close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Lavrov

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения
В. Я. Лавров
Основы теории цепей
Переходные процессы
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2012
УДК 621.372.01
ББК 31.211
Л13
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор В. В. Федоров
(Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет «ЛЭТИ»);
кандидат технических наук, доцент М. А. Волков
(Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения)
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Лавров, В. Я.
Л13 Основы теории цепей. Переходные процессы: учеб. пособие / В. Я. Лавров. – СПб.: ГУАП, 2012. – 124 с.
ISBN 978-5-8088-0703-7
В учебном пособии изложены теоретические основы и практические задания по расчету переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами во временной и комплексной областях при различном характере воздействия, задаваемом источником энергии.
Учебное пособие предназначено для студентов технических направлений
университета.
УДК 621.372.01
ББК 31.211
ISBN 978-5-8088-0703-7
©
©
Санкт-Петербургский
государственный университет
аэрокосмического приборостроения
(ГУАП), 2012
В. Я. Лавров, 2012
Предисловие
Учебное пособие посвящено изучению методов расчета переходных процессов в электрических цепях со сосредоточенными параметрами во временной и комплексной областях. Основное внимание
уделено расчету переходных процессов во временной области в разветвленных и не в разветвленных цепях. При расчете процессов
в разветвленных цепях рассмотрены вопросы выбора переменных
по ветвям цепи и формирования системы дифференциальных уравнений состояния с использованием и без использования понятия
графа цепи. Расчет в комплексной форме рассмотрен на основе применения преобразований Лапласа и Фурье с учетом особенностей
каждого из них. Основные вопросы расчета переходных процессов
при импульсном воздействии рассмотрены на основе интеграла Дюамеля.
Весь материал пособия распределен по девяти разделам. В каждом разделе содержатся теоретические материалы, методические
указания к практическим занятиям и контрольные вопросы по разделу в целом.
Автор благодарен студентам ГУАП группы 2951 Загорскому И. Г.,
Корневу Г. А., группы 3731 Зуевой Е. М., принявших активное участие в подготовки рукописи учебного пособия к публикации.
3
Введение
Работа всех электротехнических и радиотехнических устройств
обеспечена электромагнитными полями [4]. Для исследования
и расчета электромагнитных процессов необходимо конкретное
устройство представить расчетной моделью. Построение расчетной
модели определяется выбором пути исследования и расчета, которых в теоретической электротехнике основных два: теория электромагнитного поля и теория цепей.
Для применения методов теории электромагнитного поля расчетная модель представляет геометрическую структуру с обозначенными на ней источниками поля и интегральными характеристиками сред: удельная проводимость γ, диэлектрическая проницаемость ε, магнитная проницаемость μ. При
 этом рассматриваются

вектора напряженности электрического E и магнитного H полей
и определяемые ими интегральные характеристики устройств. Величины удельной энергии электрического и магнитного полей определяются соответственно выражениями
1
1
Wý = εE2; Wm = µH2. 2
2
(1)
Расчет на основе теории поля весьма трудоемкий и сложный,
связан с решением дифференциальных уравнений в частных производных и серьезными теоретическими проблемами, так как общего
аналитического метода решения дифференциальных уравнений
в частных производных нет.
Изучение электромагнитных процессов можно существенно
упростить, если ввести интегральные величины, приближенно учитывающие поля. Построить расчетную модель в виде схемы с сосредоточенными параметрами L, C, R [4] при соответствующем графическом обозначении идеализированных элементов, которые следует
называть индуктивным
, емкостным
, резистивным
элементами соответственно. Индуктивный
элемент с параметром L интегрально учитывает процессы в устройствах, связанные с магнитным полем; емкостной элемент с параметром C учитывает процессы, связанные с электрическим полем; резистивный элемент с параметром R учитывает процессы, связанные
с потерями энергии электромагнитного поля. В результате исследователь имеет дело со схемой, содержащей три разновидности пассивных идеализированных элементов. Кроме того, схема содержит
4
идеализированные источники энергии, которые являются моделями реальных источников [4]. Анализ процессов в этом случае осуществляется не полевыми методами, а на основе законов Кирхгофа
методами расчета электрических цепей. Использование модели
в виде электрической схемы (цепи) с интегральными величинами R,
L, C позволяет осуществить анализ как установившихся [4], так
и переходных процессов.
Переходный процесс – это практически временное состояние
электрической схемы (цепи), связанное с изменением во времени
электромагнитной энергии цепи, носителем которой являются реактивные идеализированные элементы с параметрами L и C. Энергия электрического и магнитного полей при интегральном подходе
к исследованию процессов определяются соответственно выражениями
1
1
Wý = CuC2 ; Wm = LiL2 , (2)
2
2
где uC и iL являются напряжением и электрическим током на емкостном и индуктивном идеализированном элементе соответственно.
Как энергия любого вида, электромагнитная энергия не может
изменяться мгновенно и требуется некоторое время для ее изменения. Переходный процесс обычно заканчивается установившимся
режимом [4].
Физически установившейся и переходный процессы – единый
процесс. Математически эти процессы можно разъединить, применяя основанные на законах Кирхгофа соответствующие методы
расчета. Расчет электрической цепи обычно связан с определением
величин электрических токов и напряжений на ее элементах. Во
время переходного процесса часто величины электрических токов
и напряжений на элементах цепи превышают их величины в установившемся режиме. Поэтому разработку электротехнических
и радиотехнических изделий необходимо выполнять с учетом переходных процессов в них. Кроме того, работа некоторых изделий основана на использовании переходных процессов.
Контрольные вопросы по введению
1. Что такое расчетная модель и какие расчетные модели применяются в теоретической электротехнике?
2. Что собой представляет расчетная модель в теории цепей?
5
3. Какие идеализированные элементы содержит расчетная модель в теории цепей?
4. Какие физические процессы учитываются в расчетной модели?
5. Какие процессы позволяет исследовать расчетная модель в теории цепей?
6. Что такое переходный процесс и чем этот процесс обусловлен?
7. На каких законах основаны методы расчета переходных процессов?
8. Чем обусловлена необходимость расчета переходных процессов?
9. В чем различие установившегося и переходного процессов?
6
1. Основные понятия и принципы расчета
переходного процесса
1.1. Понятие переходного процесса
Переходный процесс – это электромагнитный процесс, обусловленный изменением режима электрической цепи. Изменение режима электрической цепи происходит при ее подключении к источнику энергии или отключении от него, изменении структуры цепи или
ее параметров. Обобщенно в теории этот процесс принято называть
коммутацией, и обычно связан с использованием механических
или электронных ключей, которые теоретически мгновенно изменяют режим работы электрической цепи.
Ключи принято обозначать так, как показано на рис. 1.1, и обязательно указывать направлении коммутации: включение (рис. 1.1, а)
или отключение (рис. 1.1, б)
Переходный процесс начинается после свершения направления
указанной коммутации. Так, при наличии ключа, обозначенного на
рис. 1.1, а, переходный процесса)начинается после его замыкания; при
наличие ключа, обозначенного на рис. 1.1, б, – после его размыкания.
В действительном процессе переключение режима работы электрической цепи во многих случаях
сопровождается весьма сложныб)
ми электромагнитными явлениями (например, горение дуги), обусловленными изменениями энергии полей. В энергетике, где процессы связаны с использованием больших энергий, процессы в ключах, конечно, необходимо учитывать. Однако в приборостроении
работа устройств, обычно связана с использованием относительно
небольших энергий, процессами в ключах с достаточной для практики точностью можно пренебречь.
Установившийся
процесс
i(t)
Переходный
процесс
а)
0–
0
0+
t
б)
∆t → 0
Рис. 1.1
Рис. 1.2
7
Установившийся
процесс
i(t)
Момент коммутации (переключения) является началом отсчета
времени t = 0 переходного процесса, который теоретически удобно
разделить, как показано на рис. 1.2, на два состояния: непосредственно предшествующее коммутации, обозначенное t = 0–, и сразу
после коммутации, обозначенное t = 0+, являющееся началом переходного процесса.
1.2. Принципы расчета переходного процесса
Расчет переходного процесса можно выполнить либо во временной области для мгновенных значений токов i(t) и напряжений u(t),
либо в комплексной области, используя идеологию перехода из временной области в комплексную, поиска решения в комплексной области, а затем перехода для найденного решения из комплексной
области во временную область.
1.2.1. Принципы расчета во временной области
На рис. 1.3 показаны идеализированные элементы электрических
цепей, являющиеся носителями энергии электромагнитных полей [4].
Идеализированный емкостной элемент (рис. 1.3, а) с параметром
С учитывает согласно выражению Wэ = 1/2СuC2 энергию электрического поля. Идеализированный индуктивный элемент (рис. 1.3, б)
с параметром L учитывает согласно выражению Wm = 1/2LiL2 энергию магнитного поля.
На рис. 1.3 показаны положительные направления мгновенных
значений тока iC и напряжения uC на емкостном элементе (рис. 1.3, а);
тока iL и напряжения uL на индуктивном элементе (рис. 1.3, б).
Мгновенные значения тока и напряжения на этих элементах связаны известными дифференциальными соотношениями
iC = C
а)
C
ic
duC
di
; uL = L L . dt
dt
б)
L
iL
uL
uc
Рис. 1.3
8
(1.1)
Для резистивного элемента с параметром R связь между мгновенными значениями тока iR и напряжения uR алгебраическая
uR = RiR .
(1.2)
Теоретическй основой методов расчета электрических цепей являются законы Кирхгофа: закон токов Кирхгофа (ЗТК) и закон напряжений Кирхгофа (ЗНК). Для расчета во временной области электрическая цепь после коммутации описывается системой уравнений по законам Кирхгофа. Так как в соответствии с (1.1) мгновенные значения токов и напряжений на реактивных элементах
связаны дифференциальными соотношениями, расчет переходного
процесса во временной области связан с решением системы дифференциальных уравнений относительно обозначенных на электрической схеме переменных. Обычно на каждой из ветвей электрической цепи обозначено несколько переменных, связанных с отдельными идеализированными элементами (например, для резистивного элемента с параметром R ток i напряжение uR, для индуктивного
элемента с параметром L ток iL и напряжение uL, для емкостного
элемента с параметром C ток iC и напряжение uC). Однако следует
обратить внимание, что каждая ветвь электрической цепи должна
характеризоваться только одной переменной (током или напряжением). Поэтому важно при формировании системы дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа определиться с выбором переменной для каждой из ветвей электрической схемы. Напомним,
что переходный процесс обусловлен изменением электромагнитной
энергии электрической цепи, носителем которой являются реактивные элементы. Энергия электрического поля согласно (2) определяется напряжением uC на емкостном элементе; энергия магнитного поля определяется током iL на индуктивном элементе. Фактически состояние электрической цепи определяется током iL в индуктивном элементе и напряжением uC на емкостном элементе, поэтому
отмеченные переменные принято называть переменными состояния и выбор их в качестве переменных при формировании системы
дифференциальных уравнений является обязательным. В качестве
помощи при формировании системы дифференциальных уравнений и выбора переменных по ветвям приводятся сведения, отраженные в табл. 1.1.
Рекомендации, изложенные в табл. 1.1, позволяют при формировании дифференциала уравнений избежать использования интегральных выражений на элементах электрической цепи, корректно
9
R
R
i
i
i
i
iLL
iL
iL
iL
Уравнения
ветвей и выбор переменных по ветвям
R
uR
Структура
ветви
uR
R
i
uR
R
i
L
L u
R
Lu
R
u
uLL L
uL L
i
iCC
iC
iC
iC
R
R
R
i
i
i
i
u
u
u
R
R
R
i
i
i
R
R
i
i
Ток ветви
Выбор
переменной
uR = Ri
i
i
iL
iL
uL = L
u
iC = C
Ri + L
di
dt
duC
dt
uC
i
i
uL
С
uLС
С
u
u
u
u
diL
dt
uC
L
L
L
uL
uL
L
uL
L
uC
R
R
i
Напряжение ветви
uu
uLL L
uL С
uL С
С
uC uL
uC
uL
С
uC С
uC
Таблица 1.1
u
uCC
uC
RC
С
С
duC
+ uc
dt
i=C
duC
dt
uC
uC
и достаточно просто сформировать
систему дифференциальных
uC
u переходного
уравнений для расчета
процесса электрической цепи.
Однако, если ветвьu содержит последовательное соединение всех
трех элементов R, L, C, то следует ввести дополнительный узел электрической цепи, как показано на рис. 1.4.
а)
i
R
uR
L
uL
б)
С
iL
uR
uC
L
iC
uL
uC
Рис. 1.4
10
R
С
Для дополнительного узла электрической цепи, обозначенного на
рис. 1.4, б жирной точкой, по ЗТК
следует написать уравнение
du
iL - C C = 0
(1.3)
dc
iC
R
С
uR
uC
iL
uL
L
Рис. 1.5
Ветви с R, L и с C на рис. 1.4, б описываются в соответствии с рекомендациями табл. 1.1.
Дополнительным узлом можно выделить индуктивный элемент,
как показано на рис. 1.5.
Для дополнительного узла сохранится уравнение (1.3). Ветви
с R, C и с L описываются в соответствии с рекомендациями табл. 1.1.
В параграфе 2.3 будет показано, что для упрощения преобразования с системой уравнения по законам Кирхгофа при переходе
к нормальной форме записи системы уравнений, например (2.50)
можно с помощью введения дополнительных узлов каждый реактивный элемент рассматривать как ветвь цепи. Рекомендации по
табл. 1.1 будут связаны при этом только с тремя первыми ветвями.
1.2.2. Принципы расчетов в комплексной области
При расчете установившихся гармонических процессов в электрических цепях используется достаточно простая идеология перехода из временной области, например, напряжения u(t) в комплексную Um по следующему выражению:
u(t) = Um sin(ωt + ψu ) ® Um e jψu e jωt = Um e jωt ,
где Um = Um e jψu – комплексная амплитуда, используемая для расчета в комплексной области; e jωt – множитель вращения, опускаемый при расчетах в комплексной области.
Этот переход позволяет использовать все методы расчета электрических цепей в постоянном режиме для расчета электрических
цепей в гармоническом режиме с той разницей, что все величины
в комплексной области являются комплексными, включая результаты расчета. Затем также достаточно просто осуществляется переход результатов расчета из комплексной области во временную, например для тока:
Im e jψ i e jωt ® i(t) = Im sin(ωt + ψ i ).
11
Если во временной области, например, гармоническое напряжение u(t) = Um sin(ωt + ψu ) назвать оригиналом, его комплексное
j ψ j ωt
представление Um e u e
изображением U(jω), то идеология комплексного метода выглядит u(t) ↔ U(jω), то есть от гармонической
функции (оригинала) с целью упрощения расчета осуществляется
переход в комплексную область, а затем после расчетов в комплексной области осуществляется обратный переход от изображения
(комплексной функции) к оригиналу (временной функции).
Аналогичная идеология используется и для расчета переходных
процессов с той, правда существенной разницей, что переходы от
оригинала (заданной функции времени) к ее изображению (комплексной функции) и особенно обратный переход от изображения
искомой комплексной функции к ее оригиналу (функции времени)
осуществляется гораздо сложнее.
Для расчета переходных процессов переход из временной области
в комплексную можно осуществить с помощью двух интегральных
преобразований: преобразования Лапласа и преобразования Фурье.
В отличие от расчета переходных процессов во временной области, когда требуется решать систему дифференциальных уравнений, применение этих преобразований позволяет расчет переходных процессов привести к системе алгебраических уравнений. При
этом вместо исходной электрической схемы строится расчетная модель с новым обозначением идеализированных элементов, для анализа которой применимы уже известные методы расчета электрических цепей в постоянном режиме.
Интегральное преобразование Лапласа имеет вид
¥
F ( p) = ò f (t)e- ptdt, 0
(1.4)
где p = σ + jω – комплексная величина, называемая оператором Лапласа; f(t) – функция времени (оригинал); F(p) – комплексная функция, являющаяся изображением временной функции f(t); σ – некоторая положительная вещественная величина на комплексной области; ω – угловая частота. Преобразование Лапласа (1.4) практически применимо ко всем функциям в инженерной практике. Однако
в теоретическом плане оно имеет рад ограничений:
функция времени f(t) должна удовлетворять условиям Дирихле;
функция f(t) не должна возрастать быстрее, чем Aeαt, где A и α некоторые положительные числа;
функция должна быть равна нулю при t меньше нуля (t < 0).
12
При решении практических задач интеграл (1.4), как правило,
находят с помощью использования математических справочников.
Подробно метод расчета переходных процессов на основе преобразования Лапласа изложен в разделе 7 пособия.
Интегральное преобразование Фурье имеет вид
+¥
F ( jω) =
ò
f (t)e-jωtdt, (1.5)
-¥
где f(t) – функция времени (оригинал); F(jω) – комплексная функция, являющаяся изображением временной функции f(t); ω – угловая частота.
Комплексная величина jω является оператором Фурье, который
позволяет вместо исходной электрической схемы построить комплексную модель, аналогичную комплексной схеме, используемой
при расчете на комплексной плоскости установившихся процессов
в гармоническом режиме.
При решении практических задач интеграл (1.5), как правило,
находят с помощью использования математических справочников.
Следует отметить, что преобразование Фурье применимо для более узкого класса функций, интеграл которых по времени в бесконечных пределах от –∞ до +∞ должен быть конечным, то есть функция должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости.
Это означает, что функция f(t) должна стремиться к нулю, при t → ∞
и при t → –∞.
Подробно метод расчета переходных процессов на основе преобразования Фурье изложен в разделе 8 пособия и назван частотным.
Однако при недостатке времени по учебному процессу можно ограничиться изложенной здесь информацией.
1.3. Законы коммутации. Начальные условия
Для расчета переходных процессов очень важен момент начала
переходного процесса t = 0+. В этот момент токи ветвей и напряжения на элементах электрической цепи принимают определенные
значения, которые могут быть определены из системы дифференциальных уравнений, описывающей цепь после коммутации по законам Кирхгофа. Однако некоторые из них сохраняют значения,
которые имели в последний момент до коммутации, то есть до нача13
ла переходного процесса. Принято говорить, что такие величины
во время коммутации не изменяются – эти переменные состояния
(п. 1.2.1) являются током iL в индуктивном элементе L и напряжением uC на емкостном элементе C. Учитывая принятые в параграфе
1.1 обозначения состояния до коммутации t = 0– и в первый момент
после коммутации t = 0+, поведение переменных состояния можно
записать в виде двух законов коммутации:
iL (0- ) = iL (0+ ), (1.6)
то есть ток в индуктивном элементе во время коммутации не изменяется;
uC (0- ) = uC (0+ ), (1.7)
то есть напряжение в емкостном элементе во время коммутации
не изменяется.
Практически это означает, что значение тока iL в индуктивном
элементе и напряжение uC на емкостном элементе следует определить до коммутации, когда в рассматриваемой цепи имеет место
чаще всего установившейся процесс, методы расчета которого
при изучении переходных процессов предполагаются уже изученными.
Следует отметить, что особое поведение переменных состояний
iL и uC определяется тем физическим фактом, что энергии магнитного поля Wm = 1/2Li2L и электрического поля Wэ = 1/2Сu2C, как
и другие физические виды энергии, изменяются непрерывно и мгновенно измениться не могут. Однако следует также обратить внимание, что сформулированные законы коммутации для тока в индуктивности и напряжения на емкости справедливы только в том случае, когда во время коммутации L = const, C = const, что имеет место в подавляющем числе случаев. Рассмотрение более сложных
случаев, когда во время коммутации L = var, C = var, выходит за
рамки современной учебной программы и в учебном пособии не рассматривается.
Из математики известно, что решение дифференциального уравнения содержит постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий. Удобно начальные условия подразделить
на зависимые и независимые.
Независимые начальные условия – это начальные значения при
t = 0+ переменных состояний (iL, uC), которые во время коммутации
не изменяются и поэтому они определяются из режима до коммута14
2
4
3
1
5
iL(0–)
Рис.
1.6
2
ции (при t = 0–). Очевидно, что независимые начальные условия
подчиняются законам коммутации (1.6), (1.7).
4
Зависимые начальные условия – это
начальные значения при
–)
u
(0
C
которые во время комt = 0+ всех остальных токов и напряжений,
1
мутации могут изменяться
скачком и в случае необходимости могут
быть определены из системы дифференциальных 5уравнений по законам Кирхгофа после коммутации (t = 0+) с учетом значений переменных состояния, которые следует считать известными.
Для определения начальных значений переменных состояний iL,
uC (независимые начальные условия)
следует изобразить электриче4
3
6
скую схему до коммутации. При постоянном источнике энергии
7
следует исключить реактивные элементы (индуктивный
элемент
1
закоротить, емкостной
элемент
2 разомкнуть) и получить схему с резистивными элементами. Очевидно, что ток через емкостной элемент и напряжение на индуктивном элементе будут равны нулю.
4
Напряжение на емкостном элементе
будет
3 равно напряжению на ре5
зистивном элементе, с которым емкостной элемент оказывается
1
включенным параллельно. Пример построения расчетной схемы
5
для определения независимых начальных условий и их расчет приведены для схемы на рис. 1.7. На рис. 1.6 приведена исходная схема.
iL(0–)
2
4
uC (0– )
1
5
Рис. 1.7
3
4
6
7
1
15
R1J1
;
R1 + R2 + R4 + R5
R1J1
uC (0- ) = i2 (0- )(R5 + R4 ) =
(R4 + R5 ).
R1 + R2 + R4 + R5
i2 (0- ) = iL (0- ) =
Вопросы формирования системы дифференциальных уравнений
по законам Кирхгофа для расчета зависимых начальных условия
приведены в разделе 2.
1.4. Определение порядка цепи
При расчете переходных процессов
под порядком электрической
2
цепи понимается порядок системы дифференциальных уравнений,
которой описывается электрическая цепь. Порядком
цепи n опреде4
ляется сложность решения задачи и поэтому
представляет интерес
3
умение оценить сложность задачи до ее решения.
1
Теоретической основой оценки порядка электрической цепи яв5
ляется число независимых начальных условий, которое равно числу переменных состояния (iL, uC) и следовательно равно числу индуктивных и емкостных элементов
в цепи. Обозначим это число nLC
2
iL(0–)ожидаемому
и примем его равным
порядку цепи (например, на
рис. 1.8 nLC равно шести).
Однако на рис. 1.8 имеются два сечения (обозначены
штрихами),
4
во всех ветвях которых содержатсяu индуктивные
элементы
и иде–
C (0 )
альный источник тока (индуктивные сечения). Эти сечения по зако1
ну тока Кирхгофа описываются
следующими уравнениями:
J - i3+ - i2+ = 0; i3+ - i4+ - i5+ = 0 5
(1.8)
в связи с этим в каждом из сечений один из токов оказывается заи
висимым.
3
4
6
7
1
5
Рис. 1.8
16
Обозначим число индуктивных сечений nL. Кроме того, в схеме
содержится контур, содержащий емкостные элементы и идеальный
источник напряжения (емкостной контур). Этот контур по закону
напряжений Кирхгофа описывается уравнением
uC7+ - uC6+ = e6 (1.9)
и в связи с этим одно из напряжений на емкостном элементе оказывается зависимым.
n = nLC – nL – nC = 6 – 2 – 1 = 3.
Обозначим число емкостных контуров nC. В результате порядок
цепи n оказывается меньше числа индуктивных и емкостных элементов nLC на число индуктивных сечений nL и емкостных контуров nC. Окончательный порядок цепи n определяется из выражения
n = nLC – nL – nC = 6 – 2 – 1 = 3.
(1.10)
Задание 1.1. Расчет начального и установившегося значения
переменной состояния цепи первого порядка
Для цепи первого порядка из приложения 1.1 выполнить следующее:
1) обозначить элементы заданной цепи;
2) изобразить цепь до коммутации;
3) в общем виде определить начальное значение переменной состояния;
4) изобразить цепь после коммутации;
5) в общем виде определить установившееся значения переменной состояния.
Задание 1.2. Расчет начальных и установившихся значений
переменных состояния цепи второго порядка
Для цепи второго порядка из приложения 1.2 выполнить следующее:
1) обозначить элементы заданной цепи;
2) изобразить цепь до коммутации;
3) в общем виде определить начальные значения переменных состояния;
4) изобразить цепь после коммутации;
5) в общем виде определить установившиеся значения переменных состояния.
17
Приложение 1.1
Цепи первого порядка
1.
3.
2.
4.
6.
5.
8.
7.
10.
9.
12.
18
11.
Окончание прил. 1.1
12.
11.
14.
13.
15.
16.
17.
19.
18.
20.
19
Приложение 1.2
Цепи второго порядка
1.
20
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Окончание прил. 1.2
11.
12.
13.
14.
15.
17.
19.
16.
18.
20.
21
Контрольные вопросы по разделу 1
1. Что такое переходный процесс?
2. Каковы причины переходного процесса?
3. Что такое коммутация в теории расчета переходных процессов?
4. Как долго длится коммутация при расчете переходных процессов?
5. Какое состояние электрической цепи связано со временем t = 0+?
6. Какое состояние электрической цепи связано со временем t = 0–?
7. Как связаны мгновенные значения тока и напряжения на емкостном идеализированном элементе?
8. Как связаны мгновенные значения тока и напряжения на индуктивном идеализированном элементе?
9. На каких законах основан расчет переходного процесса во временной области?
10. На каких теоретических принципах основан расчет переходных процессов в комплексной области?
11. Какие переменные при расчете переходных процессов называют переменными состояния?
12. Какие физические явления связаны с переменными состояния?
13. Сколько переменных используется при расчете переходных
процессов для ветви схемы?
14. Как выбирается переменная для каждой ветви схемы при
расчете переходных процессов?
15. Можно ли при расчете переходных процессов вводить дополнительные узлы?
16. Когда и зачем вводятся дополнительные узлы при расчете переходных процессов?
17. На каких теоретических принципах основан расчет переходных процессов в комплексной области?
18. Зачем осуществляется переход из временной области в комплексную область при расчете переходных процессов?
19. Что такое законы коммутации и зачем они нужны?
20. Что такое начальные условия и зачем они нужны?
21. Что такое независимые начальные условия и зачем они нужны?
22. Как определить независимые начальные условия?
23. Какие начальные условия называются зависимыми и как их
определить?
24. Что такое порядок цепи?
25. Как определить порядок цепи по ее структуре?
22
2. Расчет во временной области
переходных процессов в разветвленных цепях
различного порядка
Расчет во временной области переходных процессов в разветвленных цепях связан с решением системы дифференциальных
уравнений, описывающей рассматриваемую цепь по законам Кирхгофа.
Из математики известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения, например тока в индуктивности, определяется суммированием составляющих согласно выражению
iL = iLy + iLсв,
(2.1)
где iLy – решение для тока в индуктивности в установившемся режиме после коммутации; iLсв – свободная составляющая, являюща яся решением однородного дифференциального уравнения.
Очевидно, свободная составляющая решения с течением времени всегда затухает и в установившемся режиме стремится
к нулю. Закон поведения свободной составляющей определяется
корнями характеристического (алгебраического) уравнения, которое строится по системе однородных дифференциальных уравнений для схемы без источников энергии, то есть в схеме источник
тока нужно разомкнуть, источник напряжения закоротить. Физически свободная составляющая решения обусловлена запасом
энергии электромагнитного поля, которая с течением времени расходуется на резистивных элементах цепи и характер этого процесса
определяется структурой и параметрами цепи (корнями характеристического уравнения).
Таким образом, корни характеристического (алгебраического)
уравнения определяют характер затухающего переходного процесса (колебательного, апериодического, смешанного при высоких порядках).
Выражение для свободной составляющей содержит постоянные
интегрирования (см. 2.1.5). Математически постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которые возникли
в цепи в первый момент после коммутации и которые фактически
определяют запас электромагнитной энергии в начале переходного
процесса. Очевидно, такими величинами, определяющими начальный запас электромагнитной энергии, являются переменные состояния (iL, uC) в момент времени t = 0–.
23
С учетом изложенного, важнейшей задачей расчета переходного
процесса во временной области является определение корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования.
Эти задачи могут решаться по-разному. Например, корни характеристического уравнения определяются путем сведения системы уравнений к одному дифференциальному уравнению относительно одной переменной путем построения определителя из коэффициентов при переменных, в системе уравнений по законам Кирхгофа или при переменных в системе уравнений переменных состояния и другие [1].
В учебном пособии обе задачи решаются в нормальной форме (форме Коши) относительно переменных состояния системы
уравнений состояния. Системы уравнений состояния формируются в результате исключения «лишних» переменных в системе
уравнений по законам Кирхгофа. В работе предлагаются два подхода формирования системы уравнений по законам Кирхгофа:
без использования графа цепи и с использованием понятия графа цепи.
2.1. Расчет без использования графа цепи
2.1.1. Анализ структуры цепи
и выбор переменных по ветвям
При формировании системы уравнений по законам Кирхгофа
для относительно простых цепей достаточно использовать понятия
числа узлов q, числа ветвей p, числа контуров n.
При этом для получения независимых уравнений по закону токов Кирхгофа (ЗТК) нужно составить (q – 1) уравнений, по закону
напряжений Кирхгофа (ЗНК) нужно составить n = p – (q – 1) уравнений. Всего по ЗТК и ЗНК нужно составить p уравнений, равное числу переменных по ветвям.
При выборе переменной по ветвям в разделе 2.1 следует руководствоваться рекомендациями по табл. 1.1. Важно обратить внимание, что каждая ветвь цепи должна характеризоваться только одной переменной (током или напряжением), причем при наличии
в ветви индуктивности или емкости выбор в качестве переменной
ветви тока в индуктивности или напряжения на емкости (переменные состояния) является обязательным.
24
2.1.2. Формирование системы дифференциальных уравнений
по законам Кирхгофа
Рекомендации, приведенные в табл. 1.1, позволяют корректно
и достаточно просто сформировать систему дифференциальных
уравнений по законам Кирхгофа без использования интегральных
выражений для реактивных элементов электрической цепи.
В качестве примера формирования системы дифференциальных
уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим схему третьего порядка, изображенную на рис. 2.1. Цепь третьего порядка позволяет рассмотреть смешанный режим переходного процесса, который представляется общим случаем вида переходного процесса.
Переходной процесс начинается после замыкания ключа, поэтому для описания схемы системой дифференциальный уравнений
целесообразно:
изобразить ее после коммутации;
обозначить на ней ветви арабскими цифрами;
выбрать направление токов ветвей (направление ветвей).
В результате получим
нужную для описания
системой дифференциальных уравнений схему
(рис. 2.2).
Напомним, что арабская цифра у ветви относится ко всем элементам
ветви, току ветви, напряжениям на элементах ветРис. 2.1
ви, например для второй
ветви с цифрой 2 имеем
1
R2, C2, uR2, uC2, i2. Обратим также внимание, что
схема подключена к источнику тока с потерями, ко- J
3
торые учитываются сопро2
RJ
тивлением R J. Источник
тока можно эквивалентно преобразовать в источник напряжения со следующими параметрами.
Рис. 2.2
25
RJ J
RJ
Топологический расчет структуры схемы ни рис. 2.1. следующий:
число ветвей p = 3;
число узлов q = 2;
число уравнений по ЗТК q – 1 = 1;
число независимых контуров (уравнений по ЗНК) n = p – (q – 1) =
= 3 – 1 = 2.
Схему на рис. 2.2 необходимо дополнить выбором двух независимых контуров. В результате окончательно для описания будем
иметь следующую схему (рис. 2.3).
Прежде чем формировать систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа необходимо выбрать согласно рекомендациям в табл. 1.1 переменные для каждой из ветвей схемы:
первая ветвь – ток i1 (переменная состояния);
вторая ветвь – напряжение uC2 (переменная состояния);
третья ветвь – ток i3 (переменная состояния).
Таким образом, система дифференциальных уравнений должна содержать три уравнения, из них одно составлено для узла схемы по ЗТК
и два для контуров по ЗНК. Каждое из уравнений должно содержать
только выбранные по ветвям переменные. В результате будем иметь
ìï
du
ïïi1 - C2 C2 - i3 = 0,
ïï
dL
ïï
ïí(R + R )i + L di1 + R C duC2 + u = R J, (2.2)
J 1
1
2 2
C2
J
ïï 1
dt
dt
ïï
ïïR i + L di3 - u - R C duC2 = 0.
3
C2
2 2
ïïî 3 3
dt
dt
1
2
RJ
Рис. 2.3
26
3
2.1.3. Система дифференциальных уравнений в нормальной форме
Систему уравнений (2.2) целесообразно привести к нормальной
форме (форме Коши). Для этого из первого уравнения системы нужно выразить производную duC2/dt и подставить во второе и третье
уравнения системы. В результате получатся три уравнения, в каждом из которых содержится только одна производная по одной из
трех переменных состояний и появляется возможность систему
уравнений (2.1) привести к нормальному виду (2.3).
ìï duC2
1
1
ïï
=
i1 - i3,
ïï dt
C2
C2
ïï
ïïí di1 = - R1 + R2 + RJ i + R2 i - 1 u + RJ J, 1
3
C2
ïï dt
L1
L1
L1
L1
ïï
R3 + R2
1
ïï di3 R2
i3 + uC2.
ïï dt = L i1 - L
L
3
3
3
ïî
(2.3)
Система дифференциальных уравнений в нормальной форме
удобна для аналитического построения решения и является необходимой для организации численного расчета на ЭВМ.
Для расчета переходного процесса на ЭВМ используются программы численного интегрирования, построенные на основе методов Эйлера, Рунге-Кутта, Адемса и других. Можно отметить, что
методы численного интегрирования дифференциальных уравнений
были разработаны достаточно давно и предназначены для построения решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Аналитическое построение решения дифференциального уравнения (системы уравнений) в соответствии с 2.1 состоит в поиске
двух составляющих: установившегося значения и свободной составляющей решения.
2.1.4. Расчет установившейся составляющей решения
Для расчета установившегося режима после коммутации следует построить электрическую схему. В рассматриваемом примере
схема включена на постоянный источник тока (см. рис. 2.3). В постоянном режиме сопротивление индуктивного элемента равно
нулю, сопротивление емкостного элемента равно бесконечности, поэтому при построении расчетной схемы индуктивный элемент сле27
дует закоротить, а ветвь с емкостным элементом – разомкнуть.
В результате расчета схема
в установившемся режиме будет со2
3 держать только резистивные элементы и иметь вид, представленRJ
ный на рис. 2.4. Получили простейшую резистивную схему со смешанным соединением элементов.
Рис. 2.4
Ток в ветви 2 будет равен нулю,
напряжение uc2y на емкостном элементе будет равно напряжению
на резисторе R3, так как оказывается включенным с сопротивлением R3 параллельно. Таким образом, напряжение источника тока Uy
определяется выражением
R (R + R3 )
UJ = J 1
× J.
RJ + R1 + R3
1
Токи в индуктивных элементах
UJ
RJ
i1y = i3y =
=
× J.
R1 + R3 RJ + R1 + R3
Напряжение на емкостном элементе
UC2y = R3 ∙ i3y.
2.1.5. Определение свободной составляющей решения
Напомним, что даже из общих соображений ясно – свободная составляющая решения iLсв с течением времени затухает и стремится к нулю в установившемся режиме. Закон поведения свободной составляющей определяется корнями характеристического
(алгебраического) уравнения, которое строится по системе однородных дифференциальных уравнений. В рассматриваемом случае эта
система для свободных составляющих имеет следующий вид:
ìï duC2
1
1
ïï
câ =
i1câ - i3câ ,
ïï dt
C2
C2
ïï
R + RJ + R2
R
1
ïï di1
(2.4)
câ = - 1
i1câ + 2 i3câ - uC2câ , í
ïï dt
L1
L1
L1
ïï
R2
R3 + R2
1
ïï di3
i3câ + uC2câ .
ïï dt câ = L i1câ - L
L3
3
3
ïî
28
Если в системе (2.4) обозначение производных заменить на a, систему уравнений (2.4) можно представить в следующем виде:
ìï
1
1
ïïαu
=
i - i ,
ïï C2câ C2 1câ C2 3câ
ïï
1
R + RJ + R2
R
ïï
i1câ + 2 i3câ - uC2câ , íαi1câ = - 1
ïï
L1
L1
L1
ïï
1
R
R
R
+
ïï
2
3
2i
uC2câ
3câ +
ïïαi3câ = L i1câ - L
L3
3
3
ïî
(2.5)
и по системе уравнений (2.5) можно сформировать определитель, образованный коэффициентами при переменных состояния, и приравнять нулю:
i1y
i2y
1
1
C2
C2
R + RJ + R2
R2
- 1
-α
L1
L1
R2
R + R2
- 3
-α
L3
L3
uC2y
-α
-
1
= 0. L1
1
L3
(2.6)
В результате получили определитель третьего порядка, раскрывая который можно сформировать характеристическое уравнение
третьего порядка относительно a. Корни характеристического уравнения определяют вид решения для свободных составляющих выражения (2.1). При решении характеристического уравнения третьего порядка можно получить две комбинации корней:
три вещественных отрицательных корня α1, α2, α3;
или
один корень α1 вещественный отрицательный, два корня α2, α3
образуют комплексно-сопряженную форму следующего вида
α2, 3 = –δ ± jω,
с отрицательной вещественной частью δ.
В первом случае (при вещественных корнях) решение для свободной составляющей записывается в виде суммы трех показательных
функций и имеет вид
iLcâ = A1eα1t + A2eα2t + A3eα3t . (2.6)
29
Во втором случае решение имеет следующий вид:
(2.7)
iLcâ = B1eα1t + ( B2 cos ωt + B3 sin ωt)e-δt , где первое слагаемое определяется вещественным корнем α1, остальные парой комплексно-сопряженных корней α2, α3.
Вид решения (2.6) или (2.7) для свободной составляющей используется в (2.1).
Таким образом, вещественному корню соответствует убывающая во времени экспоненциальная функция, паре комплексно-сопряженных корней соответствует колебательная с частотой ω затухающая функция. Затухание определяется множителем e–δt. Поэтому при комплексно-сопряженных корнях мнимая часть корня ω
определяет частоту затухающих колебаний, вещественная часть δ –
является коэффициентом затухания колебательного процесса.
Для цепей высших порядков определение выражения для свободной составляющей решения связано с существенными трудностями, так как необходимо определить корни характеристического
уравнения высокого порядка. В остальном методика построения решения аналогична.
2.1.6. Определение постоянных интегрирования
Произвольные постоянные интегрирования A1, A2, A3 или B1, B2,
B3 определяются путем использования начальных условий для переменных состояния при t = 0– и значения (n – 1) производных в момента времени t = 0+, где n – порядок цепи. В рассматриваемом случае при n = 3 значение первой производной находится по уравнению
для выбранной переменной состояния из системы (2.3), например
для i3:
di3 +
R
R + R2
1
(2.8)
(0 ) = 2 i1 (0- ) - 3
i3 (0- ) - uC2 (0- ). dt
L3
L3
L3
Начальное значение второй производной можно найти из уравнения
d2i3 +
R di
R + R2 di3 +
1 d
(0 ) = 2 1 (0+ ) - 3
(0 ) uC2 (0+ ), (2.9)
dt
L3 dt
L3
dt
L3 dt
где значение производных di1/dt(0+), di3/dt(0+), duC2/dt(0+) находятся из уравнений системы (2.3) при использовании начальных значений переменных состояния i1(0–), i3(0–), uC2(0–):
30
duC2 +
1
1
(0 ) =
i1 (0- ) - i3 (0- );
dt
C2
C2
di1 +
R + RJ + R2
R
1
R
(0 ) = - 1
i1 (0- ) + 2 i3 (0- ) - uC2 (0- ) + J J;
dt
L1
L1
L1
L1
di3 +
R
R + R2
1
(0 ) = 2 i1 (0- ) - 3
i3 (0- ) +
uC2 (0- ). dt
L3
L3
L3
(2.10)
Аналогично можно находить начальные значения высших производных.
В результате для определения значений постоянных интегрирования формируется система n алгебраических уравнений путем использования начального значения переменной состояния
при t = 0 и начальных значений производных d/dt(0+), d2/dt2(0+), …,
dn – 1/dtn – 1(0+), где n – порядок цепи.
Очевидно, что в цепях первого порядка решение содержит одну
постоянную интегрирования, которая определяется из уравнения,
например, для тока в индуктивности:
(2.11)
i = i + Aeαt
и при iL(0–) имеем
L
Ly
iL(0–) = iLy + A,
(2.12)
где iL(0–) – начальное значение переменной состояния.
Из (2.12) имеем
A = iL(0–) – iLy.
(2.13)
В цепях второго порядка решение содержит две постоянные интегрирования, например, для тока в индуктивности при вещественных корнях имеем
iL = iLy + A1eα1t + A2eα2t . iL(0–) = iLy + A1 + A2.
(2.14)
Для определения постоянных интегрирования A1, A2 необходимы два начальных условия, которые сформируют систему из двух
алгебраических уравнений относительно A1, A2. Одно из условий
связано с начальным значением переменной состояния iL(0–). Применяя это условие в выражении (2.14) имеем
(2.15)
Второе условие связано с начальным значением первой производной от тока iL после коммутации diL/dt(0+), численное значение которого определяется из уравнения состояния.
31
Учитывая, что в постоянном режиме iLy = const, после дифференцирования выражения (2.14) получим
diL
= α1 A1eα1t + α2 A2eα2t dt
(2.16)
diL +
(0 ) = α1 A1 + α2 A2. dt
(2.17)
и при t = 0+ имеем
Таким образом, постоянные интегрирования A1, A2 можно получить из системы двух уравнений:
ì
ï
iL (0- ) = iLy + A1 + A2,
ï
ï
ï
í di
L (0+ ) = α A + α A .
ï
ï
1
1
2
2
ï
ï
î dt
(2.18)
Аналогично решается задача определения постоянных интегрирования и при комплексно-сопряженных корнях α1, 2 = –δ ± jω.
Отличие состоит в записи решения для переменной состояния,
которое, как уже упоминалось, имеет вид:
iL = iLy + (B1cosωt + B2sinωt)e–δt.
(2.19)
Более подробно решение переходного процесса в цепи второго
порядка рассматривается в § 2.2, в том числе при двух равных
вещественных корнях характеристического уравнения.
2.2. Методика расчета разветвленных цепей второго прядка
без использования графа цепи
В учебном процессе наибольшие трудности студенты испытывают
при расчете переходных процессов в разветвленных цепях второго
порядка. Представляется целесообразным рассмотреть методику
расчета переходного процесса на примере конкретной электрической
цепи, руководствуясь ранее изложенными принципами.
Заданная цепь с указанием направления коммутации показана
на рис. 2.5.
Методика расчета состоит в следующем.
1. Изобразить схему после коммутации, обозначить на ней ветви
арабскими цифрами, указать направление токов ветвей (рис. 2.6).
32
Рис. 2.5
1
2
3
Рис. 2.6
2. Выбрать переменные по ветвям схемы согласно рекомендациям в табл. 1.1.
Первая ветвь → i1 (переменная состояния).
Вторая ветвь → i2.
Третья ветвь → u3 = uC (переменная состояния).
3. Выполнить топологический расчет структуры цепи.
Число ветвей p = 3.
Число узлов q = 2.
Число уравнений по ЗТК q – 1 = 1.
Число независимых контуров (уравнений по ЗНК) n = p – (q – 1) =
= 3 – 1 = 2.
4. Выбрать на схеме независимые контуры, указать направления
их обхода (см. рис. 2.6).
5. Сформировать систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа с учетом выбранных переменных по ветвям схемы
(позиция 2 методики) и уравнений ветвей по табл. 1.1
ìï
du
ïïi1 - i2 - C C = 0,
ïï
dt
ïï
di
ïíR i + L 1 + R i = E, 22
ïï 1 1
dt
ïïu - R i = 0.
22
ïï C
ïïî
(2.20)
33
6. Исключить из системы уравнений (2.20) «лишние» переменные, оставляя в системе только переменные состояния.
В данном случае «лишней» переменной является ток i2. Выражаем i2 из последнего уравнения
1
i2 =
uC .
R2
После подстановки в оставшиеся уравнения системы (2.20) выражения для i2 имеем для расчета следующую систему:
ìï
1
du
ïïi1 uC - C C = 0,
ïï
R2
dt
í
ïï
di1
uC
- R2
= E,
ïïR1i1 + L1
dt
R2
îï
(2.21)
Примечание к пункту 6.
Если в исходной системе уравнений «лишних» переменных несколько, целесообразно исключать «лишние» переменные последовательно. На каждом этапе проверять корректность вновь сформированной системы уравнений: число уравнений равно числу
оставшихся переменных.
7. Систему уравнений (2.21) привести к нормальной форме и в результате получить систему уравнений переменных состояния, пригодную для аналитического построения решения или для численного расчета на ЭВМ.
ì
duC 1
1
ï
ï
uC ,
= i1 ï
ï
dt
C
CR
2
ï
í
ï
di1
R
1
1
ï
= - 1 i1 + uC + E
ï
ï
dt
L
L
L
ï
1
1
1
î
(2.22)
при нулевых начальных условиях, так как в нашем случае uC(0–) =
= 0, i1(0–) = 0.
8. Положить в системе уравнений (2.22) Е = 0 и получить систему
однородных дифференциальных уравнений для определения свободных составляющих решения:
34
ìï duCñâ 1
1
ïï
= i1ñâ uCñâ ,
ïï dt
C
CR2
í
ïï di1ñâ
R1
1
= - i1ñâ + uCñâ
ïï
L1
L1
ïî dt
(2.23)
или заменив обозначение производных на α, систему уравнений
(2.23) представить в следующем виде:
ìï
1
1
ïïαuCñâ = i1ñâ uCñâ ,
ïï
C
CR2
í
ïï
1
R1
α
.
i
=
i
+
u
ïï 1ñâ
1ñâ
Cñâ
L1
L1
ïî
(2.24)
9. По системе уравнений (2.24) сформировать определитель, образованный коэффициентами при переменных состояния, приравнять его к нулю:
1
1
-α
C
CR2
= 0. R1
1
- -α
L1
L1
(2.25)
10. Раскрыть определитель и получить характеристическое уравнение второго порядка относительно α:
æR
1 ö÷
1
R1
÷÷α +
α2 + ççç 1 +
= 0. CL1 R2CL2
è L1 CR2 ø÷
(2.26)
11. Найти корни характеристического уравнения (2.26). Для сокращения записи в (2.26) обозначим
R1
1
(2.27)
+
= 2δ, L1 CR2
1
R1
(2.28)
= ϖ20 . ÑL1 R2CL2
Тогда уравнение (2.26) запишем в компактном виде
и найдем его корни
α2 + 2δα + ϖ20 = 0 (2.29)
α1, 2 = -δ ± δ2 - ϖ20 . (2.30)
12. Определить характер переходного процесса.
Как уже отмечалось, характер переходного процесса определяется корнями характеристического уравнения. В соответствии с (2.30)
в общем случае возможны три варианта корней:
35
а) при δ > ω0 имеем два разных отрицательных вещественных
корня α1 и α2.
Выражение для свободной составляющей любой переменной следует записать в виде суммы двух показательных функций. Однако
решение целесообразно искать для одной из переменных состояния
i1 или uC, так как в этом случае, как уже отмечалось, проще определять постоянные интегрирования. Будем искать решение для напряжения на емкости, тогда:
где τ1 =
- tτ
uCñâ = A1eα1t + A2eα2t = A1e
1
- tτ
+ A2e
2
,
(2.31)
1
1
, τ2 =
.
α1
α2
Введение величин τ1 и τ2, которые называются постоянными
времени и имеют размерность [секунда], удобно для построения экспоненциальных функций, если задавать значения времени t кратно
τ, то есть полагать t = τ, 2τ, 3τ и так далее. Таким образом можно построить каждую из показательных функций, затем их графически
сложить.
Из (2.31) видно, что переходный процесс в этом случае имеет апериодический вид, так как напряжение uC не будет менять своего направления.
б) при δ = ω0 имеем два разных отрицательных вещественных
корня α1 = α2 = –δ.
Выражение для свободной составляющей напряжения на емкости следует записать в следующем виде:
uCñâ = ( A3 + A4t)e-δt . (2.32)
Переходный процесс в этом случае называют предельным апериодическим. Для него характерно минимальное по продолжительности время переходного процесса.
в) при δ < ω0 имеем комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью:
α1, 2 = -δ ± j ϖ20 - δ2 = -δ ± jω,
где ω = ω20 - δ2 – частота затухающих колебаний.
Выражение для свободной составляющей напряжения на емкости следует записать в следующем виде:
36
uCñâ = ( A5 sin ωt + A6 cos ωt)e-δt = B sin(ωt + Θ)e-δt . (2.33)
R1
Переходный процесс имеет затухающий колебательный характер с частотой w. Затухание опреE
деляется множителем e–δt с поR2
казателем δ, поэтому δ называют
коэффициентом затухания.
13. Определить установившееся значение напряжения на емРис. 2.7
кости. Для этого по рис. 2.6 следует построить расчетную схему с учетом того, что схема включена
на источник постоянного напряжения. Индуктивный элемент при
этом следует закоротить, ветвь с емкостью – разомкнуть. В результате имеем схему (рис. 2.7) и для нее получаем
E
(2.34)
uCy =
× R2 R1 + R2
14. Записать выражения для полного решения напряжения на
емкости при различных корнях характеристического уравнения:
а) δ > ω0
E
(2.35)
uC = uCy + uCñâ =
× R2 + A1eα1t + A2eα2t ; R1 + R2
б) δ = ω
0
E
(2.36)
uC = uCy + uCñâ =
× R2 + ( A3 + A4t)e-δt ; R1 + R2
в) δ < ω
0
E
uC = uCy + uCñâ =
× R2 + ( A5 sin ωt + A6 cos ωt)e-δt . (2.37)
R1 + R2
15. Определить выражения для постоянных интегрирования.
Каждое из выражений (2.35), (2.36), (2.37) содержит две постоянные интегрирования. Для их определения нужно иметь два начальных условия с тем, чтобы сформировать систему из двух алгебраических уравнений. Одно условие вытекает из независимого начального значения переменной состояния uC, которое до коммутации согласно рис. 2.5 равно нулю. Таким образом, имеем
uC(0–) = uC(0+) = 0.
(2.38)
Второе условие вытекает из первого уравнения состояния системы (2.22)
duC +
1
1
(2.39)
(0 ) = i1 (0- ) uC (0- )= 0.
dt
C
CR2
и при i1(0–) = 0, uC(0–) = 0 равно нулю.
37
Так как в рассматриваемом случае коммутация связана с подключением цепи к источнику и поэтому имеют место нулевые начальные условия для переменных состояния:
i1(0–) = 0 и uC(0–) = 0.
Очевидно для использования начального условия (2.39) необходимо выражения (2.35), (2.36), (2.37) продифференцировать.
При δ > ω0
duC
= α1 A1eα1t + α2 A2eα2t . (2.40)
dt
При δ = ω0
duC
= A4e-δt - δ( A3 + A4t)e-δt . (2.41)
dt
При δ < ω0
duC
= (ωA5 cos ωt - ωA6 sin ωt)e-δt - δ( A5 sin ωt + A6 cos ωt)e-δt . (2.42)
dt
Таким образом, постоянные интегрирования могут быть определены из следующих систем алгебраических уравнений:
При δ > ω0
E
ïìï
ï0 = R + R × R2 + A1 + A2,
(2.43)
í
1
2
ïï
ïïî0 = α1 A1 + α2 A2.
При δ = ω0
ìï
E
ïï0 =
× R2 + A3,
R1 + R2
(2.44)
í
ïï
ïïî0 = A4 - δA3.
При δ < ω0
E
ïìï
ï0 = R + R × R2 + A6 ,
(2.45)
í
1
2
ïï
ïïî0 = ωA5 - δA6 .
16. Определить расчетные выражения.
Подставив выражения для постоянных интегрирования в (2.35),
(2.36), (2.37) получить расчетные выражения на емкостном элементе для различного характера переходного процесса.
Через uC получить расчетные выражения для всех переменных
в цепи (см. рис. 2.6). Так в рассматриваемой схеме:
38
i3 = iC = C
duC
,
dt
u
i2 = 2 ,
R2
u2 = uC,
di
u1 = uL = L1 1 ,
uR1 = R1i1.
dt
С помощью законов Кирхгофа для мгновенных значений переменных сделать проверку правильности полученных выражений.
i1 = i2 + i3,
2.3. Расчет с использованием графа цепи
В основу расчета переходных процессов в разветвленных цепях
положена система уравнений в нормальной форме (система уравнений переменных состояния), которая выводится из системы уравнений по законам Кирхгофа после исключения из нее «лишних» переменных (токов резистивных ветвей). При соответствующем использовании понятия графа, дерева, ветвей дерева и связи, как правило,
удается исключить возможные трудности формирования системы
уравнений переменных состояния. При этом необходимо соблюдать
некоторые требования:
– все реактивные элементы цепи принять за ветви графа путем
введения дополнительных узлов;
– ветви дерева должны содержать ветви с емкостными и резистивными элементами;
– ветви связи должны содержать индуктивные и резистивные
элементы.
Методику расчета разветвлений цепи с использованием графа
рассмотрим на примере рис. 2.8.
1
1
2
3
4
4
3
5
6
5
2
Рис. 2.8
39
На рис. 2.8 после коммутации показаны дополнительные узлы 1,
3, 4, которые позволяют рассматривать реактивные элементы как
ветви схемы. Порядок работы со схемой следующий
1. Рассматривать реактивные элементы с помощью дополнительных узлов как ветви схемы. Обозначать узлы арабскими цифрами
в кружочках (см. рис. 2.8).
2. Перенести размещение узлов на отдельное место, соединить их
линиями и образовать граф схемы (рис. 2.9).
3. Жирными линиями на графе выделить ветви дерева, образованного ветвью дерева с емкостным и резистивными элементами
(ветвь с индуктивным элементом должна быть ветвью связи).
4. Арабскими цифрами обозначить вначале ветви связи, затем
ветви дерева. Выбрать направление ветвей (см. рис. 2.9).
5. Перенести обозначение ветвей и их направления с графа на
схему (рис. 2.8).
6. Показать на графе главные сечения (обозначены римскими
цифрами) и их положительные направления. След сечения должен
пересекать только одну ветвь дерева.
7. Показать на графе и на схеме (см. рис. 2.8) главные контуры
и их положительные направления обхода. Контур должен содержать только одну ветвь связи. Нумерация контура и направление
обхода совпадают с данными ветви связи.
8. Руководствуясь рекомендациями по выбору переменных в ветвях схемы и уравнениями ветвей, сформировать систему уравнений
I
1
1
2
3
3
2
4
4
IV
6
II
5
III
5
Рис. 2.9
40
по закону токов Кирхгофа для главных сечений и по закону напряжений Кирхгофа для главных контуров.
ìï-i2 + i3 = 0,
ïï
ïï-i1 + i4 + i2 = 0,
ïï
du5
ïï
+ i2 = 0,
ïï-i1 + C5
dt
ïï
(2.46)
í-i1 + i6 = 0,
ïï
ïï di1
+ R4i4 + u5 + R6i6 = E,
ïïL1
ïï dt
ïï di
ïïL2 2 - u5 - R4i4 + R3i3 = 0.
ïî dt
Переменными состояния являются токи i1, i2 в индуктивных
элементах и напряжение u5 на емкостном элементе. Остальные переменные в системе уравнений (2.46) «лишние» и их следует исключить. Делать это целесообразно последовательно, каждый раз
следует изображать полученную схему с меньшим числом переменных.
Так как i3 = i2 и после подстановки в (2.46) имеем
ìï
ïï
ïï-i1 + i4 + i2 = 0,
ïï
ïï-i + C du5 + i = 0,
5
2
ïï 1
dt
ï
í-i1 + i6 = 0,
ïï
ïï di1
+ R4i4 + u5 + R6i6 = E,
ïïL1
ïï dt
ïï di2
- u5 - R4i4 + R3i2 = 0.
ïïL2
ïî dt
(2.47)
Так как i6 = i2 и после подстановки в (2.47) имеем
ïìï-i1 + i4 + i2 = 0,
ïï
ïï-i + C du5 + i = 0,
5
2
ïï 1
dt
ï
í di1
ïïL1
+ R4i4 + u5 + R6i1 = E,
ïï dt
ïï di
ïïL2 2 - u5 - R4i4 + R3i2 = 0.
ïïî dt
(2.48)
41
Учитывая, что i4 = i1 – i2 и после подстановки в (2.48) имеем
ìï
du
ïï-i1 + C5 5 + i2 = 0,
ïï
dt
ïï di
ïíL 1 + R i - R i + u + R i = E, 41
42
5
61
ïï 1 dt
ïï di
ïïL 2 - u - R i - R i + R i = 0.
5
41
42
32
ïïî 2 dt
(2.49)
Система уравнений (2.49) содержит только переменные состояния и в каждом уравнении содержится только одна производная по
переменной состояния. Решая каждое из уравнений системы (2.49)
относительно производной получим систему уравнений в нормальной форме или систему уравнений в переменных состояния:
du5
1
1
=
i1 - i2,
dt
C5
C5
di1
R4 + R6
R4
1
1
=i1 +
i2 - u5 + E, dt
L1
L1
L1
L1
di2 R6
R3 + R4
1
=
i1 i2 + u5.
dt
L2
L2
L2
(2.50)
Система уравнений (2.50) вместе с начальными условиями для
переменных состояния i1(0–) = 0, u5(0–) = E, i2(0–) = 0 позволяет рассчитать переходный процесс в схеме на рис. 2.8.
Все дальнейшие рассуждения по расчету переходного процесса
аналогичны изложенным в п. 2.1.3 пособия.
Задание 2.1. Расчет переходного процесса
в разветвленной цепи первого порядка
Для цепи первого порядка из приложения 2.1 выполнить следующее:
1) изобразить схему до коммутации и определить начальное значение переменной состояния (тока в индуктивности iL(0–) или напряжения на емкости uC(0–));
2) изобразить схему после коммутации в установившемся режиме и найти установившееся значение переменной состояния (iLy
или uCy);
42
3) изобразить схему после коммутации и сформировать по ней
систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа (на
выбор – без использования графа или с использованием графа);
4) сформировать характеристическое уравнение и определить
его корень;
5) найти общий вид решения для iL или uC;
6) определить постоянную интегрирования;
7) построить кривую переходного процесса для iL или uC.
Примечание.
Для проверки определить постоянную времени цепи τ по формуле:
для цепи с индуктивностью
τ=
L
,
Rýêâ
(2.51)
где Rэкв – эквивалентное сопротивление резистивной цепи относительно индуктивности при закороченном источнике напряжения
или разомкнутом источнике тока;
для цепи с емкостью
τ = CRэкв,
(2.52)
где Rэкв – эквивалентное сопротивление резистивной цепи относительно емкости при закороченном источнике напряжения или разомкнутом источнике тока.
Задание 2.2. Расчет переходного процесса
в разветвленной цепи второго порядка
Для цепи второго порядка из приложения 2.2 выполнить следующее:
1) изобразить схему до коммутации и определить начальные значения переменных состояния (ток в индуктивности iL(0–) и напряжение на емкости uC(0–));
2) изобразить схему после коммутации в установившемся режиме и найти установившиеся значения переменных состояния (iLy
или uCy);
3) изобразить схему после коммутации и сформировать по ней
систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа (на
выбор – без использования графа или с использованием графа);
4) сформировать систему уравнений переменных состояния;
43
5) составить характеристический определитель и найти его корни;
6) найти общий вид решения для тока в индуктивности iL или
напряжения на емкости uC;
7) составить систему алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования и решить ее;
8) построить кривую переходного процесса для iL или uC;
9) по указанию преподавателя найти выражения для остальных
переменных.
44
Приложение 2.1
Варианты
Номер
схемы
1
2
Данные электрической схемы
E, B
I, A
R3, Ом
R1, Ом
R2, Ом
С, мкФ
1
100
–
–
20
20
100
–
2
180
–
–
15
30
–
10
3
3
–
1,2
–
100
20
1
–
4
4
–
1,0
–
100
100
–
20
5
5
40
–
–
20
60
1
–
6
6
80
–
–
400
400
–
10
7
7
–
2
–
4
5
40
–
L, мГн
8
8
–
1
–
100
50
–
15
9
9
–
1
–
10
10
50
–
10
10
100
–
50
200
40
–
10
11
11
–
1,2
6
10
4
10
–
12
12
–
1
100
50
100
–
20
13
13
50
–
–
100
50
20
–
14
14
100
–
10
12
8
–
16
15
15
–
3
50
–
100
15
–
16
16
–
2
20
20
20
–
0,3
17
17
50
–
10
10
10
10
–
18
18
30
–
100
100
100
–
0,5
19
19
–
1
60
60
120
25
–
20
20
–
1
–
50
50
–
0,25
21
21
30
–
10
10
20
3
–
22
22
100
–
100
50
100
–
1
23
23
–
0,5
100
100
100
10
–
24
24
–
0,2
–
200
200
–
5
25
25
100
–
100
500
500
4
–
26
26
50
–
300
100
100
–
6
27
27
–
1
200
100
200
10
–
28
28
–
0,2
50
50
100
–
8
29
29
100
–
–
50
100
20
–
30
30
100
–
100
100
100
–
5
45
Продолжение прил. 2.1
1.
2.
R1
R1
C
R2
E
E
3.
L R2
4.
R2
J
C
J
R2
R1
L
R3
5.
E
6.
R1
R2
R1
E
8.
7.
L
R2
C
R1
J
R1
J
L
C
R2
R2
10.
9.
R1
E
R3
C
R2
R1
E
R2
L
12.
11.
R2
R1
C
J
R1
R3
R3
L R2
J
46
14.
13.
R1
R1
R2
R3
C
R3
J
L R2
J
Продолжение прил. 2.1
14.
13.
R1
R1
R2
C
E
R3
E
R2
L
15.
16.
J
C
R3
R1
R3
J
R2
L
R2
R3
17.
18.
R1
R1
R3
R2
E
R2
E
R3
C
L
19.
20.
C
R2
R2
J
J
L
R1
R3
22.
21.
R1
R1
R2
R3
E
R2
E
C
L
R3
24.
47
23.
R1
R
R3
C
R1
J
L
1
R1
R2
R3
E
R2
E
C
L
Окончание
прил. 2.1
R3
24.
23.
R1
R3
R3
C
R1
R2
J
R2
25.
26.
R2
R1
R1
E
R3
C
R2
E
R3
L
27.
28.
R1
J
C
R2
R1
R2
R3
L
R3
J
29.
30.
E
L
R1
R3
C
R2
48
L
J
E
R2
R1
Приложение 2.2
Варианты
Номер
схемы
1
Данные электрической схемы
E, B
I, A
R0, Ом
R1, Ом
R2, Ом
С, мкФ
L, мГн
1
90
30
30
–
30
0,001
10
2
1
82
4000
200
–
4000
1
1
3
2
60
–
400
800
0
0,2
5
4
2
100
–
5000
50
0
2
20
5
3
40
–
10
10
10
0,5
100
6
3
80
–
400
400
20
1
100
7
4
100
–
50
–
50
0,001
10
8
4
105
–
2000
–
100
1
10
9
5
200
–
1000
–
1000
0,1
5
10
5
200
–
10
–
1000
0,1
5
11
6
20
–
20
20
20
0,01
500
12
6
20
–
500
5
5
2
50
13
7
100
–
10
–
40
2
100
14
7
120
–
20
–
1000
2
100
15
8
22
–
20
20
2
0,1
100
16
8
100
–
10
10
100
0,5
20
17
9
50
–
40
10
40
0,01
100
18
9
50
–
500
10
10
1
40
19
10
225
200
200
–
50
0,02
50
20
10
84
20
20
–
800
0,1
5
21
11
60
–
30
30
0
0,3
50
22
11
100
–
50
1000
0
0,1
2
23
12
50
40
–
10
40
0,01
100
24
12
81
800
–
10
10
1
10
25
13
80
–
100
–
100
0,01
10
26
13
84
–
2000
–
100
1
5
27
14
100
–
400
–
600
0,1
5
28
14
100
–
4000
–
40
0,2
2
29
15
140
–
40
40
100
0,01
10
30
15
200
–
2000
20
20
1
5
49
Продолжение прил. 2.2
1.
2.
i1
L
i3
i2
E
R1
R2
C
C
E
i2
R3
R1
i3
L
R2
i1
3.
4.
R1
R3
L
E
i3
i2
R2
L
R1
C
E
C
i3
i2
R3
i1
i1
6.
5.
L
R1
E
i3
i2
i1
E
R3
C
R1
R3
R2
i3
i1
L
i2
8.
7.
L
i1
E
R1
i3
i2
i1
R3
C
R1
E
i2
i3
R2
R3
C
L
9.
10.
E
50
C
R2
i1
i2
L
L
R1
i3
C
E
R3
i1
R1
12.
i2
R2
i3
R3
L
i1
E
R1
i3
i2
i1
R3
C
R1
E
i2
i3
R2
R3
C
L
Окончание прил. 2.2
9.
10.
C
R2
i1
E
i3
i2
i2
i3
C
E
R3
L
L
R1
R3
R2
i1
R1
12.
11.
L
i2
R1
E
C
R2
i1
i3
R1
i3
L
E
C
i2
i1
R3
R2
13.
E
R1
L
14.
C
i1
R3
i2
i1
i3
E
R1
i2 R3
C
L
i3
15.
L
R1
C
E
i2
R3
R2
i1
i3
51
Контрольные вопросы по разделу 2
1. Из каких составляющих образуется полное решение во временной области?
2. Как определить установившуюся составляющую полного решения?
3. Как определить свободную составляющую полного решения?
4. Какой вид имеет переходный процесс в цепи первого порядка?
5. Какой вид может иметь переходный процесс в цепи второго порядка?
6. Какие корни характеристического уравнения определяют апериодический переходный процесс?
7. Какие корни характеристического уравнения определяют колебательный переходный процесс?
8. Как сформировать характеристическое уравнение?
9. Какой вид имеет система уравнений состояния?
10. Как используется система уравнений состояния?
11. Какие переменные называются переменными состояния?
12. Как определить постоянную интегрирования в цепи первого
порядка?
13. Как определить постоянные интегрирования в цепи второго
порядка при апериодическом переходном процессе?
14. Как определить постоянные интегрирования в цепи второго
порядка при колебательном переходном процессе?
15. Как определить постоянные интегрирования в цепи второго
порядка при предельном апериодическом переходном процессе?
16. Как сформировать систему дифференциальных уравнений
по законам Кирхгофа без использования графа цепи?
17. Как сформировать систему дифференциальных уравнений по
законам Кирхгофа с использованием графа цепи?
18. Как выбрать переменные по ветвям схемы?
19. Как построить граф цепи с емкостно-резистивным деревом?
20. Как построить граф цепи, в котором каждый реактивный
элемент является ветвью графа?
21. Как использовать решение для переменной состояния при
определении выражений для всех остальных переменных?
22. Как определить длительность переходного процесса в цепи
первого порядка?
23. Как определить длительность апериодического переходного
процесса в цепи второго порядка?
24. Как определить длительность колебательного переходного
процесса в цепи второго порядка?
52
3. Расчет переходного процесса в нелинейной цепи
методом переменных состояния
Уже отмечалось раньше, что метод переменных состояния, связанный с решением системы дифференциальных уравнений в нормальной форме, позволяет выполнять расчет переходных процессов
на ЭВМ. Используется при этом метод численного интегрирования
дифференциальных уравнений. Однако, если в линейной цепи дифференциальные уравнения содержат линейные коэффициенты
и поэтому уравнения являются линейными, то в нелинейной цепи
дифференциальные уравнения содержат нелинейные характеристики, связанные с характеристиками нелинейных элементов. Важно,
чтобы характеристики нелинейных элементов были выражены
через переменные состояния. В этом отношении возможны трудности с нелинейными характеристиками резистивных элементов.
Очевидно, что достаточно простое решение имеет место, если нелинейный резистивный элемент включен либо последовательно с индуктивным элементом, либо параллельно с емкостным.
3.1. Понятие нелинейной электрической цепи и ее элементов
Электрическая цепь является нелинейной, если она содержит
хотя бы один нелинейный элемент. Нам известно, что линейная
цепь содержит три разновидности линейных элементов, которые характеризуются в резистивном элементе величиной сопротивления
,
R или проводимости G с графическим обозначением
в индуктивном элементе величиной индуктивности L с графическим обозначением
, в емкостном элементе величиной емкости С с графическим отображением
. Такие же разновидности используются и в нелинейном представлении, только
каждый из этих элементов характеризуется нелинейной характеристикой и с несколько иным граu
фическим обозначением.
Итак, нелинейный резистивный элемент и его характеристика приведены на рис. 3.1.
Характеристика u(i) называi
ется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) по размерности веРис. 3.1
ψ
53
i
i
i
q
ψ
i
i
q
Рис. 3.2
Рис. 3.3
личин на осях координат. Можно рассматривать зависимость тока
от напряжения i(u). Разновидностей нелинейных резистивных элементов много со своими характеристиками.
i
Нелинейный индуктивный элемент и его характеристики приведены на рис. 3.2.
Характеристика ψ(i) по размерностям величин по осям называется вебер-амперной. Эта характеристика для конкретного устройства либо снимается экспериментально, либо может быть построенная графоаналитически на основе использования основной кривой
намагничивания B(H) ферромагнитного материала.
Нелинейный емкостной элемент его характеристика приведены
на рис. 3.3.
Характеристика q(u) на основе размерностей по осям называется
Кулон-вольтовой.
3.2. Аналитическая аппроксимация характеристик
нелинейных элементов
Наиболее простое и достаточно общее решение имеет место, если
применить аппроксимацию с помощью степенных алгебраических
многочленов вида
y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn.
(3.1)
Если нелинейная характеристика начинается вначале координат, то коэффициент аппроксимации a0 в выражении (3.1) нужно
исключать.
Если при этом нелинейная характеристика симметрична относительно оси абсцисс, то степенной ряд (3.1) содержит только нечетные степени и ряд имеет вид
y = a1x + a3x3 + a5x5 + ...
54
Все дальнейшие рассуждения сохраняются.
Определить коэффициенты аппроксимации нелинейной характеристики в заданном промежутке можно методом интерполяции.
Коэффициенты определяют из условия совпадения степенного
многочлена и нелинейной характеристики в различных ее точках.
Первая и последние точки нелинейной характеристики должны
быть граничными точками промежутка. Очевидно, если нелинейная характеристика начинается вначале координат, коэффициент
a0 нужно опустить. Например, аппроксимируем нелинейную характеристику в промежутке x1 – x4, y1 – y4. Аппроксимацию осуществляем в четырех точках характеристики x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3,
y4 и должны определить четыре коэффициента аппроксимации a1,
a2, a3, a4.
Очевидно, для этого нужно сформировать систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными коэффициентами. Система имеет вид
ìïy = a x + a x2 + a x3 + a x4 ,
ïï 1
1 1
2 1
3 1
4 1
ïï
2
3
4
ïïy2 = a1x2 + a2x2 + a3x2 + a4 x2 ,
í
ïïy = a x + a x2 + a x3 + a x4 ,
3
1
3
2
3
3
3
4
3
ïï
ïïy = a x + a x2 + a x3 + a x4 .
1 4
2 4
3 4
4 4
ïî 4
(3.2)
Решая совместно систему уравнений (3.2) относительно a1, a2, a3,
a4 при выбранных точках аппроксимации найдем искомые коэффициенты.
Применим изложенные принципы для аппроксимации нелинейных характеристик.
Резистивный элемент. Вид нелинейной характеристики оставим прежним (см. рис. 3.1).
Аппроксимируем характеристику в промежутке i1 – i4, u1 – u4 по
четырем точкам (рис. 3.4).
u
Система уравнений для определения коэффициентов аппроксимации
u4
имеет вид
ìïu = a i + a i2 + a i3 + a i4 ,
ïï 1
11
21
31
41
ïï
2
3
4
u
a
i
a
i
a
i
a
=
+
+
+
ïï 2
12
22
32
4 i2 ,
í
ïïu = a i + a i2 + a i3 + a i4 ,
13
23
33
43
ïï 3
ïïu = a i + a i2 + a i3 + a i4 .
14
24
34
44
ïî 4
u3
u2
(3.3)
u1
i1
i2
i3 i4
i
Рис. 3.4
55
Решая систему (3.3) относительно а1, а2, а3, а4 определим аппроксимирующую функцию u(i) для резистора в виде степенного
многочлена четвертой степени:
u = a1i + a2i2 + a3i3 + a4i4 . (3.4)
Аналогично можно найти аппроксимирующую функцию i(u)
в виде такого же по структуре степенного многочлена, но с другими
коэффициентами аппроксимации:
i = b1u + b2u2 + b3u3 + b4u4 .
(3.5)
Аналогично можно аппроксимировать вебер-амперную характеристику ψ(i) нелинейного индуктивного элемента (рис. 3.2) и Кулонвольтовую q(u) емкостного элемента.
Аппроксимирующие функции этих элементов представлены выражениями (3.6) (3.7):
ψ = c1i + c2i2 + c3i3 + c4i4 ; (3.6)
q = d1u + d2u2 + d3u3 + d4u4 . (3.7)
3.3. Представление нелинейных элементов
в уравнениях состояния
Для представления нелинейных элементов в уравнениях состояния необходимо, чтобы нелинейные характеристики этих элементов выражались через переменные состояния.
В противным случае расчет переходного процесса на ЭВМ невозможен до тех пор, пока характеристики нелинейных элементов не
будут выражены через переменные состояния.
Очевидно, что такая трудность может быть связана только с резистивным элементом и потребуется выразить переменные в характеристике нелинейного резистивного элемента через переменные состояния, что в нелинейной цепи не всегда возможно, например в переменную нелинейной резистивной характеристики войдет производная по переменной состояния и привести систему к нормальному виду становиться невозможным.
Нелинейный резистивный элемент может быть представлен функциями u(i) при последовательном включении или i(u) при параллельном включении.
56
Каждая их этих функциональных зависимостей с учетом приведенных аппроксимирующих нелинейных элементов выражений
(3.5) может быть представлена следующим образом:
u(i) = R(i) ∙ i,
2
3
(3.8)
4
u a1i + a2i + a3i + a4i
=
= a1 + a2i + a3i2 + a4i3.
i
i
где R (i) =
2
i(u) = G (u)i, 3
(3.9)
4
i b1u + b2u + b3u + b4u
=
= b1 + b2u + b3u2 + b4u3.
u
u
В выражениях (3.8), (3.9) ток i и напряжение u должны быть переменными состояния. Это возможно, если последовательно с нелинейным резистором включен индуктивный элемент и параллельно
емкостной элемент. Как показано на рисунках ниже.
где G (u) =
Нелинейный индуктивный элемент определяется производной
по времени от потокосцепления ψ(i, t), являющегося в данном случае функцией двух переменных – тока i и времени t. Производная
по времени от потокосцепления – это напряжение. В результате
с учетом аппроксимирующей функции (3.6) имеем
u=
dψ(t) ¶ψ(i) di
di
=
= L(i) ,
dt
¶i dt
dt (3.10)
где L(i) = ¶ψ(i) = ¶ c1i + c2i2 + c3i3 + c4i4 = c1 + 2c2i + 3c3i2 + 4c4i3.
¶i
¶i
Нелинейный емкостной элемент определяется производной по
времени от заряда q(u, t), являющегося в данном случае функцией
двух переменных – напряжения u и времени t. Производная по времени от электрического заряда – это ток.
В результате с учетом аппроксимирующей функции (3.7) имеем
i=
где Ñ(u) =
dq(u, t) ¶q(u) du
du
=
= c(u) , ¶u dt
dt
dt
(3.11)
¶q(u) ¶
= d1u + d2u2 + d3u3 + d4u4 = d1 + 2d2u + 3d3u2 + 4d4u3.
¶u
¶u
57
Таблица 3.1
Представление нелинейных элементов
в уравнениях по законам Кирхгофа
Вид нелиней- Графическое
ного элемента обозначение
Вклю­
чение
Напряжение
элемента
Ток
элемента
R(i)i
i
u
G(u)u
i
Резистивный элемент
Последовательное
Параллельное
Индуктивный элемент
Любое
L(i)di/dt
Емкостной
элемент
Любое
u
Аппроксимация
нелинейного
коэффициента
R(i) = a1 +
+ a2i + a3i2
G(u) = b1 +
+ b2u + b3u2
L(i) = c1 +
+ 2c2i + 3c3i2
C(u) = d1 +
C(u)du/dt + 2d u + 3d
2
2
3u
Примечание. Коэффициенты аппроксимации степенного многочлена четвертой степени определяется из системы четырех уравнений, составленных в четырех
различных точках промежутка нелинейной характеристики элемента. Аппроксимация по трем различным точкам будет связана с построением степенного многочлена третьей степени и соответствующим уменьшением точности аппроксимации
нелинейной характеристики для выбранного промежутка.
Результаты аппроксимации представлены в табл. 3.1.
3.4. Система уравнений переменных
состояния нелинейной цепи
Как и в линейной цепи, система уравнений переменных состояния получается при исключении «лишних» переменных из систем
уравнений для рассматриваемой цепи по законам Кирхгофа. Система уравнений по законом Кирхгофа может быть построена либо без
использования графа цепи (см. пп. 2.1.2, 2.1.3), либо с использованием графа цепи (см. § 2.3).
Последний путь позволяет избежать многочисленных трудностей при исключении «лишних» переменных в системе уравнений
по законам Кирхгофа и построении системы уравнений в нормальном виде (уравнений переменных состояния). Существенное отличие в системе переменных состояния нелинейной цепи состоит
в представлении нелинейных элементов (см. табл. 3.1).
В качестве примера рассмотрим цепь третьего порядка на рис. 3.5.
Цепь включается на постоянное напряжение, обозначенного
ЭДС. Все элементы цепи приняты нелинейными. Для построения
58
Рис. 3.5
5
5
1
1
1
2
1
2
3
3
5
1
4
13
2
3
4
3
2
2
3
4
4
Рис. 3.6
4
2
системы уравнений состояния используем граф. Для построения
1
2
3
графа каждый реактивный
примем
за3 ветвь графа с помо1 элемент
4
3
1
2
щью введения дополнительных
узлов.
целесообразно
3 Для этого
1
изобразить после коммутации ноI
III которая бувую схему (рис. 3.6),
3
2
3
1 I
дет использоватьсяIIIдля решения 1
2
задачи. Подробная методика ре5
2
шения задачи изложена в параI
5
4
III
графе 2.3 для линейной цепи.
Здесь кратко напомним только ос-4
2
II
новные этапы.
5
II
Со схемы рис. 3.6 следует пере4
4
нести размещение всех узлов и за4
тем построить граф, как показано
II
на рис. 3.7.
На графе рис. 3.7 следует выде4
лить жирными линиями ветви дерева с емкостным (обязательно)
Рис. 3.7
59
и резистивными элементами. Далее арабскими цифрами обозначим
все ветви, выберем направление ветвей и всю информацию перенесем на рис. 3.6.
Дальнейшая работа связана с обозначениями главных сечений
(обозначены римскими цифрами) и главных контуров, причем главные контуры показаны на графе и рис. 3.6.
Для формирования системы уравнений по законам Кирхгофа
в соответствии с методикой выберем переменные по ветвям:
первая ветвь – ток i1, вторая ветвь – ток i2, третья ветвь – ток i3,
четвертая ветвь – напряжение u4, пятая ветвь – ток i5.
В связи с тем, что цепь содержит нелинейные элементы, будем
руководствоваться рекомендациями по табл. 2.1.
В результате система уравнений будет иметь вид
ìï
ïï
ïïi5 - i2 = 0,
ïï
ïï-i + C (u ) du4 + i = 0,
4 4
2
ïï 1
dt
ï
íi3 - i1 = 0,
ïï
di2
ïï
- u4 = 0,
ïïR5 (i5 )i5 + L2 (i2 )
dt
ïï
ïï
di
ïïL1¢ (i1 ) 1 + u4 + R3 (i3 )i3 = E.
dt
ïî
(3.12)
Переменными состояния являются i1, i2, u4, «лишними» являются токи i3, i5 в резистивных элементах. После выражения этих
токов через переменные состояния по первому и третьему уравнениям системы (3.12) будем иметь
ìï
du
ïï-i1 + C4 (u4 ) 4 + i2 = 0,
ïï
dt
ïï
ïíR (i )i + L (i ) di2 - u = 0, 2 2
4
ïï 5 5 2
dt
ïï
ïïL (i ) di1 + u + R (i )i = E.
4
3 3 1
ïïî 1¢ 1 dt
(3.13)
Каждое из уравнении системы (3.13) содержит по одной производной от переменной состояния. Решая каждое из уравнений относительно производной, получим систему уравнений переменных состояния.
60
ìï u4
ïï = 1 i - 1 i ,
ïï dt C4 (u4 ) 1 C4 (u4 ) 2
ïï
R (i )
1
ïï di2
u4 ,
= - 5 5 i2 +
í
ïï dt
L2 (i2 )
L2 (i2 )
ïï
R3 (i3 )
1
1
ïï di1
ïï dt = - L (i ) i1 - L (i ) u4 + L (i ) E.
1 1
1 1
1 1
ïî
(3.14)
Система уравнений (3.14) вместе с начальными условиями для
переменных состояния i1(0–) = 0, i2(0–) = 0, u4(0–) = 0 позволяет рассчитать переходной процесс в нелинейной цепи при использовании
стандартных программ численного интегрирования, например метод Эйлера, метод Рунге–Кутта, метод Адамса и другие.
Задание 3.1. Построение системы уравнений
переменных состояния для нелинейной цепи
Для нелинейной цепи из приложения 3.1 выполнить следующее:
1) изобразить схему до коммутации и определить начальные значения переменных состояния. При наличии нелинейных резистивных элементов схема до коммутации может быть нелинейной.
В этом случае потребуется выполнить в общем виде расчет нелинейной цепи в постоянном режиме;
2) изобразить схему после коммутации, построить для нее граф
цепи с емкостным деревом, показать на графе главные сечения
и главные контуры;
3) выбрать переменные по ветвям и сформировать систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа;
4) исключить «лишние» переменные в системе уравнений по законам Кирхгофа;
5) сформировать систему уравнений переменных состояния.
61
Приложение 3.1
2.
1.
3.
4.
6.
5.
7.
8.
9.
10.
11.
62
12.
Контрольные вопросы по разделу 3
1. Какая электрическая цепь является нелинейной?
2. Какие нелинейные элементы используются в нелинейной цепи?
3. Какой вид имеет характеристика нелинейного резистивного
элемента?
4. Какой вид имеет характеристика нелинейного индуктивного
элемента?
5. Какой вид имеет характеристика нелинейного емкостного элемента?
6. Как можно аппроксимировать характеристику нелинейного
резистивного элемента?
7. Как можно аппроксимировать характеристику нелинейного
индуктивного элемента?
8. Как можно аппроксимировать характеристику нелинейного
емкостного элемента?
9. Как определить коэффициенты аппроксимации нелинейного
элемента степенным многочленом?
10. Как представить нелинейный резистивный элемент в уравнениях состояния?
11. Как представить нелинейный индуктивный элемент в уравнениях состояния?
12. Как представить нелинейный емкостной элемент в уравнениях состояния?
13. Как описать нелинейную цепь системой уравнений состояния?
14. Что представляет собой система уравнений состояния?
15. Зачем применяют граф цепи при формировании уравнений
состояния?
16. Как построить емкостное дерево?
17. Как решить систему уравнений состояния нелинейной цепи?
63
4. Анализ переходных процессов
в неразветвленных индуктивных цепях
первого порядка во временной области
4.1. Общие вопросы анализа
Будем рассматривать цепь, состоящую из последовательного соединения резистивного сопротивления R и индуктивного элемента L,
иначе говоря, реальную катушку (рис. 4.1).
Дифференциальное уравнение для такой цепи по ЗНК
L
di
+ iR = u.
dt
Для тока переходного режима имеем
i = iy + iсв,
где iy – принужденная или в данном случае установившаяся составляющая тока. При постоянном напряжении не зависит от времени;
iсв – свободная составляющая тока. Она является решением однородного дифференциального уравнения:
L
diñâ
+ iñâ R = 0.
dt
Характеристическое уравнение Lα + R = 0, отсюда корень α = –R/L,
то есть получим один вещественный отрицательный корень. В этом
случае свободный ток выражается показательной функцией
iñâ = Ae
αt
=
R
- t
Ae L .
Свободная составляющая тока с течением времени всегда уменьшается до нуля, так как она возникает за счет запаса или изменения
энергии в цепи, которая будет постепенно расходоваться до нуля
пока энергия не перестанет изменяться.
R
i
Математически это соответствует отрицательному вещественному корню.
Для любого переходного процесса
L
u
в цепи R, L свободный ток имеет одинаковый вид. Очевидно, что уменьшение
тока iсв происходит тем быстрее, чем
больше отношение R/L – коэффициент
Рис. 4.1
64
затухания или чем меньше обратная величина L/R = τ[сек] – посто-t
R
янная времени.
- t
Таким образом i = iy + iñâ = iy + Ae L = iy + Ae τ .
Для определения установившегося тока iy и постоянной интегрирования A, определяемой по начальным условиям, рассмотрим конкретные случаи.
4.2. Короткое замыкание цепи R, L
Для цепи на рис. 4.2 имеем
L
-t
R
- t
di
+ Ri = 0,
dt
i = ió + Ae L = iy + Ae τ .
Установившиеся значение тока iy = 0.
Найдем iy и A. Если до момента короткого замыкания по цепи
шел постоянный ток I0 = U/R, где U – постоянное напряжение, то по
закону коммутации значение тока сохранится и для первого момента после короткого замыкания цепи.
U
Таким образом при t = 0+, i(0- ) = i(0+ ) = I0 = ,
R
U
U
= 0 + A, отсюда A = = I0 .
R
R
В этом случае свободный ток является искомым током цепи.
R
R
t
- t
U -Lt
e
= I0e L = I0e τ – экспонентная кривая, представленR
ная на рис. 4.3.
Имеются графические способы определения постоянной времени
τ, изложенные ниже.
i=
+
I0 = U/R
i
R
i
L
U
C
δ
0,368 I0
t
τ
τ
–
A
Рис. 4.2
B
Рис. 4.3
65
Метод точки
Основан на том свойстве, что постоянная времени равна промежутку времени, в течение которого свободный ток, затухая, изменяется в e раз от первоначального своего значения.
Действительно при: t = τ, i = I0e–1 = I0/e, e = 2,718, 1/e = 0,368.
Через время t = τ, i = 0,368I0.
Это дает возможность по экспоненте графически найти τ.
Метод подкасательной
Постоянная времени равна длине подкасательной в любой точке
экспонентной кривой.
Действительно, возьмем точку C и проведем к ней касательную,
тогда отрезок АВ = τ. Докажем это.
t1
-
t1
1
I e τ
AB
= 0 t = τ,
= ctg(π - δ) = -ctgδ, AB = - ACctgδ = -I0e τ
tgδ 1 - 1
AC
I0e τ
t1
t
τ
-1
d(t )
1
где AC = i(t1 ) = I0e τ , tgδ = 1 = - I0e τ .
dt
τ
С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания
цепи RL характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в магнитном поле катушки в течение переходного процесса, превращается в тепло.
Действительно, Wm = LI02/2 – запасенная энергия магнитного
поля катушки.
Подсчитаем энергию, выделяющуюся в переходном процессе
в резистивном сопротивлении R. Теоретически переходный процесс
в коротко замкнутой катушке длится бесконечно долго, поэтому
в качестве верхнего продела нужно взять бесконечность.
¥
¥
0
0
¥
-
W2 = ò i2Rdt = R ò i2dt = R ò I02e
= I02R
¥
ò
0
2R
- t
e L dt = -I02R
0
2R
t
L dt =
¥
æ 2R ö
L çç - L t ÷÷÷
LI02
=
,
ççe
÷÷
2R çç
2
è
ø÷ 0
то есть энергии в сопротивлении выделяется столько, сколько было
запасено в магнитном поле катушки. Нужно сказать, что практически переходный процесс заканчивается не через время t = ∞, а через
время, равное (4 – 5)τ.
66
4.3. Замыкание цепи RL на добавочное сопротивление R0
Этот параграф позволить выяснить, почему нельзя отключать
цепь с большой индуктивностью от источника энергии путем разрыва цепи.
Предположим, что цепь RL отключается от источника постоянного напряжения U, но она предварительно до размыкания цепи замыкается на добавочное сопротивление R0. Сделать это можно, например, с помощью переключателя, показанного на схеме (рис. 4.4).
Дифференциальное уравнение цепи Ldi/dt + (R + R0)i = 0; его реæ R +R0 ÷ö
-ççç
÷t
è L ø÷
R +R0
. Найдем iy и A.
шение i = ió + Ae
t
После коммутации U = 0, следовательно iy = 0, iñâ = Ae L ,
-
R +R0
t
i = ió + iñâ = 0 + Ae L .
При t = 0 i(t = 0) = U/R = I0 = A.
Так как постоянная времени τ = L/R > L/(R + R0), следовательно,
ток в этой цепи будет затухать быстрее, чем в случае короткого замыкания в цепи.
В индуктивности возникает ЭДС самоиндукции, которая, очевидно, будет тем больше, чем больше скорость затухания тока цепи.
æ R + R0 ÷ö di
eα = -L = -LI0 çç÷e
è
dt
L ÷ø
R +R0
t
L
R + R0 =
Ue
L
R +R0
t
L
.
В первый момент после коммутации ЭДС самоиндукции eL t=0 =
R + R0
eL t=0 =
U, то есть ЭДС больше U во столько раз, во сколько раз уве2
личилось сопротивление цепи. Это явление называется перенапряжением.
Процесс размыкания цепи можR
но рассматривать теоретически
как замыкание цепи на добавочное сопротивление R0 = ∞ и напряL
жение на выключенном устрой- U
стве должно быть в первый момент
R0
равным бесконечности. В действительности под воздействием возрастающего напряжения произойдет пробой воздушного промежутРис. 4.4
67
R + R0
U,
2
ка между контактами выключателя, возникнет электрическая дуга
и цепь RL окажется включенной на нелинейное сопротивление.
Дифференциальное уравнение становится нелинейным и расчет переходного процесса элементарным путем не может быть выполнен.
Таким образом, при размыкании рубильников в электрических цепях, содержащих значительные индуктивности, на отдельных участках электрических цепей возникнут напряжения во много раз превышающие установившиеся – явление перенапряжения. Эти напряжения могут быть настолько значительными, что могут вызвать
пробой изоляции и выход из строя измерительной аппаратуры
(вольтметры, обмотки напряжения ваттметров и другие).
Выходом из положения является то, что при отключении цепи
постоянного тока, обладающего большой индуктивностью, цепь
предварительно нужно замкнуть на малое сопротивление.
4.4. Включение цепи RL на постоянное напряжение
Дифференциальное уравнение цепи на рис. 4.5 L
R
- t
di
+ Ri = U, его
dt
решение i = ió + iñâ = ió + Ae L . Найдем iy, A.
Установившийся ток iy = U/R = I0.
R
- t
L .
Свободный ток iñâ = Ae
R
- t
U
Переходной ток i = ió + iñâ = + Ae L .
R
Таким образом, до переходного процесса, следовательно, и в первый момент после включения ток равен 0.
i(0–) = 0, значит i(0+) = U/R + A = 0, отсюда A = –U/R.
R
(
R
) (
)
R
- t
- t
U U -Lt U
- e
= 1 - e L = I0 1 - e L .
R R
R
Ток постепенно нарастает до своего установившегося значения I0
и тем медленнее, чем больше поR
i
стоянная времени цепи τ = U/R.
Напряжения на участках цепи:
В результате i =
R
L
U
Рис. 4.5
68
R
- t
di
U R -Lt
uL = L = L
e
= Ue L ;
dt
RL
(
R
- t
L
ua = Ri = U 1 - e
).
Таким образом, в первый мо- u i
U
мент времени напряжение источника целиком сосредоточенно на
ua
I0
индуктивности, а затем постепенно
распределяется между резистивi
ным сопротивлением и индуктивноuL
стью. В установившемся процессе
t
все напряжение сосредоточенно на
τ
резистивном сопротивлении, так
как ωL = 0 при ω = 0.
Рис. 4.6
Получили экспонентную кривую
(рис. 4.6), идущую от 0 к max. По ней так же можно определить постоянную времени графическим путем двумя методами – методом
подкасательной и методом точки. Для этого в уравнении этой экспоненты нужно положить t = τ, тогда мы узнаем, какую величину составляет мгновенное значение величины через промежуток времени, равный постоянной времени, τ.
При t = τ
) = I (1- e
i = I (1 - e
0
R
- t
L
0
-1
æ
1 ö÷
= 0,632I0 .
) = I0 çç1 çè 2,78 ÷÷ø
То же самое получим и для напряжения ua при t = τ, ua = 0,632U.
4.5. Мгновенное изменение резистивного сопротивления в цепи RL
Пусть в цепи рубильник то замыкается, шунтируя сопротивления, то размыкается, вновь включая это сопротивление (рис. 4.7).
Обозначим установившиеся токи
в двух режимах:
U
U
I1 =
; I2 =
.
R1
R1 + R2
i
R2
R1
U
L
Рис. 4.7
Переходной процесс при замыкании ключа
Дифференциальное уравнение цепи
R
L
- t
di
+ R1 = U; i = ió + Ae L .
dt
69
Найдем iy и A.
Установившийся ток
ió =
U
= I1.
R1
Свободный ток
-
iñâ = Ae
R1
t
L
-
= Ae
t
τ1
.
Переходный ток
t
U
i = ió + iñâ =
+ Ae τ1 .
R1
i(0+ ) =
U
U
U
U
=
+ A, отсюда A =
= I2 - I1.
R1 + R2 R1
R1 + R2 R1
-
Таким образом i = I1 + (I2 - I1 )e
t
τ1
-
t
= I1 - (I1 - I2 )e τ1 .
Переходной процесс при размыкании ключа
Дифференциальное уравнение цепи
L
R1 +R2
di
+ i(R1 + R2 ) = U; i = i + Ae- L t .
ó
dt
Найдем iy и A.
Установившийся ток
ió =
U
= I2.
R1 + R2
Свободный ток
-
iñâ = Ae
R1 +R2
t
L
-
= Ae
t
τ1
.
t
U
U
i(0 ) =
=
+ Ae τ1 , отсюда A = U - U
= I1 - I2.
R1 R1 + R2
R1 R1 + R2
+
Таким образом
-
i = I2 + (I1 - I2 )e
70
t
τ1
; τ1 =
L
L
; τ2 =
; τ1 > τ2.
R1
R1 + R2
τ1
i
I1 =U/R7
I2 = U/(R1+R2)
τ2
t
Рис. 4.8
График переходного процесса приведен на рис. 4.8.
4.6. Включение цепи RL на гармоническое напряжение
Схема цепи приведена на рис. 4.9.
u = Umsin(ωt + ψ).
По закону напряжений Кирхгофа имеем
R
- t
di
L + Ri = u; i = ió + Ae L .
dt
Найдем iy и A.
Установившийся ток
i=
Um
2
R + (ωL)2
sin(ωt + ψ - ϕ) = Im sin(ωt + ω - ϕ),
ϕ = arctg(ωL/R).
Свободный ток находится из однородного дифференциального
уравнения
Ldi/dtсв + Riсв = 0.
R
i
Характеристическое уравнение
Lα + R = 0; α = –R/L.
u
L
Таким образом
R
- t
L .
iñâ = Ae
Рис. 4.9
71
Переходный ток
i = ió + iñâ = Im
R
- t
sin(ωt + ψ - ϕ) + Ae L .
i(0+) = 0 = Imsin(ψ – ϕ) + A,
oтсюда
A = –Imsin(ψ – ϕ).
В результате
i = Im sin(ωt + ψ - ϕ) - Im
iñâ = Im
R
- t
sin(ψ - ϕ)e L ,
R
- t
sin(ψ - ϕ)e L ,
то есть свободный ток уменьшается по показательному закону. Проанализируем выражение переходного тока.
Из выражения для переходного тока видно, что в результате наложения свободного тока на установившийся, переходный ток в некоторые промежутки времени может превосходить амплитудные
значения установившегося тока.
Время установления режима определяется постоянной времени
цепи τ = L/R.
Максимальная величина переходного тока зависит от фазы
включения ψ и от постоянной времени τ = L/R.
Начальные фазы напряжения и тока показаны на рис. 4.10.
Рассмотрим два случая:
включение производится в тот момент, когда ψ – ϕ = 0, то есть
значение тока в момент включения равно нулю i = Imsin(ωt). В этом
i
i
u
iу
i
Im
ψu
ϕ
ψi
0
t
Момент включения
Рис. 4.10
72
t
iсв
Im
iу
i
Рис. 4.11
случае свободного тока нет, и после включения сразу наступает
установившийся процесс.
включение производится в момент, когда установившийся ток
имеет максимальное значение, то есть ψ – ϕ = π/2, sin(ψ – ϕ) = 1,
R
- t
e L .
i = Im cos(ωt) - Im
Построим временную характеристику (рис. 4.11).
Кривая переходного тока показывает, что по мере затухания свободного тока кривая переходного тока все больше подходит к синусоидальной кривой установившегося тока.
Для этого момента включения в конце первого полупериода после включения переходный ток достигает своего наибольшего значения, однако максимальное значение переходного тока даже при
большой постоянной времени не может быть больше 2 Im установившегося тока.
Вообще для различных значений угла ψ максимальное значение
переходного тока наступает через промежуток времени от 1/4T до
3/4T после включения, где T – период.
73
5. Анализ переходных процессов
в неразветвленных емкостных цепях
первого порядка во временной области
5.1. Общие вопросы анализа
Для цепи с последовательным соединением резистивного сопротивления R и емкостного элемента C переходный процесс связан с изменением энергии электрического поля, которая равна w = Cu2c/2.
Для такой цепи целесообразно составить дифференциальное уравнение для напряжения uc на емкости, то есть записать уравнение по
закону напряжений Кирхгофа в следующем виде (рис. 5.1):
RC
duc
du
+ uc = u, где C c = i.
dt
dt
Решение для переходного напряжения
uc = ucy + uccв,
где ucy – установившееся напряжение на емкости. При постоянном
напряжении оно не зависит от времени; ucсв – свободная составляющая напряжения на емкости. Она находится из однородного дифференциального уравнения
RCduссв/dt + uссв = 0.
Характеристическое уравнение RCα + 1 = 0, отсюда корень уравнения α = 1/(RC), то есть имеем один действительный отрицательный корень и свободное напряжение на емкости
uссв = Aeαt = Ae–1/(RC)t = Ae–t/τ.
u
74
Величина 1/(RC) называется коэффициентом затухания.
Величина τ = RC, имеющая размерность времени, называется постоянной времени цепи RC. Зависимость
R
ucсв от времени t также является экспоi
ненциальной с начальным значением A.
Здесь также свободная составляюC
щая напряжения с течением времени
всегда уменьшается до нуля, так как она
возникает за счет запаса энергии или изменения энергии в цепи.
Рис. 5.1
Для переходного напряжения на емкости имеем
uc = ucy + uссв = ucy + Ae–1/(RC)t.
Определив закон изменения напряжения на емкости при переходном процессе, нетрудно найти и ток этого процесса, так как
i=C
ducó
duc
du
=C
+ C ccâ =
dt
dt
dt
1
A - RC t
e
.
R
Для определения установившегося напряжения ucy на емкости,
установившегося тока и постоянной интегрирования A, определяемой по начальным уровням, рассмотрим конкретные случаи.
= ió + iñâ = ió -
5.2. Короткое замыкание цепи RC
Схема цепи приведена на рис. 5.2.
-
uc = ucy + Ae
1
t
RC .
Найти Ucy и A.
Если цепь с последовательным соединением резистивного сопротивления R и емкости C замыкается накоротко, то произойдет разряд емкости и установившееся значение напряжение на емкости
и тока в цепи будут равны нулю, следовательно Ucy = 0 и iy = 0.
Переходное напряжение
-
uc = ucy + uccâ = Ae
1
t
RC .
Если начальное напряжение на емкости было равно U0 в момент
замыкания, то оно сохранится и для первого мгновения после замыкания.
uc(0+) = U0 = A
R
и окончательно имеем uc =
= U0exp(–t/(RC)).
Ток
U
i
C
t
i=C
duc
U = - 0 e RC .
dt
R
Рис. 5.2
75
Графики переходного процесса приведены на рис. 5.3.
Интересно отметить, что в этой цепи
сразу после короткого замыкания цепи
U0
ток должен мгновенно изменится от
нуля до величины U0/R. Это объясняuс
ется тем, что мы пренебрегли индукτ
тивностью цепи (L = 0).
t
i
В действительности эта цепь всегда
U0
имеет и какую-то индуктивность, хотя
R
бы и очень малую. Поэтому в действительности в данном случае ток начнется с нуля, очень быстро достигнет значения близкого к U0/R и затем будет
Рис. 5.3
уменьшатся по экспоненте.
При R = 0 кривые тока и напряжения совпали бы с осями, что невозможно на практике (τ = RC = 0).
С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания
цепи RC характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора в тепло.
Действительно, Wэ = 1/2CUc2. Подсчитаем энергию, выделяющуюся в переходном процессе в сопротивлении R.
i
¥
¥
2
Wr = ò i Rdt =ò
0
0
2t ¥
2t
U02 - Rc
U 2 RC - RC
e
dt =- 0
e
R
R 2
0
1
1
= CU02 = CUc2,
2
2
то есть, энергии в сопротивлении R выделяется столько, сколько
было запасено в магнитном поле индуктивного элемента.
5.3. Включение цепи RC на постоянное напряжение
Схема цепи приведена на рис. 5.4.
i
RC
R
duc
+ uc = U,
dt
-
U
C
1
t
uc = Ucy + Ae RC .
Найдем ucy и A.
Рис. 5.4
76
uc = U – Uexp(–t/RC).
Предположим, что емкостной
элемент не был заряжен, то есть
uc(0) = 0.
В переходном процессе емкость
будет заряжаться до напряжения источника U, то есть ucy = U.
Переходное напряжение на емкости
-
uc = ucy + ucâ = U + Ae
1
t
RC .
i
uC
U
uC
i
τ
t
Рис. 5.5
uc(0) = 0 = U + A, значит A = –U,
то есть uc = U – Uexp(–t/RC) = U(1 – exp(–t/RC)). Напряжение на емкости постепенно нарастает до своего окончательного значения,
и тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи τ = RC.
Ток зарядки
t
t
æ 1 ö÷ - RC U - RC
du
= e
i = C c = -CU çç.
÷e
è RC ø÷
dt
R
Графики переходного процесса приведены на рис. 5.5.
Постоянная времени цепи одна, поэтому скорость нарастания
напряжения uc и скорость снижения тока одинаковы. Ток в цепи RC
при включении на постоянное напряжение сразу получает значение
U/R, так как в момент t = 0 напряжение на емкости равно нулю
и ток в цепи определяется лишь напряжением U и резистивным сопротивлением R цепи. Необходимо отметить аналогию законов изменения тока iL в цепи RL и напряжения в цепи RC при включении
на постоянное напряжение. Аналогично изменяется uL и i в цепи
RL. Эта аналогия распространяется и на случай включения цепей
RC и RL на гармоническое напряжение.
Вычислим энергию в емкости и резистивном сопротивлении при
зарядке емкости
dw = dwr + dwэ, uidt = i2Rdt + ucidt,
dWr = i2Rdt =
¥
¥
U2
R
-
e
2
2t
2t
2 - 2r
RC Rdt = U e RC dt,
R
2t ¥
U2
U 2 æç RC ö÷ -2c
Wr = ò dWr =
e RC dt =
÷e
çò
R
R çè 2 ÷ø
0
0
=
0
CU 2
.
2
77
В электрическом поле на емкости запасается энергия Wэ = CU2/2.
Таким образом в емкости и резистивном сопротивлении выделится
одинаковое количество энергии W = Wr + Wэ = CU2.
Нужно сказать, что к исследованию процесса заряда и разряда
емкостного элемента через резистивное сопротивление сводятся
многие важные практические задачи.
5.4. Включение цепи RC на гармоническое напряжение
Схема цепи при включении ее на гармоничное напряжение приведена на рис. 5.6.
u = Umsin(ωt + ψ).
По закону напряжений Кирхгофа имеем
RCduc/dt + uc = u.
Предполагаем, что емкость не была заряжена, то есть uc(0–) = 0.
uc = ucy + uсв = ucu + Ae–t/(RC).
По закону Ома установившийся ток
iy = Um/Zsin(ωt + ψ – ϕ) = Imsin(ωt + ψ – ϕ),
1
1
2
ω
Ñ.
Z = R + 2 2 ; ϕ = arctg
R
ω Ñ
Установившееся напряжение на емкости
ucy = 1/(ωC)Imsin(ωt + ψ – ϕ – π/2) =
= –Im/(ωC)cos(ωt + ψ – ϕ),
uc = ucy + uссв = –Im/(ωC)cos(ωt + ψ – ϕ) + Ae–t/(RC),
i
uc(0+) = 0 = –Im/(ωC)cos(ψ – ϕ) + A,
R
отсюда A = Im/(ωC)cos(ψ – ϕ).
u
C
Таким образом
uc = –Im/(ωC)cos(ωt + ψ – ϕ) +
Рис. 5.6
78
+ Im/(ωC)cos(ψ – ϕ)e–t/(RC).
Переходной ток цепи
i = iy + iсв = Сduc/dt =
= Imsin(ωt + ψ – ϕ) – Im/(ωC)1/R cos(ψ – ϕ)e–t/(RC) =
= Imsin(ωt + ψ – ϕ) – Im/(ωCR)cos(ψ – ϕ)e–t/(RC).
Таким образом, на гармонические значения напряжения на емкости и ток цепи налагаются свободные составляющие, уменьшающиеся по показательному закону.
В результате ток i и напряжение на элементах цепи в течение некоторых промежутков времени могут превосходить максимальные
значения тока Im и напряжения на элементах цепи.
Величина сверх тока и перенапряжений зависит от момента
включения, то есть от начальной фазы ψ и от постоянной времени
цепи τ = RC, определяющих соответственно начальные значения
свободных составляющих и скорость их уменьшения.
Рассмотрим предельные частные случаи включения
Включение производится в тот момент, когда ψ – ϕ = π/2; cos(ψ –
– ϕ) = 0.
uc = –Im/(ωC)cos(ωt + π/2) = Im/(ωC)sin(ωt) = Ucmsin(ωt),
i = Imsin(ωt + π/2) = Imcos(ωt).
Таким образом, сразу после включения наступает установившейся процесс, и переходного режима нет. Это показано на рис. 5.7.
Включение производится в момент, когда установившееся напряжение на емкости имеет максимальное значение, то есть ψ – ϕ = 0;
cos(ψ – ϕ) = 1.
uc = –Im/(ωC)cos(ωt) +
+ Im/(ωC)e–t/(RC) =
uc i
i
uc
= –Ucmcos(ωt) + Ucme–t/(RC)
i = Imcos(ωt) + Im/(ωCR)e–t/(RC).
Зависимость напряжения uc
и тока i приведены на рис. 5.8 и 5.9
соответственно.
В этом случае при большой постоянной времени τ = RC получа-
t
Рис. 5.7
79
uc
uc
ucсв
τ
t
ucу
Рис. 5.8
i
iy
τ
iсв
i
t
Рис. 5.9
ется большое перенапряжение на емкости, в пределе равное двойной амплитуде 2Ucm установившегося напряжения на емкости, но
малый ток в момент включения.
При малой постоянной времени может получится сверхток i(0) =
= Ucm/R во много раз превосходящий амплитуду Im тока установившегося режима, но тогда перенапряжения на емкости практически
не будет.
80
6. Анализ переходных процессов
в неразветвленных цепях второго порядка
во временной области
6.1. Общие вопросы анализа
Неразветвленная цепь второго порядка содержит последовательное соединение резистивного, емкостного и индуктивного элементов, показанных на рис. 6.1 и подключенных к источнику постоянного напряжения.
К схеме на рис. 6.1 применим методику формирования уравнений состояния с использованием емкостного дерева. Для этого введем дополнительные узлы так, чтобы каждый реактивный элемент
был ветвью графа. В результате
рабочая схема будет иметь следуR
ющий вид (рис. 6.2).
E
C
Граф схемы с переменными i1,
i2, u3 показан на рис. 6.3.
Система уравнений по законам
L
Кирхгофа по графу приведена соотношениями (6.1).
Рис. 6.1
ìï
ïï-i1 + Ñ3 du3 = 0,
ïï
dt
ïi - i = 0,
í1 2
ïï
ïï di1
+ R2i2 + u3 = E.
ïïL
îï dτ
1
(6.1)
3
1
2
Исключая «лишнюю» переменную i2 из системы уравнений (6.1)
получим
ìï
du
ïï-i1 + Ñ3 3 = 0,
ï
dt
í
ïï di1
+ R2i1 + u3 = E.
ïïL
ïî dt
2
3
Рис. 6.2
1
2
(6.2)
Из системы уравнений (6.2)
легко получить систему уравнений следующего вида
3
3
1
2
Рис. 6.3
81
ìï du3
1
ïï
=
i1,
ïï dt
C3
í
ïï di1
R2
1
1
= - i1 - u3 + E,
ïï
L
L
L
ïî dt
(6.3)
и сформировать характеристический определитель
1
-α
Ñ3
= 0, R2
1
- -α L
L
(6.4)
раскрыв который, можно получить характеристическое уравнение
R
1
α2 + 2 α +
=0 (6.5)
L
Ñ3L
и найти его корни
α1, 2 = -
1
R2
R22
±
= -δ ± δ2 - ω20 , 2
2L
Ñ3L
4L
(6.6)
где обозначено
R
1
δ = 2 , ω20 =
.
2L
Ñ3L
(6.7)
Корни (6.6) определяют характер поведения свободной составляющей решения и, следовательно, вид переходного процесса.
1. При δ > ω0 имеем два отрицательных вещественных корня α1,
α2. Переходной процесс апериодический.
2. При δ = ω0 имеем два равных отрицательных корня. Переходной процесс предельно апериодический.
3. При δ < ω0 имеем два комплексно-сопряженных корня с отрицательной вещественной частью. Переходной процесс колебательный.
Задавая коммутацию схеме на рис. 6.1, можно провести анализ
переходных процессов в неразветвленной цепи, например короткое
замыкание цепи.
6.2. Короткое замыкание для цепи RLC
Схема для анализа приведена на рис. 6.4. Будем считать, что переходной процесс связан с разрядом емкостного элемента, которой
был заряжен до напряжения U0. В соответствии (6.3) в системе урав82
нений состояния будет отсутствовать источник, и она будет иметь
следующий вид
ì
duñ 1
ï
ï
= i,
ï
ï dt
C
í
ï
di
R
1
ï
= - i - uñ
ï
ï
L
L
ï
î dt
R
C
L
(6.8)
Рис. 6.4
c начальными значениями переменных состояния
i(0–) = 0, uc(0–) = U0.
(6.9)
6.2.1. Апериодический переходный процесс
Этот процесс, как уже отмечалось, возникает, если δ > ω0, когда
имеют место два вещественных корня α1, α2, свободная составляющая решения описывается двумя слагаемыми и равна полному решению. В рассматриваем случае установившаяся составляющая решения равна нулю. Таким образом, имеем
i = iсв = A1eα1t + A2eα2t.
(6.10)
и для первой производной тока i получим
di/dt = α1 A1eα1t + α2 A2eα2t.
(6.11)
Начальное значение первой производной определяем по второму
уравнению состояния системы (6.8), используя условия (6.9)
di +
R
1
1
(0 ) = - i(0- ) - uñ (0- ) = - U0 . (6.12)
dt
L
L
L
Подставляя при t = 0+ в выражение (6.10) и (6.11) начальные значения i(0+) = 0 и di/dt(0+) = –1/LU0, получим систему двух алгебраических уравнения для определения A1 и A2.
ìï0 = A1 + A2,
ïï
(6.13)
í 1
ïï- U0 = α1 A1 + α2 A2,
îï L
решая которую определим величину A1 и A2:
A1 = - A2 = U0
U0
=
.
(α1 - α2 )L 2L δ2 - ω2
0
(6.14)
83
Подставляя (6.14) в (6.10) найдем выражение для тока i
i =-
U0
2
2L δ
- ω02
(eα1t - eα2t ) = -I0 (eα1t - eα2t ) (6.15)
и через него после соответствующих преобразований найдем выражения для остальных переменных.
di
U0
(α2eα2t - α1eα1t ), uL = L =
(6.16)
dt 2 δ2 - ω2
0
U0
uR = Ri =
R (eα2t - eα1t ), (6.17)
2
2
2 δ - ω0
uÑ = -uL - uR = L
di
U0
(α1eα2t - α2eα1t ). =
dt 2 δ2 - ω2
0
(6.18)
Все полученные функции состоят из алгебраической суммы двух
αt
экспонент, имеющих разные знаки, причем экспонента e 1 затухает медленнее, чем eα2t , так как α2 > α1 .
Каждую зависимость можно найти графически, построив соответствующие экспоненты и алгебраически их сложить. Например,
для тока i1 качественное построение графика показано на рис. 6.5.
Из рис. 6.5 видно, что в течение всего процесса ток i не меняет
знак. Такой процесс принято называть апериодическим.
Когда ток i на рис. 6.5 достигает максимального значения, то его
производная di/dt равна нулю. Возвращаясь к выражению (6.15),
имеем
0 = α2eα2tm – α1eα1tm.
(6.19)
После
логарифмирования
(6.19) получаем
uс
ln(α2) + α2tm = ln(α1) + α1tm,
I0
I0eα2t
tm
−I0
t
i
I0e
α1t
Рис. 6.5
84
Отсюда
α2
α1
tm =
.
α2 - α1
ln
(6.20)
Аналогично по полученным
выражениям для uL, uR, uC мож-
но построить их графики и выполнить анализ зависимостей для поиска особых точек на них.
Анализ остальных зависимостей можно найти в различных
учебниках по теории электрических цепей.
6.2.2. Предельный апериодический переходный процесс
Возникает этот процесс при равенстве корней характеристического уравнения, когда δ = ω0.
Решение для токов i в этом случае
i = iсв = (A3 + A4t)e–δt,
(6.21)
di/dt = A4e–δt – δ(A3 + A4t)e–δt.
(6.22)
и производная от него
Для определения постоянных интегрирования A3, A4 используем
те же начальные условия
i(0–) = i(0+) = 0,
di/dt(0+) = –U0/L,
(6.23)
подставляя которые в выражения (6.21), (6.22) получим
ìï0 = À3,
ïï
í u0
ïï- = A4 - δA3.
îï L
В результате имеем A3 = 0, A4 = –U0/L.
Окончательно для переменных получаем
i = –U0/Lte–δt,
uR = Ri = i = –U0/LRte–δt,
uL = Ldi/dt = U0(tδ – 1)e–δt,
uc = –uL – uR = U0(tδ – 1)e–δt.
Зависимости для рассматриваемого процесса аналогичны апериодическому режиму. Особенностью является минимальное время
переходного процесса.
85
6.2.3. Колебательный переходный процесс
Возникает этот процесс при комплексно-сопряженных корнях,
когда δ < ω0:
α1, 2 = -δ ± j ϖ20 - δ2 = -δ ± jω¢,
где ω0 – частота незатухающих колебаний; ω′ – частота свободных
затухающих колебаний; δ – коэффициент затухания.
Решение для свободной составляющей процесса в этом случае
имеет следующий вид:
i = iсв = (A5sinω′t + A6cosω′t)e–δt.
(6.24)
Производная от него
di/dt = A5ω′cosω′te–δt – δ(A5sinω′t + A6cosω′t)e–δt.
(6.25)
Используя известные начальные условия (6.23) при t(0+) имеем
ïìï0 = A6 ,
ï
í U0
ïïï- L = A5ω¢ - δA6 .
î
Так как A6 = 0, окончательно получим
A5 = –u0/(ω′L).
Подставляя A5 и A6 в (6.24) получим решение для тока i:
i = –U0/(ω′L)sinω′te–δt = –I0sinω′te–δt.
(6.26)
После соответствующих преобразований выражения для остальных переменных равны
uR = –RI0sinω′te–δt,
uL = L(di/dt) = –ω0LI0 cos(ω′t + β)e–δt,
uc = –uL – uR = ω0LI.
(6.27)
uL = L(di/dt) = –LI0(ω′cosω′t – δsin ω′t)e–δt =
= –ω0LI0cos(ω′t + β)e–δt,
(6.28)
в которых использовано обозначение
86
tgβ = (δ/ω′).
(6.29)
i
I0
I0exp(–δt)
I0
–I0exp(–δt)
t
T = 2π/ω
Рис. 6.6
На рис. 6.6 изображена зависимость тока i во времени по выражению (6.28).
Признаком колебательного переходного процесса является смена знака тока и наличие периода Т колебаний.
Для суждения о скорости затухающих колебаний вводят понятие декремента колебаний, как отношение двух соседних амплитуд, то есть взятых через период:
∆ = I0e–δt/(I0e–δ(t + T)) = eδT
(6.30)
и связанный с декрементом колебаний ∆ логарифмический декремент τ
τ = ln ∆ = δT.
(6.31)
Очевидно, декремент колебаний характеризует скорость колебательного затухающего процесса и определяет его длительность.
Аналогичные процессы в цепях второго порядка имеют место
и в других случаях, например при включении цепи на постоянное
напряжение, при изменении параметров и структуры цепи.
6.3. Включение цепи R, L, C на гармоническое напряжение
При включении цепи R, L, C на гармоническое напряжение частоты ω ход решения остается тем же. Решения для переменных будут представлять сумму гармонической в установившемся режиме
и свободной затухающей составляющих. В зависимости от величин
R, L, C (корней характеристического уравнения) переходный процесс будет иметь апериодический или колебательный характер с частотой ω′, в общем случае не равной частоте источника ω. Переход87
i(t)
0
t
Рис. 6.7
i(t)
0
t
Рис. 6.8
ный процесс при включении на гармоническое напряжение будет
зависеть от момента включения.
В цепи с малыми потерями, когда коэффициент затухания δ мал,
и совпадении частоты источника ω с собственной частотой контура
ω0 амплитуда тока i постепенно нарастает, приближаясь к установившемуся режиму, которая сама по себе велика, так как цепь находится в резонансном режиме. Это явление носит название изохронизм и качественно показано на рис. 6.7.
При ω близкой к ω′ в цепи возникают биения колебания (рис. 6.8),
которые вследствие затухания постепенно прекратятся и наступит
установившийся режим. Амплитуда колебаний изменяется с частотой (ω – ω′)/2, колебания происходят с частотой (ω + ω′)/2.
При ω << ω′ ≈ ω0 во время переходного процесса может быть значительный ток, а напряжение на емкости не может превышать амплитуду установившегося значения более чем в два раза.
При ω >> ω′ ≈ ω0 может иметь место значительное напряжение на
емкости, а ток не может превосходить амплитуду установившегося
значения более чем в два раза.
88
7. Операционный метод расчета
переходных процессов
7.1. Основные положения и свойства метода
Как уже отмечалось в п. 1.2.2 одним из путей расчета переходных процессов в комплексной области связан с использованием преобразования Лапласа:
¥
F ( p) = ò f (t)e- ptdt, (7.1)
0
где p = δ + jω – комплексная величина, называемая оператором Лапласа; f(t) – функция времени; F(p) – комплексная функция, являющаяся изображением временной функции f(t) по Лапласу.
В п. 1.2.2 приведены ограничения, связанные с использованием
преобразования Лапласа. Однако в практическом отношении преобразование (7.1) применимо по всем функциям f(t) в инженерной
практике, которые используются при t ≥ 0 и равны нулю при t ≤ 0.
Очевидное достоинство преобразований Лапласа состоит в том, что
операции дифференцирования и интегрирования во временной области с оригиналами f(t) заменяются алгебраическими операциями
в комплексной области с изображениями F(p). В результате дифференциальные уравнения во временной области переходят в алгебраические уравнения в комплексной области по Лапласу. При этом исчезают
достаточно сложные операции, связанные с определением постоянных интегрирования по начальным условиям во временной области.
В историческом плане нужно сказать, что хотя заслуга разработки интегрального преобразования функции времени f(t) в комплексную функцию F(p) принадлежит Лапласу, для решения дифференциальных уравнений использовать это преобразование предложил русский математик Ващенко-Захарченко в 1862 году. В конце 19 века к операционному методу решения дифференциальных
уравнений самостоятельно пришел английский ученый Хэвисайд,
который применил этот метод к расчету электромагнитных переходных процессов, но не дал его математическое обоснование. Далее этот метод развили ряд российских и зарубежных ученых. Было
предложено несколько иное преобразование функций времени, отличающееся от преобразования Лапласа множителем p:
¥
F1 ( p) = p ò f (t)e- ptdt.
0
89
Это прямое преобразование получило
название Карлсона-Хэвисайда. Достоинство его в том, что оригинал и изображеσ
+ 1 ние имеют одинаковую размерность, тогда как по преобразованию Лапласа размерность изображения равна размерности
σ – jω
оригинала, умноженной на размерность
времени.
Рис. 7.1
Для перехода из комплексной области
для изображения F(p) обосновано обратное преобразование Лапласа. Оно позволяет найти оригинал (функцию времени) f(t) по изображению F(p) и имеет следующий вид:
j
σ + jω
f (t) =
1
2πj
δ+ jω
ò
F ( p)e ptdp, (7.2)
δ-jω
в котором интегрирование осуществляется на комплексной плоскости по прямой, параллельной мнимой оси (рис. 7.1).
Обычно поиск изображения простейших функций осуществляется без использования прямого преобразования Лапласа (7.1), а по
таблице соответствий, например, как сделано в табл. 7.1 Сведений
в таблице достаточно для учебного процесса.
Таблица 7.1
Таблица изображений простейших функций и операций
Операция
Изображение постоянной
Оригинал
Изображение
U
U/p
e±at
1/(p±a)
Изображение производной
f′(t) = d/dt f(t)
pF(p) – f(0)
Изображение интеграла
ψ(t) = ò f (t)dt
F(p)/p + ψ(0)/p
Изображение показательных функций
Примечания:
1. f(0) и ψ(0) – начальное значение функции f(t) и интегральной функции ψ(t).
При нулевых начальных условиях операции дифференцирования и интегрирования в комплексной области представляют алгебраические операции умножения
и деления изображения функции F(p) на оператор p соответственно.
2. При поиске изображения гармонической функции можно вначале найти ее
комплексное представление, затем изображение по Лапласу, например, для напряжения:
u = Um sin(ωt + ψ) ® Um e jψ e jωt = Um e jωt  Um 1 / ( p – jω).
3. Знак соответствия обозначается либо стрелкой →, либо знаком равенства
с двумя точками ≑.
90
Из свойств определенных интегралов вытекают следующие свойства для изображений.
1. Известны изображения ряда функций:
тогда
f1(t) ≑ F1(p), f2(t) ≑ F2(p), fn(t) ≑Fn(p),
n
n
å fk (t)  å Fk ( p), (7.3)
k=1
k=1
то есть изображение суммы функций равно сумме изображений.
2. Пусть имеем постоянную А, тогда
Af(t) ≑ AF(p),
(7.4)
то есть при умножении функции на постоянную следует изображение функции умножить на эту постоянную.
7.2. Законы Ома и Кирхгофа в операционной форме
Пусть цепь R, L, C при ненулевых начальных условиях включена
на напряжение u(t). По ЗНК имеем
L
di
1
+ Ri + ò idt = u(t).
dt
C
Перейдя к изображениям функций, производной и интеграла
получим алгебраическое уравнение
–) + RI(p) + I(p)/(pC) + u –
pLI(p) – Li(0
c(0)/p = U(p),
отсюда получим выражение для закона Ома при ненулевых начальных условиях
uC (0)
u (0)
U ( p) + Li(0) - C
p
p
=
,
1
Z
p
(
)
R + pL +
pC
U ( p) + Li(0) I ( p) =
(7.5)
где Z(p) = R + pL + 1/(pC) – операционное сопротивление цепи.
При нулевых начальных условиях
I(p) = U(p)/Z(p).
(7.6)
91
Величину, обратную операционному сопротивлению, можно назвать операционной проводимостью, тогда
I(p) = Y(p)U(p).
(7.7)
–) и u –
Выражения Li(0
C(0)/p определяются начальными условиями и в операционном методе их можно учитывать как дополнительные источники ЭДС в цепи. Положительные направления этих ЭДС
следует выбирать в соответствии с положительным направлением
тока ветви. У нас для индуктивного элемента – по току, для емкостного элемента – навстречу току.
Закон токов Кирхгофа для сечения (узла) во временной области
записывается так:
n
å ik = 0.
k=1
В операционной форме ЗТК нужно записать так:
n
å Ik ( p) = 0. (7.8)
k=1
Закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) для контура во временной
области записывается так:
n
m
k=1
k=1
å uk = å ek.
В операционной форме ЗНК нужно записать так:
n
m
k=1
k=1
å Uk ( p) = å Ek ( p). (7.9)
Из закона Ома в операционной форме (7.9) имеем
–
–
Uk(p) = Zk(p)Ik(p) – Lik(0) + uck(0)/p.
(7.10)
Подставив (7.10) в (7.9) и перенеся начальные условия как источники вправо, получим для ЗНК обобщенную форму записи в операционной форме:
92
n
m
ν
k=1
k=1
k=1
γ
uCk (0- )
.
p
k=1
å zk ( p)Ik ( p) = å Ek ( p) + å Lik (0– ) - å
(7.11)
В соответствии (7.11) ненулевые начальные условия в схеме лучше обозначать как источники ЭДС и обращаться с ними в соответствии с формулировкой ЗНК.
При нулевых начальных условиях форма ЗНК упрощается:
n
m
k=1
k=1
å zk ( p)Ik ( p) = å Ek ( p). (7.12)
Следует обратить внимание, что операционные сопротивления
могут быть получены из комплексного сопротивления заменой jw
на p. Если в Z(p) положить p = 0 получим сопротивление цепи постоянному току.
7.3. Операционные схемы замещения и их описание
Операционные схемы замещения элементов электрической цепи
с ненулевыми начальными условиями сведены в табл. 7.2.
Методику построения операционной схемы замещения рассмотрим на примере схемы (рис. 7.2).
1. Изобразить схему до коммутации (рис. 7.3) с целью определения ненулевых начальных условий для индуктивного и емкостного
элементов.
i2(0–) = E/R1, uc(0–) = 0.
Операционная схема замещения элементов цепи
Временная область
Таблица 7.2
Операционная схема
Резистивный элемент
R
i
ii
i
R RR
uR = Ri
Ri
uuRRi
uR =
R==Ri
Индуктивный элемент
L
i
L LL
i
ii
uL = Ldi/dt
Ldi/dt
uuLLdi/dt
L==Ldi/dt
uL =
Емкостной
элемент
С
i
i
ii
С СС
1
uc = 11ò idt
1 =Ñ idt
u c =uuc c=ò
idt
òò idt
Ñ ÑÑ
R
I(p)
I(p) R RR
I(p)I(p)
pL
pL
I(p) pL pL
I(p)
I(p)I(p)
Li (0––)
–
–(0
Li
Li
Li (0
)(0 ) )
1/(pC) uC(0–)/p
)/p
1/(pC)
(0(0––)/p
uu–C)/p
1/(pC)
I(p)1/(pC)
C
u C(0
I(p)
I(p)I(p)
93
R1
R1
E
L2
R3
E
i2
L2
C3
Рис. 7.2
Рис. 7.3
2. Изобразить операционную схему замещения, на которой учесть
ненулевые начальные условия в виде дополнительных источников
ЭДС. В рассматриваемом случае эта схема изображена на рис. 7.4.
3. Выбрать рациональный метод описания сложной цепи. Методы эти известны. Нужно выбрать один из трех методов: описать схему по законам Кирхгофа, метод токов связей, метод узловых напряжений. Схема содержит два узла и по методу узловых напряжений
нужно написать одно уравнение. По методу токов связей – два. По
законам Кирхгофа – три.
Таким образом, рациональным методом описания следует признать метод узловых напряжений.
é
ù
ê
ú
ê1
ú
1
1
1
- 1
(7.13)
U10 ( p) ê +
.
+
ú = E( p) - Li2 (0 )
ê R1 pL R + 1 ú
R1
pL
ê
ú
2
pC ûú
ëê
Решая уравнения (7.13) относительно U10(p) найдем изображение узлового напряжения, через которое можно выразить изображения для
токов ветвей. Для этого каждую из ветвей следует дополнить до контура и написать уравнения по ЗНК. Например, для токов I2(p) и I3(p):
I1(p)
R1
1
I3(p)
I2(p)
E(p) = E/p
pL2
R3
1/(pC3)
Li2(0–)
0
Рис. 7.4
94
–U10(p) + pL2I2(p) = Li2(0–),
отсюда
I2 ( p) =
Li2 (0- ) + U10 ( p)
.
pL2
æ
1 ö÷
÷ I3 ( p) = 0.
-U10 ( p) + ççR3 +
çè
pC3 ÷÷ø
Отсюда
I3 ( p) =
U10 ( p)
.
1
R3 +
pC
Таким образом можно найти изображение любой переменной,
например, для тока I2(p).
При нулевых начальных условиях операционная схема замещения будет иметь смешанное соединение элементов. Поиск изображения в такой схеме можно осуществить по закону Ома в операционной форме (7.12). Пример такой схемы приведен на рис. 7.5.
i2(0–) = 0,
uc(0–) = 0.
Операционная схема замещения приведена на рис. 7.6.
i1
R1
R3
i2
E
i3
L2
C3
Рис. 7.5
I1(p)
E(p)
R1
R3
I2(p)
I3(p)
pL2
1/(pC3)
Рис. 7.6
95
Введем обозначения
Z1(p) = R1, Z2(p) = pL2, Z3(p) = 1/(pC3).
Тогда
Z2 ( p) Z3 ( p)
E( p)
; Z ( p) = Z1 ( p) + Z23 ( p); I1 ( p) =
;
Z2 ( p) + Z3 ( p)
Z ( p)
U ( p)
U ( p)
1
U23 ( p) = Z23 ( p) I1 ( p); I2 ( p) = 23 ; I3 ( p) = 23 ; UC ( p) =
I3 ( p).
Z2 ( p)
Z3 ( p)
pC
Z23 =
Подставив введенные обозначения найдем выражения для изображений искомых величин.
7.4. Четырехполюсник в операционной форме
7.4.1. Понятия и уравнения пассивного четырехполюсника
Под четырехполюсником понимается схема с произвольным соединением элементов, имеющих два входных зажима (1 и 1′) и выходных зажима (2 и 2′). Для мгновенных значений на входе и выходе схема четырехполюсника изображена на рис. 7.7. Выходные зажимы четырехполюсника замкнуты на сопротивление, которое
обычно не изображается.
Пассивный четырехполюсник не содержит внутри источника
энергии. Точнее при отключении от внешних источников энергии
зажимов 1 и 1′, 2 и 2′ на них не должно быть напряжений за счет
возможных внутренних источников энергии.
Для расчета переходного процесса четырехполюсника, изображенного на рис. 7.7, необходимо представить его в операционном
виде (рис. 7.8), который может быть описан зависимостью двух любых величин через две оставшиеся, например, I1(p) и I2(p), через
U1(p) и U2(p).
Так как число сочетаний из четырех величин на две равно шести, следовательно, четырехполюсник на рис. 7.8 может быть опиi1
1
i2
u1
u2
2′
2
Рис. 7.7
96
1′
I 1′ (p)
1
I 2′ (p)
I1 (p)
I2 (p)
U1 (p)
U2 (p)
1′
2′
2
Рис. 7.8
сан шестью эквивалентными видами (формами) уравнений, так как
они описывают один и тот же четырехполюсник.
На рис. 7.8 ток со штрихом обозначен для обратной передачи.
Уравнения в форме с A(p) параметрами
ìïïU1 ( p) = A11 ( p)U2 ( p) + A12 ( p) I2 ( p)
.
í
ïïîI1 ( p) = A21 ( p)U2 ( p) + A22 ( p) I2 ( p)
(7.14)
Уравнения в форме с Z(p) параметрами
ìïI1 ( p) = Z11 ( p)U1 ( p) + Z12 ( p)U2 ( p)
ïí
.
ïïîI2¢ ( p) = Z21 ( p)U1 ( p) + Z22 ( p)U2 ( p)
(7.15)
Уравнения в форме с Y(p) параметрами
ïìïU1 ( p) = Y11 ( p) I2 ( p) + Y12 ( p) I2¢ ( p)
.
í
ïïU2 ( p) = Y21 ( p) I1 ( p) + Y22 ( p) I2¢ ( p)
î
(7.16)
Уравнения в форме с H(p) параметрами
ïìïU1 ( p) = H11 ( p) I1 ( p) + H12 ( p)U2 ( p)
.
í
ïïîI2¢ ( p) = H21 ( p) I1 ( p) + H22 ( p)U2 ( p)
(7.17)
Уравнения в форме с G(p) параметрами
ïìïI1 ( p) = G11 ( p)U1 ( p) + G12 ( p) I2¢ ( p)
.
í
ï
îïU2 ( p) = G21 ( p)U1 ( p) + G22 ( p) I2¢ ( p) (7.18)
Уравнения в форме с B(p) параметрами
ìïU2 ( p) = B11 ( p)U1 ( p) + B12 ( p) I1¢ ( p)
ïí
.
ïïI2¢ ( p) = B21 ( p)U1 ( p) + B22 ( p) I1¢ ( p)
î
(7.19)
В уравнениях (7.14)–(7.19) каждый из параметров может быть
определен из режимов холостого хода и короткого замыкания, ког97
да рассматриваемая схема четырехполюсника становится двухполюсником со смешанным соединением элементов. В этом случае
схема может быть проанализирована по закону Ома в операционной
форме. Например, для A11(p) из уравнения (7.14) при I2(p) = 0 имеем
U ( p)
A11 ( p) = 1
.
(7.20)
U2 ( p) I ( p) = 0
2
Это означает, что нужно рассматривать режим холостого хода четырехполюсника, разомкнув зажимы 2 и 2′. В получившемся при
этом двухполюснике нужно выразить U2(p) через U1(p), подставить
выражение для U2(p) в (7.20) и после сокращения на U1(p) получить
выражения для A11(p).
Аналогично следует поступать при определении любых других
параметров.
После определения выражений для параметров четырехполюсника в любой форме представляется возможным найти выражения
для изображения искомой величины.
7.4.2. Передаточные функции четырехполюсника
в операционной форме и их применение
Под передаточной функцией четырехполюсника понимают отношение выходной функции к входной.
Различают четыре вида передаточных функций в операционной
форме:
1) HU(p) = U2(p)/U1(p) – передаточная функция по напряжению;
2) HI(p) = I2(p)/I1(p) – передаточная функция по току;
3) HZ(p) = U2(p)/I1(p) – передаточная функция по сопротивлению;
4) Hr(p) = I2(p)/U1(p) – передаточная функция по проводимости.
Покажем, как применить А(р) параметра четырехполюсника
для определения выражений передаточных функций.
U ( p)
U2 ( p)
HU ( p) = 2
=
=
U1 ( p) A11 ( p)U2 ( p) + A12 ( p) I2 ( p)
U2 ( p)
1
=
=
, (7.21)
æ
ö
A
p
+
A
(
)
( p)YH ( p)
I
p
(
)
11
12
÷
2
ç
÷
U2 ( p)ç A11 ( p) + A12 ( p)
çè
U2 ( p) ÷÷ø
где YH(p) = I2(p)/U2(p).
98
I2 ( p)
I2 ( p)
=
=
I1 ( p) A21 ( p)U2 ( p) + A22 ( p) I2 ( p)
I2 ( p)
1
=
=
, (7.22)
æ
ö
A
p
Z
p) + A22 ( p)
(
)
(
U2 ( p)
21
H
÷
ç
I2 ( p)çç A11 ( p)
+ A22 ( p)÷÷
I2 ( p)
è
ø÷
HI ( p) =
где ZH(p) = U2(p)/I2(p).
U2 ( p)
U2 ( p)
=
=
I1 ( p)
A21 ( p)U2 ( p) + A22 ( p) I2 ( p)
U2 ( p)
1
=
=
, (7.23)
æ
ö
I ( p) ÷ A21 ( p) + A22 ( p)YH ( p)
÷÷
U2 ( p)çç A11 ( p) + A22 ( p) 2
çè
U2 ( p) ø÷
HZ ( p) =
где YH(p) = I2(p)/U2(p).
I2 ( p)
I2 ( p)
=
=
U1 ( p) A11 ( p)U2 ( p) + A12 ( p) I2 ( p)
I2 ( p)
1
=
=
, (7.24)
æ
ö
A11 ( p) ZH ( p) + A12 ( p)
U2 ( p)
÷
ç
÷
I2 ( p)ç A11 ( p)
+ A12 ( p)÷
÷ø
çè
I2 ( p)
HY ( p) =
где ZH(p) = U2(p)/I2(p).
Изображение выходной функции, очевидно, может быть определено как произведение изображения входной функции на изображении соответствующей передаточной функции. Например, для
изображения тока I2(p) имеем
I2 ( p) = U1 ( p) HY ( p) = U1 ( p)
1
.
A11 ( p) ZH ( p) + A12 ( p)
7.5. Переход от изображения к функции времени
Функция времени – это оригинал. Определение оригинала искомой величины является целью расчета переходного процесса операционным методом. Основных путей поиска оригинала два:
по формулам соответствия, приведенным в справочниках по операционному методу. Выражение для изображения при этом необходимо привести к табличному виду в справочнике;
99
по формуле разложения, полученной из теоремы разложения.
Изображение искомой функции в этом случае представлено в виде
двух полиномов по степени p в виде
F(p) = N(p)/M(p),
(7.25)
где m – наивысшая степень полинома числителя; n – наивысшая
степень полинома знаменателя.
Если m < n, то отношение полиномов представляет рациональную дробь, и если уравнение M(p) = 0 не содержит кратных корней
и корней, равных корням уравнения N(p) = 0, тогда рациональная
дробь (7.25), может быть разложена на простые дроби
F ( p) =
n
N ( p)
A1
A2
An
Ak
. (7.26)
=
+
+ ... +
=å
M ( p) p - p1 p - p2
p - pn k=1 p - pk
Можно доказать, что k-му слагаемому простой дроби соответствует оригинал.
Ak
N ( pk ) pkt
(7.27)
Û
e .
p - pk
M ¢( pk )
Число слагаемых равно числу корней n полинома знаменателя
M(p) = 0, если нет нулевого корня, определяющего установившийся
режим при постоянном источнике. В противном случае число слагаемых равно n + 1.
Таким образом, окончательно формула разложения имеет вид
F ( p) =
n
N ( p)
N ( pk ) pkt
e .
Û f (t) = å
¢( pk )
M( p)
M
k=1
(7.28)
Порядок использования формулы (7.28) следующий.
1. Приравнять полином знаменателя к нулю и найти его корни
M(p) = 0, p1, p2, …, pn.
2. Взять производную по p от полинома знаменателя и получить
полином
M′(p) = d/dpM(p).
3. Найти для k-го корня значения N(pk) и M′(pk).
4. Найти для k-го корня отношение N(pk)/M′(pk) и получить выражение для k-го слагаемого как N(pk)/M′(pk)epkt.
5. Выполнить расчеты пунктов 3 и 4 для всех корней и значения
слагаемых просуммировать в соответствии с формулой (7.28). В результате получить выражение для оригинала.
100
Таким образом, переход от изображения к функции времени при
отсутствии кратных корней в полиноме знаменателя выражения
(7.25) можно рекомендовать производить по формуле разложения
(7.28). Формулами соответствия рекомендуется пользоваться лишь
в простых случаях и при наличии среди корней полинома M(p) = 0
кратных корней.
Пример
Рассчитать переходный процесс операционным методом в цепи
на рис. 7.9 при включении ее на напряжение, убывающее по экспоненциальному закону u = Uexp(–t/T), где T – постоянная убывания
напряжения. График функции u(t) приведены на рис. 7.10.
Изобразим
операционную
R
схему замещения (рис. 7.11).
По ЗНК для рисунка 7.11
имеем уравнение
RI(p) + pLI(p) = U(p),
где
U
(7.29)
u(t)
L
.
1
p+
u (t)
T
Решая уравнение (7.29) относительно тока I(p) получим выражения для изображения тока
в виде отношения двух полино- U
мов числителя и знаменателя
по степени p.
U
T
I ( p) =
=
æ
öæ
ö
1
1
Lçç p + ÷÷÷çç p + ÷÷÷
è
τø
T øè
U
I(p)
=
=
æ 2 æ 1 1ö
1 ÷ö
ç
÷
ç
Lçç p + ç + ÷÷ p + ÷÷
èT τ ø
è
Tτ ø
U(p)
N ( p)
=
,
M ( p)
Рис. 7.9
где τ = L/R;
Рис. 7.11
U ( p) =
t
Рис. 7.10
R
pL
101
N(p) = U/L;
M(p) = (p + 1/T)(p + 1/τ) = p2 + (1/T + 1/τ)p + 1/(Tτ).
(7.30)
Оригинал будем искать по форме разложения. Для этого полином значения M(p) приравниваем к нулю и найдем его корни p1 =
= –1/T, p1 = –1/τ.
Взяв производную по p от выражения (7.30) найдем
M′(p) = 2p + 1/p + 1/τ.
(7.31)
Найдем значения полинома (7.31) для обоих корней
M′(p1) = 1/τ – 1/T, M′(p2) = –(1/τ – 1/T).
По формуле разложения найдем
U
U
t
t
U
L
i(t) =
e T- L e τ=
1 1
1 1
τ T
τ T
(e
-
t
T
-
-e
æ1 1 ÷ö
Lççç - ÷÷
èτ Tø
t
τ
)
.
Задание 7.1. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи
первого порядка операционным методом
Для цепи первого порядка из приложения 2.1 выполнить следующее:
1) изобразить схему до коммутации и определить начальное значение переменной состояния;
2) построить операционную схему замещения;
3) описать операционную схему замещения рациональным методом;
4) найти изображение переменной состояния;
5) найти оригинал для переменной состояния;
6) построить график переходного процесса.
Задание 7.2. Расчет переходного процесса в разветвленной цепи
второго порядка операционным методом
Для цепи второго порядка из приложения 2.2 выполнить следующее:
1) изобразить схему до коммутации и определить начальные значения переменных состояния;
102
2) построить операционную схему замещения;
3) описать операционную схему замещения рациональным ме­
тодом;
4) найти изображение для одной из переменных состояния;
5) найти оригинал для переменной состояния;
6) построить график переходного процесса.
Контрольные вопросы по разделу 7
1. В чем достоинство преобразования Лапласа при расчете переходных процессов?
2. Как представляется операция дифференцирования в операционной форме?
3. Как представляется операция интегрирования в операционной форме?
4. Как называется искомая функция в операционной форме?
5. Что такое изображение в операционном методе?
6. Что такое оригинал в операционном методе?
7. Как учитываются начальные условия в операционном методе?
8. Что такое операционная схема замещения и как ее построить?
9. Как и какие начальные условия учитываются в операционной
схеме замещения?
10. Как выглядит закон Ома в операционной форме?
11. Как выглядит закон напряжений Кирхгофа в операционной
форме?
12. Как в операционном методе представлен индуктивный элемент?
13. Как в операционном методе представлен емкостной элемент?
14. Как в операционном методе представлен резистивный элемент?
15. Какими методами можно описать операционную схему замещения?
16. Какие операционные схемы можно анализировать по закону
Ома?
17. Как осуществляется переход от изображения искомой функции к ее оригиналу?
18. Когда нельзя использовать формулу разложения для поиска
оригинала?
19. Как выглядит и что содержит формула разложения?
20. Для чего используют формулу разложения?
103
8. Спектральный метод расчета
переходных процессов
8.1. Основные положения метода
В п. 1.2.2 отмечалось, что расчет переходных процессов в комплексной области может быть организован на основе интегрального
преобразования Лапласа (разобран в разделе 7) и интегрального
преобразования Фурье, которое имеет вид
+¥
F ( jω)
ò
f (t)e-jωtdt, (8.1)
-¥
где f(t) – функция времени (оригинал); F(jω) – комплексная функция, являющаяся изображением временной функции f(t).
Ограничения, связанные с применением преобразования (7.1),
приведены в §п. 1.2.2 и здесь не распространяются. Однако целесообразно напомнить, что функция времени f(t) должна быть абсолютно интегрируемой в бесконечных пределах. Это серьезное ограничение и ряд функций этому условию не удовлетворяют, например,
если f(t) постоянная величина или синусоидальная функция.
Если функция времени f(t) равна нули при t < 0, то можно говорить об одностороннем преобразовании Фурье в следующем виде:
+¥
F ( jω) =
ò
f (t)e-jωtdt. (8.2)
0
Комплексная функция является спектральной характеристикой
или спектральной плотностью функции времени f(t) в бесконечных
по частоте ω пределах (от –∞ до +∞). Поэтому метод часто называется частотным.
Комплексную функцию F(jω) можно записать в показательной
форме
F(jω) = F(ω)ejψ(ω),
(8.3)
где F(ω) и ψ(ω) амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики функции времени f(t).
Другими словами, функции F(ω) и ψ(ω) показывают, что модуль
функции комплексной переменной и ее аргумент являются непрерывными функциями угловой частоты ω и в совокупности представляют собой спектральные характеристики функции времени f(t).
Чисто мнимая jω комплексная величина является оператором в частотном методе, который позволяет построить схему замещения ана104
логичную комплексной схеме, пользуемой при расчете в комплексной области установившихся процессов в гармоническом режиме [4].
Схема применения частотного метода обычная при расчете в комплексной области:
определить изображение исходной функции времени f(t) теоретически на основе интеграла (7.1), практически с помощью справочников;
определить изображение исходной функции, анализируя комплексную схему замещения аналогичную исследуемой при расчете
гармонических установившихся процессов на комплексной области;
осуществить переход от изображения исходной комплексной
функции к ее оригиналу – функции времени.
Последнее теоретически обосновывается на основе обратного
преобразования Фурье, которое имеет следующий вид:
f (t) =
1
2π
+¥
ò
F ( jω)e jωtdω. (8.4)
-¥
Интегрирование согласно (8.4) в отличии от обратного преобразования Лапласа проводится по мнимой оси.
Переход от изображения искомой функции к ее оригиналу представляет трудный этап расчета, так как согласно (8.4) связан с интегрированием сложной функции. Конечно, практически задача состоит в представлении функции в виде выражения, пригодного для
поиска интеграла с помощью справочника. В ряде случаев интеграл
(8.4) не берется и тогда приходится прибегать к поиску приближенного решения.
Нужно отметить, что интеграл (8.4) выражает в явном виде непериодическую функцию времени f(t) в виде бесконечного множества
бесконечно малых гармонических составляющих, так как произведение F(jω)dω под интегралом бесконечно мало из-за бесконечно малой величины dω.
8.2. Передаточная функция цепи
Допустим, что на линейную цепь воздействует функция f1(t).
Требуется определить функцию f2(t), которая появляется на некоторой ветви цепи в результате воздействия функции f1(t).
Структурно задачу можно изобразить в виде четырехполюсника
на рис. 8.1, где f1(t) – входная функция (задана); f2(t) – выходная
функция (искомая).
105
f1(t)
f2(t)
Рис. 8.1
f1(t)
f2(t)
F1(jω)
F2(jω)
u
Рис. 8.2
F1Переходя
(jω)
F2(jω)
к изображению
функций f1(t) и f2(t) на основе интеграU (ωрис.
) ω=0 =
UT
ла Фурье можно изобразить схему так, как показано на
8.2.
U (ω) ω=¥
0
Отношение комплексной спектральной
характеристики
на=выхоUT
де uF2(jω) к комплексной спектральной характеристике F1(jω) на
входе называют передаточной функцией K(jω).
U (ω) ω=0 = UT
UT
K0( jω) =
U (ω) ω=¥ =
F2 ( jω)
,
F1 ( jω)
ω
(8.5)
которую можем записать в показательной
форме. Тогда для K(jω)
ψ(ω)
ω
будем иметь
ω
K(jω) = K(ω)ejψ(ω),
(8.6)
где
K(ω) – амплитудно-частотная характеристика цепи, выражаюψ(ω)
щая отношение амплитудыω выходного сигнала к входному; ϕ(ω) –
–2/π
фазочастотная характеристика цепи,
выражающая угол сдвиги
фазы выходного сигнала относительно фазы входного сигнала.
В зависимости от размерностей входной функции и искомой передаточная функция имеет размерность сопротивления, проводи–2/π или безразмерная величина.
мости
Очевидно, если определена передаточная функция цепи, то поиск
изображения исходной функции осуществляется по соотношению
F2(jω) = K(jω)F1(jω).
(8.7)
Передаточную функцию цепи K(jω) можно определить и экспериментальным путем при воздействии на вход искомой цепи гармонической функции.
8.3. Связь преобразований Фурье и Лапласа
Сравнивая прямое одностороннее преобразование Фурье
+¥
F ( jω) =
ò
0
106
f (t)e-jωtdt
с прямым преобразованием Лапласа
+¥
F ( p) =
ò
f (t)e- ptdt,
0
а также обратное преобразование Фурье
f (t) =
1
2π
+¥
ò
F ( jω)e jωtdω
-¥
с обратным преобразованием Лапласа
f (t) =
1
2πj
σ + jω
ò
F ( p)e ptdp,
-σ-jω
видим, что прямое и обратное преобразования Фурье есть частный
случай прямого и обратного преобразования Лапласа, когда в комплексном операторе p = σ + jω вещественная часть стремится к нулю
и интегрирование в области преобразования Фурье (8.3) осуществляется по мнимой оси в отличие от обратного преобразования Лапласа (7.2) – по прямой, параллельной мнимой оси (рис. 7.1).
Используя связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа для абсолютно интегрируемых функций времени f(t) можно
воспользоваться готовыми таблицами по преобразованию Лапласа,
имеющимися в справочниках по операционному исчислению, заменив p на jω.
Пример построения частных спектров экспоненциального сигнала
График сигнала, описываемый экспоненциальной функций u(t) =
= Uexp(–t/T), где T – постоянная убывания напряжения, приведен
на рис. 7.8.
Выражение экспоненциального сигнала по преобразованию Лапласа согласно табл. 7.1 имеет вид
1
U ( p) = U
.
1
p+
T
Заменив p на jω, согласно связи преобразования Фурье и преобразования Лапласа получаем выражение для комплексного частичного спектра сигнала
107
F1(jω)
F2(jω)
u
ω
ψ(ω)
ω
U (ω) ω=0 = UT
U (ω) ω=¥ = 0
UT
ω
–2/π
Рис. 8.3
Рис. 8.4
ψ(ω)
1ω
1
- jω
ω
T
T
U ( jω) = U
, (8.8)
=U
=U
- jU
2
2
2
1
æ 1 ö÷
æ 1 ö÷
æ 1 ö÷
2
2
2
+ jω
ç ÷ +ω
ç
ç
+ω
+ω
T
çè T ø÷
èç T ø÷÷
èç T ø÷÷
которое позволяет выделить зависимость модуля U(ω) и фазы ψ(ω)
от –2/π
значения угловой частоты ω. Модуль U(ω) выражается как квадратный корень из сумм квадратов вещественной и мнимой выражения (8.8). После элементарных преобразований получим выражение для амплитудно-частотного спектра (АЧХ) сигнала
U
(8.9)
U (ω) =
.
æ 1 ö÷2
çç ÷ + ω2
è T ø÷
Ход зависимости U(ω) приведен на рис. 8.3.
Выражение для фазочастотного спектра ψ(ω) определено через
отношение мнимой части к вещественной части (8.8). В результате
получим выражение для фазочастотного спектра (ФЧХ) сигнала
1
ψ(ω) = –arctgωT.
(8.10)
Ход зависимости ψ(ω) приведен на рис. 8.4.
Контрольные вопросы по разделу 8
1. В чем полезность преобразования Фурье для расчета переходных процессов?
2. Когда нельзя использовать преобразование Фурье?
3. Как представляется операция дифференцирования в спектральном методе?
4. Как представляется операция интегрирования в спектральном методе?
108
5. Как называется искомая функция в спектральном методе?
6. Что такое изображение в спектральном методе?
7. Учитываются ли начальные условия в спектральном методе?
8. Как выглядят закон Ома и законы Кирхгофа в спектральном
методе?
9. Как представляются идеализированные элементы электрических схем в спектральном методе?
10. Как построить комплексную схему замещение в спектральном методе?
11. Какими методами можно описать комплексную схему замещения в спектральном методе?
12. Что такое амплитудно-частотный спектр сигнала?
13. Что такое фазочастотный спектр сигнала?
14. Как найти изображение непериодического сигнала на входе?
15. Как найти изображение сигнала на выходе цепи?
16. Как найти оригинал искомого сигнала?
17. Что такое одностороннее преобразование Фурье и когда его
можно применять?
18. Что такое передаточная функция цепи и как она используется?
19. Какое практическое применение имеет связь преобразований
Фурье и Лапласа?
109
9. Расчет переходного процесса
при импульсной форме источника
Если на электрическую цепь подается импульс напряжения или
токи сложной формы с разрывами первого рода, например, как показано на рис. 9.1, то расчет переu
ходного процесса может быть выполнен на основе применения интеграла Дюамеля.
Для применения интеграла Дюамеля необходимо сформировать
подынтегральное выражение, котоt2
t1
рое содержит переходную или имt
пульсную характеристику цепи.
Рис. 9.1
9.1. Переходная и импульсная характеристики цепи
9.1.1. Переходная характеристика
Если двухполюсник с реактивными элементами включен, например, на постоянное напряжение (рис. 9.2), то в нем возникает переходный процесс, связанный с изменением во времени токов в ветвях и напряжений на элементах цепи.
Расчет переходного процесса можно выполнить изложенными
методами: либо во временной области, либо операционным методом. В результате для тока в k-й ветви цепи или напряжения на k-м
элементе можно записать
ik(t) = Uy(t),
uk(t) = Uh(t),
(9.1)
где смысл функций y(t), h(t) виден из выражения (9.1) при U = 1В.
+
U
–
Рис. 9.2
110
i (t)
y(t) = k
,
U U =1B
(9.2)
u (t)
h (t) = k
.
U U =1B
(9.3)
Функцию y(t), имеющую разность проводимости, можно назвать переходной проводимо-
1(t)
1(t– t1)
1
1
t
0
Рис. 9.3
t1
t
Рис. 9.4
стью. Эта функция равна выражению для тока в k-й ветви при напряжении источника U = 1В.
Функцию h(t), в данном случае безразмерную, можно назвать переходной характеристикой. Эта функция равна выражению для
напряжения на k-м элементе при напряжении источника U = 1В.
Таким образом, переходная характеристика является реакцией
цепи в k-й ветви на единичную ступенчатую функцию, представляющую собой напряжение U = 1В при постоянном источнике напряжения или тока источника I = 1A при постоянном источнике тока.
Аналитически переходную характеристику h(t) можно записать
при помощи единичной функции 1(t), имеющую свойства
ì
ï0, t < 0,
1(t) = ï
í
ï
ï
î1, t ³ 0. (9.4)
График единичной функции представлен на рис. 9.3.
Действие такого сигнала на входе электрической цепи эквивалентно подключению цепи с помощью идеального ключа к источнику постоянного напряжения или постоянного тока.
Замыкание ключа в момент времени, отличный от нуля, например, при t = t1, можно представить как смещение единичной функции на величину t1 (рис. 9.4).
При умножении переходной характеристики на единичную
функцию 1(t) или со смещением 1(t – t1) отпадает необходимость
в указании области задания переходной характеристики, ибо область задания определятся единичной функцией.
Пример расчета переходной характеристики
Электрическая схема для расчета напряжения на емкости представлена на рис. 9.5.
Расчет выполним во временной области по упрощенной методике.
111
i1
+
R1
R1
i2
R2
U
i3
R2
C
C
–
Рис. 9.5
Рис. 9.6
Для напряжения на емкости можно записать выражение
uc = ucy + Ae–t/τ,
(9.5)
где для установившегося значения напряжения на емкости имеем
U
(9.6)
èñó =
R2. R1 + R2
Выражение для постоянной времени можно получить по схеме
(рис. 9.6), как произведение величины емкости С на эквивалентное
сопротивление схемы Rэкв относительно емкостного элемента при
закороченном источнике питания.
В результате имеем
τ = CRэкв = CR1R2/(R1 + R2).
Так как uc(0–) = uc(0+) = 0, то для определения постоянной времени А согласно (9.5) с учетом (9.6) имеем
0 = U/(R1 + R2)R2 + A,
Отсюда
A = –U/(R1 + R2)R2.
Таким образом, окончательно для uc(t) имеем
uc =
-t ö
æ
U
R2 çç1 - e τ ÷÷. ÷ø
R1 + R2 çè
(9.6)
Для переходной характеристики h(t) согласно (9.3) получим
-t ö
æ
u (t)
1
h (t) = c =
R2 çç1 - e τ ÷÷÷. U
R1 + R2 çè
ø
(9.7)
График переходной характеристики h(t) представлен на рис. 9.7.
112
h(t)
R2l
R1 + R2
t
τ
Рис. 9.7
h(t – t1)
R2l
R1 + R2
t1
τ
t
Рис. 9.8
Для переходной характеристики h(t – t1) со смещением во времени на t1 имеем
-t-t1 ö
æ
1
τ ÷÷. (9.8)
h (t - t1 ) =
R2 ççç1 - e
÷÷
çè
÷ø
R1 + R2
График переходной характеристики h(t – t1) со смещением представлен на рис. 9.8.
9.1.2. Импульсная характеристика
Переходный процесс в электрической цепи от импульса напряжения или тока можно рассчитать при помощи импульсной характеристики hδ(t), свойства которой определяются функцией Дирака
или δ-функцией, изображенной в виде стрелки, уходящей в бесконечность, на рис. 9.9.
Ее свойства описаны без смещения и со смещением выражениями (9.9) и (9.10) соответственно
δ(t)
ìïï¥, t = 0,
δ(t) = í
ïïî 0, t ¹ 0,
(9.9)
+¥
0
t
ò δ(t)dt = 1,
-¥
Рис. 9.9
113
hδ (t)
1/(CR1)
t
τ
Рис. 9.10
ìï¥, t = t1,
δ(t - t1 ) = ïí
ïïî 0, t ¹ t 1 ,
+¥
ò
(9.10)
δ(t - t1 )dt = 1.
-¥
Единичная функция 1(t) и δ-функция связаны через операцию
дифференцирования соотношением
δ(t) = d/dt1(1).
(9.11)
Импульсная характеристика hδ(t) согласно (9.11) может быть найдена как производная по времени от переходной характеристики
hδ(t) = d/dth(t).
(9.12)
При этом импульсная характеристика hδ(t) состоит из двух слагаемых, если переходная характеристика при t = 0 имеет скачок
hδ(t) = h+
δ (t)1(t) + h(0)δ(t).
(9.13)
Первое слагаемое получаем дифференцированием h(t) без учета
возможного скачка h(t) при t = 0.
Второе слагаемое содержит δ-функцию, умноженную на значение переходной характеристики h(t) при при t = 0.
Выражение для импульсной характеристики, полученную путем дифференцирования переходной характеристики h(t) (9.7), имеет вид
1 -t τ
hδ (t) =
e .
(9.14)
ÑR1
Ее график приведен на рис. 9.10.
114
9.2. Интеграл Дюамеля
Расчет переходного процесса по интегралу Дюамеля может быть
построен на основе применения либо переходной h(t), либо импульсной hδ(t) характеристик для импульса напряжения или тока. При
этом осуществляется поиск выражения либо для напряжения uk(t)
на k-м элементе цепи, либо тока ik(t) в ее k-й ветви.
Применяются различные виды записи выражения для интеграла Дюамеля с использованием переходной или импульсной характеристики. Например, с использованием переходной характеристики
можно применить следующее выражения:
t
ik (t) = u(0)hk (t) + ò u¢(x)hk (t - x)dx, (9.15)
0
¥
ik (t) = u(0)hk (t) + ò u¢(t - x)hk (t)dx. (9.16)
0
Выражения (9.15) и (9.16) отличаются размещением запаздывающего аргумента (t – x).
При использовании импульсной характеристики можно применить следующие выражения:
t
ik (t) = u(t)hk (0) + ò u(x)hk+δ (t - x)dx, (9.17)
0
t
ik (t) = u(0)hk (0) + ò u(t - x)hk+δ (x)dx. (9.18)
0
9.3. Методика применения интеграла Дюамеля
Методику рассмотрим при использовании переходной характеристики в выражении (9.16).
1. Рассчитать переходный процесс во временной области или операционным методом для k-й ветви схема при включении ее с нулевыми начальными условиями на источник с постоянным напряжением U = 1В или током I = 1A.
В результате получить выражение для переходной характеристики hk(t).
115
2. В выражение для переходной характеристики ввести запаздывающий аргумент
(t – x). Для этого в hk(t) заме3
нить
t на (t – x).
u2(t)
3. Найти выражение u′(x)
1
под интегралом для произво4
дной по времени от импульса
5
0
t1
t2 t
напряжения. Для этого вначале взять производную по вреРис. 9.11
мени u′(t). Затем время t заменить на текущее значение под интегралом – время x.
4. Получившиеся выражения подставить в (9.15) и выполнить
интегрирование по переменной x.
5. Построить график переходного процесса.
В случае кусочно-разрывного характера импульса переходный
процесс следует искать по участкам. Например, для сложного импульса напряжения, изображенного на рис. 9.11, следует рассмотреть три участка.
1. 0 ≤ t < t1
u
u1(t)
2
t
i(t) = u(0)h(t) + ò u1¢ (x)h(t - x)dx.
0
2. t1 ≤ t < t2
t1
t
0
t1
i(t)= u(0)h(t)+ ò u1¢ (x)h(t-x)dx +(u3 -u2 )h(t-t1 )+ò u2¢ (x)h(t-x)dx.
3. t ≥ t2
t1
i(t) = u(0)h (t) + ò u1¢ (x)h(t - x)dx + (u3 - u2 )h(t - t1 ) +
0
t2
+ ò u2¢ (x)h (t - x)dx + (u5 - u4 )h (t - t2 ).
t1
Пример расчета переходного процесса
Рассчитать переходный процесс для тока i3 в емкости элемента
(см. рис. 9.5) при изменении напряжения источника по закону воз116
растающей экспоненты, изображенному на рис. 9.12 и описанному выражением (9.19).
u(t) = U(1 – e–t/T).
u
(9.19)
U
Решение.
0
1. Расчет переходного проT
цесса при включении цепи
(см. рис. 9.10) на напряжении
Рис. 9.12
U = 1В для определения переходной проводимости. Общий вид решения для i3
i3 = i3y + i3св = i3св = Ae–t/T,
t
(9.20)
так как i3у = 0.
Начальное условие для тока i3у(0+) емкости
( )
i3 0+ =
U
1
.
=
R1 U =1B R1
(9.21)
Для тока i3у(0+) согласно (9.20) с учетом (9.21) имеем
1/R = A.
(9.22)
Подставляя (9.22) в (9.20) при U = 1В, получим выражение для
переходной проводимости Y(t)
Y(t) = 1/Re–t/τ,
(9.23)
τ = CRэкв = CR1R2/(R1 + R2).
(9.24)
где
2. Переходная проводимость с запаздывающим аргументом имеет вид
1 -t-t1 τ
(9.25)
.
Y (t - x) = e
R
3. Производная по времени от приложенного напряжения (9.19)
равна
d
U -t
u¢(t) = u(t) = e T (9.26)
dt
T
и после замены t на x имеем
u¢(x) =
U -x T
e
.
T
(9.27)
117
i3
I
t
T
–I
–Iexp (–t/τ)
τ
Рис. 9.13
4. Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
t
i3 (t) = ò u¢(x)Y (t - x )dx =
0
t
=ò
0
-x
U
e
T
T
-t-x
1
e
R
t
-x x
1 -t τ
e
e T e τ dx.
ò
T R1
c dx = U
0
После интегрирования получаем
i3 (t) =
-t ö
-t ö
æ -t
U τ æç -t T
- e τ ÷÷ = I ççe T - e τ ÷÷, ççe
ç
÷
÷ø
R T -τè
ø
è
(9.28)
U τ
×
.
R T-τ
График переходного процесса при τ > T имеет вид, показанный
на рис. 9.13, полученный суммированием двух экспонентов.
Нужно отметить, что переходный процесс при экспоненциальном воздействии импульса напряжения можно рассчитывать и операционным методом.
где I =
Контрольные вопросы по разделу 9
1. Понятие переходной характеристики.
2. Понятие импульсной характеристики.
3. Свойства единичной функции.
118
4. Свойства δ-функции (функции Дирака).
5. Зачем введено понятие единичной функции?
6. Зачем введено понятие δ-функции?
7. Как найти выражение для переходной характеристики?
8. Как найти выражение для импульсной характеристики?
9. Какая связь между единичной функцией и δ-функцией?
10. Как используется связь между единичной функцией
и δ-функцией?
11. Что такое запаздывающий аргумент в переходной и импульсной характеристиках?
12. Какой предварительный расчет необходимо выполнить для
применения интеграла Дюамеля?
13. В чем состоит методика расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля?
14. Что такое кусочно-разрывная функция?
15. Как применяется интеграл Дюамеля при кусочно-разрывной
функции источника?
119
Библиографический список
1. Демирчян К. С., Нейман Л. Р., Чепурин Н. В. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов. СПб.: Питер, 2006.
2. Бычков Ю. А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей: учебник для вузов. СПб.: Лань, 2002.
3. Батарин С. А., Федоров В. В. Теоретические основы электротехники: теория электрических цепей и электромагнитного поля:
учебное пособие для вузов. М.: Изд. центр «Академия», 2004.
4. Лавров В. Я. Линейные электрические цепи. Установившиеся
режимы: учебное пособие. СПб.: ГУАП, 2010.
5. Колесников В. В. Основы теории цепей. Переходные процессы
четырехполюсника: текст лекций. СПб.: ГУАП, 2006.
6. Линейные электрические цепи. Переходные режимы: Метод.
указания к практическим занятиям и домашним заданиям / Куцко М. Е., Колесников В. В., Свинолобова Л. Б. и др. СПбГУАП. СПб.,
1999.
120
Содержание
Предисловие.................................................................... Введение.......................................................................... Контрольные вопросы по введению............................. 1. Основные понятия и принципы расчета переходного
процесса.......................................................................... 1.1. Понятие переходного процесса................................. 1.2. Принципы расчета переходного процесса................... 1.2.1. Принципы расчета во временной области............ 1.2.2. Принципы расчетов в комплексной области......... 1.3. Законы коммутации. Начальные условия. ................. 1.4. Определение порядка цепи....................................... Задание 1.1. Расчет начального и установившегося
значения переменной состояния цепи первого порядка.... Задание 1.2. Расчет начальных и установившихся
значений переменных состояния цепи второго порядка..... Приложение 1.1. Цепи первого порядка........................... Приложение 1.2. Цепи второго порядка........................... Контрольные вопросы по разделу 1.............................. 2. Расчет во временной области переходных процессов
в разветвленных цепях различного порядка.......................... 2.1. Расчет без использования графа цепи........................ 2.1.1. Анализ структуры цепи и выбор переменных
по ветвям................................................................. 2.1.2. Формирование системы дифференциальных
уравнений по законам Кирхгофа................................. 2.1.3. Система дифференциальных уравнений
в нормальной форме.................................................. 2.1.4. Расчет установившейся составляющей решения..... 2.1.5. Определение свободной составляющей решения..... 2.1.6. Определение постоянных интегрирования........... 2.2. Методика расчета разветвленных цепей второго
прядка без использования графа цепи.............................. 2.3. Расчет с использованием графа цепи.......................... Задание 2.1. Расчет переходного процесса
в разветвленной цепи первого порядка......................... Задание 2.2. Расчет переходного процесса
в разветвленной цепи второго порядка......................... Приложение 2.1............................................................ Приложение 2.2............................................................ Контрольные вопросы по разделу 2.............................. 3
4
5
7
7
8
8
11
13
16
17
17
18
20
22
23
24
24
25
27
27
28
30
32
39
42
43
45
49
52
121
3. Расчет переходного процесса в нелинейной цепи методом
переменных состояния...................................................... 3.1. Понятие нелинейной электрической цепи
и ее элементов.............................................................. 3.2. Аналитическая аппроксимация характеристик
нелинейных элементов.................................................. 3.3. Представление нелинейных элементов в уравнениях
состояния.................................................................... 3.4. Система уравнений переменных состояния
нелинейной цепи.......................................................... Задание 3.1. Построение системы уравнений переменных
состояния для нелинейной цепи различного порядка..... Приложение 3.1............................................................ Контрольные вопросы по разделу 3.............................. 4. Анализ переходных процессов в неразветвленных
индуктивных цепях первого порядка во временной области...... 4.1. Общие вопросы анализа........................................... 4.2. Короткое замыкание цепи R, L.................................. 4.3. Замыкание цепи RL на добавочное сопротивление R0..... 4.4. Включение цепи RL на постоянное напряжение.......... 4.5. Мгновенное изменение резистивного сопротивления
в цепи RL..................................................................... 4.6. Включение цепи RL на гармоническое напряжение..... 5. Анализ переходных процессов в неразветвленных
емкостных цепях первого порядка во временной области........ 5.1. Общие вопросы анализа........................................... 5.2. Короткое замыкание цепи RC................................... 5.3. Включение цепи RC на постоянное напряжение.......... 5.4. Включение цепи RC на гармоническое напряжение..... 53
53
54
56
58
61
62
63
64
64
65
67
68
69
71
74
74
75
76
78
6. Анализ переходных процессов в неразветвленных цепях второго
порядка во временной области............................................ 81
6.1. Общие вопросы анализа........................................... 81
6.2. Короткое замыкание для цепи RLC............................ 82
6.2.1. Апериодический переходный процесс................. 83
6.2.2. Предельный апериодический переходный процесс. 85
6.2.3. Колебательный переходный процесс................... 86
6.3. Включение цепи R, L, C на гармоническое напряжение. 87
7. Операционный метод расчета переходных процессов.......... 89
7.1. Основные положения и свойства метода..................... 89
7.2. Законы Ома и Кирхгофа в операционной форме........... 91
122
7.3. Операционные схемы замещения и их описание.......... 93
7.4. Четырехполюсник в операционной форме.................. 96
7.4.1. Понятия и уравнения пассивного четырех
полюсника............................................................... 96
7.4.2. Передаточные функции четырехполюсника
в операционной форме и их применение....................... 98
7.5. Переход от изображения к функции времени.............. 99
Задание 7.1. Расчет переходного процесса в разветвленной
цепи первого порядка операционным методом.............. 102
Задание 7.2. Расчет переходного процесса в разветвленной
цепи второго порядка операционным методом.............. 102
Контрольные вопросы по разделу 7.............................. 103
8. Спектральный метод расчета переходных процессов........... 104
8.1. Основные положения метода.................................... 104
8.2. Передаточная функция цепи.................................... 105
8.3. Связь преобразований Фурье и Лапласа..................... 106
Контрольные вопросы по разделу 8.............................. 108
9. Расчет переходного процесса при импульсной форме
источника........................................................................ 110
9.1. Переходная и импульсная характеристики цепи......... 110
9.1.1. Переходная характеристика.............................. 110
9.1.2. Импульсная характеристика............................. 113
9.2. Интеграл Дюамеля.................................................. 115
9.3. Методика применения интеграла Дюамеля................. 115
Контрольные вопросы по разделу 9.............................. 118
Библиографический список................................................ 120
123
Учебное издание
Лавров Валентин Яковлевич
Основы теории цепей
Переходные процессы
Учебное пособие
Редактор А. В. Подчепаева
Компьютерная верстка С. В. Барашковой
Сдано в набор 31.01.12. Подписано в печать 29.03.12. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 7,2. Уч.-изд. л. 7,7.
Тираж 100 экз. Заказ № 156.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
124
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
6 543 Кб
Теги
lavrova
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа