close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shavinkova

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания
для студентов заочной формы обучения
Санкт-Петербург
2013
Составитель Е. С. Шавинкова
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. В. П. Попов; канд. физ.-мат.
наук И. В. Иванова
Методические указания по высшей математике включают варианты контрольных работ для студентов заочной формы обучения с
пояснениями к их выполнению.
Предназначены для студентов заочной формы обучения по направлениям 080100.62 «Экономика», 230100.62 «Информатика и
вычислительная техника» и по специальности 036401.65 «Таможенное дело» Ивангородского гуманитарно-технического института (филиала) ФГАОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического приборостроения».
Подготовлены кафедрой прикладной математики и информатики Ивангородского гуманитарно-технического института (филиала)
ФГАОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения».
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 27.03.13. Подписано к печати 18.04.13.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,0.
Уч.-изд. л. 5,4. Тираж 100 экз. Заказ № 217.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика является не только мощным средством решения
прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому математическое образование
следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавриата.
Данное пособие предназначено в первую очередь для студентов
первого курса.
В первом семестре студенты изучают разделы курса высшей математики, содержащейся в учебно-методическом комплексе и выполняют контрольные работы № 1 и № 2, а во втором семестре –
контрольную работу № 3.
Прежде чем выполнять контрольные работы, следует изучить
теоретический материал по указанной литературе, выработать навыки решения примеров и задач по соответствующей теме, разобрать решение типовых задач, приведенных в методических указаниях. При выполнении контрольных работ необходимо поддерживаться указанных правил:
1) контрольная работа должна быть выполнена студентом в отдельной ученической тетради в клетку, с полями не менее 3 см для
замечаний преподавателя;
2) на обложке тетради указывается фамилия, имя, отчество студента, номер варианта, курс и специальность;
3) условие задачи переписываются полностью, без сокращенных слов, после чего приводится подробное решение со ссылками
на использованные при решении определения, теоремы, формулы;
в конце решения записывается ответ; чертежи выполняются карандашом и линейкой;
3
4) в работу должны быть включены все задачи указанные в задании, строго по варианту. Контрольные задания, содержащие не
все задачи, а также задания не своего варианта, не зачитываются;
5) если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить
все требования преподавателя, указанные преподавателем, и сдать
работу с исправлениями на повторную проверку;
6) никакие исправления в тексте уже проверенной работы не
допускаются, все исправления записываются после исправлений
преподавателя с указанием номера задачи, к которой относятся дополнения и исправления.
4
Математика-1, 1 семестр
Линейная алгебра: матрицы, определители, системы линейных
алгебраических уравнений
Матрицы, их виды. Операции над матрицами: линейные операции над матрицами, транспонирование, умножение прямоугольных матриц.
Вычисление определителей. Решение квадратных систем линейных уравнений с помощью определителей, теорема Крамера.
Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения и их решения. Матричная запись системы линейных уравнений.
Элементы аналитической геометрии на прямой плоскости
Основные задачи на метод координат, геометрический смысл
уравнений и неравенств. Различные виды уравнения прямой линии на плоскости, системы линейных неравенств.
Введение в математический анализ
Производная, ее геометрический и физический смысл. Основные правила вычисления производных. Производные основных
элементарных функций. Применение производной к исследованию
функций: необходимые и достаточные условия экстремумов и их
классификация; выпуклость, вогнутость графика функции, точки
перегиба и их нахождение. Асимптоты графика функции.
Функции нескольких переменных
Частые приращения и частные производные. Их вычисление и
геометрический смысл. Полный дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия безусловных экстремумов.
5
Математика-1, 2 семестр
Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл, их основные свойства. Таблица первообразных. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей.
Определенный интеграл, его геометрический смысл и физический смысл и свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Различные применения определенных интегралов.
Ряды
Числовые ряды, сходящиеся и расходящиеся. Достаточные
признаки сходимости-расходимости положительных рядов. Закономерные ряды, понятие об абсолютной и условной сходимости.
Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
Дифференциальные уравнения
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, частное и общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Интегрирование уравнений с расходящимися переменными, однородных и приводящимся к ним.
6
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 1
Указания к задаче 1
Для решения задачи 1 (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения.
1. Угол наклона прямой к оси ОХ – это тот угол, на который
нужно повернуть ось ОХ, чтобы она совпала с данной прямой (или
оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если
поворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачиваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой j.
2. Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона
прямой к оси ОХ. Будем обозначать его буквой k. Следовательно,
k = tgj.
(1)
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая не параллельна оси OY (рис. 1), то ее уравнение
y = kx + b,
(2)
где b – координата точки пересечения прямой с осью OY; k – угловой коэффициент прямой; (x, y) – координаты любой точки на прямой.
Если прямая параллельна оси OY (рис. 2), то ее уравнение
x = a,
(3)
где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью OX.
4. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей угловой коэффициент k:
y–y0 = k(x–x0),
(4)
где (x0, y0) – координаты заданной точки на прямой, k – угловой
коэффициент прямой, (x, y) – координаты любой точки на прямой.
y
B(0, b )
y
ϕ
0
Рис. 1
x
0
A(a, 0)
x
Рис. 2
7
5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные, точки
М1(x1, y1) и М2(x2, y2):
8
l= ò
3
8
1 + x2 dx
( 1 + x2 )2 xdx
=ò
,
2
2
x
3 x 1+ x
(5)
где (x1, y1) – координаты одной точки на прямой; (x2, y2) – координаты
другой точки на прямой; (x, y) – координаты любой точки на прямой.
6. Общее уравнение прямой:
Ax + By + C = 0,
(6)
где A, B, С – заданные числа, причем А и В одновременно в нуль не
обращаются; (x, y) – координаты любой точки на прямой.
Если В не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобразовать следующим образом:
A
C
(6′)
y =- x- .
B
B
A
Тогда, сопоставив формулы (6′) и (2), имеем: k = - .
B
7. Условие параллельности двух прямых
k1 = k2;
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых.
8. Условие перпендикулярности двух прямых
(7)
k1·k2 = –1,
(8)
где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых.
9. Нахождение координат точки пересечения двух прямых.
Если две непараллельные прямые заданы своими уравнениями:
A1X + B1Y + C1 = 0 и A2X + B2Y + C2 = 0,
то координаты точки пересечения этих прямых – есть решение системы уравнений:
ìïï A1 X + B1Y + C1 = 0
í
ïïî A2 X + B2Y + C2 = 0.
(9)
10. Нахождение координат середины отрезка.
Если точка А имеет координаты (xa, ya), а точка В – (xb, yb), то
координаты середины О отрезка АВ можно найти по формулам:
8
x + xb
y + yb
, y0 = a
.
x0 = a
2
2
(10)
11. Нахождение длины отрезка.
Если точка А имеет координаты (xа, yа), а точка В – (xb, yb), то
длину отрезка АВ можно найти по формуле:
AB = (xb - xa )2 + (yb - yc )2 .
(11)
12. Свойства диагоналей параллелограмма и ромба.
Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам. Диагонали в ромбе взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
13. Свойства средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон
треугольника и параллельна третьей стороне.
Рассмотрим несколько примеров применения приведенных
формул.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых 2x + 3y–12 = 0 и x–y–1 = 0 и наклонной к оси
OX под углом π/4.
Решение. Найдем точку пересечения прямых 2x + 3y–12 = 0 и
x–y–1 = 0. Для этого следует решить систему уравнений (9):
ìï2(y + 1) + 3y -12 = 0 ìï2x + 3y -12 = 0
ïí
ïí
ïïx = y + 1
ïïîx - y -1 = 0
î
ìïïy = 2
ïìï5y -10 = 0
í
í
ïïîx = y + 1
ïïîx = 3
Следовательно прямая проходит через точку М0(3,2). Прямая
наклонена к оси ОX под углом π/4, поэтому по формуле (1) найдем
угловой коэффициент k = tgj = tgπ/4 = 1.
Прямая проходит через точку М0(3,2) и имеет угловой коэффициент k = 1, поэтому уравнение прямой будем искать в виде (4):
y–y0 = k(x–x0), где x0 = 3, y0 = 2, k = 1.
Тогда получим y–2 = 1(x–3)⇒x–y–1 = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
C(3, 2) и середину отрезка АВ, где А(3, 5), B(–7, 9).
Решение. Найдем координаты середины отрезка АВ по формулам (10):
x + xb
y + yb
x0 = a
, y0 = a
.
2
2
Подставляя xa = 3, xb = –7, ya = 5, yb = 9, получим x0 = –2, y0 = 7,
т.е. O(–2,7) – середина отрезка AB. Прямая проходит через две точ9
ки С(3,2) и О(–2, 7), поэтому ее уравнение будем искать в виде (5):
x - x1
y - y1
=
. Подставляя x1 = 3, x2 = –2, y1 = 2, y2 = 7, получим
x2 - x1 y2 - y1
x -3
y -2
x -3 y -2
=
Þ
=
Þ x + y - 5 = 0.
-2 - 3 7 - 2
-5
5
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
С(3, 2) параллельно прямой 4x + 5y–2 = 0.
Решение. Найдем угловой коэффициент k1 прямой 4x + 5y–2
= 0. Для этого представим уравнение в виде (2): у = kx + b.
4
2
y = - x + = k1x + b.
5
5
4
Следовательно, k1 = - .
5
Используя условие параллельности прямых (7), получим, что
угловой коэффициент прямой
4
k = k1 = - .
5
4
Так как прямая проходит через точку С(3, 2) и имеет k = - , то
5
уравнение прямой будем искать в виде (4): y–y0 = k(x–x0).
4
Подставляя x0 = 3, y0 = 2, k = - , получим
5
4
y - 2 = - (x - 3) Þ 4x + 5y - 22 = 0.
5
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямой 2x–3y + 12 = 0 с осью OX, перпендикулярно
прямой x + 2y + 4 = 0.
Решение. Найдем угловой коэффициент k1 прямой x + 2y + 4 =
0. Для этого представим наше уравнение в виде (2): у = kx + b.
1
y = - x - 2 = k1x + b.
2
1
Следовательно, k1 = - . Используя условие перпендикулярно2
1
сти прямых (8), получим угловой коэффициент прямой k = - = 2.
k1
Найдем точку пересечения прямой 2x–3y + 12 = 0 с осью
OX. В точке пересечения с осью OX координата y = 0, поэтому
2x + 12 = 0⇒ x = –6. Получаем точку С(–6, 0). Прямая проходит
10
через точку С(–6, 0) и имеет k = 2, поэтому уравнение прямой будем
искать в виде (4): y–y0 = k(x–x0).
Подставляя x0 = –6, y0 = 0, k = 2 получим
y - 0 = 2(x + 6) Þ 2x - y + 12 = 0.
Пример. При каких значениях а прямые (а–3)x + 4y + 1 = 0 и
3x + 8y + 1 = 0 перпендикулярны?
Решение. Представим уравнения прямых в виде (2): у = kx + b.
y =-
1
3
1
a -3
x - = k1x + b1, y = - x - = k2 x + b2 .
4
4
8
8
3
a -3
, k2 = - . Воспользуемся условием
4
8
перпендикулярности прямых (8): k1k2 = –1.
Следовательно, k1 = -
æ a - 3 ö÷ æ 3 ö÷
32
23
çç÷× çç- ÷ = -1 Þ a - 3 = - Þ a = .
èç
4 ø÷ èç 8 ø÷
3
3
Пример. Найти проекцию точки А(1, 1) на прямую 2x + 3y
+ 12 = 0.
Решение. Проекция точки на прямую – это точка пересечения
данной прямой и перпендикуляра к ней, проведенного через точку
А. Найдем угловой коэффициент k1 данной прямой. Для этого представим уравнение 2х + 3у + 12 = 0 в виде (2): у = k1x + b.
2
2
y = - x - 4 = k1x + b, ò.å. k1 = - .
3
3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия
перпендикулярности двух прямых (8): k1k2 = –1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим
2
3
- k = -1 Þ k = .
3
2
Так как перпендикуляр проходят через точку А(1,1) и имеет
3
k = , то будем искать его уравнение в виде (4): y–y0 = k(x–x0).
2
3
3
Подставляя x0 = 1, y0 = 1, k = , получим: y -1 - 4 = (x -1) Þ 3x --2y 2
2
3
4 = (x -1) Þ 3x --2y -1 = 0.
2
Найдем точку пересечения прямой 2x + 3y + 12 = 0 и перпендикуляра 3x–2y + 1 = 0, решая систему уравнений (9):
11
ìï
21
ïx = ïìï2x + 3y + 12 = 0 ìïï6,5x + 10,5 = 0 ïï
13
Þí
Þí
í
ïîï3x - 2y -1 = 0
ïï
38
îïïy = 1,5x - 0,5
ïïy = - .
13
îï
æ 21 38 ö
Следовательно, точка A1 çç- ,- ÷÷÷, проекция точки А(1,1) на
çè 13 13 ø
прямую 2x + 3y + 12 = 0.
Пример. Точки A(–2,–l), В{5,–2) и С (0,4) являются вершинами
треугольника ABC. Найти точку пересечения меридиан треугольника.
Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой M, а середину
стороны АС буквой N. Тогда координаты точек M и N найдем по
формулам деления отрезка пополам.
xb + xc 5 + 0
y + yc -2 + 4
=
= 2,5, ym = b
=
= 1 Þ M (2,5 : 1),
2
2
2
2
x + xc -2 + 0
y + yc -1 + 4
xn = a
=
= -1, yn = a
=
= 1,5 Þ M (-1 : 1,5).
2
2
2
2
xm =
Уравнения медиан AM и BN найдем, используя формулу для
уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AM проходит через точки А(–2;1) и М(2,5;1), поэтому:
x - xa
y - ya y + 1
4
4
1
x +2
;
=
=
Þ y + 1 = (x + 2) Þ y = x - .
9
9
9
xm - xa ym - ya 1 + 1 2,5 + 2
Медиана BN проходит через точку B(5;–2) и N(–1;1,5), поэтому
x - xb
y - yb y + 2
7
7
11
x -5
;
=
=
Þ y + 2 = - (x - 5) Þ y = - x + .
12
12
12
xm - xb ym - yb 1,5 + 2 -1 - 5
Точку пересечения медиан AM и BN найдем из системы уравнений:
4
1
4
1
4
1
ïìï
ïìï
ïìï
ïy = 9 x - 9
ïy = 9 x - 9
ïy = 9 x - 9 ìïïx = 1
ïí
Þ ïí
Þ ïí
Þ ïí
ïï
ïïy = 1 .
7
11 ïï 4
1
7
11 ïï 37
37
y
x
x
x
x
=
+
=
+
=
ïï
ï
ï
ï
3
12
12 ïîï 9
9
12
12 ïîï 36
136 î
îï
æ 1ö
т.е. точка пересечения медиан имеет координаты çç1, ÷÷÷.
çè 3 ø
Пример. При каком m прямая 5у–mx + m–2 = 0 проходит через
точку A(–1;2)?
12
Решение. Так как точка А(–1;2) принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, поэтому имеем
5 × (2) - m × (-1) + m - 2 = 0 Þ 10 + m + m - 2 = 0 Þ m = -4.
Указания к задаче 2
Задача 2 связана с графическим решением системы неравенств с
двумя переменными. Для решения этой задачи используются следующие соображения.
1. Любое уравнение вида Ax + By + C = 0 определяет на плоскости
некоторую прямую L, делящую плоскость на две части (полуплоскости), лежащие по разные стороны от прямой. В пределах каждой из
них левая часть уравнения сохраняет знак: в одной из полуплоскостей она положительна, а в другой отрицательна. Для определения
знака выражения Ax + By + C в пределах каждой из полуплоскостей
достаточно вычислить его в любой точке этой полуплоскости (рис. 1).
Для решения системы линейных неравенств нужно для каждого
из неравенств построить соответствующую прямую и выяснить, в
какой из определяемых ею полуплоскостей левая часть имеет нужный знак, а затем определить пересечение (общую часть) всех выделенных полуплоскостей.
Пример. Решить графически систему линейных неравенств и
найти координаты вершин полученной области.
ì2x1 + 3x2 £ 12,
ï
ï
ï
ï
ï3x1 - 4x2 ³-8,
í
ï
3x2 ³-3,
ï
ï
ï
ï
ï
îx1 £ 0.
(1)
(2)
(3)
(4)
y
L
x
0
Рис. 1
13
Решение. Начнем с рассмотрения неравенства (1) 2x1 + 3x2≤12.
Прямая L1, соответствующая этому неравенству, описывается
уравнением: 2x1 + 3x2 – 12 = 0.
Для ее построения найдем две точки, лежащие на прямой. Положим x1 = 0, тогда x2 = 4, т.е. прямая проходит через точку (0;4).
Будем откладывать x1 по оси абсцисс, а x2 по оси ординат. Положим теперь x2 = 0, тогда x1 = 6, т.е. прямая проходит через точку
(6;0). Нанесем эти точки на рис. 2 и проведем через их прямую L1.
В начале координат (0;0) левая часть уравнения (т.е. 2x1 + 3x2 – 12)
отрицательна: 2x1 + 3x2 – 12|(0,0) = 2·0 + 3·0 – 12 = – 12<0. Следовательно, все точки, в которых 2x1 + 3x2 – 12<0, лежат по ту же
сторону от прямой L1, что и начало координат (0;0). На рис. 2 это
отмечено стрелками. Мы построили множество решений первого
неравенства. Аналогично поступим с остальными неравенствами.
Прямая L2, соответствующая неравенству (2), описывается
уравнением: 3x1–4x2 + 8 = 0.
æ 8 ö
Она проходит через точки çç- ,0÷÷÷ и (0;2). Нанесем эти точки на
çè 3 ø
рис. 2 и проведем через них прямую L2.
В начале координат (0;0) левая часть уравнения (т.е. 3x1–4x2 + 8
= 0) положительна. Следовательно, все точки, в которых 3x1–4x2 +
8≥ 0, лежат по ту же сторону от прямой L2, что и начало координат.
На рис. 2 это отмечено стрелками.
Прямая L3, соответствующая неравенству (3), описывается
уравнением x2 + 3 = 0.
y
L2
B
0
L
A
C
x
L
Рис. 2
14
L1
Она проходит через точку(0,–3)и параллельна оси абсцисс. Нанесем ее на рис. 2. Вначале координат (0;0) левая часть уравнения
(т.е. x2 + 3) положительна. Следовательно, все точки, в которых x2
+ 3>0, лежат по ту же сторону от прямой L3, что и начало координат. На рис. 2 это отмечено стрелками.
Прямая L4, соответствующая неравенству (4), описывается
уравнением x1 = 0. На рисунке – это ось ординат. В точке (1;0) левая часть уравнения (т.е. x1) положительна. Следовательно, все
точки, в которых x1<0, лежат по другую сторону от прямой L4, чем
точка (1;0). На рис. 2 это отмечено стрелками.
Теперь заштрихуем ту часть плоскости, которая соответствует
всем стрелкам. Получим треугольник ABC. Из рисунка видно, что
B(0;2), C(0;3). Точка A является точкой пересечения прямых L2 и
L3, поэтому ее координаты найдем, решив систему уравнений:
ì
ì
20
ï
ï
ï3x1 - 4x2 + 8 = 0 ì
æ 20
ö
x1 = ï3x1 - 4(-3) + 8 = 0 ï
ï
Þï
Þï
3 Þ A ççç- ,-3÷÷÷.
í
í
í
ï
ï
ï
è 3
ø
x2 + 3 = 0
x2 = 0 - 3
ï
ï
ï
î
ï
ï
î x2 = -3
ï
î
Следовательно, координаты вершин нашей области:
æ 20
ö
A çç- ,-3÷÷÷, B(0;2), C(0;-3).
çè 3
ø
Указания к задаче 3
Meтод Жордана
Система линейных алгебраических уравнений называется системой с базисом, если в каждом ее уравнении имеется выделенное
неизвестное, не входящее ни в одно из остальных уравнений и входящее в данное уравнение с коэффициентом, равным единице. При
соответствующей нумерации неизвестных (в k-м уравнении выделенной служит неизвестная xk) система с базисом имеет вид
ìïx1 + ........... + a1m+1xm+1 + ........... + a1n xn = b1
ïï
ï.......x2 + .... + a2m+1xm+1 + ........... + a2n xn = b2
ïí
ïï.....................................................................
ïï
ïïî..............xm + anm+1xm+1 + ........... + amn xn = bm
(A)
Выделенные неизвестные x1, x2, ..., xm называют базисными, а
остальные – свободными (небазисными).
15
Если члены, содержащие свободные неизвестные, перенести в
правую часть, то система с базисом запишется в следующем эквивалентном виде:
ìïx1 = b1 - a1m+1xm+1 - ........... - a1n xn
ïï
ïïx2 = b2 - a2m+1xm+1 - ........... - a2n xn
(B)
í
ïï.......................................................
ïï
ïïîxm = bm - anm+1xm+1 - ........... - amn xn
Решение системы (В) получается сразу: надо придать свободным
неизвестным любые значения и определить из системы (В) отвечающие им значения базисных неизвестных. Ясно, что полученный
таким образом набор значений x1, x2, ..., xm, xm + 1, ..., xn, будет
решением системы (В) и, тем самым, решением исходной системы
(А). Также ясно, что таким образом может быть получено любое решение исходной системы. Другими словами: соотношения (В) дают
общий вид решения системы (А).
Пример.
ïìï3x1 + x2 + 2x3 - x4 ................................. = 10,
ï
В системе ï
í2x1........ - 5x3 + x4 + x5 .......................... = 8,
ïï
ïïî4x1....... + 3x3 - 5x4 ............................x6 = 15,
базисными неизвестными служат x2, x5, x6. Решая систему относительно этих неизвестных, получим
ìïx2 = 10 - 3x1 - 2x3 + x4
ïï
ïíx = 8 - 2x + 5x - x
1
3
4
ïï 5
ïïîx6 = 15 - 4x1 - 3x3 + 5x4
Эти формулы дают общее решение исходной системы: при любых конкретных значениях свободных неизвестных x1, x3, x4, они
дают решение системы, и любое решение может быть получено
таким путем. Положив, например, x1 = x3 = x4 = 0, получим для
базисных неизвестных x2 = 10, x5 = 8, x6 = 15 и решение системы –
вектор X(0) = (0;10;0;0,8;15). При x1 = 1, x3 = –1, x4 = 4 получим
значения x2 = 10–3 + 2 + 2 = 11, x5 = 8–2–5–4 = –3. x6 = 15–4 + 3 +
10 = 24 и решение – вектор. X(1) = (1;11;–1;4;–3;24).
Заметим, что решение, в котором все свободные неизвестные
равны нулю, называется базисным. В нашем примере – это X(0).
Решение общей системы линейных алгебраических уравнений
методом Жордана заключается в планомерном преобразовании системы к эквивалентной ей системе с базисом.
16
Алгоритм метода опишем на конкретном примере системы:
ìï7x1 - x2 + 5x3 - x4 + 2x5 = 12,
ïï
ï3x1 + 4x2 - x3 + 6x4 - 3x5 = 9,
ïí
ïï11x1 - 6x2 + 11x3 - 8x4 + 7x5 = 15(10),
ïï
ïïî-x1 + 2x2 - x3 + 5x4 - x5 = 4.
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
Систему рассматриваем для двух возможных значений правой
части b3, третьего уравнения b3 = 15 и b3 = 10.
Отдельный шаг преобразования заключается в назначении в одном из уравнений неизвестной, которая должна быть в нем базисной, и исключении ее из остальных уравнений. Этот шаг повторяется до тех пор, пока это возможно (см. ниже).
Выделим в первом уравнении неизвестную х2. Так как коэффициент при базисной неизвестной должен равняться единице, то делим обе части уравнения на коэффициент при х1 (т.е. на –1). Получим
–7х1 + x2–5x3 + х4–2x5 = –12.
(1′)
Пользуясь уравнением (1′), исключим неизвестную х2 из остальных уравнений. Для этого умножаем (1′) на –4 и складываем с уравнением (2). Затем умножаем (1′) на 6 и складываем с уравнением (3)
Затем умножаем (1›) на – 2 и складываем с уравнением (4).
(2¢)
31x1 + 19x3 + 2x4 + 5x5 = 57
-31x1 -19x3 - 2x4 - 5x5 = -57(-62) (3¢)
13x1 + 9x3 + 3x4 + 3x5 = 28.
(4 ¢)
(2¢)
(3¢)
(4 ¢)
Базисная переменная в первом уравнении выделена. При этом
получена эквивалентная система (1′)–(4′).
Аналогичным образом выбираем неизвестную х4, в уравнении
(2′) и превращаем ее в базисную и т.д. Весь алгоритм оформляется
в виде последовательных преобразований (описанного выше типа)
таблицы, в которой записана вся информация о системе, каждая
строка таблицы дает запись одного уравнения. В первом столбце записаны правые части уравнений, в остальных – коэффициенты при
неизвестных.
Каждый шаг (так называемая большая итерация) требует выполнения следующих действий.
1. Выбор главного (ключевого или ведущего) элемента.
За главный элемент можно принять любой отличный от нуля коэффициент при одном из неизвестных. В каждой строке главный
17
элемент может выбираться только один раз. Невозможность выбора главного элемента говорит об окончании вычислений. Выбранный элемент заключается в квадратик. Его строку и столбец будем
называть ключевыми.
2. Преобразование ключевой строки.
Все элементы ключевой строки делятся на главный элемент. На
его месте возникает единица. Полезно ее подчеркнуть.
3. Назначение дополнительных множителей.
Каждой не ключевой строке исходной таблицы соотносится
множитель, равный взятому с обратным знаком ее элементу, стоящему в ключевом столбце. Эти множители приписаны справа от
таблицы.
4. Преобразование неключевых строк.
Для преобразования неключевой строки нужно каждый элемент
преобразованной ключевой строки умножить на дополнительный
множитель преобразуемой строки и добавить к соответствующему
элементу.
5. Если в ходе вычислений появляется строка вида
b
x1
x2
……
xn
b≠0
0
0
…….
0
т.е. строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны
нулю, а свободный член отличен от нуля, то система не имеет решений.
Действительно, всякое решение системы должно удовлетворять
уравнению, записанному в этой строке, которое имеет вид
0∙x1 + 0∙x2 + ……………..0∙xn = b≠0.
Поскольку его левая часть равна нулю для любых значений x1,
x2, …, xn, а правая часть отлична от нуля, то ему не может удовлетворять ни один такой набор.
6. Если в ходе вычислений появляется строка, состоящая из одних нулей, то ее можно удалить из таблицы, так как такая строка
отвечает уравнению:
0∙x1 + 0∙x2 + ……………..0∙xn = 0,
которому удовлетворяет любой набор значений x1, x2, …, xn и поэтому ее можно не учитывать.
Заметим, что появление строки из одних нулей свидетельствует
о том, что записанное в ней уравнение является следствием других
уравнений системы.
18
Если при применении алгоритма не возникает противоречивой
ситуации, описанной в п. 5, то в каждой строке заключительной
таблицы (т.е. в каждом уравнении) имеется базисная неизвестная,
и система оказывается приведенной к эквивалентной системе с базисом.
Применим описанный алгоритм к системе из примера.
b
x1
x2
x3
x4
x5
Дополнительный
множитель
12
9
15(10)
4
7
3
11
–1
–1
1
6
–8
5
2
–3
7
–1
–
–4
6
–2
–12
57
57(–62)
28
–7
31
–31
13
4
–6
2
1
0
0
0
5
–1
11
–1
–5
19
–19
9
1
2
–1
–
2
–3
Т.3
–40,5
28,5
0(–5)
–57,5
–22,5
15,5
0
–33,5
1
0
0
0
–14,5
9,5
0
–19,5
–2
3
0
1
0
0
–2
5
–5
3
–4,5
2,5
0
–4,5
4,5
–2,5
–
–
*
Т.4*
*
17
–31/9
115/9
11
–28/9
67/9
1
0
0
5
–4/3
19/3
0
1
0
0
0
1
Т.1
*
Т.2
*
*
В Т.1 за главный элемент выбран коэффициент при x2 в 1-м
уравнении. В Т.2 соответствующая строка помечена звездочкой в
знак того, что в ней выбирался главный элемент. Затем эта строка
умножается на соответствующие множители и добавляется к строкам исходной таблицы.
Дальнейшие действия аналогичны и понятны из приведенных
таблиц.
В Т.3 появляется строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю.
Если в исходной таблице свободный член b3 = 10, то появилась
противоречивая строка, 0∙x1 + 0∙x2 + 0∙x3 + 0∙x4 + 0∙x5 = –5.
Следовательно, система не имеет решений.
Если же b3 = 15, то третья строка таблицы Т.3 состоит из одних
нулей и удаляется из таблицы.
Дальнейшее решение (Т.4) касается только этого случая.
В Т.4 все строки помечены звездочками, т.е. главный элемент
появлялся в каждой из них, и выбор его более невозможен.
19
Работа алгоритма закончена. Т.4 дает запись системы с базисом,
эквивалентной исходной:
ì
ï
ï
ï11x1 + x2 + 5x3 ................... = 17
ï
ï
ï
4
31
ï 28
í- x1 - x3 + x4 ............. = ï
9
3
9
ï
ï
ï
67
13
115
ï
x1 - x3 ...............5x4 =
.
ï
ï
3
9
ï
î9
Общее решение последней, а значит, и исходной системы даете
формулами:
ì
ï
ï
ï
x2 = 17 -11x1 - 5x3
ï
ï
ï
31
28
4
ï
x3 + x3
íx4 = - x1 +
ï
9
9
3
ï
ï
ï
115
67
13
ï
x5 =
- x1 - x3 , ãäå x1 è x3 - ëþáûå.
ï
ï
9
9
3
ï
î
Например, при x1 = 1 и x3 = 1 получаем x, = 1, x4 = 1, x5 = 1, т.е.
получаем решение X = (1;1;1;1;1). Положив x1 = x3 = 0, получаем
базисное решение Xбаз = (0; 17; 0;–31/9; 115/9). В заключение этого пункта отметим, что метод Жордана позволяет полностью исследовать любую систему линейных алгебраических уравнений:
1) если в ходе вычислений появляется «противоречивая строка»
b≠0
0
0
……..
0
то система не имеет решений. Уравнение, отвечающее этой строке,
противоречит уравнениям, строки которых помечены звездочками
(т.е. в которых выделялся главный элемент);
2) если «противоречивая строка» в ходе вычислении не появлялась, то система имеет решение. Его общий вид получается из
последней таблицы. Если есть свободные неизвестные, то система
имеет бесконечно много решений. Если свободных переменных
нет, то система имеет единственное решение;
3) появление нулевой строки показывает, что соответствующее
ей уравнение является следствием уравнений, помеченных звездочками в данной таблице. Число независимых уравнений равно
числу ненулевых строк последней таблицы (в случае разрешимости
системы).
20
Указания к задаче 4
Задача 4 связана с действиями над матрицами. Для решения
этой задачи следует использовать следующие сведения.
1. Всякая система m·n, расположенная в виде прямоугольной
таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей
размера m×n и записывается в виде:
æ a11
çç
çç a21
Am´n = çç
ççç ...
çça
è m1
a12
a22
...
am2
... a 1n ö÷
÷
... a2n ÷÷÷
i = 1¸ m
÷÷ = {aij}
÷
... ... ÷
j = 1¸ n
÷÷
... amn ÷ø
2. Матрица размера m×m (количество строчек равно количеству
столбцов) называется квадратной матрицей порядка m.
3. Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего
угла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.
4. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят
единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей n, обозначается следующим образом:
æ 1
0 ... 0 ö÷
çç
÷
çça21 1 ... a2n ÷÷
÷÷
ç
Em´m = ç
çç ... ... ... ... ÷÷÷
÷÷
çç
çè 0
0 ... 1 ø÷
5. Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е.
если
i = 1¸ m
i = 1¸ m
, Bm´n = {bij }
,
j = 1¸ n
j = 1¸ n
è Am´n = Bm´n , òî aij = bij äëÿ âñåõ i = 1 ¸ m è âñåõ j = 1 ¸ n.
Am´n = {aij }
i = 1¸ m
,
j = 1¸ n
на число α называется матрица Cm×n, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы Am×n на
число α.
6. Произведением матрицы Am´n = {aij }
αAm´n = Ñm´n , åñëè ñij = αàij äëÿ âñåõ i = 1 ¸ m è âñåõ j = 1 ¸ n.
21
7. Суммой двух матриц одной размерности Am´n = {aij }
}
i = 1¸ m
,B
= {bi
j = 1 ¸ n m´n
i = 1¸ m
i = 1¸ m
называется матрица Cm×n той же размерности,
, Bm´n = {bij }
j = 1¸ n
j = 1¸ n
каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов
матриц Am×n и Bm×n, т.е.
Am´n + Bm´n = Ñm´n , ãäå
ñij = aij + bij äëÿ âñåõ i = 1 ¸ m è j = 1 ¸ n.
8. Умножение матрицы на матрицу.
Пусть даны две матрицы Am×n и Bn×k, таких что число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц называется матрица Cm×k, каждый элемент которой cij равен
сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на
соответствующие элементы j-го столбца матрица В, т.е.
ñij = ai1bj1 + ai2 bj2 + ai3bj 3 + ..... + ain bnj ,
äëÿ âñåõ i = 1 ¸ m è âñåõ j = 1 ¸ k.
Заметим, что AB≠BA
9. Определители квадратных матриц.
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое
a11.............a1m
Δ A = .......................
a1m ............amn
Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков.
а. Пусть
А = (а11), тогда Δ A = a11 = a11. (1)
Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого
порядка совпадает с элементами матрицы А11.
б. Пусть 
22
æa11a12 ö÷
a a
÷÷, òîãäà Δ A = 11 21 = a11a22 - a21a21.
A = çç
çèa21a22 ø÷
a21a22
(2)
Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго
порядка, равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.
в. Пусть
æa11a12a13 ÷ö
a11a12a13
çç
÷
A = çça21a22 a23 ÷÷÷, òîãäà Δ A = a21a22 a23 = a11a22 a33 +
çç
÷÷
a31a32 a33
èça31a32 a33 ÷ø
+a21a32 a13 + a12 a23 a31 - a13 a22 a31 - a23 a32 a11 - a12 a21a33 .
(3)
Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2), но это
и не требуется, так как существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит
определитель для матрицы третьего порядка.
Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.
Схема 1
Схема 2
Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три
слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.
10. Алгебраическим дополнением элемента аij квадратной матрицы Am×n называется число Аij, вычисляемое по формуле: Aij =
(–1)i + j·Mij, где Mij – определитель, полученный из определителя
матрицы Am×n удалением строки с номером i и столбца с номером j.
11. Обратная матрица.
Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если AA–1 =
–1
A A = E, где Е – единичная матрица. Из определения следует,
что матрицы А и А–1 – квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от
нуля и:
23
æ A11 A21......... Am1 ö÷
çç
÷÷
çç A A ......... A
1
12 22
m2 ÷÷÷
-1
ç
A =
ç
÷,
Δ A çç....................... ÷÷
÷
çç
çè A1m A2m ......... Amn ø÷÷
где Aij – алгебраические дополнения элемента aij матрицы Am×n.
12. Решение простейших алгебраических уравнений:
а) АX = В, где А и В – заданные матрицы, причем А – квадратная
матрица, определитель которой ≠0. Тогда X = А–1В.
б) XА = В – где, А и В заданные матрицы, причем А – квадратная
матрица, определитель которой ≠0. Тогда X = А–1X.
Примеры
1. Выполнить действия: (А + 2В)С, где
æ5 - 2 ö÷
æ -3 1ö÷
æ5 3 7 ö÷
çç
÷÷, Ñ
÷÷, Â2´2 = ççç
÷
=
A2´2 = ççç
2
´
3
ç
÷
÷ø÷÷
çç4
÷
çè 2 5 ÷ø÷
ç
1
2
1
è
1
è
ø
Решение
æ
ö æ
ö
ç5 - 2 ÷÷ çç10 - 4 ÷÷
2Â = 2çç
÷÷ = ç
÷÷, (ïî ï. 6) À + 2Â =
çç4 1÷ çç8
2÷ø
è
ø è
æ-3 1ö÷ æç10 - 4 ö÷ æ7 - 3 ÷ö
÷÷ = çç
÷÷ + çç
÷÷ (ïî ï. 7)
= ççç
÷ ç
÷
÷
ç
èç2 5ø÷ çè8
2÷÷ø èç10 7ø÷
æ7 - 3 ö÷ æ5 3 7 ö
÷÷ =
( À + 2Â)Ñ = ççç
÷÷× çç
çè10 7÷÷ø çè1 2 -1÷ø÷
æ7 × 5 + (-3) ×1 7 × 3 + (-3) × 2 7 × 7 + (-3) × (-1)ö÷ æ32 15 52 ö
÷÷ (ïî ï. 8).
÷÷ = çç
= ççç
çè10 × 5 + 7 ×1 10 × 3 + 7 × 2 10 × 7 + 7 × (-1) ø÷÷ èç57 44 63ø÷÷
æ3 1 ö÷
ç
÷÷
2. Найти А–1, если A2´2 = çç
çç2 -3÷÷
è
ø
Решение
Δ=
3
1
2 -3
= -9 - 2 = -11 ¹ 0 Þ,
1 æ À11 À21 ö÷
÷
следовательно существует À-1 è À-1 = çç
Δ çè À12 À22 ÷÷ø
24
1+1
À11 = (-1)
2+1
À21 = (-1)
× -3 = -3
× 1 = -1
1+2
× 2 = -2
2+2
× 3 =3
À12 = (-1)
À22 = (-1)
æ 3
1 ö÷
çç÷
æ
ö
3
1
1 ç
÷÷ çç 11 11 ÷÷÷
-1
ç
Тогда À =
÷.
÷=ç
3 ÷÷÷
-11 çèç-2 3 ÷÷ø ççç 2
÷
ççè 11
11÷ø
–1
Проверим, верно ли нашли А . Для этого умножим А на А–1 и
убедимся, что получим единичную матрицу.
æ 3
1 ö æ2
2
ç- ÷÷ ç +
æ
1 ÷÷ö ççç 11 11 ÷÷ ççç11 11
çç3
÷÷× ç
÷÷ = ç
çç
3 ÷÷÷ çç 6
6
çè2 -3÷ø ççç- 2
÷ ç çèç 11
11ø÷ çèç11 11
3
3ö
- ÷÷÷ æ
ö
11 11÷÷ çç1 0÷÷
÷÷
÷÷ = çç
2
9÷
+ ÷÷÷ èç0 1÷ø
11 11ø
3. Решить уравнение AX–B = C, где
æ-3 1 2ö÷
æ3ö÷
æ5ö÷
çç
çç ÷
çç ÷
÷÷
÷
À = çç 2
1 0÷÷, B = çç2÷÷, C = çç1÷÷÷
çç
çç ÷÷
çç ÷÷
÷
çè 1 -1 2ø÷÷
èç1ø÷
èç0ø÷
Решение
ÀX = C + B X = A-1 (C + B)
æ5ö÷ æ3ö÷ æ8ö÷
-3 1 2
çç ÷ çç ÷ çç ÷
C + B = çç1÷÷÷ + çç2÷÷÷ = çç3÷÷÷ Δ A = 2
1 0=
çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
çè0÷ø çè1÷ø èç1÷ø
1 -1 2
= -3 ×1× 2 + 2 × (-1) × 2 + 1× 0 ×1 - 2 ×1×1 - 0 × (-1) × (-3) - 1× 2 × 2 = -16
1+1
×
1 0
1+2 2 0
= 2, À12 = (-1)
×
= -4,
-1 2
1 2
1+3
×
2 1
= -3;
1 -1
2+1
×
1 2
2+2 -3 2
= -4, À22 = (-1)
×
= -8,
-1 2
1 2
2+3
×
-3 1
= -2;
1 -1
3+1
×
1 2
3+2 -3 2
= -2, À32 = (-1)
×
= 4,
1 0
2 0
À11 = (-1)
À13 = (-1)
À21 = (-1)
À23 = (-1)
À31 = (-1)
25
13
1 -1
2+1
×
1 2
2+2 -3 2
= -4, À22 = (-1)
×
= -8,
-1 2
1 2
2+3
×
-3 1
= -2;
1 -1
3+1
×
1 2
3+2 -3 2
= -2, À32 = (-1)
×
= 4,
1 0
2 0
3+3
×
-3 1
= -5.
2 1
À21 = (-1)
À23 = (-1)
À31 = (-1)
À33 = (-1)
æ1
çç
æ 2 -4 2 ö÷ ççç 8
÷÷ çç 1
1 ççç
Тогда À-1 =
çç-4 -8 4 ÷÷÷ = çç
-16 ç
÷ ç4
èç-3 -2 -5ø÷ ççç 3
çç
çè16
æ1
ççç
çç 8
ç1
X = ççç
çç 4
çç 3
çç
èç16
1 1 ÷ö
÷
4 8 ÷÷÷
1
1 ÷÷
- ÷÷÷
2
4 ÷÷
÷
1 5 ÷÷÷
÷
8 16 ÷ø
æ 1 ö÷
1 1 ö÷
çç- ÷
÷
4 8 ÷÷÷æ8ö çç 8 ÷÷÷
÷ ç
1
1 ÷÷çç ÷ ç 13 ÷÷÷
÷
- ÷÷÷çç3÷÷÷ = ççç
2
4 ÷÷çç ÷÷ çç 4 ÷÷÷
÷÷çè1÷ø ç
÷÷
1 5 ÷÷
çç 35 ÷÷
÷
÷
çç
è 16 ø÷
8 16 ø÷
Проверка
æ 1 ö÷
æ 3 13 35 ÷ö
çç- ÷
çç + +
÷÷
÷
æ-3 1 2ö÷ççç 8 ÷÷ æ3ö÷ ççç 8 14 8 ÷÷ æ3ö÷ æ5ö÷
÷ç 13 ÷÷ çç ÷ ç
ççç
1 13 ÷÷÷ ççç ÷÷ ççç ÷÷
÷÷ - ç2÷÷ = ç1÷÷;
1 0÷÷÷ççç ÷÷÷ - çç2÷÷÷ = ççç - +
çç 2
÷÷ç 4 ÷÷ çç ÷÷ ç
÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
4
4
çç
è 1 -1 2÷øççç 35 ÷÷÷ çè1÷ø ççç 1 13 35 ÷÷÷ çè1÷ø çè0ø÷
çç ÷÷
çç- - + ÷÷
èç 16 ÷ø
èç 8 4
8 ÷ø
æ 1 ö÷
çç- ÷
çç 8 ÷÷
çç ÷÷÷
13
Следовательно, X = ççç ÷÷÷.
çç 4 ÷÷
çç 35 ÷÷÷
çç ÷÷
çè 16 ø÷
26
Контрольная работа № 1
Задача 1
1. Прямая проходит через точку пересечения прямых 5x + 2y +
1 = 0 и 2x–3y + 8 = 0 и параллельна прямой 7x + 9y–8 = 0. Написать
ее уравнение.
2. Точки А(–3;4) и В(4;5) являются противоположными вершинам ромба. Написать уравнения его диагоналей.
3. Найти проекцию точки А(2;–1) на прямую 4х + 3у–10 = 0.
4. На прямой 3х + 2у–9 = 0 найти точку, равноудаленную от точек А(2;–1) и B(5;4).
5. Прямая проходит через середину отрезка АВ, где А(4;–1),
В(3;5), и наклонена к оси ОХ под углом 2/3π. Найти ее уравнение.
6. При каком а прямые 4х + (3а + 2)у + 7 = 0 и 2ax–3y + 7х + 11 =
0 перпендикулярны друг другу?
7. Прямая проходит через точку пересечения прямых 3x–4y–
18 = 0 и 5x + 3y–1 = 0, и перпендикулярна прямой 3х + 9y–7 = 0.
Найти точки пересечения этой прямой с осями координат.
8. Точка А(1;–3) является вершиной трапеции, а прямая 4x +
3у–5 = 0, одним из ее оснований. Найти уравнение другого основания.
9. Найти точку, симметричную точке А(–5;–1) относительно
прямой 4х + 3y + 8 = 0.
10. При каком значении а прямые 3ах + 6y + 2y + 7 = 0 и 5x +
(–7а)у + 11 = 0 параллельны друг другу?
11. Точки А(2;–3) и В(1;4) являются противоположными вершинами ромба, а прямая х + у + 1 = 0 – уравнением одной из сторон.
Написать уравнения остальных сторон ромба.
12. Точки A(1;–3); В(5;2) и С(–4;1) являются вершинами ΔАBC.
Написать уравнение высоты ВK этого треугольника.
13. В каком отношении прямая 3x + 5y–10 = 0 делит отрезок АВ,
где A(2;–1), B(3;2)?
14. Прямая проходит через точку пересечения прямой 3х–4y +
8 = 0 с осью OY и точку А(–3;2). Найти ее уравнение и угол наклона
прямой к оси OX.
15. При каком значении m точка A(–4;2) принадлежит прямой
(5m–3)x + 4y–2m + 1 = 0?
16. Прямая 5x + 9y–1 = 0 является одной из сторон прямоугольника ABСD. Написать уравнение сторон этого прямоугольника,
проходящих через вершину A(–3;2).
27
17. Написать уравнение прямой, параллельной оси OY и проходящей через точку пересечения медиан ΔАBC, если А(–1;2), В(3;5),
С(1;8).
18. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: х + у–1 = 0;
3x + 4–у = 0 и точка пересечения его диагоналей С(3;3). Найти
уравнения двух других сторон параллелограмма.
19. Заданы уравнения средних линии ΔАBC х + у–1 = 0; 2х +
3у–4 = 0; 3х + 4у–1 = 0. Написать уравнения сторон этого треугольника.
20. В ΔАBCАВ = BC, точка А(–1;2), а прямая x + 2у + 7 = 0
является высотой BK этого треугольника. Найти координаты вершины С этого треугольника.
Задача 2. Решить графически систему неравенств и найти координаты вершин полученной области.
ïìï4x1 - 3x2 ³ 12
ïï
ï x1 - 4x2 ³-4
1í
ïï
x1 £ 7
ïï
x2 ³ 0
ïïî
ìï2x1 - x2 ³-2
ïï
ï 2x1 - 3x2 £ 6
4 ïí
ïï
x1 £ 5
ïï
ïïî x2 ³-1 28
ì-2x1 + 3x2 ³-6
ï
ï
ï
ï
ï x1 + x2 ³ 2
2í
ï
x1 £ 0
ï
ï
ï
x2 £ 4
ï
ï
î
ïìï-2x1 + x2 ³-2
ïï
ï x1 + x2 ³-2
3í
ïï 5x1 + 3x2 £ 15
ïï
x1 ³ 0
ïïî
ì
5x1 + 3x2 £ 15
ï
ï
ï
ï x1 + 2x2 ³ 0
5ï
í
ï
x1 ³ 1
ï
ï
ï
x2 £ 0
ï
ï
î
ìïx1 + 2x2 £-2
ïï
ï 3x1 - 2x2 £ 6
6 ïí
ïï x1 ³-5
ïï
x2 £ 0
ïïî
ì
ì
x1 + x2 £ 2
x1 - x2 ³ 0
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï-2x1 + 3x2 ³-6
ï
ï2x1 + 3x2 ³-6
7ï
8í
í
ï
ï
x1 ³-4
x1 £ 3
ï
ï
ï
ï
ï
ï
x2 £ 0
x2 £ 0
ï
ï
ï
î
î
ï
ìï x1 - x1 ³ 0
ïï
ïï 2x1 + x2 £ 2
9í
ïïx1 + 3x2 ³-3
ïï
x1 ³ 0
ïïî
ì 3x1 - 2x2 ³-6
ì3x1 - 4x2 £-12
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï -x1 + x2 ³ 0
ï 4x1 - x2 £ 4
10 í
11 í
ï
ï
6x1 -17x2 £ 34
x1 ³ 0
ï
ï
ï
ï
ï
ï
x
0
x
£
ï
2
2 £4
ï
ï
î
î
ï
ïìï x1 + x2 ³ 2
ïï
ï3x1 - 2x2 ³-6
12 í
ïï
x1 £ 3
ïï
x
ïïî
2 ³0
ì x1 - 2x2 ³-2
ï
ïìï x1 - 22x2 £ 2
ï
ï
ïï
ï x1 + x2 ³ 2
ï3x1 - 2x2 ³-6
13 ï
14
í
í
ï
ïï
3x1 + 5x2 £ 15
x1 ³-1
ï
ï
ïï
ï
x2 ³ 0
x2 £ 4
ï
ïïî
ï
î
ì 2x1 + x2 ³ 0
ï
ï
ï
ï
ï3x1 + 5x2 £ 15
15 í
ï
x2 ³ 2
ï
ï
ï
x1 £ 0
ï
ï
î
ìï 2x1 + x2 £-2
ìï x1 + x2 £ 2
ïï
ïï
ï2x1 - 3x2 ³-6
ïï3x1 - 2x2 ³-6
ï
16 í
17 í
ïï
ïï
x2 ³-4
x2 ³-3
ïï
ïï
x1 £ 0
x1 £ 0
ïïî
ïïî
ìï x1 - x2 £ 0
ïï
ï3x1 + 2x2 ³-6
18 ïí
ïï
x2 £ 4
ïï
x1 £ 0
ïïî
ì x1 - x2 £ 0
ï
ï
ï
ï
ï x1 + 2x2 £ 2
19 í
ï
3x1 + x2 ³-3
ï
ï
ï
x2 ³ 0
ï
ï
î
ïìï 2x1 - 3x2 £ 6
ïï
ï x1 - x2 ³ 0
20 í
ïï17x1 - 6x2 ³-34
ïï
x2 £ 0
ïïî
Задача 3. Решить систему методом Жордано-Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.
ïìïx1 + x2 - x3 - 2x4 + x5 = 2
ï
1.  ïí2x1 + x2 - 2x3 - 3x4 + x5 = 2
ïï
ïïî x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 + 2x5 = 6
ïìï-x1 + 2x2 + x3 - 4x4 + 3x5 = 1
ï
2.  ï
í2x1 - x2 - 3x3 + x4 - x5 = -4
ïï
ïïî3x1 + 2x2 - x3 - 2x4 + 5x5 = 1
ìïx1 + 2x2 + x3 - 4x4 - 2x5 = 5
ïï
3.  ï
í2x1 - x2 + 3x3 - 3x4 - 3x5 = -4
ïï
ïïî 3x1 + 2x2 - x3 - 2x5 = -7
ìï-x1 + 2x2 + x3 - 4x4 + 3x5 = 1
ïï
4.  ï
í2x1 - x2 - 3x3 + x4 - x5 = -4
ïï
ïïî3x1 + 2x2 - x3 - 2x4 + 5x5 = 1
29
ïìïx1 - 5x2 + x3 - 2x4 - x5 = -1
ï
5.  ï
í4x1 - x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 9
ïï
ïîïx1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 - x5 = -3
ïìï2x1 - 7x2 + 3x3 - x4 + 2x5 = 1
ï
6.  ïí15x2 - x3 + 2x4 - 3x5 = 6
ïï
ïïî3x1 - 5x2 + 2x3 - x5 = 6
ïìï2x1 - x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = 0
ï
7.  ï
í4x1 - x2 - 2x3 - 3x4 + 2x5 = 4
ïï
ïîï-2x1 + 2x2 + 3x3 + 3x4 - 4x5 = 4
ìï4x1 + 3x2 - x3 + 7x4 - 5x5 = 11
ïï
8.  ïí2x1 + 2x2 - 3x3 - x4 + 4x5 = -3
ïï
ïïî8x1 + 2x2 - 3x3 + 8 x4 + x5 = 6
ìï-2x1 - 2x2 + x3 + 4x4 + 2x5 = 1
ïï
9.  ïí4x1 + x2 + 3x3 + 3x4 + 3x5 = -3
ïï
ïïî6x1 + 2x2 + x3 - 2x5 = 1
ïìï4x1 - 8x2 + 5x4 - 7x5 = 5
ï
10.  ï
í5x2 + x3 - 2x4 + 3x5 = 5
ïï
ïïî2x1 - 2x2 - x3 + x4 - 3x5 = 1
ïìïx1 + 3x2 + x3 - 4x4 + 2x5 = 1
ï
11.  ïíx2 + 2x3 - 9x4 + x5 = 0
ïï
ïîï-x1 + 2x2 + x3 - 6x4 - x5 = -1
ìï6x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 + 4x5 = 5
ïï
12.  ï
í4x1 + 2x2 + x3 - 2x4 + 3x5 = 4
ïï
ïïî4x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + x5 = 0
ìï2x1 - x2 - x3 + 2x4 + 3x5 = 2
ïï
13.  ï
í6x1 - 3x2 - 2x3 + 4x4 + 5x5 = 3
ïï
ïïî8x1 - 4x2 - 5x3 + 10x4 + 16x5 = 11
30
ïìïx1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 = 4
ï
14.  ï
íx1 - 3x2 + 4x3 - 5x4 = 7
ïï
ïîïx1 + 3x2 - 3x4 = 1
ïìïx1 + 2x2 - 8x3 + 7x4 - 3x5 = -5
ï
15.  ïí2x1 + x2 - 5x3 + 6x4 - x5 = 3
ïï
ïîïx1 + x2 - x3 + x4 + 2x5 = 6
ïìï-2x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 2
ï
16.  ï
í3x1 + x2 + 5x3 - 3x4 - 2x5 = 1
ïï
ïîïx1 - 2x2 - x3 + x4 + 3x5 = -3
ïìï2x1 + x2 - x3 - x4 + x5 = 1
ï
17.  ïíx1 - x2 + x3 + x4 - 2x5 = 0
ïï
ïîïx1 + 3x2 - 2x3 - 3x4 + x5 = 2
ïìï2x1 + x2 - x3 + x4 + x5 = 2
ï
18.  ïí3x1 - 2x2 + 2x3 - 3x4 - x5 = 1
ïï
ïîï5x1 + x2 - x3 + 2x4 + 2x5 = 1
ìï2x1 - x2 - 7x3 = 4
ïï
ï3x + x2 - 8x3 - 5x4 = 1
19.  ïí 1
ïï2x1 - 3x2 - 9x3 + 4x4 = 8
ïï
ïïî5õ1 - õ2 + 2õ3 + 3õ4 = 1
ïìïx1 - 8x2 + x3 - 9x4 = 6
ïï
x - 4x2 - x3 - 5x4 = 2
20.  ïí 1
ïï-3x1 + 2x2 + 8x3 + 5x4 = 4
ïï
ïïî5õ1 + 2õ2 + 2õ3 + 3õ4 = 12
Задача 4. Решить матричные уравнения и сделать проверку.
æ
æ
ö
æ
ö
1 ÷ö
çç2 1
çç 5 2÷÷
çç-2 0 ÷÷
÷÷
÷
÷
-1÷÷
1.  ççç3 4 -2÷÷ X - çç-1 1÷÷ = 3çç1
çç
çç
÷÷
÷÷
÷÷
çç
2ø÷
èç3
èç-2 -1ø÷
è3 -2 4 ÷ø
31
æ1 1 2÷ö
æ2 1 -1ö÷
÷ æ1 -1 0 ö÷
ççç
÷÷ = 2çç
÷÷
2.  X çç2 -1 2÷÷÷ - ççç
÷
÷
-2ø
èç1 0 1 ÷ø
çç
÷÷ è0 1
è4 1 4ø
æ3 2 1ö÷
æ3ö÷
æ ö
çç
çç ÷
çç 1 ÷÷
÷÷
÷
ç
ç
ç
3.  çç2 3 1÷÷ X - çç1÷÷ = 2çç-1÷÷÷
çç
çç ÷÷÷
çç ÷÷÷
÷÷
è2 1 3÷ø
è4ø
è0ø
æ 2 1 3 ö÷
æ3 1
æ0
÷
2÷ö
-1 2÷ö
ççç
÷ = 5çç
÷
4.  X çç-1 4 2 ÷÷÷ + 2ççç
÷
ç
÷÷
-1 2
4 -1 3ø÷
0÷ø÷
è
è
çç
è 1 2 -2ø÷
æ1 -2 4 ÷ö
æ1 -1ö÷
æ-2 1 ö÷
çç
çç
çç
÷÷
÷÷
÷
ç
ç
÷
5.  çç2 1 -1÷ X - ç2 1 ÷÷ = 2çç-2 3 ÷÷÷
ç
ç
÷
÷
÷
ç
÷
çèç0 2 ø÷÷
çèç3 1
-2ø÷÷
1 ø÷
èç1
æ1 1 2÷ö
æ2ö÷
æ 1 ö÷
çç
çç ÷
çç ÷
÷÷
÷
ç
ç
6.  2çç4 1 4÷÷ X + 3çç1÷÷ = 2ççç-1÷÷÷
çç
çç ÷÷÷
ç ÷÷
÷÷
è2 -1 2÷ø
è3ø
èç 2 ø÷
æ2 3 1÷ö
çç
æ-2 1 3ö÷
÷ æ1 -1 1 ö÷
÷÷ = 3çç
÷
7.  X ççç3 2 1÷÷÷ - ççç
çè0
÷÷ è2 1
0ø÷
1 2÷÷ø
çç
è2 1 3÷ø
æ1 2 4ö÷
çç
÷
8.  X ççç5 1 2÷÷÷ + 2(2 1 4) = 3(3 -1 1)
÷÷
çç
è3 -1 1÷ø
æ-1 1 2ö÷
æ1ö÷
æ 4 ö÷
çç
çç ÷
çç ÷
÷÷
÷
ç
ç
÷
÷
9.  çç-4 -1 2÷ X - çç2÷ = 2ççç 2 ÷÷÷
÷÷
çç
ç ÷÷
ç ÷÷
è-2 1 4÷ø
èç3ø÷
èç-1ø÷
æ 3 1 2ö÷
çç
÷
10.  3X ççç-1 2 4÷÷÷ + (5 1 -1) = 2(1 3 2)
çç
÷÷
è-1 1 1ø÷
æ2 3
3 ÷ö
çç
æ5 -1 -3ö÷
æ-2 1
÷
2 ö÷
ç
÷÷ = 3çç
÷
11.  X × çç1 4 -2÷÷÷ - 2 × ççç
ç
÷÷
-1 -1ø÷÷
2 1
2 ø÷
0
è
è
çç
è1 -2 4 ÷ø
32
æ 1 -1ö÷ æ 2 1ö÷
æ1 1 2ö÷
çç
ç
çç
÷÷
÷÷ ç
÷÷
ç
12.  çç2 -1 2÷÷ X - ççç 2 1 ÷÷÷ = ççç 1 0÷÷÷
÷
çç
÷
ççç-1 1 ÷÷÷ ççç-4 1÷÷÷
è3 1 4÷ø
è
ø è
ø
æ3 2 2ö÷
çç
÷
13.  (-3 -1 -4) - X ççç2 3 1÷÷÷ = 2(1 -1 0)
÷÷
çç
è1 1 3÷ø
æ 1 -1÷ö æ2 -1 1 ö
æ3 4 ÷ö
çç
çç
÷÷
÷÷ çç
÷÷
÷
ç
ç
÷
2 ÷÷ X = 2ççç1 -1÷÷
14.  5çç 2 1 ÷÷ - çç1 4
÷÷
÷
çç
çç
÷÷ ç
÷
÷
èç-1 1 ÷ø çè3 2 -2÷ø
èç2 3 ÷ø
æ1
2 3ö÷
çç
æ1
ö÷
æ2 -2 1 ö÷
÷
2
0
÷÷ - X çç-2 1 1÷÷÷ = 2çç
÷
15.  çç
çç
÷÷
çè-1 1 2÷ø
çè1 3
-2ø÷÷
çè 4 -1 1÷ø
æ1 2 2ö÷
çç
÷
16.  (1 -1 2) - 2X ççç1 -1 1÷÷÷ = 3(2 1 3)
çç
÷÷
è2 2 3÷ø
æ-2 0ö÷ æ3 2 2ö
æ 1 2ö÷
çç
çç
÷÷
÷÷ çç
÷
÷
ç
çç-1 1÷÷
ç
÷
÷
=
3
1
1
2
3
1
X
2
ç
17.  ç
÷÷ çç
÷
÷÷
ç
çç
çç
÷ ç
÷÷
÷
çè 3 2÷÷ø çè1 1 3÷ø
çè 1 0÷÷ø
æ 3 ö÷ æ1 5 3 ö÷
æ2ö÷
çç ÷ çç
çç ÷
÷÷
÷
ç
ç
18.  4çç-1÷÷ - çç2 1 -1÷÷ X = 2ççç1÷÷÷
çç ÷÷÷ çç
ç ÷÷
÷÷
è 1 ø è4 2 1 ÷ø
èç4÷ø
æ-1 -4 -2ö÷
çç
÷
19.  2(4 2 -1) - X ççç 1 -1 1 ÷÷÷ = (1 2 3)
÷÷
çç
2
4 ÷ø
è2
æ ö æ
ö
æ ö
çç 5 ÷÷ çç3 -1 -1÷÷
çç 2 ÷÷
÷
÷
ç
ç
ç
1 ÷÷ X = ç-1÷÷÷
20.  çç 1 ÷÷ - 3çç1 2
çç ÷÷
çç ÷÷÷ çç
÷÷
çè 2 ø÷
1 ø÷
è-1ø è2 4
33
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2
Задание 1. Вычисление производных
1. Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция = F(j(X)), причем промежуточная
функция U = (j(X)) имеет в некоторой точке X производную U′ =
(j′(X)), а функция Y = F(U) – в соответствующей точке U производную Y′u = F′(U). Тогда функция Y = F(j(X))имеет производную в
точке X и Y′x = F′(U)·j или Y′x = F′u·U′x, т.е. производная сложной
функции равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной по независимой переменной.
При вычислении производных удобно пользоваться таблицей
производных в следующей форме (U – дифференцируемая функция
от некоторой переменной).
1.  Y = C, Y ¢ = 0.
2.  Y = U, Y ¢ = U ¢.
3.  Y = U α (α = const), Y ¢ = αU α-1U ¢.
4.  Y =
34
1
, U
U¢
Y¢ =- 2 .
U
U¢
5.  Y = U, Y¢ =
6.  Y = A u ( A > 0, A ¹ 1) Y ¢ = A u ln AU ¢.
7.  Y = eu , Y ¢ = euU ¢.
8.  Y = log A u , Y¢ =
U¢
.
U ln A
9.  Y = ln U, Y¢ =
U¢
.
U
10.  Y = sin U, Y ¢ = cos UU ¢.
11.  Y = cos U, Y ¢ = -sin UU ¢.
12.  Y = tgU, Y¢ =
2 U
.
U¢
cos2 U
.
U¢
13.  Y = ctgU, Y¢ =-
14.  Y = arcsin U, Y¢ =
15. Y = arccos U, Y¢ =-
16. Y = arctgU, Y¢ =
17. Y = arcctgU, Y¢ =-
sin2 U
U¢
1 - U2
.
.
U¢
1 - U1
U¢
1 + U2
.
.
U¢
1 + U2
.
18. (U ± V ) ¢ = U ¢ ± V ¢.
19. (UV ) ¢ = U ¢V + V ¢U.
æ U ö¢ U ¢V - V ¢U
.
20. çç ÷÷÷ =
çè V ø
V2
21. (αf (x)) = αf ¢¢(x).
Пример. Найти производную функцию.
y - arccos
2x -1
Y¢ =
-
3
, т.е. y = arccos U, где U =
2x -1
3
,
æ 2x -1ö÷¢
3
2
× çç
×
=
÷÷ = 2
ç
2x - 1 è 3 ø
3
3 - (2x -1)
1- (
)2
3
1
2
3 - 4 x2 + 4 x - 1
=-
2
2 - 4 x2 + 4 x
=-
2
1 - 2x2 + 2x
;
2. Логарифмическая производная
Логарифмической производной функции y = f(x) называется
y¢
производная от логарифма этой функции, т.е. (ln y) ¢ = , при y>0.
y
Нахождение производной от функций, которые допускают
операцию логарифмирования, значительно упрощается, если эти
функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользо35
ваться логарифмической производной. Заметим, что логарифмическую производную будем применять формально, не учитывая, что
формула имеет смысл лишь при y>0.
Пример. Найти y′, если y = (x + 3)sin 2x
ln y = ln(x + 3)sin 2x
y¢
sin 2x
= 2 cos 2x ln(x + 3) +
y
x+3
æ
sin 2x ö÷
y ¢ = y × çç2 cos 2x ln(x + 3) +
÷=
çè
x + 3 ø÷
sin 2x ö÷
sin 2x æç
= (x + 3)
÷.
çç2 cos 2x ln(x + 3) +
è
x + 3 ÷ø
3. Производная неявной функции
Функция y(х) называется неявной, если зависимость между х и
y выражена уравнением F(x,y) = 0, неразрешенным относительно y.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное
уравнение продифференцировать, считая y функцией от x, и вновь
полученное уравнение решить относительно производной y′.
Пример. Найти y′x, если x2 - 3xy2 =
(
)
2x - 3 1× y2 + x × 2y × y ¢ =
2
2x - 3y - 6xyy ¢ =
2
2x - 3y +
(
2y -1
x2 + y
.
)
2y ¢ × x2 + y - (2x + y ¢)(2y -1)
(x
(
2
+y
2
)
)
2y ¢ × x2 + y - 2x × (2y -1) + y ¢ × (2y -1)
(
2x × (2y -1)
2
( x2 + y )
=
x2 + y
2
)
(
) + 6xyy¢.
y ¢ × 2x2 + 1
2
( x2 + y )
æ
2
÷ö
ççç 2x + 1
÷÷÷ 2x × (2y -1)
y ¢ × çç
+ 6xy÷÷ =
+ 2x - 3y2 .
2
2
çç 2
÷÷
2
x +y
÷ø
çè x + y
(
(
36
)
)
.
(
)
.
y¢ =
(
)(
2x × (2y -1) + 2x - 3y2 x2 + y
æ 2
2
ççç2x + 1 + 6xy × x + y
è
(
2ö
)
÷
÷÷ø
2
)
.
Задание 2. Исследование функций и построение графиков
При построении графика функции следует:
1) найти область определения функции;
2) определить четность (нечетность), периодичность функции;
3) найти точки разрыва;
4) определить точки пересечения графика с осями координат;
5) найти точки экстремума и вычислить значения функции в
этих точках;
6) определить интервалы возрастания и убывания функции;
7) найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;
8) определить асимптоты;
9) найти предельные значения функции при х стремящимся к
граничным точкам области определения.
Разумеется, в процессе исследования функции необязательно
строго придерживаться приведенной схемы, иногда даже удобно
изменить порядок плана.
Исследование функций с помощью производных
а. Возрастание и убывание функции
Функция f(x), определенная в некотором промежутке, возрастает в нем, если для любых двух значений x1, и х2 из этого промежутка неравенство x2≥x1, влечет за собой неравенство f(x2)≥f(x1).
Функция f(x), определенная в некотором промежутке, убывает
в нем, если для любых двух значений x1, и х2 из этого промежутка
неравенство x2>x1 влечет за собой неравенство f(x2)≤f(x1).
Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) возрастала в
некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна в этом промежутке, f′(x)≥0.
Для того чтобы дифференцируемая функция f(x) убывала в некотором промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была не положительна в этом промежутке, f(x)≤0.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо:
1) найти область определения функции;
37
2) найти производную функции;
3) приравнять производную к нулю, то есть определить ее корни, а также найти точки, в которых производная не существует, а
функция существует;
4) определить знак производной в каждом из промежутков, на
которые разбивается полученными точками область определения
функции.
б. Исследование функции нa экстремум
Пусть функция f(x) задана и непрерывна на отрезке [a;b] и не
является в нем монотонной. Точка x0 называется точкой локального максимума, если существует такая δ – окрестность точки
x0, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство
f(x0)≥f(x) (рис. 1).
Аналогично определяется точка локального минимума.
Точка х0 называется точкой локального минимума, если существую такая δ – окрестность точки х0, что для всех точек этой
окрестности выполняется неравенство f(x0)≤f(x) (рис. 2).
y
f(x)
f(x 0)
x0 − δ x 0 x0 + δ b
a
x
Рис. 1
f(x 0)
y
a
x0 − δ
x0
Рис. 2
38
x0 + δ b
x
Необходимые условия экстремума
Если функция f(x)в точке x0, имеет экстремум, то производная
f′(x0) обращается в нуль или не существует.
Точка x0, в которой f′(x0) = 0, называется стационарной точкой.
Достаточные признаки существования экстремума
Правило 1. Если при переходе (слева направо) через стационарную точку x0, производная f′(x0) меняет знак с плюса на минус, то в
точке x0 функция f′(x0) имеет максимум; если с минуса на плюс, то
минимум; если знак не меняет, то экстремума нет.
Правило 2. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема и
имеет непрерывную вторую производную в точке x0 и в некоторой
ее окрестности, тогда если f′(x0) = 0, a f′′(x0), то в точке х0 функция
f(x0) достигает экстремума: максимума, если f′′(x0)<0; минимума,
если f′′(x0)>0.
в. Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба
График функции y = f(x) называется выпуклым в интервале
(а,b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой
точке этого интервала (рис. 3).
График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале
(а,b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой
точке этого интервала (рис. 4).
Достаточные условия выпуклости (вогнутости)
графика функции
Если f′′(x)<0в интервале (a,b), то график функции является выпуклым в этом интервале; если же f′′(x)>0, то в интервале (a,b) график функции – вогнутый.
y
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
Рис. 3
–3
–4
39
y
M
0
x
b
a
Рис. 4
Точка (x0; f(x0)) графика функции, отделяющая его выпуклую
часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Если x0 – абсцисса точки перегиба графика функции y = f(x0),
то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке.
Точки, в которых f′′(x0) = 0 или f′′(x0) не существует, называются
критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода x0,
вторая производная меняет знак, то точка (x0, f(x0)) есть точка перегиба.
г. Асимптоты
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(x,у) кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от кривой от начала координат,
т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности.
Прямая x = а является вертикальной асимптотой кривой
y = f(x), если
lim f (x) = ¥ или
x®a±0
lim f (x) = -¥.
x®a±0
Прямая y = b является горизонтальной асимптотой кривой
y = f(x), если существует предел lim f (x) = b или lim f (x) = b.
x®¥
x®-¥
Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой
у = f(x), если существует пределы:
k = lim
x®¥
40
f (x)
x
, b = lim (f (x)kx) или k = lim
x®¥
x®-¥
f (x)
x
, b = lim
x®-¥
(f (x)kx).
x3
. Функция опреПример. Найти асимптоты кривой Y =
x -2
делена при всех x Î (-¥;0) È (2;¥).
Так как
lim
x®2+0
x3
= ¥, то прямая x = 2 является вертикальx -2
ной асимптотой кривой.
Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так lim
и lim
x®-¥
x®¥
x3
= -¥.
x -2
x3
=¥
x -2
Определим, существуют ли наклонные асимптоты. Находим
x3
f (x)
x3
k1 = lim
= lim x - 2 = lim
= 1,
x
x®¥ x
x®¥
x®¥ x2 ( x - 2)
æ
ö÷
x( x - x - 2 )
ç x3
- x÷÷÷ = lim
=
b1 = lim (f (x) - kx) = lim ççç
÷÷ x®¥
x®¥
x®¥ç x - 2
x -2
è
ø
= lim
x®¥
x (x - x + 2)
x -2( x + x -2)
= 1.
Следовательно, существует правая наклонная асимптота y = x + 1.
x3
f (x)
x - 2 = -1,
k2 = lim
= lim
x
x®-¥ x
x®-¥
æ
æ
÷ö
÷ö
çç x3
çç (-x)3
÷
÷
÷
b2 = lim ç
- x÷ = lim çç
+ x÷÷ =
÷÷ x®-¥ç 2 - x
÷÷
x®-¥çç x - 2
è
ø
è
ø
= lim
x®-¥
-x -x + x 2 - x
2- x
= -1.
Следовательно, существует левая наклонная асимптота у = –x–1.
x2
Пример. Исследовать функцию f (x) =
и построить гра1+ x
фик.
41
1. Функция определена и непрерывна на всей оси ОX, за исключением точки x = –1,где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая x = –1 является вертикальной асимптотой.
2. Точка (0;0) является точкой пересечения функции с осями координат.
2x (1 + x) - x2 x2 + 2x x (x + 2)
.
=
=
3.  y ¢ =
(x + 1)2
(1 + x)2 (1 + x)2
Производная обращается в нуль при x = 0 и x = –2.
Y¢(x)
+
–
–
+
X
Y(x)
–2
–1
0
Функция возрастает при x Î (-¥;-2) È (0;¥), а убывает при
x Î (-2;-1) È (-1;0).
(–2;–4) – точка максимума и (0,0) – точка минимума функции.
4. y ¢¢ =
=
(2x + 2)× (1 + x)2 - 2(1 + x)× (x2 + 2x)
(1 + x)4
2x + 2 + 2x2 + 2x - 2x2 - 4x
3
(1 + x)
=
2
(1 + x)3
=
.
 
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе x через точку x = –1 меняет свой знак с минуса па плюс. Следовательно, в интервале (-¥;-1) график функции выпуклый, а в
интервале (-1;¥) – вогнутый. Точек перегиба нет.
5. Наклонные асимптоты y = kx + b, где:
k = lim
x®¥
f (x)
x
x
= 1,
x®¥ 1 + x
= lim
æ x2
ö÷
- x÷÷÷ =
b = lim (f (x) - kx) = lim ççç
÷ø
x®¥
x®¥çè1 + x
-x
x2 - x - x2
= lim
= -1.
1+ x
x®¥
x®¥ 1 + x
= lim
Следовательно, прямая y = x–1 является наклонной асимптотой
при x ® ¥, аналогично можно показать, что эта же прямая является наклонной асимптотой при x ® -¥ (рис. 3).
42
y
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
–3
–4
Рис. 3
Частные производные первого порядка
Частной производной от функции z = f(x,y) по независимой переменной x называется производная
f (x + Δx, y) - f (x, y)
¶z
= lim
= fx¢ (x, y), вычисленная при посто¶x Δx®0
Δx
янном у.
Частной производной по y называется производная
f (x + Δx, y) - f (x, y)
¶z
= lim
= fx¢ (x, y), вычисленная при посто¶x Δx®0
Δx
янном x.
Для частных производных справедливы обычные правила и
формулы дифференцирования.
Пример. z = arctg
y
.
1 + x2
Рассматривая y как постоянную величину, дифференцируем
функцию по переменной x.
43
¶z
=
¶y
1
1+
×
2
y
(
1 + x2
-2xy
(
1+ x
2
)
2 2
=
-2xy
) (
1 + x2
2
)
+ y2
.
Аналогично, рассматривая x как постоянную величину, получаем
¶z
=
¶y
1
1+
×
y2
(
1 + x2
1
1 + x2
2
)
=
1 + x2
(
1 + x2
2
)
+ y2
.
Задание 3. Производная функции по направлению
Производная функции z = f(x,y) по направлению l называется
пределом отношения приращения функции при переходе от точки
M0 к точке M1 при условии, что M0 M,­­ l, к Dl ® 0, если этот предел
z(M1 ) - z(M0 )
= z1¢ ,(M0 M,­­ l).
Dl
Dl®¥
Градиентом функции z = f(x,y) в точке M0 называется вектор
æ ¶z
ö
¶z
grad z = çç (M0 ), (M0 )÷÷÷.
¶y
èç ¶x
ø÷
Связь между градиентом функции z = f(x,y) в точке M0
существует и конечен, то есть lim
и производной этой функции в точке M0 в направлении l :
zl¢ (M0 ) = npl × grad z =| grad z | cos α, где α – угол между градиентом
и направлением l.
Пример. Найти производную функции z = x4 + 3xy–2y в точке
π
M(1,1) в направлении, составляющем угол
с градиентом функ4
ции z в этой точке.
¶z
¶z
= 4x3 + 3y
(M) = 7,
¶x
¶x
¶z
¶z
= 3x - 2
(M) = 1,
¶y
¶y
grad(M) = (7,1),
44
| grad z | =
49 + 1 = 50 = 5 2.
π
2
Тогда z ¢(M) =| grad z | cos = 5 2 ×
= 5, ò.å. z ¢(M) = 5.
4
2
Задание 4. Экстремум функции двух переменных
Необходимый признак экстремума. Если функция z = f(x,y),
дифференцируемая при x = x0 и y = y0, достигает в ней экстремума,
то в этой точке равны нулю ее частные производные:
æ ¶z ö÷
çç ÷
= 0,
çè ¶x ÷øx=x0
y=y0
æ ¶z ö÷
= 0.
ççç ÷÷
è ¶y ø÷x=x0
y=y0
Достаточное условие экстремума. Пусть точка М0(x0,y0) является стационарной точкой функции z = f(x,y). Вычислим в этой точке
значения вторых частных производных функции f(x,y) и обозначим их для краткости буквами А, В, С:
æ ¶2z ö÷
æ 2 ö
æ 2 ö
÷÷ M0 , B = çç ¶ z ÷÷÷ M0 , C = çç ¶ z ÷÷÷ M0 .
A = ççç
ç
çç 2 ÷÷
÷
2÷
èç ¶x ÷ø
èç ¶x¶y ø÷
è ¶y ø
Если В2–AC<0, то функция f(x,y) имеет в точке М0(x0,y0) экстремум: максимум при А<0 (и С<0) и минимум при А>0 (и С>0).
Если В2–AC<0, то точка М0(x0,y0) не является точкой экстремума.
Если В2–AC = 0, то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя и требуется дополнительное исследование.
æx yö
1
Пример. Найти экстремум функции z = xy + (47 - x - y)çç + ÷÷÷.
ç
è 3 4ø
2
¶z
1
2
47
=- y- x + ;
¶x
12
3
3
¶z
1
1
47
=- y- x + ;
¶y
2
12
4
ìï 1
2
47
ï- y - x +
= 0 ì8x + y = 188 ìx = 21
ï
ï
ïï 12
3
3
Þ ïí
Þ ïí
í
ïï 1
ïîïx + 6y = 141 ïîïy = 20
1
47
=0
ïï- y - x +
12
4
ïî 2
M(21,20) – стационарная точка.
Найдем значения вторых производных в точке М:
45
¶2 z
2 ¶2 z
1 ¶2 z
1
,
,
=
=
=- .
2
2
3 ¶y
2 ¶x¶y
12
¶x
B2 - AC =
1 1
- < 0,
4 3
так как А<0, то в точке М(21,20) функция имеет максимум
Zmax = 282.
46
Контрольная работа № 2
Задание 1. Найти производные следующих функций.
3
3
2
1. a)  y = 5 arcsin 1 - 5x2 ;
с)  x - 3xy =
2. a)  y =
x
y3 + 2
ln2 x
y = (-3x + 5)
 b) 
tg4 3 - 6x + 5x3 + 3
с)  x y - xy
3
 
.
4
3
;
- lg x
æ
xö
; b)  y = ççsin ÷÷÷
;
 
 
çè
2ø
3
y
2
=e .
x
y3
arcsin
b) 
.
;
y
=
8
x
5
(
)
2 ;  с)  y = x + xy 3
1 - sin 2x  
x4
5
11
3x2 -1
; 
- 43x-5 ; b)  y = (sin 6x)
4. a)  y = 2
2(x - 2)
 
3y
2
3y2
с)  y x +
-e
= 5.
x
3. a)  y =
5. a)  y =
x3 - 3x2 + 1
x8
(
8 1 - x2
)
x3
6. a)  y =
34
7. a)  y = ln
с) 
sin 2x
æ
1ö
y2 x - 3
= xy3 .
y = çç1 + ÷÷÷
;  с) 
 b) 
;
4
çè
xø
xy + 4
-2 lg x
2 3
(8 + x )
(
; b)  y = (3x + 5)
) (
)
1 + ex -1 - ln
xy2 - 4x
= 6x.
3y
8. a)  y =
 
(
xy - 5
xy + 5
.
x
1 + ex + 1 ; b)  y = (arcsin 3x) 3 ;
 
);  b)  y = æçtg x ö÷2-x
cos2 3x 3 cos2 3x - 5
6
3x - 2
2
c)  xy + 10y =
.
2y + 1
;  с)  y =
çç
è
÷
3 ø÷
2
; 
æ
xy3
1 ö
5-3x
.
9. a)  y = sin3 çç5x - 3x ÷÷÷;  b)  y = (lg 2x)
;  c)  2x - 3xy =
çè
xy - 4
e ø
47
x
10. a)  y = 3 2x + 2x ;  b)  y = (arccos 4x) 3 ;  c) 
x
yx
= x + 2y + xy3 .
2
3
cos
æ
4 æ x -1 ö÷
xö 2
11. a)  y = 4 ççç
;  c)  x + y = 3 xy + y3 .
÷÷ ;  b)  y = ççç-tg ÷÷÷
è
3 è x + 2ø
2ø
(
arccos2 x
)
12. a) y = tg3 x4 + 6 x ; b) y = (2x)
13. a) y =
5
; c) y3 + 3 =
2x - y
.
x + 3y
x2 - 2x + 4
x -5
tg 3x
; b) y = (-cos 3x)
; c) yx3 +
= 3y.
x +1
xy + 4
3y
= xy3 + xy2 -1.
x
x -4
x
lg 2x
15. a) y = ln 1 + x2 + arccos ; b) y = (ln x)
; c)
= x3 y2 .
y -3
3
9 3x+2
2
14. a) y = 4 ln (arcsin 2x); b) y = (-4x)
(
; c)
)
2
16. a) y = ln (ln 2x - 4x); b) y = (tg2x)
3x
; c)
y
= 2 - sin (x + 3y).
3x + 5
1-4 x
æ
xö
x
; c) ye3y - = 3.
17. a) y = 3 cos x5 + ln (3x + 2) ; b) y = çç6 - ÷÷÷
çè
2ø
y
(
18. a) y =
)
1
1
1-x
; b) y = (arccos12x)
;
3
3
x
+
2
2 ctg2
5
(
)
c) y + sin x2 y3 =
19. a) y = 7
x sin 3x
4
;
sin x
x -4
x2 + 3
.
(
x2 +3
)
b) y = x2 - 3
; c) y = xy3 - 3xy + 4.
5x
; c)
20. a) y = 5 cos 3x + 26 1 - x ; b) y = 5 3 - x
(
)
xy = 3xy2 + 4x.
Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить графики функции.
1.  y =
4.  y =
48
x2 - 2x + 2
4x -12
x2 - 6x + 13
; 2.  y =
; 3.  y =
;
x -1
x -3
(x - 2)2
x2 - 3x
3 - x2
x2 - 3x + 3
;
; 5.  y =
; 6.  y = 2
x +2
x +2
x -1
7.  y =
1 - x3
x2
; 8.  y =
x3
x2 - 3
;
; 9.  y =
x -2
3 - x2
x4
x3
3x4 + 1
; 11.  y =
;
; 12.  y =
10.  y = 3
x +1
x3
(x - 2)2
3
; 14. y = (x -1) x ; 15.  y = x3 + ;
 
x
x -1
2
4
x -1
x
;
;
y = x - x ; 18.  y =
16.  y =
2 17. 
x3
1- x
x
13.  y =
2
3
19.  y = x2 - x; 20.  y =
x2 + 2x
.
x -1
Задание 3. Найти производную функцию Z в точке M в направлении, составляющем угол α с градиентом функции Z в этой
точке.
π
1
1. z = x2 - xy + y3 + ln(1 + y2 ) - 2x - 3y, M (2,1), α = .
2
3
π
2
2. z = x2 - 3xy + 4y2 + e3x-4y + 10, M (2, ), α = .
3
4
1 1
3π
x
2
3
3. z = 2x - 4xy + 4y + arcctg , M ( , ), α = .
2 2
4
y
x
4. z = e y + x2 5. z =
π
y
- 4xy2 - 5 - 2y, M (1,1), α = .
2x - 3y + 2
4
52x+3y
x
π
+ x2 y - 2xy2 +
- 7 - 30y, M (-2,1), α = .
2
ln 5
4
x - 3y
π
x
6. z = 5 arcsin - x2 + 3y2 + 5xy - 44y - 20x, M (3,5), α = - .
y
3
π
7. z = 2 sin(x2 - y2 - 3) + 2xy - 7x + 6y, M (2,1), α .
6
π
π
8. z = 3 cos( - x + 3y) + xy2 - x - 6y, M (3,1), α = - .
4
3
π
3π
2
9. z = 2tg( - 2x + 3y) - x y + 19x - 2y, M (3,2), α = .
4
4
x
2π
10. z = 3 x2 - y2 + 8 - 3x2 y2 + + 48 x - 48 y, M (2,-2), α = .
y
3
π
1
11. z = x3 - xy + y2 + ln(1 + x2 ) - 2y - 3x, M (1,2), a = .
2
3
3
3π
2
2
3y-4 x
12. z = 4x + y - 3xy + e
+ 10, M ( ,2), α = .
2
4
π
1
1
y
3
2
49
9. z = 2tg( - 2x + 3y) - x2 y + 19x - 2y, M (3,2), α = .
4
4
x
2π
2
2
2 2
3
10. z = x - y + 8 - 3x y + + 48 x - 48 y, M (2,-2), α = .
y
3
π
1
11. z = x3 - xy + y2 + ln(1 + x2 ) - 2y - 3x, M (1,2), a = .
2
3
3
3π
12. z = 4x2 + y2 - 3xy + e3y-4x + 10, M ( ,2), α = .
2
4
1 1
π
y
3
2
13. z = 4x - 4xy + 2y + arctg - 3, M (- , ), α = .
2
2
4
x
y
3π
x
2
14. z = e x + y +
- 4x2 y - 5 - 2x, M (1,1), α = .
3x - 2y - 2
4
15. z =
33x+2y
y
π
+ xy2 - 2x2 y - 30x, M (1,-2), α = .
2
ln 3
4
3x - y
y
π
16. z = 5 arccos - y2 + 3x2 + 5xy - 20y - 44x, M (5,3), α = - .
4
x
π
17. z = 2 sin(y2 - x2 - 3) - 2xy + 7y - 6y, M (1,2), α = .
6
π
π
2
18. z = 3 cos(3x - y - ) + x y - y - 6x, M (1,3), α = - .
4
3
π
3π
19. z = 2ctg( - 3x + 2y) - xy2 + 19y - 2x, M (2,3), α = .
4
4
y
2π
2
2
2
2
20. z = 2 8 - x + y - 3x y + + 48 y - 47x, M (-2,2), α = .
x
3
Задание 4. Найти экстремумы функции Z = f(x,y).
z = xy +
50 20
+ ;
x
y
3
3
z = ex +y -3xy ;
z = x2 + xy + y2 - ln x - ln y;
(
z = x3 + y3 - 3xy - 3x - 3y;
)
z = ln 4 - x2 - y2 ;
2
2
z = ex +y -3x+2y-xy ;
z = 4xy - x2 - 5y2 + 4y + 5x - 6;
2
2
z = 2xy-x -3y ;
(
)
2
2
z = 8x2 + 8xy + 4y2 - ln 1 + x2 ; z = exy-x -y +4x-y ;
z = xy + y +
20
50
+ ;
x +1 y
z = x3 + y3 - 3xy;
50
3
3
z = ex +y -3xy-3x-3y ;
2
2
z = 2x +y -3x+2y ;
(
)
(
)
z = ln 3 - x2 + 2x - y2 ;
z = 8y2 + 8xy + 4x2 - ln 1 + y2 ;
2
2
z = exy-x -y +x+2y+3 ;
z = x3 + 3x2 + 3x + y3 - 3xy - 3y;
z=
1
2
2
x +3y2 -xy
;
z = x2 + xy + y2 - 4 ln y -10 ln x.
51
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 3
1. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства
Рассмотрим задачу отыскания функции, для которой заданная
функция является производной.
Определение. Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a,b). Если функция F(x) имеет производную на (а,b) и для всех
x∈(a,b) выполняется равенство.
F′(x) = f(x),
(1)
то функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b).
Пример
1
1
f1 (x) = , F1 (x) = ln x ; f1 (x) =
,
x
cos2 x
F1 (x) = tgx; f1 (x) = 4x3 , F1 (x) = x4 .
Если F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то очевидно, и функция F(x) + С, где С – любая постоянная, является первообразной для функции f(x), на интервале (a,b).
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема
Пусть F1(x) и F2(x) – любые две первообразные для функции f(x)
на интервале (a,b). Тогда для всех x Î (a, b) выполняется равенство
F2 (x) = F1 (x) + C, где С – некоторая постоянная (без доказательства).
Вывод: если F(x) – одна из первообразных функций для функции f(x) на интервале (a,b), то любая первообразная Ф(x) для функции f(x) на интервале (а,b) имеет вид Ф(х) = F(х) + С, где С – некоторая постоянная.
Определение. Совокупность всех первообразных функций для
функции f(x) на интервале (а,b), называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается
ò f (x)dx.
Символ ò называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральная функция.
Таким образом, если F(х) – какая-либо первообразная функции
f(x) на интервале (а,b), то пишут
ò f (x)dx = F (x) + C.
52
Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла
от данной функции называется интегрированием функции f(x).
Операция интегрирования является обратной операции дифференцирования.
Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что одни процесс является обратным по отношению к другому, был открыт И. Ньютоном (1642–
1727) и Г. Лейбницем (1646–1716). Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они
открыли свои методы независимо друг от друга.
Свойства неопределенного интеграла
Будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены и интегрируемы на одном и том же конечном или бесконечном промежутке.
Свойство 1.  d
(ò f (x)dx) = f (x)dx.
Свойство 2.  ò d ( F (x)) = F (x) + C.
Свойство 3.  ò (f (x) ± g (x))dx = ò f (x)dx ± ò g (x)dx.
Свойство 4.  ò a(f (x)dx) = a ò f (x)dx, a ¹ 0, a - const.
Свойство 5. Пусть F(x) есть первообразная для функции f(x).
1
Тогда ò f (ax + b)dx = F (ax + b) + C, a è b - const.
a
Таблица основных неопределенных интегралов
m
1.  ò U dU =
2.  ò
U m+1
+ C;(m ¹ 1).
m +1
dU
= ln U + C.
U
3.  ò aU dU =
aU
+ C.
ln a
4.  ò eU dU = eU + C.
5.  ò sin UdU = -cos U + C.
53
6.  ò
cos UdU = sin U + C.
dU
1
U
1
dU
1
U +a
U
7. 
ò a2 + U2 = a arctg a + C = - a arctg a + C;(a ¹ 0).
8. 
ò a2 - U2 = 2a ln U - a + C = - 2a ln U - a + C.
9. 
dU
ò
10. 
11. 
12. 
2
a ±U
dU
ò
2
2
U +a
1
= ln U + U 2 ± a2 + C;(a ¹ 0).
2
= arcsin
U
U
+ C = -arccos + C;(a > 0).
a
a
a -U
dU
= tgU + C.
cos2 U
dU
= -ctgU + C.
sin2 U
ò
ò
dU
U
dU
æU
13. 
ò sin U = ln tg 2
14. 
ò cos U = ln tgçççè 2 + 4 ÷÷÷ø + C.
+ C;
πö
Пример. Найти неопределенный интеграл
æ
ò çççè4x
3
3
- 2 x2 +
ö
+ 1÷÷dx.
ø÷
x
2
3
2
æ 3
ö
2
3 2
-3
3
ò ççèç4x - 2 x + x3 + 1ø÷÷÷dx = 4ò x dx + 2ò x 3 dx + 2ò x + ò dx =
=4
5
x3
5
x
x-2
6
1
-2
+2
+ x + C = x4 - x 3 + x + C.
5
-2
4
5
x2
3
4
9
Пример. Найти ò (2x - 7) dx. Это интеграл вида
По свойству 5 неопределенных интегралов имеем
10
1 (2x - 7)
ò (2x -7) dx = 2 10
9
54
+C =
(2x - 7)10
20
+ C.
m
ò (ax + b)
dx.
Пример. Найти
ò sin 8x × cos 3xdx.
Воспользуемся формулами тригонометрии.
1
sin 8x × cos 3x = [sin 5x + sin11x ].
2
Отсюда:
1
ò sin 8x × cos 3xdx = 2 ò (sin 5x + sin11x)dx =
ö
1æ 1
1
1
1
= çç- cos 5x - cos11x÷÷÷ + C = - cos 5x - cos11x + C.
ç
ø
2è 5
11
10
22
Операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. Иначе обстоит дело с операцией интегрирования.
Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например:
dx
-x2
2
2
ò e dx, ò cos x dx, ò sin x dx, ò ln x dx (0 < x ¹ 1),
sin x
cos x
ò x dx (x ¹ 0), ò x dx (x ¹ 0).
Каждый из указанных интегралов представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Перечисленные функции находят приложение
в различных отраслях знаний. Например, ин2
теграл ò e-x dx, называется интегралом Пуассона или интегралом
ошибок. Он используется в статистике, теории теплопроводности
и диффузии. Вследствие важности приложений эти функции изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции, для них составлены графики и таблицы.
2. Основные методы интегрирования
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
На основании свойств неопределенного интеграла имеем:
ò f éëφ(x)ùû φ¢(x)dx = ò f éëφ(x)ùû dφ(x) = F (φ(x)) + C, (1)
где F(U) есть первообразная функции f(U).
Пример. Рассмотрим интеграл J1 = ò
(arctgx)2
1 + x2
dx.
55
1
dx
, отсюда
= d (arctgx).
1 + x2
1 + x2
Значит, наш интеграл преобразуется следующим образом:
Известно, что (arctgx)¢ =
J1 = ò
(arctgx)2
1 + x2
Пример. Найти
2
dx = ò (arctgx) d (arctgx) =
cos 3x
+ C.
1
d sin 3x 1
= ln sin 3x + C.
sin 3x
3
sin 2x
ò 4 + sin2 x dx.
sin 2x
ò 4 + sin2 x dx = ò
=ò
3
ò ctg3xdx
ò ctg3xdx = ò sin 3x dx = 3 ò
Пример. Найти
(arctgx)3
(
2 sin x cos x
2
4 + sin x
=ò
2 sin x
4 + sin2 x
d sin x =
) = ln 4 + sin2 x + C.
(
)
x
d 4 + sin2 x
4 + sin
2
Интегрирование по частям
Теорема
Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы на интервале (а,b),
то
(без доказательства).
ò UdV = UV - ò VdU Таким образом, вычисление
ò UdV
(2)
сводится к вычислению
ò UdV , которое может оказаться более простым.
Пример. Вычислить J1 = ò xex dx.
Положим U = x, dV = xex dx, тогда = ò ex dx = ex . Константу С
при определении функции мы опускаем, так как она входит в окончательный ответ dU = dx. Отсюда по формуле (2) имеем
J1 = xex - ò ex dx = xex - ex + C.
Пример. Вычислить интеграл J2 = ò x sin xdx.
56
Пусть U = х, dV = sinxdx, тогда dU = dx, = ò sin xdx = -cos x.
Применим к исходному интегралу формулу интегрирования по
частям
J2 = -x cos x - éê-ò cos xdxùú = -x cos x + sin x + C.
ë
û
Метод интегрирования по частям применяют при вычислении
следующих интегралов:
1.  ò Pn (x)e(
ax+b)
dx,
ò Pn sin(αx + β)dx, ò Pn cos(αx + β)dx,
где Pn(x) – полином степени n Pc (x) = a0 + a1x1 + a2 x2 + ... + an xn .
В этих интегралах за U(x) принимается Pn(x) и интегрируют по
частям n раз.
Пример. Применим рассмотренный метод для вычисления интеx
x
грала J3 = ò (2x + 3)cos dx. Примем U (x) = 2x + 3, dV = cos dx,
2
2
x
x x
x
тогда dU = 2dx, = ò cos dx = 2ò cos d = 2 sin .
2
2 2
2
Окончательно получаем
x
x
x
J3 = ò (2x + 3)cos dx = (2x + 3)sin - ò 2 sin 2dx =
2
2
2
æ
x
x x
x
xö
= 2(2x + 3)sin - 4 × 2ò sin d = 2(2x + 3)sin - 8çç-cos ÷÷÷ + C =
ç
è
2
2 2
2
2ø
æ
x
xö
= 2(2x + 3)sin + 8ççcos ÷÷÷ + C.
çè
2
2ø
2.
ò Pn (x)ln xdx, ò Pn (x)arcsin xdx, ò Pn (x)arccos xdx,
ò Pn (x)arctgxdx, ò Pn (x)arcctgxdx.
В этих интегралах dV принимается dV = Pn (x)dx.
Пример. Вычистить по частям интеграл J4 = ò x3 ln 5xdx. Сделаем предварительные преобразования, тогда
U = ln 5x, dV = x3dx, dU =
5dx dx
x4 4
=
, V = ò x3dx =
,
5x
x
отсюда
57
x4 1
x4
1
× dx =
ln 5x - ò x3dx =
4 x
4
4
4
4
4
x
x
1x
1
=
+C =
ln 5x ln 5x - x4 + C.
4
4 4
4
16
J4 = (ln 5x)
x4 4
-ò
Пример. Аналогично
вычисляется
такой
интеграл
J5 = ò arcsin xd
J5 = ò arcsin xdx. После преобразований: U = arcsin x, dV = dx, dU =
V = dx, dU =
1
1 - x2
1
1 - x2
,V
, V = x, получаем
J5 = x arcsin x - ò
x arcsin x +
1
2ò
2
x
1 - x2
(
d 1 - x2
dx = x arcsin x -
)
(
d (x)
1
=
ò
2
1 - x2
1-
)
1
2
2
1 1- x
= x arcsin x + ×
+C
1
2
1 - x2
12
x arcsin x + 1 - x2 + C.
3.
òe
αx
sin βxdx,
òe
αx
cos βxdx.
В этих интегралах выбор U(x) произволен. Дважды интегрируем
по частям. Оба раза за U берем одно и то же. Интеграл сводится к
самому себе.
Пример. Так в интеграле J6 = ò e2x cos 5xdx, примем U = cos 5x, dV = e2x dx
U = cos 5x, dV = e2x dx.
Используя формулу интегрирования по частям (2), имеем
1
1
J6 = e2x cos 5x - ò e2x (-5 sin 5x)dx =
2
2
1 2x
5
= e cos 5x + ò e2x × sin 5xdx.
2
2
Ко второму интегралу повторно применим формулу (2), положив U = sin 5x, dV = e2x dx.
1
Тогда dU = 5 cos 5x, V = e2x и
2
58
ù
1
5 é1
1
J6 = e2x cos 5x + ê e2x sin 5x - ò e2x cos 5xdxú =
úû
2
2 êë 2
2
1
5
25
= e2x cos 5x + e2x sin 5x - J6 + C.
2
4
4
Таким образом, наш интеграл свелся к самому себе. Разрешим
последнее соотношение относительно
æ
25 ö
1
5
J6 çç1 + ÷÷÷ J5 = e2x cos 5x + e2x sin 5x + C
çè
4ø
2
4
или
J6 =
1
(2 cos 5x + 5 sin 5x)e2x + C.
29
Замечание. В рассмотренном примере в ответе следовало бы писать константу С1, так как С1 = 4/29 С. Однако константы С и С1
являются произвольными постоянными величинами, поэтому мы
не будем вводить дополнительные индексы. Конечно, указанные
группы интегралов не исчерпывают всех, которые можно вычислять по формуле (2).
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией R(x), называется функция, равная отношению двух многочленов:
R (x) =
Qm (x)
Pn (x )
=
b0 xm + b1xm-1 + ... + bm
a0 xn + a1xn-1 + ... + an
,
где m, n – целые положительные числа, bi, aj – вещественные числа, (i = 0, …, m; j = 0, …, n).
Если m<n, то R(x) называется правильной дробью, если m≥n –
неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена
и правильной дроби:
Qm (x)
Q (x)
= Mn-m (x) + l
,
Pn (x)
Pn (x)
где Mn-m (x), Ql (x) – многочлены;
Ql (x)
Pn (x)
– правильная дробь; l<n.
59
Пример. Рациональная функция
x4 + 4
является непраx2 + 3x -1
вильной дробью. Разделив ее числитель на знаменатель (по правилу
x4 + 4
= x2 - 3x + 10 +
-33x + 14
.
x + 3x -1
x2 + 3x -1
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей.
Простейшей дробью называется дробь одного из четырех типов:
деления многочленов), получим
2
A
A
Mx + N
Mx + N
,
,
,
k
2
x - a (x - a) x + px + q
x2 + px + q
(
k
)
,
где А, а, М, N, р, q – вещественные числа, k – натуральное число
(k≥2); p2–4q<0.
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших рациональных пробей.
2x - 3
Пример. Найти ò
dx.
x (x -1)(x - 2)
Разложим правильную рациональную дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму простейших
2x - 3
A
B
C
= +
+
.
x (x -1)(x - 2) x x + 1 x - 2
(3)
Для того чтобы определить коэффициенты А, В и С, приведем
дроби, стоящие в правой части равенства (3), к общему знаменателю. Он совпадет со знаменателем дроби, стоящей в левой части равенства (3). Чтобы равенство было верным, приравняем числители
этих их дробей:
2x - 3 = A (x -1)(x - 2) + Bx (x - 2) + C (x -1) x. (4)
Так как тождество (4) должно выполняться для любого х, то зададим аргумент – следующие значения:
пусть x = 1, то тождество (4) примет вид –1 = –В, следовательно,
В = 1;
пусть x = 2, то тождество (4) примет вид 1 = 2C, следовательно,
1
C= ;
2
60
пусть x = 0, то тождество (4) примет вид –3 = 2A, следовательно,
3
A =- ;
2
Подставим найденные коэффициенты в равенство (3), получаем
2x - 3
3
1
1
=- +
+
.
2x x -1 2(x - 2)
x (x -1)(x - 2)
Теперь вычислить исходный интеграл не составляет труда.
2x - 3
3
ò x(x -1)(x - 2) dx = - 2 ò
dx
dx
1
dx
+ò
+ ò
=
x
x -1 2 x - 2
3
1
= - ln x + ln x -1 + ln x - 2 + C.
2
2
Интегрирование подстановкой (замена переменной)
Пусть требуется найти интеграл
ò f (x)dx, (5)
причем непосредственно подобрать первообразную для функции
f(x) мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении
x = φ(t). (6)
Будем считать, что функция j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, тогда dx = j′(t)dt.
Обозначим X – множество значении функции x = j(t). Если
функция f(x) определена на множестве X, то вычисление интеграла (5) с помощью замены переменного (4) сводится к вычислению
интеграла
ò f (x)dx = ò f (φ(t))φ¢(t)dt, (7)
который может оказаться в каком-то смысле «проще», чем исходный.
Формула (7) называется формулой интегрирования заменой переменной. Она приводится без доказательства.
Так интегралы вида
x
ò R (e )dx,
где R – рациональная функция, с помощью подстановки t = ex приводятся к интегралу от рациональной функции.
61
dx
вычисляется с помощью подex + 1
dz
становки z = ex. В этом случае имеем x = ln z dx = .
z
dz
Отсюда J1 = ò
.
z(z + 1)
Пример. Интеграл J1 = ò
1
1
1
(последнее равенство нетрудно
= z(z + 1) z z + 1
проверить, приведя дроби к общему знаменателю). Наш интеграл
равен разности двух интегралов:
Заметим, что
J1 = ò
dz
dz
dz
z
=ò
-ò
= ln z - ln z + 1 + C = ln
+ C.
z(z + 1)
z
z +1
z +1
ex
+ C.
Теперь возвращаемся к старым переменным J1 = ln x
e +1
При нахождении интегралов вида
m
ò cos
x sinn xdx, где n и m –
целые числа, возможны следующие случаи.
1. Одно из чисел n или m – нечетное, например m = 2k + 1. Тогда
m
ò cos
x sinn xdx = ò cos2k x sinn x cos xdx =
k
(
)
= ò 1 - sin2 x sinn xd (sin x).
После замены переменной t = sint получаем интегралы от степенной функции:
k n
2
ò (1 - t )
t dt.
2. Оба числа n и m – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
2 cos2 αx = 1 + cos 2αx; 2 sin2 αx = 1 - cos2 2αx;
где α – любое вещественное число.
Пример. Вычислить интеграл J2 = ò sin5 xdx.
Преобразуем этот интеграл
2
(
)
(
2
)
J2 = ò 1 - cos2 x sin xdx = -ò 1 - cos2 x d cos x =
62
= -ò
< t = cos x, dt = -sin xdx >
æ
2
t3 t5 ÷ö
1 - t2 dt = -ò 1 - 2t2 + t4 dt = -çççt - 2 + ÷÷÷ + Ñ =
çè
3
5 ø÷
2
1
= -cos x + cos3 x - cos5 x + C.
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
J2 = ò 1 - cos2 x sin xdx = -ò 1 - cos2 x d cos x =
= -ò
< t = cos x, dt = -sin xdx >
æ
2
t3 t5 ö÷
1 - t2 dt = -ò 1 - 2t2 + t4 dt = -çççt - 2 + ÷÷÷ + Ñ =
3
5 ÷ø
çè
2
1
= -cos x + cos3 x - cos5 x + C.
3
5
(
)
(
)
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим интеграл вида
æ
τ1
ò R çççèx,(ax + b)
s1 ,
τk
..., (ax + b)
ö
÷÷
ø
sk ÷÷dx, (8)
где R – рациональная функция, а, b – постоянные, τ, s – целые положительные числа.
Обозначим m – наименьшее общее кратное чисел s1, …, sk. С помощью подстановки ах + b = tm интеграл (8) приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной t.
dx
Пример. Сделаем в интеграле J3 = ò
замену пеx +1 + 3 x +1
ременной t = 6 x + 1.
Получаем x = t6 -1, dx = 6t5dt, и наш интеграл преобразуется
следующим образом:
= 6ò
(
)
t3 + 1 - 1
t3dt
= 6ò
dt =
t +1
t +1
t 3 + t2
æ t 3 t2
ö÷
d (t + 1)
=6ççç - + t÷÷÷ - 6 ln t + 1 + C =
t2 - t + 1 dt - 6ò
2
çè 3
(t + 1)
ø÷
J3 = ò
(
6t5dt
= 6ò
)
= 2 x + 1 - 33 x + 1 + 66 x + 1 - 6 ln(6 x + 1 + 1) + C.
В интегралах вида
ò R (x,
)
a2 ± x2 dx,
ò R (x,
)
x2 - a2 dx мож-
но избавиться от иррациональности соответственно подстановками
a
x = atgt, x = a cos t, x =
.
cos t
dx
Пример. В интеграле J4 = ò
рационально сделать за2 2
9+x
(
мену переменной x = 3tgt, dx =
)
3dt
x
, t = arctg , тогда
3
cos t
2
63
dt
J4 = 3ò
(
cos2 t 9 + 9tg2t
=
2
)
=
1
27 ò
cos2 t
(
sin2 t + cos2 t
2
)
dt =
ù
1
1 é
1
[1 + cos 2t ]dt = êt + sin 2tú + C =
ò
ê
úû
54
54 ë
2
æ
1 é
x 1
x öù
ê arctg + sin 2ççarctg ÷÷ú + C.
=
ç
è
54 êë
3 2
3 ÷øúû
Пример. Вычислить интеграл J5 = ò
Сделаем замену переменной x =
x2 - 4
dx.
x
2
2 sin t
2
, dx =
dt, t = arccos ,
2
cos t
x
cos t
Тогда
4
-4
sin2 t
2 sin t
cos2 t
×
dt = 2ò
dt =
2
cos2 t
cos2 t
cos t
J5 = ò
= 2ò
1 - cos2 t
cos t
dt = 2ò
dt
- 2ò dt = 2tgt - 2t + C =
cos2 t
æ
2ö
2
= 2tg ççarccos ÷÷÷ - arccos + C.
çè
xø
x
2
Этот ответ можно еще преобразовать. Так как tgt =
1
2
cos t
-1 =
x2
1 2
-1 =
x - 4,
4
2
то
окончательно
имеем
1
cos2 t
-1 =
J5 = x2 - 4 - 2arccos
2
+ C.
x
Наряду с указанными подстановками можно использовать и
другие.
dx
.
Пример. Интеграл J6 = ò
x x2 - 3
1
1
Вычисляется с помощью подстановки x = , dx = - dt.
t
t2
= x2 - 4 - 2arccos
64
x2
1
-1 =
4
2
2
+
x
В этом случае
1
dt
dt
1
dt
t2
= -ò
=ò 1 2=
2
1 1
3
1 - 3t
-3
-t
t t2
3
1
1
3
arcsin( 3 ) + C = arcsin
=+ C.
x
3
3
J6 = -ò
3. Определенный интеграл.
Его определение и геометрический смысл
Пусть на отрезке [a,b] определена некоторая функция f(x). Будем говорить, что задано разбиение отрезка [a,b], если заданы точки x0, x1, …, xn, такие, что a = x0,<x1<…xn–1<xn = b.
Разбиение отрезка [a,b], будем обозначать символом {xk}. Отрезки [xk–1, xk], k = 1, …, n, называются частичными отрезками. Обозначим длины этих отрезков символами Δxk:
Δxk = xk - xk-1, k = 1, ..., n.
Диаметром разбиения называется число dn = max Δxk .
k=1,...,n
На каждом частичном отрезке выберем произвольным образом
точку ξk Î [ xk-1, xk ] и вычислим значение функции в этой точке
f(ξk).
По данному разбиению {xk} построим сумму
n
δn (xk , ξk ) = å f (ξk )Δxk , (1)
k=1
которая называется интегральной суммой или суммой Римана.
(Георг Фридерик Бернгард Риман – немецкий математик (1826–
1866). За свою короткую жизнь он опубликовал сравнительно небольшое число работ, но каждая из них была и остается важной,
а некоторые из них раскрыли совершенно новые и плодотворные
области).
Определение. Функция f(x), называется интегрируемой по Риману на отрезке [а,b], если для любого разбиения {xk} у которого
lim dn = 0, и для любого выбора точки ξk существует предел поn®¥
65
следовательности интегральных сумм δn(xk, ξk), и он равен А:
lim δn (xk , ξk ) = A.
dn ®¥
В этом случае число А называется римановым определенным инb
тегралом функции f(x) на отрезке [а,b] и обозначается
ò f (x)dx.
a
Это классическое определение интеграла, данное О. Коши и развитое Б. Риманом.
Рассмотрим геометрический смысл интегральной суммы в случае непрерывной неотрицательной функции f(x)≥0, x∈ [a,b].
Криволинейной трапецией назовем фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком [a,b] оси
ОХ (рис. 1).
Сделаем разбиение {xk} отрезка [а,b] и в каждом частичном отрезке [xk–1, xk] выберем точку ξk. Тогда каждое слагаемое интегральной суммы (1) равно площади прямоугольника с основанием
длины Δxk и высотой f(ξk). Вся же сумма δn(xk, ξk) равна площади
«ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных прямоугольников.
b
Из определения следует, что определенный интеграл
ò f (x)dx
a
является пределом, при dn ® ¥, последовательности площадей
соответствующих ступенчатых фигур, поэтому он равен площади
криволинейной трапеции.
y
ξk
a = x0
x1
xk–1
Рис. 1
66
xk
xn = b
x
Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а,b], то
она интегрируема на [а,b], т.е. предел интегральной суммы (1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а,b] на частичные отрезки [xk–1, xk] и выбора наших точек ξk.
4. Свойства определенного интеграла
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то ее интеграл
является числом, не зависящим от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т.е. от обозначения переменной
интегрирования:
b
ò
a
b
b
a
a
f (x)dx = ò f (y)dy = ò f (t)dt.
Для любой функции f(x), определенной в точке a, положим по
b
определению
ò f (x)dx = 0.
a
Кроме того, для функции f(x), интегрируемой на [a,b], будем
b
считать по определению, что
ò
a
b
f (x)dx = -ò f (x)dx.
a
Приведем без доказательства основные свойства определенного
интеграла.
Свойство 1 (свойство линейности)
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а,b], то для
любых вещественных чисел α и β справедливо равенство
b
ò
a
b
b
a
a
é αf (x) + β g (x)ù dx = α f (x)dx + β g (x)dx.
ò
ò
ë
û
Свойство 2 (свойство аддитивности)
Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a,b] и [с,d], то она
интегрируема и на отрезке [a,d]. Причем
d
ò
a
c
d
a
c
f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx.
67
Свойство 3 (основная теорема интегрального исчисления)
Если функция f(x), непрерывна на отрезке [а,b] и F(x) – какаянибудь первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница
b
ò dx = F (b)- F (a) (1)
a
(без доказательства).
Заметим, что такое название формулы (1) условно, так как ни у
Ньютона, ни у Лейбница такой формулы в точном смысле этого слова. Но важно, что именно Ньютон и Лейбниц впервые установили
связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов.
Символ
b
ô называется знаком двойной подстановки. С его помоa
b
щью формула (1) записывается так:
b
ò f (x)dx = F (x) a = F (b)- F (a).
a
Пример. Вычислить следующие определенные интегралы по
формуле (1):
π
4
π
1
1
1
sin
xdx
cos
x
2
=
2
= - (0 -1) = ;
4
ò
2
2
2
0
0
2
ò
-1
2
2× 3× 3
2 2
x + 1dx = (x + 1)
=
- 0 = 2 3.
-1
3
3
5. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле
Теорема. Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке [a,b], а
функция j(t) определена и непрерывна вместе со своей производной j′(t) на отрезке [α,β], причем a<j(t)<b для любого t∈ [a,b] и
j(α) = α, j(β) = b. Тогда
b
ò
a
(без доказательства)
68
β
f (x)dx = ò f [j(t)]j¢(t)dt
α
(1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
9
Пример. Вычислить определенный интеграл
dx
ò 1+
1
x
.
Сделаем замену переменной t = x, x = t2 , dx = 2tdt и пересчитаем пределы интегрирования:
9
ò 1+
1
3
dx
x
=ò
1
x
t
1
1
9
3
3
3
1
1
(t + 1 -1)dt
2tdt
1
= 2ò
=2ò [1 ]dt =
t -1
t +1
1+ t
3
= 2[t - ln(t + 1)] = 2[2 - (ln 4 - ln 2)] = 4 - 2 ln 2.
1
Замечание. При вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной.
Теорема. Если функция U(x) и V(x) дифференцируемы на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по
частям:
b
ò UdV = UV
a
b
b
- VdU
a ò
a
(2)
(без доказательства)
e
Пример. Вычислить ò x ln2 xdx.
1
Будем брать интеграл по частям, обозначим
1
1
U = ln2 x,dU = 2 ln x × dx,dV = xdx, V = x2 .
x
2
Тогда
e
ò
1
e
e
dx
1
,dV =
x ln2 xdx = x2 ln2 x - ò x ln xdx = U = ln x,dU =
1
x
2
1
æ 2
ö
e
e
çx
dx ÷
1
1
1
= xdx, V = x2 = e2 - ççç ln x - ò x2 × ÷÷÷ =
1
x ÷ø÷
2
2
2
ççè 2
1
e
x2 e 1 2
1
1
1
= e2 - e2 + ò xdx =
= (e -1).
69
e
ò
1
e
e
dx
1
,dV =
x ln xdx = x2 ln2 x - ò x ln xdx = U = ln x,dU =
1
x
2
2
1
æ
ö
e
e
1 2 1 2 çç x2
1 2 dx ÷÷
= xdx, V = x = e - çç ln x - ò x × ÷÷ =
1
x ÷÷ø
2
2
2
ççè 2
1
e
x2 e 1 2
1
1
1
= e2 - e2 + ò xdx =
= (e -1).
2
2
2
4 1 4
1
6. Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь плоской фигуры
Рассмотрим функцию y = f(x), непрерывную и неотрицательную
на отрезке [a,b]. Как уже отмечалось, криволинейная трапеция –
это фигура, ограниченная графиком линии y = f(x), осью OX и прямыми x = a,x = b (рис. 2).
Площадь это трапеции
b
S = ò f (x)dx
(1)
a
Если плоская фигура ограничена двумя непрерывными на отрезке [a,b] функциями y = f(x) и y = j(x)(f(x)≥ j(x)) и прямыми
x = a,x = b (рис. 3), то ее площадь вычисляется по формуле
b
S = ò (f (x) - j(x))dx
a
(2)
y
y = f( x)
0
a
b
Рис. 2
70
x
y = f(x)
y
y = ϕ ( x)
0
b
a
x
Рис. 3
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2
и x = y2 (рис. 4).
Кривые y = x2 и x = y2 симметричны относительно биссектрисы
первого координатного угла. Точки пересечения данных кривых
ì
ü
ï y = x2
ï
находим из системы уравнений ï
, ò.å. O(0,0), A (1,1)ï
í
ý.
2
ï
ï
x
=
y
ï
ï
ï
ï
î
þ
y
x = y2
x = y2
0
1
x
Рис. 4
71
Применяя формулу (2), находим искомую площадь
æ 3
ö
çç x 2 x3 ÷÷ 1 2 1 1
æ 12
ö
2
÷
- ÷÷÷ = - = .
S = ò ççx - x ÷÷dx = çç
è
ø
çç 3
3 ÷÷ 0 3 3 3
0
è 2
ø
1
Объем тела вращения
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. В этом случае объем тела образованного вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью абсцисс, может быть найден по формуле
b
= πò f 2 (x)dx (3)
a
Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной параболой y = 2x–x2 и прямой y = 0, вокруг оси
абсцисс.
Графиком функции y = 2x–x2 является парабола y = –(x–1)2 + 1,
вершина которой лежит в точке (1,1), а ветви параболы направлены вниз. Точки пересечений кривой с осью OX следующие x1 = 0,
x2 = 2 (рис. 5).
Отсюда по формуле (3) имеем
2
2
0
0
πò (2x - x2 )2 dx =πò (4x2 - 4x3 + x4 )dx =
æ x2
æ4× 8
x4 x5 ÷÷ö 2
32 ö
160 - 240 + 96
16
= πççç4
-4
+ ÷÷ = πçç
-16 + ÷÷÷ = π
=π .
ç
è 3
4
5 ÷ø 0
5ø
15
15
çè 3
y
0
2
x
Рис. 5
72
Длина дуги кривой
Пусть кривая задана непрерывной функцией y = f(x), которая
имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную f′(x). Тогда длина дуги l линии y = f(x) от точки x = a, до точки x = b
b
l = ò 1 + (f ¢(x))2 dx.
a
Пример. Найти длину дуги линии y = lnx от точки x1 = 3 до
точки x2 = 8.
8
8
1 + x2 dx
( 1 + x2 )2 xdx
=ò
.
2
2
x
3
3 x 1+ x
Здесь рекомендуется сделать замену переменной t = 1 + x2 .
1
Так как y ¢ = , то l = ò
x
Тогда dt =
xdx
1 + x2
ющим образом:
и пределы интегрирования изменяются следу-
x
t
8
2
3
3
В результате получаем
3
l= ò
3
3
æ
3
1 ö÷
1
dt = ò çç1 +
dt =
÷÷dt = t + ò 2
2
2
ç
2
è
ø
t -1
t
t
1
1
2
2
2
3
=1+
t2
1
2ò
2
3 1
3
é 1
1 ù
1
ê
údt = 1 + ln | t -1 | - ln | t + 1 | =
êë t -1 t + 1 úû
2
2
2
2
1
1 3
= 1 + (ln 2 - ln 4 + ln 3) = 1 + ln .
2
2 2
Основные понятия
Пусть дана некоторая числовая последовательность a1 + a2 + …
+ an + …
¥
Выражение a1 + a2 + ... + an + .... = å an называется числовым
n=1
рядом и может считаться обобщением понятия суммы на случай
73
бесконечного числа слагаемых. Числа a1, a2,..., an,... называются
членами ряда, an – общим членом ряда.
Сумма конечного числа первых членов ряда Sn = a1 + a2 + … +
an называется n-й частичной суммой ряда. Ряд называется сходящимся, если при n ® ¥ последовательность Sn имеет конечный предел S. При этом число S называют суммой ряда и пишут
¥
Sn = S.
å an = S Û xlim
®¥
n=1
Если последовательность Sn не имеет конечного предела при
n ® ¥ , то ряд называется расходящимся и его сумма неопределена.
Пример. Вычислить сумму ряда или доказать его сходимость:
¥
1
1
1
1
1
å (2n + 1)(2n -1) = 1× 3 + 3 × 5 + 5 ×7 + ... + (2n -1)(2n + 1) + ...
n=1
Решение. Воспользуемся тождеством
1
1
1
= ,a ¹ ±
(2a -1)(2a + 1) 2
2
для упрощения каждого слагаемого в частичной сумме Sn:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
Sn =
(2n -1)(2n + 1)
1× 3 3 × 5 5 × 7
1 ææ 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö æ 1
1 ö÷÷ö 1 æç
1 ö÷
= çççç1 - ÷÷÷ + çç - ÷÷÷ + çç - ÷÷÷ + çç
÷÷÷ = çç1 ÷.
÷
ç
ç
ç
ç
ç
2 èè
3 ø è 3 5 ø è 5 7 ø è 2n -1 2n + 1øø 2 è 2n + 1ø÷
И вычислим предел lim Sn =
x®¥
æ
1
1 ö÷ 1
lim çç1 ÷- .
2 x®¥çè
2n + 1÷ø 2
Ответ: ряд сходится и его сумма S = 0,5.
Свойства сходящихся рядов
Если ряд сходится, то удаление или добавление любого конечного числа членов ряда не влияет на факт его сходимости, а меняет
только значение его суммы.
Если ряд a1 + a2 + … + an + …сходится и его сумма равна S, то ряд
ka1 + ka2 + … + kan + …тоже сходится и его сумма равна kS.
Если сумма ряда a1 + a2 + … + an + … равна S, а сумма ряда b1 +
b2 + … + bn + … равна T, то ряды (a1±b1) + (a2±b2) + … + (an±bn) + …
сходятся и их суммы равны S±T.
74
Если ряд a1 + a2 + … + an + … сходится, то его общий член an стремится к нулю при n ® ¥. Отсюда вытекает, что если lim an ¹ 0, то
n®¥
ряд расходится. Доказательства указанных свойств можно найти в
литературе [1–3].
Пример. Исследовать сходимость ряда:
¥
n
1
2
3
n
å 3n -1 = 2 + 5 + 8 + ... + 3n -1...
n=1
n
1
= ¹ 0.
æ
ö
1
3
n®¥ ç
nçç3 - ÷÷÷
è
nø
Решение. Здесь lim an = lim
n®¥
Ответ: ряд расходится.
В практических задачах довольно часто не удается найти точное
значение суммы ряда. В этом случае приближенно считают S = Sn,
выбирая n достаточно большим, можно найти значение S с любой
нужной точностью. Важно только знать, что S существует, т.е., что
ряд сходится. Это можно проверить с помощью признаков сходимости-расходимости рядов.
Признаки сходимости положительных рядов
Пусть дан ряд a1 + a2 + … + an + … с положительными членами
(an>0). Предположим, что существует предел lim n an = k. Тогда,
n®¥
если k<1, то ряд сходится, а если k>1, то ряд расходится (радикальный признак Коши).
Замечание. Если k = 1, то признак Коши не дает ответа на вопрос
о сходимости ряда.
Пример. Исследовать сходимость ряда b1 + b1q + … + b1qn + … где
b1>0 и q>0.
Решение. lim
n®¥
n b qn
1
= q lim n b1 = q.
n®¥
Ответ: При 0<q<1 ряд сходится; при q>1 ряд расходится. При
q = 1 ряд расходится, так как lim an = lim b1 ¹ 0.
n®¥
n®¥
Пусть дан ряд a1 + a2 + … + an + … с положительными членами
a
(an > 0). Предположим, что существует предел lim n+1 = D. Тогn®¥ an
да, если D<1, то ряд сходится, а если D>1, то ряд расходится (признак Даламбера).
75
Замечание. Если D = 1, то признак Даламбера не дает ответа на
вопрос о сходимости ряда.
¥ n
2
Пример. Исследовать сходимость ряда å .
n!
n=1
a
2n+1 n !
2
= lim
= 0.
Решение. lim n+1 = lim n
n®¥ an
n®¥ 2 (n + 1)! n®¥ (n + 1)
Ответ: ряд сходится.
Пусть дан ряд a1 + a2 + … + an + … члены которого положительны
(an>0) и монотонно убывают (an→0). Предположим, что существует функция f(x), удовлетворяющая условиям:
f(x), определена и непрерывна при x≥1;
f(x), и монотонно убывает при x≥1;
f(x) = an, n∈N.
Тогда несобственный интеграл первого рода, определяемый со¥
отношением
ò
b
f (x)dx = lim
b®¥
1
ò f (x)dx,
и данный ряд сходится или
1
расходится одновременно (интегральный признак Коши).
¥
Пример. Исследовать сходимость ряда
1
å na .
n=1
Решение. f(x) = 1/xa, a>0
Вычислим несобственный интеграл в зависимости от значения а.
¥
Если a=1, то
ò
1
дится.
Если a>1,
¥
ò
1
1
æ x-a+1 ö÷ b
1
= lim ççç
, т.е. сходится.
÷÷ =
a -1
xa b®¥çè -a + 1 ÷÷ø1
dx
¥
Если a<1, то
b
dx
dx
= lim ò
= lim (ln | b | - | 1 |) = ¥, т.е. расхоx
x
b®¥
b®¥
ò
1
æ x-a+1 ö÷ b
= lim ççç
÷÷ = ¥, т.е. расходится.
xa b®¥çè -a + 1÷÷ø1
dx
Ответ: ряд сходится при a>1 и расходится при a £ 1.
Пусть даны два ряда с положительными членами a1 + a2 + … +
an + …(a) и b1 + b2 + … + bn + …(b) причем для всех n выполняется неравенство an≤bn. Тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость
ряда (a); из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b)
76
(теорема сравнения). Если предел отношения общих членов рядов
(a) и (b) является конечным, не равным нулю числом, то эти ряды
одновременно или оба сходятся, или оба расходятся (признак сравнения в предельной форме). Доказательства перечисленных признаков приведены в литературе [1–3].
¥
Пример. Исследовать сходимость ряда
æ1ö
å sinçççè n ÷÷ø÷.
n=1
Решение. Сравним с расходящимся гармоническим рядом
¥
1
å n,
n=1
который расходится.
æ1ö
sin ççç ÷÷÷
èn ø
sin
= lim
= 1.
lim
1
n®¥
x®¥ x
n
Ответ: ряд расходится.
Исследование сходимости знакопеременных и знакочередующихся рядов
Пусть слагаемые числового рядаa1 + a2 + … + an + …(a) могут
быть произвольного знака, такой ряд называется знакопеременным. Составим положительный ряд из модулей слагаемых |a1| + |a2|
+ … + |an| + …(b).
Доказательство (см. [1–3]), что если сходится ряд (b), то ряд (a)
тоже сходится, причем такая сходимость называется абсолютной.
Если ряд (b) расходится, но ряд (a) сходится, то такая сходимость
называется неабсолютной (условной).
¥
Пример. Исследовать сходимость ряда
å
n=1
sin(n)
n2
.
Решение. Воспользуемся теоремой сравнения для ряда из моду¥
1
. Ряд å 2 сходится, поэтому исследуемый ряд
2
2
n
n
n=1 n
сходится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.
Частный случай знакопеременного ряда, когда положительные
и отрицательные слагаемые строго чередуются друг за другом, называется знакочередующимся рядом. Такой ряд принято записывать в виде
лей
sin(n)
£
1
77
a1–a2 + a3–a4 + … + (–1)n–1an + …,
–
a1 a2 + a3–a4 + … + (–1)n–1an + …, где а>0.
Доказано (см. [1–3]), что если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям: lim an = 0, an ® 0, то он сходится, и его сумма не
n®¥
превосходит a1 (теорема Лейбница).
¥
Пример. Исследовать сходимость ряда
å
n=1
¥
Решение. Составим ряд из модулей
(-1)n-1
3 n +1
.
1
å 3 n +1.
n=1
Так как 1/3<1, то он расходится, поэтому абсолютной сходимости у знакочередующегося ряда нет. Оба условия теоремы Лейбница выполнены:
1
1
1
è lim =
>
= 0.
3 n +1
3 n +2
3 n +1
ò®¥
Ответ: знакочередующийся ряд сходится неабсолютно (условно).
Дифференциальные уравнения
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F(x,y,y′) = 0,F(x,y,y′′) = 0.
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если
искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
dy
= f (x)j(y).
dx
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переdy
менные
= f (x)dx, а затем проинтегрировать обе части полуj(y)
ченного равенства: ò
78
dy
= f (x)dx.
j(y) ò
Найти общее решение уравнения: x(1 + y2)dx = ydy.
ydy
Разделив переменные, имеем xdx =
, интегрируем обе ча1 + y2
сти уравнения
ydy
2
ò 1 + y2 = ò xdx;
1
x2
ln | 1 + y2 |=
+ ln c.
2
2
Так как производная постоянная, то для удобства дальнейших
преобразований вместо С можно писать lnС. Потенцируя последнее
2
2
равенство, получим y2 = cex -1, y = cex -1. Это и есть общее решение данного уравнения.
79
Контрольная работа № 3
Задание 1
Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить
дифференцированием.
2x2 + x + 3)dx
(
.
dx; b) ò x arctgxdx; c)  ò
1.а) ò
4
(x + 2)(x2 + x + 1)
  1+ x
 
 
x3
2
(x - 3)dx
xdx; c)  ò
.
(x + 2)x2
   
 
dx
.
3.а)  ò 3 3 + x2 xdx; b) ò sin xdx; с) ò
2
x + 9 x2 + 2x + 5
2.а) ò cos2 x × sin xdx; b)
(
ò cos
)
(
)(
)
(x3 + x + 1)dx .
2
4.а) ò 1 + sin 2x × cos 2xdx; b) ò x5ex dx; c) ò
x4 -16
 
(x + 4)dx
x
5.а) ò
.
dx; b)  ò x2 ln 1 - x2 dx; c)  ò
3
6
x
+
(
)(x - 3)(x + 1)
1- x
(
6.а) ò
dx
(
)
)
(x5 + 1)dx
; b) ò x arcsin xdx; c) ò
(x4 - 8x2 + 16)
x3 - 2x)dx
(
arcsin x
7.а) ò
.
dx; b)  ò xarctgxdx; c) ò
2
2
1 - x2
x
+
1
(
)
   
x2 - 3)dx
(
1 + ln x
x
8.а) ò
dx; b) ò arctg dx; c)  ò
.
x
2
(x2 + 4x + 1)x2
9.а) ò
arctgx 1 + x2
sin x
cos3 x
10.а) ò
dx; b)
cos x
1 + sin2 x
 
òx
2
cos 3xdx;  c)  ò
dx; b) ò
x ln xdx; c)
dx
(x - 2)(x + 3)(x + 5)
ò
 
2
11.а) ò x2 × ex dx; b) ò x2 cos2 xdx;  c)  ò
 
80
xdx
(x + 4)(x -1)
(x4 + 2x)dx .
2
x3 + 1
.
.
.
sin x
(x5 - x + 3)dx .
2
12.а) ò cos x × e
dx; b) ò x cos 2xdx; c) ò
x3 - 1
 
3
x
x
xdx
13.а) ò
dx; b) ò x sin dx; c) ò
.
3
2
1+ x
x3 - 8
 
 
xdx
-7 x
dx
dx; c) ò
14.а)
.
; b) ò xe
ò
x3 + 8
arcsin x × 1 - x2
3
x2dx
x
15.а) ò
b) ò xe2x dx; c) ò
.
dx
;
1 - 43 x
x2 - 2x + 2
 
 
(x + 7)dx
arctgx
2
2
16.а) ò
dx; b) ò x sin 6xdx; c) ò
.
2
2
1+ x
x + 6x + 25
 
 
5 x
x
(x + 4)dx
17.а) ò
dx; b)  ò x2 cos2 dx; c) ò
.
3
2
3+2 x
x2 + 4x + 13
 
x5dx
x
sin x
.
18.а) ò
c) ò 2
dx
;
dx; b) ò
2
1 + cos x
x
+
4
x
+
5
cos
x
 
 
19.а) ò
20а) ò
x
1+ 4 x
dx; b)  ò
x
sin2 x
dx;  c)  ò
(6x3 + 8x2 + 18x - 5)dx .
(x - 8)3 (x - 2)
x
dx
dx; b) ò e-5x (x - 7)dx;  c) ò
.
3
1+ x
 
  x -8
4
Задание 2
Вычислить определенный интеграл.
2
1.  ò x ln2 xdx. 1
1
2
4.  ò xe-x dx. 0
π
2
x
7.  ò x2 sin dx. 2
0
1
1
2.  ò x2 e3x dx. 3.  ò
0
4
5.  ò
2
0
dx
1+ x
x6 + 1
dx.
π
.
6.  ò cos2 xdx.
π
8.  ò x sin 4xdx. π
2
x2
-π
2π
9.  ò sin4 x cos4 xdx.
0
81
π
2
1
2
10.  ò ex cos 2xdx. 11.  ò xarctgxdx. 0
π
2
-1
13.  ò ex sin 2xdx. 14.
0
1
16.  ò
0
12.
 
xdx
.
x4 + 1
2
ò
2 x x -1
.
15.
 
2
17.  ò x ln2 xdx. 19.  ò sin3 x cos 2xdx. 0
1
20.
 
ò
0
dx
2
3 x x +1
.
π
0
x3
(x
ò
18.  ò sin3 x cos2 xdx.
1
π
3
1
8
dx
2
 
dx
ò x2 + x .
2
2
)
+1
dx.
Задание 3
Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:
1)  y = (x - 2)3 ; y = 2x - 8;
2)  y = 4 - x2 ; x = 0; x = 1;
3)  y = (x -1)2 ; y2 = x -1;
4)  x = 2 - y2 ; x = y2 - 2y;
2
2
5)  y = 2x - x + 3; y = x - 2x + 3;
6)  y = (x + 1)2 ; y2 = x + 1;
7)  y = arctg x; y = 0; x = 3.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями:
8)  y = 1 - lnsin x; π £ x £ π ;
3
2
1
2
9)  y = ln(1 - x ); 0 £ x £ ;
4
π
10)  y = 1 - lncos x; 0 £ x £ ;
6
11)  y = ln(x2 -1); 2 £ x £ 3;
π
12)  y = -lncos x; 0 £ x £ .
6
82
Вычислить объем тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг оси OX:
13)  y = 2x - x2 ; y = -x + 2; x = 0;
14)  y = x2 ; y - x = 0;
15)  y = -x2 + 5x - 6; y = 0,2;
16)  2x - x2 - y = 0; 2x2 - 2x + y = 0.
Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, вокруг оси OY:
17)  y = x2 ; x = 2; y = 0;
18)  y = ln x; x = 2; y = 0;
19)  y = (x -1)2 ; y = 1;
20)  y2 = x - 2; y = 0; y = x3 ; y = 1.
Задание 4
Найти сумму ряда (или доказать его расходимость).
¥
1
.
n
+
n + 10)
(
1
)(
n=1
1.  å
¥
1
å (n + 2)(n + 9).
2.  n=1
¥
1
å (n + 4)(n + 7).
n=1
¥
1
.
3. å
n
+
n + 8)
(
3
)(
=
n
1
 
4. 
¥
¥
1
1
.
5.  å
å
(n + 5)(n + 6)
(n + 6)(n + 4)
=
n=1
n
1
6. 
¥
¥
1
1
.
.
7.  å
å
(n + 7)(n + 3)
(n + 8)(n + 2)
n=1
8.  n=1
¥
¥
1
1
.
.
9.  å
å
(n + 9)(n + 1)
(n + 3)(n + 10)
n=1
10.  n=1
¥
¥
1
1
.
.
11.  å
å
n(n + 10)
(n + 2)(n + 10)
n=1
12.  n=1
¥
¥
1
1
.
.
13.  å
å
n
n
+
n
n
+ 8)
(
9
)
(
=
n=1
n
1
14. 
83
¥
1
.
n(n + 7)
n=1
15.  å
¥
¥
1
.
n(n + 5)
n=1
17.  å
1
.
n(n + 6)
n=1
16.  å
¥
¥
1
.
n(n + 3)
n=1
19.  å
1
.
n(n + 4)
n=1
18.  å
¥
1
.
n(n + 2)
n=1
20.  å
Задание 5
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального
уравнения.
1.  x2dx = 3y2dy. 2.  (1 + y)dx - (x -1)dy = 0.
3.  y2dx + (x - 2)dy = 0. 4.  (x2 - yx2 )dy + y2 (1 + x)dx = 0.
5.  (1 + y2 )dx - xdy = 0.
6.  x2dy - (2xy + 3y)dx = 0.
7.  (y - 2)dx - (x -1)dy = 0. 8.  (1 + x)ydx + (y -1)xdy = 0.
9.  y2dx = ex dy. 10.  ytgxdx + dy = 0.
11.  (1 + x3 )dy = 3x2 ydx.
13.  xydx = (1 + x2 )dy.
12. (xy2 + x)dx + y(1 + x2 )dy.
 
14.  x2dy - y2dx = 0.
2x -1 dx
=
.
15. 2dy = 1 + x2 .
16. 
y + 1 dy
  dx
1
dy
+ xy = 0.
17.  (1 - x2 )
18. x2dy - y3dx = 0.
2
dx
 
dy
19.  xdy - ydx = 0.
20. 
- dx = 0.
2y
84
Рекомендуемая литература
Основная
1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум. М.: Юрайт, 2011. 909 с.
2. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. М.:
Айрис-пресс, 2009, 576 с.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для вузов: в 2 т. М.: Интеграл-Пресс, 2009. 416 с.
Дополнительная
1. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для вузов. М.:
Высш. шк., 2003. 479 с.
2. Виленкин И. В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов.
Ростов н/Д: Феникс, 2002. 416 с.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. М.:
ОНИКС 21 век: Мир и образование, 2003. Ч. 1. 303 с. Ч. 2. 415 с.
4. Шипачев В. С. Математический анализ: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 176 с.
Электронные ресурсы
1. Библиотека ГУАП – http://www.lib.aanet.ru
2. Научная библиотека Elibrary – http://www.elibrary.ru
85
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.....................................................................
Математика-1, 1 семестр.....................................................
Математика-1, 2 семестр.....................................................
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 1................................
Контрольная работа № 1.....................................................
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2................................
Контрольная работа № 2.....................................................
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 3................................
Контрольная работа № 3.....................................................
Рекомендуемая литература.................................................
86
3
5
6
7
27
34
47
52
80
85
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
1 757 Кб
Теги
shavinkova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа