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√осударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образовани¤
—јЌ “-ѕ≈“≈–Ѕ”–√— »… √ќ—”ƒј–—“¬≈ЌЌџ… ”Ќ»¬≈–—»“≈“
јЁ–ќ ќ—ћ»„≈— ќ√ќ ѕ–»Ѕќ–ќ—“–ќ≈Ќ»я
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(22)
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(24)
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5. ????????? ?????????? ????????? ???????????? ? ????
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x = 16,71; S x = 0,14; n = 7; ? = 0,10.
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????????? ????. 2 ?????????? ??? P = 0,95 ? n = 7 ??????? ????????
???????????? ????????? tP,n = 2,45. ?????,
? = tP,n ? S x = 2,45 ? 0,14 = 0,34.
??? ??? ?
S x
= 0,71 < 0,8, ????????? ????????? ???????????? ? ???? (30)
x0 = 16,7 ± 0,4; P = 0,95; n = 7.
?. ?????? ????????????? ??????????? ????, ??? ??????? ?????????????? ???????? x ?????????? ?? ????????? x0 ?? ????? ??? ?? ? = 0,2.
????????? ??????????? ?????????
t P ,n =
0,2
?
=
= 1,43.
S x 0,14
17
?? ??????? ???????? ??? n = 7, P = 0,8.
6. ?????????? ???????????? ????????? ?
??????????
??????????? ????????? ??????? ????????? ??????. ??? ??? ??????????? ?????????? ???? ??????????????? ??????????, ?? ?? ??
????????? ????? ????? ?????. ? ????????????? ?????? ???????????
????????? ??????? ???????? ?????? ? ????? ??? ????? ?????????
???????. ???? ?????? ???????? ????? ??????????? ?????? 2, ??
??????????? ??????????? ?? ????? ???????? ?????. ???? ??????
???????? ????? 1 ??? 2, ?? ??????????? ?????????? ?????? ? ?????
????????? ???????. ??? ???????????? ?????????? ???????????
?????? ? ????? ???????? ?????? ????? 9 ?? ????????? (?????????
?? 1 ????? ???????? ??????? ).
??? ?????????? ?????????? ??????????????? ?????????? ?????????.
1. ???????? ???????? ??????????? ????????? ?????? ????????????
?????????? ?????? ???? ?? ???????, ??? ? ???????? ???????????.
2. ???? ????? ???????? ?? ????????????? ???????? ?????? 5, ??
?????????? ????? ?? ??????????. ? ????? ?????? ?????? ????? ???????? ??????.
??????. ????? ?????????? ???????? ???????? ?????????? 14,532, ?
??????????? 0,4. ????? ????????? ??????? ????????? ?? 14,5. ??? ?? ????????? ??? ??????????? 0,12 ??????? ????????? ?? 14,53.
3. ???? ????? ???????? ?????????????? ??????? ?????? 5 ? ?? ???
??????? ???????? ?? ???? ?????, ?? ????????? ?????????? ?????
??????????? ?? ???????.
4. ???? ????????????? ????? ????? 5, ? ????????? ?? ??? ?????
?????????? ??? ????? ????, ?? ????????? ????? ????? ?? ????????,
???? ??? ??????, ? ??????????? ?? ???????, ???? ??? ????????.
??????. ????????? 10,5 ??? ??????????? 2 ????????? ?? 10, ? ????????? 11,5 ??? ??? ?? ??????????? 2 ????????? ?? 12.
7. ??????????? ?????????????
??????????? ?????????
????? ? ?????????? ???????????? ????????? ??????????? ?????
???????? ?? ?????? ? ?????????? ????????? ????? ???? ??????????18
?? ??????????. ??????? ???? ????????? ????????????? ? ???? ?????????????? ???????????, ???????? ?????? ?? ?????? ???????? ?
???????????. ??? ?????????? ???????? ??????????????? ?????????? ?????????.
1. ??????? ?????? ?????? ?? ??????????? ??????????? ??????.
2. ?? ??? ??????? ??????? ??????????? ?? ????????, ??????? ???????? ???????? ????????? ?????? (?. ?. ????????).
?????????? ????????? ??????? ??????? ? ????????, ? ???????
?????????????? ??????????? ????????. ??????? ?????? ???? ???????, ?. ?. ???? ?????? ?????????? ????? ?????? ??????????????? 1,
2, 5, 10 ? ?. ?. ???????? ?????????? ????????, ?? ?? 3, 7, 11 ? ?. ?.
??????? ?????????? ???, ????? ?????? ??????? ( ? ?? = 0,5 ?? ) ????
??????, ??? ?????????? ??????????????? ??????????? ???????.
?????????????? ?? ???? ????????? ???????? ?????? ????????????
??? ???? ???????. ?? ???? ??????? ??????? ????????? ???????? (???
??????) ? ??????? ????????? ????????.
3. ????????????????? ?????????? ?????????????? ?? ??????? ? ????
?????, ?????? ?? ?????? ??????????? ??????? ??? ?????????? ??? ?????????? ????????. ????????????????? ????? ???? ??????? ????????????? ? ???? ?????????????? ???????????; ?????? ??? ??????? ??????????? ? ??? ??????????? ????????? ?????????? ??????????????
??????????? ?? ??????? ????? ????? ???????? ??????. ????????? ?????? ??????? ??????, ??????? ???????, ??? ????? ????? ? ????????????????? ?????? ???, ????? ?? ??? ??????? ?? ?????? ???? ????????
?????????? ?????????? ?????. ?????? ?????????? ???, ????? ??? ????????????????? ????? ?????????? ?????.
???? ?? ????? ??????? ?????????????? ?????????? ????????? ?????????????, ?? ??????? ??? ??????????? ????????? ????? ????? ???????????? ??????? ????????? (?????, ???????? ? ?. ?.).
? ??????? ???????? ????? ????? ??????????? ????????? ????????????????? ??????. ??? ?? ??? ?????, ??? ?????????, ?? ??????, ???????? ? ?? ??????? ??????? ??????????. ?? ???????? ????? ???????? ????????? ????????? ????????????? ??? ????????????????? ???????????, ????????? ??????????????, ?????????????????, ?????????
???????????? ??????????? ? ?. ?.
19
8. ?????? ?????????? ???????? ???????????
?????????? ???????
????? ?? ??????? ?????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????? ???????? ????? ?????????? ?????????.
????? ???????????????? ???????????? ???????? X ? Y, ?????????
?????????????? ????????????
Y = f ( X , A, B, ...) .
(31)
??? ??????? f ( X , A, B, ...) ?????? ?????? ???????? ?? ?????????? ???????, ? ???????????? A, B... ???????????? ?? ??????????? ????????????.
???? Y ? X ??????? ???????? ????????????
Y = A + BX ,
(32)
?? ??? ?????????? A ? B ?????????? ???? ????????? ?????? ??????????? ????????? ??????? Y ? X. ? ???????????????? ?????????? ???????????????? ???????? xi ? yi ???????? ???????????, ??????? ?? ???
????? ???????? ?????? ?????? ?????????? ??????? A ? B.
????? ???????? ???????? ??????????? ?????? ???????? ???????????? ????????? ? ? ?????????? ???????????? ???????? ????? ?? n ???
???????? ?????????? ??????? xi ? yi.
???????? ??????? ? ??????? ??????? ??????????? ????????????? A
? B ????????? ?????? (32) ???????? ????? ?????????? ????????? ????????
???????? ???????????????? ?????????? A ? B ????? ?????, ??? ???????
????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? yi ?? ??????????? ??
??????? (32) ????? ??????????, ?. ?. ??????????? ???????
n
? ( A + Bxi ? yi )2 = min.
i =1
(33)
??????? ???????? ????? (33), ??? ??????? ?????????? A ? B, ??????? ? ????????? ???? ??????? ??????????? ?? ???? ??????????
?n
? 2( A + Bxi ? yi ) = 0,
? i =1
(34)
?n
?
? 2( A + Bxi ? yi ) ? xi = 0.
? i =1
?
?
20
????? ??????? ???????????? A ? B, ???????
A=
? xi2 ? yi ? ? xi ? xi yi ,
2
n ? xi2 ? ( ? xi )
B=
n
? xi yi ? ? xi ? yi .
2
n ? xi2 ? (? xi )
(35)
????? ?????????? ????????? ????????? ?? ?????? ????? ?????????
???????? ?????????? ???????? ??????????? (32), ?? ? ?????????? ??????
??????????? ????????? ???????? ??????????. ????????? ??????????
????? ?? ?????? S 2y ? ????????? ????????????? S A2 ? S B2 ????? ??????????, ????????? ?????????? ?????????????:
S 2y
S A2
=
=
n
? yi2 ? ( yi )
2
n(n ? 2)
(? xi ? yi ? n? xi yi )
?
n(n ? 2) ?n ? xi2 ? ( ? xi )2 ?
?
?
S 2y ? xi2
n ? xi2 ? (? xi )2
2
,
S B2
=
nS 2y
n ? xi2 ? (? xi )2
.
(36)
? ???????? (35), (36) ??????? ??????????? ???????? ??? ????????????.
??????. ??? ???????? ??????????? ????????????? ?????????? ??
??????????? ???? ????????? 8 ????????? ??????? R ? t. ???????? ???,
??? ???????? ??????????? ????????????? ?? ??????????? ????????
Rt = A + Bt.
?????? ???????? ????????????? A ? B ?? ?????? ?????????? ?????????. ?????? ?????????? ????????? ? ????. 8.1.
????????? ????????????? (35) ??? ????????????? A ? B, ???????
ti2 ? Ri ? ? ti ? Ri ti
?
A=
,
2
n ? ti2 ? ( ? ti )
B=
n
? Riti ? ? ti ? Ri .
2
n ? ti2 ? ( ? ti )
21
??????? 8.1
? ?????
ti, ∞C
ti2, (∞C)2
Ri, ??
Riti, ??Ј∞CЈ
1
2
3
4
5
6
7
8
20
30
40
50
60
70
80
90
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
32,0
34,8
35,2
37,8
38,1
40,9
41,2
43,5
640
1044
1408
1890
2286
2863
3296
3915
?t
i
= 440
?t 2 = 28400 ?R
i
i
= 303,5
?R t
i i
= 17342
????????? ????????, ??????????? ? ????. 8.1:
A=
28400 ? 303,5 ? 440 ? 17342
8 ? 17342 ? 440 ? 303,5
= 29,4; B =
= 0,155.
2
8 ? 28400 ? 440
8 ? 28400 ? 4402
????????? ????????? R, A ? B ?? ???????? (36):
S R2 = 0,426; S A2 = 0,360; S B2 = 10?4 ; S A = 0,6; S B = 0,01.
??????? ???????? ????????????? ??????
A = (29,4 ± 0,6) ??, B = (0,16 ± 0,01) ??
R, ??
????? ???????, ???????????
????????????? ?? ???????????
????? ???
45
40
Rt = 29,4 + 0,16t.
35
30
20
40
60
???. 4
22
∞?
80
100
t∞C
(37)
?? ???. 4 ????????? ?????????? ???????????? ? ??????, ??????????? ?? ?????? ??????????
????????? (37).
?????????? ?????????????
?????? ?? ???????? (35) ????-
?? ??????????????. ??????? ???- R, ??
??????? ????? ??????? ????? ?????? ?????, ??????? ????????? 45
??? ??????????? ??????? ??????.
????? ??????? ?????? ?????, 40
5
8
7
4
??????? ?????????????? ?? ??6
3
35
??? ??????.
2
1
????????? ????? ????????? ???30
????? ????????? B ? ??? ???????????. ????????????? ???????
20
????. 8.1 ? ??????????? ????? ?? 1
40
60
80
100 t∞C
?? 8 (???. 5). ??????? ????? 1 ? 4:
???. 5
????? ??? ??????? ?????? ? ?????????? B1. ??? ????????? ???? ????? 2 ? 5 ?????? B2 ? ?. ?. ? ?????
????? ????????? ????????? ??? ? ???????? ???????? ????????? Bi. ???????? ???? ??? ?????. ?????????? ?????????? ? ????. 8.2.
??????? 8.2
? ?????
ti
Ri
? ?????
ti
Ri
Ri'? Ri
ti'? ti
1
2
3
4
5
20
30
40
50
60
32,0
34,8
35,2
37,8
38,1
4
5
6
7
8
50
60
70
80
90
37,0
38,1
40,9
41,2
43,5
5,8
3,3
5,7
3,4
5,4
30
30
30
30
30
Bi =
Ri? ? Ri
ti? ? ti
0,193
0,110
0,190
0,113
0,180
??????? ???????? ???????????? B :
n
1
B =
Bi = 0,157,
n i =1
?
? ??????? ?????????????? ??????????
S B =
n
2
1
Bi ? B ) = 0,02.
(
?
n(n ? 1) i =1
?????????????, ??????? ???? ??????? ??????????? ?????? ? ?????
??
tg? = B = (0,16 ± 0,02)
∞?
23
.
?? ???. 5 ???????? ????????????????? ????? 1?8 ??????????? ????????????? ?? ??????????? ? ??????, ??????????? ?? ?????? ??????
?????.
9. A???????????? ?
???????????? ??????????? ?????????
?????????????
??? ????????? ??????????? ????????? ?????????? ????? ???? ? ????????, ? ??????? ??? ???????, ???????? ?????? ???????? ??? ????????, ????????? ????????? ????????????? ?????????, ??????????? ???????????? ??? ???????. ???????? ?????? ????? ?????????? ? ??? ???????, ?????????? ????????, ???? ??? ??????? ??????????? ???????
??????? ??? ???????????? ??? ????????? ?????. ???????, ???????????? ?????????????? ???????????, ?????????? ?? ????? ? ???? ??????? ??? ???????, ???????? ????????????? ?????????. ?????? ???
????????????? ??????????? ???????? ??????? f(x) ???????? ???????????????? (????????????) ??????? ?(x) ?? ??????? ????????????? ????, ???????? ?(x) ???? ? ???? ????????
?( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . .
??? ???? ?????????, ????? ??????? ?( x ) ???????? ?????? ???????????? ? f(x) ?? ????????? ????????? [ xmin , xmax ] . ?????? ??? ????????????? ?????????? ????? ?????????? ????????? (???), ?? ?????????? ??? ??? ?????? ???????? ?????????????, ???? ??????? n ????????????????? ???????? ?? ????????? 2 (??. ??????. 8). ??? ???????
??????? ???????? ?????? ?????????? ??? ????????????? ???????????
? ???????? ? ??? ???????, ????? ????????????? ?????????? ?????????,
??? ????? ????? ??? ???????????? ????? ??????????.
?????? ????????????? ???????? ???: ?????????? ????? ??????? ?
???????????? ???????? (? ??????? ???), ??????? ?? ?????????
??????? ??????????????? ?????????? ?????????? (??? ???????, ???
??????? ????????? ???????????? ??? ??????), ??? ?????????? ????
??????, ????? ?????????????? ?????? ???????????? ??????. ?????????? ?????? ????????? ?????? ???????? ??? ????????????? ???????????
??????? ?????????? ????????, ? ?????????, MatLab (??. ??????????).
24
????????????
??? ???????? ?????????????? ???????????? ????? ????? ??????????? ?????????? x ? y ??????????? ????????????? ???????? ???????? ??????? ???????? ??????? yi = f ( xi ) ? ???????????? ?????? x0 , x1,..., xk . ????? x0 , x1,..., xk ?????????? ?????? ????????????.
?????????? ?????? ???????????????? ??????? ??????????? ? ???????????? ?????????? ???????? ???? ??????? ? ????????????? ????? x,
??????????? ????? ?????? ????????????. ?????? ??? ????????? ??????????? ????????? ????????? ?????????????? ????????????, ???
??????? ???????????? ???????????? ????????????? ??????? f(x) ??????????? (?????????) P( x ) = Pn ( x ) ??????? ?? ???? n. ???????? ???????? ? ?????? x0 , x1,..., xk ?????? ????????? ? ????????? ??????????
??????? f(x). ???????????????? ????????? P(x) ?????????? ???????????? ?????? ???????????? ? ?????????? ??????? ? ???.
? ?????????? ?????? ???????????? ???????? ????????????, ? ??????: ???????????? ??????? f(x) ???????? ???????? P(x) ?? ???? ?????,
???????? x0 ? x1, ? ??????? ??????? ????????
P( x ) = y0 ( x ? x0 ) /( x0 ? x1 ) + y1 ( x ? x0 ) /( x1 ? x0 ).
?? ????? ????????? ??? ?????????? ????????? y0 ? y1, ??????????
??? f(x0) ? f(x1), ????? ?????????? ???????? y, ???? ???????? ????? x ??
????????? [x0, x1]. ????????????? ???????????? ???????? ???????????? ????? ??? ?????? ? ??????????????? (???????????) ?????????, ?
??????? ?????? ???????????? ? ??????????? ?????? ??? ??????????
?????? ????? ? ????????? ????? ????????????? ??????, ??????????????? ????? ???????????? ? ???????.
???????????? ? ??????? ?????????? ????????? (??????????? ????????) ??????????? ? ?????????? ?????????? ??????? ???????? ?, ?
?????????, ? ?????? MatLab (??. ?????????? ).
????????????? ? ???????????? ??????????? ?????????
? ??????? ?????? MatLab
?????? y, ?????????? ? ?????????? ????????? ??? ????????? ????????? x, ?????????? ???????????? ? ???? ???? ????????-????? y ? x,
?????? ??? ??? ??????? ?????? ????? ?????????? ????? (??????????
?????????? ?????????). ??? ?????????????? ????????????? ???? ?????? ??????????? ????????? polyfit (x,y,n). ???????? ?????????? ? ????25
??? ??????? n, ????????????? ??????????? ??????? ????????????????? ????????. ? ?????????? ???????? ???? ????????? ?????????? ??????
?????? (n+1) ????????????? ????????.
??????. ?????????? ?????????? ????????? ?? ?????? ???????? ????????? ? ?????? ???????? ??????????? ?????????? ?????? ? ???? ????
????????
x = [1 2 3 4 5 6 7 8]
y = [-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1].
????????? ????????? ???????????, ????????, ??? ???? ???????? ??????? ????????????????? ???????? n = 1, n = 2 ? n = 3. ??? ????? ??????????? ????? MatLab, ? ? ????????? ???? ?????????? ????????? ?????????
(???????? ???????? ?????????? ?????????, ?????? ??????????? ?????? ?
???????, ???? ????????? ?? ?????????? ?? ????????? ?? ????? ????????):
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];
polyfit (x,y,1)
ans =
0.1143 -0.2393
polyfit (x,y,2)
ans =
-0.1024 1.0357 -1.7750
polyfit (x,y,3)
ans =
0.0177 -0.3410 1.9461 -2.6500
?????????? ?????????? ????????????? ??? ??????? ???????? ?????????? ??? ?n? ? ???????????? ????? ???????????? ?????????. ???
??? ???????? ?????? ??????? (?????? ?????)
y(x) = 0.1143x ? 0.2393;
??? ???????? ?????? ??????? (???????????? ????????)
y(x) = -0.1024x2 + 1.0357x ? 1.7750;
??? ???????? ??????? ??????? (?????????? ????????)
y(x) = 0.0177x3 ? 0.3410x2 + 1.9461x ? 2.6500.
??? ??????????? ?????????? ??????? polyfit (x,y,n) ??????????
????????? ? ????? ???? ???????????? ???? ???????? ?????????? ??????? (?????????? ?????????) ? ??????? ???? ?????????? ??? ????????????? ?????????:
26
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];
p1=polyfit (x,y,1);
p2=polyfit (x,y,2);
p3=polyfit (x,y,3);
stem (x,y);
hold
x1=0.5: 0.05:8.5;
y1=polyval (p1,x1);
y2=polyval (p2,x1);
y3=polyval (p3,x1);
plot (x1,y1,x1,y2,x1,y3); grid
title (??????????????? ??????????????);
xlabel (??????????);
ylabel (?????????);
????????? ????????????? ???????? ?? ???. 6.
??????????????? ?????????????
1
0.5
???????
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
4
5
????????
6
7
8
9
???. 6
27
? ??????????? ????????? ???????????? ????? ??????? stem (x,y)
??? ?????????? ???????? ?????????? ???????, hold ? ??? ??????????????? ?????????? ?????????? ?????? y1, y2, y3 ?? ????? ???????,
plot (x,y) ? ??????? ?????????? ???????, grid ? ????????? ????? ??
??????. ????? ?????????? x1 ????????? ???? ???????? ????????? ????????? x ?? ????? ?????? ????????? ? ????????? 0.05 ??? ????? ??????
????????????? ?????????? ??????????? ? ??????? ????????? polival.
??? ????????????? ???????????? ???????????? ??????? spline
(x,y,xi), ??????? ???????????? ???????????? ??????????? ?????????.
??? ????????? ? ??????? yi = spline(x,y,x1); ??????????????? ???????? ??????? y, ????????? ??? ????????? ????????? ?????????, ?????????????? ? ??????? x, ? ???????? ???????? ??????????????? ??????? ? ???? ??????? yi ??? ????????? ?????????, ???????? ???????? xi.
??? ???????? ? ??????, ????? ?????? x ????? ?? ?? ?????, ??? ? ?????? y
? ?????? ?? ????????? ?????????.
??? ??????? ?????????? ???????????? ???????
????????????
1
0.5
???????
0
-0.5
-1
-1.5
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
???. 7
28
-0.1
0
????????
0.1
0.2
x = -0.5 : 0.1: 0.2;
y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];
x1=-0.5: 0.05: 0.2;
y2=spline(x,y,x1);
plot (x,y,x1,y2); grid
title (??????????????);
xlabel (??????????);
ylabel (?????????);
????????? ???????????? ???????? ?? ???. 7.
10. ???????????? ?????? ????????
???????????? ?????????????
??????????? ?????????
?????? ?????? ???????? ???: ??????? ?????? ??????????? ?????????? ? ????????????? ???????? ? ???, ??? ??? ?????????? ?????
??????? ???????????? ????????? ???????? ? ????????? ??????
??????? ?????????????. ????? ???????? ?????????????? ?????????? ??? ???????? ??????????? ? ???? ???????????, ???? ???????????.
??? ??????? ????? ?????????? (n > 50) ??????? ??????????
???????? ?????? ???????? ??????? ???????? ???????? ?. ??????? (???????? ?2) ??? ?????????????? ?????????? ? ???????? ?. ????????. ?. ???????? (???????? ?2 ) ??? ???????????????? ??????????.
??????????? ?? ???????? ?2. ???? ????? ?????? ??????? ? ???????? ?????????? ??????????? ????????????????? ?????? ?? ??????????? ? ????? ?? ?????? ??????????, ??????????? ?? ??????
??????????? ?????????????. ????? ????????? ????????? ?????? ??
?????????? ?? ?????? ????????? ???????? ?2, ??? ??????? ?????????? ??????? ? ??????????? ?? ?????? ?????????? ???????? q ?
????? ???????? ??????? k = L ? 3, ??? L ? ????? ??????????.
?????????? ??????? ?? ????????? ?????.
1. ????????? ??????? ?????????????? ?? ??????????? ?????????? ?
?????? ???????? ??????????????? ??????????:
n
1
x=
xi ,
n i =1
?
(38)
29
n
1
( xi ? x )2 .
?
n ? 1 i =1
? =
(39)
2. ?????????? ?????????? ?? ??????????. ??? ????? ??????????
40?100 ?????? ????????? 5?9 ??????????. ??? ??????? ????????? ??????? ???????? xi0 ? ???????????? ????? ?????????? ? i , ???????? ?
?????? ????????.
3. ????????? ????? ?????????? ??? ??????? ?? ??????????, ???????????? ??????????????? ??????????? ?????????????. ??? ????? ??????? ?? ???????? ??????? ?????????? xi0 ????????? ? ????????????? zi:
zi =
xi 0 ? x
.
?
(39)
????? ??? ??????? ???????? zi ??????? ???????? ??????? ?????????
????????????
zi2
1 ?2
f ( zi ) =
e .
2?
(40)
?????????? f(zi) ??????? ? ??????? ????. 5 ??????????.
?????? ????? ????????? ?? ????? ?i ?????? ????? ????????? ??????????, ??????? ???????????? ?????? ???? ???? ? ?????? ?? ??????????:
?i = n
h
f ( zi ) ,
?
(41)
??? n ? ????? ????? ??????????, h = xi 0+1 ? xi 0 ? ????? ?????????, ???????? ??? ?????????? ???????????.
4. ???? ? ?????-???? ???????? ???????????? ???????? ?????? 5 ??????????, ?? ??? ? ????? ???????????? ????????? ? ???????? ??????????. ????? ?????????? ????? ???????? ??????? k = L ? 3, ??? L ? ?????
????? ?????????? (???? ??????????? ?????????? ??????????, ?? L ?
????? ?????????? ????? ??????????).
5. ????????? ?????????? ???????? ?????? ?2:
?2 =
? ?i2 , ?i2 = (
L
i=1
30
? i ? ?i )
.
?i
2
(42)
6. ???????? ??????? ?????????? ???????? q. ??????? ??????????
?????? ???? ?????????? ?????, ????? ???? ???? ??????????? ????????? ?????????? ???????? (????????? ?????? ??????? ????). ? ??????
???????, ??????? ????? ???????? q ??????????? ??????????? ???????
?????? ????????, ?. ?. ????????? ?????? ??????? ????.
?? ?????? ?????????? q ? ????? ???????? ??????? k ?? ????. 6
?????????? ??????? ??????? ??????????? ??????? ?2q , ??? ???
{
}
P ?2 > ?2q = q.
2
2
??????????? ????, ??? ?????????? ???????? ? ????????? ? q , ?????
2
2
q ? ????. ???????, ???? ???????????, ??? ? > ? q , ?? ???????? ? ???????????? ???????????. ???? ?2 < ?2q , ?? ???????? ? ???????????? ???????????.
2
??? ?????? q, ??? ??? ??? ?? k ?????? ???????? ?q ? ??? ?????
??????????? ??????? ?2 < ?2q ? ??????????? ??????????? ????????. ??
??? ???? ????????????? ??????????? ?????? ??????? ????. ???????
??????????????? ????? q < 0.01.
??? ??????? ??????? q, ??? ??????????? ????, ?????????? ??????????? ?????? ??????? ???? ?, ????? ????, ????????? ????????????????
????????. ????????, ??? q = 0,5 ? ?????? ???????????? ?2 ????? ????
? ?????? ? ?????? ?2q ?, ?????????????, ???????? ??????????? ???????
????? ? ?????? ??????????? ???????? ??? ?????? ???.
??? ???????????? ??????? ??????????????? ?????? ?????????? ????????????? ??????????? ?????? ??????????. ? ???? ????? ????? ?????????? ?????????? ?????????? ????? ?????? ?????????? ?????????? 0,02 ? q ? 0,1 .
?????? ? ????????????? ?????????, ??? ??????? ???? ??????? ????????????? ??????????? ???????, ????????? ? ???????????? ?????-
{
}
2
2
2
?????? ???????, ?. ?. ??????????? P ?? < ? < ?? = q . ? ???? ???? ??-
?????????? ?????, ??? ??? ? ???????? ?????? ?????? ????? ????? ???????? ?2 ????????????. ??????? ?????????? ???????? q ??????? ?? ???
?????: q = q1 + q2 . ??? ???????? ????? ??????? q1 = q2 . ?? ????. 6 ???-
{
}
2
2
??????? ??? P ? > ? q ??????? ?12 ??? ?????? ?????????? q1 ? ?????
???????? ??????? k ? ?22 ??? ?????? ?????????? 1 ? q2 ? ???? ?? k. ???????? ? ???????????? ??????????? ?????? ?????? ???????????, ????
31
?22 ? ?2 ? ?12 .
??????? ??? ??? ????????, ??? ?????? ???????? ????????? ????????? ???????????? ???????????? ?????? ?????? ?????????????? ?????????????, ? ?? ?????? ???????????. ?????? ???? ????????, ??? ?
?????? ???????? ????????, ?? ????????? ?????????? ??? ?????????????
??????????, ? ???? ???? ??????????? ?????????, ????????? ?? ??????? ?? ? ??????????? ??? ?????, ?????????? ??????? ???? ?????????????.
? ???????? ????????? ????? ????????? ????????????? ????????? ???????? ? ???????????? ????????????? ????????? ?????? ??????????
n>50. ???????? ???????????? ???? ???????? ??????????? ? ???????
?????????? ????????.
???????? 1. ?? ?????? ?????????? x1,?, xn ????????? ????????
????????? d ?? ???????
n
d=
? xi ? x
i =1
(43)
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32
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x
x
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35
36
33
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35
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36
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i
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324
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25
16
25
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36
144
16
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4
289
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
2,7988
7999
7998
7996
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8000
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7988
7993
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25
16
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1
36
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9
25
4
25
25
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25
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34
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?????? ??????? ?????????? q1 = 0,02 , ?? ????. ?????????? ???????
d 0,01 = 0,877 ? d 0,99 = 0,717 .
??? ??? 0,717 < 0,754 < 0,877 , ?? ???????? 1 ???????????.
???????? 2. ?????? ??????? ?????????? q2 = 0,02 . ?? ????. ?????????? ??? n = 36 ? q = 0,02 ??????? ? = 0,99 . ?????, ????????? ?
????. ??????????, ??????? z
?=
2
2,58 . ??????
z ? ? = 2,58 ? 6,52 ? 10?4 = 16,8 ? 10?4 .
2
???????? ???????? 2, ?? ????? ???? ????????? xi ? x ????? ????????? 16,8 ? 10?4 . ?? ??????, ??????????? ? ????., ??????????? ?
???????, ?????, ??? ???????? xi ? x ?????? ??? i = 6 ? i = 18 ????????? ??????????? ????????. ?????????????, ???????? 2 ???????????.
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???????????? ????????????? ?????????? ?????? ??????????? ? ??????? ??????????.
35
????????????????? ??????
1. ??????? ?. ?. ?????? ????????? ?????????? ???????. ?.: ?????,
1985.
2. ???? 8.207-76. ?????? ????????? ? ????????????? ????????????. ?????? ????????? ??????????? ?????????. ?.: ???-?? ??????????,
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36
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t
t2
?
2
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2? 0
?
t
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t
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t
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0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,000
0,080
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1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
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1,9
2,0
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2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0,964
0,972
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0,988
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0,993
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0,996
0,997
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???????? ????????????? ????????? tP,n
n
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
18
20
P
0,6
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,90
0,90
0,88
0,87
0,87
0,86
0,86
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,38
1,36
1,35
1,33
1,33
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,89
1,80
1,80
1,77
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1,73
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,26
2,19
2,16
2,11
2,09
31,8
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,82
2,72
2,65
2,57
2,54
63,7
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,25
3,11
3,01
2,90
2,86
37
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??????? ?????????? ??????????
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2
X1 ? X2
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X1
X2
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8
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38
2
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2
X2 ? X2 ?
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SXsinX
SX
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S X2 1 + S X 2 + ... + S X2 m
X 1 + X 2 + ... + X m
S X2 1 + S X 2
X1 ? X 2
S X2 1
X 12
m
S X2 1
X 12
+
S X2 2
X 22
SX
X
+
S X2 2
X 22
SXctgX
SXtgX
2S X
sin 2 X
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?????????? ??????????
? ??? ???????
??. Y = f(X1, ?, Xm)
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? X1 + ? X 2 + ... + ? X m
1
X1 + X2+?+Xm
2
X1 ? X2
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X 1? X 1 + X 2 ? X 2
4
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mXm?1?X
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X1
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7
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8
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X1
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X 1 + X 2 + ... + X m
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X1
m
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X1
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X2
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X
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X2
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sin 2 X
39
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2
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0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
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3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
3989
3961
3894
3790
3653
3485
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3079
2850
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3956
3885
3778
3637
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3271
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2827
2589
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3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
1,0 0,2420
1,1 2179
1,2 1942
1,3 1714
1,4 1497
1,5 1295
1,6 1109
1,7 0940
1,8 0790
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2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
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2012
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1561
1354
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1989
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1965
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2,1
2,2
2,3
2,4
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2,7
2,8
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6
7
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14
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k=n?1
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98
90
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1,005
1,649
2,343
80
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5,226
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6,571
7,261
5,578
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7,790
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7,807
8,634
9,467
10,307
1,635 2,204 3,070
2,167 2,833 3,822
2,733 3,490 4,594
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3,940 4,865 6,179
0,00393 0,0158
0,130 0,211
0,352 0,584
0,711 1,064
1,145 1,610
95
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
0,455
1,386
2,336
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4,351
50
8,148 10,341
9,034 11,340
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10,821 13,339
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3,828
4,671
5,527
6,393
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4. ??????????? ????????? ????????? .........................................................
5. ??????? ????????? ? ????? ????????????? ?????????? ??????????
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6. ?????????? ???????????? ????????? ? ?????????? .................................
7. ??????????? ?????????????
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8. ?????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????? ...........
9. A???????????? ? ???????????? ??????????? ????????? .........................
10. ???????????? ?????? ???????? ???????????? ?????????????
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46
3
5
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15
16
18
18
20
24
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37
???????
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m
? ?i2 .
(21)
i=1
13
3. ??????? ????????? ? ????? ?????????????
?????????? ??????? ?????????
1. ?????????? ??????? ?????????????? ?? ??????????? ??????????
?? ??????? (8):
n
1
x =
xi .
n i =1
?
???????? x ????????? ?? ????????? ?????????.
2. ????????? ??????? ?????????????? ?????????? ??????????? ????????? ?? ??????? (12) ??? (9):
S x =
n
1
( xi ? x )2 .
n(n ? 1 ) i =1
?
3. ?????????? ??????? ????????????? ??????????????? ??????????? ?????????? ????????? ?.
4. ?????????? ????????? ?????????????? ? ?????
x = ..., S x = ..., n = ..., ? = ...
(22)
??????. ??? ????????? ????????? ???????? ???? ???????? ????????? ????????: x1=16,6; x2=16,8; x3=16,4; x4=17,2; x5=17,0; x6=16,2;
x7=16,8; n=7; ?=0,1. ????????? ???????? x ? S x ?? ???????? (8) ?
(12):
n
1
x =
xi = 16,71;
n i =1
?
S x =
n
1
( xi ? x )2 = 0,14.
n(n ? 1 ) i =1
?
????????? ???????????? ? ????
x = 16,71; S x = 0,14; n = 7; ? = 0,1.
14
4. ??????????? ????????? ?????????
??? ????????? ?????????? ??????? ?????????? ???????? Y ???????
????????? ?????????????? ???????????? ? ????? ??????????? ????
?? ????? ??????? X 1, X 2 , X 3 ,..., X m
Y = f ( X 1, X 2 ,..., X m ).
(23)
???????? Xi ?????????? ??????????????? (?????? ?????????). ????????? ????????? ?????? ?? ??????? Xi ???????? ???? ??????????? ?
????? ?????? ????????? ? ???????????????. ? ??????????? ?? ????
??????? Y, ??????????? ??????? ???????? ? ???????????? ?????????
X1, X2, ? , ??? ??????????? ?? ??????? ?????? ?? ??????????? ?????????????? ??????????. ?????? ???????????????? ??????? ? ???, ?????
????? ???????? ???????? Y ? ??????? ??????????? ?? ?????????.
? ???????? ?????? ???????? Y ????????? ???????? ???????, ??????????????? ??????? ????????? ??????? xi , ?. ?.
y = f ( x1, x2 ,..., xm ).
(24)
????????? ?????????? ????????? ????? ???????? ????????? ? ??????????????? ???????????. ????????? ??????????? ????????????? ????????? ???????? ??????????????? ?????????? S y . ????????? ???????? S y ?????????? ?????????? ????????? ?????, ????????? ????????????, ??????? ????????? ? ?????? ????????????
S y =
?????
?f
( )
?f
?X 1
2
X 1 = x1
? S x2
1
( )
?f
+
?X 2
2
? S x22 + ...
(25)
X 2 = x2
?X i ? ???????? ??????? ??????????? ??????? f ( X 1, X 2 ,...)
?? ?????????? Xi. ???????? S xi ? ???????????? ????? ??????? ?????????????? ?????????? ??????? ?????????????? ???????? ????? ?????????? ???????.
? ????. 3 ?????????? ????????? ??????? ??? ?????????? ???????
S y ??? ???????? ????? ????????????? ?? ???????? ??????? ?????????????? ????????????. ??????? ????????, ??? ?????? ?????? ????? ????????? ????????????? ???????? ???????? ??????????????? ??????????,
?. ?. ???????? ?S:
15
?S =
S y
(26)
y
? ??? ?? ?S ?????????? ???????? S y = ? S y . ??????? ??? ??????? ???????? ?S ????? ????????? ? ????. 3 ??????????.
??????????????? ??????????? ?????????? ?????????? ????????? ?y
???????????? ???????????????? ????????????? ??????????? ?????????
????????? ?x. ???????? ?y ????? ????? ????????? ????????????
?y =
?f
?X 1
X 1 = x1
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?f
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X 2 = x 2
? ? X 2 + ...
(27)
? ????. 4 ?????????? ????????? ??????? ??? ?????????? ??????
????????????? ??????????????? ??????????? ?y ? ?????????????
?? =
?y
??? ????????? ???????? ????? ????????????? ???????????y
??? ????????????.
5. ??????? ????????? ? ????? ?????????????
?????????? ?????????? ?????????
1. ?????????? ?????????? ?????? ?? ??????? Xi ??????????????
??? ?????? ?????????, ?. ?. ??????????? ????????
xi = ..., S xi = ..., ? X i = ...
2. ????????? ???????? ?????????? ??????? xi , ??????? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?????????? ????????? y = f ( x1, x2 ,..., xm ).
3. ????????? ??????????? (25) ????????? ???????? S y .
4. ?????????? ??????? ????????????? ??????????????? ??????????? ?y ?? ??????? (27).
5. ????????? ?????????? ????????? ???????????? ? ????
y = ..., S y = ..., ? y = ...
(28)
??? ??????????? ??????????, ????????????? ??????????? ?????? ?????????????, ??????? ????????????? ??????? ????????? ??????????? ?????????? ????????? ? = tP,n S x , ? ????? ??????? ?????? ???????????
?? = ? + ? = ? + tP,n S x
16
???
x = ..., ? = ...,
P = ..., n = ..., ? = ...
(29)
???? ?
< 0,8 , ?o ????????????? ??????????????? ?????????S x
??? ? ???????????? ? ????????? ? ?? ??????? ??????????? ?????????? ?x = ?.
???? ?
S x
> 8 , ?? ???????????? ????????? ???????????? ? ??????-
?? ? ????????? ?? ??????? ??????????? ?????????? ?x = ?.
??? ?????????? ?????? ? ???? ??????? ????????????? ??????????? ? ????????????? ?????????? ????????? ????????? ????????? ??????????????? ? ?????
x = ..., S x = ..., n = ..., ? = ...
??????. ??? ????????? ????????? ???????? ???? ???????? ???????? (??. ?????? ?????)
x = 16,71; S x = 0,14; n = 7; ? = 0,10.
????? ????????, ??? ?????????? ????????? ???????? X ??????????????? ?????????? ??????? ?????????????.
?. ?????? ????????????? ???????? ?, ? ??????? ???????? ????????
???????? ?????????? ???????? ? ???????????? P = 0,95.
????????? ????. 2 ?????????? ??? P = 0,95 ? n = 7 ??????? ????????
???????????? ????????? tP,n = 2,45. ?????,
? = tP,n ? S x = 2,45 ? 0,14 = 0,34.
??? ??? ?
S x
= 0,71 < 0,8, ????????? ????????? ???????????? ? ???? (30)
x0 = 16,7 ± 0,4; P = 0,95; n = 7.
?. ?????? ????????????? ??????????? ????, ??? ??????? ?????????????? ???????? x ?????????? ?? ????????? x0 ?? ????? ??? ?? ? = 0,2.
????????? ??????????? ?????????
t P ,n =
0,2
?
=
= 1,43.
S x 0,14
17
?? ??????? ???????? ??? n = 7, P = 0,8.
6. ?????????? ???????????? ????????? ?
??????????
??????????? ????????? ??????? ????????? ??????. ??? ??? ??????????? ?????????? ???? ??????????????? ??????????, ?? ?? ??
????????? ????? ????? ?????. ? ????????????? ?????? ???????????
????????? ??????? ???????? ?????? ? ????? ??? ????? ?????????
???????. ???? ?????? ???????? ????? ??????????? ?????? 2, ??
??????????? ??????????? ?? ????? ???????? ?????. ???? ??????
???????? ????? 1 ??? 2, ?? ??????????? ?????????? ?????? ? ?????
????????? ???????. ??? ???????????? ?????????? ???????????
?????? ? ????? ???????? ?????? ????? 9 ?? ????????? (?????????
?? 1 ????? ???????? ??????? ).
??? ?????????? ?????????? ??????????????? ?????????? ?????????.
1. ???????? ???????? ??????????? ????????? ?????? ????????????
?????????? ?????? ???? ?? ???????, ??? ? ???????? ???????????.
2. ???? ????? ???????? ?? ????????????? ???????? ?????? 5, ??
?????????? ????? ?? ??????????. ? ????? ?????? ?????? ????? ???????? ??????.
??????. ????? ?????????? ???????? ???????? ?????????? 14,532, ?
??????????? 0,4. ????? ????????? ??????? ????????? ?? 14,5. ??? ?? ????????? ??? ??????????? 0,12 ??????? ????????? ?? 14,53.
3. ???? ????? ???????? ?????????????? ??????? ?????? 5 ? ?? ???
??????? ???????? ?? ???? ?????, ?? ????????? ?????????? ?????
??????????? ?? ???????.
4. ???? ????????????? ????? ????? 5, ? ????????? ?? ??? ?????
?????????? ??? ????? ????, ?? ????????? ????? ????? ?? ????????,
???? ??? ??????, ? ??????????? ?? ???????, ???? ??? ????????.
??????. ????????? 10,5 ??? ??????????? 2 ????????? ?? 10, ? ????????? 11,5 ??? ??? ?? ??????????? 2 ????????? ?? 12.
7. ??????????? ?????????????
??????????? ?????????
????? ? ?????????? ???????????? ????????? ??????????? ?????
???????? ?? ?????? ? ?????????? ????????? ????? ???? ??????????18
?? ??????????. ??????? ???? ????????? ????????????? ? ???? ?????????????? ???????????, ???????? ?????? ?? ?????? ???????? ?
???????????. ??? ?????????? ???????? ??????????????? ?????????? ?????????.
1. ??????? ?????? ?????? ?? ??????????? ??????????? ??????.
2. ?? ??? ??????? ??????? ??????????? ?? ????????, ??????? ???????? ???????? ????????? ?????? (?. ?. ????????).
?????????? ????????? ??????? ??????? ? ????????, ? ???????
?????????????? ??????????? ????????. ??????? ?????? ???? ???????, ?. ?. ???? ?????? ?????????? ????? ?????? ??????????????? 1,
2, 5, 10 ? ?. ?. ???????? ?????????? ????????, ?? ?? 3, 7, 11 ? ?. ?.
??????? ?????????? ???, ????? ?????? ??????? ( ? ?? = 0,5 ?? ) ????
??????, ??? ?????????? ??????????????? ??????????? ???????.
?????????????? ?? ???? ????????? ???????? ?????? ????????????
??? ???? ???????. ?? ???? ??????? ??????? ????????? ???????? (???
??????) ? ??????? ????????? ????????.
3. ????????????????? ?????????? ?????????????? ?? ??????? ? ????
?????, ?????? ?? ?????? ??????????? ??????? ??? ?????????? ??? ?????????? ????????. ????????????????? ????? ???? ??????? ????????????? ? ???? ?????????????? ???????????; ?????? ??? ??????? ??????????? ? ??? ??????????? ????????? ?????????? ??????????????
??????????? ?? ??????? ????? ????? ???????? ??????. ????????? ?????? ??????? ??????, ??????? ???????, ??? ????? ????? ? ????????????????? ?????? ???, ????? ?? ??? ??????? ?? ?????? ???? ????????
?????????? ?????????? ?????. ?????? ?????????? ???, ????? ??? ????????????????? ????? ?????????? ?????.
???? ?? ????? ??????? ?????????????? ?????????? ????????? ?????????????, ?? ??????? ??? ??????????? ????????? ????? ????? ???????????? ??????? ????????? (?????, ???????? ? ?. ?.).
? ??????? ???????? ????? ????? ??????????? ????????? ????????????????? ??????. ??? ?? ??? ?????, ??? ?????????, ?? ??????, ???????? ? ?? ??????? ??????? ??????????. ?? ???????? ????? ???????? ????????? ????????? ????????????? ??? ????????????????? ???????????, ????????? ??????????????, ?????????????????, ?????????
???????????? ??????????? ? ?. ?.
19
8. ?????? ?????????? ???????? ???????????
?????????? ???????
????? ?? ??????? ?????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????? ???????? ????? ?????????? ?????????.
????? ???????????????? ???????????? ???????? X ? Y, ?????????
?????????????? ????????????
Y = f ( X , A, B, ...) .
(31)
??? ??????? f ( X , A, B, ...) ?????? ?????? ???????? ?? ?????????? ???????, ? ???????????? A, B... ???????????? ?? ??????????? ????????????.
???? Y ? X ??????? ???????? ????????????
Y = A + BX ,
(32)
?? ??? ?????????? A ? B ?????????? ???? ????????? ?????? ??????????? ????????? ??????? Y ? X. ? ???????????????? ?????????? ???????????????? ???????? xi ? yi ???????? ???????????, ??????? ?? ???
????? ???????? ?????? ?????? ?????????? ??????? A ? B.
????? ???????? ???????? ??????????? ?????? ???????? ???????????? ????????? ? ? ?????????? ???????????? ???????? ????? ?? n ???
???????? ?????????? ??????? xi ? yi.
???????? ??????? ? ??????? ??????? ??????????? ????????????? A
? B ????????? ?????? (32) ???????? ????? ?????????? ????????? ????????
???????? ???????????????? ?????????? A ? B ????? ?????, ??? ???????
????? ????????? ?????????? ?????????? ???????? yi ?? ??????????? ??
??????? (32) ????? ??????????, ?. ?. ??????????? ???????
n
? ( A + Bxi ? yi )2 = min.
i =1
(33)
??????? ???????? ????? (33), ??? ??????? ?????????? A ? B, ??????? ? ????????? ???? ??????? ??????????? ?? ???? ??????????
?n
? 2( A + Bxi ? yi ) = 0,
? i =1
(34)
?n
?
? 2( A + Bxi ? yi ) ? xi = 0.
? i =1
?
?
20
????? ??????? ???????????? A ? B, ???????
A=
? xi2 ? yi ? ? xi ? xi yi ,
2
n ? xi2 ? ( ? xi )
B=
n
? xi yi ? ? xi ? yi .
2
n ? xi2 ? (? xi )
(35)
????? ?????????? ????????? ????????? ?? ?????? ????? ?????????
???????? ?????????? ???????? ??????????? (32), ?? ? ?????????? ??????
??????????? ????????? ???????? ??????????. ????????? ??????????
????? ?? ?????? S 2y ? ????????? ????????????? S A2 ? S B2 ????? ??????????, ????????? ?????????? ?????????????:
S 2y
S A2
=
=
n
? yi2 ? ( yi )
2
n(n ? 2)
(? xi ? yi ? n? xi yi )
?
n(n ? 2) ?n ? xi2 ? ( ? xi )2 ?
?
?
S 2y ? xi2
n ? xi2 ? (? xi )2
2
,
S B2
=
nS 2y
n ? xi2 ? (? xi )2
.
(36)
? ???????? (35), (36) ??????? ??????????? ???????? ??? ????????????.
??????. ??? ???????? ??????????? ????????????? ?????????? ??
??????????? ???? ????????? 8 ????????? ??????? R ? t. ???????? ???,
??? ???????? ??????????? ????????????? ?? ??????????? ????????
Rt = A + Bt.
?????? ???????? ????????????? A ? B ?? ?????? ?????????? ?????????. ?????? ?????????? ????????? ? ????. 8.1.
????????? ????????????? (35) ??? ????????????? A ? B, ???????
ti2 ? Ri ? ? ti ? Ri ti
?
A=
,
2
n ? ti2 ? ( ? ti )
B=
n
? Riti ? ? ti ? Ri .
2
n ? ti2 ? ( ? ti )
21
??????? 8.1
? ?????
ti, ∞C
ti2, (∞C)2
Ri, ??
Riti, ??Ј∞CЈ
1
2
3
4
5
6
7
8
20
30
40
50
60
70
80
90
400
900
1600
2500
3600
4900
6400
8100
32,0
34,8
35,2
37,8
38,1
40,9
41,2
43,5
640
1044
1408
1890
2286
2863
3296
3915
?t
i
= 440
?t 2 = 28400 ?R
i
i
= 303,5
?R t
i i
= 17342
????????? ????????, ??????????? ? ????. 8.1:
A=
28400 ? 303,5 ? 440 ? 17342
8 ? 17342 ? 440 ? 303,5
= 29,4; B =
= 0,155.
2
8 ? 28400 ? 440
8 ? 28400 ? 4402
????????? ????????? R, A ? B ?? ???????? (36):
S R2 = 0,426; S A2 = 0,360; S B2 = 10?4 ; S A = 0,6; S B = 0,01.
??????? ???????? ????????????? ??????
A = (29,4 ± 0,6) ??, B = (0,16 ± 0,01) ??
R, ??
????? ???????, ???????????
????????????? ?? ???????????
????? ???
45
40
Rt = 29,4 + 0,16t.
35
30
20
40
60
???. 4
22
∞?
80
100
t∞C
(37)
?? ???. 4 ????????? ?????????? ???????????? ? ??????, ??????????? ?? ?????? ??????????
????????? (37).
?????????? ?????????????
?????? ?? ???????? (35) ????-
?? ??????????????. ??????? ???- R, ??
??????? ????? ??????? ????? ?????? ?????, ??????? ????????? 45
??? ??????????? ??????? ??????.
????? ??????? ?????? ?????, 40
5
8
7
4
??????? ?????????????? ?? ??6
3
35
??? ??????.
2
1
????????? ????? ????????? ???30
????? ????????? B ? ??? ???????????. ????????????? ???????
20
????. 8.1 ? ??????????? ????? ?? 1
40
60
80
100 t∞C
?? 8 (???. 5). ??????? ????? 1 ? 4:
???. 5
????? ??? ??????? ?????? ? ?????????? B1. ??? ????????? ???? ????? 2 ? 5 ?????? B2 ? ?. ?. ? ?????
????? ????????? ????????? ??? ? ???????? ???????? ????????? Bi. ???????? ???? ??? ?????. ?????????? ?????????? ? ????. 8.2.
??????? 8.2
? ?????
ti
Ri
? ?????
ti
Ri
Ri'? Ri
ti'? ti
1
2
3
4
5
20
30
40
50
60
32,0
34,8
35,2
37,8
38,1
4
5
6
7
8
50
60
70
80
90
37,0
38,1
40,9
41,2
43,5
5,8
3,3
5,7
3,4
5,4
30
30
30
30
30
Bi =
Ri? ? Ri
ti? ? ti
0,193
0,110
0,190
0,113
0,180
??????? ???????? ???????????? B :
n
1
B =
Bi = 0,157,
n i =1
?
? ??????? ?????????????? ??????????
S B =
n
2
1
Bi ? B ) = 0,02.
(
?
n(n ? 1) i =1
?????????????, ??????? ???? ??????? ??????????? ?????? ? ?????
??
tg? = B = (0,16 ± 0,02)
∞?
23
.
?? ???. 5 ???????? ????????????????? ????? 1?8 ??????????? ????????????? ?? ??????????? ? ??????, ??????????? ?? ?????? ??????
?????.
9. A???????????? ?
???????????? ??????????? ?????????
?????????????
??? ????????? ??????????? ????????? ?????????? ????? ???? ? ????????, ? ??????? ??? ???????, ???????? ?????? ???????? ??? ????????, ????????? ????????? ????????????? ?????????, ??????????? ???????????? ??? ???????. ???????? ?????? ????? ?????????? ? ??? ???????, ?????????? ????????, ???? ??? ??????? ??????????? ???????
??????? ??? ???????????? ??? ????????? ?????. ???????, ???????????? ?????????????? ???????????, ?????????? ?? ????? ? ???? ??????? ??? ???????, ???????? ????????????? ?????????. ?????? ???
????????????? ??????????? ???????? ??????? f(x) ???????? ???????????????? (????????????) ??????? ?(x) ?? ??????? ????????????? ????, ???????? ?(x) ???? ? ???? ????????
?( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . .
??? ???? ?????????, ????? ??????? ?( x ) ???????? ?????? ???????????? ? f(x) ?? ????????? ????????? [ xmin , xmax ] . ?????? ??? ????????????? ?????????? ????? ?????????? ????????? (???), ?? ?????????? ??? ??? ?????? ???????? ?????????????, ???? ??????? n ????????????????? ???????? ?? ????????? 2 (??. ??????. 8). ??? ???????
??????? ???????? ?????? ?????????? ??? ????????????? ???????????
? ???????? ? ??? ???????, ????? ????????????? ?????????? ?????????,
??? ????? ????? ??? ???????????? ????? ??????????.
?????? ????????????? ???????? ???: ?????????? ????? ??????? ?
???????????? ???????? (? ??????? ???), ??????? ?? ?????????
??????? ??????????????? ?????????? ?????????? (??? ???????, ???
??????? ????????? ???????????? ??? ??????), ??? ?????????? ????
??????, ????? ?????????????? ?????? ???????????? ??????. ?????????? ?????? ????????? ?????? ???????? ??? ????????????? ???????????
??????? ?????????? ????????, ? ?????????, MatLab (??. ??????????).
24
????????????
??? ???????? ?????????????? ???????????? ????? ????? ??????????? ?????????? x ? y ??????????? ????????????? ???????? ???????? ??????? ???????? ??????? yi = f ( xi ) ? ???????????? ?????? x0 , x1,..., xk . ????? x0 , x1,..., xk ?????????? ?????? ????????????.
?????????? ?????? ???????????????? ??????? ??????????? ? ???????????? ?????????? ???????? ???? ??????? ? ????????????? ????? x,
??????????? ????? ?????? ????????????. ?????? ??? ????????? ??????????? ????????? ????????? ?????????????? ????????????, ???
??????? ???????????? ???????????? ????????????? ??????? f(x) ??????????? (?????????) P( x ) = Pn ( x ) ??????? ?? ???? n. ???????? ???????? ? ?????? x0 , x1,..., xk ?????? ????????? ? ????????? ??????????
??????? f(x). ???????????????? ????????? P(x) ?????????? ???????????? ?????? ???????????? ? ?????????? ??????? ? ???.
? ?????????? ?????? ???????????? ???????? ????????????, ? ??????: ???????????? ??????? f(x) ???????? ???????? P(x) ?? ???? ?????,
???????? x0 ? x1, ? ??????? ??????? ????????
P( x ) = y0 ( x ? x0 ) /( x0 ? x1 ) + y1 ( x ? x0 ) /( x1 ? x0 ).
?? ????? ????????? ??? ?????????? ????????? y0 ? y1, ??????????
??? f(x0) ? f(x1), ????? ?????????? ???????? y, ???? ???????? ????? x ??
????????? [x0, x1]. ????????????? ???????????? ???????? ???????????? ????? ??? ?????? ? ??????????????? (???????????) ?????????, ?
??????? ?????? ???????????? ? ??????????? ?????? ??? ??????????
?????? ????? ? ????????? ????? ????????????? ??????, ??????????????? ????? ???????????? ? ???????.
???????????? ? ??????? ?????????? ???
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