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3
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Язык
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Среда
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Управляемая
графика
Библиотека
математических
функций
Программный
интерфейс
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??????? ????????, ???????????? ??? ?????????? ???? (???. 3.2).
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о0, t № 0.
(3.11)
??? ?????? ?????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????
???????????????? ????? ???????? ???????????, ??? ?????????
??????????? ???????. ?????? ??? ?????????????? ???????? ?????? ????? ???????????? ????????. ???????? ??????????? ?????????? ??? ???????? ?????????? ? ????????? ???????? ????????
??? ??????? ?????????????? ??? ??? ????????????????? ?????? ?
?????????? ?????????????? ?????, ??????????? ??? ?????????
??? ?????????? ???????.
??????
u(t)
1
0
t
???. 3.4. ????????? ??????????? ??????
20
???. 3.5. ????????????? ??????????? ???????? (3.12)
??? ????????????? ??????????? ???????? ? MATLAB Simulink
???????????? ???? ?????? ?? ???? ??????? ???????????? ??????? ?
Step.
????????, ????? ????????? ??????????? ???????? ???????
??????????, ?????????????? ?????? ???????? ????? ???
d2 y(t)
2
dt
-5
dy(t)
-6y(t) = 2u(t), y(t0 ) = 0, y? (t0 ) = 0, t О[t0 ,+Ґ), t0 = 0, (3.12)
dt
? ????????? ?? ???. 3.5.
??????? ?????????? ??????
1.?????????? ?????????????? ?????? ? ??????????? ????? ???????? ?????????? ????.
2.?????????? ????? ????????????? ? ????? MATLAB Simulink.
3.???????? ????????? ???????????? ????????? ? ??? ?? ???????????? ???????? ???????? ????????? ???????? ? ????????? ?????? ?????.
4.?????? ?????????? ? ??????? ?????????????? ??????? ??????????.
??????????? ???????
1.?????? ??????????? ??????? ??????????, ???????????? ??????????, ??????? ??????????.?
2.???? ???????????? ????? ?????????????? ?????? ??????? ???????????
3.???? ?????????? ????????? ??????? ?? ????????? ?????????
21
5.?????? ??????????? ??????? ??????????? ? ???????? ????????? ??????? ??????????.???? ?????????? ??????????? ??????????? ?? ???????????? ????????????
6.???????????? ????? ??.????????? ???????? ??????????? ????.
7.????????? ?????????? ??????????? ?????? ???????????? ?????????.?
8.??????????? ??????????????, ??????? ??????????????.
22
???????????? ?????? ??4
????? ??????????????? ?????????????
?????? ??????????
???? ??????: ???????????? ??????? ? ?????? ? ?????????? ??????? ????????????? ?????????????? ??????? ?????? ??????????.
???????? ????????????? ????????
?????????? ????????? ????? ????????????? ??????????????
??????? ?????? ??????????.
1. ???????????????? ????????? n-?? ???????
dn-1y(t)
dy(t)
a1
+
+ ... + an-1
+ an y(t) =
n
n-1
dt
dt
dt
dn y(t)
= b0
dm u(t)
dm-1u(t)
(4.1)
+ b1
+ ... + bm u(t),
dtm
dtm-1
??? t ? ??????????? ?????; t0 ? ????????? ?????; u(t) О R1 ?
??????????? ???????????; y(t) ? ???????? ??????; a1, ..., an-1, an , b0 , b1,
, ..., an-1, an , b0 , b1, ..., bm ? ?????????? ????????????, ???????????? ??????????? ??????????? ????? (???????); n ? ??????? ????????????????? ????????? ???????, m Ј n.
2. ???????????? ??????? ? ????????? ?????????????? ?? ??????? ???????? ???????? ? ?????????????? ?? ??????? ???????
???????? ??? ??????? ????????? ????????
W (s) =
Y (s) b0 sm + b1sm-1 + ... + bm
= n
,
U (s)
s + a1sn-1 + ... + an
(4.2)
??? s ? ???????? ???????; Y(s) ? U(s) ? ??????????? y(t) ? u(t), ??????????????.
??????????? ????????? (4.2) ?????????? ??????????????????
?????????
sn + a1sn-1 + ... + an = 0, ????????? ???????? ???????? ?????
s1, s2 , ..., sn . (4.3)
(4.4)
????? (4.4) ?????????? ???????? ???????????? ???????. ????? ????????? ???????????? ??????? ?????????? ?????? ???????????? ???????.
23
????????????? ?????? ? ???? ???????????? ??????? ????? ?
???????? ??????????? ????????????: ????????????? ????? ???? ?
??????????? ??????????? ?? ?????? ? ???????? ??????????, ?? ?
?? ????????????? ??????, ? ???????? ????? ??????????? ???????????? ????????????? ???????????? ?????????????. ?? ??? ????? ????????????? ?????????????? ???????? ????????? ?????? ?
?????? ???? ? ???????? ?????? ?????????? ???????????? ? ??????????? ?? ???????? ?????????? ? ???????????? ?? ????????????
???????.
3.???????? ???????????????? ????????? ? ???????????? ?????????, ??????? ???? ????? ????????????? ? ??????? ??????????????
????????.
??? ????? ?????? ?????? ???????? ?????????? y(t) ?????????? ????????? x(t) О R nґ1. ???????? ??????? ? ???? ??????????
?????? ???????? ???????????????? ????????? ??????? ???????
???
м
?
п
пx(t) = Ax(t) + Bu(t) x (t) = x(t ), t = [t ,Ґ), н
0
0
0
T
п
п
оy(t) = c x(t) + Du(t)
x(t) = x1 (t) x2 (t) ... xn (t)
T
О R nґ1
????????? ??????? ??????????; A О R
(4.5)
? ?????? ??????????
nґn
,
B О R nґ1, cT О R1ґn ,
D О R1 ? ??????????????, ??????? ?????????, ??????????, ??????????.
??????? ? ?????????? ? ?????????? ????????? ????????????:
???????? ????????? ??????????????, ??? ????? ? ??? ?? ??????? ????? ???????? ????????? ?????. ????? ?????????? ???????
?????? ? ?????????? ?????.
???? ? (4.1) m = 0, ?? ????????? (4.1) n-?? ??????? ????? ???????? ? ??????? ?? n ???????????????? ????????? ??????? ???????
пмпx?1 (t) = x2 (t),
пп
ппx?2 (t) = x3 (t),
пп.................
пн
ппx?n-1 (t) = xn (t),
пп
ппx?n (t) = -a1xn (t) - a2 xn-1 (t) - ... - an x1 (t) + bu(t),
пп
поy(t) = x1 (t).
(4.6)
????????? ????? ??????? (4.6) ????? ????????, ????? ? ???????????? ?????? ????????? x(t) ? ???????
24
0
0
A=
0
-an
1
0
0
-an-1
0
... 0
0
... 0
О R nґn ,
1
... 0
... -a2 -a1
0
0
B = ... О R nґ1, cT = 1 0 ... 0 О R1ґn .
0
b
???? ? (4.1) m ? n, ?? ?????????? ????? ????? ???
мп x?1 (t)
пп
0
1
пп x? (t)
пп 2
0
0
ппп....... = 0
0
н x?
пп n-1 (t)
-an -an-1
пп x? (t)
пп n
пп
ппy(t) = 1 0 ... 0 x1 (t)
о
x1 (t)
k1
... 0
0
x2 (t)
k2
... 0
0
....... + ... u(t) = Ax(t) + Bu(t),
(4.7)
... 0
1
xn-1 (t) kn-1
... -a2 -a1
xn (t)
kn
T
x2 (t) ... xn-1 (t) xn (t) + k0u(t) = cT x(t) + Du(t).
k0 = b0 , k1 = b1 - a1k0 , ..., ki = bi -
n-1
е ai-m km .
m=0
??????
??????? ?????????? ??????? ??? ??????? (4.5), ????????????
??????? ? ???????????? ????????? ??????? ????? ???
м
п
0
1
0
п
x(t) + u(t),
пx? (t) =
п
6
5
2
,н
W (s) = 2
s + 5s + 6 п
п
T
п
п
пy(t) = c x(t) = 1 0 x(t).
о
2
(4.8)
1??????? (MATLAB Simulink). ????????????? ?????? Transfer
Function (???????????? ???????) (???. 4.1) ? State Space (???????????? ?????????) (???. 4.2).
2??????? (? ????????? ?????? ????? MATLAB ? ?????????????? ?????? CST). ? CST ??????? ??? ??????, ???????????? ?????25
?? ??? LTI-?????? ? ???? ???????????? ??????? ??? ???????????? ?????????, ? ????? ??????? ??? ?????????? ?????????????
(????. 4.1).
?)
?)
?)
???. 4.1. ????????????? ????? Transfer Function:
? ? ????? ?????????????; ? ? ???? ??????? ??????????; ? ? ?????????? ???????
?)
?)
?)
???. 4.2. ????????????? ????? State Space ? MATLAB:
? ? ????? ?????????????; ? ? ???? ??????? ??????????; ? ? ?????????? ???????
26
??????? 4.1
??????? CST
?????????
????????
tf([b0, b1, ?, bm], [a0,
a1, ?, an])
????????????? LTI-?????? ? ???? ????????????
???????, ??? bm, ?, b1 ? ???????? ????????????? ????????? ???????????? ???????; an, ?, a1 ?
???????? ????????????? ???????????????????
????????
ss(A, B, C, D)
????????????? LTI-?????? ? ???????????? ?????????
step(<LTI-?????? >)
?????????? ?????????? ??????????????
impulse(<LTI-?????? >) ?????????? ?????????? ??????????????
pole(<LTI-?????? >),
??????????? ????? ???????????? ???????
zero(<LTI-?????? >)
??????????? ??????? ???????????? ???????
? ????????? ???? MATLAB ???????? LTI-?????? (4.8) ? ??????
w ? ??????? ?????????? ?????????????? (???. 4.3)
>> w = tf([2],[1 5 6])
>> step(w)
? ????????? ?????? MATLAB ???????? LTI-?????? (4.8) ? ?????? s ? ??????? ?????????? ?????????????? (???. 4.3)
Step Response
0.35
Amplitude
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
Time (sec)
2.5
3
???. 4.3. ?????????? ???????, ?????????? ? ?????????????? CST
27
>> A = [0 1;?6 ?5]
>> B = [0;2]
>> c = [1 0]
>> s = ss(A,B,c,0)
>> step(w)
?????????? ???. 4.1, 4.2 ? 4.3, ????? ???????? ????????????
?????????? ?????????, ?????????? ?? ????????? ?????? ????????????? ?????????????? ?????? ??????? ??????????.
??????? ?????????? ??????
1. ??? ???????, ?????????????? ?????? ???????? ???????????
?????????? n-?? ??????? (????. 4.2), ???????? ???????????? ??????? ? ?????????????? ?????? ? ???????????? ?????????.
??????? 4.2
???????? ??????
???????
0
1
2
3
???????????????? ?????????
dy2 (t)
dt
2
dy2 (t)
dt
2
dy2 (t)
dt2
dy2 (t)
dt2
6
7
28
dy(t)
+ 6y(t) = 2u(t)
dt
-5
dy(t)
+ 6y(t) = 2u(t)
dt
+4
dy(t)
+ 13y(t) = 2u(t)
dt
-4
dy(t)
+ 13y(t) = 2u(t)
dt
dy(t)
+ 6y(t) = 2u(t)
dt
4
5
+5
dy2 (t)
2
dt
+6
dy(t)
du(t)
+ 5y(t) = 2
dt
dt
dy2 (t)
dy(t)
d2u(t)
+
5
+
6
y
(
t
)
=
2
dt
dt2
dt2
dy2 (t)
dy(t)
d2u(t)
+
5
+
6
y
(
t
)
=
2
+ 3u(t)
dt
dt2
dt2
????????? ????. 4.2
???????
8
9
???????????????? ?????????
6
dy(t)
du(t)
+ 8y(t) = 2
dt
dt
dy2 (t)
2
dt
+ 3y(t) = 2
du(t)
dt
2. ????????? ??????? ?????? CST ??? MATLAB Simulink, ???????? ?????????? ???????? ???????, ???????????? ????????????
???????? ? ?????????????? ??????? ? ???????????? ?????????.
???????? ?????????? ??????????.
3. ?????????? ???? ? ?????? ???????????? ???????.
??????????? ???????
1.???????????? ????? ????????????? ?????????????? ???????
?????? ??????????.
2.???? ?????????? ??? ???????????? ?????????
3.?????? ??????? ????? ???????? ?????????????????? ??????????
4.???? ????? ???? ? ?????? ???????????? ????????
5.??????????????? ?????? ?? ? ???????????? ?????????, ?? ?????????? ?????.
6.???????????? ???????????? ?????? ?? ???? ??????????????? ???????? ?????? ??????????.
29
???????????? ?????? ??5
???????????? ?????????? ?????????????
??????? ??????? ?????? ??????????
???? ??????: ????????????????? ???????????? ????????????
????? ??????????? ??????? ???????????? ??????? ? ?? ????????????????. ???????????? ??????? ?????? ? ???????? ???????? ??????.
??????? ?????? ??????? ??????????
????????? ??????? ?????????? ??? ??????? ?????? ??????????? ?? ???????????? ??????. ??? ???????????? ?????? ????????
?????????? ?????? ??????????? ???? ? ??????????????? ?????????? (????????????, ????????????? ? ?.?.), ??????????? ???????????? ???????????????? ??????????. ? ???????????? ? ???? ????????????? ??????? ?????????? ?????? ?? ???? ????????????????? ?????????.
??????? ???????????? ?????? ?????? ????????? ?? ??????????
????????? ????? ? ??????? ???????????? ??????, ????????????
??????? ??????? ????? ? ????????? ? ??????????? ???????? ?? s
?? ???? ??????? ???????.
? ????. 5.1 ????????? ???????? ???????????????? ??????? ??????, ?? ???????????????? ????????? ? ???????????? ???????.
???????????? ??????? ????????????? ????? ? ????? ?????? ????? ??????????? ??? ???????????? ???????????? ?????????? ????
k; sv ;
1
1
;
; ts + 1; t2s2 + 2?ts + 1,
2
2
Ts + 1 T s + 2?Ts + 1
??? k > 0 ? ??????????? ???????? ??? ???????? ?????; v ?????
???? ? ????????????? ????? ??????; T > 0 ? ?????????? ???????
(?); 0 Ј ? <1 ? ??????? ?????????; t > 0 ? ????? ????????????.
??????? ????? ??? ??????? ???????????? ??????? ???????
??????? ? ??? ??????? ??? ????????? ????????? ?? ??? ??????: ???????????, ????????????? ? ????????????????. ?? ????. 5.1:
? ??????????? ??????: 1, 2, 3, 4, 5 ? ?? ????? ??????? ??????
?, ?????????????, ? ??????? ?????? ?????? (?.?. ? ??????????????
??????) ????? ??????????? ????????, ?????? k;
? ????????????? ??????: 6, 7, 8 ? ????? ??????? ??????-?????
?, ?????????????, ? ??????? ?????? ?????? ????? ??????????? ????????, ??????????? ? ?????????????;
30
??????? 5.1
?????????????? ?????? ??????? ???????
???????????? ???????
?
?/?
????????????????
?????????
??? ?????
??????????? ??????
? = kx
1 ???????????????? (??????????????)
2 ??????????????
??????? ???????
T
dy(t)
+ y(t) = ku(t)
dt
W (s) =
y(s)
u(s)
W(s) = k
W (s) =
k
Ts + 1
3 ??????????????
dy2 (t)
dy(t)
k
+ T2
+ y(t) = ku(t) W (s) =
??????? ??????? T1
2 2
dt
dt2
T2 s + T1s + 1 ,
s1,2 = Re
4
?????????????
T
dy2 (t)
dt
2
+ 2?T
dy(t)
k
+ y(t) = ku(t) W (s) =
2 2
dt
T s + 2?Ts + 1
0 < ? <1
5 ??????????????
T
dy2 (t)
2
dt
+ y(t) = ku(t)
s1,2 = Re ± jIm
W (s) =
k
2 2
T s +1
????????????? ??????
6
?????????????
(?????????)
7
?????????????
(???????????)
8
??????????
dy(t)
= ku(t)
dt
T
T
dy2
dt2
+
dy
= ku(t)
dt
dy(t)
du(t)
= k1
+ k2u(t)
dt
dt
W (s) =
k
s
W (s) =
k
s(Ts + 1)
W (s) =
k1s + k2
Ts
???????????????? ??????
??????????9
??????
(?????????)
??????????10
??????
(???????????)
???????????
11
(?????????)
y(t) = k
T
du(t)
dt
dy(t)
du(t)
+ y(t) = k
dt
dt
y(t) = k1
du(t)
+ k2u(t)
dt
W (s) = ks
W (s) =
ks
Ts + 1
W (s) = k1s + k2
31
? ???????????????? ??????: 9, 10, 11 ? ????? ??????? ?????????? ?, ?????????????, ? ??????? ?????? ?????? ????? ??????????? ????????, ??????????? ? ????.
??????????? ?????????? ???????????? ???????
??? ??????? ?????????????? ?????? ??????? ??????????? ????????, ??? ??????? ????????????? ??????????? ???????????????? ????????? ? ???????????? ??????? ????? ??????????????.
?????????? ????? ??? ???????? ??????????? ?????????? ???????????? ??????? 1-??, 2-?? ? ?????? ???????? ?? ????????????????
?????? ?????????? ? ?????????? ?????????? ???????????????.
??? ? ????. 5.2 ????????? ??????? ?????????? ????????????? ?
????????, ??? ?????????? ????????? k ? T.
??????? 5.2
?????????? ?????????????? ??????? ???????
?
?/?
??????????
??????????????
???????????? ???????
????????????? ?????????
???????????????? ???????
??????????? ??????
???????????????? (??????????????)
h (t) = k(1 - e-t/T )
h(t)
1 h(t) h(t)
k
k
k
t
h(t)
t
t
k
dh
касательная
dh dht=0
2
?????????????? ??????? ???????
касательная
=0 t =0
t dt tdt
h(t)касательная
dt
h (t) = k(1 - e-t/T ) h (t) t=T = K(1 - е-1 ) = 0,63К
h(t) h(t)
dh
arctg K
k
T
K
K
касательная
k arctg arctg T dt t=0
k
dh
К -t/T
К
h(t) T T T
е
t
t=0 =
t=0 =
T
dt
T
T
t K t
arctg
k
T
3
?????????????? ??????? ???????
h(t) T
t
h(t) h(t)
k
й
щ
T1
T2
k0,7k k
h (t) = k к1 е-t/Т + +
е-t/T2 ъ
к
ъ
0,7k
0,7k
T
T
T
T
h(t)
h
1
2
1
2
л
ы
h kh
t
t
t
/3
t
h
k
0
.
191
0,7k 7t /3 7t
T1 + T2 = 7 ; T1 - T2 »
,
t
t7/3 t77
7
h
1,2
0.143k
t /3 t
t
h(t) 7A A17A A2
A12 A2
1
h(t) h(t)
k
k
k
A1 A2
4
h(t)
T0
k
t
T0 T0t
t
h(t)
h(t) h(t)
T0
t
h(t)
32
h(t)
h(t) h(t)
t
t
t
h(t)
t
t
(T1 > T2 ),
dh(t)
=0
dt t=0
?????????????
й
щ
t
?
к
ъ
T
к
ъ
1- ?
e
sin(w0t + j)ъ ; j = arcsin w0T; w0 =
h(t) = k к1 к
ъ
w0T
T
к
ъ
к
ъ
л
ы
dt
t
h(t)
dh
касательная
dht=0
K
arctg T dt
k касательная
t =0
h(t)
dt
h(t) T
K
t
arctg TK
k
arctg T
k
T
t
h(t)
T
t
k
0,7k
h(t)
??????????
h(t)
?
k
h
??????????????
?/?
0,7kk
????????????
t
0,7kt7/3 t7 ???????
h
h
t7/3 t7
t
t arcsin
t7/3j =
w0T;
t
A17 A2
h(t)
k
A1 A2
h(t)
A1 A2
h(t)
k
k
T0
t
5
h(t)
T0
T0
t
t
h(t)
h(t)
????????? ????. 5.2
????????????? ?????????
???????????????? ???????
w0 =
A1
1
1 - ?2 ? =
; a=
;
2
A
2
ж
ц
?
2
T
ч
з
1+з
ч
из ln a шч
T = T0
? dh(t)
;
=0
dt t=0
ln a
??????????????
ж
1ц
h(t) = kзззk - cos ччч
и
Tш
t
h(t)
6
t
h(t)
h(t)
t
8
t
????????????? ??????
????????????? (?????????)
h(t) = kt
t
t
h(t)
ж k ц???????????????? ??????
k
arctg ззз- ччч
h(t)
2
зи T2 чш
???????????????? (???????????)
T
h(t)
ж k чц
k
жз kчччц
t
k arctg зззk -T
2
arctgзизз-T2 чшчч
0, 37
TT
зи T2 чш
h
t
e
(
)
=
T2 T
t
T
k
0, 37 k
dh
касательная
0, 37T T
t =0
dh (t)
k -t/T
k
T T dt tt
t=0 = - 2 е
t=0 = 2
dh
dt
T
T
касательная dht=0
касательнаяdt t=0
dt
??????? ?????????? ??????
1. ????????? ??????? ?????? CST ??? MATLAB Simulink, ???????? ?????????? ?????????????? ???? ??????? ??????? ????. 5.1.
????????? ?????????? (?????????? ?????????????? ??? ????????
??????????????) ????? ???????, ????? ?????????? ?????????????? ?? ???? ??????????????? ??????????????? ????. 5.2.
2. ?? ?????????? ???????????????, ????????? ???????????
???? ?????????, ?????????? ????????? ?????, ??????? ??????
???????? ? ????????? ? ?. 1.
??? ?????????? ?????????? ??????? ? ????. 5.3.
33
??????? 5.3
??????? ???????????
?????
h(t)
??? ?????
W(s)
?????????
?????
3. ??????????? ??????? ????????? ?????????? ??????? ? ??
h(t) ?? ?????????? ?????????????? ??????? ?? ????. 5.2. ??? ?????
????? h(t) ??? ????????? ????????? ?.
4. ??????????? ??????? ????????? ???????????? k ?? h(t) ??
?????????? ?????????????? ??????? ?? ????. 5.2. ??? ????? ?????
h(t) ??? ????????? ????????? k.
5. ???????? ?????? ?????????? ????????????? ???????????
??????? (????. 5.1). ??? ????? ??????????? ?? ?????????? ?????????????? ?????????????? ????? ??????? ????????? ???????? ???????????? ? (0< ? <1, ? = 0, ? > 1) ?? ???????? ??????????? ????????. ????????? ?????? M = f( ? ) ????????? ???????? 0< ? <1, ? = 0,
? > 1 ??? ?????????? ????????? T ? k, ??? ? ? ????? ?????????
??????????? ????????.
6. ???????? ?????? ??????? ?????????? ?????????????? ?????
?? ?????? ?????? ?? ?????????? ??????????????? ?????????????
??????? (????. 5.1).
??????????? ???????
1. ??? ?????????? ??? ??????? ???????????? ???????
2. ????? ??????? ???????????? ????????? ??????? ??????? ??????? ?? ???????????????? ?????? h(t)?
3. ????????? ??????? ???????????? ???????, ?? ????????????
??????? ? ????????? ??????????????.
4. ??? ?????? ??????????? ????????????? ? ?? ???????? ??????????? ???????? ??????? ??????? ????????
5. ??? ?????? ????? ?????????????? ?? ?????? ???????
6. ??? ?????? ????????? ?????????? ??????? ? ? ????????????
k ?? ?????????? ?????????????? ????????
34
???????????? ?????? ??6
????????????? ??????????????
??????????? ????
???? ??????: ???????????? ??????? ??? ?????????????? ??????????? ???? ?????? ??????????.
???????? ?????????? ??????????? ????
? ???????? ??????????? ??????????? ???? ????????? ????????? ??????????:
1)??????????? ??????? (???. 6.1, ?) ???????? ???????????????? ? ???????? ???????? ?????? ????? ???????? ??????? ????????? ???????;
2)??????????? ??????? (???. 6.1, ?) ???????? ????????????,
???? ?? ????? ???? ??????? ???????? ???? ? ?? ?? ????????, ? ???????? ???????? ???????????;
?)
?)
u
W1(p)
W2 (p)
u
?)
W1 (p)
u
±
W2 (p)
W1(p)
W2 (p)
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? ? ????????????????; ? ? ????????????; ? ? ???????? ?????
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4
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16
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(s + 6)
(s + 2)(s + 3)
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???. 6.2. ????????????? ?????
38
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????????? ?? ????. 6.3.
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6
4
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чч
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+
= 3
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?? ???. 6.4 ? 6.5 ???????? ??????????, ?????????? ? MATLAB
Simulink ? ???? ?????????? ?????????? ????????????? ????????
? ????????????? ??????.
W1
W8
W2
W4
???. 6.3. ??????????? ????? ???????? ???????
4
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6
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6
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4
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Transfer Fon 4
Scope1
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39
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2. ??????????? ???????? ?????????????? ???????.
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5. ???? ????? ????????????? ???????????? ??????? ?????????? ? ????????????? ? ????????????? ????????? ????????
40
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??????? ?????? ?? ?? ????? ?????????.
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при начальных условиях y(t0 ) = y0 (t), ..., y(n-1) (t0 ) = y0n-1 (t),
(7.1)
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?0, ?1, ..., an; ? b0, ..., bm ? ?????????? ????????????; n ? ???????
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y(t) = y??(t) + ????(t),
(7.2)
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??? ???????????? ???????? ??????????? ??? ??????? ?????????
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a0 y(n) (t) + a1yn-1 (t) + ... + an y(t) = 0, y(t0 ) =
= y0 (t), ..., y(n-1) (t0 ) = y0n-1 (t).
(7.3)
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????????? (7.1) ??? ??????? ????????? ????????.
41
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(???. 7.1, ?) ?????????? ?????????? ?? ?????, ???? ??? ????? ???????????? ??????????? u(t) ??????? ??????? y???(t) ???????? ???????????? ? ????? ?????? ??????? t О [t0 ,Ґ) . ???? ??????? ????????? ? ?? ?????, ? ?? ????????? ?????? ? ??????????????? ??????????? ??????????, ?? ????? ????? ????? ?????????? ???????
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n
n
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i=1
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42
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(???. 7.2, ?), ??? ?i > 0 ? ???????????? ????????? (???. 7.2, ?), ???
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2) ???? ????? ?????? ??????;
3) ??????????? ??????.
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43
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b
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2. ???????? ??????? ????????????? ????????? ???????? ??????
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3. ??????????? ??????? ???????????? k ? ?????????? ???????
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44
20
3
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k
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1
W ( s) =
k
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0,5
1
10
T
0,5
0,01
0,01
k
T
s
+
1
(1
)(T2s + 1)
k
1
1
100
W ( s) =
3
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W ( s) =
5
W ( s) =
6
k
s(Ts + 1)
k
2 2
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k
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k
2 2
T s + 2T?s -1
W ( s) =
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2
3
k
2
4
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1
, ? = 0,5
7
W (s) =
k
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
T1
0,5
0,1
0,1
8
W (s) =
s+k
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
T2
0,07
0,02
0,02
9
W (s) =
k
s(T1s + 1)(T2 + 1)(T3 + 1)
T3
0,003 0,001 0,002
????????? ???????? ???????????? ??????? ??? LTI-model ?
???????????? w, ?????? ?????? ???????????? ??????? pole(w),
???????? ?????????? ?????????????? step(w) (???. 7.4).
>> = tf([20],[0.00025 0.0286 0.36 1])
>> pole(w)
ans =
?100.4626
?9.9262
?4.0112
45
Step Response
20
18
16
Amplitude
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
???. 7.4. ?????????? ??????? ??? ????????? ?????????? ??????? step(w) ??? ???????
?????: ????? ??????????????????? ???????? ??? ?????? ???????????? ??????? ????? ????????????? ????????, ?????????????,
?? ??????? ???????? ??????? ?????????.
>> step(w)
?????: ?????????? ??????? ???????? ? ???????? h???(t) = 20,
?????????????, ??????? ?????????.
??????????? ???????
1. ???????? ???????????? ??????.
2. ??????? ???????????? ?? ????????? ??????, ?? ????????
???????????.
3. ??????? ???????????? (??????? ????????).
46
???????????? ?????? ??8
???????? ???????????? ?????? ??????????
???? ??????: ???????????? ???????????? ?????? ?????????? ??
?????? ?????????????? ? ????????? ????????? ????????????.
???????? ????????????? ????????
?? ???????? ???????????? ?????????????? ??????? ??????????
? ??????? ????????? ????????????. ???????? ???????????? ?
??? ???????, ??????????? ???????? ???????????? ??????? ??? ?????????? ?????? ??????????????????? ?????????.
???? ????????? ???????? ???????? ???????????? ??? ?????????????. ???????? ??????? ? ????????? ???????????? ??? ???????????? ???????? ???????????? ??? ??????????? (???. 8.1), ???
? ????????? ?????? (???. 8.2). ???????? ????????? ???????????? ??? ???????????? ???????????? ?????? ????????? ??????? ??
????????? ??????????? ???????.
?????????????? ???????? ???????
???????? ?????? ? ??????? ? ?????????????????? ?????????
a0 sn + a1sn-1 + ... + an = 0, (8.1)
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0 a1
... ...
U(s)
U(s)
W(s)
W(s)
... 0
... 0
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... 0
...an
(8.2)
Y(s)
Y(s)
???. 8.1. ??????????? ????? ??????????? ???????
U(s)
U(s)
W(s)
W(s)
Y(s)
Y(s)
???. 8.2. ??????????? ????? ????????? ???????
47
???????? ????????????. ??? ???? ????? ???????? ??????? ???????? ????????? ????????????, ?????????? ? ??????????, ????? ???
????????? ??????????????????? ???????? (8.1) ????????? ?? ?????
? ?????????? ?0, ? ????? ??? ???????????? ??????? ????????????
??????? ??????? ??????? (8.2) ????????? ?? ????? ? ?????????? ?0.
????????? ???????? ?????????
???????? ?????? ? ??????? ? ??????????? ?????????????????? ?????????, ?????????? ? ?????????? ????????????? ?????????????? ??????? ??? ????????? (8.1)
D( jw) = a0 ( jw)n + a1 ( jw)n-1 + ... + an = Re(w) + j Im(w). (8.3)
?? ????????? (8.3) ???????? ?????? ? ??????????? ????????? ?
???????? ????????? (???. 8.3, 8.4).
???????? ????????????. ??? ???? ????? ??????? ????????
????????? ????????????, ?????????? ? ??????????, ????? ????????
?????????.
1) ????????? ? ????????????? ?????????????? ???;
2) ??? w = [0,+Ґ) ???????? ? ????????????? ???????????
(?????? ??????? ???????);
Im
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? =0
0
Re
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???. 8.3. ???????? ????????? (??? ?????? n = 3 ? ??????? ?????????)
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Im
?)
?
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Im
? =0
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0
Re
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Im
?
0
? =0
0
Re
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Re
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???. 8.4. ???????? ????????? ? ?????? ?????????????? ??????:
? ? n = 4; ? ? n = 4; ? ? n = 2
48
3) ???????? ????? n ??????????, ????? ?? ??????????? ? ????,
??? n ? ??????? ??????????????????? ?????????.
????????? ???????? ?????????
???????? ?????? ? ??????????-??????? ????????? ?????????????? ??????????? ???????.
???????? ????????? ????????????? ??-??????? ? ???????????
?? ????, ??????????? ??????? ?????????, ??????????? ??? ????????? ?? ????? ????????????. ?????????? ??? ?????? ? ???????????.
???????? ???????????? ??? 1 ??????. ???? ??????????? ??????? ?????????, ?? ??? ???????????? ????????? ??????? ??????????
? ??????????, ????? ???? ??????????? ??????? ??? ????????? w
?? 0 ?? + Ґ ?? ?????????? ????? ? ???????????? (?1; j0) (???. 8.5).
???????? ???????????? ??? 2 ??????. ???? ??????????? ??????? ?? ?????????, ?? ??? ???????????? ????????? ??????? ?????????? ? ??????????, ????? ???? ??????????? ??????? ??? ????????? w ?? 0 ?? Ґ ?????????? l/2 ??? ? ????????????? ???????????
????? ? ???????????? (?1;j0), ??? l ? ????? ?????? ??????.
??????? ???? ??? ?????????? w ?? 0 ?? + Ґ ????? ??????? ???????????? ??? ? ?1 ?? ? Ґ ?????? ???? ??????? ?????????????
????????????, ? ????? ????? ? ????????????? (???. 8.6).
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?)
Im
? = + ? ? =0
(?1, j0)
0
Re
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Im
Im
? = + ? ? =0
? = + ? ? =0
(?1, j0) 0
Re
(?1, j0) 0
Re
???. 8.5. ???? ?????????? ??????????? ???????:
? ? ????????? ??????? ?????????; ? ? ????????? ??????? ?? ??????? ????????????; ? ? ????????? ???????????
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Im
?
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(?1, j0)
0
Re
?)
Im
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(?1, j0)
0
Re
???. 8.6. ???? ???????????? ??????????? ???????:
? ? ????????? ??????? ????????? (l = 2); ? ? ????????? ??????? ??????????? (l = 2)
49
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Im
?)
Im
(?1, j0)
0
? = + ? ? =0
? = + ? ? =0
Re
Re
R? ?
0
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(?1, j0)
???. 8.7. ???? ??????????? ??????? ?? ??????? ???????????? (??????????? ????? ?????????? ???????? ??????? R??):
? ? ????????? ??????? ?????????; ? ? ????????? ??????? ???????????
?)
Im
(?1, j0)
0
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Im
(?1, j0)
0
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Re
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Re
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???. 8.8. ???? ???????????? ??????????? ???????:
? ? ????????? ??????? ????????? (l = 2, ??????? ????? ?????????? ? ? ????? 1); ? ? ????????? ??????? ????????? (l = 0, ??????? ????? ?????????? ? ? ????? 0)
???????? ???????????? ??? 3 ??????. ???? ??????????? ???????
?? ?????????, ?? ??? ???????????? ????????? ??????? ?????????? ?
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0 ?? Ґ , ??????????? ?? ??????? ??????? ????? ?????????? ????????
???????, ?? ?????????? ????? ? ???????????? [?1;j0] (???. 8.7).
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??????????? ??????? ????? ????????????? ?????????????? ??????? ?? ?1 ?? ? Ґ ???? ????? l/2 ???, ??? l ? ????? ?????? ??????????????????? ????????? ??????????? ??????? ? ?????????????
???????????? ?????? (???. 8.8).
??????????????? ????????? ???????? ?????????
???????? ?????? ? ???? ? ???? ??????????? ???????.
???????? ???????????? ??? 1 ??????. ???? ??????????? ??????? ?????????, ?? ??? ???????????? ????????? ??????? ??????????
50
L(?), ??
20
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1
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0
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???. 8.9. ???? ? ???? ?????????? ???????
? ??????????, ????? ???? ??????????? ??????? ?????????? ???
?????? (0 ??) ????? ?? ???????, ??? ??????? ???? ?????????? ????? ?? (???. 8.9).
??????? ?????????? ??????
???????????? ?????? ??????? ?? ???? ??????, ??? ??????????
??????? ?????????? ???????????? ???????? ?????? ?? ????. 6.5
(?????? 3 ? 4). ? ?????????? ??????, ??? ? ????. 6.5 ?????????
???????????? ??????? ??????????? ??????. ??? ????????? ???????? ????? ???????? ???????????? ??????? ????. 6.5, ?????????
????????? ????????????? ???????? ??????.
1.?????????? ???????? ???????????? ???????, ???????????
???????????? ??????????? ?????? ? ????????? ??????.
2.?????????? ???????? ?????????:
??????????? ???????? ?????????;
????????????? ???????????? ??????????? ? ????????? ??????
??? ????????? ????????? ????????????? ???????? ? ??????????
???????;
??????????? ?????????? ??????? ??? ???????????? ???????????
????? ?????????? ? ?????????? ????????????????.
3.?????????? ???????? ?????????:
??????????? ????????? ?????????????? ? ???? ??????????
??????????? ?????? (???????? ???????????? ???????? ? ?????????? ??????? ?????????? ???????????) ? ????????, ??? ?????
?????????? ??????????? ?????? ????????? ??????? ????? ?????????? ? ??????????: ????????????, ??????????????, ?? ???????
51
????????????. ????????? ?????????????? ???????? ??? ????????????? ????????? ??????????? ???????;
??????????? ????????? ?????????????? ? ???? ????????????
??????????? ??????, (???????? ???????????? ???????? ? ?????????? ??????? ?????????? ???????????) ? ???????? ??? ????? ?????????? ??????????? ??????, ????????? ??????? ????? ?????????? ? ??????????: ????????????, ??????????????, ?? ??????? ????????????;
??????????? ????????? ?????????????? ? ???? (??? ????????????? ????????? MATLAB) ??????????? ?????? ?? ???????
???????????? ? ????????, ??? ????? ?????????? ??????????? ?????? ????????? ??????? ????? ?????????? ? ??????????: ????????????, ??????????????, ?? ??????? ????????????;
????????? ?????? ?? ??????? ?? ?????? ??????????? ??????.
??????
1. ?????????????? ????????? ??????? ????????? ?? ???????????? ??????????? ? ????????? ???????
Wр ( p) =
10
, Wз ( p) =
10
. (8.4)
1s + 0,3s + 0,5s + 10,1 ???????? ??????? ??????? ??????????? ? ????????? ?????? (8.4)
3
2
1s + 0,3s + 0,5s + 0,1
3
2
0,3 0,1 0
0,3 10,1 0
Гр = 1 0,5 0 , Гз = 1
0,5
0 .
0 0,3 0,1
0
0,3 10,1
(8.5)
??? ?????????? ???????? ??????? ?????????? CST MATLAB.
???????? ??????? ??????? (8.5) ?? ???????????? ?????? ? ?????? ?? ????????????:
????? ??????????? ???????
>> G22=[0.3 0.1;1 0.5]
G22 =
0.3000 0.1000
1.0000 0.5000
>> det(G22)
ans = 0.0500
>> G33=[0.3 0.1 0;1 0.5 0;0 0.3 0.1]
G33 =
0.3000 0.1000
0
1.0000 0.5000
0
52
0 0.3000 0.1000
>> det(G33)
ans = 0.0050
???? ????????? ???????
>> G22=[0.3 10.1;1 0.5]
G22 =
0.3000 10.1000
1.0000 0.5000
>> det(G22)
ans =
?9.9500
>> G33=[0.3 10.1 0;1 0.5 0;0 0.3 10.1]
G33 =
0.3000 10.1000
0
1.0000 0.5000
0
0
0.3000 10.1000
>> det(G33)
ans =
?100.4950
?????: ??? ????????????? ??????? ???????? ?????????????
??????? ???????????? ??????? ??????? ??????? ?? ?????? ???????? a0 = +1, ? ???????????? ? ????????? ???????, ???????????
??????? ?????????, ? ????????? ??????? ?? ?????????.
2.?????????? ????????? ????????? ????????? ?? ????????????
??????????? ???
W ( p) =
9
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??? ????? ??????? ????????? ??? ?????????????? Re(w) ? ?????? Im(w) ???????????? ???????????? ??????????????????? ???????? (8.3). ???????? ? MATLAB Simulink ????? ?????? Re(w) ? Im(w)
??? ??????? ?? ?????? ?????????????? ???????????? ?????? Math
Operation ? ????? ?????? ????????????? ??????? Ramp (???. 8.10).
??? ????????? ????????? ?????????? ?????????????? ???????.
?????: ? ???????????? ? ????????? ????????? ????????? ????? ??????? ?????, ??? ??????????? ??????? ????????? ?? ???????
????????????.
3.?????????? ???????? ?????????.
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53
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2
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0
K/(p(1+T1p)(1+T2p)(1+T3p))
9
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K
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13
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11
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20
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K/(p(1+T1p)(1+T2p)(1+T3p))
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???. 8.10. ?????????? ?????????????? ? ???????? ?????????
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0.5
Plot
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Nyquist1
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0
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2
Nyquist2
-1.0
0
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-2.0
0
2.5
5
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Time (sec)
?)
0.5
-2
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Real
0
Nyquist3
0
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0
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54
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1
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0
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Plot
1
2
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600000000
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.1
400000000
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1
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15
20
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-.4
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0
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0
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? ? ?????????? ?????????????? ???????????? ??????????? ???; ? ? ???? ?????????? ????????? ???; ? ? ???? ???????????? ????????? ???;
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1
1
1
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1
s2+2
Plot
1
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y(t)
-1
-2
-3
-4
0
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6
Time (sec)
8
10
???. 8.13. ?????????? ?????????????? ??????????? ??? ?? ??????? ????????????
55
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1.?? ??? ??????????? ???????????? ????????????? ?????????
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4.?????????????? ???????? ???????, ?????????, ?????????.
56
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???????? ????????, ?? ????? ?????????? ????????? ????????? ????????? ??????, ?.?. ??????? ?? ?????? ?????????? ?????? ??????????? ?????????????? ??????????.
???????? ??????????, ???????????? ????????? ??????? ?
?????????????? ? ?????????? ?????????, ?????????? ??????? ???????? ???????? ??????????. ?????? ??????? ?????? ???????????
???????? ?????? ???????? ?????????? ????????? ???????????,
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?????? ?????? ????????
???? ????? ?????? ?????? ???????? ??????? ???????? ?? ??????
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???????? ????????????? tp ??????? ??? ?????????? ???????, ??
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57
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t
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2. ????????????????? s ? ???????????? ?????????? ??????????
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3. ????? ????????? ?, ??????? ????? ?????????? ?????????????? h(t) ?? ????? ????????????? tp. ??? ????? ?????? ??????????
1?2, ?????? 3?4 ?????????, ?? ? ????????? ??????? ????????? ?
??????? ???????????.
4. ??????????????? ??????????? ???????? (? ?????????)
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100%.
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0.
5. ??????? ????????? w = 2? / T, ??? ? ? ?????? ????????? ???
????????????? ?????????? ?????????????.
6. ?????????????? ???????????????, ???????????? ??????????? ???????? ???????
58
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g0
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8. ????? ?????????? ??????????? ???????? t?.
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hmax 1 - hуст
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59
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1,1?1,5, ? ????????? ???????? ??????????? ?? ???????? 2?2,5. ???
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3.??????? ??????????? ??????? ? ??? ???????? ?????? ?? w = 0
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???. 9.2). ?????? ??????????? ?? ?????? ???? ??????? ???????,
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4.???????? ????? w? ? ???????, ??? ??????? ??????????-????????? ?????????????? ??????? ????????? ????????, ?????? 1, ?.?.
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???????????? ???????. ????? ???????????? ???????????? ?? ????????? ???????????? ?, ? ?????????, ?? ????????, ????? ??????? ????????? ?? ??????? ????????????.
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?????????? ?????????? ????????? ???????????:
при a0 = 1 > 0, Ю a1 = 0,3 > 0, a2 = 0,5 > 0, a3 = 0,05 + k > 0,
?2ґ2 = (0,15 - 0,05 - k) > 0, ? 3ґ3 = (0,15 Ч (0,05 + k)) - (0,05 + k)2 > 0.
??????, ??????????? ???????? ????????????? ????????????:
a3 = 0,05 + k > 0, Ю k > -0,05,
(0,15 - 0,05 - k) > 0, Ю k < 0,1,
(0,15 Ч (0,05 + k)) - (0,05 + k)2 > 0, Ю 0,005 + 0,05k - k2 = -(k + 0,05)(k - 0,1
5 + k)2 > 0, Ю 0,005 + 0,05k - k2 = -(k + 0,05)(k - 0,1) > 0.
?????: ????????? ??????? ?????????, ???? ??????????????? ??????????? -0,05 < k < 0,1.
2. ?? ???????????????? ???????? ?????????. ???????????? ?????? ???????? ? ?????????? ??????? ???????????? ?? ???? ? ?????????, ??????? ????????????? ?????????? ??????? ? ??????????.
????? ??????????? ??????? ?????? ???????????? ????????
Wр ( p) =
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3
0,00025s + 0,0285s2 + 0,36s + 1
.
???????? ???? ? ???? ?????? ??????? ? MATLAB ? ?????????????? ??????? > bode (???. 9.3).
?? ???????? ????????? ?????????? ??????, ??? ??????? ????
? ???? ?????????? ?????????????? ??? ?????? ? ????? ?p, ????????????? ??????? ???????????? ???????, ? ??????????? ????????
????? ??????? ?????????? ??????????? k??.
??????? ??? ?????????? k?? ???? ???????? (??. ???. 9.3)
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????????? ??????? ?? ???????? ? ?? ???? ? k??. ??????????? ????????, ??????????????? ????? ????, ???????? ???????????
20 lg kкр = 60 Ю kкр = 1000.
61
???? ? k??
Bode Diagram
Magnitude (dB)
40
???? ????????
20
0
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-20
Phase (deg)
-40
0
-45
-90
-135
-180
10-2
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10 -1
100
101
Frequency (rad/sec)
102
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????? ???????????? ?? ???? ?j = 45° ? ????????? D? = 20 ?? (??.
???. 9.3) ???????????? ?? ???????????????, ??????????? ?????????????? ???? ?? ????? ???? ??? w = 0 ? ????? ?? ????? ???? ???
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Ґ
Ґ
0
0
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62
U(s)
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Y(s)
W(s)
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?????? ????? ????? ??????????, ?????????????? ????????????? ?????????? ??????:
1) ?????? I1 ?? ????? ??????????? ? ?????????????? ??????????? ????????;
2) ????????????? ?????????? I2 ?? ????????????? ?????????
?????? ??????????;
3) ???? ???????? ?????? I2 ????? ??????????????? ??????????
????????? ? ?????? ???????????????? (???? ????????? ?????????
? ?????????).
??????????? 1 ? 2 ??? ?????? I1 ? I2 ?????????????? ????????????? ???????? I ? I?:
Ґ
Ґ
0
0
I = т e2 (t)dt, I ў = т e?2 (t)dt.
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???????
Ґ
(
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I + T12 I ў = т e2 + T12 e?2 dt.
0
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1. ????? ?????????? ?????????????? ??????? (????. 7.1) ? ??
??? ?????????? ?????????? ????????.
2.??????????? ?????????? ??????????? ???????? ???? ???????, ??????? ?? ?? ??????? ???????????? ? ?????????? k??.
3. ???????? ??????? ????????? ???????? ??????.
4. ???????? ?????? ?????? ??????? e(t). ?????????? ????? ???????????? ??????.
5.?????????? ??????????????? ???? ? ???? ? ?? ??? ???????
???????????? ???????, ?????????? ?????? ???????????? ?? ????????? ? ????, ??????????? ???????? ???????????? ???????? ??????? k??, ??????? ????? ???? w ср .
6.??? ?????????? ?????????? ???? ?????????? tp ? s.
63
8.????????? ?????????? ????????, ?????????? ????????????????? ????? ? ??????????.
??????????? ???????
1.???????????? ?????? ? ????????? ?????? ???????? ??????????? ????????.
2. ??? ??????????? ????? ???????????? ????????
3.?????? ??????? ????? ??????? ???????? ??????? ?? ???? ?
?????
4. ??? ???????????? ?????????? ??????????? ???????? ????????
64
???????????? ?????? ??10
????????? ?????? ??????????
???? ??????: ????????????? ? ????????????????? ???????????? ??????? ?????????????? ????????? ??????? ?? ????????????
? ???????? ?????? ???????. ??????????? ??????????? ??????????
???????????? ??????????.
??????? ? ??????? ????????? ??. ?????? ?????????????
????????? ??????? ?????????? ?????? ?????????? ?????????
?????????????? ???????, ?.?. ???????? ?????? ???????????? ? ?????????? ??????????? ????????. ????????? ??????? ????????? ?
??????? ??????? ??????, ??? ??? ??? ??????? ????????? ?????
????????, ????? ?????????????? ?????? ?????? ???? ??????? ?
??????? ??? ??????????? ???????? ?????????????.
?????? ??????????? ?????? ???????????? ? ?????????? ??????????? ???????? ?????????????? ?? ???? ?????????? ??????????????? ?????????????? ??????? ? ????? ???????????? ????????????? ?????????. ??? ????? ?????????? ???? ??????????????? ?
????????? ???????? ??, ???? ??????????? ??, ???? ?? ???? ???????? ??????? ???????? ?????.
? ?????????????? ??????? ????????? ??????? ??????????,
??????????? ?? ??????? ????????????? ? ???????????, ?? ???????
??????????? ???????????? ??????????? u(t) ?? ?????? ?? ????????? ??????????: ???????? ??????????? g(t), ?/??? ?????? ?????????? ????????? x(t) ?, ????????, ??????????? ??????????? f (t).
? ??????????? ?? ???? ???????????? ??????? ???????????? ????????? ?????????????? ??????: ???????????????? (?),
???????????? (?), ???????????????? (?). ??? ????????? ?????
???????? ??????? ?????????? ?????????? ????: ?-?????????,
?-?????????, ??-?????????, ???-?????????.
??????? ?????????? ? ????????????. ??????
??????? ??????? ???????????? ??? ????????????? ???????????
??? ???????, ??????????? ????? ??????? ???????? ?? ???. 10.1.
????? ?????? ?????????? ??????????? ???????????? ????????
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k0
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.
(10.1)
(T1s + 1)(T2s + 1)
65
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??????
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Y(s)
???. 10.1. ??????????? ????? ?? ? ???????????
? ???????? ???????????? ?????????? W???(s) ?????????? ???????????? ??? ???? ??????????? ? ????????????? ????????? ?
??????????? ??????????:
t
k
1
1
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0
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1
1
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0
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???? ??????????? ???????? ?????? ??????? (????????, ?? ??????? ??????????? ????????????? ??????????), ?? ??? ???????????
???????????? ??????? ????????? ????????? ?????????? ???????
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.
(T1 + T2 )(1 + kП k0 )
(10.2)
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?????????????????? ????????? ? ???? ??????
TИT1T2s3 + TИ (T1 + T2 )s2 + TИ s + k0 = 0.
??????? ????????? ???????? ?????????? ??????? ???????????
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k TT
TИ > 0 1 2 . T1 + T2
(10.3)
?? ????????????? ?????????? (10.2) ? (10.3) ???????, ??? ??? ??????? ? ??-??????????? ?????? ??????? ???????? ????? ????????, ?.?. ?????????? ??????? ??????????? ????? ?????????? ? ?????
??????? ???????? ??? ?????????? ????????????.
66
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??????? ????? ?????? ???????
T1T2 s2 + (T1 + T2 )s + (1 + k0 kП ) = 0. (10.4)
?????????????, ? ????? ?????? ????????????, ??????? ? ???????? ??????? ??????? ? ?-??????????? ????? ???????????? ?????
????????? ? ?- ? ??-????????????, ???????, ??????? ???????
???????, ???????????? ??????? ????????????.
?????? ???????? ??????? ??????????
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???????????? ????????? ?????? e(t) ? ????????? ??????? ?????? ???????. ?????? ??-?? ????????? ??????????? e(t) ? ????? ?????? ??????? ???????? ??????? ????????? ?? ???????? ?????????????? ??????
eуст = lim e(t).
t®Ґ
? ??????????? ?? ??????? ?????????????? ?????? ? ???????
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???????????? ?????????? ????? ??, ? ??????? ????????????
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????????????? ?????????? ????? ??, ? ??????? ??? ?????????
?????????? ????????? ???????? ??????????? ?? ?????? ?????????? ?????????? ???????????? ???????? ?? ?????????? ????????
?? ????????? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ????.
???????? ?????????????? ?????? ????? ?????????, ?????????
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eуст = lim e(t) = lim sE(s) = lim sG (s)Фе (s),
t®Ґ
s®0
s®0
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???????? ???????, ? ???????? ???????? ?????? ??????????? ??????
A
1
G (s) = L {g (t)} = L { A Ч1(t)} = ; Фe (s) =
? ??????s
1 + WОУ (s)Wpег (s)
?????? ??????? ??????.
??????? ????????? ???????????? ??????? ?????? ??? ????????? ????? ???????????:
67
??-????????? Фe (s) =
?-????????? Фe (s) =
?-????????? Фe (s) =
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TИ s(T1s + 1)(T2 s + 1) + k0 (kПTИ s + 1)
TИ s(T1s + 1)(T2 s + 1)
TИ s(T1s + 1)(T2 s + 1) + k0
(T1s + 1)(T2s + 1)
(T1s + 1)(T2s + 1) + kП k0
;
;
.
???????? eуст ??? ????????? ???????????:
??-????????? ? ?-????????? eуст = 0;
?-????????? eуст =
A
.
1 + kП k0
?????????????, ??? ??????????? ??????????? ??????? ????????
????????????, ???? ?? ???????????? ??????? ???????? ???? ?? ????
????????????? ?????. ???????, ? ????? ?????? ????????, ??????? ?
?- ? ??-???????????? ???????????????? ??????? ? ?-???????????.
????? ???????, ?????????? ? ??? ?? ???????????? ? ????????
?????????????. ??????? ??????? ??? ???????? ????? ????? ??????????, ??????? ??? ?????????? ??????? ???????????? ???????????? ?? ???????? ???????? ???????.
????? ??????????? ?????????? ???????????
??? ???????? ????????? ?? ?????? ?????? ?????????? ????????
? ??????????. ?????????? ???????? ????? ???????? ??????????
??????????, ??? ??????? ???????????? ???????????? ?????? ?????????? ???????????.
? ??????? ??????????, ??????? ??????????? ? ???????????? ??????, ?????????? ?????????? ???????? ?????????? ??????? ??????????? T?. ??? ?????? ?????????? ??????? ? ???????????? ???????? ?????? ???????????.
?????????????, ?????? ??????? ? ??????????? ????????????
???????? T????, ??? ??????? I = min. ? ???????? ????????????
?????????? ??????????????? ?- ? ??-??????????.
???????????? ???????????? ?????? ????? ???? ?????????? ??
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Ґ
I = т e12 (t)dt =
0
68
1
2?j
c+ jҐ
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??? ???????????? ????? ????? ??????? ???????? ??????? ?????, ??????? ?????????? ?? (10.5) ??????? s = jw:
I=
1
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2
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2
1
2
Фе ( jw ) G ( jw ) dw. 2? т
(10.6)
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2
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2
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2
=
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,
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n-1
n
A ( jw ) = a0 ( jw ) + a1 ( jw )
2n-2
+ ? + an-1 ( jw ) + an , (10.7)
2n-4
B( jw ) = b0 ( jw )
+ b1 ( jw )
+ ? + bn-2 ( jw ) + bn-1, (10.8)
?? ???????? (10.6) ??????????? ?? ???????
I=
1
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Ґ
т
-Ґ
B( jw )
(-1)n+1 Mn
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2a0 ?n
dw =
2
,
(10.9)
b0 b1 b2 ...bn-1
a1 a3 a5 ? 0
a0 a2 a4 ...0
a0 a2 a 4 ? 0
Mn = det
, ?n = det
.
......................
??????
0 0 0 an
0 0 0 ?0
??????. ??????? ??????????? ?????? E1 (s) ??? ?- ? ????????????? ?????????????? ??? T1 = T2 :
TИT12s2 + 2TИT1s + TИ
1
1
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;
?-????????? E1 (s) = Ч
s 1 + W0 (s)Wp (s) TИT12 s3 + 2TИT1s2 + TИ s + k0
??-????????? E1 (s) =
TИT12 s2 + 2TИT1s + TИ
TИT1s3 + 2TИT1s + TИ (1 + kП k0 )s + k0
.
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3
2
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69
4
2
B( jw) = TИ2T14 ( jw) - 2TИ2T12 ( jw) + TИ2 . (10.11)
?? ????????? (10.10) ? (10.11) ?????? ???????????? a ? b :
a0 = TПT12 , a1 = 2TПT1, a2 = TП (1 + kП k0 ), a3 = k0 ,
b0 = TИ2T14 , b1 = -2TИ2T12 , b2 = TИ2 .
??? ??????????? ?????? ????????????? ? (10.9) ??????? ????????? ???????????? ???????????? ??????
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.
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2k0 йл2TИ (1 + kП k0 ) - k0T1 щы
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?-????????? I =
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2k0 (2TИ - k0T1 )
.
(10.13)
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(3 + kП k0 )kПT1
,
2(1 + kП k0 )
(10.14)
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??? ???????????????? ? ??????????? ?????????? ????????????? ??????????? ??????? ???????????? ????????????? ????????
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?-????????? kИ =
2(1 + kП k0 )
kПT01 (3 + kП k0 )
,
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.
k0 еT01
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3.????????? ?.??.?VisSim + Mathcad + MATLAB.??????????? ?????????????? ?????????????.??.: ?????-?????, 2004.?384 ?.
4.??????? ?.??.??????? ??????????????? ??????????.????????:
???????????? ?????, 2007. 524 ?.
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43
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44
20
3
0,00025s + 0,0286s2 + 0,36s + 1
.
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???????? ??????
???????
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0
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k
Ts + 1
1
W ( s) =
k
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1
10
T
0,5
0,01
0,01
k
T
s
+
1
(1
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k
1
1
100
W ( s) =
3
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W ( s) =
5
W ( s) =
6
k
s(Ts + 1)
k
2 2
T s +1
k
T2 s2 + 2T?s + 1
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k
2 2
T s + 2T?s -1
W ( s) =
?????? ??????????
2
3
k
2
4
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1
, ? = 0,5
7
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k
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
T1
0,5
0,1
0,1
8
W (s) =
s+k
(T1s + 1)(T2s + 1)(T3s + 1)
T2
0,07
0,02
0,02
9
W (s) =
k
s(T1s + 1)(T2 + 1)(T3 + 1)
T3
0,003 0,001 0,002
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???????????? w, ?????? ?????? ???????????? ??????? pole(w),
???????? ?????????? ?????????????? step(w) (???. 7.4).
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>> pole(w)
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?100.4626
?9.9262
?4.0112
45
Step Response
20
18
16
Amplitude
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec)
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3. ??????? ???????????? (??????? ????????).
46
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47
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