close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

gerasimovzharinov

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2009
УДК 681.511.2
ББК 32.965.4
Л59
Рецензенты:
ФГУП «СПб ОКБ “Электроавтоматика” им. П. А. Ефимова»;
профессор Санкт-Петербургского государственного университета
информационных технологий, механики и оптики
доктор техн. наук А. Г. Коробейников
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Авторы: А. Н. Герасимов, Н. Н. Григорьева,
И. О. Жаринов, О. О. Жаринов, В. И. Исаков, А. Н. Кулин,
А. П. Орлов, А. П. Шепета
Л59 Линейные системы автоматического управления: учеб. пособие / А. Н. Герасимов, Н. Н. Григорьева, И. О. Жаринов,
О. О. Жаринов, В. И. Исаков, А. Н. Кулин, А. П. Орлов,
А. П. Шепета; Под общей ред. А. Н. Герасимова. – СПб.: ГУАП,
2009. – 232 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0415-9
Предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Теория автоматического управления» (специальности 210100, 210300,
181200, 330200, 200400), «Основы теории управления» (специальности 201300, 551500, 210000ВЦ, 190800), «Автоматика и управление».
В учебном пособии изложены основы теории линейных непрерывных систем автоматического управления. Рассмотрены различные способы математического описания, исследования устойчивости и оценивания показателей качества систем управления,
типовые методы синтеза корректирующих устройств линейных систем управления.
УДК 681.511.2
ББК 32.965.4
ISBN 978-5-8088-0415-9
© А. Н. Герасимов, Н. Н. Григорьева,
И. О. Жаринов, О. О. Жаринов,
В. И. Исаков, А. Н. Кулин, А. П. Орлов,
А. П. Шепета, 2009
© ГУАП, 2009
Светлой памяти
профессора В. А. Бесекерского
посвящается
Мне выпала большая честь передать приветствия авторам и всем читателям данной книги от сообщества ISA (the Instrumentation, Systems,
and Automation Society). Как президент ISA в 2009 году, я поздравляю
авторов книги “Линейные системы автоматического управления”, выходящей в свет в Санкт-Петербургском государственном университете аэрокосмического приборостроения (ГУАП). Настоящее учебное пособие
позволяет получить весь необходимый базис знаний по теории автоматических систем.
Дружественные отношения между
ГУАП и ISA продолжаются уже в течение многих лет. За это время были
успешно осуществлены многие программы, включающие стажировку студентов
и профессорско-преподавательского состава, ряд общественных мероприятий и
программ культурного обмена, призванных улучшить взаимопонимание между
людьми в мире.
Я желаю авторам книги успехов в их
действительно важной работе. Без сомнения, данная книга вносит свой вклад в
теорию систем автоматического управления и будет полезна в качестве учебного
пособия.
Джеральд В. Кокрелл, президент ISA
9 октября 2008 г.
It is indeed my honor to offer greetings from ISA, the Instrumentation,
Systems, and Automation Society. As ISA President for 2009, I would like
to commend the authors for publishing this book titled, «Linear Automatic
Control Systems» by A.N. Gerasimov, N.N. Grigorieva, I.O. Zharinov,
O.O. Zharinov, V.I. Isakov, A.N. Kulin, A.P. Shepeta. / Edited by prof.
A.N. Gerasimov, all of the Saint Petersburg State University of Aerospace
Instrumentation (SUAI). This book will offer a needed body of knowledge to
the automation field.
The friendship between SUAI and ISA is one that has been ongoing
for many years. It has been one of mutual support for various programs
including student and professor exchanges, society involvement, and
cultural exchanges to enhance understanding between members around the
world.
I wish the authors best wishes for success of this very important effort.
The field of automation will be enhanced greatly by the publication of this
book.
Gerald W. Cockrell, ISA President
9 October 2008
3
Предисловие
Системы автоматического управления (САУ) предназначены
для изменения состояния некоторого технического объекта заданным образом. Подобные системы широко применяются в промышленности и часто встречаются в быту. Это системы поддержания заданных температурных режимов на химических и пищевых производствах, разнообразные системы климат-контроля,
системы самонаведения на цель управляемых крылатых ракет
и т. д. Более того, практически любое сколько-нибудь сложное
электронное устройство обязательно содержит в своем составе несколько вспомогательных автоматических систем, которые призваны обеспечить корректную работу устройства при изменяющихся внешних условиях. Например, радио- и телевизионная
аппаратура окажется практически неработоспособной без подсистем автоматической подстройки частоты, автоматической регулировки усиления и т. п. Стабилизированные источники электропитания электронных устройств также представляют собой
системы автоматического регулирования.
Автоматические системы являются неотъемлемой частью разнообразных комплексов управления авиационными и космическими объектами. Не будет преувеличением сказать, что в этой
области системы управления достигли наивысшей степени развития, поскольку в силу специфики решаемых с их помощью задач
к ним предъявляются жесткие требования по надежности и точности работы в широком диапазоне изменения внешних условий
функционирования. Любой самолет буквально “напичкан” автоматическими системами. Достаточно назвать систему автоматического пилотирования, без которой современный летательный
аппарат вообще невозможно представить, она, в свою очередь, состоит из нескольких подсистем, каждая из которых требуемым
образом управляет заданным параметром полета (скоростью,
углами крена, тангажа и т. п.). Помимо этой основной САУ на
борту имеется и множество вспомогательных систем и подсистем
управления.
При проектировании и эксплуатации автоматических систем
недостаточно иметь только лишь общие представления о принципах функционирования входящих в состав САУ электронных
устройств, датчиков, исполнительных механизмов и других элементов. Это, конечно, является важным условием их правильного использования с инженерной точки зрения. Но если при соз4
дании или настройке автоматической системы исходить лишь из
интуитивных соображений, пусть даже и вполне разумных, ее
поведение в процессе работы может оказаться совсем не таким,
как ожидалось. Работа любой САУ описывается сложными математическими соотношениями, выводу которых предшествует
кропотливый анализ характеристик составляющих ее элементов
и способов взаимодействия между ними. Данное учебное пособие
посвящено рассмотрению математического аппарата, необходимого для анализа функционирования и оценивания показателей
качества линейных систем автоматического управления.
Линейные САУ представляют собой самый простой класс автоматических систем. Для таких систем выполняется принцип
суперпозиции: реакция системы на сумму нескольких входных
воздействий равна сумме ее реакций на каждое из этих входных
воздействий, если подавать их на систему по отдельности. Это существенно упрощает исследование системы при входных воздействиях сложного вида, если они могут быть представлены суммой
простых функций. Если же в систему входит хоть одно устройство, для которого принцип суперпозиции не выполняется, соответствующая САУ будет нелинейной, и принцип суперпозиции
для нее выполняться не будет. Поэтому нелинейные системы намного сложнее анализировать, чем линейные.
Данное учебное пособие задумано как первое из учебных пособий по теории автоматического управления. Здесь излагаются
основы теории линейных стационарных автоматических систем
непрерывного действия, которая является наиболее развитой и
стройной. Овладение этим материалом дает необходимый базис
для перехода к анализу более сложных автоматических систем –
импульсных, цифровых и нелинейных САУ, которые предполагается рассматривать в следующем учебном пособии. Авторы поставили перед собой цель сделать изложение как можно более доходчивым и наглядным, отобрав из всего накопленного к настоящему времени арсенала методов теоретического анализа линейных
САУ лишь те, что заслуживают наибольшего внимания на первом
этапе изучения предмета. Для формирования необходимых практических навыков в пособие включены многочисленные примеры
расчета характеристик разнообразных САУ при различных условиях их работы.
Изучение теории систем автоматического регулирования
предполагает предварительное овладение высшей математикой
в объеме подготовки технических вузов. Хотя необходимые све5
дения приводятся по ходу изложения материала, тем не менее, в
случаях затруднений будет полезно обратиться к учебным изданиям соответствующей направленности. Особое внимание нужно
обратить на разделы, посвященные дифференциальному и интегральному исчислению, дифференциальным уравнениям, функциям комплексной переменной, матричной алгебре (в первую очередь, разделам, посвященным приемам вычисления определителей матриц) и теории пределов.
Для удобства использования данного учебного пособия как теоретического руководства при моделировании систем автоматического управления в специализированных пакетах прикладных
программ разработки иностранных фирм, например Simulink в
составе Matlab производства The Mathworks Inc. и других, в
конце книги приведен краткий англо-русский словарь основных
терминов ТАУ.
6
1. Проблематика автоматического управления
1.1. Основные понятия и определения.
Примеры автоматических систем
Системы автоматического управления предназначены для изменения состояния некоторого технического объекта (или устройства) заданным образом. Этот объект в теории управления принято называть объектом управления (ОУ). Состояние ОУ характеризуется управляемой величиной, изменение которой во времени можно представить некоторой функцией времени y(t). Задача
управления состоит в том, чтобы, воздействуя на ОУ, обеспечить
изменение во времени управляемой величины y(t) в соответствии
с заданной функцией времени g(t), которая называется задающим воздействием и вырабатывается специальным источником
задающего воздействия. В частном случае, когда ставится задача
поддержания состояния ОУ неизменным, задающее воздействие
представляет собой некоторую константу g(t) = g0.
Математически задача, возложенная на систему управления,
состоит в том, чтобы в каждый момент времени обеспечивать формальное равенство y(t) = g(t). Необходимые воздействия на ОУ вырабатывает устройство управления (УУ), которое иногда называют регулятором. В подавляющем большинстве случаев системы управления строятся по структуре с обратной связью, когда
УУ вырабатывает управляющее воздействие на основе сравнения
задающего воздействия g(t) и текущего состояния ОУ y(t). Непрерывно анализируя соотношение между g(t) и у(t), УУ стремится
изменить величину y(t) так, чтобы она возрастала, если имеет
место неравенство y(t) < g(t), и убывала, если имеет место обратное неравенство y(t) > g(t). Заметим, что g(t) и y(t) могут представлять собой совершенно разные физические процессы: например,
задающее воздействие может представлять собой изменение напряжения во времени, а управляемой величиной при этом может
быть температура некоторого объекта. С точки зрения САУ, важно только, чтобы задающее воздействие g(t) и управляемая величина y(t) изменялись бы во времени одинаковым образом.
В качестве примера САУ с обратной связью рассмотрим систему управления баллистической ракеты, структурная схема которой с необходимыми пояснениями изображена на рис. 1. Одной из
множества задач управления является необходимость изменения
угла тангажа ракеты по определенной программе, которая в той
7
y
Ç
*ïð
ÃÏ
Ue
ÓÏ
*ð
x
ÐÌ
*ÐÌ
Рис. 1. Принцип построения САУ баллистической ракеты
или иной форме вырабатывается задатчиком З. Задатчиком является специальное вычислительное устройство, определяющее
необходимое программное значение угла тангажа ϑпр. Для измерения реального значения угла тангажа на борту ракеты установлен гироприбор ГП. Гироприбор представляет собой сложное
техническое устройство, но для рассмотрения принципа работы
САУ совсем не нужно вдаваться в физику процессов, протекающих внутри него, важно лишь то, что напряжение на его выходе
в любой момент времени пропорционально реальному углу тангажа ракеты ϑр.
С течением времени под влиянием ветра, несимметричности
тяги двигателей и бесчисленного множества других причин реальный угол тангажа ракеты ϑр отклонится от требуемого значения ϑпр. Разность между задающим воздействием и управляемой
величиной представляет собой ошибку управления ϑe = ϑпр–ϑр.
Ошибка преобразуется в разностный сигнал Uе, пропорциональный ошибке, который поступает на усилитель-преобразователь
УП, осуществляющий усиление сигнала Uе и, возможно, его преобразование в форму, необходимую для нормальной работы последующих устройств (например, может потребоваться преобразование рода тока: из постоянного в переменный или наоборот).
С усилителя сигнал поступает на привод рулевой машинки РМ,
которая отклоняет рули в нужную сторону. Рули, поворачиваясь
на некоторый угол ϑРМ, создают управляющее воздействие, изменяющее угол ϑp таким образом, чтобы уменьшить ошибку ϑe и, в
конечном итоге, свести ее к нулю.
Важно подчеркнуть, что независимо от причин, вызвавших
ошибку ϑe, ее появление неизбежно вызывает управляющее воздействие, устраняющее ошибку. Система управления автоматиче8
ски воздействует на объект управления с целью уменьшить ошибку, возникшую как за счет изменения задающего воздействия ϑпр
(при программной перестройке угла тангажа ракеты), так и при
любом возмущающем воздействии, изменяющем реальное состояние объекта управления независимо от задающего воздействия.
Очевидно, в рассматриваемой системе в качестве ОУ выступает ракета. В состав УУ входят все остальные компоненты системы: задатчик, гироприбор, элемент сравнения программного значения угла тангажа ϑпр с действительным ϑр, усилительпреобразователь, привод рулевой машинки, руль. Задающим
воздействием в данном случае выступает ϑпр, управляемой величиной является угол тангажа ракеты ϑр, к возмущающим воздействиям относятся неконтролируемые изменения тяги двигателей, ветер и т. п.
В ТАУ различают следующие разновидности автоматических
систем:
– системы автоматической стабилизации (если задачей САУ
является поддержание управляемой величины постоянной);
– системы программного управления (если управляемая величина должна изменяться во времени по заранее заданному закону);
– следящие системы (если закон изменения управляемой величины заранее неизвестен).
Принципиальной разницы между ними нет, отличия определяются лишь законом изменения функции g(t).
В общем случае функциональная схема любой САУ с обратной связью может быть представлена в виде, изображенном на
рис. 2.
Задающий элемент ЗЭ системы предназначен для преобразования задающего воздействия g(t), определяющего значение управляемой величины, в вид, удобный для последующего использоваg(t)
ÝÑ
ÇÝ
e(t)
ÓÏ
Îáðàòíàÿ ñâÿçü
ÈÓ
ÎÓ
y(t)
ÈÝ
Óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî
Рис. 2. Обобщенная схема замкнутой САУ
9
ния (чаще всего это электрическое напряжение). Для этой же цели
служит и измерительный элемент ИЭ, который может, например,
преобразовывать давление, угол поворота, температуру объекта и
т. д. в напряжение. Элемент сравнения ЭС предназначен для создания разностного сигнала (сигнала ошибки) e(t) = g(t)–y(t). Часто
элемент сравнения конструктивно объединен с задающим и измерительным элементами.
Усилитель-преобразователь УП формирует закон управления
(например, помимо значения самой ошибки, для формирования
управляющего воздействия может быть использовано и значение
ее первой производной по времени с тем, чтобы улавливать тенденции к изменению ошибки от нулевого значения и своевременно их подавлять) и преобразовывает сигнал в вид, удобный для
управления исполнительным устройством ИУ. Исполнительное
устройство прикладывает к объекту управления ОУ такое управляющее воздействие, которое стремится свести величину ошибки к нулю. С выхода ОУ сигнал, пропорциональный управляемой
величине y(t), по цепи обратной связи ОС поступает на ЭС. Таким
образом, контур управления в системе, показанный на рис. 2,
оказывается замкнутым, а данная САУ является замкнутой автоматической системой.
Принцип действия САУ с обратной связью (такие САУ еще
называют замкнутыми системами автоматического управления) основан на использовании для управления сигнала ошибки
e(t) = g(t)–у(t). Подчеркнем, что независимо от причин, вызвавших отклонение управляемой величины от заданного значения,
появление ошибки в таких системах вызывает управляющее воздействие, стремящееся эту ошибку устранить.
Принцип обратной связи — не единственный принцип создания автоматических систем. Они могут работать и по разомкнутому циклу. В разомкнутых автоматических системах исполнительное устройство воздействует на объект управления в зависимости не от ошибки, а непосредственно от задающего воздействия
g(t) и возмущающих воздействий f1(t), f2(t), …, fm(t) (рис. 3).
В подобных системах управляющее устройство не получает
информации об отклонении управляемой величины от заданного
ее значения, так что процесс работы этой системы не зависит непосредственно от результата воздействия на объект управления.
Происходит лишь компенсация действия на объект тех факторов,
дестабилизирующее влияние которых очевидно и в силу этого может быть просчитано заранее. В реальности неизбежны отличия
10
f 1(t)
g(t)
ÇÝ
...
f2(t)
fm –1(t)
f m (t)
...
ÈÝ1
ÈÝ2
...
ÈÝm– 1
ÈÝm
ÓÏ 1
ÓÏ2
...
ÓÏm–1
ÓÏm
+
+
...
+
ÓÏ
ÈÓ
ÎÓ
y(t)
Óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî
Рис. 3. Обобщенная схема САУ, работающей по разомкнутому циклу
характеристик воздействий от расчетных данных, поэтому точность работы таких систем обычно невысока. При прочих равных
условиях система, работающая по разомкнутому циклу, получится намного сложнее и дороже, чем замкнутая, поскольку значение
управляемой величины зависит от многих факторов, и для компенсации влияния каждого из них приходится вводить много связей между воздействиями на объект и его входными величинами.
Кроме того, для полной компенсации воздействий, действующих
на объект, в разомкнутой системе усилители-преобразователи
должны иметь нелинейные характеристики сложного вида, в которых были бы учтены все особенности физического механизма
воздействия на объект конкретного дестабилизирующего фактора. В противоположность этому, замкнутая система совсем не
нуждается в информации о причинах, вызвавших отклонение
управляемой величины от задающего воздействия.
Разомкнутые системы в чистом виде из-за присущих им недостатков на практике используются редко и в не слишком ответственных случаях. Тем не менее, принцип управления по разомкнутому циклу находит применение в комбинированных автоматических системах, в которых одновременно используется
управление по разомкнутому и замкнутому циклам. При этом
11
управление по разомкнутому циклу “избавляет” систему от больших по величине возмущений, дестабилизирующее действие которых на ОУ предельно очевидно, а управление по обратной связи
осуществляет точную подстройку состояния объекта управления
под задающее воздействие.
1.2. Показатели качества автоматических систем
Основными показателями качества, характеризующими любую САУ, являются устойчивость, точность и быстродействие.
Устойчивость. Управляющее устройство автоматической системы должно таким образом воздействовать на объект управления, чтобы ошибка системы стремилась к нулю. При некорректном соединении элементов системы или неправильном выборе
их параметров ошибка системы в процессе ее работы может не
уменьшаться, а увеличиваться, даже при постоянном значении
задающего воздействия. В этих случаях говорят, что система неустойчива.
Математически строгое определение устойчивости, пригодное для всех типов автоматических систем, дать трудно. Понятие устойчивости можно проиллюстрировать на примере оценки
устойчивости положения равновесия шара (рис. 4).
В каждом из трех показанных случаев шар в принципе может
оставаться неподвижным сколь угодно долго. Но каждому интуитивно понятно, что положение равновесия 1 является устойчивым, 2 — неустойчивым, а положение шара 3 можно назвать нейтральным. По аналогии с такой трактовкой, устойчивость САУ
можно определить, как способность системы самостоятельно возвращаться к положению равновесия (которое соответствует ситуации, когда состояние объекта управления не изменяется), если
она до этого принудительно была из него выведена. Таким образом, САУ, в которой процессы при отклонении системы от положения равновесия протекают так, как показано на рис. 5, а, будет считаться устойчивой, а если так, как на рис. 5, б, — неустойчивой. Неустойчивая система управления не может выполнять
Рис. 4. Иллюстрации к понятию устойчивости САУ
12
а)
б)
e(t)
e(t)
1
1
t
0
2
t
0
2
Рис. 5. Характер изменения ошибки в устойчивых (а)
и неустойчивых (б) САУ
своих функций. Неустойчивая система — это неработоспособная
система.
Точность. В идеальной САУ ошибка равна нулю в любой момент времени при любых условиях ее функционирования. Разумеется, эта ситуация недостижима. Реально САУ неизбежно
допускает ошибки, в общем случае тем более значительные, чем
быстрее меняется либо задающее воздействие, либо состояние
объекта управления под воздействием внешних дестабилизирующих факторов. Величина ошибки управления существенно зависит от вида функции g(t), описывающей задающее воздействие.
Даже для устойчивой системы всегда можно подобрать такое задающее воздействие, при котором она просто не будет успевать
соответствующим образом изменять состояние объекта управления, и ошибка в САУ с течением времени будет увеличиваться.
Это не противоречит определению устойчивости, поскольку при
снятии “плохого” задающего воздействия устойчивая автоматическая система через какое-то время самостоятельно уменьшит
ошибку до малой величины.
При описании поведения САУ различают понятие ошибки в переходном и установившемся режимах. Переходному режиму работы САУ соответствует некоторый интервал времени после резкого (скачкообразного) изменения задающего воздействия и/или
состояния ОУ. В переходном режиме ошибки могут быть значительными. Если величина задающего воздействия далее остается
неизменной, то ошибка в устойчивой системе будет уменьшаться
примерно так, как показано на рис. 5, а: либо по траектории 1, либо по траектории 2. По истечении некоторого времени (теоретически при t→∞) ошибка достигнет установившегося значения и более меняться не будет. Такой режим называется установившимся, а ошибка, соответственно, — установившейся ошибкой eуст.
13
В идеальном случае eуст = 0. В некоторых системах eуст остается
конечной, хотя и малой по величине. Значение установившейся
ошибки является важным количественным показателем качества, по которому сравнивают различные САУ.
Быстродействие. Поведение устойчивой САУ в переходном
режиме может быть различным, но ясно, что чем быстрее уменьшается ошибка, тем лучше система. Формально установившийся режим наступает лишь теоретически, при t→∞. На практике
быстродействие обычно оценивают по длительности переходного
процесса в автоматической системе, при скачкообразном изменении задающего воздействия от одного постоянного уровня g0 к
другому g1 (g1 = g0+∆g):
ìg0 ïðè t < t0
ï
g (t) = ï
.
í
ï
ï
îg1 ïðè t ³ t0
Без потери общности можно положить g0 = 0, g1 = 1 и t0 = 0.
При этом предполагается, что до скачка задающего воздействия
система находилась в равновесии (т. е. выходное состояние ОУ
было неизменным). Начальное неизменное состояние ОУ условно
можно принять равным нулю: y0 = 0. Через какое-то время, если САУ устойчива, состояние объекта управления установится
на новом равновесном значении y1. В идеальной системе установится y1 = g1, в других системах y1≠g1, т. е. в них имеется некоg(t),
y(t)
y(t)
g(t)
2$ y
eóñò
g1
t0
t
0
tï
Рис. 6. Определение основных параметров САУ по переходной
характеристике
14
y1
торая остаточная ошибка eуст = g1–y1. Длительность переходного
процесса tп определяется как интервал времени от момента скачкообразного изменения входного воздействия (момент времени t0)
до момента, после которого все последующие значения выходного процесса y(t) отличаются от значения y1, которое установится
в пределе, при t→∞, не более чем на некоторую оговоренную величину ∆y. В качестве допустимой величины порогового уровня
∆y чаще устанавливают значение 5% от установившейся величины y1, реже принимают в качестве допустимого значения уровень
1% от y1. Формально можно записать
tп: y1–∆y < y(t) < y1+∆y при ∀t > tп,
где для 5%-го порога задается ∆y = 0,05y1, для 1%-го — ∆y = 0,01y1.
Вышеизложенное проиллюстрировано на рис. 6.
1.3. Задачи теории автоматического управления
В теории автоматического управления разрабатываются методы:
– синтеза, позволяющие выбрать схему взаимодействия элементов автоматической системы, а также их характеристики и
параметры таким образом, чтобы САУ удовлетворяла заданным
требованиям ее поведения в переходных и установившихся режимах;
– анализа автоматических систем, позволяющие определить,
удовлетворяет ли спроектированная система заданным требованиям, и показывающие пути улучшения ее точности и динамических характеристик;
– коррекции автоматических систем, позволяющие изменять
их точностные и динамические характеристики в нужном направлении;
– математического и компьютерного моделирования систем
управления;
– экспериментального исследования и наладки автоматических систем.
Главная задача ТАУ — это задача синтеза, при решении которой неизбежно приходится обращаться и к методам анализа автоматических систем, и к методам их коррекции, а также осуществлять моделирование их работы.
Теория автоматического управления является прикладной наукой. Трудность решаемых ею задач привела к необходимости использования сложного математического аппарата. Решение мно15
гих задач автоматического управления невозможно без применения ЭВМ. В настоящее время они используются как для проведения расчетов автоматических систем на этапах проектирования и
осуществления моделирования их работы, так и включаются непосредственно в контур управления в цифровых автоматических
системах. Вычислительные машины стали неотъемлемой частью
современных систем управления. Разработка машинных методов проектирования автоматических систем и методов построения САУ, включающих в себя микропроцессоры и ЭВМ, является одной из актуальных задач ТАУ на современном этапе ее развития. В данном учебном пособии вопросы построения систем с
микропроцессорами в контуре управления не рассматриваются,
поскольку такие системы, строго говоря, не принадлежат к классу линейных.
16
2. Математический аппарат,
применяемый для описания
линейных автоматических систем
Теория автоматического управления применяется в первую
очередь для изучения динамических процессов, протекающих
в автоматических системах, и оценивания ошибки в установившихся режимах. Для описания предмета изучения применяется
также обобщающий термин движение автоматических систем,
под которым понимается изменение во времени координат, характеризующих состояние системы. Такими координатами могут быть, например, углы поворота летательного аппарата относительно центра масс, координаты центра масс летательного аппарата, напряжение на выходе усилителя, ток нагрузки, вращающий момент, развиваемый исполнительным двигателем, и т. д.
Состояние ОУ тоже является одной из таких координат.
Движение автоматической системы математически описывается системой дифференциальных уравнений. В зависимости от
решаемых задач и методов исследования используются различные формы представления уравнений, описывающих движение
системы. Однако их составлению предшествует кропотливая работа, заключающаяся в детальном анализе каждого элемента,
входящего в состав системы, и связей между всеми ее элементами.
2.1. Статические и динамические характеристики
Изучение функциональной схемы автоматической системы
(см. рис. 2) показывает, что всякая САУ состоит из некоторых
типовых по их назначению функциональных элементов, как то:
источника задающего воздействия, элемента сравнения, усилительного (или усилительно-преобразовательного) устройства, исполнительного устройства, измерительного элемента и объекта
управления. Кроме того, для улучшения качества работы автоматических систем в их состав вводят дополнительные корректирующие устройства (на рис. 2 не показаны). Каждый функциональный элемент схемы САУ — элемент автоматики — представляет
собой более или менее сложное техническое устройство, у которого можно выделить вход и выход.
Условно любой элемент автоматики представляется в виде
прямоугольника (рис. 7), на вход которого подается сигнал xвх(t),
а на выходе имеется получившаяся в результате преобразования
17
f(t)
xâõ(t)
xâûõ(t)
Рис. 7. Обобщенная модель
элемента автоматики
выходная реакция хвых(t); кроме
того, на элемент могут действовать
внутренние или внешние возмущения, каждое из которых также описывается некоторой функцией времени f(t). Все указанные величины
в реальных условиях работы непре-
рывно изменяются.
Например, входной величиной усилителя напряжения является электрическое напряжение Uвх(t), выходной — также напряжение Uвых(t); входной величиной электродвигателя является напряжение U(t), подводимое к его обмотке управления, выходной
величиной — скорость вращения его ротора Ω(t); входной величиной гироприбора (см. рис. 1) является угол относительно выбранного направления в пространстве (т. е. вход элемента автоматики — это не обязательно какое-то проводное соединение), а
выходной — напряжение и т. д.
Взаимосвязь между выходной величиной элемента автоматики и его входной величиной может быть представлена некоторой
совокупностью математических соотношений. В ТАУ изучают
лишь характер этих соотношений — они определяют модель типа “вход-выход”, в то время как назначение, принцип действия,
конструкция и прочие технические особенности физической реализации элемента автоматики считаются несущественными.
Когда технический объект рассматривается в рамках математической модели “вход-выход”, его называют динамической системой. Динамической системой, таким образом, можно называть и
систему управления, и каждый ее элемент по отдельности; отличие состоит лишь в масштабах описываемого объекта. Для определенности, когда речь идет о сравнительно простом элементе автоматики, его называют динамическим звеном.
При получении соотношений для модели “вход-выход” различают два случая:
1) когда зависимость выходной величины элемента автоматики от входной соответствует установившемуся режиму;
2) когда эта зависимость соответствует переходному режиму.
В первом случае зависимость выходной величины от входной
представляет собой так называемую статическую характеристику элемента, во втором случае — его динамическую характеристику. Например, статическую характеристику электродвигателя постоянного тока легко получить, последовательно подавая на
18
его обмотку различные напряжения и измеряя при каждом приложенном напряжении установившееся значение скорости вращения его ротора. При этом каждый раз нужно обязательно выжидать некоторое время, пока двигатель полностью раскрутится, — это и соответствует его установившемуся режиму. После
серии таких экспериментов зависимость легко строится “по точкам” и при необходимости аппроксимируется некоторой функциональной зависимостью Ωуст = f(U), которая и будет представлять
собой статическую характеристику. Под динамической характеристикой двигателя следует понимать процесс изменения скорости вращения его ротора во времени Ω(t) после приложения к нему напряжения U, т. е. “разгонную” кривую, по которой видно,
каким именно образом скорость вращения изменяется от нуля до
установившегося значения.
Статическая характеристика элемента автоматики описывается алгебраическим соотношением xвых = f(xвх). Здесь видно,
что в установившемся режиме входная и выходная величины не
изменяются во времени. По виду статической характеристики
элементы автоматики подразделяют на две группы — линейные
звенья и нелинейные звенья.
Статическая характеристика линейного звена представляет
собой прямую линию во всем диапазоне изменения входной и выходной величины. Математически она может быть представлена
совсем простой формулой хвых = kхвх, коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом передачи звена и представляет собой число, имеющее размерность [k]  =  [xвых]⋅[xвх]–1.
Например, коэффициент передачи электронного усилителя является безразмерным, а коэффициент передачи электродвигателя
измеряется в [(об/мин)⋅В–1] (или в [град/с)⋅В–1]). Знание значения
коэффициента передачи звена позволяет очень просто рассчитывать поведение объекта в установившемся режиме. Например, если известно, что коэффициент передачи электродвигателя постоянного тока равен 100 (об/мин)⋅В–1, то можно утверждать, что при
его подключении к источнику напряжением 27 В установившееся значение скорости вращения ротора составит 2700 об/мин.
Статическая характеристика нелинейного звена в общем
случае имеет вид xвых = f(xвх), где f(х) — некоторая нелинейная
функция своего аргумента. Например, у большинства измерителей угловых перемещений зависимость выходного напряжения
от измеряемого угла Uвых(ϑвх) имеет вид Uвых = ksin(ϑвх). Важно
заметить, что статические характеристики звеньев замкнутых
19
автоматических систем должны быть обязательно нечетными
функциями, т. е. обладать свойством f (-x) = -f (x). Физически
это означает, что с изменением знака входной величины звена изменяется знак его выходной величины, что принципиально необходимо для функционирования замкнутых автоматических систем.
Линейные автоматические системы, рассматриваемые в данном учебном пособии, характерны тем, что они состоят исключительно из линейных динамических звеньев. В силу этого для
подобных систем (как и для каждого из ее звеньев) справедлив
ïì N
ïü N
принцип суперпозиции A ïí å xâõ k ïý = å A xâõ k , где оператор
ïï
ïï
îk=1
þ k=1
A{…} обозначает реакцию системы на входное воздействие, т. е.
xвых = A{xвх} — реакция системы на сумму нескольких входных
воздействий будет равна сумме ее реакций на каждое из этих
входных воздействий, поданных на ее вход каждое по отдельности. Это существенно упрощает исследование системы при задающих воздействиях сложного вида, если они могут быть представлены суммой простых функций. Если же в систему входит хотя
бы одно звено с нелинейной статической характеристикой, соответствующая САУ будет нелинейной. Для таких систем принцип
суперпозиции не выполняется, поэтому их намного сложнее анализировать, чем линейные.
Идеальных линейных устройств не существует, даже самое
совершенное с технической точки зрения устройство неизбежно
обладает нелинейностью типа “ограничение”, как показано на
рис. 8. Тем не менее, в некотором диапазоне входных воздействий
достаточно многие устройства могут считаться линейными. Даже характеристика с нелинейноx âûõ
стью более сложного вида, например Uвых = ksin(ϑвх), может быть
приведена к линейной: при малых ϑ справедливо приближение
–x âõ max
x âõ
sin(ϑ)≈ϑ, и для всех расчетов можx âõ max
но принять Uвых = kϑвх. Но при
разработке и эксплуатации САУ,
если она была рассчитана в линейном приближении, необходимо
Рис. 8. Статическая
следить за тем, чтобы все устройхарактеристика
ства, входящие в систему, работа-
{
с ограничением
20
}
ли бы в диапазоне воздействий, соответствующем их линейному
режиму.
Динамическая характеристика элемента автоматики определяется дифференциальным уравнением, описывающим динамические процессы в этом элементе. Например, часто используемый
в электронных узлах автоматических систем RC-фильтр нижних
частот описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка
Tô
dUâûõ (t)
dt
+ Uâûõ (t) = Uâõ (t),
где Tф — некоторая положительная константа, называемая постоянной времени* фильтра. Уравнением в точно такой же форме:
Tä
dΩ ä (t)
dt
+ Ω ä (t) = käUóïð (t),
где Тд и kд — некоторые положительные константы, описывается
процесс изменения скорости вращения ротора электродвигателя
постоянного тока Ωд под действием приложенного его к клеммам
управляющего напряжения Uупр. Поэтому RC-фильтр нижних
частот и электрический двигатель, несмотря на их принципиально разное устройство, обладают идентичными (с точностью до
числовых значений параметров) динамическими характеристиками и в силу этого относятся к одной и той же группе динамических звеньев автоматики.
Динамические характеристики элементов автоматики определяются решениями их дифференциальных уравнений при типовых входных воздействиях. В качестве таких типовых воздействий используются:
– единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда)
ïì0 ïðè t < 0
1(t) = ïí
,
ïïî1 ïðè t ³ 0
* Несколько необычно звучащее выражение “постоянная времени” соответствует англоязычному термину “time constant”. Постоянная времени представляет собой константу, имеющую размерность времени (т. е. [T] = [с]), поэтому в
формулах ее традиционно обозначают буквой T с каким-либо нижним индексом,
отражающим принадлежность этого параметра к конкретному устройству. В некоторых случаях постоянную времени обозначают также буквой t.
21
ì¥ ïðè t = 0
ï
– дельта-функция (функция Дирака) δ (t) = ïí
, при
ï
¥
ï
î0 ïðè t ¹ 0
условии ò δ (t)dt = 1.
-¥
Соответственно, реакция динамического звена на единичную
ступенчатую функцию определяет переходну¢ю характеристику (или переходную функцию) звена, а его реакция на дельтафункцию определяет импульсную характеристику (иногда ее
называют весовой функцией или функцией веса) звена. Для этих
характеристик используются следующие обозначения:
– переходная характеристика (переходная функция)
h(t) = A{1(t)};
– импульсная характеристика (весовая функция)
w(t) = A{δ(t)}.
Используя
известное
из
математики
соотношение
1(t) =
t
ò δ (τ)dτ,
а также одно из свойств линейности — резуль-
-0
тат действия нескольких линейных операторов на функцию не
зависит от последовательности их применения — нетрудно сделать вывод, что для любой линейной динамической системы ее
импульсная и переходная характеристики однозначно взаимосвязаны:
h (t) =
t
ò w(τ)dτ;
-0
w(t) =
dh (t)
.
dt
Кроме того, каждая из этих характеристик для линейного звена автоматики математически однозначно связана с его дифференциальным уравнением, поэтому полное описание свойств линейных динамических систем достигается любым из способов:
дифференциальным уравнением, переходной функцией h(t) или
весовой функцией w(t).
Достоинство переходной характеристики h(t) состоит в том,
что она легко может быть зарегистрирована экспериментально
для любого исследуемого элемента автоматики. Однако ее очень
неудобно использовать в дальнейших расчетах, которые необходимы при анализе и синтезе систем автоматического управления.
Немногим лучше в этом плане обстоит дело и при оперировании
импульсной характеристикой w(t). В самом деле, реакция xвых(t)
22
любого линейного устройства автоматики на входное воздействие
xвх(t) определяется интегралом свертки вида
¥
xâûõ (t) =
ò
w(τ )xâõ (t - τ )dτ.
-¥
И если для решения задачи анализа (определение xвых(t) по заданным w(t) и xвх(t)) это выражение в принципе еще может быть
использовано, то при решении задачи синтеза (определение w(t)
по заданным xвых(t) и xвх(t)) в общем случае возникают практически непреодолимые математические затруднения.
Конструктивный путь решения всех перечисленных ранее задач ТАУ состоит в использовании математического аппарата преобразований Лапласа. Преобразование Лапласа позволяет не только существенно упростить необходимые аналитические выкладки, но и определяет взаимосвязь между экспериментально измеряемыми характеристиками элементов автоматики и их математическими моделями, используемыми при анализе и синтезе САУ.
2.2. Преобразование Лапласа и его свойства
Преобразование Лапласа, которое можно формально вычислить для любой заданной аналитически функции времени x(t),
растущей не быстрее экспоненты (строго говоря, условия корректного применения преобразования Лапласа являются более
сложными, но все эти условия и ограничения носят, в основном,
чисто теоретический характер), определено так:
¥
X ( p) = ò x (t)e- pt dt.
0
Результатом вычисления интеграла преобразования Лапласа является функция X(p), которая часто называется изображением функции x(t) по Лапласу, саму функцию x(t) в этом контексте называют оригиналом. Переменная p (в некоторых книгах эта
переменная обозначается буквой s), от которой зависит полученная функция, является комплексной, имея формат p = c+jw, где
c — некоторая константа, необходимая для формальной сходимости интеграла, а собственно переменной величиной является
w. В практике исследования САУ в реальных условиях их функционирования обычно не возникает проблем, если принять с = 0,
что в большинстве случаев и подразумевается.
23
Для краткости изложения прибегают к операторной форме записи прямого преобразования Лапласа в виде X(p) = L{x(t)}. Имеется также и обратное преобразование Лапласа, позволяющее
по заданному изображению X(p) вычислить соответствующий ей
оригинал — функцию времени x(t):
x (t) =
1
2πj
c+ j¥
ò
X ( p)e pt dp.
(1)
c-j¥
В операторной форме соотношение (1) записывается так:
x(t) = L–1{X(p)}.
Вычисление обратного преобразования Лапласа существенно
упрощается, если X(p) представлена в форме дробно-рациональной
функции вида
X ( p) =
b0 pm + b1 pm-1 + b2 pm-2 +  + bm-1 p + bm
d0 pn + d1 pn-1 + d2 pn-2 +  + dn-1 p + dn
.
В этом случае оригинал х(t) рассчитывается по формуле разложения Хевисайда:
n*
 ∂ni −1

1

,
x (t) = ∑
( p − pi )ni X ( p)e pt 
(2)

n
−
1
n −1) !  ∂p i
i=1 ( i
 p= pi
(
)
где pi, i = 1, 2, …, n* — разные корни уравнения D(p) = 0, где
D(p) — полином в знаменателе X(p), т. е. уравнения
d0pn + d1pn–1 + d2pn–2 +…+ dn–1p + dn = 0,
а ni — кратность i-го корня pi (т. е. количество одинаковых корней, равных pi). Суммирование в (2) производится по разным корням, поэтому при наличии одинаковых корней количество слагаемых в сумме будет меньше, чем порядок полинома функции
D(p), т. е. n* < n, заметим, что
n*
å ni = n.
i=1
Конечно, взятие производных высоких порядков от сложной
функции, фигурирующей в (2), тоже может оказаться затруднительно, тем не менее, решение так или иначе будет, тогда как
аналитическое вычисление интеграла обратного преобразования Лапласа может оказаться невозможным. Поэтому даже когда функция-изображение X(p) в силу каких-либо причин оказывается заданной не в дробно-рациональной форме, ее приводят к
24
этой форме путем разложения “неудобных” компонентов в ряд по
степеням p.
В случае, когда кратных корней нет (т. е. все корни уравнения
D(p) = 0 разные, кратность каждого корня равна единице), формула разложения существенно упрощается и представляется в
виде
n
(
x (t) = å ( p - pi )X ( p)e pt
i=1
) p= p . (3)
i
Кроме того, в этом случае можно использовать и другой способ
нахождения оригинала:
n
x (t) = å
B( pi )
i=1 ∂D ( p)
∂p p= p
e pit , (4)
i
где B(p) — полином в числителе исходной функции X(p). Нетрудно видеть, что в этом случае слагаемых всегда n, а вычислять необходимо только первую производную от полиномиальной функции D(p).
Вариант разложения (3) предпочтителен при аналитических
выкладках, поскольку сразу же сокращается сомножитель (p–pi),
имеющийся и в числителе, и в знаменателе дробно-рациональной
функции (при представлении полинома D(p) в виде D(p) = d0(p–p1) ´
´ (p–p2)…(p–pn–1)(p–pn), что всегда возможно, согласно теореме
Безу). Вариант (4) больше подходит при расчетах оригинала на
ЭВМ, когда корни полинома D(p) определяются численными методами, поскольку при непосредственном использовании (3), если не принять специальных мер, вполне вероятно возникновение неопределенности вида 0/0, и, как следствие, компьютерная
программа вместо результата вычислений выдаст уведомление об
ошибке.
При применении всех формул разложения наиболее трудоемкой является процедура поиска корней знаменателя функцииизображения X(p).
В Приложении приведена таблица преобразований Лапласа
для некоторых функций, часто применяемых в практике анализа динамических систем.
Использование пары преобразований Лапласа (прямого и обратного) открывает возможность исследования САУ посредством
25
перехода из временно¢й области в пространство изображений по
Лапласу, выполнения всех необходимых промежуточных вычислений в этой области, где они в силу ряда свойств преобразования
Лапласа оказываются намного проще, и обратного перехода в область времени для представления полученного результата. Ниже
описываются эти свойства.
Свойства преобразования Лапласа.
1. Свойство линейности. Изображение по Лапласу от суммы нескольких функций будет равно сумме изображений по
Лапласу от каждой из этих функций, взятых по отдельности:
 N
 N
L  ∑ xk (t) = ∑ L xk (t) . Свойство линейности справедливо и


k=1
 k=1
для обратного преобразования Лапласа.
2. Теорема дифференцирования. Если X(p) = L{x(t)}, то
ïì dk x (t)ïü
ïý = pk X ( p)- pk-1x (0)- pk-2 x (0)- - px(k-2) (0)- x(k-1) (0),
L ïí
ïï dtk ïï
îï
þï
{
}
где x(0), x (0), , x(k–2)(0), x(k–1)(0) — начальные условия (значения функции-оригинала и ее производных до (k–1) включительно в момент времени t0 = 0). В важном частном случае, при нуле(0) = 0, ,
вых начальных условиях (т. е. при x(0) = 0, x (0) = 0, x
x(k–1) = 0) изображение по Лапласу k-й производной от x(t) будет
равно pkX(p).
3. Изображение интеграла свертки. Если к обеим частям уравнения, заданного во временной области в виде
¥
xâûõ (t) =
ò
w(τ )xâõ (t - τ ) dτ, применить оператор преобразова-
-¥
ния Лапласа, то будет справедливо равенство
Xвых(p) = W(p)Xвх(p),
где Xвых(p) = L{xвых(t)}; Xвх(p) = L{xвх(t)}; W(p) = L{w(t)}.
4. Теорема о начальном и конечном значениях. Если X(p) есть
изображение по Лапласу от некоторой функции x(t), для которой
существуют пределы lim (x (t)) и lim (x (t)), то справедливы слеt®¥
дующие равенства: t®0
lim (x (t))= lim (pX ( p));
t®0
p®¥
lim (x (t))= lim (pX ( p)).
t®¥
26
p®0
Таким образом, свойство 3 открывает возможность решать
задачу анализа поведения динамического звена, описываемого
функцией w(t), выполняя следующую последовательность вычислений: W(p) = L{w(t)}, Xвх(p) = L{xвх(t)}, Xвых(p) = W(p)Xвх(p),
xвых(t) = L–1{Xвых(p)}. И, соответственно, решение задачи синтеза схематично представляется так: Xвх(p) = L{xвх(t)},
Xвых(p) = L{xвых(t)}, W(p) = Xвых(p)/Xвх(p), w(t) = L–1{W(p)}. Соотношения теоремы о конечном значении часто используется для
анализа установившихся режимов САУ, в частности для определения значения установившейся ошибки eуст.
Нетрудно видеть, что в пространстве изображений по Лапласу функция W(p) полностью определяет свойства динамического
звена. Функция W(p) называется передаточной функцией (ПФ)
динамического звена.
2.3. Передаточная функция
Вышеизложенное позволяет сформулировать два одинаково
приемлемых определения ПФ линейной динамической системы
(звена):
1) передаточной функцией называется изображение по Лапласу от импульсной характеристики системы: W(p) = L{w(t)};
2) передаточной функцией называется отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов системы:
X
( p)
W ( p) = âûõ
.
Xâõ ( p)
Так же как и дифференциальное уравнение, пф любого
устройства может быть получена аналитически в результате анализа взаимосвязей физических величин, характеризующих его
функционирование. Однако это требует значительных усилий,
да и сама такая возможность имеется нечасто. Обычно на практике приходится довольствоваться лишь данными экспериментальных измерений характеристик устройства (в частности, его
переходной характеристики) и строить модель динамического
звена лишь по этим данным. Если использовать введенные выше
dh (t)
определения W(p), формулу w(t) =
и теорему дифференциdt
рования, то можно получить соотношения, связывающие пф динамического звена W(p) и его переходную характеристику h(t):
W ( p) = pL {h (t)};
27
ïì W ( p)ïüï
h (t) = L-1 ïí
ý 1(t).
ïïî p ïïþ
Предполагается, что h(t) = 0 при t < 0; этим же объясняется
и умножение результата вычисления обратного преобразования
Лапласа на единичную ступенчатую функцию 1(t) во втором выражении. В дальнейшем изложении, чтобы не загромождать формулы, формальное умножение h(t) на 1(t) будем опускать, полагая
по умолчанию, что любая формула для h(t) определена только при
t≥0.
Переход к дифференциальному уравнению, описывающему
динамику исследуемого звена, нетрудно осуществить, если представить W(p) в формате дробно-рациональной функции вида
W ( p) =
b0 pm + b1 pm-1 + b2 pm-2 +  + bm-1 p + bm
d0 pn + d1 pn-1 + d2 pn-2 +  + dn-1 p + dn
,
где n и m — натуральные числа; b0, b1, b2, …, bm, d0, d1, d2, …,
dn — некоторые вещественные константы.
В этом случае, опираясь на второе определение для ПФ W(p),
выполнив простые алгебраические преобразования, с учетом теоремы дифференцирования нетрудно получить искомое дифференциальное уравнение:
d0
dn xâûõ (t)
dtn
+dn-1
+ d1
dn-1xâûõ (t)
dtn-1
+ d2
dn-2xâûõ (t)
dtn-2
+ +
dxâûõ (t)
dm xâõ (t)
dm-1xâõ (t)
b
+ dn xâûõ (t) = b0
+
+
1
dt
dtm
dtm-1
+b2
dm-2 xâõ (t)
dt
m-2
+  + bm-1
dxâõ (t)
dt
+ bm xâõ (t).
Таким образом, форма дробно-рационального представления
функций удобна не только для вычисления оригиналов по формуле разложения Хевисайда, но и при составлении дифференциального уравнения звена или автоматической системы.
В практике исследований устройств автоматики описанный
способ формирования и интерпретации функции W(p) — далеко не самый удобный, поскольку формирование аналитического описания для экспериментально снятой переходной характеристики h(t) является непростой задачей. С практической точки
28
зрения намного продуктивнее оказывается рассмотрение частотных характеристик устройств автоматики, которые также связаны с W(p).
2.4. Частотные характеристики
Частотные методы исследования автоматических систем
основаны на рассмотрении установившейся реакции звеньев
или всей системы на гармоническое входное воздействие вида
xвх(t) = xвх mcos(wt+ψвх). Важность подобных методов анализа систем обусловлена еще и тем, что, как известно из математики, любую функцию времени можно представить взвешенной суммой
гармонических составляющих; следовательно, в силу линейности рассматриваемых систем, это означает принципиальную возможность проводить исследования САУ при входных воздействиях любой формы.
При гармоническом входном сигнале xвх(t) = xвх mcoswt выходные колебания по окончании переходного процесса в устойчивой динамической системе определяются как частное решение
соответствующего дифференциального уравнения и имеют вид
xвых(t) = xвых m cos(wt+ψ). Другими словами, линейная динамическая система никогда не изменяет частоту входного гармонического сигнала, но изменяет его амплитуду и начальную фазу.
Чтобы выяснить, чем определяются значения параметров выходного сигнала xвых m и ψ, используем условное представление
входного гармонического воздействия в комплексной форме:
xâõ (t) = xâõ m cosωt + jxâõ m sinωt = xâõ m e jωt ,
где xвх m — амплитуда гармонического колебания; w — круговая
частота* колебания; xâõ m — комплексная амплитуда входного
колебания.
Тогда решение формально будет комплексной функцией:
* При теоретическом анализе САУ очень удобно оперировать значениями
круговой частоты w, которая измеряется в [рад/с]. С другой стороны, при проведении экспериментальных исследований частотных характеристик элементов
автоматики приходится пользоваться значениями циклической частоты f (в некоторых современных учебниках циклическую частоту обозначают буквой ν),
измеряемой в герцах. Они связаны соотношением w = 2πf (или, соответственно,
w = 2πν). Здесь и далее везде, где используется буква w, подразумевается круговая частота.
29
xâûõ (t) = xâûõ m cos(ωt + ψ )+ jxâûõ m sin (ωt + ψ ) =
j ωt + ψ )
= xâõ m e (
= xâõ m e jωt ,
где xâõ m = xâõ m e jψ — комплексная амплитуда выходного колебания.
Если учесть, что действительным входным сигналом xвх(t) является вещественная часть комплексного входного сигнала, т. е.
xâõ (t) = Re(xâõ (t)), а также вспомнить принцип суперпозиции,
то нетрудно понять, что действительный выходной сигнал xвых(t)
будет описываться вещественной частью комплексного выходного сигнала xâûõ (t) = Re(xâûõ (t)).
Подставляя xâõ (t) и xâûõ (t) в дифференциальное уравнение
d0
dn xâûõ (t)
+dn-1
dtn
+ d1
dn-1xâûõ (t)
dtn-1
+ d2
dn-2xâûõ (t)
dtn-2
+ +
dxâûõ (t)
dm xâõ (t)
dm-1xâõ (t)
b
+ dn xâûõ (t) = b0
+
+
1
dt
dtm
dtm-1
+b2
dm-2xâõ (t)
dt
m-2
+  + bm-1
dxâõ (t)
+ bm xâõ (t)
dt
и учитывая, что
dk
dt
k
e jωt = (jω ) e jωt ,
k
нетрудно получить
(
n
(
m
n−1
xâûõ m e jωt d0 (jω ) + d1 (jω )
m-1
= xâõ m e jωt b0 (jω ) + b1 (jω )
n−2
+ d2 (jω )
m-2
+ b2 (jω )
)
+ � + dn−1 (jω )+ dn =
)
+  + bm-1 (jω )+ bm .
Частотная передаточная функция динамического звена
формально определяется как отношение комплексных амплитуд
гармонических воздействий на выходе и входе:
W (jω )=
т. е. в данном случае
30
xâûõ m
xâõ m
,
W (jω ) =
m
m-1
n
n-1
b0 (jω ) + b1 (jω )
d0 (jω ) + d1 (jω )
m-2
+ b2 (jω )
n-2
+ d2 (jω )
+  + bm-1 (jω )+ bm
+  + dn-1 (jω )+ dn
.
Очевидно, что частотная ПФ W(jw) может быть формально получена из ПФ W(p) посредством подстановки
p = jw.
Важность полученного результата определяется тем, что если известна ПФ линейной динамической системы W(p), то при
гармоническом входном сигнале xвх(t) = xвхmcoswt можно определить значения искомых параметров xвыхm и ψ гармонического
выходного сигнала xвых(t) = xвыхmcos(wt+ψ) из уравнения
xâûõ m e jψ
xâõ m
= W (jω ).
Отсюда, вспомнив правила вычисления модуля и аргумента
комплексных функций, можно записать
xâûõ m
xâõ m
= W (jω )
и
ψ = arg(W(jw)).
Таким образом, для гармонического сигнала с круговой частотой wвх модуль частотной ПФ звена на данной частоте определяет
отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного, а аргумент частотной ПФ звена на данной частоте определяет сдвиг фазы выходного колебания относительно входного. Это
важнейшее положение, широко используемое в практике анализа
линейных динамических систем, проиллюстрировано на рис. 9.
С этими результатами связаны два следующих определения.
Модуль частотной ПФ называется амплитудно-частотной
характеристикой (АЧХ) динамической системы, эта функция
традиционно обозначается через A(w), т. е.
A(w) = W(jw).
Аргумент частотной ПФ называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) динамической системы, эта функция традиционно обозначается через Ψ(w), т. е.
Ψ(w) = arg(W(jw)).
31
а)
б)
A(W)
9(W)
W
Wâõ
a
9
W
W âõ
в)
x(t)
xâõ
xâûõ
xâõ m
$T
t
xâûõ m
Tâõ
Рис. 9. АЧХ (а), ФЧХ (б) и временные диаграммы (в) для случая
a < 1 (a = xвых m/xвх m, т. е. выходной сигнал меньше по амплитуде,
чем входной) и ψ < 0 (выходной сигнал отстаёт от входного на ∆T;
ψ = ψвых–ψвх = –2π∆T/Tвх, где Tвх = 2w/wвх — период гармонического
сигнала)
Из рассмотрения частотных характеристик динамических систем, в частности, следует, что физически реализуемыми могут
быть только те из них, у которых порядок полинома переменной p
в знаменателе ПФ будет большим или равным порядку полинома
в числителе (n≥m). Если это условие не выполнено, то выходной
отклик устройства должен будет неограниченно возрастать с увеличением частоты, что физически невозможно.
Правила и приемы, применяемые при оперировании частотными характеристиками. Частотная ПФ W(jw) является
комплексной и как и любая комплексная функция может быть
представлена в одной из двух форм:
1) алгебраической
W(jw) = U(w)+jV(w);
32
2) показательной
W(jw) = A(w)ejΨ(w),
где U(w) — вещественная часть ПФ, U(w) = Re(W(jw)); V(w) — мнимая часть ПФ, V(w) = Im(W(jw)); A(w) — модуль ПФ, A(w) = W(jw);
Ψ(w) — аргумент ПФ, Ψ(w) = arg(W(jw)).
При аналитических выкладках могут понадобиться формулы,
связывающие между собой функции U(w), V(w), A(w) и Ψ(w):
U(w) = A(w) cos(Ψ(w)), V(w) = A(w) sin(Ψ(w))
и
æ V (ω )ö÷
A (ω ) = U 2 (ω )+ V 2 (ω ), Ψ(ω ) = arctg ççç
÷÷.
çè U (ω )÷ø
В практике теоретического исследования САУ наиболее часто
встречается задача вывода формул для АЧХ и ФЧХ по заданной
формуле для частотной ПФ W(jw), когда она представлена в виде
произведения и/или отношения более простых функций:
W (jω ) =
W1 (jω )W2 (jω )Wk (jω )
.
Wk+1 (jω )Wk+2 (jω )Wn (jω )
При этом используют следующие правила оперирования с комплексными функциями:
– модуль произведения комплексных функций равен произведению модулей этих функций, взятых по отдельности;
– модуль отношения комплексных функций равен отношению
модулей этих функций, взятых по отдельности;
– аргумент произведения комплексных функций равен сумме
аргументов этих функций, взятых по отдельности;
– аргумент отношения комплексных функций равен разности
аргументов этих функций, взятых по отдельности.
То есть для рассматриваемой формы записи W(jw) будет справедливо
A (ω ) =
A1 (ω ) A2 (ω ) Ak (ω )
Ak+1 (ω ) Ak+2 (ω ) An (ω )
и
Ψ(w) = Ψ1(w)+Ψ2(w)+…+Ψk(w)–Ψk+1(w)–Ψk+2(w)–…–Ψn(w),
где Ai(w) = Wi(jw), Ψi(w) = arg(Wi(jw)) для всех i, изменяющихся
от 1 до n.
33
Заметим, что модуль суммы комплексных функций в общем
случае не равен сумме их модулей, аргумент суммы комплексных
функций не равен сумме их аргументов.
Получение аналитических выражений для АЧХ и ФЧХ проиллюстрируем следующим примером. Пусть дана формула для ПФ
линейной динамической системы, включающей как минимальнофазовые*, так и неминимально-фазовые динамические звенья:
W ( p) =
3
K (1 + τ1 p) (1 - τ2 p)
2
(
p(1 + T1 p)(1 - T2 p) 1 + T3 p + T42 p2
,
)
где K — положительная константа; t1, t2, T1, T2, T3, T4 — постоянные времени.
Соответствующая ей частотная ПФ имеет вид
W (jω )=
3
K (1 + jωτ1 ) (1 - jωτ2 )
2
(
2
jω (1 + jωT1 )(1 - jωT2 ) 1 + jωT3 + (jω ) T42
.
)
Здесь представлены практически все сомножители, которые
могут встретиться при описании передаточных функций линейных динамических систем: 1) вида (1+jwT); 2) вида (1–jwT); 3) квадратный трехчлен (1+jwT3+(jw)2T42); 4) чисто мнимая переменная
jw и 5) вещественное число K. Оперирование с каждым из типовых сомножителей имеет свои особенности.
С сомножителями вида (1+jwT) и (1–jwT) никаких сложностей
нет:
2
1 + jωT = 1 + (ωT ) , arg(1+jwT) = arctg(wT);
2
1 - jωT = 1 + (ωT ) , arg(1–jwT) = –arctg(wT).
Сомножитель jw также можно привести к “стандартному”
формату a+jb, добавив к нему предельно малую вещественную
константу ε. Тогда, записывая для (ε+jw) общие выражения
æωö
ε + jω = ε2 + ω2 , arg (ε + jω )= arctg çç ÷÷÷ и выполняя предельçè ε ø
ный переход при ε→0, получаем
* Минимально-фазовой называют такую линейную динамическую систему, у
которой все корни полиномов переменной p, находящихся и в числителе, и в знаменателе ПФ этой системы, имеют отрицательные вещественные части. Любая
другая система является неминимально-фазовой.
34
π
|jw| = w, arg (jω ) = .
2
При оперировании сомножителем вида (1+jwT3+(jw)2T42) требуется учитывать одну тонкость. Его модуль вычисляется по об2
щей формуле A (ω ) = U 2 (ω )+ V 2 (ω ); замечаем, что (jω ) = -ω2 ,
и, таким образом, здесь вещественная часть U(w) = 1–w2T4, мнимая часть V(w) = wT3. В итоге
2
1 + jωT3 + (jω ) T42 =
2
(1- ω2T42 ) + (ωT3 )2 .
Если
же вычислить аргумент по общей формуле
æ V (ω )ö÷
Ψ(ω ) = arctg ççç
÷÷, то, действуя формально, можно получить
çè U (ω )÷ø
следующий результат:
 ωT 
2

3
.
arg 1 + jωT3 + (jω ) T42 = arg 1 − ω2T42 + jωT3 = arctg 
1 − ω2T42 
(
)
((
)
)
При этом полученная формула не будет адекватно описывать динамическое звено, которому соответствует сомножитель
(1+jwT3+(jw)2T42), т. е., строго говоря, ответ является неправильным. В самом деле, полученная функция ФЧХ претерпевает разрыв на частоте w = T4–1, тогда как АЧХ звена в этой точке непрерывна и не равна нулю — такое сочетание характеристик для
линейных динамических систем невозможно. Этот кажущийся
парадокс объясняется тем, что функция арктангенса определяет
лишь главный угол аргумента, который может изменяться в диапазоне [–90°, +90°], а составляющие, кратные π, из ответа исключаются или же, наоборот, к нему добавляются. Все это, несмотря
на математическую корректность формул, приведет к неадекватному описанию динамических процессов, протекающих в элементах и системах автоматики.
Чтобы избежать ошибок в этой и других подобных ситуациях, действовать нужно посредством разложения сомножителей
высоких степеней переменной jw (выше первой) на элементарные
сомножители первой степени. То есть в рассматриваемом случае
следует сначала найти корни уравнения 1+T3p+T42p2 = 0 по теореме Виета
p1 =
-T3 + T32 - 4T42
2T42
и p2 =
-T3 - T32 - 4T42
2T42
,
35
затем воспользоваться теоремой Безу
1 + T3p + T42p2 = T42(p – p1)(p – p2),
после чего применить правило взятия аргумента к каждому сомножителю по отдельности
arg(1 + jwT3 + (jw)2T42) = arg(T42(jw – p1)(jw – p2)) =
= arg(jw – p1) + arg(jw – p2).
Тогда, если найденные корни p1 и p2 являются вещественными
(p1 = γ1, p2 = γ2), то
(
)
2
arg 1 + jωT3 + (jω ) T42 = arg (jω − γ 1 )+ arg (jω − γ 2 )=
 ω 
 ω 
 + arctg 
,
= arctg 
 −γ 1 
 −γ 2 
если же они являются комплексно-сопряженными (p1 = γ + jλ,
p2 = γ – jλ), то
(
2
)
arg 1 + jωT3 + (jω ) T42 = arg (jω − γ − jλ )+ arg (jω − γ + jλ )=
 ω − λ 
 ω + λ 
 + arctg

= arctg 
 −γ .
 −γ 
И, наконец, оперирование вещественным сомножителем K
также имеет одну особенность. С его модулем, конечно, все очевидно — он определяется как |K|; а вот аргумент K зависит от его
знака: если K > 0, то arg(K) = 0, если же K < 0, то arg(K) =  –π. Это
нужно обязательно учитывать.
В рассматриваемом случае K > 0, поэтому его вклад в функцию аргумента будет нулевым.
После применения всех правил окончательные выражения
имеют вид:
АЧХ 
3

2
2
K  1 + (ωτ1 )  1 + (ωτ2 )


A (ω ) =
;
2
(
) (1− ω2T42 ) + (ωT3 )2
2
2
ω 1 + (ωT1 ) 1 + (ωT2 )
ФЧХ 
π
Ψ(ω ) = 3arctg (ωτ1 )− arctg (ωτ2 )− − arctg (ωT1 )+
2
(
2
)
+2arctg (ωT2 )− arg 1 + jωT3 + (jω ) T42 ,
36
где последнее слагаемое можно раскрыть, только если заданы
конкретные числовые значения параметров T3 и T4, в зависимости от которых корни уравнения 1 + T3p + T42p2 = 0 окажутся либо вещественными, либо комплексно-сопряженными.
Подчеркнем, что вычисление модуля и аргумента “классическим” способом — путем раскрытия всех скобок в числителе и знаменателе ПФ W(jw) с последующим умножением ее числителя и знаменателя на комплексно-сопряженный к знаменателю множитель, разделением выражения на вещественную и
мнимую части и формированием алгебраической формы записи
W(jw) = U(w)+jV(w), из которой в конечном итоге можно выразить
искомые характеристики A(w) и Ψ(w), — приведет к неоправданно громоздким выкладкам, в которых очень легко сделать ошибку, а полученная таким способом формула для ФЧХ не всегда будет пригодна для описания автоматических систем, поскольку
может оказаться разрывной по уже отмеченным причинам. Поэтому такой способ вычислений является неконструктивным, и
применять его категорически запрещается.
Во избежание грубейших ошибок анализа САУ следует запомнить, что в любой выведенной формуле для ФЧХ ни в коем
случае нельзя отбрасывать или добавлять кажущуюся несущественной составляющую, равную 2π. Например, функцию
Ψ(w) = –5π/2 + arctg(wT) ни при каких обстоятельствах нельзя считать эквивалентной функции Ψ(w) = –π/2 + arctg(wT) или
Ψ(w) = 3π/2 + arctg(wT).
Кроме того, нужно иметь в виду, что в любом комплексном сомножителе, входящем в формулу для W(jw), вещественная часть
должна быть положительной; если это не так, то все такие составляющие нужно преобразовывать, вынося за скобки каждого такого сомножителя знак “минус” и вводя его в константу K. Например, если в формуле найдется сомножитель вида (–1 + jwT),
то его нужно превратить в (1 – jwT), а у константы K в числителе
при этом следует изменить знак на противоположный. Эти действия нужно проделать со всеми сомножителями такого вида. Если количество перемен знака у K окажется в конечном итоге четным, то он сохранит свой исходный знак, если нечетным, — то он
будет иметь знак, противоположный исходному.
Для закрепления техники получения аналитических выражений для АЧХ и ФЧХ полезно проделать их самостоятельно для
ПФ
37
W ( p) =
3
100(1 + 0,1 p)(-1 + 0,4 p) (1 - p)
(
2
p3 (1 - 2 p) (1 + 10 p) 1 + 5 p + 4 p2
)
и сравнить полученный результат с правильными ответами:
АЧХ 
3
2
2
100 1 + (0,1ω )  1 + (0,4ω )  1 + ω2


A (ω ) =
3
(
ω 1 + (2ω )
2 2
) 1 + (10ω) (1−(4ω) ) + (5ω)
2
2
;
2
ФЧХ 
Ψ(w) = –π+arctg(0,1w)–3arctg(0,4w)–arctg(w)–
3π
- + 2arctg (2ω )- arctg (10ω )- arctg (ω )- arctg (0,25ω ).
2
После незначительных упрощений формулы для ФЧХ должно
получиться
5π
Ψ(ω ) = - + arctg (0,1ω )- 3arctg (0,4ω )- 2arctg (ω )+
2
+2arctg (2ω )- arctg (10ω )- arctg (0,25ω ).
2.5. Логарифмические частотные характеристики
При анализе частотных характеристик как отдельно взятых
динамических звеньев, так и систем управления в целом намного
удобнее оперировать частотными характеристиками АЧХ и ФЧХ,
построенными в логарифмическом масштабе. Соответственно,
вводятся в рассмотрение:
– логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ, чаще используют аббревиатуру ЛАХ);
– логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФЧХ,
чаще используют аббревиатуру ЛФХ).
При построении ЛАХ по оси ординат откладываются значения
L(w), вычисляемые по значениям АЧХ A(w) следующим образом:
L(w) = 20·lg(A(w)).
(5)
Значения L(w) измеряются в децибелах (используется обозначение дБ или dB). Для построения ЛФХ никаких преобразований
ФЧХ не производится, т. е. по оси ординат ЛФХ откладываются
значения Ψ(w) без логарифмирования.
38
Строятся ЛАХ и ЛФХ в так называемом полулогарифмическом
масштабе: по оси ординат откладываются величины L(w) и Ψ(w) в
“обычном” линейном масштабе, а по оси абсцисс откладываются
значения десятичного логарифма частоты. Для разметки оси абсцисс вручную можно использовать данные табл. 1. Этих данных
достаточно для разметки всей оси, если учесть lg(w⋅10m) = lg(w)+m.
Например, значение w = 0,03 с–1 откладывается на расстоянии
lg(3⋅10–2) = lg(3)–2 = 0,47–2 = –1,53 от точки, где w = 1 и lgw = 0.
Значение w = 200 с–1 откладывается на расстоянии lg(2⋅102) = 
= lg(2)+2 = 0,3+2 = 2,3 и т. д. Разметка оси абсцисс между точками 10m и 10m+1 имеет одинаковую структуру для любого m, поэтому ее легко выполнить вручную. Но вместо сравнительно трудоемкой процедуры разметки оси можно воспользоваться специальной логарифмической сеткой.
Важно заметить, что при построении ЛАХ и ЛФХ по оси
абсцисс условились записывать не значения логарифмов отмечаемых частот, а сами значения частот, несмотря на то, что
откладывались их логарифмы. Заметим также, что ось ординат
на плоскости логарифмических частотных характеристик совершенно необязательно располагать в точке, где lg(w) = 0.
Таблица 1
Значения функции десятичного логарифма
w, с–1 (записывать)
1
lgw (откладывать)
0
2
3
4
0,3 0,47 0,6
5
6
7
8
9
0,7 0,77 0,84 0,9 0,95
10
1
Таким образом, масштабная сетка по оси абсцисс становится
неравномерной. Единицей масштаба по оси абсцисс служит так
называемая декада — длина горизонтального отрезка, равная
расстоянию между любыми точками, частоты которых отличаются друг от друга в 10 раз (их десятичные логарифмы, соответственно, отличаются на единицу). Единственное незначительное
неудобство состоит в том, что на графиках ЛАХ и ЛФХ нельзя
отметить их значения при w = 0, так как при логарифмическом
масштабе по оси абсцисс при этом lg(w)→–∞, и соответствующая
точка графика смещается влево до бесконечности.
При таком построении ЛАХ и ЛФХ динамических звеньев и
систем автоматики приобретают форму, значительно более удобную для последующей интерпретации. В частности, ЛАХ на многих своих участках становится почти линейной. Каждый из таких линейных участков ЛАХ может быть охарактеризован неко39
торым наклоном, который выражается в количестве единиц, на
которое изменяется высота ЛАХ при изменении частоты w в 10
раз (или, как говорят, в количестве децибел на декаду). Наклон
считается отрицательным, если ЛАХ убывает с увеличением частоты; положительным — если ЛАХ с увеличением частоты возрастает; и нулевым, если ЛАХ на соответствующем участке располагается горизонтально.
Проиллюстрируем вышеуказанные особенности построения
ЛАХ и ЛФХ конкретным числовым примером. Пусть дана частотная ПФ
W (jω ) =
K (1 + jωτ )
jω (1 + jωT )
с параметрами K = 10 с–1, t = 1 с, T = 0,1 с.
Очевидно, что ЛАХ при данных значениях параметров будет
представлять собой функцию вида
æ
2 ö÷
çç 10 1 + ω
÷÷÷,
L(ω ) = 20 × lg çç
ç
2 ÷÷
çè ω 1 + (0,1ω ) ø÷
а ЛФХ 
π
Ψ(ω )= - + arctg (ω )- arctg (0,1ω ).
2
В соответствии с этими формулами на рис. 10 в полулогарифмическом масштабе построены графики ЛАХ и ЛФХ. Нетрудно
видеть, что масштабная сетка по оси абсцисс имеет специфическую структуру в соответствии с данными табл. 1. Каждая вертикальная линия, расположенная между значениями частоты w
от 10m до 10m+1 (m — целое), соответствует частоте w = n⋅10m, где
n — целое число (для первой линии n = 2, для второй линии n = 3
и т. д.).
Интерпретация построенного графика будет несложной. Например, отмеченная на графике ЛАХ (рис. 10, а) точка L1 соответствует L(0,4)≈28 дБ, точка L2 — L(80)≈2 дБ, точка L3 — L(400)≈ 
≈ –12 дБ. Аналогично значения ЛФХ определяются по графику,
изображенному на рис. 10, б, следующим образом: Ψ1 = Ψ(0,4)≈ 
≈ –0,4π, Ψ2 = Ψ(80)≈–0,45π, Ψ3 = Ψ(400)≈–π/2.
Кроме того, на графике ЛАХ отмечены характерные значения
наклонов ее участков. Например, на участке, где w изменяется от
40
а)
L(W), äÁ
–20
40
L1
0
20
L2
0,1
0
1
10
100
–20
–20
W
L3
c–1
б)
9Wðàä
0
-
0,1
1
10
W, c–1
100
P
P
91
92
93
Рис. 10. Пример построения ЛАХ (а) и ЛФХ (б)
0,01 до 0,1 c–1 (т. е. длина этого отрезка соответствует одной декаде), уровень ЛАХ изменился приблизительно от +60 до +40 дБ. Таким образом, наклон на этом участке примерно равен –20 дБ/дек.
Аналогично, на участке, где w изменяется от 100 до 1000 c–1, уровень ЛАХ изменился приблизительно от 0 до –20 дБ, т. е. и на
этом участке наклон равен –20 дБ/дек.
Важно подчеркнуть, что для определения наклона ЛАХ совершенно необязательно отыскивать участок, протяженность которого была бы равна целой декаде, тем более прямолинейный участок такой длины не всегда и отыщется. С формальной точки зрения, наклон ЛАХ можно найти в любой ее точке, если построить
касательную к ЛАХ в этой точке и продолжить касательную так,
чтобы общая протяженность касательной соответствовала одной
декаде, и по разности уровней на ее концах определить искомое
значения наклона ЛАХ.
41
Несмотря на удобство использования ЭВМ для построения
графиков, при анализе автоматических систем находят применение приемы, позволяющие построить логарифмические частотные характеристики вручную, без использования средств вычислительной техники. Делается это, конечно, не по причине недоступности или сложности применения вычислительной техники,
а потому, что это позволяет формализовать анализ и синтез САУ.
Концептуальной основой подхода является тот факт, что при
дробно-рациональной форме ПФ W(p) соответствующая ей ЛАХ
на многих своих участках выглядит почти как прямая линия
(см., например, рис. 10, а). Наиболее просто построение приближенной (или, как ее еще называют, асимптотической) ЛАХ производится в случае вещественных корней полиномов переменной
p в числителе и знаменателе ПФ системы.
Методика построения асимптотической ЛАХ разработана
для анализа таких систем, передаточная функция которых может быть представлена произведением и/или частным сомножителей вида (1 + Tip) и (1 – Tkp) и свободных сомножителей p, т. е. в
самом общем виде она записывается в следующей форме:
W ( p) =
K (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)(1 + τm p)
,
pr (1 + T1 p)(1 + T2 p)(1 + Tn-r p)
где константы K, t1, t2, …, tm; T1, T2, …, Tn–r являются обязательно вещественными числами, а константа r — целым числом или
нулем (заметим, что обычно для ПФ САУ r≥0, но для некоторых
звеньев может быть и r < 0, т. е. в этом случае свободный множитель p фактически будет находиться в числителе ПФ). Порядок
полинома переменной p в знаменателе ПФ равен n (при любом r,
поэтому индексация постоянных времени в знаменателе заканчивается на n–r), а в числителе — m. Отметим еще раз, что для передаточных функций физически реализуемых динамических систем должно выполняться соотношение n≥m, хотя для собственно
методики построения ЛАХ это условие не имеет значения.
Формула для АЧХ, соответствующая принятой модели W(p),
имеет вид
2
A (ω ) =
K 1 + (ωτ1 )
формула для ЛАХ 
42
2
ωr 1 + (ωT1 )
2
2
1 + (ωτ2 )  1 + (ωτm )
2
2
1 + (ωT2 )  1 + (ωTn-r )
,
( )
2
L(ω ) = 20 × lg (A (ω ))= 20 × lg K - 20 × lg ωr + 20 × lg 1 + (ωτ1 ) +
2
2
2
+20 × lg 1 + (ωτ2 ) +  + 20 × lg 1 + (ωτm ) - 20 × lg 1 + (ωT1 ) 2
2
-20 × lg 1 + (ωT2 ) - - 20 × lg 1 + (ωTn-r ) .
Нетрудно видеть, что в L(w) фигурируют слагаемые трех типов: 1) не зависящая от частоты константа LK = 20⋅lgK, 2) состав-
ляющая 20 • lg(wr ) = 20rlgw и 3) компоненты вида 20 × lg 1 + (ωT )2 ,
наиболее многочисленные.
Разумеется, построение L(w) строго по формуле вручную немыслимо. Основой для построения асимптотической ЛАХ служит следующий факт:
ìï0 ïðè ωT << 1;
2
20 × lg 1 + (ωT ) @ ïí
ïïî20 × lgωT ïðè ωT >> 1,
т. е. для каждого из слагаемых вида 20 × lg 1 + (ωT )2 можно указать диапазон сравнительно низких частот w << T–1, при которых
его вклад в формирование ЛАХ оказывается ничтожным, и в
этой области частот этим слагаемым можно пренебречь. А в диапазоне высоких частот слагаемое вида 20 • lgwT представляется
прямой линией, если, конечно, график будет построен в полулогарифмическом масштабе (поскольку фактически строится функция 20 • lgwT = 20 • lgw+20 • lgT от аргумента x = lgw, т. е. по сути
прямая: y(х) = 20х+с, где с = 20 • lgT). Причем, нетрудно видеть,
что изменение частоты в 10 раз приводит к изменению величины, составляющей 20 • lgwT на 20 единиц (децибел), независимо от
значения T. Поэтому наклон соответствующей прямой будет равен либо +20 дБ/дек, либо –20 дБ/дек, в зависимости от того, с каким знаком это слагаемое входит в выражение для L(w). Нетрудно
также убедиться, что составляющая 20rlgw изменяет значение на
20r за каждую декаду.
Таким образом, если из всех имеющихся констант t1, t2, …, tm;
T1, T2, …, Tn–r (это, очевидно, постоянные времени) найти максимальную (обозначим ее через Tmax, безразлично, будет ли она из
группы t1, t2, …, tm или из группы T1, T2,… Tn–r), то в области низ-1
ких частот при ω << Tmax
формула для ЛАХ приобретает вид
L(w) = 20 • lg(K)–20rlgw.
43
Заметим также, что если в W(p) было r = 0, то ЛАХ при
-1
ω << Tmax
от частоты вообще не будет зависеть, и соответствующий график в низкочастотной области представляется горизонтальной линией, которая проводится на уровне
LK = 20 • lg(K).
С другой стороны, если из всех имеющихся констант t1, t2, …,
tm; T1, T2, …, Tn–r найти минимальную (обозначим ее через Tmin),
-1
то для высоких частот при ω >> Tmin
формула для ЛАХ приобретает вид
L(w) = 20 • lg(K)–20rlgw+20 • lgwt1+20 • lgwt2+20 • lgwtm–
– 20 • lgwT1–20 • lgwT2–…–20 • lgwTn–r.
-1
-1
< ω < Tmin
для методики
А в области средних частот при Tmax
построения асимптотической ЛАХ принято следующее, на первый взгляд, довольно грубое приближение:
ìï0 ïðè ωT £ 1;
2
20 × lg 1 + (ωT ) @ ïí
ïïî20 × lgωT ïðè ωT ³ 1.
При таком подходе слагаемые вида 20 × lg 1 + (ωT )2 в формуле
для L(w) будут “вступать в игру” в порядке строгой очередности.
Пусть для определенности в формулу W(p) входит 4 постоянные
времени: одна в числителе (t1) и три в знаменателе (T1, T2, T3), и
пусть, к примеру, их значения оказались в следующем соотношении: T1 < t1 < T2 < T3. Тогда T1–1 > t1–1 > T2–1 > T3–1. Тогда складывающуюся ситуацию иллюстрирует содержимое табл. 2.
Таблица 2
Последовательность построения ЛАХ
диапазон
частот
выражение для асимптотической ЛАХ L(w)
наклон асимптоты ЛАХ, дБ/дек
w≤T3–1
20 • lg(K)–20rlgw
–20r T3–1≤w≤T2–1
T2–1≤w≤t1–1
t1–1≤w≤T1–1
20 • lg(K)–20rlgw–20 • lgwT
w≥T1–1
3
–20r–20 20 • lg(K)–20 rlgw–20 • lgwT3–20 • lgwT2
–20r–40 20 • lg(K)–20 rlgw–20 • lgwT3–
–20 • lgwT2+20 • lgwt1
–20r–20 20 • lg(K)–20 rlgw–20 • lgwT3–
–20 • lgwT2+20 • lgwt1–20 • lgwT1
–20r–40 Нетрудно видеть, что в каждом частотном диапазоне ЛАХ представляет собой прямую линию с наклоном, кратным 20 дБ/дек.
44
При прохождении через границы частотных диапазонов (как
видно, они определяются значениями, обратными значениям
имеющихся в ПФ постоянных времени) наклон асимптоты ЛАХ
изменяется по отношению к наклону предыдущей асимптоты
дополнительно на +20 дБ/дек или на –20 дБ/дек, в зависимости
от того, каков знак слагаемого, которое “включилось в работу”
(или, что то же самое: находилась ли постоянная времени, соответствующая граничной частоте, в числителе или в знаменателе
заданной ПФ W(p)). Величины wt1 = t1–1, wt2 = t2–1,…, wtm = tm–1;
wT1 = T1–1, wT2 = T2–1, …, wT(n–r) = Tn–r–1, определяющие расположение границ частотных диапазонов при построении асимптотической ЛАХ, называются сопрягающими частотами.
Заметим, что построение асимптотической ЛАХ не требует
проведения тех аналитических выкладок, которые проделаны
выше. Все необходимые построения можно выполнить, глядя
лишь на заданную функцию W(p), если воспользоваться следующим алгоритмом. Рассмотрим более простой случай, когда r = 0.
Тогда для построения асимптотической ЛАХ необходимо выполнить нижеследующую последовательность действий.
Алгоритм построения асимптотической ЛАХ по заданной
передаточной функции.
1. Вычислить значения сопрягающих частот wt1 = t1–1, wt2 = t2–1,
…, wtm = tm–1; wT1 = T1–1, wT2 = T2–1, …, wT(n–r) = Tn–r–1, отметить их
значения на оси абсцисс графика (если используется готовая логарифмическая сетка, то их можно отмечать непосредственно, если
же нет, то необходимо вычислять значения их десятичных логарифмов и откладывать получающиеся значения) и провести через
эти точки вертикальные пунктирные линии, чтобы границы частотных диапазонов были видны четко.
2. Провести горизонтальную прямую на уровне LK = 20 • lgK [дБ]
(расчет легко произвести без калькулятора, если использовать
данные табл. 1 и свойство логарифмов lg(k1k2) = lg(k1)+lg(k2)). Построение этой прямой нужно начинать левее самой левой из отмеченных вертикальных разграничительных пунктирных линий, соответствующих сопрягающим частотам. Прямую следует
вести слева направо вплоть до пунктирной линии, соответствующей первой по счету сопрягающей частоте (попутно отметим, что
горизонтально идущей асимптоте ЛАХ формально ставится в соответствие наклон 0 дБ/дек).
3. Дойдя до граничной линии, соответствующей самой маленькой сопрягающей частоте, необходимо выяснить, обусловлена ли
45
она постоянной времени, имеющейся в числителе ПФ W(p), или
же она соответствует постоянной времени, имеющейся в знаменателе. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной
времени числителя, то после нее следует вести асимптоту ЛАХ с
наклоном +20 дБ/дек (в этом частотном диапазоне значения ЛАХ
с увеличением частоты будут возрастать). Если же эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени знаменателя, то
далее следует вести асимптоту ЛАХ с наклоном –20 дБ/дек (значения ЛАХ с увеличением частоты будут убывать). Полученную
таким образом прямую следует довести до следующей границы
частотных диапазонов.
4. Дойдя до следующей граничной линии, необходимо снова
выяснить, обусловлена ли она постоянной времени, имеющейся в
числителе ПФ W(p), или постоянной времени, имеющейся в знаменателе. Если сопрягающая частота соответствует постоянной
времени числителя, то далее следует вести асимптоту ЛАХ, добавив к наклону предыдущей асимптоты величину +20 дБ/дек
(т. е. если предыдущий наклон составлял, к примеру, –20 дБ/дек,
то новый наклон будет равен 0 дБ/дек, а если предыдущий наклон
составлял +20 дБ/дек, то новый наклон будет равен +40 дБ/дек).
Если же сопрягающая частота соответствует постоянной времени
знаменателя, то далее следует вести асимптоту ЛАХ, добавив к
наклону предыдущей асимптоты величину –20 дБ/дек (т. е. если предыдущий наклон составлял, к примеру, –20 дБ/дек, то новый наклон будет равен –40 дБ/дек, а если предыдущий наклон
составлял +20 дБ/дек, то новый наклон будет равен 0 дБ/дек).
Асимптоту с вычисленным новым наклоном нужно довести до
очередной границы.
5. Далее следует повторять построения и рассуждения аналогично 4-му шагу алгоритма. После пересечения последней границы частотных диапазонов асимптота ЛАХ продолжается с тем итоговым наклоном, который она приобрела после всех изменений.
Построенный таким образом график асимптотической ЛАХ
приобретает характерный “кусочно-ломаный” вид (рис. 11).
В несколько более сложном случае, когда r > 0, в описанном
выше алгоритме изменяются только 1-й и 2-й шаги. Первоначальная асимптота ЛАХ уже не будет идти горизонтально, а будет иметь наклон –20r дБ/дек (в этом состоит изменение 2-го шага
алгоритма). Остается выяснить, как при этом фиксируется высота, на которой нужно проводить эту асимптоту. Принято поступать следующим образом. Из уравнения L(w) = 0 для этого пер46
5-
LWäÁ
T-
5-
5-
–20
20 äÁ
Äåêàäà
–40
–60
K
W, c– 1
–40
40 äÁ
Äåêàäà
–60
Рис. 11. Схема построения асимптотической ЛАХ для
K (1 + τ1 p)
W ( p) =
по данным табл. 2
p(1 + T1 p)(1 + T2 p)(1 + T3 p)
(при r  = 1 и T1 < t1 < T2 < T3)
2
вого участка ЛАХ (где слагаемые вида 20 × lg 1 + (ωT ) еще “не
вступили в игру”), т. е. уравнения вида
20 • lg(K)–20rlgw = 0,
легко найти точку пересечения этой асимптоты с осью абсцисс
ωr = K1 r = r K .
Если первая граница частотных диапазонов окажется левее
точки wr, то построение ЛАХ нужно начинать с проведения пунктирной линии вверх и влево от отмеченной на оси абсцисс точки
wr с наклоном –20r дБ/дек до тех пор, пока эта пунктирная линия
не пересечет самую первую (считая слева направо) границу частотных диапазонов, после чего линию нужно сделать сплошной; вот
именно она и будет представлять собой первую асимптоту построенной ЛАХ. Именно этот случай показан на рис. 11. Если же первая
граница частотных диапазонов окажется правее точки wr, то асимптота проводится сразу сплошной линией и влево вверх, и вправо
вниз, вплоть до этой первой границы. Таким образом, дополнение
к 1-му шагу алгоритма при r > 0 состоит в том, чтобы, помимо сопрягающих частот, отметить на оси абсцисс и точку wr. Поскольку
47
wr не задает границу между частотными диапазонами, проводить
вертикальную пунктирную линию через нее не нужно.
Важным дополнением к предложенному алгоритму является
рассмотрение случая, когда либо в числителе, либо в знаменателе ПФ оказывается несколько одинаковых (кратных) корней, т. е.
при наличии сомножителей вида (1+Tp)2, (1+Tp)3 и т. д. По сути, в
этом случае на сопрягающей частоте 1/T “активизируются” сразу
несколько (2, 3 и т. д.) одинаковых слагаемых вида 20 • lgTw. Соответственно, и наклон асимптоты ЛАХ приобретает в этой точке
приращение уже не ±20 дБ/дек (знак приращения по-прежнему
определяется только расположением постоянной времени — в
числителе она или знаменателе, от кратности знак приращения
не зависит), а сразу либо на ±40 дБ/дек (при кратности корня, равной двум: ±2 • 20 дБ/дек), либо на ±60 дБ/дек (при кратности корня, равной трем: ±3 • 20 дБ/дек) и т. д.
При построении асимптотических ЛАХ динамических звеньев, у которых r < 0 (т. е., по сути, у них сомножитель p находится в числителе), сначала следует провести пунктирную линию с наклоном +20r дБ/дек через точку на оси абсцисс
ωr = K-1 r = 1/ r K . До самой первой сопрягающей частоты (считая слева) первая асимптота ЛАХ совпадает с этой пунктирной
линией. В остальном алгоритм построения ЛАХ для этого случая
остается таким же, как и описанный выше.
WT1
-W
äÁ
W T2
W 1
T
80
0
40
20
0
–20
20 lgK
60
–40
0,1
1
–20
10
W, c– 1
–20
Рис. 12. Пример построения асимптотической ЛАХ для
600(1 + 0,2 p)
W ( p) =
: r = 0, K = 600 (LK = 20 • lg(K)≈56 дБ), T1 = 4 с,
(1 + 4 p)(1 + 0,5 p)
T2 = 0,5 с, t1 = 0,2 с (wТ1 = 0,25 с–1, wТ2 = 2 с–1, wt1 = 5 с–1)
48
Для закрепления навыков построения ЛАХ по заданной ПФ
рекомендуется проанализировать приведенные на рис. 12–14
примеры построения асимптотических ЛАХ для разных функций W(p). Над каждой асимптотой указана величина ее наклона
в количестве децибел на декаду.
LW
äÁ
WT1
W T1
80
60
–20
40
20
0
0,1
–40
1
K
10
–1
W, c
0
–20
Рис. 13. Пример построения асимптотической ЛАХ для
2
70(1 + 0,1 p)
W ( p)=
: r = 1, K = 70 с–1 (K1/r = 70 с–1), T1 = 2 с, t1 = 0,1 с
p(1 + 2 p)
(w  = 0,5 с–1, w  = 10 с–1)
t1
Т1
LW
äÁ
W T1
W T1
80
–40
60
40
–20
20
0
0,1
1
10
–40
W, c –1
,
–20
Рис. 14. Пример построения асимптотической ЛАХ для
100(1 + 2 p)
W ( p) =
: r = 2, K = 100 с–2 ( K1/r = K = 10 c-1 ),
p2 (1 + 0,05 p)
T1 = 0,05 с, t1 = 2 с (wТ1 = 20 с–1, wt1 = 0,5 с–1)
49
Касаясь вопроса о репрезентативности асимптотической ЛАХ,
можно заметить, что максимальная разность между асимптотической и точной ЛАХ образуется в узлах сопряжения соседних
асимптот. Легко показать, что при некратных корнях полиномов
в числителе и знаменателе разность между точной и асимптотической ЛАХ в этих узлах равна 3 дБ. Эта величина, являясь сравнительно небольшой, как видно и из приведенных примеров, не
может сыграть существенной роли при дальнейшем анализе САУ
с использованием этих характеристик.
Заметим, что при синтезе САУ часто приходится решать обратную задачу: восстановить ПФ динамической системы по построенной асимптотической ЛАХ. Это можно осуществить в случае таких минимально-фазовых динамических систем, все корни
полиномов в числителе и знаменателе ПФ которых являются вещественными. Алгоритм несложный.
Алгоритм восстановления передаточной функции системы по построенной асимптотической ЛАХ.
1. Сначала нужно выяснить, каков наклон первой (расположенной левее всех) асимптоты ЛАХ. Если первая асимптота расположена горизонтально (имеет нулевой наклон), то в знаменателе ПФ САУ не будет свободного сомножителя p; если наклон
составляет –20 дБ/дек, то в знаменателе ПФ САУ содержится
свободный сомножитель p; если наклон составляет –40 дБ/дек,
то в знаменателе ПФ САУ содержится свободный сомножитель
p2; и т. д.
2. Далее, значение константы K в числителе ПФ находится в зависимости от наклона рассматриваемой первой асимптоты ЛАХ:
если она проходит горизонтально, то K находится по высоте LK,
на которой расположена асимптота (из выражения LK = 20 • lgK);
если первая асимптота имеет наклон –20 дБ/дек, то K находится как значение частоты в точке, в которой мысленное продолжение первой асимптоты пересечет ось абсцисс (или же сама эта
асимптота пересечет ось абсцисс); если первая асимптота имеет
наклон –40 дБ/дек, то K находится как квадрат значения частоты в точке, в которой мысленное продолжение первой асимптоты
пересечет ось абсцисс, и т. д.
3. И далее, последовательно переходя слева направо от одной
сопрягающей частоты к другой, следует каждый раз вписывать
в формулу для ПФ сомножитель вида (1+Tip), помещая его либо
в числитель функции W(p) (если наклон ЛАХ в точке сопряжения асимптот получил положительное приращение: например,
50
изменился с –60 дБ на –40 дБ), либо в знаменатель функции W(p)
(если наклон ЛАХ в точке сопряжения получил отрицательное
приращение: например, изменился с –20 дБ на –40 дБ). Значение постоянной времени Ti каждого вводимого в передаточную
функцию сомножителя вида (1+Tip) обратно значению сопрягающей частоты, которая ему соответствует. И, в довершение всего,
нельзя забывать, что если наклон ЛАХ в точке излома изменился не на ±20 дБ/дек, а на бо¢льшую величину (например, сразу на
–40 дБ/дек: до точки излома был –20 дБ/дек, а после нее стал равным –60 дБ/дек), то у сомножителя (1+Tip) нужно поставить степень, равную кратности наблюдаемого изменения наклона по отношению к величине 20 дБ/дек. Скажем, если наклон ЛАХ на сопрягающей частоте wi = 10 с–1 изменился сразу на +40 дБ/дек (см.
рис. 13), то, приняв во внимание знак полученного приращения
наклона (положительный) и равенство 40 = 2⋅20, в числитель ПФ
нужно ввести сомножитель вида (1+0,1p)2.
Расчетные соотношения для построения ЛФХ. Как видно
из всех рассмотренных примеров, значительную часть формулы
для расчета ЛФХ составляет сумма членов вида arctg(wTi). К сожалению, аппроксимировать эту функцию так же удачно, как
это получилось с ЛАХ, не удается. Тем не менее построение ЛФХ
с приемлемой точностью при необходимости возможно осуществить и без применения средств вычислительной техники, если
использовать данные, приведенные в табл. 3.
Таблица 3
Значения функции arctg(x)
x
arctg(x), град
 < 0,01 0,1 0,2 0,5
≅0
6
11
27
1
2
3
45 63 72
5
10  > 100
79 84
≅90
Кривая ЛФХ в промежуточных между рассчитанными точками строится с применением простейшей линейной аппроксимации, ее точности будет достаточно в большинстве случаев, представляющих практический интерес.
Нужно заметить, что использование формул и графиков для
частотных характеристик динамической системы является самым простым способом расчета установившегося режима при
гармонических входных воздействиях. Кроме того, они оказываются полезны и при анализе показателей качества САУ. Дополнительным преимуществом частотных характеристик является
простота их получения в результате экспериментальных иссле51
дований устройств и систем автоматики. При необходимости их
можно выразить из ПФ W(p), которую, в свою очередь, легко извлечь из дифференциального уравнения.
В конечном счете, использование того или иного математического аппарата для описания звеньев и систем автоматики определяется лишь удобством его применения для решения конкретной задачи и личными предпочтениями.
2.6. Амплитудно-фазовые характеристики
Амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) линейной динамической системы является график, который строится на декартовой плоскости в полярных координатах и представляет собой
годограф* вектора, у которого:
– начало всегда находится в начале координат;
– длина равна значению АЧХ A(w);
– угол между ним и направлением оси абсцисс равен значению
ФЧХ Ψ(w).
Для получения АФХ нужно построить множество этих векторов для всех частот w от 0 до ∞.
Иногда удобнее строить и воспринимать АФХ как кривую,
соединяющую бесконечное множество точек на декартовой плоскости, где каждая точка имеет координаты (U(w),V(w)), где
U(w) = Re(W(jw)), V(w) = Im(W(jw)), а точки нанесены для всех частот w от 0 до ∞.
Рассмотрим пример построения графика АФХ для линейной
динамической системы с ПФ вида
K
W ( p) =
.
p(1 + Ty p)(1 + Tä p)
Переходя к частотной ПФ посредством замены p = jw:
K
W (jω ) =
jω (1 + jωTy )(1 + jωTä )
и действуя в соответствии с правилами получения аналитических выражений для АЧХ и ФЧХ системы, получим
* Годографом вектора называется траектория, описываемая концом вектора
при его перемещениях.
52
A (ω ) =
и
K
2
ω 1 + (ωTy )
2
1 + (ωTä )
π
Ψ(ω ) = - - arctg (ωTy )- arctg (ωTä ).
2
Теперь требуется лишь построить необходимый набор векторов на комплексной плоскости при изменении w от 0 до ∞. Если
построение АФХ осуществляется вручную, то удобнее составить
и заполнить таблицу, представленную в формате табл. 4.
Таблица 4
Структура таблицы для построения АФХ
w
0
w2
w1
w3
…
wn
∞
A(w)
Ψ(w)
Определенные трудности могут возникнуть при заполнении
первого и последнего столбцов этой таблицы. В этом случае могут
понадобиться приемы из теории пределов при рассмотрении поведения функций A(w) и Ψ(w) при w→0 и w→∞. В рассматриваемом
случае
π
3π
lim A (ω ) = ¥, lim A (ω ) = 0; lim Ψ(ω ) = - , lim Ψ(ω ) = - .
2
2 ω®¥
ω®0
ω®¥
ω®0
Схематично АФХ будет выглядеть так, как показано на рис. 15.
Процесс построения графика можно описать так. Начальный
вектор, соответствующий значению частоты w = 0, имеет бесконечную длину (поскольку A(0)→∞) и направлен вниз (поскольку
здесь имеем Ψ(0) = –π/2; отрицательные значения углов на плоскости АФХ отсчитываются по часовой стрелке относительно положительной ветви оси абсцисс) — вектор 1. Строго говоря, вектор 1, имея начало в начале координат, уходит вниз не строго по
оси ординат, а чуть смещен в третий квадрант декартовой системы координат (т. е. этот вектор расположен несколько левее оси
ординат). Это объясняется тем, что формально конец вектора находится в точке с координатами (U(0), V(0)), и нетрудно показать,
что в данном случае lim U (ω ) = -kT и lim V (ω ) = -¥. По мере
ω®0
ω®0
увеличения частоты w длина вектора сокращается (поскольку в
рассматриваемом примере переменная w присутствует только в
53
знаменателе функции A(w)), а угол
становится
более отрицательным
II
I
(поскольку функция Ψ(w) в рассма4
триваемом примере не имеет поU ложительных составляющих) —
5
3
вектор 2. На некоторой частоте wp
P
2
угол вектора достигнет значения
–π, т. е. на данной частоте вектор
направлен по оси абсцисс влево и
III
IV
имеет некоторую длину A(wp) —
1
Ïðè
вектор 3. Последующее увеличеWm
ние частоты приводит к дальнейРис. 15. Принцип построения шему сокращению длины вектора
АФХ
и увеличению угла его поворота
по часовой стрелке — вектор 4. В
пределе при w→∞ длина вектора сокращается до нуля (т. е. конечная точка АФХ совпадает с началом координат), а угол, при котором длина вектора становится исчезающе малой, равен –3π/2 —
вектор 5. Соединение концов всех векторов при w∈(0, ∞) образует
искомую АФХ системы.
При построении АФХ разомкнутого контура автоматической
системы в полярных координатах (A(w), Ψ(w)) для радиальной
масштабной сетки в подавляющем большинстве случаев целесообразно задавать логарифмический масштаб. Получающийся график АФХ называется диаграммой Никольса. Диаграмма Никольса позволяет анализировать кривую АФХ системы в очень широком диапазоне изменения частоты, в котором длина вектора A(w)
претерпевает изменения на несколько порядков.
Ïðè
Wmd
54
jV
3. Типовые динамические звенья
линейных автоматических систем
Автоматические системы часто содержат в своем составе сложные динамические звенья, описываемые дифференциальными
уравнениями высокого порядка. Для облегчения математического исследования таких систем сложные звенья в их составе разбивают на более простые типовые звенья, описываемые уравнениями не выше 2-го порядка, т. е. передаточными функциями следующего параметрического семейства:
W ( p) =
b0 p + b1
.
2
c0 p + c1 p + c2
(6)
В (6) некоторые из коэффициентов могут быть, в частности,
равны нулю. При обращении в нуль тех или иных коэффициентов будет изменяться вид ПФ и соответствующего ей дифференциального уравнения.
К типовым звеньям автоматики относят также и звено чистого
запаздывания, которое задерживает сигнал на некоторое время,
не изменяя его формы. Это звено принципиально необходимо при
описании территориально-распределенных САУ — под это определение подпадают многие системы управления воздушными и
космическими объектами, а также технологическими процессами. Однако ПФ звена чистого запаздывания, как будет показано
далее, нельзя привести к формату (6).
Звенья автоматических систем классифицируются по виду их
дифференциальных уравнений или, что эквивалентно, по виду
их передаточных функций W(p). Все устройства, описываемые
одинаковыми дифференциальными уравнениями, относятся к
одной и той же классификационной группе динамических звеньев независимо от их назначения, конструкции, принципа действия и т. д.
Различают 3 класса динамических звеньев:
1) позиционные;
2) интегрирующие;
3) дифференцирующие.
Позиционные звенья характеризуются тем, что их переходная
функция h(t) всегда ограничена по величине, причем для всех звеньев этой группы справедливо соотношение lim (h (t))= k. Звено
t®¥
чистого запаздывания также относится к группе позиционных,
но оно, в отличие от всех остальных, не является минимально55
фазовым. Для интегрирующих звеньев функция h(t) с увеличением времени наблюдения неограниченно возрастает, а для дифференцирующих h(t)→0 при t→∞.
3.1. Позиционные звенья
К позиционным относятся следующие типы звеньев:
– безынерционное звено;
– апериодическое звено 1-го порядка;
– апериодическое звено 2-го порядка;
– колебательное звено;
– звено чистого запаздывания.
Безынерционное звено представляет собой модель идеализированного устройства, выполняющего масштабирование входного сигнала без искажения его формы, как бы сложна она ни была,
и без внесения какой-либо задержки, т. е. работа данного звена
описывается уравнением xвых(t) = kxвх(t). Константа k называется
коэффициентом передачи звена.
Передаточная функция звена определяется тривиальной формулой
W(p) = k.
Предельно очевидно, что и переходная характеристика этого
звена является лишь масштабированной версией единичной ступенчатой функции:
h(t) = k⋅1(t).
Нет необходимости пояснять, что, строго говоря, безынерционное звено на практике не реализуемо. Тем не менее к этим моделям часто прибегают, если инерционность соответствующего
устройства оказывается незначительной по сравнению с инерционными свойствами других устройств, входящих в САУ. Безынерционными звеньями почти всегда можно считать электронные усилители и аттенюаторы (устройства, ослабляющие уровень
сигнала).
Апериодическое звено 1-го порядка представляет собой очень
широко применяемую в ТАУ модель инерционного устройства.
Эти устройства часто встречаются на практике, характерной особенностью является наличие в их составе одного (обязательно
одного) элемента, способного накапливать энергию. Например, в
электронных устройствах — это конденсаторы, индуктивности; в
механических устройствах — массивные подвижные элементы
56
механизмов, способные накапливать кинетическую энергию движения; в термодинамических системах — физические тела, накапливающие тепловую энергию.
Передаточная функция этого звена дается выражением
k
W ( p) =
,
1 + Tp
где константа k называется коэффициентом передачи звена, а
константа T является постоянной времени звена.
Переходная характеристика апериодического звена 1-го порядка описывается формулой (напомним, что она, как и переходные характеристики всех остальных звеньев, определена лишь
при t≥0)
tö
æ
- ÷÷
çç
T
h (t) = kçç1 - e
÷÷÷.
ççè
÷ø
В установившемся режиме при подаче на вход устройства входной величины xвх = сonst, при t→∞ на выходе устройства также установится неизменное значение xвых уст = kxвх. Постоянная
времени T, таким образом, характеризует инерционность объекта: чем больше значение этой константы, тем медленнее затухает экспоненциальная составляющая в выражении h(t) и, соответственно, тем дольше придется ждать установления выходной величины. На практике, если учесть свойства экспоненциальной
функции, установившийся режим достигается при t > 3T.
Очень многие широко применяемые в САУ устройства автоматики, как то: исполнительные электродвигатели постоянного и
переменного тока, усилители мощности (в том числе магнитные
усилители), термодинамические объекты (например, резервуары
с жидкостью) и т. д. — в первом приближении могут быть описаны математической моделью апериодического звена 1-го порядка.
Апериодическое звено 2-го порядка представляет собой
усложненную модель инерционного устройства с ПФ вида
k
W ( p) = 2 2
,
T1 p + T 2 p + 1
где обязательно выполняется условие T2 > 2T1, что гарантирует
вещественность корней полинома в знаменателе ПФ. Это обстоятельство позволяет представить модель апериодического звена
57
2-го порядка в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев 1-го порядка, т. е. использовать для описания
звена ПФ, заданную в форме
k
W ( p) =
,
*
1 + T1 p 1 + T2* p
(
)(
)
где эквивалентные постоянные времени определяются из системы уравнений
* *
2
ì
ï
ïT1 T2 = T1
.
í *
*
ï
ï
ï
îT1 + T2 = T2
Появление модели апериодического звена 2-го порядка обусловлено наличием нередко встречающихся на практике
устройств, в которых неразрывно связаны два инерционных
объекта. Таков, например, электродвигатель постоянного тока:
одна составляющая инерционности (электромагнитная) вносится индуктивностью и сопротивлением его обмотки управления,
а другая (электромеханическая) определяется конструктивными данными двигателя, в частности механическим моментом
инерции ротора и некоторыми другими факторами, т. е. инерционность звена в целом характеризуется двумя постоянными
времени.
Переходная характеристика апериодического звена 2-го порядка при T1≠T2 определяется формулой
t
t ö
æ
- ÷÷
çç
T
T
T
T
1
2
1
h (t) = kçç1 e
e 2 ÷÷÷,
+
çç T1 - T2
÷÷
T1 - T2
çè
ø
а при T1 = T2 = T — формулой, которая может быть получена из
общей формулы разложения Хевисайда (2).
Получим выражение для h(t) при T1 = T2 = T. Из определения
ПФ следует Xвых(p) = W(p)Xвх(p). Переходная характеристика
определяется выходной реакцией устройства на единичную ступенчатую функцию xвх(t) = 1(t), для которой Xвх(p) = 1/p. Следовательно, задача сводится к вычислению
ì
ü
ï
ï
k
ï
ï
ï
h (t) = L-1 ï
.
í
2ý
ï
ï
p
1
Tp
+
(
)
ï
ï
ï
ï
î
þ
58
Нетрудно видеть, что выражение в знаменателе имеет 2 корня:
1
p1 = 0 с кратностью n1 = 1 и p2 = - с кратностью n2 = 2. ПодстаT
новка в (2) дает
éæ
ö÷ù
1 êçç
k
ú
1
e pt ÷÷÷ú
+
êçç( p - 0)
2
(1 -1) ! êêçè
÷÷øúú
1
p
Tp
+
(
)
ë
û p=0
é æ
2
ö÷ù
æ 1 öö
1 ê ∂ çççæ
k
ú
.
e pt ÷÷÷ú
p - çç- ÷÷÷÷÷
+
ê çç
2
ç
çç
÷
÷÷ú
(2 -1) ! êê ∂p çèè è T øø p(1 + Tp)
ø
1
ú
ë
û p=h (t) =
T
Далее, если вспомнить, что 0! = 1, то получение правильного
конечного результата зависит только от аккуратности выполнения аналитических выкладок. В итоге
tö
æ
çç æ
t ö÷ - T ÷÷
ç
÷÷.
h (t) = kçç1 - ç1 + ÷÷e
÷÷
Tø
ççè çè
ø
Из приведенных формул переходных характеристик очевидно, что для апериодического звена в любом случае при t→∞ будет
h(t)→k.
Колебательное звено является единственным из всех типовых звеньев, у которого реакция на единичную ступенчатую
функцию имеет колебательный характер. Передаточная функция этого звена имеет вид
k
W ( p) = 2 2
,
T p + 2ζTp + 1
где k — коэффициент передачи; T — постоянная времени, а константа ζ называется коэффициентом демпфирования колебательного звена, причем 0 < ζ < 1.
При ζ = 1 колебательное звено превращается в апериодическое звено 2-го порядка с T = T1 = T2, т. е. переходной процесс
уже не будет колебательным. При ζ = 0 пропадает среднее слагаемое в знаменателе ПФ звена, и этот частный случай определяет
k
так называемое консервативное звено с W ( p) =
. Если
2 2
T p +1
воспользоваться формулой разложения Хевисайда, то легко убедиться, что переходная характеристика консервативного звена
представляет собой незатухающее гармоническое колебание с
59
постоянной составляющей, равной k. При 0 < ζ < 1 переходной
процесс колебательного звена описывается затухающим гармоническим колебанием. В этом также можно убедиться, рассчитав переходную характеристику звена по формуле
ì
ï
ï
k
í
2 2
ï
ï p T p + 2Tζp + 1
ï
ï
î
-1 ï
h (t) = L
(
ü
ï
ï
ï. ý
ï
ï
ï
ï
þ
(7)
)
Чтобы применить к (7) формулу разложения Хевисайда, сначала выясняем, что корней в знаменателе выражения, от которого требуется вычислить обратное преобразование Лапласа, в
2
1- ζ
ζ
и λ=
; p3 = 0.
T
T
Первые два представляют собой пару комплексно-сопряженных
корней. Кратность всех корней равна единице, поэтому здесь
можно воспользоваться упрощенной формулой разложения Хевисайда (3)
данном случае три: p1,2  =  –γ±jλ, где γ =
ö÷
3 æç
÷
k
ç
h (t) = å çç( p - pi )
e pt ÷÷÷
.
2 2
çç
÷÷
p T p + 2Tζp + 1
i=1çè
ø p= p
(
)
i
Представляя T2p2+2ζTp+1 = T2(p–p1)(p–p2), нетрудно записать
ö
3 æ
k
ç
pt ÷÷
h(t) = åçç( p - pi )
=
e
÷
÷
ç
T2 p( p - p1 )( p - p2 ) ÷ø
i=1çè
p= p
i
k
k
k
= 2
e p1t + 2
e p2t + 2
e0×t .
T p1 ( p1 - p2 )
T p2 ( p2 - p1 )
T (0 - p1 )(0 - p2 )
Подставляя полученные выражения для корней p1 и p2, после
преобразований, на определенном этапе которых понадобится
формула Эйлера ejx = cos(x)+jsin(x), можно получить
æ
t æ
ö÷ö÷
-ζ ç
ç
ζ
÷
h (t) = kççç1 - e T çççcos(λt)+
sin (λt)÷÷÷÷÷÷,
÷÷÷
2
çç
ççè
1- ζ
ø÷ø
è
60
1 - ζ2
определяет значение круговой частоты
T
затухающих колебаний в переходном процессе на выходе колебательного звена.
Нетрудно видеть, что колебания на выходе звена будут тем более выраженными, чем меньше значение параметра ζ. Для консервативного звена ζ = 0, и колебания его ПФ не затухают.
Амплитудно-частотная характеристика колебательного звена
описывается выражением
где параметр λ =
A (ω ) =
k
2 2 2
(1- ω T ) + (2ζTω)
2
,
при внимательном рассмотрении которого можно сделать вывод, что при ζ < 0,707 АЧХ не будет монотонной функцией — в
окрестности частоты w = T –1 АЧХ звена будет иметь максимум.
При ζ << 1 этот максимум становится очень резко выраженным,
а для консервативного звена A(T –1)→∞.
Фазочастотная характеристика колебательного звена может
быть выражена правильно только после разложения квадратного
трехчлена в знаменателе ее ПФ на сомножители первого порядка.
Если учесть, что корни полинома в знаменателе ПФ звена являζ
ются комплексно-сопряженными: p1,2 = –γ±jλ, где γ =
и
T
2
1- ζ
, то общее выражение для ФЧХ Ψ(w) = arg(k/(jw + γ –
λ=
T
– jλ)(jw+γ+jλ)) после преобразований приобретет такую форму:
æ
ö
æ
ö
ç ωT - 1 - ζ2 ÷÷
ç ωT + 1 - ζ2 ÷÷
÷÷ - arctg çç
÷÷, Ψ(ω ) = -arctg ççç
ç
÷
ζ
ζ
÷ø÷
çèç
çèç
ø÷
(8)
где предполагается ζ≠0.
При ζ = 1 ФЧХ (8) закономерно переходит в формулу, совпадающую с ФЧХ апериодического звена 2-го порядка при T1 = T2 = T:
Ψ(w) =  –2arctg(wT).
Заметим, что во многих литературных источниках приводится следующая формула для описания ФЧХ колебательного звена:
61
æ 2ζTω ö÷
Ψ(ω ) = -arctg çç
÷.
èç1 - ω2T2 ÷ø
Эта функция, если рассматривать ее формально (а любая компьютерная программа, используемая для расчетов характеристик динамической системы, так и поступит), имеет разрыв в
точке w = T –1, скачком переходя на данной частоте от значения
–π/2 к +π/2, и это при том, что функция A(w), описывающая АЧХ
звена, на этой частоте является непрерывной и отличной от нуля.
Такое сочетание характеристик для линейных устройств невозможно. Использование же этой формулы по принципу “как есть”
приведет к грубым ошибкам в анализе автоматических систем, в
состав которых входит колебательное звено.
В приведенную “неправильную” формулу для ФЧХ колебательного звена легко ввести необходимую поправку:
ì
æ 2ζTω ö÷
ï
1
ï
-arctg çç
÷ ïðè ω <
ï
2
2
ç
ï
÷
T
è1 - ω T ø
ï
ï
ï
ï
1
ï π
Ψ(ω ) = í- ïðè ω =
.
ï
2
T
ï
ï
ï
æ 2ζTω ö÷
1
ï
ïï-π + arctg çç
÷ ïðè ω >
çè ω2T2 -1÷ø
ï
T
ï
ï
î
Несмотря на то что это выражение выглядит как разрывная
функция, нетрудно убедиться, что она непрерывна, более того,
она совпадает по значениям с (8) во всем диапазоне частот, хоть
это и не совсем очевидно. Из этого выражения хорошо видно, что
ФЧХ колебательного звена на частоте w = T–1 равна –90° при любом значении параметра ζ.
Частотные характеристики становятся разрывными лишь для
консервативного звена, получаемого из колебательного формальной подстановкой ζ = 0. АЧХ (и ЛАХ) этого звена на w = T–1 стремится к бесконечности, а его ФЧХ скачком изменяет свое значение с 0 до –π. При малых значениях ζ колебательное звено приближается к консервативному.
Характерной особенностью физической реализации устройств
автоматики, соответствующих модели колебательного звена, является наличие двух взаимосвязанных элементов, в которых может накапливаться энергия. Например, такова механическая система, в которой имеется подвижная масса с пружиной; электри62
ческая цепь, содержащая конденсатор и индуктивность, и т. д.
Такой характер переходного процесса часто наблюдается у достаточно сложных устройств автоматики, представляющих собой
некоторую отдельную подсистему регулирования в составе более
крупномасштабной САУ.
Звено чистого запаздывания выполняет над входным сигналом операцию задержки на некоторое время t: xвых(t) = kxвх(t–t).
Такими звеньями, с известной степенью идеализации, являются:
канал радиосвязи (t представляет собой время прохождения сигнала от передатчика до приемника), длинный трубопровод (t представляет собой время распространения давления от начала трубопровода до его конца), камера сгорания жидкостно-реактивного
двигателя (t представляет собой время от момента подачи топлива в форсунки до момента его сгорания).
Чтобы получить выражение для ПФ звена чистого запаздывания, можно воспользоваться определением преобразования Лапласа. Пусть для входного сигнала xвх(t) определено
¥
Xâõ ( p) = ò xâõ (t)e- pt dt. Тогда для задержанного (и промасшта0
бированного) сигнала xвых(t) = kxвх(t–t) имеем
∞
Xâûõ ( p) = ∫ kxâõ (t − τ )e− pt dt =
0
∞
− p(t−τ ) − pτ
= k ∫ xâõ (t − τ )e
e
d(t − τ ) = ke− pτ Xâõ ( p),
0
откуда с учетом определения ПФ звена W(p) = Xвых(p)/Xвх(p) нетрудно вывести результат
W ( p) = ke- pτ .
Если окажется необходимо представить полученную функцию
в дробно-рациональной форме, то можно воспользоваться разложением функции экспоненты в ряд Тейлора, но он будет бесконечным:
æ
ö÷
( pτ )2 ( pτ )3 ( pτ )4
ç
W ( p) = kçç1 - pτ +
+
-÷÷÷.
çç
÷÷
2!
3!
4!
è
ø
63
Выражения для амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик звена чистого запаздывания могут быть получены
на основании разложения комплексной экспоненты по формуле Эйлера: W(jw) = ke–jwt = k(cos(wt) – jsin(wt)), откуда очевидно
æ -sin (ωτ )ö÷
A (ω ) = k cos2 (ωτ )+ sin2 (ωτ ) = k и Ψ(ω ) = arctg ççç
÷÷ = -ωτ.
çè cos(ωτ ) ÷ø
То есть звено в равной степени пропускает на выход все частотные
составляющие (так же, как безынерционное звено), но при этом
вносит фазовый сдвиг, прямо пропорциональный частоте входного гармонического сигнала.
Общие свойства позиционных звеньев:
1) если входная координата звена конечна, то выходная его координата будет конечной в любой момент времени;
2) если входная координата звена, начиная с какого-то момента времени, становится равной нулю, то выходная его координата
с течением времени также станет равной нулю;
3) звенья вносят отрицательный фазовый сдвиг: выходное гармоническое колебание отстает по фазе от входного (исключение
составляет безынерционное звено, у которого сдвиг фазы равен
нулю);
4) для звеньев характерно, что их АЧХ при w→∞ спадает к нулю (исключениями являются безынерционное звено и звено чистого запаздывания, у которых АЧХ не зависит от частоты).
Характерным признаком, позволяющим отличить звено позиционного типа от любого другого, является то, что ни в числителе, ни в знаменателе передаточной функции позиционного звена
нет свободного сомножителя p.
3.2. Интегрирующие звенья
Интегрирующие звенья включают в себя следующие типы звеньев:
– идеальное интегрирующее звено;
– инерционное интегрирующее звено.
Идеальное интегрирующее звено выполняет над входным
сигналом математическую операцию интегрирования по времени
(с масштабированием):
t
xâûõ (t) = k ò xâõ (τ )dτ.
0
64
Соответственно, ПФ этого звена представляется сравнительно
простым выражением
k
W ( p) = .
p
Переходная характеристика, образующаяся в результате интегрирования по времени единичной ступенчатой функции, представляет собой линейно возрастающую функцию времени
h(t) = kt.
Примерами интегрирующих звеньев являются интегрирующие приводы (устройства, идеологически родственные обычному
лифту), электродвигатель (если в качестве выходной координаты
рассматривать не скорость вращения оси ротора Ω, а угол поворота его оси относительно выбранного направления). Однако при
описании реальных устройств модель идеального интегрирующего звена не всегда пригодна, поскольку она не учитывает инерционности элементов.
Инерционное интегрирующее звено (реже называемое как
интегрирующее звено с замедлением) объединяет в себе свойства
идеального интегрирующего и апериодического звена 1-го порядка: оно может быть представлено как последовательное соединение этих звеньев. Такое построение адекватно отражает особенности реальных устройств, работающих по принципу интегрирования, поскольку учитывает их инерционность. Передаточная функция инерционного интегрирующего звена определяется
формулой
k
W ( p) =
.
p(1 + Tp)
Для определения переходной характеристики инерционного
интегрирующего звена можно проинтегрировать по времени переходную характеристику апериодического звена 1-го порядка:
æ
τö
t öö
æ
æ
t
- ÷
- ÷÷÷
ç
ç
ç
h (t) = ò kççç1 - e T ÷÷÷dτ = kçççt - T ççç1 - e T ÷÷÷÷÷÷.
÷÷
÷÷÷
çç
ççè
ççè
ø
ø÷ø
è
0
Анализируя полученную функцию, нетрудно заметить, что
при малых значениях t она растет несколько медленнее, чем kt,
а при t→∞ (практически же при t > 3T) процесс интегрирования
выходит на нормальный режим.
65
Общие свойства интегрирующих звеньев:
1) если входная координата звена постоянна, то выходная его
координата по окончании переходного процесса изменяется линейно во времени;
2) выходная координата звена может не равняться нулю даже
при нулевом входном сигнале (интегрирующие устройства обладают памятью: при снятии входного воздействия выходная координата “замораживается” на том уровне, который был достигнут
к моменту прекращения входного воздействия);
3) звенья вносят отрицательный фазовый сдвиг: выходное гармоническое колебание отстает по фазе от входного;
4) для звеньев характерно, что их АЧХ при w→∞ спадает к нулю.
Характерным признаком, позволяющим отличить звено интегрирующего типа от любого другого, а также определить наличие
такого звена в составе системы по ее ПФ, является то, что в знаменателе передаточной функции звена интегрирующего типа обязательно присутствует свободный сомножитель p.
3.3. Дифференцирующие звенья
Дифференцирующие звенья включают в себя следующие типы звеньев:
– идеальное дифференцирующее звено;
– инерционное дифференцирующее звено.
Идеальное дифференцирующее звено выполняет над входным сигналом математическую операцию дифференцирования
по времени:
dx (t)
xâûõ (t) = k âõ .
dt
Соответственно, ПФ этого звена с учетом теоремы дифференцирования преобразования Лапласа представляется как
W(p) = kp.
Переходная характеристика, образующаяся в результате дифференцирования по времени ступенчатой функции 1(t), представляет собой масштабированную дельта-функцию:
h(t) = kδ(t).
С одной стороны, это, конечно, чисто математическая модель,
с другой — реально входную координату также нельзя изменить
скачком, поэтому при подаче на вход устройства входного воз66
действия с конечной скоростью нарастания на выходе идеального дифференцирующего звена сформируется конечное значение
выходной координаты, равное скорости нарастания входного воздействия.
Примером идеального дифференцирующего звена является
тахогенератор и многие другие устройства (это, в первую очередь,
разнообразные датчики), работа которых основана на законе обратной электромагнитной индукции. В частности, тахогенератор
вырабатывает напряжение лишь при изменении угла поворота
его оси; выходное напряжение тахогенератора в первом приближении будет прямо пропорционально угловой скорости вращения
его вала.
Однако при описании реальных устройств модель идеального
дифференцирующего звена не всегда пригодна, поскольку она не
учитывает инерционности элементов реальных устройств.
Инерционное дифференцирующее звено (реже называемое
как дифференцирующее звено с замедлением) объединяет в себе
свойства идеального дифференцирующего и апериодического звена 1-го порядка: оно может быть представлено как последовательное соединение этих звеньев. Такое построение адекватно отражает особенности реальных устройств, работающих по принципу дифференцирования, поскольку учитывает их неизбежную,
пусть даже и сравнительно малую, инерционность. Передаточная
функция инерционного дифференцирующего звена определяется
формулой
kp
W ( p) =
,
1 + Tp
т. е. представляется в виде последовательного соединения идеального дифференцирующего звена и апериодического звена 1-го
порядка.
Для определения переходной характеристики инерционного
дифференцирующего звена можно продифференцировать по времени переходную характеристику апериодического звена 1-го порядка:
h (t) =
æ æ
t öö
t
- ÷÷÷
d çç çç
k ççkçç1 - e T ÷÷÷÷÷ = e T .
÷÷÷÷ T
dt çç çç
ø÷ø
è è
Анализируя полученную функцию, нетрудно заметить, что
при t = 0 она принимает максимальное значение, но конечное,
67
равное k/T, а при t→∞ (практически же при t > 3T) переходная
характеристика стремится к нулю. Это вполне логично: резкий
начальный переход функции Хевисайда от нулевого значения к
единичному при дифференцировании дает значительный выходной отклик, а последующее неизменное во времени значение единичной ступенчатой функции на входе устройства после дифференцирования дает нулевой эффект.
Примерами инерционных дифференцирующих звеньев являются разнообразные электронные цепи, не пропускающие на выход постоянную составляющую входного сигнала, как то: дифференцирующая RC-цепь, трансформатор и т. п.
Общие свойства дифференцирующих звеньев:
1) если входная координата звена постоянна, то выходная его
координата по окончании переходного процесса равна нулю;
2) если входная координата звена изменяется с постоянной
скоростью, то выходная координата по окончании переходного
процесса устанавливается на постоянном уровне, равном скорости изменения входной координаты;
3) звенья вносят положительный фазовый сдвиг: выходное
гармоническое колебание опережает по фазе входное;
4) для звеньев характерно, что их АЧХ при w→0 спадает к нулю: звенья не пропускают на выход постоянную составляющую
входного воздействия и почти не реагируют на его очень медленно меняющиеся компоненты.
Характерным признаком, позволяющим отличить звено
дифферен­цирующего типа от любого другого, является то, что
в числителе передаточной функции дифференцирующего звена
обязательно присутствует свободный сомножитель p.
3.4. Сводная информация
о характеристиках типовых динамических звеньев
Названия и основные характеристики типовых динамических
звеньев автоматики, наиболее часто встречающихся в практике,
сведены в табл. 5–7. В первой приведены формулы для передаточных функций и переходных характеристик звеньев, во второй —
формулы для их АЧХ и ФЧХ, в третьей представлены схематичные изображения графиков характеристик h(t), L(w) и Ψ(w), дающие наглядное представление о свойствах типовых динамических звеньев автоматики.
68
Таблица 5
Базовые характеристики типовых
динамических звеньев автоматики*
Название
классификационной группы
Передаточная
функция W(p)
Переходная характеристика
h(t) при t≥0
k
k
k
1 + Tp
tö
æ
- ÷
ç
kççç1 - e T ÷÷÷
÷÷
ççè
ø
Безынерционное звено
Дифференцирующие Интегрирующие
Позиционные
Апериодическое звено
1-го порядка
k
Апериодическое звено (1 + T1 p)(1 + T2 p)
2-го порядка
Колебательное звено**
Звено чистого запаздывания
Идеальное
интегрирующее звено
Инерционное интегрирующее
звено
k
t
t ö
æ
- ÷÷
çç
T1
T2
kçç1 e T1 +
e T2 ÷÷÷
÷÷
T1 - T2
çççè T1 - T2
ø
T p + 2ζTp + 1
æ
t æ
ö÷÷ö
-ζ ç
ç
ζ
÷
kççç1 - e T çççcos(λt)+
sin (λt)÷÷÷÷÷÷
÷
2
çç
ççè
÷ø÷ø÷
1- ζ
è
ke- pτ
k⋅1(t–t)
k
p
kt
2 2
k
p(1 + Tp)
æ
t öö
æ
- ÷÷÷
ç
ç
kçççt - T ççç1 - e T ÷÷÷÷÷÷
÷÷÷
çç
ççè
øø÷
è
Идеальное
дифференцирующее
звено
kp
kδ(t)
Инерционное дифференцирующее звено
kp
(1 + Tp)
k -T
e
T
t
Примечания: * Константы k, T, T1, T2, t, ζ предполагаются положительными.
** λ =
1 - ζ2
, 0 < ζ < 1.
T
69
Звено чистого запаздывания
Колебательное звено
Апериодическое
звено 2-го порядка
Апериодическое
звено 1-го порядка
Безынерционное
звено
Название
классификационной группы
Позиционные
70
ke- pτ
T2 p2 + 2ζTp + 1
k
(1 + T1 p)(1 + T2 p)
k
k
k
1 + Tp
2
k
(1-(Tω)2 ) + 4(ζTω)2
2
k
(1 + (T1ω) )(1 + (T2ω)2 )
2
k
1 + (ωT )
k
АЧХ A(w)
k
Передаточная
функция W(p)
–arctg(wT)
0
ФЧХ Ψ(w)
Таблица 6
–wt
ì
æ 2ζTω ö÷
ï
1
ï
-arctg çç
÷ ïðè ω <
ï
çè1 - ω2T2 ÷ø
ï
T
ï
ï
ï
ï
1
ï π
í- ïðè ω =
ï
2
T
ï
ï
ï
æ 2ζTω ö÷
1
ï
ï
-π + arctg çç 2 2
÷ ïðè ω >
ï
ç ω T -1÷ø
ï
T
è
ï
ï
î
-arctg (ωT1 )- arctg (ωT2 )
АЧХ и ФЧХ типовых динамических звеньев автоматики
71
Инерционное дифференцирующее
звено
Идеальное дифференцирующее звено
Инерционное интегрирующее звено
Идеальное интегрирующее звено
Название
классификационной группы
Интегрирующие
Дифференцирующие
kω
kp
(1 + Tp)
2
1 + (ωT )
kw
kp
ω 1 + (ωT )
k
k
p(1 + Tp)
2
π
2
k
ω
k
p
π
- arctg (ωT )
2
π
2
π
- - arctg (ωT )
2
-
ФЧХ Ψ(w)
АЧХ A(w)
Передаточная
функция W(p)
Апериодическое
звено
2-го порядка
Апериодическое
звено
1-го порядка
Безынерционное
звено
0
0
0
0
h(t)
h(t)
k
h(t)
h(t)
k
2P/L
k
T
k
t
t
t
k(1–e–1 )
t
Переходная характеристика
h(t)
í
Lk
í
a
T –1
a a
a
a
T –1
T–1
1
L(W)
Lk
í
L(W)
Lk
L(W)
L(W)
í
à
–40
–20
L
–40 Z T–1
2
í
–20
Lk
ЛАХ*
L(w) = 20•lg(A(w))
W
W
W
L
Z
L*
W
–P
–P/2
1
9(W)
–P
9(W)
–P/2
–P/4
9(W)
9(W)
Графики характеристик типовых динамических звеньев автоматики
Название
классификационной группы
Позиционные
72
2
2 T–1
T –1
1
9(W) = 0
ЛФХ Ψ(w)
W
W
W
W
Таблица 7
73
Идеальное интегрирующее звено
Звено чистого запаздывания
Колебательное звено**
Название
классификационной группы
Позиционные
Интегрирующие
h(t)
k
T
t
k(1–e–1 )
0
0
0
0
k
h(t)
h(t)
T
kt
A
k
2P/L
tg(A) = k
h(t)
T
h(t)
h(t)
t
t
t
t
Переходная характеристика
t
0
h(t)
0
k
a
T –1
–20
–20
L(W)
L(W)
L(W)
L(W)
Lk
í
T
–1
–20
a
k
–20
T
–1
a a
í
í
a
Lk
–40
k
L
–40 Z à
í
ЛАХ* –40
–1
L(w) = 20
lg(A(w))
T
T•–1
1
2
L(W)
Lk
í
L(W)
Lk
W
W
W
W
W
W
L
Z
L*
9(W)
–P
–P/2
9(W)
–P/2
9(W)
9(W)
–P
–P/2
1
9(W)
–P
9(W)
–P/2
–P/4
2
1
T –1
2 T–1
ЛФХ Ψ(w)
–3P/4
W
W
W
W
W
tg(A) = k
h(t)
t
0
0
0
k/eT
h(t)
¥
h(t)
h(t)
T
kt
T
k/T
t
t
t
Переходная характеристика
A
t
0
h(t)
0
L(W)
L(W)
L*
L(W)
–20
k
–1
+20
–1
k
–1
+20
T
í
–20
a
T
a
–1
–40
k
í
ЛАХ*
L(w) = 20
k •lg(A(w))
L(W)
W
Lk
W
W
W
W
Примечания: * ЛАХ: а – асимптотическая, н – не асимптотическая (точная);
Lk = 20•lg(k); L* = Lk–3 дБ; Lζ = 20•lg(k/ζ), Lζ* = 20•lg(k/2ζ).
** Графики ФЧХ колебательного звена (1 и 2) построены для разных ζ: ζ2 < ζ1.
Инерционное дифференцирующее звено
Идеальное дифференцирующее звено
Инерционное интегрирующее звено
Название
классификационной группы
Интегрирую-
Дифференцирующие
74
P/4
P/2
T
9(W)
P/2
9(W)
–P
–P/2
9(W)
–1
T
–1
ЛФХ Ψ(w)
W
W
–3P/4
W
W7
Окончание табл.
–P/2
9(W)
4. Математическое описание линейных систем
автоматического управления
4.1. Описание систем управления
посредством передаточных функций
Элементы автоматической системы определенным образом
соединены между собой. Это позволяет для их математического
описания и последующего анализа эффективно использовать ПФ
и структурные схемы.
Структурные схемы автоматических систем наглядно показывают связи между отдельными динамическими звеньями системы, обеспечивая ее анализ, получение передаточных функций, а,
следовательно, и ее дифференциального уравнения относительно
нужной координаты. По сути структурная схема является графическим изображением дифференциального уравнения.
Рассмотрим в виде примера составление структурной схемы
электромеханической следящей системы (рис. 16), предназначенной для подстройки угла поворота вала оси исполнительного
электродвигателя Д под задающее воздействие ϑ1, т. е. для воспроизведения исполнительной осью ИО угла поворота командной оси КО. Такие системы используются, например, в системах
управления артиллерийскими и пулеметными установками кораблей и самолетов (при этом командная ось связана с прицелом,
а исполнительная — с пушкой или пулеметом). Как видно из схемы, задатчик угла З может быть размещен на значительном удалении от объекта управления ОУ. Вся необходимая информация
в системе передается электрическими сигналами.
+U
Ç
*1
R1
*2
ÊÎ
Ó
U*1
Ä
ÎÓ
R2
ÈÎ
U*2
–U
Рис. 16. Электромеханическая следящая система
75
Измерителями углов поворота КО и ИО являются потенциометрические датчики. Угловое положение ползунка каждого потенциометра (R1 и R2) определяет выходное напряжение измерительного элемента (Uϑ1 = kИЭϑ1 и Uϑ2 = kИЭϑ2). Разностное напряжение
(возможны также и другие варианты названий: напряжение рассогласования, напряжение ошибки) Ue = kИЭ(ϑ1–ϑ2) через усилитель мощности У подается на электродвигатель постоянного тока
Д. Направление вращения двигателя определяется знаком угла
рассогласования ϑe = ϑ1–ϑ2 (знаком ошибки). Двигатель, вращая
(через понижающий редуктор для уменьшения скорости и одновременного увеличения вращающего момента) исполнительную
ось, на которой размещен объект управления ОУ, поворачивает
ее в сторону уменьшения угла рассогласования. При ϑe = 0 станет
равным нулю и напряжение Uд = kуϑe, подаваемое на двигатель, в
результате чего он останавливается.
Задавая требуемый закон изменения угла поворота командной
оси ϑ1(t), получаем такой же закон изменения угла поворота исполнительной оси ϑ2(t), конечно, с точностью до ошибки, допускаемой системой в процессе своего функционирования.
При составлении структурной схемы всем входящим в состав
рассматриваемой системы устройствам ставится в соответствие
какое-то типовое динамическое звено (см. табл. 5–7). Уравнения
отдельных элементов системы и их обозначения на структурных
схемах приведены в табл. 8, по данным которой составляется
структурная схема системы (рис. 17).
В данном случае электродвигатель, управляющий исполнительной осью, описывается моделью инерционного интегрирующего звена. Инерционность определяется инерционными свойствами двигателя, а его интегрирующие свойства станут понятны, если учесть, что здесь в качестве выходной величины двигателя рассматривается не угловая скорость вращения оси его роÌí
L
- Å
L½
*1 (t)
*e (t)
kÈÝ
Uå
LÌ
+ 5Z Q
Uä
+
L½
Q + 5½Q
Jä
kp
* 2(t)
Рис. 17. Структурная схема САУ, изображенной на рис. 16
76
Таблица 8
Уравнения для типовых элементов САУ
Элемент системы
Уравнение
Измерительный
элемент (ИЭ)
Ue = kИЭϑe,
где ϑe = ϑ1–ϑ2
Усилитель
Устройство
сложения
воздействий
(сумматор)
(Tур + 1)Uд = kуUе
Обозначение на структурной
схеме
*e (t)
* 1(t)
kÈÝ
LZ
Uå (t)
Uå(t)
Uä(t)
5Z Q
U2(t)
Uвых = U1+ U2
+
U1(t)
Uâûõ(t)
Ìí
Двигатель
Редуктор
(Tдр + 1)pϕд =
= kдUд– kмMн
ϑ2 = kpϕд
L
- Å
L½
Uä(t)
Lä
+
Jä(t)
Jä(t)
Q 5ä Q
kp
*2 (t)
тора Ωд, а угол ее поворота ϕд, а для вращающейся оси в любой
момент времени справедливо равенство ϕ (t) =
t
ò
Ω(τ )dτ.
-¥
Момент нагрузки, возникающий, например, вследствие аэродинамических нагрузок на управляемый объект, действует на ось
двигателя, влияя на скорость ее вращения, от которой уже в свою
очередь зависит угол поворота ИО. По структурной схеме видно,
что момент нагрузки Мн приложен до интегрирующего звена.
77
Многие системы автоматического управления адекватно описываются обобщенной структурной схемой типовой САУ (рис. 18).
Нетрудно убедиться, что и структура САУ, приведенная на рис. 17,
является частным случаем этой более общей структуры.
Следующим этапом после составления структурной схемы
САУ является нахождение ее ПФ. Структурные схемы автоматических систем часто имеют сложный вид. Для приведения их
к виду, более удобному для определения искомых ПФ, используются структурные преобразования. Основные правила, используемые при преобразовании структурных схем САУ, сведены в
табл. 9, в которой приведены исходная схема и схема, эквивалентная исходной. Эквивалентность схем понимается в том смысле,
что уравнение для выходной координаты эквивалентной схемы,
записанное с использованием понятия ПФ, совпадает с аналогичным уравнением для выходной координаты исходной схемы.
Передаточные функции САУ. В зависимости от того, поведение какой координаты САУ представляет интерес, вводят в рассмотрение различные ПФ САУ:
1) передаточная функция замкнутой системы (по задающему воздействию) определяется как отношение преобразования
Лапласа управляемой величины к преобразованию Лапласа от
задающего воздействия при нулевых начальных условиях и отY ( p)
сутствии прочих воздействий: Φ ( p)=
;
G ( p)
2) передаточная функция разомкнутого контура системы
определяется как отношение преобразования Лапласа управляемой величины к преобразованию Лапласа от ошибки при нулевых начальных условиях и отсутствии прочих воздействий:
Y ( p)
;
W ( p) =
E( p)
f(t)
W3 (p)
g(t)
e(t)
W1(p)
+
y(t)
W2 (p)
Рис. 18. Обобщенная структурная схема типовой САУ
78
Таблица 9
Правила преобразования структурных схем САУ
№
пп.
Исходная схема
xâõ
W1
1
Эквивалентная схема
...
W2
Wn
xâûõ
xâõ
Wýêâ
xâûõ
Wэкв = W1⋅W2⋅…⋅Wn
W1
xâõ
W2
+
xâõ
xâûõ
W1
+
4
xâõ
W2
f1
xâõ
+
Wýêâ
Wýêâ =
W2
xâõ
5
xâûõ
W1
3
Wýêâ
xâûõ
Wэкв = W1+W2+…+Wn
Wn
xâõ
xâõ
xâûõ
...
...
...
2
W1
1 + W1W2
Wýêâ
Wýêâ =
f2
xâûõ
xâûõ
W1
1 - W1W2
f1
f2
xâûõ
+
xâõ
+
+
xâûõ
f
f
6
xâõ
W
+
xâûõ
W
xâõ
W
+
xâûõ
f
f
7
xâõ
W
+
W –1
xâûõ
xâõ
+
W
xâûõ
3) передаточная функция замкнутой системы по возмущению определяется как отношение преобразования Лапласа от
управляемой величины к преобразованию Лапласа от возмуще79
ния при нулевых начальных условиях и отсутствии прочих возY ( p)
действий: Φ f ( p) =
;
F ( p)
4) передаточная функция замкнутой системы по ошибке от
задающего воздействия определяется как отношение преобразования Лапласа от сигнала ошибки к преобразованию Лапласа от
задающего воздействия при нулевых начальных условиях и отE( p)
сутствии прочих воздействий: Φ e ( p) =
;
G ( p)
5) передаточная функция замкнутой системы по ошибке от
возмущающего воздействия определяется как отношение преобразования Лапласа от сигнала ошибки к преобразованию Лапласа от возмущающего воздействия при нулевых начальных услоE( p)
виях и отсутствии прочих воздействий: Φ ef ( p) =
.
F ( p)
Приведенные ПФ для линейных систем взаимосвязаны друг
с другом. Рассмотрим получение ПФ для обобщенной структуры САУ (см. рис. 18). Для получения формулы для W(p) требуется применить правило преобразования № 1 из табл. 9, положив
f = 0. Передаточная функция Ф(p) рассчитывается по W(p) посредством правила преобразования № 3 и т. д. Полученные для
рассматриваемой САУ результаты сведены в табл. 10.
Таблица 10
Типовые ПФ САУ, структурная схема которой изображена на рис. 18
Расчетные соотношения
через W1(p) и W2(p)
ПФ
Φ ( p) =
Y ( p)
W ( p) =
G ( p)
Y ( p)
E( p)
Φ f ( p) =
Φ e ( p) =
Φ ef ( p) =
80
Y ( p)
F ( p)
E( p)
G ( p)
E( p)
F ( p)
Φ f ( p) =
W1 ( p)W2 ( p)
1 + W1 ( p)W2 ( p)
W(p) = W1(p)W2(p)
Φ f ( p) =
Φ e ( p) =
W2 ( p)W3 ( p)
1 + W1 ( p)W2 ( p)
1
1 + W1 ( p)W2 ( p)
Φ ef ( p) = -
W2 ( p)W 3 ( p)
1 + W1 ( p)W2 ( p)
Связь с другими
ПФ
Φ ( p) =
W ( p)
1 + W ( p)
W ( p) =
Φ ( p)
1 - Φ ( p)
Фf(p) = –Фef(p)
Φ e ( p) =
1
1 + W ( p)
Фef(p) = –Фf(p)
Особенности применения той или иной ПФ диктуются требованиями задачи. Например, ПФ Фe(p) используется для расчета
ошибки в САУ e(t) при любом задающем воздействии g(t). Расчет
производится в следующей последовательности: G(p) = L{g(t)},
E(p) = Фe(p)G(p), e(t) = L–1{E(p)}. По аналогичному принципу, зная
Фf(p), можно рассчитать поведение выходной координаты САУ
y(t) при заданном возмущающем воздействии f(t) и т. д.
Получение соотношений для ПФ САУ через параметры входящих в нее динамических звеньев можно проиллюстрировать,
рассмотривая совместно структурные схемы, изображенные на
рис. 17 и 18, с данными, приведенными в табл. 10.
Передаточные функции обобщенной структуры системы (см.
рис. 18) выражаются через ПФ звеньев исходной системы (см.
kä kp
kÈÝ ky
.
рис. 17) следующим образом: W1 ( p) =
, W2 ( p) =
1 + Ty p
p(1 + Tä p)
Соответственно, ПФ разомкнутого контура можно представить в
следующей форме:
K
W ( p) =
,
p(1 + Ty p)(1 + Tä p)
где K = kИЭkуkдkр — общий коэффициент передачи разомкнутого
контура системы, называемый также добротностью САУ.
Далее, после несложных преобразований нетрудно выразить
остальные ПФ, например
K
K
Φ ( p) =
=
.
3
p(1 + Ty p)(1 + Tä p)+ K TyTä p + (Ty + Tä )p2 + p + K
Зная ПФ системы, нетрудно получить общее уравнение ее движения при совместном действии на нее задающего и возмущающего воздействий. Прибегая к операторной форме записи* дифференциального уравнения с целью сократить выкладки, можно
записать
* При записи дифференциального уравнения в операторной форме полагают,
что умножение функции на переменную p воздействует на эту функцию как оператор дифференцирования по времени в соответствии с теоремой дифференцирования для преобразования Лапласа. Соотношение эквивалентности записывают
в форме p = d/dt. При этом переменная p участвует в промежуточных выкладках
на правах обычной алгебраической переменной и заменяется на d/dt (соответственно, pk заменяется на dk/dtk) лишь при записи конечного дифференциального уравнения системы.
81
ϑ2 (t) =
-
K
TyTä p + (Ty + Tä )p2 + p + K
3
kì kp (1 + Ty p)
TyTä p + (Ty + Tä )p2 + p + K
3
ϑ1 (t) -
Mí (t)
или
(TуTдp3+(Tу+Tд)p2+p+K)ϑ2(t) = Kϑ1(t)–kмkp(1+Tуp)Mн(t). (9)
После чего, применяя теорему дифференцирования, дифференциальное уравнение САУ можно записать в привычной математической форме
d2 ϑ2 (t) dϑ2 (t)
+
T
+
T
( y ä ) 2 + dt + K =
dt3
dt
dMí (t)
= Kϑ1 (t)- kì kp Mí (t)+ kì kpTy
.
dt
Операторная форма записи в формате (9) играет важную
роль в анализе динамики САУ, поскольку по ней определяется
характеристический полином САУ, который в данном случае
имеет вид
D(p) = TyTд p3+(Ty+Tд)p2+p+K.
Полезно проверить и запомнить, что характеристический
полином САУ всегда совпадает с полиномом в знаменателе ПФ
замкнутой системы Ф(p).
Преимущество описания САУ посредством ПФ состоит в относительной простоте промежуточных математических выкладок,
особенно если входящие в нее динамические звенья относятся к
типовым. В этом случае все ПФ представляются в форме дробнорациональных функций. Однако следует иметь также в виду, что
ПФ описывают поведение системы во временно¢й области лишь
при нулевых начальных условиях.
Более универсальным является описание САУ в терминах так
называемых переменных состояния.
TyTä
d3 ϑ2 (t)
4.2. Описание систем управления переменными состояния
Все переменные состояния (иногда их также называют параметрами состояния), характеризующие поведение автоматической системы, удобно разделить на три группы:
1) входные переменные ui, к которым относятся задающие и
все возмущающие воздействия;
82
2) выходные переменные yi, к ним относятся переменные, которые интересуют исследователя и разработчика САУ (например,
управляемые величины, ошибка системы);
3) переменные состояния xi, характеризующие динамику системы.
В системе автоматического управления баллистической ракеты входными переменными являются программные значения
углов вращения, рыскания, тангажа, скорости центра масс; выходными переменными — действительные значения углов вращения, рыскания, тангажа, скорости центра масс, смещение центра масс ракеты в боковой и нормальной плоскостях; переменными состояния — углы вращения, тангажа, рыскания, угол
отклонения руля, скорость центра масс, смещение центра масс в
боковой и нормальной плоскостях, производные от вышеназванных величин, напряжения на усилителях и т. д.
Применительно к системе, структура которой изображена на
рис. 17, переменные состояния таковы: входные переменные —
угол поворота командной оси и момент нагрузки на валу исполнительного двигателя; выходные переменные — угол поворота
исполнительной оси и угол рассогласования; переменные состояния — угол поворота исполнительной оси, скорость вращения
ротора электродвигателя, напряжение на выходе усилителя.
В качестве переменных состояния могут выбираться как реальные координаты автоматической системы и их производные,
так и абстрактные координаты, не всегда имеющие физический
смысл, но являющиеся функциями физических координат. Переменные состояния нужно выбирать так, чтобы с их помощью
можно было описать поведение автоматической системы в виде
системы дифференциальных уравнений первого порядка.
В качестве примера рассмотрим описание электромеханической следящей системы переменными состояния (для простоты
положим, что момент нагрузки Мн равен нулю).
В соответствии с формулой (9) уравнения движения следящей
системы можно записать в виде
 + ϑ + Kϑ = Kϑ
TyTä
ϑ2 + (Ty + Tä )ϑ
2
2
2
1
или

ϑ2 +
Ty + Tä
TyTä
 + 1 ϑ + K ϑ = K ϑ . ϑ
2
2
2
1
TyTä
TyTä
TyTä
(10)
83
Введем переменные состояния x1, x2, x3 следующим образом:
 . С помощью этих переменных диффеx1 = ϑ2, x2 = ϑ 2 , x3 = ϑ
2
ренциальное уравнение (10) можно записать в виде следующей
системы дифференциальных уравнений первого порядка:
ìx1 = x2
ï
ï
ï
ï
x2 = x3
ï
ï
ï
Ty + T ä
.
1
K
K
í
ï
x 3 = x3 x2 x1 +
ϑ1
ï
T
T
T
T
T
T
T
T
ï
y ä
y ä
y ä
y ä
ï
ï
ï
ï
ï
î
(11)
Для одной и той же системы переменные состояния могут выбираться не единственным образом. Так, для электромеханической следящей системы в соответствии с уравнениями системы,
приведенными в табл. 8, переменные состояния можно выбрать
следующим образом: x1 = ϕ, x2 = ϕ , x3 = Uд. Тогда движение следящей системы опишется совершенно другой системой уравнений:
ì
x1 = x2
ï
ï
ï
ï
kä
1
ï
ï
x2 = - x2 + x3
ï
ï
Tä
Tä
ï
(12)
.
í
ky kÈÝ
ï
1
ï
x 3 = - x3 +
ï
(ϑ1 - kp x1 )
ï
Ty
Ty
ï
ï
ï
ï
ï
ïϑ2 = kp x1
î
Из уравнений (12) видно, что для описания движения автоматической системы кроме дифференциальных уравнений, связывающих переменные состояния x1, x2, x3, к первым трем уравнениям системы (11) пришлось добавить алгебраическое уравнение,
связывающее выходную координату системы ϑ2 с переменной состояния x1.
При выборе координат системы в качестве переменных состояния исходят из простоты получающихся уравнений и возможности измерить переменные состояния измерительными элементами системы. Часто удобно, чтобы в состав переменных состояния
входили координаты системы, поведение которых представляет
интерес для исследователя.
Векторно-матричная форма записи дифференциальных
уравнений. При решении дифференциальных уравнений на ЭВМ
84
и для исследования ряда теоретических вопросов, касающихся
САУ, удобно уравнения автоматической системы представлять в
виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
ïìï x1 = a11x1 + a12 x2 +  +a1n xn + b11u1 + b12u2 +  +b1r ur
ïï
ï x2 = a21x1 + a22 x2 +  +a2n xn + b21u1 + b22u2 +  +b2r ur
, (13)
í
ïï 
ïï
ïïîxn = an1x1 + an2 x2 +  +ann xn + bn1u1 + bn2u2 +  +bnr ur
где x1, x2, ..., xn — переменные состояния; u1, u2, ..., ur — входные воздействия; t — время; {aik} и {bik} — некоторые константы.
При этом выходные переменные системы связаны с переменными состояния и входными воздействиями следующими уравнениями:
ìï y1 = c11x1 + c12 x2 +  +c1n xn + d11u1 + d12u2 +  +d1r ur
ïï
ï y2 = c21x1 + c22 x2 +  +c2n xn + d21u1 + d22u2 +  +d2r ur
ïí
, (14)
ïï 
ïï
ïïîym = cm1x1 + cm2 x2 +  +cmn xn + dm1u1 + dm2u2 +  +dmr ur
где {cik} и {dik} — некоторые константы.
Системы уравнений (13) и (14) удобно представить в матричной
форме. Для этого в рассмотрение вводятся следующие векторы:
x1
x1
u1
X=

x2
 = x2 , U = u2 ,
, X



xn
xn
ur
где вектор X называют вектором состояния системы, или просто состоянием системы; вектор U — вектором управления,
или просто управлением.
Соответственно, (13) представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка в переменных состояния,
а (14) — систему алгебраических уравнений для выходных координат САУ. В матричной форме эти соотношения записываются
следующим образом:
 = AX + BU;
X
Y = CX + DU, (15)
85
где
a11 a12
a21 a22
A=


an1 an2
c11 c12
c21 c22
C=


cm1 cm2
 a1n
 a2n
, B=
 
 ann
b11 b12
b21 b22


bn1 bn2
 c1n
d11 d12
 c2n
d21 d22
, D=




 cmn
dm1 dm2
 b1r
 b2r
,
 
 bnr
 d1r
 d2r
.


 dmr
В качестве примера рассмотрим приведение уравнения движения некоторой автоматической системы, описываемой дифференциальным уравнением вида
y + a1y + a2 y = bu,
(16)
к переменным состояния.
Введем следующие переменные состояния: x1 = y, x2 = y. Тогда уравнение (16) можно записать в виде двух уравнений первого
порядка:
ì
x1 = 0 × x1 + 1 × x2 + 0 × u
ï
ï
(17)
.
í
ï
x2 = -a2 x1 - a1x2 + bu
ï
î
 = AX + BU системе (17) соответВ матричной форме записи X
ствуют следующие векторы и матрицы:

 = x1 , X = x1 , A = 0
X
x2
-a2
x2
1
0
, B = , U = ||u||. - a1
b
(18)
Выходная переменная связана с переменными состояния и
входными воздействиями следующим образом:
y = 1⋅x1 + 0⋅x2 + 0⋅u. (19)
В матричной форме Y = CX + DU уравнению (19) соответствуют С = ||1 0||, D = ||0||.
4.3. Составление уравнений состояния
Основные методы составления уравнений состояния рассмотрим на примере системы, уравнение движения которой имеет
вид
86
y + a1y + a2 y = b0u + b1u (20)
или в операторной форме записи
(p2+a1p+a2)y = (b0p+b1)u.
(21)
При решении дифференциальных уравнений на ЭВМ всегда
стараются избежать операции дифференцирования, при выполнении которой обычно неминуемы большие ошибки. Это происходит как вследствие дифференцирования высокочастотных сигналов и помех, так и по причине дискретного характера работы
цифровых вычислительных машин.
Основная сложность составления уравнений состояния вида
(20) связана с наличием в их правой части производной от входного задающего воздействия. Задача заключается в таком выборе переменных состояния, чтобы в правой части получающихся
уравнений не было производных по времени от входных сигналов
(задающего и возмущающего воздействий) и от переменных состояния.
Существует три основных метода составления уравнений состояния:
– прямого программирования;
– параллельного программирования;
– последовательного программирования.
Метод прямого программирования. Запишем уравнение (21)
следующим образом:
y = (b0 p + b1 )
или
u
2
p + a1 p + a2
= (b0 p + b1 )v y = b0v + b1v, где v =
(22)
(23)
u
.
p + a1 p + a2
Отсюда получаем уравнение для переменной v
2
v + a1v + a2v = u
или
v = -a1v - a2v + u. (24)
В правой части уравнения (24) имеются слагаемые, зависящие
от v и v . Математически связь между переменными v, v и v мо87
..
v
а)
б)
Q
.
v
Q
v
a1
u
..
v
.
(x2)
Q
b0
.
v
(x2 )
Q
v
(x1 )
y
b1
+
a2
Рис. 19. Составление структурной схемы САУ в переменных
состояния методом прямого программирования: а – связь между
переменной и ее производными; б – пример структурной схемы
системы
жет быть получена посредством операции интегрирования переменной v (рис. 19, а).
Структурная схема САУ, составленная по уравнению (20) с
учетом (23) и (24), изображена на рис. 19, б. Из схемы видно, что
для моделирования САУ, описываемой уравнением (20), можно
обойтись без операции дифференцирования.
Если переменными состояния выбрать
x1 = v, x2 = v, (25)
то уравнение (24) можно записать в виде системы из двух дифференциальных уравнений первого порядка:
ì
x1 = 0 × x1 + 1 × x2 + 0 × u
ï
ï
(26)
.
í
ï
x
ï
î 2 = -a2 x1 - a1x2 + 1 × u
Из уравнений (23) и (25) следует уравнение для выходной переменной
y = b1x1+b0x2+0⋅u. (27)
Таким образом, поведение САУ описано двумя уравнениями
состояния (26) и одним уравнением (27). В матричной форме за = AX + BU, Y = CX+DU этим уравнениям соответствуют
писи X
следующие векторы и матрицы:
88
X=
x1
0
1
0
, A=
, B= ,
x2
-a2 -a1
1
U = ||u||, Y = ||y||, C = ||b1 b2||, D = ||0||.
Метод параллельного программирования. Этот метод основан на представлении сложного звена (рассматриваемой САУ эквивалентно звено, схема которого представлена на рис. 20, а) в виде параллельного соединения простых звеньев (см. табл. 9). Исходное уравнение (21) преобразуется следующим образом:
y=
2
b0 p + b1
u=
æ β
b0 p + b1
β2 ÷ö
÷u, (28)
u = çç 1 +
( p + α1 )( p + α2 ) çè p + α1 p + α2 ÷÷ø
p + a1 p + a2
где α1 и α2 определяются корнями уравнения p2+a1p+a2 = 0. Коэффициенты β1 и β2 отыскиваются методом неопределенных коэффициентов.
Теперь структурная схема исходной системы представляется в
виде, показанном на рис. 20, б.
Из структурной схемы рис. 20, б и выражения (28) получаются
два уравнения системы в переменных состояния:
ìï( p + α1 )x1 = β1u
ï
(29)
í
ï( p + α2 )x2 = β2u
ï
î
или
ì
x1 = -α1x1 + 0 × x2 + β1u
ï
ï
(30)
í
ï
x2 = 0 × x1 - α2 x2 + β2u
ï
î
и уравнение выходной переменной
y = x1+x2.
б)
а)
u
C Q + C Q + BQ + B
y
u
(31)
B
Q + A
x1
+
B
Q + A
y
x2
Рис. 20. Преобразование структурных схем в методе параллельного
программирования: а – исходное звено 2-го порядка; б – эквивалентная
структурная схема из звеньев 1-го порядка
89
Q
B
u
x1
A
y
+
x2
Q
B
A
Рис. 21. Пример структурной схемы системы, составленной методом
параллельного программирования
Уравнениям (30) и (31) соответствуют матрицы вида
β1
-α1
0
, C = ||1 1||, D = ||0||.
, B=
A=
β2
0
-α2
Структурная схема системы, составленная по уравнениям (30)
и (31), изображена на рис. 21.
Метод последовательного программирования. Этот метод
основан на представлении сложного звена в виде последовательного соединения простых звеньев. В частности, исходную систему
можно представить последовательным соединением двух звеньев (рис. 22).
Для первого звена схемы уравнение в переменных состояния
имеет вид
(p+α1)x1 = u
или
x1 = -α1x1 + u. (32)
Для второго звена уравнение в переменных состояния можно
составить методом прямого программирования
b p + b1
y= 0
x1 = (b0 p + b1 )x2 ,
(33)
p + α2
u
Q + A
x1
C Q + C
Q + A
y
Рис. 22. Представление сложного динамического звена
последовательным соединением более простых динамических звеньев
90
где
x2 =
1
x1.
p + α2
(34)
Из выражений (33) и (34) получается
x2 = 1 × x1 - α2 x2 ;
y = b0 x2 + b1x2 = b0 (-α2 x2 + x1 )+ b1x2 = b0 x1 + (b1 - b0 α2 )x2 .
И окончательно
ìïï x1 = -α1x1 + 0 × x2 + 1× u
,
í
ïïîx2 = 1× x1 - α2x2 + 0 × u
(35)
y = b0x1 + (b1 – b0α2)x2 + 0⋅u.
Из (35) и (36) следуют выражения для матриц:
A=
(36)
-α1
0
1
, B = , C = ||b0 (b1–b0α2)||, D = ||0||.
1
-α2
0
Структурная схема системы, составленная по уравнениям (35)
и (36), показана на рис. 23.
Достоинством метода прямого программирования является возможность составлять уравнения в переменных состояния
для звеньев любой сложности. Его недостаток состоит в том, что в
нем в качестве переменных состояния обычно приходится выби-
b0
+
y
b1
u
Q
Q
A
A
x2
Рис. 23. Пример структурной схемы системы, составленной методом
последовательного программирования
91
рать координаты, физическое измерение которых либо затрудни­
тельно (в общем случае это будет (n–1) производных выходной переменной y или, как в рассмотренном примере, промежуточной
переменной v), либо поведение которых не представляет интереса
для исследователя.
Крупным недостатком методов параллельного и последовательного программирования является необходимость отыскивать корни характеристи­ческого полинома, что само по себе является довольно сложной задачей.
В случае, когда корни характеристического полинома оказываются комплексными, приходится представлять исходное сложное звено в виде параллельного или последовательного соединения звеньев уже не 1-го, а 2-го порядка. В этом случае все коэффициенты в модели окажутся вещественными, а для каждого из
звеньев 2-го порядка уравнения в переменных состояния составляются методом прямого программирования.
В целом, методы параллельного и последовательного программирования можно рекомендовать для систем, в структурных схемах которых имеется много участков с параллельным и последовательным соединением простых звеньев.
4.4. Управляемость и наблюдаемость автоматических систем
При проектировании автоматических систем иногда ставится
задача определения возможности перевода системы из одного состояния в другое за конечное время, а также задача определения
законов изменения координат системы по результатам измерения
некоторого множества переменных, характеризующих поведение
автоматической системы. Решение этих задач связано с исследованием управляемости (первая задача) и наблюдаемости (вторая
задача) автоматических систем.
Управляемость. Система автоматического управления называется полностью управляемой, если из любого начального состояния X(0) ее можно перевести в любое произвольно заданное
положение Х(Т) за конечное время T.
Для определения управляемости уравнения движения автоматической системы записывают в матричной форме. Управляемость автоматических систем определяется условиями нижеследующей теоремы (приводится без доказательства).
Теорема. Автоматическая система, описываемая уравнением
 = AX + BU, является полностью управляемой тогда и только
X
92
g
Q +B
Q
y
Рис. 24. Пример системы для исследования управляемости
тогда, когда ранг* матрицы Q = ||B, AB, A2B, …, An–1B|| равен n,
где n — порядок матрицы А.
В качестве примера рассмотрим решение задачи определения
управляемости системы, структурная схема которой изображена
на рис. 24.
Уравнения движения этой системы могут быть записаны следующим образом:
ïìïx1 = -ax1 - x2 + g
,
í
ïïîx2 = x1
и, соответственно, здесь
A=
1 -a
-a -1
1
.
, B = ; Q = B AB =
0
1
1
0
0
Ранг матрицы Q равен 2. Следовательно, данная система полностью управляема.
Управляемость автоматической системы определяется матрицами А и В, вид которых зависит от выбора переменных состояния. Последние могут выбираться различным образом, поэтому
одна и та же автоматическая система при одном выборе переменных состояния будет считаться полностью управляемой, а при
другом может не быть полностью управляемой. Это свидетельствует о том, что одни переменные состояния этой САУ могут
быть переведены из одного положения в другое за конечное время, а другие не могут.
Чаще бывает достаточно определить управляемость системы лишь по ее выходным координатам. Если m-мерный век-
* Рангом квадратной матрицы называется такое число r, что по крайней мере один определитель r-го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении
некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все подобные определители
(r+1)-го порядка равны нулю. В частности, это означает, что ранг квадратной матрицы размером n×n равен n, только если определитель этой матрицы не равен
нулю.
93
тор выходных координат Y связан с вектором состояния системы Х соотношением Y = CX, то для управляемости системы по выходу необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
||СB, CAB, CA2B, ..., CAn–1B|| был равен m.
Наблюдаемость. Система автоматического управления называется полностью наблюдаемой, если по вектору измерений системы в момент времени t = t0 можно определить вектор состояния системы для любого последующего момента времени t > t0.
Теорема. Пусть автоматическая система описывается уравне = AX + BU, а вектор измерений Z связан с вектором состонием X
яния соотношением Z = СХ. В этом случае система автоматического управления является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы Q1 = ||C, CA, CA2, ... CAn–1||T (знак T
обозначает операцию транспонирования матрицы) равен n.
Из теоремы, в частности, следует, что полная наблюдаемость
системы не зависит от управления U и матрицы В.
В качестве примера рассмотрим решение задачи определения
наблюдаемости системы, для которой
A=
-3 5
, C = ||1 –1||.
2 0
C
1
-1
=
. Ранг маCA
-5
5
трицы Q1 равен 1 (так как здесь det(Q1) = 0), поэтому система не
является полностью наблюдаемой.
Выбор переменных состояния определяет вид матриц А и С.
Поэтому одна и та же САУ при одном выборе переменных состояния будет считаться полностью наблюдаемой, а при другом может не быть полностью наблюдаемой.
Соответственно: Q1 = C CA
94
T
=
5. Анализ устойчивости
линейных автоматических систем
5.1. Условия устойчивости линейных автоматических систем
Наиболее просто решается задача определения устойчивости
линейных автоматических систем. Пусть движение линейной автоматической системы описывается дифференциальным уравнением (записано в операторной форме) вида
D(p)y(t) = B(p)g(t) + N(p)f(t), (37)
n
n–1
где D(p) = a0p + a1p
+ … + an–1p + an — характеристический
полином системы; В(р), N(p) — некоторые заданные полиномы.
Решение дифференциального уравнения имеет две составляющие:
y(t) = yчастн(t) + yобщ(t), (38)
где yчастн(t) — частные решения уравнения (37); yобщ(t) — общее
решение однородного уравнения вида D(p)y(t) = 0.
В теории автоматического управления решение yобщ(t) соответствует переходной оставляющей yп(t) процесса управления, а
решение участн(t) — вынужденной составляющей yв(t) процесса
управления. От функционального вида воздействий g(t) и f(t) зависит только составляющая yв(t).
Определение. Линейная САУ называется устойчивой, если
lim yï (t) = 0 (39)
t®¥
при любых начальных условиях. Важно заметить, что в соответствии с этим определением устойчивость линейной автоматической системы не зависит от поведения yв(t), а, следовательно, и от
задающего и возмущающего воздействий.
Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных
автоматических систем устанавливается следующей теоремой.
Теорема. Для устойчивости линейной автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех
корней характеристического уравнения были отрицательными.
Доказательство: Положим для простоты, что среди корней
характеристического полинома D(p) нет кратных корней. Тогда
выражение для переходной составляющей процесса управления
можно представить в виде
yï (t) = C1e p1t + C2 e p2t +  + Cn e pnt , (40)
95
где p1, p2, …, pn — корни характеристического уравнения D(p) = 0;
С1, С2, ..., Сn — некоторые постоянные, определяемые из начальных условий работы САУ.
Переходная составляющая процесса управления yп(t) будет
стремиться к нулю при t→∞ независимо от начальных условий,
если каждое из слагаемых (40) стремится к нулю. Остается рассмотреть поведение слагаемого вида Ci e pit .
Пусть рi = αi — вещественный корень характеристического уравнения. Тогда слагаемое выражения (40) Ci e pit стремится к нулю при любом Сi лишь при αi < 0 (иллюстрацией поведения графика служит рис. 25, а). Пусть имеется пара комплексносопряженных корней рk = αk+jwk и рk+1 = αk–jwk. Тогда сумма двух
соответствующих им слагаемых yïk,k+1 = Cke pkt + Ck+1e pk+1t
с использованием формулы Эйлера преобразуется к виду
yïk,k+1 = Akeα kt cos(ω kt + ψ k ). Следовательно, yïk,k+1 стремится к нулю при любых Сk и Сk+1 лишь при αk < 0 (как показано на
рис. 25, б). При αk>0 амплитуда колебаний переходного процесса
возрастает (рис. 25, в). При αk=0 колебания переходного процесса не затухают (рис. 25, г).
Доказательство окончено.
Содержание рассмотренной теоремы может быть графически
представлено на комплексной плоскости корней (рис. 26). Каждый корень характеристического полинома САУ представляется
на этой плоскости точкой. Корни с отрицательной вещественной
частью располагаются левее мнимой оси плоскости корней. Поа)
б)
Ai > 0
Ai = 0
y ïi
yïk, k+1
Ak < 0
Ai < 0
t
в)
t
г)
yïk, k+1
yïk, k+1
Ak = 0
Ak > 0
t
t
Рис. 25. Варианты протекания переходного процесса в зависимости от
свойств корней характеристического уравнения САУ
96
этому теорему о необходимом и
Im(p)
достаточном условии устойчивости можно сформулировать
Îáëàñòü
Îáëàñòü
следующим образом.
óñòîé÷èâîñòè
íåóñòîé÷èâîñòè
Теорема. Для устойчивости линейной САУ необходимо
Re(p)
0
и достаточно, чтобы все корни
характеристического полинома
системы лежали в левой полуплоскости плоскости корней.
Рис. 26. Комплексная плоскость
Если хотя бы один из кор- для корней характеристического
ней попадет в правую полуплополинома
скость, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой границу, отделяющую область устойчивости. Автоматическая система находится на границе устойчивости, если на мнимую ось
попадет:
– один нулевой корень;
– пара или несколько пар комплексно-сопряженных корней,
не равных между собой;
– бесконечный корень.
При этом все остальные корни, конечно, не должны находиться в правой полуплоскости.
При одном нулевом корне (рис. 27, а) в уравнении системы
an = 0 и оно принимает вид
(a0pn–1 + a1pn–2+ … + an–2p + an–1)py(t) = B(p)g(t) + N(p)f(t).
Эта система устойчива относительно скорости изменения
управляемой величины у(t). Сама же управляемая величина у(t)
а)
б)
Im(p)
Im(p)
Re(p)
Re(p)
0
0
Рис. 27. Расположение корней на комплексной плоскости
97
может принимать произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми, или находящимися на апериодической границе устойчивости.
Показано, что если в начале координат плоскости корней окажется два и более корней, то переходной процесс в замкнутой автоматической системе будет расходящимся, и, следовательно, такая система будет неустойчивой.
В случае, если на мнимую ось попадет пара или несколько
пар не равных между собой комплексно-сопряженных корней
(рис. 27, б), составляющие yп(t), соответствующие этим корням,
изменяются по гармоническому закону с частотами, определяемыми мнимыми частями этих корней (для одной пары корней
процесс будет иметь вид, как на рис. 25, г). Про такие системы
говорят, что они находятся на колебательной границе устойчивости.
Можно показать, что если на мнимой оси плоскости корней будет две или более пар одинаковых комплексно-сопряженных корней, то переходной процесс в системе будет расходящимся, и, следовательно, такая система станет неустойчивой.
При бесконечном корне в характеристическом полиноме оказывается равным нулю коэффициент при старшей степени р (а0 = 0).
Поясним на простом примере, почему этот случай соответствует
границе устойчивости. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид
a0p+a1 = 0,
где предполагается а1 > 0.
a
Очевидно, что корень этого уравнения p1 = - 1 . Если a0 > 0,
a0
то корень отрицателен и система устойчива; если a0 < 0, то система неустойчива; если же положить а0 = 0, то р1 = ∞ и система находится на границе устойчивости.
Рассмотренные выше условия устойчивости являются необходимыми и достаточными. Однако поиск корней характеристического полинома высокого порядка весьма трудоемок. Поэтому
перед проведением этой процедуры имеет смысл как-то удостовериться в его целесообразности, чтобы избежать заведомо бесполезной работы. Один из таких подходов состоит в анализе необходимых условий устойчивости САУ; при их невыполнении САУ
будет неустойчивой, и дальнейший анализ ее поведения не имеет
смысла.
98
Необходимое условие устойчивости САУ.
Теорема. Для устойчивости линейной автоматической системы необходимо, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения были одного знака.
Доказательство: Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид
a0pn + a1pn–1 + … + an–1p + an = 0. (41)
Пусть, для определенности, а0 > 0 [это не снижает общности
рассуждений, так как при а0 < 0 левую и правую части уравнения (41) можно домножить на минус единицу, после чего коэффициент при старшей степени уравнения станет положительным].
Теперь необходимо доказать, что при рассмотрении заведомо
устойчивой системы все коэффициенты ее характеристического
уравнения окажутся строго положительными.
По теореме Безу, уравнению (41) можно придать вид
(42)
a0(p – p1)(p – p2)…(p – pn) = 0, где pi, i = 1, 2, …, n — корни характеристического уравнения.
Пусть все корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные (как было показано ранее, такая САУ является заведомо устойчивой). Положим, что p1 = –α1, p2 = –α2,
…, pn = –αn, где α1 > 0, α2 > 0, …, αn > 0. Тогда уравнение (42) можно записать так:
a0(p+α1)(p+α2)…(p+αn) = 0. (43)
После перемножения всех сомножителей в левой части уравнения (43) получится полином, у которого все коэффициенты положительны. Теорема доказана.
Не представляет особого труда доказать теорему и для случая, когда у характеристического полинома имеются пары
комплексно-сопряженных корней.
Положительность коэффициентов характеристического уравнения обеспечивает отрицательность всех вещественных корней,
поскольку при этом никакое положительное число не может удовлетворить характеристическому уравнению. Однако положительность коэффициентов характеристического уравнения не
обеспечивает отрицательности вещественных частей комплексных корней. Поэтому сформулированный выше критерий устойчивости является лишь необходимым условием устойчивости, но
не достаточным. То есть, если условие сформулированной теоремы для необходимого условия устойчивости в какой-либо системе
99
не выполняется, то эта система обязательно окажется неустойчивой; если же необходимое условие будет выполнено, то соответствующая автоматическая система может быть устойчивой, а может быть и неустойчивой. Несколько “повезло” в этом плане системам, описываемым характеристическим уравнением первого
или второго порядка. Для них положительность коэффициентов
характеристического уравнения служит необходимым и достаточным условием устойчивости.
Об устойчивости или неустойчивости системы можно судить
по корням характеристического уравнения. Однако вычислять
эти корни сложно, а для уравнений выше четвертого порядка в
общем случае вычисления можно производить только численными методами.
Для определения устойчивости системы без вычисления корней характеристического уравнения были предложены критерии устойчивости, по которым можно принять однозначное решение, будет система устойчивой или нет. Задача определения
устойчивости линейной автоматической системы оказывается
несравненно проще задачи вычисления корней, так как для решения первой проверяются лишь условия отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения, а сами
корни не вычисляются.
5.2. Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить устойчивость линейной САУ по коэффициентам ее характеристического уравнения. Английский математик Э. Раус в 1874 г.
нашел условия отрицательности вещественных корней алгебраического уравнения четвертого порядка, а в 1877 г. — уравнений
любого порядка. Швейцарский математик А. Гурвиц в 1895 г.
предложил критерий, пригодный для определения устойчивости линейных автоматических систем любого порядка. Критерий
Гурвица получил большее распространение, чем критерий Рауса.
Критерий Гурвица. Пусть D(p) = a0pn+a1pn–1+…+an–1p+an —
характеристи­ческий полином САУ и а0 > 0. Анализ устойчивости производится на основе специальным образом составляемой
квадратной матрицы порядка n, которая называется матрицей
Гурвица. По главной диагонали матрицы располагают коэффициенты характеристического полинома с а1 по аn. Выше главной
100
диагонали и далее записываются коэффициенты характеристического полинома в порядке возрастания их номеров, ниже — в
порядке убывания. Во всех элементах матрицы, расположенных
выше коэффициента аn и ниже коэффициента а0, записываются
нули.
Применительно к рассматриваемому общему случаю матрица
Гурвица имеет вид*
a1 a3 a5 
0
0
a0 a2 a4 
0
0
0 a1 a3 
0
0
(44)
A=
.


 


0 0 0  an-1 0
0 0 0  an-2 an
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы
были строго положительными все n главных определителей ∆i
(i = 1, 2,…, n) матрицы Гурвица:
a1 a3 a5
a1 a3
∆1 = a1; ∆2 =
; ∆ 3 = a0 a2 a4 ; ;
a0 a2
0 a1 a3
a1
a0
0
∆n =

0
0
a3
a2
a1

0
0
a5
a4
a3

0
0

0

0

0


 an-1
 an-2
0
0
0
,

0
an
т. е. ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, …, ∆n–1 > 0, ∆n > 0.
Уместно заметить, что по необходимому условию устойчивости ∆1 > 0 выполняется автоматически, кроме того, для матрицы
Гурвица всегда справедливо равенство ∆n = ∆n–1an, поэтому при
выполнении необходимого условия устойчивости САУ (an > 0)
определитель ∆n вычислять не требуется.
* Во избежание ошибок следует обратить особое внимание на порядок индексации коэффициентов характеристического уравнения, а также на то, что первым элементом на главной диагонали матрицы Гурвица является коэффициент
а1, а не a0.
101
Для каждого конкретного случая заданного характеристического уравнения САУ можно получить выражения для условий
устойчивости.
Например, для уравнений первого (n = 1) и второго (n = 2) порядков получаемые выражения тривиальны: a0 > 0, ∆1 = a1 > 0 и
a0 > 0, ∆1 = a1 > 0, ∆2 = a2∆1 > 0 соответственно. Нетрудно видеть,
что критерий Гурвица подтверждает тот факт, что необходимое
условие устойчивости САУ (требование положительности всех
коэффициентов характеристического уравнения) является необходимым и достаточным для систем с характеристическим уравнением не выше второго порядка.
Для САУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка a0p3+a1p2+a2p+a3 = 0, матрица Гурвица имеет вид
a1
a0
0
a3
a2
a1
0
0 ,
a3
а условия устойчивости имеют вид a0 > 0, ∆1 = a1 > 0, ∆2 = a1a2–
–a0a3 > 0 и ∆3 = ∆2a3 > 0.
То есть для этого случая необходимые условия устойчивости
a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0 не достаточны для того, чтобы САУ была устойчивой. Для системы, описываемой характеристическим
уравнением третьего порядка, к коэффициентам предъявляется
еще одно требование a1a2 > a0a3, при выполнении которого устойчивость системы гарантируется.
Нетрудно проверить, что для системы с характеристическим
уравнением четвертого порядка a0p4+a1p3+a2p2+a3p+a4 = 0 помимо необходимых условий a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a4 > 0 требуется выполнить еще условие a3(a1a2–a0a3) > a4(a1)2, которое обеспечивает гарантированную устойчивость системы.
Критерий Льенара–Шипара. С увеличением порядка характеристического уравнения условия устойчивости усложняются.
Французские математики Льенар и Шипар в 1914 г. показали,
что при положительности всех коэффициентов характеристического полинома (т. е. при выполнении необходимого условия
устойчивости) необходимым и достаточным условием устойчивости САУ является положительность лишь всех четных или лишь
всех нечетных главных определителей матрицы Гурвица. Критерий Льенара–Шипара облегчает применение критерия Гурвица.
В частности, рассматривая условия для системы, описываемой
102
характеристическим уравнением четвертого порядка, видим, что
условие a3(a1a2–a0a3) > a4(a1)2, будучи выполненным, гарантирует выполнение условия a1a2 > a0a3, если все коэффициенты положительны.
Критерий Гурвица исключительно удобен при анализе автоматической системы, заданной характеристическим уравнением, на ЭВМ, поскольку алгоритмы вычисления определителей
матриц к настоящему времени имеются практически во всех математических пакетах компьютерных программ. Однако по критерию Гурвица устойчивость автоматической системы оценивается формально, без учета качества переходных процессов, что
является существенным его недостатком.
Если уравнения системы заданы в матричной форме записи,
то характеристический полином системы определяется следующей формулой:
D(p) = |A–pI |, (45)
где A — матрица Гурвица (44); I — единичная диагональная матрица требуемой размерности.
В качестве примера определим условия устойчивости электромеханической следящей системы (см. рис. 17). Для нее ПФ разомкнутой системы имеет вид
K
W ( p) =
.
p(1 + Ty p)(1 + Tä p)
Характеристический полином замкнутой системы представляет собой полином в знаменателе ПФ замкнутой системы Ф(p),
W ( p)
которая рассчитывается по формуле Φ ( p) =
. После под1 + W ( p)
становки W(p) в выражение для Ф(p) и проведения несложных
алгебраических преобразований характеристический полином
системы представится в виде
D(p) = TyTдp3 + (Ty + Tд)p2 + p + K.
Условия положительности коэффициентов характеристического полинома, по существу, сводятся к положительности общего коэффициента разомкнутой системы K (добротности САУ), что
обеспечивается правильным соединением ее элементов.
Из неравенства а1а2 > а0а3 получаем условие устойчивости
1
1
K<
+ . Из полученного выражения в частности видно, что
Tä Ty
увеличение инерционности двигателя или усилителя (увели103
чение Tд или Ty) может привести к необходимости уменьшения
общего коэффициента передачи разомкнутой системы K, чтобы
сохранить устойчивость системы. Однако, как будет показано в
разд. 6, посвященном анализу ошибок автоматических систем,
уменьшение значения коэффициента K приводит к ухудшению
точности следящей системы.
В качестве еще одного примера проанализируем условия устойчивости типовой системы управления, состоящей из измерительного элемента, усилительно-преобразовательного тракта и объекта управления, состояние которого необходимо изменять заданным образом. Структурная схема системы изображена на рис. 28.
Передаточная функция разомкнутого контура имеет вид
K
W ( p) =
,
(1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
(
)
где K = kИЭkуkпkр.
Объектом управления в системе выступает консервативное
звено. Такую модель объекта используют в тех случаях, когда реакция объекта на ступенчатое воздействие имеет выраженный
колебательный характер. Например, при движении управляемой
ракеты в плотных слоях атмосферы ее реакция на скачкообразное отклонение рулей имеет резко выраженный колебательный
характер.
Характеристический полином замкнутой системы
D(p) = Tп(Tp)2p3 + (Tp)2p2 + Tпp + 1 + K.
Полагая постоянные времени динамических звеньев положительными константами (Tп > 0 и Tp > 0), нетрудно выяснить, что
данная система будет устойчивой только при одновременном выполнении двух условий:
1) K+1 > 0;
2) (Tp)2Tп > Tп(Tp)2(1 + K) (получено из а1а2 > а0а3), т. е. K + 1 < 1.
Îáúåêò
óïðàâëåíèÿ
Óñèëèòåëü Ïðèâîä
ïðåîáðàçîâàòåëü
*ïð
*e
kÈÝ
kó
LÈ
+ 5È Q
*ÐÌ
LÉ
*ð
+ 5Q Q
Рис. 28. Пример структурной схемы САУ для анализа устойчивости
104
Таким образом, условие устойчивости рассматриваемой системы имеет вид –1 < K < 0. Оно показывает, что структура системы
выбрана неудачно. В системе мал диапазон допустимых значений общего коэффициента передачи разомкнутой системы K, и,
учитывая малость его абсолютной величины, можно утверждать,
что эта система не может обеспечивать высокую точность управления.
5.3. Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости основаны на использовании частотных ПФ анализируемой САУ. Соответствующие подходы к анализу автоматических систем были разработаны в 30-х гг.
XX в.: в 1932 г. американский ученый Н. Найквист и в 1936 г. советский ученый А. В. Михайлов предложили соответствующие
критерии, названые впоследствии их именами. В практике анализа автоматических систем чаще пользуются критерием Найквиста.
Критерий устойчивости Михайлова
Критерий устойчивости Михайлова определяется по кривой
Михайлова, которая представляет собой годограф вектора
D(jw) = a0(jw)n + a1(jw)n–1 +…+ an–1(jw) + an
на комплексной плоскости при изменении частоты w от –∞ до ∞.
Для построения этого годографа применяются те же подходы,
что и при построении графика АФХ динамической системы: либо выделяются вещественная и мнимая части функции D(jw) и
на декартовой плоскости откладывается множество точек с координатами (Re(D(jw)), Im(D(jw))), соединение которых образует искомую кривую, либо график строится в полярных координатах
(|D(jw)|, arg(D(jw))).
Анализ устойчивости САУ по кривой Михайлова основан на
том, что угол поворота вектора D(jw) при изменении частоты w от
–∞ до ∞ определяется порядком характеристического полинома n
и числом корней этого полинома с положительной вещественной
частью . Покажем это.
По теореме Безу, возможно представление D(jw) в следующей
форме:
D(jw) = a0(jw – p1)(jw – p2)…(jw – pn),
где p1, p2, …, pn — корни уравнения a0pn+a1pn–1+…+an–1p+an = 0.
105
Угол поворота вектора D(jw) определяется аргументом этой
комплексной функции ψ(w) = arg(D(jw)). По правилу взятия аргумента от произведения нескольких комплексных функций,
имеем
ψ(w) = arg(jw – p1) + arg(jw–p2) +…+ arg(jw – pn).
Рассматривая каждое отдельно взятое слагаемое вида ψk(w) = arg(jw–pk), где корень pk = γk+jλk, можно записать
ψk(w) = –arctg((w–λk)/γk). Тогда при γk > 0 имеем ψk(–∞) = π/2
и ψk(∞) = –π/2, т. е. при изменении частоты w от –∞ до ∞ функция ψk(w) получает приращение ψk = ψk(∞)–ψk(–∞) = –π независимо от величины и знака λk. А при γk < 0 имеем ψk(–∞) = –π/2
и ψk(∞) = π/2, т. е. при изменении частоты w от –∞ до ∞ функция
ψk(w) получает приращение ψk = ψk(∞)–ψk(–∞) = +π независимо от
величины и знака λk.
Суммарный угол поворота вектора D(jw), таким образом, равен
ψ = (n– )π–  π = nπ–2  π.
Применение критерия Михайлова упрощается, если рассматривать кривую изменения годографа вектора D(jw) при изменении частоты от 0 до ∞, поскольку при вещественных значениях
коэффициентов ai кривая Михайлова будет симметрична относительно оси абсцисс на комплексной плоскости. Суммарный угол
поворота кривой Михайлова, построенной при изменении частоты от 0 до ∞, будет равен
π
ψ = n - π.
2
Напомним, что система будет устойчивой, только если среди
корней ее характеристического полинома нет ни одного с положительной вещественной частью, т. е. при  = 0. Таким образом,
в устойчивой системе, имеющей характеристическое уравнение n-го порядка, угол поворота кривой Михайлова при изменеπ
нии частоты от 0 до ∞ будет в точности равен ψ = n , если же
2
этот угол окажется меньшим, то система неустойчива. В этом
и заключается критерий Михайлова.
Заметим, что кривая Михайлова для любой системы начинается на вещественной оси комплексной плоскости, поскольку
|D(j0)| = an, а при w→∞ она “уходит в бесконечность”, поскольку
при этом |D(jw)|→∞.
106
Для иллюстрации применения критерия устойчивости Михайлова на рис. 29 представлены примеры кривых Михайлова для различных автоматических систем. По трем графикам
(рис. 29, а) нетрудно убедиться, что для каждого из них угол
π
поворота вектора D(jw) равен ψ = n , поэтому соответствую2
щие системы устойчивы. На рис. 29, б показаны два графика:
первый построен для n = 3, второй — для n = 5. Система, годограф вектора D(jw) которой соответствует первому графику, будет находиться на колебательной границе устойчивости (т. е. на
практике она окажется неустойчивой). Это следует из того, что
кривая Михайлова проходит через начало координат. Такая особенность кривой Михайлова связана с тем, что на некоторой частоте w0 вектор D(jw) имеет нулевую длину, а значит, в характеристическом уравнении имеется чисто мнимый корень, равный
jw0. Система, годограф вектора D(jw) которой соответствует второму графику (для случая n = 5), будет неустойчивой, поскольку в этом примере угол поворота вектора D(jw) оказывается равπ
ным ψ = .
2
Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать и
в другой форме: для устойчивости системы, имеющей характеристическое уравнение n-го порядка, необходимо и достаточно,
чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ кривая Михайлова последовательно проходила бы n квадрантов комплексной плоскости. Это, в частности, хорошо иллюстрирует кривая Михайлова,
построенная на рис. 29, б для n = 3: она проходит из I квадранта в
III, минуя II, поэтому система неустойчива.
б)
а)
jV
I
Ïðè Wmd n = 2
III
Ïðè Wmd
0
Ïðè Wm 0
IV
I
II
U
0
Ïðè Wmd
n=5
n=1
II
n=3
jV
Ïðè Wmd
III
n=3
Ïðè Wmd
U
Ïðè Wm 0
Ïðè W W0
IV
Рис. 29. Кривые Михайлова для устойчивых (а) и неустойчивых (б)
автоматических систем
107
Критерий устойчивости Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы по виду АФХ, построенной по частотной ПФ разомкнутого контура этой САУ
W(jw).
Критерий Найквиста находится в тесной связи с критерием Михайлова. Эту связь можно проиллюстрировать, если рассмотреть
некоторую САУ, ПФ разомкнутого контура которой имеет вид
W ( p) =
b0 pm + b1 pm-1 +  + bm-1 p + bm
c0 pn + c1 pn-1 +  + cn-1 p + cn
.
Очевидно, что ПФ замкнутой системы может быть представлена в следующей форме (см. табл. 10):
Φ ( p) =
W ( p)
1 + W ( p)
=
B( p)
C ( p )+ B ( p )
=
b0 pm + b1 pm-1 +  + bm-1 p + bm
a0 pn + a1 pn-1 +  + an-1 p + an
,
где B(p) = b0pm + b1pm–1 +…+ bm–1p + bm; С(p) = с0pn + с1pn–1 +…+
+ сn–1p + сn.
Характеристический полином системы D(p) совпадает с полиномом в знаменателе функции Ф(p), в данном случае D(p) = C(p)+
+ B(p) = a0pn + a1pn–1 +…+ an–1p + an.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
W1 ( p) = 1 + W ( p) =
D ( p)
D ( p)- B( p)
=
D ( p)
,
C ( p)
в которой, как видно, числитель совпадает с полиномом, находящимся в знаменателе ПФ замкнутой системы Ф(p), а знаменатель
совпадает с полиномом, находящимся в знаменателе ПФ разомкнутого контура системы W(p).
Перейдем к частотной функции W1(jw) посредством подстановки p = jw:
W1 (jω ) =
D (jω )
,
C (jω )
и проанализируем угол поворота вектора W1(jw) при изменении
частоты w от 0 до ∞. Очевидно, что этот угол — обозначим его через ψ1 — равен разности углов поворота векторов функций D(jw)
и С(jw) при изменении частоты w от 0 до ∞:
ψ1 = ψD –ψC,
108
где ψD — угол поворота вектора D(jw) и ψC — угол поворота вектора C(jw).
При этом, по критерию устойчивости Михайлова, в устойчивой системе должно выполняться равенство
π
ψD = n
2
независимо от того, какие динамические звенья входят в систему.
Величина угла ψC зависит от свойств звеньев, входящих в контур
системы.
Если, к примеру, среди корней уравнения C(p) = 0 окажется  корней с положительной вещественной частью, нет нулевых
и чисто мнимых корней, то, повторяя логику рассуждений, выполненных при доказательстве критерия устойчивости Михайπ
лова, нетрудно выяснить, что при этом ψ C = n - π и, соответ2
ственно, ψ1 =  π. В частном случае, когда в состав системы входят
только минимально-фазовые звенья, в такой системе все корни
уравнения C(p) = 0 будут иметь отрицательные вещественные чаπ
сти (т. е.  = 0), и при этом ψ C = n и ψ1 = 0. Таким образом, если
2
угол поворота вектора W1(jw) при изменении частоты w от 0 до ∞
окажется в точности равен ψ1 =  π (где  — число корней с положительной вещественной частью у полинома в знаменателе ПФ
разомкнутого контура САУ), то система будет устойчивой; если
же ψ1 имеет другое значение, то система будет неустойчивой. Это
положение является ключом к пониманию критерия устойчивости Найквиста.
Вообще немаловажным требованием к любому критерию
устойчивости является простота его применения. И поскольку
гораздо удобнее оперировать не искусственно сформированной
функцией W1(jw), а всегда имеющейся в распоряжении разработчика частотной ПФ разомкнутого контура системы W(jw), то целесообразно адаптировать полученный выше результат к функции W(jw). Это несложно. Замечая, что
W(jw) = W1(jw)–1,
легко понять, что если поместить начало вектора W1(jw) на комплексной плоскости не в начало координат, а в точку с координатами (–1, j0), т. е. сместить его положение на минус единицу по
вещественной оси, то годограф вектора W1(jw) опишет ту же самую кривую, что и годограф вектора W(jw) с центром в начале координат. Это иллюстрирует рис. 30, на котором годограф вектора
109
jV
(–1, j0)
Ïðè
Wmd
W1 (jW)
0
W(jW)
U
Ïðè Wm 0
Рис. 30. Иллюстрация к методу анализа устойчивости САУ
по критерию Найквиста
W1(jw), нарисованный сплошной линией, соответствует случаю,
когда ψ1 = 0; а пунктирной — когда ψ1 = 2π.
Таким образом, исчерпывающую информацию о поведении
вектора W1(jw) содержит АФХ, построенная по частотной ПФ разомкнутого контура автоматической системы W(jw). А чтобы избавиться от необходимости предварительного анализа корней
знаменателя функции W(jw), критерий устойчивости Найквиста
удобнее сформулировать не на основе величины угла ψ1, а через
особенности геометрии графика АФХ системы. Анализируя графики (см. рис. 30), можно заметить, что точка с координатами (–1,
j0) оказалась как бы внутри “петли” годографа вектора W(jw), построенного пунктирной линией, и вне “петли” графика, построенного сплошной линией.
В результате, критерий устойчивости Найквиста сформулирован следующим образом: для устойчивости замкнутой автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутого контура этой системы, построенная при изменении частоты w от 0 до ∞, не охватывала “критическую точку” с координатами (–1, j0).
Некоторые типовые ситуации иллюстрирует рис. 31, а–г.
Примеры АФХ позволяют также понять, почему на устойчивость оказывает влияние значение общего коэффициента передачи K разомкнутого контура САУ. Действительно, длина каждого
вектора линейно зависит от K, а фазовый сдвиг от K не зависит.
Поэтому при изменении K форма АФХ сохранится, но сам график
“разбухнет” при увеличении K и “сожмется” при его уменьшении. Очевидно, что дополнительное увеличение значения K у автоматических систем, АФХ которых приведены на рис. 31, а и б,
может привести к их неустойчивости. У системы с АФХ, показан110
а)
б)
jV
(–1, j0)
Ïðè
Wmd
jV
(–1, j0)
U
0
Ïðè
Wmd
0
Ïðè
Wm 0
в)
г)
jV
jV
Ïðè
Wmd
Ïðè
Wmd
U
0
(–1, j0)
U
Ïðè
Wm 0
Ïðè
Wm 0
U
0
(–1, j0)
Ïðè
Wm 0
Рис. 31. К анализу устойчивости автоматических систем по АФХ:
а, б – случаи неохвата критической точки (эти системы устойчивы);
в, г – случаи охвата точки (эти системы неустойчивы)
ной на рис. 31, б, к неустойчивости может привести даже уменьшение K.
Нужно заметить, что в сложных случаях не всегда удается
однозначно интерпретировать ситуацию с охватом “критической точки”. В первую очередь, заслуживают внимания довольно распространенные случаи, когда кривая АФХ оказывается
незамкнутой и сложно судить о том, где у АФХ “внутренняя”
область, а где “внешняя”. Для решения этого вопроса обычно
рекомендуется дополнять АФХ дугой бесконечного радиуса, начинающейся в точке, где АФХ стремится к бесконечности, а заканчивающейся на положительной полуоси оси абсцисс. В этом
случае рассматривается вопрос о том, попала ли критическая
точка с координатами (–1, j0) внутрь замкнутой области, ограниченной кривой АФХ, дополнительной дугой и положительной
полуосью оси абсцисс, как показано на рис. 32, б (заштрихованная область).
111
а)
Ïðè
WWQ
Ïðè
Wmd
б)
jV
0
Ïðè
Wmd
U
jV
U
0
(–1, j0)
(–1, j0)
Ïðè
Wm0
Ïðè
Wm 0
Äóãà
Рис. 32. Анализ устойчивости САУ в случае, когда кривая АФХ
является незамкнутой: а – исходный график; б – дополнение АФХ
дугой (САУ неустойчива)
Рассмотрим пример анализа устойчивости по критерию Найквиста для системы, описываемой ПФ разомкнутого контура
K
W ( p) =
.
p(1 + Ty p)(1 + Tä p)
Схематично АФХ выглядит так, как показано на рис. 32, а (см.
также рис. 15). Вопрос о том, охватывает ли АФХ критическую
точку с координатами (–1, j0), может быть решен, только если
рассмотреть конкретный числовой пример, поскольку при одних
значениях параметров ПФ АФХ будет охватывать точку, а при
других — не будет.
Впрочем, здесь некоторые выводы можно сделать и в общем виде. Действительно, видно, что АФХ однократно пересекает отрицательную полуось оси абсцисс, точке пересечения соответствует
положение вектора, построенного при wp, когда Ψ(wp) =  –π. Ясно,
что если длина вектора A(wp) будет больше единицы, то АФХ охватывает критическую точку и система будет неустойчивой; если
A(wp) = 1, то система будет находиться на колебательной границе
устойчивости (на практике это также будет означать ее неустойчивость); и только если A(wp) < 1, рассматриваемая система будет
устойчивой. И если, например, Tу = Tд = T, то при wp = 1/T будет
Ψ(wp) =  –π и A(wp) = KT/2; соответственно, система будет устойчива, если KT/2 < 1 или, что то же самое, K < 2/T. Сравнивая
этот результат с полученным ранее условием устойчивости этой
же системы по критерию Гурвица (см. пример в подразд. 5.2):
1
1
K<
+ , нетрудно убедиться в их полном совпадении в расTä Ty
смотренном частном случае при Tу = Tд = T.
112
Рассмотрим еще один пример анализа устойчивости САУ по
критерию Найквиста. Пусть система имеет ПФ разомкнутого
контура
K (1 + τp)
W ( p) =
,
1 + T02 p2 (1 + Tp)
(
)
где предполагается t < T.
Здесь
2
A (ω ) =
K 1 + (ωτ )
2
1 - (T0 ω )
2
1 + (ωT )
и
ì
ïïarctg (ωτ )- arctg (ωT )
ïðè ω < T0-1
ï
Ψ(ω ) = í
.
-1
ï
ï
ï
îarctg (ωτ )- arctg (ωT )- π ïðè ω > T0
В рассматриваемую САУ входит одно консервативное звено,
что обусловливает особое поведение частотных характеристик в
окрестности точки w0 = (T0)–1. АФХ приведена на рис. 33, а. Особенности ее построения помогает понять табл. 11.
Таблица 11
Данные для построения АФХ системы,
содержащей консервативное звено*
w
0
K
0
A(w)
Ψ(w)
w0
w0+0
0 < w < w0 w0–0
∞
∞
Растет
Разрыв
Ψ(w) < 0
ψ1
Разрыв ψ1–π
w0 < w < ∞
Убывает
Ψ(w) < –π
∞
0
–π
* ψ1 = arctg(t/T0)–arctg(T/T0) < 0.
а)
Ïðè
1
W®
+0
T0
Ïðè
Wmd
(–1, j0)
jV
б)
K
91
Ïðè
1
W ® -0
T0
Ïðè
Wmd
K
U
Ïðè
Wm0
jV
(–1, j0)
U
Ïðè
Wm 0
Äóãà
Рис. 33. К анализу устойчивости САУ, содержащей консервативное
звено: а – график АФХ системы; б – дополнение графика дугой,
замыкающей внутреннюю область АФХ (САУ неустойчива)
113
Дополняя построенную АФХ дугой бесконечного радиуса (см.
рис. 33, б), получаем замкнутую область, в которую, как видно,
попадает критическая точка с координатами (–1, j0); таким образом, если t < T, то рассматриваемая система неустойчива при любом значении K.
Достоинством критерия Найквиста является то, что он может
быть применен даже на основании совокупности экспериментально измеренных частотных характеристик элементов САУ, “по точкам”, без формирования каких-либо аппроксимирующих эти характеристики математических моделей. Кроме того, для его применения не требуется представление частотных характеристик в
форме дробно-рациональной функции.
Заметим, что в случае, когда форма графика является относительно сложной, особенно когда график АФХ неоднократно пересекает отрицательную полуось вещественной оси, для лучшего понимания картины целесообразно строить не обычный график АФХ, а
диаграмму Никольса. Несмотря на то что принципиальной разницы между ними нет (отличие определяется лишь масштабом задания координатной сетки для откладывания длин векторов, соответствующих A(w)), все же диаграмма Никольса дает более полное
представление об амплитудно-фазовой характеристике, особенно
когда необходимо прочувствовать эффект от изменения какоголибо параметра системы на степень ее устойчивости. При использовании диаграммы Никольса необходимо иметь в виду, что критическая точка, факт охвата или неохвата которой играет принципиальную роль в анализе устойчивости САУ, задается как точка С,
расположенная на оси абсцисс левее начала координат и удаленная от начала координат на расстояние, равное единице.
Недостатком критерия Найквиста является не всегда очевидная интерпретация внутренней области АФХ. Кроме того, его
трудно использовать для синтеза САУ, поскольку критерий Найквиста не дает ответа на вопрос, как именно следует изменять параметры и/или структуру неустойчивой САУ, чтобы привести ее
к устойчивой. Более конструктивным в этом плане является метод логарифмических частотных характеристик.
Метод логарифмических частотных характеристик
Для целей анализа устойчивости САУ принято совмещать
ЛАХ и ЛФХ на одном графике логарифмических частотных характеристик САУ. При этом для ЛФХ используются два условных
допущения:
114
1) отрицательные значения ЛФХ откладываются вверх по оси
ординат;
2) ось абсцисс проходит через точку Ψ =  –180°.
С учетом всех принятых соглашений о построении характеристик, нетрудно понять, что критической точке с координатами (–1, j0) соответствует L(w) = 0 (так как при этом длина вектора A(w) = 1) и Ψ(w) = –180°. То есть на плоскости логарифмических
частотных характеристик очень важную роль играют точки пересечения графиками L(w) и Ψ(w) оси абсцисс.
Наглядно иллюстрирует взаимосвязь между АФХ и графиками логарифмических частотных характеристик рис. 34.
Здесь при w = 0 из АФХ (рис. 34, а) следует, что A(0) > 1, Ψ(0) = 0;
из логарифмических частотных характеристик (рис. 34, б) —
L(0) > 0, Ψ(0) = 0, т. е. по сути то же самое. Далее, точке Е на АФХ
соответствует A(wЕ) = 1 (пунктиром показана часть окружности единичного радиуса с центром в начале координат) и –90о <
< Ψ(wЕ) < 180°, этой же точке на рис. 34, б соответствует L(wЕ) = 0
и –90° < Ψ(wЕ) < 180°. При wD (точка D) очевидно, что A(wD) < 1,
Ψ(wD) = 180° и L(wD) < 0. И, наконец, при w→∞ имеем A(w)→0,
L(w)→–∞.
Устойчивость САУ по методу логарифмических частотных характеристик определяется по аналогии с критерием устойчивости
Найквиста. Опираясь на него и рассматривая в качестве иллюстраций графики АФХ (см. рис. 31 и 34), критерий устойчивости
можно сформулировать следующим образом: для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях L(w) график ЛФХ либо не пересекал бы ось
а)
б)
jV
(–1, j0)
Ïðè
Wmd
0
D R=1
E
Ïðè
Wm0
L(W), äÁ
(9(W), ãðàä)
L
U
ED
(–180 )
(–90 )
9
W
ED
(0 )
Рис. 34. Соответствие между АФХ (а) и логарифмическими
частотными характеристиками (б)
115
абсцисс (по принятому соглашению, ей соответствует Ψ = –180°),
либо пересекал бы ее четное число раз. Другими словами, левее
точки пересечения оси абсцисс графиком ЛАХ должно оказаться
четное число точек пересечения оси абсцисс графиком ЛФХ или
таких точек не должно быть вовсе.
Заметим, что приведенная формулировка критерия устойчивости справедлива только при выполнении условия Ψ(0) < –180°,
которое для реальных САУ практически всегда справедливо. Формулировку критерия для более общего случая дать очень трудно.
В качестве иллюстрации приведены пары графиков АФХ и логарифмических частотных характеристик (рис. 35 и 36). Характерные точки на этих графиках отмечены одинаковыми буквами.
В соответствии с данной выше формулировкой критерия
устойчивости очевидно, что замкнутые автоматические системы,
характеристики разомкнутого контура которых представлены на
а)
б)
jV
(–1, j0)
A
B
Ïðè
Wmd
E
D
0
L(W), äÁ
(9(W), ãðàä)
L
A
U
B
(–180)
R=1
Ïðè
Wm0
(–90)
9
B
A
E D
W
E D
(0)
Рис. 35. Характеристики устойчивой САУ: АФХ (а), ЛАХ и ЛФХ (б)
а)
Ïðè
Wmd
D
E
(–1, j0)
б)
jV
0
R=1
L(W), äÁ
(9(W), ãðàä)
L
D
U
Ïðè
Wm 0
E
W
(–180)
(–90)
9
D
E
(0)
Рис. 36. Характеристики неустойчивой САУ: АФХ (а), ЛАХ и ЛФХ (б)
116
рис. 34 и 35, будут устойчивыми, а система с характеристиками,
изображенными на рис. 36, — неустойчива.
В очень важном и нередко встречающемся на практике случае,
когда ПФ разомкнутого контура САУ соответствует минимальнофазовой динамической системе, устойчивость системы в замкнутом состоянии можно определить только по ЛАХ ее разомкнутого контура, без учета информации о ЛФХ. Это возможно за счет
того, что для систем этого класса между АЧХ и ФЧХ имеется взаимно однозначная связь, так что АЧХ (а, значит, и ЛАХ) содержит исчерпывающую информацию о частотных свойствах этой
системы. Критерий сформулирован следующим образом: для
устойчивости системы с минимально-фазовой ПФ разомкнутого контура достаточно, чтобы ЛАХ разомкнутого контура пересекала ось абсцисс с наклоном –20 дБ/дек. Подчеркнем, что это
не является необходимым условием устойчивости, — если оно не
выполняется, это не обязательно приводит к неустойчивости соответствующей САУ; но если критерий выполняется, то устойчивость минимально-фазовой САУ гарантируется.
Рассматривая ЛАХ, приведенные на рис. 10, 12–14 (если проанализировать ПФ, по которым они построены, можно убедиться,
что все они соответствуют минимально-фазовым динамическим
системам: все корни полиномов в числителе и знаменателе являются отрицательными вещественными числами), можно сделать
вывод, что устойчивость САУ в первых двух случаях (см. рис. 10 и
12) гарантируется, в третьем и четвертом (см. рис. 13 и 14) — нет.
Для того чтобы принять по последним двум какое-то конкретное решение, придется воспользоваться более общим критерием
устойчивости, привлекая дополнительную информацию о ЛФХ,
или же проверить критерий Гурвица, который способен дать однозначный ответ в любой ситуации.
Если сравнивать различные частотные критерии устойчивости, то можно заметить, что использование логарифмических частотных характеристик удобнее АФХ тем, что по первым можно
сделать вывод о том, в каком частотном диапазоне локализованы нежелательные сочетания между АЧХ и ФЧХ разомкнутого
контура системы. На основе этой информации уже можно приступать к поиску конструктивных решений, которые будут способствовать увеличению запаса устойчивости рассматриваемой
системы.
117
6. ошибки в линейных автоматических
системах при детерминированных
входных воздействиях
Основным показателем качества САУ выступает точность ее
работы. В любой реальной автоматической системе точное равенство задающего воздействия и управляемой величины во все время процесса управления недостижимо, поскольку на CАУ действуют управляющие и возмущающие воздействия, законы изменения
которых имеют сложный вид или являются случайными. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции: ее реакция
на сумму нескольких воздействий представляется суммой реакций на каждое из воздействий, подаваемых на нее по отдельности.
Поэтому точность САУ принято оценивать по значениям ошибок
регулирования системы при сравнительно простых типовых воздействиях — ступенчатых, гармонических и некоторых других.
Более сложное воздействие может быть представлено взвешенной
суммой типовых: например, периодические входные воздействия
любой формы могут быть представлены рядом Фурье.
Ошибка системы e = g–y представляется суммой двух составляющих
e = eуст+eп,
где eуст — установившаяся ошибка (ошибка системы по окончании переходного процесса, формально определенная при t→∞);
eп — переходная ошибка, которая имеет значительную величину непосредственно после момента подачи входного воздействия
и спадает к нулю при t→∞.
В линейных САУ установившаяся ошибка определяется частным решением дифференциального уравнения системы, переходная ошибка — общим решением однородного дифференциального уравнения системы.
Нахождение значения установившейся ошибки lim e(t) = eóñò
t®¥
производится (при условии, что предел существует) по формуле,
получаемой непосредственно из теоремы о конечном значении
преобразования Лапласа:
(46)
eóñò = lim (pE( p)),
p®0
где E(p) — изображение по Лапласу сигнала ошибки, которое
при известной ПФ САУ и заданных входных воздействиях рассчитывается по несложным формулам:
118
– для ошибки от задающего воздействия
Eg(p) = Φe(p) G(p); (47)
– для ошибки от возмущающего воздействия
Ef(p) = Φef(p) F(p), (48)
где G(p) и F(p) — изображения по Лапласу от задающего и возмущающего воздействий; Φe(p) и Φef(p) — ПФ по ошибке от задающего и от возмущающего воздействий соответственно (см. также
табл. 10).
Нужно подчеркнуть, что искомый предел lim e(t) не всегда
t®¥
существует, и в этом случае равенство (46) не выполняется. Этот
предел не существует в неустойчивых САУ, а также в САУ при гармонических воздействиях. Поэтому, используя для расчета установившейся ошибки теорему о конечном значении преобразования
Лапласа, необходимо иметь в виду область ее применения.
В дальнейшем, чтобы иметь возможность делать необходимые
обобщающие выводы, будем использовать следующую форму записи для типовой ПФ разомкнутого контура САУ:
W ( p) =
(
)
K b0 pm + b1 pm-1 + b2 pm-2 +  + bm-1 p + 1
r
(
n-r
p c0 p
n-r -1
+ c1 p
n-r -2
+ c2 p
,
)
+  + cn-r -1 p + 1
(49)
где, как видно, в составе САУ r звеньев интегрирующего типа “в
чистом виде”, т. е. не охваченных местными обратными связями.
Предполагается, что r≥0 (в противном случае пришлось бы говорить о наличии в составе системы звеньев дифференцирующего
типа “в чистом виде”, но такое техническое решение для построения подавляющего большинства САУ непригодно). Если, в частности, r  = 0, то таких звеньев в системе нет, и в знаменателе ПФ
будет отсутствовать свободный множитель p:
W ( p) =
(
).
K b0 pm + b1 pm-1 + b2 pm-2 +  + bm-1 p + 1
n
n-1
c0 p + c1 p
n-2
+ c2 p
+  + cn-1 p + 1
(50)
Система с ПФ (50) состоит, очевидно, только из позиционных
звеньев (см. также табл. 5–7).
Система автоматического управления с ПФ вида (49) называется астатической системой, а с ПФ (50) — статической. Степень
свободного множителя p в знаменателе ПФ разомкнутого контура
автоматической системы (число r) называют порядком астатиз119
ма системы. Статическая САУ формально имеет астатизм нулевого порядка. Заметим, что коэффициент передачи разомкнутого
контура САУ (множитель K) в статической системе будет безразмерным, а в астатической будет иметь размерность [с–r].
На практике в большинстве случаев САУ либо бывают статическими (в контуре таких САУ нет интегрирующих звеньев), либо имеют астатизм 1-го порядка (в контуре САУ имеется одно интегрирующее звено). Соответствующие структурные схемы типовых САУ приведены на рис. 37–39, где предполагается, что в состав блоков с ПФ W1(p), W2(p) и W3(p) входят только позиционные
динамические звенья.
Формулы для расчета установившейся ошибки в типовых САУ
получаются на основании выражений для ПФ Фe(p) и Фef(p), приведенных в табл. 10, а также соотношений (46)–(48):
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 37:
æ
ö÷
æ W3 ( p)W2 ( p)
ö÷
1
eóñò = lim ççç
pG ( p)÷÷ - lim ççç
pF ( p)÷÷; (51)
÷ø p®0èç1 + W1 ( p)W2 ( p)
p®0çè1 + W1 ( p)W2 ( p)
ø÷
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 38:
æ
ö÷
æ
ö÷
çç
çç
÷÷
÷÷
çç
ç
W
p
W
p
(
)
(
)
1
÷
÷
3
2
eóñò = lim çç
pG ( p)÷÷ - lim ççç
F ( p)÷÷; (52)
÷÷ p®0ç
÷÷
1
1
p®0ç
÷÷
÷÷
çç1 + W1 ( p)W2 ( p)
çç1 + W1 ( p)W2 ( p)
p
p
è
ø÷
è
ø÷
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 39:
æ
ö÷
æ
ö÷
çç
çç
÷÷
÷÷
çç
ç
W
p
W
p
(
)
(
)
1
÷
÷
3
2
eóñò = lim çç
pG ( p)÷÷ - lim ççç
pF ( p)÷÷. (53)
÷÷ p®0ç
÷÷
1
1
p®0ç
÷÷
÷÷
çç1 + W1 ( p)W2 ( p)
çç1 + W1 ( p)W2 ( p)
÷ø
p
p
è
ø÷
è
Точность работы САУ обычно рассматривается применительно к типовым установившимся режимам:
– режим неподвижного состояния;
– режим движения с постоянной скоростью;
– режим гармонического движения.
Возмущение f(t), действующее на САУ, описывается типовыми
функциями аналогичного вида.
120
f(t)
W3(p)
g(t)
e(t)
+
W1(p)
W2 (p)
y(t)
Рис. 37. Типовая структурная схема статической САУ
f(t)
W3(p)
g(t)
e(t)
W1(p)
y(t)
Q
+
W2(p)
Рис. 38. Типовая структурная схема САУ с астатизмом 1-го порядка,
возмущение приложено перед интегрирующим звеном
f(t)
W3(p)
g(t)
e(t)
W1(p)
Q
+
y(t)
W2(p)
Рис. 39. Типовая структурная схема САУ с астатизмом 1-го порядка,
возмущение приложено после интегрирующего звена
6.1. Режим неподвижного состояния
Режим неподвижного состояния (его иногда называют статическим режимом) характеризуется тем, что в нем задающее или
возмущающее воздействие остается величиной постоянной во все
время процесса управления: g(t) = сonst = g0. Такой режим ха121
рактерен в первую очередь для автоматических систем стабилизации.
Для проведения расчетов необходимо найти изображения
по Лапласу для g(t) = g0 и f(t) = f0 и подставить их в формулы
(51) – (53). В данном случае G(p) = g0/p и F(p) = f0/p и, соответственно:
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 37:
æ
æ W3 ( p)W2 ( p)
1
÷ö
÷ö
eóñò = lim ççç
g0 ÷÷ - lim ççç
f0 ÷÷;
p®0çè1 + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø p®0èç1 + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 38:
æ
ö÷
æ W3 ( p)W2 ( p)
ö÷
p
eóñò = lim ççç
g0 ÷÷ - lim ççç
f0 ÷÷;
p®0çè p + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø p®0çè p + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 39:
æ
ö÷
æ pW3 ( p)W2 ( p) ö÷
p
eóñò = lim ççç
g0 ÷÷ - lim ççç
f0 ÷÷.
p®0çè p + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø p®0çè p + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø
Подставляя p = 0 в выражения под знаком предела и приняв во
внимание, что W1(p) — W3(p), по предположению, состоят только
из позиционных звеньев [откуда с учетом формулы (50) следует,
что W1(0) = K1, W2(0) = K2 и W3(0) = K3], нетрудно выразить окончательные результаты:
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 37:
eóñò =
K K
1
g0 - 3 2 f0 , K +1
K +1
(54)
где K = K1K2;
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 38:
K K
K
eóñò = - 3 2 f0 = - 3 f0 ; (55)
K
K1
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 39:
122
eуст = 0. (56)
Установившуюся ошибку САУ в режиме неподвижного состояния называют статической ошибкой, ее обозначают как eст. Нетрудно видеть, что в статической системе eст≠0, даже если нет возмущающего воздействия. В астатической системе при отсутствии
возмущающего воздействия статическая ошибка отсутствует.
Ошибка астатической системы в режиме неподвижного состояния не равна нулю, только если возмущающее воздействие приложено до интегрирующего звена.
Из выражения (54) для статической ошибки системы видно,
что в целях уменьшения ошибки от задающего воздействия необходимо увеличивать значение общего коэффициента передачи
разомкнутого контура системы K. Для уменьшения статической
ошибки от возмущающего воздействия необходимо увеличивать
коэффициенты передачи звеньев, стоящих до приложения возмущения (т. е. коэффициент K1 в числителе для W1(p)), и уменьшать
коэффициенты передачи звеньев, стоящих после возмущающего
воздействия (т. е. коэффициент K2 в числителе для W2(p)).
Для иллюстрации рассмотрим пример системы автоматической стабилизации скорости вращения электродвигателя
(рис. 40). Идея построения САУ проста: требуемая скорость вращения задается напряжением настройки Uн, электродвигатель Д
вращается под действием приложенного к нему напряжения Uд,
а скорость вращения его ротора измеряется тахогенератором ТГ,
вырабатывающим напряжение UТГ, пропорциональное скорости
вращения Ω. Усилитель мощности У воспринимает разностный
сигнал Ue = Uн–UТГ; соответственно, если скорость вращения станет больше заданной, то Ue будет отрицательным, что заставит
двигатель “снижать обороты”, а если скорость вращения станет
меньше заданной, то воздействие Uд > 0 будет далее способствовать ее увеличению.
7
Uí
Ue
UÒÃ
Ó
Uä
Ä
ÒÃ
Ìí
Рис. 40. Упрощённая схема системы автоматической стабилизации
скорости вращения электродвигателя постоянного тока
123
Ìí
L
- Å
L½
Uí
Uå
LÌ
+ 5Z Q
UÒÃ
Uä
+
L½
7 (t)
+ 5½ Q
kÒÃ
Рис. 41. Структурная схема САУ, приведенной на рис. 40
Из структурной схемы (рис. 41) видно, что в системе отсутствуют интегрирующие звенья, и, следовательно, она является статической. Это видно и по ПФ разомкнутого контура системы — в ее
знаменателе нет свободного сомножителя p.
Можно дать физическую интерпретацию того, что в системе
будет статическая ошибка от момента нагрузки Mн (возмущающее воздействие). Действительно, при изменении момента нагрузки по окончании переходного процесса изменится и значение
вращающего момента, развиваемого двигателем Mд, поскольку в
установившемся режиме (когда угловая скорость вращения Ω перестанет изменяться) момент вращения и момент нагрузки сравняются: Mн = Mд. Вращающий момент электродвигателя Mд, как
известно, изменяется и при изменении скорости вращения электродвигателя Ω, и при изменении напряжения Uд, подаваемого
на электродвигатель. Но напряжение Uд при постоянном задающем воздействии Uн = const может измениться лишь при изменении напряжения тахогенератора UТГ (так как Uд = ky(Uн–UТГ)), а
оно определяется угловой скоростью вращения оси ротора двигателя Ω. Значит, изменение момента нагрузки Mн в рассматриваемой системе неизбежно приведет к изменению скорости вращения Ω, следовательно, и к появлению ошибки.
Для статической ошибки системы, возникшей от возмущающего момента Mн, можно записать
æ
ö÷
kì (1 + Ty p)
k
ç
Ωe = lim (Φ ef ( p)Mí )= - lim çç
Mí ÷÷÷ = - ì Mí ,
÷ø÷
K +1
p®0
p®0ççè(1 + Ty p)(1 + Tä p)+ K
где K = kykдkТГ.
124
Ìí
L
- Å
L½
*1 (t)
*e (t)
kÈÝ
Uå
LÌ
+ 5Z Q
Uä
+
L½
Q + 5½Q
Jä
kp
* 2(t)
Рис. 42. Структурная схема САУ, приведенной на рис. 16
Рассмотрим также для примера конкретную САУ с астатизмом 1-го порядка — электромеханическую следящую систему,
схема которой изображена на рис. 16, а структурная схема — на
рис. 42.
В данной системе двигатель проворачивает ИО на требуемый
угол (так, чтобы получилось ϑ2 = ϑ1) и останавливается. При отсутствии момента нагрузки (Мн = 0) напряжение Uд, подаваемое
на двигатель с усилителя, по окончании переходного процесса
станет равным нулю. Следовательно, будет равно нулю и напряжение на входе усилителя, пропорциональное углу рассогласования, значит, в данном случае равна нулю ошибка от задающего
воздействия.
Момент нагрузки Мн, как видно из структурной схемы, приложен до интегрирующего звена. При наличии возмущающего
момента нагрузки на оси двигателя (Мн≠0) он может находиться
в неподвижном состоянии лишь при приложении к нему напряжения, создающего вращающий момент, противоположный возмущающему. Следовательно, уже не могут быть равны нулю ни
напряжение рассогласования Uе, ни угол рассогласования ϑe. И
чем больше величина момента нагрузки, тем больше становится
ошибка системы.
6.2. Режим движения с постоянной скоростью
В этом режиме скорость изменения задающего воздействия
остается постоянной величиной в течение всего времени процесса
управления: g(t) = vgt, т. е. величина задающего воздействия линейно увеличивается со временем.
В устойчивой системе по окончании переходных процессов выходная координата системы должна также изменяться с постоянной скоростью, равной скорости изменения задающего воздей125
ствия: y(t) = vyt. Если же vg≠vy, то, естественно, ни о какой установившейся ошибке рассуждать не приходится.
Повторяя рассуждения, для типовых САУ при g(t) = vgt и
f(t) = vft (в этом случае G(p) = vg /p2 и F(p) = vf /p2, см. Приложение) можно записать:
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 37:
æ
æ W3 ( p)W2 ( p) vf ö÷
vg ö÷
1
ç
eóñò = lim ççç
÷÷÷ - lim çç
÷÷;
p®0èç1 + W1 ( p)W2 ( p) p ø p®0èç1 + W1 ( p)W2 ( p) p ÷ø
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 38:
æ
æ W3 ( p)W2 ( p) vf ö÷
1
÷ö
÷÷;
eóñò = lim ççç
vg ÷÷ - lim ççç
÷
p®0èç p + W1 ( p)W2 ( p) ø p®0èç p + W1 ( p)W2 ( p) p ÷ø
– для САУ, которой соответствует структурная схема на
рис. 39:
æ
ö÷
æ W3 ( p)W2 ( p)
ö÷
1
eóñò = lim ççç
vg ÷÷ - lim ççç
vf ÷÷.
÷ø p®0èç p + W1 ( p)W2 ( p) ÷ø
p®0çè p + W1 ( p)W2 ( p)
Очевидно, что в статической системе (см. рис. 37) при p→0 имеем eуст→∞. Это означает, что в такой системе скорость изменения
состояния объекта управления никогда не достигнет скорости
изменения задающего воздействия, поэтому с течением времени
при неизменной скорости задающего воздействия ошибка в системе будет неограниченно возрастать. Вычислив обратное преобразование Лапласа, можно показать, что после затухания составляющих переходного процесса (т. е. при больших t) закон изменения
ошибки во времени в данном случае будет описываться выражением вида
æ 1
ö
K K
e(t) = çç
v - 3 2 v ÷t.
çè K + 1 g K + 1 f ÷÷ø
Предел у данной функции при t→∞ не существует.
Несмотря на не слишком обнадеживающий результат статические САУ все же могут применяться (и успешно применяются)
на практике, поскольку физически ни одно воздействие не может
неограниченно возрастать, поэтому реально ошибка остается конечной и вполне может быть сделана достаточно малой посредством соответствующего выбора значения K.
126
В САУ с астатизмом 1-го порядка, в рассматриваемой ситуации, если возмущающее воздействие приложено до интегрирующего звена (см. рис. 38), имеем
eóñò =
æ vf K3 ö÷
÷.
- lim ççç
K p®0è pK1 ÷÷ø
vg
Отсюда ясно, что составляющая установившейся ошибки от
задающего воздействия оказывается в этом случае ненулевой, но
конечной по величине, а составляющая от возмущающего воздействия, если оно линейно изменяется во времени, будет неограниченно возрастать со временем.
И, наконец, в САУ с астатизмом 1-го порядка, если возмущающее воздействие приложено после интегрирующего звена (см.
рис. 39), имеем
vg vf K3
.
eóñò =
K
K1
Нетрудно заметить, что в астатической системе целесообразно
увеличивать коэффициенты передачи звеньев, находящихся до
интегрирующего звена.
Коэффициент K в САУ с астатизмом 1-го порядка имеет размерность [с–1], так как K = vg /eуст (при отсутствии возмущающего воздействия). Чем больше K, тем меньше оказывается ошибка,
поэтому K называется добротностью по скорости.
6.3. Режим движения по гармоническому закону
В этом режиме задающее и/или возмущающее воздействие изменяется по гармоническому закону.
Положим здесь для простоты, что возмущающее воздействие
действует непосредственно на входе системы (рис. 43).
f(t)
g(t)
+
e(t)
y(t)
W(p)
Рис. 43. Структурная схема САУ, в которой возмущающее воздействие
приложено непосредственно ко входу
127
Вначале рассмотрим случай, когда к системе приложено лишь
задающее воздействие g(t) = gmsin(wgt). Учитывая, что система
линейная, можно утверждать, что ошибка в системе также будет меняться по гармоническому закону с частотой входного воздействия. Точность системы оценивают по амплитуде ошибки em,
которая может быть легко рассчитана, если перейти к частотной
ПФ системы по ошибке от задающего воздействия:
1
em = Φ e (jω g ) gm =
g m.
1 + W (jω g )
Вполне логично, что параметры системы выбирают такими,
чтобы выполнялось неравенство |1+W(jwg)| >> 1. Это условие выполняется, если |W(jwg)| >> 1. Если же будет верно приближенное
равенство
|1+W(jwg)|≈|W(jwg)|,
которое обычно выполняется, то ошибку в системе можно определять по приближенной формуле
1
em @
g m. (57)
W (jω g )
Формула (57) является очень важной, поскольку позволяет задать условие, при котором точность САУ будет не хуже заданной:
нужно, чтобы было выполнено неравенство
g
W (jω g ) ³ m . (58)
em
Из формулы (58) следует, что ЛАХ на частоте wg должна проходить выше значения 20 • lg(gm/em), где в качестве em выступает
допустимая амплитуда ошибки в системе. Это означает, что для
увеличения точности работы САУ по задающему воздействию общий коэффициент передачи разомкнутого контура системы K необходимо увеличивать.
Рассмотрим теперь случай, когда на входе системы действует
сигнал помехи f(t) = fmsin(wf t). При задающем воздействии, равном нулю, должна равняться нулю и выходная координата системы у. Поэтому выходной сигнал системы, образовавшийся под
воздействием помехи, является ни чем иным, как ошибкой системы управления. Амплитуда ошибки также может быть рассчитана при использовании частотной ПФ по ошибке от помехи:
128
em = Φ ef (jω f ) fm =
W (jω f )
1 + W (jω f )
f m.
Обычно помехи являются более высокочастотными по сравнению с частотой задающего воздействия, т. е. wf  >> wg, в этом случае удается выполнить необходимое неравенство |W(jwf)| << 1, и
амплитуду составляющей ошибки от возмущающего воздействия
можно находить по приближенной формуле
em≈|W(jwf)|fm.
Соответственно, для того чтобы эта составляющая ошибки
САУ не превосходила заданный уровень, должно выполняться
неравенство
W (jω f ) £
em
.
fm
(59)
Из формулы (59) следует, что ЛАХ на частоте wf должна проходить ниже значения 20 • lg(em/fm), где в качестве em выступает
допустимая амплитуда ошибки в системе. Это означает, что для
уменьшения ошибки от помехи при прочих равных условиях необходимо уменьшать значение частоты среза системы (частотой
среза wср называется частота, где |W(jwср)| = 1, причем для всех
w > wср справедливо |W(jwср)| < 1) так, чтобы выполнить неравенство wср << wf. Но, к сожалению, уменьшение значения wср, как
будет показано в разд. 9, приводит к уменьшению быстродействия системы.
6.4. Коэффициенты ошибок
При известном задающем воздействии g(t) основой для расчета ошибки системы служат выражения (46) и (47). Из теоремы о
конечном значении преобразования Лапласа следует, что установившемуся режиму системы (при t→∞) в области изображений
соответствует значение E(p) при p→0. Поэтому при вычислении
установившейся ошибки ПФ Фe(p) можно разложить в ряд по степеням переменной р в окрестности значения р = 0, т. е. представить в виде

¥
1 æçç d Φ e ( p)ö÷÷
1

=
p
C p ,
÷
çç
å
÷

÷
 ! çè dp
!
ø p=0
=0
=0
¥
Φ e ( p) = å
(60)
129
где коэффициенты разложения
æ d Φ ( p)ö÷
ç
e
÷÷
C = çç
,  = 0,1, 2,  ççè dp ÷÷ø
p=0
(61)
называют коэффициентами ошибок системы управления. Смысл
этого названия становится понятным, если рассмотреть изображение установившейся ошибки
¥
æ
ö
1
1
E( p) = Φ e ( p)G ( p) = å C p G ( p) = ççC0 + C1 p + C2 p2 + ...÷÷÷G ( p) (62)
ç
è
ø
!
2
=0
и перейти во временну¢ю область. Учитывая операторный смысл
множителя p, можно записать выражение, отражающее изменение ошибки во времени по окончании переходного процесса в системе (т. е. справедливое при больших t):
1
1

e(t) = C0 g (t)+ C1 g (t)+ C2 g(t)+ ... + C g( ) (t)+ ... =
!
2
= e0 (t)+ e1 (t)+ e2 (t)+ ... + e (t)+ ...,
(63)
где каждое слагаемое
e  (t) = С  g( )(t)/ !,  = 0, 1, 2,…
представляет собой составляющую установившейся ошибки системы, обусловленную производной  -го порядка от функции задающего воздействия.
Таким образом, каждый  -й коэффициент ошибки С  определяет коэффициент пропорциональности в формуле для составляющей ошибки по  -й производной входного воздействия. В общем
случае ошибка в САУ при t→∞ может зависеть от времени, в этом
случае об установившейся ошибке eóñò = lim e(t) говорить не
t®¥
приходится; в других случаях слагаемые в (63) преобразуются к
некоторым константам, в сумме образуя значение установившейся ошибки eуст; при некоторых условиях eуст может получиться
равной нулю (например, в астатических САУ в режиме неподвижного состояния).
Использование полученных соотношений наиболее удобно в
случае, когда функция g(t) имеет конечное число m отличных от
нуля производных, т. е. когда g(t) — полиномиальная функция,
например вида
130
g(t) = g0+vgt+agt2/2+…+g(m)tm/m!.
В этом случае бесконечный ряд (63) превращается в полином,
содержащий m+ слагаемых.
Из (63) следует, что при полиномиальном задающем воздействии основная составляющая установившейся ошибки определяется коэффициентом ошибки с наименьшим индексом, т. е. коэффициентом С0, если он отличен от нуля; коэффициентом С1, если С0 = 0; коэффициентом С2, если С0 = 0 и С1 = 0; и т. д.
Нетрудно убедиться, что для статической системы все коэффициенты ошибок отличны от нуля. При этом основную роль играет
коэффициент ошибки С0 = 1/(1+K), так как при полиномиальном
задающем воздействии g(t) этот коэффициент определяет наиболее быстро нарастающую во времени составляющую в выражении e(t). Для системы с астатизмом 1-го порядка С0 = 0, и основную роль играет коэффициент ошибки С1 = 1/K. Для системы с
астатизмом 2-го порядка равны нулю первые два коэффициента
ошибок С0 = 0 и С1 = 0 и основным коэффициентом ошибки является коэффициент С2 = 2/K. Вообще для астатической системы с
астатизмом r-го порядка неизбежно обращаются в нуль первые r
коэффициентов ошибок (т. е. С0 = С1 = … = Сr–1 = 0), а первым отличным от нуля является r-й коэффициент ошибки.
Таким образом, зная коэффициенты ошибок исследуемой системы, можно в соответствии с (63) оценить установившуюся
ошибку системы при известном задающем воздействии g(t), и не
обязательно полиномиальном. В частности, для полиномиального задающего воздействия поведение ошибки при больших t приближенно может быть определено
как e(t) = g(t)/(1+K) — для ста.
тической системы, e(t) = g (t)/K — для системы с астатизмом 1-го
порядка, e(t) = g(t) K — для системы с астатизмом 2-го порядка,
..., e(t) = g(r)(t)/K — для системы с астатизмом r-го порядка.
Заметим, что аналитический расчет коэффициентов ошибок
САУ путем дифференцирования ПФ Фe(p) — процедура довольно трудоемкая, поэтому ее лучше выполнять на ЭВМ. Если же
ПФ Фe(p) представлена, как это чаще всего и бывает, в дробнорациональной форме (отношение полиномов переменной р), то коэффициенты ошибок удобнее находить делением числителя ПФ
для ошибки на ее знаменатель с последующим сравнением полученного ряда с рядом (60) и приравниванием коэффициентов при
одинаковых степенях переменной p.
Подчеркнем, что любые теоретические расчеты ошибок определяют лишь потенциально возможные точностные характери131
стики рассматриваемой САУ. В реальности во всех режимах и в
статических, и в астатических САУ всегда имеются дополнительные “аппаратурные” составляющие ошибки, обусловленные неточностью измерительных элементов и датчиков, нелинейностями механических устройств типа зоны нечувствительности,
люфта и т. д. И даже если теоретический анализ показывает, что
ошибка в какой-либо САУ будет равна нулю, реально ошибка окажется ненулевой вследствие неизбежных отличий характеристик
элементов автоматики от их модельных эквивалентов. При проектировании и эксплуатации автоматических систем никогда
нельзя об этом забывать.
132
7. Анализ стационарного режима работы
линейных автоматических систем
при случайных входных воздействиях
В большинстве случаев входные воздействия автоматических
систем не могут быть описаны детерминированными функциями,
поскольку являются случайными. В первую очередь это касается следящих систем. Математический аппарат исследования прохождения подобных сигналов через звенья и САУ основывается на
теории вероятностей и теории случайных процессов (функций).
7.1. Общие сведения о случайных процессах и
их характеристиках
Случайной функцией x(t) называют семейство случайных величин, зависящих от аргумента t. Если аргумент интерпретируется как время, то вместо термина “случайная функция” употребляется термин “случайный процесс” (СП). При любом фиксированном t = t0 значение x0 = x(t0) является случайной величиной.
По мере протекания СП образующееся множество его значений
составляет так называемую траекторию случайного процесса
(чаще используется эквивалентный термин “реализация случайного процесса”).
Описание случайных процессов в общем виде требует привлечения весьма сложного аппарата теории вероятностей. В большинстве случаев можно ограничиться довольно широким классом СП, которые являются стационарными, эргодическими (характеристики таких процессов могут быть получены по однойединственной реализации процесса, имеющейся в распоряжении
исследователя) и имеют нормальный закон распределения мгновенных значений. Такие процессы полностью описываются следующими характеристиками:
– среднее значение
1
T ®¥ T
Mx = lim
T /2
ò
x (t)dt;
-T /2
 
– корреляционная функция (КФ)
1
Rx (τ ) = lim
T ®¥ T - τ
T /2
ò (x(t)- Mx )(x(t - τ)- Mx )dt. (64)
-T /2
133
Для стационарных процессов Mх представляет собой некоторое число, а Rx(t) является детерминированной функцией параметра временного сдвига t. В дальнейшем будут рассматриваться
только те случайные процессы, у которых Mх = 0, такие СП называют центрированными.
Через КФ могут быть выражены другие важные характеристики СП:
– дисперсия
1
T ®¥ T
T /2
ò
Dx = lim
x2 (t)dt = Rx (0);
-T /2
– функция спектральной плотности мощности (СПМ):
¥
Sx (ω ) =
ò
Rx (τ )e-jωτ dτ.
(65)
-¥
По заданной Sх(w) всегда можно рассчитать корреляционную
функцию случайного процесса*
Rx (τ ) =
1
2π
¥
Sx (ω )e jωτ dω
-¥
и его дисперсию
Dx =
ò
1
2π
(66)
¥
ò
-¥
Sx (ω )dω.
(67)
Отметим, что функция СПМ имеет размерность [ед.2⋅с], а
КФ — [ед.2] (где “ед.” соответствует единицам измерения входных воздействий на САУ). Нелишне также запомнить, что функции Rx(t) и Sx(w) для любого вещественного СП являются вещественными и четными, т. е.
Rx(t) = Rx(–t) (68)
и
Sx(w) = Sx(–w).
(69)
Кроме того, эти функции обладают следующими свойствами:
|Rx(t)| < Rx(0) при любом t≠0 (70)
и
* Соотношения (65) и (66) известны как преобразования Винера–Хинчина.
134
0≤Sx(w) < ∞ при –∞ < w < ∞. (71)
Соответственно если для функции не выполняется хотя бы одно из условий (68) или (70), то такая функция не может считаться
КФ ни для какого СП. Аналогично, если для функции не выполняется хотя бы одно из условий (69) или (71), то такая функция
не может считаться функцией СПМ ни для какого СП. Это важно
помнить при задании соответствующих характеристик и оперировании ими.
Характеристики СП Dx, Rx(t) и Sx(w) имеют наглядную физическую интерпретацию:
– дисперсия Dx определяет мощность СП; для СП с нормальным распределением известно правило «трех сигм» (3σ): значение СП в любой момент времени с вероятностью 0,997 попадает
в интервал –3σx < x(t0) < 3σx (где σ x = Dx — среднеквадратическое значение СП); при необходимости дисперсию в первом
приближении можно оценить по максимальным наблюдаемым
выбросам траектории СП xmax: σx = |xmax|/3 и, соответственно,
Dx = x2max/9;
– функция СПМ Sx(w) отражает частотный состав СП, показывая, какой относительный вклад в формирование траектории СП
вносят гармонические компоненты с различными частотами;
– корреляционная функция Rx(t), будучи связанной с Sx(w),
также отражает частотные свойства СП, но во временной области: чем быстрее с ростом t спадает к нулю функция Rx(t), тем
менее связаны между собой соседние значения траектории СП и
тем более “хаотичным” (а значит, и более широкополосным) будет
случайный процесс.
7.2. Типовые случайные процессы
Рассмотрим спектральные и корреляционные характеристики
некоторых типовых СП.
Процесс типа “белый шум”. Под белым шумом понимают
случайный процесс, имеющий одинаковое значение спектральной плотности на всех частотах, т. е.
Sx(w) = S0 = const при –∞ < w < ∞. (72)
Корреляционная функция белого шума имеет вид
Rx (τ ) =
1
2π
¥
ò
S0 e jωτ dω = S0 δ (τ ).
-¥
135
Процесс, имеющий такую КФ, является наиболее “хаотичным” из всех СП, так как при любом t≠0 отсутствует связь между
последующими и предыдущими значениями СП. Строго говоря,
процесс с подобного рода характеристиками является физически
нереализуемым, так как ему соответствует бесконечно большая
дисперсия Dx = Rx(0)→∞.
Чтобы получить модель физически реального процесса типа
“белый шум”, вводят понятие белого шума с ограниченной полосой:
ïìS0 ïðè - ω ï £ ω £ ω ï
Sx (ω ) = ïí
,
ïïî0 ïðè ω > ω ï
где wп — заданная константа, определяющая полосу частот для
спектра шума.
Корреляционная функция полосно-ограниченного белого шума имеет вид
1
Rx (τ ) =
2π
ωï
ò
-ω ï
S0 e
jωτ
ωï
sin (ω ï τ )
1
dω = ò S0 cos(ωτ )dω = S0
.
π
πτ
0
Дисперсия этого процесса конечна:
1
Dx =
2π
ωï
ò
S0 dω = S0
-ω ï
ωï
.
π
Экспоненциально-коррелированный случайный процесс. Такой процесс, по определению, имеет КФ вида
-α τ
Rx (τ ) = Dx e
,
где Dx — дисперсия СП; α > 0 — константа, с–1, характеризующая скорость убывания КФ при увеличении t и, следовательно,
определяющая ширину полосы частот процесса.
Корреляционной функции экспоненциального вида соответствует функция спектральной плотности мощности вида
¥
Sx (ω ) =
0
=
136
ò
-¥
ò
-α τ -jωτ
Dx e
-¥
¥
e
dτ =
Dx eατ e-jωτ dτ + ò Dx e-ατ e-jωτ dτ =
0
2Dx α
α 2 + ω2
.
(73)
Из (73) видно, что меньшему значению параметра α соответствует процесс с более низкочастотным спектром, во временной
области такой процесс будет более “гладким”. При большем значении α процесс становится все более широкополосным, его траектория приобретает более хаотичную структуру, приближаясь к
белому шуму.
Процесс типа “нерегулярная качка”. При построении систем
слежения за перемещениями подвижного объекта, находящегося под воздействием волнения (при движении в водной среде) или
турбулентности атмосферы (при движении в воздушной среде),
следует учитывать, что его движения, вызванные этими воздействиями, на коротких интервалах времени в первом приближении описываются гармонической функцией вида x(t) = Asin(βt+ψ)
с известными амплитудой А и угловой частотой β, соответствующей собственной частоте колебаний объекта, и неизвестной начальной фазой ψ, лежащей в интервале от 0 до 2π. Для движения
такого типа КФ имеет вид Rx(t) = Dxcos(βt), где Dx = 0,5A2 — дисперсия рассматриваемой координаты (например, угла наклона).
На самом деле движение обычно отличается от гармонического — колебания объекта не имеют строго регулярной структуры в силу изменяющихся условий. Связь между предыдущими и
последующими значениями изменяющейся координаты объекта
в общем случае определяется КФ экспоненциально-косинусного
вида
-α τ
Rx (τ ) = Dx e
cos(βτ ),
где β — преобладающая частота (близкая к собственной частоте
колебаний объекта); α — параметр затухания (положительная
константа).
Для такой КФ функция СПМ имеет вид
(
)
æ
ö÷
aDx 1 + bω2
ç
1
1
÷÷ =
, (74)
Sx (ω ) = αDx çç
+
2
2÷
2
çç 2
α2 + (β + ω ) ø÷÷ 1 + a(jω )+ b(jω )2
è α + (β - ω )
где a = 2α/(α2+β2); b = 1/(α2+β2).
Из (74) видно, что при α << β функция Sx(w) имеет выраженный максимум на частоте wβ = β. Эта модель часто применяется
для моделирования узкополосных случайных воздействий любой природы.
137
7.3. Прохождение случайных процессов
через линейные динамические системы
Как уже было ранее выяснено, любое линейное звено или автоматическая система полностью описывается ПФ W(p) и связанной с ней импульсной характеристикой w(t). Известно, что между спектральной плотностью процесса Sy(w) на выходе линейного
звена с частотной ПФ W(jw) и входной спектральной плотностью
Sx(w) имеется зависимость
Sy(w) = |W(jw)|2 Sx(w). (75)
Для нахождения дисперсии выходного СП Dy можно воспользоваться формулой (67):
Dy =
1
2π
¥
ò
Sy (ω )dω =
-¥
1
2π
¥
ò
2
W (jω ) Sx (ω )dω .
-¥
В частном случае, когда физические размерности входной и
выходной величин одинаковы, а входной процесс представляет
собой белый шум, дисперсия выходного процесса выражается
следующим образом:
Dy =
1
2π
¥
ò
2
S0 W (jω ) dω = S0 ∆fýô ,
-¥
где величина
1
∆fýô =
2π
¥
ò
2
W (jω ) dω
(76)
-¥
называется эффективной полосой пропускания устройства.
При прохождении через линейные звенья и цепи изменяются
законы распределения СП. Исключение составляет нормальный
процесс, который на выходе любой линейной цепи сохраняет свое
распределение, а изменяется лишь его КФ или, что эквивалентно, функция СПМ. Рассмотрим примеры прохождения СП через
типовые динамические звенья автоматики.
Прохождение через идеальное дифференцирующее звено.
При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство с ПФ W(p) = p функция СПМ выходного СП
(т. е. производной от входного СП) может быть получена умножением функции СПМ входного СП на w2:
Sy(w) = w2 Sx(w).
138
Анализируя полученную формулу, нетрудно заметить, что при
дифференцировании некоторых СП дисперсия выходного процесса формально может устремиться к бесконечности, поскольку интеграл вида (67), сходившийся при подстановке в него Sx(w), может и не сойтись при подстановке Sy(w), если степень числителя
в дробно-рациональной записи функции Sy(w) окажется равной
или выше степени знаменателя. Случайные процессы, для которых Sy(w) и Sx(w) обладают такой особенностью, называются недифференцируемыми. Таковы все рассмотренные выше модели
СП. Поэтому, в частности, модель (74) позволяет описать поведение лишь какой-то одной координаты объекта, например угла
наклона, а дисперсия угловой скорости при этом окажется бесконечной, что, разумеется, противоречит реальному положению
дел. Подобные проблемы не только затрудняют расчеты, но могут вызывать труднообъяснимые парадоксы при попытках физической интерпретации полученных результатов. Поэтому если из
структурной схемы САУ следует, что входное воздействие, заданное в форме СП, подвергается чистому дифференцированию, то
во избежание получения результатов, неадекватных реальности,
необходимо использовать для описания таких воздействий более
сложные модели, в которых степень полинома в знаменателе формулы для СПМ процесса более значительно (на 4, на 6, на 8 и т. д.
единиц) превышала бы степень полинома в числителе.
Прохождение через идеальное интегрирующее звено. При
поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее
звено с ПФ W(p) = 1/p спектральная плотность выходного процесса (интеграла от входного СП) может быть получена делением
функции СПМ входного процесса на w2:
Sy(w) = Sx(w)/w2.
При анализе характеристик проинтегрированного СП тоже
могут возникнуть проблемы, связанные с расходимостью интеграла (67), поскольку при w = 0 подынтегральная функция может иметь разрыв. Это приводит к тем же противоречиям, что и
при расчетах характеристик производных недифференцируемых
процессов. Указанную проблему можно устранить, используя такую модель СП, у которой в числителе функции Sx(w) есть свободный сомножитель вида w2 (а еще лучше, если w4 или w6 и т. д.).
Вышеозначенные проблемы заставляют в особо ответственных случаях применять более сложные модели СП, чем рассмотренные выше. В конечном счете, решение об использовании той
139
или иной модели СП чаще всего принимается на основании обработки экспериментально полученных реализаций процессов.
При этом существует достаточно много вариантов “хорошей” аналитической аппроксимации экспериментально оцененной функции СПМ. В частности, процесс с СПМ
Sx (ω ) = Dx
16α 3ω2
3
(α2 + ω2 )
,
(77)
где Dx — дисперсия СП и α > 0 — некоторая константа [нормирующий множитель, равный 16, необходим для того, чтобы при
подстановке функции (77) в (67) результат был бы в точности равен значению Dx], будет и дифференцируемым (правда, не более
одного раза), и интегрируемым (тоже не более одного раза).
Прохождение белого шума через апериодическое звено 1-го
k
, и из общей
порядка. В этом случае Sx(w) = S0 и W (jω ) =
1 + jωT
формулы (75) следует
Sy (ω ) =
S0 k2
1 + jωT
2
=
S0 k2
2 2
1+ ω T
=
2Dy α
α 2 + ω2
,
где α = T–1. То есть, сравнивая результат с (73), нетрудно сделать вывод, что на выходе устройства в этом случае будет
экспоненциально-коррелированный случайный процесс с дисперсией Dy = S0k2/2T.
Рассуждая по аналогии, нетрудно понять, что процесс с СПМ
вида (77) может быть получен из белого шума, если его пропустить через последовательно соединенные типовые динамические звенья: два одинаковых апериодических звена 1-го порядка
и одно инерционное дифференцирующее (с постоянной времени
в знаменателе, равной постоянной времени апериодического звена). Подобный подход часто применяется при математическом и
физическом моделировании случайных воздействий, поскольку
позволяет формировать траектории СП с дробно-рациональными
СПМ практически любой сложности. При этом устройство, ПФ
которого выбрана таким образом, чтобы при подаче на его вход
белого шума на выходе получился СП с заданным спектром, называется формирующим фильтром.
Прохождение случайных процессов через замкнутые автоматические системы. Здесь и везде далее будем считать, что помеха,
140
действующая на систему, является аддитивной (т. е. траектория помехи прибавляется к некоторой координате САУ) и не зависимой от
источника задающего воздействия. На структурных схемах САУ
аддитивная помеха вводится в систему через сумматор.
Рассмотрим САУ с обратной связью (см. рис. 18). Спектральные плотности задающего воздействия g(t) и помехи f(t) считаем
заданными: Sg(w) и Sf(w) соответственно. Ошибка в САУ, работающей в условиях случайных воздействий, также будет изменяться
по случайному закону. По окончании переходного процесса в системе (в стационарном режиме) ошибка будет характеризоваться
своей функцией СПМ Se(w). Для нахождения Se(w) воспользуемся
общей формулой (75), учитывая свойство линейности САУ и предполагая, что СП g(t) и f(t) взаимно независимы. Подставляя для
каждой из составляющей ошибки свою ПФ, нетрудно записать
Se(w) = Sg(w)|Фe(jw)|2+Sf(w)|Фef(jw)|2, (78)
а с учетом данных, приведенных в табл. 10, общее выражение (78)
преобразуется:
2
Se (ω ) = Sg (ω )
2
W2 (jω )
1
+ Sf (ω )
,
1 + W (jω )
1 + W (jω )
(79)
где W(jw) = W1(jw)W2(jw).
Если возмущающее воздействие f(t) действует непосредственно на входе системы (см. рис. 43), то (79) переходит в формулу
2
2
W (jω )
1
+ Sf (ω )
,
Se (ω ) = Sg (ω )
1 + W (jω )
1 + W (jω )
а если возмущающее воздействие отсутствует, то в формулу
Se (ω ) =
Sg (ω )
1 + W (jω )
2
,
(80)
и, наконец, если представляет интерес ошибка, возникающая в
системе, находящейся под воздействием одного лишь возмущающего воздействия, то расчетная формула становится, очевидно,
такой:
Se (ω ) = Sf (ω )
W (jω )
1 + W (jω )
2
.
(81)
141
7.4. Расчет ошибки системы в стационарном режиме
Дисперсия ошибки в САУ согласно (67) может быть рассчитана
по формуле
De =
1
2π
¥
ò
Se (ω )dω .
(82)
-¥
Расчетные формулы. В случае, когда ПФ разомкнутого контура САУ представляется отношением двух полиномов, как, например, (49) или (50), а также если в качестве функций СПМ задающего и возмущающего воздействий выбраны соотношения
для типовых СП (73), (74) или (77), подынтегральное выражение в
(82) также представляется в дробно-рациональной форме. В этом
случае основой для проведения расчетов служит следующее соотношение:
1
2π
¥
ò
-¥
2(n-1)
b1 (jω )
n
2(n-2)
+ b2 (jω )
n-1
a0 (jω ) + a1 (jω )
2
+  + bn-1 (jω ) + bn
+  + an-1 (jω )+ an
2
dω =
(-1)n+1 Nn
2a0 Mn
, (83)
где Mn — определитель матрицы, построенной по коэффициентам многочлена в знаменателе подынтегральной функции (83)*:
a1
a3
a5 
a0
0
Mn =

0
0
a2
a1

0
0
a4
a3

0
0
0
0

0



 an-1
 an-2
0
0
0
,

0
an
(84)
а Nn — определитель матрицы, получаемой из (84) заменой верхней строки коэффициентами, стоящими в числителе подынтегральной функции (83):
* Определитель (84) вычисляется от матрицы, которая по структуре является
матрицей Гурвица, но нужно понимать, что здесь входящие в нее коэффициенты ai не тождественны коэффициентам полинома в знаменателе ПФ замкнутой
системы, а определяются подынтегральным выражением в (84). Заметим также,
что коэффициенты bi здесь также определяются лишь видом выражения в (83) и
в общем случае не тождественны коэффициентам полинома в числителе ПФ.
142
b1
b2
b3  bn-1
a0
0
Nn =

0
0
a2
a1

0
0
a4
a3

0
0

0

0


 an-1
 an-2
bn
0
0
.

0
an
(85)
Во избежание получения неверных результатов нужно иметь
в виду, что формула (83) справедлива, только если положительны все главные миноры матрицы Гурвица (84). Правильность
аналитических выкладок не в последнюю очередь определяется
и тщательностью приведения исходных данных к формату подынтегральной функции в (83). Для самопроверки нужно запомнить, что при любых параметрах подынтегральной функции конечный результат должен быть положительным, если это не так,
то нужно либо искать ошибку в выкладках, либо проверить условия применимости формулы.
Расчет ошибки для экспоненциально-коррелированного задающего воздействия при отсутствии возмущения. Для того
чтобы научиться типовым приемам, необходимым для практического использования приведенных расчетных формул, и сделать
некоторые обобщающие выводы, касающиеся точности САУ при
воздействии на нее СП, рассмотрим пример расчета дисперсии
ошибки в САУ с ПФ разомкнутого контура вида
K
W ( p) =
.
p(1 + Tp)
Отметим, что рассматриваемая САУ устойчива при любых
значениях K и Т, в противном случае проведение расчетов просто
теряет смысл.
Пусть функция СПМ задающего воздействия имеет вид, аналогичный (73):
Sg (ω ) =
2Dg α g
α2g + ω2
.
Подставляя исходные данные в (80), нетрудно получить (чтобы излишне не загромождать промежуточные выкладки, примем
обозначения α = αg и D = Dg)
143
Se (ω ) =
2Dα
K
α 2 + ω2 1 +
jω (1 + jωT )
(
)
2
=
2Dα jω (1 + jωT )
2
(α2 + ω2) jω(1 + jωT )+ K 2
.
Это выражение пока еще не пригодно для использования в
(83). Преобразуем его необходимым образом, используя правила
работы с функциями комплексной переменой (уместно, в частности, вспомнить, что |j|2 = 1 и j2 = –1):
Se (ω ) =
2
2Dα jω 1 + jωT
(
)
α2 + ω2 T (jω ) + jω + K
(
2
=
(
2
−2Dα (jω ) 1 + (ωT )
2
2
)
α + jω T (jω ) + jω + K
2
=
4
2
)=
2DαT2 (jω ) − 2Dα (jω )
.
2
2
3
2
2
+
+
+
+
+
ω
α
ω
α
ω
α
T
j
T
j
K
j
K
1
( ) (
)( ) (
)
(α + jω )(T (jω ) + jω + K)
2
=
2
2
2
2
−2Dα (jω ) 1 − T2 (jω )
Сравнивая полученное выражение с подынтегральной функцией в (83), легко увидеть, что здесь n = 3, a0 = T, a1 = Tα+1,
a2 = K+α, a3 = αK; b1 = 2DαT2, b2 = –2Dα, b3 = 0. Тогда
a1
M3 = a0
0
0
Tα + 1
αK
0 = T
K+α
0
a3
Tα + 1
a3
a2
a1
(
0
0 =
αK
)
= ((Tα + 1)(K + α )− αKT)αK = Tα2 + K + α αK;
b1
N3 = a0
0
b2
a2
a1
b3
2Dg αT 2 −2Dg α
0 =
T
K+α
a3
0
Tα + 1
(
0
0 =
αK
)
= 2DαT2 (K + α )+ 2DTα αK
и
De =
144
(−1)4 N3
2a0 M3
2DαT2 (K + α )+ 2DTα)αK
(
=
.
2TαK (Tα2 + K + α )
После упрощения полученного выражения окончательный результат имеет вид
De = Dg
Tα2g + α g KT + α g
Tα2g + K + α g
.
(86)
Анализ формулы (86) показывает, что в рассматриваемом случае при αg→0 ошибка в системе стремится к нулю, а при αg→∞
получается De→Dg. Это значит, что при слежении за относительно медленно изменяющимся воздействием САУ допускает малую
ошибку, а если случайный процесс будет более высокочастотным,
то ошибка возрастает вследствие инерционности элементов автоматики, входящих в САУ.
Расчет ошибки для экспоненциально-коррелированного
возмущаю­щего воздействия при отсутствии задающего воздействия. Пусть функция СПМ возмущающего воздействия имеет вид
Sf (ω ) =
2Df α f
α2f + ω2
.
Используя (81), нетрудно получить (примем для краткости и
здесь α = αf и D = Df)
Se (ω ) =
K
2Dα
jω (1 + jωT )
(α
2
+ω
)
2
2
K
1+
jω (1 + jωT )
2
=
2DαK2
(α2 + ω2) jω(1 + jωT )+ K 2
.
Выполняя необходимые преобразования, получим
Se (ω ) =
2DαK2
3
2
T (jω ) + (Tα + 1)(jω ) + (K + α )jω + αK
2
.
Соответственно здесь n = 3, a0 = T, a1 = Tα+1, a2 = K+α, a3 = αK;
b1 = 0, b2 = 0, b3 = 2DαK2. Тогда
(
)
M3 = Tα2 + K + α αK;
b1
N3 = a0
0
b2
a2
a1
b3
0
0 =T
a3
0
0
K+α
Tα + 1
2DαK2
0
= 2DαK2T (Tα + 1)
αK
145
и
De =
(-1)4 N3
2a0 M3
=
2DαK2T (Tα + 1)
(
2TαK Tα2 + K + α
.
)
После упрощения полученного выражения окончательный результат имеет вид
De = Df
(Tα f + 1)K
Tα2f + K + α f
.
(87)
Анализ формулы (87) показывает, что в рассматриваемом случае при αf →0 будет De→Df, а при αf →∞ ошибка в системе стремится к нулю. Это значит, что когда возмущающее воздействие изменяется относительно медленно, САУ допускает значительную
ошибку, поскольку успевает совершить нежелательные движения. Если же помеховый процесс f(t) будет более высокочастотным, то ошибка уменьшается, поскольку САУ не успевает совершать ненужных движений вследствие инерционности входящих
в нее элементов автоматики.
Нетрудно видеть, что выводы, которые были сделаны по (86)
и (87), являются прямо противоположными. Поэтому, чем больше выражены различия в частотном составе задающего воздействия и помехи, тем меньше может быть сделана результирующая ошибка в автоматической системе.
При одновременном воздействии на линейную САУ задающего
и возмущающего воздействий, формируемых независимыми друг
от друга источниками, ошибка будет представлять собой СП,
имеющий две взаимно независимые составляющие: первая обусловлена тем, что САУ не успевает совершать те движения, которые ей предписывает задающее воз­действие, а вторая обусловлена воздействием помехи (eg(t) и ef(t) соответственно):
e(t) = eg(t)+ef(t).
В случае, когда СП eg(t) и ef(t) независимы (на практике обычно дело обстоит именно так), дисперсия результирующего СП e(t)
может быть найдена по формуле
De = Deg+Def. (88)
Таким образом, при одновременном воздействии на рассматриваемую систему взаимно независимых экспоненциально146
коррелированных задающего и возмущающего воздействий, с
учетом (86)–(88) можно записать
De = Dg
Tα2g + α g KT + α g
Tα2g
+ K + αg
+ Df
(Tα f + 1)K
Tα2f + K + α f
. (89)
При одновременном воздействии на линейную САУ задающего
воздействия, описываемого детерминированной функцией, и возмущающего воздействия в виде СП, по окончании переходного
процесса в САУ ошибка будет иметь две составляющие
e(t) = eуст+ef(t),
где eуст — величина не случайная.
В этом случае для оценки величины ошибки используется
критерий среднего квадрата ошибки
1
T ®¥ T
e2 = lim
2
= eóñò
1
+ lim
T ®¥ T
T /2
ò
-T /2
T /2
ò
e2 (t)dt =
-T /2
1
2eóñò ef (t)dt + lim
T ®¥ T
T /2
ò
ef2 (t)dt,
-T /2
где среднее слагаемое равно нулю в силу предположения центрированности СП, воздействующих на САУ, поэтому
2
e2 = eóñò
+ Def .
(90)
Таким образом, при одновременном воздействии на рассматриваемую систему задающего воздействия в виде g(t) = vgt и
экспоненциально-коррелированного возмущающего воздействия,
с учетом того, что в САУ с астатизмом 1-го порядка eуст = vg/K, используя (87) и (90), можно записать
æ vg ö2
(Tα f + 1)K
e2 = çç ÷÷÷ + Df
.
çè K ÷ø
Tα2f + K + α f
(91)
Оптимизация систем автоматического управления по
критерию минимума дисперсии ошибки. Из выражения (91),
помимо всего прочего, видно, что на значение ошибки существенное влияние оказывает выбор значения коэффициента передачи
разомкнутого контура САУ: действительно, при малых значени147
ях K увеличивается составляющая ошибки от задающего воздействия, а составляющая от возмущающего воздействия уменьшается. При чрезмерном увеличении K, наоборот, составляющая
ошибки от задающего воздействия может быть очень малой, зато
увеличивается вклад помеховой составляющей.
Выражения (89) или (91), или аналогичные, полученные для
других условий работы САУ, в принципе могут быть использованы для проведения оптимизации по критерию минимума ошибки
в стационарных режимах. В первую очередь это касается нахождения такого значения коэффициента K, при котором выбранный
критерий будет иметь минимальное значение. Решить задачу
можно, либо построив график зависимости De (или e2 ) от K, либо
¶De
¶ (e2 )
= 0 или
=0.
¶K
¶K
Проиллюстрируем это. Поскольку аналитические выкладки в общем виде получатся громоздкими и не слишком наглядными, перейдем к численному примеру. Пусть рассматриваемая
САУ является электромеханической следящей системой и значение постоянной времени двигателя T = 1 c. Пусть задающее воздействие g(t) = vgt характеризуется параметром vg = 10 град /с, а
экспоненциально-коррелированное возмущающее воздействие
аналитически, найдя K из уравнения
F
ãðàä2
10
1
K, c–1
1
10
100
1000
Рис. 44. График зависимости величины среднего квадрата ошибки от
значения добротности автоматической системы
148
имеет параметры αf = 100 с–1 и Df = 1 град2. Требуется найти значение добротности, при котором дисперсия ошибки будет минимальной. Подставляя числа в (91), получим
æ10 ö2
æ10 ö÷2
(100 ×1 + 1)K
101× K
e2 = çç ÷÷÷ +
.
=
ççç ÷÷ +
2
çè K ø
è
ø
K
K
+ 10100
1×100 + K + 100
(92)
График функции (92) показан на рис. 44. Видно, что оптимальное значение добротности САУ для рассматриваемых условий работы составляет K ≈ 28 с–1. При таком K получим, что
eуст = vg/K = 0,35 град и Def≈0,28 град2 (σef ≈ 0,52 град). Таким
образом, ошибка в системе по окончании переходного процесса будет представлять собой случайный процесс e(t) с ненулевым средним значением Me = 0,35 град (которое обусловлено составляющей ошибки от задающего воздействия Me = eуст) и среднеквадратическим отклонением σef ≈ 0,52 град. На основании
правила “3σ” можно утверждать, что максимальное значение
ошибки в данной САУ при рассматриваемых условиях составит
0,35 + 3⋅0,52≈2 град.
149
8. Методы повышения точности
автоматических систем
В теории автоматического управления при рассмотрении вопросов повышения точности автоматических систем в первую
очередь имеют в виду повышение точности в установившихся режимах. Наиболее широкое применение нашли следующие методы повышения точности:
– увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура
системы;
– масштабирование (для статических САУ);
– повышение порядка астатизма системы.
Безусловно, с практической точки зрения дополнительным
важнейшим средством повышения точности автоматической системы является повышение реальной точности ее измерительных
элементов.
Для уменьшения ошибок от возмущающего воздействия (помехи) используют методы понижения ЛАХ разомкнутого контура
системы в области частоты сигнала помехи wf. С этой целью или
уменьшают добротность системы, что приводит к общему снижению ЛАХ и сопровождается увеличением ошибки от задающего
воздействия, или же вводят в систему звенья, понижающие ЛАХ
лишь в области частоты помехи. Достоинство первого метода —
простота реализации, недостатки — ухудшение точности по задающему воздействию и снижение быстродействия (вследствие
уменьшения частоты среза). Достоинство второго метода — возможность повысить точность без существенного снижения быстродействия, недостаток — большая чувствительность к частотному составу помехи.
В разд. 6 было показано, что для уменьшения установившейся ошибки САУ при детерминированных воздействиях общий
коэффициент передачи разомкнутого контура системы необходимо увеличивать. Однако увеличение этого коэффициента K,
как было проиллюстрировано примерами в разд. 5, может привести к неустойчивости системы. Поэтому при больших значениях коэффициента передачи разомкнутого контура системы в нее
нужно вводить специальные корректирующие устройства, повышающие запас устойчивости (см. разд. 10). Кроме того, при работе САУ в условиях помех повышение K часто приводит к увеличению помеховой составляющей ошибки, и обычно существует
некоторое оптимальное значение K, при котором ошибка минимальна (см. рис. 44).
150
8.1. Масштабирование
Согласно (54), в статической САУ при постоянном значении задающего воздействия (режим неподвижного состояния) и отсутствии возмущающих воздействий установившаяся ошибка равна
1
eóñò =
g0 .
K +1
Соответственно установившееся значение выходной величины
оказывается равным
K
yóñò =
g0 .
K +1
Для ликвидации постоянной ошибки от задающего воздействия можно использовать САУ с неединичной главной обратной
связью (рис. 45, а).
Используя формулы для выражения ПФ системы, когда одно
звено охвачено обратной связью посредством другого звена, нетрудно показать, что коэффициент передачи обратной связи (ОС)
kОС для ликвидации статической ошибки в статической системе
должен равняться
K -1
kÎÑ =
.
K
Аналогичный результат может быть достигнут масштабированием либо задающего воздействия, либо управляемой величины
(рис. 45, б) при выборе
K +1
km =
.
K
б)
а)
g(t)
e(t)
W(p)
y(t)
g(t)
km
e(t)
W(p)
km
y(t)
k ÎÑ
Рис. 45. Методы повышения точности статических систем:
введение неединичной обратной связи (а) и масштабирующих
устройств (б)
151
Несмотря на отсутствие статической ошибки в САУ после проведения масштабирования, САУ обладает всеми остальными
свойствами статической системы, в частности, при ее работе в режиме движения с постоянной скоростью ошибка в ней будет возрастать, в отличие от систем астатических.
В системах автоматической стабилизации необходимый коэффициент передачи масштабирующих устройств устанавливается
при первоначальной настройке. Так, при настройке системы автоматической стабилизации скорости вращения электродвигателя (см. рис. 40 и 41) задатчик напряжения настройки Uн сразу же
градуируют так, чтобы скорость вращения электродвигателя Ω,
контролируемая на этапе настройки высокоточным измерителем
скорости вращения, равнялась заданной величине.
8.2. Повышение порядка астатизма
В разд. 6 было показано, что в режиме неподвижного состояния в статической системе ошибка не равна нулю. В системе с
астатизмом 1-го порядка ошибка равна нулю в режиме неподвижного состояния и не равна нулю в режиме движения с постоянной скоростью. Легко проверить, что в системе с астатизмом 2-го
порядка [когда в (49) r = 2] ошибка в режиме движения с постоянной скоростью равна нулю, но она окажется не равной нулю в
режиме движения с постоянным ускорением (при g(t) = agt2/2), и
т. д. Из этих примеров видно, что повышение порядка астатизма
при прочих равных условиях увеличивает точность автоматической системы в установившемся режиме.
Повышение порядка астатизма достигается введением в
исходную систему дополнительного интегрирующего звена
(рис. 46, а). К сожалению, введение в систему дополнительного
интегрирующего звена уменьшает запас устойчивости системы.
Проиллюстрируем это, используя АФХ САУ. Пусть до введения в
систему интегрирующего звена ее частотная ПФ в разомкнутом
состоянии равнялась Wa(jw). Соответствующая ей АФХ показана
на рис. 47 пунктиром. После введения в систему интегрирующего звена частотная передаточная функция разомкнутого контура
системы преобразуется к виду
π
k
k -j
Wb (jω ) = è Wa (jω ) = è e 2 Wa (jω ).
ω
jω
152
а)
g(t)
e(t)
LÁ
Q
Wa(p)
y(t)
Èçîäðîìíîå çâåíî
б)
g(t)
e(t)
kï
+
Wa(p)
y(t)
LÁ
Q
Рис. 46. Методы повышения точности САУ:
введение интегрирующего (а) и изодромного (б) звена
Ïðè
Wmd
(–1, j0)
jV
U
0
Ïðè
Wmd
Ïðè
Wm 0
Ïðè
Wm 0
Рис. 47. Изменение АФХ системы при введении в контур управления
интегрирующего звена
Из полученного выражения видно, что введение в контур
управления интегрирующего звена поворачивает исходную АФХ
на 90° по часовой стрелке и деформирует ее. АФХ системы после
введения интегрирующего звена показана на рис. 47 сплошной
линией. Видно, что новая АФХ приближается к критической точке с координатами (–1, j0) — запас устойчивости системы уменьшается.
Лучшие результаты могут быть получены, если ввести в систему дополнительное изодромное звено — оно представляет собой параллельное соединение идеального интегрирующего и безынерционного звеньев (рис. 46, б). Передаточная функция изодромного звена имеет вид
153
Wèç ( p) = kï +
kè kè (1 + τp)
=
,
p
p
kï
.
kè
Изодромное звено вносит в систему фазовый сдвиг
π
Ψ(ω ) = - + arctg (ωτ ), который меньше фазового сдвига, вноси2
мого идеальным интегрирующим звеном. Поэтому изодромное
звено в меньшей степени, чем интегрирующее звено, снижает запас устойчивости замкнутой автоматической системы и вследствие этого чаще используется на практике.
где τ =
8.3. Комбинированное управление
При комбинированном управлении в замкнутых автоматических системах наряду с управлением по ошибке используется
управление и по задающему, и по возмущающему воздействию.
Таким образом, при комбинированном управлении в САУ одновременно используются принципы построения систем, работающих и по замкнутому, и по разомкнутому циклам.
Типовая структура САУ, в которой реализован вышеуказанный принцип, показана на рис. 48. Здесь осуществляется управление по ошибке (посредством обратной связи) и по задающему
воздействию (посредством блока с ПФ ϕ(p)).
Используя правила преобразования структурных схем, можно
записать
Y(p) = (E(p)W1(p) + G(p)ϕ(p))W2(p) = 
= ((G(p) – Y(p))W1(p) + G(p)ϕ(p))W2(p),
J(p)
g(t)
e(t)
W1 (p)
+
W2(p)
y(t)
Рис. 48. Структурная схема САУ с комбинированным управлением
по ошибке и по задающему воздействию
154
откуда нетрудно выразить передаточную функцию замкнутой системы
ϕ ( p) ÷ö W ( p)
Y ( p) æç
Φ ( p) =
= çç1 +
,
÷÷ ×
G ( p) èç
W1 ( p)÷ø 1 + W ( p)
где W(p) = W1(p)W2(p), и передаточную функцию системы по
ошибке
Φ e ( p) = 1 - Φ ( p) =
1 - ϕ ( p)W2 ( p)
.
1 + W ( p)
(93)
Таким образом, здесь при выборе
ϕ ( p) =
1
W2 ( p)
(94)
можно обеспечить Фe(p) = 0, т. е. ошибка в этой системе будет равна нулю при любом задающем воздействии.
Значительно чаще принцип комбинированного управления
реализуется в целях компенсации возмущающих воздействий.
Структурная схема типовой САУ, в которой осуществляется
управление по ошибке (посредством обратной связи) и по возмущающему воздействию (посредством блока с ПФ ϕf(p)), представлена на рис. 49.
Здесь, записывая уравнение (положив G(p) = 0)
Y(p) = F(p)W2(p) – F(p)ϕf(p)W1(p)W2(p) – Y(p)W1(p)W2(p),
можно выразить ПФ замкнутой системы по возмущению:
Φ f ( p) =
Y ( p)
F ( p)
=
W2 ( p)(1 - ϕf ( p)W1 ( p))
.
1 + W ( p)
f(t)
Jf (p)
g(t)
e(t)
W1 (p)
+
W2(p)
y(t)
Рис. 49. Структурная схема САУ с комбинированным управлением
по ошибке и по возмущающему воздействию
155
Таким образом, здесь при выборе
ϕ f ( p) =
1
W1 ( p)
(95)
можно обеспечить Y(p) = 0 при любом возмущающем воздействии.
Если ошибка в системе не зависит от задающего воздействия,
такая САУ называется инвариантной к задающему воздействию,
если ошибка в системе не зависит от возмущающего воздействия,
то такая САУ называется инвариантной к возмущению. Равенство (94) определяет условие полной инвариантности системы к
задающему воздействию, равенство (95) — условие полной инвариантности системы к возмущению. На практике ни то, ни другое условие физически реализовать не удается, поскольку все реальные элементы системы имеют ПФ со степенью полинома числителя, меньшей или равной степени полинома знаменателя. Последнее следует из того, что при w→∞ для реальных устройств
|W1(jw)|→0 и |W2(jw)|→0, соответственно, к устройствам с частотными ПФ ϕ(jw) и ϕf(jw) предъявляется неосуществимое требование, чтобы их выходной отклик неограниченно увеличивался с
ростом частоты.
Поскольку порядок полинома числителя в дробнорациональном представлении функций ϕ(p) и ϕf(p) оказывается
выше порядка полинома в знаменателе, то и ту и другую функцию можно разложить в ряд по вырастающим степеням переменной p:
ϕ ( p) = ϕ0 + τ1 p + τ22 p2 + τ33 p3 +,
откуда видно, что для реализации полной инвариантности необходимо на вход управляющего устройства подавать сигналы, пропорциональные задающему воздействию (и/или возмущающему
воздействию) и всем производным от него. На практике удается получить сигналы, лишь пропорциональные первой и второй
производным, поэтому реализуют не полную, а частичную инвариантность, когда ошибка в системе не зависит лишь для какогото класса задающих воздействий и/или возмущений.
На рис. 50 изображена схема следящей системы, в которой
можно осуществить условие частичной инвариантности по задающему воздействию. На рис. 51 приведена ее структурная схема. Канал прямого управления по задающему воздействию образован тахогенератором ТГ, сигнал которого, пропорциональный
156
+U
R1
*1
71
*2
ÊÎ
Ó
ÒÃ
Ä
ÎÓ
R2
ÈÎ
3
–U
Рис. 50. Схема САУ, в которой реализован принцип частичной
инвариантности с комбинированным управлением по ошибке и по
задающему воздействию
kÒÃ p
g(t)
e(t)
kÈÝ
+
L ÌL ½L É
y(t)
Q + 5Ì Q
+ 5
½ Q
Рис. 51. Структурная схема САУ, изображенной на рис. 50
угловой скорости вращения командной оси, добавляется через
сумматор к напряжению измерительного элемента на потенциометре R1. Передаточная функция тахогенератора в первом приближении соответствует модели идеального дифференцирующего звена ϕ(p) = kТГp. На основании (93) нетрудно показать, что если выбрать kТГ = kИЭ/K (K = kИЭkуkдkр — добротность системы),
то в системе ликвидируется скоростная ошибка (ошибка, обусловленная первой производной задающего воздействия g(t)). Например, при g(t) = Ω1t ошибка в САУ будет равна нулю при любом
значении угловой скорости вращения командной оси Ω1.
Достоинством комбинированного управления является возможность повысить точность работы системы без ухудшения ее
устойчивости. Это объясняется тем, что введение в систему сигналов, зависящих от задающего или возмущающего воздействия,
не изменяет характеристического полинома замкнутого контура
управления системы: знаменатель формулы для ПФ замкнутой
157
системы не зависит от вида ϕ(p) в первом случае и от вида ϕf(p) во
втором.
Заметим, что ликвидировать скоростную ошибку следящей
системы по задающему воздействию можно также, увеличив порядок ее астатизма введением изодромного звена, но это обычно
приводит к уменьшению запаса устойчивости САУ.
Несмотря на неоспоримые достоинства, практическое применение метода комбинированного управления сопряжено со значительными трудностями, связанными с необходимостью получать неискаженные сигналы производных от задающего и возмущающего воздействий, поскольку при дифференцировании даже
слабых высокочастотных компонентов помех, обусловленных неизбежными флуктуациями (шумами), возникают значительные
выбросы, сильно искажающие информативные составляющие
обрабатываемых процессов.
158
9. Анализ линейных автоматических систем
в переходных режимах
Оценивание качества управления в переходном режиме сопряжено с большими трудностями, которые вызваны необходимостью определения корней характеристического уравнения системы. Поэтому
как для определения устойчивости САУ были предложены критерии,
не требующие нахождения корней характеристического уравнения
системы, так и для оценивания ошибки САУ в переходных режимах
были предложены критерии, не требующие вычисления переходной
ошибки. О работе САУ в переходных режимах судят по расположению нулей и полюсов ПФ замкнутой системы, по частотным критериям качества, интегральным оценкам качества и др.
Работу САУ в переходных режимах принято оценивать по переходной характеристике (рис. 52), которая представляет собой
реакцию системы на единичную ступенчатую функцию. По переходной характеристике определяют:
– характер процесса – колебательный или апериодический
(без колебаний);
ym - yóñò
– величину перерегулирования σ% =
×100%;
yóñò
– длительность переходного процесса tп.
Вид переходного процесса может, а иногда даже должен быть,
иным, нежели показанный на рис. 52 вариант. В некоторых случаях перерегулирование представляет собой крайне нежелательное и даже опасное явление, например в системах стабилизации
напряжения электропитания электронной аппаратуры.
Длительность переходного процесса определяет быстродействие САУ и рассчитывается как время от момента подачи скачкообразного воздействия до момента tп, начиная с которого для
всех t≥tп выполняется неравенство
|y(t)–yуст|≤∆yуст,
где ∆yуст — допустимое отклонение выходной координаты САУ от
установившегося значения.
Величина ∆yуст/yуст обычно принимается равной 0,05 или 0,01,
на практике чаще используется значение 0,05. Поэтому, строго
говоря, при оперировании показателем tп должно оговариваться
условие его определения: “по уровню 0,05” или “по уровню 0,01”.
Иногда в оценку качества включают и число колебаний выходной координаты относительно установившегося положения за
время tп.
159
y(t)
2$yóñò
ym
yóñò
t
tï
Рис. 52. Типовой переходной процесс в САУ: ym — максимальное
значение выходной координаты; yуст — установившееся значение
выходной координаты; tп — длительность переходного процесса
Достоинством оценки динамических свойств по переходной
характеристике является наглядность, недостатком — сравнительная трудность аналитических расчетов переходной характеристики и использования ее показателей для решения задач
синтеза САУ, имеющих характеристическое уравнение высокого порядка. Отметим, что в настоящее время использование вычислительных машин позволяет сравнительно быстро построить
переходной процесс даже в системе, движение которой описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка. Эффективным инструментом решения этой и многих других задач
моделирования динамических процессов в САУ служит программа Simulink в составе пакета MATLAB. Однако проблема теоретического анализа САУ в целях проведения ее целенаправленной
коррекции в любом случае не может быть решена одними лишь
средствами вычислительной техники.
9.1. Построение переходных процессов
операционным методом
Для определения переходного процесса в САУ необходимо любым способом решить дифференциальное уравнение или систему
дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.
160
В теории автоматического управления для построения переходного процесса широкое применение нашел операционный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. В этом
случае необходимо найти изображение по Лапласу от интересующей координаты, а после этого найти оригинал (в частности, переходную характеристику), вычислив обратное преобразование Лапласа, для чего удобно использовать какой-нибудь вариант формулы разложения Хевисайда: (2), (3) или (4), точно так же, как
это делалось при определении переходных характеристик типовых звеньев.
y(t)
g(t)
e(t)
,
Рассмотрим в качестве приQ + 5Q
мера структурную схему САУ
(рис. 53). Пусть g(t) = g01(t),
g0 = 5°, K = 10 c–1, T = 0,01 с.
Рис. 53. Структурная схема
Найдем выражение для переСАУ для анализа переходного
ходной характеристики систепроцесса
мы для координаты у(t).
Здесь ПФ разомкнутого контура системы имеет вид
K
W ( p) =
,
p(1 + Tp)
а ПФ замкнутой системы
Φ ( p) =
W ( p)
1 + W ( p)
=
K
2
Tp + p + K
.
Соответственно изображение по Лапласу выходной координаты (с учетом, что входной координате g(t) = g01(t) соответствует
изображение по Лапласу G(p) = g0/p) выражается следующим образом:
Kg0
50
Y ( p) = Φ ( p)G ( p) =
=
.
2
2
Tp + p + K p
0,01 p + p + 10 p
(
) (
)
Для нахождения y(t) по формуле разложения Хевисайда находим корни полинома в знаменателе полученной ПФ. Здесь их три:
p1 = 0, p2 = –11,2 c–1, p3 = –88,8 c–1. Далее, по формуле (3) получаем
Kg0
Kg0
Kg0
y(t) =
+
e p2t +
e p3t =
K
Tp2 ( p2 - p3 )
Tp3 ( p3 - p2 )
161
=5+
+
50
e-11,2t +
0,01 × (-11,2)× (-11,2 - (-88,8))
50
e-88,8t =
0,01 × (-88,8)× (-88,8 - (-11,2))
 = 5⋅(1–1,15⋅e–11,2t+0,15⋅e–88,8t) [град].
Если разобрать этот же пример для Т = 0,1 с, то получим
50
5
Y ( p) =
=
,
2
2
0,1 p + p + 10 p
0,01 p + 0,1 p + 1 p
(
) (
)
и полином в знаменателе будет иметь, помимо p1 = 0, еще пару
комплексно-сопряженных корней: p2 = –5+j8,66 и p3 = –5–j8,66.
Отметим, что рассматриваемая САУ устойчива. С математической точки зрения задача вычисления y(t) в данном случае тождественна решенной ранее задаче вычисления переходной характеристики колебательного звена (7). Таким образом, остается повторить выкладки, которые были тогда проделаны, используя здесь
численные значения: γ = 5, λ = 8,66 и ζ = 0,5 (так как в данном
случае 2Tζ = 0,1), что в конечном итоге дает
0,5
æ
ö÷ö÷
- t æç
çç
0,5
÷
sin (8,66t)÷÷÷÷÷÷ =
y(t) = 5 × çç1 - e 0,1 × ççcos(8,66t)+
çç
÷÷÷
çç
2
1 - 0,5
è
ø÷ø
è
 = 5⋅(1–e–5t(cos(8,66t)+0,62sin(8,66t))).
Вспоминая
формулу
asin(β)+bcos(β) = rsin(β+ψ),
где
r = a2 + b2 и ψ = arctg(b/a), полученное выражение можно переписать в другой форме (здесь a = 0,62, b = 1): y(t) = 5⋅(1–1,17e–5t´
´ sin(8,66t+58,2°)) [град].
9.2. Корневые оценки динамических свойств
автоматических систем
Из предыдущего изложения видно, что находить аналитические выражения для переходной характеристики САУ довольно
сложно. В то же время, анализируя формулы разложения Хевисайда, можно заметить, что о динамических свойствах САУ можно судить по расположению нулей и полюсов ПФ замкнутой системы Ф(p) (нулями ПФ замкнутой системы называют корни числителя этой функции, полюсами — корни ее знаменателя). По162
люсы являются корнями характеристического уравнения замкнутой системы, именно они определяют динамику протекания
переходного процесса, поскольку непосредственно участвуют в
сомножителях вида ept.
Точное определение корней характеристического уравнения
замкнутой системы (полюсов Ф(p)) представляет большие трудности. Поэтому часто динамические свойства системы оценивают по областям расположения корней на комплексной плоскости.
Сведения о некоторых общих закономерностях о влиянии расположения нулей и полюсов ПФ замкнутой системы на ее переходную функцию содержит табл. 12. Из таблицы можно сделать ряд
полезных выводов:
1) чем дальше полюсы отстоят от мнимой оси, тем меньше длительность переходного процесса;
2) чем дальше полюсы отстоят от вещественной оси, тем больше перерегулирование;
3) добавление в числитель ПФ замкнутой системы Ф(p) сомножителей вида (1+tp) увеличивает перерегулирование;
4) добавление в знаменатель ПФ замкнутой системы Ф(p) сомножителей вида (1+Тp) увеличивает длительность переходного
процесса;
5) вследствие малого влияния на переходную функцию системы полюсов, расположенных далеко от мнимой оси, о поведении системы во многих случаях можно судить по расположению
одного-трех ближайших к мнимой оси полюсов и по одному-двум
нулям. Это значительно упрощает анализ и расчет САУ.
Подчеркнем, что здесь идет речь о полюсах и нулях ПФ замкнутой системы Ф(р). Между тем на этапе проектирования автоматических систем приходится иметь дело с ПФ разомкнутого
Im(p)
контура W(p). И, к сожалению, в
p2
общем виде нельзя найти взаимноRe(p)
0
однозначную взаимосвязь между
p
1
полюсами и нулями функций Ф(р)
и W(p).
p3
h
В целом о времени переходного
процесса в САУ можно судить по
Рис. 54. Определение
степени устойчивости на
значению степени устойчивости
комплексной плоскости
(обозначается буквой h), который
равен расстоянию от мнимой оси корней характеристического
уравнения САУ
до ближайшего корня (рис. 54).
163
164
Таблица 12
T p + 2ζTp + 1
2 2
1
1
1 + Tp
Ф(p)
T
G
L
L
1
T
q1
где γ =
Re(p)
0
p2
p1
G
L
L
0
Re(p)
Im(p)
1- ζ
ζ
, λ=
T
T
2
Re(p)
Im(p)
0
p1,2 = -γ ± jλ,
p2
p1
p1 = -
p1
Im(p)
Расположение
нулей и полюсов на комплексной плоскости
0
1
0
1
0
1
hm1
T
h(t)
hm 2
hóñò
hm1 - hóñò
h(t)
h(t)
=e
γ
λ
t
t
t
-π
=e
hóñò
-π
hóñò
1–e–1
h(t)
1-ζ2
ζ
Сведения о влиянии расположения нулей и полюсов ПФ замкнутой системы на её переходную функцию
165
(
1
)
T p + 2ζTp + 1 (1 + T3 p)
2 2
T p + 2ζTp + 1
2 2
1 + τp
Ф(p)
G
0
G
1
q1 = - ,
τ
p2
L
L
0
Re(p)
Im(p)
G
p3 = -
p2
p3
p1
1
T3
0
Re(p)
Im(p)
1 - ζ2
ζ
γ = , λ=
T
T
q1
p1
Расположение
нулей и полюсов на комплексной плоскости
p2
L
hm 2
hóñò
h(t)
hóñò
t
t
h(t)
1
2
3
t
hm2 > hm1
Чем больше t, тем больше hm2
h(t)
hm1
1 — при p3 = –∞; 2 — при p3 = –3γ;
3 — при p3 = –0,5γ
0
1
0
1
0
1
Параметр h имеет размерность [с–1], как и корни характеристического уравнения САУ. В этой связи можно заметить, что название для параметра h выбрано не слишком удачно (термин “степень устойчивости” как-то плохо согласуется с указанной размерностью), однако за неимением лучшего будем далее пользоваться
этим названием.
Если система имеет степень устойчивости не меньше h, то все
корни характеристического уравнения замкнутой системы находятся левее пунктирной линии (см. рис. 54).
Чтобы выяснить, как значение параметра h связано с параметрами переходного процесса в САУ, рассмотрим типовые варианты. Пусть ближайшим к мнимой оси будет вещественный корень.
Тогда составляющая переходного процесса, соответствующая
этому корню, определяется выражением
yп(t) = Che–ht.
Переходной процесс в САУ считается закончившимся, если
yï (tï ) = Ch e-htï = ∆Ch ,
где величину ∆ обычно полагают равной 0,01 или 0,05. Из последнего уравнения находим, что
1 1
tï = ln .
h ∆
3
При ∆ = 0,05 имеем tï » .
h
Если ближайшей к мнимой оси будет пара комплексносопряженных корней (как, например, корни p2 и p3 на рис. 54), то
при ∆ = 0,05 длительность переходного процесса составит
3
tï £ .
h
Таким образом, по степени устойчивости h можно с приемлемой точностью судить о времени переходного процесса в системе
при любых корнях.
Очень важно, что определить степень устойчивости САУ можно, даже не вычисляя корней характеристического полинома.
Для этого в характеристическом полиноме
D(p) = a0pn+a1pn–1+a2pn–2+…+an–1p+an
переходят к новой переменной ν, связанной с переменной p следующим образом: p = ν–h.
166
Тогда характеристический полином принимает вид
D(ν–h) = a0(ν–h)n+a1(ν–h)n–1+a2(ν–h)n–2+…+an–1(ν–h)+an = 
 = a0νn+А1νn–1+А2νn–2+…+Аn–1ν+Аn,
где А1, А2, …, Аn определяются через коэффициенты a0, a1, …,
an–1, an и значение степени устойчивости h.
Введение переменной ν геометрически соответствует смещению мнимой оси на плоскости комплексной переменной p влево
на величину h (см. рис. 54). При каком-то значении смещения h
один вещественный или пара мнимых корней попадет на мнимую ось. К новому уравнению применяют критерий устойчивости Гурвица, и если этот критерий выполняется даже для нового полинома, то степень устойчивости в системе больше заданной
h (уместно вспомнить, что нахождению системы на апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического полинома при положительности
определителей Гурвица ∆1, ∆2, …, ∆n–1; а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего
определителя Гурвица ∆n–1 при положительности определителей
Гурвица ∆1, ∆2, …, ∆n–2 и положительном свободном члене характеристического полинома).
Определить, удовлетворяет ли система заданной степени
устойчивости, можно и с помощью критерия устойчивости Найквиста. Для этого в ПФ разомкнутого контура системы W(р) от
переменной p переходят к переменной ν = p+h. Для ПФ W(ν–h)
строят амплитудно-фазовую характеристику, изменяя новую переменную ν в пределах от j0 до +j∞. Если построенная таким образом АФХ будет удовлетворять критерию устойчивости Найквиста, то степень устойчивости в системе больше заданной h; если
не будет удовлетворять — то меньше заданной h; если АФХ соответствует границе устойчивости, то степень устойчивости данной
САУ равна заданной.
Особенно просто решается задача выбора параметров САУ,
удовлетворяющей заданной степени устойчивости, при использовании логарифмических частотных характеристик. Покажем это
на нижеследующем примере.
Пусть задана ПФ разомкнутого контура системы
K
W ( p) =
,
p(1 + T1 p)(1 + T2 p)
где прянято Т1 = 0,1 с, Т2 = 0,04 с.
167
Требуется определить значение добротности K, при котором
степень устойчивости h будет не меньше 2 c–1.
Выражение для преобразованной частотной ПФ разомкнутого
контура системы имеет вид
K
W (-h + jω ) = Wh (jω ) =
=
(-h + jω )(1 + T1 (-h + jω ))(1 + T2 (-h + jω ))
K
h (1 - hT1 )(1 - hT2 )
=
=
öæ
ö
æ
öæ
çç-1 + jω 1 ÷÷çç1 + jω T1 ÷÷÷çç1 + jω T2 ÷÷÷
çè
h ø÷ççè
1 - hT1 ÷øèç
1 - hT2 ø÷
=
где Kh =
Kh
,
(-1 + jωTh )(1 + jωT1h )(1 + jωT2h )
1
K
K
=
; Th = = 0,5 c;
h
h (1 - hT1 )(1 - hT2 ) 1,47
T1
T2
= 0,125 c; T2h =
= 0,0435 c.
1 - hT1
1 - hT2
Фазочастотная характеристика, определяемая аргументом
ПФ Wh(jw), представляется в виде
Ψh(w) = –180°+arctg(wTh)–arctg(wT1h)–arctg(wT2h), (96)
где слагаемое –180° возникло вследствие свойств сомножителя
(–1+jwTh): он заменяется на (1–jwTh) с одновременным изменением
знака у константы Kh в числителе.
Асимптотическая ЛАХ системы Lh(w), как видно из формулы
для Wh(jw), формально соответствует случаю статической САУ
(так как чисто мнимый сомножитель p = jw в знаменателе исходной ПФ после замены переменных превратился в комплексный (–h+jw)). Сопрягающие частоты, определяющие расположение точек излома ЛАХ, соответствуют постоянным времени, находящимся в знаменателе ПФ Wh(jw), и равны: wh = Th–1 = 2 с–1,
w1h = T1h–1 = 8 с–1, w2h = T2h–1 = 23 с–1. Начальный участок ЛАХ
будет горизонтальным, в диапазоне частот от wh до w1h наклон
асимптоты ЛАХ составит минус 20 дБ/дек, от w1h до w2h — минус
40 дБ/дек и после w2h — минус 60 дБ/дек.
Данная система в замкнутом состоянии будет иметь степень
устойчивости не ниже заданной, если
при Ψh(0) = –180° выполнено Lh(0)≥0
(97)
T1h =
168
и
при Lh(w)≥0 выполнено Ψh(w) > –180°. (98)
Чтобы правильно построить логарифмические характеристики, для которых будут выполнены условия (97) и (98), нужно сначала построить ЛФХ по формуле (96). Далее строится ЛАХ.
Последовательность построения асимптотической ЛАХ, удовлетворяющей условию (97), достаточно традиционная: начав с горизонтального отрезка, идущего на уровне Lh(0) = 20 • lgKh = 0 дБ
(т. е. нужно вести прямую по оси абсцисс), по мере достижения
границ частотных диапазонов, проведенных вертикальными
пунктирными линиями через отмеченные на оси абсцисс сопрягающие частоты, нужно изменять наклоны асимптот ЛАХ требуемым образом; в результате получится график Lh1(w), показанный на рис. 55.
Для построения ЛАХ, удовлетворяющей условию (98), нужно
сначала найти точку wΨ, в которой Ψh(w) пересекает ось абсцисс
(согласно принятым соглашениям о разметке осей графиков логарифмических частотных характеристик САУ, этому соответствует Ψh(wΨ) = –180°). Далее, нужно посмотреть, каков наклон
асимптоты ЛАХ в том частотном диапазоне, в который попала
LWäÁ
(9Wãðàä)
Wh
W1h
W 2h
20
(–270)
20 lgKh2
40
(–360)
Lh2
.
0
(–180)
–20
(–90)
0,1
1
W9
9h
W
c–1
Lh1
–40
(0)
Рис. 55. Логарифмические частотные характеристики для анализа
степени устойчивости САУ
169
точка wΨ=11,1 с–1. Здесь видно, что w1h < wΨ < w2h и наклон там составляет –40 дБ/дек. Построение ЛАХ начинается с проведения
асимптоты с этим наклоном прямо через точку wΨ до границ частотных диапазонов, в которых эта асимптота справедлива (т. е.
построение ЛАХ начинается как бы “с середины”). Потом левее
и правее проводятся асимптоты с соответствующим образом измененными наклонами. После выполнения всех построений на
рис. 55 образуется ЛАХ Lh2(w), из которой находится значение
коэффициента Kh графоаналитическим методом: из рисунка видно, что 20 • lgKh2≅20,5 дБ, откуда получаем Kh2≅10,6. Для построенной ЛАХ выполнено условие (98).
Таким образом, в рассматриваемом случае имеется 2 значения коэффициента передачи разомкнутого контура САУ, при которых степень устойчивости замкнутой системы составит заданную величину h = 2 с–1: при Kh = Kh1 = 1 (см. график Lh1) и при
Kh = Kh2 = 10,6 (см. график Lh2). Соответственно, добротность исходной САУ может быть равна либо K1 = 1,47Kh1 = 1,47 c–1, либо
K2 = 1,47Kh2 ≅ 15,6 c–1. Если K находится в интервале K1 < K < K2,
то степень устойчивости системы будет больше заданного значения h = 2 с–1. Если K < K1 или K > K2, то степень устойчивости
системы окажется меньше заданной.
Относительно расположения корней характеристического
уравнения заметим следующее: при K = K1 ближайшим к мнимой
оси будет вещественный корень p = –h = –2 с–1, при K = K2 — пара комплексно-сопряженных корней p1,2 = –h±jwΨ = –2±j11,1 c–1.
Из этого следует, что при K = K1 переходной процесс в системе будет апериодическим, при K = K2 — колебательным.
Видно, что при больших значениях K ближайшими к мнимой
оси на плоскости корней оказываются комплексно-сопряженные
корни. Причем, как было показано в разд. 6, коэффициент K приходится выбирать большим для уменьшения ошибок автоматической системы в установившихся режимах. Поэтому в САУ обычно ближайшими к мнимой оси полюсами, в основном определяющими динамические свойства системы, являются комплексносопряженные корни. Из примера также видно, что уменьшение
коэффициента передачи разомкнутого контура САУ нежелательно, поскольку оно приводит к уменьшению быстродействия —
автоматическая система с заниженной добротностью становится,
образно говоря, “вялой’’.
170
9.3. Частотные оценки динамических свойств
автоматических систем
Практически любой сигнал, действующий на САУ, может
быть представлен в виде конечной или бесконечной суммы гармонических функций (гармоник). Если сигнал периодический, то
он может быть разложен в ряд Фурье и представлен в виде конечной или бесконечной суммы гармоник с периодом основной (первой) гармоники, равным периоду сигнала. Непериодический сигнал может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник
с периодом основной гармоники, стремящимся к бесконечности,
т. е., по сути, в непериодическом сигнале содержатся гармонические составляющие со всеми возможными частотами, от нуля
до бесконечности. Поэтому рассмотрение вопросов прохождения
гармонических сигналов через САУ в диапазоне частот от нуля до
бесконечности в результате позволит получить представление о
реакции системы на любой входной сигнал.
Наибольшее применение нашли следующие частотные оценки
качества САУ: показатель колебательности, полоса пропускания,
частота среза, запас устойчивости по фазе и запас устойчивости
по амплитуде.
Показателем колебательности (обозначается буквой М) называется отношение наибольшего значения модуля частотной
ПФ замкнутой системы |Φ(jw)| к значению модуля этой частотной
ПФ при частоте w = 0. Обозначив через wp частоту, при которой
функция |Φ(jw)| достигает наибольшего значения (частота wр называется еще резонансной частотой автоматической системы),
можно записать
M=
Φ (jω p )
Φ (j0)
Иллюстрацией
служит
рис. 56.
Динамические свойства САУ
зависят от величины показателя колебательности M. Для наглядности найдем связь между
величиной показателя колебательности и расположением полюсов и нулей ПФ замкнутой
системы.
.
(99)
&(KW
&(K
1
M
0
Wp
W
Рис. 56. Определение значения
показателя колебательности
САУ
171
В предыдущем подразделе показано, что динамические свойства системы в основном определяются двумя-тремя полюсами и
одним-двумя нулями ПФ замкнутой системы. Пусть ПФ замкнутой системы имеет лишь два комплексно-сопряженных полюса:
Φ ( p) =
1
.
T p + 2ζTp + 1 2 2
(100)
Можно показать, что формула, с помощью которой определяется
величина перерегулирования, для системы с ПФ (100) имеет вид
-π
σ% = e
ζ
1-ζ2
×100%.
Для системы с ПФ (100) резонансная частота при ζ < 0,707 рассчитывается по формуле ω p =
wр в выражение (99), получим
M=
1 - 2ζ 2
. Подставив это значение
T
1
2ζ 1 - 2ζ 2
.
(101)
Величина перерегулирования и показатель колебательности
зависят лишь от коэффициента демпфирования ζ, поэтому можно найти зависимость σ% от M; в первом приближении можно
пользоваться формулой
σ%≈45M–40. (102)
В подразд. 9.2 было отмечено, что добавление в числитель ПФ
замкнутой системы Ф(р) сомножителя (1+tp) (т. е. добавление ну1
ля q1 = - ) увеличивает перерегулирование σ%. Нетрудно покаτ
зать, что при этом возрастает и показатель колебательности системы М. Кроме того, там же было показано, что добавление в
знаменатель ПФ сомножителя (1+Т1p) (т. е. добавление полюса
1
p1 = - ) уменьшает перерегулирование. Можно показать, что
T1
при этом уменьшается и показатель колебательности системы М.
Формула (102) справедлива с достаточной для практики точностью и при добавлении в ПФ (100) дополнительных сомножителей вида (1+tp) и (1+Тр), и может служить для ориентировочного
расчета перерегулирования σ% по заданному значению M.
172
Показано, что быстродействие системы определяется величиной показателя колебательности M и значением резонансной частоты wр. Для систем, показатель колебательности M которых лежит в диапазоне от 1,2 до 2, время переходного процесса может
быть рассчитано по формуле
tï »
7,5M - 3
.
ωp
Обычно резонансная частота wр
оказывается близка к частоте среза
разомкнутого контура системы wср
(которая определяется из выражения L(wср) = 0, т. е. представляет собой значение частоты в точке пересечения ЛАХ разомкнутого контура
системы оси абсцисс, как показано на
рис. 57). Поэтому для расчета времени переходного процесса можно использовать и формулу
tï »
7,5M - 3
,
ω cp
(103)
LW
0
W
Wcp
Рис. 57. Определение
значения частоты
среза САУ по ЛАХ ее
разомкнутого контура
(104)
которая более удобна, если при расчете САУ были построены логарифмические частотные характеристики.
Чем больше частота среза разомкнутого контура системы wср,
тем в большем диапазоне частот эта система «пропускает» гармонические колебания, тем меньше время переходного процесса. Однако частоту среза (полосу пропускания) системы нельзя
выбирать и чрезмерно большой, так как при увеличении полосы
пропускания увеличивается ошибка системы от компонентов помехи (см. разд. 7).
Покажем теперь, как можно определить показатель колебательности по частотным характеристикам разомкнутого контура системы. На плоскости U – V, на которой вычерчивается АФХ
разомкнутого контура системы, линии М = const соответствует
окружность. Действительно, уравнение (99) можно записать в виде
βM = Φ (jω ) =
W (jω )
1 + W (jω )
=
U + jV
U2 + V 2
=
, (105)
1 + U + jV
(1 + U )2 + V 2
173
где β = |Ф(j0)|; U = U(w) = Re(W(jw)); V = V(w) = Im(W(jw)).
Возводя в квадрат левую и правую части уравнения (105) и
освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получаем
2 2 ö2
æ
β2 M2
ççU + β M ÷÷ + V 2 =
÷
çç
2
β2 M2 -1÷ø÷
è
β2 M2 -1
(
или
где C =
)
(U+C)2+V2 = R2, 2
β M
2
; R=
(106)
βM
.
β M -1
β M2 -1
Выражение (106) есть уравнение окружности с радиусом R и
центром, расположенным на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии С от мнимой оси (рис. 58).
В большинстве случаев β = |Ф(j0)| = 1 или β≈1. Поэтому в дальнейшем будем считать, что β = 1, при этом
2
2
C=
2
M2
2
M -1
; R=
M
M2 -1
.
(107)
Из рис. 58 и формул (107) видно, что чем меньше значение показателя колебательности, тем дальше от критической точки с
координатами (–1, j0) проходит АФХ разомкнутого контура системы. Таким образом, показатель колебательности характеризу.
ет запас устойчивости САУ, оцеjV
.- ниваемый по удалению АФХ разомкнутого контура системы от
точки (–1, j0).
R
Для того чтобы САУ имела
U
(–1, j0)
0
значение показателя колебатель.
ности не выше заданного значе.+ ния М, АФХ разомкнутого контура системы не должна заходить
C
внутрь окружности, построенной
для заданного М, т. е. построенРис. 58. Построение границы
ная окружность определяет гразапретной области по
ницу запретной области для АФХ
значению показателя
разомкнутого контура системы.
колебательности САУ на
Если АФХ касается этой окружплоскости АФХ
174
ности, то показатель колебательности системы в точности равен
М, для которого эта окружность была построена.
При увеличении общего коэффициента передачи разомкнутого контура системы АФХ всегда “разбухает”, сохраняя свою форму, и может зайти в запретную область. Из этого видно, что простое увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура САУ (например, с целью улучшить ее точность), если не принимать специальных мер, сопровождается уменьшением запаса
устойчивости.
Для определения показателя колебательности по АФХ разомкнутого контура САУ можно поступить следующим образом: построить АФХ, начать строить окружности для разных значений
М и найти в конечном итоге такую окружность, которой АФХ
будет лишь касаться. Показатель колебательности системы окажется равен индексу М этой окружности.
И, наконец, показатель колебательности можно определять
по логарифми­ческим частотным характеристикам разомкнутого
контура системы. Для этого найдем связь между АЧХ разомкнутого контура системы А(w) и ФЧХ разомкнутого контура системы Ψ(w), удовлетворяющей условию M = const. Для простоты положим β = |Ф(j0)| = 1, тогда (обозначим для краткости A = А(w) и
Ψ = Ψ(w)) имеем
M2 =
2
W (jω )
1 + W (jω )
=
=
Ae j Ψ
2
A2
=
=
2
1 + Ae jΨ 1 + Ae-jΨ
1 + Ae j Ψ
(
)(
A2
(
1 + A2 + A e jΨ + e-jΨ
)
.
)
Используя формулу Эйлера ejx = cos(x)+jsin(x), получаем
M2 =
A2
A2
=
,
1 + A2 + 2 A cos Ψ 1 + A2 - 2 A cos µ где µ = 180°+Ψ — запас устойчивости по фазе.
Из (108) можно выразить µ:
(
)
æ 2
2
2ö
çç M 1 + A - A ÷÷
÷÷.
µ = arccosçç
÷÷
2
çç
2
AM
÷ø
çè
(108)
(109)
175
С помощью формулы (109) окружность, которая для любой заданной величины М строится на плоскости U – V, отображается
на плоскость A – µ, правда, на ней она уже не будет выглядеть
как окружность. Для удобства расчетов по логарифмическим частотным характеристикам в формуле (109) целесообразно вместо
значений АЧХ использовать значения ЛАХ. Если учесть, что, по
определению, L = 20 • lgA, то (109) преобразуется к виду
æ
L ö
L ö
÷÷
çç 2 æç
÷
çç M çè1 + 1010 ÷ø -1010 ÷÷
÷
µ (L) = arccosçç
÷÷,
L
÷÷
çç
2
÷÷ø
çè
2 ×10 20 M
(110)
æ
L(ω ) ö
L(ω ) ö
æ
÷÷
ç
÷
ç
ççç M2 èçç1 + 10 10 ø÷÷ -10 10 ÷÷
÷÷.
µ (ω ) = arccosçç
÷÷
L(ω )
çç
÷÷
çç
2
20
÷ø
2 ×10
M
è
(111)
откуда для любой заданной ЛАХ разомкнутого контура системы
L(w) можно выразить уравнение границы запретной области для
ЛФХ:
Если ЛФХ системы не пересекает эту границу, то САУ будет
иметь показатель колебательности меньший, чем значение M, использованное при построении графика µ(w).
Чтобы иметь возможность анализировать САУ без привлечения средств вычислительной техники, по формуле (110) построено семейство µ-кривых (рис. 59) для наиболее типичных значений
показателя колебательности M.
M, ãðàä
M=1
80
1,1
60
1,2
1,3
1,4
40
20
0
L, äÁ
–8
–4
0
4
8
12
16
20
Рис. 59. Семейство µ-кривых
176
24
28
При построении µ-кривых величину А изменяют в диапазоне
M
M
M
M
от
до
, так как при A <
и A>
АФХ сиM +1
M -1
M -1
M +1
стемы не может зайти в запретную зону при любом значении запаса по фазе µ. Соответственно, при построении запретной области для ЛФХ в формуле (111) учитывают значения ЛАХ системы
M
M
только в диапазоне от LM1 = 20 × lg
до LM2 = 20 × lg
.
M +1
M -1
Запретную область на плоскости логарифмических амплитудных характеристик можно построить для любой заданной ЛАХ
системы L(w) как при помощи компьютера [непосредственно по
формуле (111)], так и вручную по асимптотической ЛАХ с использованием рис. 59 (находя по выбранному графику соответствие
между заданным значением ЛАХ и параметром µ).
В качестве примера построения запретной зоны для ЛФХ рассмотрим систему с ПФ разомкнутого контура
K
W ( p) =
.
p(1 + Tp)
Такую передаточную функцию имеет, например, электромеханическая следящая система (см. рис. 42), если пренебречь
постоянной времени усилителя. Пусть K = 20 с–1, Т = 0,1 с. Построения показаны на рис. 60. Графики асимптотической ЛАХ
и ЛФХ строятся по стандартным методикам. Для построения
запретной области при заданном M сначала проводятся гориM
,
зонтальные пунктирные линии на уровнях LM1 = 20 × lg
M +1
M
LM2 = 20 × lg
. Затем для участка ЛАХ, лежащего в указанM -1
ном диапазоне, в каждой точке находится соответствующее значение параметра µ либо по формуле (111), либо по графику, изображенному на рис. 59. Полученные значения µ откладываются
вниз от оси абсцисс в масштабе, задаваемом разметкой оси для
ЛФХ. Заметим, что для графика µ(w) положение нуля соответствует точке пересечения оси абсцисс и оси ординат (в отличие от
ЛФХ, для которой этой точке соответствует Ψ = –180°). Все эти
особенности объясняются соотношением, в котором находятся µ
и ЛФХ: µ(w) = 180°+Ψ(w).
Если ЛФХ не заходит в запретную зону, построенную для заданного М, то показатель колебательности меньше заданного значения М; если ЛФХ касается запретной зоны, то показатель коле177
бательности равен заданному значению М; если ЛФХ заходит в
запретную зону, то показатель колебательности системы окажется больше заданного значения М.
Графики (рис. 60) построены для M = 1,1. В качестве иллюстрации отмечена произвольно выбранная точка L* = 10 дБ. По
графику M=1,1 на рис. 59 нетрудно убедиться, что этой точке соответствует µ*≅64°, отмеченная на кривой µ(w). Для всех остальных значений L в диапазоне от LM1 до LM2 точки для µ отыскиваются по такой же схеме. Заметим, что совпадение правой граничной точки запретной области со значением K произошло чисто
случайно, на самом деле положение этой границы определяется
значением частоты w, где L(w) = LM1.
Ясно, что в рассматриваемом случае ЛФХ заходит внутрь запретной области, поэтому система имеет показатель колебательности больше M = 1,1. Если провести построения для других значений M, то можно убедиться, что для M = 1,5 ЛФХ лишь коснется
запретной области, но не зайдет внутрь. Таким образом, показатель колебательности рассматриваемой САУ в точности равен 1,5.
Для оценки запаса устойчивости по удалению АФХ разомкнутого контура системы от критической точки (–1, j0) кроме пока
5
LWäÁ
(9Wãðàä)
40
(–360)
–20
20
(–270)
0
(–180)
–20
(–90)
–40
(0)
L*
LM2
LM1
1
10
M*
K
100
W
–1
c
MW
9W
–40
Рис. 60. Запретная область по значению показателя колебательности
на плоскости логарифмических частотных характеристик
178
а)
(–1, j0)
jV
б)
U1
Ïðè Wmd
M
L(W), äÁ
(9(W), ãðàä)
L
U
L2
(–180 )
U2
Ïðè Wm L1
R=1
W
9
(–90 )
M
Рис. 61. Определение запаса устойчивости САУ по характеристикам
ее разомкнутого контура: а – по АФХ; б – по логарифмическим
частотным характеристикам
зателя колебательности используется еще запас устойчивости по
фазе и запас устойчивости по амплитуде (рис. 61).
Запасом устойчивости по фазе называется величина
µ = 180°+Ψ(wср), (112)
где wср — частота среза (напомним: А(wср) = 1).
Запас устойчивости по амплитуде характеризуется величинами L1 = 20 • lg(1–U1) и L2 = 20 • lg(1+U2). Этим запасом называется меньшая по абсолютному значению из величин L1 и L2.
Чем больше запас устойчивости по фазе и запас устойчивости
по амплитуде, тем дальше АФХ разомкнутой системы удалена от
точки с координатами (–1, j0) (рис. 61, а).
Запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде легко определяются по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутого контура системы (рис. 61, б).
В хорошо демпфированных САУ (системах, имеющих достаточно большой запас устойчивости) обеспечиваются запас устойчивости по фазе µ = 30…60° и запас устойчивости по амплитуде
6…12 дБ. Из этих значений обычно и исходят при проектировании САУ. Запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде широко используются при расчете сложных автоматических систем ввиду простоты их определения.
Например, запас устойчивости по фазе системы, характеристики которой показаны на рис. 60, равен µ≅35°. Оценим также величину перерегулирования и длительности переходного процесса.
179
y(t)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
t
0
0,2
tï
0,4
0,6
0,8
Рис. 62. Переходная характеристика замкнутой САУ с передаточной
20
функцией разомкнутого контура W ( p)=
p(1 + 0,1 p)
Частота среза может быть приближенно найдена по ЛАХ
wср≅13 с–1, ее точное значение можно найти, решив уравнение
A(w) = 1, в данном случае
20
= 1,
2
ω 1 + (0,1ω )
откуда wср≅12,5 с–1.
Показатель колебательности данной системы М = 1,5. Перерегулирование и длительность переходного процесса определим
по формулам (102) и (104): σ% = 45M–40 = 45⋅1,5–40 = 27,5%,
tп = (7,5M–3)/wср = (7,5⋅1,5–3)/12.5 = 0,66 c.
Переходная характеристика замкнутой системы построена на
рис. 62. По ней определяем, что действительные значения перерегулирования и времени переходного процесса соответственно
равны σ% = 30% и tп = 0,57 с. Это неплохо согласуется с результатами, полученными по приближенным формулам.
9.4. Интегральные оценки качества переходного процесса
Интегральные оценки качества переходного процесса учитывают одновременно и быстродействие системы, и максимальное
отклонение ошибки от установившегося значения.
180
Простейшей интегральной оценкой является оценка вида
¥
J1 = ò eï (t)dt,
(113)
0
где eп(t) — переходная составляющая процесса изменения ошибки во времени.
Интегральную оценку J1 легко вычислить по изображению
Лапласа от сигнала переходной ошибки. Действительно, если
учесть, что
¥
Eï ( p) = ò eï (t)e- pt dt
0
и сравнить с (113), то становится очевидно, что
J1 = Eп(0).
Параметры системы считаются выбранными наилучшим образом при минимуме интеграла J1. Оценка J1 хорошо характеризует процессы вида, показанного на рис. 63, а. Однако если переходной процесс имеет вид, показанный на рис. 63, б, то выбор
параметров системы по минимуму J1 может привести к нежелательным результатам: так, даже при J1 = 0 система вполне может
находиться на колебательной границе устойчивости.
Чтобы избавиться от этого недостатка интегральной оценки
J1, ввели квадратичную интегральную оценку
¥
J2 = ò eï2 (t)dt, (114)
0
а)
б)
0
в)
eï (t)
eï (t)
eï(t)
t
0
t
t
0
Рис. 63. Переходные процессы в САУ при использовании различных
интегральных оценок
181
которую также можно вычислить по Eп(p), если перейти в частотную область (p = jw) и воспользоваться известной в теории сигналов теоремой Парсеваля:
J2 =
1
2π
¥
ò
2
Eï (jω ) dω. (115)
-¥
Вычисления следует проводить, основываясь на равенстве
(83).
Критерий минимума J2 пригоден для оптимизации системы,
если переходные процессы в ней протекают по вариантам, изображенным на рис. 63, а и б. Но при выборе параметров САУ из
условия минимума J2 в системе возможно появление процессов
вида, показанного на рис. 63, в. Эти процессы характеризуются
значительной скоростью изменения eп(t) на некоторых участках
переходного процесса, что не всегда приемлемо.
Для ограничения производной eп(t) была предложена улучшенная квадратичная интегральная оценка
¥
(
)
J3 = ò eï2 (t)+ TJ2 eï2 (t) dt,
0
где TJ — некоторая константа.
Если применить теорему дифференцирования для преобразования Лапласа и теорему Парсеваля, то J3 можно рассчитывать
по формуле
J3 =
1
2π
¥
ò
2
Eï (jω ) dω +
-¥
TJ2
2π
¥
ò
2
jωEï (jω ) dω. (116)
-¥
Если преобразовать J3 следующим образом:
¥
(
)
¥
2
¥
J3 = ò eï2 (t)+ TJ2eï2 (t) dt = ò (eï (t)+ TJ eï (t)) dt - 2TJ ò (eï (t)eï (t))dt =
0
0
¥
0
2
= ò (eï (t)+ TJ eï (t)) dt + TJ eï2 (0),
0
то станет ясно, что наименьшее значение оценка J3 имеет при
TJ eï (t)+ eï (t) = 0. Решением этого дифференциального уравне182
ния является затухающая экспонента с постоянной времени ТJ.
Поэтому, выбирая параметры САУ из условия минимума J3, мы
приближаем процессы в системе к апериодическим (без колебаний), с постоянной времени затухания процесса, равной ТJ.
Заметим, что вычисление J3 по формуле (116) “в лоб” произвести невозможно. Причина этого заключается в том, что при подаче задающего воздействия в виде единичной ступенчатой функции ошибка в САУ в момент t = 0 скачкообразно принимает значение, равное единице. После дифференцирования e(t) за счет только этой ее особенности образуется дельта-функция, квадрат которой неинтегрируем. Поэтому вычисление J3 нужно проводить,
.
заменив e 2(t) на y 2 (t), что не вызовет погрешности, поскольку
при t > 0 из e(t) = g(t)–y(t) следует e(t) = -y (t), и, соответственно,
e2 (t) = y 2 (t). С учетом этого расчетная формула (116) преобразуется к следующей форме:
J3 =
1
2π
¥
ò
-¥
2
E(jω ) dω +
TJ2
2π
¥
ò
2
jωY (jω ) dω . (117)
-¥
При вычислении J3 по формуле (117) проблем возникать не
должно.
Итак, интегральные оценки могут быть вычислены на основе изображения сигнала ошибки по Лапласу Eп(p), без нахождения eп(t). Понятно также, что расчет любой интегральной оценки
в принципе будет возможен, только если система устойчива, т. е.
если lim eï (t) = 0, в противном случае интеграл не сойдется.
t®¥
Выразив интегральную оценку аналитически через параметры автоматической системы, можно отыскать оптимальный набор значений параметров, который доставляет оценке минимум.
Недостатком интегральных оценок является то, что по их значениям нельзя судить о таких показателях качества управления
как длительность переходного процесса и перерегулирование.
В качестве примера рассмотрим САУ объектом, заданным в
виде модели консервативного звена (рис. 64).
Решим задачу определения оптимального значения постоянной времени t в усилительно-преобразовательном устройстве по
условию минимума интегральной оценки J2. Сначала нужно найти изображение по Лапласу переходной составляющей ошибки
Eп(p), а затем применить формулы (115) и (83).
Если рассмотреть реакцию схемы, изображенной на рис. 64,
на единичную ступенчатую функцию (для нее G(p) = 1/p) при от183
Óñèëèòåëü Ïðèâîä
ïðåîáðàçîâàòåëü
g(t)
e(t)
kÈÝ
L Ì + TQ
Îáúåêò
óïðàâëåíèÿ
y(t)
LÉ
LÈ
+ 5È Q
+ 5É Q
Рис. 64. Структурная схема системы управления
сутствии возмущения (Mf = 0), то изображение ошибки выражается следующим образом:
1
=
E( p) = G ( p)Φ e ( p) = G ( p)
K (1 + τp)
1+
(1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
(
=
(
(1 + Tï p)(1 + Tp2 p2 )
(
p K (1 + τp)+ (1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
)
,
))
где K = kуkпkp.
Чтобы получить выражение для изображения переходной составляющей ошибки Eп(p), необходимо вычесть изображение по
Лапласу от установившейся ошибки в данной системе при подаче на вход единичной ступенчатой функции. Как нетрудно
видеть, данная система является статической, т. е. установив1
, соответственно
шаяся статическая ошибка будет eóñò =
K +1
1
Eóñò ( p) =
. Тогда
p(K + 1)
E ï ( p)= E( p)- E óñò ( p)=
(
(1 + Tï p)(1 + Tp2 p2 )
(
p K (1 + τp)+ (1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
-
))
1
,
p(K + 1)
откуда после не очень сложных преобразований можно получить
выражение для изображения по Лапласу переходной ошибки,
удобное для использования в расчетных формулах (115) и (83):
Eï ( p) =
184
Tp2Tï p2 + Tp2 p + (Tï - τ )
K
× 2
.
K + 1 Tp Tï p3 + Tp2 p2 + (Tï + Kτ ) p + (K + 1)
Дальнейшие выкладки очевидны:
2
Eï (jω ) =
2
2
Tp2Tï (jω ) + Tp2 jω + (Tï - τ ))(Tp2Tï (-jω ) + Tp2 (-jω )+ (Tï - τ ))
(
=κ×
=
3
2
Tp2Tï (jω ) + Tp2 (jω ) + (Tï + Kτ )jω + (K + 1)
(
4
=κ×
)
2
2
2
Tp4Tï2 (jω ) + Tp2 2Tï (Tï - τ )- Tp2 (jω ) + (Tï - τ )
3
2
Tp2Tï (jω ) + Tp2 (jω ) + (Tï + Kτ )jω + (K + 1)
2
,
æ K ö÷2
где κ = çç
— константа, которая не зависит от частоты и в
çè K + 1÷÷ø
силу этого выносится за знак интеграла в выражении (115).
Для взятия интеграла необходимо обратиться к формуле
(83). В соответствии с ее форматом здесь имеем: n = 3, a0 = Tp2Tп,
a1 = Tp2, a2 = Tп+Kt, a3 = K+1; b1 = Tp4Tп2, b2 = Tp2(2Tп(Tп–t)–Tp2),
b3 = (Tп–t)2. Далее, чтобы вычислить подынтегральное выражение в формуле для критерия J2, запишем выражения для определителей M3 и N3:
M3 =
Tp4Tï2
N3 = Tp2Tï
0
Tp2
K +1
0
Tp2Tï
Tï + Kτ
0
0
Tp2
K +1
(
Tp2 2Tï (Tï - τ )- Tp2
)
;
(Tï - τ )2
Tï + Kτ
0
Tp2
K +1
подставим их в расчетную формулу J2 = κ ×
(-1)3+1 N3
2a0 M3
вольно громоздких преобразований получим
J2 =
K
3
2(K + 1)
×
(
(
,
и после до-
τ2 + τTï K (K + 3)+ Tï2 + (K + 1) Tp2 - Tï2
τ - Tï
))
.
185
Рассмотрев полученные выражения, можно сделать вывод, что
анализируемая САУ не всегда устойчива, поскольку определитель M3 матрицы Гурвица при t < Tп становится отрицательным,
и проведение какого-либо анализа теряет смысл. В этой связи
нельзя также не отметить, что использование критерия J1 = Eп(0)
для оптимизации системы совершенно неприемлемо. Что касается числителя полученного выражения для J2, то легко убедиться,
что при t > Tп он будет положительным (если, как всегда и предполагается, Tp > 0, Tп > 0 и K > 0).
Для решения задачи поиска оптимального значения параметра t необходимо решить уравнение
¶J2
= 0.
¶τ
Поскольку его решение в общем виде будет очень громоздко,
рассмотрим далее численный пример. Пусть K = 7, Tп = 0,04 c и
Tр = 0,25 c. Тогда
1 τ2 + 2,8τ + 0,49
J2 =
×
,
112
τ - 0,04
и
(
)
(2τ + 2,8)(τ - 0,04)- τ2 + 2,8τ + 0,49
¶J2
7
=
×
=
3
¶τ
2 × (7 + 1)
(τ - 0,04)2
=
7
2×8
3
×
τ2 - 0,08τ - 0,6
(τ - 0,04)2
.
Решая квадратное уравнение
t2–0,08t–0,6 = 0,
находим t1,2 = 0,04±0,775. С учетом необходимости выполнить
условие устойчивости t > Tп выбираем знак “+” и получаем окончательный ответ: tопт = 0,78 с.
Чтобы проверить, что найденный экстремум соответствует
точке минимума оценки J2, можно просто подставить в формулу
для J2 значения t, не равные tопт.
Проведя аналогичные, несколько более сложные, расчеты по
формуле (117), используя дополнительно выражение для выходного отклика системы на единичную ступенчатую функцию
Y ( p) =
186
K (1 + τp)
1
Φ ( p) =
,
p
p K (1 + τp)+ (1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
(
(
))
åï(t)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
–0,2
–0,4
2
0,2
t, ñ
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
Рис. 65. Характер изменения переходной ошибки во времени для САУ,
структурная схема которой представлена на рис. 64
можно убедиться, что значение t, оптимальное по критерию минимума оценки J3, окажется меньше, чем значение, полученное
при оптимизации по критерию минимума J2. Разница между
рассчитанными значениями t определяется выбранным значением константы TJ, по мере уменьшения TJ оценка J3 сближается с
оценкой J2, это же справедливо и для получаемых с их помощью
результатов.
На рис. 65 показаны кривые изменения переходной ошибки во
времени рассматриваемой САУ при двух различных значениях
параметра t: 1 — оптимальном по критерию J2 (при t = 0,78 с) и
2 — заниженном по сравнению с ним (при t = 0,3 с).
Из рисунка видно, что к точности задания параметра t предъявляются не слишком жесткие требования. Помимо этого минимизация критерия J2 не приводит к минимизации времени переходного процесса в целом. Более того, нельзя сказать даже, что
один из приведенных на рис. 65 процессов был бы во всем предпочтительнее другого. Впрочем, если учесть некоторые практические аспекты функционирования рассматриваемой САУ, то
переходной процесс вида 2 представляется лучшим, поскольку
вызывает меньшие угловые ускорения при движении объекта в
процессе управления, а значит при прочих равных условиях такая система предъявляет менее жесткие требования к прочности
и мощности привода управляющего устройства. В любом случае,
187
оптимизация автоматических систем по критерию минимума интегральных оценок позволяет определить диапазон, в котором
следует варьировать значения параметров САУ, если ее поведение в переходном режиме должно удовлетворять каким-то дополнительным условиям, особенно таким, которые плохо поддаются формализации на этапе синтеза (как это нередко и бывает на
практике).
188
10. Демпфирование линейных
автоматических систем
Изменение параметров САУ с целью увеличить точность ее
работы в установившихся режимах, как правило, приводит к
уменьшению запаса устойчивости. В отдельных случаях для обеспечения заданной точности в установившихся режимах приходится выбирать такие параметры САУ, при которых эта система
в случае отсутствия в ней специальных устройств может даже
стать неустойчивой. Специальные устройства, вводимые в САУ в
целях увеличения запаса устойчивости, называются корректирующими (или демпфирующими). Корректирующие устройства
представляют собой звенья со специально выбранными ПФ. Эти
звенья могут включаться в систему автоматического управления
различными способами.
В автоматических системах используются корректирующие
устройства различных типов (рис. 66, а–в). В линейных САУ все
а)
g(t)
e (t)
g(t)
e (t)
W1(p)
Wk (p)
W2(p)
W3 (p)
W1 (p)
W2(p)
+
W3 (p)
W2 (p)
W3 (p)
б)
y(t)
y(t)
Wk (p)
в)
g(t)
e (t)
W1 (p)
Ãëàâíàÿ ÎÑ
Ìåñòíàÿ ÎÑ
y(t)
Wk(p)
Рис. 66. Способы введения корректирующих устройств в САУ:
а – последовательного типа; б – параллельного типа;
в – в виде местной обратной связи
189
три типа корректирующих устройств эквивалентны: под любую
заданную ПФ одного типа всегда можно подобрать эквивалентное корректирующее устройство любого из других типов.
Корректирующие устройства, вводимые в автоматические системы, должны так изменять ЛАХ и ЛФХ разомкнутого контура
системы, чтобы в ней был обеспечен достаточный запас устойчивости.
В автоматических системах демпфирование в основном обеспечивается следующими методами:
– введением положительных фазовых сдвигов;
– подавлением средних и высоких частот;
– подавлением средних частот;
– введением отрицательных фазовых сдвигов.
В названии метода демпфирования подчеркивается лишь
основное воздействие корректирующих средств на амплитудночастотную или фазочастотную характеристику разомкнутого
контура системы, обеспечивающее повышение запаса устойчивости. Скажем, в методе демпфирования подавлением средних
и высоких частот повышение запаса устойчивости в основном
достигается понижением ЛАХ в области средних и высоких частот. Но при этом неизбежно изменяется и ЛФХ системы. По
большому счету, все методы демпфирования САУ базируются
на одном общем принципе: “уводят” АФХ системы как можно
дальше от критической точки с координатами (–1, j0).
Наиболее часто в автоматических системах используются корректирующие устройства последовательного типа и местные (дополнительные) обратные связи. Расчет демпфирующего устройства для САУ проще всего осуществить, полагая, что оно вводится в прямую цепь контура управления как корректирующее
устройство последовательного типа (см. рис. 66, а). В этом случае
ПФ разомкнутого контура скорректированной системы определяется простейшим выражением
Wжел(p) = Wрасп(p)Wк(p),
где Wжел(p) — ПФ скорректированной САУ (она еще называется желаемой, так как, по идее, скорректированная система удовлетворяет всем заданным требованиям по устойчивости, точности и быстродействию); Wрасп(p) — ПФ исходной САУ (она называется располагаемой); Wк(p) — ПФ корректирующего устройства.
190
Соответственно, ЛАХ разомкнутого контура автоматической
системы и корректирующего устройства находятся в соотношении
Lжел(w) = Lрасп(w)+Lк(w), (118)
а ЛФХ —
Ψжел(w) = Ψрасп(w)+Ψк(w).
(119)
Соотношения (118) и (119) лежат в основе расчетов демпфирующих устройств по любому из методов. И, как уже было отмечено,
при необходимости рассчитанное корректирующее устройство
последовательного типа легко преобразуется к эквивалентному
ему корректирующему устройству любого другого типа.
10.1. Демпфирование введением
положительных фазовых сдвигов
Демпфирование введением положительных фазовых сдвигов
достигается включением звеньев, вносящих положительный фазовый сдвиг в области средних и высоких частот. При этом обычно
происходит повышение ЛАХ в области высоких частот. Поэтому
рассматриваемый метод демпфирования иногда называют демпфированием с поднятием высоких частот. При этом методе АФХ
выводится из запретной зоны поворотом против часовой стрелки
ее среднечастотной и высокочастотной частей (рис. 67).
Примером звена, вносящего положительный фазовый сдвиг,
является звено с ПФ
1 + τp
Wê ( p) = k
,
1 + Tp
при t > T.
Такую ПФ имеет, например,
jV
пассивное
дифференцирующее
звено (рис. 68, а), причем у не- M = const
Ïðè
Wmd
го t = R1C, T = R1R2C/(R1+R2) и
U
k = T/t. Учитывая, что t > T, включение такого звена в прямую цепь
Ïðè
Wm контура управления уменьшает коэффициент передачи разомРис. 67. Характер изменения
кнутого контура системы. Чтобы
АФХ системы
этого не происходило, при вклюпри
демпфировании
по методу
чении пассивного дифференцирувведения положительных
ющего звена в прямую цепь конфазовых сдвигов
191
тура регулирования одновременно увеличивают коэффициент
усиления усилителя в kус = t/T раз. Если коэффициент kус присоединить к ПФ звена, то результирующая ПФ корректирующего
звена примет вид
1 + τp
Wê ( p) =
. (120)
+ Tp
1
ЛАХ и ЛФХ звена с ПФ (120) определяются выражениями


 1 + τ2ω2 
 = 20 ⋅ lg 1 + τ2ω2 − 20 ⋅ lg 1 + T2ω2 ,
Lê (ω ) = 20 ⋅ lg 

2 2 
 1+T ω 
(
)
(
)
Ψк(w) = arctg(wt)–arctg(wT).
Асимптотические ЛАХ и ЛФХ звена изображены на рис. 68, б.
Звено вносит положительный фазовый сдвиг и усиливает колебания входного сигнала. График L1 соответствует ЛАХ пассивной
цепи, изображенной на рис. 68, а; график L2 соответствует ПФ
(120), справедливой для корректирующей цепи с дополнительным усилителем.
Применение метода демпфирования введением положительных фазовых сдвигов рассмотрим на примере коррекции системы
управления (см. рис. 64). Пусть в системе используется пропорциональный закон управления (когда в усилителе-преобразователе
t = 0). Вспомним, что при t < Tп определитель Гурвица для этой
САУ становится отрицательным, т. е. при t = 0 система становится неустойчивой.
а)
б)
R1
Uâõ
C
LW½š
+20
(9W¼É¹½
L2
0
–1
æ T ö T +20
(–180)
-MHçç ÷÷÷
R2 Uâûõ
÷
ç
è 5ø
(–90)
L1
(0)
L2
–1
T
æTö
MHçç ÷÷÷
çè 5÷ø
W
L1
9
(+90)
Рис. 68. Электрическая схема (а) и логарифмические частотные
характеристики (б) корректирующего устройства, реализующего
демпфирование САУ по методу введения положительных фазовых
сдвигов
192
Передаточная функция разомкнутого контура нескорректированной исходной системы (при t = 0) имеет вид
K
Wðàñï ( p) =
.
(1 + Tï p) 1 + Tp2 p2
(
)
Асимптотические ЛАХ и ЛФХ нескорректированной системы
(при K = 7, Tп = 0,04 c, Tр = 0,25 c) показаны на рис. 69 сплошной
линией. Система является статической, поэтому первая асимпто1
та идет горизонтально. До сопрягающей частоты ω ï =
асимTï
птотическая ЛАХ системы совпадает с ЛАХ консервативного
1
ЛАХ терпит разрыв, а ЛФХ скачком
звена: на частоте ω ð =
Tð
получает приращение фазы, равное 180°. На частоте wп асимптотическая ЛАХ “сламывается” и при w > wп идет с наклоном
–60 дБ/дек.
Рассматривая рис. 69 и вспоминая методику определения
устойчивости САУ по логарифмическим частотным характериLWäÁ
(9Wãðàä)
W
T
Wp
Wï
40
(–360 )
+20
20
(–270 )
0
(–180 )
Lðàñï
1
9ðàñï
100
10
9æåë
–40
W
c–1
–40
–20
(–90 )
–40
(0 )
–20
Læåë
–60
9ðàñï
9æåë
Рис. 69. Логарифмические частотные характеристики,
иллюстрирующие методику демпфирования САУ по методу введения
положительных фазовых сдвигов
193
стикам, нетрудно сделать вывод, что при данных значениях параметров нескорректированная система управления действительно
оказывается неустойчивой. Для того чтобы сделать рассматриваемую САУ устойчивой, можно уменьшить отрицательный фазовый сдвиг в разомкнутом контуре системы. Для этого введем в
нее параллельно основному сигналу составляющую, пропорциональную первой производной от угла рассогласования (т. е. от сигнала ошибки). Это эквивалентно включению последовательного
корректирующего устройства с ПФ
Wк(р) = 1+tp.
(121)
При включении в систему звена с ПФ (121) (звено такого типа
называют форсирующим) управляющее воздействие будет функцией не только от ошибки, но и от производной по ошибке. Управление по ошибке и по производной от нее учитывает не только
значение ошибки, но и скорость ее изменения. Это не только позволяет добиться устойчивости САУ, но и улучшает быстродействие системы.
Приближенно звено с ПФ (121) может быть реализовано с помощью пассивной дифференцирующей цепочки.
Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы (желаемая ПФ) будет иметь вид
Wæåë ( p) =
K (1 + τp)
.
(1 + Tï p)(1 + Tð2 p2 )
Асимптотические ЛАХ и ЛФХ скорректированной системы
показаны на рис. 69 пунктиром (при оптимальном, как уже было
рассчитано ранее, значении t = 0,78 с). Ясно, что скорректированная система также является статической. Когда горизонтальная
1
асимптота ЛАХ доходит до сопрягающей частоты ω τ = , ЛАХ
τ
получает приращение наклона +20 дБ/дек и идет с таким наклоном до частоты wр, на которой ЛАХ терпит разрыв, после чего
получает приращение наклона –40 дБ/дек, т. е. идет далее с наклоном –20 дБ/дек вплоть до сопрягающей частоты wп, а после
нее приобретает окончательный наклон –40 дБ/дек. По графикам
видно, что скорректированная система устойчива.
Из рассмотренного примера следует, что при демпфировании
введением положительных фазовых сдвигов полоса пропускания
разомкнутого контура системы увеличивается. При этом ЛАХ в
области средних и высоких частот поднимается, что повышает
быстродействие. В этом заключается достоинство метода демпфи194
рования введением положительных фазовых сдвигов. Недостаток его состоит в понижении помехозащищенности за счет повышения ЛАХ в области высоких частот.
10.2. Демпфирование подавлением средних и высоких частот
Демпфирование подавлением средних и высоких частот может
быть достигнуто введением в систему последовательного корректирующего звена с ПФ вида
Wê ( p) = k ×
1 + τp
,
1 + Tp
(122)
где t < T (в частном случае t может быть равно нулю).
Такую ПФ имеет, например, пассивное интегрирующее звено
(рис. 70, а), у него k = 1, T = (R1+R2)C, t = R2C.
Определяются ЛАХ и ЛФХ звена выражениями


 1 + τ2ω2 
 =
Lê (ω ) = 20 ⋅ lg k

2 2
 1 + T ω 
= 20 ⋅ lg k − 20 ⋅ lg
( 1 + T ω )+ 20 ⋅ lg( 1 + τ ω ),
2 2
2 2
Ψк(w) = arctg(wt)–arctg(wT).
Асимптотические ЛАХ и ЛФХ звена, подавляющего средние и
высокие частоты, показаны на рис. 70, б.
Более подробно методы демпфирования с подавлением средних и высоких частот рассмотрим на примере демпфирования
следящей системы, располагаемая ПФ разомкнутого контура которой имеет вид
а)
б)
R1
Uâõ
LW½š
(9W¼É¹½
0
(–180)
R2 Uâûõ
(–90)
C
T –1
L
9
T
–20
–1
W
æ 5ö
MH çç ÷÷÷
çè T ÷ø
L
(0)
(+90)
Рис. 70. RC-цепь интегрирующего типа (а) и ее характеристики (б)
195
Wðàñï ( p) =
K
.
p(1 + Tä p)(1 + Ty p)
Пусть для определенности параметры САУ таковы: K = 320 с–1,
Tд = 0,1 с, Tу = 0,01 с, тогда ее ЛАХ и ЛФХ имеют вид, показанный на рис. 70 сплошными линиями. Из рисунка видно, что данная система неустойчива.
При рассматриваемом методе демпфирование САУ достигается понижением ЛАХ в области средних и высоких частот при малой деформации ЛФХ в районе частоты среза wср. Для этого постоянные времени t и T корректирующего звена с ПФ (122) нужно
1
1
выбрать так, чтобы и
были меньше частоты среза нескоррекτ T
тированной системы.
Передаточная функция разомкнутого контура системы после
коррекции имеет вид
Wæåë ( p) =
LWäÁ
(9Wãðàä)
60
(–450)
40
(–360)
.
p(1 + Tä p)(1 + Ty p)(1 + Tp)
5½
T
5
5Ì
–20
–20
Lðàñï
–40
20
(–270)
Læåë
0
(–180)
1
9æåë
–20
(–90)
K (1 + τp)
–20
9ðàñï
–40
W, c–1
100
10
K
–40
–60
Рис. 71. Логарифмические частотные характеристики,
иллюстрирующие методику демпфирования САУ по методу
подавления средних и высоких частот
196
На рис. 71 построены логарифмические частотные характеристики скорректированной САУ при задании параметров корректирующей цепи T = 4 с и t = 0,4 с. Видно, что скорректированная
САУ будет устойчивой.
Если провести сравнение с другими методами демпфирования, то можно отметить, что достоинством метода демпфирования с подавлением средних и высоких частот является уменьшение ошибок от сигнала помехи, недостатком — снижение быстродействия из-за значительного уменьшения частоты среза (см.
рис. 71). Этот метод часто используют для коррекции САУ при
большом уровне помех (возмущающих воздействий).
10.3. Демпфирование подавлением средних частот
Демпфирование подавлением средних частот достигается
включением в прямую цепь конjV
тура управления системы звеM = const
ньев, понижающих ЛАХ в облаÏðè
Wmd
U
сти средних частот, т. е. в области
частоты среза разомкнутого контура системы wср и при этом мало
Ïðè
Wm
изменяющих ЛФХ в районе частоты среза wср. АФХ выводится
из запретной зоны подавлением
Рис. 72. Характер изменения
усиления в области средних чаАФХ системы при
стот (рис. 72).
демпфировании по методу
подавления средних частот
Для реализации рассматриваемого метода может быть использовано пассивное интегро-дифференцирующее корректирующее
звено (рис. 73, а) с передаточной функцией
(1 + τ1 p)(1 + τ2 p)
(123)
Wê ( p) =
,
1 + T1 p)(1 + T2 p)
(
где t1 = R1C1, t2 = R2C2; T1T2 = t1t2, T1+T2 = t1+t2(1+R1/R2).
На рис. 73, б показаны ЛАХ и ЛФХ звена.
Демпфирование подавлением средних частот проиллюстрируем на примере демпфирования той же электромеханической следящей системы, что была рассмотрена в подразд. 10.2, с ПФ вида
K
Wðàñï ( p) =
,
p(1 + Tä p)(1 + Ty p)
197
а)
б)
R1
Uâõ
C1
R2 Uâûõ
LW½š
(9W¼É¹½
0
(–180 )
(–90)
5-
T- T
–20
+20
9
(+90 )
W
L
(0)
C2
5-
Рис. 73. Электрическая схема (а) и логарифмические
частотные характеристики (б) корректирующего устройства,
реализующего демпфирование САУ по методу подавления средних
частот
с теми же значениями параметров: K = 320 с–1, Tд = 0,1 с,
Tу = 0,01 с.
Передаточная функция разомкнутого контура системы после
коррекции имеет вид
Wæåë ( p) =
K (1 + τ1 p)(1 + τ2 p)
.
p(1 + Tä p)(1 + Ty p)(1 + T1 p)(1 + T2 p)
(124)
Задавая T2 = Ty и t2 = Tд, передаточную функцию (124) можно
привести к виду
Wæåë ( p) =
K (1 + τ1 p)
2
p(1 + T1 p)(1 + Ty p)
и при грамотном выборе значений параметров T1 и t1 можно добиться устойчивости системы.
Асимптотические ЛАХ и ЛФХ нескорректированной системы
показаны на рис. 74 сплошными линиями; скорректированной
системы (при T1 = 1,66 с и t1 = 0,33 с) — пунктирными. Скорректированная система устойчива.
По своим свойствам метод демпфирования подавлением средних частот занимает промежуточное место между методами демпфирования с подавлением средних и высоких частот и демпфирования введением положительных фазовых сдвигов. Это определяет его относительно широкое распространение, чему дополнительно способствует тот факт, что у него больше степеней свободы
(разработчик может варьировать четыре параметра вместо двух).
198
60
(–450)
=
5½ T
T
5
LWäÁ
(9Wãðàä)
=
5Ì 5
–20
–20
40
(–360)
–40
Læåë
20
(–270 )
0
(–180)
–20
(–90)
Lðàñï
1
–20 –40
9ðàñï
10
100
K
W
c–1
–60
9æåë
–60
Рис. 74. Логарифмические частотные характеристики,
иллюстрирующие методику демпфирования САУ по методу
подавления средних частот
Нетрудно видеть также, что заданием некоторых параметров в
ПФ (123), близкими к нулю, можно сделать ее практически эквивалентной и (121), и (122).
10.4. Демпфирование введением
отрицательных фазовых сдвигов
Демпфирование введением отрицательных фазовых сдвигов
достигается включением последовательных звеньев, вносящих
отрицательный фазовый сдвиг и не изменяющих или мало изменяющих ЛАХ. Звеньями с такими свойствами являются, например, звено чистого запаздывания и звено с бесконечной полосой
пропускания.
Передаточная функция звена с бесконечной полосой пропускания имеет вид
1 - τp
Wê ( p) =
.
1 + τp
199
Видно, что звено является неминимально-фазовым. Частотная передаточная функция, ЛАХ и ЛФХ звена определяются следующими выражениями:
1 - jωτ
Wê (jω ) =
;
1 + jωτ
æ
ö
çç 1 + (ωτ )2 ÷÷
÷
ç
Lê (ω ) = 20 × lg ç
÷ = 20 × lg (1) = 0;
çç
2 ÷÷
çè 1 + (ωτ ) ÷ø
Ψк(w) = –2arctg(wt).
Один из вариантов схемы практической реализации звена с
бесконечной полосой пропускания показан на рис. 75, а (можно
показать, что t = RC); ЛАХ и ЛФХ звена показаны на рис. 75, б.
Звено с бесконечной полосой пропускания часто используется для демпфирования систем, содержащих консервативные или
слабодемпфированные (с ζ≈0) колебательные звенья. Метод демпфирования введением отрицательных фазовых сдвигов проиллюстрируем на примере коррекции САУ с располагаемой ПФ вида
K
Wðàñï ( p) =
.
2 2
p T p + 2ζTp + 1
(
)
Примем для определенности следующие значения параметров:
K = 7,5 с–1, T = 0,02 c и ζ = 5⋅10–4. Для анализа системы в данном
случае удобнее использовать диаграмму Никольса (рис. 76). По
графику для располагаемой системы (сплошная линия) можно убедиться, что петля графика охватывает критическую точку C, положение которой соответствует критической точке с координатами
б)
а)
C
R
Uâõ
Uâûõ
R
C
LW½š
(9W¼É¹½
0
(–180 )
(–90 )
T–1
–20
L
W
9
(0)
(+90 )
Рис. 75. Электрическая схема (а) и логарифмические частотные
характеристики (б) корректирующего звена с бесконечной полосой
пропускания, вносящего отрицательный фазовый сдвиг
200
–270 o
–240o
1000
–300o
100
Ïðè Wmd
–210o
–180o
jV
10
1
–330o
0.1
0.01
–0 o U
C
Ïðè
Wmd
–150o
–120o
Ïðè Wm –30 o
–60 o
–90o
Рис. 76. Диаграммы Никольса для располагаемой и скорректированной
САУ (масштабную сетку длин векторов задают концентрические
окружности)
(–1, j0) на обычной АФХ. Таким образом, нескорректированная система действительно оказывается неустойчивой. Причем если рассмотреть АЧХ разомкнутого контура располагаемой САУ
K
Aðàñï (ω ) =
(
ω 1 - ω2T2
2
) + (2ζTω)2
и его ФЧХ
ì π
æ 2ζTω ÷ö
ï
1
ï
- - arctg çç
÷ ïðè ω <
ï
2
2
ç
ï
÷
2
T
è1 - ω T ø
ï
ï
ï
ï
1
ï
Ψðàñï (ω ) = í-π ïðè ω =
,
ï
T
ï
ï
ï
æ 2ζTω ÷ö
3π
1
ï
ï
- + arctg çç 2 2
÷ ïðè ω >
ï
ç
÷
ï
2
T
è ω T -1ø
ï
ï
î
201
то станет ясно, что в данном случае складывается тяжелая ситуация: на частоте wТ = T–1, когда Ψ(wТ) = –π (т. е. когда вектор АФХ
направлен по вещественной оси влево), АЧХ достигает очень значительной величины (A(wТ) = KT/2ζ = 150), и осуществить демпфирование САУ, например по методу подавления средних частот,
будет очень трудно.
Между тем после введения в систему звена с бесконечной полосой пропускания ПФ преобразуется к
Wæåë ( p) =
K (1 - τp)
.
p T p + 2ζTp + 1 (1 + τp)
(
2 2
)
Результирующая АФХ скорректированной системы при выборе t = 0,04 с примет вид, показанный на рис. 76 пунктирной линией. Очевидно, что скорректированная САУ оказывается устойчивой и даже имеет неплохой запас по амплитуде и по фазе. При
желании можно убедиться в устойчивости скорректированной
САУ и по критерию Гурвица. Справедливости ради заметим, что
описанный способ коррекции не всегда будет эффективным, в
частности, можно показать, что применительно к рассматриваемому случаю при ζ→0 необходимо, чтобы параметры располагаемой системы удовлетворяли условию KT < 1. Если это условие не
выполняется, то скорректировать данную систему звеном с бесконечной полосой пропускания не удастся при любом выборе параметра t, и для осуществления демпфирования в этом случае необходимо либо дополнительно уменьшить добротность САУ, либо
прибегнуть к более сложным способам коррекции. Достоинство
рассмотренного метода в том, что он практически нечувствителен
к изменениям параметра ζ, и САУ останется устойчивой, даже если колебательное звено в ее составе станет консервативным.
10.5. Демпфирование минимально-фазовых
автоматических систем
Во многих случаях автоматические системы состоят только из
минимально-фазовых звеньев. Демпфирование таких систем (в
случае их неустойчивости) можно осуществить, ограничившись
рассмотрением их логарифмических АЧХ, без построения ЛФХ.
Это возможно, поскольку для таких систем устойчивость гарантируется, если ЛАХ разомкнутого контура системы пересекает
ось частот с наклоном –20 дБ/дек. Более того, значение показателя колебательности САУ (параметр М) однозначно связано с про202
тяженностью асимптоты ЛАХ с наклоном –20 дБ/дек в окрестности частоты среза. Расчет корректирующего устройства можно
производить не только методом подбора параметров корректирующих устройств заданной структуры, как это делалось в предыдущих случаях (хотя и этот подход не исключается), а путем целенаправленного построения желаемой ЛАХ, исходя из необходимых значений параметров САУ.
Передаточная функция корректирующего устройства может
быть определена в результате следующей последовательности
действий:
1) построить располагаемую ЛАХ системы (предполагается,
что структура системы и коэффициент передачи разомкнутого
контура уже определены из условия обеспечения точности в установившемся режиме);
2) исходя из требуемых значений перерегулирования и быстродействия задать значения частоты среза wср и показателя колебательности системы [см. формулы (102) и (104)];
3) построить на плоскости ЛАХ две горизонтальные пункM
LM1 = 20 × lg
тирные
прямые
с
уровнями
и
M
+1
M
LM2 = 20 × lg
[дБ] (заметим, что всегда LM1 < 0, LM2 > 0) —
M -1
они образуют “коридор”, в пределах которого асимптота ЛАХ
скорректированной системы должна иметь наклон –20 дБ/дек,
тогда показатель колебательности системы будет равен M;
4) начать построение желаемой ЛАХ, проведя асимптоту с наклоном –20 дБ/дек через отмеченную ранее точку wср до границ
“коридора”, заданного уровнями LM1 и LM2 (заметим, что чаще
всего нижний уровень LM1 точно рассчитывать не требуется, поскольку даже для M = 1 получится LM1 = –6 дБ, этот фиксированный уровень можно использовать и для других M, что даст небольшой дополнительный запас);
5) продолжить построение желаемой ЛАХ за пределами “коридора” так, чтобы в конечном итоге желаемая ЛАХ удовлетворяла следующим условиям: а) достигла бы располагаемой ЛАХ
при движении вверх от уровня LM2 и б) приобрела бы наклон,
равный последнему наклону располагаемой ЛАХ при движении
вниз от уровня LM1 (чтобы выполнить эти условия, желательно
максимально использовать сопрягающие частоты, изменяющие
наклон располагаемой ЛАХ, это упростит последующую реализацию корректирующего устройства);
203
6) по построенной желаемой ЛАХ системы (предполагается,
что желаемая и располагаемая ЛАХ совпадают левее точки, где
желаемая ЛАХ достигла располагаемой при построении вверх от
уровня LM2) следует восстановить ПФ системы Wжел(p), которая
ей соответствует (для этого следует использовать алгоритм, описанный в подразд. 2.5);
7) определить ПФ последовательного корректирующего устройства Wк(p), используя формулу Wк(p) = Wжел(p)/Wрасп(p).
Корректирующее устройство с полученной ПФ Wк(p) в общем
случае не будет таким простым, как рассмотренные ранее, но его
всегда можно реализовать, используя типовые динамические звенья автоматики.
Рассмотрим в качестве примера задачу демпфирования уже
неоднократно рассмотренной ранее электромеханической следящей системы с ПФ вида
K
Wðàñï ( p) =
,
p(1 + Tä p)(1 + Ty p)
с параметрами K = 320 с–1, Tд = 0,1 с, Tу = 0,01 с.
Видно, что система относится к классу минимально-фазовых.
Один из множества возможных вариантов построения желаемой
ЛАХ проиллюстрирован на рис. 77. Построения выполнены в соответствии с вышеизложенным алгоритмом. Для построения зададимся значениями M = 1,2 и wср = 20 с–1.
Сначала строится располагаемая ЛАХ системы Lрасп(w). Затем
строится “коридор” по значениям LM2 = 20 • lg(1,2/(1,2–1)) = 15,6 дБ,
LM1 = –6 дБ. После этого через точку wср до границ коридора проводится асимптота АВ с наклоном –20 дБ/дек. Выше уровня LM2
проводится асимптота с наклоном –40 дБ/дек до тех пор, пока она
не пересечется с располагаемой ЛАХ в точке C, левее этой точки желаемая ЛАХ будет совпадать с располагаемой. Ниже уровня LM1 сначала проводится асимптота с наклоном –40 дБ/дек,
а после достижения сопрягающей частоты Tу–1 асимптота желаемой ЛАХ приобретает наклон –60 дБ/дек, такой же, как и у располагаемой ЛАХ. В результате этих построений образуется желаемая ЛАХ системы Lжел(w), показанная на рис. 77 пунктирными линиями, которая удовлетворяет условиям устойчивости.
Для иллюстрации того, что скорректированная САУ будет устойчивой, на рисунке показана также ЛФХ скорректированной системы Ψжел(w), из рассмотрения которой совместно с графиком
Lжел(w) устойчивость системы очевидна. Подчеркнем, что это
204
LWäÁ
(9Wãðàä)
60
(–450 )
5©
5š
5Ì
–20
Lðàñï
–40
Læåë
20
(–270 )
À
LÌ2
–20
(–90)
5½
–20
C
40
(–360 )
0
(–180 )
5˜
1
LÌ1
9ðàñï
–40
–20
10
Wñð
K
B
9æåë
100
W
c–1
–40 –60
D
–60
Рис. 77. Логарифмические частотные характеристики,
иллюстрирующие один из способов демпфирования минимальнофазовой САУ
сделано исключительно ради иллюстрации, в принципе же ЛФХ
строить не нужно.
Теперь по построенному графику Lжел(w) необходимо восстановить ПФ соответствующей ей системы. Это нетрудно сделать,
пройдя по графику слева направо, обращая внимание на точки, в
которых ее наклон ЛАХ изменяется. Начальная асимптота желаемой ЛАХ имеет наклон –20 дБ/дек, следовательно, в знаменателе
ПФ Wжел(p) будет свободный сомножитель p, а добротность скорректированной системы будет такая же, как у располагаемой. В
точке C, которой соответствует значение сопрягающей частоты,
примерно равное 0,22 c–1 (заметим, что, в свою очередь, сопрягающей частоте всегда соответствует некоторая постоянная времени; обозначим ее через TC, тогда сопрягающая частота выразится как TC–1), наклон желаемой ЛАХ изменяется от –20 дБ/дек
к –40 дБ/дек, соответственно, в знаменателе ПФ Wжел(p) появляется сомножитель вида (1+TCp), где TC = 1/0,22 = 4,55 с. Далее, в точке А наклон желаемой ЛАХ изменяется от –40 дБ/дек
к –20 дБ/дек, следовательно, сомножитель вида (1+TАp), где
TА = 1/3,2≈0,3 с, появляется в числителе. Изменение наклона же205
лаемой ЛАХ в точке B соответствует появлению сомножителя
(1+TВp) с TВ = 1/40 = 0,025 с в знаменателе ПФ Wжел(p), и, наконец, точке D соответствует сомножитель (1+Tуp) в знаменателе.
В итоге имеем
Wæåë ( p) =
K (1 + TA p)
p(1 + TC p)(1 + TÂ p)(1 + Ty p)
и ПФ корректирующей цепи определяется уже формально:
Wê ( p) =
Wæåë ( p)
Wðàñï ( p)
=
(1 + TA p)(1 + Tä p)
.
(1 + TC p)(1 + TÂ p)
Таким образом, в данном случае полученная ПФ Wк(p) соответствует корректирующей цепи интегро-дифференцирующего
типа вида (123), которая была применена при коррекции системы
по методу подавления средних частот. Осталось только выбрать
параметры цепи так, чтобы t1 = TА, t2 = Tд, T1 = TC, T2 = TВ.
При построении желаемой ЛАХ для рассматриваемой электромеханической системы можно применить и другую стратегию
(рис. 78).
LWäÁ
(9Wãðàä)
5½
5š
–20
Lðàñï
40
(–360 )
20
(–270)
–20
(–90)
5Ì
–20
60
(–360)
0
(–180)
5˜
LÌ2
À
–40
1
LÌ1
9ðàñï
10
9æåë
–20Wñð
K
100
B
–60
W
–1
c
–60
Læåë
Рис. 78. Логарифмические частотные характеристики,
иллюстрирующие другой способ демпфирования минимально-фазовой
САУ
206
Здесь принята несколько иная последовательность: построения
начинались от точки А, в которой располагаемая ЛАХ пересекала
верхнюю границу “коридора”, с уровнем LM2. До этой точки желаемую ЛАХ всегда можно принять совпадающей с располагаемой,
что и было сделано. После точки А поведение располагаемой ЛАХ
уже не удовлетворяет условию устойчивости, поэтому от точки А
проводится асимптота желаемой ЛАХ с наклоном –20 дБ/дек, она
ведется до нижней границы “коридора”. После пересечения этой
асимптоты с нижней границей “коридора” (точка В на рис. 78)
наклон желаемой ЛАХ уже может быть не равным –20 дБ/дек, а
поскольку необходимо, чтобы последняя асимптота желаемой
ЛАХ имела тот же наклон, что и последняя асимптота располагаемой ЛАХ, то можно не предпринимать дополнительных мер,
поскольку в данном случае в точке B желаемая ЛАХ сразу изменяет наклон от –20 дБ/дек до требуемого значения –60 дБ/дек.
Заметим, что в принципе можно было бы в точке B изменить наклон от –20 дБ/дек до –40 дБ/дек, а в какой-нибудь другой точке —
до –60 дБ/дек.
При восстановлении ПФ системы, соответствующей построенной желаемой ЛАХ, повторяются рассуждения предыдущего
примера с той оговоркой, что изменение наклона ЛАХ в точке B
сразу с –20 дБ/дек до –60 дБ/дек соответствует появлению в знаменателе функции Wжел(p) сомножителя вида (1+TВp)2.
Тогда здесь
Wæåë ( p)=
K (1 + TA p)
2
p(1 + Tä p)(1 + TÂ p)
и
Wê ( p) =
Wæåë ( p)
Wðàñï ( p)
=
(1 + TA p)(1 + Ty p)
(1 + TÂ p)2
,
где значения параметров TА и TВ определяются по рис. 78, исходя из соотношений TА–1 = 22 с–1 и TВ–1 = 250 с–1, что в итоге дает TА = 0,045 с и TВ = 0,004 с. Таким образом, и в данном
случае ПФ Wк(p) соответствует корректирующей цепи интегродифференцирующего типа вида (123), с параметрами, заданными
следующим образом: t1 = TА, t2 = Tу, T1 = T2 = TВ.
Так же, как и в предыдущем примере, на плоскости логарифмических частотных характеристик построены ЛФХ системы до
и после коррекции, причем построены исключительно для ил207
люстрации правильности полученного решения. И здесь хорошо
видно, что скорректированная система оказывается устойчивой.
Заметим, что и в данном случае полученная ПФ Wк(p) соответствует корректирующей цепи интегро-дифференцирующего типа
вида (123), но ее параметры оказываются совсем другими. Видно, что во втором примере частота среза системы оказалась в несколько раз выше, чем в первом. Это, с одной стороны, обеспечивает лучшее быстродействие САУ, а с другой — увеличивает
ошибку от высокочастотных возмущающих воздействий, если
они действуют на систему.
10.6. Демпфирование автоматических систем
с транспортным запаздыванием
В ряде случаев автоматическая система является территориально распределенной, и управляющее воздействие, сформированное устройством управления, попадает на вход объекта управления с некоторой задержкой t. Это особенно заметно в системах,
где воздействие на объект управления осуществляется перемещением в пространстве объемов вещества. Такая ситуация типична,
например, в системах управления технологическими процессами, где состояние объекта управления зависит от свойств потоков
жидкостей и газов (таких, к примеру, как температура, химический состав и т. п.), подаваемых к объекту по сравнительно длинным трубопроводам. С задержкой распространения неизбежно
приходится считаться и в территориально-распределенных САУ
со связью по радиоканалу (например, при дистанционном управлении космическими объектами), и т. п.
Влияние транспортного запаздывания на ПФ разомкнутого
контура САУ описывается дополнительным сомножителем вида
e- pτ , соответствующим типовому звену чистого запаздывания
(положим здесь для простоты, что коэффициент передачи звена
равен единице: k = 1). Введение дополнительного запаздывания в
контур любой САУ ухудшает ее устойчивость в замкнутом состоянии. Это легко проверить, если проанализировать АФХ разомкнутого контура САУ до введения звена чистого запаздывания и
после. Если учесть, что введение звена чистого запаздывания не
изменяет длину вектора АФХ (так как, согласно табл. 6, для этого звена A(w) = 1 на всех частотах), но поворачивает его по часовой стрелке тем значительнее, чем больше значение частоты (так
как, согласно табл. 6, для этого звена Ψ(w) = –wt), то и без какого208
либо конкретного примера построения станет ясно, что для любой
устойчивой линейной САУ, коэффициент передачи разомкнутого
контура которой больше единицы, всегда найдется такое значение параметра задержки t, при котором АФХ системы с запаздыванием охватит критическую точку с координатами (–1, j0) и САУ
станет неустойчивой.
Адекватно парировать негативное влияние транспортного запаздывания обычными методами коррекции САУ почти невозможно, поскольку, строго говоря, полностью исключить влияние задержки можно лишь последовательным корректирующим
звеном типа “идеальный предсказатель”, обладающим ПФ вида
Wê ( p) = e pτ , которое физически нереализуемо (это нетрудно понять, если разложить экспоненту в ряд по возрастающим степеням переменной p, из которого будет видно, что такое корректирующее устройство должно быть способно точно вычислять и
суммировать бесконечное количество производных от процесса,
поступающего на его вход).
Для решения задачи демпфирования автоматических систем
с запаздыванием традиционно используется специальная структура устройства управления, известная как “регулятор Смита”.
Идея состоит в том, чтобы исключить влияние прохождения задержанного сигнала управления, подающегося по цепи обратной связи с выхода объекта управления, путем создания компенсирующего воздействия непосредственно внутри управляющего
устройства (рис. 79).
Из схемы видно, что регулятор имеет достаточно сложную
структуру. Устройство с ПФ Wк(p) представляет собой “обычное”
демпфирующее устройство, рассчитываемое по любому из рассмотренных выше методов для системы, в которой объект управÐåãóëÿòîð
Ñìèòà
g(t)
G(p)
+
e–p
τ
Wî (p)
e(t)
E(p)
Wê (p)
e–p
τ
y(t)
WÎÓ (p)
Y(p)
Рис. 79. Демпфирование САУ с транспортным запаздыванием
209
ления имеет ПФ WОУ(p), но без учета транспортного запаздывания (для упрощения структуры, изображенной на рис. 79, предполагается, что в Wк(p) вошли и все остальные устройства разомкнутого контура рассматриваемой САУ, находящиеся на стороне устройства управления). Дополнительная местная обратная
связь, реализуемая в устройстве управления, обеспечивает подачу сигнала с выхода блока Wк(p) во входную цепь системы посредством устройства с ПФ Wо(p), которое должно воспроизводить
динамические характеристики объекта управления (т. е. здесь
нужно выполнить равенство Wо(p) = WОУ(p)), и дополнительного
устройства задержки распространения сигнала на время t, которое задается в точности равным времени транспортного запаздывания в исходной САУ.
По схеме нетрудно проследить, что в сигнале ошибки системы
e(t) компенсирован задержанный сигнал, возвращающийся с выхода объекта управления. При этом физическая реализуемость
такого регулятора всегда возможна (в отличие, скажем, от блока с
ПФ ϕ(p) в системах с комбинированным управлением), потому что
Wо(p) представляет собой модель реально существующего объекта, а формирование задержанного сигнала есть весьма тривиальная техническая задача. В результате в предложенной структуре
САУ удается как обеспечить управление объектом по замкнутому
циклу, поскольку информация о состоянии объекта управления
передается к входу системы, так и исключить возврат по главной
обратной связи тех составляющих сигнала управления, которые
способны вызвать в САУ нежелательные автоколебания.
Передаточные функции полученной САУ нетрудно выразить,
составив систему дифференциальных уравнений рассматриваемой системы в операторной форме:
ìïY ( p) = E( p)W ( p)e- pτ W ( p)
ïï
ê
ÎÓ
,
í
ïïE( p)= G ( p)- Y ( p)+ E( p)Wê ( p)Wo ( p) e- pτ -1
ïî
(
)
и далее, выражая из второго уравнения E(p), подставляя полученное выражение в первое уравнение, учитывая, что Wо(p) = WОУ(p),
можно выразить ПФ рассматриваемой системы в замкнутом состоянии (Ф(p) = Y(p)/G(p)):
Φ ( p) =
210
Wê ( p)WÎÓ ( p)e- pτ
1 + Wê ( p)WÎÓ ( p)
.
(125)
Из (125) видно, что характеристический полином замкнутой
автоматической системы (соответствующий выражению в знаменателе функции Ф(p)) не зависит от значения транспортного
запаздывания t. Таким образом, переходной процесс будет протекать точно так же, как в системе без звена чистого запаздывания, только со сдвигом по времени; это определяется множителем
e- pτ в (125). В то же время система сохраняет все свойства, определяющие точность отработки задающего воздействия в установившемся режиме.
Единственная сложность, с которой можно столкнуться на
практике, связана с тем, что параметры задержки или ПФ объекта управления не будут точно известны, поскольку регулятор
Смита довольно чувствителен к отклонениям модели объекта
управления Wо(p), заданной в регуляторе, от истинного описания
реального объекта WОУ(p) и к точности задания задержки. Однако, строго говоря, все рассмотренные ранее методы демпфирования также строились в предположении, что параметры располагаемой части системы точно известны и не изменяются. Решение
более сложных задач, возникающих в случаях, когда демпфирование САУ необходимо осуществить в предположении, что параметры располагаемой части системы будут меняться в некоторых
пределах, требует применения специальных подходов (в частности, робастных и адаптивных), рассмотрение которых не укладывается в рамки тематики данного учебного пособия.
211
11. Способы реализации регуляторов и
демпфирующих устройств систем управления
11.1. Пропорционально-интегро-дифференцирующий регулятор
Пропорционально-интегро-дифференцирующий
регулятор
(ПИД-регуятор) является универсальным средством коррекции замкнутых автоматических систем. Передаточная функция
ПИД-регулятора выражается следующим образом:
k
Wê ( p) = kï + è + kä p (126)
p
или же
Wê ( p) =
kä p2 + kï p + kè
=
(
), kè T12 p2 + T2 p + 1
(127)
p
p
где T2 = kп/kи и T12 = kд/kи.
ПИД-регулятор включается последовательно в разомкнутый
контур САУ. По сути это устройство представляет собой параллельное соединение трех типовых динамических звеньев: безынерционного с коэффициентом передачи kп, идеального интегрирующего с Wи(p) = kи/p и идеального дифференцирующего с
Wд(p) = kдp. В настоящее время промышленностью выпускаются
стандартные модули ПИД-регуляторов, в которых константы ПФ
могут настраиваться пользователем.
В зависимости от необходимого типа коррекции автоматической системы некоторые из коэффициентов в (126) могут быть выбраны равными нулю, и ПИД-регулятор становится эквивалентным некоторым типовым корректирующим звеньям, рассмотренным в разд. 10. В частности:
– при kд = 0 ПИД-регулятор (в такой конфигурации его называют ПИ-регулятором) эквивалентен изодромному звену:
k
Wê ( p) = kï + è ;
p
– при kи = 0 ПИД-регулятор (в такой конфигурации его называют ПД-регулятором) эквивалентен форсирующему звену:
Wк(p) = kп+kдp.
Формально константы kп, kи и kд могут быть выбраны как положительными, так и отрицательными, что определяет большую
212
гибкость построения корректирующих устройств на его основе, в
том числе и неминимально-фазовых.
Наиболее ярко преимущества ПИД-регулятора проявляются
при необходи­мости коррекции САУ, в составе которой имеется
колебательное звено. Если, к примеру, располагаемая ПФ разомкнутого контура САУ имеет вид
K
Wðàñï ( p) = 2 2
,
T p + 2ζTp + 1
то без коррекции ей соответствует ПФ замкнутой системы вида
K*
,
Φ ðàñï ( p) = 2 2
T* p + 2ζ*T* p + 1
где K* = K/(K+1); T* = T K + 1 ; ζ* = ζ K + 1.
То есть переходной процесс в замкнутой САУ соответствует переходной функции колебательного звена и характеризуется значительной и очень продолжительной колебательностью (так как
при больших K будет ζ* ≈ 0) со сравнительно большой частотой.
Хотя формально САУ оказывается устойчивой, такое ее движение недопустимо, особенно если речь идет об электромеханических системах, поскольку это вызывает быстрый износ подвижных частей системы.
Расчет необходимых параметров ПИД-регулятора в этом случае тривиален: полагая в (127) T1 = T и T2 = 2ζT (выделение из
этих равенств необходимых значений коэффициентов настройки ПИД-регулятора kп kи и kд представляется простым делом),
результирующую ПФ разомкнутого контура скорректированной
САУ можно свести к
k K K
Wæåë ( p) = è = æåë .
p
p
Предельно очевидно, что получившаяся САУ устойчива. Видно, что варьированием коэффициента kи можно добиться желаемого значения коэффициента передачи разомкнутого контура
САУ Kжел, например по критерию минимума ошибки. При этом
необходимо только учесть, что kи входит также в T1 и T2, поэтому
задание всех констант нужно производить согласованно.
Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид
Kæåë
1
,
Φ æåë ( p) =
=
Kæåë + p 1 + TK p
где TK = 1/Kжел.
213
Переходной процесс в рассматриваемой скорректированной
САУ, таким образом, формально описывается переходной характеристикой апериодического звена 1-го порядка
-
yï (t) = 1 - e
t
TK
,
т. е. будет проходить вообще без колебаний, а переходная составляющая ошибки монотонно убывает с течением времени, стремясь к нулю:
-
eï (t) = e
t
TK
.
Переходной процесс в полученной САУ будет иметь длительность примерно tп≈2..3TK.
ПИД-регулятор способен легко справиться с труднейшей задачей управления неустойчивым колебательным объектом с ПФ
K
Wðàñï ( p) = 2 2
T p - 2ζTp + 1
 нужно только изменить знак у ранее рассчитанного коэффициента kп.
Несколько менее очевидным способом можно скорректировать
САУ, обладающую неудовлетворительными динамическими характеристиками, и в других случаях.
11.2. Корректирующие обратные связи
В линейных САУ дополнительные корректирующие обратные
связи, вводимые в системы, по своему действию могут быть сделаны эквивалентными соответствующим корректирующим звеньям последовательного типа. Причем на практике часто бывает предпочтительнее реализовывать не корректирующие звенья
последовательного типа, а именно обратные связи. Это связано с
тем, что на вход звена обратной связи поступает сигнал сравнительно высокого уровня, часто даже непосредственно с выхода системы управления или выходного каскада усилителя мощности,
что уменьшает влияние “аппаратурных” помех, которые могут
воздействовать на сигнал в процессе его передачи.
Для демпфирования САУ используются в основном отрицательные обратные связи. Существуют два типа обратных связей — жесткая и гибкая.
214
Если в цепи обратной связи стоит позиционное звено, то обратная связь называется жесткой. Жесткая обратная связь действует как в переходных, так и в установившихся режимах работы
системы. Если в цепи обратной связи звено дифференцирующего типа, то обратная связь называется гибкой. Гибкая обратная
связь не действует при отсутствии изменений выходной координаты охватываемого обратной связью звена. В принципе, конечно, в цепь обратной связи могут ставиться и интегрирующие звенья. Однако этот тип обратных связей на практике используется
редко и специального названия не имеет.
Рассмотрим наиболее часто используемые способы реализации обратных связей в САУ.
Идеальное безынерционное звено, охваченное дифференцирующим звеном с замедлением (рис. 80, а). В результате исходное безынерционное звено с W(p) = kc, имевшееся в составе системы до введения обратной связи, заменяется на эквивалентное
звено с результирующей ПФ вида
Wýêâ ( p) =
k (1 + TÎÑ p)
kc
= ñ
.
kcTÎÑ p
1 + (kñ + 1)TÎÑ p
1+
1 + TÎÑ p
Из этого выражения видно, что в результате охвата звена гибкой обратной связью общий коэффициент передачи звена не изменился, т. е.
Wэкв(p) = kcWк(p),
где
1 + TÎÑ p
Wê ( p) =
,
1 + (kc + 1)TÎÑ p
откуда видно, что охват безынерционного звена дифференцирующим звеном с замедлением эквивалентен последовательному
включению в разомкнутый контура САУ пассивного интегрирующего звена и соответствует демпфированию САУ по методу подавления средних и высоких частот.
Апериодическое звено 1-го порядка, охваченное идеальным
безынерционным звеном (рис. 80, б). Типичным примером корректирующей обратной связи такого вида служит применяемый
в электромеханических САУ охват обратной связью узла электропривода, когда сигнал, пропорциональный скорости вращения
двигателя, вырабатывается тахогенератором и подается во вход215
а)
б)
xâõ(t)
kc
xÎÑ (t)
xâûõ(t)
xâõ(t)
LÊ
+ 5Ê Q
xÎÑ(t)
5§ª Q
+ 5§ª Q
в)
xâûõ(t)
k ÎÑ
г)
xâõ(t)
LÊ
Q
xÎÑ (t)
xâûõ(t)
xâõ(t)
kc
xÎÑ (t)
k ÎÑ
xâûõ(t)
L §ª
+ 5§ª Q
д)
xâõ(t)
kc
xÎÑ(t)
xâûõ(t)
L ÇÊ
Q
Рис. 80. Структурная схема динамической системы, состоящей
из: а – безынерционного звена и инерционного дифференцирующего
звена в цепи ОС; б – апериодического звена 1-го порядка и идеального
безынерционного звена в цепи ОС; в – идеального интегрирующего
звена и идеального безынерционного звена в цепи ОС; г – идеального
безынерционного звена и апериодического звена 1-го порядка в цепи ОС;
д – идеального безынерционного звена и идеального интегрирующего
звена в цепи ОС
ную цепь усилителя мощности, осуществляющего управление
приводом.
Нетрудно получить выражение для ПФ образовавшегося в результате эквивалентного звена:
kc
kc
1 + Tc p
kc
kc kÎÑ + 1
kýêâ
,
Wýêâ ( p) =
=
=
=
kc kÎÑ
T
1
1
k
k
+
+
T
p
+
T
p
c
c
ÎÑ
c
ýêâ
1+
1+
p
1 + Tc p
kc kÎÑ + 1
216
т. е. получившееся звено также является апериодическим звеном
1-го порядка, у которого коэффициент передачи kэкв и постоянная времени Tэкв меньше, чем у исходного, в (1+kckОС) раз.
С другой стороны, по своему действию охват апериодического
звена 1-го порядка жесткой отрицательной обратной связью эквивалентен последовательному включению пассивного дифференцирующего звена и коррекции САУ по методу введения положительных фазовых сдвигов. Проиллюстрируем этот неочевидный,
но важный факт.
Пусть ПФ какого-то звена в составе разомкнутого контура
САУ имеет вид
k0
W ( p) =
.
1 + T0 p
Включим последовательно с этим звеном дополнительное пассивное дифференцирующее корректирующее звено с ПФ
1 + τp T1 1 + τp
= ×
Wê ( p)= k ×
.
1 + Tp
τ 1 + Tp
При выборе t = T0 результирующая ПФ эквивалентного динамического звена будет равна
T 1 + τp
T
1
1
×
= k0 × 1 ×
Wýêâ ( p) = k0 × 1 ×
,
τ 1 + Tp 1 + T0 p
τ 1 + Tp
т. е. у образовавшегося нового апериодического звена 1-го порядка постоянная времени стала меньше, чем была у исходного звена: T < T0.
Идеальное интегрирующее звено, охваченное идеальным
безынерционным звеном (рис. 80, в).
В результате исходное идеальное интегрирующее звено, имевшееся в составе системы до введения обратной связи, заменяется
на эквивалентное звено с результирующей ПФ вида
1
kc
k
kýêâ
p
ÎÑ
Wýêâ ( p) =
,
=
=
1
kk
p 1 + Týêâ p
1 + c ÎÑ 1 +
kc kÎÑ
p
т. е. охват жесткой обратной связью интегрирующего звена превращает его в позиционное звено, соответствующее апериодическому звену 1-го порядка с коэффициентом передачи 1/kос. Апе217
риодическое звено 1-го порядка вносит в систему меньший фазовый сдвиг по сравнению с идеальным интегрирующим звеном,
что обычно приводит к увеличению запаса устойчивости.
Идеальное безынерционное звено, охваченное апериодическим звеном 1-го порядка (рис. 80, г).
В результате исходное безынерционное звено, имевшееся в составе системы до введения обратной связи, заменяется на эквивалентное звено с результирующей ПФ вида
kc
kc
1 + TÎÑ p
1 + TÎÑ p
Wýêâ ( p)=
.
=
×
= kýêâ ×
kc kÎÑ
T
1
1
+
k
k
+ Týêâ p
ÎÑ
c ÎÑ 1 +
1+
p
1 + TÎÑ p
1 + kc kÎÑ
Из полученного выражения видно, что в результате охвата звена жесткой обратной связью общий коэффициент передачи звена
уменьшился. Охват безынерционного звена апериодическим звеном 1-го порядка эквивалентен последовательному включению в
разомкнутый контур САУ пассивного дифференцирующего звена
с ПФ
1 + TÎÑ p
1
Wê ( p) =
×
.
1 + kc kÎÑ 1 + Týêâ p
Идеальное безынерционное звено, охваченное идеальным
интегрирую­щим звеном (рис. 80, д).
В результате безынерционное звено с W(p) = kc, имевшееся в
составе системы до введения обратной связи, заменяется на эквивалентное звено с результирующей ПФ вида
1
p
kc
kÎÑ
kýêâ p
=
=
Wýêâ ( p) =
,
k
1
1 + Týêâ p
p
1+
1 + kc ÎÑ
kc kÎÑ
p
т. е. есть охват безынерционного звена идеальным интегрирующим звеном эквивалентен последовательному включению дифференцирующего звена с замедлением с ПФ
k p
Wê ( p) = ê
,
1 + Tê p
где kк = 1/kckОС и Tк = 1/kckОС.
218
Заключение
Теория линейных автоматических систем непрерывного действия
является фундаментом всей ТАУ. Рассмотренные в данном учебном
пособии методы и подходы, применяемые при анализе основных показателей качества линейных САУ — устойчивости, точности и быстродействия, — являются во многом универсальными, и в несколько измененных формах они используются для анализа нелинейных,
импульсных и цифровых САУ. Потому изучение основ теории линейных САУ является необходимым условием изучения более сложных
систем управления.
Нужно понимать, что, строго говоря, линейных автоматических
систем не существует — все реальные устройства имеют более или
менее выраженные нелинейности. Кроме того, зачастую параметры
располагаемой части системы известны неточно, а также могут изменяться во времени под действием тех или иных внутренних или внешних причин (в этом случае говорят о нестационарных САУ). Поэтому
не все эффекты, наблюдаемые в натурных экспериментах при исследовании реальных САУ, могут быть объяснены исходя из положений
теории линейных автоматических систем непрерывного действия.
По этой же причине экспериментально измеряемые характеристики
реальных систем неизбежно оказываются несколько худшими, чем
расчетные. И хотя обычно указанные различия бывают не слишком
значительными, тем не менее это обстоятельство всегда нужно учитывать, и при расчете регуляторов для автоматических систем желательно предусматривать некоторый дополнительный запас.
Конечно, здесь были рассмотрены далеко не все проблемные
аспекты теории и практики линейных автоматических систем.
В частности, за рамками курса остались многосвязные САУ (когда
система состоит из нескольких замкнутых контуров, оказывающих
взаимное влияние друг на друга), нестационарные САУ, методы синтеза регуляторов автоматических систем в условиях неполной априорной информации о входных воздействиях (так называемые робастные подходы к синтезу), вопросы анализа чувствительности САУ
к отклонениям от принятых при их синтезе рабочих гипотез и ряд
других. Отчасти это вызвано тем, что их рассмотрение потребовало
бы привлечения намного более сложного математического аппарата,
который может стать самодовлеющим и несколько затенить практическую сторону дела, особенно на первом этапе знакомства с предметной областью. Эти и многие другие актуальные разделы ТАУ планируется затронуть в последующих учебных пособиях по рассматриваемой тематике.
219
Условные обозначения
A
A(w)
B
B(p)
C
C
C
С(p)
Dx
D
D(p)
E(p)
F(p)
G(p)
I
J
K
L{…}
L–1{…}
L(w)
M
Mx
R
R(t)
S0
220
1) матрица Гурвица
2) матрица коэффициентов при описании САУ в
пространстве состояний
амплитудно-частотная характеристика
матрица коэффициентов при описании САУ в пространстве состояний
полином в числителе ПФ САУ
электрическая емкость
матрица наблюдений при описании САУ в пространстве состояний
 -й коэффициент ошибки
полином в знаменателе ПФ разомкнутого контура
системы
дисперсия СП x(t)
матрица коэффициентов при описании САУ в пространстве состояний
полином в знаменателе ПФ замкнутой системы (характеристический полином)
изображение по Лапласу сигнала ошибки e(t)
изображение по Лапласу возмущающего воздействия f(t)
изображение по Лапласу задающего воздействия
g(t)
единичная диагональная матрица
интегральная оценка качества переходного процесса в САУ
коэффициент передачи разомкнутого контура САУ
оператор прямого преобразования Лапласа
оператор обратного преобразования Лапласа
логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ)
показатель колебательности САУ
математическое ожидание СП x(t)
электрическое сопротивление
корреляционная функция
уровень спектральной плотности мощности белого
шума
S(w)
T
U
U
U(w)
V(w)
W(p)
Wжел(p)
Wк(p)
Wрасп(p)
W(jw)
X
X(p)
Y
Y(p)
Z
ai
bi
di
e(t)
eп
eуст
f(t)
g(t)
h
функция спектральной плотности мощности
постоянная времени
электрическое напряжение
вектор управления системы при описании САУ в
пространстве состояний
вещественная часть частотной ПФ
мнимая часть частотной ПФ
передаточная функция разомкнутого контура САУ
желаемая передаточная функция разомкнутого
контура САУ
передаточная функция корректирующего (демпфирующего) устройства
располагаемая передаточная функция разомкнутого контура САУ
частотная передаточная функция разомкнутого
контура САУ
вектор состояния системы при описании САУ в пространстве состояний
изображение по Лапласу произвольной функции
времени x(t)
вектор управляемых величин при описании САУ в
пространстве состояний
изображение по Лапласу выходной координаты
САУ y(t)
вектор измерений при описании САУ в пространстве состояний
i-й коэффициент полинома в знаменателе ПФ замкнутой системы, i = 1, …, n
i-й коэффициент полинома в числителе ПФ системы, i = 1, …, m
i-й коэффициент полинома в знаменателе ПФ разомкнутого контура системы, i = 1, …, n
сигнал ошибки
переходная составляющая сигнала ошибки
установившаяся ошибка
возмущающее воздействие (помеха)
задающее воздействие
степень устойчивости системы
221
h(t)
j
k
n
p
r
t
tп
ui
w(t)
xi
x(t)
yi
y(t)
∆fэф
∆i
Ф(p)
Фжел(p)
Фрасп(p)
Ф(jw)
Фe(p)
Фe(jw)
Фf(p)
Фf(jw)
Фef(p)
222
переходная функция линейной динамической системы
мнимая единица (квадратный корень из минус единицы)
коэффициент передачи динамического звена
порядок полинома в знаменателе ПФ
переменная преобразования Лапласа,
оператор дифференцирования
порядок астатизма САУ
текущее время
длительность переходного процесса в САУ
i-я входная переменная при описании САУ в пространстве состояний
импульсная характеристика (весовая функция) линейной динамической системы
i-й элемент пространства состояний
произвольная функция времени
i-й элемент вектора управляемых величин при описании САУ в пространстве состояний
состояние объекта управления
эффективная полоса пропускания САУ
i-й определитель матрицы Гурвица
передаточная функция замкнутой системы
желаемая передаточная функция замкнутой системы
располагаемая передаточная функция замкнутой
системы
частотная передаточная функция замкнутой системы
передаточная функция замкнутой системы по
ошибке от задающего воздействия
частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия
передаточная функция замкнутой системы по возмущению
частотная передаточная функция замкнутой системы по возмущению
передаточная функция замкнутой системы по
ошибке от возмущающего воздействия
Фef(jw)
Ψ(w)
Ω
α, β
γ
δ(t)
ϑ
λ
µ
ν
ζ
π
σ
σ%
t
ϕ
ϕ(p)
ϕf(p)
ψ
w
wр
wср
1(t)
частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия
фазочастотная характеристика (ФЧХ)
угловая скорость вращения оси
параметры корреляционной функции и функции
спектральной плотности мощности
вещественная часть корня полинома в знаменателе
ПФ
дельта-функция (функция Дирака)
угол поворота оси
мнимая часть корня полинома в знаменателе ПФ
запас устойчивости системы по фазе
вспомогательная переменная, вводимая для определения показателя степени устойчивости САУ (h)
по критерию Гурвица
коэффициент демпфирования
отношение длины окружности к ее диаметру
среднеквадратическое значение
перерегулирование в САУ
1) постоянная времени
2) величина сдвига во времени
3) переменная в формулах интегрирования по времени
угол поворота оси
передаточная функция канала управления по задающему воздействию в САУ с комбинированным
управлением
передаточная функция канала управления по возмущению в САУ с комбинированным управлением
1) начальная фаза гармонического колебания
2) фазовый сдвиг
круговая частота
резонансная частота САУ
частота среза разомкнутого контура САУ
единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда)
223
Предметный указатель
Асимптота ЛАХ 44
Астатизм 120
Быстродействие 14, 159
Вектор состояния 85
- управления 85
Декада 39
Демпфирование 189
- введением отрицательных фазовых сдвигов 199
- введением положительных фазовых сдвигов 191
- подавлением средних частот 197
- подавлением средних и высоких
частот 195
- систем с транспортным запаздыванием 208
Децибел 38
Диаграмма Никольса 54, 201
Дисперсия
- случайного процесса 134
- ошибки 142
Добротность 81,127
Запас устойчивости 174
- - по амплитуде 178
по фазе 178
Звено автоматической системы 18, 68
- апериодическое первого порядка
56
- - второго порядка 57
- безынерционное 56
- динамическое 18, 55
- - минимально-фазовое 34
- - неминимально-фазовое 34
- дифференцирующее идеальное 66
- - инерционное 67
- изодромное 153, 212
- интегрирующее идеальное 64
- - инерционное 65
- интегро-дифференцирующее 197
- колебательное 59
- консервативное 59, 113
- линейное 19, 20
- позиционное 55, 56, 64
- с бесконечной полосой пропускания 199
- форсирующее 194, 212
- чистого запаздывания 63
224
Инвариантность 156
Критерий устойчивости 100
- - Гурвица 100
- - Льенара–Шипара 102
- - Михайлова 106, 107
- - Найквиста 110
- - по логарифмическим частотным характеристикам 116
Коэффициент
- ошибки 130
- передачи
- - динамического звена 19
- - разомкнутого контура САУ
120
Наблюдаемость 94
Область
- запретная
- - для АФХ 174
- - для ЛФХ 176
- устойчивости 97
Обратная связь 7, 9
- гибкая 214
- местная 189
- корректирующая 214
Объект управления 7
Ошибка 8
- переходная 118
- по возмущающему воздействию
119
- по задающему воздействию 119
- статистическая 123
- установившаяся 118, 13
Перерегулирование 159
ПИД-регулятор 212
Показатель колебательности 171
Полином характеристический 82
Постоянная времени 21, 43
Преобразование
- Винера–Хинчина 134
- Лапласа 23
- - прямое 23, 24
- - обратное 24
- - свойства 26
Пространство состояний
Процесс
- переходной 14, 160
- случайный 133
-
-
дифференцируемый 140
недифференцируемый 139
типа “белый шум”135
экспоненциально-коррелированный 136
Регулятор Смита 209
Система
- астатическая 119
- динамическая 18
- - минимально-фазовая 34
- - неминимально-фазовая 34
- замкнутая 10
- инвариантная 156
- линейная 20
- нелинейная 20
- статическая 119
- с транспортным запаздыванием
208
Степень устойчивости САУ 163
Управляемость 92
Устойчивость 12, 95
- необходимое и достаточное условие 95, 97
- необходимое условие 99
Формула
- разложения Хевисайда 24, 25
- Эйлера 60, 64
Функция
- весовая 22
- Дирака 22
- единичная ступенчатая 21
- корреляционная 133
-
передаточная 27, 78
- замкнутой системы 78, 79
- - по возмущению 79
- - по задающему воздействию
78
- - - по ошибке от возмущающего воздействия 79
- - - по ошибке от задающего
воздействия 79
- - разомкнутого контура системы 78
- переходная 22
- спектральной плотности мощности 134
- Хевисайда 21
- частотная передаточная 30
Фильтр формирующий 140
Характеристика
- амплитудно-фазовая 52
- амплитудно-частотная 31
- динамическая 21
- импульсная 22
- логарифмическая 38, 114
- - амплитудно-частотная 38
- - - асимптотическая 42
- - фазочастотная 38
- переходная 14, 22
- статическая 19
- фазочастотная 31
Частота 29
- круговая 29
- резонансная 171
- сопрягающая 45
- среза 173
225
Краткий англо-русский словарь основных терминов
и определений теории автоматического управления
Bode diagram
closed-loop system
controllability
control system
damping
derivative
feedback
feedback circuit
frequency
gain
gain margin
Gurwitz criterion
Gurwitz matrix
imaginary axis
integrator
inverse Laplas transform
Laplas transform
magnitude
magnitude Bode diagram
Nichols chart
Nyquist criterion
Nyquist diagram
observability
open-loop
open-loop gain
phase
phase margin
phase Bode diagram
PID-regulator
polar plot
pole
power spectrum
real axis
root-mean-square (RMS)
step function
step response
time constant
transfer function
unit
white noise
XY-plot
zero
226
частотная характеристика
замкнутая система
управляемость
система управления
демпфирование
производная
обратная связь
цепь обратной связи
частота
коэффициент передачи
запас по амплитуде
критерий Гурвица
матрица Гурвица
мнимая ось
интегрирующее звено
обратное преобразование Лапласа
преобразование Лапласа
амплитуда
амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
диаграмма Никольса
критерий Найквиста
амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)
наблюдаемость
разомкнутый контур
коэффициент передачи разомкнутого контура
фаза
запас по фазе
фазочастотная характеристика (ФЧХ)
ПИД-регулятор
полярные координаты
полюс
спектральная плотность мощности (СПМ)
вещественная ось
среднеквадратическое значение
ступенчатая функция
переходная характеристика
постоянная времени
передаточная функция
звено
белый шум
прямоугольные координаты
нуль
Приложение
Таблица преобразований Лапласа
для наиболее часто встречающихся функций*
№
x(t)
X(p)
1
1(t)
1
p
2
t
1
p2
3
4
1
tn
n!
pn+1
sin(Ωt)
Ω
p2 + Ω2
5
cos(Ωt)
p
p2 + Ω2
6
e-αt
7
tn -αt
×e
n!
8
1
p+α
1
( p + α )n+1
t⋅sin(Ωt)
2 pΩ
(p
2
9
t⋅cos(Ωt)
+ Ω2
2
)
p2 - Ω2
2
(p2 + Ω2 )
10
11
e-αt × sin (Ωt)
e-αt × cos(Ωt)
Ω
( p + α )2 + Ω2
p+α
( p + α )2 + Ω2
* Умножение функции-оригинала x(t) на некоторую константу приводит к умножению функции-изображения X(p) на ту же константу.
227
Литература
1. Бесекерский В. А. Радиоавтоматика: учеб. пособие для вузов.
М.: Высш. шк., 1985.
2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: Профессия, 2007.
752 с.
3. Боднер В. А. Системы управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1973. 506 с.
4. Ванирюхин Г. И., Герасимов А. Н., Лучко С. В., Порфирьев Л. Ф.
Основы автоматического управления. М.: Воениздат, 1972.
5. Герасимов А. Н., Власов В. Ф. Теория линейных автоматических систем: курс лекций. МО СССР, 1981. Ч. 1.
6. Гальперин М. В. Автоматическое управление: учебник. М.:
ИНФРА-М; ИД ФОРУМ, 2007. 224 с.
7. Герасимов А. Н., Зайцев О. Ф., Карагодин В. В. Автоматизация электроэнергети­ческих систем: учебник / МО РФ, 1997.
8. Душин С. Е., Зотов Н. С., Имаев Д. Х. Теория автоматического управления: учебник для вузов. 3-е изд., стер. М.: Высш. шк.,
2009. 567 с.
9. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Линейные
системы: учебник. 2-е изд., испр. и доп. М.: Физматлит, 2007.
Т. 1. 312 с.
10. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления: учебник для вузов. 3-е изд., стер. СПб.: Политехника, 2008. 302 с.
11. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.
12. Поляков Н. П., Лазаренко В. М. Приборы и устройства электронных систем управления: учеб. пособие / Под ред. В. А. Бесекерского. ЛИАП. Л., 1981.
13. Первачев С. В. Радиоавтоматика: учебник для в вузов. М.:
Радио и связь, 1982. 296 с.
14. Савин М. М., Елсуков В. С., Пятина О. Н. Теория автоматического управления: учеб. пособие. М.: Феникс, 2007.
15. Шишмарев В. Ю. Основы автоматического управления:
учеб. пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Академия, 2008. 352 с.
228
Содержание
Предисловие........................................................... 4
1. Проблематика автоматического управления............. 7
1.1. Основные понятия и определения.
Примеры автоматических систем..................... 7
1.2. Показатели качества автоматических систем..... 12
1.3. Задачи теории автоматического управления...... 15
2. Математический аппарат, применяемый
для описания линейных автоматических систем.......... 17
2.1. Статические и динамические характеристики.... 17
2.2. Преобразование Лапласа и его свойства............. 23
2.3. Передаточная функция................................... 27
2.4. Частотные характеристики............................. 29
2.5. Логарифмические частотные характеристики.... 38
2.6. Амплитудно-фазовые характеристики.............. 52
3. Типовые динамические звенья линейных
автоматических систем............................................. 55
3.1. Позиционные звенья...................................... 56
3.2. Интегрирующие звенья................................... 64
3.3. Дифференцирующие звенья ............................ 66
3.4. Сводная информация о характеристиках
типовых динамических звеньев........................ 68
4. Математическое описание линейных систем
автоматического управления..................................... 75
4.1. Описание систем управления посредством
передаточных функций................................... 75
4.2. Описание систем управления переменными
состояния..................................................... 82
4.3. Составление уравнений состояния.................... 86
4.4. Управляемость и наблюдаемость автоматических систем................................................... 92
5. Анализ устойчивости линейных автоматических
систем.................................................................... 95
5.1. Условия устойчивости линейных автоматических систем................................................... 95
5.2. Алгебраические критерии устойчивости............ 100
5.3. Частотные критерии устойчивости................... 105
6. Ошибки в линейных автоматических системах
при детерминированных входных воздействиях........... 118
229
6.1. Режим неподвижного состояния...................... 6.2. Режим движения с постоянной скоростью......... 6.3. Режим движения по гармоническому закону..... 6.4. Коэффициенты ошибок................................... 7. Анализ стационарного режима работы линейных
автоматических систем при случайных входных
воздействиях........................................................... 7.1. Общие сведения о случайных процессах и
их характеристиках....................................... 7.2. Типовые случайные процессы.......................... 7.3. Прохождение случайных процессов через
линейные динамические системы..................... 7.4. Расчет ошибки системы в стационарном
режиме......................................................... 8. Методы повышения точности автоматических
систем.................................................................... 8.1. Масштабирование.......................................... 8.2. Повышение порядка астатизма........................ 8.3. Комбинированное управление.......................... 9. Анализ линейных автоматических систем
в переходных режимах............................................. 9.1. Построение переходных процессов операционным методом................................................. 9.2. Корневые оценки динамических свойств
автоматических систем................................... 9.3. Частотные оценки динамических свойств
автоматических систем................................... 9.4. Интегральные оценки качества переходного
процесса....................................................... 10. Демпфирование линейных автоматических систем.. 10.1. Демпфирование введением положительных
фазовых сдвигов............................................. 10.2. Демпфирование подавлением средних и высоких
частот........................................................... 10.3. Демпфирование подавлением средних частот...... 10.4. Демпфирование введением отрицательных фазовых сдвигов................................................... 10.5. Демпфирование минимально-фазовых автоматических систем................................................ 230
121
125
127
129
133
133
135
138
142
150
151
152
154
159
160
162
171
180
189
191
195
197
199
202
10.6. Демпфирование автоматических систем с транспортным запаздыванием.................................. 11. Способы реализации регуляторов и демпфирующих
устройств систем управления..................................... 11.1. Пропорционально-интегро-дифференцирующий регулятор............................................... 11.2. Корректирующие обратные связи..................... Заключение............................................................ Условные обозначения.............................................. Предметный указатель............................................. Краткий англо-русский словарь основных терминов
и определений теории автоматического управления...... Литература............................................................. 208
212
212
214
219
220
224
226
228
231
Учебное издание
Герасимов Александр Николаевич
Григорьева Наталья Никифоровна
Жаринов Игорь Олегович
Жаринов Олег Олегович
Исаков Виктор Иванович
Кулин Анатолий Николаевич
Орлов Алексей Петрович
Шепета Александр Павлович
Линейные системы
автоматического управления
Учебное пособие
Редактор А. Г. Ларионова
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 28.12.08. Подписано к печати 31.03.09. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 13,5.
Тираж 200 экз. Заказ № 236.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
7 161 Кб
Теги
gerasimovzharinov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа