close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Opalikhina 032F4441A6

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
О. В. Опалихина
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
УДК 539.3/.6(075)
ББК 30.121я73
О60
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор В. П. Ларин;
доктор технических наук, профессор А. В. Копыльцов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Опалихина О. В.
О60
Расчеты на прочность и жесткость элементов конструкций:
учеб. пособие / О. В. Опалихина. – СПб.: ГУАП, 2016. – 99 с.
ISBN 978-5-8088-1142-3
Издание содержит базовые знания по одному из основных разделов «Механики» – «Сопротивление материалов». Представлены
теоретический и расчетный материалы, необходимые при решении
классических практических задач, выполнении курсовых работ и
проектов, содержащих учебные модули раздела «Сопротивление материалов». Приводятся примеры расчетов на прочность и жесткость
элементов типовых конструкций.
Учебное пособие составлено в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Сопротивление материалов», «Прикладная механика», «Механика».
УДК 539.3/.6(075)
ББК 30.121я73
ISBN 978-5-8088-1142-3
©
©
Опалихина О. В., 2016
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
ВВЕДЕНИЕ
Предмет «Сопротивление материалов», как отдельная дисциплина, так и раздел механики, является одним из старейших фундаментальных курсов подготовки бакалавров, магистров и специалистов в технических вузах. Целью дисциплины является развитие у студентов системного диалектического подхода к инженерным задачам и путям их творческого решения.
При изучении сопротивления материалов рассматриваются реальные тела, которые в отличие от материальной точки обладают
не только массой, но и имеют габаритные размеры, а в отличие от
абсолютно твердых тел под нагрузкой изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.
Сопротивление материалов изучает поведение различных материалов при действии нагрузок. При изучении видов деформаций
элементов конструкций из статики используются уравнения равновесия и способы сложения сил.
Приведенный в учебном пособии теоретический материал является фундаментальной основой расчетов на прочность, жесткость и
устойчивость деталей и узлов типовых конструкций при статическом и динамическом действии нагрузок. При его изложении учитываются современные тенденции развития авиационной и космической техники, которые характеризуются с одной стороны усложнением схемотехнических решений, высокой насыщенностью технических объектов специальными измерительными и информационно-вычислительными системами, а с другой – минимизацией их
массы, габаритов и стоимости. Поэтому, исходя из требований обеспечения минимизации массы и габаритов проектируемых изделий, первостепенное значение приобретают расчеты на прочность,
жесткость и устойчивость деталей и узлов конструкций [1–3].
3
1. ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ.
ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИИ.
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
При проектировании технических объектов инженеру приходится выбирать материал и поперечные размеры каждого элемента
конструкции так, чтобы он вполне надежно, без риска разрушиться или исказить свою форму, сопротивлялся действию внешних
сил, передающихся на него от ее соседних частей [1,2]. Правильно
решить эту задачу помогает такая наука, как сопротивление материалов.
Задачей сопротивления материалов является изучение поведения различных материалов при действии на них сил и подбор для
каждого элемента конструкции материала и поперечных размеров,
исходя из условий обеспечения надежности работы и минимальных массы, габаритов и стоимости конструкции. Иногда приходится решать обратную задачу – проверять достаточность размеров
уже существующей конструкции.
Критерии, определяющие надежность работы деталей и узлов
конструкции – это прочность, жесткость и износостойкость.
Под прочностью понимается способность детали воспринимать
нагрузку без разрушения или проявления признаков остаточной
деформации.
Жесткость – это способность детали сопротивляться изменению геометрической формы и размеров при действии нагрузки.
Износостойкость – это способность детали сохранять форму и
размеры при действии сил трения.
На практике условие прочности и жесткости может быть дополнено проверкой на устойчивость. Если проверка на жесткость
должна обеспечить невозможность общего изменения элементами
конструкции намеченной для них формы равновесия, то данная
проверка должна ограничить их деформации [1].
При расчетах на прочность, жесткость и устойчивость конструкции реальный объект заменяется расчетной схемой (расчетной моделью). Приступая к расчету конструкции необходимо
схематизировать объект, отбросив все факторы, которые не могут
существенным образом повлиять на суть задачи. Реальный объект,
освобожденный от несущественных особенностей, носит название
расчетной схемы.
При построении расчетной схемы схематизируется структура и
свойства материала, упрощается геометрическая форма реального
4
объекта. Материал считается сплошным, однотипным и изотропным. Это означает, что он занимает весь объем детали (без пустот)
и имеет одинаковые свойства во всех точках и во всех направлениях. Геометрическая форма конструктивного элемента может быть
приведена к следующим основным расчетным схемам: стержня и
оболочки.
Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого
(длина l) много больше двух других (b, h или d) (рис. 1). К расчетной схеме стержня приводятся элементы аналитических и лазерных приборов, робототехнических систем, валы и оси механизмов.
Сложные конструкции также могут быть представлены состоящими из элементов, имеющих форму стержня. Их называют стержневыми системами. Когда рассматривают элементы конструкции,
стержень часто называют брусом или балкой.
Под оболочкой (рис. 2) понимается тело, ограниченное двумя
криволинейными поверхностями, одно из измерений которого
(толщина δ) много меньше двух других (R, H или R, l). Схема оболочки используется при расчете летательных аппаратов, тонкостенных корпусов авиационных приборов и устройств, гибких колес волновых редукторов.
d
l
h
l
b
Рис. 1. Расчетная схема стержня
δ
R
H
δ
l
H
δ
R
R
Рис.2. Расчетные схемы оболочек
5
δ
a
b
Рис. 3. Расчетная схема пластины
Помимо стержня и оболочки используется расчетная схема пластины (рис. 3). Пластина – это тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, расстояние δ между которыми мало по сравнению с другими размерами (a, b).
Схема пластины может быть использована при расчете упругих
мембран, электронных компонентов.
6
2. СИЛЫ ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ
Силы являются мерой механического взаимодействия тел. Различают внешние и внутренние силы.
Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих
тел, то действие последних на конструкцию заменяется внешними
силами. Они характеризуют взаимодействие выделенной конструкции с телами, расположенными за пределами условно очерченной ее
границы. Внешние силы разделяются на объемные и поверхностные.
Объемные силы распределены по объему тела и приложены к каждой
его частице. Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и характеризуют непосредственное контактное взаимодействие
рассматриваемого объекта с окружающими телами [2]. Их можно
подразделить на сосредоточенные и распределенные.
Сосредоточенные силы (P) передаются через площадку, размеры
которой очень малы по сравнению с размерами всей конструкции
(рис. 4, а). Распределенные силы (q) приложены непрерывно на протяжении некоторой длины или площади конструкции (рис. 4, б).
Внешние силы также разделяют на активные и реактивные. Активные силы стремятся вызвать изменения в положении или состоянии тела. Реактивные силы возникают в связях. Активные силы
считаются заданными, а реакции связей находятся из уравнений
равновесия статики.
Активные силы по характеру воздействия разделяют на статические и динамические. Статические силы действуют постоянно
или медленно меняются (квазистатические). Динамические силы
являются функциями времени. Они действуют периодически или
дискретно, вызывая ускорение тела. Во времени они меняют свою
величину и направление.
Взаимодействие между частями выделенной конструкции внутри ее очерченной границы характеризуется внутренними силами. Внутренние силы по своей физической природе представляют
собой силы молекулярного сцепления. Они сопровождают дефора)
P
б)
q
P
Рис. 4. Сосредоточенные и распределенные силы
7
мацию материала. Внутренние силы сопротивляются стремлению
внешних сил разрушить выделенный элемент, изменить его форму
и размеры, отделить одну его часть от другой. Они стремятся восстановить прежнюю форму и размеры деформированного элемента. Чтобы численно характеризовать степень воздействия внешних
сил на деформированный элемент необходимо научиться измерять
и вычислять величину внутренних межатомных сил, возникших
как результат деформации, вызванной определенными внешними
силами. Внутренние силы возникают не только между отдельными
взаимодействующими узлами конструкции, но также и между всеми смежными частицами объекта при нагружении [1,2].
Для определения внутренних сил используется метод сечений.
Рассмотрим суть этого метода.
В качестве расчетной схемы выберем стержень. Пусть к стержню приложена некоторая нагрузка, т.е. система внешних сил P1,
P2, … Pn и моментов пар сил М1, М2, ... Мk, удовлетворяющая уравнениям равновесия. Внутренние силы, возникающие в стержне,
можно определить только в том случае, если рассечь его мысленно на две части сечением mm (рис. 5, а). Такой прием выявления
внутренних сил в сопротивлении материалов и называется методом
сечений.
Так как связи между выделенными частями стержня устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую
заменить системой сил в сечении. Для этого вводят систему внутренних сил. Внутренние силы, таким образом, определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные
стороны от мысленно проведенного сечения. В различных сечениях возникают различные внутренние силы.
По принципу действия и противодействия внутренние силы
всегда взаимны. Правая часть действует на левую точно так же, как
и левая на правую. Система сил, возникающих в плоскости m’m’,
противоположна по знаку системе сил, возникающих в плоскости
m’’m’’ (рис. 5, б). Поэтому внутренние силы могут быть определены
из уравнений равновесия любой части стержня. Обозначим систему
внутренних сил (Pmm).
Внутренние силы распределяются по поверхности проведенного сечения некоторым сложным образом, но во всех случаях они
должны быть такими, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия для правой и левой части стержня в отдельности. Поскольку
уравнения равновесия не позволяют определить характер распределения внутренних сил по сечению, внутренние силы заменяют
8
Pn–1
а)
P1
m
P2
m
P1
Pn
M
Pn–1
P3
P1
m¢¢
б)
m¢
P2
Pmm m¢¢
Pn
Pmm
m¢
P1
M
Y
Qy
P3
Pn–1
в)
P1
R
Мy
M
Мк
N
Z
Мx
Pn
Qx
X
Рис. 5. Внутренние силовые факторы в сечении
сосредоточенными, приложенными в центре тяжести сечения. По
сути, мы определяем не закон распределения внутренних сил, а их
равнодействующие, при условии заданных внешних сил.
Таким образом, для определения внутренних сил стержень сечением mm мысленно делится на две части, одна из частей отбрасывается и ее действие заменяется равнодействующими внутренними силами (рис. 5, в). Затем, используя основную теорему статики, лемму
о параллельном переносе сил и следствие аксиомы статики о перено9
се силы вдоль линии ее действия, эти равнодействующие внутренние
силы приводятся к центру тяжести сечения. В результате получим
две составляющие: главный вектор R и главный момент M внутренних сил, которые спроектируем на систему координат x, y, z с центром в точке O – центре тяжести сечения. Спроектировав главный
вектор R и главный момент M на оси x, y, z, имеем шесть алгебраических составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие
называются внутренними силовыми факторами в сечении стержня.
При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов определяются из шести уравнений равновесия, которые могут
быть составлены для отсеченной части стержня.
Из уравнений (условий) равновесия следует общее правило определения внутренних сил: внутренняя сила в сечении равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону сечения. Направление внутренней силы противоположно направлению алгебраической суммы проекций внешних сил, действующих
на рассматриваемую часть стержня.
Составляющая внутренних сил по нормали к сечению (N) называется нормальной или продольной силой в сечении (рис. 5, в).
Силы Qx и Qy называются поперечными или перерезывающими силами. Момент относительно нормальной оси (Мк=Mz) называется
крутящим моментом, а моменты Мx и Мy – изгибающими моментами относительно осей X и Y.
Запишем шесть уравнений равновесия
n
k
n
Piz + N 0, ∑Mjz + ∑Mz ( P
=
∑=
i ) + Mz 0,
=i 1
n
∑P=
ix + Qx
=i 1
n
∑P=
iy + Qy
=i 1
=j 1=i 1
k
n
0, ∑Mjx + ∑Mx ( Pi=
) + Mx 0,
=j 1=i 1
k
n
0, ∑Mjy + ∑My ( P=
i ) + My 0,
=j 1=i 1
(1)
где Pix, Piy, Piz – проекции главного вектора внешних сил на координатные оси X, Y, Z; Mjx, Mjy, Mjz – моменты внешних пар сил относительно осей X, Y, Z; Mx(Pi), My(Pi), Mz(Pi) – проекции главного
момента внешних сил на координатные оси X, Y, Z.
10
3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Для характеристики закона распределения внутренних сил по
сечению для них вводится числовая мера. За такую меру принимается напряжение – мера внутреннего взаимодействия в рассматриваемой точке поперечного сечения.
Напряжение является оценкой прочности детали (элемента конструкции). Оно определяется как мера внутренней силы, приходящейся на единицу площади. Прочность детали обеспечена, если
внутренние силы не превосходят определенных значений, устанавливаемых на основании экспериментального изучения при введении определенного запаса.
Разрушение элементов конструкций возможно вследствие потери статической прочности (статические нагрузки) либо сопротивления усталости (динамические нагрузки). Потеря статической
прочности происходит тогда, когда величины рабочих напряжений
превышают предел статической прочности материала, например,
σВ при осевом растяжении (сжатии) [3]. Подобное возможно при
наличии случайных перегрузок, не учтенных при расчетах. Также
это связано со скрытыми дефектами деталей (раковины, трещины
и т.п.), которые не были выявлены при техническом контроле изделий. Потеря сопротивления усталости происходит при длительном действии переменных напряжений, превышающих предел выносливости материала σþ–1. Сопротивление усталости значительно
понижается при наличии концентраторов напряжений, связанных
с наличием дефектов производства (царапины, трещины, локальные дефекты поверхности) или с особенностями конструктивной
формы деталей (острые углы элементов конструкций, шпоночные
пазы, отверстия, галтели, канавки, выточки и т.п.). Также концентраторами напряжений могут быть соединения деталей с натягом,
переходы между участками с разным диаметром на валах роторов.
В зонах концентрации напряжений могут появляться трещины.
Трещины развиваются постепенно. Их дальнейший рост может
стать причиной разрушения конструкции. Все эти факторы следует учесть при расчетах на прочность элементов конструкций.
Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь.
В международной системе единиц физических величин (СИ) напряжение измеряется в паскалях (Па), т. е. в ньютонах на квадратный метр.
Для определения напряжения в поперечном сечении, перпендикулярном к оси стержня, применяется метод сечений.
11
Полное напряжение p может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и двум осям в плоскости
сечения (рис. 6). Составляющие вектора полного напряжения по
нормали обозначаются σ и называются нормальным напряжением.
Составляющие в плоскости сечения называются касательным напряжением и обозначаются τ.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту
точку, образует напряженное состояние в точке.
Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым. Под действием внешних сил все тела в той или иной
степени меняют свои размеры и форму, т. е. деформируются. Деформация – это любое изменение размеров и формы тела. Причем деформации в большей или меньшей степени могут быть подвержены как
отдельные элементы конструкции, так и конструкция в целом.
Величина и характер деформаций связаны со структурой и строением применяемых в конструкциях материалов [1]. Все материалы относят к двум классам: кристаллические и аморфные.
Кристаллические материалы состоят из множества очень малых
кристаллических зерен. Каждое из них представляет собой систему
атомов, размещенных на весьма близких расстояниях друг от друга правильными рядами. Все эти ряды образуют кристаллическую
решетку. Аморфные материалы характеризуются неправильным
расположением атомов. Атомы удерживаются в равновесии силами
взаимодействия. Деформация тела происходит вследствие изменения расположения атомов, их сближения или удаления.
Деформации делятся на упругие и остаточные (пластические).
Упругими деформациями называются такие изменения формы
и размеров элементов, которые исчезают после удаления вызвавших их сил, т. е. тело полностью восстанавливает прежнюю
форму. Эти деформации связаны лишь с упругими искажениями решетки атомов. Результаты экспериментов показывают, что
упругие деформации наблюдаются, пока значение внешних сил
не превосходит известного предела. Если внешние силы перешли
этот предел, то после их удаления форма и размеры элемента не
восстанавливаются в первоначальном виде. Оставшиеся разности
размеров называют остаточными деформациями. Эти деформации в кристаллических материалах связаны с необратимыми перемещениями одних слоев кристаллической решетки относительно других. При удалении внешних сил сместившиеся слои атомов
сохраняют свое положение.
12
Пластичность – способность материала без разрушения давать
большие остаточные деформации. Противоположным пластичности является свойство хрупкости. Хрупкость – способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций [2].
Хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению и ударам. Они очень чувствительны к местным напряжениям и не переносят исправлений конструктивных форм изготовленных из них
деталей. Пластичные материалы не обладают этими недостатками. Таким образом пластичность является одним из самых важных
качеств материала [1]. Достоинство хрупких материалов – их более
низкая стоимость и более высокий, чем у пластичных, предел прочности при сжатии. Однако следует отметить, что деление материалов на хрупкие и пластичные относительно. Хрупкий материал
может получить свойства пластичного и наоборот. Такие свойства
материала, как хрупкость и пластичность, зависят от способа обработки материала, температурного режима, вида напряженного
состояния.
Материал конструкции в зависимости от нагружения может находиться в различных механических состояниях:
– упругом – при небольших внешних силах, когда в выделенном
из материала элементе возникают только упругие деформации;
– пластическом – при больших внешних силах, когда в выделенном из материала элементе появляются значительные остаточные деформации;
– разрушения – при дальнейшем увеличении нагрузки, когда
величины рабочих напряжений превышают предел прочности материала (сопровождается образованием местных трещин).
Смещение атомов при деформации материала под действием
внешних сил сопровождается изменением сил взаимодействия
между атомами – сил притяжения и отталкивания. В элементах
конструкции под действием внешних сил возникают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию материала.
Можно сказать, что деформация возникает в результате действия внутренних сил, которые появляются вследствие внешнего
воздействия. В то же время в статически неопределимых системах
возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок вследствие погрешностей изготовления и сборки, а также из-за изменения температуры.
Деформация является мерой оценки жесткости конструкции.
Жесткость характеризует одновременно физические свойства ма13
териала и геометрические размеры поперечного сечения. Чем больше жесткость стержня, тем меньшую деформацию он получит при
одной и той же длине.
Величина, обратная жесткости и выражающая меру способности элемента конструкции или соединения к деформациям, называется податливостью.
В сопротивлении материалов деформация является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности
точки рассматриваемого поперечного сечения элемента. Как правило, она является безразмерной (относительной) величиной или
измеряется в процентах.
Различают деформации линейные и угловые.
Для того чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного тела,
расположенные друг от друга на расстоянии s (рис. 7). Вследствие изменения формы тела, это расстояние увеличится на величину Δs.
В результате можно записать
ΔS
lim =
= ε AB .
S
s®0
Величина εAB называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ.
Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном
теле двумя отрезками OD и ОС (см. рис. 7). После нагружения тела
D¢
C¢
B¢
O¢
D
s+∆s
A¢
C
O
B
A
s
Рис. 7. Линейные и угловые деформации
14
внешними силами этот угол изменится и примет вид угла C’O’D’.
Предел разности углов COD и C’O’D’

=
γ COD
lim COD − C ′Oˆ ′D ′
OC→0
OD→0
(
)
называется угловой деформацией, или углом сдвига в точке О в плоскости COD.
Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций в различных плоскостях для одной
точки образует деформированное состояние в точке.
Можно выделить простые и сложные деформации. К простым
деформациям относятся осевое растяжение (сжатие), чистый сдвиг,
кручение, плоский изгиб. Под сложным сопротивлением понимают противодействие комбинированным нагрузкам. При сложном
сопротивлении имеет место комбинация простейших деформаций.
Например, косой изгиб, кручение и изгиб, совместное действие изгиба и растяжения или сжатия. внецентренное растяжение (сжатие). Далее подробно рассмотрим разные виды деформаций.
15
4. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ). ЗАКОН ГУКА
m
m
b
а)
∆b
2
Под осевым растяжением (сжатием) понимают такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает
только нормальная сила N [1–3].
Осевое растяжение (рис.8, а) появляется при действии на прямолинейный стержень двух равных и противоположно направленных
сил P, приложенных к центрам тяжести концевых сечений и направленных по оси стержня. При противоположном направлении
сил P имеем осевое сжатие (рис. 8, б).
Принимая гипотезу плоских сечений, согласно которой в рассматриваемом стержне все плоские сечения, нормальные к оси стержня,
и после деформации остаются плоскими и нормальными к его оси,
перемещаясь параллельно, можно предположить, что все продольные элементы стержня растягиваются одинаково. Справедливость
гипотезы плоских сечений подтверждается опытными данными для
сечений, достаточно удаленных от места приложения силы Р.
Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают
продольные и поперечные деформации. Стержень, находясь в равновесии под действием растягивающих сил, удлиняется в продольном направлении на величину Δl = l1 –l, а его ширина уменьшается
на величину Δb = b–b1. В случае сжатия наблюдается противоположная картина. При растяжении стержня продольной деформацией является удлинение, поперечной – укорочение. При сжатии
стержня продольной деформацией является укорочение, а поперечной – удлинение.
P
m
l
b1
P
X
∆l
2
m
l1
б)
P
P
Рис.8. Деформация растяжения (а) и сжатия (б)
16
N
P
При растяжении приращение длины Δl называется абсолютным удлинением, а приращение длины Δb – абсолютным укорочением. В случае сжатия стержня Δl – абсолютное укорочение,
а Δb – абсолютное удлинение. При этом величина Δl имеет знак
«минус».
Для удобства расчетов вводят относительную продольную деформацию ε, равную отношению абсолютной продольной деформации Δl к первоначальной длине стержня l, и относительную поперечную деформацию ε′, равную отношению абсолютной поперечной
деформации Δb к первоначальной ширине стержня b:
Δl
Δb
(2)
ε = , ε¢ = .
l
b Экспериментально установлено, что для большинства материалов ε′ в три-четыре раза меньше, чем ε.
Абсолютная величина отношения относительной поперечной
деформации ε′ к относительной продольной ε называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона μ
ε¢
μ= .
ε
Коэффициент Пуассона μ, как и модуль упругости первого рода
E, является характеристикой упругих свойств материала.
Для определения напряжения в поперечном сечении, перпендикулярном к оси стержня, применим метод сечений.
Рассечем мысленно стержень (рис. 8, а) на две части поперечным сечением mm и правую часть отбросим. Для уравновешивания
оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние силы N, направленные нормально к плоскости сечения. Эти
силы заменяют действие удаленной правой части стержня на левую его часть. Равнодействующая сила N действует по оси стержня и по величине равна силе P (согласно уравнению статического
равновесия ∑ X = 0 ⇒ N = P ). В случае консольного стержня
(рис. 9), устранив связи, согласно принципу освобождаемости, и
заменив их действие силами – реакциями связей (в нашем случае
реакцией RA), перейдем к расчетной схеме стержня, изображенной на рис. 8,а. Уравнение равновесия в этом случае примет вид
å X = 0, å X = R A - P = 0 Þ R A = P Þ N = P.
Согласно гипотезе плоских сечений можно утверждать, что при
растяжении внутренние силы распределены равномерно по всему
17
A
RA
P
X
P
Рис. 9. Расчетная схема консольного стержня
сечению, поэтому нормальное напряжение во всех точках поперечного сечения определяют по формуле
N P
σ
= =
,
S S (3)
где S – площадь поперечного сечения стержня.
Для случая сжатия напряжение σ следует считать отрицательP
ным: σ = - . Нагрузки и деформации, возникающие в стержне,
S
связаны между собой. При растяжении или сжатии стержня закон
Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением
σ и относительной деформацией ε:
σ =Eε.
(4)
Коэффициент Е, входящий в эту формулу, называется модулем
упругости первого рода, или модулем Юнга первого рода. Модуль
упругости характеризует жесткость материала, т. е. способность
его сопротивляться упругой деформации при растяжении. Величина модуля упругости материалов устанавливается экспериментально.
Пропорциональность эта нарушается, если напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Формулу (3) можно записать в другом виде, подставляя в нее
вместо ε и σ их выражения (1), (2), при этом получаем:
Nl
Δl =
.
ES Произведение ES называется жесткостью при растяжении
(сжатии). Жесткость характеризует одновременно физические
свойства материала и геометрические размеры сечения. Чем больше жесткость стержня, тем он испытывает меньшую деформацию
при одной и той же длине.
18
Для безопасной работы конструкции напряжения, возникающие в ее элементах, должны быть ниже установленного для данного материала предельного напряжения [σ], называемого допускаемым. Условие статической прочности при растяжении (сжатии)
для однородного по материалу и поперечному сечению стержня
определяют по формуле
P
σ = £ [σ ].
S
Допускаемое напряжение определяется как отношение опасного напряжения σоп, при котором может произойти разрушение
стержня или значительная деформация, к коэффициенту запаса
прочности n:
σ
[σ ] = îï .
n
За опасное напряжение для пластичных материалов принимается предел текучести σт, а для хрупких материалов – предел прочности σв (временное сопротивление).
Однако нельзя говорить о том, что все материалы одинаково работают на растяжение и сжатие. Механические испытания показали, что хрупкие материалы обладают, как правило, более высокими прочностными показателями при сжатии, чем при растяжении.
Образцы пластичных материалов довести до разрушения практически невозможно [2].
Условие жесткости при растяжении (сжатии) для однородного
по материалу и поперечному сечению стержня определяют по формуле
Δl ≤ [Δl],
где [Δl] – ограничение перемещения стержня.
Если стержень неоднороден по поперечному сечению и нагружению, то для оценки его прочностных и жесткостных свойств проводится столько сечений, сколько участков с однотипным нагружением. Проверка прочности выполняется для опасного сечения,
т.е. такого, в котором нормальное напряжение σ оказалось максимальным: σmax ≤ [σ]. Для оценки жесткости стержня для каждого
сечения рассчитывают значения Δl и определяют суммарное перемещение ΔlΣ = Δl1 +Δl2 + …+Δln, которое сравнивается с допускаемым: ΔlΣ ≤ [Δl]. Условие жесткости также может ограничивать и
перемещение отдельных участков стержня: Δl1 ≤ [Δl1], Δl2 ≤ [Δl2]
… Δln ≤ [Δln].
19
Для выявления опасного сечения строят эпюры внутренних силовых факторов: N, σ и Δl [1,2,4]. При построении эпюры перемещений выбирают точку отсчета (она может быть любой, но обычно
это точка защемления). На границах участков откладывают значения удлинений и соединяют полученные точки прямыми. При этом
учитывают, что последующие участки стержня (как участки твердого тела) приобретают перемещение предыдущего участка. Эпюра перемещений может быть использована при оценке влияния
упругих деформаций элементов приборов на их точность. Пример
классической задачи расчета на прочность и жесткость консольного (защемленного одним концом) стержня при растяжении (сжатии) приведен в Приложении (задача 1). Пример расчета стержня
с двухсторонней заделкой при наличии перепада температур – задача 2 Приложения.
20
5. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
В зависимости от формы выделенной конструкции и условий нагружения для определения напряженного состояния в какой-либо
точке ее сечения в окрестности этой точки вырезают элементарный
объем –шестигранник (куб или параллелепипед) со сторонами dx,
dy, dz, либо четырехгранник (треугольную призму), одна из сторон
которого образована произвольно ориентированной секущей плоскостью. Считают, что напряжения на гранях элементарного объема известны.
Полное представление об опасности, угрожающей прочности
стержня, можно получить, рассматривая напряжения, действующие
не только в поперечных, но и наклонных сечениях. При любом угле
наклона площадки α в каждой точке проведенного разреза действуют
как нормальные (σ), так и касательные (τ) напряжения [1]. Наличие
двух видов напряжений приводит к двум видам деформации: удлинению (или укорочению) и деформации сдвига (рис. 10). Этому соответствует и два вида разрушения материала – отрыв и сдвиг.
Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам, перпендикулярным к оси стержня, а наибольшие касательные напряжения– по площадкам, составляющим угол 45°с направлением оси стержня и равны половине наибольших нормальных
напряжений.
а)
α
− σα
б)
–τ α
+σα
α
α
α
P
+τ α
P
Рис.10. Принятые знаки нормальных и касательных напряжений
в точке наклонного сечения: при сжатии (а); при растяжении (б)
21
Таким образом, и при простом растяжении возможно появление
двух видов напряжений – нормальных (σ) и касательных (τ). При
α=0° возникают только нормальные напряжения. При α=90° и нормальные, и касательные напряжения отсутствуют.
Рассмотрим элементарный куб со сторонами dx, dy, dz, который
можно ориентировать так, чтобы его грани были свободны от касательных напряжений. Площадки, по которым касательные напряжения отсутствуют, называются главными. Нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными
напряжениями.
В теории упругости доказывается, что в каждой точке любого
напряженного тела можно провести три взаимно перпендикулярные площадки, по которым действуют три главных (нормальных)
напряжения. Одно из них – наибольшее, другое наименьшее, третье – промежуточное.
В каждой точке напряженного тела можно выделить элементарный куб, гранями которого служат главные площадки. Материал
куба растягивается или сжимается тремя взаимно перпендикулярными главными напряжениями, передающимися через эти грани
(рис. 11).
Напряженное состояние в точке можно характеризовать совокупностью только трех главных напряжений: σ1, σ2, σ3. Нумерацию этих напряжений установим таким образом, чтобы σ1 соответствовало наибольшему по алгебраической величине, а σ3 – наиσ1
σ3
σ2
σ2
σ3
σ1
Рис. 11. Главные напряжения на гранях
выделенного элементарного куба
22
меньшему напряжению (σ1>σ2>σ3>0), напряжение σ2 будем считать промежуточным. Так, если из трех главных напряжений,
равных 100МПа, −200МПа, 80Мпа, требуется определить σ1, σ2 и
σ3, то σ1=100МПа, σ2=80МПа, σ3= −200МПа.
При изменении напряженного состояния материала элемента
конструкции меняется и нумерация главных напряжений. Если
вместо растяжения по трем взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 11) по одному из них действует наименьшее по алгебраической величине сжимающее напряжение, то его необходимо
нумеровать σ3.
Различают три вида напряженного состояния:
– объемное напряженное состояние, при котором все три главных напряжения не равны нулю (например, случай растяжения
или сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям);
– плоское напряженное состояние, при котором одно из главных напряжений равно нулю (случай растяжения или сжатия по
двум направлениям, чистый сдвиг);
– линейное (одноосное) напряженное состояние, при котором
два главных напряжения равны нулю (случай растяжения или
сжатия в одном направлении).
Плоское и объемное напряженные состояния относятся к случаю сложного напряженного состояния. Для проверки прочности
материала при сложном напряженном состоянии используют теории хрупкого (теория отрыва) и вязкого (теория среза) разрушения. Определение главных напряжений в этом случае является
промежуточным этапом расчета [1,2].
Между компонентами напряженного и деформированного состояний существует зависимость, которая в пределах малых деформаций является линейной и носит название обобщенного закона Гука.
Для объемного напряженного состояния можно записать:

1
ε=


ε=
2


3
ε=

1
( σ1 − μ ( σ2 + σ3 ) ),
E
1
( σ2 − μ ( σ1 + σ3 ) ),
E
1
( σ3 − μ ( σ1 + σ2 ) ),
E
(5)
где μ – коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга первого рода.
В соотношениях (5) первые слагаемые характеризуют продольную деформацию, а вторые – поперечную.
23
6. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ И ОБЪЕМНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ. КРУГИ МОРА (КРУГОВЫЕ
ДИАГРАММЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ)
Для проверки прочности элемента конструкции при плоском и
объемном напряженном состоянии необходимо найти наибольшие
значения нормальных и касательных напряжений.
Плоское напряженное состояние
В условиях плоского напряженного состояния работают материалы пластин и оболочек, тонкостенных сосудов цилиндрической,
сферической и конической форм. Плоское напряженное состояние
возникает в быстровращающихся тонких дисках постоянной толщины.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, растянутый
внешними силами P1 и Р2, приложенными в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 12, а). Материал данного элемента в любой произвольной точке испытывает плоское напряженное
состояние. Пусть по его боковым граням действуют главные растягивающие напряжения σ1 и σ2 (рис.12, б). По фасадным граням
элемента напряжения отсутствуют, следовательно, третье главное
напряжение σ3 равно нулю [1]. Примем σ1>σ2.
Определим наибольшие нормальные и касательные напряжения по сечениям, перпендикулярным к фасадным граням элемента. Сначала выведем формулы, позволяющие определить наа)
б)
P1
n
I
α1
α2
σ1
τα
σα
P2
P2
II
σ2
σ2
P1
σ1
Рис. 12. Главные напряжения, действующие по граням прямоугольного
параллелепипеда
24
пряжения, действующие по одной из наклонных площадок. Для
этого проведем наклонное сечение, нормаль к которому составит
с направлением I угол α1, а с направлением II – угол α2. Углы α1
и α2 будем отсчитывать против часовой стрелки от направлений
осей I и II соответственно, до нормали к рассматриваемому сечению. Пусть ось I совпадает с направлением наибольшего по алгебраической величине напряжения σ1, а ось II – наименьшего σ2.
По этому сечению будут действовать как нормальные (σα), так и
касательные (τα) напряжения. Они зависят и от σ1 и от σ2. Значения σα и τα можно найти, если сначала рассмотреть отдельно действие главных напряжений σ1 и σ2, а затем сложить полученные
результаты.
Для нахождения напряжений σ1, передающихся через рассматриваемую площадку (сечение), используем метод сечений и учтем условия равновесия нижней части параллелепипеда. Действие
верхней части элемента заменим внутренними напряжениями pα.
Для равновесия его нижней части напряжения pα должны уравновешивать попавшую в сечение внешнюю силу Р1 и быть направлены параллельно оси стержня (направление I), (рис.12, 13, а).
Таким образом, напряжения pα не перпендикулярны к той площадке, по которой они действуют. Их величина будет отличной от
напряжений, возникающих на площадке mk.
а)
б)
n
α
n
pα
m
P1
α
pα
+σα
α
k
n
m
n
+τα
A
α
k
P1
Рис. 13. Распределение напряжений по наклонной площадке
25
Предположим, что в достаточном удалении от места приложения внешних сил Р1 внутренние напряжения pα равномерно распределены по площади наклонного сечения mn, тогда
P
pα = 1 ,
Sα
где Sα – площадь наклонного сечения mn; Sα=S0 /cosα; S0 – площадь сечения mk.
Величина нормального напряжения σ0, действующего по площадке mk, перпендикулярной к растягивающей силе Р1, равна
P
σ0 = 1 .
S0
pα =
P1 cos α
= σ0 cos α.
S0
Тогда напряжение pα, действующее в точке A площадки mn, можно заменить двумя взаимно перпендикулярными напряжениями:
нормальным напряжением σα и касательным напряжением τα. Их
величины будут меняться в зависимости от изменения угла α между
нормалью к площадке и направлением растягивающей силы.
На основании рис. 13, б запишем формулы для вычисления напряжений σα и τα:
σα= pαcosα= σ0cos2α, (6)
1
τ α = pα sin α = σ0 sin α cos α = σ0 sin2α.
(7)
2
Аналогичные формулы для вычисления напряжений σα и τα мы
получим при рассмотрении напряженного состояния материала
элемента, вызываемого действием второй растягивающей силы Р2.
В этом случае напряжения pα должны уравновешивать попавшую
в сечение внешнюю силу Р2 и быть направлены параллельно другой
оси стержня (направление II) (рис.12,13, а).
В формулах (6)–(7) заменим σ0 на σ1 и σ2, получим
σα1=σ1cos2α1; σα2=σ2cos2α2;
1
τ α1 = σ1 sin α1 cos α1 = σ1 sin2α1;
2
1
τ α2 = σ2 sin α2 cos α2 = σ2 sin2α2 .
2
26
Полное нормальное напряжение σα, действующее по наклонным
площадкам, равно [1]
σα= σ1 cos2α1+ σ2 cos2α2= σ1 cos2α1+ σ2 cos2(90°+ α1),
σα= σ1 cos2α1+ σ2sin2 α1,
σ + σ2 σ1 - σ2
или
(8)
cos2α1.
σα = 1
+
2
2
Величина касательных напряжений τα, действующих в плоскости проведенного наклонного сечения, может быть рассчитана по
формуле
τ α = σ1 sin α1 cos α1 + σ2 sin α2 cos α2 =
1
1
= [σ1 sin2α1 + σ2 sin2α2 ] = éë σ1 sin2α1 + σ2 sin2(α1 + 90°)ùû ,
2
2
или τα =
σ1 - σ2
sin2α1. 2
(9)
При изменении углов наклона площадок α1 и α2 следует учесть,
что выбор знака тригонометрических функций зависит от того,
в какой четверти тригонометрической окружности лежит угол. Если одно из напряжений σ1, σ2 или оба будут сжимающими, в формулах (7) – (8) необходимо поменять знаки соответствующих напряжений с «+» на «–», а также изменить нумерацию главных
напряжений. Так, если одно из главных напряжений будет растягивающим, а другое – сжимающим, то первое следует нумеровать σ1, а второе – σ3. Если оба напряжения будут сжимающими,
то меньшее по абсолютной величине напряжение нумеруется σ2, а
большее – σ3.
Примем следующее правило знаков для углов α1, α2 и напряжений σα, τα: за положительное направление отсчета углов α1, α2
выберем направление против хода часовой стрелки; нормальные
растягивающие напряжения σα, совпадающие с направлением
внешней нормали n к сечению, будем считать положительными,
сжимающие – отрицательными; касательные напряжения τα будем считать положительными, если при повороте вектора τα против хода часовой стрелки на 90° его направление совпадет с направлением внешней нормали, тогда обратное направление вектора τα – отрицательное (рис.12). В формулах (8)–(9) угол наклона
α1 обозначим через α. Его отсчет будем вести от направления наибольшего по алгебраической величине главного напряжения против хода часовой стрелки. Таким образом, угол α – это угол между
27
внешней n нормалью к площадке (сечению) и направлением наибольшего главного напряжения σ1. Внешней нормалью будем назвать нормаль, направленную наружу по отношению к отсеченной части элемента.
Чтобы не учитывать знака тригонометрических функций систему координатных осей желательно ориентировать так, чтобы угол
α принимал значения от 0° до 90° и находился в первой четверти
тригонометрической окружности.
Используя формулы (8) и (9), позволяющие рассчитать напряжения по площадке a-a, найдем выражения для определения напряжений по площадке b–b. Площадка b–b перпендикулярна площадке a-a, угол β=α+90° (рис. 14). Площадка a-a имеет нормаль nα,
а площадка b-b – nβ.
Величина нормальных (σβ) и касательных (τβ) напряжений
равна
σβ= σ1 cos2β+ σ2 sin2β= σ1 cos2(α+90°) +σ2 sin2(α+90°),
σβ = σ1sin2α+ σ2cos2α,
σβ =
или
τβ =
σ1 + σ2 σ1 - σ2
cos2α.
2
2
(10)
σ1 - σ2
σ - σ2
sin2β = 1
sin (2α + 180°),
2
2
σ1 − σ2
sin2α.
(11)
2
Сложив алгебраически σα и σβ, получим
σα+ σβ = σ1+ σ2=const. (12)
Таким образом,можно сказать, что сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, постоянна и равна сумме главных напряжений.
Для касательных напряжений получим
τβ= − τα. (13)
Следовательно, касательные напряжения, действующие по
двум взаимно перпендикулярным площадкам, равны по величине
и противоположны по знаку.
Рассмотрим систему напряжений σα,σβ,τα,τβ, действующих на
гранях элементарного параллелепипеда, повернутого на некоторый угол α к направлению принятого за наибольшее (алгебраически) главное напряжение σ1 (рис.14).
=
τβ
28
n1
α
nα
σ1
σα
τα
β
b
σα
τα
σβ
nβ
σ2
σβ
τβ
τβ
a
a
σβ
σ2
τβ
τα
σα
b
σ1
Рис. 14. Система напряжений, действующих на гранях
элементарного параллелепипеда
Для нахождения наибольшего значения нормального напряжения исследуем выражение (8) на максимум. Возьмем производную
dσα
и приравняем ее к нулю, тогда получим
dα
dσα
= -2σ1ñosα sin α + 2σ2 sin α cos α = 0,
dα
dσα
(14)
= -(σ1 - σ2 )sin 2α = 0.
dα
Сравнивая выражения (14) и (9), видим, что условие максимума для σα совпадает с условием равенства нулю касательных
напряжений, действующих по соответствующим площадкам [1].
Из выражения (14) следует, что σα= σ1 cos2α+ σ2sin2α примет
наибольшее значение либо при α=0, либо при α=90°. Поскольку
σ1>σ2, получим
maxσα=σ1 (при α=0), minσα=σ2 (при α=90°).
(15)
Таким образом, наибольшее и наименьшее нормальные напряжения в данной точке – это главные напряжения σ1 и σ2, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам, свободным от
касательных напряжений [1].
29
Из формулы (9) следует, что наибольшее значение касательных
напряжений при sin2α=1, т.е. при α=45° будет равно
σ - σ2
(16)
max τ α = 1
.
2
Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны половине разности главных напряжений и действуют по площадкам,
наклоненным к главным напряжениям на угол 45° и перпендикулярны к плоскости чертежа [1]. По наклонным площадкам, параллельным σ2, наибольшее касательное напряжение будет равно
σ
(17)
max τ2 = 1 .
2 Величины напряжений σα, σβ, τα, τβ можно найти графическим
способом, построив круги Мора – круговые диаграммы напряженного состояния. Также с их помощью можно рассчитать главные
напряжения σ1, σ2 [1,2]. Принцип построения круговых диаграмм
напряженного состояния будет изложен далее.
Объемное напряженное состояние
Объемное напряженное состояние возникает в элементах круглого поперечного сечения, имеющих кольцевую выточку (например, в точках, лежащих на оси растягиваемого по трем взаимно
перпендикулярным направлениям элемента, может быть трехосное растяжение). Трехосное сжатие можно наблюдать в обоймах
подшипников, втулках и валах механизмов в зонах контакта соприкасающихся деталей.
Для оценки объемного напряженного состояния сначала выделим в окрестностях точки элементарный шестигранник (куб или
параллелепипед). В этом случае по граням выделенного из материала элементарного объема действуют и нормальные, и касательные напряжения (рис.15). Согласно закону парности напряжений
[1] τxy = τyx, τxz = τzx, τyz = τzy. Совокупность шести напряжений σx,
σy, σz и τxy, τyz, τzx полностью описывает напряженное состояние
в точке и называется тензором напряжений. Тензор напряжений
обычно задается матрицей. Если элементарный объем в пространстве ориентировать поворотом площадок так, чтобы его грани были
свободны от касательных напряжений, то тензор напряжений будет определяться тремя главными напряжениями σ1, σ2 и σ3, что
доказывается в теории упругости. Причем σ1>σ2>σ3>0. Направления главных напряжений совпадают с направлениями координатных осей x, y, z. Положим, что оси x, y, z – главные. Если все три
главных напряжения равны, т.е. σ1=σ2=σ3=σ (всестороннее равно30
y
σy
τyz
σx
τyx
τxy
σx
τzy
τzx
τxz
σz
x
σy
z
Рис. 15. Нормальные и касательные напряжения, действующие
по граням элементарного объема
мерное растяжение или сжатие), то тензор напряжений называют
шаровым [1].
От элементарного шестигранника перейдем к элементарному
четырехграннику. Элементарный четырехгранник обладает теми
же свойствами, что и параллелепипед. При уменьшении размеров
он стягивается в точку. Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, нагруженной произвольной системой сил (рис.16, а).
Три грани элементарного четырехгранника лежат в координатных плоскостях системы AXYZ, а четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью (на рис. 16, б секущая плоскость
заштрихована). Ориентацию в пространстве четвертой грани будем определять направляющими косинусами l, m, n нормали n
к секущей плоскости, l2+m2+n2=1. Также положим, что оси x, y,
z – главные и σx=σ1, σy=σ3, σz=σ2. Если в окрестности исследуемой точки элементарный объем выделен главными площадками,
то система сил, возникающих на гранях элемента, упрощается.
Также существенно упрощаются и выражения для определения
напряжений.
Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, на
оси x, y, z в общем случае получим
px= σ1l, py= σ3m, pz= σ2n, (18)
где l, m, n – направляющие косинусы нормали к произвольно ориентированной площадке; px, py, pz – проекции вектора полного на31
пряжения p на соответствующие координатные оси; p2= p2x+ p2y+
p2z= σ21l2+ σ23m2 + σ22n2.
Нормальное напряжение σn
σn = pxl+ pym+ pzn= σ1l2 +σ3m2 +σ2n2. (19)
Учитывая, что τ2n= p2 – σ2n, касательное напряжение τn можно
вычислить, используя выражение
τ2n=(σ1−σ2)2l2n2+( σ1−σ3)2l2m2+(σ2−σ3)2 n2m2. (20)
Величина τn – существенно положительная и обращается в нуль
на главных площадках.
Упростим задачу. Пусть треугольная призма образована путем
сечения элементарного шестигранника прямоугольными площадками, одна из которых независимо от угла наклона α, остается параллельной одной из главных осей, т.е. одному из трех главных
напряжений σx=σ1, σy=σ3, σz=σ2. В данном случае это ось z. Направление главных напряжений соответствует направлению координатных осей прямоугольной системы координат AXYZ (рис. 15,
16). На практике, как правило, в большинстве случаев положение
одной из главных площадок в исследуемой напряженной точке элемента можно указать заранее, что упрощает задачу.
Найдем нормальные и касательные напряжения, действующие
по наклонным площадкам, параллельным одному из главных напряжений, приняв, что σ1>σ2>σ3>0. Главное напряжение, параллельное проведенной площадке, не вызывает по ней ни нормальных, ни касательных напряжений [1,2]. Поэтому напряжения по
рассматриваемым площадкам будут зависеть лишь от двух других
б)
а)
σ3
Pn
A
n σ2
σα1
σ1
P1
y
α
τα1
σ1
x
σ2
z
σ3
Рис.16. Нормальные и касательные напряжения, действующие по
площадке, параллельной главному напряжению σ2
32
главных напряжений, например, σ1 и σ3 (σ2=0), если площадка параллельна напряжению σ2, как показано на рис.16, б т. е. от объемного напряженного состояния мы переходим к плоскому.
Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на
оси, параллельные векторам напряжений σ и τ,получим (рис.17):
dy
= σ1dzdy cos α + σ3dzdytgα sin α,
cos α
dy
τdz
= σ1dzdy sin α - σ3dzdytgα cos α,
cos α
σdz
или
σ = σ1cos2α+ σ3sin2α, τ =( σ1− σ3)sinαcosα. Перепишем формулы (20) в следующем виде:
σ + σ3 σ1 - σ3
σ= 1
+
cos2α,
2
2
(21)
σ1 - σ3
sin2α.
(22)
2
С помощью формул (21), (22) можно определить напряжения
в семействе площадок, параллельных одной из главных осей. Если
σ - σ3
перенести полусумму главных напряжений 1
в левую часть
2
первого уравнения и возвести в квадрат левые и правые части уравнений, то исключим угол α [2]. Получим уравнение окружности
в системе координат (σ, τ):
τ=
æ
ö2
æ
ö2
ççσ - σ1 + σ3 ÷÷ + τ2 = çç σ1 - σ3 ÷÷ .
(23)
çè
èç 2 ø÷ 2 ÷ø
Центр этой окружности наy
ходится на оси σ на расстоянии
σ1 + σ3
от начала координат.
σ
2
dy
Радиус окружности равен полоcosα
вине разности главных напряdy
жений. Она построена на отрезα
σ2
τ
σ1
ке σ1− σ3 как на диаметре. Полуx
ченный круг и есть круг Мора.
dz
σ2
Формулы (21), (22) похожи
dytgα
на выражения (8)−(14), полученσ3
z
ные для плоского напряженного
состояния, при котором σ3=0. Рис. 17. Напряжения, действующие
по граням призмы
Если будет равно нулю другое
33
главное напряжение σ1 или σ2, нумерация напряжений в формулах
(8)−(14) и (21), (22) изменится [1,2].
Нормальные и касательные напряжения, действующие по площадке с углом наклона α, можно вычислить следующим образом:
σ=
при σ2=0
при σ3=0 σ1 + σ3 σ1 - σ3
cos2α,
+
2
2
σ1 + σ2 σ1 − σ2
cos2α,
+
2
2
=
σ
σ2 + σ 3 σ2 - σ 3
+
cos2α,
2
2
при σ1=0
σ=
при σ2=0 =
τ
σ1 − σ3
sin2α,
2
при σ3=0 τ=
σ1 - σ2
sin2α,
2
при σ1=0 τ=
σ2 - σ 3
sin2α.
2
(24)
В общем случае объемного напряженного состояния материала,
когда площадки пересекают все три оси главных напряжений, величины нормальных σn и касательных τn напряжений рассчитываются по формулам:
σn = σ1 cos2α1 + σ2 cos2α2 + σ3 cos2α3,
2
2
2
2
2
2
2
τn = σ1 cos α1 + σ2 cos α2 + σ3 cos α 3 - σn ,
(25)
где α1, α2, α3 – углы между нормалью n к площадке и направлениями соответствующих главных напряжений σ1, σ2, σ3.
В общем случае объемного напряженного состояния материала, когда все три главных напряжения в рассматриваемой точке не
равны нулю, получаем
σ - σ3
(26)
.
max σn= σ1, min σn= σ3, max τn = 1
2
Наибольшее и наименьшее нормальные напряжения σn равны
соответственно наибольшему и наименьшему главным напряжениям. Наибольшее касательное напряжение равно половине разности наибольшего и наименьшего главных напряжений (радиусу
34
наибольшего круга на диаграмме напряженного состояния рис.20).
Оно действует по площадкам, имеющим угол наклона 45° к направлению главных напряжений. Нормальные напряжения для этих
площадок равны половине суммы наибольшего и наименьшего
главных напряжений (σ1>σ2>σ3>0) [1].
Касательные напряжения τ1,2, τ2,3, τ1,3, называют главными
касательными напряжениями. Их можно рассчитать по формулам:
τ1,3 =
σ1 - σ3
,
2
τ1,2 =
σ1 - σ2
,
2
σ2 - σ 3
.
(27)
2
Касательные напряжения, действующие по площадкам, параллельным одному из главных напряжений и наклонным к двум другим на угол 45°, будут максимальными max τ= τ1,3.
Для проверки прочности материала при сложном напряженном
состоянии вводится понятие октаэдрических площадок, т.е. площадок, равно наклоненных к главным (рис. 18). Нормаль к октаэдрической площадке составляет равные углы с направлениями
всех трех главных напряжений.
τ2,3 =
α3
y
σ3
n
α1
σn
σ1
α2
τn
σ2
z
σ1
x
σ3
Рис.18. Октаэдрические напряжения
35
Учитывая, что cos2α1+cos2α2 + cos2α3=1, углы α1=α2=α3 равны и
cos2α=1∕3 (l2=m2=n2=1∕3) получим
1
σîêò = (σ1 + σ2 + σ3 ) = σñð ,
3
τ îêò =
1
3
(σ1 - σ2 )2 + (σ2 - σ3 )2 + (σ1 - σ3 )2 .
(28)
Используя формулы (25), для главных касательных напряжений получим
2 2
τîêò
=
τ1,2 + τ22,3 + τ12,3 .
(29)
3
Из выражений (28) и (29) следует, что нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему из трех главных напряжений, а
касательное октаэдрическое напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений.
Для оценки степени развития напряжений в напряженном материале при сложном напряженном состоянии вводится понятие
интенсивности напряжений:
1
σi =
(σ1 - σ2 )2 + (σ2 - σ3 )2 + (σ1 - σ3 )2 .
2
(30)
При линейном (одноосном) напряженном состоянии, когда
σ2=σ3=0, (случай простого растяжения или сжатия в одном направлении), σi=σ1.
Нормальные и касательные напряжения можно также найти
графическим способом при помощи кругов Мора – круговых диаграмм напряженного состояния.
Для построения диаграмм используют уравнение окружности
в прямоугольной системе координат (σ, τ) (23). Координаты точек
окружности определяют напряжения. Центр окружности нахоσ + σ3
дится на оси σ на расстоянии 1
от начала координат, если
2
σ + σ2
, если
площадки параллельны главному напряжению σ2; 1
2
σ2 + σ 3
, если площадки параллельны
площадки параллельны σ3;
2
σ1 (рис. 16, 19 – 21).
Для площадок, параллельных главному напряжению σ2 (рис. 16),
уравнение окружности примет вид (23)
36
æ
ö2
æ
ö2
ççσ - σ1 + σ3 ÷÷ + τ2 = çç σ1 - σ3 ÷÷ ,
çè
èç 2 ø÷ 2 ÷ø
где σ – полное напряжение, σ= σ1 cos2α+ σ3sin2α, τ=(σ1– σ3)sinαcosα.
Выберем следующее направление координатных осей: положительную ось σ направим вправо, положительную ось τ – вверх. Ось
σ расположим параллельно главному напряжению σ1.
На оси σ в определенном масштабе будем откладывать отрезки, изображающие числовые величины главных напряжений σ1,
σ2, σ3. В положительном направлении отложим растягивающие,
а в отрицательном – сжимающие напряжения. Значения главных
напряжений – это диаметры кругов Мора. Половины диаметров –
их центры (рис. 19, 20).
Рассмотрим плоское напряженное состояние (рис.12). Пусть
σ1>σ2, σ3=0. Для нахождения нормальных и касательных напряжений σα и τα, действующих по площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением σ1 угол α, построим
при точке С центральный угол 2α, откладывая его положительные
значения от оси σ против хода часовой стрелки (рис. 19).
Тогда точка D круга Мора будет принадлежать выбранной
площадке, а ее координаты (OK, DK) соответственно равны σα,
τα [1]. Величина σα измеряется отрезком по оси σ, а τα– отрезком,
параллельным оси τ. Положительные значения σα отложены
в положительном направлении оси σ, а положительные значения τα направлены вверх, так как при принятых условиях значениям α от 0 до 90° соответствуют положительные величины τα,
σ - σ2
sin2α.
τα = 1
2
τ
σα
Do
D
τα
0
α C
B
σ2
2α
K
A
σ
M
σ1
Рис. 19. Построение круга Мора
37
Наибольшее значение касательных напряжений равно отрезку
CD0 – радиусу круга напряжений
σ - σ2
max τ α = 1
.
2
Наибольшему значению касательных напряжений maxτα соответствует угол 2α=90°, α=45°. В круге напряжений величина maxτα
изображается ординатой CD0, абсциссой ОС:
σ + σ2
OC = 1
.
2
Таким образом, на той площадке, где τα=τmax, нормальное напряжение является средним.
Наибольшее нормальное напряжение изображается отрезком
ОА и равно σ1, а наименьшее – отрезком ОВ и равно σ2. Следовательно величины нормальных напряжений по любой из рассматриваемых площадок с углом наклона α находятся между значениями
главных напряжений σ1 и σ2.
Таким образом, если при плоском напряженном состоянии известны главные напряжения в рассматриваемой точке, с помощью
кругов Мора можно найти величину и направление напряжений
в материале по любой площадке, проведенной через эту точку [1].
На круговой диаграмме плоского напряженного состояния напряжения, действующие по площадке, параллельной главному
напряжению σ2 (рис.16), будут изображаться координатами точек
круга (σ, τ), построенного на напряжениях σ1 и σ3. Напряжения по
площадкам, параллельным σ3, будут изображаться координатами
точек круга Мора, построенного на напряжениях σ1 и σ2; для площадок, параллельных σ1, – на напряжениях σ2 и σ3 (рис.20).
Если площадки пересекают все три оси главных напряжений,
то имеет место объемное напряженное состояние (заштрихованная
область на рис.20). Координатам точек, расположенным в заштрихованной области кругов Мора, соответствуют нормальные напряжения σn и τn. На рис. 20 показана точка D, попавшая в эту область,
и, следовательно, имеющая объемное напряженное состояние. Для
точек, расположенных в заштрихованной области, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга:
σ - σ3
τ max = 1
.
2
В случае объемного напряженного состояния наибольшее и наименьшее нормальные напряжения равны соответственно наиболь38
τ
σα
σn
D
Dα
τn
0
σ3
K
τα
E
σ
σ2
σ1
Рис.20. Диаграммы напряженного состояния (круги Мора)
для плоского и объемного напряженного состояний
шему и наименьшему главным напряжениям, что также следует из
рис. 20.
При помощи кругов Мора можно решить обратную задачу – по
напряжениям σα и τα, σβ и τβ найти главные напряжения [1]. Пусть
известны нормальные и касательные напряжения по двум взаимно
перпендикулярным площадкам с нормалями nx и ny (рис.21). При
построении круга примем, что σα> σβ>0 и τ>0.
Нанесем напряжения σα и τα, σβ и τβ на систему координат искомого круга напряжений: σα=OKα, σβ= OKβ, τα=KαDα, τβ=KβDβ.
Kα Dα = − Kβ Dβ .
Поскольку точки Dα и Dβ соответствуют взаимно перпендикулярным площадкам и находятся на противоположных концах диаметра круга, то точка пересечения линии Dα Dβ с осью σ даст центр
круга С. Описывая из точки С круг радиусом СDα или СDβ, получим
на оси σ отрезки ОА и ОВ, изображающие главные напряжения:
ОА=σ1 и ОВ=σ2. Направление σα на круге Мора изображается прямой ВDα, наклоненной к оси σ на положительный угол α. Следовательно, чтобы перейти в круге напряжений от линии σ1 к линии σα,
необходимо отложить угол α против часовой стрелки, двигаясь от
точки А к точке Dα. Известным считается направление Dα.Поэтому,
чтобы на чертеже рассматриваемого элемента изобразить искомое
направление σ1, надо от направления σα отложить угол α в обратную сторону, по часовой стрелке. Относительное расположение на39
пряжений σ1 и σ2, изображаемых на чертеже круга Мора линиями
ОА и ОВ, должно быть сохранено и на чертеже элемента. Чтобы
дать на круге Мора истинное направление главного напряжения
σ1, совпадающее с получаемым на чертеже элемента, необходимо
от оси σ, параллельной направлению σα, отложить угол α из крайней левой точки В круга по часовой стрелке, т.е. снести точку Dα
в точку Dα. Направление ВDα теперь совпадает с направлением σ1,
а направление σ2 будет к нему перпендикулярно. При изображении
главных напряжений необходимо помнить об их знаках, полученных при построении круга, а также соблюдать правило нумерации
главных напряжений.
Величина угла α определяется по формулам:
tg2α = -
tgα = -
Dα¢ Kα
2τ α
=,
σ α - σβ
CKα
τα
τα
Dα¢ Kα
==.
σ α - σ2
σ1 - σβ
BKα
Знак «минус» ставится потому, что при положительных значениях σα и τα угол α (угол поворота направления σα к главному направлению) отсчитывается по часовой стрелке.
Используя рис. 21, можно получить формулы для расчета главных напряжений, изображаемых отрезками ОА и ОВ, при плоском
напряженном состоянии. В соответствии с чертежом имеем
ny
τ
σα
σβ
τβ
Dα
σ2
σ1
σα
σα
nx
τα
τα
σ2
σ1
τβ
σβ
Kβ
B
0
σ2
α C
τα
2α
A
α Kα
σβ
Dβ
τβ
D′α
σ
σ1
σ1
Рис. 21. Определение главных напряжений при помощи кругов Мора
40
OA = OC + CA
и
OB = OC - CB.
Далее получим
σ α + σβ
OC =
2
; CKα = CKβ =
σ α - σβ
2
.
Радиусы круга Мора:
ÑÀ = ÑÂ = ÑDα = ÑDβ =
2
=
CKα2
+ Kα Dα2
=
( σ α - σβ )
4
+ τ2α =
1
2
2
( σ α - σβ )
+ 4τ2α .
Таким образом,
ï
σ1 = OA ü
ï 1é
ý = êê(σα + σβ ) ±
ï
2ë
σ2 = OBï
ï
þ
2
( σ α - σβ )
ù
+ 4τ2α ú .
ú
û
На практике очень часто σβ=0. Тогда формулы для вычисления
главных напряжений примут вид
σ1 = üïï 1 é
2
2ù
ý = ê σ ± σ α + 4τ α ú .
úû
σ3 =ïïþ 2 êë α
В этом случае наименьшее главное напряжение нумеруется
σ3, так как оно отрицательно, поскольку подкоренное выражение
больше σα.
Угол наклона напряжения σ1 к оси σ определяется следующим
образом:
tg2α = -
2τ α
,
σα
tgα = -
τα
.
σ1
41
7. ЧИСТЫЙ СДВИГ
Для изучения деформации сдвига желательно найти такие площадки, по которым действуют только касательные напряжения.
Под чистым сдвигом понимают такой вид напряженного состояния, при котором по граням выделенного из материала элемента
возникают только касательные напряжения [1–3]. Такое состояние
характерно для элементов, работающих на срез и смятие, (штифтов, шпонок, шлицов, болтов, заклепок и др.).
Чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния при α=45° и при σ1+σ3=0. Такой сдвиг эквивалентен
комбинации двух равных по величине главных напряжений – растягивающего и сжимающего.
По площадкам, наклоненным на угол α=45° к направлению главных напряжений, возникают только касательные напряжения,
под действием которых элемент подвергается деформации сдвига.
В то же время материал этого элемента в направлении главных напряжений работает на растяжение (сжатие). Деформация сдвига
непременно сопровождается деформацией растяжения (сжатия), а
деформация растяжения или сжатия – сдвигом.
Пусть элемент в виде куба подвергается деформации чистого
сдвига. Закрепим неподвижно грань АВ этого элемента. Под действием касательных напряжений грань CD сдвинется параллельно
АВ на величину ΔS, называемую абсолютным сдвигом. В результате элемент ABCD перекосится. Прямые углы станут острыми или
а)
∆S
C
τ
C1
45˚
D
D1
45˚
б)
τ
C
σ3
D2
D
σ1
τ
∆l
τ
a
τ
γ
τ
σ1
A
B
τ
a
A
σ3
τ
B
Рис.22. Напряжения и деформации
в выделенном из материала элементе: а – характер деформированного
состояния; б – характер распределения главных напряжений σ1 и σ3
42
тупыми, изменившись на величину γ, называемую углом сдвига
или относительным сдвигом.
Угол сдвига γ равен
ΔS
γ = tgγ =
,
a где ΔS – абсолютный сдвиг; ΔS = СС1 = DD1; a – длина ребра выделенного элемента.
Относительный сдвиг γ (величина перекоса элемента) численно
характеризует деформацию сдвига.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DD1D2 (рис. 22, а).
Сторона DD1 этого треугольника – абсолютный сдвиг ΔS, а сторона
D2D1 – удлинение диагонали Δl. Угол при точке D1 из-за малости
деформации принимаем равным 45°. Тогда Δl = ΔScos45°.
Δl
Относительное удлинение диагонали ε = ,
l
α
.
где l =

sin 45
Выразим относительное удлинение диагонали ε через относительный сдвиг γ
Δl ΔS
1
1
ε= =
cos 45 sin 45 = γ ; ε = γ .
(31)
2
2 l
a
Вместе с тем относительное удлинение диагонали ε (рис. 22,б),
вызванное действием главных напряжений σ1 = τ и σ3 = − τ, можно
выразить через обобщенный закон Гука (5)
σ
σ
τ
τ
ε = ε1 = 1 - μ 3 = (1 + μ); ε = (1 + μ).
(32)
E
E
E
E
Подставив в формулу (32) выраженное через обобщенный закон
Гука относительное удлинение диагонали ε (6), получим
τ
E
1
γ.
(1 + μ) = γ ; τ =
E
2
2(1 + μ)
E
Коэффициент пропорциональности
= G называют моду2(1 + μ)
лем Юнга второго рода, или модулем упругости при сдвиге. Закон
Гука при сдвиге выражается формулой
τ = Gγ.
Таким образом, относительный сдвиг γ и касательное напряжение τ пропорциональны друг другу, т. е. при сдвиге напряжение и
соответствующая ему относительная деформация связаны законом
Гука.
43
Условия прочности и жесткости при чистом сдвиге соответственно записывают в виде
τ ≤ [τ],
γ ≤ [γ],
где [τ], [γ] – допускаемые значения касательного напряжения и угла сдвига для данного типа материала.
При практических расчетах на прочность элементов соединений
(штифтов, шпонок, шлицов, болтов, заклепок и др.) производят проверку по напряжениям на срез и смятие. Сдвиг выражается в том, что
по плоскости раздела соединяемых элементов происходит срез, а по
поверхности элементов – смятие. При срезе в опасном сечении возникают касательные напряжения, а при смятии – нормальные.
В качестве примера рассмотрим штифтовое соединение.
С помощью штифта на валу редуктора крепится зубчатое колесо
(рис. 23). Проверка прочности штифта заданного диаметра dш производится на срез и смятие по допускаемым напряжениям материала [τ]ср и [σ]см. По плоскостям среза штифта действуют касательные напряжения τср
P
P
,
τ ñð =
=
(33)
2
Sñð z 2πdø
/4 где P – действующая на штифт сила; z – число плоскостей среза
для одного штифта, закрепляющего на валу зубчатое колесо, z = 2;
πd2
Sср – площадь среза, Sñð = ø .
4
Рассчитанное по формуле (33) касательное напряжение τср сравнивают с допускаемым напряжением на срез [τ]ср. Условие прочности на срез записывают в виде
τср ≤ [τ]ср.
τ
σ
σ
τ
Рис. 23. Действие нормальных и касательных
напряжений на штифт
44
По поверхности смятия штифта действуют нормальные напряжения σсм
P
,
σñì =
(34)
Sñì
где P – действующая на штифт сила; Sсм – площадь смятия, Sсм =
(D − dв )dш. Здесь D – диаметр ступицы колеса; dв – диаметр вала.
Рассчитанное по формуле (34) нормальное напряжение σсм сравнивают с допускаемым напряжением на смятие [σ]см. Условие
прочности на смятие записывается в виде
σсм ≤ [σ]см.
Если какое-либо из условий прочности не выполняется, следует
выбрать другой материал штифта, либо изменить его диаметр [1 – 4].
Примеры расчета соединений деталей на сдвиг приведены
в Приложении (задачи 3, 4).
45
8. КРУЧЕНИЕ
Одним из основных видов деформаций валов механизмов, торсионов в подвесах измерительных приборов, втулок является деформация кручения. Такая деформация приводит к появлению углов
закручивания участков валов в силовых механизмах и собственных колебаний в подвесах измерительных приборов. Деформация
кручения представляет собой чистый сдвиг сечений вала в плоскости, перпендикулярной оси вращения [1–3].
Кручение – это вид деформации, при котором в поперечном сечении вала возникает только внутренний крутящий момент Мк. На
основании опытов можно сказать, что деформация кручения вала
круглого сечения осуществляется разнонаправленными внешними
крутящими моментами М, приложенными на концах скрученного
участка вала (рис. 24).
Рассмотрим механизм деформации вала круглого поперечного
сечения. Примем следующие гипотезы:
– все поперечные сечения после деформации остаются плоскими, а контуры всех проведенных сечений не искажаются;
– радиусы, проведенные в них, после деформации остаются прямыми и не искривляются;
– расстояния между сечениями не изменяются.
При скручивании вала круглого сечения парами разнонаправленных внешних моментов М все образующие цилиндра (рис. 25)
поворачиваются на один и тот же угол γ (угол сдвига), а квадраты,
нанесенные на поверхность вала, преобразуются в ромбы, т. е. подвергаются деформации сдвига.
Каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закруγ
τ
x
Х
τ
∆x
l
Рис. 24. Деформация кручения вала
46
М
чивания ϕ. Величина этого угла пропорциональна величине крутящего момента и расстоянию между сечениями.
Выделим (рис. 25,а) на поверхности скручиваемого вала до
его деформации двумя смежными образующими ab и cd и двумя
контурами смежных сечений 1–1 и 2–2 прямоугольник (квадрат)
ABCD.
После деформации оба сечения (1–1 и 2–2) повернутся относительно защемленного конца на углы ϕх (сечение 1–1) и ϕх + dϕ (сечение 2–2). На основании ранее принятых гипотез о взаимном повороте сечения оба сечения останутся плоскими, радиусы О2В и O1A, О1C
и О2D останутся прямыми, а расстояние dx между сечениями 1–1
и 2–2 останется без изменения. При таких условиях весь элемент
ABCDO1O2 сместится и перекосится, поскольку его правая грань, совпадающая с сечением 2–2, повернется на угол dϕ относительно левой, совпадающей с сечением 1–1. Прямоугольник (квадрат) ABCD
займет положение, показанное на рис. 25 штриховкой.
Для получения основных выражений, характеризующих прочность и жесткость выделенного элемента сечения, рассмотрим деформацию малого сектора вала, приведенного на рис. 26.
Рассмотрим два параллельных треугольника с центрами О1 и
О2. Они расположены на расстоянии dx друг от друга и находятся
в сечениях 1–1 и 2–2 соответственно. Недеформированное состояние поверхности вала характеризуется квадратом ABCD. Сечение
с центром в точке О2 поворачивается на угол dϕ относительно неподвижной точки О1. Исходный квадрат, в этом случае, принимаа)
б)
M
a
O1
A1
C1
с
M
2
1
b
O2
d
b1
B1
D1
1
O1 d
O
A1
C1
1
O2
B1
D1
d1
dx
dx
x
2
2
1
2
Рис. 25. Принципиальная схема кручения:
а – поверхности вала; б – малого его элемента
47
dx
O1
ρ
r
γρ
B
A1
L
O2
dϕ
L1
τ γ
τ
B1
τ
C1
D
τ
dx
D1
Рис. 26. Принципиальная схема малого сектора вала
ет вид ромба A1B1C1D1. Между АВ и А1В1 образуется угол сдвига γ.
Абсолютный сдвиг элемента на поверхности вала равен BB1 = rdϕ,
BB1
dϕ
а относительный сдвиг γ =
=r
. Касательное напряжение τ
A1 B
dx
точки B1 находим по выражению
dϕ
(35)
τ B1 = γG = rG
,
dx E
где G =
– модуль упругости второго рода; Е – модуль упру2(1 + ì )
гости первого рода; μ – коэффициент Пуассона.
При рассмотрении промежуточной точки L1 на радиусе ρ напряжение τρ будет равно
dϕ
τρ = ρG .
(36)
dx Относительный сдвиг и касательное напряжение в каждой точке поперечного сечения скручиваемого вала (стержня, торсиона)
прямо пропорциональны расстоянию ρ этой точки от центра сечения.
Элементарный момент dM можно представить в виде
dM =dPρ = ρτρdS,
48
где dS – площадь элементарного участка; dP = τρdS – элементарная
сила.
Подставляя τρ из выражения (36) и интегрируя, получим выражение для крутящего момента Мк в следующем виде:
dϕ
Ìê = G
Iρ ,
dx
2
где Iρ = ò ρ dS – полярный момент инерции сечения.
Угол закручивания на единицу длины вала (относительный угол
закручивания) соответственно равен
dϕ Ìê
=
.
(37)
dx GIρ
Из формул (35)–(37) можно получить следующее соотношение:
M ρ
M
τ max = Ê max = Ê ,
Iρ
Wρ
Iρ
– полярный могде ρmax= r – наибольший радиус вала; Wρ =
ρmax
мент сопротивления сечения при кручении; τmax – наибольшее значение касательного напряжения в сечении.
Таким образом, наибольшего значения касательные напряжения
в поперечном сечении вала круглого сечения достигнут в точках сечения у поверхности вала при ρ=ρmax = r. В точках оси они равны
нулю. Касательные напряжения в поперечном (перпендикулярном
к оси) сечении вала меняются по линейному закону (рис. 27). По
закону парности касательных напряжений такие же напряжения
будут действовать и по продольным граням выделенного элемента
τ max
М
τ max
Рис. 27. Распределение касательных напряжений
в поперечном сечении вала
49
(рис. 26). Они также будут максимальными в точках у поверхности
вала и дойдут до нуля в точках оси [1]. Нормальных напряжений
в этих сечениях не будет.
Они действуют по наклонным сечениям. Наибольшего значения
нормальные напряжения достигают по сечениям, наклоненным
к оси вала под углом 45° (рис. 28).
Для валов круглого сечения с диаметром вала d:
Iρ =
πd4
πd3
» 0,1d4 ;Wρ =
» 0,2d3 ;
32
16
для полого вала c наружным диаметром dн и внутренним диаметром dв:
æ
d4 ö÷
d4 ö÷
π 4
π çæ
ç
Iρ =
dí - dâ4 = 0,1 dí4 - dâ4 ; Wρ = ççdí3 - â ÷÷÷ = 0,2ççdí3 - â ÷÷÷.
çè
32
16 çè
dí ø÷
dí ø÷
(
)
(
)
Условие прочности при кручении имеет вид:
M
(38)
max τ = Ê £ [ τ ].
Wρ
Условие прочности ограничивает наибольшее касательное напряжение в сечении maxτ допускаемым напряжением [τ].
Как отмечалось ранее, деформация стержня круглого сечения
при кручении характеризуется взаимным поворотом смежных сечений.
Условие жесткости при кручении для расстояния между сечениями, равного dx, записываем следующим образом:
dϕ Mê é dϕ ù
=
£ ê ú.
(39)
dx GIρ êë dx úû
45º
σ1
σ3
М
X
σ3
σ1
Рис.28. Распределение нормальных напряжений
по наклонным сечениям вала
50
Угол закручивания ϕ, получаемый в результате интегрирования
выражения (39) по х, при расстоянии между сечениями, равном l,
соответственно равен
M l
(40)
ϕ= ê .
GIρ
Эта формула выражает закон Гука при кручении. Как видно из
формулы (40), величина угла закручивания ϕ тем меньше (при данном Мк), чем больше произведение GIρ – так называемая жесткость
при кручении.
Параметр Iρ характеризует влияние размеров поперечного сечения на деформируемость стержня при кручении, а параметр G –
влияние упругих свойств материала.
С учетом формулы (40) условие жесткости при кручении имеет вид
M l
(41)
ϕ = ê £ [ϕ].
GIρ
Условие жесткости ограничивается углом закручивания [ϕ] на
метр длины вала, либо на длину, равную 20 его диаметрам [1–3].
Из выражения (41) можно получить исходную формулу для
определения модуля упругости при сдвиге G в виде:
M l
G= ê .
ϕIρ
Целью практического расчета элементов конструкций круглого
поперечного сечения, работающих на кручение, является правильный подбор материала и размеров поперечного сечения исходя из
условий прочности и жесткости. Для подбора диаметра вала или
оси с учетом условия прочности находят опасное сечение, в котором
внутренний крутящий момент Мк максимален. В условие прочности (38) подставляется максимальное значение Мк. Используя (38),
рассчитывают диаметр вала. Для подбора диаметра вала или оси
согласно условию жесткости в (41) подставляют допускаемое значение угла закручивания [ϕ] на метр длины вала или другую, определенную условием задачи длину вала. Используя (41), вычисляют
диаметр вала. Из двух рассчитанных диаметров выбирают наибольший, который округляют в большую сторону до ближайшего
стандартного значения [1,2,3].
В задачах на кручение рассчитывают также суммарный угол закручивания ϕΣ = ϕ1 + ϕ2+…+ϕn стержня. Для выявления опасного
51
сечения строятся эпюры внутренних силовых факторов: Мк и ϕ.
Классическая задача подбора диаметра стержня круглого поперечного сечения, работающего на кручение, рассмотрена в Приложении (задача 5).
В инженерной практике встречаются также случаи работы
на кручение стержней некруглого сечения. При кручении таких
стержней их поперечные сечения перестают быть плоскими, т. е.
подвергаются депланации. При расчете на прочность и жесткость
стержней некруглого сечения вводятся поправочные коэффициенты, которые приведены в справочной литературе [1–3].
52
9. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Одним из основных видов деформаций валов редукторов с цилиндрическими и коническими колесами, червячной передачи, элементов стержневых механизмов и микромеханических устройств,
а также частей несущих конструкций и продольно сжатых стержней является деформация изгиба.
Изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты
Ми [1–3].
Различают чистый и поперечный изгиб. При поперечном изгибе, в отличие от чистого, в поперечных сечениях стержня наряду
с изгибающим моментом Ми возникают поперечные силы Q. Изгибающий момент Ми и поперечная сила Q являются внутренними
силовыми факторами при изгибе.
При Q ≠ 0 в сечении возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Они складываются в систему внутренних силовых
факторов, которые совместно уравновешивают систему внешних
сил, приложенных к рассматриваемой части стержня.
Сила Q складывается из элементарных касательных усилий,
действующих в сечении. Она сдвигает это сечение относительно
смежного.
Изгибающий момент Ми – это момент внутренней пары сил.
Он складывается из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении стержня. Данный момент поворачивает это сечение относительно смежного, вызывая искривление
оси балки, т. е. изгиб. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.
Деформация изгиба возникает как на плоскости, так и в пространстве.
Под плоским изгибом понимают изгиб, при котором изогнутая
ось балки после деформации остается в плоскости действия сил.
Косой изгиб (случай сложного сопротивления – противодействия
комбинированным нагрузкам) представляет собой изгиб, при котором изогнутая ось балки после деформации не лежит в плоскости
действия сил.
Рассмотрим случай простого сопротивления (плоский изгиб).
Примем ряд допущений:
– при чистом изгибе поперечные сечения, бывшие плоскими до
деформации, остаются плоскими и во время деформации (гипотеза
плоских сечений);
53
– продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно,
под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение или сжатие;
– деформации волокон не зависят от их положения по ширине
сечения, и, следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по
высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
Введем три ограничения:
– балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние
силы лежат в этой плоскости;
– материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль
упругости при растяжении и сжатии одинаков;
– соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Для оценки величины нормальных напряжений и характера их
распределения рассмотрим стержень (балку) прямоугольного сечения, подвергающийся чистому изгибу парами внешних моментов М.
Двумя бесконечно близкими сечениями 1–1 и 2–2 выделим из
него элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации
представлен на рис. 29. Оба поперечных сечения 1–1 и 2–2, оставаясь плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей (точки О1 и О2
на фронтальной плоскости) и образуют угол dα [1,2].
Линия О1О2, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше
нейтрального слоя, укорачиваются, а расположенные ниже – удлиняются. Нейтральный слой (показан на рис. 29 пунктиром) – это слой
продольных волокон, не изменяющих длины при деформации, т. е.
поверхность, разделяющая сжатую зону и растянутую.
Рассмотрим волокно AB, которое расположено на расстоянии z
от нейтрального слоя. Первоначальная длина волокна dx при изгибе не изменяется и равна dx = ρdα. Длина волокна АВ после деформации равна AB= (ρ+z)dα. Его относительное удлинение можно
определить по формуле
ε=
(ρ + z)dα - ρdα
ρdα
z
= ,
ρ где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя.
Используя закон Гука при растяжении, вычисляем нормальные
напряжения при изгибе:
σ= Eε =
54
Ez
,
ρ (42)
1
2
O1
M
O2
M
z
A
B
1
dx
2
C
dα
ρ
M
M
O1
O2
z
σ
A
σ
B
Рис.29. Расчетная схема деформации изгиба элемента dx
где E – модуль упругости материала при растяжении (модуль Юнга
первого рода).
Уравнение (42), характеризующее закон Гука при изгибе, показывает, что величина нормальных напряжений в данном случае
изменяется прямо пропорционально расстоянию z от рассматриваемой точки сечения до нейтрального слоя. Это означает, что напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону с переменой знака. Максимального значения они достигнут на поверхности стержня, у верхнего и нижнего краев сечения при z=zmax.
Уравнение (42) отражает только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для
их вычисления. Для этого решим совместно уравнения равновесия
статики (ΣX=0, ΣMy=0 и ΣMz=0) и уравнение (42), выражающее закон Гука при изгибе.
55
Характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения показан на рис. 30.
Расчетная схема внутренних изгибающих моментов в поперечном сечении стержня показана на рис. 31. За ось Z принята линия
пересечения плоскости симметрии стержня с плоскостью сечения.
За ось Y принята нейтральная ось сечения. Ось X направлена вдоль
нейтрального слоя перпендикулярно осям Y и Z.
Уравнение равновесия относительно оси X имеет вид
E
ΣX =
0 èëè ∫ zds = 0.
ρ
s
Обозначим ò zds = Sy . Этот интеграл называется статическим
s
моментом площади сечения относительно нейтральной оси Y. Он
обращается в нуль только относительно центральной оси. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
σmax
М
Нейтральный слой
σmax
Рис. 30. Распределение нормальных напряжений
по высоте поперечного сечения стержня
M
y
x
0
0
z
dN
z
σ
y
ds
y
z
Рис. 31. Расчетная схема внутренних изгибающих моментов
в поперечном сечении стержня
56
Для определения величины нормальных напряжений в любой
точке сечения составим уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси Y. Обратимся к рис. 31. На нем показана одна
из отсеченных частей стержня, подвергающегося чистому изгибу
парами внешних моментов М. В каждой точке поперечного сечения
стержня действуют нормальные напряжения σ. На выделенную вокруг любой точки с координатами (y, z) элементарную площадку
dS действует элементарная внутренняя сила dN = σdS. Уравнение
равновесия внешних и внутренних моментов относительно оси Y
имеет вид
å My = 0, M - å dN × z = 0 èëè
причем
M - ò σzdS = 0,
s
ò
σzdS= Ìè – внутренний изгибающий момент в сечении.
s
Оценивания значение σ по формуле (42) и подставляя его в уравнение ΣMy=0, получаем
E
(43)
z2dS = M. ρò
s
2
Обозначим ò z dS = Iy . Этот интеграл называется осевым моs
ментом инерции площади сечения относительно оси Y. Поскольку ось Y нейтральная ось, Iy есть момент инерции площади сечения
стержня относительно нейтральной оси. Обозначим Iy для краткости I, а внутренний изгибающий момент Ми – просто М.
Уравнение равновесия относительно оси Z имеет вид
E
å Mz = 0 èëè ρ ò yzds = 0.
s
Обозначим ò yzds = Iyz . Этот интеграл называется центробежs
ным моментом инерции относительно осей Y и Z.
Используя выражения (42) и (43), получаем формулу для определения нормальных напряжений в любой точке сечения в виде
Mz
σ=
.
(44)
I Из формулы (44) следует, что нормальные напряжения в любой
точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и обратно пропорциональны осевому моменту инерции (мо57
менту инерции сечения относительно нейтральной оси). Запишем
формулу (44) в следующем виде:
1 M
(45)
.
=
ρ EI Формула (45) – основная формула теории деформации. Из нее
вытекает, что чем больше при данном изгибающем моменте M момент инерции сечения I, тем большим оказывается радиус кривизны нейтрального слоя ρ, а стало быть, и ось балки, т. е. тем меньше
балка искривится [1,2].
Величина момента инерции I характеризует способность балки
сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы
ее поперечного сечения. Модуль Юнга первого рода Е характеризует ту же способность балки сопротивляться искривлению, но уже
в зависимости от типа материала балки. Произведение ЕI – жесткость балки при изгибе. Чем оно больше, тем меньше искривится
балка при действии данного изгибающего момента.
Максимальное нормальное напряжение σmax в опасном сечении
(при M = Mmax) соответственно равно
M
z
M
M
σmax = max max = max = max ,
(46)
I
I
W
z max
где W=I/zmax – осевой момент сопротивления площади сечения относительно оси Y.
Значения I и W для большинства стандартных форм сечений известны и приводятся в справочной литературе [1, 2].
Для стержня прямоугольного сечения
I=
bh3
I
I
bh2
;W =
;
=
=
12
zmax h
6
2
для стержней круглого сечения
I=
πd4
I
I πd3
» 0,05d4 ;W =
= =
» 0,1d3 .
zmax r
64
32
(47)
По величине максимального нормального напряжения σmax проверяется прочность элементов конструкции. Напряжение σmax сравнивается с допускаемым напряжением [σ]. В случае правильного
подбора размеров поперечного сечения конструктивного элемента и
его материала выполняется условие прочности при изгибе:
σmax ≤ [σ]. (48)
58
Если стержень имеет участки с разным нагружением, то в формулу (48) подставляют значение σmax, рассчитанное для опасного
сечения, такого, в котором максимален внутренний изгибающий
момент. Для выявления опасного сечения строятся эпюры внутренних силовых факторов: M и Q. При этом сечений проводится столько, сколько участков с однотипным нагружением [1, 2]. Классическая задача проверки прочности стержня, работающего на изгиб,
приведена в Приложении (задача 6).
При поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Это обусловлено тем, что в подобном случае в сечении стержня помимо
внутреннего изгибающего момента Ми действует и поперечная сила Q. Следовательно, в отличие от чистого изгиба при поперечном
изгибе поперечные сечения перестают быть плоскими, кроме того,
в продольных сечениях появляются напряжения надавливания
между слоями. Однако при Q=const искажение плоскости сечений
на величине нормальных напряжений сказывается мало, напряжения надавливания между слоями возникают при Q=var. Поэтому
при Q=const по длине стержня для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе можно использовать формулы
(44)–(46), полученные для чистого изгиба.
В 1855 г. Д. И. Журавский высказал предположения, которые
вполне допустимы для балки прямоугольного сечения, если ее высота h больше ширины b:
– направление всех касательных напряжений в сечении параллельно поперечной силе Q, которая является их равнодействующей:
– касательные напряжения, действующие по площадкам, расположенным на одном и том же расстоянии z от нейтральной оси,
равны между собой.
Величина касательного напряжения τ изменяется по высоте
прямоугольного сечения согласно закону параболы. У верхнего и
нижнего краев сечения τ обращается в нуль, а максимума достигает в точках на нейтральной оси (где нормальное напряжение равно
нулю). Характер распределения нормального и касательного напряжений при поперечном изгибе показан на рис. 32.
Для стержней с h >> b проверка прочности материала производится как по наибольшим нормальным (48), так и по наибольшим
касательным напряжениям:
τmax ≤ [τ]. Наибольшие касательные напряжения можно рассчитать по
формулам:
59
Z
σ max
z
τ max
h
Y
b
σ max
Рис. 32. Распределение напряжений по сечению
при поперечном изгибе
3 Qmax 3 Qmax
=
; для круглого
для прямоугольного сечения τ max =
2 S
2 bh
4 Qmax 4 Qmax
сечения τ max =
=
,
3 S
3 π d2
4
где S – площадь поперечного сечения стержня; b, h, d – геометрические размеры поперечного сечения стержня (ширина, высота или
диаметр соответственно).
В стержнях круглого поперечного сечения касательные напряжения не могут быть расположены параллельно линии действия
поперечной силы Q. Они раскладываются на две составляющих:
вертикальную и горизонтальную. Горизонтальные касательные напряжения в левой и правой половинах сечения взаимно уравновешиваются. Вертикальные касательные напряжения складываются
в поперечную силу Q. В стержнях круглого сечения вертикальные
напряжения играют ту же роль, что в стержнях прямоугольного сечения полные напряжения [1].
Следует отметить, что при поперечном изгибе тонкостенных
стержней, имеющих малую высоту и большую длину, расчет на
прочность целесообразно производить только по нормальным наτ
пряжениям. В этом случае справедливо соотношение max << 1.
σmax
При действии внешних сил, расположенных в одной из главных
плоскостей инерции балки, наблюдается искривление ее оси в той
же плоскости, т. е. плоский изгиб.
60
Y
θ
O
A
O1
x
P
B
D
X
l
Рис. 33. Расчетная схема прогиба консольного стержня
Перемещение OO1 центра тяжести сечения по направлению,
перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки
в этом сечении, или прогибом этого сечения балки (рис. 33). Прогиб
будем обозначать y.
Угол θ, на который каждое сечение поворачивается относительно своего первоначального положения, называется углом поворота сечения. На практике необходимо уметь вычислять прогибы и
повороты для любого сечения балки. Величина наибольшего прогиба – мера оценки искажения формы конструкции при действии
внешних сил.
Выберем систему координат с началом в одной из точек первоначальной (не искаженной) оси балки, которую примем за ось X. Ось
Y направим перпендикулярно первоначальной оси балки вверх.
При таких условиях уравнение y = f (x) является уравнением кривой, по которой изогнется ось балки под нагрузкой, т. е. уравнением изогнутой оси балки.
Задача о деформации балки сводится к получению уравнения
изогнутой оси y = f (x). Зная его, можно с помощью дифференцирования вычислить и угол поворота θ для любого сечения балки.
Перемещения при деформации изгиба определяют по дифференциальному уравнению изогнутой оси. Для его получения используют математическую зависимость между радиусом кривизны оси ρ и
координатами ее точек x и y [1,2]:
d2 y
1
dx2
=±
.
ρ(x)
é æ dy ö2 ù 3
ê1 + ç ÷ ú
ê ççè dx ø÷÷ ú
êë
úû
61
Подставляя в эту формулу выражение кривизны
получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси
1
M (x)
=
,
ρ(x)
EI
d2 y
±
dx2
é æ dy ö2 ù 3
ê1 + ç ÷ ú
ê ççè dx ÷÷ø ú
êë
úû
=
M (x)
.
EI
Поскольку в этом дифференциальном уравнении dy/dx − величина второго порядка малости, ею можно пренебречь и получить приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси
стержня:
d2 y
= M ( x )×
(49)
Интегрирование уравнения (49) позволяет представить угол поворота сечения θ в виде
dy
1 é
ù
θ=
=
(50)
êë ò M (x)dx + C1 úû ,
dx
EI
EI
dx2
где С1 – постоянная интегрирования.
Последующее интегрирование полученного уравнения (50) дает
уравнение прогибов
1 é
ù
y=
(51)
ê dx ò M (x)dx + C1x + C2 úû ,
EI ë ò
где С2 – постоянная интегрирования.
Постоянные интегрирования С1 и С2 – это соответственно увеличенные в EI раз угол поворота сечения в начале координат и прогиб
в том же месте. Для их определения в стержне находят сечения с заранее известными величинами угла поворота и прогиба.
В качестве примера рассмотрим расчетную схему стержня
(рис. 33.) Для определения постоянных интегрирования С1 и С2
найдем в стержне сечение с заранее известными значениями угла
поворота и прогиба. Таким сечением является опорное сечение А:
dy
= 0, y = 0. В этом случае постоянные интегрирования
при x = 0,
dx
С1 и С2 будут равны нулю. Величина изгибающего момента в произвольном сечении стержня на расстоянии x от начала координат
M(x) = –P(l–x).
62
Выражения угла поворота θ и прогиба y сечения с координатой x
согласно уравнениям (50) и (51) принимают следующий вид:
θ=−
Plx 
x
Plx2 
x
2
−
, y
=
−


 3 − .
2EI 
l
6EI 
l Прогибы, вычисляемые в отдельных точках сечения, обозначаем буквой f. Для расчетной схемы (рис. 33), угол поворота сечения
θB и прогиб f B в точке приложения силы P равны
θB = Pl2
Pl3
, fB = .
2EI
3EI Интегрирование уравнения (49) представляет собой аналитический метод определения перемещений при изгибе. Другие методы
расчета перемещений в типовых конструкциях приведены в учебной литературе [1,2].
Для оценки жесткости элементов конструкции при изгибе
в опасных сечениях рассчитывают максимальные значения прогибов ymax и углов поворота сечений θmax (рис.33), найденные величины сравнивают с допускаемыми параметрами [y] и [θ].
Условием жесткости при изгибе является условие:
ymax ≤ [y], θmax ≤ [θ].
Для обеспечения нормального функционирования роторных систем электроприводов, гиромоторов, зубчатых механизмов расчет
параметров ymax и θmax имеет практическую значимость.
63
10. КОСОЙ ИЗГИБ
На практике элементы механических систем нередко подвергаются действиям сил, вызывающих не одну, а две и более из рассмотренных ранее простых деформаций. Все случаи сопротивления
элементов конструкций, при которых возникает комбинация простейших деформаций, называются сложным сопротивлением.
При анализе задач сложного сопротивления используют принцип суперпозиции, который справедлив при малых деформациях
системы. Согласно принципу суперпозиции для нахождения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе
в результате действия на нее сложной системы нагрузок, необходимо геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие разным видам простейших деформаций.
Одним из случаев сложного сопротивления (противодействия комбинированным нагрузкам) является косой изгиб, при котором плоскость действия сил, перпендикулярных к оси стержня, не совпадает
ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось стержня и главные оси инерции поперечных сечений стержня. Изогнутая ось стержня
в этом случае уже не лежит в плоскости действия сил [1].
Рассмотрим стержень, защемленный на одном конце и нагруженный на другом силой Р, лежащей в плоскости торца стержня и
направленной под углом α к главной оси Z (рис. 34). Вторая главная ось Y перпендикулярна первой.
Для вычисления нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отстоящего на расстояние x0 от свободного конца
стержня, воспользуемся принципом суперпозиции. Приведем случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных
силами Рz и Рy (составляющими силы Р), направленными по главным осям инерции сечения Z и Y (рис. 34).
В соответствии с принципом суперпозиции в сечении с координатой x0 (рис. 34) в результате действия сил Рz и Рy возникают два
изгибающих момента Мz и Мy, равные
Mz = –Py x0 = –Px0sinα, My = –Pz x0 = –P x0cosα, (52)
где у и z – индексы при изгибающем моменте М, обозначающие
главные оси, относительно которых берутся моменты.
Полное напряжение в произвольной точке сечения вычисляется
по формуле
My
M
σ=± z y±
z,
(53)
Iz
Iy
64
x0
Y
X
Y
Py
α
Pz
Z
P
Z
Рис.34. Расчетная схема стержня при произвольном
направлении силы
где Iy и Iz – моменты инерции поперечного сечения стержня относительно осей Y и Z соответственно.
Для нахождения наибольшего нормального напряжения при
косом изгибе необходимо найти опасное сечение стержня и в нем
наиболее напряженную точку. Из выражения (53) видно, что опасным сечением будет то, где изгибающий момент М достигает наибольшего значения.
Для нахождения опасной точки учитываем, что при плоском
изгибе деформация, соответствующая нормальным напряжениям, сводится к относительному повороту сечений вокруг нейтральных осей. При косом изгибе, являющемся комбинацией
двух плоских изгибов, имеет место одновременный относительный поворот сечений вокруг двух нейтральных осей, пересекающихся в центре тяжести сечения. Из кинематики известно, что
вращение фигуры вокруг двух пересекающихся осей можно заменить вращением вокруг оси, проходящей через точку пересечения [1]. Таким образом, и при косом изгибе в каждом сечении
имеется линия, проходящая через центр тяжести, вокруг которой
будет происходить поворот сечения при деформации стержня. Эта
ось и является нейтральной. Нормальные напряжения в точках,
расположенных на нейтральной оси, будут равны нулю. При относительном повороте сечений наибольшую деформацию (растяжение или сжатие) испытывают волокна, наиболее удаленные от
нейтральной оси.
65
Таким образом, нахождение опасных точек при косом изгибе
сводится к определению положения нейтральной оси и поиску точек, наиболее от нее удаленных.
Положение нейтральной оси N (рис. 35) в поперечном сечении
стержня можно определить, если приравнять к нулю нормальные
напряжения в точках, лежащих на этой оси. Обозначив координаты этих точек yN и zN, найдем
My
Mz
yN +
zN = 0.
Iz
Iy
Тогда уравнение нейтральной оси примет вид
-zN Iy Mz
=
.
(54)
yN
Iz My
Для выполнения условия (54) необходимо, чтобы при одинаковых знаках изгибающих моментов Мz и Му, координаты yN и zN
имели разные знаки, и наоборот.
Поскольку нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, для определения ее положения достаточно знать угол наклона
ϕ нейтральной оси N к оси Y. Примерное положение нейтральной
оси N в поперечном сечении стержня, отстоящем на расстояние x0
b
y1
N
–
+
ϕ
Y
z2
1
+
z1
+
α y0
z0
h
–
–
2
P
–
+
y2
Z
Рис. 35. Положение нейтральной оси N
в поперечном сечении стержня
66
от его свободного конца, показано на рис. 35. Стержень нагружен
по схеме на рис. 34. На сечении штриховой линией показана проекция силы Р, для каждого квадранта сечения приведены знаки
нормальных напряжений σ («+» или «−»). Знаки «+» и «−» выше
и ниже сечения относятся к напряжениям от изгиба моментом My,
те же знаки справа и слева от сечения к напряжениям от изгиба моментом Mz. Для стержня (балки), нагруженного и закрепленного
иным образом, знаки напряжений будут другими.
Учитывая, что yN и zN могут иметь разные знаки, а тангенс угла
наклона ϕ равен абсолютной величине (рис. 35), получим
tgϕ =
tgϕ =
zN
,
yN
Iy Mz
.
Iz My
(55)
Подставив в формулу (55) значения моментов из равенств (52) и
(53), будем иметь следующее выражение:
tg ϕ =
Iy
tgα.
(56)
Как видно из полученного выражения (56), нейтральная ось N
не зависит от величины силы P и не перпендикулярна линии ее
действия, так как углы ϕ и α не равны, как это имело место при
плоском изгибе. Ее положение зависит от угла наклона плоскости
внешних сил к оси Z и от формы сечения.
Вычислив по формуле (56) величину угла ϕ, построим на чертеже нейтральную ось N (рис. 35), а затем параллельно ей проведем
касательные к сечению и найдем наиболее напряженные точки как
наиболее удаленные от нейтральной оси (точки 1 и 2 на рис. 35).
Подставляя в формулу (54) координаты этих точек (y1 и z1 или y2
и z2) с учетом их знаков, находим значения наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжений.
Условие прочности при косом изгибе принимает вид
Iz
é cos α
sin α ùú
σmax = Mmax êê
z1 +
y1 ú £ [σ],
Iz
êë Iy
úû
где y1, z1 и y2, z2 – координаты точки (в системе главных центральных осей), наиболее удаленной от нейтральной оси.
67
Определение касательных напряжений при косом изгибе практического значения не имеет.
Для нахождения прогибов в разных сечениях стержня при косом изгибе применим метод сложения сил. Прогиб f при косом
изгибе определяется как геометрическая сумма прогибов по направлению осей Z (fz) и Y (fy) от изгибающих моментов Мz и Му
соответственно.
При определении изгибающих моментов Мz и Му координату
x0 отсчитывали от свободного конца стержня (рис.34). При вычислении прогибов начало координат удобнее выбрать в защемленном
конце этого стержня, как показано на рис. 33.
Воспользовавшись универсальным уравнением (51), вычислим
сначала прогиб fz точки B торцевого сечения балки (рис.34) от действия силы Рz, а затем рассчитаем прогиб fy точки B от действия
силы Рy. Прогиб fz направлен по оси Z и равен
fz =
Pz l3
,
3EIy
(57)
где l – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки (рис.34); E – модуль Юнга первого рода; Iy – момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Y.
Прогиб fy направлен по оси y и равен
Py l3
fy =
,
(58)
3EIz
где Iz – момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Z.
Вычислив по формулам (57), (58) прогибы fz и fy, определим полный прогиб f торцевого сечения стержня. Он представляет собой
геометрическую сумму прогибов fz и fy
fy2 + fz2 .
=
f
Найдем направление полного прогиба f. Для этого определим
значение угла наклона вектора f к оси Z:
fy Iy
= tgα = tgϕ,
fz Iz
f=
68
fy
sin ϕ
=
fz
.
cos ϕ N
Y
fy
ϕ
ϕ
fz
f
α
P
Z
Рис. 36. Положение вектора полного прогиба f
Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f
с осью Z, равен углу ϕ, т. е. прогиб f направлен перпендикулярно
к нейтральной оси. Изгиб стержня происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (рис. 36).
Расчет прогибов при косом изгибе имеет практическое значение
для конструкций с узким и высоким поперечными сечениями. Для
подобных сечений даже небольшое отклонение плоскости действия
внешних сил от плоскости наибольшей жесткости вызывает достаточно значительное отклонение плоскости изгиба стержня. Следует отметить, что усиление подобных конструкций дополнительными элементами является опасным [1].
69
11. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА
Большинство скручиваемых элементов механизмов подвергается совместному действию кручения и изгиба. В такой конструкции
ее элементы противодействуют комбинированным нагрузкам, т. е.
имеет место сложное сопротивление.
Рассмотрим вал круглого поперечного сечения. При определении напряжений в опасном сечении и проверке прочности вала
внешние силы, действующие на зубчатые колеса, шкивы или иные
закрепленные на валу элементы, согласно правилам статики следует привести к центру тяжести вала.
Входной вал I редуктора с прямозубой цилиндрической передачей показан на рис. 37. Внешний крутящий момент на шестерне
1 создается окружным усилием Ро1, действующим со стороны зуба
ведомого колеса в полюсе зацепления. Для шестерни 1 окружное
усилие Ро1 является реактивным и направлено в сторону, противоположную направлению вращения вала I (противоположно мгновенной угловой скорости ω1). Помимо окружного усилия Pо1 со
стороны зуба ведомого колеса на шестерню 1 действует радиальная
сила Т1, вызывающая изгиб вала. При расчете она переносится
в центр тяжести вала вдоль линии ее действия.
Правило параллельного переноса силы Pо1 к центру тяжести вала
О поясняет рис. 38. В точке О прикладывают две противоположно наа)
Y
ω
1
I
M
X
Ро1
l1
Z
Т1
l2
б) Y
T1
XA
B'
A
XB
Z
Ро1
YA
Z1
Z2
Z3
YB
Рис. 37. Схема вала редуктора:
а – кинематическая; б – расчетная
70
О
''
Ро1
'
Ро1
Ро1
d
Рис. 38. Реализация правила параллельного переноса окружного
усилия Pо1 к центру тяжести вала
правленные равные силы Po1′ и Po1″. Силы Ро1 и Po1′ образуют пару сил
и создают крутящий момент М1 на шестерне 1; М1 = rPo1 = Po1d/2, где
d – диаметр вала. Оставшаяся сила Po1″, приложенная в точке О, вызывает изгиб вала.
После приведения усилий к центру тяжести вала, используя метод сечений, вычисляют значения внутренних изгибающих (Ми) и
крутящих (Мк) моментов [1].
При расчете валов рассматриваются, как правило, изгибающие
моменты в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (вертикальной и горизонтальной). Принято считать, что окружные усилия Po действуют в горизонтальной, а радиальные усилия Т – в вертикальной плоскости. Для выбранной нами системы координат
(рис. 37, 38) изгибающий момент Миx представляет собой момент
от вертикальной силы Т1, а изгибающий момент Миy – момент от
горизонтальной силы Po1″.
d
Величина крутящего момента Мк равна Mê = Pî1 .
2
Суммарный изгибающий момент Ми для сечения вала равен геометрической сумме моментов Миx и Миy. Его величина вычисляется по формуле
Mè = Mè2x + Mè2y .
При нахождении диаметра вала из условия прочности после
определения суммарных изгибающих моментов Ми в рассматриваемых сечениях рассчитывают приведенный момент Мпр. При
совместном действии кручения и изгиба Мпр можно вычислить по
одной из приводимых далее формул.
71
По теории наибольших нормальных напряжений:
1é
ù
Mïð = ê Mè + Mè2 + Mê2 ú ,
2 ëê
ûú по теории наибольших удлинений:
Mïð =0,35Mè + 0,65 Mè2 + Mê2 ,
по теории наибольших касательных напряжений:
Mïð = Mè2 + Mê2 ,
по теории потенциальной энергии формоизменения:
M
=
ïð
Mè2 + 0,75Mê2 .
(59)
Опасное сечение вала находят по наибольшему из рассчитанных
приведенных моментов Мпр.
Разрежем вал в опасном сечении и рассмотрим равновесие левой
части вала. Опасным сечением будет сечение с наибольшим приведенным моментом Мпр. Характер распределения нормальных (σи)
и касательных (τк) напряжений в этом сечении при совместном действии кручения и изгиба показан на рис. 39. Как видно из рис. 39,
эти напряжения изменяются в сечении по линейному закону с переменными знаками. Наибольшие нормальные напряжения будут
в точках A и B на концах горизонтального диаметра (от действия
изгибающего момента в горизонтальной плоскости) и в точках C и
D на концах вертикального диаметра (от действия изгибающего
Рис.39. Распределение напряжений при совместном действии
кручения и изгиба
72
момента в вертикальной плоскости). Крутящий момент в сечении
вызывает лишь касательные напряжения, которые достигнут своего максимального значения в точках у контура. Касательные напряжения от изгиба будут невелики и незначительно скажутся на
напряженном состоянии материала. Характер распределения напряжений в опасном сечении соответствует расчетной схеме вала
редуктора на рис. 37.
Для проверки прочности вырезанного из вала элемента при
сложном напряженном состоянии воспользуемся условиями прочности [1]:
в теории наибольших нормальных напряжений:
1é
2
2ù
ê σè + σè + 4τê ú £ [σ],
ê
2
ë
ûú
в теории наибольших удлинений:
é
2
2ù
ê0,35σè + 0,65 σè + 4τê ú £ [σ],
ëê
ûú
в теории наибольших касательных напряжений (60):
σ2è + 4τ2ê ≤ [ σ],
в теории потенциальной энергии формоизменения:
σ2è + 3τ2ê £ [σ].
Наибольшее нормальное напряжение σи при изгибе моментом
Mи равно
Ì
σè = è ,
W где для вала круглого сечения осевой момент инерции W=πd3⁄32. Буквой d обозначен диаметр поперечного сечения вала. Вместе с тем наибольшее касательное напряжение при скручивании вала τк равно
Ì
τê = ê .
2
W Подставляя эти значения напряжений в одну из формул (60), например, в первую, находим
2
2
Mè2
M2  Mè + Mè + Mê Mïð
1  Mè

4 ê=
+
+
=
≤ [σ].
2 W
2W
W
W2
4W 2 

73
Подобным образом могут быть получены расчетные формулы и
по другим теориям прочности. Все они могут быть заменены одной:
Mïð
≤ [ σ],
(61)
W
где Mпр – приведенный (расчетный) момент (см. формулу 59), величина которого зависит как от Ми и Мк, так и от принятой теории
прочности.
Формула (61) по структуре полностью совпадает с обычной формулой проверки прочности по нормальным напряжениям моментом Мпр. Поэтому проверка прочности круглого вала на совместное
действие кручения и изгиба может быть заменена проверкой на
один изгиб с изгибающим моментом Мпр. Вычислив по формуле
(59) наибольшее значение Мпр, можно определить диаметр вала
d³3
74
Mïð
0,1[σ-1 ]
. Здесь [σ–1] – предел выносливости материала.
12. УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Разрушение конструкции может произойти, как вследствие нарушения прочности, так и из-за потери устойчивости. При потере
устойчивости элемент конструкции уже не сохранит своей прежней формы, при этом изменится и характер напряженного состояния в элементе, нарушится исходное равновесное состояние конструкции.
Разрушение элемента конструкции при сжатии путем доведения напряжений до предела текучести или предела прочности в зависимости от типа материала происходит не всегда. В реальных условиях может быть отклонение от исходного равновесного состояния конструкции, т.е. потеря устойчивости. При этом конструкция
переходит к некоторому новому положению равновесия. Этот переход может сопровождаться большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или полным разрушением. В некоторых случаях конструкция продолжает работать и после потери
устойчивости, например, тонкостенная обшивка самолета. При
потере устойчивости система также может перейти в режим незатухающих колебаний. Поэтому при проектировании конструкций
условия прочности и жесткости необходимо дополнить условием
устойчивости. Особая опасность потери устойчивости заключается
в том, что она наступает внезапно. Одна из мер повышения запаса
устойчивости конструкции – увеличение ее жесткости (например,
подкрепление тонкостенной перегородки в самолетной конструкции специальным профилем).
Наиболее простым примером потери устойчивости является потеря устойчивости продольно сжатого стержня. При превышении
сжимающей силы некоторого критического значения Рк произойдет потеря его устойчивости, стержень искривится [1,2]. В этом
случае происходит разветвление формы равновесия, имеет место
качественное изменение процесса деформации (кроме осевого сжатия, появляется и изгиб). Кроме низшей формы потери устойчивости, при известных условиях, может возникнуть высшая форма
потери устойчивости, для которой характерно большее значение
критической силы (рис. 40). При сжатии сначала может наступить
потеря устойчивости, а не потеря прочности.
На практике обычно интересуются наименьшим значением криÐê
, при котором наступает явтического осевого напряжения σê =
S
ление продольного изгиба. Для его нахождения необходимо вы75
Р
a)
б)
Рк
в)
Рк
l
Рк
Рк
Рк
Рис. 40. Формы сжатых стержней:
а – исходная; б – простое искривление стержня; в – высшая форма
искривления стержня
числить значение критической силы Рк, являющейся наименьшей
осевой сжимающей силой, способной удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень. Эту задачу впервые решил
академик Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
В этом случае ставится обратная задача. Задавшись искривлением оси сжатого стержня, требуется определить при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.
В качестве модели рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, имеющий шарнирные опоры. Одна из опор этого стержня –
шарнирно-подвижна. Она допускает возможность продольного
перемещения стержня. Собственным весом стержня пренебрегаем
и нагружаем центрально приложенными продольными силами. Их
величина равна Р=Рк. Стержню даем весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости. Стержень удерживается
в искривленном состоянии, что возможно так как Р=Рк.
76
Деформация изгиба стержня может быть весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться
приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси
стержня
EI
d2 y
= M ( x )×
dx2
В соответствии со схемой (рис. 41) дифференциальное уравнение
примет вид
EI
d2 y
dx2
= -Py ×
(62)
Разделим обе части уравнения на EI и обозначим P ∕EI=k2. Приведем уравнение (62) к удобному для интегрирования виду
d2 y
dx
2
+ k2 y = 0 ×
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
y=asinkx+bcoskx,
(63)
где x – координата сечения.
Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования a и b и значение k = P / EI, так как величина критической силы нам неизвестна.
Для нахождения постоянных интегрирования a и b воспользуемся условиями отсутствия прогиба на концах стержня: при x=0
в точке A прогиб y=0, а в точке B – y=0 при x=l (рис. 41). Из первого
условия следует 0=b.
Изогнутая ось является синусоидой, ее уравнение имеет вид
y=asinkx.
(64)
Y
yx
A
B
X
'
Pк
Pк
x
l
Рис. 41. Расчетная схема искривления стержня
77
Используя второе условие и подставив его в полученное уравнение, имеем
y=0 и x=l;
0=asinkl.
Отсюда следует, что или a, или kl равны нулю. Если a равно
нулю, то из уравнения (64) следует, что прогиб в любом сечении
стержня равен нулю, т.е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам вывода. Следовательно, sinkl=0, а
величина kl имеет следующий бесконечный ряд значений
kl=0, π, 2π, 3π, …, nπ,
где n – любое целое число, которое соответствует числу полуволн
синусоиды, имеющей место при изгибе стержня (рис. 40, б, в).
Отсюда k=πn ∕ l, а так как k = P / EI, то можно записать
P
π2 2
π2 EI 2
=
×n , P =
×n .
EI l2
l2
Таким образом, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый
ряд значений. Но с практической точки зрения интересно наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится
возможным продольный прогиб [1,2]. Поэтому следует принять
n=nmin. Первый корень n=0 требует, чтобы Рк была равна нулю,
что не отвечает условию задачи. Поэтому этот корень должен быть
отброшен и наименьшим корнем принимается значение n=1, т.е.
имеет место одна полуволна синусоиды. Критическая сила Pк соответственно равна
Pê =
π2 EI
.
(65)
Формула (65) называется формулой Эйлера для сжатого
стержня с шарнирными опорами. В ней I – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. Значению Pк (65)
соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной
(формула 64)
πx
y = a sin .
(66)
l l2
Значениям Pк высших порядков соответствуют искривления по
синусоидам с двумя, тремя и т.д. полуволнами (рис.40, в)
78
Pê =
4π2 EI
2
l
9π2 EI
; k=
2π
2πx
; y = a sin
,
l
l
3π
3πx
(67)
; y = a sin
.
l
l
l
Чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила.
Физический смысл постоянной интегрирования: a – это прогиб
стержня в сечении посередине его длины.
Величина критического напряжения σк может быть вычислена
по формуле
Pê =
σê=
2
; k=
Ðê π2 EI π2 Ei2 π2 E π2 E
=
=
=
=
,
2
S
λ2
l2 S
l2
l
 
i
где λ – гибкость стержня; данный параметр является определяющим при оценке потери его устойчивости; i – радиус инерции поперечного сечения стержня; S – площадь поперечного сечения
стержня.
79
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАЧИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
В расчетах на прочность и жесткость элементов конструкций
схемой консольного стержня можно заменить ось планетарного редуктора, торсион в подвесе измерительного прибора, элемент телескопической руки робота-манипулятора и др.
Задача 1. Расчет на прочность и жесткость консольного
стержня круглого поперечного сечения при растяжении (сжатии)
Определить напряжения, возникающие в стальном стержне из
однородного материала, после приложения нагрузки (P1=50 Н,
P2 =150 Н). Проверить прочность и найти удлинение стержня. Построить эпюры внутренней силы N, напряжений σ и упругих перемещений Δl (рис. 42). Модуль упругости первого рода материала стержня E=2∙105 МПа. Стержень имеет два участка с однотипным нагружением, площади поперечных сечений которых равны:
S1 = 2 мм2, S2 = 5 мм2. Длина участков: a =10 мм, b =20 мм.
Допускаемое напряжение материала стержня [σ]=80 МПа.
Решение
Поскольку число сечений равно числу участков с однотипным
нагружением, для определения нормальных внутренних сил N1 и
N2 проведем два сечения с координатами x1 и x2.
Рассмотрим равновесие правой части стержня. Внутренние
силы найдем из уравнений равновесия.
Для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ a:
ΣX = N1 − P1 = 0 ⇒ |N1| = P1 = 50 Н.
Для участка с границами a ≤ x2 ≤ a+b:
ΣX = −N2 + P2 − P1= 0 ⇒ N2= P2 −P1 = 100 Н.
Сила N1 сжимает стержень (отрицательна, направлена к сечению), сила N2 растягивает его (положительна, направлена от сечения).
Характер изменения силы N по длине стержня показан на эпюре
N. Эпюра напряжений σ строится аналогично. Величина напряжений в сечениях стержня составляет
N
N
50
100
σ1 = 1 = - = -25 ÌÏà, σ2 = 2 =
= 20 ÌÏà.
S1
2
S2
5
Условие прочности проверим для участка с максимальным напряжением: σmax ≤ [σ]. Условие прочности выполняется: 25 ≤ 80
МПа.
80
S2
S1
B
C
P1
P2
A
X
a
b
N1
P1
x1
P2
N2
P1
x2
Эпюра N, Н
100
-
50
-
25
Эпюра σ, МПа
20
Эпюра Δl, мм
∆lBC
∆lAB
∆lAC
Рис. 42
Рассчитаем удлинение стержня ΔlAC:
N a
50 ×10
= -0,125 ×10-2 ìì,
ΔlAB = 1 = ES1
2 ×105 × 2
ΔlÂÑ =
N 2 b 100 × 20
=
= 0,2 ×10-2 ìì,
ES2 2 ×105 × 5
ΔlAC = ΔlAB + ΔlBC = (-0,125 + 0,2) ×10-2 = 0,075 ×10-2 ìì. 81
При построении эпюры упругих перемещений Δl на границах
участков AB и BC откладывают значения удлинений и соединяют
точки прямыми.
Точка отсчета выбрана в точке защемления – C.
Задача 2. Проверка прочности на растяжение (сжатие)
стержня с двухсторонней заделкой при наличии температурной
деформации
Определить напряжения, возникающие в стальном стержне из
однородного материала, после приложения нагрузки (P1 = 100 Н,
P2=200 Н) и при изменении температуры ΔT=−20°K, проверить прочность. Коэффициент температурного расширения α=125∙10−7K−1,
модуль упругости первого рода материала стержня E=2∙105 МПа,
допускаемое напряжение материала стержня [σ]=80 МПа. Стержень
имеет три участка с однотипным нагружением, площади поперечных сечений которых равны: S1 = 2 мм2, S2 = 3 мм2, S3 = 5 мм2. Длина участков: a =20 мм, b = 30 мм, c = 40 мм (рис. 43).
Решение
Определим опорные реакции XA и XB. Для их определения
имеем одно уравнение равновесия статики плоской системы сил.
Задача один раз статически неопределима.
ΣX= –XA + XB – P1+P2=0.
Для раскрытия неопределенности используем уравнение перемещений.
Для его записи заменим заданную статически неопределимую
систему статически определимой, мысленно отбросив правую опору
(точка А на рис. 43).
Полученная система станет эквивалентна заданной при выполнении условия равенства ее перемещений от внешнего (силового и
температурного) воздействия и от реакции XA, компенсирующей
действие отброшенной опоры.
Уравнение перемещений примет вид
æ a
P b ( P - P1 )a
b
c ö÷
÷.
- 1 + 2
+ α (a + b + c) ΔT = X A ççç
+
+
çè ES3 ES2 ES1 ø÷÷
ES2
ES3
Из уравнения перемещений, найдем опорную реакцию XA. Для
упрощения выражения предварительно рассчитаем геометрические соотношения: длину стержня l=a+b+c= 90 мм;
82
a
b
c
20 30 40
+
+
=
+
+
= 4 + 10 + 20 = 34 ìì-1.
5
3
2
S3 S2 S1
S3
S2
P2
B
S1
P1
A
XB
X
XA
a
b
c
Δl
P2
XB
XA
P1
x3
x1
x2
Δl
N1
XA
x1
Δl
N3
XB
N2
XA
P1
x3
x2
250
150
50
Эпюра σ, МПа
75
50
16,67
Рис. 43
83
XA =
P1b ( P2 - P1 )a
+
+ α (a + b + c) ΔT
ES2
ES3
=
æ a
b
c ö÷
çç
÷
ççè ES + ES + ES ÷ø÷
3
2
1
P b ( P - P1 )a
- 1 + 2
+ αE(a + b + c) ΔT
S2
S3
=
=
æa
ö
çç + b + c ÷÷
ççè S
S
S ÷ø÷
3
2
1
100 × 30 100 × 20
+
+ 125 ×10-7 × 2 ×105 × 90 × (-20)
3
5
=
=
34
-1000 + 400 - 4500
= -150 Í.
34
Подставив в уравнение равновесия плоской системы сил
найденную опорную реакцию XA, определим XB
XB = XA + P1 – P2.
XB = −150 +100 −200=−250 Н.
Знак «минус» указывает на то, что направление опорных реакций XA и XB было выбрано неверно. Они направлены в противоположную сторону.
Поскольку число сечений равно числу участков с однотипным
нагружением, для определения нормальных внутренних сил N1,
N2 и N3 проведем три сечения с координатами x1, x2 и x3. Рассмотрим равновесие правой части стержня. Внутренние силы найдем
из уравнений равновесия. Учтем истинное направление опорных
реакций XA и XB.
Для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ с:
ΣX = −N1 + XA = 0 ⇒ N1 = XA = 150 Н. Сила N1 растягивает стержень (положительна, направлена от сечения).
Для участка с границами с ≤ x2 ≤ с+b:
ΣX = −N2 + XA − P1= 0 ⇒ N2=XA−P1=50 Н. Сила N2 растягивает
стержень (положительна, направлена от сечения).
Для участка с границами с+b ≤ x3 ≤ с+b+a:
ΣX = −N3 + XA − P1 + P2 = ⇒ 0 N3=XA−P1+P2=250 Н. Сила N3
растягивает стержень (положительна, направлена от сечения).
Силу N3 также можно найти, рассмотрев равновесие левой части
стержня.
84
Для участка с границами 0 ≤ x3 ≤ a:
ΣX = − XB+ ⇒ N3=0 N3= XB=250 Н.
Характер изменения силы N по длине стержня показан на
эпюре N. Эпюра напряжений σ строится аналогично. Величина
напряжений в сечениях стержня составляет
σ1 =
N 1 150
N
50
=
= 75 ÌÏà; σ2 = 2 =
= 16,67 ÌÏà;
S1
S2
2
3
N
250
σ3 = 3 =
= 50 ÌÏà.
5
S3
Условие прочности проверим для участка с максимальным напряжением: σmax ≤ [σ].
Условие прочности выполняется: 75 ≤ 80 МПа.
Для оценки раздельного вклада в суммарное напряжение силового и температурного воздействия применим принцип суперпозиции. Сначала рассмотрим действие сил P1 и P2, а затем влияние
температурного перепада ΔT.
P1b ( P2 - P1 )a
+
S2
S3
-1000 + 400
=
= -17,65 H;
X AP =
æa
ö÷
34
b
c
çç +
+ ÷
çè S
S2 S1 ÷ø÷
3
-
X A ΔT =
αE(a + b + c) ΔT -4500
=
= -132,35 H.
æa
ö
34
çç + b + c ÷÷
çè S3 S2 S1 ÷÷ø
Знак минус указывает на то, что направление опорных реакций
XAP и XΔT было выбрано неверно. Они направлены в противоположную сторону.
Рассмотрим влияние силового воздействия P1, P2. Действие отброшенной опоры компенсируем ее реакцией XAP. Для участка
с границами 0 ≤ x1 ≤ с: ΣX = −N1 + XAP = 0 ⇒ N1 = XAP = 17,65 Н. Сила N1 растягивает
стержень (положительна, направлена от сечения).
Для участка с границами с ≤ x2 ≤ с+b:
ΣX = N2 + XAP − P1= 0 ⇒ |N2|=P1−XAP=82,35 Н. Сила N2 сжимает
стержень (отрицательна, направлена к сечению).
Для участка с границами с+b ≤ x3 ≤ с+b+a:
ΣX = −N3 + XAP − P1 + P2 = 0 ⇒ N3=XAP−P1+P2=117,65 Н. Сила
N3 растягивает стержень (положительна, направлена от сечения).
85
Рассмотрим влияние температурного перепада ΔT на величину
напряжения при отсутствии силового воздействия (P1, P2). При понижении температуры стержень стремится укоротиться, со стороны
опор будут возникать реакции, которые наоборот вызовут его удлинение. При повышении температуры стержень стремится удлиниться, опорные реакции вызовут укорочение, т.е. сжатие стержня. Длина стержня с двухсторонней заделкой останется и при охлаждении
(нагревании) неизменной. Следовательно, удлинение или укорочение Δlp, вызываемое опорными реакциями, равно по абсолютной
величине тому температурному укорочению или удлинению Δlt, которое получил бы стержень, если бы опора в точке B осталась бы на
месте, а конец стержня A был бы освобожден и мог бы перемещаться.
Внутренняя сила Nt, определяемая перепадом температур ΔT, равна
Nt = XΔT =132,35 Н (положительна, направлена от сечения).
Сравнение величин Nt =132,35 Н и NPmax= 117,65 Н показывает,
что при небольшом температурном перепаде ΔT=−20°K температурные напряжения даже могут превышать напряжения от силового
воздействия. На летательных аппаратах рабочие температурные перепады достигают нескольких сотен °K. Поэтому для снижения температурных напряжений в статически неопределимых конструкциях предусматривают зазоры и натяги. Их величины выбираются
так, чтобы обусловленные монтажные напряжения компенсировали
хотя бы в некоторой степени влияние перепадов температур.
Расчет соединений деталей на сдвиг
Задача 3. Расчет заклепочных соединений
Определить необходимое количество заклепок n для соединения встык двух полос стальной ленты при помощи двух накладок
(рис. 44). Проверить прочность соединяемых полос на разрыв (растяжение или сжатие). Толщина полос δ=2 мм, толщина накладок
δ1=1 мм. Толщина накладок выбирается из условия δ1 ≥ 0,5 δ. Диаметр заклепок dз=1,5 мм; ширина ленты b=12 мм; растягивающее
усилие P = 1500 H. Допускаемые напряжения на срез [τ]ср=100
МПа и смятие [σ]см =220 МПа. Допускаемое напряжение на разрыв
[σ]р = 100 МПа.
Решение
Определим необходимое количество заклепок n из условия
прочности на срез:
Ð
Ð
τ ñð =
=
£ [τ] ,
ñð
z × n × Sñð
πdç2
z×n
4
86
δ1
а)
Р
δ
Р
б)
Р/2
Р
Р/2
Рис. 44
где z – число площадок среза; n – количество заклепок; Sср – площадь среза;
4Ð
4 ×1500
n³
=
» 4.
2
×
π
× 2,25 ×100
2
z × πdç ×[ τ ]ñð
Определим необходимое количество заклепок n из условия
прочности на смятие:
Ð
Ð
Ð
σñì =
=
=
£ [σ]ñì ,
n × Sñì n × δ × d3 n × 2δ 1×d3
n³
P
2δ1d3 [σ]ñì
=
1500
» 2.
2 ×1×1,5 × 220
Из двух рассчитанных значений выбираем наибольшее: n=4 шт.
(с каждой стороны стыка).
Условие прочности на разрыв имеет вид
Ð
Ð
σð =
=
£ [σ]ð ,
δ(b - m × d ) 2δ1 (b - m × d )
где m – число отверстий, попавших в сечение; в нашем случае m=2;
d –диаметр отверстия; примем d≈ dз.
Опасным теперь будет сечение, проходящее через заклепочные отверстия, в нем рабочая ширина ленты будет наименьшей
(рис. 45). Говорят, что такое сечение ослаблено заклепочным
87
b
Р
Рис. 45
отверстием. Проверим прочность соединяемых полос на разрыв
в ослабленном сечении
Ð
1500
σð =
=
= 83,33 £ 100 ÌÏà.
2δ1 (b - m × d ) 2 ×1(12 - 2 ×1,5)
Следовательно, условие прочности на разрыв выполняется.
Задача 4. Расчет сварных соединений
Рассчитать соединение двух листов, выполненное точечной контактной сваркой, испытывающее действие растягивающей силы
Р=3000Н, толщина полос δ=3мм: определить ширину b прочного
листа с учетом ослабления в зоне сварки; определить диаметр d и
количество n сварных точек (рис. 46). Проверить прочность листов.
Материал листов − Ст10. Допускаемое напряжение на растяжение основного материала при статической нагрузке [σ]р=133 МПа. Нагрузка
знакопеременная (коэффициент асимметрии цикла R=−1; эффективный коэффициент концентрации напряжений Кэф =7,5).
Решение
При переменных циклических нагрузках допускаемые статические напряжения понижают умножением на динамический коэффициент Кд<1 и расчет делают по максимальному по абсолютной
величине напряжению цикла σmax или τmax, как если бы это напряжение было бы статическим.
Рассчитаем Кд:
Кд=1 ∕ [(0,6 Кэф±0,2)−( 0,6 Кэф–+0,2)R]=0,11.
Знак «+» в первой круглой скобке формулы ставится при растяжении, а «−» − при сжатии; аналогично во второй скобке − «−»
ставится при растяжении, а «+» − при сжатии.
Коэффициент асимметрии цикла для нормального напряжения
σ и касательного τ рассчитывается по формулам:
σ
τ
R = min , R = min .
σmax
τ max
88
δ
Р
t2
Р
t
Р
t
Р
t1
Рис. 46
Определим ширину b прочного листа с учетом ослабления в зоне
сварки. Условие прочности на растяжение:
Ð
σð =
£ [σ]ðä .
δ× b
Здесь [σ]рд – допускаемое напряжение на растяжение при
динамической нагрузке.
[σ]рд=[σ]р∙ Кд=133∙0,11=14,6 МПа.
Ð
3000
b
=
=
≈ 69ìì.
3 ⋅ 14,6
δ ⋅ [ σ]ðä
Определим диаметр d и количество n сварных точек. При
толщине полос δ ≤ 3мм d=1,2 δ+4; при δ >3мм d=1,5 δ+5. d=1,2
δ+4=1,2∙3+4= 8 мм.
Минимальный шаг t между сварными точками t=3 d=24 мм.
Расстояние от горизонтальных кромок листа t2=1,5 d= 12 мм.
Расстояние от правой боковой вертикальной кромки t1=2d=16
мм. Рассчитаем число сварных точек n′ в одном ряду по формуле
n′=[( b−2 t2) ∕ t]+1.
n′=[(69−24) ∕ 24]+1= 3. Примем минимальное количество рядов p равным двум (p=2). Тогда количество сварных точек равно
n= n′∙ p=3∙2=6.
Проверим прочность сварных точек. Проверка прочности производится из условия прочности на срез
Ð
4× P
τcð =
=
£ éë τ ¢ùû .
ä
z × n × Scð
z × n × πd2
89
Здесь z – число площадок среза. В нашем случае z=1.
Допускаемое напряжение сварного соединения с учетом динамического нагружения рассчитывается по формуле
[τ′]д=0,6∙ [σ]р ∙Кд. [τ′]д=0,6∙133∙0,11=9 МПа.
τcð =
4 × 3000
1× 6 × π82
= 9,95 ³ 9 ÌÏà.
Следовательно, условие прочности на срез не выполняется.
Точечным сварным соединениям свойственна высокая концентрация напряжений. Поэтому они плохо работают при переменных
динамических нагрузках. Концентрация напряжений образуется
не только в сварных точках, но и в самих деталях в зоне шва [3].
Задача 5. Расчет на прочность и жесткость консольного стержня круглого поперечного сечения при кручении
Определить диаметр d стержня постоянного сечения из условия
прочности и жесткости при известных значениях внешних крутящих моментов M1=M3=100Н∙мм; M2=200Н∙мм; допускаемых
напряжениях [τ]= 50 МПа и угла закручивания [ϕ]=5 угл. мин на
10 погонных мм; модуле упругости второго рода G = 8∙104МПа. Также необходимо построить эпюры внутреннего крутящего момента
Mк и углов закручивания ϕ (рис. 47). Длины участков: a = 40 мм,
b = 30 мм, c =20 мм.
Решение
Определим внутренний крутящий момент Mк, возникающий
в сечениях стержня.
В соответствии с методом сечений данный крутящий момент Mк
равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов M, действующих по одну сторону сечения.
Условимся считать момент Mк положительным, если внешний
момент M направлен по часовой стрелке, при взгляде на него со стороны сечения, т. е. если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали n.
В рассматриваемой задаче можно выделить три участка с однотипным нагружением, поэтому проведем три сечения. Отсчет сечений лучше проводить от свободного конца стержня, так как в этом
случае отпадает необходимость определения опорного момента Mо.
Вычислим значения Mк для каждого участка.
Для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ c:
Mк1 = M3 = 100 Н∙мм.
Для участка с границами c ≤ x2 ≤ c + b:
Mк2 = M3 − M2 = −100 Н∙мм.
90
Для участка с границами c + b ≤ x3 ≤ c + b +a:
Mк3 = M3 − M2 − M1 = − 200 Н∙мм.
Характер изменения крутящих моментов по длине стержня показан на эпюре Mк (рис. 47).
Правильность построения эпюры Mк можно проверить с использованием правила: в точках приложения сосредоточенных внешних
М0
M1
O
M2
A
X
C
B
c
b
а
M3
x1
x2
x3
M к1
M3
n
M к2
M2
M1
M к3
M2
Эпюра M к , Н·мм
M3
M3
100
100
200
Эпюра ϕ, угл. мин
ϕCO
ϕAO
ϕBA
ϕCB
Рис. 47
91
моментов на эпюре должны быть скачки, равные значениям
внешних моментов. Как видно из построения эпюры Mк, опасным
сечением (сечением с максимальным Mк) является сечение с координатой x3. Определим диаметр стержня d из условия прочности на
кручение, подставляя в формулу (38) максимальное значение внутреннего крутящего момента Mк3:
max τ =
d³3
16 Mêmax 3 16 × 200
=
= 2,73 ìì.
π[τ]
π50
Найдем диаметр стержня d из условия жесткости на кручение:
d³4
Mê
πd3
£ [ τ],Wρ =
,
Wρ
16
32Mêmax l
32 × 200 ×10
=
= 3,64 ìì.
4
5π
Gπ[ϕ]
4
8 ×10 π
60 ×180
Из двух вычисленных диаметров выбирают наибольший, который округляют в большую сторону до ближайшего стандартного
значения d = 4 мм. Следует отметить, что при определении диаметра стержня из условия жесткости в расчетную формулу d следует
подставлять погонную длину l, соответствующую допускаемому
углу закручивания [ϕ].
Используя формулу (40), вычисляем углы закручивания ϕ
на участках стержня, учитывая, что полярный момент инерции
πd4 π44
Iρ =
=
= 25,12 ìì4 .
32
32
В этом случае в расчетную формулу ϕ подставляют не погонную
длину l, а расстояние между двумя смежными сечениями на границах выделенных участков:
ϕ1 =
= 9,95 ×10-4 × 3439,5 = 3,42 óãë.ìèí,
ϕ2 =
92
Mê × c 180 × 60
100 × 20
×
=
× 3439,5 =
GIρ
π
8 ×104 × 25,12
Mê × b 180 × 60
100 × 30
×
=
× 3439,5 =
GIρ
π
8 ×104 × 25,12
= -14,93 ×10-4 × 3439,5 = -5,14 óãë.ìèí, =
ϕ3
Mê ⋅ a 180 ⋅ 60
200 ⋅ 40
⋅
=
⋅ 3439
=
,5
GIρ
π
8 ⋅ 104 ⋅ 25,12
= −13,69 óãë.ìèí.
Угол закручивания стержня равен
ϕСО = ϕАО + ϕBА + ϕCB= −(5,14+13,69) + 3,42 = −15,41 угл.мин.
Принцип построения эпюры углов закручивания ϕ аналогичен
принципу построения эпюры упругих перемещений Δl. На границах участков CB, BА и АО откладывают значения углов закручивания и соединяют точки прямыми. Точка отсчета выбрана в точке
защемления О.
Задача 6. Расчет на прочность консольного стержня
круглого поперечного сечения при изгибе
Определить диаметр d стержня постоянного сечения из условия
прочности при известных значениях внешних сил: равномерно распределенной нагрузки q=1 Н/мм; сосредоточенной силы Р =5 Н;
допускаемом значении напряжения [σ]=90 МПа . Длины участков:
a=50 мм, b=25 мм. Построить эпюры внутренних силовых факторов: поперечной силы Q и внутреннего изгибающего момента Mи
(рис.48).
Решение
Решение задачи следует начинать с определения опорных реакций
в точке A из уравнений равновесия. Стержень АС защемлен на одном
конце. В этом случае опора (неподвижная заделка) препятствует всяким перемещениям этого конца в плоскости действия сил.
Поэтому защемленный конец стержня создает три неизвестные
реакции: составляющую XA, параллельную оси стержня, составляющую YA, перпендикулярную к оси, и опорный момент МА. Направления реакций выбирают произвольно.
Момент силы относительно опорной точки A считают положительным, если сила поворачивает стержень вокруг указанной точки против часовой стрелки.
Запишем уравнения равновесия: ΣX = 0, XA = 0;
ΣY=0, YA − qa – Р = 0 ⇒
YA= qa+ Р = 1∙50+5 = 55 Н.
Следует отметить, что при расчете равномерно распределенная
нагрузка q, приложенная непрерывно на протяжении некоторой длины, равной в рассматриваемом случае a, заменяется
равнодействующей сосредоточенной силой qa, приложенной по93
середине отрезка длиной a. Плечо силы qa относительно точки A
a
равно
(рис.48). Составим уравнение моментов сил относительно
2
точки А:
Σ М(А) = 0,
M A − qa
=q
a
− P(a + b) =0 ⇒ M A =
2
502
a2
+ P(a + b) = 1 ⋅
+ 5 ⋅ 75 = 1625 Í ⋅ ìì.
2
5
Если в процессе расчета реакций в опорах будет получен знак
«минус», это означает, что истинное направление реакции проY
q
YA
XA
P
B O¢
A
O
MA
x1
qa
X
x2
a/2
a
b
Эпюра Q, Н
55
5
5
Эпюра Mи , Н·мм
125
562,5
1625
Рис. 48
94
C
тивоположно указанному на расчетной схеме. При исследовании
прочности стержня указывается истинное направление реакции.
Для проверки составим уравнение моментов сил относительно
точки В:
a
502
- 55 × 50 - 5 × 25 = 0.
ΣМ(B) = 0, M A + qa - YA a - Pb = 1625 + 1×
2
2
Проверка обязательна, так как реакции в опорах являются
внешними силами, нагружающими стержень, и погрешность их
расчета приводит к ошибкам при исследовании прочности и жесткости конструкции.
После определения реакций в опорах рассчитывают внутренние
силы и моменты. Внутренние силовые факторы вычисляют, используя метод сечений и правило знаков.
При изгибе стержня (балки) в случае отсутствия продольных
сил возникают поперечные силы Q и изгибающие моменты Mи.
Поперечную силу Q условимся считать положительной, если
внешние силы сдвигают левую часть стержня вверх, а правую –
вниз. Иначе говоря, если внешние силы, лежащие слева от
проведенного сечения, направлены вверх, а расположенные
справа от него – вниз (рис.49, а). По этому правилу знаков направление силы Q совпадает с направлением касательных
напряжений τ, из которых и складывается поперечная сила. Изгибающий момент Mи, образуемый действием каждой силы в отдельности, считаем положительным, если для левой отсеченной
части стержня она дает момент относительно центра тяжести
сечения, направленный по часовой стрелке, а для правой части
стержня – против нее. Принятое правило знаков для момента
Mи соответствует характеру деформации стержня. Момент Mи
положителен, если внешние моменты вызывают растяжение
нижних волокон стержня, отмеченных на рис. 49, г пунктиром.
При положительном моменте Mи изгиб стержня обращен
выпуклостью вниз (рис.49, в, г), а отрицательном – выпуклостью
вверх (рис.49, д, е).
Знак «минус» в рассмотренных правилах знаков для Q и Mи
соответствует противоположным направлениям сил и моментов
(рис.49, б, д, е).
Стержень имеет два участка с однотипным нагружением.
Поэтому проведем два сечения: первое (x1) – в левой части стержня,
а второе (x2) – в правой. Рассчитаем значения Q и Mи для каждого
участка.
95
а)
P
в)
Q >0
д)
Ми > 0
М
Ми < 0
М
М
М
P
б)
P
Q< 0
г)
P
е)
Ми > 0
М
М
М и< 0
М
М
Рис. 49. Правило знаков для определения внутренних
силовых факторов при изгибе
Согласно принятым правилам знаков для участка с границами
0 ≤ x1 ≤ a
Q1= YA − qx1; при x1 = 0 поперечная сила Q1 = YA = 55 Н; при
x1=a – Q1 = YA – qa = 55 −1∙50 = 5 Н.
Следует отметить, что равнодействующая qx1 приложена посередине отрезка длиной x1 и ее плечо относительно центра тяжести
x
сечения – точки O (см. рис.48) равно 1 .
2 первого сечения x
Уравнение изгибающего момента для
1
Mè1 = -M A + YA x1 - qx1
x1
x2
= -M A + YA x1 - q 1 ;
2
2
при x1 = 0 – Mи1 = − МА = −1625 Н∙мм;
a2
502
= -1625 + 55 × 50 -1×
=
при x1=a– Mè1 = -M A + YA a - q
2
2
= -1625 + 2750 -1250 = -125 Í.
В рассматриваемом случае величина изгибающего момента
зависит от квадрата абсциссы x1, следовательно, очертание эпюры
для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ a представляет собой кривую –
квадратичную параболу (см. рис. 49). Для построения этой кривой
необходимо знать как минимум три точки. Третья точка соответствует середине выделенного участка или координате x, при которой Q = 0. В анализируемом случае координата третьей точки
a
равна x1 = . Подставляя в уравнение изгибающего момента для
2
a
первого сечения x1 значение x1 = , получаем
2
a
a2
502
Mè1 = -M A + YA - q
= -1625 + 55 × 25 -1×
= -562,5 Í.
2
8
8
96
Для участка с границами 0 ≤ x2 ≤ b Q2 = Р = 5 Н.
Уравнение изгибающего момента для второго сечения x2
записывают в виде
Mи2= −Рx2.
При x2= 0 – Mи2 = 0; при x2 = b – Mи2 = −Рb = −5∙25 = −125 Н∙мм.
Характер изменения внутренних силовых факторов в сечениях
стержня приведен на эпюрах Q и Mи (рис. 49). На основании эпюр
можно сделать вывод, что опасным является сечение с координатой
x1. В этом сечении поперечная сила Q и внутренний изгибающий
момент Mи достигают максимального значения.
Обязательной является проверка правильности построения эпюр
Q и Mи в соответствии с правилами, подробно рассмотренными в [1]. Необходимо отметить, что на участках стержня, загруженного
сплошной равномерно распределенной нагрузкой q, эпюра Mи
ограничена параболической кривой, а эпюра Q – наклонной
прямой (рис. 48). В сечениях под сосредоточенными силами в эпюре Q наблюдается скачок (на величину силы), а в эпюре Mи – резкое
изменение угла наклона (излом) смежных участков эпюры (см.,
например, сечение x2 на рис. 48). Если нагрузка q направлена вниз,
то эпюра Mи очерчена кривой, обращенной выпуклостью вверх
(см. рис.48). При q > 0 кривая, наоборот, обращена выпуклостью
вниз. В защемленном конце стержня (неподвижное заделке) Q и Mи
соответственно равны опорной реакции и опорному моменту. На
участках, свободных от сплошной нагрузки, эпюра Q ограничена
прямыми, параллельными оси X, а эпюра моментов Mи изобразится
наклонными прямыми, если только Q ≠ 0.
После выявления опасного сечения и расчета величин Q и
Mи в этом сечении, определяют диаметр стержня d из условия
прочности (см. формулы 46 −48):
σmax ≤ [σ],
=
σmax
d³3
Mè max
πd3
=
, W
,
W
32 32Mèmax 3 32 ×1625
=
= 5,69 ìì.
π[σ]
π90
Найденное значение d = 5,69 мм округляется в большую сторону
до ближайшего стандартного значения d = 6 мм.
97
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976.
607 с.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: учеб. для вузов.
М.: Изд-во МГТУим. Н.Э. Баумана, 2007. 592 с.
3. Иванов М.Н. Детали машин. М.: Высш. школа, 2008. 408 с.
98
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................................
3
1. Задачи сопротивления материалов.
Основные показатели надежности конструкции.
Типовые расчетные схемы реальных объектов...............................
4
2. Силы внешние и внутренние. Метод сечений..............................
7
3. Напряжения и деформации......................................................
11
4. Осевое растяжение (сжатие). Закон гука....................................
16
5. Напряженное состояние в точке
деформируемого тела. Обобщенный закон гука..............................
21
6. Напряжения при плоском и объемном
напряженном состоянии. Круги мора (круговые диаграммы
напряженного состояния)...........................................................
24
7. Чистый сдвиг.........................................................................
42
8. Кручение...............................................................................
46
9. Плоский изгиб.......................................................................
53
10. Косой изгиб..........................................................................
64
11. Совместное действие кручения и изгиба...................................
70
12. Устойчивость элементов конструкций.....................................
75
Приложение .............................................................................
80
Библиографический список.........................................................
98
99
Учебное издание
Опалихина Ольга Викторовна
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
Учебное пособие
Редактор В. П. Зуева
Компьютерная верстка М. И. Дударевой
Сдано в набор 17.10.16. Подписано к печати 25.11.16. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,8. Уч.-изд. л. 6,2.
Тираж 50 экз. Заказ № 448.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
12
Размер файла
4 029 Кб
Теги
032f4441a6, opalikhina
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа