close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shishlakov Tsvetkov Mod el i ustr elektromekh sist

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
В. Ф. Шишлаков, С. А. Цветков, Д. В. Шишлаков
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И УСТРОЙСТВ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Под редакцией доктора технических наук,
профессора В. Ф. Шишлакова
СанктПетербург
2007
УДК 621.311
ББК 31.2
Ш65
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ,
заведующий лабораторией «Информационные технологии в управлении
и робототехнике» СанктПетербургского института информатики
и автоматизации РАН А. В. Тимофеев;
доктор технических наук, профессор
Научноисследовательского института электрофизической аппаратуры
им. Д. В. Ефремова Б. Э. Фридман
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Ш65
Шишлаков В. Ф., Цветков С. А., Шишлаков Д. В.
Моделирование элементов и устройств электромеханических си
стем: учеб. пособие / В. Ф. Шишлаков, С. А. Цветков, Д. В. Шишла
ков; под ред. дра техн. наук, проф. В. Ф. Шишлакова. – СПб.: ГУАП,
2007. – 148 с.: ил.
ISBN 9785808802933
В учебном пособии рассматриваются способы и методы построения мо
делей элементов и устройств систем управления различных классов; спосо
бы обработки статичных электромеханических систем и динамических ха
рактеристик и их аппроксимации.
Пособие предназначено для студентов специальностей «Управление и ин
форматика в технических системах»; «Роботы и робототехнические систе
мы»; «Электромеханика».
УДК 621.311
ББК 31.2
ISBN 9785808802933
© ГУАП, 2007
© В. Ф. Шишлаков, С. А. Цветков,
Д. В. Шишлаков, 2007
Учебное издание
Шишлаков Владислав Федорович
Цветков Сергей Александрович
Шишлаков Дмитрий Владиславович
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И УСТРОЙСТВ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Под редакцией доктора технических наук,
профессора В. Ф. Шишлакова
Редактор В. А. Черникова
Верстальщик С. В. Барашкова
Сдано в набор 10.10.07. Подписано в печать 13.12.07. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.печ. л. 8,8. Уч.изд. л. 9,0.
Тираж 200 экз. Заказ № 689
Редакционноиздательский центр ГУАП
190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67
2
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Общие понятия и определения ......................................
§ 2. Классификация моделей и примеры их построения ...........
§ 3. Способы построения моделей ........................................
§ 4. Общие принципы построения математических моделей
электротехнических устройств ............................................
§ 5. Методы аппроксимации нелинейных характеристик ........
§ 6. Нелинейные характеристики элементов
и устройств систем автоматического управления ...................
§ 7. Эквивалентное преобразование нелинейных характеристик
§ 8. Модели импульсных модуляторов ..................................
§ 9. Математические модели амплитудноимпульсных моду
ляторов ...........................................................................
§ 10. Исследование влияния формы и параметров импульсов,
формируемых АИМ, на динамические свойства САУ ..............
§ 11. Математические модели широтно и частотноимпульсных
модуляторов ....................................................................
§ 12. Аналоговое моделирование .........................................
§ 13. Примеры построения аналоговых моделей .....................
§ 14. Реализация кусочнолинейных характеристик в виде ана
логовых моделей ...............................................................
§ 15. Методы построения моделей ........................................
§ 16. Экспериментальное определение характеристик систем
управления ......................................................................
§ 17. Пример построения модели САУ ТК .............................
§ 18. Внешние входные воздействия ....................................
§ 19. Обработка результатов эксперимента по снятию переход
ных характеристик ...........................................................
§ 20. Определение динамических характеристик по переходным
функциям ........................................................................
§ 21. Аппроксимация переходной функции САУ высокого поряд
ка основными составляющими ............................................
§ 22. Аппроксимация переходной функции решением дифферен
циального уравнения с простыми вещественными корнями .....
§ 23. Аппроксимация переходной функции решением дифферен
циального уравнения с комплексносопряженными корнями ....
Список рекомендуемой литературы ......................................
4
5
10
15
17
33
38
41
43
60
64
68
72
77
91
99
104
113
117
121
131
142
144
147
3
§ 1. Общие понятия и определения
Как правило, современные электромеханические, робототехниче
ские, электроэнергетические и другие виды систем автоматического уп
равления (САУ) представляют собой сложные, существенно нелиней
ные многосвязные системы управления, как непрерывные, так и диск
ретнонепрерывные и дискретные, работающие в различных режимах.
Исследование динамики САУ указанных классов представляет собой
весьма сложную задачу, многочисленные трудности в решении которой
могут оказаться непреодолимыми при чисто теоретическом расчете.
Существует, однако, иной путь исследования – моделирование,
которое, в сочетании с теорией, обеспечивает решение указанных
выше задач. При этом некоторые звенья САУ могут быть заменены
моделями, в то время как другие звенья остаются неизменными (полу
натурное моделирование). В частных случаях все звенья системы
управления заменяются моделями.
Очевидно, что смысл разработки моделей состоит в том, чтобы
динамику сложной, дорогостоящей и мощной реальной системы ре
гулирования можно было изучить с помощью сравнительно простой
и маломощной модели, приспособленной для изменения параметров
в широком диапазоне, что обеспечивает возможность исследовать
процессы при различных комбинациях значений параметров и раз
личных режимах, в том числе аварийных.
Значительный вклад в развитие теории подобия и моделирования,
теории погрешностей внесен известными российскими и зарубежными
учеными, такими как М. В. Кирпичев, Н. Г. Бруевич, М. П. Костенко,
В. А. Трапезников, В. А. Веников и др.
Рассмотрим некоторые понятия, лежащие в основе методов и средств
построения моделей как отдельных элементов и устройств систем ав
томатического управления различных классов, так и САУ в целом.
Моделирование – метод исследования свойств определенного
объекта (оригинала) путем изучения свойств другого объекта (моде
ли), который более удобен для решения задач исследования и нахо
дится в определенном соответствии с объектом–оригиналом.
Модель – вспомогательный объект, который находится в опреде
ленном соответствии с оригиналом и является более удобным для
решения задач конкретного исследования.
Из приведенных выше определений следует, что построение моде
ли должно опираться на результаты теоретических и эксперимен
тальных исследований оригинала, поскольку только в этом случае
можно установить взаимно однозначное соответствие модели и кон
4
кретного объекта исследования. Очевидно, что соответствие модели
и оригинала, устанавливаемое с помощью математических, физиче
ских или иных закономерностей, дает возможность, изучая модель,
адекватно интерпретировать результаты исследований применитель
но к оригиналу.
Можно сформулировать некоторые достаточно общие условия су
ществования модели:
1) принципиальная возможность отображения объективно суще
ствующей или принципиально реализуемой ситуации. То есть моде
лироваться должны только условия и режимы работы объектаори
гинала, которые возникают или могут возникать при его эксплуата
ции, в том числе аварийные режимы работы, которые можно доста
точно полно и всесторонне исследовать только путем моделирования;
2) наличие правил, устанавливающих взаимно однозначное соот
ветствие модели и оригинала. Выполнение данного условия являет
ся обязательным для любой модели, поскольку только при наличии
подобных правил можно говорить об адекватности модели и резуль
татов моделирования натурным испытаниям;
3) модель должна обладать большей простотой и наглядностью
по сравнению с оригиналом в изучении определенных его свойств.
Данное положение говорит о том, что изучение оригинала может быть
проведено с использованием нескольких моделей, каждая из кото
рых предназначена для исследования определенных режимов его ра
боты, что, в свою очередь, позволяет создавать более простые, по срав
нению с объектоморигиналом, модели.
Из вышесказанного следует, что универсальных моделей (моде
лей вообще) не бывает. Каждая модель, как правило, предназначена
для изучения вполне определенных свойств объекта, который нахо
дится в определенной ситуации, т. е. моделируется конкретный ре
жим его работы.
§ 2. Классификация моделей и примеры их построения
Различают несколько разновидностей моделей в зависимости от
их предназначения и возможностей технической реализации.
Конструктивная (масштабная) модель отражает пространственногео
метрические соотношения между элементами реального объекта.
Физическая модель отражает не только пространственногеомет
рические соотношения оригинала, но и основы физики его функцио
нирования.
5
Вычислительная модель представляет собой математическую мо
дель, которая преображена к виду удобному для работы на вычисли
тельной технике (как аналоговой, так и цифровой).
Математическая модель отражает математические закономерно
сти, описываемые уравнениями, аналогичные описанию объекта или
явления реальной жизни.
Мнемоническая модель представляет собой графическое изобра
жение в виде чертежей, схем, алгоритмов и т. д. перечисленных выше
моделей.
Рассмотрим построение моделей процессов различной физической
природы.
Сначала рассмотрим получение математической модели маятни
ка массой m и длиной l, совершающего колебания в среде с вязкостью
h. Полагаем, что в процессе колебаний маятник отклоняется на угол
ϕ, значение которого не превышает 5°, что дает возможность строить
линейную математическую модель.
Математическая модель колебаний маятника строится на основе
мнемонической модели, показанной на рис. 1.
Уравнение, описывающее движение маятника (равенство момен
тов относительно оси подвеса):
ml2
3
где ∑ Mi (t) = MB (t) − hl2
i =1
d2 ϕ
dt2
3
= ∑ Mi (t),
i =1
dϕ
mglϕ,
dt
тогда окончательно дифференциальное уравнение имеет вид
ml2
21123
ϕ
2
dt
3
1
4
Рис. 1. Мнемоническая модель ко
лебаний маятника
6
d2 ϕ
+ hl2
dϕ
+ mglϕ = MВ (t).
dt
d
= p,
dt
то получим уравнение в оператор
ной форме:
Если ввести обозначение
(ml2 p2 + hl2 p + mgl)ϕ(t) = MB (t),
которое после простых преобразо
ваний окончательно приобретает
вид
1
⎛ l 2 hl
⎞
⎜ g p + mg p + 1 ⎟ ϕ(t) = mgl MB (t).
⎝
⎠
На основании полученного уравнения может быть определена пе
редаточная функция рассматриваемой системы:
ϕ(t) = W ( p) MB (t),
где W ( p) =
T=
K
T p + ξTp + 1
2 2
, здесь K =
1
– коэффициент передачи,
mgl
l
h l
– постоянная времени, ξ =
– показатель колебатель
g
2m g
ности.
В отличие от абстрактной передаточной функции колебательного
звена, полученная передаточная функция дает размерность коэффи
циента передачи, постоянной времени и показателя колебательности.
В качестве второго примера рассмотрим процессы, протекающие
в колебательном контуре, мнемоническая модель которого показана
на рис. 2.
Уравнения, описывающие изменение напряжения на элементах
колебательного контура, имеют вид
⎧
⎪UR = iR
⎪
di
⎪
⎨Ul = L ,
dt
⎪
⎪
q
⎪⎩Uc = C
4
dq
тогда, с учетом i = , где q – заряд, полу
dt
чаем
dq
⎧
⎪UR = R dt
⎪
⎪
d2q
⎨UL = L 2 .
dt
⎪
⎪
q
⎪UC =
C
⎩
3
1122
5
Рис. 2. Мнемоническая
модель колеба
тельного контура
7
В результате
e(t) = UR (t) + UL (t) + UC (t),
либо
dq
d 2q q
+L 2 + .
dt
C
dt
Преобразуя полученное уравнение, приводим его к виду
e(t) = R
Ce(t) = RC
вводя обозначение
dq
d 2q
+ LC 2 + q,
dt
dt
d
= p, получаем уравнение в операторной форме:
dt
(
)
C ⋅ e(t) = LC ⋅ p2 + RC ⋅ p + 1 q(t).
Таким образом, передаточная функция колебательного контура
будет
K
W ( p) = 2 2
,
T p + ξTp + 1
где K = C – коэффициент передачи, T = LC – постоянная времени,
R C
– показатель колебательности.
2 L
Таким образом, математическая модель, описывающая динами
ку контура, соответствует колебательному звену. При этом, в отли
чие от предыдущего примера, физический смысл коэффициента пере
дачи, постоянной времени и показателя колебательности, так же,
как и их размерность, оказывается иным.
Наконец, рассмотрим получение математической модели испол
нительного механизма рулевого привода (ИМРП), мнемоническая
модель которого показана на рис. 3.
Из равенства моментов на валу руля получены следующие уравне
ния, описывающие его динамику:
ξ=
J
3
где ∑ Mi (t) = Mп − Fп
i =1
демпфирования.
8
d2 δ
dt2
3
= ∑ Mi (t),
i =1
dδ
δ
− Cш
⋅δ, здесь Fп – коэффициент скоростного
dt
12
11
2
23
12
12
δ
4
32
Рис. 3. Мнемоническая модель ИМРП: Mп(U) – пусковой момент двига
теля, U(t) – напряжение управления двигателя, J – момент инер
ции вращающихся частей передаточного механизма (ПМ), δ –
угол отклонения руля высоты от горизонтального положения,
Сш – коэффициент аэродинамической нагрузки на руль
Тогда уравнение движения руля высоты:
d2 δ
J
2
+ Fп
dδ
δ
+ Cш
δ = Mп ,
dt
dt
d
вводя обозначение
= p, получаем уравнение в операторной форме:
dt
( Jp
2
)
δ
+ Fп p + Cш
δ(t) = Mп (t).
Таким образом, передаточная функция исполнительного механиз
ма рулевого привода будет иметь вид
W ( p) =
где K =
ни, ξ =
1
δ
Cш
K
,
T 2 p2 + ξTp + 1
– коэффициент передачи, T =
Fп
δ
δ
2 Cш
J
δ
Cш
– постоянная време
– показатель колебательности.
Как и в примерах, рассмотренных ранее, динамика данной систе
мы описывается дифференциальным уравнением второго порядка,
однако физический смысл коэффициентов уравнения, так же, как
и передаточной функции, полностью отражает динамические свой
ства конкретной системы.
9
Таким образом, основной вывод, который может быть сделан
на основании показанных примеров получения математических
моделей, заключается в следующем: динамика процессов различной
физической природы может описываться одинаковым по виду диф
ференциальным уравнением, следовательно, математическая мо
дель для процессов различной физической природы может быть одна
и та же. Физические различия процессов при использовании ма
тематической модели общего вида учитываются путем вычисле
ния соответствующих коэффициентов и определении их размерно
сти, за счет чего абстрактная математическая модель насыща
ется вполне конкретным содержанием, отражающим физику проте
кающих в той или иной системе или объекте динамических про
цессов.
§ 3. Способы построения моделей
При построении любой модели необходимо следовать лишь одно
му основному правилу: уравнения движения модели должны быть
тождественны уравнениям реальных звеньев. Способы построения
моделей достаточно разнообразны. Так, модель может быть построена
на основе систем алгебраических, дифференциальных или иных урав
нений, которые затем реализуются в виде моделей средствами микро
электроники (аналоговые модели), вычислительной техники (ком
пьютерные модели) или физического моделирования.
Поскольку универсальных способов и средств построения моде
лей нет, то любой способ построения модели, равно как и сама мо
дель, имеют свои достоинства и недостатки. При этом основной зада
чей разработчика модели является правильная оценка ее достоинств
и недостатков, что, в конечном счете, непосредственно связано с адек
ватностью результатов моделирования физике функционирования
изучаемого объекта.
При построении любой модели могут быть выделены несколько
основных этапов.
На первом этапе производится рассмотрение реального объекта
или системы, при этом:
• выявляются связи исследуемых величин с внешними воздействи
ями;
• определяются границы требуемой точности исследований;
• выделяются наиболее существенные связи главных процессов,
происходящих в системе с внешним воздействием;
10
• устанавливаются физические допущения, определяющие грани
цы применимости модели, с точки зрения ее адекватности моделиру
емой системе или устройству.
На втором этапе, с использованием полученных на первом этапе
результатов, осуществляется замена реального объекта на идеали
зированный, абстрактный, теоретический объект с ограниченным
числом связей, часть параметров которого принимаются постоян
ными.
Третий этап заключается в формировании математической моде
ли, которое сводится к представлению на языке математических по
нятий, определений и символов основных процессов исследуемого
устройства или системы.
Очевидным достоинством физического моделирования является
то, что модель и объект работают на основе единых принципов физи
ческого функционирования. Физическое моделирование достаточно
широко применяется при исследованиях электрических машин, когда
малые электрические машины (модельные машины) рассматриваются
в виде моделей больших машин того же типа.
Подобный подход к решению задачи моделирования имеет нео
споримое достоинство, заключающееся в том, что исследуется мо
дельная машина, адекватно воспроизводящая физику функциони
рования, но вместе с тем электродинамическое моделирование имеет
определенные недостатки:
• процессы в модельных электрических машинах не могут быть
масштабированы на электрические машины большой мощности из
за определенных нелинейных эффектов, возникающих в процессе
работы;
• требуются временные и финансовые затраты на изготовление
электродинамической модели;
• электродинамическая модель соответствует вполне конкретно
му электротехническому устройству, т. е. возникают существенные
проблемы с ее унификацией;
• невозможно применять подходы физического моделирования
применительно к сложным САУ, в состав которых входят не только
различные по своему функциональному назначению электротехни
ческие устройства, но и операторы управления (различные преобра
зователи), реализующие заданные законы управления.
Математическое моделирование не имеет недостатков, присущих
физическому, поскольку опирается на математический аппарат выс
шей алгебры, операционное исчисление, системы дифференциальных
уравнений. При этом основное достоинство математического моде
11
лирования заключается в том, что процессы в устройствах и систе
мах различной физической природы могут быть описаны с единых
математических позиций.
При необходимости теоретического исследования какоголибо ус
тройства, процесса или явления необходимо построить его матема
тическую модель. В широком смысле под математической моделью
понимается аналитическое, графическое, табличное и т. д. описание
объекта, процесса или явления, связывающее исследуемые величи
ны с влиянием внешних воздействий [1–3].
Если рассматриваются электротехнические устройства широкого
класса, то основными процессами в них являются электромагнит
ные процессы, и математические модели таких устройств в общем
случае представляют собой систему дифференциальных уравнений,
характеризующих связи между энергетическими и технологически
ми параметрами электромагнитного процесса, проходящего в иссле
дуемом объекте.
В результате построения математической модели реальный объект
замещается описанием основных процессов, происходящих в нем,
после чего полученная модель может быть исследована формальны
ми математическими методами.
Математические методы позволяют с единых математических
и методологических позиций описывать широкий круг процессов раз
личной физической природы, осуществлять их качественный и ко
личественный анализ, производить исследования взаимного влия
ния параметров объекта исследования друг на друга. В более слож
ных случаях, когда речь идет о сложных системах управления, – изу
чать степень влияния устройств САУ друг на друга и динамические
свойства системы в целом. Таким образом, на основе исследования
модели появляется возможность предсказать поведение системы
в различных условиях ее функционирования. Результаты моделиро
вания позволяют более эффективно решать задачу синтеза операто
ра управления и существенно сократить время на разработку систе
мы в целом [4].
Очевидно, что любая математическая модель не может быть пол
ностью тождественна реальной системе, не передает всех свойств си
стемы и особенностей, поскольку она основана на некоторой идеали
зации, допущениях и упрощениях объекта. Следовательно, резуль
таты, полученные при моделировании, соответствуют результатам
экспериментальных данных в пределах некоторой допустимой по
грешности, что делает модель адекватной основам физики функцио
нирования реальной системы [3].
12
Как правило, для реализации математических моделей применяют
ся современные пакеты моделирующих программ, которые обладают
дружественным интерфейсом и дают возможность даже при минималь
ном опыте работы с вычислительной техникой добиваться достаточно
хороших результатов в построении и исследовании моделей. Вместе
с тем, пакеты моделирующих программ обладают весьма широкими воз
можностями в части моделирования процессов в системах различной
физической природы. Это, с одной стороны, является несомненным
достоинством, однако глубина проработки моделей с помощью моде
лирующих программ, как правило, невелика. То есть построить моде
ли сложных САУ, дающие возможность адекватно и с достаточной
для серьезных исследований глубиной изучать их свойства простыми
средствами, не представляется возможным. В этом случае необходимо
применять более сложные специализированные пакеты моделирую
щих программ, требующие достаточно серьезного изучения.
Математические модели могут исследоваться либо аналитически,
либо численными методами [2, 5], с помощью пакетов прикладных
программ.
При аналитических исследованиях решение получают в общем
виде, при этом вся информация об объекте исследований, содержа
щаяся в системе дифференциальных уравнений, без какихлибо ис
кажений преобразуется в совокупность результирующих функцио
нальных зависимостей (в общем случае ограниченную), каждая из
которых характеризует зависимость одного из параметров системы
от остальных. Очевидным достоинством аналитических методов яв
ляется то, что результирующие функции используются для решения
не только задачи анализа САУ, но и задачи синтеза.
Недостаток аналитического решения заключается в том, что оно
может быть получено, как правило, для достаточно простых моделей.
Применение численных методов, положенных в основу современ
ных моделирующих пакетов программ, позволяет производить ана
лиз сколь угодно сложных математических моделей для любых част
ных значений параметров.
Однако применение прикладных программ при анализе реальных
устройств и систем, характеризуемых сложными нелинейными ма
тематическими моделями, приводит к искажению информации, по
скольку числовое представление информации, равно как и все вы
числения, предполагает дискретизацию по времени [6, 7]. Очевидно,
что при замене дифференциальных уравнений конечноразностны
ми, а непрерывных граничных функций и поверхностей – кусочно
непрерывными, исходная информация искажается.
13
Ошибки округления, как локальная, так и глобальная, равно как
и итерационные расчетные процедуры, вносят дополнительные ис
кажения информации в процессе моделирования, что, безусловно,
должно быть учтено путем выбора метода интегрирования и его пара
метров. Следует учитывать, что попытка увеличить точность реше
ния путем уменьшения шага интегрирования всегда приводит к уве
личению объема вычислений и, как следствие, к накоплению ошибок.
С целью повышения эффективности численных методов анализа
сложных электромеханических и электротехнических систем, содер
жащих устройства с магнитопроводами сложной формы и нелиней
ными характеристиками, используется метод специализации мате
матических моделей [6]. Этот метод позволяет за счет специализа
ции повысить точность вычисления тех процессов, которые наибо
лее важны для задач исследования. В работах [6, 8, 9] предлагаются
различные принципы построения специализированных моделей, об
щими из которых являются:
• уменьшение количества преобразований, выполняемых числен
ными методами. То есть максимально возможное число преобразова
ний должно выполняться аналитически, что уменьшает объем про
граммно реализуемых вычислений и, следовательно, повышает их
точность;
• широкое применение аналитических преобразований, что дела
ет модель более универсальной, таким образом, при численном моде
лировании в программной среде вводится лишь частная информация,
отражающая специфику конкретной задачи;
• использование максимума известной информации о моделируе
мом устройстве или системе при построении математической модели,
что уменьшит число итерационных процедур для элементов с неизве
стными параметрами (или параметрами из заданного диапазона), что,
в свою очередь, повысит точность аналитического моделирования.
Таким образом, при исследовании сложных, многосвязных систем
управления, содержащих элементы и устройства с нелинейными ха
рактеристиками, целесообразно осуществлять построение общей
модели САУ по блочномодульному принципу, используя в качестве
отдельных элементов математической модели системы в целом от
дельные специальные модели, каждая из которых предназначена для
исследования процессов какойлибо одной физической природы.
Так, с целью повышения эффективности и упрощения анализа
предлагается [2, 8] при исследованиях электротехнических уст
ройств вместо универсальных моделей электромагнитных цепей, по
зволяющих рассчитывать параметры как электрических, так и маг
14
нитных цепей, применять специализированные модели для расчета
электрических и магнитных цепей в отдельности.
Существенное значение при разработке специализированных мо
делей имеет сложность системы в целом [8, 9], поскольку каждой
конкретной системе взаимосвязанных процессов различной физиче
ской природы, характеризующей какоелибо устройство при его ма
тематическом моделировании, может быть поставлена в соответ
ствие, как правило, только одна оптимальная специализированная
модель. Следовательно, анализ исследуемой системы аналитически
ми и численными методами будет максимально точен и прост, если
все специализированные модели (модели отдельных блоков) будут
отвечать требованиям оптимальности.
Подобное построение моделей сложных электромеханических си
стем приводит к тому, что аналитические решения дают максималь
но простые и в то же время наиболее информативные результирую
щие функции.
Очевидно, что реализация рассмотренного принципа построения
модели должна основываться на методах структурнотопологиче
ского анализа систем, например, [8].
Если же специализированные модели отдельных устройств не бу
дут соответствовать общей модели исследуемой САУ, то будет резко
возрастать громоздкость как аналитических вычислений, так и по
грешности численного моделирования, что, очевидно, будет сказы
ваться на адекватности модели и реальной системы.
Аналоговое моделирование с применением средств микроэлектро
ники позволяет проводить исследования в реальном масштабе вре
мени, когда процессы во всех цепях идут непрерывно, что является
несомненным достоинством данного способа. Однако подобные моде
ли являются, как правило, специализированными, предназначен
ными для исследований конкретных элементов и систем. Фактиче
ски, речь идет о построении специализированных аналоговых про
цессоров, т. е. отсутствует универсальность, присущая моделирую
щим пакетам прикладных программ.
§ 4. Общие принципы построения математических моделей
электротехнических устройств
Известно, что основными процессами в электротехнических уст
ройствах являются электромагнитные процессы, точный и строгий
анализ которых можно провести только с помощью математических
15
моделей, построенных на основе уравнений Максвелла, независимо
от того, требуется исследовать электрические или магнитные явле
ния [4, 10]. В этом случае математическая модель представляет со
бой систему дифференциальных уравнений (в общем случае нелиней
ную) в частных производных, и ее анализ является крайне трудно
разрешимой задачей даже в простейших случаях.
Упростить подобные исследования позволяет применение мето
дов теории электромагнитных цепей (уравнения Максвелла, пре
образованные в цепные уравнения), в которых вместо векторных ве
личин теории поля, зависящих от пространственных координат
и времени, вводятся в рассмотрение в качестве параметров интеграль
ные скалярные величины – токи, напряжения, магнитные пото
ки, магнитодвижущие силы и т. д., являющиеся функциями вре
мени [10].
При анализе электротехнических устройств методами теории це
пей электромагнитные процессы рассматриваются как протекающие
в системе взаимосвязанных электрических и магнитных цепей.
Это дает возможность применять универсальные математические
модели электромагнитных цепей, содержащие представленные в яв
ном виде ток, магнитный поток, напряжение и т. д. и позволяющие
рассчитывать параметры как электрической, так и магнитной цепи
электромагнитного устройства.
Вместе с тем с целью оптимизации электромагнитных расчетов
могут быть разработаны специализированные модели, характеризу
емые более узким классом решаемых задач [6, 7]. Так, специали
зированная математическая модель электрической цепи позволяет
непосредственно рассчитывать параметры электрических цепей элек
тротехнического устройства, поскольку содержит в явном виде ос
новные параметры электрической цепи (ток, напряжение и т. д.).
Специализированная математическая модель магнитной цепи позво
ляет непосредственно рассчитывать параметры магнитной цепи элек
тротехнического устройства и содержит в явном виде магнитный по
ток, магнитодвижущую силу и т. д.
Следует иметь в виду, что указанные выше математические моде
ли, как универсальные, так и специализированные, позволяют с мак
симальной степенью точности всесторонне изучать процессы, проис
ходящие в электрических машинах различных классов. Безусловно,
они необходимы при расчете и проектировании конкретных электро
технических устройств, поскольку одним из важнейших направле
ний в теории электрических машин является учет при их создании
переходных процессов [11]. Несмотря на ограниченность по времени
16
протекания переходного процесса, он оказывает существенное влия
ние на работу электрических машин, поскольку при переходных про
цессах в обмотках машин могут появляться токи, во много раз пре
восходящие номинальные. Электромагнитный момент и электромаг
нитные силы также могут быть во много раз больше, чем в номиналь
ном режиме, а в некоторых случаях могут появляться недопустимо
большие электрические напряжения на отдельных элементах элект
рических машин. Таким образом, переходные процессы оказывают
влияние на конструктивное соотношение электрической машины
и определяют значения ее параметров.
Поскольку переходные процессы возникают только при перехо
де от одного установившегося режима работы к другому, математи
ческая модель, позволяющая анализировать переходные процес
сы, может быть применена и для исследования стационарных про
цессов.
Ряд работ [12–17] посвящен различным аспектам создания мате
матических моделей, пригодных для анализа переходных электро
магнитных процессов электрических машин различного исполнения,
как в симметричных, так и в несимметричных режимах работы, ос
новывающихся на сочетании метода численного интегрирования
с такими методами, как комплексный метод, метод симметричных
составляющих, метод преобразования координат и т. д. Однако, как
отмечается в работе [11], все эти модели базируются на довольно гру
бых допущениях.
§ 5. Методы аппроксимации нелинейных характеристик
Качество модели любой системы управления непосредственно свя
зано с правильной идеализацией существующих в ней зависимостей,
т. е. построением адекватной математической, физической, аналого
вой или иной модели. Как следует из научнотехнической литерату
ры, в решении данного вопроса невозможно указать какиелибо стан
дартные правила, следуя которым можно было бы безошибочно иде
ализировать систему управления. Отметим, что при построении мо
дели должны сохраняться все характерные черты и свойства изучае
мой САУ, и в то же время определенная идеализация состоит в том,
чтобы по возможности абстрагироваться от всех несущественных,
нехарактерных для исследуемой системы явлений. То есть уравне
ния динамики всякой реальной системы всегда записываются с ка
който степенью идеализации, причем пренебрегают второстепенны
17
ми факторами, мало влияющими на решение данной конкретной за
дачи. Поэтому при построении моделей систем управления, содержа
щих элементы, для которых характерны нелинейные зависимости
входных и выходных величин, как правило, стремятся по возмож
ности упростить реальные характеристики. В частности, где это мож
но, представить нелинейные зависимости однозначными и менее
сложными по конфигурации.
Примером различных подходов к идеализации нелинейной характе
ристики в зависимости от задач исследования может служить асинх
ронный двигатель, вал которого соединен с пружиной (т. е. вся си
стема совершает колебания) [18], вид реальной характеристики ко
торого показан на рис. 4.
В тех случаях, когда угловая скорость движения выходного вала
невелика, приближенно связь момента на валу M с угловой скорос
тью ω может быть установлена соотношением [18]
M = M0 + αω + βω3.
(1)
Подобное упрощение дает возможность учитывать все характер
ные черты явления – устойчивую конечную амплитуду колебаний.
В случае больших упрощений исходной нелинейной характери
стики, в частности, соотношением, определить амплитуду автоко
лебаний становится невозможно, следовательно, данная идеали
зация представляется чрезмерной. Вместе с тем в реальной системе
наблюдаются колебания со второй устойчивой амплитудой, опреде
лить значения которой можно, если использовать существенно бо
лее сложное математическое описание реальной нелинейной харак
теристики
12
21
1
ω232ω11
ω2321 ω
Рис. 4. Механическая характеристика асинхронного двигателя
18
M = M0 + αω,
M = M0 + αω + βω3 + γω5 + υω7 .
(2)
Кроме того, характеристики асинхронного двигателя в области
экстремума могут быть аппроксимированы и параболой
M = βω2.
(3)
В качестве другого примера рассмотрим характеристику сцепле
ния тормозящего колеса транспортного средства с опорной поверх
ностью, которая показана на рис. 5.
Характеристика μ(S) является функцией, зависящей от многих
факторов: от состояния опорной поверхности; от линейной скорости
движения объекта управления; от материала пневматика и давле
ния в нем, от рисунка протектора и т. д.
Наиболее существенное влияние на вид характеристики за время
торможения оказывает изменение угловой скорости свободно катя
щегося колеса. Следовательно, рассматриваемая нелинейная зави
симость является параметрически нестационарной. Для построения
адекватной модели нестационарной системы необходимо либо учи
тывать нестационарность данной характеристики, либо строить мно
жество стационарных моделей, каждая из которых адекватна работе
реальной системы в определенном диапазоне изменения ωc (при по
стоянном состоянии опорной поверхности).
Допустим, что зависимость коэффициента сцепления μ тормозя
щегося колеса транспортного средства с опорной поверхностью от
μ
4τ
123 45678
97
674
123 778
97
674
μ1
14
5 1 12ω2 2 ω33ω2
Рис. 5. Качественный вид характеристики сцепления: ωс – угловая ско
рость свободно катящегося колеса; ωк – угловая скорость тормозя
щего колеса; ωк = ωс => S = 0 – отсутствие торможения; ωк =
= 0 => S = 1 – состояние блокировки
19
величины относительного проскальзывания S имеет вид, показан
ный на рис. 6 (кривая 1).
Форма приведенной характеристики μ(S) аналогична рассмотрен
ной выше зависимости момента на валу M асинхронного двигателя
от угловой скорости ω (рис. 6). Следовательно, в основу аппроксима
ции характеристики μ = μ(S) могут быть положены те же принципы,
что и для аппроксимации характеристики M(ω).
При малых изменениях величины относительного проскальзыва
ния колеса (в интервале от 0 до точки экстремума характеристики)
справедливо соотношение, аналогичное формуле (1):
μ = k1 (1 − kS2 )S,
где S = 1 −
(4)
ωк
пос
– угловая скорость тор
, здесь ωк (0) = ωпос
к = ωс
ωс − ωст
мозящегося колеса в начале процесса торможения; ωс (0) = ωпос
– уг
с
ловая скорость свободно катящегося колеса в начале процесса тор
можения; ωст – скорость продольных колебаний оси колеса, опреде
ляемая уравнением вида
ωст
= lст + rк dϕст ,
rк
dt
где lст – длина стойки; rк – радиус колеса; ϕст – угол колебаний стойки.
Зависимость, построенная в соответствии с формулой (4), показа
на кривой 2 рис. 6.
μ1
μ
μ2
15
14
12
11
Рис. 6. Характеристика μ(S)
20
13
13
1
Аппроксимация вида (4) может использоваться в тех случаях,
когда необходимо изучить динамику выхода системы торможения
в экстремум характеристики μ(S). Кроме того, данная аппрокси
мация характеристики μ(S) допустима при исследовании торможе
ния транспортного средства на сухом покрытии, поскольку в этом
случае момент сцепления колеса с поверхностью всегда больше,
чем развиваемый системой тормозной момент, поэтому рабочая точ
ка на характеристике μ(S) не переваливает ее экстремум, а распола
гается на левом склоне характеристики вблизи экстремального зна
чения.
При исследовании процесса торможения транспортного средства
на мокрой опорной поверхности необходимо учитывать, что рабочая
точка выходит в экстремум μ(S) и совершает колебания в районе эк
стремума, амплитуда которых по оси х составляет S = Sэ ± 20 %.
В этом случае для изучения режима устойчивых автоколебаний ра
бочей точки в окрестности экстремума характеристики μ(S), проис
ходящих с малой амплитудой, целесообразно использовать парабо
лическую зависимость вида (3):
μ = μэ − k1 ( S − Sэ ) ,
2
в соответствии с которой построена кривая 3 на рис. 6.
Данный режим соответствует торможению транспортного средства
с постоянным значением угловой скорости свободно катящегося ко
леса ωс = const и достаточно часто используется при исследованиях
динамики антиблокировочных систем торможения транспортных
средств на этапе их проектирования.
При моделировании процесса торможения, когда ωc изменяется
от максимального значения ωс (0) = ωпос
до минимального, величина
с
угловой скорости свободно катящегося колеса ωc также может ме
няться в широких пределах. В каждый момент времени ωк может
принимать любое значение – от ωк = ωс при полном растормажи
вании колеса до ωк = 0 при возникновении состояния глубокого
юза. Следовательно, величина относительного проскальзывания S
также будет меняться в пределах от 0 (при полном растормажива
ниии) до 1 (при юзе). В данном случае для аппроксимации характе
ристики μ(S) можно использовать соотношение, аналогичное фор
муле (2).
Еще одним примером различных аппроксимаций одной и той же
реальной нелинейной зависимости может служить сила вязкого тре
ния, которую при малых скоростях течения в жидкостях и газах мож
21
1122
31
но считать пропорциональной
скорости и направленной на
встречу последней. Однако при
41
больших скоростях абсолютную
2 величину силы вязкого трения
можно принять пропорциональ
ной квадрату скорости.
4
Наконец, рассмотрим зависи
мость силы сухого трения от ско
рости движения v, которая име
3
ет вид, показанный на рис. 7.
В тех случаях, когда спад ха
Рис. 7. Зависимость силы сухого
рактеристики (участок a–b) не
трения от скорости движе
ния
играет существенного значения
при рассмотрении динамики кон
кретной системы управления, то обычно зависимость упрощают, по
лагая силу трения постоянной при v ≠ 0 (рис. 8). Такая аппроксима
ция справедлива, когда в процессе движения не имеется конечных
интервалов времени, в течение которых скорость v = 0.
Рассмотренные примеры показывают, что каждая нелинейная
характеристика может быть аппроксимирована различными спосо
бами, в зависимости от поставленных задач исследования конкрет
ной системы управления.
Достаточно часто качество аппроксимации оценивается по точнос
ти воспроизведения реальной характеристики нелинейного звена. Бе
зусловно, малое отклонение кривой, построенной по формуле от апп
роксимируемой характеристики,
является достоинством. Однако,
1
31
как отмечается в работе [18], ча
сто не соображения точности вос
произведения реальной нелиней
41
ной характеристики являются
2
определяющими при выборе спо
соба аппроксимации. Нередко
требуется обеспечить лишь пра
4
вильный порядок получаемых
результатов, правильное воспро
3
изведение основных физических
закономерностей, типично нели
Рис. 8. Упрощенная зависимость
нейных черт явления. Поэтому
силы сухого трения
основным критерием достоинства
от скорости
22
аппроксимации при решении той или иной задачи является достиже
ние достаточно точного и в то же время простого по форме и доступного
простому анализу результата. Удачная аппроксимация позволяет
проинтегрировать дифференциальное уравнение и получить уравне
ние движения системы в конечном виде, т. е. осуществляется алгеб
раизация задачи, что обычно облегчает ее решение.
А. А. Фельдбаум [18] относительно вопроса аппроксимации ха
рактеристик нелинейных элементов делает следующий вывод: уни
версальной аппроксимации не существует, и вместе с тем определяю
щими критериями удачной аппроксимации являются:
– пригодность во всей исследуемой области изменения переменных;
– интегрируемость, точная или приближенная, либо возможность
простого исследования уравнения движения системы;
– относительно простой, пригодный для исследования вид реше
ния.
Нелинейные явления сами по себе в достаточной степени сложны,
и усложнение аппроксимирующих выражений может создать значи
тельные затруднения при исследовании. Известны ряд классов апп
роксимации нелинейных характеристик, классификация которых
проведена в работе [18] по типу аналитических выражений, поло
женных в основу аппроксимации.
Рациональная функция
Примером такой аппроксимации служит математическое выра
жение следующего вида:
x + F (x) =
aF(x)
,
b + cF (x)
либо относительно выхода нелинейного элемента:
2
F (x) = −
a + b − cx
⎛ a + b − cx ⎞
± ⎜
⎟ + 4bcx ,
2c
2c
⎝
⎠
введя обозначение d = −
a+b
, получаем следующее:
2c
F ( x ) = −d +
x
x2 ⎛ d b ⎞
±
−
− x + d2 .
2
4 ⎜⎝ 2 c ⎟⎠
Аналитическое выражение характеристики скольжения S от мо
мента асинхронного двигателя μд, выраженного в относительных
единицах, является частным случаем данного вида аппроксимации:
23
μд =
2
,
1
S+
S
где S – скольжение, μд – момент в относительных единицах.
Алгебраическая (степенная) функция
Примером может служить аппроксимация
F (x) = k ⋅ x2, − ∞ < x < +∞,
либо
F(x) = k ⋅ x3, − ∞ < x < +∞,
которые обобщаются соотношением
F (x) = kxn, − ∞ < x < +∞,
где n = 2, 3, 4, … – любое целое положительное число.
К алгебраической аппроксимации, безусловно, относятся мате
матические выражения для параболической характеристики общего
вида
F(x) = k ⋅ ( x − a ) − c , − ∞ < x < +∞,
2
где k, a, c – любые как положительные, так и отрицательные числа.
С помощью данного соотношения могут описываться системы с экст
ремальными характеристиками (параболического вида) объекта уп
равления, при любом ее расположении на плоскости.
Кроме того, к аппроксимации данного вида относятся разно
образные математические соот
ношения, содержащие квадра
3122
тичную и кубичную формы. На
пример, нелинейная характери
стика вида
⎪⎧k ⋅ x2, x > 0
1
F (x) = ⎨
,
312234342 5
123 235367
⎪⎩0, x ≤ 0
312234368
при x ≤ 0
12
6
Рис. 9. Несимметричная параболи
ческая нелинейная характе
ристика
24
представленная на рис. 9.
В табл. 1 приведены вид и ма
тематическое описание нелиней
ных характеристик, построен
ных на основе степенных функ
ций.
Таблица 1. Графическое представление и математическое описание
алгебраических (степенных) нелинейных характеристик
Вид нелинейной
характеристики
Математическое описание нелинейной
характеристики
1122
1)
xвых = kx2signx = k x ⋅ x,
32
либо
3
xвых = kx3
1122
2)
xвых = kx2
34
3)
2
1122
4
3
3
2
xвых = k(x + a)2 + c,
a, c, k могут быть как положительными, так
и отрицательными
1122
4)
4
53
51
34
2
3
xвых = k1 (1 − kx)2 x, x ≤ b;
xвых = c ⋅ signx,
x >b
54
Аналитическая аппроксимация
В некоторых случаях целесообразно представлять характеристи
ки нелинейного звена в виде конечной комбинации аналитических
функций [18]:
x⎞
⎛
F (x) = a ln ⎜ 1 + ⎟, x > 0;
b⎠
⎝
25
F(x) = a ⋅ arctgbx + cx, − ∞ ≤ x ≤ +∞;
x
F (x) = e a + bx − 1, x > 0;
F(x) = a ⋅ tgx3 .
Возможно также представление аппроксимируемых функций
в виде разложения по экспонентам
n
F(x) = ∑ ai ebix,
i =1
или разложения в ряд Фурье, если область изменения одной из пере
менных ограничена с двух сторон.
Интегралы и пределы
В тех случаях, когда реальная нелинейная характеристика имеет
разрывы, применяется аппроксимация в виде интегральных или пре
дельных соотношений [18].
Например, нелинейная зависимость, показанная на рис. 6 (пунк
тиром показаны формы кривой при изменении нагрузки), может быть
аппроксимирована как соотношением (4), так и интегралом вида
x
F (x) = a ∫ e
(
− x2 − b
) dx,
2
0
dF (x)
при увеличении х возраста
dx
ет до максимального значения a, а затем начинает уменьшаться, стре
мясь к нулю при x → ∞.
1122
Так, нелинейная характери
стика, показанная на рис. 10, мо
жет быть аппроксимирована сле
дующим образом:
поскольку производная функции
2
3
F (x) = lim
n→+∞
Рис. 10. Аппроксимация нелинейной
зависимости пределами
26
ax
1+ e
− nx
,
что, однако, представляется более
сложным по сравнению с кусочно
линейной аппроксимацией – наи
более простой.
Кусочнолинейная аппроксимация
Данный способ аппроксимации нелинейных характеристик эле
ментов и устройств применяется наиболее часто, поскольку облада
ет наибольшей степенью универсальности по сравнению с другими.
Суть кусочнолинейной аппроксимации заключается в том, что
нелинейная характеристика представляется в виде отрезков прямых
на плоскости, т. е. нелинейная характеристика воспроизводится на
основе функции
n
F (x) = F0 + ax + ∑ bi (x − x0i ),
i =1
где F0 – начальное значение характеристики (начальный скачок), x0i –
значения аргумента функции, при которых осуществляется переход
с одного линейного участка характеристики на другой, a и bi – коэф
фициенты наклона
⎧0, x ≤ x0i
bi = ⎨
.
⎩bi = const, x > x0i
Пример кусочнолинейной аппроксимации нелинейной характе
ристики показан на рис. 11, а ее математическая модель определяет
ся соотношением
3
F (x) = F0 + k0 x + ∑ ki (x − xi ).
i =1
Как следует из рис. 11, отклонение аппроксимирующих прямых
от реальной характеристики не должно превышать 5 %, тогда мож
2
3
5678914
5678912
5678911
5678913
1234
21
32
33
34
3
Рис. 11. Пример кусочнолинейной аппроксимации
27
но считать, что результаты исследований модели будут с достаточ
ной степенью точности соответствовать процессам в объекте.
Целесообразность кусочнолинейной аппроксимации в случае
гладких нелинейных характеристик связана с двумя обстоятельства
ми [19]:
1) с допустимостью данного вида аппроксимации для реальной
характеристики;
2) с ограничением числа участков аппроксимации кусочнолиней
ной характеристики, что связано с технической реализацией аналого
вой модели или точностью интегрирования вычислительной модели.
Применимость кусочнолинейной аппроксимации к гладким не
линейным характеристикам, прежде всего, связана с физикой про
цесса функционирования исследуемой системы, а не с видом нели
нейной характеристики, поскольку теоретически любую характери
стику можно аппроксимировать кусочнолинейными участками, од
нако, с точки зрения функционирования системы, подобная модель
может оказаться не адекватной реальной САУ.
Так, при исследовании моделей непрерывных систем управления
с помощью прикладного программного обеспечения значения момен
тов времени переключения (переход с одного линейного участка на
другой) для любой кусочнолинейной характеристики можно опре
делить с точностью до половины величины приращения координаты
времени, т. е. наибольшее значение погрешности будет составлять
Δt
. Погрешность в определении моментов переключения нелиней
2
ных характеристик, особенно если число переключений велико, при
водит к определенному снижению точности результатов, получаемых
при математическом моделировании САУ.
При исследовании моделей систем с амплитудноимпульсной мо
дуляцией (АИМ) сигнала погрешность в определении значений вре
мени переключения будет возрастать по сравнению с непрерывными
системами управления. Для импульсных САУ время переключения
кусочнолинейных характеристик определяется по непрерывному
входному сигналу, а затем осуществляется дискретизация получен
ных значений. Дискретное значение момента времени переключения
определяется следующим образом:
δ=
tj∗ = σ jT,
⎛ tj ⎞
где σ j = E ⎜ ⎟, здесь E означает целую часть числа.
⎝T ⎠
28
Очевидно, что ошибка в определении дискретного значения точки
переключения будет тем больше, чем больше значение периода пре
рывания, в соответствии с которым осуществляется дискретизация.
Кроме того, при использовании большого числа кусочнолиней
ных участков для аппроксимации гладких нелинейных функций воз
можно получение принципиально неверного результата моделиро
вания.
Такая ситуация возможна, если число участков принятой апп
роксимирующей характеристики не согласовано с периодом преры
вания импульсного элемента. Допустим, что период прерывания имеет
достаточно большое значение по сравнению с длительностью време
ни работы САУ на текущем участке характеристики. В этом случае
в течение одного периода прерывания может произойти несколько
переключений нелинейной характеристики, т. е. несколько перехо
дов с одного кусочнолинейного участка на другой. Таким образом,
нескольким значениям моментов времени переключения, определен
ным по непрерывному входному сигналу, будет соответствовать одно
и то же значение времени переключения, полученное в результате
дискретизации. Следовательно, исходная математическая модель
синтезируемой системы управления не будет соответствовать факти
чески синтезируемой САУ.
Приведенные выше рассуждения иллюстрируются примерами,
показанными на рис. 12, 13. На рис. 12 представлено прохождение
непрерывного процесса x(t), а также процесса x*(t), полученного при
амплитудноимпульсной модуляции исходного движения x(t) иде
альным АИМ, через нелинейную характеристику F(x) = kx2. Также
показаны сигналы на выходе нелинейной характеристики: 1 – про
цесс на выходе нелинейности F(x) = kx2 при непрерывном входном
сигнале x(t); 2 – дискретные значения процесса на выходе нелиней
ности F(x) = kx2 при модулированном по амплитуде входном сигнале
x*(t); 3 – дискретные значения процесса на выходе нелинейной ха
рактеристики F(x) = kx2, аппроксимированной двумя кусочнолиней
ными участками при модулированном по амплитуде входном сигна
ле x*(t). Очевидно, что аппроксимация исходной нелинейности дву
мя кусочнолинейными участками вносит существенную погрешность
в результат преобразования входного сигнала, что видно по разнице
амплитуд импульсов на первых 7ми периодах (графики 2 и 3). Одна
ко для рассматриваемого сигнала на входе нелинейности подобная
аппроксимация не вносит погрешности в определение точек переклю
чения кусочнолинейной характеристики, поскольку на каждом пе
риоде прерывания имеет место лишь одно переключение. Следова
29
1
1
52
4
3
3
53
2
33
2
3
4 34 44 54 64 74 84 94 4 4 4
32
34
2132
35
21132
36
37
38
3
Рис. 12. Непрерывный и импульсный процессы на входе и выходе нелиней
ного элемента
30
1
2
3
3
45
43
44
43
42
42
41
112
1
21
22
23
41
1
12
1
1
21312231233124
25312631273128
24
25
29
21
211
26
27
28
29
212
213
2
2
Рис. 13. Влияние числа кусочнолинейных участков на точность моде
лирования: а – три кусочнолинейных участка; б – пять кусоч
нолинейных участков
31
тельно, дискретизация моментов переключения данной кусочноли
нейной характеристики, определенных по непрерывному входному
сигналу, будет осуществлена с точностью до очередного периода.
Более точные варианты кусочнолинейной аппроксимации харак
теристики F(x) = kx2 показаны на рис. 13. Очевидно, что увеличение
числа кусочнолинейных участков аппроксимирующей характерис
тики снижает ошибку в преобразовании входного, как непрерывно
го, так и амплитудноимпульсного сигналов. Вместе с тем увеличе
ние числа кусочнолинейных участков вносит неопределенность
в результат вычисления величины σj. Из рис. 13, а, видно, что дискре
тизация значений моментов переключения t1 и t2 будет давать одина
ковые значения σj, т. е. σ1 = σ2. Такая же ситуация имеет место и для
моментов переключения t6 и t7. Увеличение числа кусочнолинейных
участков (рис. 13, б) усугубляет описанную ситуацию, так как оди
наковые значения σj будут давать моменты переключения t1–t3; t4–t6;
t7 и t8; t9 и t10.
Рассмотренные примеры показывают следующее:
– аппроксимация степенных нелинейных характеристик двумя
кусочнолинейными участками, как правило, неприемлема изза вно
симой подобным представлением погрешности в преобразование вход
ного сигнала;
– при решении задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, со
держащей нелинейные характеристики, состоящие из двух кусочно
линейных участков, программное обеспечение позволяет однознач
но осуществлять дискретизацию моментов переключения нелиней
ности. То есть величина σj будет последовательно принимать значе
ния 1, 2, 3, …, n, если значение периода прерывания импульсного
модулятора согласовано с частотой процесса x(t) на входе кусочно
линейного звена;
– при исследовании моделей САУ с АИМ, содержащих нелиней
ные характеристики с большим числом кусочнолинейных участков,
программное обеспечение будет (с большой долей вероятности) фор
мировать некую случайную модель исследуемой системы, степень
приближения которой к заданной будет определяться вероятностью
получения различных значений σj.
Несомненное достоинство алгебраической (степенной) аппрокси
мации нелинейных характеристик, которую целесообразно исполь
зовать для различных электронных схем выпрямления и преобразо
вания сигнала, состоит в том, что для подобных нелинейных харак
теристик точки переключения будут отсутствовать (в случае симмет
ричных степенных характеристик 1–3 (табл. 1)). Исключение
32
составляют зависимости вида 4 (табл. 1), которые получены путем
одновременного применения степенной (алгебраической) и кусочно
линейной аппроксимации, для которых точки переключения опре
деляются аналогично кусочнолинейным характеристикам.
§ 6. Нелинейные характеристики элементов
и устройств систем автоматического управления
Во многих электромеханических системах используются устрой
ства, для которых характерна неоднозначная зависимость между
сигналами входа и выхода. Как отмечается в работе [20], нелинейно
сти вида люфт и его различные вариации (люфт с ограничением, люфт
с зоной нечувствительности, люфт с ограничением и зоной нечувстви
тельности), приведенные в табл. 2, типичны для механических це
пей передачи сигнала.
В релейных системах управления также имеет место неоднознач
ные нелинейные элементы, к которым относятся реальные релейные
характеристики двухпозиционного поляризованного реле и трехпо
зиционного реле или усилительного каскада из фазового дискрими
натора и электромагнитных реле, характеристики которых показа
ны в табл. 2.
При решении задачи моделирования нелинейных систем управле
ния достаточно часто приходится иметь дело с САУ, в состав кото
рых входят звенья, имеющие несимметричные нелинейные характе
ристики. Несимметричность характеристик, как правило, связана
с физическими особенностями функционирования устройств.
Так, несимметричные кусочнолинейные характеристики часто
встречаются в нелинейных задачах при учете силы реакции контакт
ных пружин или других упругих элементов, при наличии в системах
управления магнитных усилителей и т. д. [21].
Примерами подобных характеристик являются:
– двусторонняя реакция упругого элемента с различной жестко
стью (табл. 3, характеристика 1);
– характеристика магнитных усилителей (табл. 3, характеристи
ка 2);
– зависимость момента сил реакции неподвижного контакта на
подвижный контакт (табл. 3, характеристики 3, 4);
– релейные характеристики, когда релейный элемент работает на
включение и отключение следующего за ним звена (табл. 3, характе
ристики 5, 6). Если же релейный элемент работает на включение
33
Таблица 2. Графическое представление и математическое описание неод
нозначных нелинейных характеристик
Вид нелинейной
характеристики
6
Математическое описание нелинейной
характеристики
1122 323
2
54
4
xвых = C, xвх ≥ b ⎫
⎬ при x1 вх > 0;
xвых = −C, xвх ≤ b ⎭
xвых = C, xвх ≥ −b ⎫
⎬ при x1 вх < 0
xвых = −C, xвх ≤ −b ⎭
56
5
1122 323
xвых = C, xвх ≥ b2
641 642
42
41
⎫
⎪
xвых = 0, b2 ≥ xвх ≥ −b1 ⎬ при x1 вх > 0;
⎪
xвых = −C, xвх ≤ −b1
⎭
xвых = C, xвх ≥ b1
⎫
⎪
xвых = 0, b1 ≥ xвх ≥ −b2 ⎬ при x1 вх < 0
⎪
xвых = −C, xвх ≤ −b2
⎭
2
65
11223324
56
4
54
6
xвых = −C + k ⋅ xвх , при x1 вх > 0;
xвых = const,
при x1 вх = 0;
xвых = C + k ⋅ xвх , при x1 вх < 0
xвых = −C,
11223324
4
56
57
2
54
6
xвх ≤ −b1
⎫
⎪
xвых = −C + k ⋅ xвх , b2 ≥ xвх ≥ −b1 ⎬ при x1 вх > 0;
⎪
7 x
xвх ≥ b2
вых = C,
⎭
2 x
1
const,
при
x
0;
=
=
вых
вх
xвых = −C,
xвых = C + k ⋅ xвх ,
xвых = C,
34
xвх ≤ −b2
⎫
⎪
b1 ≥ xвх ≥ −b2 ⎬ при x1 вх < 0
⎪
xвх ≥ b1
⎭
Окончание табл. 2
Вид нелинейной
характеристики
11223324
Математическое описание нелинейной
характеристики
42
41
562 561
61
62
xвых = C1 + k ⋅ xвх ,
xвх ≤ −b1
xвых = C2 + k ⋅ xвх ,
xвх ≤ −b2
⎫
⎪
xвых = 0,
b2 ≥ xвх ≥ −b1 ⎬ при x1 вх > 0;
⎪
xвых = −C2 + k ⋅ xвх , xвх ≥ b2
⎭
2 xвых = const, при x1 вх = 0;
⎫
⎪
b1 ≥ xвх ≥ −b2 ⎬ при x1 вх < 0
⎪
xвых = −C1 + k ⋅ xвх , xвх ≥ b1
⎭
541
xвых = 0,
542
xвых = − B,
41
57
⎫
⎪
− b1 ≥ xвх ≥ −b2 ⎪
⎪
xвых = 0,
b3 ≥ xвх ≥ −b1 ⎬ при x1 вх > 0;
xвых = −C2 + k ⋅ xвх , b4 ≥ xвх ≥ b3 ⎪
⎪
⎪⎭
xвых = B,
xвх ≥ b4
xвых = C1 + k ⋅ xвх ,
11223324 42
562 561
xвх ≤ −b2
7
61
62
2
541
xвых = const, при x1 вх = 0;
xвых = − B,
xвх ≤ −b4
⎫
⎪
− b3 ≥ xвх ≥ −b4 ⎪
⎪
xвых = 0,
b1 ≥ xвх ≥ −b3 ⎬ при x1 вх < 0
xвых = −C1 + k ⋅ xвх , b2 ≥ xвх ≥ b1 ⎪
⎪
⎪⎭
xвых = B,
xвх ≥ b4
xвых = C2 + k ⋅ xвх ,
542
Таблица 3. Графическое представление и математическое описание
несимметричных нелинейных характеристик
Вид нелинейной
характеристики
1)
Математическое описание нелинейной
характеристики
1122
3456732
2
xвых = k1x, при x ≥ 0
xвых = k2x, при x < 0
3456731
35
Продолжение табл. 3
Вид нелинейной
характеристики
Математическое описание нелинейной
характеристики
1122
2)
3456762
xвых = k1x, при b1 > x ≥ 0
xвых = B,
3
при b1 > x > −b2
xвых = k2x, при 0 > x > −b2
3456761
451
752
3)
2
1122
xвых = kx , при x ≤ 0
345673
2
xвых = 0,
при x > 0
4)
1112
xвых = kx, при x ≥ 0
345673
2
5)
при x < 0
1122
34
32
3
36
xвых = 0,
35
xвых = c, при x ≥ b
xвых = 0, при x < b
Окончание табл. 3
Вид нелинейной
характеристики
6)
6
11223324
51
7)
Математическое описание нелинейной
характеристики
52
xвых = C, x ≥ b2 ⎫
⎬ при x1 > 0;
xвых = 0, x < b2 ⎭
xвых = C, x ≥ b1 ⎫
⎬ при x1 < 0
xвых = 0, x < b1 ⎭
42
1122
xвых = kx2, при x ≥ 0
k>0
2
3
k<0
xвых = 0,
при x < 0
либо
xвых = kx2sign x = k x ⋅ x, при x ≥ 0
xвых = 0, при x < 0
либо
xвых = kx3, при x ≥ 0
xвых = 0,
8)
1122
xвых = −kx2, при x ≥ 0
xвых = 0,
либо
34 345
34 645
2
45
при x < 0
при x < 0
xвых = kx2signx = k x ⋅ x, при x ≤ 0
xвых = 0, при x > 0
либо
xвых = kx3, при x ≤ 0
xвых = 0,
при x > 0
и переключение следующего за ним звена, то в этом случае характе
ристика будет симметричной;
– характеристики электронных и преобразовательных устройств
(табл. 3, характеристики 7, 8).
Характеристики двусторонней реакции упругого элемента с раз
личной жесткостью и магнитных усилителей (табл. 3, характери
стики 1, 2) могут быть представлены эквивалентными преобразова
37
ниями, показанными ниже (см. § 7) с помощью нелинейных зависи
мостей (табл. 3, характеристики 3, 4).
Все перечисленные выше нелинейные характеристики допускают
кусочнолинейное представление, однако несимметричные характери
стики нелинейных элементов могут быть аппроксимированы и степен
ными (алгебраическими) функциями (табл. 3, характеристики 7, 8).
§ 7. Эквивалентное преобразование нелинейных характеристик
Экспериментально снятые характеристики элементов и устройств
систем управления могут быть достаточно сложны для их аппрокси
мации какимлибо простым математическим выражением, представ
ляющим нелинейную характеристику в виде типовой. Это вызывает
определенные трудности при математическом или аналоговом моде
лировании, поскольку пакеты прикладных моделирующих программ,
как правило, дают возможность моделировать лишь ограниченное
число типовых нелинейных характеристик. При построении модели
средствами микроэлектроники воспроизведение сложной нелинейной
зависимости может привести к трудностям как практической реали
зации на определенной элементной базе, так и настройки электрон
ной схемы.
Для снятия указанных ограничений целесообразно использовать
эквивалентное преобразование исходной характеристики произволь
ного вида путем представления ее параллельным включением опре
деленной комбинации типовых кусочнолинейных или иных звень
ев [19]. Число возможных вариантов эквивалентных преобразова
ний одной и той же исходной характеристики ограничивается толь
ко творческим потенциалом проектировщика.
Рассмотрим это положение на примере ряда нелинейных элемен
тов, которые соответствуют характеристикам устройств, широко при
меняемых в непрерывных и импульсных системах управления [20].
На рис. 14, 15 показаны эквивалентные преобразования некоторых
нелинейных характеристик: характеристики золотников гидро
и пневмосервомоторов (рис. 14, а); зависимости коэффициента сцеп
ления от величины относительного проскальзывания (рис. 14, б); ста
тической многоступенчатой характеристики квантователяэкстрапо
лятора (рис. 14, в); нелинейности типа «холостой ход» (рис. 15, а);
нелинейности типа «начальный скачок» и «ограничение» (рис. 15, б);
нелинейности типа «отрицательный дефект» (рис. 15, в). Как видно
из рис. 14, 15, исходные характеристики структурно преобразованы
38
1
36
1 1 22
781
5
56789
782 781
311
5
81 82
312
82
782 567895
36 1 1 22
2
5
56789 2
311 36
78
78
38
32
5
56789 1
78
5
36
78936
389
76
32
3214 2
32
3121 2 2
3111 2 2
1 3 21 4 24
5
312
38
56789 2
1 1 22
3
38
32
56789 1
3214 2
76
1 3 21 4 24
56789
3214 2
32
32 3111 2 2
81
311
32
789 389
76
36
789
312
76
36
311
32
312 1 2 2
311 1 2 2
32 3121 2 2
89
1 3 2 14 24
32
76
Рис. 14. Эквивалентные преобразования нелинейных характеристик: а –
золотников гидро и пневмосервомоторов; б – зависимость ко
эффициента сцепления от величины относительного проскаль
зывания; в – статической многоступенчатой характеристики
квантователяэкстраполятора
39
1 1 22
1
6789
45
67
5
65
67
9
42 421 3 2
47
5
45
67
5
6789
2
1 1 22
9
5
6789
48
65 47
42
421 3 2
67
9
3
6789
5
4111 2 2
1 3 2 1 3 24
412
47
65
412
45 411
6789
42
42
42
4121 2 2
4111 2 2
1 3 2 1 3 24
481
42
47
4121 2 2
4813
8 645
9
1 1 22
45
47
45 411
5
67 45
411
5
9
65
42
4111 2 2
1 3 2 1 3 24
42 421 3 2
65
6789
9
21
42
5
21
Рис. 15. Эквивалентные преобразования нелинейных характеристик раз
личных типов: а – типа «холодный ход»; б – типа «начальный
скачок» и «ограничение»; в – типа «отрицательный дефект»
40
с использованием параллельного включения комбинаций типовых
нелинейных и линейных элементов. При таком структурном преоб
разовании процесс на входе исходного нелинейного звена совпадает
с процессом на входах нескольких параллельно включенных элемен
тов, т. е. не возникает необходимости (для обеспечения условия эк
вивалентности преобразований) пересчета процесса на входы типо
вых нелинейных звеньев, что представляет собой достаточно слож
ную задачу. Так, например, пересчет процесса неизбежен при после
довательном включении нелинейных звеньев или охвате нелинейного
звена обратной связью другим нелинейным звеном [19].
Обобщая показанные на рис. 14, 15 эквивалентные преобразова
ния, можно записать следующее аналитическое выражение [19, 22]:
l
F ⎡⎣ x0 ( t ) ⎤⎦ = ∑ Fg ⎡⎣ x0 ( t ) ⎤⎦ ,
g =1
либо при наличии импульсного процесса на входе нелинейного эле
мента:
l
F ⎡⎣x 0* ( t ) ⎤⎦ = ∑ Fg ⎡⎣x0* ( t ) ⎤⎦ ,
g =1
где Fg[x0(t)], Fg[x0*(t)] – типовые нелинейные характеристики: пере
менный коэффициент усиления; зона нечувствительности; насыще
ние (ограничение); релейная характеристика, в том числе с зоной
нечувствительности.
§ 8. Модели импульсных модуляторов
Импульсной системой автоматического управления называется
любая динамическая система, в которой информация передается
с помощью определенной временной последовательности стандарт
ных импульсов. Данная последовательность может быть получена
с помощью импульсного модулятора, входной сигнал которого яв
ляется носителем информации (модулирующая функция). Несущая
импульсная последовательность может состоять из импульсов раз
личной формы (δфункция, прямоугольные импульсы и т. д.). Как
правило, при модуляции форма несущих импульсов постоянна, а из
меняется какойлибо параметр, характеризующий размеры импуль
са (амплитуду, длительность) или его местоположение в импульсной
последовательности (фазу, интервал между импульсами).
41
1
13
12
1
34
2
τ
23456
789
56τ789
67
5
12
1
15
3
134
τ
23456
789
56τ789
67
5
12
15
4
134
τ1
τ
7689
56
789
56τ 7234
6
5
12
15
5
τ
134
689
56
7623456 τ 7689
67
5
1
12
51 5
52
Рис. 16. Преобразование непрерывного сигнала модуляторами различных
видов: а – процесс на входе модулятора; б – процесс на выходе
АИМ I; в – процесс на выходе АИМ II; г – процесс на выходе
ШИМ; д – процесс на выходе ЧИМ
42
В теории импульсных систем автоматического управления [23–
26] существуют различные способы классификации видов импульс
ной модуляции. Приведем тот из них, который представляется нам
наиболее удобным для последующего изложения.
В зависимости от вида модулируемого параметра различают амп
литудноимпульсную (импульсная дискретная и импульсная цифро
вая) (рис. 16, б, в), широтноимпульсную (рис. 16, г) и частотно
импульсную (рис. 16, д) модуляцию. При амплитудноимпульсной
модуляции модулируется амплитуда (высота) импульса, при широт
ноимпульсной модуляции – длительность (ширина) импульса, при
частотноимпульсной модуляции – интервал между импульсами (ве
личина, обратная частоте), а размеры импульса (его амплитуда и дли
тельность) остаются неизменными.
§ 9. Математические модели амплитудно-импульсных модуляторов
В современных САУ регулятор, как правило, реализуется на микро
процессорах или микроЭВМ. Это дает несомненные преимущества:
• возможность реализации закона управления любой степени
сложности;
• возможность перенастройки параметров регулятора в процессе
работы системы, что крайне важно для многорежимных САУ;
• обеспечение адаптации системы управления к изменениям пара
метров объекта управления, например, момента нагрузки на валу
исполнительного двигателя.
Вместе с тем применение микропроцессоров и микроЭВМ в контурах
управления требует учета влияния амплитудноимпульсных модулято
ров на динамические свойства системы в целом. Если исследуемая систе
ма относится к классу дискретнонепрерывных, то возникает необхо
димость учета эффектов квантования сигнала не только по времени, но
и по уровню, т. е. нужно учитывать нелинейную статическую характе
ристику аналогоцифровых и цифроаналоговых преобразователей, че
рез которые осуществляется передача информационных управляющих
сигналов между дискретным регулятором и непрерывной частью.
Особое значение имеет то, что на динамические свойства импульс
ных, дискретных и дискретнонепрерывных САУ существенное вли
яние оказывает конечная длительность замыкания импульсного эле
мента, а также форма импульса с выхода модулятора.
В теории импульсных систем существуют различные подходы
к построению математической модели амплитудноимпульсного мо
43
дулятора, каждый из которых позволяет учитывать свойства АИМ
в зависимости от задач конкретного исследования.
В большинстве случаев при исследовании импульсных систем уп
равления импульсный модулятор считают идеальным, генерирующим
с периодом T последовательность бесконечно коротких импульсов
типа δфункции, площадь которых пропорциональна непрерывному
сигналу на входе импульсного элемента в моменты времени t = nT:
∞
x* (t) = ∑ x(nT)δ(t − nT),
(5)
n =0
здесь
∞
x(nT) = ∫ x(t)δ(t − nT )dt – величина nго дискретного значения; δ –
0
задержанная импульсная функция, существующая при t = nT; T –
период прерывания, интервал времени между соседними импульсами.
Таким образом, импульсный элемент эквивалентен модулятору,
в котором в качестве модулирующего сигнала используется входной
сигнал x(t), а в качестве несущего – последовательность единичных
импульсов ∑ δ(t − nT ).
В большинстве импульсных САУ высокочастотные составляющие,
появляющиеся в полезном сигнале в результате процесса прерыва
ния, должны быть отфильтрованы. Несмотря на то, что большая
часть нежелательных дополнительных сигналов фильтруется эле
ментами системы, часто на выходе модулятора ставятся формирую
щие элементы, осуществляющие экстраполяцию сигнала. В резуль
тате данной операции на выходе модулятора с запоминающим уст
ройством воспроизводится огибающая функция входного сигнала.
Как показано в работе [26], значение экстраполирующей временной
функции в промежутке между последующими моментами прерыва
ния nT и (n + 1)T зависит от значений функции в предыдущие момен
ты nT, (n – 1)T, ..., и поэтому сигнал на выходе экстраполятора kго
порядка можно представить следующим образом:
x∗ ( t ) = x ( nT ) + x(1) ( nT )( t − nT ) +
+
2
x( ) ( nT )
2!
( t − nT )
2
+1 +
k
x( ) ( nT )
k!
( t − nT )k,
где x(nT) – значение x(t) при t = nT; x(1)(nT), x(2)(nT), ..., x(k)(nT) –
значения производных x(1)(t), x(2)(t), ..., x(k)(t), найденных при t = nT.
44
Запоминающие элементы высокого порядка дают лучшее воспро
изведение временной функции по ее дискретным значениям. Вместе
с тем они вносят в систему значительный фазовый сдвиг, поэтому на
практике используются, как правило, экстраполяторы нулевого
(реже – первого и второго) порядка.
Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка имеет
вид
−T ⎞
⎛
T
−Tp
⎜ 1 − e e 0 ⎟ T0 p
⎠
Wэ ( p ) = ⎝
,
p (T0 p + 1)
(6)
где T0 – постоянная времени разряда запоминающего элемента.
Во временной области сигнал на выходе запоминающего элемента
нулевого порядка может быть записан в виде [169]
x∗ ( t ) =
∞
∑ x ( nT ) e
− ( t −nT )
T0
n=0
⎡1( t − nT ) − 1( t − ( n + 1) T ) ⎤ ,
⎣
⎦
(7)
− ( t − nT )
T0
– функция, описывающая кривую разряда запоминаю
где e
щего элемента за время хранения.
Известно, что постоянная времени T0 обычно настолько велика,
что могут быть приняты следующие допущения:
e
−T
T0
≈ 1,
T0 p
≈ 1,
T0 p + 1
тогда выражения (6) и (7) принимают вид
Wэ ( p ) =
x∗ ( t ) =
1 − e −Tp
,
p
∞
∑ x ( nT ) ⎡⎣1( t − nT ) − 1( t − ( n + 1)T )⎤⎦ .
n=0
Очевидно, что представление АИМ в виде последовательности мо
дулированных по амплитуде дельтафункций не соответствует дей
ствительности, поскольку никакой реальный импульсный элемент
не может генерировать бесконечно короткие импульсы бесконечной
амплитуды. Однако подобное допущение существенно упрощает ана
лиз и синтез импульсных САУ и поэтому нашло широкое примене
45
1
τ = γ3
1223
14223
3 13
43
2
Рис. 17. Сигнал на выходе АИМ I
ние, особенно на этапе становления теории импульсных систем авто
матического управления. Как показано в работе [27], математиче
скую модель амплитудноимпульсного модулятора (5) допустимо при
менять, если длительность замыкания импульсного элемента состав
ляет менее 5 % от периода прерывания.
Известно, что любой реальный АИМ замыкается и размыкается не
мгновенно. Если требуется учитывать длительность замыкания им
пульсного элемента, то можно использовать математические модели
АИМ типов I и II [25, 28, 29]. Сигнал на выходе АИМ I представляет
собой прямоугольные импульсы, высота которых пропорциональна
амплитуде входного непрерывного сигнала в моменты квантования
(рис. 17). Отличие АИМ II заключается в том, что он как бы вырезает
отдельные участки из непрерывного входного сигнала (рис. 18).
1
τ = γ3
1 22 3
14223
3 13
Рис. 18. Сигнал на выходе АИМ II
46
43
2
Сигнал на выходе импульсного элемента типа I описывается сле
дующим образом:
x∗ (t) =
∞
∑ x(nT)[1(t − nT) − 1(t − (nT + τ))],
n =0
где τ = γT – ширина импульса, здесь γ < 1.
Сигнал на выходе импульсного элемента типа II описывается урав
нением вида
∞
x∗ (t) = x(t) ∑ [1(t − nT ) − 1(t − (nT + τ))],
n =0
где x(t) – сигнал на входе модулятора.
Современные пакеты моделирующих программ позволяют при
менять более сложные математические модели импульсных модуля
торов, что, безусловно, дает возможность более детально изучать
динамику импульсных систем автоматического управления и более
полно учитывать при решении задачи синтеза специфические осо
бенности САУ данного класса, связанные с импульсным характером
сигналов. Как известно, импульсы, формируемые различными по
схемотехническим решениям амплитудноимпульсными модулято
рами, имеют форму, в большей или меньшей степени отличную от
АИМ типов I и II и тем более от идеального модулятора. Основное
отличие заключается в том, что фронты импульсов на выходе моду
лятора не являются вертикальными изза наличия паразитных ем
костей (индуктивностей) в устройствах формирования импульсов
(рис. 19).
Импульс, показанный на рис. 19, может быть с достаточной сте
пенью точности кусочнолинейно аппроксимирован (рис. 20).
1122
ΔA
1
346
212
3
3
345
242
232
21233
21243
21244
1
346
21234
Рис. 19. Форма импульса на выходе АИМ
47
1
1
Δ2
312
2
1232
4
3123
3 123
33
5
34
31
Рис. 20. Аппроксимация импульса, формируемого АИМ
Как следует из теории импульсной техники, импульс условно мо
жет быть разделен на ряд участков: фронт импульса (участок ab);
вершина, или плоская часть (участок bb); срез, или задний фронт
(участок bc), и характеризуется следующими параметрами: A – наи
большая величина импульса; ΔA – снижение вершины импульса; tф –
длительность фронта импульса; tс – длительность среза импульса; tи –
длительность импульса.
Длительность фронта, или среза, импульса обычно определяет
момент срабатывания того или иного электронного устройства. Час
то фронт импульса фиксирует некоторый момент времени, играющий
важную роль в расшифровке информации, передаваемой импульс
ным сигналом.
Поскольку длительность импульса tи, а также длительности фрон
та tф и среза tс реального импульса точно не определимы, то для ха
рактеристики его формы вводится понятие активных длительностей
соответствующих величин. Активная длительность фронта tфа и ак
тивная длительность среза tса импульса определяется разностью со
ответствующих моментов времени достижения импульсом значений
a = 0,9A и a = 0,1A (рис. 19, 20):
tфа = t0,9ф − t0,1ф ; tса = t0,9с − t0,1с .
Активная длительность фронта (или среза) импульса выражает
существенную для большинства технических применений характе
ристику формы импульса. При этом для ряда технических приложе
ний оказывается существенной возможно более точная фиксация
48
1122
1
1123
2121 2123
2
Рис. 21. Пороговые значения сигнала с выхода АИМ
момента срабатывания t. Такой момент (рис. 21) определяется вре
менем, в течение которого величина импульса достигает определен
ного порогового значения u(t) = Uпор. Вариация же крутизны фронта
приводит к изменению момента t в некоторых пределах Δt1 = t1,2 − t1,1.
Изменяя параметры импульса, можно получить различные формы
(рис. 22). Так, уменьшая крутизну фронта и среза прямоугольного им
пульса, получим импульс трапецеидальной формы (рис. 22, а), а умень
шая длительность треугольного импульса – δимпульс (рис. 22, б).
Импульс треугольной формы с одинаковой крутизной фронта
и среза может быть представлен в виде линейнонарастающих функ
ций, как показано на рис. 23.
В данном случае k1 = k2 = k, тогда математическое описание оди
ночного треугольного импульса:
2
1
1
2
31
1
1
31 →12
32 →12
32
2
3
2
31
32
2
3
Рис. 22. Импульсы различной формы: а – трапецеидальной; б – треугольной
49
3
1 2
61
63
52
51
4
1234581
1234581
11
12
1234582
11
1
12
1
123458678761234589
762
Рис. 23. Математическая модель одиночного треугольного импульса:
а – линейнонарастающих функций, формирующих треуголь
ный импульс; б – форма треугольного импульса
x(t) = kt1( t ) − 2k ( t − 0,5t2 )1( t − 0,5t2 ) + k ( t − t2 )1( t − t2 ),
2A
– крутизна фронта, здесь А – амплитуда; t2 – длитель
t2
ность импульса; 1(t) – единичная функция; 1(t – 0,5t2) и 1(t – t2) –
единичные функции, запаздывающие на 0,5t2 и t2 соответственно.
Последовательность симметричных треугольных импульсов по
стоянной длительности t2, следующих через одинаковые интервалы
T, описывается выражением
где k =
x* (t) =
∞
∑ [kn (t − nT)1(t − nT) − 2kn (t − 0,5t2 − nT)1(t − 0,5t2 − nT) +
n=0
+ kn (t − t2 − nT )1(t − t2 − nT ) ].
С учетом того, что t2 = γT, где 0 < γ < 1, выражение приобретает вид
x* (t) =
∞
∑ kn [(t − nT)1(t − nT) − 2(t − (n + 0,5γ)T)1(t − (n + 0,5γ)T) +
n=0
где kn =
50
+ (t − (n + γ )T)1(t − (n + γ )T) ],
x(nT ) 2x(nT ) 2x(nT )
=
=
.
t2
γT
t2
2
В частном случае, когда на входе модулятора сигнал постоянной
амплитуды, например, скачкообразное воздействие заданной ампли
туды, k =
2A 2A
.
=
t2
γT
Модулированная по амплитуде последовательность симметрич
ных треугольных импульсов (рис. 24) имеет особенность, обуслов
ленную следующим: замыкание импульсного элемента происходит
в моменты времени, соответствующие nT, а амплитуда импульса до
стигает этого значения с запаздыванием 0,5t2. Поэтому для синхро
низации моментов получения и передачи соответствующей информа
ции необходимо перед модулятором поставить звено опережения,
а после него – звено запаздывания на τ = 0,5t2 = 0,5γT [1–3].
Для несимметричного треугольного импульса крутизна фронта
и среза различны (рис. 25), что учитывается в математической моде
ли АИМ:
x* (t) =
∞
∑ ⎡⎣k1n ( t − nT )1( t − nT ) − ( k1n + k2n ) ( t − ( n + γ1 )T )1( t − ( n + γ1 )T ) +
n=0
где k1n =
+ k2n ( t − ( n + γ ) T )1( t − ( n + γ ) T ) ⎤⎦ ,
x(nT) x(nT)
x(nT)
x(nT)
t
t
; k2n =
; здесь γ1 = 1 ; γ = 2 ;
=
=
t1
t2 − t1 ( γ − γ1 )T
γ1T
T
T
0 ≤ γ1 ≤ γ; 0 ≤ γ ≤ 1.
В частном случае, когда на входе модулятора сигнал постоянной
амплитуды,
11
1
2
22
32
42
3
Рис. 24. Последовательность симметричных треугольных импульсов
51
11
1
2
22
32
42
3
Рис. 25. Последовательность несимметричных треугольных импульсов
k1n = k1 =
A
A
A
A
=
; k2n = k2 =
=
.
t1 γ1T
t2 − t1 ( γ − γ1 )T
Для синхронизации моментов получения и передачи соответству
ющей информации необходимо перед модулятором поставить звено
опережения, а после него – звено запаздывания на τ = t1 = γ1T.
Частным случаем несимметричного треугольного импульса явля
ется импульс с вертикальным срезом (рис. 26), для которого t1 =
= γT; 0 ≤ γ ≤ 1, а t2 = 0. Для синхронизации моментов получения
и передачи соответствующей информации необходимо перед модуля
тором поставить звено опережения, а после него – звено запаздыва
ния на τ = γT.
11
1
2
22
32
42
3
Рис. 26. Последовательность треугольных импульсов с вертикальным
срезом
52
Математическая модель АИМ в данном случае будет
x* (t) =
∞
∑ k1n [(t − nT)1(t − nT) − (t − (n + γ)T)1(t − (n + γ)T),
n=0
x(nT)
.
γT
Другим вариантом несимметричного треугольного импульса яв
ляется импульс с вертикальным фронтом (рис. 27), для которого t2 =
= γT; 0 ≤ γ ≤ 1, а t1 = 0. В данном случае запаздывание в преобразова
нии сигнала отсутствует.
Математическая модель АИМ в рассматриваемом случае будет
где k1n =
x* (t) =
∞
∑ k2n [1 − (t − nT)1(t − nT) + (t − (n + γ)T)1(t − (n + γ)T),
n=0
где k2n =
x(nT)
.
γT
Математические модели АИМ, формирующих последовательность
модулированных по амплитуде треугольных импульсов, были реа
лизованы с помощью пакета прикладных программ Matlab Simulink.
Необходимость разработки подобных моделей связана с тем, что
существующие современные пакеты программ моделирования не име
ют в своем составе утилит, моделирующих амплитудноимпульсные
модуляторы (даже идеальные). Вместе с тем очевидна потребность
в данных утилитах для формирования более полной и точной мате
11
1
2
22
32
42
3
Рис. 27. Последовательность треугольных импульсов с вертикальным
фронтом
53
матической и вычислительной моделей импульсных систем управле
ния, позволяющих с необходимой степенью достоверности исследо
вать динамические свойства САУ указанного класса.
Структура вычислительной модели показана на рис. 28, а. При
тестировании модели в качестве входного сигнала рассматривалась
синусоида заданной амплитуды и частоты. Амплитудноимпульсный
модулятор состоит из двух функциональных блоков – «блока фор
мирования амплитуды» и «генератора треугольных импульсов еди
ничной амплитуды». Структура генератора треугольных импульсов
единичной амплитуды показана на рис. 28, б.
1
123
345
6789
1
88 2
7
11
18 87
78 8
7
13
2
14
5
4
1
4
5
12423
123
23
5
1
5
15
16
4
6
37
7
Рис. 28. Структурная схема математической модели АИМ, формирую
щего последовательность треугольных импульсов: а – структу
ра вычислительной модели: ГТИ – генератор тактовых импуль
сов, ИВС – источник входного сигнала; б – структура генерато
ра треугольных импульсов единичной амплитуды
54
Работа модели иллюстрируется эпюрами сигналов, показанных
на рис. 29. Входной сигнал поступает на первый блок, в котором
квантуется по времени. Интервал времени квантования, равный пе
риоду следования импульсов на выходе модулятора, определяется
настройками генератора тактовых импульсов (ГТИ).
ГИ воспроизводит математическую модель АИМ, при этом пере
менная t обеспечивается блоком «время», длительность указана
123456 45 789
9
695
21
8
1
2
3
4
8
1
2
3
4
8
1
2
3
8
1
2
8
1
8
1
5
6
7
5
6
7
4
5
6
7
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
1
22
1
23
24
1
1
25
1
26
6
7
1
Рис. 29. Эпюры сигналов математической модели АИМ, формирующего
последовательность треугольных импульсов
55
в блоке ti, по нему рассчитывается время достижения вершины им
пульса (γti) и крутизна фронтов.
Наличие нелинейности типа «ограничение» необходимо для из
влечения полезной составляющей сигнала (положительная полупло
скость). На вход сумматора поступают два сигнала, результатом сло
жения которых является последовательность треугольных импуль
сов единичной амплитуды.
Модулированный сигнал получается перемножением сигналов,
полученных с выхода блока формирования амплитуды u1 и генерато
ра треугольных импульсов единичной амплитуды u2.
Таким образом, разработанная математическая модель АИМ, фор
мирующего последовательность треугольных импульсов, является
универсальной в том смысле, что позволяет моделировать работу
модуляторов с треугольными выходными импульсами различных
видов (симметричными, несимметричными, с вертикальными фрон
том и срезом).
Математическая модель АИМ, преобразующего входной сигнал
в последовательность несимметричных трапецеидальных импульсов
постоянной длительности, следующих через одинаковые интервалы
времени, описывается выражением
x* ( t ) =
∞
∑ ⎡⎣k1n (t − nT )1( t − nT ) − k1n (t − (n + γ1 )T )1( t − ( n + γ1 )T ) −
n =0
−k2n (t − (n + γ 2 )T )1(t − (n + γ 2 )T ) + k2n ( t − ( n + γ )T )1( t − ( n + γ ) T ) ⎤⎦ ,
где k1n =
x(nT) x(nT)
x(nT )
x(nT)
; k2n =
=
=
– коэффициенты кру
t1
t3 − t2 ( γ − γ2 )T
γ1T
тизны фронта и среза импульса соответственно, здесь t1 – длитель
t
t1
t
; γ2 = 2 ; γ = 3 ; 0 ≤
T
T
T
≤ γ1 ≤ γ2; 0 ≤ γ2 ≤ γ; 0 ≤ γ ≤ 1 – относительные длительности фронта
ность фронта; t3 –длительность импульса; γ1 =
∞
и импульса в целом; x(nT) = ∫ x(t)δ(t − nT )dt – величина nго диск
0
ретного значения; δ – задержанная импульсная функция, существу
ющая при t = nT; T – период прерывания, интервал времени между
соседними импульсами.
Из соотношения следуют математические модели для частных
случаев трапецеидальных импульсов:
56
– для симметричных трапецеидальных импульсов:
x* ( t ) =
∞
∑ kn ⎡⎣( t − nT )1( t − nT ) − (t − (n + γ1 )T)1(t − (n + γ1 )T ) −
n =0
−(t − (n + γ 2 )T)1(t − (n + γ2 )T ) + ( t − ( n + γ ) T )1( t − ( n + γ ) T ) ⎤⎦ ,
где kn =
x(nT )
;
γ1T
– для импульсов с вертикальным срезом (t1 = γ1T; t2 = γ 2T; t3 = 0):
x* (t) =
∞
∑ [k1n (t − nT)1(t − nT) −
n=0
− k1n (t − (n + γ1 )T )1(t − (n + γ1 )T ) − H1(t − (n + γ2 )T ) ],
где k1n =
x(nT)
.
γ1T
– для импульсов с вертикальным фронтом (t1 = 0; t2 = γ2T; t3 = γT):
x* (t) =
∞
∑ [ H1(t − nT) − k2n (t − (n + γ2 )T)1(t − (n + γ2 )T) +
n=0
+ k2n (t − (n + γ2 )T )1(t − (n + γ 2 )T )],
где k2n =
x(nT)
.
( γ − γ 2 )T
Математические модели АИМ, формирующих последовательность
модулированных по амплитуде трапецеидальных импульсов, были
реализованы с помощью пакета прикладных программ Matlab Simu
link.
Структура вычислительной модели показана на рис. 30, а. При
тестировании модели в качестве входного сигнала рассматривалась
синусоида заданной амплитуды и частоты. Как следует из рис. 30, а,
амплитудноимпульсный модулятор состоит из двух функциональ
ных блоков – «блока формирования амплитуды» и «генератора тра
пецеидальных импульсов единичной амплитуды». Структура гене
ратора трапецеидальных импульсов единичной амплитуды показана
на рис. 30, б.
57
123
1
345
9
1
6 1
6798
12
1 89
13
6789
6798
2
1
21
3
23
2
2
1
1
1
1
2
1
36789
1
2
Рис. 30. Структурная схема математической модели АИМ, формирую
щего последовательность трапецеидальных импульсов: а –
структура вычислительной модели (обозначение как на рис. 29);
б – структура генератора трапецеидальных импульсов единич
ной амплитуды
Входной сигнал поступает на первый блок, в котором квантуется
по времени (рис. 31). Интервал времени квантования, равный пери
оду следования импульсов на выходе модулятора, определяется на
стройками генератора тактовых импульсов.
58
123456 45 789
9
695
21
8 1
2
3
4
8 1
2
3
4
8 1
2
3
8
1
2
8
1
8
1
5 6
7
5
6
7
4
5
6
7
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
1
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
22
1
23
24
1
1
25
26
27
1
28
5
6
7
1
Рис. 31. Эпюры сигналов математической модели АИМ, формирующего
последовательность трапецеидальных импульсов
ГИ (рис. 30, б) реализован с помощью математической модели им
пульса трапецеидальной формы. Переменная t обеспечивается блоком
«время», длительностью импульса, а также его фронтом и срезом и оп
ределяется исходя из заданных периода Т и коэффициентов g1, g2, g.
59
Таким образом, разработанные математические модели амплитуд
ноимпульсных модуляторов позволяют в полной мере учитывать
влияние как конечной длительности замыкания импульсного эле
мента, так и формы импульса на выходе АИМ, что крайне важно для
всестороннего и достоверного исследования дискретных и дискретно
непрерывных систем управления.
§ 10. Исследование влияния формы
и параметров импульсов, формируемых АИМ,
на динамические свойства САУ
Рассмотрим влияние формы импульсов, формируемых модулято
ром (преобразователем, реализованным на микропроцессоре), на ди
намические свойства системы управления в целом.
Импульсы, формируемые различными по схемотехническим ре
шениям амплитудноимпульсными модуляторами, имеют форму,
в большей или меньшей степени отличную от идеальной, что связано
с инерционностью полупроводниковых элементов (в том числе и микро
схем), на которых реализуется модулятор. Таким образом, импульс
на выходе реального АИМ при малых значениях времени замыкания
будет близок к треугольнику.
В качестве примера рассмотрим систему, непрерывная часть кото
рой имеет передаточную функцию
W ( p) =
k
,
p(Tp + 1)
где коэффициент передачи и постоянная времени имеют следующие
числовые значения: в первом случае – k = 500, T = 0,9 с; во втором
случае – k = 2000, T = 0,09 с. Полагаем, что модулятор формирует
последовательность симметричных треугольных импульсов с перио
дом квантования 0,01 с.
Динамические свойства системы исследовались для различных
значений ti, характеризующих крутизну фронта и среза импульса,
т. е. степень отклонения его формы от δфункции (идеальной мате
матической модели АИМ).
Результаты математического моделирования показаны на рис. 32.
Из приведенных графиков видно, что отклонение формы импульса
от идеальной, моделируемой идеальным АИМ, существенно сказы
вается на качестве переходного процесса.
60
1
2 12344
3412456
758
7
45
45
45
458
42222222222 27222222 2222282222222 222292222222222 2
2222222 222322222222 2222552
123456789
2713789618 478245444432
123456789
2713789618 478245444772
123456789
2713789618 478245444782
123456789
2713789618 478245444792
2 128444
34124546
1
7
45
45
45
458
4222222222457
45822222 459222222245
245322222222452222222245 552
123456789
2713789618 478245444432
123456789
2713789618 478245444772
123456789
2713789618 478245444782
123456789
2713789618 478245444792
Рис. 32. Переходные процессы в САУ с АИМ, формирующим последова
тельность симметричных треугольных импульсов: а – при k = 500,
Т = 0,9 с; б – при k = 2000, Т = 0,09 с
В табл. 4, 5 представлены количественные оценки качественных
параметров, характеризующие динамические свойства САУ. Как по
казывает проведенный анализ, с увеличением ti возрастает перерегу
лирование САУ с одновременным увеличением быстродействия, что
полностью согласуется с основами физики функционирования рас
61
Таблица 4. Показатели качества переходных процессов в САУ
при k = 500, T = 0,9
Форма импульса
Треугольный
импульс
ti, с
tпп, с
tпп%, %
s, %
s%, %
tд, с
tд%, с
0,00005
4,75
0
33
0
1,21
0
0,00011
4,56
–4
34,9
+1,43
1,14
–5,78
0,00012
4,43
–6,73
36
+2,26
1,09
–9,92
0,00013
4,22
–14,74
38
+3,76
1,03
–14,87
Таблица 5. Показатели качества переходных процессов в САУ
при k = 2000, T = 0,09
Форма импульса
Треугольный
импульс
ti, с
tпп, с
0,00005
0,5
tпп%, %
s, %
s%, %
tд, с
tд%, с
0
14,5
0
0,231
0
0,00011 0,475
–5
16
+1,31
0,215
–6,92
0,00012 0,459
–8,2
17,2
+2,35
0,205 –11,25
0,00013 0,435
–13
19,2
+2,45
0,19
–17,75
сматриваемой системы, равно как и с основными положениями тео
рии импульсных и дискретных систем управления.
Известно, что импульсы, формируемые различными по схемотех
ническим решениям амплитудноимпульсными модуляторами, име
ют форму, в большей или меньшей степени отличную от прямоуголь
ной, что связано с инерционностью полупроводниковых элементов
(в том числе и микросхем), на которых реализуется модулятор. Таким
образом, импульс на выходе реального АИМ с конечной длительнос
тью замыкания импульсного элемента будет близок к трапеции.
В качестве примера рассмотрим систему, непрерывная часть кото
рой имеет передаточную функцию
W ( p) =
k
,
p(Tp + 1)
где коэффициент передачи и постоянная времени имеют следующие
числовые значения: в первом случае – k = 100, Т = 0,01 с; во втором
случае – k = 100, Т = 0,1 с. Полагаем, что модулятор формирует пос
ледовательность симметричных импульсов трапецеидальной формы
с периодом квантования 0,01 с и длительностью ti = 0,0095 с.
Результаты математического моделирования представлены на
рис. 33. Из приведенных графиков видно, что отклонение формы им
пульса от прямоугольной, моделируемой идеальным АИМ с экстра
62
1
356
2 12344
34124543
3
459
458
457
456
242224546222454722245482224549222453224536224537224538224539222456 552
123 456789
2758 2
268 268285 5522
2
268 268285 552342
2
268 268285 55232
1
358
357
356
3
459
458
457
2 12344
3412453
456
24222222245622222245722222245822222224592222223222222235622222235722222235822552
123 456789
2758 2
268 268285 5522
2
268 268285 552342
2
268 268285 55232
Рис. 33. Переходные процессы в САУ с АИМ, формирующим последова
тельность симметричных трапецеидальных импульсов: а – при
k = 100, Т = 0,01 с; б – при k = 100, Т = 0,1 с
полятором нулевого порядка, существенно сказывается на качестве
переходного процесса.
В табл. 6, 7 даны количественные оценки качественных парамет
ров, характеризующие динамические свойства САУ. Как показыва
ет проведенный анализ, с увеличением ti% (параметр, характеризую
63
Таблица 7. Показатели качества переходных процессов в САУ
при k = 100, Т = 0,1
Форма импульса
Прямоугольный
импульс
Трапециевидный
импульс
ti%, с
tпп, с
tпп%, %
s, %
s%, %
tд, с
tд%, с
0
0,115
0
40
0
0,0205
0
5
0,111
–3,47
37
–2,14 0,0215 +4,87
10
0.093 –19,13
34,2
–4,14 0,0225 +9,75
15
0,091
31,5
–6,07 0,0235 +14,63
20,86
Таблица 6. Показатели качества переходных процессов в САУ
при k = 100, Т = 0,01
Форма импульса
Прямоугольный
импульс
Трапециевидный
импульс
ti%, с
tпп, с
tпп%, %
s, %
s%, %
tд, с
tд%, с
0
1,04
0
75,2
0
0,054
0
5
0,99
–4,8
73,9
–0,74
0,056
+3,7
10
0,975
–6,25
72,5
–1,54
0,058
+7,4
15
0,92
–11,53
70,9
–2,45
0,06
+11,1
щий степень отклонения формы импульса от прямоугольника) умень
шается перерегулирование и быстродействие САУ, что полностью
согласуется с основами физики функционирования рассматриваемой
системы, так же, как и с основными положениями теории импульс
ных и дискретных систем управления.
§ 11. Математические модели
широтно- и частотно-импульсных модуляторов
Амплитудноимпульсные модуляторы являются линейными в том
смысле, что входной и выходной сигналы подчинены принципу су
перпозиции, в то время как широтноимпульсный (ШИМ) и частот
ноимпульсный модуляторы необходимо рассматривать как нелиней
ные элементы, для которых принцип суперпозиции неприменим.
Так, для импульсного элемента с ШИМ состояние САУ в конце
периода квантования является суммой вектора, зависящего от со
стояния системы в начале периода и вектора, длина и направление
которого – нелинейные функции ширины импульса.
Полагаем, что ШИМ генерирует последовательность прямоуголь
ных импульсов постоянной амплитуды A = const, знак которых со
64
впадает со знаком квантуемого сигнала. Тогда для nго периода регу
лирования сигнал на выходе модулятора описывается следующим
образом [19, 22]:
⎧⎪ Asignxn , nT ≤ t ≤ nT + Tjn
x∗ ( t ) = ⎨
,
⎪⎩ 0, nT + Tjn < t < ( n + 1) T
(8)
где T – период квантования; Tj – длительность jго импульса; Tjn =
= kjT – ширина jго импульса, когда nT ≤ t ≤ (n + 1)T, здесь kj изменя
ется в пределах от 0 до 1.
Из соотношения (8) следует, что система с широтноимпульсным
модулятором обладает двумя видами нелинейностей: нелинейностью,
обусловленной ограничением максимальной ширины импульса,
и нелинейностью, свойственной самому принципу управления в САУ
с ШИМ.
Поскольку модулятор формирует последовательность прямоуголь
ных импульсов постоянной амплитуды A, то систему уравнений (8),
описывающую сигнал x*(t), вид которого показан на рис. 16, г, мож
но записать в виде одного уравнения вида
∞
(
)
x∗ ( t ) = A ∑ signxn ⎡1( t − nT ) − 1 t − ( nT + Tjn ) ⎤ ,
⎣
⎦
n=0
(9)
где signxn – знак сигнала x(t) на входе модулятора в моменты кванто
вания.
С учетом соотношения Tjn = kjT, связывающего ширину jго им
пульса с длительностью периода квантования T, формула (9) прини
мает вид
∞
(
)
x∗ ( t ) = A ∑ signxn ⎡1( t − nT ) − 1 t − ( n + kj )T ⎤ .
⎣
⎦
n=0
Моделирование систем управления с ШИМ осложняется тем, что
пакеты прикладных программ, например, Matlab Simulink, рассмат
ривают ШИМ как блок, не раскрывая его внутреннего содержания,
что не позволяет определить, какой закон модуляции воспроизводит
система.
На рис. 34 показана структурная схема модели ШИМ [22], кото
рая может быть легко создана в пакете Matlab Simulink.
Эпюры сигналов, поясняющие работу модели ШИМ, показаны на
рис. 35. Период следования импульсов на выходе ШИМ равен перио
65
3122
41 1223
1122
4
411223 4 3122
5
11122
12
56789 1 2
6
Рис. 34. Структурная схема модели ШИМ
ду входного напряжения пилообразной формы, амплитуда которого
должна быть больше максимально возможного значения сигнала на
входе модулятора. Входной сигнал поступает на блоки, определяю
щие его модуль и знак. Определение модуля необходимо, поскольку
напряжение пилообразной формы имеет только положительную по
лярность. Блок, определяющий знак входного сигнала, построен на
основе нелинейной характеристики вида «релейная характеристика
с зоной нечувствительности». Зона нечувствительности введена
в модель для того, чтобы исключить возможность появления сигна
ла на выходе ШИМ по окончании переходного процесса, т. е. когда
значение входного сигнала станет меньше 5 % отклонения от уста
новившейся величины.
Разность модуля входного сигнала и пилообразного напряжения
поступает на релейную характеристику, на выходе которой сигнал
будет только в том случае, когда разность |x(t)| – f(t) будет больше
нуля. В результате на выходе нелинейности напряжение положи
тельной полярности сохраняется до тех пор, пока |x(t)| превышает
f(t). Таким образом, формируется импульс постоянной амплитуды
и переменной длительности (ширины).
Для того, чтобы знак импульса соответствовал знаку сигнала на
входе ШИМ, в схему включен умножитель.
Системы управления, содержащие частотноимпульсные модуля
торы (ЧИМ), являются непериодическими и существенно нелиней
66
1122
3122
41122
11229
3122
12
34567 1 28
11122
Рис. 35. Эпюры сигналов модели ШИМ
ными (подобно релейным и релейноимпульсным САУ). Во многих
режимах САУ с ЧИМ не допускают линеаризацию даже при малых
глубинах модуляции [23], что существенно осложняет решение за
дачи синтеза параметров подобных систем.
67
Будем полагать, что сигнал на выходе модулятора представляет
собой последовательность прямоугольных импульсов амплитуды
A = const, период следования которых Tn зависит от сигнала на входе
ЧИМ (рис. 16, д). Сигнал на выходе ЧИМ может быть в общем виде
описан следующим выражением:
∞
x∗ ( t ) = A ∑ signx (Tn ) ⎡⎣1( t − Tn ) − 1( t − Tn − τ ) ⎤⎦ ,
n=0
где τ – длительность импульса на выходе модулятора; Tn – период
следования импульсов на выходе модулятора, величина которого
зависит от сигнала x(t) на входе модулятора.
§ 12. Аналоговое моделирование
Аналоговое моделирование основывается на реализации матема
тической модели с использованием средств микроэлектроники, вос
производящих все необходимые передаточные функции и нелиней
ные характеристики элементов моделируемой системы.
Базовый элемент аналоговой модели – усилитель постоянного тока
(УПТ), обладающий высоким коэффициентом усиления по напряже
нию и инверсной характеристикой Uвых (Uвх), принципиальная схе
ма которого показана на рис. 36.
313122
13122
112122
43122
412122
315122
15122
45122
6
7
44
312122
12122
42122
34122
5
84
Рис. 36. Электрическая принципиальная схема УПТ: (⋅)a с потенциалом
ea – вход УПТ, (⋅)b – выход УПТ, (⋅)c – шина с общим потенциалом,
Z1(p) ... Zn(p) – комплексные сопротивления, Zoc(p) – импеданс обрат
ной связи, Ry – входное сопротивление УПТ, Ux1(p), Ux2(p), Uxn(p) –
изображения входных напряжений, подаваемых относительно (⋅)c;
Uy(p) – изображение напряжения на выходе УТП; I1(p), I2(p), …, In(p) –
изображения токов, протекающих по импедансам входных цепей
68
Величина Rу при использовании операционных усилителей со
ставляет единицы и десятки Моле, поэтому ток утечки Iу можно при
нять равным нулю.
Запишем закон Кирхгофа для (⋅)a:
n
∑ Ii ( p) = Ioc ( p) + Iy ( p),
i =1
либо, в соответствии с принятым выше допущением (Iy = 0):
n
∑ Ii ( p) = Ioc ( p),
i =1
где Ioc ( p) =
la ( p) − Uy ( p)
Zoc ( p)
.
Так как обратная связь отрицательная, то
Uy ( p) = − Kea ( p),
здесь K – коэффициент усиления УПТ, тогда получаем следующее:
n
∑
i =1
Ui ( p) +
Uy ( p)
Zi ( p)
K
=
−Uy ( p) −
Uy ( p)
Zoc ( p)
K
,
так как обычно для микросхем K = 104...108, то можно положить,
что есть K → ∞, в результате
n
Ui ( p)
.
i =1 Zi ( p)
Uy ( p) = − Zoc ( p)∑
При построении схем аналоговых моделей необходимо учитывать
следующее:
1) максимальное значение напряжения выхода УТП при реализа
ции на операционных усилителях составляет (10…15) В, что приво
дит к необходимости масштабирования переменных;
2) операционные усилители имеют дрейф нуля выходного напря
жения, т. е. на выходе усилителя может быть напряжение, отличное
от нуля при нулевом входном сигнале, что особенно сильно сказыва
ется при реализации интеграторов;
3) операционные усилители обладают определенной инерцион
ностью, т. е. напряжение на выходе появляется с некоторым вре
69
1
1
τ
11
11
11
1
τ
11
1
2
Рис. 37. Диаграмма инерционности
УПТ
ω
2
Δϕ = ωτ
Рис. 38. Фазовый сдвиг, вносимый
в модель УПТ
менным запаздываем τ, что показано на рис. 37. Эту особенность не
обходимо учитывать при моделировании быстропротекающих про
цессов;
4) операционные усилители обладают определенным частотным
диапазоном, что может вносить фазовый сдвиг (см. рис. 38), кото
рый должен учитываться при построении аналоговой модели.
Масштабирование физических переменных
Любая математическая операция, реализуемая при аналоговом
моделировании, отображает связи между напряжениями отдельных
блоков и временем. Переход от реальных физических переменных
к переменным модели осуществляется в соответствии с выражением
<физическая переменная> = mфп<переменная модели>.
Таким образом, численные значения масштабов определяются
соотношением
mфп ≥
< физическая переменная > max
.
< переменная модели > max
Знак неравенства в данном соотношении применим в следующих
случаях:
1) когда максимальное значение машинных переменных требует
ся ограничить;
2) когда максимальное значение физических переменных опреде
лено приближенно.
Преобразования независимых переменных осуществляется в со
ответствии с соотношением
70
1
t = mt τ,
123
где t – реальное время протека
ния процессов, τ – время проте
11234
кания процессов при моделиро
вании, mt – масштаб времени,
24
113
324
которым задается темп модели
рования.
Если mt < 1, то происходит
замедление моделируемого про
цесса по отношению к реально
му; если mt > 1, то процессы, Рис. 39. Нелинейная статическая ха
рактеристика УПТ
воспроизводимые при модели
ровании, протекают быстрее,
чем в реальности. Большинство исследований при аналоговом моде
лировании проводятся при mt = 1, т. е. в реальном времени.
Перечислим правила выбора масштабов, которые необходимо со
блюдать при построении аналоговых моделей.
1. В процессе моделирования напряжение на выходах УПТ не долж
но достигать максимального значения, поскольку в этом случае мо
дель будет вносить дополнительные нелинейные эффекты в виде ог
раничения сигналов, что будет сказываться на результатах модели
рования. Избежать этого позволяет перераспределение масштабов
переменных, которое проводится таким образом, чтобы работа всех
элементов аналоговой модели проходила на линейных участках ха
рактеристик ее отдельных звеньев, т. е. |Uвх| ≤ |xп|.
Согласование пропорциональных участков отдельных звеньев
аналоговой модели (см. рис. 39) должно осуществляться таким об
разом, чтобы насыщение всех элементов происходило одновременно,
т. е. должно выполняться следующее условие:
xп1 ≥
xп2
K1
≥
xп3
K1K2
≥ ... ≥
xпi
K1K2 ⋅ ... ⋅ Ki−1
.
2. Масштабирование переменных в отдельно взятом контуре при
водит к умножению исходного коэффициента передачи контура на mt
в степени, которая определяется числом интегрирующих звеньев, ре
ализуемых в модели. При mt = 1 масштабирование не изменяет коэф
фициента передачи контура, что служит проверкой правильности рас
чета масштабов.
3. При изменении масштабов времени происходит изменение мас
штаба оси частот частотных характеристик модели mt раз.
71
§ 13. Примеры построения аналоговых моделей
Пример 1. Пусть штанга совершает поступательные движения y
в результате независимых перемещений двух штоков x1 и x2. Мнемо
ническая модель рассматриваемой системы показана на рис. 40.
Полагаем, что перемещения x1 и x2 малы, поэтому систему можно
рассматривать как линейную, к которой применим принцип супер
позиции
y = K1x1 + K2x2 ,
где K1,2 – коэффициенты перемещений, таким образом, получаем
структуру, показанную на рис. 41.
Из структурной схемы видно, что аналоговая модель может быть
построена в виде суммирующего блока на базе УПТ:
n
Ui ( p)
,
i =1 Zi ( p)
Uy ( p) = − Zoc ( p)∑
где Zi ( p) = Ri , Zoc ( p) = R0 .
В результате получаем
Uy = −(a1Ux1 + a2Ux2 ),
где a1 =
R0
R
, a2 = 0 .
R1
R2
12
2
11
Рис. 40. Мнемоническая модель механической системы
11
12
31
2
32
Рис. 41. Структурная схема математической модели
72
Далее требуется провести масштабирование переменных:
y = myUy , x1 = mxUx1 , x2 = mxUx2 .
В результате
myUy = K1mxUx1 + K2mxUx2 ,
либо
Uy =
где
(
)
mx
K1Ux1 + K2Ux2 ,
my
Ry
mx
R
R
=K=
; K1 = oc ; K2 = oc .
my
R3
R1
R2
На основе полученного соотношения разработана принципиаль
ная электрическая схема аналоговой модели, показанная на рис. 42.
После того, как модель рассчитана и собрана на соответствующей
элементной базе, необходимо осуществить настройку требуемых зна
чений коэффициентов передачи либо способом прямого измерения,
либо методом компенсационного измерения с использованием источ
ников эталонных напряжений.
Необходимость этого связана с тем, что резисторы входных цепей
и цепей обратной связи имеют отклонения от номинального значе
ния (за исключением прецизионных).
Пример 2. Аналоговая модель, воспроизводящая движение тела,
может быть построена на основе интегрирующего блока. В этом случае
Z1 ( p ) = R; Zoc ( p ) =
1
,
Cp
тогда принципиальная электрическая схема приобретает вид, пока
занный на рис. 43.
322
15
321
14
112
11
231
13
31
Рис. 42. Принципиальная электрическая схема модели
73
2
3
2
11
12
Рис. 43. Аналоговая модель, построенная на основе интегратора
При настройке модели следует иметь в виду, что емкость интегра
тора необходимо шунтировать резистором R, в результате чего обра
зуется апериодичное звено, напряжение на выходе которого при еди
ничном коэффициенте усиления должен быть равно входному, а по
стоянная времени должна соответствовать требуемой постоянной
времени интегратора τ, что показано на рис. 44.
Пример 3. Аналоговая модель, воспроизводящая скорость вра
щения вала механического или электромеханического устройства,
может быть построена на основе дифференцирующего блока. В этом
случае
Z1 ( p) =
1
; Zoc ( p) = R,
Cp
тогда модель будет воспроизводить дифференциальное уравнение вида
dϕ
K,
dt
при этом входное напряжение соответствует углу поворота вала,
а напряжение на выходе модели – угловой скорости вращения. В ре
ω=
1
τ
1
123
1
13
1234113
2
Рис. 44. Экспериментальное определение постоянной времени процесса
74
зультате схема модели, показанная на рис. 45, соответствует схеме
дифференциатора, построенного на основе интегрального операци
онного усилителя.
При построении моделей сложных систем число дифференциато
ров, входящих в состав модели, стараются максимально уменьшить.
Это связано с тем, что дифференцированию будет подвергаться не
только полезная составляющая сигнала, но и помехи, поскольку
любой сигнал в той или иной мере оказывается зашумленным. Как
правило, частота помех во много раз превосходит частотный диапа
зон полезного сигнала, что приводит к резкому росту амплитуд по
мех после дифференцирования. Следовательно, после каждого диф
ференциатора удельный вес помех в информационном сигнале будет
все возрастать, что, в конечном счете, приведет к потере информаци
онной составляющей, т. е. модель окажется не пригодной для иссле
дований моделируемых процессов.
Пример 4. Достаточно часто при решении задач моделирования
приходится иметь дело с системами, в которых присутствует запаз
дывание, т. е. имеются звенья, передаточная функция которых
W ( p) = e −τp,
а процесс во временной области имеет вид, показанный на рис. 46.
При моделировании данного звена в аналоговых моделях исполь
зуется его приближенная аппроксимация функциональным рядом
следующего вида:
e −τp =
α0 − α1τp + ... + (−1)k (τp)k
,
α0 + α1τp + ... + ( τp)k
который называется рядом Паде.
3
11
2
12
Рис. 45. Аналоговая модель, построенная на основе дифференциатора
75
1
Как правило, приближен
ная аппроксимация учитыва
ет два или три члена ряда, при
этом амплитудночастотная
характеристика (АФЧХ) звена
запаздывания, аппроксимиро
ванного рядом Паде, воспроиз
водится без искажений.
Допустим, что звено запаз
дывания аппроксимируется
рядом Паде с удержанием двух
членов, т. е.
123
2
τ
Рис. 46. Процесс на выходе звена за
паздывания
W ( p) =
α0 − α1τp
,
α0 + α1τp
где α0 = 1, α1 = 0,5.
Определим амплитудночастотную и фазочастотную характери
стики рассматриваемой аппроксимирующей передаточной функции,
которая при переходе в частотную область будет иметь вид
W ( jω) =
=
где U =
α20 − α12 τ2 ω2
α20
+ α12 τ2ω2
α0 − α1τjω α0 − α1τjω α0 − α1 τjω
=
⋅
=
α0 + α1τjω α0 + α1τjω α0 − α1 τjω
α20 − 2α0 α1τjω − α12 τ2 ω2
α20 + α12 τ2 ω2
; V =−
2α0 α1τω
α20
+ α12 τ2 ω2
= U + jV ,
.
Тогда амплитудночастотная характеристика:
W ( jw) = U2 (w) + V 2 ( w ) = 1,
а фазочастотная характеристика:
ϕ(ω) = arctg
⎛ 2α α τω ⎞
V (ω)
= −arctg ⎜ 2 0 21 2 2 ⎟.
⎜ α −α τ ω ⎟
U(ω)
1
⎝ 0
⎠
Схемная реализация звена запаздывания осуществляется по кас
кадному принципу последовательного соединения отдельных элемен
76
21
1
13
31
22
1
123
32
Рис. 47. Принципиальная электрическая схема элементарного звена ана
логовой модели, воспроизводящей чистое запаздывание
тарных звеньев, принципиальная электрическая схема которых по
казана на рис. 47.
Передаточная функция элементарного звена (см. рис. 47) имеет
вид
W1 ( p) =
τp
.
1
1 2 2
1 + τp + τ p
2
12
Тогда передаточная функция звена запаздывания с любой доста
точной для инженерных расчетов степенью точности, воспроизводи
мая в виде аналоговой модели как последовательного соединения
элементарных звеньев, будет
W2 ( p) = (1 − W1 ( p))n .
§ 14. Реализация кусочно-линейных характеристик
в виде аналоговых моделей
Кусочно-линейные модели, построенные на основе диодно-резистивной ячейки
С целью унификации решения задачи моделирования нелиней
ных звеньев систем управления, аппроксимированных кусочноли
нейно, все типовые кусочнолинейные характеристики могут быть
реализованы на основе диоднорезистивной ячейки (ДРЯ), представ
ляющей собой нелинейное звено, статическая характеристика кото
77
рого зависит от величины входного и опорного напряжений. Элект
рическая схема ДРЯ показана на рис. 48.
В дальнейшем при построении схем аналоговых моделей кусочно
линейных характеристик будем использовать условное обозначение
«ДРЯ», показанное на рис. 49.
1211
1
342
52
123
1243
343
53
1611
1211
2
53
342
52
123
1243
343
52
53
1611
Рис. 48. Принципиальная электрическая схема ДРЯ: а – с делителем на
пряжения на переменном резисторе; б – с делителем напряжения
на сопротивлениях
78
1112
С помощью ДРЯ могут быть полу
чены аналоговые модели кусочноли
нейных характеристик, представлен
ные в табл. 8, где показаны знаки 12
11
опорных напряжений Uaоп и Ubоп,
обеспечивающие воспроизведение со
ответствующей характеристики.
1. Если на диоды подаются опорные
1212
напряжения положительной полярно
сти, то VD1 будет открыт, а VD2 – за Рис. 49. Условное обозначение
перт. В результате, при отсутствии
ДРЯ
входного сигнала на выходе ДРЯ бу
дет величина напряжения, соответствующая опорному (при рассмот
рении работы ДРЯ падением напряжения на открытых диодах будем
пренебрегать). При положительном входном сигнале на выходе ДРЯ
будет положительное напряжение больше, чем входное на величину
опорного. При отрицательной полярности входного сигнала напря
жение на выходе ДРЯ станет отрицательным в том случае, если вход
ной сигнал по величине будет больше опорного. В результате будет
воспроизводиться характеристика 1 табл. 8.
Таблица 8. Линейные и нелинейные статические характеристики, мо
делируемые с помощью ДРЯ
3512
3412
1
2
31
1
4
31
3
32
7
32
31
31
1
8
2
2
1
9
31
32
5
32
6
32
31
32
31
31
32
32
31
32
79
Если полярность опорного напряжения будет отрицательной,
то VD1 будет заперт, а VD2 – открыт. В результате, при отсутствии
входного сигнала на выходе ДРЯ будет величина напряжения, со
ответствующая опорному. При отрицательном входном сигнале
на выходе ДРЯ будет отрицательное напряжение больше, чем вход
ное на величину опорного. При положительной полярности вход
ного сигнала напряжение на выходе ДРЯ станет положительным
в том случае, если входной сигнал по величине будет больше опор
ного. В результате будет воспроизводиться характеристика 9
табл. 8.
2. Если опорные напряжения равны нулю, то ДРЯ реализует ли
нейную характеристику 5 табл. 8, коэффициент передачи которой
будет определяться сопротивлениями резисторов.
3. Если Uaоп = 0, а Ubоп > 0, то диод VD2 будет заперт, а VD1 –
открыт. Поэтому при входном сигнале положительной полярности
сигнал на выходе ДРЯ будет иметь ту же полярность. Если сигнал на
входе ДРЯ имеет отрицательную полярность, то до тех пор, пока он
не превысит значение запирающего диод VD2 опорного напряжения
Ubоп, на выходе ДРЯ напряжение будет отсутствовать. Если же Ux ста
нет больше Ubоп, то сигнал на выходе ДРЯ будет зависеть от проводи
мости диоднорезистивной ячейки, которая будет определяться резис
тором, последовательно соединенным с открытым диодом. В резуль
тате будет иметь место характеристика 2 табл. 8.
4. Если Uaоп < 0, Ubоп = 0, то диод VD1 будет заперт, а VD2 – открыт.
Тогда при отрицательном входном сигнале на выходе ДРЯ будет на
пряжение той же отрицательной полярности. При положительном
входном сигнале, если |Ux| < |Uaоп|, напряжение на выходе ДРЯ равно
нулю, а при |Ux| > |Uaоп| сигнал на выходе ДРЯ будет иметь положи
тельную полярность. В результате ДРЯ будет воспроизводить нели
нейную характеристику вида «несимметричная зона нечувствитель
ности» (характеристика 6 табл. 8).
5. Если Uaоп > 0, Ubоп = 0, то диоды VD1 и VD2 будут открыты,
причем VD2 открыт пассивно. В результате при отсутствии входного
сигнала на выходе ДРЯ будет величина напряжения, соответствую
щая опорному Uaоп. При положительной полярности входного сиг
нала на выходе ДРЯ будет напряжение больше, чем входное на ве
личину опорного. При отрицательной полярности входного сигнала
напряжение на выходе ДРЯ уменьшается до нуля, а затем меняет
полярность с положительной на отрицательную. Момент изменения
полярности зависит от проводимости ДРЯ, т. е. определяется сопро
тивлением последовательного соединения резисторов и диодов. Та
80
ким образом реализуется характеристика вида «переменный коэф
фициент усиления» (характеристика 4 табл. 8).
6. Если Ubоп < 0, Uaоп = 0, то диоды VD1 и VD2 будут открыты,
причем VD1 открыт пассивно. В результате при отсутствии входного
сигнала на выходе ДРЯ будет величина напряжения, соответствую
щая опорному Ubоп. При отрицательной полярности входного сигна
ла на выходе ДРЯ будет напряжение больше, чем входное на вели
чину опорного. При положительной полярности входного сигнала
напряжение на выходе ДРЯ уменьшается до нуля, а затем меняет
полярность с отрицательной на положительную. Момент изменения
полярности зависит от проводимости ДРЯ, т. е. определяется сопро
тивлением последовательного соединения резисторов и диодов. Та
ким образом реализуется характеристика вида «переменный коэф
фициент усиления» (характеристика 8 табл. 8).
7. Если Ubоп < 0, Uaоп > 0, тогда оба диода будут открыты. В том
случае, когда |Uaоп| = |Ubоп|, ДРЯ реализует симметричную нелиней
ную характеристику вида «переменный коэффициент усиления»,
проходящую через начало координат (характеристика 7 табл. 8).
Если же |Uaоп| ≠ |Ubоп|, то нелинейная характеристика будет смещена
относительно начала координат.
8. Наиболее часто на практике используется следующее сочета
ние полярностей опорных напряжений: Ubоп > 0, Uaоп < 0, тогда оба
диода будут заперты. При |Ux| < |Uоп| напряжение на выходе ДРЯ бу
дет равным нулю; если же |Ux| > |Uоп|, то сопротивления диодов (одно
го из них) станет равным нулю и проводимость диоднорезистивной
ячейки будет определяться резистором, последовательно соединен
ным с открытым диодом. Если |Uaоп| = |Ubоп|, то нелинейная характе
ристика вида «зона нечувствительности» будет симметрична отно
сительно оси ординат (характеристика 3 табл. 8).
Для получения более сложных нелинейных характеристик ДРЯ
может соединяться с активным элементом, в качестве которого выс
тупает усилитель постоянного тока, обычно реализуемый на опера
ционном усилителе (ОУ). Причем ДРЯ может стоять как в прямой
цепи, так и в цепи обратной связи (см. рис. 50), что дает возможность
реализации однозначных нелинейных характеристик, представлен
ных в табл. 9.
Рассмотрим работу схем при моделировании нелинейных харак
теристик, показанных в табл. 9.
Характеристика 2: если напряжение на входе ОУ равно нулю, то
напряжение на его выходе изза дрейфа нулю имеет малое значение.
Сопротивление ДРЯ стремится к бесконечности, поэтому в области
81
112
13
2123
Рис. 50. Включение ДРЯ в цепи ОУ
Таблица 9. Нелинейные характеристики, моделируемые с помощью УПТ
и ДРЯ
13
112
5
1123
6
113
9
23
0
1123
1123
113
57
82
53
1123
113
8 21213
1123
11 4
2 0
113
22 1123U
оп2 =
=
U
⋅
K
вх
2
24
113
113
4
114 23 213
31142
24
1123
55
113
58
59
1123
23 213 1
142
113
113
31143 1143
323
1142
1123
α≠0
23 1123
113 22 →
3114
113
7
1123
114
1123
56
113
1123
113
1123
113
1123
113
5
1123
113
нулевых входных напряжений коэффициент усиления ОУ стремится
к бесконечности. Таким образом, напряжение на выходе схемы само
произвольно возрастает до тех пор, пока не произойдет отпирание
одного из диодов ДРЯ, т. е. до значения опорного напряжения. Пос
ле этого суммарное сопротивление цепи обратной связи будет
RОС = RДРЯ + R,
в результате коэффициент усиления схемы
K=
RОС
= const.
R1
Характеристика 3: если входное напряжение схемы таково, что
напряжение на выходе не достаточно для отпирания одного из дио
дов ДРЯ, то сопротивление ДРЯ стремится к бесконечности, а сум
марное сопротивление цепи ОС будет равно R. Таким образом, коэф
фициент усиления схемы на данном участке является величиной по
стоянной. Когда напряжение на входе достигает значения, которому
соответствует напряжение на выходе схемы, достаточное для отпи
рания одного из диодов ДРЯ, то сопротивление ДРЯ резко падает
(в идеальном случае – до нуля), следовательно, также резко падает
суммарное сопротивление цепи ОС. При этом можно полагать, что
коэффициент усиления схемы будет близок к нулю. В результате вос
производится нелинейная характеристика вида «ограничение» («на
сыщение»).
Характеристика 4: если напряжение на входе ОУ равно нулю, то
напряжение на его выходе изза дрейфа нулю имеет малое значение.
Сопротивление ДРЯ стремится к бесконечности, поэтому в области
нулевых входных напряжений коэффициент усиления ОУ стремится
к бесконечности. Таким образом, напряжение на выходе схемы само
произвольно возрастает до тех пор, пока не произойдет отпирание
одного из диодов ДРЯ, т. е. до значения опорного напряжения. Пос
ле этого сопротивление ДРЯ, которое в данном случае совпадает
с сопротивлением ОС, резко падает (в идеальном случае – до нуля).
При этом коэффициент усиления схемы будет близок к нулю. В ре
зультате напряжение на выходе схемы будет иметь значение опорно
го напряжения ДРЯ, т. е. воспроизводится релейная характеристи
ка. Аналогичные характеристики (8, 12, 16 табл. 8) получаются при
наличии ДРЯ в цепи ОС и любых комбинациях входных элементов
(последовательное включение ДРЯ с резистором, параллельное вклю
чение ДРЯ с резистором, включение ДРЯ на входе).
83
Характеристика 5: поскольку ДРЯ стоит в цепи входного сигна
ла, то до тех пор, пока напряжение на входе не превысит опорное,
напряжение на выходе схемы будет равно нулю. Когда напряжение
на входе станет больше опорного, коэффициент усиления схемы бу
дет определяться отношением величины резистора цепи ОС к вход
ному сопротивлению, равному сумме сопротивлений входного рези
стора и сопротивлению ДРЯ при открытом диоде. Таким образом,
схема позволяет воспроизводить нелинейную характеристику вида
«зона нечувствительности».
Характеристика 6: если напряжение на входе ОУ равно нулю, то
напряжение на его выходе изза дрейфа нулю имеет малое значение.
Сопротивление ДРЯ стремится к бесконечности, поэтому в области
нулевых входных напряжений коэффициент усиления ОУ стремится
к бесконечности. Таким образом, напряжение на выходе схемы само
произвольно возрастает до тех пор, пока не произойдет отпирание
одного из диодов ДРЯ, стоящей в цепи ОС (ДРЯОС), т. е. до значения
опорного напряжения. После этого сопротивление ДРЯОС резко па
дает (в идеальном случае – до нуля). При этом коэффициент усиле
ния схемы будет близок к нулю. В результате напряжение на выходе
схемы будет иметь значение опорного напряжения ДРЯОС. Данное
значение напряжения на выходе схемы сохраняется до тех пор, пока
входное напряжение не превысит значение опорного напряжения
ДРЯ, стоящей в цепи входного сигнала (ДРЯВХ), после чего один из
диодов ДРЯВХ открывается и коэффициент усиления схемы будет
K=
RДРЯОС + RОС
RДРЯВХ + RВХ
= const.
Характеристика 7: поскольку ДРЯВХ стоит в цепи входного сиг
нала, то до тех пор, пока напряжение на входе не превысит опорное,
напряжение на выходе схемы будет равно нулю, т. е. формируется
зона нечувствительности. Когда напряжение на входе станет больше
опорного напряжения ДРЯВХ, коэффициент усиления схемы будет
K=
RДРЯОС + RОС
RДРЯВХ + RВХ
= const.
Когда напряжение на выходе схемы станет больше опорного ДРЯОС,
то ее сопротивление падает до нуля (в идеальном случае), следова
тельно, падает до нуля и коэффициент усиления схемы. Таким обра
зом формируется нелинейная характеристика вида «зона нечувстви
тельности с ограничением».
84
Характеристика 9: если напряжение на входе меньше опорного
ДРЯ, то ее сопротивление стремится к бесконечности и коэффициент
усиления схемы будет
K=
RДРЯОС + RОС
RДРЯВХ + RВХ
= const.
Когда напряжение на входе превысит опорное, один из диодов ДРЯ
открывается и ее сопротивление падает (в идеальном случае – до нуля).
В результате коэффициент усиления схемы будет стремится к беско
нечности. На практике будет происходить мгновенное увеличение
сигнала на выходе схемы до величины, близкой к напряжению ис
точника питания.
Характеристика 10: до тех пор, пока входное напряжение не
превысит опорное ДРЯВХ, работа схемы будет аналогична таковой
для характеристики 2. Когда напряжение на входе превысит опор
ное, один из диодов ДРЯВХ открывается и ее сопротивление падает
(в идеальном случае – до нуля). В результате коэффициент усиления
схемы будет стремится к бесконечности. На практике будет происхо
дить мгновенное увеличение сигнала на выходе схемы до величины,
близкой к напряжению источника питания.
Характеристика 11: если входное напряжение схемы таково, что
напряжение на выходе не достаточно для отпирания одного из дио
дов ДРЯОС и ДРЯВХ, то сопротивление ДРЯОС и ДРЯВХ стремится
к бесконечности, а суммарное сопротивление цепи ОС и входной цепи
будет равно R. Таким образом, коэффициент усиления схемы на дан
ном участке является величиной постоянной. Когда напряжение на
входе достигает значения, которому соответствует напряжение на
выходе схемы, достаточное для отпирания одного из диодов ДРЯВХ,
сопротивление ДРЯВХ резко падает (в идеальном случае – до нуля),
следовательно, также резко падает суммарное сопротивление вход
ной цепи. При этом можно полагать, что коэффициент усиления схе
мы будет стремится к бесконечности, что вызывает скачок напряже
ния на выходе. При этом напряжение на выходе схемы достигнет
величины, соответствующей опорному напряжению ДРЯОС. В ре
зультате один из диодов ДРЯОС открывается и сопротивление ДРЯОС
резко падает, что приводит к уменьшению коэффициента усиления
схемы до весьма малых значений, близких к нулю.
Характеристика 13: поскольку во входной цепи схемы стоит ДРЯ,
то сигнал на выходе будет отсутствовать до тех пор, пока входное
напряжение не превысит опорное. После этого один из диодов ДРЯ
85
открывается и сопротивление ДРЯ резко падает (в идеальном случае –
до нуля), следовательно, также резко падает суммарное сопротивле
ние входной цепи. При этом можно полагать, что коэффициент уси
ления схемы будет стремится к бесконечности, что вызывает скачок
напряжения на выходе до величины, близкой к напряжению источ
ника питания.
Характеристика 14: если напряжение на входе схемы не доста
точно для отпирания диодов ДРЯВХ, то напряжение на входе ОУ
равно нулю. В этом случае напряжение на выходе ОУ изза дрейфа
нулю имеет малое значение. Сопротивление ДРЯОС стремится к бес
конечности, поэтому в области входных напряжений меньших, чем
опорные ДРЯВХ, коэффициент усиления ОУ стремится к бесконеч
ности. Таким образом, напряжение на выходе схемы самопроизволь
но возрастает до тех пор, пока не произойдет отпирание одного из
диодов ДРЯОС, т. е. до значения опорного напряжения. После этого
сопротивление ДРЯОС резко падает (в идеальном случае – до нуля).
При этом коэффициент усиления схемы будет близок к нулю. В ре
зультате напряжение на выходе схемы будет иметь значение опорно
го напряжения ДРЯОС. Таким образом, формируется начальный (ре
лейный) участок рассматриваемой нелинейной характеристики. Ког
да входное напряжение превысит опорное ДРЯВХ, произойдет отпи
рание одного из ее диодов, что приведет к падению сопротивления
ДРЯВХ (в идеальном случае – до нуля). Следовательно, коэффици
ент усиления схемы будет стремится к бесконечности, что приводит
к скачку напряжения на выходе до величины, близкой к напряже
нию источника питания.
Характеристика 15: поскольку во входной цепи схемы стоит
ДРЯВХ, то сигнал на выходе будет отсутствовать до тех пор, пока
входное напряжение не превысит опорное. После этого один из диодов
ДРЯВХ открывается и сопротивление ДРЯВХ резко падает (в иде
альном случае – до нуля), следовательно, также резко падает сум
марное сопротивление входной цепи. При этом можно полагать, что
коэффициент усиления схемы будет стремится к бесконечности, что
вызывает скачок напряжения на выходе. Однако, в отличие от нели
нейной характеристики 13, в данном случае напряжение на выходе
будет расти не до величины, близкой к напряжению источника пита
ния, а до опорного напряжения ДРЯОС. После чего один из диодов
ДРЯОС открывается и сопротивление ДРЯОС резко падает (в иде
альном случае – до нуля), следовательно, также резко падает сум
марное сопротивление цепи ОС. В результате коэффициент усиления
схемы будет иметь значение, близкое к нулю, т. е. сигнал на выходе
86
будет равен опорному напряжению ДРЯОС. Таким образом воспро
изводится нелинейная характеристика вида «идеальная характери
стика трехпозиционного реле».
Отметим что характеристики, показанные в табл. 8, 9, будут вос
производиться без искажений только в случае идеальных диодов, по
скольку сопротивление идеального диода в закрытом состоянии при
нимается равным бесконечности, а в открытом – равным нулю. Одна
ко сопротивление реальных диодов в открытом состоянии имеет дос
таточно малую, но не нулевую величину, а в закрытом сопротивление
диода имеет значительную величину, но не стремящуюся к бесконечно
сти (поскольку сам термин «бесконечность» представляет собой мате
матическую абстракцию). Данные обстоятельства приводят к тому, что
вместо нулевого коэффициента передачи будет некоторое малое значе
ние, т. е. нелинейная характеристика не будет горизонтальна.
Аналоговые модели люфта
Нелинейная характеристика вида «люфт» характерна для боль
шинства электромеханических систем и комплексов. В случае созда
ния передаточного механизма в виде редуктора даже самого точного
исполнения неизбежно с течением времени будет возникать данный
вид нелинейной характеристики, особенно в системах, объект уп
равления которых работает в режимах частых пусков и остановок.
Основная причина возникновения люфта заключается в том, что как
пуск, так и остановка сопровождаются ударами. Сложность модели
рования нелинейной характеристики вида «люфт» заключается в том,
что правильность модели зависит от влияния объекта управления на
исполнительный двигатель. При этом различают две модели – «люфт
в несиловой передаче» и «люфт в силовой передаче».
Люфт в несиловой передаче. Данная модель применяется в тех
случаях, когда редуктор имеет большое передаточное число и нагруз
ка не оказывает существенного влияния на исполнительный двига
тель, например, приборные следящие системы.
Принципиальная электрическая схема данной модели люфта, ре
ализованная средствами микроэлектроники, показана на рис. 51.
Рассмотрим работу схемы на числовом примере.
Полагаем, что С1=С2; зона линейности усилителя ±10 В; величи
на люфта ±3 В; входной сигнал пилообразной формы изменяется
в пределах ±5 В, как показано на рис. 52.
В этом случае опорное напряжение ДРЯ должно быть ±3 В.
Когда входное напряжение меньше чем Uoп, напряжение в точке А
отсутствует, следовательно, сигнал на выходе схемы также отсут
ствует.
87
31
21
71
1
1
451
452
12
22
32
11
1
61
12
Рис. 51. Аналоговая модель люфта в несиловой передаче
11
42 3
12 3
2
21
22
Рис. 52. Форма и параметры напряжения на входе модели люфта
После того, как Uвх превысит величину Uoп, напряжение в точке А
будет определяться как
U A = Uвх − Uoп ,
при этом емкости будут заряжаться до величины максимального зна
чения напряжения в точке А (точка 1 на рис. 53). В момент времени t1
11
3
1
56 7
4
53
51
12
53
67
2
Рис. 53. Нелинейная характеристика вида «люфт»
88
производная входного сигнала меняет свой знак, при этом напряже
ние на выходе схемы меняться не будет (переход из точки 1 в точку 2,
показанный на рис. 53), поскольку емкость С1, заряженная до 2 В,
остается без цепи разряда, так как диоднорезисторная ячейка ока
зывается запертой (см. рис. 51).
Напряжение на конденсаторе С2 также сохраняет свою величину
в 2 В, поскольку его разрядом через входное сопротивление ОУ мож
но пренебречь, т. е. на емкостях С1 и С2 реализовано запоминающее
устройство, которое моделирует работу люфта при изменении знака
производной. Сигнал на выходе схемы начнет изменяться только
тогда, когда входное напряжение превысит по модулю опорное на 1 В
(точка 2 на рис. 53).
При входном сигнале –5 В напряжение в точке А будет равно –2 В
(точка 3 на рис. 53), и до этого уровня напряжения будут заряжены
емкости С1 и С2. В момент времени t2 вновь происходит изменение
знака производной входного сигнала, однако величина сигнала на
выходе схемы будет сохраняться неизменной (переход из точки 3
в точку 4, показанные на рис. 53) до тех пор, пока Uвх не достигнет
величины 1 В (точка 4 на рис. 53), при которой откроется диодно
резистивная ячейка.
Следует отметить, что разряд конденсатора будет оказывать су
щественное влияние на моделируемые процессы в том случае, если
периодичность изменений входных сигналов будет соизмерима с по
стоянным временем разряда емкости С1 через запертые диоды, а С2 –
через входное сопротивление ОУ.
Модель силовой передачи с люфтом. Данная модель использует
ся в тех случаях, когда люфт возникает в механических передачах
между инерционными телами, т. е. когда нельзя пренебречь влияни
ем момента инерции нагрузки на вал исполнительного двигателя,
что иллюстрируется кинематической схемой, показанной на рис. 54.
⎣
11
1
2
12
α2
α1
Рис. 54. Кинематическая схема силовой передачи с люфтом: J1 и J2 –
моменты инерции ведущего и ведомого валов соответственно;
α1 и α2 – углы поворота ведущего и ведомого валов соответствен
но; 1 – поводок; 2 – вилка
89
При рассмотрении работы устройства за начало отсчета примем
середину зазора между поводком и вилкой.
В том случае, если зазор не выбран (α1 ≠ α2), валы движутся неза
висимо друг от друга, что описывается следующей системой уравне
ний:
Mдв = J1
d2α1
dt2
, Mн = J2
d 2 α2
dt2
,
Когда зазор выбран (α1 = α2 = α), валы образуют единую систему,
уравнение движения которой
Mдв = Mн = ( J1 + J2 )
d2α
dt2
.
Таким образом, модель силовой передачи с люфтом должна быть
пригодна для обоих рассмотренных случаев работы устройства. Для
построения общей математической модели необходимо ввести в рас
смотрение момент упругих сил М0, который возникает при соприкос
новении поводка с вилкой.
В этом случае движение системы будет описываться следующими
дифференциальными уравнениями:
⎧
d2α1
⎪ Mдв − M0 = J1
⎪
dt2
,
⎨
d2α2
⎪
⎪⎩ M0 − Mн = J2 dt2
где
⎧ ⎛
ε⎞
ε
⎪k ⎜ α1 − α2 − 2 ⎟, при α1 − α2 > 2 , α1 > 0
⎠
⎪ ⎝
ε
⎪
M0 = ⎨0, при α1 − α2 ≤
.
2
⎪
⎪ ⎛
ε⎞
ε
⎪k ⎜ α1 − α2 + ⎟, при α1 − α2 > , α1 < 0
2⎠
2
⎪⎩ ⎝
Таким образом, когда зазор не выбран, М0 = 0 и модель соответ
ствует независимому друг от друга движению валов.
В том случае, когда зазор выбран, момент упругих сил будет отли
чен от нуля, а входящий в уравнение коэффициент k определяет же
сткость упругой механической системы.
90
§ 15. Методы построения моделей
Процесс построения моделей состоит из нескольких этапов.
1. Подготовка технического задания:
– постановка задачи;
– описание объекта моделирования;
– анализ физических основ функционирования объекта;
– описание характеристик объекта;
– анализ функциональной схемы объекта;
– сбор и анализ информации о статистических характеристиках
и динамических свойствах объекта.
2. Преобразование исходных уравнений, описывающих динами
ку исследуемой системы, путем введения в них масштабных коэффи
циентов, т. е. формирование вычислительной модели.
3. Разработка алгоритма моделирующей программы (или ее
отдельного модуля) или структурной схемы аналоговой модели,
которая включает в себя суммирующие элементы, интеграторы,
дифференциаторы, блоки, производящие нелинейные характери
стики.
4. Разработка принципиальной электрической схемы (для анало
говых моделей) на основе п. 3.
Структурная схема вычислительной модели, пригодная для реа
лизации средствами вычислительной техники или микроэлектрони
ки, разрабатывается на основе методов последовательного интегри
рования или дифференцирования.
Метод последовательного дифференцирования
Данный метод разработки моделей основывается на принципе по
вышения порядка производной. В качестве исходной информации
рассматривается линейное дифференциальное уравнение произволь
но высокого порядка.
Покажем применение данного метода для построения аналоговой
модели на примере системы, динамические свойства которой описы
ваются дифференциальным уравнением вида
a3
d3 y
dt3
+ a2
d2 y
dt2
+ a1
dy
+ a0 y = a4 x.
dt
Каждая из координат уравнения при построении аналоговой мо
дели воспроизводится соответствующими напряжениями. Так, ко
ординате y соответствует напряжение Uy, а ее производным – напря
жения U111
y , Uy11, Uy1 , а координате x – напряжение Ux.
91
В соответствии с теоремой подобия, связь между реальными пере
менными и напряжениями модели должна быть линейной и взаимно
однозначной. Это связь устанавливается выбранными масштабами.
Тогда уравнение вычислительной модели будет иметь следующий
вид:
Uy = b4Ux − b1Uy1 − b2Uy11 − b3U111y .
Из полученного уравнения следует, что исследуемая координата
Uy определяется суммированием четырех напряжений с соответству
ющими коэффициентами, причем лишь одно Ux подается на схему от
внешнего источника. Остальные напряжения должны быть получе
ны последующим дифференцированием координаты Uy. В соответ
ствии с данным уравнением строится структурная схема аналоговой
модели, показанная на рис. 55. Затем на основе полученной струк
турной схемы разрабатывается принципиальная электрическая схе
ма, представленная на рис. 56.
Метод последовательного дифференцирования имеет недостаток,
связанный с необходимостью использования в модели дифференциа
торов, которые усиливают не только полезный сигнал, но также
шумы и помехи. Спектр шумов и помех более высокочастотный, чем
спектр полезного сигнала. Поэтому исследуемый сигнал y может быть
сильно зашумленным, что потребует использования дополнитель
ных фильтрующих устройств, подавляющих помехи и выделяющих
полезную составляющую.
Метод последовательного интегрирования
Данный метод основывается на принципе понижения порядка
производной. В отличие от метода последовательного дифференци
рования, в данном случае вычислительное уравнение записывается
относительно напряжения, моделирующего старшую производную:
U111y = c4Ux − c3Uy − c2Uy1 − c1Uy11.
22
21
11
111
21
12
11
21
1
13
14
∑
21
3
34
21
1
3
34
Рис. 55. Структурная схема вычислительной модели
92
21
11
3
34
21
111
46
563
43
1
48
41
49
1
47
568
33
4
561
38
438
569
31
211
42
566
435
44
567 433
Рис. 56. Принципиальная электрическая схема модели, построенная на
основе метода последовательного дифференцирования
Структура модели, полученной на основе данного уравнения, по
казана на рис. 57.
Полученная структура модели демонстрирует, что является более
помехоустойчивой, поскольку интеграторы имеют малый коэффи
циент усиления в области высоких частот. При необходимости в дан
11
12
12
12
1
11
11
12
213
214
∑
12
111
∫
12
11
∫
12
1
∫
12
Рис. 57. Структурная схема вычислительной модели
93
ную схему могут быть введены ненулевые начальные условия путем
подачи дополнительных сигналов на входы интеграторов от необхо
димого количества внешних источников. В том случае, если не тре
буется проводить исследования третьей производной от координаты
Uy, то сумматор может быть объединен с первым интегратором, что
уменьшит количество функциональных блоков по сравнению с мето
дом последовательного дифференцирования.
Как метод последовательного интегрирования, так и метод после
довательного дифференцирования заключается в том, что для фор
мирования производной nго порядка требуется осуществить сумми
рование n входных сигналов.
Надо учитывать, что входное сопротивление любого операцион
ного усилителя при большом числе входных сигналов будет падать,
что подчеркнет неидеальность его характеристик.
Достоинством метода последовательного интегрирования явля
ется то, что при его использовании не требуется проводить пересчет
начальных условий. Следовательно, данный подход может эффектив
но использоваться в тех случаях, когда в правой части дифференци
ального уравнения отсутствуют производные от входного сигнала x.
Моделирование системы, описанной двумя дифференциальными уравнениями
При исследованиях систем управления достаточно часто возника
ет задача исследования свойств объекта управления и регулятора,
а не только САУ в целом. В этом случае математические модели регу
лятора и объекта управления задаются отдельно, т. е. особенность
такой модели заключается в том, что уравнение порядка m описыва
ет регулятор, уравнение порядка n описывает объект управления.
При этом не ставится задача получить общее дифференциальное урав
нение m+n, поскольку исследуются в явном виде как координаты
выхода регулятора, так и координаты выхода объекта. Решение по
добной задачи осуществляется раздельным составлением структур
ных схем моделирования каждого из уравнений с последующим их
соединением в единую модель системы.
В качестве примера рассмотрим САУ, структурная схема которой
показана на рис. 58.
1 12 2
3 122
123456789
3
Рис. 58. Структурная схема САУ
94
41 12 2
θ 1 22
415 2
72
121
73
23
∑
161θ
∫
∫
63θ
16θ
∫
θ152
73
183
82
∑
1631
∫
31
Рис. 59. Структурная схема вычислительной модели, описываемая дву
мя уравнениями
Динамические свойства объекта управления и регулятора описы
ваются следующей системой уравнений:
⎧⎪ p3θ = −a1 p2θ − a2 pθ − b1 pUy − b2Uy + b3f
,
⎨
⎪⎩ pUy = −c1Uy + c2θ
где f(t) – внешнее входное воздействие; Uy(t) – напряжение на выходе
регулятора; θ(t) – координата выходе объекта управления.
Для построения структурной схемы математической модели ис
пользуется метод непосредственного интегрирования, рассмотренный
выше. В результате получается структура вычислительной модели,
показанная на рис. 59.
Получаемая таким образом модель требует использования боль
шего числа суммирующих и интегрирующих блоков, чем модель той
же системы, сведенная к одному уравнению.
Моделирование неоднородных дифференциальных уравнений
Достаточно часто динамические свойства системы управления
описываются дифференциальными уравнениями, содержащими про
95
изводные в правой части, т. е. производные от внешнего входного
воздействия. Для построения модели необходимо исходное уравне
ние преобразовать к виду, который позволит избавиться от выполне
ния операции дифференцирования внешнего входного воздействия.
Поскольку, как отмечалось выше, дифференцирование всегда под
черкивает влияние помех и шумов в полезном сигнале.
Для моделирования неоднородного дифференцирования уравне
ния широко применяется метод совместного интегрирования, кото
рый заключается в решении дифференциальных уравнений относи
тельно старшей производной и представления полученного таким
образом уравнения в виде системы уравнений первого порядка, т. е.
в форме Коши.
Применение данного подхода покажем на примере неоднородного
дифференциального уравнения третьего порядка
p3x + a2 p2x + a1 px + a0x = b0 f + b1 pf + b2 p2f,
при следующих начальных условиях:
11(0) = ( p2x)0 ; x1 (0) = ( px)0 ; x(0) = x0 ;
x
f1(0) = ( pf ) ; f (0) = f .
0
0
Представим рассматриваемое уравнение в форме Коши:
⎧ pz3 = b0f − a0 x
⎪
⎪ pz2 = b1f − a1x + z3
.
⎨
⎪ pz1 = b2f − a2x + z2
⎪x = z
⎩
1
При этом начальные условия будут следующими:
z1 (0) = x0 − b2f0 ;
z2 (0) = ( px)0 + a2x0 − b2 ( pf )0 − b1f0 ;
z3 (0) = ( p2x)0 + a2 ( px)0 + a1x0 .
Недостаток подобного описания динамики системы заключается
в том, что теряется физический смысл промежуточных координат.
Однако несомненное достоинство, особенно при реализации модели
средствами микроэлектроники, состоит в том, что любой сумматор
будет иметь не более трех сигналов на входе, в отличие от метода
96
51
1122
452
53
∫
93
434
492
434132
∫
31
31132
91
∫
4367648
432132
Рис. 60. Структурная схема вычислительной модели, представленной
в форме Коши
непосредственного интегрирования. Вычислительная модель рас
сматриваемой САУ показана на рис. 60, из которого следует, что ко
личество интеграторов, при моделировании систем управления ди
намика которых описывается в форме Коши, всегда соответствует
количеству уравнений.
Метод структурного моделирования
В отличие от рассматриваемых выше методов построения моде
лей, которые базируются на непосредственном интегрировании или
дифференцировании уравнений, описывающих движение системы,
данный подход к построению модели основывается на аналогии струк
турных схем математической и вычислительной моделей.
Проведение подобной аналогии возможно, поскольку и матема
тическая, и вычислительная модель представляет собой соединение
отдельных элементарных звеньев однонаправленного действия, ко
торые передают информацию только от входа к выходу и динамика
которых описывается дифференциальными уравнениями не выше
второго порядка.
Покажем применение метода структурного моделирования на
примере САУ, динамические свойства которой описываются следую
щим дифференциальным уравнением:
2
Ty y11( t ) + 2Ty ξy y1 ( t ) + y ( t ) = k (Tx x1 ( t ) + x ( t ) ).
Уравнение математической модели, записанное во временной об
ласти, требуется перевести в операторную форму:
(T
2 2
y p
)
+ 2Ty ξ y p + 1 y ( p ) = k (Tx p + 1) x ( p ).
97
Затем полученное уравнение делится на коэффициент и старший
оператор p (в рассматриваемом случае – Ty2 p2 ) :
⎛
⎛ kT
2ξ y
k ⎞
1 ⎞
⎜1 +
+ 2 2 ⎟ y ( p ) = ⎜ 2 x + 2 2 ⎟ x ( p ).
⎜ Ty p Ty p ⎟
⎜ Ty p Ty p ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Далее полученное уравнение необходимо записать относительно
выходной координаты у(р) с единичным коэффициентом:
y( p) =
kTx
Ty2 p
x( p) +
k
Ty2 p2
x( p) −
2ξ y
Ty p
y( p) −
1
Ty2 p2
y ( p ),
и слагаемые, содержащиеся в правой части уравнения, группируют,
объединяя слагаемые с одинаковыми знаками:
y( p) =
kx ( p ) − y ( p )
Ty2 p2
+
kTx
Ty2 p
x( p) −
2ξ y
Ty p
y ( p ),
а если правая часть уравнения содержит одинаковый множитель, то
он может быть вынесен за скобку:
y( p) =
⎤
kT
1 ⎡ 1
kx ( p ) − y ( p ) ) + x x ( p ) − 2ξy y ( p ) ⎥ ,
(
⎢
Ty p ⎣⎢ Ty p
Ty
⎦⎥
а затем, в соответствии с полученным уравнением, строится струк
турная схема модели, которая показана на рис. 61.
Поскольку способов группировки слагаемых в правой части урав
нения может быть много, то и количество вариантов структурных
схем модели также может быть любым. При этом необходимо осуще
41
4127
112 2
3
4
6
427
4
6
427
5122
3ξ2
Рис. 61. Структурная схема вычислительной модели, полученная ме
тодом структурного моделирования
98
ствить группировку таким образом, чтобы число элементарных зве
ньев, входящих в состав полученной модели, было минимальным.
А при реализации модели средствами микроэлектроники также не
обходимо учитывать, что количество суммируемых на входе микро
схемы сигналов не должно превышать трех.
§ 16. Экспериментальное определение характеристик
систем управления
Для построения математической, вычислительной или иной моде
ли требуется проведение экспериментальных исследований объекта
оригинала, в результате которого должны быть определены его ста
тические и динамические характеристики. Поэтому при построении
модели крайне велико значение подготовки и правильного проведе
ния эксперимента, а также правильной обработки и интерпретации
его результатов.
Определение статистических характеристик
Статической характеристикой элемента, устройства или системы
в целом называется математическая зависимость вида y(t) = f[x(t)],
которая устанавливает связь между входными x(t) и выходными y(t)
координатами звена или системы на отрезке времени, когда все про
изводные функции равны нулю.
Если система имеет несколько входов и выходов, как показано на
рис. 62, то статические характеристики системы представляют со
бой зависимости вида
y1 = f (x1, x2 , x4 ),
y2 = f (x3 , x4 , x5 ).
В этом случае определение стати
стических характеристик осуществ
ляется следующим образом. Рас
сматривается функциональная зави
симость выхода yi от одной перемен
ной при фиксированных значениях
остальных. Так, например,
11
12
123
21
13
14
22
15
y1 = f (x1 ), x2, x4 = const,
y1 = f2 (x2 ), x1, x4 = const,
y1 = f3 (x4 ), x1, x2 = const.
Рис. 62. Зависимость выходных
сигналов от входных
99
Полученные таким образом статические характеристики не дают
возможности считать известной статику системы управления, одна
ко позволяют в первом приближении определить зону линейности
статических характеристик.
Для экспериментального определения статических характери
стик применяют два метода исследования – пассивный и активный.
Пассивный метод снятия статических характеристик применяет
ся в тех случаях, когда система управления не допускает влияния
искусственных возмущений по входным координатам, или в тех слу
чаях, когда уровень помех и шумов соизмерим с допустимыми откло
нениями входных координат.
Метод сводится к регистрации случайных изменений входных ко
ординат системы в режиме ее эксплуатации и регистрации, соответ
ствующих данным отклонениям координаты выхода. Полученная
информация обрабатывается статистическими методами, в резуль
тате чего определяется статическая характеристика.
На практике пассивный метод применяется в тех случаях, когда
не допускается оказывать на систему внешнее воздействие в виде ис
кусственных возмущений по входным координатам, или когда уро
вень помех и шумов высок по сравнению с допустимыми отклонени
ями входных координат.
Наиболее часто на практике применяется активный метод снятия
статических характеристик, суть которого заключается в следующем.
В ходе эксперимента на вход звена или системы подается входной
сигнал, соответствующий минимально допустимому значению (при
фиксированных значениях других входных сигналов), и после окон
чания переходных процессов определяется сигнал на выходе. В ре
зультате серии экспериментов формируется таблица соответствия,
где каждому значению сигнала на входе поставлены соответствую
щие значения сигнала на выходе:
y1 ( i ) = f ( x1 ( i ) ),
где i – номер эксперимента.
По данным таблицы строится функциональная зависимость, ко
торая аппроксимируется одним из способов аппроксимации харак
теристики, рассмотренных выше.
Так, например, при кусочнолинейной аппроксимации статиче
ской характеристики, она аппроксимируется зависимостью
y1 ( i ) = a0 + a1x1 ( i ).
100
Если результаты определения y1 имеют существенный разброс при
различных i, то коэффициенты a0, a1 определяются с помощью мето
да наименьших квадратов. В результате a0, a1 находятся как реше
ние системы линейных уравнений:
n
n
⎧
⎪a0n + a1 ∑ x1 ( i ) =∑ y1 ( i )
⎪
i =1
i =1
,
⎨ n
n
n
⎪a
2
⎪ 0 ∑ x1 ( i ) + a1 ∑ x1 ( i ) =∑ y1 ( i ) x1 ( i )
i =1
i =1
⎩ i=1
где n – общее число проведенных экспериментов.
Таким образом, активный метод снятия статических характери
стик применяется в тех случаях, когда не высок уровень помех, шу
мов и флюктуаций входных и выходных сигналов, а также когда
технический регламент эксплуатации системы позволяет использо
вать искусственные тестовые сигналы.
Определение динамических характеристик
Динамические характеристики дают наиболее полную информа
цию о динамических свойствах как отдельных элементов и устройств,
так и системы в целом, и представляют собой реакцию на внешнее
входное воздействие определенного вида. С точки зрения физики функ
ционирования, происходит перевод исследуемого объекта из одного
установившегося состояния в другое.
На практике для исследования динамики объекта чаще всего при
меняют метод переходных функций, которые представляют собой
реакцию системы на внешнее скачкообразное ступенчатое воздействие
заданной амплитуды:
x ( t ) = H1 ( t ).
Известно, что переходная функция взаимооднозначно связана
с весовой (импульсной переходной) функцией, представляющей со
бой реакцию на дельтафункцию. Снять экспериментально весовую
функцию не представляется возможным, поскольку для этого требу
ется моделировать внешнее входное воздействие в виде дельтафунк
ции (бесконечно короткий импульс бесконечной амплитуды).
Таким образом, экспериментальный метод исследования динами
ки системы управления заключается в снятии переходной функции
и аппроксимации ее решением линейного дифференциального урав
нения с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными ус
ловиями.
101
Исследование динамических свойств объекта, как правило, осно
вывается на следующих положениях:
– рассматриваемый объект является объектом с сосредоточенны
ми параметрами;
– рассматриваемый объект является стационарным, т. е. его па
раметры не изменяются с течением времени (хотя бы в течение прове
дения эксперимента);
– рассматриваемый объект является линейным, т. е. выполняет
ся принцип суперпозиции (хотя бы в пределах малых отклонений).
Системы с распределенными параметрами. Многие реальные си
стемы представляют собой системы с распределенными параметрами
(распределенными в пространстве), например, длинные линии (ли
нии электропередач, трубопроводы и т. д.), динамические свойства
которых описываются уравнениями в частных производных. Следо
вательно, экспериментально снятые с таких систем переходные функ
ции (переходные процессы) являются решением уравнений в част
ных производных.
В ходе эксперимента явление распределенности параметров про
является в медленном изменении переходного процесса h(t) при ма
лых значениях t. Поэтому для точной аппроксимации переходного
процесса таких САУ требуется бесконечно большое число составля
ющих вида Ci e −αit . На практике в модель САУ вводят звено чистого
запаздывания, передаточная функция которого также имеет беско
нечно большое число решений.
Подобная аппроксимация допустима, поскольку на практике, как
правило, на интервале от 0 до τ значение переходной функции весьма
мало.
Таким образом, в случае систем с распределенными параметрами
их математическая модель при введении звена чистого запаздыва
ния приобретает вид
an
= bm
dn y ( t )
dtn
dm x ( t − τ )
dtm
+ an −1
+ bm−1
dn −1y ( t )
dtn −1
+…+ a0 y ( t ) =
dm −1x ( t − τ )
dtm −1
+…+ b0 x ( t − τ ).
В этом случае для достаточно точной аппроксимации переходной
функции h(t) достаточно ограничить n, m ≤ 2 ÷ 5, т. е. в решении
используются от двух до пяти экспоненциальных составляющих ре
шения линейного дифференциального уравнения.
102
Нестационарные системы. Допущения о постоянстве параметров
системы управления во времени далеко не всегда приемлемы. В част
ности, ограничения стационарной теории управления оказываются
неприемлемыми в ряде областей, к которым можно отнести, напри
мер, высокоточные следящие приводы для прокатных станов, систе
мы стабилизации и управления ракетами, а также системы, осуще
ствляющие слежение за движущимися объектами при наличии по
мех. Так, основными требованиями, предъявляемыми к системам
пространственного слежения, являются обеспечение надежного зах
вата и высокая точность слежения за объектом в режиме сопровож
дения, поэтому при исследовании такой САУ необходимо учитывать
нестационарность ее параметров.
Исследования динамических свойств нестационарных систем свя
заны с более серьезными трудностями, чем исследования стационар
ных систем, что определяется некоторыми специфическими особен
ностями нестационарных САУ [30]:
– понятие асимптотической устойчивости для них почти не пред
ставляет интереса, так как они обычно рассматриваются на конеч
ном интервале времени;
– понятие установившегося и переходного процессов для многих
из них не имеет смысла, так как они могут находиться в нестацио
нарном режиме в течение всего времени наблюдения;
– в зависимости от закона изменения параметров системы возмож
ны различные подходы к решению задач исследования.
При построении модели такой САУ необходимо либо рассматри
вать работу нестационарной системы на интервале стационарности
параметров и характеристик, либо строить множество стационарных
моделей для всех вариантов нестационарности, причем число моде
лей, входящих в данное множество, должно быть согласовано с воз
можностями их реализации средствами микроэлектроники или вы
числительной техники.
Нелинейные системы. Вопрос исследования динамических свойств
систем, в состав которых входят элементы и устройства, имеющие
нелинейные статические и динамические характеристики, значитель
но сложнее, чем линейных САУ. Эта сложность заключается в том,
что динамические свойства нелинейных САУ зависят не только от
вида и местоположения нелинейной характеристики, но и от амп
литуды внешнего воздействия, поскольку именно значение амп
литуды определяет местоположение рабочей точки на нелинейной
характеристике. Поэтому, если известно, что нелинейная САУ рабо
тает в режиме малых отклонений, то задачи исследования, как пра
103
вило, решаются с помощью линейных моделей нелинейных систем,
в которых нелинейные зависимости заменяются линейными на осно
ве методов гармонической или обобщенной реализации.
Вместе с тем известно, что в любой нелинейной САУ, даже той, кото
рая большую часть времени работает в режиме малых отклонений, воз
можны переходы из одного установившегося режима работы в другой.
При этом работа САУ будет выходить за пределы малых отклонений,
и в этом случае ее динамические свойства можно исследовать лишь
как реакцию на спектр амплитуд внешнего входного воздействия.
§ 17. Пример построения модели САУ ТК
В качестве примера исследования динамических свойств нестаци
онарной нелинейной системы автоматического управления рассмот
рим систему управления торможением колес транспортного средства
[19, 22, 31, 32].
Вопрос выбора определенной структуры модели системы тормо
жения при решении задачи синтеза регулятора крайне важен, так
как необходимо найти приемлемое сочетание относительной просто
ты модели объекта управления и адекватности модели реальным фи
зическим процессам функционирования САУ ТК.
Опыт исследования систем торможения показывает, что данные
САУ являются многорежимными, поскольку характер работы САУ
ТК и характер движения объекта управления принципиально разли
чен для режимов торможения на сухом и мокром покрытии. Это раз
личие обусловлено тем, что момент сцепления тормозящегося коле
са с опорной поверхностью Mсц представляет собой существенно не
линейную функцию изза его зависимости от коэффициента сцепле
ния μ. Коэффициент сцепления μ нелинейно зависит от величины
относительного проскальзывания (скольжения) S эластичной шины
колеса, а также от скорости движения транспортного средства, со
стояния опорной поверхности, давления воздуха в шине, усадки пнев
матика, рисунка протектора шины и ее эластичных свойств и многих
других факторов [32]. За время торможения наиболее существенно
изменяются скорость движения транспортного средства, состояние
опорной поверхности, а также величина относительного проскаль
зывания колеса S.
Поэтому коэффициент сцепления μ обычно оценивают по семей
ству характеристик сцепления μ = μ(S), зависящих также от указан
ных выше факторов и приведенных на рис. 63.
104
На рис. 63 показан качественный 123 μ
вид зависимостей μ = μ(S), который
лишь отражает экстремальный харак 324
тер этих кривых, поскольку для каж
дого состояния опорной поверхности,
325
скорости движения транспортного
1
средства, давления в шине и т. д.
326
имеется своя зависимость μ(S). Таким
7
образом, экстремальная характери
стика является параметрически не 327
стационарной. По этой причине все
1
гда сложно оценить динамику тор
3
327
326
325
324
123
можения конкретного колеса транс
портного средства, так как даже для
Рис. 63. Зависимость μ = μ(S):
одного и того же транспортного сред
кривая 1 – для сухой
ства с различной степенью изношен
опорной поверхности;
кривая 2 – для мокрой
ности протектора шины можно по
опорной поверхности
лучить совершенно различные зави
симости μ = μ(S) и, соответственно,
динамику торможения. Cущественное влияние на количественное
значение коэффициента сцепления, а следовательно, и динамику си
стемы оказывает состояние опорной поверхности. При торможении
объекта на сухом покрытии САУ ТК работает так, что рабочая точка
постоянно находится на левом склоне характеристики вблизи ее эк
стремума, тем самым обеспечивается экспоненциальное уменьшение
скорости тормозящегося колеса. При торможении объекта на мок
ром покрытии (при малых значениях коэффициента сцепления) САУ
ТК работает так, что рабочая точка выходит в экстремум характери
стики и совершает автоколебания в районе экстремума. При этом
амплитуда колебаний относительного проскальзывания охватыва
ет значение, которому соответствует максимальное значение коэф
фициента сцепления в данном режиме работы системы.
Реализация наиболее простой модели САУ ТК возможна при рас
смотрении режима торможения объекта при постоянной угловой ско
рости свободнокатящегося колеса ωс = const. В данном режиме тор
можения возможна аппроксимация характеристики μ = μ(S) зависи
мостью коэффициента сцепления μ от разности угловых скоростей
свободнокатящегося и тормозящегося колес Δω = ωс – ωк, поскольку
при ωс = const экстремумы указанных характеристик совпадают. Сле
довательно, моделирование в САУ движения Δω0(τ) будет означать,
что такой же характер будет носить изменение во времени величины
105
относительного проскальзывания S. Кроме того, рассмотрение ре
жима торможения с постоянной скоростью приводит к упрощению
модели САУ ТК, поскольку в данном случае в ней будет отсутство
вать звено, моделирующее уменьшение сигнала ωс в процессе тормо
жения.
В качестве математической модели исследуемой экстремальной
системы управления рассматривается экспериментально полученная
упрощенная модель САУ ТК, структурная схема которой представ
лена на рис. 64.
Наличие в тормозной системе гидравлического тормоза приводит
к тому, что данный элемент делает всю САУ ТК системой с распреде
ленными параметрами. Однако, в соответствии с рекомендациями,
изложенными выше, для упрощения модели распределенность пара
метров можно заменить звеном сосредоточенного (чистого) запазды
вания. В этом случае передаточные функции звеньев неизменяемой
части системы имеют следующий вид:
W1 ( p ) =
Kтe −τp
1 + Tт p
– передаточная функция исполнительной части, где Kт = 3582 НмВ–1 –
коэффициент передачи исполнительной части САУ ТК; τ = 0,01 с –
1122
3
123456789
41
511 6 2
71
52 1 62
ω2
3
723
92
91
53 1 62
μ
81Δω2
3
Δω
Рис. 64. Структурная схема упрощенной модели САУ ТК: K1 = Pк Rк, где
Pк – нагрузка, приведенная к тормозящемуся колесу; Rк – радиус
тормозящегося колеса; F = μ(Δω) – характеристика сцепления;
f(t) = Δωэ1(t) – внешнее воздействие амплитуда которого соот
ветствует Δωэ; Uу – сигнал управления, поступающий с выхода
регулятора в исполнительную часть системы; Mт – тормозной
момент, создаваемый на колесо тормозным приводом; Mсц – мо
мент сцепления тормозящегося колеса с опорной поверхностью
106
запаздывание, обусловленное движением жидкости в гидравлической
системе передачи давления; Тт = 0,06 c – постоянная времени тор
моза;
1
W2 ( p ) =
Jк p
– передаточная функция объекта управления, где Jк = 26,5 Нмс2 –
приведенный момент инерции тормозящегося колеса в плоскости,
перпендикулярной направлению качения;
W3 ( p ) =
Kст p
1 + 2T1ξ1 p + T12 p2
,
– передаточная функция стойки, где Kст = 0,485814 ⋅ 10–6 (Нм)–1 –
коэффициент передачи модели стойки; Т1 = 0,0176 с – постоянная
времени стойки; ξ1 = 0,04544 – показатель колебательности стойки.
В качестве регулятора рассматривается оператор управления,
структура которого показана на рис. 65.
В рассматриваемой математической модели используется харак
теристика μ = μ(Δω), аппроксимированная степенной функцией вида
μ = μэ − k1 ( Δω − Δωэ )
2
.
(10)
Значения коэффициентов аппроксимации k1 и параметров аппрок
симирующей степенной функции (10) для различных режимов тор
можения приведены в табл. 10.
В соответствии с соотношением (10), на рис. 66 и рис. 67 пред
ставлены зависимости μ = μ(Δω) в виде семейства характеристик, по
строенных для двух состояний опорной поверхности (сухая и мок
213234 ω2132
41153634252
515363625 636352
11
71153637252
5153637252
5
45
Рис. 65. Структурная схема регулятора САУ ТК: b0, b1, a1, a2, c0, c1, c2 –
варьируемые параметры
107
Таблица 10. Значения коэффициентов аппроксимации характеристики
сцепления
Параметр
Сухая опорная поверхность
Мокрая опорная поверхность
wс
96,3
64,2
32,1
96,3
64,2
32,1
mэ
0,66
0,64
0,63
0,22
0,285
0,325
Dwэ
7,223
5,393
2,889
17,72
11,47
5,85
K1
0,01265
0,022
0,0755
185
0,000702 0,00216
0,00949
μ
9
2
6
184
183
182
1
2
3
4
5
61
62
Δω
12374
Рис. 66. Семейство характеристик μ = μ(Δω) для торможения на сухой
опорной поверхности: кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; кривая 2 – ωс =
= 64,2 рад/с; кривая 3 – ωс = 32,1 рад/с
123
μ
4
124
6
5
125
126
Δω1
1
3
7
Δω11 Δω12
65 68
Δω
51 53 57 45 48 31 12394
Рис. 67. Семейство характеристик μ = μ(Δω) для торможения на мокрой
опорной поверхности: кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; кривая 2 – ωс =
= 64,2 рад/с; кривая 3 – ωс = 32,1 рад/с
108
рая) и трех значений ωс = const. Применение данных семейств харак
теристик позволяет при исследовании динамических характеристик
САУ ТК, как было отмечено в выше, перейти от нестационарной мо
дели САУ ТК к ограниченному множеству стационарных моделей,
в рассматриваемом случае состоящему из шести математических мо
делей, которые охватывают весь диапазон изменения угловой скоро
сти объекта управления и два граничных состояния опорной поверх
ности.
Принятая аппроксимация достаточно точно воспроизводит реаль
ную экстремальную характеристику объекта управления, ее левый
склон и область экстремума. Что касается правого склона, то пара
болическая аппроксимация зависимости μ(S) также вполне допусти
ма, если отклонение значения коэффициента сцепления μ от экстре
мального значения не превышает 20 % (рабочие области характери
стики показаны на рис. 66 и рис. 67 жирной линией). Это полностью
соответствует требованиям, предъявляемым к САУ ТК.
В соответствии с физикой работы, система управления торможе
нием колес (при фиксированном значении скорости свободно катя
щегося колеса и мокрой опорной поверхности) должна выводить ра
бочую точку в экстремум характеристики μ(Δω), где она совершает
автоколебания заданной амплитуды и частоты, охватывающие эк
стремальное значение Δωэ.
Поэтому при анализе результатов исследования САУ ТК для мок
рой опорной поверхности в качестве желаемого (эталонного) про
граммного движения Δω0(τ) был принят процесс вида
(
)
Δω0 ( t ) = ⎡ Δω0у 1 − e −αt + Δω* cos ( βt − ϕ0 ) ⎤1( t ),
⎣
⎦
(11)
где Δω0у = Δωэ – значение желаемого программного движения, соот
ветствующее нахождению рабочей точки в экстремуме параболиче
ской характеристики объекта управления; α – коэффициент затуха
ния экспоненциальной составляющей, обеспечивающей выход рабо
чей точки в экстремум нелинейной экстремальной характеристики
за заданное время; Δω* – амплитуда автоколебаний рабочей точки
в районе экстремума; β – частота автоколебаний.
В случае торможения на сухой опорной поверхности, как было
отмечено выше, движение рабочей точки к экстремуму характери
стики μ(Δω) носит экспоненциальный характер, поскольку при тор
можении на сухой опорной поверхности момент сцепления всегда
превышает максимально реализуемую системой величину тормозно
го момента. Таким образом, при решении задачи для сухой опорной
109
поверхности был принят следующий вид желаемого программного
движения:
Δω0 ( t ) = Δω0у e −αt 1( t ).
(12)
В соответствии с требованиями, предъявляемыми к системам дан
ного класса, время выхода САУ ТК в экстремум характеристики μ =
= μ(S) (подача максимально возможного давления в конкретном ре
жиме работы системы) не должно превышать 1,5–2 с. Минимально
возможное время выхода в экстремум μ(S) определяется технически
ми характеристиками исполнительной части САУ ТК и соответству
ет ≈0,3 с. Однако быстрая подача давления не всегда целесообразна,
поскольку это может приводить к возникновению юзовой ситуации
и автоматическому сбросу давления, что в целом может лишь увели
чить время торможения объекта. Амплитуда колебаний в районе эк
стремума характеристики μ(Δω) (на мокрой опорной поверхности) не
должна превышать 10–20 % от значения Δωэ, соответствующего μэ,
поскольку большая амплитуда колебаний будет вызывать больший
износ пневматика при нахождении рабочей точки на правом склоне
характеристики сцепления.
Как было отмечено выше, рассматриваемая САУ является много
режимной, поэтому исследование динамики необходимо провести для
трех значений ωс = const, каждому из которых соответствует своя
зависимость μ = μ(Δω) для мокрой и сухой опорных поверхностей
(см. рис. 66, рис. 67). Значения параметров эталонного процесса (11)
и (12) для каждого из принятых значений ωс приведены в табл. 11,
причем установившееся значение процесса (9) Δω0у для сухой опор
ной поверхности принято равным 0,7 Δωэ, что соответствует фи
зике функционирования реальных САУ ТК в данном режиме тормо
жения.
Таблица 11. Значения параметров желаемого программного движения
Параметр
Сухая опорная поверхность
Мокрая опорная поверхность
wс
96,3
64,2
32,1
96,3
64,2
32,1
Δω0у
5,2
4,0
2,0
17,72
11,47
5,85
2,5
1,7
0,87
Dw
–
a
1,7
1,7
b
–
12,56
*
110
Таблица 12. Значения параметров регулятора САУ ТК
Параметр
wс
Мокрая опорная поверхность
Сухая опорная поверхность
96,3
96,3
64,2
32,1
64,2
32,1
b0
0,57
0,75
1,4
8
10
40
b1
0,061
0,031
0
0.08
0,07
0,07
a1
0,023
0,02
0,02
0.3
0.3
0,7
a2
0,004
0,004
0,004
0.03
0.03
0,1
c0
0,5
0,7
0,7
0.02
0.03
0,7
c1
0,036
0,04
0,04
0.04
0.04
0,04
c2
0,024
0,024
0,024
0.024
0.024
0,024
Исследования динамических свойств САУ ТК, проведенные с ис
пользованием шести стационарных моделей (параметры регулято
ров приведены в табл. 12), показали, что в режиме торможения на
сухом покрытии для обеспечения адекватности модели основам фи
зики функционирования САУ данного класса необходимо упроще
ние структуры регулятора, связанное с исключением из его состава
нелинейного звена с релейной характеристикой.
Анализ динамики системы с синтезированными параметрами по
казывает, что в режиме торможения с фиксированной скоростью сво
бодно катящегося колеса на мокрой опорной поверхности (рис. 68
кривая 1 – ωс = 96,3 рад/с; рис. 69 кривая 1 – ωс = 64,2 рад/с; рис. 70
кривая 1 – ωс = 32,1 рад/с) система выходит в экстремум характери
5416
Δω1212334
4816
416
4
4516
716
5
16
16
1124
6
6174
4185
519
1
Рис. 68. Переходные процессы в САУ ТК при ωс = 96,3 рад/с
111
451
Δω1212334
4618
716
4
915
5
1
1
418
1124
6
6174
4185
519
1
Рис. 69. Переходные процессы в САУ ТК при ωс = 64,2 рад/с
стики μ(Δω) за 1–1,5 с и работает в режиме незатухающих колебаний
частотой 2 с–1. Амплитуда колебаний охватывает заданное для каж
дой из величин ωс значение Δωэ.
Анализ динамики при сухом опорном покрытии (рис. 68 кривая
2 – ωс = 96,3 рад/с; рис. 69 кривая 2 – ωс = 64,2 рад/с; рис. 70 кривая
2 – ωс = 32,1 рад/с) показывает, что процесс в системе носит монотон
ный характер, а разность угловых скоростей Δω возрастает до задан
ного значения, т. е. САУ ТК работает в районе экстремума характе
ристики сцепления на ее левом склоне.
Таким образом, результаты исследования множества стационар
ных моделей САУ ТК показывают, что они адекватно воспроизводят
основы физики функционирования нестационарной системы при за
165
Δω1212334
14
4
1
6
1
5
518
4195
618
1124
6
6174
4185
519
Рис. 70. Переходные процессы в САУ ТК при ωс = 32,1 рад/с
112
1
данных режимах работы и виде опорной поверхности. Для построе
ния общей модели нестационарной САУ ТК требуется объединение
моделей, показанных выше, с обеспечением их адаптации к режиму
работы и значению скорости свободно катящегося колеса.
§ 18. Внешние входные воздействия
Одним из важнейших вопросов, связанных с экспериментальным
снятием переходной функции, является выбор вида входного воз
действия и его амплитуды.
При выборе вида входного воздействия следует иметь в виду его час
тотный спектр, поскольку точность определения амплитудночастот
ной и фазочастотной характеристик (АФЧХ) по переходной функции
непосредственно связана с частотным спектром входного сигнала.
Ступенчатая функция (теоретическая)
Вид ступенчатого входного воздействия и его частотный спектр
показаны на рис. 71. Применение воздействия данного вида возмож
но в тех случаях, когда система допускает длительное отклонение
своих координат от установившихся значений. Данная функция при
меняется при исследовании САУ, когда необходимо вычислять АФЧХ
в области низких частот, поскольку ординаты частотного спектра
ступенчатой функции с ростом частоты стремятся к нулю, т. е. в час
тотном спектре данного воздействия наиболее значительными будут
низкочастотные составляющие.
Ступенчатая функция (реальная)
Очевидно, что никакой ступенчатый сигнал не достигает своего
амплитудного значения мгновенно, т. е. всегда есть участок нараста
ния ступенчатого воздействия, что показано на рис. 72. Математи
ческая модель такого сигнала имеет вид
41 25ω34
1
3
2
1
1
ω
Рис. 71. Вид и частотный спектр ступенчатого воздействия
113
1
4125 ω34
3
2
1
1
21
π
4π
ω 21
5π
Рис. 72. Вид и частотный спектр ступенчатого воздействия (реального)
⎧x ( t ) = 0; t < 0
⎪
H
⎪
⎨x ( t ) = t; 0 ≤ t < t1 .
t1
⎪
⎪x ( t ) = H; t ≤ t < ∞
1
⎩
Такое внешнее воздействие применяется в тех же случаях, что
и теоретическая ступенчатая функция. Однако частотный диапазон
для наиболее точного построения АФЧХ будет иным:
π
0 ≤ ω < ( 0,5…0,8 ) .
t1
Прямоугольный импульс
Вид прямоугольного импульса и его частотная характеристика
показаны на рис. 73, а математическая модель определяется систе
мой уравнений
⎧⎪x ( t ) = 0; t < 0; t > T
.
⎨
⎪⎩x ( t ) = H; 0 ≤ t < T
41 25ω34
1
3
1
2
6
1
4π
5π
Рис. 73. Вид и частотный спектр прямоугольного импульса
114
ω6
Данный вид внешнего воздействия применяется для снятия ха
рактеристик САУ, которые не допускают длительного отклонения
координат системы от установившихся значений и содержащих в сво
ем составе интегрирующие звенья. Частотный диапазон для наибо
лее точного построения АФЧХ:
π
0 ≤ ω < (1,0…1,5 ) .
T
Трапецеидальный импульс
Вид трапецеидального импульса и его частотная характеристика
показаны на рис. 74, а математическая модель определяется систе
мой уравнений
⎧x ( t ) = 0; t < 0; t > T
⎪
⎪x ( t ) = H t; 0 ≤ t < t
1
⎪⎪
t1
.
⎨
⎪x ( t ) = H; 0 ≤ t < T − 2t1
⎪
H T − t)
⎪x ( t ) = (
; T − 2t1 ≤ t < T
⎪⎩
t1
Данный вид внешнего воздействия применяется для снятия ха
рактеристик САУ, которые не допускают длительного отклонения
координат системы от установившихся значений и содержащих в сво
ем составе интегрирующие звенья. Частотный диапазон для наибо
лее точного построения АФЧХ:
0≤ω<
2π
.
T
41 25ω 34
1
6
5 4 21
3
ω6
2
21
6
1
π
4π
4
Рис. 74. Вид и частотный спектр трапецеидального импульса
115
Прямоугольная волна
Вид прямоугольной волны и ее частотная характеристика показа
ны на рис. 75, а математическая модель определяется системой урав
нений
⎧
⎪x ( t ) = 0; t < 0; t > T
⎪
T
⎪
.
⎨x ( t ) = H; 0 ≤ t <
2
⎪
T
⎪
⎪⎩x ( t ) = − H; 2 ≤ t < T
Данный вид внешнего воздействия применяется для снятия ха
рактеристик САУ, которые не допускают длительного отклонения
координат системы от установившихся значений и содержащих в сво
ем составе интегрирующие звенья. Частотный диапазон для наиболее
точного построения АФЧХ определяется интервалом частот в окрест
ностях максимума спектра входного воздействия:
( 0,3…0,5 )
π
π
< ω < (1,0…1,5 ) .
T
T
Амплитуда внешнего воздействия
Кроме вида внешнего входного воздействия, должна быть выбра
на его амплитуда с учетом следующих факторов: нелинейных участ
ков статических характеристик; уровня случайных помех и шумов;
допустимости по технологических параметрам эксплуатации систе
мы или устройства.
Таким образом, можно сформулировать основные требования
к амплитуде внешнего воздействия:
4135π 44
1
13
2
6
1
2
6
π6
2
π
1π
Рис. 75. Вид и частотный спектр прямоугольной волны
116
1
1) если характеристики элементов САУ имеют кусочнолинейный
характер, то величину H необходимо выбирать такой, чтобы при из
менении амплитуды входного сигнала в интервале x0 ± 1,5H измене
ние сигнала на выходе САУ происходило по линейному закону;
2) если известен коэффициент передачи исследуемой системы уп
равления, то максимальное значение амплитуды внешнего воздей
ствия определяется
Hmax =
Δy
,
1,5k
где k – коэффициент передачи САУ; Δy – максимально допустимое
отклонение координаты выхода;
3) если на систему действует случайная помеха или шум, то вели
чину H необходимо выбирать максимально допустимой. При этом
следует иметь в виду, что при среднеквадратическом значении шума,
составляющем 15–20 % от величины kH, обработка эксперименталь
ных данных очень трудоемка, а результаты не точны;
4) минимальное значение амплитуды входного сигнала определя
ется классом точности контрольнорегистирующей аппаратуры и уров
нем помех. Как следует из опыта проведения эксперимента, обычно
значение амплитуды испытательного входного воздействия лежит
в интервале от 0,03–0,05 xmax до 0,1–0,15 xmax.
Экспериментальное снятие переходной характеристики САУ по
зволяет подтвердить гипотезу о линейности системы управления
в малом, т. е. убедиться в выполнении принципа суперпозиции. Для
этого эксперименты проводятся при вариациях амплитуды входного
сигнала, которые должны приводить к пропорциональному откло
нению сигнала выхода системы в случае ее линейности.
Для проверки стационарности САУ эксперименты по снятию пе
реходных характеристик необходимо повторять многократно через
большие (по сравнению с длительностью испытаний) интервалы вре
мени.
§ 19. Обработка результатов эксперимента
по снятию переходных характеристик
Экспериментально полученные результаты по снятию переходных
функций позволяют построить математические модели переходных
процессов, используя которые, можно построить модель исследуе
мой системы или отдельного ее элемента или устройства. При этом
117
в зависимости от вида полученной переходной функции применяют
ся различные подходы к обработке экспериментальных данных.
Обработка гладких переходных функций
Полученные в ходе экспериментальных исследований переходные
функции hi(t) (здесь i = 1,2,… – номер эксперимента), не искаженные
помехами и шумами, должны быть построены в одном масштабе.
Если при проведении эксперимента менялась амплитуда внешне
го входного воздействия, то все функции hi(t) должны быть нормиро
ваны по амплитуде:
h (t)
hi0 ( t ) = i ,
Hi
где hi0 ( t ) – нормированный переходной процесс; Hi – амплитуда внеш
него входного воздействия при iм эксперименте.
Если разброс между значениями hi0 ( t ) не превышает 2–3 %, то
для последующей работы может быть выбрана любая из полученных
переходных функций.
В случае значительных отклонений между процессами hi0 ( t ) не
обходимо провести усреднение процессов по множеству i:
hi0 ( t ) =
1 n 0
∑ hi (t ).
i i=1
Затем по переходной функции h0(t) могут быть определены коэф
фициент передачи системы управления как значение в момент окон
чания переходного процесса, а также величина чистого запазды
вания (если оно есть в САУ) как отрезок времени, внутри которого
выполняется неравенство 0 ≤ h0(t) < Δ, где Δ зависит от погрешно
стей контрольноизмерительной аппаратуры и обычно принимается
Δ ≤ (0,01 – 0,02)h0(tу).
Если в качестве входного воздействия при проведении экспери
мента используется прямоугольный импульс или прямоугольная
волна, то реакции САУ на данные воздействия должны быть преоб
разованы к переходной функции, получаемой при внешнем скачко
образном входном воздействии.
Реакция системы на прямоугольный импульс
Если исследуемая система не допускает длительного отклонения
от установившегося режима работы, то в качестве внешнего входно
го воздействия при проведении экспериментов по снятию динамиче
ских характеристик системы применяется прямоугольный импульс,
а для получения переходной функции требуется провести обработку
полученного результата.
118
2132
6
2113234367132
3
21323432113235322132
1
221323436713 5712
4132
16
2
1 15
24 2
1 14
23 2
1 13
22 2
1 12
21 2
1 11
29 2
1 19
28 2
1 18
16 17
15 16
24 25
1 1
23 24
1 1
22 23
1 1
21 22
1 1
29 21
1 1
28 29
1 1
28
1
5
9
1
3
2
18
1
19 1
6
9
1
3
2
18
11
19
1
18
1
12
11
19
1
18
1
12
21
1
29
1
28
1
13
22
1
21
1
29
1
28
1
13
14
2
3
1
21
1
29
1
28
1
1
22
1
21
1
29
1
28
1
14
23
1
22
1
21
1
29
1
28
1
15
14
23
1
22
1
21
1
29
1
28
1
17
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
21
1
29
1
28
1
41132
3
7
1
26
1
25
1
24
1
23
1
22
1
21
1
29
1
28
1
413 5 12
Рис. 76. Получение переходной функции по реакции САУ на прямоуголь
ный импульс
119
В этом случае прямоугольный импульс рассматривается как сум
ма ступенчатых функций с амплитудами +H и –H. При этом момен
ты подачи входных воздействий различаются на величину T (дли
тельность импульса), как показано рис. 76. Поскольку ступенчатые
функции, формирующие прямоугольный импульс, смещены друг от
носительно друга на величину T, то для любого интервала времени
mT (m = 1,2, …) выполняется условие
h ( t ) = hи ( t ) + h ( t − T ), при (m − 1)T ≤ t < mT,
где hи(t) – реакция системы на прямоугольный импульс.
Реакция системы на прямоугольную волну
Если для экспериментального снятия динамических характери
стик САУ в качестве внешнего входного воздействия использовалась
прямоугольная волна, то для получения переходной функции необ
ходимо представить полученный процесс как реакцию системы на
три ступенчатых воздействия. В этом случае прямоугольная волна
представляется как сумма трех ступенчатых функций с амплитуда
ми +H, –2H и +H, которые приложены в моменты времени t = 0, t =
= 0,5T и t = T соответственно, что показано на рис. 77.
Далее, применяя принцип суперпозиции, можно рассматривать
полученный в результате эксперимента переходный процесс hв(t) как
сумму реакций системы управления на указанные воздействия. Тог
да переходная функция h(t) будет определяться следующим образом:
h ( t ) = hв ( t ) + 2h ( t − 0,5T ) − h ( t − T ),
при 0,5(m − 1)T ≤ t < 0,5mT.
Следует учитывать, что начальные значения функций с запаздыва
ющим аргументом h ( t − 0,5T ) ≡ 0, при 0 ≤ t < 0,5T; m = 1 и h ( t − T ) ≡ 0,
при 0 ≤ t < T; m = 1,2.
2123345446233
222334544623 5613
2233
7
1
1
1
3
2233454212334842323348422233
23233454914623 5 7
13
Рис. 77. Представление прямоугольной волны суммой ступенчатых фун
кций
120
§ 20. Определение динамических характеристик
по переходным функциям
При определении динамических характеристик звена или систе
мы по переходной функции необходимо учитывать следующее: вся
кому таблично или графически заданному решению линейного диф
ференциального уравнения соответствует множество решений. По
этому по одной и той же переходной функции можно получить раз
ные динамические характеристики в зависимости от различных
допущений о структуре дифференциального уравнения, т. е. от мето
да аппроксимации переходной функции. При этом под структурой
уравнения (передаточной функцией) понимается число и расположе
ние корней характеристического уравнения или нулей и полюсов пе
редаточной функции.
В общем случае динамика линейной системы будет описываться
уравнением вида
Q ( p ) x ( t ) = S ( p ) f ( t ),
(13)
где p = d/dt – оператор дифференцирования.
Характеристическое уравнение однородного дифференциального
уравнения (13) в случае известных значений параметров cк будет
иметь вид
λn + an−1λn−1 +…+ a1λ + a0 = 0,
(14)
где λ – корни уравнения, an −1 – коэффициенты уравнения.
Уравнение (14) имеет n корней, часть которых может быть веще
ственными, часть – комплексносопряженными. Для устойчивой
системы, как известно, вещественные корни и вещественные части
комплексносопряженных корней должны быть отрицательными, т. е.
должны быть расположенными в левой части комплексной плоско
сти. Тогда можно записать следующее:
λ1,2 = −α1 ± jβ1; λ3,4 = −α2 ± jβ2;
111111111111111111
λk−1,k = −α k ± jβ k ; λk+1 = −α k ;
2
2
2
+1
111111111111111111
λi = −αi ; λ j = λ j +1 = 1 = λ j +r = −αm ,
(15)
где k – четные числа.
121
Корни, которые имеют наименьшее (наибольшее) абсолютное зна
чение вещественной части, в дальнейшем будем называть младшими
(старшими).
Решением уравнения вида (13) будет следующее выражение [33, 34]:
k
⎛
⎞
x 0 ( t ) = ∑ e −αit ⎜ C i cos β i t + C i sin β i t ⎟ +
⎜
⎟
+1
i =2
2
2
2 ⎠
⎝ 2
j
+
∑ Cle−α t + e−α
l
l=k+1
mt
(C
j +1
)
+ Cj +2t + 1 + Cj +r +1tr ,
(16)
где i – ряд четных чисел от 2 до k; l – ряд натуральных чисел; αi, ...,
αm – вещественные части корней характеристического уравнения (ко
эффициенты затухания составляющих); β1, ..., βk/2 – частоты соб
ственных колебаний системы управления; Ci/2, ..., Cj+r+1 – постоян
ные, определяемые начальными условиями.
Таким образом, в уравнении (16) первая сумма от i = 2 до i = k
определяется комплексносопряженными корнями λ1,2, ..., λk–1,k; вто
рая сумма от l = k+1 до l = j определяется вещественными корнями
λk+1, ..., λj; последняя сумма определяется вещественными кратны
ми корнями λj+1, ..., λj+r (рис. 78).
λ2
−α2
12
λ1
12β1
λ1
λ2
22β
−α1
λ334
1
32β4
32β1
λ4
λ1
λ2
λ1
λ35134
32
Рис. 78. Распределение корней характеристического уравнения
122
Как показывает практика, при исследовании систем автомати
ческого управления, различных по своему назначению и функцио
нальным возможностям, затруднительно дать общие рекомендации
по аппроксимации переходной функции.
В то же время, учитывая специфику работы исследуемой системы,
можно аппроксимировать экспериментально полученную переходную
характеристику, основываясь на значениях показателей качества
работы САУ в переходном режиме – величине перерегулирования,
длительности переходного процесса, быстродействию [34].
Известно, что чем меньше величина перерегулирования σ, тем ка
чество переходного процесса лучше (при выполнении требований
к другим показателям качества). Перерегулирование зависит от кор
ней уравнения (14) и начальных условий. Причем в случае внешнего
скачкообразного воздействия f = H1(t) перерегулирование в системе
будет лишь в случае комплексносопряженных корней при достаточ
но больших значениях собственных частот β.
Как показано в [34, 35], при вещественных корнях, комплексно
сопряженных корнях с малыми значениями β, а также при смешан
ных корнях, когда младшими являются вещественные корни, пере
ходный процесс протекает монотонно.
Для многих САУ длительность переходного процесса Tпп (проме
жуток времени, в течение которого регулируемая величина с задан
ной точностью достигает установившегося значения x) является од
ним из важнейших показателей их оптимальности. При этом мини
мальная длительность переходного процесса при f(t) = H1(t) дости
гается при малых мнимых частях комплексносопряженных корней,
либо при смешанных корнях, при которых σ ≈ 1–4 % [35].
При увеличении мнимых частей (собственных частот колебаний
β) комплексносопряженных корней возрастают как Tпп, так и σ.
Поэтому, с точки зрения скорейшего затухания переходного процес
са, необходимо, чтобы вещественные части всех корней (коэффици
енты затухания составляющих) были возможно большими. Однако
наилучшие результаты получаются при равенстве вещественных ча
стей всех корней уравнения (14), поскольку их сумма численно рав
на первому коэффициенту a0 характеристического уравнения.
В случае только вещественных корней САУ становится более ус
тойчивой, однако при этом существенно возрастает длительность пе
реходного процесса, причем тем больше, чем значительнее различие
в коэффициентах затухания α отдельных составляющих процесса.
Под быстродействием САУ будем понимать скорость нарастания
переходного процесса, что характеризует способность системы уп
123
равления за минимальное время достигнуть первого согласованного
с задающим устройством положения. В работах [34, 36] быстродей
ствие характеризуется максимальной скоростью x1 max и средним ус
11ср изменения регулируемой величины x во времени. Как
корением x
отмечается в [34], максимальные значения характеристик быстро
11ср могут быть получены при комплексносопряжен
действия x1 max и x
ных корнях уравнения (14) с большими значениями β и малыми α, т. е.
при больших перерегулированиях.
Малым быстродействием будет обладать САУ, характеристиче
ское уравнение которой дает лишь вещественные составляющие про
цесса (14) при выполнении условия
α1 << α2 << α3 << 1 << αn .
В работах [35–38] предлагаются некоторые стандартные (типовые)
уравнения, дающие оптимальные переходные процессы. Приводят
ся не только значения коэффициентов стандартных характеристи
ческих уравнений [25, 39] и численные значения корней [34, 35], но
также и значения показателей качества переходных процессов, соот
ветствующих рассматриваемому распределению корней. К сожале
нию, в известных работах не рассматриваются уравнения выше 8го
порядка, что несколько снижает их ценность для практического при
менения в случае исследования САУ более высокого порядка.
Воспользуемся (применительно к уравнению (14)) методом пост
роения типовых уравнений Т. Н. Соколова, который основывается
на способе нормирования уравнений Вышнергадского. Введем в урав
нение (14) следующую подстановку:
λ = kнχ,
(17)
где χ – нормированный безразмерный корень характеристического
уравнения; kн – коэффициент нормирования.
Тогда, с учетом (17), уравнение (13) принимает вид
χn + an∗ −1χn−1 +…+ a1∗χ = 0,
*
где a1 ,
(18)
an* −1
...,
– нормированные коэффициенты, определяемые по
действительным коэффициентам a1, ..., an−1 уравнения (14) из соот
ношения
ai* = aikнi−n ,
где i = 0, 1, 2, ..., n–1.
124
(19)
Как отмечается в работах [34, 36, 38], нормирование уравнений
имеет ряд важных особенностей:
– нормированные коэффициенты ai* связаны с корнями уравне
ния (14) соотношением вида
ai* = ( −1)
k
n
∏ χj ,
(20)
j =0
где k – число корней, входящих в произведение;
– величины постоянных коэффициентов Ci/2, ..., Cj+r+1 уравнения
(16), описывающего программное движение, остаются неизменными
как для корней уравнения (14), так и для нормированных корней
уравнения (18) в том случае, если начальные значения производных
нормированы;
– величины перерегулирования остаются одинаковыми как для
нормированных, так и для ненормированных коэффициентов, по
скольку σ зависит от соотношения элементов корней, а не от их абсо
лютных значений;
– абсциссы переходных процессов (масштаб по оси времени) изме
няются в соответствии с соотношением
t=
tн
,
kн
(21)
где tн – нормированное время.
Таким образом, используя метод стандартных уравнений [36, 38],
можно для каждого соотношения элементов корней определить нор
мированный переходный процесс произвольно высокого порядка,
а по нему определять свойства большего количества переходных фун
кций, имеющих различные корни, но подчиняющихся выбранному
соотношению элементов.
Особое внимание необходимо уделить определению коэффициен
та нормирования kн.
В том случае, когда известен коэффициент передачи САУ в прямой
цепи и известна величина а0, коэффициент нормирования, как пока
зано в [34], целесообразно определять из соотношения вида
kн = n a0 ,
(22)
где а0 – свободный член характеристического уравнения вида (14); n –
порядок характеристического уравнения.
125
В случае известной длительности желаемого программного дви
жения Tпп для определения значения kн целесообразно использовать
соотношение [34]
kн =
0
Tпп
,
Tпп
(23)
0
где Tпп – желаемая длительность переходного процесса; Tпп
– норми
рованная длительность переходного процесса для xст = 0,05xуст, здесь
xст – величина статической ошибки синтезируемой системы, xуст –
установившееся значение желаемого программного движения.
Наконец, если рассмотренные выше условия не заданы и жела
тельно исключить дифференциатор угла поворота объекта управле
ния (n – 1)го порядка, то следует использовать выражение вида [34]
kн =
an−1
an*−1
,
(24)
где an−1, an* −1 – действительные и нормированные коэффициенты ха
рактеристического уравнения системы управления соответственно.
Кроме приведенных выше соотношений (22)–(24), представляет
ся целесообразным вычислять значение коэффициента нормирова
ния kн, исходя из действительных значений скоростей и ускорений,
развиваемых проектируемой САУ [33]:
kн =
kн =
x1 0
,
xуст x1 н
110
x
,
11н
xуст x
(25)
(26)
где x10 , x1 н – максимальные значения скоростей нарастания желаемо
110 , x
11н – средние зна
го и нормированного процессов соответственно; x
чения ускорений изменения регулируемой величины в случае желае
мого и нормированного процессов соответственно.
Исходя из значений коэффициентов затухания (вещественная
часть корня) и собственных частот колебаний (мнимая часть корня)
составляющих типовых (стандартных) программных движений, ис
пользуя коэффициенты нормирования kн (соотношения (22)–(26)),
можно аппроксимировать переходные процессы с учетом особенно
стей функционирования исследуемой САУ.
126
При этом следует иметь в виду, что коэффициенты затухания
и собственные частоты колебаний kх составляющих процесса вида
(16) связаны с соответствующими нормированными значениями сле
дующими соотношениями:
k
αk = ∏ χ∗i kн ,
(27)
βk = μ k α k ,
(28)
i =1
∗
где χi – нормированное значение коэффициента затухания iй состав
ляющей; μk – колебательность.
В случае экспоненциальных составляющих процесса (вторая и тре
тья суммы формулы (16)) соответствующие им μk принимаются рав
ными нулю.
Рассмотрим возможность построения нормированных программных
движений для систем управления произвольно высокого порядка.
Если полученная переходная функция САУ соответствует быст
ропротекающему процессу с минимальным временем регулирования
Tпп, то при аппроксимации целесообразно использовать распределе
ние коэффициентов затухания и собственных частот колебаний со
ставляющих процесса (16), рекомендованное Баттервортом [40].
Однако в литературе приводятся значения распределенных по Бат
терворту корней нормированных уравнений лишь до 6–8 порядка.
В работе [40] Баттерворт предлагает для уравнений четных степе
ней использовать только комплексносопряженные корни, т. е. в урав
нении (16) должна быть только первая сумма. Исходя из этого, для
нормированных уравнений kго порядка коэффициенты затухания
и собственные частоты колебаний составляющих будут определять
ся выражениями вида [19, 22, 33]
⎡ π ( i − 1) ⎤
αiн = cos ⎢
⎥,
⎣ 2k ⎦
⎡ π ( i − 1) ⎤
βiн = sin ⎢
⎥,
⎣ 2k ⎦
(29)
где i – ряд четных чисел от 2 до k; k – порядок уравнения движения
САУ, а индекс «н» означает, что полученные значения соответству
ют нормированному программному движению.
Для уравнений нечетных степеней по Баттерворту допускается
одна экспоненциальная составляющая в программном движении
127
x0(t), которая для нормированного процесса имеет коэффициент за
тухания αiн =1 (старший корень уравнения). Коэффициенты затуха
ния и собственные частоты колебаний остальных составляющих нор
мированного программного движения будут определяться выраже
ниями вида [19, 22, 33]
⎡ πi ⎤
αiн = cos ⎢ ⎥ ,
⎣ 2k ⎦
⎡ πi ⎤
βiн = sin ⎢ ⎥ ,
⎣ 2k ⎦
(30)
где i – ряд четных чисел от 2 до k–1.
Из уравнений (29), (30) следует соотношение, связывающее коэф
фициенты затухания iй составляющей с ее собственной частотой
колебаний в случае распределения по Баттерворту:
α2iн + β2iн = 1.
(31)
Если САУ характеризуется быстропротекающим процессом с мак
симальной степенью устойчивости, целесообразно воспользоваться
рекомендациями, изложенными в [25, 39]. При этом под степенью
устойчивости понимается расстояние от мнимой оси до ближайшего
корня или до ближайшей пары комплексносопряженных корней, т. е.
коэффициент затухания первой (основной) составляющей программ
ного движения.
В работах [25, 39] отмечается, что поведение большинства замк
нутых систем автоматического управления в переходном режиме за
висит от компоненты процесса (16), определяемой наименьшим кор
нем, которая затухает медленнее других компонент. Следовательно,
именно данная составляющая в основном определяет длительность
и перерегулирование (в случае комплексносопряженных корней)
процесса.
Как показано в [39, 41], минимальная длительность процесса бу
дет получена при кратном распределении вещественных корней урав
нения (16). В этом случае нормированное программное движение при
αmн = 1 будет иметь следующий вид:
⎡
τ2
τn−1 ⎤
x1 ( t ) = 1 − e −τ ⎢1 + τ + + 1 +
⎥,
2!
( n − 1) ! ⎦⎥
⎣⎢
где τ = αmнt – относительное (нормированное) время; n – порядок диф
ференциального уравнения.
128
Нормированную длительность процесса Tпп можно определить из
графика нормированного программного движения, построенного
в соответствии с формулой (16) для САУ произвольно высокого по
рядка. Затем, используя соотношение (23), определяющее значение
коэффициента нормирования kн по заданной длительности желаемо
го движения Tпп, можно перейти от нормированного значения коэф
фициента затухания процесса к его действительному для проектиру
емой САУ значению.
В работе [41] А. А. Фельдбаум показал, что при одной паре комп
лексосопряженных корней, а остальных вещественных, справедли
во неравенство
⎡⎣1 + V ( τ ) ⎤⎦ > x ( t ) > ⎡⎣1 − V ( τ ) ⎤⎦ ,
где [1 + V(τ)] – мажоранта x(t), т. е. кривая, ограничивающая x(t)
сверху, а [1 – V(τ)] – миноранта x(t), т. е. кривая, ограничивающая
x(t) снизу; причем V(τ) определяется выражением вида
⎡
τ2
τn−1 ⎤
V ( τ ) = e −τ ⎢1 + τ + + 1 +
⎥.
2!
( n − 1) ! ⎦⎥
⎣⎢
Мажоранты и миноранты позволяют оценить как время регули
рования, так и перерегулирование, возможное при одной паре комп
лексносопряженных корней. Оценить перерегулирование в этом слу
чае можно по затуханию пары комплексносопряженных корней (ос
тальные n–2 корня вещественные) в соответствии с неравенством
[39, 42]
⎛ π⎞
σm ≤ exp ⎜ − ⎟,
⎝ μ⎠
(32)
β
.
α
С помощью формулы (32) можно определить значение μ, обес
печивающее величину перерегулирования экспериментально снято
го переходного процесса. На рис. 79 приведена кривая, связываю
щая максимальное перерегулирование с колебательностью процесса
в САУ nго порядка, имеющей одну пару комплексносопряженных
корней.
Как показано в [39], получение процесса с минимальным време
нем регулирования возможно при кратном распределении комплекс
где μ =
129
127
σm
носопряженных корней. То есть
в этом случае переходная функция
описывается лишь первой суммой
соотношения (16). При этом коэф
фициенты затухания всех состав
ляющих одинаковы:
126
125
124
α1 = α2 = … = α k = α,
2
123
а собственные частоты колебаний
образуют арифметическую прогрес
1
321 421 521 621 721
сию, первый член которой β1 равен
Рис. 79. Зависимость перерегу
разности прогрессии η. Последняя
лирования от колеба
связана с коэффициентом затуха
тельности процесса
ния α и колебательностью μ соотно
шением вида η = αμ.
Когда степень полинома S(p) отлична от нуля (v ≠ 0), близкое крат
ному или кратное распределение корней оказывается неудовлетво
рительным, так как вызывает существенное увеличение перерегули
рования [25, 39, 41]. В этом случае для уменьшения величин произ
водных необходимо замедлить нарастание процесса, что при v = 1
достигается путем распределения корней, расположенных на веще
ственной полуоси по арифметической прогрессии, а при v = 2 – по
геометрической прогрессии.
Очевидно, что для построения математической модели переходно
го процесса вида (16) кроме значений коэффициентов затухания α
и собственных частот колебаний β, необходимо определить постоян
ные Ci/2, ..., Cj+i+1.
Определение постоянных Ci/2, ..., Cj+i+1 для уравнения переход
ного процесса (16) целесообразно проводить для любых начальных
значений производных и любых воздействий так, что нулевые на
чальные условия являются лишь частным случаем общего решения.
В случае ненулевых начальных условий аппроксимирующее движе
ние x10 ( t ) будет отличаться от уравнения (16) на величину устано
вившегося значения xуст(t):
μ
x10 ( t ) = x0 ( t ) − xуст ( t ).
(33)
Дифференцируя полученное уравнение n–1 раз и приравнивая при
t = 0, получаем n уравнений с неизвестными коэффициентами Ci/2, ...,
Cj+i+1:
130
x0 ( 0 ) = x10 ( 0 ) − xуст ( 0 ),
x1 0 ( 0 ) = x110 ( 0 ) − x1 уст ( 0 ),
22222222222
x0
(n−1)
( 0 ) = x10
(n−1)
( n−1)
( 0 ) − xуст
( 0 ).
(34)
Затем, задаваясь начальными значениями (при t = 0) производ
ных в уравнениях (34), определяются постоянные Ci/2, ..., Cj+i+1
для любых начальных условий. Подставляя полученные таким об
разом значения постоянных в уравнение (16), из последнего можно
определить величину переходной погрешности в любой момент вре
мени t > 0.
Таким образом, распределив в соответствии с заданными показа
телями качества работы САУ коэффициенты затухания и собствен
ные частоты колебаний и определив амплитуды составляющих (по
стоянные Ci/2, ..., Cj+i+1), можно построить математическую модель
переходного процесса в системе управления любого порядка при лю
бых начальных условиях.
§ 21. Аппроксимация переходной функции САУ
высокого порядка основными составляющими
При построении математической модели переходной функции САУ
не всегда возможно получить модель, соответствующую порядку ис
следуемой системы, особенно при ненулевых начальных условиях.
В случае исследования систем управления высокого порядка разра
ботчику необходимо задавать начальные значения в общем случае n – 1
производных, что является весьма непростой задачей. Также необ
ходимо отметить, что большинство реальных САУ, с которыми при
ходится иметь дело, являются нелинейными. Это обстоятельство,
безусловно, осложняет решение вопроса аппроксимации эксперимен
тально снятых переходных функций, поскольку задать заведомо
реализуемое движение в системе, описываемой нелинейными диффе
ренциальными уравнениями, особенно высокого порядка, не пред
ставляется возможным.
Поэтому рассмотрим некоторые рекомендации по аппроксимации
программных движений САУ высокого порядка их основными со
ставляющими (младшие корни уравнения (14)), соответствующими
решениям линейных дифференциальных уравнений 2–4го поряд
ков, которые могут быть использованы в качестве первых приближе
131
ний при построении математических моделей переходных процессов
линейных и нелинейных САУ.
В случае аппроксимации программного движения произвольно
высокого порядка (16) двумятремя составляющими [19, 22, 32–37],
которые определяют ход основного процесса, необходимо иметь в виду
следующее:
– переходная характеристика САУ определяется двумятремя мень
шими по абсолютному значению корнями в случае их распределения
по арифметической или геометрической прогрессии;
– вещественные составляющие комплексносопряженных корней
(коэффициенты затухания αi) при βi > αi должны удовлетворять усло
вию
αi ≥ 2αi−1,
(35)
где i – ряд четных чисел от 2 до n.
Следует отметить, что условию (35) должны удовлетворять и чис
то вещественные корни, для которых i – ряд натуральных чисел от 1
до n;
– частоты собственных колебаний составляющих процесса (16)
должны удовлетворять условию βi = 2αi , что соответствует показа
телю колебательности μ ≤ 2.
Наконец, при разработке маломощных систем управления произ
вольно высокого порядка, малочувствительных к случайным изме
нениям параметров, характер программного движения определяется
степенью успокоения колебаний γ за цикл основной колебательной
составляющей [36]
−τ ⎞
⎛
γ = ⎜ 1 − e T ⎟100 %,
⎜
⎟
⎝
⎠
где T =
1
2π
– постоянная времени затухания процесса; τ =
– пери
α1
β1
од собственных колебаний; здесь α1, β1 – коэффициент затухания
и собственная частота колебаний основной гармоники программного
движения.
Как отмечается в [36], степень успокоения маломощных САУ долж
на быть в пределах 85–90 %, а при увеличении мощности системы γ
увеличивается до 95–98 %. Исходя из этого, можно определить зна
чения α и β основной гармоники, аппроксимирующей движение
в системе высокого порядка.
132
Таким образом, при выполнении рекомендаций, изложенных выше,
переходной процесс в САУ любого порядка (в общем случае nго) бу
дет в основном определяться двумятремя экспоненциальными со
ставляющими (в случае чисто вещественных корней), либо двумя со
ставляющими (в случае смешанных и комплексносопряженных кор
ней) уравнения (16).
Покажем применение рекомендаций, изложенных выше.
Как показывает опыт проектирования систем управления [19, 22],
движение которых описывается дифференциальными уравнениями
(в том числе и нелинейными) высокого порядка, во многих случаях
вполне допустимо задание переходного процесса в виде решения диф
ференциального уравнения второго порядка
x0 ( t ) = ⎡ xу + H∗ cos ( βt − ϕ0 ) e −αt ⎤1( t ),
⎣
⎦
(36)
где xу – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞; а H* и ϕ0 опреде
ляются соотношениями вида
⎡ α ( x0 − xу ) + x10 ⎤
+⎢
⎥ ,
β
⎢⎣
⎥⎦
2
∗
H =
( x0 − xу )
2
(37)
⎡ α ( x0 − xу ) + x1 0 ⎤
ϕ0 = arctg ⎢
⎥,
(38)
⎢⎣ β ( x0 − xу ) ⎥⎦
здесь x0 , x1 0 – начальные значения исследуемой координаты, относи
тельно которой записано уравнение движения исследуемой САУ, и ее
производной соответственно в момент времени t = +0.
В случае задания желаемого движения вида (36) показатель зату
хания процесса α определяется исходя из соотношения
α=
3÷4
,
Tпп
(39)
β
а связь перерегулирования σm с показателем колебательности μ =
α
устанавливается выражением вида
σm =
0
xmax
H*
⎡ ⎛π
⎞⎤
⎢ ⎜ 2 + ϕ0 + arctgμ ⎟ ⎥
⎠ ⎥,
exp ⎢ − ⎝
=
2
μ
⎢
⎥
μ +1
⎢
⎥
⎣
⎦
μ
(40)
0
где xmax
– первый экстремум процесса (36) – определяется формулой
133
0
xmax
= −H∗
⎡ ⎛π
⎞⎤
+ ϕ0 + arctgμ ⎟ ⎥
⎜
⎢
μ
2
⎠ ⎥.
exp ⎢ − ⎝
2
μ
⎢
⎥
μ +1
⎢
⎥
⎣
⎦
(41)
В частном случае (при x1 0 = 0) выражение (40) существенно упро
щается и принимает вид
σm =
−
μ
μ2 + 1
π
e μ,
(42)
который показывает, что выражение (42) с точностью до множите
ля, стоящего перед экспонентой, совпадает с предложенным в [39,
41] соотношением (32).
Однако в более общем случае необходимо учитывать влияние на
величину перерегулирования не только значения колебательности
процесса, но и начального значения скорости изменения программ
ного движения.
Таким образом, при построении модели процесса (36) по коорди
нате ошибки в формулах (37), (38) следует положить x0 = H, xу = 0,
а x10 < 0. Если же процесс строится по координате выхода системы,
то – x0 = 0, xу = H, x10 > 0. Следовательно, для рассмотренных случаев
соотношение (38) принимает вид
⎡ α H − x10 ⎤
ϕ0 = arctg ⎢
⎥,
⎣ βH ⎦
(43)
либо
ϕ0 = arctg
1 − x1 отн
,
μ
(44)
x10
– относительное значение скорости изменения желае
αH
мого процесса.
С учетом (44) выражение (40) принимает вид
где x1 отн =
134
⎡ ⎛π
⎞⎤
1 − x1 отн
+ arctgμ ⎟ ⎥
⎢ ⎜ + arctg
μ
2
μ
⎠ ⎥.
σm =
exp ⎢ − ⎝
2
⎢
⎥
μ
μ +1
⎢
⎥
⎣
⎦
(45)
127
σm
3
4
5
67
127
σm
7
6
126
126
125
125
5
4
3
124
124
123
123
1
321
421
521
621
μ
721
1
1 123
321
421
521
621
721
Рис. 80. Семейство кривых σm =
Рис. 81. Семейство кривых
= σm(μ, x1 отн ) при фиксиро
σm = σm (μ, x1 отн ) при фикси
ванных значениях x1 отн:
рованных значениях m:
кривая 1 – x1 отн → ∞;
кривая 1 – σm = 0,1;
кривая 2 – x1 отн = 4;
кривая 2 – σm = 0,2;
кривая 3 – x1 отн = 2;
кривая 3 – σm = 0,3;
кривая 4 – x1 отн = 1;
кривая 4 – σm = 0,4;
кривая 5 – x1 отн = 0
кривая 5 – σm = 0,5
На рис. 80, 81 в соответствии с соотношением (45) построены се
мейства кривых σm = σm (μ, x1 отн ) при фиксированных значениях x1 отн
и μ соответственно.
Решая уравнение (44) относительно x1 отн , получаем аналитиче
скую зависимость x1 отн = x1 отн (σm , μ), которая имеет следующий вид:
x1 отн =
1 + μ2
.
⎛
⎞
⎜
⎟
μ ln σm ⎟
1 + μctg ⎜
⎜
⎟
μ
⎜ ln 2
⎟
⎜
μ + 1 ⎟⎠
⎝
(46)
В соответствии с соотношением (46) построено семейство кри
вых μ = μ(x1 отн ) при фиксированных значениях перерегулирования σm,
приведенное на рис. 82.
Применение графиков, представленных на рис. 80–82, позволяет
существенно упростить определение параметров математической мо
дели переходной функции (36) в зависимости от показателей каче
ства работы исследуемой САУ.
135
723
μ
Используя соотношения (39),
(44), (46), получим выражение,
определяющее действительное
начальное значение скорости
изменения желаемого процесса
(36):
623
523
7
423
6
5
123
3
123
423
523
x10 =
4
1
623 7231 123
Рис. 82. Семейство кривых μ = μ(x1 отн )
при фиксированных значени
ях перерегулирования σm: кри
вая 1 – μ = 1,0; кривая 2 – μ =
= 1,5; кривая 3 – μ = 2,0; кривая
4 – μ = 2,5; кривая 5 – μ = 3,0
(3 ÷ 4) H (1 + μ2 )
⎛
⎛
⎞⎞
⎜
⎜
⎟⎟
μ ln σm ⎟ ⎟
⎜
Tпп ⎜1 + μctg ⎜
⎜
μ ⎟⎟
⎜
⎜ ln 2 ⎟ ⎟
⎜
⎜
μ +1 ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
.(47)
Теперь рассмотрим процесс,
имеющий две экспоненциаль
ные составляющие:
x0 ( t ) = ⎡ xу + H1e −α1t + H2e −α2t ⎤ 1( t ),
⎣
⎦
(48)
где H1, H2 – амплитуды составляющих, которые определяются сле
дующими соотношениями:
H1 =
α2 ( x0 − xу ) + x1 0
α2 − α1
, H2 =
α1 ( x0 − xу ) + x10
α1 − α2
,
(49)
здесь x0 , x1 0 – начальные значения исследуемой координаты, относи
тельно которой записано уравнение движения исследуемой САУ, и ее
производной соответственно в момент времени t = +0; xу – значение
процесса x0(t) при t = ∞.
Установим взаимосвязь параметров движения вида (48) со време
нем переходного процесса Tпп.
Приведем формулы (49) к виду
H1 =
( x0 − xу ) + α1
2
1− γ
⋅ x10
, H2 =
γ ( x0 − xу ) +
γ −1
1
⋅ x10
α2
,
(50)
α1
– отношение меньшего по величине коэффициента затуха
α2
ния α1 к большему α2.
где γ =
136
Как следует из общих рекомендаций по аппроксимации процесса
в системах управления произвольного порядка основными составля
ющими, коэффициенты затухания для процесса (48) должны быть
связаны соотношением (47), следовательно, величина γ лежит в ди
апазоне от нуля до единицы. Тогда, в соответствии с соотношениями
(50), можно построить семейства зависимостей H1 = H1(γ, x10 ); H2 =
= H2(γ, x10 ), вид которых при x0 = 1 и xу = 0 приведен на рис. 88.
Определим взаимосвязь показателей качества работы САУ и па
раметров движения вида (48). Поскольку задание начального значе
ния изменения производной x10 достаточно сложно, то для простоты
рассмотрения будем полагать x10 = 0. Также будем полагать, что пе
реходный процесс заканчивается, когда регулируемая величина до
стигает установившегося значения, т. е. выполняется строгое равен
ство x(t) = xу при t = Tпп. Тогда можно записать следующее уравнение:
H1e −α1Tпп + H2e −α2Tпп = 0,
из которого определяется коэффициент затухания первой составля
ющей процесса (48) α1 по заданному времени переходного процесса
и значение γ:
6141
11
7
65
5341
5141
341
146
1
147
148
149
541γ
2341
25141
25341
26141
12
7
65
Рис. 83. Семейства зависимостей H1 = H1(γ, x10); H2 = H2(γ, x1 0 ): кривая 1 –
x1 0 = 0; кривая 2 – x10 /α2 = 1; кривая 3 – x10/α2 = 2; кривая 4 – x10 /α2 = 4
137
α1 =
ln γ
.
⎛1 ⎞
Tпп ⎜ − 1 ⎟
⎝γ
⎠
Затем определяется значение коэффициента затухания второй со
ставляющей процесса α2 и находятся амплитуды составляющих же
лаемого программного движения (48). Полученные таким образом
параметры программного движения вида (48) оказываются связан
ными с показателями качества работы САУ (временем переходного
процесса).
Установим связь между показателями качества работы системы
управления и параметрами процесса, имеющего три экспоненциаль
ных составляющих:
x0 ( t ) = ⎡xу + H1e −α1t + H2e −α2t + H3e −α3t ⎤ 1( t ),
(51)
⎣
⎦
где H1, H2, H3 – амплитуды составляющих определяются следующи
ми соотношениями:
H1 =
110
α1α2 ( x0 − xу ) + ( α2 + α3 ) x10 + x
;
( α2 − α1 )( α3 − α1 )
110
α1α3 ( x0 − xу ) + ( α1 + α3 ) x10 + x
;
H2 =
( α1 − α2 )( α3 − α2 )
110
α1α2 ( x0 − xу ) + ( α1 + α2 ) x10 + x
,
H3 =
( α1 − α3 )( α2 − α3 )
(52)
110 – начальные значения исследуемой координаты, от
здесь x0 , x10 , x
носительно которой записано уравнение движения синтезируемой
САУ, и ее первой и второй производных соответственно в момент вре
мени t = +0.
Будем полагать, что начальные значения первой и второй произ
водных процесса (51) равны нулю. В этом случае соотношения (52)
можно несколько упростить и представить в виде
H1 =
(x0 − xу )
;
(1 − γ1 )(1 − γ1 γ2 )
H2 =
γ1 (x0 − xу )
( γ1 − 1)(1 − γ2 )
; H3 =
γ1 γ 22 (x0 − xу )
(1 − γ2 )(1 − γ1 γ2 )
, (53)
α1
α
, γ2 = 2 . Причем, в соответствии с соотношением (47),
α2
α3
величины γ1 и γ2 должны лежать в пределах от нуля до единицы.
где γ1 =
138
Поскольку переходная характеристика САУ определяется тремя мень
шими по абсолютному значению вещественными корнями, в случае
их распределения по арифметической или геометрической прогрес
сии величины γ1 и γ2 будут представлять собой члены соответствую
щей прогрессии распределения корней (коэффициентов затухания
составляющих процесса).
На рис. 84 показан вид графических зависимостей амплитуд со
ставляющих процесса (51) от величин γ1 и γ2 для x0 = 1, построенных
в соответствии с (53).
Будем полагать, что γ1 = γ2 = γ и переходный процесс заканчивает
ся, когда регулируемая величина достигает установившегося значе
ния, т. е. выполняется строгое равенство x(t) = xу при t = Tпп. Тогда
можно записать следующее уравнение:
H1e −α1Tпп + H2e −α2Tпп + H3e −α3Tпп = 0,
(54)
где
H1 =
1
(1 − γ ) (1 − γ
2
)
; H2 = −γ (1 − γ ) H1; H3 = γ 3 H1 .
11
23122313
1
123
124
125
126
127
128
123 124
(55)
γ12
γ2
119
139
γ12
γ2
125 126 127 128
γ2
γ1
129
γ12
γ2
Рис. 84. Зависимостей амплитуд составляющих процесса от величин γ1
и γ2
139
Тогда, с учетом (55), приводим уравнение (54) к виду
e −α1Tпп − γ (1 − γ ) e
−
α1Tпп
γ
+ γ 3e
−
α1Tпп
γ2
= 0.
(56)
Так как γ < 0,5 (как следует из (47)), третьим слагаемым уравне
ния (56) можно пренебречь и решить уравнение относительно коэф
фициента затухания первой составляющей процесса (51). В резуль
тате имеем
α1 ≈
ln γ (1 − γ )
⎛1 ⎞
Tпп ⎜ − 1 ⎟
⎝γ
⎠
.
(57)
Таким образом, зная время переходного процесса и коэффициент
γ из (57), можно найти коэффициент затухания первой составляю
щей α1 процесса (51). Затем определяются значения коэффициентов
затухания второй и третьей составляющих процесса (α2 и α3) и, в со
ответствии с выражениями (53) или (55), находятся амплитуды со
ставляющих желаемого программного движения. Полученные таким
образом параметры движения вида (51) оказываются связанными со
временем переходного процесса Tпп.
Наконец, рассмотрим процесс, представляющий собой решение диф
ференциального уравнения третьего порядка при смешанных корнях,
имеющий колебательную и экспоненциальную составляющие:
x0 ( t ) = ⎡ xу + H1e −α1t cos ( βt − ϕ0 ) + H2e −α2t ⎤ 1( t ),
(58)
⎣
⎦
где H1, H2 – амплитуды составляющих – определяются следующими
соотношениями:
H1 = A12 + A22 ; H2 =
(α
2
1
)
110
+ β2 ( x0 − xу ) + 2α1x1 0 + x
( α1 − α2 )2 + β2
,
здесь
A1 =
A2 =
(
110
α2 ( α2 − 2α1 ) ( x0 − xу ) + 2α1x1 0 − x
( α1 − α2 )
2
)
α2 β2 − α12 + α1α2 ( x0 − xу )
⎡( α − α )2 + β2 ⎤ β
2
⎢⎣ 1
⎥⎦
+
(α
+ β2
2
2
)
110
− α12 + β2 x1 0 + ( α2 − α1 ) x
⎡( α − α )2 + β2 ⎤ β
2
⎢⎣ 1
⎥⎦
110 = 0 и α1 = γα2 , имеем:
либо, полагая x10 = x
140
;
;
H1 =
x0 − xу
(1 − 2γ )2 μ2 γ2 + (1 − γ + μ2 γ )
2
μγ ⎡⎢(1 − γ ) + μ2 γ2 ⎤⎥
⎣
⎦
2
H2 =
(
)
γ2 1 + μ2 ( x0 − xу )
(1 − γ )
2
+ μ2 γ 2
,
;
(59)
β
– показатель колебательности.
α1
Фазовый сдвиг колебательной составляющей процесса (58) с уче
110 = 0 и α1 = γα2 определяется следующим соотношением:
том x10 = x
где μ =
ϕ0 = arctg
⎡1 − γ + γμ2 ⎤
A2
= arctg ⎢
⎥.
A1
⎣⎢ (1 − 2γ ) μγ ⎦⎥
Определим связь показателей качества движения вида (58) и его па
раметров. Полагаем, что в момент времени t = Tпп отклонение устано
вившегося значения процесса x0(t) от заданного не превышает 3–5 %,
тогда
H1e −α1Tпп cos ( βTпп − ϕ0 ) + H2e −α2Tпп = 0,03 ÷ 0,05.
(60)
Как следует из (59) амплитуды составляющих процесса (55) H1
и H2 имеют один знак. В этом случае уравнение (60) будет иметь ре
шение, если, например, каждая составляющая достигнет значе
ния 0,015 ÷ 0,025. Поскольку затухание процесса определяется экс
понентами, можно записать следующее:
⎧⎪ H1e −α1Tпп = 0,015 ÷ 0,025
,
⎨
−α T
⎪⎩ H2e 2 пп = 0,015 ÷ 0,025
либо
⎛
1⎞
H1 −α1Tпп ⎜⎜⎝ 1− γ ⎟⎟⎠
⋅e
= 1.
H2
(61)
Из уравнения (61) следует
H2
H1
.
α1 ≈
⎛1 ⎞
Tпп ⎜ − 1 ⎟
⎝γ
⎠
ln
(62)
141
Определение параметров движения осуществляется следующим
образом. По заданному значению перегулирования σm определяется
колебательность процесса μ (аналогично программному движению
(36)), в соответствии с соотношением (42), поскольку перерегулиро
вание процесса (58) зависит от колебательной составляющей. Затем
задается коэффициент γ и определяются значения амплитуд состав
ляющих H1 и H2 программного движения, а также значение ϕ0. Да
лее, в соответствии с формулой (62), находится значение коэффици
ента затухания колебательной составляющей процесса α1, затем оп
ределяются значения собственной частоты колебаний процесса β
и коэффициента затухания экспоненциальной составляющей α2. Та
ким образом, все параметры желаемого аппроксимирующей функ
ции вида (58) оказываются связанными с показателями качества
исследуемой системы управления.
§ 22. Аппроксимация переходной функции
решением дифференциального уравнения
с простыми вещественными корнями
Данный способ аппроксимации применим для гладких неколеба
тельных переходных функций h(t), описываемых соотношением
n
h ( t ) ≈ C0 − ∑ Ci e −αit ,
i =1
где C0 = h(t), при t→∞; Ci, αi – вещественные числа.
Данный способ аппроксимации предполагает, что корни диффе
ренциального уравнения должны удовлетворять следующему нера
венству:
αi
≤ ( 0,5…0,7 ).
αi+1
Выполнение данного условия означает, что корни характеристи
ческого уравнения расположены на действительной оси на достаточ
но большом расстоянии друг от друга и скорость затухания каждой
последующей экспоненты больше, чем предыдущей.
Таким образом, задача построения математической модели пере
ходного процесса заключается в определении амплитуд Ci и коэффи
циентов затухания αi отдельных составляющих движения.
Идея метода заключается в последовательном приближении ап
проксимирующей функции к экспериментально снятой. В начале пе
142
реходная функция аппроксимируется решением дифференциально
го уравнения первого порядка, т. е. математическая модель процесса
первого приближения h1(t) имеет лишь одну составляющую:
h1( t ) ≈ C0 − C1e −α1t ,
(63)
а влиянием остальных пренебрегаем.
Если данная аппроксимация оказывается неудовлетворительной
на какомлибо интервале времени от 0 до Tпп, то в рассмотрение вво
дится вторая составляющая процесса – C2e −α2t , т. е. формируется
математическая модель переходного процесса второго приближения
h2(t) и т. д.
Неизвестные величины Ci, αi определяются путем последователь
ного логарифмирования. Представим соотношение (63) в виде
h1( t ) = C1e −α1t = C0 − h ( t ),
после логарифмирования получаем уравнение прямой в полулогариф
мическом масштабе:
ln h1 ( t ) = ln C1 − α1t.
Таким образом, последовательность определения C1, α1 будет сле
дующей:
1) вычисляется функция h1(t)= C0 – h(t);
2) строится график ln|h1(t)| как функции времени;
3) к функции ln|h1(t)| проводится асимптота при t→∞;
4) построенная асимптота отсекает на оси ординат отрезок, рав
ный ln C1, а тангенс угла ее наклона к оси абсцисс дает значение α1.
Необходимо отметить, что если экспериментально снятый пере
ходной процесс h(t) действительно является решением дифференци
ального уравнения первого порядка, то асимптота будет совпадать
с функцией ln|h1(t)| не только при больших значениях t, а во всем
интервале от 0 до Tпп, т. е.
h 2( t ) = h1( t ) − C1e −α1t = 0.
Однако в общем случае n ≠ 1, поэтому, определив значения C1, α1,
можно найти h2(t). Далее алгоритм определения C2, α2 аналогичен
рассмотренному выше.
Вычисления заканчиваются, когда отклонение аппроксимирую
щего процесса от экспериментально снятой переходной функции h(t)
не будет превышать 1–2 %.
143
Практика применения рассмотренного подхода показывает, что
в большинстве случаев требуемая точность аппроксимации функции
h(t) достигается при использовании 2–4 экспонент.
При правильном определении постоянных Ci и коэффициентов за
тухания αi составляющих должны выполняться следующие условия:
n
⎧
⎪C0 − ∑ Ci = 0
⎪
i =1
.
⎨n
n
n
⎪ α C = α2C = 1 = αn−1C = 0
∑ i i
⎪∑ i i ∑ i i
i =1
i =1
⎩ i =1
Очевидным достоинство рассмотренного метода является его про
стота, а недостаток заключается в субъективных ошибках, связан
ных с проведением асимптот, что приводит к неточному определению
значений Ci, αi.
Отметим, что при наличии в переходной функции h(t) запаздыва
ния время запаздывания должно быть выделено из процесса перед
определением Ci, αi.
§ 23. Аппроксимация переходной функции
решением дифференциального уравнения
с комплексно-сопряженными корнями
Данный метод аппроксимации переходной функции применяется
в тех случаях, когда переходная составляющая процесса носит коле
бательный характер. Тогда можно предположить, что звено или сис
тема описывается передаточной функцией, имеющей нули и облада
ющей несколькими парами комплексносопряженных корней. В ос
нове рассматриваемого подхода, как и в предыдущем случае, лежит
принцип последовательных приближений модели к эксперименталь
но снятому переходному процессу.
В начале из переходной функции h(t) должно быть выделено вре
мя чистого запаздывания, а затем определяется зависимость вида
h1(t) = C0 – h(t), которая аппроксимируется рядом
n
h1 ( t ) ≈ ∑ Ci e −αit sin ( βit − ϕi ),
i =1
где αi – коэффициент затухания iй составляющей (вещественная
часть комплексного корня pi= αi ± jβi); βi – собственная частота коле
баний iй составляющей (мнимая часть комплексного корня).
144
Данный способ аппроксимации предполагает, что коэффициенты
затухания составляющих процесса должны удовлетворять следую
щему неравенству:
αi
≤ ( 0,5…0,7 ).
αi+1
Процесс первого приближения описывается следующим образом:
h1 ( t ) ≈ C1e −α1t sin ( β1t − ϕ1 ),
следовательно, из графика экспериментально снятой переходной
функции (рис. 85) должны быть определены значения C1, α1, β1.
Величина β1 находится достаточно просто, если известен период
T1 колебаний h1(t), так как β1 =
2π
.
T1
Поскольку в точках t0i (i = 1, 2, …) функция h1(t) переходит через
ноль, то справедливо равенство sin ( β1t0i − ϕ1 ) = 0, что позволяет най
ти значение начального фазового сдвига ϕ1 = −β1t0i + iπ.
В точках tmi (i = 0, 1, 2, …) функция h1(t) достигает максимальных
i
значений, следовательно, можно записать: sin ( β1tmi − ϕ1 ) = ( −1) , тог
да для моментов времени tmi справедливо равенство
h1 ( tmi ) = C0 − h ( tmi ) ≈ C1e −α1tmi .
После логарифмирования получаем
ln h1 ( tmi ) = ln C1 − α1tmi .
32
1122
33
h(∞) = C0
3
τ
212 212
213 213 2 14 214 215 215 2 16 2
Рис. 85. Аппроксимация переходной функции
145
Далее алгоритм вычисления значений C1, α1 аналогичен рассмот
ренному выше.
После определения значений всех параметров функции h1(t) вы
числяется невязка:
h2 ( t ) = h1 ( t ) − C1e −α1t sin ( β1t − ϕ1 )
и процесс вычислений повторяется до тех пор, пока не будет получе
на математическая модель переходного процесса, обеспечивающая
отклонение от экспериментально снятой переходной функции h(t),
не превышающее 1–2 %.
При правильном определении постоянных Ci и коэффициентов за
тухания αi и собственных частот колебаний βi всех составляющих
процесса должны выполняться следующие условия:
n
⎧
⎪h ( 0 ) = C0 − ∑ Ci sin ϕi = 0
i =1
⎪
⎪⎪
n
.
⎨h1 ( 0 ) = ∑ Ci ( −αi sin ϕi + βi cos ϕi ) = 0
i =1
⎪
⎪
n
⎪h11( 0 ) = ∑ Ci ⎡ α2i − β2i sin ϕi − 2αiβi cos ϕi ⎤ = 0
⎣
⎦
⎪⎩
i =1
(
)
Основным недостатком данного метода аппроксимации переход
ной функции является то, что для определения значений коэффици
ентов математической модели процесса требуется знание периода
колебаний функции h(t). Чтобы определить значение периода с дос
таточной для дальнейших расчетов точностью, необходимо, чтобы
при исследовании динамических свойств системы в переходном про
цессе было не менее 2–3 полных колебаний, что не всегда удается
сделать, поскольку сам характер процесса определяется динамиче
скими свойствами САУ.
146
Список рекомендуемой литературы
1. Голембо З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехни
ческих задач на электронных вычислительных машинах. М.: Высшая
школа, 1974. 175 с.
2. Зуев Н. А., Рахматтулин С. Ф. Оптимальные математические моде
ли электромагнитных систем: учеб. пособие. Уфа: Издво УАИ, 1986. 85 с.
3. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной
математике. М.: Наука, 1984. 190 с.
4. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехни
ки: в 2 т. Т. 1. Л.: Энергия, 1967. 516 с.
5. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1987. 256 с.
6. Тозони О. В. Метод вторичных токов в электротехнике. М.: Энергия,
1975. 296 с.
7. Тозони О. В. Автоматизация электромагнитных расчетов // Изве
стия вузов: Электротехника. 1968. № 12. С. 10–18.
8. Рахматуллин С. Ф., Зуев Н. А. Анализ сложных систем: Электро
магнитные системы. Уфа: Издво УАИ, 1984. 90 с.
9. Зуев Н. А., Рахматуллин С. Ф. Векторные диаграммы в электро
технике: учеб. пособие. Уфа: Издво УАИ, 1984. 90 с.
10. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей: линейные
цепи. М.: Высшая школа, 1981. 336 с.
11. Мартынов В. А. Современные модели и методы расчета нелиней
ных электротехнических устройств. Иваново: Издво ИГЭУ, 2000. 140 с.
12. Артемьев Б. А. Обобщенная теория электрической машины со
сплошным ротором. Л.: Издво ЛУ, 1985. 188 с.
13. Васьковский Ю. Н. Алгоритмы моделирования динамических про
цессов синхронных машин на основе анализа электромагнитного поля //
Техническая электродинамика. 1994. № 5–6. С. 46–50.
14. Ефименко Е. И. Новые методы исследования машин переменного
тока и их приложения. М.: Энергоатомиздат, 1993. 288 с.
15. Загорский А. Е. Регулируемые электрические машины переменно
го тока. М.: Энергоатомиздат, 1992. 288 с.
16. Фильц Р. В., Лябук Н. Н. Математическое моделирование явнопо
люсных синхронных машин. Львов: Свит, 1991. 176 с.
17. Флиц Р. В. Математические основы теории электромеханических
преобразователей. Киев: Наукова думка, 1979. 205 с.
18. Фельдбаум А. А. Введение в теорию нелинейных цепей. М.: Энерго
издат, 1948. 324 с.
19. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез нелиней
ных систем автоматического управления: монография / под ред. В. Ф. Шиш
лакова. СПб.: ГУАП, 2003. 358 с.
20. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической
кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962. 600 с.
21. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования
нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1960. 729 с.
147
22. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами
модуляции: монография. СПб.: ГУАП, 1999. 268 с.
23. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления
с частотно и широтноимпульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970. 339 с.
24. Федоров С. М., Литвинов А. П. Автоматические системы с цифро
выми управляющими машинами. М.; Л.: Энергия, 1965. 224 с.
25. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.
26. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1981. 396 с.
27. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управ
ления. М.: Машиностроение, 1964. 704 с.
28. Дискретные нелинейные системы / под ред. Ю. И. Топчеева. М.:
Машиностроение, 1982. 312 с.
29. Куо Б. С. Теория и проектирование цифровых систем управления.
М.: Машиностроение, 1986. 447 с.
30. Бушуев А. Б. и др. Проектирование регуляторов для систем с пери
одически изменяющимися коэффициентами // Приборостроение. 1998.
№ 77. С. 19–22.
31. Зверев И. И., Коконин С. С. Проектирование авиационных колес
и тормозных систем. М.: Машиностроение, 1972. 224 с.
32. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез системы
автоматического управления торможением колес транспортного средства //
Известия вузов: Приборостроение. 2004. № 5. С. 24–29.
33. Шишлаков В. Ф. Построение моделей программных движений не
линейных систем автоматического управления: метод. указания по кур
совому проектированию. СПб.: ГУАП, 2005. 29 с.
34. Яворский В. Н. и др. Проектирование инвариантных следящих при
водов. М.: Высшая школа, 1963. 476 с.
35. Яворский В. Н., Павлова М. Я., Калинина М. В. Выбор оптималь
ных корней характеристических уравнений следящих приводов: сб. науч.
тр. ЛМИ. Л., 1961. Вып. 22. С. 18–25.
36. Соколов Т. Н. Электромеханические системы автоматического ре
гулирования. М.: Гостехиздат, 1952. 252 с.
37. Graham D., Lathrop R. The syntheses of optimum transiens respons:
crieteria and standart form // AJEE: Tech. 1953. P. 53–249.
38. Соколов Н. И. Аналитический метод синтеза линеаризованных си
стем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1966. 328 с.
39. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической
кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962. 600 с.
40. Butterworth S. On the theory of filter amplifiers // Wireless engineer.
London, 1930. Vol. 7. P. 536–541.
41. Фельдбаум А. А. Электрические системы автоматического регули
рования. М.: Оборонгиз, 1957. 806 с.
42. Баранчук Е. И., Коварская Е. Л. Теория и проектирование следя
щих систем переменного тока. Л.: Энергия, 1966. 384 с.
148
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 377 Кб
Теги
shishlakov, elektromekh, ustr, tsvetkov, sist, mod
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа