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(-1)n 2n
1 2 1 4
x + x + ... +
x + ..., -е < x < е.
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13
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?????????? x ? y. ???????????? z = z(x, y) ??? z = f(x, y).
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2.1.1.???????? ??????????? ??????? ???????
??????? ??????????? ??????? z = f(x, y) ?? ?????????? x ?????????? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?xz ? ??????????
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(2.1)
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╢z ╢f
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╢x ╢x
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Dy z
╢z
f (x, y + Dy) - f (x, y)
.
= lim
= lim
╢y Dyо0 Dy Dyо0
Dy
(2.2)
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????? ??????? ??????????? ??????? z = xy.
???????:
??? ?????????? ??????? ??????????? ?? x ?????? ??????????
y ????????? ?????????????, ?? ???? ???? ???????????? ????????
╢z
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╢x
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x ????? ????????? ?????????? ?????????, ? ?? ?????? ???????????? ???????? ????????????????? ????????????? ???????:
╢z
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╢y
14
2.1.2.???????? ??????????? ??????? ???????
????? ??????? z=f(x, y) ??????????????? ? ????????? ???????
╢z ╢z
D. ???????? ??????? ???????????
,
, ?????? ??????, ????╢x ╢y
??? ?? ????? (x, y), ? ??????? ??? ?????????, ?? ???? ??????? ??????????? ????? ???????????? ????? ??????? ?? ?????????? x ? y.
????????????? ??? ???????, ???????? ?????? ??????? ??????????? ?? ??????? f(x, y).
??????? ??????????? ?? ?????????? x ?? ??????? ???????????
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( )
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( )
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╢x╢y
( )
( )
╢2 z
= 2y cos xy2 - 2xy3 sin xy2 .
╢y╢x
( )
( )
2.2.?????????? ????
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????????? ??????? u = u(x, y, z). ? ???? ?????? ???????, ??? ? ??????? D ?????? ????????? ????.
?????????? ????? ??????? D, ? ??????? ??????? u(x, y, z) ????? ?????????? ???????? c: u(x, y, z) = c.???????????? ???? ?????
???????? ????????? ???????????. ???? ??????? ?????? ???????? c,
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2.2.1.???????????? ?? ???????????
?????????? ? ??????? D ??????? u = u(x, y, z) ? ????? M(x, y, z).
???????? ?? ????? M ?????? s, ???????????? ???????? ????????
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???, ????????, ??? s=OX:
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cos +
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2.2.2.?????????
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gradu =
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(2.4)
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? ??????? gradu, ????? ????.
Gradu ????????? ??????????????? ? ????? ?????? u(x, y) = c,
??????? ? ????????? Oxy ? ?????????? ????? ???????????????
?????.
?????? 2.3
x2 y2
+
?????????? ???????? ??????? u =
? ????? M(2, 4).
2
3
???????:
╢u
╢u чц 2 ўЎ
8
= (x) M = 2,
= ч yўў = .
?????
ч
╢x
╢y ш 3 °M 3
?????????????, gradu=2i+8/3j.
????????? ????? ??????, ?????????? ????? ?????? ?????, ??x2 y2 22
??? ?????
+
= .
2
3
3
2.3.???????????? ???????, ???????? ??????
????? ??????? y ?? x ?????? ??????, ?? ???? ??????????
F(x, y)=0.
????? ????? ????????? ???????:
╢F
yxв = - ╢x . ╢F
╢y
(2.5)
17
?????? 2.4
????? ??????????? yxв , ???? x2+y2 = a2.
???????:
? ??????? ??????? ??????? ?????? ??????, ? ??????? ????????? F(x, y) = x2+y2?a2 = 0.
╢F
╢F
= 2x,
= 2y, ? ????????? ?????? ??????? ???????????
╢x
╢y
2x
x
=- .
??? yxв = y
2y
????? ??????? z ?? ?????????? x, y ?????? ??????, ?? ???? ?????????? F(x, y, z) = 0.
????? ??????? ??????????? ????? ???? ??????? ?? ????????:
╢F
╢F
╢z
╢z
╢y
.
= - ╢x ,
=╢F ╢y
╢F
╢x
╢z
╢z
(2.6)
2.4.????????? ? ??????? ??????? ?
???? ??????????
?????????? ?????? ??? ??????? ????? ?????????? ???????????? ??????? ?????????? ????????? ? ???????? ??????? ?
?????? ?????.
2.4.1.???????????? ??????? ??????????
???? ??????? z = f(x, y) ????????? ?????????? ??? x = x0,
y = y0, ?? ?????? ??????? ??????????? ??????? ??????? ?? z ??? ?????????? ? ???? ??? ???? ????????? ??????????, ??? ?? ??????????.
??? ??????????? ?? ???????? ??????????? ??? ????????????
??????? ?? ????????????? ????????? ???????, ?? ????????? ???????? ??? ???????? ? ??? ???????, ? ??????? ?? ??????? ???????
? ????????????? ????????? ??? ????????. ? ????????? ??????
????????? ?????????????? ????????????.
╢z
╢z
?????, ? ???????
= 0 (???
= 0 (??? ?? ??????????) ?
╢y
╢x
?? ??????????), ?????????? ???????????? ??????? ???????
z = f(x, y).
???? ??????? ????????? ?????????? ? ?????-???? ?????, ?? ???
????? ????????? ?????? ? ??????????? ?????.
18
??? ???????????? ??????? ? ??????????? ?????? ???????????? ??????? ?????????? ??????? ???? ??????????.
2.4.2.???????????? ??????? ??????????
????? ? ????????? ???????, ?????????? ????? M0(x0, y0), ??????? f(x, y) ????? ??????????? ??????? ??????????? ??????? ? ??????? ???????; ?????, ????? ????, ????? M0(x0, y0) ???????? ??????????? ?????? ??????? f(x, y), ?? ????
????????? A =
╢2 f (x0 , y0 )
╢x2
, B=
╢f (x0 , y0 )
╢f (x0 , y0 )
= 0,
= 0.
╢x
╢y
╢2 f (x0 , y0 )
╢x╢y
, C=
╢2f (x0 , y0 )
╢y2
.
????? ??? x = x0, y = y0:
1)?f(x, y) ????? ????????, ???? AC?B2>0 ? A<0;
2)?f(x, y) ????? ???????, ???? AC?B2>0 ? A>0;
3)?f(x, y) ?? ????? ?? ?????????, ?? ????????, ???? AC?B2<0;
???? AC?B2 = 0, ?? ????????? ????? ???? ? ????? ?? ???? (????????? ?????????????? ????????????).
?????? 2.5
??????????? ?? ???????? ? ??????? ??????? z = x2?xy+y2+3x?
?2y+1.
???????:
╢z
╢z
= 2x - y + 3,
= -x + 2y - 2.
??????? ??????????? ?????:
╢
╢
x
y
?????? ??????? ?????????
яья
яя 2x - y + 3 = 0,
яэ
яя-x + 2y - 2 = 0,
яя
яю
4
яья
яяx = - 3 ,
э
яя
1
яя y = .
3
яю
??????????? ????? ????? ?????????? (?4/3; 1/3).
??????? ??????????? ??????? ??????? ? ??????????? ????? ?
?????????? ???????? ??????????? ?????:
A=
╢2 z
╢x 2
= 2, B =
╢2 z
╢2 z
= -1, C =
= 2,
╢x╢y
╢y2
2
AC - B2 = 2 ╫ 2 - (-1) = 3 > 0.
?????????????, ? ????? (?4/3; 1/3) ?????? ??????? ????? ???????, ? ?????? zmin=?4/3.
19
2.4.3.??????????? ?????????? ? ?????????? ????????
??? ?????????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? ? ???????? ??????? ??????? ???????????? ?????????? ???????????.
?????? ????????????? ????? ?????? ?????? ??????? ? ???????? ???????? ??????? ? ???. ????? ?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? ?? ??????? ???????. ?? ????????? ????? ?????????? ???????? ???????? ?????????? ? ?????????? ????????
??????? ? ???????? ???????.
20
3.???????? ???????? ????????
??????? ? 0
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 2(n + 2).
n=1
е
???????.
?????? ??? ??????????, ??? ??? ??????? ?? ??????????????
???? ????????????? ???? ?????? ? ?????????? ?? ??????????
????????? (??. ??????? 1.1.1).
?????: ??????????.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е (-1)n 2n+1
????????? ????? х
.
3n-1
n=1
???????.
?????????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ??????
??????? ???????????????? ???? (??. 1.1.1)
е
2n+1
2
е
2n
е
ц 2 Ўn
х 3n-1 = 3-1 х 3n = 6 х чччш 3 ўў°ў
n=1
n=1
.
n=1
?????????? ??? ???????? (??. ?????? 1.1), ??????? ???????
??????????????? ??? ???????? ?????????.
?????: ????????? ????????.
е (-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????? х
.
2n-1
n=1 3
???????.
?????? ?????? ?????????? ??????? ???? ?? ???????? ????????? (??. 1.22)
ъ 1 ·
ъ 2n-1 ·
ъ c ·
ъ
·
n ·
ъ
= lim ъ 3
R = lim ъ
· = 9.
·
1
·
nое ъы cn+1 ·√ nое ъ
ъ 2n+1 ·
ыъ 3
√·
??? x = ▒9 ??? ?????????? ?? ???????????? ????????????
???????? (??. 1.1.2), ??????? ??????? ?????????? ?????????? ????
?9<x<9.
?????: ?9<x<9.
21
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? x3?3x2+4x?5.
???????.
????????????? ???????? ??????? (1.25); ? ?????? ?????? ?????????? ????? ?????? 4 ????? ????.
????, f(x)=x3?3x2+4x?5.
f (x) = f (1) +
f в(1)
f вв(1)
f ввв(1)
(x -1) +
(x -1)2 +
(x -1)3 .
1!
2!
3!
???????? ???????? ??????? ? ?? ??????????? ? ????? 1.
f(1)=1?3+4?5=?3;
f?(x)=3x2?6x+4,?f?(1)=1;
f??(x)=6x?6,?f??(1)=0;
f???(x)=6,?f???(1)=6.
????? ???????, f (x) = -3 + (x -1) + (x -1)3 .
?????: f (x) = -3 + (x -1) + (x -1)3 .
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
sin x3 y
z=
.
x+y
???????.
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢z
╢ чц sin x3 y2 Ўўў (cosx3 y2 ) ╫ 3x2 y2 (x + y) - sin x3 y2
ч
,
=
ў=
╢x ╢x чшч x + y °ўў
(x + y)2
╢z
╢ ц sin x3 y2 Ўўў (cosx3 y2 ) ╫ 2x3 y(x + y) - sin x3 y2
= ччч
.
ў=
╢y ╢y чш x + y ў°ў
(x + y)2
?????:
╢z (cosx3 y2 ) ╫ 3x2 y2 (x + y) - sin x3 y2
,
=
╢x
(x + y)2
╢z (cosx3 y2 ) ╫ 2x3 y(x + y) - sin x3 y2
.
=
╢y
(x + y)2
6.?????????? ??????????? ??????? ???????
??? z =
22
x3 y
.
x+y
╢2 z
╢2 z
?
????╢x╢y
╢y╢x
???????.
╢z
╢z
??????? ???????? ??????? ???????????
?
??????
╢y
╢x
???????:
2
3
2
╢z
╢ цч x3 y Ўўў 3x y(x + y) - x y x y(2x + 3y)
чч
=
=
=
,
ў
╢x ╢x чш x + y ўў°
(x + y)2
(x + y)2
3
3
╢z
╢ ц x3 y Ўўў x (x + y) - x y
x4
= ччч
=
=
.
ў
╢y ╢y чш x + y ўў°
(x + y)2
(x + y)2
??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
:
╢x╢y
╢y╢x
2
2
╢2 z
╢ чц x y(2x + 3y)Ўўў
2 (2x + 6y)( x + y) - y (2x + 3y)╫ 2( x + y)
= чч
=
x
=
ў
╢x╢y ╢y ччш (x + y)2 ўў°
(x + y)4
= x2
2x2 + 8xy + 6y2 - 4xy - 6y2
(x + y)3
=
2x4 + 4x3 y
(x + y)3
,
2
3
4
╢2 z
╢ чц x4 ўўЎ 4x (x + y) - x ╫ 2(x + y) 2x4 + 4x3 y
чч
=
=
=
.
ў
╢y╢x ╢x чш (x + y)2 ўў°
(x + y)4
(x + y)3
?????:
╢2 z
2x4 + 4x3 y
╢2 z
2x4 + 4x3 y
=
,
=
.
╢x╢y
╢y╢x
(x + y)3
(x + y)3
7.?? ????? (1;2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ?????x y
?? (?1; ?2), ???? z = + .
y x
???????.
?????? ?????????? ??????? gradz (??. (2.4)):
╢z(1;2) 1 2
3
╢z
╢ цч x y ўЎ 1 y
=
= - =- ,
ч + ўў = - 2 ,
ў
ч
╢x ╢x ш y x ° y x
╢x
2 1
2
╢z
╢ цx yЎ
x 1 ╢z(1;2)
1 1 1
= чч + ўўў = - 2 + ,
=- + = .
ў
ч
╢y ╢y ш y x °
╢y
y
4 2 4
y
? gradz = (?3/2)i+(1/4)j.
???????????? ???????? ??????? (?1; ?2) (??. (2.4)):
1
2
cos ? = - , cos ? = - .
5
5
23
? ??????????? ? ??????????? ??????? ???????:
ц 3Ў ц 1 Ў 1 ц 2 Ў 1
╢u ╢u
╢u
=
cos ? +
cos ? = чч- ўўў╫ чч- ўўў + ╫ чч- ўўў =
.
шч 2 ° шч 5 ° 4 чш 5 °
╢s ╢x
╢y
5
╢u
1
=
.
╢s
5
╢z
╢z
8.?????????? ??????? ???????????
?
?????? ????????
╢y
╢x
????????x4+y4?x2+y+z+sinz = 5.
???????.
????? F(x, y, z) = x4+y4?x2+y+z+sinz?5=0.
?????? ??????? ??????????? F(x, y, z):
?????: gradz = (?3/2)i+(1/4)j,
╢F
╢F
╢F
= 4x3 - 2x,
= 4y3 + 1,
= 1 + cos z.
╢x
╢y
╢z
?????? ?????? ??????? ???????????
??????? (??.(2.6)):
╢z
╢z
?
?????? ????????
╢y
╢x
╢F
╢F
3
4
x
2
x
z
4 y3 + 1
╢z
╢
╢y
,
.
= - ╢x = ==╢F
╢F
1 + cos z
1 + cos z
╢x
╢y
╢z
╢z
╢z
4x3 - 2x ╢z
4 y3 + 1
?????:
==,
.
╢x
╢y
1 + cos z
1 + cos z
9.?????? ????? ?????????? ????????z = x2+8y2?x+y+3.
???????.
?????? ??????? ??????????? ? ??????????? ????? ???????????
╢z
╢z
= 2x -1,
= 16y + 1.
??????? (??. 2.4.1):
╢x
╢y
ь
ь
1
я
я
я
я
x= ,
я
я
=
2
x
1
0
,
я
я
2
я
оэ
э
я
я
16y + 1 = 0,
1
я
я
y =- .
я
я
я
я
16
я
ю
я
ю
???????? ??????????? ??????? ????????????? ?????????? ?
????????? ??????????? ????? (??. 2.4.2):
24
A=
╢2 z
╢x2
= 2, B =
╢2 z
╢2 z
= 0, C = 2 = 16,
╢x╢y
╢y
AC - B2 = 2 ╫16 - 0 = 32 > 0, A > 0.
????? ???????, ? ??????????? ????? ???????:
ц 1 Ў2
ц 1 Ў2 1 1
1 1 1 1
9
87
zmin = чч ўўў + 8чч- ўўў - - + 3 = +
- - +3=- +3= .
чш 2 °
чш 16 °
2 16
4 32 2 16
32
32
87
.
32
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z = xy
? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
???????.
?????? ????? ??????????? ??????:
?????: zmin =
ь
2
2
ь
яьx1 = 0, y1 = 0,
яяя y = x , яя y = x ,
оэ
о яэ
э
2
яяy = x , яяx = x , яюяx2 = 1, y2 = 1.
яю
яю
???????? ??????????? ????? ???????:
╢z
╢z
= y,
= x,
╢x
╢y
ь
╢z
я
я
= 0,
я
ь
я y = 0,
я ╢x
я
оя
э ╢z
э
яя
яx = 0.
= 0, яю
я
я
я
ю ╢y
???????????? ??????????? ????? ??????? ??????????? ??????? ???????, ?????? (??. 2.4.3) ?????????? ? ?????????? ????????
??????? z = xy ????????? ?? ??????? ???????.
??? y = x2?z=x3 ? ??? x = 0 ??????? ????????? ??????????
????????, ??? x = 1 ??????? ????????? ?????????? ????????.
?????????? ? ??? y = x .
?????: zmin = 0, zmax = 1.
25
4.???????????? ?????? ? 3
??????? ? 1
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 4n2 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n
????????? ???? х
.
2
n=1 (2n + 1)
е
(-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
2n+1
n=1 3
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? x3 - 3x2 - 8x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
╢z
╢z
5.?????????? ??????? ???????????
?
???????
╢y
╢x
3
sin x y
z=
.
x2 + y
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
2 2
x y
z=
.
x+y
7.?? ????? (1; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ???x y2
???? (1; 2), ???? z = + .
y
x
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
4
3
2
??? x + y - x + y = 5.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 8y2 - 2x + 4y + 3.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z =4xy
?а???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 2
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х (2n -1)(2n + 1).
n=1
е
26
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n
????????? ???? х
.
n=1 2n + n
е
(-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
2n
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? x3 - 3x2 + 4x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
cos xy2
.
x+y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z=
xy2
.
x-y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (2;1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 2), ???? z =
x2
.
y
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? 2x4 - y4 - x + y2 = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + 3y2 - 2x + 5.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x + y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 3
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х n + 1 + sin n.
n=1
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
(-1)n
2
n=1 n
+ n
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
е
х
(-1)n xn
n=1 (n + 1)
n
.
27
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?2) ??????? 2x3 + 5x2 + 7x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
╢z ╢z
ex-y
?
??????? z =
.
╢x ╢y
x+y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = sin(x - y2 ).
7.?? ????? (?1; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 1), ???? z = x2 y3 .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? sin(xy) + y = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 - 3y2 - 2xy + x + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 4
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
32n+1
х 23n-1 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
(-1)n n
2n
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
(-1)n nxn
.
ln(1 + n)
n=1
х
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?3) ??????? 2x3 - 5x2 + 4x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
2
2
x +y
.
x-y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z = arcsin(xy).
28
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (?1; 0) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (0; 1), ???? z = cos(?x + y).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? sin(xy2 ) + ey = 0.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + y2 - 2xy - x + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 5
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
х
n=1
1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n
х (n + 1)(n + 2).
n=1
е
х
(-1)n nxn
.
2 n
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?4) ??????? 3x + 5x2 + 4x - 3.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
n=1
3
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
x + x5 y2
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
x2 - y2
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = arcsin(x - y).
7.?? ????? (1; 3) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; ?1), ???? z = cos(?xy).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? eyx + cos y = 0.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 3y2 - 5xy - x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - 2y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
29
??????? ? 6
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
.
х3 2
n=1 n + 3n - 2
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n2
х (n3 + 1)(n2 - 2).
n=1
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
n=1
(-1)n xn
2n+3
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? 2x3 - 2x2 + 3x -1.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
xy + x - y2
x 3 - y3
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = exy .
7.?? ????? (?3; 1) ????? gradz ??????????? ? ??????????? ??????? (0; 1), ???? z = sin(?y - x).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? cos(y + x2 + y2 ) = 2.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + y2 - 3xy + x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z = x2 y
? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 7
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
х3
n=1
30
1
2
(n + 3n - 2)(n2 + 3)
.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
cos(?n)
nn
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
n=1
(-1)n xn
32n+1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+2) ??????? 2x3 + 4x2 + 7x -1.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
arcsin(x - y)
.
x
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = xex-y .
7.?? ????? (?2; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (3; 1), ???? z = ex y3 .
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? x2 + y2 + y2 - 4x = 2.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -x2 - 2y2 - xy + x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 + y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 8
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
1
х 3 1000n + 5 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ????????n
)
е sin(
4 .
????????? ???? х
n5
n=1
е
(-1)n (x - 2)n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n!
n=1
31
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+3) ??????? 2x3 - 4x2 + 7x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
arcsin x
z=
.
cos-1 y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ex sin y.
7.?? ????? (0; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (?1; 1), ???? z = x arcsin y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin x
+ y = 3.
???
cos y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -3x2 - 2y2 - 4xy + x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 9
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х5 4 .
n=1 n + n
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????ц ?n Ўў
ч ў
е sin чч
ш 2 ў°
.
????????? ???? х
n=1 n n
е
(-1)n (x + 1)n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n
n=1
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?5) ??????? 3x3 - 2x2 + 7x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
32
arcsin(x - y)
.
cos(y - x)
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ex-y sin x.
7.?? ????? (0; ?1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; ?1), ???? z = x + arcsin y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? y x + y - x = 4.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -3x2 - y2 - 2xy + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x + y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 10
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х n3 + 2n2 -1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ????????n
cos( )
е
2
????????? ???? х
.
n
n
+
+
1
2 n+3
n=1
е
(-1)n (x + 3)2n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n2
n=1
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+5) ??????? 3x3 + 4x2 + 7x - 2.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
e
x-y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
yx2 - xy2
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
2
z = sin(x y).
7.?? ????? (?2; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 4), ???? z = x4 y2 .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? ey y - x = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -x2 - y2 - xy + x + y.
33
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 11
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х n2 + 2n -1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
е
????????? ????
х
n=1
(-1)n 3n
22n-1
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
(-1)n (x - 3)n
2n n2
n=1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? 3x3 - x2 - x - 2.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
3
2
sin(x + y )
.
x-y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = cos(x2 - y).
7.?? ????? (?3; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2;1), ???? z = xy2 + x2 y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin x
+ xy = 1.
???
x+y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + 3y2 - 7xy + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x - y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 12
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х 2n + 1.
n=1
е
34
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n n
.
n!
n=1
????????? ???? х
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
(-1)n+1 x3n
3n+1 n3
n=1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? 3x3 - x + 2.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
2
cos(x - y )
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
x2 - y
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = cos(x2 ) y.
7.?? ????? (2; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 0), ???? z = ex+y .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
cos(x - y2 )
??? y +
= 3.
x2 - y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 4y2 - 6xy - x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x + y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 13
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
n2 + 1
х 200n + 1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n !
.
(n + 1)!
n=1
х
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
е
xn 2n
х n +1 .
n=1
3
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?2) ??????? x - 2x + 2.
35
????? 2. ??????? ???? ??????????
╢z
╢z
exy
?
??????? z =
.
╢y
╢x
xy
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
cos(x2 )
z=
.
x+y
7.?? ????? (1; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2; ?1), ???? z = exy .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
??????? ???????? ????╢y
╢x
-1
??? y + sin (x - y) = 8.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 - 4y2 - 2xy - y - x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 + 2y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
5.?????????? ??????? ???????????
??????? ? 14
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 32n-1 .
n=1
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n 3n
.
n!
n=1
х
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
xn
х n! .
n=1
3
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?3) ??????? x - x + 4.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
exy
.
x sin y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z=
36
cos(x2 )
.
ln y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (1; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2; 3), ???? z = x2 + y2 .
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? yx + sin(x2 y) = 2.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 4y2 - 2xy - 4y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 - 2y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 15
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
х
n=1 3
1
n
.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
(-1)n (n + 2)
(n + 1)2
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х(
n=1
3
xn
2 )n (2n + 1)
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?4) ??????? x - 3x2 + 4.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
2
2
x +y
x2 - y2
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ln(xy - 2).
7.?? ????? (1; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 5), ???? z = xy .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
x-y
???
+ xy = 3.
2x + y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + 3y2 - 3xy - y.
37
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = xy + x ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 16
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
2n
х n.
n=1 3
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
е
х
(-1)n (n + 2)
.
n5 + 5
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
????????? ????
n=1
е
х n(n + 1)xn .
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+2) ??????? x3 + x2 + 1.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
xy2
.
x - y + xy
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ln(x2 y - y).
7.?? ????? (?3; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (3; 1), ???? z = x + y .
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? xy + x2 + 2y2 = 3.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 3x2 + 5y2 - 7xy + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = xy - x ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 17
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
2n + 1
х 3n .
n=1
е
38
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
(-1)n (n + 2)
n3 + 2
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х 2n xn .
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+3) ??????? x3 - x2 + 21.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z = x2 +
x- y
.
2
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = tg(x - y).
7.?? ????? (1; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ???1
???? (1; 3), ???? z = xy - x.
2
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
y
??? x x2 + 2y2 + = 0.
2
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 2y2 - 3xy + y - x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = xy - 2y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 18
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 3n -1.
n=1
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
(-1)n
n +2
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
е
х(
2)n xn .
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+4) ??????? x3 - x.
39
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
x- y
2x + y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = tg(x) tg(y).
7.?? ????? (2; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (0; 1), ???? z = x3 y .
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin y
= 10.
x
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 2y2 - 3y - x + 8.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
??? x2 + y2 +
z = 2xy + y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 19
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х nn .
n=1
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n
????????? ???? х
.
n=1 n n + 1
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х xn .
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?7) ??????? x3 + x.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z = sin(xex/y )cos y.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z = y arcsin(x).
40
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (?1; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 4), ???? z = x2 y + y2 x.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin y
??? y + x +
= 2.
x
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 3x2 + 2y2 - 3yx - x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2xy + x ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 20
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n!
х nn .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
е
????????? ????
х
n=1
(-1)n 2n+1
3n-1
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х (x + 1)n (2n - 25).
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+6) ??????? x3 + 6.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z = sin(x + y )cos y.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = arcsin(x - y).
7.?? ????? (0; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2; 1), ???? z = xey .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
y x
??? y + x + + = 5.
x y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + y2 - yx - x + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2xy - x ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
41
??????????
????? ???????????? ????????...................................................... ???????? ?? ?????????? ??????????? ?????................................. ??????? ????????????? ????????................................................... 1.?????...................................................................................... 1.1.????????? ????.................................................................. 1.1.1. ??????????? ? ???????????? ???????? ?????................. 1.1.2.???????????? ??????? ?????????? ?????...................... 1.1.3.??????????? ????????????? ?????............................... 1.1.4.???????????????? ????.............................................. 1.2.?????????? ????................................................................ 1.2.1.????? ??????? ? ?????????......................................... 1.2.2.??????????? ???????????? ??????? ? ????????? ????... 2.???????? ???? ??????????....................................................... 2.1.???????? ???????????......................................................... 2.1.1.???????? ??????????? ??????? ???????......................... 2.1.2.???????? ??????????? ??????? ???????......................... 2.2.?????????? ????................................................................. 2.2.1.???????????? ?? ???????????...................................... 2.2.2.?????????.................................................................. 2.3.???????????? ???????, ???????? ??????............................... 2.4.????????? ? ??????? ??????? ???? ??????????.................. 2.4.1.???????????? ??????? ??????????............................... 2.4.2.???????????? ??????? ??????????................................ 2.4.3.??????????? ?????????? ? ?????????? ????????......... 3.???????? ???????? ????????...................................................... 4.???????????? ?????? ? 3........................................................... 42
3
4
5
5
5
5
6
6
8
10
11
12
14
14
14
15
16
16
16
17
18
18
19
20
21
26
43
??????????? ???? (1.8) ??????? ???????????? ???? (1.9).
?????? 1.2. ??????????? ?????????? ????
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1
n
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1
1
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(n + 1)5n
(1.10)
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15
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(1.11)
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???????????? ???????
????? ??? ????????????? ??? a1+a2+?+an+?, ????? ????????
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1
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1.1.4.???????????????? ????
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8
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2 3 4
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(1.19)
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a1 + a2 + a3 +╝+ an +╝ (1.20)
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9
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2 3 4
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?????????? ?????????? ?????????? ???? ?????????? ????????
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(1.23)
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10
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2 3 4
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1
1
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2
2
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????????, ??? ? ????????? ?????????? ????????? ??? ????????
????????, ??????? ??????????? ?????? ???????. ???????? ? ???????? ??????: ??????????? ???????? ???????, ??????? ??????????? ?????? ??????? ??? ????? ?????????? ????.
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???????:
f (x) = f (a) +
+
f в(a)
f вв(a)
(x - a) +
(x - a)2 + ... +
1!
2!
f (n) (a)
(x - a)n + ?n (x),
n!
(1.24)
f (n+1) (a + ?x)
(x - a)n+1, 0 < ? < 1.
(n + 1)!
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? (1.24) ? ??????? ??? n??, ???????
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f (x) = f (a) +
f в(a)
f вв(a)
f (n) (a)
(x - a) +
(x - a)n + ....???(1.25)
(x - a)2 + ... +
n!
1!
2!
11
?????? ????? ????????? ?????????? ????? ??????? ??? ???????
f(x) ???????????? ????? a. ??? a=0 ??? (1.25)
f (x) = f (0) +
f в(0)
f вв(0) 2
f (n) (0) n
x+
x + ... +
x + ... 1!
2!
n!
(1.26)
?????????? ????? ????????? ??? f(x), ? ??? ???????????? ? ?????????????? ????????? ??????? f(x).
????, ????? ??????? f(x), ??????? ? ??????????? x=a ?????
????? ???????????, ???????? ? ???? ???? ??????? (1.25) ??? ????????? (1.26), ???? ????? ???????????? ??????? (?????????),
?????????? ??????? ?????????? ????????????? ???? ? ?????????,
??? ? ??????? ?????????? ???? ??? ?????????? ???? ????????? ?
????.
1.2.2.??????????? ???????????? ???????
? ????????? ????
??????? ?????????? ???????????? ??????? ? ??? ?????????
1.? ex = 1 +
1
1
1
x + x2 + ... + xn + ..., -е < x < е. 1!
2!
n!
2.? sin x = x -
3.? cosx = 1 -
1 3 1 5
(-1)m 2m+1
+ ..., x + x - ... +
x
(2m + 1)!
3!
5!
-е < x < е.
(1.27)
(1.28)
(-1)m 2m
1 2 1 4
x + x - ... +
x + ..., -е < x < е. (1.29)
(2m)!
2!
4!
(-1)n+1 n
1
1
4.? ln(1 + x) = x - x2 + x3 - ... +
x + ..., -1 < x < 1. (1.30)
2
3
n
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?(? -1) 2
x+
x + ... +
1!
2!
5.?
?(? -1)...(? - (n -1)) n
+
x + ..., -1 < x < 1.
n!
(1 + x)? = 1 +
(1.31)
???????? ?????? ????????????? ??????????? ??????????:
?????? 1.7
2
????????? ? ??? ????????? ??????? f (x) = e-x .
12
???????:
???????? ?????????? ? ??? ????????? ??????? ex (1.27):
ex = 1 +
1
1
1
x + x2 + ... + xn + ..., -е < x < е.
1!
2!
n!
??????? x ?? (?x2), ???????:
2
e-x = 1 -
(-1)n 2n
1 2 1 4
x + x + ... +
x + ..., -е < x < е.
1!
2!
n!
13
2.????????
???? ??????????
???? ?????? ???? ???????? (x, y) ???? ??????????? ?????????? x ? y ?????????? ? ???????????? ???????????? ???????? ????????? ???????? z, ?? ???????, ??? z ???? ??????? ???? ???????????
?????????? x ? y. ???????????? z = z(x, y) ??? z = f(x, y).
2.1.???????? ???????????
2.1.1.???????? ??????????? ??????? ???????
??????? ??????????? ??????? z = f(x, y) ?? ?????????? x ?????????? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?xz ? ??????????
?x, ????? ?x?0:
Dx z
f (x + Dx, y) - f (x, y)
.
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x
D
Dx
Dxо0
Dxо0
zxв = lim
(2.1)
??????? ??????????? ?? x ?? ??????? z = f(x, y) ????????????
????? ?? ????????? ????????:
zxв ; fxв (x, y);
╢z ╢f
;
.
╢x ╢x
??????????? ??????? ??????????? ??????? ??????????? ??????? z = f(x, y) ?? ?????????? y:
zyв =
Dy z
╢z
f (x, y + Dy) - f (x, y)
.
= lim
= lim
╢y Dyо0 Dy Dyо0
Dy
(2.2)
?????? 2.1
????? ??????? ??????????? ??????? z = xy.
???????:
??? ?????????? ??????? ??????????? ?? x ?????? ??????????
y ????????? ?????????????, ?? ???? ???? ???????????? ????????
╢z
????????????????? ????????? ???????:
= yx y-1.
╢x
????? ?? ????????? ??????????? ?? y, ?? ??? ??????????
x ????? ????????? ?????????? ?????????, ? ?? ?????? ???????????? ???????? ????????????????? ????????????? ???????:
╢z
= x y ln x.
╢y
14
2.1.2.???????? ??????????? ??????? ???????
????? ??????? z=f(x, y) ??????????????? ? ????????? ???????
╢z ╢z
D. ???????? ??????? ???????????
,
, ?????? ??????, ????╢x ╢y
??? ?? ????? (x, y), ? ??????? ??? ?????????, ?? ???? ??????? ??????????? ????? ???????????? ????? ??????? ?? ?????????? x ? y.
????????????? ??? ???????, ???????? ?????? ??????? ??????????? ?? ??????? f(x, y).
??????? ??????????? ?? ?????????? x ?? ??????? ???????????
╢z
?????????? ??????? ??????????? ??????? ??????? ?? ???????
╢x
f(x, y) ? ???????????? ????????:
╢2 f
╢x
2
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╢ цч ╢f Ўў
ч ў.
╢x чш ╢x ў°
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??????? ?? ??????? f(x, y) ?? ?????????? y:
╢2 f
2
╢y
=
╢ цч ╢f Ўў
ч ў.
╢y шч ╢y °ўў
????????? ??????????? ?? ??????? f(x, y) ?????????? ???????
╢z
??????????? ?? ?????????? x ?? ??????? ???????????
??? ????╢y
╢z
??? ??????????? ?? ?????????? y ?? ??????? ???????????
:
╢x
╢2 f
╢ цч ╢f Ўў
╢2 f
╢ ц ╢f Ў
=
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чч ўў,
ў
╢x╢y ╢x ш ╢y ° ╢y╢x ╢y чш ╢x °
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?????? 2.2
????? ?????? ??????? ??????????? ??????? z = sin(xy2).
???????:
??????? ????????? ?????? ??????? ???????????:
╢z
╢z
= y2 cos xy2 ,
= 2xy cos xy2 ,
╢x
╢y
( )
( )
? ?????, ????????????? ??, ??????? ??????
15
╢2 z
╢2 z
= -y4 sin xy2 ,
= 2x cos xy2 - 4x2 y2 sin xy2 ,
╢x2
╢y2
( )
( )
( )
╢2 z
= 2y cos xy2 - 2xy3 sin xy2 ,
╢x╢y
( )
( )
╢2 z
= 2y cos xy2 - 2xy3 sin xy2 .
╢y╢x
( )
( )
2.2.?????????? ????
????? ? ???????????? (x, y, z) ??????? ???????, ? ??????? ??????
????????? ??????? u = u(x, y, z). ? ???? ?????? ???????, ??? ? ??????? D ?????? ????????? ????.
?????????? ????? ??????? D, ? ??????? ??????? u(x, y, z) ????? ?????????? ???????? c: u(x, y, z) = c.???????????? ???? ?????
???????? ????????? ???????????. ???? ??????? ?????? ???????? c,
?? ??????? ?????? ???????????. ??? ??????????? ?????????? ????????????? ??????.
2.2.1.???????????? ?? ???????????
?????????? ? ??????? D ??????? u = u(x, y, z) ? ????? M(x, y, z).
???????? ?? ????? M ?????? s, ???????????? ???????? ????????
(cos?, cos?, cosg).
????? ??????????? ?? ??????? ??????????? ??????????
╢u ╢u
╢u
╢u
cos ? +
cos ? +
cos g. =
╢s ╢x
╢y
╢z
(2.3)
?? ??????? (2.3) ???????, ???, ???? ??????? ???????????, ?????
????? ??????????? ?? ?????? ???????????. ???? ??????? ??????????? ???????? ??????? ??????? ??????????? ?? ???????????.
???, ????????, ??? s=OX:
╢u ╢u
╢u
? ╢u
? ╢u
=
cos 0 +
cos +
cos =
.
╢s ╢x
╢y
2 ╢z
2 ╢x
2.2.2.?????????
? ?????? ????? ??????? D, ? ??????? ?????? ???????
u = u(x, y, z), ????????? ??????, ?????????? ???????? ?? ???? ????16
????? ???????? ???????? ??????? ???????????
╢u ╢u ╢u
,
,
????
╢x ╢y ╢z
??????? ? ??????????????? ?????:
gradu =
╢u
╢u
╢u
i+
j+
k. ╢x
╢y
╢z
(2.4)
???? ?????? ?????????? ?????????? ??????? u(x, y, z).
?? ??????????? ???????, ??? ??????????? ?? ??????????? ?????????? ??????? ????????? ???????? ????????? ?? ???? ??????.
???????????? ?????????? ???????? ?????????:
??????????? ? ?????? ????? ?? ??????????? ??????? S ?????
?????????? ????????, ???? ??????????? ??????? S ????????? ? ???????????? ?????????; ??? ?????????? ???????? ??????????? ????? ?????? ?????????.
??????????? ?? ??????????? ???????, ?????????????????
? ??????? gradu, ????? ????.
Gradu ????????? ??????????????? ? ????? ?????? u(x, y) = c,
??????? ? ????????? Oxy ? ?????????? ????? ???????????????
?????.
?????? 2.3
x2 y2
+
?????????? ???????? ??????? u =
? ????? M(2, 4).
2
3
???????:
╢u
╢u чц 2 ўЎ
8
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?????
ч
╢x
╢y ш 3 °M 3
?????????????, gradu=2i+8/3j.
????????? ????? ??????, ?????????? ????? ?????? ?????, ??x2 y2 22
??? ?????
+
= .
2
3
3
2.3.???????????? ???????, ???????? ??????
????? ??????? y ?? x ?????? ??????, ?? ???? ??????????
F(x, y)=0.
????? ????? ????????? ???????:
╢F
yxв = - ╢x . ╢F
╢y
(2.5)
17
?????? 2.4
????? ??????????? yxв , ???? x2+y2 = a2.
???????:
? ??????? ??????? ??????? ?????? ??????, ? ??????? ????????? F(x, y) = x2+y2?a2 = 0.
╢F
╢F
= 2x,
= 2y, ? ????????? ?????? ??????? ???????????
╢x
╢y
2x
x
=- .
??? yxв = y
2y
????? ??????? z ?? ?????????? x, y ?????? ??????, ?? ???? ?????????? F(x, y, z) = 0.
????? ??????? ??????????? ????? ???? ??????? ?? ????????:
╢F
╢F
╢z
╢z
╢y
.
= - ╢x ,
=╢F ╢y
╢F
╢x
╢z
╢z
(2.6)
2.4.????????? ? ??????? ??????? ?
???? ??????????
?????????? ?????? ??? ??????? ????? ?????????? ???????????? ??????? ?????????? ????????? ? ???????? ??????? ?
?????? ?????.
2.4.1.???????????? ??????? ??????????
???? ??????? z = f(x, y) ????????? ?????????? ??? x = x0,
y = y0, ?? ?????? ??????? ??????????? ??????? ??????? ?? z ??? ?????????? ? ???? ??? ???? ????????? ??????????, ??? ?? ??????????.
??? ??????????? ?? ???????? ??????????? ??? ????????????
??????? ?? ????????????? ????????? ???????, ?? ????????? ???????? ??? ???????? ? ??? ???????, ? ??????? ?? ??????? ???????
? ????????????? ????????? ??? ????????. ? ????????? ??????
????????? ?????????????? ????????????.
╢z
╢z
?????, ? ???????
= 0 (???
= 0 (??? ?? ??????????) ?
╢y
╢x
?? ??????????), ?????????? ???????????? ??????? ???????
z = f(x, y).
???? ??????? ????????? ?????????? ? ?????-???? ?????, ?? ???
????? ????????? ?????? ? ??????????? ?????.
18
??? ???????????? ??????? ? ??????????? ?????? ???????????? ??????? ?????????? ??????? ???? ??????????.
2.4.2.???????????? ??????? ??????????
????? ? ????????? ???????, ?????????? ????? M0(x0, y0), ??????? f(x, y) ????? ??????????? ??????? ??????????? ??????? ? ??????? ???????; ?????, ????? ????, ????? M0(x0, y0) ???????? ??????????? ?????? ??????? f(x, y), ?? ????
????????? A =
╢2 f (x0 , y0 )
╢x2
, B=
╢f (x0 , y0 )
╢f (x0 , y0 )
= 0,
= 0.
╢x
╢y
╢2 f (x0 , y0 )
╢x╢y
, C=
╢2f (x0 , y0 )
╢y2
.
????? ??? x = x0, y = y0:
1)?f(x, y) ????? ????????, ???? AC?B2>0 ? A<0;
2)?f(x, y) ????? ???????, ???? AC?B2>0 ? A>0;
3)?f(x, y) ?? ????? ?? ?????????, ?? ????????, ???? AC?B2<0;
???? AC?B2 = 0, ?? ????????? ????? ???? ? ????? ?? ???? (????????? ?????????????? ????????????).
?????? 2.5
??????????? ?? ???????? ? ??????? ??????? z = x2?xy+y2+3x?
?2y+1.
???????:
╢z
╢z
= 2x - y + 3,
= -x + 2y - 2.
??????? ??????????? ?????:
╢
╢
x
y
?????? ??????? ?????????
яья
яя 2x - y + 3 = 0,
яэ
яя-x + 2y - 2 = 0,
яя
яю
4
яья
яяx = - 3 ,
э
яя
1
яя y = .
3
яю
??????????? ????? ????? ?????????? (?4/3; 1/3).
??????? ??????????? ??????? ??????? ? ??????????? ????? ?
?????????? ???????? ??????????? ?????:
A=
╢2 z
╢x 2
= 2, B =
╢2 z
╢2 z
= -1, C =
= 2,
╢x╢y
╢y2
2
AC - B2 = 2 ╫ 2 - (-1) = 3 > 0.
?????????????, ? ????? (?4/3; 1/3) ?????? ??????? ????? ???????, ? ?????? zmin=?4/3.
19
2.4.3.??????????? ?????????? ? ?????????? ????????
??? ?????????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? ? ???????? ??????? ??????? ???????????? ?????????? ???????????.
?????? ????????????? ????? ?????? ?????? ??????? ? ???????? ???????? ??????? ? ???. ????? ?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? ?? ??????? ???????. ?? ????????? ????? ?????????? ???????? ???????? ?????????? ? ?????????? ????????
??????? ? ???????? ???????.
20
3.???????? ???????? ????????
??????? ? 0
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 2(n + 2).
n=1
е
???????.
?????? ??? ??????????, ??? ??? ??????? ?? ??????????????
???? ????????????? ???? ?????? ? ?????????? ?? ??????????
????????? (??. ??????? 1.1.1).
?????: ??????????.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е (-1)n 2n+1
????????? ????? х
.
3n-1
n=1
???????.
?????????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ??????
??????? ???????????????? ???? (??. 1.1.1)
е
2n+1
2
е
2n
е
ц 2 Ўn
х 3n-1 = 3-1 х 3n = 6 х чччш 3 ўў°ў
n=1
n=1
.
n=1
?????????? ??? ???????? (??. ?????? 1.1), ??????? ???????
??????????????? ??? ???????? ?????????.
?????: ????????? ????????.
е (-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????? х
.
2n-1
n=1 3
???????.
?????? ?????? ?????????? ??????? ???? ?? ???????? ????????? (??. 1.22)
ъ 1 ·
ъ 2n-1 ·
ъ c ·
ъ
·
n ·
ъ
= lim ъ 3
R = lim ъ
· = 9.
·
1
·
nое ъы cn+1 ·√ nое ъ
ъ 2n+1 ·
ыъ 3
√·
??? x = ▒9 ??? ?????????? ?? ???????????? ????????????
???????? (??. 1.1.2), ??????? ??????? ?????????? ?????????? ????
?9<x<9.
?????: ?9<x<9.
21
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? x3?3x2+4x?5.
???????.
????????????? ???????? ??????? (1.25); ? ?????? ?????? ?????????? ????? ?????? 4 ????? ????.
????, f(x)=x3?3x2+4x?5.
f (x) = f (1) +
f в(1)
f вв(1)
f ввв(1)
(x -1) +
(x -1)2 +
(x -1)3 .
1!
2!
3!
???????? ???????? ??????? ? ?? ??????????? ? ????? 1.
f(1)=1?3+4?5=?3;
f?(x)=3x2?6x+4,?f?(1)=1;
f??(x)=6x?6,?f??(1)=0;
f???(x)=6,?f???(1)=6.
????? ???????, f (x) = -3 + (x -1) + (x -1)3 .
?????: f (x) = -3 + (x -1) + (x -1)3 .
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
sin x3 y
z=
.
x+y
???????.
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢z
╢ чц sin x3 y2 Ўўў (cosx3 y2 ) ╫ 3x2 y2 (x + y) - sin x3 y2
ч
,
=
ў=
╢x ╢x чшч x + y °ўў
(x + y)2
╢z
╢ ц sin x3 y2 Ўўў (cosx3 y2 ) ╫ 2x3 y(x + y) - sin x3 y2
= ччч
.
ў=
╢y ╢y чш x + y ў°ў
(x + y)2
?????:
╢z (cosx3 y2 ) ╫ 3x2 y2 (x + y) - sin x3 y2
,
=
╢x
(x + y)2
╢z (cosx3 y2 ) ╫ 2x3 y(x + y) - sin x3 y2
.
=
╢y
(x + y)2
6.?????????? ??????????? ??????? ???????
??? z =
22
x3 y
.
x+y
╢2 z
╢2 z
?
????╢x╢y
╢y╢x
???????.
╢z
╢z
??????? ???????? ??????? ???????????
?
??????
╢y
╢x
???????:
2
3
2
╢z
╢ цч x3 y Ўўў 3x y(x + y) - x y x y(2x + 3y)
чч
=
=
=
,
ў
╢x ╢x чш x + y ўў°
(x + y)2
(x + y)2
3
3
╢z
╢ ц x3 y Ўўў x (x + y) - x y
x4
= ччч
=
=
.
ў
╢y ╢y чш x + y ўў°
(x + y)2
(x + y)2
??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
:
╢x╢y
╢y╢x
2
2
╢2 z
╢ чц x y(2x + 3y)Ўўў
2 (2x + 6y)( x + y) - y (2x + 3y)╫ 2( x + y)
= чч
=
x
=
ў
╢x╢y ╢y ччш (x + y)2 ўў°
(x + y)4
= x2
2x2 + 8xy + 6y2 - 4xy - 6y2
(x + y)3
=
2x4 + 4x3 y
(x + y)3
,
2
3
4
╢2 z
╢ чц x4 ўўЎ 4x (x + y) - x ╫ 2(x + y) 2x4 + 4x3 y
чч
=
=
=
.
ў
╢y╢x ╢x чш (x + y)2 ўў°
(x + y)4
(x + y)3
?????:
╢2 z
2x4 + 4x3 y
╢2 z
2x4 + 4x3 y
=
,
=
.
╢x╢y
╢y╢x
(x + y)3
(x + y)3
7.?? ????? (1;2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ?????x y
?? (?1; ?2), ???? z = + .
y x
???????.
?????? ?????????? ??????? gradz (??. (2.4)):
╢z(1;2) 1 2
3
╢z
╢ цч x y ўЎ 1 y
=
= - =- ,
ч + ўў = - 2 ,
ў
ч
╢x ╢x ш y x ° y x
╢x
2 1
2
╢z
╢ цx yЎ
x 1 ╢z(1;2)
1 1 1
= чч + ўўў = - 2 + ,
=- + = .
ў
ч
╢y ╢y ш y x °
╢y
y
4 2 4
y
? gradz = (?3/2)i+(1/4)j.
???????????? ???????? ??????? (?1; ?2) (??. (2.4)):
1
2
cos ? = - , cos ? = - .
5
5
23
? ??????????? ? ??????????? ??????? ???????:
ц 3Ў ц 1 Ў 1 ц 2 Ў 1
╢u ╢u
╢u
=
cos ? +
cos ? = чч- ўўў╫ чч- ўўў + ╫ чч- ўўў =
.
шч 2 ° шч 5 ° 4 чш 5 °
╢s ╢x
╢y
5
╢u
1
=
.
╢s
5
╢z
╢z
8.?????????? ??????? ???????????
?
?????? ????????
╢y
╢x
????????x4+y4?x2+y+z+sinz = 5.
???????.
????? F(x, y, z) = x4+y4?x2+y+z+sinz?5=0.
?????? ??????? ??????????? F(x, y, z):
?????: gradz = (?3/2)i+(1/4)j,
╢F
╢F
╢F
= 4x3 - 2x,
= 4y3 + 1,
= 1 + cos z.
╢x
╢y
╢z
?????? ?????? ??????? ???????????
??????? (??.(2.6)):
╢z
╢z
?
?????? ????????
╢y
╢x
╢F
╢F
3
4
x
2
x
z
4 y3 + 1
╢z
╢
╢y
,
.
= - ╢x = ==╢F
╢F
1 + cos z
1 + cos z
╢x
╢y
╢z
╢z
╢z
4x3 - 2x ╢z
4 y3 + 1
?????:
==,
.
╢x
╢y
1 + cos z
1 + cos z
9.?????? ????? ?????????? ????????z = x2+8y2?x+y+3.
???????.
?????? ??????? ??????????? ? ??????????? ????? ???????????
╢z
╢z
= 2x -1,
= 16y + 1.
??????? (??. 2.4.1):
╢x
╢y
ь
ь
1
я
я
я
я
x= ,
я
я
=
2
x
1
0
,
я
я
2
я
оэ
э
я
я
16y + 1 = 0,
1
я
я
y =- .
я
я
я
я
16
я
ю
я
ю
???????? ??????????? ??????? ????????????? ?????????? ?
????????? ??????????? ????? (??. 2.4.2):
24
A=
╢2 z
╢x2
= 2, B =
╢2 z
╢2 z
= 0, C = 2 = 16,
╢x╢y
╢y
AC - B2 = 2 ╫16 - 0 = 32 > 0, A > 0.
????? ???????, ? ??????????? ????? ???????:
ц 1 Ў2
ц 1 Ў2 1 1
1 1 1 1
9
87
zmin = чч ўўў + 8чч- ўўў - - + 3 = +
- - +3=- +3= .
чш 2 °
чш 16 °
2 16
4 32 2 16
32
32
87
.
32
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z = xy
? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
???????.
?????? ????? ??????????? ??????:
?????: zmin =
ь
2
2
ь
яьx1 = 0, y1 = 0,
яяя y = x , яя y = x ,
оэ
о яэ
э
2
яяy = x , яяx = x , яюяx2 = 1, y2 = 1.
яю
яю
???????? ??????????? ????? ???????:
╢z
╢z
= y,
= x,
╢x
╢y
ь
╢z
я
я
= 0,
я
ь
я y = 0,
я ╢x
я
оя
э ╢z
э
яя
яx = 0.
= 0, яю
я
я
я
ю ╢y
???????????? ??????????? ????? ??????? ??????????? ??????? ???????, ?????? (??. 2.4.3) ?????????? ? ?????????? ????????
??????? z = xy ????????? ?? ??????? ???????.
??? y = x2?z=x3 ? ??? x = 0 ??????? ????????? ??????????
????????, ??? x = 1 ??????? ????????? ?????????? ????????.
?????????? ? ??? y = x .
?????: zmin = 0, zmax = 1.
25
4.???????????? ?????? ? 3
??????? ? 1
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х 4n2 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n
????????? ???? х
.
2
n=1 (2n + 1)
е
(-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
2n+1
n=1 3
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? x3 - 3x2 - 8x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
╢z
╢z
5.?????????? ??????? ???????????
?
???????
╢y
╢x
3
sin x y
z=
.
x2 + y
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
2 2
x y
z=
.
x+y
7.?? ????? (1; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ???x y2
???? (1; 2), ???? z = + .
y
x
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
4
3
2
??? x + y - x + y = 5.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 8y2 - 2x + 4y + 3.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z =4xy
?а???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 2
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х (2n -1)(2n + 1).
n=1
е
26
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n
????????? ???? х
.
n=1 2n + n
е
(-1)n xn
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
2n
n=1
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? x3 - 3x2 + 4x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
cos xy2
.
x+y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z=
xy2
.
x-y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (2;1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 2), ???? z =
x2
.
y
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? 2x4 - y4 - x + y2 = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + 3y2 - 2x + 5.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x + y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 3
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х n + 1 + sin n.
n=1
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
(-1)n
2
n=1 n
+ n
.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
е
х
(-1)n xn
n=1 (n + 1)
n
.
27
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?2) ??????? 2x3 + 5x2 + 7x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
╢z ╢z
ex-y
?
??????? z =
.
╢x ╢y
x+y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = sin(x - y2 ).
7.?? ????? (?1; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 1), ???? z = x2 y3 .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? sin(xy) + y = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 - 3y2 - 2xy + x + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 4
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
32n+1
х 23n-1 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
(-1)n n
2n
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
(-1)n nxn
.
ln(1 + n)
n=1
х
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?3) ??????? 2x3 - 5x2 + 4x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
2
2
x +y
.
x-y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
z = arcsin(xy).
28
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
7.?? ????? (?1; 0) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (0; 1), ???? z = cos(?x + y).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? sin(xy2 ) + ey = 0.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + y2 - 2xy - x + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 5
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
х
n=1
1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n
х (n + 1)(n + 2).
n=1
е
х
(-1)n nxn
.
2 n
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?4) ??????? 3x + 5x2 + 4x - 3.
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
n=1
3
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
x + x5 y2
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
x2 - y2
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = arcsin(x - y).
7.?? ????? (1; 3) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; ?1), ???? z = cos(?xy).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? eyx + cos y = 0.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 3y2 - 5xy - x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - 2y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
29
??????? ? 6
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
.
х3 2
n=1 n + 3n - 2
е
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n2
х (n3 + 1)(n2 - 2).
n=1
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
n=1
(-1)n xn
2n+3
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? 2x3 - 2x2 + 3x -1.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
xy + x - y2
x 3 - y3
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = exy .
7.?? ????? (?3; 1) ????? gradz ??????????? ? ??????????? ??????? (0; 1), ???? z = sin(?y - x).
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? cos(y + x2 + y2 ) = 2.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + y2 - 3xy + x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ??????? z = x2 y
? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 7
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
х3
n=1
30
1
2
(n + 3n - 2)(n2 + 3)
.
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
х
n=1
cos(?n)
nn
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
n=1
(-1)n xn
32n+1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+2) ??????? 2x3 + 4x2 + 7x -1.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
arcsin(x - y)
.
x
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = xex-y .
7.?? ????? (?2; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (3; 1), ???? z = ex y3 .
8.?????? ??????? ???????????
╢z
╢z
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? x2 + y2 + y2 - 4x = 2.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -x2 - 2y2 - xy + x - y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 + y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 8
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
1
х 3 1000n + 5 .
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ????????n
)
е sin(
4 .
????????? ???? х
n5
n=1
е
(-1)n (x - 2)n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n!
n=1
31
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+3) ??????? 2x3 - 4x2 + 7x - 5.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
arcsin x
z=
.
cos-1 y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ex sin y.
7.?? ????? (0; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (?1; 1), ???? z = x arcsin y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin x
+ y = 3.
???
cos y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -3x2 - 2y2 - 4xy + x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x2 - y ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 9
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
1
х5 4 .
n=1 n + n
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????ц ?n Ўў
ч ў
е sin чч
ш 2 ў°
.
????????? ???? х
n=1 n n
е
(-1)n (x + 1)n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n
n=1
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?5) ??????? 3x3 - 2x2 + 7x - 3.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
32
arcsin(x - y)
.
cos(y - x)
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = ex-y sin x.
7.?? ????? (0; ?1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; ?1), ???? z = x + arcsin y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? y x + y - x = 4.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -3x2 - y2 - 2xy + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x + y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 10
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х n3 + 2n2 -1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ????????n
cos( )
е
2
????????? ???? х
.
n
n
+
+
1
2 n+3
n=1
е
(-1)n (x + 3)2n
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ???? х
.
n2
n=1
е
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+5) ??????? 3x3 + 4x2 + 7x - 2.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
e
x-y
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
yx2 - xy2
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
2
z = sin(x y).
7.?? ????? (?2; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 4), ???? z = x4 y2 .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
??? ey y - x = 1.
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = -x2 - y2 - xy + x + y.
33
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = x - y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 11
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х n2 + 2n -1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
е
????????? ????
х
n=1
(-1)n 3n
22n-1
.
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
(-1)n (x - 3)n
2n n2
n=1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?1) ??????? 3x3 - x2 - x - 2.
????? 2. ??????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
3
2
sin(x + y )
.
x-y
6.?????? ??????????? ??????? ???????
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
╢2 z
╢2 z
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = cos(x2 - y).
7.?? ????? (?3; 2) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2;1), ???? z = xy2 + x2 y.
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
arcsin x
+ xy = 1.
???
x+y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = 2x2 + 3y2 - 7xy + y.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x - y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 12
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
n +1
х 2n + 1.
n=1
е
34
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
(-1)n n
.
n!
n=1
????????? ???? х
е
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
х
(-1)n+1 x3n
3n+1 n3
n=1
.
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x+1) ??????? 3x3 - x + 2.
????? 2.???????? ???? ??????????
5.?????????? ??????? ???????????
z=
2
cos(x - y )
╢z
╢x
?
╢z
╢y
???????
.
x2 - y
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
z = cos(x2 ) y.
7.?? ????? (2; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (1; 0), ???? z = ex+y .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
?????? ???????? ????╢y
╢x
cos(x - y2 )
??? y +
= 3.
x2 - y
9.?????? ????? ?????????? ??????? z = x2 + 4y2 - 6xy - x.
10.?????? ?????????? ? ?????????? ???????? ???????
z = 2x + y2 ? ???????, ???????????? ??????? y = x2 ? y = x .
??????? ? 13
????? 1. ????
1.???????????? ?????????? ???? ? ?????????????? ???????
е
n2 + 1
х 200n + 1.
n=1
2.???????????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ???????е
????????? ????
(-1)n n !
.
(n + 1)!
n=1
х
3.?????? ??????? ?????????? ?????????? ????
е
xn 2n
х n +1 .
n=1
3
4.?????????? ? ??? ?? ???????? (x?2) ??????? x - 2x + 2.
35
????? 2. ??????? ???? ??????????
╢z
╢z
exy
?
??????? z =
.
╢y
╢x
xy
╢2 z
╢2 z
6.?????? ??????????? ??????? ???????
?
???????
╢x╢y
╢y╢x
cos(x2 )
z=
.
x+y
7.?? ????? (1; 1) ????? gradz ? ??????????? ? ??????????? ??????? (2; ?1), ???? z = exy .
╢z
╢z
8.?????? ??????? ???????????
?
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