close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

VeshevGolovachevDik

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания
к решению контрольной работы №1
Санкт-Петербург
2012
Составители: Н. А. Вешев, Г. М. Головачев, О. Е. Дик
Рецензент доктор
В. Г. Фарафонов
физико-математических
наук,
профессор
Методические указания к решению контрольной работы № 1
предназначены для студентов 1-го курса технических и экономических специальностей ГУАПа. В пособии содержатся основные теоретические сведения, необходимые при решении задач. Приведены
решения характерных задач по модулю “Линейная алгебра”.
Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом СанктПетербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения.
Корректор Т. В. Звертановская
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 14.08.12. Подписано к печати 31.08.12.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,0.
Уч.-изд. л. 1,8. Тираж 200 экз. Заказ № 401.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.1. Понятие комплексного числа.
Действия с комплексными числами
Из курса элементарной математики известно, что существуют
различные числовые множества: множество натуральных чисел
, множество целых чисел , множество рациональных чисел ,
множество действительных (вещественных) чисел . Эти множества образуют цепочку вложений  Ì  Ì  Ì .
В зависимости от того, в каком множестве рассматривается задача, она может иметь разные решения. Например, уравнение
x2 = 2 не имеет решений в целых числах, т.е. во множестве . Это
же уравнение во множестве действительных чисел  имеет два решения x = ± 2. Возможно расширение множества действительных чисел до нового множества, которое называется множеством
комплексных чисел и обозначается .
При изучении курса линейной алгебры перед студентами ставится задача научиться работать с комплексными числами. В настоящем методическом пособии содержатся примеры решения характерных задач.
Определение. Мнимой единицей i называется такое число, что
i2 = −1.
Заметим, что i не является действительным числом. Тем не менее, введенное определение приписывает этому символу все свойства числа.
Определение. Комплексным числом называется число вида
a + bi, где a и b – действительные числа.
Комплексные числа часто обозначают буквой z. Например,
z = 3 + 2i или z = -1 + 2i.
Определение. Пусть z = a + bi. Число a называется действительной частью числа z, число b называется мнимой частью числа z.
Для обозначения действительной и мнимой частей числа z вводится запись Re и Im: a = Rez, b = Imz. Например, если z = 3 + 2i, то
Rez = Re (3 + 2i) = 3, Imz = Im (3 + 2i) = 2.
Действия, которые в первую очередь должны быть определены
над числами, – это сложение и умножение. В случае комплексных
чисел они задаются следующим образом.
3
Определение. Суммой комплексныx чисел z1 = a1 + b1i,
z2 = a2 + b2i называется число z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Определение. Произведением комплексныx чисел называется
число z = z1 × z2 = (a1a2 - b1b2 ) + (a1b2 + a2 b1 )i.
Примеры.
(1 + 2i) + (3 + 4i) = 4 + 6i,
(1 + 2i) × (3 + 4i) = (1× 3 - 2 × 4) + (1× 4 + 2 × 3)i = -5 + 10i.
Заметим, что если в последнем примере перемножить комплексные числа, раскрыв скобки по известным правилам, и воспользоваться равенством i2 = −1, то получится этот же результат.
Возьмем два числа с мнимой частью, равной 0. Пусть
z1 = a1 + 0i, z2 = a2 + 0i. Их сумма и произведение тоже будут иметь
нулевые мнимые части.
(a1 + 0i) + (a2 + 0i) = (a1 + a2 ) + 0i,
(a1 + 0i)× (a2 + 0i) = a1 × a2 + 0i.
На основании этого числа с нулевой мнимой частью отождествляют с действительными числами. Иными словами, любое действительное число a является комплексным числом вида a + 0i,
например, 5 = 5 + 0i. Действительные числа являются подмножеством множества комплексных чисел:  Ì  Ì  Ì  Ì .
1.2. Модуль и аргумент комплексного числа.
Комплексное сопряжение
Введем еще несколько определений.
Определение. Модулем комплексного числа называется значение выражения z = a2 + b2 .
Определение. Аргументом комплексного числа называется число (угол, выраженный в радианной мере), удовлетворяющее услоì
a
ï
ïcos j = ,
ï
ï
z
виям ï
í
ï
b
ï
sin j = .
ï
ï
z
ï
î
Решение этой системы определено с точностью до слагаемого
2πk.Принято выбирать значение аргумента, принадлежащее одному из полуинтервалов (−π;π] или [0;2π).
4
Аргумент обозначается так: argz = j.
Пример. Пусть z = 3 + i. Тогда z =
3 +i =
2
( 3)
+ 12 = 2.
arg ( 3 + i) = j;
ìï
ïïcos j = 3 ,
ïïí
2
ïï
1
ïï sin j = .
2
ïî
π
arg ( 3 + i) = .
6
Заметим, что аргумент положительного действительного числа
равен 0, аргумент отрицательного действительного числа равен π,
аргумент чисто мнимого числа с положительной мнимой частью раπ
вен . Например, arg 5 = arg (5 + 0i) = 0, arg(-5) = arg (-5 + 0i) = π,
2
π
arg(2i) = arg (0 + 2i) = .
2
Введем новую операцию над комплексными числами.
Определение. Пусть z = a + bi. Комплексно сопряженным числом к числу z называется число z = a - bi.
_____
Пример. 3 + 5i = 3 - 5i.
Произведение двух комплексно сопряженных чисел равно квад2
рату модуля каждого из этих чисел: z× z = (a - bi) × (a + bi) = a2 + b2 = z .
С использованием этого свойства можно получить удобную формулу для деления комплексных чисел.
z1 a1 + ib1 (a1 + ib1 )(a2 - ib2 ) (a1a2 + b1b2 ) + (a2 b1 - a1b2 )i
=
=
=
.
z2 a2 + ib2 (a2 + ib2 )(a2 - ib2 )
a22 + b22
1.3. Комплексная плоскость
Комплексные числа имеют очень удобную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим плоскость, каждой точке которой сопоставлено комплексное число, при этом действительная и мнимая
часть числа являются координатами этой точки (рис. 1). Координатные прямые на плоскости комплексных чисел – это прямые
Imz = 0 и Rez = 0. Прямая Imz = 0 – это известная ось действитель5
Imz
z=a+bi
b
z
i
ϕ = argz
a
1
Rez
Рис. 1. Комплексная плоскость
ных чисел . Мнимой единице i соответствует точка, находящаяся
на оси чисто мнимых чисел на расстоянии 1 от 0.
Модуль и аргумент комплексного числа имеют очевидный геометрический смысл. Пусть точке A(a;b) соответствует комплексное
число z = a + bi. Рассмотрим вектор, проведенный из точки 0 в точку A. Длина этого вектора равна модулю z, а угол, который вектор
составляет с положительным направлением, равен аргументу этого
числа.
Сложению комплексных чисел соответствует сложение соответствующих им векторов (рис. 2).
Imz
z1=a1+b1i
z2=a2+b2i
z=z1+z2
Rez
Рис. 2. Сложение комплексных чисел как сложение векторов
6
1.4. Тригонометрическая и показательная формы записи
комплексных чисел. Действия с комплексными числами,
записанными в тригонометрической форме
Представление комплексных чисел в виде z = a + bi называется
алгебраической формой записи комплексных чисел. Наряду с этой
формой используются еще две формы записи.
Определение. Тригонометрической формой записи комплексных чисел называется представление чисел в виде
z = z (cos j + i sin j) = r (cos j + i sin j), где введено обозначение |z| = r.
Определение. Показательной формой записи комплексных чисел называется представление чисел в виде z = |z|eij = reij.
(
)
iπ
Пример. 3 + i = 2 cos 6π + i sin 6π = 2e 6 .
С использованием этих форм записи произведение двух комплексных чисел приобретает простой вид.
Пусть z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2).
Тогда
z1 × z2 = r1 (cos j1 + i sin j1 ) × r2 (cos j2 + i sin j2 ) =
= r1 × r2 ((cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2 ) +
+i(cos j1 sin j2 + sin j1 cos j2 )) =
= r1 × r2 (cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )).
В последнем равенстве мы воспользовались теоремами сложения аргументов тригонометрических функций. Таким образом, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению
их модулей, аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме их аргументов.
Произведение комплексных чисел, представленных в показательной форме, имеет вид
z = z1 × z2 = r1eij1 × r2eij2 = r1 × r2ei(j1 +j2 ) .
Геометрическая интерпретация произведения комплексных чисел показана на рис. 3.
Следствием формулы произведения чисел, записанных в тригонометрической форме, является формула Муавра
(cos j + i sin j)n = (cos nj + i sin nj).
В качестве следствия из формулы Муавра получаем формулу
возведения комплексного числа в натуральную степень
zn = r n (cos nj + i sin nj).
7
Imz
z=z1. z 2
z = z1 · z2
arg z = arg z + arg z2
1
argz 2
argz 1
Rez
Рис. 3. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
При возведении числа в n-ю степень его модуль возводится в эту
степень, а аргумент умножается на n.
Пример. Вычислим (1 + i)2 двумя способами.
В алгебраической форме (1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i.
В тригонометрической форме
2
+ i sin 4π = 2 cos 2π + i sin 2π .
))
(
)
(1 + i)2 =
2
( 2 (cos 4π + i sin 4π ))
При необходимости в последнем равенстве можно выполнить
переход от тригонометрической формы записи к алгебраической,
(
)
подставив значения синуса и косинуса: 2 cos 2π + sin 2π = 2i.
1.5. Извлечение корня из комплексного числа
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа происходит
иначе, чем в случае действительных чисел. Соответствующие вычисления удобнее проводить в тригонометрической форме записи.
Пусть дано число z = r(cosj + isinj).
Число w является корнем n-й степени из числа z, т.е. w = n z,
если оно является решением уравнения wn = z. Пусть w = ρ(cosf +
+ isinf). Тогда необходимо найти такие модуль r и аргумент f, что
выполнено соотношение ρn(cosnf + isinnf) = r(cosj + isinj).
Так как модули – действительные неотрицательные числа, то
ρ = n r.
Равенство тригонометрических функций приводит к тому, что
их аргументы отличаются на целое число периодов: nf = j + 2πk,
8
(
= 2 cos 2π + i s
где k – целое число. Из этого тождества получаем выражение
для f.
f=
j 2πk
+
, k = 0, 1, 2, ..., n -1.
n
n
Эта формула дает n разных значений для аргумента f, которые
соответствуют разным значениям k. Поэтому при извлечении корня степени n из числа z получается n комплексных чисел, все они
имеют один модуль и отличаются аргументами. Перебирая значеj 2πk
ния индекса k от 0 до n–1 в формуле f = +
, получаем весь наn
n
бор значений аргумента.
Итак, выражение для корня n-й степени из числа z имеет вид
n
æ æ j 2πk ö
æ j 2πk ÷öö÷
z = n r ççcosçç +
÷÷÷ + i sin ççç +
÷÷ k = 0, 1, 2, ..., n -1.
çè èç n
ø
è
n
n
n ÷ø÷ø
Геометрически n значений корня из числа z представляют собой
n вершин правильного n-угольника, как показано на рис. 4.
Пример. Найдем 4 -16.
Представим –16 в тригонометрической форме: –16 = 16(cosπ +
+ isinπ).
Imz
z
ϕ = argz
w2
i
φ2 =
ϕ 2π
+
n n
w1
φ1 =
1
ϕ
n
Rez
φn =
wn
ϕ 2π(n -1)
+
n
n
Рис. 4. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
9
Imz
z =-16
w = 4 -16
w1
w2
z
argz = π
3π i
φ2 =
π
4
φ1 =
4
1
7π
5π
φ4 =
φ3 =
4
4
Rez
w4
w3
Рис. 5. Значения 4 -16
Для корня 4-й степени получаем четыре значения
4
( (
)
(
))
-16 = 4 cos 4π + π2k + i sin 4π + π2k , k = 0, 1, 2, 3.
( ))
( ()
При k = 1 w1 = 4(cos( 34π ) + i sin ( 34π )) = -2 2 + 2 2i.
При k = 2 w2 = 4(cos( 54π ) + i sin ( 54π )) = -2 2 - 2 2i.
При k = 3 w3 = 4(cos( 74π ) + i sin ( 74π )) = 2 2 - 2 2i.
При k = 0 w0 = 4 cos 4π + i sin 4π = 2 2 + 2 2i.
Соответствующие векторы показаны на рис. 5.
10
2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
2.1. Матрицы. Действия над матрицами
Определение. Матрица – это прямоугольная таблица чисел, в
которой каждому элементу однозначно сопоставлены номер строки
i и номер столбца j, на пересечении которых он расположен.
Каждый элемент матрицы записывается со своими индексами aij.
В общем виде матрица 3´3 имеет вид
æ a11 a12 a13 ö÷
çç
÷
A = çça21 a22 a23 ÷÷÷.
çç
÷÷
èça31 a32 a33 ø÷
æ1 2 3ö÷
çç
÷
Пример матрицы размерности 3´3: A = çç4 5 6÷÷÷.
çç
÷
çè7 8 0ø÷÷
Над матрицами определены действия сложение, умножение на
число, умножение.
Сложение матриц производится поэлементно.
Известны матрицыA и B, их элементы соответственно обозначены как aij и bij. Пусть C = A + B. Тогда элементы суммы cij находятся по правилу cij = aij + bij.
æ1 2 3ö÷ æ1 0 3÷ö æ2 2 6ö÷
çç
÷ çç
÷ çç
÷
Пример. çç4 5 6÷÷÷ + çç0 -1 0÷÷÷ = çç4 4 6÷÷÷.
çç
÷ ç
÷ ç
÷
çè7 8 0÷÷ø ççè2 0 7÷÷ø ççè9 8 7ø÷÷
Умножение матрицы на число – это умножение каждого ее элемента на это число.
B = lA определяется как bij = λaij
æ1 2 3ö÷ æ 3 6 9 ö÷
çç
÷ çç
÷
Пример. 3çç4 5 6÷÷÷ = çç12 15 18÷÷÷.
çç
ç
÷
÷
çè7 8 0÷÷ø èçç21 24 0 ÷÷ø
Умножение матриц проводится путем последовательного вычисления каждого элемента получающейся матрицы.
На первом шаге анализируются размерности матриц. Операция
умножения матриц AB выполнима, только если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В виде формального условия
это записывается следующим образом. Если матрица A имеет раз11
мерность (m ´ k) и матрица B имеет размерность (k´n), то можно
A умножить на B, при этом размерность результата равна (m ´n).
На втором шаге вычисляется каждый из элементов произведения. Пусть C = AB. Тогда cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aikbkj, где i принимает все возможные значения номеров строк, а j принимает все
возможные значения номеров столбцов матрицы C. В этой сумме
каждое слагаемое представляет собой произведение элемента i-й
строки первой матрицы на соответствующий элемент j-го столбца
второй матрицы; формулу можно запомнить как правило “строка
на столбец”.
Пример.
æ1 2 3öæ
÷÷ç1 0 3ö÷÷
çç
çç4 5 6÷÷ççç0 -1 0÷÷ =
çç
÷÷ç
÷÷
çè7 8 0÷÷øèçç2 0 7÷÷ø
æ
ö
çç1×1 + 2 × 0 + 3 × 2 1× 0 + 2 × (-1) + 3 × 0 1× 3 + 2 × 0 + 3 × 7 ÷÷
ç
= ç4 ×1 + 5 × 0 + 6 × 2 4 × 0 + 5 × (-1) + 6 × 0 4 × 3 + 5 × 0 + 6 × 7÷÷÷ =
çç
÷
çè7 ×1 + 8 × 0 + 0 × 2 7 × 0 + 8 × (-1) + 0 × 0 7 × 3 + 8 × 0 + 0 × 7÷÷ø
æ 7 -2 24÷ö
çç
÷
= çç16 -5 54÷÷÷.
çç
÷÷
èç 7 -8 21÷ø
Определение. Единичной матрицей называется матрица, на главной диагонали которой стоят 1, а все остальные элементы равны 0.
æ1 0 0÷ö
çç
÷
E = çç0 1 0÷÷÷.
çç
÷
çè0 0 1÷÷ø
Определение. Транспонированием матрицы называется замена
ее строк на ее столбцы. Транспонированная матрица обозначается
At.Определение транспонирования в этих обозначениях записывается так: ajit = aij.
Транспонирование квадратных матриц можно описать как отражение элементов матрицы относительно главной диагонали.
Пример.
æ1 2 3ö÷t æ1 4 7÷ö
çç
÷ ç
÷
çç4 5 6÷÷ = ççç2 5 8÷÷.
÷÷ ç
÷÷
çç
çè7 8 0÷÷ø èçç3 6 0÷÷ø
12
2.2. Определитель матрицы
Каждой квадратной матрице сопоставляется число, называемое
определителем, которое можно вычислить по известным правилам.
Существует несколько способов обозначения определителя.
æ a11
çç
Если A = çça21
çç
çèa31
a12
a22
a32
a11
волами det A, a21
a31
a13 ö÷
÷
a23 ÷÷÷, то определитель можно обозначить сим÷÷
a33 ÷ø
a12
a22
a32
a13
a23 , или D.
a33
Определение. Определитель матрицы размерности 2×2 вычисляется по правилу
æa11
detçç
çèa21
a12 ÷ö
÷ = a11 × a22 - a12 × a21.
a22 ÷ø÷
æ5 2ö÷
÷÷ = 5 × 3 - 2 × 6 = 3.
Пример. detççç
è6 3÷ø
Определитель матрицы 3´3 может быть вычислен разными
способами. В качестве определения определителя третьего порядка
выбрано разложение по первой строке.
Определение. Определитель матрицы размерности 3×3 вычисляется по правилу
a11
det A = a21
a31
= a11 ×
a22
a32
a12
a22
a32
a23
a21
- a12 ×
a33
a31
a13
a23 =
a33
a23
a21
+ a13 ×
a33
a31
a22
.
a32
Эта формула выражает определитель третьего порядка через
определители второго порядка. Знаки перед слагаемыми чередуются. Слагаемые конструируются по правилу: по очереди берется
элемент, стоящий в первой строке, и умножается на определитель
матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца, содержащего этот элемент.
13
æ1 2 3ö÷
çç
÷
5 6
4 6
4 5
- 2×
+ 3×
= 27.
Пример.  detçç4 5 6÷÷÷ = 1×
çç
÷÷
8 0
7 0
7 8
çè7 8 0÷ø
Определитель можно разложить по любой строке и любому
столбцу. Пусть дана матрица A. Ведем еще два определения.
Определение. Минор Mij матрицы A – это определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием строки с номером i
и столбца с номером j.
æ1 2 3ö÷
çç
÷
A = çç4 5 6÷÷÷
Пример. Минор
M23
матрицы
равен
çç
÷÷
çè7 8 0÷ø
1 2
M23 =
= -6.
7 8
Определение. Алгебраическое дополнение Aij к элементу aij матрицы вычисляется по правилу Aij = (–1)i + jMij.
Введение понятия алгебраического дополнения к элементу матрицы позволяет получить формулу разложения определителя по
любой строке и любому столбцу.
Разложение определителя матрицы размерности n ´n по строке
с номером i имеет вид
det A = ai1 × Ai1 + ai2 × Ai2 + ... + ain × Ain .
Разложение определителя по столбцу с номером j имеет вид
det A = a1j × A1j + a2 j × A2 j + ... + anj × Anj .
Например, разложение
столбцу имеет вид
a11 a12
det A = a21 a22
a31 a32
+a22 × (-1)2+2 ×
a11
a31
определителя матрицы 3×3 по второму
a13
a21
a23 = a12 × (-1)1+2 ×
a31
a33
a13
a11
+ a32 × (-1)3+2 ×
a33
a21
a23
+
a33
a13
.
a23
æ1 2 3÷ö
çç
÷
4 6
1 3
1 3
+ 5×
-8×
=
detçç4 5 6÷÷÷ = -2 ×
çç
7 0
7 0
4 6
÷÷÷
ç
è7 8 0ø
Пример. 
= (-2) × (-42) + 5 × (-21) + (-8) × (-6) = 27.
14
При вычислении определителей третьего порядка иногда используют формулу треугольников: определитель является суммой
шести слагаемых, произведения трех элементов первых трех “треугольников” входят в сумму со знаками плюс, произведения трех
элементов вторых трех треугольников входят в сумму со знаками
минус.
æa11
.
. ö÷ æç .
.
a13 ö÷ æç .
a12
. ö÷
çç
÷÷ ç
÷÷ ç
÷
a22
. ÷÷, çça21
.
. ÷÷, çç .
.
a23 ÷÷÷,
С плюсами: çç .
çç
÷÷ çç
÷÷ çç
÷÷
çè .
.
a33 ÷ø çè .
a32
. ÷ø çèa31
.
. ÷ø
æ .
çç
С минусами çç .
çç
èça31
.
a22
.
a13 ö÷
÷
. ÷÷÷,
÷
. ø÷÷
æa11
çç
çç .
çç
èç .
.
.
a32
. ö÷ æç .
÷ ç
a23 ÷÷÷, çça21
÷ çç
. ø÷÷ çè .
a12
.
.
ö÷
÷÷
÷÷.
÷÷
a33 ÷ø
.
.
det A = a11 × a22 × a33 + a13 × a21 × a32 + a12 × a23 × a31 - a13 × a22 ´
´a31 - a11 × a23 × a32 - a12 × a21 × a33 .
Пример.
æ1 2 3ö÷
çç
÷
detçç4 5 6÷÷÷ =
çç
÷
çè7 8 0÷÷ø
= 1× 5 × 0 + 3 × 4 × 8 + 2 × 6 × 7 - 3 × 5 × 7 -1× 6 × 8 - 2 × 4 × 0 = 27.
2.3. Обратная матрица
Рассматриваются только квадратные матрицы.
Определение. Матрица A–1 называется обратной к матрице A, если их произведение равно единичной матрице:
A-1 × A = A × A-1 = E.
Матрица A обратима (имеет обратную) тогда и только тогда, когда ее определитель не равен 0.
Приведем алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений (метод присоединенной матрицы).
1. Вычисляется определитель исходной матрицы A. Если определитель равен 0, обратная матрица не существует.
2. Вычисляются все миноры матрицы A.
3. Вычисляются все алгебраические дополнения к элементам
матрицы A.
15
4. Составляется матрица из алгебраических дополнений к элементам матрицы A.
5. Выполняется транспонирование составленной матрицы. Полученная матрица называется матрицей, присоединенной к A. Обратная матрица получается делением элементов присоединенной
матрицы на определитель A.
Таким образом,
A-1 =
1 t
A .
det A
æ1 2 3ö÷
çç
÷
Пример. Найдем матрицу, обратную к A = çç4 5 6÷÷÷.
çç
÷÷
çè7 8 0÷ø
1.  det A = 27. (см. выше)
2.  M11 =
5 6
4 6
4 7
= -48, M12 =
= -42, M13 =
= -3,
8 0
7 0
5 8
M21 =
2 3
1 3
1 2
= -24, M22 =
= -21, M23 =
= -6,
8 0
7 0
7 8
M31 =
2 3
1 3
1 2
= -3, M32 =
= -6, M33 =
= -3.
5 6
4 6
4 5
3.  A11 = -48, A12 = 42, A13 = -3, A21 = 24, A22 = -21, A23 = 6,
A31 = -3, A32 = 6, A33 = -3.
æ
ö
çç-48 42 -3÷÷
ç

4.  A = ç 24 -21 6 ÷÷÷.
çç
÷÷
çè -3
6
-3÷ø
t
-1
5.  A
16
æ-48 42 -3ö÷
÷
1 ççç
= ç 24 -21 6 ÷÷÷
÷÷
27 çç
çè -3
-3÷ø
6
æ 16 8
1ö
çç- ÷÷÷
çç 9
9
9 ÷÷
ççç 14
7 2 ÷÷÷
÷.
= çç
9 9 ÷÷÷
çç 9
÷
çç 1
2
1 ÷÷
çç - ÷÷÷
çè 9
9
9ø
Второй способ нахождения обратной матрицы состоит в применении метода Гаусса к расширенной матрице. Если приписать к матрице A справа единичную матрицу, и с помощью эквивалентных
преобразований строк привести A к единичному виду, то единичная матрица при этих преобразованиях перейдет в обратную к A.
(A | E) ~ (E | A-1 ).
17
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
3.1. Задачи компьютерной части контрольной работы
для технических специальностей
Задача 1. Вычислите действительную часть числа z = (1 + i)×
×(2–3i)(2 + i)(2–i).
Решение. Применяя алгебраические преобразования, с учетом
того, что i2 = –1, получаем
(2 + i)(2–i) = 4 + 1 = 5,
(1 + i)(2 - 3i) = 2 - 3i + 2i - 3i2 = 5 - i,
z = 5(5 - i) = 25 - 5i.
С учетом определения действительной части комплексного числа, Rez = 25.
Ответ: 25.
(3 + 2i)
Задача 2. Вычислите мнимую часть числа z =
.
(1 - 3i)
Решение. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем.
z=
(3 + 2i) (3 + 2i)(1 + 3i) 3 + 9i + 2i + 6i2
=
=
=
(1 - 3i) (1 - 3i)(1 + 3i)
1 - 9i2
3 + 11i - 6 -3 + 11i
=
=
= -0,3 + 1,1i.
1+ 9
10
Im z = 1,1.
Ответ: 1,1.
Задача 3. Укажите, какая пара чисел является решением уравнения 5x2 -16x + 20 = 0.
•  x1 = 1,6 -1,2i, x2 = 1,6 + 1,2i;
•  x1 = 8 - 6i, x2 = 8 + 6i;
•  x1 = -1,6 -1,2i, x2 = -1,6 + 1,2i;
•  x1 = 1,2 -1,6i, x2 = 1,2 + 1,6i;
•  x1 = -1,6 -1,2i, x2 = 1,6 + 1,2i;
•  x1 = -8 + 6i, x2 = 8 + 6i;
•  x1 = 0,4, x2 = 2,8;
•  x1 = -0,4, x2 = -2,8;
•  x1 = 1,6 + 1,2i, x2 = 1,6 + 1,2i;
• решений нет.
18
Решение. С учетом двузначности квадратного корня, во множестве комплексных чисел формула корней квадратного уравнения
приобретает вид
-b + D
при D < 0.
ax2 + bx + c = 0 Þ x =
2a
В нашей задаче
5x2 -16x + 20 = 0,
D = 256 - 400 = -144,
-144 = ±12i,
x1 =
16 -12i
16 -12i
= 1,6 -1,2i, x2 =
= 1,6 + 1,2i.
10
10
Ответ: x1 = 1,6 -1,2i,
x2 = 1,6 + 1,2i.
4 -2 -1 0
-1 -2 5
0
.
Задача 4. Вычислите определитель
4
2
0 -1
0
4
1
0
Решение. Применим разложение по четвертому столбцу, так
как в нем наибольшее количество нулевых элементов.
4 -2 -1 0
-1 -2 5
0
= 0 + 0 + (-1)3+4 × (-1)´
4
2
0 -1
0
4
1
0
4 -2 -1
4 -2 -1
´-1 -2 5 + 0 = -1 -2 5 .
0
4
1
0
4
1
Далее разложим определитель третьего порядка по третьей строке.
4 -2 -1
4 -1
4 -2
-1 -2 5 = 0 + 4 × (-1)3+2
+ 1× (-1)3+3
=
-1 5
-1 -2
0
4
1
= -4 × (4 × 5 - (-1) × (-1)) + 1× (4 × (-2) - (-2) × (-1)) = -86.
Ответ: –86.
19
ïìï-5x - 5y + 4z = 30,
ï
Задача 5. Решите систему уравнений ï
í-3x - 2y + 2z = 13,
ïï
ïïî -2x - 4y - z = 22.
Ответ запишите в формате (x; y; z). Пробелы не использовать.
Решение. Применим метод Гаусса решения систем линейных
уравнений.
Перейдем к матричной записи, расширенная матрица системы
выглядит так
æ-5 -5 4 30ö÷
çç
÷
çç-3 -2 2 13÷÷.
÷÷
çç
÷÷
çç÷ø
2
4
1
22
è
Цель преобразований Гаусса – привести матрицу системы (стоящую слева от черты) к треугольному или к диагональному виду.
Для этого умножаем строки на подобранные числа и складываем с
другими строками. Необходимо последовательно сделать равными 0
элементы, стоящие ниже главной диагонали. Номера строк, которые
преобразуются при каждом шаге, указываются над стрелками римскими цифрами; там же указывается, как именно преобразуются
эти строки. Каждое преобразование выполняется над всей строкой
расширенной матрицы, включая элемент, стоящий справа от черты.
В нашем случае для удобства умножим первую строку на –1 и
третью строку на –1.
æ
ö
æ
5 -4 -30÷ö
çç-5 -5 4 30÷÷
çç 5
÷
÷
(
I
)
×
(
1
),
(
III
)
×
(
1
)
çç-3 -2 2 13÷ ¾¾¾¾¾¾¾¾®çç-3 -2 2 13 ÷÷.
÷
÷÷
çç
çç
÷÷
÷
çèç-2 -4 -1 22ø÷÷
çèç 2
4
1 -22÷÷ø
Далее умножим первую строку на 3, а вторую строку на 5, и сложим их. Результат запишем во вторую строку, элемент a21 при этом
станет равным 0. Именно для этого были выбраны множители 3 и 5
соответственно. Затем первую строку умножим на 2, а третью строку умножим на 5, и вычтем из полученной второй строки третью
полученную строку. Результат запишем в третью строку. Элемент
a31 в результате этого преобразования станет равным 0.
æ
æ5
-4 -30ö÷
5 -4 -30÷ö
5
çç 5
÷ ( I )×3+( II )×5, ( I )×2-( III )×5 çç
÷÷
çç-3 -2 2 13 ÷÷ ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
ç
¾
®çç0
-2 -25÷÷.
5
÷÷
çç
÷÷
ç
÷
4
1 -22ø÷÷
èçç 2
èçç0 -10 -13 50 ø÷÷
20
Теперь обратим в 0 элемент a32.
æ5
æ5 5 -4 -30ö÷
-4 -30ö÷
5
çç
÷÷ ( II )×2+( III ) çç
÷÷
-2 -25÷÷ ¾¾¾¾¾®ççç0 5 -2 -25÷÷.
5
ççç0
÷÷
÷÷
çç
çç
çè0 -10 -13 50 ø÷÷
çè0 0 -17 0 ÷÷ø
Получили треугольную матрицу. Для удобства сделаем диагональные элементы равными 1, поделив каждую строку на соответствующий элемент.
æ5 5 -4 -30ö÷
æ 1 ö æ1 1 -4 / 5 -6ö÷
1
1
çç
÷÷ ( I )×5, ( II )×5, ( III )×çççè-17 ÷ø÷÷ çç
÷÷
ççç0 5 -2 -25÷÷÷ ¾¾¾¾¾¾¾¾¾®ççç0 1 -2 / 5 -5÷÷÷.
çç
ç
÷
÷
çè0 0 -17 0 ÷÷ø
1
0 ø÷÷
èçç0 0
Для наглядности перейдем от матричной записи обратно к системе уравнений.
ìïx + y - (4 / 5)z = -6,
ïï
ïí
y - (2 / 5)z = -5,
ïï
z = 0.
ïïî
Из последнего уравнения получаем z = 0. Подставив это значение во второе уравнение, находим y = –5. Подставив найденные
значения z и y в первое уравнение, получим x = –1.
Окончание решения также можно провести в матричной форме.
Обратим элемент a23 в 0.
æ
ö
æ
ö
çç1 1 -4 / 5 -6÷÷ ( II )+( III )×æççç 2 ö÷÷÷ çç1 1 -4 / 5 -6÷÷
÷
è5ø ç
çç0 1 -2 / 5 -5÷÷ ¾¾¾¾¾¾
÷
®çç0 1
0 -5÷.
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çèç0 0
çè0 0
1
0 ÷ø
1
0 ÷÷ø
Теперь одним преобразованием сделаем равными 0 элементы a12
и a13.
æ
ö
æ
ö
çç1 1 -4 / 5 -6÷÷ ( I )+( II )×(-1)+( III )×ççæç 4 ÷÷ö÷ çç1 0 0 -1÷÷
÷÷
÷÷
è5ø ç
çç0 1
0 -5÷ ¾¾¾¾¾¾¾¾¾®çç0 1 0 -5÷.
çç
÷÷
÷÷
çç
çèç0 0
1
0 ÷÷ø
èç0 0 1 0 ÷÷ø
Получили решение x = –1, y = –5, z = 0 (правый столбец расширенной матрицы).
21
Так как определитель матрицы системы не равен 0, задача также может быть решена с применением формул Крамера.
Ответ: (–1;–5;0).
Задача 6. Определите коэффициенты a, b, c, d многочлена
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, если известно, что f(–1) = 6, f(0) = –2,
f(1) = –2, f(2) = 0. Ответ запишите в формате (a;b;c;d). Пробелы не
использовать.
Решение. Подставим последовательно в уравнение функции
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d аргументы –1, 0, 1, 2.
ìïf (-1) = -a + b - c + d,
ïï
ïï f (0) = d,
í
ïï f (1) = a + b + c + d,
ïï
ïïî f (2) = 8a + 4b + 2c + d.
Задача свелась к решению системы уравнений
ì-a + b - c + d = 6,
ï
ï
ï
ï
ïd = -2,
í
ï
a + b + c + d = -2,
ï
ï
ï
ï
ï
î8a + 4b + 2c + d = 0.
Используем, что d = –2, и перепишем систему в виде
ìï -a + b - c - 2 = 6,
ïï
ïí
a + b + c - 2 = -2,
ïï
ïïî8a + 4b + 2c - 2 = 0.
ìï -a + b - c = 8,
ïï
ïí
a + b + c = 0,
ïï
ïïî8a + 4b + 2c = 2.
Далее решаем систему методом Гаусса.
æ
çç-1 1 -1
çç 1 1 1
çç
ççè 4 2 1
æ
8ö÷
ç1 1 1
÷÷÷ I«II çç
0÷ ¾¾¾®çç-1 1 -1
÷÷
çç
çè 4 2 1
1÷÷ø
æ1 1 1
çç
¾¾¾¾¾¾¾¾®ççç0 2 0
çç
èç0 2 3
( I )+( II ), ( I )×4-( III )
22
0÷ö
÷÷
8÷÷ ®
÷÷
1÷÷ø
0 ö÷
÷÷
8 ÷÷
÷÷
-1ø÷÷
æ1 1 1
çç
çç0 2 0
çç
çèç0 2 3
0 ö÷
1 çæ1 1 1
÷÷÷ ( III )-( II), ( II)×2 çç
8 ÷ ¾¾¾¾¾¾¾®çç0 2 0
÷÷
çç
çè0 0 3
-1÷÷ø
æ1 1 1
çç
® ççç0 1 0
ç
èçç0 0 1
0 ö÷
1
1
÷÷÷ ( II)×2, ( III)×3
8 ÷ ¾¾¾¾¾¾®
÷÷
-9ø÷÷
æ1 0 0
0 ö÷
÷÷ ( I)-( II)-( III) çç
ç
÷
4 ÷ ¾¾¾¾¾¾®çç0 1 0
÷÷
çç
-3ø÷÷
èç0 0 1
-1ö÷
÷÷
4 ÷÷
÷÷
-3÷÷ø
Получили a = –1, b = 4, c = –3.
Ответ: (–1;4;–3;–2).
3.2. Задачи аудиторной части контрольной работы
для технических специальностей
Задача 1. Изобразите на комплексной плоскости число
z = 3 + 3 3i, укажите его модуль и аргумент.
Решение. Известно, что всякому комплексному числу z = x + iy
сопоставляется тоска на комплексной плоскости. Вычислим модуль
2
данного комплексного числа. r = z = x2 + y2 = 32 + (3 3) = 6.
Для вычисления аргумента составим систему.
ìï
3 1
x
x
ïïcos j = =
= = ,
ïï
2
2
6
2
r
x +y
ï
í
ïï
3 3
3
y
y
.
=
=
ïïsin j = =
2
2
6
2
r
ïï
x
y
+
ïî
π
Решение. j = . системы уравнений является аргументом ком3
плексного числа.
На рис. 6 изображено число z = 3 + 3 3i.
π
Ответ: |z| = 6 и j = .
3
7
æ
π
πö
Задача 2. Представьте число z = çç2 cos + 2i sin ÷÷÷ в алгебраичеçè
6
6ø
ской форме.
Решение.
7
7
æ
æ
π
πö
π
πö
z = çç2 cos + 2i sin ÷÷÷ = 27 ççcos + i sin ÷÷÷ =
çè
èç
6
6ø
6
6ø
= 27 (cos
7
æ
7π
7π
3 i ö÷
+ i sin ) = 27 ççç- ÷÷ = -26 3 - 26 i.
çè 2 2 ø÷
6
6
23
7
7
æ
æ
π
πö
7π
7π ö
z = çç2 cos + 2i sin ÷÷÷ = 27 ççcos + i sin ÷÷÷ =
çè
çè
6
6ø
6
6ø
7
æ
7π
7π
3 i ö÷
7ç
÷
= 2 (cos + i sin ) = 2 çç- ÷ = -26 3 - 26 i.
ç
6
6
è 2 2 ø÷
7
Ответ: -26 3 - 26 i.
Задача 3. Найдите матрицу, удовлетворяющую матричному
уравнению
æ1 2ö÷ æ5 6ö÷
÷÷ = çç
÷÷.
Xçç
èç3 4÷ø èç7 8ø÷
Решение.
Перепишем уравнение в виде XA = B, где
æa11
A = çç
çèa21
æ5 6ö÷
a12 ö÷ æç1 2ö÷
÷÷ = ç
÷÷, B = çç
÷.
÷
÷
ç
çè7 8÷÷ø
a22 ø è3 4ø
Умножим уравнение справа на матрицу, обратную к A.
XAA–1 = BA–1,
отсюда формула для решения уравнения имеет вид X = BA–1.
Im z
3 3i
3 + 3 3i
z =6
ϕ=
i
1
π
3
3
Рис. 6. Ответ к задаче 1
24
Re z
Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы. Вычислим определитель.
det A = 1× 4 - 2 × 3 = -2.
Вычислим последовательно алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Учтем, что миноры матрицы второго порядка
равны элементам матрицы.
A11 = (-1)1+1 a22 = 4, A12 = (-1)1+2 a21 = -3,
A21 = (-1)2+1 a12 = -2, A22 = (-1)2+2 a11 = 1.
Обратная матрица A-1 вычисляется по известному правилу
1 æç A11 A21 ÷ö
÷,
A-1 =
ç
det A çè A12 A22 ÷÷ø
-1
A
æ-2 1 ö÷
1 æç 4 -2ö÷ çç
÷
÷÷ = çç 3
=
× çç
1 ÷÷÷.
÷
-2 è-3 1 ø çç
- ÷÷
è2
2ø
Находим искомую матрицу X.
-1
X = BA
æ
çç5 × (-2) + 6 × 3
ç
2
= ççç
çç
3
çç7 × (-2) + 8 ×
2
è
æ
ö
æ5 6÷öçç-2 1 ÷÷
ç
֍ 3
= çç
1 ÷÷ =
֍
- ÷÷÷
è7 8÷øçç
è2
2ø
æ 1 ö÷ö÷
5 ×1 + 6 × çç- ÷÷÷÷
çè 2 ø÷ æ-1 2ö
÷÷.
÷÷ = çç
æ 1 ö÷÷÷÷ çè-2 3÷÷ø
7 ×1 + 8 × çç- ÷÷÷÷
çè 2 øø÷
æ-1 2ö÷
÷÷ .
Ответ: çç
èç-2 3÷ø
ïìï x + 2y + 3z = 6,
ï
Задача 4. Решите систему уравнений ïí4x + 5y + 6z = 0,
ïï
ïïî7x + 8y + 9z = -6.
Решение.
Решим систему методом Гаусса.
æ1 2 3 6 ö÷ ( I )×4-( II), æ1 2 3
çç
÷ ( I )×7-( III ) çç
çç4 5 6 0 ÷÷ ¾¾¾¾¾
®ççç0 3 6
÷÷
çç
çç
÷
çèç7 8 9 -6÷ø÷
çè0 6 12
1
1 çæ1
( II )× , ( III )×
ç
3
6®çç0
¾¾¾¾¾¾¾
2 3
1
2
çç
ççè0 1 2
6÷ö
÷÷
8÷÷.
÷÷
8÷÷ø
6 ÷ö
÷÷
24÷÷ ®
÷÷
48÷÷ø
25
æ1 2 3
çç
çç4 5 6
çç
ççè7 8 9
6 ÷ö ( I )×4-( II), çæ1 2 3
÷÷ ( I )×7-( III ) ç
®ççç0 3 6
0 ÷÷ ¾¾¾¾¾
÷÷
çç
çè0 6 12
-6÷÷ø
1
1 æç1
( II )× , ( III )×
ç
3
6®çç0
¾¾¾¾¾¾¾
2 3
çç 1 2
ççè0 1 2
æ1 2 3
çç
çç0 1 2
çç
ççè0 1 2
6 ÷ö
÷÷
24÷÷ ®
÷÷
48÷÷ø
6ö÷
÷÷
8÷÷.
÷÷
8÷÷ø
æ1 2 3
6ö÷
÷÷ ( II )-( III ) çç
®ççç0 1 2
8÷÷ ¾¾¾¾¾
÷÷
çç
çè0 0 0
8÷÷ø
6÷ö
÷÷
8÷÷.
÷÷
0÷÷ø
В расширенной матрице имеется нулевая строка, ее можно вычеркнуть.
æ1 2 3
çç
ççç0 1 2
çç
çè0 0 0
6ö÷
æ1 2 3
÷÷
®ççç
8÷÷ ¾¾
÷÷
èç0 1 2
0÷÷ø
6ö÷
÷.
8ø÷÷
Вернемся к системе уравнений. У нас имеется два линейно независимых уравнения и три неизвестных.
ïìïx + 2y + 3z = 6,
í
ïïî
y + 2z = 8.
В этом случае одну переменную следует сделать свободным параметром. Выбираем в качестве свободной переменной z. Пусть
z = c, c – произвольное (действительное) число. Тогда
ïìïx = 6 - 2y - 3z,
ïï
í y = 8 - 2z,
ïï
ïïî z = c.
ìïx = 6 - 2 × (8 - 2c) - 3c,
ïï
ïí y = 8 - 2c,
ïï
ïïî z = c.
ìïx = -10 + c,
ïï
ïí y = 8 - 2c,
ïï
ïïî z = c.
Ответ: (c–10;–2c + 8;c), где c – произвольное число.
26
ïìï3x + y + z - 7t = 11,
ï
Задача 5. Решите систему уравнений ï
í x + y - z - 5t = 5,
ïï
ïïî -2y + 4z + 8t = -4.
Решение. Решим систему методом Гаусса.
æ3 1
æ1 1 -1 -5 5 ö÷
1 -7 11 ö÷
1
çç
÷ ( III )× , ( I )«( II ) çç
÷÷
çç1 1 -1 -5 5 ÷÷ ¾¾¾¾¾¾¾
2
®ççç3 1
1 -7 11 ÷÷ ®
÷÷
çç
÷÷
ç
÷
8 -4ø÷÷
4 -2ø÷÷
èçç0 -2 4
èçç0 -1 2
æ1 1 -1 -5 5 ö÷
1
ç
÷÷÷ ( II )×2
( I )×3-( II ) çç
¾¾¾¾¾
®çç0 2 -4 -8 4 ÷ ¾¾¾®
÷÷
çç
çè0 -1 2
4 -2ø÷÷
æ1 1 -1 -5 5 ö÷
æ1 1 -1 -5 5÷ö
çç
÷ ( II )+( III ) çç
÷÷
çç0 1 -2 -4 2 ÷÷ ¾¾¾¾¾
®ççç0 1 -2 -4 2÷÷ ®
÷÷
çç
÷÷
ç
÷
ççè0 -1 2
4 -2÷÷ø
0 0÷÷ø
èçç0 0 0
æ1 1 -1 -5 5ö÷
÷.
¾¾
®ççç
çè0 1 -2 -4 2ø÷÷
Перейдем от матричной записи к уравнениям.
ì
x + y - z - 5t = 5,
ï
ï
í
ï
ï
î y - 2z - 4t = 2.
У нас имеется два линейно независимых уравнения и четыре неизвестных. В этом случае две переменных должны рассматриваться как
свободные параметры. Выбираем в качестве свободных переменных z
и t. Пусть z = с1 и t = с2; при этом с1, с2 – произвольные числа. Тогда
ìïx = 5 + c1 + 5c2 - y,
ïï
ïï y = 2 + 2c1 + 4c2 ,
í
ïï z = c1,
ïï
ïïî t = c2 .
ì
x = 3 - c1 + c2 ,
ï
ï
ï
ï
ï y = 2 + 2c1 + 4c2 ,
í
ï
z = c1,
ï
ï
ï
ï
ï
î t = c2 .
Ответ: (3–с1 + с2; 2 + 2с1 + 4с2; с1, с2), где с1, с2 – произвольные
числа.
27
3.3. Задачи контрольной работы
для экономических специальностей
æ1 2ö÷
çç
æ-1 5 6ö÷
÷
÷.
Задача 1. Вычислите X = 3A + 4Bt, если A = çç3 4÷÷÷, B = çç
çç
÷÷
çè-2 7 8÷÷ø
çè5 6÷ø
Решение.
æ
ö
æ-1 -2ö÷ æ 3 6 ö÷ æ-4 -8ö÷
çç1 2÷÷
çç
÷ çç
÷ çç
÷
÷
t
ç
7 ÷÷÷ = çç 9 12÷÷÷ + çç 20 28 ÷÷÷ =
X = 3A + 4B = 3 × ç3 4÷÷ + 4 × çç 5
çç
ç
ç
ç
÷
ç
÷÷ ç
÷÷ ç
÷÷
çè5 6ø÷÷
8 ø÷ èç15 18ø÷ èç 24 32 ø÷
èç 6
æ 3-4
6 - 8 ö÷ æç-1 -2ö÷
çç
÷ ç
÷
ç
= ç 9 + 20 12 + 28÷÷÷ = çç 29 40 ÷÷÷.
çç
÷
÷÷ çç
çè15 + 24 18 + 32÷ø èç 39 50 ÷÷ø
æ-1 -2ö÷
çç
÷
Ответ: çç 29 40 ÷÷÷.
çç
÷
çè 39 50 ÷÷ø
Задача 2. Вычислите определитель
1 -1
.
3 2
Решение.
1 -1
= 1× 2 - (-1)× 3 = 5.
3 2
Ответ: 5.
3 2 3
Задача 3. Вычислите определитель 7 3 3 .
2 4 -2
Решение. Разложим определитель по первой строке.
3 2 3
3 3
+ (-1)1+2 ´
7 3 3 = (-1)1+1 × 3 ×
4 -2
2 4 -2
´2 ×
7 3
7 3
+ (-1)1+3 × 3 ×
=
2 -2
2 4
= 3 × (3 × (-2) - 3 × 4) - 2 × (7 × (-2) - 2 × 3) + 3 × (7 × 4 - 2 × 3) = 52.
Ответ: 52.
28
Задача 4. Найдите матрицу, удовлетворяющую матричному
уравнению
æ1 5÷ö
æ1 6÷ö
÷÷X = çç
÷÷.
çç
èç6 4÷ø
èç7 8ø÷
Решение. Перепишем уравнение в виде AX = B, где
æ1 5ö÷
æ1 6ö÷
÷, B = çç
A = ççç
÷
÷÷.
ç
è6 4÷ø
è7 8ø÷
Умножим уравнение слева на матрицу, обратную к A.
AA–1X = A–1B.
Формула для решения уравнения имеет вид X = A–1B.
Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы.
det A = 1× 4 - 5 × 6 = -26.
Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы A.
A11 = (-1)1+1 a22 = 4, A12 = (-1)1+2 a21 = -6,
A21 = (-1)2+1 a12 = -5, A22 = (-1)2+2 a11 = 1.
Обратная матрица A–1равна
A-1 =
1 æç A11
ç
det A çè A12
A21 ÷ö
÷,
A22 ÷÷ø
æ 2
5 ö÷
çç÷÷
æ
ö
4
5
ç
1 ç
÷÷÷ = çç 13 26 ÷÷÷.
A-1 =
×ç
1÷
-26 èç-6 1 ø÷ çç 3
- ÷÷÷
çç
è 13
26 ø
Находим искомую матрицу X
æ 2
5 ÷ö
çç÷
çç 13 26 ÷÷ æç1 6ö÷
÷.ç
÷=
X = A B =ç
çç 3
1 ÷÷÷ çè7 8÷÷ø
çèç 13 - 26 ÷ø÷
æ 2
ö æ
8 ö÷
çç- ×1 + 5 × 7 - 2 × 6 + 5 × 8÷÷ çç 31
÷
÷
çç 13
ç
26
13
26 ÷÷ = ç 26 13 ÷÷÷.
=ç
ç
çç 3
÷÷ ç 1 14 ÷÷÷
1
3
1
÷
×1 - × 7
× 6 - × 8 ÷÷÷ ççççç
è 13
ø è 26 13 ø÷
26
13
26
-1
29
÷÷
çççç 13 26 ÷÷ æç1 6ö÷
÷.ç
÷=
X = A B =ç
çç 3
1 ÷÷÷ çè7 8÷÷ø
- ÷÷
çç
è 13
26 ø
æ 2
ö æ
5
2
8 ö÷
çç- ×1 + × 7 - × 6 + 5 × 8÷÷ çç 31
÷
÷
ç
26
13
26 ÷÷ = çç 26 13 ÷÷÷.
= çç 13
÷÷ çç 1 14 ÷÷
çç 3
1
3
1
÷÷
×1 - × 7
× 6 - × 8 ÷÷÷ ççççç
è 13
ø è 26 13 ø÷
26
13
26
-1
Проверим.
æ 31
8 ö÷ æç 31
1
8
14 ö÷
ç
æ1 5ö÷ çç 26 13 ÷÷÷ çç1× 26 - 5 × 26 1× 13 + 5 × 13 ÷÷÷ æ1 6÷ö
÷=ç
÷ = çç
÷× ç
÷.
çç
çè6 4÷÷ø ççç 1 14 ÷÷÷ ççç 31
1
8
14 ÷÷÷ çè7 8÷÷ø
÷ ç6 × - 4 ×
6 × + 4 × ÷÷
ççè 26 13 ÷ø èç 26
26
13
13 ø
æ 31
8 ö÷
çç
÷
çç 26 13 ÷÷
÷.
Ответ: ç
çç 1 14 ÷÷÷
÷
ççè 26 13 ÷ø
ì-5x + 7y = -30,
ï
Задача 5. Решите систему уравнений ï
í
ï
ï
î-3x - 2y = 13.
Решение. Решаем систему методом Гаусса.
æ-5 7
ç
ççç-3 -2
è
-30ö÷ ( I)×(-1) çæ 5 -7
÷ ¾¾¾¾
®çç
çè-3 -2
13 ÷÷ø
30ö÷
÷®
13÷÷ø
æ
1ö
÷
æ5 -7
30 ÷ö ( II)×çèçç-31÷ø÷
÷÷ ¾¾¾¾¾
¾¾¾¾¾®ççç
®
çè0 -31 155ø÷
( I )×3+( II )×5
æ5 -7
çç
çç0 1
è
30 ö÷ ( I)+( II)×7 çæ5 0
÷ ¾¾¾¾¾
®çç
çè0 1
-5÷÷ø
1
-5÷ö ( I)×5 æç1 0
÷ ¾¾¾
®çç
çè0 1
-5÷÷ø
-1ö÷
÷.
-5÷÷ø
Ответ: (–1;–5).
ïìï-5x - 5y + 4z = 30,
ï
Задача 6. Решите систему уравнений ï
í-3x - 2y + 2z = 13,
ïï
ïïî -2x - 4y - z = 22.
Решение.
Решение этой системы методом Гаусса показано выше. Решим
эту систему с помощью формул Крамера. Нам потребуется вычислить четыре определителя.
30
-5 -5 4
D = -3 -2 2 = 17,
-2 -4 -1
30 -5 4
D1 = 13 -2 2 = -17,
22 -4 -1
-5 30 4
D2 = -3 13 2 = -85,
-2 22 -1
-5 -5 30
D3 = -3 -2 13 = 0.
-2 -4 22
По формулам Крамера
x=
D1
D
D
= -1, y = 2 = -5, z = 3 = 0.
D
D
D
Ответ: (–1;–5;0).
ìï4x - 7y + 17z - 26t = -6,
ïï
Задача 7. Решите систему уравнений ï
í2x - 4y + 10z -14t = -4,
ïï
y - 3z + 2t = 2.
ïïî
Решение. Решим систему методом Гаусса.
æ
ö
æ
ö
çç4 -7 17 -26 -6÷÷ ( II)×1 çç4 -7 17 -26 -6÷÷
÷÷
çç2 -4 10 -14 -4÷÷ ¾¾¾
2®çç1 -2
-7 -2÷
5
÷÷
çç
çç
÷÷
÷÷
çèç0 1 -3
ç
2 2 ø÷
2 2 ÷ø÷
èç0 1 -3
æ4 -7 17 -26 -6ö÷
çç
÷÷ ( II)-( III)
® ¾¾¾¾¾
®ççç0 1 -3
®
2 2 ÷÷ ¾¾¾¾¾
÷÷
çç
÷
2 2 ø÷
èç0 1 -3
( I )-( II )×4
31
æ4 -7 17 -26 -6ö÷
æ4 -7 17 -26 -6ö÷
çç
÷÷ ( II )-( III ) çç
÷÷
çç0 1 -3
çç0 1 -3
÷÷ ¾¾¾¾¾
÷÷ ®
®
2
2
2
2
çç
çç
÷÷
÷÷
ççè0 1 -3
ççè0 0
2 2 ÷÷ø
0
0 0 ÷÷ø
æ4 -7 17 -26 -6÷ö
÷.
¾¾
®ççç
çè0 1 -3
2 2 ÷÷ø
Перейдем от матричной записи к уравнениям.
ì
4x - 7y + 17z - 26t = -6,
ï
ï
í
ï
y - 3z + 2t = 2.
ï
î
У нас имеется два линейно независимых уравнения и четыре
неизвестных. В качестве свободных переменных выбираем z и t.
Пусть z = с1 и t = с2; с1, с2 – произвольные числа. Тогда
ìï4x = -6 -17c1 + 26c2 + 7y,
ïï
ï y = 2 + 3c1 - 2c2 ,
ïí
ïï z = c1,
ïï
ïïî t = c2 .
ïìïx = 2 + c1 + 3c2 ,
ïï
ïí y = 2 + 3c1 - 2c2 ,
ïï z = c1,
ïï
ïïî t = c2 .
Ответ: (2 + с1 + 3с2; 2 + 3с1–2с2; с1, с2), где с1, с2 – произвольные
числа.
32
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. М.: Физматлит, 2006.
2. Беклемишева Л. А., Беклемишев Д. В., Петрович А. Ю. и др.
Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.
СПб.: Лань, 2008.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит,
2007.
4. Фаддев Д. К., Соминский И. С. Задачи по высшей алгебре.
СПб.: Лань, 2008.
5. Письменный Д. Т., Лунгу К. Н., Федин С. Н. Сборник задач по
высшей математике. 1-й курс. М.: Айрис-Пресс, 2011.
6. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. СПб.: Лань, 2008.
7. Соловьев И. А., Шевелев В. В., Червяков А. В. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения. СПб.: Лань,
2009.
33
СОДЕРЖАНИЕ
1. Комплексные числа................................................................. 1.1. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами...................................................................................... 1.2. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение.................................................................................... 1.3. Комплексная плоскость...................................................... 1.4. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами, записанными
в тригонометрической форме..................................................... 1.5. Извлечение корня из комплексного числа............................. 2. Элементы линейной алгебры .................................................... 2.1. Матрицы. Действия над матрицами ..................................... 2.2. Определитель матрицы....................................................... 2.3. Обратная матрица.............................................................. 3. Примеры решения задач по линейной алгебре............................. 3.1. Задачи компьютерной части контрольной работы для технических специальностей............................................................. 3.2. Задачи аудиторной части контрольной работы для технических специальностей................................................................ 3.3. Задачи контрольной работы для экономических специальностей....................................................................................... Рекомендуемая литература.......................................................... 34
3
3
4
5
7
8
11
11
13
15
18
18
23
28
33
Для заметок
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
771 Кб
Теги
veshevgolovachevdik
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа