close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

pavlovosnovy

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
Санкт-Петербург
2010
Составитель доцент, кандидат технических наук В. С. Павлов
Рецензент профессор, доктор технических наук С. И. Зиатдинов
Даны методические указания к выполнению лабораторных работ по курсам «Компьютерное моделирование», «Моделирование сложных систем», «Математические методы моделирования информационных процессов и систем», «Основы
теории управления», «Специфика моделирования электронных систем».
Предназначены для студентов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике», «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», «Прикладная информатика в социальной
сфере», «Промышленная электроника».
Редактор В. А. Черникова
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 19.04.10. Подписано к печати 22.04.10. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 184.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2010
Лабораторная работа № 1
Оценка спектральных
характеристик случайных процессов
Цель работы – изучение и освоение навыков практического применения методов оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов, имитируемых на ЦВМ с заданной точностью.
Методические указания, основные понятия
В лабораторной работе моделируется стационарный случайный
процесс ξ(t) в виде совокупности из M своих реализаций, примеры
которых иллюстрирует рис. 1. Каждая такая реализация xm(t) для
m=0, …, M–1 (показана на рис. 1 пунктиром) имитируется в N точках
временной оси как решетчатый процесс xm[n]=xm(nDt), где n=0, …,
N–1, Dt – шаг дискретизации.
Все реализации процесса ξ(t) ограничены по времени интервалом
от 0 до T=NDt, поэтому для оценки спектральных характеристик используется финитное преобразование Фурье [1] с пределами интегрирования от 0 до T. Это преобразование определяет спектральный
образ Xm(f) для m-й реализации xm(t) в виде
T
Xm (f ) = ò xm (t)exp {-j2πft}dt.
(1)
N-1
ì 2π ü
Xm (fk ) = ∆tXm [k] = ∆t å xm [n ]exp ïí-j knïý. îïï N þïï
(2)
0
Для дискретных отсчетов времени преобразование (1) позволяет вычислить отсчеты Xm(fk) на дискретных частотах
fk = k T = k (N ∆t), нумеруемых индексом k, при этом интеграл в (1)
заменяется конечной суммой:
n=0
3
x0 (t), x0 [n ]
0
m =0
2∆t
∆t
3∆t
(N - 2) ∆ t (N -1) ∆ t
t
x1 (t), x1 [n ]
m =1
0
∆t
2∆ t
3∆ t
(N - 2) ∆ t (N -1) ∆ t
xM-1 (t), xM-1 [n ]
0
∆t
t
m = M- 1
2∆ t
3∆ t
(N - 2) ∆ t
(N -1) ∆ t
t
Рис. 1. Реализации моделируемого случайного процесса
Данная формула определяет последовательность по k из коэффициентов Xm[k] − результатов дискретного преобразования Фурье.
 (f ) моделиОценку двусторонней спектральной плотности G
k
руемого случайного процесса ξ(t) можно получить как совокупность
выборочных средних значений (по каждой частоте fk) от результатов
преобразования (2), т. е.
 (f ) =
G
k
1 M-1
2
Xm (fk ) . å
MN ∆t m=0
(3)
 (f ) при k=0, …, N/2
Отметим, что в (3) первые N/2+1 значений G
k
представляют собой оценку спектральной плотности в диапазоне
частот от 0 до частоты Найквиста fs = 1 (2∆t), а остальные N/2–1
4
значений при k=N/2+1, …, N–1 можно рассматривать как оценку
спектральной плотности в интервале частот от –fs до 0. Поскольку
функция спектральной плотности вещественна, то
 (f ) = G
 (2f - f ). G
k
S
k
(4)
Свойство симметрии (4) при компьютерном моделировании позволяет ограничиться вычислением только одной (правой) части
спектральной плотности, т. е. в диапазоне значений k=0, …, N/2.
Оценка, вычисляемая по формуле (3), соответствует определению спектральной плотности как результата дискретного преобразования Фурье вида (2) от корреляционной функции и содержит сомножитель Dt. Наличие сомножителя Dt обеспечивает соответствие
размерностей спектральной плотности для дискретного и непрерывного представления случайного процесса ξ(t), а также сохраняет физический смысл спектральной плотности [2]. Важно отметить, что
сомножитель Dt часто опускается с целью упрощения математических действий, например, в задачах исследования систем управления [5].
Коэффициенты спектрального разложения Xm[k], необходимые
для вычислений по формуле (3), программа Mathcad позволяет получать, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. Если
число N задано как 2p, то N/2+1 значений последовательности Xm[k]
можно найти, применяя оператор FFT(...) (Fast Fourier Transform)
к соответствующей реализации xm[n].
Оператор FFT(...) в программе Mathcad (в отличие от других математических программ, например, Matlab) дополнительно умножает результат преобразования на 1/N [3], поэтому возMC
вращаемые этим оператором коэффициенты Xm
[k] в N раз меньше тех, которые описываются выражением (2). Таким образом,
MC
Xm
[k] = Xm [k] N, а оценка
M-1
2
MC
 (f ) = T
G
Xm
[k] .
å
k
M m=0
(5)
Погрешность оценки спектральной плотности обусловлена как
случайным характером обрабатываемых данных, так и временным
ограничением − интервалом [0, T].
Действительно, финитное преобразование Фурье (1) можно рассматривать как преобразование Фурье от непрерывной реализации
xm (t), которая задана на бесконечном интервале времени и умно5
жена на прямоугольное «временное окно» q(t), равное единице при
t Î [0,T ] и равное нулю при всех других значениях t. Иными словами, реализацию xm(t) можно представить в виде произведения
xm (t) = q (t)xm (t), а ее спектральный образ определить, согласно
теореме о свертке [4], в следующем виде:
*
Xm (f ) = Q (f )
 (f ) =
X
m
¥
ò Q(f ¢)X m (f - f ¢)df ¢,
(6)
-¥
где Q(f) − результат преобразования Фурье от «временного окна»;
 (f ) − спектральный образ реализации x (t).
X
m
m
Функция Q(f) для прямоугольного «временного окна» обладает
значительным уровнем боковых лепестков (уровень первого бокового лепестка составляет –13 дБ от максимума функции), что вызывает большое «просачивание» с частот, далеких от главного лепестка
данной функции [7]. Возникающие при этом искажения особенно
заметны для процессов с небольшой шириной спектральной плотности, а значения спектральной плотности (6) на частотах вне спектрального максимума оказываются завышенными [1].
Для снижения этих искажений применяются такие «временные
окна», которые сглаживают исходную реализацию и подавляют
резкие переходы на ее начальном и конечном участках. Существует несколько подобных окон, перечень которых можно найти, например, в [1, 7]. Из их числа наибольшей эффективностью обладает
окно Кайзера–Бесселя, степень сглаживания которого задается параметром.
Чаще всего доминирует случайная составляющая погрешности
оценки спектральной плотности, для определения статистических характеристик которой рассмотрим выборочное распределе (f ) на частотах f .
ние отсчетов оценки G
k
k
 (f ) можно предстаИз выражений (3) и (5) следует, что оценку G
k
вить как сумму из M квадратов вещественных и мнимых частей коэффициентов Xm[k]. В случае гауссовского случайного процесса ξ(t)
обе эти части распределены по нормальному закону, поэтому исходя
из известного [6] описания суммы квадратов независимых нормально
распределенных случайных величин для любой частоты fk имеем
 (f )
G
k
=
χ22M
,
2M
(7)
G (fk )
где χ22M – величина, подчиняющаяся χ2-распределению с 2M степенями свободы.
6
 (f ) G (f ) в (7) не зависит от длины реализации Т,
Отношение G
k
k
поэтому изменение интервала Т не влияет на распределение случай (f ) G (f ).
ной погрешности оценки G
k
k
Дисперсия случайной величины, обладающей χ2-распределением,
равна удвоенному числу степеней свободы данного распределения,
таким образом, нормированное среднеквадратическое значение
случайной погрешности оценки спектральной плотности равно
ε=
{
}
 (f )
D G
k
G (fk )
=
1
M
,
(8)
где D {} – оператор вычисления дисперсии.
Исходя из (8), нетрудно определить доверительный интервал
для оценки спектральной плотности. При небольших значениях e
такой интервал с доверительной вероятностью 95 % для оценки
 (f ) может быть представлен в виде
G
k
æ
ö
æ
2 ö÷ 
çç1 - 2 ÷÷G
÷G (fk ). (fk )£ G (fk )£ ççç1 +
÷
çè
è
Mø
M ÷ø
(9)
Следует отметить, что возможны и бо′льшие ошибки из-за искажений спектральной плотности, накладываемых ограниченностью
временного интервала финитного преобразования Фурье.
В приложении 1 рассмотрен пример моделирования нормального стационарного случайного процесса − белого шума со спектральной плотностью G (fk ) = ∆tD, где D − дисперсия данного процесса, а
 (f ), а
∆t = T N . На этом примере показано вычисление оценки G
k
также определение ее точности.
Порядок выполнения лабораторной работы
Перед выполнением лабораторной работы следует согласовать
с преподавателем объем предполагаемых вычислений в соответствии с мощностью используемой вычислительной техники, а также основные исходные данные для проведения моделирования.
1. Оценка равномерной спектральной плотности.
В этой части лабораторной работы необходимо сформировать M
реализаций стационарного дельта-коррелированного случайного
процесса и провести оценку его спектральной плотности. Вывести
7
не менее четырех графиков полученной оценки, иллюстрирующих
влияние длины реализации N и числа усреднений M на данную
оценку.
Далее следует определить точность оценки равномерной спектральной плотности при различном числе усреднений M (по аналогии с примером, приведенным в приложении 1). Для этого моделирование надо повторить несколько раз, изменяя значение M, а результаты вычисления нормированного среднеквадратического значения погрешности e на каждом шаге заносить в табл. 1. Время te,
затраченное на моделирование при каждом значении M, также заносится в табл. 1.
Таблица 1
Точность оценки спектральной плотности
M
10
20
50
100
200
500
1000
e, %
te, с
2. Оценка спектральной плотности случайного процесса, полученного в результате интерполяции по его отдельным значениям.
При выполнении этой части лабораторной работы необходимо
сформировать M реализаций случайного процесса, который имитируется либо за счет фиксации одного своего значения для нескольких временных отсчетов (приложение 2), либо на основе интерполяции отдельных случайных данных с использованием встроенного
оператора interp(...) (приложение 3). Примеры подобных действий можно найти также в «Справке» (F1) программы Mathcad и
в литературных источниках, например, [3]. Параметры интерполяции задаются индивидуально и должны быть согласованы с преподавателем.
По результатам моделирования необходимо представить не менее четырех графиков оценки спектральной плотности, которые бы
показывали влияние длины реализации N и числа усреднений M
на полученную оценку.
Оформление отчета
Отчет о выполнении лабораторной работы оформляется в виде
рабочих листов Mathcad формата A4 и предоставляется непосредственно в электронном виде. При этом должны соблюдаться все
8
требования, предъявляемые к оформлению лабораторных работ в
ГУАП (http://guap.ru/guap/standart/blank_main.shtml).
Обязательным является наличие титульного листа, изложения
цели работы, порядка ее выполнения и выводов. Все используемые
переменные, а также действия, выполняемые на рабочих листах,
должны сопровождаться комментариями. Результаты моделирования в виде графиков и таблиц должны иметь названия.
Контрольные вопросы
В зависимости от подготовленности студента и специальности
обучения могут быть предложены контрольные вопросы следующих трех видов.
1. Раскрыть и объяснить отдельные понятия, выделенные курсивом. При этом каждому студенту предлагается подробно изложить
одно/два понятия на основе имеющихся знаний, конспекта лекций
и рекомендуемой литературы.
2. Построить в графическом виде и объяснить один из алгоритмов, использованных при выполнении лабораторной работы.
3. Методом Монте-Карло или аналитическими действиями установить какой-либо оговоренный преподавателем дополнительный
факт в рамках данной лабораторной работы.
9
Лабораторная работа № 2
Прямой метод оценки
корреляционных характеристик
случайных процессов
Цель работы – изучение и освоение навыков практического применения прямого метода оценки корреляционных характеристик
стационарных случайных процессов, имитируемых на ЦВМ.
Методические указания, основные понятия
Нахождение прямой оценки ковариационной функции основано
на определении данной функции [6] и осуществляется по одной из
моделируемых дискретных реализаций x[n] (n=0, …, N–1) стационарного случайного процесса ξ(t) (рис. 1) следующим образом:
1 N-r -1
å x[n]x[n + r ],
N - r n=0
(10)
1 N-r -1
å (x[n]- mξ )(x[n + r ]- mξ ),
N - r n=0
(11)
 [r ] =
K
где r=0, …, Ns − сдвиг (аргумент ковариационной функции);
Ns<N–1 – максимальное значение сдвига r.
Подобным образом находится прямая оценка корреляционной
функции:
 [r ] =
R
где mξ – выборочное среднее случайного процесса ξ(t).
В оценке (11) используется неизвестное математическое ожидание случайного процесса ξ(t), которое предварительно подлежит
оценке. При известном математическом ожидании реализацию x[n]
можно центрировать, после чего оценки ковариационной и корре [r ] = R
 [r ].
ляционной функций будут совпадать, т. е. K
Для оценки корреляционной функции на ЦВМ предпочтительно применять векторно-матричный алгоритм в виде квадратичной
формы [8], который в случае центрированного стационарного случайного процесса имеет вид
 [r ] = a xT sr x, R
r
(12)
где ar = 1 (N - r ) – нормирующий коэффициент; x – вектор-столбец
из N дискретных отсчетов одной реализации моделируемого слу10
чайного процесса; ()T – знак транспонирования; s – матрица
сдвига вперед размеров N ´ N :
é 0 0 0  0ù
ê
ú
ê 1 0 0  0ú
ê
ú
(13)
s = êê0 1 0  0úú . ê    ú
ê
ú
ê 0 0  1 0ú
ê
úû
ë
В выражении (12) возведение матрицы s в r-ю степень дает матрицу сдвига на r отсчетов.
Нормированные среднеквадратические значения случайной погрешности e[r], характеризующие точность оценки корреляционной функции, определяются относительно истинных значений корреляционной функции R[r] для каждого r=0, …, Ns. Известно, что
 [r ] для стационарного случайного процесса свядисперсия оценки R
зана с его коэффициентом корреляции ρ[r], а для описания точности
 [r ] наиболее часто используется гауссовская приближеноценки R
ная модель [1]. Применение этой модели позволяет с достаточной
для практики точностью описать величину e[r] через ее квадрат:
 [r ]
D R
1 æç
1 ÷÷ö
ε2 [r ] =
@ çç1 +
(14)
÷÷.
N ççè
R 2 [r ]
ρ2 [r ]÷ø
{ }
Пример применения прямого метода оценки корреляционной
функции, основанного на выражении (12), показан в приложении 2.
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Самостоятельная оценка корреляционной функции прямым
методом.
Показать пример применения прямого метода оценки корреляционной функции с использованием одного из выражений – (11)
или (12) для дельта-коррелированного случайного процесса (из приложения 1). Для этого надо составить свой вариант программы прямого метода оценки корреляционной функции, пользуясь встроенными средствами программы Mathcad.
2. Определение точности оценки корреляционной функции.
Для модели случайного процесса, приведенного в приложении
2, составить программу, позволяющую многократно (M раз) оцени11
вать корреляционную функцию в каждой точке r с целью сбора статистики для определения точности вычисляемой оценки. Для каждого r=0, 1, …, Ns<L (L − число экстраполируемых отсчетов) соответ [r ] вычисляется M раз, после чего рассчитываствующая оценка R
ются среднеквадратические значения e[r] через отношение Stdev
 [r ] )/ R [r ] , где Stdev(...) − оператор вычисления среднеквадра(R
тического значения программы Mathcad. Теоретические значения
корреляционной функции R[r] (треугольного вида) следует предварительно рассчитать в рабочих листах Mathcad, полученные значения e[r] занести в табл. 2.
Таблица 2
Точность оценки корреляционной функции прямым методом
M
100
200
500
1000




e[0], %
e[1], %
e[2], %

e[Ns], %
Данные табл. 2 следует представить в виде графиков на рабочих
листах программы Mathcad, а затем сравнить эти данные с теоретическими.
Внимание! Разделы «Оформление отчета» и «Контрольные вопросы» приведены в лабораторной работе № 1.
12
Лабораторная работа № 3
Косвенный метод оценки
корреляционных характеристик
случайных процессов
Цель работы – изучение и освоение навыков практического применения косвенного метода оценки корреляционных характеристик
стационарных случайных процессов, имитируемых на ЦВМ .
Методические указания, основные понятия
Представление моделируемого случайного процесса ξ(t) в данной лабораторной работе аналогично описанному выше (рис. 1), а оценке подлежат ковариационная и корреляционная функции этого процесса.
Косвенная оценка ковариационной функции основывается на соотношении Винера–Хинчина и находится как обратное преобразование Фурье от оценки спектральной плотности случайного процесса ξ(t).
Обратное финитное преобразование Фурье, по аналогии с (1),
определено для ограниченного диапазона частот [–F, F], а его при (f ) можменение к непрерывной оценке спектральной плотности G
но представить следующим образом:
 (τ ) =
K
0
F
ò
 (f )exp {j2πf τ}df,
G
(15)
-F
 (τ ) − оценка ковариационной функции как непосредственгде K
0
ный результат преобразования (15).
 (τ ) имеет «цикличеПолучаемая по выражению (15) оценка K
0
ский» характер с периодом повторения, равным T. Связано это с
тем, что на временном интервале Т процесс, получаемый в результате финитного преобразования Фурье, эквивалентен реализации
одного периода периодической функции. Следовательно, непосред [r ] соственная дискретная оценка ковариационной функции K
0
держит две составляющие, первая из которых является оценкой ко [r ] относительно аргумента r, а вторая –
вариационной функции K
 [N - r ]. Сумма этих составляюотносительно аргумента N–r, т. е. K
щих, согласно [1], равна
 [r ] = N - r K
 [r ]+ r K
 [N - r ]. K
0
N
N
(16)
13
Выражение (16) показывает возможность наложения двух сла [r ] друг на друга. Очевидно, что с увеличением
гаемых оценки K
0
числа N, задающего интервал T при фиксированном шаге дискретизации Dt, или при уменьшении ширины ковариационной функции,
 [r ] и K
 [N - r ] – можно
перекрытия двух слагаемых в (16) – оценок K
избежать. На практике это условие означает выбор максимального
сдвига r не более n/10.
Другой способ, позволяющий исключить перекрытие функций
 [r ] и K
 [N - r ], состоит в дополнении каждой реализации x [n ]
K
m
вектором из N нулей. Дополненный таким образом вектор будет
иметь размер 2N, а составляющие оценки ковариационной функции, вычисленные на основе этого вектора, будут полностью разделены, т. е.
ìN -r 
ï
ï
K [r ], r = 0, , N -1
ï
ï

(17)
K0 [r ] = í N
.
ï
r -N 
ï
K [2N - r ], r = N, , 2N -1
ï
ï
ï
î N
 [r ] для r Î [0, N -1] представляет соПервая половина оценки K
0
бой оценку ковариационной функции при положительных значениях r, а вторая − при r Î [N, 2N -1], т. е. при отрицательных значениях r. Ввиду свойства четности ковариационной функции вторую
 [r ] можно исключить, тогда в окончательном
половину оценки K
0
виде для несмещенной оценки ковариационной функции запишем
 [r ] =
K
N 
K0 [r ]. N -r
(18)
Последовательность операций вычисления косвенной оценки ковариационной функции представлена в виде алгоритма на рис. 2.
Алгоритм ориентирован на программу Mathcad и содержит следующие основные блоки.
1. В блоке ввода исходных данных задаются максимальный
сдвиг Ns, длина реализации N>Ns в виде N=2p, где p – целое число, а
также число реализаций M.
2. В цикле по переменной m=0, …, M–1 на каждом шаге генерируется (либо считывается из результатов предыдущих примеров моделирования) вектор xm размера N, который затем дополняется вектором из N нулей. Сформированный таким образом вектор ym размера 2N обрабатывается оператором быстрого преобразования Фу14
Начало
Ввод исходных данных:
M, N = 2 p , 
i Î 0, , M - 1
ïìx [n ], n Î 0, , N - 1
ym = ïí m
ïïî0, n Î N, , 2N - 1
Ym = FFT {ym }
G [k] =
2 M -1
2
å Ym [k] , k Î 0, , N
M m =0
K = IFFT {G}
K [r ] =
N
K0 [r ], r Î 0, , NS
N -r
Графический вывод
Конец
Рис. 2. Алгоритм косвенной оценки корреляционной функции
на основе быстрого обратного преобразования Фурье
рье FFT{...}, который возвращает результат − вектор коэффициентов Ym.
3. Исходя из полученных M векторов Ym, определяется оценка
спектральной плотности G как вектор размера N+1, а затем за счет
быстрого обратного преобразования Фурье – оператора IFFT{...} –
формируется вектор оценки ковариационной функции K (функции
 [r ] ).
K
0
15
4. В последних двух блоках алгоритма полученная оценка, соответственно, корректируется относительно коэффициента N/(N–r)
согласно (18) и выводится в виде графика с максимальным сдвигом
Ns.
Косвенный метод оценки ковариационной функции на основе быстрого обратного преобразования Фурье обладает преимуществом в
скорости вычислений по сравнению с прямым методом, описанным
в лабораторной работе № 2. В частности, при Ns=N и N=2p коэффициент ускорения вычислений примерно равен 2p–1/p.
Порядок выполнения лабораторной работы
1. Сравнение скорости вычисления прямой и косвенной оценок
корреляционной функции.
Показать пример применения косвенного метода оценки корреляционной функции для дельта-коррелированного случайного процесса (из приложения 1).
Сравнить результат и скорость вычисления данной оценки с аналогичным примером из лабораторной работы № 2 для случая прямого метода оценки корреляционной функции. Операторы соответствующих математических действий можно скопировать из рабочих листов лабораторной работы № 2 и последовательно рассчитать
прямую и косвенную оценки корреляционной функции, засекая в
каждом случае время вычислений.
2. Применение косвенного метода оценки ковариационной функции для заданного стационарного случайного процесса.
В качестве такого процесса может быть выбран один из процессов, моделируемых в приложениях 2 и 3, либо их сумма. При этом
преподавателем оговариваются исходные данные: тип и параметры
этого процесса. На основе исходных данных сперва производится
расчет теоретической ковариационной функции, а затем выполняется моделирование и вычисляется косвенная оценка ковариационной функции, которая подлежит сравнению с теоретической.
Внимание! Разделы «Оформление отчета» и «Контрольные вопросы» приведены в лабораторной работе № 1.
16
Рекомендуемая литература
1. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 540 с.
2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
3. Гурский Д. А., Турбина Е. С. Вычисления в Mathcad 12. СПб.:
Питер, 2006. 544 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / под общ. ред. И. Г. Арамановича. М.: Наука, 1974. 800 с.
5. Микропроцессорные системы автоматического управления /
под общ. ред. В. А. Бесекерского. Л.: Машиностроение. Ленингр.
отд-е, 1988. 365 с.
6. Справочник по теории вероятности и математической статистике / В. С. Королюк и др. М.: Наука, 1985. 640 с.
7. Цифровая обработка сигналов: справочник / Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. М.: Радио и связь. 1985. 312 с.
8. Шалыгин А. С., Палагин Ю. И. Прикладные методы статистического моделирования. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-е, 1986.
320 с.
17
Приложение 1
Пример оценки спектральной плотности
ɂɫɯɨɞɧɵɟɞɚɧɧɵɟɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ
1
ɞɥɢɧɚɨɞɧɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
0
ɱɢɫɥɨɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɵɯɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣ
'
ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
7
ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶɨɞɧɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
Ɏɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
P
P!
[
Q
ɰɢɤɥɩɨɪɟɚɥɢɡɚɰɢɹɦɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
0
UQRUP 1 ' ɝɟɧɟɪɚɬɨɪɫɥɭɱɚɣɧɵɯɱɢɫɟɥɞɥɹ Pɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
1
ɰɢɤɥɩɨɨɬɫɱɟɬɚɦɜɧɭɬɪɢɤɚɠɞɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
Ɉɰɟɧɤɚ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
P!
;
8
P ! ɛɵɫɬɪɨɟɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɎɭɪɶɟɞɥɹ Pɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
))7 [
; N
*7N
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɤɜɚɞɪɚɬɚɦɨɞɭɥɹ
N!
1
7
ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟɭɫɪɟɞɧɟɧɧɨɣɨɰɟɧɤɢ
*N 7 PHDQ 8
ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
7 '
ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɣ
1 ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɬɨɱɧɨɫɬɢɨɰɟɧɤɢ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
H
H7
6WGHY * H
*7
0
18
H7
ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɟɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɟɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢɨɰɟɧɤɢɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɣ
ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟɡɧɚɱɟɧɢɟɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ
ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɣɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɢ
ɨɰɟɧɤɢ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɣ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
ɊɟɚɥɢɡɚɰɢɹɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚɩɪɢP [
Q
Q
Ɉɰɟɧɤɚ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
ɬɨɱɤɢɢɫɩɥɨɲɧɚɹɥɢɧɢɹɢɟɟɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɭɧɤɬɢɪɧɚɹɥɢɧɢɹ
*
N
*7
N
*
N
N
19
Приложение 2
Пример прямого метода оценки корреляционной
функции
ɂɫɯɨɞɧɵɟɞɚɧɧɵɟɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ
ɞɥɢɧɚɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
1
ɱɢɫɥɨɡɧɚɱɟɧɢɣɨɰɟɧɢɜɚɟɦɨɣɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
1V
/
ɱɢɫɥɨɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɭɟɦɵɯɨɬɫɱɟɬɨɜ
Ɏɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
[
UQRUP FHLO
Q
1
\Q
1
/
ɝɟɧɟɪɚɬɨɪɢɫɯɨɞɧɵɯɫɥɭɱɚɣɧɵɯɞɚɧɧɵɯ
ɰɢɤɥɩɨɨɬɫɱɟɬɚɦɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
[
IORRU
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ
ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
Q
/
ɑɚɫɬɶɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɷɤɫɬɪɚɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
\
Q
[
IORRU
Q
/
20
Q
Q
Ɉɰɟɧɤɚɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢɩɪɹɦɵɦɦɟɬɨɞɨɦ
1
U
1V ɰɢɤɥɩɨɫɞɜɢɝɭɚɪɝɭɦɟɧɬɭɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
5U
1
U
M
1
VL M
LI L
M
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɷɥɟɦɟɧɬɨɜ
ɦɚɬɪɢɰɵɫɞɜɢɝɚ L
7 U
\ V \ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɡɧɚɱɟɧɢɣɨɰɟɧɢɜɚɟɦɨɣ
ɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢɩɨɜɵɪɚɠɟɧɢɸ
Ƚɪɚɮɢɤɨɰɟɧɤɢɤɨɪɪɟɥɹɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɩɪɹɦɵɦɦɟɬɨɞɨɦ
5
5
U
U
U
21
Приложение 3
Пример косвенного метода оценки
ковариационной функции
ɂɫɯɨɞɧɵɟɞɚɧɧɵɟɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ
1
ɞɥɢɧɚ ɨɞɧɨɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
0
ɱɢɫɥɨɦɨɞɟɥɢɪɭɟɦɵɯɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣ
/
ɱɢɫɥɨɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɭɟɦɵɯɨɬɫɱɟɬɨɜ
Ɏɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
,
FHLO
P
1
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɨɛɴɟɦɚɫɥɭɱɚɣɧɵɯɞɚɧɧɵɯɞɥɹ
/ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹɨɞɧɨɣɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
0
L
,
Q
1
[
P!
UQRUP , ɝɟɧɟɪɚɬɨɪɢɫɯɨɞɧɵɯɫɥɭɱɚɣɧɵɯ
ɞɚɧɧɵɯɞɥɹ 0ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
WL
L ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɭɟɦɵɯɨɬɫɱɟɬɨɜ
ɰɢɤɥɩɨɨɬɫɱɟɬɚɦɜɧɭɬɪɢɤɚɠɞɨɣɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
\Q P
LQWHUS FVSOLQH W [
P!
W[
P!
Q
/
ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɣ
ɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ
ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
ɑɚɫɬɶɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɢɧɬɟɪɩɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨɩɪɨɰɟɫɫɚ
\
Q [
[
Q
/
Q
/
22
Q
Q
ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟɤɨɫɜɟɧɧɨɝɨɦɟɬɨɞɚɨɰɟɧɤɢɤɨɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
Q
1 1
<
8
P!
\Q P
ɞɨɩɨɥɧɟɧɢɟɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢɜɟɤɬɨɪɨɦɢɡ 1ɧɭɥɟɣ
P!
ɛɵɫɬɪɨɟɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɟɎɭɪɶɟɞɥɹ Pɣ ɪɟɚɥɢɡɚɰɢɢ
))7 \
< ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɤɜɚɞɪɚɬɚɦɨɞɭɥɹɤɚɠɞɨɝɨɷɥɟɦɟɧɬɚɦɚɬɪɢɰɵ
7
PHDQ 8
ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɟɭɫɪɟɞɧɟɧɧɨɣɨɰɟɧɤɢ
ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
1
.
,))7 * ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟɨɰɟɧɤɢɤɨɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
U
1
*N
N!
N
.U
.U 1
1
U
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹɤɨɫɜɟɧɧɨɣɨɰɟɧɤɢ
ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
Ƚɪɚɮɢɤɨɰɟɧɤɢɤɨɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɣɮɭɧɤɰɢɢ
ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɣɤɨɫɜɟɧɧɵɦɦɟɬɨɞɨɦ
.
.
.
U
U
U
U
23
Содержание
Лабораторная работа № 1. Оценка спектральных
характеристик случайных процессов.............................. Лабораторная работа № 2. Прямой метод оценки
корреляционных характеристик случайных процессов ..... Лабораторная работа № 3. Косвенный метод оценки
корреляционных характеристик случайных процессов ..... Рекомендуемая литература........................................... Приложение 1. Пример оценки спектральной плотности... Приложение 2. Пример прямого метода оценки
корреляционной функции............................................. Приложение 3. Пример косвенного метода оценки
ковариационной функции............................................. 24
3
10
13
17
18
20
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
606 Кб
Теги
pavlovosnovy
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа