close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Artemiev

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
Б. А. Артемьев
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Линейная электрическая цепь
с сосредоточенными параметрами
в установившемся режиме
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2013
УДК 621.3.01
ББК 31.211
А86
Рецензенты:
кандидат технических наук, доцент А. А. Мартынов;
кандидат технических наук, доцент В. С. Томасов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Артемьев Б. А.
А86 Электротехника. Линейная электрическая цепь с сосредоточенными параметрами в установившемся режиме: учеб. пособие/
Б. А. Артемьев. – СПб.: ГУАП, 2013. – 86 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0895-9
В учебном пособии изложены основы анализа линейных электрических цепей в установившемся режиме при постоянном и гармоническом воздействиях. Уделено внимание вопросам построения
расчетных электрических схем с активными и пассивными идеализированными элементами. Расчет простых электрических схем в
гармоническом режиме изложен в комплексной форме. Весь материал пособия распределен по четырем разделам. В каждом разделе
содержатся теоретические материалы и методические указания к
расчетным заданиям.
В практических заданиях обобщен многолетний опыт работы кафедры электротехники ГУАП.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей.
УДК 621.3.01
ББК 31.211
ISBN 978-5-8088-0895-9
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2013
© Б. А. Артемьев, 2013
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие предназначено для тех, кто приступает к изучению таких теоретических дисциплин, как «Теоретические основы
электротехники», «Основы теории цепей», «Электротехника» и
т. д. Изложение материала от простого к сложному, широкое использование аналогий, несложный математический аппарат, большое количество примеров и домашних заданий позволят успешно и
самостоятельно освоить дисциплины электротехнического профиля, в том числе более сложный материал, содержащийся в учебниках, учебных пособиях и специальной литературе.
Предметом изучения всех теоретических дисциплин электротехнического профиля являются электромагнитные модели, которые
строятся исследователем для реальных устройств с учётом условий
их работы, требуемой точности и вычислительных возможностей.
Это означает, что одному электротехническому объекту может соответствовать несколько разновидностей моделей. Правильность
выбора (адекватность) модели обычно устанавливается в результате исследования реального объекта. Подробное описание каждой из
разновидностей моделей будет дано в соответствующих разделах.
Автор выражает благодарность студентам Махрову Николаю,
Баранову Ярославу, Костину Вячеславу и Михайлову Алексею за
помощь в подготовке рукописи к изданию. Автор также признателен доценту кафедры 33 В. Д. Косулину за участие в научном редактировании пособия.
3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Этот класс моделей ассоциируется с электромагнитными устройствами, размеры которых таковы, что временем прохождения
электромагнитного сигнала через устройство можно пренебречь.
Линейная цепь не меняет свои свойства при изменении величины
сигнала.
Отличительными признаками любой электрической цепи являются величины, в которых ведётся исследование процессов, происходящих в модели. Для рассматриваемой модели это электрический ток и электрическое напряжение. Они были введены в курсе
физики в разделе «Электричество и магнетизм».
Приведём перечень основных и вспомогательных величин, используемых в теории цепей:
i – электрический ток в амперах, [А];
u – электрическое напряжение в вольтах, [В];
e – электродвижущая сила (ЭДС) в вольтах, [В];
j – ток источника тока (ТИТ) – в амперах, [А];
p – мощность в ватах, [Вт];
W – энергия в джоулях, [Дж];
Q – электрический заряд в кулонах, [Кл];
Ф – магнитный поток в веберах, [Вб];
Структура электрической цепи состоит из участков с двумя полюсами – двухполюсников (ДП) (рис. 1.1). Стрелками указаны направления, относительно которых отсчитываются направления
тока и напряжения, если законы их изменения во времени заданы
или найдены. Кроме того, эти направления используются для постановки знаков при составлении уравнений цепи.
Электромагнитные свойства электрической цепи рассредоточены по элементам-двухполюстникам, причём каждый элемент наi
ДП
u
Рис. 1.1. Двухполюсник
4
делён только одним свойством, что позволяет собрать из таких элементов модель любой сложности.
Элементы можно условно разделить на две группы – источники
и потребители. Далее приведены основные сведения об элементах.
Источники
ИН – источник напряжения
ИТ – источник тока
i
i
e
j
u
u
Уравнение элемента
u=e
i=j
Величины источников
e[в] – ЭДС
(электродвижущая сила)
j[A] – ТИТ (ток источника тока)
Вольт-амперная характеристика (ВАХ)
u,В
u,В
i=j
u=e
i,А
i,А
Источники e и j взаимно непреобразуемы
p = –ui = –ei < 0
p = –ui = –uj < 0
Знак (–) свидетельствует о генерации энергии
Основное свойство
ИН генерирует напряжение
независимо от величины тока
ИТ генерирует ток независимо
от величины напряжения
5
Потребители
R – Резистор
(сопротивление)
R
L – индуктивность
C – емкость
L
i
C
i
u
i
u
u
Уравнения элементов
u = Ri
i = Gu
u =L
di
i=C
dt
du
dt
Параметры элементов
u
R=
[O м] i
сопротивление
i
1
G = = [ Cì ]
u R
проводимость
См – Сименс
L=
Ψ
[Гн]
i
Ψ – Сумма
магнитных
потоков,
сцеплённых с участком
(потоко-сцепление)
Гн – Генри
Q
[Ф]
u
Q − электрический
заряд
C =
Ф – Фарад
Параметры линейных элементов постоянны.
Характеристики линейных элементов
u, В
Ψ, Вб
Q
β
α
i, A
Вольт-амперная
R → tg α
G → tg β
6
α
i, A
Вебер-амперная
L → tg α
α
Кулон-вольтная
С → tg α
u
Мощность
p = ui = u2G = i2R
p = ui = Li
p>o
p>o
èëè
p<o
di
dt
p = ui = Cu
p>o
èëè
p<o
du
dt
Основное свойство
Резистор неограниченно
потребляет энергию.
Индуктивность
накапливает (p>0) и
отдаёт (p<0)
магнитную энергию.
Ёмкость
накапливает (p >0) и
отдаёт (p <0)
электрическую
энергию.
Эти два элемента называются
реактивными элементами.
Энергия
t
WR = ò pdt
WL =
0
Li2
2
WC =
Cu2
2
Элементы соединяются полюсами, образуя электрическую цепь.
Место соединения элементов называется узлом.
Узел
Рис. 1.1. Узел
Узел
7
В некоторых случаях узел удобнее изображать в виде нескольких точек, соединённых переходниками.
Связи между токами или напряжениями различных двухполюсников в цепи устанавливаются на основе законов Кирхгофа: закона
токов (ЗТК) и закона напряжений (ЗНК). Они оба имеют математически идентичный вид:
ЗТК – å ik = 0 для узлов и сечений;
k
ЗНК – å uk = 0 для контуров,
k
где к – номер двухполюстника.
Заметим, что в приведённых выражениях полностью отсутствует информация о свойствах двухполюсников, поэтому при составлении ЗТК и ЗНК для конкретной цепи удобнее и проще использовать не саму цепь, а схему соединения её двухполюстников, которую мы назовём графом цепи (рис. 1.2).
Чтобы построить граф необходимо:
пронумеровать двухполюсники цепи;
обозначить узлы цепи;
нарисовать узлы с обозначениями рядом с цепью;
соединить узлы линиями с соответствующими цепи номерами,
поставить номер линии;
задать произвольно направления каждой из линии графа.
Теперь с помощью графа удобно ввести понятия о двух новых
структурах – контуре и сечении. Контуром назовём совокупность
двухполюсников, образующих замкнутый, непересекающий сам
себя путь. Контур имеет направление, по которому его обходят.
Оно задаётся произвольно. О направлении контура можно судить
по знакам двухполюсников, образующих контур. Например, контур 5,6,–4 совпадает с направлением двухполюсника 5, а контур
1,–2,7,8,3 – с направлением двухполюсника 1.
c
3
7
d
d
d
8
6
3
7
6
c
c
4
4
2
5
a
5
a
b
1
2
b
1
e
8
сеч.
2,–5,6,7
e
сеч. 1,5,–6,–8
Рис. 1.2. Цепь и её граф (схема соединения двухполюсников)
8
Сечением называется совокупность двухполюсников, пересекаемых поверхностью, разрезающей цепь на две несвязанные части.
За направление сечения принимается направление нормали к этой
поверхности. Оно также задаётся произвольно. О направлении сечения можно также судить по знакам двухполюсников (ДП), входящих в сечение. Например, сечение 1,5,–6,–8 направлено как
ДП1, а сечение 2,–5,6,7 – как ДП2. Часто, для наглядности, след
секущей поверхности и нормаль к ней изображаются на графе. Заметим ещё раз, что направления контура и сечения задаются произвольно.
После того, как записаны перечни номеров двухполюсников,
входивших в контуры и сечения, можно без каких-либо дополнительных пояснений записать законы Кирхгофа: ЗНК для контуров
и ЗТК для сечений.
Для ранее построенного графа:
ЗНК
контур 5,6,–4
u5 + u6 – u4 = 0,
контур 1,–2,7,8,3
u1 – u2 + u7 + u8 + u3 = 0;
ЗТК
сечение 1,5,–6,–8
i1 + i5 – i6 – i8 = 0,
сечение 2,–5,6,7
i2 – i5 + i6 + i7 = 0;
Кстати последнее выражение можно рассматривать как ЗТК для
узла «С», если за направление узла взять направление наружу (от
узла).
9
2. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
2.1. Понятие об анализе. Ветви
Анализ сводится к определению неизвестных токов и напряжений по заданным величинам источников, параметрам потребителей и способу соединения элементов (структуре) в электрической
цепи.
Изучение методов анализа целесообразно начать с наиболее простых, основанных на составлении и решении алгебраических уравнений. Именно такие уравнения присущи резистивным цепям, т.е.
цепям, состоящим только из резисторов и источников.
Подготовка цепи к анализу начинается с выделения ветвей. Ветвью электрической цепи назовём двухполюсник, направление и
ток которого связаны уравнением и приняты за неизвестные величины. Ветвь может состоять из одного или нескольких элементов.
Рассмотрим несколько вариантов ветвей.
1. Ветвь R.
R
u, i
u = Ri
i = Gu
2. Ветвь R последовательная.
Последовательным называется соединение, при котором все элементы находятся под одним током i, или два соседних последовательных элемента имеют один общий узел. Эквивалентное сопротивление последовательно соединённых резисторов определяется
как сумма их сопротивления.
R1
R2
R3
i,u
i,u
=
R =R 1 +R 2 +R 3, u=Ri .
3. Ветвь R параллельная.
Параллельным называется соединение, при котором все элементы находятся под одним напряжением или все элементы имеют два
общих узла. Эквивалентная проводимость параллельно соединённых резистров определяется как сумма их проводимостей.
10
i,u
G1
u, i
G2
G =G1 +G2 + G3 , i= Gu.
G3
4. Ветвь e.
e
i
u =e
u
5. Ветвь j.
j
i
i=j
u
6. Ветвь Re.
e
R
u,i
u= Ri–e
7. Ветвь Gj.
G
i,u
i = Gu +j
j
Сложные ветви 2 и 3 сводятся к ветви 1 путём преобразований.
Выражения, связывающие напряжение u и ток i в ветвях 1, 6, 7,
будем называть уравнениями ветвей. Ветви 4 и 5 будем называть
вырожденными, так как в их уравнениях отсутствует связь между
напряжением и током. Уравнения ветвей 6 и 7 записаны при условии, что u, i, e и u, i, j совпадают по направлению. Если развернуть u, как в ветвях 4 и 5, то u = e–Ri, i = j–Gu и ветви 6 и 7 можно
11
u,В
u,В
uх.х =e
uх.х =j/G
i,А
i,А
iк.з= j
i к.з = e/R
Рис. 2.1. Характеристики источников с потерями
рассматривать как модели источников с потерями, а R и G считать
«внутренним» сопротивлением и «внутренней» проводимостью соответственно. При уменьшении R и G до нуля получаем источник
без потерь (ветви 4 и 5), которые иногда называют идеальными.
Вольт-амперные характеристики (ВАХ) источников с потерями
имеют вид падающих прямых (рис. 2.1).
Если совместить точки холостого хода (х.х.) и короткого замыкания (к.з.) обеих характеристик, то обе ветви обладают одинаковыми свойствами и, следовательно, могут быть взаимно преобразованы. Приравнивая ux.x и iк.з обеих характеристик, получим
R, e ® G, j
j=
e
1
= eG, G =
R
R
G, j ® R, e
e=
j
1
= jR, R =
G
G
2.2. Метод преобразований линейных
резистивных цепей
Эти, а также другие линейные преобразования можно использовать для подготовки цепи к анализу общими методами. В принципе, методы преобразований применимы для полного расчета любой
цепи, но на практике используются для небольших цепей с одним
источником.
Порядок такого расчета покажем на следующих примерах.
Пример 1 (рис. 2.2)
Задано – e и все R. Найти все токи и напряжения.
1. Пронумеруем все резисторы и обозначим узлы.
12
b
b
e
5
4
a
h
2
1
6
3
c
d
Рис. 2.2. Электрическая цепь для примера 1
2. Свернём цепь к полюсам источника a и b, которые назовём
входом в цепь, сопровождая процесс сворачивания построением
графа цепи (рис. 2.3).
b
b
56
5
e
h
4
2
a
4
e
2
6 R56 = R5 +R6
1
3
c
a
d
c
1
3
d
G456 = G4 +1/R56
b
b
R3456 = R3+1/G456
3,4
,5,
6
e
e
2
a
c
1
a
G23456 =G2 + 1/R 3456
a
2,3
1
,4,
5
,6
Rвх = R1 +1/G23456
c
2
1 c
3
d
b
b
e
4,5
,6
e
Вх
a
Рис. 2.3. Граф заданной цепи и его преобразование
13
3. Последовательный расчёт цепи в порядке, обратном сворачиванию цепи (рис. 2.4).
Пример 2 (рис. 2.5).
b
b
R 23456
b
i вх
e
R 3456
R вх
a
i âõ =
u
i 2 = 23456
R2
u
i 3456 = 23456
R3456
R1
u23456 = iâõR23456
u1 = iâõR1
b
R5
b
R456
u456
d
i56
R 56
i3456
R3
i 3456
c
u23456
c
a
e
Râõ
b
с
R2
iвх
R4
h
i56
d
d
u3 = i 3456R 3
u 456 = i3456R456
u
i 4 = 456
R4
u
i 56 = 456
R 56
R6
u5 = i56R 5
u6 = i 56R 6
Рис. 2.4. Последовательность расчета цепи
с
2
a
4
1
a
b
b
j
3
5
с
Рис. 2.5. Электрическая цепь в примере 2
Задано j и все R. Найти все токи и напряжения.
1. Пронумеруем все резисторы и обозначим узлы.
2. Свернём цепь к плюсам источника a и b (рис. 2.6).
14
1
1
b
a
j
2
3
a
4
45
23
G23 = G2 + G3
5
G45 = G4 + G5
c
b
j
c
R2345 =
вх
1
1
+
G23 G45
1
j
j
Gâõ = G1 +
1
R2345
2345
Рис. 2.6. Граф цепи и его преобразования
3. Последовательный расчет в обратном порядке (рис. 2.7).
Gвх
uвх
a
R2345
i2345
b
uвх
a
j
u âõ =
i1 =
u âõ
R1
R 23 c R45
i 2345 =
R2
i2
i 2345
b
u23
a
u âõ
R2345
R4
c
u45
i4
i5
i3
R3
u 23 = i2345R23
u45 = i 2345 R 45
i1
R1
j
G âõ
a
b
R5
i2 =
u23
R2
i4 =
u45
R4
i3 =
u23
R3
i5 =
u45
R5
Рис. 2.7. Последовательность расчёта цепи
15
2.3. Метод наложения
Хорошо известно, что линейная цепь подвержена принципу суперпозиции (наложения), что позволяет производить рассмотренными методами анализ цепи с несколькими источниками. Так, например, расчет цепи, приведенной ниже (рис. 2.8), можно представить как совокупность двух расчетов от каждого из источников в
отдельности. Общий результат достигается суммированием в каждой ветви с учетом выбранных направлений.
R3
e
i1
i3
R2
R1
R3
i1¢
e
i4
R4
j
R2
=
R1
i2
R4
+
i2¢
R3
i3¢¢
i3¢ = i4¢
i1¢¢
i4¢¢
R2
R1
R4
j
i2¢¢
Рис. 2.8. Схема расчета по принципу наложения
i1 = i1¢ - i1¢¢, i2 = i2¢ + i2¢¢, i3 = i3¢ - i3¢¢,i4 = i4¢ + i4¢¢.
Заметим, что исключение источников производится закорачиванием e и размыканием j.
В заключение приведем ряд вариантов заданий на самостоятельную работу для закрепления пройденного материала.
Задания к методу преобразований
3
2
2 5
1.
4
3
6.
1
3
3
2
3
2
2.
4
16
4
1
3.
4
5
2
4
2
7.
8
4
6
1
4
3
8
2
4
2
2
4
8.
4
4 4
4
2.
2
7.
8
4
4
1
3.
4
2
8
2
2
2
5
2
4
4
8.
4
2 6
8
4
4
4 4
5
4.
9.
4
2
8
8
4
4
2
2
4
2
4
2
5.
4
4
2
10 .
8
2
3
8
Цифры около каждого элемента в зависимости от типа элемента
задают или ЭДС е или ток источника тока j или сопротивление R.
2.4. Общие методы анализа линейных резистивных цепей
Эти методы основаны на совместном решении систем алгебраических уравнений, составленных из уравнений ветвей и уравнений
их соединений.
Чтобы алгоритмы составления уравнений были типовыми, выберем
за типовые ветви 6 и 7, частными случаями которых будут ветви 1, 4, 5.
Уравнения соединений ветвей – это законы Киргхофа: ЗТК для
сечений и ЗНК для контуров. Таким образом, исходная система
уравнений имеет вид
ïìïuk = Rk ik - ek ,
(1)
ïï
ïïik = Gk uk + jk , (2)
í
ïïå ik = 0,
(3)
ïï
ïïå uk = 0,
(4)
î
где K – номера ветвей, а uk, ik, ek или uk, ik, jk в типовых ветвях совпадают своими направлениями.
17
Если первые два уравнения независимы по определению ветвей, то независимость уравнений 3 и 4 требует рассмотрения. Оно
может быть выполнено через систему главных сечений и главных
контуров, которая образуется на основе дерева графа. Дерево графа
представляет собой совокупность связанных вместе ветвей, содержащих все узлы, но не образующих ни одного контура. Удобно ветви дерева проводить утолщенными линиями. Остальные (тонкие)
ветви назовем связями. Если обозначить число ветвей графаnв, а
число узловnу, то число ветвей дерева nд = nу–1, а число связей
nс = nв – nд = nв – nу + 1. Каждый граф имеет не одно дерево. Так,
например, для графа
или
или
и т.д.
Легко заметить, что присоединение любой связи к дереву образует контур. Он называется главным.
Иначе говоря, главный контур – это одна связь и сколько угодно
ветвей дерева (рис. 2.9). Удобно за номер и направление контура
принимать номер и направление связи.
1
3
6
2
5
Рис. 2.9. Граф и дерево графа
Главные контуры
Уравнения ЗНК
1, –2
3, –2, 5
4, –5, 2
U1–U2 = 0
U3–U2 + U5 = 0
U4–U5 + U2 = 0
По аналогии, главное сечение – это одна ветвь дерева и сколько
угодно связей. Номер и направление сечения совпадают с номером
и направлением ветви дерева (рис. 2.10).
18
3
1
2
4
2
5
5
Рис. 2.10. Граф, дерево и главные сечения
Главные сечения
Уравнения ЗТК
2, 1, 3, –4
5, 4, –3
i2 + i1 + i3–i4 = 0
i5 + i4–i3 = 0
Совершенно очевидно, что составленные таким образом уравнения соединений независимы друг от друга. Число уравнений ЗТК
nзтк = nгс = nд = ny–1, число уравнений ЗНК nзнк = nгк = nс = nв–
nу + 1. Число уравнений ветвей 1 или 2 равно nв. Таким образом,
общее число независимых уравнений в исходной системе равно
2nв, что совпадает с общим числом независимых nв напряжений
и nв токов. Следовательно, система имеет единственное решение.
Исходная система уравнений чрезвычайно редко используется для
анализа конкретных цепей. Её предназначение – служить основанием для разработки более компактных систем уравнений. Будем
называть их именами неизвестных, в которых они составлены.
2.4.1. Уравнения токов ветвей
Для исключения из исходной системы 1, 2, 3, 4 напряжений ветвей uk необходимо все преобразуемые ветви с источником тока j заменить эквивалентными ветвями с источником напряжения e = Rj.
Теперь, когда все ветви подчиняются уравнению uk = Rkik–ek, его
следует подставить в ЗНК для главных контуров
сать результат в виде
å Rk ik = å ek .
å uk = 0
и запи-
Эти уравнения совместно с уравнениями ЗТК для главных сечений образуют систему уравнений токов ветвей.
ìïå ik = 0,
ï
í
ïïå R k ik = å ek .
ïî
19
Вспомним, что источники напряжения ek включают в себя не
только заданные ЭДС e, но и преобразованные ЭДС Rj, входящие
в состав соответствующего главного контура. Они положительны
при совпадении их направления с направлением контура.
Покажем на примере порядок действий при составлении уравнений токов ветвей (рис. 2.11).
1
2
a
1
2
b
b
2
a
e2
3
3
c
4
5
2
c
4
3
5
4
b
R 3j3
e5
5
Рис. 2.11. Электрическая цепь и её граф
1. Выберем и пронумеруем ветви.
2. Обозначим узлы.
3. Построим граф, начиная с такого же расположения узлов.
Пронумеруем ветви графа, произвольно зададим их направления.
4. Преобразуем ветвь 3 и вынесем источники рядом с ветвями графа.
5. Выберем дерево графа.
6. Составим таблицу главных сечений и главных контуров.
Главное сечение
Главные контуры
2, 3, –1
4, 3, 5
1, 2
3, –2, –4
5, –4
7. Составим уравнения токов ветвей.
ì
ïïïi2 + i3 - i1 = 0 ïïü ãëàâíûå ñå÷åíèÿ
ïïi + i + i = 0ýï
ïþ
ïï 4 3 5
ïíR i + R i = -e
üï
22
2
ïï
ïï 1 1
ïïR3 i3 - R2 i2 - R4 i4 = R3 j3 + e2 ïý ãëàâíûå êîíòóðû
ïï
ïï
ïïþ
ïïîR5 i5 - R4 i4 = e5
Число уравнений равно числу ветвей.
8. Если система уравнений решена и найдены токи i1, i2, i3, i4,
i5, то напряжения ветвей определяются как
20
u1 = R1i1,
u2 = R2 i2 + e2 ,
u3 = R3i3 - R3 j3 ,
u4 = R4 i4 ,
u5 = R5 i5 - e5 .
Источники, совпадающие с направлением ветви, вычитаются.
2.4.2. Уравнения токов связей
Легко заметить, что в уравнениях ЗТК для главных сечений ток
каждой ветви дерева выражается через токи связей. Если эти выражения подставить в уравнения для главных контуров, то, собрав
коэффициенты, получим уравнения токов связей. Если обозначить
токи связей ik, im, in, то общий алгоритм уравнения токов связей
для k-го контура имеет вид
ik (å R ) ... ± iò (å R )
k
kò
... ± iï (å R )
kï
= (å e) ,
k
(å R)k – сумма сопротивлений, входящих в k-й контур, всегда
положительна; (å R )
– сумма общих сопротивлений контуров
kò
где
k и m, положительная, если контуры совпадают направлениями в
этих общих сопротивлениях;
и n;
(å R)kn – аналогично для контуров k
(å e)k – сумма ЭДС заданных (e) и преобразованных (Rj) поло-
жительных, если они совпадают с направлением контура k.
Рассмотрим пример (рис. 2.12).
4
6
2
5
4
6
5
2
2
3
3
3
1
6
3
e3
1
1
R 1j1
Рис. 2.12. Электрическая цепь и её граф
21
Главные
контуры
1, 2, –3
(å R)1 = R1 + R2 + R3 ,(å R)1,4 = -(R3 + R2 ),(å R)1,5 = R3
4, –6, 3, –2
(å R)4 = R4 + R6 + R3 + R2 ,(å R)4,1 = -(R3 + R2 ),(å R)4,5 = -(R6 + R3 )
5, –3, 6
(å R)5 = R5 + R3 + R6 ,(å R)5,1 = R3 ,(å R)5,4 = -(R3 + R6 )
Уравнения токов связей:
ì
(R1 + R2 + R3 )i1 - (R2 + R3 )i4 + R3 i5 = R1 j1 - e3 ,
ï
ï
ï
ï
í(R4 + R6 + R3 + R2 )i4 - (R2 + R3 )i1 - (R3 + R6 )i5 = e3 ,
ï
ï
ï
ï
î(R5 + R3 + R6 )i5 + R3i1 - (R3 + R6 )i4 = -e3 .
Решение этой системы дает токи связей i1, i4, i5.
Токи ветвей дерева находятся из уравнений ЗТК для главных
сечений.
Главные сечения
2, –1, 4
3, 1, 5, –4
6, 4, –5
i2 = i1–i4
i3 = i4–i1–i5
I6 = i5–i4
И, наконец, напряжения ветвей определяются в соответствии с
выражением uk = Rkik–ek
u1 = R1i1–R1j1, u4 = R4i4,
u2 = R2i2, u5 = R5i5,
u3 = R3i3–e3, u6 = R6i6.
2.4.3. Учет вырожденных ветвей в уравнениях токов
Вырожденная ветвьeполучается из ветви Re при R = 0. В последнем примере такая ветвь возможна при R3 = 0. Это условие упрощает уравнения токов связей, причем наибольший эффект достигается тогда, когда ветвь e помещена в дерево графа.
Вырожденная ветвь j получается из ветви Gj при G = 0,R = ∞.
Если в этом же примере принять R1 = ∞, то i1 = j1. Приняв ветвь 1
связью, получим ток связи заданным (i1 = j1) число неизвестных токов сократилось на единицу и уравнение для контура 1 составлять
не нужно. Оно потребуется для определения напряжения u1, которое из ЗНК для этого контура равно u1 = u3–u2, u2 и u3 определены
ранее по найденным i2 и i3.
22
2.4.4. Уравнения узловых напряжений
Если с помощью аналогичных процедур из исходной системы
исключить токи, то получим уравнения напряжений ветвей, которые по форме подобны уравнениям токов ветвей.
Если далее с помощью уравнений ЗНК исключить напряжения
связей, то получим уравнения напряжений ветвей дерева, похожие
на уравнения токов связей. Для k-го главного сечения
uk (å G ) ... ± um (å G )
k
km
... ± un (å G )
kn
= -(å j) .
k
Более популярна еще одна система напряжений – узловые напряжения. Это напряжения между узлами цепи и некоторым узлом, который называется опорным и выбирается произвольно. Они
обозначаются двумя индексами, порядок следования которых указывает на направление. Так напряжение uko направлено от узла k к
узлу o. Следовательно, uko = –uok. Все остальные напряжения легко
выражаются через узловые, так
uкт = uко–uто
Алгоритм составления уравнений узловых напряжений аналогичен алгоритмам токов связей и напряжений ветвей дерева и имеет вид для k-го узла:
uko (å G ) ... - umo (å G )
k
km
... - uno (å G )
kn
= -(å j) ,
k
где uko, umо, unо – узловые напряжения; (å G ) – сумма провоk
димостей ветвей, принадлежащих узлу k, всегда положительная;
(å G)km
– сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы k и
m, всегда отрицательная, так как в любой соединяющей их ветви
направления узлов встречаются;
(å j)k
– сумма токов источников
токовjи преобразованных источников напряжения Ge; положительны источники, направленные к k узлу.
Расшифруем алгоритм на следующем примере (рис. 2.13).
1. Выделим и пронумеруем ветви.
2. Обозначим узлы, выбрав произвольно опорный узел.
3. Преобразуем ветви Re в ветви Gj и построим граф с вынесенными к его ветвям источниками тока.
4. Составим уравнения для узлов a и b, независимых друг от друга, так как каждый новый узел добавляет новые ветви.
23
1
3
o
G1e1
1
3
1
3
2
4
a
a
5
a
5
2
G3e3
b
4
b
b
a
5
j5
Рис. 2.13. Электрическая цепь и её граф
ïìïuao (G1 + G2 + G4 + G5 ) - ubo (G4 + G5 ) = -j5 - G1e1,
í
ïïîubo (G3 + G4 + G5 ) - uao (G4 + G5 ) = j5 + G3 e3 .
После того, как Uao и Ubo будут найдены, можно определить напряжения ветвей, задав предварительно их направления на графе:
u1 = uoa = -uao ;
u2 = uoa = -uao ;
u3 = uob = -ubo ;
u4 = uab = uao - ubo ;
u5 = uba = ubo - uao .
В соответствии с выражением ik = Gkuk + jk находим все токи:
i1 = G1u1 - G1e1
i2 = G2u2
i3 = G3u3 + G3e3
i4 = G4u4
i5 = G5u5 - j5
Если в цепи имеется вырожденная ветвь “j” с источником тока,
то в уравнениях угловых напряжений следует принять её проводимость равной нулю. Для нашего примера такой ветвью может быть
ветвь 5, если принять G5 = 0.
24
Если в цепи имеется вырожденная ветвь “e” с источником напряжения, то один из её полюсов следует принять за опорный,
тогда узловое напряжение другого полюса будет равно ЭДС ветви
с учетом направлений и уравнение узловых напряжений для этого
узла не составляется. В нашем примере при R1 = 0 ветвь 1 – вырожденная и uao = –e1. Уравнение для узла a не составляется. Для
определенности у номера вырожденной ветви следует на графе поставить какой-либо значок, например, B.
2.4.5. Анализ цепей в постоянном режиме
Постоянный режим устанавливается в цепи под действием постоянных во времени источников e(t) = const, j(t) = const. Для постоянных токов и напряжений индуктивность представляет собой
di
короткозамкнутый участок, так как uL = L 1 = 0, а емкость – разdt
du
рыв, так как ic = C c = 0. Ток в индуктивности и напряжение на
dt
емкости можно определить из расчета цепи, состоящей из постоянных источников и резисторов. Покажем это на следующем примере
(рис. 2.14).
Заданы: e = E, j = J, R1, R2, R3, R4, R5, R6
Определить: iL1, iL7, uc2
1. Размыкаем емкость 2 и накоротко замыкаем индуктивности
1 и 7.
2. Обозначаем узлы, принимаем узел d за опорный.
7
2
e
2
E
U c2
5
1
1
iL7
c
2
1
6
3
4
iL1
5
d
c
6
3
4
b
a
j
J
Рис. 2.14. Электрическая цепь в постоянном режиме
25
3. Составим уравнения узловых напряжений:
ì
æ1
ï
1
1 ÷ö
1
1
E
ï
÷÷ - ubd
+
+
- ucd
=- J,
uad ççç
ï
ï
÷
R4
R1
R1
ï
èç R1 R3 R4 ø
ï
ï
ï
æ 1
ï
1 ÷ö
1
1
ï
÷÷ - uad
+
- ucd
= J,
íubd ççç
ï
çè R4 R6 ÷ø
R4
R6
ï
ï
ï
ï
æ 1
1
1
1 ö÷
1
1
ï
÷÷ - uad
ï
+
+
+
- ubd
= 0.
ucd ççç
ï
ï
R1
R6
èç R6 R5 R2 R1 ø÷
ï
î
4. Решение системы дает
uad , ubd , ucd = uc2 ;
E + uad - ucd
iL1 =
;
R1
u
iL7 = iL1 - i2 = i1 - cd .
R2
2.4.6. Зависимые источники и их учет в уравнениях цепи
Величины этих источников управляются (зависят) другими напряжениями и токами. Зависимые источники подразделяются на
источники напряжения (ИНУН и ИНУТ) и источники тока (ИТУН
и ИТУТ).
ИНУН – источник напряжения, управляемый напряжением:
i2
u1
u2
e2
e2 = u2 = Kuu1
ИНУТ – источник напряжения, управляемый током:
i2
i1
e2
u2
u2 = e2 = KRi1
26
Как у обычных (независимых) источников напряжения ЭДС e2
не зависит от собственного тока i2 и связана с управляющими величинами U1 и i1 коэффициентом управления по напряжению Ku и
управляющим сопротивлением KR в соответствующих уравнениях
источников.
ИТУН – источник тока, управляемый напряжением:
i2
u1
u2
j2
i2 = j2 = KGi1
ИТУТ – источник тока, управляемый током:
i2
i1
j2
u2
i2 = j2 = Kii1
Как у независимых источников тока, ток источника тока j2 не
зависит от собственного напряжения u2 и связан с управляющими
величинами u1 и j1 управляющей проводимостью KG и коэффициентом управления по току Ki в соответствующих уравнениях источников.
Заметим, что зависимые источники изображаются в виде ромба
с соответствующими стрелками, чтобы отличать их от независимых источников.
Если цепь содержит зависимые источники, то при составлении
уравнений цепи их следует рассматривать как независимые. Затем использовать уравнение источника, в котором управляющее
напряжение или ток следует выразить через принятые при составлении системы уравнений неизвестные. Окончательно, слагаемые,
содержащие неизвестные, перенести в левую часть уравнений системы и собрать коэффициенты.
Пример приведен на рис. 2.15.
Задано: все R, e1, e5, e4 = KRi3, j6 = KGu2, KR и KG
27
с
1
4
4
2
1
3
b
5
a
o
6
6
Рис. 2.15. Электрическая цепь с зависимыми источниками
1. Выбираем уравнения узловых напряжений, число которых с
учетом вырожденной ветви 5 равно 2.
2. Опорный узел выбираем одним из полюсов ветви 5.
3. Составляем уравнения узловых напряжений:
ìuao (G1 + G3 + G6 ) - ubo G3 - uco G1 = -e1G1 + j6 ,
ï
ï
ï
ï
íubo = -e5 ,
ï
ï
ï
ï
îuco (G1 + G2 + G4 ) - uao G1 - ubo G2 = e1G1 - e4 G4 .
4. Выражаем зависимые источники e4 и j6 в принятой системе
неизвестных uao, ubo, uco:
e4 = KR i3 = KR uab G3 = KR (uao - ubo )G3 ;
j6 = KG u2 = KG ucb = KG (uco - ubo ).
5. Подставляем последние в систему уравнений и окончательно
формируем коэффициенты:
ìuao (G1 + G3 + G6 ) - ubo (G3 - KG ) - uco (G1 + KG ) = -e1G1,
ï
ï
ï
ï
íubo = -e5 ,
ï
ï
ï
ï
îuco (G1 + G2 + G4 ) - uao (G1 - KR G3 G4 ) - ubo (G2 + KR G3 G4 ) = e1G1.
28
2.5. Передача энергии в резистивной цепи
Передача энергии в резистивной цепи осуществляется в соответствии с законом сохранения энергии. Этот закон в электрической цепи приобретает вид баланса мощностей: мощность, развиваемая источниками pe = ei, pj = uj, равна мощности, потребляемой резисторами pR = i2R или pR = u2G. Источники генерируют
энергию, если e и i совпадают по направлению, а u и j – противоположны. Итак, для произвольной цепи баланс мощности имеет вид
n
n
n
k=1
k=1
k=1
å ek ik + å un jn = å ik2Rk ,
где n – число ветвей, и составляется для проверки выполненного
расчета цепи.
Процесс передачи мощности рассмотрим на простом примере источника напряжения e с потерями R, соединенного с потребителем,
часто называемым нагрузкой Rн (рис. 2.16).
По закону Ома ток цепи
i=
e
R + Rí
регулируется изменением сопротивления нагрузки от Rí = ¥,
e
ix.x = 0(холостой ход) до Rн = 0, iê.ç =
(короткое замыкание).
R
Напряжение на сопротивлении потерь u = Ri пропорционально
току и изменяется от ux.x = 0до uк.з = e. Напряжение на сопротивлении нагрузки uн = e–u падает по линейному закону от uн.x.x = e
до uн.к.з = 0 (рис. 2.17).
e
R
u
e
u
uн
u
e
Rн
uн
i
i
i к.з
Рис. 2.16. Цепь источника
с потерями и нагрузкой
Рис. 2.17. Зависимость
напряжений от тока
29
Мощности источника pи, потерь p и нагрузки pн определяются
следующими выражениями (рис. 2.18):
pи = ei – уравнение прямой, проходящей через точки pè.x.x = 0,
pè.ê.ç =
e2
;
R
p = i2 R,
pê.ç =
–
парабола,
имеющая
значения
px.x
=
0
и
2
e
= pè.ê.ç ;
R
pí = pè - p = ei - i2 R – парабола с точками pí.x.x = pí.ê.ç = 0 и
максимальным значением, положение которого находится из условия
dpí
i
e
= 0 и равно i =
= ê.ç , значение pн при этом значении
di
2R
2
тока равно pí max =
e2
.
4R
Таким образом, максимальная мощность, которую можно передать нагрузке, составляет всего четвертую часть от той наибольшей
мощности, которую может развить источник в режиме короткого
замыкания. Режим максимальной мощности нагрузки называется
согласованным режимом, он возникает при половине максимально
возможного тока в цепи, что соответствует условию Rн = R. Это равенство назовем условием согласования.
Обобщённый показатель, которым является коэффициент полезного действия (КПД) η, определяет долю мощности, передаваемой нагрузке, в общей мощности, вырабатываемой источником
η=
Pí Pí - P ei - i2 R
iR
i
=
=
= 1- = 1Pè
Pè
ei
e
iê.ç
Это уравнение прямой, проходящей через точки η = 1, i = 0;
η = 0, i = iк.з (рис. 2.19).
Из рассмотрения графиков η(i) и Pн(i) можно заключить, что
согласованный режим (i = iк.з/2) осуществляется при невысоком
КПД (η = 50%) и значит невыгоден для мощных (силовых) линий.
Последние должны работать в режимах, близких к холостому ходу.
Как было установлено ранее, источники напряжения и тока с
потерями взаимно эквивалентно преобразуемы. Заменим в последней цепи источник напряжения e с сопротивлением потерь R на эк30
Pн
P
η
P
1
u =e
0,5
Pн
O
i
i к.з
i к.з /2
i к.з
2
i
i к.з
Рис. 2.19. Зависимость
КПД от тока
Рис. 2.18. Зависимости
мощностей от тока
вивалентный источник тока j = e\R с проводимостью потерь G = 1/R
(рис. 2.20).
При эквивалентной замене сохраняются ток и напряжение нагрузки, а следовательно и мощность нагрузки. Остальные мощности после преобразования изменились. Так, мощность источника
pe = ei =
euí
eu
¹ pj = juí = í
Rí
R
а мощность потерь
p = ií2 R ¹ p = i 2 R.
Обе мощности сохраняют свои значения только в согласованном
режиме, когда R = Rн и в цепи с источником тока i = iн.
R
e
i
iн
uн
iн
Rн
=
j
uн
G
Rн
i
Рис. 2.20. Эквивалентная замена источников
31
Задания к общим методам
20
1.
5
6.
10
20
3
10
48
60
20
1
20
6
4
1,5
2
2
2
4
2
4
2
2
3
1
7.
6
2
16
5
6
2
2.
5
10
2
2
2
1
4
18
3.
1
8.
10
3
2
2
8
4.
2
10
10
1
20
4
1
2
2
6
3
20
22 20
1
1 1,5
1
2
9.
1
10
1
11
2
2
1
2
2
5.
2
10.
4
16
20
26
3
2
2
4
5
4 4
4
4
120
5
110
15
1
26
Цифры около каждого элемента в зависимости от типа элемента
задают или ЭДС е или ток источника тока j или сопротивление R.
32
3. ЛИНЕЙНАЯ ЦЕПЬ В ГАРМОНИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
3.1. Гармонические величины. Основные понятия
Гармоническими называются величины, изменяющиеся во времени по закону sin ωt или cos ωt. Гармонические источники
e(t) = Em sin(ωt + ψ E ) и j (t) = Jm sin(ωt + ψ j )
при достаточно длительном воздействии на линейную электрическую цепь вызывают в ней гармонические напряжения и токи:
u(t) = Um sin(ωt + ψU ),
i (t) = Im sin(ωt + ψ I ).
Здесь обозначены: e, j, u, i – мгновенные значения гармонических величин; Um, Im, Em, Jm – амплитуда, т. е. максимальные отклонения от нулевого значения; ωt + ψ – фаза или электрический
угол в [рад.]; ψ – начальная фаза, т. е. фаза при t = 0; ω – угловая
ω
или круговая частота в [рад/с]; f =
– число колебаний в секунду
2π
1 2π
в [Гц]; T = =
– период колебаний в [с].
τ ω
Ниже иллюстрируются некоторые из этих понятий (рис. 3.1).
Кроме амплитуд гармонические величины можно характеризовать средними значениями, важнейшим из которых является среднее квадратичное за период. Так, например, для тока:
I=
T
T
0
0
2
Im
1
1
2
2
2
sin
i
dt
=
I
ω
tdt
=
m
Tò
Tò
T
T
1
1
ò (2 - 2 cos 2ωt)dt =
0
Im
2
.
Аналогично, для других величин:
U
E
J
U= m , E= m , J= m .
2
2
2
Принято эти величины называть действующими (эффективными) значениями, так как далее будет показано, что они удобны для
описания энергетических характеристик (мощность, энергия, сила
и т.д.). Кроме того измерительные приборы многих систем показывают именно действующие значения, например напряжение осветительной сети U = 220 В.
33
T
e
Em
ωt
0
Em
ψe > 0
T
u
Um
ωt
0
Um
ψu = 0
T
i
Im
ωt
0
Im
ψi < 0
Рис. 3.1. Гармонические функции
3.2. Мощность
Мощность, выделяемая на резисторе, определяется как
pR = ui = i2 R = R Im2 ·sin2 (ωt + ψ i )
2 1
= RIm
[1 - cos2 (ωt + ψ i )] = RI 2 - RI 2 cos2 (ωt + ψ i ) [Âò ]
2
34
Принято среднее значение за период называть активной мощностью P = I2 R. Эта величина является амплитудой колебаний мощности на резисторе с частотой 2 w. Таким образом, в любой момент
времени pR ≥ 0, что свидетельствует только о потреблении энергии.
Для индуктивности мощность можно найти как
pL = ui = Li
di
d
= LIm sin(ωt + ψ i ) Im sin(ωt + ψ i ) =
dt
dt
2
= ωLIm
sin(ωt + ψ i )cos(ωt + ψ i ) = xL I 2 sin 2(ωt + ψ i ) [ÂÀð].
Она изменяется с частотой 2ω, амплитудой QL = xL I2 и измеряется в Вольт-Амперах реактивных.
По аналогии для ёмкости
pc = Cu
du
= BcU 2sin2(ωt + ψn ), Qc = BcU 2 [ÂÀð], Bc = ωc.
dt
3.3. Уравнение цепи в гармоническом режиме
Для линейной цепи параметры её элементов R, L, C постоянны
и все гармонические напряжения и токи изменяются во времени
с частотой гармонического источника. Определение неизвестных
напряжений и токов основано на решении системы тригонометрических уравнений, составленной из уравнения элементов и уравнений их соединений. Решение таких систем громоздко и целесообразно только для очень простых цепей (один или два элемента).
Покажем это на примере цепи из трех элементов.
Задано: u = Um sin (ωt + ψ ), а также R, L, C.
L
С
R
U вх
Система уравнений для шести неизвестных (трех токов и 3-х напряжений) имеет вид
35
ìuR = RiR
ï
ï
ï
ï
di
ï
uL = L L
ï
ï
dt
ï
ï
ï
du
ï
C
ï
íiC = C
ï
dt
ï
ï
iL = iR + iC
ï
ï
ï
ï
u = uL + uC
ï
ï
ï
ï
ï
îuR - uC = 0
Уравнение элементов
Уравнение соединений элементов
Разрешим систему относительнолюбого неизвестного, например
iR, для чего зададим решение
iR = ImR sin(ωt + ψ R )
взяв за ω частоту источника u.
uR = RiR = RImR sin (ωt + ψ R );
uC = uR ;
duc
= ωCRImR cos(ωt + ψ R );
dt
iL = iR + iC = ImR sin (ωt + ψ R ) + ωCRImR cos(ωt + ψ R );
iC = C
uL = L
diL
= ωLImR cos(ωt + ψ R ) - ω2 LCRImR sin (ωt + ψ R );
dt
(
)
u = uL + uC = RImR 1 - ω2 LC sin (ωt + ψ R ) +
+ωLImR cos(ωt + ψ R ) = Um sin(ωt + ψ);
ImR
æ
çç
ωL
R (1 - ω LC) + ω L sin ççωt + ψ R + arctg
çç
R 1 - ω2 LC
çè
= Um sin(ωt + ψ).
2
2
2
2 2
(
)
ö÷
÷÷
÷÷ =
÷÷
÷ø
Из последнего тригонометрического уравнения получим два алгебраических, приравнивая слева и справа амплитуды и фазы
Um
,
ImR =
2
2
R (1 - ω LC)2 + ω2 L2
ψ R = ψ - arctg
36
(
ωL
R 1 - ω2 LC
)
.
3.4. Комплексные изображения гармонических величин
Анализ гармонического режима можно упростить, если исходные гармонические функции (оригиналы) заменить изображениями. В основе такого преобразования лежит хорошо известная формула Эйлера
e± jx = cos x ± j sin x, где j2 = -1.
Перепишем последнюю формулу, заменив x = ωt + ψ, в виде
i(t) = Im sin (ωt + ψ ) = Im
e j (ωt+ψ) - e-j (ωt+ψ)
.
2j
Понятно, что все действия, которые производятся над оригиналом i(t), также производятся над обеими экспоненциальными функциями. Если одну из них принять за изображение, то соответствие
между операциями над оригиналами sin(ωt + ψ) или cos(ωt + ψ) и
изображениями e j (ωt+ψ) например, можно поместить в следующую
таблицу.
Изображение F (t) = e j (ωt+ψ)
Оригинал f (t) = sin(ωt + ψ)
1. Сложение, вычитание f1 ± f2
2. Умножение, деление на число
3. Взятие производной
df
dt
F1 ± F2
F
kF, m
dF
= jωe j (ωt+ψ) = jωF
dt
Теперь настало время напомнить основные сведения о комплексных числах (КЧ). Комплексное число А изображается точкой на
комплексной плоскости, расположенной между осью вещественных (–1, + 1) и осью мнимых чисел (–j, + j) (рис. 3.2).
+j
a
A
A
b
β
–1
+1
–b
–j
*
A
Рис. 3.2. Комплексная плоскость
37
Положение этой точки на комплексной плоскости может быть
определено либо с помощью двух декартовых координат a и b, либо
двух полярных A и β. В первом случае мы имеем алгебраическую
форму комплексного числа A = a + jb, во – втором показательную
форму A = Ae jβ .
Связь между вещественной a, мнимой b частями А и модулем А,
аргументом β очевидна из прямоугольного треугольника c катетами a, b и гипотенузой А.
a = A cos β
b = A sin β
A = a2 + b2
b
β = arctg
a
Интересны частные случаи:
±j
e
π
2
1
= ± j, = -j,
j
e± jπ = -1,
e± j2π = 1,
±j
e
π
4
=
2
(1 ± j ).
2
Если у комплексного числа A = a + jb = Ae jb изменить знак
у мнимой части (аргумента), то получим сопряженное с A ком*
плексное число A = a - jb = Ae-jβ . Эта пара чисел обладает замеча*
тельным свойством A A = a2 + b2 = A 2 , которое используется при
расчётах в комплексных числах.
Обычно алгебраическая форма КЧ используется при сложении
и вычитании; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня производятся в показательной форме. В учебных расчётах первые пять из перечисленных действий проще реализуются
в алгебраической форме. Например:
а) A1 = 8 + j6, A2 = 3 - j4,
A1 + A2 = 8 + j6 + 3 - j4 = 11 + j2,
- A1 + A2 = -8 - j6 + 3 - j4 = -5 - j10;
· 3 - j4) = 8·3 - j2 6·4 + j6·3 - j4·8 =
б) A1 · A2 = (8 + j6)(
= 24 + 24 + j18 - j32 + 48 - j14,
38
A22 = (3 - j4)(3 - j4) = 9 + j216 - 2 j12 = -7 - j24;
*
A A
(8 + j6)(3 + j4) 24 - 24 + j18 + j32 j50
A1
= 1 2=
=
=
= j2.
*
2
2
25
25
A2
3
+
4
A A
A1 · A2 = (8 + j6)(
· 3 - j4) = 8·3 - j2 6·4 + j6·3 - j4·8 =
= 24 + 24 + j18 - j32 + 48 - j14,
A22 = (3 - j4)(3 - j4) = 9 + j216 - 2 j12 = -7 - j24;
*
A A
(8 + j6)(3 + j4) 24 - 24 + j18 + j32 j50
с) A1
= 1 2=
=
=
= j2.
*
25
25
A2
32 + 42
A2 A 2
Вернёмся к комплексным изображениям, которое для тока
i = Im sin (ωt + ψ i ) мы приняли в виде Im e j (ωt+ψ i ) = Im e jψi e jωt .
В линейной электрической цепи все напряжения и токи изменяются во времени с частотой источника ω, поэтому их комплексные
изображения будут содержать общий множитель e jωt . Этот множитель можно исключить из расчёта, оставив в виде изображений так
называемые комплексные амплитуды.
Im = Im e jψi ; Um = Um e jψu ; Em = Em e jψe , Jm = Jm e jψj .
Наконец, уменьшив модуль этих чисел в 2 раз, окончательно
получим комплексные действующие значения, которые для упрощения будем называть комплексным током I = Ie jψi , комплексным напряжением U = Ue jψn , комплексным ЭДС E = Ee jψe , комплексным током источника тока J = Je jψj .
Используя принятые комплексные изображения и учитывая
рассмотренные ранее свойства комплексных изображений, составим уравнения цепи в комплексной форме.
3.5. Уравнение цепи в комплексной форме
Оригиналы
i, u, e, j
Комплексные изображения
I, U, E, J
Источник напряжения (ИН)
I
i
e
E
u =e
U=E
Источник тока (ИТ)
i =j
J
I= J
j
u
U
39
Резистор (сопротивление) R
R
I, U
R
i, u
u=Ri,
i=Gu
U=RI
I=Gu
Индуктивность L
L
u,i
u=L
L
di
dt
I, U
U = jωLI
Ёмкость С
C
C
u, i
i=C
du
dt
I = jωÑU
Закон токов Киргофа (ЗТК)
åik = 0
åIk = 0
Закон напряжений Кирхгофа (ЗНК)
åuk = 0
åUk = 0
Обобщим полученные результаты.
Коэффициенты, стоящие при токах в правой части комплексных уравнений элементов, назовём комплексным сопротивлением
Z, а при напряжениях – комплексной проводимостью Y. Все уравнения элементов приобретают единую форму.
U = Z I, I = Y U.
Очевидно
Z=
1
1
,Y = .
Y
z
Составим таблицу сопротивлений и проводимости по элементам.
40
Элемент
Z
Y
R
ZR = R
YR = G
L
ZL = jωL
C
ZC =
1
jωC
YL =
1
jωL
YC = jωC
Эти выражения можно записать в более единообразном виде.
Элемент
Z
Y
R
ZR = R
YR = G
L
ZL = jXL
YL = -jBL
C
ZC = -jXC
YC = jBc
Здесь:
XL = ωL – индуктивное,
1
XÑ =
– ёмкостное
ωÑ
BL =
1
– индуктивная
ωÑ
BÑ = ωÑ – ёмкостная
}
реактивные сопротивления
}
реактивные проводимости
Все X измеряются в Ом, В – в См, традиционно (исторически) R и
G носят название активных, хотя никакого отношениях генерации
энергии они не имеют.
Итак, мы установили, что форма уравнений элементов для комплексных напряжений и токов U = Z I, I = Y U, а также уравнений
соединений åIk = 0, åUk = 0 совпадает с формой аналогичных
уравнений для резистивных цепей u = Ri, i = Gu, åik = 0, åuk = 0
Поэтому алгоритм всех методов, предназначенных для анализа
резистивных цепей, в полной мере применим для анализа цепей в
комплексных токах и напряжениях.
3.6. Метод преобразований.
Эквивалентные двухполюсники
Применение метода рассмотрим на примере преобразования
сложного двухполюсника с последовательным и параллельным соединением отдельных участков. В качестве такого двухполюсника
рассмотрим модель последовательного колебательного контура с
потерями, где резистор 1 учитывает тепловые потери в катушке и
потери на гистерезис и вихревые токи в сердечнике катушки, а резистор 2 учитывает потери от токов утечки через неидеальный диэлектрик конденсатора (рис. 3.3).
41
L
1
С
2
Рис. 3.3. Двухполюсник
Рассматривая структуру двухполюсника, отметим, что участки 1, L и 2C последовательны, поэтому складываем сопротивления
участков ZÂÕ = Z1 + ZL + Z2C .
В свою очередь участок 2C состоит из двух параллельных – 2 и C.
Здесь складываем проводимости Y2C = Y2 + YC .
Далее преобразуем
z2C =
G2 - jBc
1
1
1
=
=
=
=
Y2C Y2 + YC G2 + jBc (G2 + jBc )(G2 - jBc )
=
G2 - jBc
G22
+ Bc2
=
G2
2
G2 + Bc2
-j
BC
.
2
G2 + Bc2
Таким образом, мы двухполюсник 2С с параллельным соединением элементов 2 и C заменили эквивалентным последовательным
G
B
с сопротивлениями R2C = 2 2 2 и x2C = 2 c 2 (рис. 3.4).
G2 + Bc
G2 + Bc
Продолжая сложение, получим
ZÂÕ = Z1 + Z2 + Z2C =
= R1 + jXL + +R2C - jX2C = R1 + R2C + j ( XL - X2C ).
R2C
С
2
X2C
Рис. 3.4. Эквивалентное преобразование
42
Этой формуле соответствует новый двухполюсник, эквивалентный исходному, с сопротивлениями Râõ = R1 + R2C и
Xâõ = X1 - XZC и три возможные эквивалентные схемы (рис. 3.5).
Последняя схема соответствует режиму резонанса.
Xâõ > 0
Râõ
Râõ
Xâõ< 0
Râõ
Xâõ= 0
Рис 3.5. Эквивалентные двухполюсники
Подобным образом рассмотрим модель параллельного колебательного контура с потерями (рис. 3.6).
L
1
С
2
Рис. 3.6. Двухполюсник
Общая проводимость трёх параллельных участков 2, C и 1L равна YÂÕ = YZ + YC + Y1L .
Сопротивление последовательного участка 1L имеет вид
Z1L = Z1 + ZL .
43
Заменяем последний на эквивалентный параллельный с проводимостями (рис. 3.7).
1
1
1
=
=
=
Y1L =
Z1L Z1 + ZL R1 + jXL
R - jXL
R1
XL
= 1
=
-j
= G1L - jB1L .
2
2
2
2
2
R1 + XL R1 + XL
R1 + XL2
B1L
1
L
G1L
=
Рис. 3.7. Эквивалентное преобразование
Продолжая сложение, получим
YÂÕ = G2 + jBC + G1L - jB1L = G2 + G1L + j ( BC - B1L ) = Gâõ + jBâõ .
и три возможные схемы эквивалентного двухполюсника (рис. 3.8).
Gвх
Bвх>0
Gвх
Gвх
Bвх<0
Bвх = 0, режим резонанса
Рис. 3.8. Эквивалентные двухполюсники
44
3.7. Полное сопротивление, угол j
Входное сопротивление Zâõ = Râõ + jXâõ можно представить в
показательной форме
X
Zâõ = Zâõ e jjâõ , Zâõ = R 2âõ + X2âõ , jâõ = arctg âõ .
Râõ
С другой стороны
Zâõ =
Uâõ Uâõ e jψuâõ Uâõ j (ψuâõ -ψ iâõ )
=
=
e
.
Iâõ
Iâõ
Iâõ e jψ I âõ
Сопоставим оба выражения.
Полное сопротивление двухполюсника
U
Zâõ = R 2âõ + X2âõ = âõ
Iâõ
можно измерить, если измерить Uвх и Iвх. Угол сдвига фаз между
X
напряжением и током jâõ = ψuâõ - ψ iâõ = arctg âõ определяется
Râõ
только параметрами двухполюсника, входящими в Rвх и Хвх.
По аналогии поступим с проводимостями.
2
2
YÂÕ = Gâõ + jBâõ = YÂÕ e-jjâõ , YÂÕ = Gâõ + Bâõ , jâõ = -arctg
Bâõ
,
Gâõ
U
I
YÂÕ = âõ = âõ e-j (ψuâõ -jψ iâõ ) .
Iâõ Uâõ
Полная проводимость Yâõ =
Iâõ
1
также может быть изме=
Uâõ Zâõ
рена.
На основании таблицы комплексных сопротивлений и проводимостей можно составить таблицу полных сопротивлений, проводимостей и угла j для элементов цепи.
Элемент
Z
Y
j
R
ZR = R
YR = G
jR = 0
L
ZL = XL
YL = BL
C
ZC = XC
YC = Bc
π
2
π
jC = 2
jL =
45
3.8. Комплексная мощность
У двухполюсника с входным сопротивлением Zâõ = Râõ + jXâõ
( Xâõ ¹ 0) рассмотрим произведение
*
Uâõ I âõ = Uâõ e jψuâõ Iâõ e-jψ iâõ = Uâõ Iâõ e jjâõ =
2
2
2
= Zâõ e jjâõ Iâõ
= Zâõ Iâõ
= (Râõ + jXâõ ) Iâõ
= Pâõ + jQâõ = Sâõ
(Qâõ ¹ 0).
Назовём Sâõ комплексной мощностью.
Преобразуем Sâõ = Pâõ + jQâõ =
2
Pâõ
2
+ Qâõ
e
jarctg
Qâõ
Pâõ
.
2
2
+ Qâõ
Модуль Sâõ = Pâõ
назовём полной мощностью. Аргумент
Q
X
arctg âõ = arctg âõ = jâõ . Окончательно Sâõ = Sâõ e jjâõ .
Pâõ
Râõ
Опустим для упрощения записи индекс «вх» и рассмотрим варианты предложенных выражений.
Так как R = Z cos j, X = Z sin j, то P = IZ cos j = UI cos j = S cos j,
Q = I2 Z sin j = UI sin j = S sin j.
cosj часто называют коэффициентом мощности, он определяет условия передачи необходимой мощности P потребителю. Так, чтобы
при заданном напряжении U передать необходимую потребителю
мощность P, нужно определённое значение I cos j и чем меньше
cos j, тем большим значением тока I следует передавать мощность
P, что естественно увеличивает расходы на передачу энергии.
Наконец, если двухполюсник характеризуется входным проводимостями Y = G + jB, то
*
* *
*
S = U I = U U Y = Y U 2 = GU 2 - jBU 2 = P - jQ,
P = GU 2 = U 2Y cos j = UI cos j,
Q = BU 2 = U 2Y sin j = UI sin j,
B
S = P2 + Q2 = UI ,-j = arctg .
G
46
3.9. Примеры расчёта цепи в комплексных изображениях
Пример 1.
Исходная схема приведена на рис. 3.9.
L1
i
Задано:
i = 2 2 sin (1000t - 135°) A
R2
L0
C3
L0 = 4 мГн, L1 = 4 мГн,
R2 = 20 Ом, С3 = 100 мкФ.
Рис. 3.9. Двухполюсник
Расчётная схема для комплексных действующих значений построена на рис. 3.10.
Z1
I
I = 2e-j135° = - 2 - j 2 A,
Z0 = jωL0 = j1000·4·10-3 = j4 Îì,
Z0
Z2
Z3
Z1 = jωL1 = j1000·4·10-3 = j4 Îì,
,
Z2 = R2 = 20Îì
Z3 = -
j
1000·100·10-6
= -j10 Îì.
Рис. 3.10. Расчёт как схема двухполюсника
Сворачиваем схему на рис. 3.10 к зажимам источника тока I.
Участки 2 и 3 параллельны, поэтому складываем их проводимости.
1
1
=
= 0,05 ñì,
Z2 20
1
1
=
= j0,1 ñì,
Y3 =
Z3 -j10
Y23 = Y2 + Y3 = 0,05 + j0,1 ñì.
Y2 =
Участки 1 и 2, 3 последовательны. Складываем их сопротивления:
1
1
0,05 - j0,1
=
=
= 4 - j8 Îì,
Y23 0,05 + j0,1 0,052 + 0,12
Z1,2,3 = Z1 + Z23 = j4 + 4 - j8 = 4 - j4 Îì.
Z1 = j4 Îì и Z23 =
47
Наконец, проводимость параллельных участков 0 и 1, 2, 3:
Y0 =
Y1,2,3 =
1
1
= = -j0,25 ñì,
Z0 4 j
1
1
4 + j4
=
= 0,125 + j0,125,
=
Z1,2,3 4 - j4 42 + 42
образует входную проводимость
Yâõ = Y0 + Y1,2,3 = -j0,25 + 0,125 + j0,125 = 0,125 - j0,125.
В основе расчёта лежат соотношения
Um = Z Im , Im = Y Um .
Зададим на рис 3.10 направления токов и напряжений участков,
соответствующие направлению заданного тока I, и проведём расчёт в следующем порядке:
U0 =
Im
- 2-j 2
1+ j
=
= -8 2
=
1- j
Yâõ 0,125 - j0,125
= -8 2
(1 + j)2
= -4 2 (1 + 2j -1) = -j8 2B;
12 + 12
I0 = U0 Y0 = -j8 2 (-j0,25) = -2 2 A,
I1 = U0 Y1,2,3 = -j8 2 (0,125 + j0,125) = 2 - j 2 A;
U1 = I1 Z1 =
(
)
2 - j 2 j4 = 4 2 + j4 2 Â,
U2 = I1 Z23 =
(
)
2 - j 2 (4 - j8) =
= 4 2 - j8 2 - j4 2 --8 2 = -4 2 - j12 2 Â,
(
I3 = U2 Y3 = -(4
)
2 )( j0,1) = 1,2
I2 = U2Y2 = - 4 2 + j12 2 0,05 = -0,2 2 - j0,6 2 À,
2 + j12
2 - j0,4 2 À.
Построим векторные диаграммы, поместив полученные в расчёте комплексные I и U на комплексную плоскость (рис. 3.11) в виде
векторов, совокупность которых отображают закон токов Киргофа
(ЗТК):
I1 = I2 + I3 ,
I = I0 + I1.
48
и закон напряжений (ЗНК)
U0 = U1 + U2 .
Все три соотношения выполняются (рис 3.11), что свидетельствует о правильности расчёта.
Построим двухполюсник, эквивалентный исходному (см. рис.
3.9), для чего рассмотрим входную проводимость:
Yâõ = 0,125 - j0,125 .
Вещественная часть соответствует проводимости резистора
Gâõ = 0,125. Мнимая отрицательная часть соответствует индук1
тивной проводимости BLâõ =
откуда
ωLâõ
1
1
Lâõ =
=
= 8 ìÃí.
ωBLâõ 1000 * 0,125
Оба элемента соединены параллельно (рис. 3.12).
+j
U
1
–1
+1
0
I
I
I0
2Â
0, 2 2À
3
I2
I
1
U
0
–
j
U2
Рис. 3.11. Векторная диаграмма напряжений и токов
i
RBвx = 8 мГн
LBвx= 8 мГн
Рис. 3.12. Эквивалентный двухполюсник
49
Пример 2.
Исходная схема приведена на рис. 3.13.
L0
R1
u
L3
C2
Рис. 3.13. Двухполюсник
(
)
u = 20 2 sin 500t + 90 ; R1 = 10 Îì; L3 = 20 ìÃí;
C2 = 200 ìêÔ; L0 = 20 ìÃí.
Расчётная схема для комплексных амплитуд:

U = 20e j 90 = j20 Â;
Z1 = R1 = 10 Îì;
j
Z2 = = -j10 Îì;
ωC2 Z3 = jωL3 = Z0 = jωL0 = j10 Îì.
Входное сопротивление:
Zâõ = Z0 + Z1,2,3 ;
1
1
;
=
Y1,2,3 Y3 + Y1,2
Z1,2,3 =
Y1,2 =
Y1,2 =
1
1
1+ j
= 0,1
= 0,1
= 0,05 + j0,05 ñì;
10 - j10
1- j
2
Y3 =
50
1
1
;
=
Z1,2 Z1 + Z2
1
= -j0,1 ñì;
j10
Z1,2,3 =
1
1
=
= 10 + j10 (Îì);
-j0,1 + 0,05 + j0,05 0,05 - j0,05
Zâõ = j10 + 10 + j10 = 10 + j20 Îì;
Расчёт напряжений и токов
Зададим направление участков (рис. 3.14).
Z0
Z1
Z3
U
Z2
Рис. 3.14. Расчётная схема двухполюсника
I0 =
U
j 20
1 - j2
=
= j2
= 0,8 + j0,4 À
Zâõ 10 + j20
12 + 22
U0 = I0 Z0 = (0,8 + j0,4) j10 = -4 + j8 Â
U3 = I0 Z1,2,3 = (0,8 + j0,4)(10 + j10) = 8 + j4 + j8 - 4 = 4 + j12Â
I3 = U3 Y3 = (4 + j12(-j0,1) = 1,2j0,4 À
I1 = U3Y12 = (4 + j12)(0,05 + j0,05) =
= 0,2 + j0,2 + j0,6 - 0,6 = -0,4 + j0,8 À
U1 = I1 Z1 = (-0,4 + j0,8)10 = -4 + j8 Â
U2 = I1 Z2 = (-0,4 + j0,8)(-j10) = 8 + j4Â
51
+j
U0
U
U2
U3
U1
I0
–1
I1
+1
0
I3
0,4 А; 4 В
–
j
Рис. 3.15. Векторная диаграмма напряжений и токов
Векторная диаграмма (рис. 3.15) реализует ЗТК:
I3 + I1 = I0 и ЗНК:
U1 + U2 = U3 , U3 + U0 = U.
Законы Кирхгофа выполняются. Решение задачи найдено правильно.
Эквивалентный двухполюсник строится по найденному Zâõ = 10 + j20 Î
Zâõ = 10 + j20 Îì и состоит из последовательно соединённых резистора
20
Râõ = 10 Îì и индуктивности Lýêâ =
= 40 ìÃí (рис. 3.16).
500
R экв
L экв
Рис. 3.16. Эквивалентный двухполюсник
52
3.10. Задания к расчету цепи в комплексных изображениях
1.
2.
R0
L1
u( t)
R2
i( t)
C0
3.
4.
R0
5.
u( t) = 100sin(1000t + 90°) B,
R0 = 10 Îì, L1 = 30 ìÃí,
R2 = 20 Îì, Ñ3 = 50 ìêÔ.
Ñ3
i( t) = 2sin(1000t –45°) À,
Ñ0 = 200 ìêÔ, L1 = 10 ìÃí,
R2 = 10 Îì, Ñ3 = 100 ìêÔ.
L1
R2
Ñ1
u( t)
R2
i( t)
Ñ1
L0
Ñ3
R2
L3
u( t) = 160sin(800t –90°) B,
R0 = 8 Îì, Ñ1 = 52,1 ìêÔ,
R2 = 16 Îì, L3 = 20 ìÃí.
L3
i( t) = 1,5sin(800t + 45°) À,
L0 = 5 ìÃí, C1 = 156,3 ìêÔ,
R2 = 8 Îì, L3 = 10 ìÃí.
i( t)
R1
Ñ2
L3
R2
i( t) = 5sin(500t + 90°) À,
R0 = 40 Îì, R1 = 20 Îì,
C2 = 100 ìêÔ, L3 = 40 ìÃí.
53
6.
i( t)
R1
Ñ3
R0
L2
Ñ0
7.
R1
u( t)
L2
R1
u( t)
L2
u( t) = 60sin(400t –45°) B,
C3 L0 = 100 ìÃí, R1 = 20 Îì,
L2 = 50 ìÃí, C3 = 125 ìêÔ.
Ñ0
9.
u( t)
i( t)
C0
54
u( t) = 80sin(400t –90°) B,
C3 C0 = 62,5 ìêÔ, R1 = 40 Îì,
L2 = 100 ìÃí, C3 = 62,5 ìêÔ.
L0
8.
10.
i( t) = 4sin(500t –45°) À,
R0 = 20 Îì, R1 = 10 Îì,
L2 = 20 ìÃí, Ñ3 = 200 ìêÔ.
R1
C2
L3
u( t) = 150sin(600t + 90°) B,
C0 = 27,77 ìêÔ, R1 = 30 Îì,
C2 = 55,55 ìêÔ, L3 = 50 ìÃí.
L3
i( t) = 6sin(600t + 45°) À,
C0 = 129 ìêÔ, C1 = 139 ìêÔ,
R2 = 12 Îì, L3 = 20 ìÃí.
Ñ1
R2
3.11. Резонансы
Мы уже называли ранее резонансом режим двухполюсника с
разнородными элементами, входное комплексное сопротивление
каждого содержат только одну составляющую – резистивную.
(Zâõ = Râõ ). Понятно, что угол между напряжением и током на
входе в такой двухполюсник равен нулю (jâõ = 0). С другой стороны, реактивная составляющая комплексного сопротивления (проводимости) также равна нулю (Xâõ = 0 èëè Ââõ = 0). Последние
условия часто служат для поиска величины, изменением которой
двухполюсник настраивается в резонанс, так называемой резонансной величины.
Рассмотрим простейший пример – последовательное соединение
R, L и C.
R
L
C
Рис. 3.17. Последовательный контур
Zâõ = ZR + ZL + ZC = R + jXL – jXC =
= R + j(XL - XC ) = R + j(ωL -
Râõ = R, Xâõ = ωL -
1
);
ωC
1
= 0.
ωC
1
1
Последнее условие можно выполнить при L0 =
, C0 =
,
2
ω C
ω2 L
1
ω0 =
, где индексом «0» обозначена соответствующая резоLC
нансная величина. Наиболее распространённым способом достижения резонанса является изменение частоты до значения ω0. Отсюда
возникает необходимость изучения свойств цепи при изменении
частоты. Математическим выражением этих свойств являются ча55
стотные характеристики, т. е. зависимости сопротивлений, проводимостей и угла от частоты.
Построим эти характеристики в виде качественных зависимостей.
R
X
Z
XL
XC
Xвх
Zвх
R вх= R
ω0
ω
– XC
π
2
ϕ вх
2
ω0
–
π
2
Рис. 3.18. Частотные характеристики
56
ω
Râõ (ω) = R (ω) = const,
XL (ω) = ωL,
1
,
ωC
Xâõ (ω) = XL - XC ,
XC (ω) =
2
Zâõ (ω) = R 2 + Xâõ
,
Xâõ0 = 0 ,
Zâõ0 = Zmin = R,
XC0 = XL0 = ω0 L =
jâõ (ω) = arctg
L
LC
=
L
=ρ - âîëíîâîå ñîïðîòèâëåíèå.
C
Xâõ
.
Râõ
Зная характеристики, легко построить зависимости напряжений и тока I от частоты (это не характеристика). Так, если на
рассматриваемую цепь подать ток с неизменной амплитудой
(I (ω) = const), то зависимости напряжений от частоты будут подобны частотным характеристикам.
I (ω) = const; UR = RI; UL = XL I; UC = XC I; UX = XI > 0;
U = zI; U0 = Umin = UR = RI; UL0 = UC0 = XL0 I =
ρU0
= QU0 .
R
Q называется добротностью. Это отношение напряжения на реактивном элементе при резонансе к напряжению на входе.
U
UL
UX
U
UC
UR
I
ω
ω0
Рис. 3.19. Зависимости напряжений и тока от частоты
57
Совсем по-другому выглядят эти зависимости при фиксированной амплитуде входного напряжения.
Зависимости строим качественно по трём точкам:
U
I (ω) =
;
Z (ω)
ω ® 0, I ® ¥, I ® 0; ω = ω0 , Z0 = Zmin = R, I0 =
Z ® ¥, I ® 0.
U
= Imax ; ω ® ¥;
R
U
R = U;
R
UL (ω) = ωLI (ω)ω ® 0, ωL ® 0, I ® 0, UL ® 0; ω = ω0 ;
UR = I (ω)R, UR 0 = I0 R =
UL0 = ω0 LI0 = ρ
2
æ
U
U
1 ö÷
= Qv, ω ® ¥, I = , Z = R 2 + ççωL ÷ ;
çè
R
Z
ωC ø÷
1
R = const, ® 0, Z ® ωL, UL ® U.
ωC
1
, имеющая максимум при ω , ум0
Z
ножается на возрастающую функцию ωL. Аналогичными рассуждениями установим
1
U (ω) =
I (ω); ω ® 0; UC ® U; ω = ω0 ;
ωC
UC0 = QU; ω ® ¥; UC ® 0; ωC < ω0 .
ωL > ω0 , так как функция
I0
I
ULO = UCO
UC
UL
UR0
U
UR
ωC
ω0
ωL
ω
Рис. 3.20. Зависимости напряжений и тока от частоты
58
Итак, в обоих случаях реактивные напряжения UL è UC при
резонансной частоте компенсируют друг друга и каждое из них в Q
раз превышает входное напряжение. Часто резонанс при последовательном соединении участка L и участка C называют резонансом
напряжений.
Признаком резонанса напряжений служит максимум входного тока при фиксированном входном напряжении U или минимум
входного напряжения при фиксированном токе I.
Усложним пример, рассмотрев уже знакомый ранее последовательный контур с потерями (рис. 3.21).
Ir
L
1
C
Uвх
Ic
I2
Рис. 3.21. Последовательный контур с потерями
R = 4 Îì, L = 4 ìÃí, R2 = 20 Îì, C = 100 ìêÔ;
Z âõ = Z1 + Z2 + Z2C = Z1 + Z L +
1
1
,
= Z1 + Z2 +
Y 2C
Y2 + Y3
при произвольной частоте
Z âõ = R1 + jωL +
G - jωC
1
= R1 + jωL + 22 2 2 =
G2 + jωC
G2 + ω C
æ
ö÷
G
ωC
ç
÷÷
= R1 + 2 2 2 2 + j ççωL - 2
çè
G2 + ω C
G2 + ω2C2 ÷÷ø
Râõ = R1 +
Xâõ = ωL -
G2
2
G2 + ω2C2
ωC
G22 + ω2 C2
59
При резонансе реактивное сопротивление исчезает (Xâõ = 0), откуда и находится резонансная частота
ω0 =
C - LG22
LC2
.
Простейший анализ показывает, что резонанс имеет место только при C > LG22 , потери в катушке R1 не влияют на резонансную
частоту, тогда как увеличение потерь в конденсаторе G2 эту частоту
уменьшает. Кстати уменьшение потерь G2 до нуля приводит нас к
предыдущему примеру с резонансной частотой ω0 =
1
LC
. При за-
данных параметрах L = 4 ìÃí, R2 = 20 Îì, C = 100 ìêÔ
ω0 =
100·10-6 - 4·10-3 ·25·10-4
4·10-3 ·104 ·10-12
= 1500 1 ñ
построим частотные характеристики:
R1 (ω), R2c (ω), x2 (ω), x2c (ω), Râõ (ω), xâõ (ω), jâõ (ω);
ïìï R1 (ω) = 4 = const,
ï
G
Râõ = R1 + R2c ïí
ïïR2c (ω) = 2 2 2 2 ;
ïïî
G2 + ω C
ìï
x1 (ω) = ωL,
ïï
ï
xâõ = xL - x2c í
ωC
;
ïïx2c (ω) = 2
ïïî
G2 + ω2 C2
x
jâõ = arctg âõ .
Râõ
Целесообразно рассмотреть следующие точки:
ω = 0, R2c =
1
= R2 = 20 Îì, x2 = x2c = 0, Râõ = 24, xâõ = 0, jâõ = 0;
G2
ω = ω0 , R2c = 2 Îì, x2 = x2c = 6 Îì, Râõ = 6 Îì, xâõ = 0, jâõ = 0;
π
ω ® ¥, Râõ ® 0, x2 ® ¥, x2c ® 0, Râõ ® 4 Îì, xâõ ® x2 ® ¥, jâõ ® .
2
60
S
, где
a2 + S 2
S = ωC, a == G2 . Эта функция, как известно, имеет максимум при
Функцию x2c (ω) можно привести к виду X (S) =
Smax = a, ðàâíûé Xmax =
G
1
, ω = ωmax = 2 = 500 1 , x2 = 2 Îì, c
2a
C
x2c = 10 Îì, R2c = 10 Îì, Râõ = 14, Râõ = -8 Îì, jâõ = -29,74
Построим по этим точкам графики (рис. 3.22).
R, X, Ом
R вх
14
12
R2C
X1
10
Xвх =X1 –X2C
8
6
R1
4
X2C
2
500
1000
1500
2000
2500
2000
2500
ω,
1
C
ω,
1
C
ϕвх
π
2
π
3
π
6
π
–
2
500
1000
1500
Рис. 3.22. Частотные характеристики
61
Оценим взаимное расположение векторов напряжений и токов,
построив качественную векторную диаграмму при резонансе, в которой соблюдается только фазные сдвиги (рис. 3.23).
Начнём с вектора I2, который зададим произвольно на оси вещественных чисел. Напряжение на резисторе U2 совпадает с I2 по
π
фазе. Так в ёмкости Ic опережает Uc = U2 на угол . Ток I1 опреде2
ляется по ЗТК как I1 = I2 + Ic (сумма векторная). Напряжение на
резисторе U1 cовпадает параллельно с током I1, а напряжение на
π
индуктивности U2 опережает I1, на угол . Откладывая эти векто2
ры последовательно с вектором U2, реализуем ЗНК для получения
U âõ U âõ = U 2 + U1 + U L .
При этом длина последнего в цепочке вектора UL выбирается
такой, чтобы суммарный вектор Uвх совпадал по фазе с входным
током I1 и тем самым выполнялось условие резонанса jвх = 0. Построим проекции вектора U2 на направление вектора I1: активную
U2a, совпадающую с направлением I1 и реактивную U2р, этому направлению перпендикулярную. Их можно трактовать как напряжения на элементах эквивалентного двухполюсника: U2а на R2c,
U2р на X2c (рис. 3.24).
Uвх
+j
IC
UL
I1
U1
I
–1
0
2
+1
U2
–j
U 2a
U 2p
Рис. 3.23. Векторная диаграмма напряжений и токов
62
R 2c
I1
I1
Gc
X2c
G2
Рис. 3.24. Эквивалентное преобразование
Как в случае последовательного соединения R, L, C здесь резонанс напряжений характеризуется компенсацией напряжения U2
и реактивной составляющей U2р = U2c напряжения U2.
В качестве следующего примера рассмотрим параллельный контур, в котором участки 1L, 2 и C соединены параллельно (рис. 3.25).
L
1
C
2
Рис. 3.25. Параллельный контур с потерями
1
1
+ Yc + Y2 =
+ jωC + G2 = Z1L
R1 + jωL
R - jωL
R1
ωL
= 1
+ jωC + G2 =
+ G2 + j(ωC ;
2
2 2
2
2 2
2
R1 + ω L
R1 + ω L
R1 + ω2 L2
Yâõ = Y1L + Yc + Y2 =
Gâõ =
R1
2
R1 + ω2 L2
Bâõ = ωC -
+ G2 = G1L + G2 ;
ωL
R12 + ω2 L2
= Bc - B1L .
63
При резонансе
Bâõ = ωC -
ωL
R12 + ω2 L2
= 0,
откуда резонансная частота
ω0 =
L - CR12
CL2
.
Понятно, что резонанс возможен только при L > CR12 , потери в
конденсаторе G2 на ω0 не влияют, а уменьшение потерь в катушке
1
R1 увеличивает w0 до ω0max =
ïðè R1 = 0.
LC
Построим частотные характеристики проводимостей и угла jâõ
в общем виде (рис. 3.26).
G, В
Gвх
G1L
BC
Bвх
G2
B1L
ω max
ω0
ω
ϕвх
π
2
ω
–
π
2
Рис. 3.26. Частотные характеристики
64
G2 (ω) = const;
G1L (ω) =
R1
,
2
R1 + ω2 L2
ω = 0 G12 =
1
, ω ® ¥ G12 ® 0, Gâõ = G2 + G1L ;
R1
BC (ω) = ωC, ω = 0 BC = 0, ω ® ¥ BC ® ¥;
B1L =
ωL
R12 + ω2 L2
, ω = 0, B1L = 0, ω ® ¥ B1L = 0, B1L = B1Lmax ;
при ω2 L2 = R 2 , ωmax =
R1
1
, B1Lmax =
;
2R1
L
B
Bâõ = Bc - B1L , jâõ = -arctg âõ .
Gâõ
Построим качественную векторную диаграмму при резонансе,
задав для начала ток I1 на оси вещественных чисел (рис. 3.27). Наπ
пряжение U1 совпадает с I1, по фазе. UL опережает I1 на .
2
+j
Uвх
UL
IC
I вх
I2
+1
–1
0
I1
I 1а
U1
I 1р
–j
Рис. 3.27. Векторная диаграмма токов и напряжений
65
Uвх = U2 = Uс = U1 + UL.
π
I2 совпадает с Uвх, а Ic опережает Uвх на . Длина Iс выбирается
2
такой, чтобы векторная сумма Iвх = I1 + I2 + Iс совпадала по фазе с
Uвх и тем самым выполнялось условие резонанса.
Составляющие тока I1, активную I1а и реактивную I1р можно
рассматривать как токи в параллельном двухполюснике, эквивалентном последовательному участку 1L (рис. 3.28).
X1L
I1
R1
I1p
XL
I1
G1L
I 1a
Рис. 3.28. Эквивалентное преобразование
Очевидно, при резонансе емкостный ток Iс компенсируется индуктивной составляющей I1р тока I1, поэтому резонанс при параллельном соединении индуктивного и емкостного участков можно
называть резонансом токов.
Вернёмся к частотным характеристикам. Модуль Yвх, который
мы ранее называли полной входной проводимостью Yвх при резонансе
2
2
2
Yâõ0 = Gâõ0
+ Bâõ0
= Gâõ0
= Gâõ0 = Yâõmin .
Отсюда следует, что при фиксированном входном токе Iâõ (ω) = const,
Iâõ (ω) = const.
Uâõ0 =
Iâõ
Iâõ
=
= Uâõmax ,
Yâõ0 Yâõmin
а при фиксированном входном напряжении Uâõ (ω) = const,
Iâõ0 = Yâõ0Uâõ = YâõminUâõ = Iâõmin .
Эти экстремальные значения и служат признаком резонанса
токов.
66
3.12. Передаточные функции
Если в цепи выделить два полюса, с которых снимается какойлибо сигнал, и назвать это место выходом, а место, где сигнал поступает в цепь (полюса источника), было ранее уже названо входом,
âûõîäíîé ñèãíàë
рассматриваемое как функция чато отношение
âõîäíîé ñèãíàë
стоты, назовём передаточной функцией H (ω) или H ( jω) . Эти обозначения эквивалентны. Комплексную передаточную функцию
можно представить в виде
H (ω) = H(ω)e jj(ω) ,
где H (ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); j(ω) –
фазо-частотная характеристика (ФЧХ).
В зависимости от вида выходного и входного сигналов различают:
U
(ω)
HU ( jω) = âûõ
– передаточная функция по напряжению,
Uâõ (ω)
I
(ω)
HI ( jω) = âûõ
– передаточная функция по току,
Iâõ (ω)
U
(ω)
– передаточное сопротивление,
HZ ( jω) = âûõ
Iâõ (ω)
I
(ω)
– передаточная проводимость.
HY ( jω) = âûõ
Uâõ (ω)
Изучение поведения передаточных функций некоторых цепей
позволяет оценить полезные свойства этих цепей, пригодные для
их практического использования.
Покажем это на простом примере передаточной функции по напряжению последовательного контура без потерь, у которого выход
организован на полюсах емкостного элемента. К выходу подключена нагрузка в виде резистора Rн (рис. 3.29).
L
Uвх
I вх
C
Rн
Uвых
Рис. 3.29. Последовательный контур с нагрузкой
67
U
Z í
ZCí
IIâõ
Z
âûõ =
âõ ZC
Cí
H
=
( jω) = Uâûõ
HU
= I (Z
= Z +CíZ =
=
U ( jω) = U
)
Z
+
Uâõ
Iâõ
ZL
L + ZC
Cí
L + ZC
Cí
âõ
âõ (ZL
í)
í
1
1
Y
Y
+
1
C
Y
+
1
C Yí
í
=
=
=
=
=
=
1
Z
Y
Y
+
1
(
)) +
1
L
C
í
Z
Y
Y
+
+
1
(
Z
+
L
C
í
ZL
+
L
Y
C+
YC
Yíí
+Y
1
1
1
1
=
=
= jωL jωC + G + 1 =
=
=
2
(
)
2 LC + jωLGí
ω
jωL( jωC + Gíí ) + 1 1
1 - ω LC + jωLGí
(
=
=
)
ωLG
1
1
-jjarctg
arctg ωLGí
í
ee2
2
2
2 LC
ω
1
2 LC)2
2 + ω2
2 L2
2 Gí
2
ω
((1
ω
LC
1
1 - ω LC) + ω L G
í
À×Õ ® HU (ω) =
1
(1 - ω2 LC)2 + ω2 L2 Gí2
Ô×Õ ® jU (ω) = e-jarctg
ωLGí
1 - ω2 LC
,
.
Построим модуль передаточной функции HU (ω) как функцию
частоты по следующим значениям ω:
ω = 0, HU = 1;
ω ® ¥, HU ® 0;
(1- ω2LC) = 0, ω¢ =
1
LC
= ω0 , HU =
1
L 2
Gí
C
=
1
ρ2Gí2
=
R
1
= í.
ρGí
ρ
Нетрудно заметить, что рассматриваемая цепь при условии
Rí = ρ пропускает через себя сигналы с практически неизменной
амплитудой напряжения в диапазоне частот 0 ¸ ω0 , т. е. может быть
использована в качестве фильтра нижних (ниже ω0) частот (ФНЧ).
Поменяв местами индуктивность и емкость и проделав аналогичные выкладки, получим фильтр верхних (выше ω0) частот
(ФВЧ), пропускающий сигналы с практически неизменной амплитудой напряжения в диапазоне частот ω0 ¸ ¥ (рис. 3.31).
Соединяя оба фильтра цепочкой получим ещё два вида фильтров: полосовой и заграждающий.
68
Rн
>1
ρ
HU
Rн
ρ =1
1
Rн
<1
ρ
ω
ω0
Рис. 3.30. Модуль передаточной функции по напряжению
С
HU
L
U вх
Rн Uвых
1
ω
ω0
Рис. 3.31. Фильтр верхних частот
HU
1
ω 0 ФВЧ
полоса
пропускания
ω 0 ФНЧ
ω
ω 0 ФНЧ
ω
HU
1
ω 0 ФВЧ
полоса
задержания
Рис. 3.32. Передаточная функция полосового (а)
и заграждающего (б) фильтров
69
3.13. Цепи со взаимной индукцией
Это электромагнитные модели устройств, отдельные части которых связаны общими магнитными потоками. Такими частями
устройств являются катушки или обмотки, однако ими могут быть
отдельные проводники или даже детали конструкции. Чтобы понять механизм явления представим себе две рядом расположенные
катушки 1 и 2 (рис. 3.33). Если в катушке 1 протекает переменный
во времени ток i1, то он наводят переменный магнитный поток
Ô1 = Ô S1 + Ô M1.
Часть этого потока ФM1 сцеплена с катушкой 2. Изменяясь во
времени поток ФM1 наводит в n2 витках катушки 2 ЭДС взаимоинdÔ M1n2
дукции e2M = ; которое можно измерить на разомкнутых
dt
полюсах катушки в виде напряжения u2M = -e2M . Потокосцепление взаимной индукции катушки 2 n2ФM1 пропорционально вызвавшему его току i1 с коэффициентом M12, который называется
di
взаимной индуктивностью. Теперь напряжение u2M = M12 1 ,
dt
что аналогично выражению для индуктивного напряжения
di
uL1 = L1 1 , приложенного к катушке 1 и наводимого магнитным
dt
потоком Ф1. Коэффициент L1, названный ранее индуктивностью,
связывает ток i1 и созданное им потокосцепление катушки 1 n1Ф1.
Ограничиваясь рассмотрением гармонического режима и переходя к комплексным изображениям, для обоих напряжений получим
UL1 = jωL1 I1 , U2M = jωM12 I1
ФM1
1
i1
ФS1
2
U2M
Рис. 3.33. Схема магнитного взаимодействия катушек
70
или
UL1 = jXL1 I1 , U2M = jX12 I1.
или
UL1 = ZL1 I1, U2M = Z12 I1.
Поменяв катушки местами, запишем
U1M = jωM21 I2 = jX21 I2 = Z21 IZ .
Без доказательства примем
M12 = M21, X12 = X21, Z12 = Z21.
Перенесём рассматриваемую ситуацию в цепь, заменив катушки индуктивностями и не учитывая для упрощения потери в катушках (рис. 3.34).
Разберёмся с направлениями напряжений. В начале курса было
принято у всех пассивных элементов (R, L, C) считать направления
напряжения и тока совпадающими и обозначать это направление
одной стрелкой. Для определения направлений напряжений взаимной индукции используется система маркированных полюсов,
которые часто называются одноимёнными. Правило направлений
напряжений формулируется так: ток в одной индуктивности и созданное им напряжение взаимной индукции в другой индуктивности относительно маркированных (одноимённых) полюсов направлены одинаково. Так, на наших рисунках I1 и созданное им напряжение U2M. направлены из маркированного полюса в элемент, а I2
и U1M – из элемента в маркированный полюс.
∗
L1
UL1 = jωL1I1
∗
L1
U1M = jωM12 I2
I1
∗
M12
L2
U2M = jωM12 I1
∗
M12
L2
I1
UL2 = jωL2 I2
Рис. 3.34. Определение направления напряжения взаимной индукции
71
В учебных задачах полюсы обычно маркируются произвольно.
При исследовании реальных устройств маркировку можно провести несколькими простыми способами.
Один из таких способов следует из рис. 3.35. Если измерить напряжение каждой из катушек и если окажется, что напряжение на
I1
U L1− UM2
L1
∗
UL1
L2
U M2
∗
Рис. 3.35. Маркировка полюсов
несоединённых полюсах катушек равно разности их напряжений,
то можно промаркировать соединённые полюса катушек, так как
они являются одноимёнными. Впрочем, понятно, что таковыми
могут считаться и противоположные полюса.
Теперь когда направления напряжений взаимной индукции
определены, вступает в силу уже известное правило знаков: в уравнениях ЗНК напряжения, совпадающие по направлению с направлением контура, положительны.
Покажем пример составления уравнений для цепи со взаимной
индукцией (рис. 3.36).
1. Выбираем ветви, нумеруя их.
2. Обозначаем узлы.
3. Строим граф и выбираем дерево графа, переносим направления ветвей, маркировку полюсов и магнитные связи.
4. Главные контуры: 1,6,2,–5; 3,5,–6; 4,–2,5.
Главные сечения: 2,4,–1; 5,1,–3,–4; 6,3,–1.
Гл.с. 2 I2 + I4 - I1 = 0;
Гл.с. 5 I5 + I1 - I3 - I4 = 0;
Гл.с. 6 I6 + I3 - I1 = 0;
Гл.к. I1 Z1 + I6 Z6 + I2 Z2 - I5 Z5 + I3 Z36 - I4 Z42 = E1 - E5 ;
72
Гл.к. 3 I3 Z3 + I5 Z5 - I6 Z6 - I3 Z36 + I6 Z63 = E5 ;
Гл.к. 4 I4 Z4 - I2 Z2 + I5 Z5 + I4 Z42 - I2 Z24 = E5 ;
где
j
1
Z1 = R1, Z2 = jω L2 , Z3 = jω L3 , Z4 = jωL4 - j
, Z5 = ,
ω C4
ω C5
Z6 = R6 + jω L6 , Z24 = Z42 = jω M24 , Z36 = Z63 = jω M36 .
Если уравнения решены и токи определены, то напряжения ветвей можно получить из уравнений ветвей
U1 = Z1 I1 - E1,
U2 = Z2 I2 - Z42 I4 ,
U3 = Z3 I3 + Z63 I6 ,
U4 = Z4 I4 - Z24 I2 ,
U5 = Z5 I5 - E5 ,
U6 = Z6 I6 + Z36 I3 .
1
a
1
∗
∗
b
I4 Z42
Z
5
4
∗
I
c
6
I 6 Z36 5
6
d
4
∗
I3 Z
1
∗
a
2
3
b
5
4
∗ d
E5
E1
∗
c
∗
6
Рис. 3.36. Цепь со взаимной индукцией и её граф
73
Из последних выражений становится понятным, что выразить
каждый ток через напряжения ветвей весьма затруднительно. Это
препятствует применению методов напряжений для анализа цепей
со взаимной индукцией.
74
4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ
В КОМПЛЕКСНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Мы уже знаем, что алгоритмы общих методов в комплексной
форме и для резистивных цепей совпадают. Поэтому приведённые
далее примеры служат цели не только повторения материала, но и
показывают рекомендуемый порядок входа в задачу с комплексными изображениями и выхода из неё.
Пример 1
Задано:
e¢
1
2
10
e
b
a
4
6
d
10
10
3
20
4
j
20
5
10
5
e = 10 2 sin(ωt - 90°),
j = 2 sin (ωt + 90°),
e ¢ = 20 2 sin(ωt + 45°),
à òàêæå âñå R, XL è XC .
c
1
b
2
a
6
d
4
5
3
c
Рис. 4.1. Электрическая цепь и её граф
75
1. Нумеруем ветви (цифра в кружке).
2. Обозначаем узлы.
3. Строим граф, направляем его ветви.
4. Переводим заданные величины в комплексную форму.
E1 = E ¢ = 20e-j 45° , J4 = 1e j 90° = j, E6 = E = 10e-j 90° = -10 j.
Z1 = -jXC = -j20, Z2 = + jXL2 = j10,
Z3 = R3 = 10, Z4 = R4 + jXL4 = 10 + j10,
1
1
1
=
=
=
Z5 =
1
1
1
1
YR 5 + YC5
+
+j
20
R5 -jXC5 20
20 1 - j
1- j
=
×
= 20
= 10 - j10.
2
1 + j 1- j
1 + 12
5. Выбираем метод.
Число ветвей nв = 6, число узлов nу = 4, число ветвей дерева
nд = nу – 1 = 3, число связей nc = nв–nд = 3, число главных контуров
и уравнений токов связей nт.с = nc = 3, число уравнений узловых
напряжений nу.н = nу – 1 = 3.
Но имеется вырожденная ветвь (с идеальным источником e6) и,
если выбрать узел d за опорный, то уравнение для узла b не составляется, так как Ub0 = -E6 .
Выбираем метод узловых напряжений.
6. Составляем узловые уравнения.
ì
ï
Uà0 (Y1 + Y2 + Y3 ) - Ub0 Y2 - Uñ0 Y3 = -Y1 E1,
ï
ï
ï
íUb0 = -E6 ,
ï
ï
ï
ï
îUñ0 (Y3 + Y4 + Y5 ) - Uà0 Y3 - Ub0 Y4 = -J4
1
, ê = 1, 2, 3, 4, 5.
Zê
7. Решение системы и определение Uà0 , Ub0 ,Uñ0 .
8. Определим напряжение ветвей, для чего на графе зададим их
направления.
ãäå Yê =
U1 = Uà0 , U2 = Uàb = Uà0 - Ub0 , U3 = Uñà = Uñ0 - Uà0 ,
U4 = Uñb = Uñ0 - Ub0 , U5 = U0ñ = -Uñ0 , U6 = U0b = -Ub0 = E6 .
9. Определим токи ветвей.
76
I1 = U1Y1 + E1Y1, I2 = U2Y2 , I3 = U3Y3 ,
I4 = U4 Y4 + J4 , I5 = U5Y5 , I6 = I1 - I5 .
10. Переведём решение в гармоническую форму. Иногда требуется от решения вида I = Ie jψi , U = Ue jju , перейти к гармоническим функциям i = I 2 sin (ωt + ψ i ), u = U 2 sin (ωt + ψu ) Амплитуда I 2, 2 и начальные фазы ψ i и ψu берутся из решений, записанных в показательной форме, а ω и вид функции (sin и cos) – из
заданных в начале задачи гармонических источников.
Пример 2
Задано:
j
e
a
6
10
5
20
20
c
4
5
20
j¢
1
b
1
1
2
10
3
20
j = 2 2 sin ωt,
2
j ¢ = 4 2 sin (ωt - 90°),
10
e = 20 2 sin (ωt + 45°),
d
à òàêæå âñå R, XL è XC .
d
2
6
5
a
4
b
d
2
1
3
c
5
3
Рис. 4.2. Электрическая цепь и её граф
77
1. Нумеруем ветви.
2. Обозначим узлы.
3. Строим граф, направляем его ветви.
4. Переводим заданные величины в комплексную форму.
J6 = 2e j 0° = 2, J4 = 4e-j 90° = -4 j, E5 = 20e j 45° = 10 2 (1 + j),
1
1
1
20 1 - j
Z1 =
=
=
=
×
= 10 - j10,
1
1
1
1
YR1 + YC1
1 + j 1- j
+
+j
R1 -jXC1 20
20
Z2 = R2 + jXL2 = 10 + j10, Z3 = jXL3 = j20, Z4 = -jXñ4 = -j20,
Z5 = R5 = 10.
5. Выбираем метод.
Число ветвей nв = 6, число узлов nу = 4, число ветвей дерева nд
= nу – 1 = 3, число связей nс = nв – nд = 3, число главных контуров
nг.к = nc = 3.
Но в цепи имеется вырожденная ветвь 6 с идеальным источником тока, ток которой I6 = 6 , поэтому выбираем метод токов связей, так как уравнение для контура 6 не составляется.
6. Выбираем дерево графа, составляем таблицу главных контуров.
6, – 3, 2, –5
4, – 2, 3
1, 5, – 2
7. Составляем уравнение токов связей для контуров 4 и 1.
ì
ï
I6 = J6 ,
ï
ï
ï I ( Z + Z + Z ) - I ( Z + Z ) + I Z = 0,
í 4 4
2
3
6 2
3
1 2
ï
ï
ï
ïî I1 ( Z1 + Z5 + Z2 ) - I6 ( Z5 + Z2 ) + I4 Z2 = J1 Z1 - E5 .
8. Решение системы и определение I6 , I4 , I1.
9. Вернемся к графу и составим таблицу главных сечений.
5, 6, –1
2, 1, 4, –6
3, 6, –4
10. Определим токи дерева.
I5 + I6 - I1 = 0, I5 = I1 - I6 ,
I2 + I1 + I4 - I6 = 0, I2 = I6 - I1 - I4 ,
I3 + I6 - I4 = 0, I3 = I4 - I6 .
78
11. Определим напряжения ветвей.
U1 = Z1 I1 - Z1 J1,
U2 = Z2 I2 ,
U3 = Z3 I3 ,
U4 = Z4 I4 ,
U5 = Z5 I5 + E5 ,
U6 = U3 - U2 + U5 .
12. Переведем решения в гармоническую форму (см. п. 10 примера 1).
79
Задания к общим методам
в комплексных изображениях
1.
20
e
j¢
10
20
e = 10 2sin(ωt + 90 );
20
20
10
j ¢ = 2sin(ωt - 45 ).
20
20
j = 2 2 sin ωt;
j
2.
e
10
10
e ¢ = 20 2sin(ωt + 90 );
10
20
e¢
e = 20 2 sin ωt;
20
20
j
20
j = 2 2sin(ωt - 45 ).
3.
10
j
20
10
j¢
40
20
e
e = 20 2sin(ωt + 45 );
j ¢ = 4 2sin(ωt -180 );
j = 4 2sin(ωt + 90 ).
40
40
80
4.
20
20
j = 2 sin ωt;
e¢
10
10
e = 20 2sin(ωt - 90 );
e ¢ = 10 2sin(ωt + 90 ).
j
20
20
10
e
5.
j
20
40
20
20
j ¢ = 2 2 sin ωt;
e
j¢
20
j = 2sin(ωt -180 );
e = 40 2sin(ωt - 90 ).
20
20
6.
e¢
e ¢ = 20 2sin(ωt - 90 );
20
10
10
10
e
e = 20 2sin(ωt + 45 );
j = 2 2 sin ωt.
j
10
10
10
81
7.
10
j¢
10
20
20
10
20
e = 20 2sin(ωt + 90 );
j ¢ = 2 2sin(ωt - 45 );
j = 2 sin ωt.
j
e
10
8.
10
10
e¢
10
10
j
20
e ¢ = 20 2 sin ωt;
e = 40 2sin(ωt - 90 );
j = 2sin(ωt + 90 ).
20
e
20
20
9.
j = 2 2 sin ωt;
5
j
10
10
10
e
10
20
82
5
j¢
j ¢ = 2sin(ωt - 90 );
e = 10 2sin(ωt + 45 ).
10.
20
e
40
j = 2sin(ωt + 90 );
20
e¢
40
j
20
40
e ¢ = 20 2 sin ωt;
e = 10 2sin(ωt + 45 ).
20
83
Рекомендуемая литература
1. Демирчян К. С. и др. Теоретические основы электротехники:
учебник: в 3 т. Т. 1. СПб., ПИТЕР, 2006. 463 с.
2. Кузовкин В. А. Теоретическая электротехника: учебник. М.:
Университетская книга, 2005: Логос, 2006. 480 с.
3. Иванов И. И., Соловьев Г. И., Равдоник В. С. Электротехника:
учебник. СПб.: Лань, 2006. 496 с.
4. Колесников В. В. Основы теории цепей. Установившиеся режимы: тест лекций. СПб.: ГУАП, 2006. 100 с.
84
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .....................................................................
1. Основные понятия теории линейных электрических цепей
с сосредоточенными параметрами........................................
2. Анализ линейных резистивных цепей...............................
2.1. Понятие об анализе. Ветви........................................
2.2. Метод преобразований линейных резистивных цепей...
2.3. Метод наложения. ...................................................
Задания к методу преобразований........................................
2.4. Общие методы анализа линейных резистивных цепей...
2.4.1. Уравнения токов ветвей.....................................
2.4.2. Уравнения токов связей.....................................
2.4.3. Учет вырожденных ветвей в уравнениях токов......
2.4.4. Уравнения узловых напряжений.........................
2.4.5. Анализ цепей в постоянном режиме.....................
2.4.6. Зависимые источники и их учет в уравнениях
цепи.........................................................................
2.5. Передача энергии в резистивной цепи.........................
Задания к общим методам...................................................
3. Линейная цепь в гармоническом режиме...........................
3.1. Гармонические величины, основные понятия..............
3.2. Мощность...............................................................
3.3. Уравнение цепи в гармоническом режиме...................
3.4. Комплексные изображения гармонических величин.....
3.5. Уравнение цепи в комплексной форме........................
3.6. Метод преобразований. Эквивалентные двухполюсники............................................................................
3.7. Полное сопротивление, угол j....................................
3.8. Комплексная мощность............................................
3.9. Примеры расчёта цепи в комплексных изображениях...
3.10. Задания к расчету цепи в комплексных
изображениях...............................................................
3.11. Резонансы.............................................................
3.12. Передаточные функции..........................................
3.13. Цепи со взаимной индукцией...................................
4. Общие методы в комплексных изображениях.....................
Задания к общим методам в комплексных изображениях........
Рекомендуемая литература.................................................
3
4
10
10
12
16
16
17
19
21
22
23
25
26
29
32
33
33
34
35
37
39
41
45
46
47
53
55
67
70
75
80
84
85
Учебное издание
Артемьев Борис Александрович
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
Линейная электрическая цепь
с сосредоточенными параметрами
в установившемся режиме
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 12.03.13. Подписано к печати 27.12.13.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 5,0.
Уч.-изд. л. 5,4. Тираж 150 экз. Заказ № 683.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
6 013 Кб
Теги
artemiev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа