close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shavinkova1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Методические указания
к выполнению контрольных работ
Санкт-Петербург
2013
Составитель Е. С. Шавинкова
Рецензенты: кандидат технических наук, доцент В. П. Попов;
кандидат физико-математических наук И. В. Иванова
Методические указания по дисциплине «Теория вероятностей и элементы математической статистики» включают варианты контрольных работ
для студентов заочной формы обучения с пояснениями к их выполнению.
Предназначены для студентов заочной формы обучения по направлениям: 080100.62 «Экономика», 230100.62 «Информатика и вычислительная
техника» Ивангородского гуманитарно-технического института (филиала)
ФГАОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения».
Подготовлены кафедрой прикладной математики и информатики Ивангородского гуманитарно-технического института (филиала) ФГАОУ ВПО
«Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического
приборостроения».
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 03.06.13. Подписано к печати 21.06.13.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,2.
Уч.-изд. л. 3,4. Тираж 100 экз. Заказ № 338.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
ВВЕДЕНИЕ
Содержание курса «Теория вероятностей и элементы математической статистики» определяется государственным стандартом,
рабочей программой и тематическим планом.
Данная дисциплина изучается студентами на 2-м и 3-м курсах.
Программа курса включает три основных теоретических раздела.
1. Случайные события.
2. Случайные величины.
3. Элементы математической статистики.
Изучение курса заканчивается выполнением контрольной работы в каждом семестре.
Целью изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» является приобретение знаний и навыков
решения задач, связанных с расчетом вероятностей и числовых характеристик случайных величин и случайных событий.
Задачи изучения дисциплины – правильное понимание основных положений и формул для расчета вероятностей различных событий.
Для этого надо:
знать основные определения и свойства вероятности;
иметь представление о применении формул при решении задач;
владеть методикой расчета определения вероятности ДСВ.
«Математика-2» в учебном процессе тесно связана с курсом
«Математика-1», курсом дисциплины «Информатика» и является
в какой-то степени базовым элементом в изучении различных курсов, в которых необходимо проводить обработку статистических
данных и делать оценки величин при выполнении дипломных
­проектов.
3
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 1
Каждый вариант контрольной работы № 1 содержит пять задач;
дополнительные теоретические сведения содержатся в литературе  [1–4].
Классическое определение вероятности
Среди десяти изделий находится три бракованных. Выбирают
наугад четыре изделия. Определить вероятности событий:
А = {среди выбранных изделий нет бракованных изделий}
В = {из выбранных изделий ровно два бракованных}
Решение: Определим общее число способов выбора четырех изделий из десяти:
10 ! 10 × 9 × 8 × 7
=
= 10 × 3 × 2 × 7 = 210.
4 !× 6 !
4× 3× 2
Число выборок, благоприятствующих событию А, будет равно:
4 =
C10
7!
7 × 6 × 5× 4!
=
= 7 × 5 = 35.
4 !× 3 !
4 !× 3 × 2
Тогда вероятность события А будет равна:
C74 =
P( A ) =
C74
4
C10
=
35
1
= .
210 6
Для вычисления вероятности события B применим гипергеометрическое определение. Тогда вероятность события B означает
найти вероятность того, что среди четырех наугад выбранных изделий будет два бракованных.
P(B) =
C32 × C72
4
C10
=
3 × 21 3
= .
210 10
Определение вероятности нескольких независимых событий
Известны вероятности независимых событий: A, B, C : P(A) =
= 0,9; P(B) = 0,9; P(C) = 0,8.
Найти вероятность того, что: а) наступит только второе событие; б) только одно событие; в) все три события; г) по крайней мере
два события; д) хотя бы одно событие.
4
Решение
а. Обозначим события Ai – наступит i-е событие (i = 1, 2, 3); B –
наступит только 2-е событие из 3. Очевидно, что B = A1, A2, À 3, т.e.
совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что наступит 2-е и не наступит 1-е и 3-е. Так как события A1, A2, A3, не­
зависимы, получим
P(B) = P( A1, A2, À 3.) = P( A1 ), P( A2 ), P( À3 ) = 0,1× 0,9 × 0,2 = 0,018.
б. Пусть событие С – наступит одно событие из трех. Очевидно,
событие С произойдет, если наступит только 1-е или только 2-е или
только 3-е, т.е:
P(C) = P( A1, A2 , À3 + A1, A2 , À3 + A1, A2 , A3 ) =
= 0,9 × 0,1× 0,2 + 0,1× 0,9 × 0,2 + 0,1× 0,1× 0,8 = 0,0446.
в. Пусть событие D – наступят все три события, т.е. D = A1, A2,
A3, тогда
P(D) = P( A1, A2 , A3 ) = P( A1,) × P( A2 ,) × P( A3 ) = 0,9 × 0,9 × 0,8 = 0,648.
г. Пусть событие Е – наступит по крайней мере два события
(иначе: «хотя бы два события или не менее двух событий»). Очевидно, что событие Е означает наступление любых двух событий
из трех или всех трех событий, т.е.:
E = A1, A2 , A3 + A1, A2 , A3 + A1, A2 , A3 + A1, A2 , A3 è
P(E) = 0,9 × 0,9 × 0,2 + 0,9 × 0,1× 0,8 + 0,1× 0,9 × 0,8 + 0,9 × 0,9 × 0,8 = 0,954.
д. Пусть событие F – наступит хотя бы одно событие (иначе:
«не менее одного»). Событие F представляет сумму событий C (включа­
ющего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = A1 + A2 + A3 =
= C + E (смесь вариантов). Проще найти вероятность события F,
если перейти к противоположному событию.
P(F) = ( A1 + A2 + A2 ) = 1 - P(F) = 1 - P( A1, A2 , A3 ) =
= 1 - P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) = 1 - 0,1× 0,1× 0,2 = 0,998.
Формула Байеса
Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым
и третьим стрелком равны: 0,6; 0,5 и 0,4 соответственно.
5
Решение
Пусть событие А – два стрелка поразили мишень. Пусть B1 –
третий стрелок поразил мишень, P(B1) = 0,4; Пусть B2 – третий
стрелок промахнулся. Событие B2 противоположно событию B1,
поэтому P(B2) = 1 – P(B1) = 1 – 0,4 = 0,6.
Определим условную вероятность P(A) того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии B1, что попал третий стрелок. Это событие возможно в случае, если попал первый
стрелок или второй, т.е. попал только один из стрелков, поэтому
PB1 ( A) = P1q2 + q1 P2 , где P1(P2) и q1(q2) – вероятности попадания
и промаха при стрельбе по мишени первым(вторым) стрелками.
PB1 ( A) = 0,6 × (1 - 0,5) + (1 - 0,6) × 0,5 = 0,3 + 0,2 = 0,5.
Найдем условную вероятность PB2 ( A) того, что мишень будет
поражена двумя стрелками при условии, что третий стрелок не
попал в мишень. Это событие возможно в случае, если в мишень
попали и первый, и второй стрелки, т.е., одновременно осуществились два независимых события, т.е., PB2 ( A) = 0,6× 0,5 = 0,3.
По формуле Байеса определим
PA (B1 ) =
P(B1 ) PB1 ( A)
P(B1 ) PB1 ( A) + P(B2 ) PB2 ( A)
=
0,4× 0,5
0,2 10
=
= .
0,4× 0,5 + 0,6× 0,3 0,38 19
Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: P1 = 0,8;P2 = 0,7; P3 = 0,9.
Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе
из всех орудий.
Решение
Вероятность попадания в цель каждым из орудий является независимыми событиями, поэтому искомая вероятность определяется как
P(A) = 1 – q1q2q3 = 1 – 0,2∙0,3∙0,1 = 0,994,
где q1, q2, q3 – события, противоположные событиям p1, p2, p3.
Условная вероятность события
В читальном зале имеется шесть учеников по теории вероятностей, из которых три в переплете.
6
Наудачу взяли два учебника. Найти вероятность того, что оба
учебника окажутся в переплете.
Решение
Пусть А – первый взятый учебник в переплете, В – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет
3 1
переплет P( A) = = . Вероятность того, что второй учебник име6 2
ет переплет, при условии что первый в переплете, т.е. условная
2
вероятность события B такова: PA (B) = . Тогда искомая вероят5
­
1 2
ность будет равна P( AB) = P( A) PA (B) = × = 0,2.
2 5
7
Контрольная работа № 1
Вариант 1
Задача 1. Из 10 изделий, среди которых 4 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В,
С: 0,5; 0,4; 0,6. Определить вероятность того, что: а) произойдет
одно и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух
­событий.
Задача 3. Вероятности попадания в цель: первого стрелка – 0,6;
второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Задача 4. Известно, что 96 % продукции – стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что признанное годным изделие – стандартно.
Задача 5. Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить
цель для первого – 0,86; для второго – 0,9; для третьего – 0,92; четвертого – 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?
Вариант 2
Задача 1. Из 15 деталей 10 окрашено. Найти вероятность того,
что из выбранных наугад 4-х две окрашенные.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,7; 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Среди 100 изделий 5 неисправно. Найти вероятность
того, что среди 5 проверенных хотя бы одно неисправно.
Задача 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени.
Вероятность попадания первого – 0,4; второго – 0,6; третьего – 0,7;
четвертого – 0,5. Известно, что произошло три попадания. Какова
вероятность, что промахнулся первый?
Задача 5. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2
черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад, извлечен белый шар. Найти вероятность того,
что это была третья коробка.
Вариант 3
Задача 1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма очков четная.
8
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В,
С: 0,4; 0,6; 0,8. Определить вероятность того, что: а) произойдет
одно и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух
со­бытий.
Задача 3. Вероятность, что первый станок исправен – 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы один
неисправен.
Задача 4. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –
0,8; для второго – 0,7; третьего – 0,6. При одновременном выстреле всех трех имелось одно попадание. Найти вероятность того, что
попал третий стрелок.
Задача 5. В первой коробке 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой во вторую переложили два
шара. Затем из второй коробки взяли шар, оказавшийся белым.
Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен?
Вариант 4
Задача 1. Из 40 вопросов студент изучил 30. Найти вероятность
того, что он ответит на два вопроса.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,5; 0,2. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет два и только два
события.
Задача 3. Из 100 изделий 5 бракованных. Найти вероятность
того, что из 10 проверенных не более одного бракованного.
Задача 4. В сетке 9 мячей, из них 6 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Задача 5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями 0,25; 0,35; 0,4. Вероятности работы в течение года равны соответственно 0,2; 0,1; 0,4. Найти вероятность
того, что лампа проработает в течение года.
Вариант 5
Задача 1. Имеется 3 белых и 5 черных шара. Вынимают два.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,8; 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
9
Задача 3. Изделие стандартно с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из трех изделий два стандартно.
Задача 4. На двух станках производят детали, причем на втором в два раза больше, чем на первом. Вероятность брака на первом станке – 0,01: на втором – 0,02. Найти вероятность того, что
произвольно взятая деталь бракованная.
Задача 5. Из 20 стрелков шесть попадают в цель с вероятностью
0,8; девять – с вероятностью 0,5 и пять с вероятностью 0,2. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп он вероятнее всего принадлежит?
Вариант 6
Задача 1. Десять книг расставляются на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,3; 0,6. Определить вероятность того, что: а) произойдут только события А и В. б) произойдет не более двух событий.
Задача 3. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –
0,6; второго – 0,7: третьего – 0,8. Найти вероятность того, что будет хотя бы два попадания.
Задача 4. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,7; 0,4;
0,3. При их одновременном выстреле имеется два попадания. Что
вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Задача 5. Из 10 изделий число бракованных (0, 1, 2) равновероятно. Зная, что 5 взятых наугад изделий годные, найти вероятность того, что оставшиеся тоже годные.
Вариант 7
Задача 1. Имеется 40 путевок, среди которых 15 на юг. Найти
вероятность того, что из 10 взятых наугад 4 на юг.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,8; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно
событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если
вероятность первого – 0,8.
Задача 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.
10
Задача 5. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью
0,8; семь 0,7; четыре 0,6 и два 0,5. Наудачу выбранный стрелок
промахнулся. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?
Вариант 8
Задача 1. Из колоды в 52 карты выбирают 5. Найти вероятность
того, что среди них один туз.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,6; 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более двух
­событий.
Задача 3. Деталь проходит три стадии обработки. Вероятность
получения брака на первой стадии – 0,02; на второй – 0,06 и на
третьей – 0,12. Какова вероятность изготовления бракованной
­детали?
Задача 4. Имеется две партии изделий в 15 и 20 шт.; в первой
два, во второй три бракованных. Одно изделие из первой переложили во вторую, после чего из второй берут одно наугад. Найти вероятность того, что оно бракованное.
Задача 5. Три охотника выстрелили по зверю, который был убит
одной пулей. Найти вероятность того, что зверь был убит третьим
стрелком, если вероятности попадания 0,5; 0,6; 0,7.
Вариант 9
Задача 1. Среди 10 изделий 4 бракованные. Найти вероятность
того, что среди трех проверенных одно бракованное.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,7; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что: а)произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б)произойдет не более двух событий.
Задача 3. Имеется 15 шаров, из которых 5 – черные. Наугад берут три. Найти вероятность того, что хотя бы один из них черный.
Задача 4. В телеграфном сообщении точка и тире встречаются
в соотношении 4:3. Известно, что искажаются 25 % точек и 20 %
тире. Найти вероятность того, что принят переданный сигнал,
если принято тире.
Задача 5. Известно, что 80 % изделий стандартно. Упрощенный
контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью
0,9 и нестандартную с вероятностью 0,25. Найти вероятность того,
что признанное годным изделие стандартно.
11
Вариант 10
Задача 1. 25 экзаменационных билетов содержат по два вопроса. Студент может ответить на 45 вопросов. Найти вероятность
того, что вытянутый билет состоит из подготовленных вопросов.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,4; 0,5; 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более двух
­событий.
Задача 3. Три последовательно соединенных элемента выходят
из строя с вероятностью 0,3: 0,4: 0,6. Найти вероятность того, что
в цепи будет разрыв.
Задача 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.
Задача 5. В сетке 9 мячей, из них 6 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Вариант 11
Задача 1. Из 9 изделий, среди которых 5 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,6; 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность, что первый станок исправен – 0,7; второй – 0,8; третий – 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы один
неисправен.
Задача 4. В сетке 8 мячей, из них 5 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Задача 5. Из 20 стрелков шесть попадают в цель с вероятностью
0,9; девять – с вероятностью 0,4 и пять с вероятностью 0,3. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп он вероятнее всего принадлежит?
Вариант 12
Задача 1. 20 экзаменационных билетов содержат по два вопроса. Студент может ответить на 35 вопросов. Найти вероят12
ность того, что вытянутый билет состоит из подготовленных вопросов.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,7; 0,4; 0,5.
Задача 3. Среди 100 изделий 6 неисправно. Найти вероятность
того, что среди 4 проверенных хотя бы одно неисправно.
Задача 4. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –
0,7; для второго – 0,5; третьего – 0,6. При одновременном выстреле всех трех имелось одно попадание. Найти вероятность того, что
попал третий стрелок.
Задача 5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями 0,25; 0,35; 0,4. Вероятности работы в течение года равны соответственно 0,2; 0,15; 0,3. Найти вероятность
того, что лампа проработает в течение года.
Вариант 13
Задача 1. Среди 9 изделий 5 бракованные. Найти вероятность
того, что среди трех проверенных одно бракованное.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,2; 0,5; 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет не более двух
­событий.
Задача 3. Вероятности попадания в цель: первого стрелка – 0,7;
второго – 0,5; третьего – 0,6. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Задача 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени.
Вероятность попадания первого – 0,4; второго – 0,3; третьего – 0,7;
четвертого – 0,5. Известно, что произошло три попадания. Какова
вероятность, что промахнулся первый?
Задача 5. В первой коробке 3 белых и 5 черных шара, во второй – 4 белых и 3 черных. Из первой во вторую переложили два
шара. Затем из второй коробки взяли шар, оказавшийся белым.
Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен?
Вариант 14
Задача 1. Имеется 6 белых и 5 черных шара. Вынимают два.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут
по крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного события.
13
Задача 3. Изделие стандартно с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что из четырех изделий два стандартно.
Задача 4. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,6;
0,4; 0,2. При их одновременном выстреле имеется два попадания.
Что вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Задача 5. Из 9 изделий число бракованных (0, 1, 2) равнове­
роятно. Зная, что 4 взятых наугад изделий годные, найти вероятность того, что оставшиеся тоже годные.
Вариант 15
Задача 1. Имеется 30 путевок, среди которых 12 на юг. Найти
вероятность того, что из 10 взятых наугад 5 на юг.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,8; 0,7; 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно
событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если
вероятность первого – 0,8.
Задача 4. В телеграфном сообщении точка и тире встречаются
в соотношении 2:3. Известно, что искажаются 25 % точек и 20 %
тире. Найти вероятность того, что принят переданный сигнал,
если принято тире.
Задача 5. В сетке 10 мячей, из них 7 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Вариант 16
Задача 1. Девять книг расставляются на одной полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Деталь проходит три стадии обработки. Вероятность
получения брака на первой стадии – 0,04; на второй – 0,04 и на третьей – 0,08. Какова вероятность изготовления бракованной детали?
Задача 4. В телеграфном сообщении точка и тире встречаются
в соотношении 3:2. Известно, что искажаются 20 % точек и 25 %
14
тире. Найти вероятность того, что принят переданный сигнал,
если принято тире.
Задача 5. В сетке 8 мячей, из них 6 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Вариант 17
Задача 1. Имеется 4 белых и 5 черных шара. Вынимают два.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,8; 0,6. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно
событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если
вероятность первого – 0,8.
Задача 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.
Задача 5. Три охотника выстрелили по зверю, который был
убит одной пулей. Найти вероятность того, что зверь был убит третьим стрелком, если вероятности попадания равны Р1 = 0,5; Р2 =
= 0,6; Р3 = 0,4.
Вариант 18
Задача 1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма очков нечетная.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,5; 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдут
по крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного события.
Задача 3. Изделие стандартно с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что из трех изделий два стандартно.
Задача 4. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,5; 0,4;
0,3. При их одновременном выстреле имеется два попадания. Что
вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Задача 5. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью
0,7; семь 0,6; четыре 0,5 и два 0,4. Наудачу выбранный стрелок
промахнулся. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?
15
Вариант 19
Задача 1. Из 12 деталей 8 окрашено. Найти вероятность того,
что из выбранных наугад четырех две окрашенные.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,4; 0,5; 0,8. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Из 100 изделий 5 бракованных. Найти вероятность
того, что из 10 проверенных не более одной бракованной.
Задача 4. На двух станках производят детали, причем на втором в два раза больше, чем на первом. Вероятность брака на первом станке – 0,04: на втором – 0,02. Найти вероятность того, что
произвольно взятая деталь бракованная.
Задача 5. Из 12 изделий число бракованных (0, 1, 2) равновероятно. Зная, что 6 взятых наугад изделий годные, найти вероятность того, что оставшиеся тоже годные.
Вариант 20
Задача 1. Из 12 изделий, среди которых 5 бракованные, извлекают 4. Найти вероятность того, что среди них одно бракованное.
Задача 2. Известны вероятности независимых событии А, В, С:
0,6; 0,7; 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность, что первый станок неисправен – 0,09;
второй – 0,08; третий – 0,05. Найти вероятность того, что хотя бы
один неисправен.
Задача 4. В сетке 9 мячей, из них 5 – новые. Для первой игры
берут три, которые потом возвращают. Для второй снова берут 3.
Найти вероятность того, что для второй игры взяли три новых
мяча.
Задача 5. Из 20 стрелков шесть попадают в цель с вероятностью
0,4; девять – с вероятностью 0,5 и пять с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп он вероятнее всего принадлежит?
Вариант 21
Задача 1. 15 экзаменационных билетов содержат по два вопроса. Студент может ответить на 25 вопросов. Найти вероятность
того, что вытянутый билет состоит из подготовленных вопросов.
16
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,7; 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Среди 100 изделий 5 неисправно. Найти вероятность
того, что среди 5 проверенных хотя бы одно неисправно.
Задача 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени.
Вероятность попадания первого – 0,4; второго – 0,6; третьего – 0,7;
четвертого – 0,5. Известно, что произошло три попадания. Какова
вероятность, что промахнулся первый?
Задача 5. Из 8 изделий число бракованных (0, 1, 2) равновероятно. Зная, что 4 взятых наугад изделий годные, найти вероятность того, что оставшиеся тоже годные.
Вариант 22
Задача 1. Имеется 6 белых и 4 черных шара. Вынимают два.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,7; 0,3; 0,6. Определить вероятность того, что: а) произойдут только события А и В. б) произойдет не более двух событий.
Задача 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно
событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если
вероятность первого – 0,6.
Задача 4. Имеется две партии изделий в 15 и 10 шт.; в первой
два, во второй три бракованных. Одно изделие из первой переложили во вторую, после чего из второй берут одно наугад. Найти вероятность того, что оно бракованное.
Задача 5. Известно, что 85 % изделий стандартно. Упрощенный
контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью
0,8 и нестандартную с вероятностью 0,3. Найти вероятность того,
что признанное годным изделие стандартно.
Вариант 23
Задача 1. Из 30 вопросов студент изучил 24. Найти вероятность
того, что он ответит на два вопроса.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,7; 0,8; 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдут по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –
0,6; второго – 0,7; третьего – 0,5. Найти вероятность того, что будет хотя бы два попадания.
17
Задача 4. В коробке было 8 белых и 5 черных шара, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.
Задача 5. Три охотника выстрелили по зверю, который был убит
одной пулей. Найти вероятность того, что зверь был убит третьим
стрелком, если вероятности попадания 0,4; 0,6; 0,3.
Вариант 24
Задача 1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма очков четная.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,5; 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет два и только два
события.
Задача 3. Изделие стандартно с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из четырех изделий два стандартно.
Задача 4. Три стрелка стреляют в цель с вероятностями 0,7; 0,6;
0,5. При их одновременном выстреле имеется два попадания. Что
вероятнее: попал третий стрелок в цель или промахнулся?
Задача 5. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью 0,8; семь 0,6; четыре 0,4 и два 0,2. Наудачу выбранный стрелок промахнулся. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?
Вариант 25
Задача 1. Из 10 деталей 6 окрашено. Найти вероятность того,
что из выбранных наугад четырех две окрашенные.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В,
С: 0,5; 0,6; 0,7. Определить вероятность того, что: а) произойдет
одно и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух
событий.
Задача 3. Из 50 изделий 6 бракованных. Найти вероятность
того, что из четырех проверенных не более одного бракованного.
Задача 4. На двух станках производят детали, причем на втором
в три раза больше, чем на первом. Вероятность брака на первом
станке – 0,03: на втором – 0,02. Найти вероятность того, что произвольно взятая деталь бракованная.
Задача 5. Из 9 изделий число бракованных (0, 1,2) равновероятно. Зная, что 4 взятых наугад изделий годные, найти вероятность
того, что оставшиеся тоже годные.
18
Вариант 26
Задача 1. Из 11 изделий, среди которых 5 бракованные, извлекают 3. Найти вероятность того, что среди них два бракованных.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,4; 0,6. Определить вероятность того, что а) произойдет одно
и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух со­
бытий.
Задача 3. Вероятности попадания в цель первого стрелка – 0,6;
второго – 0,7; третьего – 0,8. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель при одновременном выстреле всех трех.
Задача 4. Известно, что 90 % продукции стандартно. Упрощенный контроль признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,88 и нестандартную с вероятностью 0,15. Найти вероятность того, что признанное годным изделие стандартно.
Задача 5. Имеется 4 радиолокатора. Вероятность обнаружить
цель для первого – 0,86: для второго – 0,9: для третьего – 0,92:
­четвертого – 0,95. Включен один из них. Какова вероятность обнаружить цель?
Вариант 27
Задача 1. Из 15 деталей 10 окрашено. Найти вероятность того,
что из выбранных наугад четырех две окрашенные.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,5; 0,7; 0,3. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере два из этих событий, б) произойдет не более одного
события.
Задача 3. Среди 100 изделий 5 неисправно. Найти вероятность
того, что среди 5 проверенных хотя бы одно неисправно.
Задача 4. Четыре стрелка одновременно стреляют по мишени.
Вероятность попадания первого – 0,4: второго – 0,6: третьего – 0,7:
четвертого – 0,5. Известно, что произошло три попадания Какова
вероятность, что промахнулся первый?
Задача 5. Имеется три коробки с шарами. В первых двух по 2
черных и 2 белых шара, в третьей – 5 белых и 1 черный. Из коробки, взятой наугад, извлечен белый шар. Найти вероятность того,
что это была третья коробка.
Вариант 28
Задача 1. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность
того, что сумма очков четная.
19
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,4; 0,6; 0,8. Определить вероятность того, что: а) произойдет одно
и только одно из этих событий, б) произойдет не более двух событий.
Задача 3. Вероятность, что первый станок исправен – 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Найти вероятность того, что хотя бы один
неисправен.
Задача 4. Вероятность попадания в цель для первого стрелка –
0,8; для второго – 0,7; третьего – 0,6. При одновременном выстреле всех трех имелось одно попадание. Найти вероятность того, что
попал третий стрелок.
Задача 5. В первой коробке 3 белых и 5 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой во вторую переложили два
шара. Затем из второй коробки взяли шар, оказавшийся белым.
Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен?
Вариант 29
Задача 1. Из 30 вопросов студент изучил 25. Найти вероятность
того, что он ответит на два вопроса.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,5; 0,2. Определить вероятность того, что: а) произойдет по
крайней мере одно из этих событий, б) произойдет два и только два
события.
Задача 3. Из 100 изделий 5 бракованных. Найти вероятность
того, что из 10 проверенных не более одного бракованного.
Задача 4. В сетке 8 мячей, из них 5 – новые. Для первой игры
берут два, которые потом возвращают. Для второй берут 3. Найти
вероятность того, что для второй игры взяли три новых мяча.
Задача 5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностями 0,25; 0,35; 0,4. Вероятности работы в течение года равны соответственно 0,2; 0,1; 0,4. Найти вероятность
того, что лампа проработает в течение года.
Вариант 30
Задача 1. Имеется 4 белых и 6 черных шара. Вынимают два.
Найти вероятность того, что они разного цвета.
Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:
0,3; 0,7; 0,4. Определить вероятность того, что: а) произойдут не
более двух из этих событий, б) произойдет по крайней мере одно
­событие.
20
Задача 3. Изделие стандартно с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из четырех изделий два стандартно.
Задача 4. На двух станках производят детали, причем на втором
в два раза больше, чем на первом. Вероятность брака на первом
станке – 0,01: на втором – 0,02. Найти вероятность того, что произвольно взятая деталь бракованная.
Задача 5. Из 20 стрелков шесть попадают в цель с вероятностью 0,8; девять – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,2.
­Наудачу выбранный стрелок попал в цель. К какой из групп он
­вероятнее всего принадлежит?
21
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2
Построение ряда распределения
Вероятность появления события в одном испытании равна 0,1.
Сопоставить закон (ряд) распределения появления события в трех
испытаниях.
Решение. Дискретная случайная величина (число появления
­события) имеет следующие возможные значения: x1 = 0 (событие
не появилось), x2 = 1 (событие появилось один раз), x3 = 2 (событие появилось два раза), x4 = 3 (событие появилось 3 раза).
Появление событий независимых один от другого, вероятности
появления каждого события равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию n = 3, p = 0,1,
следовательно q = 1 – 0,1 = 0,9, получим:
P3 (0) = q 3 = 0,93 = 0,729;
P3 (1) = C31 pq2 = 3 × 0,1× 0,92 = 0,243;
P3 (2) = C32 p2q = 3 × 0,120,9 = 0,027;
P3 (3) = p3 = 0,13 = 0,001.
Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.
Напишем искомый закон (ряд) распределения X:
P
0
1
2
3
X
0,729
0,0243
0,027
0,001
n
Математическое ожидание вычислим по формуле M (x) = å xi pi .
i=1
M(x) = 0∙0,729 + 1∙0,243 + 2∙0,027 + 3∙0,001 = 0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле D(x) = M(x2) – (M(x))2.
Напишем закон распределения x2:
22
Х2
0
1
4
9
P
0,729
0,0243
0,027
0,001
M(x2) = 0∙0,729 + 1∙0,243 + 4∙0,027 + 9∙0,001 = 0,36;
D(x) = 0,36 – 0,32 = 0,27.
Рассмотрим решение задач на ДСВ с применением понятий математического ожидания и дисперсии.
Случайная величина ξ содержит неизвестные значения x1 и x2
(x1 < x2)
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Найти значения x1 и x2, если M(x) = 1,4; D(x) = 0,24.
Решение. Для отыскания x1 и x2 составим два уравнения, связывающие эти значения. Выразим известные математическое
ожидание и дисперсию через x1 и x2.
M(x) = 0,6x1 + 0,4x2.
По условию M(x) = 1,4; следовательно 0,6x1 + 0,4x2 = 1,4.
Напишем закон распределения X2:
Х2
x12
x22
Р
0,6
0,4
Найдем M(x2): M(x2) = 0,6x12 + 0,4x22.
Найдем дисперсию: D(x) = M(x2) – (M(x))2 = 0,6x12 + 0,4x22 – 1,42.
Подставляя D(x) = 0,24, после преобразований получим 0,6x12 +
+ 0,4x22 = 2,2.
Объединяя полученные решения 0,6x21 + 0,4x22 – 1,42 и 0,6x12 +
+ 0,4x2 
2 = 2,2, имеем систему уравнений.
ì0,6x1 + 0,4x2 = 1,4,
ï
ï
.
í
2
2
ï
ï
î0,6x1 + 0,4x2 = 2,2
Решив эту систему, найдем два решения: x1 = 1; x2 = 2; и x1 = 1,8;
x2 = 0,8;
По условию x2 > x1, поэтому задаче удовлетворяет лишь первое
решение: x1 = 1; x2 = 2;
Искомый закон (ряд)распределения имеет вид:
X
P
1
0,6
2
0,4
23
Непрерывная случайная величина
Плотность вероятности непрерывной случайной величины х
­задана выражением
ì Cx , åñëè 2 < x < 3,
ï
í 0, ïðè äóãèõ x.
ï
ï
î
Найти постоянную С, функцию распределения F(x), математическое ожидание M(x) и дисперсию D(x) случайно величины x.
Решение. По условию х не принимает значений вне интервала
(2,3), поэтому f(x) = 0 при x < 2 и x > 3.
Найдем постоянную С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (2,3), то должно выполнятся соотношение:
3
b
ò
f (x)dx = 1, èëè
2
a
Отсюда C =
1
3
ò cxdx = 1.
=
ò xdx
2
1
2
x
2
=
3
2
1
2
= .
5
3
2
2
2
3
2
Итак, искомая плотность вероятности имеет вид
ìï0, x < 2,
ïï
ï2
f (x) = ïí x, 2 < x < 3,
ïï 5
ïï0, x > 3.
ïî
Найдем функцию распределения F(x). Если x < 2, то f(x) = 0,
2
следовательно F (x) = ò dx = 0.
¥
2
Если 2 < x < 3 òî F (x) =
ò
-¥
2
x2
0 × dx + ò xdx =
.
5
5
0
Если x > 3, òî F (x) =
ò
-¥
x
0
3
0 × dx +
ò
2
2
xdx +
5
x
ò
0 × dx =
3
Итак, искомая функция распределения имеет вид
24
x2 3
= 1.
5 2
ìï x2
ïï
F(x) = í 5 , åñëè 2 < x < 3,
ïï
ïïî 0, ïðè äðóãèõ x.
Найдем математическое ожидание, используя формулу
b
M (x) = ò xf (x)dx :
a
3
M (x) =
ò
2
2
2
x × xdx =
5
5
3
ò
2
2 x3 3 38
x2dx = ×
=
.
5 3 2 15
Определим дисперсию D(x) по формуле
b
D(x) = ò x2f (x)dx - (M(x))2 .
a
D(x) =
2
5
3
ò
2
æ 38 ö2 2 x4 3 æ 38 ö÷2 x4 3 1444 1481
x2 × xdx - çç ÷÷÷ = ×
- çç ÷ =
=
.
è 15 ø
5 4 2 è 15 ø÷
10 2 225
450
Нормальное распределение случайной величины
Случайная величина x распределена нормально с математическим ожиданием a = 10 и s = 5 среднеквадратическим отклонением. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадает величина
x в результате вычисления.
Решение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина x примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой
æ b - a ÷ö
æ a - a ÷ö
P(a < x < b) = Φ ççç
÷ - Φ ççç
÷.
è s ø÷
è s ø÷
По условию задачи интервал симметричен относительно математического ожидания, т.е.,
æ b - a ö÷
æ a - a ö÷
æ b - a ö÷
æ b - a ö÷
Φ ççç
÷ - Φ ççç
÷ = Φ ççç
÷ + Φ çç
÷,
çè s ø÷÷
è s ø÷
è s ø÷
è s ø÷
1
так как j(x)± функция нечетная, т.е. j(–x) = –j(x), следовательно,
b – a = a – a; b = 2a – a.
25
Подставив полученные значения в формулу
получим
æ b - a ö÷
æ a - a ö÷
æ b - a ö÷
æ b - a ö÷
Φ ççç
÷ - Φ ççç
÷ = Φ ççç
÷ + Φ çç
÷,
çè s1 ÷ø
è s ÷ø
è s ÷ø
è s ÷ø
æ 2a - a - a ö÷
æ a - a ö÷
æ a - a ö÷
æ a - a ö÷
æ a - a ö÷
ç
ç
ç
ç
Φ ççç
÷÷ø + Φ ççè s ø÷÷ = Φ èçç s ø÷÷ + Φ èçç s ø÷÷ = 2Φ èçç s ø÷÷.
è
s
Подставим значения a = 10 и s = 5, вычислим a:
æ10 - a ö÷
2Φ çç
÷ = 0,9973.
è 5 ø÷
По таблице (приложение 2) находим значение аргумента:
æ10 - a ö÷
10 - a
Φ çç
= 3; 10 - a = 15; a = -5.
÷ = 0,49865;
è 5 ø÷
5
Так как интервал симметричен относительно математического
ожидания, то a = –5; b = 25. Искомый интервал имеет вид (–5; 25).
Элементы математической статистики
Случайная выборка среди абитуриентов на приемных экзаменах дала следующие набранные ими балы:
13,12,14,11,11,12,14,10,12,13,11,15,10,13,11,12,14,12,12,11.
Построить для данной выборки таблицу распределения частот
и таблицу распределения относительных частот, определить моду,
медиану и размах выборки.
Решение. Составим вариационный ряд, для этого расположим
данные выборки в возрастающем порядке:
10,10,11,11,11,11,11,12,12,12,12,12,12,13,13,13,14,14,14,15.
Числа x1 = 10; x2 = 11; x3 = 12; x4 = 13; x5 = 14; x6 = 15 являются
вариантами с частотами n1 = 2; n2 = 5; n3 = 6; n4 = 3; n5 = 3; n6 = 1.
Наибольшая частота, равная 6, соответствует варианту x3 = 12;
мода M0 = 12. Так как количество вариант четно (вариант шесть),
то медиана
me =
x3 + x4 12 + 13
=
= 125.
2
2
Размах выборки: x6 – x1 = 15 – 10 = 5.
26
6
Объем выборки: n = å ni = 2 + 5 + 6 + 3 + 3 + 1 = 20.
i=1
Относительные частоты:
W1 =
n1
n
2
5
=
= 0,1; W2 = 2 =
= 0,25;
n 20
n 20
W3 =
n3
n
6
3
=
= 0,3; W4 = 4 =
= 0,15;
n
n
20
20
W5 =
n5
n
3
1
=
= 0,15; W6 = 6 =
= 0,05.
n 20
n
20
Полученные данные сведем в соответствующую таблицу. Таблица распределения частот имеет вид:
X
10
11
12
13
14
15
N
2
5
6
3
3
1
W
0,1
0,25
0,3
0,15
0,15
0,05
27
Контрольная работа № 2
Вариант 1
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 3,6; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. При обследовании потока пассажиров на автобусном
маршруте, насчитывающем 6 остановок, на конечном пункте были
опрошены пассажиры. Каждый из опрошенных пассажиров назвал номер остановки от конечного пункта, на которой он входил.
Построить таблицу распределения частот и относительных частот,
определить моду, медиану и размах выборки по результатам опроса: 6; 5; 6; 4; 1; 2; 6; 6; 6; 5; 5; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 3; 4; 6; 5.
Вариант 2
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,4. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее матема­
тическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
28
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,3; Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание и дисперсию случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 45 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. В опыте по измерению заряда электрона были получены значения: 4,758; 4,765;4,760; 4,758; 4,775; 4,778; 4,765; 4,758;
4,766; 4,765; 4,758; 4,760; 4,772; 4,772; 4,758; 4,775; 4,760; 4,766;
4,775; 4,771; 4,772; 4,766; 4,771; 4,758; 4,772. Построить таблицу
распределения частот и относительных частот. Определить моду,
медиану и размах выборки.
Вариант 3
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,2. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Пост­
роить ряд распределения случайной величины x; найти ее мате­
матическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x,
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 2,6, Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
29
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной ве­
личины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x) математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 50 и среднеквадратичным
отклонением s = 6. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Из партии проволоки, идущей на изготовление канатов были отобраны и подвергнуты испытанию на растяжение некоторые экземпляры. Предельные растягивающие усилия, приложенные к образцам даны в H/cm(кв): 66 400; 67 100; 66 900;
67 100; 66 400; 67 100; 66 500; 66 400; 66 800; 66 800; 66 800;
67 000; 66 500; 66 900; 67 100; 67 000; 67 000; 66 500; 66 500. Построить таблицу распределения частот и относительных частот.
Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 4
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,6. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее матема­
тическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x,
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,7
0,3
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 6,3, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 2 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
30
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 43 и среднеквадратичным
отклонением s = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
Задача 5. Для оценки количества детей дошкольного возраста
в микрорайоне был обследован многоквартирный дом. Ниже приведено количество дошкольников в каждой квартире: 0; 1; 3; 1; 0;
4; 1; 2; 0; 0; 1; 2; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 3; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 2; 0; 1; 0;
1; 3; 0; 1; 1; 2; 0; 0. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 5
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,5. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее матема­
тическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,2
0,8
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,8; Dx = 0,16. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
31
Задача 5. Для определения норм выработки хронометрировали время (в секундах) изготовление валов: 189; 190; 194; 185; 190;
186; 194; 187; 190; 191; 191; 187; 186; 189; 185; 193; 185; 191; 186;
193; 187; 191; 189; 194; 191; 187; 189; 194; 189; 185; 185; 189; 191;
194; 189; 190; 186; 193; 194; 187.
Вариант 6
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,7. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 3,7; Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ì
ïCx, åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ï
í
ï
ï
î 0, ïðè äðóãèõ x.
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mξ и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 46 и среднеквадратичным
отклонением s = 9. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Стрелок произвел выстрелы по круглой мишени, состоящий из центрального круга и девяти концентрических кольцевых зон. Попадание в центральный круг оценивается в 10 очков,
а попадание в кольцевые зоны – от 1 до 9 очков в зависимости от
расстояния зоны до центра мишени. Получены результаты: 10; 10;
9; 10; 7; 9; 10; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 9; 8; 10; 10; 6; 9; 8. Построить
­таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
32
Вариант 7
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,8. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,6, Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и Dx дисперсию случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. При обследовании потока пассажиров на автобусном
маршруте, насчитывающем 6 остановок, на конечном пункте были
опрошены пассажиры. Каждый из опрошенных пассажиров назвал номер остановки от конечного пункта, на которой он входил.
Построить таблицу распределения частот и относительных частот,
определить моду, медиану и размах выборки по результатам опроса: 6; 5; 6; 4; 1; 2; 6; 6; 6; 5; 5% 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 3; 4; 6; 5.
Вариант 8
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
33
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,6; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), матема­
тическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины ξ.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 68 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. В опыте по измерению заряда электрона были получены значения: 4,758; 4,765; 4,760; 4,758; 4,775; 4,778; 4,765; 4,758;
4,766; 4,765; 4,758; 4,760; 4,772; 4,772; 4,758; 4,775; 4,760; 4,766;
4,775; 4,771; 4,772; 4,766; 4,771; 4,758; 4,772. Построить таблицу
распределения частот и относительных частот. Определить моду,
медиану и размах выборки.
Вариант 9
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,9. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x,
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,3, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:
34
ìïCx3, åñëè 1 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 85 и среднеквадратичным
отклонением s = 12, Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Из партии проволоки, идущей на изготовление канатов были отобраны и подвергнуты испытанию на растяжение некоторые экземпляры. Предельные растягивающие усилия, приложенные к образцам даны в H/cm(кв): 66 400; 67 100; 66 900;
67 100; 66 400; 67 100; 66 500; 66 400; 66 800; 66 800; 66 800;
67 000; 66 500; 66 900; 67 100; 67 000; 67 000; 66 500; 66 500. Построить таблицу распределения частот и относительных частот.
Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 10
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,1. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее матема­
тическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,8
0,2
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,8, Dx = 0,16. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
35
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 68 и среднеквадратичным
отклонением s = 9. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
Задача 5. Для оценки количества детей дошкольного возраста
в микрорайоне был обследован многоквартирный дом. Ниже приведено количество дошкольников в каждой квартире: 0; 1; 3; 1; 0;
4; 1; 2; 0; 0; 1; 2; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 3; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 2; 0; 1; 0;
1; 3; 0; 1; 1; 2; 0; 0. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 11
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,7. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 3,6; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое Mx ожидание и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 75 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Для определения норм выработки хронометрировали время (в секундах) изготовление валов: 189; 190; 194; 185; 190;
186; 194; 187; 190; 191; 191; 187; 186; 189; 185; 193; 185; 191; 186;
36
193; 187; 191; 189; 194; 191; 187; 189; 194; 189; 185; 185; 189; 191;
194; 189; 190; 186; 193; 194; 187.
Вариант 12
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,6. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 3,7; Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной ве­
личины x задана следующим выражением:
ìïCx3, åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое Mx ожидание и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 65 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Стрелок произвел выстрелы по круглой мишени, состоящий из центрального круга и девяти концентрических кольцевых зон. Попадание в центральный круг оценивается в 10 очков,
а попадание в кольцевые зоны – от 1 до 9 очков в зависимости от
расстояния зоны до центра мишени. Получены результаты: 10;
10; 9; 10; 7; 9; 10; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 9; 8; 10; 10; 6; 9; 8. Построить
таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 13
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,6. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Постро37
ить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x,
­содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,7
0,3
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,3, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 2 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx cлучайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 43 и среднеквадратичным
отклонением s = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. При обследовании потока пассажиров на автобусном
маршруте, насчитывающем 6 остановок, на конечном пункте были
спрошены пассажиры. Каждый из опрошенных пассажиров назвал номер остановки от конечного пункта, на которой он входил.
Построить таблицу распределения частот и относительных частот,
определить моду, медиану и размах выборки по результатам опроса: 6; 5; 6; 4; 1; 2; 6; 6; 6; 5; 5: 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 3; 4; 6; 5;.
Вариант 14
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,7. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
38
Xi
x1
x2
Pi
0,7
0,3
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 2,7, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìCx, åñëè 0 < x < 2,
ï
fξ (x) = ï
í
ï
ï
î0, ïðè äðóãèõ x.
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 76 и среднеквадратичным
отклонением s = 9. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. В опыте по измерению заряда электрона были получены значения: 4,758; 4,765; 4,760; 4,758; 4,775; 4,778; 4,765; 4,758;
4,766; 4,765; 4,758; 4,760; 4,772; 4,772; 4,758; 4,775; 4,760; 4,766;
4,775; 4,771; 4,772; 4,766; 4,771; 4,758; 4,772. Построить таблицу
распределения частот и относительных частот. Определить моду,
медиану и размах выборки.
Вариант 15
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x, содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 6,3, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ïìCx2 , åñëè 2 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
39
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Из партии проволоки, идущей на изготовление канатов были отобраны и подвергнуты испытанию на растяжение некоторые экземпляры. Предельные растягивающие усилия, приложенные к образцам даны в H/cm(кв): 66 400; 67 100; 66 900;
67 100; 66 400; 67 100; 66 500; 66 400; 66 800; 66 800; 66 800;
67 000; 66 500; 66 900; 67 100; 67 000; 67 000; 66 500; 66 500. Построить таблицу распределения частот и относительных частот.
Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 16
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,7, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 53 и среднеквадратичным
отклонением s = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
40
Задача 5. Для оценки количества детей дошкольного возраста
в микрорайоне был обследован многоквартирный дом. Ниже приведено количество дошкольников в каждой квартире: 0; 1; 3; 1; 0;
4; 1; 2; 0; 0; 1; 2; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 3; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 2; 0; 1; 0;
1; 3; 0; 1; 1; 2; 0; 0. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 17
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,9. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
Pi
x1
0,8
x2
0,2
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,2; Dx = 0,16. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 45 и среднеквадратичным
отклонением s = 17. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Для определения норм выработки хронометрировали время (в секундах) изготовление валов: 189; 190; 194; 185; 190;
186; 194; 187; 190; 191; 191; 187; 186; 189; 185; 193; 185; 191; 186;
193; 187; 191; 189; 194; 191; 187; 189; 194; 189; 185; 185; 189; 191;
194; 189; 190; 186; 193; 194; 187.
Вариант 18
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Постро41
ить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x, содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,7; Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 86 и сренеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Стрелок произвел выстрелы по круглой мишени, состоящий из центрального круга и девяти концентрических кольцевых зон. Попадание в центральный круг оценивается в 10 очков,
а попадание в кольцевые зоны – от 1 до 9 очков в зависимости от
расстояния зоны до центра мишени. Получены результаты: 10; 10;
9; 10; 7; 9; 10; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 9; 8; 10; 10; 6; 9; 8. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить
моду, медиану и размах выборки.
Вариант 19
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,8. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
42
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,4; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ïìCx3 , åñëè 1 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 68 и среднеквадратичным
отклонением s = 12. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
Задача 5. При обследовании потока пассажиров на автобусном
маршруте, насчитывающем 6 остановок, на конечном пункте были
опрошены пассажиры. Каждый из опрошенных пассажиров назвал номер остановки от конечного пункта, на которой он входил.
Построить таблицу распределения частот и относительных частот,
определить моду, медиану и размах выборки по результатам опроса: 6; 5; 6; 4; 1; 2; 6; 6; 6; 5; 5; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 3; 4; 6; 5;.
Вариант 20
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,7. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,7; Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï0, ïðè äðóãèõ x.
î
43
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 65 и среднеквадратичным
отклонением s = 18. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. В опыте по измерению заряда электрона были получены значения: 4,758; 4,765; 4,760; 4,758; 4,775; 4,778; 4,765; 4,758;
4,766; 4,765; 4,758; 4,760; 4,772; 4,772; 4,758; 4,775; 4,760; 4,766;
4,775; 4,771; 4,772; 4,766; 4,771; 4,758; 4,772. Построить таблицу
распределения частот и относительных частот. Определить моду,
медиану и размах выборки.
Вариант 21
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 2,6, Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 52 и среднеквадратичным
отклонением s = 6. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
44
Задача 5. Из партии проволоки, идущей на изготовление канатов были отобраны и подвергнуты испытанию на растяжение некоторые экземпляры. Предельные растягивающие усилия, приложенные к образцам даны в H/cm(кв): 66 400; 67 100; 66 900;
67 100; 66 400; 67 100; 66 500; 66 400; 66 800; 66 800; 66 800;
67 000; 66 500; 66 900; 67 100; 67 000; 67 000; 66 500; 66 500. Построить таблицу распределения частот и относительных частот.
Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 22
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,2. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2(x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 2,4; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины ξ.
Задача 4. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 55 и среднеквадратичным
отклонением s = 16. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Для оценки количества детей дошкольного возраста
в микрорайоне был обследован многоквартирный дом. Ниже приведено количество дошкольников в каждой квартире: 0; 1; 3; 1; 0;
4; 1; 2; 0; 0; 1; 2; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 3; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 2; 0; 1; 0;
1; 3; 0; 1; 1; 2; 0; 0. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
45
Вариант 23
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,8. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,8
0,2
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 5,2; Dx = 0,16. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 45 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Для определения норм выработки хронометрировали время (в секундах) изготовление валов: 189; 190; 194; 185; 190;
186; 194; 187; 190; 191; 191; 187; 186; 189; 185; 193; 185; 191; 186;
193; 187; 191; 189; 194; 191; 187; 189; 194; 189; 185; 185; 189; 191;
194; 189; 190; 186; 193; 194; 187. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану
и размах выборки.
Вариант 24
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
46
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,7, Dξ = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx cлучайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Стрелок произвел выстрелы по круглой мишени, состоящий из центрального круга и девяти концентрических кольцевых зон. Попадание в центральный круг оценивается в 10 очков,
а попадание в кольцевые зоны – от 1 до 9 очков в зависимости от
расстояния зоны до центра мишени. Получены результаты: 10; 10;
9; 10; 7; 9; 10; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 9; 8; 10; 10; 6; 9; 8. Построить
­таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 25
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,8. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mξ и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины ξ содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 1,4; Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
47
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 1 < x < 2,
fξ = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 38 и среднеквадратичным
отклонением s = 6. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
Задача 5. При обследовании потока пассажиров на автобусном
маршруте, насчитывающем 6 остановок, на конечном пункте были
опрошены пассажиры. Каждый из опрошенных пассажиров назвал номер остановки от конечного пункта, на которой он входил.
Построить таблицу распределения частот и относительных частот,
определить моду, медиану и размах выборки по результатам опроса: 6; 5; 6; 4; 1; 2; 6; 6; 6; 5; 5; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 5; 3; 4; 6; 5;.
Вариант 26
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,3. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x, содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,4
0,6
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 3,6; Dx = 0,24, Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïC(x + 1)3 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
48
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 58 и среднеквадратичным
отклонением s = 6. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. В опыте по измерению заряда электрона были получены значения: 4,758; 4,765; 4,760; 4,758; 4,775; 4,778; 4,765; 4,758;
4,766; 4,765; 4,758; 4,760; 4,772; 4,772; 4,758; 4,775; 4,760; 4,766;
4,775; 4,771; 4,772; 4,766; 4,771; 4,758; 4,772. Построить таблицу
распределения частот и относительных частот. Определить моду,
медиану и размах выборки.
Вариант 27
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,4. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,7, Dξ = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx3 , åñëè 0 < x < 2,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 45 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Из партии проволоки, идущей на изготовление канатов были отобраны и подвергнуты испытанию на растяжение не49
которые экземпляры. Предельные растягивающие усилия, приложенные к образцам даны в H/cm(кв): 66 400; 67 100; 66 900;
67 100; 66 400; 67 100; 66 500; 66 400; 66 800; 66 800; 66 800;
67 000; 66 500; 66 900; 67 100; 67 000; 67 000; 66 500; 66 500. Построить таблицу распределения частот и относительных частот.
Определить моду, медиану и размах выборки.
Вариант 28
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,2. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x, содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,6
0,4
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 2,4, Dx = 0,24. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 1 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 52 и среднеквадратичным
отклонением s = 7. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,96.
Задача 5. Для оценки количества детей дошкольного возраста в микрорайоне был обследован многоквартирный дом. Ниже
приведено количество дошкольников в каждой квартире: 0; 1; 3;
1; 0; 4; 1; 2; 0; 0; 1; 2; 1; 0; 1; 0; 2; 0; 3; 1; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 2;
0; 1; 0; 1; 3; 0; 1; 1; 2; 0; 0. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах
выборки.
50
Вариант 29
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,8. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в четырех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x, содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
Xi
x1
x2
Pi
0,7
0,3
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 6,3, Dx = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x, задана следующим выражением:
ìïCx, åñëè 2 < x < 3,
fξ (x) = ïí
ïïî 0, ïðè äðóãèõ x.
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины ξ.
Задача 4. Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 43 и среднеквадратичным
отклонением s = 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,94.
Задача 5. Для определения норм выработки хронометрировали
время (в секундах) изготовление валов: 189; 190; 194; 185; 190;
186; 194; 187; 190; 191; 191; 187; 186; 189; 185; 193; 185; 191; 186;
193; 187; 191; 189; 194; 191; 187; 189; 194; 189; 185; 185; 189; 191;
194; 189; 190; 186; 193; 194; 187. Построить таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану
и размах выборки.
Вариант 30
Задача 1. Известна вероятность события А – 0,5. Дискретная
случайная величина x – число появлений А в трех опытах. Построить ряд распределения случайной величины x; найти ее математическое ожидание Mx и дисперсию Dx.
Задача 2. Распределение дискретной случайной величины x содержит неизвестные значения x1 и x2 (x1 < x2):
51
Xi
x1
x2
Pi
0,3
0,7
Известны числовые характеристики случайной величины: Mx =
= 4,7; Dξ = 0,21. Требуется определить значения x1 и x2.
Задача 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины x задана следующим выражением:
ìïCx2 , åñëè 0 < x < 1,
fξ (x) = ïí
ïï 0, ïðè äðóãèõ x.
î
Найти постоянную С, функцию распределения Fx(x), математическое ожидание Mx и дисперсию Dx случайной величины x.
Задача 4. Случайная величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 56 и среднеквадратичным
отклонением s = 8. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, вероятность попадания в который
равна 0,95.
Задача 5. Стрелок произвел выстрелы по круглой мишени, состоящий из центрального круга и девяти концентрических кольцевых зон. Попадание в центральный круг оценивается в 10 очков,
а попадание в кольцевые зоны – от 1 до 9 очков в зависимости от
расстояния зоны до центра мишени. Получены результаты: 10; 10;
9; 10; 7; 9; 10; 8; 9; 10; 10; 10; 10; 9; 8; 10; 10; 6; 9; 8. Построить
­таблицу распределения частот и относительных частот. Определить моду, медиану и размах выборки.
52
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт, 2009.
2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 2001.
3. Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и методам оптимизации. М.: Форум, 2008.
3. Кремер Н. М. Теория вероятностей и Математическая статистика. М.: Юрайт, 2010.
53
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................................................................... 3
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 1.............................................. 4
Контрольная работа № 1................................................................... 8
Методические указания
к выполнению контрольной работы № 2............................................ 22
Контрольная работа № 2................................................................. 28
Рекомендуемая литература............................................................. 53
54
55
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
805 Кб
Теги
shavinkova1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа