close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

pogarevrutkov

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ФИЗИКА
Механика
Сборник методических указаний,
задач и тестов для подготовки к олимпиадам
и единому государственному экзамену
Санкт-Петербург
2009
Составители: Д. Е. Погарев, Е. В. Рутьков, Ю. Н. Царев
В сборнике содержатся тесты и задачи по физике уровня А, В и
С, соответствующие Единому Государственному экзамену, а также
даны методические указания к решению наиболее трудных задач.
Предназначено для абитуриентов ГУАП, слушателей подготовительных курсов и школьников.
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 07.09.09. Подписано к печати 28.09.09.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печ. л. 6,75.
Тираж 200 экз. Заказ № 607.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2009
Предисловие
В последние несколько лет на вступительных экзаменах в вузы и
олимпиадах по физике произошли изменения в структуре и тематике экзаменационных заданий. Данное пособие представляет собой
набор задач и тестовых заданий, охватывающих основные разделы
курса физики средней школы, которые будут полезны при подготовке к олимпиадам и для успешной сдачи Единого государственного экзамена (ЕГЭ), который превратился в реальность для выпускников средних общеобразовательных школ России.
Хороший результат на экзамене по физике достигается не только
знаниями в объеме обязательных требований программы средней
школы, но и умениями применять полученные знания на практике при решении задач и при выполнении тестовых задач Единого
экзамена.
В пособии, состоящем из трех частей (трех книг), приведены задачи и тесты практически по всем разделам физики. Для удобства
задачи скомпонованы по небольшим темам, названия которых приведены перед каждой «порцией» заданий, которые, как правило, соответствуют уровню A и B тестов ЕГЭ. Кроме того, в пособии приведены задачи повышенной сложности (уровень C) с подробным решением таких задач.
Для более эффективной подготовки к экзаменам в Приложении
1 приведено основное тематическое содержание вопросов ЕГЭ по физике, в Приложении 2 приведены некоторые физические постоянные, а в Приложении 3 приведены комментарии к структуре ЕГЭ
по физике.
Дорогие ребята! Решение задач разного уровня сложности позволят выявить степень вашей подготовленности: от формального знания теоретического материала до умения анализировать процессы
и явления и адекватно описывать их с помощью физических понятий и законов. Следует отметить, что решение задач – процесс творческий, и его не всегда удается представить в виде жесткой алгоритмической схемы. Однако, опыт работы со студентами и абитуриен3
тами позволяет высказать ряд рекомендаций, учет которых поможет при решении задач.
1. Внимательно прочитайте условие задачи, так как каждое слово и даже предлоги имеют смысловое значение.
2. Введите удобные логичные обозначения физических величин.
Если в процессе решения окажется, что обозначения неудачны, то
замените их новыми и заново решайте задачу.
3. Изобразите описанную в условии ситуацию на рисунке или
схеме. Аккуратно выполненный рисунок с указанием на нем заданных и искомых величин позволяет глубже понять содержание задачи и часто помогает найти путь ее решения.
4. Определите главный закон (или законы), являющийся фундаментом, на котором строится решение задачи. Например, в динамике таким законом может быть второй закон Ньютона, а в статике –
условия равновесия и т.д.
5. Сложную задачу целесообразно разбить на несколько простых,
решения которых объединяются в одно. Подобный подход в теории
познания называется анализом и синтезом.
6. Решите задачу в общем виде, не проводя вычислений промежуточных величин, так как это увеличивает вероятность ошибки.
При решении задач повышенной сложности целесообразно, прочитав условие задачи, не смотреть сразу ее решение, а попытаться
решить ее самостоятельно или, уяснив идею решения, самому провести математические преобразования и вычисления.
При внимательном рассмотрении тестов ЕГЭ видно, что такой экзамен требует прежде всего умения решать конкретные физические
задачи разного уровня.
Желаем успеха!
4
Кинематика
Кинематика изучает “геометрию движения”, т.е. дает математическое описание движения тел без анализа причин, его вызывающих. Кинематика устанавливает математическое соотношение
между различными характеристиками движения, такими как перемещение, путь, скорость, ускорение, время движения. Дадим без
выводов, но с краткими пояснениями формулы, применимые к простейшим движениям.
1. Прямолинейное равномерное движение
S = v × t, (1)
x(t) = x0 + vx × t. (2)
Формула (1) связывает путь S, скорость v и время движения t.
Если тело движется вдоль оси X, то формула (2) определяет координату тела в зависимости от времени; x0 – начальная координата;

vx – проекция вектора скорости v на ось X: vx = v, если направление

вектора скорости v совпадает с направлением оси x и vx = –v, если
они противоположны.
2. Равнопеременное прямолинейное движение.
В этом движении ускорение тела постоянно:
a=
v - v0
= const,
t
(3)
где v0 – начальная скорость, а v – конечная скорость тела.
А. Равноускоренное прямолинейное движение.
at2
,
2
v = v0 + at. S = v0t +
(4)
Для движения тела вдоль оси X координата тела и его скорость
от времени будут иметь вид:
axt2
,
2
vx = v0x + axt,
x(t) = x0 + v0xt +
(5)
5
где v0x и ax – проекции векторов начальной скорости v0 и ускорения
a на ось X.
Рассмотрим несколько частных случаев. Если ax > 0 и v0x > 0, то
скорость тела увеличивается, и оно движется в направлении оси X
(рис. 1). Если ax < 0 и v0x < 0, то скорость по-прежнему растет, но тело движется против направления оси X (рис. 2).
a
a
v0
v0
0
x
x0
0
x0
Рис. 1
x
Рис. 2
Б. Равнозамедленное прямолинейное движение.
at2
,
2
v = v0 - at.
S = v0t (6)
Для движения вдоль направления оси X формулы (6) запишутся
axt2
,
2
vx = v0x - axt.
x(t) = x0 + v0xt -
(7)
Если ax < 0 и v0x > 0, то тело движется по направлению оси X, и
его скорость по модулю уменьшается (рис. 3). Если ax > 0, а v0x < 0,
то тело движется против направления оси X, и скорость тела по модулю также уменьшается (рис. 4) – в этом случае формулы (7) запишутся в виде (8).
a
a
v0
v0
0
x
x0
0
x0
Рис. 3
Рис. 4
2
axt
,
2
vx = -v0x + axt.
x(t) = x0 - v0xt +
6
x
(8)
3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально
вниз и вверх
А. Свободное падение.
Свободное падение – вертикальное движение тела вдоль оси Y с
постоянным ускорением a = g в поле тяжести Земли. Тогда координата и скорость тела в проекции на ось Y будут иметь следующий вид:
gt2
y=
,
2
(9)
vy = gt.
Иллюстрация к этому виду движения представлена на рис. 5, где
H – высота, с которой падает тело.
v0y=0
vy=0
0
0
0
v0y
vy
g
H
g
y
Рис. 5
H
g
vy
vy
y
H
v0y
y
Рис. 6
Рис. 7
Б. Движение тела, брошенного вниз.
В этом случае движение тела также будет равноускоренное (рис. 6):
gt2
,
2
vy = v0y + gt. y = v0yt +
(10)
В. Движение тела, брошенного вверх.
Очевидно, что движение тела будет равнозамедленное, и при достижении максимальной высоты подъема Hmax скорость тела будет
равна нулю (рис. 7):
gt2
y = y0 + v0yt ,
2
(11)
vy = v0y - gt.
7
Если тело брошено с поверхности Земли, то время подъема тела
до максимальной высоты равно времени его падения, а скорость тела при падении на Землю равна начальной скорости v0y, с которой
оно было брошено, если, конечно, сопротивлением воздуха при движении тела пренебречь.
4. Средняя скорость
Если скорость тела меняется произвольным образом, то вводится
понятие о средней скорости движения, которая равна отношению
пути S, пройденного телом, ко времени t движения:
vñð =
S
.
t (12)
5. Движение тела, брошенного горизонтально
В этом случае воспользуемся принципом независимости движений и рассмотрим характер движения тела вдоль оси Y и оси X
(рис. 8).
v0x
x
v0x
H
vy
y
v
S
Рис. 8
Вдоль оси X движение тела равномерное со скоростью vx = v0x,
поэтому
x(t) = v0x × t. (13)
Вдоль оси оси Y тело свободно падает к Земле, т.к. v0y = 0, поэтому
gt2
,
2
vy = gt. y(t) =
8
(14)
Очевидно, что результирующая скорость тела v будет расти за
счет роста скорости по вертикали (рис. 8). Решая систему уравнений (13) и (14) и зная начальную скорость броска v0x и высоту H, с
которой тело брошено, можно найти время движения тела t, дальность полета S и скорость v в момент касания Земли.
6. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Движение тела, брошенного со скоростью v0 под углом a к горизонту – пример криволинейного движения тела в вертикальной
плоскости с постоянным ускорением g, направленным вниз в любой
точке траектории. Введем в вертикальной плоскости систему координат следующим образом: ось X направим горизонтально, а ось Y –
вертикально вверх (рис. 9). Тогда криволинейное движение можно
представить как сумму двух прямолинейных движений вдоль осей
X и Y. Движение вдоль оси X является равномерным, а вдоль оси
Y – равнопеременным. Для этих двух движений можно записать начальные скорости
v0x = v0 cos a,
v0y = v0 sin a. (15)
y
v=v0x
v0
v0y
H
α
v0x
x
S
Рис. 9
Воспользовавшись принципом независимости движений, можно
сказать, что вдоль оси Y движение тела равнозамедленное с начальной скоростью v0y, поэтому
gt2
,
2
vy = v0y - gt.
y = v0yt -
(16)
9
Движение по горизонтали, т.е. вдоль оси X, равномерное со скоростью v0x, поэтому
x = v0x × t. (17)
Если известны начальная скорость v0 и угол a, то, решая систему уравнений (15) – (17), можно найти время движения t, дальность
полета S и высоту подъема H:
t=
2v0 sin a
;
g
S=
v02 sin 2a
;
g
H=
v02 sin2 a
.
2g
(18)
7. Равномерное движение тела по окружности
Для вращательного движения, кроме обычной линейной скорости v, которая направлена по касательной к окружности, вводится
угловая скорость вращения w (рис. 10):
∆ϕ é ðàä ù
ê
ú,
t êë ñ ûú где Dj – угол поворота тела за время t.
ω=
(19)
v
v
90° aц
0
R
∆φ
Рис.10
Кроме того, равномерное движение тела по окружности характеризуется следующими величинами: R – радиус окружности; T и n –
10
период и частота вращения; aц – центростремительное (нормальное)
ускорение. Перечисленные величины связаны соотношениями
1
T= ,
ν
ω = 2πν,
T=
2πR
,
v
v = ω × R,
aö =
v2
= ω2 × R.
R
Вектор aц направлен по радиусу к центру окружности (по нормали к траектории).
Задачи
Прямолинейное движение
1. Автомобиль, двигавшийся прямолинейно со скоростью 72
км/ч, начал тормозить с ускорением 4 м/с2. Найти длину тормозного пути автомобиля.
2. Точка за 10 с прошла путь 30 м, а ее скорость увеличилась в 5
раз. Считая движение равноускоренным, найти ускорение точки.
3. Тело движется равнозамедленно с ускорением 1 м/с2 и начальной скоростью 4 м/с. Какой путь пройдет тело к моменту времени,
когда его скорость станет равной 2 м/с?
4. Первую четверть пути тело двигалось с постоянной скоростью
15 м/с, а оставшийся до остановки путь равнозамедленно с ускорением 3 м/с2. Найти весь путь, пройденный телом.
5. Тело начинает двигаться из состояния покоя и движется 10 с
равноускоренно с ускорением 4 м/с2. Затем движение тела становится равнозамедленным с ускорением 2 м/с2 и тело останавливается.
Найти путь, пройденный телом.
6. Тело, двигаясь равнозамедленно, к концу второй секунды после начала отсчета времени имело скорость 2 м/с и прошло путь 10
м. Определить величину ускорения тела.
7. Лыжник съезжает с горы и за первые 2 с проходит 2 м, а за следующие 2 с еще 5 м. Считая движение равноускоренным, определить величину начальной скорости.
8. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит 5 м и останавливается. Какой путь прошло тело за третью секунду?
9. Человек, стоящий в момент отправления электропоезда у передних дверей первого вагона, заметил, что он прошел мимо него за
20 с. Сколько времени будет ехать мимо него четвертый вагон, если
поезд движется равноускоренно?
11
10. В координатах (v,t) график зависимости скорости тела от времени представляет собой прямую линию, проходящую через точки
с координатами (8 м/с, 2 с) и (16 м/с, 6 с). Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от 2 до 6 с.
Движение вдоль оси X
11. Движение тела по оси х происходит по закону х = (2+3⋅t) м, где
t – время в секундах. Найти проекцию скорости тела на ось х.
12. При движении по оси х координата тела меняется по закону
х = (2+3⋅t) м, где t – время в секундах. Какой путь пройдет тело за
3 с?
13. При прямолинейном движении зависимость проекции скорости тела от времени имеет вид vx = 5 + 2t м/с. Какой путь пройдет
тело за 2 с?
14. Тело движется в отрицательном направлении оси х со скоростью 2 м/с. В начальный момент времени координата тела равна
6 м. Определить координату тела спустя 7 с после начала отсчета
времени.
15. Тело движется вдоль оси x по закону x = 6 = 5t–4,5t2 м, где t –
время в секундах. Определить величину ускорения тела.
16. Тело движется по прямой со скоростью v = (8–2⋅t) м/с, где t –
время в секундах. Определить путь, пройденный телом за первые
3 с.
17. Тело движется вдоль оси х, причем проекция его скорости изменяется по закону vx = (2 – 3⋅t) м/с, где t – время в секундах. На каком расстоянии от начала координат будет тело через 4 с, если вначале оно находилось в точке x0 = 1 м?
18. Тело движется согласно уравнению x = А⋅t + B⋅t2, А = 4 м/с,
В = – 0,05 м/с2, t – время в секундах. Определить момент времени, в
который скорость точки равна нулю.
19. Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси х по
закону х = 9⋅(0,5–t2) м, где t – время в секундах. Определить модуль
скорости точки в момент времени t = 1 с.
20. Материальная точка движется по прямой со скоростью
v = (14 – 3⋅t) м/с, где t – время в секундах. Определить модуль перемещения точки за время от t1 = 1 до t2 = 3 с.
Движение тела по вертикали
21. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 4 с. На какую максимальную высоту поднялось тело?
12
22. Тело, брошенное с поверхности земли вертикально вверх со
скоростью 30 м/с, дважды побывало на высоте 40 м. Какой промежуток времени разделяет эти два события?
23. Камень свободно падает с некоторой высоты за 2 с. Найти
скорость, с которой его надо подбросить вертикально вверх, чтобы
он поднялся на высоту, в 2 раза превышающую первоначальную.
24. С обрыва высотой 14 м вертикально вниз бросают камень со
скоростью 3 м/с. Через какое время камень ударится о землю?
25. Над колодцем глубиной 20 м бросают вертикально вверх камень со скоростью 15 м/с. Через сколько секунд он упадет на дно
колодца?
26. Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за 1 с. С какой высоты падал камень, если его начальная
скорость равна нулю?
27. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. За какое время оно пролетит 50 м?
28. Сосулька падает с крыши дома. Первую половину пути она
пролетела за 1 с. Сколько времени ей осталось лететь?
29. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью
30 м/с. Какой путь пролетит он за 4 с?
30. За последние 0,5 с свободно падающее вертикально тело пролетает 30 м. Найти скорость тела в момент приземления.
Прямолинейное движение двух тел
31. Человек стреляет из пистолета в мишень, находящуюся от него на расстоянии 34 м. Спустя какое время после выстрела он услышит звук от удара пули в мишень, если скорость пули равна 680 м/с,
а скорость распространения звука 340 м/с?
32. С башни свободно падает камень. Человек на башне услышал
звук его удара о землю через 10 с после начала падения камня. Найти высоту башни (ответ округлить до целого числа). Скорость звука
340 м/с.
33. Два предмета могут двигаться по двум прямым. Первый –
движется со скоростью 1 м/с. В тот момент, когда первый предмет
поравнялся со вторым, стартует второй предмет и, двигаясь равноускоренно, догоняет первый предмет на расстоянии 10 м от старта.
Найти величину максимального отставания второго предмета от
первого.
34. Два велосипедиста стартуют одновременно на дистанции
1 км. Скорость первого велосипедиста равна 8 м/с, а второго 10 м/с.
13
На каком расстоянии от финиша находится первый велосипедист в
момент финиша второго велосипедиста?
35. Подъемный кран опускает плиту с постоянной скоростью 1
м/с. Когда плита находилась на расстоянии 4 м от поверхности земли, с нее упал небольшой камень. На сколько секунд раньше камень
достигнет земли, чем плита?
36. Воздушный шар начинает равноускоренно подниматься вертикально вверх и через 12 с достигает высоты 30 м. В этот момент
от шара отделяется балласт. Через какое время балласт упадет на
землю?
37. Два тела брошены с одной высоты вертикально вниз с интервалом времени Dt = 2с. Начальная скорость первого из них была
равна 10 м/с, второго – 15 м/с. Какова проекция скорости второго
относительно первого через 3 с?
38. Движение двух мотоциклистов задано уравнениями
x1 = 15 + t2, x2 = 8t. Найти время их встречи.
39. Две автомашины движутся по дороге с постоянными скоростями 10 и 15 м/с. Начальное расстояние между машинами равно 1
км. Определить за сколько секунд вторая машина догонит первую.
40.Человек бежит со скоростью 5 м/с. Когда он поравнялся с велосипедистом, велосипедист начал двигаться равноускоренно. Какова
скорость велосипедиста в тот момент, когда он догонит бегуна?
Средняя скорость
41. Автомобиль проходит по проселочной дороге 150 км за 4 ч, а
оставшиеся 100 км – по шоссе за 1 ч. Определить в километрах на
час среднюю скорость автомобиля.
42. Половину пути из одного пункта в другой пешеход шел по
шоссе со скоростью 6 км/ч, а вторую половину – по лесной тропинке. Средняя скорость пешехода – 4,8 км/ч. Найти в километрах на
час скорость пешехода на второй половине пути.
43. Автомобиль первую половину пути ехал со скоростью
в 1,5 раза большей, чем вторую половину. Найти отношение средней
скорости автомобиля на всем пути к скорости на второй половине
пути.
44. Одну треть всего времени автомобиль движется со скоростью
60 км/ч, вторую треть – со скоростью 30 км/ч, а остальное время
стоит. Определить среднюю скорость автомобиля в километрах на
час.
45. Первую треть пути велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч.
Средняя скорость велосипедиста на всем пути равна 20 км/ч. С ка14
кой скоростью он ехал оставшуюся часть пути? Ответ дать в километрах на час.
46. Пароход идет по реке от пункта A до пункта B со скоростью
v1 = 10 км/ч, а обратно – со скоростью v2 = 16 км/ч. Найти среднюю
скорость парохода (ответ округлить до десятых).
47. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути
он ехал со скоростью v1 = 12 км/ч. Половину оставшегося времени
движения – со скоростью v2 = 6 км/ч, а затем до конца пути шел
пешком со скоростью v3 = 4 км/ч. Определить среднюю скорость на
всем пути (км/ч). Ответ округлить до целого числа.
48. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x = (2+3⋅t+0,01⋅t2) м, где t – время в секундах. Найти среднее значение скорости за первые 5 с.
49. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и проходит путь 120 м. Первые 80 м он движется равноускоренно, а остальные 40 м – равнозамедленно, проходит их за 2 с и останавливается.
Чему равна средняя скорость автомобиля на всем пути?
50. Тело падает без начальной скорости с высоты 160 м. Определить среднюю скорость падения на второй половине пути?
Сложение скоростей. Относительность движения.
51. При скорости ветра в горизонтальном направлении 30 м/с
капли дождя падают под углом 60° к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 30° к вертикали?
52. Определить скорость встречного ветра, если пассажир автобуса, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что след капли дождя на боковом стекле расположен под углом 45° к горизонту. Вертикальная составляющая скорости дождя 23 м/с.
53. Колонна машин движется по шоссе со скоростью 10 м/с, растянувшись на расстояние 2 км. Из хвоста колонны выезжает мотоциклист со скоростью 20 м/с и движется к голове колонны. За какое
время мотоциклист достигнет головы колонны?
54. Два поезда едут навстречу друг другу со скоростями 13 и
17 м/c. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него за 6 с. Какова длина второго поезда?
55. Сколько секунд пассажир, стоящий у окна поезда, идущего
со скоростью 60 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого 48 км/ч, а длина 150 м?
56. Плывя равномерно по течению реки, лодка прошла 10 км за
2 часа, а против течения это же расстояние за 4 часа. Найти в (км/ч)
скорость течения реки.
15
57. Двигаясь равномерно по течению реки, лодка прошла 10 км
за 2 часа, а против течения это же расстояние за 4 часа. Найти в
(км/ч) скорость лодки в стоячей воде
58. Катер, плывущий вниз по реке, догоняет спасательный круг.
Через 30 мин после этого катер поворачивает назад и снова встречает круг на расстоянии 5 км от места первой встречи. Найти скорость
течения реки в километрах на час.
59. Два автомобиля едут навстречу друг другу с одинаковым по
величине ускорением: один – равнозамедленно с начальной скоростью 36 км/ч, а другой – равноускоренно с начальной скоростью
9 км/ч. Через какой промежуток времени они встретятся, если вначале расстояние между ними было 250 м?
60. При скорости ветра 10 м/с капли дождя падают под углом 30°
к вертикали. Под каким углом к вертикали падают капли дождя,
если скорость ветра станет 17,3 м/с.
Движение по окружности
61. Тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью 10 м/с, совершая 1 оборот за 62,8 с. Найти величину ускорения, с которым движется тело.
62. При равномерном движении по окружности радиусом 0,1 м
тело совершает 30 оборотов в минуту. Определить величину центростремительного ускорения. Квадрат числа π считать равным 10.
63. Тело равномерно движется по окружности со скоростью
10 м/с. Найти модуль изменения скорости тела при его перемещении по окружности на угол 180°.
64. При равномерном движении по окружности тело переместилось на угол 120°. Модуль изменения скорости тела равен 17,3 м/с.
Найти величину скорости тела.
65. При равномерном движении по окружности тело проходит
5 м за 2 с. Определить величину центростремительного ускорения
тела, если период обращения равен 5 с.
66. Тело движется равномерно по окружности радиуса 1 м. Определить период обращения тела по окружности, если величина центростремительного ускорения составляет 4 м/с2.
67. Секундная стрелка в 2 раза короче минутной. Во сколько раз
линейная скорость конца секундной стрелки больше линейной скорости конца минутной стрелки?
68. У точки, лежащей на ободе вращающегося маховика, линейная скорость в 2 раза больше, чем у точки, лежащей на 5 см ближе к
оси вращения. Найти радиус маховика в см.
16
69. Два тела одновременно начинают движение по окружности
из одной точки в одном направлении. Период обращения первого тела равен 3 с, второго – 4 с. Через какой промежуток времени первое
тело догонит второе?
70. Два картонных диска синхронно вращаются с частотой 75 Гц
вокруг одной оси на расстоянии 0,5 м друг от друга. Пуля, летящая
параллельно оси, пробивает оба диска. Найти наибольшую скорость
пули, при которой отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на 30°.
Движение тела, брошенного горизонтально
71. Камень, брошенный горизонтально с высоты 5 м, упал на расстоянии 10 м от места броска. Найти конечную скорость камня.
72. Тело брошено горизонтально с некоторой высоты со скоростью 10 м/с. Через сколько времени модуль скорости удвоится?
73. С башни высотой 10 м горизонтально бросают камень. Уравнение траектории камня имеет вид y = 10 – 0,1x2. Определите смещение камня по горизонтали за время полета.
74. Мяч, брошенный горизонтально с вышки высотой 10 м, подлетает к поверхности земли под углом 45° к горизонту. На каком
расстоянии от основания вышки мяч упадет на землю?
75. Камень, брошенный с башни горизонтально со скоростью
20 м/с, упал на землю под углом 60° к горизонту. Найти высоту башни.
76. С большой высоты горизонтально брошен камень со скоростью 20 м/с. Через какое время его скорость будет составлять с горизонтом угол 45°?
77. Пуля пробивает два вертикально висящих листа бумаги, расстояние между которыми 45 м. Отверстие во втором листе оказалось
на 5 см ниже, чем в первом. Найти скорость пули, если к первому
листу она подлетела, двигаясь горизонтально.
78. С высоты 1,8 м произведен выстрел из пневматической винтовки в горизонтальном направлении. Найти начальную скорость
пули, если она упала на землю на расстоянии 60 м от места выстрела.
79. Человек прыгает с подножки поезда, идущего со скоростью
18 км/ч. В момент прыжка он отталкивается назад и приобретает
относительно поезда скорость 2 м/с. На каком расстоянии приземлится человек от того места, где он прыгнул, если высота подножки
над землей 1,25 м?
17
80. Из одной точки одновременно в горизонтальном направлении
вылетают две частицы с противоположно направленными скоростями, равными 20 и 5 м/с. Через какое время угол между направлениями скоростей частиц будет равен 90°?
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
81. Под каким углом в градусах к горизонту брошен камень, если
его максимальная скорость в 2 раза больше минимальной?
82. Двое играют в мяч, перебрасывая его друг другу. На какую
наибольшую высоту может подняться мяч, если он от одного игрока
к другому летит 2 с?
83. Какую минимальную скорость после толчка должен иметь
мальчик, чтобы прыгнуть в длину на 3,6 м?
84. Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 60° к горизонту. Через какое минимальное время вектор скорости камня будет
составлять с горизонтом угол 45°?
85. Камень, брошенный вверх с вертикальной башни высотой 5 м
под углом 45° к горизонту, упал на землю на расстоянии 5 м от основания башни. Определить величину начальной скорости камня.
86. Стрела, выпущенная из лука со скоростью 40 м/с под углом
30° к горизонту, дважды побывала на высоте 15 м. Какой промежуток времени разделяет эти моменты?
87. Мяч брошен под углом 30° к горизонту. Найти величину начальной скорости, если на высоте 5 м он был дважды с интервалом
в 1,5 с.
88. Камень брошен вверх с дерева на высоте 7,5 м со скоростью
10 м/с под углом 60° к горизонту. Найти тангенс угла, под которым
он упадет на землю.
89. Копье, брошенное под углом 45° к горизонту, через 1,5 с после
начала движения имело вертикальную проекцию скорости, равную
5 м/с. Найти дальность полета копья.
90. Мяч бросают с поверхности земли под углом 45° со скоростью
10 м/с. На расстоянии 7 м от точки бросания мяч упруго ударяется
о вертикальную стенку. На каком расстоянии от стенки мяч упадет
на землю?
Задачи повышенной сложности
91. Тело брошено с высоты 38 м вертикально вверх с начальной
скоростью 9 м/с. Какой путь пройдет тело за последнюю секунду перед падением на землю?
18
92. С какой минимальной скоростью относительно воды должна
плыть лодка, чтобы ее снос при переправе на противоположный берег был 80 м? Ширина реки 60 м, скорость течения 5 м/с.
93. Ракета запущена вертикально вверх с поверхности Земли и
на участке разгона имела постоянное ускорение 30 м/с2 в течение
0,5 мин. Какое время падала ракета после достижения наибольшей
высоты полета? Ускорение свободного падения считать постоянным.
94. Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх, другой вертикально вниз с высоты 30 м. Найти величину скорости бросания, если к
моменту встречи один из мячей пролетел 10 м.
95. Мячик отпускают из состояния покоя, и через 2 с он упруго
ударяется о наклонную плоскость, составляющую угол 300 с горизонтом. Через какое время он ударится об эту плоскость еще раз?
96. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через
сколько секунд нужно бросить вверх второй мяч со скоростью в два
раза меньшей, чтобы они встретились в наикратчайшее время?
97. Из состояния покоя тело движется прямолинейно и равноускоренно 1 мин 40 с, после чего ускорение меняет направление на
противоположное, оставаясь таким же по величине. Через сколько
секунд после начала движения тело вернется в исходную точку?
98. Камень, брошенный вертикально вверх, проходит в первую
секунду половину высоты подъема. Какой путь пролетит он за последнюю секунду падения?
99. С высоты 40 м бросают камень со скоростью 20 м/с так, что
дальность полета его максимальна. Под каким углом к горизонту
он брошен?
100. Петарда взрывается через 0,6 с после броска. С какой скоростью ее нужно бросить, чтобы она взорвалась в верхней точке траектории на расстоянии 4,8 м по горизонтали от точки бросания?
19
Динамика
Динамика изучает движение тел, вскрывая причины, придающие движению тел тот или иной характер. Основу динамики составляют три закона Ньютона, которые представляют собой обобщение большого числа экспериментальных фактов.
1. Первый закон Ньютона (закон инерции)
Существуют инерциальные системы отсчета, в которых изменение скорости тела может быть обусловлено только его взаимодействием с другими телами. Количественной мерой взаимодействия
тел является сила.
2. Второй закон Ньютона
Закон устанавливает количественную связь между ускорением

a тела и вызывающими это ускорение силами и является основным
законом динамики:


ma = å Fi ,
(1)
i


где m – масса тела, а å Fi = Fð – результирующая всех сил, действуi
ющих на тело.
Основное уравнение динамики – второй закон Ньютона – векторное уравнение. В предлагаемых далее задачах действующие силы лежат в одной плоскости, поэтому можно выбрать систему координат так, чтобы векторное уравнение второго закона сводилось к
двум скалярным.
В проекциях на оси координат X, Y второй закон Ньютона (1) запишется в виде:
F1x + F2x + ... + Fnx = max ,
(2)
F1y + F2y + ... + Fny = may .
3. Третий закон Ньютона
Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю,
противоположными по направлению.


F2 = -F1, (3)


где F2  – сила, действующая со стороны первого тела на второе, F1 –
сила, действующая со стороны второго тела на первое.
20
4. Классификация сил
Рассмотрим силы, которые реально встречаются в задачах.
А. Вес тела.
Весом тела называется сила, с которой тело давит на опору или
растягивает подвес. Из этого определения следует, что
а) вес P – это сила, приложенная к опоре или подвесу со стороны

рассматриваемого тела. Поэтому на рисунках начало вектора P надо указывать на опоре или подвесе;
б) согласно третьему закону Ньютона вес тела численно равен силе реакции опоры N, действующей со стороны опоры (подвеса) на тело. Таким образом, чтобы найти вес тела, надо определить величину силы N.
Из сказанного следует, что вес тела и сила тяжести – разные силы, так как приложены к разным телам и характеризуют взаимодействие разных пар тел (тело-опора и тело-Земля, соответственно).
Однако, по величине вес тела равен силе тяжести, если тело и опора
(подвес) покоятся или движутся относительно Земли равномерно и
прямолинейно.
Сила тяжести направлена всегда вниз, а сила реакции опоры перпендикулярна поверхности, на которой тело находится.
Б. Силы трения.
Эти силы обусловлены шероховатостью соприкасающихся поверхностей или, иначе говоря, силами межмолекулярного взаимодействия соприкасающихся поверхностей. Сила трения действует параллельно поверхности соприкосновения, и она препятствует
взаимному перемещению тел.

Различают силу трения покоя, когда v = 0, которая равна равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и силу трения скольжения. В этом случае опытным путем установили, что
v
y
y
v
N
N
Fтр
F
mg
N–mg=0
Fтр= μmg
Рис. 1
F тр
x
N
v
y
α
N+Fsinα–mg=0
Fтр= μ(mg–Fsinα)
Рис. 2
x
Fтр
F
mg
F
α
α
mg
x
N–mgcosα=0
Fтр= μmgcosα
Рис. 3
21
Fòð = mN, (4)
т. е. сила трения пропорциональна силе реакции опоры, где m – коэффициент трения. Отметим, что максимальная сила трения покоя
равна силе трения скольжения. Примеры определения силы трения
скольжения с постоянной скоростью представлены на рис. 1–3, на
которых сила F – сила, движущая тело по поверхности.
В. Сила упругости.
Данная сила возникает в результате деформации тел. В случае
упругих деформаций силы упругости подчиняются закону Гука
Fóïð = -kx, (5)
здесь k – коэффициент упругости или коэффициент жесткости (для
пружин); знак минус показывает, что силы упругости направлены
противоположно деформации x (рис. 4).
Fy пр
F
o
x
Рис. 4
Г. Сила гравитационного взаимодействия.
Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения. Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними:
F=G
m1 × m2
,
(6)
r2
где G – гравитационная постоянная. Формула (6) применима к телам сферической формы (r – расстояние между центрами тел), а
также к телам, одно из которых имеет сферическую форму, а второе
является материальной точкой (r – расстояние от центра тела до материальной точки). Следовательно, на любое тело, находящееся на
расстоянии r от центра Земли или иной планеты массой M, действует сила притяжения
22
F=G
M ×m
,
(7)
r2 которая сообщает телу ускорение свободного падения g и называется иначе силой тяжести mg, т.е.
mg = G
M ×m
r2
.
(8)
Ускорение свободного падения на расстоянии r от центра планеты g(R) или, иначе, на высоте h от ее поверхности gh определяется
из (8)
GM
GM
g(r ) = gh = 2 =
,
(9)
r
(R + h)2 где R – радиус планеты. У поверхности планеты (h = 0) ускорение
g=
G×M
R2
,
(10)
Из (6) и (7) получим
gh =
g × R2
(R + h)2
, (11)
Из формулы (10) следует также, что GM = gR2. Это соотношние
часто используется при решении задач на вращение спутников вокруг Земли, позволчч не задавать численных значений G и M.
Скорость спутника, вращающегося по круговой орбите радиусом
r, можно найти с помощью второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения (вывести самостоятельно).
v=
gR 2
,
r (12)
где g – ускорение свободного падения у поверхности планеты, R – ее
радиус. Минимальная скорость, при которой тело может стать спутником планеты, называется первой космической скоростью
v1 = gR . Для Земли v1 = 8 км/с.
23
5. Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса


Используя второй закон Ньютона F = ma, где ускорение тела
 
 v - v0
a=
, можно записать:
∆t

 


F
∆t = m(v - v0 ) = mv - mv0 , (13)



где p = mv  – импульс тела, а F ∆t  – импульс силы. Таким образом,
импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса
тела.
Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса. Импульс системы, равный сумме импульсов всех тел, остается постоянным.
 

(14)
p = p1 + p2 + ... = const. Как и второй закон Ньютона, уравнение закона сохранения импульса является векторным. Например, для двух соударяющихся


тел массой m1 и m2, движущихся со скоростями v1 и v2, закон сохранения импульса запишется в виде:




m1v1 + m2v2 = m1v1¢ + m2v2¢ , (15)


где v1¢ è v2¢ – скорости тел после взаимодействия. Если первое тело
догонит второе и удар неупругий, т.е. удар, при котором взаимодействующие тела движутся как единое целое, то в проекциях на ось X
закон сохранения импульса запишется так:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )v, (16)
где v – скорость тел после столкновения.
Если тела двигались навстречу друг другу, то
24
m1v1 - m2v2 = (m1 + m2 )v. (17)
Задачи
Законы Ньютона
1. Тело массой 1 кг движется под действием силы так, что закон
движения имеет вид:. Найти силу, действующую на тело.
2. Груз массой 5 кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вертикально вверх с ускорением 3 м/с2. Определить
силу натяжения нити.
3. Собака начинает тянуть санки с ребенком массой 25 кг с постоянной силой 150 Н, направленной горизонтально. Какое расстояние
проедут санки за 10 с, если коэффициент трения полозьев санок о
снег равен 0,5?
4. Два кубика массами 100 и 50 г, связанные нитью, лежат на
гладкой горизонтальной поверхности. С какой силой, направленной горизонтально, можно тянуть первый кубик, чтобы нить, имеющая предел прочности 10 Н, не разорвалась?
5. Мячик массой 50 г, брошенный вертикально вверх со скоростью 30 м/с, достиг высшей точки подъема через 2 с. Найти силу сопротивления, действовавшую на мячик во время полета, считая ее
постоянной.
6. Динамометр вместе с прикрепленным к нему грузом сначала
поднимают вертикально вверх, затем опускают. В обоих случаях
движение равноускоренное с ускорением 5 м/с2. Определить массу
груза, если разность показаний динамометра равна 30 Н.
7. Груз, подвешенный на веревке, поднимают вверх с ускорением
3 м/с2. При этом сила натяжения веревки в 2 раза меньше предела
ее прочности. С каким минимальным ускорением нужно поднимать
груз, чтобы веревка разорвалась?
8. Шофер машины начинает тормозить в 25 м от препятствия.
Коэффициент трения шин об асфальт 0,8. При какой максимальной
скорости машина успеет остановиться перед препятствием? Ответ
дать в километрах на час.
9. Два груза, соединенные нитью, движутся по гладкой плоскости. Когда сила 100 Н была приложена к правому грузу, натяжение
нити было равно 30 Н. Каким будет натяжение нити, если эту силу
приложить к левому грузу?
10. Тело движется по горизонтальной поверхности под действием
силы 30 Н, приложенной под углом 60° к горизонту. Масса тела 5 кг.
Определить ускорение тела. Трение не учитывать.
11. К находящемуся на горизонтальной плоскости бруску массой
10 кг приложена сила 5 Н, направленная горизонтально. Определи25
те величину силы трения между бруском и плоскостью, если коэффициент трения равен 0,1.
12. Груз массой 100 кг, лежащий на полу кабины скоростного
лифта, давит на пол с силой 1400 Н. Найти ускорение лифта.
13. До удара о бортик шайба, брошенная со скоростью 15 м/с, прошла по льду 25 м. Какое расстояние пройдет шайба до остановки после абсолютно упругого удара о бортик, если коэффициент трения
ее о лед равен 0,25?
14. Груз, подвешенный на нити, один раз поднимают, а другой –
опускают с одинаковым ускорением 8 м/с2. Найти отношение силы
натяжения нити при подъеме груза к аналогичной силе при его опускании.
15. Через блок, массой которого можно пренебречь, перекинута
нить, к концам которой подвешены две гири массами 2 и 6 кг. Найти величину натяжения нити при движении гирь.
16. Две гири соединены нитью, перекинутой через невесомый
блок. Гири движутся вертикально в противоположных направлениях с ускорением 2 м/с2. Определить массу более тяжелой гири,
если масса более легкой равна 2 кг.
17. В вагоне, движущемся горизонтально с постоянным ускорением 7,5 м/с2, на проволоке висит груз массой 2 кг. Определите
силу натяжения проволоки. Груз относительно вагона неподвижен.
18. Кирпич массой 5 кг движется из состояния покоя по горизонтальной поверхности под действием силы 40 Н, направленной вверх
под углом 45° к поверхности. Найти его скорость через 10 с, если коэффициент трения скольжения равен 0,5.
19. Через блок перекинута нить, на концах которой подвешены
грузы общей массой 10 кг. После освобождения грузы приходят в
движение и за 0,5 с каждый смещается на 0,75 м. Найти силу давления на ось блока.
20. Тело массой 5 кг прижимают к вертикальной стене силой
400 Н, направленной перпендикулярно плоскости стены. Определить проекцию ускорения тела на ось, направленную вертикально
вверх, если коэффициент трения тела о стену равен 0,1.
Наклонная плоскость
21. Ящик массой 10 кг равномерно соскальзывает по наклонной
плоскости с углом наклона 45°. Определить коэффициент трения
скольжения.
26
22. Лыжник съезжает с горы, составляющей угол 60° с горизонтом. Пройденный им путь определяется выражением S = 3,5⋅t2(м).
Найти коэффициент трения лыж о снег.
23. На наклонной плоскости с углом наклона 30° в состоянии покоя находится брусок массой 0,1 кг. Найти силу трения, действующую на брусок.
24. С вершины наклонной плоскости с углом наклона 30° и высотой 10 м начинает скользить тело. Коэффициент трения равен 0,1.
Найти время спуска. Ответ округлить до десятых.
25. К грузу массой 20 кг, находящемуся на наклонной плоскости, привязан шнур, к другому концу которого подвешен груз массой 4 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если угол наклона плоскости 30°, а коэффициент трения 0,2. Ответ округлить
до десятых.
26. Брусок массой 5 кг скользит по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Коэффициент трения между бруском и
наклонной плоскостью равен 0,12. Определите, чему равен модуль
силы трения скольжения, действующей на брусок. Ответ округлить
до десятых.
27. Тело массой 5 кг равномерно движется по наклонной плоскости. Сила реакции опоры 40 Н. Найти коэффициент трения.
28. Тело равномерно движется по наклонной плоскости. На него
действуют сила реакции опоры, равная 30 Н, и сила трения, равная
6Н. Найти котангенс угла, который наклонная плоскость составляет с горизонтом.
29. Шайба, брошенная вдоль ледяной горки с углом наклона 30°,
за 1 с прошла 4 м, после чего стала соскальзывать вниз. Чему равен коэффициент трения шайбы о лед? Ответ дать с точностью до
сотых.
30. Груз поднимают с помощью ленточного транспортера, расположенного под углом a=45° к горизонту. Найти максимальное ускорение, с которым может подниматься груз, если коэффициент трения между грузом и лентой транспортера равен m=0,5. Ответ округлить до целого числа.
Закон Гука
31. К кронштейну, закрепленному на стене, с помощью невесомого пружинного динамометра подвесили груз массой 5 кг. Найти, на
сколько миллиметров растянулась пружина динамометра, если ее
жесткость равна 5000 Н/м.
27
32. Один конец пружинки жесткостью 10 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г. Лифт
опускается с ускорением 2 м/с2, направленным вниз. Определить
величину деформации пружинки.
33. Один конец пружинки жесткостью 100 Н/м привязан к потолку лифта, а к другому концу привязана гирька массой 100 г.
Определить величину ускорения лифта, если растяжение пружинки равно 1,2 см.
34. Две невесомые пружинки соединили последовательно и растянули. При этом удлинение пружины жесткостью 100 Н/м составило 2 см. Найти в сантиметрах деформацию другой пружины,
жесткость которой равна 500 Н/м.
35. Жесткость пружины игрушечного пистолета 10 Н/м. Ее сжали на 5 см. Найти величину начального ускорения шарика массой
10 г, если выстрел производится вертикально вверх. Трением пренебречь.
36. Тело массой 5 кг, покоящееся на горизонтальной плоскости,
начинают тянуть в горизонтальном направлении через пружину
жесткостью 100 Н/м. Найти изменение длины пружины к моменту
начала движения тела, если коэффициент трения равен 0,3.
37. Под действием силы 40 Н пружина удлинилась на 4 см. Пружину разрезали пополам и получившиеся части соединили параллельно. С какой силой теперь необходимо подействовать на получившуюся систему пружин, чтобы ее удлинение опять составило 4 см?
38. Под действием силы 20Н пружина удлинилась на 1 см. Пружину разрезали пополам и получившиеся части соединили последовательно. Определите массу груза, который необходимо подвесить к нижней пружине, чтобы ее удлинение составило 1 см.
39. К потолку вагона, движущегося с ускорением 2 м/с2, на пружине жесткостью 500 Н/м подвешен груз массой 2 кг. Определите
величину деформации пружины.
40. Два бруска массой 0,4 кг и 06, кг соединены пружиной. Под
действием силы 5Н, проложенной по второму бруску, система начала равномерно двигаться. Найти ускорение брусков и натяжение
пружины, если её коэффициент жесткости K=10 Н/м, а коэффициент трения бруска о поверхность m=0,4
Динамика движения по окружности
41. Диск радиусом 0,5 м вращается вокруг вертикальной оси. На
краю диска лежит небольшой кубик. Принимая коэффициент тре28
ния равным 0,2, найдите величину линейной скорости кубика, при
которой он начнет соскальзывать с диска.
42. С какой минимальной скоростью должен ехать автомобиль
по выпуклому мосту с радиусом кривизны 90 м, чтобы пассажиры
испытали состояние невесомости? Ответ привести в километрах на
час.
43. Пассажир массой 50 кг покоится относительно трамвая, движущегося по закруглению радиусом 1 км со скоростью 36 км/ч.
Найти величину равнодействующей всех сил, приложенных к пассажиру.
44. С какой максимальной скоростью может повернуть мотоциклист на горизонтальном участке дороги при коэффициенте трения
0,4, если радиус поворота 25 м?
45. Гирька лежит на вращающемся относительно вертикальной
оси шероховатом диске. На каком расстоянии от оси вращения лежала гирька, если при скорости 0,5 м/с она начала скользить по поверхности диска? Коэффициент трения равен 0,1.
46. Мальчик массой 40 кг вращается на «гигантских шагах», делая 15 об/мин. Длина каната 5 м. Найти силу натяжения каната.
Квадрат числа π считать равным 10.
47. Летчик массой 80 кг совершает мертвую петлю радиусом
250 м, при этом скорость самолета 540 км/ч. С какой силой давит
летчик на сидение кресла в нижней точке петли?
48. С какой силой летчик массой 100 кг давит на кресло, если самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением 10 м/с2?
49. Цилиндр с внутренним радиусом 0,4 м вращается вокруг своей оси, расположенной вертикально. Внутри него на стенке находится камушек. Найти наименьший период вращения цилиндра,
при котором этот камушек еще не будет падать вниз, если коэффициент трения равен 0,01. Ответ округлить до сотых.
50. Камень вращается в вертикальной плоскости. Найти массу
камня, если разность между максимальным и минимальным натяжением нити равна 10 Н.
Импульс тела. Импульс силы.
Закон сохранения импульса
51. Тело движется со скоростью 10 м/с по горизонтальной плоскости и сталкивается с покоящимся телом. После абсолютно неупругого удара скорость тел равна 2 м/с. Найти отношение массы покоившегося до удара тела к массе двигавшегося тела.
29
52. Брусок массой 5 кг начинает двигаться по горизонтальной
плоскости под действием горизонтальной силы 25 Н. Найти коэффициент трения, если импульс бруска через 5 с равен 25 Н⋅с.
53. Два кубика массами 1 и 3 кг скользят навстречу друг другу со
скоростями 3 и 2 м/с соответственно. Найти величину суммарного
импульса кубиков после абсолютно неупругого удара.
54. Ракета, имеющая вместе с зарядом массу 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 125 м. Масса заряда 50 г. Найти
скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание происходит мгновенно. Сопротивлением воздуха пренебречь.
55. Мяч массой 100 г, летящий со скоростью 1,5 м/с, пойман на
лету. С какой по величине средней силой мяч действует на руку, если его скорость гасится за 0,03 с?
56. Сосулька массой 500 г свободно падает с крыши дома. Найти
величину ее импульса через 2 с после начала падения. Сопротивление воздуха не учитывать.
57. Шары массой 1 и 0,5 кг движутся навстречу друг другу со
скоростями 20 и 10 м/с соответственно. Определить скорость совместного движения шаров после абсолютно неупругого удара.
58. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью 20 м/с, разорвался на два осколка массами 10 и 5 кг. Скорость меньшего осколка 90 м/с и направлена так же, как скорость снаряда до разрыва.
Найти величину скорости большего осколка.
59. С тележки, движущейся горизонтально со скоростью 3 м/с,
в противоположную сторону прыгает человек, после чего скорость
тележки стала 4 м/с. Найти скорость человека при прыжке относительно земли, если масса тележки 210 кг, а человека – 70 кг.
60. Скорость пули на вылете из ружья 100 м/с, а ее масса 3 г.
Определить скорость отдачи ружья при выстреле, если его масса
равна 3 кг.
61. Снаряд массой 50 кг, летящий со скоростью 1000 м/с, попадает в платформу с песком массой 4950 кг и застревает в нем. Определить величину скорости, с которой начнет двигаться платформа, если скорость снаряда направлена вдоль железнодорожного полотна.
62. Найти среднюю величину силы, действующей на плечо охотника в процессе выстрела, если время движения дроби в стволе составляет 0,05 с, ее масса – 40 г, а скорость при вылете из ружья равна 300 м/с.
63. Охотник стреляет, находясь в легкой резиновой лодке. Чему
будет равна скорость лодки сразу после выстрела? Масса охотника
и лодки 80 кг, масса дроби 35 г, дробь вылетает из ствола со скоро30
стью 320 м/с. Ствол ружья во время выстрела направлен под углом
60° к горизонту.
64. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса
платформы с орудием 15 т. Орудие стреляет вверх под углом 60° к
горизонту в направлении пути. С какой скоростью покатится платформа, если масса снаряда 20 кг и он вылетает со скоростью 600
м/с?
65. Конькобежец массой 60 кг толкает камень массой 3 кг в горизонтальном направлении со скоростью 8 м/с. На какое расстояние
он при этом откатится? Коэффициент трения коньков о лед 0,02.
66. Пластилиновый шарик массой 9 г лежит на краю стола высотой 1,25 м. В шарик попадает пуля из пневматической винтовки
массой 1 г, летящая горизонтально со скоростью 50 м/с, и застревает в нем. На каком расстоянии от стола упадет шарик?
67. Человек весом 600 Н, бегущий со скоростью 5 м/с, вскакивает
на тележку массой 90 кг, которая движется ему навстречу со скоростью 2 м/с. Найти величину скорости тележки с человеком.
68. Тело массой 0,2 кг движется по окружности с постоянной линейной скоростью 1,5 м/с. Найти величину изменения импульса тела за время, равное половине периода вращения.
69. Двухступенчатая ракета движется со скоростью 6 км/с. Скорость первой ступени после отделения 2 км/с. Найти скорость второй ступени после отделения первой, если масса первой ступени
20 кг, а масса второй ступени 10 кг.
70. Тело массой 1 кг после упругого столкновения с неподвижной
преградой отклонилось от первоначального направления движения
на угол 120°. Найти изменение импульса тела, если его скорость до
удара была 2 м/с. Ответ округлить до целых.
Закон всемирного тяготения.
Движение искусственных спутников
71. Радиус Солнца в 108 раз больше радиуса Земли, а плотность
Солнца равна 0,25 плотности Земли. Найти ускорение свободного
падения у поверхности Солнца.
72. Вычислить ускорение свободного падения на расстоянии от
центра Земли, вдвое превышающем ее радиус.
73. Два одинаковых спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, радиусы которых в 2 и 4 раза больше радиуса Земли. Найти отношение силы притяжения между Землей и ближайшим спутником к аналогичной величине для второго спутника.
31
74. Масса планеты в 8 раз больше массы Земли, а ее радиус
в 2 раза больше радиуса Земли. Найти отношение ускорения свободного падения у поверхности планеты к ускорению у поверхности
Земли.
75. Плотность некоторой планеты такая же, как и Земли, а радиус вдвое меньше. Найти отношение первой космической скорости
для Земли к аналогичной величине для планеты.
76. Определите скорость движения спутника вокруг Земли по
круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с. Ответ привести в километрах на секунду, округлив результат до целых.
77. Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам
на расстояниях 7600 и 600 км от ее поверхности. Определить с точностью до десятых отношение скорости первого спутника к скорости второго. Радиус Земли принять равным 6400 км.
78. Два спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам
на расстояниях 21600 и 600 км от ее поверхности. Найти отношение
периода обращения первого спутника к периоду обращения второго. Радиус Земли принять равным 6400 км.
79. Спутник равномерно вращается вокруг Земли по круговой
орбите, радиус которой в 4 раза превышает радиус Земли. Определить линейную скорость спутника, считая радиус Земли равным
6400 км.
80. Космический корабль движется вокруг Земли. Радиус орбиты 19200 км. Считая радиус Земли равным 6400 км, определите, во
сколько раз гравитационная сила, действующая на корабль на орбите, меньше, чем на поверхности Земли.
Задачи повышенной сложности
81. Небольшой брусок лежит на краю доски длиной 2 м. Доска
начинает двигаться по горизонтали с ускорением 3 м/с2, причем передним по ходу движения является край, на котором лежит брусок.
Через какое время брусок соскользнет с доски, если коэффициент
трения между бруском и доской 0,2?
82. Кубик массой 50 г движется равноускоренно по горизонтальной поверхности под действием горизонтально направленной силы
0,4 Н. Если на верхнюю грань кубика прилепить кусочек пластилина массой 25 г, то при той же силе ускорение уменьшится в 3 раза.
Определить коэффициент трения кубика о плоскость.
83. Канат лежит на горизонтальной поверхности стола так, что
часть его свешивается со стола. Коэффициент трения равен 0,25.
32
Какую минимальную долю должна составлять свешивающаяся
часть каната, чтобы он начал соскальзывать со стола?
84. Струя воды сечением 4 см2 и скоростью 10 м/с ударяется о
стенку под углом 60° к нормали и упруго отражается от нее без потери скорости. Найти силу, с которой струя давит на стенку.
85. К вертикальной стене силой 30 Н, направленной горизонтально, прижимается кирпич массой 4 кг. Найти величину импульса кирпича через 2 с после начала движения, если коэффициент
трения кирпича о стенку равен 0,5.
86. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу
по горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему.
Скорости пластилина и бруска перед центральным ударом направлены взаимно противоположно и равны vпл = 15 м/с и vбр = 5 м/с.
Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом m = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их скорость уменьшится на 30%?
87. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по
ней, двигаясь вверх с ускорением 7 м/с2, а затем возвращается к месту броска с ускорением 3 м/с2. Найти в градусах угол наклона плоскости к горизонту.
88. Поезд, ехавший со скоростью 72 км/ч, подъезжая к станции
движется равнозамедленно. Каково наименьшее время торможения, чтобы с полки не соскользнул груз, коэффициент трения которого о полку равен 0,2?
89. За какое время брусок соскользнет с наклонной плоскости
высотой 10 м и углом наклона 60°, если по наклонной плоскости с
углом наклона 30° он движется вниз равномерно?
90. Кубик массой 50 г лежит на наклонной плоскости. Для равномерного перемещения кубика вверх или вниз на него надо подействовать силой, направленной вдоль наклонной плоскости и равной
0,7 или 0,1 Н соответственно. Найти коэффициент трения скольжения между кубиком и плоскостью.
33
Работа. Мощность. Энергия
1.Работа
F
F
β
1

v1
β
C
S 2
Рис. 1
v
v2
Пусть под действием постоянной
силы тело совершает перемещение S
из точки 1 в точку 2
 (рис.1). Скорость
тела меняется от v1 до v2 . В произвольной точке пути C скорость равна
v. Механическая работа A12, совершаемая силой F на пути S, определяется
формулой
 
A12 = F × S × cos β, (1)


где β – угол между векторами силы F и перемещения S.
2. Мощность
Средняя мощность, развиваемая силой F за время t, равна отношению механической работы ко времени
A
N= .
(2)
t Мгновенная мощность силы F определяется формулой
 
N = F × v × cos β,
(3)


где β – угол между векторами F и v (рис. 1). Если тело движется с
постоянной скоростью, то формулы (2) и (3) приводят к одинаковому результату.
3. Энергия
Механическая энергия характеризует способность тела совершать механическую работу. Полная механическая энергия тела (системы) складывается из кинетической Eк и потенциальной Eп энергии
E = Eê + Eï . (4)
Кинетическая энергия – это энергия, которой обладает движущееся тело. Для тела массой m, имеющего скорость v и импульс p,
кинетическая энергия по определению равна
34
Eê =
mv2
p2
, Eê =
.
2
2m
(5)
Для кинетической энергии тела справедлив закон, согласно которому работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела
Eê2 - Eê1 = A12,
(6)
Eк2 и Eк1 – конечная и начальная кинетические энергии.
Для системы тел, между которыми действуют внутренние консервативные силы, можно ввести понятие потенциальной энергии.
Потенциальная энергия системы зависит от взаимного расположения тел системы и определяется работой внутренних консервативных сил по формуле
Eï1 - Eï2 = A12 âíóòð..
(7)
К консервативным силам, работа которых не зависит от формы
пути, относятся: сила тяготения (сила тяжести), упругая сила, кулоновская сила и другие. Например, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только разностью высот h1
и h2 в начальном и конечном положениях:
A12 = m g (h1 - h2 ). (8)
Примем уровень, от которого отсчитаны высоты в (8), за начало
отсчета для потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести Земли (на этом уровне Eп = 0). Тогда для произвольного положения тела на высоте h от выбранного уровня
Eï = m g h. (9)
Обращаем внимание на то, что начало отсчета для потенциальной энергии можно выбрать произвольно из соображений удобства.
Приведем выражения для потенциальной энергии в некоторых
важных случаях. Потенциальная энергия тяготения точечных масс
m1 и m2 или тел сферической формы определяется формулой
m m
Eï = - G 1 2 .
(10)
r
35
Здесь потенциальная энергия принята равной нулю при бесконечно большом расстоянии между телами.
Аналогично записывается потенциальная энергия кулоновского
взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 на расстоянии r друг
от друга
q q
Eï = k 1 2 . (11)
r
При упругой деформации, описываемой законом Гука, потенциальная энергия деформированного тела
kx2
(12)
Eï =
. 2
Для полной механической энергии можно записать два закона,
которые используются при решении задач.
Закон изменения механической энергии утверждает, что изменение полной механической энергии равно работе внешних сил, действующих на тела системы
E2 - E1 = A12 âíåø .
(13)
Внешними являются все неконсервативные силы, действующие
на тела системы. К таким силам относятся силы сопротивления,
трения, сила тяги, сила реакции опоры.
Работа сил сопротивления и трения отрицательна, под действием таких сил механическая энергия уменьшается.
Работа силы тяги положительна, сила тяги увеличивает механическую энергию системы.
Работа силы реакции опоры равна нулю. Эту силу можно не учитывать, применяя закон (13).
Отметим, что силы тяжести, упругости являются внутренними
консервативными силами, они определяют потенциальную энергию системы.
Для замкнутой системы при отсутствии внешних сил справедлив закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы постоянна
E = ïîñò , E1 = E2. (14)
Законы (13) и (14) применимы как к системе тел, так и к отдельно взятому телу, находящемуся в потенциальном физическом поле.
Например, к телу в однородном поле тяжести Земли.
36
4. Коэффициент полезного действия
Простейшие механизмы характеризуются физической величиной, называемой коэффициентом полезного действия (КПД). В механике под КПД механизма понимают отношение полезной работы
и затраченной:
A
η = ïîë. ×100% (15)
Àçàòð.
Например, пусть поднимается груз с помощью системы блоков,
и человек, прикладывая силу F1, перемещает веревку на длину S.
При этом груз поднимается на высоту h под действием силы F2 = mg.
Коэффициент полезного действия такого механизма будет равен
F ×h
mgh
η = 2 ×100%=
×100%. (16)
F1 × S
F1 × S
Утверждение о том, что КПД механизмов всегда h < 1, называют
золотым правилом механики.
Задачи
Работа
1. Тело движется по горизонтальной поверхности под действием
силы 20 Н, приложенной к телу под углом 60° к горизонту. Определить работу этой силы при перемещении тела на 5 м.
2. Определить работу силы тяжести при перемещении тела массой 3 кг по горизонтальной поверхности на расстояние 15 м.
3. Гиря массой 0,5 кг соскальзывает с наклонной плоскости высотой 1 м. Какую работу совершит сила нормальной реакции опоры
при соскальзывании гири?
4. Груз поднимают на веревке с поверхности Земли вертикально
на высоту 5 м один раз с постоянной скоростью, второй раз с ускорением 2 м/с2. Найти отношение работы силы тяги во втором случае к
аналогичной работе в первом случае.
5. Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту.
Определить работу силы тяжести за время движения мяча до начального уровня.
6. Камень массой 1 кг брошен с вышки высотой 5 м со скоростью
8 м/с в горизонтальном направлении. Определить работу силы тяжести к моменту падения камня на поверхность Земли.
37
7. Брусок массой 0,5 кг соскальзывает с вершины наклонной
плоскости длиной 1 м и углом при основании 30°. Определить работу силы тяжести при соскальзывании бруска.
8. Какую работу надо совершить, чтобы груз массой 200 кг медленно втащить по наклонной плоскости на высоту 2 м? Угол наклона плоскости 30°, коэффициент трения 3 3.
9. Какую работу совершает собака, чтобы разогнать санки с ребенком массой 25 кг от 2 до 6 м/с за 5 с? Сила тяги направлена горизонтально, коэффициент трения равен 0,1.
10. Покоящееся тело переместилось на расстояние 1 м под действием двух взаимно перпендикулярных сил 4 Н и 3 Н, соответственно. Найти работу равнодействующей силы.
Мощность
11. Катер имеет два мотора мощностью N=100 кВт каждый и развивает скорость v=72 км/час. Найти силу сопротивления движению
катера.
12. Автомобиль массой 800 кг трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь 40 м в течение 4 с. Чему равна мгновенная мощность автомобиля в конце этого пути. Сопротивлением движению пренебречь.
13. Товарный поезд в течение времени 5 мин. Развивает скорость
36 км/час. Масса поезда 1200 тонн, коэффициент трения 0,04. Определить среднюю мощность локомотива в кВт на этом участке пути.
14. Машина массой 40 т поднимается равномерно в гору, уклон
которой составляет 4 м на каждый километр пути. С какой скоростью движется машина, если ее мощность 34 кВт, а сила сопротивления движению 1 кН. Ответ округлить до целого числа.
15. Тело массой 2 кг брошено под углом к горизонту 300 с начальной скоростью 10 м/с. Определить величину мощности силы тяжести в начальный момент времени.
16. Речка образует водопад высотой 5 м, сечением потока 20 м2
и скоростью течения воды у вершины водопада 4 м/с. Найти в кВт
мощность водопада.
17. Электрический насос мощностью 10 кВт поднимает 6 м3 из
шахты глубиной 60 м в течение 10 мин. Найти коэффициент полезного действия насоса.
18. Лифт массой 1000 кг равномерно поднимается на высоту 10 м
за 5 с и останавливается. Какова мощность в кВт мотора лифта, если его коэффициент полезного действия равен 80%.
38
19. Электровоз мощностью 3•106 Вт движется со скоростью
72 км/час. Найти силу тяги мотора электровоза в кН, если КПД мотора 80%.
20. Человек перемещает груз массой 30 кг с постоянной скоростью 1 м/c с помощью веревки, составляющей угол 450 с горизонтом. Какую мощность развивает человек, если коэффициент трения
груза о дорогу 0,5?
Энергия
21. Определить кинетическую энергию тела, скорость которого
равна 4 м/с, а величина силы тяжести равна 30 Н.
22. Покоящееся тело массой 1 кг начинает двигаться с ускорением 1 м/с2. Определить величину кинетической энергии тела в конце
второй секунды движения.
23. Определить кинетическую энергию тела массой 1 кг, если величина его импульса составляет 4 Н⋅с.
24. Тело массой 2 кг движется по окружности радиуса 1 м с центростремительным ускорением 3 м/с2. Определить кинетическую
энергию тела.
25. За время ускоренного движения тела его кинетическая энергия возросла в 4 раза. Найти отношение конечного импульса тела к
начальному.
26. Найти отношение кинетической энергии тела, движущегося
со скоростью 20 м/с, к потенциальной энергии этого же тела, поднятого на высоту 10 м?
27. До какой максимальной высоты поднимется мяч массой
0,4 кг, если ему при бросании вертикально вверх сообщена энергия
80 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.
28. Скорость тела изменяется по закону v = (2(t–2)2 + 2) м/с, где
t – время в секундах. Масса тела равна 1 кг. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 2 с.
29. Определить массу груза, висящего вертикально на невесомой
пружине, если коэффициент жесткости пружины равен 500 Н/м, а
потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна 0,1 Дж.
30. Тело движется по окружности радиусом 0,5 м, обладая кинетической энергией 10 Дж. Чему равна величина равнодействующей
силы, приложенной к телу?
Закон сохранения энергии
31. Сжатая пружина, полностью распрямляясь, сообщает шарику массой 0,2 кг в горизонтальном направлении скорость 5 м/с.
Определить потенциальную энергию сжатой пружины.
39
32. Камень массой 10 кг бросают вертикально вниз с высоты 10 м
со скоростью 5 м/с. Найти полную механическую энергию камня к
моменту удара о землю. Сопротивление воздуха не учитывать.
33. Брусок массой 2 кг соскальзывает без начальной скорости с
вершины гладкой наклонной плоскости. За время движения бруска
равнодействующая всех сил, приложенных к нему, совершила работу 80 Дж. Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением, определить высоту наклонной плоскости.
34. Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте его кинетическая и потенциальная энергии будут одинаковы? Сопротивлением воздуха пренебречь.
35. Шайба массой 200 г, брошенная со скоростью 10 м/с вверх по
ледяной горке, остановилась на высоте 3 м. Какое количество теплоты выделилось при движении шайбы?
36. На пути скользящей по гладкой горизонтальной поверхности
шайбы оказалась пологая горка высотой 10 см. Найти минимальную
величину скорости шайбы, при которой она преодолеет подъем.
37. На какую максимальную высоту поднимется при вертикальном отскоке мяч, свободно падающий с высоты 2 м, если 0,2 его кинетической энергии при ударе о землю перейдет в тепло? Сопротивлением воздуха пренебречь.
38. Мяч массой 100 г, брошенный вертикально вверх со скоростью 30 м/с, упал на землю в ту же точку со скоростью 10 м/с. Найти
работу силы сопротивления воздуха.
39. Блин от штанги массой 10 кг лежит на полу. В центре блина укреплена пружина от эспандера жесткостью 500 Н/м. Какую работу надо
совершить, чтобы на пружине поднять этот блин на высоту 1 м? Массой
пружины пренебречь. Блин все время расположен горизонтально.
40. Мальчик на коньках разгоняется до скорости 11 м/с и вкатывается на ледяную горку. До какой высоты он сможет подняться,
если коэффициент трения равен 0,1, а угол наклона горки к горизонту 45°?
Задачи повышенной сложности
41. Брусок массой 1 кг соскальзывает без начальной скорости с
вершины наклонной плоскости высотой 1 м и останавливается. Какую работу нужно совершить, чтобы по тому же пути втащить брусок на вершину наклонной плоскости?
42. Цирковой гимнаст падает с высоты 1,75 м на туго натянутую
предохранительную сетку. Каков будет максимальный прогиб сетки, если покоящийся гимнаст прогибает ее на 10 см?
40
43. Пуля, летевшая с некоторой первоначальной скоростью, пробивает доску толщиной 1,8 см и продолжает полет со скоростью, составляющей 0,8 начальной. Какой максимальной толщины доску
может пробить пуля, летящая с первоначальной скоростью? Сила
сопротивления доски постоянна.
44. Пуля, летящая с некоторой скоростью, пробивает несколько
одинаковых досок, расположенных друг за другом. В какой по счету доске пуля застрянет, если ее скорость после прохождения первой доски составляет 0,9 первоначальной? Сила сопротивления досок постоянна.
45. Шайба движется вверх по наклонной плоскости с начальной
скоростью 10 м/с. Найти расстояние, которое пройдет шайба до первой остановки, если угол наклона плоскости равен 45°, а коэффициент трения равен 0,41.
46. Два шара одинаковой массы движутся навстречу друг другу. Скорость одного шара в два раза больше скорости другого. Какая часть механической энергии этих шаров перейдет в теплоту при
центральном абсолютно неупругом соударении? Ответ дать в процентах.
47. Тело массой 0,5 кг соскальзывает без начальной скорости с
вершины гладкой горки высотой 1 м и неупруго соударяется с покоящимся на горизонтальной поверхности телом такой же массы.
Определить кинетическую энергию системы после удара.
48. Шары массой 5 и 1 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 4 и 5 м/с соответственно. Найти величину скорости второго
шара после центрального абсолютно упругого удара.
49. На тележку массой 20 кг, движущуюся со скоростью 3 м/с по
горизонтальной поверхности, падает с высоты 50 см мешок с цементом массой 40 кг. Какое количество теплоты при этом выделится?
50. Мяч, летящий со скоростью 25 м/с перпендикулярно стенке,
ударяется о нее и отскакивает в противоположном направлении со
скоростью 15 м/с. Чему равно изменение импульса мяча, если его
кинетическая энергия изменилась на 12,5 Дж?
51. Два шарика одного размера висят на тонких нитях, касаясь
друг друга. Один шарик отводят в сторону и отпускают. Найти в
граммах массу этого шарика, если после центрального упругого соударения шарики поднимаются на одинаковую высоту. Масса второго шарика 60 г.
52. На гладкой горизонтальной плоскости лежали 2 кубика массами 20 и 40 г, между которыми находилась пружина. Затем пружине дали возможность распрямиться, вследствие чего кубики ста41
ли двигаться. Найти величину скорости кубика меньшей массы, если энергия сжатой пружины 0,06 Дж.
53. С какой скоростью надо бросить мяч вертикально вниз с высоты 1,8 м, чтобы после двух ударов о пол он поднялся на первоначальную высоту, если при каждом ударе мяч теряет 40% механической энергии?
54. Тело массой 2 кг, движущееся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с, неупруго сталкивается с покоящимся телом равной массы, прикрепленным к стенке пружиной с коэффициентом жесткости 10 кН/м. Определить величину максимальной деформации пружины.
55. Какая доля кинетической энергии перейдет в теплоту при неупругом столкновении двух одинаковых тел, движущихся до удара
с равными по величине скоростями под прямым углом друг к другу?
56. Тело, движущееся со скоростью v, налетает на покоящееся
тело и после абсолютно упругого удара отскакивает от него со скоростью v/2, направленной под углом 90° к первоначальному направлению движения. Определить отношение массы движущегося тела
к массе тела, покоившегося до удара.
57. Два шарика одинаковой массы подвешены в одной точке на
нитях длиной 1 м. Один шарик отвели до горизонтального положения и отпустили. На какую максимальную высоту поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара?
58. Тело соскальзывает без трения с высоты 1 м и описывает
мертвую петлю радиусом 0,2 м. Найти отношение силы, с которой
тело давит на опору в наивысшей точке петли, к силе тяжести.
59. Чему равна масса шарика, вращающегося в вертикальной
плоскости, если разность силы натяжения нити при вращении составляет 3 Н? Сопротивлением воздуха пренебречь.
60. Невесомый стержень длиной 1 м может вращаться вокруг
горизонтальной оси, проходящей через его середину. На концах
стержня закреплены небольшие грузы массой 300 и 200 г. Найти
линейную скорость груза при прохождении стержнем вертикального положения, если он был отпущен без толчка из горизонтального
положения.
42
СТАТИКА И ГИДРОСТАТИКА
1. Условия равновесия тел
Статика изучает условия равновесия тел. В состоянии равновесия тело покоится относительно инерциальной системы отсчета
(ИСО). Частный случай равновесия – прямолинейное равномерное
движение тела.
При решении задач на статику основным уравнением является
условие равновесия. При записи условия равновесия следует рассмотреть три случая.
А. Для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма сил, действующих на нее, равнялась нулю:

(1)
å Fi = 0. i
Уравнение (1) является также условием равновесия твердого тела, если линии действия всех сил пересекаются в одной точке. В
предлагаемых задачах все действующие силы лежат в одной плоскости. В этом случае векторное уравнение (1) сводится к двум скалярным


(2)
å Fix = 0, å Fiy = 0,
i
i
если расположить оси x и y в плоy
скости действия сил.
Рассмотрим пример. К вертикальной гладкой стене подвесили на
нити шар массой m (рис. 1).
В этом случае условие равновеα
сия (2) запишется так:
T
-mg + T cos a = 0ïüï
ý.
N - T sin a = 0 ïïþ
N
Б. Тело имеет неподвижную ось
вращения, перпендикулярную плоскости действия сил. Моментом силы относительно неподвижной оси
называется произведение силы на
плечо (M = F × h).
x
mg
Рис. 1
43
Плечо силы – это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Для равновесия тела необходимо и достаточно,
чтобы алгебраическая сумма моментов всех действующих сил относительно неподвижной оси равнялась нулю:
å Mi = 0. (3)
i
При этом моменты, стремящиеся повернуть тело по часовой
стрелке, берутся с одним знаком, против часовой стрелки – с противоположным.
Рассмотрим пример. Два груза массой m1 и m2 находятся на концах невесомой доски длиной l. Найдем, где нужно поставить опору,
чтобы вся система находилась в равновесии (рис. 2).
l
x
m1 g
m2g
Рис. 2
Условия равновесия запишем следующим образом:
-m1gx + m2 g (l - x) = 0,
откуда легко найдем
x=
m2l
.
(m1 + m2 )
В. У тела отсутствует неподвижная ось вращения, и линии действия сил не пересекаются в одной точке. Для равновесия тела необходимо и достаточно выполнения условий (2) и (3), т.е. условие равновесия записывается в виде трех скалярных уравнений. Все моменты в (3) вычисляются относительно произвольной оси, перпендикулярной плоскости действия сил.
Рассмотрим пример. Лестница стоит у гладкой стены. Силы, действующие на лестницу, указаны на рис. 3. Здесь мы имеем дело с
44
подвижной осью вращения в точке А (если лестница начнет падать).
Поэтому лестница будет в покое, если выполняется условия (2) и
(3).
y
N1
B
N2
mg
α
0
Fтр
A
x
Рис. 3
В проекциях на вертикальную ось Y и горизонтальную X уравнение (2) запишется
N1 - Fòð = 0,
N2 - mg = 0.
(4)
Уравнение моментов относительно точки А:
-N1h1 + mgh2 = 0, (5)
где плечи h1 = ABsina, h2 = AB/2cosa; плечи сил Fтр и N1 равны нулю, т.к. силы проходят через ось вращения в точке А.
2. Центр тяжести
Центр тяжести – точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела при любом положении тела в пространстве. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс. В этом случае радиусвектор R, характеризующий положение центра масс, определяется
выражением:
R=
m1r1 + m2r2 + ... + mN rN
. m
(6)
45
Рассмотрим пример. На невесомом стержне длиной l закреплены
четыре шарика массами 2 m, m, 3 m и 4 m (рис. 4).
a
a
a
0
2m
4m
3m
m
xc
Рис. 4
Найдем, на каком расстоянии xc от шарика массой 4 m находится центр масс всей системы.
3ma + m2a + 2m3a
xc =
= 1,1a.
10m
Очевидно, что если в точке “O” сделать опору, то вся система будет находиться в равновесии (рис. 4).
3. Давление
В статике и гидростатике используется понятие давления:
p=
F
,
S (7)
где сила F перпендикулярна поверхности площадью S. Например,
тело на наклонной плоскости (рис. 5) оказывает давление на ее поверхность, равное
mg cos a
p=
.
(8)
S
N
α
α
mg
Рис. 5
46
F
Обусловленное силой тяжести давление жидкости или газа называется гидростатическим. Гидростатическое давление определяется высотой столба и плотностью жидкости или газа r и не зависит
от формы стенок сосуда
p = ρgh. (9)
Кроме того, гидростатическое давление в данной точке не зависит от ориентации площадки в жидкости или газе.
4. Гидравлический пресс
Принцип действия гидравлического пресса основан на законе
Паскаля: давление, оказываемое на жидкость или газ, передается во все точки жидкости или газа. Пусть F1 и F2 – силы давления
большого S1 и малого S2 поршней гидравлического пресса (рис. 6).
F2
S1
S2
F1
Рис. 6
A1 и A2 – работа внешних сил, действующих на поршни. Указанные величины связаны формулами
F1 F2
= , A1 = A2. S1 S2
(10)
Первая формула выражает закон Паскаля, вторая подтверждает, что гидравлический пресс не дает выигрыша в работе.
5. Закон Архимеда
По закону Архимеда на тело, погруженное в жидкость или газ,
действует выталкивающая, или Архимедова, сила. Эта сила на-
47
правлена вертикально вверх и равна по величине весу вытесненной
телом жидкости или газа:
FA = ρæ(ã) × g × Vï.÷.,
(11)
где rж(г) – плотность жидкости или газа; Vп.ч. – объем погруженной
части тела (рис. 7). Равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести называется подъемной силой.
FA
Vп .ч.
mg
Рис. 7
Задачи
Давление твердых и жидких тел
1. Брусок массой 1 кг оказывает на горизонтальную подставку
давление 200 Па. Найти площадь соприкосновения бруска с подставкой.
2. Лезвие конька толщиной 2 мм имеет длину 200 мм. Лыжа длиной 2 м имеет ширину 5 см. Во сколько раз уменьшится величина
давления на лед, если спортсмен снимет коньки и станет на лыжи?
3. Вычислить отношение силы давления тела на горизонтальную
плоскость к силе его давления на наклонную плоскость, составляющую угол 60° с горизонтом.
4. Вычислить в меганьютонах силу гидростатического давления
на дно бассейна, если его площадь 120 м2, а глубина 1 м.
5. Найти высоту уровня жидкости в сосуде, если гидростатическое давление на дно сосуда 2,5 кПа, а плотность жидкости 1 г/см3.
6. Давление в водопроводной трубе 3⋅105 Па. С какой силой давит
вода на пробку, закрывающую отверстие трубы площадью 5 см2 ?
7. В подводной части судна образовалось отверстие площадью 50
см2, находящееся ниже уровня воды на 3 м. Какая требуется мини48
мальная сила, чтобы удержать заплату, закрывающую отверстие с
внутренней стороны судна?
8. Диаметр иллюминатора космического корабля 20 см, а давление воздуха в корабле 100 кПа. Найти в килоньютонах силу давления воздуха на иллюминатор.
9. Газ в цилиндре закрыт невесомым поршнем. Найти давление
газа в килопаскалях, если цилиндр находится в воде на глубине
20 м, а давление атмосферы равно 95 кПа. Высотой цилиндра пренебречь по сравнению с глубиной водоема.
10. На какой глубине давление воды в озере больше атмосферного на 30%? Давление атмосферы 100 кПа.
Сообщающиеся сосуды. Гидравлический пресс
11. В U-образную трубку сечением 5 см2 налита вода. На сколько
сантиметров поднимется уровень воды в правом колене, если в левое колено опущено тело массой 40 г, свободно плавающее в воде?
12. В закрытом колене U-образной трубки, содержащей ртуть
плотностью 13,6 г/см3, давление воздуха на 63 кПа меньше атмосферного. Найти высоту столба воды, налитой сверху в открытое колено, если уровни жидкостей в обоих коленах одинаковы.
13. В одно колено U-образной трубки, содержащей ртуть, долили
сверху 7,2 г воды и 20 г бензина плотностью 0,8 г/см3. На сколько
сантиметров уровень жидкости в одном колене выше, чем в другом?
Плотность ртути 13,6 г/см3, площадь сечения трубки 1 см2.
14. В сообщающиеся цилиндрические трубки разного поперечного сечения налита ртуть. Затем в широкую трубку с площадью поперечного сечения 5 см2 налито 340 г воды. На сколько сантиметров
будет выше уровень ртути в узкой трубке по сравнению с широкой?
Плотность ртути равна 13,6 г/см3.
15. В сообщающиеся сосуды, площади поперечных сечений которых 20 и 30 см2, налита жидкость плотностью 800 кг/м3. На сколько сантиметров изменится уровень жидкости в сосудах, если в один
из них опустить кубик массой 100 г, который плавает в жидкости?
16. Найти отношение площади большого поршня гидравлического пресса к площади малого поршня, если действующая на него
сила в 100 раз меньше силы, действующей на большой поршень.
17. Какая работа затрачена на подъем груза массой 1 т с помощью гидравлического пресса, если малый поршень переместился
на высоту 50 см, а его площадь в 10 раз меньше площади большого
поршня?
49
18. В сообщающиеся сосуды налили ртуть. Затем в левое колено
налили воду, а в правое – керосин. Какова высота слоя керосина в
см, если высота столба воды 20 см и в правом сосуде уровень ртути
ниже, чем в левом, на 0,5 мм? Плотность ртути 13,6 г/см3 и керосина
0,8 г/см3. Ответ округлить до десятых.
19. В сообщающихся цилиндрических сосудах разного диаметра
находится ртуть. В сосуд меньшего диаметра долили слой масла высотой 60 см, при этом уровень ртути в сосуде большего диаметра повысился на 7 мм. Найти отношение диаметров сосудов, если плотность масла 0,8 г/см3, а ртути 13,6 г/см3. Ответ округлить до целого
числа.
20. В открытой U-образной трубке находится ртуть. Какой высоты столб воды нужно долить в одно из колен трубки, чтобы уровни
ртути сместились от начального положения на 3 см? Плотность ртути 13,6 г/см3.
Закон Архимеда
21. Шар, наполовину погруженный в воду, давит на дно сосуда с
силой, равной трети его силы тяжести. Найти плотность шара.
22. Баржа, груженная металлоломом массой 1500 т, находится в
шлюзе канала длиной 100 м и шириной 50 м. На сколько понизится
уровень воды в шлюзе, если металлолом выгрузить на берег?
23. Плавающий в воде шар на 1/5 часть своего объема погружен
в воду. Определить плотность шара.
24. Кусок металла весит в воде 10 Н. Найти его объем в кубических сантиметрах. Плотность металла 9000 кг/м3.
25. При полном погружении в жидкость металлического предмета объемом 1 дм3, висящего на пружине жесткостью 1 кН/м, растяжение пружины уменьшилось на 2 см. Определить плотность жидкости.
26. Определить наименьшую площадь плоской льдины толщиной 20 см, способной удержать на воде человека массой 80 кг так,
чтобы он не замочил ноги. Плотность льда 900 кг/м3.
27. Найти в кубических сантиметрах объем вакуумной полости
в куске железа массой 7,8 кг и плотностью 7800 кг/м3, если его вес
в воде равен 66 Н.
28. Определить силу, с которой камень массой 20 г и плотностью
5000 кг/м3, полностью погруженный в воду, давит на дно сосуда.
29. Однородный металлический цилиндр подвесили на пружине
и полностью погрузили в воду. При этом растяжение пружины изменилось в 1,5 раза. Рассчитайте плотность металла.
50
30. Резиновый шарик наполнен гелием. Объем шарика 5 л, масса оболочки 5 г. Найти силу натяжения нити, за которую привязан
шарик. Плотность воздуха 1,3 кг/м3, плотность гелия 0,2 кг/м3. Ответ привести в миллиньютонах.
Равновесие тел. Момент силы. Центр тяжести
31. Велосипедист массой 80 кг всем телом давит на педаль, вращая ее равномерно. Найти величину момента силы, создаваемого
велосипедистом, когда шатун длиной 30 см расположен горизонтально.
32. Груз массой 100 кг поднимают с постоянной скоростью рычагом, длина короткого плеча которого равна 0,2 м. Найти длину
другого плеча, если на него действуют силой 200 Н, направленной
перпендикулярно рычагу.
33. На тонкой нити длиной 64 см подвешен к гладкой стене шар
радиусом 18 см и массой 3 кг. Найти силу давления шара на стену.
34. Два человека несут однородную балку массой 80 кг и длиной
5 м. Один человек поддерживает балку на расстоянии 1 м от ее конца, а второй держит противоположный конец балки. Определить величину силы, с которой балка действует на первого человека.
35. Одна половина стержня сделана из стали, а другая из алюминия. Определить в миллиметрах расстояние между центром тяжести и серединой стержня, если длина всего стержня 30 см, плотность алюминия 2500 кг/м3, стали – 7500 кг/м3.
36. К правому концу стержня длиной 30 см прикреплен шар радиусом 6 см, масса которого вдвое больше массы стержня. На каком
расстоянии от левого конца стержня находится центр тяжести системы? Ответ привести в сантиметрах.
37. На концах горизонтально расположенного однородного
стержня длиной 1 м и массой 200 г подвешены гирьки массами 0,6 и
0,25 кг. Стержень может поворачиваться вокруг оси, находящейся
на расстоянии 30 см от большей гирьки. Найти силу, действующую
на опору, подставленную под гирьку меньшей массы.
38. Однородная лестница массой 10 кг прислонена к гладкой вертикальной стенке. Определить силу давления лестницы на стенку,
если угол между лестницей и полом равен 45°.
39. Груз взвешивают на неравноплечных весах. На одной чашке
весов его уравновесили гирями массой 2,5 кг, а на другой – гирями
массой 3,6 кг. Найти массу груза. Массой чашек и коромысла пренебречь.
51
40. Тележка массой 5 кг имеет расстояние между осями колес 40
см и длину 60 см. Какой минимальной силой можно приподнять тележку за один конец?
Задачи повышенной сложности
41. Куб с ребром 1 м плавает в воде так, что нижняя грань погружена на 25 см. При нагружении куба камнем объемом 10 дм3 глубина погружения возросла на 2 см. Найти плотность камня.
42. Куб объемом 0,125 м3, изготовленный из олова плотностью
7400 кг/м3, погружен в воду. Сколько килограмм олова надо удалить, чтобы образовавшаяся внутри куба полость обеспечивала ему
состояние безразличного равновесия?
43. Два шара радиусом 10 см и 20 см и массами, соответственно,
20 кг и 50 кг скреплены друг с другом стержнем длиной 1 м и массой
30 кг. Найти центр тяжести системы относительно центра меньшего шара.
44. Тело плотностью 1500 кг/м3 плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей с плотностями 1000 и 3000 кг/м3. Какая
часть тела находится в жидкости с большей плотностью?
45. На какую глубину нужно погрузить в воду тонкостенный стакан массой 50 г и объемом 100 см3, перевернутый вверх дном, чтобы
он утонул? Атмосферное давление 100 кПа. Температура постоянна.
Массой воздуха в стакане и объёмом стекла пренебречь.
46. Кольцо из сплава золота и серебра весит в воде 184,5 мН, а в
воздухе 200 мН. Определить в граммах массу золота в кольце, если
плотности золота и серебра 19 и 10 г/см3 соответственно. Плотностью воздуха пренебречь.
47. Воздушный шар объемом 510 м3 находится в равновесии. Какую массу балласта надо выбросить, чтобы шар начал подниматься с
ускорением 0,2 м/с2? Плотность воздуха принять равной 1,2 кг/м3.
48. Найти силу натяжения нити, связывающей два шарика объемом 20 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Масса нижнего шарика в 3 раза больше верхнего. Ответ привести в миллиньютонах.
49. Тонкий однородный стержень шарнирно укреплен за верхний конец, а нижним концом погружен в воду. В положении равновесия стержень расположен наклонно к поверхности воды, и в воде находится половина стержня. Определить плотность материала
стержня.
50. Около стены стоит лестница длиной 5 м под углом 45° к поверхности пола. Коэффициент трения между лестницей и полом 0,4,
52
а между лестницей и стеной – 0,5. Какое расстояние может пройти
по лестнице человек, прежде чем она начнет падать? Массой лестницы по сравнению с массой человека пренебречь.
53
Задачи повышенной сложности
с подробным разбором их решения
Кинематика
Задача 1. Определить минимальную величину cноса лодки при
переправе ее через реку шириной l = 100 м . Скорость течения реки
v0 = 2 ì ñ . Скорость лодки относительно воды v = 3,6 êì ÷ = 1 ì ñ.
Решение.
y
l
s

v

u

v0
α
x
1–й способ. Аналитический.


Скорости v0 , v, а также скорость

лодки относительно берега u пока
заны на рис. 1. Скорость u определяется законом сложения скоростей
  
u = v + v0 . (1)
Относительно берега лодка дви
гается в направлении вектора u,
снос лодки S показан на рис. 1. Спроектируем векторное равенство

(1) на оси x и y. Получим проекции вектора u
Рис. 1
ux = v0 + v cos a, , uy = v sin a. (2)
Умножим формулы (2) на время t движения лодки через реку.
Тогда, учитывая, что uxt = S , а uyt = l перепишем (2) в виде:
S = (v0 + v cos a)t, l = v sin a × t. (3)
Исключив из этих формул t, получим выражение для сноса лодки
S=
æ
v0 + v cos a
v0 ö÷
× l = lçççctga +
÷. è
v sin a
v sin a ÷ø
(4)
Снос лодки при заданных v и v0 мзависит от угла a. Для определения Smin нужно исследовать S(a) на экстремум.
Для этого вычисляем производную S ¢(a) :
54
æ
1
v cos a ö
S ¢(a) = lçç- 2 - 0 2 ÷÷÷. çè sin a v sin a ø
(5)
Приравняв S ¢(a) = 0, получим уравнение
1+
v0
cos a = 0,
v
откуда найдем
cos a = -
v
1
= - и a = 120o.
v0
2
Подставив найденное значение a в формулу (4), найдем минимальный снос лодки
2
Smin = 100(ctg120 +
) = 173 ì.
sin120
2–й способ. Графический. ВыполС
B
β
ним сложение скоростей по правилу
S
С
треугольника, откладывая вектор


l
v от конца вектора v0 , для которого
заданы величина и направление.


u

v α
Направление вектора v не задано,
Сβ 
A С v0
его надо выбрать таким, чтобы снос
лодки был минимальным. При плавРис. 2
ном изменении угла a в интервале

0 < a < 180o
конец вектора
v
описывает полуокружность (рис. 2). Видно, что снос лодки будет ми


нимальным, когда v ^ u , т.е. вектор u направлен по касательной к
полуокружности. Из подобия треугольника скоростей и ∆ABC имеем v
v - v2
l v
u
= ÞS= l= 0
× l = 3 ×100 = 173 ì.
S u
v
v
Ответ: S=173 м.
Задача 2. Свободно падающий камень через некоторое время после начала падения находился на высоте h1=1000 м, а через τ = 10 с
на высоте h2=100 м. С какой высоты H он падал?
Решение.
Весь путь падения камня можно разбить
на три участка: 1–(H–h1), 2–(h1–h2), 3–(h2). На
1
2
3
h2
h1
H
0
Рис. 3
55
втором участке камень движется равноускоренно с начальной скоростью v02, которую он приобрел к концу первого участка. Поэтому
h1 - h2 = v02τ + g
τ2
,
2 (1)
откуда
v02 =
h1 - h2 gτ 900 10 ×10
- =
= 40 ì ñ.
τ
2
10
2
Для движения на первом участке справедливы формулы:
vk1 = gt1, H - h1 =
gt12
,
2
(2)
(3)
где vk1 – скорость камня в конце первого участка; t1 – время движения на этом участке.
Так как vk1 = v02, то из (2) следует
v
t1 = 02 .
g
Подставляя это выражение в (3), окончательно получим
H = h1 +
v202
1600
= 1000 +
= 1080 м.
2g
20
Ответ: H=1800 м.
Задача 3. С балкона, находящегося на высоте h0=25 м, брошен
вертикально вверх мяч со скоростью v0 = 20 ì ñ. Через сколько секунд он упадет на землю?
v =0
h1

h0
v0
h1
Рис. 4
56
Решение.
Решим задачу двумя способами.
1-й способ. Аналитический. Весь полёт мяча
можно разбить на два участка: Вначале мяч движется равнозамедленно до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю. При этом мяч поднимается на высоту h1 относительно балкона (рис. 4).
После этого мяч свободно падает с высоты h1+ h0 на
землю. Итак, движение на первом участке описывается соотношениями
(1)
0 = v0 - gt1 h1 = v0t1 -
gt12
.
2 (2)
Определяя из (1) t1
v
20
t1 = 0 =
=2 c
g 10
и подставляя это значение в (2), получим
10 × 4
h1 = 20 × 2 = 20 ì.
2
На втором участке
h1 + h0 =
gt22
,
2
откуда
t2 =
2(h1 + h0 )
2(20 + 25)
=
= 3 c.
g
10
Полное время полета
t = t1 + t2 = 2 + 3 = 5 c.
2−й способ (координатный). Направим ось y вертикально вверх,

выбрав за начало отсчета поверхность
земли. Так как вектор v0 на
правлен вдоль y, а вектор g в противоположную сторону, то координата мяча определяется соотношением
y(t) = h0 + v0t -
gt2
.
2 (3)
Это уравнение позволяет вычислить координату
y мяча в любой момент времени или найти время,
если задана y. В момент падения на землю y=0. Поэтому вместо (3) имеем
0 = h0 + v0t -
gt2
,
2
(4)
y
h0

v0

g
Рис. 5
57
подставляя численные значения, получим квадратное уравнение
0 = 25 + 20t - 5t2,
корни которого равны t1=1 с, t2=–1 с. Физический смысл имеет положительный корень.
Ответ: t =5 с.
Задача 4. Акробат прыгает с подкидного трамплина и через t=1,6
с приземляется на расстоянии S=9,6 м от трамплина. Найти скорость акробата в момент прыжка. Высотой трамплина пренебречь.
Решение.
y

v0
α
0 α
α
A
α
S
Рис. 6

v
α
1–й способ. На рис. 6 показана траектория движения акробата.

Скорость v0 можно найти по теореме Пи

фагора, если известны проекции v0x и v0y
v0 = v02x + v02y . (1)

Величину v0x легко найти, так как в горизонтальном направлении акробат движется равномерно и пролетает расстояние S за время полета t. Следовательно:
S 9,6
(2)
v0x = =
= 6 ì ñ.
t 1,6
В вертикальном направлении до точки A акробат движется равнозамедленно. В точке A vy = 0. Следовательно:
v0y - gtïîä = 0.
(3)
t
Время подъема tïîä = = 0,8 c. Итак, v0y = gtïîä = 8 ì ñ.
2
Окончательно
v0 = 62 + 82 = 10 ì ñ.
2−й способ. В векторной форме движение акробата задается соотношением



gt2
(1)
r (t) = v0t +
, 2

где r  – радиус–вектор положения акробата, проведенный из начальной точки. Первое слагаемое в правой части описывает переме
щение при равномерном движении со скоростью v0 , а второе – пе58
ремещение при свободном падении вертикально вниз. На рис. 7 показаны соответствующие векторы для момента приземления t, которые образуют прямоугольный

треугольник. Модуль вектора r равен S.
Следовательно, по теореме Пифагора
æ gt2 ö÷2
÷÷ = (v0t)2 .
S + ççç
èç 2 ÷ø÷
2

v0t
0

gt2
2

r(t)
Рис. 7
Откуда
v0 =
S2
t2
+
g2t2
100 × 2,56
= 36 +
= 10 ì ñ.
4
4
Ответ: v0 = 10 ì ñ.
Динамика
Задача 1. Груз массой m=200 г, прикрепленный к резиновому шнуру, лежит на гладком столе и вращается в горизонтальной
плоскости, совершая n= 300 об/мин. Длина нерастянутого шнура
l= 40 см, коэффициент упругости k=1 кН/м. На сколько растянут
шнур? Квадрат числа π считать равным 10.
Решение. Так как стол гладкий, то силой трения можно пренебречь. Сила тяжести и сила реакции опоры компенсируют друг друга. В результате груз движется по окружности радиусом R под действием силы упругости, возникающей вследствие растяжения шнура и сообщающей грузу центростремительное ускорение. Частота
обращения
n
ν=
= 5 ñ-1.
60
Сила упругости FY = kx, центростремительное ускорение
aö = ω2R, (1)
где ω  – угловая скорость, ω = 2πν ; R – радиус траектории, R=l+x.
Второй закон Ньютона имеет вид:
mω2R = kx,
59
m 4π2 ν2 (l + x) = kx. (2)
Из уравнения (2) находим удлинение шнура
x=
x=
4π2 ν2ml
,
k - 4π2 ν2m 4 ×10 × 25 × 0,2 × 0,4
103 - 4 ×10 × 25 × 0,2
(3)
= 0,1 ì.
Ответ: x =0,1 м.
Задача 2. На тележке массой M=20 кг, которая может катиться
без сопротивления по горизонтальной поверхности, лежит кирпич
массой m= 5 кг. Найти силу трения между кирпичом и тележкой,
если коэффициент трения между ними m =0,1.
Решение.
Силы, действующие на кирпич и тележку в горизонтальном направлении, показаны на рис. 1. Силы трения согласно третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны по направлению. В вертикальном направлении силы тяжести и реакции опоры
компенсируют друг друга. Предположим, что кирпич покоится относительно тележки. В этом случае их ускорения одинаковы и сила трения является силой трения покоя, которая может меняться
в пределах 0 < Fòð < Fòð. ñê , где Fòð.ñê = mN = mmg = 0,1× 5 ×10 = 5 Í.
Если окажется, что Fòð > 5 Í, то такое предположение неверно.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось x для кирпича и тележки
ma = FÒ - Fòð ,
(1)
Ma = Fòð . 
FT

Fтр
(2)
Выражая из (2) a и подставляя в (1),
получим

Fтр
FT - Fòð =
x
Рис. 1
60
mFòð
.
M
F × M 5 × 20
=
= 4 Í.
Откуда Fòð = Ò
M +m
25
Итак, Fòð < Fòð. ñê и наше предположение оказалось верным.
Если бы, например, m=0,07, то Fòð. ñê = 3,5 Í и Fòð > Fòð. ñê , что
невозможно. Следовательно, в этом случае Fòð = Fòð. ñê = 3,5 Í.
Ответ: Fòð = 4 Í.
Задача 3. Минимальное время разгона автомобиля до скорости
v=108 км/ч при трогании с места равно t=6 с. Найти коэффициент
трения между колесами автомобиля и дорогой. Сопротивлением
воздуха и силой трения качения пренебречь.
Решение.
При рассмотрении движения автомобиля следует иметь в виду,
что сила тяги, действующая на ведущие колеса, это по существу сила трения покоя, которая препятствует проскальзыванию колес и
направлена в сторону движения автомобиля. Препятствует движению автомобиля сила сопротивления воздуха и сила трения качения. Таким образом, автомобиль движется благодаря силе трения.
При ее отсутствии движение невозможно (автомобиль “буксует”).
Так как сила трения покоя может изменяться от нуля до силы трения скольжения, то максимальная сила тяги равна силе трения
скольжения, которая при разгоне автомобиля по горизонтальной
дороге равна
Fòð. ñê = mN = mmg. .
Итак, FÒìàêñ = mmg.
Так как по условию задачи это единственная сила, действующая
в горизонтальном направлении, то из второго закона Ньютона
ma = mmg
находим ускорение a= mg и далее из соотношения
v = at = mgt
определим коэффициент трения
v
30
m= =
= 0,5.
gt 10 × 6
Ответ: m=0,5.
Задача 4. Ящик массой m =100 кг тянут за веревку, и он движется равномерно по горизонтальной поверхности. Какой угол должен
составлять веревка с горизонтом, чтобы сила тяги была минимальной? Коэффициент трения m = 1. Ответ привести в градусах.
61
Решение
y

Fтр

F

N
α

v
x
Силы, действующие на ящик, показаны на рис 2. Ящик движется
равномерно, поэтому
  

(1)
F + N + F + mg = 0. Проектируя на координатные оси,
вместо (1) получим

mg
x : F cos a - Fòð = 0, Рис. 2
y : F sin a + N - mg = 0. (2)
(3)
Так как Fòð = mN, то выражая N из соотношения (3) и заменяя
Fтр в (2), получим
F cos a - m (mg - F sin a ) = 0.
Откуда
F=
mmg
.
cos a + m sin a (4)
Сила F зависит от a и будет минимальной, когда знаменатель в
(4) максимален. Исследуя функцию f (a) = cos a + m sin a на экстремум, имеем
f ¢(a) = -sin a + m cos a = 0. (5)
Из (5) находим tg a = m, откуда a =45°.
Ответ: a=45°.
Задача 5. В вагоне, движущемся горизонтально с постоянным
ускорением a=7,5 м/с2, на нити висит груз массой m=2 кг. Определить силу натяжения нити. Груз относительно вагона неподвижен.
Решение
При движении с начальным ускорением нить отклоняется от вертикального положения в сторону противоположную ускорению вагона. Решим задачу в двух системах отсчета: инерциальной (ИСО),
связанной с полотном железной дороги, и неинерциальной (НИСО),
связанной с вагоном.
62
а)
б)

T

a

ma

Fин

T

a

mg

a

mg
Рис. 3
1. Относительно ИСО груз движется
вместе
с вагоном с ускорени


ем a под действием двух сил: T и mg. Согласно второму закону
Ньютона

 
(1)
ma = T + mg, 


т. е. сумма векторов T и mg равна вектору ma (см. рис. 3,а).


Вектор ma направлен горизонтально. Так как ma ⊥ mg (рис. 3, а),
то величину силы натяжения можно найти по теореме Пифагора
2
2
T = (mg ) + (ma) = m g2 + a2 = 2 × 100 + 56,25 = 25 Í.
2. Вагон является НИСО, так как он движется

 ускоренно отноmg
, действует сила
сительно ИСО.
В
НИСО
на
груз,
кроме
сил
и
T


инерции Fèí = -ma, которая характеризует не взаимодействие груза с другим телом, а свойства НИСО. Так как относительно вагона
груз покоится, то

 
T + mg + Fèí = 0. .
Из рис. 3 видно, что и в этом случае
2
2
2
2
T = (mg ) + Fèí
= (mg ) + (ma) .
Ответ: T=25 Н.
Работа и энергия
Задача 1. Лыжник массой m=80 кг поднимается, держась за движущийся трос подъемника, на склон высотой h=30 м. При этом совершается работа A = 32 êÄæ. Какую скорость наберет лыжник
при спуске по тому же пути до исходной точки? Сопротивлением
воздуха пренебречь.
63
Решение
На лыжника при его движении действует внешние силы. Поэтому применим для решения задачи закон изменения механической
энергии (ЗИМЭ). Рассмотрим движения вверх и вниз отдельно.
Движение вверх (рис. 1, а). Начальное состояние 1, конечное 2,


v1 = v2 = 0. Внешними являются сила тяги, работа которой известна AÒ = A и сила трения. Запишем ЗИМЭ:
E2–E12=Aтр+AT, (1)
где E1 = 0, E2 = mgh. Тогда из (1) найдем работу силы трения
Aòð = mgh - A.
(2)
Движение вниз (рис. 1, б). В начальном состоянии v1 = 0, скорость конечного состояния v2 нужно найти. Внешней является сила трения, работа которой найдена и выражается формулой (2).
а)
б)
2

Fтр
1

FT

Fтр
h

v2
1
2

v
Рис. 1
Запишем ЗИМЭ
E2 - E1 = Aòð , (3)
mv22
где E1 = mgh, E2 =
. Подставляя E1, E2, Aтр в (3), получим урав2
нение
mv22
- mgh = mgh - A,
2
откуда находим
(
)
2 2 × 80 ×10 × 30 - 32 ×103
2(2mgh - A )
v2 =
=
= 20 ì ñ.
m
80
Ответ: v2 = 20 ì ñ.
64
Задача 2. Летящий снаряд разорвался на два осколка, которые
разлетелись под углом a = 60o. Один осколок имеет массу m1=20 кг
и скорость v1 = 100 ì ñ, другой осколок имеет массу m2=80 кг и
скорость v2 = 25 ì ñ. Чему равна энергия, выделившаяся при разрыве снаряда?
Решение
Энергия, выделившаяся при разрыве снаряда равна разности
механической энергии EII двух осколков и энергии EI снаряда до
разрыва, т.е.
∆E = EII - EI (1)
Для удобства используем понятие импульса. Импульсы осколков p1 = m1v1 = 2 ×103 Í × ñ, p2 = m2v2 = 2 ×103 Í × ñ. Импульс снаряда p = mv, где m = m1 + m2 = 100 êã. Тогда энергии EII и EI можно
выразить формулами:
EII =
p12
p2
+ 2 ,
2m1 2m2
EI =
P2
.
2m
Импульс снаряда p найдем с помощью закона сохранения импульса
(ЗСИ):
 

p = p1 + p2. (3)
(2)

p1
α
β

p

p2
Рис. 2
Графически ЗСИ, т.е. уравнение (3), представлено на рис. 2.
Из рис.2 по теореме косинусов находим импульс снаряда
( β = 180o - a = 120o )
p2 = p12 + p22 - 2 p1 p2 cos β = 12 ×106 Í2 × ñ2.
Тогда из (1), с учетом (2) и значений импульсов и масс, имеем
∆E =
p12
p2
p2 4 ×106 4 ×106 12 ×106
+ 2 =
+
=
2m1 2m2 2m
2 × 20
2 × 80
2 ×100
=
4 ×106 çæ
1 3ö
çè1 + - ø÷÷÷ = 65 кДж
ç
2 × 20
4 5
Ответ: ∆E = 65 êÄæ.
65
Задача 3. Два кубика массой по m=20 г соединены недеформированной пружиной жесткостью k=600 Н/м и покоятся на горизонтальном столе. Какую минимальную скорость надо сообщить одному из кубиков вдоль пружины, чтобы он, растянув h пружину, сдвинул второй кубик? Коэффициент трения между кубиками и столом
m =1.
Решение
Начальное и конечное состояние системы, состоящей из двух
x

кубиков и пружины, показаны на

2
Fтр.ск 2 Fупр
рис. 3.
II.
В состоянии I пружина недеформирована, кубик 1 покоится, а ку
Рис. 3
бику 2 сообщается скорость v, которую нужно найти. В состоянии
II кубик 2 остановился, пружина имеет деформацию x. Со стороны
пружины на кубик 1 действует сила Fупр, под действием которой он
может сдвинуться, если Fупр станет равной максимальной силе трения, т.е. силе трения скольжения. Таким образом, для кубика 1 выполняется условие
Fóïð = Fòð. ñê .
1

v
2
I.
Так как Fóïð = kx, а Fòð. ñê = mmg, то имеем уравнение,
kx = mmg. (1)
Еще одно уравнение запишем на основании закона изменения
механической энергии
EII - EI = Aòð .
(2)
Выражения для энергий, входящих в (2), имеют вид:
EI =
mv2
kx2
, EII =
.
2
2 (3)
Работа Aтр совершается силой трения скольжения, действующей на кубик 2 на пути x, значит
66
Aòð = -mmgx. (4)
Подставляя (3) и (4) в (2), запишем второе уравнение
kx2 mv2
= -mmgx. 2
2
(5)
Таким образом, мы получим систему двух уравнений (1) и (5). Из
уравнения (1) выразим деформацию x и подставим в (5). Получим
x=
mmg
,
k
m2m2 g2 mv2
m2m2 g2
=.
2k
2
k
(6)
Решая уравнение (6) относительно v, найдем скорость
v = mg
3m
3 × 20 ×10-3
= 1×10
= 0,1 ì ñ.
k
600
Ответ: v = 0,1 ì ñ.
Задача 4. Невесомый стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии l1=1 м и l2=0,5 м от его концов, на которых закреплены одинаковые грузы. Найти линейную скорость нижнего груза в момент,
когда стержень проходит вертикальное положение, если его отпустить без толчка из горизонтального положения.
Решение
Рассмотрим два состояния системы, которые будем считать начальным и конечным (рис. 4). Горизонтальная ось проходит через
точку O.
II
I
m
O
l1
m
m

v2
O
l2
l2
l1
m

v1
Рис. 4
67
На систему не действуют внешние силы, поэтому выполняется
закон сохранения механической энергии
EI = EII . (1)
В состоянии I стержень и грузы неподвижны, поэтому EI = Eïîò .
За начало отсчета потенциальной энергии выберем уровень, показанный на рис.4 пунктиром. Тогда
EI = 2mgl1. (2)
В состоянии IIоба груза имеют линейные скорости v1 и v2, которые можно выразить через общую для всей системы угловую скорость w:

v1 = ωl1, v2 = ωl2.
Тогда энергию EII можно записать в виде
EII = Eê + Eï =
=
mv12 mv22
+
+ mg(l1 + l2 ) =
2
2
ml12ω2 ml22ω2
+
+ mg(l1 + l2 ). 2
2
(3)
Подставляя (2) и (3) в (1), получим уравнение
2mgl1 =
ml12ω2 ml22ω2
+
+ mg(l1 + l2 ), 2
2
(4)
из которого найдем угловую скорость
ω=
2g(l1 - l2 )
l12 + l22
.
Линейная скорость нижнего груза
v1 = l1
2g(l1 - l2 )
l12 + l22
= 2 2 = 2,82 ì ñ.
Ответ: v1 = 2,82 ì ñ.
Задача 5. Наклонная плоскость высотой h=3,5 м переходит в «мертвую» петлю радиусом R=1 м. С вершины наклонной плоскости соскальзывает без трения шайба. Найти отношение максимальной силы
давления шайбы на поверхность «мертвой» петли к минимальной.
68
Решение
Известно, что сила давления F тела на поверхность (опору) равна
по величине реакции опоры N. Найдем реакцию опоры в произвольной точке мертвой петли. Для этого рассмотрим два состояния 1 и 2
(рис. 5).
A
1

v

R
aц
2
α

mg
x
h

N
h2
B
Рис. 5
В состоянии 2 на шайбу действуют: сила тяжести и реакции опоры. Второй закон Ньютона запишем в векторном виде
 

ma = mg + N. (1)

Направление ускорения a неизвестно, однако известна проекция ускорения на ось x, направленную к центру петли, она равна
ax = aö =
v2
. R
(2)
Поэтому уравнение (1) в проекции на ось x можно переписать в
виде
maö = mg cos a + N,
m
v2
= mg cos a + N. R
(3)
Из (3) выражаем реакцию опоры N или, что то же самое, силу
давления
mv2
F=
- mg cos a. (4)
R
69
Скорость v найдем из ЗСЭ для состояний 1 и 2. Энергии E1 и E2
выражаются формулами:
E1 = mgh, E2 =
mv2
+ mgh2. 2
(5)
Высота h2 из геометрии равна
h2 = R + R cos a. (6)
Приравнивая E1 и E2 с учетом (6), получим уравнение
mgh =
mv2
+ mgR (1 + cos a),
2
откуда найдем
v2 = 2gh - 2gR (1 + cos a). (7)
Подставим (7) в (4) и получим выражение для силы давления
m
F = (2gh - 2gR (1 + cos a)) - mg cos a,
R
æ 2h
ö
F = mg ççç - 2 - 3cos a ÷÷÷. èR
ø
(8)
Из (8) видно, что сила F зависит от угла a. Анализ этой формулы
позволяет дать ответы на многие вопросы. Из (8) можно определить
минимальную высоту h, при которой тело не оторвется от “мертвой”
петли в точке A. Из (8) при a=0 и F=0 получаем
5
hmin = R. 2
(9)
В нашей задаче h > hmin .
Минимальная сила давления будет в точке A, для которой a=0,
cosa=1. Значит,
70
æ 2h
ö
Fmin = mg ççç - 5÷÷÷.
èR
ø (10)
Максимальная сила давления шайбы на «мертвую» петлю будет
в точке B, для которой a = 180o , cosa=–1. Значит,
æ 2h
ö
Fmax = mg ççç + 1÷÷÷.
èR
ø (11)
Тогда отношение
Fmax
2h + R
2 × 3,5 + 1
=
=
= 4.
Fmin 2h - 5R 2 × 3,5 - 5
Ответ: Fmax Fmin = 4.
Статика и гидростатика
Задача 1. В сообщающиеся цилиндрические трубки разного поперечного сечения налита ртуть. Затем в широкую трубку с площадью поперечного сечения S=5 cм2 налита вода массой m=340 г . На
сколько сантиметров будет выше уровень ртути в узкой трубке по
сравнению с широкой? Плотность ртути равна 13,6 г/см3 .
Решение
После того как в широкую трубку долили воду, уровень ртути
в широкой трубке понизился, а в узкой повысился. Наступило состояние равновесия (рис. 1). В этом состоянии давления жидкостей
p1 и p2 на одном горизонтальном уровне в узкой и широкой трубках
равны. Таким образом, условие равновесия имеет вид:
p1=p2. (1)
Запишем выражение для p1 и p2. Давление p1 складывается из
атмосферного давления pа и давления столбика воды, т. е.
mg
p1 = pa +
.
(2)
S
Давление p2 также равно сумме pа и
давления столбика ртути высотой h
p2 = pa + ρgh. (3)
Подставляя (2) и (3) в (1), получим уравнение
mg
= ρgh,
S
m
h
p1
ρ
p2
Рис. 1
71
из которого найдем
h=
m
340
=
= 5 ñì.
S × ρ 5 ×13,6
Ответ: h=5 см.
Задача 2. Льдина площадью S=0,5 м2 и высотой h=30 см плавает
в воде. Какую работу надо совершить, чтобы полностью погрузить
льдину в воду? Плотность воды ρв = 1000 êã ì3 , плотность льда
ρл = 900 êã ì3 .

б)
а)
FА

h1
h
FА

mg

mg

F
Рис. 2
Решение. Рассмотрим льдину в двух состояниях. В первом со
стоянии (рис. 2,а) льдина свободно плавает. Условие равновесия FÀ
имеет вид:
mg = FA . (1)
Масса льдины m = ρë V = ρë Sh. Сила Архимеда
FA = ρв gVï.÷. = ρâ gS(h - h1 ). (2)
Подставим m и FА в (1). Получим уравнение
ρë Shg = ρâ Sg(h - h1 ). (3)
Из (3) найдем высоту надводной части льдины
æ ρ ö
h1 = h çç1 - ë ÷÷÷. çè ρâ ÷ø
(4)
Во втором состоянии (рис. 2б) льдина под действием внешней силы F полностью погружена в воду. Условие равновесия имеет вид:

 
FA + mg + F = 0 (5)
72
или в скалярном виде
FA - mg - F = 0. (6)
Из (6) находим внешнюю силу
F = FA - mg. (7)
В (7) m = ρë Sh, FA = ρâ gSh. Тогда
F = gSh(ρâ - ρë ). (8)
Важно отметить, что при переводе льдины из первого состояния
во второе внешняя сила линейно возрастает от нуля до максимального значения, которое определяется формулой (8). Работа совершается на пути h1. Поэтому работа внешней силы при погружении
льдины
A = Fñð × h1, (9)
1
где Fср – среднее значение внешней силы; Fñð = F. Подставляя (4)
2
и (8) в (9), получим выражение для искомой работы
2
ρâ gSh2 æç ρë ö÷
÷
A=
.
ç1 2 çè ρâ ÷÷ø
A=
(10)
103 ×10 × 0,5 × 0,09
(1- 0,9)2 = 2,25 Äæ.
2
Ответ: A = 2,25 Äæ.
Задача 3. Бассейн шириной l=10 м разделен перегородкой. С
одной стороны уровень воды относительно дна h1=3 м, а с другой –
h2=1 м. Найти в килоньютонах величину результирующей силы гидростатического давления, действующей на перегородку.
Решение
На перегородку действуют две силы гидростатического давления. С одной стороны на перегородку действует сила давления F1
столба воды высотой h1. Эта сила действует на площадь S1 = l × h1.
73
Давление воды на перегородку линейно возрастает от нуля, на поверхности воды, до p1 = ρgh1 у дна бассейна. Поэтому сила давления
F1 = p1ñð × S1, (1)
где среднее гидростатическое давление
p1ñð =
1
1
p1 = ρgh1. 2
2
(2)
Из (1) и (2) имеем
1
F1 = ρgh12l. 2
(3)
С другой стороны на перегородку действует сила давления F2
столба воды высотой h2. Повторяя аналогичные рассуждения, получим
1
F2 = ρgh22l. (4)
2
Силы F1 и F2 направлены противоположно друг другу, поэтому
результирующая сила гидростатического давления
1
F = F1 - F2 = ρgl(h12 - h22 ), 2
(5)
1
F = ×103 ×10 ×10(9 -1) = 400 êÍ.
2
Ответ: F = 400 êÍ.
Задача 4. Перстень массой m =29 г изготовлен из сплава серебра
плотностью ρ1 = 10 ã ñì3 и золота плотностью ρ2 = 19 ã ñì3 . При
опускании перстня в сосуд, доверху наполненный водой, из сосуда
вылилось m3 =2 г воды, плотность воды ρ3 = 1 ã ñì3 . Найти в граммах массу серебра m1 в перстне.
Решение
Объем V3 воды, вытесненной из сосуда перстнем, равен объему
перстня V. Значит
m
V = V3 = 3 . (1)
ρ3
74
В свою очередь объем и масса перстня складывается из аналогичных величин для серебра и золота, т.е.
V=V1+V2, (2)
m = m1 + m2. (3)
Объемы V1 и V2 выражаются формулами
V1 =
m1
m
m - m1
, V2 = 2 =
.
ρ1
ρ2
ρ2
(4)
Подставляя (1) и (4) в (2), получим
m3 m1 m - m1
=
+
.
ρ3
ρ1
ρ2
(5)
Решая уравнение (5) относительно m1, найдем массу серебра
m1 =
(m3ρ2 - mρ3 )ρ1 (2×19 - 29 ×1)×10
=
= 10 ã.
9 ×1
(ρ2 - ρ1 )× ρ3
Ответ: m1 = 10 ã.
Задача 5. Тонкостенный цилиндрический стакан высотой h=20
см, массой m1= 30 г и площадью дна S = 30 ñì2 плавает в жидкости
плотностью ρ1 = 800 êã ì3 . Определить толщину слоя воды, которую надо налить в стакан, чтобы он начал тонуть.
Решение
Для того чтобы стакан начал тонуть, нужно налить в него воды,
чтобы верхний край стакана сравнялся с уровнем жидкости. Стакан оказывается полностью погруженным в жидкость. Условие равновесия имеет вид:
mg = FA , где m – сумма масс стакана m1 и налитой воды m2, т.е.
m =m1+m2,
а FA  – сила Архимеда, действующая на погруженный стакан
FA = ρ1gV . (1)
(2)
(3)
75
В формуле (3) V – объем стакана, V=Sh; ρ1  – плотность жидкости. Подставляя (2) и (3) в (1), получим уравнение
(m1 + m2 ) g = ρ1gSh,
откуда найдем массу налитой воды
m2 = ρ1Sh - m1, тогда толщина слоя воды
d=
ρ
m2
m
=h 1 - 1 ,
ρ2S
ρ2 ρ2S
где ρ2  – плотность воды.
d = 0,2 ×
800
30 ×10-3
- 3
= 0,16 - 0,01 = 0,15 ì.
1000 10 × 30 ×10-4
Ответ: d = 0,15 ì.
76
(4)
Тесты
Федеральный банк
экзаменационных материалов
Кинематика
1. Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый – со ско

ростью v, второй – со скоростью ( -3v ). Модуль скорости второго
автомобиля относительно первого равен
1) v 2) 2v 3) 3v 4) 4v
2. Лодка должна попасть на противоположный берег реки по
кратчайшему пути в системе отсчёта, связанной с берегом. Скорость
течения реки u, а скорость лодки относительно воды v. Модуль скорости лодки относительно берега должен быть равен
S, м
1) v + u 2) v - u 3) v2 + u2 4) v2 - u2
3. На рисунке представлен график зависимости пути S велосипедиста от времени t. Определите интервал времени, когда велосипедист двигался со скоростью 5 м/с.
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3 4
t, c
5
6
7
vx, м/c
1) от 5 с до 7 с
3) от 1 с до 3 с
2) от 3 с до 5 с
4) от 0 до 1 с
4. Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени. Модуль ускорения максимален на интервале времени
20
15
10
5
0
1) от 0 до 10 с
2) от 10 с до 20 с
0
10
20
t, c
30
40
3) от 20 с до 30 с
4) от 30 с до 40 с
77
5. На рисунках изображены графики зависимости модуля ускорения от времени для разных видов движения. Какой график соответствует равномерному движению?
ax
0
ax
t
ax
t
0
ax
t
0
0
t
v, м/с
1) 2) 3) 4)
6. Автомобиль, трогаясь с места, движется с ускорением 3 м/с2.
Через 4 с скорость автомобиля будет
1) 12 м/с 2) 0,75 м/с 3) 48 м/с 4) 6 м/с
7. Мотоциклист и велосипедист одновременно начинают равноускоренное движение из состояния покоя. Ускорение мотоциклиста
в 3 раза больше, чем ускорение велосипедиста. Во сколько раз больше времени понадобится велосипедисту, чтобы достичь скорости 50
км/ч?
1) в 1/3 раза 2)в 3 раза 3)в 3 раза 4)в 9 раз
8. Координата тела меняется с течением времени согласно формуле x=5–3t, где все величины выражены в СИ. Чему равна координата этого тела через 5 с после начала движения?
1) –15 м 2) –10 м
3) 10 м 4) 15 м
9. Зависимость координаты от времени для некоторого тела описывается уравнением x=8t–t2, где все величины выражены в СИ. В
какой момент времени скорость тела равна нулю?
1) 8 с 2) 4 с 3) 3 с 4) 0 с
10. От высокой скалы откололся и стал свободно падать камень.
Какую скорость он будет иметь через 3 с после начала падения?
1) 30 м/с 2) 10 м/с 3) 3 м/с 4) 2 м/с
11. Стрела пущена вертикально вверх. Проекция её скорости на
вертикальное направление меняется со временем согласно графику
на рисунке. В какой момент времени стрела достигла максимальной
высоты?
1) 1,5 с 78
30
20
10
0
0
10
20
30
2) 3 с 1
2
3
4
5
6
t, c
3) 4,5 с 4) 6 с
12. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20
м/с. Каков модуль скорости тела через 0,5 с после начала движения?
Сопротивление воздуха не учитывать.
1) 5 м/с 2) 10 м/с 3) 15 м/с 4) 20 м/с
13. Камень, брошенный вертикально вверх с поверхности Земли
со скоростью 20 м/с, упал обратно на Землю. Сопротивление воздуха мало. Камень находился в полёте примерно
1) 1 с 2) 2 с 3) 4 с 4) 8 с
14. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 и R2=2R1 с одинаковыми по модулю скоростями. Их периоды
обращения по окружностям связаны соотношением
1
1) T1 = T2 2) T1 = T2
2
3) T1 = 2T2 4) T1 = 4T2
15. Диск радиусом 20 см равномерно вращается вокруг своей оси.
Скорость точки, находящейся на расстоянии 15 см от центра диска,
равна 1,5 м/с. Скорость крайних точек диска равна
1) 4 м/с 2) 0,2 м/с 3) 2 м/с 4) 1,5 м/с
16. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 20 м
с центростремительным ускорением 5 м/с2. Скорость автомобиля
равна
1) 12,5 м/с 2) 10 м/с 3) 5 м/с 4) 4 м/с
Динамика. Законы Ньютона
1. На рисунке представлен график зависимости силы упругости
пружины от величины ее деформации. Жесткость этой пружины
равна
1) 10 Н/м 2) 200 Н/м 3) 100 Н/м 4) 0,01 Н/м
Fупр, Н
20
12
4
0
4
8
x, см
79
2. Под действием силы 3 Н пружина удлинилась на 4 см. Чему
равен модуль силы, под действием которой удлинение этой пружины составит 6 см?
1) 3,5 Н 2) 4 Н 3) 4,5 Н 4) 5 Н
3. По результатам исследования построен график зависимости
модуля силы упругости пружины от ее деформации (см. рисунок).
Каким будет удлинение пружины при подFупр, Н
30
вешивании груза массой 2 кг?
20
1) 8 см 2) 20 см
10
3) 12 см 4) 16 см
0
0,1
0,2 � ∆x, м
4. К пружине школьного динамометра подвешен груз массой 0.1
кг. При этом пружина удлинилась на 2,5 см. Каким будет удлинение при добавлении еще двух грузов по 0,1 кг?
1) 5 см 2) 7,5 см 3) 10 см 4) 12,5 см
5. После удара клюшкой шайба массой 0,15 кг скользит по ледяной площадке. Ее скорость при этом меняется в соответствии с
уравнением v = 20 – 3t, где все величины выражены в СИ. Коэффициент трения шайбы об лед равен
1) 0,15 2) 0,2 3) 3 4) 0,3
6. Брусок массой m движется равноускоренно по горизонтальной
поверхности под действием силы, как показано на рисунке.
Коэф
фициент трения скольжения F равен m .

F
Модуль силы трения равен
α
1) mgcosa 3) m (mg–Fsina)
m
2) Fcosa 4) m (mg+Fsina)
7. К подвижной вертикальной стенке приложили груз массой 10
a
кг. Коэффициент трения между грузом и
стенкой равен 0,4. С каким минимальным
m
ускорением надо передвигать стенку влево,
чтобы груз не соскользнул вниз?
1) 4∙10–2 м/с2 2) 4 м/с2 2
3) 25 м/с 4) 250 м/с2
8. Брусок массой M = 300 г соединен с грузом массой m = 200
M
г невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). Брусок скользит без трения по горизонтальной поверхности. Чему равна сила
натяжения нити?
m
80
1) 4 Н
2) 1,5 Н
3) 1,2 Н
4) 1 Н
9. На горизонтальной дороге автомобиль делает разворот радиусом 9 м. Коэффициент трения шин об асфальт 0,4. Чтобы его не занесло, его скорость при развороте не должна превышать
1) 36 м/с 2) 3,6 м/с 3) 6 м/с 4) 22,5 м/с
10. На рисунке представлены графики за- F
тр
висимости силы трения от силы нормального
1
m1
давления для двух тел. Отношение
коэфm2
2
фициентов трения скольжения равно
1) 1 2) 2,25
1
3)
4) 2
2
0
Fд
11. Брусок массой 0,5 кг прижат к вертикальной стене силой
10Н, направленной горизонтально и перпендикулярно стене. Коэффициент трения между стеной и бруском равен 0,4. Какую минимальную силу надо приложить к бруску по вертикали, чтобы равномерно поднимать его вертикально вверх?
1) 9 Н 2) 7 Н 3) 5 Н 4) 4 Н
12. Брусок массой 1 кг движется по горизонтальной плоскости.
На тело действует сила F = 10 Н под углом

v
a = 30° к горизонту (см. рисунок) Коэффициα
ент трения между телом и плоскостью равен

F
0,4. Каков модуль силы трения, действующей на тело?
1) 3,4 Н 2) 0,6 Н 3) 0 Н 4) 6 Н
13. На левом рисунке представлены вектор скорости тела и вектор равнодействующей всех сил, действующих на тело. Какой их четырех векторов на правом рисунке указывает направление вектора
ускорения этого тела в инерциальной системе отсчета?
4

F
1

v
2
3
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
81
14. Самолет летит прямолинейно с постоянной скоростью на высоте 9000 м. Систему отсчета, связанную с Землей, считать инерциальной. В этом случае
1) на самолет не действует сила тяжести
2) сумма всех сил, действующих на самолет, равна нулю
3) на самолет не действуют никакие силы
4) сила тяжести равна силе Архимеда, действующей на самолет
Динамика.
Законы сохранения механической энергии
и импульса
1. Навстречу друг другу летят шарики из пластилина. Модули
их импульсов равны соответственно 5∙10–2 кг∙м/с и 3∙10–2 кг∙м/с.
Столкнувшись, шарики слипаются. Импульс слипшихся шариков
равен
1) 8∙10–2 кг∙м/с 3)2∙10–2 кг∙м/с
2) 4∙10–2 кг∙м/с 4) 34 ∙10–2 кг∙м/с
2. Санки после толчка движутся по горизонтальной дорожке.
Как изменится модуль импульса санок, если на них в течение 5 с
действует сила трения о снег, равная 20 Н?
1) ответить невозможно, так как неизвестна масса санок
2) увеличится на 4 Н/с
3) увеличится на 100 кг∙м/с
4) уменьшится на 100 кг∙м/с
3. Мяч массой m брошен вертикально вверх с начальной скоро
стью v . Каково изменение импульса мяча за время от начала движения до возвращения в исходную точку, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало?



1) m v 2) –m v 3) –2m v 4) 0
4. Два автомобиля с одинаковой массой m движутся со скоростями v и 2v относительно Земли по одной прямой в противоположных
направлениях. Чему равен модуль импульса второго автомобиля в
системе отсчета, связанной с первым автомобилем?
1) 3mv 2) 2mv 3) mv 4) 0
5. На графике показана зависимость проекpx
ции импульса px тележки от времени. Какой
вид имеет график изменения проекции равнодействующей всех сил Fx, действующих на теt
0
лежку от времени?
82
1) 2)
Fx
0
t
3)
Fx
0
t
4)
Fx
0
Fx
t
0
t
t
6. Тело массой 2 кг движется вдоль оси OX. Его координата меняется в соответствии с x=A+Bt+Ct2, где A = 2 м, B = 3 м/с, С=5 м/с2.
Чему равен импульс тела в момент времени t = 2 с?
1) 86 кг∙м/с 2) 48 кг∙м/с
3) 46 кг∙м/с 4) 26 кг∙м/с
7. Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы 5
Н импульс тела уменьшился от 25 кг∙м/с до 15 кг∙м/с. Для этого потребовалось
1) 1 с 2) 2 с 3) 3 с 4) 4 с
8. Тело движется по прямой. Начальный импульс тела равен 50
кг∙м/с. Под действием постоянной силы 10 Н за 2 с импульс тела
уменьшился и стал равен
1) 10 кг∙м/с 2) 20 кг∙м/с
3) 30 кг∙м/с 4) 45 кг∙м/с
9. Молоток массой 0,8 кг ударяет по небольшому гвоздю и забивает его в доску. Скорость молотка перед ударом равна 5 м/с, после
удара равна 0, продолжительность удара 0,02 с. Чему равна средняя
сила удара молотка?
1) 400 Н
2) 200Н
3) 800 Н
4) 80 Н
10. Если на вагонетку массой m, движущуюся по горизонтальным рельсам со скоростью v, сверху вертикально опустить груз,
масса которого равна массе вагонетки, то скорость вагонетки с грузом станет равной
2
3
1
1
1) v с 2) v 3) v 4) v
3
2
2
4
11. Два шара массами m и 2m движуться со скоростями, равными
соответственно 2 v и v. Первый шар движется за вторым и, догнав,
прилипает к нему. Каков суммарный импульс шаров после удара?
1) m v 2) 2m v 3) 3m v 4) 4m v
12. С неподвижной лодки массой 50 кг на берег прыгнул мальчик
массой 40 кг со скоростью 1 м/с, направленной горизонтально. Какую скорость приобрела лодка относительно берега?
1) 1 м/с 2) 0,8 м/с 3) 1,25 м/с 4) 0
83
13. Мальчик массой 50 кг, стоя на очень гладком льду, бросает
груз массой 8 кг под углом 60° к горизонту со скоростью 5 м/с. Какую скорость приобретет мальчик?
1) 5,8 м/с 2) 1,36 м/с 3) 0,8 м/с 4) 0,4 м/с
14. Сани с охотником покоятся на очень гладком льду. Охотник
стреляет их ружья в горизонтальном направлении. Масса заряда
0,03 кг. Скорость саней после выстрела 0,15 м/с. Общая масса охотника, ружья и саней равна 120 кг. Определите скорость заряда при
его выстреле из ружья.
1) 1200 м/с 2) 4 м/с
3) 240 м/с 4) 600 м/с
Динамика. Работа, мощность, энергия
1. Камень массой 2 кг брошен вертикально вверх, его начальная
кинетическая энергия 400 Дж. Какой будет его скорость на высоте
15 м?
1) ≈ 5 м/с
3) ≈ 10 м/с
2) ≈ 7 м/с 4) ≈ 14 м/с
2. Человек, равномерно поднимая веревку достал ведро с водой
из колодца, голубиной 10 м. Масса ведра 10 кг. Чему равна работа
силы упругости веревки?
1) 1150Дж 2) 1300Дж
3) 1000 Дж 4) 850 Дж
3. Ящик скользит по горизонтальной поверхности. На рисунке
приведен график зависимости работы
A, Дж
силы трения от пройденного пути. Ка40
кой участок был наиболее скользким?
1) только от 0 до 1 м
20
2) только от 1 до 5 м
3) только от 5 до 5,5 м
0
4) от 0 до 1 м и от 5 до 5,5 м
1
2 3
4
5 6
S, м
4. Лебедка равномерно поднимает груз массой 200 кг на высоту
3 м за 5 с. Чему равна мощьность лебедки?
1) 3000 Вт 2) 333 Вт 3) 1200 Вт 4) 120 Вт
5. Под действием силы тяги двигателя, равной 1000 Н, автомобиль движется с постоянной скоростью 72 км/ч. Мощность двигателя равна
1) 1∙104 Вт 2) 2∙104 Вт 3) 3∙104 Вт 4) 4∙104 Вт
84
6. На рисунке представлен график за- v, м/с
висимости скорости грузовика массой 30
103 кг от времени. Импульс p и кинетиче- 20
ская энергия E грузовика относительно 10
земли в момент времени t = 2 с равны
0
1 2 3 4 5 t, c
1) p = 104 кг∙м/с; E = 5∙104 Дж
4
4
2) p = 10 кг∙м/с; E = 6∙10 Дж
3) p = 5∙104 кг∙м/с; E = 5∙104 Дж
4) p = 104 кг∙м/с; E = 104 Дж
7. Для того, чтобы уменьшить кинетическую энергию тела в 2
раза, надо скорость тела уменьшить в
2
1) 2 раза 2) 2 раз 3) 4 раза 4)
раз
2
8. Автомобиль массой 103 кг движется равномерно по мосту. Скорость автомобиля равна 10 м/с. Кинетическая энергия автомобиля
равна
1) 105 Дж 2) 104 Дж 3) 5∙104 Дж 4) 5∙103 Дж
9. Скорость автомобиля при торможеv, м/с
нии изменяется с течением времени в со40
ответствии с графиком, представленным
30
на рисунке. Как изменилась кинетиче20
ская энергия автомобиля за первые 20 се10
кунд торможения?
0
1) уменьшилась в 2 раза
10 20 30 40 50 t, с
2) увеличилась в 4 раза
3) уменьшилась в 4 раза
4) не изменилась
10. Недеформированную пружину жесткостью 30 Н/м растянули на 0,04 м. Потенциальная энергия растянутой пружины равна
1) 750 Дж 2) 1,2 Дж 3) 0,6 Дж 4) 0,024 Дж
11. Спортсмен поднял штангу массой 75 кг на высоту 2 м. Потенциальная энергия штанги при этом изменилась на
1) 150 Дж 2) 300 Дж 3)1500 Дж 4) 37,5 Дж
12. Ученик собрал установку, показанную на рисунке. Под действием груза массой 0,4 кг пружина растянулась на 0,1 м.
Потенциальная энергия пружины при удлинении равна
1) 0,1 Дж 2) 0,2 Дж
3) 4,0 Дж 4) 4,2 Дж
85
13. Скорость автомобиля массой m = 103 кг увеличилась от v1 =
10 м/с до v2 = 20 м/с. Работа равнодействующих сил равна
1) 1,5∙105 Дж 2) 2,0∙105 Дж
5
3) 2,5∙10 Дж 4) 3∙105 Дж
14. Шарик скатывали с горки по трем разным желобам. В начале пути скорости шарика одинаковы. В каком случае скорость шарика в конце пути
3
наибольшая? Трением пренебречь.
2
1) в первом
1
2) во втором
3) в третьем
4) во всех случаях скорость одинакова
15. Тело массой 1 кг, брошенное с уровня земли вертикально
вверх, достигло максимальной высоты 20 м. С какой по модулю
скоростью двигалось тело на высоте 10 м? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
1) 7 м/с 2) 10 м/с 3) 14,1 м/с 4) 20 м/с
16. Маятнику (шарику на нити), находящемуся в положении
равновесия сообщили небольшую гори
зонтальную скорость v0 (см. рисунок). На
какую высоту поднимется шарик?

v0
1)
2v2
2g
v02
v2
2) 0 3) 0 4) 2
2g
2g
4g
v0
Статика и гидростатика
1. Грузик массой 0,1 кг, привязанный
к нити длиной 1 м, вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом 0,2 м (см. рисунок). Момент силы тяжести грузика относительно точки подвеса равен
1) 0,2 Н∙м 2) 0,4 Н∙м
3) 0,8 Н∙м 4) 1,0 Н∙м
2. Груз массой 0,1 кг, привязанный к нити длиной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Чему равен момент силы
тяжести груза относительно точки подвеса при отклонении нити от
вертикали на угол 30°?
1) 0,25 Н∙м 2) 0,50 Н∙м 3) 0,75 Н∙м 4) 1,00 Н∙м
86
3. При выполнении лабораторной работы
ученик установил наклонную плоскость под
углом 60° к поверхности стола (см. рисунок).
Длина плоскости равна 0,6 м. Момент силы тяжести бруска массой 0,1 кг относительно точки
O при прохождении им середины наклонной
плоскости равен
1) 0,15 Н∙м 2) 0,45 Н∙м
3) 0,30 Н∙м 4) 0,60 Н∙м
4. Однородный куб опирается ребром о пол,
другим – о вертикальную
стену (см. рисунок).

Плечо силы трения Fòð относительно точки O
равно
1) 0 2) ОА
3) Î1Î 4) Î1 À
5. На рисунке изображен рычаг. Каков момент силы F1?
F
1) F1 × OC 2) 1
OC
F
3) F1 × AO 4) 1
AO
6. На рисунке изображен рычаг. Какой отрезок является плечом силы F2?
1) OB 2) BD
3) OD 4) AB
7. На рисунке схематически изображена
лестница AC, опирающаяся
о стену. Каков мо
мент силы тяжести F, действующей на лестницу, относительно точки C?
1) F × OC 2) F × OD
3) F × AC 4) F × DC
60°
О
2) Fòð × BC
4) Fòð × CD
А
О1
О2
О
B
D
O
C
A

F2

F1
B
D
O
C
A

F2

F1
А
О

F
D
8. На рисунке схематически изображена
лестница AC, опирающаяся
о стену. Каков мо
мент силы трения Fòð , действующей на лестницу, относительно точки C?
1) 0 3) Fòð × AB О3
А

Fтр
C
А
О
C
B

D Fтр
87
9. Справедливы ли в условиях невесомости законы Паскаля и
Архимеда?
1) Оба закона не справедливы.
2) Закон Паскаля справедлив, закон Архимеда – нет.
3) Закон Архимеда справедлив, закон Паскаля – нет.
4) Оба закона справедливы.
10. Два груза массами 2m и m закреплены на невесомом стержне длиной L. Чтобы
O
стержень оставался в равновесии, его следует подвесить в точке О, находящейся на расm
2m X
стоянии Х от массы 2m. Х равно
1)
L
3
2)
L
4
3)
L
2
4)
2L
5
11. Рычаг находится в равновесии под действием двух сил. Сила
F1 = 4 Н. Чему равна сила F2, если плечо силы F1 равно 15 см, а плечо силы F2 равно 10 см?
1) 4 Н 2) 0,16 Н 3) 6 Н 4) 2,7 Н
12. На рисунке изображены три сосуда с водой. Площади дна со1
2
3
судов равны. Сравните давления p1, p2 и p3
на дно сосуда
1) p1 = p2 = p3 2) p1 < p2 < p3
3) p1 = p3 < p2 4) p1 = p3 > p2
13. Чему примерно равно давление, созданное водой на глубине
2 м?
1) 200 Па 2) 2000 Па 3) 5000 Па 4) 20 000 Па
14. На какую максимальную высоту может поднимать воду насос, если создаваемый им перепад давления равен 200 кПа?
1) 0,02 м 2) 20 м 3) 2 ×105 м 4) 200 м
15. Аэростат объемом 1000 м3 заполнен гелием. Плотность гелия
0,18 кг/ м3. Плотность воздуха 1,29 кг/м3. На аэростат действует выталкивающая сила
1) 1,29 кН 2) 12,9 кН 3) 180 кН 4) 1,8 кН
16. Пластиковый пакет с водой объемом 1 л полностью погрузили в воду. На него действует выталкивающая сила, равная
1) 0 2) 1 Н 3) 9 Н 4) 10 Н
88
Итоговый тест
1. На рисунке изображены графики зависимости скорости движения четырех автомобилей от времени. Какой из автомобилей – 1,
2, 3 или 4 – прошел наибольший путь за первые 15 с движения?
v, м/с
4
15
2
5
10
1
3
5
0
5
10
15
20
25 t, c
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4
2. Мяч бросили с балкона 3 раза с одинаковой начальной скоростью. Первый раз вектор скорости мяча был направлен вертикально вниз, второй раз – вертикально вверх, третий раз – горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь. Модуль скорости мяча при
подлете к земле был
1) больше в первом случае
2) больше во втором случае
3) больше в третьем случае
4) одинаковыми во всех случаях
3. Автомобиль выполняет поворот, двигаясь по скользкой дороге
с постоянной скоростью 54 км/ч. Минимально возможный радиус
поворота в этих условиях равен 75 м. Чему равен коэффициент трения колес о дорогу?
1) 0,1 2) 0,15 3) 0,2 4) 0,3
4. Брусок массой M = 300 г соединен с бруском массой m = 200 г
невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). Брусок скользит без трения по
M
закрепленной наклонной плоскости, соm
ставляющей угол 30° с горизонтом . Чему равно ускорение бруска?
1) 1 м/с2
2) 2,5 м/с2
3) 7 м/с2
4) 17 м/с2
89

F

v0
5. Мяч брошен вертикально вверх с начальной
скоростью v0. На рисунке показано направление
равнодействующей силы, действующей на мяч.
Укажите правильное направление вектора ускорения, с которым движется мяч.

v2

v1
m

v

a

a

a

a
1)
2)
3)
4)
6. На рисунке показаны направления движений
шаров одинаковой массы. Укажите правильное направление импульса шаров после абсолютно неупругого соударения.
1)
2)
3)
4)

7. Тело массой m движется со скоростью v. После абсолютно упругого удара о стену тело стало
двигаться в противоположном направлении с той
же по модулю скоростью. Чему равен модуль изменения импульса тела?
1
1) 0 2) mv 3) mv 4) 2 mv
2
8. На рисунке а приведен график зависимости импульса тела от
времени. Какой из графиков – 1, 2, 3 или 4 (рис. б) – соответствует
изменению силы, действующей на тело, от времени движения?
а)
б)
1) F
2)F
р
0
3) F
0
t
t
0
4)F
t
t
t
0
0
90
t
t
t
9. Мяч бросают вертикально вниз с высоты h. Какую начальную
скорость v0 надо сообщить мячу, чтобы он, ударившись о поверхность, подпрыгнул на высоту 2h? Удар считать абсолютно упругим,
сопротивлением воздуха пренебречь.
1) 2 2gh 2)
4gh 3)
gh 4)
2gh
О
10. Небольшой шарик подвешен на невесомом
стержне, который может вращаться вокруг точки подвеса О. Какую минимальную горизонтальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы
он сделал полный оборот вокруг точки подвеса?
Длина стержня L. Сопротивлением пренебречь.
1) gL 2) 2gL
3)
3gl 4)
L

v0
4gL
11. Спортивный диск брошен вертикально вверх. Какой из графиков – 1, 2, 3 или 4 – соответствует зависимости полной механической энергии от времени движения диска?
1) Е
2)Е
t
0
3) Е
t
0
t
t
0
4)Е
t
0
12. На рисунке изображена лестница,
прислоненная к стене, и показаны силы,
действующие на лестницу. Каким будет
плечо силы реакции опоры N2 относительно
точки О?
1) ОА 2) ОК
3) КD 4) АВ
t
А

N2 K

F
D
О

Fтр

N1
B
13. К тонкому однородному стержню в точках 1 и 3 приложены
силы F1= 20 Н и F2= 60 Н. Через какую точку должна проходить ось
91
вращения, чтобы стержень находился в равновесии? Массой стержня пренебречь.

F2
6
5
4
2
1
3

F1
1) 2 2) 4 3) 5 4) 6
14. На поверхности воды плавает деревянный брусок массой 50
г. Чему равна выталкивающая сила, действующая на брусок, и как
она направлена?
1) 0,5 Н; вниз 2) 0,5 Н; вверх
3) 50 Н; вниз 4) 500 Н; вверх
15. Цилиндр объемом 20 см3 погрузили в подсолнечное масло.
Плотность масла 940 кг/м3. Чему равна выталкивающая сила, действующая на цилиндр?
1) 188 кН 2) 18,8 кН
3) 188 мН 4) 0,0188 Н
16. Итальянский ученый Торричелли изобрел ртутный барометр. Барометр Торричелли представляет собой стеклянную трубку, запаянную с одного конца. Трубка наполнялась ртутью, открытый конец трубки зажимался и опускался в чашу со ртутью. После
опускания пальца часть ртути из трубки выливалась в чашу. До какой примерно высоты понижался столб ртути в трубке в этом барометре?
1) высота столба ртути может быть любой
2) 76 см
3) 1 м
4) 10 м
92
Приложение 1
Кодификатор элементов содержания по физике
для составления контрольных измерительных материалов
единого государственного экзамена
Механика.
Кинематика.
Относительность механического движения.
Скорость.
Ускорение.
Прямолинейное равноускоренное движение.
Свободное падение.
Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.
Центростремительное ускорение.
Динамика.
Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона.
Принцип относительности Галилея.
Масса тела.
Плотность вещества.
Сила.
Принцип суперпозиции сил.
Второй закон Ньютона.
Третий закон Ньютона.
Закон всемирного тяготения.
Сила тяжести.
Невесомость.
Сила упругости.
Сила трения.
Давление.
Статика.
Момент силы.
Условия равновесия твердого тела.
Давление жидкости.
Закон Паскаля.
Закон Архимеда.
Условие плавания тел.
Законы сохранения в механике.
Импульс тела.
93
Импульс системы тел.
Закон сохранения импульса.
Работа силы.
Мощность.
Кинетическая энергия.
Потенциальная энергия.
Закон сохранения механической энергии.
Простые механизмы. КПД механизма.
Механические колебания и волны.
Гармонические колебания.
Амплитуда колебаний.
Период колебаний.
Частота колебаний.
Свободные колебания.
Вынужденные колебания.
Резонанс.
Длина волны.
Звук.
2. Молекулярная физика. Термодинамика.
Молекулярная физика.
Кристаллические и аморфные тела. Газы, жидкости.
Тепловое движение атомов и молекул вещества.
Броуновское движение.
Диффузия.
Взаимодействие частиц вещества.
Идеальный газ.
Связь между давлением и средней кинетической энергией поступательного движения молекул идеального газа.
Абсолютная температура.
Связь температуры газа со средней кинетической энергией его
молекул.
Уравнение Клапейрона-Менделеева.
Изопроцессы.
Насыщенные и ненасыщенные пары
Влажность воздуха.
Испарение и конденсация.
Кипение жидкости.
Плавление и кристаллизация.
94
Термодинамика.
Внутренняя энергия.
Тепловое равновесие.
Теплопередача.
Количество теплоты. Удельная теплоемкость вещества.
Работа в термодинамике.
Первый закон термодинамики.
Второй закон термодинамики.
КПД тепловой машины.
3. Электродинамика.
Электростатика.
Электризация тел.
Взаимодействие зарядов. Два вида электрического заряда.
Закон сохранения электрического заряда.
Закон Кулона.
Действие электрического поля на электрические заряды.
Напряженность электрического поля.
Принцип суперпозиции электрических полей.
Потенциальность электростатического поля.
Потенциал.
Разность потенциалов.
Проводники в электрическом поле.
Диэлектрики в электрическом поле.
Электрическая емкость конденсатора.
Энергия поля конденсатора.
Постоянный ток.
Сила тока.
Напряжение.
Закон Ома для участка цепи.
Электрическое сопротивление.
Электродвижущая сила.
Закон Ома для полной электрической цепи.
Параллельное соединение проводников.
Последовательное соединение проводников.
Работа электрического тока.
Мощность электрического тока.
Носители свободных электрических зарядов в металлах, жидкостях и газах.
Полупроводники. Собственная проводимость полупроводников.
95
Примесная проводимость полупроводников.
Магнитное поле.
Взаимодействие магнитов.
Индукция магнитного поля.
Сила Ампера.
Сила Лоренца.
Электромагнитная индукция.
Явление электромагнитной индукции.
Магнитный поток.
Закон электромагнитной индукции.
Правило Ленца.
Самоиндукция.
Индуктивность.
Энергия магнитного поля.
Электромагнитные колебания и волны.
Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания.
Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс.
Переменный ток.
Производство, передача и потребление электрической энергии.
Трансформатор.
Электромагнитные волны.
Различные виды электромагнитных излучений и их практическое применение.
Оптика.
Прямолинейное распределение света.
Закон отражения света.
Построение изображений в плоском зеркале.
Законы преломления света.
Полное внутреннее отражение.
Линзы.
Формула тонкой линзы.
Построение изображения, даваемого собирающей линзой.
Оптические приборы.
Интерференция света.
Дифракция света.
Дифракционная решетка.
Дисперсия света.
4. Основы специальной теории относительности.
Инвариантность скорости света.
96
Принцип относительности Эйнштейна.
Полная энергия. Энергия покоя.
Связь массы и энергии.
5. Квантовая физика.
Корпускулярно-волновой дуализм.
Гипотеза Планка.
Фотоэффект
Законы Столетова.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
Фотоны.
Энергия фотона.
Импульс фотона.
Дифракция электронов.
Корпускулярно – волновой дуализм.
Физика атома.
Планетарная модель атома.
Постулаты Бора.
Линейчатые спектры.
Лазер.
Физика атомного ядра.
Радиоактивность.
Альфа-распад.
Бета-распад.
Гамма-излучение.
Закон радиоактивного распада.
Протонно-нейтронная модель ядра.
Заряд ядра.
Массовое число ядра.
Энергия связи нуклонов в ядре.
Деление и синтез ядер.
6. Методы научного познания и физическая картина мира.
Измерение физических величин. Погрешности измерения.
Построение графика по результатам эксперимента.
Роль эксперимента и теории в процессе познания природы.
Анализ результатов экспериментальных исследований.
Физические законы и границы их применимости.
97
Приложение 2
Основные физические постоянные
Ускорение свободного падения
на поверхности Земли
Гравитационная постоянная
g = 10 ì/ñ2
G = 6,7 ×10-11 Í × ì2 /êã2
Постоянная Авогадро
Постоянная Больцмана
Универсальная газовая постоянная
Элементарный заряд Коэффициент пропорциональности
в законе Кулона Электрическая постоянная
Скорость света в вакууме
Постоянная Планка Масса покоя электрона
k = 1,38 ×10-23 Äæ/Ê
R = 8,31 Äæ/(ìîëü × Ê)
e = 1,6 ×10-19 Кл
k = 9 ×109 Н⋅м2/Кл2
ε0 = 8,85 ×10-12 Ф/м
c = 3 ×108 м/с
h = 6,6 ×10-34 Дж⋅с
me = 9,1×10-31 кг
Масса покоя протона
m p = 1,673 ×10-27 кг
Масса покоя нейтрона
mn = 1,675 ×10-27 кг
Атомная единица массы Электрон-вольт Коэффициент пропорциональности
между энергией и массой 98
N A = 6 ×1023 ìîëü-1
1 а.е.м. =1,66⋅10–27 кг
1 эВ = 1,6⋅10–19 Дж
c2 = 931,5 МэВ/а.е.м.
Плотность воды r = 1000 кг/м3
Удельная теплоемкость воды C = 4200 Дж/(кг⋅К)
Молярная масса молекулярного водорода
M = 0,002 кг/моль
Молярная масса гелия M = 0,004 кг/моль
Десятичные приставки, используемые для обозначения кратных
единиц:
Наимен
обозн
знач
Наимен
обозн
Знач
тера
Т
1012
милли
м
10–3
гига
Г
109
микро
мк
10–6
мега
М
106
нано
н
10–9
кило
К
103
пико
п
10–12
99
Приложение 3
Структура ЕГЭ по физике
Задания с выбором ответа (уровень A)
Уровень A включает 30 относительно простых заданий (A1-A30)
с выбором одного из четырех вариантов ответа – номер правильного
ответа следует вписать в соответствующую таблицу тестовых заданий уровня A.
Задания с кратким ответом (уровень B)
Уровень B состоит из 4-х задач повышенного уровня сложности.
Эти задания проверяют умение применять знание физических законов и явлений для решения конкретных задач. На задания уровень B1-B4 следует дать краткий ответ в виде числа в международной системе единиц (СИ) или в тех единицах измерения, которые
указаны в вопросе задачи. При вычислении разрешается использовать непрограммируемый калькулятор.
Компьютерная технология проверки заданий ЕГЭ с кратким ответом ПК требует приведения ответа к форме, в которой он запишется в
виде целого числа с определенным числом нулей в конце. Поскольку
бланки ответов считываются на сканере, то даже правильно решенная задача с неверно оформленным ответом не зачтется.
Задания с развернутым ответом (уровень C)
Уровень C состоит из 5 заданий, по которым следует дать развернутый ответ. Эти задания представляют собой задачи высокого уровня сложности, которые проверяют умение абитуриентов составлять и решать системы уравнений с использованием элементов
алгебры, геометрии и тригонометрии, ссылаться на физические законы и определения, применять знания разных разделов физики в
одной задаче.
При оформлении задач с развернутым ответом приведите схему с обозначением используемых величин. В противном случае все
используемые буквенные обозначения должны быть описаны словами. В задачах по механике чаще сего необходимо указать силы,
действующие на тело, систему координат, относительно которой
рассматривается движение и записываются векторные уравнения
(второй закон Ньютона, закон сохранения импульса). В задачах
по геометрической оптике тоже очень важен рисунок. Это – первое
требование.
100
Второе требование состоит в ссылке на законы, приводящие к системе уравнений.
Третье требование состоит в алгебраическом (буквенном) решении задачи, даже когда приходится решать систему уравнений.
Только когда решение становится чрезмерно громоздким (например, при необходимости решать квадратное уравнение с громоздкими буквенными выражениями в виде коэффициентов), допускается
получение промежуточных численных результатов и их использование в дальнейшем решении наравне с данными из условия. Получение буквенного ответа является контролируемым этапом при
проверке решения экспертами. Если в тексте задач физические величины не обозначены буквами, то следует ввести свои буквенные
обозначения. Если же величины уже обозначены буквами в условии, то в решении следует использовать именно их. Это облегчит работу экспертов, проверяющих Ваше решение на экзамене.
Перед подстановкой числовых результатов в буквенный ответ не
забудьте перевести их в систему СИ. Большой точности при получении численного ответа не требуется. Если вы правильно рассчитали
порядок и получили ответ, не противоречащий физическому смыслу, то он будет зачтен как верный в задачах с развернутым ответом.
Однако, за численные результаты, противоречащие физическому
смыслу (скорость больше скорости света, показатель преломления
меньше единицы, температура газа в несколько тысяч кельвинов и
т.п.) суммарный балл может быть снижен.
Обращаем внимание абитуриентов на необходимость разумного
распределения времени при выполнении заданий разного уровня.
Опыт сдачи экзаменов показал, что для ответа на одно тестовое задание типа A требуется в среднем 2–3 минуты, то есть 1–1,5 часа на
все задание. Таким образом, из 3,5 часов, отпущенных на экзамены
по физике, на выполнение заданий уровня B и C остается примерно
2-2,5 часа.
Важно обратить внимание на то, что «стоимость» каждого задания сильно зависит от уровня A, B или C. Если одно из заданий
уровня A или B оценивается по одному условному баллу, то задания
третьей части – до трех баллов, при этом в задании C оценивается
каждый этап решения.
101
Ответы к задачам
Кинематика
1. 50 м; 2. 0,4
3. 6 м; 4. 50 м; 5. 600 м; 6. 3 м/с2; 7. 0,25 м/с;
8. 25 м; 9. 5,4 с; 10. 48 м.
11. 3 м; 12. 9 м; 13. 14 м; 14. -8 м; 15. 9 м/с2; 16. 15 м; 17. 15 м;
18. 40 с; 19. 18 м/с; 20. 16 м.
21. 20 м; 22. 2 с; 23. 28,2 м/с; 24. 1,4 с; 25. 4 с; 26. 20 м; 27. 4 с;
28. 0,41 с; 29. 50 м; 30. 62,5 м/с.
31. 0,15 с; 32. 392 м; 33. 2,5 м; 34. 200 м; 35. 3,2 с; 36. 3 с;
37. -15 м/с; 38. 3 с; 5 с; 39. 200 с; 40. 10 м/с.
41. 50 км/ч; 42. 4 км/ч; 43. 1,2; 44. 30 км/ч; 45. 24 км/ч;
46. 12,3 км/ч; 47. 7 км/ч; 48. 3,05 м/с; 49. 20 м/с; 50. 48 м/с.
51. 10 м/с; 52. 8 м/с; 53. 200 с; 54. 180 м; 55. 5 с; 56. 1,25 км/ч;
57. 3,75 км/ч; 58. 5 км/ч; 59. 20 с; 60. 450.
61. 1 м/с2; 62. 1 м/с2; 63. 20 м/с; 64. 10 м/с; 65. 3,14 м/с2;
66. 3,14 с; 67. 30; 68. 10 см; 69. 12 с; 70. 450 м/с.
71. 14,1 м/с; 72. 1,73 с; 73. 10 м; 74. 20 м; 75. 60 м; 76. 2 с;
77. 450 м/с; 78. 100 м/с; 79. 1,5 м; 80. 1 с.
81. Н⋅с; 82. 5 м; 83. 6 м/с; 84. 0,73 с; 85. 5 м/с; 86. 2 с; 87. 25 м/с;
88. 3; 89. 80 м; 90. 3 м.
91. 24 м; 92. 3 м/с; 93. 103,8 с; 94. 15 м/с; 95. 4 с; 96. 2,73 с;
97. 341 с; 98. 29,1 м; 99. 300; 100. 10 м/с.
м/с2;
Динамика
1. 4 Н; 2. 65 Н; 3. 50 м; 4. 30 Н; 5. 0,25 Н; 6. 3 кг; 7. 16 м/с2;
8. 72 км/ч; 9. 70 Н; 10. 3 м/с2; 11. 5 Н; 12. 10 м/с2; 13. 20 м; 14. 9;
15. 30 Н; 16. 3 кг; 17. 25 Н; 18. 34,6 м/с; 19. 64 Н; 20. -2 м/с2.
21. 1; 22. 0,33; 23. 0,5 Н; 24. 3,1 с; 25. 1,1 м/с2; 26. 5,2 Н; 27. 0,75;
28. 5; 29. 0,35; 30. 21 м/с2.
31. 10 мм; 32. 0,08 м; 33. 2 м/с2; 34. 0,4 см; 35. 40 м/с2; 36. 0,15 м;
37. 80Н; 38. 2 кг; 39. 0,048 м; 40. 1м/с2, 0,2 м.
41. 1 м/с; 42. 108 км/ч; 43. 5Н; 44. 10 м/с; 45. 0,25 м; 46. 500 Н;
47. 8000 Н; 48. 1410 Н; 49. 0,13 с; 50. 0,5 кг.
51. 4; 52. 0,4; 53. 3 Н⋅с; 54. 200 м/с; 55. 5 Н; 56. 10 Н⋅с; 57. 10
м/с; 58. 15 м/с; 59. 0; 60. 0,1 м/с; 61. 10 м/с; 62. 240 Н; 63. 0,07 м/с;
102
64. 0,4 м/с; 65. 0,4 м; 66. 2,5 м; 67. 0,8 м/с; 68. 0,6 Н⋅с; 69. 14 км/с;
70. 3,5 Н⋅с.
71. 270 м/с2; 72. 2,5 м/с2; 73. 4; 74. 2; 75. 2; 76. 6 км/с; 77. 0,7;
78. 8; 79. 4000 м/с; 80. 9; 81. 2 с; 82. 0,4; 83. 0,2; 84. 40 Н; 85. 50 Н⋅с;
86. 0,15 м; 87. 300; 88. 10 с; 89. 2 с; 90. 1.
Работа. Мощность. Энергия
1. 50 Дж; 2. 0; 3. 0; 4. 1,2; 5. 0; 6. 50 Дж; 7. 2,5 Дж; 8. 8000 Дж;
9. 900 Дж; 10. 5 Дж.
11. 10 кН; 12. 80 кВт; 13. 2600 кВт; 14. 13 м/с; 15. 100 Вт; 16. 4000
кВт; 17. 60%; 18. 25 кВт; 19. 120 кВт; 20. 100 Вт.
21. 24 Дж; 22. 2 Дж; 23. 8 Дж; 24. 3 Дж; 25. 2; 26. 2; 27. 20 м;
28. 2 Дж; 29. 1 кг; 30. 40 Н.
31. 2,5 Дж; 32. 1125 Дж; 33. 4 м; 34. 10 м; 35. 4 Дж; 36. 1,41 м/с;
37. 1,6 м; 38. –40 Дж; 39. 110 Дж; 40. 5,5 м.
41. 20 Дж; 42. 0,7 м; 43. 0,05 м; 44. 6; 45. 5 м; 46. 90%;
47. 2,5 Дж; 48. 10 м/с; 49. 260 Дж; 50. 2,5 Н⋅с; 51. 20 г; 52. 2 м/с; 53. 8 м/с;
54. 0,1 м; 55. 0,5; 56. 0,6; 57. 0,25; 58. 5; 59. 0,05 кг; 60. 1,41 м/с.
Статика и гидростатика
1. 0,05
2. 250; 3. 2; 4. 1,2 МН; 5. 0,25 м; 6. 150 Н; 7. 150 Н;
8. 3,14 кН; 9. 295 кПа; 10. 3 м.
11. 4 см; 12. 0,5 м; 13. 30,2 см; 14. 5 см; 15. 2,5 см; 16. 100;
17. 500 Дж; 18. 33,5 см; 19. 2; 20. 40,8 см.
21. 750 кг/м3; 22. 0,3 м; 23. 200 кг/м3; 24. 125 см3; 25. 2000 кг/м3;
26. 4 м2; 27. 200 см3; 28. 0,16 Н; 29. 3000 кг/м3; 30. 5 мН.
31. 240 Н⋅м; 32. 1 м; 33. 6,75 Н; 34. 500 Н; 35. 37,5 мм; 36. 29 см;
37. 0,5 Н; 38. 50 Н; 39. 3 кг; 40. 20 Н.
41. 2000 кг/м3; 42. 800 кг; 43. 83 см; 44. 0,25; 45. 10 м; 46. 9,5 г;
47. 12 кг; 48. 25 мН; 49. 750 кг/м3; 50. 2,5 м.
м2;
103
Ответы к тестам
Кинематика
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
Номер
ответа
4
4
4
3
4
1
3
2
2
1
2
3
3
1
3
2
Динамика. Законы Ньютона
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Номер
ответа
2
3
2
2
4
3
3
3
3
2
1
4
1
2
Динамика. Законы сохранения механической энергии
и импульса
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Номер
ответа
3
4
3
1
3
3
2
3
2
3
4
2
4
4
Динамика. Работа, мощность, энергия
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
Номер
ответа
3
3
2
3
2
1
2
3
3
4
3
2
1
4
3
1
Статика и гидростатика
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
Номер
ответа
1
2
1
1
1
3
4
1
2
1
3
1
4
2
2
4
Итоговый тест
Задача
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
Номер
ответа
3
4
4
1
2
3
4
3
4
4
104
4
2
2
2
3
2
Рекомендуемая литература
Трофимова Т. И. Физика. Теория и задачи. ОНИКС, М.: Мир и образование, 2006.
Хорошавина С. Г. Экспресс-курс физики, Ростов-на-Дону, «Феникс», 2008.
Парфентьева Н. А. Задачи по физике, М.: «Просвещение», 2008.
Громцева О. И. ЕГЭ. Типовые тестовые задания, М.: «Экзамен»,
2009.
Курашова С. А. ЕГЭ. Физика: типовые тестовые задания, СанктПетербург, Тригон, 2009.
Бобошина С. Б. ЕГЭ. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий, Москва, «Экзамен», 2009.
Ильин В. Г., Манисян Л. А., Солдатов Л. А. Физика, Ростов-наДону: «Феникс», 2008.
Касаткина И. Л. Физика. Полный курс подготовки, М., АСТ,
Астрель, 2009.
Грибов В. А., Ханнанов Н. К. ЕГЭ 2010, Физика, М., ЭКСМО,
2009.
Турчина Н. В. Физика в задачах для поступающих в вузы, Москва, ОНИКС, Мир и образование, 2008.
Никифоров Г. Г., Орлов В. А., Ханнанов Н. К. ЕГЭ 2010, Физика:
сборник заданий, М., ЭКСМО, 2009.
Демидова М. Ю., Нурманский И. И. ЕГЭ 2010, Физика, Федеральный банк экзаменационных материалов, М., ЭКСМО, 2009.
Берков А. В., Грибов В. А. ЕГЭ 2009, Физика: реальные задания,
М., АСТ, Астрель, 2008-2009.
Дорогие ребята, конечно, основным литературным источником
подготовки к ЕГЭ являются школьные учебники по физике.
105
Содержание
Предисловие............................................................. 3
Кинематика.............................................................. 5
Задачи.................................................................. 11
Прямолинейное движение............................... 11
Движение вдоль оси X..................................... 12
Движение тела по вертикали............................ 12
Прямолинейное движение двух тел................... 13
Средняя скорость........................................... 14
Сложение скоростей. Относительность
движения...................................................... 15
Движение по окружности................................ 16
Движение тела, брошенного горизонтально........ 17
Движение тела, брошенного под углом
к горизонту................................................... 18
Задачи повышенной сложности........................ 18
Динамика................................................................. 20
Задачи.................................................................. 25
Законы Ньютона............................................ 25
Наклонная плоскость...................................... 26
Закон Гука.................................................... 27
Динамика движения по окружности................. 28
Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса........................................................... 29
Закон всемирного тяготения. Движение искусственных спутников............................................... 31
Задачи повышенной сложности........................ 32
Работа. Мощность. Энергия......................................... 34
Задачи.................................................................. 37
Работа........................................................... 37
Мощность...................................................... 38
Энергия. ....................................................... 39
Закон сохранения энергии............................... 39
Задачи повышенной сложности........................ 40
Статика и гидростатика.............................................. 43
Задачи.................................................................. 48
Давление твердых и жидких тел....................... 48
Сообщающиеся сосуды. Гидравлический пресс... 49
Закон Архимеда............................................. 50
106
Равновесие тел. Момент силы. Центр тяжести.... Задачи повышенной сложности........................ Задачи повышенной сложности с подробным разбором
их решения............................................................... Тесты....................................................................... Кинематика................................................... Динамика. Законы Ньютона............................ Динамика. Законы сохранения механической
энергии и импульса........................................ Динамика. Работа, мощность, энергия.............. Статика и гидростатика................................... Итоговый тест................................................ Приложение 1. Кодификатор элементов содержания
по физике для составления контрольных измерительных
материалов единого государственного экзамена. ............ Приложение 2. Основные физические постоянные.......... Приложение 3. Структура ЕГЭ по физике...................... Ответы к задачам....................................................... Ответы к тестам......................................................... Рекомендуемая литература......................................... 51
52
54
77
77
79
82
84
86
89
93
98
100
102
104
105
107
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 711 Кб
Теги
pogarevrutkov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа