close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Vysshaya matematika Ryady

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Ряды
Методические указания к выполнению
индивидуальных заданий
СанктПетербург
2007
Составители: В. А. Вешев, О. Е. Дик, С. Н. Розе
Рецензент доктор физикоматематических наук,
профессор В. Г. Фарафонов
Приведены варианты индивидуальных заданий для рейтингового кон
троля знаний студентов технических специальностей университета по теме
«Ряды». Кратко изложены основные теоретические сведения. Методы ре
шения задач проиллюстрированы примерами. Разобрано решение типо
вого варианта индивидуального задания.
Подготовлены кафедрой высшей математики и рекомендованы к изда
нию редакционноиздательским советом СанктПетербургского государ
ственного университета аэрокосмического приборостроения.
Корректор Т. В. Звертановская
Верстальщик С. В. Барашкова
Сдано в набор 16.07.07. Подписано в печать 25.09.07. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,89. Уч.изд. л. 3,64.
Тираж 700 экз. Заказ № 502
Редакционноиздательский центр ГУАП
190000, СанктПетербург, Б. Морская ул., 67
© ГУАП, 2007
2
1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ»
1.1. Основные понятия
Пусть дана некоторая числовая последовательность a1, a2, ...,
an, ....
∞
Выражение вида a1 + a2 + ... + an + .... = ∑ an называется числовым
n =1
рядом и может считаться обобщением понятия суммы на случай бес
конечного числа слагаемых. Числа a1, a2, ..., an, ... называются чле
нами ряда, an – общим членом ряда.
Сумма конечного числа первых членов ряда Sn = a1 + a2 + ... + an
называется nной частичной суммой ряда. Ряд называется сходящим
ся, если при n → ∞ последовательность Sn имеет конечный предел
∞
S. При этом число S называют суммой ряда и пишут
⇔ lim Sn = S.
∑ an = S ⇔
n =1
n→∞
Если последовательность Sn не имеет конечного предела при n → ∞,
то ряд называется расходящимся и его сумма не определена.
Пример 1.1.
Вычислить сумму ряда или доказать его расходимость:
∞
1
1
1
1
1
∑ (2n + 1)(2n − 1) = 1* 3 + 3* 5 + 5*7 + ... + (2n − 1)(2n + 1) + ...
n =1
Решение. Воспользуемся тождеством
1
1⎛ 1
1 ⎞
1
=
−
, a≠±
(2a − 1)(2a + 1) 2 ⎜⎝ 2a − 1 2a + 1 ⎟⎠
2
для упрощения каждого слагаемого в частичной сумме Sn:
3
Sn =
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
1* 3 3 * 5 5*7
(2n − 1)(2n + 1)
1⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞⎞ 1⎛
1 ⎞
= ⎜ ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜
−
⎟ = ⎜1 −
⎟
2 ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠ ⎝ 2n − 1 2n + 1 ⎠ ⎠ 2 ⎝ 2n + 1 ⎠⎟
и вычислим предел: lim Sn =
n→∞
1
1 ⎞ 1
⎛
lim ⎜ 1 −
⎟= .
2 n→∞ ⎝ 2n + 1 ⎠ 2
Ответ: ряд сходится и его сумма S = 0,5.
1.2. Свойства сходящихся рядов
Если ряд сходится, то удаление или добавление любого конечного
числа членов ряда не влияет на факт его сходимости, а меняет только
значение его суммы.
Если ряд a1 + a2 + ... + an + ... сходится и его сумма равна S, то ряд
ka1 + ka2 + ... + kan + ... тоже сходится и его сумма равна kS.
Если сумма ряда a1 + a2 + ... + an + ... равна S, а сумма ряда
b 1 + b2 + ... + bn + ... равна T, то ряды (a1 ± b1) + (a2 ± b2) + ... +
+ (an ± bn) + ... сходятся и их суммы равны S ± T.
Если ряд a1 + a2 + ... + an + ... сходится, то его общий член an стре
мится к нулю при n → ∞. Отсюда вытекает, что если lim an ≠ 0, то
n→∞
ряд расходится. Доказательства указанных свойств можно найти
в [1–3].
Пример 1.2.
Исследовать сходимость ряда
∞
n
1 2 3
n
∑ 3n − 1 = 2 + 5 + 8 + ... + 3n − 1 + ...
n =1
Решение. Здесь lim an = lim
n→∞
n→∞
n
1
= ≠ 0.
1⎞ 3
⎛
n⎜ 3 − ⎟
n⎠
⎝
Ответ: ряд расходится.
В практических задачах довольно часто не удается найти точное
значение суммы ряда. В этом случае приближенно считают S ≈ Sn,
выбирая n достаточно большим, можно найти значение S с любой
4
нужной точностью. Важно только знать, что S существует т. е., что
ряд сходится. Это можно проверить с помощью признаков сходимо
сти – расходимости рядов.
1.3. Признаки сходимости положительных рядов
Пусть дан ряд a1 + a2 + ... + an + ... с положительными членами
(an > 0). Предположим, что существует предел lim n an = k. Тогда,
n→∞
если k < 1, то ряд сходится, а если k > 1, то ряд расходится (ради
кальный признак Коши).
Замечание: если k = 1, то признак Коши не дает ответа на вопрос
о сходимости ряда.
Пример 1.3.
Исследовать сходимость ряда b1 + b1q + ... + b1qn + ..., где b1 > 0
и q > 0.
Решение: lim n b1q n = q lim n b1 = q.
n→∞
n→∞
Ответ: При 0 < q < 1 ряд сходится; при q > 1 ряд расходится. При
q = 1 ряд расходится, так как lim an = lim b1 ≠ 0.
n→∞
n→∞
Пусть дан ряд a1 + a2 + ... + an + ... с положительными членами
an +1
= D. Тогда,
an
если D < 1, то ряд сходится, а если D > 1, то ряд расходится (признак
Даламбера).
Замечание: если D = 1, то признак Даламбера не дает ответа на
вопрос о сходимости ряда.
(an > 0). Предположим, что существует предел lim
n→∞
Пример 1.4.
∞
Исследовать сходимость ряда
2n
∑ n! .
n =1
an +1
2n +1 n !
2
= lim n
= lim
= 0.
n→∞ an
n→∞ 2 (n + 1)! n→∞ (n + 1)
Решение: lim
Ответ: ряд сходится.
5
Пусть дан ряд a1 + a2 + ... + an + ..., члены которого положитель
ны (an > 0) и монотонно убывают (an → 0). Предположим, что суще
ствует функция f(x), удовлетворяющая условиям:
а) f(x) определена и непрерывна при x ≥ 1;
б) f(x) > 0 и монотонно убывает при x ≥ 1;
в) f(n) = an, n∈N.
Тогда несобственный интеграл первого рода, определяемый соот
∞
b
ношением ∫ f (x)dx = lim ∫ f (x)dx, и данный ряд сходятся или расхо
b→∞
1
1
дятся одновременно (интегральный признак Коши).
Пример 1.5.
∞
Исследовать сходимость ряда
1
∑ na .
n =1
Решение: f(x) = 1/xa, a > 0.
Вычислим несобственный интеграл в зависимости от значения a.
∞
b
dx
dx
= lim ∫
= lim(ln b − 1) = ∞, т. е. расходится.
b→∞ x
b→∞
x
1
1
Если a = 1, то ∫
∞
b
⎛ x −a+1 ⎞
1
, т. е. сходится.
Если a > 1, то ∫ a = lim ⎜⎜
⎟⎟ =
→∞
b
a
1
a
−
+
−1
⎝
⎠1
1x
∞
dx
b
⎛ x − a+1 ⎞
dx
Если a < 1, то ∫ a = lim ⎜
⎟ = ∞, т. е. расходится.
b→∞ ⎜ −a + 1 ⎟
⎝
⎠1
1x
Ответ: ряд сходится при a > 1 и расходится при a ≤ 1.
Пусть даны два ряда с положительными членами a1 + a2 + ... +
+ an + ... (a) и b1 + b2 + ... + bn + ... (b), причем для всех n выполняет
ся неравенство an ≤ bn. Тогда из сходимости ряда (b) следует сходи
мость ряда (a); из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда
(b) (теорема сравнения). Если предел отношения общих членов ря
дов (a) и (b) является конечным, не равным нулю числом, то эти ряды
одновременно или оба сходятся, или оба расходятся (признак срав
нения в предельной форме). Доказательства перечисленных призна
ков приведены в [1–3].
6
Пример 1.6.
Исследовать сходимость ряда
∞
⎛1⎞
∑ sin ⎜⎝ n ⎟⎠.
n =1
Решение: Сравним с расходящимся гармоническим рядом
который расходится.
⎛1⎞
sin ⎜ ⎟
⎝ n ⎠ = lim sin x = 1.
lim
1
n→∞
x →∞ x
n
∞
1
∑ n,
n =1
Ответ: ряд расходится.
1.4. Исследование сходимости знакопеременных
и знакочередующихся рядов
Пусть слагаемые числового ряда a1 + a2 + ... + an + ... (a) могут
быть произвольного знака, такой ряд называется знакопеременным.
Составим положительный ряд из модулей его слагаемых ⏐a1⏐ + ⏐a2⏐ +
+ ... + ⏐an⏐ + ... (b).
Доказано (см. [1–3]), что если сходится ряд (b), то ряд (a) тоже
сходится, причем такая сходимость называется абсолютной. Если
ряд (b) расходится, но ряд (a) сходится, то такая сходимость называ
ется неабсолютной (условной).
Пример 1.7.
Исследовать сходимость ряда
∞
sin(n)
n =1
n2
∑
.
Решение: Воспользуемся теоремой сравнения для ряда из моду
лей
sin(n)
2
n
≤
1
. Ряд
n2
∞
1
∑ n2
сходится, поэтому исследуемый ряд схо
n =1
дится абсолютно.
Ответ: сходится абсолютно.
Частный случай знакопеременного ряда, когда положительные
и отрицательные слагаемые строго чередуются друг за другом, назы
ваются знакочередующимся рядом. Такой ряд принято записывать
в виде a1 – a2 + a3 – a4 + ... + (–1)n+1an + ..., a1 – a2 + a3 – a4 + ... +
+ (–1)n+1an + ..., где an > 0.
7
Доказано (см. [1–3]), что если знакочередующийся ряд удовлет
воряет условиям: lim an = 0, an → 0, то он сходится, и его сумма не
n→∞
превосходит a1 (теорема Лейбница).
Пример 1.8.
∞
Исследовать сходимость ряда
∑
n =1
(−1)n −1
3
n +1
∞
Решение: Составим ряд из модулей
.
1
∑ 3 n + 1.
n =1
Так как 1/3 < 1, то он расходится, поэтому абсолютной сходимо
сти у знакочередующегося ряда нет. Оба условия теоремы Лейбница
выполнены:
3
1
1
1
и lim = 3
>3
= 0.
n→∞
n +1
n+2
n +1
Ответ: знакочередующийся ряд сходится неабсолютно (условно).
8
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ»
2.1. Основные понятия
∞
Функциональный ряд вида
∑ an (x − x0 )n
= a0 + a1 (x − x0 ) + ... +
n=0
+an (x − x0 )n + ... называется степенным рядом. Здесь число x0 назы
вается центром степенного ряда, а числовая последовательность a0,
a1, ... an... называется последовательностью коэффициентов степен
ного ряда. Доказано (см. [1–3]), что для степенного ряда справедли
во одно из утверждений:
а) ряд сходится только при x = x0;
б) ряд сходится абсолютно при всех вещественных значениях x;
в) существует такое число R > 0, что ряд сходится абсолютно при
всех x, удовлетворяющих неравенству x0 – R < x < x0 + R и расходит
ся при всех x, для которых ⏐x – x0⏐ > R.
Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда.
Если ряд сходится только при x = x0, то считают, что R = 0. Если ряд
сходится на всей числовой оси, то считают, что R = ∞.
На концах интервала сходимости (при x = x0 ± R) поведение сте
пенного ряда исследуется отдельно для каждого конкретного слу
чая. В каждой из точек ряд может либо расходиться, либо сходиться
абсолютно, либо сходиться условно.
Радиус сходимости любого степенного ряда может быть найден по
одной из формул:
R = lim
n→∞
an
an +1
(2.1) (формула Даламбера)
или
R = lim
n→∞ n
1
(2.2) (формула КошиАдамара).
an
Пример 2.1.
Найти область сходимости степенного ряда
∞
∑
n=0
( −1)n
(x + 2)n
3n n + 1
.
9
Решение.
Здесь x0 = −2, an =
(−1)n
.
3n n + 1
Воспользуемся формулой Даламбера (2.1)
R = lim
n→∞
(−1)n 3n+1 n + 2
(−1)
n +1 n
3
n +1
= 3 lim
n→∞
n+2
= 3.
n +1
Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда
является интервал x∈(–5; 1).
Исследуем поведение степенного ряда на концах интервала сходи
∞
мости. При x = –5 получаем ряд ∑ ( −1)n
n=0
(−3)n
n +1
n
3
∞
∑
=
n =0
1
n +1
. Этот по
ложительный ряд расходится, так как является обобщенным гармо
ническим рядом с показателем
1
2 < 1.
∞
При x = 1 полуаем ряд ∑ ( −1)n
n=0
3n
n
3
n +1
=
∞
(−1)n
∑
n +1
n=0
. Этот знако
чередующийся ряд сходится неабсолютно (условно) по признаку Лейб
1
>
1
1
= 0 выполнены.
n +1
n+2
n +1
Ответ: ряд сходится при x∈(–5; 1], причем при x = 1 сходимость
неабсолютная.
ница, так как оба условия
и lim
n→∞
2.2. Ряды Тейлора и Маклорэна
Если функция f(x) имеет непрерывную производную любого по
рядка в некоторой окрестности точки x = x0, то ее рядом Тейлора
в этой точке называется степенной ряд
f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) +
f ′′(x0 )
f ( n)
(x − x0 )2 ... +
(x − x0 )n + ...
2!
n!
Доказано (см. [1–3]), что ряд Тейлора сходится к функции f(x),
если остаточный член формулы Тейлора имеет нулевой предел при
n → ∞.
В частном случае x0 = 0 получаем ряд Маклорэна.
10
Пример 2.2.
Функцию f(x) = 1/x разложить в ряд по степеням (x – 1).
Решение. Здесь
x0 = 1, f (x0 ) = 1, f ′(x) =
f ′′′(x) =
−1
x
2
, f ′(x0 ) = −1, f ′′(x) =
−6
(−1)n n !
x
xn+1
, f ′′′(x0 ) = −3,..., f (n) (x) =
4
2
x3
, f ′′(x0 ) = 2,
, f (n) (x0 ) = (−1)n n !,...
∞
1
= 1 − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 + ... + (−1)n (x − 1)n + ... = ∑ ( −1)n (x − 1)n .
x
n=0
Найдем область сходимости ряда Тейлора. R = lim
n→∞
∞
куда x∈(0; 2). При x = 0 получаем ряд ∑ ( −1)n (−1)n =
n=0
(−1)n
(−1)n +1
= 1, от
∞
∑ 1, который
n =0
расходится.
∞
При x = 2 получаем ряд ∑ ( −1)n (1)n =
n=0
∞
∑ (−1)n , который расходит
n=0
ся, так как общий член ряда не стремится к нулю при n → ∞.
Ответ:
1 ∞
= ∑ (−1)n (x − 1)n , x ∈ (0,2).
x n=0
2.3. Разложения основных элементарных функций
в ряды Маклорэна
Доказана (см. [1–3]) справедливость разложений в ряды Макло
рэна следующих функций:
ex = 1 + x +
sin x = x −
x2
xn
... +
+ ..., x ∈ (−∞, ∞),
n!
2!
x3 x5 x7
x2n +1
+
−
+ ... + (−1)n
+ ..., x ∈ ( −∞, ∞),
3! 5! 7!
(2n + 1)!
11
cos x = 1 −
x2 x 4 x6
x2n
+
−
+ ... + (−1)n
+ ..., x ∈ (−∞, ∞),
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 + x) = x −
(1 + x)a = 1 + ax +
x2 x3 x 4
xn
+
−
+ ... + (−1)n +1
+ ..., x ∈ (−1,1],
2
3
4
n
a(a − 1)x2
a(a − 1)...(a − n + 1)xn
+ ... +
+ ..., x ∈ (−1,1),
2!
n!
a ∉ N.
Пример 2.3.
Разложить в ряд по степеням x функцию f (x) = 3 1 − 3x .
Решение. Воспользуемся разложением для степенной функции при
a = 1/3 и заменим в нем x на (–3x).
1⎛ 2 ⎞
1 ⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞
⎜− ⎟
⎜ − ⎟⎜ − ⎟
1
3 3⎠
3 3 ⎠⎝ 3 ⎠
3
1 − 3x = 1 + ( −3x) + ⎝
(−3x)2 + ⎝
(−3x)3 + ...
3
2!
3!
1⎛ 2⎞ ⎛1
⎞
− ... − n + 1 ⎟
3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 3
⎠ (−3x)n + ...+ = 1 − x − x2 − 5 x3 − ...
+
n!
3
2* 5 *...(3n − 4) n
−
x + ...
n!
Радиус сходимости найдем по формуле Даламбера:
R = lim
n→∞
2* 5...(3n − 4)(n + 1)!
n +1 1
= lim
= .
n !2 * 5...(3n − 4)(3n − 1) n→∞ 3n − 1 3
Интервал сходимости степенного ряда (–1/3, 1/3).
12
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ»
Функция f(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле
на интервале [a, b], если она имеет на нем не более конечного числа
точек разрыва первого рода (скачков) и имеет конечное число точек
экстремума.
Справедлива теорема Дирихле ([1–3]): если функция f(x) удов
летворяет условиям Дирихле на интервале [a, b], то ее ряд Фурье
a0 ∞ ⎛
πnx
πnx ⎞
+ ∑ ⎜ an cos
+ bn sin
l
l ⎟⎠
2 n =1⎝
с коэффициентами, вычисляемыми по формулам Фурье
b
an =
1
πnx
f (x)cos
dx, n = 0, 1, 2, 3,...;
∫
la
l
b
bn =
1
πnx
b−a
f (x)sin
dx, n = 1, 2, 3,...; l =
,
l ∫a
l
2
сходится при всех вещественных значениях x, определяет 2lперио
дическую функцию, на интервале [a, b] сумма ряда Фурье совпадает
с f(x) в точках непрерывности функции и со средним арифметическим
предельных значений слева и справа в точках разрыва функции.
Пример 3.1.
Функцию f(x) = 2x – 3, заданную на интервале (–1, 3), разложить
в ряд Фурье.
Решение. В нашем случае a = –1, b = 3, l = (b – a)/2 = 2. Очевидно,
что f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на интервале (–1, 3). Вы
числим коэффициенты по формулам Фурье:
3
a0 =
1
1
(2x − 3)dx = (x2 − 3x)
∫
2 −1
2
3
3
= −2, an =
−1
1
πnx
(2x − 3)cos
dx =
∫
2 −1
2
3
=
πnx ⎞
1
πnx
⎛ 1
∫ (2x − 3)d ⎜⎝ πn sin 2 ⎟⎠dx = (2x − 3) πn sin 2
−1
=
πn
πnx
3
3πn 5
4
−
+ 2 2 cos
sin
sin
πn
πn
2
2 π n
2
3
=−
−1
3
3
−
−1
2
∫ πn sin
−1
πnx
dx =
2
πn 5
πn
3
−
+
sin
sin
πn
2 πn
2
если n = 2m
⎧ 0,
3πn
4
πn
8
πn ⎪
m
+
1
+ 2 2 cos
− 2 2 cos
= − sin
= ⎨ 8(−1)
πn
2
2
2 ⎪
, если n = 2m + 1
π n
π n
⎩ (2m + 1) π
4
13
3
bn =
3
1
πnx
πnx ⎞
⎛ 1
(2x − 3)sin
dx = − ∫ (2x − 3)d ⎜
cos
dx =
∫
2 −1
2
2 ⎟⎠
⎝ πn
−1
= (3 − 2x)
=
1
πnx
cos
πn
2
3
3
+
−1
2
∫ πn cos
−1
πnx
dx =
2
−3
3πn 5
πn
4
3πn
cos
−
cos
+ 2 2 sin
πn
2
πn
2 π n
2
3
=
−1
8
πn
4
3πn
4
πn
cos
+
sin
+ 2 2 sin
=
πn
2 π2n2
2
2
π n
0,
если n = 2m + 1
⎧
8
πn ⎪
m
+
1
= − cos
= ⎨ 8(−1)
2 ⎪
πn
, если n = 2m
⎩ 2mπ
=−
Ответ:
f ( x ) = −1 +
14
8 ∞
(2m − 1)πx 1
⎛ 1
⎞
sin mπx ⎟.
−
∑ (−1)m ⎜⎝ 2m − 1 cos 2
2m
π m =1
⎠
4. ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Каждый вариант индивидуального задания содержит десять при
меров. Из них первые пять – по теме «исследование сходимости по
ложительных рядов», шестой – «исследование знакочередующегося
ряда на абсолютную и условную сходимость», седьмой – «опреде
ление радиуса и интервала сходимости степенного ряда», восьмой
и девятый – «разложение функций в степенные ряды Тейлора и Мак
лорэна», десятый – «разложение функции в тригонометрический ряд
Фурье».
Методика решения задач по всем темам с иллюстрирующими при
мерами была изложена в разделах 1–3.
15
Вариант 1
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 1)(n + 10).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞
∞
n3
⎛ 2n − 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
2) ∑ sin ⎜ 2 ⎟. 3) ∑
. 4) ∑ ⎜
⎟ . 5)
n
+
(2
1)!
n
⎝ ⎠
n =1 ⎝ 5n + 3 ⎠
n =1
n =1
∞
1
∑ n ln n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
( −1)n
2
n =1 n
.
− n +1
(x − 1)n −1
∑ n .
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(x + 2), x0 = 1.
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье
⎧
1⎞
⎛
⎪ −x, x ∈ ⎜ −2, − 1 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
f (x) = ⎨ 1, x ∈ ⎜ − , ⎟ .
⎝ 1 1⎠
⎪
⎪
⎛1 ⎞
⎪ x + 2, x ∈ ⎜ , 2 ⎟
⎪⎩
⎝1 ⎠
Вариант 2
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 2)(n + 9).
n =1
16
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞
∞
nn − 2
⎛ 2n + 5 ⎞
⎛ 5π ⎞
. 4) ∑ ⎜ 3
2) ∑ sin ⎜ n ⎟. 3) ∑
⎟ . 5)
+
(2
5)!
n
5
⎝
⎠
n =1
n =1 ⎝ 4n − 2 ⎠
n =1
∞
1
∑ 2n ln2n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞ −1 n
( )
∑ n2 + 1.
n =1
(x − 2)n −1 2n
.
∑
n
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 2x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(2x + 3), x0 = 1.
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
⎧ 2x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 5 , x ∈ ⎜ −3, − 2 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
f (x) = ⎨
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
⎝ 2 2⎠
⎪
⎪
2x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 3⎟
⎪ 1+
5
⎝2 ⎠
⎩⎪
Вариант 3
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 3)(n + 8).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛
∞
∞
5 − 7n2 ⎞
nn −1
⎛ 2π ⎞
2) ∑ sin ⎜
3)
4)
.
.
⎜
∑ ⎜ 3 ⎟⎟ . 5)
∑
⎟
⎝ 5n+1 ⎠
n =1 ⎝ 4n − 2 ⎠
n =1 n !
n =1
∞
1
∑ 3n ln3n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n =1
( −1)n n.
n2 + 1
17
(x − 3)n −1 3n
.
∑
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 3x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(3x + 4), x0 = 1.
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 3x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 11 , x ∈ ⎜ −4, − 3 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
f (x) = ⎨
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
⎝ 3 3⎠
⎪
⎪
3x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 4 ⎟
⎪ 1+
11
⎪⎩
⎝3 ⎠
Вариант 4
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 4)(n + 7).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
n =1
n
∞ ⎛ 2
∞
nn −3
n + cos n ⎞
⎛1⎞
sin ⎜ ⎟. 3) ∑
. 4) ∑ ⎜ 5
⎟⎟ . 5)
⎜
n
⎝n⎠
n =1 (n + 1)!
n =1 ⎝ n + n ⎠
1
∞
1
∑ 4n ln4n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n =1
( −1)n (n + 2).
n2 + 1
(x − 5)n −1 5n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + x .
18
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ex–4, x0 = 2.
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧
⎪ 0, x ∈ ( −2, − 1)
⎪
⎪x +1
f (x) = ⎨
, x ∈ ( −1,1).
⎪ 2
⎪ x −2
⎪⎩ −1 , x ∈ (1,2 )
Вариант 5
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 5)(n + 6).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
n =1
n
∞ ⎛ 3
∞
nn −1
n + cos3n ⎞
⎛ 1 ⎞
sin ⎜ ⎟. 3) ∑
. 4) ∑ ⎜ 5
⎟⎟ .
⎜
n
⎝ 5n ⎠
n =1 (n + 2)!
n =1 ⎝ n + n ⎠
1
∞
1
.
(3
1)ln(3
n
+
n + 1)
n =1
5) ∑
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n =1
( −1)n (n − 2).
2n2 + 4
(x − 9)n −1 9n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 4x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e2x–3, x0 = 2.
19
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧
1⎞
⎛
⎪ 0, x ∈ ⎜ −3, − 2 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪ 2x + 1
⎛ 1 1⎞
f (x) = ⎨
, x ∈ ⎜ − , ⎟.
2
⎝ 2 2⎠
⎪
⎪ x −3
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 3⎟
⎪ −2
5
⎝2 ⎠
⎩⎪
Вариант 6
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 6)(n + 4).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛ 4
∞
n − cos3n ⎞
nn −2
⎛6⎞
2) ∑
3) ∑
4) ∑ ⎜⎜ 4
sin
.
.
⎟⎟ .
⎜
⎟
3
⎝n⎠
n =1 ⎝ n + n ⎠
n =1 (n + 5)!
n =1 n
∞
∞
5)
1
1
∑ 6n ln6n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
( −1)n n
2
n =1 2n
−1
.
(x − 4)n −1 4n
.
∑
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 5x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(4x + 5),
x0 = 1.
20
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 4x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 19 , x ∈ ⎜ −5, − 4 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 4 4⎠
⎪
⎪
4x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 5⎟
⎪ 1+
19
⎝4 ⎠
⎩⎪
Вариант 7
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 7)(n + 3).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞ ⎛ 6 4
nn +1
n + n⎞
.
.
2) ∑ 4
3)
4)
⎜⎜
⎟⎟ .
∑
∑
2
8
n
+
(2
6)!
n =1
n =1 n − 2n − 5
n =1 ⎝ 7n + 1 ⎠
∞
∞
5)
(n − 1)3
1
∑ 7n ln7n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n 2n2
n =1
3n3 − 1
∑
.
(x − 6)n −1 6n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 1x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(5x + 6),
x0 = 1.
21
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 5x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 29 , x ∈ ⎜ −6, − 5 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 5 5⎠
⎪
⎪
5x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 6⎟
⎪ 1+
29
⎝5 ⎠
⎩⎪
Вариант 8
1) Найти сумму ряда (или доказать расходимость ряда):
∞
1
∑ (n + 8)(n + 2).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
cos(5n − 7)
n =1
∞
5)
n7
nn −1
∑ (3n − 10)!. 4)
n =1
∞
. 3)
n
⎛ n2 + cos n ⎞
∑ ⎜⎜ n4 − n ⎟⎟ .
n =1 ⎝
⎠
∞
1
∑ 8n ln8n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (n − 1)
n =1
n2 + 1
∑
.
(x − 7)n −17n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости ряда: f (x) = 3 1 + 7x .
9) Разложить функцию f(x) в окрестности точки x0 в ряд Тейлора
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(10x + 11),
x0 = 1.
22
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 6x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 41 , x ∈ ⎜ −7, − 6 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 6 6⎠
⎪
⎪
6x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈ ⎜ ,7 ⎟
⎪ 1+
41
⎝6 ⎠
⎩⎪
Вариант 9
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 9)(n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛ 2
nn −1
n + sin n ⎞
. 4) ∑ ⎜ 5
2) ∑ n . 3) ∑
⎟⎟ .
⎜
n
+
(2
7)!
n =1
n =1 ⎝ n − n ⎠
n =1 n2
∞
∞
5)
∞
1
1
∑ 9n ln9n.
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (n − 1)
n =1
3n2 + 3
∑
.
(x − 8)n −1 8n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда: ∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(11x + 5π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(7x + 8),
x0 = 1.
23
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 7x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 55 , x ∈ ⎜ −8, − 7 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 7 7⎠
⎪
⎪
7x + 1
⎛1 ⎞
, x∈⎜ , 8⎟
⎪ 1+
55
⎝7 ⎠
⎩⎪
Вариант 10
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 3)(n + 10).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
⎛ n2 + sin n ⎞
. 3) ∑ n
.
2) ∑ 5
4)
⎜⎜ 5
⎟⎟ .
∑
2
n =1 ⎝ n − n ⎠
n =1 n + 1
n =1 6 − n
∞
1
∞
∞
n3 − 3n
∞
1
.
10
ln10
n
n
n =1
5) ∑
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n n
n =1
n2 + 2
∑
.
(x − 10)n −110n
.
n
n =1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(10x + 9π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 4)2 , x0 =
= 1.
24
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 8x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 71 , x ∈ ⎜ −9, − 8 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 8 8⎠
⎪
⎪
8x + 1
⎛1 ⎞
, x ∈⎜ , 9⎟
⎪ 1+
71
⎝8 ⎠
⎩⎪
Вариант 11
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (n + 2)(n + 10).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑ 5
n =1
∞
5)
n
∞
1
3n + 2
∞ ⎛
⎞
n
n4
. 4) ∑ ⎜
⎟⎟ .
5
⎜
(3
8)!
+
n
n =1
n =1 ⎝ n + sin5n ⎠
. 3) ∑
1
∑ (n + 1)ln(n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (3n − 7)
n =1
2n2 + 5
∑
.
(x + 1)n −1 n
.
n =1 (n + 1)(n + 2)
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда: ∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(8x + 7π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(6x + 7),
x0 = 1.
25
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 9x + 1
1⎞
⎛
⎪1 − 89 , x ∈ ⎜ −10, − 9 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 9 9⎠
⎪
⎪
9x + 1
⎛1
⎞
, x ∈ ⎜ ,10 ⎟
⎪ 1+
89
⎝9
⎠
⎩⎪
Вариант 12
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 10).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑ 4
n =1
∞
5)
1
2n + 1
∞
n2 − 2n
n =1
5n
. 3) ∑
n
∞ ⎛
n4 + 1 ⎞
. 4) ∑ ⎜ 6
⎟⎟ .
⎜
n =1 ⎝ 5n + sin6n ⎠
1
∑ (5n + 1)ln(5n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (3n + 8)
n =1
5n2 + 9
∑
.
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 2)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)2n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(8x + 7π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(6x + 7),
x0 = 1.
26
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 10x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 109 , x ∈ ⎜ −11, − 10 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 10 10 ⎠
⎪
⎪
10x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,11 ⎟
⎪ 1+
109
⎝ 10
⎠
⎩⎪
Вариант 13
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 9).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑ 8
n =1
∞
5)
1
8n + 8
n
∞
∞ ⎛ 2
n2 + 1
n +n ⎞
. 4) ∑ ⎜ 6
.
⎜ n − 7n ⎟⎟
n
+
(3
1)!
n =1
n =1 ⎝
⎠
. 3) ∑
1
∑ (4n + 1)ln(4n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (3n + n2 )
n =1
5n3 + 7n
∑
.
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 3)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)3n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(6x + 5π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 5)2 ,
x0 = 1.
27
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 11x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 131 , x ∈ ⎜ −12, − 11 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 11 11 ⎠
⎪
⎪
11x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,12 ⎟
⎪ 1+
131
⎝ 11
⎠
⎩⎪
Вариант 14
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 8).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛
2n2 + n ⎞
n2 + 1
. 3) ∑
. 4) ∑ ⎜⎜ 3
2) ∑ 3
⎟⎟ .
n =1 ⎝ n − 9n ⎠
n =1 3n − 3
n =1 (3n + 2)!
∞
∞
5)
∞
1
1
∑ (2n + 1)ln(2n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n (7n + n3 )
n =1
5n4 + 7n
∑
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 4)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)4n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(7x + 3π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
2
и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 10) , x0 = 1.
28
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 12x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 155 , x ∈ ⎜ −13, − 12 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 12 12 ⎠
⎪
⎪
12x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,13 ⎟
⎪ 1+
155
⎝ 12
⎠
⎩⎪
Вариант 15
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 7).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
n =1
4
3
∞
5)
n
∞
n3 + n
⎛ n +1 ⎞
.
. 4) ∑ ⎜ 2
3⎟
n
+
(3
1)!
n=1 ⎝ 2n + 7n ⎠
n=1
∞
5n + 2
3n2 + 1
. 3) ∑
1
∑ (6n + 1)ln(6n + 1).
n=1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n=1
( −1)n (7n + n3 ).
5n4 + 7n
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 5)n−1 n
∑ (n + 1)(n + 2)5n .
n=1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(4x + 3π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 7)2 ,
x0 = 1.
29
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 13x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 181 , x ∈ ⎜ −14, − 13 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 13 13 ⎠
⎪
⎪
13x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,14 ⎟
⎪ 1+
181
⎝ 13
⎠
⎩⎪
Вариант 16
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 6).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
n=1
∞
5)
3
n
∞ ⎛ n
n3 + 1
e −1 ⎞
.
. 4) ∑ ⎜ n
⎜ ne − 4 ⎟⎟
n
+
(3
1)!
n=1
n=1 ⎝
⎠
∞
n +1
5n2 + 1
. 3) ∑
1
∑ (7n + 1)ln(7n + 1).
n=1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n
∑ ln(5n2 + 1).
n=1
∞
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 6)n−1 n
∑ (n + 1)(n + 2)6n .
n=1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(5x + 2π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
x0 и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 8)2 ,
x0 = 1.
30
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 14x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 209 , x ∈ ⎜ −15, − 14 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
1
1
⎛
⎞
f (x) = ⎨
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
14
14
⎝
⎠
⎪
⎪
14x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,15 ⎟
⎪ 1+
209
14
⎪⎩
⎝
⎠
Вариант 17
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 5).
n=1
Исследовать сходимость рядов:
∞ 3
2) ∑
n=1
∞
5)
2n + 5
n2 + 5
n
∞
∞ ⎛ n
n4 + 2
e −5 ⎞
. 4) ∑ ⎜
⎟⎟ .
n
⎜
(4
n
+
1)!
n =1
n=1 ⎝ ne − 3 ⎠
. 3) ∑
1
∑ (8n + 1)ln(8n + 1).
n=1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
( −1)n
2
n=1 ln(5n
+ 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 7)n−1 n
∑ (n + 1)(n + 2)7n .
n=1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(2x + π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 9)2 , x0 = 1.
31
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 15x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 239 , x ∈ ⎜ −16, − 15 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 15 15 ⎠
⎪
⎪
15x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,16 ⎟
⎪ 1+
239
⎝ 15
⎠
⎩⎪
Вариант 18
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 4).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛
n6 + 3
en − 1 ⎞
.
.
2) ∑
3)
4)
⎜
⎟⎟ .
∑
∑
n
⎜ 2 n
n =1 (6n + 1)!
n =1 ⎝ n e − 5 ⎠
n =1 (2n − 1)2
∞
∞
5)
∞
1
1
∑ (9n + 1)ln(9n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
( −1)n n
2
n =1 ln(5n
+ 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 8)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)8n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(4x + 5π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(8x + 9), x0 = 1.
32
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 16x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 271 , x ∈ ⎜ −17, − 16 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 10 16 ⎠
⎪
⎪
16x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,17 ⎟
⎪ 1+
271
⎝ 16
⎠
⎩⎪
Вариант 19
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 3).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞ ⎛ 10/ n
∞
e
−1 ⎞
1
n5 + 3
. 3) ∑
. 4) ∑ ⎜⎜
2) ∑
⎟⎟ .
n
n =1 ⎝
n =1 ln(n + 1)
n =1 (5n + 1)!
⎠
∞
∞
5)
1
∑ (10n + 1)ln(10n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n =1
( −1)n (n + 1)2
ln(n + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 9)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)9n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 5x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(9x + 10), x0 = 1.
33
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 17x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 305 , x ∈ ⎜ −18, − 17 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 17 17 ⎠
⎪
⎪
17x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,18 ⎟
⎪ 1+
305
⎝ 17
⎠
⎩⎪
Вариант 20
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 2).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞ ⎛ 5/ n
n3 − 1
1
e
−1 ⎞
2) ∑
. 4) ∑ ⎜
. 3) ∑
⎟⎟ .
⎜
n =1 (3n − 1)!
n =1 ln(2n − 1)
n =1 ⎝ 2n + 1 ⎠
∞
∞
5)
1
∑ (n + 1)ln2 (n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑
n =1
( −1)n (n + 1)
n ln(n + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 10)n −1 n
∑ (n + 1)(n + 2)10n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 2x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = ln(9x + 10), x0 = 1.
34
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 18x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 341 , x ∈ ⎜ −19, − 18 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 18 18 ⎠
⎪
⎪
18x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ ,19 ⎟
⎪ 1+
341
⎝ 18
⎠
⎩⎪
Вариант 21
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞ ⎛ 3/ n
n3 + 1
e
−1 ⎞
.
.
2) ∑ 4
3)
4)
⎜⎜
⎟ .
∑
∑
2
n ⎟⎠
n =1 n + n + 1
n =1 (3n − 1)!
n =1 ⎝
∞
∞
5)
(n − 1)3
1
∑ (2n + 1)ln2 (2n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n cos(n2 + 1)
n =1
n3 + 2
∑
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x + 1)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 8x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e4x–1, x0 = 2.
35
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 19x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 379 , x ∈ ⎜ −20, − 19 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 19 19 ⎠
⎪
⎪
19x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 20 ⎟
⎪ 1+
379
⎝ 19
⎠
⎩⎪
Вариант 22
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n + 3n
n =1
4n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞ ⎛ 3/ n
n2 + 1
e
−5 ⎞
.
.
2) ∑ 4
3)
4)
⎜⎜
⎟⎟ .
∑
∑
2
n =1 n − 2n − 5
n =1 (n + 7)!
n =1 ⎝ n + 1 ⎠
∞
∞
5)
(n − 1)3
1
∑ (3n + 1)ln2 (3n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛1⎞
∑ (−1)n ⎜⎝ n ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x + 3)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 3x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e5x, x0 = 2.
36
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 20x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 419 , x ∈ ⎜ −21, − 20 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 20 20 ⎠
⎪
⎪
20x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 21 ⎟
⎪ 1+
419
⎝ 20
⎠
⎩⎪
Вариант 23
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ n(8n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
n
∞
∞ ⎛ 7/ n
n3 + 1
e
−1 ⎞
2) ∑ 4
3)
4)
.
.
⎜⎜
⎟ .
∑
∑
2
n ⎟⎠
n =1 n + 3n + 5
n =1 (2n − 1)!
n =1 ⎝
∞
5)
(n − 1)3
1
∑ (2n + 1)ln2 (n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
( −1)n cos(n2 + 1)
n =1
n3 + 3
∑
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x + 5)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 6x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e9x+1, x0 = 2.
37
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 19x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −20, − 19 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 19 19 ⎠
⎪
⎪
19x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 20 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 19
⎠
⎩⎪
Вариант 24
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n + 5n
n =1
6n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
n
∞
∞
∞ ⎛ 7/ n
n4 − 5
n2 + e2n
e
−1 ⎞
. 4) ∑ ⎜
. 3) ∑
2) ∑ 5
⎟⎟ .
⎜
n =1 (n + 1)!
n =1 n − 5
n =1 ⎝ n + 7 ⎠
∞
5)
1
∑ (5n + 1)ln2 (5n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛
1
⎞
∑ (−1)n ⎜⎝ 5n + 1 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x + 7)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 4x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e7x+2, x0 = 2.
38
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 22x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 505 , x ∈ ⎜ −23, − 22 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 22 22 ⎠
⎪
⎪
22x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 23 ⎟
⎪ 1+
505
⎝ 22
⎠
⎩⎪
Вариант 25
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n − 5n
n =1
6n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
n2
∞
∞
en − n
1 ⎛ n +1⎞
2) ∑
3)
4)
.
.
∑
∑
⎟ .
2
n⎜
n =1 (n + 2)
n =1 n !
n =1 2 ⎝ n ⎠
∞
5)
n
1
∑ (6n + 1)ln2 (6n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛1⎞
∑ (−1)n arcsin ⎜⎝ n ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x + 9)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(10x + 11π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e8x+3, x0 = 2.
39
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 23x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 551 , x ∈ ⎜ −24, − 23 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 23 23 ⎠
⎪
⎪
23x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 24 ⎟
⎪ 1+
551
⎝ 23
⎠
⎩⎪
Вариант 26
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
6n + 7n
n =1
8n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
n3
∞
∞
en − n2
1 ⎛ n +1⎞
.
2) ∑
3)
4)
.
∑
∑
⎟ .
3
n⎜
n!
n =1 (n + 1)
n =1
n =1 3 ⎝ n ⎠
∞
5)
n
1
∑ (7n + 1)ln2 (7n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛ 1 ⎞
∑ (−1)n arcsin ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x − 7)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(6x + 7π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e9x+4, x0 = 2.
40
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 24x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 599 , x ∈ ⎜ −25, − 24 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 24 24 ⎠
⎪
⎪
24x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 25 ⎟
⎪ 1+
599
⎝ 24
⎠
⎩⎪
Вариант 27
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
6n − 7n
n =1
8n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
n4
∞
∞
en − 3n
1 ⎛ n +1 ⎞
.
2) ∑
3)
4)
.
.
∑
∑
3
+1 ⎜ n ⎟
n
n!
⎝
⎠
n =1 (n − 1)
n =1
n =1 3
∞
5)
n2
1
∑ (8n + 1)ln2 (8n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛ 1 ⎞
∑ (−1)n tg ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x − 9)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(3x + π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e10x+5, x0 = 2.
41
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 25x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 649 , x ∈ ⎜ −26, − 25 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 25 25 ⎠
⎪
⎪
25x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 26 ⎟
⎪ 1+
649
⎝ 25
⎠
⎩⎪
Вариант 28
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n − 3n
n =1
5n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
n4
∞ n
∞
e − 5n
1 ⎛ n +1⎞
.
.
.
2) ∑
3)
∑
4)
∑
10
+1 ⎜ n ⎟
n
n =1 n + 10
⎝
⎠
n =1 (n − 1)!
n =1 4
∞
5)
n +1
1
∑ (9n + 1)ln2 (9n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛ 1 ⎞
∑ (−1)n tg ⎜⎝ n + 5 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x − 5)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = cos(7x + 2π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(x + π/4),
x0 = π/2.
42
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 26x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −27, − 26 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 26 26 ⎠
⎪
⎪
26x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 27 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 26
⎠
⎩⎪
Вариант 29
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n + 3n
n =1
5n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
n5
∞
1 ⎛ n +1 ⎞
3n2 + e2n
.
2) ∑
3)
4)
.
.
∑
∑
8
n +1 ⎜ n ⎟
⎝
⎠
n =1 n + 10
n =1 5
n =1 (n − 1)!
∞
5)
∞
2n + 5
1
∑ (10n + 1)ln2 (10n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛
1
⎞
∑ (−1)n tg ⎜⎝ n2 + 1 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x − 3)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(7x + 4π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(2x + π/4),
x0 = π/2.
43
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 27x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −28, − 27 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 27 27 ⎠
⎪
⎪
27x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 28 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 27
⎠
⎩⎪
Вариант 30
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n + 5n
n =1
7n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞
n + e2n
. 4)
. 3) ∑
2
7
n =1 (n + 3)!
n =1 n + 10
2) ∑
∞
5) ∑
2n2 + 1
1
n =1 (n + 1)ln
2
(n + 2)
∞
∑
2n2
n =1 ⎛ 1
⎞
⎜ n + 3⎟
⎝
⎠
n
.
.
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛ 1 ⎞
∑ (−1)n arctg ⎜⎝ n + 5 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
∑
n =1
(x − 1)n −1 (n + 1)
n2
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 55x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(3x + π/4),
x0 = π/2.
44
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 30x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −31, − 30 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 30 30 ⎠
⎪
⎪
30x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 31 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 30
⎠
⎩⎪
Вариант 31
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n − 5n
n =1
7n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞
3n2
n2 + e5n
.
.
.
3)
4)
∑
∑
n
3
6
n =1 ⎛ 1
n =1 (n + 4)!
n =1 n + 10
⎞
⎜ n +7⎟
⎝
⎠
∞
2) ∑
∞
5)
3n3 + 1
1
∑ (2n + 1)ln2 (2n + 3).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛ 1 ⎞
∑ (−1)n arctg ⎜⎝ n + 6 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x − 4)n −1 n
n =1
(n + 1)2
∑
.
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 66x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(4x + π/4),
x0 = π/2.
45
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 31x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −32, − 31 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 31 31 ⎠
⎪
⎪
31x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 32 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 31
⎠
⎩⎪
Вариант 32
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
6n + 7n
n =1
9n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞
3n + 1
n + e 4n
.
.
.
3)
4)
∑
∑
8
n
n =1 ⎛ 1
n =1 n + 10
n =1 (n + 5)!
⎞
⎜ n + 3⎟
⎝
⎠
∞
2) ∑
4n4 + 4
∞
5)
1
∑ (3n + 1)ln2 (3n + 4).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость ряда:
∞
⎛
1
⎞
∑ (−1)n arctg ⎜⎝ n + 10 ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x − 3)n −1 n
∑ (n + 1)2 2n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 7x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(5x + π/4),
x0 = π/2.
46
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 32x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −33, − 32 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 32 32 ⎠
⎪
⎪
32x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 33 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 32
⎠
⎩⎪
Вариант 33
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
6n − 7n
n =1
9n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞ 7n
e −n
.
.
3)
4)
∑
∑
5
8
n =1
n =1 (n + 6)!
n =1 n + 10
∞
2) ∑
∞
5)
4n4 + 4
1
⎛ 2n2
lnn ⎜⎜ 2
+5 ⎞
⎟⎟
⎝ 2n + 1 ⎠
.
1
∑ (4n + 1)ln2 (4n + 5).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
1
.
4 + n2
7) Найти область сходимости степенного ряда:
n =1
∞
(x − 2)n −1 n
∑ (n + 1)2 3n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 9x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(6x + π/4),
x0 = π/2.
47
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 33x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −34, − 33 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 33 33 ⎠
⎪
⎪
33x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 34 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 33
⎠
⎩⎪
Вариант 34
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n + 3n
n =1
6n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
n =1 (n + 1)(
∞
5)
∞
1
n + 2)
∞
e6n + n2
3n − 1
. 4) ∑ n
.
n =1 (n + 6)!
n =1 6 − 5
. 3) ∑
1
∑ (5n + 1)ln2 (5n + 6).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
n + n2
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x − 1)n −1 n
∑ (n + 1)2 4n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 99x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(7x + π/4),
x0 = π/2.
48
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 34x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −35, − 34 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 34 34 ⎠
⎪
⎪
34x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 35 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 34
⎠
⎩⎪
Вариант 35
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n − 3n
n =1
4n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
2
n =1 (n
∞
5)
∞
3n
+ 1)(1 + n)
. 3) ∑
2n + 3
n
n =1 4
+ 3n
∞
. 4) ∑
7n − 3
n
n =1 8
+2
.
1
∑ (7n + 1)ln2 (5n + 9).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
1 + n2 + n3
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
xn −1n
∑ (n + 1)2 5n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(2x + 3π/2).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(8x + π/4),
x0 = π/2.
49
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 35x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −36, − 35 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 35 35 ⎠
⎪
⎪
35x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 36 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 35
⎠
⎩⎪
Вариант 36
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n + 5n
n =1
8n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
∞
6
n =1 (n + 2)(5 +
∞
5)
n)
n2 + 2n
. 3) ∑
n
n =1 3 (n + 1)
∞
. 4) ∑
2n − 3
n
n =1 4
.
+5
1
∑ (7n + 1)ln2 (7n + 8).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
⎛1⎞
∑ (−1)n arctg ⎜⎝ n ⎟⎠.
n =1
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 1)n −1 n
∑ (n + 1)2 6n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 1010x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(9x + π/4),
x0 = π/2.
50
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 36x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −37, − 36 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 36 36 ⎠
⎪
⎪
36x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 37 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 36
⎠
⎩⎪
Вариант 37
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n − 5n
n =1
8n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
2
n =1 (n
∞
5)
∞
6n
+ 2)(1 + n)
. 3) ∑
n =1 7
∞
2n + n
n
( n + 1)
. 4) ∑
n =1 ln
1
n
(n + 5)
.
1
∑ (8n + 1)ln2 (8n + 9).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
2 + 2n2 + n3
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 2)n −1 n
∑ (n + 1)27n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 10x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(10x + π/4),
x0 = π/2.
51
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 37x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −38, − 37 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 37 37 ⎠
⎪
⎪
37x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 38 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 37
⎠
⎩⎪
Вариант 38
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n + 3n
n =1
7n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
3
n =1 (n
∞
5)
∞
5n
+ 1)(2 + n)
∞
1
.
4)
.
∑
n
n
2
n =1 3 + 2
n =1 n ln (n + 1)
. 3) ∑
5n − 3
1
∑ (9n + 1)ln2 (9n + 10).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
3 + 3n2 + 3n3
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 3)n −1 n
∑ (n + 1)2 8n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f (x) = 3 1 + 9x .
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(2x – π/4),
x0 = π/4.
52
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 38x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −39, − 38 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 38 38 ⎠
⎪
⎪
38x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 39 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 38
⎠
⎩⎪
Вариант 39
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
2n − 3n
n =1
7n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
7n2
3
n =1 (n
∞
5)
+ 3)(1 + n)
∞
4n + 2n
n =1
3 +2
. 3) ∑
n
∞
1
. 4) ∑
n =1 (n + 1)ln
n
(n + 1)
.
1
∑ (10n + 1)ln2 (10n + 11).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5 + 5n2 + 5n4
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 4)n −1 n
∑ (n + 1)2 9n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(3x + 2π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(3x – π/4),
x0 = π/4.
53
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 39x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −40, − 39 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 39 39 ⎠
⎪
⎪
39x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 40 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 39
⎠
⎩⎪
Вариант 40
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n + 5n
n =1
9n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑
sin(n + 1)
n =1
∞
5)
n +1
∞
9n + 3n2
n =1
5 + 3n
. 3) ∑
n
∞
. 4) ∑
1
n =1 (2n + 1)ln
n
(n + 1)
.
1
∑ (n + 1)ln3 (10n + 11).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
3 + 3n3 + 3n4
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 4)n −1 n
∑ (n + 1)2 9n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(5x + 3π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(4x – π/4),
x0 = π/4.
54
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 40x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −41, − 40 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 40 40 ⎠
⎪
⎪
40x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 41 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 40
⎠
⎩⎪
Вариант 41
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
4n − 5n
n =1
9n
∑
.
Исследовать сходимость рядов:
∞
2) ∑ n(e
n =1
∞
5)
3/ n
∞
∞
1
.
4)
.
∑
2
n
n
n =1 6 + 5n
n =1 (3n + 3)ln (n + 1)
− 1)2 . 3) ∑
9n + 5n
1
∑ (n + 1)ln3 (n + 11).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
3
n ln(n + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
∞
(x + 5)n −1 n
∑ (n + 1)210n .
n =1
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 44x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(5x – π/4),
x0 = π/4.
55
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 41x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −42, − 41 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − , ⎟
.
f (x) = ⎨
⎝ 41 41 ⎠
⎪
⎪
41x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 42 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 41
⎠
⎩⎪
Вариант 42
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (2n − 1)(2n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞
8n
2) ∑ n(e5/ n − 1)5 . 3) ∑
n =1 100n
n =1
∞
5)
4
+n
∞
n(n + 3)
n =1
4n
. 4) ∑
.
1
∑ (2n + 1)ln3 (10n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
3
n ln(n2 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 5)n −1 2n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 33x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(6x – π/4),
x0 = π/4.
56
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 42x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −43, − 42 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 42 42 ⎠
⎪
⎪
42x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 43 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 42
⎠
⎩⎪
Вариант 43
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (2n − 1)(3n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
n =1
∞
5)
n
∞ ⎛
5n3 + 2n + 1 ⎞
4) ∑ ⎜
.
⎟⎟ .
3
4
2
⎜
n =1 100n + n
n =1 ⎝ 4n − n + 2 ⎠
∞
9n + n
2) ∑ n2 (e7/ n − 1)7 . 3) ∑
1
∑ (n + 1)ln3 (n + 1).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5
n ln(n + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 4)n −1 3n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 9x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = sin(7x + π/4),
x0 = π/2.
57
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 43x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −44, − 43 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 44 44 ⎠
⎪
⎪
43x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 44 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 43
⎠
⎩⎪
Вариант 44
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (3n − 1)(3n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2)
∑
n =1
∞
5)
9n + 6n
3n + 2
n
∞
. 3)
∞
⎛1⎞
∑ n4 (e3/ n − 1)7 . 4) ∑ arctgn ⎜⎝ n ⎟⎠ .
n =1
n =1
1
∑ (6n + 1)ln2 (6n + 7).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5
n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 3)n −1 4n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 7x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(8x – π/4),
x0 = π/4.
58
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 44x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −45, − 44 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 44 44 ⎠
⎪
⎪
44x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 45 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 44
⎠
⎩⎪
Вариант 45
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (4n − 1)(4n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
∞
n =1
∞
5)
n
∞
⎛ 1 ⎞
4)
.
arctg n ⎜
∑
⎟ .
n
2
⎝ n +1⎠
n =1 3 + n
n =1
2) ∑ n3 (e3/ n − 1)5 . 3) ∑
en + n
1
∑ (6n + 1)ln3 (6n + 7).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5
1 + n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 2)n −1 5n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 88x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(9x – π/4),
x0 = π/4.
59
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 45x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −46, − 45 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 45 45 ⎠
⎪
⎪
45x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 46 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 45
⎠
⎩⎪
Вариант 46
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (3n − 1)(2n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2)
∑ n2 (e10/ n − 1)5 . 3)
n =1
∞
5)
∞
en + n2
∑ 7n + n
n
∞
. 4)
n =1
⎛ 1 ⎞
∑ arcsinn ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠ .
n =1
1
∑ (5n + 1)ln3 (6n + 9).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5
2 + n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x + 1)n −1 6n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 8x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(10x – π/4),
x0 = π/4.
60
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 46x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −47, − 46 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 46 46 ⎠
⎪
⎪
46x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 47 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 46
⎠
⎩⎪
Вариант 47
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (5n − 1)(5n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2)
∑ 2n(e
10/ n
2
− 1) . 3)
∞
∑
n =1
n =1
5)
∞
n16 + 10n2
16n − n
n
∞
. 4)
⎛ 1 ⎞
∑ sinn ⎜⎝ n + 2 ⎟⎠ .
n =1
1
∑ (9n + 1)ln3 (6n + 9).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
1
∑ (−1)n
5
n + n ln(n3 + 1)
n =1
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
xn −17n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = sin(x + π).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = cos(11x – π/4),
x0 = π/4.
61
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 47x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −48, − 47 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 47 47 ⎠
⎪
⎪
47x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 48 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 47
⎠
⎩⎪
Вариант 48
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (5n − 1)(2n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2)
∑ 4n2 (e10/n − 1)9 . 3)
n =1
∞
5)
∞
∑
n16 + 10n2
n =1
16n − n
. 4)
n
∞
⎛ 1 ⎞
∑ tgn ⎜⎝ n + 3 ⎟⎠ .
n =1
1
∑ (6n + 7)ln3 (2n + 7).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
2
5
n + n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x − 1)n −1 8n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 10x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 10)2 , x0 = 1.
62
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 48x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −49, − 48 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 48 48 ⎠
⎪
⎪
48x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 49 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 48
⎠
⎩⎪
Вариант 49
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (7n − 1)(7n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
2)
∞
∞
n =1
n =1
∞
5)
∞
n17 + n
⎛
1
n
⎞
∑ 5n3 (e9/ n − 1)9 . 3) ∑ 17n + n4 . 4) ∑ tgn ⎜⎝ 2n2 + 1 ⎟⎠
.
n =1
1
∑ (4n + 1)ln3 (8n + 7).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
1
5
n − n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x − 2)n −1 9n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = 22x.
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f (x) = 3 (x + 9)2 , x0 = 1.
63
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 49x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −50, − 49 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 49 49 ⎠
⎪
⎪
49x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 50 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 49
⎠
⎩⎪
Вариант 50
1) Найти сумму ряда (или доказать его расходимость):
∞
1
∑ (8n − 1)(8n + 1).
n =1
Исследовать сходимость рядов:
∞
2)
∑ n4 (e10/n − 1)8 . 3)
n =1
∞
5)
∞
∑
en + n3
n =1 n
e
+n
. 4)
4
n
∞
⎛ 1 ⎞
∑ tgn ⎜⎝ n3 + 3 ⎟⎠ .
n =1
1
∑ (5n + 1)ln3 (5n + 7).
n =1
6) Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
∞
∑ (−1)n
n =1
n
5
n ln(n3 + 1)
.
7) Найти область сходимости степенного ряда:
(x − 3)n −110n
.
n
n =1
∞
∑
8) Разложить функцию f(x) в ряд по степеням x и найти радиус
сходимости этого ряда: f(x) = ln(e + 6x).
9) Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0
и найти радиус сходимости полученного ряда: f(x) = e3x–2, x0 = 2.
64
10) Проверить, что функция f(x) удовлетворяет условиям Дирих
ле и разложить ее в ряд Фурье:
⎧ 50x + 1
1 ⎞
⎛
⎪1 − 10 , x ∈ ⎜ −51, − 50 ⎟
⎝
⎠
⎪
⎪⎪
⎛ 1 1 ⎞
1, x ∈ ⎜ − ,
.
f (x) = ⎨
⎟
⎝ 50 50 ⎠
⎪
⎪
50x + 1
⎛ 1
⎞
, x ∈ ⎜ , 51 ⎟
⎪ 1+
10
⎝ 50
⎠
⎩⎪
65
Библиографический список
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
М.: Наука, 1975. Т. 2.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. СПб.: Лань, 1997.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.:
Наука, 1993. Ч. 2.
66
СОДЕРЖАНИЕ
1. Методические указания к решению задач по теме «Числовые ряды»
1.1. Основные понятия ..............................................................
1.2. Свойства сходящихся рядов ................................................
1.3. Признаки сходимости положительных рядов ........................
1.4. Исследование сходимости знакопеременных и знакочереду
ющихся рядов .........................................................................
2. Методические указания к решению задач по теме «Степенные ряды»
2.1. Основные понятия ..............................................................
2.2. Ряды Тейлора и Маклорэна .................................................
2.3. Разложения основных элементарных функций в ряды Маклорэна
3. Методические указания к решению задач по теме «Тригонометри
ческие ряды» ..............................................................................
4. Варианты индивидуальных заданий ...........................................
Библиографический список ..........................................................
3
3
4
5
7
9
9
10
11
13
15
66
67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
266 Кб
Теги
matematiki, vysshaya, ryady
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа