close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ziatdinov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
С. И. Зиатдинов, Л. А. Осипов
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
УДК 621.391.1;004.04(075)
ББК 32.973-018.2я73
З59
Рецензенты:
доктор технических наук профессор С. А. Яковлев;
кандидат технических наук доцент В. И. Исаков
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Зиатдинов, С. И.
З59 Оптимизация систем обработки информации: учеб. пособие
/ С. И. Зиатдинов, Л. А. Осипов. – СПб.: ГУАП, 2016.– 46 с.
ISBN 978-5-8088-1118-8
Рассматриваются временные и спектрально-корреляционные
свойства типовых сигналов, используемых в разнообразных системах обработки информации. Приведены критерии оптимизации и
целевые функции для обнаружителей, систем оценки параметров и
фильтрации сигналов. Рассматриваются примеры решения задач оптимизации параметров непрерывных сглаживающих фильтров, дискретных дифференцирующих устройств, экстраполяторов и систем
автоматического регулирования.
Учебное пособие предназначено для студентов магистерской подготовки по информационным специальностям.
УДК 621.391.1;004.04(075)
ББК 32.973-018.2я73
ISBN 978-5-8088-1118-8
©
©
Зиатдинов С. И., Осипов Л. А., 2016
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
ВВЕДЕНИЕ
Оптимизация систем обработки информации – это поиск ее параметров, обеспечивающих наивысшее качество работы систем
в соответствии с заданными критериями качества при известных
ограничениях на структуры, алгоритмы работы и модели входных
воздействий.
В целом оптимизация систем является весьма непростой задачей, в ряде случаев не поддающаяся математической формализации. На практике вопросы оптимизации возникают как при первичной, так и при вторичной обработке сигналов.
Современные вычислительные системы с успехом обеспечивают
решение подобных задач. В случае первичной обработки осуществляется преобразование исходных сигналов в цифровую форму,
обнаружение и выделение сигналов из разнообразных шумов и помех, спектрально-корреляционная обработка, оценка параметров
сигналов.
Вторичная обработка обеспечивает траекторные измерения,
распознавание образов, управление объектами, контроль и диагностику и т.д. При этом к вычислителям предъявляются достаточно
жесткие требования как к скорости выполнения расчетных операций, так и скорости передачи информации внутри обрабатывающего устройства и средствами интерфейса.
Оптимизация параметров обрабатывающих устройств, направленная на значительное улучшение их характеристик, является
актуальной задачей.
Существующие в настоящее время вычислительные системы от
микроконтроллеров до мощных специализированных и персональных компьютеров обеспечивают обработку сигналов в реальном
времени. Программная реализация разнообразных алгоритмов
обеспечивает функциональную гибкость вычислителя, что способствует решению таких сложных задач, как оптимизация систем обработки информации.
3
1. СИГНАЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
Обрабатываемые в разнообразных системах сигналы делятся на
детерминированные и случайные.
1.1. Детерминированные сигналы и их свойства
К детерминированным сигналам относятся такие сигналы, значение
которых в любой момент времени известны с вероятностью единица.
Рассмотрим временные и спектрально-корреляционные свойства часто используемых сигналов.
1.1.1. Прямоугольный видеоимпульс
Временная реализация прямоугольного видеоимпульса изображена на рис. 1.1.
В частном случае видеоимпульс
u(t)
расположен симметрично относительно начала отсчета t = 0.
Основными характеристиками
Uи
такого сигнала являются амплитуда Uè и длительность τè . При
этом аналитическая запись видеоt
сигнала имеет вид
0
τи
τи
–—
—
2
2
u(t) = Uè при − τè ≤ t ≤ τè . (1.1)
2
2
Рис. 1.1
Корреляционная функция рассматриваемого сигнала может быть найдена из выражения
=
R (τ)
τè
2
∫
u(t) u(t − τ)dt. (1.2)
τ
− è
2
При этом u(t) – исходный видеоимпульс, показанный на рис. 1.2
сплошной линией; u(t − τ) – сдвинутый видеоимпульс во времени на
величину τ и показанный на рис. 1.2 пунктирной линией.
После подстановки выражения (1.1) в (1.2) получим для τ ≥ 0
τè
2
∫
R (=
τ)
−
4
τè
+τ
2
τè
2
Uè2dt
= Uè2
∫
−
τè
+τ
2
dt
= Uè2 (τè − τ).
u(t)
u(t–τ)
u(t)
Uи
τ
τи τи
–— +τ
–—
2 2
τи
—
2
0
t
Рис. 1.2
Для отрицательного временного сдвига τ ≤ 0
R (=
τ)
τè
+τ
2
∫
−
τè
2
Uè2dt
= Uè2
τè
+τ
2
∫
−
τè
2
dt
= Uè2 (τè + τ).
Вид корреляционной функции R (τ) дан на рис. 1.3.
Коэффициент корреляции прямоугольного видеоимпульса находится из выражения
1 − τ , τ ≥ 0;
R (τ)  τè
= 
r=
(τ)
R (0) 1 + τ , τ ≤ 0.
 τè
Графическое изображение коэффициента корреляции приведено на рис. 1.4.
Из рисунка видно, что при временном сдвиге ±τè коэффициент
корреляции равен нулю. Следовательно, значения сигнала, отстоящие во времени на величину, большую ±τè , некоррелированы.
R(τ)
r(τ)
2
Uиτи
–τи
0
Рис. 1.3
1
τи
–τи
0
τи
τ
Рис. 1.4
5
Найдем спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса. Для этого воспользуемся прямым преобразованием Фурье
∞
G ( jω) = ∫ u(t)e− jωt dt.
−∞
После подстановки в данное выражение соотношения для прямоугольного видеоимпульса (1.1) получим
=
G ( jω)
τè
2
− j ωt
Uè e
dt
∫=
−
τè
2
Uè
τè
2
∫
−
τè
2
e− jωt dt.
Согласно формуле Эйлера e− jωt= cos ωt − j sin ωt.
Тогда
=
G ( jω) Uè
τè
2
∫
τ
− è
2
cos ωtdt − jUè
τè
2
∫
τ
− è
2
sin ωtdt.
(1.3)
С учетом того, что функция sin ωt является нечетной относительно времени t, второе слагаемое в (1.3) будет равно нулю.
В результате спектральная плотность становится вещественной
величиной и принимает вид
τè
τè
τ
2
sin ω è
Uè
2
2 .
= Uè τè
G (ω)= Uè ∫ cos ωtdt=
sin ωt
τè
τ
ω
è
τ
ω
−
− è
2
2
2
На рис. 1.5 показана спектральная плотность G(ω).
Таким образом, спектральная плотность прямоугольного видеsin x
оимпульса изменяется по закону
и с ростом частоты затухает.
x
G(ω)
Uиτи
4π
– τ
и
– 2π
τи
0
2π
τи
Рис. 1.5
6
4π
τи
ω
1.1.2. Гауссов (колокольный) видеоимпульс
Гауссов видеоимпульс показан на рис.1.6.
Математическая запись данного сигнала имеет вид
=
u(t) Uè e
2
− t2
2 τè
, −∞ ≤ t ≤ ∞.
Корреляционная функция гауссова видеоимпульса находится
следующим образом:
∞
(t − τ)dt
∫ u(t)u=
=
R (τ)
−∞
∞ (−
t2
τ2è
+
tτ − τ2
τ2è
2τ2è
Uè2
∞
∫e
e=
dt
−∞
∞ (−
)
2
(t −τ)2
− t2 −
2 τè
2τ2è
t2
τ2è
+
tτ
τ2è
−
τ2
τ2
− 2)
2
4 τè 4 τè
2
= U=
dt Uè2 ∫ =
e
dt
è ∫ e
−∞
∞
−∞
t
τ 2
τ2
−( −
) − 2
4 τè
τè 2 τè
2
U=
e
dt Uè2
è ∫ e
−∞
∞
∫e
τ
(t − )2
τ2
2
− 2
− 2
4 τè
τè
e
dt.
−∞
Второй сомножитель в данном выражении не зависит от t и его
можно вынести за интеграл. Тогда
τ2
− 2 ∞ −
R (τ) =Uè2 e 4τè e
−∞
∞
− y2
∫
Известно, что
∫e
dy=
τ
(t − )2
2
τ2è
dt.
π.
−∞
В результате получим
πUè2 e
R (τ) =
−
τ2
4 τ2è
.
(1.4)
u(t)
Uи
2τи
0,606Uи
–τи
0
τи
t
Рис. 1.6
7
Вид корреляционной функции показан на рис. 1.7.
При этом коэффициент корреляции гауссова видеоимпульса будет иметь вид
(τ)
r=
R (τ)
= e
R (0)
−
τ2
4 τ2è
.
Из полученного результата следует, что гауссову видеоимпульсу
соответствует гауссова корреляционная функция.
Найдем спектральную плотность рассматриваемого сигнала.
∞
=
G ( jω)
∞
− j ωt
u(t) e
dt
∫=
∞
= Uè
∫e
−∞
−
t2
2τ2è
t2
2τ2è − jωt
e
dt
∫ e=
Uè
−∞
−
−∞
∞
∫e
cos ωtdt − jUè
−
t2
2τ2è
sin ωtdt.
−∞
С учетом нечетности функции sin ωt второе слагаемое в выражении для спектральной плотности равно нулю.
В результате получим
∞
=
G (ω) Uè
∫e
−
t2
2τ2è
cos ωtdt.
−∞
Данный интеграл является табличным, и в итоге спектральная
плотность принимает вид
G (ω)= Uè τè e
−
τ2è ω2
2 .
Спектральная плотность гауссова видеоимпульса показана на
рис. 1.8.
R(τ)
π
G(ω)
Uиτи
Uи2
0,606Uиτи
0,779 π Uи
–τи
0
τи
Рис. 1.7
8
τ
1
–τи
0
1
τи
Рис. 1.8
ω
При этом величину 1/ τè принимают за ширину спектральной
плотности: Δω
= 1/ τè .
1.1.3. Прямоугольный радиоимпульс
Данный сигнал изображен на рис. 1.9.
Прямоугольный радиоимпульс описывается выражением
τ
τ
=
u(t) Uè cos ω0t, − è ≤ t ≤ è .
2
2
Здесь ω0 – несущая частота сигнала; Uè – амплитуда импульса.
Корреляционная функция прямоугольного радиоимпульса для
τ ≥ 0 находится в результате следующих преобразований:
=
R (τ)
τè
2
∫
τ
− è +τ
2
u(t=
) u(t − τ)dt Uè2
τè
2
∫
τ
− è +τ
2
cos ω0t cos ω0 (t − τ)dt.
Воспользуемся известным тригонометрическим выражением
1
cos α=
cos β
[cos(α + β) + cos(α − β)].
2
Тогда получим
=
R (τ) 0,5Uè2
τè
2
∫
τ
− è +τ
2
cos ω0 τdt + 0,5Uè2
τè
2
∫
τ
− è +τ
2
cos 2ω0 (t − τ)dt.
Подынтегральная функция cos 2ω0 (t − τ) является знакопеременной и быстро осциллирующей. Поэтому интеграл от нее можно положит равным нулю. В результате получим следующее выu(t)
Uи
τи
–—
2
0
τи
2
t
—
Рис. 1.9
9
ражение для корреляционной функции прямоугольного радиоимпульса:
τè
2
=
R (τ) 0,5Uè2
∫
-
τè
+τ
2
τè
2
2
cos ω=
0 τdt 0,5Uè cos ω0 τ
dt
∫=
−
τ ≥ 0.
τè
+τ
2
0,5Uè2 (τè − τ)cos ω0 τ,
Аналогичным образом нетрудно показать, что при отрицательном временном сдвиге τ ≤ 0 корреляционная функция прямоугольного радиоимпульса будет иметь вид
=
R (τ) 0,5Uè2 (τè + τ)cos ω0 τ, τ ≤ 0.
На рис. 1.10 показана корреляционная функция прямоугольного радиоимпульса.
При этом коэффициент корреR(τ)
ляции рассматриваемого сигнала
описывается соотношениями:
τ
R (τ)
= (1 − )cos ω0 τ, τ ≥ 0;
r (τ) =
τè
R (0)
0
–τи
τ
τи
r (τ) = (1 +
τ
)cos ω0 τ, τ ≤ 0.
τè
Таким образом, корреляционная функция прямоугольного
радиоимпульса является быстро
осциллирующей с частотой ω0 .
Рис. 1.10
Огибающая
корреляционной
функции прямоугольного радиоимпульса равняется корреляционной функции прямоугольного видеоимпульса.
Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса находится в результате следующих преобразований:
=
G ( jω)
τè
2
− j ωt
τè
2
dt ∫
∫ Uè cos ω0te=
τ
- è
2
τ
− è
2
Uè cos ω0t cos ωtdt - j
τè
2
∫
τ
− è
2
cos ω0t sin ωtdt.
Подынтегральное выражение во втором слагаемом является нечетной функцией времени, и интеграл от нее в симметричных пределах равен нулю.
10
G(ω)
0,5Uиτи
0,5Uиτи
−ω0
ω
ω0
0
Рис. 1.11
В результате получим
=
G (ω) Uè
τè
2
∫
τ
− è
2
cos ω0t cos ωtdt.
Как и прежде, воспользуемся тригонометрическим соотношением
cos=
α cos β 0,5 [cos(α − β) + cos(α + β)].
Тогда можно записать, что
=
G (ω) 0,5Uè
= 0,5Uè τè
τè
2
∫
τ
− è
2
cos(ω − ω0 )tdt +0,5Uè
τè
2
∫
τ
− è
2
cos(
=
ω + ω0 )tdt
sin[(ω − ω0 ) τè 2
sin[(ω + ω0 ) τè 2
.
+ 0,5Uè τè
(ω − ω0 ) τè 2
(ω + ω0 ) τè 2
Вид спектральной плотности прямоугольного радиоимпульса
изображен на рис. 1.11.
Из рисунка видно, что спектральная плотность прямоугольного
радиоимпульса содержит две зеркальные области типа sinx/x, расположенных на частотах ω ± ω0 .
1.1.4. Гауссов (колокольный) радиоимпульс
Рассматриваемый сигнал показан на рис. 1.12.
Математическое описание гауссового радиоимпульса имеет вид
=
u(t) Uè e
−
t2
2τ2è
cos ω0t, −∞ ≤ t ≤ ∞.
11
Корреляционная функция такого радиоимпульса находится путем следующих преобразований:
∞
=
R (τ)
(t − τ)dt
∫ u(t)u=
−∞
Uè2
∞
∫e
−
t2
2τ2è
cos ω0te
−∞
−
(t −τ)2
2τ2è
cos[ω0 (t − τ)]dt.
Используя ранее принятую методику, получим
=
R (τ) 0,5Uè2
∞
∫e
−
t2
(t −τ)2
−
2
2 τè
2τ2è
e
−∞
cos
=
ω0 τdt 0,5Uè2 cos ω0 τ
∞
∫e
−
t2
(t −τ)2
−
2
2 τè
2τ2è
e
dt.
−∞
В данном выражении интеграл представляет собой корреляционную функцию гауссова видеоимпульса (1.4).
С учетом соотношения (1.4) получим
R (=
τ) 0,5 πUè2 e
−
t2
4 τ2è
cos ω0 τ.
Вид корреляционной функции гауссова радиоимпульса показан
на рис. 1.13.
Коэффициент корреляции гауссова радиоимпульса определяется выражением
R (τ)
r=
(τ)
= e
R (0)
−
t2
4 τ2è
cos ω0 τ.
Найдем спектральную плотность гауссова радиоимпульса:
∞
=
G ( jω)
∞
− j ωt
u(t)e
dt
∫=
Uè
−∞
∫e
−∞
−
t2
2τ2è
cos ω0tå− jωt dt.
R(τ)
u(t)
0,5√πU2и
Uи
–
τ2
2
e 4τи
0
Рис. 1.12
12
t
0
Рис. 1.13
τ
G(ω)
0,5Uиτи
0,5Uиτи
−ω0
ω0
0
Рис. 1.14
Используя ранее приведенную методику, получим
∞
=
G (ω) Uè
∞
+0,5Uè
∫e
∫e
−∞
t2
− 2
2 τè
−
t2
2τ2è
∞
cos
=
ω0t cos ωtdt 0,5Uè
cos(ω + ω0=
)tdt 0,5Uè τè
−∞
∫e
−
t2
2τ2è
−∞
τ2 (ω−ω0 )2
− è
2
e
cos(ω − ω0 )tdt +
+ 0,5Uè τè e
−
τ2è (ω+ω0 )2
2
.
Вид спектральной плотности гауссова радиоимпульса изображен на рис. 1.14.
Форма каждой области спектральной плотности гауссова радиоимпульса является также гауссовой кривой.
1.1.5. Непрерывное гармоническое колебание
Непрерывное гармоническое колебание описывается выражением
=
u(t) U0 cos ω0t,
где U0 , ω0 – амплитуда и частота сигнала.
Вид гармонического колебания приведен на рис. 1.15.
Поскольку
рассматриваемый сигнал является периодическим, то его корреляционная
функция находится из соотношения
=
R (τ)
1
T
u(t)
U0
0
t
T
2
∫ u(t)u(t − τ)dt,
−
T
2
Рис. 1.15
13
2π
где Т – период колебания гармонического сигнала; T =
.
ω0
В результате получим
=
R (τ)
1
T
T
2
2
∫ U0 cos ω0t cos ω0 (t − τ)dt.
−
T
2
Если воспользоваться ранее изложенной методикой, то можно
получить следующее выражение для корреляционной функции и
коэффициента корреляции гармонического колебания:
=
R (τ) 0,5
T
2 2
U0
T
∫
−
T
2
cos
=
ω0 τdt 0,5U02 cos ω0 τ;
r (τ=
) cos ω0 τ.
Корреляционная функция непрерывного гармонического колебания изображена на рис. 1.16.
Для нахождения спектральной плотности непрерывного гармонического колебания необходимо проделать следующие расчеты:
∞
=
G ( jω)
∫
− j ωt
u(t)e=
dt
−∞
=
∞
− j ωt
dt
∫ U0 cos ω0te=
∞
−∞
∞
−∞
−∞
∫ U0 cos ω0t cos ωtdt − j ∫ U0 cos ω0t sin ωtdt.
Второе слагаемое с учетом нечетности функции sin ωt можно
положить равным нулю, тогда запишем
∞
=
G (ω) 0,5U0
∫ cos(ω − ω0 )tdt +
−∞
∞
+0,5U0
∞
Известно, что
∫ cos(ω + ω0 )tdt.
−∞
δ[ x0 ] – дельта-функция.
∫ cos(x ± x0 )dx =
−∞
В результате окончательно получим выражение для спектральной плотности непрерывного гармонического колебания
G=
(ω) 0,5U0 δ[ω  ω0 ].
14
R(τ)
2
0,5U0
τ
0
–ω0
Рис. 1.16
ω0
0
Рис. 1.17
Вид данной спектральной плотности показан на рис. 1.17.
Таким образом, спектральная плотность непрерывного гармонического колебания представляет сумму двух дельта-функций
в точках ±ω0 .
1.1.6. Единичное ступенчатое воздействие
Такой сигнал изображен на рис. 1.18.
Единичное ступенчатое воздействие определяется выражением
=
u(t) 1(t),t ≥ 0.
Для нахождения корреляционной функции единичного ступенчатого воздействия воспользуемся искусственным приемом.
Единичное ступенчатое воздействие представим в виде прямоугольного видеоимпульса единичной амплитуды, длительность которого устремляется в бесконечность (рис. 1.19).
Согласно ранее полученным результатам коэффициент корреляции такого сигнала имеет вид
r (τ) = 1 − τ и при τè → ∞ r (τ) =1.
τè
u(t)
u(t)
1
1
t
0
Рис. 1.18
0
τи → ∞
t
Рис. 1.19
15
Для нахождения спектральной
плотности единичного ступенчатого
воздействия рассмотрим способ, основанный на введении «множителя
сходимости». Согласно этому способу единичное воздействие сначала
заменяется экспоненциальным им-
G(ω)
ω
0
Рис. 1.20
∞
G ( jω) = ∫ e
−∞
− t
τ è − j ωt
e
− t
пульсом e τè (t > 0), для которого
спектральная плотность легко определяется
dt =−
1
1 + jω
τè
e
−( 1 + jω)t
τè
∞
1
.
=
t = 0 1 + jω
τè
Устремляя длительность импульса к бесконечности, в пределе
получаем следующее выражение для спектральной плотности единичного ступенчатого воздействия:
1
1
=
G ( jω) lim
=
.
τ→∞ 1
j
+ jω ω
τè
На рис. 1.20 показан модуль спектральной плотности G ( jω) .
1.1.7. Дельта-функция δ […]
Для получения представления о дельта-функции задают прямоугольный видеоимпульс длительностью τè и амплитудой 1/ τè
(рис. 1.21).
1
1.
Площадь такого видеоимпульса равна единице: S =
τè
=
τè
u(t)
1
—
τи
0
τи
Рис. 1.21
16
t
G(ω)
1
0
t0
0
t+τ
ω
Рис. 1.23
Рис. 1.22
Для получения дельта-функции длительность импульса устремляют к нулю. При этом амплитуда импульса стремится к бесконечности.
Очевидно, интеграл от дельта-функции равен единице:
∞
1.
∫ δ[0]dt =
−∞
На рис. 1.22 показаны две дельта-функции в точках на временной оси t0 и t0 + τ.
При этом коэффициент корреляции дельта-функции имеет вид
r (τ) =1 при τ =0 и r (τ) =0 при τ ≠ 0.
Найдем спектральную плотность дельта-функции. Пусть дельтафункция существует в точке t = 0, т.е. u ( 0 ) = δ [0].
Тогда спектральная плотность дельта-функции находится из соотношения
∞
G ( jω)=
∫
−∞
u(t)e− jωt dt=
∞
∫ δ[0]dt=
1.
−∞
Таким образом, дельта-функция имеет равномерную спектральную плотность во всем частотном диапазоне (рис. 1.23).
1.2. Случайные сигналы
К случайным сигналам относятся сигналы, значения которых
носят вероятностный характер. Случайные сигналы делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывные сигналы представляются
в виде непрерывных функций времени. Дискретные сигналы можно представить последовательностью отсчетов непрерывных сигналов с периодом дискретизации Tд.
17
1.2.1. Основные характеристики случайных сигналов
Характеристики случайных сигналов могут определяться как
по их непрерывной или дискретной реализации с использованием
усреднения по времени на интервале наблюдения Tн, так и с использованием известной плотности распределения.
Вычисление характеристик случайных сигналов
с использованием усреднения по времени
1. Математическое ожидание (среднее значение) М[u]
В случае непрерывного сигнала математическое ожидание вычисляется с помощью соотношения
M=
(t )
[u] u=
1
Tí
Tí
∫ u(t)dt.
0
При дискретном сигнале
M [u ] =
1 N
∑ u ( ti ),
N i =1
где u ( ti ), i-й отсчет сигнала; N – число отсчетов (длина выборки).
2. Дисперсия D
Для непрерывного сигнала
2
1

D = M  u ( t ) − u ( t )   =


T


í
Tí
∫ u ( t ) − u ( t )
2
dt.
0
В случае дискретного сигнала
=
D
2
1 N
∑{u ( ti ) − M [u]} .
N i =1
При этом среднеквадратическое отклонение σ = D
3. Спектральная плотность G ( jω)
∞
G ( jω) =∫ u(t)e− jωt dt.
−∞
4. Спектральная плотность мощности G (ω) – это распределение
средней мощности случайного сигнала по частоте.
5. Корреляционная функция R (τ)
Для непрерывного сигнала
=
R ( τ)
18
1
Tí
Tí
∫ u ( t ) − u ( t ) u ( t − τ ) − u ( t )dt.
0
При обработке дискретного сигнала
=
R ( τ)
1 N
∑{u(ti ) − M [u]}{u ( ti − τ ) − M [u]}.
N i =1
6. Плотность распределения случайного сигнала p(u)
Плотность распределения определяется с использованием следующего соотношения:
p(u) = lim
P ( u1 ≤ u ≤ u2 )
Δu
Δu→0
,
и формулируется следующим образом.
Плотность распределения p(u) случайного сигнала u(t) равняется пределу отношения вероятности P(u2 ≤ u ≤ u1 ) попадания сигнала в интервал между значениями u2 − u1 к величине этого интервала Δu = u2 − u1 при условии, что величина интервала Δu стремится
к нулю. При этом плотность распределения является неслучайной
величиной.
Наиболее распространенной является нормальная плотность
распределения (рис. 1.24):
p(u) =
−
1
2πσ
(u−u )2
e
2σ2
.
При этом обязательно должно выполняться условие
∞
∫
p(u)du = 1.
−∞
p(u)
1
2πσ
σ
0
u
u
Рис. 1.24
19
Вероятность того, что случайный сигнал u(t) не превысит заданный порог u0 , находится из соотношения
u0
( ) ∫
F u0 =
p ( u ) du.
−∞
При использовании плотности распределения основные характеристики случайных сигналов находятся следующим образом.
1. Математическое ожидание M[u]
M [u ] =
∞
∫ up ( u )du.
−∞
2. Дисперсия D
∞
∫ (u − u)
=
D
2
p(u)du.
−∞
3. Корреляционная функция R (τ)
=
R ( τ)
∞ ∞
∫ ∫ ( u1 − u )( u2 − u ) p ( u1,u2 ) du1du2,
2
−∞ −∞
где u1,u2 – значения сигнала в момент времени t1,t2 (τ= t2 − t1 ) соответственно; p(u1,u2 ) – совместная плотность распределения сигналов
u1 и u2 .
В случае, когда известна вероятность Pi появления сигнала ui ,
характеристики такого сигнала вычисляются с помощью следующих соотношений.
1. Математическое ожидание М[u]
N
M [u ] = ∑ ui Pi .
i =1
2. Дисперсия D
=
D
N
∑ ( ui − u )
2
i =1
Pi .
3. Корреляционная функция R[k]
N
(
)(
)
R [ k] =∑ ui − u ui −k − u Pi Pi −k .
i =1
20
Следует отметить, что спектральная плотность (мощности) и
корреляционная функция случайного сигнала связаны между собой парой преобразований Винера–Хинчена:
G (=
ω)
∞
∫ R ( τ) e
− jωτ
dτ;
−∞
=
R ( τ)
1
2π
∞
∫ G ( ω) e
jωτ
dω.
−∞
В качестве примера рассмотрим белый шум со спектральной
плотностью G ( ω) =N0 . Корреляционная функция такого сигнала
имеет вид
R ( τ=
)
1
2π
∞
∫
−∞
N0 e jωτdω
=
N0
2π
∞
∫ cos ωτdω=
−∞
N0 δ [0].
Сделаем обратное преобразование и найдем спектральную плотность:
G=
( ω)
∞
∫ N0δ[0]e
−∞
− jωτ
=
dτ N0
∞
∫ δ [0] e
−∞
− jωτ
=
dτ N0 .
21
2. МОДЕДИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИНАЛОВ
Существующие методы моделирования случайных сигналов
сводятся к пропусканию белого шума через формирующий фильтр
с заданной частотной передаточной функцией. Поскольку белый
шум имеет равномерную спектральную плотность, то спектральная плотность выходного сигнала фильтра всецело определяется
его амплитудно-частотной характеристикой.
Отличие методов моделирования заключается в различных способах реализации формирующих фильтров.
2.1. Моделирование случайных сигналов с использованием
импульсной характеристики формирующего фильтра
На рис. 2.1 показан процесс моделирования случайного сигнала.
На входе формирующего фильтра действует белый шум x ( t ) ;
y ( t ) – выходной сигнал формирующего фильтра.
Если известна импульсная характеристика формирующего
фильтра h ( t ) (реакция фильтра на входную дельта-функцию), то
выходной сигнал фильтра может быть найден с помощью интеграла Дюамеля (интегрального наложения или свертки сигнала x(t) и
импульсной характеристики формирующего фильтра h(t)):
t
y(t) = ∫ x(τ)h(t − τ)dτ.
0
Для дискретного формирующего фильтра, когда его импульсная
характеристика задана последовательностью отсчeтов непрерывной
импульсной характеристики, выходной сигнал определяется следующим выражением:
i
=
y[i] Tä ∑ x[ j]h[i − j],
j =0
где Tä – период дискретизации входного сигнала и импульсной характеристики фильтра; x[i], h[i] – отсчeты входного сигнала и импульсной характеристики.
x(t)
Формирующий
фильтр
Рис. 2.1
22
y(t)
Рассмотрим пример.
Пусть в качестве формирующего фильтра используется непрерывный фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка (фильтр
Баттерворта) с частотной передаточной функцией
1
W ( jω) =
,
1 + jωτ
где τ – постоянная времени фильтра.
Амплитудно- и фазочастотная характеристики фильтра определяются выражениями:
1
W (ω) =
,
2
2
1+ ω τ
ϕ(ω) = −arctg(ωτ).
Вид амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра по1
казан на рис. 2.2, где ωñð = – частота среза фильтра.
τ
Импульсная характеристика фильтра находится из соотношения
h=
(t)
1
2π
∞
∫ W (jω)e
j ωt
dω.
−∞
Для фильтра нижних частот первого порядка
∞
=
h(t)
1
∫ 1 + jωτ e
j ωt
dω.
−∞
Данный интеграл является табличным. В результате
h(t) = ωñð e
−ωñðt
; h[i] = ωñð e
−ωñð iTä
.
На рис. 2.3 показана данная импульсная характеристика.
h(t)
W(ω)
ωср
1
0,707
0
ωср
Рис. 2.2
ω
t
0
Рис. 2.3
23
Импульсная характеристика фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка имеет вид
h(t=
)
2ωñð
−ωñðt
e 2
sin
ωñð
2
t.
Для фильтра Баттерворта нижних частот третьего порядка
h(t) = ωñð e
−ωñðt
+ ωñð
−0,5ωñðt
(
1
3
sin 0,5 3ωñð t − cos 0,5 3ωñð t).
2.2. Моделирование случайного сигнала
с помощью разностного уравнения
Пусть в качестве исходного формирующего фильтра используется непрерывный фильтр с частотной передаточной функцией
W(jω).
Для получения разностного уравнения формирующего фильтра необходимо частотную передаточную функцию W(jω) из плоскости jω перевести в плоскость z путeм формальной подстановки
2 z −1
j ωT
=
⋅
jω
, где z = e ä .
Tä z + 1
В результате получается дискретный формирующий фильтр.
Данная замена приводит к ошибке получения частотной передаточной функции дискретного формирующего фильтра относительно непрерывного фильтра. Для минимизацzии ошибки необходимо
обеспечить соотношение ωÒä < 1, т.е. удовлетворительное совпадение частотной передаточной функции дискретного формирующего
фильтра с желаемой частотной передаточной функцией W(jω) не1
прерывного фильтра будет при выполнении условия ω <
(в отноÒ
ä
сительно небольшом диапазоне частот.
В общем виде частотная передаточная функция дискретного
формирующего фильтра в z-плоскости записывается следующим
образом:
n
∑ ai z−i
W (z) =
i =0
n
1 + ∑ bi z
−i
.
i =1
Здесь аi и bi – весовые коэффициенты нерекурсивной и рекурсивной частей передаточной функции; n – порядок фильтра.
24
Данная частотная передаточная функция позволяет записать
алгоритм работы дискретного формирующего фильтра в виде разностного уравнения
=
y[k]
n
n
∑ ai x[k − i] − ∑ bi y[k − i],
=i 0=i 1
где x[k] – отсчеты входного сигнала фильтра; y[k] – отсчеты выходного сигнала фильтра.
В качестве примера рассмотрим фильтр нижних частот с частотной передаточной функцией
1
W ( jω) =
.
1 + jωτ
2 z −1
После подстановки j=
ω
⋅
получим
T ä z +1
1
(1 + z−1 )
1 + 2τ / Tä
a + a z−1
1
=
W (z) =
= 0 1 −1 ,
1 + b1z
1 + T2 ⋅ z − 1 1 + 1 − 2τ / Tä z−1
ä z +1
1 + 2τ / Tä
1 − 2τ Tä
.
1 + 2τ Tä
1 +2τ Tä
Тогда алгоритм работы дискретного формирующего фильтра будет описываться уравнением
y=
[k] a0 x[k] + a 1 x[k − 1] − b1 [k − 1].
где весовые коэффициенты a=
0 a=
1
1
; b1 =
Для реализации дискретного фильтра необходимо обеспечить
соотношение τ >> 1.
Tä
2.3. Моделирование случайного сигнала
методом скользящего суммирования
Моделирование методом скользящего суммирования выполняется в соответствии с алгоритмом
=
y[k]
p
∑ ci x[k − 1],
i =− p
где сi – весовые коэффициенты; x[i] – отсчeты входного белого шума; 2p+1 – число суммируемых входных отсчeтов.
При этом каждой корреляционной функции R(τ) выходного сигнала y[k] соответствуют свои весовые коэффициенты сi.
25
Ниже приводятся три варианта наиболее часто встречаемых
корреляционных функций и соответствующие им весовые коэффициенты.
2ΔωTδ −2(ΔωT )2 i2
2 2
ä
1. R (τ) =σ2e−Δω τ ; ci =
e
; ΔωTä ≤ 0,5,
4π
где Δω – ширина спектральной плотности выходного сигнала y[i];
σ2 – дисперсия выходного сигнала.
σ 2ΔωTä −2(ΔωT )2 i2
2 2
ä
2. R (τ) =σ2e−Δω τ cos ω0 τ; ci =4
⋅e
cos(ω0 iTä );
π
ΔωTä << 1.
3. R (τ) =σ2
sin Δωτ
=
; ci
Δωτ
σ
πΔωTä
⋅
sin ΔωTä i
i
; ΔωTä ≤ π.
Данным корреляционным функциям соответствуют следующие
спектральные плотности:
ω2
πσ2 − 4Δω2
1) G (ω) =
e
;
Δω
πσ2 −
2) G (ω) =
e
Δω
3) G (ω) =b
26
(ω−ω0 )2
4 Δω2 ;
πσ2
; b = 1 при ω / Δω ≤ 1; b = 0 при ω / Δω > 1.
Δω
3. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ
На практике наиболее часто решаемыми задачами являются обнаружение сигналов, оценка параметров сигналов и фильтрация сигналов.
3.1. Обнаружение сигналов
На рис. 3.1 приведена схема обнаружителя сигналов. В состав
обнаружителя входят устройство обработки сигналов и пороговое
устройство.
На входе обнаружителя действует аддитивная смесь полезного
сигнала s(t) и помехи h(t):
x=
(t) s(t) + n(t).
В общем виде помеха может быть как белым, так и окрашенным шумом. Устройство обработки строится так, чтобы обеспечить
максимальное отношение сигнал/шум на своем выходе. В случае,
если помеха представляет собой белый шум, то устройство обработки является согласованным с полезным сигналом фильтром. Для
окрашенного шума устройство обработки выполняется как оптимальный фильтр, который максимально подавляет помеху и наилучшим способом выделяет полезный сигнал. При этом обеспечивается по-прежнему максимальное отношение сигнал/шум.
Далее очищенный от шумов полезный сигнал поступает в пороговое устройство, в котором смесь полезного сигнала и остатков
шума y(t) сравнивается с порогом uпор. При этом подтверждается
одна из гипотез: да – во входном сигнале x(t) присутствует полезный сигнал s(t); нет – во входном сигнале x(t) полезный сигнал s(t)
отсутствует. Очевидно, что правильность решения будет всецело
зависеть от отношения сигнал/шум на входе порогового устройства
после обработки смеси полезного сигнала и шума x(t).
Если плотность распределения p(y) входного сигнала y(t) порогового устройства известна, то вероятность ложной тревоги будет
определяться выражением
∞
Pë.ò =
∫
p(y)dy при s = 0.
uïîð
x(t)
Устройство
обработки
сигналов
y(t)
Пороговое
устройство
Да
Нет
uпор
Рис. 3.1
27
При этом вероятность правильного обнаружения может быть
найдена из соотношения
∞
Pï.î =
∫
p(y)dy при s ≠ 0.
uïîð
На рис. 3.2 показаны плотности распределения сигнала y(t).
Очевидно, что чем выше отношение сигнал/шум, тем больше
вероятность правильного обнаружения при одной и той же вероятности ложных тревог.
При этом можно выдвинуть следующие критерии оптимизации
обнаружителя:
– минимальный уровень ложных тревог ( Pë.ò → min ) при максимальной вероятности правильного обнаружения ( Pï.î → max ).
– при постоянном уровне ложных тревог ( Pë.ò = const )необходимо обеспечить максимальную вероятность правильного обнаружения ( Pï.î → max ).
Возможно предложить и другие критерии. При этом для каждого из критериев оптимизации обнаружителя будет свое построение
устройства обработки сигналов.
3.2. Оценка параметров сигналов
При оценке параметров сигналов задача формулируется следующим образом. На фоне помехи n(t) принимается полезный сигнал
s(t, λ1, λ2, …, λn), где λ1, λ2, …, λn – некоторые параметры сигнала,
подлежащие измерению. Например, это могут быть время приема
сигнала λ1, амплитуда сигнала λ2, частота сигнала λ3, фаза сигнала
λ4 и т.д.
Необходимо произвести обработку принимаемого на фоне помехи сигнала таким образом, чтобы максимально точно (с минимальными ошибками) измерить параметры сигнала λ1, λ2, …, λn.
p(y)
S=0
0
uпор
Рис. 3.2
28
S≠0
y
∧
∧
∧
Обозначим результаты оценки параметров как λ1, λ2 , ..., λn . Из-за
действия помехи результат оценки каждого параметра сигнала со∧
держит, кроме некоторого среднего значения λ i = , флуктуацион∧
ную (случайную) составляющую λ iôë , т.е.
∧ ∧
∧
λ i = λ i = + λ iôë .
∧
При этом полная ошибка оценки параметра Δλ i = λ i − λ i содер∧
жит как среднюю
ошибку Δλ i = = λ − λ i = , так и случайную состав∧
ляющую λ iôë .
3.3. Оптимальная фильтрация
При оптимальной фильтрации необходимо с минимальной
ошибкой произвести выделение полезного сигнала s(t), принимаемого на фоне помехи n(t). Иными словами необходимо провести
фильтрацию сигнала из помехи.
Пусть входной сигнал оптимального фильтра является аддитивной смесью полезного сигнала s(t) и помехи n(t):
y=
(t) s(t) + n(t).
Выходной сигнал оптимального фильтра также можно представить в виде суммы полезного сигнала sô (t) и случайной помехи
nô (t) :
y=
ô (t) sô (t) + nô (t).
При этом полная ошибка фильтрации сигнала
Δs(t) = s(t) − yô (t) = s(t) − sô (t) − nô (t).
Запишем полную ошибку фильтрации в виде
Δs(t) =
Δsä (t) − nô (t),
где Δsä (t) – динамическая ошибка фильтрации, а nô (t) – случайная ошибка, вызванная наличием помехи на входе фильтра.
Появление динамической ошибки Δsä (t) связано с конечной полосой пропускания фильтра или с его инерционностью. Расширение полосы пропускания дает уменьшение динамической ошибки.
Однако при этом возрастает случайная ошибка.
Задача оптимизации параметров фильтра сводится к поиску таких его параметров, при которых будут минимизироваться ошибки
фильтрации сигнала.
29
Можно выдвинуть следующие критерии фильтрации:
– необходимо обеспечить одновременный минимум как максимальной динамической ошибки Δsä max → min, так и дисперсию
2
(t) → min.
случайной ошибки nô
0 и мини– обеспечить нулевую динамическую ошибку Δsä (t) =
2
мизировать дисперсию случайной ошибки nô (t) → min .
– обеспечить минимум дисперсии суммарной ошибки
2
 Δsä (t) + nô (t)  → min.
ó 2Σ =
Возможно предложить и другие критерии.
Рассмотрим пример.
Пусть W(jω) – частотная передаточная функция фильтра, реализующего один из критериев.
Если в качестве помехи выступает белый шум со спектральной
плотностью N0, то дисперсия шума на выходе фильтра
=
σ2ô
∞
1
W 2 (ω) N0dω.
π∫
0
При этом для известной спектральной плотности полезного сигнала на входе фильтра Gs ( jω) выходной сигнал фильтра находится
с помощью обратного преобразования Фурье:
sô=
(t)
1
2π
∞
∫ Gs (jω)e
j ωt
dω.
−∞
Данный сигнал будет иметь следующую спектральную плотность:
(3.1)
Gsô ( jω
=
) Gs ( jω)W ( jω).
Ранее отмечалось, что фильтр в силу своей инерционности дает
динамическую ошибку по полезному сигналу
Δsä (t) =s(t) − sô (t).
Спектральная плотность динамической ошибки определяется
выражением
∞
=
Gä ( jω)
30
∫
−∞
− jωt dt
s=
ä (t) e
∞
∫
−∞
s(t) e− jωt dt −
∞
∫ sô (t) e
−∞
− jωt dt.
В данном выражении первое слагаемое является спектральной
плотностью входного сигнала; второе слагаемое – спектральная
плотность выходного сигнала фильтра, т.е.
Gä ( jω
=
) Gs ( jω) − Gsô ( jω).
После подстановки в данное выражение соотношения (3.1) получим
Gä ( jω
=
) Gs ( jω) − Gs ( jω) W ( jω
=
) Gs ( jω) [1 − W ( jω) ].
Введем обозначение WΔs ( jω) = 1 − W ( jω) – частотная передаточная функция по динамической ошибке.
Тогда можно записать, что
Gä ( jω
=
) Gs ( jω) WΔs ( jω).
В результате дисперсия сигнала динамической ошибки находится из соотношения
=
σ2ä
∞
∞
0
0
2
1
1
Gä2 (=
jω)dω
Gs2 ( jω) [1 − W ( jω) ] dω.
∫
∫
π
π
31
4. ОПТИМАЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ОБРАБОТКИ ИГНАЛОВ
4.1. Оптимизация параметров фильтра нижних частот
Пусть на входе фильтра нижних частот действует аддитивная
смесь гармонического колебания=
s(t) S0 cos ω0t и шума со спектральной плотностью N0.
Здесь S0 , ω0 – амплитуда и несущая частота гармонического
колебания. Необходимо оптимизировать фильтр нижних частот
таким образом, чтобы обеспечить минимум суммы дисперсий динамической и шумовой ошибок.
Для гармонического входного сигнала спектральная плотность
имеет вид
S02
(4.1)
δ[ω − ω0 ],
2
где δ[ω − ω0 ] – дельта-функция на частоте ω0 .
В качестве фильтра будем рассматривать фильтр нижних частот
первого порядка с частотной передаточной функцией вида
1
W ( jω) =
,
1 + jωτ
Gs (ω
=
)
где τ – постоянная времени фильтра.
При этом амплитудно-частотная характеристика фильтра определяется выражением
1
W (ω) =
.
(4.2)
1 + ω2 τ2
Найдем дисперсию шума на выходе фильтра
=
σ2ô
∞
∞
N0
1
1
2
N0W
=
(ω)dω
dω.
∫
∫
π
π 1 + ω2 τ2
0
0
Данный интеграл является табличным. В результате получим
N0
σ2ô =
= N0 ωñð ,
τ
1
где ωñð = − частота среза фильтра.
τ
Из полученного выражения для дисперсии шумов на выходе
фильтра следует, что с уменьшением частоты среза (с обужением
полосы пропускания) дисперсия шумов на выходе фильтра уменьшается, т.е. для уменьшения шумовой составляющей в выходном
32
сигнале фильтра необходимо уменьшать его частоту среза ωñð (делать фильтр более узкополосным).
При этом дисперсия динамической ошибки при прохождении
гармонического сигнала через фильтр
=
σ2Δs
∞
1
Gs2 (ω)WΔ2s (ω)dω.
π∫
0
После подстановки в данное выражение спектральной плоскости гармонического колебания получим
=
σ2Δs
∞
1
)dω S02WΔ2s (ω0 ).
S02δ[ω − ω0 ]WΔ2s (ω=
π∫
0
С учетом амплитудно-частотной передаточной функции (4.2)
дисперсия динамической ошибки
ω
S02 ( 0 )2
2 2


ωñð
ω0 τ
1
.
σ2Δs =  1 −
=
 = S02
2 2
 1 + ω2 τ2 
ω
1 + ω0 τ
0


1 + ( 0 )2
ωñð
В результате целевая функция в соответствии с выдвинутым
критерием минимума суммы дисперсий динамической и шумовой
ошибки будет иметь вид
σ2∑ = σ2Δs + σ2ô =
S02ω20
ω2ñð + ω20
+ N0 ωñð .
На рис. 4.1 показаны зависимости дисперсий динамической и
шумовой ошибок, а также дисперсия суммарной ошибки от частоты среза фильтра.
σ2
2
S0
σ2ф
σ2Σ
σ2∆S
0
ωсрopt
ωср
Рис. 4.1
33
Из рис 4.1 видно, что существует оптимальное значение частоты
среза ωñðopt , при котором дисперсия суммарной ошибки имеет минимум.
Для нахождения оптимального значения частоты среза возьмем
производную от дисперсии суммарной ошибки и приравняем производную к нулю.
S02ω20 2ωñð
dσ2Σ
0.
=
− 2
+ N0 =
dωñð
(ωñð + ω20 )
Из данного уравнения находим оптимальное значение частоты
среза фильтра
ωñðopt ≈ 3
2S02 ω20
.
N0
В данном выражении отношение 2S02 / N0 является квадратом
отношения сигнал/шум на входе фильтра
q = 2S02 / N0 .
Тогда запишем
ωñðopt =3 q2ω20 .
На рис. 4.2 показана зависимость ωñðopt , от отношения сигнал/
шум при ω0 =
1.
Из полученных результатов следует, что увеличение отношения
сигнал/шум позволяет расширить полосу пропускания фильтра и
тем самым уменьшить динамическую ошибку.
В качестве примера положим S0= 1, q= 100, N0= 10−4 c−1, ω0= 1
рад/c.
ωсрopt
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Рис. 4.2
34
6
7
q
При этом оптимальное значение частоты среза фильтра будет
ωñðopt =
27 рад/с. Среднеквадратическое значение динамической
σ

ошибки составит σΔs =
0,037;  ΔS = 3,7% и среднеквадратиче S0

 σñð

ское значение шумовой ошибки – σô =
0,52; 
= 5,2% .
 S0

4.2. Оптимизация параметров дискретного
дифференцирующего фильтра
Непрерывный дифференцирующий фильтр реализует математическую операцию
dx(t)
y(t) =
.
dt
Определим частотную передаточную функцию идеального дифференцирующего фильтра. Частотная передаточная функция показывает, как передается гармоническое колебание со входа на выход фильтра.
t) sin ωt. Тогда выходной
Зададим входное колебание в виде x(=
сигнал дифференцирующего фильтра
π
dx(t)

y(t) =
=ω cos ωt =ωsin  ωt + .
dt
2

Данное выражение показывает, что частотная передаточная
функция идеального дифференцирующего фильтра определяется
выражением
j
π
W ( jω) =W (ω)e jϕ(ω) =ωe 2 , (4.3)
где W (ω) – амплитудно-частотная характеристика идеального
π
дифференцирующего фильтра и ϕ(ω)=
− его фазочастотная ха2
рактеристика.
Выражение (4.3) можно записать в виде
W ( jω) =ωe
j
π
2
π
π

=ω cos + j sin  =jω.
2
2


Для получения частотной передаточной функции дискретного
дифференцирующего фильтра воспользуемся функцией z = e jωT ,
где T — период следования отсчетов входного сигнала. Из данного
1
ln z или jω = ln z.
выражения находим, что jωT =
T
35
Разложим lnz в бесконечный степенной ряд
i
∞
2 1
3
1
1
1 − z−1 + 1 − z−1 +  = ∑ 1 − z−1 .
2
3
i =1 i
) (
(
ln z = 1 − z−1 +
) (
)
(
)
Таким образом, частотную передаточную функцию дифференцирующего фильтра можно записать следующим образом:
=
jω
(
)
i
1 ∞1
∑ 1 − z−1 . T i =1 i
(4.4)
В зависимости от числа удерживаемых членов ряда получаются
различной сложности алгоритмы построения дискретных дифференцирующих фильтров.
Рассмотрим в качестве примера простейший дифференцирующий
фильтр с частотной передаточной функцией в z-плоскости вида
1
W=
(z)
1 − z−1 .
T
(4.5)
(
)
Заменяя в этом выражении z−1 на e− jωT , получим
1
1
)
1 − e − j ωT =
W (z=
(1 − cos ωT + j sin ωT ).
T
T
(
)
Амплитудно- и фазочастотные характеристики такого дифференцирующего фильтра будут определяться соответственно выражениями:
W=
(ω)
1
2
ωT
=
(1 − cos ωT)2 + sin2 ω
T
sin
;
2
T
T
sin ωT
ωT
.
=
ϕ(ω) arctg
= arctgctg
1 − cos ωT
2
W(ω)
ωT
2
T
0
π
2π
3π
Рис. 4.3
36
4π
ωT
На рис. 4.3 показана амплитудно-частотная характеристика
простейшего дифференцирующего
фильтра. Пунктирной линией показана амплитудно-частотная характеристика непрерывного дифференцирующего фильтра.
Из данного рисунка видно, что
только в узком диапазоне частот
ωT << 1
амплитудно-частотные
характеристики непрерывного и дискретного фильтров достаточно
хорошо совпадают.
Выражение (4.5) определяет разностное уравнение, соответствующее алгоритму работы рассматриваемого дифференцирующего
фильтра:
1
y(=
t)
(4.6)
[ x(t) − x(t − T)] T
1
k]
(x[k] − x[k − 1]).
или в дискретной форме y[=
T
В качестве примера рассмотрим два вида входного сигнала, подлежащего дифференцированию. Пусть входной сигнал имеет параболическую форму
x(t) = bt2 .
dx(t)
= 2bt.
dt
В соответствии с выражением (4.6) выходной сигнал дифференцирующего фильтра в непрерывной форме будет иметь вид
1
1 2
′ (t) =
xì
[x(t) − x(t − T)] =
[bt − b(t − T)2 ] = b(2t − T).
T
T
При этом
При этом возникает динамическая ошибка дифференцирования
′ (t)= 2bt − b(2t − T)= bT.
Δx= x′(t) − xì
В рассматриваемом случае ошибка дифференцирования не зависит от времени.
Пусть на входе дифференцирующего фильтра действует дополнительная помеха в виде некоррелированного шума с дисперсией
σ2ø.âõ .
В соответствии с выражением (4.6) дисперсия шума на выходе дифференцирующего фильтра будет определяться соотношением
2
σ2ø.âûõ =2 σ2ø.âõ .
T
В качестве критерия оптимизации рассматриваемого фильтра
возьмем минимум дисперсии суммы динамической и шумовой
ошибок. При этом дисперсия суммарной ошибки (целевая функция) запишется следующим образом:
2
2 2
σ=
Σ b T +
2σ2ø.âõ
T2
.
(4.7)
37
Из данного выражения видно, что дисперсия суммарной ошибки
зависит от периода T. Оптимизируем дифференцирующий фильтр
по этому параметру.
Для этого продифференцируем выражение (4.7) по T и приравняем производную к нулю
dσ2Σ
4σ2
=
2b2T − ø.âõ
=
0.
dT
T3
Решая данное уравнение относительно T, получим
=
Topt
4 2σ2
1,2 σø.âõ
ø.âõ
.
=
b
b
Из полученного выражение следует, что с ростом уровня шума
на входе дифференцирующего фильтра необходимо увеличивать
период следования входных отчетов. В то же время с ростом скорости нарастания входного сигнала b период T необходимо уменьшать.
Для примера положим b = 1, σø.âõ =
0,1 В. Тогда Topt = 0,38 с.
При этом среднеквадратическое значение суммарной ошибки дифференцирования σΣ =
0,53 Âñ−1.
В случае, когда b = 1 и σø.âõ =
0,01 В, находим, что Topt = 0,12 с −1
и σΣ =
0,17 Âñ .
Пусть входной сигнал является гармоническим колебанием
x(=
t) sin ωt.
При этом точная производная определяется выражением
ω cos ωt.
x′(t) =
Согласно (4.6) выходной сигнал дифференцирующего фильтра
первого порядка будет иметь вид
1
1
′=
xì
(t)
T) ]
[sin ωt − sin ω(t − T)]
[ x(t) − x(t −=
T
T
или
′ (t)
=
xì
2
ωT
sin
cos[ω(t − T / 2)].
T
2
В результате методическая ошибка дифференцирования
2
ωT
T
′ (t) =ω cos ωt − sin
Δx(t) =x′(t) − xì
cos ω(t − ).
T
2
2
38
Нетрудно показать, что дисперсия динамической ошибки
Δx2 (t)=
2
ω2 ω
ωT
− sin ωT +
sin2
.
2
2 T
2
T
Как и ранее, положим, что на входе дифференцирующего фильтра действует помеха в виде некоррелированного шума с дисперсией σ2ø.âõ . Тогда согласно (4.6) дисперсия шума на выходе дифференцирующего фильтра
2
σ2ø.âûõ =2 σ2ø.âõ .
T
В качестве критерия оптимизации возьмем минимум дисперсии
суммы динамической и шумовой ошибки. При этом целевая функция примет вид
σ2Σ=
ω2 ω
2
ωT 2 2
− sin ωT +
+
σø.âõ= f (T).
sin2
2
2 T
2 T2
T
Для упрощения дальнейших выкладок воспользуемся разложеx2
нием в ряд sin x ≈ x −
.
3!
При этом выражение для дисперсии суммарной ошибкой приводится к виду
=
σ2Σ
ω4T2 2 2
+
σø.âõ .
72
T2
После дифференцирования данного соотношения по T и приравнивания производной нулю, получаем следующее выражение для
оптимального значения периода дискретизации:
Topt =
6σø.âõ
ω
.
Для примера положим σø.âõ = 0,1 В и ω = 10 рад/с. При этом получим Topt = 0,089 с и σΣ =
3,1 рад/c.
4.3. Оптимизация экстраполирующего фильтра
Задача создания экстраполирующего фильтра решается на основании разложения экстраполируемой функции в степенной ряд
Тейлора. Если известно значение функции и всех ее производных
в момент времени t, то значение экстраполирующей функции в момент времени t находится в соответствии с выражением
39
Sý (t)= S(t) +
S′(t)τ S′′(t)τ2
+
+ ...=
1!
2!
∞
Si (t)τi
∑ i! ,
i =0
где S(t) – значения функции в момент времени t; Si (t) – i-я производная от функции в этот же момент времени; τ – интервал экстраполяции. Этот бесконечный степенной ряд называется рядом Тейлора.
На практике ограничиваются конечным числом членов степенного ряда, что неизбежно приводит к ошибкам экстраполяции.
Для дальнейших исследований ограничиваемся простейшим
экстраполятором первого порядка, для которого
S′(t)τ
Sý (t) = S(t) +
= S(t) + S′(t)τ.
1!
(4.8)
Для минимизации ошибок экстраполяции представим данный
алгоритм в виде
Sý (t) =S(t) + aS′(t)τ.
Найдем значения коэффициента a, при котором будет минимальной ошибка экстраполяции.
Для вычисления первой производном воспользуемся первой конечной разностью
1
=
Sý (t)
[ S(t) − S(t − τ)].
τ
Тогда экстраполированное значение функции запишется в виде
S=
(4.9)
ý (t) S(t)(1 + a) − aS(t − τ). Пусть экстраполируемая функция изменяется по линейному закону
S(t) = bt.
При этом выражение (4.9) записывается следующим образом:
Sý (t)= (1 + a)bt − ab(t − τ)= b(t + aτ).
Динамическая ошибка экстраполяции принимает вид
ΔSý = S(t + τ) − Sý (t) = b(t + τ) − b(t + aτ) = bτ(1 − a). (4.10)
Будем считать, что на входе экстраполирующего фильтра кроме
полезного сигнала S(t) действует аддитивный некоррелированный
2
шум с дисперсией σø.âõ . Тогда дисперсия шума на выходе фильтра
находится из выражения
40
2
σ2ø.ý = [n(t)(1 + a) − an(t − τ) ] =σ2ø.âõ (1 + 2a + 2a2 ).
В результате дисперсия суммарной ошибки экстраполяции (динамической и шумовой)
σ2Σ = ΔSý2 + σ2ø.ý = b2 τ2 (1 − a)2 + σ2ø.âõ (1 + 2a + 2a2 ). (4.11)
Данное выражение является целевой функцией. Для минимизации дисперсии суммарной ошибки (оптимизации экстраполирующего фильтра) продифференцируем выражение (4.11) по коэффициенту а и приравняем производную к нулю:
dσ2Σ
=−2b2 τ2 + 2ab2 τ2 + 2σ2ø.âõ + 4aσ2ø.âõ =0.
da
Решая данное уравнение, получим оптимальное значение коэффициента aopt :
aopt =
b2 τ2 − σ2ø.âõ
b2 τ2 + 2σ2ø.âõ
.
Из анализа данного выражения следует, что при отсутствии
на входе экстраполирующего фильтра шума ( σ2ø.âõ =
0 ) aopt = 1.
В этом случае согласно (4.10) ошибка экстраполяции равна нулю.
С увеличением уровня шума значение коэффициента a уменьшается, что приводит к росту динамической ошибки экстраполяции.
Для примера положим b = 1, T = 1c, σ2ø.âõ =
0,01. При этом динамическая ошибка экстраполяции составит ΔSý = 3%, а шумовая
ошибка экстраполяции σ2ø.ý = 2%.
4.4. Оптимизация системы автоматического регулирования
Для решения данной задачи рассмотрим простейшую систему
автоматического регулирования с астатизмом первого порядка.
Схема такой системы показана на рис. 4.4.
Это замкнутая следящая система, в контуре которой в качестве
сглаживающего звена используется один интегратор (астатизм
x(t)
∆(t)
W(p)
y(t)
Рис. 4.4
41
K
первого порядка) с частотой передаточной функции W ( p) = 0 , где
p
K0 – коэффициент усиления интегратора; p = jω.
Рассматриваемая система автоматически отслеживает все изменения входного сигнала х(t). При постоянном входном сигнале выходной сигнал равен входному, т.е. ошибка слежения равна нулю.
В случае изменения входного сигнала х(t) выходной сигнал y(t)
изменяется с ошибкой Δ(t)= x(t) − y(t). Частотная передаточная
функция замкнутой системы определяется соотношением
y( p)
W ( p)
Ô=
( p) =
.
x( p) 1 + W ( p)
K
K0
1
Для W ( p) = 0 получим, что=
Ô( p) =
.
p
K0 + p 1 + p / K0
Далее введем обозначение 1/ K0 = τô – постоянная времени замкнутой системы.
1
1
Тогда получим=
Ô( p) =
.
1 + pτô 1 + jωτô
Таким образом, рассматриваемая система автоматического регулирования представляется фильтром нижних частот первого порядка.
Для нахождения выходного сигнала y(t) воспользуемся интегралом Дюамеля (интегралом наложения)
y(=
t)
t
∫ x(τ)h(t − τ)dτ, (4.12)
0
где h(t) – импульсная характеристика замкнутой системы, которая
вычисляется с помощью соотношения
=
h(t)
1
2π
∞
∫
Ô( jω)=
e jωt dω
−∞
1
2π
∞
1
∫ 1 + jωτô e
j ωt
dω.
−∞
Данный интеграл является табличным, и в результате получим
1
h(t) =
e
τô
−
t
τô
.
Пусть входной сигнал системы является линейно нарастающей
функцией х(t) = bt.
Тогда в соответствии с (4.12) выходной сигнал автоматической
t
1
системы y(t) =
∫ bτ τô e
0
42
−
t −τ
τô
dτ.
Данный интеграл является табличным, в результате получим
y(t=
) b[t + τô (e
−
t
τô
− 1)].
На рис. 4.5 показаны входной и выходной сигналы рассматриваемой системы.
Из рисунка видно, что по окончании переходного процесса
в системе присутствует постоянная динамическая ошибка, равная
b
Δ = bτô =
.
K0
Данное выражение показывает, что с увеличением коэффициента усиления K0 динамическая ошибка уменьшается.
В реальных условиях на входе системы кроме полезного сигнала
действует аддитивная помеха, которую примем в виде белого шума
со спектральной плотностью N0.
Дисперсия шума на выходе замкнутой системы находится с помощью соотношения
=
σ2ø
1
2π
∞
∫
−∞
Ô2 (ω
=
) N0dω
1
2π
∞
1
∫ 1 + ω2 τ2 dω.
ô
−∞
Данный интеграл является табличным, и в результате получим
N0
1
σ2ø =
= N0 K0 = N0 ωñð , где ωñð = – частота среза фильтра.
τô
τô
Из полученного выражения следует, что увеличение коэффициента усиления K0 приводит к росту шумовой ошибки.
x(t), y(t)
x(t)=bt
y(t)
τфb
t
0
Рис. 4.5
43
Для оптимизации системы воспользуемся критерием минимума
дисперсии суммарной ошибки, которую можно записать в виде
σ2Σ
=Δ
2
+ σ2ø
2
 b 
=
 + N0 K0 .
 K0 
(4.13)
Оптимизацию системы будем проводить по параметру K0. Для
этого продифференцируем (4.13) по K0 и приравняем производную
к нулю:
dσ2Σ
2b2
0.
=
− 3 + N0 =
dK0
K0
В результате оптимальное значение коэффициента усиления,
при котором минимизируется дисперсия суммарной ошибки:
K0opt = 3
2b2
.
N0
Для примера положим b = 1, N0 = 0,01. Тогда K0opt = 5,8. При
этом динамическая ошибка в установившемся режиме составит
0,24.
Δ =0,17, а шумовая ошибка σø =
44
ЛИТЕРАТУРА
1. Левин Б. Р. Теоритические основы статистической радиотехники. Книга вторая. М.: Советское радио, 1969. 750 с.
2. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1971. 671 с.
3. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Советское
радио, 1966. 678 с.
4. Бесекерский В. А. и др. Микропроцессорные системы автоматического управления. Л.: Машиностроение, 1988. 356 с.
5. Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986. 192 с.
45
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ...............................................................................
3
1. СИГНАЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В СИСТЕМАХ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ.....................................................
1.1. Детерминированные сигналы и их свойства........................
1.1.1. Прямоугольный видеоимпульс................................
1.1.2. Гауссов (колокольный) видеоимпульс......................
1.1.3. Прямоугольный радиоимпульс................................
1.1.4. Гауссов (колокольный) радиоимпульс......................
1.1.5. Непрерывное гармоническое колебание....................
1.1.6. Единичное ступенчатое воздействие.........................
1.1.7. Дельта-функция δ [] ...........................................
1.2. Случайные сигналы.........................................................
1.2.1. Основные характеристики случайных сигналов.........
4
4
4
7
9
11
13
15
16
17
18
2. МОДЕДИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИНАЛОВ..........................
2.1. Моделирование случайных сигналов с использованием
импульсной характеристики формирующего фильтра.........
2.2. Моделирование случайного сигнала
с помощью разностного уравнения....................................
2.3. Моделирование случайного сигнала
методом скользящего суммирования.................................
25
3. КРИТЕРИИ ОПТИМИЗАЦИИ.................................................
3.1. Обнаружение сигналов.....................................................
3.2. Оценка параметров сигналов.............................................
3.3. Оптимальная фильтрация.................................................
27
27
28
29
4. ОПТИМАЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ОБРАБОТКИ ИГНАЛОВ...........
4.1. Оптимизация параметров фильтра нижних частот...............
4.2. Оптимизация параметров дискретного
дифференцирующего фильтра..........................................
4.3. Оптимизация экстраполирующего фильтра.........................
4.4. Оптимизация системы автоматического регулирования........
32
32
35
39
41
ЛИТЕРАТУРА..........................................................................
45
46
22
22
24
Для заметок
Учебное издание
Зиатдинов Сергей Ильич
Осипов Леоднид Андроникович
ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ
ИНФОРМАЦИИ
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Компьютерная верстка М. И. Дударевой
Сдано в набор 22.06.16. Подписано к печати 15.09.16. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 2,7. Уч.-изд. л. 2,9. Тираж 50 экз. Заказ № 342.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
3 103 Кб
Теги
ziatdinov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа