close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

KrasyukLabetsShatalovShatalovaJastrebkov

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
В. Н. Красюк, В. В. Лабец, А. А. Шаталов,
В. А. Шаталова, А. Б. Ястребков
СИСТЕМЫ ЛАЗЕРНОЙ
КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Учебное пособие
Часть 3
Санкт-Петербург
2011
УДК 621.396.2(075)
ББК 32.884.1
С40
Рецензенты:
кафедра радиолокации Санкт-Петербургского высшего
военного училища радиоэлектроники;
кандидат технических наук П. М. Безняков;
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Красюк В. Н., Лабец В. В., Шаталов А. А., Шаталова В. А., Ястребков А. Б.
С40
Системы лазерной космической связи: учебное пособие: В 3 ч. / В. Н. Красюк, В. В. Лабец, А. А. Шаталов, В. А. Шаталова, А. Б. Ястребков. – СПб.:
ГУАП, 2011. Ч. 3. – 200 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0603-0
В третьей части учебного пособия рассмотрены физические и статистические характеристики шумов, сопровождающих передачу, распространение
и прием оптических сигналов в системах лазерной космической связи.
Описаны варианты приемных устройств, осуществляющих детекторную
и последетекторную обработку оптической информации.
Обсуждаются вопросы проектирования лазерных систем связи. Основное
внимание уделено описанию пространственно-временных модуляторов света, которые используются для реализации когерентной обработки сигналов
на фоне шумов.
УДК 621.396.2(075)
ББК 32.884.1
Учебное издание
Красюк Владимир Николаевич
Лабец Виталий Васильевич
Шаталов Александр Андреевич
Шаталова Валентина Александровна
Ястребков Александр Борисович
СИСТЕМЫ ЛАЗЕРНОЙ
КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
Учебное пособие
Часть 3
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 16.11.10. Подписано к печати 20.04.11.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л.11,6.
Уч.-изд. л. 12,5. Тираж 200 экз. Заказ № 154.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-0603-0
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2011
© В. Н. Красюк, В. В. Лабец, А. А. Шаталов,
В. А. Шаталова, А. Б. Ястребков, 2011
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
AM – амплитудная модуляция
ЖК-среда – жидкокристаллическая среда
ЗВ – звуковая волна
КАМ – квадратурная амплитудная модуляция
КИМ – кодово-импульсная модуляция
КИМ-ИМ (КИМ-AM) – кодово-импульсная модуляция по интенсивности
КИМ-ФМ – кодово-импульсная фазовая модуляция
КИМ-ПМ – кодово-импульсная поляризационная модуляция
МПЗ – монолитное пьезоэлектрические зеркало
ОКГ – оптический квантовый генератор
ПВМС – пространственно-временные модуляторы света
ПИМ – позиционно-импульсная модуляция
ПИМ-ИМ – позиционно-импульсная модуляция по интенсивности
ПМ – поляризационная модуляция
ПМЗ – пластинчатое молибденовое зеркало
ФМ – фазовая модуляция
ЧМ – частотная модуляция
3
Предисловие
Третья часть учебного пособия «Системы лазерной космической
связи» целиком посвящена изложению вопросов, связанных с шумовыми характеристиками приемных устройств оптических систем
связи, анализу качественных характеристик таких информационных систем при различных видах модуляции сигналов, а также вопросам оптимального проектирования лазерных систем связи.
В третьей части учебного пособия рассматриваются физические и
статистические характеристики шумовых процессов, сопровождающих прием лазерного излучения (раздел 1), служащие основой статистического синтеза и анализа качественных характеристик работы проектируемых и существующих оптических систем связи.
На основе математического описания моделей сигналов и шумов
производится статистический анализ процесса детектирования в
различных вариантах технической реализации детекторной и последетекторной обработки (раздел 2).
Раздел 3 содержит анализ вариантов структур приемных устройств, позволяющий сравнить различные методы обработки оптических информационных сигналов.
Отдельно рассматривается такое важное и разнообразное по
практическому воплощению направление развития оптических
систем, как импульсные и цифровые лазерные системы связи (раздел 4). При этом особое внимание уделено цифровым лазерным системам связи с передачей на поднесущей и с гетеродинным детектированием (раздел 5).
В пособии также затронуты вопросы оптимального проектирования лазерных систем связи, которые в своей постановочной части
имеют важное значение для формирования навыков проектирования такого рода систем (раздел 6). Этот материал крайне необходим для понимания того, с какими трудностями в настоящее время
встречаются разработчики оптических систем связи при решении
вопроса создания аппаратуры.
В разделе 7 описаны разнообразные пространственно-временные
модуляторы света (ПВМС); при этом основное внимание уделяется
тем ПВМС, которые уже использовались при когерентной обработке и в настоящее время планомерно совершенствуются. В ходе
изложения с целью достижения определенного компромисса в количестве подробностей технологического и физического характера
некоторые конструктивные нюансы будут опускаться.
4
При рассмотрении различных вариантов ПВМС главное внимание обращается на принципы, положенные в основу их работы.
Приводимые конкретные данные целесообразно воспринимать как
иллюстративный материал, указывающий на возможные порядки
значений параметров.
В написании третьей части учебного пособия принимали участие доктор техн. наук, проф. В. Н. Красюк – раздел 1; канд. техн.
наук В. В. Лабец – разделы 3, 6; доктор техн. наук, проф. А. А. Шаталов – введение, раздел 2; канд. техн. наук В. А. Шаталова – разделы 4, 7; канд. техн. наук, доцент А. Б. Ястребков – раздел 5 и
приложения.
5
1. ШУМЫ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ ПРИЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ
1.1. Тепловые шумы
Тепловые шумы (шумы Джонсона) обусловлены тепловыми
флуктуациями электронов в сопротивлениях. Рассмотрим «шумящее» сопротивление RL, которое включено параллельно конденсатору С (рис. 1.1).
В обычном приемнике сопротивление RL является нагрузочным
сопротивлением, а конденсатор С – емкостью, которая шунтирует
приемник. Случай, когда приемник содержит внутри проводящие
элементы, будет рассмотрен особо.
Средняя энергия, накапливаемая в емкости из-за действия шумового сопротивления (M[Cv2]/2), может быть приравнена термодинамической энергии системы (kT/2) согласно принципу сохранения энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии.
Здесь мы пренебрегаем квантовым характером энергии, согласно
которому средняя энергия определяется через энергию кванта hf
−1

 hf

в соответствии с выражением 2hf / exp
−1 , которое сводит kT


ся к kT/2 для соответствующего частотного диапазона.
Это означает, что в тепловом равновесии
M[Cv2]/2 = kT/2,
(1.1)
M[v2] = kT/С,
(1.2)
или
где k – постоянная Больцмана; Т – температура сопротивления;
M[v2] – средний квадрат напряжения на сопротивлении.
¨É¾ÇºÉ¹ÀÇ»¹Ë¾ÄÕ
„­ÇËÇÆËÇÔ
©
3-
W
±ÌÅǻǾ
ƹ¼ÉÌÀÇÐÆǾ
ÊÇÈÉÇËÁ»Ä¾ÆÁ¾
Рис. 1.1. Фотоприемник с емкостным фильтром
и шумовым нагрузочным сопротивлением
6
Мощность теплового шума
NT = M[v2]/RL = kT/RLС.
(1.3)
Если полоса пропускания приемника равна величине, обратной
постоянной времени, т. е. B = 1/RLС, то
NT = kTB.
(1.4)
Тепловые шумы в цепи, изображенной на рис. 1.1, можно анализировать по схеме теплового шумового генератора, генерирующего
шумовое напряжение (рис. 1.2, а), или по схеме эквивалентного генератора тока (рис. 1.2, б).
Флуктуации электронов в шумовом сопротивлении происходят
в очень короткие интервалы времени по сравнению с постоянной
времени приемника, следовательно, спектр теплового шумового
источника можно считать сплошным и равномерным. Это модель
так называемых «белых шумов». Допущение относительно «белых шумов» приводит к тому, что мощность шума, проинтегрированная по всем частотам, становится бесконечно большой. Однако
на высоких частотах энергию рассматривают в достаточно узком
¸
J
¦¾ÑÌÅØÒ¾¾
ÊÇÈÉÇËÁ»Ä¾ÆÁ¾
3 -
­ÁÄÕËÉ
ÍÇËǽ¾Ë¾ÃËÇɹ
œ¾Æ¾É¹ËÇÉ
ƹÈÉØ¿¾ÆÁØ W5
˾ÈÄÇ»ÔÎÑÌÅÇ»
¹
J5
¦¾ÑÌÅØÒ¾¾
ÊÇÈÉÇËÁ»Ä¾ÆÁ¾
­ÁÄÕËÉ
ÍÇËǽ¾Ë¾ÃËÇɹ
3-
œ¾Æ¾É¹ËÇÉËÇù
˾ÈÄÇ»ÔÎ
ÑÌÅÇ»
W
Рис. 1.2. Шумовые модели фотодетектора (тепловой шум):
а) источник напряжения; б) источник тока
7
спектральном диапазоне, т. е. число степеней свободы уменьшается и мощность, обусловленная флуктуациями теплового шума, становится конечной.
Так как спектральная плотность шума на выходе линейной системы равна произведению входной спектральной плотности шума
на квадрат абсолютной величины преобразования Фурье от импульсной функции системы, то флуктуации напряжения теплового
шума можно записать в виде
M v2  = GvT RL
 
∞
∫
2
H (f ) df, (1.5)
−∞
где GvT ,– спектральная плотность мощности теплового шума в единицах напряжения. Если спектральная плотность мощности шума
определена в единицах напряжения GvT , то мощность шума на сопротивлении RL на единицу полосы равна Gv /RL. Подобным обраT
зом, если спектральная плотность мощности шума задана в единицах тока Gi , то мощность шума на единицу полосы равна Gi /RL.
T
T
Преобразование Фурье импульсной функции RLС-цепи записывается в виде
1
H (f ) =
.
(1.6)
1 + j2πfRL C
Приравнивая правые части уравнений (1.5) и (1.2) и выполняя
интегрирование получим «двустороннюю» спектральную плотность
Gv = 2kTRL.
T
(1.7)
Выражение (1.7) дает спектр мощности шумового сопротивления, которое может быть подключено к любому приемнику в любой
цепи, это следствие того факта, что Gv не зависит от С и зависит
T
только от величины шумового сопротивления и его температуры.
Средний квадрат напряжения флуктуаций в полосах частот от –f2
до –f1 и от f1 до f2
M[vT2(Δf)] = 4kTRL Δf,
(1.8)
где Δf = f2 – f1.
Следовательно, тепловой шум может характеризоваться в разомкнутой цепи среднеквадратическим значением напряжения
8
{M[vT2(Δf)]}1/2 = (4kTRL Δf)1/2
(1.9)
или эквивалентным среднеквадратическим значением тока
{M[iT2(Δf)]}1/2 = (4kTΔf/RL)1/2.
(1.10)
Нужно быть внимательным при применении этих выражений к
электрическим цепям. Следует помнить, что Δf не обязательно полоса пропускания цепи, это может быть просто интервал положительных частот, в котором вычисляются величины согласно выражениям (1.9) и (1.10).
В качестве примера применения этих выражений рассмотрим
шумовой генератор тока (рис. 1.2, б), соединенный с фильтром, содержащим шунтирующую емкость. Полная мощность теплового
шума равна интегралу по всем положительным частотам от произведения среднего квадрата спектральной плотности тока теплового
шума на действительную часть импеданса параллельно соединенных RL и С:
∞


RL
4kT 
kT

(1.11)
.
NT = ∫

 df =
2
RL  (2πRL Cf ) + 1 
RL C
0


Таким образом, получили то же самое выражение, что и (1.3), и
(1.4), где полоса пропускания определялась как величина, обратная постоянной времени RC-цепи.
Тепловые шумовые источники тока iT и напряжения vT (рис. 1.2)
являются источниками гауссовских случайных переменных при
тепловом равновесии [1]. Таким образом, распределения вероятностей переменных тепловых шумовых генераторов являются распределениями Гаусса:


 iT2 
1

exp−
P (iT ) =
(1.12)
2  2

2
σ

2πσi
iT 
T
и
P (vT ) =

 v2
exp− T
 2σ2
2πσ2v
vT

T
1

, 

(1.13)
где σ2i = NT RL – дисперсия тока гауссовского теплового шумовоT
го генератора и σ2v = NT RL – дисперсия напряжения гауссовского
T
теплового шумового генератора.
9
1.2. Дробовой шум темнового тока
В фотоэмиссионном или фотогальваническом приемнике темновой ток, протекающий при отсутствии всякого внешнего фотовозбуждения, вызывает дробовой шум. Экспериментальные данные
показывают, что эмиссия темновых электронов является независимой от времени и подчиняется статистическому распределению
Пуассона [1]. Таким образом, вероятность того, что число электронов темнового тока, эмиттируемых за время τ, точно равно числу k,
определяется распределением Пуассона
k
P (UD,τ = k)=
(µ D,τ )
exp(−µ D,τ )
,
k!
(1.14)
где µ D,τ = τ ID q – среднее число темновых электронов, эмиттируемых приемником за время τ.
Каждый из этих k-электронов, испускаемых в случайные моменты времени в течение интервала τ, переносит элементарный
электрический заряд q. Полный ток
k
iD (t) = ∑ Gqδ (t − tn ) для − τ 2 ≤ t ≤ τ 2, (1.15)
n=1
где δ(t – tn) – единичная импульсная функция для момента времени tn; G – коэффициент усиления тока в схеме после приемника.
Мгновенный темновой ток детектора является пуассоновским
процессом с автокорреляционной функцией
t2
RiD (ν) =
∫
t2
…
−t 2
∞

k

k

∫ ∑  ∑ Gqδ (t − tn )  ∑ Gqδ (t + ν − tm ) ×
−t 2 k=0 n=1
×
 m=1
P (UD,τ = k)
dt1 …dtk .
τk

(1.16)
Методами, описанными в приложении 1, автокорреляционная
функция может быть выражена через среднее число фотоэлектронов темнового тока
RiD (ν) =
G 2q 2
G 2q 2
µ D,τ δ (ν)+ 2 µ2D,τ τ
τ
или через среднее значение темнового тока
10
(1.17)
2
RiD (ν)= G2qID δ (ν)+ G2 ID
.
(1.18)
Тогда спектральная плотность мощности шума, которая является преобразованием Фурье от автокорреляционной функции:
2
GiD (f )= G2qID + G2 ID
δ (f ). (1.19)
Таким образом, спектральная плотность состоит из сплошного
спектра Gi = G2qID и постоянной составляющей.
D
Полная мощность шума на нагрузочном сопротивлении RL (обусловленная флуктуациями относительно среднего значения) в полосе пропускания фильтра В, Гц,
NHD = 2G2qID RL B. (1.20)
Полученное выражение известно под названием формулы
Шоттки для дробового шума. Если фильтр приемника не является зональным низкочастотным фильтром, а простым резистивноемкостным фильтром с полосой В, как показано на рис. 1.1, то
мощность дробовых шумов равна
NHD =
G2qID BRL
.
2
До сих пор были рассмотрены только флуктуации эмиссии темнового тока с поверхности катода. Но электроны движутся от катода к аноду и спектр шума изменяется из-за разброса времени пролета электронов. Влияние разброса времени пролета электронов
можно оценить с помощью эквивалентной операции низкочастотной фильтрации, где фильтр низкой частоты имеет постоянную
времени, равную времени разброса τе. Передаточная функция эквивалентного низкочастотного фильтра
Hτ e (f ) =
1
.
1 + 2πf τ e
(1.21)
Умножая квадрат абсолютной величины Hτ e (f ) на спектральную плотность мощности на поверхности фотодетектора, получим
спектральную плотность на выходе фотоприемника. Для используемых в настоящее время частот модуляции τе значительно меньше обратной величины полосы пропускания фильтра детектора, и
влияние разброса времени пролета электронов незначительно.
11
1.3. Фотонный флуктуационный шум
В любых типах фотоприемников наблюдаются шумы, вызываемые флуктуациями эмиссии оптического излучения; они имеются даже, если средняя интенсивность излучения постоянна. Это
явление, часто называемое фотонным флуктуационным шумом,
обусловливает дробовой шум фотоэмиссионного детектора или
генерационно-рекомбинационный шум твердотельного детектора
[1]. Выражение
k
iR (t) = ∑ Gq δ (t − tn ) (1.22)
n=1
соответствует току фотодетектора, вызываемому случайной эмиссией фотоэлектронов в моменты времени tn в течение временного
интервала τ.
Автокорреляционная функция этого процесса
t2
RIR (ν) =
∫
t2
…
−t 2
∞


k

k
∫ ∑  ∑ Gqδ (t − tn )  ∑ Gqδ (t + ν − tm ) ×
−t 2 k=0 n=1
×
 m=1

P (UR,τ = k)
dt1 …dtk ,
τk
(1.23)
где P(UR,τ = k) – есть распределение вероятностей фотоэлектронов,
эмиттируемых детектором во временном интервале τ при попадании оптического излучения на фотодетектор. Согласно приложению 1 автокорреляционная функция сводится к виду
 δ (ν) 1 
1
2
− 2  E(UR,τ )+ 2 E UR
RIR (ν) = 
,τ , τ
τ 
τ

(
)
(1.24)
а спектральная плотность
(
)


2
E(UR,τ )  E UR,τ − E(UR,τ )
 δ (f ), GIR (f ) =
+


τ
τ2


(1.25)
2 ) есть первый и второй моменты распределения
где E(UR,τ) и E(UR,τ
вероятностей P(UR,τ = k).
Известно, что среднее значение и дисперсия числа фотоэлектронов, появляющихся из-за действия фонового излучения, одинако-
12
вы и равны μB,τ. Спектральная плотность флуктуаций фотонов фонового излучения
где IB =
2
GIB (f )= G2qIB + G2 IB
δ (f ), (1.26)
qµ B,τ
– средний ток фотодетектора при наличии фонового
τ
излучения.
Распределение вероятностей числа фотоэлектронов для идеального лазера подчиняется закону Пуассона (1.24) [8]. Среднее значение и дисперсия этого распределения равны μS,τ, а спектральная
плотность флуктуации фотонов лазерного излучения
где IS =
GIS (f ) = G2qIS + G2 IS2 δ (f ), (1.27)
qµ S,τ
– среднее значение тока фотодетектора, обусловленτ
ного лазерным излучением. Выражения (1.26) и (1.27) описывают спектральную плотность тока фотодетектора, обусловленного
фотонными флуктуациями на поверхности детектора. Для нахождения шума, обусловленного флуктуациями фотонов, необходимо
определить спектральную плотность мощности флуктуаций фотонов на выходе детектора.
В фотоэмиссионном детекторе каждый пришедший фотон выбивает фотоэлектрон с вероятностью η, где η является квантовой
эффективностью детектора. Существует однозначное соответствие
между каждым приходящим фотоном и выбитым электроном.
В фотоэмиссионном детекторе спектральные плотности мощности
эмиссии электронов относительно среднего значения, обусловленного излучением лазера и фона:
GiS (f ) = G2qIS
и
GiB (f ) = G2qIB .
Спектральные плотности мощности шума по форме такие же,
как и спектральная плотность мощности дробового шума, вызываемого темновым током детектора, и поэтому они часто называются дробовым шумом для лазерного и фонового излучения соответственно. В детекторе, основанном на явлении фотопроводимости,
пришедший фотон приводит к появлению в среднем η пар «элек13
трон – дырка». Одновременные генерационные и рекомбинационные процессы, вызываемые пришедшим фотоном, приводят к тому,
что спектральные плотности мощности шума в два раза больше,
чем значения, определяемые выражениями (1.26) и (1.27). Таким
образом, спектральные плотности мощности шума относительно
среднего для фотопроводниковых детекторов
GiS (f ) = 2G2qIS (1.30)
GiB (f ) = 2G2qIB . (1.31)
и
Приведенные выше аналитические выражения для шумовых спектров характеризуют источники генерационно-рекомбинационных шумов (такие шумы иногда называют дробовыми). Вибрационные колебания решетки фотопроводниковых материалов
приводят к изменениям спектра генерационно-рекомбинационных
шумов. Вибрационные колебания решетки можно учесть, умножая
спектральную плотность генерационно-рекомбинационных шумов
на квадрат абсолютного значения передаточной функции, описывающей вариации решетки. Эта передаточная функция зависит от
частичной ионизации материала и от того, какого типа проводимость – собственная или примесная.
В литературе [1] приведены спектральные плотности мощности
генерационно-рекомбинационных шумов для нескольких конфигураций решеток. В большинстве детекторов постоянная времени
решетки мала по сравнению с обратной величиной полосы пропускания фильтра детектора, поэтому эффектами вибраций решетки
можно пренебречь.
Каждый фотон, падающий на поверхность фотовольтаического
детектора, приводит к появлению в среднем η пар «электрон – дырка». Однако рекомбинационное время жизни в фотовольтаическом
детекторе настолько мало, что процесс рекомбинации не приводит
к появлению значительных флуктуаций. Таким образом, спектральные плотности мощности шума для фотовольтаического детектора:
GiS (f ) = G 2qIS , (1.32)
GiB (f ) = G2qIB . (1.33)
14
1.4. Другие источники шумов
Шумы мерцания (фликкер-эффект). Флуктуации эмиссии с
различных областей катода вакуумной лампы определяют так называемый шум мерцания [1]. Спектр этого шума обратно пропорционален квадрату тока фотокатода IK. Спектральная плотность
мощности шумов мерцания
GiF (f ) = α F
2
G2 IK
,
f
(1.34)
где αF – коэффициент пропорциональности.
Это выражение не остается справедливым для f = 0, так как
мощность шума должна быть конечной. Шумы мерцания, главным
образом, связаны с термоионной эмиссией и не являются определяющим фактором в фотоэмиссионных лампах.
Токовый шум. Полупроводниковые детекторы проводят постоянный ток. При этом проявляется специфический шумовой
эффект, называемый «токовым шумом». Односторонний спектр
мощности этого шума обратно пропорционален частоте (для частот
ниже 1 Гц). Спектр шума зависит от квадрата усиливаемого после детектора тока и окружающих условий работы – в основном от
влажности (однако не зависит от температуры прибора). Механизм
возникновения токового шума объясняется задержкой носителей
заряда около поверхности материала. Спектральная плотность
мощности токового шума
GiC (f ) = α C
2
G2 IP
,
f
(1.35)
где αС – коэффициент пропорциональности.
Шумы флуктуаций интенсивности излучения. Дополнительно к дробовому и генерационно-рекомбинационному шумам,
вызываемым флуктуациями прихода фотонов во времени, в приемнике имеют место шумы, обусловленные случайными флуктуациями среднего значения интенсивности излучения, падающего на
детектор.
Вариации интенсивности происходят вследствие флуктуаций
несущей лазера, естественных пульсаций солнечного и звездного
излучений, случайной модуляции интенсивности излучения при
прохождении через атмосферу.
15
Лазеры в системах связи обычно хорошо стабилизированы по
амплитуде и не являются серьезным источником шума. Яркость
излучения фоновых источников обычно флуктуирует медленно.
Однако атмосфера может быть серьезной причиной, вызывающей
изменение интенсивности излучения. Атмосферные флуктуации
интенсивности луча лазера приводят к сцинцилляциям интенсивности луча в плоскости приема. Эффекты, связанные со сцинцилляциями луча, рассматривались во второй части пособия, где получены выражения для дисперсии тока сигнала при прямом и гетеродинном детектировании.
«Фазовый шум». В гетеродинном или гомодинном оптическом
приемнике происходит смешение спектров излучений передатчика
и гетеродина. Форма и уширение лазерных линий играют существенную роль, так как спектры переносятся в область более низкой радиочастоты, называемой промежуточной частотой. В приемнике прямого усиления, в котором фотодетектор установлен непосредственно за
оптическим фильтром, форма линии излучения не играет существенной роли, так как фотодетектор не различает узкополосные сигналы оптических частот. Ширина спектра на промежуточной частоте
оказывает значительное влияние, если применяется частотный или
фазовый методы демодуляции. Объясняется это тем, что ширина
линии характеризует фазовую неопределенность. При любом типе
оптического смешения, любом виде фазовой или частотной демодуляции необходима подстройка (синхронизация) по фазе или частоте
колебания местного гетеродина и несущего входного колебания. Следовательно, фазовая неопределенность или «фазовый шум» становится серьезной проблемой даже для систем связи с модуляцией по
интенсивности, если используется гетеродинный или гомодинный
методы приема. Причиной возникновения фазового шума являются
случайные смещения частоты несущей и местного гетеродина вследствие квантового шума, спонтанной эмиссии и механических колебаний зеркал резонатора. Квантовый шум является принципиально неустранимой причиной, вызывающей частотные флуктуации.
В большинстве случаев квантовый шум маскируется значительно
более интенсивными шумами, появляющимися вследствие колебаний зеркал. Другим интенсивным источником фазового шума является турбулентность атмосферы, приводящая к флуктуации частоты
несущей. Напряжение сигнала vIF на выходе фильтра оптического
гетеродинного приемника при идеальном пространственном совмещении лучей передатчика и гетеродина определяется выражением
16
vIF = GDAc A0 RL cos (ω0 − ω c )t + (Φ0 − Φ c ) =
= A cos  ω IF t + Φ IF (t) ,
(1.36)
где G – коэффициент усиления фотодетектора; D – коэффициент
преобразования детектора; Ас – амплитуда несущей; А0 – амплитуда колебаний местного гетеродина; RL – сопротивление нагрузки
оптического приемника; ω0 – угловая частота колебаний местного
гетеродина; ωc – угловая частота сигнала несущей; Фс– фаза сигнала несущей; Ф0 – фаза сигнала гетеродина.
При отсутствии турбулентности атмосферы A = const, так как
колебания несущей и местного гетеродина хорошо стабилизированы. Случайное смещение фазы сигнала промежуточной частоты
можно определить как изменение в фазе между моментами времени t и t + τ:
(1.37)
∆ϕ IF (t, τ ) = Φ IF (t + τ )− Φ IF (t). Фазовое смещение является гауссовской случайной переменной, если фазовый шум вызывается квантовым шумом, шумом изза колебаний зеркал или турбулентностью атмосферы.
При анализе фазового шума, как правило, определяются две
величины: средний квадрат смещения фазы и спектральная плотность мощности напряжения сигнала промежуточной частоты.
Средний квадрат смещения фазы
2

M  ∆Φ2IF (τ ) = M  ∆Φ (t, τ )  . 



(1.38)
Средний квадрат смещения фазы и спектр мощности напряжения сигнала промежуточной частоты связаны соотношением
∞
 1

GvIF (f ) = A 2 ∫ exp − M  ∆Φ2IF (τ )  cos (ω − ω IF )τ  dτ. (1.39)
 
 2 
0
Эксперименты показывают, что спектр мощности напряжения
vIF имеет гауссовскую форму, а смещение фазы пропорционально
квадрату времени ( M  ∆Φ2IF (τ ) ∼ τ2 ), если преобладают шумы, обу

словленные механическими колебаниями зеркал.
Экспериментальные измерения находятся в хорошем соответствии с выражением (1.39). Если доминирующим является квантовый шум, то спектр vIF имеет форму лоренцовой кривой и средний
квадрат смещения фазы линейно зависит от времени. На этой основе
17
¦ÇÉŹÄÁÀÇ»¹ÆÆǾйÊËÇËÆǾ
ÌÑÁɾÆÁ¾
æ ö2
éM [$f ]ù 2 çç vB ÷÷÷
ë
û çèç d ø÷
R
s
/
s
s
s
S0 dR
Рис. 1.3. Характер изменения среднего квадрата
частотного уширения
были получены выражения для частотного спектра и среднего квадрата частотного уширения vIF при наличии турбулентности атмосферы. На рис. 1.3 приведена зависимость среднего квадрата частотного уширения в функции скорости ветра vB диаметра антенны приемника dR и размера фазовой когерентности r0. Для фиксированных
значений скорости ветра и размера антенны при увеличении полезной
площади смешения приемника r0 частотное уширение уменьшается.
1.5. Заключительные выводы о шумовых источниках
В табл. 1.1 приведены спектральные плотности мощности шума
для основных шумовых источников, оказывающих влияние на
процесс оптического детектирования. Шумы мерцания и токовые
шумы – это низкочастотные явления, поэтому их влияние может
быть ограничено выбором полосы информационного сигнала выше
граничной частоты 10÷100 Гц или передачей информации на радиочастотной поднесущей.
В ряде работ часто отрицаются эффекты флуктуаций интенсивности несущей лазера и фонового излучения, которые ограничивают спектр сигнала в области низких частот. Дробовой и
генерационно-рекомбинационньй шум на выходе детектора, обу18
словленный эмиссией темнового тока, флуктуациями фотонов фонового излучения и флуктуациями фотонов лазерного излучения,
можно рассматривать вместе.
Таблица 1.1
Спектральные плотности мощности
для основных шумовых источников оптического детектора
Виды шумов
Тепловые шумы
Шумы мерцания (фотоэмиссионный детектор)
Токовый шум (фотовольтаический и фотопроводниковый детектор)
Дробовой шум темнового тока (фотоэмиссионный и фотовольтаический детектор)
Дробовой шум флуктуаций фотонов (фотоэмиссионный детектор)
Генерационно-рекомбинационный шум флуктуации фотонов (фотовольтаический детектор)
Генерационно-рекомбинационный шум флуктуации фотонов (фотопроводниковый детектор)
Спектральная плотность
мощности в единицах тока
2kT/R
αFG2IP2/f
αcG2IP2/f
G2qID
G2q(IS + IB)
G2q(IS + IB)
2G2q(IS + IB)
Спектральные плотности мощности для этих комбинированных
шумовых источников будут соответственно иметь вид:
Gi (f) = G2qIP
P
(для фотоэмиссионного и фотовольтаического детектора), (1.40)
Gi (f) = 2G2qIP
P
(для фотопроводникового детектора),
(1.41)
где IP – суммарный средний ток детектора.
Тепловой шум является универсальным видом шума, который
присущ всем приемным системам.
В радиотехнических системах тепловой шум наиболее часто является основным ограничивающим фактором при выделении сигналов. На оптических частотах тепловой шум также часто является основным шумовым источником, в особенности для полупроводниковых и фотоэмиосионных детекторов (если не рассматривать
вторичное умножение).
Вторичное электронное умножение в фотоумножителе приводит
к тому, что преобладающим является дробовой шум детектора. Условие преобладания дробового шума над тепловым в полосе В фильтра
19
2G2qIPBRL > 4kTB,
(1.42)
откуда коэффициент усиления по току
G>
2kT
.
qIP RL
(1.43)
Усиление по току полупроводниковых фотодетекторов обычно
недостаточно для того, чтобы реализовать детектирование, ограничиваемое дробовым шумом. Для примера, если средний ток не
больше чем 10–9A (величина, сравнимая с темновым током приемника без охлаждения), температура детектора 300°К, сопротивление нагрузки 100 Ом, то требуемый коэффициент усиления (когда
дробовой шум является преобладающим) равен 720. Если в оптическом приемнике используется фотоумножитель, прием всегда
будет ограничен дробовым шумом, так как усиление по току фотоумножителя составляет около 106.
¸
( J) RMp
3L
( J5 L53L
( J) RMQ
3-
( J5 L53 -
­ÁÄÕËÉ
›ÔÎǽ
¹
34
º
( J) RMQ
©Q
3-
( J5 L53-
­ÁÄÕËÉ
›ÔÎǽ
( J5 L534
3- ( J5 L53-
­ÁÄÕËÉ
›ÔÎǽ
Рис. 1.4. Шумовые эквивалентные схемы фотодетекторов:
а) фотоэмиссионный детектор; б) фотопроводниковый детектор;
в) фотовольтаический детектор
20
Использование других типов детекторов обычно приводит к
тому, что эффективность приема ограничивается тепловым шумом.
На рис. 1.4 изображены шумовые эквивалентные схемы фотоэмиссионного, фотопроводникового и фотовольтаического детекторов
(учтены только источники дробового и теплового шумов). Для простоты последующих обсуждений для всех видов шумов, обусловленных темновым током и флуктуациями фотонов, будет использоваться один термин – дробовые шумы; при этом спектральная плотность дробовых шумов будет умножаться на два, если используется
фотопроводниковый детектор.
Схемы включают эквивалентный детектор с последовательным
и параллельным RS и RP и шунтирующей емкостью СP; на выходе
детектора включено сопротивление нагрузки RL и фильтр без потерь. В приведенных схемах каждый шумовой источник является статистически независимым генератором тока. Следовательно,
общая шумовая мощность на выходе любого из детекторов равна
корню квадратному из суммы квадратов мощностей отдельных источников.
21
2. ДЕТЕКТИРОВАНИЕ И ПОСЛЕДЕТЕКТОРНАЯ ОБРАБОТКА
ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
2.1. Вводные замечания
В этой главе определяются статистические распределения сигнала на выходе фотодетектора. Характеристики последетекторного фильтра рассматриваются с точки зрения практических условий
применения приемных устройств, при ограничениях, накладываемых на условия приема дробовыми и тепловыми шумами. Знание
статистических распределений необходимо для разумного проектирования и выбора оптических приемных устройств, а также
оценки их эффективности. Обычно в специальной литературе термины «детектирование» и «последетекторная обработка» в рассматриваемом аспекте воспринимаются как «обнаружение».
На рис. 2.1 показана структура модели фотодетектора вместе с
многочисленными источниками шумов. На структурной схеме показаны соответствующие операции, осуществляемые в модели: 1 – поступление числа US «сигнальных» фотоэлектронов; 2 – поступление
числа UB фотоэлектронов фонового излучения; 3 – суммирование
внешних излучений; 4 – поступление UD «темновых» фотоэлектронов; 5 – суммирование фотоэлектронов в фоточувствительном материале фотодетектора; 6 – поступление сигнальных фотоэлектронов
US вместе с фотоэлектронами дробового шума UН = UD + UB; 7 –
умножение на заряд электрона и усиление тока Gq/τ; 8 – сумма тока
сигнала iS = GqUS/τ и тока дробового шума iH = GqUH/τ; 9 – ток теплового шума iT; 10 – суммирование на нагрузочном сопротивлении;
11 – сумма тока сигнала iS и токов дробового и теплового шумов iH +
+ iT; 12 – последетекторный фильтр; 13 – электрический детектор.
3
64 6#
3
9
64 6)
J 4 J )
3
J 4 J ) J 5
J'
Рис. 2.1. Структура модели фотодетектора с источниками шумов
22
Выходной ток фотодетектора является суммой тока сигнала,
темнового тока и тока, обусловленного фоновым излучением. Тепловой шум комбинируется с током детектора в нагрузочном сопротивлении. Эта модель приемника непосредственно связана с
фотоэмиссионным детектором. Для фотовольтаического детектора
необходимо добавить дополнительный источник тепловых шумов,
определяемый резистивными элементами в детекторе (этот дополнительный источник шумов следует поместить в месте суммирования на фоточувствительном материале детектора).
2.2. Плотность распределения вероятности сигнала
на выходе фотодетектора
Согласно модели фотодетектора, показанной на рис. 2.1, фотоэлектроны, обусловленные полезным сигналом, фоном и темновым
током, комбинируют в месте суммирования на фоточувствительном материале детектора.
Как следует из выражения (1.14), статистическое распределение
числа «темновых» фотоэлектронов подчиняется закону Пуассона:
k
exp(−µ D,τ )
(2.1)
,
k!
где μD,τ – среднее число темновых фотоэлектронов за период τ.
Статистические распределения фотоэлектронов, обусловленных
сигналом лазера и излучением фона, как показано во второй части,
приблизительно могут быть аппроксимированы также распределением Пуассона. Это допущение справедливо в условиях слабой
интенсивности входного сигнала; такие условия встречаются в лазерных системах связи. Таким образом, при слабой интенсивности
лазерного и фонового излучений распределения вероятностей числа фотоэлектронов (сигнальных и «фоновых») имеют вид:
P (UD,τ = k)=
(µ D,τ )
k
P (US,τ = k)=
(µ S,τ )
exp(−µ S,τ )
,
k!
(2.2)
k
exp(−µ B,τ )
(2.3)
,
k!
где µ S,τ и µ B,τ – средние числа фотоэлектронов, обусловленных лазерным и фоновым излучениями соответственно, за период τ.
P (UB,τ = k)=
(µ B,τ )
23
Потоки фотоэлектронов, обусловленных фоновым излучением,
лазерным излучением и темновым током, являются статистически
независимыми процессами. Поэтому суммарный поток, являющийся результатом действия на фотодетектор выше указанных трех источников, характеризуется распределением Пуассона, математическое ожидание которого является суммой математических ожиданий (приложение 1) составляющих процессов. Это обусловлено
свойством аддитивности пуассоновских распределений, заключающимся в том, что результирующий поток событий является пуассоновским, если составляющие потоки являются пуассоновскими.
Таким образом, если лазерное и фоновое излучения поступают на
поверхность фотодетектора и в цепи фотодетектора протекает темновой ток, то распределение фотоэлектронов имеет вид
k
P (US,τ + UH,τ = k)=
(µ S,τ + µ H,τ )
exp {−(µ S,τ + µ H,τ )}
, (2.4)
k!
где µ H,τ = µ B,τ + µ D,τ .
Соответствующее распределение при отсутствии лазерного излучения имеет вид
k
exp(−µ H,τ )
(2.5)
.
k!
Распределение смеси сигнала и дробового шума и только дробового шума, выраженные через токи детектора, соответственно равны:
P (UH,τ = k)=
(µ H,τ )
k

kGq  (µ S,τ + µ H,τ ) exp {−(µ S,τ + µ H,τ )}
P iS,τ + iH,τ =
(2.6)
=

k!
τ 
и
k

kGq  (µ H,τ ) exp(−µ H,τ )
P iH,τ =
.
=

k!
τ 
(2.7)
Тепловые шумы, аддитивно суммирующиеся на выходе детектора, имеют гауссовское распределение значений тока с нулевым
средним и с дисперсией, пропорциональной полной мощности теплового шума. Плотность вероятности значений тока теплового
шума
24
(
P (iT ) = 2πσ2i
T
−1 2
)

 i2
exp− T2
 2σ
iT



, 

(2.8)
где σ2i = NТ/RL и NT – мощность теплового шума, измеренная на
T
нагрузочном сопротивлении RL.
В общем случае считается, что работа фотодетектора ограничена дробовыми шумами, если в детекторе используется фотоумножение с высоким коэффициентом умножения, в противном случае
считается, что работа ограничена тепловыми шумами. В первом
случае статистические распределения сигнала на выходе детектора описываются выражениями (2.4) и (2.5) или (2.6) и (2.7), В случае ограничения работы приемного устройства тепловыми шумами
для достижения требуемого большого отношения сигнал/шум интенсивность лазерного излучения должна быть увеличена до такого
уровня, чтобы можно было пренебречь темновым током и фоновым
излучением. Пpи большом уровне интенсивности лазерного излучения плотности вероятности значений тока сигнала может быть
аппроксимирована законом Гаусса:
2

 2πq2µ −1 2
 (iS − qµ S,τ τ) 

S,τ 
exp−
P (iS ) = 

. 2
2
2 



2
τ
q
µ
τ



S,τ

(2.9)
Плотность вероятности значений полного тока (сигнального и
теплового) есть сумма двух гауссовских плотностей и поэтому является гауссовской (приложение 2):
−1 2

2
 

q2µ S,τ 
(iP − qµ S,τ τ)
  2

P (iS + iT )= 2π σi +
exp−


2
2
2
  T
τ2 
 2 σiT + q µ S,τ τ


(

.
(2.10)


)
В ряде случаев дисперсия теплового шума σ2i является преобT
ладающей по сравнению с дисперсией сигнала (q2 τ2 ) µ S,τ . В этих
условиях плотность вероятности значений тока фотодетектора при
ограничении тепловыми шумами
2

−1 2
 (iP − qµ S,τ τ) 
2 

P (iS + iT ) = 2πσ i 
exp−
. T 


2σ2i


T
(2.11)
25
2.3. Плотность вероятности сигнала
на выходе фильтра фотодетектора
Полный ток фотодетектора ip на входе последетекторного фильтра слагается из тока сигнала и тока дробового шума, характеризуемых статистикой Пауссона (при условии ограничения дробовыми
шумами). При ограничении тепловыми шумами полный ток слагается из тока сигнала и тока теплового шума с гауссовским распределением. Рассмотрим влияние последетекторной фильтрации
в каждом из этих случаев.
Детектирование в условиях ограничения дробовыми шумами.
Гильберт и Поллак разработали метод определения распределения
вероятностей значений пуассоновского процесса после линейной
фильтрации. Если полный ток детектора слагается из потока импульсов электронного заряда q (характеризуемых пуассоновским
распределением и постоянной средней скоростью nq зарядов в секунду), то выходной ток последетекторного фильтра с импульсной
передаточной функцией h(t)
k
iF = ∑ qh (t − tj ). (2.12)
j=1
Тогда плотность вероятностей значений тока является решением интегрального уравнения
∞
P (iF ) = nq ∫
0
d
{P iF − qh(t) qh(t)}dt. diF
(2.13)
На рис. 2.2 показаны импульсные передаточные функции нескольких типов фильтров, для которых решение интегрального
уравнения получено в явном виде. В случае прямоугольной импульсной передаточной функции фотоэлектроны, эмиттируемые
фотодетектором, просто подсчитываются в течение фиксированного интервала времени; распределения вероятностей значений выходного сигнала фильтра даются уравнениями (2.4) и (2.5). С другой стороны, прямоугольная импульсная передаточная функция
может рассматриваться как характеристика идеальной интегрирующей цепи, которая интегрирует ток детектора в течение τ секунд,
а затем разряжается для следующего интервала решения. При такой интерпретации распределения вероятностей значений тока детектора определяются уравнениями (2.6) и (2.7).
26
¸
IU
U
U
U
U
¹
IU
º
IU
»
IU
Рис. 2.2. Импульсные передаточные функции
последетекторных фильтров:
a) h(t) = 1; б) h(t) = exp(–t); в) h(t) = 1 – t; г) h(t) = exp(–t) sin ωmt
На рис. 2.3, 2.4 и 2.5 показаны распределения вероятностей значений тока для других импульсных передаточных функций, приведенных на рис. 2.2. На рисунках nq обозначено среднее число электронов, поступающих на вход фильтра в секунду (q = 1,6.10–19 к –
заряд электрона). Все распределения нормализованы к временной
шкале в одну секунду. Они могут быть отнесены к интервалу решения τ секунд указанием того, что пq есть среднее число эмиттированных электронов за период τ и умножением горизонтальной оси
на 1/τ.
Из рисунков видно, что при десяти или более электронах на
интервал решения распределения приближаются к гауссовским
распределениям (для передаточных функций низкочастотных
фильтров рис. 2.2, б, в). Распределение выходного сигнала полосового фильтра (рис. 2.2, г) приближается к гауссовскому еще
быстрее.
Детектирование в условиях ограничения тепловыми шумами.
Известно, что гауссовские шумы, пройдя линейный фильтр, сохраняют первоначальную плотность распределения вероятностей, т. е.
27
OR ¨ÄÇËÆÇÊËÕ»¾ÉÇØËÆÇÊËÁ 1J' OR OR Oq YR
«ÇÃƹ»ÔÎǽ¾ÍÁÄÕËɹÍÇËǽ¾Ë¾ÃËÇɹ J' "
Рис. 2.3. Плотность вероятности значений тока на выходе
последетекторного фильтра с импульсной
передаточной функцией h(t) = exp(–t)
¨ÄÇËÆÇÊËÕ»¾ÉÇØËÆÇÊËÁ 1J' OR OR OR Oq YR
«ÇÃƹ»ÔÎǽ¾ÍÁÄÕËɹÍÇËǽ¾Ë¾ÃËÇɹ J'"
Рис. 2.4. Плотность вероятности значений тока
на выходе последетекторного фильтра с импульсной
передаточной функцией h(t) = 1– t
28
¨ÄÇËÆÇÊËÕ»¾ÉÇØËÆÇÊËÁ 1 J ' OR YR
«ÇÃƹ»ÔÎǽ¾ÍÁÄÕËɹÍÇËǽ¾Ë¾ÃËÇɹ J '" Рис. 2.5. Плотность вероятности значений тока
на выходе последетекторного фильтра с импульсной
передаточной функцией h(t) = exp(–t) sin ωmt
она остается гауссовской. Если ток iG, амплитуда которого распределена по закону Гаусса, пропускается через линейный фильтр с
импульсной передаточной функцией h(t), то среднее значение M[iF]
и автокорреляционная функция Ri (γ) выходного тока iF определяF
ются соответственно формулами (приложение 2):
∞
M[iF] = M[iG]
∫
h (t)dt (2.14)
−∞
и
∞ ∞
RiF (γ ) =
∫ ∫
−∞−∞
h(α )h(β)RiG (γ + β − α )dα dβ, (2.15)
где M[iG] и Ri (γ) соответственно среднее значение и автокорреляG
ционная функция тока iG.
29
Для входного белого шума уравнение (2.15) сводится к выражению
RiF (γ ) = σ2i
G
∞
∫
h (α )h (α − γ )dα , (2.16)
−∞
и дисперсия тока на выходе фильтра
σ2i = RiF (0) = σ2i
F
G
∞
∫
h2 (α )dα , (2.17)
−∞
где σ2i – дисперсия тока iG.
G
Таким образом, поскольку ток на выходе фильтра фотодетектора характеризуется распределением Гаусса (при детектировании с
ограничением тепловыми шумами), для исчерпывающего описания тока достаточно знать математическое ожидание и дисперсию
[выражения (2.14) и (2.17)].
2.4. Пороговое детектирование одним детектором
В ряде оптических приемных систем решение о наличии сигнала принимается, если выходной сигнал фотодетектора превышает
некоторый заранее установленный порог решения. Оптимальный
выбор порога определяется согласно теории решений отношением
правдоподобия. Это пороговое значение является оптимальным в
смысле минимума вероятности ошибки приема. Ниже обсуждается выбор порога в соответствии с отношением правдоподобия для
способов детектирования в условиях ограничения дробовыми и тепловыми шумами. При ограничении дробовыми шумами предполагается, что последетекторный фильтр обладает идеальной передаточной функцией интегратора (рис. 2.2,а), следовательно, в течение интервала решения τ осуществляется счет фотоэлектронов.
В условиях ограничения тепловыми шумами предполагается, что
фильтр обладает единичным коэффициентом пропускания в полосе
от –В0 до +В0, Герц.
Детектирование в условиях ограничения дробовыми шумами. В соответствии с правилом решения, найденным на основе отношения правдоподобия, сигнал присутствует в принятом излучении, если
30
P (US,τ + UH,τ = k)
P (UH,τ = k)
=




k

 (µ S,τ + µ H,τ ) exp −(µ S,τ + µ H,τ ) 
 k!


1 − P (S) 



, (2.18)
=
≥
k


P
S
(
)
(µ H,τ ) exp(−µ H,τ ) k !


где P (US,τ + UH,τ = k) и P (UH,τ = k) условные вероятности эмиссии k фотоэлектронов для сигнала плюс дробовый шум и для шума
соответственно; P(S) – априорная вероятность посылки сигнала. Из
уравнения (2.18) легко находится пороговое значение
 1 − P (S)

µ S,τ + ln 

 P (S) 

(2.19)
kT =
.
ln (1 + µ S,τ µ H,τ )
Пороговое значение в общем случае не является целым числом.
На практике при выборе действительного значения порога kD необходимо выбирать ближайшее к kT целое число в сторону увеличения. На рис. 2.6 и 2.7 приведена зависимость порогового значения
¨ÇÉǼǻÔÂÌÉÇ»¾ÆÕ L 5
M)# M)# M)# M)# ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
ƹ½»ÇÁÐÆÌ×¾½ÁÆÁÏÌ M4#
Рис. 2.6. Пороговый уровень для КИМ-ИМ лазерной системы связи,
работающей в условиях ограничения дробовыми шумами P(S) = 1/2
( µ H,B – среднее число фотоэлектронов, определяемых фоновым
излучением и темновым током, приходящихся на двоичную единицу)
31
M ) 1 ¨ÇÉǼǻÔÂÌÉÇ»¾ÆÕ L5
M ) 1 M ) 1 M ) 1 M ) 1 M ) 1 ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎ M 4 1
ÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
Рис. 2.7. Пороговый уровень для ПИМ-ИМ лазерной системы связи,
работающей в условиях ограничения дробовыми шумами, P(S) = 1/32
( µ H,P – среднее число фотоэлектронов, определяемых фоновым
излучением и темновым током, приходящихся на отсчет)
в функции среднего числа «сигнальных» и «шумовых» фотоэлектронов для систем связи с КИМ-ИМ и ПИМ-ИМ.
Временной интервал, в течение которого осуществляется решение, характеризуется следующими вероятностями: вероятностью
того, что пороговый уровень kD будет превышен смесью сигнала и
дробового шума PS,N; вероятностью того, что пороговый уровень
будет превышен шумом PN.
При ограничении приема дробовыми шумами указанные вероятности:
и
32
PS,N =
∞
∑
k=kD
k
(µ S,τ + µ H,τ )
exp {−(µ S,τ + µ H,τ )}
k!
(2.20)
∞
∑
PN =
k
(µ H,τ )
k=kD
exp(−µ H,τ )
.
k!
(2.21)
Детектирование в условиях ограничения тепловыми шумами. В соответствии с отношением правдоподобия считается, что
сигнал присутствует, если
2

−1 2
 (iF − qµ S,τ τ) 
2
2πσi
exp−

T


2σ2i
P (iF / S)

 1 − P (S) (2.22)
T
,
=
≥

P (S)
P (iF / S )
2 
−1 2

i
F 
2πσ2i
exp−

2 
T
2
σ
iT 

(
)
(
)
где P (iF / S) и P (iF / S ) – условные плотности вероятностей значений фильтрованного тока детектора, когда лазерный сигнал соответственно присутствует или отсутствует на входе. Пороговое значение тока iF, обозначенное iF
′:
σ2i
 1 − P (S)
q
T
. iF′ = µ S,τ +
ln 
2τ
(q τ)µ S,τ  P(S) 
(2.23)
На рис. 2.8 и 2.9 приведены графики значений порогового тока
для лазерных систем связи с КИМ-ИМ и ПИМ-ИМ.
¨ÇÉǼǻÔÂÌÉÇ»¾ÆÕËÇùJ'ÅÙ
s
5# ʾÃ
s ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎ
ÍÇËÇÖľÃËÉÇÆǻƹ½»ÇÁÐÆÌ×¾½ÁÆÁÏÌ M 4#
Рис. 2.8. Пороговый уровень для КИМ-ИМ лазерной системы связи,
работающей в условиях ограничения тепловыми шумами, P(S) = 1/2
33
¨ÇÉǼǻÔÂÌÉÇ»¾ÆÕËÇù J'' ™
s
s
s
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎ
ÍÇËÇÖľÃËÉÇÆǻƹÇËÊÐ¾Ë M 41
Рис. 2.9. Пороговый уровень для ПИМ-ИМ лазерной системы связи,
работающей в условиях ограничения тепловыми шумами, P(S) = 1/32
Соответствующие вероятности приема при ограничении тепловыми шумами:
∞
PSN = ∫
iF′
(
2πσ2i
T
−1 2
)
2

 (iF − qµ S,τ τ) 
exp−
 diF 

2σ2i


T
(2.24)
и
∞
PN = ∫
iF′
(
2πσ2i
T
−1 2
)

 i2
exp− F
 2σ2
iT



 diF . 

(2.25)
2.5. Пороговое детектирование с двумя фотодетекторами
Другой важный метод детектирования основан на решении,
которое осуществляется с помощью двух фотодетекторов. Решение состоит в выборе – какой из двух фотодетекторов имеет максимальный выходной сигнал при наличии излучения лазера лишь
на входе одного из них. Простейший способ сравнения выходных
сигналов фотодетекторов заключается в формировании разностно34
¤¹À¾ÉÆǾÁÍÇÆǻǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
­ÇËÇ
½¾Ë¾ÃËÇÉ
9
:
­ÇÆǻǾÁÀÄÌоÆÁ¾
©¹ÀÆÇÊËÆÔ ;
ÌÊÁÄÁ˾ÄÕ
¨ÇÉǼǻǾ
ɾѹ×Ò¾¾
ÌÊËÉÇÂÊË»Ç
­ÇËÇ
½¾Ë¾ÃËÇÉ
Рис. 2.10. Схема решения с двумя фотодетекторами
го сигнала и в сравнении амплитуды полученного сигнала с заранее
установленным пороговым уровнем. В рассматриваемом случае в
силу симметрии схемы приема (рис. 2.10) пороговый уровень является нулевым.
Детектирование в условиях ограничения дробовыми шумами. Предположим, что излучение лазера целиком попадает на фотодетектор X (рис. 2.10). Распределения вероятностей числа фотоэлектронов на выходе фотодетекторов:
k
P (UX,τ = k)=
(µ S,τ + µ H,τ,R )
exp {−(µ S,τ + µ H,τ,R )}
, (2.26)
k!
k
P (UY,τ = k)=
(µ H,τ,L )
exp(−µ H,τ,L )
,
k!
(2.27)
где µ H,τ,R и µ H,τ,L – средние числа фотоэлектронов дробового
шума, эмиттируемых Х- и Y-детекторами за период τ. Из приложения 2 следует, что распределение вероятностей разностного сигнала (разность сигналов на выходе двух фотодетекторов) может быть
записано с помощью модифицированной функции Бесселя j-го порядка, Ij [•], т. е.

−k 2
µ H,τ,L

P (UZ,τ = k)= exp {−(µ S,τ + 2µ H,τ )}
×

 µ S,τ + µ H,τ,R 


×I k 2· µ H,τ,L (µ S,τ + µ H,τ,R ) ,


(2.28)
где 2µ H,τ = µ H,τ,R + µ H,τ,L .
35
Определение факта, на какой из фотодетекторов (X или Y) попадает лазерное излучение, осуществляется в пороговом устройстве
на основе сравнения величины k с пороговым значением. В данном
случае, поскольку порог нулевой, двуальтернативное решение осуществляется в зависимости от того, каким является k – отрицательным или положительным. Значение порога kТ находится при
решении следующего уравнения:

−kT
µ H,τ,L


exp {−(µ S,τ + 2µ H,τ )} 

µ
µ
+
H,τ,R 
 S,τ
2
 µ S,τ + µ H,τ,L −kT 2

exp {−(µ S,τ + 2µ H,τ )} 

µ H,τ,R


I k 2 µ H,τ,L (µ S,τ + µ H,τ,R ) P (X )
T 
=
.
×

I k 2 µ H,τ,R (µ S,τ + µ H,τ,L ) P (Y )
T 

×
(2.29)
где P(X) и P(Y) – априорные вероятности того, что излучение лазера попадает соответственно на X и Y-детекторы.
Если допустить, что уровень дробовых шумов одинаков в каждом канале, т. е. µ H,τ,R = µ H,τ,L = µ H,τ , то пороговое значение
kT =
ln {P (Y ) P (X )}
.
ln (1 + µ S,τ µ H,τ )
(2.30)
Фактически пороговый уровень kD есть ближайшее в сторону
увеличения целое значение kT.
Детектирование в условиях ограничения тепловым шумом.
Если излучение лазера попадает только на Х-детектор, то плотность
вероятности сигналов на выходе Х- и Y-детекторов соответственно:
P (iX ) =
(
2πσ2i
TX
−1 2
)
2

 (iX − qµ S,τ τ) 
 exp−

2

σ
2

iTX

(2.31)
и
36
P (iY ) =
(
2πσ2i
TY
−1 2
)
 2
 −i
exp Y
 2σ2
 iTY

 .


(2.32)
Плотность вероятности разностного сигнала двух детекторов
описывается законом Гаусса, поскольку вычитание есть линейная
операция, следовательно,
P (iZ ) =
где σ2i = σ2i
T
TX
(
2πσ2i
T
−1 2
)
2

 (iZ − qµ S,τ τ) 
exp−
, 

2σ2i


T
(2.33)
+ σ2i .
TY
Пороговый ток iZ′ находится из отношения правдоподобия при
решении уравнения
(
2πσ2i
T
−1 2
)
2

 (iZ′ − qµ S,τ τ) 
exp−
×


2σ2i


T
−1

2 


′

−1 2
i
q
µ
τ
+


(
)
P (Y )

S,τ
 Z
exp−
.
× 2πσ2i
 =
2

T


P (X )
2σi



T

(
)
(2.34)
Значение порогового тока
iZ′ =
σ2i
 P (Y )
. ln 
qµ S,τ τ  P (X )
T
(2.35)
37
3. ПРИЕМНЫЕ УСТРОЙСТВА
СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
3.1. Приемное устройство прямого детектирования
В приемном устройстве прямого детектирования, показанном
в виде структурной схемы на рис. 3.1, полезный сигнал и фоновое излучение проходят через оптический полосовой фильтр и затем попадают на поверхность фотодетектора. Дробовой шум пропорционален среднему току детектора, обусловленному сигналом,
фоновым излучением и темновым током, генерируемым внутри
детектора. Эти шумы складываются с тепловыми шумами на выходе приемника. Полоса частот информационного сигнала выделяется из дробовых и тепловых шумов низкочастотным выходным
фильтром.
Мощность сигнала. Принимаемый немодулированный сигнал
несущей частоты характеризуется мгновенной интенсивностью
C (t)= AC2 cos2 ω C t, (3.1)
где АC – амплитуда колебания несущей частоты и fC = ωC /2p – частота несущей.
¨ÇÄÇʹ
ÈÉÇÈÌÊùÆÁØ
¤¹À¾ÉÆǾ
#J
ÁÀÄÌоÆÁ¾ §ÈËÁо
§ÈËÁ
ÊÃÁÂ
оÊÃÁÂ
»ÎǽÆÇ ½¾Ë¾Ã
ËÇÉ
­ÇÆǻǾ ÍÁÄÕËÉ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
¸
¬ÊÁ
ÄÁ˾ÄÕ
¦¹¼ÉÌÀù ¶Ä¾ÃËÉÁ
оÊÃÁÂ
ÇÈËÁо
ÊÃǼÇÈÉÁ »ÔÎǽÆÇÂ
ÍÁÄÕËÉ
¾ÅÆÁù
›ÔÎǽ
ÈÉÁ¾Å
ÆÁù
¹
J1
¬ÊÁÄÁ
˾ÄÕÊ
ÃÇÖÍÍÁ
ÏÁ¾ÆËÇÅ
ÌÊÁľÆÁØ
(
3-
¦ÁÀÃÇйÊ
ËÇËÆÔÂ
ÍÁÄÕËÉ
W4
#
Рис. 3.1. Структурная схема оптического приемного устройства
прямого детектирования:
а) структурная схема; б) эквивалентная схема
38
Средняя мощность несущего колебания на поверхности фотодетектора может быть получена усреднением колебания по времени
за несколько циклов несущей частоты:
1
(3.2)
PC = M  C (t) = AC2 . 2
Поскольку оптическое излучение не модулировано, мгновенное
значение тока фотодетектора iP и средний ток фотодетектора IР
одинаковы. Тогда можно записать
iP = IР = DPC,
(3.3)
где D – коэффициент преобразования интенсивности излучения в
ηq
ток D =
.
hfC
Мгновенное значение напряжения сигнала на выходе приемника
vS = G iP RL = GDPC RL,
(3.4)
где G – усиление фотодетектора по току и RL – нагрузочное сопротивление оптического приемника.
Средняя мощность сигнала на выходе приемника может быть
найдена усреднением по времени величины vS2 за период времени,
сравнимый с обратной величиной полосы пропускания выходного
фильтра В0. Таким образом, мощность сигнала при немодулированной несущей выражается в виде
S = vS2/RL = (GDPC)2 RL.
(3.5)
Это значение мощности сигнала является пиковым значением, так как при любой модуляции по интенсивности имеет место
уменьшение интенсивности несущей. Как будет показано ниже,
если несущая частота промодулирована по интенсивности со 100%ной глубиной синусоидальным сигналом, мощность сигнала равна
1/8 значения даваемого уравнением (3.5).
Мощность шума. Если выходной фильтр является низкочастотным фильтром с единичным коэффициентом передачи в частотном диапазоне от –В0 до В0, Гц, и нулевым коэффициентом
передачи в других частотных диапазонах, то мощность дробовых
шумов выражается формулой Шоттки (см. табл. 1.1):
NH = 2G2q(IP + IB + ID) В0 RL,
(3.6)
где ID – средний темновой ток детектора; IB – средний ток детектора, обусловленный присутствием фонового излучения и связанный
с мощностью фонового излучения PB выражением
39
IB = DPB.
(3.7)
Если перед детектором установлен поляризатор, мощность PB
уменьшается в два раза. При этом несущая будет соответствующим
образом поляризована.
Согласно формуле Джонсона (табл. 1.1) мощность тепловых шумов
NT = 4kTВ0.
(3.8)
На рис. 3.2 показаны спектры сигнала и шума в оптическом
приемнике прямого детектирования при произвольном спектре
мощности сигнала.
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÁÆÍÇÉŹÏÁÇÆÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
G$
G
G$
G
G$
G
#
¡Æ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÕ
ƾÊÌÒ¾Â
ªÈ¾ÃËɹÄÕÆǾ
ɹÊÈɾ½¾Ä¾ÆÁ¾
ÁÆ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÁ
ÍÇÆǻǼÇ
ÁÀÄÌоÆÁØ
#J
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
»ÔÎǽÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
½ÉǺǻÔÎÑÌÅÇ»
ƹ»ÔÎǽ¾ ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
˾ÈÄÇ»ÔÎÑÌÅÇ»
ƹ»ÔÎǽ¾ #
G$
G
#
G$
G
# G$
G
Рис. 3.2. Спектры сигнала и шума в оптическом приемном устройстве
прямого детектирования
40
Отношение сигнал/шум. Общим критерием качества (эффективности) в теории связи является отношение сигнал/шум, определяемое отношением средней мощности сигнала к средней мощности шума в некотором сечении структурной схемы приемника (это
отношение будем обозначать S/N). Для систем оптической связи
этот критерий является не вполне удовлетворительным, так как
шумы детектора зависят от мощности несущей. Ранее были рассмотрены случаи, когда высокое отношение сигнал/шум в системе не
гарантирует низкой вероятности ошибки при приеме. Однако критерий отношения сигнал/шум может быть весьма полезным, если
наложены ограничения на относительные мощности излучения несущей и фона, поступающих в приемник.
Отношение сигнал/шум на входе детектора связного приемника
(фотодетектор для оптического приемника) является отношением
мощности несущей к шуму (т. е. это отношение сигнал/шум по несущей, которое будем обозначать C/N). В системах свч-диапазона
шумы на входе первого детектора обычно складываются из тепловых шумов антенны и предварительного усилителя.
Оптические приемники имеют существенное преимущество по
сравнению с радиоприемниками, заключающееся в том, что оптические антенны не вносят тепловых шумов; в этом случае C/N сводится к отношению мощности оптического излучения РС к мощности фонового излучения РB
C PC
.
=
N PB
Отношение S/N может быть определено, как отношение средней
мощности сигнала (3.5) к мощности дробового и теплового шума
(3.6) и (3.8) соответственно. Таким образом, отношение сигнал/
шум на выходе приемника, выраженное через среднюю мощность
несущей и мощность фонового излучения, поступающего на вход
фотодетектора, имеет вид
S
=
N
 G ηq  2

 R P2
 hfC  L C


 ηq

2qB0 G2 
PC + PB )+ ID  RL + 4kTB0
(
 hfC



.
(3.9)
Если усиление фотодетектора равно единице, то тепловой шум
обычно много больше дробового и отношение сигнал/шум
41
2
S  ηq  RL PC2

=
.
N  hfC  4kTB0
(3.10)
С другой стороны, при большом G уровень дробовых шумов является высоким и отношение сигнал/шум сводится к выражению
2
S  η 

=
N  hfC 
qPC2
.
(3.11)
 ηq



2B0
(P + PB )+ ID 
 hfC C


Для случая, когда темповым током можно пренебречь (например, используется устройство охлаждения детектора), S/N может
быть выражено через C/N, т. е.

PC
S
η 
. =




N 2hfC B0 1 + 1 / C / N 
(3.12)
Приемник прямого детектирования обеспечивает максимальное
отношение сигнал/шум S/N, когда фоновое излучение равно нулю
или, что эквивалентно, когда C/N бесконечно велико (этот режим
является режимом работы приемника при ограничении дробовыми
шумами несущей). В этом случае
ηPC
S
.
=
(3.13)
N 2hfC B0
Выражение (3.13) соответствует предельной возможности оптического приемника с прямым детектированием, когда шумы определяются лишь неопределенностью числа сигнальных фотоэлектронов, эмиттируемых детектором. Часто этот вид шумов называют квантовым (фотонным) шумом сигнала. Количественно интенсивность этого шума характеризуется дисперсией числа фотонов,
выпадающих на временном интервале.
3.2. Приемное устройство прямого детектирования
на поднесущей частоте
В оптических системах связи с прямым детектированием на
поднесущей оптическая несущая модулируется по интенсивности
высокочастотным сигналом поднесущей. В свою очередь, сигнал
поднесущей модулируется информационным сигналом.
42
¸
¤¹À¾ÉÆǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
›ÔÎǽ
ÈÉÁ¾ÅÆÁù
­ÇÆǻǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
¹
J1
¬ÊÁÄÁ
˾ÄÕÊ
ÃÇÖÍÍÁ
ÏÁ¾ÆËÇÅ
ÌÊÁľÆÁØ
(
¨ÇÄÇÊÇ»ÇÂ
ÍÁÄÕËÉ
#4$
3W4$
G
G4$
Рис. 3.3. Структурная схема оптического приемного устройства
прямого детектирования на поднесущей:
а) структурная схема; б) эквивалентная схема
1 – оптический входной фильтр; 2 – оптический детектор; 3 – усилитель;
4 – нагрузка оптического приемника; 5 – электрический фильтр поднесущей;
6 – электрический детектор; 7 – нагрузка электрического детектора;
8 – фильтр электрического детектора
На рис. 3.3 приведена структурная схема оптического приемника прямого детектирования на поднесущей.
Выходным сигналом оптического детектора является синусоидальное колебание поднесущей частоты в смеси с дробовыми шумами детектора. Этот сигнал затем фильтруется полосовым электрическим фильтром. Электрический детектор выделяет информационный сигнал из колебаний поднесущей частоты.
Мощность сигнала на поднесущей. Принимаемое приемником
лазерное излучение может быть записано в виде оптического колебания, модулированного синусоидальным колебанием поднесущей:
1
C (t) = 1 + ASC cos(ω SC t + Φ SC ) AC2 cos2 ω C t, (3.14)
2
ω
где ASC – амплитуда поднесущей (|ASC| ≤ 1); fSC = SC – частота под2π
несущей; ФSC – фаза поднесущей. Колебание поднесущей частоты
может быть модулировано по амплитуде, частоте и фазе. Мгновенное значение тока детектора
D
(3.15)
iP = DM  C (t) = AC2 1 + ASC cos(ω SC t + Φ SC ) . 4
Среднее значение тока или постоянная составляющая может
быть выражена через среднюю мощность немодулированной несущей РC, т. е.
43
IP = D M  C (t) =
D 2 DPC
.
AC =
4
2
(3.16)
Мгновенное значение напряжения сигнала на нагрузочном сопротивлении приемника RL после прохождения через полосовой
фильтр:
GDPC ASC RL
(3.17)
vSC =
cos(ω SC t + Φ SC ). 2
Эффективное значение мощности сигнала на поднесущей может
быть определено временным усреднением (по периоду поднесущей)
мгновенного значения мощности сигнала поднесущей с ее амплитудой, равной максимальному значению (ASC = 1), т. е.
2 
2 2 2
[S ]SC = M vSC
 RL = G D PC RL 8. 

(3.18)
Мощность шума на поднесущей. На выходе фильтра поднесущей мощность дробовых и тепловых шумов равна:
[NH ]SC =2qG2 (DPC 2 + DPB + ID )BSC RL (3.19)
[NT ]SC = 4kTBSC . (3.20)
и
На рис. 3.4 показаны спектры сигнала и шума на выходе фильтра поднесущей.
Отношение сигнал/шум на поднесущей. Отношение мощности
сигнала по поднесущей к мощности дробовых и тепловых шумов на
поднесущей определяет S/N на выходе фильтра поднесущей
S
  =
 N  SC
 ηq 2 2
G
 PC RL
 hf 
C
 ηq  PC



16G2q 
+ PB  + ID  BSC RL + 32kTBSC
 hfC  2




. (3.21)
Это отношение достигает своего максимального значения, когда
эффективность оптического приемника ограничена только дробовыми шумами сигнала, в этом случае
44
S
ηPÑ
  =
.
 N  SC 8hfC BSC
(3.22)
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÁÆÍÇÉŹÏÁÇÆÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
#
G
¡Æ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÕ
ƾÊÌÒ¾Â
ªÈ¾ÃËɹÄÕÆǾ
ɹÊÈɾ½¾Ä¾ÆÁ¾
ÁÆ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÁ
ÍÇÆǻǼÇ
ÁÀÄÌоÆÁØ
G$
G
G$
G
#J
ªÈ¾ÃËɹÄÕÆÔ¾
ÊÇÊ˹»ÄØ×ÒÁ¾
ËÇù½¾Ë¾ÃËÇɹ
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹Æ¹
ÈǽƾÊÌÒ¾Â
G4$
G
G4$
#4$ r #
G
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
½ÉǺǻǼÇÑÌŹ
ƹÈǽƾÊÌÒ¾Â
G4$
G
G4$
G
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
˾ÈÄǻǼÇÑÌŹƹ
ÈǽƾÊÌÒ¾Â
Рис. 3.4. Спектры сигнала и шума на поднесущей в оптическом
приемном устройстве с прямым детектированием на поднесущей
Детектирование на поднесущей частоте (второй детектор). Второй детектор (электрический детектор) необходим для
выделения информационного сигнала из напряжения поднесущей
частоты. Поскольку напряжение на выходе фильтра поднесущей
частоты линейно связано с колебанием поднесущей (3.17), соответствующую демодуляцию информационного сигнала может осуще45
ствить любой линейный AM-, ЧМ- или ФМ-приемник (если используется соответственно АМ-, ЧМ- или ФМ-модуляция).
Из рис. 2.5 видно, что дробовые шумы, прошедшие полосовой
фильтр, могут быть с большой степенью точности аппроксимированы распределением Гаусса. Тепловые шумы, как показано в параграфе 1.1, в нагрузочном сопротивлении оптического приемника на
выходе фильтра поднесущей также являются гауссовскими. Таким
образом, с достаточной для практики точностью, сигнал на выходе
фильтра поднесущей частоты может быть аппроксимирован синусоидальным колебанием поднесущей частоты в смеси с узкополосным гауссовским шумом.
При амплитудной модуляции сигнала поднесущей частоты в
качестве второго детектора может быть использован синхронный
детектор или линейный детектор огибающей. Для случая, когда
сигналом на входе детектора является синусоидальное колебание
в смеси с узкополосным гауссовским шумом, синхронный детектор
обеспечивает выходное отношение сигнал/шум, вдвое большее отношения сигнал/шум на выходе фильтра поднесущей. При этих
же самых условиях, если отношение сигнал/шум на выходе фильтра поднесущей частоты достаточно велико, выходное отношение
сигнал/шум детектора огибающей также вдвое больше отношения
сигнал/шум на выходе фильтра поднесущей. Таким образом, для
случая использования синхронного детектора или детектора огибающей при большом [S/N]SС отношение сигнал/шум на выходе
приемника
S
S
(3.23)
= 2  .
 N  SN
N
Доплеровское смещение несущей частоты не приводит к сдвигу поднесущей частоты на выходе детектора. Это объясняется тем,
что выходная цепь фотодетектора не чувствительна к изменениям
оптической несущей частоты в пределах рабочего диапазона детектора. Доплеровский сдвиг поднесущей меньше доплеровского сдвига несущей в число раз, равное отношению номинального значения
частоты несущей к значению частоты поднесущей, поэтому во многих случаях доплеровский сдвиг на поднесущей пренебрежимо
мал. Следовательно, если генератор поднесущей передатчика относительно стабилен, то полоса фильтра поднесущей BSС может быть
равной удвоенному значению полосы выходного фильтра электрического детектора В0. При BSС = 2В0, амплитудной модуляции и
46
ограничении дробовыми шумами сигнала отношение сигнал/шум
на выходе
ηPÑ
S
.
=
(3.24)
N 8hfC B0
Сравнение этого выражения с (3.13) показывает, что отношение
сигнал/шум для приемного устройства с поднесущей в 4 раза меньше отношения сигнал/шум, которое получается с помощью приемника прямого детектирования и прямой модуляции несущей. Если
колебание поднесущей частоты промодулировано по частоте, то в
качестве второго детектора может быть использован радиочастотный приемник с ограничителем и дискриминатором. Известно, что
ширина полосы фильтра поднесущей при ЧМ
BSC = 2fd (1 + 1 M×Ì ), (3.25)
где fd – девиация частоты; МЧМ – индекс частотной модуляции.
Как показано в [6], при большом отношении сигнал/шум на выходе фильтра поднесущей, приеме синусоиды в узкополосном гауссовском шуме и применении приемника с ограничителем и дискриминатором отношение сигнал/шум на выходе
S
2 B S
= 3(M×Ì ) SC   . N
2B0  N SC
(3.26)
Таким образом, при частотной модуляции поднесущей и при
учете лишь дробовых шумов сигнала отношение сигнал/шум на
выходе приемника выражается в виде
3
S
2 ηPÑ
= (M×Ì )
.
N 16
hfC B0
(3.27)
3.3. Гетеродинное приемное устройство
В оптическом приемнике с гетеродинированием (рис. 3.5) входное лазерное излучение комбинируется на фоточувствительной поверхности с опорным излучением местного генератора.
При оптическом смешении входного сигнала и колебания местного генератора выделяется колебание промежуточной или разностной частоты. Сигнал промежуточной частоты сохраняет мо47
¸
¤¹À¾ÉÆǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
©¹ÊÒ¾ÈÁ˾ÄÕÄÌй
­ÇÆǻǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
G
GsG$
›ÔÎǽ
ÈÉÁ¾ÅÆÁù
¹
J1
¬ÊÁÄÁ
˾ÄÕÊ
ÃÇÖÍÍÁ
ÏÁ¾ÆËÇÅ
ÌÊÁľÆÁØ
(
3
-
¨ÇÄÇÊÇ»ÇÂ
ÍÁÄÕËÉ
#*'
G*'
W*'
G
Рис. 3.5. Структурная схема оптического гетеродинного
приемного устройства: а) структурная схема; б) эквивалентная схема
1 – оптический входной фильтр с полосой пропускания Вi; 2 – оптический
детектор; 3 – усилитель; 4 – нагрузка оптического приемника; 5 – фильтр
промежуточной частоты; 6 – электрический детектор; 7 – нагрузка
электрического приемника; 8 – выходной электрический фильтр; 9 – устройство
управления частотой местного гетеродина; 10 – лазерный местный гетеродин
дуляцию входного лазерного сигнала. После прохождения через
полосовой фильтр электрический сигнал поступает на второй детектор, где и выделяется полезная информация. Значение разностной частоты поддерживается постоянным на входе второго детектора путем управления частотой местного генератора. Контроль
частоты местного генератора необходим для компенсации уходов
и нестабильности частоты входного лазерного сигнала, кроме того,
управление частотой необходимо для компенсации доплеровских
сдвигов в случае космической связи.
Главными преимуществами гетеродинного метода приема являются относительная легкость усиления на промежуточной частоте
и тот факт, что выбором значительной мощности местного генератора можно подавить как тепловые шумы, так «дробовые» шумы,
вызываемые любыми источниками шума, кроме местного генератора. Последнее обстоятельство позволяет существенно улучшить
отношение сигнал/шум.
Мощность сигнала промежуточной частоты. На рис. 3.6 показана схема пространственного комбинирования плоской волны
местного генератора и сколлимированного оптической антенной
48
Y
9
E
Рис. 3.6. Пространственное распределение световых пучков
в оптической приемной антенне коллимационного типа:
1 – фронт волны излучения местного гетеродина; 2 – фронт волны
сигнального излучения; 3 – поверхность фотодетектора
приемника волны лазерного излучения. Для упрощения последующих выкладок поверхность фотодетектора примем квадратной со
стороной квадрата d. Кроме того, предположим, что лазерный пучок отклонен на угол ψ лишь по одной координате.
Амплитуда электрической составляющей лазерного излучения

ω x
E(t)= AC cosω C t + Φ C − C . 
vx 
(3.28)
1
Средняя мощность сигнала PC = AC2 .
2
Амплитуда электрического поля местного генератора
L(t) = A0 cos(ω0t + Φ0 ). (3.29)
1 2
A0 .
2
В выражении (3.28) vx означает скорость перемещения волны
входного лазерного излучения вдоль поверхности фотодетектора.
На поверхности фотодетектора получается комбинация мгновенных амплитуд сигнального и гетеродинного излучений. Поэтому
мгновенное значение интенсивности результирующего излучения
на входе детектора
Средняя мощность излучения местного гетеродина P0 =
49
2
C (t) =  E(t)+ L(t) =

2

ω C x 


 + A0 cos(ω0t + Φ0 ) . =  AC cosω C t + Φ C −


vx 


(3.30)
Мгновенное значение тока на выходе фотодетектора может быть
найдено временным усреднением и пространственным интегрированием интенсивности света по поверхности фотодетектора:
d2 d2


ω x
D
iP (t) = 2 ∫ ∫  AC2 cos2 ω C t + Φ C − C  + A02 cos2 (ω0t + Φ0 )+
vx 

d −d 2 −d 2

ω x
+ AÑ A0 cos (ω0 − ω C )t + (Φ0 − Φ C )+ C  +

vx 


ω x 
+ AÑ A0 cos (ω0 + ω C )t + (Φ0 + Φ C )− C dxdy.

vx 


(3.31)
Здесь горизонтальная черта над тригонометрическими функциями означает усреднение на коротком интервале времени, соответствующем времени интегрирования в фотодетекторе, как правило,
соизмеримом с периодом оптической частоты.
Среднее значение (или постоянная составляющая) тока фотодетектора при действии входного и гетеродинного сигналов
IP =
D 2
AC + A02 = D (PC + P0 ). 2
(
)
(3.32)
Фильтр промежуточной частоты, естественно, является интегратором-усреднителем. Поэтому составляющая разностной частоты
в (3.31) после усреднения за короткое время остается почти без изменений, в то время как другие составляющие фильтруются этим
фильтром. Тогда на выходе фильтра промежуточной частоты мгновенное значение напряжения сигнала промежуточной частоты
vIF (t) =
GDRL
d
2
d2 d2

AÑ A0 cos  (ω0 − ω C )t +


−d 2 −d 2
∫ ∫
+(Φ0 − Φ C )+
50
ω C x 
dxdy.
vx 
(3.33)
После интегрирования получим
vIF (t) = GDRL AÑ A0 cos (ω0 − ω C )t + (Φ0 − Φ C )
sin (ω C d 2vx )
. (3.34)
ω C d 2vx
Согласно рис. 3.6 скорость перемещения волны вдоль поверхности детектора
c
vx =
.
(3.35)
sin ψ
где с – скорость света. Следовательно, амплитуда напряжения промежуточной частоты зависит от угла между двумя световыми пучками ψ.
Для сохранения величины фазовой компенсации сигнала порядка 10% или менее за счет непараллельности лучей член ω C d 2vx
в уравнении (3.34) должен быть равным или менее 0,8 рад. Из этого
требования можно найти
λ
ψ ≤ .
(3.36)
4d
Например, при размере апертуры детектора 1 см и на длине волны 10–4 см угол непараллельности лучей ψ составляет величину
менее 25 мкрад (точность пространственной юстировки приемника
должна быть не хуже этой величины). Если вместо коллимирования лазерное излучение фокусируется с помощью фокусирующей
оптической антенны (рис. 3.7) в пятно, ограниченное дифракционным пределом, угол расхождения лучей определяется полем зрения приемника.
Q3
Рис. 3.7. Пространственное распределение световых пучков
в оптической приемной антенне фокусирующего типа:
1 – диаметр фотодетектора dP; 2 – диаметр фокусного пятна,
ограниченного дифракционным пределом dD; 3 – диаметр выпуклой линзы dR;
4 – пучок входного излучения; 5 – пучок излучения местного гетеродина
51
При такой конфигурации оптической системы луч местного гетеродина должен быть расходящимся, это обеспечивает равномерное освещение поверхности фотодетектора. Поле зрения приемника можно определить выражением
θR = 2,44λ
dP
,
dD dR
(3.37)
где dP – диаметр фотодетектора; dD – диаметр пятна, ограниченного дифракционным пределом; dR – диаметр антенны приемника.
В качестве иллюстрации приведем следующий числовой пример: если диаметр фотодетектора равен 1 см, диаметр оптической
антенны – 10 см, диаметр дифракционного пятна – 0,01 см, то на
длине волны 10–4 см поле зрения приемника составляет 2,5 млрад.
Применение приемной антенны фокусирующего типа по сравнению с антенной коллимирующего типа позволяет ослабить требования по нацеливанию антенны примерно в 100 раз.
Следует заметить, что при использовании антенны фокусирующего типа процесс фотосмешения происходит лишь в дифракционном пятне на фотоповерхности. Часть излучения местного гетеродина попадает на другие области чувствительной поверхности
детектора. Это приводит к дополнительному повышению уровня
дробовых шумов и, следовательно, к уменьшению отношения сигнал/шум. Однако этот недостаток можно устранить, используя
фотолампу с диссектором изображения. В этом приборе выходным
сигналом является фототок от фокального пятна.
Если световые пучки в приемном устройстве совмещены идеально, то мгновенное значение напряжения на выходе фильтра промежуточной частоты, отнесенное к нагрузочному сопротивлению
оптического приемника:
vIF (t) = GDRL AC A0 cos (ω0 − ω C )t + (Φ0 − Φ C ) . (3.38)
Эффективная мощность сигнала на выходе фильтра промежуточной частоты может быть найдена временным усреднением за
период промежуточной частоты мгновенной мощности сигнала на
промежуточной частоте. Таким образом, имеем
52
[S ]IF =
2
M vIF
(t)

 = 2G2 D2 R P P . L Ñ 0
RL
(3.39)
Мощность шума на промежуточной частоте. Мощность
дробовых и тепловых шумов на выходе фильтра промежуточной
частоты:
(3.40)
[NH ]IF = 2G2q  D PC + P0 + PB + ID  BIF RL 

и [NT]IF = 4kTBIF.
На рис. 3.8 приведены спектры сигнала и шума на выходе фильтра промежуточной частоты.
(
)
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÁÆÍÇÉŹÏÁÇÆÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
#0
¡Æ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÁ
ÁÀÄÌоÆÁÂ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹Á
žÊËÆǼÇ
¼¾Ë¾ÉǽÁƹ
G
G$
G
G
G$
G
G
¡Æ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÁ
ÍÇÆǻǼÇ
ÁÀÄÌоÆÁØ
#J
ªÈ¾ÃËɹÄÕÆÔ¾
ÊÇÊ˹»ÄØ×ÒÁ¾
ËÇù½¾Ë¾ÃËÇɹ
G s G$
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹Æ¹
ÈÉÇž¿ÌËÇÐÆÇÂ
йÊËÇ˾
G$
G
G$ G G$ G
G
G s G©
#*' r #
G
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
½ÉǺǻǼÇÑÌŹƹ
ÈÉÇž¿ÌËÇÐÆÇÂ
йÊËÇ˾
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
˾ÈÄǻǼÇÑÌŹƹ
ÈÉÇž¿ÌËÇÐÆÇÂ
йÊËÇ˾
G s G$
G
G s G$
G
Рис. 3.8. Спектры сигнала и шума по промежуточной частоте
в оптическом приемном устройстве гетеродинного типа
53
Отношение сигнал/шум по промежуточной частоте. Отношение сигнал/шум по промежуточной частоте
 G ηq  2

 PP R
 hfC  0 C L
S


  =
. (3.42)


 N  IF
q
η
2 
G q
(P + P0 + PB )+ ID  BIF RL + 2kTBIF
 hfC C


Если мощность излучения местного гетеродина велика, то
шумы, определяемые сигналом, фоном, темновым током, а также тепловые шумы могут быть исключены из выражения (3.42).
В этом случае уровень дробовых шумов сигнала местного гетеродина высок. Тогда отношение сигнал/шум становится
S
ηPC
  =
.
(3.43)
 N  IF hfC BIF
Сравнение последнего уравнения с уравнением (3.22) говорит
о том, что отношение сигнал/шум на входе второго детектора, по
крайней мере, в 8 раз выше для гетеродинной системы, чем для
системы прямого детектирования с поднесущей (при одинаковых
полосах фильтров). Если уровень тепловых шумов детектора или
уровень темнового тока высок, а также, если высок уровень мощности фонового излучения, преимущество гетеродинной системы
по критерию отношения сигнал/шум по сравнению с системой на
поднесущей становится даже больше.
Детектирование на промежуточной частоте (второй детектор). Для выделения информационного сигнала из сигнала
промежуточной частоты используется второй детектор. Поскольку
напряжение на выходе фильтра промежуточной частоты (3.33), линейно пропорционально амплитуде несущей АС, то при детектировании сигнала с амплитудной модуляцией несущей можно использовать линейный выпрямитель или синхронный детектор. Для
детектирования модулированной по интенсивности несущей соответствующую демодуляцию может осуществить квадратичный детектор. Для частотной модуляции может быть использован детектор с ограничителем и дискриминатором. При большой амплитуде
сигнала местного гетеродина статистика эмиссии детектора может
быть принята гауссовской.
Для линейного детектора огибающей при большом отношении
сигнал/шум по промежуточной частоте или для синхронного де54
тектора отношение сигнал/шум на выходе (при условии, что на
входе имеет место комбинация синусоидального колебания и узкополосного гауссовского шума)
S
S
= 2  .  N  IF
N
(3.44)
Принимая полосу пропускания фильтра промежуточной частоты ВIF = 2В0, выходное отношение сигнал/шум (для высокого
уровня излучения местного гетеродина)
ηPC
S
.
=
N hfC B0
(3.45)
Отсюда видно, что отношение сигнал/шум в 8 раз больше отношения сигнал/шум для AM-системы с поднесущей при ограничении дробовым шумом сигнала.
Если на вход квадратичного детектора подается синусоидальное
колебание в смеси с узкополосным гауссовским шумом, выходное
отношение сигнал/шум
S 1 S
=   ,
N 2  N  IF
(3.46)
которое для высокого уровня мощности излучения местного гетеродина и при ВIF = 2В0 становится равным
ηPC
S
.
=
N 4hfC B0
(3.47)
Из сравнения этого выражения с уравнением (3.13) видно, что
при модуляции по интенсивности отношение сигнал/шум приемника с гетеродинным детектированием равно 1/2 от отношения
сигнал/шум для приемника с прямым детектированием (при ограничении дробовым шумом сигнала). Приемник с ограничителемдискриминатором характеризуется отношением сигнал/шум на
выходе
S
2B
= 3(M×Ì ) IF
N
2B0
S
  .
 N  IF
(3.48)
Если уровень мощности сигнала местного гетеродина высок, то
отношение сигнал/шум имеет вид
55
S 3
2 ηPC
.
= (M×Ì )
N 2
hfC B0
(3.49)
При частотной модуляции отношение сигнал/шум для гетеродинного приемника в 8 раз больше, чем отношение сигнал/шум
приемника прямого детектирования с поднесущей (при условии
ограничения дробовыми шумами сигнала).
При сравнении отношения сигнал/шум на выходе второго детектора гетеродинного приемника с выходным отношением сигнал/
шум приемника прямого детектирования необходимо рассматривать отношение BIF/B0 и все виды шумов, кроме дробовых шумов
сигнала. Если полоса BIF много больше, чем 2B0, что часто необходимо для обеспечения успешного приема сигнала в условиях большого доплеровского сдвига несущей и частотной нестабильности
излучения лазера, то отношение сигнал/шум гетеродинного приемника ухудшается. С другой стороны, если тепловые шумы или
дробовые шумы, обусловленные фоновым излучением и темновым
током, в приемнике прямого детектирования значительны, отношение сигнал/шум для такого приемника будет намного меньше,
чем значение, определяемое уравнениями (3.13), (3.24) или (3.27).
3.4. Гомодинный приемник
В оптическом гомодинном приемнике, показанном на рис. 3.9,
частота и фаза колебания местного гетеродина совпадает с частотой
и фазой входного излучения, т. е. получается полная синхронизация двух колебаний.
Как и для гетеродинного приема, оптическое смещение осуществляется на поверхности фотодетектора. Выходной сигнал
фотодетектора содержит информационный сигнал. Управляющее
устройство местного гетеродина управляется выходным сигналом
приемника и поддерживает фазу генератора в синхронизме с фазой
несущей.
Мощность сигнала. При идеальном пространственном совпадении излучений несущей и местного гетеродина выражения для
электрических составляющих полей могут быть представлены в
виде:
56
E(t) = AC cos(ω C t + Φ C ), (3.50)
¸
¤¹À¾ÉÆǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
©¹ÊÒ¾ÈÁ˾ÄÕÄÌй
­ÇÆǻǾ
ÁÀÄÌоÆÁ¾
›ÔÎǽ
ÈÉÁ¾ÅÆÁù
G©
¹
i1
¬ÊÁÄÁ
˾ÄÕÊ
ÃÇÖÍÍÁ
ÏÁ¾ÆËÇÅ
ÌÊÁľÆÁØ
(
¦ÁÀÃÇйÊ
ËÇËÆÔÂ
ÍÁÄÕËÉ
3-
W4
0 # G
Рис. 3.9. Структурная схема оптического гомодинного
приемного устройства: а) структурная схема; б) эквивалентная схема
1 – оптический входной фильтр с полосой пропускания Bi; 2 – оптический
детектор; 3 – усилитель; 4 – нагрузка оптического приемника;
5 – электрический выходной фильтр; 6 – устройство управления фазой
излучения местного гетеродина; 7 – лазерный местный гетеродин
L(t) = A0 cos(ω C t + Φ0 ). (3.51)
Мгновенный ток фотодетектора
1
1
iP (t) = D  AC2 + A02 + AC A0 cos(Φ0 − Φ C )+
 2
2

+ AC A0 cos 2ω C t + (Φ0 + Φ C ) .

(3.52)
В выражении (3.52) составляющая, соответствующая разности
фаз, не меняется при временном усреднении за короткое время. Составляющая удвоенной частоты отфильтровывается фильтром. Таким образом, напряжение сигнала
(3.53)
vS = DAÑ A0 RL cos(Φ0 − Φ C ). Постоянная составляющая тока в уравнении (3.52) не вносит
большого вклада в выходной сигнал, так как при надлежащем
выборе мощности местного гетеродина можно добиться, чтобы
1
AC A0 >> AC2 . При амплитудной модуляции колебания несущей
2
и местного гетеродина находятся в фазе, так что Ф0 = ФС; при фазовой модуляции Ф0 постоянна, ФС пропорциональна изменениям
57
во времени информационного сигнала. В каждом случае пиковая
мощность сигнала
S = 4G 2 D2 PÑ P0 RL . (3.54)
Мощность шума. Если мощность излучения местного гетеродина много больше мощности несущей, то мощность дробовых шумов
NH = 2qG2 B0  D (P0 + PB )+ ID  RL (3.55)
и мощность тепловых шумов
NT = 4kTB0 . (3.56)
На рис. 3.10 приведены спектры сигнала и шума для гомодинного метода приема.
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
ÁÆÍÇÉŹÏÁÇÆÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
0
¡Æ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÕ
ÁÀÄÌоÆÁØ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
ÁžÊËÆǼÇ
¼¾Ë¾ÉǽÁƹ
ªÈ¾ÃËɹÄÕÆǾ
ɹÊÈɾ½¾Ä¾ÆÁ¾
ÁÆ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÁ
ÍÇÆǻǼÇ
ÁÀÄÌоÆÁØ
G$
G
0
G$
G
0
G$
G
#
#J
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
»ÔÎǽÆǼÇ
ÊÁ¼Æ¹Ä¹
0
#
G$
G
0
#
G$
G
ªÈ¾ÃËÉÅÇÒÆÇÊËÁ
½ÉǺǻÔÎÑÌÅÇ»
ƹ»ÔÎǽ¾
Рис. 3.10. Спектры сигнала и шума
в оптическом гомодинном приемном устройстве
58
59
 ηq

2G 2q 
PC + PB )+ ID  B0 RL + 4kTB0
(
 hfC



C
 ηq 2 2
G
 P R
 hf  C L
Общий случай (тепловые и дробовые шумы)
2
2µ S,B
---
(2ηPC ) (hfC B0 )
Гомодинный приемник
µ S,B
2
---
ηPC
2hfC B0
 µ S,B

+ µ B,B + µ D,B 
32
 2

2
(µ S,B )
2(µ S,B + µ B,B + µ D,B )
2
(µ S,B )
Дробовые шумы
(В0 = 1/τB)
Гетеродинный приемник
(сигнал/шум на выходе
фильтра промежуточной
частоты, BIF = 2В0)
64kTτ B
q2 RL (µ S,B )
4kTτ B
2
q2 RL (µ S,B )
Тепловые шумы
(G = 1; В0 = 1/τB)
Отношение сигнал/шум
Приемник прямого
 ηq 2 2
 PC RL
G
детектирования на под hfC 
несущей (сигнал/шум на
 ηq  PC


выходе фильтра подне
32G2q 
+ PB  + ID  B0 RL + 64kTB0





сущей, BSC = 2B0)
 hfC 2

Приёмник прямого детектирования при непосредственной модуляции
оптической несущей
Тип оптического
приемника
Отношения сигнал/шум оптических приемных устройств
Таблица 3.1
Отношение сигнал/шум. Отношение сигнал/шум для гомодинного приемника определяется выражением
 G ηq  2
 PP R
2
 hfC  0 C L
S


.
=


N
q
η
2 

G q
(P + PB )+ ID  B0 RL + 2kTB0
 hfC 0


(3.57)
Если мощность излучения местного гетеродина велика, тепловыми шумами и дробовыми шумами, обусловленными излучением
несущей, фоновым излучением и темновым током, можно пренебречь. Тогда
2ηPC
S
.
=
N hfC B0
(3.58)
Таким образом, для гомодинного метода приема отношение сигнал/шум в 4 раза больше отношения сигнал/шум приемника прямого детектирования (при ограничении дробовыми шумами сигнала).
В табл. 3.1 приведены выражения отношений сигнал/шум для
различных типов оптических приемников. Эти выражения даны
для общего случая, когда учтены тепловые и дробовые шумы. В таблице также приведены выражения отношений сигнал/шум для
цифровых связных систем (для случая, когда эффективность работы ограничена тепловыми и дробовыми шумами); эти соотношения
выражены через средние числа фотоэлектронов (обусловленных
излучениями несущей, фона и темновым током), эмиттируемых
фотодетектором приемника в течение длительности одной двоичной единицы.
60
4. ИМПУЛЬСНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ
СИСТЕМЫ СВЯЗИ
4.1. Система связи с КИМ по интенсивности
В системе связи с КИМ по интенсивности (КИМ-ИМ) символу
«1» соответствует посылка оптического излучения длительности
τB, а символу «0» – отсутствие посылки (той же длительности).
Структурная схема такой системы представлена на рис. 4.1.
В этой системе излучение лазера модулируется по интенсивности с помощью модулятора и направляется в сторону приемного
устройства. В приемном устройстве принятое излучение фокусируется приемной антенной и через узкополосный оптический фильтр,
который служит для ограничения фонового излучения, попадает
на фотодетектор. Электрический сигнал с выхода фотодетектора
поступает через электрический фильтр на пороговое устройство,
где принимается решение о наличии сигнала или о его отсутствии.
Если сигнал с выхода фотодетектора превысит пороговый уровень в
течение длительности двоичной единицы, то принимается решение
о наличии сигнала, в противном случае принимается решение о его
отсутствии. При принятии решения в силу случайного характера
сигнала и шума возможны правильные и неправильные решения.
B
Обозначим через PSN
вероятность того, что суммарный сигнал, состоящий из лазерного излучения и шума на выходе фотодетектора,
превысит пороговый уровень и через PNB , вероятность того, что по
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 4.1. Структурная схема лазерной системы связи
с кодово-импульсной модуляцией по интенсивности:
1 – лазерный передатчик; 2 – модулятор интенсивности; 3 – антенна
передатчика; 4 – антенна приемника; 5 – оптический входной фильтр;
6 – фотодетектор; 7 – электрический низкочастотный фильтр;
8 – подмодулятор; 9 – пороговое устройство
61
роговый уровень превысит только один шум. Тогда средняя вероятность ошибки на двоичную единицу будет иметь вид
(
)
B
PeB = p 1 − PSN
+ (1 − p)PNB , (
(4.1)
)
B
где 1 − PSN
– вероятность пропуска сигнала; а р, (1– р) – априорные вероятности передачи соответственно «единицы» и «нуля».
Для системы с равными априорными вероятностями передачи
«единиц» и «нулей» формула (4.1) принимает вид
1
B
PeB = 1 − PSN
+ PNB .
(4.2)
2
(
)
Эффективность КИМ-ИМ системы связи при ограничении
дробовым шумом. При ограничении работы системы связи только
дробовыми шумами в качестве приемника используется счетчик
числа фотоэлектронов. Если в качестве приемника используется
ФЭУ, то подсчитываются импульсы тока в течение длительности
двоичной единицы. В обоих случаях распределение вероятностей
числа эмиттируемых фотоэлектронов или импульсов тока на выходе низкочастотного фильтра считается пуассоновским. Полное число подсчетов k в течение двоичной единицы сравнивается с установленным заранее пороговым уровнем kD. Если k равно или больше,
чем kD, то принимается решение о передаче «единицы», в противном случае принимается решение о передаче «нуля». Вероятности
B
и PNB , при наличии счетчика числа фотоэлектронов согласно
PSN
(2.20) и (2.21) имеют вид
B
PSN
=
∞
∑
k
(µ S,B + µ H,B )
exp {−(µ S,B + µ H,B )}
k!
k=kD
(4.3)
и
PNB
=
∞
∑
k=kD
k
(µ H,B )
exp(−µ H,B )
,
k!
(4.4)
где μS,B – среднее число «сигнальных» фотоэлектронов, приходящихся на двоичную единицу; μH,B – среднее число «шумовых»
фотоэлектронов, приходящихся на двоичную единицу, обусловленных фоновым излучением и темновым током. Если перед детектором установлен поляризатор, то
62
µ H, B =
ηPB τ B ID τ B
,
+
q
2hfC
где τB – длительность двоичной единицы; РB – мощность неполяризованного фона.
Подставляя (4.3) и (4.4) в (4.2) получим полную вероятность
ошибки на двоичную единицу при р = 1/2


∞ exp(−µ
k
k 
1 

H,B )
+
−
−
PeB = 1− ∑
µ
µ
µ
µ
exp
( H,B ) ( H,B ) . (4.5)
( S,B
H, B )
2  k=k
k!


D

 Пороговый уровень, при котором полная вероятность ошибки на
двоичную единицу минимальна, определяется пороговым отношением правдоподобия. При р = 1/2 пороговый уровень, как следует
из (2.19) и рис. 2.6:
kT =
µ S,B
ln 1 + (µ S,B µ H,B )


.
(4.6)
Если пороговый уровень kT не целое число, то он округляется до
целого числа в большую сторону и обозначается kD.
На рис. 4.2 изображены кривые зависимости ошибки приема от
среднего числа сигнальных фотоэлектронов на двоичную единицу
μS,B при параметре μH,B. Волнистость кривых объясняется тем,
что пороговые уровни округляются до целого числа.
Эффективность КИМ-ИМ системы связи при ограничении
тепловым шумом. Для обеспечения нормальной работы системы связи с заданной вероятностью ошибки при наличии теплового шума необходимо мощность излучения лазера увеличить до относительно высокого уровня. В этом случае дискретные импульсы
тока фотодетектора сливаются в непрерывный сигнал iF, который
сравнивается с пороговым уровнем по току i′F. Для описания флуктуации тока на выходе фильтра низкой частоты используется статистика Гаусса. Тогда вероятности обнаружения и ложной тревоги
для приемника, работа которого ограничена тепловыми шумами,
будут определяться соответственно выражениями (2.24) и (2.25):
∞
(
B
PSN
= ∫ 2πσ2i
iF′
T
−1 2
)
2

 iF − qµ S,B τ B 
exp−
 diF 2


σ
2
iT


(
)
(4.7)
63
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ 1F#
–
–
–
M)# –
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁ½»ÇÁÐÆǼÇÀƹù M 4#
Рис. 4.2. Вероятность ошибки для системы связи с КИМ
по интенсивности с приемником прямого детектирования
при ограничении работы системы дробовыми шумами
(μH,B – среднее число фотоэлектронов, эмиттируемых
в течение длительности двоичного знака, обусловленных
фоновым излучением и темновым током)
и
PNB
∞
=∫
iF′
(
2πσ2i
T
−1 2
)

 i2
exp− F
 2σ2
iT



 diF , 

(4.8)
где τB – длительность двоичной единицы; σ2i – дисперсия тока теT
плового шума.
Пороговый уровень при р = 1/2 определяется выражением
iF′ =
q
µ S,B . 2τ B
(4.9)
Полная вероятность ошибочного приема двоичного знака может
быть выражена через интеграл вероятности (приложение 2)
64

 qµ
1 
S,B
PeB = 1 − erf 
2 
2
2
τ

B σ iT

 
 .
   

(4.10)
Для идеального фильтра с полосой пропускания от 0 до В0, Гц,
дисперсия тока теплового шума определяется выражением
σ2i =
T
4kTB0
.
RL
(4.11)
Если полоса пропускания фильтра определяется как В0 = 1/τВ, то
σ2i =
T
4kT
.
τ B RL
(4.12)
Тогда с учетом (4.12) выражение для полной вероятности ошибки (4.10) принимает вид
 qµ S,B
1 
PeB = 1 − erf 
2 
 4 2
RL  
. kTτ B  
(4.13)
Соответствующая кривая показана на рис. 4.3.
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ 1F#
–
–
–
–
3L = Ω
5 o ,
s
T # ʾÃ
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁ½»ÇÁÐÆǼÇÀƹù M 4#
Рис. 4.3. Вероятность ошибки для системы связи с КИМ
по интенсивности с приемником прямого детектирования
при ограничении работы системы тепловыми шумами
65
Из сравнения кривых эффективности рис. 4.2 и 4.3 видно, что система связи, работающая при ограничении дробовыми шумами, более эффективна, чем система с ограничением тепловыми шумами.
4.2. Система связи с КИМ по поляризации
Система связи с кодово-импульсной модуляцией по поляризации (КИМ-ПМ) основана на представлении двоичных единиц в
виде оптического излучения с правой или левой круговой поляризацией. На рис. 4.4 изображена структурная схема этой системы.
Поляризационный модулятор преобразует оптическое излучение ОКГ в излучение с правой или левой круговой поляризацией. В приемнике принятое излучение проходит через оптический
фильтр и затем преобразуется в излучение с горизонтальной или
вертикальной линейной поляризацией с помощью четвертьволновой пластины. Составляющие с линейной поляризацией пространственно разделяются так, что лазерное излучение с правой круговой поляризацией попадает на верхний фотодетектор, а с левой
круговой поляризацией – на нижний фотодетектор. Решение о наличии на входе приемника излучения с той или иной поляризацией
определяется по максимальному сигналу на выходе одного из двух
фотодетекторов за время двоичной единицы или по знаку разностного сигнала на выходе дифференциального усилителя.
›¾ÉËÁùÄÕƹØÄÁƾÂƹØ
ÈÇÄØÉÁÀ¹ÏÁ؄”
¨É¹»¹ØÃÉ̼ǻ¹Ø
„”
ÈÇÄØÉÁÀ¹ÏÁ؄”
¤¾»¹ØÃÉ̼ǻ¹Ø
ÈÇÄØÉÁÀ¹ÏÁ؄”
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
9
:
„”
œÇÉÁÀÇÆ˹ÄÕƹØÄÁƾÂƹØ
ÈÇÄØÉÁÀ¹ÏÁ؄”
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 4.4. Структурная схема связи с КИМ по поляризации
1 – лазерный передатчик; 2 – поляризационный модулятор; 3 – антенна
передатчика; 4 – антенна приемника; 5 – оптический фильтр;
6 – четвертьволновая пластина; 7 – призма Волластона; 8, 11 – фотодетектор;
9, 12 – фильтр низкой частоты (ФНЧ); 10 – дифференциальный
усилитель; 13 – подмодулятор; 14 – пороговое устройство
66
Поляризационные состояния оптического излучения. Система связи с поляризационной модуляцией может быть проанализирована с помощью матричного алгебраического метода Джонса
(приложение 3). В этом методе оптическое излучение характеризуется определенной поляризационной матрицей. При прохождении
луча через оптические компоненты системы связи, которые, в свою
очередь, характеризуются соответствующими поляризационными
матрицами, поляризационное состояние излучения изменяется.
При линейной поляризации лазерного излучения под углом 45° к
оси модулятора поляризационная матрица лазерного излучения
имеет вид
L=
PC
2
1
 , 1
 
(4.14)
где РС – средняя мощность лазерного излучения.
Модулятор вносит фазовый сдвиг Г между Х- и Y-составляющими
входящего луча. Поляризационный матричный оператор модулятора имеет вид
 e jà 2
MM = 
 0


. −jà 2 
e

0
(4.15)
Четвертьволновая пластина вносит фазовый сдвиг p/2 радиан
между Х- и Y-составляющими и имеет операторную матрицу
e j π 4
MQ = 
 0


. 
e−j π 4 
0
(4.16)
И, наконец, для «правой» и «левой» составляющих излучения
призма Волластона имеет следующие операторные матрицы:
MWR =
1  1 −1
,
2 −1 1 
1 1 1
MWL = 
.
2 1 1
(4.17)
(4.18)
Поляризационные матрицы излучения на выходе модулятора,
четвертьволновой пластины и призмы Волластона приводятся в
табл. 4.1. Данные таблицы составлены для произвольного фазового
67
 Ã π  1
PC
cos +   
 2 4  1
2
Ã π  1 
PC
j sin  +   
 2 4  −1
2
Выход призмы Волластона по правому каналу, MWRMQMМL
Выход призмы Волластона по правому
каналу, MWLMQMМL
 exp(jà 2) 


exp(−jà 2)




PC  exp(j (Ã 2 + π 4)) 


2  exp(−j (Ã 2 + π 4))


PC
2
1
 
1
 
Выход четвертьволновой пластины,
MQMМL
Выход модулятора,
ММL
PC
2
+Г
PC
2
exp(−jà 2)


 exp(jà 2) 


1
 
1
 
 Ã π  1
PC
j sin  −   
 2 4  1
2
 Ã π  1
PC
cos −   
 2 4  1
2
exp(−j (Ã 2 − π 4))




 exp(j (Ã 2 + π 4)) 


PC
2
PC
2
–Г
PC
2
PC
2
PC
2
1
 
−1
 
 0
 
 0
 
1
 
−1
 
1
PC
exp(jπ 4)  
−i
2
 
1
 
1
 
π
2
PC
2
+
Описание лазерного излучения с помощью поляризационных матриц
Выходное излучение
лазера, L
Фазовая задержка
модулятора
68
PC
2
PC
2
PC
2
 0
 
 0
 
1
 
1
 
1
 
1
 
1
PC
exp(−jπ 4)  
i
2
 
1
 
1
 
π
2
PC
2
−
Таблица 4.1
сдвига модулятора Г и для Г = ±p/2. Если модулятор не вносит полной положительной или отрицательной четвертьволновой фазовой
задержки, то выходной луч с модулятора будет эллиптически поляризован. Вследствие эллиптической поляризации излучение в
одном направлении будет характеризоваться линейной поляризацией и высокой интенсивностью. Излучение в другом ортогональном направлении будет характеризоваться также линейной поляризацией, но слабой интенсивностью. Поэтому на выходе призмы
Волластона будут как правая, так и левая составляющие, т. е. оба
фотодетектора будут принимать лазерное излучение. В результате
передаваемый полезный сигнал является разностью двух составляющих с высокой и слабой интенсивностью. Таким образом, неполная
модуляция понижает мощность принимаемого сигнала. Данный
эффект является прямым аналогом амплитудной модуляции в радиочастотных системах связи с глубиной модуляции меньшей, чем
100%. Однако в оптическом диапазоне обе составляющие создают
дробовый шум, так что отношение сигнал/шум уменьшается.
Фоновое излучение, которое считается неполяризованным, может характеризоваться двумерной матрицей когерентности
 1 0

. (4.19)
0 1


В табл. 4.2 приведены матрицы когерентности фонового излучения в процессе прохождения его через оптические элементы системы.
J=
PB
2
Таблица 4.2
Описание фонового излучения с помощью матриц когерентности
Излучение
Матрица когерентности, J
Неполяризованное, фоновое
на входе приемника
 PB 2
0 


 0

P
B 2

На выходе четвертьволновой
пластины
 PB 2
0 


 0

P
B 2

На выходе правого канала
призмы Волластона
На выходе левого канала
призмы Волластона
 PB 4 −PB 4


−PB 4 PB 4 


 PB 4 PB 4


 PB 4 PB 4


69
Входная мощность фонового излучения распределяется поровну
между каналами.
Отношение сигнал/шум в КИМ-ПМ системе связи. В системе связи с КИМ-ПМ каждый канал приемного устройства состоит
из приемника прямого детектирования. Если лазерное излучение
имеет преимущественно правую круговую поляризацию, то сигнальные токи на выходах детекторов, усредненные за период двоичной единицы, будут иметь вид:
IS,R = GDMPL PC , (4.20)
IS,L = GD (1 − MPL )PC , (4.21)
где MPL (0 ≤ MPL ≤ 1) – индекс поляризационной модуляции, который показывает, какая часть излучаемой мощности содержится в
составляющей с правой круговой поляризацией по отношению ко
всей излучаемой мощности РC; G – коэффициент усиления детектора по току и D – коэффициент преобразования детектора.
Мощность сигнала на выходе дифференциального усилителя отнесенную к нагрузочному сопротивлению оптического приемника
RL, можно представить в виде
2
2
2
S = (IS,R − IS,L ) RL = (2MPL −1) (GDPC ) RL . (4.22)
Средние токи фонового излучения на выходах детекторов
IB,R = GDPBR ; (4.23)
IB,L = GDPBL , (4.24)
где РB,R – мощность фонового излучения, попадающего на правый
канал приемного устройства; РB,L – мощность фонового излучения,
попадающего на левый канал приемного устройства.
Мощность дробового шума на выходе каждого детектора определяется с помощью формулы Шоттки:
NH,R = 2G2qB0 (IS,R + IB,R + ID,R )RL ; (4.25)
NH,L = 2G2qB0 (IS,L + IB,L + ID,L )RL , (4.26)
где В0 – полоса пропускания фильтра; ID,R и ID,L – темновые токи
правого и левого каналов фотодетекторов.
70
Мощности дробового шума линейно складываются на выходе
дифференциального усилителя, поэтому полная мощность дробового шума
NH = 2G2qB0 (DPC + DPB + ID,R + ID,L )RL , (4.27)
где PB = PB,R + PB,L.
Тепловой шум возникает только в дифференциальном усилителе, поэтому мощность теплового шума определяется выражением
NT = 4kTB0 . (4.28)
Если темновые токи фотодетекторов равны, то отношение сигнал/шум может быть представлено в виде
2
2
(2MPL −1) (GDPC ) RL
S
.
= 2
N 2G qB0 (DPC + DPB + 2ID )RL + 4kTB0
(4.29)
Из выражения (4.29) следует, что отношение сигнал/шум может
быть малым, если 100%-ная (MPL = 1) поляризационная модуляция не достигнута. Кроме того, отношение сигнал/шум для приемника с двумя фотодетекторами ниже, чем для приемника с одним
фотодетектором согласно (3.9). Объясняется это тем, что дробовой
шум, обусловленный темновым током и фоновым излучением, вносится двумя фотодетекторами.
Эффективность системы связи с КИМ-ПМ при ограничении
дробовым шумом. Введем следующие обозначения:
UX – число фотоэлектронов на выходе фотодетектора правого
канала;
UY – число фотоэлектронов на выводе фотодетектора левого канала;
UZ – разность числа фотоэлектронов (UZ = UX – UY).
Если оптическое излучение при передаче символа «1» промодулировано по поляризации со 100%-ной глубиной, то распределения
вероятностей числа фотоэлектронов в X- и Y-каналах будут иметь
вид:
k
P (UX = k)=
(µ S,B + µ H,B )
exp {−(µ S,B + µ H,B )}
k!
(4.30)
и
71
k
P (UY = k) =
где µ H,B =
(µ H,B )
exp(−µ H,B )
,
k!
(4.31)
ηPB τ B ID τ B
+
и τB – длительность одной двоичной едиq
2hfC
ницы.
В рассматриваемом случае ошибка при обнаружении будет
иметь место с вероятностью 1, когда UY >UX, или с вероятностью
1/2, когда UZ = 0 (предполагается, что «единицы» и «нули» передаются с равной априорной вероятностью). Тогда полную вероятность
ошибки с учетом симметрии каналов можно представить в виде
∞
1
PeB = 1 + P (UZ = 0)− ∑ P (UZ = j ). 2
j=0
(4.32)
Согласно выражению (П.1.20) распределение вероятностей значений UZ для j ≥ 0 имеет вид
 µ S,B + µ H,B 

P (UZ = j )= exp {−(µ S,B + 2µ H,B )}


µ H,B
×Ij 2 µ H,B (µ S,B + µ H,B ) ,


j
2
×
(4.33)
где Ij [∙] – модифицированная функция Бесселя j-го порядка. Подставляя (4.33) в выражение (4.32), после несложного преобразования получим полную вероятность ошибки в виде
1

PeB = 1 − exp {−(µ S,B + 2µ H,B )} I0 2 µ H,B (µ S,B + µ H,B )  +
 2 
 
j
 µ S,B + µ H,B  2 
 Ij 2 µ H,B (µ S,B + µ H,B ) .
+∑ 




µ
H,B
j=1
∞
(4.34)
Выражение (4.34) может быть приведено к виду
PeB =
1
{1 + Q[a,b]− Q[b,a ]}, 2
где a = 2µ H,B , b = 2(µ S,B + µ H,B )
и
72
(4.35)
(
− a 2 +x2
∞
Q[a, b ] = ∫ exp 

2
b

) I [ax] xdx
 0


(4.36)
где Q-функция Маркума, хорошо известная из теории радиолокации и табулированная.
На рис. 4.5 приведены кривые зависимости вероятности ошибки
приема от числа сигнальных и шумовых фотоэлектронов за время
длительности одной двоичной единицы.
Эффективность системы связи с КИМ-ПМ пpи ограничении
тепловым шумом. Рассматривая случай приема при ограничении
тепловым шумом, введем следующие обозначения:
iX – ток на выходе фотодетектора правого канала;
iY – ток на выходе фотодетектора левого канала;
iZ – разностный ток (iZ = iX – iY).
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ 1F#
–
–
–
M)# –
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁ½»ÇÁÐÆǼÇÀƹù M 4#
Рис. 4.5. Вероятность ошибки для системы связи с КИМ
по поляризации с приемником прямого детектирования
при ограничении работы системы дробовыми шумами
(μH,B – среднее число фотоэлектронов, эмиттируемых в течение
длительности двоичного знака, обусловленных
фоновым излучением и темновым током)
73
Плотности вероятностей значений iX, iY и iZ имеют гауссовское
распределение. Из выражения (2.33) следует, что условные плотности вероятности значений тока iZ при условии, что оптическое
излучение направляется в X- и Y-каналы:
−1 2
(
)
(
−1 2
P (iZ SX )=
2πσ2i
T
2

 iZ − qµ S,B τ B 
 exp−
2


σ
2

iT

(4.37)
2

 iZ + qµ S,B τ

B
. exp−


2σ2i

T

(4.38)
(
)
и
P (iZ SY )=
2πσ2i
T
)
(
)
Из выражения (2.35) следует, что для рассматриваемого случая
при передаче «единицы» и «нуля» с равной априорной вероятно-
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ1#
F
s
s
3 L Ω
s
5‰ ,
T# s
ʾÃ
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁ½»ÇÁÐÆǼÇÀƹùM4#
Рис. 4.6. Вероятность ошибки для системы связи с КИМ
по поляризации с приемником прямого детектирования
при ограничении работы системы тепловыми шумами
74
стью пороговый уровень равен нулю. Тогда полная вероятность
ошибки на двоичную единицу имеет вид
PeB =
1
2
0
∫
P (iZ SX )diZ +
∞
1
P (iZ SY )diZ 2∫
(4.39)
−∞
0
или через интеграл вероятности

 qµ

1
 S,B 
PeB = 1 − erf 
(4.40)
 2
 2τ B σiT 


С учетом (4.12) выражение (4.40) окончательно примет вид
 qµ S,B
RL 
1
PeB = 1 − erf 
(4.41)
  4
2 
kTτ B 
На рис. 4.6 приведен график изменения вероятности ошибочного приема двоичной единицы при ограничении работы системы
тепловыми шумами.
4.3. Система связи с кодово-импульсной модуляцией
по фазе (КИМ-ФМ)
В системе связи с кодово-импульсной модуляцией по фазе (КИМФМ) фаза оптической несущей манипулируется относительно произвольного опорного значения на 0 или p радиан в соответствии с
передачей двоичных знаков. На рис. 4.7 показана структурная схема системы КИМ-ФМ с гомодинным приемником.
Согласно выражению (3.53) напряжение сигнала vS на выходе
оптического гомодинного приемника имеет вид
vS = GDAC A0 RL cos(Φ0 − Φ C ), (4.42)
где G – коэффициент усиления фотодетектора; D – коэффициент
преобразования фотодетектора D = ηq hf ; АC – амплитуда сигнаC
ла несущей частоты; RL – нагрузочное сопротивление оптического приемника; ФC – фаза оптического сигнала; Ф0 – фаза сигнала
местного гетеродина. Фаза колебания местного гетеродина устанавливается такой, чтобы напряжение сигнала было vS = GDAC A0 RL –
при приеме символа «единица» и vS = −GDAC A0 RL – при приеме
символа «нуль».
75
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 4.7. Структурная схема лазерной системы связи с КИМ
по фазе и гомодинным приемником:
1 – лазерный передатчик; 2 – фазовый модулятор; 3 – антенна передатчика;
4 – антенна приемника; 5 – оптический гомодинный приемник; 6 – подмодулятор
При достаточно большой мощности местного генератора дисперсия выходного напряжения гомодинного приемника согласно
(3.55)
σ2v = [NH ]RL = qG 2 DB0 A02 RL2 . H
(4.43)
Если амплитуда колебания местного гетеродина достаточно велика, то фотоэмиссионный процесс фотодетектора может характеризоваться статистикой Гаусса. Тогда условные плотности распределения вероятностей выходного напряжения приемника vS имеют
вид


−1 2
 (v − GDAC A0 RL )2 
(4.44)
P (vS S1 )= 2πσv2
exp− S
 2
H


σ
2
v


H
(
)
и
P (vS S0 )=
(
2πσ2v
H
−1 2
)


 (vS + GDAC A0 RL )2 


exp−
 . 

2σ2v


H
(4.45)
Для случая передачи «единиц» и «нулей» с равной априорной
вероятностью пороговый уровень равен нулю. Тогда, если vS ≥ 0, то
считается, что передавалась «единица»; если vS < 0, то считается,
что передавался «нуль». Вероятность ошибочного приема двоичной единицы имеет вид
PeB =
76
1
2
0
∫
−∞
P (vS S1 )dvS +
∞
1
P (vS S0 )dvS 2∫
0
(4.46)
или через интеграл вероятности
PeB


(GDAC A0 RL )2 
1
 .
= 1 − erf

2
2σ2v


H
(4.47)
С учетом (4.43) выражение (4.47) примет вид


ηAC2 
1
PeB = 1 − erf
. 2
2hfC B0 


(4.48)
1 2
AC , вероят2
ность ошибочного приема двоичной единицы для B0 = 1/τB может
быть окончательно представлена в виде
Поскольку средняя мощность сигнала равна PC =
1
PeB = 1 − erf µ S,B  . 
2
(4.49)
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ 1F#
На рис. 4.8 приведена кривая зависимости вероятности ошибочного приема символа от среднего числа «сигнальных» фотоэлектронов на двоичную единицу.
s
s
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁ½»ÇÁÐÆǼÇÀƹù M 4#
Рис. 4.8. Вероятность ошибки для системы связи с КИМ
по фазе и гомодинным приемником
77
4.4. Система связи с квантованной позиционно-импульсной
модуляцией по интенсивности
В оптической системе связи с квантованной (дискретной)
позиционно-импульсной модуляцией (ПИМ-ИМ) информация передается путем изменения положения одиночного импульса оптического сигнала на заданном «отсчетном» временном периоде. Этот
«отсчетный» период делится на ряд дискретных интервалов; передний фронт оптического импульса должен совпадать с каким-либо
дискретным интервалом.
На рис. 4.9 изображена структурная схема оптической системы
связи с ПИМ-ИМ и с приемником прямого детектирования. Лазерное излучение модулируется по интенсивности импульсами напряжения, вырабатываемыми в кодирующем устройстве. В приемнике
сигнал после оптического фильтра попадает на фотодетектор. Выходной сигнал детектора используется для определения положения переданного импульса по отношению к началу «отсчетного»
временного периода.
Для оценки эффективности работы системы и нахождения вероятности неправильного приема введем некоторые правила принятия решения. Будем предполагать, что для рассматриваемой системы связи существует определенный порог срабатывания.
›ÎǽƹØ
¹Æ¹ÄǼǻ¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
›ÔÎǽƹØ
¹Æ¹ÄǼǻ¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 4.9. Структурная схема лазерной системы связи
с позиционно-импульсной модуляцией по интенсивности
1 – лазерный передатчик; 2 – антенна передатчика; 3 – антенна приемника;
4 – оптический фильтр; 5 – фотодетектор; 6 – низкочастотный фильтр;
7 – подмодулятор; 8 – пороговое устройство; 9 – ПИМ-кодирующее устройство;
10 – ПИМ-декодирующее устройство
78
Более эффективным с точки зрения максимума использования
передаваемой мощности является правило решения, предполагающее, что моменту приема информационного импульса соответствует максимальное число электронов в приемнике. Однако применение дешифратора с таким правилом решения для оценки работы
системы представляет большие трудности по сравнению с правилом, предполагающим наличие порогового декодирования.
Разобьем заданный отсчетный временной период τP на K равных
интервалов и выберем пороговый уровень. Тогда правило решения
будет сводиться к следующему:
а) принимаемый сигнал передан в момент времени, соответствующий тому интервалу на периоде τP, для которого выходной сигнал фотодетектора равен или превосходит выбранный порог;
б) принятый сигнал соответствует произвольному интервалу на
отчетном периоде τP, если выходной сигнал детектора меньше выбранного порога.
P
Введем в рассмотрение вероятность PSN
того, что смесь принятого сигнала и шума детектора, наблюдаемая на временном интервале, равна или больше выбранного порога, а также вероятность
того, что шум детектора будет равен или превысит этот порог PNP .
Вероятность принятия неправильного решения PeP определяется суммой следующих вероятностей: вероятности того, что шум
до прихода сигнала равен или больше порогового значения; вероятности того, что шум после прихода сигнала равен или больше
порогового значения, при условии, что сигнал плюс шум меньше
выбранного порога; вероятности того, что ни шум, ни сигнал плюс
шум не превышают порогового значения, умноженной на вероятность неправильного решения.
Тогда вероятность принятия неправильного решения с использованием введенных обозначений может быть выражена в следующем виде
K
(
PeP = ∑ pi 1− 1− PNP

i=1
(
K
P 
)i−1  + ∑ pi (1− PNP )i−1(1− PSN
)1−(1− PNP )K−i  +
+ 1− PNP
i=1
) (
K−1
P
1− PSN
K
)∑ pi (1− pi ),
i=1
где pi – априорная вероятность передачи сигнала в i-й интервал времени на отсчетном периоде τP.
79
При передаче информации от источника с равномерным распределением, т. е. при pi = 1/K, вероятность ошибки равна
PeP
K−1
(
)
P
P 

PSN
 1 − PN

= 1 −
+

KPNP 
KPNP
P
− PNP ). (PSN
(4.50)
Эффективность ПИМ-ИМ системы связи при ограничении
дробовым шумом. Вероятности правильного и ложного обнаружения при ограничении работы системы дробовым шумом в соответствии с (2.20) и (2.21) определяются в виде
P
PSN
=
∞
∑
(µ S,P + (µ H,P K)) exp{−(µ S,P + (µ H,P K))} (4.51)
k
k!
k=kD
и
PNP
=
∞
∑
(µ H,P
k=kD
k
K) exp {−(µ H,P K)}
,
k!
(4.52)
где μS,P – среднее число «сигнальных» фотоэлектронов за отcчетный период τP;
μH,P – среднее число «шумовых» фотоэлектронов, обусловленных фоновым излучением и темновым током, за период τP.
Величина kD, минимизирующая вероятность ошибочного приема, является наибольшим целым числом порогового уровня kT, который находится из отношения правдоподобия. Этот уровень, как
следует из рис. 2.7, определяется выражением
kT =
µ S,P + ln (K −1)
.
ln (1 + (Kµ S,P µ H,P ))
(4.53)
На рис. 4.10 приведены кривые зависимости вероятности ошибочного приема от среднего числа «сигнальных» фотоэлектронов,
приходящихся на отчетный период (параметром зависимости является среднее число «шумовых» фотоэлектронов).
Эффективность ПИМ-ИМ системы связи при ограничении
тепловым шумом. Вероятности приема при ограничении работы
системы только тепловыми шумами согласно выражениям (2.24) и
(2.25) имеют вид
80
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
ÇËÊоËÆǼÇÀƹоÆÁØ 1F#
s
s
s
M)1 s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
ƹÇËÊоËM41
Рис. 4.10. Вероятность ошибки лазерной системы связи с позиционноимпульсной модуляцией и приемником прямого детектирования
при ограничении работы системы дробовыми шумами (μH,P – среднее
число фотоэлектронов эмиттируемых в течение длительности
двоичного знака, обусловленных фоновым излучением и
«темновым» током)
P
PSN
=
(
2πσ2i
T
2

 iF − qµ S,P τ P 
 diF ∫ exp−

2
σ
2


iT
iF′
(
−1 2 ∞
)
)
(4.54)
и
PNP
=
(
2πσ2i
T


 iF2 

∫ exp− 2σ2  diF . 
iT 
iF′
−1 2 ∞
)
(4.55)
Пороговый уровень, как следует из рис. 2.9, определяется выражением
iF′ =
qµ S,P
2τ P
+
σ2i τ P
T
qµ S,P
ln (K −1). (4.56)
81
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
ÇËÊоËÆǼÇÀƹоÆÁØ 1F#
s
s
s
3 - Ω
5‰,
s
T# s ʾÃ
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
À¹»É¾ÅؽÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÁÇËÊо˹M4#
Рис. 4.11. Вероятность ошибки лазерной системы связи
с позиционно-импульсной модуляцией и приемником
прямого детектирования при ограничении работы системы
тепловыми шумами
На рис. 4.11 приведена кривая зависимости вероятности ошибочного приема для ПИМ-ИМ системы связи при ограничении тепловым шумом.
82
5. ЦИФРОВЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
С ПЕРЕДАЧЕЙ НА ПОДНЕСУЩЕЙ
И С ГЕТЕРОДИННЫМ ДЕТЕКТИРОВАНИЕМ
5.1. Вводные замечания
В данной главе выводятся выражения для вероятности ошибочного приема двоичного знака в следующих системах связи:
КИМ-АМ системе на поднесущей с модуляцией по интенсивности
и прямым детектированием; КИМ-системе с модуляцией по интенсивности и гетеродинным приемом и КИМ системе с частотной модуляцией и гетеродинным приемом. В случае системы на поднесущей шумами на выходе фильтра поднесущей являются дробовые и
тепловые шумы детектора, прошедшие через фильтр поднесущей.
Предполагается, что распределение тепловых шумов подчиняется закону Гаусса. Дробовые шумы имеют гауссовское распределение лишь при большой интенсивности эмиссии электронов и при
нормализующем действии фильтра поднесущей. Следовательно,
шумы на выходе фильтра поднесущей могут аппроксимироваться узкополосным гауссовским процессом. В гетеродинной системе
интенсивность эмиссии электронов достаточно высока, лишь когда амплитуда местного гетеродина выбрана большой (достаточной
для условия работы при ограничении дробовыми шумами). В этих
условиях выходной сигнал фильтра промежуточной частоты также
может характеризоваться распределением Гаусса.
5.2. КИМ-AM система на поднесущей с модуляцией
по интенсивности
В КИМ-AM системе на поднесущей с модуляцией по интенсивности амплитуда генератора поднесущей (например, СВЧ-диапазона)
устанавливается максимальной при передаче «единицы» и нулевой при передаче «нуля». Напряжением генератора поднесущей
частоты модулируется излучение лазера по интенсивности таким
образом, что при передаче «единицы» имеет место 100%-ная модуляция излучения синусоидальной поднесущей; при передаче
«нуля» величина интенсивности излучения постоянна и равна 1/2
максимального значения. На выходе полосового фильтра поднесу83
щей имеется либо синусоидальное колебание поднесущей частоты
плюс шумы фотодетектора или только шумы.
На рис. 5.1 приведена структурная схема КИМ-AM системы на
поднесущей с модуляцией по интенсивности (КИМ-АМ-ИМ).
С точки зрения более экономичного использования мощности
лазера и уменьшения дробовых шумов сигнала, по-видимому, целесообразно полностью выключать лазер на период передачи «нуля».
Однако с точки зрения практики рассмотренный выше метод модуляции по поднесущей (с «активной» паузой) имеет ту особенность,
что сигнал несущей всегда присутствует в приемном устройстве и
средняя мощность сигнала постоянна. Следовательно, сигнал несущей может быть использован как сигнал маяка для нацеливания
приемного устройства на передающее.
Из уравнения (3.17) можно найти мгновенное значение напряжения на выходе фильтра поднесущей
GDPC ASC RL
vSC =
cos(ω SC t + Φ SC ) ≡ A cos(ω SC t + Φ SC ), (5.1)
2
где G – коэффициент усиления по току фотодетектора; D – коэффициент преобразования фотодетектора D = ηq
Р – средняя
hfC ; С
W4
W4$
W)
G4$
W
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 5.1. Структурная схема лазерной КИМ системы связи
с AM поднесущей, с модуляцией по интенсивности оптической
несущей и прямым детектированием
1 – лазерный передатчик; 2 – модулятор по интенсивности; 3 – антенна
передатчика; 4 – антенна приемника; 5 – оптический полосовой фильтр;
6 – детектор; 7 – электрический полосовой фильтр; 8 – подмодулятор;
9 – местный гетеродин поднесущей; 10 – электрический синхронный детектор;
11 – генератор поднесущей; 12 – низкочастотный фильтр; 13 – пороговое
решающее устройство
84
мощность несущей; ASС, ωSC, ФSC – амплитуда, частота и фаза поднесущей соответственно; RL – сопротивление нагрузки оптического приемника.
При передаче «единицы» ASС = 1, при передаче «нуля» ASС = 0.
Поскольку частоту генератора поднесущей можно стабилизировать
с помощью кварцевого стабилизатора, в системе можно использовать электрический синхронный детектор с устройством фазовой
синхронизации для местного гетеродина радиочастоты. В синхронном детекторе при фазовой синхронизации выходной сигнал фильтра поднесущей умножается на синусоидальное колебание
vS0 = AS0 cos(ω SC t + Φ SC ). (5.2)
Напряжение на входе синхронного детектора, являющееся узкополосным гауссовским шумовым процессом, может быть записано
в квадратурной форме
vnSC = XC (t)cos(ω SC t + Φ SC )− XS (t)sin (ω SC t + Φ SC ), (5.3)
где дисперсии гауссовских случайных переменных ХС и XS равны
друг другу и связаны с мощностью шума поднесущей [N]SC следующим соотношением:
σ2X = [N ]SC RL . (5.4)
В результате умножения в синхронном детекторе на выходе получается напряжение
vM = vS0 (vSC + vnSC ), (5.5)
которое после подстановок и преобразований принимает вид
vM = 0,5 AAS0 + 0,5XC (t) AS0  1 + cos(2ω SC t + 2Φ SC ) −
−0,5XS (t) AS0 sin (2ω SC t + 2Φ SC ).
(5.6)
Низкочастотный фильтр с полосой пропускания В0, следующий за
синхронным детектором, отфильтровывает составляющую, соответствующую удвоенной частоте, сохраняя постоянную составляющую
v0 = 0,5 AAS0 + 0,5XC (t) AS0 . (5.7)
Таким образом, квадратурная шумовая компонента XS(t) исключается синхронным детектором. Произведение амплитуды
местного генератора поднесущей AS0 на амплитуду сигнала поднесущей А равно произведению синфазной компоненты шума XC(t)
85
на амплитуду А. Выбрав уровень амплитуды AS0 высоким, можно
исключить любые тепловые шумы, появляющиеся в резистивных
элементах синхронного детектора. Разумеется, тепловые шумы
оптического приемника еще сохраняются. Случайная переменная
1
vZ = 2v0 A−
S 0 = A + XC (t ) (5.8)
имеет гауссовское распределение со средним значением, равным
А, поскольку XC(t) – гауссовская случайная переменная с нулевым средним значением. Следовательно, плотности вероятности на
выходе низкочастотного фильтра для сигналов вида «единица» и
«нуль» будут (рис. 5.2):
2


−1 2
vZ

 (5.9)
exp−
P (vZ S )= (2π[N ]SC RL )
 2[N ] RL 
SC
и
−1 2
P (vZ S)= (2π[N ]SC RL )
2

 vZ − GDAC2 RL 4 
. (5.10)
exp−


2[N ]SC RL




(
)
Если двоичные знаки («нули» и «единицы») передаются с одинаковой априорной вероятностью, оптимальный порог решения,
найденный из отношения правдоподобия:
vZ′ = GDAC2 RL 8. 1 W; 1 34
(5.11)
1 34
W;a
"
W;
Рис. 5.2. Условные плотности вероятности
для КИМ-АМ-ИМ системы связи с прямым детектированием
86
Вероятность ошибочного приема
PeB
1
=
2
vZ′
∫
P (vZ S)dvZ +
∞
1
P (vZ S )dvZ . 2∫
(5.12)
vZ′
−∞
Это выражение можно записать через интеграл вероятности


 GDPC RL 
PeB = 1 − erf 
.  4 2[N ] RL 
SC
(5.13)
Мощность шумов на поднесущей может быть определена из
уравнения (3.19) при ограничении дробовыми шумами и при BSС =
= 2B0. Тогда имеем
 PC

+ DPB + ID  B0 RL .  2

[N ]SC = 4qG2  D
(5.14)
Приняв полосу выходного фильтра равной B0 = 1/τB, где τB –
длительность двоичного знака, можно записать вероятность ошибочного приема через среднее число «сигнальных» и «шумовых»
фотоэлектронов на двоичный знак.
Вероятность ошибочного приема при ограничении дробовым
шумом (рис. 5.3)



µ S,B
1 

, PeB = 1 − erf 


2 
 8 µ S,B + 2µ H,B 


(5.15)
где μS,B – среднее число фотоэлектронов, эмиттируемых в течение
длительности двоичного знака, обусловленных лазерным сигналом; μH,B – среднее число фотоэлектронов, эмиттируемых в течение длительности двоичного знака, обусловленных фоновым излучением и «темновым» током.
Для идеального приема при учете только дробовых шумов сигнала выражение (5.15) принимает вид

 µ

1 
 S,B 
PeB = 1 − erf 
 .
 8 
2 



(5.16)
Из уравнения (3.20) можно найти мощность шумов на поднесущей при ограничении тепловыми шумами
87
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇ
ÈÉÁ¾Å¹½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ1#
F
s
M)# s
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆǻƹ½»ÇÁÐÆÔÂÀƹÃM4#
Рис. 5.3. Вероятность ошибочного приема для КИМ-АМ-ИМ системы
связи с прямым детектированием при ограничении приема дробовым
шумом ( µ H,B – среднее число фотоэлектронов на двоичный знак,
обусловленное излучением фона и «темновым» током)
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ1#
F
s
s
s
3 - Ω
5‰ ,
T # s ʾÃ
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆǻƹ½»ÇÁÐÆÔÂÀƹÃM4#
Рис. 5.4. Вероятность ошибочного приема для КИМ-АМ-ИМ системы
связи с прямым детектированием при ограничении тепловым шумом
88
[N ]SC = 8kTB0 . (5.17)
Вероятность ошибочного приема при единичном усилении детектора может быть записана в виде


1
1 − erf  qµ S,B
PeB = 
 16
2




RL 

. 
kTτ B 


(5.18)
На рис. 5.4 приведена кривая изменения вероятности ошибочного приема для условия ограничения приема тепловыми шумами.
5.3. Кодово-импульсная система с модуляцией
по интенсивности и гетеродинным приемом
Структурная схема системы связи с кодово-импульсной модуляцией по интенсивности и гетеродинным приемом приведена на
рис. 5.5.
Передающее устройство системы аналогично передающему
устройству КИМ-ИМ системы связи с прямым детектированием.
При передаче двоичного знака, соответствующего «единице», на
выходе фильтра промежуточной частоты появляется синусоидаль
G
$
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
G
G
*'
W*'
3U
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 5.5. Структурная схема КИМ-ИМ системы связи
с гетеродинным приемом
1 – лазерный передатчик; 2 – модулятор по интенсивности; 3 – антенна
передатчика; 4 – антенна приемника; 5 – оптический полосовой фильтр;
6 – комбинирующая оптика; 7 – фотодетектор; 8 – электрический полосовой
фильтр; 9 – подмодулятор; 10 – лазерный местный гетеродин; 11 – линейный
детектор огибающей; 12 – фильтр детектора; 13 – пороговое решающее
устройство
89
ное колебание промежуточной частоты в смеси с шумами детектора; при передаче «нуля» на выходе фильтра наблюдается только шумовое напряжение. В системе могут быть использованы два
основных типа радиоприемников. В первом типе приемника, предназначенном для когерентного приема AM колебаний, необходимо
знание фазы сигнала промежуточной частоты; во втором типе приемника, предназначенном для некогерентного приема AM колебаний знание фазы сигнала промежуточной частоты не необходимо.
В последнем случае может быть использован метод порогового детектирования огибающей сигнала промежуточной частоты.
Согласно уравнению (3.38) напряжение сигнала на выходе
фильтра промежуточной частоты гетеродинного оптического приемника
vIF = GDAC A0 RL cos (ω0 − ω C )t + (Φ 0 − Φ C ) (5.19)
или для упрощения записи
vIF = A cos(ω IF t + Φ IF ), (5.20)
где G – коэффициент усиления детектора; D – коэффициент преобразования детектора; АС – амплитуда электрического поля несущей; ωС – угловая частота несущей; ω0 – угловая частота колебания местного гетеродина; ФС – фаза несущей; Ф0 – фаза колебания
местного гетеродина.
Фаза сигнала промежуточной частоты ФIF равна разности между фазами колебаний несущей и местного гетеродина. Для обеспечения когерентного детектирования по радиочастоте ФIF должна
быть постоянной или контролироваться с помощью системы фазовой автоподстройки. Это требует поддержания постоянства фаз колебаний оптической несущей и местного гетеродина. При использовании лазеров операция поддержания постоянства фаз является
трудно выполнимой, поскольку необходимо предъявить высокие
требования к стабильности излучения. Если необходимая стабильность фазы сигнала промежуточной частоты все же достигнута, то
в качестве второго детектора можно использовать электрический
синхронный детектор. Однако тогда, в свою очередь, более предпочтительно использовать гомодинный метод приема по сравнению с
гетеродинным. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в качестве второго детектора только некогерентный метод детектирования.
90
В качестве некогерентного приемника для приема AM колебаний может быть использован линейный детектор огибающей. Кроме того, также может быть использован квадратичный детектор поскольку здесь нет необходимости обеспечения линейности между
выходным сигналом второго детектора и амплитудой или интенсивностью несущей. Однако линейный детектор огибающей в данном случае предпочтительней квадратичного детектора.
В радиоприемнике с детектированием по огибающей (см.
рис. 5.5) огибающая сигнала на выходе фильтра промежуточной
частоты формируется линейным детектором огибающей. Двоичное
решение основано на превышении амплитуды огибающей порогового уровня, который предварительно устанавливается на основе
знания плотности вероятности огибающей. Напряжение шума на
выходе фильтра промежуточной частоты представляет собой узкополосный гауссовский процесс
vnIF = XC (t)cos(ω IF t + Φ IF )− XS (t)sin (ω IF t + Φ IF ), (5.21)
где дисперсия ХC и XS связаны с мощностью шума на промежуточной частоте [N]IF соотношением
σ2X = [N ]IF RL . (5.22)
Тогда сумма напряжений сигнала и шума на промежуточной частоте может быть выражена следующим образом:
vIF + vnIF = R (t)cos  ω IF t + Φ IF + ψ (t) , (5.23)
где огибающая сигнала и шума промежуточной частоты
2
R (t) =  XC (t)+ A  + XS2 (t). (5.24)
Фаза ψ(t) может быть легко выражена через параметры сигнала
и шума, однако в этом нет необходимости, поскольку последующий
анализ связан с выходным сигналом детектора огибающей R(t). Из
уравнения (П.2.52) условные плотности вероятностей значений
огибающей соответственно при передаче колебания несущей и отсутствия несущей (рис. 5.6):
P (R S)=
 R 2 + A2   AR 

 I0 
 exp
−

σ2X
2σ2X   σ2X 

R
(5.25)
91
13
134
134
35
3
Рис. 5.6. Условные плотности вероятности
для КИМ-ИМ системы связи с гетеродинным приемом
и
P (R S )=
 R 2 


exp
− 2 . 2

σX
 2σ X 
R
(5.26)
Отношение правдоподобия дает правило решения о наличии
сигнала промежуточной частоты при следующем условии:
P (R S) 1 − p
≥
,
p
P (R S )
(5.27)
где р – априорная вероятность передачи колебания несущей.
Если «единицы» и «нули» передаются с равной вероятностью,
то пороговый уровень огибающей RT (в соответствии с отношением
правдоподобия) находится путем решения трансцендентного уравнения
 A2 
 AR 


exp− 2  = I0  2 .  2σ X 
 σ X 
(5.28)
Хорошей аппроксимацией решения этого уравнения является
выражение
RT ≈ σ X 2 +
A2
4σ2X
.
(5.29)
Вероятность того, что огибающая смеси сигнала и шума превысит порог:
92
B
PSN
∞
=∫
RT
 R 2 + A2   AR 

 I0 
 dR. −
exp


2
2

σX
2σ X   σ2X 

R
(5.30)
Вероятность того, что огибающая только шума превысит порог:
PNB
∞
=∫
RT
 R 2 


exp
− 2  dR. 2
 2σ X 
σX
R
(5.31)
Выражение (5.30) может быть представлено посредством Qфункции Маркума:
где
 A R 
B
, PSN
= Q
,
σ

σ
X
X


(5.32)
∞
 a2 + x2 
 I0 (ax)x dx. Q[a, b ]= ∫ exp−

2 
b
(5.33)
Выражение (5.31) может быть упрощено непосредственно интегрированием или записано через Q-функцию:
 R 2 
 R 

PNB = exp− T  = Q 0, T  . 2
 σ 
 2σ X 
X

(5.34)
Таким образом, при передаче «нулей» и «единиц» с равной вероятностью, используя yравнение (4.2), можно найти вероятность
ошибочного приема двоичного знака:
 R 
 A RT  
1 
 . ,
PeB = 1 + Q 0, T  − Q 
(5.35)


σ
2 
σX 
σ X  
X


A
Отношение
равно отношению сигнал/шум на промежуточ2σ2X
ной частоте, которое при большом уровне мощности местного гетеродина, как следует из уравнения (3.43), сводится к виду
S
ηPC
  =
.
 N  IF hfC BIF
(5.36)
При BIF = 2B0 = 2 τ B и используя аппроксимацию (5.29), выражение (5.35) можно записать в виде
93
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ1#
F
s
s
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
ƹ½»ÇÁÐÆÔÂÀƹÃM4#
Рис. 5.7. Вероятность ошибочного приема
для КИМ-ИМ системы связи с гетеродинным приемом



µ S,B 
µ S,B  
1 
 µ
2
PeB = 1 + Q 0, 2 +
−
Q
,
+
. S
,
B

2 
4 
4 



 

(5.37)
На рис. 5.7 показан график вероятности ошибочного приема для
KИM системы с модуляцией по интенсивности и гетеродинным детектированием. При большом числе «сигнальных» фотоэлектронов
вероятность ошибки
 µ S,B 
1
. PeB ≈ exp−

2
8 
(5.38)
5.4. Кодово-импульсная система связи
с частотной модуляцией и гетеродинным приемом
В оптической КИМ системе с частотной модуляцией переносчиком дискретной информации является лазерное излучение двух
разных частот. Частоты несущей дискретно изменяются в соответствии с передачей «единицы» или «нуля». Структурная схема указанной лазерной системы связи, в которой использован гетеродинный метод приема, показана на рис. 5.8.
94
›ÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
3 3
›ÔÎǽƹØ
ÏÁÍÉÇ»¹Ø
ÁÆÍÇÉŹÏÁØ
Рис. 5.8. Структурная схема КИМ-ЧМ системы связи
с гетеродинным приемом
1 – лазерный передатчик; 2 – частотный модулятор; 3 – антенна передатчика;
4 – антенна приемника; 5 – оптический полосовой фильтр; 6 – комбинированная
оптика; 7 – фотодетектор; 8 – подмодулятор; 9 – лазерный местный гетеродин;
10 – электрические полосовые фильтры; 11 – линейные детекторы огибающей;
12 – вычитающее устройство; 13 – пороговое решающее устройство
Частота излучения лазера дискретно изменяется с помощью частотного модулятора, на вход которого подается цифровая информация. На входе приемного устройства излучение смешивается с
излучением местного лазерного гетеродина.
Гетеродинирование позволяет перенести информационный
спектр в диапазон промежуточной частоты. Затем некогерентный
ЧМ-приемник с двумя фильтрами демодулирует сигнал промежуточной частоты. Электрические полосовые фильтры настроены на
промежуточные частоты, соответствующие передаче «нуля» или
«единицы». Линейный детектор огибающей, установленный на
выходе полосового фильтра, дает сигнал, пропорциональный огибающей сигнала на выходе фильтра. Выходные сигналы детекторов
огибающей вычитаются в устройстве вычитания. Решение о передаче того или иного двоичного знака осуществляется по амплитуде
разностного сигнала. Напряжение сигнала на выходе фотодетектора при передаче «единицы»
v
= A cos (ω0 − ω C − ωd )t + (Φ0 − Φ C ) IF
и при передаче «нуля»
(5.39)
95
vIF = A cos (ω0 − ω C + ωd )t + (Φ0 − Φ C ) (5.40)
где A = GDACA0RL и ωd – девиация частоты.
Если выходной сигнал одного из полосовых фильтров состоит из
смеси узкополосного гауссовского шума и синусоидального сигнала промежуточной частоты, то выходной сигнал другого фильтра
есть узкополосный гауссовский шум. Следовательно, условные
плотности вероятностей значений огибающих на выходе детекторов соответственно:
 R 2 + A2   AR 
R


P (R1 S1 )= P (R2 S2 )= 2i exp− i 2  I0  2 i  (5.41)


σX
2σ X   σ X 

и
 R 2 
R

P (R2 S1 )= P (R1 S2 )= 2i exp− i2 .  2σ X 
σX
(5.42)
где σ2X = [N ]IF RL – дисперсия шума на выходе фильтра промежуточной частоты.
При передаче «единиц» и «нулей» с равной априорной вероятностью и вследствие симметрии канала пороговое значение разностного сигнала R2 – R1 равно нулю (оно определяется из отношения
правдоподобия). Следовательно, если R2 > R1 при передаче S1 (или,
если R1 >R2, при передаче S2), то принимается ошибочное решение.
Поскольку шумы в каналах не коррелированы, совместная плотность вероятности значений R1 и R2
P (R1, R2 Si )= P (R1 Si )P (R2 Si ) . (5.43)
Тогда вероятность ошибочного приема
PeB = P (R2 > R1 ) =
=
∞
∞
∫
∫
R1 =0 R2 >R1
R1
σ2X
 R 2 + A2   AR  R
 R 2 



exp− 1 2  I0  2 1  22 exp− 22  dR1dR2 , (5.44)
 2σ X 
2σ X   σ X  σ X

интегрирование по R1 дает выражение
PeB =
96
∞
∫
R1
R1
σ2
=0 X
 2R 2 + A2   AR 

1
 I0 
exp− 1 2
 2  dR1, 


2σ X   σ X 
(5.45)
›¾ÉÇØËÆÇÊËÕÇÑÁºÇÐÆǼÇÈÉÁ¾Å¹
½»ÇÁÐÆǾ½ÁÆÁÏÔ1F#
s
s
s
s
ªÉ¾½Æ¾¾ÐÁÊÄÇÊÁ¼Æ¹ÄÕÆÔÎÍÇËÇÖľÃËÉÇÆÇ»
ƹ½»ÇÁÐÆÔÂÀƹÃM4#
Рис. 5.9. Вероятность ошибочного приема для КИМ-ЧМ системы связи
с гетеродинным приемом
которое сводится к неожиданно простому виду:
 A2 
1

. PeB = exp−
2
 4σ2X 
(5.46)
Аргумент экспоненты есть отношение сигнал/шум по промежуточной частоте. При высоком уровне мощности излучения местного гетеродина вероятность ошибочного приема может быть записана в виде
 µ S,B 
1
. PeB = exp−

2
4 
(5.47)
На рис. 5.9 приведен график вероятности ошибочного приема
для КИМ-ЧМ системы связи.
97
6. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ
6.1. Методологические основы оптимизации
Проблема оптимального проектирования лазерных систем передачи информации может быть достаточно полно решена лишь при
выработке научно обоснованных методологических принципов
проектирования. Кроме решения таких очевидных вопросов, как
выбор методов модуляции и приема, инженер должен выбрать рабочую частоту системы и обосновать выбор таких параметров, как
мощность лазерного передатчика, диаметр апертуры антенны передатчика, диаметр апертуры приемной антенны и поле зрения приемного устройства. Выбор этих параметров должен быть сделан на
основе минимизации общей стоимости системы связи.
Методы оптимизации существенным образом зависят от различных типов лазерных связных систем и различных целей, для
которых предназначены эти системы. Однако в общем случае инженер в ходе проектирования должен пытаться обеспечить наилучшее качество воспроизведения информации, максимальную
дальность действия системы и максимальную скорость передачи
информации при наименьшей общей стоимости системы. Общая
стоимость системы включает стоимость изготовления компонентов (подсистем, узлов или блоков) системы плюс, в случае космического применения, затраты на размещение компонентов на
борту космического аппарата, исчисляемые в стоимости на единицу веса.
Для аналоговых систем связи качество передачи информации
в основном характеризуется отношением сигнал/шум. Для импульсных и цифровых систем качество передачи информации характеризуется вероятностью ошибочного приема «отсчета» или
двоичного знака. В этой главе методы оптимизации разрабатываются только для импульсных и цифровых систем. Полученные результаты легко можно использовать для аналоговых систем.
Информация, требуемая для оптимального проектирования систем, как показано на рис. 6.1, может быть получена из: 1) анализа
стоимости изготовления, весовых соотношений и требуемых источников мощности (энергообеспечения) для компонентов систем
связи и 2) анализа канала связи, который включает вывод соотно98
Рис. 6.1. Логическая программа оптимизации системы связи:
1 – анализ компонентов (подсистем) системы связи; 2 – анализ канала связи;
3 – оценка системы связи
шений между параметрами системы, учет влияний шумов и окружающих условий.
При этом анализ компонентов системы связи включает анализ
антенны передатчика, антенны приемника, системы нацеливания
передатчика, системы нацеливания приемника, анализ самого
передатчика, системы энергообеспечения передатчика, системы
энергообеспечения приемника и собственно анализ параметров передатчика и приемника. Анализ канала связи предполагает оценки
влияния фонового излучения и влияния атмосферы. Оценка системы связи в целом обеспечивается расчетом вероятности ошибочного приема в функции от параметров системы и оценкой стоимости
подсистем в функции от параметров системы и оптимизационной
стоимости системы.
Процедура оптимизации состоит в разработке и анализе соотношений между стоимостью компонентов системы и значениями
главных параметров системы – мощностью передатчика, диаметром антенны передатчика, диаметром антенны приемника и полем
зрения приемного устройства. Затем для конкретного применяемого приемника и специфических окружающих условий минимизируется вероятность ошибочного приема при учете стоимостных
соотношений для частных компонентов и при условии, что полная
стоимость системы остается фиксированной. Наконец, поскольку
дальность действия системы связи и скорость передачи информации являются монотонными функциями вероятности ошибочного
приема, следует, что максимум двух указанных параметров системы достигается при минимуме вероятности ошибочного приема.
Процедура оптимизации, описанная в этой главе, проста в принципе, хотя при конкретном исполнении является достаточно сложной. Как в любой проблеме оптимизации, точность решения ее зависит от точности и строгости задания функций стоимости. Можно
99
возразить, что оценка функций стоимости отдельных компонентов системы является во многом предположительной или субъективной и поэтому результаты решения проблемы оптимизации
являются сомнительными. Контраргументом этого утверждения
является то, что альтернативой процедуры оптимизации являются выбор параметров системы полностью случайным образом или
выбор методом проб и ошибок. Однако в практике проектирования
найдено, что функции стоимости компонентов системы с приемлемой точностью можно моделировать; кроме того, решения проблемы оптимизации не слишком чувствительны к точности задания
функций стоимости.
Анализ компонентов системы связи
Расходы по стоимости изготовления, весу и энергообеспечению
компонентов системы можно выразить в виде функций от главных
параметров системы – диаметра антенны передатчика, мощности
передатчика, диаметра антенны приемника и поля зрения приемной системы.
Рабочая длина волны, скорость передачи информации и другие
особенности работы системы связи (такие, например, как место
расположения передатчика или приемника – на Земле или на борту космического аппарата) определяют природу функциональных
зависимостей между главными параметрами системы и расходами
на компоненты системы. На практике эти зависимости моделируются степенными рядами, что облегчает выкладки и вычисления.
Функциональные соотношения между расходами и параметрами
системы показаны в табл. 6.1 и обсуждаются ниже.
Антенна передатчика. Вес и стоимость изготовления оптической антенной системы передатчика зависят от диаметра антенны. Обычно антенна передатчика проектируется так, чтобы расходимость луча определялась дифракционным пределом. Этим
самым достигается максимальная пространственная плотность
мощности на приемнике. Для малых передающих антенн вес их
пропорционален площади и, следовательно, пропорционален квадрату диаметра. Для больших антенн, если последние снабжены
оборудованием, обеспечивающим необходимую жесткость конструкции для работы на дифракционном пределе, вес пропорционален объему.
100
Таблица 6.1
Соотношения расходов на оптическую систему связи
Компоненты оптической
системы связи (узлы,
подсистемы)
Факторы,
характеризующие
расходы
Антенна передатчика
Вес
Стоимость изготовления
Вес
Стоимость изготовления
Вес
Стоимость изготовления
Энергообеспечение
Вес
Стоимость изготовления
Энергообеспечение
Вес
Стоимость изготовления
Энергообеспечение
Вес
Стоимость изготовления
Вес
Стоимость изготовления
Антенна приемника
Система нацеливания
антенны передатчика
Система нацеливания
антенны приемника
Передатчик
Система энергоснабжения передатчика
Система энергоснабжения приемника
Зависимость факторов,
характеризующих расходы,
от следующих параметров
dT
PL
dR
θR
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Приемная антенна. Вес и стоимость изготовления оптической
системы приемника зависят от диаметра антенны. Поскольку приемная антенна не всегда проектируется для условий работы на дифракционном пределе, ее конструкция и точность поддерживающей механической структуры не так жестко и напряженно связаны, как для передающей антенны.
Система нацеливания антенны передатчика. Типичная система нацеливания состоит из блока карданова подвеса, на который монтируется антенна передатчика, и соответствующей
системы управления, которая нацеливает антенну в сторону приемника. Вес системы нацеливания антенны передатчика относительно слабо зависит от точности нацеливания; ее вес пропорционален весу антенны передатчика, который, в свою очередь, зависит от диаметра антенны передатчика. Стоимость изготовления
оборудования нацеливания обратно пропорциональна ошибке
нацеливания передатчика. Ошибка нацеливания обычно опреде101
ляется в процентах от ширины луча передатчика. Так как антенна передатчика изготавливается исходя из условий работы
на дифракционном пределе, то стоимость изготовления оборудования нацеливания пропорциональна диаметру апертуры передатчика. В этом случае ширина луча обратно пропорциональна
диаметру.
Требуемая электрическая мощность для системы нацеливания
антенны передатчика в основном зависит от веса антенны.
Система нацеливания антенны приемника. Вес системы нацеливания приемника слабо зависит от точности нацеливания приемника; ее вес пропорционален весу антенны приемника, который,
в свою очередь, зависит от диаметра приемной антенны. Стоимость
изготовления оборудования нацеливания приемника обратно пропорциональна величине ошибки нацеливания приемника. Последняя определяется в процентах от поля зрения приемника. Величина мощности, требуемой для обеспечения функционирования
системы нацеливания приемника, в основном зависит от веса приемной антенны.
Передатчик. Для данной длины волны излучения (в определенных пределах) вес и стоимость лазерного передатчика зависят от мощности передатчика. Требуемая электрическая входная
мощность прямо пропорциональна выходной мощности передатчика.
Система энергообеспечения передатчика. Стоимость изготовления и вес системы электрического энергообеспечения и аппаратуры преобразования энергии в передатчике зависят от потребляемой
электрической мощности системы нацеливания антенны, передатчика и модулятора.
Система энергообеспечения приемника. Стоимость изготовления и вес системы электрического энергообеспечения и аппаратуры преобразования зависят от требуемых мощностей системы нацеливания и аппаратуры связного приемника.
Параметры передатчика и приемника. Передатчик и приемник характеризуются следующими параметрами:
η – квантовая эффективность фотодетектора;
G – усиление фотодетектора по току;
ID – темновой ток;
RL – нагрузочное сопротивление приемника;
Bi – полоса пропускания входного оптического фильтра;
В0– полоса пропускания выходного фильтра приемника;
102
τt – коэффициент пропускания оптики передатчика;
τr – коэффициент пропускания оптики приемника;
Т – температура приемника.
Анализ канала связи
Влияние фонового излучения. Уровень фонового излучения характеризуется спектральной плотностью мощности, приходящейся на единицу частоты и на единицу телесного угла. Мощность
фонового излучения на входе оптического приемника находится
интегрированием фоновой спектральной облученности по полосе
входного фильтра и по полю зрения приемника.
Влияние атмосферы. При распространении оптических сигналов в атмосфере наблюдаются потери, обусловленные поглощением
и рассеянием излучения частицами атмосферы. Эти потери количественно характеризуются коэффициентом пропускания атмосферы
τa, значение которого зависит от рабочей длины волны. В случае
использования гетеродинного или гомодинного оптического приемника необходимо помнить, что турбулентность атмосферы накладывает предел на размер приемной апертуры.
Оценка системы связи
Вероятность ошибочного приема. Для каждого типа приемника
вероятность ошибочного приема может быть выражена в зависимости от мощности лазерного передатчика, диаметра антенны передатчика, диаметра антенны приемника, поля зрения приемника,
параметров приемника, уровня фонового излучения, температуры
приемника, полосы пропускания приемника, характеристик трассы канала, рабочей длины волны и дальности связи.
Стоимость системы в функции параметров системы. Полная
стоимость системы связи, зависящая от главных параметров системы, есть сумма стоимостей изготовления отдельных компонентов
системы плюс «весовая» стоимость размещения каждого компонента на борту космического аппарата (в случае космического применения). Эту полную стоимость системы можно разделить и выразить через составные функциональные соотношения, зависящие
от соответствующих главных параметров системы. Напомним, что
103
главными параметрами системы связи являются диаметр антенны
передатчика dT, диаметр приемной антенны dR, мощность передатчика PL, поле зрения приемника θR.
Примем следующие обозначения:
СT – часть полной стоимости системы, зависящая только от диаметра антенны передатчика и слагающаяся из стоимости изготовления и «весовой» стоимости антенны передатчика и стоимости
изготовления и «весовой» стоимости оборудования нацеливания
передатчика и соответствующей аппаратуры энергообеспечения;
СR – часть полной стоимости системы, зависящая только от диаметра антенны приемника, и слагающаяся из стоимости изготовления и «весовой» стоимости приемной антенны и «весовой» стоимости оборудования нацеливания приемника и соответствующей
аппаратуры энергообеспечения;
CQ – часть полной стоимости системы, зависящая только от поля
зрения приемника и включающая стоимость изготовления оборудования нацеливания приемника;
CG – часть полной стоимости системы, зависящая только от
мощности передатчика и слагающаяся из стоимости изготовления
и «весовой» стоимости передатчика и соответствующей аппаратуры энергообеспечения.
Назовем сумму приведенных выше стоимостей оптимизационной стоимостью CV:
CV = СT + СR + CQ + CG.
(6.1)
Оптимизация стоимости системы. Распределение стоимостей
элементов системы можно оптимизировать минимизацией вероятности ошибочного приема в функции главных ее параметров для
фиксированной дальности действия при условии, что оптимизационная стоимость CV остается постоянной. В соответствии с методом
неопределенных множителей Лагранжа запишем выражение
Q = Pe + λ (CV – СT – СR – CQ – CG),
(6.2)
где Q и λ – константы, записанные в виде переменных.
Затем частные производные от Q по каждому из параметров системы (диаметру антенны передатчика dT, диаметру антенны приемника dR, мощности передатчика PL, полю зрения приемника θR)
приравниваются нулю:
∂P
∂C
∂Q
= e − λ T = 0, (6.3)
∂dT ∂dT
∂dT
104
(6.4)
∂P
∂C
∂Q
= e − λ R = 0, ∂dR ∂dR
∂dR
(6.5)
∂C
∂Q ∂Pe
=
− λ G = 0, ∂PL ∂PL
∂PL
(6.6)
∂CQ
∂Pe
∂Q
=
−λ
= 0. ∂θ R ∂θ R
∂θ R
Из уравнений (6.3)–(6.6) имеем
∂Pe ∂dT
∂Pe ∂PL
∂Pe ∂θR
∂Pe ∂dR
.
=
=
=
∂CT ∂dT ∂CG ∂PL ∂CQ ∂θR ∂CR ∂dR
(6.7)
Совместные решения этих уравнений дают выражения для оптимальных значений параметров системы в терминах оптимизационной стоимости СV. Для данного значения СV оптимальные значения
параметров системы обеспечивают максимально возможные скорость передачи информации и дальность связи при произвольном
значении отношения сигнал/шум. Решения уравнения (6.7) легко
находятся рекуррентным методом на цифровой вычислительной
машине. Кроме того, можно также найти решения, когда функции
стоимости системы СT, CR, CG и CQ известны только графически.
Следовательно, трудности математического моделирования функций стоимости системы могут быть успешно преодолены. Если один
из параметров системы является постоянным (например, фиксированный диаметр антенны приемника) или если значения одного параметра ограничены в размерах (определяемых технологическими
возможностями), то характеристическое уравнение или уравнения
содержат постоянный параметр, который просто исключается из
совместного решения.
6.2. Пример оптимального проектирования системы
В качестве примера, иллюстрирующего методологию процедуры
оптимизации, рассмотрим последовательность этапов оптимального проектирования цифровой системы связи, работающей на длине волны 10,6 микрон. В системе используется приемник прямого
детектирования, работающий в условиях ограничения тепловыми
105
шумами. Система предназначена для передачи данных с космического аппарата на Землю; дальность действия системы 106 км.
Оптимизация базируется на минимизации веса передающей системы при фиксированных параметрах приемника.
Анализ компонентов системы связи. На рис. 6.2–6.5 показаны
зависимости веса и требуемой мощности для компонентов (узлов)
передающей системы в функции диаметра антенны передатчика
и потребляемой мощности передатчика. На длине волны 10,6 мкм
соответствующие параметры системы равны следующим числовым
значениям:
– квантовая эффективность фотодетектора η = 0,50;
– коэффициент пропускания оптики передатчика τt = 0,8;
›¾ÊÍÌÆËÔ
Á¹Å¾ËɹÆ˾ÆÆÔȾɾ½¹ËÐÁù E 5 ÊÅ
›¾ÊÍÌÆËÔ
¨ÇËɾºÄؾŹØÅÇÒÆÇÊË՛Ë
Рис. 6.2. Вес антенны передатчика
›¾Ê
¨ÇËɾºÄؾŹØ
ÅÇÒÆÇÊËÕ
Á¹Å¾ËɹÆ˾ÆÆÔȾɾ½¹ËÐÁù E 5 ÊÅ
Рис. 6.3. Вес и потребляемая мощность оборудования
нацеливания передатчика
106
›¾ÊÍÌÆËÔ
¨ÇËɾºÄؾŹØÅÇÒÆÇÊË՛Ë
– коэффициент пропускания оптики приемника τr = 0,7;
– температура приемника T = 300°К;
– сопротивление нагрузки приемника RL = 100 Ом.
Анализ канала связи. Поскольку система связи работает в условиях ограничения тепловыми шумами, дробовые шумы фонового
излучения не учитываются в последующем анализе. На длине волны 10,6 мкм коэффициент передачи атмосферы τa = 0,7.
Оценка системы связи. Вероятность ошибочного приема двоичного знака оптическим приемником прямого детектирования, ра-
›¾Ê
¨ÇËɾºÄؾŹØ
ÅÇÒÆÇÊËÕ
¥ÇÒÆÇÊËÕȾɾ½¹ËÐÁù1-›Ë
Рис. 6.4. Вес и потребляемая мощность передатчика
›¾ÊÍÌÆËÔ
¨ÇËɾºÄؾŹØÅÇÒÆÇÊËÕ
Ⱦɾ½¹×Ò¾ÂÊÁÊ˾ÅԛË
Рис. 6.5. Вес системы энергообеспечения передатчика
107
ботающим в условиях ограничения тепловыми шумами, согласно
уравнению (4.13):
 qµ S,B
RL 
1 
, Pe = 1 − erf 
(6.8)
2 
2kTτ B 
 4
где μS,B – среднее число «сигнальных» электронов, эмиттируемых
фотодетектором в течение двоичного знака; τВ – длительность двоичного знака.
Среднее число сигнальных фотоэлектронов связано со средней
мощностью несущей соотношением
ητ
µ S,B = B PC . (6.9)
hfC
Используя выражение для мощности несущей и соотношение
(6.9) вероятность ошибки можно записать следующим образом:


2 2
På = 0,5
 1 − erf KT dT dR PL



(
где
KT =
ηq
128hfC

) , 

(6.10)
RL τ B τt τ a τr
.
2kT λ2 R 2
$5ËÔʽÇÄĹÉÇ»
На рис. 6.6 и рис. 6.7 показаны графики частных функций стоимости системы в зависимости от диаметра антенны передатчика и
мощности передатчика (для фиксированной «весовой» стоимости
размещения элементов передатчика на борту космического аппарата, составляющей 1000 долларов на фунт веса).
Á¹Å¾ËɹÆ˾ÆÆÔȾɾ½¹ËÐÁù E 5 ÊÅ
Рис. 6.6. Стоимость антенной системы передатчика СТ
108
$5ËÔʽÇÄĹÉÇ»
¥ÇÒÆÇÊËÕȾɾ½¹ËÐÁù1-›Ë
Рис. 6.7. Стоимость передающей системы СG
Процедура оптимизации осуществляется методом множителей
Лагранжа. Частные производные вероятности ошибки, выраженные через основные параметры системы:
)
(6.11)
∂Pe
2
2
= −2KT dT dR
PL exp −KT dT2 dR
PL . ∂dT
(6.12)
∂Pe
2
2
exp −KT dT2 dR
= −KT dT2 dR
PL . ∂PL
(
(
)
Из этих уравнений и учитывая (6.7), получаем следующую группу характеристических уравнений:
dT
∂CT
∂C
− 2PL G = 0, ∂dT
∂PL
СT + СR + CQ + CG = CV.
(6.13)
(6.14)
Метод решения характеристических уравнений для фиксированной оптимизационной стоимости состоит в следующем:
выбор пробного значения dT;
определение PL из уравнения (6.13);
если уравнение (6.14) удовлетворяется, то на этом процесс завершается; в противном случае необходимо повторить все шаги,
начиная с первого, для нового пробного значения dT.
На рис. 6.8 приведены зависимости значений оптимальных параметров системы в функции скорости передачи информации для
системы связи с полем зрения приемного устройства θR = 10–3 ра109
§ÈËÁŹÄÕÆÔ¾ÅÇÒÆÇÊËÕȾɾ½¹ËÐÁù1-›Ë
Á½Á¹Å¾ËɹÆ˾ÆÆÔȾɾ½¹ËÐÁùE5ÊÅ
¨ÉÁǼɹÆÁоÆÁÁ
ÅÇÒÆÇÊËÁ 1- ›Ë
E5
1-
¨ÉÁǼɹÆÁоÆÁÁ
ÅÇÒÆÇÊËÁ1- ›Ë
s
ªÃÇÉÇÊËÕȾɾ½¹ÐÁÁÆÍÇÉŹÏÁÁ1#
½»¾½Ê¾Ã
Рис. 6.8. Оптимальные значения параметров передающей системы
при весовой оптимизации (лазерная система связи работает
с приемником прямого детектирования при ограничении
тепловым шумом и при диаметре приемной антенны 600 см)
диан и с диаметром антенны приемника dR = 5 м. Как видно из
графиков, мощность передатчика в одном случае не ограничена и
ограничена максимальным значением 10 Вт в другом. Вероятность
ошибочного приема в рассматриваемом примере составляет 10–4.
110
7. ФАЗОВЫЕ МОДУЛЯТОРЫ, УПРАВЛЯЕМЫЕ СИГНАЛАМИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
В подавляющем большинстве ПВМС, управляемых сигналами
электрического тока, наиболее широко используется пьезоэлектрический эффект. Его суть кратко проиллюстрируем на примере
наиболее известного пьезоматериала – пьезокерамики, которая
представляет собой поликристаллическое тело с хаотически распределенными полярными осями отдельных кристалликов. При
воздействии сильного постоянного внешнего поля (поляризация)
материал приобретает пьезоэлектрические свойства: сегнетокерамика становится пьезокерамикой. С физической точки зрения
в процессе поляризации происходит переориентация в доменах и
появляется общая для всех кристалликов результирующая поляризация, которая сохраняется в керамике длительное время после
прекращения воздействия внешнего поля.
Из пьезокерамики изготавливают монолитные деформируемые
зеркала, а также силовые приводы различной конфигурации и размеров. Ниже описываются некоторые типы таких приводов и зеркал,
а также кратко принципы их работы и основные пространственновременные характеристики. В частности, описываются первичные
зеркала, деформируемые как механическими силами, связанными
с несущей конструкцией, так и механическими моментами, создаваемыми с помощью кронштейнов. Рассматриваются такие модуляторы света, как сегментированные, пластинчатые, монолитные
и биморфные деформируемые зеркала, фазовые модуляторы типа
матриц Брэгга, пленочные зеркала, а также устройства фазовой
коррекции, управляемые модулированным по интенсивности электронным пучком.
7.1. Классификация устройств коррекции
волнового фронта
Рассмотрим вопрос о систематизации устройств коррекции волнового фронта, которые будут описаны далее.
Для классификации может быть предложено много различных
признаков. В частности, иногда сравнивают различные устройства по
таким характеристикам, как дифракционная эффективность, вид модуляции, пространственное разрешение, контраст, чувствительность,
линейность, оптическое качество и т. д. Однако основывать класси111
фикацию на этих или им подобных признаках не всегда удобно, так
как, с одной стороны, они характеризуют лишь отдельные свойства
ПВМС, а с другой – их конкретные значения постоянно изменяются
в зависимости от уровня научных исследований и технологии. Поэтому при составлении классифицирующей схемы (рис. 7.1) был принят
принцип сопоставления устройств по их конструктивным особенностям и характеру компенсируемых ими фазовых искажений.
Самое верхнее структурное деление соответствует двум возможным режимам функционирования фазовых корректоров. Оно отражает тот факт, что в большинстве случаев качество работы оптической системы решающим образом зависит от ее габаритов, окружающих условий и случайных воздействий. В настоящее время
среди таких систем можно назвать, например, большие наземные
телескопы, угловое разрешение которых ограничено атмосферной
турбулентностью, и большие, в основном орбитальные телескопы,
подверженные действию крип-деформаций, переменных тепловых
и механических нагрузок.
В первом случае для устранения фазовых неоднородностей используются так называемые вторичные корректоры, во втором – деформируется поверхность самого орбитального зеркала. Активное
управление первичными зеркалами приемных и передающих оптических систем предназначено главным образом для регулировки
профиля поверхности. Диаметры таких отражателей – от единиц до
нескольких метров [7] и имеют полосу пропускания порядка 1 Гц.
Вторичные корректоры устраняют быстрые искажения волнового
фронта и имеют полосу пропускания порядка 1 кГц и более. Если они
выполнены в виде вибрирующих зеркал, то диаметр последних обычно не превышает 25 см. При таких габаритах устройства частоты его
собственных резонансов расположены вне области рабочих частот.
Следующий структурный уровень соответствует двум возможным вариантам реализации основной функции корректора, заключающейся в изменении формы волнового фронта. Волновой
фронт представляет собой поверхность, ортогональную заданному
семейству лучей, все точки которой характеризуются одинаковой
длиной оптического пути до источника. Таким образом, существует возможность управления фазой световой волны с помощью изменения либо разности хода лучей при постоянном значении показателя преломления, либо скорости распространения. Согласно
этому вся совокупность известных модуляторов разбивается на два
широких класса: «отражающие» и «преломляющие».
112
113
ªÇºÊË»¾ÆÆ¹Ø ÍÇËÇÈÉǻǽÁÅÇÊËÕ ¨ÇÄÁÃÉÁÊ˹ÄÄÔ
£ÉÁÊ˹ÄÄÔ
¶Ä¾ÃËÉÇÇÈËÁоÊÃÁÂ
ÖÍ;ÃË
ŸÁ½ÃÁ¾ÃÉÁÊ˹ÄÄÔ
­¹ÀǻԾÅǽÌÄØËÇÉÔ
®¹ÄÕÃǼ¾ÆÁ½ÆÔ¾
Ê˾ÃĹ
ŸÁ½ÃÁ¾ÈľÆÃÁ
¾ÉùÄÕƹØ
ÈÇ»¾ÉÎÆÇÊËÕ
§Ëɹ¿¹×ÒÁ¾
ÁÍɹÃÏÁÇÆƹØ
ɾѾËù
§Ëɹ¿¹×ÒÁ¾
«¾ÉÅÇÈĹÊËÁÃÁ
¶Ä¹ÊËÇžÉÔ
¨ÇȾɾÐƹØ
¹ÃÌÊËÁоÊùػÇÄƹ
¨ÉǻǽØÒÁ¾ÈľÆÃÁ
¥¾ÅºÉ¹ÆƹØɾѾËù
šÁÅÇÉÍÔ
©¾¿ÁÅ
ɹºÇËÔ
¥¾ËǽÔ
ÌÈɹ»Ä¾ÆÁØ
¥ÇÆÇÄÁËÆÔ¾
¾ÉùÄÕƹØ
ÈÇ»¾ÉÎÆÇÊËÕ
ª¾¼Å¾ÆËÁÉÇ»¹ÆÆÔ¾
¨Ä¹ÊËÁÆйËÔ¾
¨¾É»ÁÐÆÔ¾
Рис. 7.1. Схема классификации фазовых модуляторов
¨É¾ÄÇÅÄØ×ÒÁ¾
£ÉÁÊ˹ÄÄÔ
ÊÈÉÁʹ½Ã¹ÅÁ
­ÇËÇÎÉÇÅÔ
›ËÇÉÁÐÆÔ¾
­ÇËÇÈÉÁžÊƹØ
ÈÉǻǽÁÅÇÊËÕ
»ÌÎÍÇËÇÆÆǾ ÈǼÄÇÒ¾ÆÁ¾
­ÇËÇÎÁÅÁоÊÃÁ¾Á
ÍÇËÇÊËÉÌÃËÌÉÆÔ¾
Èɾ»É¹Ò¾ÆÁØ
«¾ÉÅÇùÈÁÄÄØÉÆÔÂ
ÖÍ;ÃË «¾ÈÄǻǾ ɹÀÅؼоÆÁ¾
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁÂ
ÖÍ;ÃË
­ÇËÇÆÍÇÆÇÆÆǾ
»À¹ÁÅǽ¾ÂÊË»Á¾
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁÂ
ÖÍ;ÃË
ª»ÇÂÊË»¹ QOȾɾÎǽ¹ §ºÉ¹ËÆÔ ÈÕ¾ÀÇÖÍ;ÃË
¥¹¼ÆÁËÇÊËÉÁÃÏÁÇÆ
ÆÔÂÖÍ;ÃË
©¹ºÇÐÁ¾
ÖľžÆËÔ
£ÇÆÊËÉÌÃËÁ»ÆÔ¾
ÇÊǺ¾ÆÆÇÊËÁ
­ÁÀÁоÊÃÁ¾
ÈÉÁÆÏÁÈÔ
Далее, в зависимости от типа перемещающегося элемента
в устройстве, следует различать отражающие зеркальные покрытия и движущиеся дифракционные решетки, создаваемые акустической волной и производящие брэгговское отражение света. Наконец, любое устройство в первой ветви может быть отнесено к одному из семейств, каждое из которых характеризуется одинаковым
конструктивным решением входящих в него элементов. Примером
таких семейств во второй ветви служат разнообразные модулирующие фазу материалы.
Нижняя ступень схемы группирует все многообразие устройств
по физическим принципам и эффектам, которые в них используются. Этот уровень важен и как никакой другой разрастается со
временем вширь по мере развития технологии и внедрения новых
физических принципов модуляции.
Приведенная схема не претендует на совершенство и представляет собой лишь результат попытки создания по возможности рациональной и не закрытой для устройств будущего схемы классификации всего многообразия модуляторов.
В заключение отметим, что общий взгляд на развитие активной оптики за последние 10 лет позволяет выявить определенные
тенденции. Так, в устройствах коррекции от применения сосредоточенных элементов (линз, участков зеркала), перемещаемых как
целое, перешли к распределенной коррекции, которая осуществляется деформируемыми зеркалами. Устройства управления большими (первичными) зеркалами также эволюционизировали от отдельных поршней и приводов [7], для которых нужна стабильная
опорная плоскость, к силовым и изгибающим приводам, для которых она не требуется.
Наряду с движением в этих направлениях как за рубежом, так
и в нашей стране непрерывно совершенствуются модуляторы, использующие и классические электрооптические эффекты, и сравнительно недавно открытые явления фотохимических и фотоструктурных превращений.
7.2. Первичные зеркала с силовыми
и создающими механические моменты приводами
Уже со времен Ньютона зеркала для отражательных телескопов
изготовлялись полировкой достаточно твердых субстратов, спо114
собных хорошо сохранять желаемую форму отражающей поверхности. В качестве таковых брались сначала металлы и их сплавы.
Позднее было найдено, что зеркальная поверхность этих элементов
практически всегда деформируется вследствие тепловых градиентов во внешней среде. Сначала стекло, а затем и специальные стеклообразные материалы вытеснили металлы. Это, в частности, произошло и вследствие меньшей плотности стекла, пирекса и кварца
по сравнению с плотностью сплава меди и олова, используемого в
первых отражателях. В самое последнее время стали использовать
алюминиевые и бериллиевые сплавы из-за их малого удельного
веса. Однако параметры этих материалов, ответственные за деформацию ползучести, оставляют желать лучшего и по сегодняшний
день. Кроме того, большие зеркальные телескопы даже с малой деформацией ползучести обладают значительной неучтенной гибкостью, что в свою очередь диктует необходимость сооружения для
них подчас громоздкой и дорогостоящей крепежной системы. По
мере роста интереса к большим астрономическим телескопам, имеющим малую массу, хорошее оптическое качество и относительно
большой диапазон возможных смещений поверхности (до 1 мм), на
повестку дня встал вопрос разработки принципов управления и методов создания зеркал с контролируемым профилем поверхности.
Одной из первых разработанных и экспериментально проверенных активных оптических систем была трехсегментная зеркальная структура диаметром 56 см [7], в которой на каждый сегмент
поверхности приходилось три привода, позволяющих корректировать среднее положение и наклон каждого зеркального элемента
(рис. 7.2).
Рис. 7.2. Трехсегментное первичное зеркало:
1 – сегменты; 2 – силовые приводы
115
Каждый сегмент такой системы соединяют, по крайней мере,
в трех точках с силовыми приводами, которые могут быть общими для соседних сегментов. В результате каждый сегмент может
двигаться поступательно, а также приобретать дополнительные
угловые перемещения при вращении вокруг координатных осей
системы. Форма каждого сегмента при нормальном режиме работы должна оставаться неизменной, т. е. быть либо плоской, либо
частью сферы или параболоида. Это, естественно, предъявляет
определенные требования к жесткости материала. Если первые
зеркала собирались из сплошных стеклянных сегментов, то сейчас
стремятся создавать облегченные конструкции из тонких отражательных элементов, соединенных с ребристыми или коробчатыми
структурами, имеющими значительную жесткость и малую массу.
Проектирование отражательного элемента включает в себя выбор материала, толщины пластины и расстояния между точками
воздействия приводов. При этом одним из основных параметров
материала является жесткость пластины D, зависящая от модуля
упругости Е (Н/м2), коэффициента Пуассона μ и толщины пластины d (м) следующим образом: D = Ed3/[12(1–μ2)].
Для крупных зеркал расстояние между точками крепления
определяется допустимым прогибом, который может возникнуть
при оптической полировке и наличии ускорений.
Разбиение на отдельные сегменты наиболее приемлемо для метровых в диаметре устройств. Для первичных зеркал меньших
диаметров предпочтительнее использовать структуры из тонких
пластин со сплошной поверхностью и дискретными приводами.
Расстояние между приводами определяется пространственной частотой ожидаемых деформаций.
Профиль зеркала может контролироваться как силами, действующими непосредственно по нормали к его поверхности, так
и силами, действующими через жесткие кронштейны и вызывающими изгиб его поверхности. В первом случае возникающие силы
реакции зеркала действуют на общую опорную плиту, во втором –
внешней реакции со стороны опоры не возникает.
В литературе [7] изучалась закономерность поведения зеркала под
нагрузкой при статическом взаимодействии приводов. Исследуемая
поверхность представляла собой сферическое зеркало диаметром 30,5
см, толщиной 0,3 см и радиусом кривизны 152 см. В ходе численного
эксперимента изучалась способность программы адекватно описывать поведение всей структуры. Поверхность зеркальной пластины за116
™š›œ

œ
›
š
™
Y
Yœ
Y›
Yš
Y™
Рис.7.3. Расположение узловых точек воздействия
на зеркальную пластину
давалась совокупностью элементов (узлов). Ожидаемые деформации
пластины вычислялись в предположении справедливости принципа
суперпозиции. Его суть состояла в том, что при произвольно распределенной силовой нагрузке на зеркало результирующий отклик его
поверхности может быть представлен в виде линейной суперпозиции
парциальных откликов от каждого привода в отдельности.
При анализе пластина считалась изотропной с линейной зависимостью деформации от приложенного усилия, а сами деформации предполагались малыми по сравнению с диаметром пластины.
Усилия прикладывались по нормали к поверхности в совокупности
точек, показанной на рис. 7.3.
Статическое состояние зеркала описывалось матрицей податливости F = (K–1), равной обратной матрице жесткости. Обычно эту
матрицу определяют либо экспериментально, либо расчетным путем для конкретного зеркала.
Экспериментальное устройство, использованное для подтверждения аналитических результатов анализа поведения сферического зеркала, изображено на рис. 7.4. Опорное устройство состояло из
трех стальных шариков. Расположение зеркала относительно этих
шариков варьировалось, причем в каждом случае использовалось
приспособление для балансировки зеркала. Силовое воздействие
на него создавалось посредством пружины. Результирующие изменения в профиле поверхности считывались перемещающимся датчиком магнитного сопротивления. Деформации регистрировались
и усреднялись по шести реализациям при двух конфигурациях расположения точек воздействия и шариков.
117
™
š
Рис. 7.4. Схема экспериментального устройства
по изучению тонкого сферического зеркала:
1 – зеркало; 2 – пружина; 3 – индикатор смещений; 4 – опорные шарики
В случае А опорные точки располагались в узлах 26, 27, 40
(см. рис. 7.3), а нагрузка подавалась на узел 31 и была равна 17,8 Н.
Для частичного устранения последствий неучтенного движения
опор и их неидентичности все смещения (z) точек зеркала давались
относительно плоскости, проходящей через узлы 1, 47, 51. Аналогичное соотнесение производилось и для численных результатов.
На рис. 7.5 и 7.6 показаны экспериментальные zЭ и теоретические zТ зависимости относительных смещений от нагрузки, приложенной соответственно в центральной и внеосевой точках поверхности. В обоих случаях показаны смещения пластины в пяти сечениях (А – А, ..., Д – Д).
Поскольку в перспективе намечалось контролировать форму
зеркала кинематическими держателями, расположенными по
краю зеркала, то было смоделировано и изучено поведение зеркальной пластины в схожих с этими условиях. Такой конструктивный подход к креплению зеркала налагает минимальное число
ограничений на степени свободы зеркала. В случае Б (см. рис. 7.3)
опорные шарики располагались в узлах 1, 47, 51. На рис. 7.7 и 7.8
показаны экспериментальные zЭ и теоретические zТ зависимости
относительных смещений от нагрузки, приложенной соответственно в центральной и внеосевой точках поверхности. В обоих случаях показаны смещения пластины в пяти сечениях. Расхождение
между экспериментальными и теоретическими значениями отклонений составило не более 10%.
118
[¶ [5 ÅÃÅ
)
¬ÀÄÔ
Y™
s
Yš
Y›
Yœ
Y
Рис. 7.5. Теоретические (. . .) и средние экспериментальные
(– – –) отклонения пластины для случая А (26, 27, 40, 31):
нагрузка приложена в центре
Использованная при вычислениях программа может быть с равным успехом применена и для исследования зеркала произвольных
размеров; при этом должно быть соблюдено взаимно-однозначное
соответствие между числом и расположением узловых точек этого
и контрольного зеркал. Как было указано ранее, матрица F находится в результате снятия замеров смещений поверхности во всех
узлах при единичной нагрузке, которая последовательно прикладывается к каждой точке расположения привода. Полагая уравнение z = FP справедливым (Р – вектор системы сил), полезную
информацию о характере контроля получают инвертированием F.
Тогда i-й столбец в K = F–1 описывает силовой профиль на зеркале, формирующий локальное смещение только в окрестности i-гo
119
[¶ [5 ÅÃÅ
)
Y™
Yš
Y›
Yœ
Y
Рис. 7.6. Теоретические (. . .) и средние экспериментальные (– – –)
отклонения пластины для случая А (8, 9, 22, 13): внеосевая нагрузка
узла и нулевые смещения во всех других узловых точках. Это дает
возможность построить методику управления зеркалом на основе
режима ортогональных мод. При таком подходе система управления состоит из L параллельных и независимых контуров, каждый
из которых должен быть устойчивым.
Рассмотрим поведение зеркала, профиль которого контролируется приводами, создающими изгибающие механические моменты.
Они могут прикладываться в дискретных точках через кронштейны (рис. 7.9) либо распределяться равномерно по всей поверхности
зеркала.
Тонкий диск (пластина), испытывающий воздействие двух равных и противоположных моментов сил, деформируется в соответствии с зависимостью
120
[¶ [5 ÅÃÅ
)
YА
s
Yš
Y›
Yœ
Y
Рис. 7.7. Теоретические (. . .) и средние экспериментальные (– – –)
отклонения пластины для случая Б (1, 47, 51, 31):
нагрузка приложена в центре
z(r,θ) = Mb[2log(r/a) + 2 + cos2θ]/(8pD), где z(·) – отклонение в точке {r,θ}; М – модуль каждого момента;
b – расстояние между точками приложения; D – жесткость пластины. Константа а устанавливает масштаб изменения переменной r.
Уравнение (7.1) справедливо, когда моменты приложены в точках,
значительно удаленных от края диска, и когда а мало по сравнению с радиусом пластины.
121
)
[ ¶ [ 5 ÅÃÅ
Y™
s
Yš
Y›
Yœ
Y
Рис. 7.8. Теоретические (. . .) и средние экспериментальные (– – –)
отклонения пластины для случая Б (1, 47, 51, 40): внеосевая нагрузка
Рис. 7.9. Схема изгибающего привода:
1 – пластина; 2 – кронштейн; 3 – силовой привод
122
Рис. 7.10. Расположение узловых точек воздействия
на зеркальный диск
В литературе [7] численными методами изучалось поведение диска, который имел диаметр 25,4 см, толщину 0,5 см, D =
= 22,2·102 Н·м.
Предварительно были вычислены отклонения поверхности
диска в случае, когда один момент действовал в центре (узел 1
на рис. 7.10), а другой – последовательно в точках, лежащих на
радиусе. Для каждого из восьми положений второго момента
вычислялись отклонения во всех 217 узлах решетки при двух
конфигурациях моментов: симметричной и антисимметричной
(рис. 7.11). В расчетах использовался момент с абсолютным значением 11,3 Н·м. При этом деформации оказались небольшими,
так что принцип суперпозиции полагался работоспособным. Для
его применения была создана картотека смещений зеркала, которая затем использовалась как базис для определения профиля
зеркала при произвольных моментах и их произвольном расположении на диске.
Необходимость задания числовой картотеки вытекала из возможности представления произвольной пары равных и противопо¸
¹
Рис. 7.11. Две возможные конфигурации моментов:
а) симметричный случай; б) антисимметричный случай
123
ложных моментов в качестве линейной суперпозиции симметричных и антисимметричных комбинаций моментов (рис. 7.12).
Действительно, каждый момент можно разложить на его радиальную и тангенциальную составляющие. В свою очередь каждую
компоненту можно «скомпенсировать» равным и противоположным вектором в центре диска, так что суммарный вектор в центре
от всех моментов будет равен нулю.
Пусть моменты M1и М2 приложены в узлах 603 и 631 (см.
рис. 7.10). Каждый вектор имеет тангенциальные (Мt1, Мt2) и радиальные (Мr1, Мr2) составляющие, которые искусственно «скомпенсированы» центральными векторами М′t1, М′t2, М′r1, М′r2, причем
всегда М′r1 + М′r2 + М′t1 + М′t2 = 0. Тогда, объединяя попарно (Мr2,
М′r2), (Мt2, М′t2), (Мr1, М′r1), (Мt1, М′t1), имеем каждый раз один из
двух уже известных случаев. Такой подход значительно уменьшает
машинное время, необходимое для вычисления профиля поверхности при произвольном М. Однако эта методика применима только
для односвязных в центральной области дисков с большим отношением их радиуса к толщине.
Для проверки предложенного метода использовалась ситуация,
когда моменты равномерно прикладывались одновременно по всему
внешнему контуру диска. При этом профиль зеркала приобретает
сферическую форму с известным радиусом кривизны. Единичный
момент прикладывался одновременно во всех узлах, расположенных по некоторой окружности пластины радиусом ρ. Сравнительный анализ нетрудно провести на основе табл. 7.1, в которой при¥ S
¥ 'U
¥
¥ 'U
¥ U
¥ '
¥ 'S
¥ 'S
¥ '
¥ r
¥
¥ U
Рис. 7.12. Схема, иллюстрирующая методику
разложения моментов
124
ведены отклонения zЭ и zT, полученные в предположении справедливости принципа суперпозиции при различных нормированных
радиусах выбранных окружностей.
Оптимальные расположения приводов в данном случае и в рассмотренном ранее, вообще говоря, не совпадают. Это происходит
по двум причинам. Во-первых, поверхность диска не закреплена.
Во-вторых, управление формой диска осуществляется прикладыванием механических моментов, а не ортогональных к поверхности зеркала сил.
Таблица 7.1
Отклонения zЭ и zT при различных нормированных радиусах
выбранных окружностей
ρ
zЭ ∙ 10–4
zT ∙ 10–4
0
0,125
0,25
0,375
0,5
0,625
0,750
0,875
1,000
0,000
0,146
0,582
1,310
2,329
3,639
5,240
7,133
9,316
0,000
0,145
0,583
1,312
2,333
3,645
5,250
7,150
9,343
Осесимметричное размещение трех силовых приводов создает
некое подобие сферичности (рис. 7.13), причем наилучшими фокусирующими свойствами зеркало будет обладать при равенстве всех
трех сил и тангенциальности моментов.
G
G
G
Рис. 7.13. Размещение силовых приводов при L = 3
125
Из табл. 7.2, составленной для этого случая, следует, что расчетная аппроксимация четвертым полиномом Цернике в лучшем
случае дает 10%-ную ошибку.
Таблица 7.2
Зависимость отклонения экспериментальных значений смещения
от теоретических, отнесенного к полному смещению для различных ρ
ρ
Отклонение экспериментальных значений смещения
от теоретических, отнесенное к полному смещению
среднеквадратическое Δ0
максимальное Δ1
0,375
0,500
0,625
0,750
1,000
0,102
0,097
0,097
0,103
0,122
0,367
0,400
0,424
0,435
0,470
С увеличением числа силовых точек ошибку предсказания удается уменьшить. Так, конфигурация с четырьмя (L = 4) силовыми точками при ρ = 0,75 обеспечивает точность Δ0 = 4,5 %, что составляет почти половину ошибки от случая, когда L = 3. При этом
астигматизм по двум независимым направлениям возможен при
попарной силовой независимости приводов (рис. 7.14).
При L = 6 возможны три варианта силовой связи узловых точек,
при каждом из которых достигается различный астигматический
эффект без ощутимого изменения фокусирующих характеристик
зеркала (рис. 7.15). Сравнение теоретических и экспериментальных результатов для конфигурации 1 дало Δ0 ≤ 3 % при f1 ≠ f2 ≠ f3.
G
G
Рис. 7.14. Размещение силовых приводов при L = 4
для создания астигматизма
126
На рис. 7.16 показаны фазовые соотношения трех сил, при соблюдении которых осуществляется «вращение» оси астигматизма.
В том случае, когда f1 = f2 = f3, относительное среднеквадратическое отклонение фокуса Δ2 = 0,013 при ρ = 0,75 и Δ2 = 0,019 при
ρ = 1,00. Зависимость Δ0 от угла астигматизма j при ρ = 0,75 (случай 1 рис. 7.15) показана в табл. 7.3.
Таблица 7.3
Зависимость среднеквадратического отклонения
экспериментальных значений смещения от теоретических, отнесенного
к полному смещению Δ0 от угла астигматизма j при ρ = 0,75
j, град
Δ0
0
15
30
45
60
0,027
0,026
0,027
0,027
0,027
Рис. 7.15. Три варианта связи шести (L = 6)
силовых точек воздействия
GG
G
G
¬¼ÇÄÇÊÁ¹ÊËÁ¼Å¹ËÁÀŹ¼É¹½
Рис. 7.16. Соотношение трех сил (L = 6),
формирующих астигматизм
127
В заключение коротко опишем устройства, деформирующие
первичные зеркала.
Жесткие приводы. Из всего многообразия жестких приводов для
регулировки положения наибольшее распространение получили
электромеханические (управляемые от электродвигателя винты) и
пьезоэлектрические устройства. Винтовые приводы используются
там, где простота и надежность важнее высокой точности. Для высокоточного управления профилем зеркал предпочтение отдается
упругим приводам.
Существует несколько разработанных типов пьезоэлектрических силовых приводов (рис. 7.17) [7].
Особый класс жестких приводов основан на использовании
«перистальтического» эффекта, заключающегося в преобразовании бегущей волны сжатия в полном цилиндре в осевое перемещение стержня, плотно прижатого к цилиндру. Такие устройства
(рис. 7.18) характеризуются большим полным диапазоном перемещения в сочетании с возможностью получения очень малых дискретных шагов, что позволяет регулировать положение с высоким
качеством разрешения.
Упругие приводы. Применение упругих приводов значительно
уменьшает влияние деформаций опорной плиты. Однако их использование возможно лишь при жесткой конструкции зеркала.
Усилие прилагается через пружину с постоянной жесткостью k,
¸
¹
º
»
Рис. 7.17. Виды пьезоэлектрических приводов:
а – диск; б – пакет; в – цилиндр; г – расщепленный цилиндр
128
так что нагрузка равна kx (х – перемещение привода). Жесткость пружины должна
быть меньше жесткости пластины зеркала,
в результате чего для получения заданного смещения поверхности зеркала требуется значительное перемещение привода.
Это является очевидным достоинством, так
как требуемые деформации зеркала обычно
весьма малы.
Приводы, создающие изгибающие моменты. В этом случае возможно применение пар
кронштейнов, между которыми прилагаются усилия, создающие равные по значению,
но противоположные по знаку изгибающие
моменты. Аналогичного эффекта можно добиться, если использовать пьезоэлектрический привод, непосредственно соединенный
с зеркалом.
Рис. 7.18. Схема силового
привода типа «гусеница»:
1 – твердый стержень;
2 – пьезоэлектрические
цилиндры, на которые последовательно подаются
электрические сигналы
7.3. Фазовые модуляторы на основе
брэгговских ячеек
Для коррекции волнового фронта в оптическом диапазоне могут
использоваться брэгговские ячейки. В них создается поперечная
акустическая волна с помощью пьезоэлектрического преобразователя. В результате ячейка начинает функционировать как объемная дифракционная решетка. При этом волны сжатия и растяжения, перемещаясь в среде со скоростью звука, вызывают в оптическом сигнале доплеровский сдвиг частоты и дифракционное отклонение пучка.
Рассмотрим плоскую световую волну с амплитудой U частотой
ω и волновым вектором k, распространяющуюся в прозрачной среде с показателем преломления n. Генерация звуковой волны (ЗВ)
в среде, распространяющейся вдоль координатной оси х, приводит
к вариациям показателя среды:
п(х,t) = n + Δnsin(Ωt + Kx + Ф),
(7.1)
где Δn – амплитуда изменения показателя преломления среды;
Ω – частота ЗВ; K – волновой вектор ЗВ; Ф – фазовая константа ЗВ.
129
Если материальный носитель звуковой волны сам пьезоэлектричен, то необходимость во внешнем генераторе волн отпадает, так
как подача переменного электрического сигнала вызывает изменение его плотности.
Световое поле E(r,t) в непроводящей и немагнитной среде при
малых брэгговских углах и Δn << 1 удовлетворяет волновому уравнению в скалярном виде [7]
(
)
∇2 E = 1 υ2 ∂2 ∂t2 E 1 + 2(∆n n)sin (Ωt − Kx + Φ ) ,
(7.2)
где D = En2(r) –электрическое смещение и υ = c/n – скорость света
в среде. При больших углах необходимо рассматривать векторное
волновое уравнение.
Пусть световая волна существует в области 0 ≤ z ≤ L, тогда световое поле
Eп(r,t) = ReUexp[j(ωt–kпTr)]
(z < 0).
(7.3)
Из периодичности п(х,t) по переменным, х, t следует периодичность А(х,z,t) – амплитуды светового поля:
Е(r,t) = Re A(x,z,t)exp[j(ωt–kTr)]
(z ≥ 0). (7.4)
Разлагая амплитуду A(∙) в комплексный ряд Фурье:
A (x, z,t) =
l=+∞
∑
l=−∞
Ul (z)exp  jl(Ωt − Kx) (7.5)
и подставляя в (7.4), получаем (рис. 7.19) поле в среде
E(r,t) = Re
l=+∞
(
)
Ul (z)exp  j ω l t − kT r 


l=−∞
∑
(z ≥ 0), (7.6)
где
ωl = ω + lΩ; kl = k + lK, K = (K,0,0).
(7.7)
Каждая l-я парциальная составляющая поля представляет собой плоскую продифрагировавшую волну, которая возникает при
поглощении или испускании одного или более звуковых фононов
падающей световой волной. Равенство (7.7) является аналитической записью законов сохранения энергии и импульса при фотонфононном взаимодействии. Отличие в частотах, равное lΩ, между
нулевой и l-й волнами, также может интерпретироваться как доплеровский сдвиг, обусловленный движением акустической волны. На каждую парциальную волну налагается условие
130
7Ω,
Y
W M LM
,
QM
WL
s
s
-
[
Рис. 7.19. Дифракция света на звуковой волне
U, l = 0;
Ul (0) = 
(7.8)
 0, l ≠ 0.
Подставляя (7.6) в (7.2) и пренебрегая вторыми производными
Ul(z) по z, получаем при Ω << ω уравнение Рамана – Ната для парциальных амплитуд
qUl dz + k∆n Ul−1 exp(jΦ )− Ul+1 exp(– jΦ ) (2n cos θ)=
(
)
= j kl2 − k2 Ul (2k cos θ).
(7.9)
Таким образом, звуковые волны низкой частоты ведут себя подобно движущейся оптической фазовой решетке, на которой свет
дифрагирует по обе стороны от направления падения. Однако на
звуковых волнах высокой частоты свет дифрагирует при условии,
что он падает на движущуюся решетку под углом, примерно равным брэгговскому (дифракция Брэгга). В подобных условиях могут
иметь место две ситуации.
Свет падает выше оси z. Из геометрических соображений
легко установить, что волновой вектор поля имеет компоненты
kT = (–ksinθ,0,kcosθ) и для волн на выходе ячейки kTl = (–ksinθ +
+ lK,0,kcosθ) (рис. 7.20, а). Тогда
dUl dz + k∆n Ul−1 exp(jΦ )− Ul+1 exp(−jΦ ) =
= jlK2  l − (2k K)sin θ Ul (2k cos θ).
(7.10)
131
¸
WL
Q
x
¹
Ω,
W L Q [
x
Ω ,
Q
W L
Qs
[
W sks
Рис. 7.20. Брэгговская дифракция световой волны,
падающей выше (а) и ниже (б) оси z
В брэгговской области дифракции sinθ ≈ K/(2k), и поэтому наблюдается дифракция в основном +1-го порядка. Следовательно,
(7.10) возможно записать в виде
dU0 dz − ξU1 exp(−jΦ ) = 0 (l = 0),
где
dU1 dz + ξU0 exp(+ jΦ ) = 2jΨU1 (l = 1),
ξ = ∆nk (n cos θ); Ψ = K2 (1 − (2k K)sin θ) (4k cos θ). (7.11)
(7.12)
Легко убедиться в том, что волна на выходе ячейки может быть
записана в виде
E1 = Re U1 exp  j  ω1t − k1T r   , 
(7.13)
 
где ω1 = ω + Ω; k1 = (K–ksinθ, 0, k cosθ);
U1 = U (ξ/ζ)sin(ζL)exp[j(p + Φ + ΨL)]; ξ = ξ2 + Ψ2 .
Отсюда непосредственно следует зависимость фазы и направления распространения волны Е1 от акустической фазы и частоты.
Усредненная по времени интенсивность этой составляющей есть
I1 = I(ξ/ζ)2sin2(ξL), где I = U2/2 – средняя интенсивность падающего света (рис. 7.21). Интенсивность волны максимальна при
падении света на ячейку под брэгговским углом θˆ sinθˆ = K (2k) ,
когда Ψ = 0. Близость θ к малому θ̂ позволяет воспользоваться разложением тригонометрических функций в выражениях для ξ и Ψ и
получить, что ξ ≈ pΔn/(nλ) и Ψ ≈ –pΔθ/Λ, где ∆θ = θ − θˆ. Таким образом, поле Е1 возникает под углом θ1 = θˆ − ∆θ.
Свет падает ниже оси z. При падении плоской волны из нижнего
по отношению к оси z положения (рис. 7.20, б) волновой вектор оптического пучка равен kT = (ksinθ, 0, k, cosθ) и для парциальных волн
(
132
kTl = (ksinθ + lK, 0, k cos θ). )
(7.14)
* 9
*
X- P
P
P
9-
Рис. 7.21. Зависимость отно­сительной интенсивности света
от параметров, характеризую­щих условия дифракции
Из уравнения вида
dUl dz = k∆n Ul−1 exp(jΦ )− Ul+1 exp(−jΦ ) (2n cos θ) =
= jlK2 1 + (2k K)sin θ Ul (2k cos θ),
следует, что брэгговской волне соответствует индекс l = –1.
В условиях брэгговской дифракции:
dU0 dz + ξU−1 exp(jΦ ) = 0; (7.15)
dU−1 dz − ξU0 exp(−jΦ ) = 2jΨU−1. (7.16)
На выходе световое поле
где
(
T
E−1 = Re U−1 exp  j ω−1t − k−
1r

) . U−1 = U (ξ ς )sin (ξL)exp  j (ΨL − Φ ) . (7.17)
(7.18)
При малых углах волна E–1 возникает под углом θ−1 = ∆θ − θˆ.
Кроме того, частота волны E–1 меньше частоты падающего излучения на значение акустической частоты.
Наиболее интересна ситуация, когда в ячейке одновременно
присутствуют две звуковые волны одной и той же частоты, но с разными длинами волн (Λ′ и Λ). Поскольку Ω = KV = 2pV/Λ, то волны
133
равных частот будут иметь различные длины волн, если их скорости распространения различны. Такого эффекта можно добиться
при использовании двух неидентичных по физическим свойствам
сред. Ввиду зависимости угла θ̂ от Λ и λ рассматриваемые звуковые волны характеризуются каждая своим брэгговским углом.
Если считать, что направления распространения двух звуковых
волн образуют угол, равный разности между их брэгговскими углами, то свет, прошедший сквозь одну звуковую решетку, будет падать на другую решетку также под брэгговским углом. Конечно,
это справедливо, если первая волна падает на первую ячейку также
под брэгговским углом.
Такие угловые соотношения между ячейками и пучком света гарантируют максимальную дифракционную эффективность фазового модулятора. Распространение света в подобных условиях можно
записать в строгой математической форме.
Если в среде генерируются две звуковые волны, то
Δп(х,t) = Δnsin(Ωt–Kx + Φ); Δn′(x′, t) = Δn′sin(Ωt–K′x′ + Ф′)
в объемах 0 ≤ z ≤ L и 0 ≤ t′ ≤ L′ соответственно. Угол между х и х′
равен разности брэгговских углов двух решеток. Падение световой
волны
Eп = ReUпexp[j(ωt–kпTr)]
с волновым вектором kпT = (–kпsinθп,0,kпcosθп) на двойную ячейку
(рис. 7.22) вызывает на ее выходе оптические колебания вида
E2д = Re U2дexp[j(ωt–kT2дr + Ф–Ф′)]
Y'
Y
O
O'
,'
['
,
[
-
-'
Ω
¤ Рис. 7.22. Дифракция световой волны на двойной брэгговской ячейке
(ЛЗ – линия задержки, регулирующая фазовый сдвиг)
134
с амплитудой

 

U2ä = Uï   π∆n (λ ï ξ) sin (ζL)    π∆n ′ (λ1ä ξ ′) sin (ζ ′L ′)  ×


  

(7.19)


×exp jπ 1–∆θï (L (nΛ )− L ′ (n ′Λ ′)) 
 
 
и волновым вектором
kT
2ä = (−kï sin θ2ä ,0, kï cosθ2ä ),
где
∆θï = θï − λ ï (2Λ ), λ1ä = 2πc (ω + Ω);
θ2ä = θï − λ ï Λ + λ1ä Λ ′;
12

2
2 

ζ = π   ∆n (λ ï ) +  ∆θï (nΛ )  ;


1 2
2
2 

ξ ′ = π   ∆n ′ (λ1ä ) +  ∆θï (n ′Λ ′)  .

 

Индексы «1д» и «2д» характеризуют световые волны на выходе
первой и второй ячеек.
Так как Ω << ω, то считается, что λ1д = λп, где λп = 2pс/ω.
Падающая световая волна и волна на выходе двойной ячейки когерентны, поскольку имеют равные частоты. При этом фаза световых колебаний на выходе ячейки определяется разностью фазовых
постоянных акустических волн. Угол θ2д, под которым пучок покидает вторую ячейку, отличается от первоначального θп на удвоенную разность брэгговских углов.
Варьированием акустической частоты удается параметр θ2д поддерживать фиксированным при изменяющемся во времени θп. При
отклонении угла прихода на dθп необходимая поправка к частоте
акустических колебаний в целях фиксации θ2д составляет
df = VV ′dθï  λ ï (V ′ − V ) ,
(7.20)
f = Ω (2π ), [Ãö ],
где V и V′ – скорости распространения двух звуковых волн.
Таким образом, варьируя частоту и относительную фазу звуковых колебаний, можно управлять фазой и направлением распространения волны Е2д. Генерация двух дополнительных волн,
распространяющихся вдоль осей у и у′, позволяет сформировать
135
4д-волну, направление и фазу которой также можно поддерживать
постоянными, но уже при произвольных изменениях наклона и
фазы падающего на ячейку светового пучка.
Для протяженных объектов угол падения θп имеет всегда конкретную максимальную величину. Это важно учитывать, поскольку фазовый сдвиг pΔθп[L/(nΛ)–L′/(n′Λ′)] волны E2д зависит от
угла падения. В ряде случаев этот сдвиг незначителен. Так, если
угловой размер объекта составляет 10–4 рад, а свет от центра объекта падает под брэгговским углом, то максимальное изменение
Δθп = 5·10–5 рад. Положив L = L′ = 2,5 см, п = п′ = 2, V = 4·105 см/с,
V′ = 5·105 см/с, f = 102 МГц, имеем максимальный фазовый сдвиг
10–2 рад, которым можно пренебречь.
Из (7.20) следует, что при падении световой волны под углом
5·10–5 рад требуемое изменение в акустической частоте составляет
1,66 МГц при λп = 0,6 мкм. Для приведенных выше значений λ, Λ,
−2
Λ′ угол θ̂ < 10 рад. Следовательно, при отклонениях угла падения
от брэгговского на 10–4 рад параметр
ΨL = –pL[Δθп/(nΛ)] < –0,1
и дифракционная эффективность близка к максимальной.
Если считать, что в ячейках отсутствует дифракция выше первого порядка, то на выходе ячейки наблюдается 16 световых пучков.
Среди них только один будет полностью скорректирован и один –
полностью искаженным. Угол между ними в плоскости (х,у) составляет θп – θ2д = 3·10–3 рад. Поэтому при угловом размере объекта 10–4 рад эти два пучка легко разделимы в пространстве.
Принципиальная возможность фазовой коррекции была подтверждена экспериментально [7].
Наиболее очевидными достоинствами брэгговских ячеек являются
их малая постоянная времени и отсутствие движущихся частей. В то
же время корректор, собранный на базе этих ячеек, обладает хроматизмом. Он выражается в независимости сдвига фаз от длины волны
света и пропорциональности ей угла отклонения выходного оптического сигнала. Кроме того, в устройстве неэффективно используется
энергетика входного излучения. Немаловажно и то, что устройство в
состоянии выполнять только одну дискретную регулировку фазы и
угла. Это в свою очередь требует наличия пространственной системы
ячеек. На качестве модуляции сказывается и затухание акустической волны при ее распространении в упругой среде, причем интенсивность поглощения не остается постоянной, а зависит от частоты и
136
температуры. Источником шума являются и пространственные искажения волны из-за температурных градиентов.
7.4. Фазовые модуляторы
на основе сегментированных зеркал
Наибольшее распространение при разработке активных зеркал
[1] получила пьезокерамика ЦТСЛ. Она создается из материалов
на основе твердых растворов цирконата-титаната свинца и характеризуется высокими значениями пьезомодулей и диэлектрической проницаемости, а также большой механической прочностью
и стойкостью к воздействию атмосферных факторов.
Одно из первых активных зеркал поршневого типа [1] было испытано в реальных условиях и продемонстрировало возможность
проведения с его помощью высокоточных астрономических измерений. Оно состояло из шести подвижных плоских зеркальных ячеек, способных перемещаться относительно друг друга. На
рис. 7.23 и 7.24 показаны соответственно один сегмент и составное зеркало в целом. Шесть отдельных элементов, каждый размером 1,25×1,9×0,5 см, составляют общую плоскость. Они покрыты
алюминием и установлены в ряд с интервалом 0,15 см на большой
Рис. 7.23. Схема одного сегмента составного зеркала:
1 – зеркальная пластина; 2 – пьезоцилиндр; 3 – электрический проводник;
4 – керамическая основа; 5 – юстировочные винты
137
Рис. 7.24. Схема составного сегментированного зеркала:
¹
§ËÆÇÊÁ˾ÄÕƹØ
ÁÆ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÕ
¸
§ËÆÇÊÁ˾ÄÕƹØÁÆ˾ÆÊÁ»ÆÇÊËÕ
1 – зеркальная пластина; 2 – пьезоцилиндр; 3 – электрический проводник;
4 – керамическая основа
S$J z L
s"
"
s"
"
Рис. 7.25. Распределение интенсивности в изображении точечного
источника когерентного излучения (а) и некогерентного излучения (б):
с коррекцией фазы (–); без коррекции (--)
138
плоской поверхности. Керамическая основа снабжена шестью закрепленными в ней столбиками, каждый из которых может поворачиваться с помощью одного из трех установочных винтов с целью
юстировки узлов между осями этих столбиков и задней плоскостью
основания. Шесть пьезоцилиндров приклеиваются к торцам этих
столбиков, а свободные торцы цилиндров образуют общую плоскость после того, как клей затвердеет. Затем к узлу приклеиваются с помощью эпоксидной смолы с низким коэффициентом расширения шесть зеркал. С помощью 18 установочных винтов и сигнала
смещения зеркала устанавливаются в одной плоскости. Время переключения одного сегмента 6·10–5 с. При напряжении смещения
±1 кВ поверхность зеркала смещается на ±2,5 мкм.
Для изучения возможностей зеркала компенсировать атмосферные фазовые искажения был проведен ряд экспериментов с источниками когерентного и некогерентного (тело накала) излучения
(рис. 7.25, а и б). Лабораторное окно и точечные источники света
находились на расстоянии 250 м друг от друга на противоположных сторонах каньона.
Численным моделированием было установлено, что небольшие
всплески вблизи ±2,5″ почти наполовину обусловлены идеальной
дифракционной картиной и наполовину – остаточными фазовыми
искажениями. Экспериментально установлено, что при перепадах
1
1
λ ÷ λ скорректированное изображение
поверхностей зеркал
20
5
качественно не изменялось.
Главным преимуществом поршневых зеркал является то, что
при их практическом использовании вся адаптивная оптическая
система оказывается нечувствительной к эффектам фазового 2pN
вырождения.
7.5. Фазовые модуляторы
на основе пластинчатых зеркал
В целях уменьшения искажений в скорректированном изображении, связанных с пространственной дискретизацией зеркальной
поверхности, можно использовать сплошную непрерывную поверхность, деформируемую силовыми приводами. Один из возможных
вариантов такого зеркала показан на рис. 7.26 [7].
В литературе [7] описано 7-элементное активное зеркало на базе
плоской кварцевой пластины толщиной 3 мм. Опорная плита тол139
Рис. 7.26. Схема пьезоэлектрического зеркала с непрерывно
деформируемой поверхностью:
1–отражающее покрытие; 2 – стекло; 3 – электроды; 4 – пьезоэлектрик;
5 – твердая подложка
щиной 25 мм изготавливалась из нержавеющей стали, коэффициент линейного расширения которой равнялся соответствующему
коэффициенту пластины. Семь дискретных приводов для регулировки положения представляли собой пьезоцилиндры, передающие
усилия через гибкие элементы, снабженные на концах шайбами
диаметром 3 мм для крепления к зеркалу. Сборка всего устройства
производилась последовательно от лицевой поверхности к задней.
Сначала пластина зеркала путем оптического контакта соединялась с плоским эталоном, затем к пластине через гибкие элементы
прикреплялась система приводов и, наконец, последние соединялись с опорной плитой. После завершения процесса склейки пластина зеркала отделялась от эталона и алюминизировалась.
Динамический диапазон зеркала составлял ±3 мкм при напряжении смещения ±1 кВ, среднеквадратическое отклонение от плоскости равнялось 0,1λ (λ = 0,63 мкм). Реализованный на практике частотный диапазон составил 700 Гц при первом резонансе на
частоте 800 Гц. Разновидность этого зеркала, но с 19 активными
элементами использовалась в непосредственных астрономических
наблюдениях и продемонстрировала хорошие результаты [7].
Активные зеркала, разработанные для решения практических
задач устранения фазовых искажений в передающих лазерных системах, с неменьшим успехом могут использоваться и в системах,
работающих на прием. Два устройства, разработанные именно для
таких передающих систем с многоканальной фазовой модуляцией,
описываются ниже. Надо отметить, что стоящие перед лазерной
передающей системой задачи налагают вполне определенный отпечаток на конструкцию и характеристики таких зеркал. Это является следствием того, что отражательные деформируемые элементы
140
в таких системах обычно должны выполнять две различные функции – фазовую коррекцию и фазовую модуляцию (дизер).
Для фазовой коррекции необходимыми условиями являются:
а) свободное перемещение поверхности зеркала на расстояние
минимум ±2λ;
б) свободная от резонансов частотная характеристика вплоть до
1 кГц.
Фазовая модуляция в свою очередь требует значительно меньшего амплитудного перемещения поверхности зеркала (0,1λ), но
более широкой частотной характеристики (~10 кГц).
Одновременно удовлетворить всем условиям можно, если использовать оптическую систему, состоящую из двух зеркал.
В ряде случаев при работе в видимом диапазоне при небольших уровнях мощности сигнала удается объединить обе функции
в одном зеркале. О двух конструкциях активных зеркал, пригодных для работы в таком режиме, сообщалось в литературе [7]. В ней
представлены некоторые измеренные рабочие характеристики двух
конструкций неохлаждаемых зеркал и обсуждается ряд аспектов,
на которые следует обращать внимание при расчете и применении
таких устройств в передающих лазерных системах.
Первое зеркало (рис. 7.27, а, б) целиком выполнено из бериллия
и имеет пьезоэлектрические приводы в виде пакетов дисков длиной
19 мм, диаметром 6,35 мм и расстоянием между ними 1,8 см. Каждый набор дисков предварительно устанавливается в специальную
ячейку, которая обеспечивает двунаправленное пружинное усилие,
что делает возможным перемещение плоскости зеркала внутрь и наружу. Зеркало имеет 37 индивидуальных приводов, расположенных
¸
¹
ÅÅ
ÅÅ
Рис. 7.27. Бериллиевое зеркало с L-37 приводами:
1 – контуры расположения осей приводов; 2 – деформируемое зеркало;
3 – электрический разъем; 4 – контуры приводов
141
согласно рис. 7.27, б. Каждый из них создает перемещение поверхности на расстояние 0,56 мкм при управляющем напряжении 300 В.
Функция отклика локального участка зеркальной поверхности,
связанного с одним приводом, показана на рис. 7.28 в координатах
«относительное смещение поверхности (z) – радиальное расстояние от центра привода (r)». Расстояние между приводами составляет 14 мм. Отклик зеркала зависит от расположения привода по
отношению к зажатому краю и имеет явный перекос в направлении
к этому краю. Эта асимметричность незначительна для нулевого,
первого и второго контуров приводов и ощутима для самого последнего, третьего. Эмпирическая функция отклика центрального привода имеет вид ехр[– аr1,5], где а – константа. Кривая охватывает
широкую область, и ее ординаты в точках, соответствующих центрам ближайших приводов, достигают 23% максимального значения, что на 3% превышает расчетное значение.
На рис. 7.29 приведены амплитудная и фазовая характеристики
центрального привода бериллиевого зеркала. Частотные характе¸
[
¹
[
S
S
Рис. 7.28. Функции отклика бериллиевого зеркала на воздействие
центрального привода (а) и привода внешнего третьего кольца (б):
1 – границы центрального привода; 2 – край свободной апертуры; 3 – наружный
край зеркала; 4 – эмпирическая функция отклика центрального привода
G½š
Jo
J
s
s
s
G
s
G ÜÏ
Рис. 7.29. Амплитудная и фазовая характеристика центрального
привода: g – относительная амплитуда (20 log V(f)/V(0))
142
ристики других приводов сходны с изображенной, за исключением
незначительных флуктуаций за частотой 20 кГц. Кривые снимались при синусоидальном управляющем напряжении. Частотная
характеристика зеркала, как это видно из графика, остается примерно плоской до 20 кГц. Интерферометрические измерения показали, что существенные изменения в фазовой и амплитудной
характеристиках появляются в диапазоне частот 20–50 кГц и связаны с колебаниями привода и фронтальной поверхности зеркала.
Заранее рассчитанные структурные резонансы низшего порядка
должны были находиться в диапазоне 3–10 кГц, а два главных резонанса системы «привод–фронтальная поверхность» предполагалось наблюдать на частотах 23,4 и 40,5 кГц.
Проведенные эксперименты продемонстрировали хорошее согласие реальных характеристик системы с расчетными. При заполнении пространства за пластинкой вязкой жидкостью, например
маслом, удается существенно подавить резонансные колебания поверхности и тем самым расширить рабочий диапазон частот вплоть
до 40 кГц.
Второе сконструированное зеркало (оно позднее было использовано в 18-канальной передающей лазерной системе) имело значительно более простую конструкцию, чем зеркало из бериллия
(рис. 7.30). Приводы из пьезокерамики размещались в пределах
шестигранника тремя контурами. В устройстве использовались
подложка из пирекса и фронтальная поверхность из молибдена. По-
Рис. 7.30. Деформируемое зеркало:
1 – фронтальная поверхность из молибдена; 2 – контуры приводов; 3 – подложка
из пирекса; 4 – электрические выводы; 5 – пластина с масляным уплотнением;
6 – гибкое уплотнение
143
добный выбор материалов был обусловлен сходством коэффициентов расширения этих элементов с коэффициентом расширения керамики, из которой были изготовлены приводы, представляющие
собой полые цилиндры длиной 12 мм и толщиной стенки 0,08 мм.
Вся конструкция заливалась эпоксидной смолой с целью создания
единой монолитной структуры.
Недостаток системы заключался в невозможности замены привода в случае его выхода из строя по какой-либо причине. В то же
время приводы бериллиевого зеркала могут легко сниматься для
замены и устанавливаться вновь на место при незначительном побочном воздействии на оптический профиль поверхности отражателя. Кроме того, общая температурная и вибрационная стабильность этого устройства оказалась также хуже, чем у бериллиевого
отражателя.
Главное достоинство конструкции состоит в ее простоте и относительно низкой стоимости. Характеристики зеркала вполне приемлемы для многочисленных практических задач, в которых требуются относительно малое число управляющих каналов (< 40) и
низкочастотная характеристика сервосистемы (< 200 Гц). Чувствительность устройства 1,2 мкм/кВ.
Функция отклика молибденового зеркала, показанная на
рис. 7.31, значительно отличается от аналогичной характеристики цельнометаллического зеркала (см. рис. 7.28). Она довольно хорошо аппроксимируется функцией ехр [–br2,5], где r – радиальное
расстояние от центра привода; b – численная константа. Значение
этой функции в точке, соответствующей центру ближайшего привода, составляет 2% максимального значения. Частотная характеристика центрального привода значительно уже, чем у бериллиевого зеркала, и ограничена частотой 20 кГц.
[
S
Рис. 7.31. Функция отклика центрального привода молибденового зеркала:
1 – границы центрального привода; 2 – эмпирическая функция отклика
144
В классе пластинчатых деформируемых зеркал функция отклика определяет два важных параметра этих устройств – поперечную связь сервоканала и «пульсацию» поверхности. Первый из них характеризует степень возбуждения всех приводов
при подаче электрического сигнала в единственный сервоканал.
Второй параметр отражает возможность возникновения пульсаций поверхности между приводами при возбуждении нескольких
регуляторов сигналами примерно одинаковой амплитуды и интенсивность этих колебаний. Изменение показателя степени (n)
радиуса в функции отклика всякий раз приводит к одновременному улучшению одной из характеристик зеркала и ухудшению
другой.
На основании полученных результатов для сервосвязи и пульсации зеркал делается вывод, что близкая к гауссовской (n ≥ 2) функция отклика является оптимальной для зеркал пластинчатого типа
и что коэффициент механической связи порядка 5–12 % является допустимой компромиссной величиной между минимальной
пульсацией и поперечной связью сервоканала. Однако надо иметь
в виду, что создание зеркал с заданной функцией отклика затруднено. Известно лишь, что эта функция зависит главным образом от
трех величин: жесткости фронтальной зеркальной поверхности;
расстояния между приводами; места и профиля крепления привода к фронтальной поверхности зеркала.
Сложность состоит в том, что эти параметры определяют и максимальное отклонение поверхности, и частотную характеристику.
Подобная взаимозависимость всех параметров означает, что создание универсального устройства, годного для всех случаев применения, затруднено и оптимальная конструкция зеркала в каждом
конкретном случае должна рассчитываться в зависимости от назначения зеркала и решаемых им задач.
Таким образом, наряду с преимуществами зеркал на дискретных приводах и с единым пластинчатым отражателем существуют
очевидные недостатки подобных конструкций. Они заключаются
во взаимодействии приводов, наличии пульсаций поверхности и
собственных резонансов структуры. Эти системы чаще всего гетерогенны и в значительной степени чувствительны к термическим
градиентам и деформациям ползучести. В том случае, когда энергия светового поля велика, в зеркале должна быть дополнительно
предусмотрена соответствующая система охлаждения. О конструкциях подобных зеркал сообщалось в литературе [7].
145
7.6. Фазовые модуляторы
на основе монолитных зеркал
Для улучшения механической стабильности и расширения рабочего частотного диапазона можно использовать монолитный
блок из пьезоэлектрического материала. Результаты первых экспериментов по изучению характеристик такого зеркала были представлены в литературе [7].
Сначала использовался блок из пьезоматериалов с управляющими электродами на задней стороне структуры (рис. 7.32). Общий
электрод находился в непосредственном контакте со стеклянной
пластинкой, несущей на себе зеркальную поверхность. В ходе экспериментов было найдено, что подача электрического сигнала на
электроды вызывает на зеркале пьезоэлектрическую деформацию,
значительно затухающую и имеющую низкое разрешение даже для
Рис. 7.32. Схема монолитного пьезоэлектрического зеркала (МПЗ):
1 – отражающее покрытие; 2 –стекло; 3 – общий электрод;
4 –пьезоэлектрик; 5 – управляющие электроды
Рис. 7.33. Схема МПЗ с внутренними управляющими электродами:
1 – отражающее покрытие; 2 –стекло; 3 – общий электрод;
4 –пьезоэлектрик; 5 – управляющие электроды
146
«тонких» блоков, у которых толщина соизмерима с шириной одного электрода. Более того, электрическая нагрузка вызывала изгиб
самого блока.
Второе сконструированное зеркало (рис. 7.33) имело значительно большее пространственное разрешение и характеризовалось
следующими свойствами:
1) для тонкого блока вся измеренная деформация, обусловленная электрическим сигналом, возникала на зеркальной поверхности и отсутствовала на общем электроде;
2) деформации локализовались в непосредственной близости и
в пределах только задействованного электрода, в результате чего
связь с соседними электродами практически отсутствовала;
3) неравномерная электрическая нагрузка на различных электродах не вызывала изгиба блока;
4) формирование различных потенциалов на электродах, окружающих контрольный электрод, не производило смещений зеркальной поверхности около него.
Справедливость утверждений 1–4 была подтверждена теоретическим исследованием и численным моделированием системы [7].
При теоретическом анализе определялась взаимосвязь пространственного распределения электрического напряжения, приложенного к блоку, со смещением зеркальной поверхности. Пьезоматериал считался механически и диэлектрически изотропным.
Модель блока представляла собой пластину конечной толщины t.
Ось х была направлена перпендикулярно к поверхности пластины.
Задняя сторона пластины имела нулевой потенциал (заземлялась),
а передняя – пространственный потенциал
V(y,z) = V0exp[jby].
(7.21)
Задача решалась при фиксированных b и t. Найденные аналитические решения адекватно описывали поведение конечной пластинки во внутренних областях, отстоящих от ее края на t.
В пьезоэлектрическом материале существуют три основных
взаимодействия, причем каждое характеризуется тензором. Если
через Uij обозначить элементы тензора деформаций {Uxx, Uyy, Uzz,
Uzx, Uzy,...}, через σkl – элементы тензора напряжений {σхх, σуу,
σzz, σzx, σzy,...}, а через Sijkl – элементы тензора податливости, то
первый тип взаимодействия в среде при нулевом электрическом
поле записывается в виде
Uij = Sijklσkl
(7.22)
147
(везде далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Это соотношение количественно связывает деформацию
и механическое напряжение в образце.
Второй тип взаимодействия (имеет место при наличии электрического поля и в отсутствие механических напряжений) записывается в виде
Uij = – hkijEk, (7.23)
где hkij – элементы пьезоэлектрического тензора и Ek – компоненты вектора поля.
Последний эффект носит характер диэлектрического отклика
среды на внешнее поле и имеет хорошо известную математическую
запись
Di = εijEj,
где Di – компоненты вектора электрической индукции.
В блоке все три взаимодействия существуют совокупно и характеризуются плотностью свободной энергии
F = εijEiEj/2 + Sijklσijσkl/2–hkijσijEk.
Равновесие структуры имеет место в состоянии с минимальным
значением F.
Для нахождения стационарного отклика всей структуры делается ряд дополнительных упрощающих предположений. Их суть
состоит в следующем. Во-первых, диэлектрический тензор близок
к изотропному (для керамики на основе цирконата-титаната свинца ε11 = 1700, ε22 = 1730) и, следовательно, εijEiEj ≈ εE2. Во-вторых,
механический отклик также очень близок к изотропному (примерно с точностью до 10%) и тензор податливости имеет примерный
вид Siiii = S11, Siijj = S12, Sijij = (S11 – S12)/2 с нулевыми оставшимися компонентами. В отношении пьезоэлектрического тензора никаких предположений не делается и для изотропного в плоскости (yz)
материала hx,xx = h11; hx,yy = hx,zz = h12; hy,xy = hz,xz = h26.
Для решения двумерной задачи (зависимость от z отсутствует)
удобно использовать потенциал напряжений [7]
∂2 χ
∂2 χ
;
;
;
σ
=
−
σ
=
xy
yy
∂x∂y
∂y2
∂x2
S
h ∂V
. σzz = − 12 (σ xx + σ yy )− 12
S11
S11 ∂x
σ xx =
148
∂2 χ
(7.24)
Тогда плотность свободной энергии, выраженная через потенциал напряжений, принимает следующий вид:
2
2

2 
ε  ∂V 
∂V   S11  ∂2 χ 
∂2 χ ∂2 χ



+
+
+
−
F = 
S




12


 ∂y  
2  ∂x 
2  ∂x2 
∂x2 ∂y2


2
S2  ∂2 χ ∂2 χ 
∂2 χ
∂V ∂2 χ
∂V ∂2 χ
− 12 
+
+
−
+
+
−
S
S
h
h
(
)

11
12
11
12
∂x∂y
∂x ∂y2
∂x ∂x2
2S11  ∂x2 ∂y2 
−2h26
∂V ∂2 χ h12 S12 ∂V  ∂2 χ ∂2 χ 

−
+
, ∂y ∂x∂y
S11 ∂x  ∂x2 ∂y2 
(7.25)
где V(x,у) – локальный электростатический потенциал.
Уравнения состояния системы находятся минимизацией полной
свободной энергии F = ∫ Fxdy и в общем виде имеют вид:
 ∂V −1
∂F
∂


−∑
∂F∂ 
 = 0;
∂V
∂
∂
x
x
i
 i 
i
  ∂2 χ −1
∂2


∑ ∂x ∂x ∂F ∂ ∂x ∂x  = 0.
  i j 
i
j
i,j
После подстановки в них выражения для свободной энергии с
учетом сделанных предположений получаем:
3
3
(1− σ2 )S11∆4 χ + (h11 − 2h26 + σh12 )∂∂x∂Vy2 + h12 (1 + σ)∂∂xV3 = 0;
∂3 χ
∂3 χ
+ h12 (1 + σ )
= 0,
ε∆2 V + (h11 − 2h26 + σh12 )
∂x∂y2
∂x3
где σ = –S12/S11 – отношение Пуассона.
Общее решение этой группы уравнений, соответствующих синусоидальным граничным условиям, записывается в виде:
6
V = ∑ Vi exp( βα i x) exp(jβy);
i=1
6
χ=∑
i=1
f (α i )
β
Vi exp( βα i x) exp(jβy),
где
149
f (α ) =
(
ε 1 − α2
)
α 2h26 − h11 − σh12 + h12 (1 + σ)α2 


;
(7.26)
αi – шесть решений уравнения
3
(1− σ2 )εS11 (α2 −1) − α2 2h26 − h11 − σh12 + h12 (1 + σ)α2 
2
= 0. (7.27)
Граничные условия:
V (x = 0) = V0 exp(jβy), V (x = t) = 0,
σ xy (x = 0) = σ xy (x = t) = σ xx (x = 0) = σ xx (x = t) = 0.
В этих соотношениях отражен тот факт, что напряжения на свободной незакрепленной поверхности образца отсутствуют. Условия
дают шесть линейных уравнений с шестью неизвестными Vj.
С математической точки зрения поставленная выше задача заключается в нахождении зависимости Uij от функций V и χ, т. е.
в определении пространственного смещения поверхности, первоначально совпадающей с плоскостью x = 0.
Если u(х, у) – смещение материала в точке (x, у), то Uij связано с
ним соотношением
Uij = (∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ) 2.
Интегрируя его, получаем
y



∂
dy. ux (x, y)− ux (x,0) = ∫ 2Uxx −
U
dy
yy

∂x ∫


y
(7.28)
После подстановки (7.22)–(7.24) в (7.28) имеем
∂χ
ux (0, y)− ux (0,0) = (S12 − 2S11 − σS12 ) + 2h26 V +
∂x
h
∂2 V S11 ∂3 χ
+ 12 (1 + σ)
1 − σ2 .
β
∂x2 β2 ∂x3
(
)
Из граничных условий для синусоидального напряжения следу∂χ
= 0 и в результате
= 0; χ
ют
x=0
∂x x=0
h (1 + σ) ∂2 V
ux (0, y) = 2h26 V + 12
.
β2
∂x2
150
Таким образом, вся трудность заключается в нахождении решений (7.26) и (7.27), затем коэффициентов Vj, входящих в V и χ.
Для частного случая, когда толщина блока велика (t→∞) и пьезоэлектрический эффект мал, деформация поверхности
ux (0, y) = 0,5h26 + 0,75h11 + (0,25 + σ)h12  V0 cos(βy), (7.29)
где V0cos(βy) – напряжение, приложенное к плоскости х = 0. Условия, в которых было получено это решение, имеют следующее математическое выражение:
q1 =
h12 (1 + σ)
(
)
ε 1 − σ2 S11
<< 1; q2 =
2h26 − h11 − σh12
(
)
ε 1 − σ2 S11
<< 1.
Отсюда видно, что эти приближения выполняются для сегнетосолей и кварца и не выполняются для пьезокерамики. В общем случае для пластины конечной толщины уравнения решаются численными методами.
На рис. 7.34 изображена зависимость чувствительности МПЗ от
параметра βt. При ее вычислении на ЭВМ за основу брались значения параметров керамики PZT-5A (h11 = 0,374; h12 = –0,171;
h26 = 0,584 мкм/кВ). Построенная теоретическая кривая имела
предел, равный 0,501 мкм/кВ при βt→∞.
Для проверки соответствия расчетных и фактических характеристик экспериментально замерялась чувствительность ПМЗ на
керамике PZT-5A (рис. 7.35).
Полученная кривая хорошо повторяла расчетную зависимость
и имела предел, равный 0,55 ± 0,05 мкм/кВ при βt = 15. В обоих
случаях существовала область малой диссипации (βt > 4). Незначи-
°Ì»ÊË»Á˾ÄÕÆÇÊËÕ
ÅÃÅÛ
BU
Рис. 7.34. Характеристика чувствительности МПЗ
151
°Ì»ÊË»Á˾ÄÕÆÇÊËÕ
ÅÃÅÛ
BU
Рис. 7.35. Экспериментальная характеристика
чувствительности МПЗ
тельное расхождение в предельных значениях объясняется существованием дополнительного пьезоэлектрического отклика, обусловленного наличием отличных от нуля краевых полей.
Максимально достижимая абсолютная величина смещения зеркальной поверхности конечна и определяется возможным эффектом деполяризации керамики в сильных электрических полях (Е =
= 1,5 кВ/мм). В ряде случаев отрицательную роль может играть стеклянная подложка, поглощающая высокие пространственные частоты при соизмеримости ее толщины с длиной волны деформации.
Эксперименты проводились на керамическом образце толщиной
t = 1,5 см и диаметром 4 см. Все электроды имели разные ширину и
форму (большие имели ширину 5 мм, маленькие – 2,5 мм при расстояниях между ними 1 и 0,5 мм). В условиях проведенных экспериментов чувствительность структуры не зависела от βt. Значения откликов поверхности на электрические сигналы определялись в ходе
интерферометрических измерений, основанных на методе двухэкспозиционной голографии. Метод очень удобен, поскольку не критичен к качеству оптического полирования поверхности зеркала.
Реальный предел пространственного разрешения составил 1 мм–1.
В процессе изучения частотно-временных параметров МПЗ с
10%-ной точностью было установлено, что амплитуда смещения
поверхности зеркала остается неизменной при фиксированном напряжении до 1 кГц. В принципе пластинчатое зеркало обладает
множеством механических резонансов, частоты и амплитуды которых в значительной мере определяются типом привода и степенью
демпфирования. Собственные резонансы исследуемого керамического блока возникали на частотах, превышающих 1 кГц. Столь
удачная частотная характеристика МПЗ объясняется большим от152
ношением толщины блока к его диаметру. Устройства, подобные
рассмотренному, могут иметь плоскую частотную характеристику
до f ≥ 10 кГц и работать на дискретных частотах f ≈ 60 кГц.
На большую надежность МПЗ (см. рис. 7.33) с L = 21 приводами
указывает его стабильное функционирование на протяжении многих месяцев в реальных атмосферных условиях. Однако наряду с
такими важными преимуществами, как механическая стабильность, надежность, локальная связь отклика и напряжения, широкий частотный диапазон, МПЗ имеет ряд недостатков. Главный
из них – это малая чувствительность, следствием чего является необходимость в больших управляющих напряжениях (~1 кВ). Эти
зеркала использовались при компенсации атмосферных фазовых
возмущений в реальном масштабе времени.
7.7. Фазовые модуляторы на основе биморфных
и униморфных cтруктур
Биморф представляет собой два соединенных вместе тонких
слоя из полимерного диэлектрика (пьезоэлектрика) с малым удельным весом (например, polyvinylidene fluoride – PVF2) и напыленную на одной стороне пластины металлическую пленку, которая
выполняет функции деформируемой зеркальной поверхности. Это
металлическое покрытие одновременно служит общим электродом
в электрической цепи биморфа.
Основным элементом структуры является пьезоматериал, способный во внешнем однородном электрическом поле, направленном
вдоль его толщины, сжиматься в длине и расширяться в толщине
(смена полярности электрического сигнала вызывает противоположный эффект) (рис. 7.36). Два слоя этого материала соединяют
вместе с таким расчетом, чтобы направления поляризации этих
двух составляющих были противоположны (рис. 7.37). Тогда при
подаче электрического сигнала сжатие по длине верхнего элемен-
s
s
Рис. 7.36. Иллюстрация элементарного пьезоэлектрического эффекта
(большая стрелка указывает направление поляризации)
153
s
Рис. 7.37. Иллюстрация процесса изгибания
пьезоэлектрического биморфа
та и расширение по длине нижнего вызовут эффект сгибания всей
структуры при жестком скреплении этих составных частей. Несмотря на различные изменения в толщине каждого элемента, вариация суммарной толщины всего биморфа не наблюдается.
Важно заметить, что хотя суммарный эффект изменения толщины всей пластины отсутствует, тем не менее одновременные сжатие
и расширение каждого компонента структуры производят смещение верхней и нижней поверхностей, которое является дополнительным к смещению, вызванному процессом изгибания.
Эффективность управления профилем биморфа в значительной
мере определяется знанием пространственной связи распределенного вдоль пластины электрического напряжения с отклонением
зеркальной поверхности. Получить такую связь удается на основе
анализа пьезоупругих свойств структуры.
Пусть биморф ориентирован в пространственных координатах
так, как это показано на рис. 7.38.
Произвольное распределение электрического напряжения,
приложенного между его верхней и нижней поверхностями, может быть создано нанесением электрических зарядов на верхнюю
плоскость. Основными уравнениями, описывающими поведение
биморфа, являются уравнения состояния. Эти зависимости имеют
вид [7]:
Ti = Cij Sj − hni Dn (m,n = 1, 2, 3);
(7.30)
Em = −hmj Sj + βmn Dn (j, i = 1, ..., 6).
Величины Еm и Dn – компоненты электрического поля и электрического смещения. Для индексов m, n координате х соответствует 1, у – 2, z – 3. Величины Тi и Sj – компоненты тензоров со154
[
I
Z
Y
Рис. 7.38. Схема биморфа в выбранной системе координат:
1 – бесконечно тонкая линия склейки (z = 0); 2 – заземленная отражающая
металлическая поверхность (z = –h/2); 3 – распределенные
электрические заряды (z = + h/2)
ответственно напряжений и деформаций. Матричные элементы Сij
представляют собой константы упругости; βmn – обратные диэлектрические проницаемости; hni – пьезоэлектрические константы.
Везде далее эти материальные константы полагаются известными.
Матричные уравнения (7.30) представляют собой девять алгебраических соотношений с 18 неизвестными. Для замкнутости
системы ее необходимо дополнить материальными связями, вытекающими из физических соображений. Пусть материал механически изотропен и однороден в плоскости (х, у) [или (1, 2)], матрица
β диагональна (β11 = β22), элементы пьезоэлектрической матрицы
hmj равны нулю, за исключением h31, h32, h33, причем h31 = h32.
Известно множество пьезоматериалов, включая PVF2, примерно
с такими свойствами (например, пьезокерамика). Следуя методике [7], можно показать, что при сделанных предположениях большинство констант упругости равно нулю, а оставшиеся однозначно
выражаются одна через другую. Уравнение (7.30) упрощается и
в том случае, если считать, что растягивающее напряжение в направлении z отсутствует (T3 = 0). Это справедливо, поскольку в постановке задачи не предусматривалось наличие каких-либо внешних ограничений на верхнюю и нижнюю поверхности биморфа.
Тогда уравнение (7.30) дает следующую связь диагональных
элементов матрицы деформаций:
155
S3 = (h33 K)D3 − (λ ′ K)(S1 + S2 )
и, следовательно, для верхней половины биморфа:
(
) (
)
T = (2G + λ − (λ ′) K) S + (λ − (λ ′) K) S + (h
2
2
T1 = 2G + λ − (λ ′) K S1 + λ − (λ ′) K S2 + (h33 λ ′ K − h31 )D3 ;
2
2
2
2
1
33 λ ′
K − h31 )D3 .
Для нижней его части зависимости аналогичны с той лишь разницей, что знак перед hmi изменен на обратный.
Предполагая малость деформаций, вызванных электрическим
полем, будем считать, что средняя поверхность биморфа смещается
по оси z на величину Ψ0(x, у), гораздо меньшую толщины пластинки. При этом допускается существование дополнительного смещения Ψ1(x, у, z), различного для различных z относительно средней
поверхности. Тогда поле смещений описывается системой уравнений вида:
uz (x, y, z) = Ψ0 (x, y)+ Ψ1 (x, y, z),
ux (x, y, z) = −z∂Ψ0 (x, y) ∂x ,
uy (x, y, z) = −z∂Ψ0 (x, y) ∂y.
(7.31)
Если каждый бесконечно малый объем биморфа находится в
статическом равновесии, то согласно теории упругости уравнения
состояния имеют вид:

2


∂  − z 2G + λ − (λ ′) K − (G ′λ ′) K  ∇2 Ψ0 +




+  h33 (λ ′ + G ′) K − h31  D3  / dx = 0,


2


∂  − z 2G + λ − (λ ′) K − (G ′λ ′) K  ∇2 Ψ0 +




+  h33 (λ ′ + G ′) K − h31  D3  / ∂y = 0,

∇2 Ψ1 = 0,
(7.32)
где ∇2 = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 – оператор Лапласа. Легко показать,
что выражение в квадратных скобках в (7.32) тождественно равно нулю. Действительно, в отсутствие электрического смещения
(D3 = 0) средняя поверхность – плоская (Ψ0(x,y) = 0). Отсюда и
∇2 Ψ0 (⋅)= 0, так что и [·] = 0.
156
С практической точки зрения наиболее удобна связь деформации Ψ0(x, y) с приложенным напряжением. Согласно (7.30) z-я
компонента электрического поля
E3 = −h31 (S1 + S2 )− h33 S3 + β33 D3 .
Тогда, используя тот факт, что
(
2
D3 = β33 − (h33 ) K
)−1 (E3 − z(h31 − h33 (λ ′) K)∇2Ψ0 ),
получаем компоненту поля в виде
E3 = zα 0∇2 Ψ0 (x, y).
Введенная для удобства константа
−1
α 0 ≡ (h31 − h33 (λ ′) K )+ (h33 (λ ′ + G ′) K − h31 ) ×
(
2
× 2G + λ − (λ ′) K − G ′λ ′ K
)(β −(h ) K).
33
2
33
Если нижняя (оптическая) поверхность устройства заземлена,
то электрический потенциал верхней пластины находится интегрированием z-й компоненты электрического поля, так что
(
)
∇2 Ψ0 (x, y) = − 4 α 0 h2  ϕ (x, y). 

(7.33)
Найденная зависимость связывает смещение средней поверхности и приложенного напряжения. Используя соотношение
S3 = ∂uz / ∂z = ∂Ψ1 / ∂z и осуществляя интегрирование по z, получаем для второй составляющей поля смещения
(
Ψ1 (x, y, z) = 2z2 α1 α 0 h2

) ϕ(x,y). (7.34)
На основе (7.34) удается выписать зависимость профиля нижней
поверхности через неизвестную функцию Ψ0(x, у) в виде
ux (x, y,−d 2)= Ψ0 (x, y)− α1 (2α 0 ) ϕ (x, y).
Вводя двумерный вектор х, граничные условия задачи можно
записать в виде нулевой асимптотики: Ψ0(x)→0 при |х|→∞.
Привлекая аппарат функций Грина, получаем
Ψ0 (x) = [4/(α 0 h2 )]∫ G (x, x ′)ϕ(x ′)dx ′,
где интеграл берется по всей верхней поверхности биморфа и функция Грина
157
G(x, x′) = –ln |x–х′|/(2p).
Тогда смещение нижней поверхности биморфа в присутствии
электрического поля описывается функцией вида
(
)
uz (x,−d 2)= − α1 (2α 0 ) ϕ (x)+ 4 α 0 h2  ∫ G (x, x ′)ϕ (x ′)dx ′. (7.35)


Представляется интересным рассмотреть свойства Фурьепреобразования Uz(k) от смещения uz(x, –h/2) как функции Фурьеобраза Ф(k) пространственного потенциала j(х). Используя условие
полноты для ряда экспоненциальных функций, получаем следующее Фурье-представление уравнения (7.35):
T
∫ U z (k)exp(jk x)dk = − α1
(
(2α0 ) ∫ Φ (k)exp(jkT x)dk +
(
)
)
+ 8π α 0 h2  ∫ ℑ(k)Φ (k)exp jkT x dk,


где k ≡ ikx + jky и i, j – единичные векторы. В результате имеет место связь


U z (k) = Φ (k) 8π α 0 h2  ℑ(k)− α1 (2α 0 )  ,
 


где ℑ(k) = 1 2π k 2 .
Окончательное выражение принимает вид
(
(
)
)
 

2  
2
U z (k) = Φ (k)
 1 α 0 h k
 −  α1 (2α 0 )





(
)



. 


(7.36)
Таким образом, найдено, что амплитуда деформации оптической
поверхности при синусоидальном электрическом напряжении имеет две составляющие в соответствии с двумя пьезоэлектрическими эффектами. Деформация в направлении, перпендикулярном
оси полярности образца (т. е. оси z), возникает от взаимодействия
(x↔z) (h31) и производит эффект изгибания структуры. В то же время деформация, параллельная оси полярности, возникает от связей (z↔z) (h33) и выражается в изменении толщины всего образца.
При этом вариации толщины имеют пространственно-частотный
спектр, соответствующий спектру приложенного напряжения.
При изгибе образца происходит эффективное демпфирование высокочастотной составляющей спектра напряжения.
Для оценки относительной силы этих двух эффектов были вычислены постоянные α0 и α1 для полимера PVF2 со ссылкой на следующие данные [7].
158
Константы упругости: G = 109 Н/м2; λ = 4·109 Н/м2; G′ = 3,1×
×109 Н/м2; λ′ = 3,6·109 Н/м2; K = 1010 Н/м2. Обратные диэлектрические константы βS11 = βS22 = βS33 = 9,4·109 В2/Н. Пьезоэлектрические константы: h31 = h32 = 0,6·109 В/м; h33 = –2,8·109 В/м.
Полученные константы: α0 = –10,7·109 В/м; α1 = 0,76.
На рис. 7.39 показаны зависимости чувствительности от пространственной длины волны Λ = 2p/k. Из них следует, что у образца с фиксированной толщиной чувствительность эффекта (х↔z)
намного превышает аналогичную характеристику эффекта (z↔z)
при Λ>>10–4 м.
Важно отметить, что изгиб и изменение в толщине являются
взаимоисключающими эффектами. Это недостаточно отчетливо
видно из рис. 7.39. Следовательно, для заданной толщины h всегда
существуют некоторые характерные пространственные частоты, на
которых «силы» этих эффектов сравниваются. В каждом конкретном случае применения биморфа при заданной ширине спектра ΔΛ
возможно выбрать толщину образца с таким расчетом, что один эффект будет более чем на порядок доминировать над другим.
С практической точки зрения наиболее интересна ситуация,
когда края биморфа жестко закреплены и его форма прямоугольна
(Lx×Ly). В этом случае решение уравнения (7.33) принимает вид
(
∞
)
°Ì»ÊË»Á˾ÄÕÆÇÊËÕś
Ψ0 (x)= 4 α 0 h2  ∫ dx ′ ∫ dy ′G1 (x, x ′)ϕ (x ′)= ∑ Ψmn Smn , (7.37)


m,n=1
I ÅÃÅ
s s
s
s
,, Å
Рис. 7.39. Характеристика чувствительности биморфа (PVF2):
1 – эффект (х↔z); 2 – эффект (z↔z)
159
где
(
)
 dx ′ dy ′S
2
Ψmn = − 4 α 0 h2 kmn
 ∫
mn (x ′)ϕ (x ′),
∫

(
)
2
kmn
= π2 n2 L2x + m2 L2y .
Тогда
∞
2
∇2 Ψ0 = − ∑∑ kmn
Ψmn Smn (x). (7.38)
m,n=1
Сопоставление (7.38) и (7.39) показывает, что потенциал представим в виде
(
ϕ (x) = α 0 h2 4
∞
)∑
m,n=1
2
kmn
Ψmn Smn (x),
а следовательно, необходимое распределение напряжения для образования смещения Ψ0(x) также должно иметь представление в
форме двойного ряда Фурье:
∞
∑
ϕ (x) =
m,n=1
где
(
Φmn Smn (x),
)
2
Φmn = α 0 h2 kmn
4 Ψmn .
Отсюда следует, что взаимосвязь между Фурье-коэффициентами
идентична связи между Фурье-образами в (7.36). При разложении
функции смещений uz(x,–h/2) в ряд Фурье получается связь между
коэффициентами вида
 



2  
2
 .
Umn = Φmn 
(7.39)
 4 α 0 h kmn
 −  α 0 (2α1 ) 








(
)
Следовательно, показанные на рис. 7.39 зависимости в полной
мере применимы и к рассматриваемому случаю с той лишь разницей, что по оси абсцисс откладываются дискретные значения длин
волн, соответствующие разрешенным волновым числам kmn. Несмотря на краевые ограничения, поверхность во внутренней области способна принимать произвольную форму.
Устройство имеет малую массу и характеризуется относительно
низкими значениями управляющих напряжений (~10 В). Принципиально оба упомянутых выше пьезоэлектрических эффекта могут
быть использованы в задачах фазовой коррекции.
160
Толщина известных из литературы одинарных образцов поляризованного полимера PVF2 изменяется от 9 до 50 мкм, так что
приведенные на рис. 7.39 характеристики достаточно типичны.
На базе биморфа была создана и экспериментально испытана его
модификация-униморф [7]. Он состоял из стеклянной пластинки,
прочно приклеенной к образцу из пьезокерамики такой же толщины и габаритных размеров, что и стеклянная. Керамика была поляризована нормально к своей поверхности. Область склейки стекла
и пьезоэлектрика содержала проводящий межфазный электрод,
а сама керамика с внешней стороны покрывалась рядом изолированных электродов. Внешняя сторона структуры полировалась и
напылялась. Когда между одним из задних и внутренним электродами прикладывалось напряжение, униморф изгибался подобно
биметаллической пластинке.
Характерной особенностью этого устройства (рис. 7.40) является нелокальная связь напряжения и поверхностной деформации.
Это приводит к эффектам поверхностного сглаживания без дополнительного увеличения числа электродов.
Экспериментальный образец имел диаметр 5 см, состоял из пластинок стекла, пьезоэлектрика PZT-5A толщиной 1,5 мм и 12 электродов. Межфазный электрод предварительно напылялся на керамику. Изменения в структуре поверхности изучались посредством
двухпозиционной интерферометрии. Эксперименты проводились
при двух значениях напряжения на каждой обкладке – нулевом
и V0. Интерферограммы качественно соответствовали ожидаемым
решениям уравнений равновесия структуры (рис. 7.41). При подаче напряжения V0 = 200 В на единственный электрод (рис. 7.41, а)
Рис. 7.40. Схема униморфа:
1 – отражающая поверхность; 2 – стекло; 3 – межфазный электрод;
4 – пьезокерамика; 5 – управляющие электроды; 6 – провода питания
161
¸
¹
º
Рис. 7.41. Интерферограммы:
а) один электрод под напряжением V0 = 200 В, все остальные заземлены;
б) одна половина устройства под напряжением V0 = 400 В
(на внутреннем электроде V1 = 200 В); в) V0 = 600 В (V1 = 200 В)
возникал суммарный сдвиг поверхности на 3λ. Была установлена существенная деформация поверхности при сигнале только на
одном электроде. Было также отмечено, что межфазное напряжение изменяет только среднюю кривизну всего зеркала, при этом заземление внутреннего электрода сводит к нулю среднюю кривизну
зеркала. Это хорошо видно из рис. 7.41, б, на котором вторая половина зеркала характеризуется равной и противоположной по знаку
кривизной.
Для изучения динамических характеристик униморфа он помещался в систему интерферометра и возбуждался переменным
электрическим сигналом с фиксированной частотой. Полученная частотная характеристика показана на рис. 7.42 и свидетельствует о практически неизменной чувствительности униморфа до
f = 550 Гц, где начинает проявляться слабый резонанс, определяемый размерами и формой униморфа.
Об униморфном зеркале с несовпадающими конфигурациями и
размерами подложки и пьезоэлектрика сообщалось в литературе [7].
6 ›
G ÜÏ
Рис. 7.42. Частотная характеристика униморфа
162
На основе униморфа может быть создано простое по конструкции и управлению зеркало, профиль которого при незначительных
отклонениях всегда сферичен. Один из возможных вариантов такого устройства схематически изображен на рис. 7.43. В литературе [7] было показано, что кривизна пластины линейно зависит от
приложенного напряжения. Для кварцевого стекла, склеенного с
керамикой PZT-5H (h1 = 0,4 мм; h2 = 0,6 мм), фокальная длина изменяется от бесконечности (V = 0) до 3 м (V = 160 В).
О возможности создания модуляторов на основе PVDF-пьезоэлектрика, способных формировать регулируемые параболические
зеркала, сообщалось в литературе [7].
В заключение этого параграфа опишем сегментированное зеркало, созданное на основе биморфа [7] (рис. 7.44, а). Оно состоит
из ряда плоских зеркал, способных менять свое угловое положение
относительно друг друга. Основным недостатком системы является ее малая скорость срабатывания. В пределах каждого сегмента
электрическое напряжение прикладывается к биморфу с таким
расчетом, чтобы зеркало было расположено касательно к требуе-
I
I
Рис. 7.43. Схема сферического пьезоэлектрического зеркала:
1 – отражающее покрытие; 2 – электроды; 3 – пьезокерамика; 4 – подставка
¸
¹
Qɹ½
s
Q
s
s 6 ›
Рис. 7.44. Схема составного зеркала (а) и зависимость угла наклона
зеркального сегмента от напряжения (б):
1– зеркальные сегменты; 2 – биморфы
163
мой поверхности в точке, являющейся центром зеркала. Экспериментальное устройство содержало четыре составных элемента,
каждый из которых имел габаритные размеры 5,0×10,0×1,5 мм, и
биморф TDK72A массой 0,27 г и габаритами 7,8×7,8×0,6 мм. Зависимость угла наклона зеркала от приложенного напряжения показана на рис. 7.44, б.
7.8. Фазовые модуляторы
на основе пленочных зеркал
Впервые об использовании пленки в качестве широкополосного
активного зеркала высокого порядка стало известно из работы [7].
Устройство электростатически управляемого пленочного зеркала
схематически показано на рис. 7.45. Мембрана толщиной обычно
0,5–1 мкм натягивается и помещается между прозрачным электродом, находящимся под напряжением смещения V0, и рядом приводов, состоящих из проводящих контактных площадок под напряжением V0 + VC (VC – сигнальное напряжение). Расстояние между
заземленной мембраной и электродами 50–100 мкм. В отсутствие
сигнального напряжения VC на мембрану действует нулевая сила
и пленка не испытывает поперечных деформаций с точностью до
среднеквадратического отклонения λ/20. При наличии сигнального напряжения VC на каком-либо электроде происходит отклонение поверхности примерно на λ/2 при напряжении менее 100 В.
c
c
Рис. 7.45. Схема пленочного зеркала:
1 – окно; 2 – прозрачный электрод; 3 – отражающая пленка; 4 – область зрачка;
5 – электродные приводы; 6 – электроды управления положением границы зрачка;
7 – регулятор давления
164
Рис. 7.46. Пленочное зеркало:
1 – решетка электродов; 2 – пленка; 3 – окно; 4– разъем;
5 – магистраль к регулятору давления
При подключении нескольких электродов достигается максимальное отклонение, равное нескольким длинам волн.
На рис. 7.46 показано пленочное зеркало диаметром 100 мм, из
внутренней полости которого откачан воздух до давления 266 Па.
Это значение устанавливается с учетом достижения приемлемого
соотношения между чувствительностью, которая максимальна в
вакууме, и резонансной частотой, которая в вакууме минимальна. Электроды изготавливаются в виде печатных плат толщиной
2 мкм. Прозрачное окно устройства имеет проводящее прозрачное
покрытие.
В литературе [7] сообщалось, что были успешно изготовлены
мембраны толщиной 0,25 мкм при диаметрах пленок 125 мм. Ключевыми вопросами при выборе материала пленки являются: тягучесть и предел прочности, широкая частотная характеристика в сочетании с высокой прочностью и малой массой на единицу площади, возможность придания пленке оптически плоской формы, адгезия к материалам с высокой отражательной способностью. Пленки
были изготовлены из титана, сплавов титана, никеля, бериллия и
молибдена. Для работы на высоких частотах предпочтение было
отдано титану. Пленки из этого материала изготавливались путем
напыления на подложку в вакуумной камере, схема которой показана на рис. 7.47. После соответствующих операций пленка извлекалась из камеры, натягивалась на кольцо и закреплялась эпоксидной смолой. Затем кольцо с пленкой помещалось над электродами
в виде печатных плат.
В отсутствие демпфирования при воздействии внешнего напряжения F(r, t) на круглую мембрану в точке r, удаленной от центра,
уравнение состояния мембраны имеет вид
165
Рис. 7.47. Схема устройства для изготовления титановой пленки:
1 – вакуумная камера; 2 –держатель подложки; 3 –контакт из жидкого Ga;
4 – подложка из GaF2; 5 – прерыватель с водным охлаждением; 6 – дозиметр
осаждения на кристалле кварца; 7 – стержень; 8 – жидкий сплав Ti; 9 – источник
напыления GaF2; 10 – плавильный тигель с водным охлаждением; 11 – регулятор
скорости напыления; 12 –механизм подачи стержня из сплава Ti; 13– регулятор
скорости подачи стержня; 14 – насосы: сорбционно-ионный, турбомолекулярный
и т. д.; 15 – клапан
∂2z ∂t2 = T∇2z σ + F (r ,t) σ , (7.40)
где z – вертикальное смещение; T –отношение силы натяжения к
длине (или механическое напряжение, умноженное на толщину);
σ – отношение массы к площади (или плотность, умноженная на
2
толщину). В стационарном режиме ∇ z = −(F T ), т. е. мембрана в
этих условиях является лапласовским элементом. Это означает,
что, если сила, прилагаемая к мембране, пропорциональна оператору Лапласа от измеряемого волнового фронта, состояние поверхности пленки будет «обратным» волновому фронту.
В случае электростатических приводов стационарное смещение
поверхности зеркала



F ln (R S)+ S2 − r 2
z(r ) = 
 

F ln (R r ) (2πT ),


 
(
) (2S2 )
(2πT ), 0 < r < S;
(7.41)
S < r ≤ R,
где S – радиус привода и R – радиус мембраны. Давление электростатического отклоняющего устройства
166
2
P = F A = (ε0 2) VP2 lP
− VS2 lS2 


или
2
(7.42)
F = ε0 πrP2  VP2 lP
− VS2 lS2  , 

где A–площадь активной области с радиусом rP; VP – напряжение
на контактной площадке; VS – напряжение на экране (окне); lР –
расстояние от мембраны до контактной площадки; lS – расстояние
от мембраны до экрана; ε0 = 8,85·10–12 Ф/м. Объединив уравнения
(7.41) и (7.42), получим
2
z(r ) =  ε0 (4T )  VP2 lP
− VS2 lS2  S2 − r 2 .


В типичной ситуации lP = lS = l = 80 мкм; VP = VS + ΔV (ΔVmax =
= 0,5 VS); S = 1,25·10–3 м; T = 175 Н/м; VS = 200 В, и тогда максимальная разность хода (r = 0) с учетом двойного прохода луча zmax =
2 ε S2/(4Tl2).
= 0,3 мкм = 1,25VS
0
На этапе проектирования фазового корректора необходимо
учитывать зависимость частотной характеристики мембраны от
свойств камеры и воздушного давления в ней. Характеристическая
частота системы «мембрана-камера» выражается соотношением
(
)
ν0n = T σ γ 0n (2a),
3 ; β – корни функции Бесселя нулевого погде γ0n ≈ β0n + 2χ/p4 β0n
0n
рядка; χ – отношение силы, возвращающей мембрану в исходное
положение из-за сопротивления воздуха в камере, к силе натяжения; a – радиус мембраны. В полном вакууме χ = 0; γ0n = β0n и соб-
ственные колебания мембраны νmn = T σ βmn 2a , где m, n соответствуют угловым и радиальным модам. При наличии воздуха в
полости устройства χ = ρ0С3a4/(υ0Т), где ρ0–плотность воздуха в
равновесном состоянии; υ0 – объем камеры; С3 – скорость звука.
Таким образом, резонансную частоту можно регулировать посредством изменения давления Р в соответствии с зависимостью
ν0n ≈ ν0 1 + αP (Tl) ,
где α – константа; ν0 = T σ β00 (2a). Основная частота мембраны
связана с отношением Т/σ, не зависящим от толщины пленки. Таким образом, демпфирование ведет к улучшению частотной характеристики устройства.
167
Управление в системе, состоящей из мембраны, демпфирующего кольца и воздуха, заключенного между ними, возможно осуществить устройством, показанным на рис. 7.48. Электрическим аналогом воздушного демпфирования в данном случае выступает множество заземленных выводов. Их удобно размещать по периферии
активного оптического участка мембраны так, чтобы они распределялись от активной периферии по направлению к закрепленным
концам мембраны.
В опытном образце были применены титановые и никелевые
мембраны и 53 плотно прилегающих друг к другу сотообразных
активных электрода. Титановая пленка имела следующие параметры: диаметр 50 мм (25 мм активной области), резонансная частота 3,8 кГц, граничная частота при демпфировании 8 кГц, толщина 1,4 мкм, T = 420 Н/м, предел прочности при натяжении
3,8·108 Н/м2, l = 52÷63 мкм. Никелевая пленка имела толщину
1 мкм.
Частотные характеристики измерялись при различных натяжениях, устойчивостях и давлениях. Граничная частота каждого режима устанавливалась путем изменения частоты генератора
переменного тока до исчезновения контраста интерференционных
полос. Измеренные отношения гармоник к основной частоте сопо-
Рис. 7.48. Схема устройства, осуществляющего
демпфирование мембраны:
1 – закрепленный край пленки; 2 – активная оптическая область;
3 – пленка; 4 – демпфирующее кольцо; 5 – контактные площадки приводов
168
ставлены с соответствующими теоретическими значениями, приведенными в табл. 7.4.
Таблица 7.4
Отношения гармоник к основной частоте для теоретических
и измеренных значений
n
Измеренное значение Измеренное значение Расчетное значение
n, кГц
(nmn/ n01)
(nmn/ n01)
n01
3,8
5,9
8,0
8,8
11,3
13,1
13,8
15,3
16
n11
n21
n02
n12
n22
n03
n32
n13
1
1,56
2,12
2,32
2,97
3,45
3,63
4,02
4,21
1
1,59
2,13
2,29
2,92
3,50
3,60
4,04
4,23
Из таблицы следует, что для титановой пленки толщиной 10–
20 мкм расхождение результатов составляет ±3%. Испытуемая в
течение трех месяцев никелевая пленка (Р = 40 Па) не изменила
своих свойств натяжения.
Характер изменения основной частоты от давления показан на
рис. 7.49. Наклон кривых изменяется в обратной зависимости от
N ÜÏ
1 ¨¹
Рис. 7.49. Зависимость основной частоты зеркала от давления:
1 – пленка из Ti (толщина h = 1,4 мкм); 2 – пленка из Ni (h = 1,0 мкм);
3 – пленка из Ni (h = 0,5 мкм)
169
давления, и линейность частоты от давления наблюдается при низких значениях последнего. Из-за малой массы мембраны в структуре не наблюдается гистерезис, требуются низкие напряжения,
зеркало несложно в изготовлении, экономично, надежно, прочно и
невосприимчиво к воздействию окружающей среды.
7.9. Фазовые модуляторы
на основе мембранных решеток
В мембранном модуляторе света, впервые описанном Престоном
[7], фазовая модуляция достигается электростатической поверхностной деформацией отдельных элементов фазомодулирующей
поверхности. Он представляет собой (рис. 7.50) оптически гладкую стеклянную подложку с нанесенными на нее электродами из
хрома, поверх которых нанесена тонкая перфорированная диэлектрическая пленка с отверстиями размерами от 5 до 100 мкм при
глубине отверстий 1 мкм и расстоянии между центрами 50 мкм.
Микроскопические отверстия в диэлектрике обычно проделываются средствами стандартной фотолитографии.
Поверх диэлектрика помещается полимерная пленка, например коллоидная, толщиной 0,1 мкм, которая затем металлизируется для улучшения отражательной способности (в частности,
золотом) и заземляется. При этом пленка должна обладать достаточной проводимостью, чтобы на ней можно было поддерживать
пространственно-неизменный электрический потенциал.
Рис. 7.50. Схема мембранного модулятора:
1 – электроды; 2 – отверстия; 3 – считывающее излучение; 4 – полимерная
пленка; 5 – металлическое покрытие; 6 – слой перфорированного диэлектрика;
7 – стеклянная подложка
170
В результате подачи управляющих сигналов на электроды возникают силы притяжения между слоем металла на мембране и
электродом, которые вызывают деформации свободных областей
мембраны вблизи каждого электрода. Для круговой конфигурации
отверстий деформация имеет параболоидный характер. Управляющие напряжения порядка 0,1–1 В достаточны для создания полуволновой деформации в центре каждой мембраны. Резонансная частота устройства элементов мембраны лежит в диапазоне 1–10 МГц,
а время срабатывания меняется от 0,1 до 1,0 мкс.
Более совершенный мембранный модулятор разработан и описан
Райзманом [7] (рис. 7.51). Он представляет собой отполированный
полупроводниковый кристалл, например германий n-типа, толщиной 50–100 мкм. Одна сторона кристалла подвергается диффузной
обработке, в результате которой формируется матрица диодов на
p–n-переходах, так что на каждый элемент мембраны приходится
один диод. Поверх матрицы наносят изолирующий слой с перфорацией, обладающий высоким удельным сопротивлением, например
полупроводящее стекло. Сопротивление этого слоя подбирается с
таким расчетом, чтобы оно было промежуточным между темновым
удельным сопротивлением p–n-переходов и их сопротивлением при
полном освещении. На этот слой наносится перфорированный электрод для получения оптического контакта с резистивным слоем. Поверх всей структуры располагается металлизированная полимерная
мембрана. Легированием с помощью поверхностной диффузии на
обратной по отношению к мембране стороне кристалла формируют
Рис. 7.51. Схема мембранного модулятора на основе р–n-перехода.
1 – электроды; 2 – отверстия; 3 – считывающее излучение; 4 – полимерная
пленка; 5 – металлическое покрытие; 6 – записывающее излучение;
7 – резистивный слой; 8 – область n-типа; 9 – область р + -диффузии;
10 – область n + -диффузии (прозрачный электрод)
171
электрод, который прозрачен в длинноволновой области видимого
света и в ближней инфракрасной области. Между коллекторным и
прозрачным электродами прикладывается напряжение обратного
смещения порядка 0,1 В. Потенциалы металлического слоя и мембраны и коллекторного электрода обычно совпадают.
В отсутствие света со стороны прозрачного электрода большая
часть напряжения оказывается приложенной к p–n-переходу и
отклонения мембраны ничтожны. Подача управляющего светового сигнала вызывает генерацию электронно-дырочных пар. Дырки диффундируют к p-областям, собираются на ближайшем р–nпереходе и проникают через его обедненный слой. Создаваемый
при этом ток течет через соответствующую часть резистивного слоя
и приводит к падению напряжения между p-областью перехода и
металлическим слоем мембраны: мембрана отклоняется.
Зависимость деформации zmn (m, n – индексы мембранного элемента) от функции распределения интенсивности J(x, у) управляющего оптического сигнала в общем случае нелинейна. В частности,
это следует из того, что область Ωmn, на которой (m, n) диод собирает дырки, созданные излучением J(x, у), сама зависит от этой
функции.
Мембранная решетка может быть использована не только в качестве фазового модулятора, но и измерителя фазовых наклонов – отражательного варианта модифицированной матрицы Гартмана [7].
При использовании мембранной решетки на частотах, близких
к резонансной, возникают механические колебания элементов
мембраны, ухудшающие характеристики устройства. Эти трудности устраняются с помощью либо механического, либо электрического демпфирования. Однако когда модулятор работает в воздушной среде, то отклонение мембраны производит сжатие воздуха,
находящегося во внутреннем объеме внутреннего отверстия перфорированного слоя. При больших временах отклонения происходит
диффузия молекул воздуха сквозь пористую мембрану, приводящая к тому, что при резком снятии входного сигнала мембранная
пленка не возвращается в первоначальное недеформированное состояние. Лишь только спустя некоторое время, в течение которого
через мембрану проникнет то же число молекул, которое ранее из
нее диффундировало, пленка займет нейтральное положение. Наблюдаемые времена диффузии достигают нескольких секунд.
Важными преимуществами устройства являются большая чувствительность и высокое оптическое качество рабочей поверхно172
сти. Измерения показывают, что в неотклоненном состоянии поверхность мембранного модулятора можно обработать с точностью
до одной десятой длины световой волны или даже лучше.
7.10. Фазовые модуляторы, управляемые
электронным пучком
Эту группу устройств можно считать родоначальником элементной базы адаптивной оптики. Уже в 1958 г., т. е. за несколько лет
до официального изобретения лазера, имелись два предложения по
созданию деформируемого оптического элемента, с помощью которого предполагалось управлять сигналом обратной связи от датчика волнового фронта.
В качестве возможного варианта был назван сначала «Эйдофор»
Фишера – устройство, в котором толщиной масляной пленки на
поверхности зеркала управляют с помощью электростатического
заряда, создаваемого сканирующим лучом помещенной в вакуум электронной пушки. Бэбкок предложил улучшенный вариант
зеркала, которое представляло собой тонкую однородную гибкую
твердую пленку малой, но конечной электрической проводимости
с напыленным на нее алюминием. Другая поверхность имела характер электродной мозаичной структуры. На изолированные друг
от друга элементы (мишени) этой структуры предлагалось направлять электронный поток. Возникающие при этом электростатические силы должны были производить локальные прогибы в пленке,
а следовательно, пространственные смещения отражающей части
всей структуры.
Позднее в литературе появились описания некоторых модификаций «Эйдофора» [7] и устройства на частично проводящей пленке.
В первом случае на стеклянную подложку, которая одновременно
является мишенью, наносится диэлектрическая (масляная) пленка.
Облучением мишени электронным пучком добиваются деформации
диэлектрической жидкости, которая происходит в результате взаимодействия электростатических, вязкостных сил и сил поверхностного натяжения. Информация вводится посредством токовой модуляции потока заряженных частиц, а считывается с деформированной пленки проходящим через нее световым пучком.
Обычно на переменную составляющую электрического сигнала
накладывается постоянный растр тока пучка с целью поддержания
173
некоторой постоянной толщины масла. Время записи в основном
определяется вязкостными и поверхностными характеристиками
жидкости и составляет менее единиц миллисекунды. Стирание рельефа пленки производится разрушением заряда, при этом время
спада рельефа несколько больше времени записи и лежит в диапазоне 1–102 мс. Такой когерентный оптический преобразователь
имеет разрешение 102–103мм–1 при растровом сканировании со
скоростью 30 изображений в секунду.
Несмотря на исключительную долговечность прибора, ему тем
не менее свойственны такие недостатки, как громоздкость, недостаточно долговременная память, необходимость поддержания
определенного температурного режима (+ 50 °С), малое быстродействие, а также необходимость создания определенных условий для
поддержания однородности тока электронного луча и высокой плоскостности пленки.
Известна модификация «Эйдофора», использующая в качестве
деформируемого элемента не масляную, а металлическую никелевую пленку толщиной 0,4 мкм, подпираемую алюминиевыми полосковыми прокладками, в свою очередь, опирающимися на стеклянную подложку. Созданный на стекле электрический заряд
посредством электронного пучка производит деформацию пленки,
при отражении от которой свет приобретает дополнительный фазовый сдвиг, соответствующий зарядовому рельефу.
Значительные успехи на пути улучшения оптических характеристик были достигнуты, когда в качестве модулирующей среды стали использовать электрооптические кристаллы типа DKDP
[7]. Устройство «Титус» (рис. 7.52) состоит из вакуумированного
объема, имеющего два окна и две электронные пушки. На одном
окне помещен прозрачный электрод и сам кристалл. Сканируемый
по его поверхности электронный пучок от первой пушки, промодулированный по току, создает на передней поверхности кристалла
зарядовый рельеф. Индуцированные полем изменения показателя
преломления в кристалле вносят соответствующие фазовые сдвиги
в модулируемую волну, проходящую сквозь него. Стирание информации производится электронным потоком второй пушки за счет
вторичной электронной эмиссии и обычно занимает по времени
1 мс. Полный цикл работы составляет 3·10–2 с.
Устройство имеет мишень размером 5 см×5 см×250 мкм и характеризуется пространственным разрешением 10–40 мм–1. Оно в
значительной мере определяется диаметром электронного пучка.
174
Рис. 7.52. Схема электронно-адресуемого фазового модулятора
на основе охлаждаемого кристалла DKDP:
1, 2 – записывающая и стирающая электронные пушки; 3 – прозрачные окна;
4 – прозрачный электрод; 5 – кристалл; 6 – модулируемое излучение; 7 – камера
Проведенные исследования [7] показали, что разрешающая способность (Y–1) этого устройства на уровне контрастности 1,25 с достаточной степенью точности аппроксимируется функцией вида
−1
Y −1 ≈ (2,83a + 0,57l ε1 ε2 ) ,
где а – эффективный диаметр пучка; l – толщина кристалла;
ε1 = εx = εy, ε2 = εz – главные значения тензора диэлектрической
проницаемости.
Для предотвращения утечки нанесенного заряда кристалл
охлаждают до –50 °С с помощью элементов Пельтье. В этих условиях кристалл имеет и меньшее значение полуволнового напряжения (около 250 В). Технические трудности, обычно сопрово175
ждающие процедуру охлаждения, подчас сводят на нет преимущества устройства. В связи с этим были разработаны модуляторы
с неохлаждаемыми мишениями из монокристаллов типов DKDP,
PoMg1/3Nb2/3О3, КН2РО4, керамики с 9 % лантана, а также
устройства с естественной нейтрализацией (стеканием) заряда [7].
В то же время кристалл DKDP не требует специального защитного
покрытия вследствие стойкости к воздействию электронного луча,
обеспечивает разрешение 10 мм–1 и имеет постоянную времени 40–
100 мс. Время сохранения зарядового рельефа при непрерывном
считывании превышает 1 ч.
Помимо модуляторов на полимерных и кристаллических средах в последнее время широкое распространение получили транспаранты на жидких кристаллах (ЖК). Обычно такое устройство
имеет многослойную структуру (рис. 7.53) и функционирует следующим образом. Генерируемый электронной пушкой пучок элек
Рис. 7.53. Схема электронно-адресуемого модулятора
на основе жидкого кристалла:
1 – модулируемый по току электронный пучок; 2 – сплошной прозрачный
электрод; 3 – стеклометаллическая шайба; 4 – хромовые зеркальные площадки;
5 – металлические электроды (мишени); 6 – жидкий кристалл; 7 – прокладки,
задающие толщину кристалла; 8 – ориентирующие и защитные покрытия;
9 – пластины из стекла; 10 – электронная пушка; 11– модулируемое излучение
176
тронов направляется на металлические мишени, расположенные
на стеклометаллической шайбе и имеющие электрическую связь
посредством пронизывающих стекло проводников с зеркальными
площадками. Последние могут быть изготовлены из хрома. Они
примыкают к капиллярной кювете с ЖК-средой. Ее толщина обычно колеблется в пределах 6–12 мкм.
Сканирование электронным пучком с энергией 20 кэВ вдоль мишеней приводит к локализации поверхностного заряда на зеркальных площадках и возникновению разности потенциалов между
площадками и сплошным прозрачным электродом, находящимся
на другой стороне кюветы. Считывание полученного профиля показателя преломления происходит при отражении света от напыленных зеркальных площадок. Хотя время формирования зарядового рельефа составляет 1 мкс, тем не менее полный цикл «записьстирание» равен 1–102 мс. Конкретное значение этого параметра
зависит от типа кристалла и внешних условий. Разрешение структуры составляет 102мм–1 и ограничивается конструктивными особенностями стеклометаллической шайбы.
177
Библиографический список
1. Пратт В. К. Лазерные системы связи/пер. с англ. под ред.
А. Г. Шереметьева. М.: Связь, 1972. 232 с.
2. Кацман М. Лазерная космическая связь. М.: Радио и связь,
1988. 239 с.
3. Френкс Л. Теория сигналов/пер. с англ. под ред. Д. Е. Вакмана. М.: Советское радио, 1974. 344 с.
4. Боккер П. Передача данных (Техника связи в системах телеобработки данных). Т. 1. Основы/пер с нем. под ред. Д. Д. Кловского. М.: Связь, 1980. 264 с.
5. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шума/пер. с англ. под ред. О. А. Афанасьева. М.: Иностранная литература, 1960. 345 с.
6. Хаус Г., Адлер Р. Теория линейных шумящих цепей/пер.
с англ. под ред. О. А. Афанасьева. М.: Иностранная литература,
1963. 110 с.
7. Адаптация
в
информационных
оптических
системах /И. Н. Матвеев, А. Н. Сафронов, И. Н. Троицкий, Н. Д. Устинов. М.: Радио и связь, 1984. 344 с.
8. Системы лазерной космической связи: учеб. пособие /А. Р. Бестугин, В. Н. Красюк, А. А. Шаталов, В. А. Шаталова. СПб.: ГУАП,
2009. Ч. 2. 168 с.
178
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРОЦЕСС ПУАССОНА
П.1.1. Случайная переменная, распределенная
по закону Пуассона
Дискретная случайная переменная Х распределена по закону
Пуассона с параметром λ, если вероятность появления целых значений этой переменной
P (X = k) =
exp(−λ )λ k
k!
, k = 0, 1, 2,... (П.1.1)
Параметр λ характеризует интенсивность потока или частоту событий пуассоновского процесса. Функция плотности вероятностей
(распределение вероятностей) и функция распределения (кумулятивное распределение) соответственно равны (рис. П.1.1):
∞
f (X )= ∑
exp(−λ )λ k
k!
k=0
δ (X − k). (П.1.2)
U (X − k). (П.1.3)
и
∞
F (X )= ∑
exp(−λ )λ k
k=0
k!
¸
G9
¹
'9
9
9
Рис. П.1.1. Распределение вероятностей и функция
распределения Пуассона:
а – распределение вероятностей (плотность вероятностей) λ = 3;
б – функция распределения (кумулятивное распределение) λ = 3.
179
П.1.2. Моменты распределения Пуассона
Первый момент или среднее значение переменной X
∞
M [X ]= ∑ k
exp(−λ )λ k
k!
k=1
∞
= λ∑
exp(−λ )λ k−1
(k −1)!
k=1
. (П.1.4)
Поскольку сумма в последнем выражении равна единице:
M [X ] = λ. (П.1.5)
Второй момент переменной X
∞
M  X2  = ∑ k2


exp(−λ )λ k
k=1
k!
∞
= λ∑k
exp(−λ )λ k−1
(k −1)!
k=1
.
(П.1.6)
Приняв j = k–1, последнее выражение можно свести к виду
∞
M  X2  = λ ∑ j


j=0
exp(−λ )λ j
j!
∞
+λ∑
exp(−λ )λ j
j!
j=0
.
(П.1.7)
Первая сумма в выражении (П.1.7) равна λ, вторая равна единице. Тогда
(П.1.8)
M  X2  = λ2 + λ. 

По определению дисперсия определяется выражением
2
σ2X = M  X2  − {M [X ]} 

(П.1.9)
σ2X = λ. (П.1.10)
и, следовательно,
Таким образом, среднее значение и дисперсия распределенной
по закону Пуассона случайной величины равны друг другу.
П.1.3. Характеристическая функция
распределения Пуассона
Характеристическая функция дискретной случайной переменной определяется выражением
180
Φ (ω ) =
∞
∑ exp(jω k)P(X = k). (П.1.11)
k=0
Для пуассоновской случайной переменной
Φ (ω ) =
∞
∑
exp(jω k)exp(−λ )λ k
k!
k=0
 λ exp(jω ) k
 . (П.1.12)
= exp(−λ ) ∑ 
k
!
k=0
∞
Ряд в правой части выражения (П.1.12) сводится к экспоненте
степени λ exp(jω ), следовательно
Φ (ω ) = exp {λ  exp(jω )−1 }. (П.1.13)
П.1.4. Сумма переменных, распределенных
по закону Пуассона
Положим Z = X + Y – сумма двух независимых пуассоновских
случайных переменных с параметрами λX и λY соответственно. Характеристическая функция Z равна произведению характеристических функций X и Y:
Φ Z (ω ) = Φ X (ω ) Φ Y (ω ) = exp {(λ X + λ Y ) exp(jω )−1 } . (П.1.14)
Таким образом, вероятность появления целочисленных значений, равных сумме случайных величин X и Y, распределенных по
закону Пуассона:
k
exp −(λ X + λ Y ) (λ X + λ Y )
P (Z = k) =
, k = 0, 1, 2, ... (П.1.15)
k!
П.1.5. Разность переменных, распределенных
по закону Пуассона
Положим Z = X–Y – разность двух независимых пуассоновских
случайных переменных с параметрами λX и λY соответственно. Распределения переменной Z будут зависеть от знака числа Z.
P (Z = j ) =
∞
∑ P(X = j + m) P(Y = m) äëÿ
j ≥0
(П.1.16)
m=0
181
и
∞
∑ P(X = m) P(Y = j + m) äëÿ P (Z = j ) =
j < 0. (П.1.17)
m=0
Для j ≥ 0, подставив в (П.1.16) выражение для распределения
Пуассона, получим
P (Z = j ) =
∞
∑
j +m
exp(−λ X )(λ X )
(j + m)!
m=0
m
⋅
exp(−λ Y )(λ Y )
m!
. (П.1.18)
Модифицированная функция Бесселя порядка j имеет вид
Ij (β) =
∞
2m+ j
(β 2)
∑ m !(m + j)!. (П.1.19)
m=0
Положив β = 2λ X λ Y получим
j
 λ 2
P (Z = j )= exp −(λ X + λ Y )  X  Ij (2 λ X λ Y ) äëÿ j ≥ 0. (П.1.20)
 λ 
Y
Подобным образом для j < 0 имеем
P (Z = j ) =
∑
j +m
m
∞
exp(λ X )(λ X )
m=0
m!
⋅
exp(λ Y )(λ Y )
(j + m)!
которое можно записать в виде
, (П.1.21)
j
 λ 2
P (Z = j )= exp −(λ X + λ Y )  Y  Ij (2 λ X λ Y ) äëÿ j < 0. (П.1.22)
 λ 
X
Комбинируя выражения (П.1.20) и (П.1.22) получаем распределение переменной Z в виде
j
−2
 I j (2 λ X λ Y ). (П.1.23)

X
λ
P (Z = j ) = exp −(λ X + λ Y )  Y
 λ
П.1.6. Процесс Пуассона
Стохастический процесс
k
182
Z (t) = C ∑ δ (t − tn ) , n=1
(П.1.24)
состоящий из последовательности импульсов, появляющихся в моменты времени tn на временном отрезке –τ/2 до + τ/2 и умноженных на постоянную С, является процессом Пуассона, если вероятность появления целого числа импульсов X за время τ определяется
выражением
P {X (t) = k}=
k
exp(−λ t)(λ t)
k!
,
(П.1.25)
где l – постоянная, равная средней частоте следования импульсов
(средняя интенсивность импульсного потока).
Процесс Z(t) связан с процессом X(t) следующим соотношением
(рис. П.1.2):
dX (t)
(П.1.26)
Z (t) =
.
dt
Плотность вероятности переменной Z(t)
P {Z (t)}= P {t1,t2 ,t3 ,…tk k}P {X (t) = k}
(П.1.27)
и не является в общем случае пуассоновской.
Если моменты появления импульсов независимы друг от друга и
не зависят от полного числа импульсов, то
1
P {Z (t)}= k P {X (t) = k}. τ
(П.1.28)
Среднее значение. Первый момент переменной Z(t)
 dX (t) d
d (λ t)
 = {M  X (t)  }=
M  Z (t) = M 



dt
 dt  dt
(П.1.29)
M  Z (t) = λ. (П.1.30)
и, следовательно,
¸
¹
9U
;U
E9U
EU
U
U
Рис. П.1.2. Процесс Пуассона
183
Автокорреляционная функция. По определению автокорреляционная функция пуассоновского процесса
RZ (α ) = M  Z (t)Z (t + α ) . (П.1.31)
Усредняя по дискретным интервалам времени (в интервалы времени входят моменты t1, t2, t3, …, tk), а также по случайной переменной k, получим
τ2
RZ (α ) =
∫
−τ 2
τ2 ∞
 k

C
∫ ∑  ∑ δ (t − tn )

−τ 2 k=0  n=1
…
×
 ∞

C

 ∑ δ (t − α − tm ) ×
 m=1
 (П.1.32)
1
P {X (t) = k}dt1 … dtk .
τk
Изменяя порядок интегрирования и суммирования, получим
[П.1.2]


k τ2 2

C

RZ (α ) = ∑ P {X (t) = k}
∑ ∫ τ δ (t)δ (t + α )dt +


k=0
n=1−τ 2


∞
k
+∑
k
∑
τ2
∫
n=1 m=1,n≠m −τ 2
C
δ (t − tn )dtn
τ



C
.
t
t
dt
δ
α
+
−
(
)

m
m
∫ τ


−τ 2


τ2
(П.1.33)
Выполнение интегрирования k членов первой суммы в скобках и
членов двойного суммирования приводит к выражению
RZ (α ) =
 kC2
∞
∑ P {X (t)= k}
k=0
 τ
(
δ (α )+ k2 − k
2
)Cτ2 , 
(П.1.34)
или

C2
C2 
2
M  X (t) δ (α )+
M
  X (t)
2

τ
τ




C2

 − 2 M  X (t) . (П.1.35)

τ




2
Поскольку M  X (t) = λτ и M   X (t)



реляционная функция процесса Z(t)


2 2

 = λ τ + λτ , автокор


RZ (α ) =
184
RZ (α ) = C2 λδ (α )+ C2 λ2 . (
)
(П.1.36)
Спектральная плотность. Спектральная плотность процесса
Z(t), определяется преобразованием Фурье автокорреляционной
функции RZ(α):
∞
GZ (f ) =
∫
−∞
C2  λδ (α )+ λ2  exp(−j 2π f α )dα 

(П.1.37)
и
GZ (f ) = C2 λ + C2 λ2 δ (f ). (П.1.38)
П.1.7. Фильтрация процесса Пуассона
Фильтрованный пуассоновский процесс
k
S (t) = ∑ h (t − tn ) (П.1.39)
n=1
имеет место тогда, когда пуассоновский процесс Z(t) пропускается
через линейный инвариантный во времени фильтр с импульсной
переходной функцией h(t) (рис. П.1.3).
С помощью интеграла свертки
∞
S(t) =
∫
Z (t − α ) h(α ) dα. (П.1.40)
−∞
Среднее значение фильтрованного пуассоновского процесса.
Среднее значение процесса S(t)
M  S(t) =
∞
∫
−∞
M  Z (t − α ) h (α ) dα. (П.1.41)
IU
;U
U
4 U
Рис. П.1.3. Фильтрованный пуассоновский процесс
185
Если процесс Z(t) стационарен, то
M  S(t) = M  Z (t)
∞
∫
h (α ) dα. (П.1.42)
−∞
Интеграл в выражении (П.1.42) есть преобразование Фурье,
H (jω ), импульсной переходной функции фильтра при нулевой частоте
∞
H (jω ) =
∫
h (t)exp(−jω t)dt. (П.1.43)
−∞
Таким образом, среднее значение процесса S(t)
(П.1.44)
M  S(t) = λ H (0). Спектральная плотность фильтрованного пуассоновского процесса. Спектральная плотность мощности на выходе линейного
фильтра равна спектральной плотности мощности входного сигнала, умноженной на квадрат абсолютного значения комплексного
коэффициента передачи фильтра. Таким образом,
2
GS (f ) = H (j2πf ) GZ (f ) и
2
(П.1.45)
2
GS (f ) = C2 λ H (j2πf ) + C2 λ2 H (0) δ (f ). (П.1.46)
Автокорреляционная функция фильтрованного пуассоновского
процесса. Автокорреляционная функция процесса S(t) есть обратное преобразование Фурье спектральной плотности мощности
∞
RS (α ) =




2
2
2
2 2

 C λ H (j2π f ) + C λ H (0) δ (f ) 
 exp(j2πf α ) df. (П.1.47)






−∞
∫
2
Поскольку H (jω ) = H (jω )H (−jω ), автокорреляционная функция
RS (α)= C2 λ
∞
∫
2
H (j2π f )H (−j2π f )exp(j2π f α)d f + C2 λ2 H (0) . (П.1.48)
−∞
Интеграл эквивалентен свертке импульсной переходной функции с ее инверсией во времени. Следовательно
RS (α ) = C2 λ
186
∞
∫
−∞
2
h (α + β)h (β) dβ + C2 λ2 H (0) . (П.1.49)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ГАУССОВСКИй ПРОЦЕСС
П.2.1. Случайная переменная, распределенная
по закону Гаусса
Дискретная случайная переменная X распределена по закону
Гаусса с параметрами μX и σX, если функция плотности вероятности f(X) удовлетворяет виду
f (X ) =
1
2πσ2X
 (X − µ )2 
X 
exp−
. 2


2
σ
X


(П.2.1)
¸
G 9
¹
s M 9 9
s
M 9 9
'9
Рис. П.2.1. Гауссовские функции плотности и распределения вероятностей:
а – плотность распределения вероятностей; б – кумулятивное
распределение вероятностей (функция распределения)
187
Соответствующая кумулятивная функция распределения вероятности (интегральный закон распределения)
F (X ) =
X
∫
1
−∞
2πσ2X
2


 (Y − µ X ) 


exp 
−

dY. 2


2
σ


X




(П.2.2)
На рис. П.2.1 показан примерный вид функций плотности и распределения гауссовской переменной. Гауссовская функция ошибок
определяется следующим образом:
erf (X ) =
2
π
X
2
∫ exp( − Y )dY. (П.2.3)
0
Функция ошибок имеет следующие свойства:
erf (−X ) = −erf (X ), (П.2.4)
erf (0) = 0, (П.2.5)
erf (∞) = 1. (П.2.6)
Полезны следующие равенства:
X
∫
−∞
∞
∫
X
X2
∫
X1
1
2πσ2X
1
2πσ2X
1
2πσ2X
2


 X − µ 
1
 (Y − µ X ) 

X  , (П.2.7)

exp 
−
dY = 1 + erf 



2



2
 2σ X 
2σ X 






 Y −µ 2 


 X − µ 
1
 (
X) 
X  , (П.2.8)

exp 
dY = 1 − erf 
−


2



2
2
σ


2
σ



X
X





2

 X − µ 


 (Y − µ X ) 
 1
X  + erf  X2 − µ X . (П.2.9)
exp −
dY = 1− erf 



2


 2σ X 
 2σ X 
2σ X 


П.2.2. Моменты распределения Гаусса
Кривая плотности вероятности симметрична относительно μХ,
поэтому первый момент или среднее значение Х
188
M[ X ] = µ X . (П.2.10)
Дисперсия M (X − µ X )  случайной переменной Х может быть


найдена дифференцированием по σХ левой и правой частей выражения
∞
 X −µ 2 


(
1

X) 

(П.2.11)
exp
−

∫ 2π  2σ2 dX = σ X . X
−∞




После дифференцирования получим
∞
 X −µ 2 


(X − µ X )2
(

X) 


(П.2.12)
exp
−

dX = 1, ∫ 2πσ3
2


σ
2


X
X
−∞




или
∞
2


(X − µ X )2
 (X − µ X ) 

2


(П.2.13)
−
exp

dX = σ X . ∫
2


2
σ
2


πσ
2
X
−∞
X




Интеграл в последнем выражении есть дисперсия Х, следовательно,
2
(П.2.14)
M (X − µ X )  = σ2X . 

Второй момент величины Х
2
(П.2.15)
M  X2  = σ2X + {M [X ]} = σ2X + µ2X . 

В общем случае для случайной переменной, распределенной по
закону Гаусса с нулевым средним, n-й момент
(П.2.16)
M  Xn  = 1 ⋅ 3…(n −1)σnX äëÿ ÷åòíîãî n, 

(П.2.17)
M  Xn  = 0 äëÿ íå÷åòíîãî n. 

2
П.2.3. Характеристическая функция
гауссовского распределения
Характеристическая функция непрерывной случайной переменной Х записывается в виде
Φ (ω ) = M  exp(jωX ) =
∞
∫
exp(jωX )f (X ) dX. (П.2.18)
−∞
Для случайной переменной, распределенной по закону Гаусса:
189
∞
Φ (ω ) =
∫
−∞
exp(jωX )
2πσ2X
2


 (X − µ X ) 


−
exp 

dX. 2


σ
2


X




(П.2.19)
Комбинируя экспоненциальные члены и дополняя до квадрата,
получим
2
 

2  


−
+
X
µ
j
ωσ




X
X
1

 ×
Φ (ω)= ∫
−
exp 




2
2σ2X


−∞ 2πσ X








2
2


ω σ X 

×expjωµ X −
 dX.
2 

∞
(
)
(П.2.20)
Поскольку интеграл по Х равен единице, имеем

ω2σ2X 

Φ (ω ) = exp jωµ X −
. 2 

(П.2.21)
П.2.4. Характеристическая функция
гауссовского распределения
Положим Z = X + Y – сумма двух независимых гауссовских случайных переменных с параметрами μХ, σХ и μY, σY соответственно.
Характеристическая функция Z есть произведение характеристических функций X и Y:

ω2σ2X 

Φ Z (ω)= Φ X (ω)ΦY (ω)= expjωµ X −
×
2 



ω2σ2Y 
ω2 2

×expjωµY −
σ X + σ2Y
 = exp  jω ( µ X + µY )−
2 
2


(

) . (П.2.22)

Как следует из (П.2.22), Φ Z (ω ) есть характеристическая функция гауссовской случайной переменной со средним µ Z = µ X + µ Y
и дисперсией σ2Z = σ2X + σ2Y . Для определения распределения разности двух гауссовских случайных переменных Z = X–Y положим
Y′ = –Y. Тогда, поскольку M  Y ′ = −M [Y ] и распределение Гаусса
190
симметрично, распределение величины Y′ является гауссовским
2 . Характеристическая функция
с параметрами –μY, σY


ω2 2
(П.2.23)
Φ Z (ω ) = exp  jω (µ X − µ Y )−
σ X + σ2Y  , 2




и распределение разности двух гауссовских переменных является
(
)
гауссовским со средним µ Z = µ X − µ Y и дисперсией σ2Z = σ2X + σ2Y .
П.2.5. Гауссовский случайный процесс
Процесс Z(t) является гауссовским случайным процессом, если
случайные переменные Z(t1), Z(t2), ..., Z(tn) в моменты времени t1,
t2, ..., tn являются совместно гауссовскими для любого n. Процесс
является стационарным в узком смысле, если его статистические
характеристики не изменяются при смещении по временной оси.
Случайный процесс считается стационарным в широком смысле,
если корреляционная функция процесса зависит только от разности моментов времени τ = t2 – t1 и математическое ожидание является постоянной функцией времени.
Среднее значение гауссовского процесса
M[Z(t)] = μZ(t).
(П.2.24)
Если процесс стационарен, то μZ(t) = μZ.
Автокорреляционная функция стационарного гауссовского процесса
RZ(τ) = M[Z(t) Z(t + τ)].
(П.2.25)
Спектральная плотность стационарного гауссовского процесса
есть преобразование Фурье от его автокорреляционной функции:
∞
GZ (f ) =
∫
Rz (τ )exp(−j2π f τ)dτ. (П.2.26)
−∞
П.2.6. Гауссовский процесс после фильтрации
Фильтрованный гауссовский процесс S(t) образуется в результате прохождения гауссовского процесса Z(t) через линейный инвариантный по времени фильтр с импульсной переходной характеристикой h(t). Используя интеграл свертки, получим
191
∞
S (t) =
∫
Z (t − τ )h(τ ) dτ. (П.2.27)
−∞
Среднее значение фильтрованного гауссовского процесса S(t)
M  S (t) =
∞
∫
−∞
M  Z(t − τ ) h(τ ) dτ. (П.2.28)
Если процесс стационарен, то
∞
M  S (t) = M [Z (t) ] ∫ h(τ ) dτ . (П.2.29)
−∞
Интеграл в уравнении (П.2.29) есть преобразование Фурье на
нулевой частоте H(jω)|ω = 0 от импульсной переходной функции
фильтра. Функцию H(jω) называют комплексным коэффициентом
передачи или комплексной передаточной функцией фильтра:
∞
H (jω ) =
h (t)exp(−j ω t)dt. (П.2.30)
−∞
∫
Тогда среднее значение процесса S(t)
M  S (t) = µ Z (t)H(0). (П.2.31)
Спектральная плотность гауссовского процесса на выходе линейного фильтра равна спектральной плотности мощности входного процесса, умноженной на квадрат абсолютного значения комплексного коэффициента передачи. Таким образом
2
GS (f ) = H (j2πf ) GZ (f ). (П.2.32)
Автокорреляционная функция фильтрованного гауссовского
процесса есть преобразование Фурье его спектральной плотности:
∞
RS (τ ) =
∫
2
H (jω ) GZ (f )exp(−j ωτ)df. (П.2.33)
−∞
П.2.7. Узкополосный гауссовский процесс
Процесс
192
n(t) = XC (t)cos ω C t − XS (t)sin ω C t (П.2.34)
называется узкополосным гауссовским процессом, если XC(t) и
XS(t) в свою очередь являются гауссовскими случайными переменными с одинаковым спектром GX(f), такими, что они взаимно не
коррелированны в любой момент времени. При этом спектр GX(f)
ограничен по полосе так, что GX(f) = 0 при f ≥ fα . Тогда частотный
спектр процесса n(t) может быть записан в виде
1
Gn (f ) = GX (f − fC )+ GX (f + fC ). 2
(П.2.35)
Процесс n(t) в свою очередь может быть представлен следующим
образом:
(П.2.36)
n(t) = V (t)cos  ω C t + θ(t) , 

где
V (t) = XC2 (t)+ XS2 (t) (П.2.37)
 X (t)
θ(t) = arctg  S  .  XC (t)
(П.2.38)
и
Если fα << fC, то огибающая V(t) изменяется медленно за интервал времени 1/fC.
Так как переменные XC(t) и XS(t) некоррелированы, то их совместное распределение является гауссовским
p(XC , XS ) =
1
2πσ2X
(
 X2 + X2


C
S
exp 
−
2

2σ X




). 





(П.2.39)
Совместное распределение V и θ связано с совместным распределением XC и XS следующим соотношением
p(V ,θ)dVdθ = p(XC , XS )dXC dXS . (П.2.40)
Из преобразований (П.2.37) и (П.2.38) и учитывая, что
dXC dXS = VdVdθ , можно найти совместное распределение пере-
менных V и θ
p(V ,θ) =
 V 2 
exp
− 2 .  2σ 
2πσ2X
X

V
(П.2.41)
193
Распределение огибающей находится интегрированием распределения p(V ,θ) по всем значениям θ от 0 до 2p. Полученное распределение называется распределением Релея
p(V ) =
2 


− V 
. exp

2 


σ2X
σ
2


X

V
(П.2.42)
Подобным образом интегрируя распределение p(V ,θ) по всем
положительным значениям V получим равномерное распределение
переменной θ
p(θ) =
1
.
2π
(П.2.43)
П.2.8. Узкополосный гауссовский процесс
в смеси с синусоидальным колебанием
Если синусоидальное колебание AC cos ω C t смешивается аддитивно с узкополосным гауссовским процессом n(t) = XC (t)cos ω C t − XS (t)sin ω
C (t )cos ω C t − XS (t )sin ω C t, то полученная функция времени может быть выражена в виде
Y (t) =  AC + XC (t) cos ω C t − XS (t)sin ω C t. (П.2.44)
Представление функции Y(t) через огибающую и фазу процесса
имеет вид
(П.2.45)
Y (t) = R (t)cos  ω C t + ψ (t) , 

где
2
R (t) =  AC + XC (t) + XS2 (t) (П.2.46)
 XS (t) 
. ψ (t) = arctg 

 XC (t)+ AC 
(П.2.47)
и
Случайная переменная XC′ (t) = AC + XC (t) распределена по закону Гаусса со средним АС. Следовательно
194
 
2
2 
  XC′ − AC + XS  

 .
p(XC′ , XS )=
exp −
 2
2


2πσ X
2σ X



(
1
)
(П.2.48)
Совместное распределение p(R, ψ ) может быть найдено с помощью выражений (П.2.46), (П.2.47). При подстановке XC′ = R cos ψ
получим
p(R, ψ ) =
R
2πσ2X
  R 2 + A2 − 2 A R cos ψ  



C
C

 

. exp −

2


2σ X








(П.2.49)
Интегрируя p(R, ψ ) по ψ в пределах от 0 до 2p, получим распределение огибающей R, т. е.
p(R ) =
(
R
2πσ2X
 R2 + A2


C
exp 
−
2

2σ X




)2π exp AC R cos ψ  dψ. ∫



0





σ2X




(П.2.50)
Интеграл в выражении (П.2.50) может быть записан с помощью
модифицированной функции Бесселя нулевого порядка
2π
1
I0 (W ) =
exp {W cos ψ } dψ. 2π ∫
(П.2.51)
0
Учитывая эту особенность получим распределение огибающей
p(R ) =
R
σ2X
(
 R2 + A2


C
−
exp 

2σ2X




) I






 A R
 C . 2 
 σ X 
0
(П.2.52)
При АС = 0 распределение р(R) сводится к распределению Релея.
При большом АС распределение р(R) стремится к распределению
Гаусса.
195
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
АНАЛИЗА ПОЛЯРИЗАЦИИ
Преобразование плоской монохроматической световой волны
поляризаторами, волновыми пластинами и ослабителями удобно
описывать с помощью матричного метода Джонса (П.3.1). Если
электрическое поле записано в комплексной форме, то поляризационное состояние света можно представить в виде векторастолбца
 EX 
, (П.3.1)
L=
 EY 


где ЕX и EY – ортогональные компоненты электрического поля.
В табл. П.1.1 представлены поляризационные матрицы для различных поляризационных состояний.
Таблица П.3.1
Поляризационные матрицы поляризованного света
Поляризационная
матрица L
Матрица
когерентности J
Линейная поляризация вдоль
горизонтальной оси
1 
 
 0
 
 1 0


 0 0


Линейная поляризация вдоль
вертикальной оси
 0
 
1 
 
 0 0


0 1


1 1
2 1
1 1 1
2 1 1
Линейная поляризация под
углом –45° к горизонтальной оси
1  1 
2 −1
1  1 −1
2 −1 1 
Правая круговая поляризация
1 −j 
2  1 
1 1 −j 
2  j 1 
1  j 
2 1
1  1 j 
2 −j 1
Поляризационное состояние
Линейная поляризация под
углом 45° к горизонтальной оси
Левая круговая поляризация
196
В алгебре поляризационных матриц пассивные оптические элементы представляются операторами, которые осуществляют линейные операции с входными световыми векторами. Оптические
элементы систем представляются в виде
m11 m12 
, M=
m21 m22 


(П.3.2)
где матричные элементы mij характеризуют ослабление и фазовый
сдвиг компоненты. В табл. П.3.2 приведены поляризационные матрицы некоторых оптических элементов.
Таблица П.3.2
Поляризационные матрицы оптических элементов
Оптический элемент
Поляризационная
матрица
Фазовращатель (фазовый сдвиг между векторами 2j)
 exp(jϕ)

0


 0
exp(−jϕ)

Поляризационный ротатор (вращение плоскости поляризации на угол θ)
 cos θ −sin θ


 sin θ cos θ 


Поляризатор (проекция электрического поля
Е на направление под углом θ к горизонтальной оси)
 cos2 θ
sin θ cos θ



sin θ cos θ
sin2 θ 
Ослабитель (коэффициенты поглощения εX и
εY вдоль горизонтальной и вертикальной осей)
 exp(−ε X )

0



0
exp(−ε Y )

Поляризационная матрица светового излучения на выходе оптического элемента
 E′ 
(П.3.3)
L ′ = ML =  X  ,  E′ 
 Y
где
′ = m11 EX + m12 EY ,
EX
EY′ = m21 EX + m22 EY .
Особенно удобен алгебраический метод Джонса для описания
полностью поляризованного света (т. е. с линейной или круговой
197
поляризацией). Для неполяризованного или частично поляризованного светового излучения часто используют алгебраический
аппарат матриц когерентности. Матрица когерентности плоской
волны имеет вид
M  E E*  M  E E*  
 X Y  
  X X 
J = 
,  M  E E*  M  E E*  
Y
X
Y
Y




 


 
(П.3.4)
*
*
где EX
и EY
– векторы, комплексно-сопряженные векторам электрического поля.
Матрица когерентности описывает временную корреляцию компонент поля посредством усредненных во времени векторов электрического поля. В табл. П.3.1 приведены матрицы когерентности
для различных поляризационных состояний. Матрица когерентности светового излучения, прошедшего через оптический элемент с
поляризационной матрицей М:
J = MJM + , (П.3.5)
где М + – матрица, эрмитово-сопряженная матрице М. След когерентной матрицы равен интенсивности поля. След матрицы (шпур
или трэйс) – это сумма диагональных элементов. Тогда для матрицы J след определяется выражением
198
* 
*

Tr [ J ] = M  EX EX
 + M  EY EY  . 
(П.3.6)
Содержание
Список сокращений..................................................................... Предисловие.............................................................................. 1. Шумы, сопровождающие прием излучения................................. 1.1. Тепловые шумы............................................................... 1.2. Дробовой шум темнового тока............................................ 1.3. Фотонный флуктуационный шум....................................... 1.4. Другие источники шумов.................................................. 1.5. Заключительные выводы о шумовых источниках................. 2. Детектирование и последетекторная обработка оптического
излучения.................................................................................. 2.1. Вводные замечания.......................................................... 2.2. Плотность распределения вероятности сигнала на выходе
фотодетектора........................................................................ 2.3. Плотность вероятности сигнала на выходе фильтра
фотодетектора ....................................................................... 2.4. Пороговое детектирование одним детектором....................... 2.5. Пороговое детектирование с двумя фотодетекторами............. 3. Приемные устройства систем передачи информации..................... 3.1. Приемное устройство прямого детектирования..................... 3.2. Приемное устройство прямого детектирования
на поднесущей частоте............................................................ 3.3. Гетеродинное приемное устройство..................................... 3.4. Гомодинный приемник..................................................... 4. Импульсные и цифровые лазерные системы связи........................ 4.1. Система связи с ким по интенсивности............................... 4.2. Система связи с ким по поляризации................................. 4.3. Система связи с кодово-импульсной модуляцией по фазе
(ким-фм)............................................................................ 4.4. Система связи с квантованной позиционно-импульсной
модуляцией по интенсивности.................................................. 5. Цифровые лазерные системы связи с передачей на поднесущей
и с гетеродинным детектированием............................................... 5.1. Вводные замечания.......................................................... 5.2. Ким-am система на поднесущей с модуляцией
по интенсивности................................................................... 5.3. Кодово-импульсная система с модуляцией по интенсивности
и гетеродинным приемом......................................................... 5.4. Кодово-импульсная система связи с частотной модуляцией
и гетеродинным приемом......................................................... 6. Оптимальное проектирование лазерных систем связи................... 6.1. Методологические основы оптимизации.............................. 6.2. Пример оптимального проектирования системы................... 7. Фазовые модуляторы, управляемые сигналами электрического
тока.......................................................................................... 3
4
6
6
10
12
15
18
22
22
23
26
30
34
38
38
42
47
56
61
61
66
75
78
83
83
83
89
94
98
98
105
111
199
7.1. Классификация устройств коррекции волнового фронта........ 7.2. Первичные зеркала с силовыми и создающими
механические моменты приводами........................................... 7.3. Фазовые модуляторы на основе брэгговских ячеек................ 7.4. Фазовые модуляторы на основе сегментированных зеркал..... 7.5. Фазовые модуляторы на основе пластинчатых зеркал............ 7.6. Фазовые модуляторы на основе монолитных зеркал.............. 7.7. Фазовые модуляторы на основе биморфных и униморфных
cтруктур............................................................................... 7.8. Фазовые модуляторы на основе пленочных зеркал................ 7.9. Фазовые модуляторы на основе мембранных решеток............ 7.10. Фазовые модуляторы, управляемые электронным пучком.... Библиографический список.......................................................... Приложение 1. Процесс Пуассона................................................. Приложение 2. Гауссовский процесс.............................................. Приложение 3. Алгебраические методы анализа поляризации.......... 200
111
114
129
137
139
146
153
164
170
173
178
179
187
196
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
8 841 Кб
Теги
krasyuklabetsshatalovshatalovajastrebkov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа