close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

krichevskiij

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
М. Л. Кричевский
ФИНАНСОВЫЙ
РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ
Монография
Санкт-Петербург
2009
УДК 338.2
ББК 65.290
К82
Рецензенты:
профессор, доктор технических наук С. П. Соколова;
профессор, доктор педагогических наук А. Г. Степанов
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве монографии
Кричевский М. Л.
К82 Финансовый риск-менеджмент: монография / М. Л. Кричевский. –
СПб.: ГУАП, 2009. – 204 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0488-3
Главный акцент сделан на получение количественных оценок
тех видов финансовых рисков, которые регламентированы Базельским соглашением в банковской сфере (рыночный, кредитный,
операционный). Наряду с традиционными методами оценивания
рисков, предлагаются способы формирования оценок, основанных
на интеллектуальных технологиях, в частности, с применением
искусственных нейронных систем и нечеткой логики.
Издание адресовано специалистам по рискам в банковской и
финансовой сферах, может быть полезно студентам, магистрантам
и аспирантам.
УДК 338.2
ББК 65.290
Научное издание
Кричевский Михаил Лейзерович
ФИНАНСОВЫЙ
РИСК-МЕНЕДЖМЕНТ
Монография
Редактор В. А. Черникова
Верстальщик А. Н. Колешко
Сдано в набор 27.07.09. Подписано к печати 05.11.09. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Печ. л. 12,75. Уч.-изд. л. 12,25.
Тираж 100 экз. Заказ № 711.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-0488-3
© М. Л. Кричевский, 2009
© ГУАП, 2009
Предисловие
Риск-менеджмент (РМ) представляет собой важный компонент деятельности любой организации и является центральной
частью стратегического управления организации. По существу,
РМ определяет систему анализа, оценки, управления и мониторинга риска. Это процесс, следуя которому, компания анализирует различные риски с целью максимальной эффективности каждого шага и, соответственно, всей деятельности в целом.
В современной экономической среде любое предприятие подвержено воздействию рисков, поэтому уклонение и отказ от риска
не всегда являются лучшим вариантом. Отметим, что не только
отдельные компании, отрасли экономики, но и страна в целом может подвергаться значительному риску, если руководство экономикой осуществляется неквалифицированно. К примеру, экономический кризис, начавшийся осенью 2008 г., носит уже планетарный характер.
Компании в ходе своей деятельности сталкиваются со многими сложными ситуациями, поэтому управление рисками становится важным именно в таких условиях. Последствия неудачного РМ могут негативно повлиять как на заинтересованных в деятельности организации лиц (акционеры, сотрудники), так и на
состояние дел в экономике (на местном или национальном уровнях). Кроме того, надо учитывать тот факт, что природа рисков,
с которыми сталкиваются компании, намного сложнее таковой тех рисков, которые встречаются в повседневной деятельности человека. Риски компании, прежде всего, относятся к стратегическим или финансовым аспектам ее деятельности. Вследствие этого становится очевидным, что умение оценивать риски
и управлять ими — наиболее важные характеристики современных компаний.
Финансовый РМ, являющийся частью общего РМ, имеет свои
особенности. Макроэкономическая нестабильность в национальных экономиках рыночного типа и в международном масштабе в
значительной степени коренится в серьезных дефектах финансового сектора. Последствия таких дефектов действительно велики
и выражаются в терминах замедления экономического роста, неэффективного финансового посредничества и разрушения общественного доверия к финансовым рынкам. От состояния финансовой системы страны в значительной степени зависит макроэкономическая стабильность страны. Кризисы финансового сектора
3
в одной стране часто выплескиваются на международный уровень, что объясняет заинтересованность международной деловой
общественности в финансовой стабильности отдельных странах и
довольно высокую готовность солидарно помогать странам, испытывающим кризисы такого рода или угрозу таких кризисов.
За последние десять лет в финансовом РМ произошли значительные события, связанные с разработкой и внедрением различных методологий оценки риска. Базельское соглашение 2001 г.
указало основные виды рисков в финансовом РМ (рыночный,
кредитный, операционный), предложило трехопорную концепцию требований к регуляторному капиталу, надзору за банками,
выполнению рыночной дисциплины. Общая направленность Базельского процесса — определение комплекса мер в банковском
секторе, которые бы в максимально возможной степени работали
на усиление финансовой стабильности в национальных экономиках и на международном уровне.
Требования к знаниям специалистов по финансовому РМ сложились к середине 90-х годов прошлого века. Возникли международные профессиональные организации риск-менеджеров (например, «GARP» — «Global Association of Risk Professionals»,
«PRMIA» — «Professional Risk Manager International Association»), разработаны специальные сертификационные программы,
профессиональный кодекс этики. Опыт подготовки специалистов
в области финансового РМ в развитых странах показывает, что
для риск-менеджеров необходимы углубленные знания по теории вероятности, математической статистике, случайным процессам, финансовым рынкам, ценным бумагам. Вследствие того,
что растут требования к квалификации риск-менеджеров, увеличивается потребность в обучении и сертификации специалистов.
Часть российских риск-менеджеров успешно сдали экзамены и
получили сертификаты GARP и PRMIA.
За рубежом в 2001–2002 гг. вышли две книги [1], [2], которые
в наибольшей степени отвечают требованиям к современной подготовке профессионалов в области финансового РМ. Эти книги
рекомендованы как основные пособия для подготовки к международным сертификациям PRMIA — Certified Risk-Manager и
Financial Risk-Manager. В России в 2003 г. была издана книга [3],
которая явилась первым пособием в области РМ и охватывала
разные стороны практических задач и теоретических аспектов.
К сожалению, написанная коллективом автором, эта книга с разной степенью полноты освещает различные вопросы.
4
Поскольку прошло уже более 5 лет с момента ее выхода и появились новые методологии оценки рисков, назрела необходимость
отразить эти инновации, что и привело нас к решению о написании монографии. Следует отметить, что опыт преподавания дисциплины «Риск-менеджмент» в различных университетах укрепил нас в принятом решении, так как имеющаяся литература не
в полной мере указывает пути, позволяющие получить количественную оценку риска (может быть, за исключением рыночного риска в виде величины VaR). Стремление обучить студентов,
слушателей курсов MBA умению пользоваться методами формирования количественных оценок риска привело к необходимости
включения в данный курс интеллектуальных технологий, ранее
описанных в работе автора [4]. Такое расширение приемов вычисления рисков посредством нейронных сетей и нечеткой логики не
противоречит Базельскому соглашению, в котором финансовым
учреждениям рекомендуется разрабатывать собственные системы оценки риска. Книга состоит из пяти глав.
В первой главе рассматриваются вопросы, связанные с определением сущности риска, выявлением целей и задач РМ, описанием регуляторов риска и классификацией рисков в финансовой
сфере.
Вторая глава посвящена рыночному риску, поэтому в ней анализируются причины формирования оценок этого вида риска в
виде значения VaR, приводятся сведения по традиционным приемам расчета рыночного риска, включая ковариационный, методы исторических симуляций и Монте-Карло.
Третья глава целиком акцентируется на изучении кредитного риска путем рассмотрения различных моделей, используемых
при формировании оценок этого класса риска. Рассматриваются
модель Мертона, являющаяся основой для ряда методологий расчета кредитного риска, модель миграции кредитного рейтинга,
пороговые и смешанные модели. Проводится сравнение различных методологий, пригодных для оценки кредитного риска.
В четвертой главе монографии оценивается операционный
риск, впервые введенный в качестве основного в Базельском соглашении 2001 г. Рассматриваются вопросы классификации этого вида риска и методы его оценки, включая базовый индикаторный, стандартизированный и расширенных измерений.
В пятой главе рассматриваются возможности интеллектуальных технологий (нейронных сетей и нечеткой логики) для создания внутренних рейтинговых систем оценки рисков. После крат5
кого описания этих технологий приводятся примеры получения
количественных оценок риска в различных ситуациях, в частности, кредитоспособности клиента (физического или юридического лица).
6
Глава 1. Основные концепции риск-менеджмента
1.1. Сущность риска
Слово «риск», как утверждают филологи, появилось в европейских языках довольно поздно, в конце XV в. Основными сферами
его применения стали мореплавание и морская торговля. Примерно с этого времени возникло интуитивное различие между
опасностью и риском. Один из современных исследователей формулирует его таким образом: «Здесь есть две возможности. Либо
возможный ущерб рассматривается как следствие решения, т. е.
вменяется решению. Тогда мы говорим о риске, именно о риске
решения. Либо же считается, что причины такого ущерба находятся вовне, т. е. вменяются окружающему миру. Тогда мы говорим об опасности» [5].
Освоение и колонизация американского континента потребовали весьма рискованных и вместе с тем очень выгодных, в случае успеха, предприятий. С ростом возможностей человечества
и цены принимаемых решений понятие риска играло все более
важную роль в культуре и в науке. Морское страхование, получившее широкое распространение в XVI в., по-видимому, стало
одной из первых технологий управления риском. Его стратегия
сводится к «размазыванию риска». Для одного торгового дома
потеря снаряженной по государственному стандарту (в Испании
вскоре после экспедиций Колумба таковой был введен) экспедиции была неприемлемым ущербом. Однако наличие страхового
фонда, созданного десятком таких домов, в случае неудачи делало потери для дома, пославшего экспедицию, допустимыми. Тогда же был отмечен и важный психологический момент: решения,
принимаемые комитетом, обычно оказывались более смелыми,
чем «авторские решения».
Этот исторический пример позволяет проследить и развитие
традиционной проблематики, связанной с риском, и принципиально новые моменты, меняющие постановку большинства задач.
Осмысление этих моментов и привело к концепции управления
риском.
Поскольку успех экспедиции зависит от множества факторов
и ряда случайностей, естественно предположить, что исходов может быть не один, а несколько, например, N, и воспользоваться
представлением о вероятности. Пусть i-й исход имеет вероятность
pi, а доход (или убыток) от него составит xi. Ожидаемая прибыль
7
N
от планируемого предприятия составит S1 = å pi xi . Тогда при
i=1
сравнении двух проектов нужно рассчитать для каждого из них
величину S1 по этой формуле и выбрать тот, для которого она окажется больше. Это простейший вариант модели ожидаемой полезности, играющей ключевую роль в современной теории принятия решений.
Здесь возникает два принципиально различных подхода, которые условно можно назвать объективным и субъективным.
Объективный подход начинает с существа проблемы и далее
восходит к человеку, к принимаемым решениям. В рамках этого
подхода осмысливаются цели, формулируются соответствующие
им принципы и предлагаются методы оценки рисков. Эти правила игры могут закрепляться в нормативах, стандартах, законах и т. д. Если следовать этому подходу при анализе экспедиции
и считать, что используемая методика рекомендует исходить из
вышеприведенного соотношения, то надо как можно более точно оценить возможные прибыли хi, вероятности р и проследить,
чтобы все варианты (здесь их N) были учтены. Объективный подход обычно используется на государственном уровне, а также на
уровне крупных корпораций, когда речь идет о типичных, достаточно часто встречающихся рисках, решениях, ситуациях. Его
часто применяют в компьютерных системах поддержки принятия решений.
Субъективный подход идет от человека и восходит к принимаемым решениям, к возникающим в их результате рискам и т.
д. Этот подход тесно связан с математической психологией. Его
сущность состоит в том, чтобы предложить формальные процедуры, критерии, методики, которые дают примерно тот же результат в стандартных ситуациях, что и человек, принимающий решения. Область применения этой теории очень велика. Это, прежде всего, поведение экономических агентов, большинство деловых решений которых принимаются на уровне здравого смысла,
на основе предшествующего опыта, либо в тех условиях, когда на
проведение серьезных расчетов и тем более исследований времени не остается. Типичный пример — воcприятие населением риска используемых технологий. Многочисленные социологические
исследования показали, что оценка населением различных видов
деятельности сильно отличается от «объективного» показателя,
если таковым считать число смертельных случаев, связанных с
8
определенной деятельностью. В восприятии обывателя курение,
алкоголизм, автомобильные катастрофы находятся в нижней части списка как наиболее безопасные, а атомная энергетика — в
верхней части. Исходя из показателя средней ежегодной смертности, картина обратная.
Понятие риска в современных экономических трудах не является однозначным и окончательно установившимся. То же самое
относится и к определению риска в различных словарях. Так, в
Кратком оксфордском словаре риск определяется как «потеря,
плохие последствия, неудача»; в толковом словаре С. Ожегова под
риском понимается «возможная опасность, действие наудачу в
надежде на счастливый случай». В финансовой сфере под риском
подразумевается любое событие или действие, способное отрицательно воздействовать на способность организации достичь своих целей и реализовать запланированные стратегии. Хотя предложенная интерпретация термина «риск» охватывает его многие
элементы, тем не менее до сих пор отсутствует единое определение риска, полностью удовлетворяющее всех заинтересованных
субъектов.
Естественно, что концепция риска не ограничивается только
финансово-экономической сферой. Некоторые более ранние проявления рисков можно отметить в оборонной сфере, например, в
радио- и гидролокации, где под риском понимаются вероятности
ошибочной классификации: пропуск цели и ложная цель. Такая
же ситуация имеет место при контроле качества продукции, где
риски поставщика и потребителя с разных позиций оценивают
качество предлагаемого товара или услуги. В энергетической сфере наиболее очевидно сходство с финансовыми рынками: электроэнергия продается на специализированных биржах; деривативные контракты используются для хеджирования неопределенности будущей цены; компании оптимизируют инвестиционные
портфели, комбинируя продукцию электроэнергетики с финансовыми инструментами.
Дальнейшие планы относятся к созданию рынков по торговле
квотами, связанными с охраной окружающей среды. Например,
Чикагская биржа в настоящее время предлагает фьючерсные
контракты на эмиссию двуокиси серы. Такая торговля возможна
из-за наличия предприятий, загрязняющих окружающую среду
своими производственными процессами, и, следовательно, можно заставить эти компании рассматривать стоимость ухудшения
среды как будущие риски.
9
Вследствие неопределенностей, присущих рисковым ситуациям, возникла необходимость разработки нормативных документов, в которых были бы введены основные дефиниции в области
риска. Такую работу взяла на себя Федерация европейских ассоциаций риск-менеджеров (Federation of European Risk Management
Associations – FERMA) [6], которая была образована в 1974 г. как
международная организация с научными целями и целями обмена идеями и опытом. Миссия этой ассоциации заключается в расширении и улучшении культуры риск-менеджмента по всей Европе среди ученых и практиков, занимающихся вопросами управления риском. Она достигает своих целей продвижением знаний
о риск-менеджменте через медийную среду, путем распространения информации, через образовательные и исследовательские
проекты. FERMA объединяет Национальные ассоциации по рискменеджменту 13 европейских стран, в том числе и Россию, где такая ассоциация сформировалась под названием «Русское общество
управления рисками» со штаб-квартирой в Москве [7].
Стандарты
управления
рисками
(Risk
Management
Standard) — это результат совместной работы нескольких ведущих организаций, занимающихся вопросами риск-менеджмента
в Великобритании, — Института риск-менеджмента, Ассоциации риск-менеджмента и страхования, Национального форума
риск-менеджмента. В разработку стандартов большой вклад внесли профессиональные организации, занимающиеся вопросами
управления рисками и проявляющие интерес к этой тематике.
В России в 2003 г. введен Государственный стандарт ГОСТ Р
51897-2002 [8]. В этом стандарте, разработанном на основе рекомендаций Международной организации по стандартизации, приводятся термины и определения, которыми следует руководствоваться при изложении вопросов менеджмента риска. Укажем некоторые термины из этого стандарта.
Риск — сочетание вероятности события и его последствий.
1. Термин «риск» обычно используют только тогда, когда существует возможность негативных последствий.
2. В некоторых ситуациях риск обусловлен возможностью отклонения от ожидаемого результата или события.
Событие — возникновение специфического набора обстоятельств, при которых происходит явление.
1. Событие может быть определенным или неопределенным.
2. Событие может быть единичным или многократным.
Вероятность — мера того, что событие может произойти.
10
ГОСТ Р 50779.10-2000 [9] дает математическое определение вероятности: «Действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию».
Последствие — результат события.
1. Результатом события может быть одно или более последствий.
2. Последствия могут быть ранжированы от позитивных до
негативных. Однако применительно к аспектам безопасности последствия всегда негативные.
3. Последствия могут быть выражены качественно или количественно.
Введенные определения в области менеджмента риска дают
основу для единообразного понимания терминов и понятий, используемых в этой области человеческой деятельности.
1.2. Цели и задачи риск-менеджмента
Риск-менеджмент представляет собой систему анализа, оценки и управления риском [10]–[12]. РМ является центральной частью стратегического управления организации.
Основная цель РМ — вклад в процесс максимизации стоимости организации, т. е. сохранение полностью (частично) своих ресурсов или получение ожидаемой прибыли. Это означает выявление всех потенциальных «негативных» и «положительных» факторов, влияющих на организацию, что увеличивает вероятность
успеха и минимизирует вероятность неудачи для достижения поставленных организацией целей. РМ должен быть интегрирован
в общую культуру организации, принят и одобрен руководством,
а затем донесен до каждого сотрудника организации как общая
программа развития с постановкой конкретных задач на местах.
В качестве единой системы управления рисками РМ должен
включать в себя программу контроля над выполнением поставленных задач, оценку эффективности проводимых мероприятий,
а также систему поощрения на всех уровнях организации.
В укрупненном виде задачи РМ сводятся к следующим:
— выявление и описание рисков;
— качественная/количественная оценка рисков;
— выбор стратегий управления риском;
— управление рисками и мониторинг.
При решении первой задачи необходимо идентифицировать те
из рисков, которые могут оказать влияние на компанию. При этом
11
организации могут использовать разнообразные формы выявления рисков. Например, при определении проектных рисков можно использовать такие источники информации, как временной
план проекта, график выхода на точку самоокупаемости. Идентификация рисков предполагает наличие полной информации
об организации, рынке, законодательстве, социальном, культурном и политическом окружении, а также о стратегии ее развития
и операционных процессах, включая информацию об угрозах и
возможностях достижения поставленных целей. Для идентификации рисков необходим методологический подход с тем, чтобы
выявить максимальное число рисков, которым подвержена организация во всех сферах деятельности.
Подробное описание выявленных рисков в определенном формате позволяет провести их дальнейший анализ. С учетом последствий и вероятности каждого из рисков, описание рисков
дает возможность расставить приоритеты и выделить те риски,
подробное изучение которых требуется. Процесс управления рисками должен стать неотъемлемой частью как на стадии формирования концепции проектов, так и на всех стадиях фактической
реализации конкретного проекта. Описание возможных рисков
удобно выполнять в табличной форме, примерный вид которой
приведен в табл. 1.1 [6].
Таблица 1.1
Описание риска
Показатель
Наименование риска
Сфера риска
Характеристика
Определяется сферой деятельности
Описание событий, размер, тип, количество, сфера воздействия
Заинтересованные лица Заинтересованные лица и их ожидания
Количественное выраже- Значения вероятности и последствий
ние риска
Приемлемость риска
Возможные убытки и их финансовое значение, цена риска, вероятность и размер
убытков/прибыли
Управление риском и
Действующие методы и практика управлемеханизмы контроля
ния риском
Возможности снижения Рекомендации по снижению риска
риска
Стратегические и управ- Ответственность за разработку и внедрение
ленческие изменения
управления риском
12
Событие
Последствие
Вероятность
Рис. 1.1. Треугольник риска
Исходя из определения риска, который представляет собой
сочетание вероятности события и его последствий, в компании
должны быть специалисты по РМ, способные выявить определенное событие (фактор риска), его вероятность и его последствия.
Формализуя последнее утверждение, можно представить ситуацию в виде некоторого «треугольника риска», вершинами которого служат событие, вероятность, последствие (рис. 1.1).
Последствия с точки зрения угроз и возможностей могут быть
оценены как высокие, средние и низкие (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Последствия (угрозы и возможности)
Уровень последствий
Характеристика
Высокий
Финансовые последствия не превысят величину $A.
Существенное влияние на стратегическое развитие и деятельность организации.
Существенная обеспокоенность заинтересованных лиц
Финансовые последствия находятся в пределах
$A и $B.
Умеренное влияние на стратегическое развитие
и деятельность организации.
Умеренная обеспокоенность заинтересованных
лиц
Финансовые последствия ниже $B.
Слабое влияние на стратегическое развитие и
деятельность организации.
Слабая обеспокоенность заинтересованных лиц
Средний
Низкий
Вероятность также может быть высокой, средней и низкой, однако требуются различные определения для угроз и возможностей. В табл. 1.3 приведены оценки вероятности событий, характеризующие угрозы для компании.
13
Таблица 1.3
Вероятность события (угрозы)
Оценка вероятности
Высокая
Средняя
Низкая
Описание
Индикаторы
Вероятность наступления события каждый
год, или вероятность
наступления события
больше 25 %
Потенциальная
вероятность того, что
событие наступит несколько раз в течение
определенного периода времени. Событие
произошло недавно
Существует вероятность Событие может
наступления события
произойти несколько
в течение 10 лет, или
раз в течение опредевероятность наступления ленного периода вресобытия меньше 25 %
мени. Сложно контролировать вследствие
влияния внешних
факторов. Существует
история наступления
события
Практически отсутству- Событие не наступало.
ет вероятность наступле- Вероятность настуния события в течение
пления события мала
10 лет, или вероятность
наступления события
меньше 2 %
Для определения вероятности событий, определяющих возможности фирмы, можно воспользоваться данными табл. 1.4.
Представленные здесь значения оценок вероятности, характеризуемые градациями в виде прилагательных, позволяют в дальнейшем перейти к методам нечеткой логики, где значения переменных как раз и описываются так называемыми лингвистическими переменными, а применение такой технологии дает возможность получить количественную оценку риска.
Описание рисков служит основой для качественного анализа
путем формирования карты рисков организации [12], которая
дает взвешенную оценку рискам и расставляет приоритетность в
отношении мероприятий по снижению степени риска. Формирование карты риска позволяет выявить зоны бизнеса, подверженные тем или иным рискам, а также описать действующие методы контроля над рисками и определить необходимость внесения
изменения по уменьшению, усилению контроля или пересмотру
действующих механизмов. Картографирование рисков распреде14
Таблица 1.4
Вероятность события (возможности)
Оценка вероятности
Высокая
Средняя
Низкая
Описание
Индикаторы
Положительные результаты наступят в течение
года, или вероятность положительного результата
выше 75 %
Возможные положительные результаты наступят
в течение года с вероятностью 25—75 %
Вероятность наступления
положительных результатов меньше 25 %
Наступление результата
возможно в краткосрочный
период при использовании
существующих бизнеспроцессов
Возможности достижимы
при планомерном и четком
руководстве
Возможности, которые
требуют дополнительных
исследований. Возможности, которые маловероятны
с точки зрения существующего менеджмента
ляет зоны ответственности за рисками и человеческими ресурсами необходимым образом.
Для количественного анализа рисков могут использоваться
различные способы, например, методы математической статистики, моделирования, интеллектуальные информационные технологии: нечеткая логика, искусственные нейронные сети и другие
подходы. В любом случае желательно получить количественную
оценку риска, поскольку знание меры риска позволяет спланировать мероприятия по снижению или устранению нежелательных
событий.
1.3. Регуляторы рисков
Финансовая стабильность к концу прошлого столетия стала
настоятельной общественной потребностью и сферой ответственности государства. За период с начала 1970-х годов локальные или
системные банковские кризисы в разной степени ощущались более чем в 120 странах. Их негативные финансово-экономические
и социальные последствия затронули как развивающиеся, так и
промышленно развитые страны; как реформируемые, так и относительно стабильно развивающиеся экономики. При этом важно
подчеркнуть, что после Второй мировой войны до начала 70-х годов ХХ в. банковские кризисы случались сравнительно редко.
15
Финансовая дестабилизация — явление довольно распространенное и чрезвычайно дорогостоящее: ее последствия могут доходить до четверти величины валового внутреннего продукта страны,
которую она поразила. В той или иной мере серьезные финансовые
кризисы современной конфигурации происходили в 1977—1985 гг.
в Испании, в 1981—1987 гг. в Чили и Малайзии, в 1994—1998 гг. в
Венесуэле и Мексике, в 1987—1997 гг. в Венгрии, в 1991—1994 гг. в
Финляндии, в 1994—1996 гг. в Турции, в 1991—1999 гг. в Польше,
в 1990—1993 гг. в Швеции, в первые годы XXI в. — в Аргентине и
Колумбии, в 1998—2002 гг. — в России [13]. Макроэкономическая
нестабильность в национальных экономиках рыночного типа и в
международном масштабе в значительной степени коренится в серьезных дефектах финансового сектора.
Несомненно, что регулирование рисков прошло долгий путь,
начиная с венецианских банков и ранних страховых соглашений,
заключенных в лондонских кофейнях XVIII в. Однако основное
развитие, приведшее к современному состоянию регулирования
рисков, произошло в ХХ в. Все компоненты защиты рисковой
дисциплины и финансовой стабильности, в конечном счете, связаны с системой регулирования банковского бизнеса и надзора за
банковской сферой. Адекватное регулирование банковской деятельности и соответствующий надзор за банками выступают в качестве основных условий обеспечения финансовой стабильности.
В настоящее время единственным средством борьбы с различными проблемами, которые приводят к финансовой неустойчивости банков, является регулирование капитала банков; основной
формой воздействия на банки — нормирование достаточности капитала. Внедрение такого подхода в практику работы национальных регулирующих органов было инициировано Базельским комитетом по банковскому надзору. Базельский комитет был основан управляющими центральных банков Группы десяти («G-10»)
стран в конце 1974 г. в ответ на серьезные нарушения в международном валютном обращении (в группу «G-10» входят Бельгия,
Канада, Франция, Германия, Италия, Япония, Люксембург, Нидерланды, Испания, Швеция, Швейцария, Соединенное Королевство, США). Базельский комитет не является наднациональной и
правовой юридической организацией, и его решения не обладают
никакой юридической силой. Можно сказать, что он вырабатывает рекомендации и правила, которые основаны на лучших практических примерах в банковской сфере. Считается, что участники банковского сообщества в других странах будут делать шаги
16
по реализации рекомендаций Базельского комитета в соответствии с национальной спецификой.
Первое Базельское соглашение (Basel Accord), известное как
Базель–1, было заключено в 1988 г. и представляло собой важный
шаг к международному стандарту по минимуму капитала. Его
основные усилия были направлены на кредитный риск, который
представляет собой главный источник риска в банковской сфере.
Указанное соглашение стало первой успешной попыткой установления общепризнанных правил регулирования банковской деятельности. Этим документом странам-участницам рекомендовалось к концу 1992 г. установить размер минимально достаточного
собственного капитала банка, который не должен быть ниже 8 %
от суммы взвешенных по риску активов. Создание такого капитала служило своего рода буфером перед лицом неожиданных финансовых потерь. К 1993 г. все страны Большой десятки добились
этого в банках, проводящих значительные международные операции. По мере накопления опыта становилось ясно, что требуются не только поправки к Соглашению, но и серьезный общий
пересмотр документа Базель–1.
Со второй половины 90-х годов прошлого века Базельское соглашение о достаточности капитала во многом перестало соответствовать банковской деятельности в связи с произошедшими
в ней структурными изменениями. Последние были обусловлены расширением круга операций банка на рынке производных
финансовых инструментов, где применялись сложные финансовые технологии управления активами. В результате таких действий стандарты Базеля–1 не только не сдерживали, но косвенно поощряли банки к продаже части высоконадежных кредитов
с целью страхования активов. Второй недостаток соглашения
Базель–1 заключался в том, что в этом документе не уделялось
достаточного внимания роли залогового обеспечения и производных финансовых инструментов при ограничении банковских
рисков. Указанные и другие несоответствия банковской практики и требований надзорных органов привели к необходимости пересмотра соглашения Базель–1.
В 1996 г. Базельский комитет дополнил предыдущее соглашение путем введения требований по рыночному риску и разрешения банкам использовать для оценки рисков, наряду со стандартизированными моделями, и внутренние методики, основанные
на собственных разработках. Такое дополнение, известное как
«The 1996 Amendment», вступило в действие с конца 1997 г.
17
С целью решения проблемы соответствия минимальных требований по капиталу новым рискам текущей банковской деятельности Базельский комитет разработал пакет предложений
по пересмотру первоначального соглашения Базель–1. Проект нового рекомендательного документа впервые был опубликован в
июне 1999 г., к тому времени было около 200 комментариев и замечаний к соглашению.
В январе 2001 г. Базельский комитет представил на рассмотрение банковского сообщества расширенный вариант соглашения Базель–1 по пересмотру требований к собственному капиталу. После обсуждения этого нового варианта в июне 2004 г. управляющие центральными банками и руководители органов банковского надзора стран — создателей Базельской системы одобрили
этот документ, получивший название «International Convergence
of Capital Measurement and Capital Standards: Revised Framework»
(«Международная совместимость измерения капитала и стандарты капитала: обновленная схема»), для краткости определяемый
как соглашение Базель–2.
Главная цель соглашения Базель–2 состоит в укреплении стабильности финансовых систем отдельных стран и международной
финансовой системы в целом через повышение качества управления рисками в банковском деле.
Ключевое изменение в этом документе заключается во введении трехопорной концепции [1], [2], [13]. Целью такой трехкомпонентной концепции является достижение более надежного приближения к управлению риском, которое фокусируется на взаимодействии между различными категориями риска.
В первом блоке устанавливаются требования к минимальному
капиталу, необходимому для перекрытия кредитного, рыночного
и операционного рисков.
Здесь рассматриваются следующие основные вопросы:
1) подходы к оценке рисков и пути реализации (используется
принцип «один метод не может подойти всем» — «one size does
not fit all»);
2) выбор оценок для расчета банком своего регуляторного
капитала: стандартный (standard approach — SA), упрощенный стандартизированный подход (simple standard approach —
SSA), фундаментальный на основе внутренних рейтингов
(fundamental internal rating based — F-IRB) и расширенный на
основе внутренних рейтингов (advanced internal rating based —
A-IRB);
18
3) начисление в капитал под операционный риск, определяемый как возможность убытков, вызываемая человеческим и организационным факторами.
Например, формула расчета достаточности капитала по новому Базельскому соглашению имеет вид [1]
Îáùèé êàïèòàë
³ 8 %.
Êðåäèòíûé ðèñê+Ðûíî÷íûé ðèñê+Îïåðàöèîííûé ðèñê
Первый член в знаменателе формулы определяется суммой
взвешенных на кредитный риск активов. Оставшиеся слагаемые
знаменателя находятся путем умножения стоимостей рыночного
и операционного рисков на коэффициент, равный (1/8 %) = 12,5.
Например, если банк имеет взвешенные на риск активы, равные
1000$, а рыночный и операционный риски оцениваются величинами соответственно 10$ и 20$, то знаменатель становится равным
1000$ + [(10$ + 20$) · 12,5] = 1375$.
При этих условиях банк должен иметь, по крайней мере, сумму, составляющую 0,08 · 1375$ = 110$, которая определяет достаточный капитал. К этому же значению можно придти иначе, а
именно: 8 % · 1000$ + 10$ + 20$ = 110$.
Во втором блоке устанавливаются четыре основных принципа надзора за банками:
1) банки должны иметь процедуры оценки достаточности их
капитала с учетом профиля рисков банка;
2) органы надзора должны рассматривать и оценивать внутренние возможности банка для оценки достаточности капитала
и принимать адекватные меры, если они неудовлетворительны;
3) органы надзора ожидают от банков, что капитал последних
будет превышать минимальные требования. Это вызвано тем, что
в Базельском соглашении при расчете кредитных, рыночных и
операционных рисков (в соответствии с блоком 1) не учитываются такие риски, как правовой и риск чрезвычайных событий;
4) органы надзора должны стремиться к превентивному вмешательству на раннем этапе развития проблем, чтобы не позволить капиталу уменьшиться ниже минимального уровня.
В третьем блоке соглашения указывается на необходимость
выполнения рыночной дисциплины через публичную открытость
при оценке риска и информации, относящейся к управлению риском. Главная цель этого блока — установление такого порядка,
при котором нажим со стороны партнеров, контрагентов и рын19
ка укреплял бы тщательное управление рисками. Решение в этом
направлении ищется через опубликование банками информации
о своих операциях, рисках и капитале, принципах и процедурах
управления рисками.
Информация должна быть раскрыта по следующим основным
направлениям:
— требования к капиталу по основным видам риска;
— политика банка в отношении кредитного, рыночного и операционного рисков, риска процентных ставок и торгового портфеля;
— подробные сведения о структуре банковского портфеля;
— порядок оценки стоимости и приемлемости обеспечения
кредитов;
— сведения о сомнительных и просроченных кредитах, взаимозачетных схемах, убытках;
— доход от инвестиционно-торгового портфеля.
Недостатки предложенного соглашения сводятся, в основном,
к следующим:
— на финансовую устойчивость отдельных банков и всей финансовой системы способны оказать влияние не только главные,
рассмотренные в Базель-2, но и второстепенные банковские риски, а также риски корпораций из других отраслей;
— количество методов диагностики и исследования рисков гораздо шире, чем рассмотрено в предложенном Соглашении;
— устойчивость финансовой системы зависит не только от
банков, хотя они играют роль активного стабилизатора, но и от
устойчивости его отдельных клиентов;
— стоимость разработки и установки надежно функционирующей системы РМ, соответствующей концепции Базельского соглашения, достаточно велика, особенно для малых финансовых
институтов.
Опыт стран Большой десятки показал, что внедрение требований Базель–2 требует от кредитно-финансовых учреждений
значительных затрат. Вследствие этого часть российских банков
пойдет на внедрение лишь отдельных элементов стандартных
процедур, а не на радикальные и дорогие технологические или
организационные перемены, связанные с передовыми методиками. Однако к проведению необходимых мероприятий в этом направлении будет постоянно подталкивать конкуренция с международными банками, которые раньше российских переходят на
применение новых стандартов.
20
Три блока Соглашения создают структуру, которая полезна российскому банковскому сектору. Существующий уровень
управления рисками в российских банках в настоящее время не
соответствует уровню «G-10», поэтому движение к стандартам,
установленным в Соглашении, может быть только постепенным.
В частности, чтобы приблизиться к стандартам Базель–2, российские банки должны провести большую работу в области внедрения систем управления кредитными и операционными рисками.
1.4. Классификация и виды рисков
С развитием технологий, используемых человеком, возрастает число рисков в любой области повседневной деятельности. Теперь, говоря о рисках, мы имеем в виду не только финансовую
сферу деятельности компании или предприятия. Риски сейчас
затрагивают каждое направление деятельности и функциональную область бизнеса компании, где существует хоть малая степень неопределенности или вероятности понести убыток. Вследствие этого нет однозначного подхода к выбору даже критериев
классификации, не говоря уже о разделении на классы возможных рисков.
Классификация рисков дает возможность распределить их по
определенным признакам на однородные кластеры, что позволяет применить конкретные методы анализа, оценки и управления
рисками. Классификация детализирует свод возможных видов
риска применительно к конкретной деятельности. Один из возможных подходов классификации рисков, предлагаемый компанией ERisk, в виде паззлов показан на рис. 1.2 [14]. Миссия этой
Рис. 1.2. Классификация рисков
21
компании заключается в оказании помощи клиентам в трансформации процессов РМ таким образом, чтобы достичь увеличения эффективности принимаемых решений.
В приведенной схеме выделены ключевые виды рисков: кредитный, операционный, рыночный и хозяйственный, которые объединяет вместе концепция ERM (Enterprise Risk Management —
корпоративный риск-менеджмент). ERM в бизнесе включает методы и процессы, используемые для управления рисками и оценке возможностей, которые связаны с достижением поставленных
целей [15]. Приведем определения указанных рисков.
Кредитный риск — потери, обусловленные невозможностью
или нежеланием другой стороны платить по своим финансовым
обязательствам.
Операционный риск — риск прямых или непрямых потерь,
возникающих из-за неадекватных внутренних процессов, неправильного поведения персонала или внешних событий.
Рыночный риск — риск финансового положения вследствие
изменений рыночных факторов, под которыми понимаются процентные ставки, наличие иностранного капитала и (или) цены
акций.
Бизнес-риск — вид риска, который обусловлен ошибками при
ведении хозяйственной деятельности, принятии управленческих
решений.
В финансовой области предложен кластерный подход выявления и систематизации рисков для коммерческих банков при
построении внутренних систем управления рисками. Анализируя подход к классификации рисков, предложенный в Базель–2,
можно придти к выводу, что в основе этого соглашения лежит
многомерная классификация рисков. Иначе говоря, в Базель–2
применяется, как минимум, трехмерный подход, который может быть представлен в виде кубической модели с тремя осями:
уровни консолидации; линии бизнеса и виды рисков; горизонты
во времени. Можно ожидать, что в будущем на этой основе будет
развит официальный многомерный классификатор рисков банков. Тем не менее описанная в Базель–2 классификация делит
риски в банковской сфере на три основные группы:
1) кредитные риски;
2) рыночные риски;
3) операционные риски.
Предложенные схемы классификации не охватывают всех
возможных критериев, по которым происходит разделение ри22
Рыночный
риск
Ликвидный
риск
Регуляторный
риск
Кредитный
риск
Финансовый
риск
Операционный
риск
Риск человече
ского фактора
Рис. 1.3. Декомпозиция финансового риска
сков. Например, финансовые риски могут быть представлены состоящими из рыночного, кредитного, ликвидного, операционного, регуляторного рисков, а также риска человеческого фактора
(рис. 1.3) [2].
Эти финансовые риски могут быть разделены далее на более
специфические категории. Например, рыночный риск определяется входящими в него рисками курса акций и процентной ставки, валютным и товарным рисками. Чем более детальна декомпозиция, тем более тесно связаны финансовые риски.
В экономической сфере риски группируются в основном по
следующим критериям.
1. По сфере возникновения или характеру учета:
— внешние риски;
— внутренние риски.
2. По уровню принятия решений:
— макроэкономические (глобальные) риски;
— риски для отдельного предприятия (локальные).
3. По продолжительности действия во времени:
— кратковременные риски;
— постоянные риски.
4. По степени воздействия:
— допустимый или минимальный риск (потери меньше ожидаемой прибыли);
— критический риск I степени (потери равны ожидаемой прибыли) и критический риск II степени (при этих потерях затраты
на производство продукции не окупаются);
— катастрофический риск (угроза банкротства).
5. По объектам, подверженным воздействию риска:
— риски нанесения ущерба жизни и здоровью граждан;
23
— имущественные риски.
6. По характеру последствий воздействия риска:
— чистые риски, т. е. означающие возможность получения
только отрицательного или нулевого результата (например, природные, экологические, транспортные);
— спекулятивные риски, т. е. способные принести предприятию как потери, так и прибыль (биржевые риски).
Любой из представленных критериев классификации может
быть использован для характеристики видов рисков, выделяемых по другим системам классификации, например, обусловленной распределением риска по различным направлениям деятельности предприятия. В соответствии с таким подходом можно выделить следующие виды рисков:
1) производственные риски — связаны с осуществлением любых видов производственной деятельности;
2) инновационные риски — обусловлены вероятностью потерь,
возникающих при вложении предприятием средств в производство новых товаров и услуг;
3) финансовые риски — вызваны вероятностью потерь денежных средств при осуществлении предприятием финансовой деятельности;
4) коммерческие риски — обусловлены вероятностью потери
ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов при выполнении коммерческих операций;
5) информационные риски — являются следствием возникновения потерь из-за ошибок при сборе, анализе, контроле и регулировании информационной базы деятельности предприятия;
6) социальные риски — связаны с неэффективной организацией социальной инфраструктуры;
7) экологические риски — обусловлены нарушениями установленных норм по охране окружающей среды и безопасности
жизнедеятельности;
8) политические риски — вызваны рисками внешней среды,
к которым относятся страновой, валютный, налоговый риски и
риск форс-мажорных обстоятельств.
Укажем также еще одну классификационную систему рисков.
Финансовые или предпринимательские институты могут подвергаться различным видам риска: риск неправильно подобранной
модели бизнеса, риск уменьшения прибыли фирмы, риск уменьшения спроса на некоторые продукты предприятия и т. д. В то
же время фирма может потерять деньги в Пенсионном фонде, мо24
жет не выполнить свои обязательства с иностранными партнерами должным образом, сделать невыгодные займы, трейдер может
потерять большую сумму денег; все эти события немедленно и напрямую влияют на стоимость акционерного капитала компании.
Вследствие этого целесообразно сфокусировать внимание на таких рисках, как рыночный, кредитный, процессный, правовой,
модельный риски и риск ликвидности.
Поскольку определения рыночного и кредитного рисков были
даны выше, приведем дефиниции остальных терминов.
Процессный риск вызван ошибками внутреннего бизнеса или
управления процессами внутри фирмы (отметим, что этот вид риска представляет собой новую область в РМ).
Правовой риск связан с принятием ошибочных решений в правовой сфере (при заключении соглашений, сделок, оформлении
финансовых документов).
Модельный риск обусловлен использованием не подходящих
для принятия управленческих решений аналитических моделей.
Риск ликвидности вызван неспособностью финансового института своевременно и полностью обеспечивать выполнение своих финансовых обязательств.
Подводя итоги, сделаем вывод, что существует большое количество классификационных схем, позволяющих кластеризировать риски в различные группы, и поэтому сфера деятельности
компании (финансовая, производственная, торговая), в первую
очередь, определяет наиболее важные риски рассматриваемой
организации. В то же время надо подчеркнуть, что методология
оценки рисков в различных областях деятельности с принципиальных позиций может и должна быть одинаковой. Тем не менее
в последующих главах речь пойдет преимущественно о рисках
финансового характера, которые возникают в банковской сфере.
25
Глава 2. Рыночный риск
2.1. Разновидности рыночного риска
Рыночный риск — это риск финансового положения вследствие изменений рыночных факторов, под которыми понимаются процентные ставки, наличие иностранного капитала и (или)
цены акций.
Управление рыночным риском не является прерогативой только больших инвестиционных банков. Такое управление охватывает все области бизнеса: от малых банков и хеджевых фондов до
страховых компаний, пенсионных фондов и нефинансовых институтов [1], [16].
В банках риск-менеджер должен вычислять рыночные риски,
принимая во внимание различные типы финансовых инструментов (свопы, облигации, акции и т. п.) и аспекты рыночного риска
в каждом из этих классов инструментов. Банки применяют VaRметодологию (VaR — Value-at-Risk — стоимость риска) для кратковременного агрегирования риска и другие средства, например,
стресс-тесты для оценки их потенциального положения во время
рыночных кризисов.
Страховые компании являются субъектами рыночного риска
как инвесторы. Они заинтересованы в том, чтобы иметь минимальный гарантированный доход для существования страхования как бизнеса. Кроме того, финансовые субсидиарии страховых компаний сталкиваются с теми же самыми рыночными рисками, как любой инвестиционный банк.
Для управляющих компаний, типичным примером которых
являются пенсионные фонды, главный рыночный риск состоит в
размещении активов. Традиционная оценка риска заключается
в отслеживании ошибки: насколько доходы от инвестиций отличаются от предполагаемого уровня. В управляющих компаниях
для этих целей начинают использовать бюджетирование риска и
VaR-методологии, но последние должны быть адаптированы к их
нуждам. Особенно важно подчеркнуть, что временной горизонт
управляющей компании должен быть намного больше, чем для
банка.
Для брокерских фирм основной вид риска — это требования
по прибыли, которые предъявляются со стороны клиентов. Брокеры не принимают на себя непосредственно финансовой ответственности, но в меняющихся рынках или в случаях высококон26
центрированных портфелей прибыль, необходимая для индивидуальных клиентов, может быть недостаточной для перекрытия
их рисков. Это может привести брокерскую фирму к значительным величинам рыночного риска. Определяя уровень риска всего
портфеля, величина VaR помогает оценить требования по прибыли и установить момент, когда должны быть включены дополнительные средства.
Существует четыре основных типа рыночного риска:
1) риск процентной ставки. Простейшая форма этого вида риска формируется вследствие того, что величина фиксированного
дохода акции будет падать как результат изменения рыночной
процентной ставки. Открытые позиции чаще всего возникают
вследствие разницы в сроках погашения ценных бумаг и денежных потоков, которые являются «длинными» или «короткими».
Появление таких различий зависит не только от чувствительности каждой позиции к изменению процентной ставки, но также
от степени их коррелированности внутри портфеля. Незначительная корреляция между такими инструментами может привести к большим вариациям процентной ставки;
2) риск цены акции. Ценовой риск, ассоциируемый с акциями,
имеет два компонента:
— общий рыночный риск относится к чувствительности инструмента или портфеля относительно изменения уровня набора
рыночных индексов;
— специфический риск относится к той части волатильности
цены, которая определяется характеристиками фирмы, например, видом деятельности, качеством менеджмента, производственным процессом.
Хорошо известный результат теории портфеля применительно
к указанным рискам сводится к тому, что общий рыночный риск
не может быть устранен через диверсификацию портфеля, а специфический риск может;
3) риск обменного курса. Основным источником риска обменного курса является несоответствие корреляций между колебаниями валютных цен и флуктуациями международных процентных
ставок. Как и в других рыночных рисках, риск обменного курса
возникает вследствие открытой или не полностью хеджированной позиции. С этим видом риска как одним из основных часто
сталкиваются большие мультинациональные корпорации;
4) риск цены товара. Эта разновидность риска значительно
отличается от рисков процентной ставки и обменного курса, так
27
как большинство товаров продается на рынках, где концентрации запасов может увеличивать волатильность цены. Кроме того, и флуктуации рыночной ликвидности часто приводят к высоким уровням изменения цены. Вследствие этого риск цены товара обычно имеет большие значения волатильности и разрывы цен
(моменты, когда цена падает от одного уровня до другого) по сравнению с торговлей финансовыми инструментами.
При измерениях рыночного риска стремятся количественно
оценить потери риска вследствие изменений факторов финансовых рынков. Существующие методы для измерения риска в
финансовой сфере могут быть разделены на следующие четыре
группы:
1) подход, основанный на суммарном значении (Notionalamount approach);
2) измерения на основе фактора чувствительности (Factorsensitivity measure);
3) измерения риска с применением сценариев (Risk measures
based on scenarios);
4) измерения риска с использованием распределения потерь
(Risk measures based on the loss distribution).
Получение оценки риска первым методом является, очевидно,
наиболее ранним способом квантификации риска портфеля акций. При таком подходе риск портфеля определяется как сумма
стоимостей отдельных акций портфеля, где каждое значение стоимости может быть взвешено коэффициентом, учитывающим рискованность категории оцениваемых акций. Варианты такого подхода рассматриваются еще как стандартизированный метод в
правилах Базельского комитета по банковскому регулированию.
Преимущества такого подхода заключаются в его простоте.
Однако, с экономической точки зрения, этот прием недостаточно
корректен по следующим соображениям. Во-первых, такой способ не делает различий между длинными и короткими позициями; во-вторых, он не отражает преимуществ диверсификации на
суммарный риск портфеля; наконец, в-третьих, этот метод имеет
недостатки при оценке портфеля деривативов.
Метод, основанный на факторе чувствительности, дает изменение в стоимости портфеля при определенной вариации одного из основных факторов риска (в вычислительном плане обычно
это сводится к расчету производных). Важными измерениями в
этом методе являются срок погашения для портфеля облигаций
и частные производные для портфеля деривативов. Эти произ28
водные, обычно обозначаемые греческими буквами (хотя такой
буквы, как vega, в греческом алфавите нет), определяются в виде
частных производных от величины европейского колл-опциона
С, определяемой по формуле Блэка–Шоулса (Black–Scholes) [16]:
Ñ = SΦ(d1 ) - Ke-rT Φ(d2 ), (2.1)
где S — цена акции; Φ(d1) — функция распределения нормального закона; К — цена использования опциона; r — процентная
ставка; Т — срок погашения опциона; d1=[ln(S/K) + (r + 0,5s2) T]/
2
r + 0,5s )T ] / (s T) ; d2 = d1 - s T ; s — годовая волатильность основного актива.
Частные производные определяются следующим образом:
Delta = ¶Ñ / ¶S  — оценивает степень изменения величины опциона при малой вариации основного инструмента;
Vega = ¶Ñ / ¶s  — измеряет чувствительность цены опциона к
изменению волатильности основного инструмента;
Theta = ¶C / ¶T  — определяет время спадания опциона и отражает изменение его величины при движении к концу срока действия опциона;
Rho = ¶C / ¶r  — характеризует изменение величины опциона
по отношению к изменению процентной ставки.
В то время как эти измерения дают полезную информацию об
устойчивости стоимости портфеля, они не могут оценить полную
рискованность позиции. Кроме того, такой подход создает проблемы при агрегировании рисков, а именно:
1) для данного портфеля невозможно агрегировать чувствительность по отношению к изменениям в различных факторах
риска;
2) меры риска, с учетом фактора чувствительности, не могут
быть агрегированы по рынкам для создания «картины» цельной
рискованности портфеля финансового учреждения.
Вследствие указанного, такие меры не являются полезными
для решений о достаточности капитала; используемые с другими оценками риска, они могут быть полезны для установления
предельных границ.
В сценарных методах при измерении риска портфеля рассматривается ряд возможных будущих изменений факторов риска
(сценариев): например, 10 %-й рост обменного курса или одновременное 20 %-е снижение основных индексов курса акций и т. п.
Риск портфеля в этой ситуации оценивается как максимальные
29
потери портфеля при всех сценариях, где некоторым экстремальным сценариям могут быть назначены веса для уменьшения нежелательных эффектов на окончательный результат.
Дадим формальное описание рассматриваемого случая. Зафиксируем множество изменений
 факторов риска (сценариев)
X = {x1,..., xn } и весовой вектор w = (w1,...,wn )T Î [0,1]n . Рассмотрим портфель акций и обозначим через l[t] соответствующий оператор потерь. Риск портфеля в этой ситуации измеряется как
ψ[ X,w] = max{w1l[t] (x1 ),...,wn l[t] (xn )}. (2.2)
Многие меры риска, применяемые на практике, имеют форму (2.2).
Например, Чикагская товарная биржа использует сценарный
подход для определения требований к марже, рассматривая шестнадцать различных сценариев, приведенных в табл. 2.1 [17].
Таблица 2.1
Сценарии, используемые на Чикагской товарной бирже
Номер сценария
Изменение цены
базисного актива (в
долях допустимого
диапазона)
Изменение волатильности (в
долях допустимого
диапазона)
Процент покрытия
убытков
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0
0
+1/3
+1/3
–1/3
–1/3
+2/3
+2/3
–2/3
–2/3
+1
+1
–1
–1
+2
–2
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
0
0
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
35
35
Например, сценарий 4 определяет собой рост цены базисного
актива на 1/3 от допустимого диапазона изменения цены при одно30
временном снижении волатильности на величину допустимого
диапазона последней.
В целом методы, основанные на сценарном подходе, являются
очень полезным средством РМ для портфелей, определяемых относительно малым числом факторов риска. Кроме того, они обеспечивают полезной дополнительной информацией измерения,
основанные на статистиках распределения потерь. В этом подходе основная проблема заключается в определении подходящего
множества сценариев и весовых коэффициентов. Помимо этого,
возникают трудности при сравнении портфелей с разным количеством воздействующих факторов риска, а также невозможность
ассоциирования величины потерь с вероятностью.
Измерения риска с использованием распределения потерь
представляют собой самые распространенные приемы оценки риска. В большинстве современных методов риск портфеля определяется через статистические величины, которые описывают
условное или безусловное распределение потерь портфеля на некоторый заранее определенный горизонт. Примерами таких величин могут служить дисперсия, стоимость риска (Value-at-Risk)
и ожидаемый дефицит (expect shortfall — ES). Конечно, ошибочно полагать, что любая статистика окажется пригодной для суммирования риска, содержащегося в распределении. Однако точка
зрения на то, что распределение потерь в целом дает точную картину риска портфеля, считается вполне правомерной по следующим причинам:
— потери — основная цель в задаче РМ, поэтому естественно
основывать меру риска на их распределении;
— концепция распределения потерь имеет смысл на всех уровнях агрегирования портфеля, поскольку используется единый
инструмент на всех позициях финансового учреждения;
— в случае правильного оценивания распределение потерь отражает чистую прибыль и эффект диверсификации.
Дисперсия как мера риска исторически являлась доминирующей концепцией в РМ, что было обусловлено теорией портфеля
Марковица. Мера рассеяния в виде дисперсии оказывается вполне приемлемой характеристикой для аналитического исследования, однако как мера риска обладает двумя недостатками.
С технической точки зрения, при использовании дисперсии необходимо выполнение предположения о конечном значении второго момента распределения потерь, что не всегда достижимо. С концептуальной позиции, ввиду того, что нет различия между поло31
жительными и отрицательными отклонениями от среднего, дисперсия служит хорошей мерой риска только для симметричных
распределений (нормального или Стьюдента). В то же время во
многих областях РМ часто встречаются ситуации, когда распределение потерь не подчиняется симметричному распределению.
Value-at-Risk (VaR) является, вероятно, самой распространенной мерой риска в финансовых учреждениях. VaR финансового
актива (портфеля) — это величина потерь, приводящая к тому, что
убытки по данному финансовому инструменту (портфелю) за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят
этого значения [l], [2]. Например, если говорят, что финансовый
инструмент имеет ежедневный VaR 1 млн $ при доверительной вероятности, равной 99 %, это означает, что реализуемые ежедневные потери в среднем будут превышать 1 млн $ только 1 день из
каждых 100 торговых дней (или от 2 до 3 дней каждый год).
Величина VaR обладает очень полезным свойством, заключающимся в возможности агрегирования всех рисков портфеля и представления оценки риска единственным числом. Появление концепции VaR в 1993 г., предложенной группой тридцати («G-30») как
элемент лучших практических реализаций при расчете деривативов, можно считать своего рода революцией в оценке рисков. Однако
эта методология не могла появиться без своих предшественников, в
частности, финансовой теории, которая фокусируется на оценивании и чувствительности финансовых инструментов, и статистики,
изучающей поведение факторов риска. В табл. 2.2 [1] приведены
основные шаги эволюции аналитических методов оценки рисков.
Таблица 2.2
Эволюция методов оценки рисков
Год
1938
1952
1963
1966
1973
1988
1993
1997
1998
1998
32
Оценка риска
Срок облигации
Теория Марковица
Модель Шарпа оценки активов капитала
Многофакторные модели
Модель Блека–Шоулса
Взвешенные на риск банковские активы
Концепция VaR
Методологии CreditMetrics, CreditRisk+
Интегрирование кредитного и рыночного рисков
Бюджетирование риска
Ожидаемый дефицит (ES) тесно связан с величиной VaR. В последнее время специалисты в области РМ отдают предпочтение
параметру ES. Эта величина определяется следующим образом:
1
ESα =
1
qu (FL )du, 1- α ò
(2.3)
α
где qu(FL) — квантиль функции распределения FL; α Î (0, 1)  —
доверительная вероятность; L — потери.
Связь между ES и VaR устанавливается соотношением
1
ESα =
1
VaRu (L)du. 1- α ò
(2.4)
α
Вместо фиксированной доверительной вероятности a в выражении (2.4) производится усреднение параметра VaR по всем
уровням u ³ α, и таким образом осуществляется просмотр в
оставшуюся часть «хвоста распределения» потерь. Очевидно, что
ES a зависит только от распределения потерь L, и, кроме того,
ESα ³ VaRα . На рис. 2.1 приведена иллюстрация ожидаемого дефицита и его отношения с VaR.
При анализе риска с учетом распределения потерь возникают
две проблемы. Во-первых, любая оценка распределения потерь
основывается на ретроспективных данных. Если законы, регулирующие финансовые рынки, изменяются, то такие данные представляют ограниченное применение в предсказании будущих рисков. Вторая проблема связана с практическим аспектом измерения рисков. Даже в условиях стационарного окружения трудно с высокой степенью точности оценить распределение потерь
ПВ
VaR
ES
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
Потери
Рис. 2.1. Пример плотности вероятности (ПВ) распределения потерь
33
(в частности, для больших портфелей), и поэтому многие сложные системы РМ основываются на относительно грубых статистических моделях распределения потерь.
2.2. Основные модели расчета Value-at-Risk
Для расчета рыночного риска используется методология, основанная на вычислении величины VaR. Возникновение такого
подхода к оценке риска уже стало легендой. В начале 1990-х годов
D. Weatherstone, председатель инвестиционного банка JP Morgan,
потребовал для просмотра отчет о ежедневном банковском агрегированном риске. Тип отчета, который формировался к четырем
часам дня, теперь является общепринятым критерием финансовых институтов во всем мире, а указанное требование привело
к созданию технологии RiskMetrics, представляющей, по существу, методику оценки VaR.
Основанная в 1994 г. фирма RiskMetrics создала объективный
стандарт для измерения риска. До этого момента не существовало единообразного способа сравнения рисков в различных областях бизнеса. Каждый отдельный инвестор или бизнесмен мог
управлять собственными рисками, но не было общей методологии оценки риска. Фирма RiskMetrics разработала язык для рисков, позволяющий их сравнивать по различным рынкам и видам
бизнеса. Мощность такого стандарта заключалась в том, что он
дал возможность всем участникам рынка лучше понимать сущность рисков и связь между ними для разных рынков. Лучшая
информация о рисках, как правило, приводит к лучшим решениям при управлении риском. Последние, в свою очередь, дают
возможность создать бо′льший капитал. RiskMetrics продолжает
процветать и сегодня, так как все бо′льшее число институтов, финансовых и нефинансовых, используют такой подход к измерению, управлению и коммуникации рисков.
Мера в виде VaR может быть использована финансовыми институтами для оценки рисков или регуляторными службами для
установления требований на достаточность капитала. В любом
случае VaR используется для оценки того, может ли финансовая
структура оставаться в бизнесе, даже после катастрофических
событий. С точки зрения финансового учреждения, оценка VaR
определяется как максимальные потери финансовой позиции в
течение данного временного периода с выбранной вероятностью,
т. е. VaR ассоциируется с редкими событиями при нормальных
34
рыночных условиях. С точки зрения регуляторных служб, VaR
можно определить как минимальные потери при экстраординарных рыночных обстоятельствах. Обе позиции приводят к
одинаковой оценке VaR, хотя и с различных концептуальных
позиций.
Существуют три способа вычисления VaR [1], [2], [18], [19]:
1) ковариационный метод;
2) метод расчета с учетом исторических симуляций;
3) оценка VaR с использованием метода Монте-Карло.
В ковариационном методе, который в наибольшей степени
связан с современной теорией портфеля, VaR выражается как
коэффициент стандартного отклонения дохода портфеля. Методология расчета зависит от оцениваемых пользователем параметров и от сделанного допущения о виде распределения факторов риска (рыночных цен и ставок). Главное преимущество этого
подхода состоит в скорости вычисления. Но любое отклонение от
нормального распределения создает проблему, и качество оценки
VaR ухудшается, если портфель содержит опционы или другие
нелинейные инструменты.
Во втором подходе, основанном на исторических симуляциях,
находится распределение доходов данного портфеля, переоцененного с использованием исторических данных факторов риска. Результатом является гистограмма величин гипотетического портфеля, из которой можно определить VaR. При исторической симуляции не требуется допущений о распределении, а так как волатильность и корреляции уже введены в исторические данные,
то нет необходимости их оценивать. Однако диапазон возможных
выходов ограничен реальными историческими движениями рынка, которые не могут отражать риски будущих событий.
Метод Монте-Карло влечет за собой симуляцию возможных
выходов портфеля, полученных из случайных движений рынка,
которые взяты из исторических данных. Распределение этих доходов портфеля дает величину VaR. Подобно способу исторических симуляций, метод Монте-Карло выражает доходы как гистограмму. Этот метод может обеспечить намного бо′льший диапазон доходов, чем при исторических симуляциях, и является более
гибким, чем другие подходы. Любое распределение может быть
промоделировано, и параметры принятого распределения найдены. Однако метод Монте-Карло более усложняет анализ, требует
значительных временных затрат, что делает его мало пригодным
для больших портфелей.
35
Независимо от выбранного способа расчета, предварительно
нужно выполнить следующие два шага:
1) выбор факторов риска. Изменение величины портфеля обусловлено изменениями рыночных факторов, которые влияют на
цену каждого инструмента. Соответствующие факторы риска зависят от состава портфеля. Выбор факторов риска является прямолинейной задачей для простых активов, но требует обоснования
для более сложных продуктов. Кроме того, допустим, что линеаризованные потери достаточно точно аппроксимируют действительные потери;
2) выбор методологии для моделирования изменений в факторах рыночного риска. Обычно нормальное распределение служит
первым выбором при моделировании доходов активов. Эмпирически это распределение обеспечивает грубую аппроксимацию многих случайных переменных, например, скоростей изменения цен
акций, доходов, стоимости товаров потребления. Все они характеризуются преобладающей частотой малых изменений по сравнению с большими, обеспечивая, таким образом, доминирующий
вес в центре распределения.
Примем, что случайной переменной является новая цена Р1;
изменение цены обозначим как r = (P1 - P0 ) P0 , где Р0 — текущая цена, и допустим, что случайная величина r взята из нормального распределения r ~ N(m, s) с некоторым средним значением m и среднеквадратическим отклонением (СКО) s. Возвращаясь
к ценам, получим
Р1 = Р0 (1 + r) и Р1 ~ Р0 + N (Р0m, Р0s).
Однако для многих переменных использование нормального
распределения не может быть теоретически корректным. Например, вследствие ограничений на обязательства цена акций не может быть меньше нуля; цены на товары потребления не являются
отрицательными. По этим причинам другим популярным распределением является логарифмически нормальное, имеющее вид
R = ln (Р1 / Р0) ~ N(m, s).
Прологарифмировав последнее выражение, получим, что цена
определяется как Р1 = Р0 exp(R), тем самым исключая возможность
появления отрицательных цен, так как экспоненциальная функция всегда положительна. На рис. 2.2 приведены графики плотности вероятности нормального и логнормального законов, откуда
следует их сходство, за исключением хвостов распределения.
36
Плотность
вероятности
Логнор.
Норм.
$0
$20 $40 $60 $80 $100 $120 $140 $160 $180 Цена
Рис. 2.2. Плотности вероятности нормального и
логнормального законов
При использовании ковариационного метода (variancecovariance method) вводится предположение, что доходности входящих в портфель финансовых инструментов распределены по
нормальному закону.
В методе исторических симуляций от пользователя не требуется никаких допущений о распределении. VaR рассчитывается
из эмпирического распределения, генерируемого историческими
реализациями факторов риска за фиксированный временной период.
В методе Монте-Карло может быть реализовано любое аналитическое многомерное распределение для факторов риска. Единственное ограничение заключается в возможности оценивания
параметров распределения, в частности, средних значений, дисперсий и ковариаций.
2.2.1. Ковариационный метода расчета VaR
Этот метод, также называемый дельта-нормальным, является самым простым способом вычисления VaR. Еще раз приведем
одно из возможных определений VaR [1]: VaR — это такие максимальные потери на временном горизонте, при которых есть малая, заранее установленная вероятность того, что реальные потери могут быть превышены.
Проиллюстрируем данное положение следующим примером.
Положим, что частотное распределение (гистограмма) ежеднев37
400
350
VAR
300
250
5%
наблюдений
200
150
100
50
0
$160 $120 $80 $40
$0
$40
$80
$120 Доход,$ тыс.
Рис. 2.3. Гистограмма доходов
ных доходов на протяжении 10 лет имеет вид, показанный на
рис. 2.3.
По представленной гистограмме можно упорядочить потери
от самого худшего к самому лучшему доходу. При уровне доверительной вероятности, равном 95 %, из рис. 2.3 следует, что величина VaR в данном случае с вероятностью 5 % составляет около
47 тыс. $. Иначе говоря, реальные потери могут превысить величину 47 тыс. $ только в 5 % наблюдений.
Обычно частотное распределение описывается посредством гистограммы, но для этой же цели можно применить единственный
параметр. В качестве последнего выберем квантиль распределения. По определению квантиль порядка a (a-квантиль) случайной величины (СВ) Х — это такое значение хa СВ, для которого
выполняется условие: вероятность того, что Х < хa, равна a, т. е.
P(X < xα ) = α.
Иными словами, квантиль хa является корнем уравнения
W (xα ) = α ,
где W(xa) — функция распределения.
Квантиль порядка a = 0,5 называется медианой, т. е.
х0,5 = Ме(Х). Квантили х0,25 и х0,75 называются нижним и верхним квартилем; квантили х0,1, х0,2... — децилями; а квантили
х0,01, х0,02 … — процентилями.
Пусть распределение потерь подчиняется нормальному закону
со средним значением m и дисперсией s2. Тогда для фиксированного значения доверительной вероятности α Î (0, 1) имеем
38
VaR a = m + s Φ–1(a), (2.5)
где Φ — стандартная нормальная функция распределения;
Φ–1(a) = хa — a-квантиль от Φ.
Приняв без потери общности m = 0, приходим к выражению
VaR a = s хa. (2.6)
Полученные результаты, выражаемые равенствами (2.5) и
(2.6), являются основными в ковариационном методе. Аналогичные выводы могут быть получены и для других распределений,
например, при описании потерь распределением Стьюдента. В
этом случае положим: потери L таковы, что величина (L – m)/s
имеет стандартное t-распределение Стьюдента с n степенями свободы. Обозначив модель потерь как L » t(ν,µ, s2 ) , для моментов
этого распределения имеем
E(L) = m и Var (L) = n s2/(n – 2).
Для величины VaR получаем
VaRα = µ + s tν-1 (α) ,
где tn — функция распределения (ФР) t-распределения Стьюдента.
На практике значение VaR часто рассчитывается на основе
определения доверительной вероятности. Каждой величине этой
вероятности соответствует определенный коэффициент, который
представляет собой квантиль распределения. В табл. 2.3 приведены значения этих коэффициентов для стандартного нормального распределения (m = 0; s = 1) и t-распределения Стьюдента с n = 2
степенями свободы.
Таблица 2.3
Квантили распределения
Доверительная
вероятность
Нормальное
распределение
t- распределение Стьюдента
0,95
1,64
2,92
0,96
1,75
3,32
0,97
1,88
3,90
0,98
2,05
4,85
0,99
2,33
6,96
39
В ситуации, когда СКО и квантиль определяются безразмерными величинами, для вычисления VaR используется формула
VaR = хa s S, (2.7)
где S — стоимость актива.
Приведенный подход является, по существу, расширением модели портфеля Марковица и может быть проиллюстрирован следующим примером.
Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов акций, в количестве n1 по цене S1 и n2 по цене S2. Тогда общая стоимость
портфеля составит
V = n1 S1 + n2 S2.
Факторами риска в этом случае являются цены акций S1 и S2
соответственно. Тогда величина дохода портфеля составит
RV =
2
∆V n1S1 ∆S1 n2 S2 ∆S2
=
+
= w1R1 + w2 R2 = å wi Ri , (2.8)
V
V S1
V S2
i=1
где Ri = DSi /Si — величина дохода акции i; wi — весовой коэффициент.
Допустим, что цены распределены по логарифмически нормальному закону, поэтому логарифм дохода за период (t – 1, t), т. е.
æ S ö
æ
S - St-1 ÷ö ∆St
÷~
Rt = lnççç t ÷÷÷ = lnççç1 - t
St-1 ÷ø÷ St-1
è St-1 ø÷
è
является нормально распределенной величиной. В последнем выражении St определяет цену акции в момент времени t, а DSt —
изменение цены за период (t – 1, t).
Распределение дохода одной акции подчиняется нормальному
закону
∆S
Ri = i » N (µi , si ), i = 1, 2,
Si
поэтому величина однодневного VaR определяется как
VaR (1; 0,95) = 1,64 si Si.
Доход портфеля, как следует из уравнения (2.8), является линейной комбинацией нормальных распределений и, следовательно, также нормально распределен:
RV ~ N(mV, si),
40
где µ V = å wi µi ; s2V = w1s12 + w2 s22 + 2w1w2ρs1s2 ; r — коэффициi=1
ент корреляции между изменениями доходов двух акций.
Для портфеля величина однодневного VaR определяется следующим образом:
VaRV (1; 0,95) = 1,64 sV V.
При вычислении VaR необходимо определить два важных параметра:
1) доверительную вероятность;
2) временной горизонт.
В англоязычной литературе первый термин определяют как
доверительный уровень (confidence level), но в традиционной статистике, положенной в основу риск-менеджмента, принят указанный выше параметр.
Чем выше доверительная вероятность a, тем больше величина
VaR. Изменение a дает полезную информацию о распределении
доходов и потенциальных экстремальных потерях. Однако нет
полной ясности по вопросу об окончательном выборе значения a:
99 %, 99,9 % или 99,99 %. Каждое из этих значений будет приводить все к бо′льшим, но маловероятным потерям.
Выбор величины a зависит также от использования VaR. Для
большинства приложений VaR является нижней границей риска.
В иных ситуациях, например, при оценке необходимого капитала, для предотвращения банкротства желательна высокая величина доверительной вероятности.
Кроме того, при выборе a следует учитывать возможность проверки: в самом ли деле частота потерь, превышающая VaR, соответствует вероятности (1 – a). Из этих соображений значение a не
следует выбирать чрезмерно большим. Например, при a = 99,99 %
получим, что в среднем одно превышение VaR произойдет на протяжении примерно 10 000 торговых дней, или 40 лет. Ясно, что
невозможно проверить такую ситуацию. Исходя из приведенных
соображений, рекомендуется устанавливать величину a из диапазона от 95 до 99 %.
Чем больше горизонт, тем больше величина VaR. Экстраполяция зависит от двух факторов: поведения факторов риска и положения портфеля.
Для управления риском на ежедневной основе требуется однодневный VaR, который выводится исходя из ежедневного распределения стоимости портфеля. В идеальном случае значение VaR
при бо′льшем горизонте должно быть выведено из соответствую41
щего распределения по этому горизонту. Для того чтобы избежать
трудностей, связанных с нахождением такого закона распределения, положим, что ежедневные доходы являются независимыми
и идентично распределенными величинами. Это позволяет трансформировать ежедневную волатильность в многодневную путем
умножения первой на квадратный корень из нового горизонта.
Например, для 10-дневного горизонта доход за 10 дней, равный
10
R (10) = å t Rt , так же, как и однодневный VaR, распределен по
2
нормальному закону со средним m10 = 10m и дисперсией s10
= 10s2
как сумма 10 независимых и идентично распределенных величин. Отсюда следует, что 10-дневный VaR определяется следующим образом:
VaRV (10; 0,95) = 10 VaRV (1; 0,95),
т. е. 10-дневный VaR определяется умножением ежедневного VaR
на квадратный корень из временного горизонта.
Выбор горизонта также зависит от характеристик портфеля.
Например, при быстром изменении портфеля увеличение горизонта будет приводить к ошибке в оценке VaR. Кроме того, на
выбор горизонта оказывает влияние использование VaR. В ситуации, когда цель заключается в оценке нижней границы риска, горизонт должен быть относительно малым (меньше, чем
средний период основных вариаций портфеля). В случае, когда
оценка VaR используется для определения капитала, необходимого для противостояния банкротству, желателен большой горизонт.
На практике горизонт не может быть меньше частоты появления отчетов о доходах и потерях. Обычно банки оценивают доходы и потери на ежедневной основе, корпорации — на более длинных интервалах (от одного дня до месяца), поэтому при выборе
горизонта нужно ориентироваться на такие интервалы.
Базельские правила при вычислении рыночного риска сводятся к следующему:
— горизонт составляет 10 торговых дней, или 2 календарные
недели;
— доверительная вероятность — 99 %;
— период наблюдений основывается на годичных исторических данных.
В заключение отметим, что ковариационный способ предлагает простое аналитическое решение для задачи РМ, но эта про42
стота достигается за счет двух упрощающих предположений.
Во-первых, линеаризация не всегда является хорошей аппроксимацией соотношения между реальным распределением потерь и
изменением факторов риска. Во-вторых, допущение о нормальности распределения не полностью отвечает реальному распределению изменений факторов риска, и чаще всего это связано с наличием «утяжеленных хвостов» распределений, отличающихся
от нормального закона. При этом оценки VaR, соответствующие
нормальному распределению, оказываются искаженными (завышенными или заниженными).
2.2.2. Метод исторических симуляций
Метод исторических симуляций (historical-simulation method)
для оценки VaR с концептуальной точки зрения является достаточно простым. Вместо оценки распределения потерь L = l[t] (Xt+1)
по точной параметрической модели для Xt+1 метод исторических
симуляций используется для этой оценки с помощью эмпирического распределения данных Xt–N+1, ..., Xt. В этом методе формируется база данных посредством применения оператора потерь l[t]
к каждому из исторических наблюдений вектора изменений факторов риска для получения множества исторически имитированных потерь, т. е.
Ls = l[t] (Xs ), s = t – N + 1, ..., t. (2.9)
Значения Ls показывают, что должно произойти с текущим
портфелем, если изменения факторов риска в день с индексом s
будут происходить вновь. На основании этого делается вывод о
распределении потерь, и оценивание риска производится на основе исторически имитированных данных о потерях.
Если предположить, что процесс изменения факторов риска
является стационарным с функцией распределения FX, то эмпирическая ФР данных является состоятельной оценкой величины
FX. Следовательно, эмпирическая ФР данных Lt-N +1, ..., Lt служит состоятельной оценкой ФР оператора потерь l[t] (X).
На практике имеются различные способы для имитации исторических данных. Достаточно часто для оценки VaR используется метод оценки эмпирических квантилей, посредством которых
оцениваются теоретические квантили распределения потерь.
Если обозначить упорядоченные значения данных в (2.9) как
43
Ln,n £ ... £ L1,n , то возможной оценкой VaRa(L) является величина L[ N (1-α)],n , где [N (1 – a)] обозначает наибольшее целое, не превышающее N (1 – a). Например, при N = 1000 и a = 0, 99 оценкой
VaR будет являться десятое наибольшее значение.
Приведем более подробное описание методологии оценки VaR
методом исторических симуляций, представляющей собой последовательность следующих шагов:
1) выбирается фиксированный горизонт N, за который отслеживаются исторические изменения цен S всех активов, входящих в текущий портфель:
DSi,t = Si,t – Si,t–1, i = 1, ..., n; t = 1, ..., N;
2) имитируется гипотетическая цена S* каждого i-го актива,
равная его текущей цене S0 и приросту цены, соответствующего
t-му сценарию:
S*i,t = Si,0 + DSi,t;
3) производится переоценивание всего текущего портфеля по
исторически имитированным ценам, и для каждого сценария
вычисляется потенциальное изменение стоимости сегодняшнего
портфеля:
DVt = V*t — V0, t = 1, ..., N;
4) строится гистограмма значений портфеля.
Для определения величины VaR (т. е. такого значения потерь,
при котором вероятность того, что фактические убытки не превысят этого значения, составляет a) необходимо вычислить эмпирическое значение квантиля порядка (1 – a) по полученной гистограмме распределения исторически имитированных цен.
Последний четвертый шаг можно реализовать иначе, проведя
сортировку по убыванию полученных N изменений портфеля (от
самого большого прироста до самого большого убытка).
Полученные таким образом ранжированные изменения можно пронумеровать от 1 до N. В соответствии с принятой доверительной вероятностью a, можно определить значение VaR как тот
максимальный убыток, который не превышается в aN случаях,
т. е. VaR равен абсолютной величине изменения с номером, равным целой части числа aN. Например, если за N = 400 сценариев
оказалось 300 случаев потерь и 100 случаев прироста, то VaR0,95
представляет собой абсолютное значение двадцатого по величине
убытка, т. е. изменения n = 380.
44
Укажем преимущества и недостатки этого метода. К числу
первых относится то, что метод исторических симуляций допускает ненормальность распределения, затянутые «хвосты» распределений; снижает оценку меры риска до одномерной задачи;
устраняет необходимость оценивать волатильность и коррелированность, поскольку последние уже отражены в данных.
Основным недостатком рассматриваемого способа является
то, что метод полностью зависит от частного множества исторических данных. Введенное предположение о том, что прошлое,
заложенное в исторических данных, является надежным представлением будущего, не полностью отражает действительность.
Кроме того, успех применения метода связан с возможностью собрать достаточное количество надежных данных. Например, данные за один год соответствуют в среднем 250 торговым дням (250
сценариям), а использование недостаточной выборки данных может привести к различию теоретических и симулированных ФР
потерь, что, в свою очередь, исказит «хвосты» распределений и не
покажет нежелательных, но экстремальных событий. В идеале
желательно иметь достаточно большую выборку, чтобы количество экстремальных сценариев в исторической записи обеспечивало информативную оценку «хвостов» распределения потерь.
2.2.3. Моделирование методом Монте-Карло
Метод Монте-Карло (structured Monte-Carlo) объединяет общий
подход для любого способа к измерению риска, который включает
симуляцию точной параметрической модели для изменения факторов риска. Он состоит из повторно имитируемых случайных процессов, которые отражают рыночные цены и ставки. Каждая симуляция (сценарий) генерирует возможную величину портфеля на
заданном горизонте (например, 10 дней). В случае формирования
достаточного числа таких сценариев имитированное распределение стоимости портфеля будет сходиться к истинному, хотя и неизвестному распределению. Число сценариев, в отличие от таковых в методе исторических симуляций, может составлять десятки
тысяч. Так как оценки риска методом Монте-Карло практически
всегда производятся программными средствами, это позволяет использовать модели достаточной сложности.
Моделирование этим методом включает чаще всего три этапа.
На первом шаге — выбор факторов — необходимо выбрать все
существенные факторы риска. Кроме того, нужно установить динамику факторов, т. е. оценить параметры стохастических про45
цессов, которыми описываются изменения этих факторов, в частности, корреляции, волатильности, средние значения и т. п. Например, часто используемой моделью изменения факторов является модель геометрического броуновского движения (ГБД) [2]:
dSt = µSt dt + sSt dWt , (2.10)
где St — цена актива опциона в момент времени t; m — коэффициент роста; s — волатильность; dS — приращение цены актива за
малый промежуток времени dt; dWt — приращение стандартного
Винеровского процесса.
В модели (2.10) сделано предположение о том, что изменение
цены представляет собой сумму известного фактора роста m и неизвестного фактора шума dWt, подчиняющегося нормальному
распределению. Шум (своего рода инновации) не коррелирован
во времени и состоит из независимых идентично распределенных
СВ. Этот шум не зависит от прошлой информации, вследствие чего рассматриваемая модель соответствует гипотезе эффективного
рынка.
На втором этапе — формирование сценариев — выполняется
генерация сценариев по портфелю активов. Выполнение второго
этапа основано на том факте, что ГБД является одним из тех редких процессов, для которых существует точное решение, равное
St = S0 exp[(µ - 0,5s2 )t + sWt ], (2.11)
где Wt — накопленные инновации за промежуток времени от 0
до t.
Для генерирования сценария основного актива воспользуемся
выражением (3.8) для двух моментов времени t и t–1:
St = St-1 exp éê(µ - 0,5s2 )∆t + s ∆t Z ùú ,
(2.12)
ë
û где Dt — временной интервал между t и t – 1; Z — стандартная нормальная переменная из распределения N(0,1); Wt = Wt-1 + ∆tZ.
Сценарии формируются через набор случайных чисел, которые реализуются генератором чисел, подчиняющимся определенному закону распределения.
При реализации случайных чисел используется метод обратной функции, сущность которого заключается в том, что по
функции распределения входной переменной путем розыгрыша
находится значение этого признака. На рис. 2.4 показаны графики плотности вероятности (ПВ) и ФР некоторой величины, подчиняющейся нормальному закону.
46
Density Function:
Distribution Function:
Рис. 2.4. Графики плотности вероятности (слева)
и функции распределения (справа)
Как известно из теории вероятности, вся площадь под кривой
ПВ равна единице, а ФР определяется как накопленная сумма (интеграл) от ПВ, поэтому на правой границе диапазона изменения
переменной ФР асимптотически стремится к единице. На рис. 2.4
показана ситуация, когда заштрихованная область под кривой ПВ
равна приблизительно 0,5, т. е. вероятность в этом случае составляет 50 %. На графике ФР на рис. 2.4 (справа) эта же вероятность
отложена на вертикальной оси, а определенное при этом значение
аргумента совпадает с аргументом на горизонтальной оси левого
графика. Ось ординат ФР (правого графика) имеет диапазон от 0
до 1 (100 %), поскольку определяет собой вероятность любого события. Вследствие этого для моделирования надо взять любое случайное число из интервала [0, 1] и отложить его на вертикальной
оси, далее следует из этой точки провести горизонтальную линию
до пересечения с кривой ФР, а из точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось. Таким образом, на этой оси
получаем первое разыгранное значение некоторого признака. В
этом заключается сущность метода обратной функции.
Для получения случайного числа из интервала [0, 1] на заре
развития этого метода использовалась рулетка, откуда появилось
название метода Монте-Карло. Разыграв определенное количество случайных чисел (разумеется, уже не с помощью рулетки),
получим то же количество значений моделируемого признака.
Подобная процедура повторяется для всех разыгрываемых переменных, и в итоге получаем таблицу смоделированных значений,
состоящую из n строк (количество розыгрышей) и m столбцов
(число переменных).
На третьем этапе — оценка портфеля для каждого сценария — каждый сценарий генерирует множество значений факто47
ров риска, которые используются как входы в модель цены каждого актива, входящего в портфель. Этот процесс повторяется
большое число раз (например, 10 000 розыгрышей) для генерирования распределения дохода портфеля. Такой шаг эквивалентен
соответствующей процедуре в случае исторических симуляций
за исключением того, что метод Монте-Карло генерирует намного
больше сценариев по сравнению с предыдущим способом.
Далее по найденному распределению портфеля значение VaR
на фиксированном уровне значимости определяется как соответствующий квантиль распределения.
Метод Монте-Карло является мощным и гибким подходом для
оценки VaR. Этот прием позволяет имитировать любое распределение факторов риска, включая и «тяжелые хвосты» распределений, где проявление редких событий встречается чаще, чем это
ожидается при нормальном законе.
В заключение сведем в табл. 2.4 преимущества и недостатки
каждого из рассмотренных методов: нет единственного способа,
который бы доминировал над остальными, поэтому в различных
ситуациях можно применять разные методы.
Величина VaR не является совершенной оценкой риска. Эта
оценка агрегирует различные компоненты риска и представляет меру риска одним числом. Такой подход представляется полезным в ситуации, когда оценивается риск всего финансового
учреждения. Однако специалистам по риску необходимо знать,
какие из компонентов вносят наибольший вклад в общий риск.
Основной концепцией в РМ является идентификация первичных источников риска в сложном составном портфеле. Для достижения этой цели портфельный VaR должен быть разложен на
отдельные составляющие с тем, чтобы выявить влияние различных активов портфеля на итоговую оценку VaR. Влияние каждого актива зависит как от состава самого портфеля, так и от степени коррелированности активов между собой.
Предлагаемый анализ может быть выполнен с помощью следующих оценок.
1. Приращение VaR (Incremental VaR).
Эта оценка — IVaR — измеряет влияние выделенного актива
А на полную величину VaR портфеля путем добавления или исключения актива:
IVaR(А) = VaR(портфель с активом А) – – VaR(портфель без актива А).
48
Таблица 2.4
Достоинства и недостатки методов расчета VaR
Монте-Карло
Исторических симуляций
Ковариационный
Метод
Преимущества
Недостатки
1. Метод является эффективным с
точки зрения оценки VaR: требуется несколько минут для определения положения всего банка.
2. На основании центральной
предельной теоремы данная методология может быть применена
даже в случае, когда факторы
риска не являются нормальными.
3. Не требуется моделей оценки
портфеля
1. Метод требует нормальности распределения доходов портфеля.
2. Необходимо, чтобы факторы риска подчинялись
логнормальному распределению, и поэтому метод не
очень хорошо справляется
с «тяжелыми хвостами»
распределений.
3. Требуются оценки волатильности факторов риска
и корреляция доходов.
4. Метод не может быть использован для проведения
анализа чувствительности
1. Полная зависимость от
конкретного множества
исторических данных.
2. Не может реагировать
на изменение рыночной
структуры.
3. Недостаточный набор
данных может привести
к смещенной и неточной
оценке VaR.
4. Метод не может быть
применен для проведения
анализа чувствительности
1. Выбросы данных не
включаются в распределение.
2. Требуется достаточно
большое время вычислений
1. Нет необходимости делать
какие-то допущения о распределении факторов риска.
2. Не нужно оценивать волатильность и корреляции: они охватываются фактическими дневными реализациями рыночных факторов.
3. «Хвосты» распределения и
другие экстремальные события
охвачены, так как они содержатся в реальных данных.
4. Метод позволяет вычислить доверительные интервалы для VaR
1. Может использовать любое распределение факторов риска.
2. Может быть применен для модели любого сложного портфеля.
3. Позволяет вычислить доверительные интервалы для VaR.
4. Позволяет проводить анализ
чувствительности
Величина IVaR(А) может быть положительна, если актив положительно коррелирован с оставшейся частью портфеля и таким образом добавляется к полному риску. С другой стороны, величина IVaR(А) может быть отрицательна, если актив имеет отрицательную корреляцию с оставшейся частью портфеля.
49
2. DeltaVaR (DVaR).
Оценка DVaR измеряет вклад определенного актива в полный риск портфеля. Сумма вкладов риска равна полному риску
портфеля. DVaR зависит от состава портфеля и корреляционной
структуры активов.
Рассмотрим портфель Р, состоящий из N активов (i = 1, ..., N).
Обозначим pi и Ai, соответственно, стоимость и количество активов i в портфеле. Тогда стоимость портфеля составит
N
P( A1, A2 , ..., AN ) = å pi Ai .
i=1
Свойство DVaR проявляется следующим образом:
¶VaR P
VaR P = å DVaRi ; DVaRi =
Ai .
¶Ai
i
Полная величина VaR портфеля определяется суммой вкладов риска DVaRi всех активов, входящих в портфель. Такой подход является полезной декомпозицией, так как дает возможность
оценить самые значительные риски, составляющие общую величину VaR. Значение DVaRi есть произведение условного изменения риска при единичном изменении актива i и представляет
вклад этого актива в риск портфеля.
2.3. Анализ сценариев
Для упрощения вычисления VaR обычно предполагается, что
рыночные условия будут оставаться нормальными, т. е. факторы
риска являются логнормальными величинами со стационарными
ожидаемыми доходами и стандартными отклонениями. Однако
такое допущение не отражает действительность, следовательно,
необходимо предусмотреть методологию, которая может быть использована для анализа экстремальных событий, выходящих за
пределы нормальных рыночных условий. Подобный прием представляется важным, поскольку неизвестно, как сформировать
оценку VaR в ситуации, когда периоды нормальных рыночных
условий сочетаются с периодами кризисов, характеризующихся
значительными изменениями цен, высокой волатильностью, нарушением корреляционных связей между факторами риска.
Такая методология может быть реализована посредством
анализа сценариев (scenario analysis) и стресс-тестинга (stress
testing). Цель этих приемов заключается в определении величи50
ны потенциальных потерь, связанных с конкретными сценариями. Эти сценарии могут содержать экстремальные изменения
значений факторов риска (процентные ставки, обменный курс
и т. п.). Вычисления, при которых оцениваются потери портфеля в таких ситуациях, принято называть тестами на стресс, или
стресс-тестингом.
Рекомендованы следующие правила для стресс-тестинга:
— параллельный сдвиг кривой доходности на ±100 базисных
пунктов;
— поворот кривой доходности на ±25 базисных пунктов;
— изменение индекса акций на ±10 %;
— изменение валютных курсов на ±6 %;
— изменение волатильности на ±20 %.
Такие экстремальные изменения цен и ставок могут в значительной степени повлиять на стоимость портфеля с сильной нелинейностью. Портфели такого типа подвергаются потерям как
при падении цен, так при их росте, а величина потерь увеличивается при возрастании изменений цен. Для оценки последствий
стрессовых ситуаций была предложена методология стрессовой
огибающей (stress envelopes), сущность которой заключается в
комбинировании стрессовых категорий с наихудшим стрессовым
«шоком» по всем возможным рынкам для каждого вида бизнеса.
Указанная методология включает семь стрессовых категорий,
приведенных в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Категории стресса
Категория стресса
Количество проявлений
стресса
Процентная ставка
6
Обменный курс
2
Цена акций
1
Цена товара
2
Кредитный спред
1
Обменный спред
2
Волатильность (vega)
2
Для каждой стрессовой категории определяется наихудший
стрессовый шок, который в действительности может иметь место
в условиях рынка. Например, в случае процентных ставок мето51
дология дает шесть стрессовых шоков для учета изменений уровня ставок и формы кривой доходности. Остальные стрессовые ситуации могут иметь один или два соответствующих шока. Стрессовая огибающая представляет собой изменение рыночной величины бизнеса на конкретном рынке. Сценарий определяется как
комбинация различных стрессовых шоков.
Кроме сценариев, формируемых с помощью стрессовых шоков, могут быть рассмотрены еще два вида сценариев:
1) сценарий воспроизведения реальных исторических событий, характеризуемых экстремальными ситуациями;
2) гипотетические сценарии, которые определяются возможными прогнозными состояниями развития рынков.
Основным преимуществом анализа сценариев и стресстестинга является идентификация уязвимости портфеля к различным экстремальным событиям. Во время рыночного кризиса
могут значительно измениться исторически сложившиеся корреляции. Например, корреляции могут достичь значения, равного
+1, и в то же время многие рынки рушатся, и, наоборот, корреляции становятся равными–1, когда рынки или инструменты движутся в противоположном направлении. Каждый портфель обладает определенными характеристиками, которые делают его
уязвимым к конкретным сценариям или стрессовым тестам. Очевидно, портфель высокодоходных облигаций критичен к расширению кредитного спреда.
Применение сценариев и тестов имеет ряд ограничений. Например, сценарии основаны на произвольных комбинациях стрессовых шоков, многие из которых не соответствуют базисным законам экономики. При формировании сценария важно оценивать
цепь событий и быть уверенным в том, что такая цепь имеет экономический смысл. Последовательность событий, которая логически следует за основными стрессовыми шоками, может в значительной мере отличаться от одного кризиса к другому.
Кроме того, потенциальное число комбинаций шоков является чрезмерным. На практике только относительно малое число сценариев может быть проанализировано. Это означает, что
сценарии должны быть отобраны в соответствии с уязвимостью
конкретного портфеля. Полезность и точность диагноза, который
возникает при анализе сценариев, зависят от его обоснованности
и опыта аналитика, проводящего сценарный анализ.
Наконец, значительная доля критики анализа сценариев и
стресс-тестинга связана с тем, что при таком подходе очень пло52
хо учитываются корреляции. При оценке корреляций стресстестинга аналитик должен быть уверен в том, что полученный
сценарий в определенной степени соответствует реалиям. Любая
корреляционная матрица, искаженная при выполнении анализа
сценариев, должна быть проверена на «положительную определенность», т. е. матрица должна иметь положительные собственные числа.
2.4. Тестирование моделей
Под тестированием (backtesting) понимается процедура, которая позволяет проверить модель и найти степень ее адекватности реальным данным, т. е. при тестировании необходимо проверить соответствие исследуемой модели вычисления VaR принятому определению VaR.
Независимо от используемой для расчета VaR модели, результатом является статистическая оценка. Точное значение VaR
определить невозможно из-за конечности выборки наблюдений.
Как принято в статистике, точность оценки VaR зависит от точности измерений среднего, дисперсии, квантилей распределения
доходности портфеля. Очевидно, что такая оценка является информативной и полезной для целей РМ только в том случае, если
она является достаточно «точной», т. е. известный доверительный
интервал накрывает «истинное» значение VaR. Вследствие того,
что определение VaR дано в статистических терминах, для проверки соответствия можно использовать различные статистические тесты.
Кроме того, существует много иных потенциальных источников ошибок при оценивании VaR, например, значения волатильности и корреляции определены с невысокой точностью из-за
ограниченности наблюдений, не учтены необходимые факторы
риска, выбрана неадекватная модель изменения цены.
К понятию тестирования моделей можно подойти несколько
иначе [16]. Выше были рассмотрены стандартные методы оценивания риска в момент времени t для распределения потерь в следующий период времени. При выполнении такой процедуры непрерывно во времени появляется возможность мониторинга различных методов. Такой процесс мониторинга и определяет тестирование.
Положим, что в момент времени t имеются оценки VaR для
одного периода и h периодов. Обозначим «истинную» однопери53
одную оценку риска как VaRtα , а «истинную» h-периодную оценку — VaRtα,h . В следующий момент времени t + 1 появляется возможность сравнить однопериодные оценки с теми, которые действительно произошли; для момента времени t + h можно сделать
то же самое для h-периодных оценок.
Из определения VaR следует, что P(Lt+h > VaRtα,h ) = 1 - α (a —
доверительная вероятность), поэтому вероятность так называемого нарушения, прокола (violation) составляет величину 1–a.
На практике оценки риска должны быть найдены по имеющимся
данным, поэтому можно ввести индикатор (показатель) для проколов оценок VaR:
h)
( h)
t,h
Iˆt+1 = I {Lt+1 > VaRtα }; Iˆt(+
h = I {Lt+h > VaR α }.
Можно ожидать, что в случае корректности метода оценки
указанные индикаторы будут подчиняться распределению Бернулли с вероятностью успеха (прокола), близкой к (1 – a). Напомним, что типичная интерпретация распределения Бернулли [20]
с рядом распределения
p(x) = p x (1 - p)1-x , х = 0, 1, (2.13)
где р — параметр формы (0 < p < 1), представляет собой вероятностный эксперимент с двумя возможными исходами: «успех» и
«неудача». Вероятность успеха в одиночном испытании равна р и
не изменяется от испытания к испытанию (вероятность неудачи
q = 1 – p). При проведении достаточного количества сопоставлений предсказанных значений VaR с соответствующими реальными потерями ожидаемая часть случаев, в которых произойдет
прокол VaR, составит приблизительно величину (1 – a).
Какое количество таких проколов должно произойти, чтобы
при заданных доверительной вероятности и временном горизонте аналитик мог ответить на вопрос об адекватности модели? Например, при a = 99 % можно ожидать, что в среднем два или три
прокола произойдут в течение одного года (260 дней, умноженное на 1 %, даст приблизительно 2,6 прокола). Но какое решение
принять, если за год случится четыре прокола? Является ли такое число случаев статистически значимым, и приведет ли эта ситуация к тому, чтобы отвергнуть принятую модель?
Выдвинутую гипотезу можно проверить статистическими методами. Недостатком такого подхода является то, что для провер54
ки гипотез требуются достаточно большие тестовые выборки, которые не всегда доступны. Наряду с этим, простые тесты часто
сводятся лишь к подсчету числа случаев превышения уровня VaR
при фиксированной доверительной вероятности и сравнении полученного числа превышений с ожидаемым. Хотя такие результаты и являются наглядными, они не дают полной картины.
В качестве иллюстрации этого положения приведем заимствованную из [16] таблицу, которая показывает сопоставление ожидаемого числа проколов, найденное из расчета ковариационным
методом значения VaR при a = 0,95, с реальными значениями
проколов, зарегистрированными на протяжении восьми лет —
с 1996 по 2003 гг. (табл. 2.6).
Таблица 2.6
Сравнение числа проколов по годам (1996—2003)
Год
Торговые дни
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
261
260
259
260
259
260
260
260
Ожидаемое число проколов
13
13
13
13
13
13
13
13
Реальное число
проколов
13
30
29
15
13
20
27
6
В [2] описан тест, основанный на оценке числа неудач. Положим, что имеется n превышений доходов за h-дневный период.
Необходимо определить, значимо ли отклонение частоты проколов от их ожидаемого числа при доверительной вероятности a.
Вероятность наблюдения n превышений доходов за h-дневный период описывается биномиальным распределением вида
p(x) = Cnx p x (1 - p)h-n , х = 0, 1, ..., n, n ≥ 1 — целое.
(2.14)
Типичной интерпретацией этого распределения является число успехов в серии из n независимых испытаний с вероятностью
успеха р и вероятностью неудачи q = 1 – p в каждом испытании.
Вероятность наблюдения n проколов за h-дневный период описывается этим распределением и определяется правой частью выражения (2.14), где р обозначает действительную вероятность превышения доходов за каждый день. Проверка нулевой гипотезы о
55
том, что р = 1 – a, заключается в вычислении отношения правдоподобия (likelihood ratio — LR), равного
éæ n öh-n æ n ön ù
ú
LR = -2 ln[α h-n (1 - α)n ] + 2 ln êêçç1 - ÷÷÷
çç ÷÷÷ ú ,
ç
ç
è
ø
è
ø
h
h
ëê
ûú
которое подчиняется c2-распределению с числом степеней свободы, равным единице. Однако мощность этого теста незначительная, и достичь ее увеличения можно лишь путем роста числа наблюдений.
Приведем таблицу из [18], содержащую выполненные на основании изложенного расчеты, которые определяют число проколов, позволяющих не отвергнуть нулевую гипотезу как неправильную для различных периодов наблюдений (табл. 2.7).
Таблица 2.7
Количество проколов для проверки нулевой гипотезы
Уровень значимости
Количество проколов при объеме наблюдений
n = 255
n = 510
0,01
n<7
1 < n <11
0,05
6 < n < 21
16 < n < 36
0,10
16 < n < 36
38 < n < 65
При увеличении объема наблюдений легче отвергается модель
оценки VaR в случае ее некорректности.
56
Глава 3. Кредитный риск
3.1. Кредитные рейтинговые системы
Под кредитным риском (КР) понимаются потери, обусловленные невозможностью или нежеланием другой стороны платить по
своим финансовым обязательствам. Для оценки КР существуют
различные методы, включающие кредитные рейтинговые системы, миграцию рейтингов, структурные модели и модели, основанные на актуарном подходе.
Рассмотрим вначале кредитные рейтинговые системы (КРС).
Большинство КРС основано на количественных и качественных
оценках. Окончательное решение формируется с учетом различных параметров, но обычно нет формальной модели, показывающей, как взвешиваются отдельные признаки для получения итоговой оценки. По существу, КРС базируются на общих рассуждениях и опыте аналитиков, принимающих решения, а не на математических моделях. Вследствие этого подобные системы не могут рассматриваться как точные.
Выпуск в обращение облигаций корпорациями относится к началу ХХ в. Приблизительно в то же время появились первые аналитические работы и статьи, в которых диагностировалась финансовая деятельность компаний. К началу 20-х годов прошлого
века такой подход перешел на коммерческую основу, и специализированные фирмы стали предлагать свои услуги, обещая качественный финансовый анализ. Это был период, когда Moody’s
(время возникновения — 1909 г.), Standard&Poors (1916 г.) и другие агентства начали публиковать рейтинги компаний. Только
за последние 30 лет введение новых финансовых инструментов
привело к разработке новых методологий и критериев финансового рейтинга. В настоящее время крупнейшими рейтинговыми
агентствами являются Standard&Poors [21] и Moody’s [22].
Кредитный рейтинг представляет собой оценку кредитоспособности, выставленную рейтинговым агентством. В общем кредитный рейтинг не является инвестиционной рекомендацией.
Как считает агентство Moody’s, рейтинг — это мнение о будущих способностях и возможностях должника выполнять полные или временные платежи в интересах инвестора. Агентства
Standard&Poors и Moody’s рассматриваются как независимые
оценщики, поэтому их рейтинги признаются участниками рынка и регуляторными институтами. Как правило, более высокий
57
рейтинг предполагает более низкую надбавку за риск, более широкий доступ на рынок и в целом более низкий уровень расходов
на привлечение средств. Относительно низкие рейтинги предполагают сравнительно высокие расходы на финансирование (хотя, скорее всего, они будут ниже, чем при выходе на рынок без
рейтинга). Без понимания зависимости между рейтингом и рыночной ценой риска нельзя делать каких-либо выводов о целесообразности программы заимствований или о способности данной
компании вообще финансировать свою программу развития.
Рейтинговая методология постоянно развивается с учетом
изменений в деловом климате и условиях деятельности компаний. Однако назначение рейтингов остается неизменным: присваиваемые рейтинги должны показать относительную кредитоспособность заемщиков. Именно поэтому показатели частоты дефолтов в различных рейтинговых категориях проявляют
значительную последовательность на протяжении длительного
времени.
В среде финансистов считается, что наличие у банка даже невысокого рейтинга, выставленного одним из международных
рейтинговых агентств, производит на сообщество лучшее впечатление, нежели вообще отсутствие такового. Присвоение финансовому учреждению кредитного рейтинга предоставляет ему ряд
преимуществ, в частности:
— повышение доверия со стороны клиентов (предприятий,
частных лиц);
— расширение занимаемой доли на рынке услуг;
— увеличение конкурентоспособности финансового института.
Процесс формирования рейтинговых оценок включает количественный и качественный виды анализа. Количественный анализ
оценивает, в первую очередь, финансовые показатели и основывается на финансовой отчетности фирмы. Качественный анализ характеризует качество менеджмента, включает обзор конкурентных преимуществ компании в рассматриваемой отрасли, оценку
ожидаемого роста отрасли, уязвимость от технологических инноваций и регуляторных изменений. В качестве иллюстративного примера на рис. 3.1 показан процесс формирования рейтинга
компании, как это осуществляется в агентстве Moody’s.
Рейтингование проводится посредством анализа макроэкономической ситуации в стране, оценки изменения положения в
отрасли, учета качества менеджмента в компании, финансового
58
Рейтинг
Структура фирмы
Финансовое положение
Качество менеджмента
Оценка тренда в отрасли
Макроэкономический (страновой) анализ
Рис. 3.1. Формирование рейтинга компании
состояния фирмы и структуры компании. На основании таких
атрибутов формируется итоговая рейтинговая оценка.
Оценка качества менеджмента, хотя и является субъективной
по своей природе, исследует достигнутые в управлении успехи и
толерантность к риску. Процесс рейтингования включает встречи с основными менеджерами анализируемой компании, ознакомление с финансовыми планами, политикой и стратегией фирмы. Вся собранная информация обсуждается в рейтинговом комитете вместе с экспертами по данной отрасли промышленности,
после чего путем голосования вырабатываются рекомендации по
установлению рейтинга. Рассматриваемая компания может подать апелляцию против принятого решения прежде, чем будет
опубликован рейтинг. Обычно рейтинговое агентство затрачивает от 4 до 6 недель для формирования оценки после обращения заинтересованной компании. Рейтинги по сложившейся практике
пересматриваются один раз в год, основываясь на новой финансовой отчетности, изменившейся информации и результатах встреч
с менеджментом компаний.
Рейтинговые агентства формируют определенные категории
(классы) компаний, различающиеся способностью выполнять
свои финансовые обязательства. В качестве примера приведем
рейтинговую систему Standard & Poor’s. В этой системе имеется
десять рейтинговых категорий: ААА, АА, А, ВВВ, ВВ, В, ССС, СС,
С и D, где высшая категория обозначается как ААА, а низшая —
59
Таблица 3.1
Категории рейтингов системы Standard & Poor’s
Обозначение
Характеристика категории рейтинга
ААА
Высший рейтинг; предельно сильная способность для
выполнения финансовых обязательств
Очень сильная способность выполнения финансовых
обязательств
Сильная способность к выполнению обязательств, но
иногда фирма восприимчива к неблагоприятным экономическим условиям и изменению обстоятельств во
внешней среде
Ослабленная способность выполнения обязательств,
более восприимчива к неблагоприятным экономическим
условиям. Эта категория и выше считаются благоприятными, в то время как рейтинги ниже этой категории —
неблагоприятными
Неадекватная способность, испытывает трудности при
неопределенностях, вызванных неблагоприятными финансовыми и экономическими условиями
Более уязвимая способность к неблагоприятным хозяйственным и экономическим условиям
Уязвимая способность, зависящая от хозяйственных,
финансовых и экономических условий
Высокая уязвимость к неплатежам
Решение о банкротстве принято, но платежи еще продолжаются
Прекращение платежей и банкротство
АА
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
СС
С
D
С. Кроме того, выделено также состояние дефолта. В табл. 3.1
кратко охарактеризованы категории рейтингов.
Moody’s использует примерно такую же систему оценивания
рейтингов, но с другими обозначениями: Ааа, Аа, А, Ваа, Ва, В,
Саа, Са, С.
В табл. 3.2 представлена интерпретация различных кредитных рейтингов, используемых Standard & Poors и Moody’s.
Банкам, обладающим рейтингами от АА до В, присваиваются
значения «+» или «–», т. е. банк с рейтингом ВВ+ котируется выше, чем банк с рейтингом ВВ. В свою очередь, банк с рейтингом
ВВ более надежен, чем банк с рейтингом ВВ–.
Для системы Moody’s каждой категории рейтинга, начиная с
группы Аа и заканчивая группой Саа, присваивается определенное цифровое значение — 1, 2 или 3. В результате банки одной категории, например, Ваа с цифровым индексом 1, котируются вы60
Таблица 3.2
Классификация кредитных рейтингов
Градации рейтингов
Агентство
Standard&Poors
Moody’s
Инвестиционная:
наивысший рейтинг
высокий рейтинг
выше среднего рейтинга
средний рейтинг
ААА
АА
А
ВВВ
Ааа
Аа
А
Ваа
Спекулятивная:
ниже среднего рейтинга
спекулятивный
среднеспекулятивный
высокоспекулятивный
низшее качество
дефолт
ВВ
В
ССС
СС
С
D
Ва
В
Саа
Са
С
—
ше, чем банки с цифровыми показателями 2 или 3, т. е. рейтинг
Ваа1 выше рейтинга Ваа2.
При использовании КРС представляет значительный интерес изменение во времени вероятностей появления дефолтов.
В табл. 3.3 [1] приведены данные агентства Standard&Poors временной вариации вероятностей дефолта для каждой из выделенных категорий.
Таблица 3.3
Накопленные вероятности дефолта
Категория
Год
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
8-й
9-й
10-й
ААА
0
0
0,03
0,07
0,11
0,20
0,30
0,47
0,54
0,61
АА
0,01
0,03
0,08
0,17
0,28
0,42
0,61
0,77
0,90
1,06
А
0,05
0,15
0,30
0,48
0,71
0,94
1,19
1,46
1,78
2,10
ВВВ
0,36
0,96
1,61
2,58
3,53
4,49
5,33
6,10
6,77
7,60
ВВ
1,47
4,49
8,18 11,69 14,77 17,99 20,43 22,63 24,85 26,61
В
6,72 14,99 22,19 27,83 31,99 35,37 38,56 41,25 42,90 44,59
ССС 30,95 40,35 46,43 51,25 56,77 58,74 59,46 59,85 62,92 45,84
61
Данные, представленные в табл. 3.3, обобщены за временной
интервал с 1981 по 2002 гг. и показывают изменение вероятности
дефолта на протяжении 15 лет. По существу, в табл. 3.3 указывается доля фирм, подвергшихся дефолту (обозначенных далее как
X ), которая является статистической оценкой истинной вероятности дефолта, т. е.
E(X) = p.
Например, для заемщика, имеющего начальный рейтинг кредитоспособности ВВВ, ожидаемая вероятность дефолта к концу
первого года составит величину, равную 0,36 %, а к концу десятого года — 7,60 %. Из табл. 3.3 видно, что более высокие рейтинги
ассоциируются с меньшей скоростью изменения дефолта. Такая
информация может быть использована в качестве оценок вероятности дефолта для исходного рейтингового класса. Кроме того, из
табл. 3.3 следует, что скорость изменения дефолта увеличивается с возрастанием горизонта для данного начального кредитного
рейтинга, т. е. кредитный риск увеличивается с возрастанием горизонта.
При построении и анализе таблиц исторических данных, подобных табл. 3.3, возникает проблема недостаточности наблюдений. Например, могут просто отсутствовать примеры высокорейтинговых заемщиков, которые подверглись дефолту на больших горизонтах. В табл. 3.3 приведены результаты по изменению
рейтингов на протяжении 10 лет, начиная с 1981 г. и завершая
2002 г.
Подобные обстоятельства приводят к неточностям в таблицах
накопленных вероятностей. Например, из табл. 3.3 видно, что изменение дефолта для заемщика с категорией ССС является одинаковым и равным 63,41 % на протяжении от 11-го по 13-й годы,
что может привести к ложному выводу об отсутствии дальнейшего риска дефолта после 11-го года. Данное утверждение, очевидно, нереалистично, поэтому таким таблицам нельзя безоговорочно доверять.
В заключение рассмотрения КРС отметим, что при использовании таких систем возникают следующие вопросы:
— до какой степени обоснованы количественные рейтинги?;
— в полной ли мере рейтинговые агентства являются независимыми? Дело в том, что рейтингуемые компании платят за право быть включенными в рейтинг, поэтому существует опасность
давления со стороны бизнеса на этот процесс.
62
3.2. Миграция рейтингов
Перейдем теперь к следующему вопросу, связанному также с
наличием рейтингов. Изменение кредитных рейтингов во времени, известное как миграция рейтингов, является одной из ключевых изучаемых областей при моделировании вероятности дефолта. Исторические данные о кредитных рейтингах анализируются
статистически для определения вероятности миграции конкретного рейтинга в другое положение за выбранный период.
Банкротство, которое определяется как правовое или экономическое событие, обычно означает конец корпорации в ее текущей форме. Банкротство — это дискретное событие, но в то же
время еще и финальная точка непрерывного процесса: момента,
когда становится окончательно ясно, что фирма не может выполнять свои финансовые обязательства.
С одной стороны, аналитики, которые фокусируются исключительно на событии банкротства, пренебрегают информацией о
статусе фирмы, ее стоимости и обязательствах. С другой стороны, рейтинговые агентства не концентрируются исключительно
на дефолте. В дискретные моменты времени они пересматривают кредитные рейтинги корпоративных облигаций и присваивают последним новые категории. Эволюция кредитного качества,
предлагаемая рейтинговым агентством, очень важна для инвесторов, держащих портфель таких облигаций. Агентство Moody’s
подвело итог своему опыту по рейтингованию 4700 компаний за
период с 1923 г. по 1993 г. Как оказалось, за промежуток времени
с 1950 г. по 1979 г. 4,44 % компаний изменили свой первоначальный рейтинг в течение года. При этом изменение рейтинга компаний вверх (2,26 %) немного выше, чем количество компаний с
уменьшенным значением рейтинга (2,18 %). За период с 1980 по
1993 гг. число фирм с изменившимся рейтингом возросло до 10 %,
но часть компаний, снизивших свой рейтинг, возросло в 3 раза.
Миграция рейтингов представляет собой дискретный процесс,
означающий изменение кредитного рейтинга от одного временного периода к следующему. Матрица перехода указывает вероятности перемещения рейтингов. Обычно предполагается, что подобные перемещения подчиняются марковскому процессу, который допускает независимость миграций по состояниям от одного
периода к следующему.
Приведем пример упрощенной матрицы перехода для четырех
состояний: А, В, С и D (последняя категория означает дефолт).
Рассмотрим компанию категории В в год с индексом 0 (табл. 3.4).
63
Таблица 3.4
Вероятности перехода кредитных рейтингов
Начальное состояние
A
A
B
C
D
0,97
0,02
0,01
0,00
Конечное состояние
B
C
0,03
0,93
0,12
0,00
0,00
0,02
0,64
0,00
Общая вероятность
D
0,00
0,03
0,23
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
Компания может подвергнуться дефолту:
— в год 1 с вероятностью: P(D1|B0) = 3 %;
— в год 2 после изменения из В в А в первый год, затем из А
в D — во второй год; или из В в В, а затем в D; или из В в С, а затем — в D, что дает такую величину вероятности:
P(D2 A1 ) P(A1 ) + P(D2 B1 ) P(B1 ) + P(D2 C1 ) P(C1 ) =
= 0,00 × 0,02 + 0,03 × 0,93 + 0,23 × 0,02 = 3,25 %.
Кумулятивная вероятность дефолта за 2 года составит
3+3,25 = 6,25 %.
Преимущество такого подхода заключается в том, что результирующие данные являются более устойчивыми и надежными.
Пример матрицы переходов в течение одного года, составленной
рейтинговым агентством Standard & Poors, показан в табл. 3.5.
Таблица 3.5
Матрица перехода рейтингов
Начальный
рейтинг
ААА
АА
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
ААА
АА
Рейтинг к концу года, %
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
90,81 8,33 0,68 0,06
0,12
0
0
0,70 90,65 7,79 0,64
0,06 0,14 0,02
0,09 2,27 91,05 5,52
0,74 0,26 0,01
0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 1,12
0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84
1,0
0
0,11 0,24 0,43
6,48 83,46 4,07
0,22
0
0,22 1,30
2,38 11,24 64,89
Дефолт
0
0
0,06
0,18
1,06
5,20
19,79
Строки этой матрицы соответствуют категории, в которой находится некоторая корпорация; столбцы — категории, в которую
эта фирма перешла. Значение вероятности pij (пересечение i-й
строки и j-го столбца) показывает: фирма, имеющая рейтинг с номером i, будет иметь в следующем году рейтинг с номером j с веро64
ятностью pij. Вероятность миграции из одной кредитной категории во все другие в течение, например, одного года указывается в
соответствующей строке. Строка, определяющая компанию, чей
текущий кредитный рейтинг есть ВВВ, показывает вероятность,
оцененную Standard & Poor’s, с которой эмитент будет мигрировать в течение одного года в любое из восьми возможных состояний, включая и дефолт. Очевидно, что самая вероятная ситуация
состоит в том, что должник останется в той же самой рейтинговой
категории, т. е. ВВВ: вероятность этого события равна 86,9 %. Вероятность наступления дефолта у эмитента в течение года составит только 0,18 %, а вероятность миграции в категорию ААА —
0,02 %. Дефолт рассматривается как «состояние поглощения»,
т. е. клиент, попавший в такую ситуацию, так и остается в этом
положении.
Такие матрицы перехода составляются рейтинговыми агентствами исходя из начальных рейтингов, которые основаны на
истории кредитных событий на протяжении многих лет. Следует отметить, что приводимые агентствами данные должны интерпретироваться достаточно тщательно, так как эти результаты
представляют собой усредненные статистики по большому количеству компаний, по разным хозяйственным циклам. Из этих соображений многие финансовые институты предпочитают проводить собственный анализ на основе миграции рейтингов, но сами
рейтинги формируют по-своему, ориентируясь на тот круг компаний и фирм, с которыми чаще всего приходится иметь дело.
Moody’s и Standard & Poor’s также предоставляют информацию в виде долговременной накопленной (кумулятивной) вероятности дефолта на протяжении нескольких лет. Пример такой
информации показан в табл. 3.3.
3.3. Методология CreditMetrics
Миграция кредитов положена в основу методологии
CreditMetrics (СМ), представленной в 1997 г. банком JP Morgan,
где учитывается вероятность перехода от одного кредитного качества к другому, включая и состояние дефолта, по данному временному горизонту [23]. CreditMetrics моделирует распределение
стоимости любого портфеля облигаций или кредита, в котором
изменения стоимости связаны только с миграцией кредитов.
По сравнению с рыночным риском, кредитный риск обладает тремя особенностями. Во-первых, распределение портфеля
65
Типичные
рыночные доходы
Типичные
кредитные доходы
Потери
0
Доходы
Рис. 3.2. Плотности вероятности рыночных и кредитных доходов
значительно отличается от нормального. Во-вторых, измерение
портфельного эффекта из-за диверсификации значительно сложнее, чем для рыночного риска. В-третьих, информация о кредитах не является полной.
При оценке кредитного риска приходится иметь дело с распределениями, которые являются значительно скошенными и обладающими утяжеленными «хвостами» (рис. 3.2).
В таком случае процентные доли распределения, определяющие их квантили, не могут быть оценены только по среднему значению и дисперсии. Подобная ситуация полностью противоречит
тому, что имеет место при оценке рыночного риска. Следовательно, вычисление VaR для кредитного риска требует имитации полного распределения изменений стоимости портфеля.
Для измерения диверсификации портфеля необходимо оценивать корреляцию в изменениях кредитного качества для всех пар
должников. Однако такие корреляции напрямую не наблюдаются. CreditMetrics основывает свою оценку на совместной вероятности доходов акций, что влечет за собой некоторые упрощающие
предположения о структуре капитала должника. Единственная
неопределенность в методологии CreditMetrics связана с кредитной миграцией, т. е. процессом передвижения вверх и вниз по
кредитному спектру.
Вначале вычислим риск единственного актива (облигации).
Процедура оценки кредитного риска по данной методологии
включает три основных шага:
шаг 1: определение вероятности миграции кредитного рейтинга облигации;
шаг 2: оценка уровня потерь в случае дефолта или при сдвиге
актива вверх или вниз по кредитному спектру;
66
Кредитный
рейтинг
Вид облигации
Кредитный
спрэд
Вероятности
миграции кредитного
рейтинга
Уровень потерь
при дефолте
Переоценка
текущей цены
облигации
Среднеквадратичное отклонение изза изменения кредитного качества
Рис. 3.3. Дорожная карта анализа CreditMetrics
шаг 3: вычисление кредитного риска на основе первых двух
шагов.
Приведем так называемую дорожную карту (road map) вычисления кредитного риска по методологии CreditMetrics (рис. 3.3).
Проиллюстрируем каждый шаг методологии CreditMetrics на
примере 5-летней облигации с рейтингом ВВВ. По облигации выплачивается ежегодный купон 6 %, а предполагаемый горизонт
равен 1 году.
Шаг 1. Миграция кредитного рейтинга. На этом шаге определяется часть «дорожной карты», которая схематично изображена
на рис. 3.4.
В принятой модели риск формируется не только при переходе к дефолту, но также от изменения стоимости вследствие вариации градации. Таким образом, важно оценить не только вероятность дефолта, но также шанс миграции в любое возможное
состояние кредитного качества на рассматриваемом горизонте.
Вследствие этого дефолт рассматривается как только одно из нескольких «состояний мира» (дословно: «states of world»), которое
может существовать.
Кредитный
рейтинг
Вероятности
миграции кредитного
рейтинга
Рис. 3.4. Первая часть «дорожной карты»
67
A
A
0,09%
2,27%
91,05%
5,52%
0,74%
0,26%
0,01%
0,06%
100 ,00%
AAA
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
AAA
90, 81%
8, 33%
0,68%
0,06%
0,12%
0,00%
0,00%
0,00%
100 ,00%
BBB
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
BBB
0,02%
0,33%
5,95%
86,93%
5,30%
1,17%
0,12%
0,18%
100 ,00%
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
D
Рис. 3.5. Примеры миграции кредитного качества
Вероятность миграции кредитного рейтинга в предстоящий
период обусловлена кредитным рейтингом заемщика. На рис. 3.5
показаны вероятности миграции кредитного качества для заемщика, характеризуемого текущими рейтингами А, ААА и ВВВ.
Для рассматриваемого примера облигации с рейтингом ВВВ необходимо пользоваться правой диаграммой этого рисунка.
Например, из рис. 3.5 видно, что имеется вероятность, равная
5,30 %, перехода кредитного рейтинга ВВВ вниз до ВВ в течение
одного года.
Есть несколько общих соображений по приведенным примерам. Очевидно, что наиболее вероятный кредитный рейтинг в течение года — это есть текущий кредитный рейтинг. Следующие
наиболее вероятные — это такие рейтинги, которые отличаются
на одну букву вверх или вниз. Единственное достоверное правило
о миграции кредитного качества сводится к тому, что вероятности в сумме должны составлять 100 %, так как они перекрывают
все возможные градации.
Вместо того чтобы показывать вероятности миграции каждого рейтинга отдельно, удобнее разместить их в квадратную таблицу (матрицу перехода), как показано в табл. 3.5. Для работы
с этой таблицей необходимо вначале найти исходный кредитный
рейтинг в левом столбце табл. 3.5 и далее двигаться вдоль этой
строки до столбца, отображающего рейтинг на горизонте риска.
Например, число 0,22 % в левой нижней части табл. 3.5 говорит
о том, что существует вероятность, равная 0,22 %, с которой кредитный рейтинг ССС будет мигрировать к рейтингу ААА к концу года. Конечно, миграция от ССС к ААА в течение одного года, скорее всего, нереальна и представляет только единственный
пример в исторических данных (за 15 лет S&P).
Шаг 2. Оценка уровней потерь. На шаге 1 были найдены вероятности миграции к любому возможному состоянию кредитного
68
Вид облигации
Уровень потерь
при дефолте
Рис. 3.6. Вторая часть «дорожной карты»
качества на горизонте риска. На шаге 2 найдем значения стоимости облигации на этом же горизонте для этих же состояний кредитного качества. При этом вначале вычисляются стоимости для
каждой градации миграции, что приводит (в нашем рассматриваемом примере) к восьми переоценкам облигации.
Переоценки можно разделить на две категории:
1) при дефолте оценивается уровень потерь, основанный на
рейтинговых категориях облигации;
2) при переходе градаций вверх или вниз по кредитному спектру определяется изменение кредитного спрэда.
Оценивание в состоянии дефолта. Здесь определяется часть
«дорожной карты», которая схематично изображена на рис. 3.6.
Если результатом миграции рейтинга является дефолт, то
остаточная величина вследствие потерь будет зависеть от класса
(градации) облигации. В методологии СМ проводилось несколько
исторических исследований таких зависимостей. В табл. 3.6 приведены уровни потерь в состоянии дефолта для различных классов облигаций.
Таблица 3.6
Уровни потерь при дефолте (% от номинала)
Класс облигации
Среднее
СКО
Высокий
53,80
26,86
Выше среднего
51,13
25,45
Средний
38,52
23,81
Ниже среднего
32,74
20,18
Малый
17,09
10,90
69
В табл. 3.6 под классами облигаций понимаются некоторые
условные рейтинговые категории, характеризуемые приведенными определениями (в нечеткой логике — это лингвистические переменные). Второй и третий столбцы табл. 3.6 — средние значения и среднеквадратичные отклонения вероятных
потерь (в % от номинала) в случае дефолта. Приведенные значения основаны на исторических данных. Примем, что рассматриваемый пример облигации категории ВВВ эквивалентен
классу «выше среднего», для которого средняя величина потерь при дефолте составит 51,13 % от номинала (100$). Историческая оценка вероятности дефолта облигации категории ВВВ
составляет (табл. 3.5) 0,18 %. Тогда ожидаемый убыток составит величину 0,0018·51,13 % = 0,092 %, что, с учетом номинала, дает 9,2$. Этот процесс повторяется для каждого класса облигации.
Оценивание при миграции рейтинга. При этом выявляется
часть «дорожной карты», которая схематично изображена на
рис. 3.7.
В ситуации, когда происходит миграция кредитного качества,
но не до состояния дефолта, подверженность риску оценивается
другими методами. Для нахождения таких оценок выполняются
следующие действия:
1) для каждой рейтинговой категории находится зависимость
изменения ставок дисконтирования к концу каждого года;
2) с помощью полученных данных переоценивается стоимость
облигаций для каждой рейтинговой категории.
Проиллюстрируем эти действия на примере облигации с рейтингом ВВВ. Напомним, что эта облигация имеет пятилетний
срок погашения и по ней выплачивается годовой купон в размере
Кредитный
спрэд
Переоценка
текущей цены
облигации
Рис. 3.7. Третья часть «дорожной карты»
70
6 %. Примем, что нам известны изменения ставок дисконтирования к концу каждого года (табл. 3.7).
Таблица 3.7
Изменения ставок дисконтирования ( %)
Категория
Год 1
Год 2
Год 3
Год 4
ААА
АА
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
3,60
3,65
3,72
4,10
5,55
6,05
15,05
4,17
4,22
4,32
4,67
6,02
7,02
15,02
4,73
4,78
4,93
5,25
6,78
8,03
14,03
5,12
5,17
5,32
5,63
7,27
8,52
13,52
Вычислим значение стоимости облигации с рейтингом ВВВ,
допуская, что облигация поднялась в категорию А:
V =6+
+
6
6
+
+
(1 + 3,72%) (1 + 4,32%)2
6
(1 + 4,93%)
3
+
6
(1 + 5,32%)4
= 108,66.
В этой формуле использовались данные из табл. 3.7 для категории А. Для вычисления стоимости облигации для других рейтинговых категорий необходимо подставить соответствующие значения из табл. 3.7, в результате чего получим значения, приведенные в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Стоимость облигации для разных рейтингов
Рейтинг к концу года
Стоимость, $
ААА
109,37
АА
109,19
А
108,66
ВВВ
107,55
ВВ
102,02
В
98,10
ССС
83,64
Дефолт
51,13
71
Стандартное отклонение стоимости
Рис. 3.8. Четвертая часть «дорожной карты»
Шаг 3. Оценка кредитного риска. На этом шаге определяется
последняя часть «дорожной карты», которая схематично изображена на рис. 3.8.
Теперь имеется вся необходимая информация для оценки волатильности стоимости вследствие изменения кредитного качества на примере единственной облигации — вероятности всех
возможных переходов и распределение значений в пределах
каждой градации. Последние величины были получены на шагах 1 и 2 соответственно и приведены в табл. 3.9 (второй и третий столбцы).
1. Вычисление стандартного отклонения как меры риска. Вначале необходимо найти среднее значение по следующей формуле:
s
µ = å pi µi ,
i=1
где pi, mi определяются из второго и третьего столбцов табл. 3.9.
Таблица 3.9
Волатильность вследствие изменения кредитного качества
Рейтинг
к концу
года
ААА
АА
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
Дефолт
72
Вероят- Цена обли- Взвешенная
ОтклоКвадрат вероятность, % гации плюс вероятностнение от
ности взвешенкупон, $
ная цена, $ среднего, $ ного отклонения
0,02
0,33
5,95
86,93
5,30
1,17
0,12
0,18
109,37
109,19
108,66
107,55
102,02
98,10
83,64
51,13
0,02
0,36
6,47
93,49
5,41
1,15
1,10
0,09
2,28
2,10
1,57
0,46
5,06
8,99
23,45
55,96
0,0010
0,0146
0,1474
0,1853
1,3592
0,6446
0,6598
5,6358
После подстановки указанных значений получаем
µ = 0,0002 ×109,37 + ... + 0,0018 × 51,13 = 107,09.
Стандартное отклонение вычисляется по выражению
s=
s
å piµ2i - µ2 = 2,99.
i=1
Таким образом, полученная величина СКО может служить мерой риска. Необходимо отметить следующее: приведенная формула для СКО предполагает, что облигация принимает только
среднее значение в пределах каждой категории. В общем случае
это не так, потому что облигация может иметь некоторое распределение внутри каждой категории, что может привести к неопределенности относительно убытков при дефолте. Для учета этого
в формулу вычисления СКО следует ввести компонент si, характеризующий неопределенность уровня потерь при состоянии дефолта i = 8. Трансформированная формула определения СКО принимает вид
s=
s
å pi (µ2i + s2i ) - µ2 .
i=1
Результат вычисления дает величину СКО, равную 3,18, что на
6,3 % превышает прежнее значение 2,99 %, т. е. включение неопределенности уровня потерь увеличивает риск.
2. Вычисление квантиля как меры риска. Оценим однопроцентный квантиль для облигации, часто называемый персентиль, представляющий уровень, ниже которого величина портфеля попадет с вероятностью 1 %. Как упоминалось выше, квантильные уровни являются более значимыми статистиками для
больших портфелей. Кроме того, для таких портфелей (фактически для любого портфеля с более чем двумя активами) необходимо проводить моделирование для вычисления персентильных
уровней. Тем не менее здесь для примера вычислим такие уровни
для единственной облигации.
В табл. 3.9 приводятся значения вероятностей, с которыми облигация будет находиться в любой кредитной категории, и стоимости облигации в этих же градациях. Начнем с состояния дефолта и будем передвигаться вверх по второму столбцу табл. 3.9
в сторону категории ААА. При этом будем подсчитывать накопленную сумму вероятностей. То значение, при котором эта сум73
Кредитный
рейтинг
Вид
облигации
Кредитный
спрэд
Вероятности
миграции
кредитного
рейтинга
Уровень
потерь при
дефолте
Переоценка
текущей
цены
облигации
Среднеквадратичное отклонение изза
изменения кредитного качества
Рейтинговые ряды,
ряды акций
Модели
Совместные измен.
кредитных рейтингов
Рис. 3.9. «Дорожная карта» при оценке риска портфеля
ма впервые станет равной или больше, чем 1 %, и будет являться
однопроцентным персентилем.
Опишем подробнее эту процедуру:
— вероятность нахождения в состоянии дефолта составляет
0,18 %, что меньше, чем 1 %, поэтому передвигаемся вверх до категории ССС;
— накопленная вероятность состояний дефолта, или ССС, составляет 0,30 % (0,18 %+0,12 %), которая меньше 1 %, поэтому
двигаемся далее вверх до категории В;
— накопленная вероятность состояний дефолта, ССС или В,
составляет 1,47 % (0,18 %+0,12 %+1,17 %), что уже превышает
1 %;
— на категории В прекращаем передвижение вверх и считываем соответствующее значение из третьего столбца. Эта величина,
равная 98,10$, и является однопроцентным персентилем, что ниже среднего значения на 8,99$.
Таким образом, мы установили меру риска в виде однопроцентного персентиля.
Теперь расширим полученную методологию на вычисление
кредитного риска в случае «портфеля», состоящего из двух облигаций. Изменим дорожную карту, использованную выше для
одной облигации, чтобы показать дополнительные вычисления,
необходимые для оценки риска портфеля. Новая измененная карта показана на рис. 3.9. Из новой карты видно, что в такой ситуации необходимо оценивать вклад в риск через эффекты корреляции кредитного качества.
74
3.4. Структурные модели
Модели этого типа пытаются объяснить механизм возникновения дефолта фирмы. Поскольку в основе таких моделей используется метод Мертона, то вначале приведем основные сведения о
предложенной модели, которая в последующие годы получила
значительные расширения и модификации, однако исходная модель Мертона все еще остается популярной и востребованной при
анализе КР [1], [2], [16].
3.4.1. Модель Мертона
Рассмотрим фирму, величина актива которой описывается
стохастическим процессом (Vt) (обозначение в скобках введем для
стохастического процесса, а значение процесса в момент времени
t будем описывать без скобок как Vt). Фирма финансируется через
акции и обязательства. В модели Мертона долг имеет очень простую структуру: он состоит из единственной долговой облигации
или долгового обязательства с нулевым купоном величиной В и
сроком платежа Т. Величины акций и задолженности в момент
времени t обозначим как St и Bt соответственно, поэтому при допущении «невязкого рынка» (frictionless — нет никаких издержек на совершение сделок или налоги) можно считать, что стоимость активов фирмы выражается в виде суммы указанных компонентов, т. е. Vt = St + Bt , 0 £ t £ T .
В модели Мертона предполагается, что фирма не может выплачивать дивиденды или увеличивать задолженность. При наступлении срока платежа Т кредиторы предъявляют свои требования фирме и наступает дефолт, если фирма пропускает платеж.
В момент времени Т возможны две ситуации:
1) VT > B — величина активов фирмы превышает пассив.
В этом случае кредиторы получают номинальную сумму долга В,
а акционеры — разницу ST = VT - B , и, как следствие, дефолта
не происходит;
2) VT £ B  — величина активов фирмы оказывается меньше пассива, и требования кредиторов не обеспечены активами.
В этой ситуации кредиторы получат лишь то, что есть в наличии,
а акционеры не получат ничего. Это следует из приоритета требований кредиторов перед возможным получением денег акционерами. В итоге здесь имеем
BT = VT, ST = 0.
Суммируя эти положения, получим следующие соотношения:
75
ST = max(VT - B,0) = (VT - B); (3.1)
BT = min(VT , B) = B - (B - VT ). (3.2)
Перед тем как дать трактовку приведенным выражениям,
сделаем некоторые пояснения о финансовых производных. Производной ценной бумаги (финансовой производной — derivative
security, contingent claim) называется ценная бумага, стоимость
которой зависит от стоимости других, лежащих в основе активов. В последние годы производные ценной бумаги приобретают
постоянно растущую важность в финансовой сфере. История широкого распространения финансовых производных началась с составления в одном из чикагских отелей схемы переводного векселя, коренным образом изменившего международные финансовые рынки. Переводной вексель был первым в мире фьючерсным
контрактом (futures), который начал продаваться на чикагской
бирже в 1973 г.
Опционы (option) представляют собой финансовые производные, в основе активов которых лежат акции, иностранная валюта, долговые инструменты, товары и фьючерсные контракты.
Имеются два основных типа опционов:
1) опционы-колл (call option) — дают право владельцу купить лежащий в основе актив в определенную дату по определенной цене;
2) опционы-пут (put option) — дают право владельцу продать
лежащий в основе актив по определенной цене.
Контрактная цена называется ценой исполнения (exerciseprice, strike price), контрактная дата — датой истечения
(expiration date), датой исполнения (exercise date) или погашения
(maturity). Американские опционы могут быть исполнены в любое время до даты истечения, а европейские опционы — только в
дату истечения. Нужно отметить, что термины «американские» и
«европейские» относятся не к месту заключения контракта или
расположения биржи, а характеризуют тип опциона. Большинство опционов, которыми торгуют на биржах, являются американскими, однако европейские опционы легче анализировать.
Кроме того, свойства последних часто вытекают из характеристик европейского аналога.
Следует подчеркнуть, что опцион дает владельцу право сделать что-то. Владелец не обязан использовать это право. Этот
факт отличает опционы от форвардов и фьючерсов, когда владелец обязывается купить или продать лежащий в основе актив.
76
В каждом опционном контракте имеются два участника. С одной
стороны, есть инвестор, который занял длинную позицию (купил опцион), а с другой — инвестор, занявший короткую позицию (продал опцион). Продавец опциона получает деньги сразу,
но имеет потенциальные обязательства позже. Его прибыль или
потери являются обратными по отношению к тем, которые имеет
покупатель опциона.
После приведенных пояснений по финансовым производным
обратимся вновь к выражениям (3.1), (3.2). Равенство (3.1) указывает на то, что величина акций фирмы в момент Т равна платежам европейского опциона-колл на VT, а формула (3.2) — величина долга фирмы к дате погашения равна номинальной величине
пассива за вычетом платежей европейского опциона-пут на VT с
ценой исполнения В.
Нужно отметить, что выражения (3.1), (3.2) представляют собой стилизованное описание дефолта. В действительности структура долга компании является более сложной, поэтому дефолт
может произойти в различные моменты времени. Кроме того, руководствуясь современной трактовкой банкротства, можно сказать, что дефолт еще не означает автоматического наступления
банкротства, т. е. ликвидации фирмы. Тем не менее модель Мертона — полезная отправная точка для моделирования кредитного риска.
Опционная интерпретация акций и долга полезна при объяснении потенциальных конфликтов между акционерами и кредиторами компании. Хорошо известно, что значение опциона увеличивается, если волатильность основного актива возрастает.
Следовательно, акционеры проявляют интерес к фирме, которая
участвует в достаточно рискованных проектах. Держатели облигаций, с другой стороны, имеют короткую позицию по опционупут на актив фирмы и поэтому стремятся к тому, чтобы снизить
волатильность величины актива.
В модели Мертона предполагается, что процесс (Vt) описывается геометрическим броуновским движением, которое уже упоминалось в п. 2.2.3 при анализе рыночных рисков. Единственным
отличием в данном случае является замена величины актива St
на значение процесса Vt, поэтому формула (2.10) здесь примет несколько иной вид, который приведем для полной картины дальнейшего анализа:
dVt = µ V Vt dt + sV Vt dWt ,
(3.3)
77
для постоянных mV, s > 0 и стандартного броуновского движения Wt.
Из уравнения (3.3) следует, что
VT = V0 exp[(µ V - 0,5s2V )T + sV WT .
Можно показать, что логарифм величины VT подчиняется нормальному закону, т. е.
ln VT ~ N [ln V0 + (µ V - 0,5s2V )T, s2V T ].
При динамике, описываемой выражением (3.3), вероятность
дефолта фирмы легко вычисляется с учетом нормальности распределения ln VT и имеет следующий вид:
é ln(B / V ) - (µ - 0,5s2 )T ù
0
V
V
ú , (3.4)
P(VT £ B) = P(ln VT £ ln B) = Φ êê
ú
s
T
ê
úû
V
ë
é ln(B / V ) - (µ - 0,5s2 )T ù
0
V
V
ú  — функция стандартного норгде Φ êê
ú
s
T
V
ëê
ûú
мального распределения.
Из равенства (3.4) следует, что вероятность дефолта увеличивается с ростом В, уменьшается в зависимости от V0 и mV и для ситуации, когда V0 > В, увеличивается по мере роста sV.
3.4.2. Оценивание в модели Мертона
Перед тем как перейти к оценкам акций и задолженностей,
основанным на модели Мертона, кратко рассмотрим особенности
модели Блэка–Шоулса 1973 г., которую с более строгих позиций
обосновал Р. Мертон. В своей работе Ф. Блэк и М. Шоулс получили дифференциальное уравнение для цен финансовых производных, зависящих от цены акции, по которой не выплачиваются
дивиденды. Основной смысл рассуждений, использованных исследователями, сводится к тому, что составляется безрисковый
портфель, содержащий позиции в двух финансовых контрактах:
финансовой производной и акции. Затем доход портфеля приравнивается к доходу, получаемому от такой же по величине инвестиции при безрисковой ставке. В модели Блэка–Шоулса портфель остается безрисковым только в течение короткого периода
времени. Такой портфель можно создать, если и цена акции, и цена финансовой производной подвергаются одному и тому же источнику неопределенности. Это означает, что в течение короткого
78
периода времени неопределенности в ценах акции и финансовой
производной полностью коррелированы. В портфеле из акции и
производной прибыль (или потери) акции компенсируются потерями (или прибылями) финансовой производной, поэтому полная
стоимость портфеля в конце короткого промежутка времени достоверно известна.
Перечислим предположения, которые лежат в основе модели
Блэка–Шоулса:
1) торговля активами производится в непрерывном времени;
2) безрисковая процентная ставка r является постоянной и
одинаковой для всех сроков погашения;
3) цена актива изменяется во времени случайно, подчиняясь
геометрическому броуновскому движению;
4) разрешается короткая продажа активов с использованием
выручки в полном объеме, т. е. активы и финансовые производные свободно продаются и покупаются без ограничений;
5) не имеется каких-либо расходов на совершение сделок и налогов;
6) в течение срока действия финансовых производных никакие дивиденды не выплачиваются.
При этих предположениях доказано, что стоимость финансовой производной зависит только от цены актива V, времени t и
параметров mV, s, которые считаются известными константами.
Основываясь на сделанных допущениях, Блэк и Шоулс получили
дифференциальное уравнение для цены финансовой производной
в виде
¶f
¶f 1 2 2 ¶2 f
+ rV
+ sV V
= rf. ¶t
¶V 2
¶V 2
(3.5)
Рассмотрим опцион-колл европейского типа с ценой исполнения В и датой исполнения Т на лежащий в основе актив стоимостью V. Владелец этого опциона в дату Т имеет право купить
одну лежащую в основе контракта акцию по цене В у продавца опциона. Владелец опциона не обязан покупать эту акцию.
Право купить одну лежащую в основе контракта акцию по цене В распространяется только на дату Т. Отсюда следует, что опцион имеет смысл исполнять только тогда, когда его стоимость
будет неотрицательной, т. е. в дату Т стоимость опциона равна
f (T) = max{VT - B, 0}. Это равенство следует рассматривать как
79
граничное условие при решении уравнения Блэка–Шоулса в случае европейского опциона-колл.
Таким образом, разнообразие финансовых производных задает соответствующий набор граничных условий и, следовательно, формул для определения цен этих производных. Отметим,
что уравнение (3.5) определяет безрисковый портфель только на
очень короткий интервал времени (t, t + dt). Для формирования
безрискового портфеля в течение интервала времени (t, T) необходимо в каждый момент этого интервала модифицировать портфель таким образом, чтобы он содержал ¶f ¶V длинных позиций
на лежащий в основе актив.
Решив
уравнение
(3.5)
при
граничном
условии
ST = max{VT - B, 0}, получим известную формулу Блэка–Шоулса
определения стоимости европейского опциона-колл в виде
St = C BS (t, Vt ;r , sV , B,T) = Vt Φ(d1 ) - Be-r (T-t) Φ(d2 ) ,
(3.6)
где
d1 =
d2 =
ln Vt - ln B + (r + s2V / 2)(T - t)
sV T - t
nVt - ln B + (r - s2V / 2)(T - t)
sV T - t
;
= d1 - sV T - t .
Стоимость европейского опциона-пут находится аналогичным
образом. В этом случае необходимо решить уравнение Блэка–
Шоулса (3.5) при другом граничном условии: ST = max{ B - Vt , 0},
которое приводит к следующей формуле:
St = Be-r (T-t) Φ(-d2 ) - Vt Φ(-d1 ) ,
(3.7)
где Φ(–d) = 1 – Φ(d); остальные обозначения имеют тот же смысл,
что и в формуле (3.6).
Рассмотрим оценку риска долга фирмы. Отметим, что при безрисковой процентной ставке при t ≤ T цена облигации с нулевым
купоном со сроком T равна p0 (t, T) = exp[-r (T - t)]. В соответствии с выражением (3.2), имеем
80
Bt = B p0 (t,T) - P BS (t, V ; r , sV , B,T), (3.8)
где P BS (t, V ; r , sV , B,T)  — цена европейского опциона-пут, определяемого формулой (3.7), с ценой В, сроком исполнения Т, процентной ставкой r и волатильностью sV.
Комбинируя (3.7) и (3.8), приходим к следующему результату:
Bt = p0 (t,T) BΦ(d2 ) + Vt Φ(-d1 ) . (3.9)
Таким образом, разработанная Блэком и Шоулсом модель привлекательна тем, что она базируется на общей равновесной постановке задачи. Особенность формулы (3.5) состоит в том, что она не
зависит от ряда параметров, например, цена опциона не зависит
от ожидаемой доходности на обыкновенную акцию, предпочтений инвесторов или средней массы активов. Это представляет собой важный результат, так как ожидаемая доходность не наблюдается непосредственно, а оценки по прошлым данным обычно
неточны из-за нестационарности временных рядов.
Отметим, что вывод формулы (3.5) является интуитивным, однако это выражение представляет собой очень важный результат,
который требует строгого вывода. Блэк и Шоулс рассматривали
только конечные граничные условия, поэтому их анализ применим к европейским опционам. Мертон в 1973 г. предложил более
строгий анализ формулы Блэка–Шоулса, который специалистами в области финансовой экономики считается основным. Анализ, выполненный Мертоном, проводится при несколько отличающихся предположениях, которые можно считать более общими
по сравнению с использованными Блэком и Шоулсом.
Предположения Мертона следующие;
1) рынок невязкий (frictionless): нет никаких издержек на совершение сделок или налоги. Торговля осуществляется непрерывно, без ограничений допускаются займы и короткие продажи;
2) безрисковая процентная ставка — детерминированная и составляет величину r ≥ 0;
3) динамика цены акции: мгновенный доход на обыкновенную
акцию описывается стохастическим дифференциальным уравнением
dV
= α dt + s dW,
V
где a — мгновенная ожидаемая доходность на обыкновенную акцию; s2 — мгновенная дисперсия доходности; W — стандартный
винеровский процесс;
81
4) динамика цены облигации: доходность облигации описывается следующим уравнением:
dP
= µ(τ)dt + δ(τ)dq(t, τ),
P
где m — мгновенная ожидаемая доходность; D2 — мгновенная дисперсия; q (t,t) — стандартный винеровский процесс для срока погашения t;
5) не требуется никаких предположений о предпочтениях инвестора, кроме одного: цена опциона определяется так, что нет доминирующих ценных бумаг.
При этих предположениях Мертон показал, что модель Блэка–
Шоулса может быть получена на основе более слабых предположений, чем это было сделано в их первоначальной постановке.
Главные преимущества такой модификации:
1) вывод основывается на условии отсутствия доминирования
каких-либо ценных бумаг;
2) расчетная формула является функцией наблюдаемых параметров;
3) модель распространяется на случай определения цены любых типов опционов;
4) модель можно применять при эмпирических исследованиях
рынка опционов.
Нужно отметить, что модель Мертона достаточна проста.
В течение многих лет после опубликования статьи Мертона появилось большое количество работ, представляющих расширения и модификации его модели. Поскольку дефолт фирмы может произойти в любое время (а не только в детерминированный
момент времени Т), то данное наблюдение привело к разработке
так называемых моделей первого пересечения (first-passage-time
models). В этом классе моделей дефолт происходит в ситуации,
когда процесс оценки активов первый раз пересекает порог дефолта, который обычно интерпретируется как средняя величина обязательств. Формально время дефолта t определяется как
τ = inf{t ³ 0 : Vt £ B} .
Структурные модели с эндогенным порогом дефолта
(endogenous default threshold) представляют интересное экономическое расширение модели Мертона. Здесь граница дефолта В
определяется оценкой акционеров и не фиксируется априори разработчиком модели. И, наконец, структурные модели с неполной
информацией (incomplete information) о величине активов и (или)
82
пассивов обеспечивают важную связь этих моделей с моделями
сокращенной формы для оценивания кредитного риска.
3.4.3. KMV-модель
Важным примером широко используемой на практике метода
оценки кредитного риска является так называемая KMV-модель,
основанная на модели Мертона. Свое название данная модель
получила по начальным буквам фамилий ее разработчиков —
S. Kealhofer, J. McQuown, O. Vasicek, которые в 1989 г. основали частную фирму, получившую впоследствии наименование
Moody’s KMV. Основной вклад этой фирмы состоит не в теоретической разработке модели, которая является достаточно прямолинейным расширением модели Мертона, но в эмпирическом тестировании и реализации расчета показателей риска на большом
объеме данных.
Напомним, что существует два основных элемента, определяющих вероятность дефолта фирмы:
1) величина активов, представляющая собой рыночную стоимость активов фирмы;
2) риск актива, характеризующийся неопределенностью цены
актива и являющийся мерой хозяйственной деятельности фирмы.
В качестве примера на рис. 3.10 показан график, иллюстрирующий временную зависимость между активами и пассивами
Млн дол.
Цена активов
7000
6000
5000
4000
Величина
пассива
3000
2000
1000
0
10/00
10/01
10/02
10/03
10/04
Рис. 3.10. Динамика активов и пассивов
83
фирмы. Риск дефолта фирмы возрастает, когда величина активов
приближается к значению пассивов, и окончательно дефолт наступает в ситуации, когда фирма не в состоянии оплатить предъявляемые ей требования.
Например, по приведенному графику видно, что дефолт происходит приблизительно в середине 2004 г.
Основным параметром, привлекающим интерес к KMVмодели, является так называемая ожидаемая частота дефолта
(expected default frequency — EDF), представляющая собой вероятность того, что в данной фирме в течение одного года произойдет дефолт. Отметим, что в классической модели Мертона вероятность дефолта данной фирмы есть вероятность того, что величина
актива за один год, например, V1, лежит ниже порога В, отображающего пассив фирмы (как на рис. 3.10). В соответствии с допущениями, принятыми в модели Мертона, EDF является функцией текущей величины актива V0, среднего за год значения актива mV, волатильности sV и порога В. Используя выражение (3.4) и
учитывая, что Φ(d) = 1 – Φ(–d) при Т = 1, получим EDF для модели
Мертона в следующем виде:
æ ln V - ln B + (µ - 0,5s2 ö÷
ç
0
V
V ÷. EDFM = 1 - Φ çç
(3.10)
÷÷
çè
sV
ø÷
O. Васишек и С. Килхофер расширили модель Мертона для
оценки вероятности дефолта. В этой модифицированной модели предполагалось, что при попадании величины актива в точку дефолта, у фирмы происходит дефолт (точка дефолта — default
point, default threshold — то значение цены актива, при котором
наступает дефолт фирмы). Моделировались многие классы пассивов, например, кратковременные и долговременные пассивы,
конвертируемый долг и др. Доступные данные использовались
для построения эмпирического распределения, связывающего
расстояние до дефолта с вероятностью дефолта. Таким образом,
соотношения между величиной актива и пассивом могли быть
оценены без построения более сложных моделей, характеризующих динамику пассивов во времени.
В KMV-модели величина EDF имеет структуру, аналогичную
(3.10), но с частичными модификациями:
— (1 – Φ) заменяется некоторой убывающей функцией, оцениваемой эмпирически;
— величина В заменяется новым значением порога дефолта
B , отображающего структуру пассива фирмы более точно;
84
— аргумент нормальной функции распределения заменяется
менее сложным выражением;
— в KMV-модели принято допущение, что цена актива V0 фирмы не является непосредственно наблюдаемой. Скорее, здесь используется итеративная процедура для определения V0 по величине акций фирмы.
Методология Moody’s KMV реализует модель Васишека–
Килхофера для вычисления кредитного риска в виде величины
EDF, которая является вероятностью дефолта в течение предстоящего года или нескольких лет. Кредитный риск в рассматриваемом подходе определяется динамикой величины актива эмитента. При данной структуре капитала фирмы может быть выявлен
стохастический процесс для актива, из которого находится вероятность дефолта для любого временного горизонта. На рис. 3.11
схематически показано, как вероятность дефолта связана с распределением активов и структурой капитала фирмы.
Для определения вероятности дефолта фирмы нужно выполнить следующие три шага:
1) оценить величины активов и волатильности;
2) вычислить расстояние до дефолта;
3) определить вероятность дефолта.
На первом шаге в структурных моделях обычно за основу величины актива принимают их рыночную стоимость. Последняя величина отражает ожидания инвесторов о хозяйственной
деятельности фирмы и, следовательно, является хорошей мерой
предстоящего бизнеса. К сожалению, рыночная стоимость обычВеличина актива
Плотность вероятности актива
E (Vr) =V0 eµτ
Актив
Долг
Вероятность дефолта
Т
Время
Рис. 3.11. Оценка вероятности дефолта
85
но не полностью наблюдаема по ряду причин. Во-первых, эта величина может значительно отличаться от стоимости компании,
найденной по правилам бухучета. Во-вторых, в то время как рыночная стоимость активов фирмы определяется суммой рыночной цены акций фирмы и долга, только акции и часть долга являются активными участниками рынка, поэтому неизвестна рыночная цена полного долга. Из этих соображений в методологии
KMV осуществляется трансформация к непрямому подходу, и величина актива V0 определяется из более легко наблюдаемого значения акции фирмы S0.
Напомним, что, в соответствии с формулой (3.6), имеем
St = C BS (t, Vt ; r , sV , B,T). (3.11)
Очевидно, в конкретный момент времени, например, при t = 0,
уравнение (3.11) имеет два неизвестных: V0 и sV. Для преодоления
этого препятствия методология KMV использует итеративную
процедуру. Эта процедура в начале итерации применяет некоторое начальное приближение волатильности s(V0) для определения
временного ряда величины актива Vt(0) по выражению (3.11). Затем из этого ряда находится новая оценка волатильности s(V1) , и
новый временной ряд Vt(1) формируется с помощью (3.11) при волатильности s(V1) . Обычно такая процедура состоит из нескольких итераций.
На втором шаге определяется расстояние до дефолта (distance
to default — DD), которое представляет собой расстояние между
ожидаемой величиной актива в конце года E(Vt) и точкой дефолта. Перед выполнением этого шага отметим следующее. В модели Мертона дефолт и, следовательно, банкротство имеют место
в том случае, если величина активов фирмы падает ниже значения долга. При логарифмически нормальном распределении активов это приводит к вероятности дефолта в форме выражения
(3.10). Это соотношение между величиной актива и вероятностью
дефолта может быть упрощено для того, чтобы точно описывать
реальные вероятности дефолта по ряду соображений. Например,
величины активов не обязательно являются логнормальными, но
могут подчиняться распределению с тяжелыми «хвостами»; допущения о структуре капитала фирмы также чрезмерно упрощены; в принятой дефиниции банкротства дефолт не приводит автоматически к последнему. Переходя к определению расстояния
до дефолта, укажем, что существуют шесть переменных, которые
86
определяют вероятность дефолта фирмы на некотором временном
горизонте H:
1) текущая величина актива;
2) распределение величины актива в момент времени H;
3) волатильность величины актива в момент времени H;
4) уровень точки дефолта (порог дефолта);
5) ожидаемое значение роста величины актива на временном
горизонте;
6) значение горизонта H.
На рис. 3.12 показана схема основных параметров для нахождения вероятности дефолта. Первые четыре переменные — величина актива, его распределение, волатильность актива, точка дефолта — явно определяются из наблюдений. Ожидаемый рост и
временной горизонт имеют меньшую дискриминационную мощность, поэтому устанавливаются аналитиком в некоторой степени субъективно.
Если величина актива падает ниже точки дефолта, то в фирме происходит дефолт. Вследствие этого вероятность дефолта есть
вероятность выполнения предыдущего утверждения. На рис. 3.12
эта вероятность указывается зачерненной областью ниже точки
дефолта, обозначенной как EDF.
Рис. 3.12 также иллюстрирует причинную связь между переменными и возможность их изменения, что обеспечивает аналиРыночная
величина
актива
2
Изменение
актива
Плотность
вероятности
актива
3
1 V0
5
DD
Точка
дефолта
4
EDF
0
H
6
Время
Рис. 3.12. Параметры для определения вероятности дефолта
87
тика мощной и надежной основой в части ответов на вопросы типа «что — если». Например, аналитик может оценить влияние
больших изменений в цене акций или эффект слияния.
В случае, если будущее распределение расстояния до дефолта известно, то вероятность дефолта определяется вероятностью того, что окончательная величина актива оказывается
ниже точки дефолта. Однако на практике распределение расстояния до дефолта найти достаточно трудно. Кроме того, допущения о нормальном или логнормальном распределениях не
могут быть использованы. Для точного определения вероятности дефолта весьма критичны изменения в соотношении между
величиной актива и точкой дефолта. Причиной таких изменений могут служить вариации цены актива или левереджа фирмы, причем последние параметры часто обладают высокой степенью корреляции. Следовательно, методология KMV вначале
измеряет расстояние до дефолта как число стандартных отклонений величины актива от точки дефолта и затем использует
эмпирические данные для определения соответствующей вероятности дефолта.
Расстояние до дефолта рассчитывается по формуле
DD = (V0 - B ) / (sV V0 ),
(3.12)
где B  — точка дефолта.
На рис. 3.12 расстояние до дефолта отмечено аббревиатурой
DD.
Отметим, что выражение (3.12) в действительности является
аппроксимацией аргумента равенства (3.10), так как mV и s2V малы, поэтому ln V0 - ln B » (V0 - B ) / V0 .
На третьем шаге определяется вероятность дефолта. В KMVмодели допускается, что фирмы с равными расстояниями до дефолта DD имеют равные вероятности дефолта EDF. Функциональное соотношение между DD и EDF определяется эмпирически.
В качестве примера на рис. 3.13 приведен график, отображающий
зависимость между DD и EDF. Используя соответствующую базу
данных, KMV-методология оценивает для каждого горизонта и
выделенного диапазона DD часть компаний, у которых наступил
дефолт. Эта часть (пропорция) является эмпирической оценкой
EDF. Компания Moody’s KMV имеет базу данных, составляющих
примерно 250 000 фирм и около 4700 инцидентов, связанных с дефолтом или банкротством. По этим данным могут быть составле88
Историческая
частота
дефолта
EDF
DD
Расстояние до дефолта
Рис. 3.13. Отображение между DD и EDF
ны частотные таблицы, которые связывают вероятность дефолта
с различными уровнями расстояний до дефолта.
Как показывают исследования, выполненные в [24], соотношение между DD и EDF инвариантно относительно видов промышленности, временных горизонтов, размеров компаний. Этот же
вывод справедлив для различных стран и регионов.
В заключение приведем табл. 3.10, заимствованную из [16], в
которой показаны основные шаги вычисления вероятности дефолта как меры кредитного риска. Напомним, что при этом необходимо выполнить следующее:
— оценить текущую рыночную стоимость и волатильность активов фирмы;
Таблица 3.10
Определение вероятности дефолта
Переменная
Рыночная величина акций,
S0
Обязательства, В
Рыночная величина активов, V0
Волатильность актива, sV

Точка дефолта, B
Расстояние до дефолта, DD
Вероятность дефолта
(один год), EDF
Значение
Примечание
110 688 По курсу акций
64 062 По балансовому отчету
170 558 По модели оценки опциона
0,21
47 499
3,5
0,25 %
Обязательные платежи в
течение года
По формуле (3.12):
(170 – 47)/(0,21·170) = 3,5
По эмпирическому отображению между DD и EDF
89
— определить, насколько далеко фирма находится от дефолта,
т. е. найти расстояние до дефолта;
— трансформировать расстояние до дефолта в вероятность дефолта.
Рассматривается ситуация в компании Philip Morris Inc. на
конец апреля 2001 г. (все финансовые показатели приведены в
млн долларов).
Сравним теперь KMV-модель с моделью кредитной миграции.
Первая из них обладает следующими преимуществами:
— рейтинговые агентства обычно медленно регулируют кредитные рейтинги, поэтому текущий рейтинг не всегда отражает экономические условия фирмы. Это особенно важно при быстром ухудшении кредитных качеств фирмы, что имеет место с
компаниями, которые близки к дефолту. С другой стороны, величина ожидаемой частоты дефолта — EDF, оцениваемая в методологии KMV, быстро реагирует на изменение экономических
характеристик фирмы и, следовательно, на оценку расстояния
до дефолта;
— ожидаемая частота дефолта стремится отразить текущее
макроэкономическое окружение. Расстояние до дефолта демонстрирует рост в периоды экономической экспансии (особенно
вследствие более высокого биржевого курса, отражающего лучшие экономические условия) и спад в периоды рецессии. С другой
стороны, исторические матрицы вероятностей перехода, формируемые рейтинговыми агентствами, слабочувствительны к текущему макроэкономическому окружению. Следовательно, параметр EDF, принятый в методологии KMV, может быть лучшим
предиктором вероятностей дефолта на коротких временных горизонтах.
Укажем теперь преимущества модели кредитной миграции
над KMV-моделью:
— KMV-методология очень чувствительна к глобальным рынкам акций. В частности, «схлопывание» рыночных пузырей может привести к чрезмерному увеличению EDF, несмотря на то,
что экономические условия для данной корпорации значительно
не изменяются. Такая ситуация является причиной увеличения
требуемого регуляторного капитала, что ограничивает возможности банка по выдаче новых кредитов;
— KMV-методология применяется только к фирмам с доступной информацией о торговле акциями, в то время как подход,
основанный на формировании рейтингов, может быть использо90
ван для всех компаний, для которых имеется внутренняя рейтинговая система.
3.5. Пороговые модели
В этом подразделе рассмотрим так называемые однопериодные
модели [16] для портфельного кредитного риска, в основе которых
лежат структурные модели, описанные выше. Отличительная
черта однопериодных моделей: дефолт имеет место для компании
с индексом i в случае, когда некоторая случайная величина (СВ)
Xi = XT,i лежит ниже критического детерминированного порога di
в конце временного периода [0, T]. В рассмотренной выше модели
Мертона Xi является логнормальной величиной стоимости актива, а di представляет обязательства. В модели GreditMetrics Xi —
нормально распределенная СВ, интерпретируемая как изменение
логарифма стоимости актива. При расширении структурных моделей на портфель обычно используются многомерные логнормальные или нормальные распределения для вектора X = (X1,
..., Xm)T. Зависимость между дефолтами следует из зависимости
между компонентами вектора Х.
3.5.1. Индикаторы состояния и дефолта
Введем некоторые обозначения для однопериодных портфельных моделей. Рассмотрим портфель, состоящий из m заемщиков,
и зафиксируем временной горизонт Т. Обозначим через Si индикатор состояния заемщика i (1 ≤ i ≤ m) за время Т и допустим,
что Si = ST,i принимает целые значения из множества {0, 1, ..., n},
представляющего, например, рейтинговые классы. Примем, что
значение индикатора, равное 0, определяет дефолт, а ненулевые
значения — состояния, улучшающие кредитное качество. В момент времени t = 0 предполагается, что все заемщики-фирмы не
находятся в состоянии дефолта.
Перейдем к бинарному представлению: состояния дефолта и
недефолта, а прочие категории состояния заемщиков проигнорируем. В этом случае можно ввести другой индикатор Yi = YT,i,
который при дефолте определяется как Yi = 1 (Si = 0), а при отсутствии дефолта — Yi = 0 (Si > 0). Случайный вектор Y = (Y1, ...,
Ym)T является вектором индикаторов дефолта для портфеля, а
р(у) = Р(Y1 = y1, ..., Ym = ym), y∈{0, 1}m — совместная вероятность;
предельные вероятности дефолта обозначим через pi = P(Yi = 1),
i = 1, …, m.
91
Дефолт определяется через корреляцию индикаторов дефолта. Нужно отметить, что каждая фирма-заемщик уникальна по своим финансово-экономическим показателям, и изменения ее кредитного качества часто обусловлены событиями
и обстоятельствами, которые специфичны для данной фирмы.
Это объясняет малую корреляцию между изменениями рейтингов различных фирм и дефолтами. Таким образом, вначале желательно установить проявление дефолтов по большому
числу компаний. Подобную операцию можно выполнить, рассмотрев статистики дефолта, которые публикуются основными
рейтинговыми агентствами на протяжении многих лет. Вследствие того, что такие исследования основаны на очень большом
числе наблюдений, при некоррелированных дефолтах изменения последних будут стабильны из года в год. С другой стороны, при полностью коррелированных дефолтах наблюдаются
некоторые годы, когда каждая изучаемая фирма подвергается
дефолту, и промежутки времени, характеризуемые отсутствием дефолта. То, что наши наблюдения лежат где-то между этими предельными случаями, свидетельствует о существовании
некоторой корреляции.
Так как
Var(Yi ) = E(Yi2 ) - pi2 = E(Yi ) - pi2 = pi - pi2 ,
для фирм с индексами i и j, i ≠ j получаем
ρ(Yi , Yj ) =
E(Yi Yj ) - pi pj
( pi - pi2 )( pj - pj2 )
.
(3.13)
Для упрощения анализа предположим, что индикаторы состояния S и дефолта Y являются взаимозаменяемыми (exchangeable).
Из допущенного свойства следует, что для любого k∈{1, …, m – 1}
все из числа сочетаний Ckm k-мерные предельные распределения
индикаторов S идентичны. В этой ситуации можно ввести следующие обозначения:
p = P(Yi = 1), i∈{1, …, m} — вероятность дефолта любой фирмы;
pk = P(Yi1 = 1, …, Yik = 1) {i1, …, ik}⊂{1, …, m} 2 £ k £ m  — совместная вероятность дефолта для k фирм.
Другими словами, величина pk есть вероятность того, что произвольно выбранная подгруппа из k компаний подвергается де92
фолту на интервале [0, T]. При условии взаимозаменяемости индикаторов дефолта и состояния получим
E(Yi ) = E(Yi2 ) = P(Yi = 1) = p, "i,
E(Yi Yj ) = P(Yi = 1, Yj = 1) = p2 , "i ¹ j,
поэтому ковариация между Yi и Yj определяется как
cov(Yi,Yj) = p2 — p2. Отсюда следует, что корреляция дефолта, вычисляемая по формуле (3.13), преобразуется к виду
p - p2
ρ(Yi , Yj ) = 2
,
p - p2
(3.14)
т. е. является простой функцией вероятностей дефолта первого и
второго порядков.
Теперь перейдем к формальному определению пороговой модели. Пусть Х = (Х1, ..., Хm)T является m-мерным случайным вектором и D Î Âm´n  — детерминированная матрица с элементами dij,
такими, что для каждого i элементы i-й строки образуют множество увеличивающихся порогов, удовлетворяющих соотношению
di1 <... < din. Расширим эти пороги, приняв di0 = -¥ и di(n+1) = ¥
для всех фирм-заемщиков, после чего можно записать
dij < Xi £ di( j +1) , j = 0,n; i = 1,m.
Тогда (X, D) определяет пороговую модель для вектора состояния S = (S1, ..., Sm)T.
Вектор Х рассматривается здесь как вектор критических переменных; i-я строка матрицы D содержит критические пороги для
фирмы с индексом i. По определению дефолт соответствует событию Si = 0 и имеет место в случае, если Xi ≤ di1.
В контексте таких моделей важно различать корреляцию дефолтов r(Yi, Yj) двух фирм i ≠ j и так называемую корреляцию активов (asset correlation), которая соответствует корреляции критических переменных Xi и Xj. При данных вероятностях дефолта
величина r(Yi, Yj) определяется через E(Yi Yj ) по формуле (3.13).
Учтем, что в пороговой модели E(Yi Yj ) = P(Xi £ di1, Xj £ dj1 ) , поэтому корреляция дефолта зависит от совместного распределения
Xi и Xj. В ситуации, когда Х является многомерной нормальной
величиной, как это принято в моделях типа CreditMetrics, KMV,
корреляция Xi и Xj определяет связь их совместных распределений и, следовательно, корреляцию дефолта.
93
3.5.2. Корреляция активов
В пороговых моделях устанавливается связь между предельными вероятностями миграций для отдельных фирм и совместными вероятностями миграций для групп компаний. Портфельные версии моделей KMV и CreditMetrics используют подобный
механизм для моделирования совместной вероятности дефолта.
Подход в этих моделях отличается только способом нахождения
индивидуальных вероятностей дефолта.
В практических ситуациях трудно оценить такие вероятности
непосредственно. Прием, принятый в CreditMetrics, заключается
в их непрямом определении, который включает два шага [23]:
1) предложить процесс, который обуславливает изменения
кредитных рейтингов. Этим устанавливается связь между событиями, описывающими изменения рейтингов, но которые не наблюдаются напрямую, и процессом, который используется для
понимания механизма вариации рейтингов;
2) оценить параметры предложенного процесса. При успешном выполнении первого шага такая оценка окажется легче, чем
непосредственно определять совместные вероятности изменения
рейтингов.
Предположим, что эволюция величины актива фирмы определяется процессом, который генерирует изменения кредитных
рейтингов и дефолтов. В качестве такого процесса используется
опционная модель Мертона.
Очевидно, что величина активов компании определяет ее способность платить по обязательствам. Можно предположить, что
существует определенный граничный уровень, при нахождении
величины активов ниже которого компания не в состоянии оплачивать требования и, как следствие этого, наступает дефолт. Если
необходимы объяснения изменений активов, приводящих к дефолту, то такой модели будет достаточно. Но желательно оценить
изменения портфельной величины активов, происходящие также из-за изменения рейтинга, поэтому необходимо более сложное
обоснование.
Расширяя предложенное выше, допустим, что имеется ряд
уровней величин активов, которые будут определять кредитный
рейтинг компании в конце каждого оцениваемого периода. Для
примера рассмотрим гипотетическую компанию с рейтингом ВВ
и величиной активов, составляющих 100 млн долларов. Принятое допущение позволяет сформулировать следующее: имеется
94
Рейтинг
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Дефолт
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200
Величина активов
Рис. 3.14. Изменение кредитного рейтинга
несколько уровней активов, позволяющих построить отображение от величины активов за один год к рейтингу за другой год
(рис. 3.14).
Из рис. 3.14 видно, что величина активов за один год определяет кредитный рейтинг (или дефолт) компании за тот же временной интервал. Значения активов на графике, которые соответствуют изменениям рейтинга, будут определять пороги величин
активов. Допуская, что известны пороги активов данной компании, необходимо смоделировать изменения величины активов с
целью описания эволюции кредитного рейтинга. Для выполнения этого примем, что процентные изменения активов (иначе —
доходы активов), обозначенные как R, являются нормально распределенными величинами со средним значением m и среднеквадратичным отклонением или волатильностью s. Без потери общности положим, что m = 0.
Теперь установим связь между порогами активов, показанными на рис. 3.14, и вероятностями переходов для рассматриваемой компании. Матрица переходов для компании из рассматриваемого примера в течение одного года представлена в табл. 3.5.
Продолжая наш пример с рейтингом заемщика, равным ВВ, выделим из матрицы переходов вероятности, соответствующие начальному рейтингу ВВ (второй столбец табл. 3.11).
С другой стороны, обращаясь к концепции порогов для активов (рис. 3.14), можно выделить пороги ZDef, ZССС, ZB и т. д., такие,
что при условии R < ZDef заемщик попадает в ситуацию дефолта;
95
Таблица 3.11
Одногодичные вероятности перехода для заемщика с рейтингом ВВ
Рейтинг
Вероятности, определенные
из матрицы перехода, %
Вероятности, установленные
из модели оценки активов
ААА
0,03
1 — Φ(ZAA / s)
АА
0,14
Φ(ZAA / s) — Φ(ZA / s)
А
0,67
Φ(ZA / s) — Φ(ZBBB / s)
ВВВ
7,73
Φ(ZBBB / s) — Φ(ZBB / s)
ВВ
80,53
Φ(ZBB / s) — Φ(ZB / s)
В
8,84
Φ(ZB / s) — Φ(ZССС / s)
ССС
1,00
Φ(ZССС / s) — Φ(ZDef / s)
Дефолт
1,06
Φ(ZDef / s)
при условии ZDef < R < ZССС заемщик переходит в категорию ССС
и т. п. Например, при ZDef = –70 % означает, что уменьшение величины активов заемщика на 70 % (или больше) приведет к его
дефолту.
Вследствие допущения о нормальности распределения R можно вычислить вероятности таких событий:
P{Default} = P{R < ZDef} = Φ(ZDef / s),
P{CCC} = P{ZDef < R < ZССС} = Φ(ZССС / s) — Φ(ZDef / s),
и т. д., где Φ(ZDef / s) определяет функцию распределения стандартизированного нормального закона. Расчетные выражения
для определения вероятностей приведены в третьем столбце
табл. 3.11.
Связь между доходами активов и кредитным рейтингом может быть изображена схематически, как показано на рис. 3.15,
где показаны пороги доходов, наложенные на кривую распределения доходов активов. Интеграл между соседними порогами соответствует вероятности, с которой заемщик принадлежит выделяемому рейтингу.
Теперь для завершения связи необходимо положить равными вероятности в двух последних столбцах табл. 3.11. Тогда, рассматривая, например, вероятность дефолта, видим, что величина
Φ(ZDef / s) должна быть равна 1,06 %, откуда следует очевидное
равенство для нахождения ZDef:
ZDef = Φ–1(1,06 %) s = –2,30s,
96
Переход
к рейтингу B
Фирма
сохраняет
рейтинг
ВВ
Дефолт
ZCCC ZB
Переход
к рейтингу BBB
ZBBB ZA ZAA ZAAA
Доход активов за год
Рис. 3.15. Распределение доходов актива вместе
с порогами изменения рейтингов
где Φ–1(р) дает уровень, ниже которого стандартизированная нормальная СВ попадает с вероятностью р.
Используя такой подход, можно рассмотреть вероятность нахождения в категории ССС для определения ZССС, затем следующие категории рейтингов для получения значения ZB и т. д.
В итоге все найденные таким образом граничные значения приведены в табл. 3.12.
Отметим, что в табл. 3.12 нет порога для ZAAA, так как любой доход, превышающий 3,43s, определяет переход в категорию
ААА.
Таблица 3.12
Пороговые значения для дохода актива
Порог
Значение, s
ZAA
3,43
ZA
2,93
ZBBB
2,39
ZBB
1,37
ZB
–1,23
ZССС
–2,04
ZDef
–2,30
Теперь рассмотрим второго заемщика, имеющего рейтинг
А. Обозначим его доход актива R′, СКО — через s′, пороги дохода актива — Z′Def, Z′ССС и т. д. Вероятности переходов для этого
заемщика, взятые из табл. 3.5, вместе с порогами представлены
в табл. 3.13.
97
Таблица 3.13
Вероятности переходов и пороги для заемщика с рейтингом А
Порог
Значение, s′
Рейтинг
Вероятность, %
ААА
0,09
—
—
АА
2,27
Z′AA
3,13
А
91,05
Z′A
1,98
ВВВ
5,52
Z′BBB
–1,51
ВВ
0,74
Z′BB
–2,30
В
0,26
Z′B
–2,72
ССС
0,01
Z′ССС
–3,19
Дефолт
0,06
Z′Def
–3,24
До сих пор анализировалась эволюция каждого заемщика отдельно в соответствии с его процессом оценки актива. Для описания совместной эволюции двух кредитных рейтингов примем,
что два дохода активов коррелированы и нормально распределены (остается только определить корреляцию r между доходами).
Ковариационная матрица для двумерного нормального распределения имеет вид
æs2
ρss ¢ö÷÷
ç
Σ = çç
÷.
ççρss ¢ s ¢2 ÷÷
è
ø
С помощью этого закона можем использовать пороги для оценки совместного перемещения двух кредитных рейтингов. Например, вычислим вероятность того, что оба заемщика останутся в
своих текущих рейтингах. Это есть вероятность того, что доход
актива для фирмы с рейтингом ВВ находится в диапазоне между ZB и ZBB, в то время как для фирмы с рейтингом А этот доход
попадает в область между Z′BBB и Z′A. При независимых доходах
(r = 0) совместная вероятность является произведением 80,53 %
(вероятность того, что первый заемщик останется в той же категории ВВ) и 91,05 % (вероятность того, что вторая фирма останется в классе с рейтингом А). Если же r ≠ 0, то необходимо вычислить
¢
¢ )=
P{ ZB < R < ZBB , ZBBB
< R < ZA
98
¢
ZBB ZA
ò ò
¢
ZB ZBBB
f (r ,r ¢, Σ)dr ¢dr , (3.15)
где f(r, r′, Σ) — плотность вероятности двумерного нормального
распределения с ковариационной матрицей Σ.
Можно использовать такую же процедуру для вычисления вероятностей каждой из 64 возможных совместных перемещений рейтингов для обоих заемщиков. Положим, например, что r = 20 %.
Полученные значения вероятностей приведены в табл. 3.14. Данные, приведенные в этой таблице, достаточны для вычисления
СКО для портфеля, содержащего доходы только двух фирм. Для
вычисления СКО бо′льшего портфеля необходимо повторить такой анализ для каждой пары фирм, составляющих конкретный
портфель.
Таблица 3.14
Вероятности совместного изменения рейтингов (%)
Рейтинг
первой
фирмы
ААА
ААА
АА
А
ВВВ
ВВ
В
ССС
Дефолт
Всего
0
0
0
0,02
0,07
0
0
0
0,09
АА
А
Рейтинг второй фирмы
ВВВ
ВВ
В
ССС
Дефолт
0
0,03
0
0
0
0
0
0,01 0,13
0
0
0
0
0
0,04 0,61 0,01
0
0
0
0
0,35 7,10 0,20 0,02 0,01
0
0
1,79 73,65 4,24 0,56 0,18 0,01 0,04
0,08 7,80 0,79 0,13 0,05
0
0,010
0,01 0,85 0,11 0,02 0,01
0
0
0,01 0,90 0,13 0,02 0,01
0
0
2,29 91,06 5,48 0,75 0,26 0,01 0,06
Всего
0,03
0,14
0,67
7,69
80,53
8,87
1,00
1,07
100
Эффект корреляции требует некоторых комментариев. Рассмотрим самую плохую ситуацию для портфеля, содержащего эти две фирмы: оба заемщика подверглись дефолту. Если доходы активов независимы, то совместная вероятность дефолта является произведением отдельных вероятностей дефолта:
1/100 ∙ 6/100 = 0,0006 %. C другой стороны, при полностью коррелированных доходах (r = 1), как только наступит дефолт у фирмы
с рейтингом А, то же самое произойдет у фирмы с рейтингом ВВ.
Таким образом, вероятность того, что обе фирмы подвергнутся
дефолту, определяется вероятностью того, что у заемщика с рейтингом А наступит дефолт, т. е. 0,06 %, что в 100 раз больше, чем
в случае некоррелированных доходов. На рис. 3.16 показан график, иллюстрирующий эффект корреляции доходов активов на
вероятность совместного дефолта.
99
Вероятность совместного
дефолта
0.06%
0.05 %
0.04 %
0.03 %
0.02 %
0.01 %
0.00 %
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 0.8
0.9 1.0
Корреляция
Рис. 3.16. Зависимость вероятности совместного дефолта
от корреляции между доходами активов
Для корреляции активов rА имеется возможность вычислить
совместную вероятность того, что заемщики 1 и 2 подвергнутся
дефолту.
Корреляцию дефолта между этими двумя заемщиками можно
записать в следующем виде:
ρD =
p12 - p1 p2
p1 (1 - p1 ) p2 (1 - p2 )
, (3.16)
где p1, p2 — вероятность того, что у заемщика 1 или 2 наступит
дефолт.
Выражение (3.16) аналогично вышеприведенной формуле
(3.13).
Переход от корреляции активов к корреляции дефолтов значительно снижает ее уровень. Корреляции активов в диапазоне
от 40 % до 60 % обычно трансформируются в корреляцию дефолтов от 2 % до 4 %. Рис. 3.17 показывает связь корреляции дефолта
с вероятностями дефолта двух заемщиков.
Перед переходом к оценке параметров сделаем важное замечание. Приведенное выше уравнение (3.15) не зависит от волатильностей s и s′. Это кажется, на первый взгляд, неправдоподобным,
что в модели риска игнорируется волатильность актива, но все существенное из волатильности, необходимое для построения модели, охватывается вероятностями перехода для каждого заемщи100
Корреляция
дефолта
Корреляция
дефолта
0.200
0.200
0.175
0.175
0.150
0.150
0.125
0.125
0.100
0.100
0.075
0.075
0.050
0.050
0.025
0.025
0.000
0
10.00%
10.00%
1.00%
1.00%
Вероятность дефолта 0.10%
Вероятность дефолта
0.10%
заемщика 1
заемщика 2
0.01% 0.01%
Рис. 3.17. Трансформация корреляции активов в корреляцию дефолта
ка. В итоге единственными параметрами, которые воздействуют
на риск портфеля, являются вероятности перехода и корреляция
между доходами активов.
Можно использовать различные альтернативы для оценки
корреляции активов фирмы. Самый простейший прием сводится к применению некоторого фиксированного значения по всем
парам заемщиков, однако это приводит к вычислительным трудностям при наличии достаточно большого портфеля. Кроме того,
при таком подходе теряется способность детализировать риск в
конкретной области хозяйственной деятельности.
Основным и обычно легче наблюдаемым источником информации о корреляции фирм являются сведения по доходам акций.
Здесь корреляция между доходами акций служит своего рода замещением корреляции между доходами активов. Хотя этот метод не учитывает разницы между корреляциями акций и активов, тем не менее такой прием более точен, чем при использовании фиксированной корреляции. Помимо этого, данный способ
основан на более доступных данных, чем совместное изменение
кредитных рейтингов.
3.6. Смешанные модели
В смешанных моделях риск дефолта заемщика зависит от
множества общих экономических факторов, в частности, макро101
экономических переменных, которые могут моделироваться стохастически. При конкретном наборе факторов допускается, что
дефолты отдельных фирм можно считать независимыми. Зависимость между дефолтами следует из зависимости вероятностей
индивидуальных дефолтов на множестве общих факторов.
Как указывалось выше, модели кредитного риска могут быть
разделены на статические, или структурные (модели оценки
фирмы), и динамические (модели сокращенной формы — reducedform models). В последних моделях точный механизм, приводящий к дефолту, является менее определенным по сравнению с
первыми.
В структурных моделях дефолт происходил в ситуации, когда
стоимость актива падает ниже некоторой границы, определяемой
обязательствами фирмы. В противоположность этому, смешанные модели рассматривают процесс банкротства фирмы, зависящий от экзогенных переменных. Примером смешанных моделей
как раз и являются модели сокращенной формы (МСФ) [25], [26].
Кроме того, к этому же классу моделей можно отнести методологию CreditRisk+, которая также не делает никаких допущений о
причинах дефолта.
3.6.1. Модели сокращенной формы
Модели сокращенной формы исключают использование оценки стоимости фирмы для моделирования риска дефолта. В этих
моделях дефолт может происходить по причинам, отличающимся от низкой стоимости фирмы. МСФ не пытаются объяснить обстоятельства возникновения дефолта, но вводят процесс изменения риска, т. е. эволюционирующую вероятность дефолта.
Многие МСФ приводят к процессу изменения вероятности дефолта, иногда связывая его с уровнем процентных ставок. Эти модели предполагают, что дефолты подчиняются процессу Пуассона, а вероятность дефолта на малом временном интервале определяется интенсивностью процесса Пуассона.
Подчеркнем еще раз различия между структурными моделями и МСФ:
— в структурных моделях кредитное событие, включающее
и дефолт, моделируется как время перехода некоторого барьера
процессом, отображающим изменение стоимости активов фирмы.
Такой подход интуитивно понятен, так как отражает основные
экономические характеристики, например, структуру балансового отчета компании. Тем не менее такой подход обладает серьез102
ными недостатками, поскольку процесс изменения стоимости активов не может быть легко наблюдаемым, и момент соответствующего перехода (переключения) очень сложно идентифицировать.
Кроме того, сравнительно простые модели таких процессов приводят к неожиданным результатам, к примеру, нулевым спрэдам
при малых сроках долгового обязательства;
— МСФ основаны на допущении, что кредитное событие представляет своего рода «сюрприз», т. е. происходит в непредсказуемое время и заключается в моделировании условного закона этого случайного времени.
Представляет определенный интерес выявление различий и
сходства между двумя типами моделей с информативной точки
зрения:
— структурные модели допускают полное знание детальной
информации, доступной менеджерам фирмы, и в большинстве
случаев такое информационное предположение дает возможность предсказать момент дефолта фирмы;
— в МСФ предполагается знание менее детальной информации, близкой к той, какая имеется на рынке. В этой ситуации
принятое информационное допущение приводит к тому, что время наступления дефолта становится непредсказуемым.
Ключевое различие между указанными типами моделей заключается не в характеристике времени дефолта (предсказуемое или нет), а в информации, доступной разработчику модели
(риск-менеджеру). В действительности структурные модели могут трансформироваться в МСФ при изменении величины информации от той, которая доступна менеджменту фирмы, до той, которая наблюдается на рынке.
Для оценки кредитного риска только информация, наблюдаемая на рынке, является существенной для нашей задачи. Эта
информация применяется для определения цены. В этом случае
должна быть использована МСФ.
Можно показать, что время дефолта в структурных моделях
изменяется при вариации информации, используемой разработчиком, и это время может быть трансформировано из предсказуемого в непредсказуемое. В структурных моделях допускается, что
использованная информация представляет собой непрерывные
наблюдения за процессами изменения активов и обязательств
фирмы. В противоположность этому, в моделях СФ предполагается, что в распоряжении риск-менеджера имеется только та информация, которая имеется на рынке. При анализе кредитного
103
риска можно начать с бо′льшего информационного множества,
модифицировать его к сокращенному информационному множеству и трансформировать структурную модель в МСФ.
Перейдем к непосредственному рассмотрению МСФ и опишем некоторые математические средства для анализа таких моделей. В частности, проанализируем время наступления дефолта и функцию риска (hazard rate). Отметим, что в отечественной
научной литературе по теории вероятностей функция риска непрерывной случайной величины T — это функция, определяемая
выражением [20]
f (t)
λ(t) =
,
1 - F (t)
где f(t), F(t) — соответственно плотность вероятности и функция
распределения случайной величины T.
При любом t имеет место соотношение l(t) ≥ f(t). В теории надежности под функцией риска l(t) понимается условная плотность
вероятности отказа изделия в момент t при условии, что это изделие не отказало до момента t. При такой трактовке величина l(t)dt
приближенно равна вероятности отказа изделия в интервале времени (t, t+dx) при условии, что оно не отказало до момента t:
P(t < T < t + dt T > t) » λ(t)dt.
В экономических категориях функция риска l(t) может быть
интерпретирована как мгновенная вероятность дефолта в момент
t при условии, что фирма выживает до этого момента. Действительно, для h > 0 имеем
P(τ £ t + h τ > t) = [F (t + h) - F (t)] / [1 - F (t)].
Следовательно, получаем
1
1
lim P(τ £ t + h τ > t) =
lim [F (t + h) - F (t)] / h = λ(t).
1
h
F (t) h®0
h®0
Приведем пример функции риска для экспоненциального распределения, которое часто используется для оценки продолжительности эксплуатации изделия (эквивалентно: для оценки времени до наступления дефолта). Плотность вероятности и функция распределения этого закона, соответственно, равны
f(t) = ge–gt, F(t) = 1 – e–gt,
где g — параметр масштаба, интенсивность случайной величины.
104
Функция риска при этом становится равной l(t) = g.
Начнем с ситуации, когда единственной наблюдаемой величиной является время дефолта. Это формирует основу для анализа более реальной ситуации, когда дополнительная информация,
образованная, например, экономическими процессами, становится доступной, вследствие чего функция риска будет стохастической.
Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, F, P) и случайное
время t, определенное на этом пространстве, т. е. F — измеримая
случайная величина, принимающая значения в интервале [0, ∞],
интерпретируется как время дефолта некоторой компании. Определим под произвольной ценной бумагой пару (Z, t), состоящую
из случайной переменной Z и времени остановки t, до которого
Z выплачивается. Можно показать, что процесс оплаты U любой
ценной бумаги (Z, t) выражается как Ut = 0 при t ≥ t и
τ
é
ù
ê
ú
Ut = EtQ ê exp(-ò ru du) Z ú , t < τ, (3.17)
ê
ú
t
ë
û
где EtQ — математическое ожидание при риск-нейтральной мере
Q, определяемой из Ft; ru — процесс изменения процентной ставки.
Включение меры Q означает существование ожидания в уравнении (3.17) для любой торгуемой ценной бумаги.
Обобщим выражение (3.17) на изменяемую процентную ставку с учетом дефолта. Рассмотрим ценную бумагу, по которой при
отсутствии дефолта платят Z в момент T. Введем функцию риска
l(t) и обозначим через Lt ожидаемую часть потерь в рыночной
стоимости, если дефолт произошел в момент времени t. При этих
условиях торгуемый инструмент может быть оценен путем замены процесса изменения процентной ставки r на процесс, регулируемый дефолтом, т. е. Y = r + gL. Тогда начальная рыночная стоимость подверженной риску ценной бумаги составляет величину
T
é
ù
ê
ú
U0 = E0Q ê exp(-ò Yt dt) Z ú ,
(3.18)
ê
ú
0
ë
û где E0Q  — математическое ожидание при риск-нейтральной мере
в момент 0.
Полученные выражения (3.17), (3.18) являются основными
при анализе МСФ.
105
Перейдем к анализу риска на основе МСФ. По существу, имеются два подхода для оценки рискованных ценных бумаг:
1) финансовая оценка или оценка с нейтральным риском (riskneural);
2) актуарная оценка.
В первом случае цены вычисляются как ожидаемые дисконтные значения. В кредитном риске такой подход используется для
оценки торгуемых ценных бумаг, например, корпоративных облигаций. При втором подходе стоимость определяется как сумма
ожидаемых платежей и премии за риск. Величина последней часто связывается с понятием экономического капитала. В кредитном риске актуарный метод применяется главным образом для
оценки неторгуемых кредитов или других продуктов, связанных
с неликвидными ценными бумагами.
Рассмотрим первый способ, начав с обсуждения соотношения
между физической мерой, которая моделирует действительную
вероятность дефолта, и эквивалентной мерой с нейтральным риском. Такой анализ проведем на примере, который иллюстрирует
предлагаемый подход и обеспечивает эвристический вывод основного результата. Как принято в работах, связанных с временной
структурой финансовых потоков, допустим, что ценные бумаги
оцениваются относительно их дисконтных ожидаемых потоков,
где ожидание основывается на вероятностях «нейтрального риска». Положим, что нас интересует оценка двухгодичной облигации с нулевым купоном, по которой выплачивается 100 долларов
при отсутствии дефолта. Ежегодная эволюция цены показана на
рис. 3.18.
Введем обозначения:
— ежегодная вероятность дефолта (с нейтральным риском),
или функция риска: l = 0,06;
— потери вследствие дефолта (loss given default, LGD) как
часть стоимости ценной бумаги к моменту дефолта: LGD = 60 %;
— величина возврата: 1 – LGD = 40 %.
R 1,1= 12 %
Допустим, что безрисковая годовая ставка составляет 8 % к моменту вычисления, которая может возрасти на 12 % с вероятноR0 = 8 %
стью р = 0,5 или уменьшиться на
R1,2 =10 % 10 % с вероятностью 1 – р = 0,5.
Если годовая ставка возрастет на
Рис. 3.18. Эволюция цены
12 %, то величина V1,1, состав106
ляющая стоимость двухлетней облигации к концу первого года,
определяется как вероятность выживания 1 – l = 94 %, умноженная на величину выплаты, равную 100 долларам, плюс вероятность дефолта l, умноженная на платежи вследствие дефолта,
равные (1 – LGD)·100 = 40 долларов. Полученное таким образом
значение надо дисконтировать на 12 %, что окончательно приводит к следующему выражению:
0,94 ×100 + 0,06(1 - 0,6) ×100
V1,1 =
= 86,07.
1,12
Это означает, что облигация дисконтируется при эффективной, регулируемой дефолтом (default-adjusted) ставке, равной в
этом узле дерева ставок следующей величине:
Y = (100/86,07) – 1 = 16,2 %.
Таким образом, Y является решением уравнения вида
1
1
=
[(1 - λ) + λ(1 - LGD)].
1+ Y 1+ R
(3.19)
Из выражения (3.19) получаем для Y такое соотношение:
Y=
R + λ × LGD
.
1 - λ + λ(1 - LGD) (3.20)
Уравнение (3.20) используется как определение процесса дефолта с регулируемым риском. На рис. 3.19 показан полный вывод стоимости двухлетней облигации с нулевым купоном.
Для временных периодов длиной Dt можно использовать
аналогичный прием, как и при выводе (3.20), в результате чего
имеем
r ∆t + λ∆t × LGD
Y ∆t =
,
1 - λ∆t + λ∆t(1 - LGD)
где r, Y, l приведены к одному году.
Разделив последнее выражение на Dt и взяв его предел при
стремлении Dt к нулю, получим процесс оценки в непрерывном
времени в виде
Y = r + λ × LGD, где l∙LGD — ожидаемые потери с нейтральным риском.
(3.21)
107
V1,1 =
0.94´100+0.06´40
= 86.07
1.12
Нет дефолта :
платежи=86,07
с вероятн. λ=0,94
Нет дефолта :
платежи=87,64
с вероятн. λ=0,94
0.5´82.97+0.5´84.48
1.08
= 77.52
вероятн. λ =0 ,96
R1,1 = 12%
Дефолт :
платежи=0,4´ 86,07
с вероятн. 1–λ=0,06
Дефолт:
E*(платеж)=0,94´ 86,07+
платежи =0,4 ´ 100 =40
+0,06 ´0,4 ´86,07=82,97
с вероятн. 1–λ =0,04
R 0 �= 8 %
V0 =
Нет дефолта:
платежи =100 с
=
Нет дефолта :
платежи =100 с
вероятн. λ =0 ,96
R1, 2 = 10%
Дефолт :
платежи=0,4´87,64
Дефолт:
с вероятн . 1–λ =0,06
платежи =0,4 ´ 100 =40
E*( платеж)=0,94 ´87,64+
с вероятн. 1–λ =0,04
0,06 ´0,4 ´87,64=84,48
V1,2 =
0.94´100+0.06´40
= 87.64
1.10
Рис. 3.19. Оценка стоимости двухлетней облигации с нулевым
купоном: Е*(платеж) определяет стоимость облигации перед
дефолтом
Стоимость обязательств эмитента, определяемая некоторой
случайной суммой Х в момент времени Т, имеет рыночную величину перед дефолтом и определяется как
T
é
ù
ê
ú
V (t,T) = E * ê exp(-ò Y (s)ds)CF ú , (3.22)
ê
ú
t
ë
û
где E* — оператор ожидания при нейтральном риске; Y — временная структура процентных ставок для ценной бумаги, подверженной дефолту.
108
Моделируя процентные ставки, можно ввести другие воздействующие факторы, например, ликвидность l, что дает
Y = r + l · LGD + l.
Реализация подхода на МСФ требует оценок l, LGD и l. При
этом возникают некоторые проблемы идентификации, так как
трудно разделить в последнем выражении функцию риска l от
потерь LGD. Обычно предполагается, что величина LGD задана и
постоянна.
Рассмотрим пример оценки временной структуры вероятностей дефолта, согласующейся с моделью сокращенной формы.
В табл. 3.15 представлены значения процентных ставок для казначейских и корпоративных облигаций, а также кредитный
спред на протяжении нескольких лет. Анализируемая ситуация
показана на рис. 3.20.
Таблица 3.15
Годовые процентные ставки (%)
Срок погашения,
год
Ставки
казначейских
ценных бумаг
Ставки
корпоративных
ценных бумаг
Годовой кредитный спрэд
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
7-й
5,52
6,30
6,40
6,56
6,56
6,81
6,81
5,76
6,74
7,05
7,64
7,71
8,21
8,47
0,24
0,44
0,65
1,08
1,15
1,40
1,65
Корпоративные
r, y
y(t)
Спред =λLGD
y
Казначейские
r(t)
r
Время
Рис. 3.20. Временная структура процентных ставок
109
Примем, что потери вследствие дефолта составляют величину
LGD = 50 %. На основании этого можно найти временную структуру вероятностей дефолта. Например, из данных табл. 3.15 следует, что на четвертом году форвардный кредитный спрэд, равный разности второго и третьего столбцов этой таблицы, равен
1,08 %. В соответствии с формулой (3.21) и схемой на рис. 3.20,
кредитный спрэд становится равным
∆4 = λ4 × LGD,
откуда следует, что l4 = D4 /LGD = 1,08 / 0,5 = 2,16 %.
Рассчитанные таким образом значения lt, t = 1,7 , которые,
по существу, отображают временную структуру вероятностей дефолта, показаны во втором столбце табл. 3.16. Переход к накопленным вероятностям дефолта осуществляется путем следующего преобразования:
Pt = Pt-1 + (1 - Pt-1 )λt ,
где Pt — накопленная вероятность дефолта для периода t.
Для первого периода P1 = l1 = 0,48 %. Для второго периода имеем:
Р2 = 0,0048 + (1 – 0,0048)∙0,0088 = 0,0136 = 1,36 % и т. д. Рассчитанные значения Pt приведены в третьем столбце табл. 3.16.
Кроме того, можно вычислить условную вероятность дефолта
pt в период t, которая определяется вероятностью дефолта в этом
периоде при условии, что в предыдущий период дефолт отсутствовал, т. е.
pt = (1 - Pt-1 )λt .
Таблица 3.16
Временная структура вероятностей дефолта (%)
Срок погашения,
год
Изменение вероятностей дефолта
lt
1-й
2-й
110
Накопленная вероятность дефолта
Pt
Условная вероятность дефолта pt
0,48
0,48
0,48
0,88
1,36
0,88
3-й
1,30
2,64
1,28
4-й
2,16
4,74
2,10
5-й
2,30
6,93
2,19
6-й
2,80
9,54
2,61
7-й
3,30
12,52
2,99
Например, условная вероятность дефолта при t = 5 становится
равной р5 = (1 – Р4) l5 = (1 – 0,0474)∙0,023 = 0,0219 = 2,19 %. Временной ряд изменения условной вероятности дефолта показан в последнем столбце табл. 3.16.
3.6.2. Методология CreditRisk+
Методология CreditRisk+, разработанная в 1997 г. швейцарской фирмой Credit Suisse Group [27], основана на портфельном
подходе к моделированию дефолта кредитного риска, который
принимает во внимание информацию, связывающую размер и
срок платежа с кредитным качеством и риском заемщика. По
используемой методологии эта модель основана на актуарном
принципе к оценке кредитного риска. Это означает, что вероятности дефолтов, применяемые в модели, основаны на исторических
статистических данных по дефолтам.
Модель CreditRisk+ является статистической моделью кредитного риска, которая не делает никаких допущений о причинах дефолта. Такой подход подобен используемому при управлении рыночным риском методу, где нет попыток моделирования
причин, вызывающих изменения рыночных цен. Часто основополагающие факторы, например, состояние экономики, могут
приводить к ситуации коррелированности дефолтов, хотя очевидной связи между этими факторами не наблюдается. Влияние
таких факторов учтено в модели CreditRisk+, скорее, через использование волатильности дефолтов и секторного анализа, чем
путем применения корреляции дефолтов как входов в модель.
Математические методы, широко используемые в страховой
деятельности, применяются для моделирования случайных событий дефолта заемщика. Такой подход контрастирует с математическими методами, принятыми в теории финансов. В моделировании финансов чаще, чем со случайными событиями, имеют
дело с моделированием непрерывных изменений цен. Применяя
методы актуарного моделирования, модель CreditRisk+ охватывает существенные характеристики событий кредитного дефолта
и дает возможность вычислить полное распределение потерь для
портфеля кредитов.
В рассматриваемой методологии допускается, что распределение вероятности для количества дефолтов за любой период времени подчиняется закону Пуассона. При этом допущении
CreditRisk+ генерирует распределение потерь для портфеля об111
лигаций или кредитов, основываясь на индивидуальных характеристиках дефолта каждого вида ценных бумаг.
Модель CreditRisk+ предназначена только для оценки риска
дефолта; она не рассматривает потери от наступления других
кредитных событий. Кредитный дефолт рассматривается как последовательность таких событий, которые не дают возможности
предсказать точное время появления любого одного дефолта или
общее число дефолтов за определенный промежуток времени.
В отличие от подхода, используемого в KMV-модели, здесь не делается попыток связать риск дефолта со структурой капитала
фирмы.
Процесс наступления дефолта может быть представлен двумя
различными путями:
1) непрерывное изменение: при таком подходе возможность наступления дефолта на данном временном горизонте описывается
распределением, которое может быть определено через дефолт и
его волатильность. Рис. 3.21 иллюстрирует характер наступления дефолта во времени и распределение, которое он может иметь
на выбранном временном горизонте;
2) дискретное изменение: упрощение непрерывного процесса
производится путем трактовки дефолта как дискретной переменной. Традиционный путь такого преобразования заключается в
присваивании кредитного рейтинга заемщикам и отображении
дефолта в кредитные рейтинги. При использовании такого приема требуется дополнительная информация для моделирования
Изменение
дефолта
Возможный путь
наступления дефолта
Распределение
дефолта
Временной горизонт
Рис. 3.21. Изменение дефолта как непрерывной случайной величины
112
Изменение
дефолта
Дефолт
Возможный путь
изменения
дефолта
B
BB
BBB
A
AA
AAA
Временной горизонт
Рис. 3.22. Изменение дефолта как дискретная случайная величина
возможных будущих дефолтов. Это может быть достигнуто через
матрицу перехода рейтингов, которая определяет вероятность
сохранения того же самого кредитного рейтинга и, следовательно, того же значения дефолта. Кроме того, эта матрица указывает вероятности перехода к различным кредитным рейтингам и,
тем самым, к разным оценкам дефолта. Данное положение иллюстрируется рис. 3.22.
Дискретный подход с миграцией рейтингов и непрерывное
представление с волатильностью дефолтов являются различными описаниями поведения при оценке дефолта. Оба приема достигают желаемого окончательного результата в части вывода закона распределения дефолтов.
В методологии CreditRisk+ не делается никаких предположений о причинах дефолта: заемщик А может быть в состоянии дефолта с вероятностью рА или не в состоянии дефолта с вероятностью 1 – рА.
При выводе закона распределения числа дефолтов сделаны
следующие допущения:
— вероятность дефолта кредитов за данный период, например,
один месяц, является такой же, как и в любой другой месяц;
— вероятность дефолта любого из большого числа заемщиков
является малой, а количество дефолтов, которые происходят в
любой данный период, не зависит от их количества в любой другой период.
113
При этих допущениях с помощью аппарата производящих
функций (ПФ) можно получить закон распределения для числа
дефолтов в течение данного периода времени. Напомним, что ПФ
целочисленной случайной величины Х называется такая функция действительной переменной t, которая представляет собой
математическое ожидание случайной величины tX [20]:
ϕx (t) = E(t X ) =
¥
å t X p(x),
t £ 1. (3.23)
x=0
ПФ ϕx (t) Х однозначно определяет распределение вероятностей случайной величины Х:
p(0) = ϕx (0),
p(x) =
d x ϕx (t)
dt x
= ϕ(xx) (0) (x = 1, 2, ...). (3.24)
t=0
С помощью ПФ было выведено распределение вероятностей
для числа дефолтов в течение данного периода времени (одного
года), которое определяется законом Пуассона:
Pr(n defaults) =
e-µ µn
для n = 0, 1, 2, ..., n!
(3.25)
где m — математическое ожидание распределения.
Распределение Пуассона полностью описывается одним параметром — ожидаемым числом дефолтов m — и не зависит от количества составляющих портфеля или индивидуальных вероятностей дефолтов. Дисперсия этого распределения также равна m.
Из закона Пуассона можно просто оценить вероятность дефолтов
или их отсутствие следующим образом. Допустим, что m = 4; тогда
вероятность отсутствия дефолтов в следующем году определяется по формуле (3.25) как
Pr(0 defaults) =
40 e-4
= 0,018 = 1,8 %.
0!
Вероятность точно трех дефолтов становится равной
Pr(3 defaults) =
43 e-4
= 0,192 = 19,2 %.
3!
Отметим, что при первоначальных допущениях было получено распределение числа дефолтов в портфеле кредитов. Одна114
ко наша основная цель заключается в оценке вероятности, обусловленной данным уровнем потерь в портфеле, а не данным
числом дефолтов. Эти распределения различны, так как одинаковый уровень потерь дефолта может возникать или от единственного большого дефолта, или от нескольких малых дефолтов в одном и том же году. В отличие от вариации вероятностей
дефолта между займами, которая не влияет на распределение
общего числа дефолтов, различные суммы займов приводят к
распределению потерь, в общем случае не подчиняющемуся закону Пуассона.
Моделирование кредитного риска представляет собой процедуру, состоящую из трех блоков, как показано на рис. 3.23.
Вычисляя распределение дефолта, риск-менеджер в состоянии
оценить изменение кредитного качества портфеля. Распределение потерь позволяет оценить финансовое воздействие вариации
кредитного качества портфеля.
Блок 1. Сначала рассмотрим распределение числа дефолтных
событий за определенный период (один год) в портфеле заемщиков. Годовая вероятность дефолта каждого заемщика может быть
определена через его кредитный рейтинг и отображение между
изменением дефолта и кредитным рейтингом. Если в модель не
включается волатильность изменения дефолта, то распределение
числа дефолтов, как было выше установлено, аппроксимируется
законом Пуассона. Этот закон справедлив независимо от изменения дефолтов отдельных заемщиков.
Однако изменения дефолтов не являются постоянными во времени и демонстрируют высокую степень вариации. Следовательно, волатильность изменения дефолта необходимо включать в моБлок 1
Блок 2
Какова
частота
дефолта?
Какова
частота
потерь?
Распределение
потерь
дефолта
Блок 3
Рис. 3.23. Моделирование кредитного риска в методологии CreditRisk+
115
Вероятность
Волатильность включена
Волатильность не включена
Число дефолтов
Рис. 3.24. Распределение числа дефолтов
дель. Эффект применения волатильности показан на рис. 3.24,
который иллюстрирует распределение числа дефолтов, генерируемых моделью CreditRisk+ при изменении дисперсии дефолтов.
Хотя ожидаемое число дефолтов является примерно одинаковым
(как при включении волатильности, так и без нее), распределение
становится скошенным вправо при увеличении дисперсии изменения дефолта.
Блок 2. В случае дефолта заемщика фирма (противная сторона) обычно берет на себя потери, равные сумме долга заемщика.
В модели CreditRisk+ подверженность риску каждого заемщика
регулируется ожидаемой суммой возмещения для того, чтобы вычислить потери вследствие дефолта. Эти регулируемые величины
являются экзогенными для модели.
Блок 3. После определения числа дефолтов рассмотрим распределение потерь в портфеле. Последняя характеристика отличается от распределения дефолтов, так как сумма потерь при конкретном дефолте зависит от отдельных заемщиков. Кроме того,
информация о распределении отдельных заемщиков существенна
для полного распределения. Для вывода распределения потерь в
случае хорошо диверсифицированного портфеля необходимо потери разделить на полосы (диапазоны). Уровень потерь в каждой
полосе аппроксимируется единственным числом, равным среднему значению. Такой прием позволяет значительно снизить количество данных, которые должны быть включены при вычислении. По существу, введение полос эквивалентно аппроксимации
при вычислении. Оценка такого эффекта на среднее значение и
СКО портфеля иллюстрируется следующим примером.
116
Пример. Положим, что банк имеет портфель кредитов от 500
заемщиков со значениями долгов от 50 тыс. долларов до 1 млн
долларов. Введем такие обозначения: заемщик — А; величина
займа (эквивалентно потерям вследствие дефолта) — LGDА; вероятность дефолта — рА; ожидаемые потери (expected loss) —
ЕL А = LGDА ∙ рА.
В табл. 3.17 представлены экспозиции для первых шести заемщиков. В качестве единицы экспозиции принята величина в единицах L, равная 100 тыс. долларов; каждая полоса j, j = 1, ..., m
при m = 10 имеет ширину Lj = 100 000j.
Таблица 3.17
Экспозиция для заемщиков
Заемщик
Экспозиция, $
(LGDА)
Заем,
(в 100000$)
Округленный
заем
(в 100000$) Lj
Полоса,
j
1
2
3
4
5
6
150 000
460 000
435 000
370 000
190 000
480 000
1,5
4,6
4,35
3,7
1,9
4,8
2
5
4
4
2
5
2
5
4
4
2
5
Отметим, что округление (в столбце «Округленный заем») заменяет каждую величину займа ближайшим целым числом в
единицах L. Если для L выбрано подходящее значение, тогда после выполненного округления для большого портфеля появляется относительно малое число возможных значений займов, разделенных несколькими заемщиками.
В модели CreditRisk+ каждая полоса рассматривается как независимый портфель кредитов, для которого введем следующие
обозначения: общая величина кредитов в полосе j в единицах
L – Lj; ожидаемые потери в полосе j в единицах L – ЕLj; ожидаемое число дефолтов в полосе j – mj.
При этих обозначениях можно записать: ЕLj = Ljmj, откуда
mj = ЕLj/Lj. Обозначим через ЕА ожидаемые потери для заемщика
А в единицах L, т. е. ЕА = ЕL А/L.
Тогда ожидаемые потери за период, равный одному году, в полосе j, т. е. ЕLj, выраженные в единицах L, равны сумме ожидаемых потерь ЕА всех заемщиков, которые принадлежат полосе j:
ELj = å EA ,
A
A : LA = Lj .
117
С учетом последнего выражения можно записать
ELj
E
E
µj =
= å A = å A , A : LA = Lj .
Lj
Lj
LA
A
A
В табл. 3.18 показан выполненный по последним формулам
расчет.
Таблица 3.18
Ожидаемое число дефолтов в каждой полосе
Полоса, j
Число заемщиков
ЕLj
mj
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30
40
50
70
100
60
50
40
40
20
1,5
8
6
25,2
35
14,4
38,5
19,2
25,2
4
1,5
4
2
6,3
7
2,4
5,5
2,4
2,8
0,4
Теперь перейдем к выводу распределения потерь дефолта. Интуитивно ясно, что анализ потерь дефолта включает в себя параметрическую неопределенность, возникающую из-за трудностей
получения оценок параметров, которые используются в модели.
Лучшим приемом для описания такой неопределенности является применение ПФ.
Для вывода распределения потерь необходимо выполнить следующие три шага.
Шаг 1. Производящая функция для каждой полосы.
Каждая полоса рассматривается как отдельный портфель кредитов. ПФ для любой полосы j по приведенному выше определению (3.23) равна
ϕ j (z) =
¥
¥
n=0
n=0
å Pr(ïîòåðè = nL)zn = å Pr(n
nLj
äåôîëòîâ)z
,
где потери выражены в единицах L.
Для вывода распределения потерь для всего портфеля выполним следующее. Выше было допущено, что число дефолтов подчиняется закону Пуассона (3.19), вследствие чего можно записать
118
ϕ j (z) =
¥
å
-µ j n
µ j nLj
e
z
-µ j +µ j z
=e
Lj
.
(3.26)
Шаг 2. Производящая функция для целого портфеля.
Поскольку было принято, что каждая полоса представляет собой
портфель кредитов, независимый от других полос, то ПФ для всего
портфеля определяется произведением ПФ для каждой полосы:
m
-µ j +µ j z
ϕ(z) = Õ e
n!
n=0
j=1
Lj
m
m
j=1
j=1
L
= exp(-å µ j + å µ j z j ), (3.27)
m
где µ = å µ j  — ожидаемое число дефолтов для всего портфеля.
j=1
Шаг 3. Распределение потерь портфеля.
Выражением (3.24) устанавливается однозначная связь между
ПФ и распределением вероятности, поэтому в рассматриваемом
случае получаем
Pr(ïîòåðü nL) =
1 dn ϕ(z)
n ! dzn
äëÿ n = 1, 2,... .
z=0
Эти вероятности выражаются в явной форме и зависят только
от двух параметров: ЕLj (ожидаемых потерь в полосе j) и Lj (принятых единиц измерения).
В итоге рассмотрения модели CreditRisk+ укажем ее положительные и отрицательные стороны.
К преимуществам модели относится ее сравнительная простота реализации. Во-первых, явная форма выражений может быть
получена для вероятностей потерь кредитов или облигаций, и это
делает CreditRisk+ очень привлекательной с вычислительной точки зрения. Во-вторых, в модели основной акцент сделан на дефолте, поэтому она требует малого количества оценок, используемых
в качестве входов.
Ее принципиальное ограничение такое же, как в моделях
CreditMetrics и KMV: принятая методология предполагает, что
кредитный риск не имеет никакой связи с рыночным риском.
Кроме того, CreditRisk+ игнорирует такой фактор, который может быть назван как «миграция риска»: величина кредита для
каждого заемщика является фиксированной и не чувствительной
к возможным будущим изменениям кредитного качества эмитента или к вариабельности будущих процентных ставок.
119
Глава 4. Операционный риск
4.1. Классификация операционных рисков
Операционный риск (ОР) является второй важной темой (первая — кредитный риск) соглашения Базель–2, в результате которого ОР рассматривается как новый класс риска. Обычно в сфере
торговых или финансовых действий под ОР подразумевается диапазон возможных неудач в хозяйственной деятельности компании, которые непосредственно не связаны с рыночным или кредитным рисками. ОР характеризуется в какой-то степени нечеткостью, расплывчатостью, так как достаточно трудно различить
ОР и прочие неопределенности, которые возникают в ежедневной
деятельности любой компании.
Другой важной проблемой является квантификация ОР. Например, как оценить ожидаемые потери при поломке компьютера? Скорее всего, эти потери определяются произведением вероятности такого события на стоимость ремонта отказавшего элемента компьютера. Оба указанных сомножителя трудно выразить в
числовой форме и получить оценку ОР. Однако такая ситуация
при оценивании ОР не означает того, что этим видом риска можно
пренебречь. Наоборот, менеджмент фирмы должен обратить внимание на определение ОР и его потенциальные источники в хозяйственной деятельности компании.
Для минимизации степени нечеткости, связанной с определением ОР и включением в него различных составляющих, менеджмент фирмы должен, в первую очередь, провести классификацию типов ОР.
Вначале приведем еще раз определение ОР. В соответствии с
соглашением Базель–2, операционный риск — риск прямых или
непрямых потерь, возникающих из-за неадекватных внутренних
процессов, персонала и систем или внешних событий. Примерами потерь, попадающих в эту категорию, могут быть ложные ситуации (как внутренние, так и внешние), отказы вычислительной
техники, судебные процессы, внешние события (пожар, землетрясение, террористический акт). Потери вследствие неудачных
управленческих решений, например, ненужные слияния и поглощения, не включаются в категорию ОР.
Операционный риск ассоциируется с деятельностью бизнеса и
перекрывает такую широкую область, что полезно разделить ОР
на два компонента:
120
1) операционный риск неблагоприятного исхода;
2) операционный стратегический риск.
Операционный риск неблагоприятного исхода возникает из-за
потенциальных неудач при различных бизнес-операциях. Компания использует людей, процессы и технологии для достижения
бизнес-планов, и каждый из этих факторов может привести к неблагоприятному исходу. Следовательно, такой вид риска определяется как риск, связанный с неудачами людей, процессов или
технологий в пределах каждой бизнес-единицы. Часть неблагоприятных исходов можно отнести к разряду ожидаемых, и эти риски должны быть встроены в бизнес-план. Другая часть неблагоприятных исходов является непредвиденной, неопределенной,
которая дает значительный рост в основные операционные риски. Такие исходы могут появляться периодически, но их воздействие и частота чаще всего неопределенны.
Операционный стратегический риск возникает вследствие
внешних факторов, например, появление нового конкурента, изменение политической ситуации в стране, введение нового регуляторного режима, катастрофы и т. п., которыми фирма не может управлять. Этот вид риска является также следствием новых
стратегических инициатив компании: разработка новой линии
бизнеса или реинжиниринг существующего направления бизнеса. Часто рассматриваемый тип риска относят к классу внешнего
риска.
На рис. 4.1 показано соотношение между операционными риском неблагоприятного исхода и стратегическим риском. Эти две
Операционный риск
Операционный риск
неблагоприятного
исхода возникает вслед
ствие ошибочных стра
тегий среди персонала,
процессов и технологий
(внутренний ОР)
Операционный страте
гический риск является
следствием выбора не
подходящей стратегии
как отклика на внеш
ние факторы (внешний
ОР)
Рис. 4.1. Категории операционного риска
121
различные категории иногда определяются как внутренние и
внешние операционные риски.
Приведем типичные виды операционных рисков (табл. 4.1). Из
данных табл. 4.1 видно, что некоторые виды рисков трудны для
квантификации (например, некомпетентность человеческого риска), а другие — легче (например, ошибка исполнения).
Таблица 4.1
Типичные виды операционных рисков
Вид риска
Человеческий риск
Процессный риск:
модельный риск
риск операции
управление операционным
риском
Технологический риск
Характер проявления
Некомпетентность, обман
Ошибка модели (методологии),
неверный выбор модели;
ошибка исполнения,
сложность продукции,
ошибочная запись,
ошибка в расчетах,
риск контракта;
превышение пределов,
риск безопасности
Разрушение систем,
ошибка программирования,
информационный риск,
разрушение телекоммуникаций
4.2. Методы оценивания операционного риска
Для оценивания ОР можно воспользоваться различными методами, рекомендуемыми соглашением Базель–2. В последнем
предусматриваются три метода расчета отчислений под ОР. Первые два устанавливают величину отчислений в регуляторный капитал как фиксированную долю валового дохода, исходя из предположения, что доходная деятельность банка так или иначе связана с операционными рисками. В этих методах, по-видимому,
реализуется эмпирический опыт коммерческих банков, накопленный в мире на протяжении многих лет. Третий подход опирается на вводные данные, разрабатываемые самим банком для
своего ландшафта операционных рисков.
К этим методам относятся:
— базовый индикаторный (basic-indicator, BI);
— стандартизированный (standardized, S);
122
— метод расширенных измерений (advanced measurement
approach, AMA).
Рассмотрим каждый из указанных методов.
При базовом индикаторном методе в регуляторный капитал
под операционный риск резервируется 15 % среднегодового валового дохода банка за предыдущие три года. При использовании
этого метода банки должны удерживать капитал под ОР, равный среднему значению за три предыдущих года фиксированного процента от положительного годового валового дохода (Gross
Income, GI); фиксированный процент обозначим как a. Суммируемые значения за любой год, в котором годовой валовой доход
отрицательный или нулевой, должны быть исключены при вычислении среднего. Следовательно, при таком подходе рисковый
капитал (Risk Capital) для ОР в году с индексом t определяется по
формуле
1 3
t
EBI
=
(4.1)
å α max(GIt-i ,0),
Zt i=1
где Zt — количество предыдущих трех лет, в которые валовый
годовой доход положителен; GIt–i — валовый годовой доход в год
t – i.
Изменение рискового капитала производится ежегодно. Базельский комитет предложил устанавливать величину a = 15 %.
Стандартизированный метод использует более дифференцированные ставки процента отчислений. Это очень важный методологический элемент новой Базельской системы: определяются восемь типовых бизнес-линий, характерных для большинства
банков, в частности, корпоративные финансы, торговля и продажи, розничное банковское дело, коммерческое банковское дело,
платежи и расчеты, агентские услуги, управление активами и
брокерские услуги. По каждой из этих линий устанавливаются
различные процентные (от 12 до 18 %) показатели отчислений в
регуляторный капитал с валового дохода, производимого по данной линии бизнеса. Сумма этих отчислений даст общую величину отчислений под ОР.
Внутри каждой линии бизнеса валовой доход представляет собой достаточно широкий индикатор, который служит агентом
масштаба деловых операций и, следовательно, масштаба ОР внутри каждой линии бизнеса. Начисления капитала под каждую
линию бизнеса вычисляются путем умножения валового дохода
на коэффициент b, определенный для конкретной линии бизне123
са. Значения этого коэффициента по каждой бизнес-линии приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Коэффициент b для линий бизнеса
Линия бизнеса
Коэффициент b, %
Корпоративные финансы
18
Торговля и продажи
18
Розничное банковское дело
12
Коммерческое банковское дело
15
Платежи и расчеты
18
Агентские услуги
15
Управление активами
12
Брокерские услуги
12
Как и в первом методе, общее изменение капитала вычисляется как трехлетнее среднее положительных значений валового годового дохода по каждой линии бизнеса, что приводит к следующей расчетной формуле:
æ 8
ö÷
ç
1 3
RCtS = å maxçç å β j × GItj-i ,0÷÷÷.
(4.2)
çç
÷÷ø
3 i=1
è j=1
Отметим, что в любом данном году t – i отрицательные капитальные начисления (являющиеся результатом отрицательного
валового дохода) по каждой линии бизнеса j могут компенсироваться положительными начислениями капитала в других линиях бизнеса. Такая взаимная компенсация должна бы заставить
банки перейти от метода BI к стандартизованному методу, но термин «компенсация» здесь следует употреблять с осторожностью.
Метод расширенных измерений на основе количественных
и качественных критериев внутрибанковских систем позволяет
банкам оценивать свой ОР, используя результаты измерений на
основе периода не менее последних пяти лет. Общая сумма резервируемого капитала отчисляется под расчетные ожидаемые и непредвиденные убытки.
При использовании этого метода регуляторный капитал
определяется собственными банковскими системами измерения риска в соответствии с количественными и качественны124
ми критериями, установленными в документах Базельского
соглашения. Рассмотрим методологические аспекты этого метода, который представляет собой количественный подход к
измерению ОР. Однако нужно заметить, что адаптация применения метода АМА к ОР является предметом продолжительных качественных проверок национальными регламентирующими органами.
В то время как в двух первых методах используются вполне
понятные выражения (4.1) и (4.2), подход АМА описывается общими правилами. Как указано в Базельском соглашении, «при
продолжающейся эволюции аналитических подходов к оценке
операционного риска Комитет не определяет конкретных приемов или допущений, используемых для формирования меры этого вида риска. Однако банк должен быть в состоянии продемонстрировать, что его подход охватывает и возможные “хвосты”
распределений потерь».
При подходе АМА операционные потери должны быть разделены на восемь линий бизнеса, как и в стандартизованном методе.
Но здесь также имеется семь типов событий, приводящих к потерям (loss-event types): внутренний обман, внешний обман, безопасность рабочего места, клиенты и продукция, ущерб физических активов, сокращение бизнеса, управление процессами. Банки надеются собрать внутренние данные по повторным высокочастотным потерям (за период от трех до пяти лет) и доступные
внешние сведения по неповторяющимся низкочастотным потерям. Кроме того, банки должны добавить стрессовые сценарии
как по уровню потерь, так и по корреляции между типами потерь. В отсутствии детальных совместных моделей для различных типов потерь должны быть найдены меры риска для агрегированных потерь суммированием по различным категориям потерь. В итоге должны быть приняты во внимание ожидаемые и
непредвиденные потери.
Рассмотрим схему типичного решения посредством АМА для
вычисления изменения ОР для года с индексом t. Допустим, что
исторические данные потерь по предыдущим годам собраны в такую структуру:
{ Xkt-i,b,l : i = 1,T; b = 1,8; l=1,7; k = 1, N t-i,b,l }, (4.3)
где Xkt-i,b,l определяет k-е потери типа l для бизнес-линии b в году
t – i; Nt–i, b, l — число таких потерь; Т ≥ 5 лет.
125
Необходимо отметить, что для каждой категории (i, b, l) могут
быть введены пороги. В этой ситуации потерями, меньшими порога, можно пренебречь.
Общая историческая сумма потерь для линии бизнеса b в году
t – i определяется как
7 N t - i , b, l
Lt-i,b = å
å
l=1 k=1
Xkt-i,b,l , (4.4)
а общие потери в году t – i составят
8
Lt-i = å Lt-i,b . (4.5)
b=1
Основная проблема подхода АМА заключается в использовании данных о потерях для оценки распределения Lt для года t и
вычислении мер риска, подобных VaR, для найденного закона Lt.
Обозначив через ra меру риска на доверительном уровне a, регуляторный капитал можно оценить следующим образом:
RCtAMA = ρα (Lt ), (4.6)
где a обычно выбирается из диапазона 0,99 – 0,999.
Вследствие того, что совместное распределение потерь в (4.4) и
(4.5) для любого данного года обычно неизвестно, можно использовать простое агрегирование мер риска, приводящее к такому
результату:
8
RCtAMA = å ρα (Lt,b ). (4.7)
b=1
4.3. Формирование данных по операционным потерям
Для использования выражений (4.6), (4.7) при оценивании ОР
необходимо иметь достаточное количество данных. Ситуация для
ОР намного хуже, чем для кредитного и рыночного рисков, для
которых имеются обширные и доступные базы данных. Банки
сравнительно недавно (после принятия Базельского соглашения
в 2004 г.) начали собирать информацию по ОР, поэтому к настоящему времени еще нет надежных и доступных сведений по этому
виду риска. Как отмечается в Соглашении, сбор данных даже за
один год еще не создает завершенной картины полного диапазона
126
потенциальных событий ОР, особенно редких, но значительных
всплесков в «хвостах» распределений.
Обычно потери ОР группируются в ряд категорий (как указано в табл. 4.1). Иногда рекомендуется дальнейшее агрегирование
типов ОР до трех уровней: номинальный, ординарный, исключительный. В пределах каждой категории потери являются хорошо
определенными.
При сборе данных, кроме анализа текущих потерь, необходимо приложить усилия для построения базы данных с ретроспективой порядка 10 лет. Однако при этом возможна ошибка
отбора данных. Последняя может быть минимизирована путем
анализа смешанных данных по ряду банков для получения
основных характеристик распределения потерь. Такой подход
часто используется в управлении кредитным риском. Тем не
менее необходимо быть очень внимательным при формировании смешанного пула данных с точки зрения как регулятора,
так и управления риском. Указанный прием полезен для очень
редких больших потерь (исключительные потери), но в то же
время такие потери являются специфическими для данного
учреждения, поэтому смешение данных оказывается не всегда
оправданным.
В качестве примера на рис. 4.2 показаны потери при ОР для
трех различных линий бизнеса в период 1992—2002 гг. (рис. 4.2,
а—в); на рис. 4.2, г показаны смешанные потери по всем линиям
бизнеса. На вертикальных осях графиков указаны операционные
потери в некоторых единицах. Исходные данные были трансформированы таким образом, чтобы не раскрыть анонимности источника, тем не менее основные характеристики сохранены. Такое
преобразование не дает возможности обсудить практические выводы на бо′льший временной интервал.
Анализ приведенных зависимостей позволяет сделать следующие выводы:
1) потери подчиняются распределению с затянутыми «хвостами»;
2) потери происходят случайным образом во времени;
3) частота потерь может значительно изменяться во времени.
Последний вывод частично объясняется тем обстоятельством,
что банки только недавно приступили к сбору данных по ОР, как
это рекомендовано Базель–2. Вследствие этого наблюдаются несколько меньшие потери в первой половине 90-х годов, чем во
второй. Кроме того, некоторые виды потерь могут иметь цикли127
а)
б)
20
20
10
10
0
0
1992
1996
в)
2000
19
992
1996
2000
г)
20
20
10
0
0
1992
1996
2000
1992
1996
2000
Рис. 4.2. Потери операционного риска для трех линий бизнеса и
смешанного случая: а — n = 162 фирмы; б — n = 80 фирм;
в — n = 175 фирм; г — n = 417 фирм
ческие компоненты, к тому же зависимые от изменения экономических условий.
Для исследования вида методологических проблем при вычислении капитала, необходимого для резервирования ОР, введем
функции распределения для величин Lt–i и Lt–i,b. Одной из важных мер изменения капитала, введенных в Базель–2, является
величина VaR на уровне значимости g (обычно 0,001 ≤ g ≤ 0,0025)
для операционных потерь следующего года LT+1. Следовательно,
имеем
-1
OR - VaR1T-+γ1 = êëé F1,T +1 (1 - γ)ûúù , (4.8)
где в правой части равенства указана величина, обратная значению функции распределения, что, по существу, определяет квантиль.
128
f
L
(x)
T +1
100%
T+1
OR � VaR1�–y
x
Рис. 4.3. Вычисление VaR для операционного риска
На рис. 4.3 показано вычисление VaR для операционного риска.
Ясно, что большие потери, хотя и являются редкими, представляют наибольшую важность, и, следовательно, теория экстремальных значений (ТЭЗ) играет главную роль в анализе таких
данных. В последние годы ТЭЗ рассматривается как полезный набор статистических средств для моделирования редких событий
и их воздействия на проявление риска. Следует отдавать отчет в
том, что ТЭЗ не служит магическим средством, способным формировать оценки риска из воздуха, но эта теория пытается сделать
максимум возможного из существующих данных по экстремальным явлениям. Кроме того, ТЭЗ четко указывает условия, при которых оценки экстремальных событий могут быть построены. С
другой стороны, ТЭЗ очень полезна при анализе экстремальных
событий, например, катастроф, штормов, наводнений.
4.4. Основы теории экстремальных значений при оценке риска
Теория экстремальных значений (ТЭЗ) была разработана в
1920-х годах, однако долгое время исследователи относились к
ней с подозрением из-за ее способности предсказывать даже беспрецедентные события. В 1928 г. выдающийся математик Кембриджского университета Р. Фишер вместе с коллегой Л. Типпет
издали работу, показывающую, что экстремальные события подчиняются распределениям, отличным от нормального закона.
В 1958 г. Э. Гумбель из Колумбийского университета опубликовал первый учебник по ТЭЗ. Сегодня уверенность в возможностях
этой теории растет, ТЭЗ используют в столь отдаленных друг от
друга областях, как планирование ситуаций, связанных с финансовым риском и безопасностью в море.
Неудивительно, что страховые компании одними из первых
воспользовались возможностями ТЭЗ. Долгое время статисти129
ки из страховых обществ оценивали возможность риска в случае
различных бедствий как правило «20—80». В соответствии с этим
правилом утверждается, что 20 % всех опасных явлений приводят к 80 % всех выплат. Однако в середине 1990-х годов математики из Швейцарского федерального технологического института пришли к выводу, что правило «20—80» может привести к серьезным ошибкам. Например, при помощи ТЭЗ анализировались
данные о страховых требованиях в прошлом и обнаружили, что
правило «0,1—95» применимо в случае возмещения ущерба, причиненного ураганами. Другими словами, по-настоящему представляет угрозу 1 из 1000 штормов, но он потребует 95 % всех выплат за один раз. Такие открытия помогают страховым компаниям оптимизировать покрытие всех рисков.
Существует два основных типа моделей для экстремальных
значений. Традиционными являются модели блоков максимума
(block maxima): они используются для наибольших наблюдений,
собранных из больших выборок идентично распределенных наблюдений.
Более современная и мощная группа моделей представляет
собой пороговые превышения (threshold exceedances). Эти модели описывают все бо′льшие наблюдения, которые превышают некоторый высокий уровень, и считаются самыми полезными для
практических приложений вследствие их лучшей эффективности при обработке ограниченных данных по экстремальным выбросам.
Далее будем рассматривать только вторую группу моделей, поскольку первый метод очень чувствителен к данным. Кроме того, при втором подходе можно использовать все данные, которые
являются экстремальными в смысле превышения определенного
высокого уровня.
Основной моделью распределения для превышения над порогами является обобщенное распределение Парето (ОРП) с функцией распределения (ФР) вида
ìï1 - (1 + ξx / β)-1/ξ , ξ ¹ 0
Gξ,β (x) = ïí
,
ïï1 - exp( - x/β), ξ = 0
î
(4.9)
где b > 0 и x > 0 при ξ ≥ 0; 0 ≤ x ≤–b / ξ при ξ < 0.
Параметры ξ и b являются, соответственно, параметрами формы и положения. Приведенное распределение представляет обобщение в том смысле, что оно содержит ряд специальных случаев:
130
— при ξ > 0 выражение (4.9) преобразуется в обычное распределение Парето с a = 1 / ξ и k = b / ξ с ФР:
æ k ö÷α
F (x) = 1 - çç
, α, k > 0, x ³ 0;
çè k + x ø÷÷
— при ξ = 0 имеем экспоненциальное распределение с ФР:
F (x) = 1 - e-βx .
На рис. 4.4 приведены графики плотностей вероятности и
функций распределения для законов Парето и экспоненциального.
Математическое ожидание ОРП при ξ < 1 определяется как
E(X) = β / (1 - ξ). (4.10)
Роль ОРП в теории экстремальных значений заключается в
том, что этот закон выступает в качестве естественной модели
для распределения превышений над выделенным порогом. Кроме
того, он важен при вычислении функции среднего превышения
(mean excess function). Приведем определения последних двух понятий.
Распределение превышений над порогом u имеет ФР вида
F (x + u) - F (x)
(4.11)
,
Fu (x) = P(X - u £ x X > u) =
1 - F (u)
для 0 ≤ x < xF – u, где xF ≤ ∞ является правой конечной точкой F.
Функция среднего превышения случайной величины Х с конечным средним определяется как
e(u) = E(X - u X > u). (4.12)
ФР превышений Fu описывает распределение потерь над порогом u при условии, что порог превзойден. Функция среднего превышения e(u) определяет среднее от Fu как функцию u.
Можно показать [16], что распределение превышения над порогом определяется через ОРП с параметром положения, который изменяется линейным образом в зависимости от порога v ≥ u.
Допуская, что ξ < 1, функция среднего превышения определяется как
β + ξ(v - u)
ξv
β - ξu
(4.13)
e(u) =
=
+
, 1
ξ
1
ξ
1- ξ
где u ≤ v < ∞, если 0 ≤ ξ < 1 и u ≤ v ≤ u – b / ξ, если ξ < 0.
131
а)
Probability Density Function
y= pareto(x;1)
4,0
Probability Distribution Function
p= ipareto(x;1)
1,0
3,5
0,8
3,0
2,5
0,6
2,0
0,4
1,5
1,0
0,2
0,5
0,0
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,83,0
0,0
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
б)
Probability Density Function
y= expon(x;1)
2,0
Probability Distribution Function
p= iexpon(x;1)
1,0
1,8
1,6
0,8
1,4
1,2
0,6
1,0
0,4
0,8
0,6
0,2
0,4
0,2
0,0
0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
0,0
0,2 06
, 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8
Рис. 4.4. Плотности вероятности (слева) и функции распределения
(справа) для законов Парето (а) и экспоненциального (б)
132
Линейность выражения (4.13) по v (т. е. линейность функции
среднего превышения) обычно используется как диагностический тест для данных по распределению превышений, подчиняющихся модели ОРП. Этот вывод формирует основу для простого
графического метода по выбору подходящего порога.
Для реальных данных потерь Х1, ..., Xn можно найти выборочную функцию среднего превышения, которая является эмпирической оценкой (4.12). Такая оценка выражается следующим образом:
n
å i=1(Xi - v)I{ X >v} , en (v) =
n
å i=1 I{ X >v}
i
(4.14)
i
где I{ Xi >v} определяет число случаев превышения порога.
Для анализа функции (4.14) обычно строится график среднего
превышения {Xi,n, en(Xi,n): 2 ≤ i ≤ n}, где Xi,n обозначает i-ю порядковую статистику. В ситуации, когда данные описываются моделью ОРП для большого порога, из (4.13) следует, что этот график
должен становиться «линейным» для больших значений порога
v. Линейный возрастающий тренд определяет модель ОРП с положительным параметром формы ξ; график, стремящийся к горизонтальной линии, приводит к модели ОРП с приблизительно
нулевым параметром формы (к экспоненциальному распределению); линейный уменьшающийся тренд дает модель ОРП с отрицательным параметром формы.
Указанные тенденции являются идеальной ситуацией, но на
практике требуются некоторые эксперименты для построения
таких графиков. Даже для данных, которые сгенерированы из
ОРП, график выборочного среднего превышения редко проявляет четкий линейный характер, особенно в правой завершающей
части, где в усреднении участвует малое число больших превышений. Фактически последние точки часто исключаются из рассмотрения, так как они могут исказить реальную ситуацию.
На рис. 4.5 приведены графики выборочного среднего превышения (СП), рассчитанные по выражению (4.14), для данных, показанных на рис. 4.2.
Из анализа приведенных графиков следует, что изменение
среднего превышения в случаях, показанных на рис. 4.5, а, б, в
определенной степени соответствует линейному характеру, подтверждающему принадлежность данных распределению Парето.
133
а)
б)
СП
СП
10
6
8
6
4
4
2
2
0
2
4
6
0
Порог
1
2
3 Порог
г)
в)
СП
СП
20
10
15
6
10
2
5
0
1
2
3
4
Порог
0
2
4
6
8 Порог
Рис. 4.5. Среднее превышение (СП) для операционных потерь,
показанных на рис. 4.2: а — n = 162 фирмы; б — n = 80 фирм;
в — n = 175 фирм; г — n = 417 фирм
В случае, приведенном на рис. 4.5, в, линейность нарушается уже
при пороге, превышающем единицу. Смешение данных (рис. 4.5,
г) маскирует различные характеристики и иллюстрирует опасности элементарной статистической обработки, которая не учитывает механизм генерирования данных.
С использованием ТЭЗ можно найти модель для «хвостов» распределений и вычислить возможные выбросы на этих участках
распределений. Искомая модель также основывается на ОРП, с
помощью которого получается оценка для распределения «хвостов» в следующем виде [16]:
ˆ
-1/ξ
N æ
x - u ö÷
÷÷
, Fˆ (x) = u ççç1 + ξˆ
n çè
βˆ ÷ø
(4.15)
где F (x) = 1 - F (x); n, Nu — число наблюдений и число превышений порога u соответственно; знак ^ указывает на оценку по реальным данным.
134
1–F(x)
0,05
95
0,005
99
0,0005
0,5 1,0
5
10
50
х
Рис. 4.6. Эмпирическая и подогнанная функции «хвостов»
распределения для смешанных операционных потерь,
включая оценки для VaR и C-VaR
На рис. 4.6 представлена оценка вероятности хвостов распределений в логарифмических координатах для варианта смешенных данных потерь. Точки на графике определяют собой превышения порогов; плавная кривая — рассчитанную по выражению
(4.15) величину Fˆ .
Основываясь на модели ОРП, можно вычислить оценки VaR
(4.8) или другие меры риска, превышающие VaR, например,
условную величину VaR:
OR - C - VaR1T-+α1,i = E(LT +1,i LT +1,i > OR - VaR1T-+α1,i ). (4.16)
На рис. 4.6 две вертикальные прямые определяют оценки VaR,
рассчитанные по формулам (4.8) и (4.16). Кроме того, здесь показаны границы доверительных интервалов для этих оценок в виде
кривых, похожих на отрезки параболы.
4.5. Страновой риск
Напомним, что, в соответствии с соглашением Базель–2, ОР
возникает из-за неадекватных внутренних процессов или внешних событий. К последним следует отнести так называемый страновой риск, который оказывает влияние на величину ОР.
Страновой риск, как правило, возникает при осуществлении
внешнеэкономической деятельности. Оценка этого риска осуществляется по большому перечню показателей, анализируемых
в сравнении с аналогичными в других странах как в статике (на
определенный момент), так и в динамике (с помощью изучения
соответствующих временных рядов).
135
До настоящего времени нет четкого определения понятия
«страновой риск». Как в практической деятельности, так и в экономической литературе страновой риск нередко отождествляется с риском прямого инвестирования за рубежом, с суверенным,
политическим и другими видами риска. Страновой риск — это
риск финансовых потерь при осуществлении деловых операций,
прямо или косвенно связанных с международной деятельностью
и трансграничным перемещением денежных средств. Данный
риск определяется текущими и перспективными экономическими и финансовыми показателями страны и степенью их влияния
на возможности клиентов и/или контрагентов отвечать по своим
внешним обязательствам. Более узкое, применительно к активным операциям финансовых учреждений, понятие «суверенный
риск» означает риск финансовых потерь, которые могут возникнуть у субъектов финансового сектора в процессе предоставления
зарубежных займов, приобретения финансовых обязательств
иностранных контрагентов или кредитования национальных
клиентов, вовлеченных во внешнеэкономическую деятельность.
До 1970-х годов большинство компаний строило политический
анализ климата в стране на основе качественных оценок при помощи методов «старых знакомств» (old hands) и «больших туров»
(grand tours). Анализ проводился не регулярно, а только тогда, когда на карту был поставлен вопрос о новых инвестициях. Если риск
представлялся высоким, то инвестиции либо не размещались, либо к стоимости проекта добавлялась «премия за риск» для учета
высокой вероятности потерь. Недостатком этих методов является
то, что возможно «приукрашивание» полученной информации.
В середине 80-х годов прошлого века основное внимание при
оценке странового риска уделялось экономическим и технологическим областям и менее — политическим и социальным. К пересмотру этой тенденции привели активные исследования в плане
разработки соответствующих социальных индикаторов, которые
могли бы использоваться наряду с экономическими составляющими (например, ВВП, индекс потребительских цен).
Мировой кризис конца 1990-х годов привел к необходимости
существенно пересмотреть количественные оценки странового
риска практически для всех стран в сторону увеличения. Характер развития кризиса выявил глобальную взаимосвязь экономик
различных государств («принцип домино»), что привело к ограничению применяемых традиционных методов оценки риска и
необходимости разработки новых подходов.
136
4.5.1. Методы оценки странового риска
При построении оценок странового риска могут использоваться следующие подходы.
1. Качественные методы оценки. В основе методики взвешивания факторов, влияющих на величину риска, лежат заключения экспертов. Субъективность подобных оценок снижает достоверность получаемых результатов. Применение данных методов имеет смысл только при привлечении очень опытной группы
экспертов, хорошо знающих не только ситуацию в оцениваемой
стране, но и четко представляющих цели исследования. Дополнительное повышение надежности результатов анализа может
быть достигнуто путем количественной структуризации оцениваемых факторов, т. е. их систематизацией, что позволит провести на основе рейтингов разбивку исследуемых стран на группы.
2. Количественные методы оценки. При реализации данного
метода на основе известных страновых статистических данных
происходит отбор наиболее значимых показателей, влияющих на
оценку риска. Результирующее значение риска R является многофакторной функцией, зависящей от значений учитываемых факторов, т. е.
R = f (q1, q2 , ..., qn ), i = 1,n,
где в качестве факторов qi используются только те, которые имеют численное значение (экономические показатели).
Реже для вычисления риска используются качественные оценки, выраженные в числовом виде (например, балльные оценки).
Эффективность применения данной методики снижается из-за
недостаточно достоверного прогнозирования изменений величины странового риска, игнорирования факторных весов в итоговом рейтинге.
К этой группе методов принадлежит также эконометрический способ оценки странового риска. В основе такого подхода лежит возможность построения модели изменения риска,
с помощью которой можно получить оценки будущих тенденций. Вместе с тем качественные факторы (политическая, социальная, культурная обстановка в стране и др.), не учитываемые статистикой, но часто имеющие существенное значение
для оценок риска, остаются нерассмотренными. Несмотря на
то, что эконометрический метод обладает бо′льшей объективностью, наиболее целесообразными считаются системы анализа,
137
базирующиеся на сочетании качественных и количественных
методов оценки странового риска.
3. Комбинированные методы оценки странового риска. В моделях,
построенных на использовании как качественной, так и количественной информации, сначала происходит построение индекса
страны на основе численных абсолютных и относительных показателей или экспертных оценок качественных показателей.
Результатом оценки уровня странового риска на практике
является присвоение рейтингов определенного уровня конкретной стране. Современный финансовый мир оперирует понятием
«Credit Rating» — «кредитный рейтинг» — оценка доверия или,
в рамках финансовой терминологии, оценка кредитоспособности. Свобода выбора в рыночной экономике должна подкрепляться уверенностью в надежности партнера. Для принятия решения
недостаточно внутренних оценок, и зачастую необходима оценка
независимых экспертов.
Такую роль в современном обществе играет, в частности, система рейтингов. Текущий уровень рейтинга и динамика его изменения служат сигналами для сохранения, расширения или
свертывания сотрудничества. Таким образом, присваивая банку
рейтинг, агентство одновременно создает портрет этого банка, написанный независимым и объективным наблюдателем.
Существует ряд международных рейтинговых агентств, формирующих индустрию рейтинговых услу г. По направлению своей деятельности эти институты могут быть классифицированы
на два типа.
Первый тип институтов, составляющих костяк рейтинговой
индустрии, — это международные и национальные рейтинговые
компании, предоставляющие услуги на коммерческой основе.
К числу самых весомых таких компаний относят Standard &
Poor’s Rating Group, Moody’s Investor Services и Fitch IBCA. Они
оценивают надежность разного рода долговых обязательств и составляют кредитные рейтинги (рейтинги платежеспособности)
эмитентов. На практике кредитный рейтинг является качественной интерпретацией количественных показателей, качественной
переменной, измеряющей конкретный финансовый и/или банковский риск или группу рисков. Это субъективное экспертное
мнение о качественных аспектах конкретных эмитентов и ценных бумаг, предназначенное для использования инвесторами в
целях определения уровня кредитоспособности при принятии
инвестиционного решения.
138
Ко второму типу относится сравнительно небольшая группа международных аналитических агентств и служб, составляющих интегральные индексы для странового риска, ранжирующая страны и регионы по степени надежности в качестве заемщиков на мировых финансовых рынках, например, International
Investor — II, Economist Intelligence Unit — EIU, служба журнала
«Euromoney» и некоторые другие.
4.5.2. Формирование страновых рейтингов
Кратко рассмотрим методы оценки страновых (суверенных)
рейтингов различными компаниями.
1. Standard & Poor’s Rating Group [28] — дает как количественную, так и качественную оценку общей кредитоспособности
национального правительства. Количественные аспекты анализа
охватывают ряд показателей экономической деятельности, в то
время как анализ данных в их целостности уже является предметом качественной оценки. Качественные характеристики анализа обусловлены также значимостью политических и стратегических событий, а также тем, что рейтинги Standard & Poor’s позволяют получить представление о будущем потенциале обслуживания государственного долга.
Кредитные рейтинги отражают мнение Службы кредитных
рейтингов Standard & Poor’s относительно будущей способности
и готовности суверенных правительств своевременно и в полном
объеме выполнять свои долговые обязательства. Число присваиваемых рейтингов продолжает увеличиваться: недавно был присвоен 113-й суверенный рейтинг Республике Сейшельские острова.
Структура, в рамках которой проводится анализ национальных правительств, состоит из девяти категорий. В процессе работы Рейтингового комитета каждое национальное правительство оценивается по шкале от одного (самый высокий результат)
до шести баллов по каждой из девяти категорий анализа. При
этом не существует точной формулы агрегирования выставленных таким образом баллов для определения рейтингов. Аналитические переменные тесно связаны между собой, а веса не являются фиксированными ни по группе национальных правительств,
ни по временным интервалам. Большинство категорий учитывают и экономический, и политический риск — основные факторы,
определяющие кредитный риск. Экономический риск показывает способность правительства своевременно погашать свои долговые обязательства и находится в функциональной зависимости
139
как от количественных, так и от качественных факторов. Политический риск показывает готовность национального правительства погашать долг.
Политический риск:
— стабильность и легитимность политических институтов;
— участие общественности в политическом процессе;
— политическая преемственность в руководстве страны;
— прозрачность экономической политики, ее решений и целей;
— общественная безопасность;
— геополитический риск.
Доход и структура экономики:
— уровень развития, диверсификации и степени рыночной
ориентированности;
— экономическое неравенство;
— эффективность финансового сектора; способность предоставлять кредиты;
— конкурентоспособность и рентабельность нефинансовового
частного сектора;
— эффективность государственного сектора;
— протекционизм и другие нерыночные факторы;
— гибкость рынка рабочей силы.
Перспективы экономического роста
— размер и структура накоплений и инвестиций;
— степень и модель экономического роста
Финансовая гибкость:
— доходы, расходы расширенного правительства, тенденции
профицита/дефицита;
— повышение гибкости и эффективности доходов;
— эффективность/давление со стороны расходов;
— своевременность, объем и прозрачность отчетности;
— пенсионные обязательства.
Долговое бремя расширенного правительства:
— долг расширенного правительства (брутто и нетто) как процент ВВП;
— обслуживание долга (доля доходов);
— структура долга (по валюте и срокам погашения);
— емкость национальных рынков капитала.
Оффшорные и условные обязательства:
— размер и состояние нефинансовых предприятий общественного сектора;
140
— устойчивость финансового сектора.
Эффективность монетарной политики:
— ценовая политика в зависимости от экономических циклов;
— кредитно-денежная политика;
— валютный режим и цели монетарной политики;
— институциональные факторы, в частности, независимость
Центрального банка;
— структура и эффективность инструментов монетарной политики.
Показатели внешней ликвидности:
— влияние фискальной и монетарной политики на внешние
счета;
— структура счета текущих операций;
— структура потоков капитала;
— адекватность резервов.
Внешний долг:
— внешний долг (брутто и нетто), включая депозиты и структурированный долг;
— структура погашения обязательств, структура долга по валюте, чувствительность к изменениям в процентной ставке;
— доступ к концессионному финансированию;
— обслуживание долга.
Приведем перечень критериев, которые присваивает Standard
& Poor’s.
Долгосрочный рейтинг Standard & Poor’s оценивает способность эмитента своевременно исполнять свои долговые обязательства. Эти рейтинги варьируются от наивысшей категории «ААА»
до самой низкой — «D». Рейтинги в интервале от АА до ССС могут быть дополнены знаком плюс (+) или минус (–), обозначающим промежуточные рейтинговые категории по отношению к
основным категориям. Характеристики градаций были даны выше при рассмотрении кредитного риска.
Рейтинги категорий ААА, АА, А и ВВВ являются рейтингами
инвестиционного класса. Рейтинги категорий ВВ, В, ССС, СС и С
обладают значительными спекулятивными характеристиками.
В качестве примера в табл. 4.3 приведем рейтинги Standard &
Poor’s по европейским странам на июль 2007 г.
Определенное значение имеют и рейтинговые прогнозы, т. е.
оценка динамики конкретного рейтинга в будущем. Прогнозные
оценки бывают средне- и долгосрочные, отражают потенциаль141
Таблица 4.3
Рейтинги Standard & Poor’s
Страна
Рейтинг
Динамика рейтинга
Австрия
Андорра
Бельгия
Болгария
Великобритания
Венгрия
Германия
Греция
Грузия
Дания
Ирландия
Исландия
Испания
Италия
Кипр
Латвия
Литва
Лихтенштейн
Люксембург
Македония
Мальта
Нидерланды
Норвегия
Польша
Португалия
Россия
Румыния
Сербия
Словакия
Словения
Турция
Украина
Финляндия
Франция
ААА
АА
АА+
ВВ+
ААА
ВВВ+
ААА
А
В+
ААА
ААА
А+
ААА
А+
А
ВВВ+
А
ААА
ААА
ВВ+
А
ААА
ААА
А–
АА–
ВВВ+
ВВВ–
ВВ–
А
АА
ВВ–
ВВ–
ААА
ААА
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Позитивный
Негативный
Негативный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Позитивный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
Негативный
Стабильный
Стабильный
142
Окончание табл. 4.3
Страна
Рейтинг
Динамика рейтинга
Хорватия
Черногория
Чехия
Швейцария
Швеция
Эстония
ВВВ
ВВ+
А–
ААА
ААА
А
Стабильный
Стабильный
Позитивный
Стабильный
Стабильный
Стабильный
ное направление изменения, но не являются его обязательным
условием. Агентство Standard & Poor’s, например, оценивает тенденцию динамики рейтинга, которая показывает возможное направление его движения в ближайшие два-три года, по четырем
категориям:
1) «позитивный» — рейтинг может повыситься;
2) «негативный» — рейтинг может понизиться;
3) «стабильный» — изменение маловероятно;
4) «развивающийся» — возможно повышение или понижение
рейтинга.
В последнем столбце табл. 4.3 приведена динамика рейтинга
по каждой стране.
2. Moody’s Investors Services. Основные факторы, которые
исcледуют аналитики этого агентства, во многом стандартны,
т. е. совпадают с основными индикаторами, используемыми экспертами других рейтинговых агентств. Довольно часто совпадают их характеристики (содержание показателя и/или его предельное/оптимальное значение) и влияние на уровень странового риска. Количественный анализ уровня странового риска осуществляется экспертами агентства Moody’s Investors Services
путем определения значений шести отдельных факторов, характеризующих возможность страны выполнить в полном объеме и в
срок свои обязательства.
1. Ликвидность, которая характеризует текущую способность
обслуживания долга:
— величина резервов в процентах от дефицита текущих статей платежного баланса;
— величина резервов (в динамике) для покрытия дефицита по
импорту.
2. Экономическая и социальная стабильность — фактор, используемый для определения текущей и перспективной способ143
ности обслуживания долга. В этом аналитическом блоке рассчитываются следующие показатели:
— рост/снижение ВВП на душу населения;
— фактический рост/снижение ВВП;
— структура источников пополнения бюджета и его расходов.
Дефицит государственного бюджета не должен превышать 3 %
годовой величины ВВП/ВНП;
— потребление электроэнергии на душу населения;
— процент посещающих средние специальные и высшие учебные учреждения.
3. Уровень финансовой стабильности в статике, динамике и с
элементами прогноза:
— динамика индекса цен на потребительские товары;
— величина денежных резервов и денежной массы в процентах от ВВП.
4. Состояние платежного баланса, характеризующее оценку
потоков наличности и финансовых взаимосвязей:
— рост/снижение уровня экспорта;
— сальдо и структура внешней торговли;
— величина чистых прямых инвестиций как процент от дефицита текущих статей платежного баланса.
5. Финансовые стимулы. Уровень этого фактора свидетельствует о способности руководства страны и денежно-кредитных
властей направлять валютные ресурсы на продуктивные рынки
в противоположность «бегству» капитала из страны. Осуществляется анализ фактического уровня всех видов процентных
ставок. Процентные ставки по банковским кредитам, например,
подвержены комбинированному влиянию таких факторов, как
условия на рынке и изменения в спросе и предложении кредитных ресурсов.
6. Размер и обслуживание внешнего и внутреннего долга. Величина этого фактора отражает значимость текущего долга по
сравнению с текущим доходом и размером валютных ресурсов:
— внешний государственный долг в процентах от ВВП;
— коэффициент обслуживания внешнего долга (отношение
объема долговых платежей к экспорту товаров и услуг).
3. Fiсth IBCA. Методика оценки уровня странового риска экспертами агентства Fitch IBCA основывается на анализе динамики набора относительных показателей: 16 экономических, 5 социальных и 7 политических. Анализ осуществляется на базе показателей, рассчитываемых по данным финансовой отчетности.
144
Среди экономических факторов наиболее существенными являются следующие:
1) динамика величины и структуры распределения и перераспределения ВНП;
2) динамика инфляции и факторов, оказывающих значимое
влияние на индекс потребительских цен;
3) факторы издержек производства важнейших товаров и
услуг;
4) инвестиционный климат в стране;
5) степень независимости Центрального банка;
6) основные и промежуточные цели денежно-кредитной политики — вероятность и степень их достижения;
7) структура внешней и внутренней государственной и негосударственной задолженности;
8) структура платежного баланса;
9) структура торгового баланса.
К важнейшим политическим факторам относятся степень политической стабильности и угроза безвозмездной национализации. Самые значимые социальные факторы:
1) величина ВНП на душу населения;
2) условия получения потребительского и ипотечного кредитов.
Рейтинг предоставляет инвесторам инструмент для оценки
рисков, позволяющий сравнивать их в рамках отраслевых или
территориальных классификаций. Значения рейтинговых категорий, в которых присутствуют не только буквы, но и знаки «+»
или «–», являются более точными.
Показатели рейтинга в компактной и емкой форме характеризуют состояние и перспективные тенденции изменения странового риска, играя роль индикаторов для принятия решений,
установления и поддержания деловых отношений. Текущий уровень рейтинга и динамика его изменения служат сигналами для
сохранения, расширения или свертывания сотрудничества. Таким образом, присваивая стране рейтинг, агентство одновременно создает ее портрет, написанный независимым и объективным
наблюдателем.
4. Political Risk Services (PRS) Group. В связи с тем, что об
этом агентстве сведений, переведенных на русский язык, гораздо
меньше, чем о рассмотренных выше, скажем несколько слов о его
истории [29].
С 1979 г. Political Risk Services стала известной в качестве системы, разработанной профессорами В. Д. Коплин (W. D. Coplin)
145
и М. К. О’Лири (M. K. O’Leary), для квантификации и ранжирования политического риска. Первоначально Political Risk Services
была подразделением Frost & Sullivan и стала независимой только в 1999 г. Еще в 1992 г. PRS добавила в свою сферу деятельности
другую аналитическую систему для оценки странового риска —
International Country Risk Guide (ICRG). Вначале ICRG, созданная
в 1980 г., была прямым конкурентом нового продукта Коплин–
О’Лири, но затем произошло успешное вхождение этой системы
в Political Risk Services, после чего компания стала именоваться
как The PRS Group.
В настоящее время агентство PRS Group разрабатывает две модели: PRS и ICRG, которые признаются экспертами наиболее объективными из всех существующих. Обе модели в целом характеризуют инвестиционную среду, но могут легко адаптироваться к
отдельным инвестиционным проектам.
Модель PRS. При этом подходе разрабатывается модель политического риска для инвесторов, оценивающая три наиболее
правдоподобных сценария для двух временных горизонтов — 18
месяцев и пяти лет. Для каждого сценария развития политической ситуации в стране эксперты устанавливают уровень возможных изменений в «политическом беспорядке» (political turmoil) и
степень каждого из 11-ти типов правительственного вмешательства, которые могут повлиять на инвестиционный климат.
Общая вероятность негативных изменений в политическом режиме и факторах, оказывающих влияние на бизнес, принимается за 100 %. Вероятности суммируются и затем преобразовываются в индексы (буквы) от A+ до D– для каждого из трех инвестиционных секторов: финансовые операции (банковская сфера),
иностранные прямые инвестиции и экспорт в рынок страны.
Модель PRS адаптируется к индивидуальным проектам с помощью дополнительной системы надбавок, добавления или вычитания переменных. Таким образом происходит приведение модели в соответствие нуждам определенной фирмы или комбинации корпоративных интересов.
Аналитический продукт, выпускаемый PRS Group, представляет собой отчет, который содержит примерно 50—70 страниц
текста и включает в себя комментарии и анализ, основанный на
недавних событиях, профили ключевых политических игроков,
всесторонний анализ всех сценариев прогноза. Кроме того, в отчет входят описание исторического и политического фона, данные относительно правительственных, политических институ146
тов, окружающей среды и ключевых секторов экономики. Отчет
содержит информацию о 17 факторах, определяющих уровень политического риска и прогноз по их возможному изменению (12 из
них составляют 18-месячный прогноз и еще 5 характеристик, которые добавляются для составления 5-летнего прогноза).
При составлении 18-месячного прогноза учитываются следующие факторы риска:
1) политическая ситуация;
2) ограничение иностранной коммерческой деятельности;
3) ограничение на владение иностранным капиталом частной
собственности в данной стране;
4) налоговая дискриминация;
5) ограничение на возврат валюты;
6) валютный контроль;
7) тарифные барьеры;
8) другие импортные ограничения;
9) задержка платежей;
10) кредитно-денежное расширение;
11) политическая свобода;
12) иностранный долг.
Дополнительные факторы для построения 5-летнего прогноза
(уровень политической ситуации используется в обоих прогнозах):
1) политическая ситуация;
2) инвестиционные ограничения;
3) торговые ограничения;
4) внутренние экономические проблемы;
5) внешние экономические проблемы.
PRS использует перечисленные 17 факторов для определения
суммарного уровня риска, сначала определяя текущий уровень
риска каждого фактора, а затем прогнозируя изменение уровня
риска в каждом из трех наиболее вероятных сценариев развития.
Числовые эквиваленты текущего и предсказанного уровней используются для нахождения окончательного значения риска.
Как мы уже говорили, индекс политического риска для каждой страны складывается из трех индексов, рассчитанных по
трем секторам: сектор финансовых операций (банковская сфера),
сектор прямых иностранных инвестиций и сектор экспорта на
рынок страны. Для каждого сектора используются различные
факторы из набора 22 признаков, рассмотренных выше. Вариантам политической ситуации в стране присваивается определен147
ная вероятность. После заполнения расчетной таблицы для каждой страны производят вычисление итогового рейтинга по следующему алгоритму.
Шаг 1. Ограничение текущего и базового уровней: низкий = 0;
средний = 1; высокий = 2; очень высокий = 3.
Шаг 2. Экономический ранг: базовое значение для 16-й переменной представляет средний ранг страны из шести внутренних
экономических индикаторов. То же самое для 17-й переменной —
средний ранг страны по трем международным экономическим
показателям. Эти ранги преобразуются в числа с использованием следующих значений: лучшие 25 % = 0; вторые 25 % = 1; третьи 25 % = 2; четвертые 25 % = 3, а затем усредняются по всей таблице.
Шаг 3. Прогноз рисков: заполнение столбцов таблицы, соответствующих выбранным режимам, требует вычисления произведения двух чисел для каждой из 17-ти переменных. Вычисленные уровни прогноза преобразуются в числовые значения следующим образом: меньше = –1,0; немного меньше = –0,5; тот же самый уровень = 0; слегка выше = +0,5; выше = +1,0; намного больше = 2,0.
Шаг 4. Для каждого фактора риска число, представляющее текущий или базовый уровень, добавляется к трем числам, полученным на предыдущем шаге. Сумма объединяет текущий или
базовый уровень с ожидаемым изменением для каждого из трех
режимов.
Шаг 5. Для каждой категории риска вводится сумма, полученная на шаге 4, и затем производится усреднение по столбцам
таблицы для формирования 18-месячного и 5-летнего прогнозов.
Числовые значения преобразуются в буквенный рейтинг в соответствии с табл. 4.4. После преобразования буквенный индекс
присваивается каждой стране.
Модель ICRG для предсказания финансового, экономического
и политического рисков была создана в 1980 г. аналитиками широко известного еженедельника «International Reports», публиковавшего материалы по международным финансам и экономике.
Для удовлетворения пожеланий клиентов в части исследовательского анализа потенциальных рисков при ведении международного бизнеса сотрудники еженедельника создали статистическую
модель для вычисления рисков. Результатом явилась развернутая система, которая позволяла оценить различные виды рисков
и сравнить между собой страны по агрегированной величине ри148
Таблица 4.4
Перевод в буквенный рейтинг
Числовые значения
Буквенный рейтинг
≤0,25
A+
0,26—0,50
A
0,51—0,75
A–
0,76—1,00
B+
1,01—1,2
B
1,26—1,50
B–
1,51—1,75
C+
1,76—2,00
C
2,01—2,25
C–
2,26—2,50
D+
2,51—2,75
D
> 2,75
D–
ска. В 1992 г. сотрудники «International Reports», занимавшиеся
разработкой модели ICRG, перешли в The PRS Group, став частью
новой компании, которая занимается обслуживанием международного бизнес-сообщества.
Одним из преимуществ модели ICRG является то, что она дает
возможность пользователям сделать собственную оценку риска
на основе этой модели или модифицировать модель к своим конкретным требованиям. Если отдельные факторы имеют бо′льшее
влияние на бизнес или инвестиции, то агрегированный рейтинг
риска может быть пересчитан с новыми, бо′льшими весами для
выделенных признаков.
Система основана на наборе из 22-х признаков, сгруппированных по трем основным категориям риска: политический, финансовый и экономический. При этом политический риск включает
12 компонентов, финансовый и экономический — по 5. Каждому
компоненту присваивается числовое значение (баллы риска —
risk point), наибольшая величина которого определяет наименьший потенциальный риск для этого компонента, а минимальная
величина (0) — самый большой потенциальный риск.
Штат сотрудников собирает политическую информацию, экономические и финансовые данные, преобразуя их в баллы риска
для каждого отдельного компонента риска. Оценки политическо149
го риска формируются на субъективном анализе доступной информации, в то время как оценки финансового и экономического
рисков — на основе объективных данных.
После оценки риска для каждого из 22-х факторов компоненты в пределах каждой категории складываются вместе для
формирования рейтинга в рассмотренных группах (политической, финансовой, экономической). Для расчета агрегированного рейтинга для отдельной страны рейтинги каждой категории комбинируются вместе путем вычисления их полусуммы. Чем выше значение агрегированного показателя, тем ниже
риск, и наоборот.
Цель оценки политического риска заключается в изучении
политической стабильности в рассматриваемой стране. Это делается путем присваивания баллов риска определенной группе
факторов, образующих компоненты политического риска. Минимальное число баллов, которое может быть присвоено каждому компоненту, равно нулю, а максимальное зависит от значений
весовых коэффициентов. В каждом случае меньшее количество
баллов определяет бо′льший риск.
Оценка уровня политического риска включает в себя анализ 12-ти переменных, которые имеют различный удельный вес
(табл. 4.5).
Таблица 4.5
Компоненты политического риска
Переменная
Компонент
Вес, балл (макс.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Стабильность правительства
Социально-экономические условия
Инвестиционный климат
Внутренние конфликты
Внешние конфликты
Уровень коррупции
Участие военных в политике
Религиозная напряженность
Закон и порядок
Этнические конфликты
Демократическая ответственность
Качество бюрократии
12
12
12
12
12
6
6
6
6
6
6
4
Цель построения рейтинга экономического риска сводится к
разработке метода оценивания текущих сильных и слабых сто150
рон конкретной страны. В ситуации, когда сильные стороны перевешивают слабые, имеем низкий экономический риск, в противном случае — высокий экономический риск. Сильные и слабые стороны оцениваются присваиванием баллов каждому из выделенной группы факторов, определяющих компоненты экономического риска.
Экономические компоненты, определяющие экономический
потенциал:
1) ВВП на душу населения;
2) ежегодный рост ВВП;
3) ежегодный рост инфляции;
4) баланс бюджета (в процентах от ВВП);
5) баланс текущего счета (в процентах от ВВП).
Для каждого из выделенных факторов этого блока устанавливается определенная шкала, позволяющая переводить изменение
параметра в баллы риска. В качестве примера приведем таблицу
пересчета изменения инфляции в баллы риска (табл. 4.6).
Таблица 4.6
Перевод инфляции в баллы риска
Рост инфляции, %
Риск, баллы
Рост инфляции, %
Риск, баллы
0—1,9
2—2,9
3—3,9
4—5,9
6—7,9
8—8,9
10—11,9
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
12—13,9
14—15,9
16—18,9
19—21,9
22—24,9
25—30,9
31—40,9
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
Финансовые компоненты, определяющие платежеспособность:
— иностранный долг (в процентах от ВВП);
— обслуживание иностранного долга (в процентах от экспорта
товаров и услуг);
— текущий счет (в процентах от экспорта товаров и услуг);
— чистая ликвидность (в месяцах покрытия импортом);
— стабильность обменного курса.
Так же, как и для параметров экономического блока, устанавливается определенная шкала для трансформации в баллы риска. В качестве примера приведем таблицу пересчета изменения
иностранного долга в баллы риска (табл. 4.7).
151
Таблица 4.7
Перевод иностранного долга в баллы риска
Иностранный
долг, %
Риск, баллы
Иностранный
долг, %
Риск, баллы
0—4,9
5—9,9
10—14,9
15—19,9
20—24,9
25—29,9
30—34,9
10,0
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
35—39,9
40—44,9
45—49,9
50—59,9
60—69,9
70—79,9
80—89,9
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
Агрегированный страновой риск вычисляется по формуле
CPFER (страны X) = 0,5 (PR + FR + ER),
где CPFER — composite political, financial and economic risk
ratings (агрегированный страновой риск); PR — total political risk
indicators (индикаторы политического риска); FR — total financial
risk indicators (индикаторы финансового риска); ER — total
economic risk indicators (индикаторы экономического риска).
Наивысший рассчитанный рейтинг (теоретически 100) определяет наименьший риск, минимальный рейтинг (теоретически
0) — максимальный риск. В качестве общего правила для группирования стран на основе рассчитанных агрегированных рейтингов рекомендуется следующая шкала категорий (табл. 4.8).
Таблица 4.8
Категории риска по агрегированным рейтингам
Категория
Рейтинг
Очень высокий риск
Высокий риск
Средний риск
Низкий риск
Очень низкий риск
0—49,5
50—59,5
60—69,9
70—79,9
80—100
В дополнение к текущим значениям риска методология ICRG
позволяет строить прогнозы на один год и пять лет для каждой
категории риска. Для каждого временного периода формируется
два прогноза: наихудший и наилучший сценарии.
В первом случае осуществляется экстраполяция наихудшего
тренда для каждого компонента риска в каждой категории. Во
152
второй ситуации проводится то же самое, но путем экстраполяции наилучшего тренда.
Рассмотрим методики оценки странового риска, разрабатываемые специализированными фирмами и отдельными изданиями.
Журнал «Euromoney»
Оценка инвестиционного риска и надежности стран по методике журнала «Euromoney» осуществляется дважды в год (в марте и сентябре). Публикуемые журналом «Euromoney» результаты
представляют собой таблицу с ранжированным перечнем стран,
построенным в порядке убывания величины интегрального показателя надежности. Этот показатель измеряется в интервале от 0
до 100 и является фактической суммой оценок, полученных экспертным или расчетно-аналитическим путем по девяти частным
показателям.
В своей модели оценки уровня странового риска аналитики
«Euromoney» группируют исследуемые индикаторы в таблицы,
на базе которых рассчитывается интегральный показатель надежности (шкала балльных оценок от 0 до 100). Интегральный
показатель формируется на базе оценки по 9 категориям, 8 из которых имеют шкалу от 0 до 10 баллов, и 1 показатель — показатель политического риска — имеет шкалу от 0 до 20 баллов. Высшая оценка соответствует наиболее благополучному значению
соответствующего фактора (т. е. максимуму надежности и, соответственно, минимуму риска инвестиций). В состав частных показателей, как качественных, так и количественных, входят следующие:
1) 25 % — экономические показатели, оцениваемые экспертным путем. Данные о результатах экономического развития берутся из составляемых журналом «Euromoney» глобальных экономических прогнозов на текущий и предстоящий год: страны
оценивают 35 специалистов в области мировой экономики из ведущих финансовых учреждений и других экономических центров. Учитываются следующие факторы: динамика роста экономики, степень ее устойчивости, стабильность денежно-кредитной
системы, состояние текущего платежного баланса, размер бюджетного дефицита, уровень безработицы, наличие структурных
диспропорций и пр.;
2) 25 % — факторы политического риска, также оцениваемые
экспертно. Группа экспертов, включающая аналитиков в области
страхования и банковских работников, дает оценку политической
153
ситуации в каждой стране по 10-балльной шкале (10 баллов означает, что риск неуплаты долгов вследствие перемен политической
ситуации в конкретной стране минимален, а нулевая оценка свидетельствует об очень высоком риске). Страны ранжируются по
отношению друг к другу и по результатам рейтингов предшествующих лет. По мнению аналитиков, страновым риском считается
риск неуплаты основной суммы долга или процентов по нему, а
также риски неплатежей по импорту, невыплаты дивидендов, непогашение коммерческих кредитов и запрет на репатриацию капитала. Данная оценочная категория не отражает риски неплатежеспособности частных заемщиков анализируемых стран;
3) 10 % — фактор состояния внешней задолженности, который рассчитывается на базе статистической информации, публикуемой Мировым банком;
4) 10 % — невыплачиваемые или реструктурированные во времени долги. На основе тех же публикаций МБРР по 10-балльной
шкале оценок определяется величина внешней задолженности,
по которой в течение последних трех лет идут неплатежи или были пересмотрены сроки погашения. Оценка «10» означает, что
погашение долга идет строго по графику, а «0» — вся задолженность является «проблемной»;
5) 10 % — рейтинг государственных долговых обязательств —
кредитный рейтинг. Рассчитывается как средняя из трех показателей кредитного рейтинга, которые публикуются в отношении официальных заемщиков агентствами Moody’s, Standard &
Poor’s. Страны, не имеющие рейтинга, или те, чей рейтинг ниже
«ВВ», получают оценку «0». Страны, имеющие рейтинг только в
отношении краткосрочных займов, приравниваются к странам
категории «ВВВ»;
6) 10 % — доступ к банковским финансам. Оценка также базируется на публикуемых Мировым банком данных о величине
частных, не гарантированных государством долгосрочных заимствований банков, выраженной в процентах к годовому объему
ВНП. Страны ОЭСР автоматически получают оценку «10»;
7) 10 % — показатели доступа к краткосрочным финансам.
Оценки устанавливаются исходя из того, к какой категории заемщиков в соответствии с классификацией ОЭСР относится конкретная страна. Заемщики I группы получают оценку «10», заемщики II группы — оценку «5» и заемщики III группы — оценку
«0». Если страна имеет возможность получить по коммерческим
внешнеторговым кредитам гарантии Экспортно-импортного бан154
ка США или любого другого агентства по страхованию экспортных кредитов стран ОЭСР, то оценка увеличивается в пределах
той же шкалы в зависимости от величины покрытия предоставляемых гарантий;
8) 5 % — показатели доступа к рынкам капитала. Анализ осуществляется экспертами «Euromoney», которые определяют, насколько легко страна могла бы разместить займы на международном рынке облигаций или получить консорциальный торговый кредит. Оценка «10» баллов означает, что не возникло бы никаких проблем. Оценка «8» — вероятность возникновения проблемы 95 %, а присвоение 6 баллов свидетельствует о том, что, в
принципе, заемщик не должен столкнуться с какими-либо проблемами. Если эксперты присваивают балл на уровне 4, то размещение займа определяется условиями его размещения, а оценка
«2» — в ряде случаев возникли бы серьезные трудности. Нулевая
оценка свидетельствует о невозможности размещения займа;
9) 5 % — дисконт по форфейтингу. Страны, для которых форфейтинговые операции недоступны, получают оценку «0».
Для отдельных стран оценки устанавливаются в зависимости
от максимальной продолжительности срока погашения векселей
(обычно  — это 7 лет) и от величины маржи по сравнению с дисконтом, устанавливаемым для наиболее надежных категорий заемщиков. Результирующее значение странового риска варьируется от 0 (максимальный риск) до 100 (минимальный риск). Полученные числовые значения конвертируются в 10 буквенных категорий от ААА до N/R.
Business Environmental Risk Intelligence (BERI)
Одним из классических способов анализа уровня странового
риска, который используется достаточно широко, является индекс BERI. Его определением занимаются около 100 экспертов,
которые с помощью различных методов экспертных оценок проводят анализ четыре раза в год. В данной методике оценка странового риска основана на среднем арифметическом трех составляющих:
1) политический риск (50 % в оценке) — взвешенная оценка
10 политических и социальных переменных, сгруппированных в
четырех кластерах:
— динамика валютного курса — используется информация,
публикуемая в статистическом справочнике Международного валютного фонда. Вес этого фактора — 30 %;
155
— обслуживание внешнего долга — 30 %;
— динамика и структура золотовалютных резервов — 30 %;
— величина, структура и исполнение бюджета — 10 %;
2) операционный риск (25 % в оценке) — взвешенная с помощью
экспертов оценка 15-ти экономических, финансовых и структурных переменных;
3) R-фактор (25 % в оценке), который представляет собой взвешенную оценку законодательной системы, анализ уровня правового риска, риска потери репутации.
На базе полученных для отдельных составляющих оценок
формируется итоговое значение уровня странового риска. Таким
образом осуществляется анализ всех сторон политической и экономической ситуации в стране. Прогноз уровня странового риска
осуществляется на 1 год и 5 лет. Наименьшее значение риска в используемой агентством шкале — 100, наибольшее — 0.
156
Глава 5. Внутренние рейтинговые системы
5.1. Основные понятия нечеткой логики
В соглашении Базель–2 указывается, что финансовые институты могут создавать собственные внутренние рейтинговые системы (ВРС) для оценки кредитоспособности клиентов. Здесь рассматриваются два подхода к созданию таких ВРС, основанные на
использовании:
1) нечеткой логики;
2) искусственных нейронных сетей.
Вследствие этого рассмотрим указанные информационные
технологии и оценим их возможности для построения ВРС [4],
[30—32].
С опубликования в 1965 г. работы «Fuzzy sets» («Нечеткие множества») американским ученым Л. Заде начался интенсивный этап
развития нечеткой логики (НЛ). Л. Заде сформулировал принцип
несовместимости: чем сложнее система, тем менее мы способны
дать точные и то же время имеющие практические суждения об ее
поведении. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый уровень, точность и практический смысл становятся почти исключающими друг друга характеристиками. По словам автора, в большинстве основных задач, решаемых человеком,
не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную
для задачи, элементами нечетких множеств, которые лишь приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающей в мозг через органы зрения, слуха, осязания и т. д., сужается, таким образом, в тонкую струйку информации, необходимую для решения поставленной задачи с минимальной степенью
точности. Способность оперировать нечеткими множествами и вытекающая из нее способность оценивать информацию является одним из наиболее ценных качеств человеческого разума, которое
фундаментальным образом отличает человеческий разум от так
называемого машинного разума, приписываемого существующим
вычислительным машинам.
Сущность НЛ сводится к следующему:
— используются лингвистические переменные вместо обычных числовых или в дополнение к ним;
— простые отношения между переменными описываются с помощью нечетких высказываний;
157
— сложные отношения определяются нечеткими алгоритмами.
Начало следующего этапа, начавшегося в середине 80-х гг.
прошлого века, характеризовалось появлением коммерческих
программных продуктов в области НЛ. Наиболее ярким событием стала состоявшаяся в 1987 г. международная конференция по
НЛ, на которой был продемонстрирован японский контроллер,
созданный на основе НЛ. Этот контроллер был использован для
управления скоростью электропоездов в японском городе Сендай,
и некоторые характеристики этой системы остаются недостижимыми для железнодорожников многих стран, которые не используют системы с НЛ.
Нужно отметить, что европейские и американские научные сообщества в эти годы скептически отнеслись к появлению теории
Заде. Зато на Востоке, в первую очередь, в Японии, появление НЛ
восприняли с восторгом, поскольку основные концепции новой
теории были близки восточной философии. Японцы довели практическое воплощение нечеткой логики до совершенства. Можно
много рассказывать об автоматических прокатных станах, интеллектуальных складах и «безлюдных производствах», созданных с использованием НЛ. Однако, пожалуй, более впечатляющим выглядит применение НЛ в товарах массового рынка — стиральных машинах, видеокамерах, микроволновых печах и т. п.
В значительной степени огрубляя и упрощая теорию НЛ, можно выделить ее основные элементы, к которым относятся:
— нечеткие множества;
— функции принадлежности;
— лингвистические переменные;
— нечеткий логический вывод;
— нечеткая база правил.
5.1.1. Нечеткие множества
Под нечетким множеством (НМ) понимается множество без
четких, определенных границ. Такое множество может содержать элементы только с частичной степенью принадлежности.
Для лучшего понимания различия между четкими и нечеткими
множествами проведем их сравнение на уровне определений.
Пусть E — универсальное множество, x — элемент множества
E, а R — некоторое свойство. Четкое подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R,
определяется как множество упорядоченных пар A = {µA (х)/х},
158
где µA(х) — характеристическая функция принадлежности (или
просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором множестве M (например, M = [0, 1]). Функция принадлежности (ФП) указывает степень (или уровень) принадлежности
элемента x подмножеству A. Нечеткое подмножество отличается
от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа «да—нет» относительно свойства R. Вследствие этого четкое подмножество можно рассматривать как предельный случай
нечеткого, ФП которого принимает только бинарные значения: 0
или 1.
Рассмотрим следующий пример.
Пример 5.1. Объект исследования представляет множество
взрослых людей.
Обозначим через х возраст человека и введем функцию
ïì1, åñëè x ³ 18
µ(x)= ïí
.
ïïî0, åñëè x < 18
В этой записи учтено, что взрослым считается человек, достигший 18 лет. Следовательно, множество взрослых людей может
быть задано в виде
A = {x µ(x) = 1}, x Î X,
где X — множество возможных значений х.
Последнее равенство гласит: множество А образуют такие
«субъекты», для которых ФП m(х) = 1 (рис. 5.1).
Однако такая двузначная логика («да—нет») не учитывает возможного разброса мнений относительно границ множества А. Более естественна форма представления, показанная на рис. 5.2, где
ФП ставит в соответствие каждому элементу х∈Х число µ(х) из
Рис. 5.1. Четкое множество
Рис. 5.2. Нечеткое множество
159
интервала [0; 1], описывающее степень принадлежности Х к множеству А.
Исходя из предложенного, можно для НМ указать следующую
форму записи:
A = {éë x,µ(x)ùû x Î X}.
Перечислим основные свойства нечетких множеств.
1. Носитель А — множество тех его элементов х, для которых
µ(х) положительна:
Íîñèòåëü ( À ) =
{x Î X µ(x) > 0}.
2. Точка перехода А — это элемент множества А, для которого
µ(х) = 0,5.
3. Ядром НМ называется четкое подмножество универсального множества Е, элементы которого имеют значения ФП, равные
единице.
4. a-срез НМ — множество элементов х, для которых µ(х) принимает значение не меньше заданного числа a (0<a<1):
ìï
Aα = ïíõ Î Õ
ïï
î
üï
µ(õ)³ αïý .
ïï
þ
На рис. 5.3 показаны отдельные элементы нечетких множеств.
Рис. 5.3. Элементы нечеткого множества
160
5. Высота НМ А — точная верхняя грань его ФП, т. е.
H( A) = sup µ(x).
xÎX
Если Н(А) = 1, то множество нормализованное; если Н(А) < 1,
НМ — субнормализованное, и для приведения к нормализованному виду необходима нормировка:
µ(õ)/ sup µ(x).
6. Одноточечное множество — носитель А состоит из одной
точки
À = µ õ,
где µ — степень принадлежности х множеству А.
7. Дискретное НМ — носитель А состоит из конечного числа
элементов
À = µ1 õ1 + µ2 õ2 +  + µn xn ,
где µi (i = 1,n) — степень принадлежности xi Î A.
8. Табличный способ задания НМ имеет вид
хi
14
16
18
20
22
µi
0,1
0,3
0,5
0,8
1,0
В этом случае носитель А состоит из 5 элементов со степенями
принадлежности от 0,1 до 1,0.
9. Носитель НМ А состоит из бесконечного числа точек; тогда
µ(х) выражается графически или аналитически.
Нечеткие операции объединения, пересечения, дополнения
могут быть обобщены из теории обычных множеств. Отличие заключается в том, что в теории нечетких множеств степень принадлежности может принимать любые значения из интервала
[0, 1], а не ограничена бинарными значениями 0 и 1, как в обычной теории множеств. Приведем некоторые определения нечетких операций, предложенных Заде.
1. Объединение (соответствует логической операции «ИЛИ»)
двух НМ А и В (А∪В) определяется как наименьшее НМ, включающее как А, так и В, с ФП следующего вида:
µ À ÈÂ (õ) = max[µ A (x),µ B (x) ] = µ A (x)  µ B (x).
161
2. Пересечение (соответствует логической операции «И») двух
НМ А и В (А∩В) определяется как наибольшее НМ, содержащееся одновременно в А и В, с ФП вида
µ À Ç Â (õ) = min[µ À (õ),µ Â (õ) ] = µ À (õ)  µ Â (õ).
3. Дополнение A (соответствует логическому отрицанию
«НЕ») с ФП вида
µ A (õ) = 1 - µ À (õ).
Для нечетких множеств можно привести графическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на
оси ординат которой откладываются значения µА(х), а на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Такое
представление, показанное на рис. 5.4, делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.
На верхней части рис. 5.4 заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А; ниже показаны дополнение A , пересечение А∩В и объединение А∪В.
Введенные операции над нечеткими множествами основаны
на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «И», «ИЛИ», «НЕ».
Рис. 5.4. Графическая интерпретация логических операций
162
Один из подходов к операторам пересечения и объединения
заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция T:[0,1] × [0,1]→[0,1], удовлетворяющая следующим условиям:
1) T(0, 0) = 0; T(µA, 1) = µA; T(1, µA) = µA — ограниченность;
2) T(µA, µВ) ≤ T(µС, µD), если µA ≤ µC, µB ≤ µD — монотонность;
3) T(µA, µВ) = T(µB, µA) — коммутативность;
4) T(µA, T (µB, µС)) = T(T(µA, µВ), µС) — ассоциативность.
Примерами треугольных норм являются:
min(µA, µВ);
произведение (µA ·µВ);
max (0, (µА + µВ – 1).
Треугольной конормой (t-конормой) называется двуместная
действительная функция S:[0, 1] × [0, 1] → [0, 1] со следующими
свойствами:
1) S (1,1) = 1; S (µА, 0) = µА; S(0, µА) = µА — ограниченность;
2) S(µА, µВ) ≥ S(µC, µD), если µA ≥ µC, µB ≥ µD — монотонность;
3) S(µА, µВ) = S(µB, µA), — коммутативность;
4) S(µА, S(µB, µA)) = S (S(µA, µB), µC) — ассоциативность.
Примеры t-конорм:
— max (µА, µВ),
— µА + µВ – µА · µВ,
— min(1, µА + µВ).
5.1.2. Функции принадлежности
Как указывалось выше, функция принадлежности определяет степень (или уровень) принадлежности элемента x множеству
A. Нечеткое множество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа «да—нет» относительно
свойства R. ФП можно описать как кривую, указывающую, каким образом каждая точка входного пространства отображается
в степень принадлежности между 0 и 1.
Для нахождения ФП могут быть использованы следующие методы:
— прямые;
— косвенные;
— посредством типовых форм.
При прямом методе эксперт задает значения ФП µ(х) для ∀
х∈Х. Обычно прямые методы используются для измеримых по163
нятий, таких как, например, темп роста, величина дохода и т. п.,
или при выявлении бинарных значений какого-либо параметра.
При таком подходе применяют также групповые прямые методы,
когда группе экспертов предъявляется конкретный объект (напомним, что под объектом подразумевается любое предприятие,
фирма, магазин) и каждый из экспертов должен дать по каждому
параметру один из двух ответов такого, например, вида: «Этот параметр в норме», или: «Этот параметр не в норме». Количество положительных ответов, деленное на число экспертов, дает величину ФП для параметра, находящегося в нормативных границах.
Косвенные методы построения ФП используют, когда отсутствуют количественные признаки, необходимые для определения НМ. В этом случае применяют метод попарных сравнений,
который можно представить матрицей отношений А. Эксперт сам
формирует матрицу А, в которой диагональные элементы равны
единице, а элементы, симметричные относительно диагонали, заполняются значениями aij и 1/aij (aij — отношение предполагаемых экспертом значений ФП i-го и j-го признаков рассматриваемого объекта).
В качестве типовых форм могут применяться различные виды ФП, в частности, треугольная, трапециевидная, гауссова, колоколообразная и др. Форма ФП определяется разработчиком системы, исходя из условий простоты, удобства и эффективности
использования. Например, в пакете прикладного программирования Matlab в модуле Fuzzy Logic, применяемом для решения
задач посредством нечеткой логики, имеется одиннадцать видов
ФП. На рис. 5.5 показаны некоторые из ФП.
Рис. 5.5. Функции принадлежности модуля Fuzzy Logic: trimf —
треугольная; trapmf — трапециевидная; gaussmf — гауссова; sigmf —
сигмоидная
164
На использовании типовых форм основан метод параметрического определения ФП с участием индивидуального эксперта.
В соответствии с данным методом, вид ФП задается аксиоматически, а ее параметры непосредственно оцениваются экспертом.
Например, в случае треугольной формы эксперт указывает такие
ее параметры х1, х2, х3, при которых ФП принимает единичное
и нулевые значения, т. е. µA(x2) = 1 и для всех х ≤ х1, х ≥ х3 имеет место равенство µA(x) = 0. Параметрическое представление ФП
является компактным, обеспечивает простоту их построения, однако связано с исследованием адекватности используемых форм
(треугольной, трапециевидной, гауссовой и др.) и соответствующих аналитических описаний ФП.
Формулы для вычисления показанных на рис. 5.5 ФП приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Аналитические выражения функций принадлежности
Функция
Аналитическое выражение
Треугольная
ì
ï
ï
ïï0, x £ a èëè x ³ c
ï
ï
ïx -a
µ(x) = í
, a<x£b
ï
b-a
ï
ï
ï
c-x
ï
, b<x<c
ï
ï
ïc-b
î
Трапециевидная
ì
0, x £ a èëè x ³ d
ï
ï
ï
ï
x-a
ï
, a£x£b
ï
ï
b-a
µ(x) = ï
í
ï
b£x£c
1,
ï
ï
ï
d-x
ï
ï
, c£x£d
ï
ïd-c
î
(a, d) — носитель нечеткого множества;
[b, c] — ядро нечеткого
множества
Гауссова
é (x - b)2 ù
ú
µ(x) = exp êêú
2c2 ûú
ëê
b — координата максимума; с — коэффициент
концентрации
Сигмоидная
-1
µ(x) = {1 + exp[-a(x - c)]}
Интерпретация параметра
(a, c) — носитель нечеткого множества; b — координата максимума
а — коэффициент крутизны; с — коэффициент перехода через 0,5
165
5.1.3. Лингвистические переменные
В НЛ для описании объектов и явлений с помощью нечетких
множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a, Е, A>, где
a — наименование переменной; Е — универсальное множество
(область определения a); A — нечеткое множество на Е, описывающее ограничения на значения нечеткой переменной a.
Лингвистической переменной называется набор <b, T, Е, G,
M>, где b — наименование лингвистической переменной; Т —
множество ее значений (терм-множество), представляющих собой
наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество Е; G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества
T, в частности, генерировать новые термы (значения); М — семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в
нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Для того чтобы избежать большого количества символов, рекомендуются следующие действия:
1) символ b используют как для названия самой переменной,
так и для всех ее значений;
2) для обозначения нечеткого множества и его названия применяют один и тот же символ, например, терм «малый», являющийся значением лингвистической переменной b = «доход», одновременно есть и нечеткое множество М («малый»).
Пример 5.2. Для определения величины дохода введем определения «малый», «средний» и «большой». При этом минимальный доход установим равным 20 000 рублей, а максимальный —
100 000 рублей.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей лингвистической переменной <b, T, X, G, M>:
— b — доход;
— терм-множество: T — {«малый доход», «средний доход»,
большой доход»}. Для описания термов воспользуемся ФП в виде
трапеций для малого и большого доходов, а также треугольной
ФП для среднего;
— универсальное множество Е: [20 000, 100 000];
166
Рис. 5.6. Функции принадлежности для трех терм-множеств
— G — процедура образования новых термов с помощью связок «И», «ИЛИ» и модификаторов типа «очень», «не», «слегка» и
т. д.;
— М — процедура задания на Е = [20 000, 100 000] нечетких подмножеств А1 = «малый доход», А2 = «средний доход»,
А3 = «большой доход».
На рис. 5.6 приведены ФП для нечетких множеств: А1 = «малый доход», А2 = «средний доход», А3 = «большой доход».
5.1.4. Нечеткий логический вывод
Нечеткий логический вывод представляет собой аппроксимацию зависимости «вход—выход» на основе лингвистических высказываний вида «если—то» и логических операций над нечеткими множествами. Такой вывод применяется при моделировании объектов с непрерывным и дискретным выходами (рис. 5.7).
В первом случае имеем дело с задачами аппроксимации гладких
функций, возникающих при прогнозировании, управлении техническими объектами и др. Ситуация с дискретными выходами
соответствует задачам классификации в диагностике, распознавании образов, группировании и т. п.
а)
б)
х1
х2
хn
y
d1
х1
х2
хn
y
dm
Рис. 5.7. Объекты с непрерывным (а) и дискретным (б) выходами
167
База правил
Дефаззификатор
Фаззификатор
Нечеткий вывод
Рис. 5.8. Система нечеткого логического вывода
Типичная структура системы нечеткого вывода показана на
рис. 5.8.
Данная система состоит из следующих модулей:
1) фаззификатор (от англ. «fuzzy»), который преобразует вектор входных четких переменных в нечеткие множества, необходимые для нечеткого вывода;
2) база правил, содержащая информацию о зависимости
y = f (x) в виде лингвистических правил вида «если—то»;
3) система нечеткого вывода на основе базы правил формирует
значение выходной переменной в виде выходного нечеткого множества;
4) дефаззификатор (от англ. «defuzzy») преобразует выходное
нечеткое множество в четкое выходное значение у.
5.1.5. Нечеткая база правил
Под нечеткой базой правил понимается совокупность нечетких правил вида «если—то», устанавливающих взаимосвязь
между входами и выходами исследуемого объекта. Каждое нечеткое правило имеет такой формат:
ЕСЛИ (посылка правила), ТО (заключение правила).
Посылка правила является утверждением вида «х есть большой», где «большой» представляет собой терм, заданный нечетким множеством на универсальном множестве лингвистической
переменной х. Заключение правила устанавливает факт типа «у
есть b», в котором значение выходной переменной может задаваться следующим образом:
— нечетким термом: «у есть малый»;
— классом решений: «у есть ложная цель»;
— четкой константой: «у = 2»;
— четкой функцией от входных переменных: «у = 2 +3х».
Многомерные зависимости «входы—выходы» задают нечеткими правилами с логическими операциями «И» или «ИЛИ». На168
пример, «“Если х1 = малый” “И” “х2 = большой” “И” “х3 = средний”, то “у = большой”». Нечеткую базу правил, связывающую
входы Х = (х1, х2, ...., хn) с выходом у, можно представить следующим образом:
(x1 = a1j Θ j x2 = a2 j Θ j ... Θ j xn = anj ) Þ y = dj , j = 1,m,
где aij  — нечеткий терм, которым оценивается переменная xi в
j-м правиле; dj — заключение j-го правила; m — количество правил в базе нечетких правил; Θ j — логическая операция, связывающая фрагменты посылки j-го правила (ей может быть логическая операция «И» или «ИЛИ»); Þ  — знак нечеткой импликации, под которой понимается отношение между принятым переменной х значением А и значением В, принятым переменной у.
При экспертном методе нечеткого вывода адекватность правила может учитываться введением весовых коэффициентов, что
приводит к следующей модификации правил:
(x1 = a1j Θ j x2 = a2 j Θ j ... Θ j xn = anj ñ âåñîì wj ) Þ y = dj , j = 1,m,
где wj Î [0, 1]  — весовой коэффициент j-го правила.
5.2. Алгоритмы нечеткого вывода
В системе нечеткого вывода, показанной на рис. 5.8, конкретизируем составные элементы схемы.
При фаззификации ФП, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой посылки каждого правила.
При формировании нечеткого вывода вычисленное значение
истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому
множеству, которое будет назначено выходной переменной для
каждого правила.
В качестве правил логического вывода обычно используются
операции:
— минимума (min);
— произведения (prod),
которые показаны на рис. 5.9.
При операции min ФП вывода (правой части правила) «отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки (левой части) правила (нечеткая логика «И»).
169
а)
µ(х)
Вход
µ(у)
1,0
Выход
1,0
хвх
б)
µ(х)
Вход
1,0
х
у
µ(у)
Выход
1,0
хвх
х
у
Рис. 5.9. Правила логического вывода:
а — операция минимума; б — операция произведения
В логическом выводе prod ФП вывода масштабируется в зависимости от степени истинности предпосылки правила.
Далее выходы всех правил вычисляются отдельно, но в правой части нескольких из них может быть указана одна и та же
нечеткая переменная. Нечеткие подмножества, назначенные для
каждой переменной вывода (или одной переменной), объединяются вместе для формирования одного выходного нечеткого множества.
При таком объединении используются следующие операции:
— максимума (max);
— суммы (sum),
показанные на рис. 5.10.
При композиции max комбинированный вывод формируется
как поточечный максимум по всем нечетким подмножествам (нечеткая логика «ИЛИ»).
При композиции sum такой вывод строится как поточечная
сумма по всем нечетким подмножествам.
На этапе дефаззификации производится переход от нечеткого
вывода к четкому выходному значению. При этом могут использоваться различные способы, в частности:
а)
б)
µ(y)
µ(y)
1,0
1,0
µ1
µ2
µ1
µ2
y
Рис. 5.10. Операции максимума (а) и суммы (б)
170
y
1) метод центра тяжести (определяется абсцисса центра тяжести кривой под ФП);
2) метод первого максимума (выбирается наименьший элемент
нечеткого множества, при котором достигается максимум значения ФП);
3) метод среднего максимума;
4) метод наименьшего максимума (определяется из вида ФП).
Для метода центра тяжести расчетные формулы имеют
вид:
— для непрерывного случая:
ò zC(z)dz
z0 =
Ω
ò C(z)dz
;
Ω
— для дискретного случая:
n
å αi zi
z0 = i=1
n
.
å zi
i=1
Для метода первого максимума:
zo = min(z C(z) = max C(u)).
u
Для метода среднего максимума:
ò zdz
z0 =
G
ò dz
,
G
где G — подмножество элементов, максимизирующих С.
В блоке нечеткого вывода часто используется логический вывод Мамдани, названный так в честь английского ученого, который впервые предложил нечеткий контроллер для модели парового двигателя. Этот вывод выполняется по базе правил, в которой все значения входных и выходной переменных заданы нечеткими множествами. База знаний Мамдани может трактоваться
как разбиение пространства влияющих факторов на подобласти с
размытыми границами, внутри которых функция отклика при171
нимает нечеткое значение. Правило в базе знаний представляет
собой «информационный сгусток», отражающий одну из особенностей зависимостей «входы—выход».
В результате логического вывода по j-му правилу базы правил
получим нечеткое значение выходной переменной у. Результат
логического вывода по всей базе знаний находят агрегированием
нечетких множеств, т. е. посредством операции максимума всех
выходных множеств.
Четкое значение выхода, соответствующее данному входному
вектору, определяется путем дефаззификации суммарного выходного нечеткого множества. Наиболее часто применяется способ дефаззификации по методу центра тяжести, при котором четкий выход определяется как абсцисса центра тяжести фигуры,
изображающей выходное нечеткое множество.
5.3. Построение внутренней рейтинговой системы
на основе нечеткой логики
Построение внутренней рейтинговой системы (ВРС) произведем при помощи программного модуля Fuzzy Logic системы
Matlab, версия 7.01. Схема работы с этой системой показана на
рис. 5.11.
Рассмотрим создание ВРС на упрощенном примере, который
дает оценку возможности разработки такой системы.
Пример 5.3. Оценить кредитоспособность клиента (физического лица) по следующим критериям: возраст, доход, стоимость залога (квартиры).
Редактор системы нечеткого вывода Fuzzy inference system
(FIS) — editor показан на рис. 5.12.
После добавления еще двух входов система примет вид, показанный на рис. 5.13.
Для всех переменных устанавливаются диапазон изменения,
число градаций и их наименования, вид ФП. В качестве примеров на рис. 5.14 и 5.15 показаны ФП для первой переменной (возраст) и выходной переменной (риск) соответственно.
На рис. 5.16, а, б показаны результаты моделирования ВРС,
которая определяет риск (на условной шкале, где левая граница
означает отсутствие риска, а правая — максимально допустимый
риск) для различных клиентов. В ситуации рис. 5.16, а значение
риска составляет 73 условные единицы, в ситуации рис. 5.16, б —
23 единицы, откуда следует вывод о предпочтительности второго
клиента.
172
Редактор входов
Редактор правил
Редактор функций
принадлежности
Система нечеткого
вывода
Выход
График
выходной
переменной
Рис. 5.11. Схема работы модуля Fuzzy Logic системы Matlab
Рис. 5.12. Окно редактора
173
Рис. 5.13. Окно редактора системы после добавления двух входов
Рис. 5.14. Функция принадлежности для переменной «возраст»
Рис. 5.15. Функция принадлежности для переменной «риск»
174
а)
б)
Рис. 5.16. Результаты моделирования ВРС: а — значение риска = 73;
б — значение риска = 23
175
Таким образом, полученные результаты свидетельствуют о возможности создания ВРС на основе нечеткой логики. Естественно,
что в реальной ситуации число входных переменных может быть
больше и они могут быть иными, но принцип решения остается
тем же. Кроме того, результаты моделирования позволяют сформировать набор данных, включающих как входные переменные,
так и выходной параметр, на основании чего посредством регрессионного анализа можно получить уравнение, связывающее выходной параметр со всеми (или частью) входами, и пользоваться
такой формулой для оценки риска, не обращаясь больше к НЛ.
5.4. Основные сведения об искусственных нейронных сетях
5.4.1. Становление нейронной доктрины
Искусственные нейронные сети (ИНС) используются при решении проблем, которые не могут быть точно сформулированы.
Термин «нейронные», фигурирующее в названии подраздела,
применяется потому, что многое в теорию ИНС пришло из нейробиологии, хотя в действительности здесь не рассматриваются сети реальных биологических нейронов. Моделирование функций
мозга — совершенно другая научная сфера, но из этой области в
теорию ИНС заимствованы некоторые биологические аналогии.
В качестве определения нейронных сетей может служить следующее: ИНС — параллельно распределенная структура обработки информации, состоящая из отдельных элементов (нейронов),
которые соединены между собой связями.
На сегодняшний день традиционные методы организации вычислительного процесса в ЭВМ оказываются неэффективными
при решении ряда задач, относящихся к классам неформализуемых или случайных, которые требуют обработки больших массивов информации, проверки множества альтернативных гипотез, поиска в базах данных. Применение ИНС позволяет привлечь в вычислительную технику метод обработки информации,
характерный для высокоорганизованных биологических систем,
в частности, принцип параллелизма. В отличие от используемых
в традиционных ЭВМ фон-Неймановской архитектуры в ИНС и
компьютеров, построенных на их основе, роль программирования выполняет обучение, под которым понимается изменение состояния самих нейронов и связей между ними.
Мозг человека превосходит компьютер при решении многих
задач. Удачный пример сопоставления — это обработка визуаль176
ной информации: годовалый ребенок лучше и быстрее распознает
предметы, лица и т. п., чем это делает самая совершенная система искусственного интеллекта. Только в одной задаче компьютер
превосходит возможности мозга: при выполнении арифметических операций. Мозг содержит порядка 1011 нейронов (нервных
клеток) различных типов. На рис. 5.17 показано схематическое
изображение одного нейрона. Ветвящиеся сети нервных волокон,
называемые дендритами, соединяются на теле клетки (соме), где
расположено ее ядро. Из тела клетки выходит аксон, представляющий собой нервное волокно, который разветвляется на множество прядей. Аксон может быть как коротким (0,1 мм), так и
длинным (свыше 1 м), распространяясь в другую часть тела человека. На концах своих ветвей аксон имеет передающие окончания синаптических соединений (синапсов), через которые сигнал
передается в другие нейроны через дендриты, а в некоторых случаях — прямо в тело клетки. Существует огромное количество
синаптических связей от аксона к аксону, от аксона к телу клетки, от дендрита к дендриту.
В 1943 г. В. Маккаллох и В. Питтс предложили общую теорию
информационных вычислений, основанную на бинарных решающих элементах, которые они назвали «нейронами», хотя эти
элементы намного проще, чем их биологические прототипы. По
существу, эти ученые предложили модель искусственного нейрона, и, несмотря на то, что прошло уже более 60 лет, эта модель
считается основной в теории ИНС.
Тело клетки
Аксон
Дендриты
Синапс
Рис. 5.17. Схематическое изображение биологического нейрона
177
Каждый из бинарных элементов i = 1, ..., n может принимать
выходные значения только ni = 0; 1, при этом ni = 0 определяет состояние покоя, а ni = 1 — активное состояние элементарной ячейки. Положим, что изменения состояния сети имеют место в дискретные моменты времени t = 0, 1, 2, .... Новое состояние некоторого нейрона определяется воздействием всех других нейронов на
него и выражается линейной комбинацией их выходных значений:
hi (t) = å wij nj (t).
j
Здесь wij определяет синаптические веса между нейронами i
и j, а hi(t) — общий постсинаптический потенциал на нейроне i,
обусловленный действием всех других нейронов. Иначе говоря,
модель нейрона Маккаллоха–Питтса вычисляет взвешенную
сумму своих входов от других нейронов. Далее в модели принято,
что нейрон становится активным, если эта сумма (вход нейрона)
превышает некоторый порог θi, который может значительно различаться от одного нейрона к другому. Тогда эволюция сети определяется выражением
ni (t + 1) = f [hi (t) - θi ],
где f (x) — единичная ступенчатая функция, равная
ìï1, åñëè x ³ 0
f (x) = ïí
.
ïïî0, åñëè x < 0
Вес wij, определяющий величину связи между нейронами i и
j, может быть положительным или отрицательным, что соответствует возбуждающему или замедляющему синапсу. При нулевом значении веса связь между нейронами i и j отсутствует.
На рис. 5.18 приведена схема искусственного нейрона
Маккаллоха–Питтса.
x1
w11
x2
xn
�
f(h)
y
w n1
Рис. 5.18. Модель искусственного нейрона
178
Маккаллох и Питтс показали, что сети, составленные из таких нейронов, могут выполнять вычисления подобно программируемым цифровым компьютерам. В определенном смысле сеть
также содержит «программный код», который управляет вычислительным процессом, т. е. матрицей весов wij. Сеть отличается от
традиционного компьютера тем, что шаги программы выполняются не последовательно, а параллельно в пределах каждой элементарной ячейки.
Десятилетие с конца 50-х годов до конца 60-х годов можно
назвать первым золотым веком нейронных сетей. В это время
Ф. Розенблатт с коллегами интенсивно изучали специальный тип
ИНС, названный ими персептрон; они рассматривали его как
упрощенную модель биологического механизма определения сенсорной информации. В самой простейшей форме персептрон состоит из двух различных слоев нейронов, представляющих собой
входной и выходной слои соответственно. Розенблатт разработал
итеративный алгоритм для определения весов wij, с помощью которого конкретный входной образ трансформируется в требуемый
выходной образ, и доказал сходимость этого алгоритма. Научные
круги с энтузиазмом восприняли работы Розенблатта, так как полагали, что такие устройства могут послужить основой для создания искусственного интеллекта.
Следующий, третий, этап развития концепции ИНС начался в конце 60-х годах и получил название застойного периода.
В 1969 г. М. Минский и С. Паперт в своем исследовании, посвященном персептронам, доказали, что существует ряд простых задач, которые в принципе не могут быть решены с помощью простого персептрона. Одна из таких задач — проблема «исключающего ИЛИ», которая не может быть представлена простым персептроном. Ф. Розенблатт разработал структуры многослойных
персептронов, но отсутствие обучающего алгоритма, т. е. правила
изменения весов, в то время не позволило ему показать возможности таких сетей. Научный авторитет авторов книги, в первую
очередь М. Минского, в кругах специалистов был достаточно высок, и это послужило причиной того, что многие ученые, разочаровавшись в нейросетевой теории, переключились на другие области знаний. Почти на протяжении полутора десятилетий проблемами ИНС продолжали заниматься лишь немногие ученые,
верившие в перспективность этого направления.
Интерес к ИНС возродился вновь в середине 80-х годов, и последний этап развития ИНС получил название возрожденного эн179
тузиазма. Это развитие было инициировано разработкой эффективного алгоритма для определения весов в многослойных сетях
со скрытыми слоями. Данный метод, первоначально предложенный в 1974 г. П. Вербозом (P. Werbos) в его докторской диссертации, но незамеченный в среде специалистов, в 1985 г. был изучен
несколькими группами исследователей и получил название метода обратного распространения ошибки (Back Propagation Error —
BPE). Этот обучающий алгоритм основан на простом, но очень
эффективном принципе: веса wij изменяются итеративно таким
образом, что выходной сигнал отличается от требуемого выхода
настолько мало, насколько это возможно. Такое решение достигается использованием градиентного метода, который дает требуемые изменения весов. Так как действие сети основано на нелинейном отображении между входом и выходом, то метод ВРЕ
должен быть применен многократно до тех пор, пока не будет достигнута сходимость. Появление этого метода, позволяющего решать сложные задачи с помощью многослойных персептронов,
оказало существенное влияние на пути дальнейшего развития
теории ИНС.
5.4.2. Парадигмы обучения
Возможно, самым удобным принципом классификации ИНС
являются парадигмы их обучения (иначе — правила изменения и
регулирования весов). Существуют три основных парадигмы обучения:
1) супервизорное обучение (СО);
2) несупервизорное обучение (НСО);
3) усиленное обучение (УО).
СО — сегодня наиболее часто используемый вид обучения сетей и используется в ИНС, предназначенных для классификации
и предсказания. НСО применяется в задачах кластеризации и
сегментации для поддержки принимаемого решения. УО находит
применение в задачах оптимизации и адаптивного управления и,
по сравнению с другими способами обучения, используется реже.
Рассмотрим указанные виды обучения более подробно.
Супервизорное обучение
Этот вид обучения эквивалентен программированию на примерах. При таком подходе сети задается проблема, и ИНС ищет
решение по известному соотношению «вход — выход». Здесь
«учитель» (тренер) указывает, каким должен быть правильный
180
Регулирование
весов
Вход
Выход
Рис. 5.19. Схема супервизорного обучения
ответ. Обучающий алгоритм по разнице между правильным (требуемым) выходом и действительным выходом сети регулирует ее
веса таким образом, что в следующий момент времени (на следующем проходе) выход сети будет ближе к правильному ответу. На
входной слой сети подается вектор входных параметров, а на выходной — соответствующий этому вектору номер класса (в задаче
классификации) (рис. 5.19). Такие примеры «вход — выход» сети
должны быть предъявлены десятки, сотни и даже тысячи раз,
прежде чем сеть может дать точный ответ на некоторую сложную
проблему (например, отнести новый, неизвестный сети объект к
одному из классов, на которые она обучена).
СО обычно используется, когда в наличии имеется база данных примеров, содержащих вход и выход. По этой базе ИНС может обучиться тому, как связаны вход и выход, и на основании
этого принять соответствующее решение. Сеть может обучиться
на сотнях (тысячах) примеров, сделанных лучшими исполнителями фирмы, и делает это она без какого-либо программирования, только тренируясь на предъявляемых ей учителем примерах. Цель такой тренировки заключается в минимизации ошибки между правильным и реальным выходами сети.
СО является полезным подходом для обучения ИНС выполнять классификацию, аппроксимацию функций, прогнозирование. Это особенно полезно в задачах, где данные доступны в форме пар «вход — выход», но неизвестно точное преобразование для
обработки входного вектора с целью получения выхода. Такая ситуация имеет место для данных, полученных статистическим путем, в задачах, которые являются нелинейными и имеют сложную связь между переменными.
181
Регулирование
весов
Вход
Конкуренция
выходных
нейронов
за право быть
победителем
Рис. 5.20. Схема несупервизорного обучения
Несупервизорное обучение
НСО используется в ситуациях, когда имеется много данных о
некоторых объектах и представляет интерес оценка сходства объектов из рассматриваемой совокупности. Перед сетью здесь ставится задача кластеризации входных данных таким способом,
чтобы похожие образы (объекты) попали в одну группу (кластер).
Нейронная сеть, использующая НСО, может решать такую задачу с большой точностью. Обычно сеть с таким способом обучения
состоит только из входного и выходного слоев, причем количество нейронов в первом слое определяется размерностью входного
вектора, а во втором — количеством предполагаемых классов, на
которые желательно разбить исходную совокупность (рис. 5.20).
Ячейки выходного слоя соревнуются между собой за право быть
победителем, которым в итоге становится нейрон выходного слоя
с весами, наиболее близкими к компонентам входного вектора. В
процессе обучения происходит подстройка весов, в первую очередь, нейрона-победителя, с тем, чтобы стать еще ближе ко входному вектору. Здесь ячейка-победитель является, по существу,
меткой класса, к которому отнесен входной вектор.
ИНС, которые обучаются таким методом, называются самоорганизующимися, потому что они не получают указаний относительно требуемого выхода. При предъявлении входного образа сеть посредством конкуренции и регулирования весов относит образ к
одному из уже существующих кластеров или к новому классу.
Усиленное обучение
В сетях с СО предполагалось, что имеется информация о правильных выходных значениях для каждого входного образа. Но
в некоторых ситуациях доступна менее детальная информация.
В предельном случае может быть только один бит информации:
выход правильный или неверный. В таких условиях использует182
Выход
r
Внешняя
среда
Вход
Рис. 5.21. Схема усиленного обучения
ся процедура УО, которая является формой СО, так как сеть получает некоторую обратную связь из окружающей среды. Но эта
обратная связь (сигнал усиления, да/нет) служит лишь оценкой,
но не инструкцией к поведению сети. УО иногда называют обучением с критиком в противоположность обучению с учителем.
В случае, если сигнал усиления из внешней среды указывает на
то, что выход неверный, но он не дает даже намека, какой же должен быть правильный выход. Вследствие этого в ИНС, где используется УО, важно наличие некоторого источника случайности с
тем, чтобы пространство возможных выходов могло быть расширено до тех границ, пока не будет найдена правильная величина
выхода.
При использовании парадигмы УО полагают работу ИНС в определенной внешней среде. Среда формирует входы в сеть, получает
выходы сети и затем определяет сигнал усиления r (рис. 5.21).
5.4.3. Нейросетевые топологии
Организация нейронов и их связей в определенную структуру (архитектуру) оказывает значительное влияние на вычислительные возможности ИНС. Все сети имеют некоторое количество вычислительных элементов (формальных нейронов), принимающих сигналы из внешней среды. Такие нейроны называются входными. Многие ИНС обладают одним или несколькими
слоями «скрытых» вычислительных элементов, которые принимают сигналы от других нейронов. Этот слой принимает вектор
входных данных или выходы предыдущего слоя и обрабатывает
их параллельно. Ряд нейронов, которые представляют оконча183
Выходные
сигналы
Входные
сигналы
…
…
…
Слой 1
…
…
Слой 2
…
…
…
…
Слой k
Рис. 5.22. Прямонаправленная сеть
тельный результат нейросетевых вычислений, определяются как
выходные. Топологии связей, которые определяют поток данных
между входными, скрытыми и выходными нейронами, сводятся
к двум основным группам: прямонаправленные (слоистые) и рекуррентные (полносвязные) сети. Перед рассмотрением этих базовых топологий укажем на согласованность работы различных
нейронов во времени. Здесь и далее рассматриваются только нейронные сети, синхронно функционирующие в дискретные моменты времени (все нейроны срабатывают одновременно).
В слоистых сетях нейроны расположены в несколько слоев
(рис. 5.22). Нейроны первого слоя получают входные сигналы,
преобразуют их и передают нейронам второго слоя. Далее срабатывает второй слой и т. д. до k-го слоя, который выдает выходные сигналы для интерпретатора и пользователя. Если не оговорено противное, то каждый выходной сигнал предыдущего слоя
подается на вход всех нейронов последующего. Число нейронов в
каждом слое может быть любым и никак заранее не связано с количеством нейронов в других слоях. Стандартный способ подачи
входных сигналов: все нейроны первого слоя получают каждый
входной сигнал, поэтому чаще всего количество нейронов входного слоя определяется размерностью вектора входных данных.
В полносвязных (рекуррентных) сетях каждый нейрон передает свой выходной сигнал остальным нейронам, включая самого
себя. Выходными сигналами сети могут быть все или некоторые
выходные сигналы нейронов после нескольких тактов функционирования сети. Все входные сигналы подаются всем нейронам.
Для полносвязной сети входной сумматор нейрона фактически распадается на два: первый вычисляет линейную функцию
от входных сигналов сети, второй — линейную функцию от выходных сигналов других нейронов, полученных на предыдущем
шаге.
184
w11
z–1
z–1
w1n
z–1
y1
y2
wn1
yn
wnn
Рис. 5.23. Рекуррентная сеть
В случае, если полносвязная сеть функционирует до получения ответа заданное число тактов k, то ее можно представить
как частный случай k-слойной сети, все слои которой одинаковы
и каждый из них соответствует такту функционирования полносвязной сети. Существенное различие между полносвязной и
слоистой сетями возникает тогда, когда число тактов функционирования заранее не ограничено — слоистая сеть так работать
не может.
На рис. 5.23 показан пример сети рекуррентного типа.
Важную роль в ИНС играет функция активации, под воздействием которой искусственный нейрон преобразует взвешенную
сумму входных сигналов и вырабатывает выходной сигнал. Такая операция является основной в ИНС. Обычно одна и та же
функция активации используется во всех нейронах данного
слоя сети, хотя иногда могут быть исключения из этого правила.
В большинстве случаев применяется нелинейная функция активации, в качестве которой в нейросетевой технологии распространены так называемая сигмоидная функция и функция гиперболического тангенса. Применение таких функций обусловлено, в
основном, двумя обстоятельствами: во-первых, ограничением величины сигнала после операций умножения и суммирования и,
во-вторых, простыми соотношениями между этими функциями и
их первыми производными, которые используются в методе обучения многослойных сетей.
185
5.4.4. Алгоритмы обучения
Алгоритм обучения означает процедуру, в которой используются правила обучения для настройки весов. Известны четыре
основных типа правил обучения:
1) правило Хебба;
2) коррекция по ошибке;
3) метод конкуренции;
4) машина Больцмана.
Правило Хебба является самым ранним обучающим правилом и представляет собой постулат Д. Хебба, канадского ученого,
который еще в 1949 г. предложил такой алгоритм. Смысл этого
правила: если нейроны с обеих сторон синапса активизируются
одновременно и регулярно, то сила синаптической связи возрастает. Важная особенность этого правила состоит в том, что изменение синаптического веса зависит только от активности нейронов, которые связаны данным синапсом.
Правило коррекции по ошибке используется в сетях супервизорного обучения. Для каждого входного примера задается требуемый выход t. Реальный выход сети у может не совпадать с
требуемым, откуда следует принцип коррекции ошибки при обучении: для модификации весов, обеспечивающей постепенное
уменьшение ошибки, используется сигнал (t – y). Обучение проводится только в том случае, если сеть на выходе выдает сигнал, отличный от требуемого.
При обучении методом конкуренции нейроны выходного слоя
соревнуются между собой за право стать активным. Борьба происходит под девизом «Победитель получает все» (в английском
написании — «Winner Takes All», WTA), в результате чего только нейрон-победитель (тот нейрон, весовой вектор которого ближе всех ко входному вектору) получает право на изменение своих
весовых коэффициентов. Обучение посредством конкуренции позволяет кластеризовать входные данные: сходные образы группируются сетью в соответствии с корреляциями и представляются
одним элементом (меткой кластера).
Обучение Больцмана представляет собой стохастическое правило обучения, которое следует из информационных теоретических и термодинамических принципов. Целью обучения Больцмана является такая настройка весовых коэффициентов, при которой состояния нейронов удовлетворяют желаемому распределению вероятностей (в частности, распределению Больцмана).
186
Обучение Больцмана может рассматриваться как специальный
случай коррекции по ошибке, в котором под ошибкой понимается расхождение корреляций состояния в двух режимах.
5.5. Метод обратного распространения ошибки
Нейронные сети без скрытых слоев не могут выполнять некоторые достаточно простые задачи, к примеру, проблему исключающего «ИЛИ». Переход к многослойным нейронным сетям, способным решать более сложные задачи, был затруднен из-за отсутствия обучающего алгоритма для таких сетей. Метод обучения
многослойных сетей, получивший название метода обратного
распространения ошибки (ОРО, в английском написании — Back
Propagation Error (BPE)), был открыт в 1986 г., после чего начался интенсивный период разработки нейросетевых технологий на
основе многослойных сетей в приложениях к различным сферам
науки и техники. Здесь рассмотрим метод ОРО для многослойного прямонаправленного персептрона (МПП), предназначенного
для решения задач, которые могут быть выражены в виде образов (пар) «вход — выход». Такие соотношения можно назвать обучающими примерами.
Обучение МПП состоит в адаптации всех синаптических весов
таким образом, чтобы разница между действительными выходными и требуемыми сигналами, усредненная по всем обучающим
примерам, была настолько мала, насколько это возможно. Обучение сети методом ОРО включает в себя три этапа:
1) прямое распространение входного обучающего образа;
2) вычисление ошибки и ее обратное распространение;
3) регулирование весов.
После обучения сети ее использование состоит только из вычислений первой фазы. Хотя обучение сети может представлять
собой медленный процесс, обученная сеть выполняет свою задачу
очень быстро.
Этот метод основан на вычислении вектора градиента поверхности ошибок, который указывает направление кратчайшего
спуска по поверхности из данной точки. Последовательность шагов приводит после ряда итераций к минимуму поверхности ошибок. Очевидную трудность здесь представляет выбор длины шага.
При большой длине сходимость более быстрая, но есть опасность
«перескочить» через решение, особенно в случаях, когда поверхность отклика имеет форму узкого оврага. При малом шаге на187
x1
x2
.
i.
.
xn
1-é ñëîé
w ij
f(hj)
w jk
Σ
v1
Σ
v2
Σ
.
.
.
.
.
.
vq
Σ
.
.
.
.
.
Σ
2-é ñëîé
Σ
f(h k)
y1
y2
.
.
.
.
.
ym
3-é ñëîé
Рис. 5.24. Схема трехслойного персептрона
правление продвижения выбирается правильным, но требуется
много итераций для достижения минимума. На практике величина шага принимается пропорциональной крутизне склона с некоторой постоянной, называемой скоростью обучения.
Для конкретности рассмотрим МПП, состоящий из входного,
скрытого и выходного слоев нейронов, схема которого представлена на рис. 5.24.
Обозначим xi (i = 1, 2, ..., n) — входные нейроны; vj (j = 1, 2, ...,
q) — нейроны скрытого слоя; yk (k = 1, 2, ..., m) — выходные нейроны; wij — веса от ячеек входного слоя к нейронам скрытого слоя;
wjk — веса от нейронов скрытого слоя к выходным нейронам. Индексом р, p = 1, 2, ..., P) обозначим различные образы, предъявляемые на вход. Входные сигналы могут быть бинарными, биполярными или непрерывными.
Поведение сети должно быть определено на основе ряда пар
«вход — выход». Каждый обучающий пример состоит из n входных сигналов xi и m соответствующих выходных сигналов tk. Обучение МПП для конкретной задачи эквивалентно нахождению
таких значений всех синаптических весов, при которых для соответствующего входа формируется требуемый выход. Более точно,
обучение многослойной сети заключается в регулировании всех
весов таким образом, что ошибка между требуемыми выходными
tk и действительными выходными yk сигналами, усредненная по
всем обучающим примерам, была бы минимальна (возможно, нулевая). При предъявлении образа р на вход сети скрытая ячейка
j принимает сигнал
188
hjp = å wij xip ,
i
и на своем выходе с помощью функции активации вырабатывает
сигнал
vjp = f (hjp ) = f (å wij xip ).
i
Выходная ячейка с номером k суммирует сигналы от нейронов
скрытого слоя, образуя сигнал, равный
hkp = å wjkvjp = å wjk f (å wij xip ),
j
j
i
и после воздействия функции активации формирует выходной
сигнал
ykp = f (hkp ) = f (å wjkvjp ) = f [å wjk f (å wij xip )].
j
j
i
Для упрощения записи здесь пороговые значения отброшены;
они всегда могут быть введены в сеть.
В качестве функции ошибок примем функцию вида
E[w] = 0,5åå (tkp - ykp )2 ,
p
(5.1)
k
где tkp — требуемое значение выхода.
Подставляя в выражение (5.1) значение ykp, получим
E[w] = 0,5åå {tkp - f [å wjk f (å wij xip )]}2 . p
k
j
(5.2)
i
Функция (5.2) является непрерывно дифференцируемой функцией от каждого веса, входящего в это выражение, поэтому можно воспользоваться алгоритмом градиентного спуска для нахождения весов. Большую практическую важность здесь имеет форма правил изменения весов.
Для весов между скрытым и выходным слоями правило градиентного спуска дает
∆wjk = -η
∂E
= ηå (tkp - ykp ) f ¢(hkp ) vjp = ηå δkpvjp , ∂wjk
p
p
(5.3)
189
где
δkp = f ¢(hkp ) (tkp - ykp ). (5.4)
Для весов между входным и скрытым слоями нужно продифференцировать (5.3) по wjk, для чего воспользуемся цепным правилом и получим
p
∂E
∂E ∂vj
∆wij = η
= -ηå
=
p ∂w
∂wij
ij
p ∂v
j
= ηåå
p
k
(tkp - ykp )
f ¢(hkp )
wjk f ¢(hjp ) xip =
= ηåå δkpwjk f ¢(hjp ) xip = å δ jp xip ,
p
k
(5.5)
p
где
δ jp = f ¢(hjp )å wjk δkp . (5.6)
k
Отметим, что уравнения (5.3) и (5.5) имеют одинаковую форму, но различаются значениями параметра d. В общем случае при
произвольном числе слоев правило изменения весов в методе ОРО
имеет вид
∆wαβ = ηå δ outvin ,
p
(5.7)
где суммирование производится по всем предъявляемым образам; выход и вход относятся к двум концам a и b синаптического
соединения; vin — активация от скрытой ячейки или реального
входа. Значения d зависят от рассматриваемого слоя: для последнего слоя эта величина определяется по выражению (5.4), а для
других слоев — формулой, подобной (5.6).
Выражения (5.3) и (5.5), определяющие правила изменения
весов, записаны в виде сумм по предъявляемым образам, однако обычно образы поступают на вход последовательно: образ р
предъявляется на вход, и по окончании прохода «вперед — назад» по сети все веса изменяются перед предъявлением следующего образа. Это уменьшает функцию ошибок Е на каждом шаге. Если образы выбираются в случайном порядке, то движение
по пространству весов происходит стохастически, что позволяет
190
Íåéðîñåòü
Ãåíåðàòîð
x, t
îáó÷àþùèõ
ïàð x,t
Ðàñïðåäåëèòåëü
x
….
y
t–y
ïðÿìîé ñèãíàë
w(new)
îáðàòíûé ïðîõîä
Îáíîâëåíèå âåñîâ
w(new) = w( old ) + ∆w
∆w
Âû÷èñëåíèå ïðèðàùåíèé
âåñîâ ∆w
Рис. 5.25. Вычислительная схема метода ОРО
более широко исследовать поверхность ошибок. Альтернативная
версия изменения весов («групповое обучение») заключается в
минимизации функции ошибки таким образом, что весовые изменения накапливаются по всем обучающим примерам и только
затем происходит модификация весов.
Схема алгоритма ОРО показана на рис. 5.25.
Приведенный алгоритм осуществляет изменение весов после
каждого предъявления обучающего вектора. Эпохой в методе
ОРО является один цикл, в течение которого предъявляется весь
набор имеющихся примеров. Обычно требуется много эпох для
обучения нейронной сети методом ОРО.
5.6. Создание внутренней рейтинговой системы
на основе нейронных сетей
Разработку ВРС проведем на примере задачи по оценке кредитоспособности клиента [33], которая выше была решена с помощью НЛ.
При выдаче кредита юридическому или физическому лицу
банк заинтересован в возврате выданных сумм, и кредит выдается лишь тем субъектам, которые, по мнению банка, вернут деньги. К сожалению, бывают ситуации, когда выданный кредит не
возвращается, несмотря на казавшуюся надежность заемщика.
В такой ситуации задача банка заключается в том, чтобы на
основе кредитной истории прошлых заемщиков банка найти
оценку возврата или невозврата кредита, т. е. классифицировать заемщика по степени его надежности. В зарубежной литературе такого рода задачи относятся к скоринг-анализу (от
191
англ. «to score» — считать). Поставленная задача оценки надежности заемщика также решается с применением многослойного персептрона, состоящего, к примеру, из трех слоев:
входного, скрытого и выходного. На входной слой подается вектор входных параметров, определяемый через известные банку
финансово-экономические характеристики заемщика; число
нейронов в скрытом слое подбирается разработчиком вначале
интуитивно (по крайней мере, в два раза больше размерности
входного вектора); количество нейронов выходного слоя определяется числом классов, на которые требуется разбить совокупность данных.
Для обучения нейронной сети необходимо иметь достаточную
выборку примеров кредитной истории, из которой формируется
обучающая и тестовая серии. Зачастую таких данных в распоряжении разработчика нет, поэтому следует воспользоваться методом статистического моделирования для «размножения» данных. Размерность входного вектора влияет на архитектуру ИНС,
усложняя ее при увеличении числа компонентов, вследствие чего следует провести предобработку данных с целью снижения составляющих этого вектора. Обученная, например, на два класса,
нейронная сеть будет относить нового потенциального клиента
банка к разрядам «хороших» или «плохих» заемщиков. Сотрудникам банка для принятия такого решения нужно на вход сети
предъявить вектор исходных данных, характеризующих финансовое состояние клиента. Сеть, ориентируясь на значение выхода
и установленный порог принятия решения, отнесет нового клиента к одному из классов.
В подобных задачах входные данные, подаваемые на ИНС,
представляют собой результаты измерений некоторых признаков объекта. Цель состоит в том, чтобы определить, к какому
из заданных классов принадлежит этот объект. Решение задачи
классификации можно осуществлять с помощью сетей следующих типов: многослойного персептрона, радиальной базисной
функции, сети Кохонена, вероятностной нейронной сети и линейной сети.
В данной задаче воспользуемся трехслойным персептроном.
При этом входной слой сети содержит количество нейронов, равное числу используемых признаков клиента. В выходном слое
сети число нейронов определяется числом классов, на которое
предусматривается разбиение множества клиентов. Для среднего скрытого слоя сети конкретного правила, определяющего ко192
личество нейронов, нет, поэтому рекомендуется использовать два
приема построения сети:
1) взять избыточное число нейронов, превышающее их количество во входном слое, и обучать сеть, определяя наименьшее
число нейронов при приемлемой ошибке обучения;
2) выбрать малое число нейронов (меньше количества нейронов во входном слое) и обучать сеть, постепенно увеличивая число
нейронов, которое обеспечивает приемлемую ошибку обучения.
ИНС вначале должна быть обучена на основе имеющейся информации (базе данных о клиентах), и лишь затем сеть готова к
классификации новых клиентов.
Любой действующий банк обладает данными предприятийклиентов, получавших в нем кредиты, а иногда и данными юридических лиц, которым было отказано в услуге кредитования.
Однако при отсутствии подобной информации для тех же целей
можно воспользоваться методом моделирования, т. е. разыграть
значения признаков, удовлетворяющих требованиям «хорошего»
и «плохого» клиентов с точки зрения банков. В результате процесса моделирования формируется база данных, которая используется для обучения сети.
В данной задаче, исходя из логики способов оценки кредитоспособности юридических лиц, было выделено 17 критериев, которые условно можно разделить на следующие четыре группы.
I. Признаки компании:
1) позиция на рынке: оценивает соотношение цена/качество и
конкурентоспособность фирмы;
2) помещение — собственность/аренда: критерий указывает,
владеет ли компания основными производственными помещениями. Аренда обозначается цифрой «0» и является нежелательной, так как означает необходимость оценки сроков и качества
договора аренды, уровня ставок и отсутствие возможности отдавать недвижимость в залог;
3) возраст компании: более надежными являются юридические лица с бо′льшей историей развития и опытом;
4) наличие постоянных поставщиков: важна степень зависимости предприятия от третьих лиц.
II. Финансовые коэффициенты:
1) коэффициент текущей ликвидности: показывает, достаточно ли у предприятия средств, которые могут быть использованы
для погашения его краткосрочных обязательств в течение определенного периода;
193
2) коэффициент срочной ликвидности: раскрывает отношение
наиболее ликвидной части оборотных средств к краткосрочным
обязательствам;
3) коэффициент абсолютной ликвидности: необходим, так как
в современных российских условиях, например, не всегда получается взыскать долги со своего клиента (это мешает оценить дебиторскую задолженность);
4) коэффициент обеспеченности собственными оборотными
средствами: чем выше показатель (около 0,5), тем лучше финансовое состояние предприятия, тем больше у него возможностей в
проведении независимой финансовой политики;
5) коэффициент зависимости заемных и собственных средств:
характеризует зависимость фирмы от внешних займов. Чем он
выше, тем больше займов у компании, и тем рискованнее ситуация, которая может привести к банкротству предприятия;
6) рентабельность продаж: отражает информацию о том, сколько денежных единиц чистой прибыли принесла каждая единица
реализованной продукции;
7) деловая активность: различные показатели оборачиваемости. Необходимо проанализировать все их значения и, сделав вывод, оценить степень деловой активности в баллах. Данный критерий дает ответ на вопрос, насколько эффективно предприятие
использует свои средства.
III. Признаки руководителя:
1) возраст: данный критерий требует внимания, так как молодые руководители, как правило, склонны к авантюрам и необоснованному риску, а управляющие «старой закалки» придерживаются давно установившихся взглядов и редко используют новые, пусть даже и эффективные, методы и технологии
в работе;
2) стаж: подразумевается стаж руководящей работы;
3) благонадежность управляющего: показывает, насколько
эксперт (сотрудник банка) уверен в том, что управляющий будет
считать себя обязанным вернуть долг с процентами.
IV. Макроэкономические факторы:
1) зависимость от обменных курсов: на данный показатель
влияют такие факторы, как выход товаров или услуг предприятия за пределы отечественного рынка, любые финансовые взаимоотношения с зарубежными партнерами, политическая и экономическая ситуация в странах, внутри которых осуществляется деятельность организации;
194
Рис. 5.26. Схема трехслойного персептрона
для решения задачи классификации
2) зависимость от инфляции: важна экономическая ситуация
в стране, а также степень значимости товара или услуги предприятия для потребителей;
3) стабильность ситуации в отрасли: данный фактор связан с
деятельностью по регулированию и отношением государства к
отрасли функционирования юридического лица.
Эти 17 показателей используются в качестве входных данных
для классификации потенциальных заемщиков банка (юридических лиц) по двум группам: «кредитоспособные» и «некредитоспособные» клиенты. Выходным параметром является бинарная
номинальная переменная, соответствующая двум классам, к которым в результате обучения сеть должна научиться относить новые предприятия.
Для решения задачи применяется трехслойный персептрон
(рис. 5.26), а в качестве алгоритма обучения — метод обратного
распространения ошибки.
Программным продуктом, используемым при оценке кредитоспособности, является пакет Statistica Neural Networks, в котором имеется возможность устанавливать количество нейронов в
скрытом слое «по совету» программы, поэтому для решения этой
задачи выбрана сеть, описываемая соотношением нейронов в слоях сети как 17—9—1.
195
Обучающая выборка
Контрольная
выборка
Рис. 5.27. График ошибки обучения
На рис. 5.27 представлен график ошибки обучения данной сети. При наличии эффекта переобучения ошибка на обучающей
выборке продолжала бы убывать, а на контрольной — возрастать.
Это стало бы свидетельством того, что алгоритм обучения начинает быть деструктивным и более подходящей может оказаться
сеть меньшего размера. На представленном графике обе кривые
равномерно убывают, что указывает на отсутствие эффекта переобучения, а также на стремление значения ошибки к нулю.
После того как сеть обучена, через нее можно пропускать как
весь набор данных, использованных при обучении, так и отдельные наблюдения из текущего набора данных. Значения показателей анализируемых юридических лиц приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Характеристика заемщиков
Критерий
Значение критерия
для ненадежного
заемщика
Значение критерия
для кредитоспособного заемщика
Позиция на рынке, баллы
Помещение:
собственность/аренда, лет
Возраст компании, лет
Наличие постоянных поставщиков
Коэффициент текущей ликвидности
1
0 (аренда)
6
1 (наличие собственности)
8
1 (более двух постоянных)
1,6
196
1
0 (менее двух постоянных)
0,64
Окончание табл. 5.2
Критерий
Значение критерия
для ненадежного
заемщика
Значение критерия
для кредитоспособного заемщика
Коэффициент срочной ликвидности
Коэффициент абсолютной
ликвидности
Коэффициент обеспеченности
собственными оборотными
средствами
Коэффициент зависимости
заемных и собственных
средств
Рентабельность продаж
Деловая активность, баллы
Возраст руководителя, лет
Стаж, лет
Благонадежность управляющего, баллы
Зависимость от обменных
курсов, баллы
Зависимость от инфляции,
баллы
Стабильность ситуации в отрасли, баллы
0,3
0,7
0,1
0,3
0,3
0,6
1,3
0,5
0,08
2
27
2
4
1,7
8
35
4
8
8
2
9
3
3
8
Подавая на вход сети признаки клиентов, получим результаты, показанные на рис. 5.28.
а)
б)
Рис. 5.28. Результаты классификации клиентов:
а — ненадежный; б — надежный
197
Сеть правильно сопоставила значения показателей юридических лиц с номерами классов, к которым они относятся. В случае некредитоспособного заемщика ошибка составила 0,00614, а
для надежной организации ошибка — 0,00471. Строка Input содержит значения переменных конкретного объекта (на рис. 5.28
показатели — это возраст управляющего, стаж его работы и наличие постоянных поставщиков).
Теперь перейдем к классификации нового, не известного сети предприятия-заемщика. Предположим, что в банк обратилась
организация, которая в течение пяти лет достаточно стабильно
работает на рынке продуктов питания. После анализа документации потенциального заемщика, проведения некоторых расчетов и собеседования с представителем клиента работник кредитного отдела зафиксировал ряд следующих значений показателей
(табл. 5.3).
Таблица 5.3
Характеристика заемщика
Критерий
Позиция на рынке, баллы
Помещение: собственность/аренда
Возраст компании, лет
Наличие постоянных поставщиков
Коэффициент текущей ликвидности
Коэффициент срочной ликвидности
Коэффициент абсолютной ликвидности
Коэффициент обеспеченности собственными
оборотными средствами
Коэффициент зависимости заемных и собственных средств
Рентабельность продаж
Деловая активность, баллы
Возраст руководителя, лет
Стаж, лет
Благонадежность управляющего, баллы
Зависимость от обменных курсов, баллы
Зависимость от инфляции, баллы
Стабильность ситуации в отрасли, баллы
198
Значение критерия
6
1 (наличие собственности)
5
1 (есть два постоянных
поставщика)
1,6
0,9
0,4
0,3
0,2
0,3
5
37
3
7
5
8
4
Рис. 5.29. Классификация нового потенциального заемщика
С помощью обученной сети можно классифицировать этого нового, еще не известного сети потенциального заемщика. Результаты классификации показаны на рис. 5.29.
Новый клиент отнесен программой к классу кредитоспособных, так как выходное значение сети равно 0,966, что гораздо
ближе к единице, чем к нулю (напомним, что нуль и единица соответственно определяют классы ненадежных и надежных клиентов).
Таким образом, определена наиболее подходящая для данной
задачи архитектура многослойного персептрона, который после
обучения продемонстрировал надежные результаты классификации. Полученный вывод свидетельствуют о широких возможностях практического применения рассмотренного подхода.
199
Заключение
В книге рассмотрены различный аспекты количественного
подхода к оцениванию финансовых рисков, которые регламентированы Базельским соглашением. Учитывая цели и задачи преподавания дисциплины «Риск-менеджмент», основное внимание
уделено вопросам, связанным с пониманием методологии формирования оценок риска. Наряду с общепринятыми способами получения количественных оценок риска, достаточно подробно рассмотрены информационные интеллектуальные технологии, позволяющие с иных позиций рассмотреть процедуры формирования таких оценок.
Предложены методы интеллектуального анализа, включающие нейронные сети и нечеткую логику. Обе технологии могут
решать задачи количественной оценки риска с различных точек
зрения: при необходимости получить оценку риска в виде непрерывной величины из определенного диапазона рекомендуется
применить нечеткую логику; нейронные сети позволяют формировать оценку риска в виде набора дискретных состояний, например, является ли фирма финансово устойчивой или приближающейся к банкротству. Разные технологии требуют от менеджера,
решающего задачу оценки риска, обучающей выборки в виде базы правил для нечеткой логики или базы данных для нейронных
сетей.
Автор надеется, что данная книга позволит как лицам, изучающим дисциплины, связанные с оценками риска, так и уже
сформировавшимся специалистам в этой области, расширить
свое видение методологии оценивания рисков и использовать новые технологии в решении таких задач. Опыт автора, долгое время проработавшего в другой области, позволяет рекомендовать
применять предложенные интеллектуальные методы не только
при оценке риска, но и в иных задачах менеджмента, где традиционные подходы оказываются малоэффективными, например,
подбор персонала с помощью нейросетевой маркетинговой деятельности посредством нечеткой логики и т. п.
200
Литература и Internet-ресурсы
1. Jorion Ph. Financial Risk Management Handbook. N. Y.: John
Wiley&Sons, 2003. 708 p.
2. Crouhy M. Risk Management. N. Y .: McGraw-Hill, 2001. 745 р.
3. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / под ред.
А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. М.: Альпина Паблишер, 2003.
786 с.
4. Кричевский М. Л. Интеллектуальные методы в менеджменте. СПб.: Питер, 2005. 304 с.
5. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: Наука, 2000. 431 с.
6. Federation of European Risk Management Associations //
URL: http://www.ferma.eu/.
7. Русское общество управления рисками // URL: http://rrms.
ru/.
8. ГОСТ Р 51897-2002. Менеджмент риска. Термины и определения. М.: Изд-во стандартов, 2002. 12 с.
9. ГОСТ Р 50779.10-2000. Статистические методы. Вероятность
и основы статистики. Термины и определения. М.: Изд-во стандартов, 2002. 46 с.
10. Ступаков В. С., Токаренко Г. С. Риск-менеджмент: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2005. 288 с.
11. Холмс Э. Риск-менеджмент. М.: Эксмо, 2007. 304 с.
12. Рыхтикова Н. А. Анализ и управление рисками организации: учеб. пособие. М.: Форум; Инфра-М, 2007. 240 с.
13. Гамза В. А. Управление банковскими рисками: Базель–2:
революция идеи и эволюция действий. М.: Агрохимбанк, 2006.
212 с.
14. Электронные ресурсы по риск-менеджменту // URL: http://
www.erisk.com.
15. Материал по корпоративному риск-менеджменту // URL:
http://en.wikipedia.org/wiki/Enterprise_risk_management.
16. McNeil A. J., Frey R., Emberecht P. Quantitative risk
management. Princeton University Press, 2005. 538 p.
17. Долматов А. С. Математические методы риск-менеджмента:
учеб. пособие. М.: Экзамен, 2007. 319 с.
18. Рогов М. А. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика,
2001. 120 с.
19. Методология RiskMetrics // URL: http://www.riskmetrics.
com.
201
20. Вадзинский Р. Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001. 295 с.
21. Сайт агентства Standard&Poors // URL: http://www.
standardandpoors.com.
22. Сайт агентства Moody’s // URL: http://v2.moodys.com.
23. Gupton G. M., Finger C. C., Bhatia M. CreditMetrics —
Technical Document / JPMorgan. 1997. 212 p.
24. Crosbie P. J., Bohn J. R. Modeling default risk / KMV working
paper. 2003 // URL: www.kmv.com.
25. Duffie D., Singleton K. J. Modeling Term Structures of
Defaultable Bonds // Review of Financial Studies. 1999. Vol. 12. №
4. Р. 687—720.
26. Jarrow R. A., Plotter P. Structural versus reduced form models
// Jour. of Investment Management. 2004. Vol. 2. № 2. P. 1—10.
27. CreditRisk+ / Credit Suisse First Boston International,
1997.
28. Бирз Д. Т., Кавано М. Суверенные кредитные риски: основные сведения // S&P’s, 2008.
29. Political Risk Services (PRS) Group // URL: http://www.
prsgroup.com.
30. Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде Matlab и
fuzzyTECH. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 736 с.
31. Штовба С. Д. Проектирование нечетких систем средствами
Matlab. М.: Горячая линия — Телеком, 2007. 288 с.
32. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. М.: Вильямс,
2006. 1104 с.
33. Кричевский М. Л., Сагалович Е. М. Нейросетевой анализ кредитоспособности заемщика // Управление риском. 2008. № 1 (45).
С. 41—46.
202
Содержание
Предисловие........................................................... Глава 1. Основные концепции риск-менеджмента......... 1.1. Сущность риска............................................. 1.2. Цели и задачи риск-менеджмента..................... 1.3. Регуляторы рисков......................................... 1.4. Классификация и виды рисков......................... Глава 2. Рыночный риск........................................... 2.1. Разновидности рыночного риска...................... 2.2. Основные модели расчета Value-at-Risk............. 2.2.1. Ковариационный метода расчета VaR...... 2.2.2. Метод исторических симуляций.............. 2.2.3. Моделирование методом Монте-Карло ..... 2.3. Анализ сценариев.......................................... 2.4. Тестирование моделей.................................... Глава 3. Кредитный риск.......................................... 3.1. Кредитные рейтинговые системы..................... 3.2. Миграция рейтингов...................................... 3.3. Методология CreditMetrics.............................. 3.4. Структурные модели ...................................... 3.4.1. Модель Мертона ................................... 3.4.2. Оценивание в модели Мертона................ 3.4.3. KMV-модель......................................... 3.5. Пороговые модели.......................................... 3.5.1. Индикаторы состояния и дефолта ........... 3.5.2. Корреляция активов ............................. 3.6. Смешанные модели........................................ 3.6.1. Модели сокращенной формы .................. 3.6.2. Методология CreditRisk+....................... Глава 4. Операционный риск..................................... 4.1. Классификация операционных рисков.............. 4.2. Методы оценивания операционного риска......... 4.3. Формирование данных по операционным
потерям........................................................ 4.4. Основы теории экстремальных значений
при оценке риска........................................... 4.5. Страновой риск.............................................. 4.5.1. Методы оценки странового риска............ 4.5.2. Формирование страновых рейтингов........ 3
7
7
11
15
21
26
26
34
37
43
45
50
53
57
57
63
65
75
75
78
83
91
91
94
101
102
111
120
120
122
126
129
135
137
139
203
Глава 5. Внутренние рейтинговые системы.................. 5.1. Основные понятия нечеткой логики ................. 5.1.1. Нечеткие множества.............................. 5.1.2. Функции принадлежности ..................... 5.1.3. Лингвистические переменные................. 5.1.4. Нечеткий логический вывод................... 5.1.5. Нечеткая база правил............................ 5.2. Алгоритмы нечеткого вывода.......................... 5.3. Построение внутренней рейтинговой системы
на основе нечеткой логики............................... 5.4. Основные сведения об искусственных нейронных сетях...................................................... 5.4.1. Становление нейронной доктрины........... 5.4.2. Парадигмы обучения............................. 5.4.3. Нейросетевые топологии........................ 5.4.4. Алгоритмы обучения............................. 5.5. Метод обратного распространения ошибки ........ 5.6. Создание внутренней рейтинговой системы
на основе нейронных сетей.............................. Заключение............................................................ Литература и Internet-ресурсы................................... 204
157
157
158
163
166
167
168
169
172
176
176
180
183
186
187
191
200
201
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
6 481 Кб
Теги
krichevskiij
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа