close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

SerikovLuciv

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
В. А. Сериков, В. Р. Луцив
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
УДК 621.391. 26(075.8)
ББК 32.811я73
С32
Рецензенты:
кафедра компьютерной фотоники и видеоинформатики
Санкт-Петербургского национального исследовательского университета
информационных технологий, механики и оптики
(доктор технических наук, доцент А. С. Потапов);
кандидат технических наук, доцент Н. В. Соловьев
(кафедра вычислительных систем и сетей
Санкт-Петербургского государственного университета
аэрокосмического приборостроения)
С32
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Сериков, В. А.
Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие / В. А. Сериков,
В. Р. Луцив. – СПб.: ГУАП, 2014. – 110 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0950-5
В пособии кратко излагается курс по учебной дисциплине «Цифровая обработка сигналов». В нем анализируются особенности аналоговых и цифровых систем, свойства линейных дискретных систем
и особенности Фурье-спектров непрерывных и дискретизированных
сигналов. Приводятся общие понятия теории цифровых фильтров
и методы их синтеза, дискретные и быстрые преобразования Фурье
и реализуемые на их основе преобразования, методы спектрального
анализа. Отдельно рассматриваются ошибки вычислений, связанные с квантованием уровня сигнала и результатов математических
операций, а также возможности вычислительной среды MATLAB
в области цифровой обработки сигналов.
Пособие предназначено для студентов специальностей 220200,
220201, 071902, 230100, изучающих дисциплины «Цифровая обработка сигналов», «Системы цифровой обработки сигналов и изображений», «Алгоритмы обработки цифровых данных». Оно может быть
полезно бакалаврам и магистрам других специальностей, связанных
с разработкой информационных систем, а также инженерам.
УДК 621.391. 26(075.8)
ББК 32.811я73
ISBN 978-5-8088-0950-5
© Сериков В. А., Луцив В. Р., 2014
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2014
ПРЕДИСЛОВИЕ
Материалы настоящего пособия отражают содержание базового
лекционного курса цифровой обработки сигналов (ЦОС), ориентированного на подготовку инженеров и бакалавров по специальностям, связанным с разработкой информационных систем. Ввиду
ограниченности объема представленный лекционный курс носит
скорее справочный, а не учебный характер – для ряда положений
даются только краткие пояснения, некоторые формулы приводятся без доказательства, а стиль изложения носит очень сжатый, почти конспективный характер.
Исторически сложилось так, что обработка сигналов стала одной
из первых областей, в которой оказалось эффективным использование цифровых вычислителей, причем цифровые методы вычисления нашли широкое практическое применение в задачах фильтрации сигналов. В связи с этим цифровую обработку сигналов часто
сводят к цифровой фильтрации, что отразилось и на содержании настоящего лекционного курса. Однако необходимо подчеркнуть, что
математический аппарат, применяемый в настоящем пособии для
цифровой обработки сигналов, и, в частности, аппарат решения дифференциальных уравнений, можно эффективно использовать и в более широком смысле – для моделирования процессов, относящихся
к самым разнообразным научным и прикладным проблемам.
В пособии рассматриваются специфические отличия аналоговых и цифровых систем, свойства линейных дискретных систем и
особенности Фурье-спектров непрерывных и дискретизированных
сигналов, общие понятия теории цифровых фильтров и методы их
синтеза, дискретные и быстрые преобразования Фурье и реализуемые на их основе математические операции, методы спектрального анализа. Особо рассмотрены ошибки и неточности, связанные
с квантованием уровня сигнала и ограничением числа цифровых
разрядов при представлении результатов вычислений.
В пособии, как правило, внимание уделяется скалярным сигналам, но в ряде важных случаев их необходимо описывать в виде
комплексных величин, которые часто удобно представлять в векторной форме. Кроме того, дискретный сигнал как последовательность отсчетов также можно представить в виде вектора. В связи с
этим в лабораторном практикуме, сопровождающем данный лекционный курс, сделан упор на моделировании систем цифровой
обработки сигналов в среде MATLAB, а в приложениях, приведенных в предлагаемом пособии, даются краткие сведения о функциях
3
основного пакета MATLAB, полезных при моделировании систем
цифровой обработки сигналов, и специализированном подмножестве MATLAB – пакете Signal Processing Toolbox, – представляющем собой удобный графический интерфейс пользователя для моделирования цифровых фильтров.
Подробное описание базового пакета MATLAB на английском
языке (MATLAB 7. Getting started), составленное компанией The
MathWorks – его разработчиком, можно найти на ее сайте www.
mathworks.com. Там же можно ознакомиться с подробным описанием пакета Signal Processing Toolbox (Signal Processing Toolbox.
For Use with MATLAB. User’s Guide. Version 5).
На момент написания настоящего пособия разработчик предлагал руководства именно по указанным версиям этих пакетов,
в дальнейшем, по мере их совершенствования, вероятно, будут
представлены описания более поздних версий.
Для тех, кто заинтересован в более глубоком изучении возможностей MATLAB на русском языке, можно порекомендовать издания отечественных авторов: А. Н. Васильева [1]; И. Ануфриева,
А. Смирнова и Е. Смирновой [2], А. И. Солониной и С. М. Арбузова
[3]. Последняя из книг как раз посвящена моделированию в среде
MATLAB задач цифровой обработки сигналов.
В материалах настоящего пособия вопросы цифровой обработки
рассматриваются для случая одномерных сигналов. Компания The
MathWorks предлагает также специализированные расширения базовой версии MATLAB для обработки многомерных данных, например, изображений. Заинтересованный читатель может найти информацию об этих подмножествах MATLAB также на сайте разработчика. Мы же со своей стороны отметим, что хотя обработка изображений имеет много характерных особенностей, связанных с большей
размерностью относящихся к ним данных, многие методы обработки
одномерных сигналов, рассмотренные в настоящем пособии, также
эффективно используются и в задачах анализа видеоданных.
Представленную в пособии информацию в более полной, но более сложной форме можно найти в многочисленных публикациях
по цифровой обработке сигналов. В качестве примера хорошего современного издания упомянем работу А. Б. Сергиенко [4]. Мы также рекомендуем читателю более раннюю монографию Л. Рабинера
и Б. Гоулда [5], материалы которой в значительной мере составляют основу настоящего пособия. Ввиду фундаментальности и широты рассмотрения проблемы эта книга не потеряла актуальности
за многие годы, прошедшие с момента ее издания. Помимо общей
4
теории цифровой обработки сигналов в ней рассмотрены пути применения этой теории для решения важных практических задач (например, анализа речевых сигналов) и освещены вопросы построения специализированных цифровых вычислителей.
Наконец, нельзя оставить без внимания монографию профессора У. Д. Стенли [6], в которой приводятся замечательные примеры
моделирования цепей, состоящих из простых радиоэлементов (резисторов, емкостей и индуктивностей), и даются готовые формулы
расчета коэффициентов цифровых фильтров по коэффициентам
аналоговых.
5
1. АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
В природе большинство сигналов является функциями непрерывного времени. Обработка их возможна с помощью двух видов
систем – аналоговых и цифровых.
Схема аналоговой системы обработки сигналов приведена на
рис. 1:
yí (t) = Fa {xí (t), À},
где A – вектор параметров системы, выходной сигнал yн(t) которой,
задаваемый в непрерывном времени t, описывается функцией Fa от
входного сигнала непрерывного времени xн(t).
Схема дискретной (цифровой) системы обработки сигналов
представлена на рис. 2.
Здесь АЦП – аналого-цифровой преобразователь, осуществляющий дискретизацию сигнала во времени и квантование по уровню
(рис. 3); ЦАП – цифроаналоговый преобразователь; T – интервал
дискретизации сигнала во времени T = 1/fд = 2/д, где fд, д – циклическая и угловая частота дискретизации; n – номер дискретного временного отсчета.
Если Т = const, то вместо x(nT) часто используется запись x(n).
Обработка дискретизированного во времени и квантованного по
уровню входного сигнала x(nT), осуществляемая в дискретной системе, может быть описана выражением
y(nT) = Fä {x(nT), D},
где D – вектор параметров дискретной системы. Цифроаналоговый
преобразователь выполняет восстановление непрерывного сигнала
yн(t) из дискретного y(nT).
Достоинства дискретных систем:
1. В связи с возможностью построения системы не в виде электронной схемы, а в виде программной модели появилась возможность реализации сколь угодно сложных алгоритмов обработки
сигналов.
x н (t)
Аналоговая
система
yн (t)
Рис. 1. Аналоговая система обработки сигналов
6
Дискретная
система
АЦП
xн (t)
x (nT)
ЦАП
y (nT)
yн (t)
Рис. 2. Цифровая система обработки сигналов
xн (t)
x(nT)
3Q
xн (t)
2Q
x(nT)
Q
t
0
T
2T
3T
4T
nT
Рис. 3. Дискретизация сигнала по времени и квантование по уровню
2. По той же причине для дискретных систем характерна простота перестройки алгоритмов.
3. В отличие от аналоговых систем, параметры которых могут
изменяться во времени, для дискретных систем характерна неограниченная временная стабильность характеристик.
4. По этой же причине для дискретных систем характерна простота обработки низкочастотных (НЧ) сигналов.
5. Двоичный метод представления информации в цифровых системах гарантирует высокую стабильность и надежность работы и
хорошую воспроизводимость получаемых результатов.
6. В отличие от аналоговых систем, в которых оперативное запоминание сигнала и хранение переменных параметров были связаны с большими схемотехническими трудностями, цифровые системы могут иметь неограниченную во времени и практически неограниченную по объему память.
7. Системы цифровой обработки сигналов не используют крупногабаритных электронных компонентов, характерных для аналоговых систем. Кроме того, цифровой сигнал значительно менее
чувствителен к наводкам и помехам, что снижает риск самовозбуждения системы и открывает почти неограниченные возможности для микроминиатюризации.
7
Недостатки дискретных систем:
1. Для цифровой обработки аналоговой информации необходимо применять АЦП и ЦАП.
2. Использование дискретизации и квантования сигналов вызывает появление специфических ошибок их обработки.
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличается представление сигнала в цифровой обрабатывающей системе от представления в аналоговой?
2. Каковы преимущества обработки сигналов в цифровой системе по сравнению с обработкой в аналоговой, каковы ее недостатки?
8
2. СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ
И НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
Спектры дискретизированных по времени сигналов по сравнению со спектрами непрерывных имеют существенные особенности,
игнорирование которых может приводить к ошибкам в работе систем цифровой обработки сигналов. Рассмотрим эти особенности.
2.1. Спектры непрерывных сигналов
Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени xн(t)
во временной области или спектром в частотной. Для периодических сигналов, для которых выполняется условие
xн(t) = xн(t + kТп), k = 0, 1, 2, …,
где Тп – период сигнала, спектр может быть определен путем разложения в ряд Фурье:
¥
C
xí (t) = 0 + å Ck cos(k0t + k ),
2 k=1
где 0 = 2/Тп – основная частота преобразования.
Множество значений {Сk} образует амплитудный спектр, множество {k} – фазовый. Спектр периодического сигнала – линейчатый с дискретом 0 (рис. 4).
Спектр Xн(j) непериодического сигнала является комплексной
функцией и связан c непрерывном сигналом xн(t) прямым (ППФ) и
обратным (ОПФ) преобразованиями Фурье:
¥
Xí ( j) =
ò
xí (t)e-jt dt,
-¥
а)
б)
xн(t)
Ck
Z0
t
0
Tп
Ти
0
1 2
2S /Ти
4S /Tи
k
Z
Рис. 4. Периодический сигнал (а)
и его амплитудный спектр (б)
9
а)
б)
| Xн (j Z)|
x н (t)
0
Tи
t
0
2S/Tи
4S/Tи
Z
Рис. 5. Непериодический сигнал (а)
и его амплитудный спектр (б)
xí (t) =
1
2
¥
ò
Xí ( j)e jt d,
-¥
Спектр такого сигнала непрерывный, сплошной (рис. 5). Амплитудный спектр Аx() определяется как модуль Xн(j), фазовый
x() – как аргумент:
Аx() = |Xн(j)|,
x() = arg(Xн(j)).
2.2. Спектры дискретизированных сигналов
Определим, как соотносится форма спектров непрерывных и
дискретизированных сигналов (рис. 6).
На рис. 6 xн(t) – непрерывный по времени сигнал, Xн(j) – спектр
непрерывного сигнала, полученный преобразованием Фурье,
x(nT) – дискретизированный сигнал, X(ejT) – спектр дискретизированного сигнала, полученный преобразованием Фурье.
Дискретизация
x н( t )
x( nT)
ПФ
Xн( jZ)
ПФ
?
X( e jZT)
Рис. 6. Пути вычисления спектров непрерывных
и дискретизированных сигналов
10
Прямое и обратное преобразования Фурье для непрерывного
сигнала имеют вид
¥
Xí ( j) =
xí (t)e-jt dt,
ò
-¥
xí (t) =
1
2
¥
ò
(1)
Xí ( j)e jt d.
-¥
Преобразования Фурье (1) для дискретизированного сигнала записываются в виде
X(e jT ) =
¥
x(nT)e-jnT ,
å
n=-¥
x(nT) =
T
2
ä /2
ò
(2)
X(e jT )e jnT d.
-ä /2
Дискретизация по времени осуществляется (рис. 7) таким образом,
чтобы временные отсчеты дискретизированного сигнала совпадали
по значению с соответствующими значениями непрерывного сигнала
(квантование по уровню в данном случае не рассматривается):
x(nT) = xн(t = nT) = xн(nT).
Из (3) и (1) следует
x(nT) = xí (nT) =
x(nT )
xн (t )
1
2
¥
ò
(3)
Xí ( j)e jnT d.
-¥
x н (t)
x(nT )
0
1
2
...
n
0
T
2T
...
t
Рис. 7. Дискретизация сигнала по времени
11
Разобьем ось частот  на отрезки размером д:
ä
2
¥
1
x(nT) =
å
2 m=-¥ 
ä
2
ä
=
(2m+1)
ò
Xí ( j)e jnT d
T
=
T
(2m-1)
2 ï
ì1 ¥
ü
ï
T
jnT
ïí
Xí éëê j( + mä )ùûú ï
d.
ýe
å
ò
ï
2  ï
T
m
=-¥
ï
ï
þ
äî
-
(4)
2
Из сравнения (4) и (2) следует, что
X(e jT) =
1 ¥
å Xí éëê j( + mä )ùûú.
T m=-¥
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала с точностью до множителя 1/Т состоит из суммы бесконечного числа спектров непрерывного сигнала, следующих с периодом д.
а)
|Xн (jZ) |
–Z в
б)
0
Z
|X(e jZT) |
–Z в
в)
Zв
0
Z д /2 Z в
Zд
2 Zд
Z
|X(e jZT) |
–Zв
0
Zв Zд /2
Zд
Z
Рис. 8. Амплитудный спектр недискретизированного сигнала (а)
и формирование спектра сигнала при низкой (б, д < 2в)
и высокой (в, д  2в) частотах его дискретизации
12
Как выбирается частота дискретизации д?
Рассмотрим непрерывный сигнал с ограниченным спектром,
для которого выполняется условие
Xн(j) = 0, | > в.
Графики, приведенные на рис. 8, показывают, как формируется
спектр сигнала при низкой (д < 2в) и высокой (д  2в) частотах
дискретизации, где в – верхняя частота спектра сигнала. Как видно из графиков, при д < 2в происходит наложение спектров. После суммирования спектр дискретизированного сигнала не содержит неискаженных составляющих спектра непрерывного сигнала,
поэтому восстановление непрерывного сигнала без искажений невозможно. Для сохранения в дискретизированном сигнале полной
информации о непрерывном (для возможности его неискаженного
восстановления) необходимо выбирать частоту дискретизации д
из соотношения
д  2в.
В этом случае
X(ejT)| = (1/T) X(j)|, | < д/2.
2.3. Восстановление непрерывного сигнала
по его дискретным отсчетам
Рассмотрим сигнал с ограниченным спектром Xн(j) = 0 при
| > в. Наложение спектров отсутствует, так как частота дискретизации удовлетворяет условию д  2в. Определим алгоритм восстановления непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам:
x(nT)  xн(t).
Для выбранной частоты дискретизации при | < д/2 выполняется условие
X(ejT) = (1/T) Xн(j).
Тогда
xí (t) =
1
2
ä /2
ò
Xí ( j)e jt d =
-ä /2
1
2
ä /2
ò
TX(e jT )e jt d.
-ä /2
Формула прямого дискретного преобразования Фурье имеет вид
X(e jT ) =
¥
å
x(nT)e-jnT .
n=-¥
13
После подстановки получаем
T
xí (t) =
2
ä /2
j(t-nT )
d =
ò å x(nT)e
-ä /2 n
 /2
é
ù
êT ä
ú
j(t-nT )
ú = å x(nT)n (t).
= å x(nT) ê

e
d
ò
ê 2
ú
n
n
ê -ä /2
ú
ë
û
Непрерывный сигнал xн(t) находим суммированием функций
n(t) с весами, определяемыми значениями отсчетов дискретного
сигнала x(nT).
Рассмотрим функцию n(t):
ä
é ä
ù
T ê j 2 (t-nT) -j 2 (t-nT) ú
1
êe
ú
.
-e
n (t) =
ê
ú
j(t - nT)
2
êë
úû
Так как T/(2) = 1/д и по формуле Эйлера e ± jz = cos(z) ± jsin(z),
n (t) =
1
1
[cos(z) + j sin(z) - cos(z) + j sin(z)] =
⋅
ä j(t - nT)
é
ù
sin ê ä (t - nT)ú
ê 2
ú
é ä
ù
1
1
ë
û.
=
⋅
⋅ 2j sin ê (t - nT)ú =
ê 2
ú

ä j(t - nT)
ä
ë
û
(t - nT)
2
Следовательно,
é
ù
sin ê ä (t - nT)ú
ê 2
ú
û.
xí (t) = å x(nT) ë
ä
n
(t - nT)
2
Проанализируем некоторые характерные точки функции n(t).
При n = 0
é ù
sin ê ä tú
ê 2 ú
ë
û   (0) = 1.
0 (t) =
0
ä
t
2
14
Функция 0(t) = 0 при
t=k
ä
2
t = k следовательно, 0(t) = 0 при
2
= kT, n = 1 соответствует функции 0(t), задержанной на Т:
ä
é
ù
sin ê ä (t - T)ú
ê 2
ú
ë
û.
1 (t) =
ä
(t - T)
2
Аналогичным образом определяем отсчеты n(t), соответствующие другим значениям n (рис. 9).
Таким образом, восстановленную функцию xн(t) получаем суммированием функций n(t) c весами, соответствующими дискретным отсчетам x(nT). Во временных отсчетах, кратных Т, она определяется только одним соответствующим отсчетом x(nT).
Физически восстановление непрерывного сигнала можно осуществить, пропуская дискретную последовательность через идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) (рис. 10 и 11) с частотой среза
c = д/2 и амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) А() = Т
в полосе пропускания:
ìïT,  £ ä / 2,
A () = ïí
ïï0,  > ä / 2.
î
|x(–T)|
|x(0)|
|x(T)|
|x(2T)|
|x(3T)|
xн (t)
|x(3T)| M3 (t)
t
–2T
–T
0
T
2T
3T
Рис. 9. Cуммирование функций n(t) c весами,
определяемыми дискретными отсчетами x(nT)
15
x н (t)
x(nT)
ФНЧ
Рис. 10. Восстановление непрерывного сигнала
из дискретизированного
а)
|Xн (e jZT ) |
Zд
Zд/2
–Z в
б)
0
Z
Zв
А(Z)
Т
–Z д/2
в)
–Z в
0
Z д/2
Z
|Xн( jZ) |
0
Zв
Z
Рис. 11. Восстановление непрерывного сигнала из дискретизированного:
а – периодический спектр дискретизированного сигнала;
б – амплитудно-частотная характеристика ФНЧ;
в – результат применения ФНЧ к дискретизированному сигналу
Следует иметь в виду, что рассмотренный алгоритм восстановления математически корректен для физически не существующего
сигнала с ограниченным спектром.
Вопросы для самопроверки
1. По каким базисным функциям производится разложение сигнала при выполнении над ним преобразования Фурье?
2. Каковы различия спектров периодических и непериодических сигналов?
16
3. Каковы различия спектров непрерывных и дискретизированных сигналов?
4. Какой должна быть частота дискретизации непрерывного
сигнала по времени, чтобы по дискретизированному сигналу можно было без ошибок восстановить непрерывный?
17
3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ
Перейдем теперь к рассмотрению систем, которые обрабатывают дискретные сигналы и их спектры.
3.1. Виды дискретных сигналов
Произвольный сигнал x(nT) = x(n) при Т = const, –  < n < ,
показан на рис. 12.
Произвольный сигнал, задержанный на m тактов, xm(n) =
x(n–m) при m = 1 приведен на рис. 13.
Единичный импульс, который также можно описать математической моделью
ïì1, n = 0,
x0 (n) = ïí
ïïî0, n ¹ 0,
представлен на рис. 14.
x (n)
–2
–1
0
1
2
n
3
Рис. 12. Произвольный сигнал,
дискретизированный по времени
xm (n)
–1
0
1
2
3
Рис. 13. Произвольный сигнал,
задержанный на m тактов
18
4
n
x 0 (n)
1
–2
–1
0
1
2
3
n
Рис. 14. Единичный импульс
Обозначение для задержанного на m тактов единичного импульса: x0(n – m).
Произвольный сигнал можно выразить через единичный импульс следующим образом:
x(n) =
m=¥
å
m=-¥
x(m)x0 (n - m).
(5)
Непрерывный гармонический сигнал (рис. 15) имеет вид
xн(t) = Asin(t) = Asin(2ft),
где f – циклическая частота. После дискретизации с интервалом
Т = 1/fд = 2/д он описывается формулой
x(nT) = Asin(2fnT).
Введем понятие относительной (нормированной) частоты :
 = f/fд = /д = fT.
Тогда
x(n) = Asin(2n).
x (n)
T
0
1
2
...
n
Рис. 15. Аналоговый и дискретизированный гармонический сигнал
19
В комплексной форме гармонический непрерывный сигнал имеет вид
A
x(t) = ARe{ejt} = ARe{cos(t) + jsin(t)} =
Re{ejt + e–jt}.
2
После дискретизации сигнал описывается формулой
x(nT) = ARe{ejnT} = ARe{cos(nT) + jsin(nT)} =
A
=
Re{ejnT + e–jnT}.
2
3.2. Виды преобразований дискретных сигналов
Использованные в пособии графические обозначения приведены в табл. 1.
Таблица 1
Операции над дискретными сигналами и их графическое выражение
Операция
Формула
Схема
x (n)
x(n)
1
Сложение
x1(n) + x2(n) = x(n)
Умножение на коэффициент x1(n)a = x(n)
x2(n)
x1(n)
x(n)
a
x (n)
Умножение сигналов
x1(n)x2(n) = x(n)
Задержка на m тактов
x1(n – m) = x(n)
x(n)
1
x2(n)
x1(n)
Z –m
x(n)
3.3. Свойства и характеристики дискретных систем
Свойство линейности. Если x1(n) и x2(n) – сигналы на входе
системы, а y1(n) и y2(n) – соответствующие им сигналы на выходе,
то система является линейной, если сигнал x(n) = a1x1(n) + a2x2(n)
вызывает на выходе сигнал y(n) = a1y1(n) + a2y2(n) (принцип суперпозиции). Число слагаемых не ограничено. Далее будем рассматривать линейные дискретные системы (ЛДС).
Инвариантность к сдвигу. Если входной сигнал x(n) вызывает
на выходе системы сигнал y(n), то задержанный на m тактов входной сигнал x(n–m) вызывает на выходе сигнал y(n–m) для любых n
и m  0. Такая система носит название линейной дискретной системы с постоянными параметрами. В дальнейшем будем рассматривать именно такие системы.
20
Импульсная характеристика. Импульсный отклик, или импульсная характеристика (ИХ) h(n), – это реакция системы на единичный импульс x0(n). Существуют системы с конечной ИХ (КИХсистемы), для которых h(n) = 0 при n < n1 и n > n2 (n1 < n2), и системы
c бесконечной ИХ (БИХ-системы), для которых h(n) = 0 при n < n1.
В данном пособии рассматриваются системы со скалярными (имеющими действительные значения) импульсными характеристиками.
Описание работы системы с помощью формулы свертки. Формула свертки позволяет определить сигнал y(n) на выходе системы
при известных входном сигнале x(n) и импульсной характеристике
h(n). Как было показано ранее в формуле (5), дискретный сигнал
x(n) может быть определен для любого n.
Единичный импульс x0(n), поданный на вход системы, вызывает на выходе импульсный отклик h(n) (по определению ИХ). Задержанный на m тактов единичный импульс x0(n–m) соответственно
вызывает на выходе реакцию h(n–m) (по свойству инвариантности
к сдвигу). Входной сигнал (5)
x(n) = å x(m)x0 (n - m)
m
по свойству линейности вызывает на выходе сигнал
y(n) = å x(m)h(n - m).
m
Это и есть формула свертки. Она обладает свойством симметрии,
в чем можно убедиться, произведя замену n – m = s. Тогда
y(n) = å h(s)x(n - s).
s
Аналогом формулы свертки в непрерывном пространстве является интеграл Дюамеля:
t
y(t) = ò x(s)h(t - s)ds.
0
Для свертки иногда используется следующее обозначение:
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n).
Соединение систем. Обозначим ИХ 1-й и 2-й системы соответственно через h1(n) и h2(n). Тогда при их последовательном соединении, показанном на рис. 16, а, ИХ h(n) эквивалентной системы
определяется как свертка ИХ подсистем h1(n) и h2(n):
h(n) = h1(n)*h2(n).
21
а)
б)
h(n)
h(n)
x (n)
h1(n)
h (n)
1
y (n)
h (n)
y(n)
x(n)
2
h2 (n)
Рис. 16. Последовательное (а) и параллельное (б) соединение систем
При параллельном соединении (рис. 16, б),
h(n) = h1(n) + h2(n).
Устойчивость системы. Система устойчива, если ограниченный по величине сигнал на входе вызывает ограниченный по величине сигнал на выходе, т. е. при x(n)| <  будет справедливо соотношение y(n)| < .
Необходимым и достаточным для устойчивости системы является условие
(6)
å h(n) < ¥.
n
Докажем необходимость выполнения этого условия. Предположим, что условие (6) не выполняется, т. е.
å h(n) = ¥.
n
Сформируем сигнал x(n) на входе системы следующим образом
(см. пример, на рис. 17):
ìï 1, h(n0 - m) ³ 0,
x(m) = ïí
ïïî-1, h(n0 - m) < 0.
Тогда сигнал на выходе при n = n0 имеет вид
y(n = n0 ) = å x(m)h(n0 - m) = å h(m) = ¥.
m
m
Необходимость выполнения условия (6) доказана.
Докажем достаточность выполнения условия (6). Предположим, что условие (6) выполняется. Ограничим величину входного
сигнала x(n)| M. Тогда
y(n) =
å x(m)h(n - m) £ å x(m) h(n - m) £ M å h(n - m) < ¥,
m
что и требовалось доказать.
22
m
m
h(n)
а)
n0
n
x(n)
б)
1
n0
n
Рис. 17. Формирование входного сигнала системы
на основе формы ее ИХ
Физическая реализуемость системы. Система физически реализуема, если сигнал y(n0) на ее выходе на временном такте n0
зависит от текущего и предшествующих ему входных сигналов
x(n n0) и не зависит от последующих входных сигналов x(n > n0).
Для такой системы, если x(n < n0) = 0, и y(n < n0) = 0. Так как
x0(n < 0) = 0, и h(n < 0) = 0, т. е. импульсная характеристика физически реализуемой системы не может иметь ненулевых значений
при n < 0 (следствие не может опережать причину).
3.4. Частотная характеристика
Частотная характеристика (ЧХ) определяет реакцию системы
на поданный на ее вход гармонический сигнал. Если на вход линейной системы поступает дискретизированный c интервалом Т
гармонический сигнал частотой  и амплитудой Ax
x(nT) = Ax()ejnT,
то сигнал на выходе может отличаться от входного амплитудой Ay
и фазовым сдвигом :
y(nT) = Ay()ej[nT + ()].
Частотная характеристика H(ejT) связывает выходной и входной сигналы как функции частоты:
23
y(nT) = x(nT)H(ejT),
H(e j T ) =
é Ay () ù j ()
ú e
= êê
.
x (nT ) ë Ax () úû
y (nT )
(7)
Амплитудно-частотную характеристику определяют как модуль ЧХ. Она выражает коэффициент усиления системы на разных
частотах:
K() = | H(e jT ) | = Ay ()
Ax ()
, 0 £ K() < ¥.
Фазочастотную характеристику (ФЧХ) находят как аргумент
ЧХ. Она характеризует фазовый сдвиг выходного сигнала по отношению к входному:
() = arg[H(ejT)], –  () < .
3.5. Методы вычисления частотной характеристики
Сформируем на входе системы комплексную синусоиду следующего вида:
x(nT) = ejnT, Ax() = 1.
Сигнал y(nT) на выходе системы определяем с помощью свертки
входного сигнала с ее ИХ h(mT):
y(nT) = å h(mT)x[(n - m)T ] = å h(mT)e j(n-m)T =
m
=e
jnT
m
-jmT
å h(mT)e
m
= x(nT)å h(mT)e-jmT .
(8)
m
Из сравнения (8) с (7) следует, что
H(e jT ) = å h(mT)e-jmT ,
m
т. е. ЧХ системы есть преобразование Фурье от ее ИХ.
Обозначим через X(ejT) и Y(ejT) спектры входного x(nT) и выходного y(nT) сигналов. Сигналы можно получить из их спектров
обратным преобразованием Фурье:
24
ä
T
x(nT) =
X(e jT ) e jnT d,
2 ò
0
y(nT) =
T
2
(9)
ä
ò Y (e
j T
) e jnT d.
0
Одновременно сигнал на выходе системы можно определить,
если каждую составляющую спектра входного сигнала умножить
на соответствующее значение ЧХ:
ä
T
y(nT) =
X(e jT ) H(e jT )e jnT d.
2 ò
(10)
0
Из сравнения (9) и (10) следует
Y (e jT ) = X(e jT )H(e jT ),
или
H(e jT ) =
Y (e jT )
X(e jT )
.
(11)
Следовательно, ЧХ системы определяем как отношение спектров выходного и входного сигналов.
3.6. Свойства частотной характеристики
Частотная характеристика есть непрерывная функция частоты .
Частотная характеристика – периодическая функция с периодом, равным частоте дискретизации д.
Так как спектры дискретизированных входного и выходного
сигналов – периодические функции с периодом д, как следует из
(11), аналогичным свойством обладает и ЧХ. Таким образом, ЧХ
достаточно определить на интервале частот [0, д] (для нормированных частот – на интервале [0, 1]).
Если ИХ h(mT) системы – вещественная функция, то АЧХ
K() – четная, а ФЧХ () – нечетная.
До к а з а т е л ь с т в о . Положим  = 1. Тогда
H(e j1T ) = å h(mT)e-j1mT = å h(mT)[cos(1mT) - j sin(1mT) ].
m
m
25
При  = 2 = –1 имеем
H(e j2T ) = å h(mT)e j1mT = å h(mT)[cos(1mT) + j sin(1mT) ].
m
m
j1T
j2T
) и H(e
Функции H(e
) – комплексно-сопряженные. Их
модули равны, а аргументы различаются знаками. Следовательно,
K(1) = K(2), (1) = –(2),
что и требовалось доказать.
Принимая во внимание вышесказанное, достаточно определять
ЧХ на интервале частот [0, д/2] (для нормированных частот – на
интервале [0, 1/2]).
3.7. Передаточная функция
Одна из основных характеристик систем, используемая при их
синтезе, – передаточная функция. Ее определяют с использованием Z-преобразования.
Z-преобразование является аналогом преобразования Лапласа,
широко используемого при синтезе аналоговых фильтров. Прямое
и обратное преобразования Лапласа соответственно описываются
формулами
¥
X(s) = L [ x(t) ] = ò x(t)e-st dt,
0
st
x(t) = L–1 [ X(s) ] = ò
 X(s)e ds,
C
где С – контур, включающий в себя все особенности X(s).
Z-преобразование дискретной последовательности x(n) описывается выражением
Z [x(n)] = X(z) =
¥
å x(n)z-n .
n=0
Например, для x(n) = [2 –3,5 1,4 –0,6,…]
X(z) = [2 –3,5z–1 1,4z–2 –0,6z–3,…].
Существует и обратное Z-преобразование, позволяющее по X(z)
определить x(n).
Cвойства Z-преобразования. Свойство линейности: если
Z[x1(n)] = X1(z) и Z[x2(n)] = X2(z), то
26
Z[а1x1(n) + а2x2(n)] = а1X1(z) + а2X2(z)
(это правило распространяется на любое число слагаемых).
Z-преобразование задержанной на m тактов последовательности: если x(n) = x1(n–m), то
X(z) = z–m X1(z).
Определение передаточной функции: передаточная функция
H(z) системы есть Z-преобразование от ее ИХ h(n):
H(z) =
¥
å h(n)z-n .
n=0
Она может быть определена также следующим образом. Если
y(n), x(n) и h(n) связаны между собой формулой свертки
y(n) = å h(m)x(n - m),
m
то их Z-преобразования связаны соотношением
Y (z) = å h(m)z-m X(z) = H(z) X(z).
m
Следовательно, передаточную функцию можно определить как
отношение Z-преобразований сигналов на выходе и входе:
H(z) = Y(z)/X(z).
Связь передаточной функции с частотной характеристикой: ЧХ
H(ej) может быть получена из передаточной функции H(z) путем
подстановки z = ej:
H(z = e j ) = å h(n)e-jn = H(e j ).
n
Вопросы для самопроверки
1. Что такое единичный импульс?
2. Что такое импульсная характеристика, как с ее помощью рассчитать выходной сигнал?
3. Что такое частотная характеристика системы, как она связана с импульсной?
4. Что такое передаточная функция системы, как она связана с
импульсной характеристикой?
27
4. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
Рассмотрим цифровые фильтры, являющиеся важным частным
случаем линейных дискретных систем.
4.1. Описание цифрового фильтра разностным уравнением
Цифровой фильтр (ЦФ) – это линейная дискретная система,
описываемая разностным уравнением, связывающим входной x(n)
и выходной y(n) сигналы:
y(n) =
N
N
k=0
k=1
å bk x(n - k) - å ak y(n - k),
(12)
где bk, ak – постоянные коэффициенты фильтра; N – порядок ЦФ,
который определяется максимальным значением k в суммах. Разностное уравнение – это дискретный аналог дифференциального.
Поскольку отдельные значения bk и ak могут быть равны нулю,
максимальные значения k в суммах в общем случае могут быть разными. На рис. 18 приведена структурная схема ЦФ, соответствующая разностному уравнению (12).
Как видно из рис. 18, порядок N цифрового фильтра определяется максимальным числом элементов задержки в прямом или
обратном регистрах. Если все коэффициенты в регистре обратной
x(n)
x(n–1)
Z
Z
–1
b1
b0
x(n–N)
...
–1
Z
...
b2
–1
bN
y(n)
–a N–1
–a N
Z
y(n–N)
–1
Z
y(n–N+1)
–a 1
...
–1
Z
...
–1
y(n–1)
Рис. 18. Структурная схема цифрового фильтра
28
связи равны нулю (ak = 0, k = 1, …, N), то такой ЦФ называется нерекурсивным (регистр обратной связи отсутствует). Если хотя бы
один коэффициент аk не равен нулю, то ЦФ является рекурсивным.
4.2. Пример цифрового фильтра
Проиллюстрируем описанные ранее свойства и характеристики ЛДС на примере конкретного ЦФ. Рассмотрим рекурсивный
фильтр 1-го порядка, описываемый разностным уравнением
y(n) = x(n) + ay(n–1), N = 1, b0 = 1, b1 = 0, a1 = –a.
Его структурная схема имеет вид, показанный на рис. 19. Далее
проанализируем свойства этого фильтра.
Свойство линейности. Так как схема ЦФ состоит из линейных
элементов (умножителей на постоянный коэффициент, сумматоров, схем задержки), для нее справедлив принцип суперпозиции:
если на входе фильтра x(n) = c1x1(n) + ... + cpxp(n), то на его выходе
y(n) = c1y1(n) + ... + cpyp(n).
Система инвариантна к сдвигу (b0 = const, a1 = const), т. е. это –
система с постоянными во времени параметрами.
Импульсная характеристика h(n) фильтра равна
ìïan , n ³ 0,
h(n) = ïí
ïï 0, n < 0,
î
следовательно, это – БИХ-фильтр.
Сигнал на выходе определяется с помощью свертки:
y(n) = å x(m)an-m .
m
y (n)
x(n)
a
Z –1
Рис. 19. Пример цифрового фильтра 1-го порядка
29
Проверка устойчивости:
а) если 0 < a < 1, то по определению суммы геометрической прогрессии сумма S модулей отсчетов ИХ определяется как
1 - a¥
1
S = å h(n) = å an = 1·
=
< ¥.
1- a
1- a
n
n
Поэтому в данном случае система устойчива. Ее отклик на единичный импульс приведен на рис 20;
б) если a  1, то по определению суммы геометрической прогрессии сумма S модулей отсчетов ИХ определяется как
1 - a¥
S = å h(n) = å an = 1·
 ¥.
1- a
n
n
Поэтому в рассматриваемом случае система неустойчива. Ее отклик на единичный импульс представлен на рис 21.
Система физически реализуема, так как h(n < 0) = 0.
Частотная характеристика системы описывается выражением
H(e j ) =
¥
¥
n=0
n=0
1
å an e-jn = å (ae-j )n = 1 - ae-j .
На рис. 22 приведены графики АЧХ K() = |H(ej)| и ФЧХ
() = arg[H(ej)] рассматриваемого фильтра. Здесь fд = д/(2),
 = /д = f/fд.
h (n)
1
0
n
Рис. 20. Импульсный отклик устойчивой системы
30
h(n )
1
n
0
Рис. 21. Импульсный отклик неустойчивой системы
а)
K(Z )
0
б)
Zд /2
Zд
Z, рад/с
Zд /2
Zд
Z, рад/с
fд /2
fд
f, Гц
1 /2
1
D
M(Z )
0
0
0
Рис. 22. АЧХ (а) и ФЧХ (б) исследуемого фильтра для угловых ,
циклических f и нормированных  частот
Частотная характеристика – непрерывная функция частоты
, т. е. она может быть вычислена для любого значения частоты.
Она – периодическая функция с периодом, равным д. Как видно из графиков, K() – четная функция частоты (K(1) = K(–1)),
31
() – нечетная ((1) = – (–1)), поэтому их достаточно определять на интервале [0  д/2].
Импульсная характеристика может быть вещественной только при вещественных ak и bk.
Передаточная функция имеет вид
¥
H(z) =
åa
n -n
z .
n=0
4.3. Связь передаточной функции с разностным уравнением
Дополнительный полезный инструмент описания дискретной
линейной системы может быть получен при выражении ее передаточной функции через коэффициенты разностного уравнения
y(n) =
N
N
k=0
k=1
å bk x(n - k) - å ak y(n - k).
Приняв во внимание, что a0 = 1, приведем разностное уравнение
к уравнению вида
B=
N
N
k=0
k=0
å bk x(n - k) = å ak y(n - k) = A,
откуда, выполнив Z-преобразование обеих частей разностного
уравнения, получим
Z (B) =
N
å bk z-k X(z) =
k=0
N
å ak z-k Y (z) = Z (A),
k=0
N
Y (z)
=
H(z) =
X(z)
å bk z-k
k=0
N
=
-k
å ak z
b0 + b1z-1 + ... + bN z-N
1 + a1z-1 + ... + aN z-N
.
k=0
Введем теперь понятия коэффициента усиления, нулей и полюсов. Для этого разложим числитель и знаменатель передаточной
функции H(z) на множители:
H(z) = K
(1 – z1z–1 ) (1 – z2z–1 ) ... (1 – zN z–1 )
(1 – p1z–1 ) (1 – p2z–1 ) ... (1 – pN z–1 )
(z – z1 ) (z – z2 ) ... (z – zN )
=K
.
(z – p1 ) (z – p2 ) ... (z – pN )
32
=
Здесь K – коэффициент усиления, вещественная величина:
b
K = 0 = b0 ;
a0
zк – нули ПФ (zero); pk – полюсы ПФ (pole) – вещественные или комплексно сопряженные величины.
Таким образом, система задается множествами K, {zk}, {pk}. По
множеству {pk} можно определить устойчивость системы. Условие
устойчивости |pk| < 1. Для устойчивой системы полюсы ПФ должны
лежать внутри окружности единичного радиуса (r = 1). Примеры,
соответствующие устойчивой и неустойчивой системам, приведены на рис. 23.
а)
б)
Im
Im
r=1
r=1
p1
0
p1
Re
Re
0
p2
p2
Рис. 23. Расположение полюсов на комплексной плоскости
для устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы
Im
o1a
–1
0
0,5
o1aa
1
Re
1,5
Рис. 24. Положение полюсов ПФ для устойчивой (p1)
и неустойчивой (p1) системы
33
Проанализируем устойчивость рассмотренной ранее системы
1-го порядка, представленной на рис. 19. Она описывается разностным уравнением
y(n) = x(n) + ay(n–1).
Передаточная функция этой системы имеет вид
H(z) =
b0
1 - az-1
, z1 = 0.
Если подобрать такое значение параметра a, что p1 = 0,5, система
будет устойчива, если p1 = 1,5 – система неустойчива, как это показано на рис. 24.
4.4. Исключение из правил
Нерекурсивные фильтры (НРФ) всегда имеют конечную ИХ
длиной N + 1, причем bk = h(k), k = 0, …, N, где N и bk – соответственно порядок фильтра и коэффициенты разностного уравнения,
описывающего ЦФ по формуле (12).
Рекурсивные фильтры (РФ), как правило, обладают бесконечной ИХ, но могут иметь и конечную. Например, РФ 2-го порядка,
представленный на рис. 25 и описываемый разностным уравнением
y(n) = x(n) – x(n – 2) + y(n – 1), b0 = 1, b1 = 0, b2 = –1, a1 = –1,
имеет ИХ длиной 2, как это показано на рис. 26.
x(n)
Z–1
Z –1
–1
y (n)
Z –1
Рис. 25. Рекурсивный фильтр 2-го порядка
34
а)
x(n)
1
0
1
0
1
2
3
…
n
3
…
n
б)
y (n)
1
2
Рис. 26. Входной (а) и выходной (б) сигналы ЦФ,
представленного на рис. 25
4.5. Основные соотношения,
характеризующие цифровой фильтр
Оценим теперь рассмотренные ранее характеристики ЦФ, представив их вместе на диаграмме, приведенной на рис. 27, и еще раз
опишем их соотношения.
Сигнал на выходе ЦФ может быть описан:
1. Разностным уравнением
y(n) = f [bk, ak, x(n–m), y(n–m)].
2. Сверткой
y(n) = å h(m)x(n - m).
m
3. Частотной характеристикой
ÏÏÔ
ÎÏÔ
x(n) ¾¾¾ X(e j ), Y (e j ) = X(e j ) H(e j ), Y (e j ) ¾¾¾ y(n).
Здесь используются прямое и обратное преобразования Фурье.
4. Передаточной функцией:
Z -ïðåîáðàçîâàíèå
Îáðàòíîå Z -ïðåîáðàçîâàíèå
x(n) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
 X(z), Y (z) = X(z) H(z), Y (z) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
 y(n).
35
ЦФ
Коэффициенты bk, ak
разностного
уравнения
1
5
Импульсная
характеристика
2
h (n)
x (n )
y (n )
7
Частотная
характеристика
3
H(e j Z )
9
6
Передаточная
функция
8
4
H(z)
Рис. 27. Параметры, характеризующие ЦФ, и их соотношения
Связь характеристик ЦФ:
5. Разностного уравнения и импульсной характеристики, получаемой путем подачи на вход системы единичного импульса x0(n):
Ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå
x(n) = x0 (n) ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ y(n) = h(n).
6. Передаточной функции с разностным уравнением:
H(z) = Z{f[bk, ak, x(n – m), y(n – m)]}.
7. Импульсной и частотной характеристик:
ÏÏÔ
h(n) ¾¾¾ H(e j ).
8. Импульсной характеристики и передаточной функции:
Z-ïðåîáðàçîâàíèå
h(n) ¾¾¾¾¾¾¾¾
 H(z).
36
9. Передаточной функции и частотной характеристики:
H(z = ej) = H(ej).
4.6. Классификация цифровых фильтров
по форме амплитудно-частотной характеристики
По параметрам полосы пропускания ЦФ делятся на:
1. Фильтры низких частот (ФНЧ) – пропускают частоты  < 0,
где 0 – частота среза (см. на рис. 28, а).
2. Фильтры высоких частот (ФВЧ) – пропускают частоты  > 0
(рис. 28, б).
3. Полосовые фильтры (ПФ) – пропускают частоты 01 <  < 02
(01, 02 – частоты среза) (рис. 28, в).
4. Режекторные фильтры (РФ) – пропускают частоты  < 01 и
 > 02 (рис. 28, г).
5. Другие фильтры, например, имеющие несколько полос пропускания или задерживания (подавления).
Приведенная на рис. 28 классификация фильтров выполнена по
идеальной форме АЧХ. Реальные АЧХ отличаются от идеальных:
переходные полосы не имеют нулевой ширины, АЧХ в пределах полос пропускания и задерживания может не быть строго постоянной.
В зависимости от формы реальной АЧХ в пределах полос пропускания и задерживания выделяют следующие фильтры:
1. Баттерворта – АЧХ в пределах полос пропускания и задерживания изменяется монотонно.
2. Чебышева 1-го рода – имеются пульсации в полосе пропускания, крутизна АЧХ в переходной полосе выше, чем у фильтра Баттерворта.
3. Чебышева 2-го рода – имеются пульсации в полосе задерживания, крутизна АЧХ в переходной полосе выше, чем у фильтра
Баттерворта.
а)
б)
K(Z)
0
в)
K(Z)
K(Z)
Z0
Z
0
г)
Z0
Z
0
K(Z)
Z 01
Z 02 Z
0
Z 01 Z 02 Z
Рис. 28. Классификация ЦФ по параметрам полосы пропускания:
а – ФНЧ; б – ФВЧ; в – ПФ; г – РФ
37
4. Эллиптический (Кауэра) – имеются пульсации в полосах пропускания и задерживания, крутизна АЧХ в переходной полосе
наиболее высокая.
На рис. 29 показаны реальные амплитудно-частотные характеристики фильтров Баттерворта низких частот и полосового. Здесь
же использованы следующие обозначения: p – граница полосы
пропускания; p = {p(1), p(2)} – границы полосы пропускания;
s – граница полосы подавления; s = {s(1), s(2)} – границы поа)
б)
K(Z)
1
K(Z)
1 R
p
0
Rs
Zp Zs
Zд
Z
0
Zs (1) Zp (1)
Zp (2) Zs(2) Zд /2
Рис. 29. Амплитудно-частотная характеристика ФНЧ (а)
и ПФ (б) Баттерворта
а)
K(Z)
1
б)
K(Z)
1
Rp
Rs
Rs
0
Zр Zs
Rp
0
Z
Zs Zp
Z
Рис. 30. Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ
и ФВЧ Чебышева 1-го (а) и 2-го (б) рода соответственно
K(Z)
1
Rp
Rs
0
Zs (1) Zp (1) Zp (2) Zs (2)
Z
Рис. 31. Амплитудно-частотная характеристика
эллиптического ПФ
38
Z
лос подавления; Rp – уровень пульсаций в полосе пропускания, дБ;
Rs – минимальное затухание в полосе задерживания, дБ.
На рис. 30 и 31 показаны соответственно АЧХ ФНЧ Чебышева
1-го рода, АЧХ ФВЧ Чебышева 2-го рода и АЧХ эллиптического ПФ.
4.7. Формы реализации цифровых фильтров
Рассмотрим разные способы реализации вычислений при построении ЦФ.
Прямая форма непосредственно соответствует разностному
уравнению
y(n) =
N
N
k=0
k=1
å bk x(n - k) - å ak y(n - k).
(13)
Передаточная функция описывается формулой
N
å bk z-k
H(z) =
k=0
N
.
-k
å ak z
k=0
Структурная (вычислительная) схема, реализующая уравнение
(13), представлена на рис. 32 (эти уравнение и схема рассматривались ранее и здесь повторно приведены для упрощения восприятия
последующего материала).
x(n)
...
x(n–1)
Z –1
b1
b0
x(n–N)
Z –1
Z –1
...
b2
bN
y(n)
–aN
Z –1
y (n –N)
...
–aN–1
–a 1
Z –1
y(n –N+1)
Z –1
...
y(n–1)
Рис. 32. Структурная схема прямой формы реализации ЦФ
39
При реализации этой схемы требуется от N до 2N элементов задержки (N – порядок ЦФ).
Каноническая форма – позволяет уменьшить число элементов
задержки.
Представим выражение передаточной функции в виде
é
H(z) = êê1
êë
N
æ
öù
ççç1 + å ak z-k ÷÷÷úú
÷÷ú
çè
øû
k=1
é N
ù
-k ú
ê
ê å bk z ú = H1 (z)H2 (z).
ëê k=0
ûú
Произведению передаточных функций соответствует последовательное соединение двух ЦФ с передаточными функциями H1(z) и
H2(z), как это показано на рис. 33.
Используя Z-преобразование входного x(n), выходного y(n) и
«промежуточного» w(n) сигналов, можно получить конечные выражения для промежуточного и выходного сигналов системы следующим образом:
é
W (z) = X(z)H1 (z) = X(z) êê1
êë
N
æ
öù
çç
-k ÷÷ú
+
1
a
z
å k ÷÷÷úú .
ç
çè
øû
k=1
Следовательно,
N
N
æ
ö÷
ç
W (z) çç1 + å ak z-k ÷÷÷ = X(z)  W (z) = X(z) – å ak W (z)z-k .
çè
ø÷
k=1
k=1
Тогда
N
w(n) = x(n) - å akw(n - k),
(14)
k=1
y(n) =
N
å bkw(n - k).
(15)
k=0
X(z)
x(n)
H1(z)
W(z)
Y(z)
H2(z)
w (n)
Рис. 33. Представление ЦФ в виде пары
последовательно соединенных фильтров
40
y(n)
y(n)
w(n)
x(n)
Z –1
Z –1
–a 1
b0
...
...
b1
Z –1
Z –1
–a N
bN
Рис. 34. Структурная схема фильтра, соответствующая
формулам (14) и (15)
Формулам (14) и(15) соответствует структурная схема, представленная на рис. 34.
Рис. 34 можно преобразовать, получив каноническую форму
представления фильтра, показанную на рис. 35.
Используя вместо двух регистров сдвига один, можно сократить
число элементов задержки до двух раз.
y(n)
w(n)
x(n)
Z –1
b0
b1
...
...
–a1
Z –1
–aN
bN
Рис. 35. Каноническая форма представления ЦФ
41
Транспонированная форма позволяет ускорить работу фильтра
благодаря более оптимальной организации вычислений.
Преобразуем основное разностное уравнение ЦФ следующим образом:
y(n) =
N
N
k=0
k=1
å bk x(n - k) - å ak y(n - k) = b0 x(n) +
+ éë b1x (n – 1) – a1y(n – 1)]+... +[ bN x (n – N ) – aN y(n – N )ùû .
Преобразуем прямую форму реализации ЦФ следующим образом:
изменим порядок выполнения операций задержки и умножения сигналов;
включим в каждый канал умножения задержки разной величины;
заменим один многовходовый сумматор на несколько двух- и
трехвходовых.
В результате указанных изменений получим «промежуточную»
вычислительную схему фильтра, приведенную на рис. 36.
Выполним над схемой, представленной на рис. 36, следующие
преобразования:
поменяем местами схемы сложения и задержки сигналов;
объединим задержки в соответствующих каналах;
будем использовать только схемы задержки на один такт.
x(n)
...
b
N
Z –N
...
b0
b1
b2
Z –2
Z –1
y(n)
Z –N
–aN
...
...
Z –2
–a2
Z –1
–a1
Рис. 36. «Промежуточная» вычислительная схема ЦФ
42
x (n)
bN
...
b2
...
b0
Z –1
Z –1
–aN
b1
y(n)
Z –1
–a1
–a2
Рис. 37. Транспонированная форма представления ЦФ
После этого определим транспонированную форму фильтра (рис.
37). В табл. 2 дано сравнение прямой и транспонированной формы
реализации ЦФ порядка N.
Таблица 2
Сравнение прямой и транспонированной формы реализации ЦФ
Характеристики
схемы и операции
Число элементов
задержки v
Умножение
Сложение
Число слагаемых
в каждом
сумматоре S
Сигнал
на выходе
Прямая
Форма реализации ЦФ
Транспонированная
N v 2N
v=N
Параллельное
Последовательное
S 2 N + 1
Параллельное
Параллельное
S 3
Образуется после
последнего
сложения
Образуется после одной операции сложения и одного умножения. Остальные операции
умножения и сложения могут
выполняться параллельно и подготавливают
промежуточные
результаты для последующих
отсчетов выходных сигналов
Вопросы для самопроверки
1. Какому аналогу в непрерывном времени соответствует разностное уравнение?
2. Чем отличается рекурсивный фильтр от нерекурсивного? Какой из них имеет бесконечную импульсную характеристику?
3. Что такое нули и полюсы передаточной функции, как их положение влияет на устойчивость линейной системы дискретного времени?
43
4. Как классифицируются цифровые фильтры по положению
полос пропускания и задерживания на оси частот?
5. Как классифицируются цифровые фильтры по форме АЧХ в
полосах пропускания и задерживания?
6. В чем преимущество канонической и транспонированной
формы реализации фильтра по сравнению с прямой ее формой?
44
5. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В предыдущих разделах анализировались вопросы обработки
дискретизированных во времени сигналов, имеющих тем не менее
непрерывный по частоте Фурье-спектр. Рассмотрим теперь случаи,
когда и частота имеет дискретную форму.
5.1. Дискретное преобразование Фурье
Сигнал x(nT), дискретизированный с частотой д = 2/T, при
– < n <  связан со своим спектром X(ejT) прямым и обратным
преобразованиями Фурье:
X(e jT ) =
¥
å
x(nT)e-jnT ,
n=-¥
x(nT) =
T
2
ä /2
ò
X(e jT )e jnT d.
-ä /2
Спектр X(ejT) – это непрерывная периодическая (с периодом
д) функция частоты.
Рассмотрим бесконечную во времени периодическую функцию xp(nT) c периодом Тп = NT, xp(nT) = xp[(n + kN)T), k = 0, 1,
2 …, и конечную функцию x(nT) = 0 при n < 0 и n > N–1, имеющую длительность NT = Tп. Им соответствуют прямое (ПДПФ) и
обратное (ОДПФ) дискретные преобразования Фурье, полученные из непрерывных путем дискретизации оси частот с шагом
ä
2 2
=
=
= :
Tï NT N
N-1
å x(nT)e-jnkT , k = 0, …, N – 1,
(16)
1 N-1
å X(k)e jnkT , n = 0, …, N – 1.
N k=0
(17)
X(k) =
n=0
x(nT) =
Величина X(k) представляет собой дискретную периодическую
(с периодом N = д) функцию, состоящую из отсчетов непрерывного спектра X(ejT), взятых с интервалом :
X(k) = X(ejknT).
45
Если Т = const, то д = const и  = const. Учитывая, что  =
выражения для ДПФ можно переписать в следующем виде:
X(k) =
N-1
å x(n)e
–j
2
nk
N ,
k = 0, …, N – 1,
2
,
NT
(18)
n=0
2
j nk
1 N-1
x(n) =
X(k)e N , n = 0, …, N – 1.
å
N k=0
(19)
Введем обозначение
-j
e
2
N
= WN .
(20)
После подстановки (20) в (18) и (19) получим
X(k) =
N-1
å x(n)WNnk , k = 0, …, N – 1,
n=0
x(n) =
1 N-1
å X(k)WN-nk , n = 0, …, N – 1.
N k=0
5.2. Свойства дискретного преобразования Фурье
Среди свойств дискретного преобразования Фурье необходимо
выделить следующие:
1) дискретное преобразование Фурье – решетчатая функция, отсчеты которой совпадают с соответствующими значениями преобразования Фурье и следуют с шагом по частоте, равным
 = д/N;
2) ДПФ – периодическая функция с периодом в N отсчетов:
X(k) = X(k + mN), m = 0, 1, 2, …;
3) ДПФ обладает свойством линейности: если X(k) – ДПФ от
x(n), а Y(k) – ДПФ от y(n), то ДПФ последовательности а1x(n) +
а2y(n) имеет вид
а1X(k) + а2Y(k)
при любом числе слагаемых;
46
4) ДПФ задержанной на m тактов последовательности: если
X(k) – ДПФ от x(n), а y(n) = x(n–m), то
Y(k) = WnkX(k),
для конечных последовательностей осуществляется круговой
сдвиг;
5) свойство симметрии для действительных последовательностей:
X(k) = X(N–k);
6) связь с Z-преобразованием:
X(z) = å x(n)z–n .
Если z = e
j
2
k
N ,
n
то
2 ö
æ
j k ÷÷
ç
X çççz = e N ÷÷ = X(k).
÷÷
ççè
ø
Таким образом, ДПФ можно вычислить путем соответствующей
подстановки в результат Z-преобразования;
7) число умножений и сложений при выполнении ДПФ: вычисление всех отсчетов ДПФ в пределах периода требует N2 комплексных умножений (4N2 умножений действительных чисел) и N(N–1)
комплексных сложений (2N(N–1) действительных сложений); квадратичная зависимость числа умножений от длины последовательности N является основным недостатком ДПФ;
8) размер оперативной памяти для выполнения ДПФ: для записи N отсчетов входной последовательности и N отсчетов ДПФ необходимо 2N ячеек для хранения комплексных чисел (4N для хранения действительных чисел).
5.3. Вычисление дискретного преобразования Фурье
действительных последовательностей
Существует метод, позволяющий для вычисления дискретного
преобразования Фурье двух действительных последовательностей
использовать одно ДПФ. Пусть заданы x(n) и y(n) – действительные последовательности (n = 0, …, N–1). Если последовательности
имеют разную длину, то их можно выровнять, приписав к более
короткой последовательности необходимое число нулей. Требуется
определить спектры X(k) и Y(k).
47
Сформируем последовательность v(n) = x(n) + jy(n) и вычислим
ее ДПФ:
V (k) =
N-1
N-1
N-1
n=0
n=0
n=0
å v(n)W nk = å x(n)W nk + j å y(n)W nk = X(k) + jY (k) =
= Re[X(k)] + j Im[X(k)] + j Re[Y (k)] - Im[Y (k)].
Определим значения вещественных и мнимых частей V(k) и
V(N–k), учитывая, что для ДПФ действительных последовательностей x(n) и y(n) справедливы следующие соотношения:
Re[X(k)] = Re[X(N–k)],
Re[Y(k)] = Re[Y(N–k)],
Im[X(k)] = – Im[X(N–k)],
Im[Y(k)] = – Im[Y(N–k)].
Тогда
Re[V(k)] = Re[X(k)] – Im[Y(k)],
(21)
Im[V(k)] = Im[X(k)] + Re[Y(k)],
(22)
Re[V(N–k)] = Re[X(N–k)] – Im[Y(N–k)] =
= Re[X(k)] + Im[Y(k)],
(23)
Im[V(N–k)] = Im[X(N–k)] + Re[Y(N–k)] =
= – Im[X(k)] + Re[Y(k)].
(24)
Складывая или вычитая попарно равенства (21) – (24), получаем
значения вещественных и мнимых частей X(k) и Y(k):
(21) + (23)  Re[X(k)] = 1/2 { Re[V(k)] + Re[V(N–k)]},
(22) – (24)  Im[X(k)] = 1/2 {Im[V(k)] – Im[V(N–k)]},
(22) + (24)  Re[Y(k)] = 1/2 {Im[V(k)] + Im[V(N–k)]},
(23) – (21)  Im[Y(k)] = 1/2 {Re[V(N–k)] – Re[V(k)]}.
Составляющие правых частей равенств известны после нахождения ДПФ последовательности v(n). Таким образом, можно вычислить ДПФ двух действительных последовательностей, применяя операцию ДПФ один раз.
5.4. Вычисление обратного дискретного преобразования Фурье
с помощью прямого дискретного преобразования Фурье
Пусть известно ДПФ X(k) последовательности x(n) для k = 0, …,
N–1. Необходимо определить x(n) с помощью программы вычисления ПДПФ.
48
Формула ОДПФ имеет вид
x(n) =
1 N-1
å X(k)W -nk , n = 0, …, N – 1.
N k=0
Обозначим через x*(n) и X*(k) функции, комплексно-сопряженные с x(n) и X(k). Тогда
x* (n) =
1 N-1 *
å X (k)W nk .
N k=0
Умножение левой и правой частей равенства на N дает
Nx* (n) =
N-1
å X* (k)W nk = X(n),
k=0
где X(n) – ДПФ функции X*(k). Таким образом, алгоритм вычисления ОДПФ (x(n) по X(k)) с помощью ПДПФ по приведенным формулам имеет вид
*
ÏÄÏÔ
/N
*
X(k) ¾¾
 X* (k) ¾¾¾¾
 X(n) ¾¾ x* (n) ¾¾
 x(n).
5.5. Быстрое преобразование Фурье
с прореживанием во времени
Пусть задана последовательность x(n), n = 0, …, N–1, N = 2L, L –
целое положительное число. Необходимо определить ее ДПФ X(k),
k = 0, …, N–1.
Разобьем x(n) на две подпоследовательности, в одну из которых
попадут четные члены (x1(n)), а в другую – нечетные (x2(n)) (рис. 38):
x1(n) = x(2n),
x2(n) = x(2n + 1),
Определим ДПФ от x(n):
X(k) =
n = 0, …, N/2–1,
n = 0, …, N/2–1.
N-1
N
-1
2
N
-1
2
n=0
n=0
n=0
å x(n)WNnk = å x(2n)WN2nk + å x(2n + 1)WNk(2n+1) .
(25)
Выполнение преобразования
2nk
WN
=e
–j
2
⋅2nk
N
=e
–j
2
nk
N2
nk
= WN
2
(26)
и подстановка (26) в (25) дают
49
а)
x (n)
0
б)
1
2
3
4
5
n
x (n)
1
0
в)
1
n
2
x (n)
2
0
1
2
n
Рис. 38. Деление входной последовательности (а)
на подпоследовательности четных (б) и нечетных (в) отсчетов
X(k) =
N
-1
2
N
-1
2
n=0
n=0
å x1 (n)WNnk2 + WNk å x2 (n)WNnk2 = X1 (k) + WNk X2 (k).
Величины X1(k), X2(k) – ДПФ подпоследовательностей x1(n)
и x2(n) соответственно. Последовательности X(k) определены для
k = 0, …, N–1, последовательности X1(k) и X2(k) – для k = 0, …,
N/2–1 и имеют период N/2. Поэтому X(k) можно вычислить по одной из двух формул:
X(k) = X1 (k) + WNk X2 (k), k = 0, …, N 2 – 1,
X(k) = X1 (k – N 2) + WNk X2 (k – N 2), k = N 2, …, N – 1.
50
(27)
Для удобства дальнейших расчетов преобразуем формулу (27).
Заметим, что
e
j
2 N
·
N 2
= e j = -1,
2 é 2 N ù
2
–j k ê j · ú
–j (k-N 2)
k-N 2
WNk = –e N ê e N 2 ú = –e N
.
= - WN
ê
ú
ëê
ûú
Тогда для k = 0, …, N–1 имеем
X(k) = X1 (k) +WNk X2 (k), k = 0, …, N 2 – 1,
(k-N 2)
X(k) = X1 (k – N 2) – WN
X2 (k – N 2), k = N 2, …, N – 1.
Таким образом, вычислить ДПФ X(k) можно, выполняя такую
последовательность операций:
x(n)  {x1(n), x2(n)}  {X1(k), X2(k)}  X(k).
Число комплексных умножений, требуемых для такой реализации ДПФ, равно
2(N/2)2 + N/2 = (N/2)(N + 1)  N2/2,
что примерно в два раза меньше, чем при использовании основной
формулы ДПФ, где число умножений равно N2.
Следует обратить внимание на то, что конечные результаты образуются попарно из одних и тех же элементов:
ìï X(0) = X (0) + W 0 X (0),
ïï
N 2
1
í
ïïX(N 2) = X (0) – W 0 X (0),
N 2
1
ïî
ì X(1) = X (1) + W1 X (1),
ï
ï
1
N 2
ï
í
1
ï
ï
ï
îX(N 2 + 1) = X1 (1) – WN X2 (1),
.........................................
Для получения результатов каждой пары вычислений может
быть использована единая базовая функция, граф которой имеет
вид, представленный на рис. 39.
В литературе эта базовая операция обозначается обычно графом
«бабочка», представленным для быстрого преобразования Фурье
(БПФ) с прореживанием по времени на рис. 40.
51
a + bW k
a
a –bW k
b
Wk
Рис. 39. Вычислительный граф единой базовой
вычислительной функции ДПФ
a + bW k
a
b
Wk
a – bW k
Рис. 40. Вычислительный граф «бабочка» БПФ
с прореживанием по времени
Таким образом, полный набор выходных данных можно получить, используя многократно одну и ту же базовую функцию с
разными входными значениями. Дальнейшего ускорения вычислений можно достичь, осуществив разбиение подпоследовательностей x1(n) и x2(n) путем прореживания по времени аналогично
тому, как это было сделано ранее, и применив описанный алгоритм
к новым подпоследовательностям. Такое разбиение выполняется L
раз, пока не получатся двухточечные подпоследовательности. Комбинируя промежуточные результаты, приходим к окончательному
алгоритму, дающему существенный выигрыш во времени вычислений.
Проиллюстрируем сказанное конкретным примером. Пусть последовательность x(n) имеет длину N = 23 = 8. Тогда окончательный алгоритм формируется в три этапа (L = 3).
1-й этап. Вычислительный граф, полученный в результате преобразований этого этапа, можно представить в виде, показанном на
рис. 41. Требуемое число комплексных умножений теперь равно
216 + 4 = 36 < 64 = N2.
2-й этап. Теперь последовательности x 1 (n) и x 2 (n) длиной
N/2 = 4 делятся соответственно на подпоследовательности a(n),
b(n) и c(n), d(n) длиной N/4 = 2:
52
x1(0) = x(0)
x1(1) = x(2)
4-точечное
ДПФ
x1 (2) = x(4)
x1 (3) = x(6)
X1 (0)
X(0)
X1 (1)
X(1)
X1 (2)
X(2)
X1 (3)
x2 (0) = x(1)
X2 (0)
x2 (1) = x(3)
X2 (1)
4-точечное
ДПФ
x2 (2) = x(5)
X2 (2)
x2 (3) = x(7)
X(3)
W80
1
W8
2
W8
W 83
X2 (3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
Рис. 41. Вычислительный граф ДПФ,
полученный после 1-го этапа преобразований
x1(n)  a(n), b(n), x2(n)  c(n), d(n).
Учитывая, что
–j
WNk /2 = e
2
k
N /2
–j
=e
2
2k
N
2k
= WN
,
получаем
2k
X1 (k) = A (k) + WNk /2 B(k) = A (k) + WN
B(k),
где A(k), B(k) – ДПФ от a(n), b(n).
Аналогичные преобразования можно выполнить для X2(k). Тогда вычислительный граф ДПФ принимает вид, представленный на
рис. 42.
a(0)=x1 (0) = x (0)
a(1)=x1 (2) = x (4)
b (0)=x1 (1) = x (2)
b (1)=x1 (3) = x (6)
2-точечное
ДПФ
A(0)
A (1)
2-точечное
ДПФ
B(0) W80
B(1) W2
2-точечное
ДПФ
C (0)
8
c(0)=x2 (0) = x (1)
c(1)=x2 (2) = x (5)
d(0)=x2 (1) = x (3)
d(1)=x2 (3) = x (7)
2-точечное
ДПФ
C (1)
D (0) W0
8
D (1)
2
W8
X1(0)
X1(1)
X1(2)
X1(3)
0
W8
X2(0) 1
W8
X2(1) 2
W8
X2(2) 3
W8
X2(3)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
Рис. 42. Вычислительный граф ДПФ,
полученный после 2-го этапа преобразований
53
3-й этап. Покажем, что двухточечное ДПФ может быть выполнено с помощью базовой операции БПФ. На рис. 43 представлен
вычислительный граф двухточечного ДПФ, полученный с учетом
того, что
-j
W20 = 1, W21 = e
2
⋅1
2 = e-j
= -1.
Тогда граф базовой операции БПФ применительно к двухточечной
последовательности может быть представлен в виде, показанном
W 02
a(0)
W 02
A(0) = a (0) W 02 + a (1) W 02 = a (0) + a (1)
W 02
A(1) = a (0) W 02 + a (1) W 12 = a (0) – a (1)
a(1)
W 12
Рис. 43. Вычислительный граф двухточечного ДПФ
A (0) = a (0) + a (1)
a(0)
a(1)
A (1) = a (0) – a (1)
W20
Рис. 44. Вычислительный граф базовой
двухточечный операции БПФ
X(0)
x(0)
x(4 )
8
x(2 )
x(6 )
X(1 )
W0
W0
X(2 )
W2
X(3 )
8
W0
8
8
W80
x(1 )
x(5 )
8
W0
x(3 )
x(7 )
W81
W0
W0
8
8
W2
8
X(5 )
W82
X(6 )
W3
X(7 )
8
Рис. 45. Вычислительный граф 8-точечного БПФ
с прореживанием по времени
54
X(4 )
на рис. 44. Таким образом, для двухточечной последовательности
ДПФ и базовая операция БПФ эквивалентны.
Учитывая, что W20 = W80 = 1, окончательный граф вычисления
8-точечного БПФ принимает вид, представленный на рис. 45.
Определим по графу требуемое число комплексных умножений.
Число этапов R = L = log2(N) = 3. Число умножений на каждом этапе S = N/2 = 4. Общее число умножений M = RS = N/2 log2 (N) =
12 < 64 = N2. Фактически число умножений может быть дополнительно сокращено, если учесть, что WN0 = 1. Тогда для рассматриваемого примера число комплексных умножений М1 = 5.
5.6. Быстрое преобразование Фурье
с прореживанием по частоте
Пусть задана последовательность x(n), n = 0, …, N–1, N = 2L,
L – целое положительное число. Необходимо определить ее ДПФ
X(k), k = 0, …, N–1.
Разобьем x(n) на две подпоследовательности x1(n) и x2(n), в первую из которых попадет первая половина членов x(n), а во вторую –
вторая (рис. 46):
а)
x (n )
0
б)
2
3
4
5
n
1
2
3
4
5
n
0
1
2
n
x1 (n )
0
в)
1
x2 (n )
Рис. 46. Деление входной последовательности (а)
на подпоследовательности первой (б)
и второй (в) половины отсчетов
55
x1(n) = x(n), n = 0, …, N/2–1,
x2(n) = x(n + N/2), n = 0, …, N/2–1.
По определению ДПФ от x(n) имеет вид
X(k) =
N-1
N
-1
2
N
-1
2
n=0
n=0
n=0
æ
Nö
å x(n)WNnk = å x(n)WNnk + å xççèçn + 2 ø÷÷÷WNk(n+N/2) .
Далее выполним преобразования, аналогичные подробно рассмотренным в предыдущем разделе. Основное отличие заключается в том, что по разным формулам будем определять четные и нечетные отсчеты БПФ и в качестве базовой вычислительной операции используем граф «бабочка», показанный на рис. 47.
a
a+b
Wk
(a – b) W k
b
Рис. 47. Вычислительный граф «бабочка» БПФ
с прореживанием по частоте
x(0)
X(0)
x(1)
x(3)
8
W0
8
x(5)
x(6)
8
W2
W 08
8
W2
8
W3
W0
8
8
W2
8
X(5)
X(3)
W0
W0
8
Рис. 48. Вычислительный граф 8-точечного БПФ
с прореживанием по частоте
56
X(6)
X(1)
W1
8
x(7)
X(2)
W0
8
x(4)
X(4)
W0
x(2)
X(7)
Если провести соответствующие преобразования для последовательности длиной N = 8, результирующий граф вычисления БПФ
будет иметь вид, показанный на рис. 48.
Как и при прореживании по времени, число комплексных умножений М = 12. При исключении умножений на W80 = 1 число комплексных умножений М1 = 5.
5.7. Сравнение алгоритмов быстрого преобразования Фурье
Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени и частоте выполняют дискретное преобразование Фурье числовой последовательности (в случае сигнальной временной функции определяют ее
спектр):
x(n), n = 0, …, N–1  X(k), k = 0, …, N–1, N = 2L;
где L – целое положительное число. Если это условие не выполняется, то последовательность можно дополнить нулями до длины,
равной ближайшему N, когда условие выполняется.
Число комплексных умножений, выполняемых обоими алгоритмами, M  N/2)log2(N). Зависимость числа умножений от N
с увеличением длины последовательности N близка к линейной.
Число умножений можно уменьшить, если учесть следующие соотношения:
WN0
= 1,
WNN /4
-j
=e

2
= cos


– j sin = – j.
2
2
Выигрыш  в числе комплексных умножений по сравнению
с ДПФ определяется формулой
£
N2
N
log2 (N)
2
=
2N
.
log2 (N)
Быстрое преобразование Фурье особенно эффективно при больших N.
Для выполнения БПФ используется определенный размер оперативной памяти. Алгоритм последовательно применяет двухвходовую базовую операцию к разным входным данным. Такая операция требует одной дополнительной буферной комплексной ячейки.
Результаты вычислений на каждом этапе можно записывать в те
же ячейки, что и входные данные, т. е. возможна работа с замещением данных. Таким образом, общий размер оперативной памяти
57
составляет N + 1 комплексную ячейку (для выполнения ДПФ необходимо 2N ячеек).
Пересортировка входных или выходных данных может быть
выполнена с помощью двоичной инверсии. Если номер элемента
массива данных до пересортировки записывается L-разрядным
двоичным числом aL–1 ... a1a0, то его двоичная инверсия имеет вид
a0a1 ... aL–1 . Она и определяет номер элемента массива данных после пересортировки, как это показано на рис. 49.
Например, элемент x(6) массива после пересортировки окажется на месте элемента x(3):
x(610) = x(1102)  x(0112) = x(310).
Пересортировка возможна с замещением и требует одной дополнительной буферной комплексной ячейки.
В рассматриваемых алгоритмах используются разные базовые
операции (рис. 50):
Пересортировка массивов осуществляется при прореживании во
времени (входного) и по частоте (выходного).
m
Коэффициенты WN
, m = 0, …, N/2–1, могут быть получены разными методами:
табличным – требует N/2 комплексных ячеек памяти;
программным – требует использования подпрограмм sin(x) и
cos(x);
рекуррентным – основан на использовании соотношения
m
m-s s
WN
= WN
WN , WN0 = 1.
До пересортировки
После пересортировки
x(0)
x(0)
x(1)
x(2)
x(3)
x(4)
x(5)
x(6)
x(7)
x(4)
x(2)
x(6)
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
Рис. 49. Изменения (пересортировка) номеров элементов
последовательности методом двоичной инверсии
а)
a
b
б)
j
þ aWN
j
WN
j
þ – aWN
a
b
a+b
j
WN
j
(þ – a)WN
Рис. 50. Вычислительный граф «бабочка» базовой операции БПФ:
а – с прореживанием по времени; б – с прореживанием по частоте
58
Его применение возможно, так как на каждом этапе показатель
степени m меняется с одним и тем же шагом. Например, для N = 8
коэффициенты на трех этапах имеют вид ( W80 , W81, W82 , W83 ),
( W80 , W82 ) и ( W80 ) соответственно. Необходимо запомнить только
шаги W81 и W82 .
5.8. Круговая свертка
Такая свертка иначе называется периодической, или циклической. Она применима для двух дискретных периодических последовательностей с одинаковыми периодами. Вычисляют ее в пределах одного периода.
Обозначим через xp(n) и hp(n) дискретные периодические последовательности с периодами, равными N. Свертка yp(n) этих последовательностей имеет вид
y p (n) =
N-1
N-1
m=0
m=0
å x p (m)hp (n - m) = å hp (m)x p (n - m),
где yp(n) – периодическая последовательность с периодом, равным N.
Свертку периодических последовательностей можно вычислить, используя прямые (ДПФ, БПФ) и обратные (ОДПФ, ОБПФ)
преобразования Фурье. Это так называемая быстрая свертка.
Запишем ДПФ последовательностей-операндов свертки:
X p (k) = å x p (n)W nk , H p (k) = å h p (n)W nk , Yp (k) = å y p (n)W nk .
n
n
n
Преобразуем последнее равенство с помощью формулы свертки:
Yp (k) = åå x p (m)h p (n – m)W nk =
n m
é
ù
= å x p (m) êê å h p (n – m)W (n–m)k úú W mk = X p (k) H p (k) .
m
ëê n
ûú
Таким образом, алгоритм вычисления быстрой свертки имеет вид
ÄÏÔ ÁÏÔ
´
ÎÄÏÔ ÎÁÏÔ
x p , h p ¾¾¾¾¾ X p (k), H p (k) ¾¾
 Yp (k) ¾¾¾¾¾¾ y p (n).
При больших N, несмотря на дополнительные преобразования,
этот метод оказывается более эффективным, чем прямой.
59
5.9. Теорема Бореля
Приведенное в предыдущем разделе доказательство правомерности применения преобразования Фурье для вычисления свертки
носит название теоремы о свертке. Интересно отметить, что для
аналоговых сигналов (функций непрерывного времени) подобная
теорема была доказана с помощью преобразования Лапласа, и в таком виде она носит название теоремы Бореля. Рассмотрим доказательство этой теоремы.
Для функций непрерывного времени свертка описывается интегралом Дюамеля:
t
y(t) = ò x(s) h(t – s) ds.
(28)
0
Изображение Лапласа Y(p) (преобразование Лапласа от (28))
имеет вид
¥
¥
ét
ù
é¥
ù
ê
ú
ê
ú
Y ( p) = ò e- pt ê ò x(s) h(t – s) dsúdt = ò ds ê ò e- pt x(s) h(t – s)dt ú =
ê
ú
ê
ú
0
0
ë0
û
ës
û
¥
é¥
ù
ê - p(t1 +s)
ú
(29)
= ò x(s)ds ê ò e
h(t1 )dt1 ú.
ê
ú
0
ë0
û
Для преобразований (29) был изменен порядок интегрирования,
а затем была выполнена следующая замена переменных: t1 = t–s,
t = t1 + s, dt = dt1. Использованная в (29) процедура изменения
пределов интегрирования при изменении его порядка приведена
s
s=t
0
t
Рис. 51. Связь пределов интегрирования
при последовательном интегрировании по s и t
60
на рис. 51. Наконец, последовательно вынося из-под знаков интегралов в (29) множители, не зависящие от их переменных интегрирования, получаем выражение, в котором по определению H(p) и
X(p) – изображения Лапласа от функций времени h(p) и x(p) соответственно. Таким образом, изображение Лапласа от свертки равно
произведению тех же изображений от ее операндов:
¥
é¥
ê - pt
Y ( p) = ò e- ps x(s)ds ê ò e 1 h(t1 )dt1
ê
0
ë0
¥
ù
ú
=
H
(
p
)
e- ps x(s)ds = H( p) X( p).
ú
ò
ú
0
û
5.10. Линейная свертка
Линейная свертка называется конечной, или апериодической.
Она применяется для дискретных последовательностей конечной
длины и позволяет определить сигнал на выходе ЦФ по известным
входному сигналу и импульсной характеристике ЦФ.
Обозначим через x(n) входной сигнал (n = 0, …, Nx–1), а через
h(n) – импульсную характеристику ЦФ (n = 0, …, Nh–1), где Nx и
Nh – соответственно длина входного сигнала и ИХ фильтра. Тогда
сигнал на выходе ЦФ определяется с помощью прямой свертки:
y(n) =
Nx -1
å
m=0
x(m)h(n - m) =
Nh -1
å
h(m)x(n - m).
m=0
Первое равенство применяется при Nx < Nh, второе – при
Nx > Nh. Сигнал y(n) на выходе ЦФ имеет длину
N = Nx + Nh – 1.
По аналогии с круговой сверткой вычисление линейной свертки
возможно с помощью ДПФ (БПФ) (быстрая свертка).
Вычисление осуществляем в следующем порядке:
1) последовательности x(n) и h(n) увеличивают до длины N путем добавления в каждую соответствующего числа нулей и преобразуем в периодические xp(n) и hp(n) с периодом, равным N. При
выполнении БПФ длина N обеих последовательностей должна
быть дополнительно увеличена до ближайшего значения 2L, где L –
целое число. Для функций xp(n) и hp(n) вычисляем их ДПФ Xp(k) и
Hp(k);
2) определяем произведение спектров:
Yp(n) = Xp(k) Hp(k);
61
3) с помощью обратного ДПФ по Yp(n) находим функцию yp(n).
Содержимое одного периода этой функции представляет собой сигнал y(n) длиной N на выходе ЦФ.
При больших Nx и Nh применение быстрой свертки, основанной
на БПФ, может давать существенный выигрыш во времени по сравнению с прямой сверткой.
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличается дискретное преобразование Фурье от преобразования Фурье непрерывного времени?
2. Какие два вида БПФ вам известны? Чем они отличаются друг
от друга?
3. Как вычисляется быстрая свертка для непериодических сигналов с помощью БПФ?
62
6. СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
В этом разделе будут рассмотрены некоторые распространенные
методы синтеза ЦФ. Систематизируем сначала эти методы.
6.1. Классификация методов синтеза цифровых фильтров
Методы синтеза цифровых фильтров классифицируют по следующим признакам:
по виду заданных характеристик (импульсная, частотная, передаточная функция и др.);
по схеме синтезированного фильтра (рекурсивная, нерекурсивная);
по аналоговому прототипу – с использованием аналогового
прототипа (метод билинейного преобразования, метод инвариантного преобразования ИХ и др.), прямые – с применением ОДПФ и
оконных функций и др.
6.2. Синтез рекурсивного фильтра
методом билинейного преобразования
Синтез осуществляется на основе аналогового фильтра-прототипа со схожей формой выходного сигнала. Работа такого фильтра
(представляемого как функция непрерывного времени) может описываться дифференциальным уравнением
Bk
d k y(t)
= Ak
dtk
+ Bk-1
d k y(t)
d k-1y(t)
+ ... + B0 y(t) =
d k-1y(t)
+ ... + A0 x(t).
(30)
dtk
dtk-1
Преобразование Лапласа от (30) дает передаточную функцию недискретной переменной Лапласа p:
G (p) =
+ Ak-1
dtk-1
B0 + B1 p + B2 p2 + ... + Bk pk
A0 + A1 p + A2 p2 + ... + Ak pk
.
(31)
Для перехода к передаточной функции в пространстве
Z-преобразования выполняется замена переменной p на билинейную функцию от переменной z (Отметим, что в этом разделе коэффициенты фильтра для непрерывного времени обозначены заглавными буквами латинского алфавита, а для дискретизированного –
строчными.):
63
p=
C(1 - z–1 )
1 + z–1
.
(32)
Тогда
H(z) =
b0 + b1z-1 + b2z–2 + ... + bk z–k
a0 + a1z-1 + a2z–2 + ... + ak z–k
.
Посмотрим, как изменится в результате такого билинейного
преобразования представление функции, описывающей фильтр в
частотной области. Для перехода от Z-преобразования к преобразованию Лапласа произведем в (32) замену переменной z = est, что
позволит получить связь с изображением Лапласа для дискретизированного сигнала:
æ st ö
C(1 - e–st )
p=
= C th çç ÷÷÷.
(33)
–st
çè 2 ø
1+ e
При получении выражения (33) было использовано определение
функции гиперболического тангенса, С – константа. Переменную
Лапласа в этом случае будем обозначать s.
Выполнив в (33) подстановку с учетом формул Эйлера, получим
выражение угловой частоты н для сигнала непрерывного времени
через угловую частоту д сигнала в дискретном времени:
æ f ö
æ äT ö÷
æ ö
÷÷ = Ctg ççç ⋅ ä ÷÷÷ = Ctg çç  ä ÷÷,
í = Im(p) = Ctg çç
(34)
çè 2 ÷ø
çè 2 ÷ø
çè 2 fä0 ÷÷ø
где fд, fд0 – циклическая частота дискретизированного сигнала и
его частота Найквиста соответственно; Т – период дискретизации;
 ä – нормированная частота дискретизированного сигнала. Соотношение (34) представлено графически на рис. 52.
Геометрические соотношения пространств переменных p и s преобразования Лапласа непрерывной и дискретизированной функций
и пространства Z-преобразования приведены на рис. 53. На рис. 54
показано, как АЧХ аналогового фильтра преобразуется в АЧХ цифрового в результате применения билинейного преобразования.
Из (34) следует выражение, с помощью которого можно вычислить константу С билинейного преобразования, подставив в него
вместо н и д, например, частоты среза аналогового прототипа
*н и проектируемого цифрового фильтра *д, как это показано на
рис. 54, на котором д0 – угловая частота Найквиста (половина
угловой частоты дискретизации):
64
Zн
0
1
2
Qд
Рис. 52. Непериодическая функция, заданная на частотной оси
для сигнала непрерывного времени, нелинейно по аргументу частоты
отображается в периодическую функцию, заданную на оси частот
дискретизированного сигнала
æ äT ö÷
æ ö
÷÷ = í ctg çç  ä ÷÷÷.
C = í ctg ççç
÷
èç 2 ø
2
è
ø
На низких частотах (малых н и д) значение тангенса в (34)
приближается к значению его аргумента, и данную формулу можно представить в виде, дающем для этого случая значение константы С билинейного преобразования:
C=
T
= 2fä = 4fä0 .
2
В справочной литературе по построению цифровых фильтров
можно найти готовые формулы для пересчета коэффициентов аналоговых фильтров-прототипов в коэффициенты цифровых фильтров соответствующей функциональности и того же порядка. Примером таких формул перерасчета для рекурсивного фильтра первого порядка являются формулы, приводимые ниже [6]:
D = A0 + A1C,
b0 = (B0 + B1C)/D,
b1 = (B0–B1C)/D,
a1 = (A0–A1C)/D,
a0 = 1.
65
а)
j Z н = j Im ( p )
б)
jIm (z )
c nf
bc
b
а
Vн =Re( p )
cc= ec
ac
Re(z )
d
dc
еp–f
j Im (s ) = j Zд
в)
a cc
d cc
c cc= e cc
bcc
a cc
ʍ д = Re (s )
d cc
е cc= с cc
bcc
a cc
Рис. 53. Пространства преобразования Лапласа непрерывного (а) и
дискретизированного (в) времени и пространство Z-преобразования (б).
Здесь буквами a, b, c, d, e обозначены характерные частоты:
p = н+ jн =Re(p)+ jIm(p), z= Re(z)+ jIm(z), s = д+ jд =Re(s)+ jIm(s)
а)
б)
K(Z)
K(Z)
0
Z н*
Zн
0
Z д*
2Zд0 –Z д*
2Zд0 2Zд0 + Zд* Zд
Рис. 54. Преобразование АЧХ аналогового фильтра-прототипа (а) в АЧХ
цифрового фильтра (б), полученного путем билинейного преобразования
из аналогового прототипа
66
В среде MATLAB метод билинейного преобразования при синтезе рекурсивных ЦФ используется в функциях bilinear(...),
butter(...), cheby1(...), cheby2(...), ellip(...).
6.3. Синтез рекурсивного фильтра методом инвариантного
преобразования импульсной характеристики
Синтез осуществляется на основе аналогового фильтра-прототипа. Однако вместо метода билинейного преобразования, описанного в предыдущем разделе, используется переход от передаточной
функции (31) аналогового фильтра (АФ), представленной в виде
преобразования Лапласа, описывающего его дифференциального
уравнения, к передаточной функции ЦФ, вычисленной на основе
Z-преобразования. Формально, этот прием получил свое название,
поскольку ИХ h(nT) синтезируемого ЦФ определяют путем дискретизации с интервалом Т импульсной характеристики АФ. Однако
фактически в данном случае упор делается на приведении импульсной характеристики АФ к характеристике вида, удобного для выполнения Z-преобразования, поэтому в литературе такой метод синтеза называют также методом стандартного Z-преобразования.
Рассмотрим, как это делается.
Передаточная функция (31) путем разложения на простые дроби приводится к функции вида
N
ci
,
p + di
i=1
G (p) = å
(35)
причем коэффициент di определяет положение i-го полюса передаточной функции (31), относительно которой должно выполняться
предположение, что порядок числителя меньше порядка знаменателя для предотвращения спектральных наложений (эффекта
aliasing). Мы проанализируем частный случай действительных
полюсов передаточной функции. Более сложный случай комплексных полюсов можно найти в литературе.
Известно, что передаточная функция (31) связана с ИХ аналогового фильтра преобразованием Лапласа, поэтому, выполняя обратное преобразование, из (35) можно получить выражение ИХ аналогового фильтра:
N
h(t) = å ci e-dit u-1 (t),
(36)
i=1
где u–1(t) – стандартная ступенчатая функция
67
ïì1, t ³ 0,
u-1 (t) = ïí
ïïî0, t < 0.
Дискретизация (36) с периодом дискретизации T дает импульсную характеристику ЦФ:
N
h(nT) = å ci e-dinT u-1 (nT).
(37)
i=1
Z-преобразование от (37) позволяет найти передаточную функцию ЦФ
¥
¥ N
n=0
n=0 i=1
H(z) =
å h(nT) z–n = å å ci e-dinT z–n ,
откуда переменой порядка суммирования и вычислением суммы
геометрической прогрессии получаем конечный вид передаточной
функции ЦФ:
N
¥
i=0
n=1
(
-diT –1
H(z) = å ci å e
z
n
N
) = å 1- e-cdi T z–1 .
i=1
i
(38)
Сравнение (38) с (35) показывает, что для случая действительных полюсов переход от передаточной функции АФ к передаточной
функции ЦФ осуществляется заменой
1
1

.
p + di
1 - e diT z–1
Этот метод синтеза ЦФ применим для фильтров, у которых значения АЧХ на частотах, превышающих частоту Найквиста, пренебрежимо малы (в д0 = /T). Поэтому он может быть использован для синтеза ФНЧ и ПФ, но не для синтеза ФВЧ и РФ.
В среде MATLAB для синтеза этим методом рекурсивного ЦФ
используется функция
[bz, az] = impinvar (b, a, F0, tol),
где bz, az – коэффициенты ЦФ;
b, a – коэффициенты АФ;
F0 – частота дискретизации (по умолчанию F0 = 1 Гц);
tol – параметр, задающий погрешность вычислений (по умолчанию 0,001).
68
6.4. Синтез нерекурсивного фильтра
с использованием оконных функций
Пусть необходимо синтезировать нерекурсивный ЦФ с заданной
частотной характеристикой H(ejT) = K()e(). Коэффициенты bn
разностного уравнения (12), описывающего ЦФ, можно определить, найдя с помощью обратного преобразования Фурье значения
дискретных отсчетов импульсной характеристики:
ä
h(nT) =
T
2
2
ò
-
ä
H(e jT )e jnT d = bn .
(39)
2
Однако приведенный алгоритм не всегда позволяет точно решить поставленную задачу. Проиллюстрируем это утверждение
примером. Синтезируем нерекурсивный ФНЧ с идеальной ЧХ,
представленной формулами
ìï1,  < â ,
K() = ïí
() = 0,
ïï0,  ³ â ,
î
(40)
где в – частота среза (рис. 55).
Пусть период дискретизации T = 1, тогда с учетом (40) импульсная характеристика (39) примет вид
h(n) =
1
2
â
ò
e jn d =
–â
=
1
2
â
ò [cos(n) + j sin(n)]d =
-â
â
1
1 sin(ân)
.
⋅ 2 cos(n)d = ⋅
n
2 ò

(41)
0
K(Z )
1
– Zв
0
Zв
Z
Рис. 55. Амплитудно-частотная характеристика
идеального фильтра низких частот
69
Из формулы (41) видно, что h(n)  0 при – < n < . Форма полученной ИХ приведена на рис. 56.
Таким образом, при попытке реализации нерекурсивного ЦФ по
формуле (41) возникают следующие трудности:
1) полученная формула определяет бесконечную ИХ и, следовательно, может характеризовать только рекурсивный ЦФ;
2) импульсная характеристика при отрицательных значениях
аргумента не равна нулю. Такой фильтр физически не может быть
реализован.
Как преодолеть эти трудности?
Учитывая, что h(n)  0 приn , можно произвести усечение
ИХ с помощью симметричной оконной (весовой) функции w(n), например, прямоугольной, показанной на рис. 57 и описанной формулами
ìï1, n £ M / 2,
w(n) = ïí
ïï0, n > M / 2.
î
(42)
Значения ИХ h(n) при n> M/2 должны быть достаточно малы.
Тогда ИХ h(n) синтезируемого ЦФ определяем по формуле
h(n) = h(n)w(n),
h (n)
n
0
Рис. 56. График импульсной характеристики (41)
w(n)
1
–M/2
0
M/2
n
Рис. 57. Прямоугольная оконная функция усечения
ИХ фильтра
70
и она будет иметь конечную длину, равную М + 1 (рис. 58), что следует из формул
ìïh(n), n £ M 2,
h ¢(n) = ïí
ïï 0, n > M 2.
î
Для физической реализуемости ЦФ необходимо сдвинуть его
ИХ h(n) на М/2 отсчетов вправо, тогда окончательно эта характеристика синтезируемого нерекурсивного ЦФ будет иметь вид,
представленный на рис. 59:
h(k) = h(n + M/2), 0  k  M.
Таким образом, можно синтезировать нерекурсивный ЦФ порядка М с коэффициентами
bk = h(k).
Поскольку ИХ синтезированного ЦФ отличается от требуемой
(благодаря усечению), и ЧХ фильтра не будет иметь строго прямоугольной формы.
Проанализируем, почему это происходит. Для этого напомним,
что в разделе 5.8 мы показали, что Фурье-спектр результата свертки вычисляется как поэлементное произведение спектров двух
операндов свертки. Кроме того, в разделе 5.4 мы установили, что с
hc(n )
–M/2
0
M/2
n
Рис. 58. Импульсная характеристика фильтра,
усеченная прямоугольным окном
h s( k )
0
M
k
Рис. 59. Окончательный вид ИХ нерекурсивного фильтра
71
точностью до операции комплексного сопряжения обратное преобразование Фурье идентично прямому. Поэтому несложно показать,
что поэлементному произведению двух функций соответствует
свертка их спектров.
Напомним, что Фурье-спектр константы есть дельта-функция,
иными словами, единичный импульс. Если бы ИХ фильтра не
усекалась (умножалась не на прямоугольную функцию, а на константу), то в спектральной области такой ИХ соответствовала бы
свертка ее Фурье-образа (т. е. частотной характеристики фильтра)
с единичным импульсом, что дало бы неискаженную частотную
характеристику. Если же ИХ усекается прямоугольной оконной
функцией вида (42), показанной на рис. 57, в спектральной области
это соответствует свертке частотной характеристики фильтра с Фурье-образом прямоугольной функции, имеющим форму, показанную на рис. 56. Это приведет к следующим эффектам (см. рис. 60),
получившим название явления Гиббса:
1) на границах ЧХ появятся переходные полосы с конечной (небесконечной) крутизной;
2) в полосах пропускания и задерживания коэффициент усиления будет не строго постоянен, появятся колебания (в полосе пропускания) и пульсации (в полосе задерживания).
Для ослабления перечисленных эффектов возможно использование других (непрямоугольных) окон. При этом повышение крутизны АЧХ в переходных полосах приводит к увеличению колебаний и
пульсаций в полосах пропускания и задерживания, и наоборот. На
практике используются прямоугольные и треугольные окна, окна
Бартлетта, Ханна, Хэмминга, Блэкмана, Кайзера, Чебышева и др.
K (Z)
0
Z
Рис. 60. Амплитудно-частотная характеристика фильтра
низких частот, синтезированного с использованием
прямоугольной оконной функции
72
Вопросы для самопроверки
1. Какие методы синтеза рекурсивного цифрового фильтра по
аналоговому прототипу вам известны?
2. Какой метод синтеза цифрового фильтра по заданной частотной характеристике вы знаете? Какой фильтр при этом синтезируется: с конечной или бесконечной импульсной характеристикой?
3. Для чего при синтезе КИХ-фильтров используются окна
с формой, более сложной, чем прямоугольная? Что такое явление
Гиббса?
4. Какой частоте на оси частот непрерывного времени соответствует значение аргумента (фазы) комплексной переменной z, равное  ?
73
7. ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ
В предыдущих разделах рассматривались проблемы, связанные
с дискретизацией сигналов по времени. Проанализируем теперь
эффекты, вызванные квантованием сигналов по уровню.
7.1. Источники и форма проявления ошибок
Квантование – это процесс дискретизации уровня сигнала, связанный, как правило, с представлением чисел с помощью конечного (ограниченного) числа разрядов. Какие числа подвергаются
квантованию при цифровой обработке сигналов? В соответствии
с рис. 61 на разных этапах преобразования входного сигнала xн(t)
квантуются:
входной сигнал xн(t);
коэффициенты ЦФ bk, ak;
результаты арифметических операций в ЦФ;
коэффициенты и результаты ДПФ и БПФ;
прочее.
Рассмотрим равномерное квантование с постоянным шагом Q
в b-разрядном АЦП. Число уровней квантования N = 2b. Обозначим
xн(n) значение непрерывного входного сигнала (точное значение
сигнала) в момент времени t = nT и x(n) – значение отсчетов квантованного сигнала. Тогда ошибка квантования e(n) = x(n) – xн(n)
(приведена на рис. 62 для квантования методом усечения) является
случайной величиной, характеризующейся следующими свойствами:
1) e(n) – дискретный стационарный случайный процесс;
2) e(n) и x(n) – некоррелированные случайные величины;
3) e(n) и e(m  n) – некоррелированные случайные величины;
xн (t)
АЦП
x (nT)
ЦФ
y(nT)
…
Коэффициенты bk , ak
Рис. 61. Этапы обработки сигнала,
на которых сказываются эффекты квантования
74
x
xн(n )
x (n )
e(n )
Q
nT
0
t
Рис. 62. Ошибка квантования методом усечения
xн (n)
x (n)
e ( n)
Рис. 63. Формирование квантованного сигнала
с учетом «шума квантования»
4) e(n) равномерно распределена в интервале Q = U/2b = U·2–b,
где U – динамический диапазон сигнала, в котором выполняется
квантование.
Результат квантования можно рассматривать как наложение
шума e(n) на полезный сигнал, как показано на рис. 63. В этом случае используется линейная модель сигнала ошибки.
7.2. Шумы аналого-цифрового преобразования
при квантовании сигналов
На практике используются два основных метода квантования:
усечения и округления.
Метод усечения. Алгоритм квантования формулируется следующим образом: если неквантованное значение находится в преде75
x(n)
xmax ...
...
2Q Q0
–2Q –Q
|
|
Q 2Q
...
xн (n)
...
- –Q
- –2Q
- xmin
Рис. 64. Квантование методом усечения
лах от K до K + Q (K = mQ, m – целое число, Q – шаг квантования),
то результат квантования равен K, т. е.
x(n) = K при K xн(n) < K + Q,
как показано на рис. 64.
В этом случае ошибка квантования e(n) = x(n) – xн(n) является
случайной величиной, равномерно распределенной в интервале
(–Q, 0], и характеризуется следующими параметрами:
me = –Q/2 – математическое ожидание ошибки;
De = Q2/12 – дисперсия ошибки;
emax| = Q – максимальное по модулю значение ошибки.
Лучший результат можно получить, используя другой метод
квантования.
Метод округления. При использовании этого метода, если неквантованное значение находится в пределах от K–Q/2 до K + Q/2,
то результат квантования равен K, т. е.
x(n) = K при K–Q/2 xн(n) < K + Q/2,
как показано на рис. 65.
Для этого метода:
Q/2 < e(n) Q/2;
m e = 0;
De = Q2/12;
emax| = Q/2.
76
x (n)
xmax ...
...
2Q Q|
|
–2Q –Q 0
Q 2Q
|
|
- –Q
- –2Q
...
...
xн (n)
- xmin
Рис. 65. Квантование методом округления
Метод округления обеспечивает нулевое среднее значение ошибки и в два раза меньшее ее максимальное значение. В дальнейшем,
если это не будет оговорено особо, предполагается квантование по
методу округления.
7.3. Отношение сигнал/шум при квантовании
Пусть гармонический сигнал с амплитудой Us квантуется
b-разрядным квантователем по методу округления c шагом квантования Q. Дисперсия ошибки квантования De = Q2/12. Отношение
амплитуды сигнала к среднеквадратической ошибке квантования
q=
Us
De
=
2 3Us
.
Q
Необходимое число уровней квантования
N=
2Us
.
Q
Тогда отношение сигнал/шум квантования имеет вид
q = N 3.
Учитывая, что N = 2b, предыдущую формулу можно представить в виде
q = 2b 3.
77
7.4. Шумы аналого-цифрового преобразования
на выходе цифрового фильтра
Пусть на вход ЦФ с ИХ h(n) поступает квантованный сигнал
x(n) = xн(n) + e(n), где xн(n) – сигнал до квантования; e(n) – шум
квантования. Статистические характеристики шумов при использовании квантования по методу округления имеют следующие значения:
me = 0,
De = Q2/12,
emax| = Q/2,
где Q – шаг квантования.
Сигнал на выходе ЦФ определяется с помощью свертки:
y(n) = å x(m) h(n - m) = å xí (m) h(n - m) +
m
m
+å e(m) h(n - m) = yí (n) + eâûõ (n),
m
где yн(n) – сигнал на выходе ЦФ без квантования; евых(n) – шумы
квантования на выходе
eâûõ (n) = å e(m)h(n - m);
m
eвых(n) – случайная величина со следующими характеристиками:
mевых = 0,
Dâûõ = De å h2 (m) =
m
emax
âûõ= emax
Q2
å h2 (m),
12 m
Q
å h(m) = 2 å h(m).
m
m
Приведенные формулы позволяют, учитывая, что Q = 2–b, определить необходимую разрядность b квантователя для ЦФ с известной ИХ h(n) при допустимой величине Dвых дисперсии шумов
квантования на выходе.
П р и м е р. Определим дисперсию шумов квантования на выходе цифрового рекурсивного фильтра 1-го порядка, показанного на
рис. 66 и описываемого следующим разностным уравнением:
y(n) = x(n) + ay(n–1), a < 1.
78
y (n)
x(n)
a
Z–1
Рис. 66. Рекурсивный фильтр 1-го порядка
Импульсная характеристика этого фильтра имеет вид
ìïan , n ³ 0,
h(n) = ïí
ïï 0, n < 0.
î
Дисперсия шумов квантования на выходе ЦФ
1
Dâûõ = De å h2 (m) = De å a2n = De
> De .
1 - a2
m
m
Заметим, что при а  1 дисперсия ошибки квантования De  .
7.5. Шумы квантования при выполнении
арифметических операций в цифровом фильтре
При сложении возможно увеличение разрядности суммы максимально на один разряд, поэтому его обычно выполняют в цифровых
устройствах с фиксированной точкой. Однако разрядность произведения может существенно превышать разрядность сомножителей, поэтому в общем случае при выполнении умножения необходимо переходить к представлению данных в формате с плавающей
точкой: сохраняя фиксированную ограниченную разрядность данных (точность их представления мантиссой), учитывать изменение
динамического диапазона представления, изменяя порядок числа.
Приведение результата умножения yн(n) к допустимой разрядности мантиссы связано с отбрасыванием ряда значащих разрядов произведения, что приводит к ошибкам, аналогичным рассмотренным
ошибкам квантования аналоговых величин. В этом случае линейная
модель ошибки выполнения умножения представляется в виде вычислительного графа, показанного на рис. 67, и описывается выражением
y(n) = x(n)a + e(n) = yн(n) + e(n).
79
yн(n )
x(n)
y(n)
a
e(n)
Рис. 67. Модель ошибки квантования произведения
Проанализируем шумы квантования, возникающие при умножении в разных схемах ЦФ. Предположим, что квантование производится по методу округления.
Нерекурсивный фильтр. Рассмотрим общий вид нерекурсивного фильтра, представленного на рис. 68.
С учетом ошибок квантования при умножении схема принимает
вид, показанный на рис. 69, где ek(n) – ошибка квантования произведения в k-м канале, которая характеризуется параметрами
me = 0 и Dе = Q2/12.
Схема, представленная на рис. 69, может быть приведена к схеме эквивалентного вида (рис. 70).
На рис. 70 e (n) =
N
å ek (n) = eâûõ (n)
– сумма ошибок в каналах,
k=0
равная ошибке квантования на выходе ЦФ. Ее дисперсия определяется суммированием дисперсий Dе в каналах:
D =
N
å De = (N + 1)
k=0
Q2
= Dâûõ .
12
Заметим, что дисперсия Dвых шума квантования произведений
на выходе фильтра зависит от порядка N фильтра и шага квантования Q и не зависит от значений коэффициентов bk.
x(n)
b0
Z –1
x(n–1)
b1
...
Z –1
b2
x(n–N)
Z –1
...
bN
y(n)
Рис. 68. Общий вид нерекурсивного фильтра
80
x(n)
x(n–1)
Z –1
b0
b2
b1
e0(n)
...
Z –1
e1(n)
...
e2(n)
...
x(n–N)
Z –1
bN
eN (n)
y(n)
Рис. 69. Нерекурсивный фильтр с ошибками квантования
при умножении
x(n)
b0
Z –1
x(n–1)
...
Z –1
b1
b2
Z –1
...
x(n–N)
bN
e6 (n)
y(n)
Рис. 70. Эквивалентная приведенная схема нерекурсивного фильтра
с ошибками квантования произведений
Рекурсивный фильтр. С учетом ошибок квантования схема рекурсивного фильтра принимает вид, представленный на рис. 71.
Преобразуем схему в схему вида, показанного на рис. 72, где
e (n) – сумма ошибок в каналах
e (n) =
2N
å ek (n).
k=0
Дисперсию суммы в этом случае находим по формуле
D = (2N + 1)Q2/12.
Заметим, что e(n)  eвых(n), так как ошибка на выходе ЦФ определяется не только суммой ошибок в каналах на данном такте n,
но и ошибками на предыдущих тактах, циркулирующими в цепи
обратной связи. Для нахождения дисперсии ошибки на выходе необходимо знать импульсную характеристику цепи обратной связи
hос(n), определяемую путем подачи единичного импульса на вход
81
x(n)
Z –1
x(n–1)
b2
b1
b0
e1(n)
e0(n)
...
Z –1
Z –1
bN
...
e2(n)
...
x(n–N)
eN(n)
y (n)
e2N (n)
e2N–1(n)
–a N
–a N–1
Z –1
e 2N–2 (n)
–a N–2
e2N+1 (n)
... –a 1
Z –1
Z –1
Рис. 71. Рекурсивный фильтр с ошибками квантования при умножении
x(n)
Z –1
x(n–1)
b1
b0
...
Z –1
b2
Z –1
...
x (n –N)
bN
y(n)
e 6 (n)
–aN
–a N–1
Z –1
–a N–2
Z –1
... –a 1
Z –1
Рис. 72. Эквивалентная приведенная схема рекурсивного фильтра
с ошибками квантования произведений
82
сумматора в ЦФ. Ошибка на выходе может быть вычислена по формуле свертки
eâûõ (n) =
¥
å hoc (m) e (n – m).
m=0
Дисперсия ошибки квантования на выходе равна
¥
æ Q2 ö÷ ¥
ç
2
2
Dâûõ = D å hoc
(n) = (2N + 1) çç ÷÷÷ å hoc
(n).
ç
12
÷
è øn=0
n=0
Величина Dвых зависит от порядка фильтра N, шага квантования Q и коэффициентов ak, так как импульсная характеристика
цепи обратной связи hос(n) зависит от значений коэффициентов ak,
но, как и в нерекурсивном ЦФ, не зависит от коэффициентов bk.
7.6. Шумы квантования при выполнении дискретного
и быстрого преобразований Фурье
Дискретное преобразование Фурье. Прямое ДПФ описывается
формулой
X(k) =
N-1
å x(n)W nk , k = 0, …, N – 1.
n=0
Граф алгоритма ДПФ, учитывающий ошибки квантования произведений, приведен на рис. 73.
x (0)
W0
X(k)
…
…
…
e0
x(N– 1)
W
(N–1)k
eN–1
Рис. 73. Вычислительный граф алгоритма ДПФ,
учитывающий ошибки квантования произведений
83
x (0)
X(k)
…
…
W0
x(N–1)
e§
W (N–1) k
Рис. 74. Приведенный вычислительный граф алгоритма ДПФ,
учитывающий ошибки квантования произведений
Этот вычислительный граф может преобразован в граф вида,
представленного на рис. 74, причем суммарная по всем каналам
ошибка e, равная ошибке квантования на выходе, может быть вычислена по формуле
e =
N
å ek = eâûõ .
k=0
Поскольку W – комплексный сомножитель, ошибки ek в каналах также являются комплексными величинами:
ek = ek¢ + jek¢¢.
Дисперсия составляющих ek и ek равна De = Q2/12, поэтому дисперсия комплексного числа еk равна
D = 2De = Q2/6,
а дисперсия ошибки квантования при вычислении каждого значения X(k) –
DX = ND = NQ2/6.
Быстрое преобразование Фурье. Рассмотрим характеристики
шумов на примере алгоритма прореживания по времени. Базовая
операция БПФ описывается вычислительным графом, представленным на рис. 75.
Алгоритм вычислений при выполнении базовой операции с учетом квантования произведений имеет вид, представленный на
рис. 76.
Введем обозначения W = W + jW, b = b + jb. Тогда
bW + e = bW + e1 + j(bW + e2) + j(bW + e3) – bW– e4.
84
a
a + bW
W
b
a – bW
Рис. 75. Вычислительный граф базовой операции БПФ
с прореживанием по времени
a + bW+e
a
b
a – bW – e
W
e
Рис. 76. Вычислительный граф базовой операции БПФ,
учитывающий ошибки квантования произведений
Ошибка на выходе
e = (e1 – e4) + j(e2 + e3).
Дисперсия каждой составляющей (действительной и мнимой)
ошибки каждого из выходов базовой операции равна
Dek = Q2/12.
Дисперсия полной ошибки при выполнении каждой базовой
операции равна
De = 4Dek = Q2/3.
Определим число B базовых операций, которые необходимо выполнить последовательно при расчете каждого отсчета БПФ. Ранее
было показано, что вычисление БПФ последовательности длиной
N = 2L = 8 (для L = 3) описывается графом, показанным на рис. 77.
Число B базовых операций, которые необходимо выполнить
последовательно при расчете каждого отсчета БПФ, определяется
как сумма членов геометрической прогрессии:
B=
L
å 2k = 2L -1 = N -1.
k=0
85
X(0)
x(0)
x(4)
W 80
x(2)
x(6)
W 80
X(1)
W80
X(2)
W 82
X(3)
x(5)
0
W8
x(3)
x(7)
0
X(4)
W8
1
X(5)
2
W8
3
W8
X(6)
W8
x(1)
0
W8
W 80
W 82
X(7)
Рис. 77. Вычислительный граф 8-точечного БПФ
с прореживанием по времени
В рассматриваемом примере В = 7. Таким образом, дисперсия
ошибки, возникающей вследствие квантования результатов умножения при вычислении каждого отсчета БПФ, может быть рассчитана по формуле
D = De B = (N–1) Q2/3.
7.7. Предельные циклы
Если ЦФ устойчив, при прекращении сигнала на его входе выходной сигнал должен стремиться к нулю, т. е. при x(n  n0) = 0
y(n)  0. Однако при квантовании чисел возможен эффект, получивший название предельных циклов, когда y(n)  k0  0,
k0 называется мертвой зоной (рис. 78).
Рассмотрим указанное явление на примере рекурсивного фильтра 1-го порядка, описываемого разностным уравнением
y(n) = x(n) + ay(n–1),
при а = 0,9, n0 = 0, y(–1) = 7, x(n  0) = 0, поэтому y(n  0) = ay(n–1).
Вычислим значения сигнала на выходе фильтра при шаге квантования Q = 1. Результаты расчета приведены в табл. 3.
Определим величину k0 мертвой зоны. При квантовании округлением y(n) = k в случае выполнении условия
ak  k – 0,5.
86
Следовательно,
k (1 – а) 0,5.
Тогда
k 0,5/(1 – а).
а)
(43)
x(n)
б)
n0
n
n0
n
y(n)
в)
y(n)
k0
n
n0
Рис. 78. Предельные циклы: а – входной сигнал; б – выходной сигнал
при нулевой ширине мертвой зоны (k0 = 0) – предельные циклы
отсутствуют; в – выходной сигнал при ненулевой ширине мертвой зоны
(k0  0) – возникают предельные циклы
Таблица 3
Расчет сигнала на выходе фильтра
n
–1
0
1
2
3
ay(n–1)
–
6,3
5,4
4,5
4,5
y(n)
7
6
5
5
5
а)
б)
y(n)
y(n)
0
n
0
n
Рис. 79. Предельные циклы при a > 0 (а) и a < 0 (б)
87
Величина мертвой зоны находится как максимальное целое число k, удовлетворяющее условию (43). Например, для рассматриваемого фильтра
а = 0,9  k 0,5/0,1 = 5  k0 = 5;  y(n) = 7, 6, 5, 5, 5,
а = 0,1  k 0,5/0,9 = 0,55  k0 = 0;  y(n) = 7, 1, 0, 0, 0.
Если а > 0, то k0 имеет постоянный знак, при а < 0 значения k0
знакопеременны, как показано на рис. 79.
7.8. Неравномерное квантование
При равномерной дискретизации сигнала по уровню шум квантования не превышает шага дискретизации Q (при квантовании
усечением). Если необходимо минимизировать среднеквадратическую величину шума, следует учитывать статистические свойства
сигнала и применять неравномерную дискретизацию. При этом
шаги квантования должны быть минимальны для наиболее вероятных уровней сигнала, как это показано на рис. 80. Диапазон возможных значений сигнала x, описываемый плотностью распределения вероятностей p(x), делится на N неодинаковых зон квантования а0…а1, а1…а2, …, аN–1...aN, каждой из которых ставится в
соответствие квантованное значение bk(bk[ak–1, ak]).
а)
б)
x
x
a3
x(t)
b3
x(nT)
a2
b2
a1
0
p(x)
a0
b1
Рис. 80. Неравномерное квантование сигнала:
а – плотность распределения вероятности значений
аналогового сигнала; б – аналоговый сигнал и результат
его дискретизации по времени и квантования по уровню
88
t
Если сигнал имеет плотность вероятности p(x), то средний квадрат ошибки рассчитывается по формуле, в которой горизонтальная
черта над символом обозначает усреднение:
N
2
e =å
ak
ò
k=1 a
k-1
ak
N
= x2 - 2 å bk
k=1
ò
(x - bk )2 p(x)dx =
N
ak
k=1
ak-1
xp(x)dx + å bk2
ak-1
ò
p(x)dx.
Приравнивание к нулю частных производных этого выражения
по ak и bk позволяет определить оптимальные параметры квантования:
ak
ò
bk =
xp(x)dx
ak–1
ak
ò
p(x)dx
+ bk
b
, ak = k-1
.
2
ak–1
При этом обеспечивается нулевое среднее значение шума квантования.
В телефонии наиболее вероятны малые значения речевого сигнала, поэтому равномерное квантование потребует 12 двоичных
разрядов (4096 уровней квантования), а неравномерное – только
восемь (256 уровней квантования).
Вопросы для самопроверки
1. Какой метод квантования сигнала по уровню вносит наименьшую ошибку?
2. Какие цифровые арифметические операции являются источником наибольших ошибок?
3. Какой метод квантования минимизирует среднеквадратическую ошибку квантования?
4. Что такое предельные циклы?
89
8. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Одним из важных направлений теории обработки сигналов является спектральный анализ. Остановимся кратко на некоторых
его важных принципах.
8.1. Принципы спектрального анализа
В пособии рассматривается одно из приложений спектрального анализа – обнаружение на фоне шумов гармонического сигнала
с неизвестными амплитудой и частотой и измерение этих параметров с помощью ДПФ (БПФ).
Обозначим через xн(t) входной аналоговый сигнал, который может представлять собой шум uш(t) или аддитивную смесь полезного
сигнала us(t) и шума, т. е.
ì
uø (t),
ï
xí (t) = ï
í
ï
ï
îus (t) + uø (t).
Наблюдение будем производить на временном интервале длиной
Тs, 0 < t < Ts. Если полезный сигнал присутствует, то он является
гармоническим с амплитудой Us и частотой fs:
us(t) = Uscos(2fst) = Uscos(st).
Параметры полезного сигнала Us и s неизвестны, известно
только, что 1 s 2.
Шум в канале – аддитивный гауссов с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией
Dш = 2ш = Pш  0,
где ш – среднеквадратическое отклонение шума; Pш – мощность
шума. После дискретизации с частотой д = 2 fд непрерывное напряжение xн(t) преобразуется в дискретную последовательность
отсчетов x(nT), следующих с интервалом дискретизации Т = 2/д.
Число отсчетов N = [Ts/T], где [.] – результат округления.
Введем следующие обозначения для спектров сигналов:
Xн(j) – спектр непрерывного сигнала xн(t), полученный с помощью прямого преобразования Фурье;
X(ejt) – спектр дискретизированного сигнала x(nT), полученный с помощью того же преобразования;
X(k) – спектр дискретизированного сигнала x(nT), полученный с помощью ДПФ, где  – основная частота ДПФ
 = 2/(NT) = 2/Ts = д/N.
90
а)
2S/Ts = :
|Xн(jZ)|
0
Z1
Zs
Z2
Z1
Zs
Z2
Z
jZt
б) _X(e )_
0
в)
Zд – Zs
Zд Z
|X(k:)|
:
0
k1
Zs =ks :
k2
N
k
Рис. 81. Спектр сигнала: а – аналогового; б – дискретизированного;
в – спектр, полученный с помощью ДПФ. Отличие спектров графиков а
и б от идеальных (штрих-пунктирные линии) связано
с конечными пределами интегрирования, взятыми
при расчете преобразования Фурье
Номера отсчетов дискретного спектра, соответствующих границам анализируемого частотного диапазона, k1 и k2 определяем из
соотношений
k1 = [1/], k2 = [2/].
В дальнейшем будем анализировать амплитудные спектры
X(k)| в диапазоне k = k1, …, k2. На рис. 81 изображены графики
амплитудных спектров рассматриваемых сигналов при ш = 0.
Как указывалось ранее, с помощью спектрального анализа можно решать задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров.
Обнаружение сигнала. Согласно статистической теории обнаружения рассмотрим две статистические гипотезы – о наличии (гипотеза H1) или отсутствии (гипотеза H0) полезного сигнала во входных данных при наличии шумов:
|X(k)|  ?  H0:(Us = 0),
|X(k)|  ?  H1:(Us  0).
Решение может быть принято на основании анализа амплитудного спектра |X(k)| входных данных в заданном частотном диапа91
зоне. Если хотя бы один отсчет спектра превышает установленный
порог Uп, то принимается решение в пользу гипотезы H1, в противном случае – в пользу H0, как показано на рис. 82 и в приводимых
ниже выражениях:
|X(k)| > Uп  H1,
|X(k)| < Uп  H0,
k [k1; k2], ш 0.
Статистическими характеристиками обнаружителя являются:
вероятность F ложной тревоги – вероятность принятия решения о наличии полезного сигнала (гипотеза H1) при отсутствии его
на входе (Us = 0):
F = P{|X(km)| > Uп} при Us = 0;
вероятность D правильного обнаружения – вероятность принятия решения о наличии полезного сигнала (гипотеза H1), когда
этот сигнал присутствует на входе (Us  0):
D = P{|X(km)| > Uп} при Us  0.
Следует иметь в виду, что в общем случае F + D  1, так как суммируются условные вероятности, взятые при разных условиях.
Выбор порога Uп определяется принятым критерием обнаружения. В подобных задачах часто используется критерий Неймана–
Пирсона, при котором фиксируется вероятность ложной тревоги
(F = F0 = const) и максимизируется вероятность правильного обнаружения (D  max). В этом случае характеристики обнаружителя
получают следующим образом:
находят зависимость вероятности ложной тревоги от величины порога F = f(Uп) при Us = 0 (как показано на рис. 83). По полу| X(k :) |
H1
Uп
H0
0
k1
km
k2
k
Рис. 82. Принятие решения о наличии полезного сигнала
по превышению порогового уровня модулем спектрального
отсчета; здесь km – номер максимального спектрального отсчета
X(km ) = maxkÎ[k1;k2 ] X(k)
92
F = f (Uп )
Us = 0
1
F0
0
Uп0
Uп
Рис. 83. Определение порогового уровня, соответствующего допустимой
вероятности ложной тревоги
D = f(Us )
1
D0
0
Us0
Us
Рис. 84. Определение уровня сигнала, обеспечивающего
необходимую вероятность его правильного обнаружения
ченной кривой определяют порог Uп0, обеспечивающий допустимое значение F = F0 вероятности ложной тревоги.
В реальных системах F0  10 –5  10 –8. При определении характеристик методом статистических испытаний с целью сокращения
времени проведения эксперимента в условиях учебного класса целесообразно выбирать F0  10 –1  10 –2;
получают зависимость D = f(Us) вероятности правильного обнаружения от амплитуды сигнала при F = F0(Uп = Uп0). Если задана требуемая вероятность правильного обнаружения D = D0, то
можно определить (как показано на рис. 84) необходимое отношение сигнал/шум q = Us0/ш, обеспечивающее заданные параметры
F0 и D0. Обычно задают D0  0,9.
Измерение параметров обнаруженного сигнала. Измерение
амплитуды Us и частоты s сигнала производят, только если на
предыдущем этапе была принята гипотеза H1. Так как измерения
выполняют по сигналу, представляющему собой случайный процесс, в результате определяют не сами измеряемые величины, а их
оценки Us* и *s . Вся информация, необходимая для проведения
93
измерений, содержится в положении km на частотной оси и величине |X(km)| максимального спектрального отсчета в частотном
диапазоне k1  k2. Оценки частоты *s и амплитуды сигнала Us*
находят по формулам
*s = km ,
Us* =| X(km ) | / N.
8.2. Методические ошибки измерений
Методические ошибки возникают вследствие использования
дискретного метода измерений, так как в результате ДПФ амплитудный спектр входного сигнала может быть определен только на
множестве частот, дискретизированном с шагом . Если частота
сигнала s не попадает на выделенные точки оси частот k = k,
возникают методические ошибки измерения частоты и амплитуды,
как показано на рис. 85 для ш = 0.
Ошибка измерения частоты s = s – *s – случайная величина,
равномерно распределенная в интервале [–/2, /2]. Дисперсия
ошибки равна
D(s) =  2/12.
Для уменьшения ошибки необходимо уменьшать основную частоту  ДПФ. Так как  = 2/Ts, этого можно достичь увеличением
длительности Ts интервала наблюдения сигнала.
|X|
|X(km:)|
GX
|X(jZs )|
GZs
0
0
Zs* Zs
k1
km
Z
:
k2
k
Рис. 85. Методические ошибки, являющиеся следствием дискретности
метода измерения
94
Ошибка измерения амплитуды определяется величиной X =
|X(js)| – |X(j*s)|, которая, в свою очередь, зависит от случайной величины – ошибки измерения частоты. В этом случае расчет дисперсии ошибки более сложен.
Существенно, что методические ошибки измерения частоты и
амплитуды не зависят от интенсивности шумов в канале. Поэтому с ростом амплитуды сигнала суммарная дисперсия ошибки может стремиться не к нулю, а к некоторому постоянному значению,
определяемому методической ошибкой.
8.3. Расчет статистических характеристик обнаружения сигнала
и измерение его параметров
Для расчета статистических характеристик обнаружения и измерений может быть использован метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Применительно к рассматриваемой задаче он реализуется следующим образом.
Проводят M испытаний, заключающихся в многократном формировании реализаций случайного дискретизированного входного
сигнала x(nT) c постоянными значениями параметров. По каждой
сформированной реализации принимается решение о наличии или
отсутствии полезного сигнала. Отношение числа K обнаружений
к общему числу M испытаний определяет частоту p* обнаружений
при данных значениях параметров:
p* = K/M,
которая при бесконечном возрастании М стремится к вероятности
p обнаружения (M   = > p*  p).
В связи с наличием шумов величина максимального отсчета
ДПФ и его положение на частотной оси являются случайными величинами, и возможно определение только оценок U*s и *s амплитуды и частоты. Вследствие этого возникают ошибки измерения:
амплитуды – Us = U*s – Us,
частоты – s = *s – s.
Для каждой i-й реализации, в которой произошло обнаружение
сигнала, определяют оценки амплитуды U*si и частоты *si. Они позволяют вычислить для данного набора параметров следующие величины:
математические ожидания оценок амплитуды и частоты
M
Us*
=
1 K *
1 K
Usi и M * = å *si ;
å
s
K i=1
K i=1
95
дисперсии ошибок
DUs =
1 K *
1 K
(Usi - Us )2 и Ds = å (*si - s )2 ;
å
K i=1
K i=1
среднеквадратические ошибки
Us = DUs и s = Ds ;
относительные среднеквадратические ошибки
U
Us = s и  s = s / s .
Us
Для получения функциональных зависимостей перечисленных
характеристик от параметров изменяются значения какого-либо
параметра и повторяются описанные выше операции. Достаточно
наглядные зависимости получают при числе испытаний М  1000.
Рассчитанные указанным образом характеристики включают
в себя не только случайные ошибки, определяемые шумами, но и
методические ошибки, зависящие от используемого дискретного
метода измерений.
Вопросы для самопроверки
1. По какому критерию при использовании описанных методов
спектрального анализа формируется решение о наличии полезного
сигнала в принимаемых данных?
2. Какие статистические характеристики обнаружителя сигнала вы можете назвать?
3. Как используется критерий Неймана–Пирсона при принятии
решения об обнаружении полезного сигнала?
4. Какие действия выполняются с сигналом после принятия решения, что он обнаружен?
5. Каковы источники методических ошибок измерений при обнаружении полезного сигнала и определении его параметров?
6. Какой метод применяют для расчета статистических характеристик обнаружения и измерения параметров сигнала?
96
ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев А. Н. MATLAB. Самоучитель. Практический подход. СПб.:
Наука и техника, 2012. 448 с.
2. Ануфриев И., Смирнов А., Смирнова Е. MATLAB 7 (+ CD-ROM). СПб.:
БХВ-Петербург, 2005. 1102 с.
3. Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 816 с.
4. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. 3-е изд. СПб.: БХВПетербург, 2011. 758 с.
5. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.
6. Stanley W. D. Digital signal processing. Englewood, USA: Reston
Publishing Co., Inc., 1975. 323 p.
97
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРОГРАММИРОВАНИЕ В СРЕДЕ MATLAB
В приложениях 1 и 2 описывается методика программирования
в среде MATLAB и даются минимально необходимые сведения об
инструментах MATLAB, которые могут быть полезны при выполнении лабораторного практикума по курсу цифровой обработки
сигналов.
Среда MATLAB
Программная среда MATLAB разработана фирмой The
MathWorks Inc. и является мировым стандартом в области научных и технических расчетов. Ее инструментарий содержит большое число функций, необходимых для работы с матрицами. Удобство применения системы для цифровой обработки сигналов объясняется тем, что отсчеты дискретизированного по времени сигнала
могут быть представлены в виде одномерного массива (вектора),
являющегося частным случаем матрицы.
Программирование в среде MATLAB очень напоминает программирование на языке BASIC. Созданные программы хранятся на
диске в виде m-файлов, т. е. файлов с расширением .m. Текстовые
файлы, содержащие операторы MATLAB, могут быть двух типов:
сценарии (script) и функции. Основное их различие заключается в
том, что функции могут принимать входные параметры и возвращать результаты вычислений, а программы-сценарии не могут.
Кроме того, сценарии могут не иметь заголовка, а функции обязательно имеют заголовок function.
MATLAB может быть использована как мощный калькулятор
для вычисления значений математических выражений. Например, если ввести выражение >> sqrt(cos(pi/12)^2 + 1), то на экране
появятся автоматически создаваемая переменная ans и результат
вычислений:
ans =
1.3903
>>
Выводимый на экран знак >> означает, что система готова к вводу новой информации.
При выполнении вычислений вектор-строка может быть задан
перечислением в квадратных скобках элементов, разделенных пробелами или запятыми, например, Х = [1 3 2 5 4], Y = [2*3/5, sqrt(10)] или
98
Z = 0 : 0.25 : 1.75, W = 5 : 15 (шаг по умолчанию равен единице). Конкатенация (слияние) векторов X и Y записывается в виде Р = [X Y].
Возможно выделение части вектора путем указания номеров начального и конечного его элементов: X1 = X(2:4)  X1 = [3 2 5].
К векторам возможно применение функций из библиотеки
MATLAB, например, X*2, exp(Y), Z + W (векторы Z и W должны
быть одного размера) и т. п.
Построение графиков осуществляется на основе оператора plot.
Оператор plot(Y) выполняет построение графика, на котором ординаты точек соответствуют значениям компонент вектора Y, а абсциссы
следуют с равномерным шагом и соответствуют последовательности
номеров компонент вектора (значениям индексов элементов соответствующего вектору массива). Оператор plot (X, Y) строит по точкам
график функции y(x), где x и y – элементы векторов X и Y, plot (X1,
Y1, X2, Y2) строит графики двух функций – y1(x1) и y2(x2) и т. д.
Графики могут различаться цветом, типом линий, типом точек и др.
Оператор subplot(m, n, p) используется для вывода нескольких
графиков в разных областях одного окна. Графическое окно разбивается на клетки в виде матрицы, имеющей m строк и n столбцов,
p-я клетка становится текущей (нумерация клеток ведется по строкам в порядке растрового сканирования окна экрана). Например,
по командам
t = 0:0.1:10;
subplot (3,2,5)
plot (t, sin(t))
графическое окно разбивается на шесть клеток (32), и график
функции sin(t) строится в левой нижней (5-й) клетке.
Функции и служебные символы системы MATLAB
xm = abs (х) – возвращает модуль (абсолютное значение) комплексного числа х.
xa = angle (x) – возвращает аргумент (угол, фазу) комплексного
числа х (в радианах).
ans – автоматически создаваемая переменная, содержащая результат выполнения последней операции.
axis ([xmin xmax ymin ymax]) – устанавливает масштаб (граничные значения графика) по осям x и y.
cd путь_доступа – изменяет текущий каталог на каталог, определяемый пользователем.
clc – очищает текущее окно.
99
clg – очищает графическое окно.
Y = сonv (X, H) – вычисляет свертку одномерных массивов Х и Н.
dir – выводит на экран содержание текущего каталога.
disp (‘текст’) – выводит на экран текст.
[X,Y] = eqtflength (X,Y) – выравнивает длину векторов, дополняя более короткий из них нулями в конце.
eye (m, n) – возвращает матрицу размером mn с единицами на
главной диагонали и нулями вне нее.
gtext(‘текст’) – размещает заданный текст на графике с использованием мыши.
Y = fft (X) – выполняет ДПФ вектора X с размерностью, определяемой размерностью X.
Y = fft (X, n) – выполняет n-точечное ДПФ вектора X.
figure – создает новое графическое окно.
Y = filter (В, А, Х) – обеспечивает фильтрацию вектора Х с помощью фильтра, коэффициенты которого заданы векторами В и А,
причем в векторе А коэффициент а0 = 1.
w = freqz (B, A, n, ‘whole’) – рассчитывает по значениям коэффициентов B и A n-точечный вектор комплексной ЧХ фильтра w в интервале нормированных частот от нуля до частоты дискретизации
д (без параметра ‘whole’ – от нуля до д/2).
grid – задает в поле вывода графиков сетку из штрих-пунктирных
линий.
hold – обеспечивает наложение одного графика на другой.
i, j – константы, которым первоначально присваивается значение, равное sqrt (–1), – квадратного корня из –1. Используются для
записи комплексных чисел.
Y = ifft (X) – выполняет ОДПФ вектора X.
Xi = imag (x) – возвращает мнимую часть комплексного числа х.
h = impz (B, A, n) – рассчитывает n-точечную импульсную характеристику фильтра по значениям коэффициентов а и b, записанных как компоненты векторов A и B.
а = input (‘введите коэффициенты а = ’) – обеспечивает ввод данных с клавиатуры (выводит на экран данный запрос и ожидает ввода данных).
legend (‘текст’) – добавляет к текущему графику пояснения в
виде указанного текста.
xl = length (X) – возвращает число элементов вектора X.
xm = max (X) – возвращает наибольший элемент вектора X.
[u,n] = max (X) – возвращает величину u и номер n максимального
элемента вектора X. Нумерация элементов вектора начинается с 1.
100
upr = menu (‘заголовок’,’выбор 1’,’выбор 2’,...,’выбор n’) – выводит на экран выпадающее меню с заголовком и кнопками выбора. Выходному параметру upr присваивается номер выбранной
кнопки (см. раздел «Создание меню»).
pause – прекращает ход вычислительного процесса и ожидает
для продолжения нажатия любой клавиши.
pi – системная константа ( = 3,141592…).
рlot – оператор построения графиков по данным вектора или матрицы.
[b,a] = prony (h, nb, na) – функция для определения коэффициентов фильтра b и a по значениям импульсной характеристики h (nb,
na – число элементов задержки в цепях прямой и обратной связи).
rand (m, n) – функция для генерации матрицы случайных чисел, распределенных равномерно в интервале [0  1].
randn (m, n) – функция для генерации матрицы случайных чисел, распределенных по нормальному закону с математическим
ожиданием М = 0 и дисперсией D = 1.
xr = real (х) – возвращает вещественную часть комплексного
числа х.
xc = round (x) – возвращает значение х, округленное до ближайшего целого.
subplot (m, n, p), где m, n, p – три цифры, производит разбивку
графического окна на несколько подокон для одновременной выдачи графиков (m указывает, на сколько частей разбивается окно по
вертикали, n – по горизонтали, р – номер подокна, куда выводится
очередной график, нумерация подокон осуществляется в порядке
растрового сканирования).
Wf1 = unwrap (Wf) – устраняет скачки фазы при построении
ФЧХ Wf.
text (x, y, ’текст’) – помещает в точке с координатами (x, y) начало указанного текста.
title (‘текст’) – команда размещения текста над графиком.
type имя файла – вывод на экран текста из указанного файла.
what – вывод на экран перечня имен М-файлов в текущем каталоге.
xlabel (‘текст’) – выводит текст в графическом режиме в текущем поле вывода ниже оси х.
ylabel (‘текст’) – выводит текст в графическом режиме в текущем поле вывода рядом с осью y.
zeros (m, n) – возвращает матрицу размером mn с нулевыми
элементами.
101
zplane (b, a) – вычисляет нули и полюсы фильтра по заданным
векторам его параметров b и a.
Xm = mean (X) – вычисляет среднее значение элементов вектора X.
Xs = std (X) – вычисляет среднеквадратическое отклонение элементов вектора X.
C = А.*В – поэлементное перемножение элементов векторов А и
В одинаковой размерности.
[ ] – используются для задания векторов и матриц путем перечисления их элементов. Выражение V = [ ] делает вектор пустым,
сохраняя его имя и освобождая память, отведенную под элементы.
; – в конце выражения или оператора предотвращает вывод результатов их вычисления на экран (блокировка вывода).
% – обозначает конец интерпретируемой строки, используется
для создания текстовых комментариев.
Созданиe меню
Приведем пример последовательности действий, реализующих
работу с меню:
while 1
upr = menu (‘заголовок’,‘текст на кнопке1’,‘текст на кнопке
2’, ..., ‘текст на кнопке N’);
if upr = = 1
...
...
elseif upr = = 2
...
...
...
elseif upr = = N
disp (‘выход из программы’);
break;
end
end
Выполнение приведенной программной конструкции приводит
к созданию меню – графической панели с предложенным текстом
заголовка и N расположенными ниже заголовка друг под другом
кнопками, на которые нанесены указанные текстовые строки. На
месте многоточий размещаются операции MATLAB, которые должны выполняться при нажатии соответствующей кнопки меню. После выполнения всей последовательности операций, соответствую102
щей какой-либо кнопке, программа снова ожидает нажатия какойлибо кнопки меню. Для прерывания такого циклического опроса
кнопок меню рекомендуется организовать завершение работы с
меню нажатием одной из кнопок (например, последней). Для этого,
как показано в примере, может служить функция break.
103
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ИНТЕРАКТИВНАЯ ОБОЛОЧКА
SIGNAL PROCESSING TOOLBOX
Программа SPTool (Signal Processing Toolbox) создает графическую среду для просмотра сигналов и их спектров, расчета и анализа фильтров, а также фильтрации сигналов.
Окно графического интерфейса пользователя SPTool открывается командой
>> sptool
и состоит из трех областей.
Область Сигналы позволяет просмотреть сигналы (кнопка Вид).
Под областью Фильтры расположены четыре кнопки, указывающие на то, что:
объекты (фильтры) могут быть созданы (Новый);
отредактированы (Правка);
просмотрены (Вид);
применены к объектам, выделенным в области Сигналы (Принять).
C объектами в области Спектры можно производить следующие
действия:
рассчитывать (Создать);
просматривать (Вид);
обновлять, т. е. создавать заново под тем же именем (Обновлять).
Типичный набор действий, выполняемый с помощью программы SPTool (средствами ее графического интерфейса пользователя),
включает в себя следующие операции:
загрузка сигнала;
просмотр графика сигнала;
определение и просмотр его спектра;
синтез фильтра с требуемой АЧХ;
фильтрация сигнала;
сохранение результатов работы.
Загрузка сигнала осуществляется с помощью меню Файл\Импорт (здесь и далее знаком “\” разделяются пункты последовательно возникающих меню и подменю). Если предварительно в данном
сеансе работы в среде MATLAB был создан вектор сигнала, то, выбрав в области Источник положение переключателя Из рабочего
пространства, в области Содержание рабочего пространства мож104
но увидеть имена всех переменных, находящихся в рабочем пространстве MATLAB. Выделив требуемый сигнал, можно перенести
его c помощью кнопки “” в поле ввода Данные. В поле Частота
выборки устанавливается значение частоты дискретизации, в поле
Имя – имя, под которым введенный вектор будет записан в среде
SPTool. После нажатия кнопки ОК импорт сигнала в среду будет
произведен, и в области Сигналы графического окна интерфейса
пользователя появится запись имени сигнала.
Сигнал может быть просмотрен с помощью кнопки Вид после
выделения в области Сигналы соответствующей ему записи. Основную часть окна отображения сигнала занимают два графика: нижний дает панораму всего сигнала, верхний позволяет рассмотреть
его фрагменты в выбранном масштабе. Кнопки панели инструментов служат для управления масштабом отображения сигнала и режимом отображения маркеров, позволяющих производить над сигналом количественные измерения.
Определение и просмотр спектра сигнала осуществляются
следующим образом. В области Сигнал графического окна SPTool
выделяется запись, соответствующая анализируемому сигналу, и
в области Спектры нажимается кнопка Создать. Появляется окно
Просмотр спектра c пустой графической областью. В меню Meтoд
выбирается метод нахождения спектра сигнала, например, FFT
(Fast Fourier Transform – быстрое преобразование Фурье) и задается число отсчетов (FFT, M). После нажатия кнопки Принять в возникшем графическом окне появляется спектр выделенного сигнала, а в области Спектры окна графического интерфейса SPTool –
его имя. С помощью маркеров можно произвести необходимые
количественные измерения параметров спектра. В дальнейшем
спектр можно просматривать, используя кнопку Вид.
Синтез фильтра с требуемой АЧХ. Если в области Фильтры
графического окна SPTool нажать кнопку Новый, то на экране появится окно Проектировщик фильтра. Это окно позволяет
выбрать:
тип фильтра по идеальной форме АЧХ (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ) –
с помощью меню Тип;
тип фильтра по форме реальной АЧХ (Баттерворта, Чебышева
и др.) – с помощью меню Алгоритм;
параметры полос пропускания (частота пропускания и уровень
пульсаций) и задерживания (частота и коэффициент подавления) –
Fp, Rp, Fs и Rs;
частоту дискретизации – в поле Частота выборки.
105
После нажатия кнопки Принять можно определить порядок
фильтра, а его имя появляется в возникшем окне Проектировщик фильтра и в области Фильтры окна графического интерфейса SPTool. С помощью кнопки Вид области Фильтры для фильтра,
соответствующего выделенной в этой области записи (имени фильтра), можно просмотреть графики основных его характеристик:
амплитудно-частотной;
фазочастотной;
импульсной;
переходной;
расположения полюсов и нулей передаточной функции.
Для определения коэффициентов разностного уравнения (коэффициентов передаточной функции) необходимо экспортировать
фильтр в рабочее пространство с помощью меню Файл\Экспорт.
В открывшемся окне Экспорт от SPTool выделяется имя экспортируемого фильтра и нажимается кнопка Экпортируйте в рабочее
пространство. С помощью команды имя фильтра.tf.num, набранной в командной строке поля команд MATLAB, возвращаются коэффициенты bk прямой связи (числителя передаточной функции),
а по команде имя фильтра.tf.den – коэффициенты ak обратной связи (знаменателя передаточной функции).
Применение синтезированного фильтра для фильтрации сигналов осуществляется путем выделения в графическом окне SPTool
в поле Сигналы имени фильтруемого сигнала, а в поле Фильтры –
используемого фильтра. После нажатия кнопки Принять в области
Сигналы графического окна SPTool появится имя сигнала на выходе фильтра. Просмотр сигнала и его спектра проводится так же,
как было описано ранее.
Все результаты работы в среде SPTool записываются в файл
*.spt, имя которого указано в заголовке графического окна SPTool.
Удалить лишние имена из областей графического окна SPTool
можно с помощью меню Правка\Очистить.
106
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .............................................................................
1. Аналоговые и цифровые системы обработки сигналов ..................
2. Спектры дискретизированных и непрерывных сигналов ..............
2.1. Спектры непрерывных сигналов .........................................
2.2. Спектры дискретизированных сигналов ..............................
2.3. Восстановление непрерывного сигнала по его дискретным
отсчетам................................................................................
3. Линейные дискретные системы ................................................
3.1. Виды дискретных сигналов................................................
3.2. Виды преобразований дискретных сигналов .........................
3.3. Свойства дискретных систем ..............................................
3.4. Частотная характеристика ................................................
3.5. Методы вычисления частотной характеристики ...................
3.6. Свойства частотной характеристики ...................................
3.7. Передаточная функция .....................................................
4. Цифровые фильтры ................................................................
4.1. Описание цифрового фильтра разностным уравнением ..........
4.2. Пример цифрового фильтра ...............................................
4.3. Связь передаточной функции с разностным уравнением ........
4.4. Исключение из правил ......................................................
4.5. Основные соотношения, характеризующие цифровой фильтр .
4.6. Классификация цифровых фильтров по форме амплитудночастотной характеристики.......................................................
4.7. Формы реализации цифровых фильтров ..............................
5. Дискретные преобразования ....................................................
5.1. Дискретное преобразование Фурье ......................................
5.2. Свойства дискретного преобразования Фурье .......................
5.3. Вычисление дискретного преобразования Фурье
действительных последовательностей .......................................
5.4. Вычисление обратного дискретного преобразования Фурье
с помощью прямого дискретного преобразования Фурье ..............
5.5. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием во времени .
5.6. Быстрое преобразование Фурье с прореживанием по частоте ..
5.7. Сравнение алгоритмов быстрого преобразования Фурье .........
5.8. Круговая свертка .............................................................
5.9. Теорема Бореля ................................................................
5.10. Линейная свертка ...........................................................
6. Синтез цифровых фильтров......................................................
6.1. Классификация методов синтеза цифровых фильтров ...........
6.2. Синтез рекурсивного фильтра методом билинейного
преобразования ......................................................................
6.3. Синтез рекурсивного фильтра методом инвариантного
преобразования импульсной характеристики .............................
3
6
9
9
10
13
18
18
20
20
23
24
25
26
28
28
29
32
34
35
37
39
45
45
46
47
48
49
55
57
59
60
61
63
63
63
67
107
6.4. Синтез нерекурсивного фильтра с использованием оконных
функций ............................................................................... 69
7. Ошибки квантования .............................................................. 74
7.1. Источники и форма проявления ошибок .............................. 74
7.2. Шумы аналого-цифрового преобразования при квантовании
сигналов ............................................................................... 75
7.3. Отношение сигнал/шум при квантовании ............................ 77
7.4. Шумы аналого-цифрового преобразования на выходе
цифрового фильтра ................................................................. 78
7.5. Шумы квантования при выполнении арифметических
операций в цифровом фильтре.................................................. 79
7.6. Шумы квантования при выполнении дискретного и быстрого
преобразований Фурье ............................................................ 83
7.7. Предельные циклы ........................................................... 86
7.8. Неравномерное квантование .............................................. 88
8. Спектральный анализ ............................................................. 90
8.1. Принципы спектрального анализа ...................................... 90
8.2. Методические ошибки измерений ....................................... 94
8.3. Расчет статистических характеристик обнаружения сигнала
и измерение его параметров ..................................................... 95
Литература ............................................................................... 97
Приложение 1. Программирование в среде MATLAB....................... 98
Приложение 2. Интерактивная оболочка Signal Processing Toolbox ... 104
108
Учебное издание
Сериков Всеволод Александрович
Луцив Вадим Ростиславович
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
Учебное пособие
Редактор А. А. Гранаткина
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 23.12.13. Подписано к печати 10.11.14.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 6,33.
Уч.-изд. л. 6,23. Тираж 100 экз. Заказ № 547.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Для заметок
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
660 Кб
Теги
serikovluciv
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа