close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Vesnicheva

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Лабораторный практикум
СанктПетербург
2007
УДК 53
ББК 223
Э45
Рецензенты:
доктор физикоматематических наук, профессор, ведущий научный сотрудник
ФТИ РАН Н. Р. Галль; кандидат физикоматематических наук, доцент физиче
ского факультета СПбГУ Т. В. Радина
Утверждено редакционноиздательским советом университета
в качестве лабораторного практикума
Э45
Весничева Г. А., Коваленко И. И., Кульбицкая М. Н. и др.
Электричество и магнетизм: лабораторный практикум /
Г. А. Весничева, И. И. Коваленко, М. Н. Кульбицкая и др.; под
ред. Б. Ф. Шифрина. – СПб.: ГУАП, 2007. – 68 с.: ил.
Приведены краткие теоретические и методические указания к
выполнению лабораторных работ по разделу «Электричество и маг
нетизм».
Лабораторный практикум рекомендован для студентов 1го кур
са всех факультетов и специальностей.
УДК 53
ББК 223
Учебное издание
Весничева Галина Андреевна
Коваленко Иван Иванович
Кульбицкая Мария Никандровна
Плехоткина Галина Львовна
Прилипко Виктор Константинович
Рутьков Евгений Викторович
Царев Юрий Николаевич
Шифрин Борис Фридманович
Щербак Сергей Яковлевич
Разумовский Владимир Николаевич
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Лабораторный практикум
Редактор А. В. Семенчук
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 01.10.07. Подписано к печати 06.11.07.
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,9.
Уч. изд. л. 4,3. Тираж 700 экз. Заказ № 601
Редакционноиздательский центр ГУАП
190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67
©
©
2
ГУАП, 2007
Г. А. Весничева, И. И. Коваленко,
М. Н. Кульбицкая и др., 2007
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1. Определение электроемкости конден
сатора с помощью баллистического гальванометра .............
Лабораторная работа № 2. Изучение резонанса в электрическом
колебательном контуре ..................................................
Лабораторная работа № 3. Определение горизонтальной
составляющей напряженности магнитного поля земли,
электрической постоянной системы СИ и скорости электро
магнитных волн в вакууме ..............................................
Лабораторная работа № 4. Исследование магнитного поля
соленоида ....................................................................
Лабораторная работа № 5. Исследование магнитного гистере
зиса ............................................................................
Лабораторная работа № 6. Изучение процессов установления
тока при разрядке и зарядке конденсатора ........................
Лабораторная работа № 7. Определение периода релаксацион
ных колебаний при помощи электронного осциллографа .....
Библиографический список .................................................
Приложение .....................................................................
4
10
18
23
29
42
49
57
58
3
Лабораторная работа № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА
С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ГАЛЬВАНОМЕТРА
Цель работы: ознакомление с устройством и принципом работы
баллистического гальванометра, определение электроемкости кон
денсатора с помощью баллистического гальванометра.
Методические указания
Зеркальные гальванометры магнитоэлектрической системы служат
для измерения количества электричества, протекающего по цепи за
промежуток времени, малый по сравнению с периодом собственных
колебаний рамки гальванометра, а также для обнаружения и измере
ния слабых токов порядка (10–10А), напряжений порядка (10–8В).
Гальванометр смонтирован внутри цилиндрического корпуса 1
(рис. 1). Он состоит из неподвижного постоянного магнита 2, под
вижной рамки 3, подвешенной на тонкой ленте или спирали. На кон
це ленты около рамки укреплено небольшое зеркальце 4. При проте
кании тока рамка вместе с укрепленным на ней зеркальцем повора
чивается в магнитном поле постоянного магнита. На некотором
расстоянии от гальванометра располо
жены шкала 6 и осветитель 7, выпол
ненный в виде цилиндрической труб
ки, внутри которой расположена элек
трическая лампочка и собирающая
линза. Свет от осветителя попадает на
зеркальце гальванометра и, отразив
1
шись от него и зеркала 5, дает на шка
ле 6 изображение нити лампочки. При
8
повороте рамки гальванометра изоб
9
ражение нити («зайчик») смещается
2
по шкале. Это смещение и принимает
3
4
ся за линейную меру поворота рамки
гальванометра.
5
Баллистический гальванометр от
личается от обычного гальванометра
6
магнитоэлектрического типа значи
7
тельной величиной момента инерции
подвижной системы.
Если через рамку гальванометра в
Рис. 1. Схема балистическо
течение некоторого времени протека
го гальванометра
4
ет ток, то со стороны магнитного поля постоянного магнита на рам
ку с током действует вращающий момент
1 1
1
(1)
M = Pm × B; M = INSB sin α,
1
N – число витков, намо
где Pm – магнитный момент рамки с током;
1
танных на рамку; S – площадь витка; B – магнитная индукция; α –
угол между нормалью к плоскости рамки и вектором магнитной ин
дукции.
Запишем для рамки с током основной закон динамики вращатель
ного движения
d( Jω) = Jdω = Mdt,
(2)
где J – момент инерции рамки.
Изза инерционности рамки (и смежных частей баллистического
гальванометра) поворот рамки начинается лишь после окончания крат
ковременного протекания тока. Поэтому угол α за время τ остается
неизменным и равным начальному значению α0 = π/2, а M ≈ NSBI.
С учетом этого уравнение (2) интегрируется простейшим образом
Jω = NSBq,
(3)
где ω – угловая скорость, которую приобретает рамка за время проте
кания тока; q – полный заряд, прошедший через рамку за это время τ
τ
∫
q = I(t)dt.
(4)
0
Если рамка получит угловую скорость ω, ее кинетическая энергия
будет
1
1 N 2S2 B2q2
T = Jω2 =
.
J
2
2
(5)
Это значение T относится к моменту, когда рамка еще практичес
ки не отклонилась от положения равновесия. В дальнейшем при по
вороте рамки эта энергия будет расходоваться на работу по преодоле
нию действия упругих сил кручения. Рамка представляет собой при
мер баллистического крутильного маятника. Обозначим через ϕ угол
отклонения рамки от первоначального положения равновесия (ϕ =
= π/2–α).
Момент силы кручения подвеса рамки пропорционален углу пово
рота рамки от положения равновесия
M = −Cкрϕ.
(6)
5
Знак минус в (6) показывает, что момент упругих сил кручения M
стремится вернуть рамку в положение равновесия (Скр – модуль кру
чения).
Энергия крутильных колебаний W = Скрϕ2 /2 + Jω2/2; первое сла
гаемое определяет потенциальную энергию, второе – кинетическую.
В начальный момент ϕ = 0, а потому начальная кинетическая энер
гия Jω02 /2 равна полной энергии колебаний. Рамка начинает от
клоняться и потенциальная энергия растет, достигая значения пол
ной энергии при наибольшем угле отклонения ϕmax (в этот момент
ω = 0). Согласно закону сохранения энергии, имеем
Cкрϕ2max
Jω20
.
2
2
Из сравнения (7) и (5) нетрудно получить соотношение
=
(7)
q = Kϕmax.
(8)
Коэффициент пропорциональности в (8) определяется по формуле
K=
JCкр
(9)
NSB
и называется постоянной баллистического гальванометра.
Электроемкость конденсатора – величина, определяемая отно
шением заряда q одной из пластин конденсатора к напряжению меж
ду пластинами (обкладками) конденсатора
q
(10)
C= .
u
При измерении электроемкости конденсатора с помощью баллис
тического гальванометра необходимо быстро разрядить конденсатор
через гальванометр и измерить максимальное смещение n «зайчика»
по шкале. Согласно (8), заряд, прошедший через гальванометр, про
порционален величине n
q = Kn.
(11)
Для определения постоянной баллистического гальванометра K
производят разрядку через гальванометр конденсатора известной
емкости C0. При этом на основании равенств (10) и (11) имеют место
соотношения
q0 = C0u,
q0 = Kn0.
Исключая из (12) и (13) заряд q0, получим
6
(12)
(13)
K=
C0 u
.
n0
(14)
Воспользовавшись равенствами (10) и (11), выразим емкость не
известного конденсатора
Kn
(15)
.
u
Если напряжение u не изменяется в процессе измерений, то под
ставив из (14) значение постоянной гальванометра K в (15), находим
C=
C0n
.
n0
C=
(16)
Описание лабораторной установки
Схема лабораторной установки приведена на рис. 2. При помощи
ключа П1 схема подсоединяется к универсальному источнику пита
ния УИП2, напряжение на выходе которого измеряется вольтмет
ром V. Сопротивление R ограничивает зарядный ток. Ключ П2 слу
жит для зарядки (положение 1) и разрядки (положение 2) конденса
торов. При помощи ключа П3 производится попеременное подклю
чение конденсатора C0, конденсаторов C1 и C2, емкости которых нуж
но определить, а также C3 и C4, которые представляют собой
последовательно или параллельно соединенные конденсаторы C1 и
C2. Ключ П4 замыкает рамку гальванометра и тем самым служит
для быстрого его успокоения.
П2
R
П3
1
2
5
3
4
Г
П4
V
УИП2
П1
C1
C 0 C1 C2
C2
C2
Рис. 2. Электрическая схема лабораторной установки
7
Порядок выполнения работы
1. Включают источник питания УИП2 и дают ему прогреться пять
минут.
2. Замыкают ключ П1 и замеряют напряжение на выходе источ
ника, записывают в табл. 1.
3. Ключом П3 подключают конденсатор известной емкости C0.
При помощи переключателя П2 сначала заряжают конденсатор C0
(положение 1), затем разряжают его через гальванометр Г (положе
ние 2 переключателя П2), измеряют максимальное отклонение «зай
чика» n0. Измерение повторяют не менее шести раз. Далее проводят
аналогичные измерения, подключая переключателем П3 последова
тельно конденсаторы C1 и C2, а также C3 и C4. Каждое измерение
проводят также не менее шести раз. Результаты измерений заносят
ся в табл. 1.
Таблица 1
n0, дел. шк. n1, дел. шк. n2, дел. шк. n3, дел. шк. n4, дел. шк.
U, B
Среднее
Вычисление результатов и оформление отчета
1. Вычислить средние значения отклонений баллистического галь
ванометра n10, n11, n12, n13, n14. Результаты занести в табл. 1.
2. Вычислить среднее значение постоянной гальванометра K1 , ис
пользуя найденное значение n10 [формула (14)].
3. Определить значения емкостей неизвестных конденсаторов C1,
C2, C3, C4 [формулы (16) или (15)].
4. Воспользовавшись средними значениями емкостей C11 и C1 2,
рассчитать емкости при последовательном и параллельном соедине
нии этих конденсаторов C3выч и C4выч. Результаты расчетов заносят
в табл. 2.
Таблица 2
K1
C1
C2
C3
C3выч
C4
C4выч
5. Оценивают случайные погрешности результатов измерений (от
клонений баллистического гальванометра,. постоянной гальваномет
ра, емкостей конденсаторов).
8
6. Находят предельные систематические погрешности постоян
ной гальванометра и измеренных емкостей конденсаторов.
7. Приводят окончательные результаты вычислений средних зна
чений K1 , C11, C1 2, C1 3, C1 4 с указанием случайной и систематической
погрешностей.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Приведите определение электроемкости уединенного провод
ника и конденсатора.
2. В каких единицах измеряется электроемкость?
3. Приведите определение напряженности электрического поля,
разности потенциалов и электроемкости плоского конденсатора.
4. Как найти электроемкость батареи конденсатора при парал
лельном и последовательном их соединении?
5. Опишите устройство и принцип работы баллистического галь
ванометра.
6. Что такое постоянная гальванометра?
9
Лабораторная работа № 2
ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы: определение резонансной частоты и добротности
колебательного контура.
Методические указания
Электрическим колебательным контуром называется цепь, состо
ящая из последовательно соединенных конденсатора C, катушки
индуктивности L и активного сопротивления R. Если колебатель
ный контур подсоединить к источнику переменной («гармонической»)
ЭДС с амплитудой ε0, циклической частотой ω и начальной фазой ϕ
ε = ε0 cos(ωt+ϕ),
(1)
то в соответствии со вторым законом Кирхгофа, сумма падений на
пряжений на каждом элементе контура равна действующей ЭДС
dI
1
+ IR + q = ε0 cos(ωt + ϕ),
(2)
dt
C
где I – сила тока в цепи; q – заряд на обкладках конденсатора.
Известно, что общее решение неоднородного дифференциального
уравнения (2) равно сумме общего решения соответствующего одно
родного уравнения (уравнения с нулевой правой частью) и какого
либо частного решения исходного неоднородного уравнения. Все ре
шения однородного дифференциального уравнения со временем за
тухают (становятся пренебрежимо малыми), и в установившемся
режиме решение уравнения (2) практически совпадает с упомянутым
частным решением.
Для нахождения частного решения используем метод комплекс
ных амплитуд. Предварительно напомним, что произвольное комп
лексное число z характеризуется модулем ⎢z⎢ и аргументом α = argz и
может быть представлено в тригонометрической или экспоненциаль
ной форме j = −1
L
(3)
z = z (cos α + j sin α) = ze jα .
Если комплексная функция является решением линейного диффе
ренциального уравнения с вещественными коэффициентами и комп
лексной правой частью, то вещественная часть этой функции являет
ся решением того же уравнения, в правой части которого стоит веще
ственная часть прежнего выражения. Исходя из этого, заменим
уравнение (2) эквивалентным уравнением с комплексной правой час
тью
10
q1
dI1
+ RI1 + = ε1,
(4)
dt
C
где I1 – комплексная сила тока; ε1 – комплексная запись внешней
ЭДС
L
(5)
ε1 = ε0e j(ωt +ϕ) = ε1 0e jω.
В этой записи ε0 = | ε1 | – «обычная» амплитуда (положительная
величина), тогда как ε1 0 =ε(cosϕ + jsinϕ) – «комплексная амплитуда».
Уравнение (4) эквивалентно (2) в следующем смысле: веществен
ная часть решения уравнения (4) является решением исходного урав
нения (2). Подставив (5) в (4), продифференцируем левую и правую
части полученного равенства
d2 I1
dI1 1 1
+R
+ I = jωε1 0e jωt.
(6)
2
dt C
dt
Суть этой выкладки в том, что мы перешли к уравнению с одной
неизвестной функцией I1 = I1 (t). Будем искать решение в комплекс
ной форме
L
(7)
I1 = I1 0e jωt,
1
где I 0 – комплексная амплитуда тока.
Подставим (7) в (6). После несложных преобразований получим
ε1 0 =R+jL+ 1 .
jωC
I1 0
(8)
Таким образом, отношение в левой части равенства (8) равно ком
плексному сопротивлению и называется импедансом. Импеданс ко
лебательного контура будем обозначать буквой Z
1
1
=R+j(L −
).
(9)
jωC
ωC
Активным сопротивлением колебательного контура называется
действительная часть импеданса Re (Z) = R. Реактивным сопротив
лением называется мнимая часть импеданса
Z=R+jωL+
1
.
(10)
ωC
Реактивное сопротивление есть разность индуктивного и емкост
ного сопротивлений.
В экспоненциальной записи импеданс колебательного контура
1 = Z e jψ , где
имеет вид Z
0
Im(Z)=L −
11
(
)
2
Z0 = R 2 + ωL − 1 ,
ωC
(11)
ωL − 1
ωC .
(12)
R
Модуль импеданса Z0 называется полным сопротивлением коле
бательного контура на частоте ω. Аргумент импеданса ψ равен разно
сти фаз колебаний вынуждающей ЭДС и силы тока в контуре (это
следует из определения импеданса (8); напомним, что аргумент отно
шения двух комплексных чисел равен разности аргументов делимого
и делителя).
Из (8) также следует, что амплитуда силы тока связана с ампли
тудой ЭДС соотношением
ψ = arctg
I0 = ε0 .
(13)
Z0
Полное сопротивление колебательного контура (11) минимально
при равенстве нулю реактивного сопротивления
ωL − 1 = 0.
(14)
ωC
Равенство (14) является условием резонанса в цепи колебатель
ного контура. Циклическая частота, определяемая при решении урав
нения (14), называется резонансной частотой
1
.
(15)
LC
Резонансная частота ωр не зависит от активного сопротивления
контура и совпадает с частотой незатухающих колебаний ω0. При
стремлении частоты ω вынуждающей ЭДС к резонансной частоте ωр,
амплитуда тока резко возрастает и на резонансной частоте достигает
максимального значения
ωр =
ε0 .
(16)
R
При этом разность фаз y становится равной нулю. Резкое возрас
тание амплитуды тока при стремлении ω к ωр называется явлением
резонанса, а кривая зависимости I0 от ω – резонансной кривой.
На рис. 1 приведены резонансные кривые для трех значений сопро
тивлений колебательного контура R1 < R2 < R3. Резонанс выражен
тем отчетливее, чем меньше активное сопротивление контура, т. е.
I 0 max =
12
чем меньше энергетические потери на джоулево тепло. Характерный
параметр резонансной кривой – ее ширина на уровне, соответствую
щем половине максимальной мощности (рис. 2)
∆ω = ω2 − ω1,
где ω1 и ω2 – значения циклических частот, на которых
2
I02 = 1 I0max
.
2
(17)
(18)
Можно показать, что
∆ω = R .
(19)
L
Избирательные свойства колебательного контура зависят от «ос
троты» резонансной кривой. О форме этой кривой можно судить по ее
относительной ширине ∆ω /ωр (или по обратной величине Q).
Важная характеристика колебательной системы – добротность.
Эта величина не зависит от режима вынужденных колебаний (от при
ложенной к контуру ЭДС ε). Свободные колебания колебательной
системы (случай ε = 0) являются затухающими вследствие потерь на
джоулево тепло. При этом средняя за период энергия колебаний E
экспоненциально убывает. Поэтому отношение ∆E/E остается неиз
менным (здесь ∆E=E(t+T) – E(t); T – период колебаний). Добротность
контура Q характеризуют обратной величиной E/∆ E
Q=2π(E/∆ E).
(20)
Итак, добротность контура Q показывает, во сколько раз запасен
ная в контуре энергия превосходит среднюю энергию, теряемую за
один период колебаний. Добротность – величина безразмерная.
I0
I0max
I0 max
2
R1
R2
R3
0
Рис. 1. Семейство резонанс
ных кривых
ω
ω1 ωр ω2
ω
Рис. 2. Параметры резонансной
кривой
13
B теории колебаний доказывается, что добротность может быть
найдена по ширине резонансной кривой (17)
ωр
.
(21)
∆ω
Это соотношение выполняется с большой точностью в случае, ког
да потери сравнительно невелики, или, что то же, когда ∆ω<<ωр (ряд
пояснений к формулам добротности указан в дополнении к данной
работе).
Преобразуя (20) с помощью (15) и (19), находим
Q≈
Q=
ρ
,
R
(22)
где ρ = L C – величина, называемая волновым сопротивлением кон
тура.
Описание лабораторной установки
Схема лабораторной установки приведена на рис. 3. В качестве
источника вынуждающей гармонической ЭДС используется звуко
вой генератор (ЗГ). При помощи ключа П1 колебательный контур
подключается к генератору звуковых колебаний. Переключатель П2
позволяет включить в цепь контура конденсатор с известной емкос
тью С0 или с неизвестной емкостью Сx. При помощи переключателя
П3 можно изменить активное сопротивление контура, подключая
сопротивления R1 или R2. Сила тока в контуре измеряется при помо
щи миллиамперметра.
Значения параметров колебательного контура указаны на лабо
раторном макете.
L
R1
П3
R2
ЗГ
Сx
С0
П2
П1
мА
Рис. 3. Электрическая схема лабораторной установки
14
Порядок выполнения работы
Ключ П1 установить в положение «Выкл.» Включить звуковой
генератор и дать ему прогреться 10 мин. В цепь колебательного кон
тура включить конденсатор известной емкости С0 и сопротивление
R1. При помощи ключа П1 замкнуть цепь контура и убедиться, что
на звуковом генераторе установлены рекомендуемые диапазон час
тот и выходное напряжение.
Провести измерения силы тока в контуре, последовательно изме
няя частоту звукового генератора. Убедившись в наличии резонан
са, следует с особой тщательностью провести измерения силы тока
вблизи резонансной частоты (эти измерения нужно проводить через
меньшие интервалы частот). Заменив в контуре сопротивление R1 на
R2, повторить измерения. Далее, включив в контур конденсатор C0,
провести аналогичные измерения с активными сопротивлениями в
контуре R1 и R2.
По окончании измерений выключить звуковой генератор и разом
кнуть ключ П1.
Вычисление результатов и оформление отчета
По результатам измерений при включенном в контур конденсато
ре C0 постройте на одном графике две резонансные кривые, соответ
ствующие включенным в контур сопротивлениям R1 и R2. По оси
абсцисс следует отложить циклическую частоту ω, связанную с час
тотой колебаний f соотношением ω = 2πf. По оси ординат следует
откладывать действующее значение силы тока I, измеряемое при по
мощи миллиамперметра.
Далее производится анализ графиков (резонансных кривых) В ито
ге этого анализа определяются резонансные частоты и ширина кри
вых на уровне половинной мощности ω1 и ω2 (рис. 2). Следует также
вычислить добротности контуров Q1 и Q2, сопротивления R1 и R2,
волновые сопротивления ρ1 и ρ2. Теоретические значения резонанс
ных частот можно получить по формуле (15), исходя из соответствую
щих значений L и С. Однако отметим, что данные, приведенные на
лабораторном макете, не учитывают емкость и индуктивность вклю
ченного в цепь миллиамперметра. Поэтому экспериментальные и рас
четные значения резонансных частот могут ощутимо расходиться.
По результатам измерений, выполненных с включенным в контур
конденсатором неизвестной емкости Cx и сопротивлениями в конту
ре R1 и R2, постройте две резонансные кривые на одном графике. По
экспериментально найденным значениям резонансных частот и из
вестной индуктивности контура L вычислите значение Cx. По графи
15
кам определите ширину резонансных кривых на уровне половинных
мощностей и вычислите добротности Q3 и Q4, волновые сопротивле
ния ρ3 и ρ4, активные сопротивления R1 и R2. Сравните результаты с
ранее найденными значениями. Оцените систематические погрешно
сти вычисленных величин.
Дополнение: о добротности колебательного контура
1. При выводе формулы для добротности (22) мы опирались на фор
мулу ширины резонансной кривой (19). Наметим вывод этого факта.
Максимум тока достигается при минимальном значении импеданса
Z0min = R. Соотношение (18) (с учетом (13) и (16)) означает, что (Z0)2/
/(Z0min)2 = 2 для ω = ω1, ω2. Отсюда по формуле (11) получаем
(ωL − 1 )2 = R 2
ωC
(23)
или
ω
R
= ω− 1 = ω− 0 ,
ω
LC
L
ω
2
(24)
где мы учли, что (LC)1 = ω02 (ниже принято традиционное обозначе
ние ω0 = ωр). Обозначая γ = R/L, запишем (23)
γω = ω2 − ω20 .
(25)
Здесь ω = ω1, ω2. При этом ω1<ω0, ω >ω0, следовательно
γw1 = ω20 − ω12 ,
γw2 =ω22 − ω20 .
(26)
Отсюда
γ(ω2 + ω1) = ω22 − ω12.
Сокращая обе части этого соотношения на (ω2+ω1) и вспоминая,
что γ = R/L, мы получаем
R/L=ω2–ω1,
(27)
т. е. приходим к формуле (19).
2. Добротность полезно связать с величиной, называемой време
нем релаксации. Дифференциальное уравнение затухающих колеба
ний имеет вид
L
dI
1
+ IR + q = 0 [уравнение (2), ε = 0]
dt
C
или
q ″+2βq ′+ω02q = 0 (2β=R/L, ω02=1/LC).
16
Для таких колебательных процессов известно, что частота коле
баний равна
ω = (ω02–β2)1/2,
а амплитуда убывает по закону
(28)
A = A0e −βt = A0e −t / τ.
Параметр τ – время релаксации. По определению τ – это такой
промежуток времени, за который амплитуда колебаний убывает в e
раз. Добротность колебательной системы пропорциональна числу
колебаний N, совершаемых за время релаксации
Q = πN = πτ/T.
(29)
Переходя к параметрам β = 1/τ, ω = 2π/T и считая β <<ω0, можно
записать (28) в виде
Q = ω ≈ ω0 = ω0 = 1 L .
C
2β 2β R / L R
(30)
Мы видим, что определение (29) приводит к той же формуле (22)
(и при этом не опирается на свойства резонансных кривых).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Приведите схему включения колебательного контура.
2. Какой вид имеет уравнение затухающих колебаний в комплек
сной форме? Как выражается его решение?
3. Что называют импедансом колебательного контура?
4. В чем состоит явление резонанса? ⋅то такое резонансная частота?
5. Какую величину называют добротностью колебательного кон
тура, по каким формулам она вычисляется?
6. Дайте определение волнового сопротивления колебательного
контура.
17
Лабораторная работа № 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ
НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ,
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ СИСТЕМЫ СИ
И СКОРОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ВАКУУМЕ
Цель работы: определение горизонтальной составляющей напря
женности магнитного поля Земли, электрической постоянной СИ и
скорости распространения электромагнитных волн в вакууме.
Методические указания
Направление линий напряженности магнитного поля можно оп
ределить с помощью магнитного диполя. Магнитный диполь – это
виток с током. Если виток может поворачиваться вокруг закреплен
ной вертикальной оси, то в магнитном поле виток установится так,
1
что нормаль к нему укажет направление вектора напряженности H.
Если отклонить виток в сторону от направления поля, то возникнет
момент сил, стремящийся вернуть виток в исходное положение.
Аналогом магнитного диполя является магнитная стрелка. Раз
мещенная на вертикальной оси свободная стрелка устанавливается
в положении устойчивого равновесия вдоль направления магнитно
го поля.
1
Информацию о направлении магнитного поля H можно исполь
зовать и для нахождения величины напряженности поля, вернее,
величины одной из компонент этого поля по другой известной его
компоненте. Если горизонтально расположенную магнитную стрел
ку поместить в центре круговой катушки с током, то на стрелку будет
действовать магнитное поле Земли и магнитное
поле тока. Горизон
1
тальная составляющая магнитного поля H в этом случае равна
1
1
1
(1)
H = H1 + H2.
1
1
где H1 = Hг – горизонтальная
составляющая напряженности маг
1
нитного поля Земли; H2 – напряженность магнитного поля тока.
Пусть плоскость катушки вертикальна
с плоскостью
1 и совпадает
1
магнитного меридиана, тогда векторы H1 и H2 будут в центре ка
тушки взаимно перпендикулярны, а тангенс угла, на который от
клонится стрелка при включении тока, будет равен (рис. 1)
H2
.
(2)
H1
В центре круговой катушки с током напряженность H2 магнитно
го поля определяется по формуле
tgα =
18
H2 =
IN
2R
.
(3)
Таким образом, зная силу тока в круговом проводнике, определив
угол α, на который отклоняется магнитная стрелка, а также зная
радиус витка R и число витков N, можно определить горизонтальную
составляющую напряженности магнитного поля Земли
Hг =
IN
.
2Rtgα
(4)
Известно, что электроемкость конденсатора С пропорциональна
диэлектрической проницаемости ε вещества, заполняющего про
странство между обкладками. Поэтому можно записать
C = Kεε0,
(5)
где ε0 – электрическая постоянная системы СИ; ε – диэлектрическая
проницаемость (для воздуха ε ≈ 1); K – коэффициент пропорциональ
ности, величина которого зависит от формы и размеров обкладок кон
денсатора и расстояния между ними.
Емкость конденсатора можно измерить различными способами и,
в частности, пользуясь тангенсгальванометром. Для этого собира
ют электрическую схему, включающую тангенсгальванометр, источ
ник питания И, конденсатор С, электромагнитный переключатель
П (рис. 2). В положении переключателя а конденсатор заряжается
до напряжения U, при этом на пластинах конденсатора скапливает
ся заряд
q = CU = Kεε0U.
(6)
В положении переключателя П, обозначенном на рис. 2 буквой б,
конденсатор разряжается через тангенсгальванометр. Если ν – чис
ло переключений в секунду, то сила тока, протекающего через тан
генсгальванометр, равна
I = νq = Kνεε0U.
(7)
Расположив витки обмотки тангенсгальванометра в плоскости
магнитного меридиана и измерив угол поворота магнитной стрелки
α1, из формулы (4) определим силу тока
I=
2RHгtgα1
.
(8)
N
Значение горизонтальной составляющей напряженности магнитно
го поля Земли Hг определено в предыдущем опыте. На основании (7) и
(8) определяется электрическая постоянная системы СИ (при ε = I) по
формуле
19
1 2RHгtgα1
,
(9)
K N νU
(численное значение коэффициента K′ = 1/K указано на макете уста
–7
новки: K ′ = 4,5•10 ).
Определив ε0, найдем электродинамическую постоянную с, чис
ленно равную скорости распространения электромагнитных волн в
вакууме
ε0 =
c=
1
,
ε0µ0
(10)
7
где µ0= 4π 10 Гн/м – магнитная постоянная системы СИ
Описание лабораторной установки
Электрическая схема установки для определения горизонтальной
составляющей напряженности магнитного поля Земли приведена на
рис. 3. В качестве источника питания в схеме используется батарея
Б. Необходимая величина силы тока через тангенсгальванометр ус
танавливается с помощью реостата R и контролируется миллиам
перметром мA. Тангенсгальванометр состоит из кольца, на внеш
ней стороне которого намотана катушка, содержащая N витков. В
центре кольца горизонтально расположена магнитная стрелка M,
которая может вращаться вокруг оси.
Для определения электрической постоянной системы СИ собирают
схему, представленную на рис. 2. В качестве переключателя использу
Н1
М
Н
Н2
в
а
Б
П
Рис. 1. Суперпозиция погранич
ных полей
20
с
С
Рис. 2. Схема 2 (лаборатор
ная установка)
ется реле, обмотка которого включает
ся в сеть. При этом частота переключе
ний равна частоте переменного напря
жения в сети (n = 50 Гц).
Б
Порядок выполнения работы
П
мА
R
Устанавливают тангенсгальвано
метр таким образом, чтобы магнитная
стрелка располагалась в плоскости
кольца. Затем собирают схему, приве
денную на рис. 3. Перед включением Рис. 3. Схема 1 (лаборатор
ная установка)
схемы необходимо ввести полное со
противление реостата R. После провер
ки схемы преподавателем замыкают ключ П и при помощи реостата
R устанавливают ток, при котором магнитная стрелка тангенсгаль
ванометра отклоняется на угол 30–35°. Измеряют угол отклонения
стрелки α1 и силу тока I. Далее, изменяют направление тока, не ме
няя его величины, и измеряют угол отклонения магнитной стрелки
α2. Опыт повторяют пять раз при различных значениях силы тока в
цепи. Результаты измерений заносятся в табл. 1.
Таблица 1
I, A
a1
a2
1
α
H, A/м
Собирают электрическую схему, приведенную, на рис. 2. Уста
навливают плоскость круга тангенсгальванометра параллельно маг
нитному меридиану. После проверки схемы преподавателем схему
включают в сеть. Включают в сеть также и электромагнитный пере
ключатель (реле). Измеряют угол отклонения магнитной стрелки под
действием магнитного поля катушки с током, намотанной на каркас
тангенсгальванометра. Результаты измерений и установочные дан
ные заносятся в табл. 1.
Вычисление результатов и оформление отчета
В отчете приводятся расчетные формулы, формулы для вычисле
ния систематических погрешностей определяемых величин, приме
ры вычислений, изображения электрические схем. Полученное зна
чение скорости электромагнитных волн с следует сравнить со значе
нием, взятым из справочника или учебника.
21
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Каково устройство и принцип работы тангенсгальванометра?
2. Как охарактеризовать магнитное поле, создаваемое круговым
током?
3. Дайте определения магнитной индукции и напряженности маг
нитного поля. В каких единицах измеряются эти величины?
4. Как вывести формулу для вычисления напряженности гори
зонтальной составляющей магнитного поля Земли?
5. Как получается расчетная формула для определения электри
ческой постоянной системы СИ?
6. Изобразите электрические схемы лабораторных макетов.
22
Лабораторная работа № 4
ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА
Цель работы: исследование распределения напряженности маг
нитного поля вдоль оси соленоида.
Методические указания
Закон Био–Савара–Лапласа позволяет получить выражение для
определения напряженности магнитного поля H, создаваемого то
ком соленоида на его оси
H = 1 nI(cos α2 − cos α1 ),
(1)
2
где H – напряженность магнитного поля; n – число витков на один
метр длины обмотки; I – сила тока соленоида; α1 и α2 – углы, под
которыми из точки на оси соленоида «видны» радиусы витков соле
ноида у его ближнего и дальнего концов (рис. 1, а). Если точка на оси
соленоида, в которой вычисляется напряженность магнитного поля,
расположена внутри соленоида (рис. 1, б), то один из углов тупой и
формула (1) может быть преобразована к следующему виду:
H = 1 nI ( cos α2 + cos α3 ),
(2)
2
где α3 = π–α1. В центре соленоида, длина которого значительно боль
ше его радиуса ( рис. 1, а и б), напряженность магнитного поля при
ближенно
H = nI.
(3)
Соответственно, на концах соленоида
H = 1 nI.
(4)
2
При многослойной обмотке соленоида магнитное поле на его оси
является результатом наложения полей, создаваемых отдельными
а)
б)
α1
α2
α3
0
α1
α2
0
Рис. 1. Определение магнитного поля соленоида
23
слоями. Поля, создаваемые каждым слоем обмотки соленоида, рас
считываются по формулам (1) и (2).
Таким образом, магнитное поле на оси многослoйного соленоида
качественно не отличается от магнитного поля однослойного соле
ноида. Количественное различие учитывается при определении чис
ла витков на единицу длины соленоида в формулах (1) и (2).
Описание лабораторной установки
Определение напряженности магнитного поля можно производить
различными способами. В данной лабораторной работе для этого ис
пользуется баллистический гальванометр, устройство и принцип дей
ствия которого описаны в лабораторной работе № 1. Измерительная
часть лабораторной установки состоит из двух индуктивно связан
ных цепей (рис. 2). Одну цепь образует гальванометр Г, соединенный
последовательно с двумя катушками K1 и K2. Другая цепь состоит
из катушек K и Kх.
Измерительная часть лабораторной установки состоит из двух
индуктивно связанных цепей (рис. 2). Одну цепь образует гальвано
метр Г, соединенный последовательно с двумя катушками K1 и K2.
Другая цепь состоит из катушек K и Kх, на оси которых измеряется
напряженность магнитного поля. Они поочередно подключаются с
помощью переключателя П1 к источнику постоянного напряжения.
В этой же цепи имеются реостат R и амперметр A для регулировки и
измерения силы тока в катушках K и Kх. Переключатель П2 позво
ляет изменять направление силы тока в подключенной катушке.
Г
Rш
К1
К2
.
.
К
П1
Кx
.
П2
R
А
+
–
Рис. 2. Электрическая схема лабораторной установки
24
Катушка K и измерительная катушка K1 служат для градуиров
ки баллистического гальванометра, заключающейся в определении
его баллистической постоянной. Катушка K1 представляет собой
первичную обмотку трансформатора, на которую в виде вторичной
обмотки намотана катушка K. Напряженность магнитного поля в
центре катушки K определяется по формуле (3). Магнитный поток
Ф1, пронизывающий обмотку измерительной катушки K1
Φ1 = µµ0 HS1N1 = µµ0S1N1In,
(5)
N
где n =
– число витков на единицу длины катушки K; N – общее
L
число витков катушки K; L – длина катушки; µ0 – магнитная посто
янная системы СИ; µ – магнитная проницаемость сердечника катуш
ки (в нашем случае µ = 1); N1 – полное число витков катушки K1;
H = nI – напряженность магнитного поля в центре катушки K, созда
ваемого током I. При изменении направления тока в нормальной ка
тушке K на противоположное магнитный поток, пересекающий вит
ки измерительной катушки K1, изменится на величину 2Ф1 и в ка
тушке K1 возникнет ЭДС индукции. В замкнутой цепи баллистичес
кого гальванометра потечет кратковременный электрический ток.
Рамка гальванометра повернется вместе с зеркальцем, укрепленным
на ней. Световой указатель сместится по шкале гальванометра на
количество делений β. Количество электричества, прошедшего через
катушку K1 при протекании кратковременного индукционного тока,
пропорционально смещению светового указателя по шкале гальва
нометра
q1 = Cβ,
(6)
где C – баллистическая постоянная гальванометра, выраженная в
кулонах на величину деления шкалы. Количество электричества q1
определяется из закона электромагнитной индукции Фарадея
2Ф1
,
(7)
R
где R – полное сопротивление цепи баллистического гальванометра.
Из (6) и (7) находим
q1 =
2Ф1
.
βR
Подставляя значение Ф1 из (5) в (8), получим
C=
2µ0nS1N1I 2MI
=
,
βR
βR
где M – коэффициент взаимной индукции катушек K и K1
С=
(8)
(9)
25
M = µ0nN1S1.
(10)
При всех измерениях катушки K2 и К1 остаются соединенными
последовательно, и поэтому сопротивление цепи гальванометра ос
тается неизменным. Исходя из этого, при практических измерениях
более удобно пользоваться не баллистической постоянной гальвано
метра C, а величиной C′′ = CR, которую следует назвать баллистичес
кой постоянной установки. Тогда, воспользовавшись равенством (9),
найдем
2MI
C′ =
.
(11)
β
Таким образом, зная ток I, протекающий через катушку K, и из
мерив отклонение светового указателя β, можно вычислить баллис
тическую постоянную установки C′′.
Пусть N2 – полное число витков; S2 – поперечное сечение измери
тельной катушки Kx. Если в катушке Kx, на оси которой следует
измерить напряженность магнитного поля, изменить направление
тока на противоположное, то витки катушки K2 пересечет магнит
ный поток
2Φ2 = 2µ0 Hx N2S2.
(12)
При этом через рамку гальванометра протечет заряд q2, равный
2Ф2
C′
= Cλ = ,
(13)
R
R
где λ – отклонение светового указателя по шкале гальванометра.
Подставив в (13) выражение для Ф2, определим напряженность
магнитного поля в произвольной точке оси катушки
q2 =
Hx =
C′λ
.
2µ0 N 2S2
(14)
Порядок выполнения работы
После ознакомления со схемой установки и лабораторным макетом
определяют баллистическую постоянную установки C′′. Для этого под
ключают с помощью переключателя П1 катушку K к источнику пита
ния и устанавливают реостатом R ток, указанный преподавателем
(100–150 мА). Изменив направление тока в катушке K переключате
лем П2, измеряют отклонение светового указателя β и по формуле (11)
вычисляют баллистическую постоянную установки. Измерения сле
дует производить не менее шести раз при двух значениях силы тока I в
катушке K. Далее измерительную катушку K2 располагают внутри
26
катушки Kx и при помощи переключателя П1 подключают катушку
Kx к источнику питания. Изменив направление силы тока в катушке
Kx при помощи переключателя П2, измеряют отклонение светового
указателя λ. Для измерения величины перемещения катушки K2 от
носительно исследуемого соленоида Kx на стержне, совмещенном с осью
соленоида Kx, нанесены деления. Цена деления ∆l = 5 мм. Последова
тельно перемещая катушку K2 внутри соленоида Kx через одно деле
ние, повторяют измерения. Измерения производят до тех пор, пока
катушка K2 не будет полностью выдвинута из соленоида Kx. Данные
измерений заносятся в табл. 1.
Вычисление результатов и оформление отчета
Рассчитывают средние значения отклонений светового указателя
β и баллистическую постоянную С′′ для двух значений силы тока. По
средним значениям отклонений светового указателя λ вычисляют ве
личины напряженностей магнитного поля на оси исследуемого соле
ноида Kx, а также для двух значений силы тока, указанных препода
вателем. Данные вычислений заносятся в таблицу.
По формулам (1) и (2) с учетом размеров катушки Kx рассчитыва
ют напряженность магнитного поля. Данные вычислений заносят в
табл. 1.
Таблица 1
l, м
сosa1
сosa2
Hx, А/м
В табл. 1 через l обозначено расстояние, отсчитываемое от цент
ральной точки на оси соленоида до точки, в которой производится
вычисление напряженности магнитного поля (рис. 1, б). Строят гра
фики зависимости Hx от λ по экспериментально полученным данным
и данным, полученным в результате вычислений Hx по формулам (1)
и (2). Оба графика строят на одном листе миллиметровки.
Рассчитывают неисключенные систематические погрешности для
β и одного из значений C′′, а также для одного из значений λ и Hx при
неизменном значении силы тока.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Дайте определения магнитной индукции, напряженности маг
нитного поля, магнитного потока.
2. В каких единицах измеряются магнитная индукция, напря
женность магнитного поля, магнитный поток?
27
3. В чем состоит закон электромагнитной индукции Фарадея?
4. Дайте определение коэффициента взаимной индукции.
5. Напишите и поясните формулу для вычисления напряженнос
ти магнитного поля на оси соленоида.
6. Опишите принцип действия баллистического гальванометра.
7. Дайте вывод формулы для вычисления баллистической посто
янной установки C′, опишите методику измерений.
28
Лабораторная работа № 5
ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
Цель работы: изучение магнитных свойств ферромагнетика, по
строение по экспериментальным данным петли гистерезиса
Методические указания
Все вещества в природе способны в той или иной степени намагни
чиваться во внешнем магнитном поле и поэтому называются магне
тиками. Намагниченное вещество создает дополнительное магнит
ное поле, индукцию которого обозначим через B1. Внешнее магнит
ное поле и добавочное магнитное поле магнетика создают при
наложении результирующее поле, магнитная индукция которого
равна
1 1
1
(1)
B = B0 + B1,
1
где B0 – магнитная индукция внешнего поля, создаваемого провод
1
никами с током (макротоками) или постоянными магнитами; B1 –
магнитная индукция поля, создаваемая магнетиком вследствие упо
рядочения ориентации электронных орбит (вследствие возникнове
ния микротоков).
Экспериментально установлено, что добавочное
магнитное поле
1
1
одних веществ ослабляет внешнее поле ( B1 ↑↓ B0 ), у других
1
1веществ
добавочное магнитное поле усиливает внешнее поле ( B1 ↑↑ B0 ). Пер
вые из них называются диамагнетиками, другие– парамагнетиками.
Добавочное магнитное поле диамагнетиков и парамагнетиков незна
чительно по сравнению с внешним магнитным полем (B1 << B0) и
исчезает при исчезновении внешнего. В то же самое время имеются
вещества, добавочное магнитное поле у которых может значительно
превышать внешнее магнитное поле. Такие вещества называются
ферромагнетиками. Свойства ферромагнетиков нельзя объяснить с
позиции наличия микротоков. Лишь в квантовой механике эти свой
ства находят исчерпывающее объяснение.
Если возникает необходимость охарактеризовать только поле,
создаваемое проводниками с токами (поле макротоков), то
1 вводят в
рассмотрение вектор напряженности магнитного поля H . В одно
родной изотропной среде вектор магнитной индукции и вектор на
пряженности магнитного поля связаны соотношением
1
1
(2)
B = µ0µH,
–7
где µ0 = 4π·10 Гн/м – магнитная постоянная системы СИ; µ – отно
сительная магнитная проницаемость магнетика (для вакуума µ = 1).
29
Степень намагничивания
112 магнетика принято характеризовать
вектором намагничивания J, , численно равным сумме магнитных
моментов всех молекул, находящихся в единице объема вещества
12
12 ∑ p
mi
J=
,
(3)
∆
V
12
где pmi – магнитный момент iй молекулы; ∆V – объем магнетика, в
котором производится суммирование магнитных моментов молекул.
Опыт показывает, что вектор намагничения и вектор напряжен
ности магнитного поля связаны соотношением
1
1
(4)
J = χH,
где χ – безразмерный коэффициент, называемый магнитной воспри
имчивостью. Для парамагнетиков этот коэффициент положителен,
для диамагнетиков – отрицателен. По абсолютной величине магнит
ная восприимчивость диамагнетиков и парамагнетиков на несколь
–4
–6
ко порядков меньше единицы (|χ| ~ 10 – 10 ).
Между относительной магнитной проницаемостью и магнитной
восприимчивостью существует связь
µ = 1 + χ.
(5)
Ферромагнетики обладают важной особенностью, сходной с запо
минанием информации. Намагниченность ферромагнетика зависит
не только от напряженности магнитного поля в момент наблюдения,
но и от намагниченности его в предыдущие моменты времени. Поэто
му магнитная проницаемость ферромагнетика является сложной
функцией напряженности магнитного поля (рис. 1). Если ненамаг
ниченный ферромагнетик поместить в постепенно нарастающее маг
нитное поле, то зависимость B от H будет нелинейна и на рис. 2 соот
ветствует участку 0А (основная кривая намагничения). При даль
нейшем увеличении напряженности магнитного поля намагничен
ность магнетика становится постоянной
µ
J = const, наступает состояние насыщения
и магнитная индукция B возрастает толь
ко за счет увеличения напряженности маг
нитного поля. Поэтому в соответствии с
(2) кривая намагничения перейдет в поло
Н
гий линейный участок. При последующем
0
уменьшении напряженности магнитного
Рис. 1. Зависимость маг поля график намагничения или график
нитной проницае зависимости B от H не совпадает с перво
мости от напряже начальной кривой намагничения, а соот
ния
ветствует на графике участку АВ′ (рис. 2).
30
В
а)
А
В
б)
B′
Нc
H
H
0
С 0
F
Рис. 2. Петля гистерезиса
Когда напряженность магнитного поля H становится равной нулю,
то намагничение не исчезает и характеризуется величиной B′, назы
ваемой остаточной индукцией. Намагничение обращается в ноль
лишь под действием внешнего магнитного поля Hc, направление ко
торого противоположно первоначальному. Напряженность магнит
ного поля Hc носит название коэрцитивной силы. При дальнейшем
возрастании напряженности магнитного поля, обратного по направ
лению, вновь достигается насыщение. Если от точки насыщения
уменьшать обратное магнитное поле до нуля, а затем его увеличи
вать до точки насыщения A, то получится замкнутая кривая, назы
ваемая петлей гистерезиса.
Теория ферромагнетизма была разработана Я. И. Френкелем и
В. Гейзенбергом. Из нее следует, что ответственными за магнитные
свойства ферромагнетиков являются собственные (так называемые
спиновые) магнитные моменты электронов. При определенных усло
виях в кристаллах могут возникать так называемые силы обменного
взаимодействия, под действием которых спиновые магнитные момен
ты электронов выстраиваются параллельно друг другу. В результате
возникают области самопроизвольного (спонтанного) намагничения,
которые называются доменами. При отсутствии внешнего магнит
ного поля векторы магнитных моментов отдельных доменов ориен
тированы в пространстве хаотически, так что результирующий маг
нитный момент ферромагнетика равен нулю. Внешнее магнитное
поле, в которое помещается ферромагнетик, ориентирует магнитные
моменты не отдельных молекул, как в случае парамагнетиков, а це
лых областей спонтанной намагниченности.
Коэрцитивная сила характеризует свойство ферромагнетика со
хранять намагниченность и, наряду с относительной магнитной про
31
ницаемостью, определяет возможности его применения для тех или
иных практических целей. Большой коэрцитивной силой обладают
углеродистые, вольфрамовые и хромовые, алюминиевоникелевые и
другие стали. Эти материалы дают широкую петлю гистерезиса и на
зываются «твердыми» магнитными материалами. Из них изготав
ливаются постоянные магниты. К «мягким» магнитным материа
лам, обладающим малой коэрцитивной силой, относятся так назы
ваемое мягкое железо, сплавы железа с никелем. Эти материалы
используются для изготовления сердечников трансформаторов.
Перемагничивание ферромагнетика связано с поворотом векторов
намагничения доменов на 360°. Работа, необходимая для этого, со
вершается за счет энергии внешнего магнитного поля. Количество
тепла, выделяющегося при перемагничивании, пропорционально
площади петли гистерезиса.
Нарушение преимущественной ориентации векторов намагничения
доменов может быть вызвано ударом или нагреванием ферромагнети
ка. С повышением температуры остаточная намагниченность ферро
магнетика уменьшается и при некоторой температуре, называемой
точкой Кюри, исчезает полностью. Это объясняется тем, что тепловое
движение молекул ферромагнетика становится столь интенсивным,
что области спонтанной намагниченности распадаются. При темпера
турах выше точки Кюри ферромагнетик во внешнем магнитном поле
ведет себя как парамагнитное вещество. Он не только теряет свои фер
ромагнитные свойства, но и изменяет теплоемкость, электропровод
ность и некоторые другие физические характеристики.
Упражнение 1
Исследование магнитного гистерезиса с помощью
электронного осциллографа
Описание лабораторной установки
Исследуемый ферромагнетик имеет форму тороида (рис. 3), на ко
торый намотаны две обмотки. При протекании по первичной обмот
ке тока I1 внутри обмотки возникает магнитное поле. Ферромагне
тик намагничивается и добавочное магнитное поле усиливает внеш
нее. Для определения напряженности магнитного поля, создаваемого
внутри тороида первичной обмоткой, воспользуемся известной фор
мулой
H = n1I1 =
32
N1
I1,
l
(6)
где N1 – число витков первичной обмотки; l – длина средней линии
внутри тороида. Если первичную обмотку тороида подключить к ис
точнику переменного напряжения, то в ней возникает переменный
ток I = I0 sin ωt.
Напряженность магнитного поля внутри тороида будет изменяться
по тому же закону, что и ток в первичной обмотке. Поэтому падение
напряжения на сопротивлении R1, включенном последовательно в
цепь вторичной обмотки, будет пропорционально напряженности
магнитного поля внутри тороида H.
Переменное магнитное поле, создаваемое током первичной обмот
ки, вызывает появление во вторичной обмотке ЭДС индукции
dΦ
N2,
(7)
dt
где Ф = BS – поток магнитной индукции, пронизывающий каждый
из витков вторичной обмотки; S – площадь витка; N2 – число витков
вторичной обмотки.
Если концы вторичной обмотки подсоединить к так называемой
интегрирующей цепочке, состоящей из последовательно соединен
ных сопротивления R2 и конденсатора C2 и удовлетворяющей усло
вию R2 >>1/(ωC2) (рис. 3), то напряжение U2 на обкладках конден
сатора C2 будет изменяться пропорционально величине магнитной
индукции поля, пронизывающего витки вторичной обмотки. Дей
ствительно, сила тока в цепи вторичной обмотки равна
ε2
I2 = ε2 =
,
(8)
2
Z
⎞
2 ⎛
1
R + ⎜ ωL −
⎟
ωC2 ⎠
⎝
где Z – полное сопротивление цепи вторичной обмотки; L2 – индук
тивность вторичной обмотки. При незначительной величине индук
тивности L2 и при R2 >> 1/(ωC2) будем иметь Z ≈ R2 и
ε2 = −
I2 = ε2 .
R2
(9)
С другой стороны,
dq2 d ( C2u2 )
du
=
= C2 2 .
dt
dt
dt
Из (9) и (10) следует, что
I2 =
C2
du2 ε2
.
=
dt R2
(10)
(11)
33
Преобразуем равенство (11) и проинтегрируем полученное выра
жение
ε2dt
1
ε2dt.
(12)
R2C2
R 2C2
Подставим в (12) величину ЭДС (7) и, производя интегрирование,
получим
du2 =
Φ
∫
∫
, u2 =
B
∫
N2 dΦ = N2S2 dB = N2S2B .
(13)
u2 =
R2C2 0
R2C2 0
R2C2
Если напряжение u2, пропорциональное магнитной индукции B,
подать на вертикально отклоняющие пластины электронного осцил
лографа, а на горизонтально отклоняющие пластины подать напря
жение u1, пропорциональное напряженности магнитного поля H, то
луч на экране осциллографа будет описывать кривую зависимости u2
от u1, т. е. продемонстрирует функциональную зависимость B от H в
некотором масштабе. Последовательно увеличивая ток в первичной
обмотке, можно получить семейство кривых, изображенных на рис.
2, б. Соединяя точки семейства кривых, имеющих максимальные и
минимальные ординаты, получим основную кривую перемагничива
ния ферромагнетика (петля гистерезиса).
Порядок выполнения работы
Включить осциллограф С177 и звуковой генератор Г356/1. Пра
вый тумблер синхронизации по «х» («Канал2») на передней панели
осциллографа поставить в нижнее положение. Рукоятками «↔» и
« 1 » вывести сфокусированное пятно в центр сетки на экране.
Наружную рукоятку переключателя «В /дел.» канала 1 поставить
в крайнее положение по часовой
стрелке; внутреннюю рукоятку –
N2
N1
R2
в положение 0,05 или 0,01. Это бу
дет означать, что напряжение
U = 0,05 В или 0,01 В, подаваемое
на вертикально отклоняющие пла
С2
R
стины, вызывает отклонение луча
y
ЗГ
по вертикали на одно большое де
R1
ление. Вход «время/дел.» не ис
x
пользуется. Подключить к лабора
торному макету осциллограф в со
ответствии со схемой (рис. 3).
Рис. 3. Схема лабораторной
Напряжение с гнезд «х» лаборатор
установки
ного макета подается на клеммы
34
«Внешн. синхр.» (положение «Земля» и «1:1»), расположенные на
правой боковой стенке осциллографа. Напряжение с гнезд «у» лабо
раторного макета подается на вход «Канал1», В/дел. (вертикально
отклоняющие пластины «у»).
2. С клемм генератора звуковой частоты подается максимальное
напряжение на гнезда лабораторного макета «ЗГ». Рукоятки на пе
редней панели генератора устанавливаются в следующие положения:
– шкала вольтметра – 63,2 В;
– внешняя нагрузка – 600 Ом;
– предел шкалы вольтметра – 30 В;
– частота в пределах (3040) 102 Гц или (140170)103 Гц;
– регулятор выхода – против часовой стрелки до отказа;
– внутренняя нагрузка «выкл».
При сборке схемы обратить внимание на правильное присоедине
ние проводов заземления.
3. Вращая по часовой стрелке рукоятку «Регулятор выхода» зву
кового генератора, добиться получения петли гистерезиса, имеющей
максимальную площадь на экране осциллографа. Пользуясь коорди
натной сеткой, нанесенной на экран, определить координаты «у» вер
шин петли гистерезиса (отсчеты производить в больших делениях и
их долях). Уменьшая (той же рукояткой) напряжение, подаваемое с
выхода звукового генератора на вход лабораторного макета, можно
получить 8 –10 петель гистерезиса, записывая каждый раз координа
ты правой вершины кривой. Перед каждым измерением повернув «Ре
гулятор выхода» до отказа против часовой стрелки, убеждаются в том,
что световое пятно находится в центре сетки. При необходимости ру
коятками «↔»и « 1 » восстановить центральное положение пятна.
Измерить число делений, соответствующих коэрцитивной силе Hс. Все
результаты измерений занести в табл. 1.
Таблица 1
nxi
nyi
Uxi, B
Uyi, B
H, A/м
B, Тл
mi
Uс, B
Hс, A/м
Вычисление результатов и оформление отчета
Вычислить в вольтах координаты вершин всех полученных пе
тель гистерезиса по формулам
uxi = α xnxi; uyi = α ynyi,
(14)
35
где αx = 4,1 В; αy = 0,05 В (или 0,01 В) – чувствительность усилителей
каналов горизонтального и вертикального отклонения луча осцил
лографа; nx и ny – координаты вершин кривой гистерезиса х и у в
больших делениях сетки осциллографа.
Подсчитать максимальные значения напряженности и индукции
магнитного поля для каждой петли гистерезиса по формулам
RCu
N1uxi
, Bi = 2 2 yi ,
(15)
lR
lR
где N1= N2 = 23 витка; l – длина средней линии тороида (диаметр сред
–7
ней линии равен 8 мм); R1 = 73,0 Ом, R2 = 10,0 Ом, C2= 2,5⋅10 Ф; S –
–5 2
площадь поперечного сечения ферромагнитного сердечника 10 м .
По расчетным значениям Bi и Hi построить основную кривую на
магничивания B = f(H). Построить график зависимости µ = f(H).
Определить коэрцитивную силу ферромагнетика по формуле
Hi =
Hc =
N1uc
.
lR
(16)
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Какие виды магнетиков существуют в природе?
2. Какова физическая природа ферромагнетиков?
3. Дайте объяснение основной кривой намагничивания и петли
гистерезиса.
4. Объясните принципы получения на экране осциллографа петли
магнитного гистерезиса.
Упражнение 2
Исследование магнитного гистерезиса
с помощью баллистического гальванометра
Описание лабораторной установки
Электрическая схема лабораторной установки для получения пет
ли гистерезиса с помощью баллистического гальванометра приведе
на на рис. 4. Основным элементом схемы является ферромагнитное
кольцо или тороид. На тороид намотаны две обмотки, играющие роль
первичной и вторичной обмоток трансформатора.
Через штепсельный реостат первичная обмотка подсоединяется
(при помощи ключа П1) к источнику постоянного напряжения U0.
Ток первичной обмотки измеряется амперметром А. Переключатель
П2 служит для изменения направления тока в цепи первичной об
36
N1
N2
П3
U
Г
0
А
П2
П1
Рис. 4. Электрическая схема лабораторной установки
мотки. Баллистический гальванометр включен в цепь вторичной об
мотки. «Успокоение» баллистического гальванометра производит
ся при помощи ключа П3, закорачивающего цепь рамки гальвано
метра. C принципом действия баллистического гальванометра сле
дует ознакомиться в лабораторной работе № 1.
При протекании электрического тока в цепи первичной обмотки
внутри ферритового кольца возникает магнитное поле, напряжен
ность которого
N1
I,
(17)
l
где N1 – число витков первичной обмотки; l – длина тороида; I– сила
тока в цепи первичной обмотки. Индукция магнитного поля и маг
нитный поток через поперечное сечение тороида S по определению
H=
B = µµ0 N1 I; Ф = µµ0 N1 IS.
(18)
l
l
Изменив ток через первичную обмотку при помощи штепсельного
реостата R, тем самым изменим и магнитный поток, пронизываю
щий поперечное сечение ферромагнитного тороида
(19)
∆Φ = S∆B.
Отсюда следует, что для построения петли гистерезиса методом
последовательного перехода от одной точки к другой необходимо из
менять ток в первичной и намагничивающей обмотке, каждый раз
находя изменение магнитной индукции ∆B от предыдущего зафикси
рованного значения
∆B =
∆Φ
.
S
(20)
37
При этом напряженность магнитного поля следует вычислять по
формуле (17), сняв показание амперметра. Изложим метод определе
ния ∆Ф (а тем самым и ∆B).
Изменение тока в первичной обмотке и, следовательно, измене
ние магнитного потока (19) приводит к возникновению ЭДС индук
ции во вторичной обмотке. Вследствие этого через баллистический
гальванометр пройдет кратковременный электрический ток
i=−
N2 dΦ
,
Rг dt
(21)
где N2 – число витков вторичной обмотки; Rг – сопротивление элект
рической цепи гальванометра.
При протекании тока через рамку баллистического гальваномет
ра, расположенную между полюсами постоянного магнита, возника
ет момент пары сил. Рамка с током поворачивается вместе с закреп
ленным на ней зеркальцем. Поворот зеркальца приводит к отклоне
нию светового указателя («зайчика»). В баллистическом гальвано
метре аппаратным способом реализуется интегрирование импульса
тока (21) по времени. В результате определяется величина заряда,
прошедшего через рамку гальванометра
∫t
t2
idt = N2 ∆Φ.
(22)
Rг
При малых углах поворота рамки β отклонение светового указа
теля на шкале баллистического гальванометра практически пропор
ционально величине угла поворота, а значит и величине заряда q,
прошедшего через рамку. В этом случае можно положить
(23)
q = C∆n,
где C – баллистическая постоянная; ∆n – число делений, на которое
отклонялся световой указатель. Из (20), (22) и (23) находим
q=
1
∆B =
CRг
∆n = γ∆n.
SN2
(24)
При помощи штепсельного реостата R ток в первичной обмотке
изменяется дискретно от начального значения I0 = 0 ( H0= 0, B0= 0).
Если от начального значения тока I0 = 0 произведено m дискретных
изменений силы тока ∆Ik, то магнитная индукция в конце опыта оп
ределится суммой дискретных изменений
Bm = γ
m
∑ ∆nk,
k =1
38
(25)
где γ – коэффициент пропорциональности; ∆nk – число делений, на
которое отклоняется «зайчик» на шкале баллистического гальвано
метра при kм изменении силы тока. Величина напряженности маг
нитного поля Hm в mм опыте определяется, согласно формуле (17),
по измеренному току I = Im
Порядок выполнения работы
Перед началом выполнения работы производится полное размаг
ничивание исследуемого тороида при помощи дросселя, включенно
го в сеть. При этом предварительно отключают баллистический галь
ванометр (замыкают ключ П3) и источник постоянного напряжения
(ключ П1). После размагничивания ключом П3 размыкают соответ
ствующие контакты, переключатель П2 устанавливают в одно из
рабочих положений. Ключом П1 подсоединяют схему к источнику
постоянного напряжения U0. При этом все выключатели штепсель
ного реостата R должны находиться в разомкнутом положении. За
тем включают лампочку осветителя баллистического гальванометра
и фиксируют положение светового указателя («зайчика») на шкале
предпочтительно в нулевом положении.
Выполнение измерений начинают с включения одного сопротив
ления штепсельного реостата. Тем самым замыкают цепь первичной
обмотки. Фиксируют количество делений, на которое отклонился
«зайчик» по шкале баллистического гальванометра, и записывают
показания амперметра. При этом силу тока и напряженность маг
нитного поля следует считать положительными. Измеренные значе
ния величины отклонения «зайчика» ∆n1 и силы тока I1 заносятся в
табл. 2. Для того чтобы быстрее вернуть «зайчик» в первоначальное
положение, замыкают ключ П3 («успокаивают» гальванометр). Пос
ле того, как «зайчик» установится в первоначальном положении,
ключ П3 размыкают и включают второе сопротивление реостата. При
этом также фиксируют отклонение «зайчика» ∆n2 и измеряют силу
тока в первичной обмотке I2. При вычислении магнитной индукции
B2, согласно формуле (25), при двух включенных сопротивлениях
реостата следует брать сумму двух отклонений «зайчика» в формуле
(25). В то же самое время при вычислении напряженности магнитно
го поля H2 величину силы тока в формуле (17) следует положить
равной I2. Для определения последующих точек на всем участке кри
вой намагничения 0A (рис. 2) поступают аналогичным образом.
При определении значений напряженности магнитного поля и маг
нитной индукции на участке AB петли гистерезиса сопротивления ре
остата выключаются последовательно в обратном порядке. Отклоне
ния «зайчика» баллистического гальванометра от первоначального
39
положения следует считать отрицательными, а значения силы тока
через первичную обмотку – положительными. Поэтому сумма значе
ний ∆nk в формуле (25) приобретает смысл алгебраической суммы.
После выключения всех сопротивлений штепсельного реостата
переключатель П2 перебрасывают во второе рабочее положение и
повторяют последовательное включение сопротивлений. Фиксиру
ют отрицательные отклонения «зайчика» на шкале гальванометра и
измеряют силу тока в первичной обмотке. Так как ток изменил на
правление, то в каждом опыте силу тока следует считать также отри
цательной. Сняв данные для построения участка BD петли гистере
зиса, вторично изменяют направление тока в первичной обмотке при
помощи переключателя П2 и приступают к определению данных для
вычисления значений H и B на участках петли гистерезиса DF и FA.
Все измеренные и вычисленные величины заносятся в табл. 2.
Таблица 2
Dn, дел.
I, A
H = aI, A/м
SDni, дел.
B = gDni, Tл
Таким образом, при экспериментальном определении точек на
кривой намагничения и петли гистерезиса каждому значению силы
тока в первичной обмотке сопоставляется алгебраическая сумма тех
значений отклонения «зайчика», которые наблюдались в процессе
установления данного значения силы тока. По величине токов с уче
том знака и соответствующим алгебраическим суммам величин от
клонения «зайчика» на шкале гальванометра вычисляются значе
ния напряженности магнитного поля H и магнитной индукции B по
формулам (17) и (25). Вычисленные значения H и B позволяют гра
фически представить сложный процесс изменения состояния намаг
ничивания ферромагнетика в виде кривой намагничения (участок 0A)
и петли гистерезиса (рис. 2).
Отметим, что если в какомлибо наблюдении отклонение «зайчи
ка» баллистического гальванометра определено недостаточно четко
или измерение не проведено, то повторять это измерение нельзя. В
этом случае следует все наблюдения начинать сначала, предваритель
но размагнитив ферромагнитный тороид.
Вычисление результатов и оформление отчета
Отчет должен содержать расчетные формулы и электрическую схе
му установки. Приводятся примеры вычислений. Результаты изме
рений и вычислений заносятся в табл. 2. Строится график, показы
40
вающий зависимость магнитной индукции от напряженности маг
нитного поля.
Для начальной кривой намагничения 0A (рис.2) определяется за
висимость магнитной проницаемости µ от напряженности магнитно
го поля H. Расчет провести по экспериментально полученным дан
ным, результаты занести в таблицу и построить график.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Какие виды магнетиков существуют в природе?
2. Какова физическая природа ферромагнетиков?
3. Объясните устройство и принцип работы баллистического галь
ванометра.
4. Получите формулу для вычисления магнитной индукции.
41
Лабораторная работа № 6
ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ УСТАНОВЛЕНИЯ ТОКА ПРИ РАЗ9
РЯДКЕ И ЗАРЯДКЕ КОНДЕНСАТОРА
Цель работы: изучение зависимости зарядного и разрядного тока
от времени; определение электроемкости конденсатора и активного
сопротивления.
Методические указания
1. Установление тока при разрядке конденсатора.
Если обкладки заряженного конденсатора соединить проводни
ком, то по проводнику потечет ток. Найдем зависимость разрядного
тока конденсатора от времени. Обозначим через I, q и u мгновенные
значения тока, заряда положительной обкладки и разности потен
циалов между обкладками конденсатора. Для этих величин справед
ливы соотношения
dq
, q = Cu,
(1)
dt
где C – емкость конденсатора; R – сопротивление проводника. Ис
ключая u и I из формул (1) как из системы трех уравнений, получим
RI = u, I = −
dq
dt
(2)
=−
.
q
RC
Интегрирование дифференциального уравнения (2) приводит к
выражению
t
+ ln A,
(3)
RC
где A – постоянная интегрирования. Потенцируя (3) и используя
определение логарифма, находим
ln q = −
q = Ae
−
t
RC .
(4)
Постоянную A найдем из начального условия: q(0) = q0, где q0 –
первоначальный заряд конденсатора. Подставляя t = 0 в (4), имеем
q(0) = A. Таким образом,
q = q 0e
−
t
RC .
(5)
Продифференцировав равенство (5) и учитывая (1), получим за
висимость разрядного тока конденсатора от времени
42
t
t
−
q0 − RC
e
= I0e τ ,
(6)
RC
где I0 – начальное значение силы тока (ток в момент времени t = 0). На
рис. 1 приведен график зависимости разрядного тока конденсатора
от времени. Постоянная τ = RC имеет размерность времени и называ
ется временем релаксации. Из формулы (6) следует, что за время τ
разрядный ток уменьшается в e раз. Поэтому значение τ может быть
найдено из графика разрядного тока конденсатора (рис. 1).
2. Установление тока при зарядке конденсатора.
Аналогично решается задача о нахождении зарядного тока кон
денсатора. Предположим, что в цепь конденсатора включены сопро
тивление R и источник питания с электродвижущей силой ε. При
замыкании цепи возникает ток, заряжающий конденсатор. Накап
ливающиеся на обкладках конденсатора электрические заряды пре
пятствуют прохождению тока, уменьшая его величину. Заряд на об
кладках конденсатора и зарядный ток в произвольный момент вре
мени по определению
I=
dq
(7)
.
dt
Из второго закона Кирхгофа имеем
RI+u=ε,
(8)
где R – полное сопротивление цепи, включая внутреннее сопротивле
ние источника тока. Воспользовавшись равенствами (7), исключим
u и I из (8). После преобразования полученного выражения будем
иметь
q = Cu, I =
dq 1
ε
(9)
+
q= .
dt RC
R
Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка (9)
можно свести к однородному, если ввести новую зависимую перемен
ную по формуле y = q–εC. В этом случае уравнение (9) преобразуется к
виду
dy
y
(10)
=−
.
dt
RC
Решение уравнения (10) после преобразований приводится к виду
q = εC + Ae
−
t
RC ,
(11)
где A – постоянная интегрирования, определяемая из начальных ус
ловий. Поскольку в начальный момент времени t = 0 заряд на об
43
кладках конденсатора отсутствует q(0)= 0, то из (11) находим A = –εC.
Подставим найденное значение постоянной интегрирования в (11) и
преобразуем полученное выражение
q = εC(1 − e
−
t
RC ).
(12)
Из (12) следует, что при t → ∞ заряд на обкладках конденсатора
стремится к своему предельному значению q∞=εC. Продифференци
ровав равенство (12) по времени, найдем ток зарядки конденсатора
t
t
−
ε − RC
e
= I 0e RC ,
(13)
R
где I0 – максимальное значение силы тока разрядки конденсатора в
начальный момент времени t0 = 0. Из сравнения (6) и (12) следует,
что функциональная зависимость от времени токов зарядки и раз
рядки конденсатора одинакова. Графики этих зависимостей приве
дены на рис. 1.
3. Определение емкости и сопротивления в цепи зарядки и раз
рядки конденсатора.
Вычислим натуральный логарифм разрядного тока (6)
I=
1
t.
(14)
RC
Таким образом, логарифм силы тока линейно зависит от времени,
что можно записать в виде
y = a + b t,
(15)
–1
где y = lnI, a = lnIc, b = (RC) .
График этой зависимости представляет собой прямую линию (рис. 2),
причем b = tgϕ.
ln I=ln I0 −
I
lnI
I0
lnI0
I0
e
0
ϕ
τ
t
Рис. 1. Ток разрядки конденсатора
44
0
t0 t
Рис. 2. Логарифм тока разрядки
Сняв экспериментально зависимость разрядного тока конденса
тора от времени I(t) и вычислив натуральные логарифмы полученных
значений, можно найти параметры a и b аналитически или из графи
ка [прямой (15)], а затем вычислить сопротивление R и электроем
кость C. Изложим эти два способа.
Для определения R и C графическим способом строят график зави
симости lnI = f(t) в виде отрезка прямой (рис. 2). Продолжая прямую
до пересечения с осями координат, находят значения t0, a = lnI0,
1
b = tgϕ = − ln I0.
t0
Затем по найденному значению lnI0 определяют начальное значе
ние разрядного тока I0 и вычисляют R и C по формулам
R=
U0
1
, C=
,
I0
Rb
(16)
где U0 – напряжение на выходе источника питания.
Аналитический способ определения параметров a и b основан на
применении метода наименьших квадратов. Предположим, что опыт
ным путем для каждого из дискретного ряда значений независимой
переменной xi получены значения зависимой переменной yi (в данной
работе xi = ti, yi = lnIi). По этим данным можно провести оптимальную
прямую вида
y = a+bx, параметры которой определяются из условия
n
∑ σi [ yi − (a + bxi )]
2
= min.
(17)
i =1
Анализ требования (17) приводит к формулам
b=
xy − x y
D(x)
, a = y −b x ,
(18)
где
x =
n
n
∑
n
∑
∑
1
1
1
xi, y =
yi, xy =
xi yi,
n i =1
n i =1
n i =1
n
∑
n
∑
2
x2 = 1 xi2, D(x) =
x2 − x .
n i =1
i =1
(19)
(20)
В (17) σI – весовые коэффициенты, величина которых зависит от
точности измерений. В данной работе относительная погрешность
силы тока увеличивается с увеличением времени разряда t. Поэтому
45
весовые коэффициенты должны быть различны для различных зна
чений силы тока Ii. Однако для упрощения вычислений можно поло
жить все σI = 1. Тогда следует избегать использования в формуле (17)
экспериментальных значений Ii при относительно больших t, так
как формулы (18) и (19) получены при условии, что все σI = 1. Метод
наименьших квадратов позволяет также определить среднеквадра
тические погрешности параметров а и b
Sb =
2
1
n
D( y )
D( x )
− b2, Sa = Sb D( x ) ,
(21)
2
где D(y) = <y > – <y>
Найденные значения параметров a и b используются для вычисле
ния R и C по формулам (16). Погрешности вычислений определяются
на основании вычисленных среднеквадратических погрешностей Sb
и Sa.
Описание лабораторной установки
Электрическая схема лабораторной установки изображена на рис. 3.
В качестве источника питания используется универсальный источ
ник питания УИП2, напряжение на выходе которого измеряется
вольтметром V. Сила тока зарядки и разрядки конденсаторов изме
ряется при помощи микроамперметра; R0 и Rp – сопротивления цепей
зарядки и разрядки конденсаторов. Переключатель П1,2 служит для
подключения к схеме конденсаторов С1 или С2, П3 – для зарядки и
разрядки конденсаторов, П5 – для включения схемы. Переключате
ли П4 и П6 используются для приведения схемы в рабочее состоя
ние, а также для ускорения процессов зарядки и разрядки конденса
торов. В рабочем состоянии П4 и П6 – разомкнуты.
R0
Rр
П3
П4
П6
УИП2
V
мкА
П1,2
П5
С1
Рис. 3. Электрическая схема установки
46
С2
Порядок выполнения работы
Изучить электрическую схему, изображенную на рис. 3, и сопос
тавить ее с лабораторным макетом. Перед началом работы проверить
при помощи ключа П4 разряжены ли конденсаторы С1 и С2. Вклю
чить в цепь источник питания УИП2 и дать прогреться пять минут.
Установить напряжение источника питания U0 таким, чтобы наи
большее отклонение стрелки микроамперметра при зарядке и раз
рядке конденсаторов C1 и C2 было близко к максимальному. Запи
сать напряжение источника питания U0. Измерить зависимости за
рядного и разрядного тока конденсаторов C1 и C2 от времени.
Порядок измерений продумать самостоятельно и обсудить с препода
вателем. Данные измерений занести в табл. 1.
Вычисление результатов и оформление отчета
Отчет должен содержать расчетные формулы и схему установки.
Графики зависимостей разрядного и зарядного токов конденсаторов
C1 и C2 от времени, а также логарифмов этих значений построить на
миллиметровке. Из графиков определить время релаксации τ и пара
метры прямых a и b для вычисления сопротивлений и емкостей. Оп
ределить величины сопротивлений и емкостей методом наименьших
квадратов. При этом рекомендуется использовать порядка десяти
значений логарифма силы тока lnI, выбранных в средней части пря
мой. Результаты промежуточных вычислений методом наименьших
квадратов оформить в виде таблицы значений величин <X>, <Y>,
<XY> и т. д. Результаты вычислений параметров прямых и электри
ческих параметров установки занести в табл. 2.
По формулам (21) произвести вычисления среднеквадратических
погрешностей параметров Sa и Sb. По найденным значениям этих
погрешностей вычислить среднеквадратические погрешности сопро
Таблица 1
t, c
Зарядка конденсатора
C1
C2
I1 I2 Iср lnIср I1
Разрядка конденсатора
C1
C2
t, c
I2 Iср lnIср
I1
I2 Iср lnIср I1
I2
Iср lnIср
C1
C2
Таблица 2
Методы
a = lnI0
I0
t0
b = tgj
R0
Rp
Графический
Наименьших
квадратов
47
Таблица 3
Значения
Зарядка конденсатора
C1
C2
Разрядка конденсатора
C1
C2
tграф
tрасч
тивлений и емкостей, воспользовавшись формулами (16). Значения
C1 и C2 занести в табл. 3.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Как выводится зависимость зарядного тока от времени? Изоб
разите график I = I(t).
2. Как выводится зависимость разрядного тока от времени? Изоб
разите график I = I(t).
3. Покажите, что при разрядке конденсатора через сопротивление
выполняется закон сохранения энергии.
4. Как определяется время релаксации τ ?
5. Как выглядят графики зависимости логарифмов зарядного и
разрядного токов конденсатора от времени? Как представить графи
чески основные параметры этих процессов?
6. Напишите формулы для вычисления R и C.
7. Изобразите схему лабораторной установки.
48
Лабораторная работа № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА
Цель работы: расчет периодов релаксационных колебаний в RCкон
туре при различных электроемкостях контура; измерение периодов ре
лаксационных колебаний при помощи электронного осциллографа и
сравнение теоретических и экспериментальных данных.
Методические указания
Релаксационные электрические колебания возникают в контуре,
содержащем неоновую лампу тлеющего разряда Л, высокоомное со
противление R и конденсатор C (рис. 1). Если на вход контура подать
постоянное напряжение U0, то возникает электрический ток, заря
жающий конденсатор. Закон нарастания напряжения на обкладках
конденсатора можно получить из следующих соображений. В произ
вольный момент времени напряжение на обкладках при заряжении
конденсатора равно
Uc = U0 − IR,
(1)
где I – сила заряжающего тока. Если q – заряд положительной об
кладки конденсатора, то сила заряжающего тока по определению
dq
.
(2)
dt
Заряд на обкладках конденсатора q и напряжение Uc связаны со
отношением q = CUc, поэтому
I=
I=C
dUc
.
dt
(3)
R
С
Л
U0
Рис. 1. Электрическая схема релаксационного генератора
49
Подставив (3) в (1), находим
dUc
(4)
.
dt
Разделяя переменные в дифференциальном уравнении (4), прихо
дим к выражению, удобному для непосредственного интегрирования
Uc = U0 − RC
−
dUc
dt
=−
.
RC
U0 − Uc
(5)
При интегрировании дифференциального уравнения (5) следует
учесть, что в начальный момент времени t0 = 0 напряжение на об
кладках конденсатора Uс0 = 0. Проинтегрируем левую и правую части
уравнения (5)
t
t
−
dt =
RC 0
∫
U0
dU
∫ U0 − Uc c .
(6)
0
Выполнив интегрирование в (6), находим
−
Uc
t
= ln
.
RC
U0 − Uc
(7)
После простых алгебраических преобразований получим закон на
растания напряжения на обкладках конденсатора
Uc = U0 (1 − e
−
t
RC ).
(8)
Чем больше величина RC, тем длительнее процесс зарядки. Про
изведение RC имеет размерность времени и называется временем ре
лаксации τ . График зависимости Uc от t приведен на рис. 2.
Uc
U0
В
Uл
0
Рис. 2. Процесс зарядки конденсатора
50
t
Напряжение Uл, при котором загорается лампа тлеющего разря
да, называется потенциалом зажигания. Если потенциал зажигания
меньше напряжения источника питания U0, то напряжение на об
кладках конденсатора может достичь лишь величины Uс. После это
го лампа тлеющего разряда загорается, и, так как горящая лампа
имеет малое сопротивление, через нее начинает разряжаться конден
сатор. Но конденсатор разряжается лишь частично, так как разряд
прекращается в момент погасания лампы. Момент погасания лампы
наступает при уменьшении напряжения до так называемого потен
циала погасания лампы Uz. По сравнению с заряжением конденсато
ра частичная его разрядка происходит практически скачком. Далее
начинается подзарядка конденсатора от величины потенциала пога
сания лампы до потенциала зажигания.
На рис. 3 графически отображен периодический процесс заряжения
и разрядки конденсатора в RCконтуре. В отличие от графика, приве
денного на рис. 2, начальный момент времени на оси абсцисс t0 = 0 для
удобства выбран в момент нарастания напряжения на обкладках кон
денсатора от потенциала погасания лампы Uz. Участок AB на графике
соответствует стадии зарядки конденсатора от потенциала погасания
лампы Uz до потенциала зажигания Uл. Участок BD на графике соот
ветствует стадии разрядки конденсатора от потенциала зажигания до
потенциала погасания. Процесс периодически повторяется с перио
дом Т, что и означает возникновение релаксационных колебаний на
пряжения на обкладках конденсатора.
Предположим, что в момент времени t1 напряжение на обкладках
конденсатора Uс равно потенциалу погасания лампы Uz. При t > t1
конденсатор подзаряжается от источника питания (Uz<Uc<Uл) в мо
Uс
U0
Uл
В
А
D
Uz
0
t
Т
2Т
3Т
Рис. 3. Релаксационные колебания
51
мент времени t2 напряжение на обкладках конденсатора становится
равным потенциалу зажигания (Uc = Uл). Проинтегрируем правую и
левую части уравнения (5) в соответствующих пределах
t2
Uл
t
Uz
∫
1 dt =
RC
dU
∫ U0 − Uc c .
(9)
Выполнив интегрирование, находим
U − Uz
t2 − t1
= ln 0
.
RC
U0 − Uл
(10)
Учитывая, что период релаксационных колебаний приближенно
равен времени подзарядки конденсатора t2 – t1, будем иметь
T ≈ RC ln
U0 − Uz
.
U0 − Uл
(11)
Описание лабораторной установки
Для наблюдения релаксационных колебаний и измерения их пе
риода в работе используется электронный осциллограф, основной
частью которого является электроннолучевая трубка (ЭЛТ).
Трубка представляет собой стеклянный баллон с люминесцирую
щим экраном и впаянными электродами (рис. 4). Между подогревае
мым катодом K, являющимся источником свободных электронов, и
анодами A1 и A2, играющими роль фокусирующей системы, прикла
дывается высокое напряжение, ускоряющее движение свободных
электронов.
Пройдя ускоряющую разность потенциалов, пучок электронов по
падает на экран и вызывает его свечение. При этом на пути к экрану
пучок электронов последовательно проходит между двумя парами
отклоняющих пластин P1 и P2. Если к пластинам P1 присоединить
источник переменного напряже
ния, например синусоидального,
А1 А2
то между пластинами возникает
K
переменное электрическое поле.
Р1
Р2
Э
Под действием этого поля пучок
электронов будет колебаться в вер
тикальном направлении, а светя
щееся пятно на экране будет совер
шать колебания вдоль вертикаль
ной прямой. При подаче напряже
Рис. 4. Схема ЭЛТ
ния на горизонтально отклоняю
52
щие пластины P2 светящееся пятно на экране будет перемещаться
вдоль горизонтальной прямой. Обычно в осциллографах на пласти
ны подается напряжение, линейно возрастающее со временем и с пос
ледующим резким спадом. Тогда при отсутствии напряжения на вер
тикально отклоняющих пластинах P1 светящееся пятно на экране
будет двигаться с постоянной скоростью вдоль горизонтальной пря
мой. Как только пятно достигает крайней точки экрана, напряже
ние на пластинах P2 резко падает, и пятно практически мгновенно
возвращается в исходное положение. Нарастание и спад напряже
ния на пластинах P2 повторяется многократно с определенным пе
риодом, который можно измерить. Для того чтобы движение пятна
начиналось не из центра экрана, а из крайнего положения, на одну из
пластин подается отрицательный потенциал. Смещение пятна под
действием линейного напряжения, подаваемого на пластины P2,
называется разверткой во времени. Для получения линейного на
пряжения развертки в осциллографе смонтирован генератор пилооб
разных колебаний. Если теперь к пластинам P1 подключить пере
менное напряжение с периодом T1, к пластинам P2 подключить пи
лообразное напряжение с периодом T2 = nT1, где n – целое число, то
на экране можно будет увидеть неподвижную картину, отражающую
изменение напряжения на пластинах P1 как функцию времени в те
чение нескольких периодов. Для измерения амплитуды и периода
колебаний напряжения, подаваемого на пластины P1, на экран ос
циллографа наносится сетка. Для градуировки сетки с делителя на
пряжений, подключенного к сети переменного тока, подается сину
соидальное напряжение, и на экране осциллографа наблюдается си
нусоида с частотой f = 50 Гц (период T0 = 0,02 с). Наблюдение синусо
иды позволяет отградуировать «ось времени» на сетке экрана. Далее
проводят наблюдения релаксационных колебаний и определяют их
периоды для различных электроемкостей, включенных в цепь RCкон
тура. Амплитудное значение напряжения пропорционально количе
R
П
С1
~
С2 С3
К4
Л
v
ЭО
К1 К2 К3
U0
Рис. 5. Электрическая схема лабораторной установки
53
ству делений на сетке, укладывающихся в пределах амплитуды на
блюдаемых колебаний. Постоянное напряжение источника питания
U0 измеряется при помощи вольтметра V.
Электрическая схема лабораторной установки приводится на рис. 5
и на передней панели лабораторного макета.
Порядок выполнения работы.
Ознакомьтесь с электронным осциллографом и источником пита
ния, а также с назначением рукояток управления приборами, разме
щенных на передних панелях. Желательно обратить особое внима
ние на те рукоятки, которые позволяют включать луч, усиливать
яркость пятна и его резкость, а также перемещать пятно на экране
осциллографа в горизонтальном и вертикальном направлениях.
Подключите к макету лабораторной установки осциллограф и ис
точник питания. Макет, осциллограф и источник питания включите
в сеть переменного напряжения частотой f0 = 50 Гц. Аттенюатор вы
ходного напряжения источника питания следует установить в край
нее левое положение, соответствующее минимуму выходного напря
жения. Замыкая ключи K1, K2 и K3 магазина емкостей, установите
наибольшую емкость. Переключатель П нужно зафиксировать в по
ложении «релаксационные колебания». После этого приступайте к
наблюдению релаксационных колебаний.
Включите источник питания и осциллограф. После прогрева ос
циллографа на экране появляется электрический луч и высвечивает
ся горизонтальная полоса. Соответствующими рукоятками горизон
тальную полосу установите в центре экрана осциллографа. Замкни
те ключ K4. Медленно увеличивайте напряжение на входе RCконтура
до момента возникновения релаксационных колебаний. Показание
вольтметра, контролирующего напряжение на входе контура, будет
соответствовать напряжению зажигания лампы тлеющего разряда Uл.
Увеличьте входное напряжение на 15–20 В и снимите показания воль
тметра U0. Показания вольтметра Uл и U0 запишите в табл. 1. Следу
ет подобрать время развертки таким образом, чтобы на экране осцил
лографа можно было наблюдать не более трех полных колебаний.
Отсчитайте число делений вдоль вертикальной прямой, укладываю
щихся между минимальными и максимальными значениями наблю
даемых колебаний, и умножьте на цифровую отметку переключате
ля «В/дел.» или «В/см». Полученный результат будет равен ампли
туде релаксационных колебаний Uа. Потенциал погашения лампы
определяется по формуле
Uz = Uл − Uа .
54
Вдоль горизонтальной прямой определяется число делений N, в
пределах которых укладывается одно полное колебание.
С делителя напряжения, смонтированного внутри макета, при
помощи переключателя П на вход осциллографа следует подать си
нусоидальное напряжение частоты f0 = 50 Гц. Вдоль горизонтальной
прямой на экране осциллографа отсчитывается число делений n1,
укладывающихся в пределах одного периода синусоиды. При этом
время развертки должно оставаться прежним. Включая и выключая
синусоидальное напряжение переключателем П, повторите измере
ния не менее трех раз. Для каждого измерения найдите цену деления
сетки на экране осциллографа
∆t1 =
T0
.
n1
Затем рассчитайте среднее значение цены деления. При помощи
ключей K1, K2 или K3 измените емкость контура и проделайте еще
две аналогичных серии измерений. Все данные заносятся в табл. 1 и 2.
Таблица 1
Kонтур
n, дел.
Tизм
U0, В
UЛ, В
UZ, В R, кОм С, мкФ
Tвыч
DT
Таблица 2
N1
Dt1
n2
Dt2
n3
Dt3
Вычисление результатов и оформление отчета
1. По результатам измерений следует вычислить периоды релак
сационных колебаний для каждого значения емкости, включаемой в
контур. Для этого умножьте число делений n, в пределах которых
укладывается одно полное колебание, на цену деления сетки экрана
осциллографа ∆ t в секундах
T = n∆tср .
2. Рассчитайте по формуле (11) периоды тех же релаксационных
колебаний.
3. На основании экспериментально полученных результатов по
стройте графики зависимости периода релаксационных колебаний
55
от емкости, включенной в контур. Для сравнения на том же графике
постройте аналогичную теоретическую кривую.
4. Для каждого вычисленного значения периода релаксационных
колебаний определите неисключенную систематическую погреш
ность.
Отчет должен содержать электрическую схему лабораторной ус
тановки, расчетные формулы и примеры вычислений, численные ре
зультаты, графики и выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Дайте определение релаксационных колебаний.
2. Изобразите электрическую схему, используемую в лаборатор
ном макете для изучения релаксационных колебаний.
3. Опишите устройство и принцип работы электронного осцил
лографа.
4. Выведите формулу нарастания напряжения при зарядке кон
денсатора.
5. Нарисуйте график релаксационных колебаний.
6. Выведите расчетную формулу для определения периода релак
сационных колебаний.
56
Библиографический список
1. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаба
ратория Базовых знаний, 2002.
2. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3т. М., 1992, Т. 2.
3. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. шк., 1994.
4. Сивухин Д. В. Курс общей физики. М., Физматлит. Т. 3. 1996.
5. Калашников С. Г. Электричество. М.: Наука. 1977.
6. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: На
ука. 1990.
57
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Сведения из теории погрешностей
Погрешности могут быть обусловлены природой измеряемой ве
личины, несовершенством измерительных приборов или обеими при
чинами сразу. В том случае, когда измеряемая величина случайна по
своей природе, т. е. не имеет точного значения, правильнее говорить
не об ошибках, а о разбросе измеренных величин.
Ошибки, связанные с несовершенством измерительных средств,
бывают случайными и неслучайными. Неслучайные ошибки коррек
тируются введением соответствующих поправок. Случайные же ошиб
ки приборов и других измерительных средств описываются погреш
ностями.
Систематическая погрешность. Интервал, в пределах которого
измеренное значение величины может отличаться от истинного, на
зывается систематической погрешностью прибора. Обычно система
тическая погрешность обозначается большой греческой буквой θ, ниж
ним индексом указывается измеряемая величина. Например, систе
матическая погрешность времени обозначается θ t, тока – θ I,
напряжения – θU, длины – θl, массы – θm. Обычно на шкале прибора
указывается класс точности. т. е. число, задающее в процентах сис
тематическую погрешность. Если класс точности K на шкале прибора
помещен в кружок, систематическая погрешность θX определяется
классом точности прибора и измеренным значением величины Х:
XK
.
(1)
100
Если класс точности обозначен на шкале числом K без кружка,
систематическая погрешность θX определяется этим числом и преде
лом шкалы прибора в рабочем диапазоне Xmax
θX =
Xmax K
(2)
.
100
В тех случаях, когда класс точности прибора не указан (линейка,
секундомер, термометр), систематическую погрешность обычно при
нимают, равной половине цены деления шкалы.
По формулам (1) или (2) можно найти систематическую погреш
ность прямого измерения, однако чаще приходится проводить кос
венные измерения. Косвенным называется такое измерение, которое
сводится к определению по прибору величины или величин, не явля
ющихся искомыми, и вычислению искомой величины по ним. Изме
ряются величины X1, X2, X3, … и по ним вычисляется искомая фун
θX =
58
кция f(x1,x2,x3…). Например, определение электрического сопротив
ления резистора R, сводящееся к измерению силы тока I, напряже
ния U и вычислению R = U/I, является косвенным. В данном случае
U = x1, I = x2, R = f.
Систематическая погрешность косвенного измерения θf выража
ется через систематические погрешности прямых измерений
θx1 , θx2 , θx3 , ..., :
θf =
∂f
∂f
∂f
θx +
θx +
θx + ... +,
∂ x1 1 ∂ x2 2 ∂x3 3
(3)
Здесь ∂f/∂xi – частные производные функции f(x1,x2,x3…) по соот
ветствующим переменным. Частной производной функции несколь
ких переменных называется производная по одной из них, взятая
при условии, что другие переменные принимают в этот момент фик
сированные значения.
Нужно иметь в виду, что погрешности скорее не вычисляют, а оце
нивают, поэтому, найденную по формуле (3) погрешность следует
округлить до одной значащей цифры. Вторую цифру можно сохра
нять (можно и не сохранять) лишь в том случае, если первая оказа
лась единицей.
Пример 1
Измерение электрического тока проводится амперметром, имею
щим предел измерения Im = 10 A и класс точности KI = 1,0. Напряже
ние измеряется вольтметром с пределом измерения Um = 500 B и клас
сом точности KU = 1,0. Показания приборов: I = 4 A, U = 220 B. Найти
электрическую мощность и ее систематическую погрешность.
Решение
Систематические погрешности прямых измерений тока и напря
жения найдем по формуле (1)
θI =
Im KI 10 ⋅ 1
U K
500 ⋅ 1
=
= 0,1 A, θU = m U =
= 5 B.
100
100
100
100
Мощность электрического тока вычисляется по известной форму
ле: P = IU. Систематическую погрешность мощности θP выразим с по
мощь формулы (3) через погрешности тока θ I и напряжения θ U
θP =
∂P
∂P
θI +
θU = Uθ I + IθU ,
∂I
∂U
59
θ P = 220 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 5 ≅ 40 Bт.
Найдем мощность электрического тока P = IU = 4⋅220 = 880 Вт.
Ответ: P = 880 ± 40 Вт.
Случайная погрешность. При многократном повторении измере
ний полученные результаты могут отличаться друг от друга. В каче
стве результата серии из N измерений (как прямых, так и косвен
ных) берут среднее арифметическое:
N
X + X2 + X3 + ... + XN
X= 1
=
N
∑ Xi
i =1
N
(4)
.
Случайная погрешность этой величины задается средним квадра
тичным отклонением SX , которое вычисляется по формуле
∑ ( Xi − X )
N
SX =
2
i =1
N ( N − 1)
(5)
.
Рассмотрим серию косвенных измерений. Пусть в опыте с номе
ром i измеряются величины X1i, X2i, X3i …, по которым вычисляется
искомая величина – функция f(x1i,x2i,x3i…). Следует различать два
случая при проведении таких измерений.
Сначала рассмотрим случай, когда внешние условия не меняются
от опыта к опыту. При такой постановке эксперимента значения каж
дой переменной меняются лишь вследствие случайных ошибок изме
рений. В этом случае по формуле (4) находят средние значения каж
дой переменной X1, X2, X3, ..., а по формуле (5) – их случайные по
грешности. Среднее значение величины f вычисляют по формуле
(6)
f = f (x1, x2, x3, ...,).
Среднее квадратичное отклонение этой величины можно выразить
через средние квадратичные отклонения SX каждой из переменных
2
⎛ ∂f ⎞
Sf = ⎜
⎟ SX1
⎝ ∂ x1 ⎠
(
)
2
2
⎛ ∂f ⎞
+⎜
⎟ SX2
⎝ ∂ x2 ⎠
(
)
2
2
⎛ ∂f ⎞
+⎜
⎟ SX3
⎝ ∂ x3 ⎠
(
)
2
+ .... +
(7)
Эта формула справедлива в предположении, что все случайные
ошибки прямых измерений независимы (т. е. ошибка измерения од
ной величины не влечет за собой автоматически ошибки другой).
60
Кроме описанного выше метода обработки серии косвенных изме
рений, существует и другой, который применим в случае проведения
серии измерений как при неизменных, так и при меняющихся вне
шних условиях. Состоит он в том, что по результатам iго измерения
сначала находится величина fi = f(x1i,x2i,x3i…), а затем получивший
ся набор значений fi обрабатывается так же, как и в случае прямых
измерений. Это значит, что по формуле (4) находится среднее значение
величины f, а по формуле (5) – среднее квадратичное отклонение Sf .
В случае, когда число измерений N невелико (~10 или меньше),
среднее квадратичное отклонение округляют по тем же правилам,
что и систематическую погрешность, т. е. сохраняют одну значащую
цифру, вторую иногда сохраняют лишь в случае, когда первая равна
единице.
Пример 2
Определяется электрическое сопротивление – R. Для этого прово
дится серия измерений силы тока I в зависимости от приложенного
напряжения – U. В табл. 1 приведена серия измеренных значений I
от U.
Требуется найти электрическое сопротивление – R и среднее квад
ратичное отклонение SR . Обе эти величины измеряются в Ом.
Решение
Очевидно, что серия опытов проводилась при меняющихся вне
шних условиях, т. е. при измерениях сила тока намеренно менялась
в широком диапазоне значений. Значит, применим лишь второй ме
тод обработки результатов измерений. Сначала найдем серию значе
ний Ri, где i – номер опыта. Для этого воспользуемся формулой: Ri =
Ui /Ii (табл. 2).
Теперь найдем среднее значение электрического сопротивления
R=
52 + 54 + 57 + 55 + 54 + 50 + 54 + 55 + 55 486
=
= 54 Ом.
9
9
Таблица 1
Ii, A
1,1
1,2
1,3
1,4
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
UiB
57
65
74
77
81
85
97
104
110
52
54
57
55
54
50
54
55
55
Таблица 2
Ri, Ом
61
Зная его можно вычислить среднее квадратичное отклонение
SR =
SR =
∑ ( Ri − R )
N
2
N( N − 1),
i =1
(52 − 54) 2 + 3 ⋅ (54 − 54) 2 + (57 − 54) 2 + 3 ⋅ (55 − 54) 2 + (50 − 54) 2
≅ 1 Ом.
9(9 − 1)
Ответ: R = 54 Ом, SR = 1 Ом при N = 9.
Результатами математической обработки серии измерений как
прямых, так и косвенных являются: среднее значение, вычисленное
по формуле (4) или (6), среднее квадратичное отклонение, вычис
ленное по формулам (5) или (7) и полное число измерений N.
Полная погрешность измерений. Как уже отмечалось выше, ошиб
ки могут быть обусловлены природой измеряемой величины, несо
вершенством измерительных приборов или обеими причинами вмес
те. Приборные ошибки и, соответственно, приборные погрешности
полностью исключить невозможно. Можно лишь априори устано
вить их границы с помощью систематической погрешности. Погреш
ности, обусловленные всеми возможными причинами вместе, назы
вают полными. Обычно их обозначают большой греческой буквой ∆,
нижним индексом указывают измеряемую величину или записыва
ют рядом с измеренным значением через знак ±. Полная погрешность
задает интервал, в который с вероятностью 95 % попадает истинное
значение измеряемой величины.
В большинстве лабораторных работ по курсу физики проводятся
измерения неслучайных по своей природе величин, разброс значений
которых обусловлен лишь случайными ошибками измерительных
приборов. В таком случае среднее квадратичное отклонение измеряе
мой величины должно всегда получаться меньше интервала, опреде
ляемого систематической погрешностью
Sx < θx.
(8)
Невыполнение этого условия обычно бывает связано с промаха
ми, т. е. грубыми ошибками экспериментатора при измерениях. И
наоборот, его выполнение в более жестком виде
Sx << θx
(8а)
свидетельствует о старательности, аккуратности экспериментатора
и о надежности полученных результатов. В описываемом случае пол
62
ная погрешность среднего значения определяется только системати
ческой
∆ x = θx .
(9)
В случае проведения технических испытаний обычно имеют дело
с величинами, случайными по своей природе. Разброс измеряемых
параметров при таких испытаниях связан с немного различными
характеристиками испытуемых образцов и с ошибками, вносимыми
измерительными приборами. Среднее квадратичное отклонение,
определенное по формулам (5) или (7), включает в себя обе назван
ные причины и поэтому не ограничено интервалом систематической
погрешности. В этой ситуации случайную погрешность серии изме
рений и систематическую погрешность, связанную с несовершенством
измерительных приборов объединяют в полную погрешность
∆ X = θ X + kS X .
(10)
В этой формуле k – коэффициент, зависящий от количества прове
денных измерений в серии.
N = 5,
N = 10,
N = 20,
k = 2,5,
k = 2,3,
k = 2,0.
Обработка серии измерений и представление результатов. По
результатам серии измерений нужно по формулам (4) или (6) найти
среднее значение. После этого по формулам (5) или (7) – среднее квад
ратичное отклонение. Для одного, нескольких или всех полученных
значений по формулам (1), (2) и (3) рассчитать систематическую по
грешность. Дальнейший порядок обработки результатов измерений
зависит от того, какие величины измеряются: случайные или неслу
чайные.
Измеряемую величину следует считать случайной по своей приро
де, если при ее измерении возникают неконтролируемые эксперимен
татором факторы или физический процесс протекает так быстро, что
экспериментатор не успевает провести достоверные измерения.
Если измеряемая величина по своей природе не является случай
ной, и ее случайные ошибки связаны лишь с влиянием измеритель
ных приборов на процесс измерений, систематические и случайные
погрешности нужно сравнить по критерию (8). В качестве полной
погрешности, в соответствие с формулой (9), взять систематическую.
Если измеряемая величина является случайной по своей природе,
то случайную и систематическую погрешности следует объединить в
полную по формуле (10).
63
Результатом серии измерений при любом способе обработки дол
жны быть: среднее значение и полная погрешность измеряемой вели
чины. Кроме того, приводится среднее квадратичное отклонение и
полное число измерений. Для единичного измерения указываются
полученное значение и систематическая погрешность.
Округление результатов. При записи окончательного результа
та обязательно производится округление. Сначала округляют по
грешность, а затем измеренную величину. Погрешность округляют
до одной значащей цифры. Если эта цифра равна единице, то можно
сохранить следующую. В полученном результате сохраняют после
дним тот десятичный разряд, до которого округлена погрешность.
При этом правила округления результата и его погрешности разные.
1. В измеряемой величине последняя сохраняемая цифра не меня
ется, если старшая из отбрасываемых меньше 5, и увеличивается на
1, если – больше. Если же отбрасываемая цифра равна 5 и все после
дующие цифры нули или неизвестны, то последнюю сохраненную
цифру при округлении нужно сделать четной.
2. В погрешности округление проводится в большую сторону, если
старшая отбрасываемая цифра 3 и более.
Сохранение лишних цифр при записи результата измерения или
его погрешности является грубой ошибкой. Измеряемую величину и
погрешность нужно приводить в одних и тех же единицах. Если ре
зультат приводится в виде произведения числа на десять в некоторой
степени, то эта степень в результате и в погрешности должна быть
одной и той же.
Пример 3
Неправильно
R = 61,54 Ом; θR = 1,27 Oм
t = 16,3333 c; θt = 0,3333 c
C = 6 мкФ; θС = 330 нФ
ρ = 1,043⋅106±1,5⋅107 Ом⋅м
Правильно
→ R = 61,5 Ом; θR = 1,3 Oм или
R = (61,5±1,3) Oм
→ t = 16,3 c; θt = 0,4 c или
t = (16,3±0,4) c
→ С = 6,1 мкФ; θС = 0,4 мкФ или
С = (6,1±0,4) мкФ
→ ρ = (1,04±0,15)⋅10–6 Ом⋅м
Допустимые расхождения между результатами измерений. В тех
случаях, когда это возможно, нужно сравнивать полученное экспе
риментально значение Х с теоретическим или табличным ХТ. В тех
случаях, когда выполняется условие
Х − XT ≤ ∆ X ,
64
(11)
расхождение величин Х и ХТ следует считать допустимым и не тре
бующим объяснения. Этот факт нужно обязательно отметить в отче
те. Если же условие (11) нарушается, то это говорит об ошибках в
проведении, постановке эксперимента или в расчетах величин Х и
∆ X . В этом случае нужно еще раз проверить свои измерения, расчеты
и в отчете попытаться объяснить причину имеющихся расхождений
2. Графическая обработка результатов измерений
Графики следует строить на миллиметровой бумаге, которая выс
тупает в роли одного из измерительных инструментов.
1. Сначала нужно решить, какая из наблюдаемых величин будет
функцией и какая аргументом. В соответствии со сделанным выбо
ром график нужно озаглавить. После этого следует разумно выбрать
масштабы по обеим осям. Их нужно выбирать с учетом значений тех
величин, которые по этим осям будут откладываться. Единица мас
штабной сетки должна соответствовать 1, 2, 5, 10 и т.д. единицам
измеряемой величины. Представляемые на осях интервалы значе
ний должны быть такими, чтобы по возможности использовать все
поле графика. В некоторых случаях координатные оси разумно изоб
разить с разрывом.
2. После выбора масштаба нужно начертить координатные оси и
подписать, какие величины и в каких единицах вдоль них отклады
ваются. На осях нужно нанести узлы координатной сетки. Под осью
абсцисс и слева от оси ординат эти узлы нужно подписать. Подписы
ваются только числа; единицы их измерения указываются на осях.
Значения, полученные на опыте, на осях не отмечаются.
3. На график обязательно наносятся все экспериментальные точ
ки. Около них двумя вертикальным и двумя горизонтальным отрез
ками откладываются систематические погрешности измеряемых ве
личин. Если погрешности одинаковы или почти одинаковы, то не
обязательно откладывать отрезки около всех точек.
4. Для большей наглядности, для возможности получения пара
метров функциональной зависимости и для получения градуировоч
ных графиков через экспериментальные точки проводят линию. Ее
следует проводить не через конкретные точки, а плавно вблизи них,
избегая изломов и пересекая «крестики» погрешностей. Если извес
тен теоретический закон связывающий измеряемые величины, то
линия на графике должна ему соответствовать (рис. 1).
Графическое определение параметров линейной зависимости.
Если теоретический закон, связывающий две измеряемые величины
x и записывается в виде
65
f = kx + b,
(12)
то на графике должна получиться прямая линия. Ее нужно провести
по линейке через имеющийся набор точек по возможности ближе к
максимальному числу точек. Проводя прямую линию (рис. 2), нуж
но руководствоваться следующими правилами:
– прямая должна пересечь все или почти все крестики, обозначаю
щие систематические погрешности отложенных величин;
– число точек, оказавшихся выше и ниже проведенной прямой,
должно быть примерно одинаковым;
– экспериментальные точки должны быть и выше, и ниже прямой
во всем диапазоне значений х.
Иногда получается, что через набор точек невозможно провести
прямую, руководствуясь сформулированными правилами (рис. 2, г,
д). Если из общего набора выпадает только одна точка (рис. 2, г), то
ее следует считать промахом и в дальнейшем не учитывать. Если же
сильно выбиваются несколько точек или явно видна нелинейность
(рис. 2, д), то отсюда следует, что экспериментальные данные проти
воречат теоретической зависимости (12).
Если наблюдаются случаи, показанные на рис. 2, в или г, то мож
но говорить о том, что экспериментальные данные подтверждают те
оретическую зависимость.
Когда через экспериментальные точки удалось провести прямую,
по графику находят параметры k и b уравнения (12). Параметр b ра
вен отрезку, отсекаемому на оси f при х = 0, а угловой коэффициент k
равен тангенсу угла наклона прямой. Этот тангенс можно найти по
катетам треугольника, изображенного на рис. 3. Обратим внимание
Т, мс
40
θТ
30
θс
20
10
0
0,5
1
1,5
С, мкФ
Рис. 1. Оформление графика (зависимость периода колебаний от емкос
ти конденсатора)
66
а)
б)
f
в)
f
х
г)
f
х
х
д)
f
f
х
х
Рис. 2. Прямая f = kx+b, проведенная через экспериментальные точки:
а – неправильно; б – неправильно; в – правильно; г – промах; д –
прямую провести невозможно
f
∆f
α
b
∆x
x
Рис. 3. Графическое определение параметров линейной зависимости:
k = tgα =
∆f
; b = f (x = 0)
∆x
на то, что катеты ∆х и ∆ измеряются не между экспериментальными
точками, а по проведенной линии.
Коснемся вопроса о погрешностях этого графического метода.
1. Систематическую погрешность величины b можно принять рав
ной значению систематической погрешности θf.
67
2. Систематическую погрешность величины k считаем равной
⎛ θ
θ ⎞
θk = k ⎜ f + x ⎟ ,
(13)
⎜ ( ∆f ) ( ∆ x ) ⎟
⎝
⎠
где ∆f и ∆х – катеты треугольника на рис. 3, а θf и θx – систематичес
кие погрешности величин f и х.
3. Для оценки случайных погрешностей Sk и Sb проводят следую
щие действия:
– по имеющемуся набору точек проводят еще одну прямую;
– для нее находят новые значения величин k ′ и b ′;
– считают, что Sk = |k–k′|, а Sb = |b–b′|.
68
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
656 Кб
Теги
vesnicheva
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа