close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Veshev

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(математика – 1)
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2016
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.1я73
В937
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Фарафонов В. Г.
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Авторы: Вешев, Н. А., Головачев, Г. М., Гусман, Ю. А.,
Иванова, О. Ю., Пичугин, Ю. А.
В937 Высшая математика (математика – 1): учеб.-метод. пособие. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. – СПб.: ГУАП, 2016. – 79 с.
Учебно-методическое пособие включает краткие теоретические
сведения, методические указания и контрольную работу по модулю
«Функции нескольких переменных и кратные интегралы» и предназначено для студентов 1-го курса очной формы обучения по техническим специальностям.
Излагаются основы теории функции нескольких переменных,
методы вычислений кратных интегралов; приведены варианты соответствующих контрольных заданий. Даны образцы выполнения
типовых контрольных заданий.
Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики.
УДК 517.37(075.8)
ББК 22.1я73
 
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если каждой паре значений (x, y) двух независимых переменных x и y поставлено в соответствие определенное значение некоторой величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых
переменных x и y. Обозначается z = z(x, y) или z = f(x, y).
1.1. Частные производные
1.1.1. Частные производные первого порядка
Частной производной функции z = f(x, y) по переменной x называется предел отношения частного приращения Dxz к приращению
Dx, при Dx → 0:
f (x + Dx, y) - f (x, y)
Dxz
.
= lim
Dx
Dx®0 Dx
Dx®0
zx¢ = lim
(1.1)
Частная производная по x от функции z = f(x, y) обозначается
одним из следующих символов:
¶z ¶f
;
.
¶x ¶x
Аналогичным образом вычисляется частная производная функции z = f(x, y) по переменной y:
zx¢ ; fx¢ (x, y);
zy¢ =
Dyz
f (x, y + Dy) - f (x, y)
¶z
.
= lim
= lim
¶y Dy®0 Dy Dy®0
Dy
(1.2)
Пример 1.1
Найти частные производные функции z = xy.
Решение:
При вычислении частной производной по x вторая переменная y
считается фиксированной, поэтому необходимо пользоваться пра¶z
вилом дифференцирования степенной функции:
= yx y-1.
¶x
При вычислении производной по y переменная x будет считаться постоянной величиной, и мы должны пользоваться правилом
¶z
дифференцирования показательной функции:
= x y ln x.
¶y
3
1.1.2. Частные производные второго порядка
Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в некоторой обла¶z ¶z
сти D. Значения частных производных
,
, вообще говоря, за¶x ¶y
висят от точки (x, y), в которой они вычислены, то есть частные
производные также представляют собой функции от переменных x
и y. Дифференцируя эти функции, получаем вторые частные производные от функции f(x, y).
Частная производная по переменной x от частной производной
¶z
, называется частной производной второго порядка от функции
¶x
f(x, y) и обозначается символом:
¶2 f
¶x
2
=
¶ æç ¶f ö÷
ç ÷.
¶x çè ¶x ÷ø
Аналогичным образом находится частная производная второго
порядка от функции f(x, y) по переменной y:
¶2 f
¶y2
=
¶ æç ¶f ö÷
ç ÷.
¶y çè ¶y ÷÷ø
Смешанной производной от функции f(x, y) называется частная
производная по переменной x от частной производной
¶z
, а также
¶y
частная производная по переменной y от частной производной
¶z
:
¶x
¶2 f
¶ æç ¶f ö÷ ¶2f
¶ æ ¶f ö
=
= çç ÷÷÷.
ç ÷÷,
ç
÷
¶x¶y ¶x è ¶y ø ¶y¶x ¶y çè ¶x ø
Отметим, что если f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то разные смешанные производные равны:
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
Пример 1.2
Найти вторые частные производные функции z = sin(xy2).
4
Решение:
Сначала вычисляем первые частные производные:
¶z
¶z
= y2 cos xy2 ,
= 2xy cos xy2 ,
¶x
¶y
(
)
(
)
а затем, дифференцируя их, находим вторые частные производные
¶2 z
¶x
2
(
)
= -y4 sin xy2 ,
¶2 z
2
¶y
(
)
(
)
= 2x cos xy2 - 4x2 y2 sin xy2 ,
¶2 z
= 2y cos xy2 - 2xy3 sin xy2 ,
¶x¶y
(
)
(
)
¶2 z
= 2y cos xy2 - 2xy3 sin xy2 .
¶y¶x
(
)
(
)
1.1.3. Дифференцирование сложных функций
Пусть функция z = f(u, v) зависит от переменных u, v, каждая
из которых, в свою очередь, является функцией от переменных
x, y, т. е. u = ϕ(x, y), v = ψ (x, y). В этом случае мы имеем сложную
функцию z, зависящую от x и y. Ее частные производные находятся по формулам:
¶z ¶z ¶u ¶z ¶v
=
+
,
¶x ¶u ¶x ¶v ¶x
¶z ¶z ¶u ¶z ¶v
=
+
.
¶y ¶u ¶y ¶v ¶y
(1.3)
Может оказаться, что z = f(u, v), и переменные u, v являются
функциями одной переменной x, т. е. u = ϕ(x), v = ψ (x). В этом случае сложная функция z, зависит только от x. Мы можем вычислить
ее обыкновенную производную, которая находится по формуле:
dz ¶z du ¶z dv
=
+
.
dx ¶u dx ¶v dx
(1.4)
Эта формула называется формулой полной производной (в отличие от частной производной).
5
1.2. Дифференциалы функции двух переменных
Для функции z = f(x, y), можно, как и для функции одной переменной, определить дифференциал:
dz =
¶z
¶z
dx + dy,
¶x
¶y
(1.5)
который принято называть первым полным дифференциалом.
Первый полный дифференциал является главной частью приращения функции z и отличается от нее только на бесконечно малую
высшего порядка.
Можно определить и полный дифференциал второго порядка:
d2z = d (dz) =
¶2 z
¶x
(dx)2 + 2
2
¶2 z
¶2 z
2
dxdy + 2 (dy) .
¶x¶y
¶y
(1.6)
1.3. Производная функции, заданной неявно
Пусть функция y от x задана неявно, то есть уравнением
F(x, y) = 0. Явное выражение для величины y как функции переменной x получить удается не всегда, тем не менее, можно легко
найти производную функции y(x).
Эта производная определяется следующей формулой:
¶F
yx¢ = - ¶x .
¶F
¶y
(1.7)
Пример 1.3
Найти производную y′x, если x2 + y2 = a2.
Решение:
В этом примере функция y задана неявно, с помощью уравнения
F(x, y) = x2 + y2 – a2 = 0.
Сначала найдем частные производные
¶F
¶F
= 2x,
= 2y,
¶x
¶y
а затем искомую производную:
yx¢ = 6
2x
x
=- .
2y
y
Пусть функция z от переменных x, y задана неявно, то есть
уравнением F(x, y, z) = 0. В этом случае частные производные могут быть найдены по формулам:
¶F
¶F
¶z
¶z
¶y
= - ¶x ,
=.
¶F ¶y
¶F
¶x
¶z
¶z
(1.8)
1.4. Максимум и минимум функции двух переменных
Как и в случае функции одной переменной, экстремумами
функции называются максимумы и минимумы функции в данной
точке.
1.4.1. Необходимые условия экстремума
Если функция z = f(x, y) достигает экстремума при x = x0,
y = y0, то каждая частная производная первого порядка функции z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или
не существует.
Это утверждение не является достаточным для исследования
вопроса об экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума. Если же нам неизвестно, существуют ли экстремумы функции, для их поиска требуется дополнительное исследование.
¶z
¶z
Точки, в которых
= 0 или не существует, и = 0 или не су¶y
¶x
ществует, называются критическими точками функции z = f(x, y).
Точки, в которых обе частные производные существуют, и в которых
¶z
¶z
= 0,
= 0, называются стационарными точками функ¶x
¶y
ции z = f(x, y). Стационарные точки являются частным случаем
критических точек, и они чаще всего встречаются в прикладных
исследованиях.
Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то эта
точка обязательно является критической (стационарной).
Для исследования функции в критических точках сформулируем достаточные условия экстремума функции двух переменных.
7
1.4.2. Достаточные условия экстремума
Пусть в некоторой области, содержащей точку M0(x0, y0), функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка; пусть, кроме того, точка M0(x0, y0) является стационарной точкой функции f(x, y), т. е.
¶f (x0 , y0 )
¶f (x0 , y0 )
= 0,
= 0.
¶x
¶y
Обозначим A =
¶2f (x0 , y0 )
, B=
¶2f (x0 , y0 )
¶x¶y
¶x2
Тогда при x = x0, y = y0:
1) f(x, y) имеет максимум, если
, C=
(1.9)
¶2f (x0 , y0 )
¶y2
AC – B2 > 0 и A < 0;
.
(1.10)
2) f(x, y) имеет минимум, если
AC – B2 > 0 и A > 0;
(1.11)
3) f(x, y) не имеет ни максимума, ни минимума, если
AC – B2 < 0;
AC – B2 = 0,
(1.12)
если
то экстремум может существовать, а может и не
существовать. В этом случае требуется дополнительное исследование.
Пример 1.4
Исследовать на максимум и минимум функцию
z = x2 – xy + y2 + 3x – 2y + 1.
Решение:
Находим критические точки (см. (1.9)):
¶z
¶z
= 2x - y + 3,
= -x + 2y - 2.
¶x
¶y
Решаем систему уравнений
ìïï2x - y + 3 = 0,
í
ïïî-x + 2y - 2 = 0.
8
ìï
4
ïïx = - ,
ï
3
í
ïï
1
ïïy = .
3
îï
Критическая точка имеет координаты (–4/3;1/3).
Находим производные второго порядка в критической точке
и определяем характер критической точки (см. (1.11)):
A=
¶2 z
¶x2
= 2, B =
¶2 z
¶2 z
= -1, C = 2 = 2,
¶x¶y
¶y
2
AC - B2 = 2 × 2 - (-1) = 3 > 0.
Следовательно, в точке (–4/3;1/3) данная функция имеет минимум, и zmin = –4/3.
Ответ: Функция имеет точку минимума (–4/3;1/3). zmin = –4/3.
1.4.3. Нахождение наибольших и наименьших значений
При нахождении наибольших и наименьших значений функции
в заданной области следует пользоваться следующим алгоритмом.
Найдем экстремальные точки внутри данной области и вычислим значения функции в этих точках. Далее найдем наибольшее
и наименьшее значение функции на границе области (на границе
двумерной области чаще всего с помощью замены переменной или
подстановки удается выразить данную функцию как функцию одной переменной). Получаем конечный набор точек. Из конечного
числа полученных значений в найденных точках выбираем наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области.
Пример 1.5
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 – 2y2
в круге x2 + y2 £ 4.
Решение:
Сначала найдем критические точки. Вычислим частные производные:
ìï ¶z
ïï
= 2x,
ïï ¶x
í ¶z
ïï
ï = -4y.
îïï ¶y
9
Приравняем эти выражения к 0:
ìïï2x = 0,
í
ïïî-4y = 0.
откуда находим стационарную (критическую) точку M1(0,0).
Далее, рассмотрим значение функции z на границе области. Для
этого достаточно подставить y2 = 4 – x2 в выражение для z(x, y)
и получить g(x) = z(x, y(x)) = 3x2 – 8. Наибольшее и наименьшее
значение этой функции будем искать на множестве [–2;2].
Уравнение для нахождения критических точек функции g(x):
dg(x)
= 6x = 0,
dx
Откуда находим точки, в которых достигается экстремальное значение функции на границе области: M2(0;2), M3(0;–2).
Граница области состоит из двух кусков, являющихся полуокружностями, при y ≥ 0 и y ≤ 0 соответственно. Точки их пересечения: M4(–2;0), M5(2;0). В этих точках, согласно правилу нахождения наибольшего и наименьшего значения функции одной переменной на отрезке, также могут достигаться наибольшее или наименьшее значение данной функции двух переменных в области.
Вычислим значения функции z(x, y) в искомых точках:
z(M1) = 0, z(M2) = –8, z(M3) = –8, z(M4) = 4, z(M5) = 4.
Ответ: В данном круге наибольшее значение функции z равно 4,
наименьшее значение функции z равно 8.
1.5. Скалярное поле
Напомним, что функции, заданные в пространстве, делятся на
два типа – скалярные и векторные. Первые функции в каждой точке пространства (из области определения) задают число. Значением функций второго типа в каждой точке пространства (из области
определения) является вектор, характеризуемый его длиной и направлением.
Пусть в пространстве (x, y, z) имеется область, в которой задана
скалярная функция u = u(x, y, z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле.
Рассмотрим точки области D, в которых функция u(x, y, z) имеет постоянное значение c = const: u(x, y, z) = c. Совокупность этих
точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значе10
ние c, то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
1.5.1. Производная по направлению
Рассмотрим в области D функцию u = u(x, y, z) и точку M(x, y, z).
Проведем из точки M вектор s, направляющие косинусы которого
есть (cosα, cosβ, cosγ).
Тогда производной по данному направлению называется выражение
¶u ¶u
¶u
¶u
=
cos α +
cos β +
cos γ.
¶s ¶x
¶y
¶z
(1.13)
Из формулы (1.13) следует, что, зная частные производные, легко
найти производные по любому направлению.
Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению. Так, например, при s = i (i – единичный
вектор вдоль оси OX):
¶u ¶u
¶u
π ¶u
π ¶u
=
cos 0 +
cos +
cos =
.
¶s ¶x
¶y
2 ¶z
2 ¶x
1.5.2. Градиент
В каждой точке области D, в которой задана функция
u = u(x, y, z), определим вектор, проекциями которого на оси ко¶u ¶u ¶u
ординат являются значения частных производных
,
,
¶x ¶y ¶z
функции u в соответствующей точке:
grad u =
¶u
¶u
¶u
i+
j+
k.
¶x
¶y
¶z
(1.14)
Этот вектор называется градиентом функции u(x, y, z).
Из определения и свойств векторов видно, что производная по
направлению некоторого вектора равняется проекции градиента
на этот вектор.
Сформулируем простейшие свойства градиента:
Производная в данной точке по направлению вектора S, вообще
говоря, зависит от направления S. Эта производная имеет наибольшее возможное значение, если направление вектора S совпадает
11
с направлением градиента; это наибольшее значение производной
равно модулю градиента.
Производная по направлению вектора, перпендикулярного
к вектору grad u, равна нулю.
grad u направлен перпендикулярно к линии уровня u(x, y) = c,
лежащей в плоскости OХУ и проходящей через соответствующую
точку.
Пример 1.6
x2 y2
Определить градиент функции u =
+
в точке M(2,4), напи2
3
сать уравнение линии уровня в этой точке.
Решение:
Здесь
¶u
¶u 2
= x,
= y. Подставим координаты точки M(2,4):
¶x
¶y 3
æ ö
ç ¶u ÷÷ = (x) M = 2,
èç ¶x ø÷M
æ ö
æ ö
ç ¶u ÷÷ = çç 2 y÷÷ = 8 .
çè 3 ÷ø
çèç ¶y ø÷
3
M
M
Следовательно, grad u = 2i + 8/3j.
Уравнение линии уровня, проходящей через данную точку, будет иметь вид
x2 y2 22 42 22
+
=
+
= .
2
3
2
3
3
Ответ: grad u = 2i + 8/3j,
12
x2 y2 22
+
= .
2
3
3
2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1. Предварительные понятия
Изложение интегрального исчисления для функций двух переменных начнем с рассмотрения конкретной задачи – задачи об
определении объема цилиндрического тела.
Цилиндрическим телом (рис. 2.1) называется тело, ограниченное плоскостью OХY, поверхностью, с которой любая прямая, параллельная оси ОZ, пересекается не более чем в одной точке, и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна
оси ОZ.
Область D, высекаемая в плоскости OXY цилиндрической поверхностью, называется основанием цилиндрического тела.
Пусть z = f(x, y) есть уравнение поверхности, ограничивающей
цилиндрическое тело. Будем считать (для физической определенности) функцию f(x, y) непрерывной в области D, и пусть сначала
f(x, y) > 0 в D.
Обозначим искомый объем цилиндрического тела через V. Разобьем основание цилиндрического тела – область D – на некоторое
число n областей произвольной формы (рис. 2.2); будем называть их
частичными областями. Пронумеровав частичные области, обозначим их через s1, s2, …, sn, а их площади через Ds1, Ds2, …, Dsn. Через границу каждой частичной области проведем цилиндрическую
поверхность с образующей, параллельной оси ОZ. Эти цилиндрические поверхности разрежут тело на n кусков, соответствующих
n частичным областям. Таким образом, искомое цилиндрическое
тело окажется разбитым на n частичных цилиндрических тел.
z
z = f(x, y)
z
Mi
z = f(x, y)
y
y
D
x
Рис. 2.1. Цилиндрическое тело.
Pi
x
Рис. 2.2. Элементарные
цилиндрические тела.
13
Выберем в каждой частичной области si произвольную точку
Pi(xi, yi) и заменим соответствующее частичное цилиндрическое
тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой (PiMi), равной значению функции f в точке Pi(xi, yi), т. е. |PiMi| = zi = f(xi, yi).
В результате получим n – ступенчатое тело, объем которого
равен
Vn = f (x1, y1 ) Ds1 + f (x2 , y2 ) Ds2 + ... + f (xn , yn ) Dsn =
n
= å f (xi , yi ) Dsi .
i=1
Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно
равным объему построенного n – ступенчатого тела, будем считать,
что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая
из частичных областей. Под объемом данного цилиндрического
­тела будем понимать предельное значение ступенчатого тела:
n
å f (xi , yi )Dsi .
n®¥
V = lim Vn = lim
n®¥
(2.1)
i=1
Сделаем важное замечание. Переходя к написанному выше пределу при n ® ¥, будем требовать, чтобы не только площадь каждой
частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если называть диаметром области наибольшее
расстояние между точками ее границы, то каждый из диаметров
частичных областей должен стремиться к нулю.
2.2. Определение двойного интеграла
Дадим определение в общем виде.
Пусть f(x, y) – любая функция двух переменных (необязательно
положительная), непрерывная в некоторой области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на частичные области,
выберем в каждой по произвольной точке Pi(xi, yi) и составим сумму
n
å f (xi , yi )Dsi ,
i=1
где f(xi, yi) – значение функции в точке Pi и Dsi – площадь i-й частичной области.
Составленная сумма называется (n-й) интегральной суммой для
функции f(x, y) в области D, соответствующей данному разбиению
этой области на n частичных областей.
14
Определение. Двойным интегралом от функции f(x, y) по области D
называется предел, к которому стремится (n-ая) интегральная сумма
при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.
n
å f (xi , yi )Dsi = òò f (x, y)ds.
max d ® 0
lim
i=1
i
(2.2)
D
Выражение f(x, y)ds называется подынтегральным выражением; функция f(x, y) называется подынтегральной функцией; dσ –
элементом площади, D – областью интегрирования; x, y – переменные интегрирования.
Таким образом, объем цилиндрического тела, ограниченного
плоскостью ХОY, поверхностью z = f(x, y) (f(x, y) ≤ 0) и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси ОZ, выражается двойным интегралом от функции f(x, y) по области являющейся
основанием данного тела (см. (2.1):
V = òò f (x, y)ds.
(2.3)
D
Аналогично теореме существования обыкновенного (одинарного) интеграла имеет место:
Теорема существования двойного интеграла.
Если функция f(x, y) непрерывна в области D, ограниченной
замкнутой линией, то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, то есть двойной интеграл
òò f (x, y)ds не заD
висит от способа разбиения области D на частичные области si и от
выбора в них точек Pi.
Двойной интеграл есть число, зависящее от подынтегральной
функции и области интегрирования и не зависит от обозначения
переменных интегрирования, то есть:
òò f (x, y)ds = òò f (u, v)ds.
D
(2.4)
D
2.3. Свойства двойных интегралов
Из определения двойного интеграла понятно, что конструкции
определенного одинарного и двойного интеграла аналогичны, поэтому ограничимся формулировкой свойств двойного интеграла.
15
1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен
сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
òò (f (x, y) + ϕ(x, y) + ... + ψ(x, y))ds =
D
= òò f (x, y)ds + òò ϕ(x, y)ds + ... + òò ψ (x, y)ds.
D
D
D
2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно
вынести за символ двойного интеграла:
òò cf (x, y)ds = còò f (x, y)ds.
D
D
3. Если область D разбита на две области D1 и D2 без общих внутренних точек, то:
òò f (x, y)ds = òò f (x, y)ds + òò f (x, y)ds.
D
D1
D2
4. Если во всех точках области D функции f(x, y) и ϕ(x, y) удовлетворяют условию f(x, y) ≥ ϕ(x, y), то
òò f (x, y)ds ³ òò ϕ(x, y)ds.
D
D
Из данного свойства, в частности, следует, что если подынтегральная функция в области интегрирования не меняет знака, то
двойной интеграл есть число того же знака, что и функция.
Свойство 3 и следствие из свойства 4 позволяют уточнить геометрический смысл двойного интеграла.
Условимся объему цилиндрического тела, расположенному под
плоскостью ОХY, приписывать знак плюс, а расположенному под
плоскостью ОХY – знак минус. Тогда, если z = f(x, y) – уравнение
ограничивающей поверхности, то двойной интеграл
òò f (x, y)ds
D
является алгебраической суммой объемов тел, соответствующих
положительным и отрицательным значениям функции f(x, y).
Если в двойном интеграле подынтегральная функция равна 1,
то двойной интеграл равен площади S области интегрирования, то
есть
16
òò ds = S.
(2.5)
D
В этом случае двойной интеграл выражает объем прямого цилиндра с высотой, равной 1; ясно, что этот объем численно равен площади основания цилиндра.
5. Если функция f(x, y) во всех точках области интегрирования
D удовлетворяет неравенствам m ≤ f(x, y) ≤ M, то
mS £ òò f (x, y)ds £ MS,
(2.6)
D
где S – площадь D.
6. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на
площадь области интегрирования, то есть:
òò f (x, y)ds = f (x0 , y0 )S.
(2.7)
D
Значение f(x0, y0), входящее в последнее равенство, называется
средним значением функции f(x, y) в области D, а сформулированное утверждение называется теоремой о среднем.
Геометрически теорему о среднем для двойного интеграла можно сформулировать так: существует цилиндр, основание которого
совпадает с основанием D данного цилиндрического тела, высота
равна аппликате поверхности z = f(x, y) в некоторой точке основания, а объем равен объему цилиндрического тела. Указанная аппликата и изображает среднее значение функции f(x, y) в области D.
2.4. Вычисление двойных интегралов
При вычислении двойных интегралов
òò f (x, y)ds элемент плоD
щади ds удобно представить в ином виде. Будем разбивать область
интегрирования D в плоскости OXY на частичные области посредством двух систем координатных линий: x = const, y = const. Частичными областями служат прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат (рис. 2.3).
Поэтому площадь каждой частичной области Dσ будет равна
произведению соответствующих Dx и Dy.
17
y
D
x
O
Рис. 2.3. Элементарные области.
Таким образом, при предельном переходе к бесконечно малым
частичным областям (когда диаметр каждой частичной области
стремится к 0) элемент площади преобразуется к виду dσ = dxdy,
то есть элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных.
Следовательно, имеем
òò f (x, y)ds = òò f (x, y)dxdy.
D
D
При вычислении двойного интеграла будем опираться на тот
факт, что он выражает объем V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью z = f(x, y).
Применяя определенный интеграл к геометрическим задачам,
имеем формулу:
b
V = ò S (x)dx,
(2.8)
a
где S(x) – площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а x = a, x = b – уравнения плоскостей,
ограничивающих данное тело (рис. 2.4).
Применим теперь эту формулу к вычислению двойного интеграла
òò f (x, y)dxdy.
D
Предположим, что область интегрирования D удовлетворяет
следующему условию: любая прямая, параллельная оси ОX или
OY, пересекает границу области не более чем в двух точках.
Область D заключим внутрь прямоугольника a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d,
стороны которого касаются границы области в точках A, B, F, E.
18
z
z = f(x, y)
M
N
c
b
D
B
P
x
d
A
a
R
F
y
E
Рис. 2.4. Объем тела по площадям
параллельных сечений.
y
E
d
R
A
c
O
F
P
a
B
b
x
Рис. 2.5. Область в основании.
Интервал [a, b] является проекцией области D на ось ОX, интервал
[c, d] является проекцией области D на ось ОY (рис. 2.5).
Точками A и F граница разбивается на две линии ABF и AEC,
каждая из которых пересекается с любой прямой, параллельной
оси OY, в одной точке. Поэтому, их уравнения можно записать
в форме, разрешенной относительно y:
функция y = y1(x) задает линию (ABF),
функция y = y2(x) задает линию (AEF).
Аналогично, точками B и E граница разбивается на линии BAE
и BFE, уравнения которых можно записать так:
функция x = x1(y) задает линию (BAE),
функция x = x2(y) задает линию (BFE).
Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости OYZ, то есть x = const,
19
a ≤ x ≤ b. (рис. 2.4). В сечении получим криволинейную трапецию
PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции
f(x, y), рассматриваемой как функция одной переменной y, причем y меняется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P
есть точка входа прямой x = const (в плоскости OXY) в область D,
а R – точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий ABF
и AEF следует, что ординаты этих точек при взятом x соответственно равны y1(x) и y2(x).
y2 (x)
Следовательно, интеграл
ò f (x, y)dy дает выражение для пло-
y1(x)
щади сечения PMNR. Понятно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения x, другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией
от x, – обозначим ее через S(x):
S(x) =
y2 (x)
ò f (x, y)dy.
y1(x)
Согласно формуле (2.8) для объема тела по площадям параллельных сечений, получаем:
V = òò
D
b çæ y2 (x)
ö÷
÷
çç
f (x, y)dxdy = ò ç ò f (x, y)dy÷÷÷dx.
çç
÷÷
a çè y1(x)
ø
или в более удобной форме записи
òò
D
æ
ö÷
ççy2 (x)
÷
f (x, y)dxdy = ò dx çç ò f (x, y)dy÷÷÷.
çç
÷÷
çè y1(x)
a
ø
b
(2.9)
Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования y при постоянном
значении второго аргумента x. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться
аргумент x.
Меняя роли x и y, то есть, рассматривая сечения тела плоскостями y = const, (c ≤ x ≤ d), найдем сначала, что площадь Q(y) такого
сечения равна
20
y
d
c
O
a
b x
Рис. 2.6. Основание прямоугольной
формы.
x2 (y)
ò f (x, y)dx,
x1(y)
где y при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(y) в пределах изменения y, то есть от c до d, придем
ко второму выражению для двойного интеграла:
æ
d
÷÷ö
ççx2 (y)
ç
=
f
x
,
y
dxdy
dy
f
x
,
y
dx
(2.10)
òò ( )
ò ççç ò ( ) ÷÷÷÷.
÷
çè x1(y)
D
c
ø
Здесь интегрирование совершается сначала по x, потом по y.
Данные формулы показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части формул называют повторными (двукратными) интегралами, а сам процесс
расстановки пределов интегрирования – приведением двойного интеграла к повторному.
Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобретают особенно простой вид, когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат. В этом
случае (рис. 2.6) становятся постоянными пределы не только внешнего, но и внутреннего интегралов.
b
d
d
b
a
c
c
a
òò f (x, y)dxdy = ò dx ò f (x, y)dy =ò dy ò f (x, y)dx.
D
(2.11)
Поясним расстановку пределов интегрирования на простом примере:
21
y
y = x2
2
1
R
P
O
x
2
1
Рис. 2.7. Область интегрирования D, ограниченная линиями:
y = 0, y = x2, x + y = 2.
Пример 2.1
Привести к повторному
òò f (x, y)dxdy,
если область D ограни-
D
чена линиями: y = 0, y = x2, x + y = 2.
Решение:
Построим область D (рис. 2.7) и найдем точки пересечения линий. В области D y меняется в пределах от нуля до единицы (внешние пределы), тогда при фиксированном значении y переменная x
меняется от точки P (входа в область): x = y , до точки R (выхода
из области): x = 2 – y. Поэтому (см. (2.9), (2.10))
òò
D
1
2-y
f (x, y)dxdy = ò dy
0
ò f (x, y)dx,
y
или в другой последовательности
1
x2
2
2-x
0
0
1
0
òò f (x, y)dxdy = ò dx ò f (x, y)dy +ò dx ò f (x, y)dy.
D
2.5. Двойной интеграл в полярных координатах
Сформулируем формулу замены переменных в двойном интеграле (для перехода к другим координатам).
22
Пусть в OXY дана область D, ограниченная замкнутой линией.
Предположим, что даны однозначные, непрерывно дифференцируемые функции x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v).
Тогда справедливо равенство:
òò f (x, y)dxdy = òò f (ϕ(u, v), ψ(u, v)) I dudv,
D
D1
¶ϕ
где I (определитель Якоби): I = ¶u
¶ψ
¶u
¶ϕ
¶v .
¶ψ
¶v
Поясним, что D1 – это область D в новых координатах, а |I|dudv –
элемент площади в новых координатах.
Перейдем к полярным координатам (ρ, ϕ). Как известно, полярные и декартовы координаты связаны соотношениями x = rcosϕ,
y = rsinϕ,
¶ϕ ¶ϕ
cos ϕ -ρ sin ϕ
=
I = ¶u ¶v =
¶ψ ¶ψ
sin ϕ ρ cos ϕ
¶u ¶v
cos ϕ -sin ϕ
=ρ
= ρ cos2 ϕ + sin2 ϕ = ρ.
sin ϕ cos ϕ
(
)
Поэтому
òò f (x, y)dxdy = òò f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρdϕ.
D
(2.12)
D1
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат,
также как и в декартовой системе, сводится к последовательному
интегрированию по переменным ρ и ϕ.
Пример 2.2
Расставить пределы интегрирования, если область D – круг
x2 + y2 £ 2ax.
Решение:
Построим область D (рис. 2.8), записав выражение для круга
в каноническом виде:
2
x2 + y2 £ 2ax Þ (x - a) + y2 £ a2 .
23
y
O
x
a
Рис. 2.8. Площадь в полярных
координатах.
Переходя к полярным координатам (см. рис. 2.8), получим:
x2 + y2 £ 2ax Þ ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ £ 2aρ cos ϕ Þ ρ £ 2a cos ϕ.
Поэтому: j меняется в четвертой и первой четвертях, а 0 £ ρ £ 2a cos ϕ.
Тогда (см. 2.12):
òò
f (x, y)dxdy =
D
π
2
ò
-
2a cos ϕ
dϕ
π
2
ò
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)ρdρ.
0
2.6. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
Если в двойном интеграле подынтегральная функция равна 1,
то двойной интеграл равен площади S области интегрирования
(см. (2.5)):
òò ds = S.
D
Пример 2.3
Вычислить площадь, ограниченную линиями y = 2 – x2, y = x.
Решение:
Изобразим область (рис. 2.9), ограниченную линиями y = 2 – x2,
y = x, для чего найдем точки пересечения линий.
ìï
ì y = x,
ïì y = x,
y = 2 - x2 , ïïì y = x,
ïï
Þí
Þ
Þ ïí
íï
í 2
2
ïy = x,
ï
ï
ïx = -2, x2 = 1.
ïîïx = 2 - x , îïx + x - 2 = 0, îï 1
ïïî
24
y
2
R
D
(1,1)
−2
O
1
x
P
−2
Рис. 2.9. Фигура пересечения.
Имеем две точки пересечения: (–2,–2) и (1,1).
Вычислим площадь области D, интегрируя сначала по x [–2;1],
потом по y от точки P (входа в область): y = x, до точки R (выхода из
области): y = 2 – x2.
1
2-x2
-2
1
2ö
x
S = òò dxdy = ò dx
D
æ
x3 x
= ççç2x 3
2
çè
÷÷
÷÷÷
ø
-2
ò
1
2-x2
dy = ò (y)
x
-2
1
(
)
dx = ò 2 - x2 - x dx =
-2
æ
1 1ö æ
8 4ö
1
= çç2 - - ÷÷÷ - çç-4 + - ÷÷÷ = 8 - 3 - = 4,5.
çè
ç
3 2ø è
3 2ø
2
Ответ: 4,5.
Пример 2.4
2
Вычислить площадь, ограниченную линией (x2 + y2 ) = (x2 - y2 ).
Решение:
Переходя к полярным координатам (см. (2.12)), получим:
2
2
(x2 + y2 ) = (x2 - y2 ) Þ (ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ) =
= (ρ2 cos2 ϕ - ρ2 sin2 ϕ) Þ ρ2 = cos 2ϕ Þ ρ = cos 2ϕ.
Изобразим область (рис. 2.10), учитывая, что
é π
π
π
π
ê- £ 2ϕ £ Þ - £ ϕ £
ê 2
2
4
4
cos 2ϕ ³ 0 Þ ê
.
π
π
3π
5π
ê
£ϕ£
ê2π - £ 2ϕ £ 2π + Þ
êë
2
2
4
4
25
y
π
ρ = cos 2 ϕ
4
1 x
–1
Рис. 2.10. Лемниската.
Пользуясь симметричностью данной области, вычислим ее плоπ
щадь посредством двойного интеграла, учитывая, что 0 £ ϕ £ ,
4
0 £ ρ £ cos 2ϕ :
π
4
S = 4òò dxdy = 4 òò ρdρdϕ = 4 ò dϕ
D
ρ
= 4ò ççç
çè 2
0
0
D1
π
4 æ 2 ö cos 2ϕ
÷
÷÷÷
÷ø
0
π
4
cos 2ϕ
ò
ρdρ =
0
π
æ sin 2ϕ ö÷ 4
dϕ =2ò cos 2ϕdϕ = 2çç
=
çè 2 ÷÷ø
0
0
π
= sin - sin 0 = 1.
2
Ответ: 1.
Для вычисления объемов цилиндрических тел воспользуемся
формулой определяющей геометрический смысл двойного интеграла (см. (2.3)).
Пример 2.5
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x2
z = 4 - y2 , y =
и плоскостью z = 0.
2
Решение:
x2
2
Изобразим тело, ограниченное поверхностями z = 4 - y , y =
2
и плоскостью z = 0 (рис. 2.11).
Искомое цилиндрическое тело ограничено сверху цилиндром
z = 4 - y2 .
26
z
y
z = 4 − y2
2
y = x 2/2
D
O
−2
2
x
2
y= x
2
Рис. 2.12. Область в основании.
y
2
x
Рис. 2.11. Пересечение цилиндров.
Область интегрирования D (рис. 2.12) ограничена y =
x2
и z =
2
= 4 – y2 при z = 0, y = 2.
Таким образом, объем тела, ограниченного поверхностями
z = 4 - y2 , y =
x2
и плоскостью z = 0 равен:
2
2
2
-2
x2
2
(
)
V = òò f (x, y)dxdy = ò dx ò 4 - y2 dy =
D
2
2æ
2æ
y3 ÷ö
x6 ÷öö÷
8ö æ
çæ
= ò ççç4y - ÷÷ dx = ò çççç8 - ÷÷÷ - ççç2x2 - ÷÷÷÷÷dx =
÷÷
3 ø÷÷ x2
3 ø çè
24 ÷÷
ç
ççèç
øø
-2 è
-2 è
2
2
2
æ16
æ16
2
x6 ÷ö
x7 ÷÷ö
= ò ççç - 2x2 + ÷÷÷dx = ççç x - x3 +
÷ =
24 ÷ø
3
128 ÷÷ø
çè 3
ç3
è
-2
-2
ææ 32 16 128 ö æ 32 16 128 ö÷ö
= çççç - +
÷÷ - çç- + ÷÷÷ =
3 168 ø÷ èç 3
3 168 ø÷÷ø
èçèç 3
æ16 16 ö
7 + 1 256
4
= 2çç + ÷÷÷ = 32 ×
=
= 12 .
çè 3 21ø
21
21
21
Ответ: 12
4
.
21
27
Пример 2.6
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 +
+ z2 = 4a2, x2 + y2 – 2ay = 0.
Решение:
Изобразим тело (рис. 2.13), ограниченное поверхностями x2 + y2 +
+ z2 = 4a2, x2 + y2 – 2ay = 0.
В полярных координатах уравнения искомых поверхностей будут иметь вид
x2 + y2 + z2 = 4a2 Þ ρ2 + z2 = 4a2 ,
x2 + y2 - 2ay = 0 Þ ρ2 - 2aρ sin ϕ = 0 Þ ρ = 2a sin ϕ.
Вычислим объем тела (см. (2.3), (2.12)), вырезанного из сферы,
и находящегося внутри цилиндра. Пользуясь симметричностью,
учетверим величину объема, находящуюся в первом квадранте.
Область интегрирования изобразим на рис. 2.14.
z
2a
a
y
x
−2 a
Рис. 2.13. Тело, полученное при
пересечении цилиндра и шара.
y
D
ρ = 2asinϕ
a
O
Рис. 2.14. Область
интегрирования.
28
x
π
2
2a sin ϕ
0
0
V = òò f (x, y)dxdy = 4ò dϕ
D
π
2
2a sin ϕ
= (-2) ò dϕ
0
ò
0
3 2a sin ϕ
π
2 4a2 - ρ2 2
= -2 ò
0
(
)
3
2
ò
4a2 - ρ2 ρdρ =
(
)
4a2 - ρ2 d 4a2 - ρ2 =
dϕ =
π
2
32 3
a ò 1 - cos3 ϕ dϕ =
3
(
)
0
0
π
π
æ
ö÷
æ
ö÷
çç
çç
÷÷
÷÷
2
2
ç
ç
÷
÷
32 3 ç π
32 3 ç π
=
a çç - ò cos2 ϕd sin ϕ÷÷÷ =
a çç - ò 1 - sin2 ϕ d sin ϕ÷÷÷ =
÷÷
÷÷ 3
ç2
çç 2
3
0
0
÷
÷
çç
ççç
÷ø
÷
è
ø
è
πö
æ
÷
çç
3 ö 2 ÷÷
æ
32 3 çç π ç
sin ϕ ÷÷ ÷ 32 3 çæ π 2 ö÷ 16 3
=
a ç - ççsin ϕ a ç - ÷÷ = a (3π - 4).
÷ ÷÷ =
çè 2 3 ø 9
çç 2 çè
3
3 ÷ø÷ ÷÷ 3
çç
0 ÷÷
è
ø
(
Ответ:
)
16 3
a (3π- 4).
9
2.7. Вычисление массы плоской пластины переменной плотности с помощью двойных интегралов
Приведем пример простейшего физического применения двойного интеграла.
Рассмотрим тонкую пластинку, расположенную на плоскости
OXY и занимающую область D. Толщину этой пластинки считаем
настолько малой, что изменением плотности по толщине ее можно
пренебречь.
Поверхностной плотностью такой пластинки в данной точке называется предел отношения массы пластинки к ее площади при условии, что площадка стягивается к данной точке.
Определенная таким образом поверхностная плотность зависит
только от положения данной точки, то есть является функцией ее
координат: δ = δ(x, y).
29
Если бы плотность была постоянной (δ = const), то масса всей
пластинки равнялась бы: M = dS, где S – площадь пластинки.
Найдем массу неоднородной пластинки, считая, что ее плотность является заданной функцией δ(x, y).
Разобьем область D, занимаемую пластинкой, на частичные
области s1, s2, …, si, …, sn с площадями Ds1, Ds2, …, Dsi, …, Dsn
(рис. 2.20).
Выбирая в каждой частичной области произвольную точку
Pi(xi, yi) будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности δ(xi, yi) в выбранной точке.
Приближенное выражение для массы пластинки в виде интегральной суммы равно
n
Mn = å δ(xi , yi ) Dsi .
i=1
Для точного выражения массы найдем предел этой суммы
при условии, что каждая частичная область стягивается в точку
(см. (2.2)):
M=
n
lim
å δ(xi , yi )Dsi = òò δ(x, y)dxdy.
max di ®0 i=1
(2.13)
D
Пример 2.7
Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность ее
пропорциональна расстоянию точки от центра и равна δ на краю
пластинки.
Решение:
Изобразим круглую пластинку радиуса R (рис. 2.16).
y
y
D
Pi (xi, yi)
D
O
Рис. 2.15. Элементарные
площадки.
30
O
∆σi
R
x
x
Рис. 2.16. Круглая пластинка.
Величина плотности пропорциональна расстоянию точки от
центра и равна δ на краю пластинки, поэтому:
δ(x, y) = k x2 + y2 , δ = kR Þ k =
δ
δ
Þ δ(x, y) =
x2 + y2 .
R
R
Вычислим массу пластинки (см. (2.13)), переходя к полярным
координатам (см. (2.12)):
M = òò δ(x, y)dxdy = òò
D
D
æ ρ3 ÷ö
æδö
= çç ÷÷÷(2π)ççç ÷÷÷
çè R ø
çè 3 ÷ø
Ответ:
2π
R
0
0
δ
δ
x2 + y2 dxdy = ò dϕò ρ × ρdρ =
R
R
R
0
2
= πδR 2 .
3
2
πδR 2 .
3
31
3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3.1. Определение тройного интеграла, простейшие свойства
Дадим определение тройного интеграла, исходя из задачи отыскания массы неоднородного тела. Ввиду полной аналогии между
определением двойного и тройного интегралов изложение проведем
кратко.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область ω,
и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела: δ = δ(x, y, z).
Разобьем тело (рис. 3.1) произвольным образом на n частей, объемы этих частей обозначим: DV1, DV2, …, DVi, …, DVn. Выберем затем
в каждой части по произвольной точке Pi(xi, yi, zi).
Полагая, что в каждой частичной области плотность постоянна
и равна ее значению в точке Pi, получим приближенное выражение
для массы всего тела в виде суммы:
n
Mn = å δ(xi , yi , zi ) DVi .
i=1
Предел этой суммы при условии, что n ® ¥ и каждое частичное
тело стягивается в точку (то есть что его диаметр стремится к нулю), и дает массу этого тела:
M=
n
å δ(xi , yi , zi )DVi = òòò δ(x, y, z)dV .
max d ®0
lim
i
i=1
(3.1)
ω
Написанная сумма называется интегральной суммой, а ее предел – тройным интегралом от функции δ(x, y, z) по пространственной области ω.
∆V1
z
ω
Pi
∆Vi
y
x
Рис. 3.1. Тело, разбитое
на элементарные объемы.
32
К вычислению тройного интеграла приводят и другие задачи.
Поэтому в дальнейшем под тройным интегралом будем понимать
предел интегральных сумм:
òòò
f (x, y, z)dV =
ω
n
lim
å f (xi , yi , zi )DVi ,
max di ®0 i=1
(3.2)
где f(x, y, z) – произвольная, определенная и непрерывная в области ω функция.
Терминология, относящаяся к тройным интегралам, совпадает
с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно
также формулируется и теорема существования тройного интеграла.
Свойства двойных интегралов полностью переносятся на тройные
интегралы. Заметим лишь, что если подынтегральная функция тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области ω:
òòò dV = V .
(3.3)
ω
Поэтому свойства 5 и 6 двойного интеграла (см. 2.5–2.7) в случае
тройного интеграла формулируются так:
5′. Если функция f(x, y, z) во всех точках области интегрирования ω удовлетворяет неравенствам m ≤ f(x, y, z) ≤ M, то
mV < òòò f (x, y, z)dV < MV ,
(3.4)
ω
где V – объем области ω.
6′. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке интегрирования на объем области интегрирования:
òòò f (x, y, z)dV = f (ξ, τ, ζ)× V .
(3.5)
ω
3.2. Вычисление тройных интегралов
Вычисление тройного интеграла
òòò f (x, y, z)dV ,
также как
ω
и двойного, может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрирований. Ограничимся описанием соответствующих правил.
33
3.2.1. Интегрирование в декартовых координатах
Пусть дан тройной интеграл I = òòò f (x, y, z)dV , причем обω
ласть ω отнесена к системе декартовых координат OXYZ.
Разобьем области интегрирования ω плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями
будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям
OХY, OХZ, OYZ. Элемент объема будет равен произведению дифференциалов переменных интегрирования dV = dxdydz.
В соответствии с этим будем писать I = òòò f (x, y, z)dxdydz.
ω
Установим правило вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования ω такая, что любая
прямая параллельная одной из координатных осей, пересечет поверхность, ограничивающую ω не более чем в двух точках (рис. 3.2).
Опишем около ω цилиндрическую поверхность с образующей,
перпендикулярной к плоскости OХY. Она касается области ω вдоль
некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую
область ω, на две части – верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней
поверхности будет z = z1(x, y), верхней z = z2(x,  y). Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости OXY плоскую
область D, которая является ортогональной проекцией пространственной области ω на плоскость OXY, при этом линия L проектируется в границу области D.
Будем производить интегрирование сначала по направлению
оси OZ. Для этого функция f(x, y, z) интегрируется по заключенному в ω отрезку прямой, параллельной оси OZ и проходящей через
некоторую точку P(x, y) области D (отрезок aβ).
zω
β
z = z2(x, y)
L
α
bx
x
z = z1(x, y)
y
a
D
y1(x)
P(x, y)
y2 (x)
Рис. 3.2. Последовательность
интегрирований.
34
При данных x и y переменная интегрирования z будет изменяться от z1(x, y) – аппликаты точки «входа» (α) прямой в область ω, до
z2(x, y) – аппликаты точки «выхода» (β) прямой из области ω.
Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки P(x, y); обозначим ее через F(x, y):
z2 (x, y)
F (x, y) = ò f (x, y, z)dz.
z1(x, y)
При интегрировании переменные x, y рассматриваются здесь как
постоянные величины.
Мы получим значение искомого интеграла, если возьмем интеграл от функции F(x, y) при условии, что точка P(x, y) пробегает область D, то есть если вычислим двойной интеграл
òò F(x, y)dxdy.
D
Таким образом, тройной интеграл может быть представлен в виде:
I = òò dxdy
D
z2 (x, y)
ò
f (x, y, z)dz.
z1 (x, y)
Приведем двойной интеграл по области D к повторному и проинтегрируем сначала по y, а затем по x, получим:
b
y2 (x)
a
y1(x)
I = ò dx
ò
z2 (x, y)
dy
ò
f (x, y, z)dz,
(3.6)
z1(x, y)
где y1(x), y2(x) – ординаты входа и выхода в область D прямой
x = const, а a и b – абсциссы конечных точек интервала оси OX,
на который проектируется область D.
Итак, вычисление тройного интеграла по области ω производится посредством трех последовательных интегрирований.
Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям,
то пределы интегрирования постоянны во всех трех интегралах:
b
d
l
I = òòò f (x, y, z)dxdydz = ò dx ò dy ò f (x, y, z)dz.
ω
a
c
(3.7)
k
В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохранятся.
35
z
1
z=1−x−y
1
1
D
x
y
y=1−x
Рис. 3.3. Треугольная пирамида.
Пример 3.1
Вычислить тройной интеграл I = òòò (x + y + z)dxdydz, где ω обω
ласть, ограниченная координатными плоскостями x = 0, y = 0, z = 0
и плоскостью x + y + z = 1.
Решение:
Изобразим область ω – прямоугольную пирамиду (рис. 3.3).
Интегрирование (см. (3.6)) по z совершается от z = 0 до z =
= 1 – x – y.
Обозначим проекцию области ω на плоскость XOY через D; – интегрирование по y совершается от y = 0 до y = 1 – x, – по x от x = 0
до x = 1.
æ
2 1-x-y ÷ö
çç
1-x-y z
÷÷
ç
I = òò dxdy ò (x + y + z)dz = òò ç(x + y)z
+
÷÷dxdy =
0
çç
2
÷÷ø
0
D
0
D è
æ
(1 - x - y)2 ö÷÷
çç
= òò ç(x + y)(1 - x - y) +
÷÷÷dxdy =
çç
2
÷ø
D è
1
1-x æ
2ö
ç
2 (1 - x - y) ÷÷
÷÷dy =
= ò dx ò çç(x + y) - (x + y) +
çç
÷÷
2
è
ø
0
0
1-x-y
1æ
2
3
3ö
(x + y) (1 - x - y)
ç(x + y)
= ò çç
çç
2
3
6
0è
36
1-x
÷÷
÷÷
÷÷
ø0
dx =
1æ
3ö
ç 1 x2 1 x3 (1 - x)
= ò çç - +
+
çç 2 2 3 3
6
0è
÷÷
÷÷÷dx =
÷ø
1
4ö
æ
ç x x3 x4 (1 - x) ÷÷
1 1 1
1
1
= çç +
÷÷÷ = 6 - 6 + 12 + 24 = 8 .
çç 6 6
12
24
è
ø÷
0
Ответ: 0,125.
3.2.2. Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Сначала сформулируем общую формулу замены переменных
в тройном интеграле.
Пусть задана область ω, ограниченная замкнутой поверхностью.
Предположим, что даны однозначные, непрерывно дифференцируемые функции x = Φ(u, t, w), y = Ψ(u, t, w), z = Ө(u, t, w).
Тогда справедливо равенство:
òòò f (x, y, z)dxdydz =
ω
= òòò f (Φ (u, t, ϖ), Ψ (u, t, ϖ), θ(u, t, ϖ)) I dudtdϖ,
(3.8)
ω¢
¶Φ ¶Φ ¶Φ
¶u ¶t ¶ϖ
¶Ψ ¶Ψ ¶Ψ
где I =
.
¶u ¶t ¶ϖ
¶θ ¶θ ¶θ
¶u ¶t ¶ϖ
Поясним, что w1 – это область ω в новых координатах, а I dudtdϖ –
элемент объема в новых координатах.
Цилиндрические координаты в пространстве (аналогичные полярным координатам на плоскости) зададим формулами x = rcosϕ,
y = rsinϕ, z = z. Тогда, в соответствии с общей формулой замены переменных
cos ϕ -ρ sin ϕ 0
cos ϕ -ρ sin ϕ
=
I = sin ϕ ρ cos ϕ 0 =
sin ϕ ρ cos ϕ
0
0
1
= ρ(cos2ϕ + sin2ϕ) = ρ.
37
z
h
ω
ϕ
y
R
x
Рис. 3.4. Цилиндрические
координаты.
Формула перехода от декартовых к цилиндрическим координатам имеет вид
òòò f (x, y, z)dxdydz = òòò f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρdϕdz.
(3.9)
ω¢
ω
В частности, если f(x, y, z) = 1, то интеграл выражает объем V области ω:
V = òòò ρdρdϕdz.
(3.10)
ω
Если областью интегрирования служит цилиндр (рис. 3.4):
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ z ≤ h, то пределы трехкратного интеграла постоянны
и не меняются при перемене порядка интегрирования:
h
2π
R
0
0
0
I = ò dz ò dϕò f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z)ρdρ.
(3.11)
Пример 3.2
Вычислить массу цилиндра, ограниченного поверхностями x2 +
+ y2 = R2, z = 0, z = h, и имеющего плотность δ(x, y, z) = y2 + z2.
Решение:
Область ω является прямым цилиндром (рис. 3.4). Вычислим
его массу, выполнив описанный выше переход к цилиндрическим
координатам (см. (3.1), (3.8), (3.11)):
(
2π
2
)
2π
R
h
0
0
o
(
)
I = òòò y + z dxdydz =ò dϕò dρò ρ2 sin2 ϕ + z2 ρdz =
ω
2
h
2π
Ræ
æ z3
h3
÷÷ö
÷ö
ç
2
2
ç
= ò dϕò ρç + ρ sin ϕ × z÷÷ dρ = ò dϕò çççρ
+ ρ3sin2ϕ × h÷÷÷dρ =
ç3
ç 3
÷ø
÷ø
0
0 è
0
0è
0
38
R
2πæ 3
R
0
0
2πæ 3 2
ö÷
h ρ2 ρ4
h R
hR 4
÷ö
sin2 ϕ÷÷dϕ =
= ò ççç × + × sin2 ϕ × h÷÷÷ dϕ = ò ççç
+
÷÷
÷ø
4
4
çè 3 2
çè 6
ø
=
=
=
Ответ:
πhR
12
2
0
h3 R 2
hR
× 2π +
6
4
3 2
4 2π
ò
0
4
1 - cos 2ϕ
dϕ =
2
hR
hR 4
πh R
+
× 2π 3
8
8
(4h2 + 3R2 )- hR8
4
×
2π
ò cos 2ϕdϕ =
0
2π
sin 2ϕ
πhR 2
4h2 + 3R 2 .
=
2 0
12
(
)
πhR 2
4h2 + 3R 2 .
12
(
)
3.2.3. Тройной интеграл в сферических координатах
Введем теперь сферическую систему координат (ρ, ϕ, Ө) (рис. 3.5).
В этой системе координат положение точки M(x, y, z) в пространстве определяется расстоянием ρ от начала координат, углом ϕ между проекцией радиус-вектора на плоскость OXY и осью OX, углом Ө
между радиус-вектором и осью OZ. При этом Ө может изменяться
от 0 до π, а ϕ от 0 до 2π. Легко установить связь между декартовыми
и сферическими координатами:
MP = rcosӨ, OP = rsinӨ, x = OPcosϕ, y = OPsinϕ, и
x = rcosjsinӨ, y = rsinjsinӨ, z = rcosӨ.
Определитель Якоби в этом случае имеет вид:
¶x
¶ρ
¶y
I=
¶ρ
¶z
¶ρ
¶x
¶ϕ
¶y
¶ϕ
¶z
¶ϕ
¶x
¶θ
¶y
=
¶θ
¶z
¶θ
cos ϕ sin θ -ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ cos θ
= sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ sin θ = -ρ2sin θ.
-ρ sin θ
cos θ
0
39
z
z
M
O
ρ
θ
ϕ
O
x
θ
y
x
ϕ
y
r
P
Рис. 3.5. Сферические координаты.
Рис. 3.6. Постоянные пределы
в сферических координатах.
Таким образом, получаем формулу для перехода в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам:
I = òòò f (x, y, z)dxdydz =
ω
(3.12)
2
= òòò f (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ)ρ sin θdρdϕdθ.
ω¢
В частности, если f(x, y, z) = 1, то тройной интеграл выражает
объем V области ω:
V = òòò ρ2sin θdρdϕdθ.
(3.13)
ω
Если областью интегрирования служит внутренность шара
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ Ө ≤ π, (рис. 3.6), то пределы трехкратного
интеграла в сферических координатах постоянны и не меняются
при перемене порядка интегрирования:
2π
π
R
I = ò dϕò dθò f (ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos θ)ρ2sin θdρ.
0
0
(3.14)
0
Пример 3.3
Вычислить массу шара x2 + y2 + z2 = R 2 с плотностью d(x, y, z) =
3
= (x2 + y2 + z2 )2 .
40
Решение:
Изобразим область ω – шар (рис. 3.6). Перейдем к сферическим
координатам и вычислим его массу (см. (3.1), 3.8), (3.14)):
(
M = òòò x2 + y2 + z2
ω
2π
π
R
3
2 dxdydz =
)
(
= ò dϕò dθò ρ2 cos2ϕ sin2θ + ρ2sin2ϕ sin2θ + ρ2cos2 θ
0
0
3
)2 ρ2sin θdρ =
o
2π
π
0
0
R
(
2
2
(
2
2
)
2
2
)
= ò dϕò dθò ρ sin θ cos ϕ + sin ϕ + ρ cos ϑ
0
2π
π
R
0
0
2π
π
0
0
0
3
2 ρ2sin θdρ =
( )
= ò dϕò dθò ρ2
0
R
3
2 ρ2 sin θdρ =
2π
π
0
0
R
= ò dϕò dθò ρ5sin θdρ = ò dϕò sin θdθò ρ5dρ =
π
0
= 2π × (-cos θ) ×
Ответ:
6 R
ρ
6
0
= 2π × (-(-1 -1))×
0
6
R
2πR 6
=
.
6
3
2πR 6
.
3
41
4. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Вариант № 0
Работа № 1
Вычисление частных производных. Производная неявной функции
((
)
¶ 7x2 + 8xy + 9y2 × 3 x3 - 5y3
1. Найдите
).
¶x
Решение:
При вычислении частной производной по x помним, что x является
переменной (изменяющейся величиной), а y – постоянный параметр.
Находим частную производную, пользуясь формулой Лейбница
вычисления производных от произведения функций:
((
)
¶ 7x2 + 8xy + 9y2 × 3 x3 - 5y3
=
¶x
((
¶ 7x + 8xy + 9y2
(
2
)
+ 7x2 + 8 xy + 9y2 ×
¶
(
¶x
3 x 3 - 5y 3
¶x
)=
)) 3
× x3 - 5y3 +
) = (14x + 8y)×
3 x3 - 5y3
2
1 3
x - 5y3 3 × 3x2 =
3
7x2 + 8xy + 9y2 × x2
= (14x + 8y)× 3 x3 - 5y3 +
=
(
) (
(
) (
+ 7x2 + 8 xy + 9y2 ×
3
=
=
(x
3
- 5y
3 2
)
21x4 + 16x3 y + 9x2 y2 - 70xy3 - 40y4
3
(x
3
- 5y
3 2
)
21x4 + 16x3 y + 9x2 y2 - 70xy3 - 40y4
3
42
2
(x3 - 5y3 )
(14x + 8y)× (x3 - 5y3 ) + (7x2 + 8xy + 9y2 )× x2
3
Ответ:
)
)
(x
3
- 5y
3 2
)
.
.
=
+
2. Дана функция f (x, y) = 3x4 y2 + 5x3 y4 - 7x3 + 6y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
Решение:
Сначала вычислим частные производные
функции:
¶f
¶f
è
¶x
¶y
данной
¶f
= 12x3 y2 + 15x2 y4 - 21x2 ,
¶x
¶f
= 6x4 y + 20x3 y3 + 18 y2 .
¶y
Теперь найдем производные второго порядка:
¶2 f
¶x2
=
¶
12x3 y2 + 15x2 y4 - 21x2 = 36x2 y2 + 30xy4 - 42x,
¶x
(
)
¶2 f
¶
=
12x3 y2 + 15x2 y4 - 21x2 = 24x3 y + 60x2 y3 ,
¶x¶y ¶x
(
)
¶2 f
¶
=
6x4 y + 20x3 y3 + 18y2 = 24x3 y + 60x2 y3 ,
¶y¶x ¶x
(
¶2 f
2
¶y
=
)
¶
6x4 y + 20x3 y3 + 18y2 = 6x4 + 60x3 y2 + 36y.
¶y
(
)
Смешанные производные второго порядка равны между собой, что
и требовалось проверить.
Ответ:
¶2 f
¶x2
= 36x2 y2 + 30xy4 - 42x,
¶2 f
= 24x3 y + 60x2 y3 ,
¶x¶y
¶2 f
¶2 f
= 24x3 y + 60x2 y3 ,
= 6x4 + 60x3 y2 + 36y.
2
¶y¶x
¶y
3. Найдите
dy
, если ex+y - 4x2 y + 5xy2 = 0.
dx
Решение:
В случае неявно заданной функции F(x, y) = 0 производная
функции y(x) находится по формуле (1.7):
43
¶F
yx¢ = - ¶x .
¶F
¶y
Поэтому
Ответ: -
dy
ex+y - 8xy + 5y2
=.
dx
ex+y - 4x2 + 10xy
ex+y - 8xy + 5y2
ex+y - 4x2 + 10xy
.
Работа № 2
Производная по направлению.
Локальные экстремумы функций нескольких переменных
3
1. Вычислите производную функции f (x, y) = (x2 - 3xy2 + 2y4 + 1)
в точке K(2;1) по направлению к точке M(–1;–3).
Решение:
Производная по направлению функции двух переменных находится по формуле (1.13):
¶f ¶f
¶f
=
cos α +
cos β.
¶s ¶x
¶y
Вычислим частные производные в точке K:
2
¶f
= 3 x2 - 3xy2 + 2y4 + 1 2x - 3y2 ,
¶x
¶f (2;1)
= 3(4 - 6 + 2 + 1)(4 - 3) = 3,
¶x
2
¶f
= 3 x2 - 3xy2 + 2y4 + 1 -6xy + 8y3 ,
¶y
¶f (2;1)
= 3 ×1× (-12 + 8) = -12.
¶y

Координаты вектора KM = (-1 - 2;-3 -1) = (-3;-4).
(
(
)(
)(
)
)

2
2
Длина вектора KM = (-3) + (-4) = 5.

æ 3 4ö
Поэтому координаты орта KM равны çç- ;- ÷÷÷. И тогда
çè 5 5 ø
44
æ 3ö
æ 4 ö 39
¶f ¶f
¶f
cos α +
cos β = 3 × çç- ÷÷÷ -12 × çç- ÷÷÷ =
=
= 7,8.
èç 5 ø
èç 5 ø 5
¶s ¶x
¶y
Ответ: 7,8.
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy - 22x - 32y + 5 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Решение:
Сначала найдем координаты стационарных точек функции
(см. (1.9)):
ìï ¶f
ïï
= 6x + 8y - 22,
ïíï ¶x
ïï ¶f
ïï = 12y + 8 x - 32,
ïî ¶y
ì
6x + 8 y = 22,
ï
ï
í
ï
12
ï y + 8 x = 32,
î
ïíïì 6x + 8y - 22 = 0,
ïîï12y + 8 x - 32 = 0,
ïìï3x + 4y = 11,
í
ïîï 2x + 3y = 8,
ïìï x = 1,
í
ïîïy = 2.
Проверим достаточные условия существования экстремума (см. (1.10)–
(1.12)):
A=
¶2 f
¶x2
= 6, B =
¶2 f
¶2 f
= 8, C =
= 12,
¶x¶y
¶y2
AC - B2 = 6 ×12 - 64 = 8 > 0, A > 0.
Таким образом, найденная стационарная точка является точкой
минимума.
Ответ: данная функция имеет точку (1;2) точкой минимума.
Работа № 3
Двойной и тройной интеграл
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном ин2
теграле
4-x2
ò dx ò
0
4-2x
f (x, y)dy, область интегрирования изобразить на
2
чертеже.
Решение:
Изобразим на чертеже область интегрирования (рис. 4.1).
Пределы интегрирования, написанные в интегралах, дают нам
границы области интегрирования 0 ≤ x ≤ 2, 4 – 2x2 ≤ y ≤ 4 – x2.
45
4
y
y = 4 − x2
y = 4 − 2x2
O
√2
x
2
−4
Рис. 4.1. Изменение порядка
интегрирования.
Эта область должна быть разбита на две части, так как ее правая
граница составлена из двух разных линий.
Получаем
4-y
-4 £ y £ 0,
£ x £ 2;
2
4-y
£ x £ 4 - y.
0 £ y £ 4,
2
Поэтому (см. (2.9)–(2.11)),
2
4-x2
0
4-2x2
ò dx ò
2
Ответ:
ò dx
0
0
f (x, y) dy = ò dy
-4
4-x2
ò
4-2x
2
0
2
4
4-y
4-y
2
0
4-y
2
ò f (x, y)dx + ò dy ò f (x, y)dx.
f (x, y) dy = ò dy
-4
2
ò
4-y
2
4
4-y
0
4-y
2
f (x, y)dx + ò dy
ò f (x, y)dx.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2, y = x2,
y = 1, z = 0. Данное тело и область интегрирования изобразить на
чертеже.
Решение:
Изобразим на чертеже область интегрирования (рис. 4.2) и тело,
ограниченное данными поверхностями (рис. 4.3).
46
z
y
D
1
y = x2
O
1
x
1
y
x
Рис. 4.2. Область интегрирования.
Рис. 4.3. Объем тела.
Вычислим объем с помощью двойного интеграла (см. (2.3)),
пользуясь симметричностью фигуры. Задачу будем решать в декартовых координатах. Расставим пределы интегрирования, затем
­вычислим повторные интегралы.
(
2
2
1
)
y
V = òò x + y dxdy = ò dy
0
D
2
2
ò (x + y )dx =
- y
y
1
1æ 3
ö÷ y
x
= 2ò dy ò x2 + y2 dx = 2ò ççç
+ xy2 ÷÷÷ dy =
÷ø
ç3
0
0
0
0è
(
æ 3
1 çç 2
çy
= 2ò çç
ç 3
0 ççç
è
)
7 ö1
÷
y 2 ÷÷
ö
æ
÷÷÷
÷÷ø
æ 1 1 ö 88
÷
.
çç 5 + 7 ÷÷÷ = 4ççç + ÷÷÷ =
è
15 7 ø 105
÷÷
çç 3 ×
çè 2
2 ÷ø0
ç
5 ÷÷
÷
çç
+ y 2 ÷÷dy = 2ç
5
y2
88
.
105
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой (x2 + y2)3 = a2(x4 + y4). Параметр a положителен.
Сделать чертеж кривой.
Решение:
Перейдя к полярным координатам, получим зависимость радиусвектора от полярного угла.
Ответ:
47
3
3
(x2 + y2 ) = a2 (x4 + y4 ) Þ (ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ) =
= a2 (ρ4 cos4 ϕ + ρ4 sin4 ϕ) Þ ρ2 = a2 (cos4 ϕ + sin4 ϕ) Þ ρ =
1
= a 1 - 2 cos2 ϕ × sin2 ϕ Þ ρ = a 1 - sin2 2ϕ.
2
Это позволяет нарисовать данную нам фигуру (рис. 4.4) и вычислить ее площадь, проинтегрировав в полярных координатах.
Воспользуемся симметричностью фигуры, вычислим площадь
половины лепестка. Для этого проинтегрируем по углу ϕ в предеϕ
лах от 0 до
(см. (2.12)):
4
1
a 1- sin2 2ϕ
2
π
4
S = òò dxdy = òò ρdρdϕ = 8 ò dϕ
ò
ρdρ =
0
0
D
D
π
π
ö
1
4 2 a 1-1 sin2 2ϕ
4 2 æç
a ç1 - sin2 2ϕ÷÷÷dϕ =
ρ
2
ç
è
ø
=8
dϕ = 4
ò
0
2
ò
0
π
4
2
0
π
sin 4ϕ 4 3πa2
π
1 - cos 4ϕ
π
= 4a × - 2a2 ò
=
.
dϕ = πa2 - a2 × + a2
4
2
4
4 0
4
2
0
Ответ:
3πa2
.
4
y
a
−a
π/4
a
x
−a
Рис. 4.4. Фигура в полярных координатах.
48
z
1/2
−1
y
1
x
Рис. 4.5. Треугольная пирамида.
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0, x – y + 2z = 1, если ее плотность γ(x, y, z) = x + y + z.
Решение:
Изобразим пирамиду, образованную плоскостями x = 0, y = 0,
z = 0, x – y + 2z = 1 (рис. 4.5).
Масса пирамиды вычисляется по формуле (3.1):
M = òòò γ (x, y, z)dxdydz,
V
где V – объем пирамиды.
Приведем тройной интеграл к повторному (см. (3.1)) и вычислим его:
1
M = òòò γ (x, y, z)dxdydz = ò dx
0
V
1
= ò dx
1
= ò dx
0
0
0
1
dx
2ò
1
dx
4ò
0
dy
ò
0
1-x+y
z2 ö÷ 2
æ
ç
ò çççè(x + y)z + 2
x-1
1
+
ò
x-1
1-x+y
2
÷÷÷
÷ø
0
(x + y + z)dz =
dy =
2ö
æ
ççç(x + y)1 - x + y + (1 - x + y) ÷÷÷dy =
÷÷
ò çç
2
4
ø÷
x-1è
=
1
0
0
0
0
0
2
2
ò (x - x + y + y )dy +
x-1
2
2
ò (1 + x - 2x + 2(1 - x)y + y )dy =
x-1
49
0
1
1 çæ
y2 y3 ÷÷ö
2
ç
+
+
x
x
y
dx +
÷
2 ò ççè
2
3 ÷÷ø
x-1
0
(
=
)
0
1
1 çæ
y2 y3 ÷÷ö
2
+ ò çç(x -1) y - 2(x -1) + ÷÷
dx =
4 çè
2
3 ÷ø
1
x
0
1æ
(x -1)2 (x -1)3 ÷÷ö
-1 çç
2
÷dx =
+
ç x - x (x -1) +
2 ò ççè
2
3 ÷÷÷ø
(
)
0
-
1æ
3ö
1 çç
3
3 ( x - 1) ÷÷
÷dx =
x
1
x
1
+
(
)
(
)
ç
4 ò ççè
3 ÷÷÷ø
0
=
1æ
3ö
2
(x -1) (x -1)
-1 çç 2
3
+
çç 2x - x - x +
ò
2 çè
2
3
(
)
0
÷÷
÷÷dx =
÷÷
ø
1
1
1
-1 æç 2 3 x2 x4 ö÷÷
2
3
ç
=
- ÷÷ - ò (x -1) + (x -1) dx =
x ç
2 çè 3
2
4 ø÷
4
0
1
0
(
)
1æ2 1 1ö 1
2
3
= - çç - - ÷÷÷ - ò (x -1) + (x -1) d (x -1) =
2 çè 3 2 4 ø 4
0
(
)
1
3
æ
(x -1)4 ÷÷ö
1 8 - 6 - 3 1 çç(x -1)
÷ =
=- ×
- ç
+
2
12
4 èçç 3
4 ø÷÷÷
1 1 æç 1 1 ÷ö 1
1
1
=
+ ç- + ÷÷ =
= .
ç
24 4 è 3 4 ø 24 48 48
Ответ:
50
1
.
48
0
5. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольные работы для групп, имеющих один час практических занятий в неделю
Работа № 1 
Вычисление частных производных. Производная неявной функции
Вариант № 1
((
)
¶ 7x2 + 8xy + 9y2 × 3 x3 - 5y3
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = 4x3 y2 + 6x3 y5 - 7x4 + 6y2. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
, если ex-y - 3x2 y + 15xy2 = 0.
dx
Вариант № 2
((
)
¶ 6x2 + 9xy + 8y2 × 4 x4 - 5y4
1. Найдите
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = 13x5 y + 5x3 y4 -17x3 + 16y3. Найдите
все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите,
что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex +y - 4x3 y + 3xy2 = 0.
dx
Вариант № 3
((
)
¶ 6x2 + 9xy + 8y2 × 4 x4 - 5y4
1. Найдите
¶y
).
51
2. Дана функция f(x, y) = 3x4y2 – 5x4y4 + 7x3 – 6y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex+y - 4x3 y + 5xy3 = 0.
dx
Вариант № 4
((
)
¶ 5x2 - 8xy + 11y2 × 3 2x3 -15y3
1. Найдите
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = 3x5 y3 - 5x3 y2 - 3x3 + 4y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
3
dy
, если ex +y - 4x2 y + 5x2 y2 = 0.
dx
Вариант № 5
((
)
¶ 5x2 - 8xy + 11y2 × 3 2x3 -15y3
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = -3xy2 + 5x3 y2 - 7x2 + 6y3. Найдите
все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите,
что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
3
dy
, если ex+y - 24x2 y + 5xy4 = 0.
dx
Вариант № 6
((
)
¶ x2 - 3xy + 11y2 × 4 2x4 - 5y4
1. Найдите
52
¶x
).
2. Дана функция f(x, y) = 3x6y2 – 15x5y2 – 9x3 + 2y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
, если e2x+y - 3x2 y2 + 5xy2 = 0.
dx
Вариант № 7
((
)
¶ x2 - 3xy + 11y2 × 4 2x4 - 5y4
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = 2x4 y2 -15x5 y5 - 9x2 + 12y3. Найдите
все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите,
что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
, если ex+3y - 3x3 y2 + 5x2 y2 = 0.
dx
Вариант № 8
1. Найдите
((
)
¶ x2 + 11xy -11y2 × 3 2x3 - y3
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = -xy2 + 5x4 y2 - 3x2 - 6y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
2 x + y3
- 4x2 y + 25xy4 = 0.
, если 2e
dx
Вариант № 9
((
)
¶ x2 + 11xy -11y2 × 3 2x3 - y3
1. Найдите
¶y
).
53
2. Дана функция f(x, y) = –13xy2 + 5x7y2 – x2 + 16y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
3
dy
, если 3ex +y - 2x2 y + xy4 = 0.
dx
Вариант № 10
1. Найдите
((
)
¶ 7x2 - 31xy + 11y2 × 4 3x4 - 3y4
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = 4x7 y2 + 7x5 y2 + 9x3 - 2y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
, если ex-2y - 5xy2 + 5x3 y2 = 0.
dx
Вариант № 11
((
)
¶ 7x2 - 31xy + 11y2 × 4 3x4 - 3y4
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = x7 y3 + 17x5 y2 + x4 - 2y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex -2y -15xy2 + 5x3 y2 = 0.
dx
Вариант № 12
((
)
¶ x2 + 11xy -11y2 × 3 2x3 - y3
1. Найдите
54
¶x
).
2. Дана функция f(x, y) = –xy2 + 5x4y2 – 3x2 – 6y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
3
dy
, если 2e2x+y - 4x2 y + 25xy4 = 0.
dx
Вариант № 13
1. Найдите
((
)
¶ x2 + 11xy -11y2 × 3 2x3 - y3
¶y
).
2. Дана функция f(x, y) = –3x2y2 + 5x4y2 – 7x2 – 7y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
2x+2y
- 4x2 y + 4xy4 = 0.
, если 3e
dx
Вариант № 14
((
)
¶ -x2 - xy + 11y2 × 4 7x4 - 23y4
1. Найдите
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = 7x7 y3 - 7x5 y2 + x5 - 2y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
2
dy
, если ex -y - 25xy2 + 5x4 y2 = 0.
dx
Вариант № 15
((
)
¶ -x2 - xy + 11y2 × 4 7x4 - 23y4
1. Найдите
¶y
).
55
2. Дана функция f(x, y) = 5x5y3 – 7x5y2 + 5x5 – 7y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex-y - 25x3 y2 + 5x4 y2 = 0.
dx
Вариант № 16
1. Найдите
((
)
¶ -2x2 + 31xy -11y2 × 3 -x3 + 3y3
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = -xy2 + 5x5 y2 - 3x3 + 6y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
3
dy
, если 2e2x+3y - 3x2 y + 5x2 y4 = 0.
dx
Вариант № 17
((
)
¶ -2x2 + 31xy -11y2 × 3 -x3 + 3y3
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = -3x2 y2 + 5x4 y2 - 23x3 + 6y2. Найдите
все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите,
что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
3
dy
, если e-2x+y - 7x2 y + 5x3 y4 = 0.  
dx
Вариант № 18
((
)
¶ -3x2 - 7xy + 21y2 × 4 x4 - 23y4
1. Найдите
56
¶x
).
2. Дана функция f(x, y) = 8x8y3 – 17x5y2 + 3x5 – 21y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
2
dy
, если ex -2y - 2xy2 + 5x5 y2 = 0.
dx
Вариант № 19
((
)
¶ -3x2 - 7xy + 21y2 × 4 x4 - 23y4
1. Найдите
¶y
).
2. Дана функция f (x, y) = -9x9 y3 -16x5 y2 + 13x5 - 21y3. Найдите все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex-2y - 2xy2 + 5x6 y2 = 0.
dx
Вариант № 20
((
)
¶ -7x2 + 3xy - 4y2 × 3 -2x3 + 3y3
1. Найдите
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = -2xy2 + 5x5 y3 - 3x3 + 33y3. Найдите
все ее частные производные первого и второго порядка. Покажите,
что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если 2e2x+2y - 3x2 y + 15xy4 = 0.
dx
Вариант № 21
1. Найдите
((
)
¶ -7x2 + 3xy - 4y2 × 3 -2x3 + 3y3
¶y
).
57
2. Дана функция f(x, y) = 7xy2 + 7x6y3 – 3x4 + 3y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если e3x+2y - 3x2 y2 + 15x2 y4 = 0.
dx
Вариант № 22
((
)
¶ 3x2 + 3xy + 7y2 × 4 -x4 + 3y4
1. Найдите
¶x
).
2. Дана функция f (x, y) = 4x8 y2 - 7x5 y2 + 3x3 - 21y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если ex -y - 2xy3 + 5x5 y2 = 0.
dx
Вариант № 23
1. Найдите
((
)
¶ 3x2 + 3xy + 7y2 × 4 -x4 + 3y4
¶y
).
7 2
4 2
2
3
2. Дана функция f (x, y) = 2x y + 7x y + 3x - 21y . Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
x-y2
- 2xy4 + 3x5 y2 = 0.
, если e
dx
Вариант № 24
((
)
¶ -8x2 - 3xy + 4y2 × 3 -2x3 - 3y3
1. Найдите
58
¶x
).
2. Дана функция f(x, y) = –2xy2 + 3x5y4 – 3x3 – 33y3. Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
2
dy
, если 5e5x+2y - 3x2 y + 13xy4 = 0.
dx
Вариант № 25
((
)
¶ -8x2 - 3xy + 4y2 × 3 -2x3 - 3y3
1. Найдите
¶y
).
2
6 4
5
4
2. Дана функция f (x, y) = xy + 3x y - 3x - 33y . Найдите все
ее частные производные первого и второго порядка. Покажите, что
¶2 f
¶2 f
=
.
¶x¶y ¶y¶x
3. Найдите
dy
5x-2y2
- 3x3 y + 13xy4 = 0.
, если 25e
dx
Работа № 2 
Производная по направлению.
Локальные экстремумы функций нескольких переменных
Вариант № 1
1. Вычислите производную функции f(x, y) = (x2 – 3xy2 + 2y4 + 1)4
в точке K(2;1) по направлению к точке M(5;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy – 28x – 40y + 30 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 2
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x3 - 3x2 y + 3xy2 + 1
в точке K(3;1) по направлению к точке M(6;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = –3x2 – 2y2 –
– 4xy + 2x и определите, является ли она точкой локального экстремума.
59
Вариант № 3
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y3 + 1 в точке
K(3;1) по направлению к точке M(6;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 6xy – 10x и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 4
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x4 y2 + 1 в точке
K(3;1) по направлению к точке M(3;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 2y2 –
– 3xy + y – x и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 5
1. Вычислите производную функции f (x, y) = xey в точке K(4;0)
по направлению к точке M(0;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 9 – 6x +
+ 8xy – x2 – 4y2 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 6
1. Вычислите производную функции f(x, y) = (x2 – 3xy2 + 2y4 + 1)2
в точке K(2;1) по направлению к точке M(–4;–7).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy – 14x – 20y + 30 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 7
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x3 - 3x2 y + 3xy2 + 5
в точке K(3;1) по направлению к точке M(–1;4).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = –3x2 – 2y2 –
– 4xy + 4y и определите, является ли она точкой локального экстремума
60
Вариант № 8
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y3 - 2 в точке
K(3;1) по направлению к точке M(6;1).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 6xy – 10y + 5 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 9
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x4 y2 + 1 в точке
K(4;1) по направлению к точке M(4;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 2y2 –
– 3xy + 3y – 3x и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 10
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x + y в точке K(4;0)
по направлению к точке M(0;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 14 – 4x – 8y +
+ 8xy – x2 – 4y2 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 11
1. Вычислите производную функции f(x, y) = (x2 – 3xy2 + 2y4 + 1)2
в точке K(2;1) по направлению к точке M(8;9).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy – 20x – 28y – 4 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 12
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x3 - 3x2 y + 3xy2 - 3
в точке K(3;1) по направлению к точке M(–1;4).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 2y2 +
+ 4xy – 4y + 15 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
61
Вариант № 13
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y3 + 4 в точке
K(3;1) по направлению к точке M(6;5).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 6xy – 20x + 3 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 14
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x4 y2 - 5 в точке
K(4;1) по направлению к точке M(7;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 2y2 –
– 3xy + 5y – 5x – 5 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 15
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x + y в точке K(4;0)
по направлению к точке M(8;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 8 – 6y +
+ 8xy – 4x2 – y2 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 16
1. Вычислите производную функции f(x, y) = (x2 – 3xy2 + 2y4 + 1)5
в точке K(2;1) по направлению к точке M(–7;–11).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy – 24x – 36y – 14 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 17
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x3 - 3x2 y + 3xy2 + 3
в точке K(3;1) по направлению к точке M(–1;–2).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 2y2 +
+ 4xy – 2x + 5 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
62
Вариант № 18
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y3 + 4 в точке
K(2;1) по направлению к точке M(6;4).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 6xy – 20y + 4 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 19
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x4 y2 + x в точке
K(4;1) по направлению к точке M(7;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 2y2 –
– 3xy + 4y – 4x + 5 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 20
1. Вычислите производную функции f (x, y) = xy2 + x2 y в точке
K(4;1) по направлению к точке M(7;–3).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 9 + 2x – 8y +
+ 8xy – x2 – 4y2 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Вариант № 21
1. Вычислите производную функции f(x, y) = (x2 – 3xy2 + 2y4 + 1)2
в точке K(2;1) по направлению к точке M(11;13).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 6y2 +
+ 8xy – 10x – 16y – 27 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 22
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x3 - 3x2 y + 3xy2 + 3
в точке K(3;1) по направлению к точке M(7;4).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = 3x2 + 2y2 +
+ 4xy – 2y + 7 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
63
Вариант № 23
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y3 в точке K(2;1)
по направлению к точке M(–2;4).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 6xy – 2x – 14y + 4 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 24
1. Вычислите производную функции f (x, y) = x2 y2 + x в точке
K(4;1) по направлению к точке M(7;1).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 2y2 –
– 3xy + 2y – 2x + 2 и определите, является ли она точкой локального экстремума.
Вариант № 25
1. Вычислите производную функции f (x, y) = xy2 + x2 y в точке
K(4;1) по направлению к точке M(7;1).
2. Найдите стационарную точку функции f(x, y) = x2 + 4y2 –
– 8xy + 6x – 12 и определите, является ли она точкой локального
экстремума.
Работа № 3
Двойной и тройной интеграл
Вариант № 1
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
3
25-x2
ò dx ò
0
9-x
f (x, y)dy.
2
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = 4 y , x + y = 4, x = 0, z = 0.
64
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)3 = a2x2(4x2 + 3y2).
4. Найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной
плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x – 3y – 2z = 6 относительно оси OY.
Вариант № 2
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
2
x2 +2
0
x2
ò dx ò
f (x, y)dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z=
y2
, 2x - y = 0, x + y = 9, z = 0.
4
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)2 = a2(3x2 + 2y2).
4. Найти массу пирамиды с вершинами (0;0;0), (2;0;0), (0;2;0),
(0;0;2), если ее плотность γ(x, y, z) = (x + y + z)–1.
Вариант № 3
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
3-
ò dx ò
0
x
2
f (x, y) dy.
x
22
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 4, z2 = 4 – y.
65
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)2 = 4ay3.
4. Найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной
плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 относительно оси OY.
Вариант № 4
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
3
x +4
2
ò dx ò
0
f (x, y) dy.
x
+1
3
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = 4 y , x + y = 4, x = 0, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)3 = a2x4.
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0, 2x – 3y + 2z = 6, если ее плотность γ(x, y, z) = x + y.
Вариант № 5
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
25-x2
0
3
x
2
ò dx ò
f (x, y)dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
y = 1 – z2, y = x, y = –x.
66
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)2 = a2(4x2 + y2).
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0, x + y + z = 3, если ее плотность γ(x, y, z) = 2x2 + y2.
Вариант № 6
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
4-x2
ò dx ò
0
f (x, y)dy.
2x+1
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = y, z = 0, x = 0, x = 4, y = 25 - x2 .
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
x4 = a2(3x2 – y2).
4. Найти массу тела, ограниченного конусом x = y2 + z2 и плоскостью x = 4, если плотность в каждой точке γ(x, y, z) = x.
Вариант № 7
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
2
ò dx
0
2 x
ò
f (x, y) dy.
2
x
4
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = y2, x2 + y2 = 9, z = 0.
67
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
x6 = a2(x2 + y2)(x2 – y2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями x2 – y2 = z, z = 0, z = 9.
Вариант № 8
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
7-x
0
x
+1
2
ò dx ò
f (x, y) dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 1, z = 2 – x – y, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = a2(4x2 + 5y2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного верхней частью эллипсоида вращения x2 + y2 + 4z2 = 4 и плоскостью z = 0.
Вариант № 9
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
25-x2
0
0
ò dx ò
f (x, y) dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 4, y + z = 2, z = 0.
68
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
x4 = a2(x2 – 3y2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = 4 – z, и z = 0.
Вариант № 10
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
2-x
0
x
ò dx ò
f (x, y) dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 4, z = 4 – x – y, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = 3ay3.
4. Найти массу тела, ограниченного плоскостями x = 0, y = 0,
z = 0 и x + y + z = 1, если плотность в каждой точке γ(x, y, z) = xyz.
Вариант № 11
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
x2
ò dx ò
0
-x
f (x, y) dy.
2
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = x2, z = 0, y = 0, x + y = 2.
69
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
x4 = 9a(3x2 – y2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом x2 + 4z2 = 4y и плоскостью y = 2.
Вариант № 12
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
x
0
-x
ò dx ò f (x, y)dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = 4-x2, z = 0, x2 + y2 = 4.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
y6 = 4a(y4 – x4).
4. Найти момент инерции пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и 2x + 3y + 3z + 6 = 0 относительно оси OX, если
плотность ее в каждой точке численно равна z.
Вариант № 13
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
2
ò dx
0
x+2
ò
x
f (x, y)dy.
2
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x = 1 – z2, y = x, y = –x.
70
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)3 = 4ay4.
4. Найти массу тела, ограниченного плоскостью z = 0, цилиндром x2 + y2 = R2 и конусом z = x2 + y2 , если плотность в каждой
точке равна численно расстоянию от этой точки до оси OZ.
Вариант № 14
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
4-x2
0
2x+1
ò dx ò
f (x, y) dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z2 = 4 – y, x2 + y2 = 4y, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
y4 = 9a(y2 – 3x2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом y2 + z2 = x и плоскостью x = 2.
Вариант № 15
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
2
ò dx
0
4x
ò
f (x, y) dy.
1 2
x
4
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x -1
z = y, z = 0, y = 4 - x , y =
.
2
71
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
4x3 = a(x2 + y2)3.
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0 и 3x + 2y + 3z = 6, если плотность ее в каждой точке
γ(x, y, z) = x.
Вариант № 16
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
25-x2
3
ò dx ò
0
f (x, y) dy.
0
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = y, z = 0, x = 0, x = 4, y = 25 - x2 .
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
x6 = 4a(x2 – y2).
4. Найти момент инерции однородной прямой треугольной призмы массы M относительно бокового ребра, если все ребра равны a.
Вариант № 17
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
4
7-x
0
x
+1
2
ò dx
ò
f (x, y) dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2
z = 2 - x, z = 0, y = 2 x , y =
.
4
72
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = 3a(x2 + 2y2).
4. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного конусом z = x2 + y2 и плоскостью z = 2.
Вариант № 18
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
3
4-x
0
0
ò dx ò
f (x, y)dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = x2, z = 0, 2x – y = 0, x + y = 9.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь, ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж кривой
(x2 + y2)3 = 9ax4.
4. Найти массу пирамиды с вершинами (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0),
(0;0;1), если ее плотность равна γ(x, y, z) = (x + y + z + 1)–3.
Вариант № 19
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
1
ò dx
0
1-x
ò
1-x
f (x, y) dy.
2
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
1
z = y2 , z = 0, 2x - y = 0, x + y = 9.
4
73
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
2x2 + 3y2 = a2(x2 + y2)2.
4. Найти момент инерции однородного шара x2 + y2 + z2 ≤ R2
массы M относительно оси OZ.
Вариант № 20
1. Расставить пределы и поменять порядок интегрирования в двойном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
òò f (x, y)dxdy,
D
где область D ограничена линиями
a2 - x 2
, x2 + y2 = a2 , x ³ 0 (a > 0).
2a
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
y=
y = x , y = 2 x , x + z = 6, z = 0.
3. Найти площадь, ограниченную заданными кривыми
x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x, y = x, y = 0.
4. Найти координаты центра тяжести однородной пластины, ограниченной линиями
ay = x2, x + y = 2a (a > 0).
Вариант № 21
1. Расставить пределы и поменять порядок интегрирования в двойном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
òò f (x, y)dxdy,
D
где область D ограничена линиями
y = 2x, y = 3x, x = 1.
74
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x + y + z = a, 3x + y = a,
3
x + y = a, y = 0, z = 0.
2
3. Вычислить площадь, ограниченную кривой. Сделать чертеж
кривой
æ x2 y2 ö÷2 x2 y2
çç + ÷ =
- .
÷
çç 4
9 ÷ø÷
4
9
è
4. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
(x2 + y2)2 = 2a2xy, z = 0, z = 2(x > 0, y > 0).
Вариант № 22
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
3
x2 +3
ò dx ò
0
f (x, y)dy.
2
x +1
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z=
y2
, x - 2y = 0, x + y = 9, z = 0.
3
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = a2(2x2 + 3y2).
4. Найти массу пирамиды с вершинами (0;0;0), (2;0;0), (0;2;0),
(0;0;2), если ее плотность g(x, y, z) = (x + y)–1.
75
Вариант № 23
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
3
3
x+3
2
ò dx ò
0
f (x, y)dy.
x
3
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
z = 3 y , x + y = 3, x = 0, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)3 = a2y4.
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0, 2x – 3y + 2z = 6, если ее плотность γ(x, y, z) = y + z.
Вариант № 24
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
3
25-x2
ò dx ò
0
f (x, y)dy.
x
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 1, z = 3 – x – y, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = a2(x2 + 4y2).
76
4. Найти массу пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0,
y = 0, z = 0, x + y + z = 3, если ее плотность γ(x, y, z) = x2 + 2y2.
Вариант № 25
1. Изменить порядок интегрирования в заданном повторном интеграле (область интегрирования изобразить на чертеже)
2
4-x
1
x
ò dx ò
f (x, y)dy.
2. Вычислить с помощью двойного или тройного интеграла объем тела, ограниченного поверхностями (данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже)
x2 + y2 = 9, z = 9 – x – y, z = 0.
3. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь,
ограниченную кривой. Параметр a положителен. Сделать чертеж
кривой
(x2 + y2)2 = 3ax3.
4. Найти массу тела, ограниченного плоскостями x = 0, y = 0,
z = 0 и x + y + z = 1, если плотность в каждой точке γ(x, y, z) = yz.
77
Список литературы
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман // М.: Транспортная компания, 2015. 432 с.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления /
Н. С. Пискунов // Учебник для втузов в 2-х т. Т. II. М.: Интеграл-Пресс,
2009. 544 с.
3. Бугров С. Я. Высшая математика: Дифференциальное и интегральное исчисление / С. Я. Бугров, С. М. Никольский // Издательство Дрофа,
2004. 318 с.
4. Виленкин Н. Я. Алгебра и начала математического анализа / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд // М.: Мнемозина, 2014.
351 с.
5. Теория поля в радиотехнике: учеб. пособие / А. Р. Бестугин, Ю. А. Гусман, М. А. Миркин, А. О. Смирнов // СПб.: ГУАП, 2012. 124 с.
78
СОДЕРЖАНИЕ
Краткие теоретические сведения............................................. 3
1. Функции двух переменных................................................. 3
1.1. Частные производные................................................... 3
1.2. Дифференциалы функции двух переменных.................... 6
1.3. Производная функции, заданной неявно......................... 6
1.4. Максимум и минимум функции двух переменных............ 7
1.5. Скалярное поле........................................................... 10
2. Двойные интегралы.......................................................... 13
2.1. Предварительные понятия............................................ 13
2.2. Определение двойного интеграла................................... 14
2.3. Свойства двойных интегралов....................................... 15
2.4. Вычисление двойных интегралов.................................. 17
2.5. Двойной интеграл в полярных координатах....................22
2.6. Вычисление площадей и объемов
с помощью двойных интегралов..........................................24
2.7. Вычисление массы плоской пластины переменной
плотности с помощью двойных интегралов...........................29
3. Тройные интегралы..........................................................32
3.1. Определение тройного интеграла, простейшие свойства..... 32
3.2. Вычисление тройных интегралов..................................33
4. Решение типового варианта контрольной работы...................42
5. Варианты контрольной работы........................................... 51
Список литературы.............................................................. 78
79
Учебное издание
Вешев Николай Александрович,
Головачев Григорий Михайлович,
Гусман Юрий Аронович и др.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
(математика – 1)
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка И. Н. Мороз
Сдано в набор 23.09.16. Подписано к печати 01.12.16.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,6.
Уч.-изд. л. 4,94. Тираж 50 экз. Заказ № 421.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 921 Кб
Теги
veshev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа