close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Vysh mat F nesk per metod

код для вставкиСкачать
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методическое пособие
Санкт-Петербург
2008
Составители: Г. М. Головачев, Ю. А. Гусман, Ю. А. Пичугин,
А. О. Смирнов
Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор С. Д. Шапорев; доктор технических наук, профессор Г. В. Савинов; кандидат
физико-математических наук, доцент П. Н. Матвеев
Методическое пособие предназначено для студентов дневной формы
обучения. Может быть использовано студентами технических и экономических специальностей ГУАП.
В данном пособии изучаются основные понятия дифференциального
исчисления функции нескольких переменных и их приложения. Для большей простоты и ясности рассмотрен наиболее простой случай – функции
двух переменных. Эти функции допускают простую геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве, что невозможно для функций
большего числа переменных. Все понятия переносятся для этого случая на
функции трех и более переменных.
Тема непосредственно связана с дифференциальным исчислением функции одной переменной. Все понятия представляют собой перенесение соответствующих понятий анализа функций одной переменной на более общий случай.
Подготовлено кафедрой высшей математики и рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения.
Корректор Т. В. Звертановская
Верстальщик С. В. Барашкова
Сдано в набор 14.01.08. Подписано в печать 12.02.08. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 2,5.
Тираж 400 экз. Заказ №
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Определение функции двух переменных
Функции двух переменных выражают зависимость между тремя величинами, когда значение одной из них, называемой функцией, вполне определяется значениями двух других величин, называемых аргументами.
Пример 1.1. Объем прямого кругового цилиндра, имеющего высоту h и радиус основания r, является функцией этих двух величин,
поскольку его величина определяется по значениям r и h по формуле V = πr2h. Здесь r и h произвольные положительные величины.
Более точное определение функции основано на понятии отображения.
Определение 1.1. Пусть Ω – множество пар чисел (x, y) и Z –
множество чисел z. Говорят, что на множестве Ω задана функция f,
имеющая значения в Z, если каждой паре (x, y)∈Ω поставлено в соответствие некоторое z∈Z, что обозначается посредством f:(x, y) → z;
f:Ω → Z; z = f(x, y); Ω – называется областью определения функции;
(x, y) – аргументы; z – функция.
Аргументы (x, y) можно рассматривать как точку M плоскости.
При этом функция может рассматриваться как функция точки на
плоскости. В качестве области определения выбирается множество,
ограниченное непрерывной замкнутой линией l, называемой границей. Если граница включается в множество, то оно называется замкнутым, а если
не включается, то – открытым. Интервалом
называется множество точек внутри прямоугольника со сторонами, параллельными координатным осям. Интервал можно
определить и как множество (x, y), удовлетворяющее неравенствам a� < ��
�� x�
�� < �
�� b
�, c� <
��
< ��
y� < �
�� d
�.
Окрестностью данной точки M0(x0, y0)
называется множество точек, лежащих
Рис. 1.
внутри круга с центром M0(x0, y0) и радиуса δ. Окрестность точки
может быть определена при помощи неравенства (x� − x0)2 + (y� −
− y0)2 < δ2. Обозначается окрестность εδ(x0, y0).
Пример 1.2. Найти область определения функции z = 4 − x2 − y2 .
Решение. Функция имеет действительные значения, если 4 − x2 −
т. е. x2 + y2 ≤ 4. Последнему неравенству удовлетворяют
координаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат. Область определения функции есть внутренность круга, включая границы (рис. 1).
− y2 ≥ 0,
1.2. Геометрическое изображение
функции двух переменных
Выберем в пространстве декартову прямоугольную систему координат OXYZ и рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную на
множестве Ω(x, y). Каждой паре значений (x, y)∈Ω соответствует
в плоскости xoy точка M с координатами (x, y). Тогда область определения функции Ω изображается как точечное множество на плоскости xoy. Значение z = f(x, y) изображается точкой в пространстве,
имеющей координаты (x, y, z). Множество всех таких точек, когда
(x, y)∈Ω заполняет некоторую поверхность в пространстве, которая
и является изображением функции (рис. 2).
Определение 1.2. Графиком функции z = f(x, y) называется
поверхность, состоящая из точек (x, y, f(x, y)) при (x, y)∈Ω.
Уравнением графика служит z = f(x, y). Поверхность обладает
тем свойством, что любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке.
z
y
M
Ω
x
Рис. 2.
Рис. 3.
Пример 1.3. Линейная функция z = Ax + By + C может быть определена при всех (x, y). Ее графиком является плоскость, задаваемая уравнением Ax + By + C� − z = 0.
Пример 1.4. Часть сферы радиуса R с центром в начале координат, расположенная в верхнем полупространстве, является графиком функции z = R 2 − x2 − y2 и определенной в круге x2 + y2 ≤ R2
(рис. 3).
1.3. Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятие предела функции двух переменных определяется аналогично понятию предела функции одной переменной и выражает
такой характер изменения функции, когда при (x, y), неограниченно приближающихся к точке M0(x0, y0), значения функции неограниченно приближаются к определенному числу A, выступающему
в роли предела.
Определение 1.3. Точка M(x, y) стремится к точке M0(x0, y0),
если M0M → 0, что означает (x − x0 ) + (y − y0 ) → 0. Из определения следует, что M → M0 равносильно условию x → x0, y → y0.
Определение 1.4. Число A называется пределом функции z =
= f(x, y) при x → x0, y → y0, если для любого ε > 0 найдется такое
δ > 0, что при M0M < δ будет выполняться неравенство f(x, y) −
− A < ε.
Предел функции обозначается
2
2
�im f (x, y ) = A; f (x, y ) → A.
x→x0
y→y0
x→x0
y→y0
Определение 1.5. Пусть (x0, y0)∈Ω – области определения функции z = f(x, y). Эта функция называется непрерывной в точке (x0,
y0), если существует предел f(x, y) при (x, y) → (x0, y0) и этот предел
равен f(x0, y0), т. е. �im f (x, y ) = f (x0, y0 ).
x→x0
y→y0
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.
Из этих определений непосредственно следует, что на понятие
предела и непрерывности переносятся все свойства предела и непрерывности, установленные для функции одной переменной.
Пример 1.5. Найти �im
x →0 3 −
y →0
xy
.
xy + 9
Решение.
(
)
xy 3 + xy + 9
xy
xy ⋅ 6
= �im
= �im
= −6.
x →0 3 − xy + 9
x →0 3 − xy + 9 3 + xy + 9
x →0 9 − xy − 9
y →0
y →0
y →0
�im
(
)(
)
xy + 1
.
x2 − y
Решение. Функция теряет смысл, если знаменатель равен 0. Но
x2 = y – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу y = x2.
Пример 1.6. Найти точки разрыва функции z =
Примеры для самостоятельного решения
1
x
1. Найти
������ f  , 3 ; f (1, − 1), если f (x, y ) = xy + .
y
2 
1 1
1
2. ������
Найти f (y, x ); f (−x, − y ); f  , ;
, если f(x, y) =
x
y
f
x
, y)
(


2
2
x −y
=
.
2xy
(
)
3. ���������������������������������������������������������
Найти и изобразить на плоскости области определения функций:
а) z = 1 − x2 + 1 + y2 ;
x
б) z = ����i�  ;
y
в) z = y ⋅ �i� x.
4. Найти пределы функций:
а) �im �i� xy ;
x →0
x
y →0
2
б) �im x + y .
x → 0 x 2 + y2
y →0
5. Найти точки разрыва функции:
а) z = ���
ln�(x−2y);
б) z =
1
.
4 − x 2 − y2
(
Ответы: 1.
)
2
2
2
2
2
2
5
, − 2. 2. y − x ; x − y ; y − x ; 2xy .
3
2xy
2xy
2xy
x 2 − y2
3. а) (−1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1); б) (−x ≤ y ≤ x, y > 0); (x ≤ y ≤ −x, y < 0);
���
) (2πn ≤ x ≤ (2n + 1)π, y ≥ 0; (2n + 1)π ≤ x ≤ (2n + 2)π, y ≤ 0��, n∈Z).
4. а) 0; б) ∞.
1
5. а) y ≤ x; б) x2 + y2≠4.
2
2. Частные производные
2.1. Определение и вычисление частных производных
Пусть z = f(x, y) определена в открытом множестве Ω. Возьмем
какую-либо точку (x,y)∈Ω. Дадим x приращение ∆x, а y оставим без
изменения (зафиксируем), т. е. перейдем к точке (x + ∆x��, �
y), так,
чтобы не выйти за пределы Ω. При этом z получит некоторое приращение, называемое частным приращением функции по x и обозначается ∆xz, так что ∆xz� = �
�� f�(x� + ∆x,
��
y) − f(x, y).
∆ z
Возьмем относительное частное приращение x и устремим
∆x
∆x → 0.
Определение 2.1. Если при ∆x → 0 существует конечный предел относительного приращения, то этот предел называется частной производной, z = f(x, y) по x в точке (x, y) и обозначается
f′x(x, y).
f (x + ∆x, y ) − f (x, y )
Таким образом, fx′ (x, y ) = �im
.
∆x →0
∆x
Аналогичным образом определяется и частная производная по y
f′y(x, y), только фиксируется x, а варьируется y. Для обозначения
∂z ∂z
частных производных применяются символы zx′ , zy′ ,
,
.
∂x ∂y
Правило вычисления частных производных следует из определения, т. е. вычисляется как и обычные функции одной переменной, только аргументы, по которым не проводится вычисление,
считаются постоянными.
2 − y3.
Пример 2.1. Найти z′x и z′y функции z = x3 − x2y� + 3xy
��
2
Решение. Рассматривая y = ���������������
const����������
, получим z′x = x − 2xy + 3y2,
2
аналогично: x = �������
const��, z′y = 6xy� − x − 3y2.
x
Пример 2.2. Найти z′x и z′y функции z = ���� .
y
Решение.
∂z
1
1
1
2
=
⋅
⋅ =
,
∂x �� x ���2 x y y �i� 2x
y
y
y
 x 
∂z
1
1
−2x
=
⋅
⋅ − 2  =
.
x
x
∂y �� ���2  y  y2 �i� 2x
y
y
y
2.2. Геометрическая интерпретация частных производных
Предположим, что функция z = f(x, y), заданная в открытой области Ω, имеет в точке (x0, y0)∈Ω частные производные f′x(x0, y0),
f′y(x0, y0).
z
l2
P
β
y0
x
l1
x
M
y
α
Рис. 4.
Построим поверхность (рис. 4). Если провести плоскость y = y0,
то кривая – линия пересечения поверхности с этой плоскостью –
будет являться графиком функции z = f(x, y0). Касательная прямая
l1 к этому графику в точке x = x0 будет иметь угловой коэффициент,
равный f′x(x0, y0), т. е. tgα = f′
��
x(x0, y0), где α – угол между l1 и осью
OX. Аналогично, плоскость x = x0 пересекает поверхность по линии z = f(x0, y), касательная l2 к которой имеет угловой коэффициент f�′y(x0, y0) и tgβ = f′y(x0, y0), где β – угол между l2 и осью OY.
2.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Возьмем на поверхности z = f(x, y) точку P(x0, y0, z0), где z0 = f(x0,
y0) и построим касательные прямые l1, l2 к графикам z = f(x, y0)
и z = f(x0, y) в плоскостях y = y0, x = x0 соответственно.
Определение 2.2. Касательной плоскостью к поверхности z =
= f(x, y) в точке P(x0, y0, z0) называется плоскость, проходящая через прямые l1 и l2 (рис. 5). Для вывода уравнения касательной
плоско­сти следует найти уравнения прямых l1 и l2, составить уравнение плоскости, проходящей через две данные прямые:
z − z0 = fy′ (x0, y0 )(y − y0 ),
l2 : 
x − x0 = 0;
P
z − z0 = fx′ (x0, y0 )(x − x0 ),
l1 : 
y − y0 = 0;
l2 :
Рис. 5.
l1 :
x − x0 y − y0
z − z0
=
=
;
′
0
1
fy (x0, y0 )
x − x0 y − y0
z − z0
=
=
.
′
1
0
fx (x0, y0 )
Уравнение касательной плоскости
x − x0
1
0
y − y0
0
1
z − z0
fx′ (x0, y0 ) = 0. fy′ (x0, y0 )
(2.1)
Раскрывая определитель (2.1), найдем
z − z0 = f′x(x0, y0)(x − x0) + f′y(x0, y0)(y − y0) = 0.
(2.2)
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в данной точке. Ее уравнение имеет вид:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
fx′ (x0, y0 ) fy′ (x0, y0 )
−1 (2.3)
Пример 2.3. Найти уравнение касательной к плоскости и нор1
1
1
маль к параболоиду z = x2 + y2 в точке поверхности M0  1, 0, .
2
3
2

2
Решение. Находим частные производные z′x = x, zy′ = y. Вычис3
ляем их значение в точке M0, zx′ M0 = 1, zy′ M0 = 0. По формулам (2.2)
и (2.3) находим уравнения касательной плоскости и нормали:
1
z−
1
x −1 y
2.
z − = x − 1 или 2x� − 2z� − 1 = 0,
= =
2
1
0
−1
10
Примеры для самостоятельного решения
Найти частные производные следующих функций:
x
x2 y2
; 3. z = ����� ;
1. z = x2sin2y; 2. z = e
y
4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверх3 − x 3 y2
ности z =
в точке M0(1, 1, 1).
x +1
Ответы: 1. z
�′x ���
=��
�
2xsin2y, z′y ��
=� x2sin�
2y;
2 2
2 2
2. zx′ = 2xy2ex y , zy′ = x2 2y ⋅ ex y ;
y
x
, zy′ = − 2
;
3. zx′ = 2
2
x +y
x + y2
4. 2x + y + z − 4 = 0, x − 1 = y − 1 = z − 1 .
2
2
1
11
3. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
3.1. Формула
��������������������������
полного приращения
Определение 3.1. Полным приращением функции z = f(x, y),
отвечающим приращениям ∆x и ∆y, называется величина ∆z� = �
�� f�(x +
+ ∆x, y + ∆y) − f(x, y).
Предположим, что данная функция в некоторой точке (x, y) имеет непрерывные частные производные. При достаточно малых ∆x
и ∆y напишем ∆z в форме:
∆z = (f(x + ∆x, y) − f(x, y)) + (f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x + ∆x, y)).
Применим формулу Лагранжа к каждой из скобок:
f(x + ∆x, y) − f(x, y) = f′x(x + Θ1∆x, y)∆x, 0 < Θ1 < 1;
f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x + ∆x, y) = f′y(x + ∆x, y + Θ2∆y)∆y, 0 < Θ2 < 1.
В силу непрерывности f′x, f�′y при ∆x → 0, ∆y → 0
f′x(x + Θ1∆x, y) = f′x(x, y) + α, α → 0 при ∆x → 0;
f′y(x + ∆x, y + Θ2∆y) = f′y(x, y) + β, β → 0 при ∆y → 0.
Таким образом,
∆z� = �
�� f�x′ (x, y)∆x + f′y(x, y)∆y + R, где R = α�
∆x + β�
∆y��.
(3.1)
Формула (3.1) называется формулой полного приращения функции z = f(x, y), где R – бесконечно малая более высокого порядка,
чем ∆x и ∆y.
3.2. Полный дифференциал
Определение 3.2. Полным дифференциалом dz функции z =
= f(x, y) называется величина f′x(x, y)∆x + f′y(x, y)∆y. Бесконечно малые приращения аргументов ∆x и ∆y можно принять за их дифференциалы и обозначить ∆x� = ��
�� dx,
�� ∆y� = ��
�� dy.
�� Тогда по определению
dz = f′x(x, y)dx + f′y(x, y)dy.
12
(3.2)
Формула (3.1) может быть переписана
∆z = dz + R.
(3.3)
Отсюда следует основное свойство полного дифференциала – он
представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно ∆x и ∆y. Слагаемые в (3.2) естественно принять
за частные дифференциалы функции по x и y. Равенство (3.2) можно переписать dz = dxz + dyz.
Из формулы (3.3) вытекает приближенная формула для вычисления значения функции f(x0 + ∆x,y0 + ∆y)
f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = dz(x0, y0) + f(x0, y0).
(3.4)
Полный дифференциал и формула (3.4) имеют следующий геометрический смысл. Уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) в точке (x0, y0) имеет вид z� − z0 = f′x(x0, y0)(x� −
− x0) + f′y(x0, y0)(y� − y0). Возьмем точку (x = x0 + dx, y = y0 + dy).
Этой точке на касательной плоскости отвечает точка, имеющая z =
= z0 + dz.
Таким образом, при переходе от (x0, y0) к точке (x0 + dx, y0 + dy)
по касательной плоскости величина z меняется от z0 до z0 + ��
dz, т. е.
dz есть приращение функции z вдоль касательной плоскости.
Пример 3.1. Найти значение дифференциала функции z = exy
при x0 = 1, y0 = 1, ∆x = 0.15, ∆y = 0,1.
Решение.
dz = z′xdx + z′ydy = yexydx + xexydy,
dz = e� ⋅ 0,15 + e� ⋅ 0,1 = 0,25e� ≈ 0,677.
Пример 3.2. Вычислить приближение (1,03)2,04.
Решение. Искомое число будем рассматривать как значение
x = x0 + ∆x
функции z = xy при 
, если x0 = 1, y0 = 2, ∆y = 0,04,
y = y0 + ∆y
∆x = 0,03.
Имеем z(1, 2) = 12 = 1, ∆z� ≈ dz = yxy−1dz + xylnxdy,
∆z� ≈ dz(1, 2) = 2 ⋅ 1 ⋅ 0,03 + 12ln��
1 ⋅ 0,04 = 0,06,
1,032,04 ≈ 1,06.
13
Примеры для самостоятельного решения
Найти полные дифференциалы функций:
y
1. z = x3 + y3 − 3xy; 2. z = ln(x2 + y2); 3. z = �� ;
x
4. Вычислить приближенно
(4,05)2 + (2,93)2 .
Ответы: 1. dz = 3(x2 − y)dx + 3(y2 − x)dy;
−y�x + x�y
2x�x + 2y�y
;
2. �z =
; 3. �z =
2
2
y
x +y
x2 ���2  
x
4. 4,988(dz = −0,002).
14
4. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
4.1. Основные формулы
Предположим, что в некоторой области Θ определены две функции u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y), множество пар которых принадлежит
области H, в которой задана функция z� = �
�� f�(u, v). В этом случае z
определена как сложная функция (x, y) по схеме
ϕ, ψ
f
x, y ) 
→ (u, v ) 
→ (z ), z� = �
�� f�(ϕ(x, y), ψ(x, y)) = g(x, y).
(


g
Для вычисления производных сложной функции применим
формулы (3.2) и (3.3). Если x дать приращение ∆x, а y оставить неизменным, то u и v получат частные бесконечно малые приращения
∆xu и ∆xv. Эти приращения u и v вызовут приращение z, полное по
u и v, но частное по x. Применим к этому приращению формулу
(3.3) и получим ∆xz = f′u(u, v)∆xu + f′v(u, v)∆xv + α�
∆xu + β�
∆xv, где
∆ z
∆ u
α и β – бесконечно малые. Отсюда получим x = fu′ (u, v ) x +
∆
x
∆x
∆ v
∆ u
∆ v
+fv′ (u, v ) x + α x + β x .
∆x
∆x
∆x
При ∆x → 0
∆ u
∆ xz
∆ v
→ zx′ , x → ux′ , x → vx′ и получаем
∆x
∆x
∆x
z′x = z′u ⋅ u′x + z′v ⋅ v′x.
(4.1)
Аналогично выводится формула для z′y ,
z′y = z′u ⋅ u′y + z′v ⋅ v′y .
(4.2)
Используя формулы (4.1) и (4.2), можно найти полный дифференциал сложной функции
�z =
 ∂z ∂u ∂z ∂v 
∂z
∂z
∂z ∂u ∂z ∂v 
�x + �y =  ⋅
+ ⋅  �x +  ⋅
+
⋅  �y =
∂x
∂y
∂
u
∂
x
∂
v
∂
x


 ∂u ∂y ∂u ∂y 
=
∂z  ∂u
∂u  ∂z  ∂v
∂u  ∂z
∂z
�u + �v.
 �x + �y  +  �x + �y  =
∂u  ∂x
∂y  ∂v  ∂x
∂y  ∂u
∂v
Полученный результат показывает, что полный дифференциал
имеет одну и ту же форму, как в том случае, когда аргументы – не15
зависимые переменные, так и в том случае, когда они являются
функциями (свойство инвариантности формы дифференциала).
y
Пример 4.1. Найти z′x и z′y, если z = u2lnv, где u = , v = x2 + y2.
x
Решение.
−y
u2
1
z′u = 2ulnv, zv′ = , ux′ = 2 , v′x = 2x, u′y = , v′y = 2y.
v
x
x
Применяя формулы (4.1) и (4.2), получим
 −y  u2
 ux y �� v 
zx′ = 2u �� v  2  + 2x = 2u 
− 2 ,
x 
x  v
 v
1
u2
 �� v y 
zy′ = 2u �� v   + 2y = 2u 
+ .
v
x v
 x
Пример 4.2. Показать, что функция z = y� ⋅ ϕ(x2 − y2) удовлетворяет уравнению
1 ′ 1 ′
z
zx + zy = 2 .
x
y
y
Решение. Введя новую переменную v = x2 − y2, получим z = y� ⋅ ϕ(v),
откуда z′x = z′v� ⋅ v′x = yϕ′(v)2x, z′y = ϕ(v) + yϕ′(v)2(−y).
Подставим в уравнение
ϕ (v )
ϕ (v ) yϕ (v ) z
zx′ zy′
+ = 2yϕ′ (v ) +
− 2yϕ′ (v ) =
=
= 2.
x y
y
y
y2
y
4.2. Производные функций, заданных неявно
Предположим, что z как функция (x, y) определяется уравнением F(x, y, z) = 0.
Такое задание функции называется неявным. Для нахождения
частных производных z′x и z′y продифференцируем функцию F по x�
и y, имея в виду, что z есть функция (x, y):
F′
F′
F′x + F′z ⋅ z′x = 0, F′y + F′z ⋅ z′y = 0 ⇒ zx′ = − x , zy′ = − y . ′
Fz
Fz′
(4.3)
Формулы (4.3) имеют смысл, если F′z≠0. Используя эти формулы, можно найти уравнение касательной плоскости к поверхности,
16
заданной общим уравнением F(x, y, z) = 0. Эта задача была решена
в подразделе 2.3 для поверхности, заданной явным уравнением
z = f(x, y). Подставляя (4.3) в (2.2), получим уравнение касательной плоскости
Fx′
M0
(x − x0 ) + Fy′
M0
(y − y0 ) + Fz′ M0 (z − z0 ) = 0. (4.4)
Пример 4.3. Найти уравнение касательной плоскости к конусу
x2 y2 z2
+
− = 0 в точке M0(4, 3, 4).
16 9 8
x2 y2 z2
x
1
Решение. Обозначив F (x, y, z ) =
+
− , найдем Fx′ = M0 = ,
16 9 8
8
2
2y
2
z
′
Fy′ =
M0 = , Fz = −
M0 = −1.
9
3
4
Применим (4.4)
1
(x − 4 ) + 2 (y − 3) − (z − 4 ) = 0, 3x + 4y� − 6z = 0.
2
3
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти z′x, z′y, если z = eu−2v, u = ���
sinx, v = x3 + y2.
2. Найти z′x, z′y, если x� − ytgxz = 0.
3. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности x2 +
+ 2y2 − 3z2 + xy + yz� − 2xz + 16 = 0 в точке M0(1, 2, 3).
Ответы�����
: 1. z′x = eu−2v(cosx� − 6
�x2), z′y = −4y� ⋅ eu−2v;
���2 xz − yz ′ − �i�2xz
2. zx′ =
, zy =
;
yx
2yx
3. x� − 6y + 9z� − 16 = 0.
17
5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
5.1. Производные высших порядков
Предположим, что функция z = f(x, y) во всех точках области Ω
имеет частные производные z′x, z′y. Эти производные сами являются
функциями (x, y) и их можно дифференцировать. Производные
′′ , zyx
′′ , z′′2 называются производными второго порядка. Они
zx′′ 2 , zxy
y
2
′
′
′
∂2z ′′
∂2z
′′ = (zy′ )x = ∂ z ;
обозначаются: zx′′ 2 = (zx′ ) x = 2 ; zxy
= (zx′ ) y =
; zyx
∂x∂y
∂x
∂y∂x
′
∂2z
zy′′2 = (zy′ )y = 2 .
∂y
Пример 5.1. Найти производные второго порядка для функции
x
z= .
y
1
′′ = − 1 .
Решение. zx′ = , zx′′ 2 = 0, zxy
y
y2
1
2x
x ′′
zy′ = − 2 , zyx
= − 2 , zy′′2 = 3 .
y
y
y
′′ и zyx
′′
В рассматриваемом примере смешанные производные zxy
совпадают. Этот результат для непрерывной функции не является
случайным.
Если в окрестности некоторой точки функция z = f(x, y) непрерывна, то смешанные производные второго порядка равны (т. е. не
зависят от порядка дифференцирования).
Далее можно рассматривать производные третьего порядка как
производные от производных второго порядка, и вообще определять производные любого порядка.
Пример 5.2. Дана функция z = ���
ln�(ex + ey). Показать, что z′x + z′y = 1,
′′ ) = 0.
zx′′ 2 ⋅ zy′′2 − (zxy
∂z
ex
∂z
ey
ex + e y
Решение.
= x y,
= x y , zx′ + zy′ = x y = 1.
∂x e + e ∂y e + e
e +e
Для получения производных второго порядка воспользуемся
правилом дифференцирования частного.
2
∂2z ∂  ex  e
=

=
∂x2 ∂x  ex + e y 
18
x
(e
x
)
+ e y − ex ⋅ ex
(e
x
+ ey
)
2
=
(e
ex + y
x
+ ey
)
2
,
(
)
y x
y
y
y
∂2z ∂  e y  e e + e − e ⋅ e
ex + y
=
=
=


2
∂y2 ∂y  ex + e y 
ex + e y
ex + e y
(
)
∂2z
∂ ∂z ∂  e y 
exe y
=
=
 x y =−
∂x∂y ∂x ∂y ∂x  e + e 
ex + e y
(
(
)
2
=−
(e
2
ex + y
x
,
)
+ ey
)
2
.
Легко видеть, что второе доказываемое соотношение выполнено.
5.2. Полный дифференциал высших порядков
Определение 5.1. Дифференциалом n-го порядка называется
полный дифференциал функции z = f(x, y) от дифференциала (n−1)-го
порядка dnz = d(dn−1z).
�2z = � (�z ) = � (fx′ (x, y )�x + fy′ (x, y )�y )= �fx′ (x, y )�x + �fy′ (x, y )�y =
′′ (x, y)�x�y + f ′′2 (x, y)(�y)2.
= fx′′2 (x, y)(�x)2 + 2fxy
y
Совершенно аналогично для dnz получается выражение dnz =
n−1
= z(nn) (�x ) + nz(nn−−1)
1 (�x )
n
x
x
n −k
y
n
�y + ... + z(nn) (�y ) , или �nz = ∑ Cnkz(nn)−k
n
y
Cnk
k =0
y
xk
×
– биноминальные коэффициенты.
× (�x ) (�y ) , где
Найденные формулы показывают, что выражение для дифференциала любого порядка имеет структуру, аналогичную формуле
бинома Ньютона, если дифференцирование символически рассматk
n
 ∂

∂
ривать как «возведение в степень». Поэтому �nz =  �x + �y  z.
∂
x
∂
y


Такая формула удобна для запоминания.
5.3. Формула Тейлора
Для функции двух переменных имеет место формула, аналогичная формуле Тейлора для функции одной переменной. Если предположить, что в окрестности точки M0(x0, y0) функция z = f(x, y)
19
имеет непрерывные частные производные до (n� + 1)-го
��
порядка
включительно, то
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f (x0, y0 ) + �z M +
0
+
где Rn =
1 2
� z
+
M0
2!
1 3
1
� z
+ ... + �nz
+ Rn, M0
M0
3!
n!
(5.1)
1
�n +1z
.
M (x0 +Θ∆x,y0 +Θ∆y)
(n + 1) !
Эту формулу можно рассматривать как уточнение формулы пол1
ного приращения ∆ z = �z M + �2z
, 0 < Θ < 1.
0
M (x0 +Θ∆x,y0 +Θ∆y)
2
Пример 5.3. Найти d2z в точке M0(2, −1) функции z = x3 − 5x2 −
− xy + y2 + 10x + 5y� − 4.
Решение. �z = zx′ M0 �x + zy′
�y; zx′ = 3x2 − 10x − y + 10 M0 = 3;
M0
zy′ = −x + 2y + 5
zx′′ 2 = 6x − 10
�2z = zx′′ 2
M0
M0 = 1;
M0 = 2,
′′
(�x )2 + 2zxy
dz = 3dx + dy;
′′ = −1, zуz
′′ = 2.
zxу
′′
M0 �x�y + zy2 M0
(�y )2 ,
d2z = 2(dx)2 − 2dxdy + 2(dy)2.
Пример 5.4. Разложить по формуле Тейлора окрестности точки
M0(1, 1) до членов второго порядка включительно функцию z = yx.
Решение. f(1,1) = 1. Вычислим dz и d2z в точке M0, считая ∆x =
= x� − 1, ∆y = y� − 1,
zx′ = yx �� y
�z
M0 =
M0 = 0,
y − 1; zx′′ 2 = yx ��2 y
zy′ = xyx −1
M0 = 0,
M0 = 1,
zy′′2 = x (x − 1)yx −2
M0 = 0,
′′ = xyx −1 �� y + yx 1 = yx −1 (x �� y + 1) M = 1, d2z = (x� − 1)(y�
zxy
��� − 1��
���
)�,
0
y
f(x, y) = 1 + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + R2,
где� R2 = o(ρ2), ρ2 = (x − 1)2 + (y − 1)2.
20
Примеры для самостоятельного решения
Найти производные второго порядка для функций:
1. z = x5 + y5� − 5
�x3y3;
2
2
2. z = ln(x + y );
3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки M0(1, −1)
до членов второго порядка включительно функцию z = exy.
′′ = −45x2y2, z′′2 = 20y3 − 30x3y;
Ответы: 1. zx′′ 2 = 20x3 − 30xy3, zxy
y
2. zx′′ 2 =
3. e
xy
(
), z′′
(x + y )
2 y2 − x 2
=e
2

−1 


2
2
xy = −
(x
4xy
2
1 − (x − 1) + (y + 1)
+ y2
, zy′′2 =
2
)
(
);
(x − y )
2 x 2 − y2
2
2
2
2
2
x − 1) (x + 1) 
(
.
+
+
2
2


21
6. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
6.1. Определение точек экстремума.
Необходимые условия экстремума
Предположим, что непрерывная функция z = f(x, y) задана в открытой области Ω.
Определение 6.1. Точка (x0, y0)∈Ω называется точкой максимума функции z = f(x, y), если существует окрестность этой точки
εδ ⊂ Ω (целиком содержится в Ω), что во всех точках этой окрестно­
сти выполняется соотношение f(x, y) ≤ f(x0, y0). Соответственно
точка (x0, y0) называется точкой минимума данной функции, если
f(x, y) ≥ f(x0, y0).
Это определение можно модифицировать: если в некоторой окрестности точки (x0, y0) ∆z ≤ 0, то точка (x0, y0) – точка максимума,
если ∆z ≥ 0, то (x0, y0) – точка минимума.
Следует обратить внимание, что точки экстремума функции
(точки максимума и минимума) обязательно внутренние, и определение их носит локальный характер, т. е. неравенства ∆z ≤ 0 и ∆z ≥ 0
имеют место вблизи данной точки. Для нахождения точек, в которых может быть экстремум, используются необходимые условия
экстремума.
Если точка (x0, y0) является точкой экстремума функции z = f(x,
y), и в этой точке существуют частные производные, то
fx′ (x0, y0 ) = 0

fy′ (x0, y0 ) = 0. (6.1)
Геометрический смысл условий (6.1): если в точке экстремума
существует касательная плоскость к графику данной функции, то
она параллельна плоскости xOy.
6.2. Достаточные условия экстремума
Предположим, что вблизи некоторой точки (x0, y0) существуют
непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, а в самой точке выполняются необходимые условия экстремума (6.1). В этих условиях можно воспользоваться формулой Тейлора (5.1), которая принимает вид ∆z = 1 �2z при малых ∆x, ∆y, т. е.
2
22
знак ∆z совпадает со знаком d2z. Отсюда вытекают достаточные условия экстремума.
Если вблизи точки (x0, y0), где выполнены необходимые условия
экстремума, d2z сохраняет знак, то в ней имеется экстремум, если
d2z меняет знак, то экстремума нет, причем, если d2z ≤ 0, то максимум, если же d2z ≥ 0, то минимум.
′′ (x0, y0 ) = B, f ′′2 (x0, y0 ) = C, можно заОбозначив fx′′2 (x0, y0 ) = A, fxy
y
писать d2z = A(∆x)2 + 2B∆x∆y + C(∆y)2.
Используя условия сохранения знака квадратного трехчлена
B2 − AC, получаем достаточные условия экстремума:
1) �����
если B2 − AC < 0, то в точке (x0, y0) имеет место экстремум,
причем минимум, если A > 0, и максимум, если A < 0.
2) если
����� B2 − AC > 0, то экстремума в точке (x0, y0) нет.
3) если
����� B2 − AC = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 6.1. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y2 −
− 3xy.
Решение. Используем необходимые условия (6.1) для нахождения стационарной точки
zx′ = 3x2 − 3y = 0
x = 0, x2 = 1,
⇒  1


2
y1 = 0, y2 = 1.
zy′ = 3y − 3x = 0
′′ = −3, z′′2 = 6y.
Найдем zx′′ 2 = 6x, zxy
y
2
Вычислим B − AC для каждой точки M1(0, 0), M2(1, 1).
Для точки M1: A = 0, B = −3, C = 0, B2 − AC = 9 > 0. Это означает,
что в точке M1 экстремума нет.
Для�������
точки�
������ M2: A = 6, B = −3, C = 6, B2 − AC = > −27 < 0, A > 0.
Следовательно, в точке M2 функция имеет минимум zmin = −1.
Примеры для самостоятельного решения
Исследовать на экстремум функции:
1. z = x2 + xy − y2 − 3x − 6y.
2. z = (x − 1)2 − 2y2.
Ответы: 1. zmin = −9 при x0 = 0, y0 = 3.
2. Экстремума нет.
23
7. Скалярное поле
7.1. Скалярное поле, его характеристики.
Определение скалярного поля.
Линии и поверхности уровня
Полем называется пространство (или часть его), в каждой точке
которого задана некоторая величина. Если эта величина есть скаляр, то поле называется скалярным, если – вектор, то векторным.
Примером скалярного поля может служить поле температур внутри некоторого нагретого тела, поле давлений в некотором объеме
и другие.
Скалярное поле задано, если в каждой точке пространства определена скалярная функция u(x, y, z). Будем считать, что функция
∂u ∂u ∂u
u(x, y, z) и ее частные производные
,
,
непрерывны в рас∂
x ∂y ∂z
сматриваемой области.
Геометрическое место точек, в которых функция u(x, y, z) = C,
где C – постоянное значение, называется поверхностью уровня.
Функцию u(x, y, z), задающую скалярное поле, называют потенциальной, а поверхности уровня при различных значениях C – эквипотенциальными поверхностями.
Если скалярное поле задано в плоской области, то оно описывается функцией двух переменных u(x, y). Равенство u(x, y) = C при
различных фиксированных значениях C определяет линии уровня
плоского скалярного поля. С помощью линий уровня на топографических картах обозначают рельеф местности; на специальных картах изображают распределение атмосферных осадков, температур,
давлений.
7.2. Методические указания к определению линий
и поверхностей уровня скалярного поля
Пример 7.1. Найти и построить линии уровня следующих скалярных полей:
x 2 + y2
1) u (x, y ) =
;
4x
2) u(x, y) = x2 − 4y2;
2x − y + 1
3) u (x, y ) =
.
x2
24
Решение:
2
2
1) Приравняем значение функции к постоянному: x + y = С.
4x
Преобразуем полученное уравнение: x2 + y2 = 4Cx, (x� − 2C)2 + y2 =
= 4�
C2.
В результате преобразований получили уравнения окружностей
с центрами в точках (2C, 0) и радиусами 2C.
Построим линии уровня для некоторых значений C. Например,
1
при С = ± ; ±1; ±2; ±3 (рис. 6).
2
x 2 y2
2) u(x, y) = x2 − 4y2, x2 − 4y2 = C,
−
= 1 – гиперболы.
C C
4
Построим линии уровня при C = 0, 4, 16 и при C = −4, −16
(рис. 7).
3 ) u (x, y ) =
2
2x − y + 1 2x − y + 1 = С, 2x − y + 1 = Сx2,  2 2 
, C  x − x  + y − 1 = 0,
x2
x2
C 

(
)
1
C  x −  = − y − C −2 − 1 – уравнения парабол.
C

При C = 0 получим уравнение прямой 2x� − y + 1 = 0. Построим
линии уровня при С = 0, ± 1 , ± 1 (рис. 8).
2 3
y
C = −3
C = −2
C = −1
C=−
–12
–8
C =3
C =2
–4
1
2
1
2
2
C=
–2
C =1
4
x
8
12
Рис. 6.
25
y
C = −16
2
C = −4
1
C=0
–4
–2
C = 16
C=4
2
x
4
–1
–2
Рис. 7.
1
C= ,
2
1
C=− ,
2
1
C= ,
3
1
(x − 2)2 = − (y − 3);
2
2
1
− (x + 2 ) = − (y + 1);
2
1
(x − 3)2 = − (y − 4 );
3
2
1 1
C = − , − (x + 3 ) = − (y + 2 ).
3 3
Пример 7.2. Найти поверхности уровня и построить их для некоторых значений C.
y
c� = −
1
2
c� = 0
c� =
3
1
3
2
c� = −
1
3
−2
−1
1
1
−1
−2
Рис. 8.
26
2
3
c� =
1
2
x
z
z
y
y
x
x
Рис. 10.
Рис. 9.
1) u (x, y, z ) =
2
;
x + y2 + z
2
x 2 + y2
;
z
3) u(x, y, z) = x2 + y2 − z2.
Решение.
2) u (x, y, z ) =
2
= C, откуда получаем
x + y2 + z
2
2
уравнения x2 + y2 + z =
или x2 + y2 = − z.
C
C
Этими уравнениями задаются параболоиды вращения. Заметим,
что для C в данной задаче допустимы значения C ≠ 0 (рис. 9).
1) Приравняем
����������� u(x, y, z) = C,
2
z
z
y
y
x
x
Рис. 11.
Рис. 12.
27
1
C = , x2 + y2 = −(z − 4);
2
C = 1, x2 + y2 = −(z − 2);
C = 2, x2 + y2 = −(z − 1).
x 2 + y2
x 2 + y2
,
= С, x2 + y2 = Сz или x2 + y2 −
z
z
− C2z2 = 0, уравнение круговых конусов с осью симметрии Oz (рис. 10).
3) u(x, y, z)���
��
=� x2 ��
+� y2 − z2, x2 ��
+� y2 − z2 ��
=� C.
При C > 0 получим семейство однополостных гиперболоидов;
при C = 0 – конус x2 + y2 − z2 = 0 (рис. 11); при C < 0 – семейство двуполостных гиперболоидов (рис. 12).
2) u (x, y, z ) =
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти область определения и найти линии уровня скалярных
полей:
1) u(x, y) = xy;
2) u (x, y ) = 9 − x2 − 3y2 ;
y2 − x 2 + 9
.
x
2. Написать уравнение и построить график линии уровня, проходящей через M0, для следующих скалярных полей:
1) u(x, y) = 4x2 − y
�2, M0(2, −1);
2
x + y2
, M0(4, 0);
2) u (x, y ) =
x
4x + y − 1
, M0(4, 1).
3) u (x, y ) =
x2
3. Написать уравнение поверхности уровня следующих скалярных полей:
1) u(x, y, z) = x2 + y2 − 4z2;
3
;
2) u (x, y, z ) = 2
x + y2 − 2z2
3) u (x, y ) =
3) u (x, y, z ) =
28
x 2 + y2
.
z2
7.3. Производная по направлению
Для изучения скалярного поля важно знать скорость изменения
функции u(x, y, z), задающей поле, при переходе от одной точки
пространства к другой. Такой характеристикой скалярного поля
является производная функции u(x, y, z) по направлению в точке
M пространства. Она определяется как предел отношения
 M
M1 �im
u (M1 ) − u (M ) ∂u
=
MM1
∂l
(7.1)
и вычисляется по формуле:
∂u ∂u
∂u
∂u
=
��� α + ��� β + ��� γ, ∂l ∂x
∂y
∂z
(7.2)
где cosα,
��� cosβ,
��� cosγ
��� – направляющие косинусы луча l.
7.4. Методические указания
к вычислению производной по направлению
x 2 y2
+
+ z2
4
4
в точке M(1, −2, 3) в направлении радиуса-вектора этой точки.
Решение. Найдем направление радиуса-вектора точки M:
   
r = i − 2j + 3k,
Пример 7.3. Найти производную функции u (x, y, z ) =
    
r i − 2j + 3k
l0 =  =
.
1+ 4 + 9
r
1
Следовательно, (рис. 13), ��� α =
,
14
2
3
��� β = −
, ��� γ =
.
14
14
Найдем частные производные функции u(x, y, z) по всем трем переменным и вычислим их в точке M(1,
−2, 3).
z
М(1, –2, 3)
3

r
–2
1
y
x
Рис. 13.
29
∂u
∂x
=
M
2x
1
= ;
4 x =1 2
2y
∂u
4
=
=− ;
∂y M 9 y =−2
9
∂u
= 2z z =3 = 6.
∂z M
0
Найденные значения направляющих косинусов направления l
и частных производных подставим в формулу (1.2):
∂u 1 1
4 2 
3
249
83
= ⋅
− −
+6⋅
=
=
.
∂l 2 14 9  14 
14 18 14 6 14
∂u
83
=
.
∂l 6 14
Пример 7.4. Найти скорость изменения скалярного поля, заданy
ного функцией u(x, y) = �����
в точке M(2, −2) по окружности
x
2
2
x + y − 4x = 0 (по дуге этой окружности).
Решение. Скорость изменения скалярного
поля – это производ
ная по направлению. Направлением l по дуге окружности в точке
M(2, −2) является направление касательной в этой точке. Построим
по данному уравнению x2 + y2 − 4x = 0 окружность
и касательную к

ней в точке M(2, −2), (рис. 14). Касательная l параллельна оси Ox,
следовательно, ���
cosα = 1, ���
cosβ = 0. Вычислим частные производные
y
функции u(x, y) = ����� в точке M(2, −2).
x
∂u
1
 y 
=
⋅ − 2  =
∂x M
y2
 x M
1+ 2
y
x
Ответ:
= −
2
О
–2
x
Рис. 14.
30
∂u
=
∂y M

l
M(2, –2)
y
x 2 + y2
=
=
2 1
= ,
8 4
1
 1 
⋅  2 =
2
y
x M
1+ 2
x
x
x + y2
2
x =2
y =−2
x =2
y =−2
=
2 1
= .
8 4
Подставим найденные значения cosα,
��� cosβ
��� и частных производных в формулу (7.2) (���
cosγ = 0, так как функция задает скалярное
∂u 1
1
1
поле в плоскости xOy),
= ⋅1 + ⋅ 0 = .
∂l 4
4
4
1
Ответ. Скорость изменения скалярного поля равна .
4
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти производную скалярногополя u(x, y, z) = x3y� − xy3 + 6z
в точке M(1, 1, −1) по направлению l , идущему из M в точку A(3,
−1, −2).
Ответ: 2.
xy
2. Найти производную скалярного поля ϕ (x, y, z ) =
по наz

правлению вектора MA в точке M, если M(1, 2, 1), а A(0, 3, 4).
7
Ответ: −
.
11
3. Найти производную скалярного поля u(x, y) = ���
ln�(ex + ey) в начале координат по направлению луча, составляющего угол 60°
с осью абсцисс.
3 +1
Ответ:
u(x, y) = ��(ex + e y ).
4
4. Найти производную скалярного поля u(x, y) = ������
arctg�(xy) в точке M(3, −3) по биссектрисе второго координатного угла (направление отсчета в сторону роста абсциссы).
Ответ: −
3 2
.
82
7.5. Градиент
Вопрос о наибольшем направлении возрастания скалярного
поля, заданного функцией u(x, y, z), решается с помощью градиента в данной точке.
Преобразуем формулу (7.2) следующим образом:
2
2
2
 ∂u 
∂u
∂u
∂u
=   +   +  
∂l
 ∂x   ∂y   ∂z 
(��� α ��� λ + ��� β ��� µ + ��� γ ��� ν ), (7.3)
31
где


��� λ =





��� µ =





��� ν =




∂u
∂x
2
2
2
 ∂u  +  ∂u  +  ∂u 
     
 ∂x   ∂y   ∂z 
∂u
∂y
2
2
2
,
,
 ∂u  +  ∂u  +  ∂u 
     
 ∂x   ∂y   ∂z 
∂u
∂z
.
2
2
2
 ∂u  +  ∂u  +  ∂u 
     
 ∂x   ∂y   ∂z 
(7.4)
Заметим, что ���
cos2λ + ���
cos2µ + ���
cos2ν = 1, ���
cosλ, ���
cosµ, ���
cosν являются

направляющими косинусами некоторого вектора g.
 
Тогда сумма ��� α ��� λ + ��� β ��� µ + ��� γ ��� ν = g 0 ⋅ l 0 – скаляр

ному произведению векторов g 0 и l 0. Очевидно, что ∂u в форму∂l
ле (7.3) примет наибольшее значение, если скалярное произведе
 

 
ние g 0 ⋅ l 0 = 1. Так как g 0 и l 0 – единичные вектора, то g 0 ⋅ l 0 =
 
 
 
= ��� g 0, l 0 . Следовательно, если g l , то ��� g 0, l 0 = 1.
(
(
(
)
)
(
)
)
(
)
2
2
2
 ∂u 
∂u ∂u
∂u
∂u
=
=   +   +   . (7.5)
∂l ∂g
 ∂x   ∂y   ∂z 




Вектор g 0 = i ��� λ + j ��� µ + k ��� ν указывает направление наибо∂u
лее быстрого возрастания функции, а
– величину этого возра­
∂g

стания. Этот вектор g называют градиентом функции u(x, y, z)
и обозначают

g = gra�� u (x, y, z ). (7.6)
Определение. Градиентом функции u(x, y, z) в точке M называется вектор, координатами которого являются значения частных
производных этой функции в точке M.
32
gra�� u =
∂u  ∂u  ∂u 
i+
j + k. ∂x
∂y
∂z
(7.7)
Производная по направлению и градиент, следовательно, связаны зависимостью
или
 
∂u 
= g ��� g, l , ∂l
(7.8)

∂u
= gra�� u ⋅ l 0 . ∂l
(7.9)
( )
(
)
т. е. производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого
направления (рис. 15).
Рассмотрим поверхность уровня u = c, проведенную через точку
M0(x0, y0, z0). Уравнение нормали к этой поверхности в точке M0
имеет вид
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
.
 ∂u 
 ∂u 
 ∂u 
 
 
 ∂x  M0  ∂y  M
 ∂z  M0
0
(7.10)
т. е. направляющий вектор нормали совпадает с направлением grad��
�
u.
Следовательно, grad��
�
u направлен по нормали к поверхности уровня
в точке M0. На рис. 15 видно, что производную по направлению

можно интерпретировать как проекцию grad��
u
� на направление l :
∂u
= gra�� u ⋅ ��� ϕ, ∂l
где ϕ – угол между grad���
��
u� и направлением l .
Из определения градиента следуют
следующие его свойства:
1. grad(u + c) = grad u, c = const;
2. grad cu = c ⋅ grad u, c = const;
3. grad(u1 + u2) = grad u1 + grad u2;
4. grad(uv) = u ⋅ grad v + v ⋅ grad u;
5. grad u2 = 2u grad u;
u 1
6. gra�� = 2 (v gra�� u − u gra�� v);
v v
7. grad F(u) = 2F′ ⋅ (u) grad u.
(7.11)

l
grad u
ϕ

g0

l0
u=c
M0(x0, y0, z0)
Рис. 15.
33
7.6. Методические указания
к решению задач по теме «Градиент»
Пример 7.5. Найти наибольшую скорость изменения поля u(x,
y, z) = xy3z4 в точке M(1, 1, 1).
Решение. Наибольшая скорость поля u(x, y, z) в заданной точке
равна
2
2
2
 ∂u 
∂u
∂u
gra�� u(x, y, z) =   +   +   .
 ∂x   ∂y   ∂z 
Вычислим частные производные функции u(x, y, z) = xy3z4 в точке M(1, 1, 1) и подставим в формулу
∂u
∂x
M
= y3z4 y =1 = 1,
z =1
∂u
= 3x y2z4 x =1 = 3,
y =1
∂y M
z =1
∂u
= 4x y3z3 x =1 = 4.
y =1
∂z M
z =1
gra�� u = 1 + 9 + 16 = 26.
Ответ: наибольшая скорость изменения поля равна 26.
Пример 7.6. Найти угол между градиентами функции
x
u(x, y) = ����i�
в точках М1(1, 1) и М2(3, 4).
x+y
Решение. Вычислим grad��
u
� в точках M1 и M2 и определим угол
Θ по формуле косинуса угла между векторами


a� ⋅ � )
(
��� Θ =
 =

a� ⋅ �
∂u
=
∂y
34
a�x�x + a�y�y + a�z�z
2
1
1−
2
2
a�x + a�y + a�z
x2
(x + y )2
2
2
2
�x + �y + �z


x
;
⋅ −
 (x + y )2 


;
∂u
∂x
y
=
(x + y )2
M1
∂u
=
∂y M
1
−x
(x + y )2
1−
1
∂u
=
∂y M
2
(x + y )2
x
(x + y )2

i
2 3
2
x
(x + y )2
1−
−x
(x + y )2
1−
2
x
(x + y )2
gra�� u M =
2
x =1 =
y =1
2
y
=
M2
x
(x + y )2
1−
gra�� u M =
∂u
∂x
x =1 =
y =1
2
−

j
2 3
x =3 =
y =4
x =3 =
y =4
−
1
;
2 3
−
1
;
2 3
.
4
2
=
;
2 490 7 10
3
3
=−
;
2 490
14 10


3j
2i
−
.
7 10 14 10
1
2
1
3
⋅
+
⋅
2
3
7
10
2
3
14
10 = 7 2 ≈ 0,987.
��� Θ =
10
1
1
4
9
+
+
12 12 490 4 ⋅ 490
Θ ≈ arcos�������
������������
0,987 ≈ 9°.
Ответ: Θ ≈ arcos�������
������������
0,987 ≈ 9°.
35
Пример 7.7. Найти величину и направление градиента поля
u(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + xy − 2y − 6z в точке M(2, 0, 1). В какой точке градиент поля равен нулю?
Решение. Найдем градиент поля в любой точке. Вычислим частные производные:
∂u
= 2x + y + 3,
∂x
∂u
= 4y + x − 2,
∂y
∂u
= 6z − 6,
∂z



gra�� u = (2x + y + 3)i + (4y + x − 2) j + (6z − 6)k.
Подставим координаты точки M(2, 0, 1) в полученную формулу:

gra�� u M = 7i .
Величина градиента grad��
�
u = 7. Направление градиента совпадает с направлением вектора i , следовательно, ���
cosα = 1, ���
cosβ = 0,
cosγ = 0.

Найдем условия, при которых gra�� u = 0 и grad��
u
� = 0.



 (2x + y + 3)i + (4y + x − 2) j + (6z − 6)k = 0,

2
2
2
 (2x + y + 3) + (4y + x − 2) + (6z − 6) = 0.
2x + y + 3 = 0,
 y = 1,


Из первого уравнения следует 4y + x − 2 = 0, ⇒ x = −2,
 6z − 6 = 0.
 z = 1.

Следовательно, gra��
 u = 0 в точке M1(−2, 1, 1).
Ответ: gra�� u M = 7i ; gra�� u = 7; ��� α M = 1, ��� β M = 0, ��� γ M = 0.

gra�� u = 0 в точке M1(−2, 1, 1).
Пример 7.8. В каких точках пространства Oxyz градиент поля
u(x, y, z) = x3 + y3 + z3 − 3xyz:
а) перпендикулярен к оси Oz;
36
б) параллелен оси Oz;
в) равен нулю?
Решение. Найдем grad��
u
� в любой точке пространства



gra�� u = (3x2 − 3yz)i + (3y2 − 3xz) j + (3z2 − 3xy)k.

а) Если grad��
�
u перпендикулярен к оси Oz,
 то gra�� u ⊥ k, следовательно, скалярное произведение gra�� u ⋅ k = 0, что равносильно условию 3z2 − 3xy = 0. Таким образом, grad��
�
u перпендикулярен к оси
Oz в точках поверхности xy = z2.
б) Если grad��
u параллелен оси Oz, то вектор
�
u коллинеарен
 �

 grad��
с вектором k и перпендикулярен векторам i и j , что равносильно
условиям:
3z2 − 3xy = 3λ,
 2
 3x − 3yz = 0, где первое уравнение системы выражает условие
 3y2 − 3xz = 0,

коллинеарности векторов; λ – коэффициент пропорциональности.
 z2 − xy = λ,
 2
z2 − xy = λ,
⇒
 x − yz = 0, ⇒ 
(x − y) (x + y + z) = 0.
y2 − xz = 0.

z2 − xy = λ,

x = y,
x + y + z = 0.

Подставим x = y и x + y = −z в уравнение z2 − xy = λ.
x + y = −z,
z2 − x2 = λ,
 2
 z − y2 = λ
⇒

2
(x + y ) − xy = λ,
x + y + z = 0,
x = y.

z2 − x2 = λ,
 2
2
z − y = λ,
2
x + xy + y2 = λ, ⇒
x + y + z = 0,

x = y.
3x2 = λ,
 2
3y = λ,
 2 4
⇒
z = λ,
3

x + y + z = 0,
x = y.

x=±


 y=±


2
z = ±

λ
,
3
λ
,
3
λ
.
3
2 λ
λ
, тогда z = −
из уравне3
3
z
ния x + y + z = 0. Следовательно, получим уравнение x = y = − .
2
λ
, y = − λ , то, учитывая x = y, поЕсли выбираем решение x =
3
3
лучаем λ = 0. Следовательно, x = y = z = 0. Таким образом, условие
Если выбираем решение x = y =
37
параллельности grad��
�
u оси Oz выполняется в точке x = y = z = 0 и на
z
прямой x = y = − .
2
в) Градиент grad��
u
� равен нулю, если
 x2 − yz = 0,
(x − y )(x + y + z ) = 0,
 2
 y − xz = 0, ⇒  y − z x + y + z = 0 ⇒
)(
)
(
z2 − xy = 0.

x = y,

⇒ x = y = z.
x = z,
x + y + z = 0.
Это – уравнение прямой. Таким
 образом, во всех точках, лежащих на прямой x = y = z, gra�� u = 0.
Ответ: а) grad��
u
� перпендикулярен к оси Oz в точках поверхности
xy = z2;
б) grad��
�
u параллелен оси Oz в точке (0, 0, 0) и на прямой
z
x=y=− ;
2

в) gra�� u = 0 на прямой x = y = z.
Примеры для самостоятельного решения
1. По какому направлению в точке M(−3, −1, 2) скалярное поле
u(x, y, z) = xy + yz + zx изменяется быстрее всего? Какова максимальная скорость этого изменения?

 
∂u
= 3 2.
Ответ: gra�� u M = i − j − 4k, m�x
∂l
2. Найти градиент поля u(x, y) = x2 − 4xy + 5y2 − 4 в точке M(2, −1).


Ответ: gra�� u M = 8i − 18 j .
3. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля
u(x, y, z) = x2 + 2xy� − 4yz в точке P0(1, 1, −1), направленный в сторону возрастания поля.




1
Ответ: n0 =
(2i + 3j − 2k ).
17
4. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания
поля u = xyz в точке P0(1, 2, −2).
 1   
∂u
Ответ: m�x
= 2 6, n =
(2i + j + k ).
∂l
6
38
Библиографический список
1. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. СПб.: Лань, 2006.
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. СПб: Лань, 2006.
3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М.:
ЮНИТИ, 2000.
4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб: Лань, 2006.
Содержание
1. Введение.................................................................................. 1.1. Определение функции двух переменных................................
1.2. Геометрическое изображение функции двух переменных.........
1.3. Предел и непрерывность функции двух переменных...............
2. Частные производные................................................................ 2.1. Определение и вычисление частных производных...................
2.2. Геометрическая интерпретация частных производных............
2.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности....................
3. Полный дифференциал............................................................... 3.1. Формула полного приращения.............................................
3.2. Полный дифференциал.......................................................
4. Производные сложных функций.................................................. 4.1. Основные формулы.............................................................
4.2. Производные функций, заданных неявно..............................
5. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
5.1. Производные высших порядков............................................
5.2. Полный дифференциал высших порядков..............................
5.3. Формула Тейлора...............................................................
6. Экстремум функции................................................................... 6.1. Определение точек экстремума. Необходимые условия
экстремума..............................................................................
6.2. Достаточные условия экстремума.........................................
7. Скалярное поле......................................................................... 7.1. Скалярное поле, его характеристики. Определение скалярного
поля. Линии и поверхности уровня.............................................
7.2. Методические указания к определению линий и поверхностей
уровня скалярного поля............................................................
7.3. Производная по направлению..............................................
7.4. Методические указания к вычислению производной по
направлению...........................................................................
7.5. Градиент...........................................................................
7.6. Методические указания к решению задач по теме «Градиент»....
Библиографический список............................................................ 3
3
4
5
8
8
9
9
12
12
12
15
15
16
18
18
19
19
22
22
22
24
24
24
29
29
31
34
39
39
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
491 Кб
Теги
per, vysh, mat, nesk, metod
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа