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√осударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образовани¤
—јЌ “-ѕ≈“≈–Ѕ”–√— »… √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌџ… ”Ќ»¬≈–—»“≈“
јЁ–ќ ќ—ћ»„≈— ќ√ќ ѕ–»Ѕќ–ќ—“–ќ≈Ќ»я
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—анкт-ѕетербург
2006
??? 519.7
??? 22.18
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?12 ???????? ??????? ? ???????? ???????? ??????????: ????. ??????? /
?. ?. ??????, ?. ?. ???????; ???? ? ???., 2006 ? 72 ?. ISBN 5-8088-0162-1
?????????? ???????? ????????? ?????? ???????? ???????? ? ?????????, ?????????????? ???????? ??? ????????? ??????? ? ???????? ?? ?? ?????????. ?? ?????????? ???????? ?????????????? ?????????? ???????????
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ISBN 5-8088-0162-1
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???????????????? ???????????????ї, 2006
2
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3
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4
1. ???????? ????????? ? ?????????
? ??????? ???????? ???????
1.1. ???????? ??? ????????? ??????????? ? ???????????
1.1.1. ??????? ????????? ?????????
??????????? 1. ????? E ? ????????????? ?????????, x ? ??????? E. ???????? ?????????? ? ? ? ?????????? ????????? ????????????? ??? A = {?A (?)/?}, ??? ?A(?) ? ?????????????????? ??????? ?????????????? (??? ?????? ??????? ??????????????),
??????????? ???????? ? ????????? ?????? ????????????? ????????? M (????????, M = [0,1]).
??????? ?????????????? ????????? ??????? (??? ???????) ?????????????? ???????? x ???????????? A, ?A: ? ? ? ? ??????? ??????????????, ???????????? ? ? ????????? ?. ???? ? = {0,1}, ?? A ???????? ??????? ?????????? ? ??? ??????? ?????????????? ????????? ?
?????????????????? ???????? ????????? ?. ? ?????????? ????? ????????????, ??? M = [0,1].
???????
????? E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = [0,1]; A ? ???????? ?????????, ???
???????? ?A(x1) = 0,3; ?A(x2) = 0; ?A(x3) = 1; ?A(x4) = 0,5; ?A(x5) = 0,9.
????? A ????? ??????????? ? ????:
1) A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 }, ???
2) A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, ???
3)
A=
x1
x2
x3
x4
x5
0,3
0
1
0,5
0,9
? ? ? ? ? ? ? ? ?. ????? ???? Ђ+ї ?? ???????? ???????????? ????????
????????, ? ????? ????? ???????????.
???????? ????????? A ?????????? ? ? ? ? ? ?, ???? ?A(?) = 0, ?x ? E .
????????? ????????? ????????? A ?????????? ????????? ????
5
S(A) = supp(A) = {? / ? ? E, ?A (?) > 0}.
???????? ????????? A ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ???? ??????????? ????????? sup µ A ( x) = 1 .
x?E
???????? ????????? A ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ?, ???? ??????????? ???????????
?A (??1 + (1 ? ?) ?2) ? min{?A (?1), ?A (?2)}, ?x1 , ?2 ? E, ?? ? [0,1] .
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???????? ????????? ?????? ???????????? ? ??????? ??????? ??????????????, ??????? ? ?????? ??????????????? ????????????? ???????
?????????????? ??? ????? ??????????? ?????????? (???. 1.1).
?????????? ?????? ? (??? ?-????????) ????????? ????????? A ???????. 1.1. ???????
E
??????????????
?????? ????????? A ? = {? / ??E,
?A (?) ? ?}.
? ? ? ? ? ?: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 , ????? A0,3 = {x3, x4}, A0,7 = {x4}.
??????? ? ????????????. ?????? ???????? ????????? A ????????? ?? ??? ?????????? ?????? ? ????:
A = ??A?,
??? ? A? ? ???????????? ????? ? ?? ????????? A, ? ? Ђ?????????ї ??????? ???????? M ??????? ?????????????? ????????? ????????? A.
1
? ? ? ? ? ?: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 ??????????? ? ????:
A = 0,1(1,0,1,1) ? 0,7(0,0,1,1,) ? 1(0,0,0,1) =
= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4) ? (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4) ?
? (0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 .
1.1.2. ???????? ??? ????????? ???????????
?????????? ????????? ???????? ??? ????????? ???????????, ?????? ? ???????????? ????? ?????? [1, 2, 6].
1. ????????? ???????? ????????: A ? B ?????, ???? ?x ? E ?A(x) =
= ?B (x).
???????????: A = B.
6
2. ???????????? ????????? ?????????. ???????, ??? A ?????????? ? B, ???? ?x ? E ?A(x) ? ?B(x).
???????????: A ? B.
3. ?????????? ????????? ?????????: A ? B ????????? ???? ?????,
???? ?x ? E ?A(x) = 1 ? ?B(x).
???????????: B = A ??? A = B.
????????, ??? A = A.
4. ??????????? ???????? ????????: A? B ? ?????????? ????????
????????????, ???????????? ???????????? ? A ? B: ?A ? B (x) = min
(?A(x), ?B(x)).
5. ??????????? ???????? ????????: A ? B ? ?????????? ????????
????????????, ?????????? ??? A, ??? ? B, ? ???????? ??????????????
?A?B(x) = max(?A(x), ?B(x)).
6. ???????? ???????? ????????: A ? B = A ? B ? ???????? ?????????????? ?A?B(x) = min{?A(x), 1 ? ?B(x)}.
7. ?????????????? ???????????? ???????? ????????: A ? B ? ???????? ?????????????? ?A ? B (x) = ?A(x) ?B(x).
8. ????????? ???????????? ???????? ????????: A „ B ? ????????
?????????????? ?A „ B (x) = max{?A(x) + ?B(x) ? 1, 0}.
9. ???????????? ???????????? ???????? ???????? A „ B ? ???????? ??????????????
?? A( x), ???? ? ( x) = 1,
B
??
? A„ B( x) = ?? B( x), ???? ? A( x) = 1,
?0 ? ? ?????? ???????.
??
10. A????????????? ????? ???????? ????????: A + B ? ????????
?????????????? ?A + B (x) = ?A(x) + ?B(x) ? ?A(x) ?B(x).
11. ????????? ????? ???????? ????????: A ++ B ? ???????? ?????????????? ?A ++ B (x) = min{?A(x) + ?B(x), 1}.
12. ???????????? ????? ???????? ???????? A ? B ? ????????
??????????????
?? A( x), ???? ? B( x) = 0,
?
? A? B( x) = ?? B( x), ???? ? A( x) = 0,
?1 ? ? ?????? ???????.
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7
????? ?????????? ???? ?????????? ??? ????????? ???????????
??????????? ????????? ???????????:
? ? A * B ? A „ B ? A ? B ? A?B ? A ? B ? A + B ? A + + B ?
? A ? B ? E.
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A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4;
B = 0,7/ x1 + 0,9/ x2 + 0,1/ x3 + 1/ x4;
C = 0,1/ x1 + 1/ x2 + 0,2/ x3 + 0,9/ x4.
?????:
A ? B, ?. ?. A ?????????? ? B.
E ? A = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4; E ? B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
A ? B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
A ? B = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
A ? B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4; B ? A = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
A ? B = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
????????? ????? ???????? ???????? ??? ????????? ???????????.
?? ?????? ???????? ??????????????? ???????????? (?? ??????? ????
??? ?????, ? ??? ?????? ????????) ???????????? ???????? ??????????
? ??????? ? ????????? ????????? A, ??? ? ? ????????????? ?????.
???????? ????????? A ? ???????????? ???????? ??????????????
? ?A ( x ) = ? ?A ( x). ??????? ??????? ?????????? ? ??????? ????????:
CON(A) = A2 ? ???????? ????????????????, DIL(A) = A0,5 ? ????????
??????????, ??????? ???????????? ??? ?????? ? ????????????????
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1
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???. 1.2. ???????? ???????? ??? ????????? ???????????: ? ? ????????????
????????? ?????????; ? ? ?????????? ????????? ?????????; ? ? ???????????
???????? ????????; ? ? ??????????? ???????? ????????
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?
1,0
???. 1.3. ???????? ???????????? ? ????? ???????? ????????: ? ??????????????? ???????????? ???????? ????????; ? ? ?????????????? ?????
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9
1.1.3. ??????? ????????? ?????????
??????????? 2. ???????? ?????????? R ?? ????????? E = E1 „ E2
?????????? ???????? ???????????? ????????? ???????????? E1 „ E2,
??????? ??????????????? ???????? ?????????????? ?R: E1 „ E2 ? M.
???? M = {0,1}, ?? R ???????? ??????? ??????????. ? ??????????
????? ????????????, ??? M = [0,1]. ???????? ?R (x, y) ???? ??????? ?????????? ??? ????????? ???????????? ???? ?????????? ????????? xRy.
???????
1. ????? X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}, ? = [0,1]. ????????
????????? R = XRY ????? ???? ??????, ? ???????, ????????:
Y
y1
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y3
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0
0,1
0,3
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0,8
1
0,7
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1
0,5
0,6
1
X
2. ????? X = Y = (??, ?), ?. ?. ????????? ???? ?????????????? ?????. ????????? x >> y (x ????? ?????? y) ????? ?????? ???????? ??????????????:
? 0, ???? x ? y,
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? R ( x, y ) = ?
, ???? y < x,
1
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? k ( x ? y )2
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3. ????????? R, ??? ???????? ? R ( x, y ) = e
??????? k ????? ???????????????? ???: Ђx ? y ??????? ???? ? ?????
?????ї.
? ?????? ???????? ??? ??????? ???x1
?????????? ???????? ???????? ?????0,8
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????????? ????? (?????), ? ???????
0,3
???? ?????? (xi, xj) ? ?????? XRX ??0,9
????????? ?????? ? ????? ?R(xi, xj),
x2
10
1
x3
? ?????? XRY ???? ?????? (xi, yj) ??????????? ?????? c ????? ?R(xi, yj).
4. ????? X = {x1, x2, x3} ? ?????? ???????? ????????? ?R : X „ X ? [0,1],
???????????? ??????, ???????????
??????.
0,3
y1
5. ????? X = {x1, x2} ? Y = {y1, y2,
0,4
1
y3}, ????? ???????? ???? ???? ????- x1
y2
?? ???????? ????????? XRY.
0,1
????????? ????????? ????????? R
0,9
0,2
x2
y3
?????????? ???????????? ?????????
???????????? X „ X ???? S(R) = {(x, y):
?R(x, y) > 0}.
?????????? ?????? ? (??? ?-????????) ????????? ????????? R
?????????? R? = {(x, y): ?R(x, y) ? ?}.
1.1.4. ???????? ??? ????????? ???????????
???????? ? ???????????? ???????? ??? ????????? ???????????, ????????? ?? ??????? ???????? ????????? ???????? ??? ????????? ???????????, ? ????????? ??????? ?????? ???????? ?????????? [1, 2, 3, 6, 7, 9].
1. ???????? ?????????, ?????????? ?????? ???????? ?????????
??? ???????????? ? ???.
????? R1 ? R2 ? ??? ???????? ????????? ?????, ???
? ( x, y ) ? X „ Y : ? R1 ( x, y ) ? ? R2 ( x, y ) ,
????? ???????, ??? R2 ???????? R1 ??? R1 ?????????? ? R2 .
???????????: R1 ? R2 .
? ? ? ? ? ?:
??0, x > y,
? R1 ( x, y) = ?
? k ( x ? y )2
, y ? x;
??1 ? e 1
??0, x > y,
? R2 ( x, y ) = ?
? k ( x ? y )2
, y ? x.
??1 ? e 2
????????? R1, R2 ? ????????? ???? y >> x (y ????? ?????? x). ???
k2 > k1 ????????? R2 ???????? R1.
2. ??????????? ???? ????????? R1 ? R2 ???????????? R1 ? R2 ?
???????????? ??????????
11
? R ?R
1
2
( x, y ) = max {? R1 ( x, y ), ? R2 ( x, y )}.
???????
1. ???? ?????????? ????????? ?????????????? ?????, ????????????? ??????????: xR1y ? Ђ????? x ? y ????? ???????ї, xR2 y ? Ђ????? x ? y
????? ????????ї ? ?? ??????????? xR1 ? R2y ? Ђ????? x ? y ????? ??????? ??? ????? ?????????ї.
??????? ?????????????? ????????? ?????? ?? |y ? x|.
? R ? R ( x, y ) =
1
2
?? R ( x, y ),
?? 1 ( x, y ),
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?
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1
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R1
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1
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??? ? ? ????? |y ? x|, ??? ? R1 ( x, y ) = ? R2 ( x, y )
2.
R1 ? R 2
R2
R1
y1
y2
y3
x1
0,1
0
0,8
x2
1
0,7
0
y1
y2
y3
y1
y2
y3
x1
0,7
0,9
1
x1
0,7
0,9
1
x2
1
0,7
0,5
x2
0,3
0,4
0,5
3. ??????????? ???? ????????? R 1 ? R2. R1 ? R2 ????????????
R1 ? R2 ? ???????????? ??????????
{
}
? R1 ? R2 ( x, y ) = min ? R1 ( x, y ) , ? R2 ( x, y ) .
12
??????
???? ?????????? ?????????: R1, ?????????? Ђ?????? ????????
|y ? x| ?????? ? ?ї, R2, ?????????? Ђ?????? ???????? |y ? x| ?????? ?
?ї, ? ?? ???????????.
?
?
1
1
R1
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R2
?
x? y
x? y
1
R1 ? R2
?
?
?
x? y
4. ??????????? ????????? R ?????????? ???????? ????????? Q ?
???????? ??????????????
?Q (x, y) = 1 ? ?R(x, y).
5. ?????????? ???? ???????? ?????????: ????? R1 ? ????????
????????? R1: X „ Y ? [0,1] ????? X ? Y, ? R2 ? ???????? ?????????
R2: Y „ Z ? [0,1] ????? Y ? Z. ???????? ????????? ????? X ? Z,
???????????? R1 ? R2, ???????????? ????? R1 ? R2 ??????????
? R1 i R1 ( x, z ) = max min{? R1 ( x, y ), ? R2 ( y, z )} ,
y
?????????? (max-min)-??????????? ????????? R1 ? R2, ????????:
R1∞R2
R2
R1
Z z
1
Y
y1 0,9
z2
z3
0
1
Z z
z2
z3
z4
1
X
0,2 x 1 0,3 0,6 0,1 0,7
z4
Y y
y2
1
X
x 1 0,1 0,7
y3
y2
y2
0,3 0,6
0
0,9
1
0
y3
0,1
0
0,5
x2
0,5
1
x2
0,9 0,5
1
0,5
13
? R R ( x1 , z1 ) max min{? R1 ( x1 , yi ), ? R2 ( yi , z1 )} =
1 2
yi
= (0,1 ? 0,9) ? (0,7 ? 0,3) ? (0,4 ? 0,1) = 0,1 ? 0,3 ? 0,1 = 0,3,
? R1 R2 ( x1 , x2 ) = ( 0,1 ? 0 ) ? ( 0,7 ? 0,6 ) ? ( 0, 4 ? 1) = 0 ? 0,6 ? 0, 4 = 0,6,
µ R1 R2 ( x1 , z3 ) = 0,1
.............................
.............................
µ R1 R2 ( x2 , z3 ) = 0,5.
? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?????? ??????? ??????? ??????????? Ђ?????????????ї ?????? ?????????? ????????? R1 ? R2 , ?. ?. i-? ?????? R1 Ђ??????????ї ?? j-? ??????? R2 ? ?????????????? ???????? ?(min) , ?????????? ????????? Ђ????????????ї ? ?????????????? ???????? ? (max)
? ? (xi, zj).
???? ????????? ?????, ??????????????? R1 ? R2, Ђ?????????ї ??
Y. ? ?????????? ????? ????????????? ???? ?? xi ? zj ? ??????? ??????
? ???????????? ??????????? ?? Ђ?????ї ??? ????????????. ?????
?????????? ???????? ?? ???? ????? ?? xi ? zj, ??????? ? ???? ??????? ? (xi, zj).
x1
x2
0,9
y1
0,1
0,7
0,4
y2 0,2
0,5
1
y3
0
0,3
x1
0,1
0,9
x2
1
0,1
0
1
1
0,6
0
0,6
0,5
0,5
0,9
0,5
z2
0,7
z3
z4
14
z1
0,3
0
z2
z3
z4
6. ???????? ??????????. ???????? ?????????? ????????????, ?. ?.
R3(R2R1) = (R3R2)R1,
????????????? ???????????? ???????????, ?? ??????????????? ???????????? ???????????
R3(R2 ? R1) = (R3R2) ? (R3R1),
R3 (R2 ? R1) ? (R3R2) ? (R3R1).
????? ????, ??? ?????????? ??????????? ????????? ?????? ????????: ???? R1 ? R2, ?? R ? R1 ? R ? R2.
???????????? ?????????? ????????? ????????? ?????????? ??R R ... R .
?????? ????????? Q = R ? R2 ? R3 ? ... ? Rn, ??? R m = m ???
1.2. ?????????????? ???????? ??? ????????? ???????
1.2.1. ??????? ???????? ? ??????????????? ??????????
??????? ???????? ? ??????????????? ?????????? ???????????? ???
???????? ???????? ? ??????? ? ??????? ???????? ???????? [1, 2, 3].
??????????? 3. ???????? ?????????? ??????????????? ???????
<?, X, A>,
??? ? ? ???????????? ??????????; X ? ????????????? ????????? (??????? ??????????? ?); A ? ???????? ????????? ?? X, ??????????? ??????????? ?? ???????? ???????? ?????????? ? (?. ?. ?A (?)).
??????????? 4. ??????????????? ?????????? ?????????? ?????
<? , T, X, G, M >,
??? ? ? ???????????? ??????????????? ??????????; ? ? ????????? ??
???????? (????-?????????), ?????????????? ????? ???????????? ???????? ??????????, ???????? ??????????? ?????? ?? ??????? ???????? ????????? X (????????? T ?????????? ??????? ????-??????????
??????????????? ??????????); G ? ?????????????? ?????????, ??????????? ??????????? ?????????? ????-????????? T, ? ????????? ???????????? ????? ????? (????????), ????? G(T) ? ????????? ??????????????? ??????, ?????????? ??????????? ????-?????????? ???????????????
??????????; ? ? ????????????? ?????????, ??????????? ?????????? ?????? ????? ???????? ??????????????? ??????????, ?????????? ?????????? G,
? ???????? ??????????, ?. ?. ???????????? ??????????????? ???????? ?????????.
15
??????
????? ??????? ?????????? ??????? ???????????? ??????? ? ??????? ??????? Ђ????? ???????ї, Ђ??????? ???????ї ? Ђ???????
???????ї, ??? ???? ??????????? ??????? ????? 10 ??, ? ???????????? ? 80 ??. ???????????? ?????? ???????? ????? ???? ????????? ?
??????? ????????? ??????????????? ??????????:
<?, T, X, G, M>,
??? ? ? ??????? ???????; T ? {Ђ????? ???????ї, Ђ??????? ???????ї,
Ђ??????? ???????ї}; X ? [10, 80]; G ? ????????? ??????????? ?????
?????? ? ??????? ?????? Ђ?ї, Ђ???ї ? ????????????? ???? Ђ?????ї,
Ђ??ї, Ђ??????ї ? ??. ????????: Ђ????? ??? ??????? ???????ї, Ђ?????
????? ???????ї ? ??.; ? ? ????????? ??????? ?? X = [10, 80] ????????
??????????? A1= Ђ????? ???????ї, A2 = Ђ??????? ???????ї, A3 =
Ђ??????? ???????ї, ? ????? ???????? ???????? ??? ?????? ?? G(T) ?
???????????? ? ????????? ?????????? ???????? ?????? ? ?????????????
Ђ?ї, Ђ???ї, Ђ??ї, Ђ?????ї, Ђ??????ї ? ??. ???????? ??? ????????? ??????????? ????: A ? B, A ? B, A , CON(A) = A2, DIL( A) = A0,5 ? ??.
A1
1
A2
A3
10
80
???. 1.4. ??????? ?????????????? ???????? ????????: ?1 ? Ђ?????
???????ї, ?2 ? Ђ??????? ???????ї, ?3 ? Ђ??????? ???????ї
1
10
80
???. 1.5. ??????? ??????????????: ?1 ? ?2 ? ???????? ????????? Ђ?????
??? ??????? ???????ї
16
1.2.2. ??????? ????????? ?????
??????????? 5. ???????? ????? ? ???????? ??????????, ???????????? ?? ???????? ???, ?. ?. ???????? ????? ???????????? ??? ???????? ????????? A ?? ????????? ?????????????? ????? R1 ? ????????
?????????????? ?A(?) ?[0,1], ??? x ? ?????????????? ????? (x ? R1).
???????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ???? sup ? A ( x) = 1 ; ? ? ? ? ? ? ? ?, ????
x?E
?A (a?1 + (1??) ?2) ? min{ ?A (?1), ?A (?2)}, ?x1 , ?2?R, ?? ? [0,1].
???????????? S(A) ? R1 ??????B
A
???? ????????? ????????? ????? ?,
1
1
???? S(A) = {?/? ? R , ?A (?) > 0}.
???????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?, ???? ??????? ?A (?) = 1 ??????????? ?????? ??? ????? ????? ?????????????? ???. ?? ???. 1.4 ????? ?2
0
???????? ????????????, ? ????? ?1 ???. 1.6. ????? ? ? ?????????????,
? ? ?????????????
?? ???????? ????????????.
???????? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ???? inf S(?) ? 0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ???? sup S(?) ? 0.
1.2.3. ??????? ?????????
??????? ????????? ? ???? ?? ???????? ???? ?????? ???????? ???????? ? ????? ????????????? ???????? ? ???????????? ??? ?????????? ??????? ?????????? ???????? ???????? ?? ???????????. ????? X
? Y ? ??? ???????? ????????????? ?????????. ???????, ??? ???????
???????, ???????????? ?? X ?? ????????? ? Y, ????, ? ???? ??????????
?????? f, ??????? ???????? x ? X ????????????? ??????? y ? Y. ?????
??????? f: X ? Y ???????? ????????????, ???????? f(x) ? Y, ???????
??? ????????? ?? ???????? x ? X, ?????? ???????? ??????? ???????? x. ??????? ????????? ? ? X ??? ??????????? ???????? ????????? f (A) ? Y ??? ????????? Y, ??????? ???????? ???????? ?????????
????????? ?.
??????? ????????? ??? ?????? ??????? ??????????? ? ???, ???
??? ???????? ?????? f: X ? Y ??????????? ??? ?????? ?????????
????????? ?, ????????? ?? X, ???????????? ???????? ????????? f(A)
?? Y, ?????????? ??????? A.
17
????? f : X ? Y ? ???????? ?????? ???????????, ? A = {?A (?) /?} ?
???????? ????????? ? X. ????? ???????, ? ??? ??????????? f ????????
???????? ????????? f(A) ?? Y ? ???????? ??????????????:
? f ( A) ( y) = sup ? A ( x); y ? Y ,
x ? f ?1 ( y )
??? f ?1(y) = {x/f(x) = y}.
1.2.4. ???????? ??? ????????? ???????
??? ???????????? ???????? ??? ????????? ??????? ???????? ??????? ????????? ????. ????? A1, A2, ..., An ? ???????? ????? ? ?????????? S(A1), S(A2), ..., S(An), ? g: R1 „ R1 „ ? „ R1 ? R1 ? ????????? ???????. ????? ???????? ???????? ????????? ???????? ????? ? = g(A1, A2,
..., An) ???????????? ???????? ??????????????
? B ( x) = sup min{? A1 (a1 ), ? A2 (a2 ), ... , ? An (an )},
g (a1, a2 , ..., an ) = x,
ai ? S ( Ai ), i = 1, 2, ..., n.
??????? ???????? ??? ????????? ???????
???? g ? ??????? ?????? ?????????, ? A ? ???????? ?????, ?? ??????? ?????????????? ?????? g(A) ????? ??? [10]
? sup µ A (a), ????
?
µ g ( A) ( x) = ? g (a ) = x
??0,
????
g ?1( x) ? ?,
g ?1( x) = ?.
???????
g(x)
g(A)
?g(A)(x)
????????? ?? ?????
?x
?A
?A(x /c), ? 0,
???????? ????????
1/x
1/A
?A(1/x ), x 0,
???????
x?
A?
?A(x 1/?), ? 0,
??????????
e?
eA
?A(log(x )), x > 0,
sin (x)
sin (A)
?A(arcsin (x ))
???????????? ????????
??????????????????
18
???????? ???????? ??? ????????? ???????
???????? ???????? ?????????????? ???????? (+, ? , „, :) ??? ????????? ??????? A ? ?.
1. ???????? ???????? A + ? ???? ???????? ????? ???????????? ????????? ????????:
? A+ B ( x) = sup min{? A ( y), ? B ( x ? y )}.
y?R1
2. ???????? ????????? A ? ? ???? ???????? ????? ????????????
????????? ????????:
? A? B ( x) = sup min{? A ( x + y), ? B ( y)}.
y?R1
3. ???????? ????????? A „ ? ???? ???????? ????? ????????????
????????? ????????:
?sup min{µ A ( y),µ B ( x / y)}, ???? x ? 0;
?
µ A„ B ( x) = ? y ? 0
?? max{µ A (0), µ B (0)},
???? x = 0.
4. ???????? ??????? A : ? ???? ???????? ????? ???????????? ????????? ????????:
? A:B ( x) = sup min{? A ( xy), ? B ( y)}.
y
???????? ??????? ?????????
A?
??? ???????? ?????? ????????? ?
B?
max ?
???????? ??? ???????? ?????. ??- 1
min ?
???????? ?????? max ? min ??? ????????? ??????? A, ? ???????? ??
???. 1.7.
????? ?????????? ?????? ?????? ? ??????????? ??????????????. 1.7. ???????? max (A, B) ?
min (A, B)
??? ???????? ??? ????????? ??????? [11, 12].
???????? ????? A ????? ??????????? ????? ????????? ?-??????
A? ????????? ???????:
19
A = ? A? , ???
? ?[0,1]
A? = {x ? E / ? A ( x ) ? ?} = ? a1? , a2? ? .
?
?
????? ?????????????? ???????? ???????????? ????????? ???????.
1. ???????? ???????? A + ? ???? ???????? ?????
A + B = ? ?? a1? + b1? , a2? + b2? ??.
? ?[0,1]
2. ???????? ????????? A ? ? ???? ???????? ?????
A ? B = ? ?? a1? ? b2? , a2? ? b1? ?? , ??? ??? ????? ? B = ? ?? ?b2? , ?b1? ??.
? ?[0,1]
? ?[0,1]
3. ???????? ????????? A „ ? ???? ???????? ?????
A „ B = ? ?? a1?b1? , a2?b2? ??.
? ?[0,1]
4. ???????? ??????? A : ? ???? ???????? ?????
A : B = ? ?? a1? / b2? , a2? / b1? ??,
? ?[0,1]
?1
??? ??? ????? B =
?
?
? ??1/ b2 ,1/ b1 ??.
??[0,1]
???????
?????????? ?????????????? ???????? ??? ??????????? ????????? ??????? A = {0,1/5, 0,8/6, 0,4/7}, B = {0,2/4, 0,9/5, 0,3/6}:
A + B = {0,1/9, 0,2/10, 0,8/11, 0,4/12, 0,3/13};
A ? B = {0,1/?1, 0,3/0, 0,8/1, 0,4/2, 0,2/3};
A „ B = {0,1/20, 0,2/24, 0,1/25, 0,2/28, 0,8/30, 0,4/35, 0,3/42};
A : B = {0,1/0,83, 0,3/1,0, 0,3/1,17, 0,8/1,22, 0,1/1,25, 0,4/1,4, 0,2/1,5,
0,2/1,75}.
?????????? ?????????????? ???????? ??? ???????????? ????????? ??????? ????????? ?? ???. 1.8.
20
?
A:B
B
A?B
A
A+B
1,0
0,6
0,2
0
10
20
30
40
50
???. 1.8. ????????, ????????? ? ??????? ???????? ?????
???????? ???????? ?????????????? ????????
? ?????????? ??????????? ?? ????????? ????????? ???????? ???????? ??? ????????? ???????.
1. ? ????? ?????? ????? ?A ?? ???????? ??????????????? ????? A,
?. ?. (?A) + A ? 0;
2. ????? 1/A ?? ???????? ???????? ????? A, ?. ?. 1/A „ A ? 1;
3. ???????? ???????? ? ????????? ???????????? ? ????????????,
?? ? ????? ?????? ???????????????, ?. ?.
A + B = B + A; A „ B = B „ A; (A + B) + C = A + (B + C);
(A „ ?) „ C = A „ (? „ ?);
A „ (B + C) ? A „ B + A „ C;
A ? B = A + (?B);
A „ B = (?A) „ (?B); (?A) „ B = A „ (?B) = ?(A „ B).
4. ???????? ???????????????? ??????????? ? ????????? ???????:
?) A ? ?????????????? ?????;
?) B ? C ? ???? ??? ?????????????, ???? ??? ?????????????;
?) B ? C ? ???????????? ???????? ????? (?. ?. B = ?B, C = ?C).
5. ???????? ???????? ???????? max ? min:
1. min (A, B) + max (A, B) = A + B;
2. A + min (B, C) = min (A + B, A + C);
3. A + max (B, C) = max(A + B, A + C).
21
1.3. ???????????? ?????????? ?????????????? ????????
??? ????????? ???????
1.3.1. ???????? ????? (L-R)-????
???????? ????? (L-R)-???? ? ??? ????????????? ???????? ????? ???????????? ????, ?. ?. ?????????? ?? ???????????? ???????? ? ?????
???????? ?????? ?????????? ??? ????????? ??? ???? [3, 10].
??????? ?????????????? ???????? ????? (L-R)-???? ???????? ? ??????? ?????????????? ??????? ?? ????????? ??????????????? ?????????????? ????? ??????????????? ??????????? L(x) ? R(x), ??????????????? ?????????:
?) L(?x) = L(x), R(?x) = R(x);
?) L(0) = R(0);
?) L(?) = R(?) = 0.
????????, ??? ? ?????? (L-R)-??????? ????????? ???????, ???????
??????? ????? ????????? ??? (???. 1.9):
1
?
?
1
R
1
R
?
1
R
?
R
???. 1.9. L-R-???????
????????? ?????????????? ??????? (L-R)-??????? ????? ????
L( x ) = e
R ( x) =
1
1+ x
p
?x
,
p
,
p ? 0;
p?0
? ?. ?.
????? L(y) ? R(y) ? ??????? (L-R)-????. ???????????? ???????? ?????
A ? ????? ? (?. ?. ?A(a) = 1) c ??????? L(y) ? R(y) ???????? ????????? ???????:
22
? ?a?x?
? L ?? ? ?? ??? x ? a,
?
? A ( x) = ?
? R ? x ? a ? ??? x ? a,
?? ?? ? ??
??? ? ? ????; ? > 0, ? > 0 ? ????? ? ?????? ???????????? ??????????.
????? ???????, ??? ???????? L(y) ? R(y) ???????? ????? (????????????) ???????? ??????? A = (?, ?, ?).
??????????? ???????? ????? ????????, ??????????????, ????????
??????????? A = (?1, a2, ?, ?), ??? ?1 ? a2 ? ??????? ?????????????, ?. ?.
? ?????????? [?1 a2] ???????? ??????? ?????????????? ????? 1.
??????? ???????? ??????? ?????????????? ???????? ????? (L-R)???? ????????? ?? ???.1.10.
A1
1
L
A2
R
a
L
L
A4
1
R
a
a2
a1
L=R
A3
1
R
L
L ?R
R
a
???. 1.10. ???? ????????????? ???????? ????? L-R-????
?? ?? ????? ????? ????????????? ???????? ??? (L-R)-???????.
???????, ??? ? ?????????? ????????? ??????? L(y), R(y), ? ????? ????????? a, b ???????? ????? (?, ?, ?) ? (?1, a2, ?, ?) ?????? ??????????? ????? ???????, ????? ????????? ???????? (????????, ?????????, ??????? ? ?. ?.) ??? ????? ??? ?????????????? ????? ?????????
????? ? ???? ?? L(y) ? R(y), ? ????????? ?- ? ?-?????????? ?? ???????? ?? ????? ??????????? ?? ??? ????????? ??? ???????? ????????
?????, ???????? ???? ????????? ? ?????????? ????? ??????????? ?
?????????.
? ? ? ? ? ? ? ? ?. ??????? ????? ??????????????? ?????????????
??????? ?????? ? ??????????? ???????? ???????? ???????? ??????? ?????????? ???????? ?????? ???????? ??? ??????? ???? ???????23
????????? ? ??????? ????????? ???????????. ??? ???????? ?????????? ????????, ? ????? ??? ?????-?????? ? ???????? ??????, ?????????? ???????? ? ????????? ?????????????? (L-R)-????. ????????
?????????, ???????? ?????????? ??????????? ? ??????????? ?????,
????????, ??? ???????, ????????????? ? ???????????. ????? ??
????????? ??????? ????????????? ???????????? ???????? ????????
???????? ????????????? ? ??????? ??????? (L-R)-????.
??????
???? ??
(L-R)- ?????????????
???????
A = (?, ?, ?)LR , ? = ? > 0
?????
A = (?, , ?)LR , ? = ???????
A = (?, ?, )LR , ? = ?????????????? ? ?????????
A = (?1, ?2, ?, ?)LR , ? = ? > 0
????????????
A = (?, 0, 0)LR , ? = ? = 0
????????????? ???? ??????
????????????????
A = (?, , )LR , ? = ? = 1.3.2. ?????????? ?????????????? ????????
??? ????????? ???????
????? A ? B ? ??? ???????? ????????? ? ???????????????? ??????
????????? ??????????????. ????? f: R2 ? R1 ? ??????? ???????????.
????? [10, 11, 12 ] ????????? ?-?????? ???????? ???????? f (A, B) ??????? ? ??????????? ?-??????? ???????? ??????? A ? B ??? ???????????
f ????????? ???????:
1. ???? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????, ?. ?. ?x1 ? x2 , ?y1 ? y2 , f(?1, ?1) ?
f(?2, ?2), ?? ?? > 0[f (A, B )]? = f ( A? , B? ). ???? A?, B? ????????? ???????????? ????????? ???? ?? a1? , a2? ?? , ??b1? , b2? ?? , ?? ?? ? ( 0,1) f ( A? , B? ) =
(
) (
)
= ? f ( a1? , b1? , f a2? , b2? ? .
?
?
2. ???? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????, ?. ?. ?x1 ? x2 , ?y1 ? y2 , f ( x1 , y1 ) ?
(
) (
)
? f ( x2 , y2 ), ?? ?? ? (0,1)] f ( A? , B? ) = ? f a2? , b2? , f a1? , b1? ? .
?
?
24
3. ???? f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????, ?. ?. ?x1 ? x2 , ?y1 ? y2 , f ( x1 , y1 ) ?
(
) (
)
? f ( x2 , y2 ), ?? ?? ? (0,1) f ( A? , B? ) = ? f a1? , b2? , f a2? , b1? ? .
?
?
???? A = (?1, ?2, ?, ?)LR ? B = (b1, b2, ?, ?)LR ? ???????? (L?R) ?????,
? ???????? f(A, B) ??? ???? ????????? ???????, ?? w: ?f(A, B) (w) = ?
??????????? ?? ????????? ????????:
? f (a1 ? ? L?1(?), b1 ? ? L? 1(?)), ???? w ? f (a1, b1),
?
w = ?1, ???? f (a1, b1) ? w ? f (a2 , b2 ),
?
?1
?1
? f (a2 + ? R (?), b2 + ? R (?)), ???? w ? f (a2 , b2 ).
???? A = (?1, ?2, ?, ?)LR ? B = (b1, b2, ?, ?)RL ? ???????? ????? ???????????????? ???? (L?R ? R?L), ? ???????? f(A, B) ??? ???? ? ?????????
???????, ?? w: ?f(A,B) (w) = l ??????????? ?? ????????? ????????:
? f (a1 ? ? L?1(?), b2 + ? L?1 (?)), ???? w ? f (a1, b2 ),
?
w = ?1, ???? f (a1, b2 ) ? w ? f (a2 , b1),
?
?1
?1
? f (a2 + ? R (?), b1 + ? R (?)), ???? w ? f (a2 , b1).
?????????? ???????? ?????????????? ???????? ??? ?????????
???????.
1. ???????? ???????? f(x, y) = x + y ????????? ???????. ???? A ? B
???????? ????????? (L-R)-????, ?? A + B = (?1 + b1, a2 + b2, ? + ?, ? + ?)LR.
2. ???????? ????????? f (x, y) = x?y ????????? ???????. ???? A ? B
???????? ????????? ???????????????? ???? (L-R ? R-L)-????, ?? A?B =
= (?1?b2, a2?b1, ? + ?, ? + ?)LR.
3. ???????? ????????? f (x, y) = xy ????????? ??????? ?? (R+)2. ????
A ? B ???????? ????????? (L?R)-???? ? A > 0, B > 0, ??
? ?
2
?
? L ? b1? + a1? ? (a1? ? b1?) + 4?? w ? , ???? w ? a1b1,
? ?
?
2? ?
?
?? ?
? ?? (w) = ?1, ???? a1b1 ? w ? a2b2 ,
?
? ? ?b2? ? a2? + (b2? ? a2?)2 + 4?? w ?
? , ???? w ? a2b2 .
? R ??
?
2??
?? ?
?
25
4. ???????? ??????? f(x, y) = x/y ????????? ??????? ?? (R+)2. ???? A ? B
???????? ????????? ??????????????? ????? (L-R ? R-L) ? A > 0, B > 0, ??
? ? a ? wb ?
2 , ???? w ? a / b ,
?L ? 1
?
1
2
+
?
?
w
?
? ?
?
? ? / ? (w) = ?1, ???? a1 / b2 ? w ? a2 / b1,
?
? R ? b1w ? a2 ? , ???? w ? a / b .
2 1
?? ?? ? + ? w ??
1.3.3. ???????????? ?????????? ?????????????? ????????
??? ????????? ???????
???? ??????? f(A, B) ?????? ?????????? ????????????, ?? ?? ?????
????????? ???? ?????????, ???? ??? ??????????? ???????? L ? R ?
??????? ???????????? ??????, ??????? ???? (L?R)-?????????????
???????? ??????????.
???? A ? B ???????? ????? (L-R)-????, ? ??????? f ? ?????????, ??
? ??????????? ???? ???????? (L-R)-????????????? ??????? f(A, B) ?
????
f(A, B) ? (f(a1, b1), f(a2, b2), fx?(a1, b1)? + fy?(a1, b1)?, fx?(a2, b2)? +
+ fy?(a2, b2)?)LR.
?????? ?????? ????????????? ??????????? ? ?????????:
f(A, B) ? (f(a1, b1), f(a2, b2), f(a1, b1) ? f(a1??, b1??), f(a2 + ?, b2 + ?) ?
? f(a2, b2))LR.
????? ???????, ?????????????? ???????? ??? ????????? ???????
(L-R)-???? ?????? ????????? ??? [10]:
1. ????????:
(?1, a2, ?, ?)LR + (b1, b2, ?, ?)LR = (?1 + b1, a2 + b2, ? + ?, ? + ?)LR.
2. ?????????:
(?1, a2, ?, ?)LR ? (b1, b2, ?, ?)RL = (?1?b2, a2?b1, ? + ?, ? + ?)LR.
3. ?????????:
(?1, a2, ?, ?)LRЈ(b1, b2, ?, ?)LR ? (?1b1, a2b2, b1? + a1?, b2? + a2?)LR.
4. ???????:
(?1, a2, ?, ?)LR/(b1, b2, ?, ?)RL ? (?1/b2, a2/b1, (b2? + a1?)/b22, (b1? +
+ a2?)/b12)LR.
26
1.4. ?????? ?????????? ??????? ??????????????
???????? ????????
?????????? ???????? ?????? ?????????? ??????? ??????????????
?A (?) ????????? ? ? E ????????? ????????? A [3, 5, 7, 8].
?????????? ??? ??????? ?????????? ?? ?????????? ??????? ??????? ?????????????? ????????? ?????????. ????????? ??? ?????? ???????: ?????? ? ????????? ??????.
? ? ? ? ? ? ?????? ???????????? ???, ??? ??????? ?????? ??????
??????? ??????????? ???????? ??????? ?????????????? ?A ?????????
A. ??? ???????? ??????????? ? ??? ?????????????? ?? ????????? E.
??????? ?????? ???????: ???????????????? ??????? ?A ????????,
????????, ????????. ??? ???????, ?????? ?????? ??????? ???????
?????????????? ???????????? ??? ????????? ???????, ????? ??? ????????, ?????, ??????????, ????????, ??????????? ? ?. ?., ??? ????? ?????????? ???????? ????????.
?????? ??????, ?????????? ?? ???????????????? ???????????
??????? ??????????????, ?????? ?????????????? ?????? ? ??? ??????,
????? ???????? ?????? ?? ????????? ?????? ? ???????? ??? Ђ???????? ? ?????????? ???????ї.
?? ?????? ??????? ??? ?????????????? ??????? ????? ????????
????? ????????? ? ??? ??????? ?? ??? ?????????? ???????? ????????,
??????????????? ????????? ??????? ??????????????, 0 ??? 1. ??? ????
?????????? ????????? ?????????:
? ?????????? ?????? ???????, ?? ??????? ??????????? ??????;
? ????? ? ???? ?????? ???????? ???????? ? ???????????? ????????
?????;
? ??? ?????? ???? ??????? ?????? ?????? ?? ??, ??? ?????? ?? ???????? ???? ?????????.
????????, ? ?????? ????????????? ??? ????? ???????? ?????????
?????:
????????
0
1
x 1 ?????? ???
??????
???????
x 2 ??????? ????
????????
????????
x 3 ????? ????
????????
???????
x 4 ?????? ????
?????
???????
27
????????
0
1
x 5 ???? ????
???????
??????
x 6 ????? ??????????
?????????????
??????????
x 7 ??????? ???
??????
???????
x 8 ???? ????
??????
???????
x 9 ????????? ????
????????
??????????
??? ??????????? ???? A ???????, ?????? ?? ??????????? ?????,
?????? ?A (?) ? [0,1], ???????? ????????? ??????? ??????????????
{?A (?1), ?A (?2), ?, ?A (?9)}.
????? ???????????? ?????? ?????? ??? ?????? ?????????, ?????,
????????, ?????? ????????? ??????????? ?????????? ???? ? ?????? ?????? ???? ???? ?? ???? ???????: Ђ???? ??????? ?????ї ??? Ђ???? ??????? ?? ?????ї, ????? ?????????? ?????????????? ???????, ????????
?? ????? ????? ?????????, ???? ???????? mЂ?????ї (??????? ????).
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ??????????? ???????? ??????? ?????????????? ???????????? ? ???????, ????? ??? ???????????? ????????? ???????, ????? ??????? ???????????? ???????????? ??? ???????? ?????????. ? ????????? ??????? ???????? ??????? ??????????????
?????????? ????? ???????, ????? ????????????? ??????? ???????????????? ????????. ?????????????? ??????? ????? ?????????? ??? ?? ???
?????????? ??????????, ??? ? ?? ????????? ?????????.
? ????? ???????? ????? ?????????? ?????????:
? ??????? ?????????????? ???????? ???????? ? ??????? ??????????? ???????;
? ??? ?????? ????????? ????????, ???? ???? ?????? ? ? ??? ???????????????? ???????, ?? ?????? ?????? ??????????? ? 1/? ??? ???????????????? ???????; ? ?. ?.
????????? ?????? ???????? ?? ????? ?????? ?????????????? ??
????????? ??? Ђ????????????? ????????ї. ????????? ?????? ?????
??????????, ??? ??????, ?? ?? ???????????? ? ????????? ?? ????????? ? ?????????? ? ???????. ???? ?? ???????? ????????? ???????
???????? ????? ?????? ?????????, ???????????? ?. ?. ?????. ????
?? ???????? ??????? ?????????????? ???? ??? ????????, ????????,
?A (?i) = ?i, i = 1, 2, ..., n, ?? ?????? ????????? ????? ???????????
???????? ????????? A = {aij}, ??? aij = ?i /?j.
28
?? ???????? ??????? ??? ????????? ??????? A, ??? ???? ??????????????, ??? ???????????? ???????? ????? 1, ? ??? ????????? ???????????? ???????????? ????????? aij = 1/aij, ?. ?. ???? ???? ?????? ? ? ???
???????????????? ???????, ?? ?????? ?????? ??????????? ? 1/? ??? ???????????????? ???????. ? ???? ??????
n
? aij ? j = n?i , i = 1, ..., n,
j =1
??? n ? ?????????? ??????????? ???????? ??????? A. ? ????? ?????? ?????? ???????? ? ?????? ??????? ?, ???????????????? ??????? = ?max?, ??? ?max ? ?????????? ??????????? ????????
??? ???? A?
??????? A. ????????? ??????? A ???????????? ?? ??????????, ???????
?????? ?????? ?????????? ? ???????? ?????????????. ??? ????? ?max
? ????? n, ??? ????? ?????? ???????? ?????????. ?????????? ?max ?? n
???????????? ??? ???? ???????????? ?????????? (????????, ? = (?max ?
? n)/n). ??? ? = 0 ????? ?????? ?????????????? ????????. ??? ?????? e, ??? ?????? ???????????????? ???????? ????????.
??? ???????????? ?????? ?????? ?????????, ???????? ?????? ???????? ???? ????????? ???????:
? ?????????? ????? ?? ???? ???????????? ???????? ????? ?????;
? ??????? ???????? ? ???? ????? ???????? ?? ???????????? ???????? ?????.
????????
0
1
3
5
7
9
2, 4, 6, 8
???????????? ??????
??????????
?????????????
??? ?????? ?????????? ???????
?????????? ?????????? ???????? ????? ?? ??????????
????? ????????
?????????? ????????? ? ???????????? ?????? ???????? ??? ??????, ??
????????? ?? ???????????
?????????? ??????? ?????????????? ?
?????? ????????
?????????? ????????, ??????? ?????
????????, ??? ??????? ????? ?????
???????? ????????
?????????? ???????????? ?????????????? ??????? ?????????? ?????? ???????? ??? ??????
????????? ????????
??????????? ?????????????? ?????????? ???????????? ?????? ????????
??? ??????
????????????? ?????? ????? ????????? ??????????
29
??? ?????????? ???????? ??????? ?????????????? ????? ??????????????? ??????? ?????????? ?????????. ??????? ???????? ?????????? ??? ??????? ??????????????? ??????:
n
n
f (?) = ? ( ? aij ? j ? n?i ) 2 ? min,
i =1 j =1
n
? ?i = 1, ?i > 0, i = 1, ..., n.
i =1
??????
? ???????? ??????????????? ??????? ?????????? ????????? ??????.
????????? ??????? ???????? ??????????? ????????????? F = {f1,
f2, ?, f7} ??????? ???????. ? ?????????? ?????? ???????? ????????
??????? ?????? ????????? ? = mij i, j = 1, ..., 7, ??? mij ??????????, ?? ??????? ??? ?? ?????? ???????? ?F(fi) ?????? ?F(fj) (?. ?. ??
??????? ??? fi ?????????? ?????? fj ?????????? ??? ???????? ???????):
M=
1
3
1/ 3
1
1/ 5 9 7
1/ 3 9 7
5
7
6
6
5
1/ 9
3
1/ 9
1
1/ 9
9
1
8
1/ 7
7
1/ 6
6
1/ 5
1/ 7
1/ 5
1/ 6
1/ 7
1/ 7
1/ 6
1/ 8
1/ 7
1/ 6
7 1
6 1/ 3
5 1/ 2
3
1
1/ 2
2
2
1
.
????? ???????? ???????????? ????????? ??? ?????????? ????????????? ???????????? ????? ?max ? ?????????? ? ??? ????????????
??????? mF, ??????? ?max = 7,003; ?F = (0,43; 0,682; 1,0; 0,046; 0,153;
0,133; 0,102).
?????????? ???????????? ????? ?????????? ???????????? ???????, ???????????????? ????????????? ???????????? ?????, ??????? ?????? ?????????. ??? ???? ????????? ?????????? ????????????
????????? ??????? ? ? ?? ??????????? ?????????? ??????????? ?????? n-? ???????. ?????????? ?????? ? = (?1, ?2, ?, ?n) ???????????? ??? ?????????? ??????? ?F ????????? ???????:
30
w1
w1
w2
M = w1
w1
w1
...
w2
wn
w2
w2
...
wn
w2
wn
w1
...
wn
wn
...
w2
wn
n
?
.
n
w1 w1
w
„
„ ... „ 1
w1 w2
wn
w2 w2
w
„
„ ... „ 2
w1 w2
wn =
...
n
wn wn
w
„
„ ... „ n
w1 w2
wn
?1
max ?i
?1
?2
...
?n
i =1, ..., n
?2
?i
? µ F = i =max
1, ..., n
...
?n
max ?i
i =1, ..., n
???????? ??????? ??? ???????? ??????, ??????????? ? ???????.
?????? ? = (?1, ?2, ?, ?n) = (1,996; 3,086; 4,633; 0,183; 0,726; 0,555;
0,789) ? ?????????????? ?????? ?F ????????? ?????? ?F = (0,43; 0,666;
1,0; 0,04; 0,157; 0.112; 0.103).
1.5. ???????? ????????? ???????? ?????
? ???????? ???????? ??????? ??? ???????? ???????? ??????????
?????????? ??????????? ????? ????? ?????????? ????????? ???????, ?. ?. ??????? ?????????? ????????? ????????? ???????? ?????.
??? ???????????? [5, 10, 11, 13, 16, 17] ????????? ????????? ???????? ????? ???????? ?? ?????????? ????????? ???????????? ??????? F(A, B) ?? ???????? ????? A, B, ??????? ?????????? ????????
???????????? [13].
?????????? ??? ???????? ????????????:
1. ?????? ???????????? [5]:
F1( A, B) =
sup
min{? A (a), ? B (b), ? R (a, b)},
a?S ( A), b?S ( B )
??? ?R(a, b) ? ??????? ?????????????? ????????? ????????? ???????????? ????? ??????? a, b. ????????,
?1, ???? a ? b,
? R ( a, b) = ?
?0, ???? a < b.
???? F1(A, B) ? F1(B, A), ?? A ? B.
31
?
A
F1(B,A) 1,0
?????? ??????????? ??????? ???????????? ???????? ?????.
2. ?????? ????????????, ???????????? ? [17]:
F 2 (A, B) = F + (A) ? F + (B), ???
B
F1(A, B)
1
0
F+ ( A) = ?
A? (?) + A+ (?)
d ?.
2
? ???? ??????, ???? F2(A, B) ? 0, ?? A ? B.
?????????? F+(A), F+(B) ???????? ?????
?
3. ?????? ???????????? [13]:
A
B
0
1,0
F+(B)
a2
a
? ? A (a) da ? ? B (b) db
F3 ( A, B) =
F+(A)
a1
b1
C
,
0
a2
b2
a1
b1
??? C = ? ? A (a) da ? ? B (b) db,
a1 = inf a, a2 = sup a, b1 = inf b, b2 = sup b.
a?S ( A)
a?S ( A)
b?S ( B )
b?S ( B )
???? F 3(A, B) ? F 3(B, A), ?? A ? B.
4. ?????? ???????????? [13]:
0,5
1
0
0,5
F4 ( A, B) = ? max{0, (1 ? ? D ( x))} dx + ? ? D ( x) dx,
??? D = A/(A + B).
???? F4(A, B) ? F4(B, A), ?? A ? B.
5. ??????? ???????????? [15]:
F51 ( A, B) = sup min{? A (a), ? B (b)}; F52 ( A, B) = sup inf min{? A (a),
a? b
a
b? a
1 ? ? B (b)};
4
F53 ( A, B) = inf sup max{1 ? ? A (a), ? B (b)}; F5 ( A, B) = 1 ? sup min{? A (a),
a
a? b
b? a
F ? B (b)}.
32
? ???? ??????, ???? F5i ( A, B ) ? F5i ( B, A) , ?? A ? B (i = 1, 2, 3, 4).
??? ???????? ? [15],
{
}
F5i ( A, B ) ? max F52 ( A, B ) , F53 ( A, B ) ;
{
}
min F52 ( A, B ) , F53 ( A, B ) ? F54 ( A, B ).
6. ?????? ???????????? [12]:
F6(A, B) ???????????? ??????????????? ?????, ? ?????? ????????
????? ????? ????????? ???????? (????? ?. ?. ???????????).
????? ???????????
????? A, B ???????? ?????. ?????? ???????? max{A, B} ? min{A, B}.
{
}
min F52 ( A, B ) , F53 ( A, B ) ? F54 ( A, B ) ,
? min{ A, B} ( x) =
max
x = min{a,b}
min{? A (a), ? B (b)} .
????????? ????? MP(A) ????? ?
max{A, B} ???????? A, ? ????? mp(A)
????? ? min{A, B} ???????? A, ???????
??????????? ?? ????????? ????????:
1,0
MP( A) =
? min {? max{ A, B} ( x), ? A ( x)} dx
;
? ? A ( x) dx
mp( A) =
? min {? min{ A, B}( x), ? A ( x)} dx
.
? ? A ( x) dx
A?
B?
max ?
min ?
???? ?????? ????????? ???????? ??????????? ? ?????????:
1. ???? MP(A) > MP(B) ? mp(A) ? mp(B), ?? F6(A, B) = 1.
???? MP(A) > MP(B) ? mp(A) > mp(B), ?? ??????????? ???????
?????????.
33
2. ???? MP(A) < MP(B) ? mp(A) ? mp(B), ?? F6(A, B) = 0.
???? MP(A) < MP(B) ? mp(A) < mp(B), ?? ??????????? ??????? ?????????.
3. ???? MP(A) = MP(B) ? mp(A) < mp(B), ?? F6(A, B) = 1.
???? MP(A) = MP(B) ? mp(A) = mp(B), ?? F6(A, B) = 0,5.
???? MP(A) = MP(B) ? mp(A) > mp(B), ?? F6(A, B) = 0.
?????????? ??????? ?????????
CMP(A) = MP(A)/(MP(A) + mp(A)),
cmp(A) = mp(A)/(mp(A) + MP(A)).
4. ???? CMP(A) > CMP(B) ? ?mp(A) < cmp(B), ?? F6(A, B) = 1.
5. ???? CMP(A) < CMP(B) ? cmp(A) > cmp(B), ?? F6(A, B) = 0.
6. ???? (CMP(A) = CMP(B) ? ?mp(A) = ?mp(B)) ? MP(A) + mp(A) >
> MP(B) + mp(B), ?? F6(A, B) = 1.
7. ???? (CMP(A) = CMP(B) ? ?mp(A) = ?mp(B)) ? MP(A) + mp(A) <
< MP(B) + mp(B), ?? F6(A, B) = 0.
8. ???? (CMP(A) = CMP(B) ? ?mp(A) = ?mp(B)) ? MP(A) + mp(A) =
= MP(B) + mp(B), ?? F6(A, B) = 0,5.
9. ???? F6(A, B) = 1, ?? A > B.
?
10. ???? F6(A, B) = 0, ?? A < B.
A2
A1
11. ???? F6(A, B) = 0,5, ?? A = B.
1,0
????????? ??????? ??????? ???????? ???????????? ???????? ????? ????????? ? ????. 1.1.
??????? ?????? ???????? ???????????? F3, F4, F6 ??? ????????
????? A1 = (1, 0, 4) ? A2 = (4, 4, 0).
5
0
1
2
3
4
1. ?????? ??????? F3:
y ?
1 4?1
1 5x
y
dy
x
dx
=
µ
(
)
µ
(
)
(? ? + ? dy ? ?? ? x + 5 ?? dx +
? ? A2
A1
C 1 ?? 8 1 4 ?? ? 4 4 ?
C 10
x
F3 ( A1, A2 ) =
5
? x 5?
1 ? 495 1 ? 1 591
+ ? 2 ? ? + ? dx) = ?
+ ?= „
= 0, 385;
C ? 384 4 ? 4 384
4 4?
4 ?
34
1 4x
1 4x y 5
x
? ? ? A1( y)dy ? A2 ( x)dx = ? ? (? + )d y dx =
4
C10
C 11 4 4
3
4
1 1
1 945
9x
x
2
=
= 0, 615.
? (? + 5 x ? )dx = „
2
2
C 16 1
4 384
F3 ( A2 , A1) =
??????? 1.1
??????? ????????????
???????? ??????
1
F ,
F51
F2
F3
F4
F6
A1 = (2, 1, 1)
1
0
0,5
0,5
0,5
A2 = (2, 2, 2)
1
0
0,5
0,5
0,5
A1 = (2, 1, 2)
1
0,25
0,618
0,658
1
A2 = (2, 2, 2)
1
?0,25
0,382
0,581
0
A1 = (2, 2, 3)
0,833
?0,5
0,404
0,534
0
A2 = (3, 3, 2)
1
0,5
0,83
0,669
1
A1 = (1, 0, 4)
0,625
?1
0,385
0,352
0
A2 = (4, 4, 0)
1
1
0,615
0,725
1
2. ?????? ??????? F4:
A1 = ? [1, 5 ? 4? ], A2 = ? [4?, 4 ] ,A1 + A2 = ? [1 + 4?, 9 ? 4? ],
??[0,1]
D1 =
??[0,1]
??[0,1]
A1
A2
5 ? 4? ?
4 ?
? 1
? 4?
= ? ?
= ? ?
,
, D2 =
,
?
??
??
[0,1]
[0,1]
A1 + A2
A1 + A2
? 9 ? 4? 1 + 4? ?
? 9 ? 4? 1 + 4? ??
0,5
1
0
0,5
F4 ( A1, A2 ) = ? max{0, (1 ? ? D1 ( x))}dx + ? ? D1 ( x)dx =
1 0,5 1 ? 5 x
dx +
+ ?
9 1 4x
9
1
+ ?
0,5
4? x
dx = 0, 352.
5 + 4x
0.5
1
0.5
0.5
0
F4 ( A2 , A1 ) = ? max{0, (1 ? µ D 2 ( x))} dx + ? µ D 2 ( x)dx = ?
0
0,8
+ ?
0,5
9x
4? x
dx + ?
0,8
4 + 4x
4x
1
4 ? 5x
dx +
4 + 4x
dx = 0, 725.
35
3. ?????? ??????? F6:
?
A2
A1
1,0
????????? ??????? ?????????? ????? ?????????????? ????? B,
C, E (??. ?????).
?????????? ?????? ???????
????????? ? ??????? ?? ????????
?????????:
B+C
MP( A1) =
,
B+C + E
E
B
C
0
1
2
3
4
mp( A1) =
5
MP( A2 ) =
B+E
,
B+C + E
B+E
B+C
, mp( A2 ) =
.
B+C + E
B+C + E
??? ??? MP(A2) > MP(A1) ? mp(A1) > mp(A2) , ?? F6(A1, A2) = 0 ?
F6(A2, A1) = 1.
?????????????, ????? A2 > A1.
????? ???????, ???????? ??????? ???????????? ??? ?????????? ????
???????? ????? ???? ????????? ?????? ??????, ????? ?? ???? ????? ?????? ? ? ????? ????????.
1.6. ?????????????? ???????
1.6.1. ?????? ???????? ???????????? ? ??????? ?????????
?????????????? ????????
??????? ?????????? ??????? ??2
???????? ? ?????? ??????? ?????.
????????????????? ????????
3
4
(i,
j = 1, ?, 6) ????? ?? ????????
A
6
1
ij
? ???????????? ????????? ??????????? (L-R)-????. ???????? ??????
??? ??????? ????????? ? ????. 1.2.
????? ???????? ????? ??????
5
???? ?????? ?????????? ?????????
???????? ???????????? t0 = (1, 1, 1, 1)LR. ??? ?????????? ?????? ??????
?????? ????????? ???????? ti (I = 1, ?, 6) ????????????? ?????????
????????:
36
?? max{t j + A ji }, ???? Pi ? 0;
ti = ? j?Pi
???? Pi = 0,
??t0 ,
??? Pi ? ????????? ?????, ?????????????? i-? ??????. ????? ??????
???? ????????? ????? ????????? ???????? tf = max{ti, I = 1, ?, 6}.
??????? 1.2
(i, j)
Aij
(i, j)
Aij
(1, 2)
(3, 3, 1, 3)LR
(3, 4)
(2, 4, 0, 1)LR
(1, 3)
(2, 3, 0, 1)LR
(3, 5)
(4, 5, 2, 3)LR
(1, 5)
(3, 4, 1, 1)LR
(4, 5)
(3, 3, 1, 2)LR
(2, 4)
(1, 2, 0, 0)LR
(4, 6)
(3, 4, 0, 2)LR
(2, 6)
(8, 11, 1, 4)LR
(5, 6)
(1, 1, 0, 1)LR
????? ???????? ????? ??????? ???? ????????? ????????? ????????
???????????? Tf = (20, 21, 1, 0)LR. ??? ?????????? ??????? ?????? ?????? ????????? ???????? Ti (I = 1, ?, 6) ????????????? ?????????
????????:
T j ? Aij }, ???? Si ? 0;
?? min{
j?S
Ti = ? i
???? Si = 0,
??T f ,
??? Si ? ????????? ?????, ????????? ?? i-? ???????.
??? ???????? max ? min ?????????? ????????? ??????? ????????????? ? ?????????????? ?????? (??. ?.?. 1.3.2):
M = (m1, m2, ?, ?)LR, N = (n1, n2, ?, ?)LR
max(M, N) ? (max(m1, n1), max(m2, n2), max(m1, n1) ? max(m1 ? ?, n1 ? ?),
max(m2 + ?, n2 + ?) ? max(m2, n2))LR,
min(M, N) ? (min(m1, n1), min(m2, n2), min(m1, n1) ? min(m1??, n1??),
min(m2 + ?, n2 + ?) ? min(m2, n2))LR.
?????????? ?????????? ????????? ? ????. 1.3:
37
??????? 1.3
i
?????? ???? ?????? ?????
??????? ???? ?????? ?????
1
2
3
4
5
6
(1, 1, 1, 1)
(4, 4, 2, 4)
(3, 4, 1, 2)
(5, 8, 1, 3)
(8, 11, 2, 5)
(12, 15, 3, 8)
(6, 10, 8, 2)
(9, 13, 5, 1)
(12, 15, 5, 1)
(16, 17, 4, 1)
(19, 20, 2, 0)
(20, 21, 1, 0)
1.6.2. ?????????? ???????? ??????? ? ???????
? ?????? ??????????? ??????? ??????? ??????????? ??????????????? ????????? ????????? ??????????????, ?????? ????????? ?? ???
??????????????? ??????????? ?????? ???????? ???? ? ????? ???????????. ? ??????? ??????????????? ?????? ????????? ??????????????, ???????????? ??????? A, B, C, D.
???????? A: ????? ? ???????, ????????? ????? ???????????
100 ??.
???????? B: ????? ?????????????? ?????????? ?? 40 ?? 100 ??. ?
??????????? ?? ???????????, ?? ? ?????????? ???????????? ?????
??????? ??????????? ???????? ?? 50 ?? 70 ??.
???????? C: ??????? ????????, ??? ?????????????? ????? ????????????? ? ???????? ????? 100?110 ??., ?? ??????? ???? ?? ??????? ?
?????? ????????? ????????? ??????? ?????? ?? ??????????????.
???????? D: ????? ?? ??????? ??????, ??? ????? ? ????????????.
????? ??????? ??????????? ?? 20 ??. ? ????, ?? ? ????? ?????? ??
????? 30 ??.
?????????? ??????????? ????? ??????????? ? ??????? ???????? ???????. ?????? ???????? ???????? ??????????????? ??? ??????????? ?????????????? ? ?? ??????????? ?????????? ????????
?????:
Mi = (miq, mi2, ?i, ?i, hi),
??? m1i, m2i ? ?????????????? ?????? ? ??????? ????????? ????????
????????? ????? Mi; ?i, ?i ? ????? ? ?????? ???????????? ??????????;
hi ? ?????? ????????? ?????.
38
????????? ??????????, ?????????? ? ???????. 1.2?1.3, ???????, ???
????? ???? ?????????????? ????? Mi + Mj ????? ????? ?????????????? ?????? (m1, m2, ?, ?, h), ??? h = min{hi, hj} (?????? ?????); ? = h(?i/
hi + ?j/hj); ? = h(?i/hi + ?j/hj); m1 = miq + mj1 ? ?i ? ?j + ?; m2 = mi2 + mj2
+ ?i + ??j ? ?.
?
?
A
1,0
B
1,0
0
100
0 40 50 60 70 80 90 100
A = (100,100,0,0,1)
?
?
C
1,0
B = (50,70,10,30,1)
1,0
0,8
0,5
0
100 110
C = (100,110,0,0,1) ? (0,0,0,0,0,5)
0
20
30
D = (20,20,0,10,0,8) ? (0,0,0,0,1)
? ?????????? ???????????? ????????? ?????????? ??????????????
???????? S = A + B + C + D = (250, 280,
?
10,30,1) ? (145, 185, 5, 15, 0,5) ? (165, 209,
S
5, 21, 0,5) ? (268, 306, 8, 34, 0.8).
1,0
?????????? ????????? ????? ?????- 0,8
??????????? ????????? ???????: ??- 0,5
????? ???????? ?????????? ?????????????? ???????????? ? ????????? 250?280 ??.,
230 240 290
340
140
?????????? ????? 280 ??. ????????, ??
????? ???????? (0.8); ???????????? ? ??, ??? ??????????? ?? ????????
????? 150?200 ??. (0.5). ? ????? ?????? ??? ?? ????? ??????????
???? 140 ??. ? ????????? ???? 340 ??.
39
1.6.3. ???????????? ????????????? ????????
??????????? ???????? ?????? ? ???????? ?????? ?????????? ??????
???????? ????????. ?? ???????????????? ??????? ?????????? ?? ?????? ??????? ???????????? ???, ??? ??? ???????? ??????? ????????????
?????? ????????? ?????? ???????????????? ?????????. ??? ?????? ????? ???? ???????? ???????????? ??????? ? ??????? ???????????????
??????????, ??????? ??????????? ????????? ???????????.
????? ???????? ?????????? ???????? ???????????? ???????? ??????????? ?? ???????????? ????????????? ????????. ???????? ???????
? ???????????? ???????????? ?????, ???????? ???????????? ??????
?????? ?? ???????, ??????? ????? ????????? ?????? ? ???? ???????????? ? ????? ??? ?????? (??. ???. 1.11).
?
d/dt
?????? ???? ?
??????? ????????
????????
?????????
?
??????????
???????????
????
?
?????????????
??????????
????
+
?
???. 1.11. ????? ???????????? ????????????? ????????
?????????? ??? ?????? ??? ??????????? ???????????? ????????
?????????: ?????????????? ? ???????????????. ?????????????? ?????? ???????? ?????????? ????? ? ???????????????? ??????????, ??????? ????????????? ? ?????????? ? ????????????? ????? ????? ????? ?????????? ????????. ???, ??????, ??????????? ????? ???????
???????????????? ?????????, ??????????? ?????????? ????????.
????? ?????? ??????????????? ???????? ? ?????? ??????? (5 ?? ? ????????, 15 ?? ????? ? ??? 3,5 ?). ????? ????, ???? ?????? ? ??? ????????
??????????, ?? ????????? ????????? ?????? ???? ????????. ??? ???????????? ?????????? ? ???????? ???????? ??????? ????? ???? ?? ???????? ?? ????????.
? ?????? ???????, ???????, ???? ?? ??????? ?? ???????????, ??
??????????????? ???????? ? ???????? ????????????? ????????, ???????? ?????? ??? ???????????? ??????? ???? ? ??????. ??? ??????
40
????? ???? ??????? ???????????????? ?????????, ??????????? ??????????. ????????: Ђ???? ???? ????????????? ?????? (??) ? ???????
???????? ?????????????? ???? (0), ?? ???????? ???????? ?????????
?????? ???? ????????????? ?????? (??)ї.
??????? ?????????? ??????? ? ????. 1.4:
??????? 1.4
????
????????
??
??
?
??
??
??
??
?
?
?
??
?
?
??
??
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??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??? ?? ? ????????????? ??????? (???????) ????????, ?? ? ????????????? ?????? (?????) ????????, 0 ? ???? ? ?. ?.
??-??????, ?? ?????? ?????????? (???????????), ??? ????? ???????
????????, ?????? ???????? ? ?. ?. ??? ?????????. ??? ???????? ????????? ??????? ?????????????? ??? ???????? ???????? (??. ???. 1.12).
??
??
? ??
1
0
??
????????
???. 1.12. ???????? ?????????
?? ?? ????? ???????? ??? ???? ????? ?????????? ? ?????? ???????? ? ??? ??????? ???????? ????????? ????? ???? (??. ???. 1.13).
????? ?????? ???????? ???????? ???? ? ??????? ???????? (???. 1.13?1.14.
???????? ???????: Ђ???? ???? ????? ???? ? ??????? ???????? ?????
????, ????? ???????? ????? ????ї ? ???????? ????????? ??????????.
???????? ???????? ???? ??????????? ????????? ????????? Ђ????ї
?? ???????? 0,75.
41
??
??
0 ??
1
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0 ????????
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1
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???????
????????
????
???. 1.13. ???? ?????????? ?????
????????
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????????
???. 1.14. ??????? ????????
?????
???????? ???????? ??????? ???????? ??????????? ????????? ????????? Ђ????ї ?? ???????? 0,4:
1
0
0,75
0
1
0 ????????
????
1
0
min
0,4
????????
0
0,4
???????? 0
???????
????????
??? ??? ??? ????? ??????? ??????? ???????????? ?? ?, ?? ????????? min {0,75; 0.4} = 0,4 ? ????????? ???????? ????????? Ђ????ї ???
?????????? Ђ????????ї ?? ????? ?????? (? ???????????? ? ??????????????? ????????).
?????? ?????? ??????? ???????? ? ??????????. ????????? ?? ?
???? ???????.
42
????? ???????, ??????????? ???????: Ђ???? ???? ????? ???? ? ??????? ???????? ????????????? ??????, ????? ???????? ????????????? ??????ї ????????:
1
0
0,75
??
0 ???????? ????
??
1
min
0,6
1
0,6
0
????????
0,4
???????? ???????
????????
0
??????????? ???????: Ђ???? ???? ????????????? ????? ? ??????? ???????? ????? ????, ????? ???????? ? ????????????? ??????ї ????????:
??
1
0,25
0 ???????? ????
1
0
min
1
??
0,25
0 ????????
0,4
???????? 0
??????? ????????
??????????? ???????: Ђ???? ???? ????????????? ????? ? ???????
???????? ????????????? ??????, ????? ???????? ????? ????ї ????????:
43
1
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0,25
1
0 ????????
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0
min
0,25
1
???????? 0
0,6
???????? 0
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????????
??????????? ???? ??????? ??????????? ???? ????? ???????:
????? ???????, ???????? ??????????? ???????? ?????? ???????? ???????? ????????? (??? ????????). ?????
??
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?????????? ??????? ???? ???????? ???
1
????????????? ????????? ?????????
????????. ?????????? ????????? ????????????? ??????? (??????? ??????????????), ???? ?? ???????, ????????, ???????????? ???????? ? ????????
???????
0
????????
????????? ???????? ????? ??????? ????????? ?????????.
??????? ????????? ??????????? ????????? ???????????:
1. ???? ? ?? ?? ??????? ???????? ??? ???????????? ???? ?????????: ?????? ? ??????? 5 ??, ????? 15 ??, ??? 3,5 ? ? ?????? ? ???????
10 ??, ????? 50 ??, ??? 50 ?.
2. ?????????? ???????? (??????, ????? ?????????), ???? ???? ????
?? ?????? ?????????? ????????????, ??? ????? ????? ? ????? ??????
?????????? ???????.
3. ???????? ?????????? ??????? ???????? ??? ????????? ??????????? ??????? (????????, ?????? ?? ?? ??).
44
1.6.4. ??????? ?????????? ????????? ??????????
? ????? ?????? ????????? ??????? ?????????? ????????? ??????????.
????????????? ????????? ?????????? ????????????? ??? ?????
??????? ?????????, ????? ?? ?????????? ??????? ??????????????
?????? ??? ?????????? ????????? ??????? ????????, ???? ??????
????????????? ????????? (?????????????? ????????????????) ?????????? ??????.
????????????? ????????? ?????????? ?? ?????????????, ???? ?????????? ????????? ????? ???? ??????? ? ??????? ????? ?????? ??????????, ??? ?????????? ??????????????? ? ?????????? ?????????????? ??????.
? ?????????? ???????? ??????? ????????????? ????????? ????????? ??????????:
? ????????????? ????????? ??????????? ???????????? (NASA) ???????? ?????? ? ???????? ????????;
? ?????????????? ?????????? ???????? ??????? ?? ????????????????????;
? ????????? ????????? ??? ?????????? ?????????? ???????;
? ??????????? ? ?????????? ?????????? ?????????????? ???????????;
? ?????????? ??????????? ????????? ???????????;
? ??????? ??????????????? ?????????????;
? ??????????? ???? ? ????????;
? ????????????? ?????????? ???????? ? ????????? ???????????
(???????? ???????);
? ????????????? ???????? ??????????? ? ????????????;
? ?????????????? ?????????? ?????????? ????????? ? ?????????????? ???????????? ???? ??????????? ? ??????? ????????????;
? ????????????? ?????????? ??????????? ????????;
? ??????????????? ???????? ?????? ??????????;
? ?????????? ????????? ????? ? ???????????? ??? ????????????
?????;
? ?????????? ??????????????? ??? ????????? ???????? ????????,
???????? ????????? ? ???????? ???????;
? ??????????? ??????????? ??????? ? ???????????;
? ????????? ???????????????? ? ????????????? ?????????? ???????;
? ????????? ???????????? ???????????????? ??????? ?????????.
45
2. ???????? ???? ? ???????? ? ???????
???????? ???????
2.1. ????????????? ??? ????????????????
? ??????????? ???????? ???? ???????? ???????????????? ? ????????? ?????????? ???????? ???????????? ??????????????? ???????
??????????? ??????. ?????? ???????????? ???? ????? ???????? ???????????????? ?? ?????? ?????????????? ? ??????????????? ????????????? ???????? ??????????? ???????????? ???????? ??????? ? ???????? ? ???????? ???????????.
????????? ???????? ?? ???????? ???????????????:
? ?????????? ??? ??????????? ?????? ? ????????? ????????? ???????? ? ??????? ????????? ? ?????????, ? ????? ???????????? ?????
????;
? ???????????? ???????????? ?????????????????? ????????????
????????? ?????????? ???????????? ??????????, ? ????? ????????????? ??????? ?????????? ?????????????, ?? ??????????? ???????? ??????????? ?????????????? ?????????? ? ???????? ?????? ??????????????? ???????;
? ????????????, ??????????????????, ??????????????????? ?????????? ????? ?????????? ??????????? ??????? ? ??????? ????????????? ??????????;
? ????????????? ???????? ??????? ???????????????? ??????? ??????????? ??????;
? ?? ?????? ??????? ??????? (???????, ?????? ?????????) ???????????? ????? ???????????? ???????? ???????? ? ??????????????? ??????, ??????????? ?????????? ? ??????? ? ?????.
?? ???? ????????????? ??????? ????????? ????????????? ??????
????, ???????????? ?? ????????????, ????? ??????? ???????? ????????????????. ??? ???? ?????????? ????????, ??? ????????? ??????? ???????? ?????????? ????????????? ????????????????? ????, ???????????? ??????? (???), ? ????????? ?????????????? ?????????
46
????????, ? ??? ??????? ?????????? ???????????? ?????????? ?????????? ?? ????????? ???????????? ????????? ???, ?????????? ??? ??????????? ???? ??? ????????.
?????????? ????????? ????????????? ??????? ???????????. ??? ? ???????????? ????????? ????????????? ???????, ???????????? ??????????? ??
??????, ???????????? ??????????? ?? ?? ???????, ???????. ???????? ?????????????? ? ?????????????? ????? ?????? ???????? ???????????????
????????? ??????????? A. ?. ??????????? ? ??????? ?????? ????.
??? ????????, ????? ?????????? ??????? ????????? m: P(X) ? R+,
??????????????? ????????? ???? ????????:
1) ? A ? X ? m(A) ? 0, m(?) = 0;
2) A ? B ? m(A) ? m(B);
3) ???? A, B ? P(X) ? A ? B = ?, ?? m(A ? B) = m(A} + m(B).
????? P (X) ? ????????? ???? ??????????? X (?-???????), ? R+ =
= [0, ?] ? ????????? ????????????? ?????????????? ?????.
??? R+ = [0, 1] ??? ??????? ?????????? ????????????? ????.
??? ???????????? ???????????? ?????????? ??????? ??????????? ?
?????? ???????, ??????????? ? ???????? ?? ?????? ????????? ???
??????. ??? ??????? ??????????? ?????? ??????? ?? ???????????????
????? ? ??????? ???????? ??? ?????? ?????.
???????????? ??????????? ????? ????????????? ??? ?????????????? ?????? ????????? ??? ???????? ???????????? ??????, ???????
???????? ??????????????? ????????. ?????? ???? ????? ????? ???????? ???????????. ? ??????? ?? ???????????? ???????????, ????????
???? ???????? ?? ?????? ???????????????? ?????????? ????????????,
??? ?????? ?? ???????? ??????????????? ??? ??????? ???? ????? ???
??????? ???????????????? ???? ??????????.
? ????????? ????? ?????????? ??????????? ? ????? ???????? ? ??????????????? ???????? ??????????, ????????????????? ???????
??????? ????????????????. ???? ?? ????????? ???????? ????? ???????????? ?? ????????? ??????? ???? ? ??????????? ??????? ????????
???? ? ?????????.
????? X ? ???????????? ?????????, ? ? ? ???? ??????????? ???????? (?-???????) ?? X. ????? ??????????? ??????? ???????? ????.
???????????. ??????? g (?), ???????????? ? ???? g: ? ? [0, 1],
?????????? ???????? ?????, ???? ??? ????????????? ????????? ????????:
47
1) ? A ? X ? g(A) ? 0, g(?) = 0; g(X) = 1;
2) ???? A, B ? ? ? A ? B, ?? g (A) ? g (B) (????????????);
3) ???? Fi ? ? ? {Fi, i = 1, 2, ?} ???????? ?????????? ??????????????????? F1 ? F2 ? ... ? Fi ? ..., ?? lim g ( Fi ) = g (lim Fi ) (?????????????).
i ??
i ??
?????? (X, ?, g) ?????????? ????????????? ? ???????? ?????. ???
???????? ???? ? ????? ?????? ?? ?????? ??????????? ??????? ????????????: g(A U B) ? g(A) + g(B).
??? ???????? ????????? ????? ???????????????? ? ?????? ????????
??? ???????????? ????? ??????? Ђ??????? ??????????ї. ? ????? ?????? ??? ??????? ???????? ? ???? Ђ??????? ????????ї, Ђ??????? ???????????ї ? ??? ????????? ?????? ? Ђ??????? ??????????????ї ? ??????
???????? ????????. ???????? ????, ????? ???????, ????? ?????????????????? ?????????? ????????? ? ??????????? ?? ??????????? ??????????. ????? ?????????? ??????? ??????? ?????????????? ?????????? ???????? x ? X ????????? E ? X .????????, ??? ??? ???????
????????? ??? ??????? ?????????????? ????? 0, ? ??? x ? F (F ? E)
????? 1, ?. ?. ??????? ?????????????? ??? x ? F ????? ??????, ??? ???
x ? F, ???? (F ? E). ???? ??????? ?????????????? x0 ? F ????? g(x0, E),
? ?????? ? ?????? ???????? ???????????? ?A ? F(X), ??
g ( x0 , A) =
? ? A ( x) * g ( x0 ,i) = ? A ( x0 ).
X
??? ??????? ? ???, ??? ??????? ?????????? ???????? Ђx0 ? Aї ????? ??????? ?????????????? x0 ????????? ???????????? ?A.
????? ???????, ??????? ??????? ?????????? ? ?????? ???????? ???
???????? ? ???? ??????? ??????? ?????????????? ?????? ????????
????????.
?????????? ????????? ???????? ??? ????????????????.
2.1.1. ???????? ???? ??????
???????? ??????????????? ????????? ?????? ???????? ???? ?????? [3], ??????????? ?? ?????????? ?-??????? (?-???????? ????).
????? A, B ? ?, A ? B = ?. ?????
g ? ( A ? B) = g ? ( A) + g ? ( B) + ? ? g ? ( A) ? g ? ( B).
(2.1)
? ?????? A U B = X ????? ???????? ????????? (2.1) ???????? ?????????? ??? g?-?ep. ????????, ??? g?(X) = l; g?(?) = 0. ????????
48
g ? (X)?1, +?) ?????????? ?????????? ?????????? g ? -????. ???
? > 0, g?(A ? B) > g?(A) + g?(B) ????? ????? ??????????????? ???, ?
??? ?1 < ? < 0, g?(A ? ?) < g?(A) + g?(B) ???????? ????? ????????????? ???.
????? ?????????, ??? ???? A = X \ A, A ? ? , ?? ?? (2.1) ???????
1 ? g ? ( A)
.
(2.2)
1 + g ? ( A) ?
? ????? ??????, ????? A ? B ? ???????????? ???????????? ????????? X, ?. ?. A, B ? ?, A ? B ? ? ????????? (2.2) ??????????? ???
g ? ( A) =
g ? ( A ? B) =
g ? ( A) + g ? ( B) ? g? ( A ? B) + ? g ? ( A) g ? ( B)
1 + ? g ? ( A ? B)
.
(2.3)
2.1.2. ??????????????? ????
???? ??????. ????? ??? ?????? ???????????? ????????????
?A ? ?
?1 ??? x0 ? A,
m(A) = ?
?0 ? ? ?????????
??????,
(2.4)
??? x0 ? ???????? ??????? ? X.
??????? ??????? (belief function) [3] ? ????, ??????????????? ????????? ????????:
1) ?A ? ? ? 0 ? b ( A ) ? 1, b(?) = 0; b(X) = 1,
n
2) ?A1,..., An ? ? b( A1 ? ... ? An ) ? ? b( Ai ) ? ? b( Ai ? A j ) +
i =1
+ ... + (? 1)
n +1
b( A1 ? A2 ? ... ? An ).
i< j
(2.5)
? ??????, ????? card (?) = 2, ????????:
?A, B ? ?, b(A ? B) ? b(A) + b(B) ? b(A ? B) (???????? ?????????????????).
?????? ??????????? ???? ???????. ????? m: ? ? [0, 1], ??????????????? ????????? ????????:
1) m(?) = 0;
2)
? m( A) = 1.
A??
(2.6)
49
????? ?A ? ? b( A) = ? m( B) ???????? ???????? ???????.
B? A
????????????? ??????? ??????? (consonant belief function) [3] ? ????,
??????????????? ????????? ????????:
1) ?A ? ? ? 0 ? b ( A ) ? 1, b(?) = 0; b(X) = 1,
2) ? A ? ?
b( A ? B) = min{b( A), b( B)}.
(2.7)
2.1.3. ????????????? ????
???? ????????????? ? ???????????? ????????? ??????? [3]:
P( A) = 1 ? b( A),
?A ??,
??? b ? ??????? ???????.
???? ????????????? ????????????? ????????? ????????:
1)
2)
?A ? ? 0 ? P ( A ) ? 1, P(?) = 0; P(X) = 1,
? A1,..., An ? ?
n
P( A1 ? ... ? An ) ? ? P( Ai ) ? ? P( Ai ? A j ) +
i< j
i =1
+ ... + (? 1)
n +1
P( A1 ? A2 ? ... ? An ).
(2.8)
?????? ?????? ??????????? ???? ????????????? . ????? m ? ????,
??????????????? ????????? (2.6), ????? ? A ? ?
P( A) =
?
B ? A??
m( B ) .
???? ???????????. ????? ??????????? [3] ?????????? ???????
?:? ? [0,1], ??????????????? ????????? ????????:
1)
2)
?A ? ? 0 ? ? ( A ) ? 1, ?(?) = 0; ?(X) = 1,
? A1,..., An ? ?
P( A1 ? ... ? An ) = sup ?( Ai ).
i =1,..., n
(2.9)
??????????? ????? ?????????????? ????????? ?????? ?????????????? ? ?????????????? ?????? ?????? ?? ???. 2.1.
50
1
?>0
?<0
?=0
6
2
7
7
3
5
?);
???. 2.1: 1 ? ???????? ???? (???????? ???? ??????); 2 ? g? ? ????, ? ? (?1; + ?)
3 ? ????????????? ???? ( ? = 0); 4 ? ??????? ???????; 5 ? ???? ?????????????;
6 ? ????????????? ??????? ??????? (???? ?????????????); 7 ? ???? ???????????
2.2. ??????????????? ???????? ????
?????????? ??? ?????? ??????????????? ???????? ???: ?-????????
???? ?????? ? ?-???????? ???? ????????. ????????? ???????? ????
????? ?????? ???????????? ?????????? ??? ??????? ????? ????????????? ???????? ??????.
2.2.1. ??????? ?-???????? ???? ??????
?????? (???????, Sugeno) ???? ?????? ???????? ?????????? ? ??????? ???????? ????. ????? ????, ?? ????????? ?-???????? ???? ???
??????? ?????? ???????? ???? ? ??????? ? ????????? ????????? ??
??????????.
?? ????????? ? ??????? ????????? ?????? ?-???????? ???? ????????? ????? ???????????? ?????????????. ?????? ????????? ??????? F-????????????? ?-???????? ???? ??? ???????????? ?????? ? ??
??????? F-????????? ??? ????????? ??????. ????????? ??????? ????????? ????????????? ?????? ?????? ???? ? ?????? ???????????? ? ??????????, ?? ????? ????????? ????? ???????? ??????? ?????????? ??
???????? ? ??????? ?-?????????.
?????????? ??????, ????? X = {?1, ?2, ?,?n} ? ???????? ?????????.
???????? ???? g?, ??????????????? ?-??????? (2.1) ? ?????????? ?????????? ?1 < ? < ? ??????? ???? ??????????? (X, 2X), ???????? ????????? ???????.
51
????? 0 ? gi ? 1, 1 ? i ? n, ??? gi ? g({xi}). ??? ???????, ??? ????????
gi(i = 1, ...,n) ??????, ??? ?????? ???????????? X ? ? X ????? ????????
1
i
??????????????? ?-??????? ???? g ? ( X ?) = { ? (1+ ? g ) ?1 } . (2.10)
? xi?X ?
??????? ???????? g i ????? ?????????? ???????? ??????????
?-???????? ???? ??????. ???????? ?????????? ? ????????? ?? ?????????? ???????????:
1 n
{? (1 + ? g i ) ? 1} = 1,
? i =1
? ? ? ? ? ? ? ? ?:
1. ???????, ??? ?1 < ? < ? .
(
)
? 1 < ? < ?.
( )
(2.11)
( )
??? ??? 1 = g ? ( X ) = g ? A ? A = g ? A + g ? ( A ) + ? g ? A g ( A ) , ??
?
( )
g? A =
1 ? g? ( A)
? 0. ????????, ???, ? A ? ?
1 + ? ? g? ( A)
1 + ? ? g? ( A ) > 0, ???-
??????????, ? > sup ?1 = ?1 .
A?? g? ( A)
2. ???????????? ????????? (2.10) ???????????? ??????? ????????.
???? X = {? 1 , ? 2 }, ?? g ? ({x1, x2}) = g1 + g 2 + ?g1g 2 = 1 {(1 + ?g1)
?
(1 + ?g 2 ) ? 1.
????? ????????? (2.10) ????? ??? X = {?1, ?2, ?, ?k}. ???????, ???
??? ??????????? ??? X = {?1, ?2, ?, ?k+1}.
g l ({x1 , x2 ,..., xk +1}) = g l ({x1 , x2 ,..., xk }) + g k +1 + ?g ? ({x1 , x2 ,..., xk }) g k +1 =
{
}
1
(1 + ?g ? ({x1 , x2 ,..., xk }))(1 + ?g k +1 ) ? 1 =
?
k
1?
? 1 k +1
= ?(1 + ? (1 + lg i ) ? 1)(1 + ?g k +1 ) ? 1? = { ? (1 + ?g i ) ? 1}.
??
i =1
? l i =1
=
????????? (2.11) ??? ????????? g i ???????? ????????? n?1-?? ??????? ?? ?.
??? ?????????? ????? ???????????????? ????????? ?????????????
???? ??????????? ????????.
52
???????
????????? (2.11) ??? ???????, ??? 0 < g < 1, n > 1, ? ????????? ? ? (?1,
?) ????? ????? ???? ???????.
??????????????. ??? ?????????????? ?????????? ??????????? ?????????? ????????, ??? ???????
f (?) =
1?n
?
i
? (1 + ?g ) ? 1? ? 1
? ??i =1
?
??? ??????????? ? ??????? ???????? ???????? ?????????? ??????????:
1) lim f (?) < 0 ;
? ? ?1
2) lim f (?) > 0 ;
???
3) f ?(?) > 0 , ?. ?. ??????? ?????? ????????????.
??????? ???:
n
1) lim f (?) = ?? (1 ? g i ) < 0;
? ? ?1
i =1
n
2) lim f (?) = lim ( g1? (1 + ? g i ) ? 1) = ? > 0 .
? ??
???
i =2
??????? ???????? 3.
1-? ? ? ? ? ? ?: l > 0.
f(?) = [(g1(1 + ?g2)?(1 + ?gn) + (1 + ?g1)g2(1 + ?g3) ... (1 + ?gn) +
+ (1 + ?g1)(1 + ?g2)...(1 + ?gn?1)gn ?1)? ? (1 + ?g1)...(1 + ?gn) + 1 + ?]/?2 =
= [?g1(1 + ?g2) ... (1 + ?gn) + (1 + ?g1)?g2( 1+ ?g3) ... (1 + ?gn) +
+ (1 + ?g1) ...(1 + ?gn?1)?gn ? (1 + ?g1) ... (1 + ?gn) + 1]/?2 = [?1 +
+ ?2 + ... +?n-1 + ?n]/ ?2 > 0 ,
???
?I = ?gi(1 + ?gi+1) ... (1 + ?gn)[(1 + ?g1)(1 + ?g2)...(1 + ?gi?1)?1] > 0,
i = 1,2, ..., n.
2-? ? ? ? ? ? ?: l < 0.
???????? ?????????????? ??????? ????????.
53
????? n = 2.
f (?)|n = 2 = [?g1(1+?g2) + (1+?g1)?g2 ? (1+?g1)(1+?g2)+1]/?2 =
=[(1+?g1)?g2 ? (1+?g2) + 1]/ ?2 = g1g2 > 0.
????? ??????????? ????? ??? n = k, ?. ?. f? (?)|n = k = [?g1(1+?g2)...
...(1+?g k) + (1+?g 1)?g 2(1+?g 3)...(1+?g k) + (1+?g 1)... (1+?gk?1 )?gk ?
? (1+?g1) ... (1+?gk) + 1]/?2 > 0.
??????? ??? n = k+1 f ? (?)| n=k+1 = [?g 1 (1+?g 2 )...(1+?g k+1 ) +
+ (1+?g 1 )?g 2 (1+?g 3 )...(1+?g k+1 )+ +(1+?g 1 )...(1+?g k )?g k+1 ?
? (1+?g1)...(1+?gk+1)+1]/?2 = f? (?)| n = k + [?2g1gk+1(1+?g2)...(1+?gk) +
+(1+?g1)?2g2gk+1(1+?g3)...(1+?gk)+ ...+(1+?g1)(1+?g2)...(1+?gk?1)?2gkgk+1 ?
? ?gk+1(1+?g1) ... (1+?gk)]/ ?2 > 0.
3-? ? ? ? ? ? ?: ? = 0.
f ?(?) = lim [?g1(1+lg2) ... (1+?gn) + (1+?g1)?g2(1+?g3) ... (1+?gn) +
? ?0
+ (1+?g1)...(1+?gn?1)?gn ? (1+?g1)...(1+?gn)+1]/?2 = [(g1(1+?g2)...(1+?gn) +
+?g1?g2(1+?g3)...(1+?gn) + ?g1...(1+?gn?1)gn) + (g1?g2(1+?g3)...(1+?gn) +
+(1+?g1)g2(1+?g3) ...(1+?g n) + (1+?g1)?g2...(1+?gn?1)gn) +...+((1+?g1)
(1+?g2) ... (1+?gn?1)gn) + g1(1+?g2)(1+?g3)...(1+?gn?1)?gn+... +(1+?g1)...
... (1+?gn?2)gn?1?gn) ? (g1(1+?g2)...(1+?gn) + (1 + ?g1)g2(1 + ?g3)...(1 +
+ ?gn) +(1 + ?g1) ... (1 + lgn?1)gn]/2? = g1g2 + g1g3 +...+ g1gn + g2g3 + g2g4 +... +
+ g2gn + g3g4 + g3g5 + ... + g3gn +...+ gn?1gn > 0.
??????? ????????.
?????????? ??????, ????? X = R1 ? ??? ???????????? ???.
????? b ???? ?-??????? ? R1. ????? ????????????? ???? P ???? ???????????
P : ? ? (0,1), P( A) ? ? pdx,
A
??? ???????? P(A) ???????? ??????????? ????, ??? W ? A (W ? ????????? ??????????, ??????????? ???????? ? R1). ??????????? ???????
????? ??????????? ????????? ??? ??????? ????????? ??? ???????????? ?-???????? ???? (R1, ?, g?. ????? h ? ??????????? R1 ? R+ ?
? h( x)dx = N? ,
??? N ? ? (ln(1 + ?)) / ?, ? 1 < ? < ?.
R
????? ?-???????? ???? g?: ? ? [0,1] ???????? ????????????
54
(2.12)
? ? ? h( x)dx ?
g ? ( A) = ? e A
?1? / ?.
(2.13)
?
?
?
?
????????? (2.13) ????? ??????????? ? ?????? ????? [3, 5]:
g ? ( A) = ((1 + ?) p ? 1)/?
(2.14)
???
pN ?
g ? ( A) = ? ?e ?t dt ,
(2.15)
0
???
p ? ? hdx / ? hdx.
A
R
?????????? ??????? F-?????????????.
z
????? X ????????? ? R1 ? ??????? H ( z ) = ? p( x)dx
??
???????? ?????????? ??????? ????????????? ????????????:
1) ???? x < z, ?? H(x) ? H(z); 2) lim H ( x) = H ( x); 3) lim H ( x) = 0;
x?a
4)
x? ? ?
lim H ( x ) = 1.
x ?+?
?????????????, ????? ????????? ????? ????? ???????? F-????????? ? ???????? F-?????????????, ??????? F-????????????? ????????????
? ????
x
H ? ( x) = ? h( x)dx,
??
lim H ? ( x) = ln(1 + ?) / ?.
x??
????? ???????, ?-???????? ???? ???????? ????????
? ???????? 4 ????? ???????? ?? 4a:
?(a, b] ? Rg ? ((a, b)) = 1/ ?{e
?( H (b) ? H (a))
? 1}.
55
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1: ?-???????? ???? ?????? ??? ?????? X = R
????? ??????????? ? ???? ??? ? ? ?????? X ????????? ?????????.
??????????????. ????? Ei ? (ai, bi], i ? 1, ..., n ? Ei ? (an, bn] ? ??????? ???????????????? ???????????? R ? ????? g i ? g ?(E i ) =
= 1/ ? (e
? ? hdx
Ei
? 1). ????? ???????, ???????? e
= 1, ..., n). ????? g ? (? Ei ) = 1/ ?{e
? ? ? hdx
i Ei
? ? hdx
Ei
= 1 + ? g i (i =
? 1} = 1/ ?{? (1 + ? gi ) ? 1}.
i
i
????? a1 = ??, bi = ai +1 (i = 1, ..., n ? 1) ? bn = +?, ???????? g?(R) = 1,
??? ? ????????? ??????????????.
2.2.2. ??????? ?-???????? ???? ????????
???????????. ???????? ???? g ? ?????????? ?-???????? ?????
????????, ???? ??? ????????????? ????????? ????????:
1) g ? ( X ) = 1; g ? (?) = 0;
2) ? A, B ? B : A ? B ? g ? ( A) ? g ? ( B);
3) ???? ?i ? N : Ai ? B ? ?i ? j : Ai ? A j = 0 ?
?
?
g? ? ? Ai ? = (1 ? ?) sup g? ( Ai ) + ? ? g? ( Ai ),
?
?
i?N
i?N
? i?N ?
? ? 0.
??????????? ?-???????? ???? ???????? ??????????? ?????????
???? ????????, ??? ??????? ? ? [0,1]. ???????? ??????, ??? ??? ? = 0
g?-???? ???????? ????? ???????????, ??? ? = 1, g?-???? ????????
????????????? ?????, ? ??? ? > 1, g?-???? ????????? ????????????????, ???????????? ?? ????? ????????? ?? ??????????? ??? ???????????.
??????? ?????????? ??? g?-???? ? ?????? ???????? ????????? X
????? ???
g ? ( X ) = (1 ? ?) max gi + ? ? gi = 1,
i?N
i?N
???
gi = g ? ({xi }), xi ? X .
56
???? X = R, ?? ??? ???????? ????????? f?(x): X?[0,1] g?-???? ?????
??? g? ( X ) = (1 ? ?) sup( f? ( x)) + ? ? f? ( x) dx.
i?N
X
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2:
1 ? g ? ( A)
?
,1 ? ? g ? ( A)), ? > 1,
? max(
?
g ? ( A) = ?
1 ? g ? ( A)
? min(
,1 ? ? g ? ( A)), ? ? [0,1].
?
?
??????????????. ????????? ????????? ????????: ?a, b ? R : max{a, b} =
= a + b / 2 + a ? b / 2 ? ??????? ?????????? g?-????, ????????
1 = g ? ( X ) = (1 ? ?)( g ? ( A) ? g? ( A) / 2 +
+ g ? ( A) + g ? ( A) / 2) + ?( g? ( A) + g? ( A)).
?????, ???? g? ( A) ? g? ( A) , ?? g? ( A) = (1 ? g? ( A) / ? , ? ??? g? ( A ) >
> g ? ( A) / g ? ( A) = 1 ? ?g ? ( A).
?????????????? ????????.
????? ?? ????????????? ??? ????????????? ???? ??????? ???????????? ??????? ???????????? ??????? ? ???????? ??????, ???
??? ???? ????? ??????????? ????????? ????? ???? ?????? ???????
????????????.
?????????? ??????????, ??? ? ?????????? ????? ?????? ?-????????
???? ? ?-???????? ???? ???????? ????? ?? ?????????????, ??? ? ??????? ?????? (? = 0, ? = 1) ? ????????????? ????.
???????? ?-???????? ???? ? ?-???????? ???? ??????? ?? ????????? ????????:
1. ? ?? ??????? ????? ????????? ?? ????????? ?????? ????
???????????? ???????? ????? ?????????? ????? ?????????? ? ??????
? ??????? ????????????????, ??????? ??????????????? ????????.
2. ????????? ??????? ? ??????? ????? ???????? ???????, ????????? ? ?????????????? ?????? ???????, ?????????? ?????????, ???????? ? ??????????? ?? ????? ????????? ???????? ???????? ?????? ??
????????????? ?????????? ????????????.
57
3. ?????? ????? ???????? ?????? ?? ?????? ??????? ??????????,
?????????? ?????????, ??? ??????? ????????? ????????????? ????????? ???????????.
2.3. ???????? ????????
???????? ??????? ??????? ??????? ?? ??????????? ? ?????????? ?
???????? ?????????? ????????, ???????????? ? ?????????? ? ??????
???????????? ??????? ???????? ? ??????????????? ????????. ?????????
????????? ??????? ?????????? ?? ???????? ???????????? ????????????? ????, ? ???????? ???? ????? ??????? ????? ???, ??????????
????????? ???????? ??????? ? ?????????? ????????????? ????? ?????????????? ???????????.
???????????. ???????? ???????? ?? ??????? h: X ? [0, 1] ?? ????????? A ? X ?? ???????? ???? g ???????????? ???
(? ? g ( A ? H ? ))
? h( x) g = ?sup
?[0,1]
A
??? H ? = {x | h( x) ? ?}. ???????? ???????? ??????? ????? ???????? ???????? ????????? ??? FEV (fuzzy expected value).
???????????. ???????? ???????? ?? ??????? h: X ? [0, 1] ?? ???????? ????????? A = {x, ?A(x)} ?? ???????? ???? g ???????????? ???
? h( x) g = ? (? A ( x) ? h( x)) g.
A
A
??????? ???????? ???????? ???????? ??????????.
????? a ? [0,1], (E, F ? X ) ? h: X ? [0,1].
1.
? ( a ? h) g = a ? ? h g .
E
2.
E
? ( a ? h) g = a ? ? h g .
E
3.
? (h1 ? h2 ) g ? ? h1 g ? ? h2 g .
E
4.
E
E
? (h1 ? h2 ) g ? ? h1 g ? ? h2 g .
E
58
E
E
E
(2.16)
?
h g ? ?h g ? ? h g .
?
h g ? ?h g ? ? h g .
5.
E ?F
6.
E ?F
E
F
E
F
????? ????????, ??? ??????? ????????? ????????? ?????? ? ???????? ????????? ??????. ??? ????? ?????????? ????????? ????????? X ??
???????????????? ???????????? (???. 2.2) .
Ei : X = ? Ei , Ei ? E j = ?, i ? j, i = 1...n.
i =1
?
?n
1,0
h(x)
?2
?1
?0
E1
En
E2
0
Fn?1
Fn
F1
???. 2.2. ?????????? ??????????? ???????
n
????? h( x) = ? ?i f Ei ( x) ??????????? ???????????? ??????? (h: X
i =1
? [0,1]), ??? ?i ? [0,1], Ei ? X , f Ei ? ?????????????????? ??????? ???????? ????????? Ei, ?. ?. f E ( x) = 1 , ???? x ? Ei , f Ei ( x) = 0, x ? Ei . ????? l
i
???? ???? ??????. ???????? ?????? ?? ??????? h ?? ????????? A ???????????? ???
x ? Ei , f Ei ( x) = 0, x ? Ei ,
(2.17)
??? i ? I = {1, 2, 3 .... n}; ?1 ? ?2 ? ?3 ? ... ?n. ?????? ????????? Fi = Ei ?
? Ei +1 ? ... ? En , i = 1, 2, ?, n.
59
????? h(x) ????? ?????????? ? ???? h( x) = max min(?i , f F ( x))
i
i =1, n
? ???????? ????????? ?? ???????? ? ???????????? ???????? ????????? ????????? ??? ????????? ?????????:
i , g ( A ? Fi )).
? h( x) g (i) = maxi =1min(?
n
(2.18)
A
??? ????????? ? ??????? ? ???????? ? ????? ????????, ?????????
????????????? ????-[18]. ???? (X, B, ?) ? ????????????? ????????????,
? h: X ? [0,1] ???? B-????????? ???????, ?? ?????, ???
1
? h( x) P(i) ? ? h( x)dP ? 4 .
X
(2.19)
X
???????????? ????? ???????????? ?????? ????????? ????????? ? ?????? ????????? ????????? X ? ?????????????? ????????? ????? ?, ???
??????? ????????? ?????????? g(H?).
??? ????? ?????????? ??????????????? ????????? ???????????? [18].
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ???? ??????? h(x) ????????? n + 1 ???????? ?i,
?? ?????????????? ????????? ???????? g(H?i), ???????? ?? 0 ? 1, ??????? ?? n ?????????. ? ?????????????????? ?? 2n + 1 ?????????, ???????????? ?? ????????? {?i} ? {g(H?i)}, ????????????? ? ???????
???????????, ???????? ?????????? n + 1 ???????? ????? ???????? FEV(h).
?? ???. 2.3 ???????? ?????? ??????????? ????????????? ?????????? ???????? ????????? ????????? ??? X = R1
FEV (h) =
(? ? G( H ? )) , ???
? h( x) G = ??sup
[0,1]
H ? = {x | h( x) ? ?} .
X
? ???????? ???????? ?????????? ?????????? ????????? ?????????
??? ???????? ???????? ? ??????? g?- ? gv-???.
??????
????? ?????? ?????????????? ????????? X = {xi}, i ? {1, 2, 3, 4, 5}.
??????? ???????? xi ? X ????????????? ???????? ???????? ?????????? gi ?? ????. 2.1.
60
C
0,1
y=?
y = G(H?)
FEV(h)
0,1
?
?
h(x)
H?
X
???. 2.3. ??????????? ????????????? ????????? ?????????
??????? 2.1
i
1
2
3
4
5
gi
h(x i)
0,170
0,5
0,257
0,7
0,216
0,1
0,212
0,2
0,061
0,3
???????? ??????? ?????????? ??? gl-???? ???????? ? = 0,25. ???????? ????????? ?????????
S = sup [? ? g? ]
??[0,1]
,
??? g ? = 1 ( ? (?i gi + 1) ? 1); H ? = {i | h( xi ) ? ?}, ? ? [0,1], ????????? ???? i?H
?
????? S = 0,4379.
??? g?-???? ?? ??????? ?????????? ????? ????????
5
v=
(1 ? ? gi )
i =1
5
5
i =1
i =1
? gi ? ? gi
= 1,127.
??? ???? ???????? ????????? ????????? ??? g? -???? S = 0,448.
61
2.4. ??????? ????????????? ???????? ??? ?
????????? ? ????????? ???????? ???????
?????? 1
?????????? ??????????? ???????? ?????????? ????????? ????????, ????????? ?? 10 ??????? ??????? ????? {?1, ?2, ?3, ?4}. ?????????? ??????? ??????? ???? ? ????????????? ?????? ??????????? ??????????? ??????? ? ????????? ???????? ? ???????? ?????????? ??
?????? ? ????. 2.2.
??????? 2.2
??? ????????
?????????? ???????
????????????? ?????? ??????????? (h(?))
?1
?2
?3
?4
2
0,2
4
0,25
2
0,3
2
0,99
????????? ??????? ?????????? ? ???????? ???????? ????????????? ?????? ??????????? ????? ???????????? ?????????. ??? ????? ?
???????? ????, ???????????? ???????? ????????????? ? ???????? ?????????? ??????? ???? ???????, ?????? g(?1) = 0,2, g(?2) = 0,4,
g(?3) = 0,2, g(?4) = 0,2 ??? ????????? ?????????? ??????? ???????
???? ? ?????? ????? ???? ???????. ????????? ???? ???????? ?????????? ????????????? ????.
????? ??????? ?????????? ???????? ????????????? ??????????? ??
???????
4
E = ? g (?i ) i h(?i ).
i =1
E = 0,2Ј0,2 + 0,4Ј0,25 + 0,2Ј0,3 + 0,2Ј0,99 = 0,398.
??? ??????? ????????? ???????? FEV(h) ????????????? ???????????? ?? ???????. 2.3:
?1 = 0,2; g(H?1) = g({?1, ?2, ?3, ?4}) = 1;
?2 = 0,25; g(H?2) = g({?2, ?3, ?4}) = 0,4+0,2+0,2 = 0,8;
?3 = 0.3; g(H?3) = g({?3, ?4}) = 0,2+0,2 = 0,4;
?4 = 0.99; g(H?4) = g({?4}) = 0,2.
62
?????????? ??? ?????????? ???????? ?i ? g(H?i) ? 1 ? ???????
???????????, ??????? ?????????????????? (0,2; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,8;
0,99). ???????? ?????????? ???????? ???? ?????????????????? ?????
FEV(h) = 0,3.
???????? FEV(h) = 0,3 ????? ????????? ???????? ????????????? ?????? ??????? ? ??????????????? ?????????, ??? ???????? ??????????????? ???????? ? = 0,398. ??????? E ?? FEV(h) ??????? ? ?????????????? ?????? ???? ???? ??????? ?????????, ???????????? ?????????
????? ?? ?????? ????? ???????. ????? ???????, ??? ???? ???????????? ????? ?????????? FEV ????????????? ???? ??? ????????????? ?????????? ???, ?? ?????? ??? ? ??? ???????, ??? ??????? ????????????
???????????? ????.
?????? 2
???????? ??????????? ? ??????????????? ????????, ?????????
? ???????? ????? ?????????????????? ???????????, ????? ?????? ??
??????????????, ? ?????????????? ????????, ??? ??? ??????????
?????? ????????????? ????????, ??? ????????? ? ?????????? ???????? ???-???????????? ?? ????? ?????????????? (?? ?????????? ???????????? ?? ???? ???????????) ???????? ?????????. ??????????
????????? ?????? ?? ??????? ?????????????????? ????????????????, ? ???????? ?????? ????? ?? ???? ?? ???????????. ??? ??????????? ??????? ????????? ???????? (????? ????????? ????????????) ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? ?? ???, ?? ??????
??????? ??????????? ??????????????? ?????????????? ?????????
???????????? (??????? ????????????).
?? ????????? ?????? ?????????? ????? ?????????? ????????? ??????? (??) ?????????? ??????????? ? ????????? ? ????????? ??? ????? ??????? ? ???????? ??????????. ?????? ???????????? ????? ????
?????????? ?????????? ? ????? ??????, ????? ???????????? ????????. ??? ?????????? ??????, ???? ???????? ???????????????? ? ????????? ?????????? ???????? ???????????? ??????????????? ???????
??. ?????? ?? ??????????, ?? ? ?????????? ???????? ???????????
?????????????? ?????????? ? ????????? ?????????? ??. ?????? ???????????? ???? ????? ???????? ??????????????? ?? ?????? ?????????????? ? ??????????????? ????????????? ? ???? ???????? ????? ????????? ???????????? ???????? ??????? ? ???????? ? ????????
???????????.
63
? ????????? ??????? ???????? ??????????????? ?????????? ??????????? ????????????? ??? ?????? ????????? ????????? ??????????????? ?? ???????????? ???????????? ???????-????????????? ??????
??? ???????????? ???????????????? ??????? ????? ???????? ? ?????????? ?? ? ?????????? ?????????????????? ????????????????.
???????????? ?????? ????????????, ?????????? ?? ???? ?????????
?????????, ??????????? ? ???, ??? ??? ????????? ????????????? ????????? ????????, ??????????????? ???????????????? ? ????????????
?????????? ??? ?????????? ??.
???????????, ??? ????? ?????????? ????????????? ??????????????? ?? ?????????? ? ???? ???????? n ??????? ??????????? ????????????? F = {Fi, i = 1, 2, ...,n}, ??????? ????????? ???????? ?? ?? ????????? W = {w}. ?? ???????? ????? ???????? W ???????? ???????? ?
?????????? ?????, ??? ??? ?? ????? ??????????? ???????????????.
? ???????? ??????? ??????????? Fi, ??? ???????, ????????? ?????????? ???????, ???????????, ????????????? ????????????? ? ??. ??????? ?????????? ????????????? Fi(X1, X2, ..., Xm, Z) ??????? ?? ????????? ???????????, ?????????????? ? ?????? ?????????? (Xj) ?? ? ??
??????? ??????? ????? (Z) ?? ????????? ?????? ?????????? ????? ???????. ??? ??????????? ?????????? ? ??????????? ????????????? ??
????? ?????????? ?? ?????? ? ?????????????, ?? ? ? ???????????????
???? ????? ?????????? ????????? ??????? ???????????????? ???????
(????????????????, ?????????????? ?????? [14, 15] ).
??? ???? ???????? ? ?????????? ? ??????? ????? ????? ????????,
?????????????? ????????, ???????? ?? ?????? ??????????????, ????????, ???????? ??. ??????? ???????????? ???????????????? ? ???????????? ?????????? ????????????? ??????? ??? ??? ???? ????? ????????. ? ????? ? ???? ????????, ??? ??????????? ?????????? ??????????
?????? ? ???? ???????? ???????? Xj = (xj, ?j(xj)), Z = (z, ?(z)). ?????
?j(xj), ?(z) ? ??????????? ????, ??? ????????? Xj, ?????????????? ??????? ????? Z ????? ????????? ?????????????? ???????? xj, z.
???????? ????????????? ???????, ??? ??????? ?????????? ????????????? ?? ????? ???????????? ? ???? ????????? ??????? Fi:
W ? ?(Yi), ??? ??? ??????? ???????? w ? W Fi(w) ? Yi ????????
???????? ?????????? Fi(w) = (fi, ?Fi(w)(fi)), fi ? Yi ? ???????? ?????????? Fi, ?Fi(w) ? ??????? ??????????????. ??? ???? ?Fi(w)(fi) ???????????????? ??? ??????????? ????, ??? ?????????? ????????????? Fi ?????? ???????? fi ??? ??????? w ? W.
64
????? ???????, ?????? ??????????? ? ????????? ??????????? ?????????? ????????????? ?? (F), ??????????????? ????? ?????????
???????? ??? ????????? ????????? F(w) = H(F1(w), F2(w), ..., Fn(w))
??W , ????????????? ??????? ?????????? ????????????? ? ???????????? ?? ??????? ?? ?????? ????????? ?? ?? ????????? ?????? ?????????? ?????.
? ??????????? ?? ???????????? ??????????????? ?? ??????? ?????????? ?????????????, ??? ???????, ????? ?????????????? ?? ???????? ????????. ???????????????? ??????? ????????? ???????? ????????? ?? ???????? ???????? ?????????? ??????? ?? ??? ?????????? ????
? ??????????? ????????????? ???? ????? ? ?????? ???????? ???????.
?????? ??????, ??? ?????????? ?????? [14, 15], ???????? ? ??????? ?
????????????? ?????????? ??. ????????? ?????? ??????? ???, ???
???????????? ? ??????? ??????? ??????????? ????????????? ?? ????????? ?????????? ???????? ??????? ??????????? Fi ???? ?? ????? ? ?
????? ?? ?????????? ?????????? ????????????? ??. ??? ???? ?????
???????? ????????? ?????????? ? ?????? ???????-????????????? ????????????? ??????? ??????????? ?????????????, ? ????????? ??????
???????????? ??? ?????????? ??????????? ?????????? ?????????????
?? ???????-????????????? ???????, ?????????? ?? ???????? ???? ?
???????? ????????? [ 3, 5, 10 ].
????? gi (i = 1, ..., n) (0 < gi< 1) ???????????? ???????? ????????
?????? ??????? ??????????? ????????????? ??? ?????????? ??????????? ??????????. ?????? ?????????? ????? ???? ???????? ?? ????????? ? ??????????? ??????? ??????????? ?????????? [14]. ???? ???????
???????????? ????????? ??????????? Fi, i ? M (M = {1,2, ...,n}) ?? ?????? ????????? ?? ????????? W ???????????? ???????????? ????? ?????????? ?????????????? ?-???????? ???? ?????? ?? ???????? ????????? ??????? ??????????? Fi, i ? ?, ??? gi ? ????????? ?????????????
???? ???????? ????. ???? ?????? ??? ???????????????? ?????? ?????
????????? ??? [3, 5]:
G?
?
?
({F , i =? M }) = ??? ? (1 + ?g ) ? 1??? / ?, M
1
i
i
1
? M.
i?M 1
??????? ???????, ??? ???????? ? ????????? ?? ??????? ??????????
?-???????? ???? ??????
65
? n
?
(2.20)
?? (1 + ? gi ) ? 1? / ? = 1, ? 1 < ? < ?.
? i =1
?
?????????? ?????????? ????????????? ?? ???????????? ?????????????? ? ???? ???????? ???????, ??????????? ????? ????????? ?????????? ???????? ??????? ??????? ???????????. ??? ???? ??????????
??????? ????????? ????????? ?? ?-???????? ???? ?????? [3, 5]:
e(w) = ? h G? = sup min{?, G? ( F? ( w ))},
??[0,1]
??? F?(w) = {Fi| h(Fi, w) ? ?} ? ????????? ???????????, ??????? ???????
??????? ?? ?????? ???????? w ? W ????????? ????? ?; h:FxW ? [0,1] ?
????????? ???????.
? ???????? ????????? ??????? h ????? ??????? ???????? ???????
??????????? ?????????????, ??????????? ? ????????????? ???? ? ????????? ????????? ????????? Fi(w) (i = 1, ...,n; w ? W) ? ????????? [0,1]
? ??????? ?????????? ??????????????:
(
)
Fi ( w ) = fi / Ki , ? Fi ( w) ( fi ) ,
??? K i = max
max { fi }.
w?W ? Fi ( w ) ( fi )> 0
?????????? ??????? ?????? ????????????? ??????? ? ??????????
?????????????????? ????????????????. ????? ??????? ?????????? ????????????? ?? ?? ????????? F = {Fi, i = 1,2, ...,n} ????????? ??????
????????, ?. ?. Fi: W ? [0, ?), i = 1,2, ?n, ??? W = {wj, j = 1,2, ?, m}.
? ???? ???????? ???????? ?????????? ??????????? ?????????? ????????????? e(wj) ??? ??????? ???????? wj ? ????? ????? ??? ????????? ???????????? ??????? ?? ????????? ?????.
? ? ? 1. ?????????? ????????? ??????? h: FxW ? [0,1] ????? ?????????? ??????? ??????????? Fi, i = 1,2, ...,n.
? ? ? 2. ?????????? ??????????? ?????? ??? ?????????? ????????????? ???????? ???????? ?????? ??????????? ????????????? ?? gi (i =
= 1, ..., n) (0 < gi < 1).
? ? ? 3. ?????????? ?-???????? ???? ??????, ???????????????
???????? ????????? ????????????? ??????????? ?? ????????? F ???
???????? ???????. ??? ???? ?????????????? ?????????? ????? ?? ????????? (?1, ?) ?????????? ???????? n-1-?? ???????
66
? n
?
?? (1 + ? gi ) ? 1? / ? = 1.
? i =1
?
? ? ? 4. ?????????? ???????? ??????????????? ?????????? ????????????? ?? ?????? ???????? ??????? ??????? ???????????
e(w j ) = ? h G? = sup min{?, G? ( F? ( w j ))},
??[0,1]
???
F?(wj) = {Fi| Fi,(wj) ? ?}, wj ? W,
?
( ( )) = ?? ?
G? F? w j
?
(1 + ? gi ) ? 1? / ?.
??
? Fi?F? ( w j )
? ? ? 5. ?????????? ???????? wj0 ? W, ????????????? ??????????? ?????????? ???????????? ????????:
( )
e w j 0 = max e ( w j ) .
w j ?W
???????? ????????????? ???????? ??? ?????? ????????????? ??
?? ????????? W = {w1 ,w2 ,w3}, ?????????? ?? ???? ?????????, ?? ????
??????????? ????????????? F = {F1 ,F2 ,F3}. ???????? ?????? ????????? ? ????. 2.3.
??????? 2.3
F
gi
w1
w2
w3
F1
0,2
0,6
0,4
1/3
1/3
1/7
4/9
1/6
2/7
2/9
1/2
4/7
F2
F3
1. ?????????? ?-???????? ???? ?????? (?????? ???????????? ?????????? ?):
(1 + 0, 2?)(1 + 0, 6?)(1 + 0, 4?) ? 1
=1?
?
? 0,048?2 + 0,44? + 0,2 = 0 ? ?1 ? ?0,48; ?2 ? ?8,69 (???????? ??????
???? ? ??????? ?1 < ? < ?) ? ? ? ?0,48.
67
2. ?????? ??????????? ?????????? ??? ???????? w1:
(?????? ??????? ?i ? ???????? ???????? ????????? ???????????, ??????????????? ?????????? ?i G?(F?i(w1)) ??? ???????? w1:
?1 = 1/7; F?1(w1) = {F1, F2, F3} ? G?(F?1(w1)) = 1 ?
? min{?1, G?(F?1(w1))} = 1/7;
?2 = 1/3; F?2(w1) = {F1, F2} ?
(1 + 0, 2?)(1 + 0, 6?) ? 1
? 0,742 ?
?
? min{?2, G?(F?2(w1))} = 1/3;
? G?(F?2(w1)) =
?3 > 1/3; F?3(w1) = ? ? G?(F?3(w1)) = 0 ?
? min{?3, G?(F?3(w1))} = 0;
? (??????????? ????????????? ?? ??????????? ????????): e(w1) =
= max{1/7,1/3,0} = 1/3 ? ???????? ??????????? ?????????? ??? ???????? w1.
3. ?????? ??????????? ?????????? ??? ???????? w2:
?1 = 1/6; F?1(w2) = {F1, F2, F3} ? G?(F?1(w2)) = 1 ?
? min{?1, G?(F?1(w2))} = 1/6;
?2 = 2/7; F?2(w2) = {F1, F3} ?
? G? ( F? 2 ( w2 ) ) =
(1 + 0, 2?)(1 + 0, 4?) ? 1
? 0, 56 ?
?
? min{?2, G?(F?2(w2))} = 2/7;
?3 = 4/9; F?3(w2) = {F1} ?
? G?(F?3(w2)) = 0,2 ? min{?3, G?(F?3(w2))} = 0,2;
?4 > 4/9; F?4(w2) = ? ? G?(F?4(w2)) = 0 ?
? min{?4, G?(F?4(w2))} = 0;
e( w2 ) = max{1/ 6, 2 / 7, 0, 2, 0} = 2 / 7 ? ???????? ??????????? ?????????? ??? ???????? w2.
4. ?????? ??????????? ?????????? ??? ???????? w3:
?1 = 2/9; F?1(w3) = {F1, F2, F3} ? G?(F?1(w3)) = 1 ?
? min{?1, G?(F?1(w3))} = 2/9;
68
?2 = 1/2; F?2(w3) = {F2, F3} ?
? G? ( F? 2 ( w3 ) ) =
(1 + 0, 6?)(1 + 0, 4?) ? 1
? 0,88 ?
?
? min{?2, G?(F?2(w3))} = 1/2;
?3 = 4/7; F?3(w3) = {F3} ?
? G?(F?3(w3)) = 0,4 ? min{?3, G?(F?3(w3))} = 0.4;
?4 > 4/7; F?4(w3) = ? ? G?(F?4(w3)) = 0 ?
? min{?4, G?(F?4(w3))} = 0.
e( w3 ) = max{2 / 9,1/ 2, 0, 4, 0} = 1/ 2 ? ???????? ??????????? ??????????
??? ???????? w3.
5. ?????????? ?????????? ???????? wj0 ? W.
????? ????????, ??????? ?????????? ??????????? ?????????? ????????? ????????:
w j o = w3 = arg max e( w j ).
w j ?W
????? ???????, ????????? ?? ???????????? ????????? ?? ???????? ?????? ???????.
????????????????? ??????
1. ???? ?. ?. ??????? ??????????????? ?????????? ? ??? ?????????? ? ???????? ???????????? ???????. ?.: ???, 1976.
2. ?????? ?. ???????? ? ?????? ???????? ????????. ?.: ????? ?
?????, 1982.
3. ???????? ????????? ? ??????? ?????????? ? ?????????????? ?????????? / ??? ???. ?. ?. ?????????. ?.: ?????, 1986.
4. ?????????? ???????? ??????? / ??? ???. ?. ??????, ?. ????,
??????. ?.: ???, 1993.
5. ???????? ????????? ? ?????? ????????????. ????????? ?????????? / ??? ???. ?. ????? ?.: ????? ? ?????, 1986.
6. ????????? ?. ?. ???????? ???????? ??????? ??? ???????? ???????? ??????????. ?.: ?????, 1981.
7. ??????? ?. ?., ???????? ?. ?., ??????? ?. ?. ???????? ??????? ?? ?????? ???????? ???????. ??????? ?????????????. ????: ???????, 1990.
69
8. ??????? ?. ?., ???????? ?. ?., ??????? ?. ?. ???????? ?????? ??? ?????????? ?????? ? ????. ?.: ???????????????, 1991.
9. ??????? ?., ???? ?. ??????? ???????? ??????? ? ????????????
???????? // ??????? ??????? ? ????????? ???????? ???????. ?.: ???,
1976.
10. ????? ?., ???? ?. ?????? ????????????. ?????????? ? ????????????? ?????? ? ???????????. ?.: ????? ? ?????, 1990.
11. ???????? ?. ?. ???????????? ????????. ???????? ???????????.
????: ???? ?????, 1991.
12. ?????????? ?. ?. ??????????????? ??????? ???????????? ?????????? ? ??????????????: ????. ???????. ?.: ???? ?????, 1990.
13. ????? ?. ?????? ??????? ?.: ?????, 1974.
14. ??????? ?????????????? ? ????????? ?????? / ??? ???. ?. ?. ????????; ???? ??. ?. ?. ??????????,1999.
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?? ????. 1990.
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18. ??????? ?., ?????? ?. ???????? ?????????, ???????? ???????,
???????? ?????????? // ?????. 1978. ?. 66. ? 12.
70
??????????
???????? .......................................................................................................
1. ???????? ????????? ? ????????? ? ???????
???????? ??????? ..............................................................................
1.1. ???????? ??? ????????? ??????????? ? ??????????? ...................
1.1.1. ??????? ????????? ????????? ....................................................
1.1.2. ???????? ??? ????????? ??????????? .....................................
1.1.3. ??????? ????????? ????????? ....................................................
1.1.4. ???????? ??? ????????? ??????????? ....................................
1.2. ?????????????? ???????? ??? ????????? ??????? .........................
1.2.1. ??????? ???????? ? ??????????????? ?????????? ...................
1.2.2. ??????? ????????? ????? .............................................................
1.2.3. ??????? ????????? ...................................................................
1.2.4. ???????? ??? ????????? ??????? .............................................
1.3. ???????????? ?????????? ?????????????? ????????
??? ????????? ??????? ........................................................................
1.3.1. ???????? ????? (L-R)-???? ...........................................................
1.3.2. ?????????? ?????????????? ???????? ??? ?????????
??????? ........................................................................................
1.3.3. ???????????? ?????????? ??????????????
???????? ??? ????????? ??????? .............................................
1.4. ?????? ?????????? ??????? ??????????????
???????? ???????? ...............................................................................
1.5. ???????? ????????? ???????? ????? ...................................................
1.6. ?????????????? ??????? ...................................................................
1.6.1. ?????? ???????? ???????????? ? ??????? ?????????
?????????????? ???????? ..........................................................
1.6.2. ?????????? ???????? ??????? ? ??????? ..................................
1.6.3. ???????????? ????????????? ???????? .....................................
1.6.4. ??????? ?????????? ????????? ?????????? ..............................
2. ???????? ???? ? ???????? ? ??????? ???????? ???????
2.1. ????????????? ??? ???????????????? ...............................................
2.1.1. ???????? ???? ?????? ................................................................
2.1.2. ??????????????? ???? ...............................................................
2.1.3. ????????????? ???? ...................................................................
2.2. ??????????????? ???????? ???? ........................................................
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1) ? A ? X ? m(A) ? 0, m(?) = 0;
2) A ? B ? m(A) ? m(B);
3) ???? A, B ? P(X) ? A ? B = ?, ?? m(A ? B) = m(A} + m(B).
????? P (X) ? ????????? ???? ??????????? X (?-???????), ? R+ =
= [0, ?] ? ????????? ????????????? ?????????????? ?????.
??? R+ = [0, 1] ??? ??????? ?????????? ????????????? ????.
??? ???????????? ???????????? ?????????? ??????? ??????????? ?
?????? ???????, ??????????? ? ???????? ?? ?????? ????????? ???
??????. ??? ??????? ??????????? ?????? ??????? ?? ???
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