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ISBN 978-5-8088-0446-3
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(??? ????????????? x?V0).
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(??? ????????????? x?V0).
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19
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20
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(n3) || x+y|| ? || x ||+|| y ||.
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(X, || ? ||). ??? ??????? ??????? x?X ???????? ???????? || x || ???????????????? ??? ??? ?????.
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???? || * ||?|| * ||1 ? || * ||1 ?|| * || . ????? || ? || ? || ? ||1 ????? ????????????
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1 < p < ?) ???????????? ????? ???????? ????????????. ????? ???????? ??? ???????????, ?????????? ?????????? ? ???? ???????26
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lim xjk = xj ╬ K.
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х | xj - xmj | p г ? p (m ? k(?)).
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x?lp, ????????? x = xm+(x?xm). ????? ????, ????????? ??????
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|| x? xm||p ? ? (m ? k(?)).
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???????? (?? ????? || ? ||p) ? ?????????? ???????? x?lp. ??? ?????
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3. ???????????? l? ???????? ??? ???????? ????????????
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x = {xj}. ????? ? l? ???????????? ????????
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j│1
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?.?. CLp([?, ?]) ?? ????? ??????. ? ?????????, ??? ????????????? ????? ??????????? ? ?????? ???????????? CL([?1,1]) ?????????? ?????????????????? {xk} (k ? 1) ??????????? ???????
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?а ?????? ???????, ??? ??????????? ?????? ??????????? ??????? y(t) ?? [?1,1] ????? ????????
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1
| y(t) -1 | p dt г Є | y(t) - xk (t) | p dt = ( || y - xk || p ) p .
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????????, ??? ?????????????????? {xk} ???????? (?? ???????а?) ? ????????? ??????? y?CLp([?1,1]). ??????? ? ??????? (???
k??) ? ?????????? ???? ??????????? ????? ? ???????????
0
Є | y(t) + 1 |
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dt + Є | y(t) -1 | p dt г lim ( || y - xk || p ) p = 0.
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0
?????? ????? ?????????, ??? y(t) = | t |/t ??? t ? 0. ?????? ?????
??????? y(t) ?? ????? ???? ??????????? ??? t = 0. ??????????
???????????? ??????????????? ? ???, ??? ??????????????? ?????????????????? ?? ???????? ? ??????????? ???????.
5. ???????????? C([?, ?]) (?? < ? < ? < ?) ???????? ??? ???????? ???????????? ? K? (? = [?,?]), ????????? ?? ???? ??????????? ??????? x: [?,?]? K, ?????????? ??????
|| x ||е = sup | x (t) | .
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28
?.?. C([?, ?]) ???????????? ????? ???????? ????????????.
6. ???????????? Cm([?, ?]) (?? < ? < ? < ?) ??? m ? 1 ????????
??? ???????? ???????????? ? C([?, ?]), ????????? ?? ???? ??????????? ??????? x: [?,?]?K, ??????? ??????????? ??????????? x (k)?C([?, ?]) ??? k ? m.
????? ? Cm([?, ?]) ???????????? ????????
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|| x ||Cm = || x ||е + х || x(k) ||е .
k=1
?.?. Cm([?, ?]) ???????????? ????? ???????? ????????????.
7. ???????????? CmLp([?, ?]) (?? < ? < ? < ?) ??? m ? 1
1 < p < ? ???????? ??? ?.?. CmLp([?, ?]), ?????????? ??????
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|| x ||Cm Lp = || x || p + х || x(k) || p .
k=1
?.?. CmLp([?, ?]) ?? ????? ??????.
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5. ???????????? ?? ????????? ?????????????.
??????????? ????????????
???????????. ????????? ????????????? ? ????????? ???????????? X ??? ????? K ?????????? ???????? ??????? (x,
y)?(x?y) ?? ???? ?????????? x, y?X, ??????????? ???????? ??
???? ???????? K, ?????????? ?????????? ??????????:
(p1) (x | y) ? 0, (x | y) = 0 ? x = 0;
(p2) (x | y) = (y | x);
(p2) (? x+? y | z) = ?(x | z)+? (y | z).
? ?????? ???????????? ?.?. X (K = C) ????????? ????????????
(?| ?) ????? ???????????????? ??????. ???? ?? ?.?. X ?????????????? (K = R), ?? ????????? ???????????? (?| ?) ?????????? ?????????? ??????.
????????? ???????????? X, ?????????? ????????? ????????????? (?| ?), ??????????:
??????????? ????????????? (?.?.), ???? K = C;
???????????? ????????????? (?.?.), ???? K = R.
??????????? ????-????????????
????? X ? ?.?. ?? ????????? ????????????? (?| ?). ??? ?????
???????? x, y?X ????? ????? ??????????? ?????????????????:
?(x | y)?2 ? (x | x)(y | y).
?????????? ???????????? ?????????????? ????? ???????????,
????????? ??? ??? ???????????? ?.?., ??? ? ??? ???????????????. ? ????????????? ?????? (x ? 0 ??? y ? 0) ? ??????????????
???????????? ??????? ?????????? ???????????? ????? ????????
0 г (?x - ?y | ?x - ?y) = ??(x | x) - ??(x | y) - ??(y | x) + ??(y | y) =
=| ? |2 (x | x) - ??(x | y) - ??(x | y)+ | ? |2 (y | y),
??? ? ? ? ? ??????????? ?????? ???????. ??? ??????????????
???????????, ??? y ? 0. ???? ???????
? = (y | y) ? ? =
(x | y)
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30
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31
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?????? x?H ? ????????? E?H ?????????? ??????????????
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???? (x?y) = 0 ??? ???? x?D ? y?E.
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|| x▒y ||2 = || x ||2+|| y ||2.
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|| x+y ||2+|| x?y ||2 = 2(|| x ||2+|| y ||2).
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2. E? ? ????????? ?????????.
3. E^^ ╔ ? (E) .
4. E?E? = {0} ??? ???????, ??? E ? ???????? ?????????.
5. ???? E?D, ?? D?? E?.
6. H? = {0}, {0}? = H.
32
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2. ??????? ???????, ??? ??? ?????? ?????????????????? {yk}
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yk?E?, ?????????? ? y?H, ?? (x | yk) = 0 ??? ???? k ? 1 ??? x?E,
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(x | y) = lim (x | yk ) = 0 (x | yk) = 0 (?x?E).
kое
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3. ? ???? ??????????? ?????: E?? = {z?H: (y | z) = 0 (?y?E?)}.
???? ?? x?E, ?? (x | y) = 0 ??? ???? y?E?, ??? ??? x?E??. ??????,
E?E??, ?????? ?? ???????? (1) E?? ? ???????? ?????????. ???
??? ???????? ???????? ?(E) ? ??? ?????????? ???????? ?????????, ?????????? E, ?? E????(E). ??? ??? ?? ???????? (2) ????????? E?? ????????, ? ????????? ? (E) ? ??? ?????????? ????????? ?????????, ?????????? ?(E), ?? E^^ ╔ ? (E), ??? ? ??????????? ??????????.
4. ???? x?E?E?, ?? x?E ? x?E?. ??? ??? (x? | x) = 0 (?x??E),
?? (x | x) = 0 (? ?????????, ??? x? = x). ????? x = 0. ????? ???????,
E?E??{0}. ? ?????? ???????, 0?E. ??????, E?E? = {0}.
5. ????? E?D. ???? ????? y?D? = {y?H: (x | y) = 0 (?x?D)}, ??
(x | y) = 0 (? ?????????, ?x?E), ??? ??? y?E?. ??? ????? ???????????, ??? E??D?.
33
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= {0}. ??? ??? ??????? ?????? 0 ??????????? ???? ???????? ???????????? H, ?? {0}? = H.
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|| x?y || = ?(x, E).
??????????????. ??? ?????????????? x?H ?????? ??????????? d = ?(x, E) ? ?????????? ?????????????? ?????????????????? {yn} ????????? yn?E:
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|| ym?yn ||2 ? 2(dn2 +dm2)?2d2?0 (n, m ??).
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|| x?y || = lim|| x?yn || = d.
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??? E ????????, ?? (y + y? ) / 2 ╬ E, ??? ??? || 2x - (y + y? ) ||│ 2d. ? ?????????????? ????????? ????????? ????? ????????
|| y - y? ||2 +4d2 г|| y - y? ||2 + || 2x - (y + y? ) ||2 = 2 || x - y ||2 +2 || x - y? ||2 =
= 2d2+2d2.
?????? ?????, ??? || y - y? ||= 0. ?????????????, y = y?.
??????????. ? ???????????? ???????? л?????????? ?????????╗ ???? ????????? x?E ? u?E ?????????? л?????????╗ ?? x
? E, ? ??????? y?E, ??????????? ?????????? ?? x ?? E, ??????
л?????????? ??????????????╗ ?? x ?? E.
???????????. ????? ??????? ??????????? ???????????? H
? ???????? ??????????????? E?H. ????? x?H ? y?H. ????????? ??????????? ????????????:
34
a) || x?y || = ?(x, E);
b) (x?y)?E.
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||(x?y)??u || = || x?(y+?u) || ? d = ?(x, E).
????????? ???????? ?????????? ???????????? ? ?????? ??????? (a), ????? ??????? ?????? ??????????? ????
-2 Re {?(x - y | u)}+ | ? |2 || u ||2 │ 0.
? ?????????, ???? ????? ? = (x?y | u)/|| u ||2, ?? ?????????, ???
|(x?y | u)|2?|| u ||2 ? 0.
?????????????, (x?y | u) = 0, ??? ? ???????????.
(b) ? (a). ????? u?E ? ??????????? ?????? ???????. ?????
y?u?E, ??? ???
(x?y | y?u) = 0.
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|| x?u ||2 = ||(x?y)+(y?u)||2 = || x?y ||2+|| y?u ||2 ? || x?y ||2.
?????????????, || x?y || = ?(x, E), ??? ? ???????????.
??????? (? ???????? ?? ????????? ???????????????). ?????
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35
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???? ??????????????? E ????????, ?? ? ???? ??????? ? ????????
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(x?y | vj) = 0 (j = 1,m).
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j=1
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?, vm}), ??????????? ?????????? ?? x ?? E: || x?y || = ?(x, E). ??
????????? ?????????????? ???? ??????????? ???????? ?????
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??????. ??? ?????? ??????????? ??????? x(t) ?? ?????????? [0, 1], ??????????????? ??? ??????? ???????????? CL2([0,
1]) ?? ????????? ?????????????
1
(x | y) = Є x(t)y(t)dt
0
36
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vm}) ??????? ???????? ??????????? vk(t) = tk (k = 0,m). ?????
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0
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(k, j = 0,m).
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37
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j=1
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2. ? ???????????? H ??????????? ??????????? dimH = ? ?????????? ??????? ??????? {vk} (k = 1,е) ???????? vk?H, ? ??????? ??? ???????? ?????????? ???? {v1,v2, ?, vm} ??????? ??????????. ??????????????? ????? ??????? ??????? ? ??????????
??????? ????????????? ??????? {wk} (k = 1,е) ???????????
????????:
k-1
w1 = v1; wk = vk - х ? kj wj
j=1
(k = 2,е).
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38
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j
j
j
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j=1
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j
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m
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j=1
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39
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H ??????? ??????? ????????????????? ??????? {uj} (j = 1,е).
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m
х | (x | uj ) |2 г || x ||2 ("m = 1,е).
j=1
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х | (x | uj ) |2 г || x ||2 (?x?H).
j=1
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??? ??? ????? (???????????? ?????? ????????????????? ???????) ???????? ????????
е
х (x | uj )uj .
j=1
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???????? ???????? Em ?????? ????????? ?????? ???? ?????.
???? k > m, ??
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k
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j=m+1
(x | uj )uj , || yk - ym ||2 =
k
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j=m+1
| (x | uj ) |2 .
?????? ?????, ??? ?????????????????? {ym} ???????? ? ????.
(??????????? ????? ?????? ? ?????????? ? ???? ???????????????
??????? ? ???, ??? ??? ? ??????????? ??????? ????????.) ????? ?
???? ??????? ???????????? H ?????????????????? {ym} ??????40
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PE
х (x | uj )uj = mlim
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j=1
(x) = x? .
??? ??? ????? || ym ||2 ????????? ? ?????????? ??????? ????
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е
|| x? ||2 = lim || ym ||2 = х | (x | uj ) |2 .
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j=1
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(x | uj ) = (x? | uj ) ("j = 1,е).
? ?????? ????? ?????????????? ????? ?????????? ??????????
???? ?????:
m
|| x? - ym ||2 =|| x? ||2 -х | (x | uj ) |2 =
j=1
е
х
j=m+1
| (x | uj ) |2 о 0 (m??).
??????? x ? x? ????? ???? ? ??? ?? ??? ?????. ????? ???????, ????????? ?????????? ???????, ?????????????? ?????????? ????????? x? = x.
?????? ????????????????? ???????. ????????? ?????????
????????? E?H ?????????? ????????? ? ???????????? (???
?????????) ???????????? H, ???? ??? ???????? ???????? ?(E) ????? ?????? ? H, ?.?. ???? ?? ????????? ????????? ? H. ??????????
??? ??????? ????????, ??? ?????? ?????? ???????????? H ?????
??????????? ? ???? ??????? ?????????????????? ???????? ?????????? ?????????? ????????? ?????????? ????????? E.
???????????. ? ?????? ??????????? ???????????? H ????????? ???????? ????????????:
(a) ? (E) = H;
(b) E? = {0}.
??????????????. ???? ???????????? ???????? ???????? ????????????? ??????????.
(a) ? (b). ? ???? ???????? (3) ?????: E?? = H. ????? ? ??????
???????? (4) ????? ???????? E? = E??H = E??E?? = {0}.
41
(b) ? (a). ??? ??? ? (E) ╔ E, ?? ? ???? ???????? (5) ?????:
^
? (E) ╠ E^ = {0}. ????? ?? ??????? ? ???????? ????? ????????
H = ? (E) ┼ {0} = ? (E).
?? ????? ??? ??????? ??????? {vj} (j?J) ???????? vj?H ?????????? ???????? ?????? (??? ?????? ??????) ? H, ???? ??? ???????????? ????? ????????? ????????? ? H: ? ({vj }) = H. ?? ????????? ??????????? ? ?????? ??????????? ???????????? H ???????
??????? ??????? {vj} ???????? ? ?????????? ?????????? ????????:
(x | vj) = 0 (?j?J ) ? x = 0.
????? ? ?.?. H ??????????? dimH = ? ??????? ?????? ????????????????? ??????? {uj} ("j = 1,е). ??? ??? ??????????? ??????
?????? x?H ? ??? ??? ????? x? ???????? ??????????? ?????????????? ????? (???????????? ?????? ???????), ??
(x - x? | uj ) = 0 ("j = 1,е).
?????? ? ???? ??????? ??????? {uj} ?????????? ???????, ???
x = x? (?.?. ??????????? ?????? ?????? x ????????? ?? ?????
??????????? ? ??? ?????). ??? ???? ??????????? ??????? ???????????? ? ??? ?????????? л????????? ?????????╗:
е
х | (x | uj ) |2 = || x ||2 (?x?H).
j=1
??? ????????? ?????? ???????? л?????????? ???????????╗
??? ?????? ????????????????? ???????. ?????????? ?????????
????????? (?x?H) ??????????? ????, ??? ?????????????????
??????? {uj} ?????? ? H.
? ?????? ?.?. ??????????? ??????????? ?????? ????????????????? ??????? ????????? ?? ?? ????, ??? ? ?????????????????
????? ?????????????? ???????????? ?? ????????? ?????????????. ????? ???????, ????????? ??????? ???????? ??????????? ????????????, ????????????? ??????? ? ??? ?????? ????????????????? ???????.
????????????? ?.?.
??????????? (??? ????????) ???????????? H ?????????? ?????????????, ???? ??? ???????? ??????? ???????????? D, ?????
42
??????? ? H: D = H. ? ?????????, ?????? ?.?. ???????? ??????????? ????? ?????????????, ????????? ? ???????? D ????? ?????
????????? ???? ????????, ??????? ???????????? ??????????
(???????????? ?????????? ??????).
???????????. ? ????????????? ???????????? ????????????
H ?????????? ?????? ????????????????? ??????? ????????.
??????????????. ??????????????? ??????, ????? dimH = ?.
????? D = {xk} (k = 1,е) ? ??????? ????????? ???????? xk?H,
????? ??????? ? H. ??????????? ????? ????? ???????? ?? ????
???????? ?????? ???????{vj} (j = 1,е) ???????? vj = xk(j)?D. ??
?????? ???? ????? ??????? v1 = x1 ? 0. ?????, ???? ????????
v1,v2, ?, vj ??? ???????, ?? ? ???????? k(j+1) ????? ????? ?????????? k > k(j), ??? ???????
xk??({v1,v2, ?, vj}) = Ej.
? ???? ?????????? ??? ?????? j ??????? v1,v2, ?, vj ???????
?????????? ? ???????? ????? ???????? ???????? Ej. ??????????????? ?????????? ??????? {vj} ???????? ? ????? ????????????? ??????? {wj} (j = 1,е). ?????????? ?????????? ??????? {wj}
????????? ????????? ????????????????? ??????? {uj} (j = 1,е),
??????? ???????? ??? ?????????, ??? ??? ?????? j ?? ??????????
{u1,u2, ?, uj} ?????? ????????????? ????????????????? ??????? ???????? Ej. ????? ?????????? ????????? ??????? ???????
{uj}, ????? ?????????? ????????? ???????. ????? x?H ? ? > 0. ?
???? ??????? D = H ????? ?????????? ????? ????? k? = k?(?), ???
|| x - xkв ||г ? . ????, ??? xk?? Ej? ??? k(j?) > k?. ??? ????? ???????
xk? ???????? ???????? ??????????? ???????? ???????? u1,u2,
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x ╬ ? ({uj }). ?????? ???????? ? ?????????? ?????????? ? ???,
??? H = ? ({uj }).
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?????????? l2 ??? ???????? ???????????? lp ? ?????? p = 2. ????? ???????, l2 ???????????? ????? ????????? ???????????? ????
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( ? 2 ) = х ?j
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43
? ?????????, ???? ?????????? ???????????? ????? || ? ||2 ? l2.
????????? ???????????????? ????? ?? ?????????? ??l2 ? ??l2
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(? | ?)2 = х ? j ?j .
j=1
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х | ? j |2 + | ?j |2 < е.
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??? ????? ????? (?| ?)2 ???????????? ????? ????????? ????????????, ????????????? ? ?????? || ? ||2:
||?||2 = (?|?)2 .
????? ???????, l2 ? ??????????? ???????????? ???????????
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??????? (??????????). ??????????????? ?????????????
??????????? ???????????? H ??????????? dimH = ? ?? ????????? ????????????? (?| ?)H ? ?????? || ? ||H. ?????????? ??????? ??????????? ??????????? F: l2?H, ?????????? ??????????
??????????:
1) Dom(F) = l2, Ran(F) = H;
2) F ? ???????? ???????????;
3) F л????????? ????????? ????????????╗ ? ??? ??????,
???
(F(?) | F(?))H = (? | ?)2 (??, ??l2).
??????????????. ? ???? ??????? ??????? ????? ???????? ?
H ??????? ???????? ?????? ????????????????? ??????? {uj}
(j = 1,е) ???????? uj?H. ??????????? F: l2?H, ?????????? ?????????? ??????????, ???????? ????????
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F (?) = х ? j uj (?? = {?j}?l2).
j=1
??? ??????? ??????? x?H ????? ???????? ????????????? ????
x = F(?), ??? ?j = (x | uj)H ? ??? ???????????? ????? (j ? 1).
44
?????????. ? ???? ??????? (1)?(2) ??????????? F ???????????? ?????????????? ?????????? ???????????? l2 ?? H. ? ?????? ???????? (3) ??????????? F ????? ???????? ??????????, ????????? F л????????? ?????╗:
|| F(?) ||H = || ? ||2 (???l2).
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| f0(x) | = | f(x) | ? || f ||?|| x || (?x?X).
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(sn2) p(?x+?y) ? ???p(x)+???p(y) ??? ???? x?X ? ????? ?, ? ?K.
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f0(x) ? p(x) (?x?X0).
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a) f(x) = f0(x) (?x?X0),
b) f(x) ? p(x) (?x?X).
??????????????. ??????????????? ??????, ????? dimX = ?.
????? D = {vk} (k = 1,е) ? ??????? ????????? ???????? vk?X,
????? ??????? ? X. ? ?????????????? D ????? ???????????? ??54
????????? ????? ?????????????????? {uj} (j = 1,е) ?????????
uj = vk(j)?D ? {Xj} (j = 1,е) ???????? ?????????????? Xj?X, ??????????????? ???????????:
uj+1?Xj; Xj+1 = ?(Xj?{uj+1}) = Xj??({uj+1}).
(?????????? ?????? ??????????????? Xj ?????? л???????????? ???????????╗ ??????????????? Xj?1.)
??????? ????????? ??????? u1 = vk(1), ??? k(1) ? ??? ?????????? ????? k ? 1, ??? ??????? vk?X0. ????, ??? u1?X0. ?????????? ???????????? ????? ??????????? ??????????? f0 ??
л???????????? ??????????╗ X1 = ?(X0?{u1}) ???????????????
X0. ???? ???????? ?? ????????? ???????????
f0(x??)?f0(x?) = f0(x???x?) ? p(x???x?) = p((x??+u1)?(x?+u1)) ?
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?f0(x?) ? p(x?+u1) ? ?f0(x??)+p(x??+u1).
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x вв╬X0
????, ??? c? ? c??. ????? ????? ??????? ????? c1, ?????, ???
c? ? c1 ? c??. ????????? ?? X1 = X0??({u1}) ???????? ??????????
f1 ????????
f1(x0+tu1) = f0(x0)+tc1.
???????? ??????, ??? f1 ?????? ???????????? ?.?. f0 ?? X1.
??? ???? ?? X1 ??????????? ???????????
f1(x0+tu1) ? p(x0+tu1).
?????????????, ???? t > 0, ?? ? ???? ?????? c1 ????? ????????
f1(x0+tu1) = t[f0(x0/t)+c1] ? t[f0(x0/t)+c??] ?
? t[f0(x0/t)? f0(x0/t)+p(u1+x0/t)] = p(x0+tu1)
? ?????? t < 0 ???????? ???????? ??????????? ??????????.
?????, ????? ??????? u1, ?, um ????????? X1, ?, Xm, ? ?????
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fm(x) ? p(x) (?x?Xm).
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k > k(m), ??? ??????? vk?Xm. ???????? ??????????? ???? ????????, ????????? ?? Xm+1 = Xm??({um+1}) ?.?. fm+1, ?????????? ?????????? ??????????.
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x?Xj ? f?(x) = fj(x),
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p(x) ? ? || x || (?x?X),
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(b?) | f(x)| ? p(x) (?x?X).
?? ??????? ??????????? ????????? ???????? ????????? ?
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????????? 1. ????? ??????? ???????????? ???????? ?????????? f0?X0?. ????? ?????????? ???????????? ????????
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(a) f(x) = f0(x) (?x?X0),
(b) || f || = || f0 ||.
??????????????. ???? ? ???????? ????????? ????? ?????????
p(x) = || f0 ||?|| x ||,
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????-??????. ????? ?????????? f0 ???????????? ?? ????????
????? f ?? ???? ???????????? X. ??? ???? ????? ????? ??????
| f(x)| ? p(x) = || f0 ||?|| x || (?x?X),
??? ??? || f || ? || f0 ||. ??????, f ? ???????????? ??????????. ? ?????? ???????, ? ?????????????? ???????????? ??????????? ????? ????????
| f0(x)| = | f(x)| ? || f ||?|| x || (?x?X0),
?????? ?????, ??? || f0 || ? || f ||. ????? ???????, ???????? (b) ???????????.
??? ???? ????, ?????????? ?? ??????? ????-??????, ??????????????? ? л?????????? ??????? ?????????? ????????????
???????? ????????????, ??????????? ?? ????????????? ????????????╗.
????????? 2. ??? ??????? ???????? x0?X (x0 ? 0) ??????????
????? ???????????? ???????? ?????????? f?X?, ???
(a) f(x0) = || x0 ||,
(b) || f || = 1.
??????????????. ?????? 1-?????? ??????????????? X0 =
= ?({x0}) ??? ???????? ????????, ??????????? ???????? x0.
?????????? ???????? ?????????? f0?X0?, ???????????? ???????? f0(tx0) = t|| x0 || ??? ???? ?????????????? ????? t. ????, ???
|| f0 || = 1. ???????? ????????? 1 ?????????? ?????????? f?X?, ?????????? ?????????? ??????????.
????? ??? ????????????? ????????? ??????????? ?? ???????????? ????????????
??????????????? ??????????? ???????????? H ?? ?????????
????????????? (? | ?)H ? ?????? || ? ||H. ??? ??????? ???????? a?H
???????? ????? ????
f(x) = (x | a)H
57
???????????? ????? ???????????? ?????????? ? ?????? || f || =
= || a ||H. ? ????? ????, ?? ????????? ??????????? ???????????????? ????? ????????
| f(x) | = |(x | a)H | ? || a ||H||?|| x ||H,
??? ??? || f || ? || a ||H. ? ?????? ???????, ?? ???????????? ???????????
(|| a ||H)2 = | f(a) | ? || f ||?|| a ||H,
??? ??? || a ||H ? || f ||. ? ???????????????? ????? ???? x?(x | a)H
??????????? ??? ???????????? ???????? ??????????? ??
???????????? ????????????.
??????? (?.????). ??? ??????? ????????????? ?????????
??????????? f?H? ?????????? ? ???????? ???? ????? ??????? a?H, ???
f(x) = (x | a)H (?x?H).
??? ???? ?????: || f || = || a ||H.
??????????????. ? ???? ?????????????? ????????? ??????????? f ??? ??????? ???? H0 = ker(f) = {x?H: f(x) = 0} ????????????
????? ????????? ???????? ??????????????? ? H. ???? f ? 0, ??
????? ??????? ??????? w?H0 (?.?. f(w) ? 0). ?? ??????? ?.?????
(?? ????????????? ???????? ?? ????????? ???????????????)
????? ???????? ??????????
w = u+v, u?H0, v?H0.
??? ???? f(v) = f(w) ? 0. ?????? ????? ??????? b?H ????????
b = ?v, ??? 1/? = f(v). ????????, ??? b?H0 ? f(b) = 1. ?????? ??????
x?H ?????????? (??????????) ? ???? ?????
x = z+f(x)b, z?H0.
? ?????? ??????? z?b ????? ????????
(x | b)H = f(x)(b | b)H.
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58
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X?, ?????????? ?????? ??????????? ?????????????.
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63
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68
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