close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

OPALIHINA O.V

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ ПРИБОРОВ
Лабораторный практикум
Санкт-Петербург
2010
Составители: Д. Ю. Ершов, О. В. Опалихина, Л. С. Лукичева,
А. И. Скалон, Ю. Н. Соколов
Рецензент доктор технических наук, профессор В. П. Ларин
Приведено описание лабораторных работ по основным разделам
дисциплины «Сопротивление материалов»: растяжение-сжатие,
кручение и изгиб. В каждом разделе предусмотрено выполнение
трех лабораторных работ, что позволяет изучать основные характеристики прочности и жесткости при различных видах деформаций,
а также оценивать устойчивость и динамические характеристики
элементов конструкций. Даются основные теоретические положения, используемые при обработке результатов эксперимента.
Лабораторный практикум предназначен для студентов дневной,
вечерней и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Сопротивление материалов» на кафедре «Механика» факультета инноватики и базовой магистерской подготовки.
Подготовлен к публикации кафедрой «Механика» по рекомендации методического совета факультета инноватики и базовой магистерской подготовки Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Редактор В. П. Зуева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 28.12.10. Подписано к печати 13.01.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 4,12.
Уч.-изд. л. 3,81. Тираж 100 экз. Заказ № 635.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2010
ВВЕДЕНИЕ
При проектировании различных изделий инженеру приходится
выбирать материалы и размеры каждого конструктивного элемента
так, чтобы он вполне надежно, без риска разрушиться или исказить
свою форму сопротивлялся действию внешних сил, передающихся на него от соседних элементов рассматриваемой конструкции.
В противном случае может произойти нарушение функциональной
работоспособности изделия. Основания для правильного решения
этой задачи дает инженеру наука о сопротивлении материалов [1].
Лабораторный практикум «Механические испытания элементов
приборов» предназначен для студентов, изучающих дисциплину
«Сопротивление материалов». Он состоит из трех разделов, в каждом разделе содержится описание трех лабораторных работ.
Первый раздел лабораторного практикума посвящен изучению
деформации растяжение – сжатие. Первая лабораторная работа
знакомит студентов с диаграммой растяжения и определением механических характеристик материалов при растяжении. Во второй
лабораторной работе студенты изучают явление потери устойчивости продольно-сжатых стержней. Третья лабораторная работа состоит в исследовании ударной вязкости материалов.
Второй раздел лабораторного практикума посвящен исследованию деформации кручения. Первая лабораторная работа знакомит
студентов с экспериментальными методами определения модуля
упругости материала при кручении (модуля Юнга второго рода).
Во второй лабораторной работе студенты определяют главные напряжения в сечении полого вала при кручении и изучают сложный
характер деформации при совместном действии изгибающих сил и
крутящих моментов. Третья лабораторная работа состоит в исследовании влияния различных факторов на частоту крутильных колебаний торсионных подвесов.
Третий раздел лабораторного практикума посвящен изучению
деформации изгиба. В первой лабораторной работе студенты исследуют деформации плоского изгиба симметричного прямоугольного
3
стержня. Вторая лабораторная работа посвящена изучению сложного сопротивления симметричного прямоугольного стержня при
косом изгибе. Третья лабораторная работа предусматривает исследование собственных частот изгибных колебаний стержней с защемленным концом.
Во всех разделах лабораторного практикума приведены необходимые краткие теоретические сведения, поясняющие физическую
природу исследуемых деформаций. Все разделы содержат необходимые формулы для расчета напряжений, деформаций и критических сил, вызывающих потерю устойчивости. Во всех разделах
дается подробное описание лабораторных установок и порядок выполнения лабораторных работ.
4
1. Растяжение – сжатие
1.1. Растяжение
Осевое растяжение (рис. 1.1, а) возникает при действии на прямолинейный стержень двух равных и противоположно направленных сил P, приложенных к центрам тяжести концевых сечений и
направленных по оси стержня. При противоположном направлении
сил P имеем случай осевого сжатия (рис. 1.1, б). Стержень, находясь
в равновесии под действием растягивающих сил, удлинится в продольном направлении, а его поперечные размеры уменьшатся [1–3].
При этом будем предполагать, что в рассматриваемом стержне
все плоские сечения, нормальные к оси стержня, остаются и после
деформации плоскими и нормальными к его оси, перемещаясь параллельно. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений.
Она подтверждается опытными данными для сечений, достаточно
удаленных от места приложения силы Р. Принимая эту гипотезу,
можно предположить, что все продольные элементы стержня растягиваются одинаково.
Удлинение стержня на участке l будет равно ∆l = l1 − l. Это приращение длины называется абсолютным удлинением при растяB
B
B
1
M
1
¹
M
Y 1

/
¹

M
M
¹
1
1
Рис. 1.1. Деформация растяжения – сжатия:
а) изменение формы стержня при растяжении; б) осевое сжатие
5
жении; в случае сжатия стержня оно называется абсолютным укорочением. В последнем случае величина ∆l имеет отрицательный
знак.
Абсолютное удлинение зависит от первоначальной длины
стержня, поэтому для удобства расчетов вводится относительная
продольная деформация ε, равная отношению абсолютной продольной деформации ∆l к первоначальной длине стержня l:
ε=
∆l
.
l
(1.1)
Деформация возникает в результате действия внутренних сил.
Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия одних
частиц тела с другими на молекулярном уровне. Прочность детали обеспечена, если внутренние силы не превосходят определенных величин, устанавливаемых на основании экспериментального
изучения при введении определенного запаса. Оценкой прочности
детали является напряжение, которое определяется как мера внутренней силы, приходящейся на единицу площади.
Для определения напряжения в поперечном сечении, перпендикулярном к оси стержня, применяется метод сечений.
Рассечем мысленно стержень (рис. 1.1, а) на две части поперечным сечением аб и правую часть отбросим. Для уравновешивания
оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние
силы N, направленные нормально к плоскости сечения. Эти силы
заменяют действие удаленной правой части на левую часть стержня. Равнодействующая сила N будет действовать по оси стержня
и по величине равна силе P (по уравнению статического равновесия ∑ õ = 0 ⇒ N = P ). Приняв гипотезу плоских сечений, можно
утверждать, что при растяжении внутренние силы распределены
равномерно по всему сечению, поэтому нормальное напряжение во
всех точках поперечного сечения будет определяться по формуле
σ=
N P
= ,
S S
(1.2)
где S – площадь поперечного сечения.
Для случая сжатия напряжение σ следует считать отрицательным:
P
σ =− .
S
6
Нагрузки и деформации, возникающие в стержне, связаны
между собой. При растяжении или сжатии стержня закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением σ и относительной деформацией ε:
σ = Eε.
(1.3)
Коэффициент Е, входящий в формулу (1.3), называется модулем
упругости первого рода или модулем Юнга. Модуль упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться
упругой деформации при растяжении. Величина модуля упругости
материалов устанавливается экспериментально.
Пропорциональность эта нарушается, когда напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Формулу (1.3) можно написать в другом виде, подставляя в нее
вместо ε и σ их выражения (1.1, 1.2), при этом получим:
∆l =
Nl
.
ES
(1.4)
Произведение ES называется жесткостью при растяжении (сжатии). Жесткость характеризует одновременно физические свойства
материала и геометрические размеры сечения. Чем больше будет
жесткость стержня, тем при одной и той же длине он получит меньшую деформацию.
Для безопасной работы конструкции, напряжения, возникающие в ее элементах, должны быть ниже предельного напряжения
[σ], называемого допускаемым, установленного для данного материала. Условие прочности при растяжении (сжатии) определяется
по формуле
P
σ = ≤ [σ ].
S
Допускаемое напряжение определяется как отношение опасного напряжения σîï , при котором может произойти разрушение
стержня или значительная деформация, к коэффициенту запаса
прочности n:
σ
(1.5)
[σ ] = îï . n
За опасное напряжение для пластичных материалов принимается
предел текучести σт, а для хрупких материалов предел прочности σв.
7
Эти характеристики определяются путем механических испытаний стандартных образцов и называются механическими характеристиками.
На величины характеристик прочности и пластичности будут
влиять размеры и форма испытываемых образцов, скорость нагружения, температура, при которой производится испытание, и другие факторы. С целью получения характеристик, сравнимых между
собой, процедуры испытаний определены ГОСТ 1497-84 «Металлы.
Методы испытания на растяжение». В нем указаны условия, при
которых должны выполняться испытания, испытательные машины, необходимое количество испытаний, формы и размеры образцов, а также методы обработки полученных результатов.
Испытательные машины имеют датчики, которые автоматически фиксируют диаграмму растяжения. На диаграмме по оси ординат откладываются действующие осевые нагрузки, а по оси абсцисс – абсолютные удлинения.
Пример диаграммы растяжения образца из малоуглеродистой
стали, показан на рис. 1.2, на ней отмечен ряд характерных точек
A, B, C, D, E, M.
1¥
&
.
,
%
# $
"
1»
1É
1Ë
1ÌÈ
1ÈÉ

,
M ÇÊË
,
.
.
MÅÅ
M ÌÈ
M ɹÀ
M ÌÈ
Рис. 1.2. Диаграмма растяжения
8
На первом участке OA диаграммы наблюдается линейная зависимость между силой и удлинением, что отражает закон Гука.
Точка А соответствует пределу пропорциональности σпр, т. е. наибольшему напряжению, при котором еще соблюдается закон Гука.
Поскольку линия действия внешней силы совпадает с осью симметрии образца, то внутренняя сила N от заданной нагрузки будет
равна силе Pпр. Если нагрузку, соответствующую точке A, обозначить через Рпр, а начальную площадь сечения образца S0, то предел
пропорциональности определяется по формуле
Pïð
(1.6)
.
σïð =
S0
Точка B соответствует пределу упругости σуп.
При проектировании какой-либо конструкции иногда бывает
важно знать напряжение, вызывающее в материале первые остаточные деформации. Точные измерения показали, что и упругие
материалы, даже при самых небольших напряжениях, имеют остаточные деформации. Но величина последних настолько мала, что
они не имеют практического значения. С увеличением напряжения
растут и остаточные деформации.
Пределом упругости σуп называется напряжение, при котором
в материале появляется остаточная деформация, равная 0,002% –
0,005% от первоначальной длинны образца ( ∆l0.002 = 0.002%l0 ).
Предел упругости определяется по формуле
Pyï
(1.7)
,
σ yï =
S0
где Pуп – нагрузка, определяемая по диаграмме растяжения (рис. 1.2).
Если через точку B провести вертикальную линию, то левее этой
линии на диаграмме будет зона упругих, а правее – зона упругопластических деформаций.
От точки C диаграмма имеет почти горизонтальный участок, которому соответствует предел текучести σт.
Предел текучести – напряжение, при котором материал пластически деформируется при незначительном увеличении нагрузки, определяется по формуле
P
σò = ò , (1.8)
S0
где Pт – нагрузка, определяемая по диаграмме растяжения (рис. 1.2).
9
Участок CD, называемый площадкой текучести, отражает появление пластических (остаточных) деформаций образца. Текучесть
объясняется изменением сил межмолекулярного взаимодействия
вследствие накопления потенциальной энергии в единице объема
материала.
Некоторые материалы (чугун, алюминий и др.) не имеют выраженной площадки текучести. Для них за условный предел текучести σ0.2 принимают напряжение, при котором остаточные деформации равны 0,2% от его первоначальной длины l0 (∆l0.2 = 0.2%l0 ).
Откладывая величину ∆l0.2 на оси абсцисс диаграммы растяжения, проводят линию, параллельную ОА. По диаграмме, учитывая
ее масштаб, определяют нагрузку P0.2, после чего рассчитывают
условный предел текучести σ0.2 :
σ0,2 =
P0,2
S0
.
(1.9)
Начиная с некоторого момента (после точки D), при дальнейшем увеличении нагрузки вновь происходит удлинение образца.
Происходит самоупрочнение материала, причины которого до сего
времени недостаточно изучены. Диаграмма изменяется по плавной
кривой к наивысшей точке Е, в которой напряжение принимает
наибольшее значение, достигая предела прочности σ .
Предел прочности, или временное сопротивление – напряжение, вызванное наибольшей нагрузкой, называемой разрушающей,
определяется по формуле
P
σ = B . (1.10)
S0
Величины, характеризующие прочностные свойства материала
(σпр, σуп, σт, σв) условны, так как во всех расчетах принимается
первоначальная площадь поперечного сечения S0. Однако площадь
поперечного сечения образца при его растяжении уменьшается.
Полученные с учетом этого уменьшения истинные напряжения
растут до самого разрушения, причем, к моменту разрыва могут в
два – три раза превысить временное сопротивление.
До достижения предела прочности продольные и поперечные
деформации образца равномерно распределяются по его расчетной длине. После достижения точки Е диаграммы эти деформации
концентрируются в наиболее слабом месте, где начинает образовываться шейка – местное значительное сужение образца. Этому на
10
диаграмме соответствует точка М и условное напряжение σP . При
разрыве на одной части разорванного в шейке образца образуется
выступ, а на другой – кратер.
Такая форма разрушения образцов из малоуглеродистой стали
показывает, что разрушение связано со сдвигом по площадкам, наклоненным по углом 45° к оси стержня, где касательные напряжения будут наибольшими.
Если, начиная с некоторой точки К диаграммы, будем разгружать образец, то диаграмма пойдет по прямой КК1, приблизительно параллельной прямой ОА. Отрезок ОК1 равен остаточной деформации Δlост, соответствующей точке К1, а отрезок К1К2 – упругой
деформации Δlyп, соответствующей той же точке. Полная деформация Δl равна сумме двух указанных деформаций Δl = Δlост + Δlyп.
При повторном нагружении образца диаграмма растяжения принимает вид прямой К1К и далее кривой КЕМ, как будто промежуточной разгрузки не было. Это показывает, что при нагружении
образца выше предела текучести и последующей его разгрузке металл образца изменил свои свойства: пропала площадка текучести,
повысился предел пропорциональности и уменьшилась полная деформация. При разрыве К1М1 < ОМ2 металл стал как бы хрупким.
Такое изменение свойства металла называют наклепом.
К характеристикам пластичности, оценивающим прочностные
свойства материала, доведенного до разрушения, относят относительное остаточное удлинение δ и относительное остаточное
сужение ψ поперечного сечения образца, которые вычисляют по выражениям:
l1 − l0
⋅100%, l0
(1.11)
S0 − Sø
⋅100%, S0
(1.12)
δ=
ψ=
где l0, S0 – длина и площадь поперечного сечения до деформации;
Sш – площадь поперечного сечения шейки.
11
Лабораторная работа №1
Определение механических
характеристик материала при растяжении
Цель работы: определение характеристик прочности и пластичности материалов; определение марки материала, из которого изготовлен образец; выяснение примерного назначения испытанного
материала и определение для него допускаемого напряжения по заданной величине коэффициента запаса прочности.
Описание образца и принципа работы
лабораторной установки
Для испытания на растяжение используется специально изготовленные образцы для того, чтобы результаты испытаний, проведенных различными лабораториями, были сопоставимы. Стандар¸
E
Mɹº
M E E
¹
M
Рис. 1.3. Формы образца:
а) исходная форма образца; б) конечная форма образца после разрыва
12
тами установлены типы и размеры образцов. У круглых образцов
длина рабочей части lраб, выбирается обычно в 15 раз больше диаметра d0. Существуют, однако, и более короткие образцы, у которых
отношение lðàá / d0 не превышает 5 (рис. 1.3, а). Короткие образцы
применяют при испытаниях на малых машинах типа ИМ-4Р. Образец после испытаний показан на рис. 1.3, б.
Испытание образца производят на машине ИМ-4Р с предельной
нагрузкой P = 4⋅104 Н. Схема машины показана на рис. 1.4.
Прикладываемое к образцу 11 растягивающее усилие P создается грузовым винтом 13, приводимым в поступательное движение
через систему зубчатых передач 14 и кинематическую пару гайкавинт. Зубчатые передачи приводятся в движение электродвигате
[
[
Y
Y
Y
Y
Рис. 1.4. Принципиальная схема разрывной машины
13
лем 2. Усилие винта 13 через захват 12, образец 11, захват 10 и тягу
9 передается на короткое плечо рычага 8, создавая на нем активный момент. Реактивный момент, уравновешивающий активный,
создается на длинном плече рычага 8 усилием, возникающим при
отклонении от вертикального положения маятника 1. Маятник
представляет собой коленчатый рычаг (с грузом 1), шарнирно связанный тягой 7 с рычагом 8.
Отклонение маятника от вертикали одновременно вызывает поворот рычага 4, верхний конец которого связан с цифровым блоком
согласования 6. Растягивающее усилие, действующее на образец, а
также удлинение образца преобразуются датчиками в сигналы по
координатам Y и X соответственно. Полученные данные обрабатываются и в виде графика (диаграммы растяжения) представляются
на компьютере 5. Диаграмма растяжения записывается в координатах: растягивающая сила – по оси ординат; удлинение образца –
по оси абсцисс.
Подготовка и проведение работы
1. Произвести обмер действительных размеров образца – его диаметра d0 и длины образца l0 между головками (измерение проводят трижды и принимают среднее из трех измерений).
2. Установить образец в захваты машины и поворотом винта
вручную выбрать осевые зазоры в захватах.
3. Включить электродвигатель разрывной машины и следить за
записью диаграммы растяжения.
4. С момента достижения на кривой растяжения максимальной
нагрузки наблюдать за появлением на образце местного сужения –
образования шейки. Нагружать образец до разрушения, после чего
привод выключить.
5. Обработать кривую растяжения. Провести ось абсцисс, соответствующую моменту отсутствия нагрузки на образец. Провести
аппроксимирующую прямую на участке кривой упругих удлинений до пересечения с осью абсцисс в точке 0, через которую провести ось ординат. Отметить на диаграмме характерные точки
A, B, C, D, E и M. Измерить величины ординат до точек A, C и E
и умножением их значений на масштаб силы (в 1 см ординаты –
190 Н) вычислить значения нагрузок P, соответствующих пределу
пропорциональности, пределу текучести и пределу прочности, а
14
по выражениям (1.6, 1.8, 1.10) найти их значения. Для определения перечисленных предельных напряжений следует использовать
первоначальную площадь сечений образца S0 = pd20/4. В случае
отсутствия площадки текучести на диаграмме растяжения найти
условный предел текучести по формуле (1.9).
6. Вычислить характеристики пластичности по выражениям
(1.11) и (1.12), предварительно произведя обмер размеров образца
после его разрушения – диаметра шейки dш и длины образца l1.
7. Определить допускаемое напряжение для выбранного материала по формуле (1.5), приняв величину коэффициента запаса
прочности равной 4 (n = 4).
Для установления марки материала, испытанного в работе и выяснения примерного назначения следует пользоваться табличными данными ГОСТ 1497-84 Металлы. Методы испытания на растяжение.
1.2. Сжатие
Особое значение деформации сжатия приобретают при исследовании поведения в элементе конструкции при продольном сжатии.
Если к прямолинейному стержню будет приложена по его оси сжимающая сила P (рис. 1.5, а), то при достижении этой силой критического значения произойдет искривление стержня (рис. 1.5, б).
В этом случае происходит разветвление формы равновесия, имеет
место качественное изменение процесса деформации (кроме осевого сжатия, появляется и изгиб). Кроме низшей формы потери
устойчивости, при известных условиях, может возникнуть высшая
форма потери устойчивости, для которой характерно большее значение критической силы (рис. 1.5, в).
На практике обычно интересуются наименьшим значением криÐêð
тического осевого напряжения σêð =
, при котором наступает
S
явление продольного изгиба. Для гибких стержней σêð может оказаться значительно меньше, чем основное напряжение P = 100 ⋅ ∆l.
При сжатии сначала может наступить потеря устойчивости, а не
потеря прочности [2,3].
Для определения значения критической силы Pкр предположим,
что сжимающая сила несколько превышает критическое значение
(рис. 1.6). При увеличении силы P появляется прогиб У в направ15
B
¨
¨ÃÉ
¹
º
¨ÃÉ
M
¨
¨ÃÉ
¨ÃÉ
Рис. 1.5. Формы сжатых стержней:
а) исходная, б) простое искривление стержня;
в) высшая форма искривления стержня
лении, перпендикулярном направлению силы P и, как следствие,
появление изгибающего момента, равного ∆l, приводящего к дальнейшему искривлению стержня [1].
Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня при изгибе в этом случае запишется следующим образом:
EI
d2 y
dx2
= −Py,
где I – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.
Данное уравнение может быть приведено к удобному для интегрирования виду:
d2 y
dx
где k =
16
P
.
EI
2
+ k2 y = 0,
Общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка представляется в следующем виде:
y = a sin kx + b cos kx.
Представленное решение содержит в себе три неизвестных: силу
P и постоянные интегрирования a и b.
Для нахождения постоянных интегрирования a и b воспользуемся условиями отсутствия прогиба на концах стержня: y = 0 при
x = 0 и x = l. Из первого условия получаем b = 0, поскольку cos(0) = 1.
Таким образом, изогнутая ось стержня представляет собой синусоиду с уравнением вида y = a sin kx.
Используя второе условие и подставив его в полученное уравнение, имеем: 0 = a sin kl.
Из данного условия следует, что в случае потери устойчивости
при искривлении стержня длиной l, что соответствует появлению
прогиба yх (рис. 1.6), первый множитель имеет значение a > 0 и
поэтому только второй множитель sinkl может быть равен нулю,
т.е. sin kl = 0.
Поскольку функция синуса принимает нулевые значения при
аргументе, равном kl = π ⋅ n, где n – любое целое число, то получаем условие для определения критической силы Pкр в следующем
виде:
Pêð
EI
l = π ⋅ n.
Критическая сила Pкр соответственно равна
Pêð =
π2 EI 2
n .
l2
Z
ZY
1ÃÉ
ZY
1ÃÉ
Y
Y
M
Рис. 1.6. Расчетная схема искривления стержня
17
Число n соответствует числу полуволн синусоиды, имеющих место при изгибе стержня, как показано на рис. 1.5, в.
Чаще всего на практике имеет место одна полуволна синусоиды
и поэтому выражение для критической силы имеет вид:
Pêð =
π2 EI
l2
.
(1.13)
Момент инерции сечения стержня можно представить в следующем виде:
I = i2 S,
где i – радиус инерции поперечного сечения; S – площадь поперечного сечения стержня.
Получив значение критической силы, величину критического
напряжения σê можем определить по формуле
σê =
Pêð
S
=
π2 EI
l2 S
=
π2 Ei2
l2
=
π2 E
 l 2
 
 i 
=
π2 E
λ2
.
l
называется гибкостью стержня. Данный параi
метр является определяющим при оценке потери продольной
Величина λ =
1
1
1
1
1
M
M
M
M

1

1

1

1

1
Рис. 1.7. Значение μ для различного вида опор
18
устойчивости стержня. Его значение равно λ ≥ 100. При меньших
значениях гибкости формула для критической силы, требует коррекции. Поскольку виды закрепления опор существенно влияют
на форму прогиба стержня, то выражение для λ примет вид:
λ=
µ⋅l
,
i
где µ – коэффициент приведения формы стержня к полуволне синусоиды, показанной на рис. 1.7.
19
Лабораторная работа №2
Исследование гибкости и жесткости
продольно сжатых стержней
Цель работы: изучение явления потери устойчивости при осевом сжатии гибкого стержня; экспериментальное подтверждение
формулы Эйлера; определение гибкости и жесткости; исследование
влияния параметров стержня на величину критической силы, гибкость и жесткость.
Описание объекта исследования
и лабораторной установки
Объект исследования представляет собой стальной стержень
прямоугольного поперечного сечения (длина l = 500 мм, ширина
2
17
18
35
6
8
10
1
3
15
13
14
4
11
12
9
5
500
16
2,5
7
Рис. 1.8. Принципиальная схема лабораторной установки
20
b = 35 мм, толщина h = 2,5 мм) с шарнирными опорами. При исследовании устойчивости для него правомерна модель, приведенная
на рис. 1.5, б.
Конструкция установки для выполнения натурного эксперимента показана на рис. 1.8.
Исследуемый стержень 1 установлен в ножевых опорах 2 и 3.
Верхняя опора 2 неподвижно зафиксирована в корпусе 4, который
закреплен на треноге 5 винтами 6. Нижняя подвижная опора 3 при
перемещении вверх сжимает стержень. Перемещение опоры осуществляется вручную маховиком 7, который приводит во вращение червяк 8, расположенный на одном с ним валу в съемном корпусе 10. От червяка вращение передается через червячное колесо 9
валу – винту 11. Винт не имеет осевого перемещения, поэтому при
его вращении гайка 12 движется поступательно вверх и сжимает тарировочную пружину 13, которая перемещает вверх опору 3. Винты
16 ограничивают прогиб стержня 1 при потере устойчивости.
Индикаторы 17 и 18 служат для контроля прогиба стержня.
В зависимости от направления прогиба стержня один из индикаторов прекращает измерение.
Порядок выполнения работы
Перед началом работы нониус подвижной части привести в нулевое положение согласно рис. 1.9, где 1 – неподвижная шкала;
2 – подвижная шкала нониуса. Измерения по шкалам нониуса построены по принципу штангенциркуля. Целые значения величин
Рис. 1.9. Схема измерения перемещений нижней опоры
21
перемещения (в мм) снимают по совпадению целых значений на
шкале и нижней большой риске нониуса. При остановке нижней
большой риски между делениями шкалы, десятые доли миллиметра отсчитываются по соответствующему совпадению малых делений нониуса с целыми делениями шкалы.
Вращением рукоятки по часовой стрелке подвижная часть перемещается вверх. При исходном положении нониуса левый и правый индикаторы 17 и 18 выставляются на нулевые деления.
1. Осуществить начальное нагружение стержня быстрым вращением рукоятки 7 и фиксировать показания индикаторов 17, 18
при достижении подвижным нониусом 2 значений 1,2,3,4 мм.
2. Обеспечить дальнейшее медленное нагружение стержня вращением рукоятки 7. При повороте стрелок индикатора 17, 18 на 10…30
делений прекратить вращение рукоятки 7 и зафиксировать перемещение нониуса 2. Осуществить дальнейшее медленное нагружение
стержня вращением рукоятки 7 при фиксации поворотов стрелок
индикаторов 17,18 до 100 делений и прекратить вращение рукоятки 7 с ожиданием устойчивой установки стрелок индикаторов. При
этом измерить и зафиксировать показания нониуса 2. Эксперимент
прекращается в случае, когда стержень ложится на упор.
3. Осуществить обратный ход уменьшения нагрузки вращением рукоятки 7 против часовой стрелки. Задать последовательно
перемещение нониуса на деление 6, 5, 4 мм быстрым вращением
рукоятки 7. Далее обеспечить уменьшение нагрузки медленным
вращением рукоятки 7. При резком повороте стрелок индикаторов
17, 18 зафиксировать отход стержня от упора. При этом записать
показания нониуса 2. При медленном вращении рукоятки 7 против часовой стрелки фиксировать движение индикатора на 40…50
делений и записывать при остановке вращения показания нониуса.
При достижении нониусом нулевой отметки фиксируют показания
индикатора.
Результаты измерений заносят в табл. 1.1.
4. Определить экспериментальное значение Ркрэ. Необходимо
помнить при этом, что нагружение должно осуществляться статически, т.е. при постепенном увеличении сжимающей силы. Приближенное значение Ркрэ можно выявить предварительным измерением
сжимающей силы, при которой произойдет изгиб стержня. Величину сжимаемой силы Р (в ньютонах) определяют по величине сжатия
пружины Р = 100∆l. Величина сжатия пружины ∆l с точностью до
0,1 мм регистрируется нониусом 14 по шкале указателя 15.
22
5. Определить теоретическое значение Ркрт по выражению
(1.13).
6. Оценить точность γ определения Ркрэ по формуле
γ=
Pêðò − Pêðý
Pêðò
⋅100%.
Таблица 1.1
Результаты эксперимента
Прямой ход
Деления
Перемещения
нониуса
левый
правый
0
1
2
3
4
4.2
4.5
5.0
5.5
6,7
0
0
2
2
3
45
89
240
280
460
0
0
2
2
3
45
89
–
–
–
Обратный ход
Деления
Перемещения
нониуса
левый
правый
6,7
6
5
4.5
4.7
2
1.5
1
0
560
560
560
540
520
140
100
50
30
–
–
–
–
–
140
100
50
30
1.3. Ударная прочность
Помимо статических испытаний материалов и элементов конструкций особое значение приобретают динамические испытания.
Целью динамических испытаний является оценка прочностных
свойств материалов при воздействии ударных, циклических и гармонических нагрузок [1].
Для получения характеристики аs, называемой ударной вязкостью, используют маятниковый копер, схема которого приведена на
рис. 1.10. Маятник, весом Q, падая с высоты Н0, наносит удар по образцу, и после разрушения образца поднимается на высоту Н1. Разность работ A = Q(H0 − H1 ) затрачивается на разрушение образца.
Начальная высота Н0 определяется следующим образом:
H0 = R + R sin(α − 90°) = R (1– cosα),
где R – радиус падающего груза; α – угол отклонения маятника от
вертикали при его подъеме.
23
¯«
2


)
)
§ºÉ¹À¾Ï
Рис. 1.10. Принципиальная схема маятникового копра
Высота Н1, получаемая после разрушения образца, будет равна
H1 = R − R cos β = R (1 − cos β),
где β – угол отклонения маятника после разрушения образца.
Величина работы разрушения, при этом, примет вид
A = QR (cos β − cos α). (1.14)
Поскольку для облегчения разрушения используются образцы
с надрезом, то ударная вязкость материала аs будет соответственно
равна
as =
A
,
S (1.15)
где S – площадь поперечного сечения образца в месте надреза.
Чем выше ударная вязкость материала, тем лучше он сопротивляется ударным нагрузкам.
24
Лабораторная работа №3
Динамические испытания материалов
Цель работы: исследование ударной вязкости различных материалов.
Описание лабораторной установки
Для исследования ударной вязкости материалов используется
маятниковый копер (рис. 1.11).
Копер состоит из чугунной станины 1 и двух вертикальных колонн 2. В верхней части этих колонн с помощью шарикового подшипника 3 к горизонтальной оси подвешен на стержне диск 4.
В теле диска имеется вырез 5. В вырезе помещен стальной нож, служащий бойком. Перед испытанием маятник поднимают на опреде11
6
10
3
8
9
2
4
7
5
1
Рис. 1.11. Конструкция маятникового копра
25
B
¹
º
E
M
Рис. 1.12. Формы образцов:
а) пластина узкая; б) пластина широкая; в) цилиндрический образец
ленную высоту Н0 (рис. 1.10) и удерживают его в поднятом состоянии защелкой. Образец из испытуемого материала помещают на
две опоры 7. Величина пролета между опорами может изменяться в пределах от 4 до 16 см. При освобождении защелки маятник
свободно падает и разрушает образец. Пролетая дальше, маятник
поднимается на высоту Н1 (рис. 1.10). После подъема маятник опускается вниз и начинает качаться около своего равновесного положения. Остановка качающегося маятника производится ремённым
тормозом, рукоятка 8 которого видна на рис. 1.12.
Испытаниям подвергаются образцы различной формы, виды которых представлены на рис. 1.12.
Порядок выполнения работы
1. Произвести замеры образцов, подлежащих испытанию.
2. Установить образец в копёр.
3. Поднять тяжелый диск на угол α = 120–150° и опустить.
26
Таблица 1.2
Результаты эксперимента
№
п/п
Материал
1
2
3
Сталь
Латунь
Дюраль
α, град.
β, град.
А
F
aS
4. Снять показания о подъеме диска с помощью контрольной
стрелки 9 (угол β).
5. По выражению (1.14) определить работу, затрачиваемую на
разрушение, а по формуле (1.15) определить ударную вязкость материала, принимая при этом груз Q = 4Н (400 г).
6. Расчетные и экспериментальные данные свести в табл. 1.2.
2. Кручение
2.1. Кручение вала круглого сечения
Одним из основных видов деформаций валов силовых механизмов и торсионов в подвесах измерительных приборов является
деформация кручения. Деформация кручения приводит к появлению углов закручивания участков валов в силовых механизмах и
собственных колебаний в подвесах измерительных приборов. Деформация кручения представляет собой чистый сдвиг сечений вала
(торсиона) в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Опыты показывают, что деформация кручения вала круглого сечения осуществляется разнонаправленными крутящими моментами
М, приложенными на концах скрученного участка вала (рис. 2.1).
g
t
x
X
t
Dx
M
Рис. 2.1. Деформация кручения вала
27
.
а)
B
C
 0 0
"
#
$
%
É
.
E 
C
E
б)
"
$
0 E 0

#
%
0
EY
EY
Y
Рис. 2.2. Принципиальная схема кручения:
а) поверхности вала; б) малого элемента вала
Все образующие цилиндра (рис. 2.2) поворачиваются на один и
тот же угол γ, а квадраты, нанесенные на поверхность вала, обращаются в ромбы, т. е. подвергаются деформации сдвига.
Каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закручивания j. Величина этого угла пропорциональна величине крутящего момента и расстоянию между сечениями, при этом торцевое
сечение остается плоским, а контуры всех проведенных сечений не
искажаются.
Радиусы, нанесенные на торцевом сечении, после деформации
не искривляются.
Выделим (рис. 2.2, а) на поверхности скручиваемого стержня
до его деформации двумя смежными образующими ab и cd и двумя
контурами смежных сечений 1–1 и 2–2 прямоугольник ABCD.
После деформации оба сечения, 1–1 и 2–2, повернутся относительно защемленного конца на углы jх (сечение 1–1) и jх+dj (сечение 2–2). На основании ранее принятых гипотез о взаимном повороте сечения оба сечения останутся плоскими, радиусы О2В и O1A,
О1C и О2D останутся прямыми, а расстояние dx между сечениями
1–1 и 2–2 останется без изменения. При таких условиях весь элемент ABCDO1O2 сместится и перекосится, поскольку его правая
грань, совпадающая с сечением 2–2, повернется на угол dj относительно левой, совпадающей с сечением 1–1. Прямоугольник ABCD
займет положение, показанное на рис. 2.3 штриховкой.
28
Для получения основных теоретических выражений, характеризующих прочность и жесткость элемента сечения, рассмотрим
деформацию элемента, показанного на рис. 2.3.
Два параллельных треугольника имеют центры О1 и О2. Они
расположены на расстоянии dx друг от друга. Недеформированное
состояние поверхности вала характеризуется квадратом ABCD. Сечение с центром в точке О2 поворачивается на угол dj относительно
неподвижной точки О1. Исходный квадрат, в этом случае, принимает вид ромба A1B1C1D1. Между АВ и А1В1 образуется угол сдвига γ. Абсолютный сдвиг элемента на поверхности вала равен BB1 =
rdj, а относительный угол сдвига γ = BB1 = r dϕ .
A1 B
dx
Касательное на-
пряжение у точки B1 определяется по выражению
τ B = γG = rG
dϕ
,
dx
(2.1)
E
– модуль упругости второго рода; Е – модуль упру2(1 + µ)
гости первого рода; μ – коэффициент Пуассона.
где G =
EY
0

S

#
"
-
0
E
-
 

#

$
%

EY
%
Рис. 2.3. Принципиальная схема малого сектора вала
29
При рассмотрении промежуточной точки L1 на радиусе ρ напряжение τρ будет равно
dϕ
τρ = ρG . (2.2)
dx
Относительный сдвиг и касательное напряжение в каждой точке
поперечного сечения скручиваемого вала (стержня, торсиона) прямо пропорционально расстоянию ρ этой точки от центра сечения.
Элементарный момент dM можно представить в виде:
dM = dP·ρ = ρτρ·dS,
где dS – площадь элементарного участка; dP = τρ·dS – элементарная сила.
Подставляя τρ из выражения (2.2) и проведя интегрирование, получим выражение для крутящего момента Мк в следующем виде:
Mê = G
dϕ
Iρ , dx
(2.2*)
где I p = ∫ ρ2dS – полярный момент инерции сечения.
Угол закручивания на единицу длины вала соответственно равен
dϕ Mê
=
.
dx GIρ
(2.3)
Из формул (2.1)…(2.3) можно получить следующее соотношение:
τ max =
Mê ⋅ ρmax Mê
,
=
Iρ
Wρ
(2.4)
 Iρ 
 – полярный
где ρmax = r – наибольший радиус вала; Wρ = 
 ρmax 
момент сопротивления сечения при кручении.
πd4
πd3
≈ 0,1d4 ; Wρ =
≈ 0,2d3 .
Для круглых валов Iρ =
32
16
Условие прочности при кручении имеет вид:
max τ =
Mê
≤ [τ ]. Wρ
(2.5)
Условие жесткости при кручении записывается следующим образом:
30
dϕ Mêð  dϕ 
=
≤  . dx GIρ  dx 
(2.6)
Условие прочности ограничивается допускаемым касательным
напряжением [τ], а условие жесткости ограничивается углом поворота на метр длины вала, либо на длину, равную 20 диаметрам вала
[1–3].
Угол закручивания j получается в результате интегрирования
выражения (2.6) по х и соответственно равен
ϕ=
Mê l
.
GIρ
(2.7)
Из выражения (2.7) получаем исходную формулу для определения модуля сдвига G в виде:
G=
Mê l
.
ϕIρ
(2.8)
Полярный момент инерции сечения для полого вала Iρ рассчитывается по выражению:
Iρ = 0,1(d í4 −dâ4 ), (2.9)
где dн – наружный диаметр вала, а dв – внутренний диаметр вала.
31
Лабораторная работа № 4
Определение модуля сдвига при кручении
Цель работы: определение механических характеристик материалов валов (модуля сдвига).
Описание лабораторной установки
Внешний вид установки представлен на рис. 2.4. Установка состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2, а слева закреплена цилиндрическая стойка 3 с выдвижным винтом 4, обеспечивающим исключение прогиба свободного конца вала 6.
На стойке 2 закреплен корпус 5 с валом 6, на конце которого расположен шарикоподшипник 7, опирающийся на винт 4. На полой
части вала 6 установлены два кронштейна 8. Индикаторная головка
9 рычага индикатора, с помощью которой фиксируются перемещения ∆П, закреплена на одном из кронштейнов. Рычаг индикатора
закреплен на другом кронштейне. Рычаг нагружения 11, создающий с помощью грузов 10 крутящий момент на валу, установлен на
конце вала 6. Для устойчивости установки на основании 1 имеется
поворотная опора 12.
Момент внешних сил М равен
М = Ра,
где Р – суммарная нагрузка; а – длина рычага нагружения 11.
Порядок выполнения работы
1. Установить на индикаторной головке 9 стрелки на нулевое
значение (рис. 2.4).
2. Замерить расстояние l между центрами кронштейнов 8. Замерить наружный диаметр вала на участке между кронштейнами
8. Замерить длину b рычага индикатора. Замерить длину a рычага
нагружения.
3. Фиксировать показания индикаторной головки 9, последовательно устанавливая грузы 10, тем самым осуществляя прямой ход
нагружения. Затем последовательно снимая грузы 10, зафиксиро32
C
M
B
Рис. 2.4. Принципиальная схема лабораторной установки
вать показания обратного хода. Построить график перемещения ∆П
от нагрузки Р и провести его усреднение.
4. Определить угол поворота вала j по выражению:
Π
Π
ϕ = arctg ∆ ≈ ∆ [ðàä],
b
b
где ΔΠ – показания индикатора, [мм]; b – длина рычага индикатора, [мм].
5. Определить модуль сдвига G на основании выражения (2.8) по
формуле
G=
P abl
,
∆ Π Iρ
P
– усредненное значение по графику ∆П = f(P) прямого и об∆Π
ратного хода нагружения; а – длина рычага нагрузки; Iρ – определяемый по формуле (2.9) полярный момент инерции сечения.
6. Сравнить полученные значения модуля сдвига G со справочными данными.
где
2.2. Сложное сопротивление при кручении
Сложное сопротивление при кручении имеет место, если оно сочетается с другим видом деформации, чаще всего с изгибом вала.
В общем случае (рис. 2.5) изгибающий момент имеет произволь33
ное направление, а плоскость изгиба поворачивается относительно
нейтральной оси. Однако при практических расчетах рассматриваются, как правило, изгибающие моменты относительно вертикальной оси Z и горизонтальной Y.
Суммарный момент изгиба Ми равен геометрической сумме моментов Миу и Миz:
Mè = Mè2y + Mè2z . (2.10)
По теории наибольших касательных напряжений расчетный
момент Мр будет равен
Mð = Mê2 + Mè2 . (2.11)
Условие прочности принимает вид:
σ2è + 4τ2ê ≤ [σ ]. (2.12)
Наибольшие касательные напряжения при кручении в этом случае определяются по выражению
τê =
Mê
M
= ê ,
Wp 2W0
(2.13)
где W – осевой момент сопротивления сечения при изгибе, для кру-
πd3
≈ 0.1d3 , а для полого
32
3
πd
(1 − α 3 ), α = d/D; d, D – внутренний и наружный
вала – W =
32
диаметры вала.
глого вала соответственно равный W =
;
.Á[
0
0
.ÁË
:
¦¾ÂËɹÄÕƹØ
ÇÊÕ
Рис. 2.5. Принципиальная
схема изгиба вала
34
1Ç
"
.Á
1Ça
¨ÄÇÊÃÇÊËÕ
ÁÀ¼Áº¹
1aaÇ
ES
Рис. 2.6. Реализация правила
параллельного переноса
окружного усилия к оси вала
Наибольшие напряжения растяжения и сжатия при изгибе
определяются по выражению:
M
σè = è . (2.14)
W
В частном случае, например для зубчатых колес, водила внешний крутящий момент создается окружным усилием Ро. На рис. 2.6
показано правило параллельного переноса сил Pо к центру вала О. В
точке О прикладывают две противоположно направленные равные
силы Po′ и Po″. Силы Pо и Po′ образуют пару сил и создают крутящий
момент Мк = rPo = Pod/2, где d – диаметр вала. Оставшаяся сила
Po″, приложенная в точке О, вызывает прогиб вала.
Данные условия характерны для решения задач статики, когда
силы и моменты являются постоянными во времени величинами.
Рассмотрим характер изменения напряжений в сечениях вала
при различных видах внешних воздействий. На рис. 2.7, а показано
распределение касательных напряжений в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и условия формирования элементарного момента dM на радиусе ρ. На рис. 2.7, б показано распределение касательных напряжений по линии АВ, перпендикулярной оси стержня
(вала), касательные напряжения будут изменяться по линейному
закону. Нормальных напряжений по этим плоскостям не будет. На

B


¹
š
¦
¦
S
˜

º
˜




$
š
»

%
¦
š





˜
%
$
¦¾ÂËɹÄÕƹØ
ÇÊÕ
9

Рис. 2.7. Распределение напряжений:
а) касательное напряжение в плоскости; б) касательное напряжение
по сечению; в) направление нормальных напряжений в плоскости вала;
г) главные напряжения при совместном действии кручения и изгиба
35
рис. 2.7, в показано формирование нормальных напряжений под
углом 45°. В этом случае σ1 = 2τк, сжимающее напряжение σ3 = 0.
Главные напряжения в случае сложного сопротивления при совместном действии кручения и изгиба показаны на рис. 2.7, г. Касательные напряжения имеют тот же характер относительно линии
АВ, что на рис. 2.7, б. Эта картина будет сохраняться, если линия
АВ будет поворачиваться относительно оси Х. Нормальные напряжения, расположенные по линии CD, меняются по линейному закону с разными знаками относительно линии, перпендикулярной нейтральной оси. При прохождении этой линии через центр О нормальные напряжения σ имеют максимальные значения в точках C и D.
По мере движения из точки О в направлениях точек А и В нормальные напряжения уменьшаются, а в точках А и В они равны нулю.
Расчетная схема изгиба представлена на рис. 2.8. Точкой приложения силы Р является точка В, а измерение осуществляется в точке С.
Прогиб в точке В определяется по формуле
Plè3
,
3EI
где E – модуль упругости материала; E = G·2(1+μ); I – осевой момент инерции плоской фигуры.
Для круглого вала осевой момент инерции I = 0,5Iρ.
Угол поворота сечения θ в точке В равен
fB = −
Plè2
.
2EI
Суммарный прогиб в точке С определится следующим образом:
θB = −
fC = fB + lk θB ,
где lê – свободный конец стержня.
¨
˜
š
MÁ
©
MÃ
Рис. 2.8. Расчетная схема деформации изгиба в плоскости
36
Поскольку прогиб в точке С зависит только от силы Р при прочих одинаковых параметрах изгибаемого участка вала, то в первом
приближении расчет усилий в направлении осей y и z можно проводить по измеренным прогибам в точке С.
Полученные соотношения f от нагрузки Р на индикаторных головках 15,16 (рис. 2.11) позволяют определить угол действия суммарной силы согласно рис. 2.9 в следующем виде:
ϕ = arctg
Py
Pz
= arctg
fy
fz
.
Используя усредненные значения соотношений f и Р, можно
определить величину суммарного воздействия РΣ для фиксированного ранее момента Мк и рассчитать максимальное значение нормального напряжения при изгибе:
PΣ = Py2 + Pz2 ,
σè max =
PΣ lè
.
W
Кроме нормальных напряжений при изгибе действуют еще и касательные напряжения. Поэтому для сложного сопротивления при
изгибе с кручением необходимо установить общую картину распределения напряжений.
Общая зависимость касательных напряжений имеет вид [1]:
τè =
4P
3πr
2
cos2 ϕ =
GË
16P
3πd2
cos2 ϕ.
1Ë
Z

G[
1[
[
Рис. 2.9. Векторное представление деформаций
в направлении рассматриваемых осей
37
;
Á
Ã
0
:
Ã
Ã
Ã
Á
Á
9
Рис. 2.10. Общее распределение напряжений
при совместном действии кручения и изгиба
Угол j отсчитывается от нейтральной оси.
При j = 0 получаем максимальное значение касательного напряжения в следующем виде:
τ max è =
16P
3πd2
.
Таким образом, τmax в 11/3 раза больше среднего значения τи
(касательное напряжение среза от силы Р).
Общее распределение напряжений приведено на рис. 2.10. Здесь
индексы “к” и “и” характеризуют причину их возникновения.
Поскольку крутящий момент является определяющим, то согласно теории прочности по касательным напряжениям условие
прочности представляется следующим образом:
σ2è + 4τ2ê ≤ [σ ].
38
Лабораторная работа № 5
Определение главных напряжений при кручении и
при совместном действии изгиба и кручения
Цель работы: определение главных напряжений в сечении полого
вала при кручении, а также определение положения главных осей и
значений главных напряжений при совместном кручении и изгибе.
Описание лабораторной установки
Конструкция установки представлена на рис. 2.4 и рис. 2.11.
Часть конструкции лабораторной установки для исследования
кручения, представлена на рис. 2.4 и описана подробно в лабораторной работе №4. Конструктивные изменения, вызванные необхоz
15
6
16
y
14
13
a
Рис. 2.11. Вид лабораторной установки с торца
для наблюдения совместной деформации кручения и изгиба
39
димостью измерения прогибов в направлении осей y и z приведены
на рис. 2.12. С этой целью на цилиндрической стойке 3 установлена дополнительная втулка 13, к ней прикреплен Г-образный кронштейн 14. Для измерения отклонения конца полого участка вала
6 в горизонтальной и вертикальной плоскости на кронштейне 14
установлены индикаторные головки 15,16.
Подготовка и проведение работы
1. Поместить собранную согласно рисункам 2.11 и рис. 2.4 установку на ровную горизонтальную поверхность стола. Замерить расстояние l между центрами кронштейнов 8. Замерить расстояние а
между центром первого кронштейна 8, на котором устанавливаются грузы 10, и центром подшипника 7.
2. Замерить длину рабочей части изгиба полого вала от конца конической части вала 6 до центра второго кронштейна 8, на котором
закреплена индикаторная головка 9. Замерить расстояние от центра
второго кронштейна 8 до точки касания подвижной части индикатора. Установить на всех индикаторных головках нулевые значения.
3. Зафиксировать показания индикаторных головок 15, 16 при
прямом ходе нагружения, последовательно устанавливая грузы 10.
Затем зафиксировать показания индикаторных головок 15, 16 при
обратном ходе нагружения, последовательно снимая грузы 10.
4. Построить график зависимости перемещения f от нагрузки Р
и провести его усреднение для каждой индикаторной головки.
5. Рассчитать значение Iρ полых валов по выражению (2.9).
6. Используя выражение (2.4), построить график изменения
касательного напряжения τρ по сечению вала для фиксированного
значения крутящего момента Мк, равного Мк = Ра.
2.3. Крутильные колебания
При учете динамических воздействий для вращательного движения необходимо учитывать момент сил инерции. В этом случае
уравнение движения принимает вид:
 + µϕ + cϕ = Mê , (2.15)
Iϕ
где I – момент сил инерции подвешенной массы системы; μ – коэффициент демпфирования; с – жесткость торсиона (вала).
40
Поскольку демпфирование в колебательной системе достаточно
мало и им можно пренебречь, то особое внимание уделяется собственному движению, и уравнение (2.4) принимает в этом случае
 + cϕ = 0.
следующий вид: Iϕ
Частота собственных колебаний ωо в этом случае соответственно
равна
c
.
I
ωî =
(2.16)
Жесткость торсиона с определяется на основании выражения
(2.7) и соответственно равна
c=
GIρ
l
.
(2.17)
При исследовании крутильных колебаний основное внимание
уделяется влиянию полярного момента инерции сечения Iρ на частоту собственных колебаний ωо, поскольку он зависит от формы
сечения торсиона.
Момент инерции I зависит от формы подвешенной массы. Если
она имеет простейшую симметричную объемную форму, то можно
воспользоваться известными выражениями для определения моментов инерции масс простейших тел [1]. В качестве основных геометрических тел в данном случае можно рассматривать цилиндры
(рис. 2.12). Экваториальный момент Iэ инерции отдельного цилиндра определяется по выражению
Iý = 0,298 h2 + 3(R 2 + r 2 ), (2.18)
где h – высота горизонтального расположенного цилиндра.
3
S
I
Рис. 2.12. Цилиндр с отверстием
41
Если ось цилиндра смещена относительно оси вращения торсиона на расстояние а, то приведенный момент инерции к оси вращения торсиона цилиндра Iэпр равен
Iýïð = Iý + ma2 , (2.19)
где m – масса цилиндра; Iэ – экваториальный момент инерции цилиндра.
Масса цилиндра определяется по выражению
(
)
m = γπ R 2 − r 2 h, (2.20)
где γ – плотность материала цилиндра.
Полный момент инерции подвешенной массы определяется как
сумма приведенных к оси торсиона моментов инерции его элементов и равен
n
I = ∑ Iïði ,
i=1
где n – число элементов подвешенной массы.
42
Лабораторная работа № 6
Исследование частот крутильных колебаний
Цель работы: исследование влияния параметров торсиона и
моментов инерции подвеса на изменение частот собственных крутильных колебаний подвесов измерительных элементов авиационных приборов и приборных комплексов.
Описание лабораторной установки
Принципиальный вид лабораторной установки приведен на
рис. 2.13. На массивной Г-образной стойке 1 с помощью торсиона
2 подвешен сборный подвес 3. Сменные перемещающиеся грузы 4
позволяют изменять момент инерции подвеса. Сменные торсионы
2 позволяют менять жесткость подвеса. Составляющие элементы
лабораторной установки приведены на рис. 2.14–2.17.
Для выполнения эксперимента необходимо собрать лабораторную установку, используя при сборке три вида торсионных подвесов, основной элемент подвеса (рис. 2.16) и предлагаемые грузы (рис. 2.17). Перед сборкой установки студенты измеряют длину, толщину и ширину торсиона в подвесе (рис. 2.15). Затем они
2
3
1
4
a
Рис. 2.13. Принципиальная схема лабораторной установки
43
A
1
A
2
3
Рис. 2.15. Подвес
1
2
Рис. 2.14. Стойка установки
Рис. 2.17. Грузы
Рис. 2.16. Подвешиваемая масса
определяют параметры основного элемента подвешиваемой массы
(рис. 2.16), необходимые для определения экваториального момента инерции и массы усиков, с помощью которых устанавливаются
грузы (рис. 2.17), а также геометрические размеры грузов.
На рис. 2.15 представлены крепежные детали подвеса торсиона (верхняя плата 1 и нижняя плата 3), необходимые для крепления торсиона 2 к стойке установки (рис. 2.14), а также крепления
основного элемента подвешиваемой массы в подвесе (рис. 2.16).
Для фиксации торсиона 2 в стойке установки (рис. 2.14, вид А)
44
в верхней плате 1 имеются два отверстия: гладкое – под штифт и
резьбовое – под винт. На нижней плате 3 закреплен штифт, необходимый для фиксации основного элемента подвешиваемой массы
с помощью прорезей в ее ушках. На стержни основного элемента
(рис. 2.16) устанавливаются симметрично грузы, показанные на
рис. 2.17, которые закрепляются с помощью винтов, ввернутых в
отверстия грузов. После сборки установка должна соответствовать
принципиальной схеме, приведенной на рис. 2.13. Крутильные колебания задаются начальными условиями поворота элемента подвеса на угол, равный 180°.
Подготовка и проведение работы
1. Измерить необходимые геометрические параметры элементов
подвешенной массы, описанных ранее, и рассчитать экваториальный момент инерции Iэ и жесткость торсиона c. Определить теоретическое значение собственной частоты крутильных колебаний ωо
с использованием выражений (2.14), (2.15), (2.16), (2.17), (2.18).
2. Поместить стойку (рис. 2.14) на ровную горизонтальную поверхность стола.
3. Закрепить верхнюю плату торсионного подвеса (рис. 2.15)
в верхней части стойки с помощью винта. С помощью прорезей в
ушках основного элемента подвеса осуществить сборку его с торсионным подвесом.
4. Зафиксировать показания индикаторных головок, задав начальный угол отклонения j.
5. Установить предложенные грузы на «усики» симметрично
относительно оси вращения торсионного подвеса. Зафиксировать
расстояние оси симметрии груза 4 от оси вращения торсиона. Задав
начальный угол, повторить описанный ранее эксперимент. Изменив положение грузов относительно оси вращения торсиона, повторить эксперимент еще раз.
6. Определить экспериментальное значение частоты ωоэ по выражению
2π ⋅ n
ω îý =
,
T
где n – число колебаний; T – измеренный промежуток времени в
процессе эксперимента.
45
7. Определить относительную погрешность по следующей формуле:
ω − ω îý
γ= î
100%.
ωî
8. Взять торсион другого сечения, осуществить сборку лабораторной установки и провести эксперимент по методике предложенной выше (пп. 1…7). Далее осуществить измерение только параметров торсиона, поскольку остальные элементы подвешенной массы
остаются неизменными. Затем определить ωо и ωоэ по результатам
эксперимента, и рассчитать относительную погрешность γ.
9. Далее взять третий торсион и полностью повторить эксперимент.
10. Полученные результаты эксперимента и расчета свести в
итоговую таблицу.
Таблица 2.1
Результаты экспериментов
№
п/п
Параметры торЖесткость торсио- Момент инерции
сиона
на c, Н·мм/рад подвеса I, Н·мм·с
ℓ, мм b, мм h, мм
n
T, ωо, ωоэ,
ε, %
с 1/с 1/с
1
2
3
В табл. 2.1 указывается порядковый номер эксперимента, и заносятся параметры торсионного подвеса. Если торсион имеет круглое сечение, то в графе «b» ставится значок диаметра Ø, а в графе
«h» ставится прочерк.
В графу моменты инерции и далее в строку табл. 2.1 заносятся
полученные результаты при разных положениях грузов в последовательности эксперимента. Таким образом, три строчки в эксперименте №1 дают возможность оценить влияние моментов инерции на
частоту. Сравнение одинаковых строк в различных экспериментах
46
дает возможность оценить влияние жесткости торсиона на частоту
крутильных колебаний. Для удобства сравнения экспериментальных данных желательно, чтобы моменты инерции в одноименных
строках были одинаковыми. Этого легко добиться одинаковым расположением грузов при экспериментах с различными торсионными подвесами.
3. Изгиб
Одним из основных видов деформаций валов редукторов с цилиндрическими и коническими колесами, червячной передачи, элементов стержневых механизмов и микромеханических устройств,
а также частей несущих конструкций и продольно сжатых стержней является деформация изгиба. Деформация изгиба имеет место,
как в плоскости, так и в пространстве.
3.1. Деформация изгиба в вертикальной плоскости
Для оценки величины нормальных напряжений и характера
их распределения рассмотрим стержень прямоугольного сечения,
подвергающийся чистому изгибу парами внешних моментов М.
Двумя бесконечно близкими сечениями 1–1 и 2–2 выделим из него
элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на рис. 3.1. Оба поперечных сечения 1–1 и 2–2, оставаясь
плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей (точки О1 и О2 на
фронтальной плоскости) и образуют угол dα [1–3].
Линия О1О2, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна,
лежащие выше нейтрального слоя, укорачиваются, а ниже – удлиняются. Нейтральный слой на рис. 3.1 показан пунктиром. Нейтральный слой – это слой продольных волокон, не изменяющих
своей длины при деформации, т.е. поверхность, разделяющая сжатую зону от растянутой.
Возьмем волокно AB, которое расположено на расстоянии z от
нейтрального слоя. Первоначальная длина волокна dx при изгибе
не меняется и равна dx = ρ∙dα. Длина волокна АВ после деформации равна AB = (ρ+z)dα. Его относительное удлинение можно определить по формуле
47
ε=
(ρ + z)dα − ρdα z
= ,
ρdα
ρ
(3.1)
где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя.
Используя закон Гука при растяжении, вычислим нормальные
напряжения при изгибе:
E⋅z
σ = E⋅ε =
,
(3.2)
ρ
где E – модуль упругости материала при растяжении (модуль Юнга
первого рода).
0
.
0
.
[
"
#
EY
$
E

.
.
0
0
[

"

#
Рис. 3.1. Расчетная схема деформации изгиба элемента dx
48
Уравнение (3.2) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию z
от рассматриваемой точки сечения до нейтрального слоя. Значит,
напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону с переменой знака. Максимального значения они достигнут
на поверхности стержня, у верхнего и нижнего краев сечения при
z = zmax. Уравнение (3.2) дает только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться
для вычисления их величины.
Характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения показан на рис. 3.2.
Для определения величины нормальных напряжений в любой
точке сечения составим уравнение внешних и внутренних моментов
относительно оси y. Обратимся к рис. 3.3. На нем показана одна из
NBY
.
¦¾ÂËɹÄÕÆÔÂÊÄÇÂ
NBY
Рис. 3.2. Характер распределения нормальных напряжений
по высоте поперечного сечения стержня
.
Z
Y
[
E/E4
[
Z
ET
Z
[
Рис. 3.3. Расчетная схема внутренних изгибающих моментов
в поперечном сечении стержня
49
отсеченных частей стержня, подвергающегося чистому изгибу парами внешних моментов М. В каждой точке поперечного сечения
стержня действуют нормальные напряжения σ. На выделенную вокруг любой точки с координатами (y,z) элементарную площадку dS
действует элементарная внутренняя сила dN = σdS. За ось z принята
линия пересечения плоскости симметрии стержня с плоскостью сечения. За ось y принята нейтральная ось сечения. Ось x взята вдоль
нейтрального слоя перпендикулярно к осям y и z.
Уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси y
имеет вид
∑ My = 0, M − ∑ dNz = 0
или M − ∫ σdSz = 0.
S
Раскрывая значение σ по формуле (3.2) и подставляя его в уравнение
∑ My = 0, получим:
E
z2dS = M. ρ∫
(3.3)
S
Обозначим интеграл
2
∫ z dS = Iy . Он называется осевым моменS
том инерции площади сечения относительно оси y. Поскольку ось
y – нейтральная ось, то Iy есть момент инерции площади сечения
стержня относительно нейтральной оси. Обозначим Iy для краткости просто I.
Используя выражения (3.2) и (3.3), получим формулу для определения нормальных напряжений в любой точке сечения в следующем виде:
Mz
.
σ=
I
Максимальное нормальное напряжение σmax соответственно
равно
M ⋅ zmax
M
M
σmax =
=
= ,
(3.4)
I
I
W
zmax
где W = I/zmax – осевой момент сопротивления площади сечения
относительно оси y.
Значения I и W для большинства стандартных форм сечений известны и приводятся в табл. [1–3].
50
По величине максимального нормального напряжения σmax проверяется прочность элементов конструкции. Напряжение σmax сравнивается с допускаемым напряжением [σ]. В случае правильного
подбора размеров поперечного сечения конструктивного элемента и
выбора его материала выполняется условие прочности: σmax ≤ [σ].
Для оценки жесткостных свойств элементов конструкции при
изгибе в опасных сечениях рассчитываются максимальные значения прогибов zmax и углов поворота сечений θmax (рис. 3.4). Условием жесткости при изгибе является следующее: zmax ≤ [z], θmax ≤ [θ].
Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении
или прогибом этого сечения балки. Прогиб будем обозначать буквой
z. Под балкой понимается стержень, работающий на изгиб.
Для определения перемещений при деформации изгиба применяется дифференциальное уравнение изогнутой оси. Чтобы его получить используется математическая зависимость между радиусом
кривизны оси ρ и координатами ее точек x и z [1–3]:
d2 z
1
dx2
=±
.
ρ(x)
  dz 2  3
1 +   
  dx  


M(x)
1
Подставляя в формулу
=
. это значение для кривизны
ρ(x)
EI
1
, получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси:
ρ(x)
d2 z
±
dx2
2 3

1 +  dz  
  dx  


=
M(x)
.
EI
Поскольку в этом дифференциальном уравнении dz/dx величина
второго порядка малости, то ею можно пренебречь и получить приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:
EI
d2 z
dx2
= M(x)⋅ (3.5)
51
Интегрирование уравнения (3.5) дает уравнение углов поворота
θ=
dz
1 
=
M(x)dx + C1  , 
dx EI  ∫
(3.6)
где С1 – постоянная интегрирования.
Последующее интегрирование полученного уравнения (3.6) дает
уравнение прогибов
z=
1 
dx M(x)dx + C1x + C2  , 
EI  ∫ ∫
(3.7)
где С2 – постоянная интегрирования.
Постоянные интегрирования С1 и С2 – это увеличенные в EI раз
соответственно угол поворота сечения в начале координат и прогиб
в том же месте. Для их определения в стержне находят сечения с
заранее известными величинами угла поворота и прогиба. Произведение EI называется жесткостью балки при изгибе, и чем оно
больше, тем меньше искривится балка при действии данного изгибающего момента.
Формулы для вычисления прогибов и углов поворота сечений
простейших расчетных схем стержней известны и приведены в
учебной литературе [1–3].
В качестве примера рассмотрим защемленный одним концом
(консольный) стержень прямоугольного сечения (рис. 3.4). Выберем начало координат в защемленном конце стержня.
Величина изгибающего момента в произвольном сечении на расстоянии x от начала координат:
M(x) = –P(l–x).

;
1
[
Y
9
I
;
:
M
C
Рис. 3.4. Расчетная схема прогиба консольного стержня
52
Используя формулу (3.5), запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня для схемы, показанной на рис. 3.4:
EI
d2 z
dx2
= −P(l − x).
Дважды интегрируем это уравнение:
EIθ = EI
dz
x2
= −P(lx − ) + C1,
dx
2
EIz = −P(l
x2 x 3
− ) + C1x + C2 .
2
6
Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдем
в стержне сечение с заранее известными величинами угла поворота и прогиба. Таким сечением является опорное сечение А: при
dz
= 0, z = 0. В этом случае постоянные интегрирования С1 и
x = 0,
dx
С2 будут равны нулю.
Выражения для угла поворота θ и прогиба z сечения с координатой x принимают следующий вид:
θ =−
Plx
2EI

x
Plx2 
x
2 − , z = −
3 − . 


l
6EI
l
(3.8)
В формулы (3.8) подставляются следующие параметры прямоуbh3
bh2
, W=
, h = 2zmax , b = 2ymax .
гольного сечения стержня: I =
12
6
Прогибы, вычисляемые в отдельных точках сечения, обозначаются
буквой f.
53
Лабораторная работа № 7
Исследование деформации плоского изгиба консольного стержня
прямоугольного поперечного сечения
Цель работы: экспериментальное исследование прогибов консольного стержня прямоугольного поперечного сечения при плоском изгибе.
Описание лабораторной установки
Схема лабораторной установки приведена на рис. 3.5. Она состоит из массивной платформы 1 со стойкой 2, на которой закреплен
объект исследования – стержень 7. Стержень 7 представляет собой
стальную линейку длиной l = 500 мм и размером поперечного сечения b×h = 31×7 мм2. Стержень 7 закреплен на стойке 2 с помощью
муфты 5 стопорным винтом 6. На левом торце стержня закреплен
диск 4 со шкалой углового положения объекта исследования. Угол
наклона α главной оси инерции поперечного сечения к вертикальному направлению указан на шкале. Угол наклона α устанавливается по шкале диска 4 при освобождении стопорного винта 6 с помощью поворотного винта 3. Нагружение стержня осуществляется
грузами 8. Грузы 8 подвешиваются к наружному кольцу подшипника 9 с помощью специального крючка. Подшипник 9 обеспечивает вертикальное положение грузов 8 в независимости от положения
стержня 7. Для измерения прогиба конца стержня используется
индикатор 10, закрепленный на стойке 11.
Порядок выполнения работы
1. Получить от преподавателя задание на выполнение эксперимента в соответствии с вариантом, указанным в табл. 3.1.
2. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в угловое положение α = 0° по шкале диска 4 (рис. 3.5).
3. Обнулить показания индикатора 10, контактирующего со
свободным концом стержня.
4. Определить расстояние lи от защемленного конца стержня до
точки контакта индикатора со стержнем.
54
10
5
6
7
8
9
4
3
11
2
1
lp
lи
Рис. 3.5. Схема лабораторной установки
5. Установить наружное кольцо подшипника 9 на первое, указанное в варианте, оцифрованное деление стержня 7. Измерить
расстояние lp от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки.
6. Последовательно подвесить грузы различной массы (mi =
1,2,3 кг) к наружному кольцу подшипника 9. Записать показания
индикатора 10 Cj в табл. 3.2. Число показаний индикатора j для
каждой величины подвешиваемой массы mi равно j = 1÷3. По показаниям индикатора 10 Cj определить для каждой величины подвеn
∑C
j
шиваемой массы экспериментальные значения прогибов fýi =
j=1
n
в точке контакта индикатора со стержнем.
7. Перевести подшипник 9 на следующее оцифрованное деление стержня 7. Опять измерить расстояние lp от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки. Повторить
пункт 6.
8. Повернуть стержень на 90° (α = 90°). Проделать пункты 2…6.
9. Для каждой величины подвешиваемой массы mi провести теоретический расчет прогибов fТi в точке приложения нагрузки, используя формулу (3.8) и расчетную схему рис. 3.6.:
55
;

1
"
%a 9
#
G5

$
MQ

%
GÖ
&
MÁ
Рис. 3.6. Расчетная схема прогибов консольного стержня
fTi = −
Pi l2ð
6 EI
(3lu − lð ),
где lp – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки; lи – расстояние от защемленного конца стержня
до точки контакта индикатора со стержнем.
10. Для каждой величины подвешиваемой массы mi определить
погрешность эксперимента по формуле
γ fi =
fTi − ∆fpi
fTi
⋅100%.
Приращение прогиба Δfpi на участке DD′ определяется из подобия треугольников ABC и CDE (рис. 3.6):
Δfpi = fЭi – Δfиi,
где Δfиi – приращение прогиба на участке DE (рис. 3.6).
Величину Δfиi можно вычислить из треугольника CDE, предва f 

рительно рассчитав угол γ = arctg  Ti ; γ ∼ θ B . Приращение проги lp 
ба Δfиi равно
Δfиi = (lиi – lpi)tgγ.
3.2. Исследование сложного сопротивления
Под сложным сопротивлением механической системы понимают противодействие комбинированным нагрузкам. При анализе за56
дач сложного сопротивления используют принцип суперпозиции,
который справедлив при малых деформациях системы. Согласно
принципу суперпозиции для нахождения полных напряжений и
деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на нее сложной системы нагрузок, необходимо геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие
различным видам простейших деформаций.
Одним из случаев сложного сопротивления является косой изгиб, при котором плоскость действия сил, перпендикулярных к
оси стержня, не совпадает ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось стержня и главные оси инерции поперечных сечений
стержня. Изогнутая ось стержня в этом случае уже не будет лежать
в плоскости действия сил [1].
Рассмотрим стержень, защемленный одним концом и нагруженный на другом силой Р, лежащей в плоскости торца стержня и направленной под углом α к главной оси z (рис. 3.7). Вторая главная
ось y – перпендикулярна первой.
Для вычисления нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отстоящего на расстоянии xо от свободного конца стержня, воспользуемся принципом суперпозиции. Приведем
случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных силами Рz и Рy (составляющими силы Р), направленными по
главным осям инерции сечения z и y (рис. 3.7).
Y
Z
Y
Z
1Z

1[
[
1
[
Рис. 3.7. Расчетная схема стержня при произвольном направлении силы
57
В соответствии с принципом суперпозиции в сечении с координатой xо (рис. 3.7) от сил Рz и Рy возникает два изгибающих момента Мz и Мy, которые будут равны:
Mz = –Pyxo = –Pxosinα,
(3.9)
My = –Pzxo = –Pxocosα,
(3.10)
где у и z – индексы при изгибающем моменте М, обозначающие
главные оси, относительно которых берутся моменты.
Полное напряжение в произвольной точке сечения вычисляется
по формуле
My
M
σ=± z y±
z, (3.11)
Iz
Iy
где Iy и Iz – моменты инерции поперечного сечения стержня относительно осей у и z соответственно.
Положение нейтральной оси N (рис. 3.8) в поперечном сечении
стержня можно определить, если приравнять нулю нормальные напряжения в точках, лежащих на этой оси. Обозначив координаты
этих точек yN и zN, имеем:
My
Mz
yN +
zN = 0. (3.12)
Iz
Iy
Тогда уравнение нейтральной оси примет вид:
−zN Iy Mz
=
.
(3.13)
yN
Iz M y
Для выполнения условия (3.13) необходимо, чтобы при равенстве знаков у изгибающих моментов Мz и Му, координаты yN и zN
имели бы разные знаки, или наоборот.
Поскольку нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, то для определения ее положения достаточно знать угол наклона j нейтральной оси N к оси y (рис. 3.8).
Учитывая, что yN и zN имеют разные знаки, получим:
zN
,
yN
(3.14)
Iy Mz
.
Iz M y
(3.15)
tgϕ =
tgϕ =
58
7
C
I

Z/
G)
[/
GZ
1Z

G
:
G7

)
‰
G[

/
1[
1
;
Рис. 3.8. Прогибы торцевого сечения консольного стержня
Подставив в формулу (3.15) значения моментов из равенств (3.9)
и (3.10), будем иметь следующее выражение:
tgϕ =
Iy
Iz
tgα. (3.16)
Как видно из полученного выражения (3.16), нейтральная ось не
перпендикулярна линии действия силы. Ее положение зависит от
угла наклона плоскости внешних сил к оси z и от формы сечения.
Прогиб f при косом изгибе определяется как геометрическая
сумма прогибов по направлению осей z(fz) и y(fy) от изгибающих
моментов Мz и Му соответственно.
При определении изгибающих моментов Мz и Мy координату xо
мы отсчитывали от свободного конца стержня (рис. 3.7). При вычислении прогибов начало координат удобнее выбрать в защемленном конце стержня (рис. 3.4, рис. 3.6). Прогибы fz и fy торцевого
сечения стержня, используя универсальное уравнение (3.7), можно
вычислить по формулам:
fy = −
Pl2p
6EIz
(3lè − lp )sin α, (3.17)
59
fz = −
 
Pl2p
6EIy
(3lè − lp )cos α, (3.18)
где lp – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки (рис. 3.6); lи – расстояние от защемленного конца
стержня до точки контакта индикатора со стержнем (рис. 3.6).
Полный прогиб f торцевого сечения стержня будет представлять
собой геометрическую сумму прогибов fz и fy от действия сил Pz и
Py соответственно, его величина равна
f = fz2 + fy2 . (3.19)
Найдем направление полного прогиба f. Для этого определим
значение угла наклона вектора f к оси Z:
fy
fz
=
f=
Iy
Iz
tgα = tgϕ,
fy
sinϕ
=
fz
cosϕ
(3.20)
.
Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f с
осью Z, равен углу j, т. е. прогиб f направлен перпендикулярно к
нейтральной оси. Изгиб стержня происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (рис. 3.8).
Коэффициенты жесткости Сz и Су консольного стержня при изdP
гибе (по определению C =
) для данной схемы соответственно
df
равны
6EIz
(3.21)
Cy = − 2
,
lp (3lè − lp )sin α
6EIy
Cz = − 2
.
(3.22)
lp (3lè − lp )cos α
60
Лабораторная работа № 8
Исследование деформации консольного стержня
при косом изгибе
Цель работы: экспериментальное исследование прогибов консольного стержня прямоугольного поперечного сечения при косом
изгибе.
Описание лабораторной установки
Для исследования прогибов fz и fy в направлении осей z и у и
определения полного прогиба f используется модель в виде консольного стержня прямоугольного поперечного сечения, показанная на рис. 3.7, рис. 3.8. При исследовании косого и плоского изгиба применяется одна и та же лабораторная установка (рис. 3.5). Ее
описание приведено на стр. 54. На рис. 3.9 изображен вид правого
торца лабораторной установки. На нем показан индикатор 12, закрепленный на плате 13. На стойке 11 установлен индикатор 10.
Индикаторы 10 и 12 позволяют измерять деформации стержня от10
1
0
12
12
11
11
13
13
11
Рис. 3.9. Вид правого торца лабораторной установки
61
носительно вертикальной (V) и горизонтальной (H) осей соответственно (рис. 3.8).
Порядок выполнения работы
1. Получить от преподавателя задание на выполнение эксперимента в соответствии с вариантом, указанным в табл. 3.1.
2. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в указанное в варианте первое угловое положение (α = 0°,15°,30°,45°,
60°,75°,90°).
3. Обнулить показания индикаторов 10 и 12, контактирующих
со свободным концом стержня.
4. Определить расстояние lи от защемленного конца стержня до
точки контакта индикатора со стержнем.
5. Установить наружное кольцо подшипника 9 на первое, указанное в варианте, оцифрованное деление стержня 7. Измерить
расстояние lp от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки.
6. Последовательно подвесить грузы различной массы (mi =
1,2,3 кг) к наружному кольцу подшипника 9. Определить для каждой величины подвешиваемой массы mi значения прогибов fvi по
показаниям индикатора 10, а по показаниям индикатора 12 – fHi.
Для этого необходимо сначала записать показания индикаторов
10, 12 CVj, CHj в табл. 3.2, а затем вычислить значения прогибов
fvi и fHi в точках контакта индикаторов со стержнем по формулам:
n
∑ CVj
fVi =
j=1
n
∑ CHj
j=1
, fHi =
. Число показаний индикаторов j для кажn
n
дой величины подвешиваемой массы mi равно j = 1÷3. Записать рассчитанные величины fvi и fHi в табл. 3.2.
7. Перевести подшипник 9 на следующее оцифрованное деление
стержня 7. Опять измерить расстояние lp от защемленного конца
стержня до точки приложения нагрузки. Повторить пункт 6.
8. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 во второе указанное в варианте угловое положение. Повторить пп. 3,5,6,7.
9. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в третье указанное в варианте угловое положение. Повторить пункты
3,5,6,7.
62
63
1
2
Варианты задания
3
4
5
Полный прогиб f, мм (теоретический
расчет)
Координаты приложения нагрузки lp, мм
Показания индикаторов;
j –порядковый номер показаний индикатора, j = 1÷3
10
Нагруз20
ка Pi, (Н)
30
Составляющие прогибов, мм (данные
эксперимента)
Полный прогиб fэi, мм (данные эксперимента)
Угловое положение сечения стержня, град
fTi = −
6EI
6EI
fHi
CHj
fvi
CVj
lp2
fHi
CHj
2
2
2
2
fýi = fVi
+ fHi
fýi = fVi
+ fHi
fvi
CVj
lp1
α = 15°,30°,45°, 60°,75°
Таблица 3.2
2
2
2
2
(3lè − lp ) fÒi = fzi + fyi fÒi = fzi + fyi
n
j=1
Pi l2p
fýi =
(3lè − lp ) fTi = −
n
j=1
Pi l2p
fýi =
Cj
lp2
∑ Cj
n
∑ Cj
fЭi
n
Cj
Cj
Cj
α = 90°
fЭi
lp1
lp2
lp1
α = 0°
Данные измерений и результаты вычислений
В вариантах задания возможны изменения по усмотрению преподавателя.
α, град
α, град
α, град
α, град
α, град
Угловое положение сечения стержня
0° 15° 90° 0° 30° 90° 0° 45° 90° 0° 60° 90° 0° 75° 90°
Координаты приложения нагрузки 400, 400, 400, 350, 350, 350, 300, 300, 300, 250, 250, 250, 200, 200, 200,
lp, мм
450 450 450 400 400 400 350 350 350 300 300 300 250 250 250
Варианты задания
Таблица 3.1
10.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi по выражениям (3.17), (3.18), (3.19) произвести теоретический расчет полного прогиба fТi торцевого сечения стержня от силы Р (координата
сечения lp).
11.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi, используя
занесенные в табл. 3.2 результаты измерений, рассчитать экспериментальное значение полного прогиба fЭi свободного конца стержня (координата сечения lи) по формуле
2
2
fýi = fVi
+ fHi
.
12.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi определить
погрешность эксперимента
γ fi = γ 2fiV + γ 2fiH .
В случае косого изгиба рассчитываются вертикальные и горизонтальные составляющие полных прогибов fТiV, fТiH, приращений ΔfpiV, ΔfиiH и погрешностей эксперимента γfiV, γfiH. Приращения прогибов ΔfpiV, ΔfиiH на участке DD’ определяются из подобия
треугольников ABC и CDE (рис. 3.6) аналогично п.10 порядка выполнения лабораторной работы № 7.
Угол наклона β вектора полного прогиба f к вертикальной оси V
(рис. 3.8) равен:
β = j–α.
Угол наклона j нейтральной оси N к оси y, равный углу наклона
вектора полного прогиба f к оси z (рис. 3.8), определяется по формуле (3.20):
fy Iy
= tgα = tgϕ,
fz Iz
 fy 
ϕ = arctg  .
 fz 
Величина угла α зависит от углового положения стержня 7 (α =
0°,15°,30°,45°, 60°,75°,90°).
Зная величину угла β, можно рассчитать параметры fТiV и fТiH:
fТiV = fТicos β,
fТiH = fТisin β.
64
Составляющие погрешностей эксперимента γfiV и γfiH определяются по формулам:
γ fiV =
fTiV − ∆fpiV
⋅100%,
fTiV
fTiH − ∆fpiH
⋅100%.
γ fiH =
fTiH
3.3. Изгибные колебания
Особое значение при изучении деформаций изгиба имеет учет
напряжений при динамических нагрузках. Упругая система, выведенная каким-либо путем из положения равновесия, приходит в
колебательное движение. В этом случае к статическим деформациям добавляются динамические, зависящие от вида колебательного
движения и от величины амплитуды колебаний.
Пока система деформируется в пределах упругости, деформация
пропорциональна напряжениям. Поэтому увеличение напряжений
за счет динамических воздействий можно оценивать коэффициентом динамичности.
В простейших случаях для получения суммарной деформации
(рис. 3.10) можно сложить максимальную статическую деформацию δСmax с амплитудой колебаний А, т. е.

A 
 = Kä δ C max , δ ä = δ Ñ max + À = δ Ñ max 1 +
δ C max 

(3.23)
где δД – суммарная величина деформации; Kд – коэффициент динамичности при собственных колебаниях.
N
9
M
Рис. 3.10. Расчетная схема упругих колебаний
при сосредоточенной массе
65
Условие прочности в этом случае имеет вид
σд = КдσС≤[σ],
(3.24)
где σС – напряжение, соответствующее статической нагрузке на систему.
Таким образом, коэффициент динамичности Кд характеризует
увеличение напряжений при учете дополнительных динамических
нагрузок.
На рис. 3.10 в середине стержня расположена сосредоточенная
масса груза m, которая при его колебаниях будет создавать дополнительную силу инерции Pи, равную
,
Pè = −mx
где х – координата, определяющая положение груза массой m во
время колебаний.
Упругое сопротивление Р определяется по выражению
Р = cх,
где c – жесткость стержня.
Поскольку демпфирование в колебательной системе создается
силами внутреннего трения, которые достаточно малы, то им можно пренебречь и тогда равенство указанных сил Р = Pи позволяет
получить дифференциальное уравнение движения колеблющегося
груза в следующем виде:
 + cx = 0. mx
(3.25)
Подставляя значение c в уравнение (3.25), приведем его к удобному для интегрирования виду
 + ω20 x = 0, x
(3.26)
c
– частота собственных колебаний системы.
m
Учитывая, что жесткость стержня c можно выразить через стаmg
, частота
тическую деформацию колебательной системы δ ñ =
c
g
собственных колебаний системы ω0 =
. Здесь g – ускорение
δc
свободного падения.
Координата x в условиях статики для принятой расчетной схемы соответствует значению прогиба fmax.
где ω0 =
66
N
M
Рис. 3.11. Расчетная схема стержня с защемленным концом
Для расчетной схемы (рис. 3.10) при расположении груза масmgl3
сой m в середине, значение прогиба fmax равно fmax =
[1].
48 EI
Значение частоты ωо можно определить по формуле
ω0 =
g
fmax
=
48 EI
ml3
.
Частоту ωо можно также найти, используя известное соотношеñ
48 EI
ние ω0 =
. Жесткость с в данном случае равна ñ =
. Здесь
m
l3
Е – модуль упругости материала; I – момент инерции сечения. Если
взять другую расчетную схему (рис. 3.11), то жесткость будет равна
3EI
ñ=
.
l3
При исследовании собственных колебаний ненагруженного
стержня следует помнить, что его масса является распределенной.
В этом случае расчетная схема приводится к схеме с сосредоточенной эквивалентной массой стержня mэ, равной mэ = mст/3 [1].
67
Лабораторная работа №9
Исследование собственных частот
изгибных колебаний стержней
Цель работы: исследование собственных частот изгибных колебаний стержней с защемленным концом при переменных сечениях
и различных положениях груза.
Описание лабораторной установки
Схема лабораторной установки приведена на рис. 3.12. Она состоит из вибропреобразователя 1, представляющего собой вибродатчик КД-35, который измеряет амплитуду виброускорения конца
стержня, виброусилителя 2, аналого-цифрового преобразователя 3
для получения цифрового сигнала, подаваемого на компьютер 4.
Результаты обработки эксперимента, полученные на компьютере,
поступают на принтер 5.
Порядок выполнения работы
1. Определить длину стержня ℓ и параметры сечения. По данным
табл. 3.1 в зависимости от типа сечения рассчитать значение полярного момента инерции сечения Ipx относительно оси симметрии
Х. Вначале определяется собственная частота изгибных колебаний
стержня.
2. Включить лабораторную установку. Установить на компьютере необходимое программное обеспечение для обработки результатов эксперимента.
N
Рис. 3.12. Схема лабораторной установки
68
3. Нанести возбуждающий удар и на компьютере 4 записать колебания ненагруженного стержня.
4. Из полученной записи вырезать участок равномерных колебаний.
5. Получить спектр вырезанного участка колебаний и зафиксировать частоту с максимальным значением пика.
6. Полученные на компьютере 4 результаты эксперимента распечатать на принтере 5.
7. Подвесить по указанию преподавателя груз заданной массы в
определенном месте стержня и повторить пп. 3…6.
8. Подвесить грузы другой массы и повторить п.3…6.
9. Изменить положение точки подвеса груза и повторить п. 8.
Таблица 3.1
Параметры стержней
Z
Форма сечения
E
Z
Y
I
Y
Z
I
Y
Z
I
Y
Размеры сечения, мм
d=
h=
b=h=
b=h=
Длина стержня, мм
Формулы для расчета полярπd4
h4
bh3
hb3
I ðx =
I ðx =
I ðx =
ного момента инерции сечения I ðx =
64
12
12
12
Обработка результатов эксперимента
Полученные записи амплитуд изгибных колебаний обрабатываются с целью получения значений периода колебаний. На полученной записи гармонических колебаний (рис. 3.13) выделяется
целое число незначительно затухающих колебаний n и измеряется
их длина L. Полученная длина L умножается на масштаб ms само-
MÅÅ
Рис. 3.13. Фрагмент записи амплитуды упругих колебаний
69
писца и делится на n и получается значение периода колебаний Т
в следующем виде:
L ⋅ ms
T=
.
n
По найденному периоду колебаний определяется собственная
частота изгибных колебаний стержня, используя выражение:
ω0ý =
2π
.
T
Далее находится параметр жесткости стержня С, равный
C=
3EI ðõ
l3p
,
где lp – местоположение груза от защемленного конца стержня.
Теоретическое значение частот определяется по формуле
ω0Ò =
C
,
m
где m – масса груза.
Далее проводится сравнение теоретических ω0Т и экспериментальных ωоэ значений частот изгибных колебаний.
Погрешность γ результата теоретического расчета собственных
частот изгибных колебаний и их экспериментального определения
оценивается по выражению:
γ=
ω0Ò − ω0ý
100%,
ω0Ò
где ω0T – теоретическое значение собственной частоты изгибных
колебаний стержня; ω0э – экспериментальное значение собственной частоты изгибных колебаний стержня.
Библиографический список
1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976. – 607 с.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: учеб. для вузов. – М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 592 с.
3. Степин П. А. Сопротивление материалов. – СПб.: Лань, 2010. – 320 с.
70
Содержание
Введение........................................................................... 1. Растяжение – сжатие ...................................................... 1.1 Растяжение.................................................................. Лабораторная работа №1. Определение механических
характеристик материала при растяжении............................ 1.2. Сжатие....................................................................... Лабораторная работа №2. Исследование гибкости и
жесткости продольно сжатых стержней ................................ Лабораторная работа №3. Динамические испытания
материалов....................................................................... 2. Кручение....................................................................... 2.1. Кручение вала круглого сечения.................................... Лабораторная работа № 4. Определение модуля сдвига
при кручении.................................................................... 2.2. Сложное сопротивление при кручении............................ Лабораторная работа № 5. Определение главных
напряжений при кручении и при совместном действии
изгиба и кручения.............................................................. 2.3. Крутильные колебания................................................. Лабораторная работа № 6. Исследование частот
крутильных колебаний....................................................... 3. Изгиб............................................................................ 3.1. Деформация изгиба в вертикальной плоскости................. Лабораторная работа № 7. Исследование деформации
плоского изгиба консольного стержня прямоугольного
поперечного сечения .......................................................... 3.2. Исследование сложного сопротивления........................... Лабораторная работа № 8. Исследование деформации
консольного стержня при косом изгибе ................................ 3.3. Изгибные колебания.................................................... Лабораторная работа №9. Исследование собственных частот
изгибных колебаний стержней............................................. Библиографический список................................................. 3
5
5
12
15
20
25
27
27
32
33
39
40
43
47
47
54
56
61
65
68
70
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
3 518 Кб
Теги
opalihina
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа