close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Pavlov 09C877B1A8

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
И КВАНТОВАНИЯ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Санкт-Петербург
2015
Составитель – доктор технических наук, профессор В. С. Павлов
Рецензент – доктор технических наук, профессор С. И. Зиатдинов
Даны методические указания к выполнению лабораторных работ
по курсам «Математическое моделирование», «Компьютерное моделирование», «Имитационное моделирование», «Методы математического моделирования», «Математические методы моделирования
информационных процессов и систем», «Математические инструментальные методы поддержки принятия решений», «Статистическая теория информационно-измерительных систем», «Методы и
устройства цифровой обработки сигналов», «Цифровые автоматические системы», «Основы проектирования электронных компонентов», «Компьютерные методы моделирования электронных
устройств», «Специфика моделирования сложных электронных
устройств сбора, обработки и отображения информации».
Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям
«Прикладная информатика», «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», «Электроника и
наноэлектроника».
Подготовлены кафедрой проблемно-ориентированных вычислительных комплексов по рекомендации методической комиссии института вычислительных систем и программирования СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения.
Редактор Т. В. Звертановская
Компьютерная верстка М. И. Дударева, А. Н. Колешко
Подписано к печати 08.12.2015. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ № 505.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2015
Лабораторная работа № 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ,
ВЫЗВАННЫХ ФЛЮКТУАЦИЯМИ
ПЕРИОДА ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Цель работы состоит в развитии навыков применения статистического компьютерного моделирования при решении задач исследования преобразований сигналов в цифро-аналоговых электронных системах.
Методические указания, основные понятия
Статистическому моделированию в лабораторной работе подлежит погрешность восстановления непрерывного сигнала s(t) по
последовательности его отсчетов s(tn), где tn – дискретный момент
времени с номером n ∈ (−∞,∞).
В достаточно общем виде такое восстановление может быть описано через операцию свертки решетчатой функции [1] s(tn) и весовой функции w(t) фильтра восстановления:
=
s∗ ( t ) ∑ s ( tn ) w ( t − tn ), (1)
n
где s*(t) – непрерывный сигнал, являющийся результатом восстановления и совпадающий с исходным сигналом s(t) в идеальном
случае.
При восстановлении непрерывного сигнала согласно теореме
отсчетов (теореме Котельникова [2–6]) весовая функция в (1)
равна w(t) = sinc(2pfBt), где sinc(x) = sin(x)/x – синк-функция (иногда обозначаемая si(x) – синус-импульсная функция [3]), fB – граничная частота, исходя из которой задается период дискретизации
T = tn − tn–1 = 0,5/fB. При этом наивысшая частота спектра сигнала
s(t) должна быть меньше частоты fB [2].
3
В спектральной области восстановление (1) эквивалентно выделению главного лепестка периодического спектра последовательности отсчетов s(tn) с помощью фильтра нижних частот. Отличия
частотной характеристики фильтра восстановления от идеальной П-образной, используемой в теореме отсчетов, вместе с ограниченностью сигнала s(t) по времени обусловливают искажения [3–6]
восстановления сигнала s(t), которые разделяют на: а) линейные, б)
модуляционные – возникающие ввиду наложения лепестков периодического спектра. С целью снижения данных искажений период
дискретизации выбирается меньше (иногда значительно меньше
[7]) величины 0,5/fB, определяемой теоремой отсчетов.
На практике период дискретизации имеет небольшую и чаще
всего случайную временную девиацию (дрожание апертуры [5]),
для которой используется отдельный термин «джиттер» – от англ.
jitter. Джиттер может быть вызван тепловым шумом, нестабильностью задающего генератора, его фазовым шумом, флюктуациями времени срабатывания логических схем, наводками по цепям
питания и рядом других факторов, описанных, например в [7].
С учетом джиттера каждый n-й момент времени дискретного представления сигнала s(t) можно характеризовать некоторым центрированным случайным приращением Dn, дополняющим фиксированную величину tn.
Рассмотрим восстановление непрерывного сигнала по (1) при
наличии джиттера, обусловливающего флюктуации периода дискретизации. При этом допустим, что последовательность отсчетов
s(tn) исходно была сформирована с периодом дискретизации, который для каждого n-го момента времени имел небольшое приращение Dn. Тогда:
=
s∗ ( t )
∑ s ( tn + Dn )w ( t − tn ). (2)
n
Рис. 1 иллюстрирует отличие восстанавливаемого по (2) сигнала s*(t) (пунктирная кривая) от исходного сигнала s(t) (сплошная
кривая), а также погрешность восстановления ε(tn) для n-го момента времени. Стрелкой показано смещение n-го отсчета сигнала s(t),
приводящее к появлению погрешности ε(tn).
Погрешность ε(t), являющуюся непрерывным аналогом последовательности отсчетов погрешности ε(tn), определим на основе (1)
и (2), используя умножение и деление n-го слагаемого на Dn:
ε=
( t ) s∗ ( t ) − s=
(t )
∑ ( s ( tn + Dn ) − s ( tn ) )
n
4
Dn  Dnw ( t − tn ).
s (t ) , s∗( t)
s∗ ( t )
s(t)
s ( tn + ∆n )
εn( t )
s ( tn )
0
tn
tn + ∆ n
t
Рис. 1. Иллюстрация погрешности,
вносимой флюктуациями периода дискретизации
Нетрудно видеть, что отношение, заключенное в квадратные
скобки, при Dn→ 0 стремится к производной сигнала s(t), таким образом в первом приближении можно полагать:
ε ( t ) @ ∑ s′ ( tn ) Dnw ( t − tn ), (3)
n
где s′(t) – производная сигнала s(t), введенная асимптотически
в силу малости флюктуационного приращения периода дискретизации. Отметим, что случай, когда приращение Dn соизмеримо с периодом дискретизации, требует более детального подхода исследования [1, 5] и более сложного метода анализа, например, с позиции
нерегулярной дискретизации [8].
Выражение (3) показывает, что восстановлению на основе свертки с функцией w(t) подлежит флюктуационный процесс, каждый
n-й отсчет которого является произведением отсчета производной
s′(tn) и флюктуации Dn. Таким образом, флюктуации периода дискретизации проявляют себя в виде мультипликативного мешающего воздействия, причем тем сильнее, чем быстрее изменяется
сигнал s(t).
При дальнейшем рассмотрении ограничимся стационарными
моделями последовательностей отсчетов s(tn) и флюктуаций Dn,
считая, что отсутствует корреляция данных флюктуаций как по
времени, так и с отсчетами s(tn). Тогда, исходя из (3), дисперсия
s2ε погрешности ε(t) может быть представлена в виде произведения
дисперсии s2D флюктуаций Dn и дисперсии производной s′(t). Последняя дисперсия, как известно [2, 9], выражается через вторую
5
производную корреляционной функции сигнала s(t) при нулевом
временном сдвиге (с отрицательным знаком) и может быть записана в виде s2(2pf*)2, где s2 – дисперсия сигнала s(t), f* – эквивалентная частота [2]. В последнем выражении сомножитель (2pf*)2
характеризует отношение средних по времени мощностей производной s′(t) и сигнала s(t), следовательно, частоту f* можно найти по
соотношению:
∞
2
∫ f S ( f ) df
∞
(4)
∫ S ( f ) df , −∞
−∞
где S(f) – спектральная плотность мощности (СПМ) сигнала
s(t), определяемая преобразованием Фурье от его корреляционной
функции.
Учитывая принятые допущения и аналитические выражения,
опишем среднеквадратическое отклонение (СКО) погрешности
ε(t):
sε @ 2pssD f∗ , (5)
f∗2 =
где σ и σD – СКО сигнала s(t) и флюктуаций периода дискретизации
соответственно, частота f* выражается через СПМ сигнала s(t) согласно (4).
Важным частным случаем, обычно рассматриваемым в задачах
анализа и синтеза электронных систем, является восстановление
гармонического сигнала s(t), характеризуемого амплитудой A и частотой f0. В этом случае дисперсия s2 = A2/2, а частота f* = f0, что соответствует СПМ в виде пары дельта-функций Дирака [2, 4]. Подставляя в (5) величины s и f*, имеем:
sε @ 2pAsD f0 . (6)
Другим важным частным случаем является полосовой сигнал
s(t) с центральной частотой f0 и равномерной СПМ в полосе частот
с шириной Df. В этом случае СКО se нетрудно найти на основе (4) и
(5), проводя последовательность аналитических действий. Эти действия приводят к следующей конечной формуле:
sε @ 2pssD f02 + Df 2 12, (7)
где σ – СКО полосового сигнала s(t).
Выражения (6) и (7) показывают, что флюктуации периода дискретизации ограничивают динамический диапазон восстанавливаемого сигнала, причем тем значительнее, чем выше частота f0.
6
Определяя динамический диапазон через отношение сигнал-шум
σ/se или SNR, дБ (общепринятое обозначение – от англ. Signal to
Noise Ratio) и учитывая (6) и (7), запишем для случая гармонического сигнала:
SNR @ −20 lg ( 2psD f0 ), а для случая полосового сигнала:
SNR @ −20 lg  2psD f02 + Df 2 12 . 

(8)
(9)
Отношение сигнал-шум для сигналов, представленных в цифровой форме, может также иметь трактовку через эффективное число разрядов равношагового квантования ENOB – от англ. Effective
Number Of Bits. При этом число ENOB определяется согласно следующей приближенной формуле:
ENOB @ ( SNR − 1,76 ) 6,02 , (10)
где числовое значение 10lg(3/2) @ 1,76 дБ учитывает пилообразный
характер реализации погрешности квантования [7], а числовое значение 20lg2 @ 6,02 – множитель пересчета числа разрядов равношагового квантования в отношение сигнал-шум, выраженное в дБ.
Выражения (8) – (10) говорят о том, что увеличение дисперсии
флюктуаций периода дискретизации ведет к уменьшению значений SNR и ENOB, определяющих потенциальную границу точности восстановления непрерывных сигналов.
Примеры оценки значений SNR и ENOB в виде функций от частоты гармонического сигнала приведены на графиках в приложении 1.
Порядок выполнения лабораторной работы
Перед выполнением лабораторной работы необходимо пройти
коллоквиум, в ходе которого согласовываются с преподавателем
исходные данные для проведения моделирования.
Основные шаги выполнения лабораторной работы состоят в следующем.
1. В рабочем листе программы Mathcad создаются модель непрерывного гармонического сигнала с амплитудой A и модель его дискретизации по N временным отсчетам с фиксированным периодом
T. Далее, для каждого периода, соответствующего n-му отсчету моделируемого сигнала, формируется своя добавка Dn с СКО σD (значе7
ние σD составляет, как правило, сотые или тысячные доли от периода T). Совокупность этих добавок {Dn} для n = 0, …, N–1 может быть
задана с помощью одной из функций генерирования случайных чисел программы Mathcad, например, функции rnorm(·,·,·), либо
в виде гармонического сигнала, либо в виде полигармонического
случайного сигнала, варианты модели которого описаны в [10, 11].
Этот выбор, задающий вид джиттера и его параметры, уточняется
с преподавателем в целях персонализации задания по выполнению
лабораторной работы.
2. На основе модели гармонического сигнала производится вычисление реализации искаженного сигнала, отсчеты которого следуют с интервалами T + Dn, и определяется разность между реализациями искаженного и исходного (с фиксированным периодом
дискретизации T) сигналов в виде совокупности из N значений погрешности {en}. По полученной совокупности {en} оценивается СКО
se (функция stdev(·) программы Mathcad), после чего рассчитываются отношение сигнал-шум SNR = 20lg(σ/se), дБ ( s = A 2 для
гармонического сигнала) и число ENOB по (10).
Описанные выше действия проводятся M раз для M различных
частот fm (m = 0, …, M–1) моделируемого гармонического сигнала, а
получаемые при этом значения ENOB заносятся в таблицу, оформленную по аналогии с табл. 1.
Полученные экспериментальные значения сопоставляются с соответствующими теоретическими значениями ENOB, вычисляемыми по (8) и (10) для упрощенной модели флюктуаций периода
дискретизации. После этого формулируются выводы относительно
методики и результатов проведенного моделирования.
В приложении 1 приведен пример моделирования по п. 1 и 2 порядка выполнения лабораторной работы.
3. Моделируется погрешность восстановления полосового сигнала, вызванная флюктуациями периода дискретизации, согласно
Таблица 1
Эффективное число разрядов равношагового квантования (ENOB)
f, Гц
100
200
400
…
8
sD, нс
0,01
0,1
1
10
100
1000
…
…
…
…
…
…
методике, изложенной в п. 1 и 2. Такой сигнал может быть задан
на основе полигармонической модели [10, 11] в виде суммы гармонических составляющих со случайными начальными фазами. Дискретизация полосового сигнала выполняется базовым методом,
изложенным в методических указаниях к лабораторной работе
(без учета возможности субдискретизации [4, 7]). С целью персонализации задания для каждого студента в ходе коллоквиума оговариваются с преподавателем вид СПМ моделируемого полосового
сигнала (равномерная, гауссовская, колоколообразная и др. [2, 4,
11]), а также значения ее параметров – центральной частоты f0 и
ширины полосы частот Df (задаются наименьшее значение ширины
Df и предел ее изменения).
В результате моделирования должны быть получены зависимости SNR от частоты f0 и ширины Df. Для этого удобно организовать
цикл вычислений с изменением одного из параметров (f0 или Df) на
каждом шаге, подобно тому, как показано в примере выполнения
лабораторной работы (приложение 1).
Значения SNR, полученные при моделировании, сравниваются
с соответствующими теоретическими значениями, расчет которых
выполняется по (9).
Оформление отчета
Отчет о выполнении лабораторной работы оформляется в виде
рабочих листов программы Mathcad формата A4 и предоставляется
непосредственно в электронном виде. При этом должны соблюдаться все требования, предъявляемые к оформлению лабораторных
работ в ГУАП (http://guap.ru/guap/standart/prav_main.shtml).
Обязательным является наличие титульного листа, изложения
цели работы, порядка ее выполнения и выводов. Все используемые
переменные, а также действия, выполняемые на рабочих листах,
должны сопровождаться комментариями. Результаты моделирования в виде графиков и таблиц должны иметь названия.
Контрольные вопросы и задания
В зависимости от направления обучения и подготовленности
студента могут быть предложены следующие контрольные вопросы и задания.
1. Раскрыть и объяснить отдельные понятия, выделенные курсивом. При этом каждому студенту предлагается подробно изло9
жить одно/два понятия на основе имеющихся знаний, конспекта
лекций и рекомендуемой литературы.
2. Изложить содержание метода дискретизации, базирующегося на теореме отсчетов (теореме Котельникова).
3. Описать и проиллюстрировать на временных и спектральных
графиках процедуры восстановления непрерывного сигнала по последовательности его отсчетов.
4. Объяснить причины флюктуаций периода дискретизации,
а также факторы, определяющие спектральный состав данных
флюктуаций.
5. Обосновать и проиллюстрировать спектральный состав погрешности, вносимой флюктуациями периода дискретизации
в восстанавливаемый сигнал.
6. Исходя из указанных в списке рекомендуемой литературы
источников описать способы уменьшения флюктуаций периода
дискретизации, а также их влияния на работу цифро-аналоговых
электронных устройств.
7. По согласованию с преподавателем провести анализ флюктуаций периода дискретизации в конкретной цифро-аналоговой
электрической схеме восстановления непрерывного сигнала (цифро-аналогового преобразования), руководствуясь данными из документации на используемые в данной схеме электронные компоненты.
10
Лабораторная работа № 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПОГРЕШНОСТЕЙ КВАНТОВАНИЯ
Цель работы состоит в развитии навыков применения статистического компьютерного моделирования для исследования погрешностей, обусловленных квантованием в цифро-аналоговых
электронных системах, а также для оценки эффективности мер,
направленных на уменьшение данных погрешностей.
Методические указания, основные понятия
Теоретическим базисом лабораторной работы является статистическая теория квантования [4, 6, 12, 13], положения и выводы которой основываются на математическом аппарате характеристических функций [9, 12, 13].
Моделированию в лабораторной работе подлежит квантование
непрерывной случайной величины x, принимающей значения x
с плотностью вероятности px(x), которой соответствует характеристическая функция
F
=
jJx )}
x ( J ) M{exp (=
∞
∫ exp ( jJx ) px ( x ) dx, (11)
−∞
где J – аргумент характеристической функции; M{ · } – оператор
математического ожидания [9]; j – мнимая единица.
При равношаговом квантовании случайная величина x преобразуется в дискретную случайную величину h, принимающую значения y из счетного множества, следующим образом:
(12)
h= Q ( x =
) q x q + 0,5 , где Q(·) – функция квантования [1, 13] (график этой функции показан на рис. 2, а), q – шаг квантования, знак “⋅” обозначает округление до целого в меньшую сторону. В программе Mathcad для выполнения операции (12) удобно использовать функцию Round(x, q)
(x – аргумент, q – шаг квантования).
Следует отметить, что на практике также применяются и отличные от равношагового (12) способы квантования, например,
нелинейное квантование – m-закон и A-закон, используемые
при квантовании речевых сообщений согласно стандарту CCITT
Recommendations G.711, 1984 [14]. Для таких способов модель
11
квантования рассматривается в виде последовательности предварительного нелинейного преобразования (компандирования [13,
14]) и собственно квантования, проводимого согласно (12).
Статистические характеристики дискретной случайной величины h на выходе квантователя описываются плотностью вероятности [9, 12]
ph ( y )=
∑ Pi d ( y − iq ), (13)
i
где i ∈ (–∞,∞) – индекс суммирования по интервалам квантования;
Pi = ∫
iq +q 2
iq −q 2
px ( x ) dx – вероятность попадания случайной величины
x в i-й интервал квантования, d(·) – дельта-функция Дирака. Иллюстрация преобразования плотности вероятности px(x) в плотность
вероятности ph(y) приведена на рис. 2, б в виде, привязанном к характеристике квантователя (рис. 2, а).
Переход от плотности вероятности (13) к характеристической
функции Fh(J) случайной величины h осуществляется на основе
(11) и по аналогии с действиями, которые математически описывают дискретизацию сигнала по времени [3, 4, 6]. При таком переходе
используются общая формула для характеристической функции
дискретной случайной величины [12] и выражение вероятности Pi
через свертку исходной плотности вероятности px(x) с прямоугольной щелевой функцией [5], имеющей ширину q. С учетом формулы
суммирования Пуассона [3, 4], применяемой к гребневой функции
Дирака [4] из (13), фурье-образ указанной свертки, равный Fx(J)
sinc(qJ/2), суммируется по индексу k ∈ (–∞,∞) со смещением 2pk/q.
Таким образом:
F h ( J=
)
∑ Fx ( J + kY ) sinc ( q ( J + kY ) 2), k
(14)
где Y = 2p/q – период повторения характеристической функции
случайной величины h.
Статистическая теория квантования построена на эквивалентности математической формализации операций дискретизации
сигналов по времени и их квантования по уровню при переходе
к цифровой форме представления. Главное отличие между двумя
этими операциями состоит в координатных осях расположения отсчетов: оси времени – при дискретизации и оси мгновенных значений – при квантовании. В частности, из (14) следует, что функция
Fh(J) является периодической по аргументу J, что подобно перио12
а)
η = Q (ξ)
3q
2q
q
−q 2
−5q 2
−3q 2
q 2
3q 2
ξ
5q 2
−q
−2q
−3q
pξ ( x) , pη ( y)
б)
P1δ ( y − q)
P0δ ( y)
pξ ( x)
P−1δ ( y + q)
P2δ ( y − 2 q)
P−2δ ( y + 2 q)
P−3δ ( y + 3q)
−3q
P3δ ( y − 3q)
−2q
−q
0
q
2q
3q
x, y
Рис. 2. Характеристика квантователя (а) и иллюстрация
преобразования плотности вероятности (б)
13
дичности спектра дискретизированного сигнала, а величину Y
можно рассматривать как аналог круговой частоты дискретизации
по времени. Пример преобразования характеристической функции (частный случай Fx(J) ∈ Re) при квантовании показан на рис. 3
в виде иллюстраций функции Fh(J) на входе квантователя (рис. 3,
а) и функции Fx(J) на его выходе (рис. 3, б).
По аналогии с теоремой отсчетов (теоремой Котельникова
[2–6]) доказана основная (первая) теорема квантования [13], формулировка которой состоит в том, что если функция Fx(J) ограничена по ширине следующим образом: Fx(J) = 0 при |J| ≥ p/q = Y/2, то
лепестки периодической функции Fh(J) не перекрываются и возможно точное восстановление плотности вероятности px(x) по плотности вероятности ph(y) вида (13).
Другие (дополнительные) теоремы квантования оговаривают
условия, при которых обеспечиваются: а) равенство моментов случайных величин x и h, б) равномерность распределения погрешности квантования, в) отсутствие взаимной корреляции погрешности
квантования с каждой из случайных величин x и h.
Погрешность квантования n (или шум квантования) представляет собой разность n = h – x = Q(x) – x и является случайной величиной, порождаемой нелинейным преобразованием случайной величины x. При этом для описания статистических характеристик
погрешности n удобно использовать соответствующую характеристическую функцию
F n ( J=
)
∑ Fx ( kY ) sinc ( q ( J + kY ) 2), k
(15)
математический вывод которой подобен выводу функции (14). Видно, что выражения (14) и (15) различаются между собой только наличием величины J в аргументе функции Fx(·).
Обоснование положений статистической теории квантования
осуществляется на основе моментов случайных величин x, h и n,
определяемых через производные характеристических функций
Fx(J), Fh(J) и Fn(J) соответственно. В частности, начальный момент
r
r
r-го порядка погрешности n равен mn( ) = M nr = j −r dr F n ( J ) ( dJ )
при J = 0.
Принципиальное значение имеет первый начальный момент по1
грешности n (математическое ожидание mn = mn( ) ) с позиции оценки смещения по уровню, вносимого квантователем. Данный момент нетрудно найти как результат дифференцирования функции
Fn(J) и подстановки J = 0:
{ }
14
Φξ ( ϑ)
а)
−3Ψ 2
−Ψ
−Ψ 2
Ψ2
0
Ψ
Φη ( ϑ)
б)
−3Ψ 2
−Ψ
−Ψ 2
ϑ
Φ ξ ( ϑ ) sinc ( qϑ 2 )
Ψ2
0
3Ψ 2
Ψ
3Ψ 2
ϑ
Рис. 3. Характеристические функции случайных величин на входе (а)
и на выходе (б) квантователя
(1)
c
q ∞
mn
=
( −1)k k , ∑
k
p k=1
(16)
∞
(1)
где ck = Im F x ( kY ) = M{sin ( kYx )}= ∫ sin ( kYx ) px ( x ) dx – коэф−∞
фициент, равный k-му отсчету мнимой части функции (11), который также выражается через плотность вероятности px(x) (последнее равенство).
Важную роль при анализе квантования играет дисперсия s2n
(2)
(2)
2
2
погрешности n, определяемая разностью s=
n mn − mn , где mn –
второй начальный момент погрешности n. Этот момент получим
через двойное дифференцирование функции Fn(J) и подстановку
значения J = 0:
{
}
2
2 ∞
q
q
2
mn( ) =+
2
12
p
∑ ( −1)
k =1
(2)
k ck
,
2
k
(17)
∞
(2)
где ck = Re F x ( kY ) = M{cos ( kYx )}= ∫ cos ( kYx ) px ( x ) dx – коэф−∞
фициент, равный k-му отсчету действительной части функции (11),
выраженный по аналогии с (16).
{
}
15
Для определения смешанных моментов случайных величин x,
h и n можно использовать различные преобразования – например,
ковариационный момент mxn = M{xn} случайных величин x и n можно вычислить согласно соотношению M{h2} = M{x2} + M{n2} + 2M{xn},
из которого следует, что mxn = (M{h2} – M{x2} – M{n2})/2. Используя
последнее выражение и проводя аналитические действия, имеем:
(11)
c
q ∞
( −1)k+1 k ,
∑
k
p k=1
mxn
=
где
(11)
ck
 dF x ( J ) 
=
Re 

 dJ J=
(18)
∞
kY
=
− M{x sin ( kYx )} =
− ∫ x sin ( kYx ) px ( x ) dx –
−∞
коэффициент, равный k-му отсчету действительной части производной функции (11) при J = kY, выраженный по аналогии с (16) и
(17).
Другие важные ковариационные моменты: mhn = M{hn} – для пары случайных величин h и n, mhx = M{hx} – для пары случайных величин h и x, могут быть получены согласно соотношениям:
{ }
M{xn} + M{x2=
}
mhn
= M{( x + n ) n=
} M{xn} + M n2= mxn + mn(2) ,
mhx
= M{( x + n ) x=
}
(2)
(2)
mxn + mx , (19)
{ }
где mx= M x2 – второй начальный момент случайной величины x.
Исходя из (18) и (19), описывающих ковариационные моменты
mxn, mhn, mhx, определим соответствующие им корреляционные моменты mxn, mhn, mhx:
mxn= mxn − mxmn ,
2
mhn = mxn + mn( ) − M{x + n}mn = mxn + s2n ,
(2)
mhx = mxn + mx − M{x + n}mx = mxn + s2x ,
(20)
(2)
2
2
где mx и s=
x mx − mx – математическое ожидание и дисперсия
случайной величины x.
Таким образом, наиболее важные начальные и центральные моменты, характеризующие квантование, могут быть получены за
счет пересчета первого и второго начальных моментов случайных
16
величин x и n, а также их ковариационного момента. Анализируя
выражения для перечисленных моментов, укажем два важных обстоятельства.
1. Из (15) и (17) следует, что в случае выполнения условия
±1, ± 2,  , F x ( kY ) =0 при k =
(21)
погрешность квантования распределена равномерно с характеристической функцией Fn(J) = sinc(qJ/2), а ее дисперсия равна
s2n =
q2 12 .
2. Из (15) и (18) следует, что в случае совместного выполнения
условия (21) и условия
(
)
±1, ± 2,  , (22)
dF x ( J ) dJ
=
0 при k =
J= kY
взаимная корреляция между погрешностью квантования и квантуемой случайной величиной отсутствует.
Таким образом, если случайная величина x имеет распределение, которое точно или асимптотически обеспечивает совместное
выполнение двух условий (21) и (22), то погрешность n может быть
представлена в виде независимой случайной величины с равномерной плотностью вероятности в пределах от -q/2 до q/2. Данное
представление погрешности квантования называется линейной эквивалентной моделью псевдоквантования с аддитивным независимым шумом или PQN моделью (англ.: Pseudo Quantization Noise)
и очень часто применяется в задачах анализа и синтеза электронных систем.
Во многих практических приложениях квантования используется искусственный прием, обеспечивающий выполнение условий
(21) и (22). Такой прием состоит в «подмешивании» к случайной
величине x некоторой небольшой случайной (псевдослучайной,
гармонической, пилообразной) добавки c с целью рандомизации
операции квантования. В современной технической литературе и
компьютерных программах эта добавка часто называется «дизеринг» или «дитеринг» – от англ. dither (дрожь, тряска). Рандомизирующая добавка может быть также «вычитаемого» типа (англ.:
subtractive dither), что предполагает ее вычитание из случайной
величины h на выходе квантователя.
При «подмешивании» добавки c квантование производится над
суммой случайных величин x + c, характеристическая функция
Fxc(J) которой равна произведению Fxc(J) = Fx(J)Fc(J), где Fc(J) –
17
характеристическая функция добавки c. Выбор закона распределения добавки c (то есть функции Fc(J)) может быть осуществлен
таким образом, что для функции Fxc(J):
а) будет выполнено условие (21) за счет равенства Fc(kY) = 0 при
k = ±1, ±2, … ,
б) будут совместно выполнены условия (21) и (22) за счет двух
равенств: Fc(kY) = 0 и (dFc(J)/dJ)J=kY = 0 при k = ±1, ±2, … .
В статистической теории квантования случаи а) и б) характеризуют добавки c соответственно нулевого и первого порядков (по порядку r последней производной (drFc(J)/(dJ)r)J=kY, которая равна
нулю при k = ±1,±2,…). Практически важными примерами указанных добавок являются:
– для нулевого порядка – добавка c с равномерным распределением на интервале от -q/2 до q/2;
– для первого порядка – добавка c, имеющая треугольную плотность вероятности (Симпсона) на интервале от -q до q, которую часто формируют как сумму двух независимых между собой добавок
c с равномерными плотностями вероятностей на интервале от -q/2
до q/2.
Широко распространены также добавки c, обеспечивающие
не точное, а лишь приближенное выполнение равенств (21) и (22)
для функции Fxc(J). В частности, добавка c с нормальной плотностью вероятности и СКО sc ≥ -q/2 [13] имеет пренебрежимо малые
для практики значения характеристической функции и ее производной в точках ±Y, ±2Y, … . Следует сказать, что эта случайная
добавка часто возникает непреднамеренно, например, в силу действия естественного шума, сопровождающего квантуемую случайную величину.
Порядок выполнения лабораторной работы
Перед выполнением лабораторной работы необходимо пройти
коллоквиум, в ходе которого согласовываются с преподавателем
исходные данные для проведения моделирования.
Основные шаги выполнения лабораторной работы состоят в следующем.
1. В рабочем листе программы Mathcad генерируется вектор из
N непрерывных случайных чисел, имитирующих квантуемую случайную величину x. Закон и параметры распределения этой случайной величины оговариваются с преподавателем во время коллоквиума и могут быть выбраны исходя из перечня встроенных в про18
грамму Mathcad генераторов случайных чисел [15]: rnorm(·,·,·),
rbeta(·,·,·), rgamma(·,·), rweibull(·,·), rt(·,·), rF(·,·,·) и
др.
Далее следует задать шаг квантования и описать операцию, выполняемую квантователем. Функция квантования должна быть
отображена графически в рабочих листах лабораторной работы.
2. Выполняется моделирование преобразования непрерывной
случайной величины x в дискретную случайную величину h с помощью функции квантования. Соответствующие данному преобразованию статистические характеристики изображаются графически в виде эмпирических функций распределения случайных
чисел, имитирующих случайные величины x и h. Для этого можно воспользоваться функциями histogram(·,·) или hist(·,·) по
аналогии с примером, приведенным в приложении 2. Графики эмпирических функций распределения необходимо сравнить с графиком теоретической функции распределения случайной величины
x, который удобно вычислить по встроенным в программу Mathcad
функциям [15]: pnorm(·,·,·), pbeta(·,·,·), pgamma(·,·),
pweibull(·,·), pt(·,·), pF(·,·,·) и др. (согласно заданию – п. 1).
3. Определяется реализация случайной погрешности квантования n = h – x по случайным числам, имитирующим погрешность n;
производятся оценки: а) эмпирической плотности вероятности
(строится гистограмма), б) математического ожидания mn, в) дисперсии s2n , г) взаимного корреляционного момента mxn со случайной
величиной x. В программе Mathcad для выполнения действий по п.
б), в) и г) предусмотрены функции mean(·), var(·) и cvar(·,·) соответственно.
Полученные численные результаты сравниваются с соответствующими теоретическими значениями, которые вычисляются
по формулам (16) – (18), (20) и справочным данным из [16] непосредственно в рабочих листах программы Mathcad. По итогам этого
сравнения формулируются выводы относительно методики и результатов проведенного моделирования.
4. Повторяются действия, описанные в п. 2 и 3, с введением
в квантуемую случайную величину x рандомизирующей добавки c.
Закон распределения этой добавки согласовывается с преподавателем в ходе коллоквиума с целью персонализации задания по выполнению лабораторной работы. Определение наиболее выгодного
параметра a (или параметров) данного закона распределения является задачей проводимого моделирования.
19
Статистическому исследованию подлежат оценочные значения
моментов погрешности квантования: математического ожидания
mn, дисперсии s2n и взаимного корреляционного момента mxn при
различных значениях параметра a закона распределения добавки
c (таких значений должно быть задано не менее пяти: от a1 до a5).
При этом моделирование проводится для двух вариантов:
а) простой рандомизирующей добавки (без вычитания),
б) рандомизирующей добавки с вычитанием на выходе квантователя.
Результаты моделирования по этим двум вариантам должны
быть оформлены в виде таблицы, примером которой является табл.
2. Кроме того, в таблицу также должны быть занесены оценочные
значения моментов mn, s2n и mxn, полученные ранее (п. 3) без введения добавки c – столбец M, а также соответствующие теоретические значения – столбец T.
Таблица 2
Оценочные значения моментов погрешности квантования
Оценки
моментов
а)
Значение параметра(ов) добавки c
Без добавки c
М
Т
–
–
–
–
–
–
a1
a2
a3
a4
a5
mn
s2n
mxn
б)
mn
s2n
m xn
Исходя из полученных при моделировании результатов выбирается наиболее выгодное значение параметра (параметров) распределения рандомизирующей добавки и формулируется вывод, обосновывающий этот выбор.
Внимание ! Раздел «Оформление отчета» приведен в лабораторной работе № 1.
Контрольные вопросы и задания
В зависимости от направления обучения и подготовленности
студента могут быть предложены следующие контрольные вопросы и задания.
20
1. Раскрыть и объяснить отдельные понятия, выделенные курсивом. При этом каждому студенту предлагается подробно изложить одно/два понятия на основе имеющихся знаний, конспекта
лекций и рекомендуемой литературы.
2. Изложить основные сведения о применении математического
аппарата характеристических функций в теории вероятностей.
3. По заданному преподавателем закону распределения случайной величины провести численный расчет ее характеристической
функции в программе Mathcad (возможно использование формул
из [16]), а также вычислить эмпирическую оценку этой характеристической функции методом Монте-Карло – то есть на основе моделирования данной случайной величины. Сравнить оба полученных
результата.
4. Объяснить и графически проиллюстрировать эквивалентность математических моделей, описывающих дискретизацию по
времени и квантование по уровню.
5. Объяснить различия математических моделей дискретизации
по времени и квантования по уровню, а также физический смысл
величин, используемых в данных моделях.
6. Привести примеры и математически описать характеристики
квантователей, в том числе и нелинейных, используемых в электронных системах (либо в конкретной электронной системе, указанной преподавателем).
7. Объяснить и графически интерпретировать основную теорему
квантования.
8. Изложить суть введения рандомизирующей случайной добавки при квантовании на основе аналитических выражений и графической интерпретации.
9. Описать требования, которым должен удовлетворять закон
распределения рандомизирующей случайной добавки.
10. Объяснить эквивалентную модель псевдоквантования и описать условия, при которых она справедлива.
21
Библиографический список
1. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 576 c.
2. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник
для вузов. Изд. 4-е, перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.
3. Игнатьев Н. К. Дискретизация и ее приложения. М.: Связь,
1980. 264 с.
4. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х т. / пер. с франц. М.: Мир, 1983. Т. 1. 312 с.
5. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов:
пер. с англ. М.: Мир, 1982. 429 с.
6. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и
технике. Изд. 2-е, доп. М.: Книжный дом «Либроком», 2010. 416 с.
7. Аналого-цифровое преобразование: пер. с англ. / под ред.
Уолта Кестера. М.: Техносфера, 2007. 1016 с.
8. Горелов Г. В. Нерегулярная дискретизация сигналов. (Статистическая теория связи. Вып. 17). М.: Радио и связь, 1982. 256 с.
9. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез
радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 2004. 608 с.
10. Павлов В. С. Методы и алгоритмы компьютерного моделирования случайных процессов: метод. указания к выполнению лабораторных работ. СПб.: ГУАП, 2010. 31 с.
11. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической
радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 328 с.
12. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1974.
552 с.
13. Widrow B., Kollar I. Quantization Noise: Roundoff Error in
Digital Computation, Signal Processing, Control and Communications.
Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 778 p.
14. Крухмалев В. В., Гордиенко В.Н., Моченов А.Д. Цифровые системы передачи. М.: Горячая линия – Телеком, 2007. 352 с.
15. Павлов В. С. Основы статистического компьютерного моделирования: метод. указания к выполнению лабораторных работ.
СПб.: ГУАП, 2007. 24 с.
16. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н.И. Порменко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин. М.: Наука, 1985. 640 с.
22
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Приложение 1
Пример моделирования погрешностей,
вызванных флюктуациями периода дискретизации
Модель дискретизируемого сигнала
A := 10 − амплитуда сигнала
x ( u) := A ⋅cos ( 2 ⋅ π ⋅u) − мгновенное значение гармонического сигнала
5
− число отсчетов сигнала в единицу времени
N := 10
−1
, c − период дискретизации
T := N
n := 0 .. N − 1 − номер момента времени дискретизации
tn := n ⋅T − n-й момент времени дискретизации
− число шагов моделирования по частоте сигнала
M := 15
m := 0 .. M − 1 − номер шага моделирования
.286⋅ m
fm := 10
− частота сигнала для m-го шага моделирования
Модель флюктуаций периода дискретизации
−2
σ∆ := T ⋅ 10 , c − СКО флюктуаций периода дискретизации
〈m〉
∆
:= rnorm( N , 0 , σ∆ ) − формирование реализации флюктуаций периода
дискретизации для m-го шага моделирования
〈m〉
〈m〉
− моменты времени с учетом флюктуаций периода
t∆
:= t + ∆
дискретизации для m-го шага моделирования
〈m〉
〈m〉
ε
:= x fm⋅t∆
− x ( fm ⋅t) − реализация погрешности, вносимой
флюктуациями периода дискретизации, для
m-го шага моделирования
(
)
Расчет отношения сигнал-шум и
эффективного числа разрядов равношагового квантования
(
SNRm := −10 ⋅log 2 ⋅ A
−2
( )) − оценка отношения сигнал-шум
〈m〉
⋅var ε
для m-го шага моделирования
SNRT := −20 ⋅log ( 2 ⋅π ⋅ f ⋅ σ∆ ) − расчет соответствующих
теоретических значений по (8)
Вычисление эффективного числа разрядов равношагового квантования
по (10) на основе экспериментальных и теоретических данных
 SNR − 1.76 

 6.02 
ENOB := floor 
 SNRT − 1.76 

6.02


ENOBT := floor 
23
Экспериментальная и теоретическая зависимости
отношения сигнал-шум от частоты
140
120
100
SNR
SNRT
80
60
40
20
1
10
100
f
3
1 .10
1 .10
4
Экспериментальная и теоретическая зависимости
эффективного числа разрядов равношагового квантования от частоты
20
15
ENOB
ENOBT 10
5
1
24
10
100
f
3
1 .10
1 .10
4
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Приложение 2
Пример моделирования случайных
погрешностей квантования
Модель квантователя
q := 2
−3
− шаг квантования
Q ( u) := Round ( u , q) − функция квантования
Ψ := 2 ⋅π ⋅ q
−1
− период повторения характеристической функции
случайной величины на выходе квантователя
Модель случайной величины ξ, подлежащей квантованию
(задано бета-распределение с параметрами a1 и a2)
6
− объем выборки
N := 10
a1 := .8
− параметры распределения
a2 := 2
ξ := rbeta ( N , a1 , a2)
− генерация выборки случайной величины ξ
p ( u) := dbeta ( u , a1 , a2) − плотность вероятности
F ( u) := pbeta ( u , a1 , a2) − функция распределения
mξ := a1 ⋅( a1 + a2)
−1
− математическое ожидание
Расчет теоретических значений
моментов погрешности квантования ν
k := 1 .. 20 − индекс учитываемого члена разложений (16) − (18)
mν :=
q
π
∑
⋅
k
( −1)
k
2
σν2 :=
µξν :=
2
k
∞
⌠
⋅ sin ( k ⋅ Ψ ⋅x) ⋅p ( x) dx − математическое ожидание
⌡− ∞
k
∞
q
( −1) ⌠
q
2
+
⋅
⋅  cos ( k ⋅Ψ ⋅x) ⋅p ( x) dx − mν − дисперсия
2
2
12
⌡− ∞
k
π k
q
π
∑
⋅
k
∑
k ∞
( −1 ) ⌠
⋅ x ⋅sin ( k ⋅Ψ ⋅x) ⋅ p ( x) dx − mξ ⋅ mν − корреляционный
k ⌡
момент с квантуемой
−∞
случайной величиной ξ
25
Формирование рандомизирующей случайной добавки χ
α := .5 ⋅q − параметр распределения добавки χ
χ := runif ( N , −α , α ) + runif ( N , −α , α ) − генерация выборки добавки χ
Вычисление случайной величины на выходе квантователя (η или ηχ)
и соответствующей погрешности квантования (ν или νχ)
а) η := Q ( ξ )
ν := η − ξ − без добавки
б) ηχ := Q ( ξ + χ ) − χ
νχ := ηχ − ξ − с вычитаемой случайной добавкой
Оценки моментов погрешности квантования (ν или νχ)
Математическое ожидание
а) mean ( ν
)
−3
= −2.174 × 10
−3
− без добавки
− теоретическое значение
mν = −2.195 × 10
б) mean ( νχ ) = −2.632 × 10
−5
− с добавкой χ
Дисперсия
а) var ( ν ) = 1.263 × 10
−3
− без добавки
−3
− теоретическое значение
σν2 = 1.265 × 10
б) var ( νχ ) = 1.304 × 10
−3
− с добавкой χ
Корреляционный момент с квантуемой случайной величиной
а) cvar ( ξ , ν ) = 6.161 × 10
−4
− без добавки
−4
− теоретическое значение
µξν = 6.136 × 10
б) cvar ( ξ , νχ ) = 0
− с добавкой χ
Гистограммные оценки cлучайной величины (η или ηχ) на выходе
квантователя и расчет эмпирической функции распределения
I := 200
− число интервалов гистограммы
а) H := histogram ( I , η ) − без добавки
б) Hχ := histogram ( I , ηχ ) − с добавкой χ
26
i := 0 .. I − 1 − номер значения эмпирической функции распределения
а)
б)
1
⋅
N
FEi :=
FEχi :=
i
∑
Hl , 1
− без добавки
l=0
i
1
⋅
N
∑
Hχl , 1 − с добавкой χ
l=0
Эмпирическая функция распределения
cлучайной величины (η или ηχ) на выходе квантователя
(сравнение с функцией распределения квантуемой случайной величины )
а) без рандомизирующей добавки
1
0.8
FE
(
〈0〉
F H
0.6
)
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
〈 〉
H0
б) с вычитаемой случайной добавкой χ
1
0.8
FEχ
(
〈0〉
F Hχ
)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
〈0〉
Hχ
27
Содержание
Лабораторная работа № 1. Моделирование случайных погрешностей,
вызванных флюктуациями периода дискретизации........................
3
Лабораторная работа № 2. Моделирование случайных
погрешностей квантования.........................................................
11
Библиографический список.........................................................
22
Приложение 1...........................................................................
23
Приложение 2...........................................................................
25
28
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
1 071 Кб
Теги
pavlova, 09c877b1a8
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа