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Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
?. ?. ????????, ?. ?. ???????, ?. ?. ?????????
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Санкт-Петербург
2004
??? 681.3.068
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Панферов А. И., Лопарев А. В., Пономарев В. К.
?16 Применение Mathcad в инженерных расчетах: ????. ??????? /
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1903, 1310.
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???????? ??????? ??????? ?? ???? ??????? ??? ??????? [Ctrl+M].
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????? ???????? ???? ???????, ???????? ???????? ?????????? ?????????? ORIGIN. ????? ???????????? ?????? ???????, Mathcad ?????????,
??? ??????? ??????????, ??????? ? ????????? ???????? ORIGIN. ???????????, ??? ?????, ????????, ????? ??? ??????? ?????????? ? ??????? ????????. ???????? ???????? ORIGIN ?? ???? ????????? ?????
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??????? ??????? ??? ???????? ??? ??????? ?????? ? ??????? ??? ??????. ????????, ??? ??????? ????????? ? V0 Mathcad ?????? ????????
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???????". ????? ?????????? ORIGIN ????????????? ? ????????????? ??????.
????? ?????????? ? Mathcad ??????????? ? ?????????? ???????
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?????? ? ???????? ?????????. ??? ????????? ???????? ??????? ???????????? ??????? ?????? ????????? ????????, ????????? ??? ???????? ? ????????? ????????.
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?????????? ???????????????
???????? ? ? ?
????????? z ? ??????? ???????? ?
???????? ??????????????? ???????? ??????? ? ?? ????????? ???????
?, ??????? ? ? ? ?????? ?????
?????????? ???????
???????? z ?? ??????? ???????? ?
???????? ??? ???????? ? ?? ?1
n-? ??????? ?????????? ???????
M (?????????? ????????? ??????).
M?1 ???????????? ???????, ????????
? M, ?????? ????????????? ??????? ? ??????? ???????? ???????.
?????????? ???????
?????????? v ? v , ??? v ? ??????,
?????????? ??????????? ? v
?????????? ??????????? ?????????? ??????? ?, ????????? ? ??????
19
????????? ????.1
????????
????????????????
??????????? ???????
AT
?????????
????????????
uv
???????????
??????????
????????????
?????????
????????????
A
?v
??????? ??????
A<n>
?????? ??????
(???????)
?????? ???????
???????
vn
A
Am, n
????????
Ctrl+1 ?????????? ???????, ??? ?????? ?
??????? ?, ? ??? ??????? ? ??????
?. ? ????? ???? ???????? ???
????????
Ctrl+8 ?????????? ????????? ???????????? ??? ???????? ? ????? ??????? ?? ? u ? v
"
?????? ???? ?????? ????? ??????? ???????? ?
Ctrl+4 ????????? ???????? ??????? v.
?????????? ??????
Ctrl+- ???????????? ? ????????? ? ?
??????????? ???????? ???????????
Ctrl+6 ????????? n-? ??????? ??????? ?.
?????????? ??????
[
n-? ??????? ???????
]
??????? ???????, ??????????? ?
m-? ???? ? n-? ??????
Mathcad ???????? ?????????? ??????? ??? ???????? ? ?????????.
??????? ????? ? ????, ??? ???????, ??????? ??????? ? ???????? ????????? ??????, ?????? ??????? ??????-???????, ? ?? ??????-??????. ????? ???????? ??????-?????? ?? ??????-???????, ??????????? ????????
???????????????? [Ctrl+1].
????? ???????? ????????? ??????? ? ?? ???????? ????????? ?
????. 2.
20
??????? 2
????????? ???????
??? ???????
????????????
rows(A)
????? ????? ? ??????? ?. ???? ? ? ??????,
???????????? 0
cols(A)
????? ???????? ? ??????? ?. ???? ? ? ??????,
???????????? 0
length(v)
????? ????????? ? ??????? v
last(v)
?????? ?????????? ???????? ? ??????? v
max(A)
????? ??????? ??????? ? ??????? ?. ???? ? ?????
??????????? ????????, ?????????? ??????????
???????????? ????? ???? ?????? ???????, ?????????? ?? ?????????? ?????? ?????
min(A)
????? ????????? ??????? ? ??????? ?. ???? ?
????? ??????????? ????????, ?????????? ?????????? ???????????? ????? ???? ?????? ???????,
?????????? ?? ?????????? ?????? ?????
identity(n)
????????? ??????? n n (???????, ??? ???????????? ???????? ??????? ????? 1, ? ??? ?????????
???????? ????? 0)
Re(A)
??????, ????????? ?? ?????????, ??????? ???????? ????????????? ??????? ????????? ?
Im(A)
??????, ????????? ?? ?????????, ??????? ????????
??????? ??????? ????????? ?
tr(M)
????? ???????????? ?????????, ??????????
?????? ?
rank(A)
???? ???????????? ??????? ?
norm1(M), norm2(M) L1, L2, ????????? ? ??????????? ????? ??????? ?
norme(M), normi(M)
cond1(M), cond2(M) ????? ??????????????? ??????? ?, ??????????
conde(M), condi(M) ?? L1, L2, ?????????? ? ??????????? ??????
eigenvals(M)
??????, ?????????? ??????????? ???????? ??????? ?
eigenvec(M, z)
???????, ?????????? ????????????? ??????????? ??????, ??????????????? ????????????
???????? z ?????????? ??????? ?
21
????????? ????. 2
??? ???????
eigenvec(M)
cholesky(M)
qr(A)
eu(M)
????????????
???????, ?????????? ????????????? ??????????? ???????, ??????????????? ??????????? ????????? ?????????? ??????? ?. n-? ??????? ???????????? ??????? ? ??????????? ??????, ??????????????? n-? ???????????? ????????, ????????????? eigenvals
?????? ??????????? ??????? L ?????, ??? LLT = M.
??????? ? ?????? ???? ???????????? ? ???????????? ????????????. ????????? ????????, ???
? = ??, ????????????? ?????????????? ? ???
x??x > 0 ??? ?????? ??????? x ? 0
???????, ??? ?????? n ???????? ???????? ????????????? ??????? Q, ? ??????????? ??????? ???????? ??????? ??????????? ??????? R. ???????
Q ? R ????????????? ????????? ? = QR. ???????
? ?????? ???? ????????????
???????, ??????? ???????? ??? ?????????? ??????? P, L ? U, ????????????? ???????????????
? ????????? ??????? ? ??????? ? ? ??????????
??????. L ? U ???????? ?????????????? ?????? ?
??????? ???????????? ?????????. ??? ???????
????????????? ????????? PM = LU
??????? ????????????? ?????????? ??????? ??????????????
???. 5 ? 6.
22
??????? A:
? 0 1 ?
A := ? 5 3 ?
?
?
? 6 ?2 ?
cols ( A ) = 2
rows ( A ) = 3
?????????? ? ??????????
???????? ????????? A:
min( A ) = ?2
max( A ) = 6
?????? V:
? 13 ?
V := ? 3 ?
?
?
? 50 ?
????? ????????? ? V:
length ( V) = 3
?????? ?????????? ???????? V:
last ( V) = 2
5 + 2i
?
?
?
B :=
5.54 ? 3i ?
?
?
? 3 + ( 4 + 0.8) ? i ?
?????? ????? ??????? B:
? 2 ?
Im( B) = ? ?3 ?
?
?
? 4.8 ?
???. 5. ????????? ? ????????? ???????
23
? 1 ?7 6
A := ? 3 0 10
?
? 2 5 ?1
?
?
?
?
C := eigenvals ( A )
? 3.805 + 1.194i ?
C = ? 3.805 ? 1.194i ?
?
?
?7.609
?
?
??????????? ??????, ??????????????? ??????? ?? ??????????? ?????
V := eigenvec (A , C0)
? 0.141 + 0.627i ?
V = ? 0.117 ? 0.63i ?
?
?
? 0.077 ? 0.414i ?
V =1
????????:
? ?0.213 + 2.553i ?
A ? V = ? 1.197 ? 2.256i ?
?
?
? 0.788 ? 1.481i ?
? ?0.213 + 2.553i ?
C0? V = ? 1.197 ? 2.256i ?
?
?
? 0.788 ? 1.481i ?
???. 6. ??????????? ???????? ? ??????? ???????????? ??????
? Mathcad ???? ??? ??????? ??????????? ??????.
??????? augment (A, B) ?????????? ??????, ?????????????? ????????????? ???????? ? ? ? ??? ? ???. ??????? ? ? ? ?????? ?????
?????????? ????? ?????.
??????? stack (A, B) ?????????? ??????, ?????????????? ????????????? ? ??? ?. ??????? ? ? ? ?????? ????? ?????????? ?????
????????.
??????? submatrix (A, ir, jr, ic, jc) ?????????? ??????????, ????????? ?? ???? ?????????, ???????????? ? ??????? ? ir ?? jc ? ? ????????
? ic ?? jc. ????? ?????????? ??????? ????? ? (???) ????????, ??????????????, ??? ir ? jr ? ic ? jc, ????? ??????? ????? ? (???) ????????
????? ???????. ??????? ????????????? ???? ??????? ????????? ??
???. 7.
24
ORIGIN ? 0
??????????? ??????
? 1 1 6 4 9?
? 2 3 4 4 1?
A1 := ? ?5 ?8 ?3 3 7 ? A2 := ?
?
?
?
? 5 8 5 3 9?
? ?2 ?4 ?6 3 2 ?
?
?
?
A=?
?
?
?
?
?
B := ?
?
?
?
1
1
6 4 9
?5 ?8 ?3 3 7
?2 ?4 ?6 3 2
2
3
4 4 1
5
8
5 3 9
?
?
?
?
?
?
?
? ?3 ?8 ?5 ?
?
? ?6 ?4 ?2 ?
submatrix( A , 1 , 2 , 2 , 0) = ?
? ?5 ?8 ?3 ?
?
? ?2 ?4 ?6 ?
submatrix( A , 1 , 2 , 0 , 2) = ?
? ?6 ?4 ?2 ?
?
? ?3 ?8 ?5 ?
submatrix( A , 2 , 1 , 2 , 0) = ?
?1
?
?
?
?2 5.1 1 ?
?
0 .8 6 ?
1
2
2.3 4
4
? 0.312 0.279 ?0.411
?
0.717 0.553 0.117
C=?
? ?0.623 0.776 ?0.072
? 0 0.117 0.901
?
Q := submatrix( C, 0 , 3 , 0 , 3)
?
?
T
Q? Q = ?
?
?
?
A := stack ( A1 , A2)
?
?
0 1 0 0 ?
0 0 1 0 ?
?
0 0 0 1 ?
1 0 0 0
C := qr( B)
?0.81 3.208 0.312 1.933 ?
?
6.823 3.415 ?
0.407
0
0.064
0
0
?0.417
0
0
6.213 ?
?
?
0
R := submatrix( C , 0 , 3 , 4 , 6)
?
?
Q? R = ?
?
?
?
?
?
2.3 4 4 ?
?2 5.1 1 ?
?
0 0.8 6 ?
1
2
?1
???. 7. ??????? ???????????? ????? ??????
25
2.3. ?????????? ?????????
?????????? ???????? ? ??????????, ??????? ????????? ??? ???????? ??? ?????? ?? ?????????????. ?????????? ????????? ???????????
????????? ??????????? Mathcad, ???????? ????????? ????????????
?????????? ??? ????? ? ?????????????? ????????????.
???? ??????? ?? ??????????
k:1,1.1;2
?? ?????? ???????? ??????????? ??????????? ?????????
k:= 1,1.1..2
? ???? ???????????:
?????????? k ? ??? ??????????? ?????????. ??? ?????? ???? ??????? ???. ??????? ?????? ??????? ??? ?????????????? ???????????
?? ?????????;
????? 1 ? ?????? ????????, ??????????? ?????????? k;
????? 1.1 ? ?????? ???????? k. ???????? ????????, ??? ??? ?? ??????
????. ?????? ???? ? ???? ??????? 0.1, ??????? ????? 1.1 ? 1. ??????
???? ????? ???? ??? ????????????? ??????, ??? ? ?????????????.
???? ???????? ??????? ? 1.1, Mathcad ?????? ?????? ???? ?????? 1 ?
?????????? ???????????;
????? 2 ? ????????? ????? ? ?????????. ???? ?????? ????? ? ??????????? ????????? ?? ????? ?????? ????? ?????????? ?????????? ????????, ???????? ??? ????? ?? ?????? ?? ??? ???????.
????? ???????????? ???????????? ????????? ????????? ??????
1, 1.1 ? 2. ?????? ??? ???????? ?????? ???? ????????????? ???????. ???. 8 ?????????? ?????????? ????????? ??????????? ??????????? ?????????.
??? ?????? ???? ?????????? ???????? ??????????? ??????? ???????? ??. ????????? ?????? ?? ???. 8 ???????? ? ??????????? ????????, ??????????? ?? ???. 3.
26
j1 := 0, 0.5.. 8
j2 := 10.. 0
N := 20
i := 0.. N
ri := cos (? i) + 1
i
j3 := 0 .. 10
j4 := 0 , 2 .. 10
? i := 2? ??
j5 := 10.. 15
j6 := 0 , 5 .. 18
xi := ri? cos (? i)
j1 = j2 = j3 = j4 = j5 = j6 =
?i =
N
ri =
yi := ri? sin (? i)
xi =
yi =
0
10
0
0
10
0
0
2
2
0
0.5
9
1
2
11
5
0.314
1.951
1.856
0.603
1
8
2
4
12
10
0.628
1.809
1.464
1.063
1.5
7
3
6
13
15
0.942
1.588
0.933
1.285
2
6
4
8
14
1.257
1.309
0.405
1.245
2.5
5
5
10
15
1.571
1
0
1
3
4
6
1.885
0.691
?0.214
0.657
3.5
3
7
2.199
0.412
?0.242
0.333
4
2
8
2.513
0.191
?0.155
0.112
4.5
1
9
2.827
0.049
?0.047
0.015
5
0
10
3.142
0
0
0
3.456
0.049
?0.047
?0.015
5.5
6
3.77
0.191
?0.155
?0.112
6.5
4.084
0.412
?0.242
?0.333
7
4.398
0.691
?0.214
?0.657
7.5
4.712
1
0
?1
2
yi
0
2
1
0
1
2
xi
???. 8. ????????? ?????????? ??????????? ??????????? ?????????
27
? ?????????? ???????? ?????????? ????????? ????? ??????????,
????? ????????? ???????????? ?????????? ?????????? ??????????
????????????. ?????????? ?????? ????????? ? ???????? ???????????: i ? ????? ?????????????? ????????; v - ????? ?????????????;
d ? ????? ???????; r ? ????? ????????????? ? ??????????? ?????????. ?????? ?????????, ??????? ????????? ??? ?????????? ? ?????? ??????:
t := 0 .. 20
????????? ????????
?
?
?
?
?
?
? ? 50 ?
?
? ?
v0
? := ? 22000 ?
d0 ? ? 0 ?
?
? ?
r0 ? ? 0 ?
?
?
?
?
?
?
i0
t =
it =
i t+ 1
v t+ 1
d t+ 1
r t+ 1
vt =
? t? i t
? ? 0.0001v
? ?
? := ? v t ? 0.0001? v t? it
? ? d t + 0.55? it
? ?
? ? r t + 0.45? it
dt =
?
?
?
?
?
?
rt =
50
4
2.2·10
0
0
1
110
2.189·104
27.5
22.5
2
240.79
2.165·104
88
72
3
521.291
2.113·104
220.435
180.356
4
1.101·10 3
2.003·104
507.145
414.937
5
2.206·10 3
1.782·104
1.113·10 3
910.558
6
3.931·10 3
1.389·104
2.326·103
1.903·103
7
5.46·10 3
8.43·103
4.488·10 3
3.672·103
8
4.603·10 3
3.828·103
7.491·103
6.129·103
9
1.762·10 3
2.066·103
1.002·104
8.2·10 3
10
363.936
1.702·103
1.099·104
8.993·10 3
11
61.936
1.64·103
1.119·104
9.157·10 3
12
10.157
1.63·103
1.123·104
9.185·103
13
1.655
1.628·103
1.123·10 4
9.189·10 3
14
0.27
1.628·103
1.123·104
9.19·10 3
0.044
1.628·103
1.123·10 4
9.19·10 3
0
15
???. 9. ?????????? ? ?????? ??????????????? ????????
28
it+1 = 0,0001vt it ,
vt+1 = vt ? 0,0001vt it ,
dt+1 = dt + 0,55it ,
rt+1 = rt + 0,45it .
???? ?????? ???? ????????? ??????????? ????????? t, ?? Mathcad
????? ????????? ???? ??? ??????? ????????? ????? ????????? ? ?????????? ?????????.
??? ???? ????? ???????? ?????????? ??? ?????????? ???????? t
??????????? ????????????, ?????????? ??????? ?????? ???????. ???
???????? ? ?????????????? ????????? ???????????.
??????? ?????? ??? ?????????? ????????? ??????? ????????? ??
???. 9.
???????? ????? ????????? ??????????? ??????????, ???????????? ? ??????? ? ???????????? ?????? ??? ????? ??????. ??? ????
?????? ???????????? ???????? ???????? ??????? Mathcad. ??????????
??? ?? ??????? ?????????? ?????????????? ??????? ???????????????? ????????? ????
dX(t )
= AX(t )
dt
? ????????? ????????? ???????? ?(0).
???????? ? ???????? ?????????, ???????
dX(t ) ? ?X(t ) = X(tk ) ? X(tk ?1) ,
dt ? ?t ,
? ????????? ???????? ??????? ????????? ? ???? ???????????? ???????????
X(tk ) = X(tk ?1) + AX(tk ?1)?t .
????????? ????????? ??????????? ? ?????????????? ???????? ??????? Mathcad
X <k> := X <k?1> + A ? X <k?1> ? ?t.
????? ??????? ?????? ?????????? ????? ??????? ??????? ?. ?? ???. 10
????????? ????????? ?????????? ?????????????? ??????? ?????????
3-?? ???????.
29
? 0.5 0 0.2 ?
A := ? 0.25 0.9 0.1 ?
?
?
? 0.25 0.1 0.7 ?
k := 1 .. 8
?t := 1
???????? ????????
????????? ????????
X
? k?
X
?8?
:= X
? k? 1?
X
+ A? X
?0?
? 1 ?
:= ? 2 ?
?
?
? 1.5 ?
? k? 1?
? ?t
? 159.565 ?
= ? 630.464 ?
?
?
? 361.971 ?
? 1 1.8 3.3 6.144 11.585 22.073 42.41 82.038 159.565 ?
X = ? 2 4.2 8.73 18.009 36.938 75.426 153.478 311.421 630.464 ?
?
?
? 1.5 3 5.97 11.847 23.477 46.501 92.112 182.541 361.971 ?
???. 10. ??????????? ?????????? ? ??????????????
???????? ??????? Mathcad
??? ????? ???????? ??????? ??????? [Ctrl+6]. ???????? ???? ?????
???????? ???????? < >, ??????? ??????????? ?????????? ?????????? k ??? k ? 1. ?????????? ???????? ???????? ? ??????? ?. ??????
??????? ???? ??????? ???????????? ????? ???????? ??????? ? ???
?????? ???????? ??????? ?? ?????????? ??????? t = 0 ?? ?????????
??????? t = 8?t.
30
3. ?????????
?????????? ??? ??????? ????? ??????????. ?????????? ?? ??? ??????????? ? ????????????? ??????????? ??????. ????? ??????? ??????? ??????????, ???????????? ?????? ?? ?????? ????????????, ????????????? ???? ????. ?????? ?????? ????????? ??????? ??????????,
??????????????? ?? ?????? ??????????. ??? ???????? ????????? ????
??? ??????? ?????????? ???????, ??????????? ?????????? ???? ??????. ????? ???????? ???????? ?? ???????, ??????? ?????, ??? ?????
????????? ????????, ????? ??????? ?? ?????? ???????????? ?????????
?? ???????.
?????? ??????, ??????? ?????????? ???????? ? ?????????????? ????????. ????? ???????????? ??????? ?????????? ? ????????? ???????,
?????????? ???????? ????? ? ?????? ? ??????? ??????? ?????????????? ??????? ?? ???? ???????. ??? ????? ??????? ??????????????
??????? ? ??????, ? ??????? ????? ????????? ?????????, ????????? ???????. ?????? ?????? ????? ??????????? ?????? ? ?????????????? ?????????? ??????. ???? ?????? ???????, ?? ??????? ?????????? ??????????????? ??????????.
????????? ? ????????? ????????? ???? ??????????? ??????. ????
?????????? ??????? ???????? ?????????? ??? ?????????? ?????? ????.
????? ? ? Y ?????????? ????? ??????????; f ? ???????; m ? n ? ?????
?????; i ? ?????????? ????????; z ? w ?????????? ???????????? ???
??????????? ?????.
??????? 3
???????? ?????????
????????
???????
??????
?????????
???????????
???????
(?)
'
n!
!
????????
????????????? ??????????
?????????? ????????, ??????
1·2·?·(n ? 1)·n, n ? ??????????????? ????? ?????
31
??????????? ????. 3
????????
???????????
??????????
???????
?????????
?????
??????????
??????
?????? n-?
???????
???????????
????????????
X
?????? ???? ?????? ?????
zw
^
???????? z ? ??????? w
?X
?
???????? ? ?? ?1
\
?????????? ????????????? ?????????? ?????? ??? ?????????????? z; ??????? ???????? ???
?????????????? z
?????????? ?????? n-? ???????
z; ?????????? ???????????? ??????, ????? ????????
z
n
z
|
X
z
/
X·Y
n
?X
n
?X
i=m
32
Ctrl+\
|z|
i=m
????????????
????????
"
??????????
????????
???????
?????????
???????
??????????
Re ( z ) + Im ( z )
2
2
????? ????????? ? ?? ?????? z.
???? X ? ??????, ????? ??????
??????? ?? z
*
?????????? ???????????? ? ? Y,
???? ? ? Y ? ???????. ????????
?????? ??????? Y ?? ?, ???? Y ?
??????, ? ? ? ??????. ??????????
????????? ????????????, ???? ?
? Y ? ??????? ?????? ???????.
????????? ????????? ??????,
???? ? ? Y ? ??????? ??????????????? ????????
Ctrl+Shift+4 ????????? ???????????? ? ??
i = m, m + 1, ..., n. X ????? ????
????? ??????????, m ? n ?????? ???? ?????? ???????
Ctrl+Shift+3 ????????? ???????????? ? ??
i = m, m + 1, ..., n. X ????? ????
????? ??????????, m ? n ?????? ???? ?????? ???????
????????? ????. 3
????????
???????????
???????
????????
????????????
?? ???????????
?????????
????????????
?? ???????????
?????????
?X
$
?X
#
?????????? ???????????? ? ??
??????????? ????????? i. X ????? ???? ????? ??????????
?????????? ???????????? ? ??
??????????? ????????? i. X ?????
???? ????? ??????????
20
?
n
i
i
20
n = 210
=0
i := 0 .. 20
20
? (n + 1) = 5.109Ч 10 ? ?
n= 0
n
?
xi := sin (0.1? i? ?)
y j :=
?i
j
i
=0
m
20
n
j := 1 .. 10
10
19
n
m
13
= 2.554 Ч 10
=0
20
?
xn = 0
=0
n
xn? n = ?63.138
=0
? ? i = 2.554Ч 10
j
y 1 = 210
i
j
? ?
m
13
y 10 = 2.416 Ч 10
13
?????????? ??????? ?????? ????????????
i := 0 .. 10
f ( x) :=
n
? i ?(i ? x)
2
g ( n ) :=
i
f ( 0) = 0
f ( 30) = 55
g ( 7) = 84
j
=1
j
m
=1
f ( 2) = 5
3
g ( 20) = 1.54 Ч 10
???. 11. ????? ? ????????????
?? ???. 11 ????????? ??????? ?????????? ????????? ???? ? ????????????.
33
d 3
x = 12
dx
x := 2
y := 10
t := 0
????????? ???????? ???????????
g ( t) := 5? t
4
?????? ?????????
d 5
x = 79.9999999999999
dx
g ( x) = 80
d 5
x ? y = 799.999999999999
dx
g ( x) ? y = 800
d 5
x ? y = 32
dy
x = 32
5
????????? ????????? ?? ??????? ?? t,
??? ??????????? ?? t ????? ????:
d 5
x ?y = 0
dt
?????????? ??????????? ? ?????????????????? ?????:
f ( t ) :=
g ??
d
g ( t)
dt
?=
?
? 2?
i
i := ?2 .. 3
f ??
?=
?
? 2?
i
5
?20
0.313
?2.5
0
0
0.313
2.5
5
20
25.313
67.5
f ( ?2) = ?160
f ( 2) = 160
f ( 3) = 540
f ( 2 + i) = 40 + 220i
???. 12. ????????????????? ? ??????? Mathcad
34
??? ?????????? ??????????? ? Mathcad ?????????? ????????? ?????????:
??????? ?????????? ?????, ? ??????? ?????????? ????? ???????????. ????????, ????? ????? ??????????? x3 ?? x ? ????? x = 2, ???????? [x:2];
???????? ???? ??? ?????? ?? ??????????? x. ????? ???????? [?].
?????????? ???????? ??????????? ? ????? ??????? ??????;
???????? ?? ???? ? ??????????? ? ???????? [x]. ??? ??? ??????????, ?? ??????? ?????????? ?????????????????;
???????? ?? ???? ?????? ?? d/dx ? ???????? [x^3]. ??? ?????????,
??????? ????? ???????????????????;
??????? ???? [=], ????? ??????? ?????????.
?? ???. 12 ????????? ??????? ????????????? ???????? ?????????????????.
?????????, ??????? ????? ???????????????????, ????? ???? ???????????? ??? ???????????. ?????????? ????????????????? ?????? ???? ??????? ????????????????? ??????????. ?? ????????? ?????????? ???????????, ??????? ???????????? ? Mathcad, ?????
???????, ??? ?????? ??????????? ????? ????????? ? ????????? 7 ??? 8
???????? ????, ???? ?????, ? ??????? ?????? ???????????, ??????? ??
???????????? ???????. ???????? ????? ????????? ??????????? ?? ????
???????? ????? ??? ?????? ?????????? ??????? ???????????. ?????????? ???????, ??? ????????? ????????????????? ???? ?? ???????, ?
????? ? ???????? ??????????? ? ????????? ????? ?????????? ?????????????????. ? ?????????? ??????? ??????????? ?? x3 ?? ???? ????????? 3x2, ? ???????? 3x2, ??????????? ? ????? x = 2. ?????????? ?
?????????? ??????????? ??????????? ??. ? ??????? "?????????? ??????????".
????????????? ????????? ?????????????? ? Mathcad ????? ??????
?? ????????????? ????????? ?????????????????. ??? ?????? ????????? ?????????????? ????? ??????? ???? [&] ??? ???????????? ??????????????? ???????. ????? ??????????? ??? ????????? ????. ??? ????????????? ?????????? ????????????? ????????? Mathcad ??????????
????????? ???????? ?????????????? ????????. ??????? ?????????????? ?????? ???? ????????????? ???????. ?????????, ??????? ?????
?????????????, ????? ????, ??????, ???????????? ??? ???????????.
????? ?????????? ??????????????, ??? ?????????? ? ??????????????? ????????? ?????? ???? ?????????? ????? ? ?????? ????? ??????35
?
?4
?
2
? sin ( x) dx = 0.143
?
2
i := 0 .. 5
f ( x) := x + 3? x + 2
0
i
?
g := ? f ( x) dx
i ?
0
?
f := ?
i ?
0
g =
f ( x) dx
f =
i
?i
i
0
0
3.833
0.833
12.667
0.667
28.5
1.5
53.333
5.333
89.167
14.167
??????? ???????? ?????????? ?????????? TOL
?? ?????????? ?????????:
5
???????? ?? ?????????
?3
TOL = 1 Ч 10
?e
? 1 dt = 5.00000000006814
? t
?
1
5
?6
TOL := 10
??????? ????????
?e
? 1 dt = 5.00000000000001
? t
?
1
5
?1
TOL := 10
?????? ????????
?e
? 1 dt = 5.00000005437786
? t
?
1
????????????? ???????? ? ??????????? ?????????
x( t ) := 2? cos ( t )
y ( t ) := 2? sin ( t )
z( t ) := x( t ) + i? y ( t )
?
?
? f ( z( t ) ) ? d z( t) dt = 3.142i
?
dt
?
0
???. 13. ?????????? ??????????
36
f ( z) :=
1
z
?? ?????????. ?????????? ?????????????? ?????? ???? ??????? ?????????? ??? ???????. ???? ?????????? ?????????????? ???????? ????????? ?????????, ??????? ? ?????? ??????? ?????????????? ??????
????? ?? ?? ????? ???????????.
??????? ???? ????????? ???????, ???????? ????????? ?????????????? ? Mathcad ??????? ?? ???????????? ???????????????? ?????????. ???? ?????????, ??????? ????? ?????????????, ????? ???????
??? ?????? ???????????, ????????? ???????, ????????? Mathcad, ????? ???? ???????. ????????? ????? ?????????????? Mathcad ????? ???????? ?? ?????? ????????????, ? ????? ????????? ????? ????? ?????????, ??? ????? ???????? ? ???????????? ??????????? ??? ?????????????
??????? ? ???????? 1/2n ?? ????? ?????????. ????? ?????? ??? ????????, ?????? ???????? ?? ??? ????????????, ?? ??????? ??????? ??????? ? ???????????? ?? ??????? ???????????? ????????. ??? ?????????? ??????? ???????? ????????? ????? ???? ????????????
??????????? ?????????? ?????????? Mathcad.
?? ???. 13 ????????? ??????? ????????????? ????????? ??????????????.
37
4. ?????????? ???????
? ???? ??????? ??????? ???????? ??????? Mathcad ? ???? ??????? ?? ?? ?????????????.
???????, ???????????? ??? ?????? ? ????????? ? ?????????, ??????? ????.
????? ??????????? ?????? ???? ?????????? ???????, ????????? ?
????? ?????? Mathcad, ? ?? ????????, ???????? ??????? ??????? ??
???? ???????.
??? ??????? ??????? ? ??????? ???????? ?????? ???????? ?? ????? ???????, ??????? ?????????? ????????. ??? ??????? ????? ???????? ?? ??????????. ??? ???? ????? ???????, ??? ??? ????????????? ?
???????? ? ?????? ?????????? ? ?????????????? ????????? ??? ???????? ???? ???, ??? ??? ???????? ? ?????????? ????????.
??????? ????????, ??? ?????????? ?????? ??????? Mathcad, ??????????????? ? ????????????? ??????? ??????????. ???????? ????
??????? ?????????? ? ????? ?????? ???????. ?????? ?????????? ?????????????? ??????? ???????? ??????????? ?????. ??????? ? ???????? ? ??? ????? ??????????????? ?????????? ? ??????? ????????.
?, ???????, ????? ????????? ??????????? ?????????? ??????? [1]. ???
????? ????? ????? 32-????????? ?????????? ????? ?.
4.1. ?????????????????? ???????
?????????????????? ??????? Mathcad ? ???????? ?? ??????????
??? ?????? ???????????? ?????????. ??? ????? ?????????? ??????????? ???????? ?????, ??? ??????????. ?????????? ??? ??????????? ???????? ??????????? ? ?????????????? ????????:
38
sin z =
eiz ? e ?iz
;
2i
cos z =
eiz + e ?iz
;
2
eiz = cos z + i sin z .
??? ??? ?????????????????? ??????? ?????????? ????????, ?????????? ? ????????. ????? ??????? ? ????????, ???????????? ?????????? ??????? deg. ????????, ????? ????????? sin45°, ???????
[sin(45*deg)=].
???????? ?????????????????? ??????? asin(z), acos(z), atan(z) ?????????? ???? ? ???????? ????? 0 ? 2?. ????? ?????????? ????????? ?
???????? ??? ? ???????? ?. ??? ???????? ????????? ???????. ???????
? ??????? ?????????? [asin(0.5)=], ?? ?????? ???????
asin (0.5) = 0.524
??????? ????? ??????? ???? ? ????? ????? ????????? ? ?????? ?
??????????? ???? ????? "deg", ???????
asin (0.5) = 30 deg
?????? ?????? deg ?????? ?? ??????? ????????? ???? ?, ???????
asin(0.5) = 0.167?
4.2. ??????????????? ? ????????????? ???????
??????????????? ? ????????????? ??????? ? Mathcad ????? ???????????? ??????????? ???????? ? ?????????? ??????????? ????????. ???????? ???????????????? ??????? ??? ???????????? ????????? ??????????? ? ??????????? ???????
e x +iy = e x (cos y + i sin y ) .
? ????? ?????? ???????? ???????????? ????????? ????????????
????????
ln( x + iy ) = ln x + iy + i arg( y x ) + 2n?i .
? Mathcad ??????? ?????????? ???????? ???????? ?????????, ??????????????? n = 0, ? ??????:
ln( x + iy ) = ln x + iy + i arg( y x ) = ln x + iy +
+ i arctg( y x ) + i? (1 ? ?( x ) ) sign y,
??? ?(?) ? ????????? ??????? ????????? (??. ???????. 4.7).
? Mathcad ???????????? ????????? ?????????? ???????????????
? ????????????? ???????:
39
exp(z) - ?????????? e ? ??????? z;
ln(z) - ?????????? ??????????? ???????? z (z ? 0);
log(z) - ?????????? ???????? z ?? ????????? 10 (z ? 0).
??? ?????????? ????????? ?? ????????? n ????? ?????? ???????
logn ( z , n ) : =
ln ( z )
ln ( n )
? ???? ?????? ???????
logn (1 6 , 2
)=
4
4.3. ??????????? ??????? ? ??????? ????????
??????? erf(x) ?????????? ???????? ????????? ??????
x
2
2
erf( x ) =
e ?t dt ,
?
?0
??? x ?????? ???? ????????????.
???????? ?????-??????? ?(z) ??? ????????????? z ????????? ?? ????????? ??????????:
?
?( z ) = ? t z ?1e ?t dt .
0
?????-??????? ?????? ????????????? ????????????? ???????????
?( z + 1) = z?( z ) .
?????? ???????, ??? ??? ????????????? ????? z
?( z + 1) = z !
??? ???????? ? ?????????? ??????? ????? ?????????????? ????????? ?????????? ???????:
Re(z) ? ???????????? ?????;
Im(z) ? ?????? ?????;
arg(z) ? ????????, ??????????? ????? ?? ? ?;
floor(x) ? ?????????? ????? ?????, ?? ????????????? x (x ????????????);
ceil(x) ? ?????????? ????? ?????, ??????????? x (x ????????????);
40
mod(x, y) ? ??????? ?? ??????? x ?? y. ????????? ????? ??? ?? ?????
????, ??? ? x;
angle(x, y) ? ???? (? ????????) ????? ????????????? ???????? x ?
???????? (x, y) ? ????????? XY. ????????? ?????? ???? ???????????.
?????????? ???????? ????? 0 ? 2?.
ceil( 3.25) = 4
floor( 3.25) = 3
mantissa ( x) := x ? floor( x)
mantissa ( 3.45) = 0.45
???????????? ??????????:
roundoff ( x) := if( mantissa ( x) < 0.5, floor( x) , ceil( x) )
roundoff ( 3.46) = 3
roundoff ( 3.56) = 4
???. 14. ???????? ??????? ??????????
?? ???. 14 ????????, ??? ?? ???? ??????? ????? ???? ????????????
??????? ??????????.
4.4. ?????????? ?????????????? ?????
? Mathcad ?????? ??? ???? ??????? ??? ??????????? ??????? ? ????????? ?????????????? ?????: fft/ifft ? cfft/icfft. ??? ??????? ?????????: ??? ????? ? ???????? ?????????? ? ?????????? ??????? ? ???????.
??? ?? ????? ???? ???????????? ? ??????? ?????????.
??????????? ??????? fft ? ifft, ???? ????????? ??? ????????? ???????: ????????? ???????????, ? ?????? ?????? ????? 2m ?????????.
?????? ??????? ??????????, ?????? ??? ??????? fft/ifft ??????????
??? ????, ??? ??? ???????????? ?????? ?????? ???????? ?????????????? ????? ???????? ?????????? ??????????? ? ??????. Mathcad ??????????? ?????? ???????? ???????-??????????. ??? ????????? ????? ?
?????? ??? ???????????.
???? ??????? cfft/icfft ?? ?????????? ????????? ? ??????????????. ?? ???? ??????? ?????????? ???????????? ?? ??? ???????????
??????.
41
?????? ??????? ?????????, ?????? ??? ???? ??????? fft/ifft ?????????? ?????? ??????????? ???????? ???????? ?????????????? ?????.
??? ????? ?????? ?????????, ????????????? ? fft, ?????? ????? 2m ?????????. ? ???????? cfft/icfft ??????????? ????????, ??????? ?????????
? ???????? ?????????? ??? ???????, ??? ? ??????? ????????????? ???????. ????? ??? ???? ??????? ???????????? ? ???????? ? ???????? ?????????, ??????????? ????????? ?????????????? ?????.
??????? ????? ? ????, ??? ???? ??? ??????? ?????????????? ???????????? ??????? fft, ?? ??? ????????? ?????????????? ?????????? ???????????? ??????? ifft. ?????????? ???????????? ??????? cfft/icfft.
4.5. ?????????????? ????? ? ???????????? ???????
??? ???????????? ???????? ? 2m ?????????? ??????????????? ???????????? ??????? fft/ifft. ??????? fft(v) ?????????? ?????????? ?????????????? ?????, ????????? ???????? ??????? ????? ???????????????? ??? ????????? ????????? ????? ?????? ?????????? ???????
?????????? ???????. ?????? v ?????? ????????? 2m ?????????. ????????? ? ????????????????? ?????? ??????????? 1 + 2m?1. ???? v ?????
???????????, ???????? ?? 2m, Mathcad ?????? ????????? ?? ??????
"???????? ?????? ???????".
???????? ???????, ????????????? fft, ??????????? ?? ???????
Cj =
1
n
n ?1
? vk e 2 ?i ( j n ) k .
k =0
? ???? ??????? n ? ????? ????????? ? v, i ? ?????? ???????. ???????? ? ???????, ???????????? ???????? fft, ????????????? ????????? ????????. ????? ???????????? ??????????? ???????, ??????????
????? ??????? ????????? ????????? ???????. ???? v ???? n-?????? ??????, ?????????? ??????? fft, ? ??????? ????????? ????????? ??????? ?
fs, ?? ???????, ??????????????? Ck
fk =
k
fs.
n
???????? ????????, ??? ??? ?????? ??????????? ?????????? ??????? ???? ??????? ????????? ????????? ???????. ??? ???????????, ?????????? ?? Mathcad, ? ????? ????? ????????. ????? ????????? ???????????? ?????? ?? ??? ?????????????? ?????, ?????????? ??????????
42
i := 0 .. 63
xi := sin ?? ??
? + rnd ( 1) ? 0.5
?
? 10 ?
???????????? ???????:
i
??????????? ??????????? ?????????????? ?????:
c := fft( x)
N := last ( c)
N = 32
????????? ?????????????? ?????:
N2 := last ( z)
N2 = 63
z := ifft( c)
j := 0 .. N
k := 0 .. N2
??????????? ????????????? ???????
zk =
2
0
xi
?2
0
20
40
60
80
i
?????-?????
4
cj
2
0
0
10
20
30
xj =
?0.499
?0.499
2.34·10 ?3
2.34·10?3
0.673
0.673
0.659
0.659
1.274
1.274
0.674
0.674
1.162
1.162
0.613
0.613
0.179
0.179
?0.044
?0.044
0.489
0.489
?0.69
?0.69
?1.079
?1.079
?0.777
?0.777
?0.849
?0.849
?1.334
?1.334
40
j
???. 15. ??????? ??6???????????? ????? ? Mathcad
43
????????? ????????? ??????? ? ????????, ?? ??????? ????, ????? ???????, ??? ?????? ?????? ??????. ????????? ?????????? ???? ???????? ?????????? ? ??????????? ??????.
??????? ifft(v) ?????????? ???????? ?????????? ??????????????
?????. ?????? v ?????? ????? 1 + 2m ?????????, ??? m ? ?????. ????????? ???? ?????? ??????????? 2m+1.
???????? v ? ??????, ???????? ?????????? ???????? fft. ????? ????????? ?????????, Mathcad ??????? ??????? ????? ?????? w, ?????????? ??????????? v, ? ???????????? ??? ? ??????? v. ????? Mathcad ????????? ?????? d, ???????? ???????? ??????????? ?? ???????
dj =
1
n
n ?1
? wk e?2?i( j n)k .
k =0
??? ?? ?? ????? ???????, ??? ? ??? fft, ????? ????? ????? ? ???????
??????????. ??????? fft ? ifft ? ?????? ?????????. ??? ???? ???????????? v ??????????? ifft(fft(v)) = v.
?????? ????????????? ??????? ? ????????? ?????????????? ?????
???????? ?? ???. 15.
4.6. ?????????????? ????? ?????????????? ?????
??????????? ?????????????? ?????, ????????????? ????, ?? ???????? ??????????? ??????????. ????????, ????? ???????????? ????????? ??????????? ??????? ? ????????? ?????????????? ?????:
F ( ?) =
n
n
1
2 ?i ? / n ?
? f (?)e?2?i( ? n )? ; f (? ) = ? F (? ) e ( ) .
n ?=1
v =1
??? ??????????? ??????????? ?? ?????????? ???????? FFT/IFFT ?
ICFFT. ??? ?????????? ?? ???????? ?????????????? ????? ?????????:
?????? ???????????? 1 n ????? ?????? ????????? ????? ??????????? 1/n ? ??????????? 1 ? ???????? ??????????????;
???? ????? ?????????? ? ?????????? ?????????? ??????? ?????????????? ? ???????? ? ??????? ?????????.
4.7. ???????-??????????? ???????
???????-??????????? ??????? ??????? ??? ?????????? ??????????? ? ??????????? ?????????????? ?????????. ??????? ???? ???????
44
????????????? ???????? ??????????
2
f ( x) := x ? 1
x := ?2 , ? 1.8 .. 2
g(x) ????? f(x), ????? f(x) > 0, ????? 0
g ( x) := if( f ( x) > 0 , f ( x) , 0)
4
4
2
f ( x)
g( x)
2
0
2
2
0
0
2
2
0
x
2
x
h ( x) := if( x ? 1 , f ( x) , ? f ( x) )
????? ?f(x)
5
h( x)
0
?????????? ?????????? ??
?????????? ???????
5
2
0
2
2
quess ? a < err
x
N := 100
i := 0 .. N
a := 1000
?2
err := 10
quess 0 := 10
a ?
?
quess i +
?
quess i ?
2
quess i+ 1 := until? (quess i) ? a ? err ,
?
2
?
?
N2 := last ( quess ) ? 1
????? ????????
answer := quess N2
answer = 31.623
j := 0 .. N2
N2 = 5
j=
0
quess j =
10
1
55
2
36.591
3
31.96
4
31.625
5
31.623
(quess j)2 =
100
3.025·10 3
1.339·10 3
1.021·10 3
1·10 3
1·10 3
???. 16. ???????? ????????? ? Mathcad
45
Mathcad, ??????????? ? ????? ??????. ??????? if ??????? ??? ??????
?????? ?? ???? ????????, ????????????? ????????. ??????????? ??????? ????????? ?(?) ? ?????? ????????? ?(m, n) ?? ?????? ??????????
??????? if. ??????? until ????????????, ????? ????????? ?????????
????????.
??????? if(cond, tval, fval) ?????????? ???????? tval, ???? cond ??????? ?? 0 (??????) ? ?????????? fval, ???? cond ????? 0 (????). ?????? ?
???????? ????????? cond ?????????? ?????? ????????? ???? w = z, x > y,
x < y, x ? y, x ? y, w ? z. ????? ?????????? ?????? ?????????, ?????
???????? ????? ??????? ???????.
????????, ???????
(x < 1) ? (x > 0)
????????? ??????? ??????????? "?", ????????????? 1, ?????? ???? x
????????? ????? 0 ? 1.
?????????? ?????????
(x > 1) + (x < 0)
????????? ??????? ??????????? "???", ????????????? 1, ???? x > 1,
??? x < 0, ? 0, ???? x ????????? ????? 0 ? 1.
??????? until (x, z) ?????????? z, ???? ????????? x ?? ??????????
?????????????; ?????? ????????? ?????????? ????????. ??????? until
????????? ????????????? ?????????? ??? ???????????????? ????????
??????????? ?????????. ??????? until ??????? ? ??????????? ????????? ? ???????????? ???????? ??????????.
?? ???. 16 ????????? ??????? ????????????? ??????? if ? until.
??????? ????????? ???????????? ????????? ???????:
? ( x ) := if ( x < 0,0,1)
?????? ????????? ?(m, n) ?????????? 1, ???? m = n; ????? 0. ???
????????? ?????? ???? ??????????????. ?????? ????????? ???????????? ???????
? ( m, n ) := if ( m = n,1,0 )
??????????? ??????? ????????? ????? ???? ???????????? ??? ???????? ???????? ??????? w:
pulse ( x, w ) := ? ( x ) ? ? ( x ? w )
????? ?????????? ????? ??? ???????? ??????? lowpass ? highpass.
??? ??? ???????? ????????? ? ????????? ?? ??? ??????-???? ???????
46
???????? ?? ????? ??????? ????? ?????? ????? x, ??????? ?????? 2w.
??????? ??????? ? ???, ??? lowpass ????????? ?????? ?????????? ?????, highpass ? ???, ????? ??????????? ?????.
lowpass ( x, w ) := pulse ( x+w, 2 ? w )
highpass ( x, w ) := 1 ? pulse ( x+w, 2 ? w )
4.8. ?????????????? ???????
??? ?????????? ?????????????? ?????? ????????? ?????????????
????? ? Mathcad ????? ?????????????? ????????? ???????:
mean(A) ? ?????????? ??????? ???????? ????????? ??????? ? ??????????? m Ч n ?? ???????
mean( A ) =
1
mn
m ?1 n ?1
? ? Aij ;
i =0 j =0
var(A) ? ?????????? ????????? ????????? ??????? ? ???????????
m Ч n ???????? ???????
var( A ) =
1
mn
m ?1 n ?1
? ? Aij ? mean(A)
2
;
i =0 j =0
stdev(A) - ?????????? ?????????????????? ?????????? (??????????
?????? ?? ?????????) ????????? m Ч n ??????? ?
stdev( A) = var(A).
4.9. ????????? ????????????? ???????????
??? ??????? ?????????? ????????? ??????????? ????, ??? ????????? ???????? ???????? ? ????? ???????? ???????? ? ??????? ? ???????? ?????, ? ???????? ????? ?????????. ? Mathcad ??????? ???????
?????????? ?????????? ????????????. ??????? ?????? ????????? ?? ???:
dnorm(x, µ, ?) ? ?????????? ????????? ??????????? ??????????? ?????????????
dnorm( x, µ, ?) =
? ( x ? µ) 2 ?
1
exp ? ?
?,
2??
2? 2 ?
?
47
? ??????? µ ? ? ???? ??????? ???????? ? ?????????????????? ??????????, ? > 0;
dunif(x, a, b) ? ????????? ????????? ??????????? ???????????? ?????????????
? 1 ,
?
dunif( x, a, b) = ? b ? a
?? 0,
x ? [a; b],
x ? [a b]
? ??????? a ? b ???????? ?????????? ??????? ?????????, a < b.
4.10. ??????? ?????????????
??? ??????? ?????????? ??????????? ????, ??? ????????? ???????? ?????? ??? ????? ????????????? ????????. ??????? ????????????? ??????????? ? ??? ??????? ????????? ???????????, ?????????????????? ?? ????? ????????????? ?? ????????????? ????????.
???????? ??? ?? ???:
pnorm(x, µ, ?) ? ?????????? ??????? ??????????? ????????????? ??
??????? µ ? ???????????????????? ??????????? ? (? > 0);
punif(x, a, b) ? ?????????? ??????? ???????????? ?????????????. a
? b ???? ????????? ???????? ????????? (a < b).
Mathcad ????? ??? ??????? ??? ????????????? ????????? ?????,
??????? ????????????? ????????????? ????????????. ???????? ???
?? ???:
rnorm(m, µ, ?) ? ?????????? ?????? m ????????? ?????, ???????
?????????? ????????????? (? > 0);
runif(m, a, b) ? ?????????? ?????? m ????????? ?????, ??????? ??????????? ?????????????, ? ??????? a ? b ???????? ?????????? ??????? ????????? (a < b).
????????? ?????????? ?????????????? ??????? ? ?? ???????? ????? ??????????, ?????? ??????? ??????? ?? ???? ???????.
4.11. ???????????? ? ??????? ????????????
???????????? ??????????? ? ????????????? ???????? ?????????
???????, ???????? ? ???? ?????, ????? ??????????? ???????? ?????
????. ? Mathcad ????? ??? ????????? ????? ?????? ??????? ??????? (???????? ????????????) ??? ????????? ?? ????????? ???????????
???????? (?????????? ??????-????????????).
48
? ??????? ?? ??????? ?????????, ??????????? ? ????????? ???????, ??????? ???????????? ?????????? ??????, ????? ?????????? ????? ???????? ?????. ??-?? ????? ????????? ????? ???????????? ? ??????? ??????. ???? ?????? ?????????, ??????? ??????????? ???????????
????????????? ????????? ?????? ????????????.
??? ???????? ???????????? ???????????? ??????? linterp(vx, vy, x),
??????? ?? ????????? ?????? vx ? vy ?????????? ??????? ??????????????? ???????? y, ??????????????? ???????? ????????? x. ?????????
vx ? vy ?????? ???? ????????? ?????????? ?????. ?????? vx ??????
????????? ???????????? ????????, ????????????? ? ??????? ???????????. ??? ??????? ????????? ????? ?????? ????????? ??????, ????????, ????? ???????, ??????? ?????. ??????????????? ???????? ???
??????????? x ???? ???????? y ??????????????? ????? ???????.
?????? ???????? ???????????? ??????? ?? ???. 17.
?????????? ??????-???????????? ????????? ???????? ?????? ?????
????? ????? ????? ???????, ??? ?????? ? ?????? ??????????? ??????
?????????? ? ?????? ?????. ??? ?????? ?????????? ????? ???????? ????
?????????? ?????????, ?????????? ????? ?????? ?? ???? ??????? ?????. ?????????? ???????? ??????????????? ???? ? ??????, ????? ?????????? ???? ??????.
????? ???????? ?????????? ?????? ????? ????? ?????:
???????? ??????? vx ? vy, ?????????? ?????????? x ? y, ????? ??????? ????? ???????? ???????? ??????. ???????? vx ?????? ???? ??????????? ? ??????? ???????????;
????????? ?????? vs:=cspline(vx, vy). ?????? vs ???????? ?????? ??????????? ???????????????? ?????? ? ??????????????? ??????.
????? ????? ??????????????? ???????? ? ???????????? ?????, ?????? ?0, ????????? interp(vs, vx, vy, x0), ??? vs, vx ? vy ? ???????, ????????? ?????.
???????? ????????, ??? ????? ??????? ?? ?? ?????, ????????
interp(cspline(vx, vy),vx,vy, x0).
?????? ????????????? ?????????? ??????-???????????? ????????
?? ???. 17 ?????.
49
???????? ????????????
i := 0 .. 5
VXi =
0
VXi:=i
VYi =
1.268·10
VYi:=vd(1)
linterp( VX, VY, 1.5) = 0.389
?3
1
0.193
2
0.585
3
0.35
4
0.823
5
0.174
linterp( VX, VY, 3.75) = 0.705
linterp( VX, VY, 4.1) = 0.758
x := 0 , 0.1.. 5
1
linterp( VX , VY , x)
0.5
VYi
0
0
2
VXi := i
VYi := rnd ( 1)
interp ( VS, VX, VY, 1.5) = 0.188
6
x , VX i
?????????? ??????-????????????
i := 0 .. 5
4
VS := lspline ( VX, VY)
interp ( VS, VX, VY, 3.75) = 0.868
interp ( VS, VX, VY, 4.1) = 0.989
1
VYi =
0.71
0.304
0.091
interp( VS , VX , VY , x)
VYi
0.5
0.147
0.989
0.119
0
0
2
x , VX i
???. 17. ??????? ????????????
50
4
6
????? ??????? cspline, Mathcad ????? ??? ??? ?????????? ?????????????: lspline ? pspline.
??? ??? ??????? ?????????? ?????? ?????????? ?????????:
??????? lspline ?????????? ?????? ???????, ??????? ???????????? ?
?????? ????? ? ????????? ??????;
??????? pspline ?????????? ?????? ???????, ??????? ????????????
? ???????? ? ????????? ??????;
??????? ?spline ?????????? ?????? ???????, ??????? ????? ???? ?????????? ????????? ? ????????? ??????.
????????????? ??????? lspline ? pspline ?????????? ?????????????
??????? ?spline. ??? ??????????? ?????? ????????? ????????????
?????? ???????? ??? ??? ???????.
???? ?????????? ??????? ???????? ??????? ? ??????, ???????????
??? ??????? ???????? ???????? ???????, ?? ??????? ???????????? ???????? ?????????????, ????????????? ? ??????? predict(v, m, n), ??????? ?????????? n ????????????? ????????, ?????????? ?? m ???????????????? ????????? ??????? ?????? v. ???????? v ?????? ????????????
????? ????????, ?????? ????? ?????? ?????????. ????????????? ??????k := 0 .. 99
???????????? ??????
data k := exp??
????????????? ????????
p := predict ( data , 6 , 100)
?
?k
? ? sin ? k ?
? ? 10 ?
? ?
100 ?
i := 0 , 5 .. 99
1
data k
pi
0
1
0
100
200
k , i+ 100
???. 18. ????????????? ??????? ???????????? ??? ????????????? ??????
51
?????? ??? ???????, ????? ???????????????? ??????? ???????? ??????? ? ?????????????, ?? ?? ??????????? ?????????????.
?????? ????????????? ??????? predict ???????? ?? ???. 18.
4.12. ??????? ?????????
??????? ????????? ??????? ?????? ??? ???????????, ??????? ???????????? ?????? ????? ????? ? ?????????? ???????. ? ???????
?? ??????? ????????????, ????????????? ? ?????????? ???????, ???
??????? ?? ???????, ????? ???????????????? ?????? ??? ???????????
????????? ????? ????? ??????. ??????? ????????? ??????? ????? ????????????? ? ??????? ??????, ??? ??????? ????????????. ????????
????????? ????????? ? ???????, ? ??????? ??????? ????? ??????? ???????? ? ??????????? ????? ????????? ???????.
? Mathcad ??????? ??????? ??????? ????? ?????????: ????????,
??????????????, ??????????? ??????????????, ??????????.
??? ????????????? ??????? ???????? ????????? ???????????? ?????? ? ???????? ?????, ??????? ????? ?????????? ? ???????? ??????
? ?????????? ???????????????????? ???????????.
???? ????????? ???????? x ? ?????? vx ? ??????????????? ????????
y ? vy, ?? ????? ???????????? ? ????
y = slope( vx, vy ) ? x + intercept( vx, vy ).
i := 0 .. 40
y i := 10? i + 100? rnd ( 1)
xi := 10? i
??????????? ???????????? ???????? ?????????:
a := slope ( x, y )
a = 1.079
b := intercept ( x, y )
b = 34.417
600
yi
400
a ?xi + b
200
0
0
20
40
???. 19. ???????? ?????????
52
????? ??????? slope ? intercept ?????????? ???????: ?????? ? ???????? ?? ??? ??????? ????? ?????????.
???. 19 ??????????, ??? ????? ???????????? ??? ???????, ?????
???????? ????? ????? ????????????????? ?????.
??? ??????? ??????? ?? ?????? ?????, ????? ?????? ?? ????????
?????? ???????????? ???????? ???????????, ?? ? ????? ??? ???????????? ???????????????? ???????????. ????????, ???? x ? y ???????
???????????? ????
y = A e kx ,
????? ????????? ??? ??????? ? ????????? ?????? ? ????????????
????, ???
ln y = ln A + kx.
? ???? ??????
A = exp (intercept( vx, vy ) ) , k = slope( vx, vy ).
?????????????? ????????? ???????????? ? ??? ??????, ????? ?????
y ? x, ??????????? ????????????????, ????????? ?????????????? ???????????. ??? ???? ???????????? ??????? regress(vx, vy, n) ???
loess(vx, vy, span). ????? n ? ??????? ????????, ??????? ?????? ?????????? ?????? ?? vx ? vy. ???????? span (span > 0) ??????????, ????????? ??????? ??????????? ??????? loess ????? ???????????? ???
?????????? ?????????? ???????????. ??????? regress ? loess ?????????? ??????? (????????? vs), ??????? ???????????? ????????
interp(vs, vx, vy, x), ??????? ??? ????????? ???????? ? ?????????? ??????????????? ???????? y.
?????? ????????????? ??????? loess ??? ???? ????????? ?????????
span ???????? ?? ???. 20.
?????????? ????????? ???????????? ? ??? ??????, ????? ????? ?????? ??????????? ????????????????? ??????????? ? ???? ??????????
???????????? ???????, ?? ?????????? ?????????. ???? ??????????????, ??? ?????? ????? ?? ???? ????????????? ? ???? ???????? ?????????? ???????????? ???????
y = a0 f 0 ( x) + a1 f1( x) + ... + an f n ( x),
??????? ???????????? ??????? linfit, ????? ????????? ai.
53
???????? ??????:
vxi := i
i := 0 .. 49
vzi := 0.5? ( rnd ( 1) ? 0.5) + atan ( i)
Span1 := 0.2
?????? 1:
?????? 2:
Span2 := 2
vs1 := loess ( vx, vz , Span1 )
vs2 := loess ( vx, vz , Span2 )
f1( x) := interp ( vs1 , vx, vz , x)
f2( x) := interp ( vs2 , vx, vz , x)
??????????? ??????:
2
1.5
f1(vxi )
1
f2(vxi )
vzi
0.5
0
0.5
0
10
20
30
40
50
i
???. 20. ?????????????? ?????????
?? ???. 21 ??????? ??????, ? ??????? ???????? ?????????? ????
??????? ? x, ?2 ? sin5x ???????????? ??? ????????????? ?????????
??????.
54
?
?
?
vt := ?
?
?
?
?
?
?
?
vy := ?
?
?
?
?
?
0.2 ?
?
0.4 ?
0.6 ?
?
0.8
?
1 ?
0
?0.066 ?
1.969
2.611
1.604
0.623
1.321
?
?
?
?
?
?
?
?? t
2
F( t ) := ?
t
? sin ( 5t)
?
??
?
?
?
? 0.466 ?
S = ? 2.893 ?
?
?
? 2.124 ?
S := linfit( vt , vy , F)
g ( t ) := F( t) ? S
j := 0 .. 5
t := 0 , 0.01.. 1
3
2
vy j
g( t)
1
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
vt j , t
???. 21. ?????????? ?????????
55
5. ??????? ?????????
Mathcad ????????? ?????? ????????? ? ??????? ?????????. ???????????? ????? ????????? ? ??????????? ? ??????? ????? ??????????.
5.1. ????????? ??????? ????????? ? ????? ???????????
??? ??????? ?????? ????????? ? ????? ??????????? ????????????
??????? root( f (z), z), ??????? ?????????? ???????? z, ??? ??????? ????????? ??? ??????? f (z) ?????????? ? 0. ??? ????????? ???? ???????
?????? ???? ?????????. ??????? ?????????? ??????. ?????????? ??????, ??? ????? ? ? ??????? ????????? ex = x3. ?????????????? ?????
????????? ???????? ???????? ??????? ????????? ??????? root. ???
???????? ?????????? ?????? ???????????? ? ???????? ?????. ??????? root ?????????? ??? ?????? ????? ????? ???????. ????? ????????
????????? f (z) ??? ????????? ??????????? ?????????? ?????? ???????? ?????????? ?????????? TOL, ?????? ????????? ?????????, ? ??????? root ?????????? ?????????.
??? ???????????????? ??????? ??????? ?????? ???????????
x := 3
????????? ?????????, ??????? ?????? ???? ???????? ? ????. ???
????? ????????? ????????? ?3 = e? ? ???? ?3 ? ?? = 0.
????????? ?????????? ? ??? ?????? ?????????
a := root(x3 ? ex, x)
???????? [?=], ????? ??????? ?? ?????? ?????????
? = 1.857
??? ????????????? ??????? root ?????? ? ???? ?????????:
??????????????, ??? ?????????? ????????? ????????? ???????? ??
?????? ????????????? ??????? root;
??? ????????? ? ??????????? ???????, ???????? ?2 ? 1 = 0, ????????? ???????? ?????????? ??????, ??????? ????? ?????? Mathcad. ? ????
56
3
x ? 10? x + 2 = 0
???? ?????????:
x := ?5, ?4.95.. 5
100
3
x ? 10 ?x+ 2
0
100
5
2.5
0
2.5
5
x
??? ?????????? ???? ????????? ?????? ??????????
??? ????????? ???????????
x := ?2
(3
)
(3
)
(3
)
root x ? 10? x + 2 , x = ?3.258
x := 0
root x ? 10? x + 2 , x = 0.201
x := 3
root x ? 10? x + 2 , x = 3.057
???? ?????????
2
x + 1 = 0 , ??????? ?????
??? ?????? ????? x1 = i, x 2= ?i.
???????? ??? ????? ? ??????? Mathcad ? ?????? ?????????
?3
(2
)
(2
)
(2
)
(2
)
?5
x := 1 + 2i
root x + 1, x = ?1.471 Ч 10
?6
x := 1 + 2i
root x + 1, x = ?2.81 Ч 10
?7
x := 1 + 2i
root x + 1, x = i
?7
x := 1 ? 2i
root x + 1, x = ?i
TOL = 1 Ч 10
TOL := 10
TOL := 10
TOL := 10
?8
+i
+i
???. 22. ?????????? ?????? ?????????
57
?????? ????????????? ????????? ?????? ??????? ? ?????????? ?????????? ????????? ??????????? ??? ????????? ??????? ?????. ? ????????? ??????? ?????? ????????? ??? ???????? ??????? ???????. ????
??? ????? ??????????? ?????? ???? ?? ?????, ????? ????????? ???????? TOL, ????? ????????? ??;
???? f (x) ????? ????? ?????? ????? ?????, ??????? root( f(x), x) ????? ????????? ? ???????? r, ?????????? ?? ????? ?????????? ??????. ?
????? ??????? ??? ?????????? ????? ??????? ???????? ????? ?????????? ????????? ???????? TOL. ?????? ??????? ??????????? ? ?????? ????????? f (x) = 0 ?? g(x) = 0, ???
g ( x) =
f ( x)
d
f ( x)
dx
;
??? ????????? f (x) ? ????????? ?????? ? ?????????? ?????????????? ?????? f (?) ???????????? ?????? ?????? ????????? h(?) = 0, ???
h(?) = f (?)/(? ? ?). ????? ?????? ????? ?????? ?????? ????????? h(?),
????????????? ????, ??? ????????? ?????? ?????? ?????? ?????????
f (?) = 0, ??????? ?????? ????????? ???????????.
?????? ?????? ?????????? ?????? ? ??????? ??????? root ? ????????????? ??????? ??????? ???????? ?? ???. 22.
??????? root ????????? ???????? ? ??????????? ?????. ??? ??????
???????????? ????? ??????? ???????????? ??????????? ????? ? ????
?????????? ???????????.
??? ??????, ????? ??????? root ?? ?????????
???? ????? ?????? ???????? Mathcad ?? ????? ????? ???????????
???????????, ?? ?????????? ????????? "??????????? ??????????". ???
?????? ????? ???? ??????? ?????????? ?????????:
????????? ?? ????? ??????;
????? ????????? ??????????? ?????? ?? ?????????? ???????????;
????????? ????? ????????? ????????? ??? ???????? ????? ????????? ???????????? ? ???????;
????????? ????? ??????????? ??????, ?? ????????? ???????????
???? ???????????? (??? ????????).
?????? ??? ???????????? ??????? ?????? ?????????? ????????
??????????? ?????? f (?).
58
? ?????????? ???????? ????? ?????????? ?????? ????????? ???
???????????? ????????? ??????????. ????????, ????? ????????? ?????? ????????? ?? = ??2 ??? ?????????? ????????? ???????? ?. ?????
??????? ?????? ??????? ? ??????????? ???????
(
f (a, x ) := root e x ? a ? x 2 , x
)
????? ????????? ?????????? ???????? ????????? a ? ????????? ???????? ?????????? x ??? ?????????? ???? ???????.
??????: ?????? ?????????
x
2
e = a ?x
??? ????????? ????????? a.
????????? ??????? f, ???????? ????????? ??? ????????? a:
(x
2
)
f ( a , x) := root e ? a? x , x
??????? ????????? ??? ???? ???????? a:
a := 1 .. 5
x 0:= 1
(????????? ???????????)
????????? ??????????? ??? ??????? ???????? a ???? ??????,
??????????????? ??????????? ????????:
xa := f (a , xa? 1)
??????:
a =
????????:
xa =
e
xa
=
a? (xa) =
2
1
?0.703
0.495
0.495
2
?0.54
0.583
0.583
3
?0.459
0.632
0.633
4
?0.408
0.665
0.665
5
?0.371
0.69
0.69
???. 23. ??????????? ??????? ???????????? ? ???????? root
??????????? ??????? ???? ?????? ????????? ?? ???. 23.
59
5.2. ?????????? ?????? ????????
??? ?????????? ?????? ?????????, ???????? ??? anxn + an?1xn?1 +
+ ? + a1x + a0, ????? ???????????? ??????? polyroots(a) ?????? root.
? ??????? ?? ??????? root, ??????? polyroots ?? ??????? ??????????
??????????? ? ?????????? ????? ??? ????? ??? ????????????, ??? ?
???????????. ???????????? ???????? ?????? ???? ???????????? ?
??????? ??????????? ??????? ? ? ??????? ? ????? n + 1.
3
x ? 10? x + 2
????? ????? ????????
? ?????? ????????????? ?????? ????? ??? ????????????,
? ??? ????? ?????? ????:
??
v := ?
?
?
?
??
?
0 ?
?
1 ?
2
? ?3.258 ?
polyroots ( v) = ? 0.201 ?
?
?
? 3.057 ?
?10
????? ????? ???????? ? ???????????? ??????????????
3
2
x + ( 3 + 2i) ? x + ( ?4 + 6i) ? x ? 8i
?????? ?????????????
?? ?8i
?4 + 6i
v := ?
? 3 + 2i
? 1
?
??
?
?
?
?
??? ?????, ??? ????????????, ??? ? ???????????:
?
polyroots ( v ) = ?
?
?
?4
?
?2i ?
?
1 ?
???. 24. ????????????? ??????? polyroots
?????? ?????????? ?????? ???????? ??????? ??????? ? ???????????? ?????????????? ???????? ?? ???. 24.
60
5.3. ??????? ?????? ?????????
??? ??????? ?????? ????????? ????????? ?????????:
??????? ????????? ??????????? ??? ???? ???????????, ???????? ?
??????? ?????????;
???????? ???????? ????? Given. ??? ????????? Mathcad, ??? ?????
??????? ??????? ?????????. ?????????, ??? ??? ???? ?? ?? ??????????
? ????????? ???????;
??????? ????????? ? ??????????? ? ????? ??????? ???? ?????????
????? Given. ??????????????, ??? ????? ?????? ? ??????? ??????? ?????
?????? =, ???????????? ??????????? ?????? [Ctrl+=] ??? ?????????
?? ??????????????? ???????;
??????? ?????????, ??????? ???????? Find(z1, z2, z3, ...). ??? ??????? ?????????? ??????? ??????? ?????????. ????? ?????????? ?????? ???? ????? ????? ???????????.
?????? ??? ??????? ??????? ?????? ???????????? ???????????????? ??????. ?????? ??????? ?????? ????????? ???????? ?? ???. 25.
???????, ??? ? ??????????? ?? ?????????? ???????? ????????? ???????? ????????? ???? ??? ?????? ???????. ????? ????????? ???????
Given ? Find ????? ???? ????????? ???????????.
????? ??????? ????????? ?? ????? ???? ??????? ???? ? ?????.
?????? ???? ??????? ????????? ????? ????? ?????? ???? ???????? ????? Given ? ??? ??????? Find. ?????, ??????, ??????????
??????? f(x) := Find(x) ? ????? ?????? ????? ??????? ????????? ?
????? ???????????? f (x) ? ?????? ?????.
???????, ?? ??????? Mathcad ?? ????? ????? ????? ?????? ?????????, ????????????? ?? ??, ??? ? ??? ??????? root.
? ?????????? ???????? ????? ?????????? ??????????? ?????? ??????? ????????? ? ?????????? ??????? ????????? ?? ???????. ??
???. 26 ???????? ?????????? ?????? ???????????? ??????????? ????????????? ???????? ?????? ??????? ???????????? ???????????
A(?) = W (i?) ,
??? W (i?) =
k
.
T (i?) + 2T ?i? + 1
2
2
????????, ??? ?????? ??????? ? Mathcad ???????? ??? 1i. ???????????? ???????? ??????? A(?) ???????????? ?? ???????
dA(?)
= 0.
d?
61
????? ????? ??????????? ?????????? ? ??????
? := 0 ,
?
20
x := ?3 , ?2.9.. 3
.. 2? ?
6
4
2
6 ?sin( ? )
2? x
0
2
4
4
2
0
2
4
6 ?cos( ? ) , x
??????? 1
????????? ????????
x := 1
y := 1
Given
2
2
????????? ??????????
x +y = 6
????????? ??????
x+ y = 2
? ?0.414 ?
?
? 2.414 ?
Find( x, y ) = ?
??????? 2
????????? ????????
Given
2
2
x + y =6
x := ?1
y := 1
x+ y = 2
? ?0.414 ?
?
? 2.414 ?
Find( x, y ) = ?
???. 25. ??????? ??????? ?????????
62
???? ??????? ???????????? ???????????
W (? , T , ?) :=
1
? := 0.1, 0.2.. 10
T ? (i? ?) + 2? T? ?? i? ? + 1
2
2
T := 1
?????? ?????? ???? ??????? ????? ???????????? ????????,
????????? ?? ????????? ?:
10
W ( ? , T , 0.1 )
1
W ( ? , T , 0.3 )
W ( ? , T , 0.5 )
0.1
0.01
0.1
1
10
?
? := 1
Given
??????? ?????????
MaxMod (T , ?) := Find(?)
d
d?
W (? , T , ?) = 0
??????? MaxMod (T , ?) ?????????? ???????? ?, ??????????????
????????? ?????? ??????????? ??????? ??? ???????? T ? ?.
??????? ??????? ????????? ???????????????? ??????????
????????? ?? ??? ? ??????????? ????? ????????? ?? ?.
2
m := 1 .. 100
? m := 0.0001?
m
2
?max m := MaxMod (T , ? m)
1 .10
5
0.6
1 .10
4
0.4
1 .10
3
W (? maxm , T , ?m)
?m
0.2
100
10
0
0.6
0.8
? maxm
1
?3
?5
?4
1 .10 1 .10 1 .10
0.01
?m
0.1
1
???. 26. ??????????? ????????? ?????? ??????? ????????????
???????????
63
? ??????????? ??????? ?????? ???, ????? ??????????? ???????
MaxMod, Mathcad ??????????? ???????? ?????????? ???????? ?????????? ? ? ?, ?????? ????????? ???????????? ???????????? w ? ?????????? ????????? ???????? ?????.
??????????? ?????? ???????? ? ???? ???? ????????? ? ????? ???????????. ????? ???????? ??????????? ?????? ? ??????? ?????????
??? ????????? ????????? ???????? ? ??? ??????????. ?????? ? ????
?????? ????????? ???????? ???????????? ??? ?????? ??????????, ?????
???????? ????????? ?? ?????? "??????????? ????????".
5.4. ??????? ???????????????? ?????????
Mathcad ????? ??? ?????????? ???????, ??????????????? ??? ??????? ???????????? ???????????????? ????????? (???). ??? ??????? ??? ??????? ????????? ???????? ???????. ??? ?????????????
????? ??????? ?????????? ?????????????? ??????????, ????? ????
?????? ?? ??????? ???? ????????? ????????:
????????? ???????;
????? ?????, ? ??????? ????? ????? ???????;
???? ???????????????? ?????????, ?????????? ? ????????? ??????????? ????, ??????? ????? ???????? ?????? ????.
???? ?? ???????? ??????????? ?????????? ?????????????? ???
??????? ?? ????????? ?????? ????? ? ????? ?????????? ???????. ???????, ??????????? ???? ?????, ????? ??? rkfixed(y, x1, x2, npoints, D).
?????:
? ? ?????? ????????? ??????? ??????????? n, ??? n ? ??????? ????????????????? ????????? ??? ????? ????????? ? ??????? (???? ???????? ??????? ?????????);
?1, ?2 ? ????????? ????? ?????????, ?? ??????? ?????? ???????
????????????????? ?????????. ????????? ???????, ???????? ? ??????? ?, ? ??? ???????? ??????? ? ????? ?1;
npoints ? ????? ????? (?? ?????? ????????? ?????), ? ??????? ??????
???????????? ???????. ??? ?????? ????? ????????? ????????????
????? ????? (1 + npoints) ? ???????, ???????????? ???????? rkfixed;
D(?, ?) ? ???????, ???????????? ???????? ? ???? ??????? ?? n ?????????, ?????????? ?????? ??????????? ??????????? ???????.
64
??????? ????????? y' + 3y = 0
y 0 := 4
????????? ????????
??????????? ???????, ???????? ??????????? y' = ?3y:
D( x, y ) := ?3? y 0
?????????? ??????? ? ??? ????????????? ?????? ?? ??????? [0;4]
Z := rkfixed( y , 0 , 4 , 100, D)
i := 0 .. rows ( Z) ? 1
?????????? ??????? ???????
4
(Z ?1? )i
2
0
0
(Z
2
?0?
4
)i
????? ??????? ????????? y' = ?y 2 + x ? ????????? ????????
y(0) = 1 ? ?????????? ????????????? ?????? ?? ??????? [0;10]
????????? ????????
y 0 := 1
D( x, y ) := ?(y 0) + x
Z := rkfixed( y , 0 , 10, 50, D)
2
n := 0 .. 50
?????????? ??????? ???????
4
3
Zn ,1
2
1
0
0
5
10
Zn ,0
???. 27. ??????? ???????????????? ????????? ??????? ???????
65
?? ???. 27 ????????? ??????? ???? ???????????????? ???????
??????? ???????.
??? ??????? ???????????????? ????????? ????? ??????? ???????? ??????? ????????? ???????????:
?????? ????????? ???????? ? ?????? ??????? ?? n ?????????, ???????????? ????????? ??????? ??? ??????? ??????? ? ?? ??????????? y,
y ?, y ?, ..., y(n?1);
??????? D ???????? ?????? ????????, ?????????? n ?????????:
? y?(t ) ?
? y??(t ) ?
D(t, y ) = ?
?;
? ... ?
? (n) ?
? y (t ) ?
???????, ?????????? ? ?????????? ???????, ???????? ?????? n ????????: ?????? ??? ???????? t, ? ?????????? ???? ???????? ?(t), y'(t),
y"(t), ..., y(n?1)(t).
??????, ??????????? ?? ???. 28, ??????????, ??? ?????? ???????????????? ????????? ?????????? ???????
y ( IV ) ? 2k 2 y?? + k 4 y = 0
c ?????????? ????????? ?(0) = 0, ??(0) = 1, ??(0) = 2, ???(0) = 3.
?? ???. 29 ????????? ??????? ??????? ???????????????? ????????? ??????? ???????
(
)
(
)
x0? (t ) = µx0 (t ) ? x1(t ) ? x0 (t ) 2 + x1(t ) 2 x0 (t ),
x1? (t ) = µx1(t ) + x0 (t ) ? x0 (t ) 2 + x1(t ) 2 x1(t )
? ?????????? ????????? x0(0) = 0, x1(0) = 1, ? ???????? ?????? ??????????? x0(t) ?? x1(t).
66
??
y := ?
?
?
?
k := 3
????????? ???????
y1
?
?
y2
D( t , y ) := ?
y3
?
? 2
4
? 2? k ? y 2 ? k ? y 0
?
?
?
?
?
?
??
1 ?
2 ?
?
3 ?
0
? ?????? ???????????
? ?????? ???????????
? ?????? ???????????
? ????????? ???????????
Z := rkfixed( y , 0 , 5 , 100, D)
?????????? ??????? ? ??? ????????????? ?????? ?? ??????? [0;5]
t
y(t)
0
1
y'(t)
2
y"(t)
3
y'"(t)
4
0
0
0
1
2
3
1
0.05
0.053
1.104
2.195
4.776
2
0.1
0.111
1.221
2.477
6.543
3
0.15
0.175
1.354
2.85
8.358
4
0.2
0.246
1.507
3.315
10.274
5
0.25
0.326
1.687
3.88
12.348
6
0.3
0.416
1.897
4.553
14.636
Z= 7
0.35
0.516
2.144
5.348
17.198
8
0.4
0.631
2.434
6.279
20.101
9
0.45
0.761
2.775
7.365
23.417
10
0.5
0.909
3.174
8.629
27.225
11
0.55
1.079
3.641
10.097
31.616
12
0.6
1.275
4.187
11.802
36.694
13
0.65
1.499
4.826
13.78
42.577
14
0.7
1.759
5.571
16.075
49.401
15
0.75
2.059
6.439
18.738
57.321
???. 28. ??????? ????????????????? ????????? ???????? ???????
67
??????? ??????? ???? ?????????? ???????????????? ?????????
??????? ???????
µ := ?0.2
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? µ ? x0 ? x1 ? ?? (x0)2 + (x1)2 ?? ? x0
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? µ ? x + x ? ? (x )2 + (x )2 ? ? x
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? 1 0 ? 0
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n := 0 .. 100
?????? ??????? ??? t = 0..20
0.5
Zn ,1
0
0.5
0.5
0
0.5
1
Zn ,2
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??????? ???????
68
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v" = 4v - 2u
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??????????? ??????? ????????? ???????
(u = y0, u' = y1, v = y2, v' = y3)
?
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1.5
1.5
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y3
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? 4? y2 ? 2? y 0
x
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0
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?
?
Z := rkfixed( y , 0 , 1 , 100, D)
u'(x)
v(x)
v'(x)
1
2
3
4
0
0
1.5
1.5
1
1
1
0.01
1.515
1.52
1.01
1.01
2
0.02
1.53
1.54
1.02
1.02
3
0.03
1.546
1.561
1.03
1.03
4
0.04
1.562
1.582
1.041
1.041
5
0.05
1.578
1.603
1.051
1.051
6
0.06
1.594
1.624
1.062
1.062
Z= 7
0.07
1.61
1.645
1.073
1.072
8
0.08
1.627
1.667
1.083
1.083
9
0.09
1.643
1.688
1.094
1.094
10
0.1
1.66
1.71
1.105
1.105
11
0.11
1.678
1.733
1.116
1.116
12
0.12
1.695
1.755
1.127
1.127
13
0.13
1.713
1.778
1.139
1.138
14
0.14
1.731
1.801
1.15
1.15
15
0.15
1.749
1.824
1.162
1.161
???. 30. ??????? ??????? ???????????????? ????????? ??????? ???????
69
???. 30 ??????????, ??? ????????? ??? ??????? ?????? ?????????
??????? ???? ???????.
??????? rkfixed ?????????? ???????, ? ???????:
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??????????????? ?????? ?? ??????? ???????. ???????, ? ??????? ?????????? ??????? ? ?? ???????????, ????????? ??????? ?? ???????????? ? ??????? D(x, y) ? ??????? ????????? ??????? ?.
??????? kfixed, ????????? ????, ?????????? ????????????? ?????
??? ??????? ????????? ? ?????????? ?????. ??? ?????????? ?????????????? ???????????? ??????????? ?2 ? ?1 ? ??????????? ????????????? ????? npoints. ????????? ??? ?????????? ??????????????, ????? ? ???????????? ???????? ?????? ???????? ??????? ??????.
??????? ???????????????? ????????? ????? ????? ????????? ????????????? ????????, ????????? ???????, ????? ?????? ?? ????? ?????
? ??????. ????? ????????, ??? ??????? ???????? ??????? ????????, ????? ???????????? ??????? Bulstoer(y, x1, x2, npoints, D), ??? ?????????
????? ??? ?? ?????, ??? ? ??????? rkfixed. ? ??????? ?? ??????? rkfixed,
??????? Bulstoer ?????????? ????????? ????? Bulirsch-Stoer.
???? ??????? ??????? ?? ??????? [?1; ?2] ??????????? ?????? ????
??????, ?? ??????????? ???????????? ??????? Rkadapt(y, x1, x2,
npoints, D). ??? ??????? ?????????, ??? ?????? ???????? ???????????? ??????? ? ?????????? ?????????????? ?????? ????. ??????????
???????? ???? ???? ??????????? ??????? Rkadapt ????????? ???????? ????????????? ??????? ?? ????? ?????? ????? ? ??? ????????, ???
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J), stiffr(y, x1, x2, npoints, D, J).
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??????? ??????, ? ?? ?????? ??????? Rosenbrock ?????. ??????????70
??? ???? ??????? ??????? ??????? ??????????????? ????????? J(x, y).
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????? ?D/?yk ??????? ???. ????????, ????
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?????????? ??????? ?????? ? ???????? ?????. ????????????? ???????? ??????? ????????? ????????? ?????? ???. ??????? ??????? ???
??????? ?????? ?????????, ??? ????? ?????????? ??????? ????????
????????? ???????, ? ??? ?????? ?????????? ? ???????? ???????. ???????? ?????? ?????????? ????????????? ???????? ????????. ??????? ??????? ??? ??????? ????????? ????? ? ??????? ???????????.
??????????? ?? ????????????? ???? ??????? ????? ?????????? ?
?????????? [2, 3].
71
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?? ??? ??? ???????????, ??? Mathcad ????????? ????????? ????????. ??? ???? ?? ?????????? ????? ????? ????????? ???? ??? ?????????
?????. ????? ?? Mathcad ?????????? ?????????? ??????????, ??????????? ?????????? ????????? ???????? ?????? ?????????, ??? ???????? ?
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?? ?????????, ???????????????? ???, ????????? ? ??? ? ??? ?????. ???????? ????? ???????? ?????????? ?????????? ???????? ??????????
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3
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k
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3
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k 3? k
k!? ( 3 ? k)!
2
?x ?2
3
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???. 31. ????????? ? ?????????? ?????????? ???? ? ???? ?? ?????????
?????????? ?????????? ????????? ???????? ????????? ???????:
??????????????, ??? ??????? ?????????????? ?????????? ? ????
?????????? ????????, ? ????????? ?????? ???????? ??? ?? ????;
72
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???????? ????? ??? ?????????. Mathcad ????????? ??????????
?????? ??????????????? ?????????. ???? ????????? ?? ????? ????
????????, Mathcad ?????? ???????? ??? ?????? ?? ???????.
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2
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?
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??????????? ??????? ??????? ????????. ? ??? ? ? ?????? ?????? ?????????? ??????????? ????????? ???????? ????? (???????). ??? ??73
??????????? ???? ??????? ?????????? ????????? ???, ??? ?????????
????????????? ? ?????????? ????? ? ??????? ??????????????? ??????? ?? ???? ???????. ??????? ?????? ???????? ????? ?????????? ???????????????, ???????????? ???? ???????, ? ???????????????, ???????????? ?????????? ???? ????????? ??? ???? ???????
????????. ?????????? ? ?????? ??????? ?? ??????????? ????? ????????? ??????????? ?????? ?????? ??? ??? ???????? ????????? ? ??????? ????????. ?????????, ?????????? ? ?????????????? ???? ???????, ????????????? ???????????????? ?? ?????.
? ???? ??????? ??????? ??????? ????? ??????????, ??????????? ???????? ????????? ??? ???????? ?????????? ??? ?????? ?? ????,
? ????? ?????????? ??? ???????? ???????????. ????????????? ??????????????? ???? ???????? ??? ?????? ????????? ? ???? ???????.
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??? ?????????????? ?????????, ?????????? ??????????? ?????,
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????? ??????? ? ????????? ??????? Mathcad ????????? ??????? ?????????? ???????? ???? ?? 1 ?? 4000.
6.1. ???????
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??????? ????????? ????? ?????????? ? ??????? ??????? ????????? ??
????????????? ?? ???? ??????????. ?????????? ???? ???????? ??????? ??????????? ?????. ?? ???. 34 ????????? ??????? ??????????
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???????????? ?????? ? ???????????? ????? ???????? ??? ?????????.
??? ????????? ???????????, ???????????? ? ?????????????? ??????????, ????, ???????????? ? ???????? ?????? ???????????? ??????
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??? ????????????? ?????????? ?????????? ???????, ??? ???????
????????? ??? ????????????????? ????? ?????. ???? ????????? ?????
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??? ?????????? ??????????????? ????????? ??????? ???????, ???
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???????? ???????. ? ??? ???????, ????? ?????????? ????????? ?? ?????? ????? ?????????????? ????????, ???????? ????????? ?? ??????.
??? ?????????? ?????????? ????????????? ????????? ??????????
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3
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1
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2
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16? cos ( x) ? 20? cos ( x) + 5? cos ( x)
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x+ 2
(x2 ? 6? x ? 2 + x3)
[ ( x ? 1) ? ( x + 3) ? ( x + 2) ]
( 2? x ? 1) ? ( x ? 1)
3
2
x + x + x+ 1
3
( x + 1)
?
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( x + 2)
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x?0 ?
1 + b ? x ? signum ( x)
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???. 35. ??????? ?????????? ??????????????
77
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?????????? ?????????????? ????????? ??????? ? ??????? ?????????????? ? ????? ?????, ???????????? ?????, ?????? ?????????, ??????? ?, ??? ??????? ???????????, ????????? ?????? ?????? ???????? ?????????. ???? ??????????????? ????????? ??? ???? ?? ????????
???????? ?????????? ?????, ?????????? ????? ????? ??????, ?????????????? ? ????????? ????????? ??????? (?? ?????????). ????????
????? ???????? ???? ????? ? ??????? ?????? ???? ??????? ? ????????? ???????. ? ??????? ?? ??????????? ?????????????? ????????? ?????????? ?????????????? ??????? ???????? ???????????????? ????????? ?? ?????? ?????? ?? ??????? ?????????????? ? ?????????? ???
????????, ????? ???????????????? ????????.
???????? ? ?????????? ????? ? ??? ?? ???????? ? ?????????? ?
????????? ??????? ??????????? ???, ??? ?????????? ?????????? - ??
???????? ?????? Mathcad, ? ???????????? ?????? MathSoft ???????????? ?????? ? ????? Maple.
???? ?????????? ????????? ??????? ?????????? ??????????????,
????????? ?? ????? ???????????? Mathcad, ?? ??????? ??????????????? ??????? Maple ??? Derive.
?????? ??????, ?????????? ? ????????? ?????????? Mathcad ??
??????? ???? ? ??????. ??-?? ????? ????? ?????????? ???????? ?????????? ????????????, ?? ????, ??? ????? ?????? ?? ? ?????????????, ?? ??????? ????? ??????? ???????? ???????? ??????????????
??????????? ??????????.
????????, ???? ????????? ????????? ????????? ????
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? ? ? (x
2
+ y 2 + z 2 )dxdydz,
000
Mathcad ?????????? ?? ?????????? ?????? ?????????? ?????????
????????????? ???????? ?????????. ?????????? ????????? ?????????? ?? ??????? ???????? ? ????????? ?? ?????????????, ?? ????? ??????? ?????????
1 3
( w vu + wv 3u + wvu 3 ).
3
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????? ??????????? ?? ???? ??????????, ????????? ??? ??? ??????78
???? ???????? ???? ? ??????. ???? ??????? ??????????? ??????????
(???????? ????? ? ???? ??????????) ? Mathcad ??????? ????? ??????? ????? ??? ?????????, ?? ????????? ????????? ???????:
???????? ??????? ??????? ??????????;
???????? ?????????? ????????????? ????????? ??? ?????????? ??????. ???????????? ????????? ???????? ??????????;
????????? ????????????? ????????? ?????? ?????????. ????? ??????? ??? ?????????, ?????? ???????? ????? ?? ??????? ?????????
?????? ??????? (??. ???. 36).
???????? ????? ??????????? ?? ???? ??????????
*
u := 1
v := 2
u
v
w
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A := ? ? ?
?0 ?0 ?0
w := 3
(x2 + y2 + z2)dx dy dz
*
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?????????? ?????????
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???????? ????? ? ??????
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???. 36. ?????????? ????????? ?? ?????????? ???????
6.2. ?????????????? ????? ? ???????
?????? ? ???????? ?????????????? ????? ??????? f(t) ???????????? ?????????
F (?) =
?
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f (t )e ?i?t dt,
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f (t ) =
F (?)ei?t dt.
?
2? ??
79
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?? 1 ??
2
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? exp ?2? ?
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(
)
?????????????? ???????
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1
(s 2 + 1)
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sin ( t )
sin ( a? x) ? cos ( b ? x)
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2
?
(a + b)
?? s + ( a + b) ?
2
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+
1
2
?
(a ? b)
?? s + ( a ? b ) 2 ??
2
? ?????????? ????:
a?
(s 2 + a2 ? b2)
??(s 2 + a2 + 2? a? b + b 2)? (s 2 + a2 ? 2? a? b + b2)??
???. 37. ?????????????? ????? ? ???????
????? ???????? ?????????????? ?????, ??????????:
?????? ?????????, ??????? ????? ?????????????;
???????? ????? ?? ?????????? ??????????????;
??????? ??????????????? ???????, ?????????????? ? ?????.
80
??? ????????? ?????????????? ????? ??????????? ??? ???????? ??
??????????? ?????????? ??????. ?????????? ??????? ????? ????????.
?????? ? ???????? ?????????????? ??????? ??????? f (t) ???????????? ?????????
?
F ( s ) = ? f (t ) e ? st dt,
0
?+i?
?
f (t ) =
F ( s ) e st ds,
??i?
??? F(s) ? ???????, ??? ?????? ????? ??????? ????????? ????? ?? ?????
Re(s) = ?.
?????? ? ???????? ?????????????? ??????? ? ??????? Mathcad ?????????????? ?????????? ?????????????? ?????.
??????? ????????????? ?????????????? ????? ? ??????? ????????? ?? ???. 37.
6.3. ?????? ? ???????? z-??????????????
?????? ? ???????? z-?????????????? ??????? f (n) ????????????
?????????
???????? ???????:
z-??????????????:
????????
z-??????????????:
1
n
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z
z
( z ? 1)
( z ? 1)
1
n
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z
2
(z ? exp(?? ? T))
exp(?? ? T)
n
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n ? cos ( b ? n )
z-??????????????:
z?
(z2? cos ( b) ? 2? z + cos (b))
(z4 ? 4? z3? cos (b) + 4? z2? cos ( b)2 + 2? z2 ? 4? cos ( b) ? z + 1)
???. 38. z-??????????????
81
?
F ( z ) = ? f (n ) z ? n ,
n =0
f (n ) =
1
F ( z ) z n ?1dz,
2?i ?c
??? ? ? ??????, ?????????? ??? ??????????? ???????????????? ?????????.
?? ???. 38 ????????? ??????? ??????? ? ????????? z-??????????????.
82
7. ????????????????
??? ?????????? ? Mathcad ???????? ?????????, ????????? ?? ?????? ????????? ? ???????. ????????? ? Mathcad ???????? ???????????, ?? ?????? ???????? ??????????? ???????????? ?????? ????????????????: ???????? ???????? ??????????, ????????? ??????, ???????
????????? ??????????, ????????????? ??????????? ? ????????. ??????????????? ??????????? ? ???? Mathcad ???????? ?? ????????????
??????? ????? ?????????? ???????? ???? if, while, for, break, otherwise,
on error, continue, return, ? ???????? ????? ?? ?????? ?????? ????????????????, ??????????, ? ???? ???????, ???????? ?????? ?? ??????
??????????.
??????? ????? ?? ???? ?????? ??????? ?? ??????? ????????? ??????????????? ??????????? ???????????. ?????????? ?? ?? ????????.
??? ?????????? ???????
f ( x, w) = lg( x w)
????? ???????????? ?? ??????????? ? ???? ????? ??????, ? ?????????
? ???? ?????? ?? ?????, ?? ??????????? ????????? ????????? ????????,
??? ????? ???????? ???? ?? ????? ?????????, ? ??? ???????????? ????????? ???????? ???????????? "?".
??????? ????? ????? ??????????? ??????? f(x, w) ? ???????? ???????????? ":=". ?????? ????? ??????? ?????? ???????????????? ? ?????? ?????? Add Line ??? ?? ?????????? ??????? ]. ???????? ???????????? ????? ? ????? ?????? ????? ??? ????????? ??????????,
?????????? ?????????, ???. 39. ? ??????? ???? ????? ??????? [z], ??????? ?????? "?" ?? ?????? ???????????????? ? ??????? [x/w]. ????????? ???? ????? ????????????? ??? ??????? ????????????? ???????? ???????? lg(z).
83
f ( x, w) = lg ??
?????????? ???????
f ( x, w) :=
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x
w
log( z)
f ( x, w) := log??
?
x
?
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x
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???????? ????????, ??? z ?? ??????????
??? ?????????, ? ?????????? ????????
???????????? log.
? ?? ?? ???????, ???????????? ????? ???????
?????????? ??????? ? ???????? ??????????
F( x, w) :=
z?
x
w
0 if x? w ? 0
log ( z) otherwise
?? ?? ??????? ? ???? ????? ??????
(if ? ?????? ?????? ?????????? ?? ??????????):
F( x, w) := if?? x? w ? 0 , 0 , log ??
?
??
??
? w ??
x
???. 39. ??????????? ????? ? ??? ?? ???????
? ??????? ????????? ? ????? ?????????
??? ??????? f(x, w) ? ??????? ???? ???????????? ???????? ???????? if (????), ???????????? ??????? ???????? ??? ????????????? ???????? ????????? ??? ?????? ?????????. ????????, ??? ???????? ?????????????? ????? ?? ?????????. ?? ???? ????????? ??????? (otherwise)
F(x, w) = log(x/w).
84
1. ????? ??????
Euler( x1, t1 , t2 , N , f ) :=
x ? x1
t ? t1
D?
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N
while t < t2
x ? x + D? f ( t , x)
t?t+D
x
2. ????? ????? ? ????? 4 ???????
RK4( x1, t1 , t2 , N , f ) := x ? x1
t ? t1
D?
t2 ? t1
N
while t < t2
k1 ? f ( t , x) ? D
k2 ? f ?? t +
D
k1 ?
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2
2 ?
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D
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k3 ? f ?? t + , x +
??D
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2 ?
?
,x +
k4 ? f ( t + D , x + k3) ? D
x? x+
1
6
? ( k1 + 2? k2 + 2? k3 + k4)
t?t+D
x
?????? ????????????? ??????? Euler ? RK4
???? ??????? ????????? x' = y, y' = 0,1y - x + 2;
t1 := 0
t2 := 3
x
?
?
1
?0?
?
x1 := ? ?
f ( t , x) := ?
N := 1000
?
?
0
0.1
x
x
2
?
?
+
? ?
1
0
?
?
4.326303921?
?
? 4.316016079?
RK4( x1, t1 , t2 , N , f ) = ?
Euler( x1, t1 , t2 , N , f ) = ?
?
?
? 0.339538702?
? 0.336967211?
???. 40. ????????? ??????? ?????? ???? (??????????? ????? while)
85
Mathcad ?????????? ??? ???? ??????, ???????????? ?? ??????? ??????????? ??????? ?????????? ?????. ???? ???? ?????? ???????????
?? ?????????? ?????????? ???????, ?????? ?????? ?????????? ?????
??????? ??????? ??????????, ?? ????????????? ???????????? ???? ????
while. ????? ??????? ?????? while ?? ?????? ?????????? ????????? ????? ? ?????? ? ?????? ??????? ????????????????. ? ?????? ????????????? ???????????? ?????? ????????? (??????????), ???????????
??????, ? ? ?????? ????????????? ? ???? ?????, ?????????, ???????
????? ???????????, ???? ?????? ????????? ?????????? "??". ???? ?
????? ????? ????? ?????? ?????????, ?? ????? ??????????????? ??????? Add Line. ?? ???. 40 ???????????? ????????? ?????????? ?????????????? ????????????????? ????????? ??????? ?????? (????? 1) ?
??????? ????? ? ????? 4-?? ??????? (????? 2). ???? ???????? ? ????
sum ( n ) :=
n := 44
s?0
n
for i ? 1 .. n
?
???????????? ?????????
s?s+i
i
i = 990
=1
sum ( 44) = 990
join( r , s ) :=
m? 0
for x ? r , s
vm ? x
m? m+ 1
v
? 10 ?
r := ? 11 ?
?
?
? 15 ?
? 1?
s := ? ?
? 2?
?
?
?
join( r , s ) = ?
?
?
?
1
2
10
11
15
?
?
?
?
?
?
?
???. 41. ????????????? ????? ???? for ? ??????????? ?????
???? ????????? ?????
86
while. ????????? ??????????? ??????? Euler ? RK4 ?????????? ???????? ??????? x(t2) ??? ??????? ????????? x = f (t, x ).
????????? ??????? Euler ? RK4: x1 ? ?????? ????????? ???????
??? ??????? ??????? t1, N ? ????? ????? ??????????????, f ? ??????
insimp( f , a , b , N) :=
s?0
w?
b?a
N
for i ? 1 .. N
? ? f ( a ? w + i? w) + 4? f ?? a ?
?
s ? s + w?
w
2
+ i? w ?? + f ( a + i? w)
?
?
6
s
??????? ?????????????? ? ?????????? ??????? ????
adapt ( f , a , b ) :=
x ? insimp( f , a , b , 10)
x if
x ? insimp( f , a , b , 5) ? TOL
adapt ?? f , a ,
?
a+ b?
? a + b , b ? otherwise
? + adapt ? f ,
?
2 ?
2
?
?
???????? ?????????????? ?????????? ?????????? ????????????
?????????? TOL, ? ??????? ???????? - ??????????? ????? N.
?3
TOL = 1 Ч 10
(
? 15
adapt f , 10
(
)
, 1 = ?0.1040653749
? 15
insimp f , 10
f ( x) := log ( x) ? sin ( x)
)
, 1 , 100 = ?0.1041480801
???. 42. ????????????? ??????????? ??????????? ???????
87
????? ??????? ???????????????? ?????????. ????????, ??? ? ?????
Mathcad ??????? ?????????? ??????? rkfixed. ? ???????? ??????????
????????????? ?????????? ??????? Euler ? RK4 ???, ????? ??? ?????????? ??????? ?? ?????? ? ???????? ????? t2, ?? ? ?? ???? ?????????
??????????????.
???? ???? for ???????? ??????, ????? ?????????? ???????? ?????????? ???????. ????? ????????? ???????????? ?????????? ?????, ?????????? ? ??? ??????. ?? ???. 41 ????????? ??? ??????? ?????????????
?????. ????? ?????? ?? ?????? for ?? ?????? ?????? ?? ????? ???????
?????????? ???? "?", ?????????? ??????? ????????????????. C?????
?? ????? "?" ???????? ???? ???????? ???????? ?????????? ?????, ???
??? ???????? ??? ?????????? sum(n), ???? ?????? ????????, ?????????? ? ????????, ??????????? ????????. ??? ??????????? ???????
join(r, s) ?????????? ????? ?????????? ??????? ????????? ????????.
????? ?? ?????, ??????? ????????? ???????? ????????????? ??????? ??????????? ???????????, ???????? ??????????? ?????????? ?
????????????. ?? ???. 42 ????????, ??? ??? ????? ??????? ? Mathcad.
????????? ???????? ????????? ?????????? ??????????? ????????? ??
?????? ??????? insimp, ????? ??????? ????????? ?????????? ????????? ? ???????? ????????? ??????????? ?????. ??????????? adapt ?????
?? ??????????? ????? ??????????, ???? ?? ??? ????????? ? ???? ?????
???? ?? ???????? ????? ??????? ???????????? intsinp, ??????????? ?
??????? ????? ???????. ??????? adapt ???????????? ?????????? ??????????????, ????????? insimp ??? ????????????? ??????? ?? ?????? ???????????? ??????????????. ?? ????????? ??????? ?????, ???
??????? adapt ???????? ???? ????, ?. ?. ?????????? ??????????.
????????????????? ??????
1. ???????? ?. Mathcad 2000: ??????? ????. ???.: ?????, 2001. 592 ?.
2. ????????? ?. ?. Mathcad 2000 Pro. ?.: ??? ?????, 2001. 576 ?.
3. ??????? ?. ?. ?????????? ? MathCAD. ?????: ????? ??????, 2003.
814 ?.
4. ???? ?. ?., ??????? ?. ?. MathCAD: ?????????????? ?????????
??? ??????????? ? ?????????: ????. ???????. ?.: ??????? ? ??????????, 1999. 656 ?.
5. ???????? ?., ???????? ?. MathCAD 2000. ?????? ???????????.
????: ?????, 2000. 416 ?.
88
??? ???????? y.
?????? ????????????? ??????? loess ??? ???? ????????? ?????????
span ???????? ?? ???. 20.
?????????? ????????? ???????????? ? ??? ??????, ????? ????? ?????? ??????????? ????????????????? ??????????? ? ???? ??????????
???????????? ???????, ?? ?????????? ?????????. ???? ??????????????, ??? ?????? ????? ?? ???? ????????????? ? ???? ???????? ?????????? ???????????? ???????
y = a0 f 0 ( x) + a1 f1( x) + ... + an f n ( x),
??????? ???????????? ??????? linfit, ????? ????????? ai.
53
???????? ??????:
vxi := i
i := 0 .. 49
vzi := 0.5? ( rnd ( 1) ? 0.5) + atan ( i)
Span1 := 0.2
?????? 1:
?????? 2:
Span2 := 2
vs1 := loess ( vx, vz , Span1 )
vs2 := loess ( vx, vz , Span2 )
f1( x) := interp ( vs1 , vx, vz , x)
f2( x) := interp ( vs2 , vx, vz , x)
??????????? ??????:
2
1.5
f1(vxi )
1
f2(vxi )
vzi
0.5
0
0.5
0
10
20
30
40
50
i
???. 20. ?????????????? ?????????
?? ???. 21 ??????? ??????, ? ??????? ???????? ?????????? ????
??????? ? x, ?2 ? sin5x ???????????? ??? ????????????? ?????????
??????.
54
?
?
?
vt := ?
?
?
?
?
?
?
?
vy := ?
?
?
?
?
?
0.2 ?
?
0.4 ?
0.6 ?
?
0.8
?
1 ?
0
?0.066 ?
1.969
2.611
1.604
0.623
1.321
?
?
?
?
?
?
?
?? t
2
F( t ) := ?
t
? sin ( 5t)
?
??
?
?
?
? 0.466 ?
S = ? 2.893 ?
?
?
? 2.124 ?
S := linfit( vt , vy , F)
g ( t ) := F( t) ? S
j := 0 .. 5
t := 0 , 0.01.. 1
3
2
vy j
g( t)
1
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
vt j , t
???. 21. ?????????? ?????????
55
5. ??????? ?????????
Mathcad ????????? ?????? ????????? ? ??????? ?????????. ???????????? ????? ????????? ? ??????????? ? ??????? ????? ??????????.
5.1. ????????? ??????? ????????? ? ????? ???????????
??? ??????? ?????? ????????? ? ????? ??????????? ????????????
??????? root( f (z), z), ??????? ?????????? ???????? z, ??? ??????? ????????? ??? ??????? f (z) ?????????? ? 0. ??? ????????? ???? ???????
?????? ???? ?????????. ??????? ?????????? ??????. ?????????? ??????, ??? ????? ? ? ??????? ????????? ex = x3. ?????????????? ?????
????????? ???????? ???????? ??????? ????????? ??????? root. ???
???????? ?????????? ?????? ???????????? ? ???????? ?????. ??????? root ?????????? ??? ?????? ????? ????? ???????. ????? ????????
????????? f (z) ??? ????????? ??????????? ?????????? ?????? ???????? ?????????? ?????????? TOL, ?????? ????????? ?????????, ? ??????? root ?????????? ?????????.
??? ???????????????? ??????? ??????? ?????? ???????????
x := 3
????????? ?????????, ??????? ?????? ???? ???????? ? ????. ???
????? ????????? ????????? ?3 = e? ? ???? ?3 ? ?? = 0.
????????? ?????????? ? ??? ?????? ?????????
a := root(x3 ? ex, x)
???????? [?=], ????? ??????? ?? ?????? ?????????
? = 1.857
??? ????????????? ??????? root ?????? ? ???? ?????????:
??????????????, ??? ?????????? ????????? ????????? ???????? ??
?????? ????????????? ??????? root;
??? ????????? ? ??????????? ???????, ???????? ?2 ? 1 = 0, ????????? ???????? ?????????? ??????, ??????? ????? ?????? Mathcad. ? ????
56
3
x ? 10? x + 2 = 0
???? ?????????:
x := ?5, ?4.95.. 5
100
3
x ? 10 ?x+ 2
0
100
5
2.5
0
2.5
5
x
??? ?????????? ???? ????????? ?????? ??????????
??? ????????? ???????????
x := ?2
(3
)
(3
)
(3
)
root x ? 10? x + 2 , x = ?3.258
x := 0
root x ? 10? x + 2 , x = 0.201
x := 3
root x ? 10? x + 2 , x = 3.057
???? ?????????
2
x + 1 = 0 , ??????? ?????
??? ?????? ????? x1 = i, x 2= ?i.
???????? ??? ????? ? ??????? Mathcad ? ?????? ?????????
?3
(2
)
(2
)
(2
)
(2
)
?5
x := 1 + 2i
root x + 1, x = ?1.471 Ч 10
?6
x := 1 + 2i
root x + 1, x = ?2.81 Ч 10
?7
x := 1 + 2i
root x + 1, x = i
?7
x := 1 ? 2i
root x + 1, x = ?i
TOL = 1 Ч 10
TOL := 10
TOL := 10
TOL := 10
?8
+i
+i
???. 22. ?????????? ?????? ?????????
57
?????? ????????????? ????????? ?????? ??????? ? ?????????? ?????????? ????????? ??????????? ??? ????????? ??????? ?????. ? ????????? ??????? ?????? ????????? ??? ???????? ??????? ???????. ????
??? ????? ??????????? ?????? ???? ?? ?????, ????? ????????? ???????? TOL, ????? ????????? ??;
???? f (x) ????? ????? ?????? ????? ?????, ??????? root( f(x), x) ????? ????????? ? ???????? r, ?????????? ?? ????? ?????????? ??????. ?
????? ??????? ??? ?????????? ????? ??????? ???????? ????? ?????????? ????????? ???????? TOL. ?????? ??????? ??????????? ? ?????? ????????? f (x) = 0 ?? g(x) = 0, ???
g ( x) =
f ( x)
d
f ( x)
dx
;
??? ????????? f (x) ? ????????? ?????? ? ?????????? ?????????????? ?????? f (?) ???????????? ?????? ?????? ????????? h(?) = 0, ???
h(?) = f (?)/(? ? ?). ????? ?????? ????? ?????? ?????? ????????? h(?),
????????????? ????, ??? ????????? ?????? ?????? ?????? ?????????
f (?) = 0, ??????? ?????? ????????? ???????????.
?????? ?????? ?????????? ?????? ? ??????? ??????? root ? ????????????? ??????? ??????? ???????? ?? ???. 22.
??????? root ????????? ???????? ? ??????????? ?????. ??? ??????
???????????? ????? ??????? ???????????? ??????????? ????? ? ????
?????????? ???????????.
??? ??????, ????? ??????? root ?? ?????????
???? ????? ?????? ???????? Mathcad ?? ????? ????? ???????????
???????????, ?? ?????????? ????????? "??????????? ??????????". ???
?????? ????? ???? ??????? ?????????? ?????????:
????????? ?? ????? ??????;
????? ????????? ??????????? ?????? ?? ?????????? ???????????;
????????? ????? ????????? ????????? ??? ???????? ????? ????????? ???????????? ? ???????;
????????? ????? ??????????? ??????, ?? ????????? ???????????
???? ???????????? (??? ????????).
?????? ??? ???????????? ??????? ?????? ?????????? ????????
??????????? ?????? f (?).
58
? ?????????? ???????? ????? ?????????? ?????? ????????? ???
???????????? ????????? ??????????. ????????, ????? ????????? ?????? ????????? ?? = ??2 ??? ?????????? ????????? ???????? ?. ?????
??????? ?????? ??????? ? ??????????? ???????
(
f (a, x ) := root e x ? a ? x 2 , x
)
????? ????????? ?????????? ???????? ????????? a ? ????????? ???????? ?????????? x ??? ?????????? ???? ???????.
??????: ?????? ?????????
x
2
e = a ?x
??? ????????? ????????? a.
????????? ??????? f, ???????? ????????? ??? ????????? a:
(x
2
)
f ( a , x) := root e ? a? x , x
??????? ????????? ??? ???? ???????? a:
a := 1 .. 5
x 0:= 1
(????????? ???????????)
????????? ??????????? ??? ??????? ???????? a ???? ??????,
??????????????? ??????????? ????????:
xa := f (a , xa? 1)
??????:
a =
????????:
xa =
e
xa
=
a? (xa) =
2
1
?0.703
0.495
0.495
2
?0.54
0.583
0.583
3
?0.459
0.632
0.633
4
?0.408
0.665
0.665
5
?0.371
0.69
0.69
???. 23. ??????????? ??????? ???????????? ? ???????? root
??????????? ??????? ???? ?????? ????????? ?? ???. 23.
59
5.2. ?????????? ?????? ????????
??? ?????????? ?????? ?????????, ???????? ??? anxn + an?1xn?1 +
+ ? + a1x + a0, ????? ???????????? ??????? polyroots(a) ?????? root.
? ??????? ?? ??????? root, ??????? polyroots ?? ??????? ??????????
??????????? ? ?????????? ????? ??? ????? ??? ????????????, ??? ?
???????????. ???????????? ???????? ?????? ???? ???????????? ?
??????? ??????????? ??????? ? ? ??????? ? ????? n + 1.
3
x ? 10? x + 2
????? ????? ????????
? ?????? ????????????? ?????? ????? ??? ????????????,
? ??? ????? ?????? ????:
??
v := ?
?
?
?
??
?
0 ?
?
1 ?
2
? ?3.258 ?
polyroots ( v) = ? 0.201 ?
?
?
? 3.057 ?
?10
????? ????? ???????? ? ???????????? ??????????????
3
2
x + ( 3 + 2i) ? x + ( ?4 + 6i) ? x ? 8i
?????? ?????????????
?? ?8i
?4 + 6i
v := ?
? 3 + 2i
? 1
?
??
?
?
?
?
??? ?????, ??? ????????????, ??? ? ???????????:
?
polyroots ( v ) = ?
?
?
?4
?
?2i ?
?
1 ?
???. 24. ????????????? ??????? polyroots
?????? ?????????? ?????? ???????? ??????? ??????? ? ???????????? ?????????????? ???????? ?? ???. 24.
60
5.3. ??????? ?????? ?????????
??? ??????? ?????? ????????? ????????? ?????????:
??????? ????????? ??????????? ??? ???? ???????????, ???????? ?
??????? ?????????;
???????? ???????? ????? Given. ??? ????????? Mathcad, ??? ?????
??????? ??????? ?????????. ?????????, ??? ??? ???? ?? ?? ??????????
? ????????? ???????;
??????? ????????? ? ??????????? ? ????? ??????? ???? ?????????
????? Given. ??????????????, ??? ????? ?????? ? ??????? ??????? ?????
?????? =, ???????????? ??????????? ?????? [Ctrl+=] ??? ?????????
?? ??????????????? ???????;
??????? ?????????, ??????? ???????? Find(z1, z2, z3, ...). ??? ??????? ?????????? ??????? ??????? ?????????. ????? ?????????? ?????? ???? ????? ????? ???????????.
?????? ??? ??????? ??????? ?????? ???????????? ???????????????? ??????. ?????? ??????? ?????? ????????? ???????? ?? ???. 25.
???????, ??? ? ??????????? ?? ?????????? ???????? ????????? ???????? ????????? ???? ??? ?????? ???????. ????? ????????? ???????
Given ? Find ????? ???? ????????? ???????????.
????? ??????? ????????? ?? ????? ???? ??????? ???? ? ?????.
?????? ???? ??????? ????????? ????? ????? ?????? ???? ???????? ????? Given ? ??? ??????? Find. ?????, ??????, ??????????
??????? f(x) := Find(x) ? ????? ?????? ????? ??????? ????????? ?
????? ???????????? f (x) ? ?????? ?????.
???????, ?? ??????? Mathcad ?? ????? ????? ????? ?????? ?????????, ????????????? ?? ??, ??? ? ??? ??????? root.
? ?????????? ???????? ????? ?????????? ??????????? ?????? ??????? ????????? ? ?????????? ??????? ????????? ?? ???????. ??
???. 26 ???????? ?????????? ?????? ???????????? ??????????? ????????????? ???????? ?????? ??????? ???????????? ???????????
A(?) = W (i?) ,
??? W (i?) =
k
.
T (i?) + 2T ?i? + 1
2
2
????????, ??? ?????? ??????? ? Mathcad ???????? ??? 1i. ???????????? ???????? ??????? A(?) ???????????? ?? ???????
dA(?)
= 0.
d?
61
????? ????? ??????????? ?????????? ? ??????
? := 0 ,
?
20
x := ?3 , ?2.9.. 3
.. 2? ?
6
4
2
6 ?sin( ? )
2? x
0
2
4
4
2
0
2
4
6 ?cos( ? ) , x
??????? 1
????????? ????????
x := 1
y := 1
Given
2
2
????????? ??????????
x +y = 6
????????? ??????
x+ y = 2
? ?0.414 ?
?
? 2.414 ?
Find( x, y ) = ?
??????? 2
????????? ????????
Given
2
2
x + y =6
x := ?1
y := 1
x+ y = 2
? ?0.414 ?
?
? 2.414 ?
Find( x, y ) = ?
???. 25. ??????? ??????? ?????????
62
???? ??????? ???????????? ???????????
W (? , T , ?) :=
1
? := 0.1, 0.2.. 10
T ? (i? ?) + 2? T? ?? i? ? + 1
2
2
T := 1
?????? ?????? ???? ??????? ????? ???????????? ????????,
????????? ?? ????????? ?:
10
W ( ? , T , 0.1 )
1
W ( ? , T , 0.3 )
W ( ? , T , 0.5 )
0.1
0.01
0.1
1
10
?
? := 1
Given
??????? ?????????
MaxMod (T , ?) := Find(?)
d
d?
W (? , T , ?) = 0
??????? MaxMod (T , ?) ?????????? ???????? ?, ??????????????
????????? ?????? ??????????? ??????? ??? ???????? T ? ?.
??????? ??????? ????????? ???????????????? ??????????
????????? ?? ??? ? ??????????? ????? ????????? ?? ?.
2
m := 1 .. 100
? m := 0.0001?
m
2
?max m := MaxMod (T , ? m)
1 .10
5
0.6
1 .10
4
0.4
1 .10
3
W (? maxm , T , ?m)
?m
0.2
100
10
0
0.6
0.8
? maxm
1
?3
?5
?4
1 .10 1 .10 1 .10
0.01
?m
0.1
1
???. 26. ??????????? ????????? ?????? ??????? ????????????
???????????
63
? ??????????? ??????? ?????? ???, ????? ??????????? ???????
MaxMod, Mathcad ??????????? ???????? ?????????? ???????? ?????????? ? ? ?, ?????? ????????? ???????????? ???????????? w ? ?????????? ????????
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