close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

VolokhovKosylin

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. А. Волохов, В. Д. Косулин
НАДЕЖНОСТЬ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2я73
В68
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент
кафедры системного анализа и управления
Оренбургского государственного университета Ю. А. Ушаков;
доктор технических наук, профессор
Санкт-Петербургского государственного университета
авиакосмического приборостроения В. П. Ларин
В68
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Волохов, М. А.
Надежность технических систем: учеб. пособие / М. А. Волохов,
В. Д. Косулин. – СПб.: ГУАП, 2014. – 168 с.
ISBN 978-5-8088-0945-1
Излагаются основы теории надежности технических систем:
анализируются количественные характеристики надежности, законы распределения отказов, методика расчета надежности систем
различной структуры, в том числе резервированных систем. Рассматриваются также отдельные аспекты безопасности технических
систем. Каждый раздел содержит типовые примеры расчета надежности различных систем, задачи для самостоятельного решения и
контрольные вопросы для закрепления теоретического материала.
Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата 221000 – «Мехатроника и робототехника»;
140400 – «Электроэнергетика и электротехника»; 140601 – «Электромеханика»; 200100 – «Приборостроение».
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2я73
ISBN 978-5-8088-0945-1
© Волохов М. А., Косулин В. Д., 2014
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2014
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Решение любых технических задач связано прежде всего с совокупностью понятий и определений, с которыми имеют дело в процессе их реализации. В связи с этим представляется полезным рассмотреть вопрос, что же такое техническая система (ТС) и как основные положения теории надежности связаны с ее характеристиками.
1.1. Понятие технической системы
Любой технический объект может рассматриваться как система взаимосвязанных элементов, образующих единое целое. Поэтому наиболее общим определением технической системы является
следующее [1]: техническая система – это упорядоченная совокупность отдельных элементов, связанных между собой функционально и взаимодействующих таким образом, чтобы обеспечить
выполнение некоторых заданных функций (достижение цели) при
разных состояниях работоспособности. При этом ТС обладает свойствами, не сводящимися к свойствам отдельных элементов.
Элемент системы – техническое изделие определенного назначения – представляет собой отдельную часть системы. Данное
определение в известной степени условно, поскольку в случае достаточно сложной технической системы сам элемент можно рассматривать как систему, состоящую, в свою очередь, из отдельных
более простых элементов. Для определенности в дальнейшем будем
считать, что элемент технической системы – это базовый компонент, являющийся неделимым техническим объектом в рамках
конкретного рассмотрения.
Таким образом, ТС имеет четыре фундаментальных признака:
–функциональность – способность ТС выполнять заданную
функцию;
–целостность (структура) – способ взаимного соединения элементов в системе;
–организация- алгоритм совместного функционирования элементов системы в пространстве и времени;
–системное качество – появление нового свойства, которого не
было ни у одного из элементов до включения их в систему.
Отсутствие хотя бы одного признака не позволяет считать объект технической системой.
Техническая система (устройство) должна удовлетворять как основным техническим требованиям, обеспечивающим выполнение
3
заданных функций, так и вспомогательным, связанным, например, с удобством эксплуатации и обслуживания. Соответственно и
элементы системы можно разделить на основные и вспомогательные, которые не связаны непосредственно с выполнением заданных функций. Поэтому при построении структуры ТС для рассмотрения вопросов надежности имеет смысл принимать во внимание
только основные элементы.
Следует отметить, что один и тот же объект может быть охарактеризован как система и как элемент системы. Например, трансформатор, рассматриваемый как совокупность обмоток высокого
и низкого напряжения, высоковольтных и низковольтных вводов,
магнитопровода, маслонаполненного бака, при оценке его надежности следует представлять как систему. В то же время в составе
трансформаторной подстанции трансформатор следует рассматривать как элемент, имеющий свои характеристики надежности,
свою научно-техническую документацию (НТД), свои требования
к эксплуатации.
Поскольку вопросы, связанные с надежностью ТС, регламентированы действующими стандартами, приведем определения элемента, системы и технического объекта по ГОСТ 27.310–95.
Технический объект (объект) – любое изделие (элемент,
устройство, подсистема, функциональная единица или система),
которое можно рассматривать в отдельности.
Элемент – составная часть технического объекта, рассматриваемая при проведении анализа как единое целое, не подлежащее
дальнейшей декомпозиции.
Система – совокупность элементов, объединенных конструктивно и(или) функционально для выполнения некоторых требуемых функций.
Очевидно, что рассмотренное понятие технической системы
полностью согласуются с приведенными в ГОСТ определениями.
Важнейшим эксплуатационным качеством любой технической
системы является способность исправно работать в течение определенного времени. Если данное условие не выполняется, то говорят,
что в системе произошел отказ, а сама система ненадежна.
Эта ситуация и ее оценка являются самой общей характеристикой проблемы, которая решается в теории надежности. Соответствующие понятия с целью исключения разночтений при использовании тех или иных терминов, связанных с функционированием технических систем, определены действующими стандартами.
Так, ГОСТ 27.002–89 устанавливает основные понятия, термины и
4
определения понятий в области надежности. Прежде всего, это понятия надежности и состояний объектов (ТС).
Надежность – это свойство объекта (ТС) сохранять во времени
в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных
режимах и условиях применения, технического обслуживания,
хранения и транспортировки.
Надежность – это комплексное свойство, которое в зависимости
от назначения объекта (ТС) и условий его применения может включать в себя безотказность, долговечность, ремонтопригодность и
сохраняемость или определенные сочетания этих свойств. В любом
случае это свойство объекта сохранять свои параметры в течение
некоторого времени (наработки) либо до наступления предельного
состояния, либо в течение и после хранения или транспортировки.
Ремонтопригодность характеризует свойство объекта поддерживать и восстанавливать работоспособное состояние путем технического обслуживания и ремонта. Очевидно, что данное свойство
связано со степенью унификации и стандартизации элементов ТС.
Техническая система в любой момент времени может находиться в исправном или неисправном, работоспособном или неработоспособном и в предельном состоянии.
По смыслу понятия исправного и работоспособного состояния
похожи. Так, исправное состояние объекта (ТС) – это такое его состояние, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической документации. Если имеется несоответствие
хотя бы одному из требований НТД, то данное состояние объекта –
неисправное.
Состояние объекта (ТС), при котором значения всех параметров,
характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям НТД, называется работоспособным.
Если имеется несоответствие хотя бы одному из требований НТД,
то состояние объекта (ТС) – неработоспособное.
Понятие исправности ТС шире понятия ее работоспособности.
Все дело в том, о каких требованиях НТД идет речь. Например,
если имеются нарушения защитного покрытия кожуха какого-либо объекта или неисправны механические крепления отдельных
блоков, т. е. такие несоответствия требованиям НТД, которые не
влияют на выполнение ТС заданных функций, то подобная ТС считается неисправной, но признается работоспособной.
Предельное состояние объекта (ТС) – такое состояние, при котором его дальнейшая эксплуатация либо восстановление его рабо5
тоспособного состояния невозможны или нецелесообразны. Критерии (признаки) предельного состояния ТС устанавливаются научно-технической или проектной документацией. Соответственно
технические системы могут быть поделены на две большие группы:
невосстанавливаемые и восстанавливаемые ТС.
С характеристиками состояния ТС тесно связано понятие отказа. При этом, говоря о надежности того или иного объекта, всегда
следует предполагать, что отказ этого объекта четко определен. Поэтому целесообразно остановиться несколько подробнее на классификации отказов ТС.
1.2. Понятие отказа ТС
В соответствии с ГОСТ 27.002–89 отказ определяется как событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния
объекта. Отказ – это случайное событие, наступающее под влиянием ряда случайных факторов.
Наряду с понятием отказа вводится понятие повреждения как
события, заключающегося в нарушении исправного состояния
объекта при сохранении работоспособного состояния. При этом повреждение может быть также и причиной отказа.
Применительно к отказу рассматривают критерии, причины,
последствия и критичность отказа.
Критерий отказа – это признак или совокупность признаков
нарушения работоспособного состояния объекта, установленные в
нормативно-технической или конструкторской документации. Поскольку работоспособное состояние ТС определяется множеством
параметров с заданными допусками, выход параметров за пределы
этих допусков (нарушение работоспособности) однозначно устанавливается требованиями НТД.
Вызывать отказы могут самые разные причины: ошибки при
проектировании, несоблюдение правил и режимов эксплуатации
ТС, повреждения в процессе транспортировки, хранения и эксплуатации, естественные процессы старения, изнашивания, коррозии
и усталости материалов.
К последствиям отказа относятся явления, процессы, события
и состояния, обусловленные возникновением отказа объекта.
Под критичностью отказа понимают совокупность признаков,
характеризующих последствия отказа. Здесь следует иметь в виду
комплекс параметров, таких, как уровень прямых и косвенных потерь, связанных с наступлением отказа, трудоемкость восстанов6
ления работоспособного состояния с учетом экономической эффективности и безопасности.
Ввиду многообразия причин возникновения отказа и его последствий ГОСТ выделяют разные виды отказов. Приведем некоторые
из них.
Ресурсный отказ – отказ, в результате которого объект достигает предельного состояния. При этом исключается его дальнейшее
использование ввиду полной потери работоспособности.
В случае скачкообразного изменения одного или нескольких параметров ТС, приводящего к отказу, имеем дело с внезапным отказом. Если отказ произошел в результате постепенного изменения
параметров ТС, то такой отказ носит название постепенного.
Конструктивный отказ возникает вследствие несовершенства
или нарушения установленных правил или норм проектирования
и конструирования.
Причиной производственного отказа являются несовершенство или нарушения установленного процесса изготовления или
ремонта, выполняемого на ремонтном предприятии.
Эксплуатационный отказ – это отказ, возникший в результате
нарушения установленных правил или условий эксплуатации.
Если отказ обусловлен естественными процессами старения, изнашивания, коррозии и усталости при соблюдении всех установленных правил и норм проектирования, изготовления и эксплуатации, то такой отказ носит название деградационного.
Таким образом, понятие работоспособного состояния и отказа
тесно связаны с потребителями и смежными звеньями посредством
комплекса заданных функций и определенных параметров (технических, экономических, эргономических и т. п.). Если ТС обеспечивает потребителю несколько разных по комплексу функций и
значений параметров, то критерии отказа должны устанавливаться для каждого из них отдельно.
При расчете надежности ТС, когда говорят об отказе, имеют в
виду нарушение ее работоспособного состояния. Поскольку отказы
в общем случае являются случайными событиями, в зависимости
от причин, вызвавших отказ, законы их распределения во времени
различаются. Это обстоятельство подробно рассмотрено в разделе 3.
1.3. Показатели надежности
Для определения надежности ТС согласно ГОСТ 27.002–89 применяют количественные показатели оценки ее отдельных свойств:
7
безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости, а также комплексные показатели, характеризующие готовность и эффективность использования технических объектов. Эти
показатели позволяют проводить оценку количественных характеристик отдельных свойств ТС при выборе вариантов оборудования
в процессе разработки, испытаниях и в условиях эксплуатации.
Комплексные показатели используют, главным образом, на этапах испытаний и эксплуатации оборудования при оценке и анализе
соответствия характеристик ТС заданным требованиям. На стадиях экспериментальной отработки, испытаний и эксплуатации роль
показателей надежности выполняют статистические оценки вероятностных характеристик. Согласно ГОСТ 27.002–89 все показатели надежности определяют как вероятностные характеристики.
Связь вероятностных показателей надежности со статистическими
оценками будут рассмотрены в последующих разделах настоящего
пособия.
Показатели надежности должны отвечать следующим требованиям [2]:
–иметь простой и понятный физический смысл;
–быть вычисляемыми аналитически или численно на этапе проектирования;
–быть экспериментально проверяемыми на этапах испытаний
и эксплуатации;
–отражать особенности функционирования объекта.
Число показателей для характеристики надежности объекта не
должно быть большим. Обычно ограничиваются двумя-тремя, поскольку большее их число только затрудняет оценку.
Для разных технических систем показатели надежности могут
быть различными. Например, в качестве базовых показателей надежности технических объектов логично принять среднее время
работы до отказа (средняя наработка до отказа) и среднее время
восстановления их работоспособности. В то же время для оценки
надежности элементов ТС, которые в случае выхода из строя подлежат замене на новые при восстановлении работоспособности всей
ТС и которые сами по себе не являются ремонтируемыми, целесообразно принять среднее время работы до отказа.
В общей сложности ГОСТ 27.002–89 устанавливает около тридцати показателей, характеризующих надежность. безотказность,
долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость объектов. Их
применение определяется сложностью ТС, ее назначением, условиями хранения, транспортировки, режимами работы и т. д. При
8
этом надежность всей ТС обусловливается надежностью составляющих ее частей и элементов.
Таким образом, расчет показателей надежности технических
объектов – достаточно сложная и многоуровневая задача, рассмотрение которой целесообразно начать с технических объектов, не
подлежащих или подлежащих восстановлению, которые по показателям надежности могут быть определены как единое целое.
А затем уже анализировать различные способы соединения этих
объектов в сложную техническую систему.
Именно в такой методической последовательности рассмотрены
вопросы расчета количественных показателей надежности ТС в настоящем пособии.
Контрольные вопросы к разделу 1
1. Что такое техническая система и каковы ее основные признаки?
2. Что включает в себя понятие «надежность ТС»?
3. В чем отличие исправного состояния ТС от работоспособного?
4. Что такое отказ ТС? Каковы его критерии?
5. Какие виды отказов регламентированы ГОСТ?
9
2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НАДЕЖНОСТИ ТС
Отказ элемента системы является случайным событием, происходящим под воздействием множества случайных факторов.
Поэтому его количественной оценкой является некоторая вероятностная мера, имеющая смысл при наличии большой совокупности
исследуемых событий. Соответственно показатели надежности могут быть представлены в двух формах (определениях): статистической (выборочные оценки) и вероятностной.
Если в результате испытаний значительного числа однотипных
объектов получено конечное (достаточно большое) число интересующего нас параметра (например, наработки на отказ), то оно представляет собой выборку некоего объема из так называемой генеральной совокупности, имеющей неограниченный объем данных
об исследуемом параметре. В этом случае количественные показатели, определенные для данной совокупности, являются истинными или вероятностными показателями.
Показатели, определенные для ограниченной выборки и позволяющие сделать некоторые выводы о случайной величине, являются выборочными, или статистическими оценками. При увеличении числа испытаний статистические оценки приближаются к
вероятностным.
Вероятностная форма представления показателей удобна при
аналитических расчетах на этапе проектирования объектов, а статистическая – при экспериментальном исследовании надежности.
При рассмотрении критериев надежности будем использовать
как вероятностное, так и статистическое их представление, что будем оговаривать в каждом случае.
В качестве критериев надежности невосстанавливаемых систем
применяют следующие количественные характеристики:
– вероятность безотказной работы системы P(t) в течение времени t;
– вероятность отказа Q(t);
– плотность распределения f(t) наработки до отказа;
– интенсивность отказов системы (t) в момент времени t;
– средняя наработка до отказа Tср.
Следует обратить внимание на то, что в некоторых изданиях по
надежности вместо термина «плотность распределения f(t) наработки до отказа» используется термин «частота отказов с обозначением a(t)». Поскольку действующим ГОСТ предусмотрен термин
10
«плотность распределения f(t)», будем в основном придерживаться
его, хотя для краткости иногда будем применять и термин «частота
отказов» с обозначением f(t).
В тех случаях, когда интерес представляет надежность восстанавливаемых систем при их работе до первого отказа или рассматриваются резервированные системы с восстановлением отказавших резервных устройств в процессе работы при недопущении отказа всей резервированной системы, рекомендуется применять те
же критерии, что и для невосстанавливаемых систем. В остальных
случаях в качестве критериев надежности восстанавливаемых систем используются следующие количественные характеристики:
– параметр потока отказов (t);
– средняя наработка на отказ tср (для того чтобы отличать данный показатель от средней наработки до отказа Tср, обозначаем его
прописной буквой);
– коэффициент готовности Kг.
Коэффициент готовности Kг относится к комплексным показателям надежности, так как в отличие от других приведенных показателей он количественно характеризует не менее двух свойств,
составляющих надежность ТС, – безотказность и ремонтопригодность.
2.1. Критерии надежности невосстанавливаемых изделий
2.1.1. Вероятность безотказной работы P(t).
Вероятность отказа Q(t)
Вероятностью безотказной работы устройства P(t) называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации
в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки
не произойдет ни одного отказа:
P(t) = P(T > t),
где T – время работы устройства от момента его включения до отказа; t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.
В момент включения полагаем, что устройство работоспособно,
т. е. P(0) = 1, поэтому функция P(t) монотонно убывает от 1 до 0.
При этом очевидно, что при t =  вероятность P() = 0, поскольку
любая система со временем откажет.
Вероятностью отказа устройства Q(t) называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в задан11
ном интервале времени возникнет хотя бы один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями несовместными и противоположными, поэтому
Q(t) = P(T  t) и Q(t) = 1 – P(t).
(2.1)
На рис. 2.1 представлены графики, иллюстрирующие характер
изменения вероятности безотказной работы и вероятности отказа
в функции времени (другими словами, функций надежности P(t) и
ненадежности Q(t)).
Практический интерес представляет определение вероятности
безотказной работы устройства в интервале [t, t + t] при условии,
что устройство отработало безотказно к началу данного интервала.
Выделим три события:
1) событие А – безотказная работа устройства до момента t;
2) событие В – безотказная работа устройства в интервале [t, t + t];
3) событие С – безотказная работа устройства до момента (t + t).
Очевидно, что события А и В зависимы, и вероятность P(C) =
P(t + t) представляет собой вероятность совместного наступления
двух событий: P(A·B). Согласно теории вероятностей вероятность
совместного наступления двух событий P(A·B) равна произведению
вероятности первого события P(A) = P(t) на условную вероятность
второго P(B | A) = P(t, t + t), вычисленную при условии, что первое
событие состоялось. Таким образом,
P(t + t) = P(t)P(t, t + t).
Отсюда следует, что вероятность безотказной работы P(t,t + t)
на интервале, следующем за интервалом безотказной работы после
P(t),
Q (t)
1
Q (t)
0,5
0
P(t)
t
Рис. 2.1. Зависимость вероятностей безотказной работы P(t)
и возникновения отказа Q(t) от времени
12
включения устройства, равна отношению вероятностей безотказной работы в конце и начале рассматриваемого интервала времени:
P(t + t)
P(t,t + t) = .
P(t)
(2.2)
С учетом (2.1) вероятность Q(t, t + t) возникновения отказа в
интервале, следующем за интервалом безотказной работы, находим как
Q(t,t + t) =1
P(t + t)
.
P(t)
(2.3)
Статистические оценки рассмотренных критериев (их будем выделять чертой над соответствующим символом) определяем по выражениям
P(t) =
N0 - n(t)
n(t)
, Q(t) =
,
N0
N0
(2.4)
где N0 – число элементов в начале работы (испытаний); n(t) – число отказавших устройств за время t; P(t) - статистическая оценка безотказной работы; Q(t) - статистическая оценка вероятности
отказа.
При большом числе исследуемых устройств статистические
оценки практически совпадают с вероятностными.
2.1.2. Плотность распределения f(t) наработки до отказа
Плотность распределения f(t) наработки до отказа характеризует закон распределения отказов во времени. Она определяется
как производная от функции Q(t):
f (t) =
dQ(t)
.
dt
(2.5)
С учетом (2.1)
f (t) = -
dP(t)
.
dt
(2.5а)
Из (2.5) следует, что
t
Q(t) = ò f (t)dt,
0
13
а с учетом (2.1) имеем
t
P(t) = 1 - ò f (t)dt.
(2.6)
0
Функции Q(t) и f(t) обычно тождественно равны нулю при t  0.
Значение Q(t) > 0 при t  0 иногда вводят для описания отказов, возникающих при хранении.
В статистической трактовке плотность распределения f (t) определяют как отношение числа отказавших устройств в единицу времени к первоначальному числу N0 работающих при условии,
что все вышедшие из строя устройства не восстанавливаются:
f (t) =
n(t)
N0 t
,
(2.7)
где n(t) – число отказавших устройств в интервале времени от
(t – t/2) до (t + t/2).
Распределение вероятностей безотказной работы от момента
включения до момента первого отказа принято называть математической моделью безотказной работы (безотказностью устройства).
Величина f(t)dt характеризует вероятность отказа за интервал
наработки (t, t + dt) объекта, взятого наугад из множества одинаковых объектов. При этом не известно, работоспособен ли данный
объект к началу интервала. Это не всегда удобно на практике, поэтому f(t) как самостоятельный показатель надежности неремонтируемых объектов находит ограниченное применение [3]. Чаще
используют интенсивность отказов (t).
2.1.3. Интенсивность отказов (t)
Интенсивностью отказов называется функция (t), представQ(t, t + t)
ляющая собой предел отношения
при t0, который с
t
учетом (2.3) записывают в виде
Q(t, t + t)
P(t) - P(t + t)
P ¢(t)
.
= lim
=
t
P
(
t
)

t
P(t)
Dt0
Dt0
(t) = lim
(2.8)
Таким образом, под интенсивностью отказов (t) понимают вероятность возникновения отказа устройства в единицу времени при условии, что до рассматриваемого момента времени отказа не произошло.
14
Принимая во внимание соотношение (2.5а), получаем
f (t)
(t) = .
P(t)
(2.9)
Установим связь между вероятностью P(t) безотказной работы и
интенсивностью отказов (t). Для этого на основании (2.8) запишем
dP(t)
= (t)dt.
P(t)
Проинтегрировав последнее выражение в интервале [0, t], получим
t
lnP(t) - lnP(0) = -ò (t)dt.
0
Так как при P(0) = 1 и соответственно lnP(0) = 0, найдем
t
ì
ü
ï
ï
ï
ï
ï
(2.10)
P(t) = exp í-ò (t)dtï
ý.
ï
ï
ï
ï
ï 0
ï
î
þ
Уравнение (2.10) является одним из основных уравнений теории надежности.
Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы, как
следует из полученного соотношения, связаны однозначным соответствием, поэтому для оценки надежности устройства можно задавать
либо вероятность безотказной работы, либо интенсивность отказов.
Статистически интенсивность отказов (t) определяется как отношение числа отказавших изделий n(t) на интервале времени t
в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный промежуток времени:
n(t)
(t) = ,
Nñð t
(2.11)
где Nср = (Nt + Nt + t)/2 – среднее число исправно работающих изделий в интервале t; Nt – число изделий, исправно работающих
в начале интервала; Nt + t – число изделий, исправно работающих
в конце интервала.
2.1.4. Средняя наработка до отказа Tср
Рассмотренные показатели надежности полностью описывают
случайную величину наработки T. Для решения ряда практиче15
ских задач оказывается достаточно знать некоторую числовую характеристику этой случайной величины – среднюю наработку на
отказ.
Под средней наработкой на отказ, или средним временем безотказной работы Tср, понимают математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. С помощью плотности распределения
f(t) наработки до отказа величину Tср определяют как интеграл
¥
Tñð = ò tf (t)dt.
0
С учетом выражения (2.5) записываем
¥
Tñð = -ò tdP(t).
0
Интегрируя последнее выражение по частям и учитывая, что
P(0) = 1, P() = 0, получаем
¥
Tñð = ò P(t)dt.
(2.12)
0
Геометрически Tср можно интерпретировать как площадь под
кривой P(t).
Статистическая оценка средней наработки до первого отказа вычисляем по формуле
Tñð =
N
1 0
å ti ,
N0 1
(2.13)
где ti – время безотказной работы i-го устройства; N0 – число исследуемых устройств.
2.1.5. Сравнительная оценка критериев надежности
невосстанавливаемых изделий
Рассмотренные критерии оценки надежности невосстанавливаемых ТС за исключением Tср являются функциями времени и
позволяют достаточно полно оценить надежность как невосстанавливаемых устройств, так и восстанавливаемых в период работы до
первого отказа. Функциональная связь между критериями надежности (безотказности) позволяет по любому из рассмотренных критериев найти остальные по следующим формулам:
16
по известной P(t)
Q(t) = 1 - P(t), f (t) = -
dP(t)
1 dP(t)
, (t) = ,
dt
P(t) dt
по известной Q(t)
P(t) = 1 - Q(t), f (t) =
dQ(t)
1
dQ(t)
, (t) =
,
dt
1 - Q(t) dt
по известной f(t)
t
t
0
0
P(t) = 1 - ò f (t)dt, Q(t) = ò f (t)dt, (t) =
f (t)
,
t
æ
ö÷
çç
÷
çç1 - ò f (t)dt÷÷
÷÷
çè
ø
0
по известной (t)
t
t
ì
ü
ì
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
P(t) = exp ï

(
t
)
d
t
,
Q
(
t
)
1
exp

(
t
)
d
t
=
í ò
ý
í ò
ý,
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï 0
ï
ï 0
ï
î
þ
î
þ
ì t
ü
ï
ï
ï
ï
f (t) = (t)exp ï
í-ò (t)dtï
ý. ï
ï
ï
ï
ï 0
ï
î
þ
Целесообразно привести здесь и статистические оценки соответствующих параметров:
N - n(t)
n(t)
P(t) = 0
,
, Q(t) =
N0
N0
n(t)
n(t)
f (t) =
, (t) = .
N0 t
Nñð t Наиболее полно надежность изделий характеризуется плотностью распределения f(t) наработки до отказа, так как несет в себе всю
информацию о случайном явлении – времени безотказной работы.
Интенсивность отказов (t) является наиболее удобной характеристикой для оценки надежности простейших элементов ТС, поскольку позволяет просто определить количественные характеристики надежности сложной системы в целом.
Для оценки надежности сложных ТС наиболее целесообразным
критерием является вероятность безотказной работы P(t), так как
она может быть достаточно просто получена расчетным путем в
процессе проектирования ТС и оценена в процессе испытания, ха17
рактеризует изменение надежности во времени, а также входит как
составная часть в показатели эффективности, стоимости ТС и т. д.
2.2. Критерии надежности восстанавливаемых изделий
2.2.1. Единичные показатели надежности
восстанавливаемых изделий
Восстановление работоспособности ТС, как и возникновение отказов, является случайным событием, а интервал времени от момента
отказа до момента восстановления – случайной величиной. Поэтому
перед тем как приступить к описанию количественных характеристик надежности восстанавливаемых изделий, покажем, что процесс
восстановления может быть охарактеризован показателями, аналогичными показателям надежности невосстанавливаемых изделий [4].
При этом ограничимся рассмотрением вероятностных характеристик.
Поскольку выражения характеристик восстанавливаемости
получают на основе тех же рассуждений, что и при рассмотрении
показателей безотказности, приведем лишь их определения и формулы расчета.
Вероятность восстановления Pв(t) – это вероятность того, что
после наступления отказа работоспособность устройства будет восстановлена за время, не превышающее заданного времени t:
Pв(t) = P(T t),
где T – время работы устройства от момента отказа до восстановления (случайная величина); t – время, в течение которого определяется вероятность восстановления.
Вероятность невосстановления Qв(t) – это вероятность того,
что после наступления отказа работоспособность устройства не будет восстановлена за время, превышающее заданное время t. Очевидно, что события восстановления и невосстановления устройства
являются несовместными и противоположными, поэтому
Qв(t) = P(T > t) и Qв(t) = 1 – Pв(t).
На рис. 2.2. представлены графики, иллюстрирующие характер изменения вероятности восстановления и невосстановления в
функции времени.
Плотность распределения времени восстановления fв (t) (частота восстановления) равна
dP (t)
fâ (t) = â .
dt
18
Pв (t),
Qв (t)
1
Pв (t)
0,5
Qв (t)
0
t
Рис. 2.2. Зависимость вероятностей восстановления Pв(t)
и невосстановления Qв(t) от времени
Очевидно, что
f (t) = -
dQâ (t)
.
dt
Интенсивность восстановления (t) – это функция, представляющая собой предел отношения
Pâ (t,t + t)
при t0,
t
где Pâ (t, t + t) – вероятность того, что восстановление произойдет
на интервале t, следующим за интервалом времени, на котором не
произошло восстановления работоспособности. Другими словами,
под интенсивностью восстановления (t) понимается вероятность
восстановления работоспособности устройства в единицу времени
при условии, что до рассматриваемого момента времени восстановления не произошло.
Опуская преобразования, записываем в окончательном виде
f (t)
P (t, t + t)
(t) = lim â
=- â
.
t
Qâ (t)
t0
Между вероятностью Pв(t) и интенсивностью восстановления
(t) имеется однозначное соответствие, определяемое формулой
ïìï t
ïüï
Pâ (t) = 1 - exp ïí-ò (t)dtïý.
ïï
ïï
îï 0
þï
19
Таким образом, показатели восстанавливаемости, как и показатели безотказности, связаны между собой. Поэтому по одному из
показателей могут быть найдены и другие. Однако необходимо обратить внимание на то, что вероятностные характеристики безотказности и восстанавливаемости независимы. Одно и то же устройство может обладать высокими показателями безотказности, но
быть плохо восстанавливаемым, и наоборот.
2.2.2. Параметр потока отказов. Наработка на отказ
Для восстанавливаемых (ремонтируемых) ТС процесс возникновения отказов рассматривается как поток случайных событий. Последовательность отказов, происходящих один за другим в случайный момент времени, носит название потока отказов.
Если принять, что отказавшие изделия сразу же заменяются новыми или отремонтированными (т. е. не учитывать время на восстановление системы), то количественными характеристиками надежности
могут быть параметр потока отказов (t) и наработка на отказ tср.
Параметр потока отказов (t) – это плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого элемента, определяемого
для рассматриваемого момента времени [5]:
P (t)
(t) = lim >1
,
t
t0
где P > 1(t) – вероятность появления двух и более отказов в течение
промежутка времени t.
Статистически параметр потока отказов определяется как отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых при условии, что вышедшие из строя изделия заменяются исправными:
n(t)
(2.14)
(t) =
,
Nt
где n(t) – число отказавших изделий в интервале времени от
(t–t/2) до (t + t/2); N – число испытываемых изделий; t – интервал времени.
Потоки отказов имеют разный характер. Наибольшее практическое и теоретическое применение находят простейшие потоки, для
которых характерны следующие свойства:
– ординарность (вероятность P > 1(t) появления двух и более
отказов в течение промежутка времени t стремится к нулю при
уменьшении этого промежутка, т. е.
20
lim P>1 (t) = 0);
t0
– стационарность (параметр потока отказов является постоянным, т. е.
(t) = 0 = const);
– отсутствие последействий (отказы, происшедшие ранее, не
влияют на возникновение последующих отказов).
Для ординарных потоков с ограниченным последействием параметр потока отказов (t) и плотность распределения f(t) наработки до отказа (частота отказов) связаны интегральным уравнением
Вольтерра второго рода [6, 7]
t
(t) = f (t) + ò ()f (t - )d,
(2.15)
0
которое решают обычно численными методами.
Решая уравнение (2.12), по известной функции (t) можно найти
все количественные характеристики как невосстанавливаемых, так
и восстанавливаемых систем при мгновенном их восстановлении.
Второй член выражения (2.12) представляет собой свертку двух
функций, поэтому, используя преобразование Лапласа, записываем
f ( p)
( p)
( p) =
èëè f ( p) =
.
(2.16)
1 - f ( p)
1 + ( p)
Полученные соотношения дают возможность найти одну характеристику через другую, если существует преобразование Лапласа
функций (t) и f(t) и соответственно обратное преобразование выражений (2.16).
Параметр потока отказов (t) обладает следующими свойствами:
– для любого момента времени независимо от закона распределения времени безотказной работы (t) > f(t), т. е. параметр потока
отказов больше частоты отказов;
– независимо от вида функции f(t) параметр потока отказов (t)
при t стремится к величине, обратной средней наработке до первого отказа: 1/Tср, т. е. lim (t) = 1 / Tñð .
t¥
Данное свойство означает, что при достаточно длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо
от закона распределения времени безотказной работы становится
стационарным, т. е. (t) = const. Однако это совсем не означает, что
интенсивность отказов (t) – также величина постоянная.
21
– если (t) – возрастающая функция времени, то (t) > (t) > f(t),
если (t) – убывающая функция времени, то (t) > (t) > f(t), если
(t) =  = const, то (t) = (t) = ;
– для технической системы, состоящей из N элементов, параметр потока отказов системы ТС(t) не равен сумме параметров потоков отказов элементов i(t), т. е.
N
ÒÑ (t) ¹ å i (t).
i=1
Данное свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при расчете количественных характеристик надежности
сложной системы не следует суммировать имеющиеся значения интенсивности отказов элементов, полученных по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов.
Расчет интенсивности отказов элементов ТС по статистическим
данным отказов ремонтируемых систем проводят по формуле (2.11).
Это не совсем удобно, так как необходимо знать предысторию каждого элемента системы. Поэтому целесообразным представляется
нахождение функции (t) по параметру потоков отказов (t).
Последовательность расчета сводится к следующим операциям:
– по статистическим данным об отказах элементов ремонтируемых изделий по формуле (2.14) вычисляется параметр потоков отказов и строится гистограмма i(t);
– гистограмма заменяется кривой, которая аппроксимируется
уравнением;
– находится преобразование Лапласа i(p) функции i(t);
– по известной функции i(p) по формуле (2.16) записывается
преобразование Лапласа для частоты отказов f(p);
– находится обратное преобразование частоты отказов f(t);
– определяется аналитическое выражение для функции интенсивности отказов
fi (t)
 i (t) =
.
t
æ
÷÷ö
çç
çç1 - ò fi (t)dt÷÷
÷÷
çè
ø
0
По результатам вычислений строится график i(t). Если кривая
i(t) имеет участок, где i(t) = const, то постоянное значение интенсивности отказов принимается для оценки вероятности безотказной работы.
22
Если обратное преобразование Лапласа для частоты отказов f(t)
найти не удается, то следует воспользоваться приближенными методами решения интегрального уравнения (2.15).
Для восстанавливаемых систем под наработкой на отказ tср понимают среднее значение времени между соседними отказами. По статистическим данным эту характеристику определяют по формуле
n
å ti
tñð = i=1 ,
n
где ti – время исправной работы элемента между (i–1)-м и i-м отказами; n – число отказов за некоторое время t.
Если на испытании находится N образцов, то наработку на отказ
вычисляют по формуле
N nj
åå tij
tñð =
j=1 i=1
N
,
å nj
j=1
где tij – время исправной работы j-го образца изделия между (i–1)-м
и i-м отказом; nj – число отказов за время t i-го образца.
Наработка на отказ tср является достаточно наглядной характеристикой надежности, поэтому получила широкое распространение на практике.
Параметр потока отказов (t) и наработка на отказ tср не характеризуют готовности изделия к выполнению его функций в нужное
время, поскольку не учитывают времени на восстановление. Для
его учета вводится коэффициент готовности.
2.2.3. Коэффициент готовности
Коэффициент готовности Kг представляет собой вероятность
того, что устройство окажется работоспособным в любой момент
времени кроме планируемых периодов, в течение которых применение его по назначению не предусмотрено [5]. В вероятностной
трактовке коэффициент готовности определяется по математическим ожиданиям времени между соседними отказами и времени
восстановления [6]:
23
tñð
Kã = ,
tñð + tâ
где tср – наработка на отказ; tв – среднее время восстановления.
По статистическим данным коэффициент готовности находят
как отношение времени исправной работы к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев устройства, взятых за
один и тот же календарный срок:
Kã =
tð
tð + tï
,
где tр – суммарное время исправной работы изделия; tп – суммарное время вынужденного простоя.
Время tр и tп вычисляют по формулам
n
n
i=1
i=1
tð = å tði , tï = å tïi ,
где tрi – время работы изделия между (i–1)-м и i-м отказом; tпi –
время вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов
(ремонтов) изделия.
Наряду с коэффициентом готовности иногда применяют такой
показатель, как коэффициент вынужденного простоя Kп, который
по статистическим данным определяют как отношение времени
вынужденного простоя tп к сумме времени исправной работы tр и
вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок:
tï
Kï =
,
tð + tï
или в вероятностной трактовке,
t
Kï = â .
tñð + tâ
Очевидно, что коэффициенты готовности и вынужденного простоя связаны между собой зависимостью
Kã = 1 - Kï .
В случае простейшего потока отказов Tср = tср, тогда коэффициент готовности вычисляют по формуле
24
Tñð
Kã = .
Tñð + tâ
(2.17)
Часто коэффициент готовности, полученный по формуле (2.17),
отождествляют с вероятностью Pг(t) того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные характеристики неравноценны и могут быть отождествлены
при определенных допущениях. Для частного случая, когда интенсивности отказов (t) и восстановления (t) ТС – величины постоянные, связь между вероятностью Pг(t) и коэффициентом готовности
Kг выражается зависимостями [2,6]
Pã (t) =

 -(+)t
+
e
,
 +  +
-t/( Kã tâ )
Pã (t) = Kã + (1 - Kã )e
,
(2.18)
где  = 1/Tср;  = 1/tв; Kг = Tср/(Tср + tв).
Из выражения (2.18) следует, что при t Pг(t)  Kг. Это означает, что коэффициент готовности имеет смысл вероятности застать систему в исправном состоянии при установившемся процессе эксплуатации.
Действительно, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатации мала. С ростом времени t данная вероятность возрастает. Это означает, что вероятность застать
систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше,
чем по истечении некоторого времени.
2.3. Задачи к разделу 2
2.3.1. Примеры решения типовых задач
Для закрепления материала раздела 2 студентам предлагается
решить задачи, связанные с определением количественных характеристик надежности как по статистическим данным об отказах изделий в процессе испытаний, так и по известному аналитическому
выражению одной какой-либо характеристики [6]. В первом случае используются расчетные формулы на основе статистических
данных, во втором – вероятностные определения характеристик и
связь между ними.
В качестве примера рассмотрим три типовые задачи.
25
Задача 1. На испытание было поставлено N0 = 500 изделий. За
время t1 = 2500 ч отказало n(t1) = 200 изделий, за следующий интервал времени t = 100 ч отказало n(t) = 50 изделий. Требуется
определить P(2500), P(2600), P(2550), a (2550), (2550).
Р е ш е н и е. Для наглядности построим временной график испытаний (рис. 2.3), на котором приведено число работоспособных и
вышедших из строя изделий в соответствующие моменты и интервалы времени.
По формуле (2.4) произведем расчет вероятностей безотказной
работы.
На начало интервала t1 = 2500 ч
P(2500) =
N0 - n(2500) 500 - 200
=
= 0,6,
N0
500
на конец интервала t = 2600 ч
P(2600) =
N0 - n(2600) 500 - 250
=
= 0,5.
N0
500
Для расчета вероятности безотказной работы в середине интервала t определим среднее число исправно работающих изделий на
этом интервале:
Nñð =
Nt + Nt+t 300 + 250
=
= 275.
2
2
Число отказавших изделий за время t = 2550 ч
n(2550) = N0– Nср = 500 –275 = 225,
тогда
P(2550) =
N0 = 500
t=0
N0 - n(2550) 500 - 225
=
= 0,55.
N0
500
n(t1) = 200
t1= 2500 ч
n('t) = 50
t
't =100 ч
Nt1 = 200
Nt1 + 't = 250
Рис. 2.3. Временной график испытаний
26
По формуле (2.7) находим частоту отказов:
f (2550) =
n(t)
N0 t
=
50
1
= 1⋅10-3 .
500 ⋅100
÷
По формуле (2.11) определяем интенсивность отказов:
n(t)
50
1
(2550) = =
= 1,82 ⋅10-3 .
Nñð t 275 ⋅100
÷
Заметим, что интенсивность отказов также может быть получена как отношение
(2550) =
f (2550) P(2550)
=
1⋅10-3
1
= 1,82 ⋅10-3 .
0,55
÷
Задача 2. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) имеет вид
f(t) = 2ke–kt(1–e–kt).
Необходимо определить количественные характеристики надежности: P(t), (t), Tср.
Р е ш е н и е. По формуле (2.6) находим вероятность безотказной
работы
t
t
0
0
(
)
P(t) = 1 - ò f (t)dt = 1 - ò 2ke-kt 1 - e-kt dt =2e-kt - e-2kt .
По формуле (2.9) определяем зависимость интенсивности отказов от времени
(
)
(
)
-kt
1 - e-kt
k 1 - e-kt
f (t) 2ke
(t) =
.
=
=
P(t)
2e-kt - e-2kt
1 - 0,5e-kt
Среднюю наработку до первого отказа получаем по формуле (2.12):
¥
¥
0
0
3
Tñð = ò P(t)dt = ò éê2e-kt - e-2kt ùúdt = .
ë
û
2k
Задача 3. В результате анализа данных об отказах системы установлено, что плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) имеет вид f(t) = k2te–kt.
Требуется найти параметр потока отказов (t).
27
Р е ш е н и е. В соответствии с алгоритмом расчета, изложенным
в п. 2.2.1, для решения задачи следует воспользоваться преобразованием Лапласа и формулой (2.16). Таким образом, сначала находим изображение по Лапласу функции f(t):
¥
¥
f ( p) = ò f (t)e- pt dt = ò k2te-(+ p)t dt =
0
0
k2
(k + p)2
,
Затем по формуле (2.16) определяем
f ( p)
k2
( p) =
=
.
1 - f ( p) p( p + 2k)
Корнями знаменателя будут p1 = 0, p2 = –2.
Для обратного преобразования воспользуемся формулой разложения, которая для рассматриваемого случая имеет вид
(t) =
p= p2
å
p= p1
k2
e pt .
2( p + k)
После подстановки корней и проведения тождественных преобразований получим выражение для параметра потока отказов
æ1
ö k
1
(t) = k2 çç - e-2kt ÷÷÷ = 1 - e-2kt .
çè 2k 2k
ø 2
(
)
2.3.2. Задания к разделу 2
Задание 1. На испытание поставлено N0 изделий. За время t1 из
строя вышло n(t1) изделий. За последующий интервал времени t
из строя вышло n(t) изделий.
Необходимо вычислить вероятность безотказной работы за время
t1, (t1 + t/2) и (t1 + t), плотность распределения наработки до отказа
(частоту отказов) f (t) и интенсивность отказов (t) на интервале t.
Исходные данные приведены в табл. 2.1. Вариант задается преподавателем.
Задание 2. Количественными характеристиками надежности
невосстанавливаемых систем являются вероятность безотказной
работы P(t), вероятность отказа Q(t), плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) а(t), интенсивность отказов
(t), средняя наработка до отказа (до первого отказа) Tср.
По одной из заданных характеристик определить остальные.
Варианты заданий приведены в табл. 2.2. Вариант задается преподавателем.
28
Таблица 2.1
Исходные данные
Номер варианта
задания
N0
t1, ч
t, ч
n(t1)
n(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
400
1000
100
10
10
1000
1000
45
1000
1000
1000
1000
45
45
45
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
3000
3000
8000
1000
1000
1000
2000
75
5000
4000
100
200
10
60
5
300
2900
2000
1500
25000
9000
12000
6000
23000
16000
200
1000
100
100
100
1000
1000
5
1000
1000
100
100
10
10
5
100
100
100
100
1000
1000
1000
1000
1000
1000
200
80
50
3
3
20
45
44
160
130
50
90
19
44
1
122
535
380
315
980
340
450
210
925
630
100
50
10
2
1
25
35
1
50
30
40
32
13
1
5
25
40
12
13
20
30
50
40
25
50
Таблица 2.2
Варианты заданий
Номер
варианта
1, 9
2, 10
3, 11
4, 12
5, 13
6, 14
7, 15
8, 16
P(t)
f(t)
(t)
3e–kt–3e–2kt + e–3kt
2e–kt– e–2kt
e–kt(1 + kt)
6ke–2kt(1– e–kt)
3ke–kt(1– e–kt)2
2ke–kt(1– e–kt)
k2t/(1 + kt)
k(1– e–kt)/(1– 0,5e–kt)
29
Задание 3. По результатам решения задачи 2 для известной
функции частоты отказов f(t) найти параметр потока отказов (t) и
среднюю наработку до первого отказа Tср.
Контрольные вопросы к разделу 2
1. Каковы критерии надежности невосстанавливаемых систем?
Дайте их оценку по статистическим данным испытаний.
2. Какова связь вероятности безотказной работы с вероятностью
отказа устройства? Поясните графиком.
3. Какова формула для расчета вероятности безотказной работы
устройства на интервале, следующим за интервалом безотказной
работы после включения устройства?
4. Как аналитически связать интенсивность отказов (t) с вероятностью безотказной работы P(t)?
5. Каковы критерии оценки надежности восстанавливаемых систем?
6. Что представляет собой поток отказов (t) и какова его связь с
частотой отказов для ординарных потоков?
7. В чем состоят особенности статистической характеристики
наработки на отказ tñð ?
8. Что собой представляет коэффициент готовности? Дайте его
определение и оценку по статистическим данным испытаний.
30
3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ОТКАЗОВ
Отказы технических систем являются случайными событиями, а
время до возникновения отказа – случайной величиной. Отказы имеют разный характер. Они могут быть внезапными и постепенными.
Физическая природа внезапных отказов обусловлена концентрацией нагрузок, возникающих при работе устройства в результате стечения случайных обстоятельств (например, внезапный
скачок нагрузки силового трансформатора, приведший к пробою
изоляции). Такие отказы происходят неожиданно и нерегулярно.
Постепенные отказы в работе технической системы обусловлены старением материалов и износом отдельных деталей, что приводит к ухудшению параметров всей ТС и возможному ее отказу.
Таким образом, причины, обусловливающие возникновение
отказов ТС, связаны с определенными физическими процессами,
происходящими в материалах конструкции ТС, а характер их протекания зависит от режимов работы, внешних условий эксплуатации: температуры, влажности, давления, вибраций, ударов и т. п.
Соответственно и законы изменения показателей надежности изменяются в зависимости от времени работы устройств.
Поскольку анализ и расчет надежности технической системы
связан со случайными величинами, рассмотрим закономерности,
которым они подчиняются и проследим их связь с количественными характеристиками ее надежности.
3.1. Случайные процессы
Основной смысл случайного процесса x(t) (случайной функции)
заключается в том, что в каждый момент t = t0 значение функции
x(t0) является случайной величиной. Множество значений, которые принимает случайная функция в течение одного интервала наблюдения, называют реализацией случайного процесса. Случайная
величина может быть дискретной (число отказов за время t) или
непрерывной (время наработки до отказа).
Функция распределения F(x) значений X случайной функции
при фиксированном t представляет собой функцию распределения
F(x) = P[X  x],
где P[X  x] – вероятность того, что X примет значение, не превосходящее x.
31
Поскольку в теории надежности в качестве события рассматривается отказ, под функцией F(x) понимается вероятность возникновения отказа Q(t).
Закон распределения случайной величины показывает связь
между значениями случайной величины и их вероятностями. Он
может быть представлен в виде аналитического выражения, таблицы, гистограммы.
Для непрерывной случайной величины график функции распределения вероятностей представляет собой монотонную кривую,
в точках дифференцируемости которой справедливо равенство
dF (x)
= f (x),
dx
где функция f(x) носит название плотности вероятности (распределения), или дифференциального закона распределения случайной функции. Для f(x) выполняется равенство
¥
ò
f (x)dx = 1.
-¥
Вид функции плотности распределения f(x) зависит от закономерностей процесса потери работоспособности устройства.
Плотность распределения наработки до отказа (частота отказов)
f(t) в теории надежности представляет собой плотность распределения вероятности возникновения отказов
f (t) =
dQ(t)
.
dt
Случайная величина характеризуется также такими параметрами. как математическое ожидание, медиана, мода, дисперсия.
Математическое ожидание M (x) = x является генеральной
средней случайной величины x, т. е. характеристикой генеральной
совокупности, охватывающей все возможные значения этой величины.
Для непрерывной случайной величины x математическое ожидание находим по уравнению
B
M (x) = ò xf (x)dx,
(3.1)
A
где A, B – границы интервала изменения случайной величины.
32
Уравнение (3.1) можно преобразовать с помощью функции распределения
x
F (x) = ò f (x)dx
A
и функции F1 (x) = 1– F(x) следующим образом [8]:
B
0
0
A
M (x) = ò F1 (x)dx - ò F (x)dx.
(3.2)
В частном случае, когда A = 0, уравнение (3.2) принимает вид
B
M (x) = ò F1 (x)dx.
(3.3)
0
Поскольку под функцией F(x) понимается вероятность возникновения отказа Q(t), то F1(x) = P(t) есть вероятность безотказной
работы, и при B =  уравнение (3.3) принимает вид
¥
M (x) = ò P(x)dx.
0
Последнее выражение в соответствии с формулой (2.12) представляет собой среднее значение наработки на отказ Tср.
Медианой xс является значение случайной величины, соответствующее вероятности P(xс) = 0,5. Медианное значение случайной
величины разделяет площадь под графиком функции плотности
распределения f(x) на две равные части.
Модой xм называется точка максимума плотности распределения f(x), если этот максимум существует:
f(xм) = max f(x).
Дисперсия Dx – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины x от ее математического ожидания x.
При заданном законе распределения дисперсия равна
¥
Dx =
2
ò (x - x ) f (x)dx.
-¥
Среднеквадратическое отклонение определяют через дисперсию
формулой
x = Dx .
33
По данным наблюдений N0 образцов изделий среднеквадратическое отклонение t находят по формуле
t =
N
0
1
(ti - Tñð )2 ,
å
N0 -1 i=1
где Tñð получают из выражения (2.13).
Таким образом, чем больше D (или соответственно ), тем больше рассеивание сроков службы относительно их среднего значения.
Для наглядности рассмотрим график (рис. 3.1) плотности распределения случайной величины f(x) для произвольного закона
распределения, на котором обозначены точки, соответствующие
моде xм, медиане xс, среднему значению x случайной величины, а
также среднеквадратическое отклонение x случайной величины
от его математического ожидания x.
Дисперсия D, или среднеквадратическое отклонение x , наряду
со средней наработкой на отказ x характеризуют надежность объекта.
Однако одного параметра x недостаточно для такой характеристики. Действительно, два объекта, имеющих функции распределения f1(x) и f2(x), показанные на рис. 3.2, могут иметь одинаковые значения x, но разную надежность. Так, первый объект имеет
меньшее среднеквадратическое отклонение, чем второй, поэтому
f (x)
0
xм x x c
Vx
Vx
Рис. 3.1. График функции f(x)
для произвольного закона распределения
34
x
f(x)
f (x)
1
f (x)
2
0
x
Рис. 3.2. Графики функции плотности вероятности объектов
разной надежности
ввиду большего рассеивания наработки до отказа (вторая кривая
шире) второй объект менее надежен, чем первый.
3.2. Зависимость интенсивности отказов ТС от времени
Для большинства ТС характерны три периода жизни: приработка, нормальная эксплуатация и износ (старение) [4, 9]. Характерная кривая изменения интенсивности отказов во времени для
технического устройства приведена на рис. 3.3.
Во время периода приработки при испытании устройства или
изделия проявляются дефекты технологии и изготовления, не свойственные конструкции. Приработочные отказы носят случайный характер. Для ряда ТС приработочные отказы устраняются в течение
O(t )
Приработка
Нормальная
эксплуатация
0
Износ
t
Рис. 3.3. Зависимость интенсивности отказов
технического устройства от времени
35
первого периода работы устройства. В сложных системах, состоящих
из ряда однотипных элементов, отказавшие дефектные части заменяются исправными, и этим обеспечивается повышение надежности
работы системы. В процессе приработки важное значение приобретает ее продолжительность, поскольку в этот период достигается надежность, соответствующая периоду нормальной работы устройства.
Период нормальной эксплуатации характеризуется наиболее
низким уровнем интенсивности отказов, который практически неизменен на протяжении всего периода. Это обусловлено тем, что
внезапные отказы, появление которых характерно для данного
периода эксплуатации, происходят неожиданно и нерегулярно, но
повторяются в достаточно большие и приблизительно равные промежутки времени. Данный период работы ТС является основным
из всех перечисленных, поскольку характеризуется длительной
работой при определенных климатических и других условиях применения. При организации систематического профилактического
обслуживания и ремонта технического устройства надежная его
работа возможна в течение длительного времени.
Период износа (старение) характеризуется появлением отказов
с возрастающей интенсивностью, которые вызываются износом ТС.
В этот период возникают, главным образом, постепенные отказы.
Для уменьшения влияния износовых отказов на надежность в период
длительной эксплуатации предусматриваются периодические плановые замены деталей и частей, подверженных повышенному износу.
Период нормальной эксплуатации соответствует работе устройств
как однократного, так и многократного использования, в то время
как период износа относится только к ремонтируемым устройствам
многократного использования.
Для разных ТС распределение вероятностей безотказной работы
от момента включения до момента отказа различно и характеризуется определенным законом распределения, зависящим и от периодов жизни устройства, и от типа самой системы в целом. В связи
с этим рассмотрим законы распределения, используемые для расчета надежности ТС.
3.3. Законы распределения в теории надежности
При изучении надежности технических систем наиболее часто
применяются следующие законы распределения времени безотказной работы: экспоненциальный, Вейбулла, усеченный нормальный, Релея, гамма-распределение. В табл. 3.1 приведены основные
36
Таблица 3.1
Количественные характеристики надежности
при разных законах распределения
Закон распределения
f(t)
P(t)
(t)
Tср
Экспоненциальный
e–t
e–t
=const
1/
0 ktk-1
æ1
ö
Ãçç + 1÷÷÷
çè k
ø
Вейбулла
0 kt
k-1 -0tk
e
-0tk
e
2
Релея
t
t -22
e
2
-
e
10/k
t
t2
22


2
2
k-1
Гамма-рас 0 ( 0 t )
(0t)k-1 -0t -0t k-1 (0t)i
пределение
0
e
e
å i ! (k -1)! k-1 (0t)i
(при k
(k -1)!
å i!
i=0
целом)
i=0
2
(t-T1 )
-
Усеченный
нормальный
e
2
2
æT ö
2F çç 1 ÷÷÷
çè  ø
æ T - t ö÷
F çç 1
çè  ÷ø÷
æT ö
F çç 1 ÷÷÷
çè  ø
k
0
2
(t-T1 )
-
e
-
2
2
æ T - t ö÷
2F çç 1
çè  ÷÷ø
T1 +
e
T12
22
æT ö
2F çç 1 ÷÷÷
çè  ø
соотношения для количественных характеристик надежности при
разных законах распределения времени до отказа [6].
Рассмотрим некоторые особенности применения законов распределения, представленных в табл. 3.1.
Распределение Вейбулла. В выражениях для расчета количественных характеристик надежности 0 – параметр, определяющий масæ1
ö
штаб, k – параметр асимметрии распределения, Ãçç + 1÷÷÷ – гаммаçè k
ø
функция, определяемая по справочным таблицам по значению 1/(k+1).
На рис. 3.4 представлены кривые изменения количественных характеристик надежности ТС для рассматриваемого распределения.
Двухпараметрическое распределение Вейбулла соотносится с
рассмотренными в разделе 3.2 периодами жизни ТС: при k  1 – период приработки, при k = 1 – период нормальной эксплуатации;
при k > 1 – период износа (старение). При значении параметра
37
f(t)
k<1
k>1
k=1
0
O(t)
t
k>1
k=1
O0
k<1
0
t
P(t)
1
k=1
k>1
k<1
0
t
Рис. 3.4. Количественные характеристики надежности ТС
по распределению Вейбулла
k = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное
с  = const, что характерно для периода нормальной эксплуатации.
К распределению Вейбулла можно приближенно отнести, например, изменение во времени надежности шарикоподшипников.
Экспоненциальное распределение. Изменение количественных
характеристик надежности ТС во времени можно видеть на рис. 3.4
38
(кривые для k = 1). Параметр  = 1/Tср представляет собой среднюю
постоянную величину интенсивности внезапных отказов ТС, 1/ч, а
время t имеет размерность час.
При t = Tср вероятность безотказной работы устройства P(t) составляет
P(t) = 1/e  0,37.
Таким образом, при экспоненциальном распределении средняя
наработка до первого отказа Tср есть время, в течение которого вероятность безотказной работы устройства уменьшается до 0,37.
Для экспоненциального распределения характерным признаком является равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы t = Tср, поскольку D = 1/2.
Найдем условную вероятность P(t, t+t) того, что устройство
проработает исправно на интервале (t+t) после исправной работы
в течение времени t. В соответствии с выражением (2.2)
P(t, t + t) =
P(t + t) e-(t+t)
=
= e-t .

t
P(t)
e
Полученный результат означает, что для экспоненциального
распределения вероятность безотказной работы не зависит от того,
сколько времени проработало устройство от момента первого включения до начала отсчета. Другие распределения таким свойством
не обладают, поскольку для них  – функция времени.
Экспоненциальное распределение можно использовать, например, для оценки надежности электрических машин в период после
окончания периода приработки до начала периода износа, поскольку в них во время эксплуатации обычно наблюдаются внезапные отказы в работе примерно через равные по длительности промежутки
времени. Вследствие этого интенсивность таких отказов за достаточно длительный период времени в среднем можно считать постоянной.
Распределение Релея. Параметр  распределения Релея одновременно является модой этого распределения, соответствующей
максимуму плотности распределения вероятности. Кривые, иллюстрирующие характер изменения количественных характеристик
надежности, приведены на рис. 3.5.
Интенсивность отказов ТС (t) изменяется по линейному закону во времени. Это значит, что с течением времени происходит интенсивное старение, или износ, устройства, что не характерно для
периода нормальной эксплуатации. При этом в начальный период
работы вероятность безотказной работы уменьшается медленнее,
39
f(t)
0
t
P(t)
1
0
t
ʄ( t)
0
t
Рис. 3.5. Количественные характеристики надежности ТС
по распределению Релея
чем по экспоненте, однако с течением времени это уменьшение
становится более заметным. Такое изменение вероятности безотказной работы характерно для некоторых автоматических систем
кратковременного действия с резервированием, в которых изменение отказов во времени отдельных элементов системы подчиняется
приблизительно распределению Релея.
Гамма-распределение. В теории надежности гамма-распределение обычно используется при целом значении параметра k. В этом
40
f(t)
k =1
k>1
0
ʄ(t)
t
k>1
k =1
0
t
P(t)
1
k =1
0
k>1
t
Рис. 3.6. Количественные характеристики надежности ТС
по гамма-распределению
41
случае оно иногда называется распределением Эрланга. Если k = 1,
то гамма-распределение становится чисто экспоненциальным.
Если k > 1 и целое, то гамма-распределение является распределением суммы независимых случайных величин, каждая из которых
имеет экспоненциальное распределение с параметром 0 = 1/Tср0.
На рис. 3.6 показаны кривые зависимостей количественных характеристик надежности для данного закона распределения.
На практике гамма-распределению соответствуют сложные резервированные системы, состоящие из k одинаковых элементов.
При этом под нагрузкой находится один элемент. Остальные поочередно автоматически включаются в работу после отказа работающего элемента. Если каждый элемент системы имеет экспоненциальное распределение наработки на отказ, то система подчиняется
гамма-распределению.
Усеченный нормальный закон. Нормальный закон соответствует распределению случайных величин, группирующихся около
среднего значения с определенными частотами. Плотность распределения наработки на отказ для нормального закона представляет
собой функцию
2
(t-T1 )
2
e 2
f (t) =
,
2
где T1 – средняя наработка до отказа;  – среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы.
Кривая нормального распределения имеет колоколообразную
форму, как на рис. 3.7. Такое распределение получается в том случае, когда на исследуемую величину воздействует ряд случайных
факторов, каждый из которых оказывает незначительное влияние
на суммарное значение ее отклонения от среднего.
Так как случайная величина при нормальном распределении
может принимать любые значения от – до +, а время безотказной работы может быть только положительным, рассматривают
усеченное нормальное распределение с плотностью
2
(t-T1 )
-
f (t) =
e
2
2
æT ö
2F çç 1 ÷÷÷
çè  ø
,
æT ö
где 1/ F çç 1 ÷÷÷ - нормирующий множитель.
çè  ø
42
f (t)
0
t–T1
V
Рис. 3.7. Плотность распределения наработки
на отказ для нормального распределения
æT ö
1
Функция F çç 1 ÷÷÷ =
çè  ø
2
T1 /
ò
2
e-t /2 dt - табулированная интеграль-
-¥
ная функция нормального распределения, которая связана с норæT ö
1
мированной функцией Лапласа Ô0 çç 1 ÷÷÷ =
çè  ø
2
T1 /
ò
2
e-t /2dt соотно-
0
шением
æT ö
æT ö
F çç 1 ÷÷÷ = 0,5 + Ô0 çç 1 ÷÷÷.
èç  ø
èç  ø
Количественные характеристики надежности для усеченного
нормального распределения приведены в табл. 3.1. При T1/  2,
что происходит в большинстве случаев при оценке надежности
устройств с нормально распределенными отказами, нормирующий
множитель близок к единице, и усеченное нормальное распределение мало отличается от нормального.
Графики количественных характеристик надежности усеченного нормального распределения приведены на рис. 3.8.
Интенсивность отказов (t) возрастает с течением времени. Это
означает, что наступает старение, или износ, составных частей
устройства. В начальной стадии работы устройства, когда износ
некоторых частей еще не проявляется, надежность P(t) убывает
незначительно. Однако при продолжительной работе надежность
снижается более заметно из-за проявляющихся явлений износа
в соответствии с законом изменения плотности распределения f(t).
В заключение раздела кратко рассмотрим законы распределения, получившие распространение в теории надежности для дис43
f( t )
0
t
0
t
0
t
O(t )
P(t )
1
Рис. 3.8. Количественные характеристики надежности
усеченного нормального распределения
кретных случайных величин: биномиальный закон и распределение Пуассона.
Биномиальное распределение. Если случайная величина принимает значения 0, 1, 2,..., m, то вероятность Pm(n) появления n
благоприятствующих событий из общего числа независимых m событий (испытаний) равна
44
n n
Pm (n) = Cm
p (1 - p)m-n =
m!
pn (1 - p)m-n ,
n !(m - n)!
n
где Cm
– число сочетаний из m по n; p – вероятность наступления
события при однократном испытании.
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны
M(n) = mp, D = 2(n) = mp(1–p).
Биномиальное распределение находит применение при статистическом контроле качества, в теории стрельбы и других областях.
Распределение Пуассона. Обозначим математическое ожидание
биномиального распределения
M(n) = mp = a
и рассмотрим частный случай для n = 2:
Pm (2) =
m(m -1) 2
p (1 - p)m-2 .
2
Проведя простые тождественные преобразования, получим
æ
öm
çç1 - a ÷÷
a(a - p) çè m ø÷
Pm (2) =
⋅
.
2
(1 - p)2
При больших m и малых p последнее выражение приближенно
можно представить в виде
a2 -a
Pm (2) =
e .
2
Действуя аналогично для произвольного n, получаем
Pm (n) =
an -a
e .
n!
Последнее уравнение определяет распределение Пуассона (распределение редких событий). Здесь a – параметр распределения,
представляющий собой интенсивность случайного события.
Характерным для данного распределения является равенство
математического ожидания и дисперсии:
M(n) = a, D = 2(n) = a,
что является одним из условий при установлении соответствия исследуемого (опытного) распределения распределению Пуассона.
45
Если вероятность p осуществления события при однократном
испытании близка к единице, то следует пользоваться уравнением
Pm (n) =
[m(1 - p)]m-n
(m - n)!
e-m(1- p) .
Распределение Пуассона часто используют на практике как заменитель биномиального распределения, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдут один, два, три и т. д. отказов. Распределение Пуассона хорошо
сходится с биномиальным распределением при p  0,10 [8].
3.4. Задачи к разделу 3
3.4.1. Пример решения типовой задачи
Для закрепления материала данного раздела предлагается решить
задачу на определение количественных характеристик надежности
для одного из законов распределения в соответствии с вариантом
для заданных значений времени работы t. Рассмотрим одну из таких
задач.
Задача. Пусть время работы устройства до отказа подчинено
усеченному нормальному закону с параметрами: T1 = 8000 ч,
 = 2000 ч.
Требуется вычислить количественные характеристики надежности P(t), f(t), (t), Tср для t = 4000, 6000, 8000, 10000 ч. Построить
графики зависимостей количественных характеристик надежности.
Р е ш е н и е. Для решения задачи следует воспользоваться расчетными выражениями из табл. 3.1, а для облегчения расчетов – данными таблиц специальных функций, приведенных в Приложении.
1. Вероятность безотказной работы для усеченного нормального
закона распределения находим по формуле
æ T - t ÷ö
æ 8000 - t ö÷
F çç 1
F çç
çè  ÷÷ø
çè 2000 ÷÷ø
P(t) =
=
.
æ T1 ö÷
F (4)
ç
F ç ÷÷
çè  ø
По данным табл. П.1 с учетом соотношения F (x) = 0,5 + Ô0 (x)
вычисляем
æ 8000 - 4000 ö÷
F çç
÷÷
çè
ø 0,5 + Ô(2) 0,9772
2000
P(4000) =
=
=
= 0,9772.
F (4)
0,5 + Ô(4)
1
46
Для других t аналогично имеем P(6000) = 0,8413, P(8000) = 0,5,
P(10000) = 0,1587.
2. Частоту отказов находим по выражению
2
(t-T1 )
-
f (t) =
e
2
2
æT ö
2F çç 1 ÷÷÷
çè  ø
.
Вычисления удобно производить, используя данные табл. П.2,
где приведены значения функции Лапласа
(x) =
1
2
2
e-x /2 .
Для рассматриваемой задачи x =
t - T1
.

æT ö
æ 8000 ö÷
Поскольку F çç 1 ÷÷÷ = F çç
÷ = F (4) = 1, имеем
èç 2000 ø÷
èç  ø
f(t) = (x)/.
Кроме того, заметим, что функция (x) четная.
С учетом последнего замечания находим
æ 4000 - T1 ö÷
æ 4000 - 8000 ÷ö
çç
÷÷ ççç
÷÷
çè
ø
è
ø

2000
f (4000) =
=
=

2000
(-2) (2) 0,05399
1
=
=
=
= 2,7 ⋅10-5 .
2000 2000
2000
÷
Аналогично для других t получаем
f(6000) = 12,1·10–5, f(8000) = 20·10–5, f(10000) = 12,1·10–5 ч–1.
3. Для нахождения интенсивности отказов можно воспользоваться соотношением
(t) = f(t)/P(t).
Тогда, используя рассчитанные в п. 1 и 2 значения, имеем
(4000) = 2,76·10–5, (6000) = 14,4·10–5, (8000) = 40·10–5,
(10000) = 76,4·10–5 ч–1.
47
а)
б)
e (s), 105 õ 1
O(s), 105 õ 1
P(t)
1,0
80
0,8
60
0,6
40
0,4
20
0,2
0
0
2
4
6
8
10 s, 103 õ
2
4
6
8
10 s, 103 õ
Рис. 3.9. Количественные характеристики надежности устройства:
а – вероятность безотказной работы P(t); б – плотность
распределения наработки до отказа (частота отказов) f(t)
и интенсивность отказов (t)
4. Рассчитаем среднюю наработку до первого отказа:
-
Tñð = T1 +
e
T12
22
æT ö
2F çç 1 ÷÷÷
èç  ø
= 8000 +
-
= 8000 +
2000e-8
2 (0,5 + Ô(4))
2000e
80002
2⋅20002
æ 8000 ö÷
2F çç
÷
èç 2000 ø÷
=
= 8000,26 ÷.
Значения степенной экспоненциальной функции находим по
табл. П.3. По данным п. 1–3 строим графики зависимостей количественных характеристик надежности устройства (рис. 3.9).
Из графиков и результатов расчета следует, что в данном случае
усеченный нормальный закон распределения близок к нормальному.
3.4.2. Задание к разделу 3
Для заданного варианта требуется рассчитать характеристики
надежности и построить графики их зависимости от времени.
Исходные данные для выполнения задания представлены
в табл. 3.2.
48
Таблица 3.2
Исходные данные
Номер
варианта
задания
Закон
распределения
1
2
3
Усеченный
нормальный
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Релея
Вейбулла
Экспоненциальный
17
18
19
20
Гамма-распределение
Исходные данные для расчета
T1 = 7000 ч,  = 1000 ч,
t = 3000, 5000, 7000, 9000 ч
T1 = 8000 ч,  = 1000 ч,
t = 4000, 6000, 8000, 10000 ч
T1 = 7000 ч,  = 2000 ч,
t = 3000, 5000, 7000, 9000 ч
T1 = 8000 ч,  = 3000 ч,
t = 4000, 6000, 8000, 10000 ч
 = 1000 ч, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 1300 ч, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 1500 ч, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 1860 ч, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
k = 1,5,  = 10–4 ч–1, t = 20, 50, 100, 150 ч
k = 2,6,  = 1,65·10–7 ч–1, t = 100, 200, 300, 400 ч
k = 0,7,  = 1,5·10–6 ч–1, t = 100, 200, 300, 400 ч
k = 0,6,  = 1,8·10–6 ч–1, t = 100, 200, 300, 400 ч
 = 1,25·10–5 ч–1, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 1,5·10–5 ч–1, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 2·10–5 ч–1, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
 = 2,5·10–5 ч–1, t = 500, 1000, 1500, 2000 ч
k = 3, 0 = 1,5·10–4 ч–1,
t = 2000, 4000, 6000, 10000 ч
k = 2, 0 = 2,5·10–4 ч–1,
t = 1000, 3000, 5000, 8000 ч
k = 2, 0 = 2·10–4 ч–1,
t = 2000, 4000, 6000, 8000 ч
k = 3, 0 = 2,5·10–4 ч–1,
t = 1000, 3000, 5000, 8000 ч
П р и м е ч а н и е. Значения гамма-функции приведены в табл. П.4.
Контрольные вопросы к разделу 3
1. Как определить математическое ожидание, медиану, моду,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и какова графическая интерпретация?
2. Какова характеристика периодов жизни технических систем?
49
3. Какие законы распределения описывают все три периода
жизни ТС?
4. Какой закон распределения применим для ТС с резервом?
5. Какие законы распределения можно использовать для описания периода нормальной эксплуатации ТС?
6. Какие законы распределения используются для дискретных
случайных величин?
50
4. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ ТС
Прежде чем приступить к анализу методов расчета надежности
технических систем с разной структурой, целесообразно рассмотреть один из методов повышения надежности ТС – резервирование. Это вызвано тем, что расчет количественных характеристик
надежности резервированных систем и отдельных их частей имеет
свои особенности, которые следует учитывать при расчете надежности технической системы в целом. Поэтому сначала исследуем
некоторые методы резервирования и дадим их классификацию.
4.1. Резервирование как метод повышения надежности ТС
Резервирование – метод повышения (обеспечения) надежности,
состоящий во введении в систему дополнительных элементов, узлов и использовании дополнительных функциональных возможностей с целью сохранения работоспособности ТС при отказе одного
или нескольких ее элементов или нарушении связей между ними.
Эффективность резервирования принято оценивать коэффициентом повышения надежности
=
Pð (t)
P(t)
,
где P(t) – вероятность безотказной работы нерезервируемой системы; Pр(t) – вероятность безотказной работы резервируемой системы.
В резервированных системах отказ наступает только после отказа основных и всех резервных элементов. Таким образом, основой
резервирования является введение избыточности, которую независимо от области техники подразделяют на пять видов: структурную, временную, функциональную, информационную и нагрузочную. Соответственно различают пять видов резервирования. Рассмотрим кратко каждый из них.
При структурном резервировании в систему вводятся дополнительные элементы, способные выполнять функции основных элементов при их отказе. Минимальный набор элементов, необходимых для нормального функционирования ТС, называют основным.
В случае исправной работы основных элементов изъятие резервных
не приведет к ухудшению технических характеристик ТС.
Структурное резервирование имеет преимущество в системах,
для которых характерными являются следующие особенности:
–малое допустимое время перерыва функционирования;
51
–тяжелые последствия отказов;
–недопустимость снижения качества функционирования при
деградации системы;
–развитая система контроля и диагностирования, обеспечивающая быстрое обнаружение возникающих отказов и сбоев в системе.
Временное резервирование предусматривает наличие избыточного времени функционирования отдельных узлов или элементов ТС,
которое может быть использовано для восстановления технических
характеристик без нарушения требований к выходным параметрам
системы. При этом предполагается, что для выполнения технической системой определенной работы требуется меньше времени, чем
отведено на нее в процессе функционирования ТС. Временное резервирование обеспечивается созданием запаса производительности
путем увеличения быстродействия отдельных элементов, использования параллельных структур однотипных элементов и т. д.
Временное резервирование имеет преимущество в тех случаях,
когда возможны перерывы в работе ТС для устранения отказов и их
последствий, а сами системы допускают некоторое снижение производительности за счет ее запаса.
В многофункциональных системах возможна реализация функционального резервирования путем организации дополнительных
связей между частями ТС. При этом отдельные элементы системы
обладают способностью принимать на себя функции отказавших
элементов на время восстановления их работоспособности без заметного снижения технических характеристик системы в целом.
В таких системах отсутствуют элементы (как при структурном резервировании), которые могли бы быть насовсем изъяты из них без
ущерба для качества работы ТС.
Технические системы для осуществления в них функционального резервирования должны обладать гибкостью и способностью
перенастройки многофункциональных элементов на выполнение
требуемой функции.
Функциональное резервирование, как правило, более экономично, чем структурное, что достигается, однако, благодаря некоторому снижению выполняемых функций, например, в результате
снижения точности, производительности, восстановления основных функций системы путем прекращения выполнения второстепенных и т. д.
Использование избыточной информации – основной признак информационного резервирования. Оно обеспечивается дублированием
данных на различных устройствах, применением специальных ко52
дов, обнаруживающих и исправляющих ошибки, появляющиеся в
результате сбоев аппаратуры, помехоустойчивым кодированием информации, введением избыточности алгоритмического языка и т. д.
Информационное резервирование предусматривается в тех случаях, когда потеря информации приводит к непоправимым последствиям. Как правило, оно используется в сочетании со структурным, функциональным и временным резервированием, поскольку
для хранения дополнительных массивов данных требуются дополнительные устройства памяти и дополнительная аппаратура для
их обработки, а для чтения копий и работы средств восстановления
информации необходимо дополнительное время.
Нагрузочное резервирование связано с созданием избыточности
(запаса) работоспособности путем:
–применения элементов с повышенной допустимой электрической мощностью;
–создания запаса механической прочности с целью защиты от
вибрационных и ударных нагрузок;
–использования термостойких материалов и т. п.
Нагрузочное резервирование применяется в тех случаях, когда
ТС не обслуживается или когда устранение отказов требует много
времени и значительных эксплуатационных затрат, а структурное
резервирование либо технически невозможно, либо экономически
невыгодно.
Перечисленные виды резервирования могут быть применены
либо к ТС в целом, либо к отдельным их элементам или группам
элементов. В первом случае резервирование называется общим, во
втором случае – раздельным. Общий резерв способен устранить отказы в любом элементе ТС. При раздельном резервировании отказы устраняются либо только в одной группе элементов, либо в элементах данного типа.
Одним из параметров резервирования является его кратность.
Под кратностью резервирования понимается отношение количества резервных к количеству основных ресурсов.
Для структурного резервирования кратность представляет собой несокращаемую дробь, в числителе которой указывается число
резервных элементов, а в знаменателе – число основных. Кратность
временного резервирования есть отношение резервного времени
к основному времени выполнения работы ТС.
Кратность функционального резервирования –это число разных
способов, которыми может быть выполнена заданная функция.
Для информационного резервирования в общем случае кратность
53
определяется как отношение числа единиц резервной и основной
информации. Кратность нагрузочного резервирования – это отношение запаса работоспособности по данному виду нагрузки к ее номинальному значению, измеряемых в одних единицах.
При реализации структурного резервирования сначала применяют раздельное (поэлементный, групповой резерв) резервирование, а в последнюю очередь – общий резерв. Функциональный резерв используют после того, как исчерпаны возможности структурного резервирования. Это обусловлено снижением качества функционирования при переходе на функциональный резерв.
В настоящее время наиболее широкое распространение получило структурное резервирование, поскольку с него начинается комплекс мероприятий по повышению надежности большинства ТС;
кроме того, техническая реализация данного вида резервирования
наиболее проста. В связи с этим рассмотрим подробнее особенности ТС со структурным резервированием и методы расчета количественных показателей их надежности [4, 6, 7, 10].
4.2. Способы структурного резервирования
4.2.1. Расчет надежности невосстанавливаемых
резервированных ТС
Как уже отмечалось, структурное резервирование может быть
общим и раздельным, с целой и дробной кратностью. По способу
включения резервных элементов различают постоянное резервирование и резервирование замещением. При постоянном резервировании резервные элементы подключены к основным в течение всего
времени работы и находятся в одинаковом с ними режиме. В случае
резервирования замещением резервные элементы замещают основные только после их отказа.
По состоянию резервных элементов до момента включения их
в работу различают:
–нагруженный (горячий) резерв – резервный элемент находится в том же режиме, что и основной;
–облегченный (ждущий) резерв – резервный элемент находится
в менее нагруженном режиме, чем основной;
ненагруженный (холодный) резерв – резервный элемент практически не нагружен.
Использование облегченного или ненагруженного резерва позволяет снизить расход энергии, но следует помнить, что перерыв
на переключение с основного устройства на резервное допустим не
54
во всех системах. Облегченный резерв является наиболее общим
видом резервирования, в то время как нагруженный и ненагруженный резервы – его крайними случаями. При общем постоянном резервировании может использоваться только нагруженный резерв.
Структурные схемы резервированных систем приведены на
рис. 4.1. Поскольку для резервированных систем основным параа)
б)
O
1
О
О
1
1
2
2
О
О
1
1
m=2
m=3
2
3
в)
г)
О
1
m=2
m=2
2
д)
2
2
О
О
1
2
m = 4/2
е)
О
3
1
4
2
О
О
m = 2/3
Рис. 4.1. Структурные схемы резервированных систем при общем (а)
и раздельном (б) резервировании с постоянно включенным резервом
и целой кратностью, общем (в) и раздельном (г) резервировании
замещением с целой кратностью, общем (д) с постоянно включенным
резервом и раздельном (е) резервировании замещением
с дробной кратностью
55
метром является его кратность m, а схемные обозначения для резервирования с целой и дробной кратностью одинаковы, на схемах
указывается кратность резервирования.
В случае дробной кратности, например, при m = 4/2, число резервных элементов четыре, основных – два, а общее их число – шесть.
Дробь сокращать нельзя, так как при m = 2 имеет место резервирование с целой кратностью при общем числе элементов, равном трем.
Следует отметить, что существует еще один вид резервирования – мажоритарное. Оно основано на введении в систему дополнительного логического элемента, который называется мажоритарным, или кворум-элементом. Для пояснения принципа мажоритарного резервирования рассмотрим структурную схему системы, в которой использован данный вид резервирования (рис. 4.2).
В данном случае кворум-элемент включает в себя три логических элемента И и один элемент ИЛИ. Он сравнивает сигналы, поступающие от трех одинаковых элементов (1, 2, 3) системы, в результате чего на выходе элемента ИЛИ при трех исправных имеем
одно из сочетаний выходных сигналов исходных элементов: 1·2,
2·3 или 1·3. В случае отказа одного из трех элементов, например,
элемента под номером 1, на выходе элемента ИЛИ имеем сочетание
элементов 2·3, и система продолжает функционировать нормально.
В этом случае реализовано резервирование по принципу «голосования два из трех». Таким образом, условием безотказной работы в
данном случае является безотказная работа любых двух элементов
из трех и кворум-элемента в течение заданного времени. Применение данного принципа возможно для соотношений «три из пяти» и
т. д. Мажоритарное резервирование часто используется в устройствах дискретного действия.
1·2
1
И
2
И
3
И
2·3
ИЛИ
1·3
Рис. 4.2. Структурная схема системы
с мажоритарным резервированием
56
1·2 или
2·3, или
1·3
Рассмотрим особенности расчета количественных характеристик надежности систем при общем и раздельном резервировании.
4.2.2. Расчет надежности ТС
с постоянно включенным резервом с целой кратностью
При общем резервировании с постоянно включенным резервом
и целой кратностью (рис. 4.1, а) полагаем, что нерезервированная
система рассматривается как один элемент, показатели надежности которого известны.
Пусть основная система имеет вероятность безотказной работы
Pi(t), а кратность резервирования m. Тогда вероятность безотказной
работы резервированной системы Pс(t) определяется соотношением
m
Pñ (t) = 1 -  [1 - Pi (t) ].
(4.1)
i=0
Действительно, разность 1–Pi(t) представляет собой вероятность
отказа основной системы или любой из m резервных. Тогда их произведение дает вероятность отказа резервированной системы
m
Qc (t) =  [1 - Pi (t) ],
i=0
на основании чего очевидна справедливость формулы (4.1).
Если основная и резервные цепи одинаковы, выражение (4.1)
принимает вид
m+1
Pñ (t) = 1 -[1 - Pi (t) ]
.
В частности, для экспоненциального распределения
Pñ (t) = 1 - (1 - e-0t )m+1,
(4.2)
где 0 – интенсивность отказов нерезервированной системы или
любой из m резервных систем.
Принимая во внимание связь между количественными характеристиками надежности, находим частоту отказов aс(t) и интенсивность отказов с(t) резервированной системы:
dP (t)
fñ (t) = - ñ = (m + 1)e-0t (1 - e-0t )m ,
(4.3)
dt
 ñ (t) = -
Pñ¢(t) (m + 1)e-0t (1 - e-0t )m
.
=
Pñ (t)
1 - (1 - e-0t )m+1
(4.4)
57
О1
1
Р11
m=1
Оn
О2
1
Р21
1
Pn1
2
Р22
2
Pn2
m
Pnm
m=2
Рис. 4.3. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом
Среднее время безотказной работы резервированной системы
для экспоненциального распределения
Tñð.ñ =
m
1 m 1
1
= Tñð.î å
,
å
0 i=0 i + 1
i +1
i=0
(4.5)
где Tср.о – среднее время безотказной работы нерезервированной
системы или любой из m резервных систем.
При раздельном резервировании с постоянно включенным резервом с целой кратностью каждый элемент Оi основной цепи системы
(рис. 4.3) имеет свои резервные элементы Рij и соответственно свою
кратность резервирования m. В частном случае кратность резервирования может быть одинаковой для всех основных элементов.
Расчет надежности таких систем можно выполнять по следующему алгоритму. Для каждого элемента основной цепи (О1,..., Оn)
рассчитывается вероятность безотказной работы с соответствующей кратностью резервирования по формуле (4.1). Затем с учетом
способа соединения основных элементов в системе (в данном случае
имеем последовательную структуру) определяется общая вероятность резервированной системы. Подробно расчет вероятности безотказной работы системы в зависимости от ее структуры рассмотрен в последующих разделах.
4.2.3. Расчет надежности ТС
с резервированием замещением с целой кратностью
При общем резервировании замещением с целой кратностью
(рис. 4.1, в) вероятность безотказной работы системы производится
по рекуррентной формуле
58
t
Pm+1 (t) = Pm (t) + ò P(t - )fm ()d,
0
где Pm+1, Pm – вероятности безотказной работы резервированной
системы кратностью m+1 и m соответственно; P(t–) – вероятность
безотказной работы основной системы в течение времени (t–);
fm() – частота отказов резервированной системы кратностью m
в момент времени .
Приведенная формула позволяет вывести расчетные соотношения для систем любой кратности резервирования. Для получения
таких формул необходимо выполнить интегрирование, подставив
вместо P(t–) и fm() их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием резерва.
При общем резервировании замещением и нагруженном резерве
формулы для расчета количественных характеристик надежности
совпадают с (4.1)–(4.5).
При общем резервировании замещением с ненагруженным резервом и экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы вероятность Pс(t) и среднее время безотказной работы Tср.с определяют по выражениям
m
Pñ (t) = e-0t å
(0t)i
i!
i=0
,
(4.6)
Tñð.ñ = Tñð.î (m + 1),
(4.7)
где 0, Tср.о – интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа основного (нерезервированного) устройства.
При общем резервировании замещением с облегченным резервом
при экспоненциальном распределении соответственно имеем
m
é
a
Pñ (t) = e-0t êê1 + å i 1 - e-it
i!
êë
i=1
(
Tñð.ñ =
где ai =
1
0
i-1 æ
 ö
j=0
i
 ççççè j + 0 ÷÷÷÷ø;
k=
iù
) úúú ,
(4.8)
û
m
1
1
,
å
0 i=0 1 + ik
(4.9)
1
; 1 - интенсивность отказов резерв0
ного устройства до замещения.
59
О1
1
Р11
m=1
Оn
..
.
О2
1
Р21
1
Pn1
2
Р22
2
Pn2
..
.
m=2
m
Pnm
Рис. 4.4. Раздельное резервирование с замещением
Для системы с раздельным резервированием замещением, схема которой представлена на рис. 4.4, каждый элемент Оi основной
цепи системы имеет свои резервные элементы Рij и соответственно
свою кратность резервирования mj.
В данном случае каждый элемент основной цепи с резервными
элементами следует рассматривать как отдельную группу. Тогда
расчет надежности такой группы элементов ТС производим по формулам общего резервирования замещением (4.1)–(4.9) в зависимости от состояния резервных элементов до момента включения их в
работу. Затем с учетом способа соединения основных элементов в
системе (в данном случае имеем последовательную структуру) рассчитываем общую вероятность резервированной системы по правилам, изложенным в последующих разделах.
4.2.4. Расчет надежностиТС
с резервированием с дробной кратностью
Один из вариантов структуры общего резервирования ТС с дробной кратностью и постоянно включенным резервом приведен на
рис. 4.1, д. При общем числе основных и резервных элементов l = 6
число основных элементов n = 2 и резервных (l–n) = 4. Кратность
резервирования, таким образом, составляет m = (l–n)/n = 4/2.
В общем случае выражения вероятности безотказной работы Pс(t) и
среднего времени этой работы Tср.с резервированной ТС для экспоненциального распределения имеют вид
l-n
i
i=0
j=0
Pñ (t) = å Cli P0l-i (t) å (-1) j Cij P0j (t),
60
Tñð.ñ =
1 l-n 1
å ,
0 i=0 n + i
где P0(t), 0 – вероятность безотказной работы и интенсивность отказов соответственно основного или любого резервного элемента.
Структурная схема резервирования замещением с дробной кратностью приведена на рис. 4.5.
При отказе одного из основных однотипных элементов n на его место без перерыва в работе включается один из резервных элементов l–n.
Вероятность безотказной работы ТС в течение времени t с равнонадежными элементами и среднее время безотказной работы в случае нагруженного резерва определяют по выражениям
l-n
i
Pñ (t) = å Cli [1 - P0 (t) ] P0l-i (t),
i=0
Tñð.ñ =
1 æç 1
1
1ö
+ ... + ÷÷÷,
çç +
è
0 n n + 1
lø
где P0(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента; l – общее число основных и резервных элементов ТС;
0 – интенсивность отказов основного и любого резервного элемента.
В случае ненагруженного резерва при резервировании замещением с дробной кратностью (такой вид резервирования часто называют
скользящим) при условии, что резервные и основные элементы одинаковой надежности и резервные не могут отказать до их включения вместо отказавшего основного элемента, расчет показателей надежности
для экспоненциального распределения выполняют по выражениям
l-n
(t)i
,
i!
i=0
Р1
О2
..
.
О1
..
.
Pñ (t) = e-t å
Рl–n
Оn
Рис. 4.5. Резервирование замещением с дробной кратностью
61
Tñð.ñ =
æ l - n + 1÷ö
1 æç l - n + 1÷ö
÷÷ = Tñð î ççç
÷÷,
çç
ø
è n
ø
0 è n
где  = n0 – интенсивность отказов нерезервированной системы;
0 – интенсивность отказов основного или резервного элемента; Tср.о– среднее время безотказной работы нерезервированной
системы.
В заключение раздела следует сделать несколько замечаний. При
расчете резервированных систем, в случае, когда структура систем
сложная, необходимо привести ее к стандартным структурам последовательно-параллельного или иного вида. При известных законах
распределения времени безотказной работы, используя приведенные в настоящем разделе формулы, можно рассчитать надежность
резервированных систем. Следует также отметить, что внимание к
распределению вероятности безотказной работы по экспоненциальному закону не случайно. Данный факт многократно подтверждался экспериментальным путем применительно к аппаратуре автоматики, построенной на элементах электроники и электротехники.
В случаях, когда фактическое распределение времени наработки до отказа отличается от распределения по экспоненциальному
закону, его использование дает обычно заниженные оценки, т. е.
соответствующие нижним границам надежности аппаратуры. Другими словами, при использовании приведенных расчетных формул
мы рассчитаем заведомо надежную систему в заданных временных
интервалах.
4.3. Задачи к разделу 4
4.3.1. Пример решения типовой задачи
Для закрепления материала данного раздела предлагается решить задачу на определение количественных характеристик надежности для резервированной системы. Рассмотрим одну из типовых задач.
Задача. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течение t = 1000 ч равна 0,95, т. е.
P(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который
включается в работу при отказе первого. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон распределения надежности.
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа резервированной системы для
62
t = 1000 ч, а также построить зависимости от времени плотности
распределения наработки до отказа (частоты отказов) fс(t) и интенсивности отказов с(t).
Р е ш е н и е. По условию задачи предусмотрено общее резервирование системы с замещением кратности m = 1. Для экспоненциального закона распределения надежности в соответствии с формулой (4.6) имеем
m
Pñ (t) = e-0t å
i=0
(0t)i
i!
= e-0t (1 + 0t).
Надежность нерезервированной системы P0 (t) = e-0t . Подставляя в данное выражение исходные данные для t = 1000 ч, находим

0t = – ln P(1000) = – ln 0,95  0,05.
(4.10)
Тогда для резервированной системы получаем
Pс(1000) = 0,95·(1+0,05) = 0,9975.
В соответствии с (4.7) среднее время до первого отказа резервированной системы
Tср.с = Tср.о(m+1) = 2 Tср.о,
где Tср.о = 1/0.
Из выражения (4.10) для t = 1000 ч получаем
0 = 0,05/t = 0,05/1000 = 0,5·10–4 ч–1.
Тогда
Tñð.ñ =
2
2
=
= 40000 ÷.
0 0,5 ⋅10-4
Для построения графиков зависимостей fс(t) и с(t) находим аналитические выражения этих функций по известной вероятности
безотказной работы системы:
fñ (t) = -Pñ¢ (t) = 0 e-0t (1 + 0t) - 0 e-0t =
-4
⋅
= 20te-0t = 0,25 ⋅10-8 te-0,510
t
,
f (t)
2 te-0t
20t
0,25 ⋅10-8 t
 ñ (t) = ñ
=  0t
=
=
.
Pñ (t) e- 0 (1 + 0t) 1 + 0t 1 + 0,5 ⋅10-4 t
Задавая ряд значений t, строим графики fс(t) и с(t) (рис. 4.6).
63
eb , 10–5 õ–1
O b , 10–5 õ–1
4
3
2
1
0
1,6
3,2
4,8
6,4
8,0 t,104 ч
Рис. 4.6. Расчетные зависимости fс(t) и с(t)
резервированной системы
Таким образом, с увеличением времени наработки интенсивность отказов снижается.
4.3.2. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Нерезервированная система имеет среднюю наработку до первого отказа Tср.о = 100 ч. Предполагается, что справедлив
экспоненциальный закон надежности и основная и резервная системы равнонадежны.
Требуется найти среднее время работы до первого отказа системы Tср.с, плотность распределения наработки до отказа (частоту отказов) fс(t) и интенсивность отказов с(t) в момент времени t = 50 ч
в следующих случаях:
а) нерезервированной системы;
б) резервированной системы с постоянно включенным резервом;
в) резервированной системы при включении резерва по способу
замещения (ненагруженный резерв).
Задача 2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов 0 =
0,4·10–3 ч–1. Его дублирует такой же передатчик, находящийся
в режиме ожидания (облегченный резерв). В этом режиме интенсивность отказов передатчика 1 = 0,06·10–3 ч–1.
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы передающей системы в течение времени t = 100 ч, среднее время работы
до первого отказа и интенсивность отказов. Построить зависимость
с(t).
64
Контрольные вопросы к разделу 4
1. Что такое резервирование? Каким параметром оценивается
его эффективность?
2. Какие существуют виды резервирования?
3. Как различаются виды структурного резервирования по состоянию резервных элементов до включения их в работу?
4. В чем особенность расчета надежности систем при общем резервировании с постоянно включенным резервом по сравнению с
расчетом с раздельным резервированием и постоянно включенным
резервом?
5. В чем особенность расчета надежности систем с раздельным
резервированием замещением с целой кратностью?
6. Что такое скользящее резервирование?
65
5. НАДЕЖНОСТЬ ТС С РАЗНОЙ СТРУКТУРОЙ
Техническая система представляет собой совокупность соединенных между собой отдельных элементов. С позиции надежности
они могут образовывать последовательные, параллельные и комбинированные структуры, расчет надежности которых имеет свои
особенности. При этом в каждом реальном устройстве соответствующие блоки могут быть соединены по-другому. На надежность систем влияют такие факторы, как условия (температура, влажность,
вибрации и т. д.), и режим работы ТС (величина нагрузки), что также необходимо учитывать при определении показателей надежности той или иной системы. В связи с этим перед рассмотрением
особенностей расчета надежности систем разной структуры следует
проанализировать влияние факторов, формирующих отказы технических систем, на изменение показателей надежности, что позволит получить наиболее полное представление о физике отказов.
5.1. Факторы воздействия на ТС.
Классификация факторов воздействия
Классификация отказов, возникающих в технических системах, уже рассматривались нами ранее. Проанализируем теперь
причины возможных отказов.
Отказы ТС могут быть вызваны внешними (по отношению к ТС)
и внутренними факторами. Влияние внутренних факторов связано
с рабочими процессами в системе. К числу внутренних факторов относится нарушение установленных технических условий эксплуатации ТС (например, превышение величины электрического тока).
Человек, выполняющий функции оператора, также может рассматриваться как звено ТС. Ошибки оператора, приводящие к отказам
ТС и снижению ее надежности, можно отнести к внутренним факторам. Одновременно человек может быть отнесен к окружающей среде,
и тогда его ошибки являются факторами внешнего воздействия.
Факторы окружающей среды, природные и техногенные, служат факторами внешнего воздействия.
В настоящее время наиболее часто используется энерго-энтропийный подход к описанию процесса возникновения отказов ТС,
при котором выделяются два источника энергетического воздействия на систему:
–окружающая среда, включая человека;
–рабочие процессы, происходящие в системе (выделение тепловой энергии в результате протекания электрических токов, осво66
бождение потенциальной энергии внутренних напряжений, возникающих в материалах, например, конструкционных, в процессе их
изготовления, при закалке и т. п.).
Разные виды энергии вызывают в элементах системы физические и химические процессы, приводящие к износу, коррозии,
поломке и другим повреждениям. Возникновение повреждений
влияет на изменение выходных параметров системы и, в конечном
счете, на ее отказ.
Энергия воздействующих факторов может практически мгновенно превысить допустимый пороговый уровень, и тогда происходит внезапный отказ. Часто, однако, разрушающая энергия накапливается постепенно, и происходит постепенный (износовый)
отказ. Зная режим работы системы (степень ее нагруженности в
разные моменты времени), можно определить плотность потока
энергии воздействующих факторов. Далее по времени воздействия
можно рассчитать вероятность безотказной работы за этот период и
определить интенсивность отказов при действии данного фактора.
Расчет показателей надежности по такой схеме сопряжен, как правило, со значительными трудностями, так как требует знания зависимостей надежности элементов от условий эксплуатации и нагрузки.
Поэтому на практике применяют методы расчета, основанные на вероятностных и статистических оценках показателей надежности [1].
Внешние факторы воздействия делят на следующие группы:
–природные, в том числе климатические;
–механические;
–биологические;
–радиационные;
–электромагнитные;
–термические;
–прочие.
К числу природных относятся такие факторы, как атмосферное
давление, температура окружающей среды, влажность, солнечное
излучение, наличие коррозионно-активных элементов среды.
Природные факторы оказывают заметное, а иногда решающее
воздействие на отказоустойчивость технических систем. При этом
существенными являются предельные значения фактора, продолжительность воздействия и градиент (скорость изменения фактора
во времени).
Природные факторы изменяют физические и химические свойства конструкционных и электротехнических материалов. Изменения могут быть внутренними (структурными) или поверхностны67
ми, в значительной степени снижающими надежность элементов
ТС. Рассмотрим влияние природных факторов на отказоустойчивость системы.
5.1.1. Воздействие температуры
Система испытывает тепловое воздействие как снаружи (со стороны окружающей среды и внешних источников теплоты – Солнца, источников искусственного происхождения), так и изнутри (в результате выделения теплоты работающими электрическими схемами,
механическими узлами и т. д.). Суммарное тепловое воздействие на
ТС, таким образом, складывается из воздействия внешних и внутренних источников теплоты. Повышенная температура увеличивает электрическое сопротивление проводников и потери в них, что
может вывести элементы системы из строя и привести ее к отказу.
Особенно опасным оказывается быстрое (ударное) изменение
температуры. В материалах, подвергающихся такому воздействию, происходит неравномерное нагревание условно выделенных отдельных слоев, и, как следствие, неравномерное тепловое их
расширение. В этом случае даже при одинаковом материале каждого слоя относительное удлинение слоев оказывается неодинаковым, что может вызвать появление дополнительных напряжений,
микротрещин и, в конечном счете, ускоренное разрушение материала, особенно при циклическом повторении данной ситуации.
Достаточно наглядно влияние температуры на надежность электротехнического оборудования можно проиллюстрировать на примере старения изоляции электрических машин под воздействием
повышенной температуры. Согласно правилу «восьми градусов»
[9], повышение температуры на каждые 8 С сокращает срок службы изоляции класса А вдвое. Аналитически это правило записывают в виде следующего уравнения:
-

T = T0 ⋅ 2  = T0 e-0,0866 ,
(5.1)
где T – срок службы изоляции при температуре ;  – температура
нагревания изоляции; T0 = 6,6225·104 лет – срок службы изоляции
при  = 0;  = 8 Ñ –повышение температуры, при котором срок
службы изоляции сокращается в два раза.
Для материалов класса В  ближе к 10 С, а для класса Н –
к 12 С. Таким образом, чем выше класс изоляции, тем медленнее
происходит ее старение при данной температуре.
68
Уравнение (5.1) в логарифмической форме имеет вид
ln 2
0,693
ln T = ln T0  = ln T0 .


Следовательно, логарифм срока службы изоляции линейно зависит от температуры.
Низкие температуры окружающей среды также вызывают изменение физико-химических свойств конструкционных материалов: снижается ударная вязкость сталей, происходит отвердение и
выкрашивание резины и некоторых пластиков. Кроме того, пониженная температура ведет к сгущению смазки и уменьшению конструктивных размеров подшипниковых узлов, т. е. к увеличению
момента трения и ускоренному износу.
Приведенные данные о влиянии температуры на физико-механические свойства некоторых материалов должны учитываться
как при проектировании соответствующих устройств, так и при
анализе причин возникновения возможных отказов и расчете надежности.
5.1.2. Воздействие атмосферного давления
и солнечной радиации
Пониженное атмосферное давление также негативно сказывается на работоспособности ТС. Наземная техника рассчитывается
с учетом надежности и эксплуатационных характеристик при пониженном атмосферном давлении 595 ГПа, что соответствует высоте 5 км над уровнем моря. Авиационная техника должна сохранять
работоспособность при атмосферном давлении, соответствующем
высоте 10–15 км над уровнем моря (p = 330 ГПа и менее).
Диэлектрическая прочность воздуха при давлении р = 330 ГПа
примерно в два раза ниже, чем при нормальном давлении. Соответственно уменьшается напряжение пробоя воздушного промежутка
между проводниками и увеличивается продолжительность горения
электрической дуги. При этом прогрессирует искрение в электрических контактах аппаратуры и увеличивается износ электроконтактных поверхностей. В электрических машинах постоянного тока
ухудшаются условия коммутации, и при определенных условиях
может возникнуть незатухающая электрическая дуга, что приводит к выгоранию щеточно-коллекторного узла и выходу из строя
оборудования. Так, при напряжении 24 В на высоте 15–16 км продолжительность горения дуги удваивается по сравнению с горением
у поверхности Земли. Именно круговой огонь на коллекторах гене69
раторов был одной из основных причин гибели высотного бомбардировщика Vailent (Великобритания) и гидросамолета Princess [11].
При пониженном атмосферном давлении и, следовательно, пониженной плотности воздуха ухудшаются условия охлаждения
электрических устройств и аппаратов, что вызывает их перегрев,
ускоренное старение электроизоляционных материалов, выход из
строя полупроводниковых элементов. Так, если не принять специальных мер охлаждения авиационных генераторов, на высоте 10 км
они смогут отдать лишь 20–25 % своей номинальной мощности.
На надежность работы устройств, эксплуатируемых при пониженном давлении, т. е. на значительных высотах, наряду с пониженным давлением оказывает влияние ионизирующее излучение,
основным источником которого является солнечное и космическое
излучение.
Если изделие используется на открытом воздухе, то его поверхности подвергаются воздействию прямых солнечных лучей.
Спектр солнечной радиации состоит из ультрафиолетовой (длина
волны   3,9·10–8 м) – около 9 %, видимой ( = 3,9·10–8–7,6·10–8 м) –
около 41 % и инфракрасной ( = 7,6·10–8–1,0·10–3 м) – около 50 %
частей всей энергии солнечного излучения. Часть солнечной энергии, направленная к Земле, поглощается в космическом пространстве и земной атмосфере. Поверхности Земли достигает около 45 %
энергии Солнца. Атмосферные облака уменьшают это количество
еще на 75 % по сравнению с безоблачным состоянием атмосферы.
Суммарная плотность потока солнечной радиации в средней полосе
в ясный летний полдень составляет около 800 Вт/м2.
Солнечная радиация, особенно ее коротковолновая ультрафиолетовая часть, оказывает разрушительное воздействие на конструкционные материалы в результате фотоокислительных и фотохимических процессов. Коррозионные процессы на поверхности
материалов (процессы окисления) активизируются под действием
ультрафиолетового облучения. Молекулярная структура поверхностных слоев металла расщепляется при облучении, и создаются
условия для ускоренного образования окислов при одновременном
воздействии кислорода и влаги воздуха. Например, наличие окисной пленки приводит к увеличению напряжения трогания электродвигателей, которое определяет зону нечувствительности. Расширение этой зоны может отрицательно сказаться на работоспособности некоторых систем автоматического регулирования.
Фотохимические процессы – это процессы разложения химических соединений в поверхностных слоях полимерных материалов,
70
отчего происходит их испарение. Процесс старения полимерных материалов заключается в разрушении связей между атомами молекул
и одновременном образовании новых связей между ними. В результате изменяются механические и электрические свойства полимеров.
Накапливаясь, изменения могут привести к отказу устройства.
Наименее стойкими к воздействию радиации являются органические и полупроводниковые материалы. Наиболее стойкие из
них – металлы, в том числе и магниты, так как обладают высокой
концентрацией свободных носителей заряда, и их свойства слабо
зависят от дефектов кристаллической решетки. Промежуточное
положение занимают материалы неорганического происхождения
(керамика, стекло и т. п.).
Основные причины нарушения работоспособности интегральных микросхем под воздействием ионизирующего излучения бывают вызваны изменением параметров элементов, входящих в состав
микросхемы, и ухудшением электрической изоляции и соединений элементов.
Знание физики процессов, связанных с воздействием ионизирующего излучения, и их учет при проектировании технических
систем позволяют правильно выбирать уровень нагрузок и степень
резервирования технических систем.
5.1.3. Воздействие влажности и примесей,
содержащихся в воздухе
Влага, содержащаяся в атмосфере, неблагоприятно воздействует на конструкционные и электротехнические материалы. При относительной влажности больше 90 % влага, содержащаяся в воздухе, заметно проникает внутрь материала или образует на его
поверхности тонкую пленку воды. При относительной влажности
меньше 50 % влага, содержащаяся в материалах, испаряется, и неметаллические материалы становятся более хрупкими. Активнее
обмениваются влагой с воздухом изоляционные материалы, изготовленные на основе хлопка и шелка.
Внутрь материала влага проникает по капиллярам, а также через трещины и поры. Насыщение влагой материалов на резиновой
основе происходит путем осмоса1.
1 Осмос – диффузия вещества, в данном случае воды, через полупроницаемую
мембрану – поверхностную пленку материала, в результате образования которой
концентрация воды снаружи и внутри материала имеет тенденцию к выравниванию.
71
Влага, поглощенная диэлектриком из воздуха, снижает его объемное сопротивление. Так, удельное объемное сопротивление гетинакса при относительной влажности воздуха 90 %, температуре
35 С и длительности воздействия 24 ч снижается в 100 раз.
Наличие влаги на поверхности материала приводит также к снижению электрического сопротивления изоляционных материалов,
которое может достигать нескольких порядков, что увеличивает
вероятность пробоя электрической изоляции и преждевременного
выхода изделия из строя.
Весьма наглядным примером воздействия влаги на работу,
в частности, авиационного оборудования является случай, произошедший в 1989 г. с истребителем Миг-23 группы советских войск
в Польше [11]. В результате длительной эксплуатации самолета
в районе Балтийского моря влага, накопившаяся в штепсельных
разъемах кабельной системы, способствовала образованию коррозии припоя и, как следствие, возникновению ложных электрических цепей, что вызвало остановку двигателя. В момент катапультирования произошел динамический удар, в результате которого
ложные цепи самоликвидировались, двигатель запустился, и система автоматического управления довела самолет без пилота до
Бельгии, где он и упал после полной выработки топлива.
Повышение влажности воздуха интенсифицирует коррозионные явления на поверхности металлов. На рис. 5.1 приведена качественная зависимость скорости коррозии от толщины пленки влаги на поверхности металла. На рисунке выделены четыре участка:
на участке 1 пленка влаги практически отсутствует, и коррозия
происходит вследствие окисления поверхностного слоя металла
кислородом воздуха. На участке 2 при заметной пленке влаги скоСкорость коррозии
1
2
3
4
Толщина пленки
Рис. 5.1. Зависимость скорости коррозии
от толщины пленки влаги на поверхности металла
72
рость коррозии возрастает и достигает максимума на участке 3 (при
относительной влажности воздуха 100 %). Снижение скорости образования коррозии в конце участка 3 объясняется уменьшением
диффузии кислорода воздуха через толстую пленку влаги. Участок
4 соответствует случаю погружения металла в воду.
Значительное влияние на разрушение конструкционных материалов оказывают содержащиеся в атмосфере коррозионные
агенты естественного и техногенного происхождения. Наиболее
активными агентами, усиливающими коррозионные повреждения
металлов, являются оксиды серы и азота, которые образуются в атмосфере в основном при сгорании разных видов топлива.
Для примера приведем данные о выбросе пара из вспомогательного парового котла транспортного судна, работающего на мазуте,
при стоянке в порту [12]. При производительности 1т пара в час котел выбрасывает в атмосферу 4 кг SO2 и 2,25 кг NOx в час. Дизельгенераторы выделяют из расчета на 1кВт·ч выработанной электроэнергии 0,95 кг SO2 и 16,3 кг NOx. Соединяясь с водой, эти газы образуют кислоты – сернистую H2SO3, серную H2SO4, азотную HNO3,
которые обладают разрушающим действием, несмотря на незначительную концентрацию их в атмосфере.
В присутствии озона атмосферы происходит каталитическое
ускорение коррозионных реакций.
На рис. 5.2 показана качественная картина разрушающего воздействия на металл обычных коррозионных агентов – кислорода и
Степень повреждения
металла
't
1
2
3
0
t
Рис. 5.2. Разрушающее действие коррозии.
1 – уровень окончательного разрушения; 2 – суммарное повреждение
от обычных климатических и ускоряющих факторов;
3 – повреждение от обычных климатических факторов
(t – сокращение срока службы изделия)
73
влаги воздуха 3 и агентов, усиливающих коррозию 2. Отсюда видно снижение времени эксплуатации объекта на величину t (если
степень повреждения металла – единственный фактор, определяющий работоспособность объекта) в зависимости от степени загрязнения воздуха.
Побочным эффектом влияния влаги и вредных примесей, содержащихся в атмосфере, на состояние оборудования является образование грибковой плесени, что характерно для районов с влажным
тропическим климатом. В районах с засушливым климатом актуальным является учет воздействия песка и пыли, содержащихся
в воздухе, на работу механических элементов оборудования. Кроме повышенного износа трущихся частей оборудования возникает
опасность накопления влаги ввиду повышенной гигроскопичности
пыли, что также способствует появлению коррозии.
Знание количественных характеристик воздействия разрушающих факторов на свойства материалов позволит не только предотвратить возможные отказы оборудования, но и произвести грамотную оценку его надежности на этапе проектирования.
5.1.4. Воздействие механических нагрузок
Механические нагрузки относятся к факторам внешнего воздействия искусственного происхождения. Такие воздействия могут
вызывать мгновенную отказную реакцию изделия или накапливать усталостные явления и постепенно приводить к отказам.
Элементы радиоэлектронной аппаратуры и другие устройства
и приборы авиационной и космической техники подвержены действию значительных механических нагрузок от двигателей и других источников механического воздействия. К числу таких нагрузок относятся:
–периодические вибрационные нагрузки в диапазоне 1–5000 Гц
при ускорениях до 40g;
–механические удары однократного действия при ударном
ускорении до 3000g и длительности воздействия до 2 мс;
–механические удары многократного действия при ударном
ускорении до 150g при длительности воздействия до 5 мс;
–линейное ускорение до 500g.
Внешнее механическое воздействие на прибор передается его элементам через точки их крепления к корпусу. Элементы конструкции служат своего рода демпфирующими устройствами, ослабляющими действие источника вибраций и ударов. Обеспечение механи74
ческой прочности и вибрационно-ударной устойчивости устройства
представляет собой достаточно сложную инженерную задачу, решаемую с помощью вероятностно-статистических методов.
Говоря о механическом воздействии на работоспособность оборудования, следует иметь в виду не только механическую прочность его конструктивных элементов. Например, процесс старения
изоляции электрических машин обусловлен как воздействием повышенной температуры, так и механическими нагрузками [9]. Современные изоляционные материалы обладают значительной механической устойчивостью к статическим нагрузкам. Однако опыт
показывает, что даже при сравнительно небольших деформациях
наблюдается существенное снижение пробивного напряжения,
происходящее приблизительно по линейному закону в зависимости от величины деформации. Для каждого значения температуры
существует определенный предел деформации, за которым снятие
нагрузки уже не приводит к восстановлению первоначальных диэлектрических свойств, т. е. возникают необратимые структурные
изменения в виде трещин, разрывов, расслоения и т. д.
Таким образом, воздействие механических нагрузок на работоспособность ТС является сложным многофакторным процессом,
который требует детального исследования в каждом конкретном
случае.
5.1.5. Старение материалов
Старением называют процесс ухудшения физико-механических свойств материала во времени под действием внешних факторов. Старение материала обусловлено явлением его рекристаллизации, химическими реакциями, коррозионными явлениями,
изменяющими начальные свойства, которыми обладал материал.
Старение материала – необратимый процесс. Он может характеризоваться некоей функцией X(t) рабочих свойств материала, которая убывает в процессе эксплуатации. Вместе с тем процесс старения можно рассматривать как процесс накопления повреждений
материала с течением времени, являющийся обратным процессу
ухудшения рабочих характеристик.
Предположим, что процесс накопления повреждений материала
в результате старения описывается функцией U(t), а его скорость –
dU
функцией (t) =
. Тогда анализ изменения этих функций с теdt
чением времени может отразить не только качественную картину
75
процесса старения, но и позволит провести количественный анализ
надежности соответствующего объекта.
На рис. 5.3 приведены графики функций U(t) и (t) для типовых
процессов старения материалов.
Стационарный процесс (рис. 5.3, а) имеет постоянную скорость
накопления повреждений. Это происходит, если факторы, влияющие на нее, стабилизировались и интенсивность процесса не меняется. Данный процесс характерен для периода нормальной эксплуатации объекта, который начинается сразу за периодом приработки и заканчивается непосредственно перед периодом износовых отказов. Для этого периода интенсивность отказов (t) = const. Такой
процесс также имеет место при некоторых видах коррозии.
Если при старении материала действуют факторы, усиливающие или ослабляющие процесс, то старение происходит с монотонно возрастающей или монотонно убывающей скоростью (t)
(рис. 5.3, б, в). Изображенный на рис. 5.3, б процесс наблюдается
при засорении трущихся поверхностей и износовых отказах, когда соответствующий элемент системы выработал свой ресурс. Для
такого процесса интенсивность отказов (t), как и скорость накопа)
б)
U (s) js
U, J
U, J
J(t)
J(t)
U (s) jsm
0
0
t
в)
t
г)
U, J
U, J
U(t)
U (s) jsm
J(t)
J(t)
0
t
0
t
Рис. 5.3. Типовые процессы накопления повреждений:
а – стационарный процесс; б – монотонно возрастающий процесс (n>1);
в – монотонно убывающий процесс (n<1); г – экстремальный процесс
76
ления повреждений (t), монотонно возрастает. На рис. 5.3, в изображен монотонно убывающий по скорости процесс, характерный
для периода приработки (в период ранних отказов). Интенсивность
отказов (t) в этот период также монотонно убывает.
Если на старение материала влияют изменяющиеся во времени
разнонаправленные факторы, то происходит экстремальный процесс (рис. 5.3, г). В этом случае функция U(t) имеет точку перегиба. Такая зависимость характерна для пластических деформаций в
материалах, полученных способом литья. В процессе их эксплуатации происходят релаксация внутренних напряжений и, как следствие, пластические деформации.
Рассмотренные процессы накопления повреждений и старения
материалов (узлов, изделий) являются процессами случайными,
так как начальные свойства и параметры материалов обусловлены
статистическим рассеиванием из-за нестабильности технологических процессов их изготовления. Кроме того, процесс старения зависит от случайных факторов воздействия. Поэтому скорость этого
процесса (t) является случайной величиной, и для ее полной статистической характеристики необходимо знать закон распределения
(U), который может быть выведен экспериментальным путем. Испытания проводят при воздействии различных внешних факторов,
значения которых принимают в соответствии с законом их распределения при заданных условиях эксплуатации. Исследователь, таким образом, должен иметь доступ к банку данных соответствующих законов распределения.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим монотонно возрастающий процесс, характерный для периода износовых отказов [10].
На рис. 5.4 приведены соответствующие кривые распределения
некоторых случайных величин для рассматриваемого периода эксплуатации объекта.
Процесс накопления повреждений U(t), являясь случайным
процессом, имеет определенный разброс. При этом кривые 1 и 2
(рис. 5.4, а) соответствуют максимально (1) и минимально (2) неблагоприятному влиянию факторов воздействия. Рассматривая
срез процессов для произвольного момента времени t, можно получить распределение (U) функции износа для этого момента времени.
На рис 5.4, б показана функция f(t) – плотность распределения
времени до возникновения отказа (частота отказов). Эта функция
является полной характеристикой рассеивания сроков службы
устройства. Математическое ожидание плотности распределения
77
а)
б)
Umax
1
0
f(t)
2
t*
M(U)
t
Tср
P(t)
f(t)
Q(t)
в)
0
P(s), Q(s)
t0
t
t1
P(t)
0
Q(t1)
P(t1)
Q(t)
t
Рис. 5.4. Кривые распределения случайных величин при износовых
(постепенных) отказах: а – функции износа (U);
б – частота отказов f(t); в – вероятности отказов Q(t)
и безотказной работы P(t)
f(t) равно среднему сроку службы изделия до отказа Тср. Момент
времени t0 определяет начало периода износовых отказов устройства. Этот момент соответствует максимально допустимому значению функции износа Umax для кривой 1 (рис 5.4, а). Для некоторого периода времени (t0, t1) заштрихованная площадь под кривой
f(t) характеризует вероятность Q(t) отказа устройства за это время,
а незаштрихованная площадь под той же кривой – вероятность P(t)
безотказной работы до момента времени t1.
На рис. 5.4, в показаны графики изменения интегральных функций – вероятности безотказной работы P(t) и отказов Q(t).
На практике для оценки надежности достаточно знать числовые
характеристики рассмотренных кривых. Основной является математическое ожидание, являющееся в анализируемом случае средним сроком службы изделия Тср (наработкой на отказ).
Напомним поясняющие рис. 5.4 формулы, связывающие количественные показатели надежности (их вывод см. в разделе 2).
78
Плотность распределения времени работы изделия до первого
отказа (частота отказов) f(t) связана с вероятностью отказа Q(t) соотношениями
t
f (t) =
dQ(t)
, Q(t) = ò f (t)dt,
dt
0
причем
¥
ò f (t)dt = 1.
0
Вероятность безотказной работы P(t) равна
P(t) = 1–Q(t).
Средний срок службы (средняя наработка на отказ) Tср является
математическим ожиданием f(t) и может быть вычислен по формуле
¥
Tñð = ò tf (t)dt.
0
Интенсивность отказов (t) определяют по формуле
(t) = f(t)/P(t).
Период износовых (постепенных) отказов начинается после выработки элементом (устройство, система) его ресурса, вследствие
чего интенсивность отказов начинает возрастать (см. рис. 3.3). Отказы, появляющиеся в период нормальной эксплуатации, называют внезапными. Они могут быть вызваны выходом режимов эксплуатации за допустимые пределы.
Несколько замечаний по поводу старения неметаллических материалов.
Старение полимерных материалов и пластмасс на их основе обусловлено процессами, приводящими к распаду основных цепей
макромолекул или изменению их структуры и взаимодействий
между ними. Указанные явления могут происходить под влиянием физических (свет, теплота) или химических (воздействие воды,
кислорода) факторов. В результате старения полимеров могут изменяться также молекулярная масса и химический состав материалов. В этом случае уменьшается их прочность при растяжении,
увеличивается хрупкость при низких температурах, снижается
стойкость к истиранию. При длительной выдержке полимера при
высокой температуре его прочность сначала уменьшается вследствие деструкции молекулярной цепи, а затем вновь увеличивает79
ся благодаря структурированию. В конце концов прочность снижается в результате полного разложения полимера.
Старение полупроводниковых приборов проявляется в деградации, дрейфе основных параметров и характеристик приборов: увеличении обратного тока диодов и неуправляемых обратных токов
коллекторного и эмиттерного переходов транзисторов, плавающем
изменении коэффициентов передачи тока транзисторов, снижении
пробивных напряжений p–n-переходов. Данные процессы обусловлены двумя их основными особенностями:
–высокой чувствительностью поверхности полупроводников
с p–n-переходами как к физическим условиям, так и к химической
природе окружающей среды;
–высокой чувствительностью свойств полупроводников к примесям, неоднородностям и дефектам структуры.
Значительная зависимость параметров от температуры является принципиальной особенностью полупроводниковых приборов,
связанной с физическими свойствами полупроводников.
Таким образом, надежность технических систем напрямую зависит от физико-химическими свойств конструкционных материалов, поскольку возникновение отказов зарождается в результате
протекания физико-химических процессов, подверженных множеству случайных факторов. Знание и прогнозирование этих процессов позволяет повысить надежность ТС.
5.1.6. Ошибки человека
По статистическим данным, 10–15 % всех отказов ТС вызваны
ошибками человека, совершаемыми на стадиях проектирования,
изготовления, контроля и эксплуатации системы при любом уровне подготовки, квалификации и опыта. При управлении сложными системами по вине операторов происходит около 40 % от общего
числа отказов при испытании ракет, 63,6 % отказов на объектах
морского флота и до 70 % отказов в авиации [3]. Поэтому изучение
надежности человека как звена системы «человек – машина» является необходимым.
При проектировании ТС ошибки связаны с погрешностями расчета,
неправильным выбором материалов, непродуманностью эргономических решений при организации рабочего места человека-оператора.
На этапе производства возможны ошибки вследствие низкого качества работы, например, плохой пайки или сварки, и при отступлениях от требований конструкторско-технологической документации.
80
При контроле готовой продукции ошибки связаны с приемкой
как годного прибора, устройства, элемента, характеристики которого не соответствуют допускам.
Ошибки оператора заключаются в неправильном выполнении
им инструкций по эксплуатации ТС и зависят от его психофизического состояния (усталость, стресс и т. д.) и неправильной организации рабочего места (эргономические просчеты, шум, недостаточная освещенность и т. д.).
Неквалифицированная работа службы управления персоналом
приводит к нарушению психологической несовместимости специалистов, нормального психологического климата в коллективе и,
как следствие, к снижению качества работы и увеличению вероятности появления ошибок у отдельных работников.
Наиболее изученными, с точки зрения повторяемости и возможных последствий, являются ошибки операторов. В [10] приводятся
оценки плотности вероятности времени работы оператора до ошибки (отказа):
–неправильный выбор переключателя при условии отсутствия
ошибки в принятии решения: f = 1·10–4 ч–1;
–ошибочный выбор переключателя в результате неправильного
считывания его обозначения: f = 3·10–3 ч–1;
–арифметические ошибки при проведении самопроверки:
f = 3·10–2 ч–1;
–отсутствие реакции оператора на нарушение системой допустимого режима, если на пульте управления не предусмотрена сигнализация о состоянии параметра процесса: f = 5·10–2 ч–1;
–отказ системы, происшедший в результате того, что персонал
следующей смены не проверил оборудование после работы предыдущей: f = 1·10–1 ч–1.
Анализ надежности человека как звена ТС можно провести c помощью дерева вероятностей успешного и ошибочного выполнения
заданий. Дерево вероятностей представляет собой граф, вершины
которого (кроме начальной) являются возможным исходом выполнения заданий – успешный (у) или ошибочный (o). Ветви графа
представляют собой вероятности того или иного исхода. Одна из конечных вершин графа соответствует успешному выполнению всех
последовательно поступающих заданий, остальные конечные вершины соответствуют ошибочному выполнению всех или одного из
заданий. Граф позволяет рассчитать вероятности всех возможных
исходов.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим конкретный пример.
81
Оператор выполняет операцию, состоящую из двух последовательных действий: А1 и А2. Он может выполнить их правильно или
неправильно.
Построим дерево вероятностей успешного или ошибочного выполнения задания (рис. 5.5) и примем следующие обозначения:
РА – вероятность успешного выполнения действия; PA – вероятность ошибочного выполнения действия.
Дерево имеет один успешный исход и три ошибочных. Принимая, что вероятности выполнения отдельных действий статистически независимы, получаем вероятность успешного исхода:
Ðó = Ð À1 Ð À2 .
Аналогично можно получить формулу вероятности невыполнения задания:
Ðî = Ð À1 Ð A + Ð A Ð À2 + Ð A Ð A =1
- Ð À1 Ð À2 .
2
1
1
2
Примем, что плотности вероятности времени работы каждого действия оператора до ошибки является линейно возрастающей функцией времени (вследствие накопления усталости оператора). Для определенности примем, что для первого действия
f1(t) = 3·10–3t ч–1, а для второго – f2(t) = 1·10–3t ч–1. Тогда вероy
PA
2
y
PA
PA
o
PA
o
1
PA
1
2
2
PA
2
o
Рис. 5.5. Дерево выполнения задания оператором
82
ятности неправильного выполнения первого и второго действий
в конце восьмичасового рабочего дня можно записать как
8
8
0
0
8
8
0
0
Q À1 = ò f1 (t)dt = ò 3·10-3 tdt =
Q À2 = ò f2 (t)dt = ò 1·10-3 tdt =
3·10 -3t2 t = 8
= 0,096,
t=0
2
1·10-3 t2 t = 8
= 0,032.
t=0
2
Соответственно вероятности правильного выполнения этих действий составляют
Ð À1 =1
- Q À1 = 0,904,
Ð À2 =1
- Q À2 = 0,968.
Вероятность успешного выполнения задания для независимых
событий равна произведению соответствующих вероятностей:
Ру = 0,904·0,968 = 0,875.
Вероятность ошибки
Ро = 1– Ру = 1–0,875 = 0,125.
Как можно видеть, вероятность ошибки оператора при заданных исходных данных сравнительно велика. Поэтому в тех случаях, когда ошибки операторов должны быть практически исключены, т. е. в особо ответственных человеко-машинных системах
управления, вводится структурная избыточность [3]. В частности,
вместо одного оператора вводят двух, повторяющих одинаковые
операции. Тогда вероятность совершения одинаковых ошибок сразу двумя операторами определяется соотношением
m é
n
ù
Pî = å êêti å ( PîÀ PîÁ )úú,
úû
i=1 êë k=1
где ti – доля времени, необходимая для выполнения i-й операции;
m – число операций; PоА, PоБ – соответственно вероятности ошибок
операторов А и Б; n – число типов ошибок.
Эффективность структурной избыточности подтверждается следующими экспериментальными данными: если один оператор за 10000
операций совершает 116 ошибок, то два оператора за 1 млн операций
совершают одновременно лишь 37 ошибок, т. е. в 300 раз меньше.
Таким образом, лишь учет всех рассмотренных особенностей,
связанных с человеческим фактором в системе «человек – маши83
на», позволят свести к минимуму вероятность ошибок оператора и
соответственно повысит надежность ТС.
5.2. Структурные схемы надежности
5.2.1. Последовательная схема
Если отказ всей ТС наступает при отказе одного из ее элементов,
то говорят, что такое устройство, с позиции надежности, имеет основное соединение элементов. В этом случае мы имеем дело с простейшей формой структурной схемы – последовательной структурой. Заметим, что физически сами элементы в устройстве могут
быть соединены по-другому.
На рис. 5.6 приведен общий вид структурной схемы системы с
последовательным соединением элементов. Отказ всей системы наступает при отказе любого из n элементов. При расчете надежности
таких систем принимают, что отказ каждого элемента является событием случайным и независимым.
С позиции теории вероятностей, событие, состоящее в безотказной работе всей системы, есть совмещение событий, заключающихся в безотказной работе каждого элемента. Тогда по правилу
умножения вероятностей для независимых событий вероятность
безотказной работы всей системы Pc(t) равна произведению вероятностей безотказной работы каждого элемента Pi(t):
n
Pc (t) = P1 (t) P2 (t)...Pn (t) =  Pi (t).
(5.2)
i=1
С учетом выражения (2.10) вероятность Pc(t) безотказной работы системы можно выразить через интенсивность отказов элементов i(t):
t
t
t
ì
ü
ì
ü
ì
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Pñ (t) = exp ï

(
t
)
d
t
exp

(
t
)
d
t
...exp

(
t
)
d
t
í ò 1
ý
í ò 2
ý
í ò n
ý=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï 0
ï
ï 0
ï
ï 0
ï
î
þ
î
þ
î
þ
t
ì
ü
n
ï
ï
ï
ï
= exp ï
(5.3)
í-å ò  i (t)dtï
ý.
ï
ï
ï
ï
i
1
=
0
ï
ï
î
þ
1
2
3
...
Рис. 5.6. Структурная схема системы
с последовательным соединением элементов
84
n
Известно, что сумма определенных интегралов равна интегралу
от суммы подынтегральных функций. Поэтому выражение интенсивности отказов системы принимает вид
n
 c (t) = å  i (t).
(5.4)
i=1
Поскольку отказ любого элемента равносилен отказу системы,
все потоки отказов отдельных элементов складываются в один поток отказов системы с интенсивностью, равной сумме интенсивностей отдельных потоков.
Приведенные формулы являются наиболее общими и позволяют
определить вероятность безотказной работы системы при любом законе распределения отказов во времени.
Если все элементы равнонадежны, то
P1(t) = P2(t) =... = Pn(t) = P(t),
Pc (t) = Pn (t).
(5.5)
В случае экспоненциального закона распределения, что характерно для периода нормальной эксплуатации ТС, i = const. Тогда
выражения для количественных характеристик надежности системы при последовательном соединении элементов примут вид
Pñ (t) = e–ct , Tñð.ñ =
n
1
, fñ (t) =  ñ e-ct ,  c = å  i ,
ñ
i=1
(5.6)
где Tср.с – среднее время работы системы до отказа; fс(t)–плотность
распределения времени работы системы до первого отказа.
Для иллюстрации рассмотрим три примера расчета надежности
ТС с последовательной структурой.
Пример 5.1. Система состоит из 10 элементов, независимых по
отказам, и вероятность безотказности работы каждого элемента
Pi(t) = 0,95.
Определить вероятность безотказной работы системы.
Р е ш е н и е. По формуле (5.5) находим
Pi (t) = 10 Pc (t) = 10 0,9.
Результат показывает, что надежность системы значительно
уменьшается при увеличении числа ее элементов по сравнению с
надежностью каждого.
85
Замечание. Очевидно, что может быть решена и обратная задача: по заданной надежности системы Pс(t) (например, Pс(t) = 0,9)
определить, каким уровнем надежности должны обладать элементы, чтобы обеспечить заданный уровень надежности системы.
В этом случае
Pi (t) = 10 Pc (t) = 10 0,9.
Логарифмируя последнее выражение, находим
1
1
lgPi (t) = lg Pc (t) = lg 0,9 @ -0,005,
10
10
откуда
Pi (t) = 10–0,0050,99.
Пример 5.2. Система состоит из двух последовательно соединенных независимых по отказам элементов. Плотность распределения
времени безотказной работы элементов (частоты отказов) f(t) задана формулами
f1 (t) = 1 + k1t, f2 (t) = 1 - e-k2t .
Требуется найти интенсивность отказов системы с(t).
Р е ш е н и е. Как известно (см. раздел 2.5), количественные показатели надежности связаны между собой аналитическими зависимостями, с учетом которых можно записать
 ñ (t) =
fc (t)
dQc (t)
, fc (t) =
,
1 - Qc (t)
dt
(5.7)
где Qc(t) – вероятность отказа системы.
С учетом (5.7) найдем для каждого элемента вероятность отказа
Qi(t) и интенсивность i(t):
t
t
k t2
Q1 (t) = ò f1 (t)dt = ò (1 + k1t)dt = t + 1 ,
2
0
0
t
t
0
0
1 =
f1 (t)
=
1 - Q1 (t)
Q2 (t) = ò f2 (t)dt = ò (1 - e-k2t )dt = t -
86
1 + k1t
kt
1- t - 1
2
2
=
1
1
+ e-k2t ,
k2 k2
2 + 2k1t
2 - 2t - k1t2
,
2 (t) =
f2 (t)
k2 - k2e-k2t
1 - e-k2t
=
=
.
1 - Q2 (t) 1 - t + 1 - 1 e-k2t 1 + k2 - k2t - e-k2t
k2 k2
В соответствии с выражением (5.4) определим интенсивность отказов системы
2
2 + 2k1t
k2 - k2e-k2t
 c (t) = å  i (t) =
+
.
2 - 2t - k1t2 1 + k2 - k2t - e-k2t
i=1
Замечание. При необходимости можно найти выражение вероятности безотказной работы системы Pс(t). Действительно, в соответствии с (5.3) и (5.4) можно записать
ì 2 t
ü
ì t 2
ü
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
Pñ (t) = exp ï
í-å ò  i (t)dtï
ý = exp ï
í-ò å  i (t)dtï
ý=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï i=1 0
ï
ï 0 i=1
ï
î
þ
î
þ
t
ì
ü
ï
ï
æ
ö÷ ï
k2 - k2e-k2t
ï
ï- çç 2 + 2k1t +
÷÷dtï
= exp í
ý.
ç
ò
ï
çè 2 - 2t - k t2 1 + k - k t - e-k2t ø÷÷ ï
ï
ï
1
2
2
ï 0
ï
î
þ
Возьмем интеграл в показателе экспоненциальной функции и
проведем ряд тождественных преобразований. В результате получим
2 - 2t - k1t2 )(1 + k2 - k2t - e-k t )
(
P (t) =
.
2
ñ
2k2
Пример 5.3. В системе с последовательным соединением двух
элементов интенсивности отказов элементов постоянны и соответственно равны 1 = 1·10–4 и 2 = 2·10–4 ч–1.
Требуется определить среднее время безотказной работы системы Tср и вероятность этой работы в течение 100 ч – Pс(100).
Р е ш е н и е. Сначала находим интенсивность отказов системы,
используя формулу (5.4):
с = 1+ 2 = 3·10–4ч–1.
Затем по формулам (5.6) вычисляем вероятность безотказной
работы системы в течение 100 ч и среднее время этой работы до первого отказа (среднее время наработки на отказ):
⋅ -4 ⋅100
Pc (100) = e-310
= 0,97,
Tñð =
1
1
=
= 3333,32 ÷.
 ñ 3 ⋅10-4
87
5.2.2. Схема с параллельным соединением элементов
Параллельной называется система, сохраняющая работоспособность до тех пор, пока работоспособен хотя бы один ее элемент. При
этом предполагается, что все ее элементы находятся во включенном состоянии с самого начала работы (рис. 5.7).
Система работоспособна в случаях, если:
– исправен элемент 1 или элемент 2, или элемент 3;
– исправны одновременно элементы 1 и 2 или элементы 2 и 3,
или элементы 1 и 3;
– исправны одновременно элементы 1, 2 и 3.
Если отказы элементов системы статистически независимы, то система переходит в отказное состояние после отказа всех элементов.
Вероятность Pс безотказного состояния системы из n параллельно включенных элементов определяется по теореме сложения вероятностей совместных случайных событий [13] следующим образом:
Pс = (P1+P2+...+Pn ) – (P1P2+P1P3+...+P1Pn+P2P3+...) +
+ (P1P2P3+...+P1P2Pn+...) –...+ (–1)n–1 (P1P2P3...Pn).
(5.8)
Для схемы (см. рис. 5.7) из трех параллельно соединенных элементов
Pс = (P1+P2+ P3) – (P1P2+P1P3+P2P3) + P1P2P3.
Более простую формулу для расчета вероятности безотказного
состояния системы из n параллельно включенных элементов можно получить из следующих соображений.
1
2
3
Рис. 5.7. Структурная схема системы
с параллельным соединением элементов
88
Вероятность отказа системы из n параллельно включенных элементов равна
n
Qc =  Qi ,
i=1
где Qi – вероятность отказа i-го элемента.
Отсюда вероятность безотказной работы системы
n
Pc = 1 - Qc = 1 -  (1 - Pi ).
(5.9)
i=1
Если вероятность безотказной работы всех элементов одинакова, то формула (5.9) принимает вид
Pc = 1 - (1 - Pi )n .
(5.10)
Следует отметить, что с увеличением числа элементов системы
ее надежность при прочих равных условиях повышается, и в целом
она всегда выше, чем надежность любого ее элемента.
Рассмотренная параллельная структура является одной из разновидностей резервированных систем (см. раздел 4) и представляет собой систему с постоянно включенным резервом и целой кратностью.
Если интенсивности отказов i элементов постоянны и вероятности безотказной работы элементов разделяются по экспоненциальному закону, то формула (5.9) вероятности безотказной работы
системы принимает вид
n
Pc = 1 -  (1 - e-it ).
i=1
В этом случае, если все элементы системы одинаковы, выражения вероятности безотказной работы и интенсивности отказов системы записывают как
Pc = 1 - (1 - e-t )n ,
(5.11)
 c (t) = -
P ¢(t) n(1 - e-t )n-1
.
=
P(t)
1 - (1 - e-t )n
В общем случае среднее время безотказной работы системы Tср.с
может быть найдено интегрированием выражения (5.8):
¥
Tñð.ñ = ò Pñ (t)dt.
0
89
Если система состоит, например, из трех параллельно включенных элементов, распределяющихся по экспоненциальному закону,
то Pi = e-it , и среднее время безотказной работы Tср.с
Tñð.ñ =
1
1
1 æç 1
1
1 ö÷
1
÷÷ +
+
+
- çç
+
+
. (5.12)
1 2 3 çè 1 + 2 1 + 3 2 + 3 ÷ø 1 + 2 + 3
Среднее время безотказной работы системы с параллельным
соединением элементов (с нагруженным резервом) с ростом числа
элементов разрастает довольно медленно [2]. Так, если для экспоненциального распределения принять среднее время безотказной
работы одного элемента за единицу, то при параллельном соединении десяти элементов среднее время безотказной работы составит
только 2,88.
Для иллюстрации успешного применения полученных в данном
разделе формул рассмотрим два примера расчета некоторых показателей надежности систем с параллельным включением элементов.
Пример 5.4. Перекачивающая топливная система состоит из
трех дублирующих насосов. Система работоспособна, пока исправен хотя бы один насос. Вероятности безотказной работы насосов
одинаковы и равны P1 = P2 = P3 = 0,9. Насосы независимы по отказам.
Определить надежность системы.
Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что соединение элементов системы параллельное. Используя формулу (5.10), получаем
3
Pc = 1 - (1 - Pi )3 =1 - (1 - 0,9) = 0,999.
Пример 5.5. Предохранительное устройство пневматической системы имеет два клапана, выпускающих воздух в атмосферу при
превышении в системе допустимого давления. Клапаны независимы по надежности. Интенсивность отказов клапанов постоянна,
одинакова и равна 1 = 2 =  = 5·104 ч–1.
Требуется определить вероятность безотказной работы устройства в течение 400 ч и среднюю наработку на отказ.
Р е ш е н и е. Поскольку интенсивность отказов элементов системы постоянна, имеем дело с экспоненциальным распределением.
В этом случае воспользуемся формулами (5.11) и (5.12) с учетом
числа элементов в системе:
Pc (t) = 1 - (1 - e-t )3 = 2e-t - e-2t ,
4
Pc (400) = 2e-5 ·10
90
· 400
4
- e-2 · 5 ·10
· 400
= 0,9671,
1 1
2
1
Tñð.ñ = 2 =
= 3000 ÷.
 2 5 ⋅10-4 2 ⋅ 5 ⋅10-4
5.2.3. Преобразование сложных структур
Рассмотренные чисто последовательные и чисто параллельные
структуры встречаются довольно редко. Чаще приходится иметь
дело со смешанными структурами, которые в большинстве случаев могут быть редуцированы до более простых (последовательных,
параллельных или их сочетаний). В этом случае они являются приводимыми структурами. В качестве примера на рис. 5.8 показан вариант приводимой параллельно-последовательной структуры.
Последовательность преобразования данной структуры такова.
Сначала выделяем две подсистемы: параллельную (элементы 1, 2)
и последовательную (элементы 3, 4). Их можно преобразовать по
правилам, изложенным ранее, в единые элементы: (1–2) и (3–4).
Полученные элементы включены параллельно и могут быть преобразованы также в единый элемент (1–2–3–4), который включен
последовательно с элементом 5. По правилу преобразования последовательной схемы в результате получаем элемент (1–2–3–4–5),
являющийся эквивалентным по надежности рассмотренной ТС.
Очевидно, что при известных количественных характеристиках
надежности отдельных элементов расчет надежности всей системы
не представляет труда.
На практике часто встречаются неприводимые структуры, которые невозможно свести к одному элементу только путем преобразования последовательных и параллельных цепочек. К ним относятся все системы с сетевой структурой: телекоммуникационные,
энергетические, транспортные.
1
2
5
3
4
Рис. 5.8. Приводимая параллельно-последовательная
структура ТС
91
а)
2
б)
Q2
1
Q12
Q1
Q31
2
1
Q23
Q3
3
3
Рис. 5.9. Преобразование соединения «треугольником»
в соединение «звездой»
В качестве примера преобразования подобных структур рассмотрим способ эквивалентного преобразования системы «треугольник – звезда». Такое преобразование необходимо выполнять, например, при упрощении мостовых структур надежности [10].
Пусть требуется заменить соединение «треугольником»
(рис. 5.9, а) на соединение «звездой» (рис. 5.9, б). При этом переход
к соединению «звездой» не должен изменить надежности ветвей
1–2, 3–1, 2–3. Вероятность отказа ветви 1–2 «звезды» (рис. 5.9, б)
согласно формуле сложения вероятностей совместных событий, состоящих в отказах элементов 1 и 2, равна Q1 + Q2 - Q1Q2 [13].
Ветвь 1–2 «треугольника» (рис. 5.9, а) представляет собой параллельную цепь из элемента Q12 и двух последовательно соединенных элементов Q31 и Q23. Тогда вероятность отказа этой ветви
может быть определена как Q12 (Q23 + Q31 - Q23Q31 ).
Аналогичные рассуждения можно провести относитенльно
ветвей 3–1 и 2–3. В результате получим, что вероятности отказов
элементов рассмотренных структур Qi, Qij должны удовлетворять
уравнениям
ìïQ1 + Q2 - Q1Q2 = Q12 (Q23 + Q31 - Q23Q31 ),
ïï
ïíQ + Q - Q Q = Q (Q + Q - Q Q ),
3
2 3
23 31
12
31 12
ïï 2
ïïîQ3 + Q1 - Q3Q1 = Q31 (Q12 + Q23 - Q12Q23 ).
92
(5.13)
Если в уравнениях (5.13) пренебречь произведениями вида QiQj
и тройными произведениями, имеющими малую величину, получим уравнения
ìïQ1 + Q2 = Q12Q23 + Q12Q31,
ïï
ïíQ + Q = Q Q + Q Q ,
3
23 31
23 12
ïï 2
ïïîQ3 + Q1 = Q31Q12 + Q31Q23 ,
решение которых дает формулы преобразования соединения «треугольником» в соединение «звездой»:
Q1 = Q12Q31,
Q2 = Q23Q12,
Q3 = Q31Q23.
Для обратного преобразования «звезды» в «треугольник» имеем
Q1Q2
Q2Q3
Q1Q3
, Q23 =
, Q31 =
.
Q3
Q1
Q2
Q12 =
Рассмотрим пример, поясняющий преобразование неприводимой структуры.
Пример 5.6. Определить вероятность безотказной работы ТС,
структура которой имеет вид мостовой схемы (рис. 5.10). Заданы
вероятности отказов элементов Q1, …, Q5 = 0,05.
Преобразуем соединение элементов 1, 2, 5 из «треугольника»
в «звезду» и определим вероятности отказов новых элементов а, b,
с (рис. 5.11):
Qа = Q1Q2 = 0,05·0,05 = 0,25·10–2,
Qb = Q1Q5 = 0,05·0,05 = 0,25·10–2,
Qс = Q2Q5 = 0,05·0,05 = 0,25·10–2.
Q1
1
Q3
B
3
D
A
5
Q5
Q4
Q2
2
C
4
Рис. 5.10. Структура ТС
93
b
а)
б)
Qb
B
Q1
Qa
Q5
A
а
Q2
Qc
C
с
Рис. 5.11. Преобразование исходной структуры
Преобразованная эквивалентная структурная схема надежности имеет вид, приведенный на рис. 5.12.
В результате преобразования получили простую последовательно-параллельную схему.
Определим вероятности безотказной работы элементов структурной схемы (см. рис. 5.12) по формуле Р = 1 – Q:
Pa = Pb = Pc = 1–0,00250,997,
P3 = P4 = 1–0,05 = 0,95.
Найдем теперь вероятность Pс безотказной работы ТС, имеющей
структурную схему надежности (см. рис. 5.12), с использованием
формул (5.2) и (5.10):
Pb3 = Pc4 = 0,997·0,95 = 0,947,
Pb3c4 = 1–(1–0,947)2 = 0,997,
Pc = PaPb3c4 = 0,997·0,997 = 0,994.
b
A
3
D
a
c
4
Рис. 5.12. Преобразованная структура
94
5.3. Задание к разделу 5
Рассмотренные примеры можно оценивать как типовые. Поэтому здесь приводим задание только для самостоятельного решения.
Задание. Структурная схема надежности ТС представлена на
рис. 5.13. Вероятность отказов всех элементов одинакова и равна
Q = 0,89.
8
2
5
4
1
3
9
7
6
11
10
Рис. 5.13. Структурная схема надежности ТС
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы системы.
Контрольные вопросы к разделу 5
1. Какие факторы влияют на отказы ТС?
2. Каким образом на работоспособность ТС воздействует температура?
3. От каких факторов зависит скорость коррозии металлических
поверхностей?
4. Какие существуют типовые процессы накопления повреждений при старении материалов?
5. Каковы особенности процесса старения неметаллических материалов?
6. Каково влияние человеческого фактора на надежность ТС?
7. Каков порядок расчета ТС с приводимой структурой?
8. Как преобразовать структуру ТС «звезда – треугольник»?
95
6. МЕТОДИКА РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ТС
Различают два вида расчета надежности ТС – элементный, или
аппаратный, и функциональный. При элементном расчете определяют показатели надежности составляющих системы (вероятность
безотказной работы, наработка на отказ и др.), а затем рассчитывают надежность всей системы. Функциональный расчет надежности состоит в нахождении ее показателей при выполнении заданных функций (сохранении параметров и характеристик системы
на требуемом уровне) для заданных условий эксплуатации. Функциональный расчет надежности сложнее, так как требует знания
зависимостей влияния внешних воздействующих факторов на качество функционирования системы. Такие зависимости содержат
большое число неопределенностей, поэтому функциональный расчет менее точен, чем элементный. В дальнейшем рассматривается
элементный расчет надежности.
Рассчитать устройство или систему на надежность – значит
определить количественно не только ее характеристики: вероятность безотказной работы Р(t), вероятность отказа Q(t), интенсивность отказов (t), плотность распределения их во времени (частоту
отказов) f(t), среднее время безотказной работы Тср, но при необходимости и другие показатели (см. раздел 2).
В [6] предлагаются методики прикидочного, ориентировочного
и уточненного, или окончательного, расчета надежности невосстанавливаемых ТС при основном соединении элементов.
Прикидочный расчет применяется, главным образом, тогда,
когда необходимо определить принципиальную возможность обеспечения требуемой надежности устройства при его проектировании. При этом полагают, что все элементы изделия равнонадежны
с постоянной величиной интенсивности отказов экв. Тогда интенсивность отказов системы можно найти по формуле
с = Nэкв.
Очевидно, что данный способ не дает точной картины надежности
реального устройства, поскольку не учитывает различия в показателях надежности его элементов, их нагрузки и способах соединения, а
решает лишь принципиальный вопрос обеспечения надежности.
Ориентировочный расчет предполагает знание типов элементов,
из которых состоит система, их числа, вида соединения в системе,
величины интенсивности отказов элементов каждого типа. При этом
принято считать, что все элементы данного типа равнонадежны с по96
стоянной интенсивностью отказов i, работают одновременно и в номинальном режиме, предусмотренном техническими условиями, а отказы элементов являются событиями случайными и независимыми.
Данная методика применяется на этапе эскизного проектирования,
когда разрабатывается принципиальная электрическая схема системы. Таким образом, для ориентировочного расчета надежности достаточно знать структуру системы, номенклатуру элементов и их число.
Уточненный (окончательный) расчет надежности системы
(устройства) выполняется на этапе, когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в лабораторных условиях макетов и основных ее узлов или после тщательного расчета
спроектированной системы. При расчете надежности системы учитываются ее структура, типы элементов и режимы их работы, зависимость интенсивностей отказов элементов от режимов работы и
заданных внешних условий.
Поскольку прикидочный расчет надежности технических систем является весьма приближенным и не вызывает принципиальных трудностей, далее будем рассматривать лишь ориентировочный и уточненный расчет надежности применительно к невосстанавливаемым системам.
6.1. Ориентировочный расчет надежности
невосстанавливаемых ТС
6.1.1. Расчет надежности ТС
с основным соединением элементов
При ориентировочном расчете надежности полагают, что известны число элементов каждого типа, интенсивности отказов элементов i и все они одинаковы. Режим работы элементов принимают номинальным. При этом учитываются только те элементы, при
отказе которых система выходит из строя. Значения i берутся из
статистических таблиц интенсивностей отказов элементов ТС.
Система с основным соединением элементов не имеет резервирования и выходит из строя при отказе хотя бы одного из них.
При расчете надежности таких систем принимают, что отказы элементов являются событиями случайными и независимыми. Тогда
вероятность безотказной работы системы вычисляют по формуле
(5.2) для ТС с последовательной структурой:
n
Pc (t) = P1 (t) P2 (t)...Pn (t) =  Pi (t).
(6.1)
i=1
97
Если система содержит m типов элементов, число их каждого
типа Ni (i = 1,…, m), а интенсивности отказов i = const (для экспоненциального распределения), то
Pñ (t) = e–ct ,
(6.2)
m
где  c = å Ni  i – интенсивность отказов системы, равная сумме
i=1
интенсивностей отказов ее элементов.
Если интенсивности отказов для всех типов элементов одинаковы, то
1 = 2 = … = m =  и с = n,
m
где n = å Ni - общее число элементов системы.
i=1
Экспоненциальный закон распределения надежности справедлив для периода нормальной работы системы, когда период приработки закончен, а физический износ еще не наступил (см. рис. 3.4).
Данные расчетов, выполненных при допущении распределения
надежности по экспоненциальному закону, во многих случаях хорошо согласуются с экспериментальными данными. Однако этот
закон неприменим для периодов приработки и износа, когда интенсивность отказов не является постоянной величиной. В этом
случае предлагается вводить в формулу экспоненциального закона
уточняющий коэффициент:
Pñ (t) = ke–ct ,
(6.3)
В (6.3) k – коэффициент, учитывающий увеличение интенсивности отказов в период приработки и в конце срока службы. Величину коэффициента k можно оценить, анализируя статистические
данные об отказах систем, подобных рассматриваемой.
Поскольку на данном этапе расчета реальные режимы работы
элементов не известны, часто оказывается целесообразным рассчитать надежность для двух крайних значений интенсивностей
их отказов. Соответствующие данные по интенсивностям отказов
элементов достаточно широкой номенклатуры приводятся в справочниках по надежности [6, 14]. При этом вычисляют два значения
интенсивности отказов системы: min и max и определяют соответственно две функции надежности: Pmin(t) и Pmax(t). (Очевидно, что
значению min соответствует значение Pmax(t), а значению max –
98
значение Pmin(t).) Истинное значение интенсивности отказов системы и вероятности безотказной работы лежит в интервале между
вычисленными значениями.
Таким образом, ориентировочный расчет надежности позволяет
произвести сравнительную оценку вариантов принципиальной схемы, дать рекомендации по выбору режимов работы ее элементов.
Для иллюстрации методики расчета рассмотрим пример.
Пример 6.1. Определить вероятность безотказной работы силовой части электропривода, имеющей в составе принципиальной
схемы трансформатор, три кремниевых транзистора, четыре кремниевых диода, две интегральные микросхемы, электродвигатель,
два датчика электромашинного типа (тахогенератор, вращающийся трансформатор), десять электрических сопротивлений резисторов), шесть конденсаторов, катушку индуктивности, соединитель.
Все элементы ТС соединены по основной схеме.
Считаем, что значения интенсивности отказов элементов находятся в пределах:
для трансформатора 1 = (0,7–0,9)·10–6 ч–1;
для транзистора кремниевого 2 = (0,4–0,6)·10–6 ч–1;
для диода кремниевого 3 = (0,08–0,2)·10–6 ч–1;
для интегральной микросхемы 4 = (0,23–0,43)·10–6 ч–1;
для электрического двигателя малой мощности 5 = (0,8–
1,0)·10–6 ч–1;
для датчика 6 = (0,8–1,0)·10–6 ч–1;
для резистора 7 = (0,05–0,087)·10–6 ч–1;
для конденсатора 8 = (0,05–0,09)·10–6 ч–1;
для катушки индуктивности 9 = (0,3–0,4)·10–6 ч–1;
для соединителя 10 = (0,4–0,6)·10–6 ч–1.
Р е ш е н и е. Подставим граничные значения интенсивностей отказов элементов в формулу (6.2) и получим максимальное и минимальное значения вероятностей безотказной работы электропривода:
Pc max (t) =
-6
= e-t·10
(1·0,7+3·0,4+4·0,08+2·0,23+1·0,8+2·0,8+10·0,05+6·0,05+1·0,3+1·0,4)
-6
= e-6,58·10
t
=
,
Pc min (t) =
-6
= e-t·10 (1·0,9+3·0,6+4·0,2+2·0,43+1·1+2·1+10·0,087+6·0,09+1·0,4+1·0,6) =
-6
= e-9,77·10 t .
99
Результаты расчетов зависимости минимального и максимального значений вероятностей безотказной работы электропривода от
времени работы приведены в табл. 6.1
Кривые Рсmах = f(t) и Рсmin = f(t) представлены на рис. 6.1.
Найдем минимальный период времени, в течение которого электропривод гарантированно будет иметь вероятность безотказной
работы 0,9. Для этого решим уравнение Pñ (t) = e–c maxt = 0,9 относительно t. В результате получим
t=
1
 max
ln
1
1
=
ln1,11 = 10686 ÷.
0,9 9,77 ⋅10-6
Таблица 6.1
Зависимость минимального и максимального значений вероятностей
безотказной работы электропровода от времени работы
t, ч
Pcmin
Pcmax
0
5000
10000
20000
1
0,9523
0,9069
0,8225
1
0,9696
0,9363
0,8767
Pс (t)
1,0
0,95
0,90
0,85
0
|
5000
10000
15000
20000
t, ч
Рис. 6.1. Вероятности Рсmах(t) и Рсmin(t)
безотказной работы электропровода
100
6.1.2. Расчет надежности резервированных ТС
Вопросы резервирования ТС рассмотрены в разделе 4, где приведены структурные схемы резервированных систем при разных условиях работы резервных элементов и соответствующие расчетные
формулы. Для иллюстрации ориентировочного расчета надежности резервированных систем рассмотрим конкретные структурные
схемы ТС с общим и раздельным резервированием с нагруженным
резервом и целой кратностью.
Пусть при общем резервировании ТС с постоянно включенным
резервом (рис. 6.2) заданы n – число основных элементов ТС и m –
кратность резервирования (число резервных цепей).
Будем считать, что отказ любого элемента системы является событием случайным и независимым, а отказ ее наступает в том случае, если откажут основная (на рис. 6.2 элементы О01...О0j...О0n) и
все резервные (элементы P11...Pij...Pmn ) цепи. Будем полагать, кроме того, что основные и резервные элементы одного и того же назначения имеют одинаковую вероятность безотказной работы, т. е.
P0j(t) = Pij(t).
Поскольку основная цепь имеет последовательную структуру,
вероятность ее безотказной работы находим по формуле (5.2):
n
P0 (t) = P01 (t) P02 (t)...P0n (t) =  P0 j (t).
(6.4)
j=1
Вероятность безотказной работы Pi(t) каждой резервной цепи
получаем по аналогичной формуле:
n
Pi (t) =  Pij (t).
(6.5)
О0n
P11
P12
...
P1n
...
Pi1
Pi2
...
Pin
...
Pmn
Pm2
...
Pm1
...
...
...
О02
...
m
О01
...
j=1
Рис. 6.2. Структура ТС при общем резервировании
с целой кратностью и постоянно включенным резервом
101
Очевидно, что P0(t) = Pi(t).
Тогда по формуле (4.1) определяем вероятность безотказной работы резервированной системы
m
m+1
Pñ (t) = 1 -  [1 - P0 (t) ] = 1 -[1 - P0 (t) ]
.
(6.6)
i=0
В частности, для экспоненциального распределения
Pñ (t) = 1 - (1 - e-0t )m+1,
где 0 – интенсивность отказов нерезервированной системы или
любой из m резервных систем.
Для последовательной структуры
n
0 = å  j ,
j=1
где j – интенсивность отказов j-го основного или резервного элемента.
Если все элементы резервированной системы имеют одинаковую надежность Pэ(t), то формула (6.6) с учетом (6.4) и (6.5) принимает вид
m+1
Pñ (t) = 1 -[1 - P0 (t) ]
m+1
.
= 1 - éê1 - Pýn (t)ùú
ë
û
(6.7)
...
P11
P12
...
P1n
...
Pi1
Pi2
...
Pin
...
Pmn
Pm2
...
Pm1
...
n
О0n
...
2
О02
...
m
1
О01
...
При раздельном резервировании ТС с постоянно включенным
резервом схема расчета надежности в общем случае имеет такую же
структуру, как на рис. 4.3. В настоящем разделе примем к рассмотрению более простую схему (рис. 6.3), расчет которой позволит без
Рис. 6.3. Структура ТС при раздельном резервировании
с целой кратностью и постоянно включенным резервом
102
сложных математических выкладок не только получить представление о методике расчета подобных систем, но и продемонстрировать на конкретных примерах эффективность резервирования как
способа повышения надежности технических систем.
Пусть для резервированной системы с раздельным резервированием и постоянно включенным резервом (рис. 6.3) заданы n – число основных элементов ТС и m – кратность резервирования (число
резервных цепей).
Будем считать, что отказ любого элемента системы является
событием случайным и независимым, а отказ системы наступает
в том случае, если откажут основная цепь и все резервные. Будем
полагать также, что основные и резервные элементы одного и того
же назначения имеют одинаковые вероятности безотказной работы, т. е. P0j(t) = Pij(t), а резервированные группы (1, 2,.., j,.., n) –
основное соединение.
Рассматривая резервированные группы по отдельности, применим к расчету надежности каждой Pj(t) формулу (6.6), поскольку
их структура полностью совпадает со структурой резервированной
системы при общем резервировании с постоянно включенным резервом. Тогда
m
Pj (t) = 1 -  éê1 - Pij (t)ùú .
ë
û
(6.8)
i=0
Если элементы в переделах каждой резервированной группы
имеют одинаковую надежность, то (6.8) принимает вид
Pj (t) = 1 - éê1 - Pij (t)ùú
ë
û
m+1
.
Так как резервированные группы имеют основное соединение,
для расчета надежности Pc(t) всей системы применяем формулу
(6.4) с учетом (6.8):
n
n ï
m
ì
ïü
Pc (t) =  Pj (t) =  ïí1 -  éê1 - Pij (t)ùú ïý.
(6.9)
ë
ûï
ï
ï
0
j=1
j=1ï
i
=
î
þ
Если все элементы ТС (как основные, так и резервные) равнонадежны, то формула (6.9) принимает вид
{
m+1 n
Pc (t) = 1 -[1 - Pý (t) ]
}
,
(6.10)
где Pэ(t) – вероятность безотказной работы элемента системы.
103
Для экспоненциального закона распределения Pэ(t) = e–t, где
 – интенсивность отказов элемента системы.
При проведении ориентировочного расчета надежности резервированных ТС могут задаваться также крайние значения интенсивностей отказов, по которым определяют максимальное и минимальное значения вероятностей безотказной работы системы, в
интервале между которыми и будет находиться истинное значение
вероятности.
Рассмотрим примеры расчета резервированных систем с постоянно включенным резервом.
Пример 6.2. Система состоит из 20 элементов (n = 20) равной надежности с интенсивностью отказов  = 1·10–5 ч–1 (предполагается
распределение по экспоненциальному закону) и основным соединением элементов.
Требуется определить, насколько изменится вероятность безотказной работы системы через 10000 ч работы в случае резервирования с постоянно включенным резервом:
–при общем резервировании с кратностью m = 2;
–при раздельном резервировании всех элементов системы с той
же кратностью.
Р е ш е н и е. Вероятность безотказной работы каждого элемента
системы (в том числе и резервного) за период времени 10000 ч находим по формуле
-5
Pý (10000) = e-t = e-1·10 ·10000 = 0,9048.
Поскольку имеем систему с основным соединением элементов,
вероятность безотказной работы нерезервированной системы Р0(t)
в течение заданного интервала времени рассчитываем по формуле
(6.4) с учетом равнонадежности элементов и распределения их по
экспоненциальному закону:
n
(
P0 (10000) =  Pý (t) = e-t
j=1
n
)
-5
= e-1·10
·20·10000
= 0,1353.
При общем резервировании Рс.общ(t) с кратностью m = 2 надежность системы при t = 10000 ч определяем по формуле (6.7):
m+1
-5
æ
ö3
Pñ.îáù (t) = 1 - éê1 - Pýn (10000)ùú
= 1 - çç1 - e-1·10 ·20·10000 ÷÷ =
è
ø
ë
û
3
= 1 - (1 - 0,1353) = 0,3535.
104
При раздельном резервировании используем формулу (6.10):
m+1 n
{
}
Pc.ðàçä (10000) = 1 -[1 - Pý (10000) ]
=
20
é æ
-5
ö÷3 ùú
110
⋅
⋅
10000
ê
= ê1 - çç1 - e
÷ø ú =
è
ëê
ûú
3 20
20
= éê1 - (1 - 0,9048) ùú = (0,99914) = 0,9829.
ë
û
Таким образом, при одинаковом числе резервных элементов
mn = 40 раздельное резервирование более эффективно, чем общее.
Однако техническая реализация раздельного резервирования
сложнее.
Пример 6.3. Система состоит из десяти равнонадежных элементов (n = 10), вероятность безотказной работы Рэ каждого из которых равна 0,9.
Требуется определить, сколько резервных элементов необходимо ввести в систему при общем и раздельном резервировании с
постоянно включенным резервом, чтобы вероятность безотказной
работы системы составляла Рс = 0,95.
Р е ш е н и е. Вероятность Р0 безотказной работы нерезервированной системы (n = 10) равна
Ð0 = Pý10 = 0,910 = 0,349.
Вначале определим, сколько необходимо иметь резервных цепей
при общем резервировании, чтобы надежность резервированной системы достигла заданного уровня, т. е. чтобы Рс = Рс.общ = 0,95. Воспользуемся выражением (6.7) и подставим в него известные значения. В результате получим
m+1
Pñ. îáù (t) = 1 -[1 - P0 (t) ]
m+1
0,95 = 1 - (1 - 0,349)
,
.
Решив полученное уравнение, найдем
m=
ln(1 - 0,95)
2,9958
-1 =
-1 = 6.
ln(1 - 0,349)
0,4293
Таким образом, при общем резервировании требуется шесть резервных цепей по десять элементов в каждой, т. е. всего mn = 60
элементов.
105
Для определения необходимого числа резервных элементов при
раздельном резервировании воспользуемся выражением (6.10)
{
m+1 n
}
Pc (t) = 1 -[1 - Pý (t) ]
,
решение которого при Рэ = 0,9, n = 10 и Рс = Рс.разд = 0,95 дает следующую расчетную формулу:
m=
(
ln 1 - 10 0,95
ln (1 - 0,9)
) -1 = 2,3 -1 » 1.
Таким образом, потребуется всего mn = 1·10 = 10 резервных элементов.
Приведенные примеры показывают, насколько эффективным
является резервирование систем для повышения их надежности, а
также дают возможность наглядно сравнить способы резервирования. В случае раздельного резервирования при той же надежности
резервированной системы можно получить выигрыш в массе, габаритных размерах и стоимости.
6.2. Уточненный расчет надежности
невосстанавливаемых ТС
Для уточненного расчета надежности ТС должны быть заданы
реальные режимы работы всех элементов, которые следует определить в результате детального расчета или после лабораторных испытаний системы.
При разработке и изготовлении элементов ТС обычно вводят так
называемые нормальные условия работы: температура + 25±10 С,
номинальный электрический режим, относительная влажность
60±20 %, отсутствие механических перегрузок (вибрации, ударов) и
т. п. Интенсивность отказов элементов в номинальном режиме эксплуатации называется номинальной интенсивностью отказов 0i.
Интенсивность отказов элементов при эксплуатации в реальных
условиях i определяют как произведение 0i на поправочные коэффициенты ai и ki [6]:
p
 i = ai ki 0i = ai (t, Kí )  (kj )0i ,
p
j=1
где ki =  kj ; ai = ai (t, Kí ) – поправочный коэффициент; t –темпеj=1
ратура окружающей среды; Kн – электрическая нагрузка.
106
Поправочный коэффициент ai учитывает влияние окружающей
температуры t и электрической нагрузки Kн. Коэффициент нагрузки Kн, например, для таких элементов, как резисторы и конденсаторы, рассчитывается достаточно просто:
–для резисторов
Pð
Kí =
,
PN
где Рр – мощность, рассеиваемая резистором, в реальном режиме
работы; РN – номинальная рассеиваемая мощность;
–для конденсаторов
Kí =
Uð
UN
,
где Uр – напряжение на конденсаторе в реальном режиме работы;
UN – номинальное напряжение конденсатора.
При расчете надежности коэффициент ai (t, Kí ) задается в виде
графиков, которые можно найти в справочной литературе [6]. Иногда в справочниках приводятся графики зависимостей i(t, Kн).
Тогда
p
 i =  i (t, Kí )  kj .
j=1
На рис. 6.4 в качестве примера приведены зависимости интенсивностей отказов резисторов и конденсаторов от коэффициентов
нагрузки и температуры. Заштрихованные области соответствуют
рекомендуемым режимам работы элементов.
p
Поправочный коэффициент ki =  kj учитывает тип воздейj=1
ствия, главным образом, механические перегрузки и относительную влажность окружающего воздуха. В зависимости от числа воздействий задается значение параметра p = 1, 2,... Например, для
аппаратуры, работающей на самолетах в условиях относительной
влажности 90–98 % на высоте 20–25 км, коэффициент ki определяется четырьмя сомножителями (p = 4):
ki = k1k2k3k4,
где k1 = 1,46 и k2 = 1,13 – поправочные коэффициенты на наличие
вибрации и ударных нагрузок в условиях эксплуатации самолета;
107
а)
O 10–6 ч–1
K н = 1,2
1,0
0,8
0,6
0,10
0,075
0,4
0,05
K н = 0,2
0,025
0
20
40
б)
60
80
K н = 1,2
O 10–6 ч–1
100
120
s,D C
1,0
0,8
0,10
0,6
K н = 0,4
0,075
0,05
0,025
0
20
40
60
80
100
120
s,D C
Рис. 6.4. Интенсивности отказов углеродистых резисторов R-16 N2 (a)
и пленочных металлизированных конденсаторов К 73 (б)
при разных коэффициентах нагрузки Kн
k3 = 2,0 – поправочный коэффициент на повышенную влажность;
k4 = 1,38 – поправочный коэффициент на высотность.
Физическая интерпретация влияния факторов воздействия на
надежность ТС рассмотрена нами в разделе 5.1 настоящего пособия.
Следует отметить, что сроки службы элементов и ТС в целом
можно увеличить, используя их в недогруженном режиме. На
108
O(t)
1
2
0
t
Рис. 6.5. Интенсивность отказов в номинальном (1)
и недогруженном (2) режимах работы устройства
рис. 6.5 показана качественная картина изменения интенсивности
отказов устройства в зависимости от времени при номинальном 1 и
недогруженном 2 режимах. Однако в рассматриваемом случае период приработки в недогруженном режиме более длительный, чем
при номинальной нагрузке.
Расчет надежности изделия целесообразно проводить в следующем порядке [3, 6].
– формулируется понятие отказа. В сложных системах имеются
элементы, выход из строя которых не приводит к отказу системы, а
лишь ухудшает некоторые параметры (точность, качество переходного процесса и т. п.). Поэтому, во-первых, необходимо определить,
что следует понимать под отказом в данной системе, а, во-вторых,
выбрать число элементов, которое должно быть учтено при расчете
надежности всего устройства;
– составляется схема надежности. В некоторых ТС не все элементы задействованы в течение времени работы всей системы. Это
должно быть учтено выделением их в отдельные группы самостоятельного расчета с указанием времени их функционирования. При
этом целесообразно составлять схему расчета надежности таким
образом, чтобы элементами расчета были конструктивно оформленные блоки;
– выбирается метод расчета надежности. В зависимости от решаемой задачи используется прикидочный, ориентировочный или
уточняющий метод расчета. С учетом выбранного метода определяются интенсивности отказов элементов по соответствующим таблицам или графикам.
Здесь следует сделать одно замечание. Если в течение работы аппаратуры отдельные элементы имеют непостоянную интенсивность
109
отказов, но существуют четко выраженные временные интервалы,
в течение которых эта интенсивность практически постоянна, то
для расчета надежности используется эквивалентная интенсивность отказов, которая определяется по выражению
экв = (1t1 + 2t2 + 3t3 +...)/t,
где i, ti – интенсивность отказов в соответствующий временной интервал; t – суммарное время работы данного элемента;
– составляется таблица расчета интенсивности отказов изделия.
В таблицу вносятся значения интенсивностей отказов всех элементов системы и при необходимости значения поправочных коэффициентов (для уточняющего расчета). Таблица должна содержать
также графы, в которые заносятся вычисленные значения интенсивностей отказов;
– рассчитываются количественные характеристики надежности. Данные расчета заносятся в итоговые таблицы или приводятся
в виде графиков. по результатам расчета составляется технический
отчет, который должен содержать:
– структурную схему надежности системы с необходимыми пояснениями;
– формулировку понятия отказа системы;
– расчетные формулы количественных характеристик надежности;
– пример расчета, итоговые таблицы и графики;
– выводы и рекомендации.
Рассмотрим типовые примеры уточняющего расчета надежности ТС.
Пример 6.4. Электронное устройство работает непрерывно в течение 1000 ч. Интенсивности отказов всех элементов постоянны
(принимается экспоненциальный закон распределения). Поэлементный состав устройства и значения интенсивности отказов с
учетом условий эксплуатации приведены в табл. 6.2.
Элементы системы соединены по последовательной схеме (основное соединение).
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы устройства в течение 1000 ч.
Р е ш е н и е. Для основного соединения элементов интенсивность отказов системы найдем по выражению
q
 ñ = å ni  i ,
i=1
110
Таблица 6.2
Исходные данные для примера 6.4
Элементы
Резисторы R1–R4
Резисторы R5–R8
Конденсаторы С1–С4
Конденсаторы С5–С6
Триоды (2 шт.)
Диоды (2 шт.)
Соединитель
Пайки (60)
Режим работы
t, C
Kн
40
60
50
60
25
25
25
50
0,5
0,6
0,5
0,6
1,0
1,0
1,0
–
Интенсивность
отказов i, ч–1
0,032·10–6
0,038·10–6
0,034·10–6
0,04·10–6
0,4·10–6
0,08·10–6
0,3·10–6
0,004·10–6
П р и м е ч а н и е. Структура табл. 6.2 определяется источником исходных данных расчета. В рассматриваемом примере интенсивность отказов i элементов задана с помощью графиков, аналогичных графикам
на рис. 6.4. Если используются данные по номинальным интенсивностям
отказов 0i и коэффициентам ai и ki, в таблицу добавляются соответствующие столбцы, а расчет интенсивности отказов i производится в процессе
решения задачи.
где q – число наименований элементов из табл. 6.1, n – число i-х
элементов. Подставляя соответствующие значения в формулу, получаем
с = (4·0,032·10–6) + (8·0,038·10–6) + (4·0,034·10–6) +
+ (6·0,04·10–6) + (2·0,4·10–6) + (2·0,08·10–6) + (1·0,3·10–6) +
+ (60·0,004·10–6) = 2,308·10–6 ч–1.
Зная с, находим вероятность безотказной работы системы в течение 1000 ч для экспоненциального распределения по формуле
Pс(1000) = exp(–2,308·10–6·1000) = 0,9983.
Пример 6.5. Дана система, состоящая из десяти элементов,
структура которой представлена на рис. 6.6. Все элементы системы
работают в нормальных условиях.
Интенсивности отказов элементов равны
10 = 0,5·10–3, 20 = 0,2·10–3, 30 = 1·10–3, 40 = 50 = 0,5·10–3 ч–1.
Требуется определить вероятность безотказной работы системы
в течение 100 ч и среднюю наработку на отказ.
Р е ш е н и е. Структура данной системы представляет собой сочетание основного (группа I), раздельного (группа ІІ) и основного
111
I
II
O10
O 20
O30
O30
O10
O20
O30
O30
O40
O50
Рис. 6.6. Расчетная схема надежности системы
(элементы 4, 5) соединения элементов. Поэтому расчет надежности
системы целесообразно проводить по блокам.
Работа элементов системы происходит в нормальных условиях,
поэтому реальные интенсивности отказов соответствуют заданным
в условии задачи, и в данном случае можно не составлять таблицу
расчета интенсивностей отказов элементов.
Рассчитаем вероятности безотказной работы элементов системы
за период времени 100 ч:
Р1 (100) = ехр (–100·0,5·10–3) = 0,95,
Р2 (100) = ехр (–100·0,2·10–3) = 0,98,
Р3 (100) = ехр (–100·1,0·10–3) = 0,90,
Р4 (100) = Р5 (100) = ехр (–100·0,1·10–3) = 0,99.
Вероятность безотказной работы группы I найдем с использованием формул (6.4) и (6.6) при кратности резервирования m = 1:
РI (100) = 1 – (1 – Р1Р2)2 = 1– (1 – 0,95·0,98)2 = 0,995.
Вероятность безотказной работы группы II получим по формуле
(6.10) при кратности резервирования m = 1 и n = 2:
РII (100) = [1 – (1 – Р3)2 ]2 = [1– (1 – 0,9)2]2 = 0,98.
Расчетная схема теперь может быть представлена как основное
соединение элементов I, II, 4 и 5 (рис. 6.7).
Вероятность безотказной работы системы Рс (100) вычислим по
формуле (6.1):
Рс (100) = РI (100)РII (100)Р4 (100)Р5 (100) =
= 0,995·0,98·0,99·0,99 = 0,956.
PI
PII
P4
P5
Рис. 6.7. Преобразованная расчетная схема надежности системы
112
Интенсивность отказов системы с определим по выражению
вероятности безотказной работы системы для экспоненциального
закона распределения:
Рс (t) = ехр (–сt).
При t = 100 ч имеем Рс (100) = 0,956. Тогда
ñ =
ln 0,956
» 0,5 ⋅10-3 ÷–1.
100
Среднее время наработки на отказ для системы составляет
Tср = 1/с = 2000 ч.
6.3. Использование графов при анализе и расчете ТС
После расчета показателей надежности ТС можно поставить задачи определения причин отказов и выработки мероприятий для
увеличения срока ее службы. Решение этих задач облегчает построение графов (деревьев) отказов и событий, приводящих систему в
состояние отказа. В ряде случаев с помощью графов можно оценить
вероятность безотказной работы системы [3, 6].
Дерево отказов (ДО) позволяет проследить причинно-следственные связи между отказом системы, отказами ее элементов и воздействиями, приводящими к отказам (рис. 6.8), а также показать
ненадежные компоненты системы и выполнить качественный и количественный анализ надежности. Особенно важно, что у разработчиков и пользователей системы появляется возможность наглядного представления конструктивных изменений, направленных на
повышение ее надежности.
Отказ ТС
Отказ узлов ТС
Отказ элементов ТС
Воздействия
Рис. 6.8. Общий вид графа (дерева) отказов
113
При изображении ДО используют логические символы И, ИЛИ,
исключающее ИЛИ, приоритетное И, НЕ и др.
Пусть имеется система электроснабжения, состоящая из двух
генераторов, основного (ОГ) и резервного (РГ), и автоматического
переключателя (АП), обеспечивающего включение резервного источника при отказе основного (рис. 6.9). Дерево отказов с учетом логической связи между элементами системы приведено на рис. 6.10.
Граф на рис. 6.10 означает, что электропитание отсутствует,
если отказывают оба генератора или сначала отказывает автоматический переключатель, а затем основной источник.
Таким образом, принцип построения ДО заключается в анализе отказного состояния системы «сверху вниз», другими словами,
Сеть электроснабжения
АП
РГ
ОГ
Рис. 6.9.Структура системы электроснабжения
Электропитание
отсутствует
ИЛИ
И
Отказ
ОГ
И
Отказ
РГ
Отказ
АП
Приоритетное
Отказ
ОГ
Рис. 6.10. Дерево отказов технической системы
114
в последовательных ответах на вопрос, по каким причинам может
произойти отказ системы.
Деревья строятся для любых видов отказов: первичных, вторичных и инициированных.
Отказ элемента называют первичным, если он происходит в допустимых условиях эксплуатации системы. В этом случае ДО развивается вверх до той точки, где первичные отказы элементов вызывают отказ системы. В качестве примера рассмотрим построение дерева отказов для электрической схемы, представленной на
рис. 6.11. В указанной схеме могут возникать первичные отказы
(отказ каждого элемента). Для данной схемы дерево отказов имеет
такой же вид, как на рис. 6.12.
2
3
1
4
Рис. 6.11. Схема включения электродвигателя.
1 – сеть; 2 – выключатель; 3 – двигатель; 4 – предохранитель
Не работает двигатель
Отказ
элемента 2
ИЛИ
Нет электропитания
Отказ
элемента 3
(двигатель)
ИЛИ
Отказ
элемента 1
(сети)
Отказ
элемента 4
Рис. 6.12. Дерево отказов электрической схемы,
приведенной на рис. 6.11
115
Не работает двигатель
ИЛИ
Отказ
элемента 2
Отказ
элемента 3
Вторичные отказы
Нет электропитания
ИЛИ
ИЛИ
А
В
С
Отказ
элемента 1
Отказ
элемента 4
Рис. 6.13. Дерево первичных и вторичных отказов:
А – неправильное техническое обслуживание двигателя (отсутствие смазки
подшипников); В – неправильная эксплуатация двигателя (переработка
по времени двигателя, рассчитанного на повторно-кратковременный режим,
перегрузка двигателя по моменту, приводящая к повышению тока сверх
допустимого и срабатыванию предохранителя); С – воздействие окружающей
среды (повышенная влажность воздуха, повлекшая за собой окисление
контактов включателя)
Вторичные отказы вызываются неблагоприятным воздействием внешних факторов или недопустимыми нагрузками элементов
в процессе эксплуатации системы. На рис. 6.13 показано ДО для
схемы, приведенной на рис 6.11, в случае, когда возникают как
первичные, так и вторичные отказы.
Инициированные отказы возникают при ошибках оператора. Типичными примерами являются неприведение в действие
устройств управления (выключателей) или приведение их в действие в ненадлежащем порядке.
Дерево событий (ДС) дает представление о всех возможных режимах системы – рабочих и отказных – и возможность вычисления
вероятностей этих режимов. Рассмотрим порядок построения ДС
для электрической схемы, представленной на рис. 6.11.
Вероятности работоспособных состояний и отказов элементов
схемы сведены в табл. 6.3. Дерево событий показано на рис. 6.14.
116
Таблица 6.3
Данные надежности элементов исходной схемы
Элемент схемы
Вероятность
работоспособного
состояния Р
Вероятность отказа
Q = 1–P
0,97
0,95
0,98
0,99
0,03
0,05
0,02
0,01
Электродвигатель
Включатель
Предохранитель
Сеть
Сеть
Предохранитель
Включатель
Электродвигатель
Работает
Система
Нормальная
работа
P 0, 99·0, 98 q
Работает
q0, 95·0, 97 0, 894
Работает
Отказ
Работает
Отказ
Q4 0, 99·0, 98 q
q0, 95·0, 05 0, 028
Отказ
Q3 0, 99·0, 98 q
q0, 05 0, 048
Отказ
Q2 0, 99·0, 02 0, 0198
Отказ
Q1 0, 01
Рис. 6.14. Дерево событий для электрической схемы,
приведенной на рис. 6.11
117
Рассмотрим порядок построения ДС для электрической схемы,
приведенной на рис. 6.11.
Сеть может находиться в двух состояниях – нормальной работы
и отказном. Остальные элементы схемы, в свою очередь, могут находиться в таких же состояниях. Схема функционирует нормально,
если все ее элементы работоспособны. Вероятность безотказной работы схемы равна произведению вероятностей безотказной работы ее
элементов, так как последовательную структуру надежности имеем
при условии, что отказ любого элемента приводит к отказу всей схемы:
P=PсPпрPвклPэд= 0,99 · 0,98 · 0,95 · 0,97 = 0,894.
(6.11)
Рассчитаем вероятности всех возможных отказных режимов
схемы. Если отказывает сеть, то вероятность отказа схемы Q1 равна вероятности отказа сети (см. табл. 6.3):
Qc = 0,01.
Если сеть находится в рабочем состоянии, а предохранитель отказывает, то имеем два независимых события, одно из которых состоит в том, что сеть находится в рабочем состоянии, другое – в том,
что предохранитель отказывает. Вероятности этих событий равны
соответственно 0,99 и 0,02 (см. табл. 6.3). Вероятность совместного
наступления этих событий, приводящего к отказу схемы, по формуле произведения независимых событий [13] равна
Q2 = 0,99·0,02 = 0,0198.
Аналогично можно рассчитать вероятности оставшихся режимов отказа:
Q3 = 0,99 · 0,98 · 0,05 = 0,048, Q4 = 0,99 · 0,98 · 0,95 · 0,03=0,028.
Так как режимы отказов можно считать несовместными событиями, вероятность отказа электрической схемы равна сумме вероятностей всех режимов отказа [13]:
Q = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0,01 + 0,0198 + 0,048 + 0,028= 0,106.
Вероятность безотказной работы схемы равна
P=1– Q =1– 0,106 = 0,894,
что совпадает с результатом расчета по формуле (6.11) и расчета вероятности безотказной работы по рис. 6.11.
6.4. Особенности расчета восстанавливаемых ТС
Приведенные в предыдущих разделах рассуждения и определения, касающиеся невосстанавливаемых устройств, распростра118
няются на их первичные отказы. В случае когда для исследования
надежности восстанавливаемых систем выбирается модель, при
которой отказавшие устройства сразу же заменяются исправными
(новыми или отремонтированными), в качестве количественных характеристик надежности могут быть приняты параметр потока отказов (t) и наработка на отказ tср. Поскольку оба параметра связаны между собой интегральным уравнением Вольтерра второго рода
(см. раздел 2), решая его, можно найти основные характеристики
восстанавливаемой системы. Решение проводится либо с использованием преобразования Лапласа, либо приближенными методами.
В случаях резервированных систем с восстановлением отказавших в процессе работы резервных устройств, если отказ всей системы не допускается, могут использоваться также критерии надежности невосстанавливаемых систем.
При разработке сложных технических систем расчет надежности представляет собой многофакторный процесс, который должен
учитывать:
– наличие резервных устройств и, как следствие, переход системы от одного уровня избыточности к другому;
– дискретность работы изделия с заранее запланированными
или случайными моментами начала и окончания работы;
– ограниченность числа восстановлений (например, в тех случаях, когда восстановление заключается в простой замене, а число запасных устройств ограничено);
– наличие очереди на обслуживание;
– наличие ложных восстановлений исправных изделий из-за отказа схемы контроля;
– невозможность начать восстановление устройства сразу же после его отказа из-за неполноты схемы контроля.
Наиболее эффективными методами расчета восстанавливаемых
изделий являются методы, основанные на:
– классической теории вероятностей;
– использовании теории массового обслуживания;
– теории графов.
Во многих задачах надежности распределение времени до отказа
и времени восстановления полагают экспоненциальным. Такой подход показал возможность применения его на практике, поскольку
обычно бывают известны только средние значения времени безотказной работы и времени восстановления, что определяет использование однопараметрического распределения [2]. Кроме того, многие
задачи надежности могут быть решены аналитически. При неэкспо119
ненциальном законе распределения сложность решения задач существенно возрастает. В этих случаях применяются методы, связанные
с решением интегральных и интегродифференциальных уравнений.
В общем случае расчет надежности резервированных восстанавливаемых систем при экспоненциальном законе распределения
времени безотказной работы и времени восстановления рекомендуется проводить методами, основанными на теории массового обслуживания и теории графов [6]. Однако в разных случаях временной
избыточности (когда имеется резерв времени для выполнения ТС
поставленной задачи) составление интегродифференциальных и
интегральных уравнений даже при экспоненциальном законе распределения, как правило, является основным методом нахождения количественных характеристик надежности.
С помощью метода, основанного на использовании графов, количественные характеристики надежности восстанавливаемых резервированных устройств можно получить, не решая дифференциальных или интегральных уравнений. Применяя известный граф
состояний, записывают выражения для установившегося значения
коэффициента готовности, а также выражения в преобразованиях
Лапласа для вероятности безотказной работы и вероятности застать
устройство в исправном состоянии в любой момент времени. Расчетные соотношения находят, пользуясь непосредственно графом
состояний системы. Недостатком данного метода является необходимость определять обратные преобразования Лапласа от дробнорациональных функций.
Подробное изложение методов расчета восстанавливаемых систем выходит за рамки настоящего пособия. Для самостоятельного
освоения данного материала может быть рекомендована специальная литература [2, 6, 7, 14].
6.5. Задача для самостоятельного решения
В настоящем разделе приведены примеры расчета конкретных
ТС, которые можно рассматривать как типовые. Поэтому в данном
случае приводим лишь условие задачи, которую для закрепления
изученного материала предлагаем решить самостоятельно.
Задача. Устройство работает в условиях, соответствующих варианту задания (табл. 6.4). Номинальные интенсивности отказов
элементов: 01 = (1/(N + 1))·10–4, 02 = 5·10–5, 03 = 4·10–6 ч–1.
Структурная схема надежности ТС приведена на рис. 6.15. Закон
распределения предполагается экспоненциальным. В исходных
данных N – номер варианта задания, соответствующий порядково120
Таблица 6.4
Условия эксплуатации системы
Номер варианта
задания
1, 6, 11, 16
2, 7, 12, 17
3, 8, 13, 18
4, 9, 14, 19
5, 10, 15, 20
Условия размещения
аппаратуры
Параметры условий эксплуатации
Влажность, %, Температура, С
Стационарные (полевые)
Корабль
Автофургон
Железнодорожный
транспорт
Самолет
70
90
70
35
20
30
65
25
70
20 (высота 8 км)
му номеру в групповом журнале. Число элементов основной и резервной цепей в группе I определяется номером варианта.
Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы
в течение 10000 ч с начала эксплуатации и среднее время наработки на отказ.
Значения поправочных коэффициентов ki для соответствующих условий размещения и эксплуатации аппаратуры приведены
в табл. 6.5 и 6.6.
N
O 01
O 01
...
O 01
O 02
O 01
O 01
...
O 01
O 02
N
I
O 03
II
Рис. 6.15. Структурная схема надежности ТС
Таблица 6.5
Зависимость поправочных коэффициентов ki
от воздействия механических нагрузок
Условия эксплуатации
Вибрация k1
Ударные
нагрузки k2
Суммарное
воздействие k1k2
Стационарные (полевые)
Корабль
Автофургон
Железнодорожный транспорт
Самолет
1,04
1,3
1,35
1,4
1,46
1,03
1,05
1,08
1,1
1,13
1,07
1,37
1,46
1,54
1,65
121
Таблица 6.6
Зависимость поправочных коэффициентов ki
от параметров условий эксплуатации
Влажность, %
Температура, С
Коэффициент k3
60–70
90–98
90–98
20–40
20–25
30–40
1,0
2,0
2,5
Поправочный коэффициент при эксплуатации на высоте 8 км
равен k4 = 1,2.
Контрольные вопросы к разделу 6
1. Какие методики используются при расчете надежности ТС?
2. Какие допущения используются при ориентировочном расчете надежности ТС? Когда он применяется?
3. Как рассчитывается надежность невосстанавливаемых ТС
при основном соединении элементов?
4. Как рассчитывается надежность резервированных ТС?
5. Каковы основные этапы расчета надежности ТС?
6. Какие преимущества имеет расчет надежности ТС при использовании теории графов?
7. Какие методы применяются при расчете надежности восстанавливаемых систем?
122
7. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ТС
ПО ДАННЫМ ЭКСПЛУАТАЦИИ
Для определения реального уровня надежности ТС проводят
испытания некоторой выборки из генеральной совокупности объектов, причем по результатам испытаний выборки судят о надежности всей генеральной совокупности. Уровень надежности ТС также возможно определить по результатам анализа статистических
данных эксплуатации объектов. Метод, основанный на статистической обработке данных, получаемых при испытаниях или эксплуатации объекта в целом, в соответствии с ГОСТ 27.002–89 носит
название экспериментального метода определения надежности.
Процесс статистической обработки результатов измерений включает в себя несколько этапов, связанных с подготовкой исходных
данных, определением вида закона распределения, расчетом требуемых параметров, определяющих показатели надежности или безотказности устройства. Рассмотрим их.
7.1. Подготовка исходных данных
Статистическая информация о состоянии объекта должна подвергаться качественному и количественному анализу. Качественный анализ предполагает систематизацию причин возникновения
отказов, разрушений, повреждений объектов, количественный
анализ – оценку показателей надежности, параметров функций
распределения, установления связи между ними и влияющими на
них факторами. В соответствии с существующей нормативно-технической документацией первичная информация об отказах или
неисправностях должна содержать дату их возникновения, общую
наработку объекта с начала эксплуатации до момента возникновения отказа или неисправности (момента обнаружения), условия работы объекта, при которых произошел отказ. Данная информация
собирается либо обслуживающим персоналом в обычных условиях
эксплуатации объекта или специальным персоналом в случае организации опытной или контрольной эксплуатации.
Важными требованиями к собираемой информации являются ее
достоверность и однородность (т. е. данные должны быть получены
при одинаковых условиях эксплуатации объекта). Если прекращение эксплуатации устройства обусловлено аварией или выходом из
строя других систем, в составе которых работает данный объект, то
такие отказы должны быть исключены из статистической обработки.
123
Получение данных о наработках до отказа должно быть представлено в виде, удобном для последующей количественной оценки. Методически данное требование реализуется выбором подходящего для испытуемой системы плана наблюдений или плана контрольных испытаний на надежность.
В соответствии с ГОСТ 27.410–87 план испытаний должен содержать информацию о числе испытываемых образцов (изделий),
стратегии проведения испытаний (без восстановления или замены
отказавших устройств, с их восстановлением или заменой), правилах прекращения испытаний и принятия решения.
Для обозначения плана испытаний вводятся три символа, например, план [NRT]. Первая буква N определяет число объектов,
подвергнутых испытаниям (объем выборки). На второй позиции
может стоять одна из трех латинских букв, которые определяют
степень и характер восстановления объектов:
U – невосстанавливаемые и незаменяемые при испытаниях;
R – восстанавливаемые, но заменяемые при испытаниях в случае отказа;
M – восстанавливаемые при испытаниях в случае отказа.
На третьей позиции указываются:
T – время испытаний или наработка;
r – число отказов или отказавших объектов;
T – суммарное время испытаний или суммарная наработка;
S – принятие решения об окончании испытаний (приемке или
браковке).
Соответственно план [NRT] представляет собой ситуацию, при
которой испытанию подвергается N восстанавливаемых объектов,
которые после отказов заменяются новыми (R), а испытание прекращается по истечении времени испытаний или наработки T.
План [NUr] соответствует проведению испытаний N объектов,
во время испытаний объекты не восстанавливают и не заменяют
(U), а испытания прекращают, когда число отказавших объектов
достигнет r. Если r = N, то имеем план [NUN].
Планы наблюдений для наглядности можно представлять графически [5] в виде отрезков прямых, длина которых соответствует
наработке tj j-го элемента выборки. На рис. 7.1 представлены графически планы [NUr] и [NRT].
На рисунке начало наблюдения обозначается кружком, момент
отказа – крестиком, прекращение испытаний – вертикальной чертой. В плане [NUr] число наработок N = 7, число отказов – r = 4.
Элементы N–r отработали безотказно, и их наработки должны быть
124
t1
а)
t3
t2
t2
t1
б)
t7
t6
t3
t5
t4
t 8 =T
t4
t9
t5
t10
t6
t11
t7
t13 =T
r=4
r =6
t12
Рис. 7.1. Графическое представление планов [NUr] (а)
и [NRT] (б)
учтены в расчетах. При реализации плана [NRT] отмечено r = 6 отказов, а наблюдалось N + r наработок.
Исходные данные сводят в таблицу, где указывают номера объектов (элементов) и значения наработок до отказа в рассматриваемый промежуток времени Т. Данный статистический ряд представляют в виде убывающей (или возрастающей) последовательности, называемой вариационным рядом [5, 15]. Это делается для оценивания достоверности информации и отсеивания недостоверной.
Так, если крайние соседние члены вариационного ряда отличаются
в два и более раз, то эти члены должны быть исключены из дальнейшего рассмотрения.
Диапазон наблюдений Т делится на интервалы, как правило, одинаковой длительности ti и оформляется в виде таблицы
(табл. 7.1), в которой n(ti) – число отказов в каждом интервале ti;
Таблица 7.1
Исходные данные для построения гистограмм законов распределения
Номер интервала
ti
n(ti)
P(ti ) = 1 -
n(ti )
n(ti )
f (ti ) =
N0
N0 ti
(ti ) =
n(ti )
Nñð ti
1
2


i


k
125
n(ti) – число отказов, зафиксированных за соответствующее время,
с начала эксперимента (t = 0); N0 – число образцов, выбранных для
испытания; Nср – среднее число исправно работающих элементов
на заданном интервале ti; P(ti ), f (ti ), (ti ) – соответственно статистические оценки вероятности безотказной работы, частота отказов и их интенсивности.
Сформировав исходные данные, приступают к следующему этапу – определению вида закона распределения наработок.
7.2. Определение вида закона распределения
По данным табл. 7.1 строим гистограмму (рис. 7.2) для количественной характеристики надежности (либо P(ti ) , либо f (ti ) , либо
(ti ) ) и аппроксимируем ее кривой, по виду которой ориентировочно устанавливаем закон распределения. Построение гистограммы
производим в следующем порядке.
На оси ординат отображаем значения соответствующей количественной характеристики надежности в соответствующем временном интервале. На оси абсцисс откладываем интервалы ti. По
точкам середин полученных прямоугольников проводим плавную
кривую, которая и отображает функцию закона распределения
случайной величины.
По внешнему виду кривой распределения можно определить,
к какому из стандартных законов она наиболее близка, т. е. принять решение о соответствии исследуемого процесса стандартному.
Корректность такой замены оценивается с помощью критериев согласия, наиболее распространенными из которых являются критерии согласия Колмогорова и Пирсона (2-критерий). В тех случаях,
f (t)
1
2
3
t0
t1
t2
ti
tk
t
Рис. 7.2. Вид распределения случайной величины f(t).
1 – гистограмма; 2 – кривая распределения случайной величины;
3 – график аппроксимирующей функции
126
когда вид распределения известен до опыта, а целью опыта является проверка соответствия теоретического и экспериментального
распределений, используют критерий Колмогорова. Если же параметры распределения не известны, используют критерий Пирсона.
Критерий согласия Колмогорова. Данный критерий согласия
определяет условие согласования опытного распределения с принятым теоретическим при выполнении условия
D n £ 1,
где D – наибольшее отклонение экспериментальной кривой распределения от теоретической; n – общее число экспериментальных точек.
Для иллюстрации применения критерия Колмогорова рассмотрим числовой пример.
Пример 7.1. В результате проведения испытаний 28 устройств
получен следующий вариационный ряд времен исправной работы
изделий, ч: 2, 3, 3, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 25, 28,
35, 37, 53, 56, 69, 77, 86, 98, 115, 119.
Требуется установить закон распределения времени безотказной работы путем построения гистограммы интенсивности отказов
и ее аппроксимации.
Р е ш е н и е проведем в несколько этапов, которые методически
необходимы для решения подобных задач.
1. Прежде всего следует оценить полученный в результате испытаний вариационный ряд. Крайние члены ряда отличаются друг от
друга менее чем в два раза, поэтому все без исключения члены ряда
принимаем для дальнейших расчетов.
2. Разбиваем весь период испытаний на временные интервалы.
В данном случае целесообразно выбрать интервал 20 ч. Тогда получаем всего шесть интервалов, значения которых вносим в таблицу
исходных данных для построения гистограммы распределения.
Поскольку по условию задачи требуется установить вид распределения по интенсивности отказов, в таблицу включаем именно эту
количественную характеристику надежности. Заполняем таблицу
в соответствии с выбранными интервалами и значениями вариационного ряда. Данные заносим в табл. 7.2.
Для первого интервала имеем
t1 = 20ч, n(t1) = 15, Nср = (28 + 13)/2 = 20,5,
(ti ) =
n(t1 )
15
=
= 0,0366 ÷-1.
Nñð t1 20,5 ⋅ 20
127
Таблица 7.2
Исходные данные
Номер интервала
ti,ч
n(ti)
1
2
3
4
5
6
0–20
20–40
40–60
60–80
80–100
100–120
15
5
2
2
2
2
(ti ) =
n(ti ) -1
,÷
Nñð ti
0,0366
0,0238
0,0143
0,0200
0,0333
0,0100
Аналогично рассчитываем и другие интервалы.
3. Строим гистограмму (рис. 7.3).
В предположении экспоненциального закона распределения
интенсивность отказов является величиной постоянной. Найдем
среднее значение интенсивности отказов:
 ñð =
0,0366 + 0,0238 + 0,0143 + 0,02 + 0,0333 + 0,01
= 0,023 ÷-1.
6
Наибольшее отклонение D = 0,0136.
4. Проверяем соответствие закона распределения экспоненциальному по критерию согласия Колмогорова:
D n = 0,0136 28 = 0,072.
Поскольку полученное значение меньше единицы, считаем, что
закон распределения экспоненциальный.
O(s)
0,04
0,03
0,02
O ïî
0,01
0
20
40
60
80
100 120
Рис. 7.3. Гистограмма (ti )
128
t, ч
Критерий согласия Пирсона (2) позволяет осуществлять проверку соответствия эмпирического и теоретического распределений одного признака. Мерой расхождения указанных распределений является взвешенная сумма квадратов отклонений
(ni - npi )2
.
npi
i=1
k
2 = å
(7.1)
В (7.1) k – число интервалов разбиения значений случайной величины; ni – число наблюдений, попавших в i-й интервал; pi – теоретическая вероятность появления значения из i-го интервала; n –
общее число наблюдений.
Число независимых связей, наложенных на вероятности pi, равно числу характеристик теоретического распределения s (например, для усеченного нормального закона в соответствии с табл. 3.1
таких характеристик две:  и Т1) плюс единица (условие нормировk
ки
å pi = 1 ). Число степеней свободы r для распределения 2 равно
i=1
r = k – (s + 1).
Для распределения 2 составлены таблицы (см. табл. П.5), где
приведены критические значения критерия согласия 2 для выбранного уровня значимости  или доверительной вероятности P и
рассчитанного числа степеней свободы r. Найденное по таблицам
критическое значение критерия сравнивают с рассчитанным и
принимают решение о выборе вида теоретического распределения.
Уровень значимости  представляет собой вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы о соответствии эмпирического и теоретического распределений. Доверительная вероятность
 связана с уровнем значимости соотношением  = 1–. Она характеризует степень достоверности принятой гипотезы. Наиболее часто
значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90;
0,95; 0,99 и соответствующие им уровни значимости – 0,10; 0,05;
0,01.
Таким образом, общая схема применения критерия Пирсона
(2) для оценки согласованности эмпирического и теоретического
распределений сводится к следующим действиям:
– определяем параметр 2 по формуле (5.1);
– находим число степеней свободы r = k – (s + 1);
– вычисленное значение 2 сравниваем с табличным (критическим) значением 2 для полученного числа степеней свободы и
выбранного значения доверительной вероятности. Если табличное
129
значение больше вычисленного, гипотезу принимаем, в противном
случае – отвергаем.
Для использования критерия согласия Пирсона (2) исходный статистический ряд необходимо разбить на такие интервалы,
в каждом из которых было бы не менее четырех-пяти элементов, а
число интервалов желательно иметь равным примерно 8–12, т. е.
объем совокупности должен быть достаточно большим (n  50). Тогда исходными данными для применения рассматриваемого критерия 2 являются общее число образцов N при испытании на надежность, число интервалов статистического ряда k и частость или
число отказов элементов ni в i-м интервале.
Рассмотрим реализацию алгоритма аппроксимации опытных
данных экспоненциальным законом распределения, останавливаясь несколько подробнее на отдельных этапах схемы расчета.
Весь диапазон времени T наблюдений [t0, tk] делим на интервалы ti = (tk – t0)/10 и определяем число отказов ni, приходящихся
на каждый i-й интервал.
Члены выборки (суммы отказов по интервалам) представляем
в виде вариационного ряда и проверяем крайние члены выборки.
Если крайние соседние члены вариационного ряда отличаются в два
и более раз, то эти члены из дальнейшего рассмотрения исключаем.
Для оценивания согласия эмпирического и теоретического распределений целесообразно задавать с частотой отказов i [5] в i-м
интервале, которую определяем как отношение числа отказов ni,
приходящихся на i-й интервал, к общему числу отказов m:
i = ni/m.
Тогда выражение (5.1) для расчета критерия 2 примет вид
(i -  i )2
,
i
i=1
k
2 = N å
(7.2)
где i – теоретическая частота; i – статистическая частота в i-м
интервале.
Заметим, что сумма частот всех интервалов должна быть равна
единице.
Полученные значения статистических частот отказов представляем в следующем виде:
Интервал, ч .............. t1 ... ti ... tk
Частота отказов ........ 1 …
130
i
… k
По этим данным строим гистограмму распределения статистических значений частоты отказов. Соединив середины временных
интервалов, получим на гистограмме кривую, характеризующую
распределение частот отказов по результатам наблюдений.
Положим, что эта кривая внешне напоминает распределение по
экспоненциальному закону. В этом случае плотность вероятности
отказа f(t), вероятность отказа Q(t) и вероятность отсутствия отказа P(t) определяем следующим образом:
f(t) = e–t, Q(t) = 1– e–t, P(t) = e–t.
Параметр распределения  оцениваем по статистическим данным в соответствии с принятым планом испытаний. Например, для
плана [NUr]
r
== N ,
å tj
j=1
где r – общее число отказов; tj – j-е значение наработки.
Далее рассчитываем теоретические частоты i для каждого интервала, которые для экспоненциального закона распределения находим по выражению [5]
 i = e-ti +1 - e-ti .
Рассчитанные значения теоретических частот для каждого интервала записываем в виде:
Интервал, ч ............. t1 ... ti ... tk
Частота отказов ........ 1 … i … k
По значениям статистических и теоретических частот по формуле (7.2) вычисляем значение критерия согласия 2.
Для экспоненциального закона распределения число степеней
свободы равно
r = k – (s + 1) = k – (1 + 1) = k – 2.
По принятой доверительной вероятности (или принятому уровню значимости) и числу степеней свободы по таблицам квантилей
распределения 2 находим критическое значение 2кр. Если выполняется условие 2  2кр, то принимаем гипотезу о распределении
выборки по нормальному закону.
131
7.3. Доверительные интервалы
При статистической оценке параметров надежности систем приближение к истинным их значениям тем ближе, чем больше объем
выборки при испытаниях на надежность. Поскольку объем выборок, как правило, ограничен, целесообразно иметь дело не с точечными оценками, полученными в результате обработки статистических данных, а с интервальными. В этом случае определяют, какой
интервал оценок с заданной доверительной вероятностью  накрывает математическое ожидание оцениваемого параметра. Границы
такого интервала называются доверительными границами. Таким
образом, доверительная вероятность  характеризует степень достоверности результатов двусторонней оценки какого-либо параметра надежности.
Часто в практических целях достаточно установить только одну
из границ интервала, нижнюю или верхнюю, отвечающих соответственно доверительным вероятностям 1 или 2. Вероятности , 1
и 2 связаны между собой уравнением
 = 1 + 2 –1.
В частном случае может быть 1 = 2.
Если какой-либо параметр надежности, например, Tср, представляет собой истинное его значение, а Tñð - статистическая
оценка, то между ними существует интервал расхождения. Найти
точные границы, в переделах которых находится истинное значение искомой величины, не представляется возможным. Однако
можно определить интервал ее возможных значений с некоторой
доверительной вероятностью . Вероятность того, что Tср выйдет
за пределы интервала, называется уровнем значимости . Значения доверительных вероятностей принимают так же, как и при
установлении закона распределения (см. п. 7.2), равными 0,9; 0,95;
0,99. При интервальной оценке показателей надежности функцию
распределения предполагают известной либо устанавливают по результатам испытаний.
Рассмотрим порядок определения доверительных границ для
оценки параметров надежности ТС при экспоненциальном законе
распределения отказов [9].
Вероятность безотказной работы при экспоненциальном распределении выражается формулой P(t) = e–t. Интенсивность отказов
 оценивается по статистическим данным испытаний однотипных
устройств.
132
Допустим, что принят план [NUN], при котором все образцы
выборки выходят из строя во время испытаний. Формулы расчета
интенсивности отказов по статистическим данным и границ доверительных интервалов сведены в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Формулы расчета интенсивности отказов
План
Суммарная Оценка интенсивности
испытаний наработка
отказов
N
tå = å ti
[NUN]
=
i=1
N
tå
Граница
нижняя
верхняя
í =
2( )(2N )
2(1- )(2N )
2
1
â =
2tå
2tå
Для других планов испытаний формулы расчета суммарной наработки приведены в специальной литературе [6, 8].
При определении нижней и верхней границ доверительного интервала пользуются таблицей квантилей 2-распределения, параметрами которого являются значения вероятностей (1–1) и 2 и число степеней свободы 2N. Тогда параметры надежности, соответствующие
границам доверительного интервала, находят по выражениям
Pí (t) = eât ,
Pâ (t) = eít ,
Tñð.í = 1 /  â , Tñð.â = 1 /  í .
Для иллюстрации использования приведенных соотношений
рассмотрим числовой пример.
Пример 7.2. Имеем план испытаний [NUN]. При испытании десяти устройств до выхода их из строя получены следующие значения наработки, ч: t1 = 30, t2 = 35, t3 = 50, t4 = 85, t5 = 100, t6 = 150,
t7 = 250, t8 = 300, t9 = 400, t10 = 600.
Требуется определить оценку  интенсивности отказов, границы доверительного интервала для  при  = 0,9 и 1 = 2 = 0,05, оценку средней наработки до отказа Tñð и границы ее доверительного интервала.
Р е ш е н и е. Оценку  интенсивности отказов находим по формуле из табл. 5.5:
N
10
=
=
= 5 ⋅10-3 ÷-1,
tå 2000
N
где tå = å ti = 2000 ÷.
i=1
133
Доверительные вероятности для определения нижней и верхней границ интервала соответственно равны 1 = 1 – 1 = 0,95,
2 = 1 – 2 = 0,95. Число степеней свободы 2-распределения составляет 2N = 20 [6].
Пользуясь табл. П.5, находим значения квантилей распределения:
2(1-
1 )(2 N )
= 2(0,05)(20) = 10,9, 2( )(2N ) = 2(0,95)(20) = 31,4.
2
Тогда границы доверительного интервала
2(1- )(2N ) 2(0,05)(20) 10,9
1
=
=
= 2,72 ⋅10-3 ÷-1.
í =
2tå
2tå
4000
â =
2( )(2N ) 2(0,95)(20)
31,4
2
=
=
= 7,85 ⋅10-3 ÷-1.
2tå
2tå
4000
Поскольку для экспоненциального распределения T = 1/  и
Tср.н = 1/в, Tср.в = 1/н,
находим
Tñð =
1
-3
5 ⋅10
= 200 ÷, Tí =
Tâ =
1
2,72 ⋅10-3
1
7,85 ⋅10-3
= 127 ÷,
= 368 ÷.
Таким образом, полученные в результате испытаний статистические показатели надежности изделий находятся в пределах границ доверительных интервалов с заданным уровнем доверительной
вероятности.
В настоящем пособии доверительные интервалы рассмотрены
на примере экспоненциального распределения. Для других, более
сложных законов распределения отказов, примеры интервальной
оценки приведены в специальной литературе [6, 8].
7.4. Контроль надежности
Идея статистических методов контроля качества продукции
заключается в том, что о характеристиках испытуемой партии изделий судят по выборочным характеристикам, определяемым по
малой выборке. При этом после обработки данных, полученных в
134
результате контрольных испытаний, принимается решение о приемке или браковке партии, а также производится анализ причин и
последствий отказов с целью разработки мероприятий по повышению надежности изделий.
Организация контрольных испытаний предполагает решение
ряда задач, включающих в себя определение объема контрольной
выборки, принятие соответствующего плана статистического контроля надежности, выбор рационального метода контроля. Подробное рассмотрение всех этих вопросов выходит за рамки настоящего
пособия. Тем не менее представляется целесообразным остановиться на характеристике основных методов статистического контроля
качества и особенностях их реализации.
Существуют три основных статистических метода контроля надежности [3, 6, 8]:
– однократной выборки;
– двукратной выборки;
– последовательного анализа.
Поскольку контроль надежности производится на основе испытаний выборки, при принятии решения по их результатам возможны два вида ошибок:
– первого рода, заключающихся в том, что испытуемая годная
(кондиционная) партия изделий оценивается по результатам выборки как негодная (некондиционная);
– второго рода, заключающихся в том, что испытуемая негодная
(некондиционная) партия оценивается по результатам выборки
как годная (кондиционная).
Вероятность ошибки первого рода называется риском поставщика и обозначается буквой . Вероятность ошибки второго рода
называется риском заказчика (потребителя) и обозначается буквой
. Рациональная организация статистического контроля заключается в том, чтобы сделать величины  и  достаточно малыми. При
этом значения рисков могут быть не равны друг другу.
Каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки и
может быть оптимальным в том или ином конкретном случае.
Метод однократной выборки. При этом методе рассматривают
одну случайную выборку определенного объема. По характеристикам данной выборки решают, принять данную партию изделий или
забраковать ее (либо направить на сплошной контроль или переделку).
Данный метод по сравнению с другими проще планировать и
осуществлять, но он наименее экономичен, так как требует относи135
тельно большого объема выборок, особенно для партий с высокой
или низкой надежностью.
Метод двукратной выборки. Данным методом из контролируемой партии изделий делают случайную выборку определенного
объема. По характеристикам этой выборки принимают одно из
трех решений:
– принять партию;
– забраковать партию;
– произвести еще одну выборку определенного объема из рассматриваемой партии.
По характеристикам первой и второй выборки принимают одно
из двух решений: принять или забраковать партию.
Главное преимущество данного метода проявляется лишь при
контроле больших партий с очень низкой или очень высокой надежностью. При промежуточном уровне надежности выигрыша в
потребном объеме выборки нет. Расчеты, связанные с реализацией
двойного контроля, более сложные, чем при методе однократной
выборки. Кроме того, увеличивается время, требующееся для проведения контроля. Поэтому метод двукратной выборки применяют
для контроля надежности крайне редко.
Метод последовательного анализа. Данный метод является самым экономичным. Объем испытаний заранее не фиксируется. Из
контролируемой партии последовательно (но случайным образом)
берут изделия по одному (или малыми объемами) и определяют их
характеристики. По этим характеристикам принимают одно из
трех решений:
– принять партию;
– забраковать партию;
– продолжить испытания.
Если принимается первое или второе решение, испытания заканчиваются. Средний объем выборки обычно составляет 50–65 %
от объема при использовании метода однократной выборки для
партий с высокой надежностью. Техническое осуществление последовательного контроля не связано с какими-либо техническими
трудностями. Единственным недостатком метода является большее время контроля, чем при других методах. Правда, этот недостаток сводится к минимуму рациональной организацией процесса
испытаний.
Совокупность условий испытаний контролируемых изделий
и правил принятия решений называется планом контроля. Под
этими условиями понимают условия браковки и приемки, задан136
ные значения  и , установленный объем испытаний и др. В соответствии с ГОСТ 27.410–87 исходными данными для выбора
плана контроля служат риск поставщика , риск потребителя ,
браковочный уровень надежности R и ее приемочный уровень R.
При этом вероятность приемки изделий с приемочным уровнем надежности R соответствует 1–, а вероятность приемки изделий с
браковочным уровнем надежности R равна . При установлении
интервала [R, R] в качестве R служит значение показателя, заданное стандартом или техническими условиями на изделие.
Решение о соответствии или несоответствии надежности изделия установленным требованиям принимают на основе решений по
отдельным показателям надежности. Решение о соответствии принимают при положительных решениях по всем показателям надежности, решение о несоответствии – при наличии хотя бы одного
отрицательного решения.
Правила принятия решений определяются условиями контроля. Так как число сочетаний условий испытаний и правил принятия решений может быть велико, число планов также достаточно
большое.
Для характеристики планов контроля рассмотрим основные положения ГОСТ 27.402–95, устанавливающего планы контрольных
испытаний для проверки соответствия показателей надежности
заданным требованиям для объектов (изделий), распределения наработок до отказа или между отказами которых аппроксимируют
экспоненциальным распределением.
Исходными данными для выбора плана испытаний являются
номинальные значения риска поставщика , риска потребителя ,
приемочное значение средней наработки (приемочный уровень) T,
браковочное значение средней наработки (браковочный уровень)
T и значение разрешающего коэффициента D, равного отношению T/T. Значения рисков выбирают из ряда 0,05; 0,1; 0,15; 0,2;
0,25; 0,30. Разрешающий коэффициент D может принимать любое
значение в интервале 1,5–5,0, но не рекомендуется задавать значения D меньше 1,5 и больше 3,0.
Планы испытаний удобно представлять в виде графиков, на которых проводятся линии, делящие координатную плоскость на три
зоны: приемки, браковки и продолжения испытаний в координатах (рис. 7.4):
– ось абсцисс – суммарная учитываемая наработка в долях приемочного уровня t/T;
– ось ординат – число учитываемых отказов r.
137
В зависимости от формы границ устанавливают три вида планов испытаний (рис. 7.4): ограниченные продолжительностью или
числом отказов (одноступенчатые), последовательные усеченные и
комбинированные.
В соответствии с ГОСТ одноступенчатые планы испытаний используют в случаях, когда имеются жесткие ограничения на максимально допустимую их продолжительность и возможны различные отклонения от экспоненциального распределения наработок
изделия до отказа или между отказами в начальном и заключительном периодах испытаний.
Последовательные усеченные планы применяют, когда существует достаточная уверенность в экспоненциальном распределеа)
б)
r
в)
r
1
r
1
1
2
2
0
2
0
t/TD
t/TD
0
t/TD
Рис. 7.4. Планы испытаний: а – одноступенчатый;
б – последовательный усеченный; в – комбинированный.
1 – граница браковки; 2 – граница приемки
r
r*
r * –1
1
2
i
1
0
× ×
×
×
t/TD
Рис. 7.5. Фиксация отказов для последовательного усеченного плана.
1, 2 – линии реализации процесса отказов;  – моменты возникновения отказов;
– моменты окончания испытаний; r* – предельное (браковочное)
число учитываемых отказов
138
нии наработок до отказа или между отказами изделий в течение
всей продолжительности испытаний.
Комбинированные планы испытаний задействуют, когда возникают сомнения в экспоненциальной модели отказов в начальном
периоде испытаний из-за возможной приработки изделий.
В процессе испытаний последовательно суммируют учитываемую наработку и отказы. На графике плана испытаний (рис. 7.5)
результат суммирования изображают в виде ступенчатой линии реализации процесса отказов.
Учитываемые наработку и отказы суммируют до тех пор, пока
не будет выполнено одно из условий принятия решений для плана
испытаний соответствующего вида, после чего испытания завершают. Графически условия завершения испытаний представляют собой первое достижение или пересечение линией реализации
процесса отказов одной из границ плана испытаний (см. рис. 5.5).
В случае 1 партию бракуют, в случае 2 – принимают.
Контрольные вопросы к разделу 7
1. Каковы этапы решения задачи определения уровня надежности ТС по данным эксплуатации?
2. В каком порядке осуществляют подготовку исходных данных
об отказах объектов?
3. Что такое план испытаний? Какие существуют планы испытаний?
4. По каким критериям оценивают согласованность экспериментального и теоретического законов распределения?
5. Что такое доверительная вероятность и уровень значимости
при статистической оценке параметров надежности ТС?
6. Какие существуют методы статистического контроля качества продукции? Каковы их особенности и области применения?
7. Что такое ошибки первого и второго рода?
8. Чем характеризуются риск поставщика и риск потребителя?
9. Каковы этапы реализации планов контрольных испытаний?
139
8. Безопасность технических систем
Безопасность технических систем и их надежность являются
взаимосвязанными понятиями. Надежная (безотказно функционирующая) ТС является одновременно наиболее безопасной, т. е. наносящей минимальный вред здоровью человека и наименьший ущерб
окружающей среде, иными словами, вызывающей минимально
возможные нежелательные последствия, прямые или косвенные.
В то же время понятие безопасности и надежности ТС не совпадают. Можно представить себе безотказно функционирующую систему, являющуюся источником опасности, например, при нарушении
правил техники безопасности в ее эксплуатации. Вместе с тем ТС,
пришедшая в отказное состояние, при определенных условиях может не стать опасной для человека и окружающей среды.
К настоящему времени сформировалась следующая парадигма
безопасности технических систем и, в более широком смысле, техносферной безопасности.
Человек и окружающая его природная среда и техносфера находятся в непрерывном материальном, энергетическом и информационном обмене и образуют постоянно действующую систему «человек –
техносфера – природная среда». Техногенные опасности, проявляясь,
оказывают негативное воздействие одновременно на все три составляющие этой системы. Подобные опасности возникают, если потоки
вещества, энергии и информации в системе превышают предельно
допустимые значения (устанавливаемые чаще всего опытным путем).
Источниками техногенных опасностей являются объекты техносферы – здания, дороги, заводы, шахты, механизмы, сооружения, технические системы. Под техногенной опасностью понимают
явления и процессы, протекающие в технических объектах, способные в определенных условиях наносить вред здоровью человека, ущерб экономике и природной среде. Абсолютно безопасных
объектов техносферы, в том числе технических систем, не существует. Всякая техническая система потенциально опасна, причем
опасность проявляется при определенных условиях. Прогнозирование поведения технических систем и других объектов повышенного риска возможно и необходимо с целью предотвращения аварий, имеющих нежелательные последствия.
8.1. Количественные характеристики опасностей
в техносфере
Техносферой называют искусственную среду обитания – часть
биосферы, преобразованной человеком в процессе хозяйственной
140
деятельности в технические и техногенные объекты. С начала возникновения техносфера была и все больше становится источником
опасности для здоровья человека и вредных воздействий на природную среду.
Опасное состояние технического объекта (системы) чаще всего
связано с переходом его в отказное состояние. Факторами, приводящими к отказу ТС, являются:
– неудачное проектное решение;
– отступление от проекта;
– применение низкокачественных материалов;
– низкое качество изготовления конструкции и монтажа;
– нарушение правил эксплуатации ТС;
– воздействие таких факторов, как агрессивная рабочая среда,
колебания температуры, старение и усталость материалов, вибрационные, ударные и статические механические перегрузки и т. д.
Существуют численные методы оценки техногенных опасностей. Например, мерой опасности может быть число пострадавших.
Так, известно, что каждый добытый 1 млн т угля стоит жизни одному шахтеру. Мерой опасности может быть приносимый ущерб для
окружающей среды (который рассчитывается чаще всего по затратам на ликвидацию последствий). Такие количественные оценки
характерны для регистрационного подхода к проблеме техносферных опасностей, когда ограничиваются констатацией факта произошедшей аварии. Количественной оценкой опасности, используемой при решении задачи прогнозирования аварий и минимизации
их последствий, является риск (уровень риска), определяемый как
вероятность потерь при функционировании ТС [1].
Вероятность потерь при реализации опасности Pоп из-за отказа ТС
можно представить вероятностью статически независимых событий
Pоп = P1P2P3P4,
где P1 – вероятность отказа ТС; P2 – вероятность аварийного исхода при отказе; P3 – вероятность образования поражающих факторов при аварии; P4 – вероятность поражения объектов воздействия
(людей, природных объектов, других техногенных объектов).
Риск может быть определен также как частота возникновения
опасности данного класса. Показатель риска R в этом случае равен
отношению числа возникших опасностей n за некоторый период
времени к длительности этого периода Т и имеет размерность обратного времени (1/год):
R = n/Т.
141
Отметим аналогию между введенным таким образом показателем R и частотой отказов (интенсивностью отказов) в теории надежности ТС.
Риск для человека Rч можно определить следующим образом:
R÷ =
nf (t)
Nf (t)
(аналогичное в математическом отношении выражение вероятности отказов см. в разделе 2), где nf(t) – число пострадавших от фактора риска f в единицу времени; Nf(t) – общее число людей, подверженных фактору риска f.
Подобным образом найдем технический риск Rт :
Rò =
Tf (t)
Tf
,
где Tf(t) – число аварий в единицу времени на технических объектах, подверженных фактору риска f; Tf – общее число технических
объектов, подверженных фактору риска f.
Риск для природной среды (экологический риск Rэ) может быть
определен как
Rý =
Sf (t)
Sf
,
где Sf(t) – площадь пострадавших территорий при действии фактора риска f; S – общая площадь рассматриваемой территории.
Риск экономического ущерба Rу от функционирования ТС можно вычислить следующим образом:
Rу = З/Д,
где З – затраты на обеспечение функционирования ТС; Д – доход от
ее функционирования. При этом
З = Зп + Зб + У,
где Зп – производственные затраты; Зб – затраты на достижение
заданного уровня безопасности ТС; У – ущерб здоровью человека
(который можно определить, например, как размер оплаты больничных листов), другим техническим системам и природной среде
из-за недостаточной защищенности. Очевидно, что для рентабельности ТС должно выполняться неравенство Rу < 1.
Для того чтобы это неравенство было выполнено, необходимо
выбрать такое значение приемлемого риска, которое обеспечивает
142
компромисс между выбранным уровнем безопасности ТС и экономическими возможностями его достижения.
Если известны экономический ущерб У, который может случиться
в результате аварии техногенного характера, и вероятность Pоп потерь
при реализации опасности такой аварии (как мера возможности наступления аварии), то риск можно вычислить следующим образом:
R = УPоп, р.
В общем случае
m
R   Ó i Pîïi ,
i 1
где Pопi – вероятность возникновения опасного события класса i;
Уi – величина экономического ущерба при наступлении события
класса i.
Остановимся на концепции приемлемого, или допустимого, риска. Поскольку невозможно создать абсолютно безопасные технические системы и технологии, необходимо стремиться к достижению такого уровня риска, который обеспечивает достаточную безопасность и в то же время не требует чрезмерных затрат.
На рис. 8.1 кривая 1 означает, что уменьшение техногенного риска Rт вызывает увеличение финансовых вложений (затрат Зт), коR
R6
R с-э
3
2
Rт
1
0
З опт
Зт
Рис. 8.1. Зависимость уровня рисков от затрат
на обеспечение безопасности ТС
143
торые при этом отвлекаются из социально-экономической сферы.
В результате уменьшается число рабочих мест, возрастает безработица, ухудшается медицинское обслуживание населения, уменьшаются социальные выплаты и т. д.
Риск для здоровья населения (социально-экономический риск
Rс-э), таким образом, увеличивается с ростом затрат на уменьшение
техногенного риска (рис. 8.1, кривая 2). Кривая суммарного риска
R имеет минимум, которому соответствуют затраты Зопт, которые
при определенном уровне экономического, технологического и социального развития страны можно считать оптимальными.
8.2. Инженерный метод прогнозирования опасностей
Сущность инженерного метода прогнозирования опасностей заключается в следующем. Сначала производится идентификация
опасностей ТС, под которой понимается процесс их предсказания
и определения временных, пространственных, количественных характеристик, необходимых для разработки мероприятий по обеспечению нормального функционирования ТС и приемлемого риска. В процессе идентификации выявляются перечень возможных
опасностей, вероятность их появления, возможный ущерб и т. д.
Данный метод использует статистику аварий ТС и их последствий и основан на вероятностном анализе и расчете ее опасностей.
Строятся деревья событий и отказов (см. раздел 6). Деревья событий показывают, к каким последствиям могут привести возможные отказы ТС. Деревья отказов (аварий) позволяют выявить причины отказов и нежелательных последствий. С помощью деревьев
рассчитывают вероятность возможных аварий и определяют наиболее вероятные причины, приводящие ТС в опасное состояние.
Рассмотрим основные этапы реализации инженерного метода на
примере бортовой самолетной системы электроснабжения постоянного тока. В состав системы входят два основных генератора постоянного тока Г1 и Г2, обеспечивающих номинальную мощность системы при параллельной работе, дифференциальное минимальное
реле ДМР для подключения основных генераторов к сети и резервного генератора ГР.
В начале работы системы в сеть включается один из основных
генераторов – Г1 или Г2. Далее ДМР подключает на параллельную
работу второй основной генератор. При отказе Г1, Г2 и ДМР подключается ГР. Соответствующее дерево аварий системы приведено
на рис. 8.2.
144
Нет электропитания
И
Г1 не включен
Г2 не включен
ИЛИ
ИЛИ
Отказ
Г1
Отказ
ДМР
Отказ
ГР
Отказ
Г2
Рис. 8.2. Дерево аварий системы электроснабжения
Дерево событий системы имеет вид, представленный на рис. 8.3.
На рис 8.4 приведена диаграмма изменения мощности системы
электроснабжения при возможных отказах ее элементов.
Зона А соответствует случаю исправной работы основных генераторов и ДМР, зона В – случаю отказа одного из основных генераторов, зона С – случаю отказа основных генераторов и исправной
работы резервного генератора, зона D – случаю отказа всех генераторов.
Г1
Г2
ДМР
ГР
Вероятность исхода Мощность
сети
P
Достаточна
P
P
Недостаточна
O
Недостаточна
O
P
Недостаточна
P
O
O
O
Недостаточна
Электропитание
отсутствует
Рис. 8.3. Дерево событий системы
145
Pсети
0,5PN
Вид отказа
A
B
C
ÌðèÞåìà ëãð
ÌðèÞå Á1
æéæ Á2,
æéæ ÂÊÎ
ÌðèÞå Á1 æ Á2,
àèéüõãëæã ÁÎ
D
ÌðèÞå Á1, Á2 æ ÁÎ
Рис. 8.4. Диаграмма изменения мощности системы электроснабжения
при возможных отказах ее элементов.
Вероятность безотказной работы по зонам: A – PA = PÃ1 PÃ2 PÄÌÐ ;
B – PB = PÃ1 (1 - PÃ2 ), PB = PÃ2 (1 - PÃ1 ), PB = PÃ1 PÃ2 )(1 - PÄÌÐ );
C – PÑ = (1 - PÃ1 )(1 - PÃ2 ) PÃÐ ; D – PD = (1 - PÃ1 )(1 - PÃ2 )(1 - PÃÐ )
Помимо анализа опасностей с помощью деревьев отказов и событий может быть проведен логический анализ опасностей системы
с применением булевой алгебры. Если в рассмотренном примере
логическую переменную «мощность сети достаточна» обозначить
через v1, то в терминах алгебры логики будем иметь
v1 = Г1Г2ДМР,
где переменные Г1, Г2, ДМР имеют логический смысл «Г1 исправен», «Г2 исправен», «ДМР исправен» соответственно.
Для переменной v2 «мощность сети недостаточна»
v2  Ã1ÄÌÐ  Ã2ÄÌÐ  Ã2Ã1  Ã1Ã2  Ã1Ã2ÃÐ,
где логические переменные ÄÌÐ, Ã1, Ã2, ÃÐ означают «отказ
ДМР», «отказ Г1», «отказ Г2», «ГР исправен» соответственно.
Выражение для логической переменной v3 «электропитание отсутствует» записываем в виде
v3 = Ã1Ã2ÃÐ,
где ÃÐ имеет логический смысл «отказ ГР».
146
ТС
Оценка вероятности исходов
при отказах элементов ТС
Оценка риска
Выработка корректирующих
действий
Рис. 8.5. Схема применения инженерного метода
Применение аппарата алгебры логики позволяет сократить трудоемкость анализа, особенно в случае большого числа элементов
системы, и, значит, переменных задачи. Однако этот метод обладает меньшей наглядностью, чем рассмотренный ранее метод построения графов.
Логика использования инженерного метода может быть проиллюстрирована схемой, приведенной на рис. 8.5.
Инженерный (расчетный) метод дает возможность выявить критические ситуации, которые могут вызвать аварийные и опасные
состояния ТС, а также позволяет выработать корректирующие воздействия на нее, способные предотвратить опасные события.
8.3. Экспертный метод прогнозирования состояния ТС
В тех случаях, когда ТС содержит много элементов и имеет большое число связей между ними, инженерный метод может оказаться трудоемким и сложным в реализации. Если при этом в отрасли
накоплен определенный опыт эксплуатации аналогичных ТС, то
может быть применен экспертный метод прогнозирования опасных
состояний ТС, основанный на опросе специалистов, выявлении их
обобщенного мнения по тому или иному вопросу. Экспертный метод
позволяет получить вероятностные количественные характеристики ТС, например, оценки уровня риска при возможных отказах ТС.
Первый этап метода – определение качественного и количественного состава группы экспертов – проводится с учетом широты
проблемы, характеристик экспертов и имеющихся ресурсов. Широта проблемы определяет необходимость привлечения к экспертизе специалистов разных профилей и соответствующего уровня
147
компетентности. Затраты ресурсов зависят от числа привлеченных
специалистов и их заработной платы.
Существуют формальные методы определения качественного и
количественного состава группы экспертов. Так, качественный состав может быть определен с помощью индивидуального коэффициента компетентности kк:
kк = k1Kс+ k2Kк+ k3KЛПР,
где Kс, Kк, KЛПР – оценки (из десяти баллов); Kс – самооценка;
Kк – оценка коллегами по группе экспертов; KЛПР – оценка лицом,
принимающим решение (ЛПР) – представителем высшего менеджмента предприятия; k1, k2, k3 – коэффициенты, значение которых назначает ЛПР при соблюдении условия k1+ k2+ k3 = 1,0.
В группу экспертов отбирают специалистов с наибольшими значениями kк.
Количественный состав группы экспертов может быть определен из следующих соображений. Рассмотрим рис. 8.6.
Видно, что с увеличением числа экспертов увеличение достоверности оценки замедляется. Затраты же на оплату работы экспертов
линейно возрастают с ростом их числа.
Для определения минимально необходимого числа экспертов
подбирается группа из четырех-пяти человек, которым предлагается пробное задание – оценить влияние какого-либо параметра надежности ТС на уровень риска при функционировании системы (из
десяти баллов). Данные оценок имеют следующий вид:
Номер эксперта ........ 1
2
3
4
5
Оценка ...................
8
7
8
10
3
Достоверность
оценки
0
Число экспертов
Рис. 8.6. Зависимость достоверности оценки
от числа экспертов
148
Введем обозначения: n – число экспертов в группе (n = 5), nmin –
минимальное число экспертов, требующееся для решения основного задания, an – среднее арифметическое значение оценок n экспертов из табл. 8.1 (an = 7,2), b – оценка эксперта, более всего отличающаяся от среднего (b = 3,0), an-1 – среднее арифметическое
значение оценок n–1 экспертов, полученное при неучете оценки
любого из n экспертов, c – мера влияния суждения одного эксперта
на групповую оценку.
Количественно оценить меру влияния суждения эксперта можно по формуле
an
c
an 1
или выбрать из следующих условий:
1,05  c  1,1 при b ³ an , 0,9  c  0,95 при b < an .
Минимальное число экспертов nmin определяем по формуле
nmin 
can  b
.
an (1  c)
Таблица 8.1
Таблица расчета математического ожидания рангов
Объект
Эксперт
1
2
…
d
ri
r11
r12
…
r1d
r1   r1s
2
r21
r22
r2d
r2   r2s












m
rm1
rm2
…
rmd
rm   rms
d
1
s 1
d
s 1
d
Математическое ожидание рангов
s 1
r=
1 m
å ri
m i=1
149
В соответствии с данными оценок
c = 0,92 (так как b < an ), nmin =
0,92·7,2 - 3
= 6,3.
7,2·(1 - 0,92)
Полученное значение округляем до следующего целого числа.
Таким образом, группу экспертов необходимо увеличить до семи
человек.
На втором этапе эксперты выполняют задание по оцениванию
опасных ситуаций, которые могут возникнуть в ТС. Перечень опасных ситуаций задается ЛПР либо согласованно вырабатывается
самой группой экспертов. Каждый эксперт строит сначала граф
бинарных отношений между объектами (возможными опасными
ситуациями из перечня).
На рис. 8.7 показан возможный граф бинарных отношений для
трех объектов (ситуаций) y1, y2, y3.
Объекты y1, y2 находятся в отношении эквивалентности: y1 
y2, а пары объектов y2, y3 и y3, y1 – в отношении строгого порядка,
причем y2 y3 и y1 y3. Это означает, что, по мнению эксперта,
объект 1 (по ситуации, которая может возникнуть в ТС) равнозначен объекту 2, объект 2 более опасен, чем объект 3, объект 1 более
опасен, чем объект 3.
Далее по графу строится матрица парных сравнений, которая
имеет размер m  m, где m –число объектов в перечне. Сравнивая
попарно опасные ситуации по уровню риска, эксперт выставляет
балл 2 для более опасных ситуаций, балл 0 – для менее опасных,
y1
y2
y3
Рис. 8.7. Граф бинарных отношений
для трех объектов (ситуаций)
150
при равенстве рисков – балл 1. На диагонали матрицы оказываются единицы, так как объект эквивалентен сам себе.
Матрица парных сравнений, соответствующая графу на рис. 8.7,
имеет вид
y1 y2 y3
C
y1
y2
y3
1 1 2 
1 1 2  ,


0 0 1
Далее построчно рассчитывают сумму баллов, данных экспертом каждому объекту. Полученный вектор-столбец p = [4, 4, 1]т является оценкой опасности ситуаций y1, y2, y3. Формально эту оценку можно получить умножением матрицы С на единичный вектор
Е размерностью m  1:
p = CE.
Оценка дает ожидаемый результат: y1 и y2 равноопасны и более
опасны, чем объект y3.
Соответственно вектору оценок p строится вектор рангов r. Первый ранг присваивается объекту с наибольшей суммой баллов. При
одинаковых суммах определяется усредненный ранг:
r = [1–2; 1–2; 3]т или r = [ 1,5; 1,5; 3]т.
Аналогичные векторы рангов получают другие эксперты.
Результатом является итоговая матрица R:
é r 11 r 12 ¼ r 1d ù
ê
ú
ê r 21 r 22  r 2d ú
ê
ú,
R=ê
ú



ê
ú
ê
ú
êër m1 r m2  r md úû
где ris – ранг, присвоенный s-м экспертом i-му объекту, s = 1,…d,
i = 1, …, m.
Далее построчно рассчитывается сумма рангов ris. Объект (ситуация) с наименьшей суммой рангов признается наиболее опасной.
На заключительном этапе производится оценка согласованности мнений экспертов. Для этой цели рассчитывается коэффициент конкордации (согласия) по данным табл. 8.2, основой для которой служит матрица R.
151
В последний столбец таблицы заносятся суммы рангов, рассчитанные по формуле
d
ri   ris ,
s 1
и значение математического ожидания:
r
1 m
 ri .
m i 1
Суммы ri рангов можно рассматривать как случайные. Тогда
дисперсия D равна
D
1 m
 ri  r
m  1 i 1


2
2


1 m d
  ris  r  .

m  1 i 1 s1

Коэффициент конкордации W рассчитывается по формуле
W
D
Dmax
,
где Dmax – максимальное значение дисперсии.
В случае отсутствия связных (равных) рангов
Dmax 
d2 (m3  m)
.
12(m  1)
Тогда
W
2
 d

ris  r  .




d2 (m3  m) i 1 s1

m
12
При связных рангах
W
2
 d


r
r

 ,


is
d

2
3
i 1  s 1

d (m  m)  d  Ts
m
12
(8.1)
s 1
где Ts – показатель (параметр) связных рангов в s-й ранжировке:
Ts 
Hs
  hk3  hk ,
k 1
где Hs– число групп одного ранга в s-й ранжировке; hk – число одного ранга в k-й группе связных рангов.
152
Если связные ранги в s-й ранжировке отсутствуют, то Ts = 0, и
обе формулы для W совпадают.
При значении коэффициента конкордации W = 0 имеем полное
несовпадение мнений экспертов, при W = 1 –полное совпадение их
мнений.
Для иллюстрации применения экспертного метода рассмотрим
числовой пример.
Результаты оценки (ранжировки) пяти объектов y1 – y5 четырьмя экспертами S1 – S4 приведены в табл. 8.2.
Пример. В ранжировке эксперта S4 имеются связные ранги (две
группы по два совпадающих ранга в каждой группе).
Показатель Ts в каждом случае составляет
Ts = (23 – 2) + (23 – 2) = 12.
Тогда
d
 Ts  0  0  0  12  12.
s 1
Коэффициент конкордации по формуле (8.1)
2
 d

W
   ris  r  
d

d2 (m3  m)  d  Ts i 1 s1
m
12
s 1
12
2
2
·  3,5   5,52   3,5    3,5   52   0,59.
 2 3


4 ·(5  5)  4  12
2
Так как коэффициент W > 0,5, мнение экспертов совпадают
удовлетворительно.
Таблица 8.2
Таблица ранжировки
Объект
y1
y2
y3
y4
y5
S1
S2
1
4
2
3
5
2
5
1
3
4
Эксперт
S3
4
5
2
1
3
Математическое ожидание рангов
S4
1,5
3,5
3,5
1,5
5
ri
8,5
17,5
8,5
8,5
17
60
r
 12
5
153
После проведения экспертизы следует принятие решения.
При обнаружении опасной ситуации высший менеджмент предприятия должен выработать решение относительно мероприятий
по обеспечению безопасной эксплуатации системы. Такими мероприятиями (или корректирующими действиями) могут быть изменения:
– конструкции;
– режимов работы;
– технологического процесса.
Следует отметить, что экспертизу и выработку корректирующих воздействий лучше выполнять на стадии проектирования.
В этом случае эффективность выше, а затраты меньше.
Решение по мерам обеспечения безопасности ТС может иметь
два подхода:
– устранять каждую опасность по мере ее выявления, прежде
чем переходить к поиску методов устранения следующей опасности;
– не начинать решать проблему до выявления всех опасностей и
способов их устранения.
При втором подходе мероприятия по обеспечению безопасности
ТС могут быть лучше спланированы и оптимизированы по используемым ресурсам.
После принятия решения об изменении конструкции, режимов
работы и технологических процессов в ряде случаев требуется повторная проверка проекта ТС с целью выявления новых опасностей, к возможному появлению которых могли привести произведенные изменения.
Контрольные вопросы к разделу 8
1. В чем разница понятий «надежность ТС» и «безопасность ТС»?
2. Каковы факторы, приводящие к отказу ТС?
3. Как оценить риск (уровень риска) при функционировании ТС?
4. Какова связь между уровнем риска и затратами на обеспечение безопасности ТС?
5. В чем суть инженерного метода прогнозирования опасностей?
6. Что такое экспертный метод прогнозирования ТС и в каких
случаях он применяется?
7. Как определить минимальное число экспертов?
8. Что такое коэффициент конкордации и какова методика его
расчета?
154
Литература
1. Малкин В. С. Надежность технических систем и техногенный риск.
Ростов н/Д: Феникс, 2010. 432 с.
2. Ушаков И. А. Курс теории надежности систем: учеб. пособие для вузов. М.: Дрофа, 2008. 239 с.
3. Шишмарев В. Ю. Надежность технических систем: учебник для
студ. высш. учеб. заведений. М.: Изд. центр «Академия», 2010. 304 с.
4. Матвеевский В. Р. Надежность технических систем: учеб. пособие.
М.: Моск. гос. ин-т электроники и математики, 2002. 113 с.
5. Калявин В. П., Рыбаков Л. М. Надежность и диагностика элементов
электроустановок: учеб. пособие. СПб.: Элмор, 2009. 336 с.
6. Сборник задач по теории надежности / А. М. Половко, И. М. Маликов, А. Н. Жигарев, В. И. Зарудный; под ред. А. М. Половко. М.: Советское
радио, 1972. 408 с.
7. Половко А. М, Гуров С. В. Основы теории надежности: практикум.
СПб.: БХВ-Петербург, 2006. 560 с.
8. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности. М.: Советское радио, 1962. 552 с.
9. Ермолин Н. П., Жерихин И. П. Надежность электрических машин.
Л.: Энергия, 1976. 248 с.
10. Надежность технических систем и техногенный риск / В. А. Акимов, В. Л. Лапин, В. М. Попов и др. М.: Деловой экспресс, 2002. 368 с.
11. Электрооборудование летательных аппаратов: учеб. для вузов:
в 2 т. / под ред. С. А. Грузкова. М.: Изд-во МЭИ, 2005. Т. 1.: Системы электроснабжения летательных аппаратов. 568 с.
12. Судовые энергетические установки / Г. А. Артемов, В. П. Волошин,
Ю. В. Захаров, А. Я. Шквар. Л.: Судостроение, 1987. 480 с.
13. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. 576 с.
14. Надежность и эффективность в технике: справочник: в 10 т. М.: Машиностроение, 1986–1990.
15. Кузнецов Н. Л. Сборник задач по надежности электрических машин: учеб. пособие. М.: Изд. дом МЭИ, 2008. 408 с.
16. Евланов Л. Г., Кутузов В. А. Экспертные оценки в управлении. М.:
Экономика, 1978. 133 с.
155
156
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
f(x)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
x
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
f(x)
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
x
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
f(x)
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
x
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
f(x)
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
x
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
2,04
f(x)
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4778
0,4783
0,4788
0,4793
x
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
0
f(x)
0,4893
0,4896
0,4898
0,4901
0,4904
0,4906
0,4909
0,4911
0,4913
0,4916
0,4918
0,4920
0,4922
0,4925
0,4927
0,4929
0,4931
0,4932
0,4934
0,4936
0,4938
x
2,76
2,77
2,78
2,79
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2
t
x
–
Значения интегральной функции Лапласа Ô(x) = 1
e 2 dt
ò
2
f(x)
0,4971
0,4972
0,4973
0,4974
0,4974
0,4975
0,4976
0,4977
0,4977
0,4978
0,4979
0,4979
0,4980
0,4981
0,4981
0,4982
0,4982
0,4983
0,4984
0,4984
0,4985
x
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
f(x)
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4994
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4995
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4996
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
Таблица П1
ПРИЛОЖЕНИЕ
157
x
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
f(x)
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
x
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
f(x)
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2704
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
x
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
f(x)
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3888
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
x
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
f(x)
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
x
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
2,29
f(x)
0,4798
0,4803
0,4808
0,4812
0,4817
0,4821
0,4826
0,4830
0,4834
0,4838
0,4842
0,4846
0,4850
0,4854
0,4857
0,4861
0,4864
0,4868
0,4871
0,4875
0,4878
0,4881
0,4884
0,4887
0,4890
x
2,51
2,52
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
f(x)
0,4940
0,4941
0,4943
0,4945
0,4946
0,4948
0,4949
0,4951
0,4952
0,4953
0,4955
0,4956
0,4957
0,4959
0,4960
0,4961
0,4962
0,4963
0,4964
0,4965
0,4966
0,4967
0,4968
0,4969
0,4970
x
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
f(x)
x
0,4985
3,43
0,4986
3,44
0,4986
3,45
0,49865 3,46
0,4987
3,47
0,4987
3,48
0,4988
3,49
0,4988
3,50
0,4989
3,51
0,4989
3,52
0,4989
3,53
0,4990
3,54
0,4990
3,55
0,4990
3,56
0,4991
3,57
0,4991
3,58
0,4991
3,59
0,4992
3,60
0,4992
3,61
0,4992 >3,62
0,4992 >3,89
0,4993
0,4993
0,4993
0,4993
f(x)
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4997
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4998
0,4999
0,5
Окончание табл. П1
158
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
f(x)
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3925
0,3918
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
x
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
f(x)
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
x
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
f(x)
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
x
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
f(x)
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
0,1006
0,0989
0,0973
0,0957
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0,0863
0,0848
0,0833
x
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
2,28
f(x)
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
Значения функции Лапласа (x) =
x
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
2
1
x2
–
e 2
f(x)
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139
0,0136
0,0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081
x
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
3,27
3,28
3,29
3,30
f(x)
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
0,0033
0,0032
0,0031
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0025
0,0025
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018
0,0017
x
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
3,80
3,81
f(x)
0,0007
0,0007
0,0006
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
Таблица П2
159
x
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
f(x)
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3725
0,3712
0,3697
0,3683
0,3668
0,3653
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538
0,3521
x
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
f(x)
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2803
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444
0,2420
0,2396
x
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
f(x)
0,1781
0,1758
0,1736
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315
0,1295
0,1276
0,1257
x
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
f(x)
0,0818
0,0804
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
x
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
2,51
2,52
2,53
2,54
f(x)
0,0290
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
x
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
3,04
3,05
f(x)
0,0079
0,0077
0,0075
0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
x
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
3,56
f(x)
0,0017
0,0016
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013
0,0012
0,0012
0,0012
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
x
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4,00
f(x)
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001
0,0001
Окончание табл. П2
160
f(x)
1,0000
0,9900
0,9802
0,9704
0,9608
0,9512
0,9418
0,9324
0,9231
0,9139
0,9048
0,8958
0,8869
0,8781
0,8694
0,8607
0,8521
0,8437
0,8353
0,8270
0,8187
0,8106
0,8025
0,7945
0,7866
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
1,00
0,99
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
x
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
x
0,2187
0,2165
0,2144
0,2122
0,2101
0,2080
0,2060
0,2039
0,2019
0,1999
0,1979
0,1959
0,1940
0,1920
0,1901
0,1882
0,1864
0,1845
0,1827
0,1809
0,1791
0,1773
0,1755
f(x)
0,3679 1,76 0,1720
0,3716 1,75 0,1738
0,4677
0,4630
0,4584
0,4538
0,4493
0,4449
0,4404
0,4360
0,4317
0,4274
0,4232
0,4190
0,4148
0,4107
0,4066
0,4025
0,3985
0,3946
0,3906
0,3867
0,3829
0,3791
0,3753
f(x)
2,52
2,51
2,28
2,29
2,30
2,31
2,32
2,33
2,34
2,35
2,36
2,37
2,38
2,39
2,40
2,41
2,42
2,43
2,44
2,45
2,46
2,47
2,48
2,49
2,50
x
0,0805
0,0813
0,1023
0,1013
0,1003
0,0993
0,0983
0,0973
0,0963
0,0954
0,0944
0,0935
0,0926
0,0916
0,0907
0,0898
0,0889
0,0880
0,0872
0,0863
0,0854
0,0846
0,0837
0,0829
0,0821
f(x)
3,28
3,27
3,04
3,05
3,06
3,07
3,08
3,09
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
3,16
3,17
3,18
3,19
3,20
3,21
3,22
3,23
3,24
3,25
3,26
x
0,0376
0,0380
0,0478
0,0474
0,0469
0,0464
0,0460
0,0455
0,0450
0,0446
0,0442
0,0437
0,0433
0,0429
0,0424
0,0420
0,0416
0,0412
0,0408
0,0404
0,0400
0,0396
0,0392
0,0388
0,0384
f(x)
4,04
4,03
3,80
3,81
3,82
3,83
3,84
3,85
3,86
3,87
3,88
3,89
3,90
3,91
3,92
3,93
3,94
3,95
3,96
3,97
3,98
3,99
4,00
4,01
4,02
x
4,56
4,57
4,58
4,59
4,60
4,61
4,62
4,63
4,64
4,65
4,66
4,67
4,68
4,69
4,70
4,71
4,72
4,73
4,74
4,75
4,76
4,77
4,78
x
0,0105
0,0104
0,0103
0,0102
0,0101
0,0100
0,0099
0,0098
0,0097
0,0096
0,0095
0,0094
0,0093
0,0092
0,0091
0,0090
0,0089
0,0088
0,0087
0,0087
0,0086
0,0085
0,0084
f(x)
0,0176 4,80 0,0082
0,0178 4,79 0,0083
0,0224
0,0221
0,0219
0,0217
0,0215
0,0213
0,0211
0,0209
0,0207
0,0204
0,0202
0,0200
0,0198
0,0196
0,0194
0,0193
0,0191
0,0189
0,0187
0,0185
0,0183
0,0181
0,0180
f(x)
Таблица значений экспоненциальной функции y = e–x
5,56
5,55
5,32
5,33
5,34
5,35
5,36
5,37
5,38
5,39
5,40
5,41
5,42
5,43
5,44
5,45
5,46
5,47
5,48
5,49
5,50
5,51
5,52
5,53
5,54
x
0,0038
0,0039
0,0049
0,0048
0,0048
0,0047
0,0047
0,0047
0,0046
0,0046
0,0045
0,0045
0,0044
0,0044
0,0043
0,0043
0,0043
0,0042
0,0042
0,0041
0,0041
0,0040
0,0040
0,0040
0,0039
f(x)
Таблица П3
161
f(x)
0,7788
0,7711
0,7634
0,7558
0,7483
0,7408
0,7334
0,7261
0,7189
0,7118
0,7047
0,6977
0,6907
0,6839
0,6771
0,6703
0,6637
0,6570
0,6505
0,6440
0,6376
0,6313
0,6250
0,6188
0,6126
0,6065
0,6005
x
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
x
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
f(x)
0,3642
0,3606
0,3570
0,3535
0,3499
0,3465
0,3430
0,3396
0,3362
0,3329
0,3296
0,3263
0,3230
0,3198
0,3166
0,3135
0,3104
0,3073
0,3042
0,3012
0,2982
0,2952
0,2923
0,2894
0,2865
0,2837
0,2808
x
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,01
2,02
2,03
f(x)
0,1703
0,1686
0,1670
0,1653
0,1637
0,1620
0,1604
0,1588
0,1572
0,1557
0,1541
0,1526
0,1511
0,1496
0,1481
0,1466
0,1451
0,1437
0,1423
0,1409
0,1395
0,1381
0,1367
0,1353
0,1340
0,1327
0,1313
x
2,53
2,54
2,55
2,56
2,57
2,58
2,59
2,60
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67
2,68
2,69
2,70
2,71
2,72
2,73
2,74
2,75
2,76
2,77
2,78
2,79
f(x)
0,0797
0,0789
0,0781
0,0773
0,0765
0,0758
0,0750
0,0743
0,0735
0,0728
0,0721
0,0714
0,0707
0,0699
0,0693
0,0686
0,0679
0,0672
0,0665
0,0659
0,0652
0,0646
0,0639
0,0633
0,0627
0,0620
0,0614
x
3,29
3,30
3,31
3,32
3,33
3,34
3,35
3,36
3,37
3,38
3,39
3,40
3,41
3,42
3,43
3,44
3,45
3,46
3,47
3,48
3,49
3,50
3,51
3,52
3,53
3,54
3,55
f(x)
0,0373
0,0369
0,0365
0,0362
0,0358
0,0354
0,0351
0,0347
0,0344
0,0340
0,0337
0,0334
0,0330
0,0327
0,0324
0,0321
0,0317
0,0314
0,0311
0,0308
0,0305
0,0302
0,0299
0,0296
0,0293
0,0290
0,0287
x
4,05
4,06
4,07
4,08
4,09
4,10
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
4,16
4,17
4,18
4,19
4,20
4,21
4,22
4,23
4,24
4,25
4,26
4,27
4,28
4,29
4,30
4,31
f(x)
0,0174
0,0172
0,0171
0,0169
0,0167
0,0166
0,0164
0,0162
0,0161
0,0159
0,0158
0,0156
0,0155
0,0153
0,0151
0,0150
0,0148
0,0147
0,0146
0,0144
0,0143
0,0141
0,0140
0,0138
0,0137
0,0136
0,0134
4,81
4,82
4,83
4,84
4,85
4,86
4,87
4,88
4,89
4,90
4,91
4,92
4,93
4,94
4,95
4,96
4,97
4,98
4,99
5,00
5,01
5,02
5,03
5,04
5,05
5,06
5,07
x
0,0081
0,0081
0,0080
0,0079
0,0078
0,0078
0,0077
0,0076
0,0075
0,0074
0,0074
0,0073
0,0072
0,0072
0,0071
0,0070
0,0069
0,0069
0,0068
0,0067
0,0067
0,0066
0,0065
0,0065
0,0064
0,0063
0,0063
f(x)
5,57
5,58
5,59
5,60
5,61
5,62
5,63
5,64
5,65
5,66
5,67
5,68
5,69
5,70
5,71
5,72
5,73
5,74
5,75
5,76
5,77
5,78
5,79
5,80
5,81
5,82
5,83
x
0,0038
0,0038
0,0037
0,0037
0,0037
0,0036
0,0036
0,0036
0,0035
0,0035
0,0034
0,0034
0,0034
0,0033
0,0033
0,0033
0,0032
0,0032
0,0032
0,0032
0,0031
0,0031
0,0031
0,0030
0,0030
0,0030
0,0029
f(x)
Продолжение табл. П3
162
f(x)
0,5945
0,5886
0,5827
0,5769
0,5712
0,5655
0,5599
0,5543
0,5488
0,5434
0,5379
0,5326
0,5273
0,5220
0,5169
0,5117
0,5066
0,5016
0,4966
0,4916
0,4868
0,4819
0,4771
0,4724
x
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
x
0,2780
0,2753
0,2725
0,2698
0,2671
0,2645
0,2618
0,2592
0,2567
0,2541
0,2516
0,2491
0,2466
0,2441
0,2417
0,2393
0,2369
0,2346
0,2322
0,2299
0,2276
0,2254
0,2231
0,2209
f(x)
2,04
2,05
2,06
2,07
2,08
2,09
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2,16
2,17
2,18
2,19
2,20
2,21
2,22
2,23
2,24
2,25
2,26
2,27
x
0,1300
0,1287
0,1275
0,1262
0,1249
0,1237
0,1225
0,1212
0,1200
0,1188
0,1177
0,1165
0,1153
0,1142
0,1130
0,1119
0,1108
0,1097
0,1086
0,1075
0,1065
0,1054
0,1044
0,1033
f(x)
2,80
2,81
2,82
2,83
2,84
2,85
2,86
2,87
2,88
2,89
2,90
2,91
2,92
2,93
2,94
2,95
2,96
2,97
2,98
2,99
3,00
3,01
3,02
3,03
x
0,0608
0,0602
0,0596
0,0590
0,0584
0,0578
0,0573
0,0567
0,0561
0,0556
0,0550
0,0545
0,0539
0,0534
0,0529
0,0523
0,0518
0,0513
0,0508
0,0503
0,0498
0,0493
0,0488
0,0483
f(x)
3,56
3,57
3,58
3,59
3,60
3,61
3,62
3,63
3,64
3,65
3,66
3,67
3,68
3,69
3,70
3,71
3,72
3,73
3,74
3,75
3,76
3,77
3,78
3,79
x
0,0284
0,0282
0,0279
0,0276
0,0273
0,0271
0,0268
0,0265
0,0263
0,0260
0,0257
0,0255
0,0252
0,0250
0,0247
0,0245
0,0242
0,0240
0,0238
0,0235
0,0233
0,0231
0,0228
0,0226
f(x)
4,32
4,33
4,34
4,35
4,36
4,37
4,38
4,39
4,40
4,41
4,42
4,43
4,44
4,45
4,46
4,47
4,48
4,49
4,50
4,51
4,52
4,53
4,54
4,55
x
0,0133
0,0132
0,0130
0,0129
0,0128
0,0127
0,0125
0,0124
0,0123
0,0122
0,0120
0,0119
0,0118
0,0117
0,0116
0,0114
0,0113
0,0112
0,0111
0,0110
0,0109
0,0108
0,0107
0,0106
f(x)
5,08
5,09
5,10
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
5,16
5,17
5,18
5,19
5,20
5,21
5,22
5,23
5,24
5,25
5,26
5,27
5,28
5,29
5,30
5,31
x
0,0062
0,0062
0,0061
0,0060
0,0060
0,0059
0,0059
0,0058
0,0057
0,0057
0,0056
0,0056
0,0055
0,0055
0,0054
0,0054
0,0053
0,0052
0,0052
0,0051
0,0051
0,0050
0,0050
0,0049
f(x)
5,84
5,85
5,86
5,87
5,88
5,89
5,90
5,91
5,92
5,93
5,94
5,95
5,96
5,97
5,98
5,99
6,00
x
0,0029
0,0029
0,0029
0,0028
0,0028
0,0028
0,0027
0,0027
0,0027
0,0027
0,0026
0,0026
0,0026
0,0026
0,0025
0,0025
0,0025
f(x)
Окончание табл. П3
Таблица П4
Значения гамма-функции
x
Г(x)
x
Г(x)
x
Г(x)
x
Г(x)
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,0000
0,9943
9888
9835
9784
9735
9687
9642
9597
9555
9514
9474
9436
9399
9364
9330
9298
9267
9237
9209
9182
9156
9131
9108
9030
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
0,9064
9044
9025
9007
8990
8975
8960
8946
8934
8922
8912
8902
8893
8885
8879
8873
8868
8864
8860
8858
8857
8856
8856
8857
8859
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1.59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
0,8862
8866
8870
8876
8882
8889
8896
8905
8914
8924
8935
8947
8959
8972
8986
9001
9017
9033
9050
9068
9086
9106
9126
9147
9168
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
0,9191
9214
9238
9262
9288
9314
9341
9368
9397
9426
9456
9187
9518
9551
9584
9618
9652
9688
9724
9761
9799
9837
9877
9917
9959
1,0000
163
Таблица П5
Квантили распределения 2
Число
степеней
свободы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
164
Квантили распределения при доверительной вероятности 
0,01
0,05
0,000157 0,00393
0,0201
0,103
0,115
0,352
0,297
0,711
0,554
1,15
0,872
1,64
1,24
2,17
1,65
2,73
2,09
3,33
2,56
3,94
3,05
4,57
3,57
5,23
4,11
5,89
4,66
6,57
5,23
7,26
5,81
7,96
6,41
8,67
7,01
9,39
7,63
10,1
8,26
10,9
8,90
11,6
9,54
12,3
10,2
13,1
10,9
13,8
11,5
14,6
0,10
0,50
0,90
0,95
0,99
0,0158
0,211
0,584
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
7,04
7,79
8,55
9,31
10,1
10,9
11,7
12,4
13,2
14,0
14,8
15,7
16,5
0,455
1,39
2,37
3,36
4,35
5,35
6,35
7,34
8,34
9,34
10,3
11,3
12,3
13,3
14,3
15,3
16,3
17,3
18,3
19,3
20,3
21,3
22,3
23,3
24,3
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26,0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
3,84
5,99
7,81
9,49
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
6,64
9,21
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Основные понятия и определения .............................................
1.1. Понятие технической системы ...........................................
1.2. Понятие отказа ТС............................................................
1.3. Показатели надежности ....................................................
Контрольные вопросы к разделу 1 ................................................
3
3
6
7
9
2. Количественные характеристики надежности ТС ........................
2.1. Критерии надежности невосстанавливаемых изделий ...........
2.1.1. Вероятность безотказной работы P(t). Вероятность
отказа Q(t) .......................................................................
2.1.2. Плотность распределения f(t) наработки до отказа ........
2.1.3. Интенсивность отказов (t) ........................................
2.1.4. Средняя наработка до отказа Tср ................................
2.1.5. Сравнительная оценка критериев надежности
невосстанавливаемых изделий ............................................
2.2. Критерии надежности восстанавливаемых изделий...............
2.2.1. Единичные показатели надежности восстанавливаемых
изделий ...........................................................................
2.2.2. Параметр потока отказов. Наработка на отказ ..............
2.2.3. Коэффициент готовности...........................................
2.3. Задачи к разделу 2 ............................................................
2.3.1. Примеры решения типовых задач...............................
2.3.2. Задания к разделу 2 ..................................................
Контрольные вопросы к разделу 2 ................................................
10
11
16
18
3. Теоретические законы распределения отказов ............................
3.1. Случайные процессы.........................................................
3.2. Зависимость интенсивности отказов ТС от времени ...............
3.3. Законы распределения в теории надежности ........................
3.4. Задачи к разделу 3 ............................................................
3.4.1. Пример решения типовой задачи ................................
3.4.2. Задание к разделу 3 ..................................................
Контрольные вопросы к разделу 3 ................................................
31
31
35
36
46
46
48
49
4. Резервирование ТС .................................................................
4.1. Резервирование как метод повышения надежности ТС ..........
4.2. Способы структурного резервирования ................................
4.2.1. Расчет надежности невосстанавливаемых
резервированных ТС..........................................................
4.2.2. Расчет надежности ТС с постоянно включенным
резервом с целой кратностью ..............................................
4.2.3. Расчет надежности ТС с резервированием замещением
с целой кратностью ...........................................................
4.2.4. Расчет надежности ТС с резервированием с дробной
кратностью ......................................................................
51
51
54
11
13
14
15
18
20
23
25
25
28
30
54
57
58
60
165
4.3. Задачи к разделу 4 ............................................................
4.3.1. Пример решения типовой задачи ................................
4.3.2. Задачи для самостоятельного решения ........................
Контрольные вопросы к разделу 4 ................................................
62
62
64
65
5. Надежность ТС с разной структурой ..........................................
5.1. Факторы воздействия на ТС. Классификация факторов
воздействия ...........................................................................
5.1.1. Воздействие температуры ..........................................
5.1.2. Воздействие атмосферного давления и солнечной
радиации .........................................................................
5.1.3. Воздействие влажности и примесей, содержащихся
в воздухе..........................................................................
5.1.4. Воздействие механических нагрузок ...........................
5.1.5. Старение материалов ................................................
5.1.6. Ошибки человека .....................................................
5.2. Структурные схемы надежности.........................................
5.2.1. Последовательная схема............................................
5.2.2. Схема с параллельным соединением элементов.............
5.2.3. Преобразование сложных структур.............................
5.3. Задание к разделу 5 ..........................................................
Контрольные вопросы к разделу 5 ................................................
66
66
68
69
71
74
75
80
84
84
88
91
95
95
6. Методика расчета надежности ТС .............................................
6.1. Ориентировочный расчет надежности невосстанавливаемых
ТС ........................................................................................
6.1.1. Расчет надежности ТС с основным соединением
элементов ........................................................................
6.1.2. Расчет надежности резервированных ТС .....................
6.2. Уточненный расчет надежности невосстанавливаемых ТС......
6.3. Использование графов при анализе и расчете ТС ...................
6.4. Особенности расчета восстанавливаемых ТС.........................
6.5. Задача для самостоятельного решения ................................
Контрольные вопросы к разделу 6 ................................................
97
101
106
113
118
120
122
7. Расчет показателей надежности ТС по данным эксплуатации........
7.1. Подготовка исходных данных ............................................
7.2. Определение вида закона распределения .............................
7.3. Доверительные интервалы .................................................
7.4. Контроль надежности .......................................................
Контрольные вопросы к разделу 7 ................................................
123
123
126
132
134
139
8. Безопасность технических систем .............................................
8.1. Количественные характеристики опасностей в техносфере .....
8.2. Инженерный метод прогнозирования опасностей..................
8.3. Экспертный метод прогнозирования состояния ТС ................
Контрольные вопросы к разделу 8 ................................................
140
140
144
147
154
166
96
97
Литература ............................................................................... 155
Приложение .............................................................................. 156
Таблица П1. Значения интегральной функции Лапласа
Ô(x) =
1
2
x
–
òe
t2
2 dt
.................................................................... 156
0
Таблица П2. Значения функции Лапласа (x) =
1
2
–
e
x2
2
................ 158
Таблица П3. Таблица значений экспоненциальной функции
y = e–x .................................................................................... 160
Таблица П4. Значения гамма-функции ......................................... 163
Таблица П5. Квантили распределения 2 ....................................... 164
167
Учебное издание
Волохов Михаил Александрович
Косулин Владимир Дмитриевич
НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Учебное пособие
Редактор А. А. Гранаткина
Компьютерная верстка С. Б. Мацапуры
Сдано в набор 11.12.13. Подписано к печати 28.11.14.
Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 9,77
Уч.-изд. л. 10,33. Тираж 100 экз. Заказ № 526.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
794 Кб
Теги
volokhovkosylin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа