close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

SIROTKINSEMENOVAKozlova

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки российской федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
В. Б. Сироткин, В. А. Семёнова,
Ю. А. Козлова
Методы и инструменты
финансово-экономических
расчетов
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2010
УДК 330.4
ББК 65.262.6
С40
Рецензенты:
кандидат экономических наук, доцент Ю. А. Тарасова
(кафедра финансовых рынков и финансового менеджмента СПб ф-ла ГУ-ВШЭ);
кандидат экономических наук, доцент Е. М. Лукина
(кафедра менеджмента ГУАП)
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Сироткин, В. Б.
С40 Методы и инструменты финансово-экономических расчетов:
учеб. пособие / В. Б. Сироткин, В. А. Семёнова, Ю. А. Козлова.
– СПб.: ГУАП, 2010. – 92 с.
ISBN 978-5-8088-0605-4
В пособии изложены наиболее распространенные методы и инструменты финансовых вычислений, раскрыта сущность математических приемов для получения стоимостных оценок при решении
различных прикладных задач. Особое внимание уделено методам финансовых расчетов: дисконтированию, наращению, анализу денежных потоков и платежей и оценке стоимости. Рассматриваемые методы финансовых вычислений иллюстрируются примерами. Приведены задачи для самостоятельной подготовки.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей всех форм обучения по направлению «Менеджмент», а также для
широкого круга читателей, интересующихся финансовыми вычислениями.
УДК 330.4
ББК 65.262.6
ISBN 978-5-8088-0605-4 © Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2010
© В. Б. Сироткин, В. А. Семёнова,
Ю. А. Козлова, 2010
Введение
Развитие современной экономической системы сопровождается
созданием мощных рынков капиталов, финансирующих деятельность
хозяйствующих субъектов. Профессиональная работа на рынке капиталов требует владения навыками и методами финансовых вычислений для оценки инвестиционных проектов, расчета стоимости ценных
бумаг, в ссудозаемных и валютных операциях и для оценки бизнеса.
Финансовые вычисления базируются на понятии временной ценности денег. Известный лозунг «время – деньги» имеет под собой реальную основу, указывающую на то, что ценность денег неотделима от понятия времени.
Важность учета фактора времени при определении цены денег обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные
суммы «сегодня» и «завтра» имеют разную ценность, – сегодняшние
деньги ценят больше, чем деньги в будущем. Отмеченная неравноценность одних и тех же денежных сумм, отнесенных к разным моментам
времени, можно объяснить следующими обстоятельствами:
Во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени
как приносящий доход финансовый актив. Деньги могут быть инвестированы и за определенный отрезок времени принести доход. Рубль
сегодня стоит больше, чем тот же рубль, который может быть получен
завтра ввиду возможности получить процентный доход, если положить этот рубль на сберегательный счет или проведя другую инвестиционную операцию.
Во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег
во времени. В условиях инфляции сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, так как цены на товар растут.
В-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся в наличии денег. Сегодня рубль уже есть
и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра, – еще
вопрос.
В рыночной экономике тип экономического мышления ориентирован на денежные измерители затрат и результатов. Сегодня финансовые и коммерческие расчеты стали необходимым условием жизни любого человека, будь то предприниматель или пенсионер.
Цель данного пособия – научить будущих специалистов различным методам финансовых расчетов, применяемых менеджментом в
бизнесе.
3
1. Основные понятия, применяемые
в финансовых расчетах
Главной задачей финансово-кредитных учреждений является
привлечение и размещение денежных средств с целью получения
прибыли. Например, кредитные учреждения привлекают средства
(депозиты) юридических и физических лиц с целью их дальнейшего
размещения в виде кредитов за определенную плату. При этом плата за привлеченные ресурсы несколько ниже платы за размещенные. Плата за финансовые ресурсы устанавливается в процентах.
Проценты по депозитам ниже, чем проценты по кредитам. Разница
между процентной ставкой по кредитам и процентной ставкой по
депозитам называется маржей. Маржа служит источником прибыли кредитного учреждения.
Величина процентной ставки чрезвычайно важна как с позиций
привлечения, так и с позиций размещения денег, поэтому регулирование процентной ставки осуществляется Центральным банком
страны, который устанавливает ставку рефинансирования (учетную ставку). Изменение Центральным банком ставки рефинансирования изменяет процентные ставки на рынке капиталов.
Процентный доход от размещения денег определяется на основе
процентной ставки. Процентная ставка в финансовой информации
указывается из расчета на год. В отдельных случаях ставка может
быть установлена на квартал, месяц и день.
На практике применяются два метода оценки процентного дохода – с использованием простых и сложных процентов.
При применении метода простых процентов доход начисляется
на первоначальную сумму инвестиций.
При использовании метода сложных процентов сумма процентов
присоединяется (реинвестируется, капитализируется) к основной
сумме после каждого очередного периода начислений.
Первоначальная сумма и присоединенные проценты называются наращенной суммой.
Так, если банковская ставка равна 10 % за год, а первоначальная сумма 100 р., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид, показанный в
табл. 1.
Введем следующие термины и обозначения:
– I – процентные деньги (процентный доход) (от англ. interest
money), называемые часто коротко «проценты», представляют собой абсолютный доход от предоставления денег в долг;
4
Таблица 1
Наращенная сумма с использованием простых и сложных процентов
Метод оценки
Простые проценты
Сложные проценты
На начало 1-й год
100
100
110
110
2-й год
3-й год
4-й год
5-й год
120
121
130
133
140
146
150
161
– P – текущая стоимость (от англ. present value) – исходная
сумма долга или оценка современной величины денежной суммы,
поступление которой ожидается в будущем, в пересчете на более
ранний момент времени;
– S – будущая (наращенная) стоимость (от англ. future value) –
сумма долга с начисленными процентами в конце срока;
– r – процентная ставка (от англ. rate of interest) является относительным показателем эффективности вложений (норма доходности), характеризующим темп прироста стоимости за период:
– rs – простая процентная ставка;
– rc – сложная процентная ставка;
– d – учетная ставка (от англ. discount rate) является относительным показателем, применяемым в банковском учете для операция с векселями: ds – простая учетная ставка; dc – сложная учетная
ставка;
– n – срок погашения долга (период начисления процентов) –
интервал времени, по истечении которого сумму долга и проценты нужно вернуть. Срок измеряется числом расчетных периодов –
обычно равных по длине интервалов времени, в конце которых регулярно начисляются проценты.
Процентные деньги рассчитываются по формуле:
I = S – P,
тогда годовая ставка процента, в данном случае ставка наращения
r=
I S-I
=
.
P
P
Обратим внимание на некорректность названия величины I –
«процент». На самом деле I – это величина наращения ссуды, измеряемая в денежных единицах, а не в процентах, но такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения
называется процентом или процентами.
Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной
ставки и срока ссуды. Различают простые и сложные проценты.
5
Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные проценты являются показательной
функцией от времени, где время входит в показатель степени.
2. Наращение по простым
и сложным процентным ставкам
2.1. Наращение по простой процентной ставке
Под наращением понимается процесс присоединения процентного дохода к первоначальной сумме долга.
Процентная ставка rs применяется в финансовой практике практически для всех кредитных инструментов (кредиты, ссуды, займы,
депозиты), кроме векселей.
Простые проценты начисляются на основную суму долга один
раз в конце срока его погашения.
Таким образом, наращение за n лет по простой процентной
ставке рассчитывается по формуле:
Sn = P(1 + nrs )
а сумма процентов за n лет In = Pnrs .
Видно, что проценты являются линейной функцией времени.
Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n. Очевидно, что они справедливы и для дробных значений n как меньше, так и больше 1. Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени – квартал, месяц,
день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия
оговариваются в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может
выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и
последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и
даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.
Так, например, если: t – срок ссуды в днях; T – количество дней
в году; n = t / T – срок ссуды в годах, то величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30
дней в каждом из них. Первый способ обозначается (365 / 365), а второй – (360 / 360). Возможны и перекрестные способы.
В итоге на практике используют три основных способа расчета
срока ссуды n:
6
1) точные проценты с точным числом дней ссуды – (365 / 365);
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (финансовый год принимается – 12 месяцев по 30 дней) – (365 / 360);
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды
(месяц принимается равным 30 дням) и финансовый год (12 месяцев
по 30 дней) – (360 / 360).
В любом случае при получении ссуды нужно предварительно
убедиться, каким способом определяется срок ссуды, так как от этого зависит величина процентов.
Пример 1
Выдана ссуда 5 млн. долл. на один месяц – февраль (год невисокосный) под 13 %. Определить точные проценты с точным числом
дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 5 (1 + (28 / 365) 0,13) = 5,0498 долл. при t = 28 дн.;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 5 (1 + (28 / 360) 0,13) = 5,05056 долл.;
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 5 (1 + (30 / 360) 0,13) = 5,0542 долл.
Пример 2
Ссуда в размере 100 тыс. р. выдана 20.01 до 05.10 включительно
под 8 % годовых, год невисокосный. Необходимо найти размер погасительного платежа.
Решение:
Точное число дней ссуды составит 278 – 20 = 258, порядковый номер 05.10 равен 278 (см. Прил. 1), приближенное – 255 (восемь полных месяцев по 30 дней плюс 11 дней января и 5 дней октября минус
один день).
Применяя три метода определения продолжительности ссуды,
получим:
1) точные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 100000 (1 + 258 / 365 ⋅ 0,08) = 105654,79 р.;
2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
S = 100000 (1 + 258 / 360 ⋅ 0,08) = 105733,33 р.;
7
3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
S = 100000 (1 + 255 / 360 ⋅ 0,08) = 105666,67 р.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Ссуда 500,0 тыс. р. выдана на 15 дней по ставке 18 %
годовых, при условной продолжительности года 360 дней. Найти
наращенную сумму и процентный доход.
Задача 2 . Банк согласен на выдачу кредита в размере 5000,0 у. е.
сроком на 250 дней при погашении в конце срока наращенной суммы по кредиту в размере 5500,0 у. е. Определить процентную ставку
по кредиту, если проценты начисляется один раз в конце срока кредита, год високосный.
2.2. Наращение по сложной процентной ставке
Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются
один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных
процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.
Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды,
сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов.
Мы ввели обозначение сложной процентной ставки как rc. Наращение за первый и второй годы рассчитывается по формулам:
S1 = P(1 + rc ),
S2 = S1 (1 + rc ) = P(1 + rc )2.
Наращение за n лет по сложной процентной ставке осуществляется по формуле
Sn = P(1 + rc )n .
Часто срок для начисления процентов не является целым числом,
в связи с этим при начислении процентов на практике можно воспользоваться двумя методами расчета наращенной суммы: общим
методом, описанным в разделе «Наращение по простой процентной
ставке», и смешанным методом, применяемым только в случае ис8
пользования в наращении сложной процентной ставки. Смешанный метод предполагает начисление процентов за целое число периодов (лет) по формуле сложных процентов и по формуле простых
процентов за дробную часть периода:
Sn = P(1 + rc )a (1 + brc ),
где a + b = n, a – целое число периодов; b – дробная часть периода.
Используя коэффициенты наращения по простым и сложным
процентным ставкам, можно определить время, необходимое для
увеличения первоначальной суммы в N раз. Для увеличения первоначальной суммы P в N pаз необходимо, чтобы коэффициенты наращения были равны величине N, т. е.
– для простых процентов (1 + nrc ) = N, откуда
n=
N -1
;
rc
– для сложных процентов (1 + rc )n = N, откуда
n=
ln N
.
ln(1 + rc )
Пример 1
Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. р., через 5 лет
при росте по ставке сложного процента 15 % годовых.
Решение:
S = 10(1 + 0,15)5 = 20,114 ìëí. ð.
Пример 2
В банке получен кредит под 9,5 % годовых в размере 250 тыс.
долл. со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев. Определить
сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.
Решение:
– общий метод:
Sn = P(1 + rc )n ,
Sn = 250(1 + 0,095)2,9 = 320,87 òûñ. äîëë.;
9
– смешанный метод:
Sn = P(1 + rc )a (1 + brc ),
æ
ö
270
0,095÷÷÷ = 321,11 òûñ. äîëë.
Sn = 250(1 + 0,095)2 × çç1 +
çè
ø
360
Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят
I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 òûñ. äîëë.,
а по смешанному методу
I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 òûñ. äîëë.
Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Клиент внес в банк 3,0 млн. р. под 9,5 % годовых. Через 2 года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную клиентом сумму при использовании банком сложных процентов и смешанного метода начисления процентов.
Задача 2. Определить время, необходимое для увеличения первоначального капитала в 3 раза, используя простую и сложную процентные ставки, равные 8 % годовых.
Задача 3 . Инвестор получил кредит в банке в размере 250 млн. р.
со сроком погашения через 2 года и 9 месяцев (2 года и 270 дней), под
9,5 % годовых. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов, рассчитанных общим и смешанным методами. При расчете банк считает продолжительность года
360 дней.
3. Дисконтирование и учет
по простым и сложным ставкам
3.1. Дисконтирование и учет по простым ставкам
Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый более ранний момент времени. Дисконтирование (учет) позволяет рассчитывать современную (текущую) стоимость будущей
суммы денег.
10
Если наращение – это определение будущей суммы денег S по
известному значению настоящей суммы денег P, то дисконтирование – это определение настоящей стоимости денег P по значению
будущей суммы денег S.
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной
наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например, при
разработке условий контракта.
Расчет современной суммы денег необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т. е. непосредственно при
выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты – дисконтом.
В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода
дисконтирования – математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения r, во втором – учетная ставка d.
Математическое дисконтирование представляет собой формальное
решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды:
S
P=
,
1 + nrs
D = S - P,
где D – дисконт.
В банковском деле процедура дисконтирования (учета) появилась из операции учета векселей. Вексель – обязательство вернуть
указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S) в
указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в
банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т. е. купить
его за сумму P, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется
дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом. Дисконт рассчитывается через процент, взимаемый банками с суммы
векселя при учете векселя, этот процент называется учетной ставкой, или учетным процентом.
Обозначим:
– S – номинал векселя;
– n – срок действия векселя;
11
– ds – простая учетная ставка;
– D – дисконт, т. е. скидка с номинала при учете векселя;
– P – цена векселя,
тогда сумма денег, которую получит продавец векселя при его
учете:
D = S – P, или P = S – D.
Легко заметить, что схема дисконтирования очень похожа на схему наращения. Величины P и S, D и I совпадают. Разница заключается в том, что в схеме наращения в основу расчетов положена выдаваемая ссуда P, а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S,
при дисконтировании же в основу положен номинал векселя S (т. е.
возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег P, которую получит продавец векселя:
D S-P
d= =
.
S
S
Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении
ставка r считается на величину ссуды P, а при дисконтировании
учетная ставка d считается на номинал векселя S.
Сопоставим:
S-P
r=
,
P
d=
S-P
.
S
Очевидно, что при одинаковых величинах S и P учетная ставка
будет меньше ставки наращения.
Запишем формулу расчета P при известных S и d при годичном
сроке векселя:
P = S(1 – d).
Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Тогда формула для дисконтирования
векселя n-летнего срока про простой учетной ставке ds примет
вид:
P = S(1 - nds ).
Видно, что n и ds могут быть такими, что может оказаться nds > 1
и P станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не
согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную
12
S(nds – 1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было
1 > nds > 0.
Для процентной ставки наращения прямой задачей является
определение наращенной суммы, а обратной – дисконтирование.
Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении (см. ниже):
Ставка
Прямая задача
rs
ds
Обратная задача
S = P(1 + nrs )
P=
S
(1 + nrs )
P = S(1 - nds )
S=
P
(1 - nds )
Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при ds = 20 % уже 5-летний срок достаточен для того, чтобы
владелец векселя ничего не получил при его учете.
Пример 1
Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию, номинальная стоимость которой 500 тыс. р., а срок погашения – 270
дней, если требуемая норма доходности – 20 %?
Решение:
Задачу решаем по формуле
S
P=
:
(1 + nrs )
– при использовании обыкновенных процентов:
500
P=
= 434,78 òûñ. ð.;
(1 + 0,2 × 270 / 360)
– точных процентов:
P=
500
= 435,56 òûñ. ð.
(1 + 0,2 × 270 / 365)
Пример 2
Простой вексель на сумму 100 тыс. р. с оплатой через 90 дней
учитывается в банке немедленно после получения. Необходимо
определить сумму, полученную владельцем векселя при учетной
ставке 15 %.
Решение:
P = 100(1 - 0,15 × 90 / 360) = 96,25 òûñ. ð.
13
Пример 3
На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы поставщик, проведя операцию учета, получил стоимость товаров
(100 тыс. р.) в полном объеме, если учетная ставка – 15 %?
Решение:
Определяем будущую стоимость (номинал) векселя по формуле:
P
S=
,
(1 - nds )
S=
100
= 103,896 òûñ. ð.
(1 - 0,15 × 90 / 360)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Вексель был учтен за 15 дней до срока погашения по
ставке 18 % годовых. В результате учета владелец векселя получил
30500 р. Определить номинальную стоимость векселя.
Задача 2. Долговое обязательство 300 тыс. р. должно быть погашено через 100 дней с процентами 18 % годовых (простая процентная ставка). Владелец обязательства учел наращенную сумму обязательства в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 24 %. Определить полученную сумму после учета.
Задача 3. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через
год должна получить 30,0 млн. р. (номинальная стоимость векселя).
В момент приобретения цена векселя составила 20,0 млн. р. Определить доходность этой сделки, т. е. размер процентной ставки.
3.2. Дисконтирование и учет по сложным ставкам
Дисконтирование по сложной процентной ставке заключается в
оценке будущих поступлений Pс позиции текущего момента. Инвестор анализирует будущие доходы при минимальном, «безопасном»
уровне доходности, которым характеризуются вложения в государственные ценные бумаги. Инвестор исходит из следующих предпосылок:
– происходит обесценивание денег;
– темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства
может существенно отличаться от темпа инфляции;
– необходимо периодическое начисление дохода в размере не ниже определенного минимума.
На этой основе он решает вопрос, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело, в частности в приоб14
ретение недвижимости исходя из прогнозируемой рентабельности.
Расчет осуществляется по формуле
P = S(1 + rc )-n ,
где S – доход, планируемый к получению в n-м году; P – текущая
стоимость, т. е. оценка величины S c позиции текущего момента;
rs – процентная ставка.
Пример 1
Инвестор, рассчитывающий перепродать недвижимость через
2 года за 10 000 долл., должен решить, сколько ему следует предложить за недвижимость сегодня?
Решение:
Если инвестор требует 10 % ставки дохода на вложенный капитал, то
P = 10000 (1 + 0,1)2 = 8264,46 äîëë.
Пример 2
Финансовый документ на сумму 5 млн. р., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной
ставке 15 % годовых. Какова сумма дисконта?
Решение:
P = 5000000 (1 - 0,15)5 = 2218526,56 ð.,
D = S - P = 2781473,44 ð.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Определить современную величину 30,0 тыс. у. е., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по
ставке 8 % годовых.
Задача 2. Первоначальная сумма (P = 5 млн. р.), помещенная в банк
на 2 года в конце срока выросла до 8 млн. р. Наращение производилось
по сложной учетной ставке. Определить величину этой ставки.
4. Номинальная и эффективная ставка
Метод сложных процентов используется для начисления процентных денег по долгосрочным вкладам (продолжительностью более года).
15
Напомним, что смысл этого метода выражается фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент. При этом размер задолженности увеличивается в геометрической прогрессии (или в соответствии с показательной функцией, если считать время непрерывным). Например, если вкладчик положил в банк 100 тыс. р. под
сложную процентную ставку rc = 6 %, то через, скажем, 5 месяцев
на его счету будет сумма
S
5
12
5
= (1 + i)
12 × S
0
5
= 1,06
12 × 100000 » 102458
ð.
В современных условиях проценты капитализируются не один, а
несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т. д. Некоторые
зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневные начисления процентов. В контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в процентах и указывается период начисления
процентов.
Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m. Проценты начисляют по ставке j / m. Ставку j называют
номинальной.
Каждый раз при начислении процентов сумма на счету вкладчиj
ка будет увеличиваться в 1 + ðàç.
m
Формулу наращения можно представить следующим образом:
mn
æ
jö
S = P çç1 + ÷÷÷ .
çè
mø
Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов,
которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j / m:
mn
æ
jö
(1 + r c )n = çç1 + ÷÷÷ ,
çè
mø
откуда
m
æ
jö
r c = çç1 + ÷÷÷ -1.
çè
mø
Если m > 1, эффективная ставка (rc) больше номинальной (j) при
m = 1, rc = j.
16
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку rc не изменяет финансовых
обязательств участвующих сторон, т. е. обе ставки эквивалентны в
финансовом отношении.
При подготовке контрактов может возникнуть необходимость и
в решении обратной задачи – в определении j по заданным значениям rc и m. Находим:
j = m(m 1 + rc -1).
По аналогии с номинальной и эффективной ставкой процентов
вводится понятие номинальной годовой учетной ставки f:
mn
æ
fö
P = S çç1 - ÷÷÷ .
çè
mø
Она характеризует результат дисконтирования за год и находится из равенства
m
æ
fö
(1 - dc ) = S çç1 - ÷÷÷ ,
çè
mø
æ
Pö
f = mççç1 - mn ÷÷÷,
çè
S ÷ø
m
æ
fö
откуда dc = 1 - çç1 - ÷÷÷ .
èç
mø
Для одних и тех же условий операций эффективная учетная
ставка меньше номинальной.
При использовании сложной учетной ставки:
S=
P
n
(1 - dc )
, или S =
P
.
f
(1 - m)nn
Пример 1
Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна
25 % при помесячном начислении процентов?
Решение:
12
æ
0,25 ö÷
rc = çç1 +
-1 = 0,2807.
÷
çè
12 ø÷
17
Для сторон в сделке безразлично: применить ставку 25 % (при
помесячном начислении) или годовую ставку 28,0732 %.
Пример 2
Инвестор только что заплатил 100 долл. за опцион на покупку
собственности за 10 000 долл. по истечении двух лет. Уже выплаченные за опцион 100 долл. не будут включены в цену покупки. Какую сумму сегодня должен положить в банк инвестор при выплате
10 % годовых при ежемесячном накоплении с тем, чтобы через 2 года остаток составил 10 000 долл.?
Решение:
mn
æ
jö
S = P çç1 + ÷÷÷ ;
çè
mø
2´12
æ
0,1ö÷
= 8260 äîëë.
P = 10000 ççç1 +
÷÷
è
12 ø
Пример 3
Вкладчик положил на счёт в банке сумму в 200 тыс. р. Номинальная процентная ставка по вкладу равна 8 %, а проценты капитализируются раз в квартал (банк, разумеется, использует сложные
проценты). Чему будет равна сумма на счету вкладчика через полгода (т. е. после двух начислений процентов).
Решение:
2
æ
0,08 ö÷
S = 2000000çç1 +
= 208080 ð.
÷
çè
4 ÷ø
Пример 4
Финансовый документ на сумму 5 млн. р., срок платежа по которому наступает через 5 лет, продан с дисконтом по сложной учетной
ставке 15 % годовых. Определим сумму, полученную при поквартальном дисконтировании по номинальной учетной ставке 15 %
(f = 0,15, m = 4).
Решение:
20
æ
0,15 ö÷
P = 5000000çç1 = 2328009,61.
÷
çè
4 ø÷
Эффективная учетная ставка составит
4
æ
0,15 ö÷
d = 1 - çç1 = 0,14177, или 14,177 %.
÷
çè
4 ÷ø
18
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Кредитное обязательство 2,0 млн. р., со сроком погашения через 4 года, было учтено в банке по учетной ставке 10 % годовых, начисление процентов – по полугодиям. Определить современную величину обязательства и эффективную ставку.
Задача 2. Кредит в размере 800 млн. р. выдан на 3 года. По условиям договора начисление процентов производится по сложной
учетной ставке 15 % годовых. В договор внесены изменения, предусматривающие ежемесячное начисление процентов. Определить,
насколько увеличится сумма процентов по кредиту к концу срока
при реализации изменений по договору.
5. Непрерывное наращение и дисконтирование.
Непрерывные проценты
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное
наращение, т. е. наращение за бесконечно малые отрезки времени,
применяется крайне редко. К таким примерам относится случай,
если капитализация процентов осуществляется достаточно часто,
например ежедневно.
Существенно большее значение непрерывное наращение имеет
в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании.
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид
процентной ставки – силу роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.
При дискретном начислении процентов m раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма определяется по уравнению:
mn
æ
jö
S = P çç1 + ÷÷÷ .
çè
mø
При m, стремящемся к бесконечности, как для любого случайного числа x, существует предел
x
æ
1ö
lim çç1 + ÷÷÷ = e,
è
xø
n®¥ç
19
где e = 2,718281828... – основание натуральных логарифмов. Эта
формула называется вторым замечательным пределом. Следовательно, имеем:
S = Pe jm .
Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной,
обозначим силу роста d, тогда:
S = Peδm .
Дискретные и непрерывные ставки наращения находятся в
функциональной зависимости между собой. Из равенства множителей наращения (1+rc)n = ed следует:
δ = ln(1 + rc ),
где rc = eδ -1.
Пример 1
Номинальная процентная ставка по вкладу составляет 18 %,
но капитализация процентов осуществляется ежедневно (m = 365).
Определить эффективную процентную ставку.
Решение:
rc = e0,18 -1 = 0,197217.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На первоначальный капитал в сумме 3000 у. е. начисляются сложные проценты – 15 годовых в течение трех лет. Определить наращенную сумму, если проценты начисляются непрерывно.
Задача 2. Получен кредит в размере 100 млн. р. сроком на 3 года
под 8 % годовых (сложные проценты). Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться: а) один раз в год; б) ежедневно; в) непрерывно.
6. Средние ставки процентов
В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с
целью снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций.
Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является
показатель «темп прироста». При начислении простых процентов
следует говорить о базисных темпах прироста, так как первоначаль20
ная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических
терминах может быть интерпретирована как сложение базисных
темпов прироста с последующим умножением на первоначальную
сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид:
– для простой процентной ставки:
N
S = P(1 + å nj rsj );
j=1
– для простой учетной ставки:
N
P = S(1 + å nj dsj ).
j=1
В данных формулах rsj и dsj – переменные простые процентные и
учетные ставки j-го периода расчете процентов; nj – временная продолжительность j-го периода расчета процентов; N – общее число
периодов j, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке.
Соответственно для сложных процентов речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться:
– для сложной процентной ставки:
N
S = P Õ (1 + rcj )nj ;
j=1
– для сложной учетной ставки:
N
P = S Õ (1 - dcj )nj .
j=1
В данных формулах rсj и dсj – переменные сложные процентные
и учетные ставки j-го периода расчета процентов.
Задачи с переменными ставками можно решить несколько иным
путем – рассчитать сначала средние процентные ставки, а затем
найти наращенную сумму по средней ставке. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно
опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в
арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная.
21
Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях
используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка.
Простые ставки усредняются по следующим формулам:
– средняя простая процентная ставка ( rs ):
N
å rsjnj
j=1
N
rs =
;
å nj
j=1
– средняя простая учетная ставка ( ds ):
N
å dsjnj
ds =
j=1
N
;
å nj
j=1
Сложные ставки усредняются по следующим формулам:
– средняя сложная процентная ставка ( rc ):
rc = N
N
Õ (1 + rcj )nj -1;
j=1
– средняя сложная учетная ставка ( d c ):
rñ = 1 - N
N
Õ (1 + dcj )nj .
j=1
Пример 1
По ссуде в размере 2 млн. р. общей продолжительностью 120 дней
в течение первых двух месяцев будут начисляться 30 % годовых, а
начиная с 61-го дня ежемесячно простая процентная ставка будет
увеличиваться на 5 % (обыкновенные проценты). Найти наращенную сумму ссуды.
Решение:
Фактически ссуда разбивается на несколько составляющих, по
каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти
22
наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить
их.
Точный расчет:
– наращенная сумма ссуды по простой процентной ставке:
é
æ 60
öù
30
30
S = 2 ê1 + çç
0,3 +
0,35 +
0,4÷÷÷ú = 2,225 ìëí. ð.
êë
èç 360
øúû
360
360
Расчет на основе средней ставки:
rs = [(0,3 × 60) + (0,35 × 30) + (0,4 × 30) ]/ 120 = 0,3375 = 33,75 %;
S = 2(1 + 0,3375 ×120 / 360) = 2,225 ìëí. ð.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Банк предлагает своему клиенту-заемщику следующие условия предоставления кредита: первое полугодие – 80 % годовых (простые проценты), каждый следующий квартал ставка возрастает на 8 %. Проценты начисляются только на первоначальную
сумму предоставленного кредита. Определить наращенную сумму
долга, если банк предоставил кредит на сумму 50 млн. р.
Задача 2. Строительная фирма получила кредит в банке на сумму 100,0 млн. р. сроком на 5 лет; сложная процентная ставка по кредиту определена в 10 % для 1-го года, для 2-го предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 2 %, для 3-го года и последующих лет – в размере 2 %. Определить сумму долга, подлежащую
погашению в конце срока займа.
7. Учет инфляции при расчете наращенных сумм
Инфляционные процессы уменьшают реальную стоимость денег.
Ставку, скорректированную (увеличенную) на инфляцию, условно можно называть брутто-ставкой.
Введем следующие обозначения:
– Sн – номинальная ссуда с процентами (наращенная сумма);
– Sр – реальная ссуда с процентами, т. е. покупательная способность Sн;
– r – реальная процентная ставка (rs – реальная простая процентная ставка, rc – реальная простая сложная ставка);
– ra – брутто-ставка;
– a – темп инфляции (темп прироста цен) в процентах;
– n – расчетный период (срок) в годах;
23
– In – годовой индекс цен в разах.
С учетом принятых обозначений годовые формулы наращения
примут вид:
Sí = P(1 + r α );
Sp = P(1 + r );
Sí = Sp (1 + α) = P(1 + r )(1 + rα );
Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда P за год реально
выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции a. Вместо Sн подставим ее значение:
P(1 + rα ) = P(1 + r )(1 + α),
или
(1 + rα ) = (1 + r )(1 + α).
Произведя преобразования, получим:
1) rα = r + α + r α – выражение, известное как формула И. Фишера (a + ra), является величиной, которую необходимо прибавить к
реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь;
r -α
- это точная формула расчета реальной ставки про2) r = α
1+ α
цента по известным величинам номинальной ставки процента и
темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = ra – a, при значительной инфляции – точную формулу.
Брутто-ставку можно рассчитать также через индекс цен.
Темп инфляции определяется как
α=
sí - sð
sð
100%.
Индекс цен рассчитывают по формуле
In = (1 + α)n .
П р о с т ы е брутто-ставки:
– простая процентная брутто-ставка rsa:
24
rsα =
(1 + nr ) In -1
;
n
– простая учетная брутто-ставка dsa:
I -1 + nd
dsα = n
.
Inn
С л о ж н ы е брутто-ставки:
– сложная процентная брутто-ставка rca:
rsα = (1 + rc )n In -1;
– сложная учетная брутто-ставка dca:
1 - dc
dcα = 1 ;
nI
n
– сложная номинальная процентная брутто-ставка ja:
é
ù
j
jα = m ê(1 + )mn In -1ú ;
êë
úû
m
.
– сложная номинальная учетная брутто-ставка fa:
f
1m ).
fsα = m(1 mn I
n
Пример 1
Первоначальный капитал в размере 20 000 р. выдается на 3 года,
проценты начисляются в конце каждого года по ставке 8 % годовых. Определить наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12 %.
Решение:
По условию задачи: P = 20000 р., n = 3 года, rc = 0,08, a = 0,12.
1. Для определения индекса инфляции воспользуемся формулой:
In = (1 + α)n = (1 + 0,12)3 = 1,4049.
2. Определим наращенную сумму:
Sí = P(1 + rc )n In ,
Sí = 20000(1 + 0,08)3 1,4049 = 35395 ð.
25
Пример 2
При выдаче кредита в сумме 40 млн. р. должна быть обеспечена
реальная доходность операции, определяемая простой процентной
ставкой 14 % годовых. Кредит выдается на полгода, индекс инфляции составит 1,06. Рассчитать значение процентной ставки, компенсирующей потери от инфляции, и наращенную сумму.
Решение:
По условию задачи: P = 40 млн р., n = 0,5 года, rs = 0,14, In = 1,06.
1. По формуле определим процентную ставку, компенсирующую
потери от инфляции:
(1 + nr ) In -1
rsα =
,
n
rsα =
(1 + 0,5 × 0,14) 1,06 -1
= 0,2684 (28,84 %),
0,5
2. По формуле определим наращенную сумму:
Sí = P(1 + nrsα ),
Sí = 40 × (1 + 0,5 × 0,2684) = 45,37 ìëí. ð.
3. Наращенную сумму можно определить и по формуле:
Sí = P(1 + nrs ) In ,
Sí = 40 (1 + 0,5 × 0,14) 1,06 = 45,37 ìëí. ð.
Результаты определения наращенной суммы совпадают.
Пример 3
Кредит в 1,5 млн. р. выдан на 2 года. Реальная доходность должна составлять 11 % годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.
Решение:
1) rα = r + α + r α,
rα = 0,11 + 0,16 + 0,11× 0,16 = 0,2876;
2) Sí = P(1 + rcα )n ,
Sí = 1,5(1 + 0,2876)2 = 2,4869 ìëí. ð.
26
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Определить реальную ставку простых процентов за
год, если брутто-ставка равна 10 % при годовой инфляции 7 %.
Задача 2. На сумму в 10 тыс. р. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 10 % годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 10, 15 и 20 %. Найти наращенную
сумму с учетом инфляции и величину положительной процентной
ставки.
Задача 3. На вклад в 100 тыс. р. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 8 %.
Оценить сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной
способности, если ожидаемый темп инфляции 2 % в месяц. Какова
должна быть величина положительной процентной ставки?
8. Консолидация и изменение условий платежей
Изменение хозяйственной ситуации часто приводит к тому, что
одна из сторон – участниц коммерческой сделки обращается к другой стороне с предложением изменить условия ранее заключенных
соглашений. Среди таких предложений могут быть: изменение сроков платежей в сторону увеличения, разбивка одного платежа на
несколько с разными сроками погашения (погашение частями) и
т.п. Наиболее распространенным вариантом является объединение
платежей в один (консолидация платежей) с установлением единого
срока погашений. Основным принципом изменения условия сделки является принцип финансовой тождественности (эквивалентности), так как предлагаемые изменения должны быть безубыточными для обеих сторон. В соответствии с этим принципом платежи могут считаться тождественными в том случае, если они оказываются
равными при приведении к одной дате.
Для решения задач такого типа используется уравнение тождественности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных
к одному моменту времени, приравнена к сумме платежей по новому соглашению, приведенной к той же дате.
При консолидации нескольких платежей в один при условии,
что срок нового платежа больше сроков каждого из первоначальных сроков, уравнение тождественности имеет вид:
– для простых процентов
S0 = å Sj (1 + tj rs );
27
– для сложных процентов
t
S0 = å Sj (1 + rc ) j ,
где S0 – наращенная сумма консолидированного платежа; S1, S2,
…, Sj – платежи, подлежащие консолидации, со сроками уплаты n1,
n2, …, nj, nk; n0 – срок консолидации; tj – временные интервалы между сроком консолидированного платежа n0 и сроками платежей, подлежащих консолидации (nj), т. е. n0 > nj, tj = n0 – nj; tk – временные интервалы между сроками платежей, подлежащих консолидации (nk) и
сроком консолидированного платежа n0, т. е. n0 < nk, tk = nk– n0;
Если срок консолидированного платежа оказывается меньше
срока одного из сроков платежей первоначального соглашения, то
приведение суммы этого платежа к необходимой дате осуществляется посредством не наращения, а дисконтирования. В этом случае
величину консолидированного платежа определяют по формуле:
– для простых процентов
S0 = å Sj (1 + tj rs ) + å Sk (1 + tk rs )-1;
– для сложных процентов
t
S0 = å Sj (1 + rc ) j + å Sk (1 + rc )-tk ,
где Sj – суммы объединенных платежей, сроки погашения которых
меньше нового срока; Sk – суммы объединенных платежей со сроками погашения, превышающими новый срок.
При консолидации векселей в расчетах используется учетная
ставка. Если срок консолидированного векселя меньше срока одного из сроков первоначальных векселей, то расчет конечной суммы
производится по формуле:
– для простой учетной ставки
S0 = å Sj (1 - tj ds )-1 + å Sk (1 - tk ds );
– для сложной учетной ставки
-tj
S0 = å Sj (1 - dc )
+ å Sk (1 - dc )tk .
Сроки консолидированного платежа определяют по формуле:
– для простых процентов
n0 =
28
ö
1 æç S0
çç -1÷÷÷;
rs è P0
ø÷
– для сложных процентов
S0
P0
n0 =
;
ln(1 + rc )
ln
– для простой учетной ставки
n0 =
P ö
1 æç
ç1 - 0 ÷÷÷;
ç
ds è
S0 ÷ø
– для сложной учетной ставки
ln(1 - dc )
n0 =
.
æ S0 ö÷
ç
ln ç ÷÷
çè P0 ÷ø
При изменении условий коммерческих сделок далеко не всегда
можно найти решение путем суммирования наращенных сумм и
дисконтированных платежей. Зачастую для решения этой задачи
готовые формулы отсутствуют.
Расчет исходной величины S0, отражающей результат изменения условий сделки, можно выполнить, используя принцип эквивалентности и его математическое выражение – уравнение эквивалентности. Его экономический смысл был рассмотрен нами выше.
За момент приведения платежей могут быть при этом приняты различные даты: начальная дата, т. е. дата предоставления кредита,
дата, находящаяся в конце срока, в середине и т. д. Конкретный вид
уравнения зависит от условий контрактов.
Рассмотрим примеры использования уравнения тождественности.
Пример 1
Организация получила кредит на сумму 1 млн. р. под 20 % годовых (простые проценты). Кредит должен был быть погашен двумя платежами: первый – 400 тыс. р. с процентами через 120 дней,
а второй – 600 тыс. р. с процентами через 150 дней. Впоследствии
фирма договорилась об объединении платежей в один со сроком погашения через 180 дней. Определить размер консолидированного
платежа (K = 360 дней).
Решение:
Суммы, подлежащие возврату на старых условиях:
æ
ö
120
S1 = 400 çç1 +
0,2÷÷÷ » 426,67 òûñ. ð.;
çè
ø
360
29
æ
ö
150
S2 = 600 çç1 +
0,2÷÷÷ » 650,00 òûñ. ð.
çè
ø
360
Сумма погашения консолидированного платежа будет равна
æ
ö
æ
ö
180 -120
180 -150
S0 = 426,7 çç1 +
0,2÷÷÷ + 650,0 çç1 +
0,2÷÷÷ »
èç
ø
èç
ø
360
360
» 440,9 + 660,8 » 1101,7 òûñ. ð.
Можно проверить полученный результат. По принципу эквивалентности дисконтированная сумма консолидированного платежа
на момент предоставления кредита должна быть равна сумме полученного кредита (возможна небольшая погрешность за счет округления):
æ
ö-1
180
P = 1101,7 çç1 +
0,2÷÷÷ » 1001,5 òûñ. ð.
çè
ø
360
С учетом погрешности, возникшей при округлении, можно сделать вывод, что расчет произведен верно.
Пример 2
Два платежа 1,7 и 1,3 млн. р. со сроками погашения 1 год 30 дней
и 1 год 45 дней, отсчитываемыми от одной даты, заменяются одним
платежом со сроком 1 год 75 дней. Стороны согласились на консолидацию платежей при использовании ставки сложных процентов
9 % годовых. Определить сумму консолидированного платежа.
Решение:
t1 = 1 ãîä 75 äí. - 1 ãîä 30 äí. = 45 äí;
t2 = 1 ãîä 75 äí. - 1 ãîä 45 äí. = 30 äí.
45
30
S0 = 1,7 (1 + 0,09) 365 + 1,3 (1 + 0,09) 365 = 1,718 + 1,309 = 3,027 ìëí. ð.
Итак, сумма консолидированного платежа равна 3,027 млн. р.
Пример 3
Имеются два кредитных обязательства – 500 и 600 тыс. р. со сроками уплаты 01.10 и 01.01 (нового года). По согласованию сторон
обязательства были пересмотрены на новые условия: первый платеж в размере 700 тыс. р. должник вносит 01.02, остальной долг он
выплачивает 01.04. При расчетах используется простая процентная
ставка – 10 % годовых. Необходимо определить величину второго
платежа.
30
Решение:
За базовую дату, т. е. дату приведения, примем 01.01 (нового года), соответственно:
01.10 – 274-й порядковый день в году;
01.02 – 32-й день;
01.04 – 91-й день.
Запишем уравнение эквивалентности:
æ
ö
æ
ö
æ
ö
365 - 274
32
91
500 çç1 +
0,1÷÷÷ + 600 = 700 / çç1 +
0,1÷÷÷ + S2 / çç1 +
0,1÷÷÷,
çè
ç
ç
ø
è
ø
è
ø
365
365
365
S2 = 429,0 òûñ. ð.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Фирма в погашение задолженности банку за предоставленный под 15 % годовых (простые проценты) кредит, полученный 01.01, должна произвести три платежа – 250, 300 и 350 тыс. р.
в срок 20.04, 25.05, 15.06. Фирма предложила банку объединить все
платежи в один и погасить его 01.06. Определить величину консолидированного платежа.
Задача 2. По первоначальным условиям долг необходимо было
погасить тремя платежами: 400 тыс. р. (15.03), 750 тыс. р. (10.04)
и 800 тыс. р. (01.06). По новым условиям платежи объединяются в
один со сроком погашения 15.05. При консолидации используется
процентная ставка 9 % годовых. Определить величину консолидированного платежа.
Задача 3. Фирма имеет ряд финансовых обязательств перед одним кредитором – 2,5, 3,1 и 2,7 млн. р., которые должна погасить
соответственно через 40, 70 и 160 дней после 01.01 текущего года.
По согласованию сторон решено заменить их одним платежом, равным 9 млн. р., с продлением срока уплаты, используя процентную
ставку 12 % годовых. Определить срок уплаты консолидированного
платежа.
Задача 4. Должник обратился к своему кредитору (владельцу
векселей) с просьбой объединения двух векселей в один с одновременным продлением срока оплаты. Первый вексель выдан на сумму
200 тыс. р. со сроком уплаты 31.03; второй – на сумму 250 тыс. р.
со сроком уплаты 01.06. Владелец векселей согласился на пролонгацию до 01.10, применив простую учетную ставку 10 %.
31
9. Погашение долгосрочной задолженности
Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа)
применяется для достижения сбалансированности, т. е. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения,
путем планирования погашения долга.
Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом, – такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга – срочная уплата, в которую входят:
1) текущие процентные платежи;
2) средства для погашения (амортизации) основной суммы долга.
Размеры срочных уплат зависят от условий займа:
– срока;
– наличия и продолжительности льготного периода;
– уровня процентной ставки;
– способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов.
Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают
величина займа D, срок его погашения n, процент по кредиту r, под
который выдаются деньги, и поток платежей по выплате долга Yt.
Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Возможны два варианта:
а) погашение единовременным платежом, т. е. возврат всей суммы в оговоренный срок;
б) погашение долга в рассрочку, т. е. частями.
Рассмотрим сначала вариант погашения единовременным платежом. В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока в сумме, которая рассчитывается по формуле наращения по процентным ставкам.
При значительной сумме долга разовый платеж требует создания
так называемого фонда погашения путем периодических взносов.
Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные
на погашение задолженности. Наиболее эффективно размещение
фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на
специальном счете в банке. Не трудно заметить, что такие платежи
по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом), поэтому
задача сводится к определению одного из параметров финансовой
ренты – члена ренты.
32
Здесь возможно два варианта.
Первый вариант – выплата процентов по мере их начисления, а
основная сумма денег возвращается в конце срока займа. Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты
(расходов должника по погашению долга) равна:
D
Yt = Dr +
,
Sn;g
где D – первоначальная сумма долга; r – ставка процентов по условиям займа; sn; g – коэффициент наращения финансовой ренты; n –
срок долга в годах; g – ставка процентов при создании фонда погашения.
Здесь фигурируют две ставки процентов: g – определяет скорость
роста суммы фонда погашения; r – сумму выплачиваемых за заем
процентов.
Второй вариант – выплата процентов одновременно с погашением долга. В этом случае взносы в фонд погашения являются одновременно и величиной срочной уплаты (членом финансовой ренты):
Y=
D(1 + r )n
,
Sn;g
В практике финансовой деятельности долг также часто погашается не одной суммой, а в рассрочку, т. е. распределенными во времени платежами. Погашение долга частями также может осуществляться различными способами. В зависимости от преследуемых
интересов стороны могут выбирать различные, удобные для них режимы в виде постоянных или переменных финансовых рент, а также нерегулярных потоков платежей.
Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга равными частями. При этом величина погашения долга определяется следующим образом:
D
dt = = const.
n
Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга. Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму процентов и сумму погашения долга:
Yt = Dt r + dt ,
где Dt – остаток невыплаченного долга.
33
Долг также можно погашать в рассрочку равными срочными
уплатами, которые включают в себя как погашение основной суммы долга, так и величину процентов по нему:
Y=D
r (1 + r )n
(1 + r )n -1
.
Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность
представляет собой финансовую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга.
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1
Долг 300 тыс. р. выдан под 12 % годовых на 3 года, с ежегодной
выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся
равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 15 %.
Найти ежегодные расходы должника.
Решение:
Ежегодные расходы должника составляют величину срочной
уплаты:
Yt = Dr +
D
300
= 300 × 0,12 +
= 36,000 + 86,393 =
Sn;g
3,4725
= 122,393 òûñ. ð.
Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию
долга составят 122,393 тыс. р.
Однако более наглядным и эффективным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все
основные характеристики обслуживания долга (табл. 2).
Таблица 2
Создание погасительного фонда для выплаты основного долга
(выплата процентов по мере их начисления), р.
Выплата Взносы в погаси- Величина срочпроцентов тельный фонд
ной уплаты
Год
Долг (D)
1
300000
36000
86393
122393
2
300000
36000
86393
122393
3
300000
36000
86393
122393
Итого
–
108000
259179
367179
34
Накопленная
сумма долга
86393
86393 · 1,15+
+86393=185745
185745 · 1,15+
+86393=300000
–
Из табл. 2 видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга
составят 122 393 р., что в целом за 3 года составит сумму 367 179 р.,
причем выплата процентов за 3 года 180 000 р., а на погашение
основного долга в размере 300 000 р. приходится 259 179 р.
Таким образом, создание фонда погашения является необходимым элементом составления плана погашения долга, так как позволяет не только снизить риск невозврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга (см. табл. 2).
Пример 2
Для условий примера 1 рассчитать расходы должника, если фонд
создается для погашения как основного долга, так и присоединенных к нему процентов.
Решение:
При применении данного метода сумма срочной уплаты равна
взносам в фонд, остается неизменной на протяжении всего срока и
рассчитывается по формуле
Y=
3
D(1 + r )n 300 (1 + 0,12)
=
= 121376 ð.
3,47
Sn;g
Из табл. 3 видно, что ежегодные расходы по обслуживанию
долга составят 121 376 р., что в целом за три года составит сумму
364 128 р., а в фонде за 3 года накопится 421 478 р.: 376 320 р. – на
покрытие накопленного долга и 45 158 р. – на покрытие процентов
за последний год.
Таким образом, можно сделать вывод, что второй вариант является более выгодным. Но это только в том случае, если r < g.
Пример 3
Допустим, что при условиях, описанных в примере 1, долг необходимо возвращать частями.
Таблица 3
Создание погасительного фонда для выплаты
и основного долга, и процентов, р.
Год
Долг (D)
1
2
3
Итого
300000
336000
376320
–
Взносы в
Начисление
погасительпроцентов
ный фонд
36000
40320
45158
121478
121376
121376
121376
364128
Величина
срочной
уплаты
Накопленная в фонде
сумма
121376
121376
121376
364128
121376
260958
421478
–
35
Таблица 4
Погашение основного долга равными суммами, р.
Год
Долг (D)
Выплата процентов
Погашение основного долга
Величина срочной
уплаты
1
2
3
Итого
300000
200000
100000
–
36000
24000
12000
72000
100000
100000
100000
300000
136000
124000
112000
372000
Решение:
Существует два варианта погашения долга частями: метод погашения основного долга равными суммами и метод равных срочных
уплат (табл. 4). Рассмотрим оба этих варианта.
В п е р в о м варианте срочная уплата определяется по формуле
Yt = Dt r + dt , где dt =
D 300
=
= 100 ð. = ñonst.
n
3
Общие расходы по погашению долга составят за 3 года 372 000 р.,
в том числе 300 000 р. – основной долг, 72 000 р. – проценты. По расходам данный метод является менее выгодным по сравнению с двумя рассмотренными ранее.
Перейдем к рассмотрению в т о р о г о варианта: погашение долга
равными срочными уплатами (табл. 5). В этом случае срочная уплата остается неизменной на протяжении всего срока и определяется
по формуле
Y=D
r (1 + r )n
(1 + r )n -1
= 300
0,12 (1 + 0,12)3
(1 + 0,12)3 -1
= 124905 ð.
Общие расходы по погашению долга составят за 3 года 374 715 р.,
в том числе 300 000 р. – основной долг, 74 714 р. – проценты. Таким
Таблица 5
Погашение долга методом равных срочных уплат, р.
Год
Долг
(D)
Выплата
процентов
Погашение основного долга
Величина срочной
уплаты
1
2
3
Итого
300000
211095
111521
–
36000
25331
13383
74714
88905
99573
111522
300000
124905
124905
124905
374715
36
образом, можно сделать вывод, что данный метод является самым
невыгодным, так как расходы по погашению долга больше, чем в
других случаях.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. На сумму кредита 700 тыс. р. начисляются проценты
по ставке 16 % годовых. Срок кредита – 5 лет. Построить график
погашения задолженности при создании погасительного фонда для
погашения только основного долга и при создании такого фонда для
погашения и основного долга, и процентов. Проценты в фонде начисляются по ставке 17 % годовых.
Задача 2. На сумму кредита 600 тыс. р. начисляются проценты
по ставке 15 % годовых. Срок кредита – 4 года. Построить график
погашения задолженности используя метод равных срочных уплат
и метод погашения основного долга равными суммами.
10. Финансовые ренты
В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин «рента». Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем
ренты является финансовая рента, или аннуитет – такой поток
платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе «аннуитет» подразумевает, что
платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются
потоки с иной периодичностью выплат. Очевидно, что рента – это
более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или
распределены неравномерно. Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или
платежи по кредиту, страховые взносы и др.
Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое
суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к
каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила
наращения и дисконтирования. Причем в анализе денежных потоков применяется техника вычисления только сложных процентов,
т. е. предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы. Если бы размеры рент всег37
да ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и
не возникла. Однако на практике часто встречаются очень большие
и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать
ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность – рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты.
Наряду с членом ренты (обозначим его R) любой денежный поток характеризуется рядом других параметров: период ренты (t) –
временной интервал между двумя смежными платежами; срок ренты (n) – общее время, в течение которого она выплачивается; процентная ставка (i) – ставка сложного процента, используемая для
наращения и дисконтирования платежей, из которых состоит рента; число платежей за один период ренты (p) – используется в том
случае, если в течение одного периода ренты, производится больше,
чем одна выплата денежных средств; число начислений процентов в
течение одного периода ренты (m) – при начислении (дисконтировании) по номинальной процентной ставке (j).
В зависимости от числа платежей за период различают годовые
и p-срочные ренты. В первом случае за один период ренты (равный,
как правило, одному году) производится одна выплата; во втором –
в течение периода производится p выплат (p > 1). В случае очень частых выплат рента может рассматриваться как непрерывная (p → ∞);
значительно чаще в финансовом анализе имеют дело с дискретными рентами, для которых p – конечное целое число. Так же как и
при использовании сложной процентной ставки для единичных
сумм, наращение (дисконтирование) рент может производиться
один раз за период, m раз за период или непрерывно. По величине
членов денежного потока ренты могут быть постоянными (с равными членами) и переменными. По вероятности выплат ренты делятся
на верные и условные. В случае условной ренты выплата ее членов
ставится в зависимость от наступления какого-либо условия. По
своей общей продолжительности (или по числу членов) различают
ограниченные (с конечным числом членов) и бесконечные (вечные,
бессрочные) ренты. По отношению к фиксированному моменту начала выплат ренты могут быть немедленными и отложенными (отсроченными). Ренты, платежи по которым производятся в конце периода, называются обычными, или постнумерандо; при выплатах в
начале периода говорят о рентах пренумерандо.
38
Как уже отмечалось ранее, в процессе начисления сложных процентов на единичную сумму R возникает геометрическая прогрессия со знаменателем (1 + i), наращенная сумма S представляет собой последний член этой прогрессии R (1 + i)n . Денежный поток
представляет собой совокупность таких единичных сумм Rk, поэтому наращение денежного потока означает нахождение суммы всех
k последних членов геометрических прогрессий, возникающих по
каждому из них. В случае аннуитета задача упрощается, так как Rk
в этом случае будет постоянной величиной, равной R, т. е. возникает одна геометрическая прогрессия с первым членом R и знаменателем (1 + i). Тогда сумму членов ряда, т. е. наращенную сумму ренты,
можно определить по формуле
S=R
(1 + i)n -1
(1 + i)n -1
=R
.
(1 + i) -1
i
(1 + i)n -1
Величина
является коэффициентом наращения ренi
ты, который иногда называют также коэффициентом аккумуляции
вкладов. Он показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты
больше первого члена ренты. Обозначим коэффициент наращения
Sn;i , где подстрочные символы n, i указывают на срок ренты и применяемую процентную ставку. Тогда формула для определения наращенной суммы ренты примет вид
S = RSn;i .
Значения коэффициента наращения для упрощения расчетов
приведены в Прил. 4.
Рассмотрим различные варианты, когда рентные платежи осуществляются несколько раз в год и начисление процентов производится не один раз.
Если рентные платежи вносятся раз в году, а проценты на них
начисляются m раз в году, то наращенная сумма определяется следующим образом:
S=R
æ
ömn
çç1 + j ÷÷ -1
çè
m ÷ø
æ
öm
çç1 + j ÷÷ -1
çè
m ÷ø
S
=R
mn;
S
j
m
j
m;
m
.
Если платежи вносятся несколько раз в году равными суммами,
а начисление процентов производится один раз в году, в конце года,
то формула принимает вид
39
S=R
(1 + i)n -1
= RSn( ;pi) .
1
é
ù
ê
ú
p êë(1 + i) p -1úû
Если рентные платежи вносятся р раз в году, а начисление процентов производится m раз в году, то наращение производится по
следующей формуле:
æ
ömn
çç1 + j ÷÷ -1
çè
m ÷ø
S=R
= RS( p) j .
m
é
ù
mn;
êæ
ú
m
j öp
p êççç1 + ÷÷÷ -1ú
êëè
ú
mø
û
Кроме наращенной суммы ренты часто появляется необходимость определить и ее современную стоимость (А). В случае дисконтирования аннуитета меняется лишь знаменатель прогрессии
– он будет равен не (1 + i), а 1 / (1 + i). Приведенная стоимость аннуитета находится как сумма вновь полученной геометрической
прогрессии
A=R
1 - (1 + i)-n
= Ran;i ,
i
где аn;i – коэффициент приведения.
Значения коэффициента приведения также даны в Прил. 5.
Формулы для определения современной стоимости ренты для условий, при которых: 1) рентные платежи вносятся раз в году, а проценты на них начисляются m раз в году; 2) платежи вносятся несколько
раз в году равными суммами, а начисление процентов производится
один раз в году; 3) рентные платежи вносятся р раз в году, а начисление процентов производится m раз в году, соответственно имеют вид
A=R
-mn
æ
jö
1 - ççç1 + ÷÷÷
è
mø
æ
öm
çç1 + j ÷÷ -1
çè
m ÷ø
A=R
40
à
=R
mn;
j
m
à
j
m;
m
1 - (1 + i)-n
= Ràn( p;i) ;
1
é
ù
p êë(1 + i) p -1úû
;
-mn
æ
jö
1 - ççç1 + ÷÷÷
è
mø
= Rà( p) j .
A=R
m
é
ù
mn;
êæ
ú
m
j ö÷ p
êç
ú
p çç1 + ÷÷ -1
êëè
ú
ø
m
û
Рассмотрим примеры расчета параметров ренты.
Пример 1
Определить будущую величину ограниченной постоянной ренты
(аннуитета) постнумерандо которая выплачивается один раз в год
(p = 1) и проценты по которой начисляются по сложной эффективной процентной ставке i, равной 20 % годовых, также один раз в год
(m = 1). Размер годового платежа R составляет 3 тыс. р., общий срок
ренты n равен пяти годам.
Решение:
В примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная ставка i также постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как сумму геометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 + 0,2):
S = 3000
(1 + 0,2)5 -1
(1 + 0,2)5 -1
= 3000
= 22325 ð.
(1 + 0,2) -1
0,2
Таким образом, будущая величина ренты через 5 лет составит
22 325 р.
Пример 2
Владелец малого предприятия предусматривает создание фонда
развития на 3 года. В рамках фонда предусматриваются ежегодные
платежи в размере 444,5 тыс. р. дважды в год (по 222,25 тыс. р.) в течение всего срока. Проценты начисляются по ставке 12 % годовых
один раз в год. Определить современную величину ренты, т. е. сумму денежных средств, которую необходимо вложить сегодня.
Решение:
Воспользуемся формулой для случая, когда платежи вносятся
несколько раз в год, а проценты начисляются один раз в конце года:
A = 444,5
1 - (1 + 0,12)-3
= 1098,74 òûñ. ð.
1
é
ù
ê
ú
2 ëê(1 + 0,12) 2 -1ûú
41
Таким образом, необходимо отложить сегодня 1098,74 тыс. р.,
чтобы в течение трех лет дважды в год получать на развитие
222,25 тыс. р.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Страховая компания принимает платежи по полугодиям равными частями – по 300 тыс. р. в течение трех лет. Банк,
обслуживающий компанию, начисляет проценты также по полугодиям из расчета 15 % годовых. Определим наращенную сумму, полученную страховой компанией по истечении срока договора.
Задача 2. Предприниматель решил создать фонд в размере 2,0 за
4 года, Определить величину годового платежа, если проценты по
ставке 10 % годовых будут начисляться один раз в году.
Задача 3. Рассмотрим ренту длительностью в n лет, в которой
только один платеж в конце года, годовая процентная ставка составляет i %. Что более увеличит наращенную величину ренты: увеличение длительности на 1 год или увеличение процентной ставки на
1 %?
11. Оценка эффективности проектов инвестиций
В хозяйственной (экономической) деятельности разрабатывают проекты, оценивают их реализацию и принимают решения по
управлению реализацией проектов. Примеры проектов: развитие
предприятия, строительство электростанции, создание новой технологии, эмиссия акций, приобретение предприятия, замена оборудования и множество других. Проект – это совокупность действий,
которые нужно совершить, чтобы достичь поставленную цель.
Всякий проект связан с затратами (издержками) и результатами. Затраты – это расход денег, результаты – получение денег (доход). Затраты и результаты могут быть мгновенными (точечными)
или текущими. Точечные затраты называются инвестициями, под
которыми понимаются вложения денег в прирост (увеличение) капитала. Текущие затраты – расход денег на производственную деятельность (зарплату, сырье, транспорт, налоги и т. д.). Текущие затраты считают за какой-нибудь период (месяц, квартал, год) и относят обычно к концу этого периода. Доходы также могут быть мгновенными (от продажи оборудования, финансовых активов, самого
предприятия) или текущими (от продажи продукции). Текущие
доходы также считают за некоторый период и относят к его концу.
42
Таким образом, с финансовой точки зрения хозяйственная деятельность сводится к денежным потокам, притоку и оттоку денег.
Чистый денежный поток – это сальдо (разность) между притоком и оттоком денег. Приток денег считается со знаком «+», отток со
знаком «–». Под эффективностью хозяйственной деятельности понимается разность или соотношение результатов и затрат с учетом
разновременности тех и других.
11.1. Математическое дисконтирование
Напомним еще раз, что одна и та же сумма денег, полученная или
израсходованная в разное время, оценивается людьми по-разному.
Предложите человеку получить тысячу рублей сейчас или через год,
он выберет сейчас. Наоборот, предложите ему уплатить тысячу сейчас
или через год, он выберет через год. И дело здесь вовсе не в том, что при
инфляции деньги обесцениваются. Даже при полном отсутствии инфляции, при неизменных ценах, одинаковые денежные потоки в разное время имеют различную ценность. Возникает экономическая проблема приведения разновременных денежных потоков к одному времени. Этот процесс называется математическим дисконтированием.
Общая формула математического дисконтирования, т. е. денежного потока, приведенного к началу отчетного времени t:
T
P=å
St
t=1 (1 + r )
t
где t – время в годах; St – денежный поток в год t с учетом знака:
приток – плюс, отток – минус; если в год t есть несколько независимых притоков и оттоков, то St – чистый денежный поток (сальдо,
итог) в год t; r – норма дисконтирования; до сих пор мы пользовались величиной банковской ставки процента i, теперь будем пользоваться r как средневзвешенной ставкой по всем видам деятельности; P – чистый денежный поток, приведенный к начальному времени t = 0; T – горизонт планирования, т. е. время в годах, за которое рассматриваются денежные потоки.
Денежные потоки можно привести к любому моменту времени.
Момент времени, к которому приводятся денежные потоки, объявляется нулевым (t = 0). Во все предшествующие годы t < 0, а в последующие t > 0.
Дисконтирование можно осуществлять не только по годам, но и
по любым другим отрезкам времени, – кварталам, месяцам, неде43
лям и даже дням. В любом случае t – порядковый номер этапа (отрезка времени) на оси времени, а r – ставка процента на отрезок времени (год, квартал, месяц, неделю, день); формула математического
дисконтирования остается неизменной, меняются значения t и r.
11.2. Чистый приведенный денежный поток
Проведем качественное различение денежных потоков. Как и
в п. 11.1, любой денежный поток (приток и отток) обозначим St.
Будем различать инвестиции как разовые точечные расходы на
реализацию проекта, приводящие к приросту капитала, и прибыль
как чистый приток денег в результате производственной деятельности. Инвестиции – это отрицательный поток денег, расход их на
прирост капитала. Но могут быть и дезинвестиции, сокращение капитала, например, продажа оборудования, здания, сокращение оборотного капитала. Это положительный денежный поток – один из
видов положительных денежных потоков в результате инвестиций,
поступление денег на фирму – так называемый концевой эффект.
Допустим, построено предприятие, несколько лет (Т) эксплуатируется – при этом основной капитал амортизируется (изнашивается) и
в результате сокращается. В конце горизонта планирования Т имеется остаточная стоимость предприятия – остаточный капитал. Это
положительный приток денег, и он должен учитываться при оценке
проекта. В процессе функционирования предприятие получает выручку от реализации (продажи) продукции, но имеет текущие издержки при производстве продукции. Разница между реализацией
(выручкой) и издержками является прибылью или убытком (отрицательной прибылью). Прибыль есть чистый приток денег в результате хозяйственной деятельности – положительный или отрицательный.
Обозначим:
– It – инвестиции в год t; берем их положительную величину, а
то, что это отток денег, будем учитывать знаком (–) в формуле; дезинвестиции – величина отрицательная;
– Pt – прибыль в год t, может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Теперь есть две равноценные возможности вычисления чистого
приведенного денежного потока:
1) вычислить чистый денежный поток в каждый отдельный отрезок времени (St = Pt – It), а затем произвести дисконтирование величины St;
44
2) дисконтировать отдельно прибыль и инвестиции, а потом из
дисконтированной прибыли вычесть дисконтированные инвестиции.
Воспользуемся второй возможностью, а именно:
T
P0 = å
Pt
t=1 (1 + r )
T
; I0 = å
t
It
t=1 (1 + r )
t
;
NPV = P0 - I0 .
где P0 – дисконтированная прибыль; I0 – дисконтированные инвестиции; NPV – чистый приведенный денежный поток (такое обозначение принято в финансовом анализе).
По величине NPV судят об эффективности проекта:
– NPV > 0 – проект эффективен, т. е. ежегодно будет приносить
больше чем r процентов прибыли от вложенных средств;
– NPV = 0 – проект нейтрален, он ежегодно будет приносить ровно r процентов прибыли;
– NPV < 0 – проект неэффективен, он будет приносить меньше r
процентов прибыли ежегодно.
Уточним, что принимается в качестве нормы дисконтирования
r. Величину r назначает главное лицо по реализации проекта – инвестор. В качестве r он назначает ожидаемую им норму прибыли от
инвестиций. Например, он может принять r = i, где i – банковская
ставка процента по срочным депозитам. Если окажется, что NPV = 0,
то r = i и эффективность (доходность) инвестиций равна эффективности (доходности) хранения денег на срочном депозите. Вряд ли в
этом случае есть смысл заниматься инвестициями в производство.
Если NPV > 0, то r > i и инвестиции в производство эффективны.
NPV – это разность между дисконтированными прибылью и инвестициями. Иногда эффективность проектов оценивается не разностью доходов и расходов, а их отношением. Обозначим PI – индекс рентабельности инвестиционного проекта:
T
T
Pt
It
PI = P0 : I0 = å
:
.
å
t
t
t=1 (1 + r ) t=1 (1 + r )
Оценка эффективности проекта по индексу рентабельности:
– PI > 1 – проект эффективен;
– PI = 1 – оценка проекта нейтральна;
– PI < 1 – проект неэффективен.
Обратим внимание на то, что оценка эффективности проекта по
чистому приведенному денежному потоку и по индексу рентабель45
ности дает одинаковый результат, так как между NPV и PI существует взаимно однозначное соответствие.
11.3. Внутренняя норма рентабельности инвестиций
При оценке проекта по NPV задается норма дисконтирования r
и вычисляется NPV, по знаку которого и судят об эффективности
проекта. Можно поступить по-другому: задать условие NPV = 0 и
вычислить величину r, которая в этом случае называется внутренней нормой рентабельности и в финансовом анализе обозначается
IRR.
По определению:
IRR = r, при котором NPV = 0.
Если записать выражение NPV=0 в явном виде, получается уравнение, где неизвестной величиной является r:
T
P -I
å (1t+ r )tt = 0.
t=1
Решение этого уравнения относительно r и дает внутреннюю норму рентабельности IRR. Уравнение это нелинейное, оно тем более
высокого порядка, чем больше горизонт планирования Т. Решить
уравнение при высоких значениях Т (более трех) можно приближенными численными методами со сколь угодно большой степенью
приближения к истинному значению r. Решить уравнение можно на
компьютере с применением любых пакетов программ, решающих
уравнения. Рассмотрим, как решить уравнение на калькуляторе.
Имеем функцию
T
f (r ) = å
Pt - It
t=1 (1 + r )
t
.
Нужно найти такое значение r, при котором f(r) = 0. Задаваясь
различными значениями r, подберем два таких значения, при которых f(r) имеет разные знаки: f(r1) > 0 и f(r2) < 0. Чаще всего получается так, что r1 < r2. Это происходит потому, что инвестиции
по времени предшествуют прибыли, а повышение r снижает коэф1
фициент дисконтирования
и больший вес в NPV получают
(1 + r )t
именно инвестиции, входящие в NPV со знаками «–».
46
Пример оценки эффективности проекта инвестиций
Предприятие собирается закупить и использовать технологическую линию, затратив на покупку 13 млн. р., причем 10 млн. сразу
и еще 3 млн. через год. Линия будет эксплуатироваться 5 лет с амортизацией 20 % ежегодно. Инвестиции можно представить табл. 6.
Таблица 6
Характеристики инвестиционного проекта, млн. р.
Годы
0
1
2
Инвестиции
Амортизация 20 %
Остаточная стоимость
10
–
2
3
2
3
4
5
2,6 2,6 2,6
1,2
Остаточная стоимость = Все инвестиции – Вся амортизация = = (10 + 3) – (2 + 2 + 2,6 + 2,6 + 2,6)=12 млн. р.
Текущие денежные потоки задаются табл. 7.
Таблица 7
Денежные потоки, млн. р.
Годы
0
1
2
3
4
5
Реализация
Издержки
Прибыль
–
–
–
6,5
3,4
3,1
7,5
3,5
4,0
8,8
3,6
5,2
8,0
3,7
4,3
7,5
3,8
3,7
Необходимо оценить эффективность проекта при норме дисконтирования r = 18, или в процентах – 18 %.
Рассчитаем чистые денежные потоки, коэффициенты дисконтирования и NPV ( табл. 8).
Таблица 8
Чистые денежные потоки и коэффициенты дисконтирования проекта,
млн. р.
Годы
0
Инвестиции (It)
Прибыль (Pt)
NPV: (St = Pt – It)
10
Коэффициент дисконтирования (r = 0,18)
–10
1
1
2
3,1
3,1
3
4,0
1,0
3
5,2
5,2
4
5
4,3
4,3
–1,2
3,7
4,9
0,8474 0,7182 0,6086 0,5158 0,4371
Рассчитаем NPV как сумму произведений чистого потока на коэффициенты дисконтирования:
47
NPV = -10 ×1 + 3,1× 0,8474 + 1,0 × 0,7182 +
+ 5,2 × 0,6086 + 4,3 × 0,5158 + 4,9 × 0,4371 = 0,87 млн. р.
Так как NPV > 0, то при r = 18 проект эффективен.
Теперь рассчитаем отдельно приведенные прибыль (Р0) и инвестиции (I0):
P0 = 0 ×1 + 3,1× 0,8474 + 4,0 × 0,7182 + 5,2 × 0,6086 +
+ 4,3 × 0,5158 + 3,7 × 0,4371 = 12,500 ìëí. ð.;
I0 = 10 ×1 + 3 × 0,7182 + 1,2 × 0,4371 = 11,63 ìëí. ð.;
NPV = P0 - I0 = 0,87 ìëí. ð.
Как видим, два пути расчета NPV дают один и тот же результат.
Рассчитаем индекс рентабельности:
P
12,500
PI = 0 =
= 1,1.
I0 11,368
И по NPV > 0, и по PI > 0 проект эффективен при r = 18. Два
эти показателя дают одинаковый результат. Это понятно, при
P
NPV = Po - I0 > 0, Р0 > I0 и PI = 0 > 1.
I0
Рассчитаем внутреннюю норму рентабельности IRR. Напомним,
что IRR равна такому значению r, при котором NPV = 0. Нужно подобрать два таких значения r, чтобы f(r1) > 0 и f(r2) < 0, где f(r) = NPV.
При r = 18 оказалось NPV > 0. С ростом r убывает f(r), т. е. NPV. Чтобы найти f(r), нужно взять r > 0,18. Примем r = 0,24. Рассчитаем коэффициенты дисконтирования и вычислим NPV, как это было сделано выше для r > 0,18. Получим f(0,24) = –0,4274. Теперь возьмем
r < 0,24 и r > 0,18, примем r = 0,22. Рассчитаем f(0,22) = 0,0526.
Принимаем:
r1 = 0,22 и f(r1) = 0,0526;
r2 = 0,24 и f(r2) = –0,4274,
вычисляем IRR:
f (r1 )
(r2 - r1 ) + r1;
f (r1 ) - f (r2 )
0,0526
IRR =
(0,24 - 0,22) + 0,222.
0,0526 + 0,4274
IRR =
Вычислив NPV для r = 0,222, получим f(r) = NPV = 0,0265, т. е.
значение, весьма близкое к нулю. Следовательно, можно принять
48
IRR = 0,222. Это означает следующее: если можно получить кредит под годовую ставку процента r < 0,222, то выгодно вложить эти
деньги в данный проект.
Решение с помощью ППП MathCAD 2001
F (r ) := -10 +
3.1
1
5.2
4.3
4.9
+
+
+
+
2
3
4
1 + r (1 + r )
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r )5
æ-1.6 - .48 × i ö÷
çç
÷
çç-1.6 + .48 × i÷÷
÷÷
solve,r çç
3.1
1
5.2
4.3
4.9
÷
-10 +
+
+
+
+
=0
® çç-.88 - .84 × i ÷÷.
÷÷
float,2 çç
1 + r (1 + r )2 (1 + r )3 (1 + r )4 (1 + r )5
çç-.88 + .84 × i÷÷
÷÷
çç
÷÷ø
çè
.21
Решение в MathCAD 2001 дало r = 0,21, а ручное решение:
r = 0,222. Если продолжить решение вручную, то можно было бы добиться такой же точности.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Инвестиционный проект «Уран» требует вложения
1000 ден. ед., прогнозируемый поток доходов составит: в первый
год – 200; во второй год – 500, в третий год – 600, в четвертый год –
800, в пятый год – 900. Ставка дисконта – 15 %. Оценить эффективность инвестиционного проекта.
Задача 2. Предприятие требует как минимум 14 % отдачи при
инвестировании собственных средств. В настоящее время предприятие располагает возможностью купить новое оборудование стоимостью 84 900 долл. Использование этого оборудования позволит увеличить объем выпускаемой продукции, что в конечном итоге приведет к 15 000 долл. дополнительного годового денежного дохода в
течение 15 лет использования оборудования.
Вычислите чистое современное значение проекта, предположив
нулевую остаточную стоимость оборудования через 15 лет.
Задача 3. Предприятие планирует новые капитальные вложения
в течение двух лет: 120 000 долл. в первом году и 70 000 долл. – во
втором. Инвестиционный проект рассчитан на 8 лет с полным освоением вновь введенных мощностей лишь на пятом году, когда планируемый годовой чистый денежный доход составит 62 000 долл.
Нарастание чистого годового денежного дохода в первые 4 года по
49
плану составит 30, 50, 70, 90 % соответственно по годам от первого
до четвертого. Предприятие требует как минимум 16 % отдачи при
инвестировании денежных средств.
12. Оценка стоимости инструментов
рынка ценных бумаг
12.1. Определение стоимости акции
Акция – эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее
владельца (акционера) на получение части прибыли акционерного
общества в виде дивидендов, на участие в управлении акционерным обществом и на часть имущества, остающегося после его ликвидации. Акция является именной ценной бумагой. Различают несколько количественных характеристик, используемых для оценки
стоимости акций: номинальной, балансовой, конверсионной и ликвидационной, а также их эмиссионную и курсовую цены.
Номинальная стоимость акции – это стоимость, указанная на
бланке акции, характеризующая долю уставного капитала, которая приходилась на одну акцию в момент учреждения компании.
Балансовая стоимость может быть рассчитана как отношение
стоимости «чистых» активов (общая стоимость активов по балансу
за минусом задолженности кредиторам) к общему числу выпущенных акций.
Конверсионную стоимость можно рассчитывать для привилегированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена возможность их конверсии в обыкновенные акции.
Ликвидационная стоимость может быть определена лишь в момент ликвидации общества. Она показывает, какая часть стоимости
активов по ценам возможной реализации, оставшаяся после расчётов с кредиторами, приходится на одну акцию. Поскольку учётные
цены активов могут значительно отличаться от их рыночных цен в
зависимости от инфляции и конъюнктуры рынка, ликвидационная
стоимость не равна балансовой.
Эмиссионная цена представляет собой цену, по которой акция
эмитируется, т. е. продаётся на первичном рынке (это цена посреднической фирмы).
Курсовая цена акции – цена на вторичном рынке ценных бумаг.
Она может определяться различными способами, однако в основе
их лежит один и тот же принцип – сопоставление дохода, приносимого данной акцией, с рыночной нормой прибыли.
50
Оценка целесообразности приобретения акций предполагает расчёт теоретической стоимости акции и сравнение её с текущей рыночной ценой.
Привилегированные акции генерируют доход неопределённо
долго, поэтому их текущая стоимость определяется по формуле
CF
PV =
,
r
где PV – текущая стоимость акции; CF – ожидаемый денежный поток, генерируемый привилегированными акциями; r – приемлемая
(ожидаемая или требуемая) доходность.
Для оценки обыкновенных акций существуют различные методы, наиболее распространённый из них – метод, основанный на
оценке их будущих поступлений (внутренней стоимости акции) по
уравнению:
N
CFn
PV = å
,
n
n=1 (1 + r )
где CFn – ожидаемый денежный поток в n-м периоде; r – приемлемая (ожидаемая или требуемая) доходность.
Оценка акций с равномерно возрастающими дивидендами производится по формуле Гардона
C(1 + g)
PV =
,
r -g
где C – базовая величина дивиденда (последнего выплаченного дивиденда); g – темп прироста дивиденда; r – ожидаемая доходность.
Формула Гардона имеет смысл при r > g.
Из формулы Гардона видно, что текущая цена обыкновенной акции очень чувствительна к параметру g: даже незначительное его
изменение может существенно повлиять на цену. Поэтому в расчётах пытаются разбить интервал прогнозирования на подынтервалы, каждый из которых характеризуется собственным темпом прироста g. Так, если выделить два подынтервала с темпами прироста g
и p, то формула примет вид:
k
PV = C0 å
(1 + g)n
n
n=1 (1 + r )
+ Ck
¥
å
(1 + p)n
n
n=k+1 (1 + r )
.
Главная сложность этой модели состоит в выделении подпериодов, прогнозировании темпов прироста и коэффициентов дисконтирования для каждого подпериода.
51
В теории и практике оценки акций описана и получила достаточно широкое распространение ситуация, когда темп прироста дивидендов в течение нескольких лет прогнозного периода меняется
(фаза непостоянного роста), однако по истечении этих лет он устанавливается на некотором постоянном уровне. Считается, что такое
развитие событий характерно для компаний, находящихся в стадии становления, либо уже зрелых компаний, осваивающих новые
виды продукции или перспективные рынки сбыта.
Пусть продолжительность фазы непостоянного роста составляет k лет, дивиденды в этот период по годам равны Cj (j = 1, 2, …, k),
Сk+1 – первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом g. Тогда формула примет вид:
C
PVk = k+1 .
r -g
Показатель PVk даёт оценку акции на конец периода k. Поскольку делаем оценку акции с позиции начала первого года, значение
PVk нужно дисконтировать. Формула, позволяющая рассчитать теоретическую стоимость акции на конец «нулевого» года имеет следующий вид:
Ck+1 æ 1 ö÷k
çç
+
÷ .
j
r - g çè1 + r ÷ø
j=1 (1 + r )
k
PVt = å
Cj
Принимая решение купить акцию на определенный период времени, инвестор должен оценить доходность от его операции. Аналогичным образом, после завершения операции следует оценить ее
фактическую доходность. Доходность операции с акцией, которая
занимает несколько лет, можно ориентировочно определить по формуле
ps - p p
+ Div
n
r=
,
( ps - p p ) / 2
где Ps – цена продажи акции; Pp – цена покупки акции; Div – средний дивиденд за п лет (он определяется как среднее арифметическое); n – число лет от покупки до продажи акции.
Пример 1
В течение последующих четырёх лет компания планирует выплачивать дивиденды, соответственно, 1,5; 2; 2,2; 2,6 долл. на акцию. Ожидается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличивать52
ся равномерно с темпом роста 4 % в год. Рассчитать теоретическую
стоимость акции, если рыночная норма прибыли 12 %.
Величина ожидаемого дивиденда пятого года будет равна
2,6 · 1,04 = 2,7 долл. По уравнению
k
PVt = å
Cj
j=1 (1 + r )
j
+
Ck+1 æ 1 ö÷k
çç
÷
r - g çè1 + r ÷ø
получим
1,5
2
2,2
+
+
+
1 + 0,12 (1 + 0,12)2 (1 + 0,12)3
2,6
2,7
1
+
+
×
= 27,62 äîëë.
4
0,12 - 0,04 (1 + 0,12)4
(1 + 0,12)
PVt =
Пример 2
Инвестор купил акцию за 2 тыс. р. и продал через 3 года за 3
тыс. р.; за первый год ему выплатили дивиденд в размере 100 р., за
второй – 150 р., за третий – 200 р. Определить доходность операции
вкладчика.
Решение:
Средний дивиденд за 3 года равен:
100 + 150 + 200
= 150 ð.
3
тогда доходность составит:
(3000 - 2000) / 3 + 150
r=
= 0,1933, èëè 19,33 % ãîäîâûõ.
(3000 + 2000) / 2
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Предприятие выплатило по дивидендам 0,52 у. е. в виде
дивидендов за последний год. В течение ближайших трех лет предприятие планирует увеличивать дивиденды на 8 %, а в дальнейшем
темп роста дивидендов должен составить 4 %. Необходимо оценить
стоимость обыкновенной акции при условии, что доходность акций
оценена на уровне 15 %.
Задача 2. По привилегированным акциям компании выплачивается ежегодный дивиденд в размере 8 долл., требуемая инвестором доходность – 11 % годовых. Определить текущую стоимость акции.
53
12.2. Определение стоимости облигации
Облигация – согласно Федеральному закону «О рынке ценных бумаг», – это «эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный ею
срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от
этой стоимости или иного имущественного эквивалента». Оценщик,
как правило, работает со следующими основными видами облигаций:
– с нулевым купоном;
– бессрочными облигациями (эта форма не используется в РФ, но
имеет место в мировой практике);
– купоном с постоянным уровнем выплат;
– купоном с плавающим процентом.
Оценка облигации с нулевым купоном производится по уравнению:
CF
PV =
,
(1 + r )n
где CF – сумма, выплачиваемая при погашении облигации.
Бессрочная облигация предусматривает неопределённо долгую
выплату дохода (CF) в установленном размере или по плавающей
процентной ставке. В первом случае стоимость облигации рассчитывается как сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, поэтому
CF
PV =
.
r
Когда купонные платежи процентов фиксированы, оценщик
имеет дело с простым процентным обязательством и постоянные
процентные платежи он может рассматривать как аннуитет. Текущая стоимость облигации в этом случае состоит из двух частей.
1) текущей дисконтированной стоимости полученных до даты
погашения процентных платежей;
2) текущей дисконтированной стоимости выплаты номинала при
наступлении срока погашения облигации.
Формула определения текущей стоимости облигации с купоном
с постоянным уровнем выплат имеет следующий вид:
Y
Y
Y
M
PV =
+
+ ... +
+
=
N
(1 + r ) (1 + r )2
(1 + r )
(1 + r ) N
N
=å
Y
n
n=1 (1 + r )
54
+
M
(1 + r ) N
,
где PV – текущая стоимость облигаций, ден. ед.; Y – годовые процентные выплаты, определяющиеся номинальным процентным доходом (купонной ставкой); r – требуемая норма доходности, %; М –
номинальная стоимость облигации (сумма, выплачиваемая при погашении облигации), ден. ед.; n – число лет до момента погашения.
При выплате же процентов по облигациям несколько раз в году
ранее приведенное уравнение примет следующий вид:
PV =
Y /m
m
(1 + r / m)
+
Y /m
2m
(1 + r / m)
+ ... +
Y /m
(1 + r / m)
Nm
+
M
(1 + r / m) Nm
,
где m – частота выплат процентов в году.
Если купонные платежи не фиксированы, то оценщик имеет дело с облигацией с плавающей купонной ставкой. В этом случае поступления процентных платежей нельзя рассматривать как аннуитет: поскольку каждый процентный платеж отличен от других, то
он должен рассматриваться как самостоятельный единовременный
платеж. Формула оценки облигации с плавающим купоном:
PV =
Y1
Y2
YN
MN
+
+ ... +
+
,
N
(1 + r ) (1 + r )2
(1 + r )
(1 + r ) N
где PV – текущая стоимость облигации, ден. ед.; Y1, Y2,.. – ежегодные процентные выплаты, меняющиеся из года в год, ден. ед.; r –
требуемая норма, %.
Пример 1
Облигация с нулевым купоном нарицательной стоимостью
100 000 р. и сроком погашения через 5 лет продаётся за 63 012 р.
Проанализировать целесообразность приобретения этих облигаций, если имеется возможность альтернативного инвестирования с
нормой прибыли 12 %.
Решение:
r =5
CF
100000
-1 = 5
-1 = 0,082 = 8,2 %.
P
63012
Приобретать не выгодно.
Пример 2
Вычислить теоретическую стоимость бессрочной облигации, если выплачиваемый по ней годовой доход составляет 10 000 р., а рыночная (приемлемая) норма прибыли – 18 %.
55
Решение:
P = 10000 / 0,18 = 55556 р.
Пример 3
Необходимо определить текущую стоимость облигации с оставшимся сроком до погашения шести лет, номинальной стоимостью
100 000 р., приносящей 6 %-й купонный доход при требуемом уровне доходности 10 %.
Решение:
Текущая стоимость основного долга (100 000 р.), выплачиваемого в конце шестого года равна 56 400 р. (100 000 ∙ 0,564).
Текущая стоимость аннуитета – 6000 р. (6 % от 100 000 р.) в течение шести лет под 10 % равна 26 130 р. (5000 ∙ 4355).
Текущая стоимость облигации равна 82 530 р. (56 400 + 26 130).
Пример 4
Если к условиям примера 3 вместо 10 %-го требуемого уровня доходности взять 4 %-й, то стоимость облигации будет равна:
– текущая стоимость основного долга равна 79 000 р. (100 000 ×
× 0,790);
– текущая стоимость аннуитета равна 31 452 р. (6000 ∙ 5,242);
– текущая стоимость облигации равна 110 452 р. (79 000 + 31 452).
Таким образом:
– если необходимый уровень дохода превышает установленную
по облигации купонную ставку, то стоимость облигации будет ниже
ее номинальной стоимости;
– если необходимый уровень дохода уступает установленной по
облигации купонной ставке, то текущая стоимость облигации будет
выше ее номинальной стоимости;
– если требуемый уровень дохода равен установленной по облигации процентной ставке, то текущая стоимость облигации будет
равна ее номинальной стоимости.
Пример 5
Оценить текущую стоимость облигации нарицательной стоимостью 200 000 р., купонной ставкой 15 % годовых и сроком погашения через 5 лет, если рыночная норма дохода 12 %. Процент по облигации выплачивается дважды в год.
Решение:
Денежный поток в данном случае необходимо представить десятью периодами. Поскольку рыночная норма дохода составляет
12 %, то в расчете на полугодовой период она составит 6 %.
56
Текущая стоимость аннуитета 15 000 р. (15 % от 200 000 р. / 2) в
течение десяти периодов под 6 %: 15 000 ∙ 7360 = 110 400 р.
Текущая стоимость основного долга, выплачиваемого в конце 10го периода под 6 %: 200 000 ∙ 0,558 = 111 600 р.
Текущая стоимость облигации: 110 400 + 111 600 = 222 000 р.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Предприятие А в день эмиссии приобрело по цене 82 у. е.
за штуку пакет дисконтных государственных облигаций с периодом обращения 365 дней и номинальной стоимостью к погашению
100 у. е. Через 165 дней, или за 200 дней до погашения облигации,
предприятие А решило реализовать на рынке этот пакет ценных бумаг, так как ему срочно понадобились деньги. Определить цену продажи пакета облигаций.
Задача 2. Выпущена облигация со сроком погашения через 20
лет. Номинал облигации равен 1000 долл., а годовая процентная
ставка, определяющая величину годового процентного платежа,
составляет 14 %. Средняя процентная ставка на рынке облигаций
данного типа составляет также 14 %. Необходимо оценить текущую
стоимость облигации.
12.3. Фьючерсы
Фьючерс – это соглашение о купле или продаже некоторого актива в определенном количестве в зафиксированный срок в будущем
по цене оговоренной сегодня.
Фьючерс представляют две стороны – покупатель и продавец.
Покупатель берет на себя обязательство произвести покупку в
оговоренный заранее срок.
Продавец берет на себя обязательство произвести продажу в оговоренный заранее срок.
Эти обязательства определяются наименованием актива, размером актива, сроком фьючерса и ценой, оговоренной сегодня.
Стандартное количество
Фьючерсы обычно имеют определенный стандартный размер
или количество, которое называется контрактом. Например, фьючерсный контракт на свинец составляет 25 тонн металла, а фьючерс
на валюту равен 125 000 немецких марок. В связи с такой стандартизацией покупатель и продавец знают количество, которое будет
57
доставлено. Если Вы продаете 1 фьючерс на свинец, то Вы знаете,
что должны продать ровно 25 тонн.
В торгах может принимать участие только целое количество
фьючерсов.
Оговоренный заранее актив
Представьте, что Вы владелец фьючерсного контракта на машину. Допустим, Вы покупаете один контракт на машину, который
дает Вам право приобрести машину по фиксированной цене 15 000
фунтов стерлингов с доставкой в декабре.
Очевидно, что в этом контракте не хватает чего-то важного – какую именно машину Вы приобретаете. Многие из нас были бы счастливы заплатить 15 000 фунтов стерлингов за Porsche, но никак не за
«Оку». Во всех фьючерсных контрактах должны быть предусмотрены размер каждого контракта, дата поставки и конкретный вид продукции. Недостаточно просто знать, что один фьючерсный контракт
на свинец соответствует 25 тоннам. Потребитель должен располагать
информацией о качестве, чистоте и форме поставляемого металла.
Зафиксированный срок фьючерса
Поставка по фьючерсным контрактам производится в зафиксированные сроки – дата(ы) поставки. Дата поставки – это определенный срок, когда покупатели непосредственно приобретают товар, а
продавцы получают за него деньги. Фьючерс имеет свою силу только в течение зафиксированных заранее сроков, по прошествии этого
периода времени совершить сделку на ранее оговоренные сроки становится невозможным.
Поставки по фьючерсам заключаются в оговоренные сроки, по
истечении эти сроков назначается новая дата.
Цена фьючерса, установленная сегодня
Основным достоинством фьючерсов, которым пользуется такое
множество людей от фермера до фондового менеджера, является
стабильность и определенность.
Представьте себе фермера, выращивающего пшеницу. При отсутствии фьючерсного рынка, у него нет уверенности в том, что урожай пшеницы принесет доход. К тому моменту, когда фермер соберет свой урожай, цены на пшеницу могут быть такими низкими,
что он не сможет даже покрыть свои затраты. Однако с помощью
фьючерсного контракта фермер может установить фиксированную
58
стоимость своей продукции за много месяцев до сбора урожая. Если фермер продает фьючерсный контракт за 6 месяцев до сбора урожая, то он берет на себя обязанности продать пшеницу по установленной цене в определенный день поставки. Другими словами, теперь фермер знает, какую цену он получит за свой товар.
Вы можете подумать, что фьючерсы предоставляют прекрасные
возможности. Но что если фермер не может выполнить свои обязательства по независящим от него обстоятельствам, например из-за
засухи или заморозков?
Во избежание риска обязательства по фьючерсному контракту
могут быть компенсированы при приобретении фьючерса на ту же
сумму и противоположного по своему значению.
Допустим, что фермер продал фьючерсный контракт на пшеницу
1 сентября по цене 120 фунтов стерлингов за тонну. Если фермер впоследствии решит не продавать пшеницу, а использовать ее как корм
скоту, то он, чтобы обезопасить себя, должен купить 1 сентября фьючерс по цене на тот момент времени. Таким образом, его обязательства по фьючерсному контракту возмещаются новым контрактом.
Такие операции довольно типичны для фьючерсного рынка; результатом немногих фьючерсных контрактов являются поставки
продукции.
Другие условия
Тик – это минимальный шаг цены на фьючерсном рынке.
Например, для фьючерса на пшеницу тик составляет 5 центов за
метрическую тонну. Если текущая стоимость пшеницы составляет
120 фунтов стерлингов, то эта сумма может измениться не меньше
чем на 5 центов (120,05 или 119,95 фунтов стерлингов). Движения
в размерах менее минимального тика не осуществляются. Эта административная мера введена с целью ограничить разброс цен на
торгах.
В связи с тем, что каждый фьючерсный контракт имеет зафиксированный размер (для пшеницы он составляет 100 тонн), то для
каждого контракта вычисляется минимальная цена тика. В случае с пшеницей минимальный размер тика составляет 100 · 5, или 5
фунтов стерлингов.
Каждый тик, таким образом, составляет 5 фунтов стерлингов
при покупке 100 тонн пшеницы. Зная тик и цену тика, возможно
рассчитать конечные доходы или потери при работе на фьючерсном
рынке.
59
Использование фьючерсов
Фьючерсы могут использоваться в различных ситуациях: для
избежания риска или для получения высоких доходов с высоким
процентом риска. Фьючерсные рынки во многом являются рисковыми. На торгах фьючерсами принимают участие хеджеры, спекуляторы и арбитражеры.
Основной целью хеджера является снижение процента риска.
Спекулятор ищет высоких доходов за счет большого риска.
Целью арбитражера являются доходы без риска за счет рыночных несоответствий.
Спекулятор – покупка фьючерсов
Допустим, спекулятор считает, что ситуация на Среднем Востоке становится более серьезной и война неминуема. В случае если разразится война, поставки нефти сократятся и цены начнут
расти.
Вследствие этого спекулятор покупает июльский фьючерсный
контракт на нефть по цене 20,50 долл. за баррель, тогда как розничная цена на нефть на тот момент времени составляет 19,00 долл.
Размер контракта равен 1000 баррелей, тик составляет 1 цент.
Цена тика – 10 (1000 · 0,01) долл.
1 мая. Действие: покупка фьючерса на нефть по цене 20,50 долл.
на 1 июля.
К сожалению, прогноз спекулятора подтвердился и на Среднем
Востоке началась война, вследствие чего поднялись цены на нефть.
Розничная цена на нефть составляет 35 долл.
21 мая. Действие: продажа фьючерса на нефть на 1 июля по цене
30 долл.
Для того чтобы подсчитать доход от этой сделки, мы сначала
должны выяснить, на сколько тиков произошло изменение, затем
умножить получившийся результат на цену тика и умножить на количество контрактов:
Количество тиков · Цена тика · Количество контрактов.
Количество тиков: стоимость контракта поднялась от 20,5 до 30
долл. Разница в 9,5 долл., или 950 тиков (тик составляет 1цент).
Цена тика составляет 10 долл.
Количество контрактов –1.
Следовательно, доход составляет:
950 · 10 долл. · 1 = 9,5 долл.
60
Причина, по которой спекулятор получил прибыль, состоит в
том, что рынок фьючерсов отреагировал на рост розничных цен на
нефть. Обычно цены на фьючерсных рынках отражают движение
цен на розничных рынках, но это не всегда так. В данном примере
оба рынка – фьючерсный и розничный – отразили повышение цен.
Цены на нефть на розничном рынке повысились от 19 до 35 долл.
(16 долл. за баррель), а на фьючерсном рынке от 20,50 до 30,00 долл.
(9,50 долл. за баррель).
Вопросы, почему движения цен не были одинаковыми на обоих
рынках, будут рассматриваться позднее. На данный момент важно
помнить, что, несмотря на то, что фьючерсные и розничные рынки имеют общие черты, они являются разными рынками со своим
спросом и предложением.
В приведенном выше примере спекулятор приобрел фьючерсные
контракты с расчетом на повышение цен на нефть. Сделка, при которой фьючерс покупается для открытия позиции, называется длинной позицией. Соответственно, сделка, при которой фьючерс продается для открытия позиции, называется короткой.
Длинный фьючерс: риск практически неограничен; максимальный убыток – при падении фьючерса до нулевой отметки; размер
прибыли неограничен, так как цены на фьючерсы могут подниматься до любой отметки.
Спекулятор – продажа фьючерсов
Рассмотрим другой пример, когда спекулятор предполагает падение цен. В данном случае спекулятор должен продать фьючерс по
высокой цене на тот момент времени и затем купить его по низкой
цене. Такая процедура не типична для розничной торговли и в связи с этим нуждается в объяснении.
Существуют два способа получения прибыли, один из них – приобрести по низкой цене и за тем продать по высокой цене. Например,
можно купить дом по цене 80 000 фунтов стерлингов и впоследствии
продать его за 100 000 фунтов стерлингов, получив при этом прибыль в 20 000 фунтов стерлингов. На фьючерсном рынке проделывается такая же процедура. Если предположить, что цены на рынке
недвижимости будут падать, то моно продать дом по цене 100 000
фунтов стерлингов и купить его обратно за 80 000 фунтов стерлингов, получив прибыль в 20 000 фунтов стерлингов. По сравнению с
рынком недвижимости на фьючерсном рынке такие манипуляции
производятся значительно проще.
61
Допустим, что спекулятор предполагает падение цен на рынке
нефти.
1 июля. Действие: продажа фьючерсного контракта на нефть на 1
сентября по цене 22 долл.
14 июля. Действие: покупка фьючерса на нефть на 1 сентября по
цене 20 долл.
К 14 июля фьючерсы на нефть упали в цене и спекулятор «приобрел обратно» фьючерс короткой позиции, погашая этим свои обязательства на поставку. Прибыль вычисляется по следующей формуле:
Изменение тика = (22 – 20) / 0,01 = 200
(тик – 1 цент, или 1 / 100 долл.);
Количество тиков · Цена тика · Количество контрактов,
200 · 10 · 1 = 2000 долл. – доход.
Короткий фьючерс: риск неограничен; доход ограничен, но велик; фьючерс может опуститься только до нулевой отметки.
Хеджер – страховка против падения
Хеджеры используют фьючерсы с целью уменьшить степень риска, существующего в розничной торговле.
Например, доходы нефтепроизводителя зависят от цены на
нефть, которые могут как расти, так и падать. При росте цен происходит рост прибыли, и соответственно при падении цен падает уровень дохода. Такая позиция называется длинной.
Снизить степень риска в случае падения цен можно, осуществляя продажу фьючерсов и тем самым, взяв на себя обязательства
доставить продукцию к какому-то сроку в будущем по цене, установленной в момент продажи фьючерсов. Таким образом, нефтепроизводитель может установить цены на свою продукцию заранее.
Если фьючерсные контракты продаются с целью избежания риска
на розничном рынке, то такие фьючерсы носят название короткого
хеджирования.
Теория фьючерсного хеджирования основана на компенсировании убытков на розничном рынке.
Например, нефтепроизводитель сможет поставить к июлю
100 000 баррелей нефти, но ожидает падение цен на свою продукцию. 1 мая розничная цена составила 22 долл. за баррель, а цена
фьючерсного контракта на июль составляет 23 долл.
62
1 мая. Действие: продажа 100* фьючерсных контрактов на нефть
по цене 23 долл. на июль (100 – так как каждый контракт представляет 1000 баррелей, а хеджируются 100 000 баррелей).
Теперь нефтепроизводитель находится на рынке в длинной позиции (100 000 баррелей на поставку в июле). Его короткая позиция
составляет 100 000 баррелей.
К середине июля цены на нефть упали до 18 долл. за баррель, а
фьючерс на июль упал в своей стоимости до 19 долл. Нефтепроизводитель смог продать свою продукцию по цене 18 долл. и купил свои
фьючерсные контракты по цене 19 долл.
15 июня. Действие: покупка 100 фьючерсных контрактов на
нефть по цене 19 долл. на июль.
Доход от операций с фьючерсами должен, если он правильно продуман, компенсировать производителю падение цен на рынке. Проверим целесообразность действий с фьючерсами в нашем примере,
подсчитав доход от фьючерсов и потери на нефтяном рынке.
Доход от фьючерсов:
Количество тиков · Цена тика · Количество контрактов,
(23 – 19) / 0,01 · 10 долл. · 100 = 400000 долл.
Потери на розничном рынке:
18 – 22 · 100000 = 400000 долл.
Как мы видим, доходы и потери компенсируют друг друга.
В данном примере мы рассматривали, как может быть использовано короткое хеджирование для страхования в случае снижения
цен.
В этом примере приводятся немного нереалистичные данные.
Обычно цены на фьючерсы и розничные цены не изменяются пропорционально друг другу, что будет рассмотрено ниже.
Хеджер – страхование от роста цен
Рассмотрим действия нефтепроизводителя в случае роста цен.
Розничная цена на нефть составляет 18 долл., а фьючерсный контракт на ноябрь – 18,5 долл. за баррель.
Для того чтобы застраховать себя от роста цен, нефтепроизводитель должен, продав фьючерс, установить цену на свою продукцию
в ноябре и занять длинную позицию, купив другой фьючерсный
контракт.
20 сентября. Действие – покупка 10* нефтяных фьючерсов на
ноябрь по цене 18,50 долл. *для страхования 10 000 баррелей.
63
Как и ожидалось, цены на нефть выросли к середине октября до
24 долл., а к ноябрю фьючерс поднялся в цене до 24,50 долл.
10 октября. Действие: продажа десяти фьючерсов на ноябрь по
цене 24,50 долл.
Чтобы рассмотреть эффективность вложений, нужно проследить
рост розничных цен на нефть:
– розничная цена 10 октября – 24 долл.
– розничная цена 20 сентября – 18 долл.
– разница – 6 долл.
Для объема нефти в 10 000 баррелей рост цен составил бы 60 000
долл. (6 · 10000).
Повышение цен, полностью или частично, должно покрываться
доходами от фьючерсных контрактов:
(24,5 – 18,5) / 0,01 · 10 долл. · 10 = 60 000 долл.
Таким образом, средняя стоимость сделки погашается доходами
от фьючерсов, несмотря на рост розничных цен.
Розничная стоимость 10 000 баррелей на 10 октября составила
240 000 долл.
С вычетом доходов от фьючерсов – 60 000 долл. получаем 180 000
долл., или 18 долл. за баррель.
Таким образом, с помощью длинного хеджирования можно застраховаться от роста цен. При коротком хеджировании происходит продажа фьючерсов для страхования имеющегося капитала;
при длинном хеджировании происходит покупка фьючерсов для
страхования ожидающейся прибыли.
Арбитражер
Основной целью арбитражера является получение прибыли без
риска, используя при этом разницы в ценах на различных рынках.
Большинство фьючерсов не имеют оптимальной цены, что означает торговлю либо по более высокой, либо более низкой цене. Эту
разницу используют арбитражеры, производя продажу на фьючерсном рынке по высоким ценам и покупку по низким и в то же время
осуществляя сделки с физическим активом.
Например, в случае, когда цена фьючерса превышает оптимальную цену, арбитражер осуществляет следующие действия:
– продажа фьючерса и покупка физического актива – арбитраж
физической цены и затрат;
– покупка фьючерсов и продажа физического актива – обратный
арбитраж физической цены и затрат.
64
Цена фьючерса должна колебаться выше или ниже оптимальной
цены, только тогда это составляет интерес для арбитражера. Колебания цен происходят в рамках арбитражного коридора. В зависимости от изменения цен среди участников варьируется ширина коридора.
Различия фьючерсного и физического рынков
Один из самых важных шагов при освоении работы фьючерса является процесс его оценки.
Сравним на примере рыночную стоимость меди и стоимость фьючерса сроком поставки на 3 месяца:
– физическая медь 2990 долл. за тонну;
– фьючерс на 3 месяца 3010 долл. за тонну.
Почему цена на фьючерсы выше рыночной? Мы можем предположить, что это может быть связано с ожидаемым ростом цен на
медь. Но кроме этого на стоимость фьючерса влияет множество других факторов, таких как: спрос и предложение на рынке, процентные ставки, выплаты дивидендов, транспортные расценки и др.
Базис – термин, используемый для описания различий между
ценами на физическом и фьючерсном рынках:
ôèçè÷åñêîì - Öåíà ôüþ÷åðñíîãî .
Áàçèñ = Öåíà íàðûíêå
êîíòðàêòà
Например:
– рыночная цена пшеницы равна 120 фунтов стерлингов за тонну;
– цена июльского фьючерса – 125 фунтов стерлингов.
Таким образом, базис составляет:
120 – 125 = –5.
В данном случае базис является отрицательным. Если базис составляет положительное число, то он называется положительным.
Несмотря на то, что фьючерсный и физический рынки движутся
в равной степени, базис не является постоянным. На протяжении
некоторых периодов рыночная цена опережает фьючерсную цену и
наоборот.
Наиболее важными факторами при движении базиса являются
спрос и предложение. В нормальных условиях фьючерсные цены на
физический товар выше цен на физическом рынке, что называется
контанго.
Нормально развивающаяся ситуация, или контанго, может резко изменяться в случае недостатка предложения. Например, в слу65
чае если поставки цинка ограничены, цены на цинк могут возрасти.
Рынки, на которых фьючерсные цены ниже цен на физическом
рынке, называются бэквардэйшен ( от англ. backwardation). В некоторых случаях, когда фьючерсные цены выше физических, считается, что рынок стоит выше номинала. И наоборот, когда фьючерсные
цены ниже физических, рынок считается ниже номинальной цены.
Предложение и базис зависят от сезонных изменений. Например, на рынке пшеницы существует тенденция к преувеличенному
предложению в период сбора урожая и недостаток предложений в
остальное время, что сказывается на ценах фьючерсов.
Базисный риск
Изменения базиса могут по-разному сказаться на держателях
фьючерсов. Предположим, фермер заключил короткую компенсационную сделку на 10 февраля с целью застраховать себя от падения цен (табл. 8).
Таблица 8
Пример влияния изменения базиса
Дата
Физическая цена Цена фьючерса Базис
10 февраля
10 июля
140 –150 = –10
120(20 – убыток) –135(15 – доходы) = –15
Как видно, хеджирование не было эффективно. Падение физической цены на 20 фунтов было частично покрыто 15 фунтами на рынке фьючерсов. Другими словами, произошло изменение базиса.
Когда базис становится более отрицательным или менее положительным, как в нашем примере, считается, что базис занимает слабые позиции.
Если базис становится более положительным или менее отрицательным, он занимает сильные позиции.
Изменения базиса влияют на доходы и потери инвесторов. Но
риск, который несут изменения на фьючерсном и физическом рынках, намного меньше риска, когда инвестор не пользуется хеджированием.
Оптимальная цена
Только на рынках с достаточным предложением, подлежащим
поставке, возможно рассчитать оптимальную или теоретическую
цену фьючерса.
66
При оптимальной цене для инвестора не имеет значения, производится ли покупка фьючерса или соответствующего ему актива.
Представим себе ювелира, который планирует купить 5 унций
золота для изготовления свадебных колец через три месяца. У него
есть два способа, которые могли бы гарантировать цену на золото:
во-первых, он может купить физический металл сейчас; во-вторых,
он может приобрести фьючерс на золото на поставку через три месяца.
В случае, если ювелир совершает покупку, он должен оплатить
поставку немедленно. Деньги на финансирование этой сделки могут
быть либо заимствованы, либо сняты со счета в банке, что приведет
к последующей выплате ссуды с процентами или потерю процентов
на своем счету, а также золото нужно застраховать и осуществлять
хранение с момента покупки до момента продажи.
Если же ювелир приобретет фьючерс, он должен осуществить
оплату через три месяца. Кроме того, ему не придется страховать и
хранить золото.
Из всего этого может показаться, что покупка фьючерса выгоднее приобретения физического металла. Но на фьючерсном рынке
цена включает в себя и стоимость, и страховку, и хранение. Причины, по которым вышеперечисленное входит в стоимость фьючерса,
проще объяснить с точки зрения продавца. Продавец должен предусмотреть, сколько он затратит на поставку золота без риска для себя. Начиная с момента продажи фьючерса, продавец берет на себя
обязательства на поставку, покупая золото, осуществляя хранение
и страхование на протяжении всего срока контракта. Соответственно продавец включает в цену фьючерса затраты на производство и
хранение.
Если физическая цена золота составляет 299 долл. за унцию,
процентная ставка – 5 % ежегодно, сборы за страховку и хранение
0,5 % за год, мы можем рассчитать оптимальную цену фьючерса на
три месяца:
Расчет затрат в течение трех месяцев (90 дней). (При расчетах в
долларах США следует использовать 360 дней в году.)
Физическая цена · (Процентная ставка + + Хранение / страхование) · Количество дней / 360,
290 долл. · 5,5 % · 90 / 360 = 3,99 долл. – стоимость затрат;
3,99 + 290 = 293,99 долл. – оптимальная цена фьючерса на 3 месяца.
67
Оптимальные цены на другие виды фьючерсов рассчитываются
исходя из того же принципа, хотя для фьючерсов на облигации, акции и валюты расчеты становятся более сложными.
Пример для фьючерсов на акции FTSE 100
Если дата: 25 июня; цена акции: 5750; процентная ставка: 6 %
годовых; дивиденд: 4 % годовых; срок: 91 день, то
Цена акции + Объем затрат = Оптимальная цена,
5750 + 5750 (6 – 4) / 100) 91 / 365 = 5750 + 28,67 = 5778,67.
Конвергенция
В последний день срока действия фьючерсного контракта размер
затрат равняется нулю. На момент поставки на фьючерсном и физическом рынках цены на актив будут совпадать из-за котировок на
немедленную поставку актива на обоих рынках. Это совпадение в
одной точке называется конвергенцией.
12.4. Опционы
Опцион – это вид контракта, который дает право, но не обязанность, произвести куплю-продажу по зафиксированной цене до или
в определенный срок.
Понятие опциона может быть рассмотрено подробнее на примере
спекулятора, который предвидит рост цен на какао. В данном случае спекулятор может купить какао для немедленной поставки и затем продать в период повышения цен. Допустим, что стоимость какао – 600 фунтов стерлингов и спекулятор приобретает 1 тонну. Расход составляет:
Цена · Количество
(600 фунтов стерлингов · 1 тонна = 600 фунтов стерлингов).
Спекулятор также может приобрести опционы на какао, которые
дают ему право, но не обязанность, купить какао по цене 60 000
фунтов стерлингов за тонну на период трех месяцев. Покупка опциона будет стоить, скажем, 5 фунтов стерлингов за тонну. Следует
помнить, что опцион – это контракт на поставку в будущем и, соответственно, заплатить 600 фунтов стерлингов спекулятор может по
истечении срока опциона. При покупке же самого опциона он должен заплатить условные 5 фунтов стерлингов:
Цена · Количество
(5 фунтов стерлингов · 1 = 5,00 фунтов стерлингов).
68
Очевидно одно достоинство опциона: опцион дешевле, чем покупка соответствующего товара.
Через 3 месяца, как и ожидалось, цены на какао повысились с
600 до 700 фунтов стерлингов за тонну, что выгодно и для покупателя опционов на какао, и для покупателей по розничным ценам.
Позиция спекулятора, купившего какао в розницу:
– цена покупки – 600 фунтов стерлингов;
– цена продажи – 700 фунтов стерлингов;
– доход – 100 фунтов стерлингов.
Позиция спекулятора, купившего опционы на какао: три месяца
назад он приобрел опционы по цене 600 фунтов стерлингов, за право
совершить сделку он заплатил по 5 фунтов стерлингов за тонну. После роста цен до 700 фунтов стерлингов право на совершение сделки
должно стоить 100 фунтов стерлингов – разница между розничной
ценой и ценой контракта.
На данном этапе необходимы некоторые пояснения. Допустим,
что при розничной цене 700 фунтов стерлингов, опцион 600 фунтов
стерлингов стоит только 40 фунтов стерлингов. Разумный инвестор
приобрел бы право на покупку какао на сумму 600 фунтов стерлингов и сразу же продал товар по цене 700 фунтов стерлингов. Его доход составил бы:
– покупка опциона – 40 фунтов стерлингов;
– покупка какао – 600 фунтов стерлингов;
– продажа какао по рыночной цене – 700 фунтов стерлингов.
Таким образом, доход инвестора составил бы 60 фунтов стерлингов без риска. На розничном рынке прибыль составила бы 100 фунтов стерлингов.
В нашем примере право на покупку на сумму 600 фунтов стерлингов стоило 5 фунтов стерлингов. При рыночной цене 700 фунтов стерлингов стоимость опциона составит 100 фунтов стерлингов
к концу срока его действия:
– цена сделки – 5 фунтов стерлингов;
– текущая стоимость – 100 фунтов стерлингов;
– нереализованный доход – 95 фунтов стерлингов.
Инвестиция в 5 фунтов стерлингов принесла доход 95 фунтов
стерлингов. В процентных соотношениях этот доход превышает
прибыль от сделки на физическом рынке.
Опционы – это пользующийся спросом вид инвестиций, так как
продажа или купля товара, представляемого опционом не обязательна. Сделки производятся непосредственно с опционами. Таким
69
образом, опцион, приобретенный по цене 5 фунтов стерлингов, после продажи на рынке по цене 100 фунтов приносит прибыль в 95
фунтов, несмотря на то, что инвестор не имел намерений покупать
товар.
Право на покупку каких-либо активов называется опцион-колл.
Право на продажу – опцион-пут.
Права на покупку или продажу принадлежат инвестору, приобретающему опционы, или держателю.
Инвестор, продающий опционы – продавец опциона.
Премия – это плата за право произвести куплю или продажу,
или цена опциона. В примере с какао премия составляла 5 фунтов
стерлингов.
Продавец опциона дает согласие на выполнение условий контракта, которые различны для опционов пут и колл, после выплаты
ему премии.
Продавцы опционов-колл берут на себя обязанность совершить
поставку товара в случае запроса. Процесс, когда держатели опционов желают воспользоваться своими правами на покупку или продажу, называется исполнением контракта. Для опциона-колл это
означает, что продавец должен поставить определенный товар и получить за него сумму, зафиксированную в опционном контракте.
Таким образом, колл-опцион на какао дает держателю право на
покупку какао на сумму 600 фунтов стерлингов, а продавец должен
произвести поставку какао на ту же сумму. Для держателя опциона
имеет смысл покупать какао по цене 600 фунтов стерлингов только тогда, когда реальная рыночная цена будет превышать эту стоимость.
Продавцы опционов-колл берут на себя большой риск: они
должны произвести поставку товара по фиксированной цене взамен премии, несмотря на рост или падение цен на рынке. Если цены поднимаются, продавцам приходится покупать товар по высокой цене и затем поставлять его по низкой цене себе в убыток. Цена, по которой опционный контракт дает право на приобретение
или продажу, называется ценой исполнения контракта, или ценой страйк.
Продавцы опционов-пут также сталкиваются со значительным
риском. Они обязаны выплатить стоимость исполнения контракта
за активы, поставляемые им. Контракты на опционы-пут целесообразно исполнять только тогда, когда имеется возможность продать
активы по цене выше, чем предлагает рынок.
70
Риск продавцов опционов можно сравнить с риском страховых
компаний, которые за небольшую премию страхуют дом от пожара,
но, если дом сгорит, компания должна будет выплатить большую
сумму денег. Причина, по которой страховые компании и продавцы
опционов идут на такой риск, в том, что дома горят редко и цены на
рынке резко изменяются нечасто. Покупка опционов – занятие не
для слабонервных, но для тех, у кого есть солидный капитал для
осуществления операций, хотя многие консервативные продавцы
пользуются опционами исходя из имеющихся у них активов, что
является менее рискованным.
Для инвесторов, покупающих или держащих опционы, риск
ограничивается суммой премии. Если изменение цен на рынке не
выгодно для инвестора, то он может не исполнять опционный контракт и потерять при этом премию. Следует помнить, что опцион дает право, но не обязанность, на совершение операций.
Опционы характеризуются другим показателем – сроком действия. По истечении последнего дня срока действия операции с опционными контрактами не проводятся.
Существует несколько стилей опционов.
Американский стиль опционов – опционный контракт может
быть исполнен держателем на протяжении всего времени с момента
покупки.
Европейский стиль опционов – опционный контракт может быть
исполнен только по истечении срока.
Азиатский стиль опционов – опцион исполняется по средневзвешенной цене за весь период действия опциона на протяжении всего
времени с момента покупки. Операции с такими опционами проводятся на внебиржевых рынках, типичны для валютных рынков и
рынков металлов.
Например, основные характеристики опциона:
– актив – какао;
– срок действия – май;
– цена исполнения – 600;
– опцион колл-пут – колл.
Ниже приведены цены опционов-колл, которые дают право купить акции компании XYZ. Основная изначальная цена – 76.
Из табл. 9 виден разброс цен исполнения контрактов и сроков.
Обычно можно ожидать цены и выше, и ниже основной цены. После
изменения основной цены представляются новые цены исполнения
контракта.
71
Таблица 9
Цены опционов-колл XYZ
Цена исполнения
контракта
60
70
80
Премия
Январь
Апрель
Июль
23
12
5
28
18
8
33
23
12
Различные сроки действия дают инвестору возможность выбора,
так как по истечении одного срока действия представляются новые
сроки.
Аналогичный разброс цен исполнения контрактов и сроков характерен для опционов-пут компании XYZ. Премии для опционов
колл и пут различны.
В нашем примере премия опциона-колл на сумму 60 и сроком на
апрель составляет 28. Чтобы высчитать, какую сумму это составит,
нам необходимо знать размер контракта и в какой валюте устанавливаются цены.
Операции с опционами проводятся на рынках валют, акций и облигаций, металлов, нефти и др. Каждый рынок отличается своими
особенностями. Например, цены на нефть обычно устанавливаются
в долларах США за баррель, а цены на акции английских компаний
– в центах. Такие характеристики опционов, как сроки, цена исполнения контракта, валюта опциона и размер поставок, устанавливаются каждым рынком. Все опционы, так же как и фьючерсы, имеют стандартный размер поставки. Операции проводятся с целым
числом контрактов.
Следовательно, «28» означает 28 центов за акцию компании
XYZ. Размер контракта равен 1000 акций:
28 · 1000 = 28000 центов, или 280 фунтов стерлингов.
Простое использование опционов
Обычно опционы считаются рисковым видом инвестиций, но
также встречаются случаи, когда опционы могут быть менее рисковыми, чем сам актив. Перед тем как рассмотреть четыре основные
стратегии использования опционов, нужно уяснить, что:
– максимальный риск для держателей (покупателей) опционов
– премия;
– максимальный риск для продавцов опционов – не ограничен;
72
– максимальный доход – премия.
Покупка опциона-колл
Эта стратегия приемлема, если ожидается рост цен на определенный товар.
Риск инвестора ограничивается премией, которую он платит за
опцион. Например, если он приобретает 80 опционов-колл с премией 5, то 5 – это все, чем он рискует. Премия – часть цены определенного товара, поэтому покупка опциона является менее рисковой,
чем приобретение самого товара.
Тем не менее риску подвергается вся премия, и можно потерять
100 % своих инвестиций, несмотря на небольшую сумму вложений.
Доход от покупки опционов-колл не ограничен. Так как контракт дает право на покупку по фиксированной цене, то это право
может принести выгоду, если цены на товар превысят цену исполнения контракта.
Например, инвестор покупает один опцион-колл компании XYZ,
который дает право (но не обязанность) на покупку активов компании по фиксированной цене 80 с настоящего момента времени до момента истечения срока опциона в январе. Цена этого опциона – 5.
Если цена актива поднимется до 120, то право на покупку по цене 80 (т. е. премия 80 опционов-колл) составит 40. Размер чистого дохода составит 35 (40 – 5) – изначальная цена опциона. Если цены на
акции упадут ниже 80, то 80 опционов-колл обесценятся и 100 %,
из которых 5 было инвестировано изначально, будут потеряны.
Убыток инвестора составляет 5 до тех пор, пока цена не превысит
отметку 80, а доходы и расходы совпадают на отметке 85 (равняются нулю). Покупка опциона-колл для открытия позиции называется длинным опционом-колл.
Продажа опциона-колл
Продавец опциона-колл на актив, которым он не располагает,
берет на себя большую долю риска, так как продажа опциона-колл
означает обязанность совершить поставку товара по фиксированной
цене. Такая стратегия называется непокрытой.
Максимальный доход, который продавец может получить, – премия. В нашем примере с опционом-колл на сумму 80 продавец получает премию 5 до тех пор, пока цена актива ниже отметки 80, так
как никто не захочет воспользоваться правом на покупку по более
высокой цене.
73
Продавец считает, что цены на его товар останутся на прежнем
уровне или упадут. Если его предположения оправдаются, то его
прибыль составит размер премии, так как запроса на поставку актива не поступит.
Продажа опциона-колл с целью открыть позицию называется коротким опционом-колл.
Покупка опциона-пут
Риск ограничен размером премии. Опцион-пут приобретается с
целью получения дохода от падения цен на определенный актив.
Держатель приобретает право, но не обязанность, продать актив по
фиксированной цене. Это право принесет прибыль в случае, если
цены на актив упадут.
Инвестор получит наибольший доход от покупки опциона-пут,
если цены на товар упадут до нуля.
Переломной точкой и максимальной прибылью является отметка 72 (80 – 8). Покупка опциона-пут для открытия позиции называется длинным опционом-пут.
Продажа опциона-пут
Продажа опциона-пут может быть рисковой, так как продавец
берет на себя обязанность поставить определенный товар по фиксированной цене. Если рыночная цена актива падает, продавец вынужден выплатить большую сумму денег за обесценившийся товар.
В худшем случае цена актива может упасть до нуля. В таком случае
потери инвестора составят:
Цена исполнения контракта – Премия.
Продажа опциона-пут производится с расчетом, что запроса на
его реализацию не поступит. Это возможно в случае, если цена актива выше цены исполнения контракта по истечении срока. Продажа опциона-пут для открытия позиции называется коротким
опционом-пут.
Опционы на фьючерсы
Результатом перечисленных опционов является купля или продажа определенных материальных активов.
Более распространенными видами опционов являются опционы
на фьючерсы. Опционы на фьючерсы – это опционы, результатом
исполнения которых является длинная или короткая фьючерсная
позиция.
74
Таким образом, в результате исполнения длинного опциона-колл
держатель получает длинную позицию по фьючерсу.
В результате исполнения короткого опциона-пут держатель получает короткую позицию по фьючерсу.
Очевидно, что параметры фьючерсов и реальных активов различны. Следует выделить риск и маржевой эффект (плечо).
Маржевой эффект
Маржевой эффект – наиболее привлекательное и рисковое качество фьючерсов и опционов.
Например, инвестор покупает один январский опцион-колл компании XYZ на сумму 70 за премию 12. Стоимость акции – 76.
К концу срока действия цена на акции компании составили 100,
опцион-колл – 30. Доход от 12 инвестированных составил 18. В процентном соотношении доход составил:
Доход / Первоначальные вложения = 18 / 12 · 100 % = 150 %.
Если бы акции компании были куплены по цене 76 и впоследствии были проданы по цене 100, данные были бы следующие:
Доход / Первоначальные вложения = 24 / 76 · 100 % = 31,6 %.
Отсюда видно, что доход от операций с опционами приносит большую прибыль. Даже в случае падения цен на акции до 70 к концу
срока действия опциона можно проследить, что маржевой эффект
приносит прибыль:
– покупка опциона-колл – 12;
– колл к концу срока действия – 0;
– потери = 12, или 100 %.
Если акции были бы куплены по цене 76 и впоследствии проданы за 70 с потерей 6, то процентное соотношение выглядело бы следующим образом:
6 / 76 · 100 = 7, 9 % – Потери.
Маржевой эффект требует внимания, так как его неправильное
использование может повлечь за собой большие убытки.
Теорема равенства опционов колл и пут
Существует взаимосвязь между ценами на опционы-пут,
опционы-колл и базовый актив.
Для примера сравним две сделки: покупка фьючерса по цене 100
и одновременная покупка 100 опционов-колл по цене 10 и продажа
100 опционов-пут (табл. 10).
75
Прямая покупка фьючерса по цене 100:
Покупка 100 страйков колл по цене 10 и продажа 100 страйков
пут по цене 10.
Таблица 10
Пример взаимосвязи между ценами на опционы-пут,
опционы-колл и базовый актив
Цена фью- Внутренняя
черса к кон- ценность
цу срока
100 коллов
действия
Доход / потери 100
коллов
Внутренняя
ценность
100 путов
Доход / потери 100
путов
Общий доход / потери
30
–20
–30
70
0
–10
80
0
–10
20
–10
–20
90
0
–10
10
0
–10
100
0
–10
0
+10
0
110
10
0
0
+10
+10
120
20
+10
0
+10
+20
130
30
+20
0
+10
+30
Чистый доход и потери от этой операции составляют ту же сумму, что и в операции с длинным фьючерсом. Позиция, занимаемая
при покупке опциона-колл и продажи опциона-пут, называется искусственной длинной позицией.
Если цена фьючерса и цена колла известны, возможно, например, узнать цену опциона-пут. Для этого используется следующая
формула:
К – П = Ф – Ц,
где К – опцион-колл; П – опцион-пут; Ф – фьючерс; Ц – цена исполнения.
Эта формула приемлема только для опционов на фьючерсы; для
опционов на физические активы используется другая формула:
К – П = Ф – Ц / (1 + Пр · t),
где К – опцион-колл; П – опцион-пут; Ф – фьючерс; Ц – цена исполнения; Пр – процентная ставка; t – время (в годах).
Например, если цена опциона на физический актив:
П = 5, Ц = 100, Ф = 100, Пр = 6 %, T = 60, то:
К = П + Ф – Ц / (1 + Пр · t),
К = 5 + 100 – 100 / (1 + 6 / 100 · 60 / 365) = 5 + 100 – 100 / 1,0099 = = 5 +100 –99 = 6.
76
Единственное различие в формулах для опционов на физический
актив и опционов на фьючерсы в том, что для физических активов
учитываются затраты на содержание актива.
Использование равенства опционов пут
и колл для арбитража
В некоторых случаях цена опциона и базовая цена актива могут
не соответствовать друг другу и нарушать равенство опционов пут и
колл, что дает хорошие возможности для арбитража.
Например, итальянские государственные облигации на сентябрь
продаются по цене 103,78, сентябрьский колл на 103 – по цене 1,29,
сентябрьский пут – 0,53. (Оба опциона на сентябрьские фьючерсы.)
Сравним соответственно цены на покупку фьючерса и создания
синтетически длинной позиции (длинный колл / короткий пут).
Цена фьючерса = 103,78.
Синтетическая позиция = Премия колла – Премия пута + + Цена исполнения = 1,29 – 0,53 + 103 = 103,76.
Из примера видно, что длинная синтетическая позиция дешевле
фьючерса и, значит, существует возможность проведения арбитража.
В данном случае участник сделки занимает длинную синтетическую позицию по сравнительно низкой цене и впоследствии продает
фьючерс по сравнительно высокой цене:
– покупка – 103,76;
– продажа – 103,87;
– доход – 0,02;
– размер дохода составляет 2 пункта.
В случае когда инвестор продает фьючерс или базовый актив и
занимает длинную синтетическую позицию, то эта операция называется реверсией (от англ. reversal).
Противоположная операция – конверсия (от англ. conversion) –
может производиться при низкой цене фьючерса и высокой цене синтетической позиции. В данном случае инвестор покупает
фьючерс и занимает короткую синтетическую позицию (короткий
колл / длинный пут).
Например, цена октябрьского фьючерса на нефть – 16,90, премия
октябрьского опциона-колл на 17,00 – 0,47, а премия октябрьского
опциона-пут – 0,53. (Оба опциона на октябрьские фьючерсы.)
Цена фьючерса = 16,90.
Синтетическая позиция = 0,47 – 0,53 + 17,00 =16,94.
77
В данном случае фьючерс приобретается по сравнительно низкой
цене и синтетическая позиция продается по сравнительно высокой
цене (продажа опциона-колл / покупка опциона-пут). Доход составляет 4 пункта.
13. Валютные курсы
В мировой практике приняты трехбуквенные латинские обозначения валют (см. Прил. 6).
Кроме буквенных обозначений используются также символы
валют. Почти все символы валют основаны на начальных буквах
их названий. В далекую историю уходит происхождение символов
фунта, доллара и песо.
В основе фунта лежит латинская буква L, в основе последних
двух – символ, похожий на букву S. Различаются же знаки доллара
и песо лишь за счет различного количества черточек: у доллара –
одна черта, у песо – две. Это объясняется тем, что в Римской империи основной мерой веса был фунт (от лат. libra, англ. – pound).
От нее и происходит современное название валюты – фунт. Значок $ впервые был использован для оформления денежных знаков
в 1732 г. Он появился на песо, которые были отчеканены в Мехико и выпущены в обращение в американских колониях Испании.
Две вертикальные черты трактовались как Геркулесовы столбы –
две колонны или скалы, которые, по легенде, Геркулес воздвиг по
краям Гибралтарского пролива. Буква S символизировала волны,
омывающие эти колонны-скалы. Символ олицетворял мощь Испании. Валюты с символами песо были популярны и на территории
современных США. Они стали образцом для дензнаков Соединенных Штатов. Поэтому на американские монеты 1792 г. перешел и
символ $, став официальным знаком доллара. Сегодня символ $ используют в Мексике, Чили и многих других странах. В настоящее
время в символе доллара все чаще используются не две черточки, а
одна. А вот в символе песо, как правило, две.
Для того чтобы грамотно осуществлять валютные операции, необходимо сначала рассмотреть, что такое валютный курс.
Валютный, или обменный, курс (от англ. exchange rate) – это
количество единиц одной валюты, необходимое для приобретения
единицы валюты другой страны.
В банковской практике приняты следующие обозначения курсов
валют: например, курс доллара к рублю обозначают
78
USD / RUR = 28,50,
где USD – является базой котировки (или базовой валютой); RUR –
валютой котировки (или котируемая валюта). В данном случае это
значит, что 28,50 р. обмениваются на один американский доллар.
Последние две цифры написания валютного курса называют процентными пунктами, или пипсами (от англ. pips).
Например, изменение курса доллара США к российскому рублю
с 28,50 до 28,40 будет воспринято как падение курса доллара на 10
пунктов.
Валютный курс делится на два вида: текущий курс (или споткурс); срочный (или форвардный) курс.
Текущий курс – это валютный курс, предназначенный для немедленных расчетов (в течение двух дней). Котировка курсов спот
бывает прямой и косвенной. Прямая котировка – это количество
единиц национальной валюты, необходимое для приобретения
одной единицы иностранной валюты. Обычно валюты сравниваются с американским долларом, например USD / RUR. Косвенная (обратная) котировка – это количество единиц иностранной валюты,
необходимое для приобретения одной единицы национальной валюты, например RUR / USD.
Ряд валют официально котируется к доллару США в виде косвенной котировки: евро, английский фунт, а также денежные единицы стран – бывших колоний Великобритании:
GBP / USD = 1,5760.
Такой курс называют «телеграфным курсом», или кейбл (от
англ. cable). На валютном рынке банки котируют валютные курсы
с использованием двух сторон – покупки (bid) и продажи (ask), например:
USD / RUR = 28,40 – 28,50.
Курс покупки – это курс, по которому банк покупает базовую валюту, в нашем случае это USD – доллары США – и продает валюту
котировки, т. е. российские рубли.
Курс продажи – это курс, по которому банк продает базовую валюту и покупает валюту котировки.
Разница между курсом покупки и продажи называется спрэд (от
англ. spread) или маржа (от англ. margin). Таким образом, маржа
(спрэд) – это прибыль банка.
Кросс-курс (от англ. сross rate) – это обменный курс двух валют,
установленный через курс каждой из них к третьей валюте, обычно
79
доллару США. Кросс-курсы основных валют котируются многими
банками, однако они могут быть рассчитаны самостоятельно. Расчет значений кросс-курсов строится с использованием курсов данных валют к доллару США. Рассмотрим три способа расчета кросскурсов.
1-й способ для валют с прямыми котировками к доллару. Если доллар США является базой котировки для обеих валют, то для нахождения их кросс-курса следует разделить долларовые курсы этих валют.
Например, требуется найти кросс-курс швейцарского франка и российского рубля, если USD / RUR = 28,50; а USD / CHF = 1,4181, то:
1 USD = 1,4181 CHF;
1 USD = 28,50 RUR.
Если равны левые стороны, то равны и правые, тогда:
CHF 1,4181 = RUR 28,50==>CHF / RUR = 28,50 : 1,4181.
Таким образом, кросс-курс швейцарского франка и российского
рубля будет составлять 20,0973.
2-й способ для валют с прямой и косвенной котировками к доллару. Если доллар является базой котировки только для одной из валют, то необходимо перемножить долларовые курсы этих валют. Например, необходимо найти кросс-курс фунта стерлингов к швейцарскому франку. Если GBP / USD = 1,8750, а USD / CHF = 1,2810, то:
1 USD = 1 : 1,8750 GBP;
1 USD = 1,2810 CHF;
GBP / CHF = 1,8750 · 1,2810.
Отсюда кросс-курс фунта стерлингов к швейцарскому франку
составляет 2,4019.
3-й способ для валют с косвенными котировками к доллару. Если
доллар является валютой котировки для обеих валют, то для нахождения их кросс-курса необходимо разделить долларовые курсы этих
валют. Например, надо найти кросс-курс фунта стерлинга к сингапурскому доллару. Если GBP / USD = 1,8750, а SGD / USD = 0,8250, то
1 USD = 1 : 1,8750 GBP; 1 USD = 1 : 0,8250 SGD;
GBP / SGD = 1,8750 : 0,8250.
Таким образом, кросс-курс фунта стерлинга к сингапурскому
доллару будет составлять 2,2727.
Однако надо отметить, что данные способы применяются для
расчета среднего кросс-курса, а любые курсы котируются банками
80
в виде двусторонней котировки. Поэтому для нахождения сторон
покупки и продажи кросс-курсов применяют следующие правила:
1-е правило для валют с прямыми котировками к доллару:
– для получения курса покупки надо разделить курс покупки
валюты, выступающей в кросс-курсе валютой котировки, на курс
продажи валюты, которая в кросс-курсе является базой котировки;
– для получения курса продажи надо разделить курс продажи
валюты, выступающей в кросс-курсе валютой котировки, на курс
покупки валюты, которая в кросс-курсе является базой котировки.
Например, надо определить, какой курс установит банк для перевода российских рублей в японские йены, если:
USD / RUR = 28,40 – 28,50;
USD / JPY = 118,75 – 118,85.
Рассчитаем курс покупки:
RUR / JPY = 118,75 : 28,50 = 4,1666.
Тогда курс продажи:
RUR / JPY = 118,85 : 28,40 = 4,1849.
Таким образом, кросс-курс равен:
RUR / JPY = 4,1666 – 4,1849.
Банк поменяет российские рубли на японские йены по курсу
4,1666.
2-е правило для валют с прямыми и косвенными котировками к
доллару:
– для получения курса покупки надо умножить долларовые курсы покупки этих валют;
– для получения курса продажи надо умножить долларовые курсы продажи этих валют.
Например, российскому дилеру надо EUR6,5 млн. Сколько российских рублей он должен продать банку, если
USD / RUR = 28,40 – 28,50;
EUR / USD = 1,2268 – 1,2309.
Рассчитаем сначала курс покупки:
EUR / RUR = 28,40 · 1,2268 = 34,8411;
Теперь рассчитаем курс продажи:
EUR / RUR = 28,50 · 1,2309 = 35,0801.
81
Таким образом, курс покупки и продажи равен:
EUR / RUR = 0,8264 – 0,8550.
Банк поменяет российские рубли на евро по курсу 35,0801.
Тогда российскому дилеру необходимо:
6500000 · 35,0801 = 22802065 р.
82
Приложения
Приложение 1
Порядковые номера дней в невисокосном году
День
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Месяц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
217
219
220
221
222
223
224
213
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
83
84
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Число периодов
1,05
1,1025
1,157625
1,215506
1,276282
1,340096
1,4071
1,477455
1,551328
1,628895
1,710339
1,795856
1,885649
1,979932
2,078928
2,182875
2,292018
2,406619
2,52695
2,653298
2,785963
2,925261
3,071524
3,2251
3,386355
5,00 1,1
1,21
1,331
1,4641
1,61051
1,771561
1,948717
2,143589
2,357948
2,593742
2,853117
3,138428
3,452271
3,797498
4,177248
4,594973
5,05447
5,559917
6,115909
6,7275
7,40025
8,140275
8,954302
9,849733
10,83471
10,00 1,15
1,3225
1,520875
1,749006
2,011357
2,313061
2,66002
3,059023
3,517876
4,045558
4,652391
5,35025
6,152788
7,075706
8,137062
9,357621
10,76126
12,37545
14,23177
16,36654
18,82152
21,64475
24,89146
28,62518
32,91895
15,00 1,2
1,44
1,728
2,0736
2,48832
2,985984
3,583181
4,299817
5,15978
6,191736
7,430084
8,9161
10,69932
12,83918
15,40702
18,48843
22,18611
26,62333
31,948
38,3376
46,00512
55,20614
66,24737
79,49685
95,39622
20,00 1,25
1,5625
1,953125
2,441406
3,051758
3,814697
4,768372
5,960464
7,450581
9,313226
11,64153
14,55192
18,18989
22,73737
28,42171
35,52714
44,40892
55,51115
69,38894
86,73617
108,4202
135,5253
169,4066
211,7582
264,6978
25,00 Процентная ставка за период, %
Множители наращения по сложным процентам
1,3
1,69
2,197
2,8561
3,71293
4,826809
6,274852
8,157307
10,6045
13,78585
17,9216
23,29809
30,28751
39,37376
51,18589
66,54166
86,50416
112,4554
146,192
190,0496
247,0645
321,1839
417,5391
542,8008
705,641
30,00 1,4
1,96
2,744
3,8416
5,37824
7,529536
10,54135
14,75789
20,66105
28,92547
40,49565
56,69391
79,37148
111,1201
155,5681
217,7953
304,9135
426,8789
597,6304
836,6826
1171,356
1639,898
2295,857
3214,2
4499,88
40,00 Приложение 2
85
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Число периодов 0,952381
0,907029
0,863838
0,822702
0,783526
0,746215
0,710681
0,676839
0,644609
0,613913
0,584679
0,556837
0,530321
0,505068
0,481017
0,458112
0,436297
0,415521
0,395734
0,376889
0,358942
0,34185
0,325571
0,310068
0,295303
5,00 0,909091
0,826446
0,751315
0,683013
0,620921
0,564474
0,513158
0,466507
0,424098
0,385543
0,350494
0,318631
0,289664
0,263331
0,239392
0,217629
0,197845
0,179859
0,163508
0,148644
0,135131
0,122846
0,111678
0,101526
0,092296
10,00 0,869565
0,756144
0,657516
0,571753
0,497177
0,432328
0,375937
0,326902
0,284262
0,247185
0,214943
0,186907
0,162528
0,141329
0,122894
0,106865
0,092926
0,080805
0,070265
0,0611
0,053131
0,046201
0,040174
0,034934
0,030378
0,833333
0,694444
0,578704
0,482253
0,401878
0,334898
0,279082
0,232568
0,193807
0,161506
0,134588
0,112157
0,093464
0,077887
0,064905
0,054088
0,045073
0,037561
0,031301
0,026084
0,021737
0,018114
0,015095
0,012579
0,010483
0,8
0,64
0,512
0,4096
0,32768
0,262144
0,209715
0,167772
0,134218
0,107374
0,085899
0,068719
0,054976
0,04398
0,035184
0,028147
0,022518
0,018014
0,014412
0,011529
0,009223
0,007379
0,005903
0,004722
0,003778
Процентная ставка за период, %
15,00 20,00 25,00 Множители дисконтирования по сложным процентам
30,00 0,769231
0,591716
0,455166
0,350128
0,269329
0,207176
0,159366
0,122589
0,0943
0,072538
0,055799
0,042922
0,033017
0,025398
0,019537
0,015028
0,01156
0,008892
0,00684
0,005262
0,004048
0,003113
0,002395
0,001842
0,001417
40,00 0,714286
0,510204
0,364431
0,260308
0,185934
0,13281
0,094865
0,06776
0,0484
0,034572
0,024694
0,017639
0,012599
0,008999
0,006428
0,004591
0,00328
0,002343
0,001673
0,001195
0,000854
0,00061
0,000436
0,000311
0,000222
Приложение 3
Приложение 4
Множители наращения аннуитета
Число
периодов
Процентная ставка за период, %
5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 40,00 1
1
1
1
1
1
1
1
2
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
2,3
2,4
3
3,1525
3,31
3,4725
3,64
3,8125
3,99
4,36
4
4,310125
4,641
4,993375
5,368
5,765625
6,187
7,104
5
5,525631 6,1051 6,742381 7,4416 8,207031 9,0431
6
6,801913 7,71561 8,753738 9,92992 11,25879 12,75603 16,32384
7
8,142008 9,487171 11,0668 12,9159 15,07349 17,58284 23,85338
8
9,549109 11,43589 13,72682 16,49908 19,84186 23,85769 34,39473
9
11,02656 13,57948 16,78584 20,7989 25,80232 32,015 49,15262
10
12,57789 15,93742 20,30372 25,95868 33,2529 42,6195 69,81366
11
14,20679 18,53117 24,34928 32,15042 42,56613 56,40535 98,73913
12
15,91713 21,38428 29,00167 39,5805 54,20766 74,32695 139,2348
13
17,71298 24,52271 34,35192 48,4966 68,75958 97,62504 195,9287
14
19,59863 27,97498 40,50471 59,19592 86,94947 127,9125 275,3002
15
21,57856 31,77248 47,58041 72,03511 109,6868 167,2863 386,4202
16
23,65749 35,94973 55,71747 87,44213 138,1085 218,4722 541,9883
17
25,84037 40,5447 65,07509 105,9306 173,6357 285,0139 759,7837
18
28,13238 45,59917 75,83636 128,1167 218,0446 371,518 1064,697
19
30,539 51,15909 88,21181 154,74 273,5558 483,9734 1491,576
20
33,06595 57,275 102,4436 186,688 342,9447 630,1655 2089,206
21
35,71925 64,0025 118,8101 225,0256 429,6809 820,2151 2925,889
22
38,50521 71,40275 137,6316 271,0307 538,1011 1067,28 4097,245
23
41,43048 79,54302 159,2764 326,2369 673,6264 1388,464 5737,142
24
44,502 88,49733 184,1678 392,4842 843,0329 1806,003 8032,999
25
47,7271 98,34706 212,793 471,9811 1054,791 2348,803 11247,2
86
10,9456
Приложение 5
Дисконтные множители аннуитета
Число
периодов
Процентная ставка за период, %
5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 40,00 1
0,952381 0,909091 0,869565 0,833333
0,8
0,769231 0,714286
2
1,85941 1,735537 1,625709 1,527778
1,44
1,360947 1,22449
3
2,723248 2,486852 2,283225 2,106481
1,952
1,816113 1,588921
4
3,545951 3,169865 2,854978 2,588735 2,3616 2,166241 1,849229
5
4,329477 3,790787 3,352155 2,990612 2,68928 2,43557 2,035164
6
5,075692 4,355261 3,784483 3,32551 2,951424 2,642746 2,167974
7
5,786373 4,868419 4,16042 3,604592 3,161139 2,802112 2,262839
8
6,463213 5,334926 4,487322 3,83716 3,328911 2,924702 2,330599
9
7,107822 5,759024 4,771584 4,030967 3,463129 3,019001 2,378999
10 7,721735 6,144567 5,018769 4,192472 3,570503 3,091539 2,413571
11 8,306414 6,495061 5,233712 4,32706 3,656403 3,147338 2,438265
12 8,863252 6,813692 5,420619 4,439217 3,725122 3,19026 2,455904
13 9,393573 7,103356 5,583147 4,532681 3,780098 3,223277 2,468503
14 9,898641 7,366687 5,724476 4,610567 3,824078 3,248675 2,477502
15 10,37966 7,60608 5,84737 4,675473 3,859263 3,268211 2,48393
16 10,83777 7,823709 5,954235 4,729561 3,88741 3,283239 2,488521
17 11,27407 8,021553 6,047161 4,774634 3,909928 3,2948 2,491801
18 11,68959 8,201412 6,127966 4,812195 3,927942 3,303692 2,494144
19 12,08532 8,36492 6,198231 4,843496 3,942354 3,310532 2,495817
20 12,46221 8,513564 6,259331 4,86958 3,953883 3,315794 2,497012
21 12,82115 8,648694 6,312462 4,891316 3,963107 3,319842 2,497866
22
13,163
8,77154 6,358663 4,90943 3,970485 3,322955 2,498476
23 13,48857 8,883218 6,398837 4,924525 3,976388 3,32535 2,498911
24 13,79864 8,984744 6,433771 4,937104 3,981111 3,327192 2,499222
25 14,09394 9,07704 6,464149 4,947587 3,984888 3,328609 2,499444
87
Приложение 6
Денежные единицы стран мира
Страна
Денежная единица
Кодировка
Деление денежной единицы
Австралия
Австралийский
доллар
AUD
100 центов
Манат
AZM
100 гэпик
DZD
ARS
AMD
BYR
BGL
BRL
100 сантимов
100 сентаво
100 лумов
100 копеек
100 стотинок
100 сентаво
GBP (STG, UKP)
100 пенсов
HUF
VND
GRD
GEL
DKK
100 филлеров
10 хао = 100 су
100 лепт
100 тетри
100 эре
ILS
100 агорот
Индия
Иордания
Исландия
Казахстан
Канада
Кипр
Киргизия
Алжирский динар
Аргентинское песо
Драм
Белорусский рубль
Лев
Реал
Английский фунт
стерлингов
Форинт
Донг
Греческая драхма
Лари
Датская крона
Израильский шекель
Индийская рупия
Иорданский динар
Исландская крона
Тенге
Канадский доллар
Кипрский фунт
Сом
INR
JOD
ISK
KZT
CAD
CYP
KGS
Китай
Юань
LVL
LTL
MYR
MXP
MDL
MNT
100 пайсов
100 филсов
100 эре
100 тыенов
100 центов
100 милей
100 тыйынов
10 цзяо = 100
фыней
100 сантимов
100 центов
100 сенов
100 сентаво
100 баней
100 мунгу
NZD
100 центов
Азербайджан
Алжир
Аргентина
Армения
Белоруссия
Болгария
Бразилия
Великобритания
Венгрия
Вьетнам
Греция
Грузия
Дания
Израиль
Латвия
Лат
Литва
Лит
Малайзия
Ринггит
Мексика
Мексиканское песо
Молдавия
Молдавский лей
Монголия
Тугрик
Новая Зелан Новозеландский
дия
доллар
88
CHY
Норвегия
Польша
Республика
Корея
Россия
Румыния
Сингапур
Норвежская крона
Злотый
Южнокорейская
вона
Российский рубль
Румынский лей
Сингапурский
доллар
Сирийский фунт
Словацкая крона
Сирия
Словакия
Страны зоны
Евро
Евро
США
Доллар США
Таджики Таджикский рубль
стан
Тунис
Тунисский динар
Туркмени Манат
стан
Турция
Турецкая лира
Узбекистан
Сум
Украина
Гривна
Филиппины Филиппинское песо
Чехия
Чешская крона
Чили
Чилийское песо
Швейцарский
Швейцария
франк
Швеция
Шведская крона
Эстония
Эстонская крона
Эфиопия
Быр
ЮАР
Рэнд
Япония
Японская иена
NOK
PLZ
100 эре
100 грошей
KRW
100 чон
RUR
ROL
100 копеек
100 баней
SGD
100 центов
SYP
SKK
100 пиастров
100 геллеров
EUR
100 евроцентов
USD
100 центов
TJR
100 копеек
TND
1000 миллимов
TMM
100 тенге
TRL
UZS
UAH
PHP
CZK
CLP
100 курушей
100 тийинов
100 копеек
100 сентаво
100 геллеров
100 сентаво
CHF (SFR)
100 сантимов
SEK
EEK
ETB
ZAR
JPY
100 эре
100 центов
100 центов
100 центов
100 сенов
89
Литература
1. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика:
учебно-справ. пособие. М.: ИНФРА-М, 2002.
2. Сироткин В. Б. Расчет и анализ параметров финансовых инструментов: учеб. пособие / СПбГУАП. СПб., 1999.
3. Сироткин В. Б. Финансовый менеджмент фирмы: учеб. пособие. М.: Высш. шк., 2008.
4. Сироткин В. Б. Финансы и кредит: учеб. пособие. СПб.: ГУАП,
2009.
5. Финансовый менеджмент: теория и практика: учебник / под
ред. Е. С. Стояновой. 5-е изд., перераб. и доп. М.: Перспектива,
2002.
90
Оглавление
Введение............................................................................. 1. Основные понятия, применяемые в финансовых расчетах...... 2. Наращение по простым и сложным процентным ставкам....... 2.1. Наращение по простой процентной ставке..................... 2.2. Наращение по сложной процентной ставке.................... 3. Дисконтирование и учет по простым и сложным ставкам....... 3.1. Дисконтирование и учет по простым ставкам................. 3.2. Дисконтирование и учет по сложным ставкам................ 4. Номинальная и эффективная ставка.................................... 5. Непрерывное наращение и дисконтирование.
Непрерывные проценты........................................................ 6. Средние ставки процентов................................................. 7. Учет инфляции при расчете наращенных сумм..................... 8. Консолидация и изменение условий платежей...................... 9. Погашение долгосрочной задолженности............................. 10. Финансовые ренты.......................................................... 11. Оценка эффективности проектов инвестиций...................... 11.1. Математическое дисконтирование.............................. 11.2. Чистый приведенный денежный поток....................... 11.3. Внутренняя норма рентабельности инвестиций............ 12. Оценка стоимости инструментов рынка ценных бумаг......... 12.1. Определение стоимости акции................................... 12.2. Определение стоимости облигации............................. 12.3. Фьючерсы............................................................... 12.4. Опционы................................................................. 13. Валютные курсы............................................................. Приложения....................................................................... Приложение 1. Порядковые номера дней в невисокосном
году......................................................................... Приложение 2. Множители наращения по сложным
процентам................................................................ Приложение 3. Множители дисконтирования по сложным
процентам................................................................ Приложение 4. Множители наращения аннуитета................ Приложение 5. Дисконтные множители аннуитета............... Приложение 6. Денежные единицы стран мира.................... Литература......................................................................... 3
4
6
6
8
10
10
14
15
19
20
23
27
32
37
42
43
44
46
50
50
54
57
68
78
83
83
84
85
86
87
88
90
91
Учебное издание
Сироткин Владислав Борисович
Семёнова Вероника Алексеевна
Козлова Юлия Анатольевна
Методы и инструменты
финансово-экономических
расчетов
Учебное пособие
Редактор Г. Д. Бакастова
Компьютерная верстка А. Н. Колешко
Сдано в набор 08.07.10. Подписано к печати 23.12.10. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,11. Уч.-изд. л. 5,5.
Тираж 100 экз. Заказ № 638.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
901 Кб
Теги
sirotkinsemenovakozlova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа