close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Opalikhina

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
О. В. Опалихина
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учебное пособие
УДК 621.83
ББК 34.42
О-60
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор В. П. Ларин;
доктор технических наук, профессор А. В. Копыльцов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Опалихина, О. В.
О-60
Расчет и проектирование механических устройств и их элементов: учеб. пособие / О. В. Опалихина. – СПб.: ГУАП,
2018. – 85 с.
ISBN 978-5-8088-1281-9
Издание содержит базовые сведения по курсу «Прикладная механика».
Представлены теоретический и расчетный материалы, необходимые при освоении курса лекций, решении практических задач, а также в процессе курсового проектирования и выполнения курсовых работ.
Учебное пособие составлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Прикладная механика» и «Механика» на кафедре «Высшая математика и механика» института инноватики и базовой магистерской подготовки.
УДК 621.83
ББК 34.42
ISBN 978-5-8088-1281-9
© Опалихина О. В., 2018
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2018
ВВЕДЕНИЕ
Предмет «Прикладная механика» является одним из фундаментальных курсов подготовки бакалавров, магистров и специалистов
в технических вузах. Он служит основой для изучения профилирующих дисциплин, требующих знания особенностей кинематики и
динамики механических систем различных технических объектов,
владения навыками расчетов на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, а также проектирования и конструирования механических и электромеханических устройств. Курс
«Прикладная механика» состоит из трех разделов: сопротивление материалов (расчеты на прочность, жесткость и устойчивость
элементов механизмов), теория механизмов, детали механизмов.
В учебном пособии приводится теоретический материал по таким
базовым разделам дисциплины, как теория механизмов, рассматриваются вопросы кинематического и силового расчета механических устройств и их проектирования.
Цель дисциплины – развитие у студентов системного диалектического подхода к инженерным задачам и путям их творческого решения. Современные тенденции развития аэрокосмической техники, точного приборостроения характеризуются усложнением схемотехнических решений, высокой насыщенностью технических
объектов специальными интегрированными измерительными системами. Это требует создания приборов и устройств нового поколения и усовершенствования уже существующих.
Механические и электромеханические устройства технических
систем могут эксплуатироваться в жестких климатических условиях, при наличии механических воздействий в виде вибраций, ударов и перегрузок [1]. Например, для указывающих приборов аэрокосмических изделий допустимы перепады температуры от –60
до +60 °С; пониженное атмосферное давление до 5 мм рт. ст.; повышенная влажность до 98% при температуре 40 °С; вибрационные
нагрузки в диапазоне частот до 300 Гц с ускорением до 2g (g – ускорение свободного падения); ударные нагрузки с ускорением до 4g;
линейные перегрузки с ускорением до 10g. Поэтому при их проектировании предъявляется ряд требований:
– минимальные масса, габариты и стоимость;
– высокая надежность и безотказность функционирования систем и их элементов в течении установленного для них ресурса;
– работоспособность систем независимо от пространственного
положения и возможных воздействий;
3
– максимальный уровень унификации и стандартизации, позволяющий применять данные устройства на различных типах технических объектов;
– ремонтопригодность и контролепригодность;
– минимальное количество настроек при замене блоков, минимальное время подготовки к работе.
4
1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
1.1. Структура и кинематические характеристики механизмов
Механизм – это такая кинематическая цепь, имеющая одно неподвижное звено (стойку), в которой при заданном движении одного
или нескольких ведущих звеньев относительно неподвижной стойки все остальные звенья, называемые ведомыми, совершают движение по определенному закону.
Механизмы являются кинематической основой приборов и машин. Под прибором понимают функциональное устройство, осуществляющее функции измерения, контроля, счета, настройки и управления. Машина – это устройство, которое трансформирует один вид
энергии в другой или выполняет полезную работу [2–5].
Различают механизмы передачи вращательного движения (зубчатые, фрикционные, гибкой связью), преобразования движения и
осуществления движения звеньев по заданным законам изменения
скорости или заданной траектории.
Среди механизмов передачи вращательного движения чаще используются зубчатые. Их можно разделить на передачи с постоянным передаточным отношением и зубчатые вариаторы с переменным передаточным отношением, выполненные, например, по
планетарной схеме. Зубчатые передачи классифицируют по числу ступеней и силовых потоков, по направлению вращения (не изменяющие направление вращения и реверсивные), по величине окружной скорости (тихоходные, среднескоростные и быстроходные). Если величина окружной скорости в точке зацепления
Vокр ≤ 3 м/с, то передача тихоходная, при Vокр = 4–5 м/с передача
среднескоростная, а при Vокр ≥ 15 м/с – быстроходная. По назначению зубчатые передачи можно разделить на силовые и кинематические, а по виду зацепления – на передачи с внешним и внутренним зацеплением и передачи, состоящие из зубчатого колеса
с внешними зубьями и рейки. Также их можно классифицировать
по взаимному расположению осей валов (передачи с параллельными (цилиндрические), пересекающимися (конические) и скрещивающимися (червячные) осями), по виду зуба (прямозубые, косозубые, шевронные и передачи винтовыми зубьями). По форме кривой,
образующей рабочий участок профиля зуба выделяют передачи
с эвольвентным, треугольным и специальными профилями зуба.
По характеру относительного движения зубчатых колес различают
рядовые, ступенчатые и эпициклические (планетарные) передачи.
Рядовые и ступенчатые – это передачи с неподвижными осями вра5
щения зубчатых колес. Эпициклические (планетарные) передачи
имеют зубчатые колеса с перемещающимися осями.
При больших передаточных отношениях между двигателем и
исполнительным механизмом применяют многоступенчатые зубчатые передачи. В зависимости от кинематической схемы и конструктивного исполнения можно выделить следующие многоступенчатые передачи:
– с развернутой кинематической цепью;
– соосные;
– комбинированные.
К механизмам преобразования движения относят стержневые
(иначе рычажные), винтовые и кулачковые механизмы. Их можно
классифицировать на механизмы для преобразования вращательного
движения в поступательное (например, пары винт-гайка скольжения
и шариковинтовые пары), на механизмы, преобразующие вращательное движение в качательное (кривошипно-кулисный механизм), на
механизмы преобразования вращательного движения одновременно
в качательное и возвратно-поступательное (передачи типа «качалкатяга») и механизмы преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное и наоборот (кривошипно-ползунные механизмы). Кулачковые и стержневые (рычажные) механизмы применяют
также тогда, когда необходимо реализовать движения звеньев по заданным законам изменения скорости или заданной траектории.
Рассмотрим структуру механизмов. Механизмы состоят из звеньев. Звенья образуют одна или несколько деталей, неподвижно соединенных. Звенья могут быть подвижные и неподвижные. Неподвижное звено называют стойкой. Также звенья можно разделить на
ведущие и ведомые. Ведущее звено получает движение от двигателя и
передает его ведомому звену. Деталь – это отдельная неделимая часть
механизма, изготовленная из монолитного материала или из нескольких элементов разных материалов, соединенных неразъемно сваркой, пайкой, склейкой или другими способами. Под кинематической
парой понимают подвижное соединение двух звеньев, находящихся
в непосредственном соприкосновении. Система звеньев, соединенных
кинематическими парами образует кинематическую цепь (рис. 1).
Кинематическая цепь может быть простой, в которой каждое
звено входит не более чем в две кинематические пары, и сложной.
Сложная цепь имеет звенья, входящие более чем в две кинематические пары [2–5].
Структура механизма изображается на структурной схеме при
помощи стандартных условно-графических обозначений. Кинематическая схема механизма составляется на основе структурной.
6
а)
A
б)
B
D
C
C
A
B
E
E
F
D
Рис. 1. Виды кинематических цепей: а – простая, б – сложная
К кинематическим характеристикам механизма относятся:
функции положения механизма, координаты точек звеньев и их
траектории, перемещения, линейные и угловые скорости и ускорения точек звеньев, передаточные отношения.
Основной кинематической характеристикой механизма является передаточное отношение U. Его определяют с учетом характера
преобразования движения. Под передаточным отношением механической передачи вращательного движения понимают отношение
мгновенных угловых скоростей ωвх на входе и ωвых на выходе механизма
ω
U = âõ .
(1)
ωâûõ
Механические передачи, преобразующие вращательное движение во вращательное, при U > 1 называются редукторами, при
U < 1 – мультипликаторами.
Для механизмов, преобразующих вращательное движение в поступательное и наоборот, можно записать
=
U
ωâõ
Vâõ
=
,U
,
ωâûõ
Vâûõ
(2)
где Vвх и Vвых – мгновенные линейные скорости на входе и выходе
механизма соответственно.
При исследовании кинематики стрежневого (рычажного) механизма рассматривается функция положения Ψ = f(α). Каждому углу
α1 ведущего звена (кривошипа) соответствует определенный угол Ψi
выходного звена. Угловое положение звеньев может быть описано
системой уравнений
Ψ1 = f(α1), Ψ2 = f(α2), Ψ3 = f(α3), … Ψi = f(αi).
Функция положения устанавливает зависимость обобщенной
координаты выходного звена от координаты входного (ведущего)
звена и геометрических размеров звеньев механизмов. Под обоб7
щенной координатой механизма понимают каждую из независимых координат, задающих положение всех звеньев механизма относительно стойки. Функция положения простейших механизмов
представляется одним уравнением, а сложных – системой уравнений. Функция положения используется для определения текущего положения механизма, построения траектории точек звеньев и
синтеза механизма. Зная функцию положения, можно рассчитать
размеры звеньев.
Механизмы передачи и преобразования движения широко используются в различных системах. Их можно увидеть в рулевых
агрегатах управления (РАУ) систем автоматического управления самолетом (рис. 2). РАУ – это электромеханическая раздвижная тяга винтового типа, подключаемая к проводке управления
[6]. РАУ состоит из следующих основных узлов: электродвигателя
ЭД (1), работающего в режиме реверса; упругой муфты (2), передаточного механизма (редуктора (3)); самотормозящейся винтовой
пары (4).
Редуктор РАУ содержит две пары шестерен (прямозубых цилиндрических зубчатых колес Z1Z2, Z3Z4,). Соотношение зубьев шестерен редуктора определяется с одной стороны заданной скоростью
движения штока, а с другой – введением в конструкцию незаклинивающихся механических упоров, установленных на второй паре
шестерен Z3Z4 и состоящих из трех кулачков.
Передаточное отношение редуктора (рис. 2) можно реализовать
как
z z
U= 2 4.
z1z3
Выходное звено РАУ представляет собой самотормозящуюся
винтовую пару типа винт-гайка с однозаходной трапецеидальной
резьбой. Выходное звено РАУ предназначено для преобразования
вращательного движения якоря электродвигателя в поступательφд
ЭД
1
2
3
z1
z2
z3
L
4
z4
Рис. 2. Кинематическая схема механизма РАУ
8
ное перемещение штока. Винтовая пара преобразует угловое перемещение двигателя ϕдв в линейное перемещение штока L.
Наименее надежными элементами РАУ являются шарикоподшипники двигателя и две шарикоподшипниковые опоры штока,
15
13
11б
11а
14 12
10
19
17
2б
11в
18
16
20
7
5в
2а
3
5б
6
5а
8
1
9
4
Рис. 3. Структурная схема ОПУ: 1 – цилиндрическая опора;
2 – поворотный корпус (нижняя часть 2а, верхняя часть 2б);
3 – подшипники; 4 – электродвигатель привода азимутального поворота;
5 – планетарный редуктор привода азимутального поворота (подвижное
центральное колесо 5а, колеса-сателлиты 5б, неподвижное центральное
колесо 5в); 6,7 – жестко связанные диски (водило планетарного
редуктора 5); 8 – оси сателлитов планетарного редуктора 5;
9 –вал электродвигателя 4; 10 – электродвигатель привода механизма
поворота по углу места; 11 – планетарный редуктор привода механизма
поворота по углу места (подвижное центральное колесо 11а, колесасателлиты 11б, неподвижное центральное колесо 11в); механизм
поворота по углу места (12 – кривошип, 13 – сферические шарниры,
14 – тяга, 15 – поворотная платформа); 16 – антенна;
17,18 – жестко связанные диски (водило планетарного редуктора 11);
19 – вал электродвигателя 10; 20 – оси сателлитов планетарного
редуктора 11
9
предназначенные для его центрирования и перемещения [6]. При
наличии дефектов подшипниковых узлов может увеличиться время
переходного процесса управления, которое зависит от скорости
движения штока. Средняя скорость штока Vср будет равна
Vñð =
Lc
( t + Δt )
,
где Lc – максимальный ход штока при сдвиге проводки управления,
мм; t – время хода штока.
Механизмы передачи и преобразования движения также нашли
широкое применение в опорно-поворотных устройствах (ОПУ)
антенных систем [7]. На рис. 3 показана структурная схема ОПУ,
которое содержит два антенно-поворотных устройства ориентации
антенных систем с вращательными приводами: по азимуту и углу
места.
Данное ОПУ может быть использовано также в робототехнике
для поворота манипулятора в различных плоскостях (вокруг двух
взаимно перпендикулярных осей).
Механизм поворота по углу места может также содержать рычажную систему с приводом возвратно-поступательного движения. Привод возвратно-поступательного движения реализуется на
основе линейного электро- или гидродвигателя с ползуном, либо
на основе электродвигателя и передачи винт-гайка (или реечной
передачи).
1.2. Степень подвижности плоского
и пространственного механизма.
Принцип образования механизмов
Под плоским механизмом понимают такую кинематическую
цепь, точки всех звеньев которой описывают плоские траектории
или траектории, находящиеся в параллельных плоскостях. Точки
звеньев пространственных механизмов имеют неплоские траектории или траектории, находящиеся в пересекающихся плоскостях
[2–5].
К плоским механизмам можно отнести рядовые цилиндрические передачи, стержневые (иначе рычажные) механизмы с низшими кинематическими парами (шарнирные четырехзвенники, кривошипно-шатунные, кулисные). Рычажные механизмы с низшими
кинематическими парами показаны на рис. 4.
10
а)
2
А
1
O1
B
3
4
O2
1
O1
б)
2
А
в)
3
O2
O
1A
ω ОА
2
3
B
Рис. 4. Рычажные механизмы с низшими кинематическими парами:
шарнирный четырехзвенник (a), кривошипно-шатунный механизм (б),
кулисный механизм (в)
В шарнирном четырехзвеннике (рис. 4а) есть одно неподвижное
звено (стойка 4) и три подвижных звена (1, 2, 3). Звенья соединены шарнирно вращательными кинематическими парами. Звено 1
(кривошип) вращается вокруг оси вращения на полный оборот,
а звено 2 (шатун) движется плоскопараллельно. Звено 3 (коромысло)
вращается на неполный оборот. От четырехзвенника можно перейти к кривошипно-шатунному механизму (рис. 4б), соединив коромысло 3 со стойкой 4 поступательной парой. Тогда звено 3 будет называться ползуном. В кулисном механизме (рис. 4в) звенья 2 и 3 соединены поступательной парой, а ползун 2 движется поступательно
вдоль звена 3, которое служит для него подвижной направляющей.
Коромысло 3 в таком механизме называется кулисой, а ползун 2 –
камнем кулисы.
Кривошипно-шатунные механизмы применяют в двигателях
внутреннего сгорания, насосах, их можно увидеть в аналоговых
указывающих приборах аэрокосмических изделий. Аналог ползуна – это анероидная или мембранная коробка указателя скорости,
высотомера, корректора высоты. В последних разработках авионики как правило отсутствуют аналоговые приборы. В настоящее
время выпускаются самолеты, оснащенные цифровым оборудованием с жидкокристаллическими дисплеями. Однако на рынке авиационной техники все еще можно встретить изделия, на которых
установлено как цифровое оборудование, так и аналоговые приборы. Устройства со стрелочными индикаторами по сравнению с их
электронными аналогами обладают значительно большими массой
и габаритами, меньшей точностью.
Примерами пространственных механизмов служат конические
передачи (карданная передача автомобиля, механизм радиолока11
тора), червячные передачи, механизмы с винтовыми колесами, рычажные механизмы, используемые в роботах для имитации движения руки человека, а также в механизмах пространственной ориентации космических кораблей (рис. 5) [2–5].
Степенью подвижности механизма W называется число степеней
свободы механизма S относительно звена, принимаемого за стойку.
Числом степеней свободы S называется число независимых параметров (координат), задание которых однозначно определяет положение твердого тела в пространстве [8]. При свободном движении
твердого тела (рис. 6) его перемещение в пространстве не ограничивается никакими другими телами (связями H), S = 6. При несвободном движении число степеней свободы твердого тела может быть от
S = 1 до S = 5 [8]. Максимальное число связей H = 5.
Степень подвижности пространственного механизма определяется по формуле Малышева
W = 6n – 5P5 – 4P4 – 3P3 – 2P2 – 1P1,
(3)
где n – число подвижных звеньев; P5, P4, P3, P2, P1 – число пар пятого, четвертого, третьего, второго и первого класса соответственно.
При плоском движении S = 3. Степень подвижности плоского механизма определяется по формуле Чебышева
W = 3n – 2P5 – 1P4.
(4)
По степени подвижности механизма W рассчитывают число его
ведущих звеньев. Определение степени подвижности механизма W
Z1
2
3
ϕ 10
Z1
S32
B
S21
0
схват
i
X1
1
Y1
Рис. 5. Кинематическая схема
робота-манипулятора:
0 – неподвижное звено (стойка);
1, 2, 3 – подвижные звенья
12
A
k
X1
O1
j
C
Y1
Рис. 6. Положение твердого тела
в пространственной системе
координат
и разложение его кинематической цепи на структурные группы
и ведущие звенья называется структурным анализом механизма
[2–5]. При его проведении из кинематической схемы механизма исключаются пассивные (избыточные) связи, лишние степени свободы, кинематические пары четвертого класса заменяются парами
пятого класса. Каждое звено и каждая кинематическая пара могут
входить только в одну структурную группу. Число степеней свободы и мгновенное движение звеньев у эквивалентного заменяющего
механизма должно быть таким же, как у заменяемого механизма.
По числу ограничений, накладываемых на относительное движение звеньев, кинематические пары можно разделить на пять классов.
Номер класса совпадает с числом ограничений в паре. Пара пятого класса накладывает пять ограничений на относительное движение звеньев, а пара первого класса вносит лишь одно ограничение.
Классификацию кинематических пар разработали А.П. Малышев,
В.В. Добровольский, И.И. Артоболевский. Классификацию плоских стержневых механизмов разработал Л.В. Ассур.
К кинематическим парам пятого класса относятся пары винтгайка скольжения, цилиндрические шарниры и ползуны. В кинематической паре винт-гайка (рис. 7) гайка (2) относительно винта (1) совершает два вида движения – вращательное вокруг геометрической оси винта и поступательное вдоль этой же оси. Однако
независимое относительное движение в паре одно (вращательное
либо поступательное), другое – зависимое и может быть выражено
через параметры, описывающие первое движение. Величина перемещения гайки зависит от величины угла поворота. Поэтому пара
винт-гайка скольжения – это пара пятого класса (рис. 7).
К парам четвертого класса относят зубчатое зацепление, пару
кулачок-толкатель, цилиндрическую пару, в которой втулка может
2
1
Рис. 7. Передача винт-гайка скольжения в разрезе,
продукция http://www.bergab.ru/lmtrapez.shtml
13
вращаться относительно оси цилиндра и перемещаться вдоль нее.
Кинематическую пару третьего класса образует сферический шарнир, кинематические пары второго класса – пары цилиндр-плоскость и шар-цилиндр, а кинематическая пара первого класса – пара шар-плоскость.
В механических устройствах технических объектов, как правило, используются кинематические пары пятого и четвертого классов, поскольку они по сравнению с парами других классов обладают
лучшими показателями надежности, проще в изготовлении и эксплуатации.
По характеру соприкосновения элементов кинематические пары
делятся на высшие и низшие, а по виду относительного движения –
на вращательные и поступательные.
В высших кинематических парах соприкосновение двух звеньев
происходит либо в точке (пара кулачок-толкатель), либо по линии
(соприкосновение зубчатых колес).
В низших кинематических парах соприкосновение двух контактирующих элементов происходит либо по плоскости, либо по поверхности. К низшим кинематическим парам относят шарнирное
соединение, пару ползун и направляющие. Низшую кинематическую пару образует кривошип (рис. 5). Низшие кинематические пары по сравнению с высшими более технологичны, передают большие нагрузки, однако имеют большие потери на трение.
По виду траектории точек звеньев, образующих кинематическую
пару, различают плоские и пространственные кинематические пары. Траектории плоских кинематических пар – плоские кривые.
К ним относят цилиндрические шарниры. Траектории пространственных кинематических пар – пространственные кривые. К ним
относят сферические шарниры [2–5, 8].
Плоские кинематические пары могут быть только парами пятого
и четвертого классов. Плоские кинематические пары пятого класса
одновременно являются низшими кинематическими парами, а пары четвертого класса – высшего.
Рассмотрим примеры определения степени подвижности механизма.
Пример 1. Плоский кривошипно-шатунный механизм
В кривошипно-шатунном механизме (рис. 8) отсутствуют высшие кинематические пары (пары 4 класса). Число подвижных
звеньев n = 3, число низших кинематических пар (пар 5 класса)
P5 = 4.
14
A
1
ωОА
O
2
4
3
B
Рис. 8. Кинематическая схема кривошипно-шатунного механизма
Используя формулу (4), определим степень подвижности W кривошипно-ползунного механизма
W = 3n – 2P5 = 3 · 3 – 2 · 4 = 1.
Пример 2. Прямозубая цилиндрическая передача с развернутой
кинематической цепью
Передача содержит 5 подвижных звеньев, 4 находящихся в зацеплении пары зубчатых колес Z1Z2, Z3Z4, Z4Z5, Z6Z7, (пары четвертого класса), 10 подшипников скольжения (низших одноподвижных
вращательных кинематических пар пятого класса A, A′, B, B′, C, C′,
D, D′, E, E′), которые допускают только одно относительное вращение вокруг геометрических осей валов I, II, III, IV, V (рис. 9). Роль
вращательных кинематических пар пятого класса в рассматриваемом варианте кинематической схемы могут выполнять и шарикоподшипники (высшие кинематические пары), в таких опорах вал
A
Z1
Aʹ
B
Z2
Z3
Bʹ
Z4
Cʹ
I
II
C
III
D
Z5
Z6
Dʹ
IV
E
Z7
Eʹ
V
Рис. 9. Структурная схема прямозубой цилиндрической передачи
с развернутой кинематической цепью
15
не скользит непосредственно по цилиндрической опорной поверхности, как в подшипниках скольжения, а между валом и опорной
поверхностью есть тела качения сферической формы. Прямозубые
цилиндрические колеса в передаче с развернутой кинематической
цепью вращаются вместе с валом как жесткое целое, образуя 5 подвижных звеньев. Колесо Z4 – это паразитное колесо, которое не влияет на величину передаточного отношения механизма. Такое колесо используется для изменения направления вращения и межосевого расстояния.
При определении числа кинематических пар учитывается минимальное количество кинематических пар, требуемых для сообщения звену заданного движения. Используя формулу (4), определим
степень подвижности W прямозубой цилиндрической передачи
W = 3n – 2P5 – 1P4 = 3 · 5 – 2 · 5 – 1 · 4 = 1.
Пример 3. Прямозубая цилиндрическая передача с соосной
схемой
В соосной передаче (рис. 10) колеса Z1, Z6 жестко закреплены
на валу, а блоки колес Z2Z3 и Z4Z5, свободно вращаясь относительно валов I и IV, выполняют функции валов II, III. Передача содержит 4 подвижных звена, 3 пары колес, находящихся в зацеплении.
Минимальное количество одноподвижных вращательных кинематических пар пятого класса, необходимых для передачи вращательного движения, равно 4. Используя формулу (2), рассчитаем степень
подвижности W соосной передачи
W = 3n – 2P5 – 1P4 = 3 · 4–2 · 4–1 · 3 = 1.
Z4
Z5
Z1
Ш
Z2
II
Z3
I
Z6
IV
Рис. 10. Структурная схема соосной цилиндрической передачи
16
Принцип образования механизмов
В простейших механизмах 1 класса (начальных механизмах) со
степенью подвижности W = 1 (рис. 11) нет ведомых звеньев, т.е. нет
передачи и преобразования движения. Они содержат два звена (ведущее звено и стойку), соединенных кинематической парой пятого
класса (вращательной или поступательной). Ведущее звено можно
назвать входным. К таким механизмам относятся механизмы роторных приборов и машин с вращательными кинематическими парами (гироскопов, электродвигателей и генераторов) [2–5].
Синтез более сложных механизмов осуществляется присоединением к двухзвенному механизму первого класса структурных групп –
статически определимых кинематических цепей.
Структурная группа или группа Ассура – это такая элементарная кинематическая цепь, которая при присоединении ее свободными элементами кинематических пар к разным звеньям механизма
не изменяет его подвижности. Степень подвижности такой группы
W = 0. Структурная группа не должна распадаться на более простые, удовлетворяющие этому условию.
Таким образом всякий плоский механизм можно рассматривать
как комплекс ведущих звеньев и стоек с кинематическими цепями
с нулевой степенью подвижности, которые называются группами
Ассура.
1.3. Кинематическое исследование механизмов
При проведении кинематического исследования механизмов изучаются законы движения звеньев механизмов без учета приложенных к ним сил и определяются их кинематические характеристики. Принимаются следующие допущения: абсолютно жесткие
звенья, отсутствие зазоров в кинематических парах. Считается, что
известны законы движения ведущих (начальных) звеньев и размеры
1
O
W = 3·1 − 2·1 = 1
1
ω ОА
O
Рис. 11. Начальные механизмы
17
всех звеньев, задана кинематическая схема механизма. Задача определения размеров звеньев, при которых будет обеспечено воспроизведение заданной траектории движения ведомого (выходного) звена
решается с помощью синтеза механизма [2–5].
Кинематическое исследование может проводиться аналитическим и графо-аналитическим методами. Аналитический метод позволяет решить следующую задачу: установить в виде математических уравнений (векторных и алгебраических) зависимость между
кинематическими характеристиками механизма и его размерными
параметрами. Графо-аналитический метод дает возможность наглядно представить движение звеньев механизма, его целью является геометрическое построение планов положений звеньев механизма, соответствующих полному циклу его движения, планов скоростей и ускорений [2–5].
Рассмотрим аналитический метод кинематического исследования зубчатых передач.
При рассмотрении зубчатых передач ставится задача выражения передаточного отношения U через отношения размерных параметров его звеньев. Передаточное отношение определяется в направлении потока мощности [2-5]. При передаче вращения от k-го
звена к i-му звену можно записать
=
U
ωk nk zi
= =
,
ωi ni zk
πn
где ni,nk – число оборотов i-го и k-го звена соответственно, ωi = i ;
30
zi , zk – числа зубьев i-го и k-го звена соответственно.
Для кинематической схемы, изображенной на рис. 9, получим
U=
ω1 ω1 ω2 ω3 ω4
z z z z
=
⋅
⋅
⋅
= U12 ⋅ U23 ⋅ U34 ⋅ U45 = 2 4 5 7 .
ω5 ω2 ω3 ω4 ω5
z1z3z4 z6
Для соосной цилиндрической передачи (рис. 10) имеем
U=
ω1 ω1 ω2 ω3
z z z
=
⋅
⋅
= U12 ⋅ U23 ⋅ U34 = 6 4 2 .
ω4 ω2 ω3 ω4
z5z3z1
Пример 3. Выразим передаточное отношение реверсивного редуктора U с развернутой кинематической цепью (рис. 9) через числа
зубьев z. Степень подвижности механизма W = 1. Число оборотов на
входе редуктора nвх = 1440 об/мин, число оборотов на выходе редук18
тора nвых = 160 об/мин. Передаточное отношение U = nвх/nвых = 9.
Числа зубьев прямозубых цилиндрических зубчатых колес равны:
Z1 = 20, Z2 = 30, Z3 = 18, Z4 = 40, Z5 = 36, Z6 = 20, Z7 = 60. Получим
U=
30 ⋅ 40 ⋅ 36 ⋅ 60
= 9.
20 ⋅ 18 ⋅ 40 ⋅ 20
В данном примере числа зубьев подобраны без округления. Мы получили передаточное число, равное передаточному отношению. При
округлении чисел зубьев в большую сторону до ближайшего целого
числа в соответствии с ГОСТ 13733-77 «Колеса зубчатые цилиндрические мелкомодульные прямозубые и косозубые» проверяется точность реализации требуемого передаточного отношения редуктора.
При реализации передаточного отношения через числа зубьев
зубчатых колес мы получаем передаточное число, эквивалентное
передаточному отношению. Следует помнить, что в отличие от передаточного отношения передаточное число всегда больше единицы,
так как оно равно отношению чисел зубьев колеса с большим числом зубьев к меньшему.
Передаточное отношение U цилиндрических передач можно также выразить через диаметры делительных окружностей зубчатых
колес d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7 (рис. 9)
U=
d2d4d5d7
.
d1d3d4d6
1.4. Силовое исследование механизмов
Силовое исследование механизмов проводится при проектировании механических устройств, а также при выполнении проверочных расчетов готовых изделий. Зная силы, действующие в механизме, можно составить уравнения движения заданных точек,
решить задачи регулирования движения механизма, задачи уравновешивания вращающихся масс роторных систем, определить рациональные конструктивные формы деталей, рассчитать прочность
элементов конструкции, определить механические потери мощности на трение и коэффициент полезного действия (КПД) механизма η, вычислить расчетную мощность двигателя Nдрасч, оценить кинематическую точность.
Принимаются следующие допущения: абсолютно жесткие звенья, отсутствие зазоров в кинематических парах, массы и моменты
19
инерции всех звеньев известны, малые по сравнению с другими силами, приложенными к звеньям, силы трения.
Сила является мерой механического взаимодействия тел, в результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг
другу ускорение или деформироваться. Различают внешние и внутренние силы. Взаимодействие между частями выделенной конструкции внутри ее очерченной границы, которое характеризуется внутренними силами молекулярного сцепления, изучается
в таком разделе прикладной механики, как «сопротивление материалов». В теории механизмов изучаются внешние силы, характеризующие взаимодействие выделенной конструкции с телами,
расположенными за пределами условно очерченной ее границы.
Их можно разделить на активные, которые стремятся вызвать изменение в положении или состоянии тела, и реактивные – реакции
связей.
На звенья механизма действуют следующие силы: движущая
сила Pдв, сила полезного сопротивления Pпс, силы вредного сопротивления Pвс, силы тяжести звеньев Pт и силы инерции Pи.
Движущая сила Pдв действует на ведущее звено механизма со
стороны двигателя, ее работа положительна: AР дв > 0 [2–5].
Сила полезного сопротивления Pпс – это сила, для преодоления которой механизм и предназначен, ее работа отрицательна:
A Рпс<0.
К силам вредного сопротивления Pвс относятся силы трения
в кинематических парах и силы сопротивления среды. Они появляются при движении звеньев и их работа отрицательна: A Р вс< 0. Однако во фрикционных передачах и передачах гибкой связью силы
трения являются движущими.
Силы тяжести Pт приложены к центрам тяжести звеньев. Силы
тяжести подвижных звеньев могут совершать как положительную,
так и отрицательную работу. Поскольку точки приложения сил
тяжести движутся циклически, работа этих сил за период цикла
движения механизма (время одного оборота ведущего звена) равна
нулю.
При движении точек звеньев механизма с ускорением рассчитываются силы инерции Pи. Их величины могут превышать значения
других сил, приложенных к звеньям механизма. За период цикла
движения механизма работа сил инерции равна нулю. В установившемся режиме работы механизма за целое число циклов движения
A Р т = 0, A P и = 0.
20
Работа внешней силы Ae, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, на конечном угле поворота
вычисляется по формуле
=
Ae
ϕ
e
∫ Mz dϕ,
(5)
ϕ0
где Mze – момент силы относительно оси вращения, ϕ – угол поворота
твердого тела (звена) [8].
При силовом исследовании механизма с одной степенью свободы
решаются следующие задачи: заданы – закон движения какого-либо звена механизма (назовем его начальным звеном), внешние силы P и моменты M, действующие на его звенья; требуется определить – реакции R во всех кинематических парах, силы инерции звеньев Pи, уравновешивающую силу Pу или уравновешивающий момент Mу , которые необходимы для поддержания заданного движения механизма, силы трения Pтр и КПД механизма η, а также рассчитать мощность двигателя Nдрасч и приведенный к ведущему звену
момент сил трения Мпр.тр. Силовой расчет выполняется для ряда последовательных положений механизма, характеризующих полный
цикл его движения [2–5].
Уравновешивающие сила или момент должны уравновешивать
все внешние силы и моменты, все силы инерции и моменты сил
инерции, а также силы трения и моменты трения. Число уравновешивающих сил (или моментов) должно быть равно числу степеней
свободы механизма. Если начальное звено механизма ведущее и вал
ведущего звена приводится во вращение парой сил, создающей вращающий (крутящий момент), т.е. он непосредственно соединен с валом двигателя муфтой, то уравновешивающим моментом является
момент движущих сил (рис. 12). При ведомом начальном звене механической системы, передающей вращательное движение, уравновешивающий момент – это момент сил сопротивления.
Дв
1
Н
ИМ
2
3
4
Рис. 12. Структурная схема механизма:
1 – двигатель, 2 – муфта соединительная,
3 – исполнительный механизм, 4 – нагрузка
21
Уравновешивающий (движущий) момент на валу ведущего звена механизма равен
Мур = Мдв = Мпр.с+ Мпр.тр,
(6)
где Мпр.пс – приведенный момент всех сил сопротивлений, действующих в механизме (без учета сил трения); Мпр.тр – приведенный момент всех сил трения.
При проведении силового исследования без учета сил трения
в кинематических парах связи считают идеальными. Неизвестными являются только величины реакций. Во вращательной паре линия действия реакции должна пройти через геометрический центр
пары, а в низшей поступательной паре линия действия реакции
перпендикулярна поверхности соприкосновения ползуна с направляющей. В высших кинематических парах (пары зубчатых колес,
находящихся в зацеплении) линии действия реакций проходят по
нормали к профилям звеньев через общую точку их соприкосновения. При определении потерь мощности на трение и КПД механизма η силы трения учитываются.
Так при силовом расчете системы АРУ, элементом которой является РАУ (рис. 2), следует учесть, что выходной Mвых и входной Mвх
моменты связаны соотношением
Mвых = Mвх – Mсопр,
где Mсопр – момент сопротивления движению, Mсопр = Mт + Mад,
Mт – суммарный момент трения в элементах системы, Mад – момент
аэродинамического сопротивления.
Как уже говорилось ранее, наименее надежными элементами
РАУ являются шарикоподшипники двигателя и две шарикоподшипниковые опоры штока, предназначенные для его центрирования и перемещения. При наличии дефектов подшипниковых узлов
может произойти «недоворачивание» стабилизатора и руля направления, которое приводит к расширению зоны нечувствительности
системы управления, которая появляется при Mсопр = Mвх. При появлении зоны нечувствительности происходит увеличение перерегулирования в переходном процессе управления объектом. Резкое
увеличение момента трения качения Mтк в шарикоподшипниках
может привести к увеличению момента сопротивления движению
Mсопр, Mт = f(Mтк).
Механический коэффициент полезного действия механизма
(КПД) – это отношение работы Aпс (или мощности Nпс) сил по22
лезного сопротивления к работе Адв (или мощности Nдв) движущих сил
Aïñ Nïñ
=
< 1.
Aäâ Näâ
η=
(7)
Коэффициентом потерь механизма называется отношение работы Aвс (или мощности Nвс) сил вредного сопротивления к работе Адв
(или мощности Nдв) движущих сил
Ψ=
Aâñ Nâñ
=
< 1.
Aäâ Näâ
(8)
ческ
Запишем уравнение равенства работ
AРдв = AРпс + AРвс.
(9)
Из уравнения (9) следует, что η + Ψ = 1. Чтобы определить мгновенные значения коэффициентов η и Ψ, отношение работ заменяется отношением мощностей [2–5].
Мощность, расходуемая на трение в поступательной кинематической паре Nтр, равна
Nтр = FтрVотн,
где Fтр – сила трения скольжения кинематической пары, Fтр = Nf,
здесь N – нормальная реакция в кинематической паре, f – коэффициент трения скольжения кинематической пары; Vотн = V1±V2 – скорость относительного скольжения поступательной кинематической
пары.
Мощность, расходуемая на трение во вращательной кинематической паре, равна
Nтр = FтрVотн = Fтрωотнr = Мтрωотн,
где Мтр – момент сил трения во вращательной паре; r – радиус цапфы шарнира (тела вращения); ωотн = ω1±ω2 – относительная угловая
скорость во вращательной кинематической паре.
Известно, что скорость точки твердого тела при ее вращении вокруг неподвижной оси равна векторному произведению V = ω × r
(где ω – вектор угловой скорости, направленный по оси вращения
в ту сторону, откуда вращение, совершаемой телом видится происходящим против хода часовой стрелки, r – радиус-вектор точки)
[8]. В нашем случае длина радиус-вектора равна радиусу цапфы
шарнира r.
23
Мощность, расходуемая на трение в механизме, складывается из
алгебраической суммы мощностей сил трения во всех кинематических парах механизма с учетом потерь на смазку
n
Nòð ∑ = ∑ Nòði .
(11)
i =1
При приведении сложной механической системы к простой рассчитывают приведенный к валу ведущего звена механизма момент
сил трения Mпр.тр [2–5]
Nòð
(12)
Mïð.òð =
,
ω1
где ω1 – угловая скорость звена приведения (ведущего).
Мгновенное значение КПД механизма для установившегося режима работы выражается через отношение мощностей
η=
Mïð.ïñ ω1
( Mïð.ïñ + Mïð.òð ) ω1
=
Nïñ
.
Nïñ + Nòð
(13)
Пример 4. Рассчитаем механическую мощность двигателя
Nдрасч соосного редуктора (рис. 10). Число оборотов на выходе редуктора nвых = 12 об/мин, крутящий момент на выходе редуктора
Mвых = 60 Н · см.
Выбор двигателя механизма производится по механической
мощности с учетом режима работы механизма по каталогу исходя
из следующих соображений:
– мощность и момент двигателя по каталогу Nд, Mд с учетом коэффициента запаса k = 1,2–2, должны быть больше расчетных значений в k раз:
Nд = k · Nдрасч,
Mд = k · Mдрасч;
– для уменьшения числа ступеней редуктора желательно выбирать из каталога двигатель с невысокой частотой вращения nдв, для
комбинированного многоступенчатого редуктора ориентировочно
nдв ≤ (100–1000) nвых.
Большее значение коэффициента запаса k рекомендуется выбирать для реверсивных механизмов. Mдрасч определяется по формуле
Mäðàñ÷ =
24
Mâûõ
,
η∑ ⋅ U∑
где η∑, U∑ – суммарные КПД и передаточное отношение редуктора соответственно. На начальной стадии проектирования КПД цилиндрической передачи полагается η∑ = 0,8–0,9. На конечном этапе
проектирования мощность двигателя и КПД механизма уточняются. Следует также учитывать, что при одинаковой мощности двигателя меньшие габариты имеют двигатели с большей частотой вращения. Однако это приводит к увеличению передаточного отношения и числа ступеней редуктора.
Рассчитаем мощность на выходном валу редуктора:
Nâûõ =
Mâûõ ⋅ nâûõ
,
974
где Mвых – крутящий момент на выходе редуктора, Н · см; Nвых –
мощность на выходном валу редуктора, Вт; nвых – число оборотов на
60 ⋅ 12
Nâûõ = 0,74 Âò. Если заданные
выходе редуктора, об/мин. =
974
параметры имеют размерность: Mвых – Н·мм, nвых – об/мин, то для
того, чтобы получить размерность мощности Nвых – Вт, необходимо
M
⋅n
вместо переводного коэффициента 974 взять 9740: Nâûõ = âûõ âûõ .
9740
Переводной коэффициент может быть выбран в пределах 973–975.
Необходимая мощность двигателя Nдрасч определяется по выражению
N
Näðàñ÷ = âûõ .
ηΣ
В нашем примере
0,74
Näðàñ÷
= = 0,925 Âò.
0,8
Мощность двигателя с учетом коэффициента запаса:
Nд = k · Nдрасч = 1,2 · 0,925 = 1,11 Вт. Из справочника выбираем двигатель УАД-24: Nд = 1,2 Вт; nд = 1250 об/мин. Передаточное отношение редуктора U = 1250/12 = 104,16666.
Выбор двигателя обусловлен режимом работы механизма. Возможны три режима работы механизма:
– угловая скорость выходного вала постоянная (ωвых = const, см.
пример); данный случай характерен для механизмов радиоответчиков;
– угловая скорость выходного вала изменяется от ω1 до ω2 при
максимальном ускорении εmax; этот случай характерен для исполнительных механизмов;
25
– угловая скорость и ускорение выходного вала изменяются периодически; данный случай характерен для редукторов следящих
приводов, робототехнических систем.
Крутящий (вращающий) момент на двигателе Мд зависит от режима работы механизма. Если угловая скорость выходного звена не
постоянна и изменяется от ω1 до ω2, то суммарный момент на валу
двигателя M0 при максимальном угловом ускорении εmax равен сумме статического и динамического моментов

I
M0 =  Iä + 2 í

Uîáù η∑


Mâûõ
 Uîáù εmax +
,

Uîáù η∑

где Mвых – крутящий момент на выходе редуктора; Iд – момент инерции ротора двигателя; Iн – момент инерции нагрузки; Uобщ – общее
передаточное число механической передачи (редуктора).
Момент инерции редуктора учитывается в моменте инерции нагрузки Iн. Для этого Iн увеличивают: Iн = 1,1Iн .
С учетом вышеизложенного для выбора двигателя в этом случае
необходимо знать момент инерции ротора двигателя и общее передаточное число редуктора, которое определяется угловой скоростью
выходного вала механизма и угловой скоростью двигателя. Выбор
двигателя осуществляется методом последовательного приближения. При этом используется формула для определения расчетной
мощности двигателя Nдв
Näâ = Kä
Mâûõnâûõ
Âò,
974η∑
где Kд – это коэффициент, учитывающий динамический момент
(коэффициент запаса). Коэффициент Kд выбирается в пределах
1,2–2. Большие значения Kд выбираются при больших значениях
момента инерции нагрузки и значительных ускорениях. При выборе двигателя необходимо учитывать инерционность двигателя, его
угловую скорость вращения, тип его питания, габаритные размеры
и конструкцию.
Задачи динамики механизмов
Задачи динамики механизмов – это задачи исследования движения механизмов под действием сил, приложенных к их звеньям.
При решении задач кинематики и кинетостатики механизмов
полагается, что закон движения начального звена известен, а его
26
скорость постоянна. В реальных условиях кинематические параметры механических устройств являются функциями внешних сил,
действующих на их звенья, а также масс подвижных звеньев, из которых они состоят.
При исследовании движения механизма и определении закона
его движения, а также расчете динамической модели рассматриваются уравнения, устанавливающие зависимость между кинематическими и силовыми параметрами звеньев. Число уравнений равно
числу степеней свободы механизма.
Для механизма с одной степенью свободы решение задачи упрощается при эквивалентной замене всех внешних сил и моментов
сил, а также массы всех подвижных звеньев, одной приведенной силой или моментом и одной приведенной массой. Такая эквивалентная замена позволяет вместо исследования движения всех подвижных звеньев механизма изучать движение звена приведения (как
правило ведущего) [2–5]. Для составления уравнения движения механической системы применим из теоретической механики теорему динамики об изменении кинетической энергии материальной
системы. Также движение системы можно описать, используя дифференциальные уравнения второго закона Ньютона для материальной системы и уравнения Лагранжа. При составлении динамической модели механической системы используем линейные уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах. Метод
Лагранжа применим как для сосредоточенных масс, так и для распределенных. Для описания нелинейных процессов предусматривается переход к системе нелинейных уравнений Лагранжа второго
рода. Энергетический метод Лагранжа позволяет составить дифференциальные уравнения движения широкого класса механических
систем. Он дает возможность определить закон изменения угловой
скорости звена приведения, не требуя введения дополнительных
координат и реакций идеальных связей [8].
Следует помнить, что на динамическое состояние механизма
оказывают влияние дополнительные нагрузки, порождаемые силами инерции звеньев и перегрузками. Высокие угловые скорости
вращения роторных систем приводят к появлению значительных
центробежных сил инерции звеньев. Неуравновешенные центробежные силы инерции в быстроходных механизмах являются источниками вибрации и шума механизмов, могут привести к аварии.
Неуравновешенным называют такое звено или механизм, центр
масс которого движется с ускорением. Смещение центра масс звена
с геометрической оси вращения вызывает появление сил и моментов
27
инерции, вызывающих вибрацию механизма и колебания основания. Уравновешенным будем считать такой механизм, в котором
главные векторы и моменты сил инерции равны нулю [2–5, 8]. Звенья балансируют для устранения неуравновешенности. Задачей
уравновешивания механизмов является устранение вредного влияния сил инерции его звеньев, которые могут быть переменными по
величине и направлению. Для этого устраняются дополнительные
динамические нагрузки на опоры вращающихся звеньев механизма (вращающихся масс). Различают статическое и динамическое
уравновешивание вращающихся масс [2–5, 8].
Из курса теоретической механики известно, что если центр
масс тела находится на оси вращения, т.е. выполняется условие:
xc = yc = 0, то тело статически уравновешено. Здесь xc, yc – координаты центра масс тела. Статическое уравновешивание звена (статическая балансировка) осуществляется перемещением центра массы
звена на геометрическую ось вращения. Статической балансировке подвергают детали и звенья механизмов, вращающиеся с малой
угловой скоростью и имеющие небольшие размеры вдоль оси (например зубчатые колеса). Но для того, чтобы добавочные динамические реакции были равны нулю одной статической уравновешенности тела недостаточно. Необходимо, чтобы центробежные моменты
инерции относительно оси вращения равнялись нулю: Ixz = 0, Iyz = 0.
То есть для того, чтобы при вращении тела вокруг неподвижной
оси не возникали добавочные динамические реакции, необходимо и
достаточно, чтобы ось вращения была главной центральной осью
инерции [8]. Динамические реакции подшипников во много раз превосходят статические реакции. Поэтому для их устранения применяется специальная динамическая балансировка, которая достигается подбором уравновешивающих масс, выполняемая на специальных балансировочных машинах. Динамической балансировке
подвергаются быстроходные механизмы.
Равенство нулю добавочных динамических реакций определяет система однородных линейных алгебраических уравнений (тело
вращается относительно вертикальной оси z, рис. 6)
 =0, xc ϕ
 − yc ϕ 2 =0,
xc ϕ 2 + yc ϕ
 − Iyz ϕ 2 =0, Ixz ϕ 2 + Iyz ϕ
 =0.
Ixz ϕ
Неуравновешенность может быть следствием погрешностей изготовления и сборки деталей, их дефектов, неоднородности материала. Погрешности зацепления зубчатых передач, переменная
28
жесткость зацепления, удары при входе зубьев в зацепление, зарождающиеся трещины и зарождающиеся локальные дефекты вызывают высокочастотные вибрации. На частоте сепаратора подшипника (35 Гц, 50 Гц), на частоте вращения вала (100 Гц и кратной
ее частоте 200 Гц) могут проявляться низкочастотные вибрации
(рис. 13). Дисбаланс вращающихся масс и температурный изгиб вала
вызывает вибрацию на частоте вращения вала. Из-за потери устойчивости вращения вала на масляном слое возникает низкочастотная
вибрация, которая проявляется на частоте, равной половине частоты
вращения вала (50 Гц) [6, 9–11]. Данные факторы следует учитывать
при составлении динамической модели роторной системы.
Приведенной массой mпр называется такая условная масса, связанная со звеном приведения, которая двигаясь со скоростью точки приведения vo, обладает кинетической энергией, эквивалентной
кинетической энергии T механизма. Используя формулу для определения кинетической энергии движущейся поступательно точки
m v2
To = o o , запишем [2–5]
2
2T
mïð = 2 .
vo
Приведенным моментом инерции называется условный момент
инерции Iпр вращающегося вокруг неподвижной оси звена приведения, которое обладает кинетической энергией, эквивалентной кинетической энергии механизма. Рассматривая звено механизма как твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, получим [2–4, 8]
Iïð =
2T
ω12
.
а) 6
б) 12
5
10
4
8
3
6
2
4
1
2
0
0,1
0,2
0,3 0,4
0,5
0,6
0
100
200
300
400
500
Рис. 13. Временное (а) и спектральное (б) представление вибросигнала
29
Кинетическая энергия механизма T равна сумме кинетических
энергий его звеньев. Рассматривая отдельное звено механизма как
твердое тело, т.е. как неизменяемую механическую систему с распределенной по объему массой, получим формулы для определения
кинетической энергии звеньев [2–5, 8]:
при вращении звена вокруг неподвижной оси
1 2 2
1 2 2
1
T=
ω hz dm =
ω hz dm =
Iz ω2 ,
2∫
2 ∫
2
при поступательном перемещении звена
=
T
1
1 2
1 2
=
v dm =
v ∫ dm Mv2 ,
∫
2
2
2
при плоскопараллельном движении звена (по теореме Кенига)
T=
1
1
Mvc2 + IÑz ω2 ,
2
2 2
где ω – угловая скорость звена в его вращении вокруг неподвижной
оси; v – скорость точки звена (при поступательном движении скорости всех точек твердого тела одинаковы); hz – расстояние от точки звена до оси вращения z; vс – скорость центра масс С звена; Iz –
момент инерции звена относительно оси вращения z; ICz2 – момент
инерции звена относительно оси Сz2, проходящей через центр масс
С звена; M – масса всего тела (звена). При плоскопараллельном движении вектор угловой скорости ω всегда перпендикулярен к плоскости движения тела и совпадает с поступательно перемещающейся
осью Сz2. Индекс оси «2» соответствует подвижной системе отсчета.
Следует помнить, что центр масс и центр тяжести совпадают,
если все точки твердого тела имеют одинаковые ускорения. Центр
тяжести твердого тела – воображаемая точка, к которой приложена
равнодействующая сил тяжести всех частиц твердого тела (звена).
Вне поля тяготения центра тяжести нет. Центр тяжести твердого тела часто называют центром тяжести объема V [8]. Координаты центра тяжести xc, yc, zc можно вычислить следующим образом
xc =
1
V
1
1
∫∫∫ xdxdydz, yc = V ∫∫∫ ydxdydz,zc = V ∫∫∫ zdxdydz.
(V )
(V )
(V )
Понятие центра масс имеет смысл для любого твердого тела
или механической системы. Центр масс твердого тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, совпадает с его центром тя30
жести [8]. Плотность однородного тела γ одинакова во всех его точках γ = M/V = const. Поле силы тяжести однородное на небольшом
участке у поверхности Земли. Поскольку Земля сферически неоднородна, да еще вращается, то поле силы тяжести на земной поверхности непостоянно. Массу неоднородного тела можно вычислить по
формуле
M =γ
∫ dv =∫∫∫ γ(x, y, z)dxdydz.
Координаты центра масс твердого тела xc, yc, zc можно выразить
через интегралы
1
1
1
xc =
xdm, yc =
ydm, zc =
zdm.
M∫
M∫
M∫
Если механизм имеет n1 звеньев, вращающихся вокруг неподвижной оси, n2 звеньев, движущихся поступательно и n3 звеньев,
совершающих плоскопараллельное движение, то его кинетическая
энергия вычисляется по формуле [2–4]
2

2
ICz ω2k
Izi ω2i n2 mj vj n3  mkvck
2k
+ ∑
+ ∑
+
T= ∑
2
2
i =1 2
j =1 2
k =1 

n1

.


(14)
С учетом вышеизложенного, кинетическая энергия, звена приведения (ведущего), вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω1, рассчитывается по формуле
=
T
1
Iïð ω12 ,
2
где Iпр – приведенный момент инерции.
Пример 5. Запишем уравнение кинетической энергии одноступенчатого планетарного редуктора, учитывая возможную вибрацию (механические колебания) (рис. 3, рис. 20, а) [9]. При уравновешенных массах центр инерции планетарного механизма совпадает с центральной осью основных звеньев (центрального солнечного
колеса и соосного с ним водила). Все возможные перемещения элементов планетарного редуктора будем рассматривать в плоскости,
перпендикулярной центральной оси. Обозначим поступательные
перемещения сосредоточенных масс планетарного редуктора в направлении двух взаимно перпендикулярных осей x и y, а угловые
относительно центральной оси и осей сателлитов – ϕ.
31
Сателлиты совершают плоскопараллельное движение, их кинетическая энергия Tg находится с помощью теоремы Кенига [8]:
1
1
2
mg vgÑ
+ IgCz ω2g ,
2
2
2
Tg =
где vgC – скорость центра масс С сателлита; IgCz2 – момент инерции
сателлита относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно к плоскости движения; ωg – угловая скорость сателлита в его вращении вокруг собственной оси.
Скорость центра масс сателлита может быть найдена по формуле
vgC =ϕ h ⋅ rC ,
где ϕ h – угловая скорость водила, rc – расстояние от точки С до неподвижной геометрической оси редуктора (центральной оси основных звеньев). Обозначим rcx и rcy проекции отрезка rc на координатные оси x и y, IgCz2 = IgC.
Тогда кинетическая энергия сателлита Tg равна
1
1
mg rC2ϕ 2h + IgC ϕ 2g .
2
2
=
Tg
Скорость поступательных перемещений сосредоточенных масс
планетарного редуктора равна V = Vx+Vy = Vτ · τ. Тогда кинетическая
энергия поступательных перемещений сосредоточенных масс
(
)
(
1
2 1
mv
=
m vx2 + vy2 + 2v x ⋅ v=
y
2
2
1
90°
= m x 2 + y 2 + 2x ⋅ y cos=
2
=
T
(
)
1
m x 2 + y 2 + 2x ⋅=
y
2
1
m x 2 + y 2 .
2
)
(
)
С учетом вышеизложенного кинетическая энергия Т планетарного редуктора
(
)
1
1
1
1
1
1
Iä ϕ 2ä + Ia ϕ 2a + n mg rc2ϕ 2h + Igc ϕ 2g + Ib ϕ 2b + Ih ϕ 2h + Ií ϕ 2í +
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
+ ma x a2 + ya2 + nmg x g2 + y g2 + mb x b2 + yb2 + mh x h2 + yh2 ,
2
2
2
2
T=
(
)
(
)
(
)
(
)
где Iд, Iн – моменты инерции двигателя и нагрузки соответственно;
Ia, Ig, Ib, Ih моменты инерции колес (центральной шестерни, сателлита, эпицикла) и водила соответственно; ϕ ä , ϕ a , ϕ g , ϕ b , ϕ h – угловые скорости двигателя, колес (если центральное колесо b непод32
вижно, его угол поворота равен нулю и от дифференциального механизма мы переходим к планетарному редуктору) и водила соответственно, n – число сателлитов; x a , ya , x g , y g , x b , yb , x h , yh – модули
проекций векторов скоростей центров масс элементов редуктора на
координатные оси x и y. После приведения системы запишем [9]


I + Ií
1 
1
T = ϕ 2a  Iä + Ia + h
+ n  mg rc2 + Igc ε2  ,


ε1
ε1
2 


2


z  
 zg − za   1 + b  + 1  
2

za   


z 

где n – число сателлитов g; ε1 =  1 + b  ; ε2 = 
.
za 

zb 



zg  1 + 


z
a



Моменты инерции Iz однородных сплошных кругового цилиндра
1
и диска массой m и радиусом r равны Iz = mr 2 , полого цилиндра
2
1
m r02 + r12 .
с внутренним радиусом r1 и наружным радиусом r=
0 – Iz
2
Момент инерции однородного стержня массой m и длиной l рассчи1
тывается по формуле Iz = ml2 [8]. Представим колеса полыми дис
3
ками, пальцы водила стержнями, а двигатель и нагрузку – полыми
цилиндрами.
Тогда приведенный к центральной оси момент инерции Iпр равен [8, 9]
(
=
Iïð
(
)
(
)
(
)
)
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2 
mä r0ä
+ r1ä
+ ma r0ä
+ r1ä
+ ε1′  mh lh2 + mí r0í
+ r1í
+
2
2
3
2


3
2 ′
2
2
1
−
+ nòg rc ε1 + r0 g + r1g ε2 , ε1′ =ε1 .
2
(
) )
(
Таким образом кинетическая энергия угловых перемещений пла1
=
T
Iïð ϕ 2a .
нетарного редуктора
2
Для исследования динамики механизма используем теорему об
изменении кинетической энергии материальной системы [8]
n
n
n
n
∑ Tj − ∑ Tj0 = ∑ Aje + ∑ Aji ,
(15)
=j 1=j 1 =j 1 =j 1
где Aje, Aji – работа внешних и внутренних сил на действительном
перемещении j-й точки механической системы соответственно.
33
Обозначим
n
n
j =1
j =1
∑ Aje = A e , ∑ Aji = A i . Тогда Ae, Ai – работа всех внеш-
них и внутренних сил системы, Аe+Аi = А;
n
n
j =1
j =1
∑ Tj0 = T0 , ∑ Tj = T
–
начальное и конечное значение кинетической энергии материальной системы (суммы кинетических энергий всех точек, входящих
в систему) соответственно; n – число точек материальной системы.
Под внешними силами в теоретической механике понимают силы,
действующие на данную точку системы со стороны точек и тел, системе не принадлежащих. Под внутренними силами понимают силы, действующие на данную точку системы со стороны точек и тел,
входящих в систему. В сопротивлении материалов при расчетах на
прочность и жесткость элементов конструкций силы Ae и Ai рассматриваются как внешние. Обозначим Аe + Аi = А. Перепишем выражение (15)
T – T0 = Аe + Аi = А.
(16)
Если на механизм действуют консервативные силы, то можно
записать
А = П0 – П,
(17)
где П0, П– величины потенциальной энергии в начальном и текущем положениях механической системы.
Консервативными (потенциальными) называют силы, работа по
перемещению точек приложения которых на рассматриваемом перемещении не зависит от вида их траектории, а определяется только начальным и конечным положением этих точек [8]. К консервативным силам относят силы упругости, силы тяжести. Силы трения не являются консервативными.
Из теоремы об изменении кинетической энергии материальной
системы следует закон сохранения полной механической энергии
[8]. Под полной механической энергией понимают сумму кинетической К и потенциальной П энергий. С учетом выражений (16), (17)
в интегральной форме получим
T – T0 = П0 – П,
(18)
T + П = h,
где h – постоянная интегрирования h = T0 + П0, ее физический
смысл: постоянная h равна начальному значению полной механической энергии.
34
Характер движения идеального механизма (при отсутствии трения в кинематических парах) определяет соотношение работ движущих сил и сил полезного сопротивления [2–4]. C учетом выражений (9), (15), (16) можно записать уравнение движения идеального
механизма с одной степенью свободы
n
n
n
j=1
j=1
j=1
å Tj - å Tj0 = å Aj ,
(19)
A Рдв –A Рпс = ΔT,
или
где Aj – работа всех внешних сил, действующих на j-е звено механизма за рассматриваемый промежуток времени; Tj0, Tj – кинетическая
энергия j-го звена в начальный и конечный момент рассматриваемого промежутка времени; n – число подвижных звеньев механизма;
AРдв, AРпс – работы движущих сил и сил полезного сопротивления
соответственно; ΔT – изменение кинетической энергии за рассматриваемый промежуток времени при переходе механической системы из начального в текущее положение,
ΔT = T–T0.
Характер движения реального механизма определяет соотношение работ движущих сил AРдв, сил полезного AРпс и вредного AРвс
сопротивления (формула 9). Уравнение движения механизма – это
уравнение его кинетической энергии. Если приведенные моменты
сил Мпрдв, Мпрпс и Мпрвс, приведенные массы mпр и приведенные моменты инерции Iпр являются функциями положения звеньев, то для
двух последовательных положений механизма 1 и 2, соответствующих значениям кинетической энергии T1 и T2 можно записать [2–5]
ΔT = T1 – T2 = A Рдв1-2 – A Рпс1-2 – A Рвс1-2 = ΔA1-2.
Запишем уравнения движения приведенного механизма
при вращении звена приведения вокруг неподвижной оси
Iïð2 ω22
2
Iïð1ω12
−=
2
φ2
φ2
φ1
φ1
∫ Mïðäâ dφ − ∫ Mïðcîïð dφ,
при поступательном перемещении звена приведения (20)
mïðv22
2
−
s2
mïðv12 s2
= ∫ Pïðäâ dS − ∫ PïðñîïðdS,
2
s
s
1
1
35
где ω – угловая скорость звена приведения; v – скорость точки приведения (например центра масс С); ϕ1, ϕ2, S1, S2 – угловые и поступательные перемещения, определяющие положения 1 и 2 звена приведения; Mпрдв, Mпрсопр – приведенные моменты движущих сил
и сил сопротивления; Pпрдв, Pпрсопр – приведенные движущие силы
и силы сопротивления (полезного и вредного). Интегралы в уравнениях (20) – функции угловых и поступательных перемещений механизма ϕ и S. Их можно вычислить, если силы, приложенные к механизму, также являются функциями его перемещений [2–5].
Движение приведенной механической системы с одной степенью
свободы, вращающейся вокруг неподвижной оси, можно описать
линейным уравнением Лагранжа второго рода в обобщенных координатах [8,9]
1

∂  Iïð ϕ 12 


d ∂T
∂T d  2
 Mϕ,
=
 =
−
dt  ∂ϕ 1  ∂ϕ1 dt
∂ϕ 1
(21)
где T – кинетическая энергия механизма; Mϕ – приведенный вра1 =Mϕ ; ϕ 1,
щающий момент механизма (обобщенная сила), Iïð ϕ
1 – угловые скорости и ускорения звена приведения (ведущего);
ϕ
Iпр – приведенный момент инерции.
∂T
= 0, когда кинетическая энергия не зависит от угла ϕ,
При
∂ϕ1
уравнение Лагранжа (21) примет вид
1

∂ I ϕ 2
d  ∂T  d  2 ïð 1 
= Mϕ,

=
dt  ∂ϕ 1  dt
∂ϕ 1
 1

∂  Iïð ϕ 12  

d  2
=
 Iïð ϕ
1.

dt 
∂ϕ 1




(22)
Приведенный вращающий момент механизма Mϕ зависит от
времени, углового положения звеньев и угловой скорости. Следует учесть, что уравнения движения могут быть и нелинейные. Решение задачи усложняет наличие трения в кинематических парах, жидкостного трения в смазке, зазоров между деталями, вибраций и перегрузок, которые создают дополнительные динамические
36
нагрузки на звенья. На динамическое состояние механизма также
оказывают влияние технологические погрешности изготовления
деталей, переменные жесткости зацепления, жесткости валов и
подшипниковых узлов [6, 9, 10]. Все вышеперечисленные факторы
должны быть учтены при составлении динамической модели роторной системы.
Для дальнейшей компьютерной обработки в пакете MATLAB
дифференциальные уравнения Лагранжа представляют в матричной форме [9,12]. Уравнения (21,22) примут вид
 + qB
 + qC = Fk cos ( ωk t + Ψk ) + Q* ,
qA
(23)
где C – квазиупругая матрица, содержащая переменные жесткости;
B – диссипативная матрица, учитывающая диссипативный характер несущей способности смазочного слоя; Fk – вектор-строка амплитудных коэффициентов обобщенных возмущающих сил; Q* –
вектор-строка обобщенных нелинейных сил.
Движение механизма можно разделить на три периода: период
разбега (1), период установившегося движения (2) и период выбега
(3) (рис. 14) [2–5]. При неустановившемся движении (период разбега)
абсолютная величина работы движущих сил больше или меньше
(период выбега) абсолютной величины работы сил сопротивления.
Равенство работ данных сил в любой момент времени соответствует
установившемуся равномерному движению механизма.
При разбеге механизма угловая скорость звена приведения возрастает от нуля до скорости установившегося движения. При разбеге ω2 > 0; ω1 = 0, поэтому
T2 – T1 = 0,5 Iпрω22 = A Рдв – A Рпс – A Рвс ,
A Рдв = A Рпс + A Рвс + 0,5Iпрω22.
Время разбега механизма сокращают, используя пуск «вхолостую».
ω, рад/сек
1
2
3
t, сек
Рис. 14. Периоды движения механизма
37
Если при установившемся движении механизма угловая скорость звена приведения меняется циклически, то в начале и конце
каждого цикла скорости звена одинаковые. В этом случае ω2 = ω1 и
T2 – T1 = 0. За время, соответствующее целому числу периодов циклов, справедливо уравнение (9): A Рдв = A Рпс + A Рвс [2–5].
Можно сказать, что при установившемся движении механизма
алгебраическая сумма работ движущих сил и сил сопротивления
равна нулю только за определенный цикл (период) изменения кинетической энергии. Изменение соотношения работы движущих сил
и сил сопротивления внутри цикла приводит к колебаниям угловой
скорости ведущего вала механизма (биению) (рис. 14). При установившемся движении моменты сил Мдв, Мпс и Мвс периодически изменяются с изменением угла поворота ϕ ведущего звена. Поэтому
несмотря на равенство угловых скоростей в начале и в конце периода цикла движения, ведущее звено механизма вращается неравномерно [2–5].
При выбеге механизма отключается двигатель (AРдв = 0) и угловая скорость звена приведения уменьшается до нуля. В этом случае
ω2 < ω1; ω2 = 0. T2 – T1 = 0,5Iпрω21 = A Рпс + A Рвс, движение происходит до тех пор, пока вся кинетическая энергия не будет израсходована на работу сил полезных и вредных сопротивлений. Время выбега
сокращают, используя торможение.
Уравнение движения механизма используется для определения
времени разбега и выбега механизма, для нахождения закона изменения угловой скорости звена приведения ω = f(ϕ).
Неравномерность движения механизма оценивается коэффициентом неравномерности δ
δ=
ωmax − ωmin
,
ωñð
где ωmax, ωmin, ωср – максимальное, минимальное и среднее значеω
+ ωmin
. За период цикла T, котороние угловой скорости; ωñð =max
2
му соответствует ϕ = 2π, средняя угловая скорость (рад/с) равна
2π 2πn πn
ωñð =
=
=
. Здесь n – число оборотов звена приведения (веT
60 30
дущего) (об/мин).
38
2. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ
Под проектированием изделия понимают логико-математический творческий процесс поиска и обоснования оптимального варианта принципа действия и устройства разрабатываемого изделия
с учетом требований ТЗ, достижений науки и техники, патентных
материалов и перспектив развития отрасли [4,5]. Конструкторские
документы можно разделить на проектные (техническое предложение, эскизный и технический проекты) и рабочие (рабочая конструкторская документация). Различают следующие стадии проектирования изделий: эскизное, техническое и рабочее. Во введении
были перечислены основные требования, предъявляемые к механизмам при их проектировании. К ним предъявляется также ряд
специальных требований: высокая точность и чувствительность,
безынерционность, плавность и бесшумность работы; уравновешенность и виброустойчивость, высокий КПД, долговечность. Все требования, предъявляемые к механизмам, должны быть определены
до начала проектирования и сформулированы в техническом задании с указанием основных характеристик проектируемых изделий
и технических условий их изготовления и эксплуатации.
Надежность – это свойство изделия сохранять во времени свою
работоспособность. Надежность отражает свойства изделия сохранять требуемые качественные показатели в течение всего периода
эксплуатации. Надежность следует рассчитывать и прогнозировать
на стадии проектирования устройства. Работоспособность изделия
характеризует то его состояние, при котором оно способно выполнять заданные функции, сохраняя значения заданных параметров
в пределах, установленных нормативно-технической документацией. Основным показателем надежности конструкции является
прочность. В основу расчета надежности зубчатой передачи положено предположение, что ее отказ происходит в результате внезапных и постепенных отказов зубчатых колес.
Отказ – это событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия (выход из строя подшипников, поломка вала, выход КПД за пределы допускаемых значений). Безотказность – это
способность изделия не иметь отказов в течение определенного промежутка времени без вмешательства из вне. Долговечность – это
свойство изделия сохранять длительную работоспособность с необходимыми перерывами на техническое обслуживание и ремонт.
Любое изделие состоит из деталей (элементов). Время работы элемента до первого отказа является случайной величиной. Если обо39
значить через τ долговечность изделия, t – время работы изделия,
определенное при его проектировании, Q(t)– вероятность отказа,
P(t)–функцию надежности, то
Q(t) = P(τ < t).
Опыт эксплуатации редукторов и результаты испытаний показали, что постепенные отказы происходят вследствие износа зубьев
колес, они связаны с накоплением остаточных деформаций, усталостным разрушением, старением. Внезапные отказы характеризуются резким изменением контролируемых параметров. Они определяются хрупким разрушением, поломкой зуба.
Если рассмотреть редуктор с развернутой кинематической цепью (рис. 9), то можно сказать, что наиболее интенсивно изнашивается первая пара зубчатых колес, вращающихся с большим чем
остальные числом оборотов n1, n2. При износе изменяется величина
бокового зазора Сn, поэтому при проектировании зубчатых передач
вводится допускаемая величина бокового зазора [Сn]
Сn ≤ [Сn].
Тогда можно записать, что
Сn = a · q(n1 + n2)Tn ≤ [Сn],
где a – коэффициент изнашиваемости, выбираемый из таблицы,
q – удельная нагрузка на единицу длины, q = Pnк/b, Н/мм; b–ширина зуба, Pnк – нормальное усилие, приложенное к колесу; Tn – время
работы по постепенным отказам.
Боковой зазор в зубчатой передаче – это зазор между зубьями сопряженных колес. Зазоры в передаче обеспечивают нормальное сопряжение зубчатой пары. Они необходимы для исключения явления заклинивания зубьев одного колеса во впадине другого вследствие погрешностей изготовления, температурных расширений и
упругих деформаций в механизме. Однако чрезмерно большие боковые зазоры приводят в скоростных передачах к ударам, шумам,
преждевременному износу и разрушению.
Среднее время работы зубчатой передачи Tср можно рассчитать
по формуле
λ2σ2 
1
T ñð =  1 − e λTn + 2 ,
λ

где λ – интенсивность отказов (выбирается из таблиц экспериментальных данных); σ – среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы, σ ≈ (0,2–0,3)Tn.
40
При заданных кинематической схеме механизма, крутящем моменте и числе оборотов на его выходном звене, в учебных курсовых
проектах предлагается следующий алгоритм расчета механической
передачи вращательного движения:
– выбор двигателя по механической мощности с учетом требуемого типа питания;
– кинематический расчет механизма, который состоит из расчета общего (суммарного) передаточного отношения и определения
чисел ступеней зубчатой передачи, расчета чисел зубьев зубчатых
колес, проверки точности реализации требуемого передаточного отношения;
– силовой расчет механизма, который включает в себя расчет
крутящих моментов и усилий в зацеплении зубчатых колес и расчет КПД механической передачи;
– расчет геометрических параметров: модуля зубчатой передачи и размеров зубчатых колес;
– расчет валов и осей;
– расчет подшипников;
– расчет соединительных муфт;
– расчет элементов крепления;
– расчет точности зубчатой передачи;
– разработка конструкции механической передачи с определением последовательности ее сборки и разборки;
– определение уровня унификации и стандартизации проектируемого изделия.
2.1. Зубчатые передачи с неподвижными осями
Рассмотрим зубчатые передачи, у которых оси вращения зубчатых колес неподвижны. К ним относятся рядовые и ступенчатые
цилиндрические передачи, конические и червячные передачи.
Движение в зубчатых передачах передается непосредственным
контактом между звеньями. Пара колес, находящихся в зацеплении, образует подвижное соединение. Динамика зубчатых передач
определяется процессами, возникающими в зонах контакта деталей. Этими зонами являются профили зубьев колес, через которые
осуществляется пересопряжение, передача основной нагрузки с одного зуба на другой [5, 9]. Для уменьшения момента трения и износа
рекомендуется использовать разнородные антифрикционные материалы сопрягаемой пары: сталь – для шестерни и червяка, бронзу
или латунь – для колеса.
41
По форме кривой, образующей рабочий участок профиля зуба,
следует выделить зубчатые передачи с эвольвентным профилем.
Они нашли широкое применение в различных отраслях промышленности: машиностроении, приборостроении, транспортной отрасли поскольку эвольвентное зацепление в полной мере удовлетворяет
требованиям, предъявляемым к зубчатым передачам. Можно выделить следующие требования [2–5]: кинематические (обеспечение заданного передаточного числа как в процессе зацепления каждой пары зубьев, так и за любой цикл работы передачи); эксплуатационные
(малые скорости скольжения и износ зубьев, высокий КПД передачи,
надежность, плавность работы, малый шум, рациональность конструкции); технологические (простота изготовления колес).
Под эвольвентой или разверткой окружности понимают кривую, которую описывает любая точка прямой линии, перекатываемой без скольжения по окружности радиуса rb. Данная прямая называется производящей прямой, а окружность, представляющая
собой геометрической место центров кривизны эвольвенты, называется основной окружностью или эволютой (рис. 15).
Форма эвольвенты зависит от rb (радиуса основной окружности
зубчатого колеса), радиус кривизны эвольвенты равен ρ = rbtgα =
= rb(α + θ). Здесь θ – полярный угол эвольвенты (рад), называемый
инволютой угла или эвольвентной функцией, θ = tgα – α = invα. Значения θ берутся из таблицы и используются при расчетах размеров
зубьев колес [2–5].
A2
A1
B2
B1
B
C
A
M
O
Рис. 15. Развертка окружности
42
d
df
da
hf
ρ
ha
Основная окружность колеса b – это окружность, разверткой
которой является теоретический профиль зуба, т.е. окружность по
эвольвенте которой очерчен зуб передачи. Основной окружностью
эвольвентного зубчатого колеса является делительная окружность d – это окружность, развертка которой является теоретическим торцевым профилем зуба эвольвентного цилиндрического зубчатого колеса (ГОСТ 16531-83). Делительная окружность является
базой для определения конструктивных элементов зубьев и их размеров. Делительная окружность d – это теоретическая окружность
зубчатого колеса, на которой модуль m и шаг колеса ρ принимают
стандартные значения. Делительная окружность делит высоту зуба
колеса h на две составляющие: ha и hf – высоту головки и ножки зуба соответственно (рис. 16).
Основная окружность эвольвентного червяка b – это окружность, эвольвента которой является теоретическим торцевым профилем витка эвольвентного червяка (рис. 16).
Основным законом передачи вращательного движения является
теорема Виллиса. Профили элементов звеньев, образующих высшую кинематическую пару, должны удовлетворять требованиям
данного закона [2–5].
в)
da4
df4
b
б)
dак
d
da
b
dfк
δ
d
df
da
df
d
b
dк
а)
Рис. 16. Геометрические параметры зубчатых колес:
а – цилиндрическое; б – коническое; в – червячное
43
Сформулируем теорему Виллиса: общая нормаль n–n, проведенная к обоим профилям звеньев через точку их касания K, пересекает линию, проходящую через центры вращения звеньев O1O2
в точке A, которая определяет отрезки O1 A и O2 A, обратно пропорциональные угловым скоростям ω1 и ω2 звеньев 1 и 2 [2–4]. Передаточное отношение от звена 1 к звену 2 будет равно
O A
ω
U12 =
± 1=
± 2 .
ω2
O1 A
(24)
Таким образом основным условием работоспособности зубчатого зацепления можно назвать постоянство передаточного отношения U. Передаточное отношение U – это основная кинематическая
характеристика зубчатой передачи. Общая нормаль n–n называется
линией действия, а точка A – полюсом зацепления. Передаточное
число многоступенчатой передачи равно произведению передаточных чисел его ступеней, а передаточное число комбинированного
механизма, состоящего из зубчатых передач различного типа, также равно произведению их передаточных чисел
U = U1U2U pp ,
U = U1U2U ppU0 ,
(25)
где U1,U2 – передаточные числа первых ступеней цилиндрических
передач; Up– передаточное число последующих p ступеней цилиндрических передач, U p = p U pp ; U0 – передаточное число конической
или червячной передач.
Для снижения инерционности передаточное число Up выбирают
так, чтобы выполнялось условие
U1 ≤ Up ≤ Umax,
где Umax – наибольшее значение передаточного числа ступени цилиндрической передачи, выбранного в соответствии с ГОСТ 25301-95
«Редукторы цилиндрические. Параметры» в диапазоне Umax = 4,5–6.
Для одноступенчатых передач Umax = 8. Рекомендуемые передаточные числа цилиндрических передач с развернутой кинематической
цепью (рис. 9): U1 = 1,5–2,5; U2 = 2–3,5; Up = 3,5–5 ≤ Umax.
В соосных передачах (рис. 10) число ступеней, образованных сопрягаемыми зубчатыми парами, должно быть нечетным, передаточные числа всех ступеней допускается выбирать равными
U=
=
1 U
2 ...U=
p
44
p
U,
(26)
где p – число ступеней передачи; U – общее передаточное число зубчатой передачи.
Основной геометрической характеристикой зубчатой передачи
является модуль m = ρ/π. Здесь ρ – окружной шаг (рис. 16). Модули зубчатых передач рассчитываются на прочность из условия контактной прочности (по теории Герца) и прочности на изгиб (табл. 1).
При этом зуб колеса представляется моделью консольного стержня.
Из двух полученных значений выбирается большее и округляется
до ближайшего стандартного значения (ГОСТ 9563-60 «Основные
нормы взаимозаменяемости. Колеса зубчатые. Модули»). Модули
мелкомодульных зубчатых передач (m ≤ 0,25 мм) могут быть выбраны по конструктивным параметрам. Зная модули зубчатых колес,
можно рассчитать размеры колес. В таблице 1 приведены расчетные
формулы модулей зубчатых передач: цилиндрической, конической
и червячной.
Таблица 1
Формулы для расчета модулей зубчатых передач
Формулы для расчета модуля по условиям прочности
на контактную прочность
 2380K E 
m≥3

 zê[ τ]ê 
2
U +1
ψ
 1925cos2βK E 
 z [ τ] 
 ê ê 
Коническая
mn ≥ 3
m ñð ≥ 3
Червячная
Цилиндрическая
косозубая
Цилиндрическая
прямозубая
Вид
передачи
ms ≥ 3
 2380K E 
 z [ τ] 
 ê ê 
2
 1675 
 z [ τ] 
 ÷ê ÷ê 
2
2
[ M ê]ð
U +1
ψ
[ M ê]ð
2
U +1
[ M ê]ð
ψ
cos γ
q
на изгиб
[ M ÷ê]ð
0, 64[ M ]ð
m≥3
mn ≥ 3
zyψ [ σ ]èçã
0, 64 cos β[ M ]ð
zyý ψ [ σ ]èçã K ε
m ñð ≥ 3
ms ≥ 3
0, 64[ M ]ð
zyý ψ [ σ ]èçã
0, 64[ M ÷ê]ð
z ÷ê y ýψ ′ cos γ [ σ]èçã K ε
Примечание. [Мк]р – расчетный крутящий (вращающий) момент на колесе цилиндрической и конической передач, [Мчк]р – расчетный крутящий
момент на червячном колесе, Н · см (при расчете модуля на контактную
45
прочность); [M]р – расчетный крутящий момент на шестерне или колесе,
Н · см (при расчете модуля на изгиб); расчетные крутящие моменты вычисляются с учетом коэффициента концентрации нагрузки Kн, коэффициента
динамической нагрузки Kд и коэффициента режима работы Kр:
[M]р = Mк или ш Kн Kд Kр; KE – приведенный модуль упругости,
KE =
2E ø E ê
( E ø + E ê ) ⋅ 2,15 ⋅ 107
, K=
E 0, 6 − 1;
Eш, Eк – модули Юнга первого рода (модули упругости) материала шестерни и колеса соответственно, Н/см2; [σ]изг, [τ]к, [τ]чк – допускаемые напряжения материала на изгиб и контактную прочность (выкрашивание)
соответственно, Н/см2; zк, zчк – числа зубьев колеса (цилиндрического, косозубого и червячного соответственно); σ – угол наклона зуба косозубого
колеса, β = 7–15°; Ψ – относительная толщина колеса: для цилиндрического Ψ = 4–10, для конического Ψ = (1/5–1/7) zш/sinδш, δш – угол при вершине
конуса шестерни; для червячного Ψ′ = πγq/180°, здесь γ – половина угла охвата червяка, γ = 20–60°; Kε – коэффициент степени перекрытия, Kε = 1,2
для косозубых колес, Kε = 1,5 – для червячной передачи; γ– угол подъема
винтовой линии червяка; q – коэффициент диаметра червяка (относительная толщина червяка); U – передаточное число пары колес, находящихся в
зацеплении, U + 1 для внешнего зацепления, для внутреннего зацепления
знак «+» меняется на «минус».
Коэффициент концентрации нагрузки при симметричном расположении колеса относительно опор Kн=1,2, а при несимметричном – Kн=1,4. Коэффициент Kн зависит от поверхностной твердости зубьев, от расположения зубчатых колес на валу относительно
опор, от степени точности изготовления зубчатых колес.
Коэффициент динамической нагрузки Kд=1,1–1,3. Коэффициент Kд учитывает дополнительные динамические нагрузки самой
зубчатой передачи, определяемые дополнительным динамическим моментом: Mд = Idω2/dt ≠ 0, где I – момент инерции ведомых
масс, ω2 – мгновенная угловая скорость ведомого звена, ω2 ≠ const,
ω1 = const. Дополнительный динамический момент Mд вызван технологическими погрешностями изготовления (погрешностями,
которые появляются при нарезании зубьев, например тогда, когда
основной шаг колеса больше основного шага шестерни, ρb2 > ρb1).
Данные технологические погрешности являются причиной непостоянства мгновенных значений передаточного отношения. Помимо погрешности шага дополнительные динамические нагрузки
также зависят от значений окружных скоростей вращения Vокр,
присоединенных масс и упругости механической системы.
46
Коэффициент режима работы Kр = 1,1–1,2. Он определяется наличием вибраций и ударов. В учебных курсовых проектах можно
принять Kр = 1.
При расчете модуля зубчатой передачи на контактную прочность в формулу из табл.1 подставляется значение расчетного крутящего момента на колесе [Мк]р, а при расчете модуля на изгиб –
параметр шестерни [Мш]р или параметр колеса [Мк]р. Прочность
на изгиб проверяется для элемента с меньшим значением произведения [σ]изгy. Если меньшее значение получилось для шестерни:
[σ]изгшyш < [σ]изгкyк, то в формулу расчета модуля из условия прочности на изгиб подставляются параметры шестерни. Коэффициент
формы зуба y зависит от реального числа зубьев z прямозубой цилиндрической передачи и эквивалентного числа зубьев zэ косозубой
цилиндрической, конической и червячной передач. Коэффициенты
формы зуба определяются из справочных таблиц. При этом эквивалентные числа зубьев рассчитываются по формулам:
– для косозубой цилиндрической передачи zэкос = z/cos3σ;
– для конической передачи zэкон = z/cosδ;
– для червячной передачи zэчк = zчк/cos3γ.
Для конической передачи рассчитывается средний модуль mср,
а для червячной – торцевый модуль ms. Для цилиндрических передач вычисляются нормальные модули: m (прямозубой) и mn (косозубой). Профиль косого зуба в нормальном сечении n–n совпадает
с профилем прямого зуба. Модуль косого зуба в этом сечении должен быть также, как и у прямого, стандартным. Форму косого зуба
в нормальном сечении определяют через параметры эквивалентного прямозубого колеса.
Между торцевым модулем ms и средним модулем mср конической
передачи существует следующее соотношение:
mср = ms(L–0,5)/L,
где L – длина образующей делительного конуса.
Расчет конических передач производится в соответствии
с ГОСТ 19326-73 «Передачи зубчатые конические с круговыми зубьями. Расчет геометрии». Данный стандарт распространяется на передачи зубчатые конические обкатные с круговыми зубьями внешнего зацепления с межосевыми углами от 10° до 150°, углом наклона
зуба от 0° до 45° с прямолинейным профилем исходного контура.
ГОСТ 19326-73 устанавливает метод расчета геометрических параметров конической передачи и геометрических параметров зубчатых колес, приводимых на рабочих чертежах.
47
48
Червяк,
червячное колесо

ms(q + 2)
ms(zчк + 2)
msq
mszчк
ms(zк + 2cosδк)
ms(zш + 2cosδш)

+ 2


− 2,5 
ms(zчк – 2,5)
ms(q – 2,5)
ms(zк – 2,5cosδк)
ms(zш – 2,5cosδш)
 cos β
 z
m
m(z–2,5)
впадин, df
Примечание. Углы при вершинах конусов шестерни δш и колеса δк конической передачи рассчитываются
по формулам: δш = π/2 – δк, δк = arctgU. Здесь U – передаточное число конической передачи, U = zк/zш.
Червячная
msz
 cos β
Коническая
 z
m
mz
cos β
Шестерня,
колесо c внешним
зацеплением
m(z+2)
выступов, da
Цилиндрическая
косозубая
делительной, d
Диаметры окружностей, мм
mz
Элемент
передачи
Цилиндрическая
прямозубая
Тип передачи
Размеры зубчатых колес, мм
Таблица 2
Зная модуль зубчатой передачи, можно рассчитать размеры зубчатых колес. В таблице 2 приведены расчетные формулы размеров
зубчатых колес.
Помимо диаметров окружностей рассчитывается ширина венца
колеса b (рис. 12)
b = mΨ.
Для червяка червячной передачи должно выполняться соотношение b = 0,7lч. Здесь b – длина нарезной части червяка, lч – длина
червяка.
Основными силовыми параметрами зубчатых передач являются
КПД и крутящие (вращающие) моменты.
КПД зубчатой передачи можно рассчитать, зная значения мощностей на входе и выходе Nвх, Nвых, а также крутящих (вращающих)
моментов Mвх, Mвых и мгновенных угловых скоростей ωвх, ωвых:
Nâûõ Mâûõ ⋅ ωâûõ
=
.
(27)
Nâõ
Mâõ ⋅ ωâõ
КПД комбинированной зубчатой передачи рассчитывается по
формуле
p
(28)
ηçï = ηnöï ⋅ ηï ⋅ ηîï
⋅ ηñì ,
η=
çï
где ηnöï – КПД цилиндрической передачи, состоящей из n ступеней;
p – потери в опоηп – КПД конической или червячной передачи; ηîï
рах; ηсм – потери на смазку.
Если механизм состоит из ряда последовательно, параллельно
или смешанно соединенных элементарных механизмов, то общее
КПД η∑ можно рассчитать по формулам:
– при последовательном соединении n элементарных механизмов
η∑ = η1 · η2 · ,…, · ηn–1 · ηn;
– при параллельном соединении n элементарных механизмов
η∑ = α1η1 + α2η2 + … + α n–1ηn–1 + αnηn;
– при смешанном соединении i механизмов с последовательным
соединением и k механизмов с параллельным соединением
η∑ = η1 · η2 · ,…, · ηi–1 · ηi(α i,i+1ηi+1 + … + αi,kηk),
где α1, αn – коэффициенты, учитывающие какая часть работы всех
движущих сил подведена к каждому из n звеньев параллельно соединенных механизмов; α i,i+1, αi,kηk – коэффициенты, учитывающие
49
какая часть работы всех движущих сил от i-го механизма с последовательно соединенными звеньями подведена к механизмам параллельного ряда I + 1, …, k.
Крутящие (вращающие) моменты на выходе Mвых и входе Mвх
зубчатой передачи связаны соотношением
Mвых = Mвх · η∑ · U∑.
(29)
Крутящий момент Mвых характеризует момент сопротивления,
который должен преодолеть механизм для совершения полезной работы. Так в РАУ – это момент, необходимый для поворота рулей на
определенный угол.
Между моментами на колесе и шестерне пары сопрягаемых колес существует следующая зависимость: Мш = Мк/(ηш,к · Uш,к). Здесь
ηш,к и Uш,к – КПД и передаточное отношение пары колес, находящихся в зацеплении. В случае выполнения зубчатых колес в виде
одного блока (рис. 10) или крепления их на одном валу момент на
шестерне и колесе один (Мш = Мк). Следует отметить, что большинство валов механизмов передачи вращательного движения передают
постоянные по направлению, но переменные по величине крутящие
(вращающие) моменты.
Рассмотрим расчет крутящих моментов соосного редуктора (рис.
10). Редуктор увеличивает крутящий момент от входа к выходу и
понижает угловую скорость. При заданном моменте МIVн (нагрузка)
крутящие моменты на валах I, II, III и IV равны
МIV = МIVн + МтрIV,
(30)
МIII = МIV/(η34 · U34) + МтрIII,
МII = МIII/(η23 · U23) + МтрII,
МI = МII/(η12 · U12) + МтрI,
где η12 η23 η34 – КПД в зацеплении пар зубчатых колес; U12, U23,
U34 – передаточные отношения ступеней; МтрI, МтрII, МтрIII, МтрIV –
моменты трения пар подшипников. Зубчатые колеса Z2Z3 и Z4Z5 выполнены в виде одного блока (рис. 10). Поэтому крутящий момент
на шестерне и колесе блока один: МII = М2 = М3, МIII = М4 = М5.
(Индексы 2,3,4,5 обозначают номер колеса). Значения моментов
трения Мтр пары подшипников определяются по справочным таблицам в зависимости от диаметра вала dв и величины допускаемого крутящего момента M [4].
50
КПД в зацеплении пары зубчатых колес рассчитывается по формуле
1 1 
η = 1 − Cf π  + ,
(31)
 z1 z2 
где C – поправочный коэффициент, учитывающий уменьшение
КПД в паре зацепления при малых нагрузках; C = 1 при P>30 Н,
при P<30 Н; C = (P+3)/( P +0,18); f = 0,1 – коэффициент трения
скольжения пары зубчатых колес.
Суммарный (общий) КПД редуктора η∑ = ηI–IV
η∑ = ηI–IV = MIV/ U14 MI,
η∑ = ηI–IV = η12 · η23 · η34 · η4оп,
где MIV, MI – крутящие момент на выходном валу IV и входном валу I соответственно; U14 – общее передаточное отношение редуктора; η12, η23, η34 – КПД в зацеплении пары зубчатых колес; ηоп – КПД
пары подшипников одного вала.
При необходимости рассчитывается приведенный к ведущему
валу I момент трения редуктора
Mпр.тр = MI(1 – ηI–IV).
В редукторе с развернутой кинематической цепью зубчатые колеса вращаются вместе с валом как единое жесткое целое (рис. 9).
На одном валу редуктора жестко крепятся колеса: z6, z5 (вал IV) и
z3, z2 (вал II). Поэтому крутящие моменты равны: МII = M2 = M3,
МIV = M5 = M6.
Крутящие моменты на валах I, II, III, IV, V с учетом моментов
трения пар подшипников МтрI, МтрII, МтрIII, МтрIV, МтрV рассчитываются по формулам
МV = МVн+ МтрV,
MIV
=
MV
+ ÌòðIV ,
η45 ⋅ U45
MIII
=
MIV
+ MòðIII ,
η34 ⋅ U34
MII
=
MIII
+ MòðII ,
η23 ⋅ U23
MI
=
MII
+ MòðI .
η12 ⋅ U12
51
В учебных курсовых проектах допускается рассчитывать крутящие моменты на валах без учета моментов трения пар подшипников, а потери на трение во всех кинематических парах (зубчатых зацеплениях, опорах и т.п.) учитывать на конечном этапе проектирования при уточнении мощности двигателя и КПД механизма.
Основными преимуществами зубчатых передач являются: высокая нагрузочная способность, большая надежность и долговечность
работы, постоянство передаточного отношения (отсутствие проскальзывания). К недостаткам зубчатых передач можно отнести повышенные требования к точности изготовления, шум при больших
скоростях. Опыт эксплуатации зубчатых передач показал, что выход из строя зубчатых колес определяется либо разрушением рабочих поверхностей зуба (выкрашивание, заедание, истирание), либо
поломкой вследствие высоких напряжений изгиба.
Цилиндрические передачи
Цилиндрической называется зубчатая передача с параллельными осями валов, которые выполнены с цилиндрическими колесами
внешнего или внутреннего зацепления. Меньшее из пары колес, находящихся в зацеплении, называют шестерней или трибкой, а большее – колесом. По расположению зубьев на колесах различают прямозубые и косозубые цилиндрические передачи [4, 5]. Цилиндрические передачи с развернутой кинематической цепью по сравнению
с соосными обладают большей кинематической точностью, поэтому нашли применение в аналоговых указывающих приборах
(рис. 9, 10). Цилиндрические зубчатые передачи с развернутой кинематической цепью по сравнению с соосными имеют низкий коэффициент заполнения объема. В тоже время соосные передачи обладают большей инерционностью, поэтому их не рекомендуют использовать в точных указывающих приборах.
Передаточное отношение U в прямозубой цилиндрической передаче может быть выражено как через числа зубьев z, так и через
диаметры делительных окружностей d зубчатых колес. При передаче вращения от k-го звена к i-му звену
U
=
ωk nk zi di
= = =
.
ωi ni zk dk
(32)
Общее (суммарное) передаточное отношение цилиндрической
передачи U∑ равно произведению передаточных отношений его отдельных ступеней
(33)
U∑ = (−1)n U1U2 ...Un ,
52
где n – число ступеней передачи; U1, U2 – передаточные отношения
первых двух ступеней; Un – передаточное отношение последней n-ой
ступени. Вместо двойных индексов U12, U23, Un–1,n введем обозначения: U1, U2, … Un. Знак минус в формуле (33) показывает различное
направление вращения пар зубчатых колес.
Для изображенной на рис. 17 расчетной схемы двухступенчатой
прямозубой цилиндрической передачи с развернутой кинематической цепью можно записать
=
U
ω1 z2z4 d2d4
=
=
.
ω3 z1z3 d1d3
Передаточное число U определяет соотношение между числом зубьев колеса и шестерни. Минимальное число зубьев шестерни zш выбирают из условия исключения подрезания ножки зуба головкой зуба инструмента при изготовлении колеса. В соответствии
с ГОСТ 13733-77 «Колеса зубчатые цилиндрические мелкомодульные прямозубые и косозубые» для шестерни zш min = 14–17. В этом
же ГОСТе приводится ряд допускаемых чисел зубьев. Для цилиндрических и конических редукторов с развернутой кинематической
цепью числа зубьев шестерни выбирают равными или близкими
к zш min, так чтобы исключить их подрезание. В целях унификации
число зубьев цилиндрических шестерен всех ступеней допускается
выбирать одинаковыми.
1
I
Pр21
Ро12
Ро21
3
II
Pр12
Pр43
X
Ро43
Ро34
2
Y
III
Pр34
Z
l1
l2
4
l3
Рис. 17. Расчет усилий в прямозубой цилиндрической передаче
53
В соосных передачах (рис. 10) число зубьев цилиндрических колес выбирают из условия соосности, при выполнении которого обеспечивается постоянство межцентровых расстояний всех ступеней.
Для изображенной на рис. 10 кинематической схемы условие соосности имеет вид
d1 d2 d3 d4 d5 d6
+
=
+
=
+ .
2 2
2
2
2
2
Выразив диаметры делительных окружностей d через модули m
(для пары колес, находящихся в зацеплении модуль должен быть
одинаковый) и числа зубьев z, получим следующее выражение
m1(z1 + z2) = m2(z3 + z4) = m3(z5 + z6).
При равенстве модулей всех ступеней m1 = m2 = m3, что целесообразно в целях унификации передачи, получим условие соосности
z1 + z2 = z3 + z4 = z5 + z6 = z0.
(34)
Условие (34) можно записать через передаточные числа ступеней
z1(1 + U1) = z3(1 + U2) = z5(1 + U3) = z0.
(35)
Число z0 определяется как сумма чисел зубьев шестерни и колеса ступени с наибольшим передаточным числом. Для уменьшения
габаритных размеров полагают zш = 17–20. Для мелкомодульных
зубчатых колес малогабаритных (например планетарных) передач допускается zш min = 14, что соответствует ГОСТ 13733-77. Для
остальных ступеней число зубьев шестерни и колеса вычисляют,
используя выражения (34), (35)
z=
1
z=
3
z0
, z=
2 z0 − z1,
1 + U1
z0
, z=
4 z0 − z3 , ...
1 + U2
(36)
Число зубьев должно быть целым, поэтому результаты вычислений округляют до ближайших целых чисел.
Пример 6. Для соосного редуктора (рис.10) подберем числа зубьев. U = 1250/12 = 104,16666. Используя формулы (25), (26) подберем передаточные числа ступеней редуктора. Выберем U1 = 2,
U2 = 2,5.
U
104,16666
=
= 20,83 > Umax .
U pp =
U1U2
2 ⋅ 2,5
3 U p 3=
20,83 2,75.
При p = 3:=
p
54
Число ступеней соосного редуктора увеличилось до 5. Подберем
число зубьев из условия соосности (формулы 32–34). Для последней
ступени выберем число зубьев шестерни z9 = 18 из первого ряда модулей (ГОСТ13733-77). Первый ряд z следует предпочитать второму.
Тогда число зубьев колеса z10 = 18 · 2,75 = 49,5. Округляем по ГОСТ
в большую сторону:
z10 ≈ 50; z0 = z9+ z10 = 18+50 = 68.
Такие же числа зубьев будут и у пар z7z8, z5z6. Определим числа
зубьев оставшихся ступеней:
z
68
z3 = 0 =
≈ 20, z4 = z0 − z3 = 68 − 20 = 48,
1 + U2 3,5
z1 =
z0
68
=
≈ 23, z2 = z0 − z1 = 68 − 23 = 45.
1 + U1 3
Точность реализации требуемого передаточного отношения комбинированного редуктора может быть рассчитана по формуле
n
z2i
U0
z
i =1 2i −1
U −∏
γ=
U
≤ [ γ ],
где γ – погрешность, вызванная округлением
дробных чисел зубьев
n
z2i
до целых, n – число зубьев редуктора; ∏
– общее передаточi =1 z2i −1
ное число цилиндрического редуктора; U0 – передаточное число
червячного или конического редуктора. Допускаемая погрешность
[γ] = 0,02–0,03. Проверим точность реализации передаточного отношения соосного редуктора
45 ⋅ 48 ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ 50
104,16666 −
23 ⋅ 20 ⋅ 18 ⋅ 18 ⋅ 18 ≈ 0,03.
γ=
104,16666
При невыполнении условия γ ≤ [γ] погрешность уменьшают корректировкой числа зубьев. Корректировка достигается увеличением числа зубьев шестерни на 1–3 зуба при неизменном числе зубьев
колес или одновременном их уменьшении или увеличении. При
этом обязательным требованием для соосных редукторов является
выполнение условия соосности.
Для расчета модулей и диаметров зубчатых колес цилиндрических передач используются формулы из табл. 1, 2.
55
Пример 7. Определить модуль прямозубых цилиндрических колес соосного редуктора (рис. 10), рассмотренного в примерах 4 и 6,
при Mвых = MVIн = 60 Н · см (нагрузка). Передаточное число U последней ступени при zк = z10 = 50 и zш = z9 = 18: U = 2,7(7) ≈ 2,78.
Расчет выполняется для наиболее нагруженной последней ступени. В данном случае передача имеет пять ступеней и шесть валов. Используя формулы (30), найдем крутящий момент на выходном валу VI:
МVI = МVIн + МтрVI = 60 + 0,12 = 60,12 Н·см. Момент трения пары шарикоподшипников определим из справочника. При допускаемых крутящих моментах 40 ≤ M ≤ 70 Н·см момент трения 0,09 ≤ Mтр ≤ 0,18 Н·см.
Потери на трение уточняются на конечном этапе проектирования, после расчета опорных реакций и выбора подшипников.
Крутящий момент на колесе z10, жестко закрепленном на выходном валу VI, равен Mк = MVI = 60,12 Н · см. Вместо момента нагрузки
в задании курсового проекта может быть указан момент на выходном валу редуктора, т.е. дано: Mвых = MVI = Mк. Расчет крутящих
моментов на валу в этом случае проводится без учета момента трения Мтр пары опор, на нем закрепленных, а потери в подшипниках
учитываются при уточнении КПД редуктора η∑ на окончательном
этапе проектирования.
Для снижения износа выберем разнородные материалы шестерни и колеса с характеристиками, указанными в табл. 3. По формуле
из примечания к табл. 1 находим приведенный модуль упругости
KE = 0,82. Примем Kн = 1,4; Kд = 1,1; Kр = 1,1. По формуле из примечания к табл. 1 вычислим расчетные моменты на шестерне и колесе
[M]р = Mк или ш Kн Kд Kр:
[Мк]р = 1,4 · 1,1 · 1,1 · 60,12 = 101,84 Н · см,
[Мш]р = [Мк]р/(ηш,к · Uш,к) = 101,84/(0,97 · 2,78) = 37,77 Н · см.
КПД в зацеплении пары зубчатых колес рассчитывается по формуле (31), приняв коэффициент С = 1, f = 0,12 (коэффициент трения
скольжения пары сталь-бронза). ηш,к = 0,97. Положим Ψ = 6. Рассчитаем величину модуля из условия контактной прочности
 2380K E 
m≥3

 zê[τ]ê 
(
= 3 2380 ⋅ 0, 82
50 ⋅ 9600
56
)
2
2
U +1
[ M ê]ð =
ψ
2,78 + 1
,102 ñì 1,02 ìì.
=
[101,84
] 0=
6
Таблица 3
Характеристики материалов зубчатых колес
Материал
E, Н/см2
[σ]изг, Н/см2
[τ]к, Н/см2
Шестерня
Ст 40Х
2,15 · 107
1,5 · 104
1,73 · 104
Колесо
Бр ОНФ
1,1 · 107
8,1 · 103
9,6 · 103
Элемент
Из справочной таблицы выберем коэффициент формы зуба y шестерни и колеса: yш = 0,096, yк = 0,13. Вычислим произведение [σ]изгy
для шестерни и колеса: [σ]изгшyш = 1,5 · 104 · 0,096 = 1,44 · 103 Н/см2,
[σ]изгкyк = 8,1 · 103 · 0,13 = 1,053 · 103 Н/см2.
Рассчитаем модуль из условия прочности на изгиб для элемента
с меньшим значением произведения [σ]изгy, т.е. для колеса
m≥3
0,64[ M ]ð
zyψ [ σ]èçã
0,64[101,84]
3
=
=
0,059 ñì =
0,59 ìì.
50 ⋅ 1053 ⋅ 6
Из двух значений модуля выберем большее и округлим до ближайшего большего стандартного значения m = 1,25.
Расчет усилий в прямозубой цилиндрической передаче. Нормальное усилие Pн12, действующее со стороны зуба ведущего колеса 1 на
ведомое колесо 2 по нормали n–n к профилям зубьев и приложенное в данный момент в точке А – полюсе зацепления передачи, раскладывается на два вектора Pо12 и Pр12 – окружное и радиальное соответственно (рис. 17). Вектор Pр12 направлен к центру вращения
колеса 2, а вектор Pо12 – по вектору окружной скорости колеса 2 –
V12 = ω2 × r12. Длина вектора r12 равна длине делительного радиуса
колеса 2. Зуб ведущего колеса 1 испытывает со стороны зуба ведомого колеса 2 действие равных по абсолютной величине, но противоположно направленных, действующим на зуб ведомого колеса 2
со стороны колеса 1 окружного и радиального усилий Pо21 и Pр21.
Считается, что окружное усилие Pо12 активное. Оно направлено по
вращению колеса 2. Окружное усилие Pо21 – реактивное и направлено против вращения колеса 1. КПД цилиндрической зубчатой передачи с учетом смазки и потерь на трение в кинематических парах:
ηзп = 0,95–0,98.
57
Усилия на ведомом колесе 2 (рис. 17) рассчитываются по формулам
2MII
Pî12 =
,
d2
Pр12 = Pо12 · tgα,
(37)
Pо12 = Pо21, Pр12 = Pр21,
где МII– крутящий момент на валу II; d2 – диаметр делительной
окружности колеса 2; α – угол зацепления, α = 20°. Усилия в зацеплении колес 3, 4 определяются аналогично.
При заданном Mвых = МIII момент на валу II вычисляется по формуле МII = МIII/(η23 · U23). Колеса 2 и 3 жестко закреплены на валу II,
поэтому имеют один крутящий момент МII = М2 = М3 (рис. 17). Крутящий момент на входном валу I равен МI = МII/(η12 · U12). В данном
случае расчет проводился без учета момента трения подшипников
Mтр, при заданном КПД.
Червячные передачи
Червячной называется зубчато-винтовая передача с двумя подвижными звеньями: ведущим червяком и сопряженным с ним ведомым зубчатым червячным колесом. Червячные передачи используются тогда, когда необходимо получить значительные передаточные
отношения и высокую кинематическую точность. Они применяются в механизмах наведения, делительных устройствах, антенных
поворотных устройствах, обеспечивая вращение больших и тяжелых антенн, антенн с длинными несущими траверсами, а также
стеков антенн и антенных мачт (полное вращение). Их используют
в подъемно-транспортных машинах и станкостроении.
Достоинствами червячных передач являются: высокая кинематическая точность, большие передаточные отношения в одной паре, плавность и бесшумность работы, возможность самоторможения при низком КПД. К недостаткам относят низкий по сравнению с рядовыми передачами КПД, повышенный износ и склонность
к заеданию, которые являются следствием большого скольжения
в зацеплении [4,5]. Для повышения износостойкости и уменьшения
склонности к заеданию требуется материал колес, обладающий высокими антифрикционными свойствами. Колеса червячной передачи изготавливают из оловянистой бронзы при скорости скольжения Vc = 5–35 м/сек и алюминиево-железистой бронзы при скорости
58
скольжения Vc до 10 м/сек. Для экономии цветных металлов червячные колеса делают составными: венец – бронза, ступица – сталь,
чугун. Червяк выполняют из качественных углеродистых или легированных сталей, термически обработанных до высокой твердости.
Также у червячных передач повышенные требования к точности изготовления и сборке. Поэтому они по сравнению с рядовыми передачами дороже и сложнее в изготовлении.
Червячная передача предназначена для передачи и преобразования вращательного движения между валами со скрещивающимися
осями. Угол скрещивания в червячных передачах обычно составляет 90°. Вращение в червячной передаче передается и преобразуется
по принципу винтовой пары или наклонной плоскости со скольжением [5].
К геометрическим параметрам червячных передач (ГОСТ 19650-97
«Передачи червячные цилиндрические. Расчет геометрических параметров»), как и зубчатых, относят диаметры начальных dw и делительных цилиндров d (начальные диаметры червяка dw1 и колеса dw2; делительные диаметры червяка d1 и колеса d2), модуль m.
В осевом сечении витки червяка имеют вид зубчатой рейки со станp
дартным осевым модулем m = , углом профиля в осевом сечении α
π
(α = 20°для архимедовых червяков в осевом сечении и в нормальном
сечении зуба рейки, сопряженной с нарезкой эвольвентного червяка, рис. 18). Для обеспечения работы червячной передачи осевой модуль червяка m должен быть равен модулю червячного колеса в торцевом сечении ms (m = ms).
Делительный диаметр червяка d1 и стандартный осевой модуль m
связаны между собой геометрическим стандартным параметром q –
коэффициентом диаметра червяка (относительной толщиной черd
вяка) q = 1 . Модуль червячной передачи также рассчитывается на
m
прочность из условий контактной прочности и прочности на изгиб (табл. 1). Из двух значений выбирается наибольшее и округляется в большую сторону до ближайшего стандартного значения
ρ
Рис. 18. Архимедов червяк с трапецеидальной резьбой в осевом сечении
59
по ГОСТ 19672-74 «Передачи червячные цилиндрические. Модули
и коэффициенты диаметра червяка». Формулы для расчета диаметров червяка и червячного колеса приведены в табл. 2.
Наружная поверхность червяка имеет форму винта. Резьба червяка может быть как однозаходная, так и многозаходная. Число заходов червяка z1 в соответствии со стандартом z1 = 1;2;4 [4, 5]. При
проектировании механизмов рекомендуют выбирать следующие
значения z1: z1 = 1 при передаточном отношении U≥30; z1 = 2 при
15≤U≤30; z1 = 4 при 8≤U≤15. Червяки с однозаходной резьбой (z1 = 1)
точнее многозаходных, поэтому их применяют при кратковременном режиме работы в отсчетных (кинематических) передачах.
Для уменьшения прогиба вала рекомендуют выбирать q ≥ 0,25 z2.
Число зубьев червячного колеса z2 для исключения подрезания
ножки зуба головкой зуба инструмента при изготовлении должно
быть z2 > 26.
Угол подъема винтовой линии червяка γ на делительном диаметре (делительный угол подъема) можно рассчитать, используя формулы
πmz1 mz1 z1
tgγ = =
=
.
(38)
πd1
d1
q
Длину нарезной части червяка b1 можно рассчитать по формулам
b1 ≥ (11 + 0,06z2)m при z1 = 1 и z1 = 2;
(39)
b1 ≥ (12,5 + 0,09z2)m при z1 = 4.
При этом учитывается условие использования одновременного
зацепления наибольшего числа зубьев червячного колеса.
Форма зубьев червячного колеса – дугообразная (рис. 16, в). Червячное колесо охватывает червяк на некоторой дуге, половина угла
охвата червяка γ′ = 20–60°. Полюсом зацепления в червячных передачах называется точка касания начальных цилиндров.
В соответствии с ГОСТ 18498-89 «Передачи червячные. Термины, определения и обозначения» червячные передачи и червяки
можно классифицировать по виду делительной поверхности червяка на цилиндрические червячные передачи, в которых червяк и
червячное колесо имеют цилиндрические делительные и начальные поверхности и глобоидные червячные передачи, в которых делительная и начальная поверхности червяка образованы вращением отрезка дуги делительной или начальной поверхности парного
червячного колеса вокруг оси червяка. По сравнению с обычными
60
передачами их нагрузочная способность в 1,5 раза выше. По виду
теоретического торцевого профиля витка червяка их можно разделить на передачи с архимедовым червяком, профиль которого выполнен по архимедовой спирали, на передачи с эвольвентным червяком, профиль которого выполнен по эвольвентной окружности и
на передачи с конволютным червяком, профиль которого выполнен
по удлиненной эвольвенте.
Если архимедовы червяки подобны ходовому винту с трапецеидальной резьбой, то эвольвентные червяки подобны косозубым
эвольвентным колесам, у которых число зубьев равно числу заходов червяка. В настоящее время нашли широкое применение цилиндрические червячные передачи с архимедовыми червяками.
При γ < ϕ, низком КПД (η ≤ 0,5) и большом передаточном отношении (U ≥ 30) происходит самостопорение. Как правило в червячных
передачах γ ≤ 27°.
S21
а)
Pр12
б)
M2
Pос21
Pо21
n2
Pн21
Pос12
Pос21
Pо21
Pо12
Pр21
в)
Pос21=Pо12
n1
M1
Pр21
Pр21
P'н21
Рис. 19. Расчет усилий в червячной передаче: а – усилия на витке червяка;
б – усилия на червяке и червячном колесе,
в – осевое сечение витка червяка
61
КПД пары червяк-червячное колесо можно рассчитать по формуле
η=
tg(γ)
,
tg(γ + ϕ)
(40)
где ϕ – приведенный угол трения.
Из формул (38), (40) видно, что КПД червячной передачи уменьшается с увеличением угла терния ϕ и увеличивается с увеличением числа заходов z1.
Следует помнить, что в червячной передаче, в отличие от цилиндрической, окружные скорости на червяке V1 и червячном колесе V2
не равны по абсолютной величине, векторы окружных скоростей не
совпадают, а направлены под углом 90°. V1 = V2 + Vs. Здесь Vs – вектор скорости относительного скольжения. Поэтому передаточное
отношение нельзя выразить через делительные диаметры
U≠
d2
.
d1
Начальные цилиндры червячной передачи не обкатываются,
а скользят в относительном движении [5]. Передаточное отношение
червячное передачи
n÷
z÷
ω÷
=
U =
=
,
ω÷ê n÷ê z÷ê
где ч, чк – индексы, обозначающие червяк и червячное колесо соответственно.
Передаточное отношение червячной передачи может быть в пределах U = 10–300 и более. Условно-графическое обозначение червячной передачи на кинематической схеме показано на рис. 20.
Нормальное усилие Pн в червячной передаче принимается сосредоточенным, приложенным в полюсе зацепления по нормали
Рис. 20. Условно-графическое обозначение червячной передачи
с цилиндрическим червяком
62
к рабочей поверхности червяка. Усилие Pн раскладывается на три
взаимно перпендикулярных составляющих: окружное Pо, радиальное Pр и осевое Pос. Окружное усилие на червяке Pо21 равно
и противоположно направлено осевому усилию Pос12 на червячном
колесе и наоборот: Pос12 = Pо21. Равны абсолютные величины радиальных усилий Pр12 = Pр21. Направления осевых усилий на червяке и червячном колесе зависят от направления вращения червяка и направления винтовой линии. Если угол наклона зубьев
на колесе β2 равен углу подъема винтовой линии червяка γ (β2 ≈ γ),
т.е. cosαn ≈ cosα и cos(γ+ϕ) ≈ cosγ, то нормальное усилие на червячном
колесе равно
Pí12 =
Pî12
Pî12
≈
.
cos(γ + ϕ)cosαn cos γ cos α
(41)
В осевой плоскости силы Pо12 и Pр12 – это составляющие проекции нормальной силы Pн12 на осевую плоскость: P′н21 = Pн12cosγ.
Окружное усилие на червячном колесе можно рассчитать по формуле
2MII
Pî12 =
,
(42)
d2
где MII – крутящий (вращающий) момент, приложенный к валу червячного колеса.
Зная Pо12, можно определить радиальное усилие на червячном
колесе
P tgαn
Pp12 = î12
,
(43)
cos γw
где αn – угол профиля в нормальном сечении червяка, tgαn = tgαcosγ;
z
γw – начальный угол подъема, tgγw = 1 ; x – коэффициент смеq + 2x
щения, 0 ≤ x ≤ 1, при x = 0: γw ≈ γ.
Тангенс угла профиля в осевом сечении червяка α равен
tgαn
tgα =
. Поэтому формулу (43) при x = 0 можно записать иначе
cos γ
Pр12 = Pо12tgα.
Подобно зубчатым передачам червячные передачи рассчитывают на прочность по контактным и изгибным напряжениям [5]. При
этом следует учесть, что в червячных передачах вектор скорости относительного скольжения Vs не перпендикулярен к линии контакта, а имеет угол наклона 0° ≤ Ψ < 90°. Если Ψ = 0, то масляный слой
63
в зоне контакта образоваться не сможет, передача будет работать
в режиме сухого или полусухого трения. Возможность образования
благоприятного для червячной передачи режима жидкостного трения тем больше, чем больше угол Ψ.
2.2. Эпициклические передачи
Эпициклическими (планетарными) передачами называются
устройства с подвижными осями. К ним относятся планетарные передачи (редукторы и мультипликаторы), коробки скоростей со ступенчатым изменением передаточного отношения, дифференциалы (разделяющие одно движение на два). Эпициклические механизмы широко используются в приводах различных систем (аэрокосмических,
транспортных, радиотехнических (рис. 3), в современных станках.
Планетарными называют зубчато-рычажные механизмы, которые имеют как неподвижные, так и подвижные колеса, участвующие в сложном движении – переносном и относительном. Они могут
быть реализованы на основе одноступенчатых (рис. 21) и многоступенчатых (рис. 22) кинематических схем с внешним и внутренним
зацеплением зубчатых колес. В эпициклических передачах применяются цилиндрические и конические колеса [4, 5, 13].
Основными параметрами планетарных механизмов являются:
передаточное отношение U от входного (ведущего) вала к выходному, КПД механизма η, модуль m, числа зубьев z, диаметры колес d,
число сателлитов k, условие соосности валов, условие сборки, обеспечивающее равенство центральных углов между сателлитами и
условие соседства (при числе сателлитов k > 3).
Планетарные передачи применяются тогда, когда требуется реализовать механические системы с большими передаточными чиса)
2
б)
3
h
1
х
ωh
ω1
Рис. 21. Кинематические схемы
одноступенчатых планетарных механизмов
64
4
h
1
х
ω1
3
2
ωh
лами при малых габаритах и соосными осями входа и выхода. Они
находят широкое применение в аэрокосмических изделиях, антенных приводах и транспортных средствах. Планетарные механизмы
имеют меньшие габариты и массу, чем соответствующие им по кинематическим и силовым параметрам передачи с неподвижными
осями колес. Это объясняется тем, что, применяя два или три сателлита, можно существенно уменьшить нагрузку на зубья колес и
использовать колеса с меньшими модулями и диаметрами. Однако
они имеют большие потери на трение и износ. Нагрузочная способность планетарных механизмов, а также их габариты и масса определяются контактной и изгибной прочностью зубьев, работоспособностью сателлитов [4, 5].
Для определения передаточного отношения планетарного механизма используется метод Виллиса. Он заключается в следующем:
водило h мысленно затормаживается, а другие звенья освобождаются, всей передаче сообщается вращение с угловой скоростью водила,
но в обратном направлении. Для кинематической схемы (рис. 21, а)
запишем передаточное отношение обращенного механизма
ω − ωh na − nh
z
z
Uah−b =a
=
=
− b =
− 3,
ωb − ωh nb − nh
za
z1
(44)
где ωa, ωb, ωh – мгновенные угловые скорости (рад/сек) центрального солнечного колеса a (1), центрального корончатого (венцового
ϕ a , ωb =
ϕ b , ωh = ϕ h ); na,
или эпицикла) колеса b (3) и водила h (ωa =
nb, nh – число оборотов (об/мин) колес a и b и водила h соответственно; za (z1), zb(z3) – числа зубьев колес a и b соответственно. В планетарных механизмах существенное значение имеет знак передаточного отношения, при U > 0 вращение ведущего и ведомого звеньев происходит в одном направлении, при U < 0 – в противоположном [4, 5].
Используя формулу (44), можно рассчитать передаточные отношения планетарных механизмов, имеющих различные кинематические схемы, а также определить угловые скорости или число оборотов любого его звена.
Рассмотрим редуктор Джемса (рис. 21, а). Он применяется тогда, когда необходимо использовать малогабаритную передачу с понижением угловой скорости, с большим по сравнению с другими
планетарными механизмами КПД, меньшими потерями на трение, не склонную к самоторможению. Редуктор содержит водило h,
неподвижное корончатое колесо b(3) c внутренним зацеплением,
подвижное солнечное колесо a (1) с внешним зацеплением и колесо
65
с подвижной осью – сателлит g (2). Если колесо b (3) сделать подвижным, то получим дифференцирующий механизм, разделяющий одно движение на два.
Основная кинематическая характеристика планетарной передачи – это передаточное отношение U, равное отношению мгновенных
ϕ
угловых скоростей на входе и выходе механизма: U = âõ .
ϕ âûõ
Передаточное отношение планетарного редуктора при передаче
вращения от подвижного центрального колеса a к водилу h при неϕ
подвижном центральном колесе b: Uab−h = a . Оно может быть реаϕ h
лизовано через числа зубьев za (z1) и zb (z3) центральных колес:
ϕ
z
z
Uab−h = a =+
1 b =+
1 3.
ϕ h
za
z1
(45)
Чтобы получить формулу (45) в формуле (44) необходимо приравнять к нулю угловую скорость корончатого центрального колеса ωb
Uah−b =
Тогда получим −
ωa − ωh
z
= − 3.
−ωh
z1
ωa
z
ω
z
=
− 3 − 1 или a = 1 + 3 .
ωh
z1
z1
ωh
ωa ϕ a
и есть Uab−h .
=
ωh ϕ h
Если вращение в планетарном механизме передается от водила h
к подвижному центральному колесу a при неподвижном колесе b
формула (45) преобразуется
Отношение
Uhb−=
a
ϕ h nh
za
z1
1
= =
=
=
.
ϕa na Uab−h za + zb z1 + z3
(46)
Для редуктора Джемса передаточное отношение Uab−h = 2,8–8.
Поэтому тогда, когда требуется реализовать механизм с большим
передаточным отношением, выбирается двух или трехступенчатый
редуктор, который представляет собой последовательное соединение одноступенчатых (рис. 22). КПД одноступенчатого редуктора
Джемса η = 0,96–0,98.
Для обеспечения равнопрочности зубьев передаточное отношение ступеней выбирается так, что у первой (быстроходной) ступени,
в отличие от ступенчатого редуктора, оно чуть больше, чем у вто66
Z3
Z6
Z5
Z2
h1
Z1
h2
Z4
Рис. 22. Структурная схема
двухступенчатого планетарного редуктора
рой (тихоходной) U1> U2. При этом модуль m первой ступени (быстроходной) будет меньше, чем второй (тихоходной). Например при
Uобщ = 20 получим: U1 = 5, U2 = 4, U1 > U2, Uобщ = U1 · U2.
Передаточное отношение каждой ступени рекомендуется выбирать в пределах 2,8 ≤ U ≤ 6. Оптимальное U = 4–6. При выполнении
учебных курсовых проектов допускается разбивать общее передаточное число Uобщ пропорционально на каждую ступень. Обозначим n число ступеней, тогда
U0 = n Uîáù ,
где U0 = U1 = U2 = … Un – передаточное число ступени.
Под ступенью в планетарных передачах, в отличие от ступенчатых (рис. 9, 10), понимают не пару колес, находящихся в зацеплении, а систему элементов, передающих вращение от ведущего центрального колеса а к ведомому водилу h.
Подбор чисел зубьев в планетарной передаче осуществляется при
выполнении следующих условий:
– условия соосности z3 – z1 = 2z2;
( z1 + z3 )
= Ö, где k–число сателлитов,
– условия собираемости
k
Ц – любое целое число;
(47)
– условия соседства при k > 3 (z1 + z2)sin(π/k) > (z2 + 2). Здесь z1, z2,
z3 – числа зубьев колес a (1), g (2), b (3) (рис. 21, а) соответственно.
Расчет планетарных редукторов производится в соответствии
с ГОСТ 25022-81 «Редукторы планетарные. Основные параметры».
67
Настоящий стандарт распространяется на одноступенчатые, двухступенчатые и трехступенчатые редукторы, в которых не вращается центральное колесо с внутренними зубьями или водило.
ГОСТ 25022-81 устанавливает номинальные определяющие размеры, допускаемые крутящие моменты, номинальные значения передаточных отношений и номинальные высоты осей.
Пример 8. Выбран асинхронный двигатель ДАО100-9-3: Nд = 9 Вт;
nд = 2500 об/мин. Число оборотов выходного вала: nвых = 118 об/мин.
Требуется разбить общее передаточное число Uобщ на ступени и подобрать числа зубьев планетарного редуктора (рис. 22). 1. Опредеnä
2500
лим Uобщ. U=
= = 21,186. С учетом того, что для одной
îáù
nâûõ 118
ступени Umax = 6, U2 < U1 < Umax, выберем U1 = 5, тогда
Uîáù 21,186
=
U2 =
= 4,23. В соответствии с ГОСТ 13733-77 «Колеса
U1
5
зубчатые цилиндрические мелкомодульные прямозубые и косозубые» для центральной шестерни zш min = 14–17. Используя формулы (42, 43), для первой ступени получим
z
1 3=
5, z3 = z1(U1–1) = 18(5–1) = 18 · 4 = 72; z3–z1 = 2z2
z1 = 18; U1 =+
z1
или
=
z2
( z1 + z3 )
z3 − z1 72 − 18
= = 27; =
2
2
k
(18 + 72)
= 30.
3
Аналогично для второй ступени
z
1 6=
4,23,
z4 = 17; U2 =+
z4
z6 = z4(U2–1) = 17(4,23–1) = 17 · 3,23 = 54,91≈55;
=
z5
( z4 + z6 )
z6 − z4 55 − 17
= = 19; =
2
2
k
(17 + 55)
= 24.
3
Таким образом z1 = 18; z2 = 27; z3 = 72; z4 = 17; z5 = 19; z6 = 55. Полученные значения соответствуют ГОСТ 13733-77.
Для редуктора Дэвида (рис. 21, б), имеющего два колеса с внутренним зацеплением (z1 (1), z4 (4)) и двухвенцовые сателлиты (z2 (2),
z3 (3)), получим следующее передаточное отношение
φ h
1
(48)
=
Uh4−=
.
1
φ
z
z
1 1− 2 4
z1z3
68
В данной кинематической схеме ведущим элементом является
водило. Вращение передается от водила h к центральному колесу z1.
В редукторе колесо z4 будет закреплено неподвижно. Передаточное
отношение редуктора Дэвида U4h–1 = 30–50 и более. КПД редуктора Дэвида меняется с изменением передаточного отношения. При
U4h–1 = 30–50 – η = 0,85, U4h–1 = 200 – η = 0,5, U4h–1 = 500 – η = 0,2.
Данный редуктор может при малых габаритах реализовывать большое передаточное число, имея одну ступень, однако склонен к самоторможению. Его используют при кратковременном режиме работы.
Условие соосности запишется следующим образом
m12(z1 –z2) = m34(z4 –z3).
Условие собираемости
( z4 z2 − z1z3 )
kz2
= Ö.
Запишем кинематические зависимости, позволяющие определить угловую скорость одного из основных звеньев планетарного редуктора (рис. 21, а) по заданным угловым скоростям и передаточным отношениям двух других [4, 5, 9, 13]
iab−h =
1 − iah−b ; iba−h =
1 − ibh−a ; iag−h =
1 − iah− g .
(49)
Преобразуя выражения (49) получим
=
ϕ a iah−b ⋅ ϕ b + iab−h ⋅ ϕ h ;=
ϕ b ibh−a ⋅ ϕ a + iba−h ⋅ ϕ h ;=
ϕ h ihb−a ⋅ ϕ a + iha−b ⋅ ϕ b .
Приведем систему к ведущему звену. Выразим угловые скорости
ϕ ä , ϕ a , ϕ g , ϕ b , ϕ h , ϕ í через одну – ϕ a . При этом учтем, что солнечная
шестерня жестко закреплена на валу двигателя, составляя с валом
единое целое. Поэтому будем считать, что угловая скорость ϕ ä =ϕ a .
Также положим, что нагрузка вращается вместе с выходным валом
как единое жесткое целое, тогда ϕ h =ϕ í .
Используя метод Виллиса, выразим угловую скорость сателлита g
через угловую скорость звена приведения (подвижного центрального колеса a (рис. 21, a))
zg
ϕ a − ϕ h
= iah− g = − ,
ϕ g − ϕ h
za
тогда
z
ϕ g − ϕ h = − a ( ϕ a − ϕ h ),
zg
69
ϕ
ϕ
z
z 
ϕ g =ϕ h − a ( ϕ a − ϕ h ) = b a − a  ϕ a − b a

zg
ia −h zg 
ia −h




z
za
 1
=
ϕ a 
− a −
zb  zg

z
1+

zg  1 + b

z

za
a 




z
 zg − za  1 + b
za

= ϕ a 

z

zg  1 + b

z
a



 − za






ϕ a
ϕ a
za 
−  ϕ −
=

zb zg  a
z
 1+
1+ b

za
za




z 
za  1 + b  − za


z
1
a
 =
ϕ a 
− 
zb

 
z 
1+
zg  1 + b 
  

za
za 

 




z  
 zg − za   1 + b  + 1  


za   


=
a 
ϕ
.


z 



zg  1 + b 



za 






=





=




(50)
Используя метод Виллиса, можно также рассчитать число оборо30ϕ

тов на сателлите  n =
[îá/ìèí] 
π


zg
n − nh
Uah− g = a
= − ,
ng − nh
za
(na – nh)za = –zg(ng – nh),
−
(na − nh ) za
zg
n=
g nh −
=
ng − nh ,
(na − nh )za
.
zg
(51)
Пример 9. Рассчитать число оборотов ng сателлита планетарного редуктора (рис. 21, а). Числа оборотов солнечного колеса a и водила h: na = 2500 об/мин, nh = 499,14 об/мин. Числа зубьев колес:
za = 18, zg = 27, zb = 72. Используя формулу (51) получим
(na − nh ) za
(2500 − 499,14 )18
îá
=
=
−834,77
ng =
nh −
.
499,14 −
zg
27
ìèí
Полученное значение ng используется при расчете подшипников.
70
Расчет крутящих моментов
и усилий планетарного механизма
Если пренебречь потерями на трение в установившемся режиме
для планетарной передачи с тремя основными звеньями (a, b и h), по
уравнению равновесия
Ma + Mb + Mh = 0.
(52)
Согласно закону сохранения энергии
Ma ϕ a + Mb ϕ b + Mh ϕ h =
0.
(53)
В уравнениях (52), (53) моментам и их произведениям на угловую
скорость присваивают знак плюс, если направления M и ϕ совпадают (ведущие звенья) и знак минус, если они противоположно направлены (ведомые звенья).
Для планетарного механизма также справедлива формула (29).
Зная крутящий момент на выходе планетарного механизма Mh,
можно рассчитать величину момента на входе Ma. Для изображенной на рис. 21, а кинематической схемы планетарного редуктора
(ведущее центральное колесо a)
Ma =
Mh
.
b
b
ηïëUïë
(54)
Если ведущим звеном является водило h (рис. 21, б), то крутящий момент, передаваемый колесом a равен
Ma = Mh · ηbпл · Ubпл.
(55)
Если ведущее звено – первое центральное колесо a (солнечная
шестерня), то крутящий момент, передаваемый вторым колесом (сателлитом g) определяется по формуле
Mg = Ma · ηba–g · Uba–g.
(56)
Если число сателлитов k ≠ 1, то рассчитанный по формуле (56)
момент Mg необходимо разделить на число сателлитов k. Момент на
одном сателлите равен Mg1 = Mg/k.
C учетом соотношения (52) для кинематической схемы (рис. 21, а)
вращающий момент на неподвижном колесе b равен Mb = Mh – Ma,
а на водиле h: Mh = –Ma · ηbпл · Ubпл.
Вращающий момент на водиле равен Mh = Pоgh · a. Здесь Pоgh – передаваемое от сателлита на водило окружное усилие, a – расстояние
от оси пальца водила до центральной оси планетарного редуктора.
71
Крутящие моменты Ma и Mb определяются окружными усилиями
в зацеплении.
Ma = Pga · rba; Mb = Pgb · rbb,
где Pga, Pgb – окружные усилия в зацеплении соответствующей пары колес; rba, rbb – радиусы основных (делительных) окружностей
солнечной шестерни и эпицикла соответственно.
Сателлит g вращается вокруг собственной оси и одновременно
обкатывается вокруг солнечного колеса a. Зубья колеса a давят на
зубья колеса g и поворачивают сателлит относительно неподвижного корончатого колеса b. В то же время сателлит нажимает на ось
водила h, заставляя его вращаться. В зацеплении цилиндрической
планетарной передачи действуют окружные Pо и Pр радиальные
усилия (рис. 23). Они определяются так же, как и в рядовых передачах. Причем справедливы следующие соотношения
Pо12 = Pо21 = Pо23 = Pо32 = Pо13 = Pо31,
Pр12 = Pр21 = Pр23 = Pр32 = Pр13 = Pр31 = Pо12tgα.
Иначе Pоag = Pоga = Pоgb = Pоbg = Pоab = Pоba,
Pрag = Pрga = Pрgb = Pрbg = Pрab = Pрba = Pоagtgα,
Pоhg = Pоgh или Pоh2 = Pо2h.
Обозначим окружное усилие на подвижном центральном колесе Pоa, а на водиле – Pоh, тогда
Pîa =
2Ma ⋅kc
,
da ⋅ k
Pоh = –2Pоa,
Pо23
(57)
Pо32
Pоh2
Pо2h
Pо21
M1
Pо12
ω1
Рис. 23. Усилия в зацеплении планетарной передачи
72
где k – число сателлитов; kc – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки между сателлитами, kc = 1,1–1,2,
зависит от точности изготовления передачи и числа сателлитов.
Основной геометрической характеристикой планетарного механизма является модуль m. Для расчета модулей планетарных
механизмов используются формулы расчета модулей зубчатых передач из табл. 1. В расчетные формулы подставляется передаточz
ное число пары сателлит-центральное подвижное колесо: U = ê .
zø
Оно всегда должно быть больше или равно единице, независимо от того, какое из двух колес является ведущим. В планетарных механизмах могут быть использованы прямозубые и косозубые цилиндрические колеса, а также конические. Применение
косозубых колес позволяет уменьшить шум и увеличить нагрузочную способность. Их используют при передаче больших крутящих моментов. Однако большинство планетарных передач делается с прямозубыми цилиндрическими колесами, которые проще в изготовлении. Если необходимо передать вращение между
звеньями с пересекающимися геометрическими осями валов используются планетарные передачи с коническими колесами, кинематические и силовые параметры которых близки к цилиндрическим.
Для расчета размеров колес планетарных передач с внешним
зацеплением используются формулы из табл. 2. Расчет размеров
зубчатых колес с внутренним зацеплением производится в соответствии с ГОСТ 19274-73 «Колеса зубчатые с внутренним зацеплением».
Межосевое расстояние a при угле наклона зубьев β определяется
по формуле
( z2 − z1 ) m d2 − d1
a=
=
,
2 cos β
2 cos β
где z1, z2 – числа зубьев пары колес с внутренним зацеплением, d1,
d2 – их делительные диаметры; m – модуль пары колес с внутренним зацеплением, если β = 0°, то межосевое расстояние
a=
( z2 − z1 ) m
2
=
d2 − d1
.
2
Для кинематической схемы, изображенной на рис. 21, а, пара колес с внутренним зацеплением – это z2 (2), z3 (3), а для схемы, показанной на рис. 21, б, – пары z1 (1),z2 (2) и z3 (3), z4 (4).
73
Диаметры окружностей пары прямозубых цилиндрических колес с внутренним зацеплением (β = 0°) при расчете без учета смещения режущего инструмента равны:
– диаметры окружностей выступов da1 = d1 + 2h*am; по ГОСТ
13755-81 «Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные» h*a = 1, с* = 0,25; h*a–коэффициент высоты головки зуба; с*–коэффициент радиального зазора, тогда для пары сопрягаемых колес с внутренним зацеплением
da1 = m(z1 + 2);
da2 = d2 – 2(h*a – 0,2)m; da2 = m(z2 – 2h*a + 0,4) =
= m(z2 – 2 + 0,4) = m(z2 – 1,6);
– диаметры окружностей впадин df1 = d1 – 2(ha* + с*); df1 =
= m(z1 – 2,5);
df2 = d2 + 2(h*a + с*)m; df2 = m(z2 + 2,5).
Для кинематической схемы, показанной на рис. 21, а, справедливо соотношение: rh = rw1 + rw2 = rw3 – rw2. Здесь rh – делительный
радиус водила, rw1, rw2, rw3 – делительные (начальные) радиусы зубчатых колес.
В отличие от передачи с неподвижными осями колес в планетарной передаче могут появляться дополнительные динамические воздействия на отдельные сопрягаемые участки вследствие неравномерности распределения нагрузки между сателлитами и центральными (солнечными) шестернями. Для обеспечения равнопрочности
зубьев и снижения дополнительных динамических нагрузок солнечные шестерни делают плавающими, допускающими перемещение в радиальном направлении.
Исходя из конструктивных особенностей планетарный редуктор
можно рассматривать как четырехмассовую роторную колебательную систему с сосредоточенными инерционными элементами Ia, Ig,
Ib, Ih и безмассовыми упругими связями (опорами, подвижными соединениями, которые образуют зубчатые зацепления, причем взаимодействие шестерни и колеса осуществляется через зубья, играющие роль пружин). Параметры Ia, Ig, Ib, Ih – это моменты инерции
подвижной центральной шестерни a, сателлита g, неподвижного
центрального колеса (эпицикла) b и водила h соответственно. Сателлиты, обладая массой и моментом инерции, совершают сложное
движение: относительное и переносное (рис. 21, 22).
Для описания динамической модели планетарного редуктора используем уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных коорди74
натах (формула 21). При составлении динамической модели жесткости зубчатых зацеплений и упругих опор представим в виде эквивалентных жесткостей пружин. Оси пружин, имитирующие жесткости
зубьев, направим по линиям зацепления. В качестве обобщенных координат qj примем угловые ϕj и поступательные перемещения xj и
yj элементов механической системы, а также угловые дискретные
перемещения вала двигателя ϕд и нагрузки ϕн. Используя расчеты,
приведенные в примере 5, запишем выражение для кинетической
1
Iïð ϕ 2a .
энергии планетарного редуктора=
:T
2
Воспользовавшись уравнением Лагранжа, получаем дифференциальное уравнение угловых перемещений планетарного редуктора
 1

∂ I ϕ 2
d   2 ïð a  
 a ,
= Iïð ϕ

dt 
∂ϕ a




(58)
 a =
Iïð ϕ
Mϕ .
=
Приведенный вращающий момент Mϕ равен M
ϕ Mä −
Здесь Mc – момент cил сопротивления.
Mc
iab−h
.
∂W
= Fϕóä (t)
∂ϕ
дифференциальное уравнение угловых перемещений (58) примет вид
С учетом потенциальной энергии деформации и удара,
 a +
Iïð ϕ
n
q
i,j =1
p =1
Mϕ ,
∑ cij ( ϕi − ϕj ) ± ra ∑ ( cϕpq (t)δϕpq ± Fóäϕpq (t) ± Nϕpq (t) ) =
Í ⋅ ìì
; cpq(t) – переðàä
менные жесткости зубчатых зацеплений; δ pq – деформации зацепления; Fудϕpq(t) – сила удара в зацеплении; Nϕpq(t) – несущая способность смазочного слоя.
Запишем дифференциальные уравнения поступательных перемещений:
где cij –крутильные жесткости, размерность
n
a + ∑ cxj xj ±
Mïð x
j =1
n
Mïð ya + ∑ cyj yj ±
j =1
q
0,
∑ ( cxpq (t)δxpq ± Fóäxpq (t) ± Nxpq (t) ) =
p =1
q
0,
∑ ( cypq (t)δypq ± Fóäypq (t) ± Nypq (t) ) =
p =1
75
где Mпр – приведенные массы планетарного редуктора; cxj, cyj – переменные жесткости опор. Динамические нагрузки в зацеплении
зависят от погрешностей изготовления зубчатых колес, ударных
нагрузок и несущей способности смазки.
При силовом расчете планетарного механизма также учитываются силы инерции, действующие на палец водила h со стороны сателлитов g (особенно для кинематических схем, содержащих блоки
сателлитов со сдвоенными венцами, рис. 21, б). При вращении ротора механизма с высокой, но постоянной угловой скоростью (режим
работы ωвых = const) рассчитывается центробежная сила инерции Iц
2
 πn 
Iö = mr ω2h = mr  h 
 30 
,
где m – масса сателлитов (блока колес со сдвоенными венцами); r –
радиус водила; ωh, nh – угловая скорость и число оборотов водила
соответственно.
76
3. ВИНТОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
Винтовые механизмы – это механизмы преобразования движения (обычно вращательного в прямолинейное поступательное, реже поступательного во вращательное) [4,5]. Преобразование поступательного движения гайки во вращательное движение винта возможно, если передача не является самотормозящейся и угол подъема
винтовой линии γ достаточно велик. При малых углах γ (γ < 30°) такое преобразование невозможно. Также встречаются конструкции,
в которых вращательное движение винта преобразуется в поступательное движение этого же винта при неподвижном закреплении
гайки.
Благодаря простоте и компактности конструкции, бесшумности работы, способности создавать значительные усилия, а также возможности осуществлять медленные и точные перемещения
они нашли широкое применение в аэрокосмических изделиях (механизмах управления закрылками и предкрылками, в системах
управления стабилизатором и т. д.), в приводах антенных и робототехнических систем, в механизмах подачи станков, а также измерительных, установочных и регулировочных механизмах, транспортных средствах. К недостаткам винтовых механизмов можно
отнести большие потери на трение и, как следствие, низкий КПД.
По характеру трения в кинематических парах винтовые механизмы
можно разделить на пары винт-гайка скольжения и шариковинтовые пары.
Пары винт-гайка скольжения состоят из винта, гайки и стойки.
На кинематических схемах винт обозначается волнистой линией
(рис. 24).
В зависимости от характера относительного движения винта и
гайки можно реализовать несколько кинематических схем винтовых механизмов, преобразующих вращательное движение в поступательное. Например, винт вращается и одновременно перемещается поступательно, гайка закреплена неподвижно. Гайка только
вращается, винт перемещается поступательно. В этом случае вра-
Рис. 24. Условно-графическое обозначение пары винт-гайка
на кинематической схеме
77
щающаяся гайка является ведущим, а винт – ведомым звеном. Наконец, наиболее распространенная кинематическая схема: ведущий винт вращается, а гайка перемещается только поступательно.
С выходным звеном винтового механизма соединяется соответствующий исполнительный механизм, например, последующий
модуль робототехнической системы, механизм привода флаперона.
Вращение от двигателя на ходовой винт передается при помощи
маховичка или шестерни. Кинематические соотношения винтового механизма определяются стандартными параметрами резьбы:
средним диаметром резьбы d2, углом профиля резьбы 2β, шагом Px
и числом заходов n. Ход резьбы Px равен произведению шага n на
число заходов z: Px = nz (рис. 25 ).
Под шагом резьбы понимают расстояние между одноименными
точками соседних профилей, измеренное параллельно оси цилиндрической поверхности, на которую резьба нарезана. Под профилем
резьбы понимают сечение винтовой поверхности плоскостью, проходящей через ось изделия. По форме профиля различают треугольную, трапецеидальную и прямоугольную резьбу. Большее трение
имеет треугольная резьба (2β = 60°).
В зависимости от типа кинематической схемы передаточное отношение винтовой передачи можно реализовать как
U=
S1 πdø
=
,
S2 Px
(59)
n
где S1, S2 – окружное перемещение шестерни (маховичка), перемещение гайки (винта) соответственно; Px – ход резьбы (винтовой линии); dш – делительный диаметр шестерни.
d1
d2
d
Рис. 25. Стандартные параметры резьбы
78
При dш = 200 мм, Px = 1 мм передаточное число пары винт-гайка
U = 628.
Линейное перемещение ведомого звена винта (или гайки) L2 в зависимости от угла поворота винта αв или гайки αг в радианах определяется по выражению
α â(ã)
L2 =
Px .
(60)
2π
Из выражения (60) следует, что для обеспечения точного линейного перемещения винта L1 необходимо выбрать резьбу с малым ходом, т.е. однозаходную с малым шагом. Для увеличения линейного
перемещения наоборот – с большим шагом.
Линейное перемещение гайки L2 относительно стойки при повороте винта на угол α°в градусах равно
L2 = Px
α
.
360
Как говорилось ранее, в кинематической паре винт-гайка гайка относительно винта совершает два вида движения – вращательное вокруг геометрической оси винта и поступательное вдоль этой
же оси. Однако независимое относительное движение в паре одно
(вращательное либо поступательное), другое – зависимое и может
быть выражено через параметры, описывающие первое движение.
Величина перемещения гайки зависит от величины угла поворота. Поэтому пара винт-гайка скольжения – это пара пятого класса
(рис. 7).
Рассмотрим трение на наклонной плоскости (рис. 26). Будем считать, что плоскость скольжения наклонена под углом α к горизонту,
сила полезного сопротивления – это вес тела Q, движущая сила S
dP
γ
Px
dR
dQ
2πr2
Рис. 26. Трение на наклонной плоскости
79
направлена горизонтально и двигает тело равномерно вверх по наклонной плоскости. Тогда движущую силу S и коэффициент полезного действия η можно рассчитать по формулам
S = Qtg(α+ϕ), η =
tg(α)
.
tg(α + ϕ)
(61)
Поскольку ширина винтовой поверхности трения мала по сравd
нению со средним радиусом r2 = 2 , можно сделать допущение, что
2
по всей поверхности соприкосновения винта и гайки давление распределяется равномерно [4,5]. При этом движение винта относительно гайки можно рассматривать как движение ползуна по наклонной плоской направляющей с углом подъема α (рис. 27). Угол
α эквивалентен углу подъема винтовой линии γ (α ≈ γ), так как
P
tgα = x . Поэтому, рассматривая силы на элементарном участке
2πr2
контакта винтовой пары с прямоугольным профилем резьбы, можно сказать, что окружная движущая сила Pокр (эквивалентная горизонтальной движущей силе S), приложенная по касательной
к окружности среднего радиуса r2, равна
dPокр = dQtg(γ + ϕ),
где Q – осевая сила полезного сопротивления; ϕ – угол трения
в резьбе с прямоугольным профилем, ϕ = arctg(f); f – коэффициент трения скольжения (для пары материалов сталь-сталь в масле
f = 0,05). Численные значения f приводятся в справочных таблицах
для пары материалов, из которых изготовлены винт и гайка.
Для трапецеидального и метрического (треугольного) профилей
резьбы вместо угла ϕ в расчетную формулу подставляется приведенный угол трения ϕ′
dPокр = dQtg(γ + ϕ′),
ϕ′ = arctg(f/cosβ).
Приведенный угол трения ϕ′ рассчитывается через приведенный
коэффициент трения f′ = f/cosβ, где β – половина угла профиля резьбы.
В винтовых механизмах применяются трапецеидальная (2β = 30°)
или треугольная метрическая резьбы (2β = 60°), реже – прямоугольная (β = 0°).
Так как Pокр = ∑dPокр, Q = ∑dQ, то для винтовой пары с прямоугольным профилем резьбы Pокр = Qtg(γ + ϕ), а с трапецеидальным
и метрическим (треугольным) – Pокр = Qtg(γ + ϕ′), α ≈ γ.
80
Тогда движущий (крутящий) момент на винте M1, необходимый для преодоления сил полезного сопротивления Q и сил трения,
возникающих при относительном движении винта и гайки, будет
равен
d2
d
=
M1 P=
Q 2 tg(γ + ϕ),
(62)
îêð
2
2
где Pокр – движущая окружная сила; d2 – средний диаметр резьбы;
Q – осевая сила полезного сопротивления; ϕ –угол трения.
Коэффициент полезного действия η винтовой пары
QPx
tg(γ)
Qtg(γ)
.
η==
=
Pîêð 2πr2 Qtg(γ + ϕ) tg(γ + ϕ)
(63)
Коэффициент полезного действия η винтового механизма равен
отношению полезной работы Aпол (работы сил полезного сопротивления Aпс) ко всей затраченной Aз (работы движущих сил Aдв). Отношение работ может быть эквивалентно заменено отношением крутящих моментов условного идеального M1идеал и реального M1реал
механизмов
d
Q 2 tg(γ)
M1èäåàë
tg(γ)
2
.
=
η =
=
M1ðåàë Q d2 tg(γ + ϕ) tg(γ + ϕ)
2
С учетом потерь на трение в направляющих гайки ηн и подшипниках ηп можно записать
A
N
tg(γ)
η = ïñ=
= ïñ η=
ηí ηï .
âï ηí ηï
Aäâ Näâ
tg(γ + ϕ)
При использовании трапецеидальной и метрической (треугольной) резьбы вместо ϕ в расчетные формулы движущего момента M1
и КПД η подставляется значение приведенного угла трения ϕ′.
Угол подъема винтовой линии γ можно определить по формуле
 P 
γ =arctg  x .
 πd2 
Условие самоторможения винтовой пары: γ < ϕ.
Винт рассчитывается из условия прочности на растяжение (сжатие) с учетом кручения. Условие прочности винта
=
σ
4Pîñ ⋅ k
d12
≤ [ σ],
81
где Pос – осевое усилие (растягивающее или сжимающее), действующее на винт; d1 – внутренний диаметр резьбы; k – коэффициент,
учитывающий кручение стержня, k = 1,35 для метрической резьбы,
k = 1,25 для трапецеидальной.
Зная ход винта Pxв (мм), перемещение винта Sв (мм) и время t (c),
необходимое для данного перемещения, можно подобрать число
оборотов гайки nг (об/мин)
Pxâ =
sâ ⋅ 60
.
nã ⋅ 60
Ход винта выбирается в пределах 1–3 мм (целое число). Треугольную метрическую резьбу с шагом Px, кратным ходу винта Px в,
выбирают при незначительных нагрузках (до 300 Н). Если к винту приложены значительные усилия (свыше 300 Н), то используют
трапецеидальную резьбу, число заходов резьбы z = Pxв/Px.
В шариковинтовой паре (ШВП) для снижения трения между поверхностями винта и гайки установлены шарики, т.е. трение скольжения заменено трением качения (рис. 27). КПД ШВП выше, чем
КПД пары винт-гайка скольжения, ηшвп = 0,9. Профили резьбы
винта и гайки – это канавки, имеющие, как правило, круглую форму. Соотношение между радиусами шарика и канавки должно быть
в пределах: rш/rк = 0,95–0,97.
Момент Mшвп вычисляется по формуле
=
Møâï Pîñ
d2
tg(γ ± ϕ),
2
где Pос – осевое усилие, действующее на винт; d2 – средний диаметр
резьбы; γ – угол подъема винтовой линии по среднему диаметру;
Рис. 27. Шариковинтовая пара,
продукция http://www.thk.ru/lmballspline.shtml
82
k
. Здесь k = 0,001–
dø sin θ
0,008 мм – коэффициент трения качения; dш – диаметр шарика;
θ – угол передачи силы (для трапецеидального профиля θ = 30°, при
круглом профиле канавок θ = 0–90°, для прямоугольного профиля
θ = 0°).
КПД ШВП можно определить по выражениям:
– при преобразовании вращательного движения в поступательное
ϕ – приведенный угол трения, ϕ =arctg
tgγ
,
ηøâï =


k
tg  γ+arctg

dø sin θ 

– при преобразовании поступательного движения во вращательное


k
tg  γ+arctg

dø sin θ 
.
ηøâï = 
tgγ
83
Библиографический список
1. Глухов, В.В. Авиационное и радиоэлектронное оборудование летательных аппаратов: учебное пособие / В.В. Глухов, И.М. Синдеев, М.М. Шемаханов. М.: Транспорт, 1983. 144 с.
2. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин: учебник для втузов. М.:Наука, 1988. 640 с.
3. Иоселевич, Г.Б. Прикладная механика: для студентов втузов. [Электронный ресурс] / Г.Б. Иосилевич, П.А. Лебедев, В.С. Стреляев. Электрон.
дан. М.: Машиностроение, 2012.576 с.
4. Первицкий, Ю.Д. Расчет и конструирование точных механизмов:
учебное пособие для вузов. Л.: Машиностроение, 1976. 456 с.
5. Иванов, М.Н. Детали машин: учебник / М.Н. Иванов, В.А. Финогенов. 12-е изд. испр. М.: Высш. шк., 2008. 408 с.
6. Опалихина, О.В. Метод и средства вибродиагностики роторных систем при производстве прецизионных приборов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Санкт-Петербург, 1999.
7. Пат. 2359372 Российская Федерация, H01Q3/08 – для измерения
двух координат ориентации. Опорно-поворотное устройство / Становский В.В., Казакявичюс С.М., Кузнецов В.М. и др.; заявитель и патентообладатель RU2359372:ООО «Научно-производственная фирма «Микран»(RU).
http://www.findpatent.ru/patent/235/2359, https://elibrary.ru/item.asp?id=
19145098372.html
8. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учебное пособие /
Н.В. Бутенин, Я.А. Лунц, Д.Р. Меркин. СПб.: Лань, 2009. 736 с.
9. Опалихина, О.В. Нелинейный метод исследования технического состояния роторной системы / Моделирование и ситуационное управление
качеством сложных систем. СПб.: ГУАП, 2017. С. 39–50.
10. Опалихина, О.В. Нелинейный метод исследования вибрации роторной системы / О.В. Опалихина // Topical areas of fundamental and applied
research XI: Proceedings of the Conference. North Charleston, 27–28.02.2017,
Vol. 1 – North Charleston, SC, USA: CreateSpace, 2017, p. 232, 138–141 p.
11. Вибрации в технике: справочник. В 6-ти т. Т. 3. Колебания машин,
конструкций и их элементов / под ред. Ф.М. Диментберга и К.С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.
12. Компьютерные технологии в механике приборных систем / под общ.
ред. В. Г. Мельникова; СПб.: СПбГУ ИТМО, 2006. 118 с.
13. Планетарные передачи: справочник / под ред. В.Н. Кудрявцева и
Ю.Н. Кирдяшева. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1977. 536 с.
84
Содержание
Введение ....................................................................
1. Основы теории механизмов .......................................
1.1. Структура и кинематические характеристики
механизмов ......................................................
1.2. Степень подвижности плоского и пространственного
механизма. Принцип образования механизмов .....
1.3. Кинематическое исследование механизмов ...........
1.4. Силовое исследование механизмов.......................
2. Расчет и проектирование зубчатых передач .................
2.1. Зубчатые передачи с неподвижными осями...........
2.2. Эпициклические передачи..................................
3. Винтовые механизмы ...............................................
Библиографический список ..........................................
3
5
5
10
17
19
39
41
64
77
84
85
Учебное издание
Опалихина Ольга Викторовна
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
И ИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Учебное пособие
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка Н. Н. Караваевой
Сдано в набор 13.02.18. Подписано к печати 14.06.18.
Формат 60×84 1/16. Усл. печ. л. 5.
Уч.-изд. л. 4,94. Тираж 50 экз. Заказ № 275.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
86
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 068 Кб
Теги
opalikhina
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа