close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

pdf11

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
Теория функций
комплексного переменного
и операционное исчисление
Методические указания
к выполнению контрольных работ
Санкт-Петербург
2011
Составители: Д. В. Бутенина, В. М. Лагодинский
Рецензент канд. физ. матем. наук Ю. А. Гусман
Методические указания к выполнению контрольных работ по
курсу «Теория функций комплексного переменного и операционное
исчисление» предназначены для студентов, обучающихся по техническим специальностям на заочной и очно-заочной формах обучения.
Редактор В. П. Зуева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 25.10.11. Подписано к печати 8.11.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,53.
Уч.-изд. л. 1,65. Тираж 100 экз. Заказ № 548.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2011
1. Комплексные числа
Комплексным числом z называется выражение вида
z = x + iy,
(алгебраическая форма числа z), где i – мнимая единица, определяемая условием i2 = – 1, x и y – вещественные числа, причем
x = Re z называется вещественной частью числа z, y = Im z – мнимой частью z.
Число z = x - iy называется сопряженным к z.
Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то
z1±z2 = (x1±x2) + i(y1±y2),
z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2y1y2 =
= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
При делении двух комплексных чисел следует числитель и знаменатель умножить на сопряженное к знаменателю число z :
z1 x1 + iy1 (x1 + iy1 )(x2 - iy2 ) x1x2 - ix1y2 + ix2 y1 - i2 y1y2
=
=
=
=
z2 x2 + iy2 (x2 + iy2 )(x2 - iy2 )
(x2 + iy2 )(x2 - iy2 )
x x + y1y2
x y - x1y2
= 1 2
+i 2 1
.
2
2
x2 + y2
x22 + y22
Число r (рис.1.1) называется модулем комплексного числа z и
обозначается |z|: z = x2 + y2 . Угол j называется аргументом комy
плексного числа и обозначается argz, при этом tg j = . Аргумент
x
j определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого, кратного
2p: j = argz + 2pk, k = 0,±1,±2,..., где –p≤argz≤p или 0≤argz≤2p –
главное значение аргумента.
3
Z
Z
S

Y
Y
Рис. 1. 1
Поскольку x = rcosj, y = rsinj, то комплексное число z можно
представить в виде
z = x + iy = r(cosj + isinj) = |z|(cosj + isinj)
– тригонометрическая форма комплексного числа z.
Если даны два комплексных числа в тригонометрической форме
z1 = r1(cosj1 + isinj1) и z2 = r2(cosj2 + isinj2), то
z1z2 = r1r2(cos(j1 + j2) + isin(j1 + j2)),
z1 r1
= (cos(j1 – j2 ) + isin(j1 – j2 )),
z2 r2
zn = rn(cosnj + isinnj).
Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое
комплексное число w, что
wn = z.
Обозначение для корня: w = n z. Корень n-й степени из числа
z = r(cosj + isinj) |имеет n различных значений, определяемых по
формуле
æ
æ j + 2pk ÷ö
æ j + 2pk ÷öö÷
wk = n z = n r ççcosçç
÷ + i sin ççç
÷÷, k = 0,1,,n -1.
èç n ÷ø
è n ø÷÷ø
èç
Геометрически числа wk располагаются в вершинах правильного n–угольника, вписанного в круг радиуса n r с центром в начале
координат.
æ 1 - i ö÷9
Пример 1. Представить в алгебраической форме z = çç
÷ .
çè 3 + i ÷ø
4
Решение. Пусть z1 = 1–i, z2 = √3 + i. Имеем r1 = |z1| = √2,
tgj1 = –1; точка z1 принадлежит четвертому квадранту. Анало1
гично, r2 = |z2| = 2, tg j2 =
; точка z2 лежит в первом квадранте,
3
поэтому
æ z1 ö÷9 æ r1 ö÷9
z = çç ÷÷ = çç ÷÷ éë cos 9(j1 - j2 )+ i sin 9(j1 - j2 )ùû =
çè z ø÷
èç r ø÷
2
2
9
æ 2ö é
57
57 ù 1 + i
= ççç ÷÷÷ ê cos p + i sin pú =
.
çè 2 ÷ø êë
4
4 úû
32
5-i
.
3 + 2i
1) Записать число z в алгебраической и тригонометрической
формах.
2) Найти 3 z.
Решение.
5-i
(5 - i)(3 - 2i)
15 -10i - 3i + 2i2
=
=
=
z=
2
3 + 2i (3 + 2i)(3 - 2i)
i
9
4
1)
15 -13i - 2 13 -13i
=
=
= 1 - i.
9+4
13
– алгебраическая форма.
Пример 2. Дано комплексное число z =
r = 1 + 1 = 2; tgj =
-1
= -1. Поскольку число z находится в
1
p
4-й четверти, то j = - . 
4
Таким образом, тригонометрическая форма числа z:
æ
æ pö
æ p öö
wk = z = 2 ççcosçç- ÷÷÷ + i sin çç- ÷÷÷÷÷÷.
çè 4 øø
èç 4 ø
èç
æ
æ p
ö
æ p
öö
çç
çç - + 2pk ÷÷
çç - + 2pk ÷÷÷÷
÷
÷÷÷÷
ç
÷÷ + i sin çç 4
2) 3 z = 3 r ççcosççç 4
÷÷÷÷, k = 0,1,2.
ç
÷
çç
3
3
÷÷
÷÷÷÷÷
çç
çç
çç
÷ø
÷ø÷ø
çè
çè
è
При k = 0
æ
æ pö
æ p öö
æ
p
pö
w0 = 3 z = 6 2 ççcosçç- ÷÷÷ + i sin çç- ÷÷÷÷÷ = 6 2 ççcos - i sin ÷÷÷ @
çè 12 ø
çè 12 ø÷ø
çè
çè
12
12 ø
@ 1,122(0,996 - 0,259i) = 1,084 - 0,291i.
5
При k = 1
æ æ p
æ
öö
çç çç - + 2p ö÷÷
çç - p + 2p ÷÷÷÷
÷÷
÷÷÷÷
çç çç 4
çç 4
w1 = z = 2 çcosç
÷ + i sin ç
÷÷÷÷ =
çç
÷÷÷
÷÷÷÷
3
3
ççç çç
÷ø
÷ø÷ø÷
çè
èç çè
3
6
æ
7p
7p ö
= 6 2 ççcos + i sin ÷÷÷ @ 1,122(-0,259 + 0,966i) =
çè
12
12 ø
= -0,291 + 1,084i.
При k = 2
æ
æ p
ö
æ p
öö÷
ççç ççç - + 4p ÷÷÷
ççç - + 4p ÷÷÷÷÷
4
÷
÷÷
w2 = 3 z = 6 2 ççcosçç 4
÷÷÷ + i sinççç
÷÷÷÷÷÷ =
çç
çç
3
3
÷
÷÷÷
ç
÷øø÷
çè
çèç
èç
ø÷
æ
5p
5p ö
= 6 2 ççcos + i sin ÷÷÷ @ 1,122(-0,707 - 0,707i) =
çè
4
4ø
= -0,793 - 0,793i.
2. Функции комплексной переменной
2.1. Определение функции комплексной переменной
Пусть даны две плоскости комплексной переменной z = x +
+ yi (плоскость Z) и w = u + vi (плоскость W) и множества D Ì Z и
G Ì W.(рис. 2.1).
W
Z
;
8
%
(
Y
Рис.2.1
6
V
Если каждому числу z Î D по некоторому закону поставлено
в соответствие единственное число w Î G , то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексной переменной
w = f(z), отображающая D множество в множество G.
Если каждому z Î D поставлено в соответствие несколько значений w Î G , то функцию w = f(z) называют многозначной.
Если w = u + iv есть функция от z = x + iy, то каждая из переменных u и v является функцией от x и y, т. е. u = u(x,y) и v = v(x,y).
Поэтому
w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y),
где u(x,y) = Re f(z) и v(x,y) = Im f(z) соответственно вещественная и
мнимая части функции f(z).
Функции комплексной переменной ez, sinz, cosz, shz, chz определяют как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости Z:
ez = 1 +
sin z = z -
z3 z5 z7
z2n+1
+ - + ... + (-1)n
+ ...
3! 5! 7 !
(2n + 1)!
cos z = 1 shz =
z z2 z3
zn
+ + + ... +
+ ...
n!
1! 2 ! 3 !
z2 z4 z6
z2n
+
+ ... + (-1)n
+ ...
2! 4 ! 6 !
(2n)!
ez - e-z
z3 z5
z2n+1
= z+
+
+ ... +
+ ...
2
3! 5!
(2n + 1)!
chz =
ez + e-z
z2 z4
z2n
=1+
+
+ ... +
+ ...
2
2! 4 !
(2n)!
Справедлива формула Эйлера
eiz = cosz + isinz,
из которой следуют формулы
cosz =
eiz + e-iz
eiz - e-iz
, sinz =
.
2
2i
1
Функции z n (n – целое положительное число), Lnz, Arcsinz и
Arccosz определяют как обратные по отношению к zn, ez, sinz,
cosz.
7
Эти обратные функции являются многозначными функциями.
Можно показать, что
Lnz = lnr + i(j + 2pk),
где k = 0,±1,±2,..., r = |z|, j = argz.
Степенную функцию w = za, где a = α + iβ – любое комплексное число, определяют равенством za = eaLnz. Это функция многозначна.
Показательную функцию w = az, определяют равенством az =
zLna
=e
, где a – любое комплексное число.
Приведем примеры вычисления значений функции комплексной переменной при заданных значениях аргументов.
Пример 3. Дана функция f(z) = z2 + z. Найти значение функции
при z0 = 2 – i.
Решение. f(z0) = ( 2 – i) 2 + 2 – i = 4 – 4i + i2 + 2 – i = 4 + 2 – 1 –
–5i = 5 – 5i.
Пример 4. Дана функция f(z) = cosz. Найти значение функции
при z0 = 1 + 3i.
Решение.
f (z0 )=cos(1 + 3i) =
=
=
ei(1+3i) + e-i(1+3i) e-3ei + e3e-i
=
=
2
2
e-3 (cos1 + i sin1) + e3 (cos1 - i sin1)
=
2
(e-3 + e3 )cos1 + i(e-3 - e3 )sin1
» 5,4396 - 8,4298i.
2
Пример 5. Дана функция f(z) = Lnz. Найти значение функции
при z0 = 1 + i√3.
Решение.
r = x2 + y2 = 12 + ( 3)2 = 2, j = arg z = arctg
p
y
= arctg 3 = .
x
3
æp
ö
f (z0 ) = ln 2 + içç + 2pk÷÷÷, k = 0,±1,±2,.
çè 3
ø
Пример 6. Дана функция f(z) = zz. Найти значение функции при
z0 = i.
æ p
ö
æ
1ö
i
Решение. f (z0 ) = i = e
где k = 0,±1,±2,...
8
i Ln i
=e
içççi +2pki÷÷÷
è 2
ø
p
- -2pk
2
=e
-ççç2k+ ÷÷÷p
è
2ø
=e
,
2.2. Производная от функции комплексной переменной
Пусть задана однозначная функция w = f(z) в области D.
Δw
f (z + Δz) - f (z)
dw
Предел lim
, если он суще= lim
= f ¢(z) =
dz
Δz
Δz®0 Δz
Δz®0
ствует, называют производной от f(z) в точке z Î D.
В этом случае говорят, что функция w = f(z) дифференцируема в
Δw
точке z. Важно отметить, что предел отношения
должен быть
Δz
одним и тем же числом, независимо от направления, по которому
точка z + Δz приближается к точке z.
Функцию f(z) называют аналитической в области D, если она
дифференцируема в каждой точке этой области. Для дифференцируемости функции w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции u = u(x,y) и v = v(x,y) были
дифференцируемы в данной точке и выполнялись условия КошиРимана:
¶u ¶v ¶u
¶v
= ;
=- .
¶x ¶y ¶y
¶x
Производная функции f(z) выражается через частные производные функций u(x,y) и v(x,y) по формулам:
f ¢(z) =
¶u
¶v ¶u
¶u ¶v
¶u ¶v
¶v
+i
=
-i
=
-i
=
+i .
¶x
¶x ¶x
¶y ¶y
¶y ¶y
¶x
Правила дифференцирования, выведенные для функций вещественной переменной, сохраняются для функции комплексной
переменной.
Пример 7. Представить заданную функцию w = z3, где z = x + iy,
в виде w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной
точке z0 = –1 + i.
Решение. w = (x + iy)3 = x3 + 3x2yi – 3xy2 – y3i = (x3– 3xy2) +
+ i(3x2y– y3).
Проверим, выполнены ли условия Коши-Римана:
u(x, y) = (x3 – 3xy2 ),
¶u
= 3x2 - 3y2 ,
¶x
¶u
= -6xy,
¶y
v(x, y) = (3x2 y – y3 ),
¶v
= 3x2 - 3y2 ,
¶y
¶v
= 6xy.
¶x
9
Отсюда следует, что
¶u ¶v ¶u
¶v
= ;
=- .
¶x ¶y ¶y
¶x
Поскольку функции u = u(x,y) и v = v(x,y) дифференцируемы на
всей плоскости Z и условия Коши-Римана выполнены, то данная
функция является аналитической на Z.
Найдем производную:
f′(z) = 3z2, тогда f′(z0) = 3(–1 + i)2 = –6i.
Можно найти f′(z0) иначе:
f ¢(z) =
¶u
¶v
+i
= (3x2 - 3y2 ) + i6xy.
¶x
¶x
Поскольку z0 = –1 + i, где x = –1, y = 1, то получим
f′(z0) = 0 – 6i = –6i.
2.3. Интеграл от функции комплексной переменной
Вычисление интеграла от однозначной функции f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
(z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексной переменной z = x + iy сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов:
ò f (z)dz = ò udx - vdy + i ò vdx + udy, L
L
где u = u(x,y), v = v(x,y).
Если кривая L задана
x = x(t), y = y(t), t0 £ t £ t1, то
ò
L
(1)
L
параметрическими
уравнениями
t1
f (z)dz = ò f [z(t)]z ¢(t)dt, (2)
t0
где z(t) = x(t) + iy(t).
Интеграл
ò f (z)dz, в общем случае, зависит от пути интегрироL
вания L. Если f(z) – аналитическая функция в односвязной области
D, то значение интеграла
ò f (z)dz
L
не зависит от формы линии L, а
только от начальной и конечной точки этой линии.
10
Пример 8. Вычислить интеграл
ò Re zdz, где
L
а) L – отрезок прямой от точки O(0,0)до точки B(1,1);
б) L – ломаная с вершинами O(0,0), A(0,1), B(1,1).
Решение.
Случай а)
Записываем f(z) в алгебраической форме
f(z) = x.
Используя формулу (1), представляем искомый интеграл в виде
суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
u = u(x,y) и v = v(x,y) двух вещественных переменных x и y:
ò Re zdz = ò xdx + i ò xdy.
L
L
L
Записываем уравнение отрезка OB: y = x, 0≤x≤1.
Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным:
ò
L
Ответ:
1
1
0
0
xdx + i ò xdy = ò xdx + i ò xdx =
L
ò Re zdz =
L
1+ i
.
2
1+ i
.
2
Случай б)
Поскольку путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:
ò Re zdz = ò
L
Re zdz +
OA
ò
Re zdz,
AB
и каждый интеграл вычисляем также как в случае а).
Записываем f(z) в алгебраической форме
f(z) = x.
Используя формулу (1), представляем искомый интеграл в виде
суммы двух криволинейных интегралов второго рода от функций
u = u(x,y) и v = v(x,y) двух вещественных переменных x и y:
ò Re zdz = ò xdx + i ò xdy.
L
L
L
11
Записываем уравнения кривой L, т.е. отрезка OA: y = 0, (0≤x≤1)
и отрезка AB: x = 1, (0≤y≤1).
Вычисляем криволинейные интегралы, сводя их к определенным:
ò
xdx + ixdy +
OA
Ответ:
ò
AB
1
1
0
0
1
xdx + ixdy = ò xdx + i ò dy = + i.
2
1
ò Re zdz = 2 + i.
L
Замечание. Подынтегральная функция не является аналитической, поэтому интегралы по различным кривым, соединяющим две
данные точки, могут иметь различные значения.
Пример 9. Вычислить интеграл
ò
z zdz,
L
где L – верхняя полуокружность |z| = 1, Imz>0 с обходом против часовой стрелки.
Решение. В данном случае удобно воспользоваться уравнением
кривой L в параметрической форме z = eit (0≤t≤p) и применить формулу (2)
t1
ò f (z)dz = ò f [z(t)]z¢(t)dt.
L
t0
Находим z = e–it , |z| = 1, dz = i eitdt.
Подставляем в подынтегральное выражение и вычисляем интеграл
ò
L
Ответ:
ò
p
p
0
0
z zdz = ò e-it ieit dt = ò idt = ip.
z zdz = ip.
L
Пример 10. Вычислить
ò z Re zdz,
где L – дуга кривой x = t2,
L
y = 3t, заключенная между точками A(0,0) и B(1,3).
12
Решение.
ò z Re zdz = ò (x + iy)x(dx + idy) = ò (x
L
L
2
+ iyx)(dx + idy) =
L
2
= ò x dx - xydy + i ò xydx + x2dy.
L
L
Вычислим dx = 2tdt, dy = 3dt и с учетом того, что 0≤t≤1, получим
òx
L
2
dx - xydy + i ò xydx + x2dy =
L
1
1
= ò (t4 ×2t - 3t3 × 3)dt + i ò (3t2 ×2t + t4 × 3)dt =
0
0
1
1
æ t6 9t4 ö÷
æ 6t5 3t5 ö÷
23 9
ç
= ççç +
÷÷÷ + i çç
÷÷ = - + i.
4 ø÷
5 ø÷÷
12 5
çè 3
çè 5
0
0
Ответ:
23
9
ò z Re zdz = - 12 + 5 i.
L
3. Операционное исчисление
3.1. Оригинал и изображение
Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная
функция f(t) вещественной переменной t, удовлетворяющим следующим условиям:
1. На любом конечном промежутке оси Ot функция f(t) имеет не
более чем конечное число точек разрывов первого рода (f(t) локально интегрируема).
2. f(t) = 0 для всех t<0.
3. |f(t)| возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные M>0 и s, что для всех t
f(t)≤Mest.
Нижняя грань s0 всех чисел s, для которых выполняется это неравенство, называется показателем роста функции f(t).
Простейшей функцией-оригиналом является единичная функция Хевисайда (рис. 3.1)
13
ì1 ïðè t ³ 0,
ï
ï
η(t) = ï
í
ï
ï
ï
î0 ïðè t < 0. (3)
Очевидно, что
ìf (t) ïðè t ³ 0,
ï
ï
f (t)η(t) = ï
í
ï
ï
ï
î 0 ïðè t < 0,
если f(t) удовлетворяет условиям 1 и 3, то f(t)η(t) является функциейоригиналом. Для сокращения записи вместо f(t)η(t) пишут f(t) = 0
при t<0.
Пусть p = α + iβ – комплексный параметр, причем
Rep = α≥s1≥s0.
При сформулированных условиях интеграл
+¥
F ( p) =
ò
f (t)e- pt dt (4)
0
сходится и является функцией от p.
Интеграл в правой части равенства (4) называют интегралом
Лапласа, а определяемую им функцию F(p) – изображением функции f(t). Переход от оригинала к его изображению называется преобразованием Лапласа.
η U U
U
Рис. 3.1
14
То, что F(p) является изображением f(t), символически записывают так:
·
f (t) = F ( p)
·
и называют операционным (или операторным) равенством. Употребляют и другие обозначения, например: F(p)→f(t); F(p) = Lf(t);
f(t) = L–1F(p).
Пример 11. Найти изображение единичной функции Хевисайда, определяемой формулой (3).
Решение. В соответствии с формулой (4) получаем
+¥
F ( p) =
ò
0
1× e- pt dt = lim
a
ò
a®+¥
e- pt
a®+¥ - p
e- pt dt = lim
0
æ1 1
ö
= lim çç - e- pa ÷÷÷.
÷ø
ç
p
0 a®+¥è p
a
Если Re p > 0, òî lim e- pa = 0 и в этом случае
a®+¥
ò
e- pt dt =
0
поэтому
F ( p) =
+¥
1
,
p
·
1
1
, η(t) = .
p
· p
3.2. Основные правила и теоремы операционного
исчисления
·
·
Свойство линейности. Если f1 (t) = F1 ( p), f2 (t) = F2 ( p), à C1, C2 ·
·
произвольные постоянные, то
·
C1f1 (t) + C2 f2 (t) = C1 F1 ( p) + C2 F2 ( p).
·
В частности, изображение суммы функций определяется формулой
·
f1 (t) + f2 (t) = F1 ( p) + F2 ( p).
·
Дифференцирование оригинала. Если функции f(t), f′(t),...,
·
f(n)(t) являются функциями-оригиналами и f (t) = F ( p), то
·
15
ü
ï
ï
ï
ï
·
ï
ï
ï
·
ï
ï
2
ï
f ¢¢(t) = p F ( p) - pf (0) - f ¢(0).
ï
·
ý
ï
ï
ï
.......................................
ï
ï
ï
·
ï
(n)
n
n-1
n-2 ¢
n-1
(0),ï
f (t) = p F ( p) - p
f (0) - p
f (0) - ... - f
ï
ï
·
ï
ï
þ
·
f ¢(t) = pF ( p) - f (0),
где f(k)(0) (k = 1, 2,...n – 1) есть lim f (k) (t), f (0) = lim f (t).
t®+0
t®+0
Если f(0) = 0, f(k)(0) = 0 (k = 1, 2,...n – 1), то эти формулы принимают вид
·
·
·
f ¢(t) = pF ( p), f ¢¢(t) = p2 F ( p),...., f (n) (t) = pn F ( p).
·
·
·
Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводит·
ся к делению изображения на p: если f (t) = F ( p), то
·
t
·
ò f (τ)dτ ·=
0
F ( p)
.
p
·
Теорема подобия. Если f (t) = F ( p) и λ>0, то умножение аргу·
мента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число:
·
f (t) =
·
1 æç p ö÷
F ç ÷.
λ çè λ ÷ø
·
Теорема смещения. Если f (t) = F ( p) и α – произвольное ком·
плексное число, то изменение (смещение) аргумента изображения
на величину α приводит к умножению оригинала на величину eαt:
·
F ( p - α) = eαt f (t).
·
16
·
Теорема запаздывания. Если f (t) = F ( p) и θ>0, то запаздывание
·
аргумента оригинала на положительное число θ приводит к умножению изображения на величину e–pθ:
·
f (t - θ) = e- pθ F ( p).
·
·
·
Теорема умножения. Если F1 ( p) = f1 (t), F2 ( p) = f2 (t), то
·
·
·
F1 ( p) F2 ( p) = f1 (t) * f2 (t).
·
Выражение f1(t)*f2(t) называется складкой, или сверткой функции f1(t) и f2(t), и вычисляется по формуле
t
t
0
0
f1 (t) * f2 (t) = ò f1 (τ)f2 (t - τ)dτ = ò f1 (t - τ)f2 (τ)dτ.
Операция получения складки называется свертыванием функции. В связи с этим теорему умножения можно сформулировать
так: умножение изображений приводит к свертыванию их оригиналов. Эту теорему называют также теоремой свертывания и теоремой Бореля.
Пользуясь определением изображения и свойствами изображений, можно получить изображения ряда основных элементарных
функций (табл. 1).
Пример 12. Найти изображение оригинала
f(t) = e3tsin5tcos3t.
Решение. Сначала найдем изображение оригинала sin5tcos3t =
sin 8t + sin 2t
, для этого используем табл. 1 и свойство линейности.
sin5tcos3t =
2
· æ
1
1
8
2 ö÷÷
+
(sin 8t + sin 2t) = ççç 2
÷.
2
2
· 2 èç p + 64
p + 4 ÷ø÷
Далее, используя теорему смещения, получим:
· æ
1 3t
1
8
2
÷÷ö
+
e (sin 8t + sin 2t) = ççç
÷.
2
2
2
· 2 èç ( p - 3) + 64
( p - 3) + 4 ÷÷ø
17
sin 8t + sin
2
Таблица 1
¥
Оригиналы f (t)
Изображения F ( p) = ò f (t)e- pt dt
1
η(t)
1
p
2
t
3
tn
4
eαt
5
tn eαt
6
sin βt (β > 0)
7
cos βt
8
shβt
9
chβt
10
eαt sin β t
11
eαt cos β t
12
t sin β t
13
t cos βt
14
t shβ t
15
t chβ t
№ п.п
0
18
1
p2
n!
pn+1
1
p-α
n!
( p - α)n+1
β
2
( p + β2 )
p
( p2 + β2 )
β
2
( p - β2 )
p
2
( p - β2 )
β
( p - α)2 + β2
p-α
( p - α)2 + β2
2 pβ
2
( p + β2 )2
( p2 - β2 )
( p2 + β2 )2
2 pβ
( p2 - β2 )2
( p2 + β2 )
( p2 - β2 )2
Пример 13. Найти изображение оригинала
t
I = ò e-τsin2τdτ.
0
·
Решение. По табл. 1 sin 2t =
·
2
2
p +4
, далее по теореме смещения
·
e-t sin 2t =
·
2
( p + 1)2 + 4
.
И, наконец, по теореме об интегрировании интеграла получим
t
ò
·
e-τsin2τdτ =
·
0
2
.
é
p ê( p + 1)2 + 4ùú
ë
û
Пример 14. Найти изображение для функции-оригинала, представленного графически (рис. 3.2).
Решение. Имеем
ìt,0 £ t £ 1,
ï
f (t) = ï
í
ï
ï
î1,t > 1.
Это эквивалентно записи
f (t) = tη(t)- tη(t -1)+ η(t -1)= tη(t)- (t -1)η(t -1)
G U
U
Рис. 3.2
19
И теперь, используя теорему запаздывания, табл. 1 и свойство
линейности, получим
·
1
1
tη(t)- (t -1)η(t -1) = 2 - 2 e- p .
· p
p
3.3. Восстановление оригинала по изображению
Пример 15. Восстановить оригинал по изображению
1
F ( p) =
.
2
p + p +1
Решение. В этом примере будем использовать табличное изо·
·
β
бражение: sin βt =
, и теорему смещения: eαt f (t) = F ( p - a).
·
· ( p2 + β2 )
Преобразуем
1
1
F ( p) =
=
.
2
2
2
æ
ö
2
p2 + p + (12 ) + 1 - (12 )
3
(p + 12 ) + çççè 2 ÷÷÷ø÷
Сначала найдем оригинал выражения
1
æ
p2 + çç
çè
3
2
2
ö÷
÷÷
÷ø
3
2
2
=
3
æ
p2 + çç
çè
·
=
3
2
ö2 ·
÷÷
÷÷ø
2
3
sin
3
t.
2
Далее применяем теорему смещения
·
1
æ
2
(p + 12 ) + çççè
3
2
=
2·
ö÷
÷÷÷ø
2
3
-12 t
e
sin
3
t.
2
Пример 16. Найти оригинал для изображения F(p) при помощи
разложения на простейшие дроби.
1
F ( p) =
.
p( p -1)( p2 + 4)
Решение. Разложим F ( p) на сумму простейших дробей
1
2
p( p -1)( p + 4)
20
=
A
B
Cp + D
.
+
+ 2
p p -1 p + 4
Найдем неопределенные коэффициенты A, B, C, D. Поскольку
1 º A ( p -1)( p2 + 4) + Bp( p2 + 4) + Cp2 ( p -1) + Dp( p -1),
то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, получаем
1
1
1
1
A =- , B = , C =
, D =- .
4
5
20
5
Таким образом,
F ( p) = -
·
1
1
1
1
p
1
2
+ ×
+ × 2
- × 2
=
4 p 5 ( p -1) 20 ( p + 4) 10 ( p + 4) ·
·
1 1
1
1
=- + et + cos 2t - sin 2t.
4 5
20
10
·
Пример 17. Восстановить оригинал f(t) по его изображению
F ( p) =
e-2 p
( p2 + 1)2
.
Решение. Восстанавливаем оригинал r(t) по его изображению
R ( p) =
1
2
2
( p + 1)
·
1
·
p2 + 1
. Имеем sin t =
.
По теореме умножения изображений
·
sin t * sin t =
·
1
1
.
×
p2 + 1 p2 + 1
Вычисляем свертку
t
sin t * sin t = ò sin(t - τ)sin τdτ =
0
t
1
[cos(t - 2τ) - cos t ]dτ=
2ò
0
t
é
ö ù
1æ 1
1
1
= êêçç- sin(t - 2τ) - cos t × τ÷÷÷ úú = - [sin(-t) - sin t ]- cos t × t =
ç
ø0ú
2 êè 2
4
2
ë
û
1
1
= sin t - t cos t.
2
2
21
По теореме запаздывания искомый оригинал определяется формулой
1
f (t) = r (t - 2)η(t - 2) = [sin(t - 2) - (t - 2)cos(t - 2) ]η(t - 2).
2
3.4. Применение операционного исчисления
к решению дифференциальных уравнений и систем
Рассмотрим применение правил и теорем операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем при заданных начальных условиях. Предлагаем, что искомое решение, его производные и правая
часть дифференциального уравнения являются оригиналами.
Схема решения дифференциального уравнения.
1. Искомая функция, ее производные, входящие в данное уравнение, правая часть уравнения заменяются их изображениями.
В результате получается так называемое операторное уравнение.
2. Решаем операторное уравнение относительно изображения
искомой функции.
3. Переходим от изображения искомой функции к оригиналу.
Схема решения систем дифференциальных уравнений такая же.
Пример 18.
Решить дифференциальное уравнение x′′ + x′–12x = 3, если
x(0) = 0, x′(0) = 1.
Решение. Пусть x = x(t) – искомое решение. Тогда
·
x = X( p),
·
·
x ¢ = pX ( p)- x (0) = pX ( p)-1,
·
·
x ¢¢ = p2 X ( p)- px (0)- x ¢ (0)= p2 X ( p)- p,
·
·
3
.
· p
3=
Запишем операторное уравнение
p2 X ( p)- p + pX ( p)-1 -12X ( p) =
или
22
3
p
3 + p + p2
3 + p + p2
A
B
C
X ( p) = 3
=
= +
+
,
2
p + p -12 p p( p + 4)( p - 3) p p + 4 p - 3
3 + p + p2 = A ( p + 4)( p - 3)+ Bp( p - 3)+ Cp( p + 4).
1
5
5
Находим A, B, C. A = - , B = , C = .
4
28
7
Итак,
·
1 1
5
p
5
1
1
5 -4t 5 3t
X ( p) = - × +
e
×
+ ×
=- +
+ e .
4 p 28 ( p + 4) 7 ( p - 3) · 4 28
7
Пример 19. Найти решение системы дифференциальных уравнений
ìx ¢¢ + 5y ¢ - 4x = 0,
ï
ï
í
ï
ï
îy ¢¢ - 5x ¢ - 4y = 0,
удовлетворяющее начальным условиям x(0) = 0, x′(0) = 1, y(0) = 0,
y′(0) = 0.
·
·
Решение. Пусть x (t)= X ( p), y(t) = Y ( p). Тогда
·
·
·
·
·
·
x ¢(t) = pX ( p); y ¢(t) = pY ( p); x ¢¢(t) = p2 X ( p)-1; y ¢¢(t) = p2 Y ( p).
·
·
·
·
Преобразованная система имеет вид алгебраической системы относительно неизвестных X(p), Y(p)
ìï( p2 - 4) X( p) + 5 pY ( p) = 1,
ï
í
ïï-5 pX( p) + ( p2 - 4)Y ( p) = 0.
ïî
Решение системы получим с помощью формул Крамера
X( p) = Δ x / Δ, Y ( p) = Δ y / Δ, где Δ – определитель системы; Δx, Δy –
определители, полученные из определителей системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Поскольку
Δ = ( p2 - 4)2 + 25 p2 = p4 - 8 p2 + 16 + 25 p2 =
= p4 + 17 p2 + 16 = ( p2 + 1)( p2 + 16),
Δ x = p2 - 4, Δ y = 0 - (-5 p) = 5 p,
то
23
X( p) =
p2 - 4
2
; Y ( p) =
2
( p + 1)( p + 16)
5p
2
( p + 1)( p2 + 16)
.
p2 - 4
A p + B1 A2 p + B2
= 1
+
.
( p + 1)( p + 16)
p2 + 1
p2 + 16
1
4
Вычислив A1, A2, B1, B2, получим A1 = A2 = 0; B1 = - ; B2 = .
3
3
·
1
1
4
4
1
Итак, X( p) = - ×
+ ×
= × (-sin t + 4 sin 4t).
3 p2 + 1 3 p2 + 16 · 3
X( p) =
Y ( p) =
2
2
5p
=
M1 p + N1
+
M2 p + N2
.
p2 + 16
1
1
Вычислив M1, M2, N1, N2, получим M1 = , M2 = - , N1 = N2 = 0.
3
3
2
2
( p + 1)( p + 16)
2
p +1
·
1
p
1
p
1
Тогда Y ( p) = ×
(cos t - cos 4t).
×
=
3 p2 + 1 3 p2 + 16 · 3
1
1
Итак, x(t)= (sin 4t - sin 3t); y(t) = (cos t - cos 4t).
3
3
4. Варианты заданий
для выполнения контрольной работы
Контрольная работа состоит из 6 заданий.
Задание 1. Дано комплексное число z. Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах. Найти все значения
корня кубического из z.
1. z =
1
3 -i
2. z = -
3. z = -
2 2
4.
1+ i
z=
4
3 -i
2 2
1+ i
5. z =
6. z =
1
3 +i
7.
z=-
2 2
(1 - i)
9.
z=
2 2
(1 - i)
4
4
8. z = - (1 - i 3) 10. z =
1+ i 3
1- i 3
4
Задание 2. Представить заданную функцию w = f(z), где z = x +
iy, в виде w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной
точке z0.
24
1.
f (z) = (iz)3
2.
2
f (z) = e-z
3. f (z) = i(1 - z2 ) - 2z
f (z) = e1-2z
4.
f (z) = e1-2iz
z0 = -1 + i 6.
z0 = i
7.
f (z) = 2z2 - iz
z0 = 1
8.
2
f (z) = eiz
z0 =
5. f (z) = z2 + 3z - i
p
i
3
z0 = -i
z0 =
z0 = 1 - i
z0 =
f (z) = zez
p
i
2
2
z0 = i
3
9. f (z) = z3 + z2 + i
10.
p
6
z0 = -1 + ip
Задание 3. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного.
òz
1.
2.
2
dz,
l
Im (z3 )dz,
ò
AB
2
ò
3.
z dz,
ABC
z 2dz,
ò
4.
AB
5.
AB – прямая: zA = 0, zB = 2 + 2i
ABC – ломаная: zA = 0, zB = – 1 + i, zC = 1 + i
AB – прямая: zA = 0, zB = 1 + i
ò
z
Re dz,
z
ò
z zdz,
l = {z = e4it: –p/2≤ t ≤p/2}
z Re(z2 )dz,
l = {z = eit: 0≤ t ≤p}
ABC
6.
l
7.
ò
8.
ò z Re(z
9.
ò
e
ò
z Re(z2 )dz,
l
2
)dz,
l
z
2
Im zdz,
AB
10.
l = {z = t + it2 : 0 £ t £ 1}
AB
AB = {z = e –it: p≤ t ≤2p}, BC – прямая: zB = 1;
zC = 2
l = {z = eit: 0≤ t ≤p}
AB – прямая: zA = 1 + i, zB = 0
AB – прямая: zA = 0, zB = 1 + 2i
25
Задание 4. Восстановить оригиналы f(t), g(t) по изображениям
F(p), G(p).
F ( p) =
1.
2.
3.
4.
p
2
p +2p +5
6.
G ( p) = F ( p)e-2 p
F ( p) =
p +1
,
( p -1)( p + 2)( p - 3)
G ( p) = F ( p)e-3 p
F ( p) =
p
p2 + 2 p + 5
,
G ( p) = F ( p)e- p
F ( p) =
p2 + 1
2
2
p ( p + 1)
F ( p) =
,
,
5.
p( p -1)( p2 + 4)
7.
1
p2 ( p2 + 1)
10.
-3 p
G ( p) = F ( p)e
2p +3
p2 + 1
,
G ( p) = F ( p)e-3 p
F ( p) =
9.
,
G ( p) = F ( p)e-2 p
F ( p) =
8.
,
G ( p) = F ( p)e- p
F ( p) =
G ( p) = F ( p)e-2 p
3
,
F ( p) = 2
p -4 p -5
1
p
( p + 1)2
,
G ( p) = F ( p)e- p
1
,
F ( p) = 2
p + 6 p + 10
G ( p) = F ( p)e-2 p
Задание 5. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения операционным методом.
1.
x ¢¢ + 2x ¢ = 4 + 5 cos t
x(0+) = -1; x ¢(0+) = 2
2.
x ¢¢ + x ¢ - 2x = 9et + 5(cos t - sin t)
x(0+) = -0,5; x ¢(0+) = 1
3.
x ¢¢ + 3x ¢ + 2x = e–2t + 2(cos t + 2 sin t)
x(0+) = -2,5; x ¢(0+) = 2,5
4.
x ¢¢ + 2x ¢ + x = 2(cos t + sin t)
x(0+) = -2; x ¢(0+) = 2
5.
x ¢¢ + x ¢ = 1 + 2 cos t
x(0+) = -1,5; x ¢(0+) = 1,5
6.
x ¢¢ - x = 4et + 2(cos t - sin t)
x(0+) = -1; x ¢(0+) = 1
7.
x ¢¢ - x ¢ - 2x = 9e2t + 2(cos t - 2 sin t),
x(0+) = -0,5; x ¢(0+) = 0,5
8.
x ¢¢ + 4x ¢ + 4x = 16(cos 2t + sin 2t)
x(0+) = -3; x ¢(0+) = 6
9. x ¢¢ + 3x ¢ + 2x = e-t + 8(2 cos 2t + sin 2t) x(0+) = -2,5; x ¢(0+) = 5
10.
26
x ¢¢ + 2x ¢ = 4 + 16 cos 2t
x(0+) = -2; x ¢(0+) = 4
Задание 6. Решить систему операционным методом.
1.
ì
x ¢ = 3x - y
ï
ï
; x(0) = 1; y(0) = 5
í
ïy ¢ = 10x - 4y
ï
î
6.
2.
ì
x ¢ = 4x - y
ï
ï
; x(0) = -1; y(0) = 0
í
ï
ï
îy ¢ = x + 2y
ì
ï
ïx ¢ = x + y
; x(0) = 0; y(0) = -1
7. íï
ï
îy ¢ = -2x + 4y
ì
ï
ïx ¢ = -x + y ; x(0) = -1; y(0) = 5
3. íï
ï
îy ¢ = -x - 3y
ì
x ¢ = -x - 2y
ï
ï
; x(0) = 0; y(0) = 1
í
ïy ¢ = 3x + 4y
ï
î
8.
ì
x ¢ = 6x - y
ï
ï
; x(0) = 1; y(0) = -1
í
ï
ï
îy ¢ = 3x + 2y
ì
ï
ïx ¢ = x - y
; x(0) = -1; y(0) = 0. 9.
4. íï
ï
î y ¢ = -4 x + 4 y
ì
x ¢ = 4x + 5y
ï
ï
; x(0) = 0; y(0) = 1
í
ï
ï
î y ¢ = -4 x - 4 y
ì
x¢ = x + y
ï
ï
; x(0) = 1; y(0) = 0
í
ï
ï
îy ¢ = -5x - 3y
ì
x ¢ = x - 2y
ï
ï
; x(0) = 1; y(0) = -2
í
ï
ï
îy ¢ = x - y
5.
10.
Библиографический список
1. Лексаченко В. А. Интегральные и дискретные преобразования. Л.,
1989. 42 с.
2. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1984. 432 с.
3. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.:
Наука, 1981. 304 с.
4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2010. 336 с.
Содержание
1. Комплексные числа................................................................. 2. Функции комплексной переменной............................................ 2.1. Определение функции комплексной переменной.................. 2.2. Производная от функции комплексной переменной.............. 2.3. Интеграл от функции комплексной переменной.................... 3. Операционное исчисление......................................................... 3.1. Оригинал и изображение................................................... 3.2. Основные правила и теоремы операционного исчисления....... 3.3. Восстановление оригинала по изображению......................... 3.4. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем............................................. 4. Варианты заданий для выполнения контрольной работы.............. Библиографический список.......................................................... 3
6
6
9
10
13
13
15
20
22
24
27
27
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
686 Кб
Теги
pdf11
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа