close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

SkalonOpalikhina

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. И. Скалон, О. В. Опалихина
МЕХАНИКА
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург 2011
УДК 539.3/6
ББК 30.121
С42
Рецензент доктор технических наук, профессор В. П. Ларин;
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Скалон, А. И.
С42 Механика: сопротивление материалов: Учеб. пособие/
А. И. Скалон, О. В. Опалихина. – СПб.: ГУАП, 2011. – 64 с.
ISBN 978-5-8088-0692-4
В учебном пособии рассматривается один из основных разделов
«Механики» – «Сопротивление материалов». В нем приводится теоретический материал по базовым разделам этого курса, изучив который студенты смогут выполнить расчеты на прочность и жесткость
деталей и узлов типовых механизмов приборов и исполнительных
устройств.
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Механика», «Прикладная механика», «Теория механизмов и детали
приборов», «Детали машин и основы конструирования».
Пособие подготовлено к публикации кафедрой «Механика» по
рекомендации методического совета факультета инноватики и базовой магистерской подготовки Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
УДК 539.3/6
ББК 30.121
Учебное издание
Скалон Анатолий Иванович Опалихина Ольга Викторовна
МЕХАНИКА СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Учебное пособие
Редактор А. А. Гранаткина
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 15.12.11. Подписано к печати 28.12.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,72.
Уч.-изд. л. 3,87. Тираж 200 экз. Заказ № 662.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-0692-4
© Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП), 2011
© А. И. Скалон, О. В. Опалихина, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Предмет «Механика» является одним из старейших фундаментальных курсов подготовки бакалавров, магистров и специалистов
в технических вузах. Целью этой дисциплины является развитие у
студентов системного диалектического подхода к инженерным задачам и путям их творческого решения.
Механика подразделяется на теоретическую и прикладную.
Теоретическая механика – это раздел физики, который изучает
механическое движение материальных тел, т. е. изменение с течением времени их положения относительно друг друга. Она состоит
из трех разделов – кинематики, статики и динамики. Теоретическая механика использует такие абстракции, как материальная
точка, обладающая массой, но не имеющая протяженности, и абсолютно твердое тело.
Прикладная механика включает в себя три основных раздела:
сопротивление материалов, теория механизмов и детали механизмов.
При изучении прикладной механики рассматривают реальные
тела, которые в отличие от материальной точки обладают не только
массой, но и имеют габаритные размеры, а в отличие от абсолютно
твердых тел под действием нагрузки изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.
Пособие содержит теоретический материал по базовым разделам «Сопротивления материалов».
Сопротивление материалов изучает поведение различных материалов при действии нагрузки. Для описания разных видов деформаций конструктивных элементов используются уравнения равновесия и методы сложения сил из статики.
Рассматриваемый в пособии теоретический материал является
фундаментальной основой расчетов на прочность и жесткость деталей и узлов механизмов. При этом учитываются современные тенденции развития авиационной и космической техники, которые, с
одной стороны, характеризуются усложнением схемотехнических
3
решений, высокой насыщенностью технических объектов специальными измерительными и информационно-вычислительными
системами, а с другой – минимизацией их массы, габаритных размеров и стоимости. Для обеспечения указанных требований первостепенное значение приобретают расчеты на прочность и жесткость
конструктивных элементов [1–3].
1. ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ.
ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИИ.
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
При проектировании механизма инженеру приходится выбирать материал и поперечные размеры каждого конструктивного
элемента таким образом, чтобы он достаточно надежно, без риска
разрушиться или исказить свою форму, сопротивлялся действию
внешних сил, передаваемых на него от соседних частей конструкции [1, 2]. Правильно решить эту задачу помогает такой раздел
«Прикладной механики», как «Сопротивление материалов».
Задачей «Сопротивления материалов» является изучение поведения различных материалов при действии на них сил и подбор для
каждого элемента конструкции материала и поперечных размеров
с учетом условий обеспечения надежности работы и минимальных
массы, габаритных размеров и стоимости конструкции. Иногда
приходится решать обратную задачу – проверять достаточность
размеров уже существующей конструкции.
Критерии, определяющие надежность работы деталей и узлов
конструкции, – это их прочность, жесткость и износостойкость.
Под прочностью понимается способность детали воспринимать
нагрузку без разрушения или проявления признаков остаточной
деформации.
Жесткость – это способность детали сопротивляться изменению геометрической формы и размеров под действием нагрузки.
Износостойкость – способность детали сохранять форму и размеры при действии сил трения.
В расчетах на прочность и жесткость конструкции реальный
объект заменяется расчетной схемой (расчетной моделью). Приступая к расчету конструкции, объект необходимо схематизировать,
отбрасывая все факторы, которые не могут существенно повлиять
на суть задачи. Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, носит название расчетной схемы.
4
При построении расчетной схемы схематизируются структура
и свойства материала, упрощается геометрическая форма реального объекта. Материал считают сплошным, однотипным и изотропным. Это означает, что он занимает весь объем детали (без пустот) и
имеет одинаковые свойства во всех точках и во всех направлениях.
Геометрическая форма конструктивного элемента может быть сведена к следующим основным расчетным схемам – схемам стержня
и оболочки.
Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого
(длина l) значительно больше двух других (b, h или d) (рис. 1). В соответствие с расчетной схемой стержня приводятся многие элементы аналоговых авиационных приборов и устройств, валы и оси зубчатых механизмов. Сложные конструкции могут быть представлены также в виде отдельных элементов, имеющих форму стержня.
Их называют стержневыми системами. При рассмотрении элементов конструкции стержень часто называют брусом или балкой.
Под оболочкой (рис. 2) понимается тело, одно из измерений которого (толщина δ) существенно меньше двух других (R, H или R, l). Схема оболочки используется при расчете тонкостенных корпусов авиационных приборов и устройств, гибких колес волновых
редукторов.
d
l
h
l
b
Рис. 1. Расчетная схема стержня
δ
R
H
δ
l
H
δ
R
R
Рис. 2. Расчетные схемы оболочек
5
δ
a
b
Рис. 3. Расчетная схема пластины
Помимо стержня и оболочки используется расчетная схема пластины (рис. 3). Пластина – это тело, ограниченное двумя плоскими поверхностями, расстояние δ между которыми мало по сравнению с другими размерами (a, b). Схема пластины может быть использована при расчете мембран.
2. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
Силы являются мерой механического взаимодействия тел. Различают внешние и внутренние силы.
Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется внешними силами. Они характеризуют взаимодействие выделенной конструкции
с телами, расположенными за пределами условно очерченной ее
границы. Внешние силы, в свою очередь, делятся на объемные и
поверхностные.
Объемные силы распределены по объему тела и приложены к
каждой его частице.
Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и
характеризуют непосредственное контактное взаимодействие рассматриваемого объекта с окружающими телами [2]. Их можно подразделить на сосредоточенные и распределенные.
Сосредоточенные силы (P) передаются через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всей конструкции (рис. 4,а). Такие силы выражаются в ньютонах. Распределенные силы (q) приложены непрерывно по некоторой длине или площади конструкции и выражаются в ньютонах на метр, сантиметр,
миллиметр (рис. 4,б).
Различают активные и реактивные внешние силы. Активные
силы стремятся вызвать изменения в положении или состоянии
6
а)
P
б)
q
P
Рис. 4. Сосредоточенные и распределенные силы
тела. Реактивные силы возникают в связях. Активные силы принято считать заданными, а реакции связей находят из уравнений
равновесия статики.
Активные силы по характеру воздействия делят на статические
и динамические. Статические силы действуют постоянно или
медленно изменяются (квазистатические). Динамические силы
являются функциями времени. Они действуют периодически или
дискретно, вызывая ускорение тела. Они меняют величину и направление во времени.
Взаимодействие между частями выделенной конструкции в пределах очерченной ее границы характеризуется внутренними силами. Внутренние силы по физической природе представляют собой
силы молекулярного сцепления. Они сопровождают деформацию
материала. Такие силы сопротивляются стремлению внешних сил
разрушить выделенный элемент, изменить его форму и размеры,
отделить одну его часть от другой. Они стремятся восстановить
прежнюю форму и размеры деформированного элемента.
Для численной характеристики степени воздействия внешних сил
на деформированный элемент необходимо научиться измерять и вычислять величину внутренних межатомных сил, возникших как результат деформации, вызванной определенными внешними силами.
Внутренние силы возникают не только между отдельными взаимодействующими узлами конструкции, но и между всеми смежными частицами объекта при нагружении [1, 2].
Для определения внутренних сил используется метод сечений.
Рассмотрим суть этого метода.
В качестве расчетной схемы выберем стержень. Пусть к нему
приложена некоторая нагрузка, т. е. система внешних сил P1, P2,
… Pn, удовлетворяющая уравнениям равновесия. Внутренние силы,
возникающие в стержне, определяют, рассекая его мысленно на две
части сечением mm (рис. 5,а). Такой метод выявления внутренних
сил в «Сопротивлении материалов» называется методом сечений.
7
Pn–1
а)
P1
m
P2
m
P1
Pn
M
Pn–1
P3
P1
m¢¢
б)
m¢
P2
m¢¢
Pmm
Pn
Pmm
m¢
P1
M
Y
в)
Qy
P3
Pn–1
P1
R
Мy
M
Мк
N
Z
Мx
Qx
Pn
X
Рис. 5. Внутренние силовые факторы в сечении
8
Так как связи между выделенными частями стержня устранены,
воздействие правой и левой частей друг на друга необходимо заменить системой сил в сечении. Для этого вводят систему внутренних
сил. Таким образом, внутренние силы определяют взаимодействие
между частицами тела, расположенными по разные стороны мысленно проведенного сечения. В разных сечениях возникают разные
внутренние силы.
В соответствии с принципом действия и противодействия внут- ренние силы всегда взаимны. Правая часть действует на левую
точно так же, как и левая на правую. Система сил, возникающих в
плоскости mm, противоположна по знаку системе сил, возникающих в плоскости mm (рис. 5,б). Поэтому внутренние силы могут
быть определены из уравнений равновесия любой части стержня.
Обозначим систему внутренних сил (Pmm).
Внутренние силы распределяются по поверхности проведенного сечения некоторым сложным образом, но во всех случаях они
должны быть такими, чтобы удовлетворялись уравнения равновесия для правой и левой частей стержня в отдельности. Так как
уравнения равновесия не позволяют определить характер распределения внутренних сил по сечению, внутренние силы заменяют
сосредоточенными, приложенными в центре тяжести сечения. По
сути дела, мы определяем не закон распределения внутренних сил,
а их равнодействующие при условии задания внешних сил.
Таким образом, для нахождения внутренних сил стержень сечением mm мысленно делится на две части, одна из которых отбрасывается, а ее действие заменяется равнодействующими внутренними силами (рис. 5,в). Затем, используя основную теорему статики,
лемму о параллельном переносе сил и следствие аксиомы о переносе
силы вдоль линии ее действия, эти равнодействующие внутренние
силы приводятся к центру тяжести сечения. В результате получаем
две составляющие: главный вектор R и главный момент M внут- ренних сил, которые спроектируем на систему координат X, Y, Z с
центром в точке O – центре тяжести сечения. Проектируя главный вектор R и главный момент M на оси X, Y, Z, имеем шесть алгебраических составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами в сечении
стержня. При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов находят из шести уравнений равновесия, которые
могут быть составлены для отсеченной части стержня.
Из уравнений (условий) равновесия следует общее правило определения внутренних сил: внутренняя сила в сечении равна алгебра9
ической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону сечения. Направление внутренней силы противоположно направлению алгебраической суммы проекций внешних сил, действующих
на рассматриваемую часть стержня.
Составляющая внутренних сил по нормали к сечению (N) называется нормальной, или продольной, силой в сечении (рис. 5,в).
Силы Qx и Qy называются поперечными, или перерезывающими,
силами. Момент относительно нормальной оси (Мк = Mz) называется крутящим моментом, а моменты Мx и Мy – изгибающими моментами относительно осей X и Y.
Запишем шесть уравнений равновесия:
n
k
n
i=1
j=1
i=1
n
k
n
i=1
j=1
i=1
n
k
n
i=1
j=1
i=1
åPiz + N = 0, åMjz + åMz (Pi ) + Mz = 0,
åPix + Qx = 0, åMjx + åMx (Pi ) + Mx = 0,
åPiy + Qy = 0, åMjy + åMy (Pi ) + My = 0,
где Pix, Piy, Piz – проекции главного вектора внешних сил на координатные оси X, Y, Z; Mjx, Mjy, Mjz – моменты внешних пар сил относительно тех же осей; Mx(Pi), My(Pi), Mz(Pi) – проекции главного
момента внешних сил на координатные оси X, Y, Z.
3. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Для характеристики закона распределения внутренних сил по
сечению для них вводится числовая мера. За такую меру принимается напряжение – мера внутреннего взаимодействия в рассматриваемой точке поперечного сечения.
Напряжение является оценкой прочности детали (элемента конструкции). Оно определяется как мера внутренней силы, приходящейся на единицу площади. Прочность детали обеспечена, если
внутренние силы не превосходят определенных значений, устанавливаемых на основании экспериментального изучения при введении заданного запаса.
10
Напряжение имеет размерность силы, деленной на площадь.
В международной системе единиц физических величин (СИ) напряжение измеряется в паскалях (Па), т. е. в ньютонах на квадратный метр.
Для определения напряжения в поперечном сечении, перпендикулярном к оси стержня, применяется метод сечений.
Полное напряжение p может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и двум осям в той же плоскости (рис. 6). Составляющие вектора полного напряжения по
нормали обозначаются σ и называются нормальным напряжением.
Составляющие в плоскости сечения называются касательным напряжением и обозначаются τ.
Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту
точку, образует напряженное состояние в точке.
Ни один из существующих в природе материалов не является
абсолютно твердым. Под действием внешних сил все тела в той или
иной степени меняют свои размеры и форму, т. е. деформируются.
Деформация – это любое изменение размеров и формы тела.
Причем деформации в большей или меньшей степени могут быть
подвержены как отдельные элементы конструкции, так и конструкция в целом.
Величина и характер деформаций связаны со структурой и строением применяемых в конструкциях материалов [1]. Все материалы относят к двум классам: кристаллические и аморфные.
t¢¢
Pn–1
τ¢¢
n
σ
p
τ¢
t¢
Pn
Рис. 6. Составляющие полного напряжения в точке
11
Кристаллические материалы состоят из множества очень малых кристаллических зерен. Каждое из них представляет собой систему атомов, размещенных на весьма близких расстояниях друг
от друга правильными рядами. Все эти ряды образуют кристаллическую решетку.
Аморфные материалы характеризуются неправильным расположением атомов. Атомы удерживаются в равновесии силами взаи- модействия. Деформация тела происходит вследствие изменения
расположения атомов, их сближения или удаления.
Деформации делятся на упругие и остаточные. Упругими деформациями называются такие изменения формы и размеров элементов, которые исчезают после удаления вызвавших их сил, т. е. тело
полностью восстанавливает прежнюю форму. Эти деформации связаны лишь с упругими искажениями решетки атомов. Результаты
экспериментов показывают, что упругие деформации наблюдаются,
пока значение внешних сил не превосходит известного предела. Если
внешние силы перешли этот предел, то после их удаления форма и
размеры элемента не восстанавливаются в первоначальном виде.
Оставшиеся разности размеров называют остаточными деформациями. Эти деформации в кристаллических материалах связаны
с необратимыми перемещениями одних слоев кристаллической решетки относительно других. При удалении внешних сил сместившиеся слои атомов сохраняют приобретенное положение.
Смещение атомов при деформации материала под действием
внешних сил сопровождается изменением сил взаимодействия
между атомами – сил притяжения и отталкивания. В элементах
конструкции под действием внешних сил возникают дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию материала.
Можно сказать, что деформация возникает в результате действия внутренних сил, которые появляются вследствие внешнего
воздействия. В то же время в статически неопределимых системах
возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок вследствие погрешностей изготовления и сборки, а также из-за изменения температуры.
Деформация является мерой оценки жесткости конструкции.
Жесткость характеризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения. Чем больше жесткость стержня, тем меньшую деформацию он получит при
одной и той же длине.
В «Сопротивлении материалов» деформация является количественной мерой изменения геометрических размеров в окрестности
12
точки рассматриваемого поперечного сечения элемента. Как правило, она является безразмерной (относительной) величиной или
измеряется в процентах.
Различают деформации линейные и угловые.
Для того чтобы охарактеризовать интенсивность изменения
формы и размеров, рассмотрим точки А и В недеформированного
тела, расположенные друг от друга на расстоянии s (рис. 7). Вследствие изменения формы тела это расстояние увеличится на величину Δs. В результате можно записать
lim =
s®0
Δs
= ε AB .
s
Величина εAB называется линейной деформацией в точке А по
направлению АВ.
Рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном
теле двумя отрезками OD и ОС (см. рис. 7). После нагружения тела
внешними силами этот угол изменится и примет вид угла COD.
Предел разности углов COD и COD
(

 -C
O D 
γ COD = lim COD
OC®0
OD®0
)
называется угловой деформацией, или углом сдвига в точке О в
плоскости COD.
D¢
C¢
B¢
O¢
D
s+∆s
A¢
C
O
B
A
s
Рис. 7. Линейные и угловые деформации
13
Совокупность линейных деформаций по разным направлениям
и угловых деформаций в разных плоскостях для одной точки образует деформированное состояние в точке.
Можно выделить простые и сложные деформации. К простым
деформациям относятся осевое растяжение (сжатие), кручение,
плоский изгиб. Под сложными деформациями понимают противодействие комбинированным нагрузкам, например, косой изгиб,
кручение и изгиб, совместное действие изгиба и растяжения или
сжатия.
Далее подробно рассмотрим разные виды деформаций.
4. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ).
ЗАКОН ГУКА
m
m
b
а)
∆b
2
Под осевым растяжением (сжатием) понимают такой тип деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает
только нормальная сила N [1–3].
Осевое растяжение (рис. 8,а) появляется при действии на прямолинейный стержень двух равных и противоположно направленных
сил P, приложенных к центрам тяжести концевых сечений и направленных по оси стержня. При противоположном направлении
сил P имеем осевое сжатие (рис. 8,б).
Принимая гипотезу плоских сечений, согласно которой в рассматриваемом стержне все плоские сечения, нормальные к его оси, и после деформации остаются плоскими и нормальными к данной оси,
P
m
l
b1
P
X
∆l
2
m
l1
б)
P
P
Рис. 8. Деформация растяжения (а) и сжатия (б)
14
N
P
перемещаясь параллельно, можно предположить, что все продольные элементы стержня растягиваются одинаково. Справедливость
гипотезы плоских сечений подтверждается опытными данными для
сечений, достаточно удаленных от места приложения силы Р.
Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают
продольные и поперечные деформации. Стержень, находясь в равновесии под действием растягивающих сил, удлиняется в продольном направлении на величину Δl = l1 – l, а его ширина уменьшается
на величину Δb = b – b1. В случае сжатия наблюдается противоположная картина. При растяжении стержня продольной деформацией является удлинение, поперечной – укорочение. При сжатии
стержня продольной деформацией является укорочение, а поперечной – удлинение.
При растяжении приращение длины Δl называется абсолютным удлинением, а приращение длины Δb – абсолютным укорочением. В случае сжатия стержня Δl – абсолютное укорочение, а Δb –
абсолютное удлинение. При этом величина Δl имеет знак «минус».
Для удобства расчетов вводят относительную продольную деформацию ε, равную отношению абсолютной продольной деформации Dl к первоначальной длине стержня l, и относительную поперечную деформацию ε, равную отношению абсолютной поперечной
деформации Δb к первоначальной ширине стержня b:
ε=
Δl
Δb
, ε =
.
l
b
(1)
Экспериментально установлено, что для большинства материалов ε в три-четыре раза меньше, чем ε.
Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации ε к относительной продольной ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
µ=
ε
.
ε
Коэффициент Пуассона μ, как и модуль упругости первого рода
E, является характеристикой упругих свойств материала.
Для определения напряжения в поперечном сечении, перпендикулярном к оси стержня, применим метод сечений.
Рассечем мысленно стержень (рис. 8,а) на две части поперечным сечением mm и правую часть отбросим. Для уравновешивания
оставшейся левой части приложим в плоскости сечения внутренние силы N, направленные нормально к плоскости сечения. Эти
15
силы заменяют действие удаленной правой части стержня на левую
его часть. Равнодействующая сила N действует по оси стержня и по
величине равна силе P (согласно уравнению статического равновесия å X = 0 Þ N = P ).
В случае консольного стержня (рис. 9), устранив связи согласно
принципу освобождаемости и заменив их действие силами – реакциями связей (в нашем случае реакцией RA), перейдем к расчетной
схеме стержня, изображенной на рис. 8,а. Уравнение равновесия в
этом случае примет вид
å X = 0, å X = R A - P = 0 Þ R A = P Þ N = P.
Согласно гипотезе плоских сечений можно утверждать, что при
растяжении внутренние силы распределены равномерно по всему
сечению, поэтому нормальное напряжение во всех точках поперечного сечения определяют по формуле
N P
(2)
σ= = ,
S S
где S – площадь поперечного сечения стержня.
Для случая сжатия напряжение σ следует считать отрицательным:
P
σ=- .
S
Нагрузки и деформации, возникающие в стержне, связаны
между собой. При растяжении или сжатии стержня закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением σ и относительной деформацией ε:
σ = Eε.
(3)
A
RA
P
X
P
Рис. 9. Расчетная схема консольного стержня
16
Коэффициент Е, входящий в эту формулу, называется модулем
упругости первого рода, или модулем Юнга первого рода. Модуль
упругости характеризует жесткость материала, т. е. способность его
сопротивляться упругой деформации при растяжении. Величина
модуля упругости материалов устанавливается экспериментально.
Пропорциональность эта нарушается, если напряжение переходит за некоторый предел, называемый пределом пропорциональности, который устанавливается опытным путем.
Формулу (3) можно записать в другом виде, подставляя в нее
вместо ε и σ их выражения (1), (2), при этом получаем
Nl
Δl =
.
ES
Произведение ES называется жесткостью при растяжении
(сжатии). Жесткость характеризует одновременно физические
свойства материала и геометрические размеры сечения. Чем больше жесткость стержня, тем меньшую деформацию он испытывает
при одной и той же длине.
Для безопасной работы конструкции напряжения, возникающие
в ее элементах, должны быть ниже установленного для данного материала предельного напряжения [σ], называемого допускаемым.
Условие прочности при растяжении (сжатии) для однородного по
материалу и поперечному сечению стержня определяют по формуле
σ=
P
£ [σ].
S
Допускаемое напряжение определяется как отношение опасного напряжения σоп, при котором может произойти разрушение
стержня или значительная деформация, к коэффициенту запаса
прочности n:
σ
[σ] = îï .
n
За опасное напряжение для пластичных материалов принимается предел текучести σт, а для хрупких – предел прочности σв (временное сопротивление).
Условие жесткости при растяжении (сжатии) для однородного по
материалу и поперечному сечению стержня определяют по формуле
Δl ≤ [Δl],
где [Δl] – ограничение перемещения стержня.
17
Если стержень неоднороден по поперечному сечению и нагружению, то для оценки его прочностных и жесткостных свойств проводится столько сечений, сколько участков с однотипным нагружением. Проверка прочности выполняется для опасного сечения, т. е. такого, в котором нормальное напряжение σ оказалось максимальным:
σmax ≤ [σ].
Для оценки жесткости стержня для каждого сечения рассчитывают значения Δl и определяют суммарное перемещение
ΔlΣ = Δl1 + Δl2 + … + Δln,
которое сравнивают с допускаемым:
ΔlΣ ≤ [Δl].
Условие жесткости может ограничивать также перемещение отдельных участков стержня:
Δl1 ≤ [Δl1], Δl2 ≤ [Δl2], …, Δln ≤ [Δln].
Для выявления опасного сечения строят эпюры внутренних силовых факторов: N, σ и Δl [1, 2, 4]. При построении эпюры перемещений выбирают точку отсчета (она может быть любой, но обычно
это точка защемления). На границах участков откладывают значения удлинений и соединяют полученные точки прямыми. При этом
учитывают, что последующие участки стержня (как участки твердого тела) приобретают перемещение предыдущего участка.
Эпюра перемещений может быть использована при оценке влияния упругих деформаций элементов приборов на их точность. Пример классической задачи расчета на прочность и жесткость консольного (защемленного одним концом) стержня приведен в Приложении (задача 1).
5. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В ТОЧКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА.
ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
Для определения напряженного состояния в какой-либо точке
рассматриваемого сечения в ее окрестности вырезают элементарный куб со сторонами dx, dy, dz. Считают, что напряжения на его
гранях известны.
Полное представление об опасности, угрожающей прочности
стержня, можно получить, рассматривая напряжения, действую18
щие не только в поперечных, но и наклонных сечениях. При любом угле наклона площадки α в каждой точке проведенного разреза действуют как нормальные, так и касательные напряжения [1].
Наличие двух видов напряжений приводит к двум видам деформации: удлинению (или укорочению) и деформации сдвига (рис. 10).
Этому соответствуют и два вида разрушения материала – отрыв и
сдвиг.
Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам, перпендикулярным к оси стержня, а наибольшие касательные напряжения – по площадкам, составляющим угол 45° с направлением этой оси, и равны половине наибольших нормальных
напряжений.
Таким образом, и при простом растяжении возможно появление
двух видов напряжений – нормальных и касательных. При α = 0°
возникают только нормальные напряжения, при α = 90° и нормальные, и касательные напряжения отсутствуют.
Куб со сторонами dx, dy, dz можно ориентировать так, чтобы его
грани были свободны от касательных напряжений. Площадки, по
которым касательные напряжения отсутствуют, называются главными. Нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями.
а)
α
б)
–τ α
+σα
α
α
− σα
P
+τ α
α
P
Рис. 10. Принятые знаки нормальных и касательных напряжений
в точке наклонного сечения при сжатии (а) и растяжении (б)
19
В каждой точке напряженного тела можно выделить элементарный куб, гранями которого служат главные площадки. Материал
куба растягивается или сжимается тремя взаимно перпендикулярными главными напряжениями, передающимися через эти грани
(рис. 11). Напряженное состояние в точке можно характеризовать
совокупностью только трех главных напряжений: σ1, σ2, σ3. Нумерацию этих напряжений установим таким образом, чтобы σ1 соответствовало наибольшему, а σ3 – наименьшему по величине напряжению.
Различают три вида напряженного состояния:
• объемное напряженное состояние, при котором все три главных напряжения не равны нулю (например, случай растяжения
или сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям,
когда элемент материала находится в условиях сложного напряженного состояния);
• плоское напряженное состояние, при котором одно из главных
напряжений равно нулю (случай растяжения или сжатия по двум
направлениям);
• линейное (одноосное) напряженное состояние, при котором
два главных напряжения равны нулю (случай растяжения или
сжатия в одном направлении).
Между компонентами напряженного и деформированного состояний существует зависимость, которая в пределах малых деформаσ1
σ3
σ2
σ2
σ3
σ1
Рис. 11. Главные напряжения на гранях выделенного элемента
20
ций является линейной и носит название обобщенного закона Гука.
Для объемного напряженного состояния можно записать:
1
ε1 = (σ1 - µ(σ2 + σ3 )),
E
1
(4)
ε2 = (σ2 - µ(σ1 + σ3 )), E
1
ε3 = (σ3 - µ(σ1 + σ2 )),
E
где μ – коэффициент Пуассона; E – модуль Юнга первого рода.
В соотношениях (4) первые слагаемые характеризуют продольную деформацию, а вторые – поперечную.
6. ЧИСТЫЙ СДВИГ
Для изучения деформации сдвига желательно найти такие площадки, по которым действуют только касательные напряжения.
Под чистым сдвигом понимают такой вид напряженного состояния, при котором по граням выделенного из материала элемента
возникают только касательные напряжения [1–3]. Такое состояние
характерно для элементов, работающих на срез и смятие (штифтов,
шпонок, шлицов, болтов, заклепок и др.).
Чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния при α = 45° и при σ1 + σ3 = 0. Такой сдвиг эквивалентен комбинации двух равных по величине главных напряжений –
растягивающего и сжимающего.
По площадкам, наклоненным на угол α = 45° к направлению
главных напряжений, возникают только касательные напряжения, под действием которых элемент подвергается деформации
сдвига. В то же время материал этого элемента в направлении
главных напряжений работает на растяжение (сжатие). Деформация сдвига непременно сопровождается деформацией растяжения
(сжатия), а деформация растяжения или сжатия – сдвигом.
Пусть элемент в форме куба подвергается деформации чистого
сдвига. Закрепим неподвижно грань АВ этого элемента. Под действием касательных напряжений грань CD сдвинется параллельно
АВ на величину Δs, называемую абсолютным сдвигом. В результате элемент ABCD перекосится. Прямые углы станут острыми или
тупыми, изменившись на величину γ, называемую углом сдвига,
или относительным сдвигом.
21
Угол сдвига γ равен
γ = tg γ =
Δs
,
a
где Δs – абсолютный сдвиг, Δs = СС1 = DD1; a – длина ребра выделенного элемента.
Относительный сдвиг γ (величина перекоса элемента) численно
характеризует деформацию сдвига.
Рассмотрим прямоугольный треугольник DD1D2 (рис. 12,а).
Сторона DD1 этого треугольника – абсолютный сдвиг Δs, а сторона
D2D1 – удлинение диагонали Δl. Угол при точке D1 из-за малости
деформации принимаем равным 45°. Тогда
Δl = Δscos45°.
Относительное удлинение диагонали
Δl
ε= ,
l
a
где l =
.
sin 45°
Выразим относительное удлинение диагонали ε через относительный сдвиг γ:
Δl Δs
1
1
(5)
ε= =
cos 45° sin 45° = γ, ε = γ. 2
2
l
a
а)
∆s
C
τ
C1
D

45
a
τ
б)
45
D1
D2
τ
C
σ1
D
σ3
∆l
τ
τ
γ
τ
σ3
A
a
τ
B
A
σ1
τ
B
Рис. 12. Напряжения и деформации в выделенном
из материала элементе: а – характер деформированного состояния;
б – характер распределения главных напряжений σ1 и σ3
22
Вместе с тем относительное удлинение диагонали ε (рис. 12,б),
вызванное действием главных напряжений σ1 = τ и σ3 = – τ, можно
выразить через обобщенный закон Гука (формула (4))
σ
σ
τ
τ
(6)
ε = ε1 = 1 - µ 3 = (1 + µ), ε = (1 + µ). E
E
E
E
Подставив в формулу (5) выраженное через обобщенный закон
Гука относительное удлинение диагонали ε (формула (6)), получим
τ
1
E
γ.
(1 + µ) = γ, τ =
2
2(1 + µ)
E
E
= G называют моду2(1 + µ)
лем Юнга второго рода, или модулем упругости при сдвиге. Закон
Гука при сдвиге выражается формулой
Коэффициент пропорциональности
τ = Gγ.
Таким образом, относительный сдвиг γ и касательное напряжение τ пропорциональны друг другу, т. е. при сдвиге напряжение и
соответствующая ему относительная деформация связаны законом
Гука.
Условия прочности и жесткости при чистом сдвиге соответственно записывают в виде
τ ≤ [τ],
γ ≤ [γ],
где [τ], [γ] – допускаемые значения касательного напряжения и
угла сдвига для данного типа материала.
При практических расчетах на прочность элементов соединений
(штифтов, шпонок, шлицов, болтов, заклепок и др.) производят
проверку по напряжениям на срез и смятие. Сдвиг выражается в
том, что по плоскости раздела соединяемых элементов происходит
срез, а по поверхности элементов – смятие. При срезе в опасном
сечении возникают касательные напряжения, а при смятии – нормальные.
В качестве примера рассмотрим штифтовое соединение.
С помощью штифта на валу редуктора крепится зубчатое колесо
(рис. 13). Проверка прочности штифта заданного диаметра dш производится на срез и смятие по допускаемым напряжениям материала [τ]ср и [σ]см. По плоскостям среза штифта действуют касательные напряжения
23
τ
σ
σ
τ
Рис. 13. Действие нормальных и касательных
напряжений на штифт
τñð =
P
P
,
=
2
Sñð z 2πdø
/4
(7)
где P – действующая на штифт сила; z – число плоскостей среза,
для одного штифта, закрепляющего на валу зубчатое колесо, z = 2;
πd2
Sср – площадь среза, Sñð = ø .
4
Рассчитанное по формуле (7) касательное напряжение τср сравнивают с допускаемым напряжением на срез [τ]ср. Условие прочности на срез записывают в виде
τср ≤ [τ]ср.
По поверхности смятия штифта действуют нормальные напряжения
P
(8)
,
σñì =
Sñì
где P – действующая на штифт сила; Sсм – площадь смятия, Sсм = (D – dв)dш. Здесь D – диаметр ступицы колеса, dв – диаметр
вала.
Рассчитанное по формуле (8) нормальное напряжение σсм сравнивают с допускаемым напряжением на смятие [σ]см. Условие
прочности на смятие записывают в виде
σсм ≤ [σ]см.
Если какое-либо из условий прочности не выполняется, следует выбрать другой материал штифта либо изменить его диаметр [1–4].
24
7. КРУЧЕНИЕ
Одним из основных видов деформаций валов механизмов, торсионов в подвесах измерительных приборов, втулок является деформация кручения. Такая деформация приводит к появлению углов
закручивания участков валов в силовых механизмах и собственных колебаний в подвесах измерительных приборов. Деформация
кручения представляет собой чистый сдвиг сечений вала в плоскости, перпендикулярной оси вращения [1–3].
Кручение – это вид деформации, при котором в поперечном сечении вала возникает только внутренний крутящий момент Мк.
На основании опытов деформация кручения вала круглого сечения
осуществляется разнонаправленными внешними крутящими моментами М, приложенными на концах скрученного участка вала
(рис. 14).
Рассмотрим механизм деформации вала круглого поперечного
сечения. Примем следующие гипотезы:
• все поперечные сечения после деформации остаются плоскими, а контуры всех проведенных сечений не искажаются;
• радиусы, проведенные в них, после деформации остаются прямыми и не искривляются;
• расстояния между сечениями не изменяются.
При скручивании вала круглого сечения парами разнонаправленных внешних моментов М все образующие цилиндра (рис. 15)
поворачиваются на один и тот же угол γ (угол сдвига), а квадраты,
нанесенные на поверхность вала, преобразуются в ромбы, т. е. подвергаются деформации сдвига.
Каждое поперечное сечение поворачивается относительно другого вокруг оси вала на некоторый угол, называемый углом закруγ
τ
x
Х
τ
∆x
М
l
Рис. 14. Деформация кручения вала
25
а)
б)
M
2
1
a
b
γ O1 O2
A1
B1
C1
D1
с
M
d ϕ
b1
d1
1
O
A1
C1
O1 dϕ O
2
γ
B1
D1
dx
dx
x
1
2
2
1
2
Рис. 15. Принципиальная схема кручения:
а – поверхности вала; б – малого его элемента
чивания j. Величина этого угла пропорциональна величине крутящего момента и расстоянию между сечениями.
Выделим на поверхности скручиваемого вала до его деформации
двумя смежными образующими ab и cd и двумя контурами смежных сечений 1–1 и 2–2 прямоугольник ABCD (рис. 15,а).
После деформации оба сечения (1–1 и 2–2) повернутся относительно защемленного конца на углы jх (сечение 1–1) и jх + dj
(сечение 2–2). На основании ранее принятых гипотез о взаимном
повороте сечений оба сечения останутся плоскими, радиусы О2В и
O1A, О1C и О2D сохранятся прямыми, а расстояние dx между сечениями 1–1 и 2–2 останется без изменения. При таких условиях
весь элемент ABCDO1O2 сместится и перекосится, поскольку его
правая грань, совпадающая с сечением 2–2, повернется на угол dj
относительно левой, совпадающей с сечением 1–1. Прямоугольник
ABCD займет положение, показанное на рис. 16 штриховкой.
Для получения основных выражений, характеризующих прочность и жесткость выделенного элемента сечения, рассмотрим деформацию малого сектора вала, приведенного на рис. 16.
Рассмотрим два параллельных треугольника с центрами О1 и
О2. Они расположены на расстоянии dx друг от друга. Недеформированное состояние поверхности вала характеризуется квадратом
ABCD. Сечение с центром в точке О2 поворачивается на угол dj относительно неподвижной точки О1. Исходный квадрат в этом случае принимает вид ромба A1B1C1D1. Между сторонами АВ и А1В1
образуется угол сдвига γ.
26
dx
O1
ρ
r
γρ
B
A1
L
O2
dϕ
L1
τ γ
τ
B1
τ
C1
D
τ
dx
D1
Рис. 16. Принципиальная схема малого сектора вала
Абсолютный сдвиг элемента на поверхности вала равен
BB1 = rdj,
а относительный сдвиг
γ=
BB1
dj
=r
.
A1 B
dx
Касательное напряжение τ точки B1 находим по выражению
dj
(9)
τ B1 = γG = rG
,
dx
E
– модуль упругости второго рода; Е – модуль упру2(1 + µ)
гости первого рода; μ – коэффициент Пуассона.
При рассмотрении промежуточной точки L1 на радиусе ρ напряжение τρ будет равно
dj
(10)
τρ = ρG
.
dx
где G =
Относительный сдвиг и касательное напряжение в каждой точке
поперечного сечения скручиваемого вала (стержня, торсиона) прямо пропорционально расстоянию ρ этой точки от центра сечения.
27
Элементарный момент dM можно представить в виде
dM = dPρ = ρτρdS,
где dS – площадь элементарного участка; dP = τρdS – элементарная
сила.
Подставляя τρ из выражения (10) в эту формулу и интегрируя,
получаем выражение крутящего момента Мк в следующем виде:
dj
Ìê = G
Iρ ,
dx
где Iρ = ò ρ2dS – полярный момент инерции сечения.
Угол закручивания на единицу длины вала (относительный угол
закручивания) соответственно равен
dj Ìê
(11)
=
.
dx GIρ
Из формул (9)–(11) можно получить следующее соотношение:
M ρ
M
τmax = ê max = ê ,
Iρ
Wρ
где ρmax = r – наибольший радиус вала; Wρ =
Iρ
– полярный моρmax
мент сопротивления сечения при кручении; τmax – наибольшее значение касательного напряжения в сечении.
Таким образом, наибольшего значения касательные напряжения в сечении вала круглого сечения достигнут в точках сечения у
поверхности этого вала при ρ = ρmax = r.
Для валов круглого сечения с диаметром вала d
Iρ =
πd4
πd3
» 0,1 d4 , Wρ =
» 0,2 d3 ,
32
16
для полого вала c наружным dн и внутренним dв диаметром
π 4
Iρ =
dí - dâ4 = 0,1 dí4 - dâ4 , 32
æ
d4 ö÷
d4 ö÷
π æç
ç
Wρ = ççdí3 - â ÷÷÷ = 0,2ççdí3 - â ÷÷÷.
16 çè
dí ø÷
dí ø÷
èç
(
28
)
(
Условие прочности при кручении имеет вид
M
max τ = ê £ [ τ]. Wρ
)
(12)
Условие прочности ограничивает наибольшее касательное напряжение в сечении maxτ допускаемым напряжением [τ].
Как отмечалось ранее, деформация стержня круглого сечения
при кручении характеризуется взаимным поворотом смежных сечений.
Условие жесткости при кручении для расстояния между сечениями, равного dx, записываем следующим образом:
dj Mê é dj ù
(13)
=
£ ê ú. dx GIρ êë dx úû
Угол закручивания j, получаемый в результате интегрирования
выражения (13) по х, при расстоянии между сечениями, равном l,
соответственно имеет вид
M l
j = ê .
(14)
GIρ
Эта формула выражает закон Гука при кручении. Как видно из
формулы (14), величина угла закручивания j тем меньше (при данном Мк), чем больше произведение GIρ, называемое жесткостью
при кручении.
Параметр Iρ характеризует влияние размеров поперечного сечения на деформируемость стержня при кручении, а параметр G –
влияние упругих свойств материала.
С учетом формулы (14) условие жесткости при кручении имеет
вид
M l
j = ê £ [j]. (15)
GIρ
Условие жесткости ограничивается углом закручивания [j] на
метр длины вала либо на длину, равную 20 его диаметрам [1–3].
Из выражения (15) можно получить исходную формулу для
определения модуля упругости при сдвиге G в виде
M l
G= ê .
jIρ
Целью практического расчета конструктивных элементов круг- лого поперечного сечения, работающих на кручение, является правильный подбор материала и размеров поперечного сечения исходя из условий прочности и жесткости. Для подбора диаметра вала
или оси с учетом условия прочности находят опасное сечение, в
29
котором внутренний крутящий момент Мк максимален. В условие
прочности (формула (12)) подставляют максимальное значение Мк.
Используя формулу (12), рассчитывают диаметр вала.
Для подбора диаметра вала или оси согласно условию жесткости
в формулу (15) подставляют допускаемое значение угла закручивания [j] на метр длины вала или другую определенную условием задачи его длину. Используя формулу (15), вычисляют диаметр вала.
Из двух рассчитанных диаметров выбирают наибольший, который
округляют в большую сторону до ближайшего стандартного значения [1, 2, 4].
В задачах на кручение рассчитывают также суммарный угол закручивания jΣ = j1 + j2 + … + jn стержня. Для выявления опасного сечения строят эпюры внутренних силовых факторов: Мк и j.
Классическая задача подбора диаметра стержня круглого поперечного сечения, работающего на кручение, рассмотрена в Приложении (задача 2).
В инженерной практике встречаются также случаи работы
на кручение стержней некруглого сечения. При кручении таких
стержней их поперечные сечения перестают быть плоскими, т. е.
подвергаются депланации. При расчете на прочность и жесткость
стержней некруглого сечения вводятся поправочные коэффициенты, которые приведены в справочной литературе [1–3].
8. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ
Одним из основных видов деформации валов редукторов с цилиндрическими и коническими колесами, червячной передачи, элементов стержневых механизмов и микромеханических устройств, а
также частей несущих конструкций и продольно сжатых стержней
является деформация изгиба.
Изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты
Ми [1–3].
Различают чистый и поперечный изгиб. При поперечном изгибе в отличие от чистого в поперечных сечениях стержня наряду с
изгибающим моментом Ми возникают поперечные силы Q. Изгибающий момент Ми и поперечная сила Q являются внутренними
силовыми факторами при изгибе.
При Q ≠ 0 в сечении возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Они складываются в систему внутренних сило30
вых факторов, которые совместно уравновешивают систему внешних сил, приложенных к рассматриваемой части стержня.
Сила Q складывается из элементарных касательных усилий,
действующих в сечении. Она сдвигает это сечение относительно
смежного.
Изгибающий момент Ми – это момент внутренней пары сил. Он
складывается из элементарных нормальных усилий, возникающих
в поперечном сечении стержня. Данный момент поворачивает это
сечение относительно смежного, вызывая искривление оси балки,
т. е. изгиб. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.
Деформация изгиба возникает как на плоскости, так и в пространстве.
Под плоским изгибом понимают изгиб, при котором изогнутая
ось балки после деформации остается в плоскости действия сил.
Косой изгиб (случай сложного сопротивления – противодейст- вие комбинированным нагрузкам) представляет собой изгиб, при
котором изогнутая ось балки после деформации не лежит в плоскости действия сил.
Рассмотрим случай простого сопротивления (плоский изгиб).
Примем ряд допущений:
• при чистом изгибе поперечные сечения, бывшие плоскими до
деформации, остаются такими и во время деформации (гипотеза
плоских сечений);
• продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно,
под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение или сжатие;
• деформации волокон не зависят от их положения по ширине
сечения, и, следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по
высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
Введем три ограничения:
• балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние
силы лежат в этой плоскости;
• материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль
упругости при растяжении и сжатии одинаков;
• соотношения между размерами балки таковы, что она работает
в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Для оценки величины нормальных напряжений и характера их
распределения рассмотрим стержень (балку) прямоугольного сечения, подвергающийся чистому изгибу парами внешних моментов М.
Двумя бесконечно близкими сечениями 1–1 и 2–2 выделим из
него элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации
31
представлен на рис. 17. Оба поперечных сечения 1–1 и 2–2, оставаясь плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей (точки О1 и О2
на фронтальной плоскости) и образуют угол dα [1–3].
Линия О1О2, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие
выше нейтрального слоя, укорачиваются, а расположенные ниже
него – удлиняются. Нейтральный слой (показан на рис. 17 пунктиром) – это слой продольных волокон, не изменяющих длины при деформации, т. е. поверхность, отделяющая сжатую зону от растянутой.
Рассмотрим волокно AB, которое расположено на расстоянии z
от нейтрального слоя. Первоначальная длина волокна dx при изгибе не изменяется и равна
dx = ρdα.
1
2
O1
M
O2
M
z
A
B
1
dx
2
C
dα
ρ
M
M
O1
O2
z
σ
A
σ
B
Рис. 17. Расчетная схема деформации изгиба элемента dx
32
Длина волокна АВ после деформации равна
AB = (ρ + z)dα.
Его относительное удлинение можно определить по формуле
ε=
(ρ + z)dα - ρdα
ρdα
z
= ,
ρ
где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя.
Используя закон Гука при растяжении, вычисляем нормальные
напряжения при изгибе:
Ez (16)
σ = Eε =
,
ρ
где E – модуль упругости материала при растяжении (модуль Юнга
первого рода).
Уравнение (16), характеризующее закон Гука при изгибе, показывает, что величина нормальных напряжений в данном случае изменяется прямо пропорционально расстоянию z от рассмат- риваемой точки сечения до нейтрального слоя. Это означает, что
напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону с переменой знака. Максимального значения они достигнут
на поверхности стержня у верхнего и нижнего краев сечения при z = zmax. Уравнение (16) отражает только характер распределения
нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для их вычисления.
Характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения показан на рис. 18.
σmax
М
Нейтральный слой
σmax
Рис. 18. Распределение нормальных напряжений
по высоте поперечного сечения стержня
33
M
Y
X
0
0
z
Y
dS
dN = σdS
y
Z
Z
Рис. 19. Расчетная схема внутренних изгибающих моментов
в поперечном сечении стержня
Для определения величины нормальных напряжений в любой
точке сечения составим уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси Y. Обратимся к рис. 19. На нем показана одна
из отсеченных частей стержня, подвергающегося чистому изгибу
парами внешних моментов М. В каждой точке поперечного сечения
стержня действуют нормальные напряжения σ. На выделенную вокруг любой точки с координатами (Y, Z) элементарную площадку
dS действует элементарная внутренняя сила
dN = σdS.
За ось Z принята линия пересечения плоскости симметрии
стержня с плоскостью сечения. За ось Y принята нейтральная ось
сечения. Ось X направлена вдоль нейтрального слоя перпендикулярно осям Y и Z.
Уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси Y
имеет вид
å My = 0, M - å dNz = 0 èëè
M - ò σzdS = 0,
S
причем
ò σzdS = Ìè – внутренний изгибающий момент в сечении.
S
Оценивания значение σ по формуле (16) и подставляя его в уравнение å My получаем
E
(17)
z2dS = M. ρò
S
34
Обозначим
2
òz
dS = Iy . Этот интеграл называется осевым мо-
S
ментом инерции площади сечения относительно оси Y. Поскольку ось Y – нейтральная ось, Iy есть момент инерции площади сечения стержня относительно нейтральной оси. Обозначим Iy для
краткости I, а внутренний изгибающий момент Ми – просто М.
Используя выражения (16) и (17), получаем формулу для определения нормальных напряжений в любой точке сечения в виде
σ=
Mz
.
I
(18)
Из формулы (18) следует, что нормальные напряжения в любой
точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и обратно пропорциональны осевому моменту инерции (моменту инерции сечения относительно нейтральной оси).
Запишем формулу (18) в следующем виде:
1 M
.
=
ρ EI
(19)
Формула (19) – основная формула теории деформации. Из нее
вытекает, что чем больше при данном изгибающем моменте M момент инерции сечения I, тем большим оказывается радиус кривизны нейтрального слоя ρ, а стало быть, и ось балки, т. е. тем меньше
балка искривится [1–3].
Величина момента инерции I характеризует способность балки
сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы
ее поперечного сечения. Модуль Юнга первого рода Е характеризует ту же способность балки сопротивляться искривлению, но уже в
зависимости от типа ее материала. Произведение ЕI есть жесткость
балки при изгибе. Чем оно больше, тем меньше искривится балка
при действии данного изгибающего момента.
Максимальное нормальное напряжение σmax в опасном сечении
(при M = Mmax) соответственно равно
M
z
Mmax
M
(20)
σmax = max max =
= max , I
I / z max
W
где W = I/zmax – осевой момент сопротивления площади сечения
относительно оси Y.
Значения I и W для большинства стандартных форм сечений известны и приводятся в справочной литературе [1–3].
35
Для стержня прямоугольного сечения
I=
bh3
I
I
bh2
=
=
,W=
,
zmax h / 2
12
6
для стержней круглого сечения
I=
πd4
I
I πd3
» 0,05 d4 , W =
= =
» 0,1 d3 . 64
zmax r
32
(21)
По величине максимального нормального напряжения σmax
проверяется прочность элементов конструкции. Напряжение σmax
сравнивается с допускаемым напряжением [σ]. В случае правильного подбора размеров поперечного сечения конструктивного элемента и его материала выполняется условие прочности при изгибе
σmax ≤ [σ].
(22)
Если стержень имеет участки с разным нагружением, то в формулу (22) подставляют значение σmax, рассчитанное для опасного
сечения, т. е. такого, в котором максимален внутренний изгибающий момент. Для выявления опасного сечения строятся эпюры
внутренних силовых факторов M и Q. При этом сечений проводится столько, сколько участков с однотипным нагружением [1, 2, 4].
Классическая задача проверки прочности стержня, работающего
на изгиб, приведена в Приложении (задача 3).
При поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают не только нормальные, но и касательные напряжения. Это
обусловлено тем, что в подобном случае в сечении стержня помимо внутреннего изгибающего момента Ми действует и поперечная
сила Q. Следовательно, в отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе поперечные сечения перестают быть плоскими, кроме
того, в продольных сечениях появляются напряжения надавливания между слоями. Однако при Q = const искажение плоскости
сечений на величине нормальных напряжений сказывается мало,
напряжения надавливания между слоями возникают при Q = var.
Поэтому при Q = const по длине стержня для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе можно использовать формулы (18)–(20), полученные для чистого изгиба.
В 1855 г. Д. И. Журавский высказал предположения, которые
вполне допустимы для балок прямоугольного сечения, если высота
ее h больше ширины b:
• направление всех касательных напряжений в сечении параллельно поперечной силе Q, которая является их равнодействующей;
36
• касательные напряжения, действующие по площадкам, расположенным на одном и том же расстоянии z от нейтральной оси,
равны между собой.
Величина касательного напряжения τ изменяется по высоте
прямоугольного сечения согласно закону параболы. У верхнего и
нижнего краев сечения τ обращается в нуль, а максимума достигает в точках на нейтральной оси (где нормальное напряжение равно
нулю). Характер распределения нормального и касательного напряжений при поперечном изгибе показан на рис. 20.
Для стержней с h >> b проверка прочности материала производится как по наибольшим нормальным (формула (22)), так и по
наибольшим касательным напряжениям:
τmax ≤ [τ].
Наибольшие касательные напряжения можно рассчитать по
формулам:
для прямоугольного сечения
3 Qmax 3 Qmax
τmax =
=
,
2 S
2 bh
для круглого сечения
τmax =
4 Qmax 4 Qmax
=
,
3 S
3 πd2 /4
где S – площадь поперечного сечения стержня; b, h, d – геометрические его размеры (ширина, высота или диаметр соответственно).
Z
σ max
z
h
τ max
Y
b
σ max
Рис. 20. Распределение напряжений по сечению при поперечном изгибе
37
Следует отметить, что при поперечном изгибе тонкостенных
стержней, стержней, имеющих малую высоту и большую длину,
расчет на прочность целесообразно производить только по нормальным напряжениям. В этом случае справедливо соотношение
τmax
<< 1.
σmax
При действии внешних сил, расположенных в одной из главных
плоскостей инерции балки, наблюдается искривление ее оси в той
же плоскости, т. е. плоский изгиб.
Перемещение OO1 центра тяжести сечения по направлению,
перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в
этом сечении, или прогибом этого сечения балки (рис. 21). Прогиб
будем обозначать y.
Угол θ, на который каждое сечение поворачивается относительно своего первоначального положения, называется углом поворота сечения. На практике необходимо уметь вычислять прогибы и
повороты для любого сечения балки. Величина наибольшего прогиба – мера оценки искажения формы конструкции при действии
внешних сил.
Выберем систему координат с началом в одной из точек первоначальной (не искаженной) оси балки, которую примем за ось X. Ось
Y направим перпендикулярно указанной ее оси вверх. При таких
условиях уравнение y = f (x) является уравнением кривой, по которой изогнется ось балки под нагрузкой, т. е. уравнением изогнутой
оси балки.
Задача о деформации балки сводится к получению уравнения
изогнутой оси y = f (x). Зная его, можно с помощью дифференцирования вычислить и угол поворота θ для любого сечения балки.
Y
θ
A
x
P
O
B
O1
D
X
l
Рис. 21. Расчетная схема прогиба консольного стержня
38
Перемещения при деформации изгиба определяют по дифференциальному уравнению изогнутой оси. Для его получения используют математическую зависимость между радиусом кривизны оси ρ и
координатами ее точек x и y [1–3]:
d2 y
1
dx2
=±
.
ρ( x )
é æ dy ö2 ù 3
ê1 + ç ÷÷ ú
ê ççè dx ÷ø ú
êë
úû
Подставляя в эту формулу выражение кривизны
M (x)
1
=
,
ρ(x)
EI
получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси
d2 y
±
dx2
2 ù3
é æ dy ö
ê1 + ç ÷÷ ú
ê ççè dx ÷ø ú
úû
ëê
=
M (x)
.
EI
Поскольку в этом дифференциальном уравнении dy/dx – величина второго порядка малости, ею можно пренебречь и определить приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:
EI
d2 y
dx2
= M ( x )× (23)
Интегрирование уравнения (23) позволяет представить угол поворота сечения θ в виде
dy
1 é
ù
(24)
θ=
=
êë ò M (x)dx + C1 úû , dx
EI
где С1 – постоянная интегрирования.
Последующее интегрирование полученного уравнения (24) дает
уравнение прогибов
1 é
ù
(25)
y=
êë ò dx ò M (x)dx + C1x + C2 úû , EI
где С2 – постоянная интегрирования.
Постоянные интегрирования С1 и С2 – это соответственно увеличенные в EI раз угол поворота сечения в начале координат и прогиб
39
в том же месте. Для их определения в стержне находят сечения с
заранее известными величинами угла поворота и прогиба.
В качестве примера рассмотрим расчетную схему стержня, изображенную на рис. 21. Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдем в стержне сечение с заранее известными значениями угла поворота и прогиба. Таким сечением является опорное
сечение А: при x = 0
dy
= 0, y = 0.
dx
В этом случае постоянные интегрирования С1 и С2 будут равны
нулю. Величина изгибающего момента в произвольном сечении
стержня на расстоянии x от начала координат
M(x) = –P(l – x).
Выражения угла поворота θ и прогиба y сечения с координатой x
согласно уравнениям (23) и (24) принимают следующий вид:
θ=-
Plx æç
x ö÷
Plx2 çæ
xö
2
, y
=
÷
ç
ç3 - ÷÷÷.
÷
ç
ç
2EI è
lø
6EI è
lø
Прогибы, вычисляемые в отдельных точках сечения, обозначаем буквой f. Для расчетной схемы, показанной на рис. 21, угол поворота сечения θB и прогиб fB в точке приложения силы P равны
θB = Pl2
Pl3
, fB = .
2EI
3EI
Интегрирование уравнения (23) представляет собой аналитический метод определения перемещений при изгибе. Другие методы
расчета перемещений в типовых конструкциях приведены в учебной литературе [1–3].
Для оценки жесткости элементов конструкции при изгибе в
опасных сечениях рассчитывают максимальные значения прогибов ymax и углов поворота сечений θmax (см. рис. 21), найденные
величины сравнивают с величинами допускаемых параметров [y] и [θ].
Условием жесткости при изгибе является условие
ymax ≤ [y], θmax ≤ [θ].
Для обеспечения нормального функционирования роторных систем электроприводов, гиромоторов, зубчатых механизмов расчет
параметров ymax и θmax имеет практическое значение.
40
9. КОСОЙ ИЗГИБ
На практике элементы механических систем нередко подвергаются действию сил, вызывающих не одну, а две и более из рассмотренных ранее простых деформаций. Все случаи сопротивления конструктивных элементов, при которых возникает комбинация простейших деформаций, называются сложным сопротивлением.
При анализе задач сложного сопротивления используют принцип суперпозиции, который справедлив при малых деформациях
системы. Согласно принципу суперпозиции для нахождения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в
результате действия на нее сложной системы нагрузок, необходимо
геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие разным видам простейших деформаций.
Одним из случаев сложного сопротивления (противодействия
комбинированным нагрузкам) является косой изгиб, при котором
плоскость действия сил, перпендикулярных к оси стержня, не
совпадает ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось
стержня и главные оси инерции поперечных сечений стержня.
Изогнутая ось стержня в этом случае уже не лежит в плоскости действия сил [1].
Рассмотрим стержень, защемленный на одном конце и нагруженный на другом силой Р, лежащей в плоскости торца стержня и
направленной под углом α к главной оси Z (рис. 22). Вторая главная ось Y перпендикулярна первой.
Для вычисления нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отстоящего на расстояние x0 от свободного конца
стержня, воспользуемся принципом суперпозиции. Приведем случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных
силами Рz и Рy (составляющими силы Р), направленными по главным осям инерции сечения Z и Y (см. рис. 22).
В соответствии с принципом суперпозиции в сечении с координатой x0 (см. рис. 22) в результате действия сил Рz и Рy возникают
два изгибающих момента Мz и Мy, равных
Mz = –Py x0 = –Px0sinα,
(26)
My = –Pz x0 = –P x0cosα,
где у и z – индексы при изгибающем моменте М, обозначающие
главные оси, относительно которых берутся моменты.
41
Полное напряжение в произвольной точке сечения вычисляем
по формуле
My
M
(27)
σ=± z y±
z, Iz
Iy
где Iy и Iz – моменты инерции поперечного сечения стержня относительно осей Y и Z соответственно.
Для нахождения наибольшего нормального напряжения при
косом изгибе необходимо найти опасное сечение стержня и в нем
наиболее напряженную точку. Из формулы (27) видно, что опасным сечением является то, в котором изгибающий момент М достигает наибольшего значения.
Для нахождения опасной точки учитываем, что при плоском
изгибе деформация, соответствующая нормальным напряжениям,
сводится к относительному повороту сечений вокруг нейтральных
осей. При косом изгибе, являющемся комбинацией двух плоских
изгибов, наблюдается одновременный относительный поворот сечений вокруг двух нейтральных осей, пересекающихся в центре
тяжести сечения.
Из кинематики известно, что вращение фигуры вокруг двух
пересекающихся осей можно заменить вращением вокруг оси, проходящей через точку пересечения [1]. Таким образом, и при косом
изгибе в каждом сечении имеется линия, проходящая через центр
тяжести, вокруг которой произойдет поворот сечения при деформации стержня. Эта ось и является нейтральной.
x0
Y
X
Y
Py
α
Pz
Z
P
Z
Рис. 22. Расчетная схема стержня при произвольном направлении силы
42
Нормальные напряжения в точках, расположенных на нейтральной оси, будут равны нулю. При относительном повороте сечений наибольшую деформацию (растяжение или сжатие) испытывают волокна, наиболее удаленные от нейтральной оси.
Таким образом, нахождение опасных точек при косом изгибе
сводится к определению положения нейтральной оси и поиску точек, наиболее от нее удаленных.
Положение нейтральной оси N (рис. 23) в поперечном сечении
стержня можно определить, если приравнять к нулю нормальные
напряжения в точках, лежащих на этой оси. Обозначив координаты этих точек yN и zN, найдем
My
Mz
yN +
zN = 0.
Iz
Iy
Тогда уравнение нейтральной оси примет вид
-zN Iy Mz
.
=
yN
Iz My
(28)
Для выполнения условия (28) необходимо, чтобы при одинаковых знаках изгибающих моментов Мz и Му координаты yN и zN
имели разные знаки, и наоборот.
Поскольку нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, для определения ее положения достаточно знать угол наклона
j нейтральной оси N к оси Y.
b
y1
N
–
+
1
+
+
z1
ϕ
Y
y
α
z2
z0
h
0
–
–
2
P
–
+
y2
Z
Рис. 23. Положение нейтральной оси N в поперечном сечении стержня
43
На рис. 23 показано примерное положение нейтральной оси N
в поперечном сечении стержня, отстоящем на расстояние x0 от его
свободного конца. Стержень нагружен по схеме, изображенной на
рис. 22. На сечении штриховой линией показана проекция силы Р,
для каждого квадранта сечения приведены знаки нормальных напряжений σ (« + » или «–»). Знаки « + » и «–» выше и ниже сечения относятся к напряжениям от изгиба моментом My, те же знаки
справа и слева от сечения – к напряжениям от изгиба моментом Mz.
Для стержня (балки), нагруженного и закрепленного иным образом, знаки напряжений будут другими.
Учитывая, что yN и zN могут иметь разные знаки, а тангенс угла
наклона j равен абсолютной величине (см. рис. 23), находим
tgj =
tgj =
zN
,
yN
Iy Mz
.
Iz My
(30)
Подставив в формулу (30) значения моментов из равенств (26) и
(27), получим следующее выражение:
Iy
tgj = tgα. (31)
Iz
Как видно из полученного выражения (31), нейтральная ось N
не зависит от величины силы P и не перпендикулярна линии ее
действия, так как углы j и α не равны, как это имело место при
плоском изгибе. Ее положение зависит от угла наклона плоскости
внешних сил к оси Z и формы сечения.
Вычислив по формуле (31) величину угла j, построим на чертеже нейтральную ось N (см. рис. 23), а затем параллельно ей проведем касательные к сечению и найдем наиболее напряженные точки
как наиболее удаленные от нейтральной оси (точки 1 и 2 на рис. 23).
Подставляя в формулу (28) координаты этих точек (y1 и z1 или
y2 и z2) с учетом их знаков, находим значения наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжений.
Условие прочности при косом изгибе принимает вид
é cosα
sinα ùú
σmax = Mmax êê
z1 +
y1 ú £ [σ],
Iz
êë Iy
úû
где y1, z1 – координаты точки (в системе главных центральных
осей), наиболее удаленной от нейтральной оси.
44
Определение касательных напряжений при косом изгибе практического значения не имеет.
Для нахождения прогибов в разных сечениях стержня при косом изгибе применим метод сложения сил. Прогиб f при косом изгибе получают как геометрическую сумму прогибов по направлению
осей Z (fz) и Y (fy) от изгибающих моментов Мz и Му соответственно.
При определении изгибающих моментов Мz и Му координату x0
отсчитывали от свободного конца стержня (см. рис. 22). При вычислении прогибов начало координат удобнее выбрать в защемленном конце этого стержня, как показано на рис. 21.
Воспользовавшись универсальным уравнением (25), вычислим
сначала прогиб fz точки B торцевого сечения балки (см. рис. 22) от
действия силы Рz, а затем рассчитаем прогиб fy точки B от действия
силы Рy. Прогиб fz направлен по оси Z и равен
fz =
Pz l3
,
3EIy
(32)
где l – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки (см. рис. 22); E – модуль Юнга первого рода;
Iy – момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Y.
Прогиб fy равен
Py l3
fy =
,
(33)
3EIz
где Iz – момент инерции поперечного сечения стержня относительно оси Z.
Вычислив по формулам (32), (33) прогибы fz и fy, определим
полный прогиб f торцевого сечения стержня. Он представляет собой геометрическую сумму прогибов fz и fy:
f = fy2 + fz2 .
Найдем направление полного прогиба f. Для этого вычислим
значение угла наклона вектора f к оси Z:
fy Iy
= tgα = tgj,
fz Iz
f=
fy
sinj
=
fz
.
cosj
45
N
Y
fy
ϕ
ϕ
fz
f
α
P
Z
Рис. 24. Положение вектора полного прогиба f
Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f с
осью Z, равен углу j, т. е. прогиб f направлен перпендикулярно к
нейтральной оси. Изгиб стержня происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (рис. 24).
Расчет прогибов при косом изгибе имеет практическое значение
для конструкций с узким и высоким поперечным сечением. Для
подобных сечений даже небольшое отклонение плоскости действия
внешних сил от плоскости наибольшей жесткости вызывает достаточно значительное отклонение плоскости изгиба стержня. Следует отметить, что усиление подобных конструкций дополнительными элементами является опасным [1].
10. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА
Большинство скручиваемых элементов механизмов подвергается совместному действию кручения и изгиба. В такой ситуации
конструктивные элементы противодействуют комбинированным
нагрузкам, т. е. имеет место сложное сопротивление.
Рассмотрим вал круглого поперечного сечения. При определении напряжений в опасном сечении и проверке прочности вала
внешние силы, действующие на зубчатые колеса, шкивы или иные
закрепленные на валу элементы, согласно правилам статики следует привести к центру тяжести вала.
46
На рис. 25 показан входной вал I редуктора с прямозубой цилиндрической передачей. Внешний крутящий момент на шестерне 1 создается окружным усилием Ро1, действующим со стороны
зуба ведомого колеса в полюсе зацепления. Для шестерни 1 окружное усилие Ро1 является реактивным и действует в направлении,
противоположном вращению вала I (противоположно мгновенной
угловой скорости ω1). Помимо окружного усилия Ро1 со стороны
зуба ведомого колеса на шестерню 1 действует радиальная сила Т1,
вызывающая изгиб вала. При расчете она переносится в центр тяжести вала вдоль линии ее действия.
Правило параллельного переноса силы Ро1 к центру тяжести
вала О поясняет рис. 26.
В точке О прикладывают две противоположно направленные
равные силы Р′o1 и Р″o1. Силы Ро1 и Р′o1 образуют пару и создают
крутящий момент М1 на шестерне 1:
М1 = rPo1 = Po1d/2,
где d – диаметр вала. Оставшаяся сила P″o1, приложенная в точке О,
вызывает изгиб вала.
После приведения усилий к центру тяжести вала, используя метод сечений, вычисляют значения внутренних изгибающих (Ми) и
крутящих (Мк) моментов [1].
При расчете валов рассматривают, как правило, изгибающие моменты в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (вертикальной и горизонтальной). Принято считать, что окружные усилия
Po действуют в горизонтальной, а радиальные Т – в вертикальной
плоскости. Для выбранной нами системы координат (рис. 25, 26)
изгибающий момент Миx представляет собой момент от вертикальной силы Т, а изгибающий момент Миy – момент от горизонтальной
силы P″o1. Величина крутящего момента Мк равна
d
Mê = Pî1 .
2
X
ω1
1
I
M1
Y
Ро1
l1
Z
Т1
l2
Рис. 25. Схема вала редуктора
47
О
¢¢
Ро1
¢
Ро1
Р о1
d
Рис. 26. Реализация правила параллельного переноса
окружного усилия Pо1 к центру тяжести вала
Суммарный изгибающий момент Ми для сечения вала равен геометрической сумме моментов Миx и Миy:
Mè = Mè2x + Mè2y .
При нахождении диаметра вала из условия прочности после
определения суммарных изгибающих моментов Ми в рассматриваемых сечениях рассчитывают приведенный момент Мпр. При
совместном действии кручения и изгиба Мпр можно вычислить по
одной из приводимых далее формул.
По теории наибольших нормальных напряжений
1é
ù
Mïð = ê Mè + Mè2 + Mê2 ú ,
2 ëê
ûú
по теории наибольших удлинений
Mïð = 0,35 Mè + 0,65 Mè2 + Mê2 , по теории наибольших касательных напряжений
Mïð = Mè2 + Mê2 ,
по теории потенциальной энергии формоизменения
48
Mïð = Mè2 + 0,75 Mê2 .
(34)
Опасное сечение вала находят по наибольшему из рассчитанных
приведенных моментов Мпр.
Разрежем вал в опасном сечении, выделив из него элемент. На
рис. 27 показан характер распределения главных (нормальных и
касательных) напряжений в сечениях выделенного элемента при
совместном действии кручения и изгиба. Как видно из рис. 27, эти
напряжения изменяются в сечении по линейному закону с переменными знаками.
Для проверки прочности вырезанного из вала элемента при
сложном напряженном состоянии воспользуемся условиями прочности [1]:
в теории наибольших нормальных напряжений
1é
2
2ù
ê σè + σè + 4 τê ú £ [σ],
2 ëê
ûú
в теории наибольших удлинений
é
2
2ù
ê0,35 σè + 0,65 σè + 4 τê ú £ [σ],
êë
úû
в теории наибольших касательных напряжений (35)
σ2è + 4 τ2ê £ [σ],
в теории потенциальной энергии формоизменения
σ2è + 3 τ2ê £ [σ].
σ
D
О
Нейтральная
ось
В
τ
А
X
C
σ
Рис. 27. Распределение главных напряжений
при совместном действии кручения и изгиба
49
Наибольшее нормальное напряжение σи при изгибе моментом
Mи равно
Ì
σè = è ,
W
где для вала круглого сечения осевой момент инерции W = πd3⁄32.
Буквой d обозначен радиус поперечного сечения вала. Вместе с
тем наибольшее касательное напряжение при скручивании вала τк равно
Ì
τê = ê .
2W
Подставляя эти значения напряжений в одну из формул (35), например, в первую, находим
é
ù
2
2
Mïð
Mè2
M2 ú M + Mè + Mê
1 ê Mè
+
+4 ê ú = è
=
£ [σ].
ê
2
2
2ê W
2W
W
W
4W ú
ë
û
Подобным образом могут быть получены расчетные формулы и
по другим теориям прочности. Все они могут быть заменены одной:
Mïð
W
£ [σ], (36)
где Mпр – приведенный (расчетный) момент (см. формулу (34)), величина которого зависит как от Ми и Мк, так и от принятой теории
прочности.
Формула (36) по структуре полностью совпадает с обычной формулой проверки прочности по нормальным напряжениям моментом Мпр. Поэтому проверка прочности круглого вала на совместное действие кручения и изгиба может быть заменена проверкой на
один изгиб с изгибающим моментом Мпр.
Вычислив по формуле (34) наибольшее значение Мпр, можно
определить диаметр вала:
d³3
Mïð
0,1[σ-1 ]
.
Здесь [σ–1] – предел выносливости материала.
50
Библиографический список
1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976.
607 с.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. 592 с.
3. Степин П. А. Сопротивление материалов. СПб.: Лань, 2010.
320 с.
4. Соколов Ю. Н. Сопротивление материалов: Методические указания. СПб.: ГУАП, 2011. 27 с.
51
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗАДАЧИ
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
В расчетах на прочность и жесткость конструктивных элементов схемой консольного стержня можно заменить ось планетарного редуктора, торсион в подвесе измерительного прибора, элемент
телескопической руки робота-манипулятора и др.
ЗАДАЧА 1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО
СЕЧЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
Определить напряжения, возникающие в стальном стержне
из однородного материала, после приложения нагрузки (P1 = 50, P2 = 150 Н). Проверить прочность и найти удлинение стержня. Построить эпюры внутренней силы N, напряжений σ и упругих перемещений Δl (рис. 28).
Модуль упругости первого рода материала стержня составляет E = 2∙105 МПа. Стержень имеет два участка с однотипным нагружением, площади поперечных сечений которых равны S1 = 2, S2 = 5 мм2. Длина участков a = 10, b = 20 мм. Допускаемое напряжение материала стержня [σ] = 80 МПа.
Р е ш е н и е. Так как число сечений равно числу участков с однотипным нагружением, для определения внутренних сил N1 и N2
проведем два сечения с координатами x1 и x2. Рассмотрим равновесие правой части стержня. Внутренние силы найдем из уравнений
равновесия.
Для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ a
å X = N1 - P1 = 0 Þ N1 = P1 = 50 H.
Для участка с границами a ≤ x2 ≤ a + b
å X = -N2 + P2 - P1 = 0 Þ N2 = P2 - P1 = 100 H.
Сила N1 сжимает стержень (отрицательна), сила N2 растягивает
его (положительна).
Характер изменения силы N по длине стержня показан на соответствующей эпюре. Эпюра напряжений σ строится аналогично.
52
Величина напряжений в сечениях (МПа) стержня составляет
σ1 =
N1
N
50
100
= - = -25, σ2 = 2 =
= 20.
S1
2
S2
5
S2
S1
B
C
P2
P1
A
X
a
b
N1
P1
x1
P1
P2
N2
x2
Эпюра N, Н
100
50
Эпюра σ, МПа
-
20
-
25
Эпюра Δl, мм
∆l BC
-
∆l AB
∆l AC
Рис. 28
53
Условие прочности проверим для участка с максимальным напряжением:
σmax ≤ [σ].
Условие прочности выполняется:
25 ≤ 80 МПа.
Рассчитаем удлинение стержня ΔlAC (мм):
Na
50 ×10
= -0,125 ×10-2 ,
ΔlAB = 1 = 5
ES1
2 ×10 × 2
ΔlÂÑ =
N2b 100 × 20
=
= 0,2 ×10-2 ,
ES2 2 ×105 × 5
ΔlAC = ΔlAB + ΔlBC = (-0,125 + 0,2) ×10-2 = 0,075 ×10-2.
При построении эпюры упругих перемещений Δl на границах
участков AB и BC откладывают значения удлинений и соединяют
точки прямыми. Точка отсчета выбрана в точке защемления C.
54
ЗАДАЧА 2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО
СЕЧЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
Определить диаметр d стержня постоянного сечения из условия
прочности и жесткости при известных значениях внешних крутящих моментов M1 = M3 = 100, M2 = 200 Н∙мм, допускаемых напряжений [τ] = 50 МПа и угла закручивания [j] = 5 угл. мин на погонную длину 10 мм и модуле упругости второго рода G = 8∙104 МПа.
Необходимо построить также эпюры внутреннего крутящего момента Mк и углов закручивания j (рис. 29). Длина участков a = 40,
b = 30, c = 20 мм.
Р е ш е н и е. Определим внутренний крутящий момент Mк, возникающий в сечениях стержня. В соответствии с методом сечений
данный крутящий момент Mк равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов M, действующих по одну сторону сечения.
Условимся считать момент Mк положительным, если внешний
момент M направлен по часовой стрелке, если смотреть на него со
стороны сечения, т. е. если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали n.
В рассматриваемой задаче можно выделить три участка с однотипным нагружением, поэтому проведем три сечения. Отсчет сечений лучше проводить от свободного конца стержня, так как в этом
случае отпадает необходимость в определении опорного момента Mо.
Вычислим значения Mк для каждого участка.
Для участка с границами 0 ≤ x1 ≤ c
Mк1 = M3 = 100 Н∙мм.
Для участка с границами c ≤ x2 ≤ c + b
Mк2 = M3 – M2 = –100 Н∙мм.
Для участка с границами c + b ≤ x3 ≤ c + b + a
Mк3 = M3 – M2 – M1 = – 200 Н∙мм.
Характер изменения крутящих моментов по длине стержня показан на эпюре Mк (см. рис. 29).
Правильность построения эпюры Mк можно проверить с использованием правила: в точках приложения сосредоточенных внешних моментов на эпюре должны быть скачки, равные значениям
внешних моментов. Как видно из построения эпюры Mк, опасным
сечением (с максимальным Mк) является сечение с координатой x3.
55
М0
M1
O
M2
A
X
C
B
c
b
а
M3
x1
x2
x3
M к1
M3
n
M к2
M2
M1
M к3
M2
Эпюра M к , Н·мм
M3
M3
100
100
200
Эпюра ϕ, угл. мин
ϕCO
ϕAO
ϕBA
ϕCB
Рис. 29
Определим диаметр стержня d из условия прочности на кручение, подставляя в формулу (12) максимальное значение внутреннего крутящего момента Mк3:
maxτ =
56
Mê
πd3
£ [ τ], Wρ =
,
Wρ
16
d³3
16 Mêmax
16 × 200
=3
= 2,73 ìì.
π[τ]
π × 50
Найдем диаметр стержня d из условия жесткости на кручение:
d³4
32 Mêmax l
=
4
Gπ[j]
32 × 200 ×10
= 3,64 ìì.
5π
8 ×104 π ×
60 ×180
Из двух вычисленных диаметров выбирают наибольший, который округляют в большую сторону до ближайшего стандартного
значения d = 4 мм. Следует отметить, что при определении диамет- ра стержня из условия жесткости в расчетную формулу d следует
подставлять погонную длину l, соответствующую допускаемому
углу закручивания [j].
Используя формулу (14), вычисляем углы закручивания j на
участках стержня, учитывая, что полярный момент инерции
Iρ =
πd4 π× 44
=
= 25,12 ìì4 .
32
32
В этом случае в расчетную формулу j подставляют не погонную
длину l, а расстояние между двумя смежными сечениями на границах выделенных участков:
j1 =
Mê c 180 × 60
100 × 20
×
=
× 3439,5 =
GIρ
π
8 ×104 × 25,12
= 9,95 ×10-4 × 3439,5 = 3,42 óãë. ìèí,
j2 =
Mê b 180 × 60
100 × 30
×
=
× 3439,5 =
GIρ
π
8 ×104 × 25,12
= -14,93 ×10-4 × 3439,5 = -5,14 óãë. ìèí,
j3 =
Mê a 180 × 60
200 × 40
×
=
× 3439,5 =
GIρ
π
8 ×104 × 25,12
= -39,81×10-4 × 3439,5 = -13,69 óãë. ìèí.
Угол закручивания стержня равен
jСО = jАО + jBА + jCB = –(5,14 + 13,69) + 3,42 = –15,41 угл. мин.
57
Принцип построения эпюры углов закручивания j аналогичен
принципу построения эпюры упругих перемещений Δl. На границах участков CB, BА и АО откладывают значения углов закручивания и соединяют точки прямыми. Точка отсчета выбрана в точке
защемления О.
58
ЗАДАЧА 3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Определить диаметр d стержня постоянного сечения из условия
прочности при известных значениях внешних сил: равномерно распределенная нагрузка q = 1 Н/мм, сосредоточенная сила Р = 5 Н, допускаемое напряжение [σ] = 90 МПа. Длина участков a = 50,
b = 25 мм. Построить эпюры внутренних силовых факторов: поперечной силы Q и внутреннего изгибающего момента Mи (рис. 30).
Р е ш е н и е. Расчет по задаче следует начинать с определения
опорных реакций в точке A из уравнений равновесия.
Стержень АС защемлен на одном конце. В этом случае опора
(неподвижная заделка) препятствует всяким перемещениям этого конца в плоскости действия сил. Поэтому защемленный конец
стержня создает три неизвестные реакции: составляющую XA, параллельную оси стержня, составляющую YA, перпендикулярную к
этой оси, и опорный момент МА. Направления реакций выбирают
произвольно. Момент силы относительно опорной точки A считают
положительным, если сила поворачивает стержень вокруг указанной точки против часовой стрелки.
Запишем уравнения равновесия:
å X = 0, X A = 0,
å Y = 0, YA - qa - P = 0 Þ YA = qa + P = 1× 50 + 5 = 55 H.
Следует отметить, что при расчете равномерно распределенная
нагрузка q, приложенная непрерывно на протяжении некоторой
длины, равной в рассматриваемом случае a, заменяется равнодействующей сосредоточенной силой qa, приложенной посередине отрезка длиной a. Плечо силы qa относительно точки A равно a/2 (см.
рис. 30).
Составим уравнение моментов сил относительно точки А:
å M( A) = 0,
a
a2
M A - qa - P(a + b) = 0 Þ M A = q
+ P(a + b) =
2
2
= 1×
502
+ 5 × 75 = 1625 Í × ìì.
5
59
Y
YA
XA
q
P
B O¢
A
O
MA
x1
qa
C
X
x2
a/2
a
b
Эпюра Q, Н
55
5
5
Эпюра Mи , Н·мм
125
562,5
1625
Рис. 30
Если в процессе расчета реакций в опорах они получат знак «минус», это будет означать, что истинное направление реакции противоположно приведенному на расчетной схеме. При исследовании
прочности стержня указывается истинное направление реакции.
Для проверки составим уравнение моментов сил относительно
точки В:
a
å Ì(B) = 0, M A + qa 2 - YA a - Pb =
502
= 1625 + 1×
- 55 × 50 - 5 × 25 = 0.
2
Проверка обязательна, так как реакции в опорах являются
внешними силами, нагружающими стержень, и погрешность их
60
расчета приводит к ошибкам при исследовании прочности и жесткости конструкции.
После определения реакций в опорах рассчитывают внутренние
силы и моменты. Внутренние силовые факторы вычисляют, используя метод сечений и правило знаков.
При изгибе стержня (балки) в случае отсутствия продольных
сил возникают поперечные силы Q и изгибающие моменты Mи. Поперечную силу Q условимся считать положительной, если внешние
силы сдвигают левую часть стержня вверх, а правую – вниз. Иначе
говоря, если внешние силы, лежащие слева от проведенного сечения, направлены вверх, то силы, расположенные справа от него,
направлены вниз (рис. 31,а). По этому правилу знаков направление силы Q совпадает с направлением касательных напряжений τ,
из которых и складывается поперечная сила. Изгибающий момент
Mи, образуемый действием каждой силы в отдельности, считаем
положительным, если для левой отсеченной части стержня она создает момент относительно центра тяжести сечения, направленный
по часовой стрелке, а для правой части стержня – против нее.
Принятое правило знаков для момента Mи соответствует характеру деформации стержня. Момент Mи положителен, если внешние
моменты вызывают растяжение нижних волокон стержня, отмеченных на рис. 31,г пунктиром. При положительном моменте Mи
изгиб стержня обращен выпуклостью вниз (рис. 31,в,г), а при отрицательном – выпуклостью вверх (рис. 31,д,е).
Знак «минус» в рассмотренных правилах знаков для Q и Mи
соответствует противоположным направлениям сил и моментов
(рис. 31,б,д,е).
а)
P
в)
Q >0
М
P
б)
P
Q< 0
P
г)
М
д)
Ми > 0
Ми < 0
М
М
е)
Ми > 0
М
М
М и< 0
М
М
Рис. 31. Правило знаков для определения внутренних
силовых факторов при изгибе
61
Стержень имеет два участка с однотипным нагружением. Поэтому проведем два сечения: первое (x1) – в левой части стержня,
а второе (x2) – в правой. Вычислим значения Q и Mи для каждого
участка.
Согласно принятым правилам знаков для участка с границами
0 ≤ x1 ≤ a
Q1 = YA – qx1,
при x1 = 0
Q1 = YA = 55 Н,
при x1 = a
Q1 = YA – qa = 55 –1∙50 = 5 Н.
Следует отметить, что равнодействующая qx1 приложена посередине отрезка длиной x1, и ее плечо относительно центра тяжести
сечения – точки O (см. рис. 30) – равно x1 / 2.
Уравнение изгибающего момента для первого сечения x1
x
x2
Mè1 = -M A + YA x1 - qx1 1 = -M A + YA x1 - q 1 ,
2
2
при x1 = 0
Mи1 = – МА = –1625 Н∙мм,
при x1 = a
Mè1 = -M A + YA a - q
a2
502
= -1625 + 55 × 50 -1×
=
2
2
= -1625 + 2750 -1250 = -125 Í.
В рассматриваемом случае величина изгибающего момента зависит от квадрата координаты x1, следовательно, очертание эпюры для
участка с границами 0 ≤ x1 ≤ a представляет собой кривую – квадратичную параболу (см. рис. 31). Для построения этой кривой необходимо знать как минимум три точки. Третья точка соответствует
середине выделенного участка или координате x, при которой Q = 0.
В анализируемом случае координата третьей точки равна x1 = a / 2.
Подставляя в уравнение изгибающего момента для первого сечения x1 значение x1 = a / 2, получаем
a
a2
Mè1 = -M A + YA - q
=
2
8
502
= -1625 + 55 × 25 -1×
= -562,5 Í.
8
62
Для участка с границами 0 ≤ x2 ≤ b
Q2 = Р = 5 Н.
Уравнение изгибающего момента для второго сечения x2 записываем в виде
Mи2 = –Рx2.
При x2 = 0
при x2 = b
Mи2 = 0,
Mи2 = –Рb = –5∙25 = –125 Н∙мм.
Характер изменения внутренних силовых факторов в сечениях
стержня приведен на эпюрах Q и Mи (см. рис. 31). На основании
эпюр можно сделать вывод, что опасным является сечение с координатой x1. В этом сечении поперечная сила Q и внутренний изгибающий момент Mи достигают максимального значения.
Обязательной является проверка правильности построения
эпюр Q и Mи в соответствии с правилами, подробно рассмотренными в [1]. Необходимо отметить, что на участках стержня, загруженного сплошной равномерно распределенной нагрузкой q, эпюра Mи
ограничена параболической кривой, а эпюра Q – наклонной прямой (см. рис. 30).
В сечениях под сосредоточенными силами в эпюре Q наблюдается скачок (на величину силы), а в эпюре Mи – резкое изменение
угла наклона (излом) смежных участков эпюры (см., например, сечение x2 на рис. 30). Если нагрузка q направлена вниз, то эпюра
Mи очерчена кривой, обращенной выпуклостью вверх (см. рис. 30).
При q > 0 кривая, наоборот, обращена выпуклостью вниз. На защемленном конце стержня (неподвижная заделка) Q и Mи соответственно равны опорной реакции и опорному моменту. На участках,
свободных от сплошной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми,
параллельными оси X, а эпюра моментов Mи изображается наклонными прямыми, если только Q ≠ 0.
После выявления опасного сечения и расчета величин Q и Mи в
этом сечении из условия прочности (см. формулы (35) – (37)) определяют диаметр стержня d:
σmax ≤ [σ],
σmax =
Mèmax
πd3
, W =
,
W
32
63
d³3
32 Mèmax
32 ×1625
=3
= 5,69 ìì.
π[σ]
π × 90
Найденное значение d = 5,69 мм округляют в большую сторону
до ближайшего стандартного значения d = 6 мм.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................................ 1.Задачи сопротивления материалов. Основные показатели надеж ности конструкции. Типовые расчетные схемы реальных объек тов......................................................................................... 2.Внешние и внутренние силы. Метод сечений................................ 3.Напряжения и деформации....................................................... 4.Осевое растяжение (сжатие). Закон Гука .................................... 5.Напряженное состояние в точке деформируемого тела. Обобщен- ный закон Гука........................................................................ 6.Чистый сдвиг.......................................................................... 7.Кручение................................................................................ 8.Плоский изгиб......................................................................... 9.Косой изгиб............................................................................. 10.Совместное действие кручения и изгиба..................................... Библиографический список.......................................................... ПРИЛОЖЕНИЕ . Задачи по сопротивлению материалов.................. 64
3
4
6
10
14
18
21
25
30
41
46
51
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
2 641 Кб
Теги
skalonopalikhina
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа