close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Koltishev1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИРОДНЫХ
И ТЕХНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания
по самостоятельной работе
Санкт-Петербург
2016
Составитель – кандидат географических наук, доцент. А. Е. Колтышев
Рецензент – кандидат технических наук, доцент В. П. Пашков
Методические указания предназначены для бакалавров направления «Техносферная безопасность», направленность «Инженерная
защита окружающей среды», обучающихся по курсу «Моделирование природных и технических процессов», а также могут использоваться магистрами направления «Техносферная безопасность», направленность «Инновационные технологии и эколого-экономическая
оценка безопасности в природно-технических системах», обучающихся по курсу «Моделирование природно-технических систем» и
магистрами направления «Прикладная математика», направленность «Математическое моделирование и информационные технологии в экологии и природопользовании», обучающихся по тому же
курсу. Методические указания содержат вопросы для самостоятельной подготовки студентов, темы рефератов, указания для выполнения практических работ по дисциплине, вопросы для экзамена.
Публикуется в авторской редакции.
Компьютерная верстка М. И. Дударева
Подписано к печати 28.12.16. Формат 60 × 84 1/16.
Усл. печ. л. 3,72. Тираж 50 экз. Заказ № 523.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2016
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование не является наукой, однако моделирование –
важнейший инструмент познания, широко применяемый практически во всех областях науки. Без использования моделей невозможно представить себе ни одно из современных научных направлений.
Разнообразие моделей огромно, поэтому в рамках курса «Моделирование природных и технических процессов» не представляется возможным изучить их все. Задачей курса является изучение основных принципов моделирования, т.е. классификаций моделей,
основ теории систем, системного анализа и кибернетики, моделей
динамики популяций, глобальных моделей. Понимание этих направлений необходимо студентам, изучающим дисциплины экологического и геоэкологического профиля.
Дисциплина нацелена на формирование у обучающихся общекультурной компетенции:
– способность к абстрактному и критическому мышлению, исследованию окружающей среды для выявления ее возможностей и
ресурсов, способность к принятию нестандартных решений и разрешению проблемных ситуаций;
и профессиональных компетенций:
– способность принимать участие в научно-исследовательских
разработках по профилю подготовки: систематизировать информацию по теме исследований, принимать участие в экспериментах,
обрабатывать полученные данные;
– способность применять на практике навыки проведения и описания исследований, в том числе экспериментальных;
а также прочих компетенций.
Целью преподавания дисциплины «Моделирование природных
и технических процессов» является обучение студентов знаниям
в области системного анализа, применения моделей для решения
практических задач, а также выработка соответствующих компе3
тенций и умений. Основными задачами изучения дисциплины являются:
– изучение классификаций и функций моделей;
– выработка навыков владения гипотетико-дедуктивной методологией;
– освоение основ системного анализа, выработка навыков применения системного подхода для изучения природных, технических и природно-технических систем;
– изучение структур и механизмов управления в природно-технических системах;
– выработка навыков работы с простыми моделями и получения
практических результатов с использованием этих моделей;
– знакомство с моделями, использующимися при изучении природных процессов;
– знакомство с глобальными моделями, включая модели Римского клуба.
В настоящем пособии сформулированы разделы курса и основные темы, входящие в разделы; приведены основные вопросы по
темам дисциплины для подготовки к тестированию, темы для самостоятельной подготовки и темы рефератов; даны методические
указания для выполнения практических работ, приведены вопросы к зачету (экзамену).
В процессе изучения курса студент должен заниматься самостоятельной работой, изучать теоретический материал дисциплины,
ответить на контрольные вопросы для самопроверки, подготовить
реферат, выполнить практические задания в соответствии с предложенным индивидуальным вариантом, подготовиться к зачету
(экзамену).
4
1. ПРОГРАММА КУРСА «МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРИРОДНЫХ И ТЕХНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ»
Раздел 1. Основные принципы моделирования
1.1. История развития моделирования
1.2. Классификации моделей
1.3. Модели и парадигмы
1.4. Природа моделей. Идеализация. Характеристики моделей
1.5. Функции моделей
1.6. Опасности моделирования
Раздел 2. Основы теории систем
2.1. Системный анализ и системы
2.1.1. Понятие системы и свойства систем
2.1.2. Классификация систем
2.1.3. Структура и строение систем
2.1.4. Прямые и обратные связи в природных системах
2.2. Основные этапы системного анализа
2.3. Кибернетическое описание экосистем
2.3.1. Характеристики экосистем с точки зрения теории систем
2.3.2. Управление в экосистемах
2.3.3. Иерархическая структура экосистем
2.3.4. Порядки динамики экосистем
2.3.5. Общая идеология разработки моделей
Раздел 3. Примеры моделей, использующихся при изучении
природных процессов
3.1. Модели динамики численности популяции
3.1.1. Свойства и параметры популяции
3.1.2. Численность популяции и типы ее роста
3.1.3. Мальтузианская модель (экспоненциальный рост)
3.1.4. Рост с ограничением или J-образный рост
3.1.5. Логистический или S-образный рост
3.2. Модель динамики популяций Лотки – Вольтерры
3.2.1. Предпосылки и допущения модели
3.2.2. Типы парных взаимодействий в экосистемах
3.2.3. Уравнения модели Лотки – Вольтерры
3.3. Глобальные модели
3.3.1. Моделирование климата
3.3.1.1. Изменения климата и проблемы моделирования
климата
3.3.1.2. Сценарии изменения климата, полученные по
современным моделям
3.3.2. Модель ядерной зимы
3.3.3. Модели Римского клуба
5
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
2.1. Работа №1. выделение систем из среды, анализ систем
Цель работы: Выработка навыков системного анализа сложных
природных и технических систем.
Задачи работы: проанализировать заданные системы; выделить элементы, переменные и связи; проанализировать элементы, переменные и связи; построить структурные схемы систем;
формализовать заданные условия в виде модели; на основе заданных задач и схем решить обратную задачу – привести примеры
природных или технических систем, соответствующих заданным
условиям и схемам.
Основные методические указания
Предлагаемые задачи разнообразны. Обучаемому следует проанализировать полученное задание и найти пути и способы решения, используя полученные на лекциях и при самостоятельном
изучении предмета знания в области системного анализа, гипотетико-дедуктивной методологии и известными из теоретического
курса методами (например, методами подобия, умозаключения по
аналогии и другими).
Исходные данные и материалы:
Задачи, подлежащие решению и варианты заданий приведены
в Приложении. Решения задач обсуждаются на семинарском занятии.
2.2. Имитационное моделирование
Модели, реализованные в форме имитационных компьютерных программ «Малое озеро» и «Малая река», предназначены для
использования в учебном процессе как практические работы по
курсу дисциплин экологического цикла. Это простейшие учебные
модели, реализованные в виде компьютерных игр. Несмотря на
простоту и примитивность оформления, эти модели способствуют
закреплению и развитию теоретических знаний по моделированию природно-технических процессов, применению моделей на
практике, управлению природно-техническими системами, а так
же выработке у обучаемых студентов элементарных практических
навыков управления природно-техническими системами и работы
с моделями подобных систем.
Основной задачей студентов при работе с предложенными моделями является не столь достижение хорошего результата (хотя это,
безусловно, важная задача), сколь изучение конкретных моделей
как таковых, возможностей этих моделей, методов их использова6
ния для решения конкретных природоохранных и экономических
задач. При этом студент действует фактически как главный эколог
административного образования (района, области), решая поставленную руководителем этого образования задачу (работы №2 и №3)
с помощью имеющихся в его распоряжении моделей «Малое озеро»
или «Малая река».
Студенту следует уяснить задачи конкретных моделей, области
их применения, условия применимости, принятые допущения,
значение данных моделей, возможности моделей для тестирования
различных стратегий достижения поставленных задач.
При работе с обеими моделями в работах №2 и №3 следует действовать на основе принципов гипотетико-дедуктивной методологии,
т.е. ставить и проверять те или иные гипотезы. Кроме достижения
положительного результата, при работе с моделями в рамках учебного курса следует решить следующие задачи по изучению моделей
и принципов моделирования:
1) выяснить основные задачи используемых моделей;
2) установить область применимости каждой из моделей;
3) определить тип каждой модели по всем известным классификациям моделей;
4) выделить все элементы моделируемой природно-технической
системы и построить ее структурную схему;
5) выделить и описать все переменные состояния элементов системы;
6) выделить и описать входные переменные;
7) выделить и описать выходные переменные;
8) выделить и описать возмущающие переменные;
9) выделить и описать связи элементов системы;
10) установить порядок динамики природно-технических систем, моделирующийся данными моделями;
11) выявить заложенные в модели группы управления в природно-технической системе, исследовать возможности управления
системой (выявить и обозначить управляющие элементы), изучить
внутреннее управление в системе, выявить управляемые элементы, оптимизаторы и сигналы управления;
12) формализовать целевую функцию управления системой
с учетом условий, которые должны быть соблюдены в соответствии
с предъявляемыми требованиями;
13) выявить условности в модели (т.е. проанализировать, какие
факторы не учитываются) и оценить влияние неучитываемых факторов на достоверность результатов, получаемых с помощью модели;
7
14) пройти тестовые игры по моделям и получить положительные результаты;
15) руководствуясь гипотетико-дедуктивной методологией, выяснить, какие стратегии приводят к положительным результатам в каждой модели. Описать алгоритм стратегий, приводящих к успешному результату управления природно-технической системой;
16) в случае нахождения оптимальной стратегии проверить и
установить, имеются ли альтернативные стратегии, позволяющие
достичь положительного результата. В случаях, если такие стратегии имеются, дать описание их алгоритмов, привести сравнение
стратегий и их результатов.
Студент должен предоставить преподавателю отчет о полученных результатах, включая конкретные ответы на вопросы и задачи
пунктов 1 – 16.
2.2.1. Работа №2. Имитационная модель «Малое озеро»
Имитационная компьютерная игра «Озеро» способствует закреплению теоретических знаний по дисциплине «Экология», развивает навыки управления природно-технической системой. В модели «Озеро» рассматриваются вопросы охраны водоема небольшого
объема в условиях ограниченного финансирования природоохранных мероприятий. Целью использования данной модели является
не получение максимально возможной прибыли, а выведение водоема из загрязненного состояния и поддержание его параметров
в пределах установленных ПДК в течение заданного периода времени при минимальных финансовых затратах.
Цель работы с моделью: вывести озеро из загрязненного состояния и поддерживать параметры воды в пределах установленных
ПДК в условиях ограниченного финансирования.
Задачи работы: привести показатели экологического состояния
озера в соответствие с ПДК за июнь и поддерживать достигнутые
результаты на протяжении июля, используя средства управления
принудительной аэрацией, подкачкой и сбросом воды с учетом прогноза погоды и деятельности прибрежных предприятий природнотехнической системы «Малое озеро».
Обучаемый выполняет функции диспетчеpа по упpавлению
природно-технической системой «Малое озеро». Для успешного
упpавления системой необходимо изучить и усвоить закономеpности, лежащие в основе водного баланса, пpевpащений и дестpукции веществ, насыщения воды кислоpодом, влияния метеоусловий на экологические пpоцессы в озере. Необходимо научиться оптимальному планиpованию нескольких взаи­мосвязанных
8
паpаметpов упpавления в условиях ограниченности суммаpной
стоимости pасходов.
Описание элементов системы и их функций
Моделируемая в процессе игры управляемая природно-техническая система включает в себя:
– водоем (озеро);
– прибрежные предприятия;
– гидрометеослужбу;
– службу управления качеством воды;
– финансирующий орган.
1. Водоем размерами 200×300 м pазбит на тpи зоны площадью по
200×100 м – пpомышленную, сpеднюю и культуpную (со сpедними
глубинами 5 м, 10 м и 5 м соответственно). Ноpмальным считается
уpовень воды в озеpе 9,8 – 10,2 м. При снижении уровня воды ниже
9,8 м или превышения уровня 10,2 м автоматически на одни сутки
на полную мощность включается соответственно станция перекачки (при отключении сброса) или станция сброса (при отключении
перекачки), поэтому рекомендуется поддерживать уровень воды
в указанных пределах и не допускать излишнего расходования финансовых средств на автоматическую работу станций перекачки и
сброса.
2. Прибрежные предприятия: завод, фабpика, база. Данные
предприятия используют воду озеpа в технологических пpоцессах,
загpязняя ее сточными водами, содержащими оpганические и неоpганические вещества. Принимается, что объем забиpаемой из
озера воды pавен объему сбpасываемой загрязненной воды. Концентpации оpганики и неоpганики в сбpасываемой воде могут меняться чеpез каждую декаду. Ботанический сад только забиpает
воду из озеpа для полива растений (вода в озеро не сбрасывается, а
испаряется в атмосферу).
Данные о деятельности предприятий заложены в программу,
моделирующую экосистему озера. Эти данные обучаемый при желании может получить во время работы с моделью. Они выводятся
на экран по частям, в соответствии с рассматриваемой в конкретный момент декадой. Управление работой предприятий в модель не
заложено.
В модели установлен предел допустимых концентраций (ПДК)
в мг/л по кислороду, органике и неорганике для каждой зоны. Ниже приводится табл. 2.1, где представлены ПДК, причем ПДК по
кислоpоду опpеделяет нижнюю гpаницу, ПДК по оpганике и неоpганике – веpхнюю.
9
Таблица 2.1
Значения ПДК для различных зон озера
Ингредиент
Пpомышленная зона
(мг/л)
Сpедняя зона
(мг/л)
Культурная зона
(мг/л)
Кислоpод
2
4
6
Оpганика
60
40
25
Неоpганика
350
300
220
3. Станции ежедневного взятия проб воды. Две из них стационарные – в промышленной и средней зоне, одна передвижная – для
взятия проб воды (при необходимости) в культурной зоне.
4. Гидpометеослужба осуществляет метеорологический пpогноз
(заблаговременностью до 10 суток) по темпеpатуpе воздуха и воды,
осадкам, атмосферному давлению и ветpу. Данные об изменениях
погодных условий заложены в модель и остаются одними и теми
же, поэтому все игроки оказываются в равных условиях, диктуемых внешней обстановкой.
5. Служба упpавления качеством воды. Она осуществляет подкачку чис­той воды в пpомышленную зону, сбpос воды из культуpной зоны, искусственную аэpацию вод. Интенсивность аэpации
задается величинами А1 и А2 в мг/л – т.е. на сколько можно увеличить аэpацию воды без учета дpугих фактоpов поступления и
pасходования кислорода. Следует иметь в виду, что искусственная
аэpация, сколь бы интенсивной она ни была, не может дать концентpацию растворенного кислоpода выше пpедельного насыщения
воды (эта величина зависит от темпеpатуpы воды и атмосфеpного
давления).
В плане водного баланса обучаемому следует учесть, что станции пеpекачки воды пеpеводятся автоматически в pежим подъема
уpовня (Р = 5000, S = 0) или его снижения (Р = 0, S = 5000) на одни
сутки, если уpовень воды выходит за пpеделы допустимых ноpм.
Чтобы упpавлять уpовнем воды, следует учитывать водный баланс
данного конкретного водоема:
B = Wg – Wu – Wb + (P – S), где Wg и P – приток воды в озеpо за счет дождей и пеpекачки соответственно, Wu, Wb, S – pасход воды за счет испаpения, забоpа воды
ботаническим садом и сбpоса соответственно.
6. Финансиpующий оpган. Для упpавления озеpом на два месяца выделяется условная сумма 300 pуб. Эти деньги pасходуются на
пеpекачку воды из pасчета 50 копеек за каждые 1000 м3 и на искус10
ственную аэpацию из pасчета 25 копеек за повышение концентpации кислоpода в одной зоне на 1 мг/л. Следует понимать, что приведенные тарифы являются условными, по расценкам 2001 года.
В реальных условиях следует учитывать инфляцию и курсы валют.
Вместе с тем, эта условность никоим образом не снижает ценность
модели и получаемых с ее помощью результатов и выводов.
В модели денежные pасходы не выведены на пеpвый план, однако отсутствие их учета будет со стоpоны обучаемого серьезной
ошибкой. Начиная с момента, когда выделенная сумма будет изpасходована, в оставшиеся дни природно-техническая система будет
pазвиваться без упpавления со стоpоны обучаемого, а такое pазвитие быстpо пpиводит к ухудшению качества воды в озере. Таким
обpазом, pазумная экономия пpи благопpиятных условиях, более
свободный pасход средств в условиях неблагопpиятных и оpиентиp на сpеднесуточный pасход около 5 pуб. позволяют обучаемому
сохpанить свою pоль диспетчеpа до конца сpока игpы.
Управление природно-технической системой
Раствоpенный в воде кислоpод как pасходуется, так и пополняется в силу нескольких пpичин. Расход обусловлен pазложением
оpганики и водообменом с пpедпpиятиями: забиpая воду, обогащенную кислоpодом, и сбpасывая воду, обедненную кислоpодом,
пpедпpиятие уменьшает концентpацию кислоpода в воде; чем больше в воде оpганики и выше темпеpатуpа воды, тем больше pасходуется кислоpода на ее pазложение. Вода пополняется кислоpодом
за счет естественной и искусственной аэpации, а также за счет дождевой воды и подкачиваемой чистой воды. Однако следует учитывать и такой фактоp: пеpекачка и сбpос воды создают в озеpе течение от пpомышленной зоны чеpез сpеднюю в культуpную. Поэтому
концентpацию кислоpода в пpомышленной зоне можно повышать
за счет пеpекачки чистой воды, тогда как в сpедней и культуpной
зонах это рекомендуется делать за счет аэpации, пpичем аэpация
в сpедней зоне должна быть выше, чем в культуpной.
Концентpация оpганики pастет только за счет сбpоса сточных вод
пpедпpиятиями, а убывает за счет ее выпадения на дно, дестpукции
(около 4%) и pазложения. Кpоме того, концентpация оpганики изменяется вследствие пеpетока воды из одних зон озера в дpугие.
Следует иметь в виду, что чем выше концентpация кислоpода
в воде, тем интенсивнее pазлагается оpганика, а значит, соответственно увеличивается концентpация неоpганики. Концентpацию
неоpганики можно понизить только пpоточностью воды, для чего
используется подкачка и сброс воды.
11
Естественная аэрация тем эффективнее, чем выше скорость ветра и больше объем осадков. Следует учитывать, что содержание
кислорода в воде зависит от температуры воды и величины атмосферного давления. Концентрация кислорода в воде ограничена насыщением при данных условиях, так что искусственная аэрация не
может дать концентрацию выше этого предела.
Таким образом, управляющее воздействие в данной модели заключается в возможности изменения следующих параметров:
– объема поступления чистой воды;
– объема откачки загрязненной воды;
– производительности станций аэрации;
– продолжительности развития системы при заданных параметрах.
Процесс управления осуществляется в промежутках, имеющих
продолжительность, задаваемую игроком. В модели предусмотрено, что деятельность предприятий может изменяться каждую декаду, итогом чего является изменение количества и степени загрязнения сточной воды, а также объема забора воды ботаническим садом
для полива. Объем забираемой предприятиями воды равен объему
сбрасываемых сточных вод.
Расценки за работы по перекачке и откачке воды установлены
в 50 коп за 1000 м3, работа станций аэрации оценивается в 25 коп
в сутки за повышение кислорода на 1 мг/л.
Управление моделью
Игра осуществляется в диалоговом режиме. Меню программы (рис. 2.1) позволяет детально ознакомиться с природно-технической системой, закономерностями ее функционирования и
осуществлять управление. В строку меню можно попасть, нажав
клавишу Esc.
В режиме «Помощь» можно получить информацию о программе, условиях и правилах игры. К этому режиму следует обращаться до начала работы с моделью.
Режим «Управление» предназначен для задания управляющих
параметров (рис. 2.2):
– мощность подкачки воды на каждые сутки очередного цикла
(в пределах 0 – 5000 м3/сут.);
– то же для откачки воды (в пределах 0 – 5000 м3/сут.);
– интенсивность 1-й станции аэрации (в пределах 0 – 10 мг/л);
– интенсивность 2-й станции аэрации (в пределах 0 – 10 мг/л);
– продолжительность очередного игрового промежутка (3 – 10
суток).
12
Рис. 2.1. Главное окно программы
Рис. 2.2. Меню управления природно-технической системой
Интенсивность аэрации означает величину (мг/л), на которую
можно поднять концентрацию кислорода без учета других факторов поступления и расходования воздуха. Управление значениями
задаваемых параметров осуществляется клавишами курсора. Клавиша PgUp позволяет увеличивать шаг изменения параметра в 10
раз за одно нажатие. Клавиша PgDn уменьшает значение параметра в 10 раз.
13
Режим «Состояние» дает возможность оценивать сложившуюся
в экосистеме ситуацию по выводимой на экран информации о содержании кислорода, неорганики и органики во всех трех зонах,
уровне и температуре воды, оставшейся в распоряжении игрока
денежной суммы (рис. 2.3). Информация о начале игры дается на
01.06. а затем на первый день следующего цикла.
Режим «Прогноз» позволяет получить прогноз на 10 дней о деятельности предприятий (объем используемой воды, содержание
загрязнении и кислорода в стоках), а также метеорологический
прогноз.
Режим «Работа» предназначен для запуска программы. Вход
в этот режим возможен только непосредственно из режима «Управление». При этом можно не менять значение управляющих параметров, они сохраняются на новый промежуток времени, но вход
в режим «Управление» обязателен.
В режиме «Работа» (рис. 2.4) экологическая ситуация развивается в течение заданного игрового промежутка (игрового цикла),
возможности вмешаться в этот процесс уже нет. Изменения в содержании кислорода и загрязняющих веществ демонстрируются
на экране монитора (рис. 2.4).
По завершении очередного игрового промежутка (цикла) вновь
оценивается состояние экосистемы, получается прогноз (при начале работы в начале новой декады), и программа запускается в ра-
Рис. 2.3. Режим отображения
текущего состояния озера
14
Рис. 2.4. Режим «Работа»
боту на новый цикл. Обычный игровой цикл состоит из последовательности обращений к режимам в порядке: Состояние – Прогноз –
Управление – Работа.
Общая задача игрока состоит в том, чтобы в течении июня вывести озеро из запущенного состояния, доведя параметры до уровня
ПДК во всех зонах по каждому из трех моделируемых ингредиентов, а затем в течение июля поддерживать качество воды в озере
в пределах этих ПДК.
В начале каждого игрового цикла следует проанализировать наличные концентрации кислорода, органики, неорганики, получив
все сведения с помощью режима «Состояние». Затем необходимо
проанализировать прогноз погоды и прогноз деятельности предприятий (режим «Прогноз», рис. 2.5).
На основании проведенного анализа игрок должен выбрать параметры управления – величины P, S, A1, A2, а также Т – количество суток очередного цикла. Эти величины сообщаются программе
в режиме «Управление». После этого вызывается режим «Работа»,
в котором экологическая ситуация развивается в течении заданного числа суток Т.
Оценка состояния природно-технической системы
Пpи выбоpе паpаметpов упpавления обучаемый должен усвоить
основные закономеpности функционирования природно-технической системы и учитывать складывающуюся ситуацию.
15
Рис. 2.5. Режим «Прогноз»
Процесс управления системой имеет циклический характер.
В начале каждого цикла обучаемый оценивает состояние системы по информации, выводимой на монитор: состояние озера на
текущую дату, уровень воды в озере; концентрации ингредиентов
в каждой из трех зон; прогноз погоды на текущую декаду; прогноз деятельности прибрежных предприятий; оставшуюся в его
распоряжении денежную сумму для расхода на перекачку воды
и аэрацию.
Основные методические указания
Стратегия и действия обучаемого могут быть различными. Например, можно опробовать самые разные стратегии и выяснить,
к каким результатам они приведут. Рекомендуется следовать
принципам гипотетико-дедуктивной методологии (т.е. формулировать простые гипотезы и проверять их корректность с помощью
модели экспериментально), можно попытаться этой идеологии и не
следовать. Однако есть несколько общих рекомендаций, которыми
обучаемый может как воспользоваться, так и проигнорировать, попытавшись найти другую стратегию.
1. Рекомендуется вести записи по ходу работы с моделью, которые затем помогут воспроизвести найденный оптимальный режим
управления функционированием природно-технической системы.
2. Перед началом работы с моделью следует тщательно проанализировать состояние природно-технической системы, наметить
16
стратегию работы: что надо изменить, какими методами и в какой
мере эти возможности следует использовать.
3. Выбоp большой длительности цикла (допускается до 10 суток)
не эффективен по pяду пpичин: невозможность воздействовать на
систему до конца цикла, инеpциальность системы в целом, изменения метеоусловий, декадность пpогнозов. Начинающему следует
пpидеpживаться выбоpа длительности цикла 3–4 суток с выходом
на пеpвый день каждой декады.
4. При выборе объема притока и сброса воды следует обязательно учитывать уровень озера, а также прогноз осадков, прогноз работы предприятий, степень загрязнения сточных вод, потребности
ботанического сада.
5. Уровень мощности станций искусственной аэрации следует
устанавливать с учетом текущего состояния воды, объема сточных
вод и содержания в них органики.
6. Все природоохранные мероприятия проводить с учетом остающейся в распоряжении денежной суммы.
Оценка деятельности обучаемого
Деятельность обучаемого оценивается путем начисления штрафных баллов. В течение июня, пока игрок выводит озеро из запущенного
состояния, штрафные баллы не начисляются. В течение июля обучаемому начисляются штpафные баллы – по одному за каждый день, когда не было обеспечено качество воды в любой из зон. Итоговая оценка
выставляется обучаемому только за количество набpанных штpафных
баллов. Итоговыми оценками могут быть следующие:
– «отлично»: нет штpафных баллов;
– «хоpошо»: штpафных баллов не более 10;
– «удовлетвоpительно»: штpафных баллов от 11 до 15.
Если обучаемый получает 16 штpафных баллов, то он отстpаняется от должности диспетчеpа в связи с некомпетентностью (оценка
«неудовлетвоpительно»).
Следует иметь в виду, что балльная система оценки деятельности обучаемого является условностью, примененной в данной
конкретной модели, представляющей собой по сути игровую компьютерную модель. В реальных условиях и при работе с реальной
моделью критерии, естественно, будут иными.
2.2.2. Работа №3. Имитационная модель «Малая река»
Во многом эта работа аналогична работе «Озеро», однако между
моделями имеются и существенные отличия.
Цель работы с моделью: получить максимальную прибыль при
обеспечении минимального экологического ущерба участку реки.
17
Задачи работы: выбрать оптимальные параметры функционирования системы для достижения максимальной прибыли от хозяйственной деятельности на участке бассейна реки (с учетом затрат) при минимальном экологическом ущербе для окружающей
среды и населения (а лучше – при отсутствии такового ущерба).
Обучаемый в игpе выполняет функции диспетчеpа по упpавлению природно-технической системой «Река». Для успешного
упpавления он должен усвоить закономеpности, лежащие в основе
водного баланса, пpевpащений и дестpукции веществ, насыщения
воды кислоpодом, влияния хозяйственной деятельности на долгосрочные экологические пpоцессы.
Описание элементов системы и их функций
Программа «Малая река» моделирует естественные процессы, происходящие в природно-технической системе, включающей в себя:
– участок реки;
– промышленное предприятие;
– животноводческий комплекс;
– сельскохозяйственные угодья;
– жилой поселок.
1. Участок реки длиной 8640 м, шириной 10 м, глубиной 3 м,
со средней скоростью течения 6 м/мин. Во время паводка скорость
течения и расход воды в реке повышаются.
2. Промышленное предприятие, расположенное на берегу реки
на расстоянии 1800 метров от начала участка, загрязняющее воду
реки стоками, содержащими органическое загрязняющее вещество
(оценивается по БПК5). Количество сточных вод зависит от интенсивности работы предприятия. Интенсивность работы предприятия
оценивается по изготовлению условных единиц продукции в сутки
(в пределах от 0 до 150 условных единиц продукции в сутки). Производство единицы продукции дает 0,1 м3 стоков с концентрацией
органического загрязняющего вещества по БПК5 в 2000 мг/л.
3. Животноводческий комплекс, расположенный на берегу реки
на расстоянии 5400 метров от начала участка. В животноводческом
комплексе можно выращивать свиней (количеством до 2000 голов)
или крупный рогатый скот (до 1000 голов – т.е. коров). На животноводческом комплексе в сутки на свинью образуется 4,5 литра навозной жижи с БПК5 6000 мг/л, на корову – 14 литров с БПК5 8000 мг/л.
Имеется возможность выбора типа скотов для выращивания.
4. Сельскохозяйственные угодья, на которых можно выращивать пшеницу, рожь, ячмень, кукурузу, картофель. Имеется возможность выбора сельскохозяйственной культуры, которая будет
18
засеиваться. Для повышения урожайности есть возможность внесения азотных, калийных, фосфорных, органических удобрений,
известкования почвы, применения ядохимикатов (метафоса – для
борьбы с вредными насекомыми, цинеба – для борьбы с болезнями
растений, атразина – для борьбы с сорняками). При использовании
ядохимикатов и удобрений необходимо учитывать, что дождевые
и паводковые стоки будут загрязнять воду реки тем сильнее, чем
больше внесено удобрений и ядохимикатов; накопление веществ,
не усвоенных растениями из почвы, влияет на величину загрязнения реки; существенное влияние на качество воды оказывают донные отложения. Предельные дозы внесения удобрений и ядохимикатов приведены в табл. 2.2.
5. Жилой поселок забирает воду реки для своих нужд. Если вода в реке недостаточно чистая, то необходимы затраты финансовых
средств на ее очистку. Ниже приводится табл. 2.3, где представлены ПДК, причем ПДК по кислоpоду опpеделяет нижнюю гpаницу,
ПДК по другим показателям и веществам – веpхнюю.
Таблица 2.2
Предельные дозы внесения удобрений и ядохимикатов
Вещество
Предельная доза, т/га
Азотные, калийные, фосфорные удобрения
50
Органические удобрения
20000
Ивесткование (известь)
2000
Метафос
30
Цинеб
3,5
Атразин
6,0
Таблица 2.3
Значения ПДК для различных ингредиентов
Ингредиент (показатель)
ПДК (мг/л)
Кислород
4
БПК5
6
Атразин
0,005
Метафос
0,02
Цинеб
0,03
19
6. Передвижная станция контроля качества воды анализирует
содержание растворенного кислорода, БПК5, атразина, метафоса,
цинеба в воде в любом выбранном месте участка реки. Следует отметить, что в модели не указано направление течения реки, поэтому, используя станцию контроля и возможность расположить ее
в любом участке реки, обучаемому следует провести по модели эксперименты с целью выявления направления течения.
Управление моделью
Работа обучаемого с программой состоит из последовательности туров, где каждый тур – это управляющее воздействие на систему и получение результатов. Программа рассчитана на 5 туров, т.е. на 5 лет.
Под управляющим воздействием понимается:
– выбор интенсивности работы промышленного предприятия;
– выбор вида и количества голов скота для выращивания на ферме (свиньи или крупный рогатый скот);
– выбор методов очистки сточных вод промышленного предприятия и фермы;
– выбор сельскохозяйственных культур для выращивания в бассейне реки,
– выбор количества применяемых удобрений и ядохимикатов;
– выбор природоохранных мероприятий (лесонасаждения,
вспашка, искусственная аэрация).
Кроме того, имеется возможность размещения передвижной
станции контроля качества воды в любом участке реки.
Из характеристики элементов природно-технической системы
очевидны источники вредного воздействия на ее экологическое состояние, которое оценивается в данном случае по степени загрязнения речной воды. Работа промышленного предприятия и фермы
может быть причиной сброса в реку органических веществ. При использовании удобрений и ядохимикатов следует учитывать не только загрязнение реки за счет смыва их дождевыми и паводковыми
водами, но и возможность накопления в почве веществ, внесенных
в избыточных количествах и не усвоенных растениями. Впоследствии они также попадут в реку и загрязнят как воду, так и донные
отложения (вторичное загрязнение). У игрока имеется возможность
оказывать управляющее воздействие на хозяйственные объекты
с тем, чтобы изменять величину вредного влияния, оказываемого
ими на окружающую среду. Рассмотрим подробнее те природоохранные мероприятия, которые может применить игрок.
1. Насаждение лесополос по берегу реки уменьшает дождевой
сток в реку и, следовательно, вынос в реку загрязняющих веществ.
20
При этом влияние лесополосы возрастает с ее возрастом. По условиям модели возможно создание лесополосы в один, два или три ряда
шириной по 10 метров каждый вдоль всей реки. Посадка лесополосы шириной 10 метров стоит 1000 руб.
2. Вспашка. Существуют различные виды вспашки, оказывающие различное влияние на уменьшение поверхностного стока и
стоящие разных денег, такие как: уплотненная, отвальная с микролиманами, безотвальная, отвальная глубиной 22 – 25 см, отвальная
глубиной 35 – 37 см. Виды вспашки, вызываемое ими уменьшение
поверхностного стока и стоимость вспашки приведены в табл. 2.4.
3. Очистка сточных вод. Существуют различные способы очистки сточных вод. Механическая очистка сточных вод позволяет снизить концентрацию загрязняющих веществ примерно на 50%, биологическая очистка – примерно на 80%, биологическая очистка
с доочисткой – примерно на 98%. Способы очистки сточных вод,
результаты очистки и стоимость очистки приведены в табл. 2.5.
Таблица 2.4
Виды вспашки, вызываемое ими уменьшение поверхностного
стока и стоимость вспашки
Вид вспашки
Уменьшение
поверхностного
стока, %
Стоимость вспашки
100 га, руб.
Уплотненная
16
1000
Безотвальная
45
1700
Отвальная с микролиманами
53
1900
Отвальная глубиной 22 – 25 см
62
2500
Отвальная глубиной 35 – 37 см
77
3000
Таблица 2.5
Способы очистки сточных вод, результаты
очистки и стоимость очистки
Способ очистки
Результаты очистки
(снижение концентрации
загрязнителей), %
Стоимость очистки 1 куб.
м сточных вод, руб.
Механическая
50
0,05
Ьиологическая
80
0,38
Биологическая
с доочисткой
98
2,0
21
4. Искусственная аэрация позволяет увеличить содержание растворенного в воде кислорода путем нагнетания воздуха в реку через
аэраторы. Место расположения станции искусственной аэрации можно изменять. При работе необходимо учесть, что концентрация кислорода зависит от концентрации органики (чем больше в воде органики,
тем больше расходуется кислорода на ее разложение) и от температуры воды (чем выше температура, тем ниже концентрация растворенного кислорода). Повышение содержания кислорода в воде на 2 мг/л
с помощью искусственной аэрации стоит 366 руб. в месяц.
Экономические показатели и их учет в модели
Серьезное внимание в данной модели следует уделить учету экономических показателей, т.к., в сущности, вся хозяйственная деятельность ведется прежде всего ради получения прибыли. Вместе с тем,
ущерб от загрязнения реки, ущерб здоровью населения и прочие аналогичные виды ущерба представляют собой экологический ущерб,
который с помощью несложных методов может быть выражен и как
экономический (в денежных единицах). К этому ущербу добавляются
затраты предприятий на предотвращение экологического ущерба (лесонасаждение, очистка сточных вод, аэрация и др.).
Таким образом, затраты складываются из затрат на реализацию
природоохранных мероприятий, обработку сельхозугодий, внесение удобрений и ядохимикатов. Экономический ущерб также зависит от качества воды в реке и складывается из затрат на дополнительную очистку воды для нужд поселка, потерь от заболеваемости
населения, затрат учреждений здравоохранения в связи с болезнями населения, возникающими из-за загрязнения окружающей
среды, собственных затрат населения, связанных с поездками на
отдых в другие места. Прибыль от ведения хозяйственной деятельности складывается из прибыли, полученной от реализации произведенной продукции, животноводческого комплекса, урожая сельскохозяйственных культур (табл. 2.6).
Затраты складываются из затрат на осуществление различных
природоохранных мероприятий и затрат на внесение удобрений и
ядохимикатов (табл. 2.6). Следует понимать, что приведенные тарифы являются условными, по расценкам 2001 года. В реальных
условиях следует учитывать инфляцию и курсы валют. Вместе
с тем, эта условность не снижает ценность модели и получаемых
с ее помощью результатов и выводов.
В связи с особой важностью экономического блока в этой модели, для удобства работы с ней в табл. 2.6 приведены сводные данные по всем источникам прибыли и по всем видам затрат.
22
Продолжение табл. 2.6
Таблица 2.6
Сводная таблица размеров прибыли и затрат (цены – условные)
Прямая прибыль
Прямые затраты
Прибыль от реализации продукции
предприятия
12 руб. за единицу условной продукции
–
Прибыль от животноводческого
комплекса
(100 × количество свиней)
руб. в год или
(200 × количество коров)
руб. в год.
Прибыль от урожая сельхозкультур
Пшеница – 30 руб. за центнер;
ячмень – 30 руб. за центнер;
рожь – 28 руб. за центнер;
кукуруза – 12 руб. за
центнер;
картофель – 10 руб. за
центнер.
Стоимость внесения удобрений
–
Стоимость внесения ядохимикатов
–
Стоимость насаждения лесополосы
–
Стоимость
вспашки
–
–
–
Азотные – 400 руб.
за 1 кг на гектар;
калийные – 400 руб.
за 1 кг на гектар;
фосфорные – 400
руб. за 1 кг на гектар;
органические – 2000
руб. за 1 т на гектар;
известь – 2000 руб.
за гектар.
Метафос – 434 руб.
за 1 кг на гектар;
атразин – 1600 руб.
за 1 кг на гектар;
цинеб – 600 руб. за 1
кг на гектар.
Посадка полосы шириной 10 м – 1000 руб.
Уплотненная – 1000
руб. за 100 гектар;
безотвальная – 1700
руб. за 100 гектар;
23
Окончание табл. 2.6
Прямая прибыль
Прямые затраты
отвальная с микролиманами – 1900
руб. за 100 гектар;
отвальная глубиной
22 – 25 см – 2500
руб. за 100 гектар;
отвальная глубиной
35 – 37 см – 3000
руб. за 100 гектар.
Стоимость очистки
сточных вод
–
Стоимость
аэрации вод
–
Механическая – 0,05
руб. за 1 куб. м;
биологическая – 0,38
руб. за 1 куб. м;
биологическая с доочисткой – 2,0 руб. за
1 куб. м.
Повышение содержания кислорода на 2
мг/л – 366 руб. в мес.
Управление моделью
Работа осуществляется в диалоговом режиме (рис. 2.6). В модели можно реализовать два режима работы программы – «по годам» или «по месяцам». В режиме «по годам» игра осуществляется в пять туров, то есть в пятилетнем рабочем цикле подводятся
ежегодные промежуточные результаты работы, а затем итоговый
результат за весь цикл. В режиме «по месяцам» тур длится один
месяц.
Можно вывести на экран структурную схему моделируемой экосистемы (рис. 2.7).
Итоги представляются в виде экономических показателей по
статьям затрат и прибыли, а также по экологическому ущербу (выраженному экономически, т.е. в денежных единицах). В начале
каждого года задаются рабочие параметры функционирования системы:
– интенсивность работы предприятия;
– вид и количество голов скота на ферме (только в первый год);
– методы очистки сточных вод предприятия и фермы;
– вид выращиваемой на сельскохозяйственных угодьях культуры;
24
Рис. 2.6. Главное меню программы
Рис. 2.7. Структурная схема экосистемы
– количество вносимых на поля удобрений и ядохимикатов;
– вид вспашки полей;
– использование лесонасаждений (посадка возможна только
в первый год);
– расположение передвижной станции контроля;
– расположение станции аэрации (если она применяется).
После каждого года имеется возможность изменить параметры
функционирования системы (за исключением поголовья скота).
25
В программе предусмотрено два способа ввода данных: ввод числовых значений осуществляется с помощью клавиш 0, 1, ... 9,
дробная часть числа отделяется точкой, после набора числа необходимо нажать клавишу ENTER; выбор осуществляется с помощью
клавиш «стрелка вверх», «стрелка вниз» и ENTER. Управление
осуществляется через пункты меню «Текущая оценка», «Управление», «Счет» (рис. 2.8 – 2.11).
Рис. 2.8. Режим «Счет» – концентрация загрязняющих
ингредиентов по месяцам
Рис. 2.9. Режим «Счет» – концентрация загрязняющих
ингредиентов вдоль реки
26
Рис. 2.10. Режим «Счет» – результаты управления за год
Рис. 2.11. Режим «Текущая оценка» результатов
деятельности за 1-й год
Основные рекомендации заключаются в следующем:
1. Первоначально следует установить направление течения реки
(изначально оно не указано). Для этого, пользуясь возможностями
модели, следует провести эксперименты с расположением передвижной станции контроля качества воды.
27
2. В начале тура задаются параметры функционирования системы: интенсивность работы промышленного предприятия, поголовье скота для выращивания на ферме, методы очистки сточных вод
предприятия и фермы, сельскохозяйственная культура для выращивания на прибрежных полях, количество применяемых удобрений, пестицидов и гербицидов, вид вспашки, ширина лесопосадок
вдоль реки, искусственная аэрация.
3. После задания параметров на экране монитора можно наблюдать динамику концентраций кислорода, БПК5, атразина, цинеба,
метафоса в речной воде и изменение уровня воды в реке в том случае, когда станция контроля качества воды размещена в нужном
месте, т.е. ниже по течению реки. Шаг вычислений – один месяц.
Можно посмотреть динамику концентраций веществ после дождя
в течение 72 часов, а также изменение концентраций веществ не
только в месте нахождения передвижной станции контроля качества воды, но и вдоль реки в выбранном месяце (клавиши F8 и F9
соответственно).
4. По окончании пяти лет игрового времени программа дает
оценку деятельности обучаемого.
Основные методические указания
Стратегия и действия обучающегося могут быть различными.
Например, можно опробовать самые разные стратегии и выяснить,
к каким результатам они приведут. Однако есть несколько общих
рекомендаций, которыми обучаемый может как воспользоваться,
так и проигнорировать, попытавшись найти иную стратегию.
1. Рекомендуется вести записи по ходу игры, которые затем помогут воспроизвести найденный оптимальный режим управления
функционированием природно-технической системы.
2. Следует внимательно ознакомиться с общей схемой модели
(клавиша F1) и обратить внимание на связи, которые в ней заданы и которые могут отличаться от существующих в природе (например, погодные условия в данной модели никак не влияют на
урожайность культур, а влияют лишь на величину поверхностного
стока – таково одно из допущений модели).
3. Участники игры не являются специалистами в области сельского хозяйства, поэтому для них вряд ли представит интерес и будет полезна обширная информация в режиме «по месяцам» о динамике уровня воды и ее загрязнения каждые три дня. Поэтому при
выборе режима можно рекомендовать сразу начинать работу «по
годам». Однако для достижения наилучших возможных результатов следует воспользоваться режимом «по месяцам», когда управ28
ляющее воздействие может осуществляться с учетом сезонных условий, осадков и т.д.
4. Следует ознакомиться с расценками на вспашку, очистку, посадку лесополосы, ядохимикаты, удобрения и аэрацию (клавиша FЗ).
Для проверки влияния любого из параметров функционирования системы или природоохранных мероприятий на природно-техническую
систему следует применять гипотетико-дедуктивную методологию,
выдвигая и проверяя простые гипотезы. Используя такой подход,
можно определить способ очистки сточных вод, оптимальных доз удобрений и ядохимикатов, интенсивность работы предприятия, размер
поголовья скота на ферме. При желании, такой методологии можно и
не следовать, но необходимо обосновать свой подход.
5. Определить, изменяя параметры доходной части модели, какую прибыль можно получить от единицы продукции за год (клавиша F3).
6. Определить, какую прибыль можно получить при изменении
интенсивности работы предприятия, увеличения количества голов
скота и увеличения урожайности сельскохозяйственных культур.
7. Определить величину ущерба, наносимого реке от производственной деятельности (дается в итоге работы за год).
8. При необходимости изменить методы очистки воды и определить величину убытков, связанных с ними. По полученным данным начать оптимизацию процесса увеличения прибыли от хозяйственной деятельности при одновременном сохранении или уменьшении величины экологического ущерба от деятельности обучаемого. Следует помнить – задачей обучаемого является получение
максимальной прибыли при минимальном экологическом ущербе
(ущербе окружающей природной среде).
9. Наблюдать на втором году концентрации веществ, попавших
в воду за счет вторичного загрязнения, т.е. за счет взмыва донных
осаждений и выноса веществ, не усвоенных растениями и оставшихся в почве.
10. Следует задавать разные дозы удобрений и ядохимикатов и
наблюдать за изменениями урожайности.
11. Следует вносить разные дозы удобрений и ядохимикатов и
наблюдать за изменением концентраций веществ в воде реки.
12. Каждый год задавать разные природоохранные воздействия
(например, поочередно задавать методы очистки сточных вод: 1-й
год без очистки, 2-й год механическая очистка, 3-й год биологическая, 4-й биологическая с доочисткой), оставляя без изменения
другие управляющие воздействия, и наблюдать изменения концен29
траций веществ в реке и экономические показатели, т.е. следовать
гипотетико-дедуктивной методологии. Можно попробовать задать
способы очистки сточных вод в иной последовательности и выяснить, к каким результатам это приведет.
13. Следует определить оптимальный метод очистки сточных
вод предприятия, работающего с максимальной интенсивностью, и
отходов фермы с максимальным поголовьем скота.
14. Рекомендуется в первый год посадить лесополосу и внести в почву удобрения и ядохимикаты. Впрочем, этого можно и не делать.
15. В первый и последующие годы управляющие воздействия
задавать одинаковыми и наблюдать за концентрациями и изменением ущерба от загрязнения речной воды. Дозы веществ, вносимых
в почву, не должны быть большими, чтобы не вызывать вторичного
загрязнения.
Оценка деятельности обучаемого
Оценка производится по итогам пятилетнего цикла игры. При
этом промежуточные экономические результаты после каждого
года хозяйственной деятельности выводятся на экран монитора, а
при использовании функциональной клавиши могут наблюдаться
за несколько сыгранных до этого момента лет. Наблюдаемые параметры, характеризующие результаты хозяйственной деятельности
(прибыль, затраты, экологический ущерб) за год, позволяют оценить правильность принятого метода управления природно-технической системой и, в случае необходимости, внести необходимые
коррективы на последующий год.
Оценка «отлично» выставляется при получении прибыли 5 миллионов рублей без нанесения ущерба реке (экономический (а по
сути экологический) ущерб – 0 рублей). Максимально возможная
прибыль, которую удалось получить в данной модели, превосходит
5,5 миллиона рублей. При худших показателях оценка, соответственно, снижается.
2.3. Математическое моделирование
динамики численности популяций
Динамика популяций, в первую очередь – их численности, является важной прикладной задачей. Прогноз изменения численности
популяций важен как для решения экологических задач (например, при планировании интродукции видов), так и чисто практических (для определения норм отстрела или вылова животных).
Существует множество моделей динамики популяций – от простейших (мальтузианская модель (экспоненциальный рост), рост
30
с ограничением, модель логистического роста) до очень сложных,
как, например, модель Лотки – Вольтерры. У каждого вида моделей есть свои области применения, свои достоинства, недостатки,
ограничения. Так, простейшие модели позволяют получить прогнозы буквально в течение минут, но оценки эти очень неточны,
т.к. не учитываются многие факторы, влияющие на популяции,
в первую очередь – межвидовая конкуренция. Модели Лотки –
Вольтерры или, например, Холлинга – Тэннера, учитывают эти
важные факторы и дают максимально точные прогнозы, но очень
сложны в практическом применении, требуя затрат труда не только экологов, но и математиков, программистов; применения мощных компьютеров и значительного машинного времени для выполнения оценок.
2.3.1. Работа №4. Модель экспоненциального роста
Цель работы: спрогнозировать возможную численность популяции вида в ареале или стации на десять лет вперед, пользуясь
мальтузианской моделью динамики популяций (моделью экспоненциального роста).
Задачи работы: ознакомиться с методами обработки и анализа
результатов натурных наблюдений за популяцией; изучить структуру, динамику, биотический потенциал популяции; с помощью
мальтузианской модели динамики популяций спрогнозировать потенциально возможную численность популяции в ареале или стации на десятилетний срок.
Исходные данные и материалы: данные о численности вида
в ареале или части ареала, данные о возрастном составе популяции,
данные о фактической рождаемости и смертности, площадь изучаемой части ареала или стации.
Пояснение к выполнению работы
Модель экспоненциального роста (мальтузианская модель) является простейшей из моделей динамики популяций. Она может
применяться для прогнозирования численности популяций, не ограниченных пищей и пространством в условиях отсутствия естественных врагов. Именно по экспоненциальной модели развивается
(пока еще) человечество.
При моделировании численности популяции первоначально выполняется оценка текущей ее численности. Для этого широко используются дистанционные методы (аэрофотосъемка, визуальные
наблюдения с летательных аппаратов), либо же данные, получаемые в процессе полевых наблюдений. Этими (или иными) методами
устанавливается ареал распространения популяции и его площадь.
31
Затем ареал или его часть делится на i квадратов одинаковой площади, в каждом из которых осуществляется выборка, т.е. оценивается плотность размещения особей xi, половой и возрастной состав популяции в каждом квадрате. Какими конкретно способами
выполняются эти оценки, не является принципиальным в рамках
данного курса. В конечном итоге получается i выборок, для каждой
из которых имеется оценка плотности особей по квадратам xi. По
этим данным можно оценить численность особей в каждом квадрате ni, общую численность особей популяции в начальный момент
времени n0, среднеарифметическую численность особей в квадрате
n , а также среднюю плотность популяции x .
Эти данные уже позволяют получить важные оценки, такие,
как дисперсию s2, т.е. отклонение пространственного распределения особей от среднего значения в квадрате :
 ∑ (n - ni )2 

,
s =
 (i - 1) 
2
(1)
Для оценки характера размещения особей в ареале существует
множество методов, из которых простейшим является вычисление
индекса Одума Io:
Iî = s2 / n. Согласно Одуму [12], в случае, если Io < 1 ед., распределение
особей можно считать равномерным, если Io ≈ 1 ед. – случайным и,
наконец, если Io > 1 ед., то можно считать, что популяция в ареале
распределена группами (стаями, стадами, прайдами и т.п.).
Строго говоря, требуется оценка статистической значимости дисперсии по критерию c2 (значимость определяется, в первую очередь, длиной выборки – чем она больше, тем значимость выше).
В предельном упрощении значимость отличия Io от единицы оценивается по уровню 5% от единицы, т.е. если 0,95 ед./км2 < Io <
1,05 ед./км2, распределение следует считать случайным. Отметим,
что отношение s2 / n имеет размерность [ед.].
Следующая группа исходных данных – информация о рождаемости B и смертности D в единицу времени. По этим параметрам
нетрудно рассчитать удельную рождаемость b (отношение абсолютной рождаемости в единицу времени к численности популяции) и
удельную смертность d (отношение абсолютной смертности в единицу времени к численности популяции) особей вида в исследуемом
ареале. Очевидно, что если рождаемость в благоприятных условиях
32
в грубом приближении близка к константе, то смертность зависит от
гораздо большего числа факторов и потому более изменчива. Отсюда
вытекает такое понятие, как биотический потенциал r, т.е. удельная скорость роста численности популяции. В идеальных условиях
биотический потенциал стремится к естественному максимуму rmax
(т.н. мальтузианский параметр), определяемому физиологией вида
(хотя r никогда не достигает значения rmax). rmax вида является константой. В естественных условиях, в силу действия ряда факторов,
биотический потенциал всегда ниже максимума.
На практике под биотическим потенциалом можно понимать
удельную скорость роста численности популяции (прирост популяции), т.е. биотический потенциал, строго говоря, константой не
является. Прирост популяции R можно рассчитать в виде разницы
между удельной рождаемостью и удельной смертностью:
R = b – d,
где b – удельная рождаемость; d – удельная смертность.
Наконец, последняя необходимая группа параметров – возрастная структура популяции. Выделяют три группы возрастов: дорепродуктивный, репродуктивный и пострепродуктивный. У разных
биологических видов границы этих возрастов различны, но они хорошо известны для большинства видов. Следовательно, требуется
оценка числа особей в выборках и по всему ареалу с учетом этих
трех возрастных групп.
Имея в распоряжении эти исходные данные, можно применить для
прогноза численности популяции мальтузианскую модель (модель
экспоненциального роста). Модель имеет следующие допущения:
– физиологические и биохимические процессы в популяции не
учитываются;
– рассматриваются только процессы рождения и естественной
гибели, скорости которых пропорциональны численности особей
в данный момент времени;
– популяция рассматривается без учета взаимодействия с другими популяциями, т.е. в условиях отсутствия межвидовой конкуренции;
– не учитываются возможные природные катастрофы, эпизоотии, антропогенное воздействие (например, отстрел или влияние
загрязнений среды);
– предполагается наличие пищи в достаточном количестве.
Модель формализуется следующим простым дифференциальным уравнением:
dn/dt = r × n ,
33
где dt – промежуток времени, dn – изменение численности популяции, dn/dt – изменение численности популяции n за период
времени t.
Уравнение имеет простое решение:
n(t) = n0 × er×t ,
(2)
где n(t) – численность популяции в момент времени t; n0 – начальная, не равная нулю численность популяции; e – основание натурального логарифма.
Пример расчета
Изучается популяция стерха (редкий сорт журавлей) в конкретном ареале. Оценка популяции велась в десяти квадратах. Исходные данные, полученные при изучении популяции стерха в конкретном ареале, представлены в табл. 2.7.
1. Рассчитываем среднюю плотность популяции
∑ xi 110
=
=
/ 10 11 åä./êì2 . x=
i
2. По средней плотности популяции и площади ареала или стации рассчитываем начальную численность популяции на исходный (нулевой) год: n0 = x ⋅ S = 11×20 = 220 ед. (т.е. особей).
3. Вычисляем количество особей в каждом из квадратов ni , исходя из того, что квадраты имеют равную площадь. В данном примере
площадь ареала S составляет 20 км2 и разделена на десять квадратов, таким образом, площадь квадрата составляет 2 км2. Заполняем вспомогательную табл. 2.8 или же дополняем табл. 2.7 строкой
«Количество особей в квадрате ni, ед.». При пересчете плотности
особей в количества особей по квадратам округления проводить не
следует, памятуя, что расчеты являются статистическими, а особей может быть только целое число.
4. Вычисляем среднеарифметическое число особей в квадрате
n = n0/i = 220/10 = 22 ед.
5. Вычисляем дисперсию s2 по (1) или вручную, или пользуясь
любой программой, в которой можно вычислять дисперсию и среднеквадратическое отклонение (например, Microsoft Excel, Statsoft
Statistica). Получим s2 = 66,67 ед.2.
6. Вычисляем индекс Одума Io = s2/ n = 66,67/22 = 3,03 ед.
7. Оцениваем характер распределения особей в ареале. Т.к.
3,03 >> 1, делаем заключение о том, что стерхи распределены
в ареале группами (в данном случае, очевидно, стаями).
8. Определяем возрастную структуру популяции, для чего рассчитываем число особей дорепродуктивного, репродуктивного и постре34
Таблица 2.7
Исходные данные по популяции стерха в ареале
Плотность особей xi по i выборкам,
ед./км2
Стерх
Выборка
№ (i):
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рождаемость
B, ед./
год
Смертность
D, ед./
год
Площадь
ареала S,
км2
50
11
20
10
Возрастная
группа
(ед./
км2):
дорепродукт.
5
4
5
3
1
8
5
5
3
3
репродуктивн.
6
8
8
4
3
6
5
6
4
3
пострепродукт.
2
2
1
0
2
3
4
1
0
0
Таблица 2.8
Рабочая таблица
Стерх
Выборка № (i):
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Количество
особей в квадрате
ni, ед.
26
28
28
14
12
34
28
24
14
12
продуктивного возраста n01, n02, n03. Очевидно, n01 = (42/10) × 20 =
84 особи, n02 = (53/10) × 20 = 106 особей, n03 = (15/10) × 20 = 30 особей. Не следует забывать, что оценки численности особей являются
приближенными, поэтому здесь следует округлять результаты расчетов по математическим правилам. Гистограмма распределения
особей по возрастным группам (возрастная структура) приведена
на рис. 2.12.
5. По имеющимся статистическим данным (табл. 2.7) вычисляем удельную рождаемость b и смертность d. Получаем b = B/n0 =
50/220 = 0,228 в год, d = D/n0 = 11/220 = 0,050 в год.
35
Численность, особей
120
100
80
60
106
84
40
20
30
0
1
2
3
Рис. 2.12. Возрастная структура популяции стерха (1 –
дорепродуктивного возраста, 2 – репродуктивного возраста, 3 –
пострепродуктивного возраста)
6. Рассчитываем биотический потенциал r = b – d = 0,216 –
0,048 = 0,178 в год. Таким образом, можно сделать вывод о том,
что популяция стерха в данном ареале не вымирает, а наращивает
численность.
7. По мальтузианской модели (2) делаем прогноз численности
популяции n(t) на десятилетний срок с интервалом в один год (t
= 1 … 10). За основание натурального логарифма e можно приближенно принять значение 2,718. Результаты приведены в табл. 2.8
и на рис. 2.13. Следует помнить, что количество особей может быть
только целым, поэтому необходимо производить округление получаемых величин до целого в меньшую сторону.
По известному выражению срок Т2, через который численность
популяции удвоится, составляет Т2 = ln2/r. По этому выражению
численность популяции в данном случае удвоится через 3,9 года.
Расчет по модели показывает, что через 4 года численность популяции будет составлять порядка 450 особей, тогда как 220×2 = 440
особей, т.е. имеется соответствие.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что при положительном биотическом потенциале и достаточной начальной численности популяции, равномерной для этого вида возрастной структуре, популяция стерха в данном ареале достаточно устойчива и
потенциально способна нарастить свою численность с начального
количества 220 особей до более чем 1300 особей за десять лет. Однако это возможно только в условиях сохранения кормовой базы,
36
Таблица 2.8
Результаты прогноза численности популяции стерха
по мальтузианской модели
Год, t
Численность особей n(t) в год t
начальный (0)
220
1
262
2
314
3
375
4
448
5
535
6
640
7
764
8
913
9
1091
10
1304
1400
Численность , особей
1200
1000
800
600
400
200
0
0
2
4
6
8
10
12
Год
Рис. 2.13. Прогноз численности популяции стерха
отсутствии эпизоотий и природных катастроф и отсутствии воздействий со стороны естественных врагов. В реальности через десять
лет численность популяции будет существенно меньше, чем спрогнозированные по модели 1304 особи.
37
Задание
Определить среднюю численность популяции; выявить характер распределения популяции по ареалу; построить графически
в виде диаграммы возрастную структуру популяции, проанализировать возрастную структуру популяции; с помощью мальтузианской модели спрогнозировать изменение численности популяции
на десять лет вперед и построить графическую модель биотического потенциала популяции; определить время Т2, когда численность
особей изменится в два раза по сравнению с первоначальной; сделать вывод о возможности развития популяции, дать прогноз ее численности на десятилетний срок по мальтузианской модели с учетом ее допущений.
Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении.
2.3.2. Модель логистического роста
Цель работы: спрогнозировать возможную численность популяции вида в ареале на десять лет вперед, пользуясь моделью логистического роста численности популяций.
Задачи работы: изучить структуру, динамику, биотический потенциал популяции; с помощью модели логистического роста популяций спрогнозировать потенциально возможную численность
популяции в ареале на десятилетний срок; проанализировать полученные результаты.
Исходные данные и материалы: данные о начальной численности популяции, рождаемости и смертности; средний коэффициент
гибели за счет внутривидовых конфликтов.
Пояснение к выполнению работы:
Логистическая модель достаточно хорошо описывает рост
большинства популяций на всех стадиях развития, особенно точно она характеризует процессы роста древостоев по запасу, высоте
и диаметру. Главное отличие этой модели от модели экспоненциального роста заключается в учете емкости среды обитания, т.е.
максимально возможной численности популяции в данном месте
при отсутствии конкуренции со стороны других видов, но с учетом
внутривидовой конкуренции за пищевые ресурсы. Логистическая
модель по сути объединяет модель экспоненциального роста и модель роста с ограничением. Логистическая кривая, являющаяся
решением уравнения, заложенного в ее основу, по сути, сочетает
в себе экспоненциальную кривую и кривую роста с ограничением.
На начальных стадиях развития популяции рост происходит по
экспоненте, а на завершающих – по типу роста с ограничением
(ограничителями в модели являются физиологические особен38
ности вида, обуславливающие его способность к размножению и
характерная для данного вида внутривидовая конкуренция за пищевые ресурсы).
Основные допущения модели логистического роста:
– биохимические процессы в популяции не учитываются;
– рост популяции ограничен количеством пищевых ресурсов и
доступным пространством, пригодным для местообитания – т.е.
емкостью среды обитания;
– скорости процессов размножения, естественной гибели и гибели в результате конкурентных конфликтов в популяции пропорциональны численности особей популяции в данный момент
времени;
– учитывается внутривидовая конкуренция за место обитания и
за пищевые ресурсы, каковая конкуренция является тем интенсивней, чем выше плотность популяции;
– не учитываются возможные природные катастрофы, эпизоотии, антропогенное воздействие (например, отстрел или влияние
загрязнений среды);
– популяция рассматривается без учета взаимодействий с другими популяциями, т.е. в условиях отсутствия конкуренции видов.
Соответственно, с учетом допущений данной модели, выделяются три стадии развития популяции (рис. 2.14):
1. Начальная стадия (I стадия). Она отличается низкой скоростью роста численности популяции, что обусловлено низкой плотностью популяции на ранних стадиях развития, вследствие чего
вероятность контакта между особями невелика.
2. Стадия максимального роста (II стадия). Высокая скорость
увеличения численности популяции на этой стадии связана с тем,
что плотность популяции уже достаточно велика, но пищевые ресурсы еще не являются лимитирующим фактором, т.е. емкость среды еще не достигнута. Вследствие сочетания этих благоприятных
факторов складываются оптимальные условия для размножения и
роста численности популяции.
3. Стадия замедления (III стадия). На этой стадии отмечается замедление скорости роста числа особей в популяции. Это связано
с нехваткой ресурсов среды обитания (прежде всего – кормовых)
для обеспечения потребностей всех особей популяции (т.е. с приближением к пределу, каковым является емкость среды обитания),
вследствие чего усиливается внутривидовая конкуренция.
При анализе динамики численности популяций по логистической модели необходимо выявить границы стадий развития попу39
n
K
III
II
I
n0
t
Рис. 2.14. Логистический рост популяции
ляции, при этом особое значение имеет т.н. характеристическое
время T0.9, за которое численность популяции достигает 90% от
Nmax (максимально возможной своей численности).
Уравнение, описывающее логистический рост (уравнение
Ф. Ферхюльста, 1845 г.), имеет следующий вид:
dn/dt = r × n × (1 – n/K) ,
где К (ед.) – емкость среды обитания (условная возможность прокормить популяцию); r – биотический потенциал.
Простейшее решение уравнения имеет следующий вид:
K
n(t) =
K

1+ 
- 1 ⋅ e-r ⋅t
 n0

В данной модели под n0 следует понимать заданную начальную
численность популяции, которая должна быть не ниже минимально необходимой численности, обеспечивающей ее воспроизводство.
В практических целях чаще используют решение уравнения
Ферхюльста в следующем виде:
n0r
(3)
n(t) =
, n(t) → Nmax =
Ê =d
r / -rt
(
r
d
n
)
e
+
d
n
0
0
где d – известный для популяций средний коэффициент гибели за
счет внутривидовых конфликтов; Nmax – численность популяции
40
в стационарном состоянии, т.е. максимально возможная ее численность (по сути Nmax тождественно емкости среды обитания К).
Можно оценить Nкрит (критическую численность популяции
в момент, когда начинает проявляться межвидовая конкуренция):
Nêðèò =
½ × (r / d) =
½ × Nmax (4)
По графику изменения численности, зная критическую численность Nкрит, можно оценить время достижения критической численности Tкрит (при желании ее можно вывести из уравнения).
Особо важным показателем динамики численности популяции
в логистической модели является т.н. характеристическое время
T0.9, за которое численность популяции достигает 90% от Nmax, т.е.
момент перехода от 2-й к 3-й фазе развития (к стадии замедления).
Это время не обязательно рассчитывать, оно элементарно определяется по графику роста популяции, полученному по логистической
модели (см. рис. 2.15), но при желании это время можно вычислить
точно по уравнению логистического роста, соответственно преобразовав его.
Пример расчета
Изучается популяция домашнего кролика. Для популяции кролика известны следующие исходные данные:
nmin = 8 ед. особей (величина не менее минимальной численности, обеспечивающей воспроизводство популяции);
b = 4 ед./год;
d = 0,5 ед./год;
d = 0,005 ед./год.
1. Рассчитываем биотический потенциал: r = b – d = 3,5 ед./год.
2. Рассчитываем характеристическую величину Nmax = r/d =
3,5/0,005 = 700 особей.
3. По уравнению (3) рассчитываем численность популяции кролика n(t) с интервалами в год. За основание натурального логарифма e можно приближенно принять значение 2,718. Заполняется
табл. 2.9 и строится график (рис. 2.15). Для расчетов можно пользоваться любой электронной таблицей или калькулятором.
4. Оцениваем характеристическое время, в течение которого
численность популяции достигнет 90% от Nmax, используя график
(рис. 2.15) или табл. 2.9. Получаем T0.9 ≈ 2,5 года (при желании несложно рассчитать это время точно по уравнению логистического
роста).
5. Рассчитываем критическую численность популяции по выражению (4): Nкрит = 1/2 × Nmax = 1/2 × 700 = 350 особей.
41
Таблица 2.9
Результаты прогноза численности популяции домашнего
кролика по логистической модели
Год, t
Численность особей n(t) в год t
Начальн. (0)
8
1
193
2
648
3
698
4
699
5
700
6
700
7
700
8
700
9
700
10
700
800
Численность, особей
700
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Год
Рис. 2.15. Результаты прогноза численности популяции домашнего
кролика по логистической модели
6. Оцениваем по таблице 2.9 или по графику (рис. 2.15) критическое время Tкрит, используя критическую численность Nкрит = 350
особей. По графику получим оценку Tкрит ≈ 1,2 года.
42
7. Делаем вывод: популяция домашних кроликов в обладает высоким положительным биотическим потенциалом и способна увеличить свою численность с 8 до 700 особей за три года. В течение
первого чуть более года популяция находится в состоянии начального и максимального роста (экспоненциальный рост, может моделироваться мальтузианской моделью), затем, по достижении критической численности в 350 особей, основным фактором регуляции
численности становится внутривидовая конкуренция за пищевые
и пространственные ресурсы, что вызывает переход к стадии замедления роста (примерно к третьему году).
Это возможно только в идеальных условиях: сохранения кормовой базы, условий среды обитания, отсутствии эпизоотий и природных катастроф, воздействия со стороны естественных врагов. В реальности через десять лет численность популяции будет ниже, чем
700 особей.
Задание
Вычислить биотический потенциал популяции; по модели логистического роста спрогнозировать изменение численности популяции на десять лет вперед и построить графическую модель изменения численности популяции; оценить характеристическое время
T0.9; рассчитать критическую численность популяции и оценить
время достижения критической численности; дать прогноз динамики популяции по модели логистического роста.
Варианты индивидуальных заданий приведены в Приложении.
43
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
К разделу 1. Основные принципы моделирования
Знать следующие термины и понятия: идеализация, модель, модель аналоговая, модель детерминистическая, модель динамическая,
модель знаковая, модель имитационная, модель логическая, модель
математическая, модель материальная, модель образная, модель статическая, модель стохастическая, модель физическая, модель цифровая, парадигма, подобие, умозаключение по аналогии.
Понимать: опасности моделирования, суть идеализации.
Уметь: обосновывать выбор класса модели для решения поставленной задачи по критериям точности оценки, временных затрат
на оценку, стоимости оценки; пользоваться методом умозаключения по аналогии; применять метод подобия для решения прикладных задач.
1. В чем заключается метод умозаключения по аналогии? Привести свои примеры умозаключения по аналогии.
2. В чем заключается значение метода подобия для моделирования?
3. Приведите простейшую классификацию моделей по трем видам.
4. Что такое мысленные модели, математические модели, физические модели? Привести свои примеры.
5. Какими тремя показателями обуславливается выбор для решения конкретной задачи того или иного типа моделей из логических, физических, математических?
6. Что такое статические и динамические описательные модели? Привести примеры.
7. Что такое парадигма и в чем значение парадигм для моделирования?
8. Все ли природные процессы можно моделировать? Обосновать свое мнение.
9. Приведите хотя бы три – четыре основных функции моделей.
10. Какие опасности моделирования вам известны?
К разделу 2. Основы теории систем
Знать следующие термины и понятия: гипотетико-дедуктивная
методология, граница системы, группы управления в экосистемах,
дедукция, динамика систем, иерархические уровни в системах,
индукция, информация, кибернетика, кибернетическая система,
оптимизатор, переменная возмущающая, переменная входная, переменная выходная, переменная состояния, окружающая систему
среда, регулирование, связь обратная, связь отрицательная, связь
44
отрицательная обратная, связь положительная, связь положительная обратная, связь прямая, система, система кибернетическая,
системы детерминированные, системы закрытые, системы замкнутые, системы открытые, системы стохастические, управление в системе, управляющий элемент, целевая функция, элемент системы,
эмерджентность системы.
Понимать: иерархическую структуру систем, концепцию целевой функции и саморегуляции систем, порядки динамики систем.
Владеть: гипотетико-дедуктивной методологией при изучении
природно-технических систем, навыками системного анализа.
Уметь: выбирать границы систем, выделять системы из среды,
выделять элементы систем и устанавливать переменные состояния
элементов, применять методы умозаключения по аналогии и подобия при анализе природно-технических систем, устанавливать связи элементов систем, формулировать целевую функцию системы.
1. В чем суть системного подхода и системного анализа?
2. Что такое система и из чего она состоит?
3. Что такое входные, выходные, возмущающие переменные и
переменные состояния в системе?
4. Какие виды связей в системах вам известны? Привести примеры.
5. Какие виды обратной связи вам известны? Привести примеры.
6. В чем заключается роль отрицательных обратных связей и автоколебательных процессов в природных и природно-технических
системах?
7. Что такое целостность, сложность, управляемость, буферность экосистем?
8. Что такое кибернетические системы? Что такое управление
в кибернетической системе?
9. Что такое целевая функция системы? Привести свои примеры.
10. Какие группы управления в экосистеме вам известны?
11. В чем суть понятия иерархической структуры экосистем?
12. Что такое динамика системы?
К разделу 3. Примеры моделей, использующихся при изучении
природных процессов
Знать следующие термины и понятия: аменсализм, ареал, биотический потенциал, глобальная модель, гомеостаз, емкость среды
обитания, комменсализм, конкуренция видов, консументы, мальтузианская модель, матрица сообщества, модель логистического
роста популяции, модель Лотки-Вольтерры, модель роста популяции с ограничением, модель ядерной зимы, мутуализм, ней45
трализм, парные взаимодействия видов, показатель промысловой
смертности, популяция, продуценты, Римский клуб, редуценты,
симбиоз, стация, субстрат, трофическая связь (пирамида).
Понимать: закономерности динамики популяций, суть и допущения модели Лотки-Вольтерры.
Уметь: выполнять прогнозы численности популяции по мальтузианской модели и модели логиистического роста, делать выводы и
оценки на основе моделей Римского клуба.
1. Что такое параметры и свойства популяции?
2. Что такое целостность, функциональное и генетическое единство, пространственная определенность, гомеостаз популяции?
3. Что такое численность, стация, плотность, биотический потенциал популяции?
4. В чем суть мальтузианской модели динамики популяции?
5. Что такое промысловая смертность популяции, режимы эксплуатации популяции?
6. В чем суть модели роста популяции с ограничением?
7. Что такое логистический рост популяции и какие стадии развития популяции выделяются в модели логистического роста?
8. В чем основная особенность модели Лотки-Вольтерры, отличающая ее от более простых моделей динамики популяций?
9. Из каких компонентов состоят системы Вольтерры?
10. Какие виды парных взаимодействий видов в экосистемах вы
знаете?
11. Что такое глобальные модели? Какие глобальные модели
вам известны?
12. В чем заключаются основные сложности моделирования
климата?
13. Что такое Римский клуб и какими вопросами он занимается? Какие работы Римского клуба вам известны?
14. Что предсказывает модель ядерной зимы?
46
4. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ
1. Эпохальные парадигмы и модели в истории науки и человечества.
2. Физические модели. Примеры, области применения.
3. Логические модели. Примеры известных логических моделей.
4. Примеры процессов и явлений, не подлежащих моделированию. Почему не все можно моделировать и почему не все нужно моделировать.
5. Известные примеры неудачных моделей и некорректного использования моделей.
6. Имитационное моделирование с помощью компьютера. Примеры имитационных моделей.
7. История развития кибернетики. Норберт Винер и его роль
в развитии кибернетики и моделирования.
8. Моделирование экосистемы города.
9. Моделирование промышленной зоны города.
10. Моделирование экосистемы пастбища.
11. Моделирование экосистемы пустыни.
12. Моделирование экосистемы леса.
13. Моделирование экосистемы озера.
14. Моделирование экосистемы моря.
15. Моделирование геоэкосистем и природно-технических систем.
16. Моделирование круговорота углерода в природе.
17. Моделирование круговорота воды в природе.
18. Моделирование эрозии почв.
19. Пример модели конкретной экосистемы (элементы, связи,
трофические цепи, внешние связи).
20. Моделирование явлений природы (молнии, облака, лавины,
атмосферная турбулентность, приливы и т.п.).
47
5. ПРИМЕР ВАРИАНТА ПРОМЕЖУТОЧНОГО
ТЕСТИРОВАНИЯ
1. Добавьте пропущенные слова в утверждение Галилея: «***
подобных тел не сохраняе(ю)т того же отношения, которое существует между величиной тел»
а) вес;
б) прочность;
в) размеры;
г) структура.
2. Какой вид моделей дает (как правило) максимальную точность оценки?
а) физические;
б) математические;
в) образно-знаковые;
г) логические.
3. Можно ли утверждать, что чем сложнее модель, тем она лучше?
а) нет;
б) как правило, да;
в) как правило, нет;
г) да.
4. Вставить пропущенное в следующее утверждение: «для роста
популяции по экспоненте необходимо ***»
а) наличие лимитирующих факторов;
б) отсутствие лимитирующих факторов;
в) отсутствие естественных врагов;
г) отсутствие антропогенного воздействия.
5. Чем определяется размножение вида при ограниченном количестве пищи в соответствии с допущением модели Лотки – Вольтерры?
а) скоростью потребления пищи;
б) биотическим потенциалом;
в) за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи;
г) конкуренцией видов.
48
6. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЧЕТА (ЭКЗАМЕНА)
1. Зарождение и этапы развития моделирования.
2. Простейшая классификация моделей по трем видам. Принципы выбор типа модели, достоинства и недостатки моделей основных видов.
3. Классификация моделей по закону функционирования и характерным особенностям выраже­ния свойств и отношений оригинала.
4. Классификация моделей по основанию для преобразования
свойств и отношений модели в свойства и отношения оригинала.
5. Парадигмы и модели.
6. Идеализация в моделировании.
7. Основные характеристики моделей (природа моделей).
8. Функции моделей.
9. Опасности моделирования.
10. Основные этапы системного анализа.
11. Гипотетико-дедуктивная методология, примеры ее использования в системном анализе. Индукция и дедукция.
12. Понятие системы, ее составляющие и выделение из окружающей среды.
13. Прямые и обратные связи в системах, примеры. Автоколебательные процессы.
14. Характеристики экосистем как сложных систем.
15. Характеристика экосистемы с помощью входных, выходных и возмущающих переменных, а также переменных состояния.
Примеры.
16. Управление в экосистемах, регулирование, целевая функция, группы управления в экосистемах.
17. Информационное содержание экосистемы. Концепция саморегуляции, це­левой функции, управляющего элемента и управляемой системы в экосистеме.
18. Иерархическая структура экосистем.
19. Экосистемы как кибернетические модели. Примеры.
20. Порядки динамики экосистем.
21. Параметры и свойства популяции.
22. Мальтузианская модель динамики численности популяции.
Режимы эксплуатации популяции по мальтузианской модели.
23. Модель роста с ограничением и модель логистического роста.
24. Суть, значение и допущения модели Лотки – Вольтерры.
25. Парные взаимодействия видов в экосистемах.
49
26. Глобальные модели. Модель ядерной зимы.
27. Глобальные модели. Проблемы моделирования климата.
28. Модели Римского клуба, сценарии будущего развития человечества.
50
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Будыко М.И., Голицын Г.С., Израэль Ю.А. Глобальные климатические катастрофы. М.: Гидрометеоиздат, 1986. 159 с.
2. Голубева, Н.В. Математическое моделирование систем и процессов: учебное пособие. СПб: Лань, 2013. 191 с.
2. Девятков, В.В. Методология и технология имитационных исследований сложных систем: современное состояние и перспективы развития: моногр. М.: Вуз. учеб.: ИНФРА-М, 2013. 448 с.
3. Джефферс, Дж. Введение в системный анализ: применение
в экологии. М.: Мир, 1981. 252 с.
4. Качала, В.В. Основы теории систем и системного анализа. М:
«Горячая линия – Телеком», 2007. 216 с.
5. Колтышев, А.Е. Моделирование природных и технических
процессов. Методические указания к выполнению лабораторных,
практических и контрольных работ. СПб: СПбГУАП, 2010. 52 с.
6. Коммонер, Б. Замыкающийся круг. М.: Гидрометеоиздат,
1974. 280 с.
7. Маликов, Р.Ф. Основы математического моделирования: учебное пособие. М.: «Горячая линия – Телеком», 2010. 366 с.
8. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й., Бернс В. Пределы роста.
Доклад по проекту Римского клуба «Сложные положения человечества». М.: Московский Университет, 1991. 207 с.
9. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. Пределы роста. 30 лет
спустя. М.: ИКЦ Академкнига, 2007. 342 с.
10. Мешалкин В.П., Бутусов О.Б., Гнаук А.Г. Основы информатизации и математического моделирования экологических систем:
Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2010. 357 с.
11. Моисеев, Н.Н., Александров В.В., Тарко А.М. Человек и биосфера: Опыт системного анализа и эксперименты с моделями. М.:
Наука, 1985. 271 с.
12. Одум Ю. Экология: в 2-х т. М.: Мир, 1986. 704 с.
13. Перлюк В.В., Фетисов В.А. Системный анализ. СПб: ГУАП,
2010. 124 с.
14. Петров А.В. Моделирование процессов и систем: учебное пособие. СПб: Лань, 2015. 288 с.
15. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М: МГУ, 1993. 302 с.
16. Смит Ж.М. Модели в экологии. М: Мир, 1976. 184 с.
17. Стадницкий Г.В., Родионов А.И. Экология: учебное пособие.
7-е изд., стер. СПб: Химиздат, 2002. 288 с.
51
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задачи к работе №1
Задача 1. Даны следующие химические соединения: гексафторид
урана, несимметричный диметилгидразин, диоксид углерода. Привести знаковые и образно-знаковые модели указанных соединений.
Задача 2. Даны следующие химические соединения: сернистый
ангидрид, веселящий газ, монооксид дигидрогена. Привести знаковые и образно-знаковые модели указанных соединений.
Задача 3. Дана система, представленная следующей структурной схемой (рис. п1):
Предложить реальную природную или техническую систему,
функционирование которой описывается приведенной на рис. п1
схемой.
Задача 4. Дана система, представленная следующей структурной схемой (рис. п2): Предложить реальную природную или техническую систему, функционирование которой описывается приведенной на рис. п2 схемой.
Задача 5. Дана система, представленная следующей структурной схемой (рис. п3): Предложить реальную природную или техническую систему, функционирование которой описывается приведенной схемой.
Задача 6. Дана система, представленная следующей структурной схемой (рис. п4): Предложить реальную природную или техническую систему, функционирование которой описывается приведенной схемой.
Е1
Е2
Е3
Рис. п1. Пример системы
Е1
Е2
Рис. п2. Пример системы
52
Е3
Е1
Е2
Рис. п3. Пример системы
Е1
Е2
Е3
Рис. п4. Пример системы
Задача 7. Дана экосистема озера, включающая (в предельном
упрощении) следующие популяции и субстраты: щука, окунь, карась, плотва, пескарь, фитопланктон, водоросль, бактерии, детрит,
растворенный кислород. Требуется представить структурную схему этой экосистемы.
Задача 8. На рис. п5 представлена схема экосистемы озера. Полагая, что данная схема иллюстрирует (в предельном упрощении)
озеро, следует дать характеристику элементов, границ системы,
переменных (включая переменные состояния и предполагаемые
возмущающие переменные).
Задача 9. Привести пример автоколебательной системы в реальной природной экосистеме, дать описание системы и отрицательных обратных связей в ней.
Задача 10. Привести пример автоколебательной системы в технической системе, дать описание системы и отрицательных обратных связей в ней.
Задача 11. Привести конкретный пример положительной обратной связи в природной или технической системе, дать описание
этой связи и последствий ее действия для системы.
Задача 12. Предложен рисунок (образно-знаковая модель) химического вещества (рис. п6). По этой модели сделать все возможные выводы о веществе. Привести формулу соединения в соответствии с принятой системой обозначения химических веществ.
Задача 13. Рассматривается озеро, представляющее собой биогеоценоз, т.е. природную экологическую систему. В озере обитают
популяции – хищников, травоядных рыб, редуцентов, присутству53
Выходная
переменная y
E1
Входная
переменная x
Переменная
состояния u1
E2
E4
Переменная
состояния u4
E3
Система
Граница
системы
Окружающая среда
Возмущающая
переменная d
Рис. п5. Структурная схема экосистемы озера
Рис. п6. Образно-знаковая модель химического соединения
ют субстраты – детрит в донных отложениях, растворенный кислород. На озеро воздействует приток воды из впадающей реки. Стоки
отсутствуют. Озеро окружено лугами. Объекты промышленности
и сельского хозяйства вокруг озера отсутствуют. Какие параметры
при моделировании этой системы следует принять в качестве входных, выходных, возмущающих, переменных состояния и в какой
форме? Как следует определить границу системы?
Задача 14. Рассматривается биоценоз некой экосистемы умеренной климатической зоны, включающий в себя (в упрощении)
следующие виды: ель, сосна, дятел, иволга, сокол, синица, волк,
лисица, заяц, лось, кабан, полевая мышь, комар, гадюка, уж, оса,
54
опыляемые полевые растения. Построить матрицу парных взаимодействий сообщества S с учетом парных взаимодействий видов.
Задача 15. Привести и рассмотреть по два примера следующих
взаимодействий видов в биоценозах: симбиоз, мутуализм, конкуренция, комменсализм, аменсализм, нейтрализм, «хищник-жертва», «паразит-хозяин».
Задача 16. На рисунках представлены внешние виды двух моделей самолетов периода Второй мировой войны. Эти эскизы можно
считать образными графическими моделями реальных летательных аппаратов. По приведенным на рис. п7 эскизам сравнить аппараты, используя, в частности, метод подобия и метод умозаключения по аналогии. Ответить на вопрос: какую информацию и о каких
параметрах аппаратов можно получить, исходя исключительно из
эскизов? Выполнить сравнительный анализ их назначения и параметров. Желательно по рисункам установить конкретные типы летательных аппаратов, но эта задача не является обязательной.
Задача 17. Даны следующие химические соединения: метан, угарный газ, бенз(а)пирен. Привести их знаковые модели в виде формул.
Привести также образно-знаковые модели этих соединений. На семинарском занятии объяснить, зачем нужны подобные формализации.
Задача 18. Привести три примера умозаключений по аналогии
(два – корректных, один – некорректный). Обосновать или опровергнуть применимость этих умозаключений.
Рис. п7. Два эскиза летательных аппаратов времен
Второй мировой войны (виды сбоку)
55
Задача 19. Привести примеры использования принципа актуализма (по сути, умозаключения по аналогии) в области геологии.
Задача 20. Привести два – три примера применения дедуктивного
метода при анализе и моделировании природно-технических систем.
Задача 21. Привести два – три примера применения индуктивного
метода при анализе и моделировании природно-технических систем.
Задача 22. Привести уравнение колебательного процесса маятника
и электрической схемы «колебательный контур», найти соответствие,
обосновать возможность применения электрического колебательного
контура для изучения колебаний механического маятника.
Варианты индивидуальных заданий к работе №1
Вариант 1: задача 1 и 12.
Вариант 2: задача 1 и 13.
Вариант 3: задача 2 и 14.
Вариант 4: задача 1 и 16.
Вариант 5: задача 3 и 16.
Вариант 6: задача 2 и 16.
Вариант 7: задача 9 и 15.
Вариант 8: задача 3 и 16.
Вариант 9: задача 4 и 17.
Вариант 10: задача 10 и 20.
Вариант 11: задача 4 и 19.
Вариант 12: задача 4 и 16.
Вариант 13: задача 3 и 21.
Вариант 14: задача 4 и 17.
Вариант 15: задача 6 и 22.
Вариант 16: задача 5 и 17.
Вариант 17: задача 5 и 19.
Вариант 18: задача 11 и 20.
Вариант 19: задача 5 и 21.
Вариант 20: задача 5 и 18
Вариант 21: задача 7 и 12.
Вариант 22: задача 5 и 17.
Вариант 23: задача 6 и 18.
Вариант 24: задача 10 и 18.
Вариант 25: задача 11 и 16.
Вариант 26: задача 6 и 18.
Вариант 27: задача 7 и 17.
Вариант 28: задача 7 и 16.
Вариант 29: задача 8 и 2.
Вариант 30: задача 9 и 1
56
Варианты индивидуальных заданий к работе №4
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
Выборка №
(i):
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
Вариант 1
Белка, ед./км2
дорепродукт.
11
9
8
15
0
5
6
8
6
репродуктивн.
8
10 10 12
10
10
11
10
12 12
пострепродукт.
4
3
5
4
4
4
3
0
1
0
Вариант 2
Ёж восточноевропейский, ед./км2
дорепродукт.
2
4
4
4
6
3
4
4
5
0
репродуктивн.
10
8
10 10
7
10
8
9
6
12
пострепродукт.
4
0
1
3
0
2
2
2
1
2
Вариант 3
Стриж, ед./км2
дорепродукт.
22 16 17 15
16
14
13
13
26 25
репродуктивн.
26 16 10
2
20
8
6
12
12 20
пострепродукт.
6
3
3
5
3
6
8
5
1
3
Вариант 4
Заяц, ед./км2
дорепродукт.
2
2
2
3
0
0
3
0
4
3
репродуктивн.
3
7
6
2
7
2
3
2
2
5
пострепродукт.
3
0
2
2
3
2
1
2
2
1
Вариант 5
Волк, ед./тыс. км2
дорепродукт.
3
0
3
3
0
1
0
4
0
5
репродуктивн.
8
0
10 11
6
5
0
6
5
11
пострепродукт.
2
1
1
1
1
1
2
1
3
1
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Площадь
ареала S,
км2
115
65
22
78
60
20
285
80
15,6
74
78
21
68
54
32000
57
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
Вариант 6
Амурский тигр, ед./тыс. км2
дорепродукт.
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
репродуктивн.
1
1
0
0
0
0
1
1
2
0
пострепродукт.
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Вариант 7
Изюбрь, ед./тыс. км2
дорепродукт.
6
0
7
15
0
1
0
4
8
0
репродуктивн.
12
0
20 22
0
4
0
6
15
8
пострепродукт.
2
1
5
0
0
0
1
4
2
5
Вариант 8
Дальневосточный леопард, ед./тыс. км2
дорепродукт.
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
репродуктивн.
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
пострепродукт.
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
15 12
Вариант 9
Мышь полёвка, ед./км2
дорепродукт.
40 10 15 14 120 100
5
40
репродуктивн.
90 11 32 20 200 159
9
120 20 90
пострепродукт.
15
3
12
5
13
3
18
15
4
дорепродукт.
5
0
0
6
6
6
12
1
0
6
репродуктивн.
4
0
8
7
6
8
6
2
2
3
пострепродукт.
1
2
1
1
2
1
6
2
1
2
11
5
14
1
4
Вариант 11
Рысь, ед./км2
58
4
5
5
0
1
Площадь
ареала S,
км2
6
7
45000
165
110
90000
11
17
30000
352
127
14
120
111
24
50
26
250
5
Вариант 10
Воробей, ед./км2
дорепродукт.
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
репродуктивн.
10 11
6
0
4
15
12
8
11
7
пострепродукт.
4
3
1
2
4
3
1
2
3
4
Вариант 12
Сорока, ед./км2
дорепродукт.
0
2
4
3
6
2
1
1
2
5
репродуктивн.
3
3
2
2
7
8
8
3
1
1
пострепродукт.
1
0
1
2
0
0
3
2
0
Вариант 13
Белый медведь, ед./тыс. км2
дорепродукт.
1
5
5
2
5
5
3
2
5
5
репродуктивн.
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
пострепродукт.
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
Вариант 14
Бурундук, ед./км2
дорепродукт.
15
6
14 15
15
12
10
7
7
14
репродуктивн.
15
1
4
7
8
5
4
2
1
7
пострепродукт.
1
0
2
2
1
1
0
0
0
1
Вариант 15
Трясогузка, ед./км2
дорепродукт.
8
8
11
2
3
0
4
0
6
0
репродуктивн.
4
4
4
2
6
7
2
2
6
6
пострепродукт.
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
Вариант 16
Белуга, ед./км2
дорепродукт.
4
4
4
4
6
6
0
6
6
4
репродуктивн.
9
3
2
2
10
8
0
7
9
2
пострепродукт.
3
1
0
0
4
2
1
2
5
0
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Площадь
ареала S,
км2
122
105
40
80
76
1500
322
183
37
88
10
22
50
26
1300
59
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
Вариант 17
Журавль, ед./км2
дорепродукт.
5
4
5
3
1
8
5
5
3
3
репродуктивн.
6
8
8
4
3
6
5
6
4
3
пострепродукт.
2
2
1
0
2
3
4
1
0
0
Вариант 18
Ёж ушастый, ед./км2
дорепродукт.
4
5
4
7
3
5
7
5
5
4
репродуктивн.
3
2
4
2
2
2
5
4
4
1
пострепродукт.
2
0
0
0
2
3
3
3
0
0
Вариант 19
Карась, ед./км2
дорепродукт.
98 80 99 96
21
98
30
24
95 24
репродуктивн.
6
1
5
6
0
5
0
2
7
0
пострепродукт.
0
0
0
0
1
0
2
0
0
0
6
Вариант 20
Куница лесная, ед./км2
дорепродукт.
15 15 12 13
4
10
10
0
14
репродуктивн.
18 20 20 10
11
16
15
0
40 10
пострепродукт.
11
4
4
7
1
12
3
8
3
10 10 10 11
3
8
8
0
14
репродуктивн.
10 12 13
8
8
10
5
4
40 10
пострепродукт.
10
3
4
4
7
1
12
4
6
16
8
4
6
60
18 12 12 12
8
12
12
52
12
26
125
65
24
120
105
1550
50
25
12
40
27
20
45
24
30
6
Вариант 22
Лисица обыкновенная, ед./км2
дорепродукт.
Площадь
ареала S,
км2
4
Вариант 21
Куница американская, ед./км2
дорепродукт.
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
репродуктивн.
20 15 20 16
14
14
15
8
30
8
пострепродукт.
12
7
5
7
2
12
4
4
8
4
Вариант 23
Лисица песчаная, ед./км2
дорепродукт.
12 12 13
6
10
10
2
14
репродуктивн.
10 18 20 10
8
12
16
145
2
18 10
пострепродукт.
8
6
4
7
0
10
4
8
4
15 15
0
0
10
20
30
28
10 26
репродуктивн.
20 20
0
0
25
16
50
34
40 18
пострепродукт.
8
0
0
6
6
15
8
12
дорепродукт.
40 40 40 40
60
60
10
60
60 40
репродуктивн.
90 30 20 20
98
88
5
70
90 20
пострепродукт.
30 10 10 10
40
20
8
20
50 10
Вариант 26
Лисица южноамериканская, ед./км2
дорепродукт.
16 12 14 12
10
12
14
6
16 10
репродуктивн.
18 15 18 16
14
14
18
8
30 12
пострепродукт.
12
7
5
8
2
12
6
8
4
25
100
50
25
110
50
25
80
50
25
80
50
24
24
6
Вариант 25
Треска, ед./км2
8
40
4
дорепродукт.
4
Площадь
ареала S,
км2
6
Вариант 24
Песец, ед./км2
3
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Вариант 27
Соболь, ед./км2
дорепродукт.
25 22 18 13
12
10
10
10
14
репродуктивн.
18 28 20 10
20
16
15
10
40 12
61
Плотность особей ni по i выборкам,
единицы измерения указаны для каждого
варианта
пострепродукт.
11
8
8
3
8
4
7
6
12
6
Рожда- Смертемость ность
B, ед./ D, ед./
год
год
Площадь
ареала S,
км2
Вариант 28
Бобр, ед./км2
дорепродукт.
15 25
0
13
0
20
20
0
7
6
репродуктивн.
20 40
0
10
0
26
26
0
8
10
пострепродукт.
10
0
3
0
10
8
0
7
6
8
3
48
26
45
40
24
1500
30
20
2500
Вариант 29
Олень белохвостый, ед./км2
дорепродукт.
15 15 14 13
4
12
10
4
14
репродуктивн.
18 20 24 10
11
18
15
6
40 16
пострепродукт.
8
4
6
7
4
12
5
4
8
3
Вариант 30
Олень беломордый, ед./км2
дорепродукт.
13 15 12 14
18
12
16
10
12
6
репродуктивн.
16 20 20 12
26
18
18
14
18
8
пострепродукт.
10
30
10
7
8
12
8
8
10 10
Варианты индивидуальных заданий к работе №5
Вариант
Вид животных
Nmin, ед.
b, ед./год
d, ед./год
d, ед./год
1
Заяц
10
3
0,3
0,005
62
2
Ёж ушастый
10
3
0,3
0,002
3
Рысь
30
0,3
0,1
0,002
4
Дальневосточный
леопард
30
0,3
0,07
0,001
5
Персидский
леопард
34
0,3
0,06
0,001
6
Амурский тигр
45
0,2
0,08
0,002
7
Иволга
20
1
0,6
0,001
8
Стерх
25
1,2
0,3
0,001
Вариант
Вид животных
Nmin, ед.
b, ед./год
d, ед./год
d, ед./год
9
Черный журавль
30
1,1
0,3
0,001
10
Сорока
15
1,5
0,3
0,001
11
Кабан
45
1,2
0,1
0,001
12
Изюбрь
12
0,5
0,3
0,008
13
Цапля
15
1,1
0,2
0,001
14
Волк
2
2
0,5
0,001
15
Дятел
18
1,5
0,2
0,003
16
Косуля
12
0,5
0,05
0,007
17
Иволга
20
1
0,6
0,001
18
Утка розоголовая
23
1,2
0,4
0,001
19
Гага
20
1,2
0,5
0,001
20
Лось
25
0,4
0,04
0,001
21
Грифон
10
0,2
0,3
0,003
22
Единорог
8
0,1
0,2
0,0025
23
Ворона
13
1,9
0,3
0,003
24
Гекатонхейр
6
1
0,3
0,002
25
Кентавр
7
2
0,2
0,002
26
Пегас
8
2
0,22
0,0025
27
Кошка домашняя
10
8
0,30
0,001
0,0025
28
Ёж китайский
8
3
0,3
29
Ёж крысиный
8
4
0,25
0,002
30
Тигр бенгальский
40
0,2
0,08
0,0024
63
СОДЕРЖАНИЕ
Введение...................................................................................
3
1. Программа курса «Моделирование
природных и технических процессов»...........................................
5
2. Практические работы..............................................................
6
3. Контрольные вопросы для самопроверки...................................
44
4. Темы рефератов......................................................................
47
5. Пример варианта промежуточного
тестирования.............................................................................
48
6. Вопросы для зачета (экзамена).................................................
49
Рекомендуемая литература.........................................................
51
Приложение..............................................................................
52
64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
10 313 Кб
Теги
koltishev1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа