close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

AtanovBritovGolybkov

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Методические указания
по выполнению лабораторной работы
Санкт-Петербург
2015
Составители: В. А. Атанов, Г. С. Бритов, В. А. Голубков
Рецензент – кандитат технических наук, доцент М. А. Волохов
Содержатся методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам «ТОЭ», «ОТЦ», «Электротехника» и «Общая
электротехника» для студентов специалитета, общего и прикладного
бакалавриата по всем техническим специальностям.
Представлено достаточное число вариантов заданий. Все разделы
курсовой работы сопровождаются решением соответствующих задач.
Издание может быть использованы для практических занятий, лабораторных работ, а также при самостоятельной работе студентов.
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка М. И. Дударева
Подписано к печати 28.12.15. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 3,7. Тираж 100 экз. Заказ № 550.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2015
Введение
Курсовая работа представляет заключительный этап в обучении студентов специалитета, общего и прикладного бакалавриата
технических специальностей по предметам электротехнической
направленности (ТОЭ, ОТЦ, электротехника, общая электротехника и др.).
Курсовая работа охватывает основные разделы анализа линейных
и нелинейных электрических цепей.
В процессе выполнения курсовой работы студенты углубляют и
закрепляют навыки самостоятельной работы по анализу линейных
и нелинейных электрических цепей в стационарных и нестационарных режимах, в том числе навыки компьютерного моделирования
процессов в электрических цепях.
3
Техническое задание на курсовую работу
Изучить заданный вариант электрической цепи (ЭЦ): состав,
действие ключей S1 и S2 , режимы работы ЭЦ.
1. Исследовать линейную ЭЦ до коммутации ключа S1 (режим 1).
1.1. Рассчитать ЭЦ с постоянным источником электрической
энергии (ИЭЭ):
– обосновать выбор метода расчета;
– определить токи и напряжения ветвей;
– выполнить проверку по балансу мощностей.
1.2. Рассчитать ЭЦ с гармоническим ИЭЭ:
– обосновать выбор метода расчета;
– определить токи и напряжения ветвей;
– выполнить проверку по векторным диаграммам токов и напряжений.
1.3. Рассчитать результирующие токи и напряжения ветвей
при одновременном действии постоянного ИЭЭ и гармонического
ИЭЭ.
2. Исследовать линейную ЭЦ после коммутации ключа S1 (режим 2).
Выбрать или принять как заданный классический или операционный метод расчета переходного процесса.
2.1. В классическом методе расчёта определить на ёмкости С и
индуктивности L:
– начальные условия UC+ , IC+ , UL+ , IL+ .
– начальные условия свободных составляющих
UÑ+ ñâ , IÑ+ ñâ , UL+ ñâ , IL+ ñâ .
– установившиеся значения UÑ óñò , IÑ óñò , UL óñò , IL óñò .
Определить корни α1, α2 характеристического уравнения
Определить нули p1, p2 операционного сопротивления Zâõ ( p).
Построить зависимости uC (t) и iL (t).
2.2. В операционном методе расчета определить:
– начальные условия UC+ , IL+ ;
– построить операционную схему замещения;
– определить изображения UC (p), IL ( p);
– определить оригиналы uC (t), iL (t) с использованием формулы
разложения.
2.3. Построить систему уравнений переменных состояния линейной ЭЦ.
3. Исследовать процессы в ЭЦ c нелинейным элементом (режим 3):
4
– составить систему уравнений переменных состояния
uC (t), iL (t) нелинейной ЭЦ – УИРС (учебно-исследовательская работа студентов);
– определить в установившемся режиме значения, величин
Uíý , Iíý , UC7 , ψ L7 ветви с нелинейным элементом НЭ.
4. Выполнить компьютерное моделирование процессов в линейной ЭЦ:
– построить графики зависимостей uC (t), iL (t) в пакете Matcad
(корни α1 и α2 – комплексно – сопряженные);
– сформировать матрицу системы уравнений состояния;
– построить в пакете программ Matlab графики зависимостей
uC (t), iL (t) (корни α1 и α2 – вещественные).
Расчеты дать в системе СИ, обозначения и графики выполнить
по ГОСТу, пояснительную записку представить в виде компьютерной распечатки на формате А4.
Далее приведен пример расчета ЭЦ в режимах обозначенных
выше.
В задании принято:
E1 и J1 – постоянные величины;
e2=
(t) E2m ⋅ cos(wt + ϕâ ); E=
2m
2E2 ;
j2 =
(t) I2m ⋅ cos(wt + ϕâ ); I2=
m
2I2m .
IНЭ /IНЭКЗ
1 ,0
НЭ 2
0 ,8
0 ,6
НЭ 1
0 ,4
0 ,2
0
0 ,2
0 ,4
0 ,6
0 ,8
1 ,0
UНЭ/UНЭXX
5
Вариант 1
I
0
0,2
0,4
0,6
0,7
0,8
1,0
ÊÇ
I / IÍÝ
0
0,05
0,12
0,28
0,38
0,52
1,0
Вариант 2
U
0
0,2
0,4
0,6
0,7
0,8
1,0
XX
U / UÍÝ
0
0,06
0,14
0,26
0,34
0,45
1,0
Вольтамперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента (НЭ)
Поясним работу ключей.
а)
1
I 02
S
0
2
U02
Ключ S сначала разомкнут (а): R02 → ∞ , I02 = 0 ; затем ключ
замыкается.
б)
1
I02
S
0
2
U02
Ключ S сначала замкнут(б): R02 → 0 , U02 = 0 ; затем ключ
размыкается.
Коммутация ключей S1 и S2 изменяет состав и режимы работы
электрической цепи.
Режим 1. Ключи S1 и S2 находятся в исходном по заданию положению. Электрическая цепь содержит одновременно постоянный и гармонический источники электрической энергии(ИЭЭ),
в цепи действует стационарный режим с постоянной и гармонической составляющей.
Режим 2. Ключ S1 коммутирует и отключает ветвь с гармоническим источником, теперь цепь содержит только постоянный источ6
ник электрической энергии. Режим цепи становится нестационарным: в линейной ЭЦ возникает и со временем затухает переходный
процесс.
Режим 3. Ключ S2 коммутирует и подключает к линейной цепи
ветвь с нелинейным элементом (НЭ), электрическая цепь становится нелинейной. Цепь переходит в нестационарный режим, в нелинейной цепи возникает и со временем также затухает переходный
процесс.
7
Варианты заданий
E1
R1
S2
R5
НЭ
R4
e2(t)
S1
R6
C
R2
L7
L
1)
E1
S2
C
R1
e2(t)
НЭ
R4
R2
R6
S1
C7
L
2)
J1
S2
R5
НЭ
L
e2(t)
R1
R6
C
S1
R2
R4
L7
3)
J1
R4
R5
L
S2
e2(t)
S1
R2
4)
8
R1
НЭ
R3
C
R6
C7
E1
R1
R4
L
S2
НЭ
j2(t)
R2
C
S1
R6
R5
L7
5)
S2
R5
НЭ
S1
E1
L
e 2 (t)
C
R1
R6
R2
R5
L7
6)
S2
R5
S1
НЭ
L
R1
C
J1
C7
R4
j2 (t)
R2
7)
L
R4
R6
НЭ
S1
E1
R3
R1
e2(t)
R2
C
R5
S2
L7
8)
9
E1
R1
R6
НЭ
S1
L
R5
e2(t)
C
S2
R2
R4
L7
9)
E1
R1
R6
НЭ
S1
L
R5
S2
C
j2(t)
R4
C7
R2
L7
10)
E1
R1
НЭ
e2(t)
R2
S2
R4
L
R5
C
R3
S1
C7
11)
E1
12)
10
S2
R3
L
e2(t)
R2
R1
S1
L7
C
R4
R5
НЭ
J1
e2(t)
R6
R3
R2
НЭ
L
R1
C
S1
R4
C7
S2
13)
J1
R4
L
R6
НЭ
e2(t)
R1
R2
R5
R3
S1
C
S2
L7
14)
R1
E1
R4
S2
R5
L
НЭ
j2(t)
R2
R6
C
R3
L7
S1
15)
R3
S2
R5
НЭ
S1
E1
L
C
R1
R4
R6
R2
e2(t)
L7
16)
11
R4
S2
R5
L
S1
НЭ
J1
R1
R3
C
C7
j2(t)
R2
17)
S1
S2
R5
НЭ
R4
R2
J1
R1
C
R3
e2(t)
L7
L
18)
Вариант задания
Номер схемы
Таблица 1
1
1 100 –
30 80
–
20 50
10
40 60 70
90
–
20
2
2
40
20 50
–
10 8,0 5,0
50 70 65
80
50
– +15
3
3
–
8,0 15 80
–
7
80
20
35 40 50
70
–
5
4
4
–
5,0 10 30
–
10 20
5,0
60 50 70
80
60
– +50
5
5
80
9
55
30
30 45 60
65
–
20 –60
6
6 100 –
12 30
5,0
40 60 70
80
–
35 –45
7
7
4,0 20 75
35
55 75 80
90
30
– +20
12
Данные электрических схем
E1, J1, R1, E2, J2, R2, L,
C
R3, R4, R5,
B
A Ом B
A Ом мГн мкФ Ом Ом Ом
–
–
–
15
–
20 60
8,0 15
–
9,0
–
R6, C7, L7, ϕ,
Ом мкФ мГн град
0
–30
Вариант задания
Номер схемы
Продолжение табл. 1
E1, J1, R1, E2, J2, R2, L,
C
R3, R4, R5,
B
A Ом B
A Ом мГн мкФ Ом Ом Ом
8
8
70
–
12 50
–
4
20
6,0
35 35 70
80
–
15
9
9
40
–
18 60
–
6
20
10
25 45 60
65
–
40 +90
10 10 90
–
25
4,0 15 6,0 4,0
20 60 75
85
60
60 –70
11 11 80
–
20 110 –
20 45
18
30 70 65
80
75
–
12 12 110 –
35 150 –
25 20
5,0
40 35 40
70
–
35 –45
Данные электрических схем
–
R6, C7, L7, ϕ,
Ом мкФ мГн град
0
–30
13 13
–
3,0 20 90
–
15 80
10
50 40 65
45
80
– +45
14 14
–
3,5 20 80
–
10 25
5,0
30 50 70
80
–
80 –45
5,0 10 45
12
40 60 75
65
–
15
4,0
30 30 40
80
–
25 +60
5,0 20 100 12
35 60 75
95
90
–
–30
0
15 15 70
–
15
–
16 16 30
–
30 50
17 17
–
2,0 35
–
18 18
–
2,5 20 70
19 1
55
–
20 2
35
–
21 3
22 4
–
14 40
0
–
18 8,0
10
55 70 100 60
–
10
18 40
–
9
70
15
25 40 50
70
–
12 –30
15 60
–
20 40
5,0
20 40 70
75
40
–
–
2,5 20 60
–
5 110 25
30 45 55
60
–
–
4,0 22 60
–
15 20
10
45 55 70
80
90
– +45
7,0 20 90
20
55 60 70
90
–
60
15 30
8,0
30 45 60
80
–
100 –45
4,0 13 50
10
25 40 55
60 120
–
6,0
50 60 55
75
60 –25
23 5 100 –
30
24 6 120 –
10 80
25 7
–
26 8
80
6,0 15
–
–
–
20 50
–
–
10 30
–
–45
100 30
0
–30
13
Номер схемы
Вариант задания
Окончание табл. 1
Данные электрических схем
E1, J1, R1, E2, J2, R2, L,
C
R3, R4, R5,
B
A Ом B
A Ом мГн мкФ Ом Ом Ом
R6, C7, L7, ϕ,
Ом мкФ мГн град
40
–
18 25
85
28 10 60
–
15
29 11 75
–
20 55
–
30 12 95
–
25 50
–
27 9
–
–
12 60
20
60 70 80
–
10 +25
8,0 10 25
5,0
30 55 90 120 25
80 +60
15 60
20
20 75 90 100 40
–
20 10
6,0
35 45 55
70
–
–30
120 +45
В качестве примера исследуем ЭЦ, схема которой приведена
на рис. 1.
Принято:
30 , R2 = 20 ÎÌ L = 50ìÃí,
R1 = 20 Îì; J2 = 10À; w =1000 c−1 ϕ j2 =
C = 10ìêÔ, R3 = 30 Îì; R4 = 60 Îì; R5 = 90 Îì; R6 = 70 Îì;
j2 (t)
Ñ7 = 120ìêÔ,=
2J2 cos(w=
t + ϕ j2 ) 14,1cos(1000t + 30) À;
НЭ
ВАХ вариант 1.
На каждом этапе ЭЦ может быть решена разными методами. Из
них следует выбрать рациональный метод, т. е. в вычислительном
отношении наименее трудоемкий. Ниже приводятся примеры решения конкретных задач разными методами.
Перечень и объем решаемых вопросов определяет преподаватель.
E1
R3
R1
j2(t)
R2
R4
S1
Рис. 1
НЭ
R6
C
L
14
S2
R5
C7
1. Исследование линейной ЭЦ с постоянным
и гармоническим ИЭЭ (стационарный режим)
1.1. Обоснование выбора метода расчета
В ЭЦ действуют два источника электрической энергии (ИЭЭ):
источник постоянного напряжения E1 и источник переменного
тока j2(t). Поскольку ЭЦ линейная, то возможно применение принципа суперпозиции (наложения). Сначала выполняется расчет на
постоянном токе, при этом источник переменного тока исключается по правилу: ветвь с j2(t) размыкается, ветвь с R2 остается. Затем
выполняется расчет на переменном токе, при этом источник постоянного напряжения принимается E1 = 0 т.е закорачивается, сопротивление R1 остается. После этого результирующие токи и напряжения получаются алгебраическим суммированием их составляющих по постоянному и переменному току [1,3,5].
1.2. Расчет ЭЦ с постоянным ИЭЭ.
Постоянный ток можно рассматривать как предельный случай
переменного тока частотой w → 0 . Отсюда на постоянном токе:
сопротивление и напряжение на индуктивности
XL =wL =0,
сопротивление и ток ёмкости
1
X=
→ ∞(ðàçðûâ), IC = UwC = 0
C
wC
Ниже приводятся примеры расчета ЭЦ (рис. 1) методом эквивалентных преобразований и методом узловых напряжений.
1.2.1 Расчет ЭЦ методом эквивалентных преобразований
Последовательность преобразований показана на рис. 2.
Здесь приняты обозначения:
R56 = R5 + R6 = 90 + 70 = 160 Îì;
R4 R56
60 ⋅ 160
=
=
= 43,6 Îì;
R456
R4 + R56 60 + 160
R123 = R1 + R2 + R3 = 20 + 20 + 30 = 70 Îì;
70 + 43,6 =
114 Îì.
Rýêâ =
R123 + R456 =
По закону Ома:
I=
3 I=
1
E1
R' ýêâ
=
100
= 0,88 A;
114
15
I1
R1
R3
a
I4
Ic=0
R2
R5
I5
b
R4
C
0
3.
b
R123
b
4.
I5
I4
E1
R4
R56
E1
R123
L
UL=0
Uc
2.
R6
I1
E1
I1
Ub0
0
R456
E1
E1
E1
1.
Rэкв
I1
Ub0
0
Рис. 2
Uab=I1R456=0,88•43,6=38,4 В;
=
I5
Uab 38,4
= = 0,24À;
R56 160
=
I4
Uab 38,4
=
=
0,64À.
R4
60
Напряжение на ёмкости С:
Uc=I1(R3+R456)=0,88(30+43,6)=64,8 В.
Проверка правильности расчета по балансу мощностей ИЭЭ и
потребителей, основанному на законе сохранения энергии:
PE1=E1I1=1000,88=88 Вт;
Pïîòðåá.
=
6
⋅ Ri
∑ ii2=
0,882 ( 20 + 20 + 30 ) +
i =1
+0,6402 ⋅ 60 + 0,2402 (70 + 90 ) =
88 Âò.
Проверка выполняется.
16
1.2.2. Расчет ЭЦ методом узловых напряжений
Граф ЭЦ показан на рис. 3.
Проводимости ветвей:
1
1
G1 =
=
= 2,5 ⋅ 10−2 Ñì ( ñèìåíñ );
R1 + R2 20 + 20
1
1
Gab = = = 3,33 ⋅ 10−2 Ñì;
R3 30
G=
4
G5 =
1
1
= = 1,67 ⋅ 10−2 Ñì;
R4 60
1
1
=
= 0,625 ⋅ 10−2 Ñì.
R5 + R6 90 + 70
Проводимость ветви с ёмкостью C на постоянном токе равна
нулю, Gc=0.
Сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел a,
Ga=G1+ Gc+ Gab=(2,50+0+3,33)10–2=5,83·10–2 См.
Сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел b,
Gb=Gab+ G4+ G5=(3,33+1,67+0,625)10–2=5,63·10–2 См.
Уравнения узловых напряжений для узлов a и b
Ua0 ⋅ Ga − Ub0 ⋅ Gab = E1 ⋅ G1

0
Ub0 ⋅ Gb − Ua0 ⋅ Gab =
Решаем систему уравнений методом подстановок:
G
Ubo
= Ua ⋅ ab ;
Gb
E1
a
G1
Ua0
G3
GC
b
G4
G5
Ub0
0
Рис. 3
17
Ua0 (Ga ⋅ Gb − Gab ⋅ Gab ) = E1 ⋅ G1 ⋅ Gb ;
Ua0=
=
c
= U
E1 ⋅ G1 ⋅ Gb
=
Ga ⋅ Gb − Gab ⋅ Gab
100 ⋅ 2,5 ⋅ 10−2 ⋅ 5,63 ⋅ 10−2
= 64,8Â;
5,83 ⋅ 10−2 ⋅ 5,63 ⋅ 10−2 − 3,33 ⋅ 3,33 ⋅ 10−4
=
Ub0
64,8 ⋅ 3,33 ⋅ 10−2
= 38,4Â.
5,63 ⋅ 10−2
Токи ветвей:
I1 = I3 = (E1 − Ua0 ) ⋅ G1 = (100 − 64,8) ⋅ 2,5 ⋅ 10−2 = 0,88 A;
IL =
Ub0
= Ubo ⋅ G4 = 38,4 ⋅ 1,67 ⋅ 10−2 = 0,64 A;
R4
I5 = Ub0 ⋅ G5 = 38,4 ⋅ 0,625 ⋅ 10−2 = 0,24 A;
Ic = 0 , а также UL = 0 .
Результаты расчета по обоим методам идентичны.
Возможен также расчет данной ЭЦ по законам Кирхгофа, но он
заведомо менее эффективен, т.к. составляется более сложная в решении система из пяти уравнений (по числу ветвей, включая ветвь
с ёмкостью), поэтому здесь не рассматривается.
1.3. Расчет ЭЦ с гармоническим ИЭЭ
Расчетная ЭЦ на переменном токе дана на рис. 4, где ЭДС источника постоянного напряжения Е1 исключена по правилу (закорочена).
R1
R3
i1(t)
i 3(t)
R5
R4
j (t)
2
R2
uC (t)
uL (t)
i2 (t)
iC (t)
Рис. 4
18
R6
C
L
iL (t)
i5 (t)
Источник переменного тока j2 (t) с сопротивлением утечки R2
может быть заменен на источник переменного напряжения с ЭДС
e2=
(t) j2 (t) ⋅ R2 и внутренним сопротивлением R2. Это уменьшает
число ветвей и узлов ЭЦ и упрощает её расчет.
1.3.1 Расчет ЭЦ в комплексной форме
методом узловых напряжений
По заданию ток источника j2 (t) изменяется по гармоническому
закону
j2 (=
t) Jm ⋅ cos(wt + ϕ j2 ),
поэтому расчет ЭЦ выполняем в комплексных величинах.
Схема замещения рассматриваемой ЭЦ в комплексной форме
дана на рис.5.
Источник тока в показательной форме комплексной величины

jϕ
J2 =
J2 ⋅ e j 2 =
10 ⋅ e j 30 A,
он же в алгебраической форме комплексной величины
J = J cos ϕ + j ⋅ J sin ϕ = 10 ⋅ 0,87 + j10 ⋅ 0,5 = 8,7 + j5,0 A,
2
2
j2
2
j2
Источник напряжения, преобразованный из источника тока,
0
0
E 2 = J2 ⋅ R2 = 10 ⋅ 20 ⋅ e j 30 = 200 ⋅ e j 30 B,
E 2 =200 ⋅ cos 30 + j200 ⋅ sin 30 =173 + j100Â. .
Емкостное сопротивление
1 jϕc
1
Zc =
⋅e =
⋅ e− j 90 =100 ⋅ e− j 90 Îì,
wC
1000 ⋅ 10−5
R12
R3
R4
UC
E2
R56
ZC
UL
I2
IC
ZL
IL
I5
Рис. 5
19
Zc =
100 ⋅ cos(−90 ) + j100 ⋅ sin(−90 ) =
− j100 Îì.
Индуктивное сопротивление


ZL =
wLe jϕL =
1000 ⋅ 0,05 ⋅ e j 90 =
50 ⋅ ei90 Îì,
Z L =50 ⋅ cos 90 + j50 ⋅ sin 90 =j50 Îì.
Сопротивления ветвей:
R12 = R1 + R2 = 20 + 20 = 40 Îì,
R56 = R5 + R6 = 90 + 70 = 160 Îì.
ЭЦ на рис. 5 содержит пять ветвей и три узла. Расчет линейной
ЭЦ переменного тока выполняем методом узловых напряжений,
как более рациональным.
Граф. ЭЦ показан на рис. 6, где принято следующее.
Проводимость ветви 12
1
1
=
Y12
= = 0,025 Ñì.
R1 + R2 20 + 20
Проводимость ветви a0

1
0,01e j 90 Ñì.
Y C = =w
j C =wCe− jϕC =j0,01 =
ZC
Проводимость ветви ab
Y ab
=
y1
E2
Ua0
1
1
= = 0,033 Ñì.
R3 30
y3
a
yC
Ub0
0
Рис. 6
20
b
yL
y5
Проводимость ветви b0:
R − jwL
R − jwL
1
Y4 =
⋅ 4
= 4
;
R4 + jwL R4 − jwL R42 + (wL)2
в алгебраической форме
60 − j50
=(0,98 − j0,82) ⋅ 10−2 Ñì;
Y4 = 2
2
60 + 50
в показательной форме
Y4 =
Y4 ⋅ e
где
jϕy4

=
1,28 ⋅ 10−2 ⋅ e− j 40 Ñì,
Y4 = 0,982 + 0,822 ⋅ 10−2 =1,28 ⋅ 10−2 Ñì. ϕY4 =
arctg
−0,82
=
−40.
0,98
Проводимость ветви 5
1
1
Y5
=
=
= 0,625 ⋅ 10−2 Ñì.
R5 + R6 90 + 70
Сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узел а,
Y a = Y12 + Y ñ + Y ab = 0,025 + j0,01 + 0,033 =
=0,058 + j0,01 =0,06 ⋅ å j10° Ñì.
Сумма проводимостейветвей, сходящихся в узел b,
Y b =Y ab + Y 4 + Y 5 =3,3 ⋅ 10−2 + (0,98 − j0,82) ⋅ 10−2 + 0,625 ⋅ 10−2

=4,9 ⋅ 10−2 − j0,82 ⋅ 10−2 =5,0 ⋅ 10−2 ⋅ e− j 9,5 Ñì.
Уравнения напряжений между узлами a,0 и b,0
U a0 ⋅ Y a − U b0 ⋅ Y ab =
− E 2 ⋅ Y12

0
U b0 ⋅ Y b − U a0 ⋅ Y ab =

(1)
(2)
Из (2) находим:
U ⋅ Y
U b0 = a0 ab
Yb
(3)
Подставляем (3) в (1) и относительно U a0 получаем
− E 2 Y12 ⋅ Y b
U a0 =
,
Y a ⋅ Y b − Y ab ⋅ Y ab
21
где числитель



− E 2 Y12 ⋅ Y b =
−200 ⋅ e j 30 ⋅ 0,025 ⋅ 5,0 ⋅ 10−2 ⋅ e−9.5 =
−0,25 ⋅ e j20.5 ,
знаменатель


Y a ⋅ Y b − Y ab ⋅ Y ab = 0,06 ⋅ e j10 ⋅ 0,05 ⋅ e− j 9.5 − 0,033 ⋅ 0,033=

= (18,4 + j0,15) ⋅ 10−4 = 18,6 ⋅ 10−4 ⋅ e j 0.5
Узловое напряжение U a0


−0,25 ⋅ e j20.5
U a0 =
−U C =
=
−135 ⋅ e j20 =
−127 − j46,2 Â

18,6 ⋅ 10−4 ⋅ e j 0.5
Напряжение ветви U ab


U ab =
− I3 ⋅ R3 =
−1,62 ⋅ ei2,5 ⋅ 30 =
−48,6 ⋅ ei2,5 B
Узловое напряжение U b0

U a0 ⋅ Y ab −135 ⋅ e j20 ⋅ 3,3 ⋅ 10−2

=
Ub0 =
=

Yb
5,0 ⋅ 10−2 ⋅ e− j 9,5

=
−89,5 ⋅ e j29,5 =
−77,9 − j44,1 Â
Находим токи ветвей. Ток ветви a0



IC =
−U a0 ⋅ Y C =
135 ⋅ e j20 ⋅ 0,01 ⋅ e j 90 =
1,35 ⋅ e j110 =
−0,46 + j1,27À
Ток ветви b0


IL =
−U bo ⋅ Y 4 =
89,5 ⋅ e j29.5 ⋅ 1,28 ⋅ 10−2 ⋅ e− j 40 =

=
1,15 ⋅ e− j10.5 =
1,13 − j0.20 À
Ток ветви c проводимостью Y 5

I5 =
−U bo ⋅ Y 5 =
89,5 ⋅ e j29.5 ⋅ 0,625 ⋅ 10−2 =

=
0,56 ⋅ e j29.5 =
0,49 + j0,28À
Ток ветви c проводимостью Y ab
I3 =
(−U a0 + Ub0 ) ⋅ Y ab =
(127 + j46,2 − 77,9 − j44,1) ⋅ 0,033 =

=
1,60 + j0,069 =
1,61 ⋅ e j2.5 À.
22
Ток ветви с проводимостью Y12
I2 R12 − U a0 =
E 2
I1 =
I2 =
(E 2 + U a0 ) ⋅ Y12 =
(173 + j100 − 127 − j46,2) ⋅ 0,025 =

=1,16 + j1,35 =1,77 ⋅ e j 49.5 À.
Напряжение на индуктивности L



U 2 = IL ⋅ Z L = 1,15 ⋅ e− j10,5 ⋅ 50 ⋅ e j 90 = 57,5 ⋅ e j79,5 = 10.3 + j56,5 Â.
1.3.2. Построение векторных диаграмм токов и напряжений на
комплексной плоскости
Векторная диаграмма токов дана на рис. 7, откуда следует:
I= I + I ,
1
2
3


I=
3 IL + I5
Векторная диаграмма напряжений дана на рис. 8, откуда следует:
=
E
U − U ,
2
12
a0


U=
a0 Ub0 − Uab
Проверка по законам Кирхгофа выполняется.
Jm Ỉ, A
Ỉ1
Ỉc
j 1,0
j 0,5
49,5°
Ỉ3 2,5°
29,5°
110°
–2,5
Ỉ5
0
1,0
–10,5°
Re Ỉ, A
ỈL
Рис. 7
23
JmÚ, B
É2
j 150
j 100
ÚL
Ú12
j 50
–Úa0
0
–100
–Úab
Úa0
Úab
Úb0
100
150
ReÚ, B
–j 50
Рис. 8
Полученные выражения токов и напряжений ветвей в комплексной форме (изображения) переводим в функции времени
(оригиналы). Например, источник гармоничного тока:
jϕ j 2
I=
,
am I2m ⋅ e
j2 =
(t) I2m ⋅ cos(wt + ϕ j2 ).
Непосредственно перед коммутацией при t=0–
j2 (0− ) = j2− = I2m ⋅ cos ϕ j2 = 10 2 ⋅ cos 300 = 12,2 A
Аналогично, находим токи и напряжения ветвей:
UC (0− ) = Ucm ⋅ cos ϕuc =
2 ⋅ 135 ⋅ cos 20 = 180Â;
iC (0− ) =
Icm ⋅ cos ϕic = 2 ⋅ 1,35 ⋅ cos110 =
−0,65 À;
UL (0− ) = ULm ⋅ cos ϕuL =
iL (0− ) = ILm ⋅ cos ϕiL =
i1 (0− ) = I1m ⋅ cos ϕi1 =
24
2 ⋅ 57,5 ⋅ cos79,7 = 14,5 Â;
2 ⋅ 1,15 ⋅ cos(−10,3 ) = 1,59 À;
2 ⋅ 1,77 ⋅ cos 49,5 = 1,62 À;
i3 (0− ) = I3m ⋅ cos ϕi3 =
i5 (0− ) = I5m ⋅ cos ϕi5 =
2 ⋅ 1,61 ⋅ cos 2,5 = 2,27 À;
2 ⋅ 0,56 ⋅ cos 29,5 = 0,68 À.
Переходим к расчету результирующих токов и напряжений при
t=0–.
1.4. Расчет результирующих токов
и напряжений ветвей ЭЦ (t=0–)
Согласно принципу суперпозиции, результирующие токи и напряжения ветвей линейной ЭЦ равны алгебраической, т. е. с учетом знаков, сумме их составляющих от постоянного и гармонического ИЭЭ. За положительное направление принимаем направление токов и напряжений от постоянного ИЭЭ.
Результирующие токи и напряжения ветвей при t=0–:
U −C =−
UC UC (0− ) =
64,8 − 180 =
−115 Â;
I −C =−
IC iC (0− ) =
0 + 0,65 =
0,65 À;
U −L =
UL − UL (0− ) =
0 − 14,5 =
−14,5 Â;
I −L =
IL − iL (0− ) =
0,640 − 1,59 =
−0,95 À;
I −1 =
I1 − i1 (0− ) =
0,880 − 1,62 =
−0,74 À;
I −3 =
I3 − i3 (0− ) =
0,880 − 2,27 =
−1,39 À;
I −5 =
I5 − i5 (0− ) =
0,240 − 0,68 =
−0,44 À.
Эти величины используем при расчете переходного процесса
в линейной ЭЦ.
25
2. Исследование переходного процесса
в линейной ЭЦ классическим методом
2.1. Составление уравнений переходного процесса
В ЭЦ ключ S1 коммутирует, в рассматриваемом примере S1 замыкается. Образуются две раздельные цепи: одна с гармоническим
j2 (t) ИЭЭ, где нет реактивных элементов и переходный процесс отсутствует; другая с постоянным ИЭЭ E1 , где протекает переходный
процесс, подлежащий изучению.
Целью исследования переходного процесса в ЭЦ на рис. 9 является расчет и построение зависимостей uC (t), iL (t). Расчет может
быть выполнен классическим методом с решением системы дифференциальных уравнений или операционным методом с применением преобразований Лапласа, или методом уравнений состояния
с использованием компьютерного моделирования и др[2,4,6].
В классическом методе анализа переходных процессов в линейных ЭЦ с двумя реактивными элементами С и L искомые зависимости представляются в виде:
uC (t) = UCÓÑÒ + UCÑÂ (t) = UCÓÑÒ + A1ea1t + A2ea2t ; (4)
iL (t) =ILÓÑÒ + iLÑÂ (t) =ILÓÑÒ + B1ea1t + B2ea2t , (5)
где UCÓÑÒ , ILÓÑÒ – установившиеся значения напряжения на емкости и тока в индуктивности;
uCÑÂ (t), iLÑÂ (t) – свободные составляющие переходного процесса;
A1, A2 , B1, B2 – постоянные интегрирования; α1, α2 – корни характеристического уравнения.
E1
i1
R1
a
R3
i3
iC
S1
K1
uC
iL
C
K2
R4
L
0
Рис. 9
26
R5
i5
b
K3
uL
R6
Выполняем расчеты в последовательности от простого к сложному:
при t = 0+ , т. е. сразу после коммутации ключа S1;
при t → ∞ , т. е. в установившемся режиме после коммутации;
при 0+ ≤ t < ∞ , т. е. переходный процесс.
2.2. Определение начальных значений токов
и напряжений ( t = 0+ )
Цель расчета: определение значений UC+ , IC+ ,UL+ , IL+ , они необходимы при нахождении постоянных интегрирования переходного
процесса.
По законам коммутации
UC+ = UC− = −115 Â,
IL+ = IL− = −0,95 À.
Расчет ЭЦ по схеме на рис. 10 выполняем по законам Кирхгофа: ЗТК – закону токов Кирхгофа; ЗНК – закону напряжений
Кирхгофа.
ÇÒÊ óçëà a : − I1+ + I3+ + IC+ =
0



ÇÒÊ óçëà b : − I3+ + IL+ + I5+ =
0

ÇÍÊ êîíòóðà K1 : I1+ R1 + UC+ =
E1


+
+
+
+
ÇÍÊ êîíòóðà K2 : − UC + I3 R3 + IL R4 + UL =
0

ÇÍÊ êîíòóðà K3 : − UL+ − IL+ R4 + I5+ R56 =
0

E1
R1
a
+
R3
I3
+
+
I1
+
K1
UC
(8)
(9)
(10)
IL+
IC
S1
(7)
R5
+
I5
b
(6)
–
C
+
K2
R4
L
K3
R6
+
UL
0
Рис. 10
27
Решаем систему уравнений методом подстановок. Выполняем
следующие действия:
I5+ =
из(10):
из (8):
=
I1+
UL+ + IL+ R4
,
R56
(11)
E1 − UC+ 100 + 115
=
= 10.75 À.
20
R1
(12)
Подстановка (11) в (7) дает:
I3+ =IL+ (1 +
R4
U+
)+ L
R56
R56
(13)
Подстановка (12) и (13) в (6) дает
+
− E1 + UÑ
R
U+
+ IL+ (1 + 4 ) + L + IÑ+ =
R1
R56
R56
=
UL+
−100 − 115
60
− 0,95 (1 +
)+ =
+ IÑ+
20
160 160
0.
=
−12,0 + 6,25 ⋅ 10−3 ⋅ UL+ + IÑ+ =
(14)
Подстановка (13) в (9) дает:
R3 R4
R
) + UL+ (1 + 3 ) =
R56
R56
30 ⋅ 60
30
) + UL+ (1 +
)=
= 115 − 0,95(30 + 60 +
160
160
18,8 + 1,19UL =
0
=
−UC+ + IL+ (R3 + R4 +
Отсюда: UL+ = −16Â
Из (14) IC+ = 12,5 − 6,25 ⋅ 10−3 ⋅ UL+ = 12,5 − 6,25 ⋅ 10−3 ⋅ 16 = 12,2 À.
Итого получаем:
UÑ+ =
−115 Â;
IL+ =
−0,95 À;
IÑ+ =
12,2 À;
UL+ =
−16 Â, (15)
2.3. Определение установившихся значений токов
и напряжений (t→∞)
Цель работы: определение значений UC óñò , IC óñò ,UL óñò , IL óñò ,
которые необходимы при нахождении постоянных интегрирования.
Расчетная схема дана на рис. 11. Расчёт выполняем методом эквивалентных преобразований.
28
E1
R1
R3
a
R5
b I5 уст
IL уст
I1 уст
Ub0
UС уст
S1
R4
L
R6
UL=0
уст
0
Рис. 11
Эквивалентное сопротивление цепи относительно источника E1
Rýêâ = R1 + R3 + R456 = 20 + 30 + 43,6 = 93,6 Îì =
где, R456
R4 (R5 + R6 ) 60 ⋅ (90 + 70)
= = 43,6Îì
R4 + R5 + R6 60 + 90 + 70
Ток источника E1
I1óñò
=
E1
100
=
= 1,07 À.
Rýêâ 93,6
Напряжения и токи ветвей:
Ub0óñò = I1óñò ⋅ R456 =1,07 ⋅ 43,6 = 46,7 Â;
IL=
óñò
=
I5óñò
Ub0óñò 46,7
= = 0,78 À;
R4
60
Ub0óñò
46,7
= = 0,29 À;
R5 + R6 90 + 70
UCóñò = Ua0óñò = I1óñò ⋅ R3 + Ub0óñò = 1,07 ⋅ 30 + 46,7= 78,8 Â.
Итого, получаем:
UL óñò = 0, IL óñò = 0,78 A. UC óñò = 78,8 B, IC óñò = 0 , (16)
2.4. Формирование системы дифференциальных уравнений
Составляем систему алгебраических уравнений по законам
Кирхгофа для узлов а, b и контуров К1, К2, К3 схемы на рис. 12.
29
E1
I1
R1
R3
a I3
IC
S1
K1
UC
R5
b I5
IL
C
K2
R4
L
K3
R6
UL
0
Рис. 12
−i1 + i3 + iC =
0


−iC + iL + i5 =
0

i1R1 + uc =
E1

−uC + i3 R3 + iL R4 + uL =
0

−uL − iL R4 + i5 R56 =
0

(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
Преобразуем систему уравнений:
из (17)
i=
1 iC + i3 (22)
из (18)
i5= i3 − iL Подставляем (22) и (23) в (19), (20), (21), получаем
uC + iC R1 + i3 R1 =
E


−uC + i3 R3 + iL R4 + uL =
0 
i3 R56 − iL (R4 + R56 ) − uL =
0 
(23)
(24)
В (24) проводим замену переменных
du
di
iC = C C
и uL = L L
dt
dt
Получаем искомую систему дифференциальных уравнений второго порядка
du

uC + C C R1 + i3 R1 =
E

dt

di

−uC + i3 R3 + i L R4 + L L =
0 
(25)
dt

di

i3 R56 − iL (R4 + R56 ) − L L =
0
dt

30
2.5. Определение корней α1 и α2
характеристического уравнения
В общем случае решение системы уравнений (25) имеет вид (4)
и (5). Однако, следует отметить, что входящие в них установившиеся значения величин UC óñò , IL óñò уже определены (16). Остаются
неизвестными только свободные составляющие uC ÑÂ (t) è i L ÑÂ (t) ,
значения которых не зависят от величины Е1. Они определяются
энергией, накопленной в электрическом поле емкости С и в магнитном поле индуктивности L. Отсюда, система уравнений (25) для
свободных составляющих принимает вид:
duC ñâ

uC ñâ + C
R1 + i3 ñâ R1 =
0

dt

diL ñâ

−uC ñâ + i3 ñâ R3 + i L ñâ R4 + L
=
0
(26)
dt

di 4 ñâ

=
i3 ñâ R56 − iL ñâ (R4 + R56 ) − L
0
dt
 В математике при решении дифференциальных уравнений исd
пользуется прием по замене символа дифференцирования на
dt
величину a, обладающую свойствами числа, тогда


−UC ñâ + i3ñâ R3 + i L ñâ R4 + L ⋅ α ⋅ i L ñâ = 0 

i3 ñâ R56 − iL ñâ (R4 + R56 ) − L ⋅ α ⋅ i L ñâ = 0  UC ñâ + C ⋅ α ⋅ UC ñâ ⋅ R1 + i3 ñâ R1 = 0
(27)
Согласно (27) составляем и раскрываем характеристический
определитель
UÑ ñâ
i3 ñâ
iL ñâ
(1 + αCR1 ) R1
0
−1
R3
(R4 + Lα)
0
R5 6 − (R4 + R5 6 + Lα)
∆
=
(1 + αCR1 ) R1
−1
R3
0
(R4 + Lα)
= 0R3 + (1 + αCR1 )R5 6 (R4 + Lα) + 1R1 (R4 + R5 6 + Lα) −
−  − (1 + αCR1 ) R3 (R4 + R5 6 + Lα) − 1R5 6 0 + 0R1 (R4 + Lα) 
(28)
31
В (28) раскрываем скобки, приводим подобные члены, получаем
характеристическое уравнение
α2 LCR 1 (R3 + R5 6 ) +
+α  L(R1 + R3 + R5 6 ) + CR1 (R3 R4 + R3 R5 6 + R4 R5 6 )  +
+ R4 (R1 + R3 + R5 6 ) + R5 6 (R1 + R3 ) =
0
В нормальной форме уравнение принимает вид
α2 + 2δα + w20 = 0, где,
(29)
L(R1 + R3 + R5 6 ) + CR1 (R3 R4 + R3 R5 6 + R4 R5 6 )
=
LCR1 (R3 + R5 6 )
2δ
5 ⋅ 10−2 (20 + 30 + 160) + 10−5 ⋅ 20(30 ⋅ 60 + 30 ⋅ 160 + 60 ⋅ 160)
=
5 ⋅ 10−2 ⋅ 105 ⋅ 20(30 + 160)
= 7,23 ⋅ 1031 / c
w20
=
R4 (R1 + R3 + R5 6 ) + R5 6 (R1 + R3 )
=
LCR1 (R3 + R5 6 )
60(20 + 30 + 160) + 160(20 + 30)
1
= 10,8 ⋅ 106 2 .
5
−2
5 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 20(30 + 160)
c
Здесь δ – коэффициент затухания переходного процесса;
w0 – резонансная частота. В ЭЦ на рис. 9 она наступает при замене источника Е постоянного напряжения на виртуальный источник переменного напряжения частотой w0.
Находим корни уравнения (29)
1
α1 = −δ + δ2 − w20 = −3,62 ⋅ 103 + (3,62 ⋅ 103 )2 − 10,8 ⋅ 106 = −2,1 ⋅ 103
c
α2 = −δ − δ2 − w20 = −3,62 ⋅ 103 − (3,62 ⋅ 103 )2 − 10,8 ⋅ 106 = −5,1 ⋅ 103
1
c
Итого:
1
1
α2 =−5,1 ⋅ 103
(30)
c ;
c .
Корни α1 и α2 вещественные отрицательные, они соответствуют
апериодическому затухающему процессу.
32
α1 =−2,1 ⋅ 103
2.6 Определение нулей p1 и p2
операционного сопротивления Zвх(p)
Расчет корней p1 , p2 может быть использован для проверки
правильности расчета корней α1, α2 . Последовательность преобразований ЭЦ показана на рис. 13
В расчетной схеме ключ остается в положении после коммутации. Реактивные элементы представлены сопротивлениями
ZC(p), ZL(p).
Zвх(p)
1)
R1
R3
R5
R4
S1
ZC(p)
R6
ZL(p)
2)
R1
R3
ZC(p)
R5
Z4(p)
R56
Zвх(p)
3)
R1
R3
ZC(p)
Zвх(p)
4)
Z456(p)
R1
ZС(p)
Z3456(p)
Zвх(p)
33
R1
5)
6)
ZC3456(p)
Zэкв(p)
Zвх(p)
Zвх(p)
Рис. 13
=
ZC ( p)
1
;
=
ZL ( p) pL,
pC
где р – оператор Лапласа.
Проводим последовательные преобразования:
R5=
6 R5 + R6 ;
Z4 ( =
p) R 4 + pL;
Z4 5 6 ( p) =
R5 6 ⋅ Z4 ( p)
R5 6 + Z4 ( p)
;
Z3 4 5 6 ( p
=
) R3 + Z4 5 6 ( p);
ZC 3 4 5 6 ( p) =
ZC ( p) ⋅ Z3 4 5 6 ( p)
ZC ( p) + Z3 4 5 6 ( p)
;
Zâõ ( p=
) R1 + ZC 3 4 5 6 ( p).
В результате последовательных подстановок и приведения подобных членов окончательно получаем
Zâõ
( p)
=
где
A ( p) a1 p2 + b1 p + c1 1,9 ⋅ 10−3 p2 + 13,7 p + 20600
,
=
=
B( p) a2 p2 + b2 p + c2
a2 p2 + b2 p + c2
a1 =
LCR1 (R3 + R5 6 ) =
5 ⋅ 10−2 ⋅ 10−5 ⋅ 20(30 + 160) =
1,9 ⋅ 10−3
b1 CR1R3 (R4 + R5 6 ) + CR1R4 R5 6 + L(R1 + R3 +=
R5 6 )
=
= 10−5 ⋅ 20 ⋅ 30(60 + 160) + 10−5 ⋅ 20 ⋅ 60 ⋅ 160 +
13,7
+5 ⋅ 10−2 (20 + 30 + 160) =
34
=
c1 R5 6 (R1 + R3 + R4 ) + R4 (R1 + R
=
3)
= 160(20 + 30 + 60) + 60(20 + 30
=
) 20600
=
a2 LC(R3 + R5 6 )
b2 = R3 (R4 + R5 6 ) + R4 R5 6
=
c2 LC(R3 + R5 6 )
Числитель приравниваем к нулю
A ( p) =
1,9 ⋅ 10−3 p2 + 13,7 p + 20600 =
0
Находим корни квадратного уравнения
1
1
p1 =
Итого:
−2,1 ⋅ 103 ; p2 =
−5,1 ⋅ 103 c
c
(31)
Корни (31) равны корням характеристического уравнения (30)
p1 =
α1;
p2 =
α2
Отсюда значения корней α1 , α2 можно получить менее трудоемким способом, определив корни p1, p2 .
2.7 Определение постоянных интегрирования
(корни a1 и a2 вещественные)
В уравнении (4) находим постоянные интегрирования А1и A2 ,
для этого используем уравнение (4) и его производную
uC (t) =uC óñò + A1eα1t + A2eα2t 


duc (t)
α2t
a1t
= A1α1e + A2α2e


dt
(4)
(32)
Используем известную зависимость
du (t)
duÑ (t) iÑ
Ñ Ñ = iÑ , тогда
= .
dt
dt
Ñ (33)
Записываем уравнения (4) и (32) с учетом (33) при t=0+
uc t =0+ = Uc+ = Uc óñò + A1 + A2 


duc (t)
Ic+
=
= A1α1 + A2α2 
dt t =0+ C

(34)
35
Подставляем в (34) численные значения (15) и (16)
Uc+ = −115 Â, Uc óñò = 78,8 Â, Ic+ = 12,2 À, C = 10−5 Ô,
−115= 78,8 + A1 + A2


12,2 ⋅ 10 =
−2,1 ⋅ 10 A1 − 5,1 ⋅ 10 A2 
Решая (35), находим
A1 = 78 Â, A2 = −272 Â
получаем
5
3
3
(35)
Итого, получаем переходный процесс по напряжению на емкости
uc (t) =Uc óñò + A1ea1t + A2ea2t =
3
= 78,8 + 78 ⋅ e−2,1⋅10
t
3
⋅
− 272 ⋅ e−5,110
t
(36)
Проверяем (36) при t = 0+ Uc+ =
78,8 + 78 − 272 =
−115 B; при
t → ∞ Uc óñò = 78,8 Â.
Полученные результаты соответствуют (15) и (16)
В уравнении (5) находим постоянные интегрирования B1 и B2
iL (t) = IL óñò + B1ea1t + B2 eα2t 


diL (t)
a1t
α2t
= B1α1e + B2α2 e


dt
Используем известную зависимость
di (t)
diL (t) uL
L L = uL ,
=
dt
dt
L (5)
(37)
(38)
Записываем уравнения (5) и (37) с учетом (38) при t=0+
IL t =0+ = IL+ = IL óñò + B1 + B2 


diL (t)
UL+
=
= B1α1 + B2α2 
dt t =0+
L

В (39) подставляем численные значения (15) и (16)
IL+ = −0,95 À, IL óñò = 0,78 À, UL+ = −16 Â, L = 0,05 Ãí,
α1 =−2,1 ⋅ 103
36
1
1
, α2 =−5,1 ⋅ 103
c
c
(39)
Получаем
−0,95= 0,78 + B1 + B2


−320 =
−2,1 ⋅ 103 B1 − 5,1 ⋅ 103 B2 
Решая (40), находим
(40)
B1 = −3,05 A, B2 = 1,32 A
Итого, получаем переходный процесс по току в индуктивности
iL (t) =IL óñò + B1eα1t + B2eα2t =
3
= 0,78 − 3,05 ⋅ e−2,1 ⋅10
Проверяем (41) при t = 0
t
3
+ 1,32 ⋅ e−5,1 ⋅10
t
(41)
+
IL+ =
0,78 − 3,05 + 1,32 =
−0,95 À,
при IL óñò = 0,78 À
Полученные результаты соответствуют (15) и (16)
2.8 Определение постоянных интегрирования
(корни a1 и a2 комплексно-сопряженные)
В качестве примера рассмотрим некоторую ЭЦ со следующими
параметрами
=
Ñ 50 ⋅ 10−6 Ô; L = 0,1Ãí; UC+ = −50Â; Ic+ = 0,4 A;
IL+ = 3,0 À; UL+ = −24 B; UC óñò = 90Â; IL óñò = 6,0 A;
diL
U + −24
À
= L =
= −240 ;
0,1
c
dt t =0+
L
1
α1,2 = −δ ± δ2 − w20 = −δ ± jwñâ = −500 ± j ⋅ 3 ⋅ 103 ,
c
В общем случае зависимость uC (t) имеет вид:
−δt
u=
sin(wñâ t + ϕUC ),
C (t) UC óñò + uC=
ñâ (t) UC óñò + A ⋅ e
(42)
где A , ϕUC – искомые постоянные интегрирования;
w0 – резонансная частота;
wñâ – частота свободных затухающих колебаний;
Производная функции uC (t)
37
duC (t)
= − A ⋅ δ ⋅ e−δ t ⋅ sin(wñâ t + ϕUC ) +
dt
+ A ⋅ e−δ t ⋅ wñâ ⋅ cos(wñâ t + ϕUC )
(43)
При t = 0+ уравнения (42) и (43) принимают вид:
+
=
U
C UC óñò + A ⋅ sin ϕUC


 + A ⋅ wñâ ⋅ cos ϕUC 

(44)
A ⋅ sin ϕUC =
UC+ − UC óñò =
−50 − 90 =
−140Â 


duC (t)
=
ϕUC
+ δA ⋅ sin
=
ϕUC 
A ⋅ wñâ ⋅ cos
dt t =0+


3B
=
−62 ⋅ 10
8000 − 500 ⋅ 140 =
 c,
(45)
duC (t)
= − Aδ ⋅ sin ϕUC
dt t =0+
Перепишем (44) в виде:
где
duC (t)
IC+
0,4
Â
= =
= 8000 ;
−
6
c
dt t =0+ C 50 ⋅ 10
Делим, левые и правые части уравнений (45);
=
tgϕUC
−140
−140 ⋅ 3,0 ⋅ 103
=
⋅ wñâ
= 6,77.
−62 ⋅ 103
−62 ⋅ 103
Находим постоянную интегрирования ϕUC :
ϕ=
= 81,6
=
° 1,42 ðàä.
UC arctg 6,77
Находим постоянную интегрирования A из (45):
−140
A=
= −142Â.
sin 81,6
Итого, уравнение переходного процесса напряжения на емкости:
uC (t) =90 − 142 ⋅ e−500⋅t ⋅ sin(3,0 ⋅ 103 t + 81,6°) Â. (46)
В общем случае зависимость iL (t) , имеет вид:
i=
=
(t) IL óñò + D ⋅ e−δt sin(wñâ t + ϕiL )
L (t) IL óñò + iL ñâ
где D, ϕiL – искомые постоянные интегрирования.
38
,
(47)
Производная функции iL (t) :
diL (t)
= − D ⋅ δe−δ t ⋅ sin(wñâ t + ϕiL ) + D ⋅ e−δ t ⋅ wñâ ⋅ cos(wñâ t + ϕiL ) (48)
dt
При t = 0+ уравнения (47) и (48) принимают вид:
=
IL+ IL óñò + D ⋅ sin ϕiL (49)
diL (t)
= − Dδ ⋅ sin ϕiL + D ⋅ wñâ ⋅ cos ϕiL
dt t =0+
(50)
+
Перепишем (49) и (50) при t = 0 в следующем виде:
D ⋅ sin ϕiL =
IL+ − IL óñò =
3,0 − 6,0 =
−3,0 A;
diL (t)
+ δ ⋅ D=
⋅ sin ϕiL
dt t =0+
=−240 − 500 ⋅ 3 =−1740 A ,
c
(51)
D ⋅ wñâ=
cos ϕiL
где
(52)
diL (t)
U + −24
À
= L =
= −240 .
0,1
c
dt t =0+
L
Делим, левые и правые части (51) и (52), получаем:
−3,0 ⋅ 3 ⋅ 103
= 5,22.
−1,74 ⋅ 103
Находим постоянную интегрирования ϕiL ;
=
tgϕiL
ϕiL= arctg 5,22= 79°= 1,4 ðàä.
Находим постоянную интегрирования D из (51):
−3,0
D=
= −3,05À.
sin 79°
Итого, уравнение переходного процесса тока в индуктивности:
iL (t) = 6,0 − 3,05 ⋅ e−500⋅t ⋅ sin(3 ⋅ 103 t + 79°) A. Проверяем уравнения (46) и (53) при t = 0+ и t → ∞ :
(53)
UC+ =
90 − 142 ⋅ sin 81,6 =
−50Â. UÑ óñò = 90Â.
IL+ =6,0 − 3,05 ⋅ sin 79 =3,0 À. IL óñò = 6,0 À.
Полученные результаты соответствуют (15) и (16).
39
3. Исследование переходного процесса
в линейной ЭЦ операционным методом
3.1 Построение операционной схемы замещения
Метод основан на прямом и обратном преобразованиях Лапласа.
Его достоинства в том, что операции дифференцирования и интегрирования во временной области x(t) заменяются более простыми
алгебраическими операциями в комплексной плоскости с изображениями X( p) . При этом отпадает необходимость достаточно сложных
действий по определению постоянных интегрирования, как это принято в классическом методе расчета переходного процесса.
Операционные схемы замещения элементов ЭЦ с ненулевыми
начальными условиями приведены в табл. 2
Для исследуемой ЭЦ на рис. 14 построена операционная схема
замещения.
Таблица 2
Временная область
Операционная схема
Источник электрической энергии
E
i
E
p
I(p)
j
i
j
p
I(p)
Резистивный элемент
i
R
R
I(p)
UR(p)=I(p)R
UR=iR
Индуктивный эелемент
L
uL (t) = L ⋅
IL ( p) pL
diL (t)
L ⋅ iL(0+)
UL(p)
dt
Емкостный элемент
iC ( t )
uс( t ) =
40
C
1 t
i ( t ) dt
С ∫0 с
IC(p)
1
pC
UC( p)
UC(0+)
p
E1
p
R1
a
I3 (p)
R3
1
pC
Ua0 (p)
I5 (p)
R5
IL (p)
IC (p)
I1(p)
b
R4
+
UC
Ub0 (p)
p
+
R6
L IL
pL
0
Рис. 14
3.2. Определение изображений UC(p) и IL(p)
Расчет ЭЦ в операционном виде может быть выполнен: по законам Кирхгофа; методом токов связей; методом узловых напряжений.
Система уравнений содержит в первом случае пять уравнений,
во втором – три, в третьем – два уравнения.
Для расчета данной ЭЦ рациональным является метод узловых
напряжений, по нему система уравнений принимает следующий
вид:

E1
U+
⋅ Y1 ( p) + c ⋅ Yc ( p) 
p
p


+ +
Ub0 ( p) ⋅ Y22 ( p) − Ua0 ( p) ⋅ Y12 ( p) =
− L ⋅ iL ⋅ Y4 ( p)

Ua0 ( p) ⋅ Y11 ( p) − Ub0 ( p) ⋅ Y12 ( p) =
(54)
(55)
Здесь приняты в операционной форме:
Ua0(p),Ub0(p) – узловые напряжения;
Y11 ( p), Y22 ( p), Y1 ( p), Yc ( p), Y3 ( p), Y4 ( p), Y5 ( p) – собственные проводимости узлов 1, 2 и проводимости ветвей:
Y11 ( p) = Y1 ( p) + Yc ( p) + Y3 ( p) =
1
1
+ pC +
;
R1
R3
1
1
1
Y22 ( p) =
Y3 ( p) + Y4 ( p) + Y5 ( p) = +
+
R3 R4 + pL R5 + R6
41
С целью упрощения записи принимаем U(p)→U, Y(p)→Y. Уравнения (54) и (55) принимают вид:
Ua0 (Y1 + Yc + Y3 ) − Ub0 ⋅ Y3 =
E1
U+
⋅ Y1 + C ⋅ Yc
p
p
Ub0 (Y3 + Y4 + Y56 ) − Ua0 ⋅ Y3 =−L ⋅ iL+ ⋅ Y4





(56)
(57)
Из (57) находим
Ub0 =
−L ⋅ iL+ ⋅ YL + Ua0 ⋅ Y3
Y3 + Y4 + Y5
(58)
Подставляем (58) в (56), находим
=
Ua0
A ( p) E1 ⋅ Y1 ⋅ Y22 + UÑ+ ⋅ YÑ ⋅ Y22 − LIL+ Y4 Y3 ⋅ ð
=
B( ð)
ð(Y22 ⋅ Y11 − Y12 Y3 )
(59)
Числитель A(p)
À ( ð)
=
+
Å1Y1 ( Y3 + Y5 )( R4 + ðL ) + 1
R4 + pL
UÑ ( Y3 + Y5 )( R4 + pL ) + 1 pC − LiL+ Y3 ⋅ ð
R4 + pL
+
a1 p2 + a2 ð + a3
=
(60)
R4 + ðL
где, a1 =
Uc+ LC(Y3 + Y5 ) =
−115 ⋅ 0,05 ⋅ 10−5 ⋅ 0,040 =
−2,28 ⋅ 10−6
=
a2 E1LY1 (Y3 + Y5 ) + UC+ CR4 (Y3 + Y5 ) + UC+ ⋅ C − L ⋅ IL+=
⋅ Y3
= 100 ⋅ 0,05 ⋅ 0,040 ⋅ 0,05 − 115 ⋅ 10−5 ⋅ 0,040 ⋅ 60 − 115 ⋅ 10−5 +
+0,05 ⋅ 0,95 ⋅ 0,033 = 7,63 ⋅ 10−3
a3 = E1Y1 (Y3 + Y5 )R4 + E1Y1 = 100 ⋅ 0,05 ⋅ 0,040 ⋅ 60 + 100 ⋅ 0,05 = 16,9
Знаменатель B(p)
B( p)
( Y3 + Y5 )( R4 + pL ) + 1 ( Y1 + Y3 + ðÑ ) − Y3 Y3 R4 − Y3 Y3 pL
p=
R4 + pL
=
p(b1 ð2 + b2 p + b3 )
R4 + pL
где, b1 = LC(Y3 + Y5 ) = 0,05 ⋅ 10−5 ⋅ 0,040 = 1,98 ⋅ 10−8
42
(61)
b=
2 L(Y3 + Y5 )(Y1 + Y3 ) + C(Y3 + Y5 ) R4 + C − LY3 Y=
3
=0,05 ⋅ 0,083 ⋅ 0,040 + 10−5 ⋅ 0,083 ⋅ 60 + 10−5 −
−0,05 ⋅ 0,033 ⋅ 0,033 =143 ⋅ 10−6
b3 = (Y1 + Y3 )(Y3 + Y5 )R4 + (Y1 + Y3 ) − Y3 Y3 R4 =
= 0,083 ⋅ 0,040 ⋅ 60 + 0,083 − 0,033 ⋅ 0,033 ⋅ 60
= 0,214
В нормальной форме изображение Ua0(p) принимает вид
Ua=
0 ( ð) U=
ñ ( ð)
=
a1 ð2 + a2 ð + a3
À ( ð)
=
=
Â( ð) ð b1 ð2 + b2 ð + b3
(
)
−115( p2 − 3,32 ⋅ 103 p − 7,43 ⋅ 106 )
p ( p2 + 7,19 ⋅ 103 p + 10,8 ⋅ 106 )
.
(62)
3.3. Определение оригиналов uc(t) , iL(t)
По изображению Uс(p) можно определить оригинал функции
uc(t). Это возможно двумя способами:
– по формулам соответствия, приведенным в справочниках по
операционному методу. Выражение для изображения при этом
необходимо привести к табличному виду (Приложение 1);
– по формуле разложения, полученной из теоремы разложения.
Оригинал напряжения uc(t) на емкости находим с использованием формулы разложения:
A ( p)
Ua0 ( p) =
B( p)
⇒
3
A ( pk) pk ⋅t
⋅e
k =1 B'( pk)
Ua0 (t) =∑
(63)
Порядок действий следующий.
1. Приравнять полином знаменателя к нулю,
(
)
B(=
p) ð b1 ð2 + b2 ð + b=
0
3
и найти его корни т.е полюса (62), p0 , p1, p2 .
2. Взять производную по p от полинома знаменателя и получить
полином
dB( p)
= 3b1 p2 + 2b2 p + b3
B′( p) =
dp
43
3. Подставить каждый из корней (полюсов) в А(р) и В'(р) , тогда
оригинал uc(t) принимает вид
À ( p0 ) p0t À ( p1 ) p1t À ( p2 ) p2t
(64)
uñ (t=
⋅å +
⋅å +
⋅å .
)
B′(p0 )
B′(p1 )
B′(p2 )
где B'( p0 ) , B'( p1 ), B'( p2 ) – производные знаменателя с подстановкой в них корней p0 , p1, p2 ;
À ( p0 ) , À ( p1 ) , À ( p2 ) – значения числителя À ( p) при подстановке
в него корней знаменателя p0 , p1, p2 .
Находим корни B(p) в (61)
B( p) = p( p2 + 7,19 ⋅ 103 p + 10,8 ⋅ 106 ) = 0
p0 = 0
p1,2 =
−3,6 ⋅ 103 ± (3,6 ⋅ 103 )2 − 10,8 ⋅ 106 =
−3,6 ⋅ 103 ± 1,,5 ⋅ 103
1
c
1
c
31
p2 =
−5,1 ⋅ 10
c
Корни p1, p2 вещественные отрицательные, они равны значениям α1 , α2 (30). Переходный процесс апериодический затухающий.
Производная знаменателя B( p) по p , т. е. B'( p)
p1 =
−2,1 ⋅ 103
B'( p) = (b11 p3 + b21 p2 + b31 p)' = 3b11 p2 + 2b21 p + b31 , (65)
b2
b3
где
=
b11 1,=
b21
=
, b31
.
b1
b1
Подставляем численные значения в B'( p)
B'(=
p0 ) 10,8 ⋅ 106
B'( p1 ) =3 ⋅ 1 ⋅ (−2,1)2 + 2 ⋅ 7,19(−2,1) + 10.8  ⋅ 106 =−6,25 ⋅ 106


2

B'( p2 )= 3 ⋅ 1 ⋅ (−5,1) + 2 ⋅ 7,19(−5,1) + 10,8  ⋅ 106= 14,3 ⋅ 106


Подставляем значения корней p0 , p1, p2 в числитель A ( p) (60)
A ( p0 ) = 115 ⋅ 7,43 ⋅ 106 = 850 ⋅ 106
A ( p1 ) =
−115 (−2,1 ⋅ 103 )2 − 3,32 ⋅ 103 (−2,1 ⋅ 103 ) − 7,43 ⋅ 106  =
−505 ⋅ 106


A ( p2 ) =
−115 (−5,1 ⋅ 103 )2 − 3,32 ⋅ 103 (−5,1 ⋅ 103 ) − 7,46 ⋅ 106  =
−3,95 ⋅ 109


44
Оригинал напряжения uñ (t) на емкости
À ( p0 ) p0t À ( p1 ) p1t À ( p2 ) p2t
uñ (t=
)
⋅å +
⋅å +
⋅å =
B′(p0 )
B′(p1 )
B′(p2 )
=
850 ⋅ 106
6
10,8 ⋅ 10
⋅ å−0⋅t +
505 ⋅ 106
3
6
−6,25 ⋅ 10
= 78,8 + 80 ⋅ å
⋅
⋅ å−2,110
−2,110
⋅ 3t
t
+
3,95 ⋅ 109
6
14,3 ⋅ 10
3
⋅
− 274 ⋅ å−5,110
3
⋅
t
⋅ å−5,110
=
t
(66)
Полученное выражение (66) соответствует (36).
Расчет тока iL (t) в индуктивности L выполняется в следующей
последовательности:
– из (26) найти выражение Ub0 ( p);
– составить уравнение по закону напряжений Кирхгофа для контура, образованного ветвью 4 и напряжением Ub0 ( p) (рис. 14)
IL ( p) ⋅ (R4 + pL) − Ub0 ( p) =
L ⋅ iL+ – найти изображение тока IL ( p) в индуктивности L
IL ( p) =
(67)
L ⋅ iL+ + Ub0 ( p)
R4 + pL
(68)
– в итоге привести выражение IL ( p) к табличному виду, или
применить формулу разложения;
– определить оригинал тока iL (t).
45
4. Формирование уравнений состояния ЭЦ
4.1 Составление уравнений состояния линейной ЭЦ
Уравнения состояния далее используются для расчета переходного процесса на компьютере.
Переходный процесс сопровождается изменением энергии элекÑu2 (t)
трического поля емкости С, WÑ (t) = Ñ , и магнитного поля ин2
LiL2 (t)
дуктивности L, WL (t) =
, а также потреблением энергии от
2
ИЭЭ.
За основу принимаем систему дифференциальных уравнений
(25), при этом сохраняем переменные энергетического состояния
uC(t), iL(t), а также источник напряжения E1.
duC (t)

R1 + i3 R1 =
E1

dt

di (t)

−uC + i3 R3 + iL R4 + L L
=
0 
dt

di (t)

i3 R5 6 − iL (R4 + R5 6 ) − L L =
0
dt

uC + C
Из (69) находим далее исключаемую переменную i3 (t)
E U
dUC
i3 = 1 − C − C
R1 R1
dt
(69)
(70)
(71)
(72)
Суммируем левые и правые части уравнений (70) и (71), получаем:
(73)
i3 (R3 + R5 6 ) − iL R5 6 − UC =
0
Подставляем (72) в (73), получаем:
duC (t)
=
−a11uC − a12iL + b1 E1 =
dt
=−5,5 ⋅ 103 uC − 84 ⋅ 103 iL + 5 ⋅ 103 E1,
=
где a11
a12
=
46
R1 + R3 + R5 6
20 + 30 + 160
=
= 5,5 ⋅ 103 ,
R1C(R3 + R5 6 ) 20 ⋅ 10−5 (30 + 160)
R5 6
160
=
= 84 ⋅ 103 ,
5
−
C(R3 + R5 6 ) 10 (30 + 160)
(74)
b1=
1
1
=
= 5 ⋅ 103
R1Ñ 20 ⋅ 10−5
Подставляем (72) и (74) в (70), получаем:
diL (t)
= a21uC − a22 iL + b=
2 E 16,8uC − 1705iL + 0 ⋅ E1
dt
(75)
R3
1
1
30
(1 −
) =(1 −
)=
16,8
где, a21 =
L
R3 + R5 6
0,05
30 + 160
R3 ⋅ R5 6
1
1
30 ⋅ 160
a22 =
(R4 +
) = (60 +
)=
1705
L
R3 + R5 6
0,05
30 + 160
b2 = 0
Итого, получаем в нормальном виде искомую систему дифференциальных уравнений:
duC (t)
=
−a11uC − a12iL + b1 E1 =
−5,5 ⋅ 103 ⋅ uC −
dt



−84 ⋅ 103 iL + 5 ⋅ 103 E1


diL (t)
= a21uC − a22iL + b2 E=
1 16,8 ⋅ uC − 1705iL + 0 ⋅ E1 
dt
 (76)
Проверим правильность формирования уравнений состояния.
В установившемся режиме все производные становятся равными
нулю.
−5,5 ⋅ 103 ⋅ UC óñò − 84 ⋅ 103 ⋅ IL óñò + 500 ⋅ 103 =
0 
(77)

16,8 ⋅ UC óñò − 1705 ⋅ IL óñò =
0

Решая систему уравнений (77), находим
UC уст = 78,8 В, IL уст = 0,78 А
Полученные значения Uc уст и IL уст равны соответствующим значениям (16).
4.2 Составление уравнений состояния нелинейной ЭЦ (УИРС)
Этот пункт технического задания выполняется в рамках учебноисследовательской работы студентов (УИРС)
В исследуемой ЭЦ ключ S2 замыкается и к линейной ЭЦ подключается ветвь с резистивным нелинейным элементом НЭ (рис. 15),образуется нелинейная ЭЦ. В этой цепи возникает переходный процесс,
47
E1
i1
S1
R1
a i3
iC
R3
b i5
R5
iL
S2
d
i НЭ
i6
НЭ
u НЭ
R4
C7
R6
C
L7
L
0
Рис. 15
который со временем затухает и нелинейная ЭЦ переходит в установившийся режим.
Вольтамперную характеристику резистивного нелинейного элемента представляем в виде аналитической зависимости
2
3
4
IÍÝ = a1UÍÝ + a2UÍÝ
+ a3UÍÝ
+ a4UÍÝ
(78)
Коэффициенты аппроксимации a1, a2 , a3 , a4 могут быть рассчитаны по методу наименьших квадратов или по методу выбранных
точек. За выбранные точки могут быть приняты табличные значения ВАХ НЭ технического задания.
Алгоритм формирования искомых уравнений и порядок их расчета изложен в [4]. Запишем уравнения состояния исследуемой нелинейной ЭЦ в нормальной форме:
duC (t)
= f1 (uC , iL , iÍÝ )
dt
diL (t)
= f2 (uC , iL , iÍÝ )
dt
diÍÝ (t)
= f3 (uC , iL , iÍÝ )
dt




(79)




 Решение этой нелинейной системы уравнений может быть реализовано на основе одного из численных методов.
4.3 Расчет нелинейной ЭЦ в установившемся режиме
Целью такого расчета является определение в установившемся режиме следующих величин: напряжения UНЭ уст и тока IНЭ уст на НЭ;
заряда QС7 на емкости С7; магнитного потока ΨL7 на индуктивности
L7 (в качестве примера принимаем L7=15мГн). Ток IНЭ уст через НЭ
48
E1
R3
R1
R5
b
I5
I4
R4
Ub0
I1
d
Ud0
R6
UНЭ ХХ
0
Рис. 16
находим методом эквивалентного источника напряжения. При этом
линейная часть ЭЦ относительно узлов d0 заменяется эквивалентным
источником с ЭДС ЕЭКВ и внутренним сопротивлением RЭКВ.
Искомые величины: напряжение UНЭ уст и ток IНЭ уст.
Находим ЕЭКВ в режиме холостого хода (разрыв) ветви НЭ электрической цепи (рис. 16)
EÝÊÂ= UÍÝÕÕ= I5 R6= 0,29 ⋅ 70= 20,4 Â, (80)
=
I5
где
Ubo
46,6
= = 0,29 A;
R5 + R6 90 + 70
=
Ub0
=
R456
E1 ⋅ R456
100 ⋅ 43,6
=
= 46,6 B;
R1 + R3 + R456 20 + 30 + 43,6
R4 (R5 + R6 ) 60(90 + 70)
= = 43,6 Îì.
R4 + R5 + R6 60 + 90 + 70
Находим ток IНЭ КЗ в режиме короткого замыкания ветви с НЭ
(рис. 17)
Ub0 41,9
IÍÝ=
= = 0,47 À.
ÊÇ
90
R5
(81)
где Ub0 = I1R45 = 1,16 ⋅ 36 = 41,9 Â,
=
I1
E1
100
=
= 1,16 À,
R1 + R3 + R45 20 + 30 + 36
R45
=
R4 ⋅ R5
60 ⋅ 90
= = 36 Îì.
R4 + R5 60 + 90
49
E1
R1
R3
R5
b
d
I4
Ub0
I1
R4
Ud0=0
IНЭ КЗ
0
Рис. 17
На рис. 18 построена ВАХ НЭ в относительных единицах, где обозначены точки: В – короткого замыкания; D – холостого хода. Через
эти точки проводим прямую BD , получаем точку пересечения А.
Находим координаты точки А:
UÍÝ À
= 0,66 , отсюда
UÍÝ ÕÕ
Iнэ
Iнэкз
B
BАХ НЭ
0,8
0,6
0,4
А
0,34
0,2
0,66
0
0,2
0,4
Рис. 18
50
0,6
0,8
D
Uнэ
Uнэхх
UÍÝ = UÍÝ À = 0,66 ⋅ UÍÝ XX = 0,66 ⋅ 20,4 = 13,5 Â,
IÍÝ À
IÍÝ ÊÇ
(82)
= 0,34 , отсюда
IÍÝ = IÍÝ À = 0,34 ⋅ IÍÝ ÊÇ = 0,34 ⋅ 0,47 = 0,16 À
(83)
Находим заряд емкости С7 и магнитный поток индуктивности L7
Q7 =
C7 ⋅ UÍÝ =
120 ⋅ 10−6 ⋅ 13,5 =
1,6 ⋅ 10−3 Êë (84)
ψ7 = L7 IÍÝ = 25 ⋅ 10−3 ⋅ 0,16 = 4,0 ⋅ 10−3 Âá (85)
Итого, получены все искомые величины ветви с НЭ.
51
5. Компьютерное исследование
переходного процесса в линейной ЭЦ
5.1. Построение переходного процесса
(корни α1, α2 – вещественные)
Расчет выполнен в пакете Matlab. Программа расчета приведена
в Прил. 2. Результат моделирования приведен на рис. 19.
a)
Напряжение на емкости С, В
100
50
0
–50
–100
–150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5 x 10
2,5
3
3,5 x 10
–3
Время t, c
б)
Ток в индуктивности L, A
1
0,5
0
– 0,5
–1
0
0,5
1
1,5
2
–3
Время t, c
Рис. 19. Переходный процесс в линейной ЭЦ, корни α1, α2
вещественные: à) uc (t); á)iL (t)
52
5.2. Построение переходного процесса
(корни α1, α2 комплексно- сопряженные)
Расчет выполнен в пакете Mathcad. Программа расчета приведена в Прил. 3. Результат моделирования приведен на рис. 20.
Для оценки скорости затухания колебаний используем декремент колебаний
I1m
Tñâ
⋅ −3
e500⋅2,110
=
∆
= eδ=
= 2,86,
I2m
где I1m , I2m значения первого и второго максимума тока относительно установившегося значения Ióñò (определяется из рис. 20);
δ – коэффициент затухания, δ=500;
Tñâ –период свободных колебаний.
2π
2π
=
= 2,1 ⋅ 10−3 ñ.
wñâ 3000
Tñâ
=
Итого, ∆ =2,86, колебания практически затухают при t ≥3·Tсв.
а) Напряжение на емкости С, В
200
150
100
50
0
–50
0
2
4
6
Время t, c
8
-–3
10
б) Ток в индуктивности L, А
10
8
6
4
2
0
2
4
6
Время t, c
8
–3
10
Рис. 20. Переходный процесс в линейной ЭЦ, корни α1, α2
комплексно-сопряженные: a) uc (t); b) iL (t)
53
Заключение (выводы)
В заключении должны быть отражены основные результаты исследования и их соответствие техническому заданию.
В качестве примера приведем следующий вариант заключения.
Проведено исследование ЭЦ в трех режимах работы. В линейной ЭЦ (режим 1) расчет выполнен методом наложения решений
ЭЦ с постоянным ИЭЭ и гармоническим ИЭЭ. Результаты расчетов
проверены по балансу мощностей и векторным диаграммам.
В линейной ЭЦ (режим 2) расчет выполнен классическим (или
1
1
операционным) методом. Корни α1 =−2,1 ⋅ 103 , α2 =−5,1 ⋅ 103 веc
c
щественные отрицательные, переходный процесс апериодический
затухающий. Значения корней α1, α2 соответствуют значениям
нулей p1, p2 сопротивления Zâõ (p) . Сформированы уравнения состояния.
В нелинейной ЭЦ по завершении режима 3 методом эквивалентного источника напряжения определены ток, напряжение, электрический заряд, магнитный поток в элементах ветви с НЭ.
В линейной (нелинейной – УИРС) ЭЦ проведено исследование
переходного процесса методом компьютерного моделирования
в среде Matlab.
54
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Изображения F(p) и оригиналы f(t) по Лапласу
N
F(p)
f(t)
1
1
P
1
2
1
p+α
e−αt
3
1
p( p + α)
1 − e−αt
α
4
1
( p + α)( p + β)
e−αt − e−βt
β−α
5
1
p( p + α)( p + β)
1
β ⋅ e−αt − α ⋅ e−βt
+
α ⋅β
α ⋅β(α − β)
1
1 −δt
e ⋅ sin wt
w
6
( p + δ)2 + w2
7
1
1
p[( p + δ)2 + w2 ]
w20
p+α
2
2
( p + δ) + w
1
e−δt ⋅ sin(wt − φ),
w0 ⋅ w
φ = arctg
где
8
+
w 2
, w0 = δ2 − w2
−δ
1
⋅ (α − δ)2 + w2 ⋅ e−δt ⋅ sin(wt + φ)
w
55
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Применение программы Matlab к построению uC(t), iL(t) по
уравнениям состояния (корни α1 и α2 вещественные)
Для решения задачи на компьютере представляем систему уравнений переменных состояния (76) в матричной форме [8]:
b1
d uC −a11 − a12 uC
=
⋅
+
⋅E
a21 − a22 iL
b2
dt iL
(86)
Матрица начальных условий:
T
T
UC+ iL+ =
− 115 − 0,95
(87)
Определяем собственные числа матрицы коэффициентов переменных состояния:
− a11 − a12
 1 0
−
det  α
a21 − a22
 0 1

 α + a11 a12 
det 
 =

 − a21 α + a22 

Строим характеристическое уравнение и находим его корни:
α2 + (a11 + a22 ) α + a11a22 + a21a12 =0 ;
2
a +a
a +a 
α1,2 =
− 11 22 ±  11 22  − (a11a22 + a21a12 ) =
2
2


(5,53 + 1,71) ⋅ 103
=
−
±
2
2
 5,53 + 1,71 
6
6
3
± 
 ⋅ 10 − (5,53 ⋅ 1,71 ⋅ 10 + 16,8 ⋅ 84,2 ⋅ 10 ) =
2


=
−3,62 ⋅ 103 ± 1,49 ⋅ 103 ;
1
α1 =−
( 3,62 + 1,49) ⋅ 103 =−2,1 ⋅ 103 ;
c
3
31
α2 =−
( 3,62 − 1,49) ⋅ 10 =−5,1 ⋅ 10 .
c
Значения корней α1, α2 соответствуют (30).
Далее находим следующие величины:
– постоянные времени ЭЦ
56
τ=
1
1
= 0,48 ⋅ 10−3 c
α1
τ=
2
1
= 0,19 ⋅ 10−3 c
α2
– шаг интегрирования
∆ t < 0,1⋅ τmin , где τmin =
τ2 , принимаем ∆=
t 0,01 ⋅ 10−3 c
– временной интервал интегрирования
tint = 3τmax , где τmax =
τ1 , принимаем tint
= 1,5 ⋅ 10−3 c
– число шагов интегрирования
=
N
tint 1,5 ⋅ 10−3
=
= 150
∆ t 0,01 ⋅ 10−3
Начальные условия переходного процесса:
UC+ = −115 B, IL+ = −0,95 A
Для контроля расчета используем установившиеся значения:
UC óñò = 78,8 B, IL óñò = −0,95 A
Моделирование переходного процесса выполняется в пакете
программ Matlab.
Программа расчета
% Программа расчета ЭЦ while 1 u=menu(‘Ваш выбор:’,’Ввод
матриц’, ‘Расчет’,’Настройка графиков’,’Выход’); switch u case 1
A=input(‘Матрица А=’) B=input(‘Матрица В=’) x0=input(‘Начальные
условия =’) E=input(‘Напряжение питания =’); t=0:0.1:1; case
2 C=eye(size(A)); D=zeros(size(C,1),size(B,2)); sys=ss(A,B,C,D);
U=E+0*t; y=lsim(sys,U,t,x0); subplot(2,1,1) plot(t,y(:,1)) grid %
xlabel(‘Время t, c’); ylabel(‘Напряжение на конденсаторе С, В ‘);
subplot(2,1,2) plot(t,y(:,2)) grid xlabel(‘Время t, c’); ylabel(‘Ток в индуктивности L, A’); case 3 h=input(‘Временной шаг =’); T=input(‘Конечное
время =’); t=0:h:T; case 4 disp(‘Конец’) break end end
В командном окне представлено меню:
«Ваш выбор», «Ввод матриц», «Расчет», «Настройка графиков», «Выход».
1. В меню выбрать «Ввод матриц».
2. Ввести матрицы коэффициентов уравнения состояния, начальные условия, величину ЭДС Е.
57
3. В меню выбрать «Расчёт».
4. Получить графики uC (t), iL (t) в отдельном окне.
5. В меню выбрать «Настройка графиков».
6. Обозначить оси:
7. X lable («время, пробел, с»);
Y lable («напряжение Uc пробел, В»);
Y lable («ток IL, пробел, À »).
8. В меню выбрать «Выход».
Для исследуемого примера ЭЦ полученные зависимости
uC (t), iL (t). приведены на рис.19.
58
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Применение программы Mathcad к построению uC(t), iL(t)
(корни α1 и α2 комплексно-сопряженные)
1) Запускаем «Mathcad 15»
2) На приборной панели:
активируем инструменты:
А именно:
,
,
,
3) Вводим функцию:
.
4) Ниже вставляем график типа «X-Y».
Если все операции выполнены верно, то видим:
5) Вводим параметры I(t) и t на оси Y и X соответственно.
Пределы для графика выбираем следующие: от 0 до 10 для оси
Y, от 0 до 0,01 для оси X.
59
6) Щелкаем правой кнопкой мыши по графику, выбираем
«Формат».
Ставим флажок рядом с «Ось Y». Даём название для оси Y
«Ток, А».
Ставим флажок рядом с «Ось Х». Даем название для оси Х «t, с»
Аналогично получаем график зависимости UС(t). Полученные
зависимости приведены на рис. 20.
60
Рекомендуемая литература
1. Атабеков Г. Н. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: учебник для вузов. СПб.: Лань, 2009.
2. Атабеков Г. Н. Теоретические основы электротехники. Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле: учебн.
пособие СПб., М., Краснодар: Лань, 2010. 432 с.
3. Лавров В. Я. Линейные электрические цепи. Установившиеся
режимы: учебное пособие. СПб.: ГУАП, 2010.
4. Лавров В. Я. Основы теории цепей. Переходные процессы:
учебное пособие. СПб: ГУАП, 2012.
5. Колесников В. В. Основы теории цепей. Установившиеся режимы. Текст лекций. СПб.: ГУАП, 2006.
6. Колесников В. В. Основы теории цепей. Переходные процессы
четырехполюсника: текст лекций. СПб.: ГУАП, 2006.
7. Атанов В. А. Основы теории цепей. Расчет цепей с управляемыми источниками. Методические указания к курсовой работе.
СПб.: ГУАП, 2011.
8. Герман-Галкин С. Г. Matlab. Проектирование мехатронных
систем на ПК. СПб.: КОРОНА-Век, 2008.
61
Содержание
Введение...................................................................................
3
Техническое задание на курсовую работу......................................
4
Варианты заданий......................................................................
8
1. Исследование линейной ЭЦ с постоянным
и гармоническим ИЭЭ (стационарный режим)................................
1.1. Обоснование выбора метода расчета...................................
1.2. Расчет ЭЦ с постоянным ИЭЭ............................................
1.3. Расчет ЭЦ с гармоническим ИЭЭ .......................................
1.4. Расчет результирующих токов
и напряжений ветвей ЭЦ (t=0–)........................................
2. Исследование переходного процесса
в линейной ЭЦ классическим методом..........................................
2.1. Составление уравнений переходного процесса.....................
2.2. Определение начальных значений токов
и напряжений ( t = 0+ )....................................................
2.3. Определение установившихся значений токов
и напряжений (t→∞) ......................................................
2.4. Формирование системы дифференциальных уравнений........
2.5. Определение корней α1 и α2
характеристического уравнения.......................................
2.6 Определение нулей p1 и p2
операционного сопротивления Zвх(p)................................
2.7 Определение постоянных интегрирования
(корни a1 и a2 вещественные)...........................................
2.8 Определение постоянных интегрирования
(корни a1 и a2 комплексно-сопряженные)..........................
15
15
15
18
25
26
26
27
28
29
31
33
35
37
3. Исследование переходного процесса
в линейной ЭЦ операционным методом.........................................
3.1 Построение операционной схемы замещения........................
3.2. Определение изображений UC(p) и IL(p)..............................
3.3. Определение оригиналов uc(t), iL(t) ....................................
40
40
41
43
4. Формирование уравнений состояния ЭЦ....................................
4.1 Составление уравнений состояния линейной ЭЦ...................
4.2 Составление уравнений состояния нелинейной ЭЦ (УИРС).....
4.3 Расчет нелинейной ЭЦ в установившемся режиме.................
46
46
47
48
5. Компьютерное исследование
переходного процесса в линейной ЭЦ............................................
5.1. Построение переходного процесса
(корни α1, α2 – вещественные)........................................
5.2. Построение переходного процесса
(корни α1, α2 комплексно-сопряженные) .........................
62
52
52
53
Заключение (выводы).................................................................
Применение программы Matlab
к построению uC(t), iL(t) по уравнениям состояния
(корни α1 и α2 вещественные)...........................................
Применение программы Mathcad к построению uC(t), iL(t)
(корни α1 и α2 комплексно-сопряженные)..........................
54
59
Рекомендуемая литература.........................................................
61
56
63
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
4 970 Кб
Теги
atanovbritovgolybkov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа