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МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"Санкт-Петербургский
государственный университет аэрокосмического приборостроения"
?????????????? ??????????
???????????? ????????
? ?????????? ???????????? ???????
Санкт-Петербург
2003
???????????: ?. ?. ???????, ?. ?. ??????????, ?. ?. ???????,
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???????????? ???????? ?????????? ?????????? ? ????????????? ? ??????? ???????????-???????????? ??????? ?????-?????????????? ???????????????? ???????????? ???????????????? ???????????????.
© ???????, 2003
????????? ? ?????? 17.10.03. ?????? 60Ч84 1/16. ?????? ????????. ?????? ????????.
???. ???. ?.1,62. ??. -???. ?. 1,46. ????? 300 ???. ????? ?
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?????????? ????? ????????? ???????? ??? ????????? ? ?????????,
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?????? ? ???????? ???????? n ? ????? (?????????). ????????????????? ?????? ?? ???????? ??????? ??? ?? ?????????
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x = ? . ? , ?? = ( ?1,..., ?n ).
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(1.3)
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A 1 = max
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(1.7)
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(1.8)
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(1.9)
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(1.10)
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.
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.
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(1.11)
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(1.12)
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?????? ??????? ?????? ???????? ?????????????? ?????????
????????? ??????? ?????? ???????? ?????????????? ?????????
????? ????????? ?? ??? ??????: ?????? ? ????????????. ?????? ????????? ???????????? ?? ?????? ???????, ??????????? ???????? ??????? ?? ???????? ????? ????? (??? ????? ?????? ??????????). ???????????? ?????? ???? ?????? ??????? ???? ??? ??????????? ?????
?????, ??????? ??? ?? ????????????? ????? ?????????, ??? ??? ???????? ????? ?????????????? ???????? ??????? ?????? ???????? ?
????????? ???????, ???? ???? ?????????? ???????? ?????????? ???
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?????? ?????? ??????? ??????. ????? ??????
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????? ??????, ??????? ???????????? ?? ???????????????? ?????????? ??????????? (????? ??????????? ?????????????? ???????? ??????????????? n3).
??????? ??????? n ???????? ?????????????? ?????????
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(0)
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? (0)
(0)
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.
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. . . . .
.
= b2(0) ,
.
.
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+ . . . + ann
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(1.14)
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???????????, ??? ??????????? ??????????? ?1 ? ?????? ??????(0)
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(n?1) ?????????, ??????? ?? ???????. ??? ????? ?????????? ??????? ?? ???????
????????? ?????? ?????????, ?????????? ?? ?(0)21/ ?(0)11, ?(0)31/ ?(0)11, ?,
?(0)n1/ ?(0)11 ??????????????,
(0)
(0)
a11
x1 + a12
x2
+ . . . + a1(0)
n xn
= b1(0) ,
(1)
a22
x2
.
+ . . . +
. . . . .
a2(1)n xn
.
= b2(1) ,
.
.
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+ . . . +
(1)
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xn
=
bn(1) .
(1.15)
(1)
?????, ???????, ??? ??????????? a22
? 0, ???????? ???????????
????????? ?????????? ?????????? ?2 ? ??????? ?????????
(1)
a22
x2
.
+ . . . + a2(1)n xn
. . . . .
.
= b2(1) ,
.
.
an(1)2 x2
(1)
+ . . . + ann
xn
= bn(1) .
(1.16)
????? (n?1)-?? ???? ?????????? ??????????? ??????? (1.14) ?????????? ? ?????????? ????:
(0)
a (0)
11 x1 + a12 x2
(1)
a22
x2
.
+
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
+
.
a1(0)
n xn
(1)
a 2 n xn
.
( n ?1)
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= b1(0) ,
= b2(1) ,
.
.
( n ?1)
= bn .
(1.17)
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4
( n ?1)
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,
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?
?
n
?
j =i +1
?
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i = n ? 1, n ? 2, ..., 1.
(1.18)
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(0)
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???????????, ???? ???? ??????? ? ???????? ????????????? (det A ?
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????? ??????? ????????? ??????????. ????? ????, ??????? ????????
????? ????????? ?????????? ?????? ? ????? ??????? ?? ??? ????????
??????? ??????? ????? ????????? ??-?? ?????? ??????????.
??? ???? ????? ?????????? ?? ????????? ???????????, ????????? ?????
?????????? ?????? ? ??????? ???????? ????????. ???? ????? ?????? ????
???????????? ???????, ???? ???????????? ??????? ??????? ?? ????. ????? ????, ?? ????? ???????????? ? ??????? ??????????. ?????????? ?????????????? ??????????? ? ?????? ?????? ? ??????? ???????? ????????
???????????? ????? ???????????? ????? ? ???????? ??????? ? ???, ?????
??????? ??????? ?? k-? ???? ?????????? ??? ?????????? ?? ?????? ??
?????????????, ??????????? ? ?????????? ??????????:
( k ?1)
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k ?i , j ? n
(1.19)
= aij.
???
????? ??????? ????????? ?? ??????? (1.19) ???????? ??????? ?????????? ? ?????? ?????????????.
?????? ???????????? ??????? ??????? ?????????????? ?????????????? ??????, ??????? ????? ??????????????? ?? ?????? ??????????
? ????????? ????????????? ?? ???????. ????? ??????? ?????????
???????????? ???????? ???????
aij(0)
( k ?1)
= max aik( k ?1) .
akk
k ?i ? n
(1.20)
????????, ??? ??????? ?????????
? 4 x1 + 5 x2
?
? x1 ? 3x2
??10 x1 + x2
+ 12 x3
+ x3
? x3
= 1,
= 2,
= 3
5
????? ?????? ????? ?????????? ?????????, ???????? ????????? ? ??????
?????????????, ???????? ?????? ? ?????? ??????? ??????? ?????????:
?12 x3 + 4 x1 + 5x2 = 1,
?
? x3 + x1 ? 3x2 = 2,
?? ? x3 + 10 x1 + x2 = 3.
???????? ????????? ? ????????? ?????????????, ?????????? ???????? ?????? ? ?????? ?????? ??????? ?????????:
?10 x1 + x2 ? x3 = 3,
?
? x1 ? 3x2 + x3 = 2,
?? 4 x1 + 5 x2 + 12 x3 = 1.
????? ??????????? 1-? ??? ??????????.
???????????? ?????? ???????
?????? ???????? ?????????????? ?????????
?????? ????? ? ???????????? ?????? ???????? ?????????????? ???????? ??????? ?? = b ? ???? [2?3]
?? = ?? +d,
(1.21)
??? ??????? ?, ? ? ?????? d ???????????? ?? ??????? ? ? ??????? b.
?????? ??????? (1.13) ? (1.21) ???????? ??????????????, ?. ?. ?? ??????? ?????????. ?????? ????? ???????? ??????????? ???????? ? (1.21)
? ??????? ???????? ???????????, ?. ?.
??(k+1) = ??(k) + d, k = 0, 1, 2, ?,
(1.22)
(0)
??? ? ? ???????? ??????. ?????? ??????????? k-?? ??????????? ???????????? ????????????
x ( k ) ? ?? ? ?,
(1.23)
??? ?* = ??1b ? ?????? ??????? ??????? (1.13).
?????? (1.23) ??? ???????? e > 0 ????????? ???????????? ?????????
????????????? ????????.
????????? ???????????? ?????? ?????????? ??????? ?????? ?, ?
? ??????? d.
???? ? = ?, ?? ????? ?????????? ???????????????? ???????????
(1.22) ??????? ???????? ??????? ??????? ????????. ???????? ??????6
??? ????????? ? ?????????? ?????? ??????? ???????? [2]: ???? ?????
??????? ? ?????? ???????, ?? ???????????????? ???????????
x(k+1) = Bx(k) + d
(1.24)
???????? ? ????????????? ??????? ?* ??????? (1.13) ?? ????????? ?????????????? ?????????? ??? ???????????? ??????? ???????? ??????????? ?(0).
????? ???????, ??????? ????????, ???? ??????????? ???? ?? ????????? ??????? [4]:
?1< 1 ??? ?2<1.
(1.25)
???? ?1< 1, ?? ????? ???? ?????? ??????????? ?????? ???????
???????? [5]:
k
x ( k ) ? x* ?
B
d.
1? B
(1.26)
?????? (1.26) ?????????? ????????? ??????? ??????????? ????????????? ????????.
1.2. ???????? ??????? ??? ?????????? ??????????? ??????
??? ?????????? ??????????? ?????? ??????????:
?) ????? ???? ????? ? ? b ? ?? ?????;
?) ????? ???? ????? ?? ? ?b ? ?? ?????;
?) ????? det ?, ??1, ????? ??????????????? ??????? ?.
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8
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1
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a = ? ?, b = ? ?, A = ?
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? ??????? ?????? ? ????????? ????????????? ?? ???????;
? ??????? ???????? ? ????????????, ?? ??????????? ? = 0,01.
???????????? ?????????? ???????? ????????? ?????? ??????????? ?????? ????????.
??????? I:
? x1 =
? x2 =
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? 3
? x4 =
0,23x1
0,42 x1
0,26 x1
0,05x1
?
?
+
?
0,03x2
0,23x2
0,32 x2
0,26 x2
+
+
?
+
0,21x3
0,06 x3
0,11x3
0,31x3
?
?
+
?
0,17 x4
0,88,
0,62,
0,12 x4
+ 1,14,
? 1,17.
+
?
+
?
0,11x2
0,08 x2
0,17 x2
0,23x2
?
+
?
?
0,34 x3
0,17 x3
0,02 x3
0,07 x3
?
?
?
+
0,16 x4
0,18 x4
0,21x4
0,25 x4
?
+
+
+
0,63,
1,42,
2,23,
0,83,
?
+
+
+
0,15 x2
0,12 x2
0,27 x2
0,18 x2
+
?
?
?
0,02 x3
0,14 x3
0,02 x3
0,08 x3
+
+
?
+
0,19 x4
0,25 x4
0,24 x4
0,22 x4
+
?
+
?
1,83,
0,63,
2,12,
1,13.
??????? II:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,22 x1
0,31x1
0,37 x1
0,12 x1
??????? III:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,32 x1
0,16 x1
0,37 x1
0,12 x1
9
??????? IV:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,41x1
0,11x1
0,12 x1
0,15 x1
?
?
+
?
0,22 x2
0,25 x2
0,08 x2
0,32 x2
+
?
?
?
0,03x3
0,32 x3
1,14 x3
0,18 x3
+
+
?
?
0,44,
1,42,
0,24 x4
1,3.
?
+
?
+
0,34 x2
0,23x2
0,12 x2
0,08 x2
?
?
+
+
0,11x3
0,15 x3
0,14 x3
0,05 x3
+
+
?
+
0,14 x4
0,31x4
0,16 x4
0,57.
? 1,32,
+ 0,84,
? 1,12,
+
?
+
?
0,22 x2
0,31x2
0,15 x2
0,08 x2
?
+
?
?
0,44 x3
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?
?
+
+
0,05 x4
0,17,
1,42,
2,35.
+ 2,11,
+
+
?
+
0,32 x2
0,32 x2
0,17 x2
0,27 x2
?
?
+
?
0,18 x3
0,2 x4
0,05 x3
0,14 x3
+
+
?
+
0,22 x4
0,62,
0,18 x4
0,95.
? 1,72,
+
?
+
?
0,27 x2
0,45x3
0,07 x2
0,05 x2
?
+
+
+
0,22 x3
0,18 x4
0,29 x3
0,06 x3
?
?
+
?
0,18 x4
0,33,
0,12 x4
0,28 x4
? 0,48,
? 0,17.
?
+
?
?
0,07 x2
0,03x2
0,07 x2
0,41x2
+
+
+
?
0,38 x3
0,11x3
0,09 x3
1,21.
? 0,21x4
? 0,32 x4
? 0,11x4
? 0,81,
? 0,64,
+ 1,72,
? 0,81,
??????? V:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,18 x1
0,12 x1
0,05 x1
0,12 x1
??????? VI:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,13x1
0,23x1
0,06 x1
0,72 x1
??????? VII:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,17 x1
?0,19 x1
0,32 x1
0,12 x1
+ 0,89,
??????? VIII:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
0,13x1
?0,21x1
0,12 x1
0,33x1
+ 1,21,
??????? IX:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
10
0,19 x1
?0,23x1
0,51x1
0,33x1
??????? X:
? x1 =
? x2 =
?x =
? 3
? x4 =
?
?
+
?
0,22 x1
0,38 x1
0,11x1
0,17 x1
0,12 x3
0,05 x3
0,23x2
0,21x2
+
+
?
+
+
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+
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0,31x4
0,22 x4
0,31x4
0,31x3
2,2,
1,5,
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0,17.
1.3. ?????? ?????????? ???????
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a = ? ?, b = ? ?, A = ?
?0?
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1 ??
.
0?
?
0?
????? ??????? ??????? ?????????
{
= 0,72 x1 ? 0,1x2
= 0,3x1 + 0,02 x2
x1
x2
+ 1,2,
? 0,5.
?????? ???? ????? a ? b ? ?? ?????
a 1 = max {2,1,0,1} = 2,
b 1 = max {1,0,2,3,} = 3,
2
=
2
=
a
b
n
? ai2 =
22 + 12 + 12 = 6,
i =1
n
? bi2 =
12 + 22 + 32 = 14.
i =1
????????? ???????????? ???????? ? ? b
a, b =
n
? aibi = 2 ?1 + 1 ? 0 + 0 ? 2 + 1 ? 3 = 5.
i =1
??? ??? a = a
2
= 6 ? b = b
2
= 14 , ??
11
cos ? =
a, b
5
=
= 0,545,
a?b
6 ? 14
? = arccos(0,545) = 57o.
?????? ???? ????? ?? ? ?b ? ?? ?????
?2
?1
Aa = ?
1
??
0
?
1 1
3 ?1
0 4
2
1
0 ?? 2 ? ? 2 ? 2
1 ?? 1 ? ? 1 ? 2
=
0 ?? 0 ? ? 1 ? 2
??
?
? ??
0 ??
?? 1 ? ? 0 ? 2
+
+
+
+
1 ?1
3 ?1
0 ?1
2 ?1
+
?
+
+
1? 0
1? 0
4?0
1? 0
+
+
+
+
0 ?1? ? 5 ?
1?1 ? ? 6 ?
=
,
0 ?1? ? 3 ?
?? ?? ??
0 ?1? ? 2 ?
?2
?1
Ab = ?
1
??
0
?
1 1
3 ?1
0 4
2
1
0 ?? 1 ? ? 2 ? 1
1 ?? 0 ? ? 1 ? 1
=
0 ?? 2 ? ? 1 ? 1
??
?
? ??
0 ??
?? 3 ? ? 0 ? 1
+
+
+
+
1? 0
3? 0
0?0
2?0
+
?
+
+
1? 2
1? 2
4?2
1? 2
+
+
+
+
0 ? 3? ? 4 ?
1? 3 ? ? 2 ?
=
,
0 ? 3? ? 7 ?
?? ?? ??
0 ? 3? ? 2 ?
Aa 1 = max {5,6,3,2} = 6,
Ab 1 = max {4,2,7,2} = 7,
Aa
Ab
2
2
= 52 + 62 + 32 + 22 = 74 = 8,6,
= 42 + 22 + 72 + 22 = 73 = 8,54, ,
Aa, Ab = 5 ? 4 + 6 ? 2 + 3 ? 7 + 2 ? 2 = 57, ,
cos ? =
Aa, Ab
57
=
= 0,775, .
Aa ? Ab
74 ? 73
? = arccos 0,775 = 39o..
?????? det A,A?1, ????? ??????????????? ?.
???????????? ??????? det ? ???????? ?? ????????? ?????????? ???????
2+ 4
det A = ( ?1)
12
2 1 1
1 0 4 = ?15.
0 2 1
?????? ????????? ??????? ?
3 ?1 1
1 ?1 1
1 3 1
M11 = 0 4 0 = ?8, M12 = 1 4 0 = 1, M13 = 1 0 0 = 2,
2 1 0
0 1 0
0 2 0
1 3 ?1
1 1 0
2 1 0
M14 = 1 0 4 = ?13, M 21 = 0 4 0 = 0, M 22 = 1 4 0 = 0,
0 2
1
2 1 0
0 1 0
2 1 0
2 1 1
1 1 0
M 23 = 1 0 0 = 0, M 24 = 1 0 4 = ?15, M 31 = 3 1 1 = 1,
2 2 0
0 2 1
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 1
M 32 = 1 ?1 1 = ?2, M 33 = 1 3 1 = 4, M 34 = 1 3 ?1 = 11,
0 1 0
0 2 0
0 2 1
1 1 0
2
1 0
2 1 0
M 41 = 3 ?1 1 = ?4, M 42 = 1 ?1 1 = ?7, M 43 = 1 3 1 = 1,
0 4 0
1 4 0
1 0 0
M 44
2 1 1
= 1 3 ?1 = 16.
1 0 4
???????? ???????
0
1 4?
? ?8
?
?
?7 ?
1
0
2
1
A ?1 =
.
? 2
0 ?4 ?1 ?
?15 ?
?
? 13 ?15 ?11 16 ?
?
?
????????
0
1 4? ?2
? ?8
0
2 ?7 ? ? 1
1 ? ?1
?
A A=? ?
0 ?4 ?1 ? ? 1
15 ? 2
? 13 ?15 ?11 16 ?? ?? 0
?
? ?
?1
1 1
3 ?1
0 4
2
1
0? ?1
1? ? 0
=
0? ?0
? ?
0 ?? ?? 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0?
0?
.
0?
?
1 ??
13
????? ?????? ? ? ??1
n
A 1 = max ? aij = max {4,6,5,3} = 6,
1?i ?n
A
2
j =1
? n
?
= ? ? aij2 ?
? i, j ?
?
?
A ?1 = max
1
1
2
= 6,32,
{1513 , 1015 , 157 , 1555} = 3,66,
A ?1
2
= 2,03.
????? ???????????????
?1 = A 1 ? A ?1 = 21,9,
1
? 2 = A 2 ? A ?1
2
= 12,8.
??? ??????? ??????? ???????? ????????? ??????? ?????????? ?????? ???????? ?? ? ???????????? ???? ?? = b. ? ???? ????? ?????????
??????????? ?? ?????? ????? ????????? ? ?????
?0,28 x1 + 0,1x2 = 1,2,
?
?0,3x1 ? 0,98 x2 = 0,5.
??? ??? ??????????? ??? ??????????? ?1 ?? ?????? ????????? ?????? ??? ? ??????, ?????????? ???????????? ?????
?0,3 x1 ? 0,98 x2 = 0,5,
?
?0, 28 x1 + 0,1x2 = 1, 2.
???????? ??????? ????????? ???????? ????????? ???????? ???????????
?*=(4,027; 0,723)?.
??? ???????? ??????? ?????????
0,72 ?0,1 ?
? 1,2 ?
B = ??
? , d = ? ?0,5 ? .
0,3
0,02
?
?
?
?
14
????? ??????? ?1 = 0,82 ? ?2 = 0,79. ?????????????, ????????? ??????? ?????????? ????????? ??????? ???????? (1.25). ? ??????????, ??? ??????????????, ????? ???????????? ????? ?1. ??????? ?
???????? ???????? ??????????? ?????? ?(0) = (0,0)?, ???????? ????????? ???????????????? ????? ????????????? ???????? ? ???????????? ?
?????????? (1.24). ?????????? ???????? ????????? ? ???????.
k
2
4
6
8
10
14
18
x1( k )
2,114
3,157
3,632
3,848
3,946
4,011
4,024
x2( k )
-0,15
0,324
0,541
0,64
0,685
0,715
0,721
x ( x ) ? x?
1,913
0,87
0,395
0,179
0,081
0,016
0,003
4,483
3,014
2,027
1,363
0,916
0,414
0,187
?(k)
????? ????, ???????? ??????????? ????? ??????? ?(k) ? ?* ? ??????
k
??????????? ?????? ??????? ????????
?
(k )
=
B d
?? ??????
1? B
???????? k. ?????? ??????? ??????????, ??? ????????? ???????? ?????????? ? = 0,01 ??????????? ??? k = 16.
15
2. ???????????? ???????? ? ??????????
??????????? ?????? ???????????? ????????
??? ???????? ???????????? ????? ?????????? ?????? ??????? ???????? ???????????? ????????????? (?????????????) ???? ???????????? ? ??????? ????????? ??????? ??? ?? ??????????, ???????????
?????????? ???????. ? ?????? ??????????? ?????? ?????????? ????????? ???????, ??????? ???? ?? ??????????? ??????? ? ????????????
??????? ? ????????????????????.
??? ?????????? ??????????? ?????? ???????? ?????? ??????? ?????? ??????????? ???????, ????? ????? ??????? ?????????????? ?
????? ?????? ??????? ???????? ?????????.
2.1. ???????? ????????????? ????????
????? ??????? ??????? ???????-??????????? ??????? ?1 , ?2 , ..., ?m .
????????, ??? ??????? ??????? ???????? ???????-???????????, ????
?? ?????????
?1?1 + ?2?2 + ... + ?m ?m = 0
???????, ??? ??? ???????????? ?1 , ?2 , ..., ?m ????? ????.
??? ???????????? ??????? f(x) ?????????
?m ( x) =
m
? ck ?k ( x )
k =1
(2.1)
?????????? ??????????? ?????????? ??????????????????? ???????????, ???? ??????? ?????????? ?? ???? ?? ??????? f(x) ???????? ?????????? ????? ??????????? ???? (2.1)
(
)
?2 f , ?*m ( x ) =
????? ?2 ( f , ? ) =
min ??2 ( f , ? m ( x ) )? .
?
c1 ,c2 , ...,cm ?
b
? ( f ( x) ? ?( x) ) dx.
2
a
????? ???????? [6], ??? ???????????? ?1, ?2, ?, ?m, ?????????????? ??????? ?????????? ?2 ( f , ? ) , ?????? ????????????? ??????? ???????? ?????????
16
? a11c1 + a12 c2
? a21c1 + a22 c2
? .
.
.
?
a
c
+
a
m 2 c2
? m1 1
+... + a1m cm
+... + a2m cm
.
.
+... + amm cm
b
b
a
a
= b1,
= b2 ,
.
.
= bm .
(2.2)
aij = ?i ( x )? j ( x )dx, bi = ? ?i ( x ) f ( x )dx, 1 ? i, j ? m.
?
??????? ????????? (2.2) ???????? ?????????? ????????. ?????????
????????????? ? ???????? ????????????? ??????? ?1, ?2 ,..., ?m ??????? ??????? (2.2) ?????? ?????????? ? ???????????. ???????, ???
????????? ??????? 1, ?, ?, ?m?1 ???????-?????????? ??? ????? m ??
????? ???????? ??????? [a, b].
2.2. ???????? ??????? ??? ?????????? ??????????? ??????
???????????? ??????? f(x) ???????? ? ????
F(x) = 0,1? + 0,3?x + sin x.
(2.3)
??? ? ? [0, ?/2]. ???????? ? ????????? ? ??????? ???????? ???????.
??? ?????????? ??????????? ?????? ? 2 ??????????:
?) ????? ???????? ??????? ? = (?1, ?2, ?, ?m)T ?????????? ????????????????????? ???????????
?m ( x) =
m
? ck ?k ( x )
k =1
m ?1
?? ??????? ????????? ??????? ?1 ( x ) = 1, ?2 ( x ) = x, ..., ?m ( x ) = x
???
???? ???????? m, ?????? 2 ? 3;
?) ????????? ???????? ???????? ?????????? ?? ?m(?) ?? ???????????? ??????? f(x), ?. ?. ?22 ??? m = 2 ? ?32 ??? m = 3;
?) ?????????? ???????? ?????????????? ?????????? ?????? ????????????? ? = ?3 / ?2 .
2.3. ?????? ?????????? ???????
?????? ????????? ?????????? ??????????????????? ???????????
??? ??????? f(x) = sinx. ??? ??????? ???????????? ?????????? ??????? ????????? ?????????? ??????????????? ?????????????, ???????17
???? ??????? ?????????? ?? ????????? ? ?????????????????? ??????? [7]. ????????, ???
?
2
?
0
?
sin xdx = 1,
2
?
?
x sin xdx = 1,
0
2
?
?
x sin xdx = ? ? 2,
2
0
2
? sin
0
2
x dx =
?
.
4
1) m = 2. ? ????? ???????????? ?1 = 1, ?2 = x.
???????????? ?????????? ??????? ?????????
2
3
?
, a12 = a21 = ? , a22 = ? .
2
8
24
???????? ??????? ????????? ???????????? ??????????? ?1 ? ?2:
a11 =
??
?? 2 c1 +
? 2
? ? c1 +
?? 8
?2
c2
8
?3
c2
24
= 1,
= 1.
????? ???????, ???????
8? ? 24
96 ? 24?
? 0,11, c2 =
? 0,66.
2
?
?3
????????? ?????????? ???????????
c1 =
?2(?) = 0,11 + 0,66?.
2) m = 3.
?????????? ??????? ?????????
??
? 2 c1 +
? 2
??
? c1 +
? 83
?? c +
?? 24 1
?2
c2
8
?3
c2
24
?4
c2
64
?3
c3
24
?4
+
c3
64
?6
c3
+
160
+
=
1,
=
1,
= ? ? 2.
??????? ???????
?1 = 0, ?2 = 1,1, ?3 = ?0,277.
18
????????? ?????????? ???????????
?3 (?) = 1,1? ? 0,277?2.
??????? ????????, ??? ?????????? ????????????? ?????????? ?????????? ????????? ? ????????? ?? ???????? ????? ????? ???????.
???????? ??????? ?????????? ?? ???????????? ??????? f(x) = sinx
?? ?????????? ?????????? ???????????
?
?22
=
2
? (sin x ? 0,11 ? 0,66 x )
2
dx ? 0,108,
0
?
?32
=
2
? (sin x ? 1,1x + 0,277 x )
2
2
dx ? 0,01.
0
????????????? ?????????? ?????? ?????????????
? = ?3 / ?2 = 0,307.
?????, ??? ?????? ????????????? ??????? sinx ??????????? ?3(?)
????? ? ??? ???? ??????, ??? ??? ????????????? ??????????? ?2(?).
19
3. ???????????? ????????
? ?????????? ??????????? ??????
???????? ?????????? ??????????
????? ????????? ??????? y = f(x) ??? a ? x ? b ?????????? ? ??????????. ???????????, ??? ??????? ??? ????? x 1 ? x 2 ?????, ???
a ? x1 < x2 ? b . ???? f(x1) ? f(x2) ????? ??????????????? ?????, ?? ????? x1 ? x2 ?????????? ???? ?? ???? ?????? ??????? f(x).
3.1. ???????? ????????????? ????????
?????????? ????????? f(x) = 0 ????? ????????????? ??????????????? ??????? ????????? ???????? ? ???? g(x) = h(x). ?????????? ?????????? ???????? ??????????????????
(
) (
)
{x( )}
m
?
m=0
?? ???????
g x ( m +1) = h x ( m ) ??? ???????? xi( ) ?????????? ???????????? ??????? ?????????? ????? xN.
?????????? ?????????????? ????????????? ?????????? ????????
????? ?????????????????? ???????? ??????, ?????? ??? ?? ????????
0
m
m +1
??????????? lim x ( ) = a ? lim x ( ) = a ? ???? ????????????? g ?
m??
m??
h ????? g(a) = h(a), ?. ?. a = xN.
??????????? ??????? ??????????: g?(x) ? h?(x) ?????????? ? ????????? ??????????? xN, x(0) ????? ? ???? ???????????, ? ? ???? ??????????? g ? ( x ) > h? ( x ) .
??????? ??????? g(x) ? h(x) ????? ???????? ??? ?????? ?????????? ???????.
????? ???????
g ( x ) = x, h ( x ) = x ?
f (x)
.
f ?( x )
(3.1)
f ?? f
< 1 ? ?????????f ?2
?? xN. ???? xN ???????? ??????? ??????, ?? ??????????? ???????????
20
?????????? ????? ????? ?????, ????? h? ( x ) =
f ? ( x N ) ? 0 ? h? ( x N ) ? 0 . ?????????????, ??? ?????????? ???????? x(0)
?????? ??????????? ???????????
( ) ( )
( )
0
0
0
f ?? x ( ) f x ( ) < f ? x ( )
2
.
(3.2)
???????????? ??????? ????? ???
x
(m +1)
=x
(m )
( ),
f ?(x( ) )
m
f x( )
?
m
( )
m
f ? x ( ) ? 0.
(3.3)
????? ???????
(??????? ??????? ?????????, ????? ????)
x
(m +1)
=x
(m )
sm =
?
( )
m
f x( )
(m = 1,
sm
( ) (
m
m ?1
f x( ) ? f x( )
m
m ?1
x( ) ? x( )
2, ... ) ,
(3.4)
).
( ) ( )
????? x(0) ? x(1) ? ??? ???????? ????? ?????, ??? f x (0) f x (1) < 0 .
??????? ????????
(
)
???? g(x) = x, ?? x (m +1) = h x ( m ) ; ??????? ?????????? h ? ( x ) < 1 .
???? x(m) ?????????? ?????? ? xN, ?? ??? ??????????? r (m ) = x N ? x (m )
??????????? ????????? ???????????:
(
)
m
m
m ?1
0
r ( ) ? h ? ( x N ) r ( ) ? ( h ? ( x N )) x N ? x ( ) .
(3.5)
3.2. ???????? ??????? ??? ??????????? ??????
??????? 1
???????? ????? ????????? f(x) = 0 ?????????? ? ???????? ???? ??
??? ??????? ???????? [7] ? ????????? ?? ???? ? = 10?4 ????????????21
?? ?????????? ?????????? ??????????? ??? ????? ?????????? ????????. ??????? ??????????? ???????? ??????????? ???????.
16. x = (x+1)3.
1. ln(x)+(x+1)3=0.
x
17. x2 = sin(x).
2. x2 =1.
3.
1
x +1 = .
x
4.
x ? cos(x) = 0
18. x3 = sin(x).
19. x = log ( x + 2 ).
5. 3x + cos(x)+1 = 0
20. x2 = ln(x+1).
6. x+ln(x)=0,5.
21. 2x+log(x) = ?0,5.
7. 2 ? x = ln(x).
22. 2x + cos(x) = 0,5.
23. sin(0,5x) + 1 = x2.
8. (x ? 1)2 = 0,5 ex.
x
24. 0,5x + log(x ? 1)0,5.
9. (2 ? x)e = 1.
x
25. sin(0,5 + x) = 2x ? 0,5.
10. 2,2x ? 2 = 0.
11. 2x ? ln(x) = 7.
26. log(2+x)+2x = 3.
27. log(1+2x) = 2 ? x.
12. x2+4sin(x) = 0.
13. 5x ? 8 ln(x) = 8.
28. 2sin(x ? 0,6) = 1,5 ? x.
29. x + log(1 + x) = 1,5.
14. 3x ? ex =0.
30. x + cos(x) = 1.
15. x(x+1)2 = 1.
??????? 2
???????? ????? ????????? ?????????? ? ???????? ???? ?? ??? ??????? ??????? [7]. ????? ?????????? ? ????? ??????????? ???????.
?????????? ???????? ??????????? ???????.
1. x ? sin(x) = 0,25.
16. tg(0,3x + 0,4) x2.
17. x2 ? 2sin(x) = 0.
2. tg(0,58x + 1) = x2.
4.
tg(0,4x + 0,4) = x2.
1
ctg ( x ) ? x = 0.
3
19. tg(0,47x + 0,2) = x2.
5.
log ( x ) ?
20. x2 + 4sin(x) = 0.
6.
tg(0,5x + 0,2) = x2.
7.
8.
9.
3x ? cos(x) ? 1 = 0.
x + log(x) = 0,5.
tg(0,5x + 0,1) = x2.
3.
22
x ? cos (0,387 x ) = 0.
7
= 0.
2x + 6
18.
ctg ( x ) ?
x
= 0.
2
22. 2x ? log(x) ? 7 = 0.
23. tg(0,44x + 0,3) = x2.
24. 3x ? cos(x) ? 1 = 0.
21.
25.
ctg ( x ) ?
11. ctg(1,05x) ? x2 = 0.
12. tg(0,4x + 0,3) = x2.
13. xlog(x) ? 1,2 = 0.
x
= 0.
10
26. x2 +4cos(x) = 0.
27. tg(0,36x + 0,4) = x2.
28. x + log(x) = 0,5.
14. 1,8 x2 ? sin(10x) = 0.
29.
ctg ( x ) ?
15. ctg ( x ) ?
30.
? 2log ( x ) ? x ? + 1 = 0.
?
?
2?
?
10. x2 + 4sin(x) = 0.
x
= 0.
4
x
= 0.
5
3.3. ?????? ?????????? ???????
??????? 1
2x + log(2x + 3) = 1.
4
?????? ???????????? ????????
?????? ??????????. ??? ????? ????????? ?????? ??????????? ? ????
2
log(2x + 3) = 1 ? 2x
y = log2x+3
?1
(??. ???.1). ?? ??????? ?????, ???
????????? ????? ???? ??????, ??????? ? ?????????? [0; 0,5]. ??? ????????? ??? ??????? ???????? ????????
????????? ? ???? x = ?(x). ???????
?(x) ????? ?????? ?? ???????????
1
2
y =1 ? 2 · x
?2
?4
? ( x ) = x ? f ( x ) k , ??? k ? M 2 ?
???.1
??????? ???????????
M = max
x?[0; 0,5]
f ?( x ) ;
????? k ????? ??? ?? ????, ??? ? f '(x) ? ?????????? [0; 0,5]. (???????????? ?????, ?????????? ??? ????, ?????? ???????? ??????? ??????????).
??????? f ( x ) = 2 x + log (2 x + 3) ? 1 , f ? ( x ) = 2 + 2
0,4343
(?????????
2x + 3
????????? log a = 0,4343ln a , a > 0).
23
M = max
x?[0; 0,5]
f ?( x ) = 2 +
0,8686
? 2,2895,
2?0 + 3
f '(x) > 0 ??? x ? [0; 0,5] .
?????? k = 2, ?????
1
1 1 1
? ( x ) = x ? f ( x ) 2 = x ? x ? log (2 x + 3) + = ?
log (2 x + 3). .
2
2 2 2
?? ????????? ??????????? ??????? x0 = 0 (???????????, ?????????
??????????? ?????????? ?? ??????? ??????????), ??? ????????? ??????????? ????? ?????????? ?? ?????????
xn +1 = ? ( xn ) =
1 1
? log (2 x + 3) , n = 0, 1, 2, ? .
2 2
??????????? ????? ???????? nmin, ??????????? ??? ????????? ???????? ???????? ??????? ?, ????????? ?? ???????
? ln ((1 ? q ) ? x0 ? x1 ) ?
nmin = ?1 +
?,
ln q
??
??
??? [?] ? ????? ????? ????? ?. ????? q ????????????? ???????????
max ?? ( x ) ? q < 1.
1 0,8686
? 0,1448.
??????? max ?? ( x ) = max ?
0? x ?0,5
0? x ?0,5 2 2 x + 3
??????? q = 0,15, ????? x1 = ? ( x0 ) =
1 1
? log 3 ? 0,26 .
2 2
??? ????????? ? = 10?4 ????????
nmin
(
? ln (1 ? 0,15) ? 10?4 0 ? 0,26
= ?1 +
ln 0,15
?
?
) ?? = [1 + 4,23] = 5.
?
?
????? ???????, ??? ?????????? ???????? ? = 10?4 ?????????? ??????? ?? ????? ???? ????????. ???????? ??? ?????????? ? ????? ??????????? ??????? ? ????????? x? ? x6 = 0,230410 . ??????????? ???????? ??????????? ??????? ????? ??????? ?? ???????
24
x ? ? xn <
q
xn ? xn ?1 .
1? q
??? n = 6 ????????
0,15
10?5 ? 2 ? 10?6.
1 ? 0,15
????? ??????? ???????? ?????????? ??????????? ???????? ????? q =
0,15 ?? ????????? ? ????????.
x? ? x6 <
?????: x? = 0,230410 ± 0,000002 .
??????? 2
tg(0,55x + 0,1) = x2.
1,5
1,25
1
0,75
y = tg 0,55x +0,1
0,5
0,25
y = x2
??????? ?????? ??????????.
???????? ??????? ???????
y1(x) = tg(0,55x + 0,1), y2(x) = x2
(??. ???. 2). ????????????? ?????? ????????? ???????? ? ?????????? [0,6;0,8].
0,2 0,4 0,6 0,8
1
1,2
x*
??????? ?????? ???????
???????. ????????? ?????????
???. 2
? ???? f(x) = 0, ???
f ( x ) = tg(0,55 x + 0,1) ? x 2 . ?????????????, ???????? ????????? ???
???????????
f ?( x ) =
f ?? ( x ) = ?
0,55
? 2 x,
cos (0,55 x + 0,1)
2
0,552 sin(0,55 x + 0,1)
? 2.
2cos3 (0,55 x + 0,1)
? ?????? ??????? ?? ????????? ??????????? ???????? ????? ?????
?? ??????????, ??? ???????? ????? ???????????
f ( x ) f ?? ( x ) > 0.
25
??? ??? f (0,6 ) ? 0,1 > 0 , f (0,8 ) ? ?0,04 < 0 ? f ?? ( x ) < 0 ???
x ? [0,6; 0,8] , ?? ?? ????????? ??????????? ?????? x0 = 0,8. ????????? ?????????? ?? ??????? xn +1 = xn ?
f ( xn )
, n = 1, 2, ... .
f ? ( xn )
? ?????????? ????????: x1 = 0,75240, x2 = 0,75019, x3 = 0,75019. ????? ???????, x? ? x2 = 0,75019 . ?????? ???????? ??????????? ??????????, ???????????????? ????????
x ? ? xn <
M2
( xn ? xn ?1 )2 , n = 1, 2, 3, ...,
2m1
??? ????? m1, M2 ????????????? ????????????
0 < m1 ?
min
x?[0,6; 0,8]
f ?( x ) , M 2 ?
max
x?[0,6; 0,8]
f ?? ( x ) .
????? ?????????? ????????
min
x?[0,6; 0,8]
f ? ( x ) ? 0,54,
max
x?[0,6; 0,8]
f ?? ( x ) ? 2,1.
??????? m1 = 0,5, M2 = 2,2, ?????
x ? ? x2 <
M2
( x2 ? x1 )2 ? 1,1 ? 10?5.
2m1
?????: x ? = 0,75019 ± 0,000011 .
26
????????????????? ??????
1. ????????? ?. ?. ?????????????? ?????????? ? ????????????????: ????? ????. ?? ?????????????? ????? ???????? ??????? /????.
?., 1984. 36 ?.
2. ??????? ?. ?. ?????????????? ?????????? ? ????????????????.
?.: ????. ??., 1990. 544 ?.
3. ?????? ?. ?. ?????? ????????? ???????. ?.: ?????, 1987. 387 ?.
4. ?????? ?. ?., ??????? ?. ?., ???????? ?. ?. ??????????????
?????????? ? ????????????????: ????? ????. ? ?????????? ????????
?????? / ????. ?., 1982. 53 ?.
5. ????????? ?. ?., ???????? ?. ?. ????????? ?? ??????????????
??????????. ?.: ????. ??., 1990. 208 ?.
6. ????????? ?. ?., ??????? ?. ?., ??????? ?. ?. ??????????????
??????????. ?????? ??????????? ???????: ?????. ????. / ????. ?.,
1989. 33 ?.
7. ????????? ?. ?., ????????? ?. ?. ?????????? ?? ??????????.
?.: ???-?? ???.-???. ???., 1959. 608 ?.
27
??????????
1. ???????????? ???????? ? ?????????? ??????????? ??????
???????? ?????? ???????? ?????????? .........................................
1.1. ???????? ????????????? ???????? ..........................................
??????? ? ??????? ...................................................................
?????? ??????? ?????? ???????? ??????????????
????????? ....................................................................................
?????? ?????? ??????? ??????. ????? ?????? .....................
???????????? ?????? ??????? ?????? ????????
?????????????? ????????? ........................................................
1.2. ???????? ??????? ??? ?????????? ??????????? ?????? .....
1.3. ?????? ?????????? ??????? .....................................................
2. ???????????? ???????? ? ?????????? ??????????? ??????
???????????? ???????? ..................................................................
2.1. ???????? ????????????? ???????? ..........................................
2.2. ???????? ??????? ??? ?????????? ??????????? ?????? .....
2.3. ?????? ?????????? ??????? .....................................................
3. ???????????? ???????? ? ?????????? ??????????? ??????
???????? ?????????? ?????????? ..................................................
3.1. ???????? ????????????? ???????? ..........................................
????? ??????? (??????? ??????? ?????????, ????? ????) ..
??????? ???????? ........................................................................
3.2. ???????? ??????? ??? ??????????? ?????? ...........................
3.3. ?????? ?????????? ??????? .....................................................
????????????????? ?????? ...................................................................
28
1
1
1
3
3
6
7
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