линия, при повороте вокруг которой фигура самосовмещается. Порядок оси симметрии п показывает число самосовмещений за один оборот.
Центр симметрии (центр инверсии) C – особая точка внутри
фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведен3
ная через центр симметрии, встречает одинаковые (подобные)
точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях.
В кристаллах невозможны оси L5, а также оси, порядок которых более 6. Это ограничение связано с наличием у кристаллов пространственной симметрии. Внешняя симметрия любых
кристаллов исчерпывающе описывается элементами симметрии
P, C, L2, L3, L4, L6. Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется классом симметрии
или точечной группой элементов симметрии. Все многообразие
симметрии кристаллов и их физических свойств описывается 32
классами симметрии. Существуют различные способы записи
классов симметрии: с помощью международных символов и с помощью формулы симметрии. Международная символика обозначения симметрии приведена в [1].
С помощью формулы симметрии записываются все элементы
симметрии данного класса: на первом месте принято писать оси
симметрии, затем плоскости симметрии и центр симметрии. Например, формула симметрии кристалла, имеющего форму куба,
3L44L36L29PC. Это означает, что такой кристалл имеет три оси
четвертого порядка, четыре оси третьего порядка, шесть осей
второго порядка, девять плоскостей симметрия и центр симметрии.
Внешняя симметрия кристаллов порождена симметрией их
внутреннего строения, так как материальные частицы (атомы,
ионы, молекулы), составляющие кристалл, располагаются в
пространстве закономерно и периодично. Конкретное пространственное расположение частиц наZ
зывается структурой кристалла.
Кратчайшее расстояние между
соседними одинаковыми частицами в одном выбранном направлеc
нии называют периодом решетки
α
или элементарной трансляцией.
b
β
Если произвольно выбранную
Y
a
точку (частицу) бесконечное чисγ
ло раз перемещать вдоль осей X,
Y, Z на расстояния, равные соотX
ветствующим периодам решетки
Рис. 1. Элементарная
a, b, c, то получим пространственячейка
4
ную решетку. Смещение, равное периоду, называется элементарной трансляцией.
Параллелепипед, построенный на элементарных трансляциях, называется элементарной ячейкой (рис. 1). Углы α, β, γ между осями X, Y, Z называют осевыми углами.
Элементарная ячейка – эта минимальная совокупность атомов, обладающая всеми свойствами пространственной решетки.
Осевые углы и элементарные трансляции однозначно характеризуют элементарную ячейку.
Все многообразие пространственных решеток делят на семь
систем – сингоний (сингония – «сходноугольность»). В одну
сингонию объединяют кристаллы, для которых одинакова симметрия элементарных ячеек и одинакова система координат
(табл. 1). В 1948 г. О. Бравэ доказал, что все кристаллические
структуры можно описать с помощью 14 типов решеток, отличающихся формами ячеек и симметрией.
Ячейки Бравэ делят на четыре типа (табл. 2): примитивные
P, базисно-центрированные C, объемно-центрированные L, гранецентрированные F. Примитивная ячейка имеет атомы только
в углах параллелепипеда, построенного на элементарных трансляциях. В базисно-центрированной ячейке атомы размещаются
еще и в центрах верхней и нижней граней, в объемно-центрированной в центре ячейки, а в гранецентрированной – в центре всех
граней ячейки.
Совокупность координат минимального количества узлов,
позволяющих параллельным переносом воспроизвести элементарную ячейку, называют базисом решетки. Любую кристаллическую структуру можно получить, повторяя узлы базиса через
элементарные трансляции.
Таблица 1
Соотношение между периодами и осевыми углами в сингониях
Наименование
сингонии
Пространственная
решетка
Соотноше- Соотношение
ние между между осевыми
периодами углами, град
Простая – P
a=b=c
Объемно-центрированная – L
Гранецентрированная – F
Тетрагональ- Простая – P
a=b≠c
ная
Объемно-центрированная – L
Кубическая
α = β = γ = 90°
α = β = γ = 90°
5
Продолжение табл. 1
Наименование
сингонии
Пространственная
решетка
Ромбическая Простая – P
Базисно-центрированная – C
Объемно-центрированная – L
Гранецентрированная – F
Гексагональ- Простая – P
ная
РомбоэдриПростая – P
ческая (тригональная)
Моноклинная Простая – P
Базисно-центрированная – C
Триклинная Простая – P
Соотноше- Соотношение
ние между между осевыми
периодами углами, град
a≠b≠c
α = β = γ = 90°
a=b≠c
α = β = 90°
γ = 120°
α = β = γ ≠ 90°
a=b=c
a≠b≠c
a≠b≠c
α = γ = 90°
β ≠ 90°
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
Таблица 2
Типы решеток Бравэ
Сингония
Тип решетки
P
C
L
F
Кубическая
–
Тетрагональная
–
–
Ромбическая
Моноклинная
–
6
–
Продолжение табл. 2
Сингония
Тип решетки
P
C
L
F
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Ромбоэдрическая
Гексагональная
Триклинная
Характеристики решеток Бравэ приведены в табл. 3
Таблица 3
Характеристики решеток Бравэ
Тип решетки и ее символ
Примитивная Р
Базоцентрированная С
Объемно-центрированная L
Гранецентрированная F
Базис
Число узлов
в ячейке
[[0 0 0]]
1
[[0 0 0]],
[[1/2 1/2 0]]
2
[[0 0 0]],
[[1/2 1/2 1/2]]
2
[[1/2 1/2 0]]
[[0 1/2 1/2]]
[[1/2 0 1/2]]
[[000]]
4
Симметрия кристаллической структуры содержит те же элементы симметрии, что и кристаллические многогранники, но,
7
кроме этого, кристаллическая структура характеризуется еще
трансляционной симметрией, так как любые два узла решетки
можно совместить друг с другом при помощи трансляции (перемещения). Для характеристики структур используют понятия:
сингония, тип решетки Бравэ, симметрия, базис, координационное число, коэффициент компактности.
Координационное число КЧ – число ближайших соседних
атомов, равноудаленных от данного атома.
Коэффициент компактности (плотность упаковки) η – отношение объема, занятого атомами вещества, приходящимися на
элементарную ячейку, к общему объему ячейки V. При этом атомы представляют в виде твердых недеформируемых шаров, касающихся друг друга по кратчайшему расстоянию
η=
4π r 3 n
,
3 V
где r – радиус атома; n – число атомов, приходящихся на элементарную ячейку.
Ниже приведены характеристики наиболее распространенных
структур. Структура меди (тип А1). Эту структуру имеют многие
металлы: золото, серебро, медь, никель, алюминий и др. Структура обладает кубической сингонией. Атомы располагаются в
вершинах и в центрах граней кубической гранецентрированной
ячейки (ГЦК) (тип F решетки Бравэ). На элементарную ячейку в
такой структуре приходится четыре атома, КЧ = 12, η = 0,74. Базис включает координаты четырех атомов [[0 0 0]], [[1/2 1/2 0]],
[[1/2 0 1/2]], [[0 1/2 1/2]]. Формула симметрии – 3L44L36L29PC
(рис. 2, а).
Структура вольфрама (тип А2). Структура А2 характеризуется
объемно-центрированной ячейкой (ОЦК) (тип L решетки Бравэ).
Атомы располагаются в вершинах и в центре ячейки, поэтому на
одну ячейку приходится два атома и базис включает координаты
двух атомов: [[0 0 0]], [[1/2 1/2 1/2]], КЧ = 8, η = 0,68. Структура А2 относится к тому же классу симметрии, что и структура А
(рис. 2, б).
Структура магния (тип АЗ). В структурном типе АЗ кристаллизуются гексагональные металлы (титан, цирконий, кадмий,
цинк, бериллий и др.) и многие соединения. Элементарная ячейка магния – гексагональная примитивная Р. Структура образована двумя такими ячейками, вставленными друг в друга со
8
а)
б)
в)
г)
Рис. 2. Элементарные ячейки структур: а – меди; б – вольфрама;
в – магния; г – алмаза
сдвигом 2/3а, 1/3b, 1/2с. Поэтому элементарную ячейку можно
представить в виде одной гексагональной примитивной ячейки,
внутри которой находится еще один атом. Базис решетки в этом
случае включает два узла: [[0 0 0]], [[2/3 1/3 1/2]]. Координационное число и коэффициент компактности структуры равны 12 и
0,74 соответственно. Формула симметрии кристалла: L66L27PC.
В идеальной структуре магния отношение с/а равно 1,633. В этом
случае структуру называют гексагональной плотноупакованной
(ГПУ) (рис. 2, в).
Структура алмаза (тип А4). Структуру алмаза имеют важнейшие элементарные полупроводники германий и кремний. Кристаллы с такой структурой принадлежат к кубической сингонии
и относятся к классу симметрии с формулой 3L44L36L29PC. Тип
решетки Бравэ – гранецентрированная F. Структура представляет как бы две решетки Бравэ, смещенные относительно друг
друга вдоль пространственной диагонали куба на одну четверть
ее длины. Поэтому базис содержит координаты восьми узлов:
[[000 ]], [[0 1/2 1/2]], [[1/2 1/2 0]], [[1/2 0 1/2]], [[1/4 1/4 1/4]],
[[1/4 3/4 3/4]], [[3/4 1/4 3/4]], [[3/4 3/4 1/4]]. Координационное
число и коэффициент компактности структуры 4 и 0,34 соответственно. Это одна из наименее плотноупакованных структур
(рис. 2, г).
9
Обозначение плоскостей в кристаллах
Пусть плоскость пересекает оси координат, отсекая на них
отрезки ma, nb, pc. Любую плоскость, не проходящую через начало координат, принято обозначать индексами Миллера h: k:
l, выраженными в виде простых чисел. При этом h: k: l≡1/m:1/
n:1/p. Числа h: k: l записывают в круглых скобках, не разделяя
их запятыми (hkl). Если плоскость отсекает отрезок на отрицательной стороне оси, то знак минус ставится над индексом
(hkl). Если плоскость параллельна оси координат, то соответствующий индекс равен 0. Любая тройка индексов (hkl) обозначает не одну плоскость, а семейство параллельных плоскостей в
кристалле. На рис. 3 показаны основные плоскости в кубической решетке.
Z
Z
Z
( 001)
0)
1
(0
Y
Х
Y
Y
Х
Х
Z
Z
1)
0)
(11
Х
(100)
(11
Y
Y
Х
Рис. 3. Индексы основных плоскостей в кубической решетке
Обозначение направлений в кристаллах
Любое направление обозначается вектором, проходящим через начало координат и узел, координаты которого u,v,w в виде
простых целых чисел записываются в квадратные скобки [uvw].
Индексы направлений запятыми не разделяют, знак минус ставят над индексом, если он отрицательный.
10
Межплоскостные расстояния
Каждое семейство плоскостей с индексами (hkl) характеризуется также своим межплоскостным расстоянием d. Между индексами h:k:l, периодами решетки a, b, c и межплоскостным расстоянием d существует математическая зависимость, различная
для каждой сингонии (табл. 4).
Таблица 4
Формула для межплоскостного расстояния
Сингония
Формула для межплоскостного расстояния
d2 =
Кубическая
Тетрагональная
Гексагональная
a2
h + k2 + l2
2
a2
d2 =
h2 + k2 + l2
d2 =
a2
c2
a2
4 2
a2
2 
 h + kh + l  + l 2
3
 c
2. Порядок выполнения работы
Получить у преподавателя задание по работе, выполнить его и
оформить в виде отчета по лабораторной работе.
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Результаты расчетов, рисунки, формулы симметрии.
3. Выводы
Контрольные вопросы
1. Дать определение симметрии и ее основных элементов. Что
такое формула симметрии?
2. Характеристики сингоний.
3. Характеристики решеток Бравэ.
4. Основные характеристики кристаллических структур.
Рекомендуемая литература
1. Шаскольская М. П. Кристаллография. Изд. 2-е. М.: Высш.
шк. 1984. 375 с.
11
Лабораторная работа № 2
РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ КРИСТАЛЛОВ
Цель работы: ознакомиться с одним из методов рентгеноструктурного анализа поликристаллов; определить фазовый состав материала по данным о межплоскостных расстояниях.
1. Методические указания по подготовке к работе
Рентгеноструктурный анализ кристаллов основан на явлении
дифракции рентгеновского излучения на кристаллической решетке исследуемого вещества. Рентгеновское излучение формируется в рентгеновских трубках при взаимодействии пучка летящих с большой энергией электронов с анодом. При этом возбуждается так называемое характеристическое излучение (длины
волн 4⋅10–8 – 5⋅10–12 м), представляющее собой набор дискретных длин волн, постоянный для вещества, из которого изготовлен анод. Падающий на анод электрон отдает свою энергию электрону атома анода, который переходит на более высокий энергетический уровень. Так, если выбивается электрон из К-слоя, то
на освободившееся место переходят электроны с L- и М-уровней,
вызывая излучения с длинами волн λa и λβ соответственно. Помимо этой серии, рентгеновские спектры могут содержать еще
серию L, образующуюся в результате выбивания электронов из
слоя L (рис. 1).
Рентгеновские трубки массового производства испускают
лучи с длинной волны порядка
∼ 10–10 м. Проходя через вещество,
Излучение
Ксерии
лучи воздействуют на электроны
его атомов, сообщая им колебательные движения с частотой рентгеновского излучения. КолеблюВозбуждение
щиеся электроны сами становятся
К серии
K L
источником
электромагнитных
M
волн с частотой колебаний электроN
нов, т. е. с частотой рентгеновскоРис. 1. Схема образования
го излечения. Лучи, испускаемые
К-серии
электронами различных атомов,
интерферируют, образуя характерную дифракционную картину,
рассматривая которую, можно получить информацию о внутреннем строении вещества.
12
Впервые связь между внутренним строением кристалла и параметрами рентгеновского излучения была установлена независимо друг от друга русским кристаллофизиком Г. В. Вульфом и
английскими физиками – отцом и сыном Брэггами. Они доказали, что дифракция рентгеновских лучей на кристаллической
решетке приводит к тем же результатам, что и зеркальное отражение от атомных плоскостей кристалла.
Пусть на кристаллографические плоскости a и b падает рентгеновское излучение под углом скольжения θ (рис. 2). Луч 1 проходит в кристалл, частично отражается от плоскости b и попадает в точку А. Луч 2 проходит в кристалл и частично отражается
от плоскости a и также попадает в точку А. В точке А возникает
интерференция лучей 1 и 2. Если разность хода лучей равна целому числу длин волн, то
δ = nλ, (1)
где n – порядок отражения (n = 1,2,3...); λ – длина волны излучения, то в точке А произойдет усиление излучения.
Из рис. 2 видно, что
δ = ВС − FB (2)
или
δ=
d
d
−
cos(2θ). sin θ sin θ
(3)
Подставляя (3) в (1) и производя необходимые преобразования, получим
2d sin θ = nλ. (4)
Уравнение (4) называется формулой Вульфа–Брэгга. Эта формула является основным количественным соотношением при
2
A
1
F
θ
a
d
b
B
2θ
θ
C
D
Рис. 2. Отражение рентгеновских лучей от кристаллографических
плоскостей
13
рентгеноструктурном анализе. При исследовании кристалла с
помощью рентгеновского излучения применяют три основных
метода: метод Лауэ, метод вращения монокристалла, метод поликристалла.
Данная работа посвящена изучению метода поликристалла.
Обычно поликристаллический образец состоит из большого числа беспорядочно-ориентированных кристаллитов. При их малых
размерах ( ≈ 0,01мм) даже в небольшом объеме материала имеются кристаллиты с практически любой ориентацией атомных
плоскостей. Если на такой поликристалл направить пучок монохроматических рентгеновских лучей, то в результате их дифракции на кристаллической решетке в определенных точках экрана
образуются дифракционные максимумы, согласно формуле
Вульфа–Брэгга. В образовании дифракционной картины будут
участвовать не все кристаллографические плоскости, а только
те, для которых выполняется уравнение (4). При этом отраженный луч будет повернут относительно падающего луча на угол
2θ.
В поликристаллическом образце, состоящем из большого числа мелких, беспорядочно ориентированных в пространстве кристаллитов, всегда найдутся такие, в которых система атомных
плоскостей hkl будет составлять угол 2θ с падающим лучом, но
в пространстве эти кристаллиты будут ориентированы различно.
Совокупность отраженных лучей, различно ориентированных в
пространстве, но имеющих одинаковый угол 2θ с направлением
падающего луча, образуют коническую поверхность, ось которой является направлением падающего луча, с углом раствора
конуса, равным 4θ. Число таких конусов равно числу систем
параллельных кристаллографических плоскостей, для которых
справедливо уравнение Вульфа–Брэгга.
Рентгеновская камера 1 представляет собой цилиндр (рис. 3)
с калиброванным отверстием 2 для входа рентгеновского луча 3.
3
2 5
4
4θ2
4θ1
1
Рис. 3. Конструкция рентгеновской камеры
14
2 L1
2 L2
Рис. 4. Рентгенограмма поликристалла
На внутренней поверхности камеры помещается фоточувствительная пленка 4. Образец 5, имеющий форму тонкого столбика,
располагается в центре камеры. В результате взаимодействия
рентгеновского луча с исследуемым образцом образуются дифракционные конусы. Каждый дифракционный конус оставляет
на пленке след в виде двух линий, симметрично расположенных
относительно центрального пятна (след прямого луча). Общий
вид рентгенограммы показан на рис. 4.
Расстояние между двумя симметричными линиями 2L, представляет собой дугу окружности фотопленки, соответствующую
углу 4θ. Измерив расстояние между симметричными линиями и
зная диаметр камеры Dк, на котором закреплена пленка, можно
определить угол θ из следующей формулы:
2L =
πD к
4θ, 360
(5)
57,3
L. Dк
(6)
где πDк /360 – цена одного градуса, мм.
Отсюда
θ=
Для упрощения расчетов часто используют стандартную камеру, у которой Dк = 57,3 мм. В этом случае L = θ, т. е. при съемке в стандартной камере угол θ в градусах численно равен половине расстояния 2L, измеренного в миллиметрах.
Каждое кристаллическое вещество обладает своей кристаллической решеткой и своим характерным набором межплоскостных
расстояний. Знание межплоскостных расстояний исследуемого
объекта, позволяет установить с помощью табличных данных, с
каким веществом имеем дело. Определение фазового состава поликристаллов по их межплоскостным расстояниям является одной из наиболее распространенных задач рентгеноструктурного
анализа. При этом определяют не величину d, а d/n поскольку от
одной и той же системы атомных плоскостей на рентгенограмме
может получаться несколько отражений, отличающихся порядком отражения n.
В данной лабораторной работе рассчитываются рентгенограммы, полученные при излучении К-серии с набором длин волн λα
и λβ (длины волн указаны в задании). Расчет рентгенограммы
удобно проводить последовательно, заполняя табл. 1.
15
Таблица 1
Расчет рентгенограммы
d
d
θизм ,
⋅ 1010 ⋅ 1010
№
λα
∆ , 2Lиспр θиспр ,
Интен- 2Lизм ,
n
n
,
пары
sin(θиспр )
λβ
сивность мм град. мм
расч., табл.,
мм
град
линии
м
м
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Табл. 1 должна заполняться в следующей последовательности:
Столбец 1. Записывается порядковый номер пары линий, начиная от малых значений θ.
Столбец 2. Оценивается визуально интенсивность (степень почернения) линий по пятибалльной шкале (в задании интенсивность уже определена, и студенту необходимо перенести данные
в табл. 1).
Столбец 3. Записываются измеренные расстояния между симметричными линиями каждой пары. Точность измерения должна быть не хуже 0,5 мм (в задании эта величина уже определена
и студенту необходимо перенести данные в табл. 1).
Столбец 4. Записываются значения угла θ в градусах, определенные из соотношения L = θ.
Столбец 5. Заносятся поправки на размер образца ∆, вычисленные по формуле
∆ = r  1 + cos(2θ)

, 

(7)
2Lиспр = 2Lизм − ∆. (8)
где r – радиус образца (указан в задании).
Столбец 6. Записываются величины 2Lиспр
Столбец 7. Заносятся величины θиспр в градусах и минутах,
полученные с помощью формулы (6).
Столбец 8. Заносятся значения sin(θиспр), которые должны
быть вычислены с точностью до четвертого знака после запятой.
Столбец 9. Отмечаются линии, получившиеся за счет λβ-излучения и λα-излучения. Линии от λ β-излучения слабее по интенсивности линий λα-излучения для той же системы параллельных
16
плоскостей и образуют дифракционный конус с меньшим углом
4θ, т. е. располагаются ближе к центру рентгенограммы.
Практически отделение линий λα- и λβ-излучений производят
следующим образом. Предполагается, что линия с наименьшим
значением θ, является линией от λβ-излучения. Если это утверждение справедливо, то на рентгенограмме обязательно должна
присутствовать линия от λα-излучения, как более интенсивная
и имеющая больший угол θ. Соответствующее этой линии значение sin(θα) находят по формуле
sin(θ α ) = sin(θ β )
λα
.
λβ
(9)
Если в столбце 8 найдется значение sin(θиспр), равное вычисленному, и интенсивность этой линии окажется значительно
большей по сравнению с интенсивностью линии, приписанной λβ
-излучению, то эти две линии действительно образовались благодаря отражению лучей с длинами волн λα и λβ от одной системы
параллельных плоскостей. В этом случае в столбец 8 таблицы
записывается против первой линии – λβ, а против второй – λα.
Если в столбце 8 не находится значения sin(θиспр), равного вычисленному по формуле (9), то это значит, что линия, принятая
за λβ является линией λα, а соответствующая ей линия λ β не выявилась на рентгенограмме и против первой линии записывается
λ α. Затем за линию λβ принимается следующая нерасшифрованная линия и т. д.
Столбец 10. Записываются значения d/n в метрах, определенные только для линий λα по формуле
d
λ
=
.
n 2sin(θ α )
(10)
Значение d/n должно быть вычислено с точностью до трех
знаков после запятой.
Столбец 11. Записываются значения d/n, взятые из табл. 2,
для вещества, каким является, по мнению исполнителя работы,
исследуемый объект. При этом надо помнить, что совпадение
должно быть для всех рассчитанных d/n с табличными без пропусков.
2. Порядок выполнения работы
1. Получить у преподавателя задание.
17
2. Заполнить табл. 1.
3. Определить вещество, с которого получена рентгенограмма.
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Краткая методика расшифровки рентгенограммы, основные расчетные формулы.
3. Результаты расчетов в виде табл. 1.
4. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Природа рентгеновского излучения.
2. Вывести уравнение Вульфа–Брэгга.
3. Что такое линии λα, λβ и как они идентифицируются?
4. Конструкция и принцип действия рентгеновской камеры.
5. Опишите порядок расшифровки рентгенограммы.
Рекомендуемая литература
1. Шаскольская М. П. Кристаллогафия. Изд. 2-е. М.: Высш.
шк. 1984. 375 г.
Таблица 2
Межплоскостные расстояния d/n, для некоторых веществ
Вещество
Алюминий
18
d
⋅ 1010 , м
n
Jотн
d
⋅ 1010 , м
n
Jотн
2,33
2,02
100
2,380
100
40
2,260
46
1,430
30
2,213
50
1,219
70
2,204
43
1,168
7
2,065
45
1,011
2
2,001
100
0,928
0,905
4
4
1,971
1,867
40
43
0,826
1
0,778
1
Вещество
Карбидные
фазы
Продолжение табл. 2
Вещество
Хром
Медь
Железо
d
⋅ 1010 , м
n
Jотн
2,052
1,436
1,172
1,014
100
40
60
50
0,909
60
0,829
20
0,768
0,718
Вещество
d
⋅ 1010 , м
n
Jотн
3,74
2,29
1,953
1,620
100
80
55
15
1,486
22
1,323
25
70
1,447
12
10
1,145
9
0,677
40
1,095
12
0,642
30
1,024
6
Антимонид
индия
2,08
100
4,810
5
1,798
86
2,225
30
1,271
71
2,520
100
1,083
1,038
86
56
2,410
2,085
10
30
0,900
29
1,913
2
0,826
56
1,702
15
0,806
42
1,605
65
0,735
42
1,475
80
0,673
30
1,410
3
0,608
‘20
Никелевый
феррит
0,638
20
2,03
100
4,870
5
1,435
50
2,980
30
1,169
80
2,540
100
1,010
0,905
50
60
2,440
2,110
10
30
0,825
0,764
20
60
1,946
1,733
1,625
1,492
2
15
65
80
1,427
3
Цинковый
феррит
19
Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
р-п-Перехода
Цель работы: ознакомиться с основными характеристиками
электрофизических свойств р-п-перехода на примере германиевого диода Д-304; измерить вольт-амперную характеристику
р-п-перехода и рассчитать на основании эксперимента основные
характеристики р-п-перехода.
1. Методические указания по подготовке к работе
Общие сведения об электрофизических свойствах
полупроводников
Одним из основных параметров, определяющих поведение
вещества в электрическом поле, является удельная электропроводность, зависящая от подвижности и концентрации носителей
заряда
σ = qµ n,
где q – заряд носителя; µ – подвижность носителей заряда; n –
концентрация носителей.
Концентрация носителей заряда в проводниковых материалах
(металлах) определяется физическими константами материала
(плотностью, молярной массой, валентностью) и практически не
зависит от внешних воздействий (температуры, электрических и
электромагнитных полей и т. п.).
В полупроводниковых материалах концентрация носителей
заряда существенно зависит от внешних воздействий. Это может
быть объяснено с помощью зонной теории. Согласно этой теории,
носители заряда в энергетическом пространстве могут располагаться на разрешенных уровнях в валентной зоне ВЗ, зоне проводимости ЗП и на примесных энергетических уровнях в зоне
запрещенных значений энергий ЗЗ (рис. 1).
В электропроводности полупроводника могут участвовать
только носители, находящиеся в ЗП (электроны), и носители,
находящиеся в ВЗ (дырки). Принято различать собственные и
примесные носители. Если носители образовались при переходе электронов из ВЗ в ЗП (переход 3), получив дополнительную
энергию не менее ∆Wg, то они будут собственными. При этом в
ЗП будут электроны, а в ВЗ дырки, т. е. положительно заряжен20
ЗП
Wc
Wd
∆ Wd
1
3
Wa
Wν
2
ЗЗ
∆ Wg
∆Wa
ВЗ
Рис. 1. Схема энергетических зон для полупроводника
ные области, из которых ушли электроны в ЗП. Концентрация
собственных носителей обозначается ni и pi для электронов и
дырок соответственно; Wc, Wν – энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны соответственно; Wd, Wa – энергии
примесных донорного и акцепторного уровней соответственно;
∆Wg – ширина запрещенной зоны; ∆Wd – энергия донорного
уровня относительно дна зоны проводимости; ∆Wa – энергия акцепторного уровня относительно потолка валентной зоны.
Если носители образовались в результате перехода электрона
с донорного уровня (переход 1) или из ВЗ на акцепторный уровень (переход 2), то носители будут примесные (электроны в ЗП
и дырки в ВЗ). Носители, образовавшиеся в результате изменения температуры полупроводника, называются равновесными,
так как их концентрация находится в тепловом равновесии с
кристаллической решеткой. Это означает, что при увеличении
температуры концентрация будет увеличиваться, а при снижении уменьшаться. Однако появление носителей может быть
вызвано воздействием ряда внешних факторов, не связанных с
изменением температуры полупроводника. К ним относятся, в
частности, облучение светом, введение (инжекция) носителей из
контактирующего с полупроводником тела (например, металла)
или соседних участков этого же полупроводника под действием
электрического поля или градиента концентрации (диффузии).
Образующиеся таким образом избыточные носители не находятся в тепловом равновесии с полупроводником, и поэтому называются неравновесными. Полная концентрация носителей будет
равна сумме равновесных и неравновесных носителей.
21
Подвижность µ определяет скорость направленного движения (дрейфа) носителя в электрическом поле: Vдр = µ Е, где Vдр –
скорость дрейфа носителя; Е – напряженность электрического
поля. Численно µ равна скорости дрейфа в электрическом поле
с Е = 1.
Следует помнить, что наряду с процессом образования (генерации) неравновесных носителей, идет процесс их рекомбинации,
при котором встречающиеся электрон и дырка аннигилируют.
Окончательная концентрация носителей будет определяться равенством скоростей этих двух процессов. Рекомбинации характеризуются временем жизни носителя (tn и tp) т. е. временем, в
течение которого концентрация носителей уменьшается в е раз
(е = 2,718).
Для описания поведения носителей в полупроводнике, находящемся под воздействием внешних факторов, составляется уравнение баланса концентраций неравновесных носителей
заряда во времени и в пространстве. Это уравнение называется
уравнением непрерывности. Для одномерного случая (т. е. когда
рассматривается изменение концентрации неравновесных носителей вдоль одной оси, например Х), уравнения имеют вид
для электронов:
∂n
∆n
∂n
∂ 2n
= g (x,t) −
− µ nE
− Dn 2 ,
∂t
τn
∂x
∂x
для дырок:
∂p
∆p
∂p
∂2p
= g (x,t) −
− µ pE
+ Dp 2 ,
∂t
τp
∂x
∂x
где g(x,t) – скорость образования неравновесных носителей;
∆n,∆p – концентрация неравновесных носителей (электронов и
дырок соответственно); τn, τp – время жизни носителей (электронов и дырок соответственно); µn, µp – подвижность носителей
(электронов и дырок соответственно); E – напряженность элек∂n ∂p
трического поля;
,
– градиенты концентраций носителей
∂x ∂x
(электронов и дырок соответственно); Dn, Dp – коэффициенты
диффузии носителей (электронов и дырок соответственно).
Диффузия – это направленный перенос носителей в сторону
уменьшения их концентрации. Плотность диффузионного пото22
ка Ф, равная числу носителей, проходящих через 1 м2 в 1 с, пропорциональна градиенту концентрации
Ф = −D
∂n
,
∂x
где D – коэффициент диффузии, зависящий от природы взаимодействующих веществ и температуры.
Для характеристики рекомбинационных процессов вводится
понятие диффузионной длины носителя, которая равна
для электронов:
Ln = D n τ n ,
для дырок:
L p = D рτ р .
Диффузионной длиной носителя называется отрезок, на котором его концентрация уменьшается в е раз (2,718 раз).
Коэффициент диффузии связан с подвижностью носителей
соотношением Эйнштейна
для электронов:
µп =
qDп
,
kT
для дырок:
µp =
qD p
kT
.
Общие свойства p-n-перехода
При контакте двух полупроводников с различным типом носителей на границе возникают диффузионные процессы: электроны из полупроводника п-типа перемещаются в полупроводник
р-типа, а дырки из полупроводника р-типа – в полупроводник
п-типа. В результате нарушается электронейтральность прилегающих к границе областей полупроводников, что приводит к
возникновению контактной разности потенциалов. Эту область
называют р-п-переходом. Контактная разность потенциалов создает потенциальный барьер, препятствующий дальнейшей
диффузии основных носителей и способствующий дрейфу неосновных носителей. Так как потоки основных и неосновных но23
сителей направлены навстречу друг другу, то при некотором значении контактной разности потенциалов наступает равновесие.
Электрофизические свойства образовавшегося таким образом
p-n-перехода определяются следующими характеристиками:
– контактная разность потенциалов Vк;
– концентрации акцепторных примесей в р-области Na и донорных примесей в п-области Nd;
– толщина p-n-перехода δp-n;
– барьерная емкость перехода Cб/U = 0;
При приложении внешнего электрического поля к p-n-переходу, последнее будет либо уменьшать величину потенциального
барьера (прямое включение), либо увеличивать (обратное включение). Следовательно, при прямом включении будет увеличиваться диффузионный ток основных носителей и уменьшаться
дрейфовый ток неосновных носителей, а при обратном включении – наоборот. Так как концентрация основных носителей на
несколько порядков больше, чем неосновных, то увеличение тока
при прямом включении p-n-перехода существенно выше, чем при
обратном. Эта особенность p-n-перехода отражена в вольт-амперной характеристике.
2. Порядок выполнения работы
1. В данной работе экспериментальным путем определяются
Vк, Na, Nd, а затем рассчитываются остальные характеристики
p-n-перехода.
2. Объект исследования: p-n-переход германиевого диода
Д304.
3. Схемы исследования.
Схема измерения прямой ветви вольт-амперной характеристики (ВАХ) диода приведена на рис. 2.
Схема собирается на монтажном шасси с использованием комплекта соединительных проводов. Напряжение питания подаетA
0–300 мА
+
V
0–0,75 В
Д304
Г7
_
Рис. 2. Схема измерения прямой ветви ВАХ
24
ся от источника 0 – 3В (гнезда Г7 блока 3 лабораторного стенда).
Токи и напряжения измеряются внешними стрелочными измерительными приборами. Пределы измерений приборов указаны
на схеме.
Схема измерения обратной ветви вольт-амперной характеристики диода приведена на рис. 3. Напряжение питания подается
от источника 0 – 15В (гнезда Г8 блока 3 лабораторного стенда).
Порядок выполнения экспериментальной части работы
1. Соберите схему, изображенную на рис. 2.
2. После проверки схемы преподавателем измерьте Uпр прямой ветви вольт-амперной характеристики диода; значения прямого тока устанавливайте в соответствии с табл. 1.
Таблица 1
Значения прямого напряжения
Iпр, мА
0
2
10
20
30
40
80
120
160
200
240
280
Uпр, В
3. Соберите схему, изображенную на рис. 3.
4. После проверки схемы преподавателем измерьте Iобр обратной ветви вольт-амперной характеристики диода. Отсчет напряжения Uобр начинайте с Uобр = 10 В и заканчивайте Uобр = 1 В
(10, 8, …, 1); после точки Uобр = 1 В снимите напряжение, выдернув штекер «+» из гнезда Г8 (это соответствует Uобр = 0 В.
Таблица 2
Значения обратного тока
Uобр, В
10
8
6
4
2
1
0
Iобр, мА
A
0–0,75 мА
+
Г8
V
0–15 В
_
Рис. 3. Схема измерения обратной ветви ВАХ
25
Обработка результатов измерений
1. Постройте вольт-амперную характеристику диода (зависимость тока, протекающего через диод от напряжения на диоде).
Прямую и обратную ветви стройте на одном графике, используя
разные масштабы.
2. Определите контактную разность потенциалов Vк, графическим путем, продлив линейные участок прямой ветви вольтамперной характеристики до пересечения с осью напряжений
(рис. 4).
3. Определите концентрации акцепторной примеси в р-области Nа, и донорной примеси в п-области Nd. Система уравнений
для расчетов:
 Dn
Dp  2
+
I 0 = Sq 
n 
 N a Ln N d L p  i 


, kT N a N d

Vк =
ln
2

q
ni

(1)
где I0 – обратный ток насыщения (рис. 4); q = 1,6⋅10–19 Кл – заряд
электрона; k = 1,38⋅10–23 Дж/К – постоянная Больцмана; T(K) –
температура исследуемого перехода; S – площадь поперечного
сечения p-n-перехода задается преподавателем: вариант 1 – S =
= 0,075⋅10–4 м2; вариант
I пр , мА
2 – S = 0,1⋅10–4 м2; вариант
3 – S = 0,125⋅10–4 м2; Dn,
Dp, Ln, Lp, ni – параметры собственного полупроводника (германия) при
Т = 300 К; Dn = 1,01⋅10–2
м2/c – коэффициент диффузии электронов; Dp =
0,49⋅10–2 м2/c – коэффициент диффузии дырок; Ln =
1,0⋅10–3 м – диффузионная
I0
Uпр , В длина электронов в р-обласUобр , В
ти; Lp = 9,0⋅10–4 м – дифVк
Ux
фузионная длина дырок
I обр , мА
в п-области; ni = 2,5⋅1019
м–3 – концентрация свободных электронов.
Рис. 4. ВАХ p-n-перехода
26
В связи с тем, что фактическая температура, при которой проводятся измерения, незначительно отличается от T = 300 К, то
в расчетах допускается использовать значения параметров собственного полупроводника для T = 300 К.
Примечание. 1. Система уравнений (1) решается следующим
образом:
– из второго уравнения определяется численное значения
произведения NdNa и одно из неизвестных, например, Na выражается через второе Nd;
– полученное выражение для Na подставляется в первое уравнение, и в результате получается квадратное уравнение относительно Nd, которое решается известным способом. 2. Из двух решений системы (1) для сочетаний Nd,Na следует выбрать то, при
котором барьерная емкость перехода меньше.
4. Определите суммарное электрическое сопротивление r контактных площадок и пассивных участков p-n-перехода:
r = (U x − Vк )/ I x , (2)
где Ux, Ix – напряжение и ток в произвольной точке линейного участка прямой ветви вольт-амперной характеристики (см.
рис. 4).
5. Рассчитайте толщину δ(р–п) и барьерную емкость Сδ/u = 0
р-п-перехода по следующим формулам:
δ ( р − n) =
2εε 0Vк 1
1
(
), +
q
Na Nd
(3)
где ε = 16 диэлектрическая проницаемость, Ge; ε0 = 8,85·10–12
Ф/м – электрическая постоянная
Cδ /U =0 = εε 0S / δ ( p −n). (4)
6. Полученные результаты сведите в табл. 3.
Таблица 3
Рассчитанные параметры р-п-перехода
Vк,В
Nа,см–3
Nd, см–3
δ(р–п), мкм
Сδ / U = 0, пФ
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Перечень применяемых приборов.
27
3. Электрические схемы исследований.
4. Результаты измерений, расчетов и графики.
5. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Чем отличаются равновесные, неравновесные, собственные, примесные, основные и неосновные носители?
2. Какие процессы протекают при формировании р-п-перехода ?
3. Процессы в р-п-переходе при прямом включении?
4. Процессы в р-п-переходе при обратном включении?
5. Что происходит в р-п-переходе при достижении Uпр = Vk?
Рекомендуемая литература
1. Жеребцов И. П. Основы электроники. 5-е изд., перераб. и
доп. Л.: Энергоатомиздат, 1989. 352 с.
2. Батушев В. А. Электронные приборы. 2-е изд., перераб. и
доп. М: Высш. шк., 1980. 383 с.
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
С ПОМОЩЬЮ ЭФФЕКТА ХОЛЛА
Цель работы: определить знак заряда, подвижность и концентрацию носителей в полупроводнике с помощью эффекта Холла.
1. Методические указания по подготовке к работе
Эффект Холла относится к гальваномагнитным явлениям,
возникающим в твердых телах при действии на них одновременно электрического и магнитного полей. Измерение ЭДС Холла
позволяет определить тип носителей заряда и их концентрацию,
а в сочетании с измерением проводимости – подвижность носителей заряда. Появление эффекта Холла связано с тем, что на
движущийся со скоростью V носитель заряда в магнитном поле с
индукцией B действует сила Лоренца FЛ
FЛ = q [V × B ], (1)
где q = ± 1,601⋅10–9 Кл (для электрона знак «–», для дырки –
«+»).
28
а)
I
B
D
б)
UХ
C
V

а
  FЛ

UХ
I
++
++
F +
d
I b
C
F B 
 
 
++ V
+
d
а
I b
FЛ
D
++
Рис. 1. Эффект Холла в полупроводниках: а – п-типа; б – р-типа
Предположим, что по полупроводнику, имеющему форму
прямоугольной пластины, протекает электрический ток I0, (рис.
1, а), обусловленный движением только электронов (полупроводник n-типа). При этом электроны совершают дрейф со скоростью
V в противоположном току I0 направлении. В отсутствии магнитного поля разность потенциалов между точками С и D, лежащими на одной эквипотенциальной поверхности, равна нулю. Если
образец поместить в магнитное поле с индукцией B, перпендикулярной направлению тока и плоскости образца, то тогда сила
Лоренца будет смещать движущиеся электроны к левой грани
пластины. Направление смещения определяется направлением
силы Лоренца, т. е. векторным произведением (1) с учетом знака носителей. В результате между боковыми гранями пластины
(точками С и D) возникает разность потенциалов (ЭДС Холла).
В полупроводниках р-типа (рис. 1, б) при том же направлении
тока вектор скорости дырок направлен в противоположную сторону, знак носителя заряда также другой, и поэтому сила Лоренца (1) действует на дырки в ту же сторону, смещая их также к
левой грани. Однако знак ЭДС Холла получается противоположным из-за другого знака носителя.
Накопления носителей заряда у боковой грани пластины прекратиться, когда сила Лоренца уравновесится силой F, действующей на носитель заряда со стороны холловского электрического поля.
При перпендикулярном направлении индукции магнитного
поля B к плоскости образца условием равновесия будет равенство
qVB = qEХ, (2)
где EХ – напряженность холловского электрического поля
29
ЭДС Холла, т. е. поперечная разность потенциалов между боковыми гранями пластинки будет
U Х = EХb = VBb, (3)
где b – ширина пластинки.
Для полупроводника р-типа скорость движения дырок V может быть определена из соотношения для плотности тока j
(4)
j = qpV , где p – концентрация дырок.
Подставляя значение V, определенное из (4) в соотношение
(3), получим
UХ =
jBb I 0 Bb 1 I 0 B
=
=
,
qp
Sqp qp a
(5)
где S = d b – площадь поперечного сечения пластинки; d – толщина пластинки.
Окончательно получим
UХ = RХ
где RХ = 1/qp – постоянная Холла.
Для полупроводника п-типа
RХ =
I0B
,
a
1
,
qn
(6)
(7)
где n – концентрация электронов.
Формулы (6) и (7) выведены из предположения, что энергии,
а, следовательно, и скорости всех носителей одинаковы. Это
справедливо только для вырожденных полупроводников. В невырожденных полупроводниках носители заряда распределены
по скорости, что приводит к появлению в числителе формул (6)
и (7) множителя, не равного 1. Для полупроводников с преобладанием рассеяния носителей на тепловых колебаниях кристаллической решетки множитель равен 1,18, для полупроводников
с преобладанием рассеяния на ионизированных примесях множитель 1,93. Принято считать, если знак RХ положительный, то
основными носителями электрического заряда являются дырки,
если знак RХ отрицательный – электроны. Следует отметить, что
пропорциональность холловского напряжения индукции магнитного поля сохраняется только в «слабых» магнитных полях.
30
Критерием «слабости» магнитного поля является соблюдение
требования
By << 2π, (8)
где y – подвижность носителей.
Это ограничение связано с тем, что в «сильных» магнитных
полях происходит не только отклонение носителя электрического заряда, а также и закручивание его траектории вокруг линий магнитного поля. Умножив постоянную Холла на удельную
электропроводность материала σ0 = |q| yn, получим
y = R Хσ 0. (9)
Эффекту Холла обычно сопутствует ряд эффектов, которые
могут внести значительные погрешности при измерении холловской разности потенциалов. Рассмотрим некоторые из сопутствующих эффектов и способы устранения их влияния на точность
измерений.
Погрешность, вносимая асимметрией
холловских зондов
Пусть магнитное поле отсутствует. Тогда эквипотенциальные
поверхности перпендикулярны линиям тока (рис. 2). Холловские зонды должны располагаться на одной эквипотенциальной
линии (расположены в симметUА
ричных точках С и D). При таком
расположении
измерительных
C′
C
зондов при включении магнитноI
го поля будет измерено истинное
значение холловской разности потенциалов. При асимметричном
D
расположении зондов (например, в
точках С’ и D) необходимо учитывать разность потенциалов между
Рис. 2. Схема расположения
этими точками UDC = UХ + UA.
холловских зондов
Так как знак UА не зависит
от направления магнитного поля, то разность потенциалов UА
можно исключить, выполняя два последовательных измерения с
использованием противоположных по направлению магнитных
полей. Результаты этих измерений записываются в виде
U DC'
+H
= UХ + U A, (10)
31
U DC'
–H
= −U Х + U A . (11)
Из выражений (10) и (11) получим
UХ =
U DC'
+H
− U DC'
2
−H
.
(12)
Погрешность, вносимая продольным градиентом
температуры
Термомагнитные эффекты возникают при воздействии магнитного поля на проводник, в котором имеется градиент температуры. Пусть, например, в образце (рис. 3), существует градиент температуры вдоль образца от верхней грани В к нижней
Хо

лод
ны
B
й
грани А (TB < TA). Тогда от грани

C
А к грани В возникают направе
ленные, результирующие потоки
D
свободных носителей заряда. Они
+
Гор
обусловлены тем, что на горячем
яч
е
A
ий
В
+
конце образца средние скорости
хаотического теплового движения
выше, чем на холодном (явление
Рис. 3. Схема возникноветермодиффузии), а также тем, что
ния эффекта Риги–Ледюка
на горячем конце образца концентрация носителей может оказаться выше, чем на холодном (диффузия). Между холодным и горячим концами образца появится
разность потенциалов (термо-ЭДС). Эта разность потенциалов
приводит к возникновению встречного по отношению к термодиффузионному потоку дрейфового потока носителей. Например, если образец представляет собой полупроводник n-типа, то
термодиффузия и диффузия электронов приводят к появлению
отрицательного заряда на верхней и положительного на нижней
гранях образца (рис. 3). Тогда от верхней грани к нижней пойдет
дрейфовый поток электронов. Термо-ЭДС нарастает до тех пор,
пока дрейфовый поток не сравняется со встречным тепловым потоком. Эти два потока, однако, переносятся электронами с разными средними скоростями теплового хаотического движения.
В тепловом потоке средняя скорость хаотического движения носителей выше, чем в дрейфовом. В поперечном магнитном поле
эти потоки отклоняются к противоположным граням С и D. Изза разных средних скоростей хаотического теплового движения
32
во встречных продольных потоках носителей они отклоняются
магнитным полем несколько по-разному и в поперечном направлении также возникает некоторая разность потенциалов (поперечный эффект Нернста).
Эффект Нернста приводит к возникновению поперечной разности потенциалов
U H = QH ∂T , (13)
∂a
где Q – коэффициент Нернста; H – напряженность поперечного
магнитного поля; ∂T/∂a – продольный градиент температуры
(a – длина образца, b – ширина образца).
Из уравнения (13) следует, что знак UH зависит только от направления магнитного поля. Следовательно, UH можно исключить из измеренной величины ЭДС Холла, если выполнить измерения при двух противоположных направлениях электрического тока,
U
U
+I
−I
= −U Х + U H,
= U Х + U H. (14)
(15)
Из выражений (14) и (15) находим
UХ =
U
+I
−U
2
−I
.
(16)
Кроме того, грань C, к которой отклоняется тепловой поток,
окажется более горячей, чем грань D, и возникает поперечный
градиент температуры, пропорциональный продольному, называемый эффектом Риги–Ледюка. Последний приводит к возникновению термопар между материалами зондов и полупроводниковой пластиной.
Знак ЭДС Риги–Ледюка UР–Л также, как знак UН, зависит
только от направления магнитного поля, и следовательно, UР–Л
исключается одновременно с UН путем измерений при двух противоположных направлениях электрического тока.
Таким образом, совместное влияние асимметрии холловских
зондов и градиента температур можно исключить, если провести измерения при двух направлениях тока и двух направлениях
магнитного поля:
33
 U + H, + I = U Х + U A + U H + U Р − Л ,
0

U
 − H,+ I0 = −U Х + U A − U H − U Р −Л,

 U − H, − I 0 = U Х − U A − U H − U Р − Л ,
U
 + H,− I0 = −U Х − U A + U H + U Р −Л.
(17)
Решая систему уравнений (17) относительно UX, получим
UХ =
U
+ H, + I 0
−U
− H, + I 0
+U
− H, − I 0
−U
+ H, − I 0
4
.
(18)
2. Порядок выполнения работы
Объект исследования
Прямоугольная пластина легированного германия с размерами a = 11,5 мм; b = 7,5 мм; d = 3,5 мм, снабженная холловскими
зондами и токовыми электродами и помещенная между полюсами электромагнита ЭМ.
Схема лабораторной установки
Лабораторная установка (рис. 4) включает в себя:
– блок питания электромагнита АГАТ;
– микровольтметр В2-15 для измерения величины и знака
разности потенциалов U между холловскими зондами;
– блок питания образца (БПО).
А1 V1
БПО
В215
А2
АГАТ
ЭМ
Рис. 4. Схема лабораторной установки
34
Порядок выполнения экспериментальной части
работы
1. Получите у преподавателя вариант задания: значения токов через
обмотку электромагнита IЭМ и через исследуемый образец I0.
2. Подготовьте лабораторную установку к работе:
– тумблеры питания на передних панелях БПО, В2-15 и АГАТ
поставьте в положении ВЫКЛ.;
– ручку регулировки напряжения на передней панели АГАТА
поверните до упора против часовой стрелки;
– регулятор тока I0 на передней панели БПО поверните до
упора против часовой стрелки.
3. Проведите измерения ЭДС Холла:
– включите шнуры питания БПО, В2-15 и АГАТА в сеть электропитания;
– установите с помощью тумблеров «± H» (прибор АГАТ) и «±
I0» (прибор БПО) первое сочетание знаков Н и I0, указанное в
табл. 1;
– для данного сочетания знаков Н и I0 установите указанное в
табл. 1 положение переключателя пределов измерения и тумблера «полярность» (прибор В2-15);
– тумблеры питания на передних панелях БПО, В2-15 и
АГАТА поставьте в положение ВКЛ., при этом стрелка прибора
В2-15 отклонится вправо до предела и примерно через 15 с вернется в нулевое положение;
– с помощью ручки регулировки напряжения (АГАТ) установите (амперметр А2, вся шкала ± 5 А) значение тока IЭМ через
обмотку электромагнита, указанное в задании. Дайте приборам
прогреться не менее 3 мин;
– измерьте разность потенциалов между холловскими зондами для первого сочетания знаков Н и I0, для этого:
– регулятором тока (прибор БПО) установите значение тока
I0, протекающего через образец, указанное в задании (амперметр
А1; вся шкала 5 мА). Отсчитайте число делений по шкале стрелочного прибора В2-15 и определите величину разности потенциалов U (в милливольтах), знак разности потенциалов определите
по положению тумблера «полярность» и результаты запишите в
табл. 1.
– регулятор тока I0 поверните до упора против часовой стрелки;
35
– повторите измерение разности потенциалов между холловскими зондами для трех следующих сочетаний знаков Н и I0
(табл. 1);
– результаты измерений занесите в табл. 1.
Таблица 1
Измеренные значения напряжения между холловскими зондами
Результаты
измерений
Подготовка приборов к измерению
№
измерения
Сочетание
знаков
Н и I0
1
+ Н, + I0
2
+ Н, – I0
3
– Н, + I0
4
– Н, – I0
Положение
переключателей
пределов измерения (В2-15)
Положение
Число
Знак и
тумблера
делений
величина
«полярность» шкалы
U, мВ
(В2-15)
(В2-15)
«–»
µV = 1000 х 1
Вся шкала 1,0 мВ
«+»
«+»
µV = 100 х 1
Вся шкала 0,1 мВ
«–»
4. Измерьте с помощью милливольтметра V1, расположенного на передней панели БПО (вся шкала прибора – 50 мВ), падение напряжения U0 на образце при значении тока I0, указанном
в задании; результаты занесите в табл. 2
Таблица 2
Параметры полупроводника
I0, мА
U0, мВ
R0, Ом
Параметры полупроводника
RX,
м3 / Кл
σ0,
1/ Ом м
y,
м2/ В с
n,
1/ м3
Обработка результатов измерений
1. Рассчитайте постоянную Xолла по формуле
RХ =
где U Х =
U
+ H, + I 0
−U
− H, + I 0
U Хd 3
, м /Кл,
BI 0
+U
− H, − I 0
−U
+ H, − I
0
, мВ; d – толщина
4
образца, м; I0 – ток через образец, мА; B = µ µ0 H – магнитная
индукция, Тл (µ = 1; µ0 = 4π⋅10–7 Гн/м, H = КIЭМ – напряжен-
36
ность магнитного поля А/м, К = 49,95 103 м–1 IЭМ – ток через
электромагнит, А).
2. Рассчитайте удельную электропроводность, подвижность,
концентрацию и определите знак носителя заряда по формулам:
σ0 = a/ R0 b d – удельная электропроводность образца, 1/ Ом⋅м,
где a, b и d – размеры образца, м; R0 = U0 /I0 – сопротивление образца, Ом; y = | RX|σ0 – подвижность носителей, м2/ В с; n = σ0 /
|q| y – концентрация носителей, 1/м3; |q| = 1,6⋅10–19 – величина
заряда носителя, Кл; RX = 1/ q n – соотношение для определения
знака заряда.
Результаты расчетов занесите в табл. 2.
1. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Схема лабораторной установки.
3. Результаты измерений и расчетов.
4. Выводы.
Лабораторная работа № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ ВАРИКАПА
Цель работы: исследовать зависимости емкости и добротности варикапа от управляющего напряжения.
1. Методические указания по подготовке к работе
Конденсатор – это электрорадиоэлемент, способный накапливать и быстро отдавать электрическую энергию. Для плоского конденсатора, состоящего из двух металлических электродов
(обкладок) и диэлектрика между ними, емкость определяется по
формуле
С=
ε 0εS
,
d
(1)
где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, ε0 = 8,86 10–12
Ф/м; ε – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика; S – площадь электрода; d – толщина диэлектрика.
Конденсаторы делятся на два основных класса: конденсаторы
постоянной емкости и конденсаторы переменной емкости (КПЕ).
Они существенно различаются по назначению, параметрам и
37
конструкции, хотя и обладают многими общими характеристиками. КПЕ используются в РЭА для настройки колебательных
контуров, изменения емкостной связи между отдельными участками электрической цепи, балансировки емкостных мостов,
плавного изменения емкости по заданному закону в измерительной технике.
Как видно из выражения (1), емкость можно изменить путем
изменения одного или одновременно нескольких параметров:
площади перекрытия пластин S, расстояния между ними d, диэлектрической проницаемости материала диэлектрика ε. Изменение емкости конденсатора можно получить двумя способами
управления – механическим (изменяя S и d) и электрически (изменяя d и ε). Конденсаторы с изменением ε называются варикондами, а с электрическим управлением d (в полупроводниковых
диодах) – варикапами.
Варикап – это полупроводниковый конденсатор, емкость которого зависит от приложенного к его обкладкам напряжения.
Диэлектриком конденсатора является обедненный носителями
заряда слой p-n-перехода, а обкладками – прилегающие к нему
проводящие объемы кристалла полупроводника.
Толщина обедненного основными носителями p-n-перехода
определяется формулой
d=
2εε 0 ( N a + N d )(U k ± U)
,
qN a N d
(2)
где Na, Nd – концентрация акцепторной и донорной примесей;
Uk – контактная разность потенциалов; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n-переходу («+ » – обратное включение,
«– » – прямое); q – заряд носителя.
Таким образом, толщина обедненного основными носителями слоя пропорциональна (Uk ± U)1/2 и при обратном включении
увеличивается с увеличением U. Рассматривая обедненный слой
как диэлектрик, заключенный между слоями полупроводников
с достаточно высокой проводимостью и играющих роль обкладок, получим конденсатор, управляемый электрическим полем.
При этом с изменением U изменяется расстояние между обкладками d.
В варикапе одна область полупроводника обычно легирована
больше другой (например, Na >> Nd). Тогда формула (2) упроща38
ется. Это означает, что обедненный слой целиком лежит в слаболегированном полупроводнике (d ≈ dn)
d=
2εε 0 (U k ± U)
= d n. qN d
(3)
В то время как в сильнолегированном полупроводнике обедненная область очень мала, dp≈ 0. Подставив выражение (3) в
формулу (1), получим формулу для барьерной емкости варикапа:
Cб = S
ε 0εqN d
.
2(U k ± U)
(4)
На рис. 1 приведена структура варикапа на основе p-n-перехода. База диода состоит из низкоомной (n+) и высокоомной (n)
областей (знак « + » указывает
n+
p+ n
на повышенную концентрации
примесей). Низкоомная часть
базы играет роль обкладки, а выРис. 1. Структура варикапа
сокоомная часть непосредственно примыкает к низкоомной обCб
ласти (p+), являющаяся второй
обкладкой. Поэтому p-n-переход
rб
образуется между областями p+ и
n, и располагается в слаболегированной области n.
rпер
Основными параметрами варикапа являются: Cб – номинальная
Рис. 2. Эквивалентная схеемкость варикапа, измеренная ма варикапа: C – барьерная
б
при заданном обратном напряжеемкость перехода; rб – сонии; Кс – коэффициент перекрыпротивление низкоомной
тия по емкости, равный отношеобласти; rпер – активное
нию емкостей варикапа при двух сопротивление обедненного
слоя
заданных обратных напряжений;
Qв – добротность варикапа, равная отношению реактивного сопротивления варикапа хв на заданной частоте к сопротивлению потерь r
x
Qв = в . (5)
r
39
Зависимость добротности варикапа от частоты можно найти
из эквивалентной схемы варикапа (рис. 2).
Полное сопротивление схемы, изображенной на рис. 2
z = rб +
rпер
1 + jrперϖс б
.
(6)
Подставляя (6) в (5), находим выражение для добротности варикапа
Qв =
ϖс бrпер
2
2
rб + rпер + rб rпер
ϖ 2с б
.
(7)
На низких частотах rб<< 1/vcб (отношение rб/rпер ≈ 10–7 для
реальных варикапов), поэтому добротность варикапа определяется соотношением
Qв = rперϖc б. (8)
На высоких частотах rпер>>1/vcб, поэтому добротность варикапа будет
Qв =
1
.
ϖrбс в
(9)
Зависимость добротности от частоты приведена на рис. 3.
Qв
Qmax
Q min
ϖн
ϖ opt
ϖв
ϖ
Рис. 3. Зависимость добротности варикапа от частоты: Qmax, Qmin –
максимальная и минимальная добротность; vн, vв,, vopt – низкая,
высокая и оптимальная частоты
40
Стабильность характеристик варикапа зависит от температурных коэффициентов емкости и добротности варикапа (TKE ≈
(100–200) 10–6 1/град).
Германиевые варикапы работают при температурах не выше
+ 60°С, арсенид-галиевые – не выше +150°С.
Изменение емкости обычно находится в пределах от (90 – 250)
до (6 – 40) пФ при изменении напряжения на p-n-переходе от 0,1
до (25 – 130) В.
Благодаря малым размерам, высокой добротности (50 – 100)
и стабильности, а также значительному изменению емкости при
изменении напряжения варикапы нашли широкое применение
в аппаратуре для настройки контуров и фильтров в качестве элементов управления генераторов и т. п.
2. Порядок выполнения работы
1. Объект исследования: варикап 2В110А.
2. Описание лабораторной установки.
В состав лабораторной установки входят:
– измеритель добротности (Q-метр) Е4-11 с образцовой катушкой индуктивности, подключенной к клеммам Lx на верхней
панели Q-метра (инструкция по работе с Q-метром находится на
рабочем месте);
– источник питания постоянного тока Б5-45 с укрепленным
на нем делителем выходного напряжения.
– лабораторный макет, включающий в себя (рис. 4): исследуемый варикап 2В110А (для повышения точности измерения
исследуется не один, а три параллельно включенных варикапа),
перемычка П, позволяющая отключать варикапы, резистор и
конденсаторы. Лабораторный макет подключается к клеммам Сх
на верхней панели Q-метра.
5600 пФ
К клеммам Сx
Q  метра С = 51 пФ
доб
П
Uо
5600 пФ
К делителю
напряжения 1:1,25
2В110А 100 кОм
Рис. 4. Схема лабораторной установки
41
Добавочный конденсатор Сдоб = 51 пФ служит для снижения
резонансной частоты измерительного колебательного контура, а
конденсатора по 5600 пФ являются разделительными.
Если пренебречь влиянием разделительных конденсаторов,
то при отключенных варикапах резонансная емкость колебательного контура Q-метра будет равна Ск = С1 + Сдоб, где С1 – емкость измерительного конденсатора Q-метра при резонансе, а
при включенных варикапах та же самая резонансная емкость
Ск = С2 + Сдоб + 3Св, где С2 = емкость измерительного конденсатора при резонансе; Св – емкость варикапа.
Порядок выполнения экспериментальной части работы
Внимание! Проверьте, чтобы до начала измерений было следующее:
– тумблеры питания приборов Е4-11 и Б5-45 были включены;
– декадный переключатель напряжений прибора Б5-45 стоял
в положении 5,0 В, а декадный переключатель тока – в положении 100 мА;
– перемычка П подключена к лабораторному макету.
Задание 1. Определите добротность Q1 и резонансную емкость
Ск измерительного колебательного контура с отключенными варикапами. Для этого:
– вынуть перемычку П из лабораторного макета и включить
Q-метр;
– установите частоту Q-метра f = 38 МГц, пределы измерении
Q = 300 и дать прогреться прибору в течение 20 мин;
– пользуясь инструкцией по работе с Q-метром, измерьте добротность Q1 контура и емкость С1 измерительного конденсатора.
Результаты занесите в табл. 1 (Ск = С1 + Сдоб, где Сдоб = 51 пФ).
Таблица 1
Параметры измерительного контура
f, МГц
Q1
С1, пФ
Ск, пФ
38
Задание 2. Определите емкость Св и добротность Qв варикапа
при управляющих напряжениях U0 = 4,0; 6,0; 8,0; 12; 16; 24 и
40 В:
– убедитесь, что на блоке питания Б5-45 установлен ток
I0 = 100 мА, напряжение U = 5,0 В, и включите блок. В связи с
42
тем, что на выходе Б5-45 включен делитель напряжения 1:1,25,
управляющее напряжение на варикапе окажется равным U0 =
= U /1,25 = 5, 0 /1,25 = 4,0 В;
– включите варикап (фактически три соединенных параллельно варикапа 2В110А), для этого установить перемычку П на
лабораторном макете (рис. 1);
– пользуясь инструкцией по работе с Q-метром, измерьте емкость С2 измерительного конденсатора и добротность Q2 контура при управляющем напряжении на варикапе U0 = 4,0 В;
повторите измерения С2 и Q2 для управляющих напряжениях
U0 = 6,0; 8,0; 12; 16; 24 и 40 В. Результаты занесите в табл. 2, где
U – напряжение источника Б5-45; Uo– управляющее напряжение на варикапе.
Таблица 2
Измеренные значения добротности и емкости варикапа
U, В
U0 = U/1,25
5,0
7,5
10
15
20
30
50
(49,9)
4,0
6,0
8,0
12
16
24
Результаты
измерений
С2, пФ
Q2
Результаты расчетов
Q1 – Q2 3Cв = (С1–С2), пФ Св, пФ
Qв
40
Емкость Св и добротность Qв определяются по формулам:
Св =
Qв =
С1 − С2
,
3
(10)
(С1 − С2 )Q1Q2
,
Cк (Q1 − Q2 )
(11)
где С1 и Q1 – емкость измерительного конденсатора и добротность
колебательного контура Q-метра при отключенных варикапах
(см. задание 1); С2 и Q2 – емкость измерительного конденсатора и добротность колебательного контура с включенными вари43
капами; Ск – резонансная емкость колебательного контура (см.
задание 2).
Задание 3. Выполните расчеты, предусмотренные табл. 1 и 2.
На одном графике нанесите уровень Q1 ( горизонтальную прямую) и постройте кривые зависимости Q2, Св и Qв от управляющего напряжения U0 на варикапе.
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Перечень применяемых приборов.
3. Электрическая схема лабораторного макета.
4. Результаты измерений, расчетов и графики.
5. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Принцип работы варикапа.
2. Параметры варикапа.
3. Объясните зависимость емкости и добротности варикапа от
управляющего напряжения.
Рекомендуемая литература
1. Батушев В. А. Электронные приборы. М.: Высш. шк., 1980.
383 с.
2. Жеребцов И. П. Основы электроники. Л, 1985.
3. Петров К. С. Радиоматериалы, радиокомпоненты и электроника: учебное пособие. СПб.: Питер, 2003. 512 с.
Лабораторная работа № 6
ИЗМЕРЕНИЕ УПРУГИХ И ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
МОДУЛЕЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ
МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА И АНТИРЕЗОНАНСА
Цель работы: ознакомиться с тензорным методом описания
физических свойств кристаллов и резонансным методом измерения упругих и пьезоэлектрических свойств
1. Методические указания по подготовке к работе
Тензорное описание физических свойств кристаллов
Известно, что кристаллические тела являются анизотропными материалами, т. е. их свойства (электрические, механические
44
и др.) обычно неодинаковы в различных направлениях. Поэтому
большинство свойств кристаллов описывается с помощью таких
таблиц, в которых значение характеризует данное свойство в заданном направлении. Такие таблицы могут содержать различное
число параметров и называются тензорами. При этом считают,
что векторы и скаляры являются частными случаями тензоров,
так как вектор можно задать в виде таблицы, состоящей из трех
проекций вектора на оси координат, а скаляр задается таблицей,
состоящей из одного коэффициента. Число коэффициентов, входящих в состав тензора, можно всегда представить в виде целой
степени числа 3. Показатель этой степени носит название ранга
тензора. Так, скаляр есть тензор нулевого ранга (3° = 1), а вектор – тензор первого ранга (31 = 3).
Такие свойства кристаллов, как электропроводность, диэлектрические свойства, магнитные свойства в общем случае можно
описать лишь с помощью тензора второго ранга, содержащего 9
коэффициентов (32 = 9).
Рассмотрим, например, диэлектрические свойства кристаллов, характеризуемые диэлектрической проницаемостью ε.
Пусть Е – вектор напряженности электрического поля, а D – вектор электростатической индукции. В изотропном теле вектор D
параллелен вектору E, поэтому
D = εE. (1)
Данное уравнение можно переписать в следующем виде:
 D x = εEx ,

 D y = εEy,  D z = εEz.

(2)
Для анизотропной среды соотношения между векторами D и
E получаются более сложными, так как указанные векторы уже
не параллельны друг другу. Это означает, что в общем случае
каждая компонента вектора D является комбинацией всех компонент вектора E
 D x = ε xx Ex + ε xy Ey + ε xz Ez,

 D y = ε yx Ex + ε yy Ey + ε yz Ez,  D z = ε zx Ex + ε zy Ey + ε zz Ez.

(3)
45
В кристаллографии для удобства записи обычно оси координат обозначают не X, Y, Z, а X1, X2, X3 соответственно. Причем
при написании уравнений, описывающих анизотропию физических свойств кристаллов, принято проекции вектора A на оси координат Xi обозначать как Ai, где i = 1, 2, 3. С учетом принятых в
кристаллографии обозначений, уравнение (3) можно переписать
в виде
 D1 = ε 11E1 + ε 12E2 + ε 13E3,

 D2 = ε 21E1 + ε 22E2 + ε 23E3,  D3 = ε 31E1 + ε 32E2 + ε 33E3.
(4)
Последнее уравнение можно переписать в сокращенном виде
Di =
3
∑ ε ij Ej,
j =1
где i = 1, 2, 3.
И, наконец, для удобства входящий в выражение знак суммы,
принято опускать и считать, что использование в правой части
уравнений одинаковых индексов означает суммирование по
этим индексам, а сам повторяющийся индекс называют немым
индексом.
С учетом всех принятых обозначений систему уравнений (4)
можно представить в виде
Di = ε ij E j ,
где i, j = 1, 2, 3.
Для выяснения физического смысла коэффициентов εij допустим, что электрическое поле Е приложено только вдоль оси
X1, т. е. E = E1, E2 = E3 = 0. Тогда из уравнений (4) следует, что
D1 = ε11E1, D 2 = ε21E2, D3 = ε31E3. Несмотря на то, что электрическое поле приложено только вдоль оси X1, вектор электростатической индукции D имеет компоненты не только вдоль оси
X1, (компонента D1), но и вдоль направления других осей. Данное рассмотрение позволяет сказать, что в общем случае диэлектрическая проницаемость εij характеризует компоненту вектора
электрической индукции D вдоль оси Xi, если вектор напряженности электрического поля E направлен вдоль оси Xj.
Диэлектрическая проницаемость кристаллов описывается
тензором диэлектрической проницаемости 2-го ранга
46
ε 11 ε 12 ε 13
ε 21 ε 22 ε 23 .
ε 31 ε 32 ε 33
Если кристалл обладает некоторой симметрией кристаллической решетки, то число независимых коэффициентов в описании
тензора уменьшается, причем часть коэффициентов может быть
равна нулю. В частности, для изотропного тела тензор диэлектрической проницаемости принимает вид
ε 0
0 ε
0 0
0
0.
ε
Данный тензор содержит всего один независимый элемент.
Воздействие внешней силы на физическое тело также характеризуется тензором второго ранга. Если тело находится под действием внешней силы, то говорят, что это тело находится в напряженном состоянии. Величина, определяемая как отношение
величины действующей силы к единице площади поверхности
тела, на которую воздействует сила, получила название механического напряжения.
Рассмотрим находящийся внутри тела единичный куб с ребрами, параллельными осям координат. Если тело находится в
напряженном состоянии, то на каждую грань этого куба будут
действовать силы со стороны внешних по отношению к нему (выбранному кубу) частей тела. Силу, приложенную к каждой грани
куба, можно разложить на три компоненты, параллельные осям.
При этом силы, действующие на
Х3
две любые параллельные грани,
σ33
равны по величине и противопоσ23
ложны по направлению. Обознаσ13
чим через σij компоненты силы,
σ32
действующей в направлении оси
σ31
σ22
Xi на две любые грани рассматриХ2
σ12
ваемого куба, перпендикулярные
оси Xi. Тогда, очевидно, σ11, σ22,
σ
21
Х1 σ11
σ33 – нормальные компоненты
напряжения, а остальные комРис. 1. Схема действия
поненты напряжения являются
компонентов механических
сдвиговыми (рис. 1).
напряжений
47
Таким образом, действие внешних сил на твердое тело описывается тензорами напряжений. Из условия равновесия внутри
твердого тела рассматриваемого нами куба вытекает, что тензор
напряжения – есть симметричный тензор 2-го ранга, т. е. σij =
= σji, и тензор напряжений может быть записан
σ 11 σ 12 σ 13
σ 21 σ 22 σ 23 .
σ 31 σ 32 σ 33
Реальные физические тела не являются абсолютно твердыми,
поэтому действие внешних сил вызывает их деформацию (смещение некоторых выбранных точек внутри тела под воздействием приложенных сил, например, удлинение тела). Деформация
связана с механическим напряжением (и деформация, и механическое напряжение определяются как воздействие на тело внешней силы). Продольные компоненты механического напряжения могут вызывать продольные деформации по соответствующим осям, сдвиговые компоненты напряжений могут вызывать
деформации сдвига. Поэтому деформация кристалла в общем
случае описывается симметричным тензором второго ранга (Sij)
(как и механические напряжения)
S11 S12 S13
S21 S22 S23 .
S31 S32 S33
Упругие свойства кристаллических тел
Соотношение между деформациями и напряжениями определяются законом Гука. В частном случае для слабых деформаций (линейное приближение – после снятия внешней силы
деформация пропадает) относительная деформация пропорциональна напряжению. Для анизотропных сред, где любая компонента напряжения может вызвать любую другую компоненту
деформации (а не только такую же, как исходная компонента напряжения, так как смещения в материальной среде могут быть
разными по разным направлениям), то в общем случае каждая
компонента напряжения является линейной комбинацией всех
компонент тензора деформации
σ ik = cijklS jl, (5)
где i, j, k, l = 1, 2, 3.
48
Повторяющиеся в правой части индексы i, j предполагают
суммирование по этим индексам. Система из девяти уравнений
(5) содержит 81 коэффициент сijkl, который называют упругими
модулями. Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации cijkl = cklij = cjikl = cijlk, что уменьшает число независимых
коэффициентов до 36. Для изотропных тел число независимых
упругих модулей уменьшается до двух, один из которых обычно
называют модулем Юнга, а другой – коэффициентом Пуассона.
Из всего вышесказанного следует, что упругие свойства тел описываются тензором 4-го ранга (34 = 81) – тензором упругости cijkl
(тензором модулей упругости).
Можно ввести тензор, обратный тензору упругости, который
также будет тензором четвертого ранга. Тогда можно выразить
деформации через напряжения
Sik = sijklσ jl,
где Sik – тензор деформации; sijkl – тензор упругой податливости
(тензор четвертого ранга обратный тензору упругости cijkl).
Поскольку число независимых упругих констант для тензоров cijkl и sijkl не превышает 36, то на практике часто используется сокращенное (матричное) обозначение модулей упругости и
податливости, при котором вместо пар индексов (i, j) и (k, l), где
i, j, k, l = 1,2,3, вводят индексы m, n = 1,2,3,4,5,6 в соответствии
с таблицей
11 12 13
21 22 23
31 32 33
⇔
1 6 5
6 2 4.
5 4 3
Например, s1213 ≡ s65, и в общем случае модули упругости и
модули податливости могут быть записаны в сокращенном виде
как cijkl ⇔ cmn и sijkl ⇔ smn.
Пьезоэлектрические свойства кристаллических тел
Некоторые типы твердых тел при действии на них внешних
сил поляризуются, т. е. в них возникает собственное микроскопическое электрическое поле. При этом на поверхности тела появляются электрические заряды. Эффект поляризации твердого
тела при действии на него внешней силы получил название пьезоэлектрического эффекта, а тела, в которых наблюдается этот
эффект, называются пьезоэлектриками.
49
Если внешняя сила меняет свой знак, то знак поляризации
также меняется. Пьезоэлектрический эффект обратим: у пьезоэлектриков, помещенных в электрическое поле, наблюдается
изменение геометрических размеров, т. е. пьезоэлектрик деформируется во внешнем поле. Этот эффект получил название обратного пьезоэлектрического эффекта.
Экспериментально установлено, что величина пьезоэлектрической деформации в умеренных полях пропорциональна напряженности электрического поля
S = dE, (6)
где S – деформация, т. е. относительное изменение соответствующих размеров пьезоэлектрика; E – напряженность электрического поля.
Коэффициент пропорциональности d носит название пьезоэлектрического модуля. Аналогичное уравнение можно написать
и для прямого пьезоэлектрического эффекта.
Из уравнения (6) следует, что пьезоэлектрические свойства
должны описываться тензором третьего ранга, так как коэффициент d связывает между собой тензор первого ранга (вектор)
напряженности электрического поля Е и тензор механических
деформаций Sij, являющийся тензором второго ранга. С учетом
тензорного характера входящих в уравнение (6) величин, последнее можно представить в следующем виде:
Sij = dijk Ek, (7)
где i, j, k = 1, 2, 3.
В матричных обозначения уравнение (7) имеет вид
Sn = dnm Em, (8)
где n = 1,2,3,4,5,6; m = 1,2,3.
Благодаря введению матричных обозначений упругие тензоры cmn и модули податливости smn кристалла можно представить квадратной матрицей размера (6х6), а пьезоэлектрические
модули dnk представляются матрицей размера (6х3). Например,
запись упругих и пьезоэлектрических модулей для кристалла
кварца α – SiO2 имеет следующий вид:
50
c11
c12
c
c mn = 13
c14
0
0
c12
c13
c13
−c14
0
0
c13
c12
c33
0
0
0
c14
−c14
0
c 44
0
0
d11 −d11 0 d14
dmn = 0
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0
0
c 44
c14
0
0
0
,
0
c14
c66
0
0
−d14 2d11 ,
0
0
1
где c66 = (c11 − c12 ).
2
Из приведенных выражений следует, что упругие свойства
кристаллического кварца однозначно определяются шестью независимыми константами (c11, c12, c13, c14, c33, c44), а пьезоэлектрические свойства полностью задаются только двумя независимыми модулями d11 и d14.
Из выражения (6) нетрудно выяснить и физический смысл
каждого пьезоэлектрического модуля: модуль dijk определяет
величину Sij деформации (пьезоэлектрической), при помещении
кристалла в электрическое поле Е вектор напряженности которого параллелен оси Xk.
Резонансный метод измерения упругих и пьезоэлектрических
свойств кристаллов
В данной работе используется один из наиболее точных и универсальных методов измерения упругих и пьезоэлектрических
модулей кристаллов – метод резонанса и антирезонанса. Рассмотрим коротко идею этого метода.
Если пластину, вырезанную из кристалла, поместить в переменное электрическое поле, то вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта в этой пластине возбуждаются механические
деформации, меняющиеся с частотой, равной частоте возбуждающего электрического поля. Вследствие механических деформаций в кристалле (пластине) возникают упругие волны, причем
каждой компоненте деформации будет соответствовать определенная волна: продольная волна (сжатия-разрежения) или поперечная волна (сдвига).
51
Таким образом, при помещении пластины пьезокристалла в
переменное электрическое поле в ней возникает множество упругих волн с частотой, равной частоте изменения электрического
поля. Причем эти волны распространяются в разных направлениях в кристалле. Скорость распространения упругих волн, а,
следовательно, и длина волны, определяется величиной соответствующего упругого модуля данного кристалла. Если при данной
частоте электрического поля длина одной из упругих волн укладывается нечетное число раз в том размере пьезоэлектрической
пластинки, вдоль которого она распространяется, то амплитуда
этой волны резко возрастает, или иными словами, в пластинке
наступает резонанс. Резонансные явления в пьезокристаллической пластинке обусловлены тесным взаимодействием прямого и
обратного пьезоэлектрических эффектов.
При помещении пьезоэлектрика во внешнее электрическое
поле вследствие обратного пьезоэффекта пьезоэлектрик будет
деформироваться. Но эта деформация вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта, будет сопровождаться появлением
собственного наведенного электрического поля, которое накладывается на внешнее электрическое поле. В зависимости от типа
деформации и прочих условий собственное электрическое поле
может как усиливать, так и ослаблять внешнее поле, что и создает предпосылки для резонансных явлений.
Если поле пьезоэлектрической деформации находится в фазе
с внешним электрическим полем, то амплитуда колебаний резко возрастает, ток смещения, протекающий через пьезоэлектрическую пластину, достигает максимальной величины, а частота
внешнего поля fR, соответствующая этому случаю, называется
частотой резонанса.
Наоборот, если поле пьезоэлектрической деформации и внешнее электрическое поле находятся в противофазе, то ток смещения имеет минимальное значение, а сопротивление пластины
переменному току достигает максимального значения. Частота
fА, соответствующая этому случаю, называется частотой антирезонанса.
C
L
R
C0
Рис. 2. Эквивалентная схема пьезоэлектрической пластины
52
Электрические свойства пьезоэлектрических пластин, помещенных во внешнее переменное электрическое поле, можно
описать эквивалентной электрической схемой, приведенной на
рис. 2, где последовательный колебательный контур L, C, R характеризует резонансные свойства пластины, и его резонансная
частота равна
fR =
1
,
2π LC
а емкость C0 – есть собственная емкость пластины с нанесенными на ее поверхность металлическими электродами.
Собственная емкость C0 совместно с элементами L, C, R образует параллельный колебательный контур. Резонансная частота
этого параллельного контура может быть определена как
fA =
1
CC0
2π L
C + C0
= fR
C + C0
> fR .
C
Обычно (fA – fR )/ fR << 1, поэтому в области резонансных частот сопротивление пластины изменяется очень сильно при незначительных изменениях частоты внешнего поля.
Из сказанного выше следует, что резонансные частоты пьезоэлектрической пластины должны определяться ее размерами,
пьезоэлектрическим и упругими модулями ее кристалла. Поэтому производя измерения резонансных частот пьезоэлектрических пластин, определенным образом вырезанных из кристалла,
можно вычислить все упругие и пьезоэлектрические модули данного кристалла. Обычно на каждой такой пластинке удается определить значения не более одного пьезоэлектрического и одного
упругого модулей.
В работе исследуются упругие и пьезоэлектрические свойства
кристаллов кварца, который широко применяется в электронной
технике в качестве материала для прецизионных резонаторов и
фильтров. Кварц относится к кристаллам гексагональной сингонии; его упругий тензор имеет шесть независимых компонент,
а пьезоэлектрический модуль – две независимые компоненты.
Таким образом, для определения всех упругих модулей кварца
нужно исследовать резонансные частоты, по крайней мере, шести пластин (срезов) с различной ориентацией относительно кристаллографических осей.
53
В работе такие исследования проводятся на четырех однотипных XYs/α срезах, представляющих собой (при α = 0) тонкие
длинные бруски с толщиной вдоль оси X, длиной вдоль оси Y и
шириной вдоль оси Z. Правило обозначения срезов приведено в
примечании.
При α ≠ 0 ориентация пластины соответствует срезу XYs/α,
повернутому вдоль оси X на угол α. При приложении к пластине
внешнего электрического поля вдоль оси X (E = E1, E2 = E3 = 0)
из уравнения (7) получим
Sn = dnk Ek = d1n E1,
где n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
При этом в пластине возбуждаются деформации S1 = d11E1,
S2 = –d11E1, S4 = d14E1, что следует из математической записи
тензора пьезоэлектрических модулей. Поэтому основным типом
механических колебаний в вырезанных брусках рассматриваемых срезов, будут продольные колебания (растяжения-сжатия)
по длине брусков, связанные с деформацией S2, причем резонансная частота этих колебаний fR определяется соотношением
fR =
1
1
,
2l ρs′22 (α)
(9)
где l – длина бруска; ρ – плотность кварца; s′22(α) = s′2(α) – эффективное значение упругой податливости (в матричных обозначениях) повернутого вдоль оси X на угол α среза XYs/o.
Зная вид тензора податливости кристалла smn (m, n =
1,2,3,3,5,6) кварца и используя правила преобразований компонент тензора при поворотах осей координат, можно получить
следующее общее выражение для s′22(α):
1
s′22 (α) = s11 cos 4 (α) + s12 cos 4 (α) + (2s13 + s44 )sin 2 (2α) −
4
(10)
3
−2s14 sin(α)cos (α),
где s11, s12, s13 и т. д. – независимые упругие податливости кварца.
Из измерений fR различных XYs/α-срезов можно определить
лишь следующие независимые упругие константы кварца: s11,
s14, s33, s0 = (2s13 + s44). Для определения двух других независимых упругих постоянных необходимо брать срезы другого типа,
например с толщиной по оси Y или оси Z. Причем для опреде54
ления указанных постоянных необходимо брать не менее четырех XY/α-срезов с различными углами поворотов относительно
кристаллографических осей и определять для каждого из них
fR, s′ij (α), а затем решать полученную систему алгебраических
уравнений.
Пусть для измерений используются XY/α-срезы с α1 = 0,
α2 = 30°, α3 = 45°, α4 = –45°. Из измерений fR продольных колебаний по длине (самый низкочастотный из резонансов, так как l –
наибольший размер пластины) с помощью формулы (10) определяем s′22 (αp)), где p = 1,2,3,4 и, подставляя найденные значения
s′22 (αp) получаем систему из четырех алгебраических уравнений
для определения s11, s12, s44, s0:
α = 0, s′22 (0) = s11, (11)
α = 30 ,
9
1
3
3 3
s′22 (30  ) =
s11 + s33 + s0 −
s14, 16
16
16
16
1
1
1
1
α = ±45 , s′22 (±45  ) = s11 + s33 + s0 ± s14, 4
4
4
2
где s0 = (2s12 + s44 ).
Из полученной системы уравнений находим
s14 = s′22 (−45  ) − s′22 (+45  ), (12)
(13)
(14)
s0 = 8s′22 (30  ) − 4s11 + (3 3 − 1)s′22 (−45  ) − (3 3 + 1)s′22 (+45  ), (15)
s33 = 3s11 − 8s′22 (30  ) + 3(1 − 3)s′22 (+45  ) + 3(1 − 3)s′22 (−45  ), (16)
где s11 = s′22 (0).
Итак, с помощью уравнений (11) – (13), зная резонансные частоты fR (α), т. е.
s′22 (α) =
1
,
(17)
можно вычислить четыре независимых модуля упругой податливости кварца.
Аналогичным образом находятся независимые пьезомодули
кварца – d11 и d14. Эффективное значение пьезомодуля XYs/αсреза d′12(α) определяется с помощью измеренных частот резонанса fR и антирезонанса fA продольных колебаний по длине
4l 2fR2 (α)ρ
55
′ (α) = π ε 0ε( f A − fR )s′22 (α), d12
4
fR
(18)
где ε – относительная диэлектрическая проницаемость кварца;
d′12(α) выражается через d11 и d14. следующим образом:
′ (α) = d11 cos 2 (α) − 1 d14 sin(2α). d12
2
(19)
l
s
Для XYs/α-срезов кварцевых пластин, используемых в лабораторной работе (α1 = 38,5°, α2 =
Z
= 40,5°, α3 = 50°, α4 = – 38° ) по часb
тотам резонанса fR и антирезонанса
fA из соотношений (18) и (19), получаем четыре уравнения для двух
независимых пьезомодулей d11 и
d14, причем лишние два уравнения
можно использовать для контроля
точности выполненных измерений
50 �
и вычислений.
Примечание. Правило обозначеY
ния срезов. Используемые в работе
срезы кристаллов являются повернутыми. Обозначение таких срезов
X
содержат буквы и цифры. Две первые прописные буквы обозначают
Рис. 3. Срез XYs/500
исходное положение среза до поворота: первая буква – вдоль какой оси направлена толщина s, вторая – вдоль какой оси направлена длина l. Далее следуют индексы: буквы s,b или l означают вокруг каких сторон поворачивается срез, цифры – на какой угол (« + » – против часовой стрелки,
« – » – по часовой стрелке). Например, срез XYs/50° – означает,
что в исходном положении толщина s направлена вдоль Х, а длина вдоль Y, поворот вокруг s против часовой стрелки на угол 50°
(рис. 3).
2. Порядок выполнения лабораторной работы
Объект исследования
В лабораторной работе исследуются пьезоэлектрические
свойства кварцевых пластин 4-х срезов: XYs/38,5°; XYs/40,5°;
XYs/50°; XYs/38°.
56
Схема лабораторной установки
Схема лабораторной установки приведена на рис. 4. Схема
собрана в корпусе, в верхней части которого размещен кварцедержатель с четырьмя пластинами срезов (XYs/38,5°; XYs/40,5°;
XYs/50°; XYs/38°, подключение которых в измерительную схему
осуществляется нажатием кнопочных переключателей, расположенных на передней панели корпуса.
В33
3
4
Уровень ВЧ
2
Ч332
1
Вкл. ВЧ
Г442
Рис. 4. Схема лабораторной установки
Сигнал от генератора стандартных сигналов Г4-42 через переключатель ВКЛ.ВЧ подается на кварцевую пластинку, и напряжение, пропорциональное току через пластину регистрируется
ламповым вольтметром В3-3. Одновременно осуществляется измерение частоты сигнала генератора Г4-42 с помощью электронно-счетного частотомера Ч3-32.
Генератор Г4-42 используется для получения гармонических
сигналов, в диапазоне частот от 12 кГц до 10 МГц. Для установки
необходимой частоты генератора он имеет переключатель поддиапазонов частот и шкалу настройки. При исследовании образцов частота измеряется с помощью частотомера Ч3-32.
Порядок выполнения экспериментальной части работы
В исходном состоянии выключатели электропитания всех
измерительных приборов должны находиться в положении
ВЫКЛ.
1. Подготовка к работе генератора сигналов Г4-42:
57
– переключатель вида модуляции поставить в положение
ВНЕШН.МОД.;
– тумблер ГЕН. ВЧ поставить в положение ВКЛ;
– тумблер УРОВЕНЬ К-М % поставить в положение М %;
– переключатель ДИАПАЗОНЫ поставить в положение III
(85 – 300 кГц).
2. Подготовка к работе лампового вольтметра В3-3:
– переключатель ПРЕДЕЛЫ поставить в положение 300 мВ;
3. Подготовка к работе частотомера Ч3-32:
– переключатель ВИД РАБОТЫ поставить в положение fA;
– переключатель ВРЕМЯ СЧЕТА S поставить в положение 1;
– тумблер ГЕНЕРАТОР поставить в положение ВНУТР.;
– тумблер ВРЕМЯ ИНДИКАЦИИ поставить в положение
АВТ.
Включите вилки питания всех приборов в розетки и переключатели электропитания всех приборов и установите в положение
ВКЛ; дайте приборам прогреться 15 – 20 мин.
4. Получите у преподавателя задание для исследований. Необходимо исследовать два образца (табл. 1).
Таблица 1
Варианты заданий
№ задания
№ образцов
1
3и1
2
3и2
3
3и4
5. Измерьте частоты резонанса fR и антирезонанса fA
– нажмите на макете клавиши УРОВЕНЬ ВЧ и ВКЛ. ВЧ (клавиши утоплены) и с помощью ручки УСТАНОВКА УРОВНЯ «К»
на генераторе Г4-42 установите то вольтметру В3-3 уровень сигнала 200 мВ. При дальнейших измерениях уровень сигнала не
изменять. Отожмите клавишу УРОВЕНЬ ВЧ на макете;
– подключите заданный для измерения образец к измерительному прибору, нажав клавишу, соответствующую номеру
образца;
– установите ручкой f генератора Г4-42 начальную частоту:
для образцов 1 и 2 – 200 кГц, для образца 3 – 270 кГц, для образца 4 – 220 кГц. Затем, медленно увеличивая частоту (вращение
ручки против часовой стрелки) ручкой ПЛАВНОЙ НАСТРОЙКИ, добейтесь максимального показания вольтметра UR (при зашкаливании стрелочного прибора необходимо изменить предел
измерения);
58
– отсчитайте по шкале частотомера Ч3-32 значение частоты
резонанса fR, соответствующей максимальному показанию вольтметра; запишите показания частотомера и вольтметра в таблицу (для частоты резонанса);
– продолжая МЕДЛЕННО увеличивать частоту генератора
Г4-42, добейтесь минимального показания вольтметра UA;
– отсчитайте по шкале частотомера Ч3-32 значение частоты
антирезонанса fA, соответствующей минимальному показанию
вольтметра; запишите показания частотомера и вольтметра в
таблицу (для частоты антирезонанса);
– проделайте аналогичные измерения для второго образца,
указанного в задании;
– результаты измерений запишите в табл. 2.
Таблица 2
Экспериментальные и расчетные характеристики
Номера α ,
образцов град
1
2
3
4
Результаты измерений Результаты вычислений
fR,
UR,
fA,
UA. s22, d12, d11, d142,
кГц
мВ
кГц мВ м2/Н Кл/Н Кл/Н Кл/Н
38,5
40,5
50
38
6. Измерьте амплитудно-частотную характеристику:
– для одного из заданных образцов измерьте напряжение выходного сигнала для различных частот входного сигнала: 3 точки до fR, 2 точки между fR и fA и 3 точки после fA; результаты
измерений представьте в виде таблицы и графика.
Обработка результатов измерений
По результатам измерений (табл. 2) с помощью формул (17),
(18) и (19) рассчитайте пьезоэлектрические модули кварца. При
расчете используйте следующие параметры образцов и значения физических констант: l = 1,24⋅10–2 м – длина образца; ρ =
2,655⋅103 кг/м3 – плотность образца; ε = 4,65 – относительная
диэлектрическая проницаемость кристалла кварца; ε0 = 8,85⋅
10–12 Ф/м – диэлектрическая постоянная; d11, d14 – определяются из системы уравнений, составленных для двух заданных
образцов с различными срезами.
59
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Схема измерений и перечень используемых приборов.
3. Результаты измерений.
4. Расчетные формулы (в том числе, и система уравнений для
нахождения d11, d14 ) и результаты расчетов.
5. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Объяснить природу пьезоэлектрического эффекта.
2. Какие требование предъявляются к симметрии пьезоэлектриков?
3. Почему кварц имеет только два независимых пьезомодуля?
4. Что характеризует пьезомодули d11, d14?
5. Объясните принцип резонансного метода измерения упругих и пьезоэлектрических свойств.
Рекомендуемая литература
1. Шаскольская М. П. Кристаллография: учебник для втузов.
М.: Высш. шк., 1986. 391 с.
2. Гусев О. Б., Кулешов Ю. С., Нефедов В. Г., Шакин О. В. Физические основы функциональной микроэлектроники: учебное
пособие / ЛИАП. Л., 1989. 50 с.
Лабораторная работа № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШИРИНЫ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Цель работы: определить ширину запрещенной зоны селенида цинка (ZnSe) и фосфида галлия (GaP) путем изучения спектра
их оптической прозрачности в диапазоне волн 640 – 400 нм.
1. Методические указания по подготовке
к выполнению работы
Основой современных представлений о механизмах различных явлений, происходящих в твердом кристаллическом веществе при воздействии на него электромагнитного поля, является
зонная теория. Зонная теория твердого тела – это теория валентных электронов, движущихся в периодическом потенциальном
поле кристаллической решетки.
60
Из квантовой теории атома известно, что дискретные (отдельные) атомы имеют дискретный энергетический спектр
– электроны в атоме могут занимать только вполне определенные энергетические уровни. В невозбужденном (нормальном)
состоянии атома часть разрешенных энергетических уровней
заполнена электронами, а на других разрешенных энергетических уровнях электроны могут находиться только тогда, когда
атом подвергнут внешнему энергетическому воздействию (тепловому, электромагнитному и т. д.), т. е. когда атом находится
в возбужденном состоянии. Атом, как и любая другая физическая система, стремится к своему устойчивому состоянию,
т. е. к состоянию с минимальной энергией. При переходе из
возбужденного в устойчивое состояние атом излучает избыток
энергии в момент перехода электронов с возбужденных уровней на устойчивые разрешенные уровни, на которых энергия
минимальна.
При сближении атомов происходит перекрытие их электронных оболочек, что существенно изменяет характер движения
валентных электронов. Благодаря перекрытию электронных
оболочек электроны без изменения энергии посредством обмена
могут переходить от одного атома к другому. Обменное взаимодействие имеет чисто квантовую природу и является следствием неразличимости электронов. В этом случае нельзя говорить
о принадлежности валентных электронов к конкретному атому,
так как каждый валентный электрон принадлежит всем атомам
кристаллической решетки одновременно.
Вследствие обменного взаимодействия дискретные энергетические уровни изолированного атома расщепляются в
энергетические зоны. Разрешенные энергетические зоны разделяются запрещенными энергетическими интервалами. Расщеплению в зоны подвержены не только стационарные (нормальные) энергетические уровни, но и возбужденные энергетические уровни. Ширина разрешенных энергетических зон и
запрещенных энергетических интервалов определяются природой атомов, образующих твердое тело и симметрией кристаллической решетки.
Каждая энергетическая зона состоит из множества энергетических уровней. Очевидно, что количество энергетических
уровней определяется числом атомов, составляющих твердое
тело. В кристалле объемом 1 см3 содержится 1022 – 1023 атомов,
а экспериментально установлено, что энергетическая протяжен61
ность зоны валентных электронов не превышает единиц электрон-вольт. Поэтому энергетический зазор между отдельными
уровнями в пределах энергетической зоны чрезвычайно мал и
составляет 10–22 – 10–23 эВ, что позволяет сделать вывод о квазинепрерывном спектре электронов в пределах энергетической
зоны. Это означает, что достаточно ничтожно малого энергетического воздействия, чтобы вызвать переход электронов с одного
уровня на другой, если там имеются свободные энергетические
состояния.
Согласно принципам квантовой механики, на каждом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов,
имеющих различные направления спинового магнитного момента (возможны только два спиновых состояния +1/2 и –1/2).
Поэтому число электронных состояний в зоне оказывается конечным и равным числу соответствующих атомных состояний.
Конечным будет и число электронов, заполняющих данную энергетическую зону.
Из сказанного следует, что разрешенные энергетические зоны
могут быть полностью заполненными электронами, частично заполненными и свободными от электронов. Так как внутренние
оболочки атома полностью заполнены электронами, то и соответствующие им энергетические зоны также будут заполнены
электронами. Самую верхнюю из заполненных электронами
энергетических зон образуют валентные электроны (электроны
внешней оболочки изолированного атома), поэтому данную зону
принято называть валентной.
Ближайшую к валентной зоне свободную (незаполненную
электронами) зону называют зоной проводимости.
Взаимное расположение валентной зоны и зоны проводимости определяет большинство процессов, происходящих в твердом
теле. Характер энергетического спектра у металлических проводников, полупроводников и диэлектриков существенно различается (рис. 1).
У металлических проводников валентная зона заполнена
электронами не полностью и валентная зона, и зона проводимости частично перекрываются (рис. 1, а). В полупроводниках
и диэлектриках зона проводимости и валентная зона разделены
некоторым энергетическим зазором, называемым запрещенной
зоной (∆Wg). Формально к полупроводникам относят вещества,
у которых величина запрещенной зоны менее 3 эВ (рис. 1, б), а к
62
W
W
W
Wν
Wc
Зона
проводимости
Валентная зона
Wc
Wν
Зона
проводимости
Wg
Валентная зона
Wc
Зона
проводимости
∆ Wg
Wν
Валентная зона
Рис. 1 Энергетические зоны: а – проводников; б – полупроводников;
в – диэлектриков
диэлектрикам – с шириной запрещенной зоны более 3 эВ (может
достигать 10 эВ) [рис. 1, в].
Внешнее электрическое поле оказывает влияние на электроны в кристаллической решетке либо замедляя, либо ускоряя
их движение. Подобное замедление и ускорение связано с изменением энергии электронов, что в свою очередь сопровождается их переходом на другие энергетические уровни (состояния).
Очевидно, что такие переходы электронов возможны лишь в
том случае, если в энергетической зоне есть свободные уровни
энергии.
В металлах валентная зона либо не полностью укомплектована электронами, либо перекрывается свободной от электронов
зоной проводимости. Поэтому даже слабое электрическое поле
способно сообщить электронам достаточный импульс для их перехода в возбужденное состояние, т. е. вызвать их переход на
ближайшие свободные энергетические уровни. При этом энергия
внешнего электрического поля поглощается веществом.
В полупроводниках и диэлектриках при абсолютном нуле
температуры (0° К) электроны находятся в валентной зоне,
заполняя все ее разрешенные энергетические уровни. Зона
проводимости является полностью свободной от электронов.
Электроны полностью заполненной валентной зоны не могут
перемещаться под действием слабого электрического поля, так
как для их перемещения отсутствуют разрешенные свободные
энергетические уровни в валентной зоне. Для появления электропроводности необходимо часть электронов перевести в свободную зону проводимости, для этого им необходимо сообщить
63
энергию, величина которой больше значения ширины запрещенной зоны.
Данная энергия может быть сообщена, например, нагревом
тела. Средняя кинетическая энергия тепловых колебаний атомов в кристаллической решетке (трехмерном пространстве) равна 3/2kT, где k – постоянная Больцмана; T – абсолютная температура, и для комнатной температуры приблизительно равна
0,04 эВ.
Как отмечалось ранее, физическое тело всегда стремится вернуться к устойчивому состоянию, характеризуемому минимумом
энергии. Поэтому электроны из возбужденного состояния будут
стремиться вернуться в равновесное состояние, при этом будет
происходить излучение энергии. Так, при переходе электрона с
нижнего уровня зоны проводимости («дно» зоны проводимости)
на верхний уровень валентной зоны («потолок» валентной зоны)
происходит выделение энергии
∆W = hν =
hc
,
λ
(1)
где h = 6,67⋅10–34, Дж⋅с – постоянная Планка; ν – частота излучения, 1/c; c – скорость света, м/с; λ – длина волны.
Очевидно, чтобы из устойчивого состояния перевести электрон в возбужденное состояние последний должен получить дополнительную энергию, достаточную для такого перехода. В
рассматриваемой работе источником дополнительной энергии
является энергия электромагнитных волн оптического диапазона, величина которой определяется по формуле (1) и может быть
достаточно просто измерена. Энергетическим условием перехода
электронов из валентной зоны в зону проводимости является соотношение
∆W ≥ ∆Wg .
2. Порядок выполнения лабораторной работы
1. Объект исследования: кристаллы ZnSe и GaP.
2. Схема лабораторной установки. Лабораторная установка
представляет собой спектрофотометр СФ-26 с установленными
в нем пластинами исследуемых кристаллов (рис. 2). Принцип
работы прибора следующий. Свет от источника (лампы накаливания) превращается в параллельный пучок и подается на
64
Закр Откр Нуль
5
Щель
Длина
волны
3
2
6
7
8
Д
Сеть
9
Н
4
1
Рис 2. Передняя панель СФ-26 (органы управления, не используемые
в работе, не показаны)
диспергирующую призму, где разлагается в спектр. Требуемый
участок спектра вырезается с помощью щели. Ширина щели
может изменяться в пределах от 0,01 до 20 мм (ручка 1) и контролируется по шкале ЩЕЛЬ (2). Поток лучей вырезанного
участка спектра попадает на фотоприемник, выходное напряжение которого регистрируется стрелочным прибором (3). Относительная интенсивность Т светового потока (при выбранной
ширине щели) отсчитывается по верхней шкале стрелочного
прибора. Длина волны спектральной составляющей изменяется
путем поворота диспергирующей призмы (ручка 4) и контролируется по шкале ДЛИНА ВОЛНЫ (5). Если на пути светового
потока поместить исследуемый образец, то стрелочный прибор
зарегистрирует только ту часть потока, которая пройдет через
образец.
Вход
фотоприемника
Светонепроницаемый отсек
Световой поток
(спектральная
составляющая)
GaP
ZnSe
Шток
Каретка
Рис. 3. Схема размещения образцов
65
В работе исследуется спектр оптической прозрачности кристаллов ZnSe и GaP в диапазоне волн от 640 до 400 нм. Исследуемые образцы размещаются в светонепроницаемом отсеке спектрофотометра (кювете) между оптической системой и фотоприемником (рис. 3), закрепляются на специальной каретке и могут
перемещаться в направлении перпендикулярном световому потоку с помощью выдвижного штока, на который насажена ручка
(6). При полностью вдвинутом штоке на пути светового потока
оказывается образец ZnSe, при полностью выведенном – образец GaP. Среднее положение, отмеченное красной меткой на выдвижном штоке, соответствует прямому попаданию светового
потока на вход фотоприемника.
Порядок выполнения экспериментальной части работы
Порядок подготовки и включения спектрофотометра. Перед
включением спектрофотометра в сеть в присутствии преподавателя (лаборанта) ознакомьтесь с размещением исследуемых
образцов. Проверьте положение органов управления спектрофотометра: переключатель ЗАКР-ОТКР (7) должен находиться в
положении ЗАКР; переключатель К-Ф на верхней панели СФ-26
должен находиться в положении Ф (фотометрия); ручка НУЛЬ
(8) должна быть была повернута до предела по часовой стрелке.
Включите спектрометр:
– установите ширину щели – 0,3 мм (ручка 1, шкала
ЩЕЛЬ 2);
– включите вилку шнура питания спектрофотометра в розетку, а тумблер (9) переключите в положение СЕТЬ, при этом
должны загореться две лампочки: лампочка СЕТЬ и красная
лампочка Н;
– дайте спектрофотометру прогреться в течение 15 мин.;
– ручкой НУЛЬ (8), установите стрелку прибора (3) на нулевую отметку верхней шкалы.
1. Измерение спектральной характеристики системы «источник света – фотоприемник»:
– поставьте выдвижной шток с помощью ручки (6) в среднее
положение (выдвиньте шток до появления красной метки);
– установите длину волны 640 нм (ручка 4);
– переключатель ЗАКР-ОТКР (7) переведите в положение
ОТКР;
– медленно уменьшая длину волны (ручка 4), добейтесь максимального отклонения стрелки, и затем, изменяя ширину щели
66
(ручка 1), установите стрелку прибора на отметку 100% (Т0 =
Т0(max) = 100 %). В дальнейшем ширину щели не менять! После
этого снова установите длину волны 640 нм;
– изменяя длину волны через 20 нм, определите относительную интенсивность Т0 спектральных составляющих в диапазоне
длин волн от 640 до 400 нм, и результаты запишите в табл. 1.
Таблица 1
Экспериментальные и расчетные характеристики
Результаты расчетов
Длина Результаты измерений, %
волны
Т0
Т1
Т2
T0(max) 100 %
λ,
К=
=
T1′ = T1K, % T2′ = T2 K, %
T0
T0
нм Без образца ZnSe GaP
640
.
.
400
2. Измерение оптической прозрачности образцов ZnSe и GaP.
Образец ZnSe:
– установите длину волны 640 нм;
– полностью вдвиньте выдвижной шток (при этом на пути светового потока окажется образец ZnSe);
– изменяя длину волны через 20 нм, определите относительную интенсивность спектральных составляющих Т1 в диапазоне длин волн от 640 до 400 нм и результаты запишите в табл. 1;
при некоторой длине волны (граница световой прозрачности λгр)
интенсивность спектральной составляющей, прошедшей через образец, становится равной нулю Т1 = 0 и при дальнейшем
уменьшении длины волны не изменяется; медленно изменяя λ
вблизи Т1 = 0, определите точное значение λ1гр и запишите его
в табл. 2.
Таблица 2
Значения граничных длин волн
λ1гр =
λ2гр =
Образец GaP:
– установите длину волны 640 нм;
67
– полностью выдвиньте шток (при этом на пути светового потока окажется образец GaP);
– по аналогии с образцом ZnSe измерьте оптическую прозрачность Т2 = f(λ ) и граничную длину волны λ2гр; результаты запишите в табл. 1 и 2.
Внимание! После окончания измерений необходимо:
– переключатель (7) перевести в положение ЗАКР.;
– выключить тумблер СЕТЬ (9);
– вынуть вилку шнура питания спектрофотометра из сетевой
розетки.
3. Обработка результатов измерений:
– рассчитайте нормирующие коэффициенты K = T0(max)/T0
и нормированные интенсивности спектральных составляющих
T1′ = T1K,% и T2′ = T2K,% для всех длин волн, для которых проведены измерения; результаты расчетов запишите в табл. 1.
– постройте на одном графике зависимости Т′1 = f1(λ) и Т′2 =
= f2(λ) образцов ZnSe и GaP; там же нанесите уровень Т0 =
= Т0 (max) = 100%;
– рассчитайте ширину запрещенной зоны ∆W в электронвольтах (1эВ = 1,6⋅10–19 Дж) для образцов ZnSe и GaP по формуле
∆Wg =
hc
,
λ гр
где h = 6,67⋅10–34, Дж·с – постоянная Планка; с = 3⋅108, м/с –
скорость света; λгр – граничная длина волны, м.
3. Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Перечень оборудование.
3. Результаты измерений и расчетов.
4. Выводы.
Контрольные вопросы
1. Почему ширина запрещенной зоны характеризует электрические свойства твердых тел?
2. Какое физическое явление лежит в основе изучаемого метода определения ширины запрещенной зоны?
3. В каких пределах должна находится величина ширины запрещенной зоны, чтобы ее можно было измерить на данном спектрофотометре?
68
Рекомендуемая литература
1. Жеребцов И. П. Основы электроники. 5-е изд., перераб. и
доп. Л.: Энергоатомиздат, 1989. 352 с.
2. Епифанцев Г. Н., Шена В. П. Твердотельная электроника:
учебник для студентов вузов. М.: Высш. шк., 1986. 304 с.
69
Содержание
Лабораторная работа № 1. Элементы структурной
кристаллографии.............................................................
Лабораторная работа № 2. Рентгеноструктурный анализ
кристаллов.....................................................................
Лабораторная работа № 3. Исследование электрофизических
свойств р-п-перехода.........................................................
Лабораторная работа № 4. Исследование свойств
полупроводников с помощью эффекта холла.......................
Лабораторная работа № 5. Исследование варикапа...............
Лабораторная работа № 6. Измерение упругих и пьезоэлектрических модулей пьезоэлектрических кристаллов методом
резонанса и антирезонанса................................................
Лабораторная работа № 7. Определение ширины
запрещенной зоны полупроводников..................................
70
3
12
20
28
37
44
60
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 501 Кб
Теги
nefedova, 0ab55ed1cf
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа