close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

VeshevGuasman

код для вставкиСкачать
???????????? ??????????? ? ????? ?????????? ?????????
??????????? ??????????????? ??????????
??????????????? ?????????? ??????? ???????????
?????-????????????? ??????????????? ???????????
???????????????? ???????????????
????
???????????? ????????
? ??????? ??????????? ??????
?????-?????????
2015
???????????: ?. ?. ?????, ?. ?. ??????, ?. ?. ???????
????????? ? ?????? ??????-?????????????? ????, ?????????
?. ?. ?????????
?????????? ???????? ????????????? ???????? ? ??????? ???????? ??????? ????? ?? ?????? «????».
????????????? ??? ????????? I ????? ??????????? ? ????????????? ?????????????? ????, ??????? ???? ??? ???????????? ??????? ? ??????.
??????????? ? ????????? ????????.
???????????? ??????? ?. ?. ????????
????????? ? ??????. ?????? 60 � 84 1/16.
?????? ????????. ???. ???. ?. 3,37. ????? 100 ???. ????? ? 415.
???????????-???????????? ????? ????
190000,??????-?????????, ?. ??????? ??., 67
© ?????-????????????? ???????????????
??????????? ????????????????
???????????????, 2015
????????
??????????? ? ????????? ? XVII ???? ????????????????? ? ????????????? ?????????? ? ?????????????? ???????? ????? ? ??????????? ????.
????????? ??? ????????? ?????? «????» ?????? ? ???????????? ?????????? ???????? ???????.
????? ???? ????????? ?????????????????? ????? a1, a2,?an,?.
? ???????? ????? ??????????????? ??? ?????????? ???? ???????????????????: ?????????????? ? ?????????????? ??????????.
?????????????? ??????????? ?????????? ????? ?????????????????? ?????, ? ??????? ???????? ????? ??????????? ? ?????????? ??????? ???????? ??????????. ??? ???????? ?????????? ????????? ??????????.
????????, ??????????? ??? ????? 1, 2, 3, ?,n, ? ???? ?????????????? ?????????? ? ????????? 1.
????? ???? ?????????????? ?????????? ????? ????????? ??
???????
an =a1 + d ( n ? 1) , (0.1)
????? a1 ? ?????? ???? ??????????, d ? ???????? ??????????, n ?????? ??????? ?????.
????? ?????? n ?????? ?????????????? ?????????? ?????????? ????????
( a1 + an ) ? n 2a1 + d (n ? 1)
=
sn =
? n. (0.2)
2
2
?????????????? ??????????? ?????????? ??????????????????
?????, ? ??????? ????????? ????? ??????????? ? ??????????
3
??????? ???????? ??????????. ??? ????????? ?????????? ???????????? ??????????.
????????, ????? 5, 10, 20, 40, ? ???????? ?????????? ?? ???????????? 2.
????? ???? ?????????????? ?????????? ????? ????????? ??
???????
bn = b1qn ?1 , (0.3)
????? b1 ? ?????? ???? ??????????, q ? ???????? ??????????, n- ????? ??????? ?????.
????? ?????? n ?????? ?????????????? ?????????? ??????????
????????
n
bn q ? b1 b1 q ? 1
.
(0.4)
=
sn =
q ?1
q ?1
(
)
???? q?=?1, ?? ?????????? ??????? ?? ?????? ?????? ? ?????? (0.4)
?????
sn = nb1.
????? ?????? ??? ????????? ?????????? ?????????? ????????? ?????????????? ??????????, ?. ?. ?????????????? ??????????
??? q < 1.
?????? ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? ?????????? ?????, ? ???????? ????????????? ???????????? ?????
?????? n ?????? ????????? ?????????? ??? ?????????????? ??????????? ????? n.
????? ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? ?????????? ????????
s=
4
b1
.
1?q
(0.5)
????? 1
???????? ????
1.1. ???????? ???????????
????? ?????? ????????? ??????????? ?????????????????? ?????
a1, a2 , a3 ,..., an .... (1.1.1)
???????????? ?? ???? ????? ??????
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... .
(1.1.2)
?????????? ??????????? ????? (??? ? ?????? ? ?????), ? ???? ????? (1.1.1) ? ??????? ????. ?????? (1.1.2), ????????? ?????? ?????
????? ?????:
?
? an , (1.1.3)
sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . (1.1.4)
n =1
????????? n ????????? ????? ??? ???????? ?? 1 ?? ? .
????? ????????? ????? n ?????? ?????? ???? ?????????? n-? ????????? ?????? ????:
???? ?????????? ???????? ?????? ????????? ?????
s = lim sn ,
n ??
(1.1.5)
?? ??? ???????? ?????? ???? ? ???????, ??? ??? ????????.
???? lim sn ?? ?????????? ??? ???????? ???????????, ?? ????n ??
???, ??? ??? ?????????? ? ????? ?? ?????.
?????? 1. ?????????? ???
a + aq + aq2 + ... + aqn ?1 + .... (1.1.6)
5
??? ?????????????? ?????????? ? ?????? ?????? a ? ???????????? q ( a ? 0 ).
????? n ?????? ?????? ?????????????? ?????????? ????? (???
q ?1)
=
sn
a ? aqn
1?q
טכט =
sn
a
aqn
?
.
1?q 1?q
(1.1.7)
?????????? ????????? ??????
a
1) ???? q < 1, עמ lim sn =
.
1?q
n ??
??????, ? ?????? q < 1 ??? ???????? ? ??? ?????
s=
a
.
1?q
(1.1.8)
2) ???? q > 1, ?? qn ? ? ??? n ? ? ? ????? sn ? ±? ןנט n ? ?.
????? ???????, ? ?????? q > 1 ??? ??????????.
3) ???? q?=?1, ?? sn = na, lim sn = ?. ? ??? ??????????.
n ??
4) ???? q?=??1, ?? ??? ????? ???
a ? a + a ? a + ....
? ???? ??????
? 0 ןנט n קועםמל,
sn = ?
?a ןנט n םוקועםמל.
?????????????, sn ??????? ?? ????? ? ??? ??????????.
????? ???????, ?????????????? ?????????? (? ?????? ??????
???????? ?? ????) ???????? ?????? ?????, ????? ??????????? ?????????? ?? ?????? ?????? ???????.
?????? 2. ?????????? ???
?
1
? n ( n + 1) =
n =1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ...
1?2 2 ? 3 3 ? 4
n ( n + 1)
n-? ????????? ????? ??????? ????
6
sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
?
?
?
n
n
1 2 2 3 3 4
( + 1)
????????????? ????????? ??????????
sn =
1
1
1
=
?
. ?????
n ( n + 1) n n + 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
n ( n + 1)
1?2 2 ? 3 3 ? 4
1 ?
1
? 1? ?1 1? ?1 1?
?1
.
=
1?
? 1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ... + ? ?
?=
n +1
? 2? ?2 3? ?3 4?
? n n +1 ?
1 ?
?
??? ??? lim sn = lim ? 1 ?
? = 1, ?? ??? ???????? ? ??? ?????
n +1 ?
n ??
n ?? ?
????? ???????.
????????? ?????????? ? ???????? ?????? ?????? ????? ? ???
?????? ???????? ??? ??? ??????????. ???? ??? ??????? ???????
?????????, ???????????? n ? ? ????????? ?????, ? ???????? ?????????, ?????? ???????? ???????????, ?? ?????? ???? ?????? ???????? ?????.
?????? ??? ??? ?? ?????????? ????? ??????? ????????????
???????????? ????, ?? ??????????????? ??????????????? ???????????? ?????????? ????? ??????? ???????? ?????. ??????? ???????? ??? ?????? ? ???????????, ??????? ???????? ?????? ?????? ?
?????????? ??? ???????????? ??????????????? ?????.
1.2. ??????? ? ?????????? ?????
???????? ????????? ??????? ?????? ??? ?????????? ?????, ???????? ????? ????? ???????????? ? ??????????.
??????? 1.
???? ???????? ???, ???????????? ?? ??????? ???? ????????????? ?????????? ??? ??????, ?? ???????? ? ??? ?????? ???.
???????, ???? ???????? ?????? ???, ?? ???????? ? ???, ???????????? ?? ??????? ????????????? ?????????? ??? ??????.
????? ???????, ?? ?????????? ???? ?? ?????? ???????????? ????????? ????? ??? ??????.
?????? ??? ??? ??????? ????????.
7
??????? 2.
???? ??? a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ???????? ? ??? ????? ????? s, ??
??? ca1 + ca2 + ca3 + ... + can + ..., ??? c ? ?????-???? ?????????????
?????, ????? ???????? ? ??? ????? ????? cs.
?????? ???????, ??? ?????? ??? ??????? ????????? ?????????? ??????????????? ????.
??????? 3.
???? ????
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... ?
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
???????? ? ?? ?????, ?????????????? ?????? s ? ? , ?? ????
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + (a3 + b3 ) + ... + (an + bn ) + ... ?
(a1 ? b1 ) + (a2 ? b2 ) + (a3 ? b3 ) + ... + (an ? bn ) + ...
????? ???????? ? ?? ????? ?????????????? ????? ( s + ? ) ? ( s ? ? ).
1.3. ??????????? ??????? ?????????? ?????
??? ??? ???? ???????? ? 1.1, ??? ???????????? ????? ?????
?? ???????? ???????? ???????? ?????? ? ???, ???????? ?? ??????
??? ??? ??????????. ???? ????? ??????????? ??????????? ????????, ?? ????????? ??????? ????? ?????? ???? ??????. ????? ?? ????? ?????????? ??????????? ??????? ?????????? ????, ?. ?. ?????
??????????? ???????, ??? ???????????? ???????? ??? ??????????.
???????.
???? ??? ????????, ?? ??? n-? ???? ????????? ? ???? ??? ?????????????? ??????????? n.
?????????. ???? n-? ???? ???? ?? ????????? ? ????, ?? ??? ??????????.
?????? 1.
?
???
n
1
2
3
n
? n + 1 = 2 + 3 + 4 + ... + n + 1 + ... ??????????, ??? ???
n =1
n
= 1 ? 0.
n ?? n + 1
lim
8
??????????, ??? ????????????? ??????? ???????? ?????? ???????????, ?? ?? ???????? ???????????, ?. ?. ?? ????, ??? n-? ????
???? ????????? ? ????, ??? ?? ???????, ??? ??? ????????, ? ??? ????? ? ??????????.
?
?????? 2. ???
?
1
n
n =1
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ... ??????????,
??? ??? ???? ????? ???? ???????, ?? ??? n-? ????????? ?????
sn =1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
>n?
1
n
= n
????????? ? ????????????? ? ??????????? n.
1.4. ?????????? ????????????? ?????
?????? ?? ???????????? ?????????? ??? ???????????? ?????
????? ????? ???????? ??? ?????, ????? ??????? ??????????????,
??? ????????? ????? ???? ????? ???????? ??????????????.
1.4.1. ??????? ????????? ?????
?????????? ??? ???????????? ?????????????? ???? ????? ????????????? ????? ????????? ??? ? ?????? ?????, ???????? ?????????? ??? ????????????. ? ?????? ?????? ????????? ????? ????????? ???????.
??????? 1. ????? ????? ??? ???? ? ?????????????? ???????:
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... (1.4.1)
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... (1.4.2)
???? ????? ???? (1.4.1) ?? ?????? ??????????????? ??????
???? (1.4.2), ?. ?. an ? bn (n =
1;2;3;...) , ? ??? (1.4.2) ????????, ??
???????? ? ??? (1.4.1).
?????? 1.
??????????? ?????????? ????:
?
?
n =0
1
( n + 1) 5
n
=1 +
1
1
1
+
+ ... +
+ ....
2 ? 5 3 ? 52
(n + 1) 5n
9
??????? ?????? ??? ? ?????????? ????????? ??????????????
???????????, ????? ???? ??????? an =
1
5n
??? ???? n ??????????? ???????????
?
.
1
( n + 1) 5
n
?
1
5n
.
1
5
=
????????, ??????? ??1 4
n =0
1?
5
?
1
?????? ?????????? ??????? ???????? ? ??? ?
? ?????
n
n = 0 ( n + 1) 5
??? ??? ??? (??. (1.1.8) ),
1
?=
5n
??? ????? 1,25.
??????? 2.
???? ????? ???? (1.4.1) ?? ?????? ??????????????? ??????
???? (1.4.2), ?. ?. an ? bn (n =
1;2;3;...) , ? ??? (1.4.2) ??????????, ??
?????????? ? ??? (1.4.1).
?????? 2.
??????????? ?????????? ????:
?
1
1
1
1
? 3 n =1 + 3 2 + 3 3 + ... + 3 n + ....
n =1
??????? ?????? ??? ? ?????
?
?
n =1
1
n
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
+ ...,
????????????? ? ?????????? ?????????.
??? ???
1
3n
?
1
n
, ? ?????? ??? ??????????, ?? ?????????? ? ??-
???????? ???.
??? ?????????? ???????? ????????? ??????????? ?????? ???
????? ? ?????????????? ???????. ??? ???????? ? ???? ? ??? ????
??????, ???? ????????? ????? ????? ? ????. ?????? ???????? ???????, ???? ????? ?????? ???? ??????? ?????????????.
?????? ?? ???????? ????? ?????? ????????? ???????, ?????????? ?? ?????? 1 ? 2, ??????? ????? ??? ?????????????? (??. [1]).
10
??????? 3.
an
K (bn ? 0, 0 < K < ?),
=
???? ?????????? ?????? lim
n ?? bn
?? ?? ?????????? ???? (1.4.2) ??? K < ?, ???????? ??????????
???? (1.4.1), ? ?? ???????????? ??????? ????, ??? K?>?0, ????????
???????????? ???????.
????? ???????, ??? 0 < K < ? ??? ???? ???????? ??? ??????????
????????????.
??????????? ??????????? ??????????? ? ? ???????????? ?????.
???????, ??? ?????????? ????????? ????????? ???????? ????
??? ?????? ?????????? ??? ???????????? ????????? ?????????
?????, ? ???????? ?????????? ?????????.
???????? ????? ??????? ? ?????????? ???????? ??????????
?????.
1.4.2. ??????? ?????????
??????? (??????? ?????????).
???? ? ???? ? ?????????????? ???????
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
????????? (n?+?1)??? ????? ? n-?? ??? n ? ? ????? (????????) ???a
??? l , ?. ?. lim n +1 = l, ??:
n ?? an
1. ??? ???????? ? ?????? l < 1,
2. ??? ?????????? ? ?????? l > 1.
(? ?????? l = 1 ?????? ?? ?????? ? ?????????? ??? ????????????
???? ??????? ?? ????).
?????? 1.
??????????? ?? ???????? ????????? ?????????? ????:
?
2n
? n! .
n =1
2n +1
( n + 1) !
a
2
= lim
= 0 < 1.
lim n +1= lim
n
n ?? an
n ?? 2
n ?? n + 1
n!
?????????????, ??? ????????.
11
?????? 2.
??????????? ?? ???????? ????????? ?????????? ????:
?
3n
.
n =1 n
?
3n +1
( n + 1)
a
3n
lim n +1= lim
= lim
= 3 > 1.
n
n ?? an
n ?? 3
n ?? n + 1
n
?????????????, ??? ??????????.
?????? 3.
??????????? ?? ???????? ????????? ?????????? ????:
?
?
n =1
1
n
.
1
an +1
n
n + 1 lim
=
=
= 1.
lim
lim
1
n ?? an
n ??
n ?? n + 1
n
?????? ??????? ?????? ?? ????, ???? ??? ????????, ??? ??? ?????????? (??. ?????? ? 2 ??????? 1.3).
?????? 4.
??????????? ?? ???????? ????????? ?????????? ????:
?
1
? n ( n + 1) .
n =1
???????.
1
(n + 1)(n + 2)
an +1
n
lim
= lim
= lim
= 1.
1
n ?? an
n ??
n ?? n + 2
n ( n + 1)
?????? ??????? ?????? ?? ????, ???? ??? ????????, ??? ??? ???????? (??. ?????? ? 2 ??????? 1.1).
12
1.4.3. ??????? ????
??????? (??????? ????).
???? ? ???? ? ?????????????? ???????
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
????????
na
n
????? (????????) ?????? l , ?. ?. lim n an = l, ??:
n ??
1. ??? ???????? ? ?????? l < 1,
2. ??? ?????????? ? ?????? l > 1.
(? ?????? l = 1 ?????? ?? ?????? ? ?????????? ??? ????????????
???? ??????? ?? ????).
?????? 1.
??????????? ?? ???????? ???? ?????????? ????:
?
?
n
?
n
? ?? 2n + 1 ??
.
n =1
n
n
1
? n ?
lim n an= lim n ?
=
< 1.
? = lim
n ??
n ?? ? 2n + 1 ?
n ?? 2n + 1 2
?????????????, ??? ????????.
?????? 2.
???
?
1
1
1
1
? n =1 + 2 + 3 + ... + n + ...
n =1
(1.4.3)
????? ???????? ?????????????.
????????? ??? ?? ?????????? ?? ???????? ????:
1
na
n
lim
lim
1.
=
=
n
n ??
n ?? n
??? ?????????? ???????? ????? ?????????? ???????????? ????????? ??????? lim n n = 1.
n ??
?????????????? ???? ??????? ???????????? ??? ????????
??????? ??????????????????.
13
??? ? ??? ????????????? ???????? ????????? ??? l = 1 , ??????? ???? ?????? ?? ????.
???????, ??? ?????? ?????????? ?????????????? ????, ??? ?
?????? ????? ???????
?
1
1
1
1
? n p =1 + 2 p + 3 p + ... + n p + ... (1.4.4)
n =1
????? ????? ? ??????? 1.4.4, ? ??????? ????? ????????, ??? ??? p?>?1
??? ????????, ? ??? p ? 1 ? ??????????.
1.4.4. ???????????? ??????? ????
???? ??????? ???????? ?????????? ????? (?????, ????????,
??? ???????? ????????? ? ????) ?? ???? ??????, ???????????? ????? ??????? ????????, ???? ?? ??????? ? ???????????? ???????
????.
?
????????, ??? ???????? ???
? f ( x ) dx
?????????? ??????????-
1
?
???. ?? ???????????
? f ( x ) dx = lim
A ??
1
A
? f ( x ) dx .
1
??????? (???????????? ??????? ????).
????? ????? ????
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
???????????? ? ?? ??????????, ?. ?. a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an ? ..., ?
????? f ( x ) ? ????? ??????????? ?????????????? ???????, ???
=
f (1) a=
=
f ( n ) an , ....
1, f ( 2 ) a2 , ...,
????? ??????????? ????????? ???????????:
?
1. ???? ????????
? f ( x ) dx
???????? (????? ???????? ????????),
1
?? ???????? ? ???.
?????? 1. ????????? ?????????? ???? (???????):
?
14
1
1
1
1
? n p =1 + 2 p + 3 p + ... + n p + .... n =1
(1.4.5)
???????.
1
???????? ???????????? ???????, ??????? f ( x ) =
.
xp
??? ??????? ????????????? ???? ???????? ?????????? ???????.
??????????
(
)
1
? 1
1? p N
) |1 =
N1? p ? 1 , ןנט
? 1 ? p (x
1
p
?
? p =?
? ln x |N ln
1 x
ןנט p 1.
N,
=
=
1
?
N
dx
p ? 1,
????????? N ? ?, ???????, ???????? ?? ???????? ? ?????????
???????; ?? ?????? ????? ????? ?????? ? ?????????? ??? ???????????? ???? ??? ????????? ????????? p.
?
1
dx
? x p = p ? 1.
? ?????? p?>?1
1
???????? ??????? ? ??? ????????.
?
? ??????? p ? 1
dx
? x p = ?.
1
???????? ?????????? ? ??? ??????????.
?
??? (p?=?1)
1
1
1
1
? n =1 + 2 + 3 + ... + n + ... ???????? ?????????????.
n =1
???????, ??? ?? ??????? ?????????, ?? ??????? ???? ?? ?????? ?????? ? ?????????? ????? (1.4.5).
????????? ????????? ?????????? ?????????????? ???? ? ????????? ? ??????? ? ???? ?? ?????????? ? ????:
?????? 2. ????????? ?????????? ???? :
?
1
? n ln n=
n =2
1
1
1
+
+ ... +
+ ....
2 ln 2 3 ln 3
n ln n
???????.
1
.
x ln x
??? ??????? ????????????? ???? ???????? ?????????? ???????.
???????? ???????????? ???????, ??????? f ( x ) =
15
??????????
A
A
d ( ln x )
dx
dx
lim
lim
ln ( lnx ) |2A = ?.
=
=
? x ln x A ?? ? x ln x A ?? ? ln x = Alim
??
?
2
2
2
? ?????? ???, ????? ??? ? ?????????????, ??????????.
??????:
?????? 3. ???? ??????????? ?????? ?????????? ????:
?
1
? n ln2=
n
n =2
1
2
2 ln 2
+
1
2
3 ln 3
+ ... +
1
n ln2 n
+ ....
???????.
???????? ???????????? ???????, ??????? f ( x ) =
1
.
x ln2 x
??? ??????? ????????????? ???? ???????? ?????????? ???????.
??????????
?
dx
=
? x ln2 x
2
A
A
d ( ln x )
dx
lim
=
lim
=
?
?
2
2
A ?? x ln x A ??
2
2 ln x
=
( ?1) A
lim
=
|2
A ?? ln x
1 ? 1
? 1
lim ?
?
=
.
?
A ?? ? ln 2 ln A ? ln 2
? ?????? ???, ? ??????? ?? ??????????????, ????????.
1.5. ?????????? ??????????????? ?????
??? ?????????? ???????????????, ???? ????? ??? ?????? ??????? ??? ?????????????, ??? ? ?????????????
???????? ???????? ?????????? ????? ????? ?????? ?? ????????????????? ?????.
1.5.1. ????????????????? ????. ??????? ????????
?????????? ???????? ????, ????? ??????? ????? ???????????? ?????, ?. ?. ???? ????
n +1
a1 ? a2 + a3 ? a4 + ... + ( ?1)
??? a1, a2 , a3 , a4 ,..., an ... ????????????.
16
an + ..., (1.5.1)
??????? ????????.
???? ? ????????????????? ???? (1.5.1) ????? ??????, ???
a1 > a2 > a3 > a4 > ... > an > ..., (1.5.2)
lim an = 0, (1.5.3)
?
n ??
?? ??? (1.5.1) ????????, ??? ????? ???????????? ? ?? ???????????
??????? ?????.
?????????.
???? ????????????????? ??? ????????????? ??????? ???????
????????, ?? ????? ??????? ??????, ??????? ?????????, ???? ???????? ????? s ????????? ?????? sn . ??? ????? ?????? ?? ??????????? ??? ????? ????, ??????? ? an +1. ??? ????? ???? ????????
????????????????? ???, ????? ???????? ?? ?????? ?????? ??????? ????? ????? ???? (?????? an +1 ).
??????, ???? ? ???? ????????? ?????? n ??????, ?? ?????????
???:
an +1 + an +2 + an +3 + ... + an + k=
+ ...
?
am
?=
m= n +1
rn ,
?????????? ???????? ???? (?????????? ????) ????? n??? ?????.
? ?????? ?????? rn < an +1.
?????? 1.
?
???
?
n =1
( ?1)n+1
n
n +1
=1 ?
( ?1)
1 1 1
+ ? + ... +
2 3 4
n
+ .... ???????? ?? ?????-
?? ????????. ??? ????? 0 < s < 1.
???? ????????? s100 , ?? r100 < a101.
???????, s ? s100 <
1
.
101
1.5.2. ??????????????? ????. ??????????
? ???????? ??????????
????????????? ? ?????????? ??????? ?????????????????
???? ???????? ??????? ??????? ??????????????? ?????, ?????
????? ??????? ????? ????, ??? ??????????????, ??? ? ??????????????.
17
? ??????? 1.4, ??? ???????????? ????????????? ?????, ????
???? ??????? ???????? ?????????? ???? ?????. ??????? ??????????? ?????? ? ??? ???????, ????? ?????? ? ?????????? ???????
???????????????? ???? ?????????? ? ??????? ? ?????????? ?????????????? ????. ????????, ???? ????? ???? ?? ??? ????????????, ??, ??????? ? ?????????? ?????, ?????????? ??????????????,
??, ???????? ??????????? ?????????? ????????? ?????? ????, ?????? ???? ? ???????????? ?????????????? ????. ??????????, ????
????? ???? ???????????? ???, ?? ??????? ????, ? ?????????? ?????????? ??????????????, ?? ?? ???????? ? ??? ?????????????
??????? ????? ????????? ?????? ???? ??????.
??????????? ????? ??????? (????? ????????????????? ?????)
????? ???, ????? ????? ?????? ???? ???? ??????????? ?????????? ???
?????????????, ??? ? ????????????? ??????.
??? ????? ??????????????? ????? ????? ?????? ???????????
??????? ??????????, ?????????? ?? ?????????? ???????, ????????? ?????.
??????? 1.
???? ??????????????? ???
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... (1.5.4)
?????, ??? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ??? ??????
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ... (1.5.5)
????????, ?? ? ?????? ??????????????? ??? ????? ????????.
?????? ??????? ???? ??????????? ?????? ? ?????????? ????????? ??????????????? ?????. ???????????? ??????? ? ??????????
???????????????? ???? ???????? ? ????? ?????? ? ????????????
???? ? ?????????????? ???????.
?????? 1.
??????????? ?????????? ????
sin ?
2
1
+
sin 2?
2
2
+
sin 3?
2
3
+ ... +
sin n?
n2
+ ...,
??? ? ? ????? ?????.
?????????? ???, ???????????? ?? ??????? ?????? ????????
????
18
sin ?
2
1
+
sin 2?
2
2
+
sin 3?
2
3
+ ... +
sin n?
n2
+ ....
???? ??? ????????, ??? ??? ??? ????? ?? ??????????? ?????? ????
1
12
+
1
22
+
1
32
+ ... +
1
n2
+ ....
????????? ??? ???????? (??. (1.4.3)),????? ?? ???????? ????????? ????? ???????? ???, ???????????? ?? ??????? ?????? ????????
????, ? ????? ?? ?????????? ??????? ? ??? ??? ????????.
??????? ??????????, ?????????? ????, ???????? ?????? ??????????? ????????? ??????????, ?? ?? ???????????: ?????????? ????? ??????????????? ????, ??????? ???? ????????, ? ????,
???????????? ?? ?????????? ??????? ??????????. ? ????? ? ????
?????? ??????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ??????????????? ????? ? ?? ?? ?????? ?????????????? ???????????????
????.
???????????.
??????????????? ???
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
?????????? ????????? ??????????, ???? ???????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ??? ??????:
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ....
???? ?? ??????????????? ??? ????????, ? ???, ???????????? ??
?????????? ??????? ??? ??????, ??????????, ?? ?????? ??????????????? ??? ?????????? ??????? ??? ??????????? ??????????
?????.
?????? 2.
??????????????? ???
n +1
1?
( ?1)
1 1 1
+ ? + ... +
n
2 3 4
+ ...
??????? ?????????? (?? ???????? ?? ??????? ????????), ? ??? ??
?????????? ??????? (????????????? ???) ??????????.
19
?????? 3.
??????????????? ???
n +1
( ?1)
1 1 1
1 ? + ? + ... +
n!
2! 3! 4 !
+ ...
????????? ??????????, ??? ??? ??? ?? ?????????? ???????
1+
1 1 1
1
+ + + ... + + ...
2! 3! 4 !
n!
???????? ( ??? ????? ?????????, ????????, ?? ???????? ?????????).
20
????? 2
?????????????? ????
2.1. ???????? ???????????
?????????? ???, ??????? ???????? ???????? ??????? ?? ?????
? ??? ?? ?????????? x ? ????????? ??????? X:
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.1.1)
??? ?????????? x = x1 ???????? ???????? ???
?
? un ( x=
1)
n =1
u1 ( x1 ) +u2 ( x1 ) + ... + un ( x1 ) + ..., (2.1.2)
??????? ????? ???????? ??? ??????????.
????????? x, ??? ??????? ??? (2.1.1) ????????, ????? ???????? ???????? ?????????? ??????????????? ????. ????????, ???
? ??????? ?????????? ???? ??? ????? ???????? ????????? ???????? ?? x. ???????, ????? ??????????????? ???? ??????????
????? s ( x ).
?????? 1.
?
???
? xn =1 + x + x2 + ... + xn + ...
???????? (????? ?????? ???-
n =0
??????? ????????? ?????????????? ?????????? (??. (1.1.8))) ???
?1?<?x?<?1, ??? ???? x
s( x ) =
1
.
1? x
?????? 2.
????? ??????? ?????????? ??????????????? ????
?
?
xn
n =1 1 + x
=
2n
x
+
x2
1 + x2 1 + x 4
+ ... +
xn
1 + x2n
+ ....
?????????? ???, ???????????? ?? ??????? ?????? ??????? ????:
21
?
?
x
n
n =1 1 + x
=
2n
x
x
2
x
n
+
+ ... +
+ ....
1 + x2 1 + x 4
1 + x2n
????? x < 1, ????? ??????? ???? ?????? ?????? ????
2
n
x + x + ... + x + ...,
???? ??? ???????? (?????????? ????????? ?????????????? ??????????), ? ?? ??????? ?????????, ???????? ? ?????????? ??? (??.
??????? 1 ??????? 1.4).
??????????, ??? x > 1, ????? ???????????????? ???? ??????
?????? ????
1
1
1
+
+ ... +
+ ....
n
x x2
x
???? ??? ???????? (?????????? ????????? ?????????????? ??????????), ? ?? ??????? ????????? ???????? ? ??????????? ??? (??.
??????? 1 ??????? 1.4).
???? x = ±1, ?? ??? ?????????? (?? ???????????? ????????????
????????).
????? ???????, ??????? ??? ???????? (?????????) ??? ?????
x ? ±1.
????????? ????? sn ( x ) ????? n ?????? ?????? ????. ???? ???
???????? ? ????? ??? ????? s ( x ), ??
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
??? rn ( x ) ? ??????? ????.
rn ( x ) = un +1 ( x ) + un +2 ( x ) + ....
??? ???? ???????? x ? ??????? ?????????? ???? ????? ????? ??????????? lim sn ( x ) = s ( x ), ??????? lim rn ( x=
) lim (s ( x ) ? sn ( x )=) 0,
n ??
n ??
n ??
?. ?. ??????? ??????????? ???? ????????? ? ???? ??? n ? ?.
2.2. ?????????? ?????????? ????. ???????????? ????
??? ???? ???? ? ??????????? ??????? ?????????? ??????????????? ???? ? 2.1 ??? ????? x1 ? X, ??? (2.1.1), ???????? ?
22
?
=
=
sn ( x1 ) s ( x1 ). ? un ( x1 ) lim
n =1
n ??
(2.2.1)
?? ??????????? ??????? ?????????????????? ?? ? > 0 ?????
????? ????? N1 (?), ??? ??? ??? n?>?N1, s ( x1 ) ? sn ( x1 ) < ?. ??? ???
??? ??????? x ? X ???????? N ????? ???? ????????, ?? ?? ??????
?? ??????? ????????? ????? ??????? ??????????. ???? ?? ??? ????????, ?? ??? ?????????? ?????????? ??????????.
??? ??? ???????? ??????? ??????????? ?????????? ??????????????? ???? ????? ?????? ??????????????, ?? ?????? ?????????? ????? ??????? ??????????? ??????? ??????????? ??????????
?????.
??????? ?????????: ?????????????? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.2.3)
?????????? ???????????? ? ????????? ??????? ????????? x, ????
?????????? ????? ?????????? ???????? ???
?1 + ?2 + ?3 + ... + ?n + ... (2.2.4)
? ?????????????? ???????, ??? ??? ???? ???????? x ?? ?????? ??????? ??????????? ???????????
u1 ( x ) ? ?1, u2 ( x ) ? ?2 , ..., un ( x ) ? ?n , ... (2.2.5)
????? ??????, ??? ?????????? ????????????, ???? ??????
??? ???? ?? ?????????? ???????? ?? ?????? ????????????????
????? ?????????? ??????????? ????????? ???? ? ??????????????
???????.
????????, ???
sin x sin 2x sin 3x
sin nx
+
+
+ ... +
+ ...
2
2
1
2
3
n2
???? ???, ???????????? ?? ???? ??? OX. ?????????????, ??? ????
???????? x ??????????? ???????????
23
sin nx
2
n
?
1
n2
1, 2, 3,
(n =
...),
1 1
1
1
+
+
+ ... + 2 + ..., ??? ????????, (??. ?????? 1 ???????
1 22 32
n
1.4.4) ????????.
??????????????? ?? ??????????? ???????, ??? ???, ???????????? ? ????????? ???????, ????????? ???????? ?? ???? ?????? ????
???????.
????? ????, ???????????
??????? (??????? ????????????).
????? ?????????????? ???
? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.2.6)
?????????? ?? ??????? [a,b]. ????? s ( x ) ? ????? ????? ????,
sn ( x ) ? ????? n ?????? ?????? ????? ????. ????? ??? ??????? ???
?????? ?????? ????? ? > 0 ???????? ????? N?>?0 ?????, ??? ??? ????
??? n?>?N ????? ??????????? ???????????
s ( x ) ? sn ( x ) < ?,
?????? ?? ?? ???? x ?? [a,b].
?????? ?????? ????????? ???????? ???????????? ?????.
2.3. ????????????? ????? ????
????? ????? ??? ?? ??????????? ???????
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.3.1)
?????????? ?? ????????? ??????? [a,b].
????? ? ????? ??????????????? ??????? ???? ???????? ??????? ? ???, ??? ????? ????????? ????? ??????????? ??????? ????
??????? ???????????. ??? ????? ???? (?????????? ? ??????????
?? ???????????? ????? ?????????) ??? ???????? ?? ??????????? ???????????.
????????? ?????????????? ???? ? ???????????? ???????
????? ? ???????? ????? ??????????? ???????, ? ?????? ????24
?????????? ????? ? ???????????? ??????? ????? ???????? ????????? ????????.
??? ???????????? ?? ????? ??????????? ????????? ???????.
???????.
????? ???? ??????????? ???????, ????????????? ?? ????????? ??????? [a,b], ???? ???????, ??????????? ?? ???? ???????.
2.4. ?????????????? ? ????????????????? ?????
????? ? ????? ??????????????? ??????? ???? ???????? ???????
? ???, ??? ???????????? ???????? ?? ?????????????? ????? ?????????? ??????? ????? ?????????????? ????? ?????????? ?? ?????????. ??? ????? ????????? ?? ???????????? ????? ?????????
??? ???????? ?? ??????????? ???????????.
??? ???????????? ????? ??? ???????? ???????????.
??????? 1.
????? ????? ??? ?? ??????????? ???????
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.4.1)
???????????? ?? ??????? [a,b], ? ????? s(x) ???? ????? ????? ????.
????? ???????? ?? s(x) ? ???????? ?? ? המ x, ????????????? ??????? [a,b], ????????? ????? ????? ?? ?????????? ?? ?????? ??????? ????, ?. ?.
x
( t ) dt
? s=
?
x
x
x
? u1 ( t ) dt + ? u2 ( t ) dt + ... + ? un ( t ) dt +... ?
?
(2.4.2)
?
?????? ??? ??????? ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ??????????????? ????.
???????????? ?????? ??????? ? ????????? ????????????????? ??????????????? ????.
??????? 2.
???? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.4.3)
???????????? ?? ???????, ??????? ??????????? ???????????
?? ??????? [a,b], ???????? ?? ???? ??????? ? ????? s(x) ? ???
25
?
? un? ( x=)
n =1
u1? ( x ) +u2? ( x ) + ... + un? ( x ) + ...,
(2.4.4)
c??????????? ?? ??????????? ??? ??????, ?????????? ?? ??? ??
???????, ?? ????? ???? ??????????? ????? ??????????? ?? ?????
??????????????? ????, ?. ?.
s? ( x=
) u1? ( x ) + u2? ( x ) + ... + un? ( x ) + ... (2.4.5)
??? ??????? ???? ????? ? ?????????????, ????????? ?????????????? ? ????????????????? ????????????? ???????? ?????
??????????????? ?????? ? ??????? ????????? ????? ???????.
???????? ???, ??????, ?????????? ?????????? ?????????, ? ?????????????? ??????? ?????????????? ???????? ?????????????? ?????.
26
????? 3
????????? ????
?????? ????????????? ??????? ??????? ????? ??????? ????????? ??????????, ????? ??????? ???????, ???????? ?????????? ?????????????? ? XVII ????. ? ?????????, ????????? ?????? ????????????? ??????????? ??????? ????? ??????? ????? ???????????.
??????????? ?? ??????? ??????? ????????.
3.1. ???????? ???????????. ???????? ??????????
?????????? ???????????? ???? ?? ?????????? ??????? ?????????????? ????? ? ????????? ????.
????????? ????? ?????????? ?????????????? ??? ????
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ..., (3.1.1)
??? a0 , a1, a2 ,..., an ,... ? ?????????? ?????, ?????????? ?????????????? ????.
???????? ?????????? ?????????? ???? ?????? ???????? ????????? ????????, ???????, ? ?????????, ????? ??????????? ? ?????.
???????, ???????????? ???????.
??????? (?????).
1) ???? ????????? ??? ???????? ??? ????????? ???????? x0, ??
?????? ????, ?? ?? ????????? ???????? ??? ?????? ???????? x,
??? ???????? x < x0 ;
2) ???? ??? ?????????? ??? ????????? ???????? x0? , ?? ?? ?????????? ??? ?????? ???????? x, ??? ???????? x > x0? .
??????? ????? ????????? ?????? ? ???????????? ????? ?????????? ? ???????????? ?????????? ????. ?????????????, ???? x0
???? ????? ??????????, ?? ???? ???????? ( ? x0 , x0 ) ???????? ??????? ?????????? ??????????. ???? x0? ? ????? ????????????, ??
??? ??????????? ?????????? ?????? ?? ????? x0? ? ??? ?????????? ????? ?? ????? ? x0? ??????? ?? ????? ????????????.
????? ?????????, ??? ?????????? ????? ????? R, ??? ??? x < R
?? ????? ????? ?????????? ??????????, ? ??? x > R ? ????? ????? ????????????.
????, ???????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ????????
? ??????? ? ?????? ?????????.
27
???????????.
?????????? ?????????? ?????????? ???? ?????????? ????? ???????? ?? ?R ?? ?+?R, ??? ??? ?????? ????? x, ??????? ?????? ?????
?????????, ??? ????????, ? ?????? ?????????, ? ??? ????? x, ??????? ??? ???, ??? ??????????. ????? R ???????? ???????? ?????????? ?????????? ????.
?? ?????? ????????? (?. ?. ??? x?=?R ? ??? x?=??R) ?????? ? ?????????? ??? ???????????? ??????? ???? ???????? ?????????????
??? ??????? ??????????? ????.
???????, ??? ? ????????? ????? ???????? ?????????? ??????????? ? ????? (R?=?0), ? ?????? ?????????? ??? ??? OX ( R = ? ).
?????? ????????? ??????? ??????????? ??????? ??????????
?????????? ????.
????? ????? ????????? ???
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ... (3.1.2)
?????????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ???
??????:
2
3
n
a0 + a1 x + a2 x + a3 x + ... + an x + ... (3.1.3)
??????? ??? ??????????? ?????????? ?????????? ???? (? ?????????????? ???????) ???????? ??????? ????????? (??. 1.4.2).
????????, ??? ?????????? ??????
u
an +1xn +1
an +1
=
lim n +1 lim=
lim
=
x L x.
n
n ?? un
n ??
n ?? an
an x
?????, ?? ???????? ????????? ??? (3.1.6) ????????, ???? L x < 1,
1
1
, ? ??????????, ???? L x > 1, ?. ?. ???? x > .
L
L
? 1 1?
?? ??????????? ???????, ??? ???????? ? ? ; ? ???? ????????
? L L?
?????????? ?????????? ???? (3.1.1), ?. ?.
?. ?. ???? x <
R=
28
a
1
= lim n .
L n?? an +1
??????????, ??? ??????????? ????????? ?????????? ?????
???????????? ????????? ????, ? ?????
R=
1
lim n an
.
n ??
?????? 1.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
? xn =1 + x + x2 +x3 + ... + xn + ...
n =0
???????.
???????? ??????????????? ??????? ?????????, ????????
lim
n ??
xn +1
xn
= x.
?????????????, ??? ???????? ??? x < 1 ? ?????????? ??? x > 1.
?? ???????? ????????? (?1;1) ???????????? ?????????? ???? ? ??????? ???????? ????????? ??????????. ?????? ???????????????
?????, ??? ??? x?=?1 ? ??? x?=??1 ??? ?????????? (????????, ?? ???????????? ???????????? ????????).
?????? 2.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
?
n =0
( ?1)n ( 3x )n
n +1
2
=1 ?
n
n
( ?1) ( 3x )
3x ( 3x )
+
+... +
+ ...
2
3
n +1
???????.
???????? ??????? ?????????, ????????
( 3x )n+1
n +1
n+2
=
3=
x lim
3x.
lim
n
+2
n
n
??
( 3x )
n ??
n +1
29
1
1
? ?????????? ??? x > .
3
3
1
??? x = ??? ???????? (?? ??????? ???????? (??. 1.5.1)).
3
1
??? x = ? ??? ?????????? (????????????? ??? (??. 1.4.3)).
3
?????????????, ??? ???????? ??? x <
?????? 3.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
x2
xn
x3
xn
? n ! =x + 2! + 3! + ... + n ! + ...
n =1
???????.
???????? ??????? ?????????, ????????
lim
n ??
xn +1
( n + 1) !
n
x
n!
= lim
n ??
x
= 0 < 1.
n +1
??? ??? ?????? ?? ??????? ?? x ? ?????? ???????, ??, ??????,
??? ???????? ??? ???? ????????? x.
?????? 4.
?
???
? (nx )
n
2
3
n
=x + ( 2x ) + ( 3x ) + ... + ( nx ) + ... ?????????? ???
n =1
n
???? ????????? x, ????? x?=?0, ??? ??? ( nx ) ? ? ןנט n ? ?, ?????? ?? ?? ???? x, ???????? ?? ????.
?????????? ?????? ???????? ????? ?????????? ????.
3.2. ????????????? ????? ?????????? ????
??????? ????????????
??????? 1.
????????? ???
30
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ..., (3.2.1)
?????????? ?? ????? ??????? [??;?], ??????? ??????? ??????
????????? ??????????.
?????? ???????:
???????.
?? ?????? ???????, ??????? ??????? ?????? ????????? ??????????, ????? ?????????? ???? ???? ??????????? ???????.
?????????????, ?? ???? ??????? ??? ??????????, ? ????? ???
???????? ???????????? ????????? ?? x. ?????????????, ?? ????????? ??????? 2.3, ????? ????? ???? ???? ??????????? ???????.
3.3. ????????? ?????????????? ? ?????????????????
?????????? ????
?? ????????? ? ?????????????? ? ????????????????? ????????? ???? ? ? ???????? ?? ?????????? ?????????? ? ????? ????,
??? ???????????? ????? ??????????.
??????? 1 (? ????????? ?????????????? ????????? ?????).
???? ??????? ?????????????? ?,? ????? ?????? ????????? ?????????? ?????????? ????, ?? ???????? ?? ????? ???? ????? ?????
?????????? ?? ?????? ????.
?????? 1.
???????? (?? ??????? ????? ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? (??. (1.1.8))), ???
1
n ?1 n ?1
= 1 ? x + x2 ? ... + ( ?1)
x
+ ...
1+ x
? ?????????? [0;x], ??? x < 1.
?????
x
dx
?1+ x =
0
x?
n
x2 x 3
n ?1 x
+
? ... + ( ?1)
+ ... n
2
3
(3.3.1)
??????
??????? 2 (? ????????? ????????????????? ????????? ?????).
???? ????????? ???
s ( x ) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ... ????? ???????? ?????????? (?R;R), ?? ???
(3.3.2)
31
? ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn ?1 + ..., (3.3.3)
?????????? ????????? ?????????????????? ???? (3.3.2),
????? ??? ?? ???????? ?????????? (?R;R), ??? ????
=
? ( x ) s? ( x ), וסכט x < R, ?. ?. ?????? ????????? ?????????? ??????????? ?? ????? ?????????? ???? (3.3.2) ????? ????? ????, ??????????? ????????? ?????????????????? ???? (3.3.2).
??? (3.3.3) ????? ????? ???????? ????????????????. ( ??? ????? ? ??? ??????????? ?????? ????????.) ????? ???????, ???????????:
??????? 3.
???? ????????? ??? ???????? ? ????????? (?R;R), ?? ??? ?????
???????????? ????? ???????, ??????? ?????? ????????? ?????????? ??????????? ?????? ???????, ?????? ?? ??????? ???? ????? ????, ????????????? ? ?????????? ?????????? ????????????????? ??????? ???? ??????????????? ????? ???; ??? ???? ????????
?????????? ??????? ????, ????????????? ? ?????????? ?????????????????, ???? ??? ?? ???????? (?R;R).
3.4. ???? ?? ???????? x?a
????????? ????? ????? ?????????? ?????????????? ??? ????
2
n
a0 + a1 ( x ? a ) + a2 ( x ? a ) + ... + an ( x ? a ) + ..., (3.4.1)
??? ?????????? a0,a1,?,an,?????? ?????????? ??????????????
????. ??? ? ????????? ???, ????????????? ?? ???????? ????????
(x?a).
??? a?=?0 ??????? ????????? ???, ????????????? ?? ????????
x, ??????? ???????? ??????? ??????? ???? (3.4.1).
??? ??????????? ??????? ?????????? ???? (3.4.1) ??????? ?????? ?????????? x?a?=?X.
????? ?????? ??? (3.4.1) ?????? ???
a0 + a1 X + a2 X2 + ... + an Xn + ..., (3.4.2)
?. ?. ???????? ????????? ???, ????????????? ?? ???????? X.
????? ???????? ?R?<?X?<?R ???? ???????? ?????????? ???? (3.4.2).
32
????? ??? (3.4.1) ????? ????????? ??? ????????? x, ??????????????? ??????????? ?R?<?X?a?<?R ??? a?R?<?X?<?R?+?a.
??????????????, ??? (3.4.1) ????? ?????????? ??? ?????????
a?R?<?X?<?R?+?a.
?????????????, ?????????? ?????????? ???? (3.4.1) ????? ???????? (a?R;a?+?R) ? ??????? ? ????? a. ??? ???????? ??????????
????, ?????????????? ?? ???????? x, ?????? ????????? ??????????
(?R;R) ????????? ??????????? ??? ?????????? ????, ?????????????? ?? ???????? (x?a), ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R).
???????, ??? ????? ?????????? ?????????????? ??????????
???? (3.4.1), ???? ??????? ?????????????? ????? ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R), ?????????? ???, ????? ???????? ????????? ???????????????? ????????? ?? ????? ??????? ???? (3.4.1).
??? ????????? ????????????????? ?????????? ???? (3.4.1) ???
???? x, ??????? ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R), ?????????? ???, ????? ???????? ????????? ??????????? ?? ????? ???????
???? (3.4.1).
?????? 2.
????? ??????? ?????????? ????
( x ? 3) + ( x ? 3)2 + ( x ? 3)3 + ... + ( x ? 3)n + ...
???????.
??????? x ? 3 =
X, ??????? ???
X + X2 + X 3 + ... + Xn + ...
??? ???????? ??? ?1?<?X?<?1. ?????????????, ?????? ??? ???????? ??? ???? x, ??? ??????? ?1?<?x?3?<?1, ?. ?. ??? 2?<?x?<?4.
33
????? 4
???? ??????? ? ?????????
?????? ?????????? ???????, ?????????? ????????????? ????????????????? ??????????, ? ??? ?? ????????? ??????? ????????? ???????? ??????? ? ????????????. ? ?????? ????? ?? ?????????? ?????????? ??????? ? ???? ????????, ? ??????? ???????????
???????? ??????????????? ???????? ?????? ?????.
4.1. ??????? ??????? ? ?????????
?????? ???? ? ??????????????? ??????, ????????? ? ????????? ???????? ??????????????? ???????.
???????????, ??? ??????? y?=?f(x) ????? ??? ??????????? ??
(n?+?1) ? ?? ??????? ???????????? ? ????????? ??????????, ?????????? ????? x?=?a.
?????? ????????? y?=?Pn(x) ??????? ?? ???? n, ???????? ???????? ? ????? x?=?a ????????? ???????? ??????? f(x) ? ???? ?????, ?
???????? ??? ??????????? ?? n-?? ??????? ? ????? x?=?a ????????? ????????? ??????????????? ??????????? ??????? f(x) ? ????
?????
=
Pn ( a ) f=
( a ), Pn? ( a ) f ?=
( a ), Pn??( a )
?? ( a ),...., Pn(n ) ( a ) fn(n ) ( a ).
= f=
(4.1.1)
????? ????? ??????????? ??????? ??????? (4.1.2).
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
+
f ??? ( a )
3!
( x ? a )3 + ... +
n
f( ) (a)
n!
f ?? ( a )
2!
( x ? a )2 +
( x ? a )n + Rn ( x ).
(4.1.2)
Rn(x) ? ??????? ???????? ?????????? ??????. ??? ??? ????????
x, ??? ??????? ?????????? ???? Rn(x) ???, ????????? Pn(x) ????
???????????? ????????????? ??????? f(x).
???? ? ??????? ??????? ???????? a?=?0, ?? ??? ????????? ? ????
34
f (x) =
f (0) + f ?(0) x +
+
f ?? ( 0 ) 2
x +
2!
n
f ??? ( 0 ) 3
f ( ) (0) n
x + ... +
x + Rn ( x ). (4.1.3)
n!
3!
???? ??????? ?????? ??????? ??????? ???????? ????????
?????????.
4.2. ???? ??????? ? ?????????
? ?????????? ??????? ???? ????????, ??? ??? ??????? y?=?f(x),
??????? ??? ??????????? ?? (n?+?1) ? ?? ??????? ????????????
? ????????? ??????????, ?????????? ????? x?=?a, ???????????
??????? ???????:
f ?? ( a )
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
( x ? a )2 + ... +
2!
+
n
f( ) (a)
( x ? a )n + Rn ( x ),
(4.2.1)
??? ??? ?????????? ?????????? ???? Rn(x) ????? ????????? ??
??????? (????? ????????)
=
Rn ( x )
n!
f(
n +1)
( a + ?( x ? a ))
( n + 1) !
( x ? a )n+1 . (4.2.2)
???? ??????? f(x) ????? ??????????? ???? ???????? ? ??????????? ????? x?=?a, ?? ? ??????? ??????? ????? n ????? ????? ?????
?????? ???????. ???? ? ??????????????? ??????????? ??????????
???? Rn(x) ????????? ? ???? ???
n ? ? : lim Rn ( x ) =0,
n ??
(4.2.3)
?? ???????? ? ??????? (4.2.1) ? ??????? ??? n ? ?, ??????? ??????
??????????? ???, ??????? ?????????? ????? ???????:
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
+
f ?? ( a )
2!
2
( x ? a ) + ... +
n
f( ) (a)
n!
( x ? a )n + ...
(4.2.4)
35
????????? (4.2.4) ??????????? ???? ? ??? ??????, ????
Rn ( x ) ? o ןנט n ? ?.
? ???? ?????? ?????????? ?????? ??? ????????, ? ??? ?????? ????? ?????? ??????? f(x).
??????????, ??? ??? ??????? ???????????? ?????? ???????
f(x) ?????? ?????, ????? lim Rn ( x ) = 0. ???? lim Rn ( x ) ? 0, ?? ???
n ??
n ??
?? ???????????? ?????? ???????, ???? ????? ? ????????? (? ?????? ???????).
???? ? ???? ??????? a?=?0, ?? ??????? ??????? ?????? ???? ???????, ??????? ???????? ????? ?????????:
f ( x )= f ( 0 ) + f ? ( 0 ) x +
n
f ?? ( 0 ) 2 f ??? ( 0 ) 3
f ( ) (0) n
x +
x + ... +
x + ... (4.2.5)
n!
2!
3!
???? ??? ?????-?????? ??????? ????????? ??????? ??? ???????, ?? ????? ????????, ??? ?????????? ??? ???????????? ?????? ???????, ???? ???? ????????, ??? ?????????? ???? ?????????
? ????, ???? ?????-?????? ???? ???????? ?????????, ??? ?????????? ??? ???????? ? ?????? ???????.
???????, ??? ??? ?????? ???????????? ??????? ??????????
????? a ? ????? R, ??? ? ????????? (a?R; a?+?R) ??????? ???????????
? ??? ??????? ??? (???? a?=?0) ? ??? ?????????.
4.3. ?????????? ???????????? ??????? ? ????
??????????? ?????? ?????????.
1) ?????????? ??????? f (x) = ex ? ??? ?????????.
?????? ???????????????? ???????????, ???????:
x
=
f ( x ) e=
, f ( 0 ) 1,
x
=
f ? ( x ) e=
, f ? ( 0 ) 1,
.....................................
x
, f ( ) ( 0 ) 1.
=
f ( ) ( x ) e=
n
n
?????????? ? (4.1.3), ????? ?????:
ex =1 +
36
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ Rn ( x ).
n!
1 2! 3!
????? ????????, ???, ?????? ?? ?? ???? x, ?????????? ????
Rn ( x )
=
e?x
xn +1 ? 0 ןנט n ? ?.
n
+
1
!
(
)
?, ????????????,
ex = 1 +
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ ... ןנט ? ? < x < ?. (4.3.1)
n!
1 2! 3!
2) ?????????? ??????? f (x) = sinx ? ??? ?????????.
?????????? ???????????:
sin x= x ?
2k ?1
x 3 x5
k ?1 x
+
? ... + ( ?1)
+ ... ןנט ? ? < x < ?. (4.3.2)
3! 5!
(2k ? 1) !
3) ?????????? ??????? f (x) = co sx ? ??? ?????????.
??????????:
cos x = 1 ?
2k
x2 x 4
kx
+
? ... + ( ?1)
+ ... ןנט ? ? < x < ?. (4.3.3)
2! 4 !
2k !
???????, ??? (4.3.3) ????? ???????? ? ????????? ?????????????????? (4.3.2).
m
) (1 + x ) ? ??? ?????????.
4) ?????????? ??????? f (x=
?????????? ???????????:
(1 + x )m =1 + mx +
m ( m ? 1)
1?2
x2 + ... +
m ( m ? 1) ? ... ? ( m ? ( n ? 1) )
1 ? 2 ? ... ? n
??? ?1?<?x?<?1. xn + ...
(4.3.4)
? ?????????, ??? m?=??1 ????????
1
n
= 1 ? x + x2 ? x3 + ... + ( ?1) xn + ... 1+ x
(4.3.5)
??? m?=?0.5 ???????
1
1 2
1? 3 3
1? 3 ?5 4
1 + x =1 + x ?
x +
x ?
x + ... (4.3.6)
2
2?4
2?4?6
2?4?6?8
37
??? m?=??0.5 ???????
1
1 ? 3 2 1 ? 3 ? 5 3 1 ? 3 ? 5 ?7 4
=?
x+
x ?
x +
x ? ... (4.3.7)
1
2
2?4
2?4?6
2?4?6?8
1+ x
1
5) ??? ????????? ??? ??????? f =
( x ) ln (1 + x ) , ???????, ?????????? (4.3.5) ???? ??? ???????? ? ?????????? [0;x] (?1?<?x?<?1):
x
n
dt
x2 x 3
n ?1 x
x
x
=
ln
1
+
=
?
+
?
...
+
?
1
+ ... ? 1 < x < 1 (4.3.8)
(
)
(
)
?1+ t
n
2
3
0
9) ?????????? ??????? ? ??? ??????? ?? ??????? (4.2.4) ? ?????????? ????????????? ??????????? ????? ???????? ????? ????????, ????????? ?????????? ???????????? ? ??? ?????????.
???????????????? ??? ???????? ?? ????????? ???????????
???????.
2
???????? ? ??? ??????? ??????? f ( x ) = sin x ?? ????????
??
?
? x ? ?.
4
?
?
??????????? ??????? ???????, ????? ???????? ??????????
???? ? ???????:
f ( x )= sin2 x=
1 ? cos 2x 1 1
=
? cos 2x.
2
2 2
??????? ?????? ??????????, ????? ???????????? ???????
? ??? ????????? ?? ????? ??????????:
??
?
?
? x ? ? =t ? x =t + .
4
4
?
?
1 1
1 1
? ?? 1 1
??
? 1 1
f (x) =
? cos 2x =
? cos 2 ? t + ? =
? cos ? + 2t ? =
+ sin 2t.
2 2
2 2
4
2
2
2
?
?
?
? 2 2
????????? ???????? (4.3.2), ???????? ??? ?????????:
38
?
(2t )3 (2t )5 (2t )7
1 1
1 1?
+ sin 2t = + ? 2t ?
+
?
+ ... ? =
?
2 2
2 2?
3!
5!
7!
?
?
1
22
24
26
=
+ t ? t3 + t5 ? t7 + ...
2
3!
5!
7!
??????????? ? ?????? ??????????, ???????? ??? ???????:
3
5
7
1 ?
? ? 22 ?
? ? 24 ?
? ? 26 ?
??
f ( x ) = + ? x ? ? ? ? x ? ? + ? x ? ? ? ? x ? ? + ...
2 ?
4 ? 3! ?
4?
5! ?
4?
7! ?
4?
??? ? ? ??????? (4.3.2) ?????????? ??????????? ??? ?? < x < ?.
39
????? 5
???? ?????
????? ?? ???????????? ???????, ??????? ????? ????? ??????????? ???????????, ?????????? ??????, ?. ?. ????????????
??????? ? ??? ?? ???????? ????? ??????? ?? ??????????? ????????? (?? ???????? (x?a) ??? (x)).
??? ????? ???????????? ? ??????????? ?????? ????? ????????????? ???????.
? ??????????? ?? ??????? ??????? ? ????????????? ?? ????????????? ? ???? ???? ?????? ??????? ??????? ???????? ??????
?????? ?????????????. ? ???????? ???????? ???????????? ?????
???????????? ???????????? ???? ?????????? ???????, ?? ??????? ???????? ??????? ??????????, ??? ?? ??????? (???????
????? ????? ??????????? ???????????), ??????? ?? ???????????? ? ????????? ????.
?????
??
?????
???????
?????????????
???????
?1, ?2 , ?3 ,..., ?n ,... : ?. ?. ( ?i , ?k ) =0, i ? k; ( ?i , ?i ) =? i > 0. ???
( ?i ;?k ) ? ????????? ????????????.
????????, ??? ??????? ??????? f ????? ???? ????????? ? ???:
f = c1?1 + c2?2 + c3?3 + ... + cn ?n + ...
???????? ?????????? ????????? ???????? ?? ?i , ???????
(f, ?i ) = c1 (?1, ?i ) + c2 (?2 , ?i ) + c3 (?3 , ?i ) + ... +
+ci (?i , ?i ) + ... + cn (?n , ?i ) + ...
???????? ??????????????? ??????? ???????, ????????:
(f, ? )
(f, ?i ) =
ci (?i , ?i ) =
? i ci , ci = i .
?i
Ci ?????????? ?????????????? ?????.
????????? ?????? ? ?????? ?????????? ??????? ??????????
?????? ?????? ?????????? ??????? ? ???? ?????.
????????, ??? ??? ?????????? ??????? ? ??? ??????? (??? ?????????) ????????? ??????? ?????? ????? ??????????? ???????????. ????? ??????? ??????? ????????? ??? ?????????? ???????
? ??? ?????, ??? ?????? ??? ?????????? ????? ??????????????.
40
5.1. ??????? ?????????? ??????? ? ??? ?????.
???????????? ?????
????? ????? ??? ??????? f(x) ?????????? ???:
a0 ?
f (x) =
+ ? ( an cos nx + bn sin nx ). 2 n =1
(5.1)
?????
a0 =
an =
bn =
1
?
1
?
1
?
?
? f ( x )dx,
??
?
? f ( x ) cos nxdx,
??
?
? f ( x ) sin nxdx. (5.2)
??
?????? ?????????? ????????, ???? ??????? f(x)? 2? ? ??????????, ??????? ????????? ? ??????????. ??? ??????? ??????? ???????? ????????? ???????.
??? ???? ? ?????? ????????????? ??? ????? ???????? ? ???????? ??????? ? ?????? ?????. ???? ?? ? ????? x0 ?????????? ??????
(? ???? ??????? ??????? ???????? ?????? ?????? ??????? ????), ??
??? ???????? ? ????????? ????????????? ????????:
f ( x0 ? 0 ) + f ( x0 + 0 )
2
.
(5.3)
?????? 1.
????????? 2? ? ????????????? ??????? f(x) ? ??? ?????
?2, ? ? ? x ? 0,
f (x) = ?
? 1, 0 ? x ? ?.
???????.
????? ??????, ??? ??????? ????????????? ???????? ???????.
???????? ???????????? ?????:
41
a=
0
an=
0
?
? 1
1?
? ? 2dx + ? dx=
?
? ) 3,
(2? + =
? ?
??
0
? ??
?
0
?
? 1? 2
1?
1
?
? ? 2 cos nxdx + ? cos nxdx=
?
sin nx |0?? + sin nx |0?=
?
? 0,
? ??n
n
??
?
0
? ??
?
0
?
? 1? 2
1?
1
?
? ? 2 sin nxdx + ? sin nxdx ? =
bn =
? cos nx |0?? ? cos nx |0? ? =
? ? ?? n
n
??
?
0
? ??
?
n +1
( ?1) ? 1
1
1
=?
2 (1 ? cos ( ?n? ) ) + ( cos n? ? 1) = ? (1 ? cos n? ) =
.
?n
?n
?n
(
)
??????????? bn ??? ???????? n ????? ????.
????? ???????, ?????????? ??????? f(x) ? ??? ?????:
sin 2nx
3 2 ? sin 2x sin 4x 1
?
+
+ sin 6 x+ ... +
+ ... ? =
f (x) = ? ?
2 ?? 2
4
6
2n
?
sin 4x sin 6x
sin 2nx
3 1?
?
=
? ? sin 2x +
+
+ ... +
+ ... ?.
n
2 ??
2
3
?
5.2. ??????? ?????????? ?????? ? ???????? ???????
? ??? ?????.
???? ?????????????? ? ??? ????? ??????? ???????? ???????
??? ?????????, ?? ?????????? ????????????? ??????????.
? ?????????, ???? ???????, ??????????????? ???????? ???????, ??????, ?? ?? ??? ????? ?????????????? ? ??? ?????? ?? ?????????, ?????? ???????????? ??????????? ?? ?????????? ????????:
?
a0 =
2
f ( x )dx,
??
0
?
an =
2
f ( x ) cos nxdx,
??
0
42
bn = 0. (5.4)
???? ?? ???????, ??????????????? ???????? ???????, ????????, ?? ?? ??? ????? ?????????????? ? ??? ?????? ?? ???????,
?????? ???????????? ????? ??????????? ?? ?????????? ????????:
a0 = 0,
an = 0,
?
bn =
2
f ( x ) sin nxdx. ??
(5.5)
0
?????? 1.
????????? 2? ? ????????????? ??????? f(x)?=?x, ???????? ??
????????? [??, ?] ? ??? ?????.
???????.
????? ??????, ??? ??????? ????????????? ???????? ??????? ?
???????? ????????. ???????? ???????????? ?????:
a0 = 0,
an = 0,
???????? bn, ????????? ???????? ?????????????? ?? ??????.
an =
1
?
?
1? x
?
1
?
?
? x cos nxdx = ? ?? n sin nx |?? ? n ? sin nxdx ?? =
??
??
?
1?
1
? ?
=
0,
? 0 + 2 cos nx |?? ? =
??
n
?
?
?
?
?
2
2 ? x cos nx ? 1
?
bn =
x
nxdx
=
?
+
sin
|
cos nxdx ? =
0
?
?
?
n
n
?
??
0
0
?
?
n +1
=
?2
2 ?
sin nx ? ?
2 cos ?n ( ?1)
|0 ? = ?
.
=
? ?? cos n? +
n
n
n
?n ?
?
43
????? ???????,
? sin x sin 2x sin 3x
?
n +1 sin nx
f ( x ) 2?
=
?
+
? ... + ( ?1)
+ ... ?.
2
3
n
? 1
?
???????, ??? ??? ????????? ????? ????? ?? ???? ??????, ?????
????? ???????. ? ?????? ????? ??????? ????? ???? ????? ????????
??????????????? ?? ???????? ?????? ? ?????, ?. ?. ????.
5.3. ??? ????? ??? ??????? ????????????? ???????.
???? ??????? ?????????? ? ???????????? ??????? 2l ?????????? ( 2l ? 2? ), ?? ??? ????? ????? ???? ????????? ? ??? ?????
?
a0
n?
n? ?
?
f (x) =
+ ? ? an cos x + bn sin x ?, 2 n =1?
l
l ?
(5.6)
??? ???????????? ??????????? ?? ????????:
a0 =
an =
l
1
f ( x )dx,
l?
?l
l
1
n?
f ( x ) cos xdx,
?
l
l
?l
bn =
l
1
n?
f ( x ) sin xdx. (5.7)
l?
l
?l
???????, ??? ???? ??????? ? ??????, ?? ??? ??????????????
?????? ?? ?????????, ? ???? ? ????????, ?? ?????? ?? ???????, ?????? ????????????, ??? ? ? (1.4) ? ? (1.5), ??????????? ?? ?????????? ????????.
?????? 1.
????????? 2l ? ????????????? ??????? f ( x ) = x , ???????? ??
????????? [?l; l], ? ??? ?????.
???????.
????? ??????, ??? ??????? ????????????? ???????? ??????? ?
???????? ??????. ???????????? ?????:
44
l
l
0
0
2
2 x2
a0 =
xdx
=
?
l,
| =
l?
l 2
n?
?
?
l
l
x sin x
?
2
2?
1
n?
n?
l
l
|0 ?
sin xdx ? =
an = ? x cos xdx = ?
?
n?
n?
l
l
l?
l
??
0
0
?
l
l
?
?
? 0, וסכט n קועםמו,
2
n? l ?
2 ? l ?
=
??
?
=
x
cos
|
0 ? ?4l
?
l ? n? ?
l
? 2 2 , וסכט n םוקועםמו.
?n ?
bn = 0.
?????????????, ?????????? ????? ???:
?
?
(2k + 1) ?
?
3?
cos x cos x
cos
x
?
l 4l ?
l +
l + ... +
l
x= ? ?
+ ... ?.
2
2 ?2 ? 1
?
32
k
+
2
1)
(
?
?
?
?
??????????????? ???????, ???????? ?? ????????? [a,b], ??????????????? ????????? ???????? ???????, ????? ????????? ??
????????? 2l (2l ? ( b ? a )), ? ?????? ?? 2l ? ?????????????, ????????? ? ??? ?????, ?????? ?? ????????? [a,b], ??? ????? ?????????
? ?????????????? ???????.
?? ??????????? ???????, ??? ???? ??????? ?????? ?? ?????????
[0,l], ?? ???????? ?? ?????? ????????, ??????? ?? ?????????? ??
???? ????????? ?? ?????????, ? ???????? ?? ???????? ???????? ?
?? ???????.
?????? 2.
????? ????????? ????????? ??????? f ( x ) = x, ???????? ?? ????????? [0; ?] ? ??? ????? ?? ????????? ? ?? ???????.
???????.
????????? ??????? ?????? ????????, ??????? ?? ????????? [0; ?] :
45
?
cos ( 2n ? 1) x
? 4 ?? cos x cos 3x cos 5x
?
+
+
+ ...
+ ... ?.
x=
?
2 ?? 1
32
52
(2n ? 1)2
?
?
????????? ??????? ???????? ????????, ??????? ?? ????????? [0; ?] :
? sin x sin 2x sin 3x
?
n sinn x
=
x 2?
?
+
+ ... + ( ?1)
+ ... ?.
2
3
n
? 1
?
46
????? 6
?????? ??????????? ????? ? ????????
? ????????? ????????
1. ????? ????? ???? (??? ???????? ??? ????????????):
?
1
? n ( n + 2 ).
n =1
???????:
??????? n-? ????????? ????? ????:
sn =
??? ???
1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
n ? (n + 2)
1? 3 2 ? 4 3 ?5
1
1? 1
1 ?
=
? ?
?, ??
n (n + 2) 2 ? n n + 2 ?
sn=
1?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?
? ? 1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ... +
2??
3? ?2 4? ?3 5? ?4 6?
1 ? ?1
1 ?? 1? 1
1
1 ?
? 1
+?
?
?
?+? ?
? ?= ? 1 + ?
?.
2 n +1 n + 2 ?
? n ?1 n +1 ? ? n n + 2 ? ? 2 ?
?????? n-? ????????? ????? ????:
?1?
1
1
1 ?? 3
lim
.
sn lim ? ? 1 + ?
=
? =
??
2 n +1 n + 2 ?? 4
n ??
n ?? ? 2 ?
??????, ??? ???????? ? ??? ????? ????? 0,75.
?????: 0,75.
3. ??????????? ?????????? ????????? ????:
?
n +1
? 5n + 117.
n =1
???????:
???????? ?????????? ???????????? ???????? ??????????
?????:
47
n +1
lim
n ?? 5n + 117
1
= .
5
??? ??? n-? ???? ???? ?? ????????? ? ????, ?? ??? ?????????? ??
???????????? ???????????? ???????? ?????????? ?????.
?????: ??????????.
4. ??????????? ?????????? ????????? ????:
?
n
? n3 + 5.
n =1
???????:
?
1
1
=, ? ??? ? 2 ???????? (??. (1.4.7)), ??
3
3
2
n +5 n
n
n =1 n
?? ???????? ????????? ?????, ???????? ? ??????? ???.
?????: ????????.
5. ???????? ?? ????????? ???:
??? ???
n
?
n
?
? ( ?1)
n
n =1
2n +1
3n ?1
.
???????:
???????? ??? ?? ?????????? ??????? ?????? ???????? ????:
?
2n +1
? 3n?1 .
n =1
???????? ?????????? ??????? ???? ?? ???????? ?????????
(??. 1.4.2):
2n +2
an +1
2 2
3n
lim =
lim =
lim
= .
n
+
1
n ?? an
n ?? 2
n ?? 3 3
3n ?1
??? ??? ?????? ?????? ?????? ???????, ?? ??? ???????? ?, ???????, ??????? ??? ???????? ?????????.
?????: ??.
48
6. ????? ?????? ?????????? ?????????? ????:
?
? 2n xn .
n =1
???????:
??? ?????????? ??????? ?????????? ??????? ???? ????????????? ????????? ???? (??. 1.4.3):
n n
lim n 2=
x
2 lim x < 1 ? x < 0,5.
n ??
n ??
?????: 0,5.
7. ????? ??????????? ??? x3 ? ?????????? ??????? e3x ? ???
?????????.
???????:
????????????? ????????? ??????????? ex ? ??? ????????? (??.
(4.3.1)):
ex = 1 +
x x2 x 3
xn
+
+
+ ... +
+ ... ןנט ? ? < x < ?.
n!
1 2! 3!
??????? ? ?????? ?????????? x ?? 3x, ????????:
e3x =1 +
2
3
n
( 3x )
( 3x )
3x ( 3x )
+
+
+ ... +
+ ...
1
2!
3!
n!
??????????? ??? x3 ? ?????????? ??????? ????? ?????
a=
3
33 32
= = 4,5.
3! 2
?????: 4,5.
8. ????????? ? ??? ????? 2? ? ????????????? ???????
?0, ? ? ? x ? 0,
f (x) = ?
? x, 0 ? x ? ?.
? ????? ???????? ???????? b4.
49
???????.
????? ??????, ??? ??????? ????????????? ???????? ???????.
???????? ???????????? ?????:
?
?
?
1
1 ? x2 ?
=
a0 =
xdx
,
?=
?|
?
?
? ?? 2 ??
2
0
0
????????? ???????? ?????????????? ?? ??????, ????????:
an =
?
?
?
1
1 ? x sin nx ? 1
?
?=
x
nxdx
nxdx
=
?
cos
|
sin
0
?
n
n?
??
??
0
0
?
?
=
1
=
( cos nx ) |0?
2
?n
( ?1)n ? 1
?n2
,
?
?
?
1
1 ? x cos nx ? 1
?
?=
bn =
x
nxdx
nxdx
=
?
+
sin
|
cos
0
?
n
n?
??
??
0
0
?
?
=
1 ?
1
?
|0? ?
? ?? cos n? + sin nx =
n
?n ?
?
( ?1)n+1
n
.
?, ????????????,
?
cos ( 2k ? 1) x
? 1 ? cos x cos 3x
+
+ ... +
+ ... ? +
f (x) = ? ?
?
4 ?? 1
32
(2k ? 1)2
?
?
? sin x sin 2x sin 3x
?
n +1 sin nx
+?
?
+
? ... + ( ?1)
+ ... ?.
1
2
3
n
?
?
?????: ?0,25.
9. ????????? 4? ? ????????????? ??????? f ( x ) = x2 ????????
?? ????????? [?2?,2?] ? ??? ?????. ? ????? ???????? a4.
???????.
????? ??????, ??? ??????? ????????????? ???????? ??????? ?
???????? ??????. ?????? ???????????? ?????:
2?
2
1 x3 2? 8?2
?
a0 =? x2dx =
|0 = .
? 3
2?
3
0
50
???????????? an ??????, ?????? ?????????? ?? ??????:
n
? 2
?
2?
x sin x
?
?
n
n
1
2
2? 2
2
? x cos 2 xdx = ? ?? n |0 ? n ? x sin 2 xdx ?? =
0
0
?
?
2
2
?
?
n
?
?
2?
2?
?x cos x
?
?4
?4 ?
n
n
2? 1
2
|0 + ? cos xdx ? =
=
x sin xdx =
?
?
n
n
2
2
?n
?n ?
0
0
?
??
2
2
?
?
2
an =
2?
2?
=
8
n? )
(2? cos=
2
?n
n
16 ( ?1)
n2
.
bn = 0.
? ?????:
3x
nx
?
?
cos
cos
?
?
cos 2x
4 2
x cos x
n ?1
2
2
... + ( ?1)
... ?.
f ( x ) = ? ? 16 ? cos ?
+
?
+
+
3
2
22
32
42
n2
??
??
?
?
??? ???? a4?=?1.
?????: 1.
51
????? 7
?????? ???????? ????? ? ????????
? ????????? ????????
???? ? 0
1. ??? ???
?
2n ? 1
? n2 ? 5n + 1, ????? ???? ???? a5.
n =1
???????.
2n ? 1
??? ??? an=
2
n ? 5n + 1
2?5 ?1
9
= = 9.
1
5 ? 5?5 +1
, עמ a5=
2
?????: 9.
2. ??? ???
?
n2
? 2n ,
n =1
םאיעט קאסעטקםף‏ סףללף S4 .
???????.
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 =
1 22 32 42 1
9
5
+
+
+
= + 1 + + 1 = 3 = 3,625.
2 22 23 24 2
8
8
?????. 3,625.
?
3. ????????? ????? ????
n
? an ???????? ???????? Sn = 2(n + 2) .
n =1
????? a3.
???????.
??? ??? a3 = S3 ? S2 , עמ a3 =
3
2
3 1
?
=
? = 0,05.
2 ( 3 + 2 ) 2 ( 2 + 2 ) 10 4
?????. 0,05.
? ???????? 4 ? 11 ??????? ?????????? ????? ? ????? ??????????.
2n2 + 3n ? 400
4. ?????? lim
?????:
n ??
n3 + 100
1
52
3
2
3
4
3
?
2
3
4
3
2
5
0
6
?.
???????.
3 400
2+ ? 2
2n + 3n ? 400
n n
=
lim
0, ?? ???????? ????? ??? lim =
3
100
n ??
n
??
n + 100
n+ 2
n
??? ?????.
?????. 5.
n3
5. ?????? lim
?????:
n ?? 3n
2
1
3
2
2
3
3
2
4
?
5
0.
???????.
???????? ??????????????? ?????? ?? ??????? ????????:
x3
3x2
3 ? 2x
6
=
lim
lim
= lim
= lim
= 0.
x
x ?? 3
x ?? 3x ln 3 x ?? 3x ln2 3 x ?? 3x ln3 3
??????? ??????? ?????? ????? ???? ? ?? ???????? ?????
?????.
?????. 5.
?
6. ??? ???
1
an = .
? an . ?????? nlim
4
??
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
???????.
??? ??? ?? ???????? ??????????? ??????? ?????????? ?????,
?? ??? ??????????.
?????. 2.
?
7. ??? ???
an +1
= 0.
? an ( an ? 0 ). ?????? nlim
?? a
n =1
n
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
???????.
??? ???????? ?? ???????? ?????????.
?????. 1.
53
?
8. ??? ???
n a = 1.
? an ( an ? 0 ). ?????? nlim
n
??
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
???????.
??????? ???? ?? ???? ?????? ? ?????????? ??????? ????, ??????? ?????????? ???????????? ?????? ???????.
?????. 3.
?
9. ??? ???
(n? an ) =
1.
? an . ?????? nlim
??
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
???????.
?? ??????? ??????? ???????, ??? ??????? ??? ?????????? ?????????????? ???? ? ?? ???????? ????????? ????? ?????? ????? ? ???
????????????.
?????. 2.
?
10. ??? ???
n
?1?
? an . ?????? nlim
? ?
?? ? 3 ?
n =1
1.
? an =
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
???????.
?? ??????? ??????? ???????, ??? n-? ???? ???? ?? ?????????
? ???? ? ??????? ??? ?????????? ?? ???????????? ????????????
???????? ?????????? ?????.
?????. 2.
?
11. ??? ???
cn
, דהו ? 1 ? סn ? 1.
n =1 n
?
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
???????.
???? cn?=?1, ?? ??? ?????????? (????????????? ???).
???? ?? cn?=?(?1)n, ?? ??? ???????? (?? ??????? ????????).
?????????????, ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
54
?????. 3.
?
12. ???????? ?????????? ????
? cn ( x ? a )
n
???????? ????????
n =0
(2;4). ??????? ?????? ??? ??????????.
???????.
???????? ?????????? ?????????? ???? ?????? ???????? ???????????? ???????????? a ????????, ??????? ?????? ??? ??????????:
4?2
= 1.
2
=
R
?????. 1.
????? ????????? ?????? ????? ??????????? ???????? ?????????????? ?? ????.
???? ? 1
?
2n ? 1
? n2 + n ,
4. ??? ???
n =1
?
n
? 2n?1 ,
5. ??? ???
םאיעט קכום נ�הא a4 .
םאיעט קאסעטקםף‏ סףללף S3 .
n =1
?
? an ???????? ????????
6. ????????? ????? ????
n =1
Sn =
n ( n + 1)( 2n + 1)
6
.
????? a3.
? ???????? 4?11 ??????? ?????????? ????? ? ????? ??????????.
4. ?????? lim
n ??
1
3
5. ?????? lim
3n3 + 3n ? 2
4n2 + n + 3
2
n2
n ?? 3n
3
4
3
?????:
?
2
3
4
3
2
5
0
6
?.
?????:
55
1
3
2
2
3
3
2
?
6. ??? ???
4
?
5
0.
1
an = .
? an . ?????? nlim
3
??
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
?
7. ??? ???
an +1 3
= .
? an ( an ? 0 ). ?????? nlim
4
?? a
n
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
?
8. ??? ???
n a = 0.
? an ( an ? 0 ). ?????? nlim
n
??
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?????????? ???????????? ?????? ???????.
?
9. ??? ???
(
? an . ?????? nlim
??
n =1
2
n ? an ) =
.
7
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
n
?
10. ??? ???
?3?
1.
? an . ?????? nlim
? ? ? an =
??
?2?
n =1
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
?
11. ??? ???
cn
1
, דהו
? סn ? 1.
2
n =1 n
?
1 ??? ????????, 2 ??? ??????????, 3 ?? ???? ?????? ?????????? ?????????? ???? ??????????.
?
12. ???????? ?????????? ????
? cn ( x ? a )
n =0
(2;4). ??????? ?????? ??? ??????????.
56
n
???????? ????????
????????????? ??????????
1. ?????? ?. ?. ??????? ????? ?? ????? ??????????????? ???????. ???.: ????, 2005. 608 ?.
2. ???????? ?. ?. ???????????????? ? ???????????? ??????????: ????. ??? ?????: ? 2 ?. ?. 2. ?.: ????????-?????, 2009. 560 ?.
3. ??????????? ?. ?. ???? ????????????????? ? ????????????? ??????????: ???????: ? 3 ?. ?. 2. ???.: ????, 2009. 800 ?.
4. ?????? ?. ?. ?????? ?? ?????? ??????????: ????. ???????.
???.: ????, 2014. 320 ?.
5. ??????? ?. ?., ?????????? ?. ?. ???????? ? ??????????????
????: ?????. ????. ???.: ????, 2012. 49 ?.
6. ???????? ?. ?., ????????? ?. ?. ????: ?????. ????. ???.:
????, 2014. 43 ?.
57
??????????
????????...................................................................................
3
????? 1. ???????? ????..............................................................
5
????? 2. ?????????????? ????...................................................
21
????? 3. ????????? ????.............................................................
27
????? 4. ???? ??????? ? ?????????.............................................
34
????? 5. ???? ?????...................................................................
40
????? 6. ?????? ??????????? ????? ? ???????? ? ?????????
????????. ................................................................................
47
????? 7. ?????? ???????? ????? ? ???????? ? ?????????
????????. ................................................................................
52
????????????? ??????????.........................................................
57
??? ???????
??? ???????
????, ?????????? ????, ???????? ?????? ??????????? ????????? ??????????, ?? ?? ???????????: ?????????? ????? ??????????????? ????, ??????? ???? ????????, ? ????,
???????????? ?? ?????????? ??????? ??????????. ? ????? ? ????
?????? ??????? ?? ?????????? ? ???????? ?????????? ??????????????? ????? ? ?? ?? ?????? ?????????????? ???????????????
????.
???????????.
??????????????? ???
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...
?????????? ????????? ??????????, ???? ???????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ??? ??????:
b1 + b2 + b3 + ... + bn + ....
???? ?? ??????????????? ??? ????????, ? ???, ???????????? ??
?????????? ??????? ??? ??????, ??????????, ?? ?????? ??????????????? ??? ?????????? ??????? ??? ??????????? ??????????
?????.
?????? 2.
??????????????? ???
n +1
1?
( ?1)
1 1 1
+ ? + ... +
n
2 3 4
+ ...
??????? ?????????? (?? ???????? ?? ??????? ????????), ? ??? ??
?????????? ??????? (????????????? ???) ??????????.
19
?????? 3.
??????????????? ???
n +1
( ?1)
1 1 1
1 ? + ? + ... +
n!
2! 3! 4 !
+ ...
????????? ??????????, ??? ??? ??? ?? ?????????? ???????
1+
1 1 1
1
+ + + ... + + ...
2! 3! 4 !
n!
???????? ( ??? ????? ?????????, ????????, ?? ???????? ?????????).
20
????? 2
?????????????? ????
2.1. ???????? ???????????
?????????? ???, ??????? ???????? ???????? ??????? ?? ?????
? ??? ?? ?????????? x ? ????????? ??????? X:
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.1.1)
??? ?????????? x = x1 ???????? ???????? ???
?
? un ( x=
1)
n =1
u1 ( x1 ) +u2 ( x1 ) + ... + un ( x1 ) + ..., (2.1.2)
??????? ????? ???????? ??? ??????????.
????????? x, ??? ??????? ??? (2.1.1) ????????, ????? ???????? ???????? ?????????? ??????????????? ????. ????????, ???
? ??????? ?????????? ???? ??? ????? ???????? ????????? ???????? ?? x. ???????, ????? ??????????????? ???? ??????????
????? s ( x ).
?????? 1.
?
???
? xn =1 + x + x2 + ... + xn + ...
???????? (????? ?????? ???-
n =0
??????? ????????? ?????????????? ?????????? (??. (1.1.8))) ???
?1?<?x?<?1, ??? ???? x
s( x ) =
1
.
1? x
?????? 2.
????? ??????? ?????????? ??????????????? ????
?
?
xn
n =1 1 + x
=
2n
x
+
x2
1 + x2 1 + x 4
+ ... +
xn
1 + x2n
+ ....
?????????? ???, ???????????? ?? ??????? ?????? ??????? ????:
21
?
?
x
n
n =1 1 + x
=
2n
x
x
2
x
n
+
+ ... +
+ ....
1 + x2 1 + x 4
1 + x2n
????? x < 1, ????? ??????? ???? ?????? ?????? ????
2
n
x + x + ... + x + ...,
???? ??? ???????? (?????????? ????????? ?????????????? ??????????), ? ?? ??????? ?????????, ???????? ? ?????????? ??? (??.
??????? 1 ??????? 1.4).
??????????, ??? x > 1, ????? ???????????????? ???? ??????
?????? ????
1
1
1
+
+ ... +
+ ....
n
x x2
x
???? ??? ???????? (?????????? ????????? ?????????????? ??????????), ? ?? ??????? ????????? ???????? ? ??????????? ??? (??.
??????? 1 ??????? 1.4).
???? x = ±1, ?? ??? ?????????? (?? ???????????? ????????????
????????).
????? ???????, ??????? ??? ???????? (?????????) ??? ?????
x ? ±1.
????????? ????? sn ( x ) ????? n ?????? ?????? ????. ???? ???
???????? ? ????? ??? ????? s ( x ), ??
=
s ( x ) sn ( x ) + rn ( x ),
??? rn ( x ) ? ??????? ????.
rn ( x ) = un +1 ( x ) + un +2 ( x ) + ....
??? ???? ???????? x ? ??????? ?????????? ???? ????? ????? ??????????? lim sn ( x ) = s ( x ), ??????? lim rn ( x=
) lim (s ( x ) ? sn ( x )=) 0,
n ??
n ??
n ??
?. ?. ??????? ??????????? ???? ????????? ? ???? ??? n ? ?.
2.2. ?????????? ?????????? ????. ???????????? ????
??? ???? ???? ? ??????????? ??????? ?????????? ??????????????? ???? ? 2.1 ??? ????? x1 ? X, ??? (2.1.1), ???????? ?
22
?
=
=
sn ( x1 ) s ( x1 ). ? un ( x1 ) lim
n =1
n ??
(2.2.1)
?? ??????????? ??????? ?????????????????? ?? ? > 0 ?????
????? ????? N1 (?), ??? ??? ??? n?>?N1, s ( x1 ) ? sn ( x1 ) < ?. ??? ???
??? ??????? x ? X ???????? N ????? ???? ????????, ?? ?? ??????
?? ??????? ????????? ????? ??????? ??????????. ???? ?? ??? ????????, ?? ??? ?????????? ?????????? ??????????.
??? ??? ???????? ??????? ??????????? ?????????? ??????????????? ???? ????? ?????? ??????????????, ?? ?????? ?????????? ????? ??????? ??????????? ??????? ??????????? ??????????
?????.
??????? ?????????: ?????????????? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.2.3)
?????????? ???????????? ? ????????? ??????? ????????? x, ????
?????????? ????? ?????????? ???????? ???
?1 + ?2 + ?3 + ... + ?n + ... (2.2.4)
? ?????????????? ???????, ??? ??? ???? ???????? x ?? ?????? ??????? ??????????? ???????????
u1 ( x ) ? ?1, u2 ( x ) ? ?2 , ..., un ( x ) ? ?n , ... (2.2.5)
????? ??????, ??? ?????????? ????????????, ???? ??????
??? ???? ?? ?????????? ???????? ?? ?????? ????????????????
????? ?????????? ??????????? ????????? ???? ? ??????????????
???????.
????????, ???
sin x sin 2x sin 3x
sin nx
+
+
+ ... +
+ ...
2
2
1
2
3
n2
???? ???, ???????????? ?? ???? ??? OX. ?????????????, ??? ????
???????? x ??????????? ???????????
23
sin nx
2
n
?
1
n2
1, 2, 3,
(n =
...),
1 1
1
1
+
+
+ ... + 2 + ..., ??? ????????, (??. ?????? 1 ???????
1 22 32
n
1.4.4) ????????.
??????????????? ?? ??????????? ???????, ??? ???, ???????????? ? ????????? ???????, ????????? ???????? ?? ???? ?????? ????
???????.
????? ????, ???????????
??????? (??????? ????????????).
????? ?????????????? ???
? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + .... (2.2.6)
?????????? ?? ??????? [a,b]. ????? s ( x ) ? ????? ????? ????,
sn ( x ) ? ????? n ?????? ?????? ????? ????. ????? ??? ??????? ???
?????? ?????? ????? ? > 0 ???????? ????? N?>?0 ?????, ??? ??? ????
??? n?>?N ????? ??????????? ???????????
s ( x ) ? sn ( x ) < ?,
?????? ?? ?? ???? x ?? [a,b].
?????? ?????? ????????? ???????? ???????????? ?????.
2.3. ????????????? ????? ????
????? ????? ??? ?? ??????????? ???????
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.3.1)
?????????? ?? ????????? ??????? [a,b].
????? ? ????? ??????????????? ??????? ???? ???????? ??????? ? ???, ??? ????? ????????? ????? ??????????? ??????? ????
??????? ???????????. ??? ????? ???? (?????????? ? ??????????
?? ???????????? ????? ?????????) ??? ???????? ?? ??????????? ???????????.
????????? ?????????????? ???? ? ???????????? ???????
????? ? ???????? ????? ??????????? ???????, ? ?????? ????24
?????????? ????? ? ???????????? ??????? ????? ???????? ????????? ????????.
??? ???????????? ?? ????? ??????????? ????????? ???????.
???????.
????? ???? ??????????? ???????, ????????????? ?? ????????? ??????? [a,b], ???? ???????, ??????????? ?? ???? ???????.
2.4. ?????????????? ? ????????????????? ?????
????? ? ????? ??????????????? ??????? ???? ???????? ???????
? ???, ??? ???????????? ???????? ?? ?????????????? ????? ?????????? ??????? ????? ?????????????? ????? ?????????? ?? ?????????. ??? ????? ????????? ?? ???????????? ????? ?????????
??? ???????? ?? ??????????? ???????????.
??? ???????????? ????? ??? ???????? ???????????.
??????? 1.
????? ????? ??? ?? ??????????? ???????
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.4.1)
???????????? ?? ??????? [a,b], ? ????? s(x) ???? ????? ????? ????.
????? ???????? ?? s(x) ? ???????? ?? ? המ x, ????????????? ??????? [a,b], ????????? ????? ????? ?? ?????????? ?? ?????? ??????? ????, ?. ?.
x
( t ) dt
? s=
?
x
x
x
? u1 ( t ) dt + ? u2 ( t ) dt + ... + ? un ( t ) dt +... ?
?
(2.4.2)
?
?????? ??? ??????? ???????? ???????? ? ????????? ?????????????? ??????????????? ????.
???????????? ?????? ??????? ? ????????? ????????????????? ??????????????? ????.
??????? 2.
???? ???
?
? un ( x=)
n =1
u1 ( x ) +u2 ( x ) + ... + un ( x ) + ..., (2.4.3)
???????????? ?? ???????, ??????? ??????????? ???????????
?? ??????? [a,b], ???????? ?? ???? ??????? ? ????? s(x) ? ???
25
?
? un? ( x=)
n =1
u1? ( x ) +u2? ( x ) + ... + un? ( x ) + ...,
(2.4.4)
c??????????? ?? ??????????? ??? ??????, ?????????? ?? ??? ??
???????, ?? ????? ???? ??????????? ????? ??????????? ?? ?????
??????????????? ????, ?. ?.
s? ( x=
) u1? ( x ) + u2? ( x ) + ... + un? ( x ) + ... (2.4.5)
??? ??????? ???? ????? ? ?????????????, ????????? ?????????????? ? ????????????????? ????????????? ???????? ?????
??????????????? ?????? ? ??????? ????????? ????? ???????.
???????? ???, ??????, ?????????? ?????????? ?????????, ? ?????????????? ??????? ?????????????? ???????? ?????????????? ?????.
26
????? 3
????????? ????
?????? ????????????? ??????? ??????? ????? ??????? ????????? ??????????, ????? ??????? ???????, ???????? ?????????? ?????????????? ? XVII ????. ? ?????????, ????????? ?????? ????????????? ??????????? ??????? ????? ??????? ????? ???????????.
??????????? ?? ??????? ??????? ????????.
3.1. ???????? ???????????. ???????? ??????????
?????????? ???????????? ???? ?? ?????????? ??????? ?????????????? ????? ? ????????? ????.
????????? ????? ?????????? ?????????????? ??? ????
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ..., (3.1.1)
??? a0 , a1, a2 ,..., an ,... ? ?????????? ?????, ?????????? ?????????????? ????.
???????? ?????????? ?????????? ???? ?????? ???????? ????????? ????????, ???????, ? ?????????, ????? ??????????? ? ?????.
???????, ???????????? ???????.
??????? (?????).
1) ???? ????????? ??? ???????? ??? ????????? ???????? x0, ??
?????? ????, ?? ?? ????????? ???????? ??? ?????? ???????? x,
??? ???????? x < x0 ;
2) ???? ??? ?????????? ??? ????????? ???????? x0? , ?? ?? ?????????? ??? ?????? ???????? x, ??? ???????? x > x0? .
??????? ????? ????????? ?????? ? ???????????? ????? ?????????? ? ???????????? ?????????? ????. ?????????????, ???? x0
???? ????? ??????????, ?? ???? ???????? ( ? x0 , x0 ) ???????? ??????? ?????????? ??????????. ???? x0? ? ????? ????????????, ??
??? ??????????? ?????????? ?????? ?? ????? x0? ? ??? ?????????? ????? ?? ????? ? x0? ??????? ?? ????? ????????????.
????? ?????????, ??? ?????????? ????? ????? R, ??? ??? x < R
?? ????? ????? ?????????? ??????????, ? ??? x > R ? ????? ????? ????????????.
????, ???????? ?????????? ?????????? ???? ???????? ????????
? ??????? ? ?????? ?????????.
27
???????????.
?????????? ?????????? ?????????? ???? ?????????? ????? ???????? ?? ?R ?? ?+?R, ??? ??? ?????? ????? x, ??????? ?????? ?????
?????????, ??? ????????, ? ?????? ?????????, ? ??? ????? x, ??????? ??? ???, ??? ??????????. ????? R ???????? ???????? ?????????? ?????????? ????.
?? ?????? ????????? (?. ?. ??? x?=?R ? ??? x?=??R) ?????? ? ?????????? ??? ???????????? ??????? ???? ???????? ?????????????
??? ??????? ??????????? ????.
???????, ??? ? ????????? ????? ???????? ?????????? ??????????? ? ????? (R?=?0), ? ?????? ?????????? ??? ??? OX ( R = ? ).
?????? ????????? ??????? ??????????? ??????? ??????????
?????????? ????.
????? ????? ????????? ???
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ... (3.1.2)
?????????? ???, ???????????? ?? ?????????? ??????? ???
??????:
2
3
n
a0 + a1 x + a2 x + a3 x + ... + an x + ... (3.1.3)
??????? ??? ??????????? ?????????? ?????????? ???? (? ?????????????? ???????) ???????? ??????? ????????? (??. 1.4.2).
????????, ??? ?????????? ??????
u
an +1xn +1
an +1
=
lim n +1 lim=
lim
=
x L x.
n
n ?? un
n ??
n ?? an
an x
?????, ?? ???????? ????????? ??? (3.1.6) ????????, ???? L x < 1,
1
1
, ? ??????????, ???? L x > 1, ?. ?. ???? x > .
L
L
? 1 1?
?? ??????????? ???????, ??? ???????? ? ? ; ? ???? ????????
? L L?
?????????? ?????????? ???? (3.1.1), ?. ?.
?. ?. ???? x <
R=
28
a
1
= lim n .
L n?? an +1
??????????, ??? ??????????? ????????? ?????????? ?????
???????????? ????????? ????, ? ?????
R=
1
lim n an
.
n ??
?????? 1.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
? xn =1 + x + x2 +x3 + ... + xn + ...
n =0
???????.
???????? ??????????????? ??????? ?????????, ????????
lim
n ??
xn +1
xn
= x.
?????????????, ??? ???????? ??? x < 1 ? ?????????? ??? x > 1.
?? ???????? ????????? (?1;1) ???????????? ?????????? ???? ? ??????? ???????? ????????? ??????????. ?????? ???????????????
?????, ??? ??? x?=?1 ? ??? x?=??1 ??? ?????????? (????????, ?? ???????????? ???????????? ????????).
?????? 2.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
?
n =0
( ?1)n ( 3x )n
n +1
2
=1 ?
n
n
( ?1) ( 3x )
3x ( 3x )
+
+... +
+ ...
2
3
n +1
???????.
???????? ??????? ?????????, ????????
( 3x )n+1
n +1
n+2
=
3=
x lim
3x.
lim
n
+2
n
n
??
( 3x )
n ??
n +1
29
1
1
? ?????????? ??? x > .
3
3
1
??? x = ??? ???????? (?? ??????? ???????? (??. 1.5.1)).
3
1
??? x = ? ??? ?????????? (????????????? ??? (??. 1.4.3)).
3
?????????????, ??? ???????? ??? x <
?????? 3.
?????????? ???????? ?????????? ????
?
x2
xn
x3
xn
? n ! =x + 2! + 3! + ... + n ! + ...
n =1
???????.
???????? ??????? ?????????, ????????
lim
n ??
xn +1
( n + 1) !
n
x
n!
= lim
n ??
x
= 0 < 1.
n +1
??? ??? ?????? ?? ??????? ?? x ? ?????? ???????, ??, ??????,
??? ???????? ??? ???? ????????? x.
?????? 4.
?
???
? (nx )
n
2
3
n
=x + ( 2x ) + ( 3x ) + ... + ( nx ) + ... ?????????? ???
n =1
n
???? ????????? x, ????? x?=?0, ??? ??? ( nx ) ? ? ןנט n ? ?, ?????? ?? ?? ???? x, ???????? ?? ????.
?????????? ?????? ???????? ????? ?????????? ????.
3.2. ????????????? ????? ?????????? ????
??????? ????????????
??????? 1.
????????? ???
30
a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn + ..., (3.2.1)
?????????? ?? ????? ??????? [??;?], ??????? ??????? ??????
????????? ??????????.
?????? ???????:
???????.
?? ?????? ???????, ??????? ??????? ?????? ????????? ??????????, ????? ?????????? ???? ???? ??????????? ???????.
?????????????, ?? ???? ??????? ??? ??????????, ? ????? ???
???????? ???????????? ????????? ?? x. ?????????????, ?? ????????? ??????? 2.3, ????? ????? ???? ???? ??????????? ???????.
3.3. ????????? ?????????????? ? ?????????????????
?????????? ????
?? ????????? ? ?????????????? ? ????????????????? ????????? ???? ? ? ???????? ?? ?????????? ?????????? ? ????? ????,
??? ???????????? ????? ??????????.
??????? 1 (? ????????? ?????????????? ????????? ?????).
???? ??????? ?????????????? ?,? ????? ?????? ????????? ?????????? ?????????? ????, ?? ???????? ?? ????? ???? ????? ?????
?????????? ?? ?????? ????.
?????? 1.
???????? (?? ??????? ????? ?????????? ????????? ?????????????? ?????????? (??. (1.1.8))), ???
1
n ?1 n ?1
= 1 ? x + x2 ? ... + ( ?1)
x
+ ...
1+ x
? ?????????? [0;x], ??? x < 1.
?????
x
dx
?1+ x =
0
x?
n
x2 x 3
n ?1 x
+
? ... + ( ?1)
+ ... n
2
3
(3.3.1)
??????
??????? 2 (? ????????? ????????????????? ????????? ?????).
???? ????????? ???
s ( x ) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ... ????? ???????? ?????????? (?R;R), ?? ???
(3.3.2)
31
? ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + nan xn ?1 + ..., (3.3.3)
?????????? ????????? ?????????????????? ???? (3.3.2),
????? ??? ?? ???????? ?????????? (?R;R), ??? ????
=
? ( x ) s? ( x ), וסכט x < R, ?. ?. ?????? ????????? ?????????? ??????????? ?? ????? ?????????? ???? (3.3.2) ????? ????? ????, ??????????? ????????? ?????????????????? ???? (3.3.2).
??? (3.3.3) ????? ????? ???????? ????????????????. ( ??? ????? ? ??? ??????????? ?????? ????????.) ????? ???????, ???????????:
??????? 3.
???? ????????? ??? ???????? ? ????????? (?R;R), ?? ??? ?????
???????????? ????? ???????, ??????? ?????? ????????? ?????????? ??????????? ?????? ???????, ?????? ?? ??????? ???? ????? ????, ????????????? ? ?????????? ?????????? ????????????????? ??????? ???? ??????????????? ????? ???; ??? ???? ????????
?????????? ??????? ????, ????????????? ? ?????????? ?????????????????, ???? ??? ?? ???????? (?R;R).
3.4. ???? ?? ???????? x?a
????????? ????? ????? ?????????? ?????????????? ??? ????
2
n
a0 + a1 ( x ? a ) + a2 ( x ? a ) + ... + an ( x ? a ) + ..., (3.4.1)
??? ?????????? a0,a1,?,an,?????? ?????????? ??????????????
????. ??? ? ????????? ???, ????????????? ?? ???????? ????????
(x?a).
??? a?=?0 ??????? ????????? ???, ????????????? ?? ????????
x, ??????? ???????? ??????? ??????? ???? (3.4.1).
??? ??????????? ??????? ?????????? ???? (3.4.1) ??????? ?????? ?????????? x?a?=?X.
????? ?????? ??? (3.4.1) ?????? ???
a0 + a1 X + a2 X2 + ... + an Xn + ..., (3.4.2)
?. ?. ???????? ????????? ???, ????????????? ?? ???????? X.
????? ???????? ?R?<?X?<?R ???? ???????? ?????????? ???? (3.4.2).
32
????? ??? (3.4.1) ????? ????????? ??? ????????? x, ??????????????? ??????????? ?R?<?X?a?<?R ??? a?R?<?X?<?R?+?a.
??????????????, ??? (3.4.1) ????? ?????????? ??? ?????????
a?R?<?X?<?R?+?a.
?????????????, ?????????? ?????????? ???? (3.4.1) ????? ???????? (a?R;a?+?R) ? ??????? ? ????? a. ??? ???????? ??????????
????, ?????????????? ?? ???????? x, ?????? ????????? ??????????
(?R;R) ????????? ??????????? ??? ?????????? ????, ?????????????? ?? ???????? (x?a), ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R).
???????, ??? ????? ?????????? ?????????????? ??????????
???? (3.4.1), ???? ??????? ?????????????? ????? ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R), ?????????? ???, ????? ???????? ????????? ???????????????? ????????? ?? ????? ??????? ???? (3.4.1).
??? ????????? ????????????????? ?????????? ???? (3.4.1) ???
???? x, ??????? ?????? ????????? ?????????? (a?R;a?+?R), ?????????? ???, ????? ???????? ????????? ??????????? ?? ????? ???????
???? (3.4.1).
?????? 2.
????? ??????? ?????????? ????
( x ? 3) + ( x ? 3)2 + ( x ? 3)3 + ... + ( x ? 3)n + ...
???????.
??????? x ? 3 =
X, ??????? ???
X + X2 + X 3 + ... + Xn + ...
??? ???????? ??? ?1?<?X?<?1. ?????????????, ?????? ??? ???????? ??? ???? x, ??? ??????? ?1?<?x?3?<?1, ?. ?. ??? 2?<?x?<?4.
33
????? 4
???? ??????? ? ?????????
?????? ?????????? ???????, ?????????? ????????????? ????????????????? ??????????, ? ??? ?? ????????? ??????? ????????? ???????? ??????? ? ????????????. ? ?????? ????? ?? ?????????? ?????????? ??????? ? ???? ????????, ? ??????? ???????????
???????? ??????????????? ???????? ?????? ?????.
4.1. ??????? ??????? ? ?????????
?????? ???? ? ??????????????? ??????, ????????? ? ????????? ???????? ??????????????? ???????.
???????????, ??? ??????? y?=?f(x) ????? ??? ??????????? ??
(n?+?1) ? ?? ??????? ???????????? ? ????????? ??????????, ?????????? ????? x?=?a.
?????? ????????? y?=?Pn(x) ??????? ?? ???? n, ???????? ???????? ? ????? x?=?a ????????? ???????? ??????? f(x) ? ???? ?????, ?
???????? ??? ??????????? ?? n-?? ??????? ? ????? x?=?a ????????? ????????? ??????????????? ??????????? ??????? f(x) ? ????
?????
=
Pn ( a ) f=
( a ), Pn? ( a ) f ?=
( a ), Pn??( a )
?? ( a ),...., Pn(n ) ( a ) fn(n ) ( a ).
= f=
(4.1.1)
????? ????? ??????????? ??????? ??????? (4.1.2).
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
+
f ??? ( a )
3!
( x ? a )3 + ... +
n
f( ) (a)
n!
f ?? ( a )
2!
( x ? a )2 +
( x ? a )n + Rn ( x ).
(4.1.2)
Rn(x) ? ??????? ???????? ?????????? ??????. ??? ??? ????????
x, ??? ??????? ?????????? ???? Rn(x) ???, ????????? Pn(x) ????
???????????? ????????????? ??????? f(x).
???? ? ??????? ??????? ???????? a?=?0, ?? ??? ????????? ? ????
34
f (x) =
f (0) + f ?(0) x +
+
f ?? ( 0 ) 2
x +
2!
n
f ??? ( 0 ) 3
f ( ) (0) n
x + ... +
x + Rn ( x ). (4.1.3)
n!
3!
???? ??????? ?????? ??????? ??????? ???????? ????????
?????????.
4.2. ???? ??????? ? ?????????
? ?????????? ??????? ???? ????????, ??? ??? ??????? y?=?f(x),
??????? ??? ??????????? ?? (n?+?1) ? ?? ??????? ????????????
? ????????? ??????????, ?????????? ????? x?=?a, ???????????
??????? ???????:
f ?? ( a )
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
( x ? a )2 + ... +
2!
+
n
f( ) (a)
( x ? a )n + Rn ( x ),
(4.2.1)
??? ??? ?????????? ?????????? ???? Rn(x) ????? ????????? ??
??????? (????? ????????)
=
Rn ( x )
n!
f(
n +1)
( a + ?( x ? a ))
( n + 1) !
( x ? a )n+1 . (4.2.2)
???? ??????? f(x) ????? ??????????? ???? ???????? ? ??????????? ????? x?=?a, ?? ? ??????? ??????? ????? n ????? ????? ?????
?????? ???????. ???? ? ??????????????? ??????????? ??????????
???? Rn(x) ????????? ? ???? ???
n ? ? : lim Rn ( x ) =0,
n ??
(4.2.3)
?? ???????? ? ??????? (4.2.1) ? ??????? ??? n ? ?, ??????? ??????
??????????? ???, ??????? ?????????? ????? ???????:
f ( x )= f ( a ) + f ? ( a )( x ? a ) +
+
f ?? ( a )
2!
2
( x ? a ) + ... +
n
f( ) (a)
n!
( x ? a )n + ...
(4.2.4)
35
????????? (4.2.4) ??????????? ???? ? ??? ??????, ????
Rn ( x ) ? o ןנט n ? ?.
? ???? ?????? ?????????? ?????? ??? ????????, ? ??? ?????
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
1 039 Кб
Теги
veshevguasman
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа