close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Karaseva 0159A221D7

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ
Методические указания
по выполнению лабораторных работ
Санкт-Петербург
2016
Составитель – кандидат экономических наук, доцент Е. И. Карасева
Рецензент – доктор технических наук, профессор Е. Д. Соложенцев
Методические указания включают в себя 3 раздела: экспертную систему
«Экспа»; программный комплекс для структурно-логического моделирования «Арбитр»; расчет финансовых рисков в Excel.
Предназначены для студентов специальностей 09.03.03 и 38.03.05.
Публикуется в авторской редакции.
Верстальщик И. Н. Мороз
Сдано в набор 05.02.16. Подписано к печати 09.03.16.
Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,77.
Уч.-изд. л. 5,13. Тираж 50 экз. Заказ № 80.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
1. КОМПЛЕКС EXPA
Метод рандомизированных сводных показателей по экспертной информации
В моделях управления риском социально-экономических систем (СЭС), когда нет других данных, вероятности инициирующих событий (ИС) оценивают по нечисловой, неточной и неполной
(ННН) экспертной информации.
Синтез (оценку) вероятности ИС выполняют методом рандомизированных сводных показателей по экспертной НННинформации. Эксперт не может дать точную оценку вероятности
одного события. Он сделает это точнее и объективнее, если будет
оценивать 2–4 альтернативные гипотезы и учитывать их весомости (эксперта «раскачивают»).
Формулируют гипотезы A1, A2, …, Am. Весовые коэффициенты
гипотез w1, w2, …, wm отсчитывают дискретно с шагом h = 1/n, где
n – число градаций весомости гипотез (например, n =  50); т. е. весомости принимают значения из множества
{0, 1/n, 2/n,¼, (n -1)/n, 1}.
(1.1)
Множество всех возможных векторов весовых коэффициентов:
W (m, n) = N1 N2 ¼Nm ,
(1.2)
где N1, N2, …, Nm – число градаций в весовых коэффициентах.
Экспертную информацию по весовым коэффициентам задают
в виде ординальной (порядковой) и интервальной информации.
Ординальная порядковая экспертная информация:
OI = {wi > wj, wr = ws ; i, j, r , s Î {1, ¼, m}}.
(1.3)
3
Интервальная экспертная информация:
II = {ai £ wi £ bi ; i Î {1, , m}}.
(1.4)
Объединенную экспертную информацию называют нечисловой,
неточной и неполной. Естественно, выполняется также условие:
w1 + w2 +  + wm = 1.
(1.5)
Условия (1.3–1.5) выделяют область допустимых значений весовых коэффициентов w1, w2, …, wm. В качестве числовых оценок
весовых коэффициентов используют математические ожидания
рандомизированных весовых коэффициентов, а точность этих оценок измеряют стандартными отклонениями.
Вычисления повторяют для двух и более экспертов. Составляют
таблицу оценок весовых коэффициентов гипотез от всех экспертов.
Вычисляют сводные оценки весовых коэффициентов w*1 w2*, …, wm*
гипотез A1, A2, …, Am по данным таблицы и теперь уже весомостям
самих экспертов, устанавливаемых супер-экспертом по изложенной методике. Выбирают гипотезу с наибольшей оценкой сводного
весового коэффициента.
Программа Expa предназначена для автоматизации процесса
принятия решений в условиях неопределенности. В качестве методической основы используется метод рандомизированных сводных показателей, позволяющий выполнять вычисления на основе
ННН-экспертной информации.
В программе реализовано два режима работы: режим выбора
альтернатив (гипотез) и режим ранжирования объектов. В общем случае считаем, что выполняют ранжирование гипотез или
объектов со следующей последовательностью операций:
1. Ввод перечня альтернатив (объектов) и параметров, их характеризующих.
2. Преобразование значений параметров к безразмерному виду.
3. Определение весов параметров на основе ННН-экспертной
информации.
4. Ранжирование объектов или гипотез.
Числовые значения весов (значимостей) параметров, как правило, не поддаются точному определению. Известно лишь, что «параметр А важнее, чем параметр Б» или что «параметры Б и С примерно равны по важности».
Системные требования:
1. Центральный процессор класса Intel Pentium 4 или выше.
2. Оперативная память не менее 512 Mb;
4
3. Операционная система:
4 Microsoft Windows XP с пакетом обновлений SP3,
5. Microsoft Windows Vista,
6. Microsoft Windows 7/8/8.1.
7. Программная платформа .Net Framework 4.0
Общее описание работы на EXPA
Программа по умолчанию запускается в режиме ранжирования
объектов (рис. 1.1).
К основным операциям общего назначения относятся:
• Создание нового документа –
(1).
При нажатии на кнопку появляется выпадающий список для
выбора типа документа.
1
2
4
3
5
Рис. 1.1. Окно программы и основные операции:
1 – создание нового документа, 2 – открытие документа, 3 – сохранение
документа, 4 – вызов справки, 5 – вызов информации о программе
• Открытие документа –
(2).
5
Вызывает стандартный диалог открытия файла.
• Сохранение изменений –
(3)
• Вызов справки –
(4)
• Вызов информации о программе –
(5)
Формат файлов данных. Каждый из режимов работы программы имеет свой набор исходных данных, поэтому используются
разные форматы файлов. Для режима ранжирования объектов используются файлы с расширением «.expa», а для режима синтеза
вероятности гипотез – «.expasm». При открытии того или иного
файла программа переходит в соответствующий режим работы.
Лабораторная работа 1.
Оценка вероятности события одним экспертом
Постановка задачи. Требуется оценить (синтезировать) вероятность события-высказывания A. Рассматривается несколько альтернативных гипотез А1, A2, …, An для события-высказывания A.
Гипотезы, как события, являются также логическими переменными А1, A2, …, An, имеющими вероятности истинности P1, P2, …, Pn.
Логические переменные А1, A2, …, An составляют группу несовместных событий, т. е. сумма их вероятностей P1, P2, …, Pn равна 1. Задача сводится к оценке вероятностей P1, P2, …, Pn гипотез на основе
придания им весомостей методом рандомизированных сводных показателей по ННН-экспертной информации. В качестве оценки вероятности события А выбирается гипотеза, имеющая наибольшую
вероятность.
Работа проходит в три этапа (рис. 1. 2):
1. Задание гипотез и допустимых диапазонов вероятности для
каждой из них (окно 1)
2. Задание отношений между вероятностями гипотез (окно 2)
3. Установка точности моделирования и расчет по кнопке .
6
Результаты расчетов выводятся на экран (окно 3). По результатам можно построить отчет в формате Word 2007/2010.
1
2
3
Рис. 1.2. Окно программы в режиме определения вероятности гипотез:
1 – окно гипотез; 2 – окно отношений вероятности;
3 – окно с результатами расчетов
Ошибка оценки вероятностей гипотез не должна превышать
10 %. Для ее снижения следует уменьшить интервалы значений
весомостей гипотез.
Варианты заданий. Для любого из следующих событий–параметров оценить вероятность:
1. Изменение заработной платы
2. Вероятность получения той или иной оценки на экзамене
3. Вероятность выхода того или иного устройства компьютера
из строя
4. Вероятность принятия на работу в то или иное учреждение
5. Вероятность банкротства того или иного предприятия
В лабораторной работе необходимо:
1. Задать не менее 4 гипотез для вероятностей;
2. Указать экспертные оценки весов гипотез;
3. Установить соотношение весов гипотез;
4. Сделать расчет вероятностей гипотез;
5. Выбрать наилучшую гипотезу.
7
Отчет должен содержать: титульный лист, краткую информацию о вашей задаче (статистические данные, обзор рынка, экономические показатели, интересные сведения), файл с расчетами
и пояснениями, выводы.
Лабораторная работа 2.
Ранжирование объектов одним экспертом
Постановка задачи. Требуется оценить ранги объектов А1,
A2, …, An, каждый из которых задан параметрами X1, X2, …, Xm
со своими значениями. Задача сводится к нормированию значений
параметров X1, X2, …, Xm, оценке их весомостей и вычислению
сводных показателей K1, K2, …, Kn объектоа А1, A2, …, An методом
рандомизированных сводных показателей по ННН-экспертной
информации.
Процесс работы в режиме ранжирования объектов делится на
6 этапов:
1. Ввод перечня параметров, характеризующих объекты.
2. Ввод объектов и значений параметров.
3. Определение правил нормирования (перевода параметров
к безразмерному виду).
4. Ввод интервальной информации по весам параметров.
5. Ввод порядковой информации по весам параметров.
6. Вычисление весов параметров и определение рейтингов объектов.
Ввод перечня параметров
Редактирование осуществляется в таблице 1 (рис. 3). На данном
этапе необходимо ввести необходимое количество параметров и задать им названия. Для этого потребуются следующие операции:
• Добавление параметра
Кнопка , пункт контекстного меню «Добавить»
• Удаление выделенных параметров
Кнопка
, пункт контекстного меню «Удалить», Delete на выделенных строках.
• Изменение названия параметра
Редактирование доступноым по щелчку мыши или по нажатию
F2 на ячейке:
8
Ввод объектов и значений их параметров
Редактирование осуществляется в таблице 2 (рис. 3). На данном
этапе необходимо ввести необходимое количество объектов, дать им
названия, задать значения их параметров. Необходимые операции:
• Добавление, удаление объектов, изменение их названий и значений параметров.
Выполняются так же как аналогичные операции для параметров.
• Вставка значений из буфера обмена.
Кнопка , пункт контекстного меню «Вставить».
Определение правил нормирования
Каждый параметр имеет свой физический смысл и единицы измерения, поэтому сопоставлять разные параметры напрямую нельзя. Сначала каждый из них необходимо перевести в безразмерный
вид, к диапазону от 0 до 1. Получившиеся показатели можно интерпретировать как предпочтения к объектам или их рейтинги. Чем больше числовое значение, тем предпочтение к объекту,
а, следовательно, и его рейтинг выше. 0 – наименьший возможный
рейтинг, 1 – наибольший.
Для перевода параметров в безразмерный вид необходимо:
1. Задать диапазон параметра для нормирования min* и max*.
Это пределы, после которых дальнейшее увеличения или уменьшение параметра не оказывает никакого влияния на его значимость при принятии решений.
2. Задать тип и степень нормирующей функции. Различают два
типа нормирующей функции: прямая (1) и обратная (2). Если при
увеличении параметра (например, объема оперативной памяти
компьютера) предпочтительность объекта для лица, принимающего решение, возрастает, следует выбирать прямую функцию. Если
же, наоборот, падает, как это происходит для цены, – обратную.
ìï0,
ïï
*
P x £ min
ïïæ
xi - min* ÷÷ö
ïïç
min* < x £ max* ,
Q(x) = íçç
ïïç max* - min* ÷÷÷
ø
ïïè
x > max*
ïï1
ïî
ìï1
ïï
P
ïïæ
ï max* - x ö÷÷
ïç
ç
Q(x) = íç
ïïç max* - min* ÷÷÷
ø
ïïè
ïï0,
ïî
(1.6)
xi £ min*
min* < x£ max* .
xi
(1.7)
> max*
9
Степень P придает функции выпуклость вверх или вниз. Она
характеризует нелинейность изменения предпочтений при изменении параметра.
Для ввода диапазона параметра, типа и степени нормирующей
функции используется таблица 1 (рис. 1.3). При выборе параметра
под строкой таблицы появляется дополнительный элемент управления (рис. 1.3). Для задания диапазона параметра используются поля 1 и 2. Тип функции меняется с помощью кнопки 3, а степень – поля 4.
5
1
6
2
3
4
7
Рис. 1.3. Ввод дополнительных данных по параметру:
1, 2, 5 – задание диапазона параметра для нормирования;
3, 4 – тип и степень нормирующей функции; 6, 7 – задание диапазона
для веса параметра
При задании диапазона можно использовать кнопки на панели 5.
• 0:1; назначает min* и max* как 0 и 1, соответственно.
• σ, 2σ, 3σ; диапазон берется как M ± σ/2σ/3σ, где M – среднее,
σ – станд. отклонение.
•  Берутся фактические значения минимума и максимума.
Ввод интервальной информации по весам параметров
Допустимый диапазон для веса параметра (Wmin и Wmax) вводится в том же элементе управления на рис. 3 (поля 6 и 7).
Ввод порядковой информации по весам
Порядковая информация представляет собой набор отношений.
Редактирование производится в таблице 3 (рис. 3). Для отношений
доступны операции добавления, удаления и изменения. Отношение представляет собой неравенство. Оно состоит из левой, правой
10
частей и оператора сравнения, которые при редактировании необходимо выбрать в соответствующих выпадающих списках.
Вычисление весов параметров и определение рейтингов объектов
После того, как исходные данные введены, можно приступать
к расчетам. В первую очередь необходимо определиться с требуемой точностью. Точность задается с помощью выпадающего списка 4 (рис. 1, 2). Можно выбрать одно из значений: 0,01; 0,04; 0,05
или 0,1. При таких значениях точности вес каждого параметра
сможет принимать не более 101, 51, 26, 21 или 11 дискретных значений соответственно.
Метод определения весов основан на переборе всех возможных сочетаний с учетом ограничений. При увеличении количества параметров число сочетаний растет нелинейно. Для 6 параметров при точности 0,01, общее число вариантов составляет около
100 миллионов (3–5 минут вычислений на современном ПК). Для
10 – более 4 триллионов (4·1012) – расчет займет уже 1,5–2 месяца.
В реальных задачах, связанных с принятием решений, эксперту не рекомендуется сопоставлять более 5–7 параметров за раз.
Лучше разбить задачу на части:
1) разделить параметры по смыслу на группы;
2) определить веса параметров внутри каждой группы;
3) определить веса для самих групп.
Пример ранжирования автомобилей.
Пусть необходимо ранжировать легковые автомобили, в том
числе для выбора своей покупки. Есть несколько моделей марки
Honda на выбор. Необходимо, взвесив все плюсы и минусы, принять решение.
Автомобиль характеризуется пятью параметрами:
• Цена
• Стоимость обслуживания (в месяц)
• Средний расход бензина
• Число сидений
11
• Объем багажника
Вводим названия параметров.
Статистические показатели min, max, M, σ пусты, поскольку
на данный момент не введены данные по объектам.
Рассматриваем 6 моделей автомобилей, заполняем название
и параметры для каждой.
По мере ввода данных вычисляются и статистические показатели по параметрам автомобилей.
Правила нормирования параметров автомобилей.
Встречаются автомобили более дешевые и более дорогие, чем
имеющиеся варианты. Поэтому несколько расширим диапазон
min*–max*, воспользовавшись кнопкой «2σ». Цена обратна пред12
почтительности. Следовательно, выбираем обратную функцию.
Укажем также вторую степень для нормирующей функции, отражая, свое субъективное отношение к изменению наших предпочтений с ростом цены.
Аналогичным образом заполним данные для стоимости обслуживания. Допустимые ежемесячные траты на обслуживание для
нас 4000–7000. Наши предпочтения к модели при этом падают
примерно равномерно с увеличением цены.
Средний расход бензина более 14 литров на 100 км неприемлем.
13
Аналогичным образом, исходя из своих субъективных предпочтений, заполним правила нормирования для остальных параметров.
Относительная важность параметров задается их весами. Для
интервалов значений весов оставим значения по умолчанию (от 0
до 1). Предположим, что ежемесячная стоимость обслуживания для нас более важна, чем цена, средний расход бензина или
объем багажника. Объем багажника, при этом, имеет значение
и важнее цены. Про число сидений не можем сказать ничего определенного.
Зададим точность моделирования 0.01 и рассчитаем веса параметров и рейтинги объектов.
Веса параметров и итоговые рейтинги объектов.
14
Ошибки оценки весомостей параметров и рейтингов объектов
не должна превышать 10 %. Для их снижения следует уменьшить
интервалы значений весомостей параметров объектов.
Как видно, стоимость обслуживания является наиболее важным параметром, а «Honda Odyssey» наиболее предпочтительной
моделью автомобиля.
Варианты заданий. Необходимо выбрать тему лабораторной работы и найти по ней значения параметров для ранжирования объектов. Возможные варианты:
1. Ранжирование телефонов;
2. Ранжирование квартир;
3. Ранжирование различных бытовых приборов и др.
В работе необходимо:
1. Задать переменные (не меньше 7) и объекты (не меньше 7),
указать экспертные оценки интервалов весов параметров переменных и установить характер функции полезности.
2. Установить соотношение весов параметров и сделать расчет
рейтингов объектов.
Отчет должен содержать: титульный лист, краткую информацию о задаче (статистические данные, обзор рынка, экономические показатели, интересные сведения), файл с расчетами и пояснениями, выводы.
Лабораторная работа № 3.
Оценка вероятности события и ранжирование объектов
несколькими экспертами
При принятии ответственных решений опираются на мнение
нескольких экспертов. При этом эксперты обладают разной степенью доверия со стороны супер-эксперта. Требуется принять взвешенное решение, учитывая мнение каждого.
15
Предположим, что прогноза успешности акций компании оценили три эксперта: сама компания, финансовый журнал и аналитик по временному ряду (статистике). То есть каждый эксперт выполнил лабораторную работу № 1 и получил оценки вероятностей
пяти гипотез. Для объединения оценок трех экспертов воспользуемся режимом ранжирования объектов, выполняя лабораторную
работу № 2 в следующей последовательности:
1. Создадим новый документ.
2. Введем оценки – вероятности гипотез экспертов.
3. Задание правила нормирования. Как такового нормирование
производить не будем, так как значения параметров уже нормированы (это вероятности). Но необходимо ОБЯЗАТЕЛЬНО установить min* = 0 и max* = 1. Выделим все параметры и нажмем кнопку «0:1»
16
4. Супер-эксперт задает интервалы для весов «экспертов» Wmin
и Wmax.
5. Супер-эксперт задает ординарную информацию (доверие
«экспертам») в виде неравенств. Допустим, он доверяет мнению
финансового журнала больше, чем мнению самой компании,
а мнению статистического прогноза меньше.
6. Производим расчет.
17
Как видно, из сводного прогноза вероятность гипотезы X2 наиболее высока (0,42).
Варианты заданий по Лабораторной работе № 3
В работе необходимо
1. Выбрать 3–4 эксперта.
2. Каждому эксперту рассчитать по лаб. работе № 2 вероятности
гипотез и запомнить их.
3. Занести данные всех экспертов как параметры в лаб. работу
№ 2. Установить соотношение весов для экспертов и произвести
расчет вероятностей гипотез, учитывая мнения всех экспертов
Отчет должен содержать: титульный лист, краткую информацию о вашей задаче (статистические данные, обзор рынка, экономические показатели, интересные сведения), файл с расчетами
и пояснениями, выводы.
По аналогичной схеме выполняется ранжирование объектов
группой экспертов.
18
2. ПК АРБИТР
Введение
Инструкция разработана в качестве методического пособия для
проведения занятий по изучению основ автоматического моделирования и расчета надежности технических систем с использованием программного комплекса АРБИТР (далее – ПК).
Инструкция разработана на «Инструкции пользователя»,
которая вызывается нажатием кнопки в строке заголовка:
После номера подраздела (пункта выполнения лабораторной
работы) указаны номера подразделов согласно полной версии Инструкции (И), ознакомление с которыми позволяет получить дополнительную информацию по текущему вопросу.
Часть 1. Основы работы с ПК АРБИТР
Запуск программного комплекса
Запуск программы осуществляется с помощью ярлыка «ПК
АРБИТР»
.
После загрузки программы выполнить следующие действия:
1. Развернуть интерфейс ПК на весь экран с помощью кнопки,
расположенной в левом верхнем углу строки заголовка (рис. 2.1).
2. Нажать кнопку «Новая СФЦ» в правой верхней части экрана
(рис. 2.2).
Рис. 2.1. Активация кнопки
«Развернуть»
Рис. 2.2. Ввод новой СФЦ
После запуска ПК открывается основное окно ПК АРБИТР,
представленное на рис. 2.3.
Основное окно ПК содержит:
• строку заголовка (1);
• строку главного меню (2);
19
• две строки панелей быстрого доступа (3);
• четыре дочерних окна, разделенных скользящими полосками (5), позволяющими изменять их размеры:
− Окно ввода схемы функциональной целостности (СФЦ) исследуемой системы (4);
− Окно «Параметры моделирования и расчетов» (6);
− Окно «Критерий» для ввода критериев моделирования и расчетов (7)
− Окно со страницами «Результат», «Диаграммы», «Отчет». (9).
• таблицу параметров (8).
Рис. 2.3. Основное окно ПК АРБИТР в режиме «Новая ФЦ»
Основное окно ПК содержит:
• строку заголовка (1);
• строку главного меню (2);
• две строки панелей быстрого доступа (3);
• четыре дочерних окна, разделенных скользящими полосками (5), позволяющими изменять их размеры:
20
− Окно ввода схемы функциональной целостности (СФЦ) исследуемой системы (4);
− Окно «Параметры моделирования и расчетов» (6);
− Окно «Критерий» для ввода критериев моделирования и расчетов (7)
− Окно со страницами «Результат», «Диаграммы», «Отчет». (9).
• таблицу параметров (8).
Примечание. Далее будем использовать или сокращение СФЦ,
или просто схема.
Изменение размеров окон
Для демонстрации возможности изменения размеров окон следует выполнить следующие действия (рис. 2.1–2.2).
Для изменения размеров окон необходимо навести указатель
мыши на разделительную полосу. После того, как стрелка указателя изменит свой вид на
(Разделитель), необходимо нажать левую клавишу мыши и, удерживая ее, выполнить перетаскивание
разделительной полосы (влево/вправо или вверх/вниз) до формирования необходимого размера выбранного окна.
Отображение внутренних объектов каждого из окон может изменяться с помощью соответствующих полос прокрутки.
На рис. 2.4 показан пример результатов изменения размеров
окон, который может быть удобен для дальнейших действий.
Рис. 2.4. Интерфейс ПК после изменения размеров окон
21
Панель инструментов (кнопок быстрого доступа)
В верхней части Основного окна Комплекса (рис. 2.4) располагается панель инструментов, которые используются для управления процессом ввода и корректировки графа СФЦ исследуемой
системы.
Таблица 2.1
Назначение кнопок панели инструментов
Кнопка
Подсказка
1
2
Назначение
3
Выбор
Устанавливает режим графа «Выбор»
Функциональная
вершина
Устанавливает режим графа для ввода
функциональной вершины
Фиктивная
вершина
Устанавливает режим графа для ввода
фиктивной вершины
Текст
Устанавливает режим графа для ввода
пояснительного текста
Ребро ИЛИ
Устанавливает режим графа для ввода
ребра «ИЛИ» между вершинами
Ребро И
Устанавливает режим графа для ввода
ребра «И» между вершинами
Ребро Не ИЛИ
Устанавливает режим графа для ввода
ребра «Не ИЛИ» между вершинами
Ребро Не И
Устанавливает режим графа для ввода
ребра «Не И» между вершинами
Удалить
Устанавливает режим графа для удаления
объекта из СФЦ
Для добавления функциональной вершины в СФЦ:
1. Подведите курсор к кнопке «Функциональная вершина»
на панели инструментов и после появления надписи «Функциональная вершина» кликните ее левой кнопкой мыши.
2. Переместите указатель мыши в место вставки вершины.
3. Нажмите левую клавишу мыши.
Вершина добавится в граф СФЦ. Новой вершине (по умолчанию) присваивается очередной порядковый номер (рис. 2.5).
Добавление фиктивной вершины производится аналогично
с помощью кнопки «Фиктивная вершина»
на панели инструментов.
22
Добавим в созданное окно для вводе СФЦ две функциональные
и одну фиктивную вершины, для чего выполним действия 1–3 для
функциональной и фиктивной вершин. На рис. 2.5–2.7 показаны
фрагменты выполнения указанных действий.
Рис. 2.5. Добавление (ввод) функциональной вершины № 1
.
Рис. 2 6. Добавление (ввод) функциональной вершины № 2
Рис. 2.7. Добавление (ввод) фиктивной вершины № 3
Для того, чтобы скрыть зеленый квадрат вокруг вновь введенной вершины следует активировать кнопку «Выбор» . Это действие рекомендуется выполнять всякий раз, когда планируется
выполнить новое действие.
23
Активированная кнопка «Выбор» позволяет перемещать графические изображения вершин по координатной сетке в любое место окна ввода схемы. Для этого достаточно подвести курсор в выбранной вершине и, удерживая левую кнопку мышки, перетащить
вершину в нужное место.
На рис. 2.8 показан возможный вариант перемещения вершин,
удобный для последующих действий.
Рис. 2.8. Новый вариант размещения вершин
Изменение параметров функциональных и фиктивных вершин
При вводе новых вершин в СФЦ их номера устанавливаются автоматически в порядке возрастания. На любом этапе построения
СФЦ номера вершин можно изменять.
Для изменения номера функциональной вершины:
1. Наведите указатель мыши на выбранную вершину.
2. Нажмите правую кнопку мыши. Появится контекстное
всплывающее меню:
Рис. 2.9. Контекстное всплывающее меню
функциональной вершины
24
3. Выберите пункт «Параметры элемента». Появится диалог изменения параметров вершины (рис. 2.9).
4. Поставьте курсор в строку «Номер события (элемента)» и введите нужный номер вершины (рис. 2.10).
5. Для закрытия диалогового окна нажмите кнопку «ОК» при
правильном вводе номера функциональной вершины или «Отмена» в противном случае.
Рис. 2.10. Диалог изменения параметров
функциональной вершины – номера события
Изменение (ввод) значения вероятности события (функциональной вершины):
Для изменения (ввода) значения вероятности события (функциональной вершины) следует выполнить пункты 1–3 предыдущего
действия.
Далее ставится курсор в строку «Вероятность события» и вводятся заданные значения вероятностей, например, вероятность
безотказной работы элемента № 1, равна 0,9 (рис. 2.11).
Также в качестве показателя безотказности элемента в строке «Ср. наработка до отказа (год)» может быть введено значение
средней наработки до отказа (в годах) для моделирования в вероятностно-временном режиме.
25
Для дальнейшей работы следует ввести значение вероятности
безотказной работы, равное 0,8, для второго элемента. Для этого
следует повторить вышеуказанные действия для функциональной
вершины № 2.
Контроль ввода параметров функциональных вершин осуществляется в таблице параметров элементов (№ 8, рис. 2.3) в правой
нижней части экрана (рис. 2.12).
Рис. 2.11. Диалог изменения параметров функциональной
вершины
Рис. 2.12. Фрагмент таблицы контроля
ввода параметров элементов
Фрагмент диалогового окна для изменения параметров фиктивной вершины показан на рис. 13. Для фиктивной вершины возможно изменение только текущего номера.
26
Рис. 2.13. Фрагмент диалогового окна для изменения
параметров фиктивной вершины№ 3
Для удобства и наглядности представления СФЦ выполним
действие по изменению фона фиктивной вершины № 3. Для этого
подведем курсор к вершине № 3 и нажмем правую кнопку мышки.
В появившемся всплывающем меню выберем опцию «Изменить
фон вершины…», как показано на рис. 2.14.
После выбора цвета фона фиктивной вершины, например, серого, как показано на рис. 2.10, схема выглядит так, как показано на
рис. 2.15.
Рис. 2.14. Выбор опции для изменения фона фиктивной вершины
Рис. 2.15. Окончание ввода параметров
фиктивной вершины № 3
27
Часть 2. Моделирование простых структур
Работа с ребрами и вершинами. Режим текста
Для моделирования и расчета надежности различных технических структур кроме задания собственных показателей надежности элементов (соответствующих функциональных вершин) необходимо описать взаимосвязи элементов с точки зрения выполнения заданной функции. Графическими инструментами для выполнения этой задачи являются ребра «Ребро ИЛИ», «Ребро И», «Ребро Не ИЛИ» и «Ребро Не И», графическое изображение которых
приведено в табл.2.1.
Название ребра определяет логическое условие реализации события, соответствующего некоторой вершине.
Добавление ребра
Для добавления ребра, соединяющего две вершины в СФЦ:
1. Выберите тип ребра. (Нажмите кнопку одну из кнопок «Ребро» , , , или
на панели инструментов).
2. Установите указатель мыши на начальную вершину графа
(из которой должно исходить ребро).
3. Нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская, переместите
указатель (траектория отмечается пунктиром) до конечной вершины (в которую должно заходить ребро).
На рис. 21.6 показан результат выполнения действий 1–3
с использованием ребер типа «Ребро ИЛИ» (левая часть рисунка) и «Ребро И» (правая часть рисунка) для соединения вершин
№ 1 и № 2.
Рис. 2.16. Соединение вершин ребрами «Ребро ИЛИ» (слева)
и «Ребро И» (справа)
Удаление вершин и ребер СФЦ
Для удаления какой-либо вершины или ребра в графе СФЦ:
28
Установите «Режим удаления». (Нажмите кнопку «Удалить»
на панели инструментов).
Установите указатель мыши над удаляемой вершиной или ребром.
Нажмите левую кнопку мыши. На экране появится диалоговое
окно подтверждения удаления (рис. 2.17):
Рис. 2.17. Диалоговое окно подтверждения удаления ребра
Удаление вершин осуществляется также, как и удаление ребер.
Кроме того, можно, подведя курсор к выбранной вершине, нажать правую кнопку мышки и на возникшем меню выбрать опцию
«Удалить» (рис. 2.18).
Рис. 2.18. Удаление вершины
29
Замечание!!!
В ПК АРБИТР невозможна отмена предыдущего действия.
Все введенные функциональные и фиктивные вершины можно
перемещать в любое место рабочего поля Окна ввода СФЦ.
Перемещение вершин и ребер в СФЦ
Для перемещения вершины:
1. Установите «Режим выбора» (нажмите кнопку «Выбор» на
панели быстрого доступа Главного окна).
2. Наведите указатель мыши на перемещаемую вершину.
3. Нажмите левую клавишу мыши.
4. Не отпуская левую кнопку, перетащите вершину в новое
место.
5. Отпустите клавишу.
Вершина переместится на новое место вместе со всеми входящими и исходящими из нее ребрами.
Добавление пояснительного текста в СФЦ
Для добавления пояснительного текста в СФЦ:
1. Установите «Режим текста» (нажмите левой клавишей мыши кнопку
«Текст» на панели инструментов).
2. Переместите указатель мыши в место ввода текста.
3. Нажмите левую клавишу мыши. Появится диалог редактирования (рис. 2.19).
Рис. 2.19. Диалог редактирования
пояснительного текста
4. Введите текст и нажмите кнопку «ОК» завершения редактирования или «Отмена» для отмены редактирования.
30
Моделирование последовательной системы
Рассмотрим последовательную систему из двух элементов. Условием работоспособности последовательной системы является работоспособное состояние всех ее элементов. В терминах функций
алгебры логики для монотонных структур условия работоспособности записываются с помощью кратчайших путей успешного
функционирования (КПУФ). Иногда КПУФ для краткости называют просто минимальным путем.
КПУФ представляет собой такую конъюнкцию (логическое
произведение) ее элементов, ни одну из компонент которых нельзя
изъять, не нарушив условия функционирование системы. Для системы, состоящей из двух элементов, существует один минимальный путь, представляющий собой конъюнкцию логических переменных, то есть Yс = X1X2.
В ПК АРБИТР допускается несколько способов графического
отображения последовательной системы.
Для моделирования последовательной системы из двух элементов вернемся к схеме, изображенной на рис. 2.11. Если на поле ввода схемы есть другие элементы или соединения – следует их
удалить.
Перед началом моделирования установим следующие начальные настройки:
1. В окне «Параметры моделирования и расчетов» выставить
флажки у строк «Вывод явной ФРС» и «Вывод явной ВФ».
Опция «Вывод явной ФРС» обеспечивает вывод в отчете аналитического выражения логического критерия – логической функции работоспособности системы (ФРС) в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).
Опция «Вывод явной ВФ» обеспечивает вывод в отчете аналитического выражения в виде многочлена вероятностной функции (ВФ).
2. В окне «Критерий» набрать критерий «y2» (латинскими!!!
маленькими буквами).
3. Внимание! Данный пример выполняется в режиме «Статический расчет», что должно быть отражено в окне «Параметры моделирования и расчетов».
Первый способ изображения последовательной системы состоит в использовании ребра ИЛИ. Для этого вершины 1 и 2 соединяются ребром указанного типа (левая часть рис. 2.11).
Экранный интерфейс после выполнения этих действий показан
на рис. 2.20.
31
Рис. 2.20. Экранный интерфейс: моделирование последовательной
системы. Вариант 1
Для произведения расчетов следует кликнуть кнопку
ней строке панели быстрого доступа.
Результаты расчетов представлены на рис. 2.21.
в ниж-
Рис. 2.21. Результаты моделирования надежности последовательной
системы
Результаты моделирования показывают, что число членов
в сформированной ФРС равно 1 (указано в окне с надписью «ФРС»),
число членов в многочлене вероятностной функции (ВФ) также
равно 1 (указано в окне с надписью «ВФ»). Численное значение вероятности безотказной работы исследуемой системы Р = 0,72 – вероятность реализации критерия.
Фрагмент отчета о моделировании, расположенный на странице «Отчет», представлен на рис. 2.22.
32
Рис. 2.22. Фрагмент отчета моделирования
надежности последовательной системы
Из представленного отчета видно, что логический критерий
работоспособности системы y2 = X1X2, вероятностная функция
Рс = Р1Р2.
Второй способ изображения последовательной системы состоит
в использовании ребра И. Для этого вершины 1 и 2 соединяются
ребром указанного типа (правая часть рисунка 2.11). Перед выполнением соединения необходимо удалить ребро ИЛИ.
После нажатия кнопки
(«Расчет и моделирование») убедится, что результаты расчета и отчет о моделировании не изменился
(рис. 2.23).
Рис. 2.23. Моделирование надежности последовательной системы.
Вариант 2
33
Третий способ моделирования надежности последовательной
системы состоит в использовании ребра И и фиктивной вершины
в качестве коннектора.
Для этого необходимо:
1. Добавить фиктивную вершину № 3;
2. Удалить ребро И между вершинами 1 и 2;
3. Вершины 1 и 2 соединить ребрами И с фиктивной вершиной № 3;
4. Изменить критерий работоспособности, вместо y2 набрать y3.
После нажатия кнопки
(«Расчет и моделирование») убедится, что результаты расчета остались прежними, незначительно изменился отчет о моделировании (рис. 2.24). Теперь логическим
критерием функционирования является выражение Yc = y3.
Рис. 2.24. Моделирование надежности последовательной системы.
Вариант 3
Существенным преимуществом моделирования надежности на
ПК АРБИТР является возможность использования одной СФЦ
для оценки как вероятности безотказной работы (прямое решение), так и вероятности отказа (обратное, инверсное решение).
Для расчета вероятности отказа анализируемой системы следует в окне «Критерий» ввести инверсный работоспособности критерий – критерий отказа y”3 (рис. 2.25).
Знак {”} обозначает отрицание (инверсию) логической переменной.
34
Рис. 2.25. Моделирование отказа последовательной системы
Фрагмент отчета о результатах моделировании отказа последовательной системы представлен на рис. 2.26.
Логическая функция (ФРС), представленная на рис. 2.26 может быть представлена как традиционная ДНФ, то есть Yc = y”3 =
= X”1 ∨ X”2.
Переход к вероятностной функции может быть осуществлен либо по теореме о вероятности суммы событий, либо после ортогонализации исходной ДНФ.
Рис. 2.26. Фрагмент отчета о моделировании отказа
последовательной системы
35
Внимание! В отчете принято единое обозначение вероятности
реализации заданного критерия Рс, независимо от характера решаемой задачи.
Получение обратного (инверсного) решения позволяет осуществить строгую проверку корректности моделирования, так сумма
вероятностей прямого и инверсного решения как сумма вероятности полной группы событий равна 1.
В нашем случае
Pr{y3} + Pr{y”3} = 0,72 + 0,28 = 1.
Моделирование параллельной системы
Рассмотрим параллельную систему, состоящую из двух элементов. Условием работоспособности параллельной системы является
работоспособное состояние хотя бы одного из элементов. В терминах функций алгебры логики для монотонных структур это условие работоспособности записывается с помощью дизъюнкции двух
минимальных путей, то есть Yc = X1 ∨ Х2.
Для графического отображения дизъюнкции двух событий заменим ребра И на рис. 2.21 на ребра ИЛИ. Для этого следует выполнить два действия.
1. Удалить ребра И. используя кнопку .
2. Добавить ребра ИЛИ для соединения функциональных вершин 1 и 2 с фиктивной вершиной 3.
После нажатия кнопки
(«Расчет и моделирование») появятся результаты, приведенные на рис. 2.27.
Логический критерий – функция работоспособности системы
(ФРС) имеет вид ДНФ Yc = y3 = X1 ∨ X2.
Соответствующая данной ДНФ вероятностная функция, которая может быть получена либо по теореме о сумме событий, либо с использованием простейшей формулы ортогонализации вида A ∨ B = A ∨ A B, имеет вид Pc = P1 + (1 – Р1)P2 =  P1 + Q1P2.
При подстановке исходных данных Р1 = 0?9 и Р2 = 0,8, вероятность безотказной работы параллельной системы соста
вит 0,98.
Нетрудно убедится, что моделирование по критерию Yc = y”3
приведет к формированию ФРС в виде X1 Ú X2  = X”1⋅X”2. Вероятностная функция для произведения двух независимых событий
по теорем о вероятности произведения двух независимых событий
будет иметь вид Pc = Q1⋅Q2, где Qi = 1 – Pi – вероятность отказа
i-го элемента (i = 1,2).
36
Рис. 2.27. Моделирование надежности параллельной системы
Примеры работ на ПК Арбитр
Сценарий Риск невыполнения плана магазином
37
Результаты моделирования системы:
• Параметры СФЦ:
• Число вершин – N = 19
• Число элементов – H = 12
• Риск невыполнения плана магазином = y1
• Статические расчеты:
Wr = 0,24919356082 – абсолютный риск/эффективность критерия.
Таблица характеристик элементов системы в целом
Номер
элемента
Pi элемента
Значимость
элемента
Отрицательный
вклад
Положительный
вклад
8
0,0003
0,75103
–0,00022531
0,75081
9
3E-005
0,75083
–2,2525E–005
0,75081
10
0,005
0,75458
–0,0037729
0,75081
11
0,0001
0,75088
–7,5088E–005
0,75081
12
0,2
0,93851
–0,1877
0,75081
13
0,0032
0,75322
–0,0024103
0,75081
14
0,05
0,79032
–0,039516
0,75081
15
0,0004
0,75111
–0,00030044
0,75081
16
2E-005
0,75082
–1,5016E–005
0,75081
17
0,0022
0,75246
–0,0016554
0,75081
18
0,0008
0,75141
–0,00060113
0,75081
19
0,0001
0,75088
–7,5088E-005
0,75081
38
Сценарий коррупция
Рис. 2.28. Сценарий коррупция
Рис. 2.29. Результат
Отчет
Параметры СФЦ:
Число вершин – N = 16
Число элементов – H = 11
Логический критерий функционирования
Yc = y16
39
Логическая ФРС содержит 18/18 конъюнкций
№ кон.
Pкон.
Знач.
кон
Сумм. знач.
ФРС
1
1,8240E-001
6,6283E-001
6,6283E-001
X5 X7 X8 X9
2
1,7280E-001
6,2794E-001
1,1762E+000
X5 X7 X8 X10
3
1,6320E-001
5,9305E-001
1,5773E+000
X5 X7 X8 X11
4
1,5960E-001
5,7997E-001
1,9056E+000
X4 X7 X8 X9
5
1,5120E-001
5,4945E-001
2,1669E+000
X4 X7 X8 X10
6
1,4280E-001
5,1892E-001
2,3764E+000
X4 X7 X8 X11
7
9,8040E-002
3,5627E-001
2,4997E+000
X6 X7 X8 X9
8
9,2880E-002
3,3752E-001
2,6050E+000
X6 X7 X8 X10
9
8,7720E-002
3,1877E-001
2,6953E+000
X6 X7 X8 X11
10
4,5144E
11
4,2768E-002
1,5542E-001
2,7760E+000
X1 X2 X5 X10 X3
12
4,0392E-002
1,4678E-001
2,8106E+000
X1 X2 X5 X11 X3
13
3,9501E-002
1,4354E-001
2,8431E+000
X1 X2 X4 X9 X3
14
3,7422E-002
1,3599E-001
2,8727E+000
X1 X2 X4 X10 X3
15
3,5343E-002
1,2843E-001
2,8996E+000
X1 X2 X4 X11 X3
16
2,4265E-002
8,8177E-002
2,9175E+000
X1 X2 X6 X9 X3
17
2,2988E-002
8,3536E-002
2,9339E+000
X1 X2 X6 X10 X3
18
2,1711E-002
7,8895E-002
2,9491E+000
X1 X2 X6 X11 X3
0021,6405E-001 2,7376E+000
X1 X2 X5 X9 X3
Вероятностная функция содержит 27 одночленов
Pc = P1 P2 Q4 Q5 P6 Q9 Q10 P11 P3
+ Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 Q10 P11
+ P1 P2 Q4 P5 Q9 Q10 P11 P3
+ P1 P2 Q4 Q5 P6 Q9 P10 P3
+ P1 P2 P4 Q9 Q10 P11 P3
+ Q4 P5 P7 P8 Q9 Q10 P11
+ Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 P10
+ P1 P2 Q4 P5 Q9 P10 P3
+ P4 P7 P8 Q9 Q10 P11
+ P1 P2 Q4 Q5 P6 P9 P3
40
+ P1 P2 P4 Q9 P10 P3
+ Q4 P5 P7 P8 Q9 P10
+ Q4 Q5 P6 P7 P8 P9
+ P4 P7 P8 Q9 P10
+ P1 P2 Q4 P5 P9 P3
+ P1 P2 P4 P9 P3
+ Q4 P5 P7 P8 P9
+ P4 P7 P8 P9
– P1 P2 P4 P7 P8 P9 P3
– P1 P2 Q4 P5 P7 P8 P9 P3
– P1 P2 P4 P7 P8 Q9 P10 P3
– P1 P2 Q4 Q5 P6 P7 P8 P9 P3
– P1 P2 Q4 P5 P7 P8 Q9 P10 P3
– P1 P2 P4 P7 P8 Q9 Q10 P11 P3
– P1 P2 Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 P10 P3
– P1 P2 Q4 P5 P7 P8 Q9 Q10 P11 P3
– P1 P2 Q4 Q5 P6 P7 P8 Q9 Q10 P11 P3
Статические расчеты:
--------------------Р = 0,275185531144 – вероятность реализации критерия
Таблица характеристик элементов системы в целом
Номер
элемента
Pi элемента
Значимость
элемента
Отрицательный
вклад
Положительный
вклад
1
0,4
0,10892
–0,043567
0,065351
2
0,33
0,13202
–0,043567
0,088455
4
0,7
0,032482
–0,022737
0,0097446
5
0,8
0,048723
–0,038978
0,0097446
6
0,43
0,017096
–0,0073512
0,0097446
7
0,6
0,3631
–0,21786
0,14524
8
0,4
0,54465
–0,21786
0,32679
9
0,95
0,0041309
–0,0039243
0,00020654
10
0,9
0,0020654
–0,0018589
0,00020654
11
0,85
0,001377
–0,0011704
0,00020654
3
0,45
0,096816
–0,043567
0,053249
41
Лабораторная работа 4
1) Риск неуспеха восстановления экономики РФ.
2) Риск неуспеха развития компании.
3) Риск падения Евро.
4) Риск неуспеха деятельности и выбора президента.
5) Риск снижения прибыли предприятия.
6) Риск мирового кризиса.
7) Риск политической нестабильности в стране.
8) Риск народных волнений в РФ.
9) Риск неуспеха стратегии маркетинга компании.
10) Риск падения цен на нефть.
11) Риск неуспеха решения трудной экономической проблемы и др.
Лабораторная работа 5
Далее студент разрабатывает и исследует ЛВ-модель, включающую несколько сценариев.
В отчете должно быть:
1. Титульный лист с названием вашей работы
2. Краткие сведения о Вашей работе (это может быть анализ,
статистические данные, интересные сведения и др.)
3. Сценарий риска по вашей работе
4. Скрин шоты с итоговым значением по программе
5. Отчет
42
3. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ В EXCEL
Лабораторная работа 6.
Построение модели CAPM в EXCEL для российского фондового
рынка
Общие сведения. Модель оценки капитальных активов или как
ее английская аббревиатура CAPM (Capital Assets Price Model)
была создана в 70-х годах прошлого века для оценки финансовых
активов предприятия: денежные средства и ценные бумаги. Эта
модель была разработана и сформирована такими известными учеными как: Шарпом, Линтнером и Моссиным. Модель CAPM предназначена для определения цены акции или стоимости компании
в будущем, другими словами, текущая оценка перекупленности
или перепроданности компании.
Модель CAPM часто используется как дополнение к портфельной теории Г. Марковица. В практике построения инвестиционных портфелей, модель CAPM, как правило, используется для выбора активов из всего множества, далее уже с помощью модели
Г. Марковица формируется оптимальный портфель.
Модель CAPM связывает такие составляющие как будущая доходность ценной бумаги и риск этой бумаги.
Формула Шарпа связи будущей доходности ценной бумаги
и риска
R = Rf + β (Rd – Rf)
(3.1)
где R – ожидаемая норма доходности; Rf – безрисковая ставка доходности, как правило, ставка по государственным облигациям;
Rd – доходность рынка; β – коэффициент бета, который является
мерой рыночного риска (недиверсифицируемого риска) и отражает
чувствительность доходности ценной бумаги к изменениям доходности рынка в целом.
Итак, ожидаемая норма доходности – эта та доходность ценной
бумаги, на которую рассчитывает инвестор. Другими словами –
эта прибыль этой ценной бумаги.
Безрисковая ставка доходности – эта доходность, полученная
по безрисковым ценным бумагам. Как правило, берут ставку по
государственным облигациям. Что бы посмотреть ставки по государственным облигациям можно зайти на сайт центрального банка РФ.http://www.cbr.ru/hd_base/Default.aspx?Prtid = gkoofz_m.
В России, на 26.08.14, она составляет 8,1 %.
43
Под доходностью рынка понимают доходность индекса данного рынка, в нашем случае индекс РТС (RTSI) либо ММВБ (MICEX)
(в зависимости от того, на какой бирже акция торгуется). Для Американских акций берут индекс S&P500.
Бета – коэффициент показывающий рискованность ценной
бумаги.
Пример построения модели оценки активов
Рассчитаем будущую доходность акции Аэрофлота AFLT.
Возьмем котировка по месяцам этой акции и индекса ММВБ
(MICEX) за период с 27 августа 2013 года по 27 августа 2014 года.
(Котировки можно брать с любого ресурса, например, экспортировать с сайта finam.ru, moex.com), рис. 3.1.
Рис. 3.1. Котировки акций
Аэрофлота и индекса ММВБ
Далее рассчитаем дневные доходности по акции Аэрофлота
и индексу ММВБ.
44
 = (A3 – A2)/A2,
(3.2)
 = (B3 – B2)/B2.
(3.3)
В итоге получится следующая таблица, рис. 3.2.
Рис. 3.2. Доходности по акции и индексу ММВБ
Для того что бы рассчитать коэффициент бета необходимо рассчитать коэффициент линейной регрессии между доходностями
акции Аэрофлота и доходностью индекса ММВБ. Можно пойти
двумя путями.
Расчет беты через формулу
В ячейке F2 введем следующую формулу:
 = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C3:C301; D3:D301); 1)
(3.4)
Коэффициент бета будет равен 0,223, рис. 3.3
Рис. 3.3. Расчет коэффициента бэта, через формулу
45
Расчет беты через надстройку «Анализ данных» Для расчета
коэффициента беты через «Анализ данных» необходимо установить надстройку Excel «Анализ Данных». В ней выбрать раздел
«Регрессия» и установить входные интервалы, которые соответствую доходностям акции Аэрофлота и индекса ММВБ, рис. 3.4.
В новом рабочем листе появится отчет.
Рис. 3.4. Расчет коэффициента бэта, через надстройку
«Анализ данных»
Отчет по регрессии выглядит следующим образом, рис. 3.5.
В ячейке В18 находится расчет коэффициента линейной регрессии, как раз необходимый коэффициент бета. Коэффициент бета
равен 0,22. Так же в отчете есть показатель R-квадрат (коэффициент детерминированности), значение которого равно 0,005. Он показывает силу зависимости меду независимыми переменными
(зависимость между доходностью акции и индексом). Показатель
Множественный R – является коэффициентом корреляции. Как
видим коэффициент корреляции составляет 0,069, что говорит
о слабой связи между доходностью индекса и доходностью акции
Аэрофлота.
46
Рис. 3.5. Отчет по регрессии
Осталось рассчитать месячную доходность рынка, доходность
индекса ММВБ, которая рассчитывается как среднеарифметическая доходность индекса. Доходность индекса ММВБ составляет
в среднем за месяц 0,01 %, а среднемесячная доходность акции
Аэрофлота 0,13 %, рис. 3.6.
Рис. 3.6. Расчет параметров рынка
Мы рассчитали все необходимые параметры модели CAPM. Теперь рассчитаем справедливую норму доходности акции Аэрофлота на следующий месяц. Rf = 5,04 %, β = 0,22, Rd = 0,01 %.
RGAZP = 8,1 %+0,22*(0,01 % – 8,1 %) = 6,32 %.
(3.5)
Норма доходности акции Аэрофлота равняется 6,32 % на следующий месяц. Можно сказать, что это прогнозная цена будущей
доходности в следующем отчетном периоде. Модель оценки капитальных активов (CAPM) мощный инструмент оценки акций
и ценных бумаг, позволит составить прибыльный инвестиционный портфель.
47
Отчет должен содержать: титульный лист, краткую информацию о вашей задаче (статистические данные, обзор рынка, экономические показатели, интересные сведения), файл с расчетами
и пояснениями, выводы.
Лабораторная работа 7.
Индексный метод торговли на рынке ценных бумаг
Цель: построение инвестиционного портфеля из четырех акций,
который бы наиболее полно соответствовал рыночному индексу.
Общие сведения. Проблема, перед которой сталкивается любой
портфельный управляющий, это проблема выбора акций для инвестиционного портфеля. Существует несколько методов управления портфелем, как правило, они делятся на два вида. Активное
и пассивное управление портфелем.
Активное управление портфелем состоит в поиске арбитражных возможностей для извлечения сверхприбыли из рынка. Придерживаясь этой стратегии управления, портфельный менеджер
использует различные методы прогнозирования и анализа для поиска закономерностей рынка и извлечение дополнительный прибыли.
Пассивное управление портфелем состоит в составлении сильно
диверсифицированного портфеля для минимизации рыночного риска. Цель портфельного управляющего составить наиболее защищенный портфель от рыночных рисков. Как правило, менеджер
пытается составить инвестиционный портфель доходность, которого как можно ближе соответствовала бы доходности рыночного
индекса. Такой подход называется «Индексная стратегия управления инвестиционным портфелем».
Рыночный индекс включает в себя взвешенный набор различных акций.
Например, индекс ММВБ включает в себя 50 различных акций.
Так же есть капитализационные индексы. Капитализация показатель характеризующий масштабы операции на рынке и определяется как суммарная рыночная стоимость обращающихся ценных
бумаг. Существуют и другие индексы: индекс «Голубых фишек»,
ММВБ-10, индекс ММВБ-инновации, региональные индексы
Итак, перед портфельным управляющим ставится задача составить портфель из 4-х акций, что бы он как можно сильнее описывал рыночный индекс.
48
Пример построения инвестиционного портфеля
Построим инвестиционный портфель из четырех акций, который
бы наиболее полно соответствовал рыночному индексу ММВБ. Для
этого возьмем капитализационный индекс MicexindecCF (данные
взяты с биржи ММВБ сайт www. moex. ru.). Наш портфель будет
состоять из 4 акций: Аэрофлот (AFLT), Трансаэр (TAER), Автоваз
(AVAZ) и Камаз (KMAZ). Для того что бы рассчитать доли этих
ценных бумаг в нашем портфеле воспользуемся MS Excel. Создадим в Excel таблицу (рис. 3.7), с дневными котировками этих акций и значения индекса за период со 17 сентября 2013 года по
17 сентября 2014 года.
Рис. 3.7. Дневные котировки акций и индекса MICEX SC
После этого создадим колонку со значениями нашего инвестиционного портфеля. А так же рассчитаем отклонение стоимости нашего портфеля от стоимости капитализационного индекса
ММВБ, рис. 3.8.
Рис. 3.8. Расчет параметров инвестиционного портфеля
49
Формула расчета стоимости портфеля равняется:
 = B2*$J$2 + C2*$J$3 + D2*$J$4 + E2*$J$5.
Ошибка отклонения:= (F2 – G2)*(F2 – G2)
(3.6)
(3.7)
Так же в ячейке «J7» рассчитаем среднюю ошибку, которую будем минимизировать.
 = СРЗНАЧ(Н2: Н162).
(3.8)
А так же в ячейке «J6” рассчитаем сумму весов, это потребуется
нам в дальнейшем для создания ограничения на веса.
Для расчета весов нашего портфеля воспользуемся надстройкой
Excel «Поиск решений», рис. 3.9.
Рис. 3.9. Надстройка «Поиск решения» для расчета весов портфеля
50
В целевую ячейку введем среднюю ошибку. Функцию эту мы
минимизируем, поэтому поставим условие минимизации. Под изменяемыми ячейками стоит диапазон весов наших акций. Ограничения накладываем на веса, что бы их сумма была меньше 1 и они
были не отрицательными. В итоге получаем значения весов для
нашего портфеля, рис. 3.10.
Рис. 3.10. Веса акций для
инвестиционного портфеля
Где акции Трансаэр составляют 72,6 %, Камаза 16,9 %, Автоваза 7,1 % и Аэрофлота 3,3 %.
Построить график портфеля и индекса, рис. 3.11.
Стоимость
Моделирование индекса MICEX
MICEX
Портфель
Рис. 3.11. График портфеля и индекса
Вывод: Индексный метод торговли эффективно используется
многими портфельными управляющими. Главное достоинство этого метода следование за рынком и максимальная диверсификация
рисков.
51
Отчет должен содержать: титульный лист, краткую информацию о вашей задаче (статистические данные, обзор рынка, экономические показатели, интересные сведения), файл с расчетами
и пояснениями, выводы.
Лабораторная работа 8.
Расчет коэффициентов эффективности управления
инвестиционным портфелем или торговой стратегией в Excel
Общие сведения. Один из важнейших этапов управления инвестиционным портфелем – это оценка его эффективности.
Оценка является последним этапом, когда за отчетный период
подводятся итоги, так же она необходима для возможной реструктуризации портфеля, то есть изменения долей акций в нем либо
включение новых активов. Оценка позволяет определить, насколько было эффективно активное управление по сравнению с пассивным управлением, когда доли акций, входящих в портфель не изменялись. Так же можно сравнить не только эффект полученный
от активного управления портфелем, но и сравнить результативность различных активных стратегий (вместо стратегий может
быть результаты деятельности фондов) управления между собой.
Оценка эффективности управления портфелем происходит за счет
анализа различных показателей, которые, как правило, используют в своем расчете доходность.
Доходность является одним из важнейших показателей эффективности управления портфелем, свидетельствующим об эффективности управления. Но нельзя, используя только доходность, судить
о качестве управленческой стратегии. Помимо доходности есть обратная сторона – риск, не учет его в оценке эффективности может
исказить реальное положение вещей. Слишком позитивная доходность могла быть получена портфельным управляющим, за счет нескольких сверх рискованных сделок или вследствие того, что весь
фондовый рынок находился в растущем тренде. Примером этого может послужить российский фондовый рынок, где до кризиса 2008
года почти все ПИФ (паевые инвестиционные фонды) показывали
сверхдоходность в 100–200 % годовых, это объяснялось тем, что
рынок находился в повышательном тренде последние несколько
лет, но когда рынок рухнул, за ним, и обесценились многие паевые
фонды. Это свидетельствует о низком качестве управления и недооценке редких, но возможных событий, таки как кризисы.
52
Российский фондовый рынок характеризуется высокой степенью
спекулятивных операций, информационной непрозрачностью, высокой волатильностью, низкой ликвидностью отдельных отраслей, сильное влияния макроэкономических факторов и зависимость
от сырьевых регионов. Все это создает дополнительную нестабильность и неопределенность в принятии управленческих решений портфельным менеджером, поэтому оценка качества управления является жизненно важным на российском фондовом рынке. В итоге, задачей портфельного менеджера становиться с одной стороны максимизация доходности портфеля, а с другой стороны минимизация риска.
Пример расчета коэффициентов эффективности управления
портфелем
Для того что бы определить эффективность управления и сделать соответствующие решения рассчитаем различные показатели
эффективности управления в программе Excel.
Расчет коэффициента Шарпа в Excel
Коэффициент Шарпа (Sharpe ratio) является одним из самых распространенных коэффициентов оценки эффективности управления
инвестиционными портфелем, другими словами оценивает качество
стратегии за отчетный период. Другое название этого показателя –
«доходность – разброс» (reward to variability ratio) и представляет
собой отношение превышения доходности инвестиционного портфеля (или доходности фонда) надо доходностью безрискового актива к риску этого портфеля, выраженным в виде стандартного отклонения. Формула расчета этого показателя следующая:
RVAPp = (arp – arf)/σp,
(3.9)
где arp – средняя доходность инвестиционного портфеля за выбранный временной интервал; аrf – средняя доходность безрискового
актива; σp – риск инвестиционного портфеля, выраженный как
стандартное отклонение доходностей портфеля.
Рассчитаем этот показатель, за последний год, начиная с 17 сентября 2013 года и до 17 сентября 2014. Для начала с сайта finam.
ru экспортируем данные о динамике всего российского фондового
рынка, которая отражена динамикой индекса RTSI. Дневная доходность есть ничто иное как, процентный прирост стоимости индекса. Так же отобразим все данные по дневным доходностям от управления инвестиционным портфелем. Данные по портфелю берем из
предыдущей работы. Формула расчета доходности следующая:
 = (B3 – B2)/B2.
(3.10)
53
Рис. 3.12. Данные доходность рынка и доходность
портфеля
Далее рассчитаем значения среднедневной доходности по безрисковому активу. За такой актив, как правило, берут государственные ценные бумаги или банковские депозиты. Годовой процент по
ним составляет 7 %, тогда как дневная доходность такого актива
будет равна 0,02 %.
В Excel формулы расчета среднедневной доходности рынка безрискового актива, инвестиционного портфеля и изменчивости доходности инвестиционного портфеля (σр) следующие:
 = СРЗНАЧ(C:C)
(3.11)
 = 0,07/360
(3.12)
 = СРЗНАЧ(D:D)
(3.13)
 = СТАНДОТКЛОН(D:D)
(3.14)
Формула коэффициента Шарпа, рис. 3.13 выглядит так:
 = (J3 – J2)/J4.
Рис. 3.13. Расчет коэффициента Шарпа
54
(3.15)
Коэффициент Шарпа показывает две вещи. Первая – приносит
ли инвестиционный портфель больше денег, чем безрисковая процентная ставка; и вторая – соотношение доходности к принятым
рискам. Другими словами, коэффициент Шарпа показывает торгуется ли разумно или же рискованно. Чем выше значения коэффициента Шарпа, тем более успешно управление, тем более эффективная стратегия управления. В обратном случае управление неэффективно. Отрицательный коэффициент говорит о том, что выгоднее вложится в безрисковый актив, чем использовать данную
стратегию управления.
Расчет коэффициента Трейнора
Коэффициент Трейнора (Treynor 1965) еще называют коэффициентом «доходности – изменчивости» (reward to volatility ratio)
и представляет собой отношение избыточной доходности к рыночному риску. Этот коэффициент строится на основе модели CAPM.
Он очень сильно походит на коэффициент Шарпа (Sharpe) – они
оба представляют собой отношение избыточной доходности к риску. Однако, коэффициент Шарпа (Sharpe) делится на стандартное отклонение (то есть но риск акции). А коэффициент Трейнора (Treynor) делится на коэффициент бета (рыночный риск). У хорошо диверсифицированных инвестиционных портфелей коэффициент
Трейнора (Treynor) и коэффициент Шарпа (Sharpe) должны совпадать, потому что тогда риск портфеля уменьшается до рыночного риска, то есть стандартное отклонение стремится к коэффициенту бета.
Основное преимущество коэффициента Трейнора (Treynor) состоит в том, что оно показывает изменчивость акций внутри портфеля, то есть какой риск внесла каждая акция в риск всего портфеля. Коэффициент Трейнора (Treynor) должен использоваться только в качестве ранжирующего механизма инвестирования в пределах одного сектора, например для акций. Чем выше коэффициент
Трейнора (Treynor) у акции, тем более предпочтительнее для инвестора является данное вложение. Коэффициент так же может быть
использован для ранжирования фондов (Паевые Инвестиционные
Фонды), чем выше показатель Трейнора для фонда, тем он более
успешен и эффективен для вложения.
Коэффициент является показателем, который оценивает эффективность получения доходности по отношению к рыночному риску:
RVOLp = (arp – arf)/βр,
(3.16)
где arp – среднедневная доходность инвестиционного портфеля;
аrf – среднедневная доходность безрискового актива; βр – коэф55
фициент бета инвестиционного портфеля (систематический риск
портфеля, другое название коэффициент рыночного риска).
Коэффициент бета, является показателем измеряющим волатильность (изменчивость) акции относительно изменчивости рынка. Данный коэффициент бета также известен как – систематический риск или рыночный риск. Систематический риск не может
быть снижен за счет диверсификации акций в инвестиционном
портфеле и является результатом изменений в деловом цикле, политическом климате или экономической политике.
Показатели доходностей мы рассчитывали ранее, сейчас рассчитаем рыночный риск представленный коэффициентом бета (β).
Формула расчета бета следующая:
βр = σpm/σ2m;
(3.17)
где σpm – ковариация между доходностью инвестиционного портфеля и доходностью рынка; σ2m – дисперсия доходности рынка.
Коэффициент бета показывает, как изменяется доходность инвестиционного портфеля от изменения доходности рынка в целом. Показатель бета меньше 1 свидетельствует о том, что инвестиционный
портфель с такой стратегией имеет больше риска, нежели сам рынок.
Итак мы разобрали все основные параметры для расчета коэффициента Трейнора, рис. 3.14.
Коэффициент бета = КОВАР(C:C; D:D)/ДИСП(C:C).
(3.18)
Коэффициент Трейнора = (J3 – J2)/J6.
(3.19)
Рис. 3.14. Расчет коэффициента Трейнора
Чем выше значения показателя Трейнора, тем более эффективно идет управление инвестиционным портфелем, поэтому выбираем стратегии, имеющие наибольшее значения показателя Трей56
нора. Как правило, этот показатель используется для построения
рейтингов портфелей.
Если коэффициент Трейнора отрицателен, то:
1) Безирисковая ставка доходности (доходность по государственным ценным бумагам ОФЗ, ГКО) больше, чем ожидаемый доход инвестиционного портфеля или отдельной акции, при положительном коэффициенте бета (рыночном риске). Это означает, что
управляющий инвестиционными портфелями (ПИФы) поступили
ужасно, что взяли риск, но не смогли получить доходность выше
безрисковой ставки.
2) Безрисковая процентная ставка доходности является меньше
ожидаемой доходности, но коэффициент бета отрицателен. Это означает, что инвестиционные фонды или портфельные управляющие
эффективны, потому что сумели снизить риск (коэффициент бета)
и в тоже время получили доходность выше безрисковой ставки.
Расчет альфы Дженсена
Коэффициент альфа Дженсена был предложен Jensen в 1968 году. Это абсолютный показатель, который показывает, насколько
более эффективно активное управление инвестиционным портфелем, нежели пассивное. Формула расчета следующая:
αp = arp – [αrf + (αrm – αrf )*βp]
(3.20)
где αp – средняя доходность инвестиционного портфеля; αrf – средняя доходность безрискового актива; αrm – средняя доходность рыночного индекса (рынка); βp – коэффициент бета (систематический
риск портфеля).
Мы имеем все параметры для расчета этого коэффициента,
рис. 3.15.
Альфа Дженсена = J3 – (J2 + (J1 – J2)*J6).
(3.21)
Рис. 3.15. Расчет коэффициента Альфа Дженсона
57
Чем выше значения этого коэффициента, тем более эффективно
управление инвестиционным портфелем. Отрицательное значение
говорит о том, что следование за рынком (использование пассивной стратегии) более эффективно, нежели использование активной стратегии управления портфелем. Мы получили значение альфы 0,02 %, то есть на 0,02 % среднедневная доходность портфеля
выше среднерыночной.
Часто встречается критика данного показателя из-за того что
его расчет строится на основе коэффициента «бета», который не
стационарен и меняется со временем, поэтому эффективное управление в прошлом может не повторится.
Расчет коэффициента Джека Швагера
Этот показатель был предложен Джеком Швагером и представляет собой отношение прибыли к убытку, рассчитывается по следующей формуле:
AGRP = AAR/AAMR;
(3.22)
где AAR – среднеарифметическое месячных прибылей; AAMR –
среднее значение максимальных просадок капитала за месяц (стоимости активов).
Этот показатель берется, как правило, для годовых данных, но мы
будем использовать его для месячной доходности и просадки. Сначала рассчитаем месячные доходности портфеля, потом максимальные
месячные просадки (убытки) с помощью функции МИН( ). Далее рассчитывается среднемесячная прибыль (функция CРЗАНЧ( )), среднемесячные убытки и непосредственно сам показатель Швагера.
У нас получилось –0,888, что означает, что среднемесячные
прибыли портфеля были меньше, чем его просадки, рис. 3.16.
Рис. 3.16. Расчет коэффициента Альфа Дженсона
58
Расчет коэффициента Сортино
Для оценки эффективности управления инвестиционным портфелем часто используют коэффициент Сортино. Этот коэффициент очень схож с коэффициентом Шарпа за исключением того,
что при оценке риска берется только те наблюдения, где значения
доходности ниже определенного уровня, который обычно берется за значения доходности безрискового актива или относительно
точки безубыточности. Другими словами, данный коэффициент
учитывает только волатильность в периоды спада (нисходящий
риск). Формула расчета показателя Сортино следующая:
arp - armar
Sortino ratio =
.
1
nmar
2
å i=1 (ari - armar )
nmar
где arp – среднедневная доходность инвестиционного портфеля;
armar – среднедневная минимально допустимая доходность инвестиционного портфеля (minimum acceptable rturn); nmar – количество наблюдений, в которых доходность была ниже допустимой доходности armar.
Для расчета данного коэффициента необходимо определить уровень допустимой доходности (MAR), возьмем его равным дневной
доходности безрискового актива (0,02 %). Так же выделим доходности, которые были получены при нисходящей волатильности.
В колонке ari по формуле отделим только отрицательные доходности: = ЕСЛИ (D3 < E3; D3; 0)
Рис. 3.17. Расчет коэффициента Сортино
Коэффициент Сортино показывает доходность инвестиционного портфеля, скорректированную на нисходящую волатильность.
Другими словами, коэффициент характеризует качество управления портфелем в периоды спада рынка.
59
Расчет коэффициента «Информационное отношение»
Данный коэффициент показывает эффективность управления
инвестиционным фондом, рассчитанную как избыточная доходность портфеля по сравнению с рыночной доходность, отнесенная
к стандартному отклонению избыточной доходности. Этот коэффициент рассчитывает по формуле:
arp - arm
IR =
;
(3.23)
1
nf
2
ar
ar
(
)
å i=1 i m
nm
где arp – средняя доходность инвестиционного портфеля за выбранный временной интервал; αrm – средняя доходность рыночного индекса (рынка); nm – количество наблюдений, в которых доходность была выше допустимой доходности среднерыночной доходности (arm).
Расчет этого коэффициента очень походит на расчет коэффициента Сортино, только вместо волатильности вниз необходимо
найти волатильность вверх. Можно заметить, что при пассивном
управлении этот коэффициент будет равен нулю. Для этого расчета необходимо найти доходности инвестиционного портфеля, которые были больше среднерыночной (0,07 %). Для этого в колонке
ari запишем:
ari = ЕСЛИ (D32 > P3; D3; 0),
(3.24)
(ari – arm) ∧ 2 = (Q3 – P3) ∧ 2.
(3.25)
Коэффициент «Информационное отношение» = (J3 – J1)/T2
(3.26)
Рис. 3.18. Расчет коэффициента информационное отношение
60
Коэффициент информационного отношения (IR) не так популярен в российской практике оценки эффективности управления
инвестиционным портфелем, зато он очень распространен в США.
Он позволяет определить эффективность по отношению к рынку.
Расчет калмар коэффициента
Калмар коэффициент (Calmar ratio) представляет собой коэффициент доходность-риск, где доходность берется как среднегеометрическая доходность, а риск рассчитывается как максимальная
просадка за все время управления. Можно заметить, что калмар –
это не фамилия ученого разработавшего его, а аббревиатура бюллетени, которую выпускала компания Terry Young – «California
Managed Account Reports». Формула расчета коэффициента следующая:
Calmar ratio = (CAGR/MaxDradawn);
(3.27)
где CAGR (Compound Annual Return) – среднегеометрический месячный темп прироста доходности;
MaxDradawn – максимальная просадка все время управления
портфелем. Для расчета среднегеометрического темпа необходимо
исключить убыточные месяцы торговли (колонка В).
Среднегеометрическая доходность ИП = СРГЕОМ(B:B)
(3.28)
Максимальная просадка (MaxDradawn) = МИН(A:A)
(3.29)
Коэффициент Калмара = C1/C2
(3.30)
Рис. 3.19. Расчет коэффициента Калмара
Расчет коэффициента M2
Коэффициент М2 (Индекс Модильяни), разработанный Модильяни в 1997 году, рассчитывается как умножение коэффициента
Шарпа на стандартное отклонение рыночной доходности и прибав61
ление безрисковой ставки доходности. Формула расчет коэффициента приведена ниже:
M2 =
(arp - arf )σm
σp
+ arf ;
(3.31)
где arp – средняя доходность инвестиционного портфеля за выбранный временной интервал; аrf – средняя доходность безрискового
актива; σp – риск инвестиционного портфеля, выраженный как
стандартное отклонение доходностей портфеля; σm – стандартное
отклонение рыночной доходности.
Отношение стандартных отклонений называют фактором рычага.
Рис. 3.20. Расчет коэффициента M2
Чем выше значения коэффициента М-квадрат, тем более большую
доходность получает инвестор по сравнению с бенчмарком (безрисковый актив), при определенном уровне риска, который определен
рычагом. Сравнивая полученное вознаграждение при одинаковом
рычаге, позволяет выбирать наилучшие инвестиционные вложения.
Лабораторная работа 9. Как определить VaR
Общие сведения. Value at Risk (VaR) – стоимостная мера риска.
VaR – это величина убытков, которая с вероятностью, равной
уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем
VaR. Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Мы уверены на
X % (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y и есть VaR.
62
VaR характеризуется тремя параметрами:
• Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой
ситуации. По базельским документам – 10 дней, по методике Risk
Metrics – 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала,
покрывающего возможные убытки.
• Доверительный уровень (confidence level) – уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина
99 %, в системе RiskMetrics – 95 %.
• Базовая валюта, в которой измеряется показатель.
Существуют способы измерения VaR : 1) исторической, когда
распределение доходностей берется из уже реализовавшегося временного ряда, то есть неявно предполагается, что доходности в будущем будут вести себя похожим на то, что уже наблюдалось, образом. 2) параметрической, когда расчеты проводятся в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего
оно предполагается нормальным).
Пример оценки VaR. Рассмотрим пример оценки риска актива
на фондовом рынке по модели VaR на основе дельта нормального
моделирования вероятности и размера убытка. Возьмем котировки акции ОАО «Газпром» и рассчитаем возможные убытки по данному виду актива. Для этого необходимо закачать котировки с сервиса finam.ru («Экспорт данных») или с сайта finance.yahoo.com,
если вы будете оценивать рыночный риск для иностранных компаний. По рекомендации Bank of International Settlements для расчета VaR необходимо использовать не менее 250 данных по стоимости акции. Были взяты дневные котировки по ОАО «Газпром»
за период 31.01.2014–31.01.2015, рис. 3.21.
Рис. 3.21. Оценка рыночного риска методом
Value at Risk (VaR)
63
На следующем этапе необходимо рассчитать дневную доходность
акции ОАО «Газпром», воспользовавшись следующей формулой.
Доходность акции ОАО «Газпром» = LN(B6/B5)
(3.32)
Рис. 3.22. Расчет доходности акции ОАО «Газпром»
Следует отметить, что корректность использования дельта нормального метода оценки риска достигается только при подчинении
факторов риска (доходности) нормальному закону распределения
(Гауссовому). Для определения принадлежности распределения доходности Гауссовому распределению можно воспользоваться классическими статистическими критериями – Коломогорова-Смирнова или Пирсона.
На следующем шаге необходимо рассчитать основные параметры распределения доходности: математическое ожидание и стандартное отклонение. Для этого воспользуемся встроенными формулами в Excel:
Математическое ожидание = СРЗНАЧ(C5:C255)
(3,33)
Стандартное отклонение = СТАНДОТКЛОН(C5:C255)
Рис. 3.23. Расчет параметров функции распределения
доходностей акции
64
(3.34)
Следующим этапом в расчете меры риска VaR является определение квантиля данного нормального распределения. В статистике под квантилем понимают – значение функции распределения (Гаусса) по заданным параметрам (математического ожидания
и стандартного отклонения) при которых функция не превышает
данное значение с заданной вероятностью. В нашем примере уровень вероятности был взят 99 %, рис. 3.24.
Рассчитаем в Excel значение квантиля для распределения доходностей акции ОАО «Газпром».
Квантиль = НОРМОБР(1 %; E5; F5)
(3.35)
Рис. 3.24. Оценка квантиля в Excel
Прогнозирование будущей стоимости акции на основе метода
VaR
Далее необходимо оценить какой возможно будет стоимость
акции при заданных параметрах распределения доходности. Для
этого можно воспользоваться следующей формулой:
Pt + 1 = (q + 1)*Pt;
(3.36)
где q – квантиль распределения доходностей акции; Pt – стоимость
акции в момент времени t; Pt + 1 – минимальная стоимость акции
в следующем периоде времени t с заданным уровнем квантиля.
Для прогнозирования будущей стоимости акции (актива) на несколько периодов вперед следует использовать модификацию формулы, рис. 3.25:
Pt +1 = (q n + 1) * Pt ;
(3.37)
где q – квантиль распределения доходностей акции; Pt – стоимость
акции в момент времени t; Pt + 1 – минимальная стоимость акции
в следующем периоде времени t при заданном уровне квантиля; n –
глубина прогноза возможной минимальной стоимости акции.
65
Формула расчета будущей стоимости акции в Excel будет иметь
вид:
Минимальная стоимость акции ОАО «Газпром» на следующий
день = (1 + G5)*B255
(3.38)
Минимальная стоимость акции через 5 дней = B255*(1 +
+ G5*КОРЕНЬ(5))
(3.39)
Рис. 3.25. Прогнозирование минимальной стоимости акции с заданной
вероятностью
Значения Pt + 1 показывает, что с вероятностью 99 % акции
ОАО «Газпром» не опустятся ниже цены равной 137,38 руб, а значение Pt + 5 показывает возможную минимальную стоимость акции
с вероятностью 99 % на 5 следующих дней. Для расчета абсолютного значения возможного убытка следует определить процентное
изменение стоимости акции. Формулы расчета в Excel будут следующие:
Относительное изменение стоимости акции
Относительное снижение стоимости акции на следующий день =
= LN(F9/B255)
(3.40)
Относительное снижение стоимости акции за пять дней =
= LN(F10/B255)
(3.41)
Абсолютное изменение стоимости акции
Абсолютное снижение стоимости акции на следующий день =
= F9 – B255
(3.42)
Абсолютное снижение стоимости акции за пять дней =
= F10 – B255
(3.43)
66
Таким образом экономический смысл показателя VaR заключается в следующем: в течение следующего дня стоимость акции ОАО «Газпром» с вероятностью 99 % не окажется ниже
137,38 руб. и абсолютные убытки не превысят 6,44 руб (5 %) на акцию. И аналогично для оценки VaR на пять дней вперед: в течение
пяти дней стоимость акции ОАО «Газпром» с вероятностью 99 %
не опуститься ниже 129,42 руб., и потеря капитала не превысит
11 % (14,4 руб на акцию), рис. 3.26.
Рис. 3.26. Мера риска VaR. Пример расчета в Excel
Оценка меры риска VaR на основе «ручного способа» в Excel
Второй метод расчета меры риска VaR называется «ручным
способом», так как позволяет не привязываться к распределению,
по которому изменяется стоимость актива. Это одно из его главных преимуществ по отношению к дельта нормальному методу.
Для оценки рыночного рискам будем использовать те же входные
данные – котировки ОАО «Газпром», рис. 3.27. Этапы расчета VaR
следующие:
Расчет максимума и минимума доходностей акции ОАО «Газпром»
По рассчитанной доходности акции ОАО «Газпром» определяем
максимум и минимум доходности. Для этого воспользуемся формулами:
Максимальное значение доходности акции = МАКС(C5:C255)
(3.44)
Минимальное значение доходности акции = МИН(C5:C255)
(3.45)
67
Выбор количества интервалов группировки доходностей/убытков акции
Для ручного способа оценки риска необходимо взять количество интервалов деления группировки доходностей. Количество
может быть любое, в нашем примере мы возьмем N = 100.
Определение ширины интервала группировки доходностей
Ширина интервала или шаг изменения группы необходим для
построения гистограммы и рассчитывается как деление максимального разброса доходностей к количеству интервалов. Формула
расчета интервала следующая:
Размер интервала доходностей акции = (E5 – F5)/H5
(3.46)
Рис. 3.27. Оценка меры риска VaR «ручным способом»
На следующем этапе необходимо построить гистограмму распределения доходностей по выбранным интервалам. Для этого рассчитываем границы всех групп доходностей (всего их 100),
рис. 3.28. Формула расчета следующая:
Граница доходностей акции = H5 + $E$11
(3.47)
Рис. 3.28. Расчет границы доходностей в Excel для акции ОАО «Газпром»
68
После определения границ групп доходностей строим накопительную гистограмму. Для этого заходим в надстройку «Данные» → «Анализ данных» → «Гистограмма».
В открывшемся окне заполняем «Входные интервалы», «Интервалы карманов», также выбираем опцию «Интегральный процент» и «Вывод графика», рис. 3.29.
Рис. 3.29. Пример построения гистограммы доходностей
ОАО «Газпром»
В результате будет сформирован новый рабочий лист с графиком и частотой попадания доходности/убытка в тот или иной ин69
тервал, рис. 3.30. График накопительным итогом имеет следующий вид:
Рис. 3.30. Гистограмма накопительной доходности в Excel
Итак первый столбец полученной таблицы это квантиль данного для распределения доходностей/убытков, вторая частота попадания доходностей в тот или иной интервал, третья отражает вероятность появления убытков. В таблице с накопительной вероятностью попадания в тот или иной интервал необходимо найти уровень ~1 %.
Рис. 3.31. Определение квантиля доходностей
акции «ручным способом»
Значение квантиля соответствует –0,039, тогда как при дельта
нормальном способе оценки риска квантиль составил –0,045. Для
оценки рисков воспользуемся уже полученными формулами оценки и рассчитаем размер убытков. На рисунке 3.32 ниже показана
70
оценка возможных убытков на следующий день и в течение пяти
дней с вероятностью 1 % составят 4 и 9 % соответственно.
Рис. 3.32. Результат оценки «ручным способом» меры риска VaR в Excel
Сложность использования метода оценки риска VaR
Отечественный фондовый рынок имеет достаточно высокую степень волатильности, на рынке наблюдаются «тяжелые хвосты» –
то есть возникновение частых кризисов с большим размером убытков. В результате модель VaR не может точно спрогнозировать возможные будущие потери инвестора. Следует отметить, что данная
модель хорошо применима для товарных низковолательных рынков нежели фондовых.
Лабораторная работа 10.
VAR для нескольких активов
Общие сведения. Инвестору чрезвычайно важно знать степень
риска, которому подвержены открытые позиции. Определить меру
риска VaR (Value-at-Risk) для единичного актива можно по формуле:
95 % VaR = 1,65 * Волатильность * Размер позиции * √Время,
(3.48)
где 95 % – это 95 %-ный доверительный уровень;
71
Волатильность – стандартное отклонение изменения цен (рассчитывается как натуральный логарифм «сегодня/вчера»);
Размер позиции – стоимость торгуемого контракта;
Время – горизонт оценки.
Полученный результат трактуют так: ценовые изменения
в данный промежуток времени не приведут к потерям выше полученного результата в 95 % случаев. Иными словами, есть только
5 %-ная вероятность потери, превышающей значение 95 % VaR.
В банковской практике чаще применяется 99 % VaR, отличие которого от представленной формулы в коэффициенте: 2,33 вместо
1,65. Соответственно, 99 % VaR говорит нам, что цены с вероятностью 99 % не способны измениться настолько, чтобы убытки превысили вычисленное значение.
Пользуясь указанной выше формулой, можно определить риск
широкого спектра финансовых активов, попадающих в категорию простых инструментов и линейных производных. К ним относятся: акции, иностранные валюты, облигации обычные и с плавающим купоном (не имеющие высокую дюрацию), процентные
и валютные свопы, валютные форвардные контракты, FRA. Тем
самым формулировка доступна для применения практически на
всех рынках, традиционно вызывающих интерес у отечественных
инвесторов.
Пример. VaR для пяти российских акций.
Шаг 1. Первичная обработка данных
Сначала выясним значение среднего изменения цен и волатильности. Для этого нам потребуется как минимум объем данных,
удовлетворяющих выбранному периоду оценки. Предположим,
используется 20-периодный цикл, тогда нужно не менее 21 дня,
если анализ выполняется по дневным данным. Для каждого дня
необходимо выяснить натуральный логарифм отношения цен «сегодня/вчера» (см. значение «Изм.» в табл. 3.1).
Теперь можно найти среднедневное изменение и величину
стандартного отклонения, используя полученный ряд (колонки
«Изм.»). Среднедневное изменение – это среднеарифметическое,
которое в Excel записывается « = average()», а стандартное отклонение как « = stdev( )», которое и является дневной волатильностью. При этом калькуляция охватывает область переменных, находящихся на строчках от 2 до 21 в колонке «Изм.» (результат см.
в табл. 3.2).
72
Таблица 3.1
Вычисления, предшествующие выяснению волатильности
и среднего изменения Период с 1 по 29 апреля 2014 года
Таблица 3.2
Среднедневное изменение и дневная волатильность
Находится по формуле:
Волатильность = СТАНДОТКЛОН(D4:D23),
(3.49)
Среднедневное отклон = СРЗНАЧ(D4:D23).
(3.50)
Шаг 2. Необходимый минимум теории
Прежде чем перейти к вычислению VaR портфеля, обратимся
к некоторым сведениям, которые дают понимание расчетных алго73
ритмов. В целом VaR портфеля из многих активов можно определить по следующей формуле:
VaR портфеля =
= Среднее изменение – –К * Волатильность портфеля,
(3.51)
где Среднее изменение – просто сумма средних изменений всех
компонентов портфеля; К – число стандартных отклонений, требуемых для заданного доверительного уровня, вычисляемое по формуле в Excel « = NORMSINV()», где аргумент – соответствующий
доверительный уровень.
Волатильность портфеля калькулируется с использованием
формулы, предложенной Г. Марковицем:
Волатильность портфеля = √(Вектор волатильной компоненты *
Корреляционная матрица * Транспонированный вектор
волатильной компоненты).
(3.52)
Вектор волатильной компоненты можно вычислить, пользуясь
формулой:
Компонента волатильности = Стоимость позиции *
Волатильность позиции. 
(3.53)
Помимо уже выполненных расчетов для вычисления VaR портфеля потребуется построить корреляционную матрицу, основываясь на данных, обработанных в шаге 1. Она представляет собой совокупность коэффициентов, отражающих корреляцию между каждым из инструментов, входящих в портфель. Вычисления в Excel
выполняются с помощью соответствующей функции «= correl( )»
либо через «Анализ данных», причем построение матрицы лучше
выполнить на странице, где будут размещены все прочие расчеты,
в том числе и VaR. Это уже будет шаг 3.
Рассмотрим понятие корреляции и построим матрицу (через
Анализ данных), рис. 3.33. Корреляция – это мера зависимости
между двумя и более случайными величинами.
Рис. 3.33. Матрица корреляции
74
Шаг 3. Вычисление VaR портфеля
Протокол расчета, позволяющий видеть все промежуточные
этапы, представлен в таблице 3.3. Здесь же даны формулы, с помощью которых производятся вычисления. Следует иметь в виду:
данная таблица есть копия рабочего листа Excel, поэтому при написании программы рекомендуется придерживаться указанного
порядка, пользуясь для подсказки формулами. Позже, если возникнет желание, структуру таблицы можно изменить.
Таблица 3.3
Матрицы, обслуживающие вычисление VaR портфеля
Вывод: существует вероятность равная 95 %, что наши потери
не превысят 25 383 рублей в течение одного дня и 15 824 р. в течение 10 дней.
75
Лабораторная работа 11.
Расчет показателя Омега
для оценки эффективности управления
инвестиционного портфеля
Общие сведения. В 2002 году учеными C. Keating и W. F. Shadwick был предложен новый показатель оценки эффективности
управления инвестиционными портфелями, получивший название Омега. Этот показатель позволяет не только сравнивать эффективности управления портфелем, но так же может оценить деятельность ПИФа, торговой стратегии, деятельности управляющего и т. д. Показатель или коэффициент Омега является более комплексным показателем эффективности, нежели показатель Шарпа, Сортино, Трейнора, Дженсена. Одно из преимуществ данного
коэффициента в том, что при помощи него можно сравнивать различные портфели, как с нормальным законом распределения доходностей, так и отличные от него.
Коэффициент Омега, так же как и коэффициент Сортино использует минимально допустимый и установленный инвестором
уровень доходности. Омега показывает на сколько будет удовлетворена эта минимальная доходность. На рисунке 3.34 изображена функция распределения доходности этого портфеля, область
G – является вероятностью получения доходности превышающей установленный уровень Х. Область L – является зоной проигрыша.
Рис. 3.34. Функция распределения
доходности портфеля
76
Отсюда непосредственно формула расчет коэффициента Омега
будет выглядеть следующим образом:
G
.
(3.54)
L
При одинаковом пороге (уровне) доходности портфельный менеджер должен выбрать тот портфель, который имеет большее значение коэффициента Омега.
Рассчитаем коэффициент Омега в Excel для двух инвестиционных портфелей. И так мы имеем различные доходности инвестиционных портфелей за прошедший отчетный период, перед нами
ставится задача выбрать тот, который обеспечит необходимую доходность с минимальными рисками. Ниже представлена дневная
доходность портфелей за год, рис. 3.35
ω=
Рис. 3.35. Дневная доходность портфелей
Далее необходимо построить функцию распределения доходностей двух портфелей, для этого сначала рассчитаем следующие показатели, рис. 3.36:
Максимальная доходность = МАКС(F3:F251)
(3.55)
Минимальная доходность = МИН(F3:F251)
(3.56)
Разброс доходностей = K2 – L2
(3.57)
Интервал (Int) = M2/100
(3.58)
77
Рис. 3.36. Показатели портфелей
Далее построим частотные гистограммы из 100 интервалов для
двух портфелей, рис. 3.37. Для этого, начиная с минимальной доходности и прибавляя Int, получим границы доходностей. Для
расчета частоты попадания доходностей в построенные интервалы
воспользуемся функцией ЧАСТОТА( ). Не забудьте после вписывания формулы частоты сделать группировки с помощью комбинации клавиш Shift + Ctrl + Enter.
Интервал = K6 + $N$2
(3.59)
Частота № 1 = ЧАСТОТА(F3:F251; K6:K105)
(3.60)
Рис. 3.37. Частотные гистограммы
После этого необходимо построить функцию распределения доходностей. Для этого определим вероятность появления доходности для каждого интервала по формуле:
Вероятность № 1 = L6/250
(3.61)
Вероятность № 2 = M6/250
(3.62)
Накопленная вероятность № 1 = N7 + P6
(3.63)
Накопленная вероятность № 2 = O7 + Q6
(3.64)
78
Рис. 3.38. Показатели портфелей: вероятность, накопленная
вероятность
Можно проверить правильность расчета вероятности для этого
нужно сложить вероятности для всех интервалов и должно получится 1 или 100 %, рис. 3.38. Построим график, отражающий накопленную вероятность – это и будет функция распределения доходностей портфелей, рис. 3.39.
Рис. 3.39. График распределения доходностей портфелей
Инвестору необходимо выбрать минимально допустимый уровень доходности, например 1,7 %. После этого необходимо рассчитать вероятность попадания в зону G и L – это делается путем суммирования всех вероятностей или частот до и после этого уровня,
рис. 3.40.
79
Рис. 3.40. Вероятность попадания в зону G и L
Для первого портфеля G = 23,60 %, L = 76,40 %. Для второго портфеля G = 18,40 %, L = 80,60 %. Омега для первого портфеля составила 31,05 %, а для второго портфеля 22,89 %. Омега
№ 1 = R106/S106, аналогично Омега № 2 = T106/U106.
Рис. 3.41. Омега № 1 и Омега № 2
Для инвестора более предпочтительнее будет инвестиционный
портфель № 1, рис. 3.41, так как он более эффективен для выбранного уровня доходности.
80
Литература
1. Карасева Е. И., Алексеев В. В. Синтез и анализ вероятности
событий по нечисловой неточной и неполной экспертной информации // Проблемы анализа риска. Т. 11. № 3. 2014. С. 22–31.
2. Карасева Е. И. Риски финансового сектора // Экономика, налоги, право № 4, 2013. С. 27–32.
3. Карасева Е. И. Преимущества междисциплинарных исследований в экономике // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Общественные науки № 1. 2014. С. 210–227.
4. Жданов И., Чекулаев М., Жданов В. Подробные практические примеры в Excel по инвестиционному анализу. М., 2011. 38 с.
5. Хованов Н. В. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците. СПб., СПбГУ, 1996.
6. Колесов Д. Н. Оценка вероятности альтернатив по ординальной и интервальной экспертной информации / Д. Н. Колесов,
Н. В. Хованов, М. С. Юдаева // Применение математики в экономике. Вып. 18 / под ред. А. В. Воронцовского. СПб.: ООО «ИПК
«Коста», 2009. С. 82–107.
7. Соложенцев Е. Д. Топ-экономика. Управление экономической безопасностью социально-экономических систем. – Национальная безопасность и стратегическое планирование. № 2–1 (10),
2015. С. 31–41.
8. Соложенцев Е. Д. Технологии управления риском в структурно-сложных системах: учеб. пособие. СПб.: ГУАП, 2013. 435 с.
9. Solozhentsev E. D. Risk management technologies (with logic
and probabilistic models). Springer, 2012. 328 p.
10. Karaseva E., Alexeev V. Synthesis and analysis of probabilities
of events by non-numeric, inaccurate and incomplete expert information // Int. J. Risk Assessment and Management. Vol. 18.Nos. 3/4.
2015. Р. 276–287.
11. Eugene D. Solozhentsev. Technologies of logic and probabilistic
management of risk of social and economical systems. – International
Journal of Risk Assessment and Management (IJ RAM), 2014.
Vol. 17. No. 3. Р. 171–187.
12. АРБИТР. Программный комплекс автоматизированного структурно-логического моделирования и расчета надежности и безопасности АСУТП на стадии проектирования (ПК АСМ
СЗМА). Автор: Можаев А. С. Правообладатель: АО «СПИК СЗМА».
Аттестационный паспорт ПС № 222 от 21 февраля 2006 г., Феде81
ральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор) РФ.: URL: http://www.szma.com/
pkasm.shtml).
13. Гладкова И. А., Нозик А. А., Струков А. В. Логико-вероятностное моделирование последствий аварий с использованием программного комплекса «АРБИТР» // Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах: Труды Международной
Научной Школы МА БР-2014 (Санкт-Петербург, 18–20 ноября,
2014), ГОУ ВПО «СПбГУАП». СПб., 2014. С. 223–228.
14. Можаев А. С. Аннотация программного средства «Арбитр»
(ПК АСМ СЗМА) // Научно-технический сборник «Вопросы атомной науки и техники». Серия «Физика ядерных реакторов. Раздел
“Аннотация программных средств, аттестационных Ростехнадзором РФ”». Выпуск 2/2008. М.: РНЦ «Курчатовский институт»,
2008. С. 105–116.
82
СОДЕРЖАНИЕ
1. Комплекс Expa...................................................................3
Лабораторная работа 1. Оценка вероятности события
одним экспертом................................................................6
Лабораторная работа 2. Ранжирование объектов
одним экспертом................................................................8
Лабораторная работа № 3. Оценка вероятности
события и ранжирование объектов несколькими экспертами.....15
2. ПК АРБИТР.................................................................... 19
Введение......................................................................... 19
Часть 1. Основы работы с ПК АРБИТР................................ 19
Часть 2. Моделирование простых структур.......................... 28
Примеры работ на ПК Арбитр............................................ 37
Лабораторная работа 4...................................................... 42
Лабораторная работа 5...................................................... 42
3. Лабораторные работы в EXCEL........................................... 43
Лабораторная работа 6. Построение модели CAPM
в EXCEL для российского фондового рынка......................... 43
Лабораторная работа 7. Индексный метод торговли
на рынке ценных бумаг..................................................... 48
Лабораторная работа 8. Расчет коэффициентов
эффективности управления инвестиционным портфелем
или торговой стратегией в Excel......................................... 52
Лабораторная работа 9. Как определить VaR........................ 62
Лабораторная работа 10. VAR для нескольких активов......... 71
Лабораторная работа 11. Расчет показателя Омега
для оценки эффективности управления инвестиционного
портфеля......................................................................... 76
Литература......................................................................... 81
83
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
10 285 Кб
Теги
0159a221d7, karasev
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа