close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Lestev

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
А. М. Лестев, М. А. Лестев
Нелинейные задачи динамики вибрационных микромеханических гироскопов
Монография
Санкт-Петербург 2010
УДК 62-752
ББК 22.213
Л51
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Д. П. Лукьянов;
доктор физико-математических наук, профессор Г. И. Мельников
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве монографии
Лестев А. М. , Лестев М. А.
Л51 Нелинейные задачи динамики вибрационных микромеханических гироскопов: монография / А. М. Лестев, М. А. Лестев – СПб.: ГУАП, 2010. – 128 с.
ISBN 978-5-8088-0582-8
Приведены результаты исследований влияния нелинейных факторов на динамику и точность вибрационных микромеханических
гироскопов – перспективных приборов современной микросистемной техники.
Книга предназначена для специалистов в области прикладной
механики, приборостроения и микросистемной техники, а также
может служить пособием для студентов соответствующих специальностей.
УДК 62-752
ББК 22.213
ISBN 978-5-8088-0582-8
© Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (ГУАП), 2010
© А. М. Лестев, М. А. Лестев, 2010
Предисловие
В монографии приводятся результаты исследований динамики
и погрешностей ММГ с учетом нелинейных факторов, оказывающих влияние на движение чувствительных элементов приборов, и
даются объяснения нелинейным явлениям и эффектам в динамике
чувствительных элементов ММГ.
В первой главе приведены результаты исследования динамики
систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости и обобщенной координате.
Определены стационарные движения чувствительных элементов
ММГ и исследована их устойчивость при вращении и вибрациях
основания. Выявлены скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных элементов ММГ и явления затягивания по частоте.
Рассмотрено влияние вибраций основания на режимы функционирования системы автогенерации колебаний.
Вторая глава содержит результаты исследования влияния на
динамику и точность ММГ нелинейных факторов – нелинейности
характеристик сил упругости подвесов чувствительных элементов,
электростатических сил и нелинейностей, обусловленных особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. Выявлены неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы
и скачки амплитуд колебаний чувствительных элементов, даны
оценки влияния нелинейностей упругого подвеса и электростатических сил контура подстройки частот колебательной системы
ММГ на выходные характеристики прибора. Исследованы погрешности ММГ, обусловленные нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ.
Определены вибрационные смещения положений равновесия чувствительных элементов. Рассмотрена динамика чувствительных
элементов ММГ при узкополосных случайных воздействиях, вызванных колебаниями основания.
В третьей главе приведены результаты исследований резонансных явлений в динамике ММГ с учетом нелинейных слагаемых
в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов. Определены стационарные движения чувствительных
элементов ММГ и условия устойчивости стационарных движений
в условиях основного резонанса. Исследована динамика чувствительных элементов ММГ при вибрационных воздействиях, вызванных колебаниями основания с переменной частотой, проходящей
3
в процессе изменения через частоту основного резонанса при прямом (частота возрастает со временем) и обратном (частота при увеличении времени убывает) прохождении через резонанс, отмечены
особенности влияния нелинейностей характеристик сил упругости
подвеса и электростатических сил контура подстройки частот на
амплитудные кривые прохождения через резонанс. Анализируется
динамика чувствительного элемента ММГ в условиях нелинейного
(демультипликационного) резонанса на вибрирующем основании.
Результаты исследования дают объяснение нелинейным явлениям и эффектам в динамике вибрационных ММГ.
4
Введение
Вибрационные микромеханические гироскопы (ММГ) – перспективные приборы современной микросистемной техники, интенсивно и динамично развивающегося научно-технического направления [3, 23, 26, 43, 44, 62, 67, 68, 76, 77, 91–95]. Создание
ММГ ознаменовало революционный процесс в современной инерциальной технологии [19]. Микромеханические гироскопы характеризуются уникально малыми массой и габаритами, низким потреблением электроэнергии, возможностью функционирования в
жестких условиях эксплуатации и на несколько порядков меньшей
стоимостью, чем их традиционные аналоги. Область применения
ММГ чрезвычайно широка. Использование ММГ позволяет создавать малогабаритные системы ориентации и навигации невысокой
стоимости для судов, летательных аппаратов различного назначения, мобильных роботов, автомобилей.
Микромеханические гироскопы могут быть отнесены к гироскопическим датчикам, реализующим идею маятника Фуко [29–
32]. Принцип действия вибрационных ММГ основан на законах
механики относительного движения [33]. Теоретические основы
вибрационных гироскопов изложены в научной литературе [7, 28,
73]. Дан исторический обзор развития вибрационных гироскопов
различных типов [8]. Конструктивные схемы и принципы функционирования вибрационных ММГ приведены в учебных пособиях [64, 86].
Современное состояние теории, практических разработок и перспектив развития ММГ отражены в многочисленных публикациях
[3, 23, 43, 44, 72, 76, 77, 83, 87]. Проблема расчета и проектирования ММГ рассматривалась в многих работах [25–27, 37, 38–40,
42–44, 67, 68, 78–81, 83–84]. Приведены аналитические соотношения и результаты конечно-элементного анализа для оценки параметров конструкции ММГ. Показана взаимосвязь проблем проектирования с микроэлектронными технологиями, используемыми при изготовлении конструкций ММГ. В литературе отмечены
специфические особенности технологии изготовления ММГ [1, 63,
85]. Исследовались погрешности ММГ, обусловленные технологическими и температурными факторами [4, 20, 21]. Выявлены технологические и температурные факторы, оказывающие влияние
на точность ММГ, даны оценки технологических и температурных
погрешностей приборов этого типа, разработаны математические
5
модели технологического и температурных дрейфов ММГ. Также исследовалось влияние вибрационных воздействий, вызванных колебаниями основания, на динамику и погрешности ММГ [24, 51–60]. Динамика систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ рассматривалась в публикациях [37, 52, 53, 81].
К настоящему времени разработаны принципы функционирования ММГ, предложены конструктивные схемы и конструкции
приборов этого типа, разработаны технологические процессы изготовления конструкций ММГ и произведена экспериментальная
отработка технологических операций изготовления ММГ на основе современных групповых технологий твердотельной микроэлектроники, адаптированных к изделиям микромеханики, создана
электроника систем генерации и стабилизации параметров колебаний чувствительных элементов, съема и преобразования выходной информации приборов. Созданы экспериментальные образцы
ММГ [78, 79, 83, 84], рядом зарубежных фирм (Draper Laboratory,
Analog Devices, Systron Donner, Murata, Sagem, Bosch, Samsung
Electronics и др.) освоен серийный выпуск приборов этого типа и
на первый план выступает проблема повышения точности ММГ и
создание приборов навигационного класса точности [76, 77]. Решение указанной проблемы наряду с реализацией мероприятий
конструкторско-технологического и схемотехнического характера связано с проведением исследований динамики и погрешностей
ММГ, основанных на строгом учете возмущений и факторов, оказывающих влияние на движение чувствительных элементов приборов. Строгие постановки задач исследования динамики и оценки
точности ММГ приводят к нелинейным дифференциальным управлениям движения чувствительных элементов ММГ, содержащим
разрывные и аналитические нелинейности. Разрывные нелинейности в дифференциальных уравнениях движения объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями. Аналитические нелинейности обусловлены нелинейной зависимостью сил упругости
подвесов чувствительных элементов и электростатических сил от
перемещений чувствительных элементов, особенностями динамики чувствительных элементов на упругих подвесах. Вместе с тем
основные теоретические результаты по исследованию динамики
и погрешностей ММГ получены на основании линеаризованных
дифференциальных уравнений движения чувствительных эле6
ментов приборов. При экспериментальных исследованиях ММГ обнаруживаются явления, характерные для нелинейных динамических систем: неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы
колебаний, скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных
элементов. Проблемам динамики традиционных гироскопических
приборов и теории нелинейных гироскопических систем посвящено большое число монографий и статей, обзоры которых приведены в публикациях [11–14]. Основополагающие результаты по динамике гироскопических систем с разрывными нелинейностями
принадлежат А. Н. Крылову, Е. Л. Николаи, А. Ю. Ишлинскому,
Я. Н. Ройтенбергу, Н. В. Бутенину, Д. М. Климову, В. Ф. Журавлеву. Динамика и погрешности гироскопических систем с аналитическими нелинейностями рассматривались в работах Д . С. Пельпора, Я. Л. Лунца, И. В. Новожилова, С. А. Харламова, К. Магнуса и
других отечественных и зарубежных ученых. Нелинейные задачи
динамики и оценки точности вибрационных ММГ рассматривались в ограниченном числе публикаций [65, 66, 69, 70, 35, 46–60].
Определена принципиальная погрешность маятника Фуко как измерителя угловой скорости вращения Земли, обусловленная нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения
маятника и присущая всем типам гироскопов, реализующим идею
маятника Фуко [29–32]. Учитывая важность указанного обстоятельства для практических разработок ММГ, рассмотрим вопрос
о нелинейных явлениях в динамике маятника Фуко основываясь
на результатах указанных работ. Введем связанную с Землей систему координат Oxyz, совместив начало O системы координат
с точкой подвеса маятника. Оси Ox и Oy расположим в плоскости
горизонта и направим соответственно на север и восток, ось Oz –
по вертикали вниз. Обозначим через Ω – угловую скорость вращения Земли и через ϕ – географическую широту точки подвеса маятника. Проекции скорости груза на оси системы координат Oxyz будут
•
•
•
Vx = x+ Ωy sin ϕ, Vy = y− Ωx sin ϕ − Ωz cos ϕ, Vz = z+ Ωy sin ϕ. (1)
Потенциальная энергия маятника
Ï = mgz, z = l2 − x2 − y2 , (2)
где l – длина нити, m – масса груза.
7
Составив далее выражение для кинетической энергии маятника
и используя уравнения Лагранжа второго рода, придем к следующим дифференциальным уравнениям движения маятника:
••
•
••
•
g
g
x + 2 y Ω sin ϕ + x = f1, y − 2 x Ω sin ϕ + y = f2 ,
l
l


•1
•
•
x •2 •2 1 g 2
f1 = 2x y Ω cos ϕ −  x + y −
(x + y2 ) − 2(x y− y x)Ω sin ϕ ,
l
2l
 (3)
l2 



•1
•
•
y •2 •2 1 g 2
f1 = −2x x Ω cos ϕ −  x + y −
(x + y2 ) − 2(x y− y x)Ω sin ϕ .
l
2l

l2 

Исключим сначала из рассмотрения нелинейные слагаемые
в дифференциальных уравнениях (3). Положим для краткости
ω1 = Ω sin ϕ и применим следующий прием интегрирования линейной системы дифференциальных уравнений, полученной из уравнений (3) при f1, f2 = 0. Умножив второе из уравнений линейной
системы на i = −1, сложив с первым и обозначив ζ = x + iy, получим уравнение для определения ζ
••
•

g
ζ − 2ω1i ζ+ n2ζ = 0, n2 = . 
l
(4)
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению
(4), имеет корни
λ1,2 = ω1i ± ini , n1 = n2 + ω12 ≈ n.
Общее решение уравнения (4) определяется выражением

ζ =  Aein1t + Be−in1t

 iω1t
= ζ1 (t)eiω1t . e
(5)
Разделяя в выражении ζ1 вещественную и мнимую части, можно установить, что траектория точки, движущейся по закону ζ1 (t)
представляет собой эллипс – результат сложения двух гармоничеg
ских колебаний частоты n1 ≈
. Множитель eiω1t в выражении
l
(5) показывает, что этот эллипс вращается с угловой скоростью
ω1 = Ω sin ϕ по часовой стрелке в северном полушарии и против хода
часовой стрелки – в южном. Этот факт является опытным доказательством вращения Земли вокруг своей оси (Л. Фуко, 1851 г.)
8
Решение нелинейной системы (3) будем искать в виде [29]
x = a cos(nt + ψ )cos θ − b sin(nt + ψ)sin θ,
y = a cos(nt + ψ )sin θ + b sin(nt + ψ )cos θ,
(6)
полагая a, b, ψ и θ – функциями времени и предполагая, что первые производные по времени от x и y имеют такой же вид, как и при
a, b, ψ и θ постоянных.
Составив уравнения для определения a(t), b(t), ψ (t) и θ(t) и
осреднив правые части полученных уравнений по времени получим
•
•
•
3 ab
a = 0, b = 0, θ = Ω sin ϕ + n ,
8 l2
•
1 
1
2
2 
ψ = − abΩ sin ϕ + n(a + b ).

16
l2 
(7)
3 ab
n
является основной по8 l2
грешностью маятника Фуко как измерителя угловой скорости вращения Земли. Аналогичная погрешность, обусловленная нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения,
присуща всем типам гироскопов, реализующим идею маятника
Фуко. Последнее из выражений (7) определяет поправку на частоту
колебаний маятника. Аналогичные явления наблюдаются в динамике вибрационных ММГ [46, 47, 58, 65, 66, 69, 70].
Прецессия с угловой скоростью
9
1. Динамика систем автогенерации
колебаний чувствительных элементов
микромеханических гироскопов
1.1. Система автогенерации
с управлением по обобщенной скорости
Исследование динамики системы автогенерации колебаний
чувствительного элемента с управлением по обобщенной скорости
выполняется применительно к ММГ [74] с поступательными движениями инерционной массы (LL-ММГ). Конструктивная схема
чувствительного элемента ММГ приведена на рис. 1.1. Инерционная масса ММГ подвешена на упругих элементах в рамке, которая
в свою очередь на упругих элементах подвешена в корпусе прибора.
Конструкции упругих подвесов обеспечивают перемещение инерционной массы относительно рамки в направлении оси x, а рамки
относительно корпуса прибора – в направлении оси y. Колебания
Ë
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁÂ
»ÁºÉÇÈÉÁ»Ç½
Í
¬ÈÉ̼Á¾ÖľžÆËÔ
¡Æ¾ÉÏÁÇÆƹØŹÊʹ
Рис. 1.1. Конструктивная схема ММГ с поступательными движениями
чувствительного элемента (LL-ММГ)
10
инерционной массы относительно рамки возбуждаются системной
автогенерации колебаний. Управляющее электрическое напряжение подается на статоры электростатического вибропривода в виде
импульсов, переключение знака которых осуществляется в моменты времени, когда скорость инерционной массы относительно рамки равна нулю. Схема, реализующая алгоритм функционирования
системы автогенерации с управлением по обобщенной скорости, содержит дифференцирующее звено и нелинейный элемент "sign",
на вход которого подается сигнал, пропорциональный скорости
инерционной массы относительно рамки. Ось чувствительности
ММГ ортогональна плоскости инерционной массы. При вращении
корпуса ММГ относительно оси чувствительности под действием
кориолисовых сил инерции возбуждаются колебания чувствительного элемента вдоль оси y, амплитуда которых при идеальном
выполнении конструкции прибора пропорциональна измеряемой
угловой скорости. Перемещения чувствительного элемента вдоль
оси y преобразуются емкостным датчиком перемещений в электрический сигнал. Для достижения необходимой точности в приборе
используется динамическая настройка, заключающаяся в сближении собственных частот колебаний чувствительного элемента, соответствующих форме колебаний вдоль оси x возбуждения
(первичные колебания) и форме колебаний вдоль оси y измерения
параметров колебаний (вторичные колебания). Динамическая настройка проводится изменением электростатической компоненты
жесткости. Функционирование колебательной системы ММГ осуществляется в вакууммированом корпусе.
Приведем дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ. С основанием прибора свяжем систему координат Oxyz с началом в точке пересечения осей упругого подвеса
в положении статического равновесия. Оси x и y направим вдоль
осей возбуждения и измерения параметров колебаний чувствительного элемента соответственно, ось z – вдоль оси чувствительности
прибора. Движения
основания прибора будем
__ определять вектором
__
V 0 полюса O и вектором угловой скорости ω . С инерционной массой ММГ свяжем систему координат O ′x ′y ′z ′, совместив точку O ′ с
точкой O. Положение инерционной массы будем определять координатами x и y точки O ′ в системе координат Oxyz x – перемещение инерционной массы относительно рамки вдоль оси x возбуждения колебаний, y – перемещение рамки вместе с инерционной массой вдоль оси y измерения параметров колебаний чувствительного
11
элемента. Введем обозначения: m1 – масса рамки; m – масса инер•
ционного элемента; Gx(x), Gy(y) – силы упругости подвеса; F (x) –
сила, создаваемая виброприводом колебаний инерционной массы;
E(∆ − y) и E(∆ + y) – электростатические силы, создаваемые датчиками силы контура подстройки частот ММГ; ∆ – номинальный
зазор между зубцами электростатического датчика силы.
Составив далее выражения для кинетической энергии колебательной системы и используя уравнения Лагранжа второго рода,
получим следующие дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ:
••
•
•
•
•
m x + µ x x+ Gx (x) − 2mω z y = F (x) − m V ox ,
••
•
•
(m + m1 ) y + µ y y+ Gy (y) + 2mω z x =
•
= E(∆ + y) − E(∆ − y) − (m + m1 ) V oy ,
(1.1.1)
__
где Vox , Voy , ω z –__проекции скорости V 0 полюса O на оси x, y и
угловой скорости ω основания на ось z; µ x , µ y – коэффициенты
демпфирования, а электростатические силы E(∆ ± y) определяются выражениями [86]
E(∆ ± y) = −
ε0 εSU 2
2(∆ ± y)2
,
(1.1.2)
ε0 – электрическая постоянная вакуума, ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды между электродами датчика
силы, S – площадь взаимного перекрытия электродов, U – подаваемое на электроды датчиков силы электрическое напряжение.
При проектировании ММГ топология и параметры элементов
конструкции упругих элементов подвесов выбираются так, чтобы
обеспечить приближение к линейной зависимости сил упругости
от перемещений чувствительных элементов. Для этой цели упругие элементы подвесов выполняются в виде пружин. Вместе с тем
обеспечить строгую линейную зависимость сил упругости от перемещений чувствительных элементов не представляется возможным. Экспериментальные исследования и конечно-элементный
анализ статики упругих подвесов чувствительных элементов
ММГ с использованием вычислительной системы (ANSYS, Pro/
MECHANICA) показывают, что характеристика зависимости сил
12
упругости от перемещений чувствительных элементов является
нелинейной и может быть аппроксимирована полиномом третьей
степени. На этом основании функции Gx (x) и Gy (y) определим выражениями
Gx (x) = cx x + κ x′ x3 ; Gy (y) = cy y + κ y′ y3 , (1.1.3)
где cx , cy и κ x′ , κ y′ – коэффициенты линейной и нелинейной составляющих сил упругости подвеса чувствительного элемента
ММГ.
Силу, создаваемую виброприводом системы автогенерации ко•
•
лебаний ММГ, определим выражением F (x) = F0 sign(x).
Рассмотрим сначала динамику системы автогенерации колебаний ММГ на неподвижном основании. В этом случае первое уравнение системы (1.1.1) принимает вид
••
•
•
m x + µ x x+ cx x = F0 sign(x) − κ x′ x3 . (1.1.4)
cx
µx
= n12 ,
= 2h1, безразмерное время
m
m
τ = n1t и перепишем уравнение (1.1.4) в виде
Введем обозначения
d2 x
 dx

 dx 
+ x = µ −
+ f0 sign  − κx3 , 


 dτ 
 dτ

dτ
2
(1.1.5)
κ x′
2h
F0
, κ=
, µ = 1 – малый параметр (µ << 1).
n1
2h1mn1
2h1mn1
Решение уравнения (1.1.5) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов [15], в виде
где f0 =
•
x = a cos(τ + ψ ), x = −a sin(τ + ψ ), (1.1.6)
где a(τ) и ψ (τ) – медленно меняющиеся функции безразмерного
времени τ, удовлетворяющие системе уравнений
4f 
µ
da
dψ 3
= − a − 0 , a
= µκa3 . 
dτ
2
π 
dτ 8
(1.1.7)
Первое уравнение системы (1.1.7) не зависит от ψ и фазовая
плоскость вырождается в прямую. Уравнение имеет устойчивое со4f
стояние равновесия a* = 0 на фазовой прямой, соответствующее
π
13
периодическому движению (автоколебаниям) чувствительного элемента ММГ. Из второго уравнения (1.1.6) определяется поправка
на частоту
•
3
3
∆ω = ψ = µκ (a* )2 , ψ = µκ (a* )2 τ + ψ 0 . 8
8
На плоскости u = a cos ψ, v = a sin ψ устойчивому состоянию равновесия a* на фазовой прямой соответствует устойчивый предель4f
ный цикл радиуса a* = 0 .
π
Интегрируя уравнения (1.1.7) получим выражение для x(t),
определяющее закон установления автоколебаний чувствительного элемента ММГ:
x=
4f0 
 1 − e−h1t
π 


2 
cosn1 + 3 κh1  4f0  t. 
 π  

4

(1.1.8)
Выражение (1.1.8) может быть использовано для оценки времени готовности ММГ.
Перейдем далее к исследованию динамики системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ с управлением по
обобщенной скорости при вращении основания относительно измерительной оси прибора ( ω z = Ω ≠ 0, Ω = const, Vox = 0, Voy = 0 ),
основываясь на уравнениях (1.1.1):
••
•
•
•
m x + µ x x+ cx x − 2mΩ y = Fo sign(x) − κ x′ x3 ,
••
•
•
(1.1.9)
3
(m + m1 ) y + µ y y+ cy y + 2mΩ x = E(∆ + y) − E(∆ − y) − κ y′ y .
y
< 1,
∆
разложим функции E(∆ ± y) в степенные ряды и ограничимся члеy
нами не выше третьего порядка по отношению к :
∆

ε εSU 2 
4e
8e

E(∆ + y) − E(∆ − y) = 30 y + 50 y3 , e0 = 0
. (1.1.10)

2
∆
∆
Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию
Введем обозначения
µy
4e0 
1 
cx
µx
2
, κ1 = 2Ω,
= n12 ,
, 2h2 =
cy − 3  = n2 , 2h1 =
m + m1
m + m1 
m
m
∆ 
14
κ2 =
2m
Ω,
m + m1
2h
примем за малый параметр µ = 1 , (µ << 1) и перепишем уравнеn1
ния (1.1.10) в виде
•
•
 •

x − κ1 y+ n12 x = µn1 − x+ f (x) − κ x x3 ,



(1.1.11)
••
•
•
 h2

2
3 

y + κ 2 x+ n2 y = µn1 − y− κ y y ,

 h1
•
•

κ′
F
8e
1
где f (x) = f0 sign(x), f0 = 0 , κ x = x , κ y =
××κ y′ − 0

2h1m
2h1m
2h1 (m + m1 )
∆5

8e 
1
××κ y′ − 50 .


∆ 
1 (m + m1 )
Решение уравнений (1.1.11) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов [15], в виде
••
x = a sin(k1t + ψ ) + b sin(k2t + ϑ),
y = λ1a cos(k1t + ψ ) + λ2b cos(k2t + ϑ),
(1.1.12)
где частоты k1 и k2>k1 являются корнями уравнения

k4 −  n12 + n22 + κ1κ 2

 2
2 2
k + n1 n2 = 0,
коэффициенты распределения λ1, λ2 определяются формулами
λ1 =
−n12 + k12
κ 2k1
−n12 + k22
κ 2k2
=
<
0,
λ
=
=
> 0.
2
2
2
κ1k1
κ
k
−n2 + k1
−n22 + k22
1 2
В выражениях (1.1.12) функции a, b, ψ и ϑ считаются медленно меняющимися функциями времени (t), удовлетворяющими дополнительным условиям, заключающимися в том, что первые производные от x и y по времени имеют такой же вид, как при a, b,
ψ и ϑ постоянных. Подставляя выражения (1.1.12) в уравнения
(1.1.11) и решая полученные уравнения совместно с уравнениями,
налагающими дополнительные условия на функции a, b, ψ и ϑ от•
•
• •
носительно a, b, a ψ, b θ и усредняя правые части уравнений за пе2π 2π
,
, придем к следующей системе дифференциальных
риоды
k1 k2
уравнений:
15
ïðè u > v;
ïðè u < v;
 v 

du
= µA  E  − αu = µP1 (u,v),
  u 

dt
(1.1.13)

dv
v 
u2   v  u2  v 

= µB 1 −  K   +
E  − βu = µQ1 (u,v)
dt
u 
v2   u  v2  u 



du
u 
v2   u  v2  u 
 = µP (u,v),
= µA 1 −  K   +
−
α
E
v


2

2   v 
2  v 
dt
v 
u
u



(1.1.14)
 u

dv
= µB  E  − βv = µQ2 (u,v)
  v 

dt
•
3
ψ =− µ
8
n1

λ1  k22 − k12



×

 u2
 u2
v2 
v2 


×κ x κ 2  + 2  + κ y κ1λ12 λ12
+ 2λ22  = µΨ1 (u,v),
 k12
 k12
k22 
k22 

•
n1
3
×
ϑ= µ


8
λ2  k22 − k12 



2 
 v2
 v2
u2 
2 u 
×κ x κ 2  + 2  + κ y κ1λ22 λ22
+
2
λ
 = µΨ2 (u,v); (1.1.15)
1
 k22
 k22
k12 
k12 

u = ak1,v = bk2 ,
A=
α=
π
2
K(ζ) = ∫
0
n1k1κ 2

π λ  k2 − k2
1  1
2
4f0
2


> 0, B =
n1k2κ 2

π λ  k2 − k2
2  2
1
4f0
2
> 0,
h κ 2
h κ 2
π2 
π2 
1 + 2 1 λ1  > 0, β =
1 + 2 1 λ2  > 0,
8f0 
h1 κ 2 
8f0 
h1 κ 2 
dψ
2
1 − ζ sin ψ
π
2
, E(ζ) = ∫ 1 − ζ2 sin2 ψ dψ – полные эллип0
тические интегралы первого и второго рода [41].
16


При вычислении средних интегральных значений правых частей уравнений (1.1.13)–(1.1.15) использовались следующие выражения [15]:
2π 2π
1
4
 bk 
sign(ak1 cos ξ + bk2 cos η)cos ξdξdη =
E 2 
2∫ ∫
2  ak 
4π
π
1
0 0
ïðè ak1 > bk2 ,
2π 2π
1
4 π2
∫ ∫ sign(ak1 cos ξ + bk2 cos η)cos ξdξdη =
0 0
=
4  ak1 bk2   ak1  ak1  ak1 
 K 
 +

−
E

π2  bk2 ak1   bk2  bk2  bk2 
ïðè ak1 < bk2 ,
2π 2π
1
4 π2
∫ ∫ sign(ak1 cos ξ + bk2 cos η)cos ξdξdη =
=
0 0
4  ak2 bk1   ak2  ak1  ak2 
 K 
 +

−
E

π2  bk1 ak2   bk1  bk2  bk1 
ïðè ak1 > bk2 ,
2π 2π
1
2
4
 ak 
∫ ∫ sign(ak1 cos ξ + bk2 cos η)cos ξdξdη = π2 E bk21 
4π 0 0
ïðè ak1 < bk2 ,
1
2π 2π
∫ ∫ sign(ak1 cos ξ + bk2 cos η)cos ξdξdη = 0,
4π2 0 0
(k1t + ψ = ξ, k2t + ϑ = η), è ò. ä.
и т. д.
Система уравнений (1.1.13) и (1.1.14) создает на плоскости uv
непрерывное поле направлений, так как правые части этих уравнений являются непрерывными функциями u,v и направления интегральных кривых по прямой u = v, определяемые из уравнений
(1.1.13), совпадают с направлениями, которые получаются из уравнений (1.1.14). Прямые u = 0 (v>0), v = 0 (u>0) являются интегральными кривыми уравнений (1.1.13) и (1.1.14).
17
Найдем особые точки уравнений (1.1.13) и (1.1.14) на плоскости uv и исследуем характер особых точек. Рассмотрим часть плоv
скости uv, удовлетворяющую условию u > v. Обозначим
= ξ,
u
(0 < ξ < 1). Уравнения для определения координат состояния равновесия имеют вид
E(ξ) − αu = 0, (1.1.16)

1 
1
E(ξ) 
ξ 1 −  K(ξ) + E(ξ) − β
= 0. α 
ξ2 
ξ2


(1.1.17)
Из уравнения (1.1.17) получаем
ξ = 0, (1.1.18)
(1.1.19)
α
E(ξ)ξ2
=
.
β E(ξ) − (1 − ξ2 ) K(ξ)
Уравнения (1.1.16) и (1.1.18) определяют состояние равновеE(0)
. Для определения
сия на оси u с координатами v = 0 и u =
α

α
корней уравнения (1.1.19) построим на плоскости ρξ2 ρ =  кри
β 
α
E(ξ)ξ2
вую ρ =
, изображенную на рис. 1.2. При ρ = = 1
2
β
E(ξ) − (1 − ξ ) K(ξ)
α
уравнение (1.1.19) имеет один корень ξ = 1, при ρ = = 2 уравнение
β
α
(1.1.19) имеет корень ξ = 0. При 1 < < 2 уравнение (1.1.19) один
β
положительный корень ξ = ξ1. Учитывая, что 0 < ξ < 1, остальные
корни уравнения (1.1.19) не имеют практического значения. Определив величину корня ξ1, находим координаты состояния равновесия из уравнения (1.1.16).
Перейдем теперь к определению особых точек на плоскости uv
u
при v > u. Обозначая η =
(0 < η < 1), имеем для определения осоv
бых точек уравнения
E(η) − βv = 0, (1.1.20)
18

1 
1
αE(η) 
η 1 −  K(η) +
E(η) −
= 0. 2
2


β 
η 
η


(1.1.21)



R
R

R
E()2
E()  (1  2 ) K()

E()  (1  2 ) K()
2E()

Рис. 1.2. Кривые r(x2), r(h2), q=0
Уравнение (2.1.21) распадается на два уравнения:
η = 0, β
E(η) η2
=
.
α E(η) − (1 − η2 ) K(η)
(1.1.22)
(1.1.23)
Уравнения (1.1.20) и (1.1.22) определяют состояние равновесия
E(0)
. Уравнение (1.1.23) при
на оси v с координатами u = 0, v =
β
β
β
= 1 имеет один корень η = 1, при = 2 уравнение (1.1.23) имеет
α
α
β
корень η = 0. При 1 ≤ ≤ 2 уравнение (1.1.23) имеет один корень
α
η = η1. Кривая
ρ=
α E(η) − (1 − η2 ) K(η)
=
,
β
η2 E(η)
(1.1.24)
соответствующая уравнению (1.1.23), приведена на рис. 1.2. Определив корень η1, по уравнению (1.1.20) находятся координаты особых точек при v > u.
Таким образом, в квадранте u ≥ 0 v ≥ 0, исключая из рассмотрения точку u = 0 , v = 0, могут быть:
два состояния равновесия системы (1.1.13), (1.1.14), располоα 1
α
женные на осях, когда 0 < < и 2 < < ∞;
β 2
β
19
три состояния равновесия – два на осях и одно вне осей при
1 α
< < 2. Координаты состояния равновесия (u3 ,v3 ), расположен2 β
α
ные вне осей, удовлетворяют условию u3 > v3 при 1 < < 2 и услоβ
1 α
α
вию u3 < v3 при < < 1. Если = 1, u3 = v3 .
2 β
β
Приведем результаты исследований характера состояний равновесия. Для состояния равновесия системы (1.1.13), расположенно

E(0)
π
=
, v1 = 0  :
го на оси u u1 =


α
2α
 π

− β,
p ≡ −  P1′u (u1,v1 ) + Q1′v (u1,v1 ) = Aα − B

 4u1
 π

− β,(1.1.25)
q ≡ P1′u (u1,v1 )Q1′v (u1,v1 ) − P1′v (u1,v1 )Q1′u (u1,v1 ) = − ABα 

 4u1
2


 π

− β .
δ ≡ p2 − 4q =  Aα + B

 4u1


4u1 1
α
Для
< , т. е. для
> 2, q < 0 и, следовательно, рассмаπ
β
β
триваемая особая точка является особой точкой типа седло. Для
4u1 1
α
> , т. е. для
< 2, q > 0, p > 0 состояние равновесия будет
π
β
β
устойчивым узлом (δ > 0). Отметим, что ось u является интегральной кривой и проходит через состояние равновесия u1,v1 = 0.
4v2 1
α 1
< , т. е. при < ,
Аналогично устанавливается, что для
β 2
π
α
q < 0 и, следовательно, рассматриваемая особая точка является
4v
α 1
1
особой точкой типа седло. Для 2 > , т. е. при > особая точπ
α
β 2
E(0)
π
=
ка u2 = 0,v2 =
является особой точкой типа устойчивый
2β
β
узел.
Рассмотрим характер равновесия (u3 ,v3 ), расположенного вне
координатных осей. Для случая u3 > v3 получаем:
20
 u(E − K)

E−K

p = A 
+ α  + B 
+ β ,
2
 u



 v
E−K

2
β + α u  + αβ .
q = AB 


u 
v2 


(1.1.25)
Пользуясь равенствами (1.1.16) и (1.1.19), выражение для q
представим в виде
q = β2 AB
2ρ(1 − ξ2 ) + ξ2 − ρ2
1− ξ
2

α
, ρ = .

β 
(1.1.26)
На рис. 1.2 изображена кривая q = 0, т. е.
2ρ(1 − ξ2 ) + ξ2 − ρ2 = 0, (1.1.27)
отделяющая на плоскости ρξ2 область, в которой q > 0, от области,
α
где q < 0. Из рис. 1.2 следует, что для 1 < < 2 q < 0, т. е. особая
β
точка (u3 ,v3 ) при u3 > v3 является особой точкой типа седло.
Аналогично устанавливается, что состояние равновесия (u3 ,v3 )
при v3 > u3 также является особой точкой типа седло.
Таким образом, число и характер особых точек (состояний равα
новесия) системы (1.1.13), (1.1.14) определяется отношением
β
(табл. 1).
Таблица 1
α
β
Состояние равно- Состояние равновесия
весия на оси u
на оси v
Состояние равновесия вне осей
α 1
<
β 2
Устойчивый
узел
Седло
Нет
1 α
< <2
2 β
Устойчивый
узел
Устойчивый узел
Седло
Седло
Устойчивый узел
Нет
0<
2<
α
<∞
β
Рассмотрим теперь точку u = 0, v = 0. Учитывая, что исходные
уравнения движения чувствительного элемента ММГ удовлетворяются решениями a = 0, b = 0 или u = 0, v = 0, правые части системы (1.1.13), (1.1.14) доопределим таким образом, чтобы точка
u = 0, v = 0 была состоянием равновесия, в окрестности которой
характер фазовых траекторий был подобен характеру фазовых траекторий в окрестности неустойчивого узла.
Перейдем теперь к изучению поведения интегральных кривых в
квадранте u ≥ 0, v ≥ 0. Картина разбиения плоскости uv на траектории определяется состояниями равновесия, предельными цикла21
ми и сепаратрисами. Отметим, что в рассматриваемом квадранте не
может быть предельных циклов, так как внутри предельного цикла
должна быть по крайней мере одна особая точка и эта особая точка
не может быть седлом или такой особой точкой, через которую проходят интегральные кривые, идущие в бесконечность. Далее, при
du
dv
достаточно больших u и v, так как α > 0, β > 0,
<0 и
< 0,
dt
dt
т. е. движение изображающей точки по интегральным кривым направлено к началу координат.
Рассмотрим теперь поведение сепаратрис в квадранте u ≥ 0,
α 1
сепаратрисы порождаются состояv ≥ 0 (рис. 1.3). При 0 < <
β 2
нием равновесия, расположенным на оси v. Один из неустойчивых
усов седла, выходящий из этого состояния равновесия стремится
к устойчивому состоянию равновесия, расположенному на оси u.
Весь квадрант в данном случае является областью устойчивости в
большом для устойчивого состояния равновесия, расположенного
на оси u (рис. 1.3, а). Этому состоянию равновесия соответствует периодическое движение (автоколебания) чувствительного элемента
ММГ с частотой, близкой к первой из главных частот системы (k1).
Поправка на частоту определяется из первого уравнения системы
(1. 1.15).
1 α
В случае < < 2 особая точка типа седло расположена вне осей
2 β
u и v, и сепаратрисы порождаются этим состоянием равновесия.
Один из неустойчивых усов идет в устойчивое состояние равновесия на оси u, другой – в устойчивое состояние равновесия на оси
v. Один устойчивый ус идет из бесконечности, другой – из начала
координат. Квадрант u ≥ 0, v ≥ 0 разбивается на две области устойчивости в большом, являющиеся областями притяжения для двух
устойчивых состояний равновесия, расположенных на осях (рис.
1.3, б). Седло, расположенное вне осей u=0, v = 0, отвечает неустойчивому бигармоническому движению, которое представляет физический интерес в связи с сепаратрисами, отделяющими на фазовой
плоскости области устойчивости в большом, принадлежащие движениям, близким к гармоническим с частотами k1 или k2. В этом
случае в зависимости от начальных условий устанавливается периодическое движение чувствительного элемента ММГ либо с частотой близкой к первой (k1) из главных частот (состояние равновесия
на оси u), либо с частотой, близкой ко второй (k2) из главных частот
(состояние равновесия на оси v ).
22
¸
¹
W
ª¾È¹É¹ËÉÁÊÔ
º
W
W
¬À¾Ä
¬À¾Ä
ª¾È¹É¹ËÉÁʹ
ª¾½ÄÇ
ª¾È¹É¹ËÉÁʹ
ª¾½ÄÇ
¬À¾Ä


À
¬À¾Ä


À
ª¾½ÄÇ
2


À

Рис. 1.3. Картины интегральных кривых
α
< ∞ сепаратриса седла, расположенного на оси u, идет
β
в устойчивый узел, расположенный на оси v (рис. 1.3, в). Весь квадрант u ≥ 0, v ≥ 0 является областью устойчивости в большом для
этого состояния равновесия. Состоянию равновесия на оси v соответствует устойчивое периодическое движение (автоколебания)
чувствительного элемента ММГ с частотой близкой ко второй (k2)
из главных частот системы. Поправка на частоту определяется из
второго уравнения системы (1.1.15).
Как отмечалось, конструкции ММГ содержат контуры подстройки частот, позволяющие изменять электростатическую компоненту жесткости и, тем самым, парциальную частоту n2 колебательной системы ММГ. Для исследования явлений, происходящих
при подстройке частот в качестве параметра, характеризующего
изменение жесткости, примем отношение квадратов парциальных
n2
частот ς = 22 . При постепенном изменении ς в прямом и обратном
n1
направлениях получим наглядную картину явлений, происходящих в исследуемой системе, построив в зависимости от ς кривые
амплитуд колебаний обобщенных координат и кривые частот и
указав на графиках части кривых, соответствующие устойчивым
движениям. Амплитуды колебаний чувствительного элемента
u
v b k
α
ММГ a1x = 1 и b2x = 2  2x 2 =  и частоты k1 и k2 являются
k
k  a k
β 
Для 2 <
1
2
1x 1
функциями ζ и выражаются формулами:
23

−1
h2 ζ −1 + γ − (1 + ζ + γ )2 − 4ζ 
4f0 
 ,
a1x =
1 +
πk1 
h1 1 − ζ + γ − (1 + ζ + γ )2 − 4ζ 



−1
h2 ζ −1 + γ + (1 + ζ + γ )2 − 4ζ 
4f0 
 ,
b2x =
1 +
πk2 
h1 1 − ζ + γ + (1 + ζ + γ )2 − 4ζ 



1 
k12,2 = n12  1 + ζ + γ ∓ (1 + ζ + γ )2 − 4ζ ,


2 


κ1κ 2 

 γ = 2 .
n1 

(1.1.28)
На рис. 1.4 приведены графики зависимости a1x и b2x от ζ, построенные при следующих значениях параметров ММГ, близких к реальным: f0 = 1.54 ⋅10−1 ìc−1, n1 = 1.570796 ⋅104 ñ−1
(2.5 ⋅103 Ãö), n2 = 1.577079 ⋅104 ñ−1 (2.51⋅103 Ãö), Ω = 2π ñ−1,
κ1 = 12.56637 c−1, κ 2 = 11.780972 c−1. При указанных значениях
параметров ММГ λ1 = −0.0989, λ2 = 10.788. Амплитуды колебаний
координаты y равны: a1y = λ1 a1x , b2y = λ2b2x . На рис. 1.5 показаны кривые частот k1 (ζ) и k2 (ζ). Части кривых, соответствующие
¸ÍCY
sÅ
CY
¸Í



Рис. 1.4. Кривые зависимости амплитуд колебаний a1x и b2x
чувствительного элемента ММГ от расстройки частот z
24
LL
És
L
L



Рис. 1.5. Кривые зависимости частот колебаний k1 и k2
чувствительного элемента ММГ
от расстройки частот z
устойчивым режимам движения чувствительного элемента ММГ,
на рис. 1.4 и 1.5 изображены жирными линиями. Стрелками на рисунках показаны перескоки с одной амплитуды и частоты колебаний на другую при прямом и обратном изменениях ζ. При изменении ζ от нуля до ζ = ζ2 (значение ζ2 соответствует a1x k1 = 2b2x k2 )
чувствительный элемент совершает устойчивые гармонические колебания с частотой, близкой к частоте k2. При ζ = ζ2 происходит
скачок изменения частоты и при дальнейшем увеличении ζ чувствительный элемент совершает колебания с частотой, близкой
к частоте k1. При изменении ζ в обратном направлении скачок с
частоты k1 к частоте k2 происходит при ζ = ζ1 (значение ζ1 соответствует b2x k2 = 2a1x k1 ). Отмеченное явление носит название затягивания по частоте. При ζ1 < ζ < ζ2 в зависимости от начальных условий могут устанавливаться устойчивые колебания чувствительного элемента с частотой, близкой к k1 или k2. Существенно отметить,
что при колебаниях чувствительного элемента с частотой, близкой
к частоте k1 происходит резкое уменьшение амплитуды колебаний
a1y – выходного сигнала ММГ и такое же резкое падение крутизны
выходной характеристики прибора. Отмеченные явления характерны для микромеханических гироскопов, выполненных по иным
конструктивным схемам.
25
1.2. Система автогенерации
с управлением по обобщенной координате
В системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной координате управляющее
напряжение на обкладки электростатических датчиков силы подается в виде импульсов определенной длительности в моменты времени, когда равна нулю обобщенная координата. Система автогенерации содержит элемент (Hit crossing), срабатывающий в моменты
времени, когда равна нулю обобщенная координата [42]. Длительность импульса определяется содержащимся в системе формирователем. Исследование динамики системы автогенерации колебаний
выполняется применительно к ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента (RR-ММГ). Конструктивная схема чувствительного элемента изображена на рис. 1.6. Колебательная система
ММГ представляет собой кремниевую пластинку закрепленную на
упругих торсионах в рамке, которая, в свою очередь, соединена с
корпусом прибора упругими торсионами. На пластинке закреплена инерционная масса. Колебания пластинки вокруг оси x вращения рамки возбуждаются виброприводом, содержащим электростатические датчики силы. Неподвижные электроды датчика силы
напылены на изолирующее основание ММГ, а подвижные – напылены на кремниевую пластинку. Колебания чувствительного элемента относительно оси вращения рамки возбуждаются автогенераторной системой с управлением по углу поворота рамки вокруг
оси x вращения рамки. Ось чувствительности (z) ММГ ортогональна плоскости пластинки. При вращении корпуса прибора относительно оси чувствительности возбуждаются колебания пластинки
относительно оси y, амплитуда которых при идеальном выполнении конструкции прибора пропорциональна измеряемой угловой
скорости. Колебания пластинки относительно оси y преобразуются
в электрический сигнал емкостным датчиком перемещений. Чувствительный элемент ММГ заключен в вакууммированной корпус.
В приборе реализуется динамическая настройка, заключающаяся в
сближении собственных частот колебательной системы, формы которых соответствуют угловым колебаниям пластинки вокруг оси x
вращения рамки – оси возбуждения колебаний, и вокруг оси y – оси
измерения параметров колебаний. Динамическая настройка ММГ осуществляется контуром подстройки частот электростатическим
способом.
26
[
£ÇÉÈÌÊ¥¥œ
¡Æ¾ÉÏÁÇÆƹØŹÊʹ
Z
©¹Åù
Y
¬ÈÉ̼Á¾ËÇÉÊÁÇÆÔ
Рис. 1.6. Конструктивная схема ММГ с кардановым подвесом
чувствительного элемента (RR-ММГ)
Приведем дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ, предполагая, что прибор установлен на
основании совершающем вращение с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси чувствительности. С основанием ММГ свяжем
систему координат Oξηζ с началом в точке пересечения кардановых осей. Ось ξ направим вдоль оси вращения рамки – оси возбуждения колебаний чувствительного элемента, ось η – вдоль оси
вращения пластинки – оси измерения параметров колебаний чувствительного элемента; ось ζ дополняет систему координат Oξηζ
до правой ортогональной. С рамкой ММГ свяжем систему координат Ox1y1z1, направив ось x1 вдоль оси вращения рамки, ось y1 –
вдоль оси вращения пластинки. С пластинкой свяжем систему координат Oxyz; ось y направим вдоль оси вращения пластинки, ось
z – ортогональна плоскости пластинки. Положение пластинки относительно основания будем определять углами α – поворота пластинки вокруг оси ξ (x1 ) и β – поворота пластинки относительно
рамки вокруг оси y1. Обозначим через A1, B1, C1 – моменты инерции рамки относительно связанных с рамкой осей системы координат Ox1y1z1 и через A, B, C – моменты инерции пластинки вместе с инерционным элементом относительно осей Oxyz. Примем,
что основание прибора совершает вращение с угловой скоростью
Ω (Ω = const) относительно оси ξ . Составив далее выражение для
27
кинетической энергии колебательной системы ММГ и используя
уравнения Лагранжа второго рода, дифференциальные уравнения
движения чувствительного элемента ММГ, сохранив в них слагаемые не выше третьего порядка по отношению к α, β и их производным по времени, запишем в виде
••
•
•
•
••
••
A0 α + µ α α+ Mα (α) − C0 Ωβ = L(α, α) + ( A1 − C1 )( α β2 + 2 αββ),
••
•
•
•2
B1 β + µβ β+ Mβ (β) + C0 Ωα = −( A1 − C1 ) α β,
(1.2.1)
A0 = A + A1, C0 = A + B − C,
где Mα (α) = cα α + κ α′ α 3 (cα ,κ α′ = const) – момент сил упругости
подвеса относительно оси x вращения рамки; Mβ (β) = cββ + κ β′ β3
(cβ ,κ β′ = const) – момент сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот относительно оси y вращения пластинки, определяемый с учетом выражений вида (1.1.2),
•
(1.1.10); µ α , µβ – коэффициенты демпфирования. Момент L(α, α),
создаваемый системой автогенерации колебаний чувствительного
•
•
•
элемента ММГ определим выражением L(α, α) = S α δ(α), S α – величина момента импульса ударной силы, δ(α) – дельта-функция
Дирака ( δ(α) = 0 при α ≠ 0,
+0
∫−0 δ(α)dα = 1 ).
cβ
µβ
cα
µ
C Ω
, n22 =
, 2h1 = α , 2h2 =
, κ1 = 0 , κ 2 =
A0
B1
A0
B1
A0
µβ
2h1
C0 Ω
C0 Ω
, (µ << 1) и
, κ1 =
, κ2 =
, примем за малый параметр µ =
2=
n1
B1
A0
B1
перепишем уравнения (1.2.1) в виде:
Введем обозначения n12 =
•
•
•
••
 •

α − κ1 β+ n12 α = µn1 −α+ S0 α δ(α) + ρ1 (αβ2 + 2 αββ) − κ α α 3 ,


(1.2.2)
•


••
•
 h •
β + κ 2 α+ n22β = µn1 − 2 β− ρ2 α2 β − κ ββ3 ,
 h1


••
где κ α =
κ β′
κ α′
A − C1
A − C1
S
, κβ =
, S0 =
, ρ1 = 1
, ρ2 = 1
.
2h1 A0
2h1 B1
2h1 A0
2h1 A0
2h1 AB1
Решение уравнения (1.2.2) будем искать, используя, как и ранее, метод медленно меняющихся коэффициентов, в виде
28
α = a sin(k1t + ψ ) + b sin(k2t + ϑ),
β = λ1a cos(k1t + ψ ) + λ2b cos(k2t + ϑ),
(1.2.3)
где частоты k1 и k2 (k1<k2) являются корнями уравнения


k4 −  n12 + n22 + κ1κ 2 k2 + n12n22 = 0,


коэффициенты распределения λ1 и λ1 определяются формулами
λ1 =
−n12 + k12
κ 2k1
−n12 + k22
κ 2k2
=
<
0,
λ
=
=
> 0,
2
2
2
κ1k1
κ1k1
−n2 + k1
−n22 + k22
а переменные a, b, ψ, ϑ удовлетворяют системе уравнений, правые
2π
2π
:
части которых получены усреднением за периоды
и
k2
k1

•
 b
 •
b 
a2   b  a2  b 
a = µA  E  − ξ1a , b = µB 1 −  K   +
E  − ξ2 a , a > b;(1.2.4)


2
2


  a 

a
a 
b   a  b


 •
•
 a

a 
b2   a  b2  a 
a = µA 1 − 2  K   + 2 E  − ξ1a , b = µB  E  − ξ2b , (a < b); (1.2.5)










b

b 
b
b
a 
a



•
3
ψ =− µ
8
•
3
ϑ= µ
8

n1


κ α κ 2 (a2 + 2b2 ) + κ β κ1λ12  λ12a2 + 2λ22b2  ,


 2


λ1  k2 − k12  





κ α κ 2 (b2 + 2a2 ) + κ β κ1λ22  λ22 b2 + 2λ12 a2  ,


 2


λ1  k2 − k12  


n1
ξi =
A=
2κ 2 S0
π
2
(1.2.6)

π 
2κ h
1 + λ i 1 1 , i = 1, 2,
4S0 
κ 2 h2 
n1k1
 2
λ1  k1 − k22



> 0, B =
2κ 2 S0
π
2
n1k2
> 0,
 2

λ2  k2 − k12 


K(ζ), E(ζ) – полные эллиптические интегралы соответственно
первого и второго рода.
29
При усреднении правых частей уравнений (1.2.4)–(1.2.6) использовались выражения [10]:
2π 2π •
1
4π2
∫∫
0 0
=
1
αδ(α)cos ξ cos ηdξdη =
2k1
π
2
π/2
∫
0
∫∫
4π2
2π
∫
0
2π
dη∫ cos ξδ(α)dα =
0
2
b
2k  b 
1 −   sin2 ηdη = 1 E  ïðè a > b,
 a 
π2  a 
2π 2π •
4 π2 0 0
k1
αδ(α)cos ξdξdη =
2k1
π2
arcsin(a/b)
∫
0
 b 2
1 −   sin2 ηdη =
 a 
2k  a b   b  b  a 
= 1  −  K   + E  ïðè a < b,
π2  b a   a  a  b 
1
4π2
2π 2π •
∫ ∫ α δ(α)sin ξdξdη = 0,
0 0
(k1t + ψ = ξ, k2t + ϑ = η),
и т. д.
Система дифференциальных уравнений (1.2.4–1.2.6) движения
чувствительного элемента ММГ аналогична системе уравнений
(1.1.13)–(1.1.15). На этом основании ограничимся кратким изложением результатов исследования уравнений (1.2.4)–(1.2.6). Система
уравнений (1.2.4), (1.2.5) на плоскости ab в квадрате a ≥ 0, b ≥ 0
создает непрерывное поле направлений. Анализ уравнений (1.2.4),
(1.2.5) показывает, что число и характер особых точек системы – соξ
ξ
1
стояний равновесия, определяется отношением 1 . При 0 < 1 <
ξ2
ξ2 2
система (1.2.4), (1.2.5) имеет два состояния равновесия – устойчиE(0)
π
=
, b1=0 (особая точка
вое на оси a с координатами a1 =
ξ1
2ξ1
типа устойчивый узел) и неустойчивое на оси b – особая точка типа
седло. Состояние равновесия на оси a соответствует гармоническим
колебаниям чувствительного элемента ММГ с частотой, близкой
к k1. Поправка на частоту определяется из первого уравнения системы (1.2.6). Если параметры ММГ удовлетворяют неравенствам
ξ
2 < 1 < ∞ система (1.2.4), (1.2.5) имеет два состояния равновесия
ξ2
30
E(0)
π
=
ξ2
2ξ2
(особая точка типа устойчивый узел) и неустойчивое на оси a – особая точка типа седло. В этом случае чувствительный элемент ММГ совершает колебания с частотой близкой к k2. Поправка на частоту
1 ξ
определяется из второго уравнения системы (1.2.6). При < 1 < 2
2 ξ2
система имеет три состояния равновесия – два устойчивых на осях
a и b (узлы) и неустойчивое вне осей a и b (седло). Особая точка типа
седло, расположенная вне осей a и b, отвечает неустойчивому бигармоническому движению и представляет физический интерес в
связи с сепаратрисами, которые отделяют на плоскости ab области
устойчивых периодических движений, близких к гармоническим.
Картины интегральных кривых в рассматриваемом случае аналогичны изображенным на рис. 1.3.
Рассмотрим далее явления, происходящие при динамической
настройке прибора, заключающийся в сближении собственных
частот колебательной системы ММГ и осуществляемой изменением электростатической компоненты жесткости. В качестве
параметра, характеризующего изменением частоты n2, примем
n2
отношение ς = 22 . Амплитуды колебаний чувствительного элеn1
b
ξ 
π
π
мента ММГ a1α =
и b2α =
,  2α = 2  и частоты колеба2ξ1
2ξ2  a1α ξ1 
на осях: устойчивое на оси b с координатами a2=0, b2 =
ний k1 и k2 являются функциями ζ и выражаются формулами
4f0
(1.1.28), в которых отношение
, i = 1, 2 следует заменить отπki
2S0
ношением
. На рис. 1.7 приведены графики зависимостей амπ
плитуд колебаний a1α , b2α чувствительного элемента ММГ от ς
при следующих параметрах ММГ: n1 = 15707.9633 c−1 (2.5 êÃö),
C
C
n2 = 15770.7951 c−1 (2.51 êÃö), 0 = 0.75, 0 = 0.83, S0 = 5 ⋅10−2 ,
A0
B1
Ω = 2π c−1. При этих данных получаем λ1 = −0.0415, λ2 = 26.4948.
Амплитуды колебаний координаты β равны: a1β = λ1 a1α , a2β = λ2a2α .
a2β = λ2 a2α . На рис. 1.8 показаны кривые частот k1 (ς), k2 (ς). Части
кривых, соответствующие устойчивым режимам движения чувствительного элемента ММГ, на рис. 1.7, 1.8 выделены жирными
линиями. Стрелками на рисунках показаны перескоки с одной ам31
¸C¼É¹½
¸
C



Рис. 1.7. Кривые зависимости амплитуд колебаний a1a и b2a
чувствительного элемента от расстройки частот z
плитуды и частоты колебаний на другую при прямом и обратном
изменениях ς. При изменении ς от нуля до ς = ς2 (значение ς2 соb
1
ответствует отношению 2α = ) чувствительный элемент ММГ соa1α 2
вершает устойчивые гармонические колебания с частотой, близкой
к частоте k2. При ς = ς2 происходит скачок изменения частоты и
при дальнейшем увеличении ς чувствительный элемент совершаLL
Ês
L
L
  
Рис. 1.8. Кривые зависимости частот колебаний k1 и k2
чувствительного элемента от расстройки частот z
32
ет колебания с частотой, близкой к частоте k1. При изменении ς
в обратном направлении скачок с частоты k1 к частоте k2 происb
ходит при ς = ς1 (значение ς1 соответствует отношению 2α = 2).
a1α
Таким образом, явление затягивания по частоте, выявленное в
динамике системы автогенерации колебаний чувствительного элемента ММГ с управлением по обобщенной скорости, наблюдается
и в динамике системы автогенерации колебаний чувствительного
элемента с управлением по обобщенной координате. При ς1 < ς < ς2
в зависимости от начальных условий могут устанавливаться
устойчивые колебания чувствительного элемента с частотами,
близкими к k1или k2. При принятых значениях параметров ММГ λ1 << λ2 ; при колебаниях чувствительного элемента с частотой,
близкой к частоте k1, происходит резкое уменьшение амплитуды
колебаний a1β по сравнению с b2β и такое же резкое падение крутизны выходной характеристики прибора. Рассмотренные явления следует учитывать при проектировании микромеханических гироскопов.
1.3. Динамика системы автогенерации
колебаний чувствительных элементов ММГ
при вибрациях основания
Исследуем динамику системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ с управлением по обобщенной скорости в условиях вибрационных воздействий, вызванных колебаниями основания. Примем, что корпус ММГ, конструктивная
схема которого изображена на рис. 1.1 установлен на основании,
совершающем поступательные гармонические колебания вдоль
оси x по закону x = ξm sin νt. Будем считать, что зависимость силы
упругости подвеса чувствительного элемента от перемещения определяется выражением fx (x) = cx x + κ x′ x3 , где cx и κ x′ – постоянные
•
коэффициенты. Функцию F (x), описывающую силу, создаваемую
электростатическим виброприводом системы автогенерации коле•
•
баний ММГ, представим в виде F (x) = F0 sign x . Первое уравнение
системы дифференциальных уравнений (1.1.1) движения чувствительного элемента ММГ принимает вид
33
••
•
•
•
m x + µ x x+ cx + κ x′ x3 = F0 sign x− m V 0x (t),
•
V 0x (t) = −ξm ν2 sin(νt).
(1.3.1)
Введем обозначения
µx
c
κ′
F
, k2 = x , κ x = x , f0′ = 0
m
m
m
m
и перепишем уравнение (1.3.1) в виде
2h =
••
•
•
x + k2 x = −2h x+ f0′ ⋅ sign(x) − κ x x3 + ξmv2 sin(vt). (1.3.2)
Рассмотрим движение чувствительного элемента ММГ при значениях частоты колебаний основания близкой к «резонансу», т. е.
будем считать, что
k2 − ν2
<< 1.
ν2
2h
Вводя безразмерное время τ = vt, малый параметр µ =
v
(µ << 1), расстройку частот ς в соответствии с выражением
k2
v2
= 1 − µς, перепишем уравнение (1.3.2) в виде
d2 x
 dx

 dx 
−
  + ξ0 sin(τ) − κx3 , (1.3.3)
+
x
=
µ
+
ς
x
+
f
sign


0
 dτ 
 dτ

dτ 2
ξ v
κ
f′
где f0 = 0 , ξ0 = m , κ = x .
2hv
2hv
2h
Отметим, что к уравнениям вида (1.3.3) приводит исследование
влияния вибрационных воздействий на динамику систем автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ, выполненных
по иным конструктивным схемам: роторного ММГ и ММГ с кардановым подвесом инерционной массы (RR-ММГ), камертонного
ММГ (LR-ММГ).
Решение уравнения (1.3.3) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов, в виде
•
x = a cos(τ + ψ ), x = −a sin(τ + ψ ), (1.3.4)
где a и ψ медленно меняющиеся функции времени (τ), удовлетворяющие системе уравнений, правые части которых получены
усреднением за период 2π
34
4ff0 
µ 
da
4
µ
da
=
=−
− a
+ ξξ00 cos(
− 0 ,, ψ )) −
a+
cos(ψ
τ
π
d
2

π 
dτ
2


ψ
µ
d
3
=−
− µ ζζa
− ξξ0 sin(
ψ )) −
− 3κ
κa
a dψ =
a−
a33 .. sin(ψ
a
0


dττ
2 
4
d
2
4
(1.3.5)
Особые точки (состояния равновесия) системы (1.3.5) находятся
из уравнений

4f 
P(a, ψ ) ≡ −a + ξ0 cos(ψ ) − 0  = 0,

π 


3
aQ(a, ψ ) ≡ −ζa − ξ0 sin(ψ ) − κa3  = 0.


4
(1.3.6)
2

2 
4f 
3
a2 ζ − κa2  + a − 0  = ξ20 . 
 
π 
4
(1.3.7)
Исключая ψ из уравнений (1.3.6), получим уравнение резонансной кривой
Из уравнения (1.3.7) определяются значения a, соответствующие особым точкам системы (1.3.5). Тип особых точек (a0 , ψ 0 ) и
характер состояний равновесия системы (1.3.5) определяется знаками величин
4f
p ≡ −  Pa′ (a0 , ψ 0 ) + Qψ′ (a0 , ψ 0 ) = 2 − 0 ,


πa
q ≡  Pa′ (a0 , ψ 0 )Qψ′ (a0 , ψ 0 ) − Pψ′ (a0 , ψ 0 )Qa′ (a0 , ψ 0 ) =



4f0 
3 2 
9
2
= 1−
+ ζ − κa ζ − κa ,


πa 
4
4
δ ≡ p2 − 4q =
(1.3.8)
4f02



3
9
− ζ − κa2 ζ − κa2 .





4
4
π a
2 2
При q < 0 особые точки системы (1.3.5) являются особыми точками типа седло, состояния равновесия неустойчивы. При q > 0,
p > 0 состояния равновесия устойчивы, при q > 0, p < 0 состояния
равновесия неустойчивы. Если при этом δ > 0, состояния равновесия – узлы, при δ < 0 – фокусы.
На рис. 1.9 и 1.10 показаны диаграммы характера особых точек системы (1.3.5), построенные на плоскости aζ соответственно для κ = 0
и κ ≠ 0. Приняты значения параметров ММГ, соответствующие параметрам реальной конструкции: f0 = 0.2 ⋅10−4 ì, κ = 0.1⋅1010 ì–2 .
35
На плоскости aζ кривая q = 0 определяет область неустойчивых состояний равновесия (седел). При q > 0 линия p = 0 отделяет
устойчивые состояния равновесия ( p > 0) от неустойчивых ( p < 0).
Граница между фокусами и узлами определяется уравнением
δ = 0. При κ = 0 (рис. 1.9) кривая q = 0 пересекает ось a (ζ = 0)
4f
при a = 0 . Кривая q = 0 при κ = 0 пересекает прямую p = 0 при
π
ζ = ±1. Кривая δ = 0 в этом случае пересекает прямую p = 0 в точках ее пересечения с кривой q = 0.
На рис. 1.9 и 1.10 приведены резонансные кривые при κ = 0 и
κ ≠ 0, построенные при различных значениях ξ0 . При ξ0 = 0 (основание ММГ не совершает колебания) резонансная кривая стягива4f
12 2
ется в точку с координатами ς =
κf , a = 0 . В точках пересече2 0
π
π
ния с кривой
3
(1.3.9)
ς − κa2 = 0 4
BsÅ

sÅ
sÅ
sÅ
QR
Q
R
R 
 
sss

Рис. 1.9. Диаграмма характера особых точек и резонансные кривые
чувствительного элемента ММГ при линейной зависимости
сил упругости от перемещения (k=0)
36
BsÅ

sÅ
sÅ
sÅ
QR

Q
R
R 


ss

Рис. 1.10. Диаграмма характера особых точек и резонансные кривые
чувствительного элемента ММГ при нелинейной зависимости
сил упругости от перемещения (k≠0)
касательная к интегральной кривой параллельна оси a. Пересечение резонансных кривых с прямой p = 0 происходит при
f2
ξ2 π 2
ς1,2 = −3κ 02 ± 0 2 −1. 4f0
π
(1.3.10)
Резонансные кривые пересекают прямую p = 0 только при
2f
ξ0 > 0 . При κ = 0, резонансные кривые пересекают кривую q = 0
π
при
ς1,2 = ±
ξ0
 4f0 2

− ξ20
 π 
(1.3.11)
В этом случае резонансная кривая пересекает кривую q = 0
4f
только при ξ0 < 0 . При κ = 0 через точки с координатами
π
37
a=
2f0
π
и ζ = ±1 проходит резонансная кривая, для которой
f f
ξ0ξ=
= 22 20 .0 . При κ = 0 резонансные кривые симметричны от02
π π
носительно оси a (рис. 1.9); при κ ≠ 0 симметрия нарушается
(рис. 1.10). Части резонансных кривых, соответствующие устойчивым состояниям равновесия и, следовательно, периодическим
колебаниям чувствительного элемента ММГ с частотой колебаний основания, расположены над кривой q = 0 и прямой p = 0.
В этом случае осуществляется принудительная синхронизация колебаний чувствительного элемента ММГ (захватывание).
При κ = 0 захватывание имеет место для ζ, удовлетворяющих неравенствам:
−
ξ0
2
 4f0 

− ξ20
 π 
−
ξ20 π2
4f02
<ς <
−1 < ς <
ξ0
2


 4f0  − ξ20
 π 
ξ20 π2
4f02
f
, ξ0 < 2 2 0 ,
π
f
−1, ξ0 > 2 2 0 .
π
При κ ≠ 0 интервал расстройки частот, при которых имеет место
захватывание, устанавливается на основании численных расчетов.
При ξ0 = 1.5 ⋅10−5 захватывание осуществляется при ς1 < ς < ς2
(рис. 1.10).
Докажем теперь возможность биений в рассматриваемой механической системе. Для этого требуется доказать существование
устойчивого предельного цикла. Перейдем к координатам u, v в соответствии с выражениями
u = a cos ψ, v = a sin ψ.
Уравнения (1.3.5) в координатах u, v принимают вид


4f

µ
3 
µ
du
u
=− u + ξ0 − 0
−ςv + κv u2 +v2  =− P(u,v),

π u2 +v2
dτ
2
4 
2


(1.3.12)


4f0

µ
µ
dv
v
3  2
=− v + ςu −
− κu u +v2  =− Q(u,v).

π u2 +v2 4 
dτ
2
2


38
Для доказательства существования и единственности предельного цикла, а также для установления границ расположения цикла
используем метод кривой контактов и теорему Пуанкаре–Дюляка
[2]. В качестве топографической системы в рассматриваемой задаче
примем семейство окружностей u2 + v2 = c2 . Кривая контактов на
плоскости uv будет определяться уравнением
v
− =
u
u + ξ0 −
4f0
π
u

3 
− ςv + κv  u2 + v2 

4 
u2 + v2

4f
v
3 
− κu u2 + v2 
v + ςu − 0


2
2
4
π u +v
.
(1.3.13)
Уравнение (1.3.13) переписывается в виде
u2 + v2 −
4f0
u2 + v2 + ξ0u = 0. π
(1.3.14)
В координатах a, ψ уравнение (1.3.14) принимает вид
a−
4f0
− ξ0 cos ψ = 0. π
(1.3.15)
Таким образом, радиусы крайних окружностей, касающихся
кривой контактов:
R1 =
Определим знак
4f0
− ξ0
π


ξ0 < 4f0 ; R2 = 4f0 + ξ0 . 
π 
π
(1.3.16)
dc
на кривых a = R1 и a = R2 :
dt


4f
dc
du
dv
= 2u
+ 2v
= −2u2 + v2 + ξ0u − 0 u2 + v2 . (1.3.17)



dτ
dτ
dτ
π
В координатах a, ψ

4f 
dc
= −2aa + ξ0 sin ψ − 0  
dτ
π 
(1.3.18)
и, следовательно,
 dc 
 
= 2R1ξ0 (1 − cos ψ ) ≥ 0,
 dτ 
a= R
1
 dc 
 
= −2R2 ξ0 (1 + cos ψ ) ≤ 0.
 dτ 
a= R
(1.3.19)
2
39
Таким образом, траектории системы (1.3.12) с возрастанием τ

4f 
через обе граничные кривые ïðè ξ0 < 0  входят внутрь кольце
π 
вой области. Сформулируем теорему Пуанкаре–Дюляка: Пусть
дана система
du
dv
= P(u,v),
= Q(u,v),
dt
dt
где P(u,v), Q(u,v) предполагаются однозначными и имеющими производные, и пусть F(u,v) – некоторая однозначная и дифференцируемая функция. Тогда, если
B(u,v) =
∂
∂
(PF) + (QF)
∂u
∂v
не меняет знака в некоторой кольцевой области D, то имеется самое
большее один предельный цикл внутри D.
Положим F(u,v) = 1. Тогда
B(u,v) =
4f
∂P ∂Q
+
= 2− 0
∂u ∂v
π
1
2
u + v2
(1.3.20)
или
B(u,v) = 2 −
4f0
.
πa
(1.3.21)
4f0
функция B(u,v) внутри кольца между крайними
π
кругами топографической системы знака не меняет, так как кри4f
вая 2 − 0 = 0 в этом случае лежит внутри меньшего круга топограπa
фической системы (рис. 1.11). Следовательно, в кольцевой области
между крайними кругами топографической системы при ς < ς1 или
ς > ς2 имеется один предельный цикл.
2f
4f
При 0 < ξ0 < 0 также существует предельный цикл, так как
π
π
все траектории выходят из точки u = 0, v = 0, бесконечность неустойчива и при ς < ς1 или ς > ς2 особых точек, кроме u = 0, v = 0,
нет.
На рис. 1.12 показаны качественные картины интегральных
кривых на плоскости uv при κ = 0 и κ ≠ 0. Предельные циклы
При ξ0 <
40
W
B3
B3
À
a
£ÉÁ»¹ØÃÇÆ˹ÃËÇ»
2f

Рис. 1.11. Кривая контактов и кривые топографической системы
¬À¾Ä
W
­ÇÃÌÊ
W
V
V
ª¾½ÄÇ

W

W
V

¨É¾½¾ÄÕÆÔÂ
ÏÁÃÄ
V

Рис. 1.12. Картины интегральных кривых
на плоскости uv соответствуют режимам биений чувствительного
элемента ММГ.
Таким образом, в зависимости от параметров ММГ и параметров
колебаний основания устанавливается режим колебаний чувстви41
тельного элемента с частотой вибрации основания (принудительная
синхронизация) или режим биений – бигармонические колебания
чувствительного элемента ММГ с двумя частотами, одна из которых – частота колебаний основания, а другая – частота, близкая к
частоте автоколебаний системы.
42
2. Влияние нелинейных факторов
на динамику и точность
микромеханических гироскопов
2.1. Влияние нелинейностей упругих подвесов
и электростатических сил на динамику
и выходные характеристики гироскопов
Рассмотрим конструкцию вибрационного ММГ с поступательными движениями чувствительного элемента (рис. 1.1). Примем, что
корпус ММГ установлен на основании, совершающем вращение с
постоянной угловой скоростью ω z = Ω относительно оси чувствительности прибора. Как и в параграфе 1.1, электростатические силы
контура подстройки частот колебательной системы ММГ определим
выражением (1.1.2), а характеристику зависимости сил упругости
подвеса от перемещений чувствительного элемента аппроксимируем
выражениями (1.1.3). Дифференциальные уравнения (1.1.9) движения чувствительного элемента ММГ запишем в виде
••
•
•
m x + µ x x+ cx x − 2mΩ y = F − κ x′ x3 ,
••
•
(2.1.1)
•
3
(m + m1 ) y + µ y y+ cy y + 2mΩ x = E(∆ + y) − E(∆ − y) − κ y′ y ,
где F = F0 sin ωt при возбуждении первичных колебаний чувстви•
тельного элемента ММГ от внешнего генератора и F = F0 sign x при
использовании системы автогенрации с управлением по обобщенной скорости.
Рассмотрим сначала динамику чувствительного элемента ММГ,
колебания которого возбуждаются от внешнего генератора. Дифференциальные уравнения движения (2.1.1) чувствительного элемента ММГ в этом случае приводятся к виду
••
•
•
x + 2hx x+ nx2 x − κ1′ y = f0′ sin ωt − κ x′′ x3 ,
••
•
•
y + 2hy y+ ny2 y + κ 2′ x = −κ y′′ y3 ,
(2.1.2)
µy
cy
µx
c
F
κ′
, nx2 = x , 2hy =
, ny2 =
, f0′ = 0 , κ x′′ = x ,
m
m
m
m
m + m1
m + m1
κ y′
m
κ y′′ =
2Ω.
κ1′ = 2Ω, κ 2′ =
m + m1
m + m1
где 2hx =
43
2hx
ω
(µ << 1). Учитывая, что параметры конструкции ММГ выбираются
так, чтобы парциальные частоты nx и ny отличались незначительно, а частота вибровозбуждения ω была близка к nx, введем расстройки частот в соответствии с выражениями
Введем безразмерное время τ = ωt, малый параметр µ =
nx2
ω2
= 1 − µζ1,
ny2
ω2
= 1 − µζ2 (2.1.3)
и перепишем уравнения (2.1.2) в виде
d2 x
 dx

dy
+ x = µ −
+ f0 sin τ + ζ1x + κ1
− κ x x3 ,

 dτ

dτ
dτ
2


h
d y
dy
dx
y

3
+ y = µ −
+ ζ2 y − κ 2
− κ y y ,

 hx dτ
dτ
dτ 2
2
(2.1.4)
κ y′′
f0′
κ′
κ′
κ ′′
.
, κ1 = 1 , κ 2 = 2 , κ x = x , κ y =
2hx ω
2hx ω
2hx ω
2hx
2hx
Решения уравнений (2.1.4) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов [15], в виде
где f0 =
dx
= a cos(τ + ψ ),
dτ
dx
= a cos(τ + ϑ),
y = b sin(τ + ϑ),
dτ
x = a sin(τ + ψ ),
(2.1.5)
где a(τ), ψ (τ), b(τ) и ϑ(τ) – медленно меняющиеся функции τ, удовлетворяющие системе уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за период 2π:
44
da µ
= [−a + κ1b cos(ϑ − ψ ) − f0 sin ψ ],
dτ 2

dϕ µ 
3
= −ζ1a + κ1b sin(ϑ − ψ ) − f0 cos ψ + κ x a3  ,
a

dτ 2 
4

db µ  hy
= − b − κ 2 a cos(ϑ − ψ ) ,
dτ 2  hx


dϑ µ 
3
= −ζ2 b − κ 2 a sin(ϑ − ψ) + κ y b3  .
b


dτ 2 
4
(2.1.6)
Приравнивая правые части уравнений (2.1.6) нулю и исключая
из полученных уравнений тригонометрические функции, получим
уравнения резонансных кривых
 h 2

 y

2 
3
b2   +−ζ2 + κ y b2   = κ 22 a2 ,

 
4

 hx  

2

2
a2 + κ1 hy b2  +−ζ + 3 κ a2 a2 + κ1 b2 −ζ + 3 κ b2  = f 2a2 . (2.1.7)


x
y
1
2
0





κ 2 hx  
κ 2 
4
4
Уравнения (2.1.7) определяют параметры стационарных движений чувствительного элемента ММГ. Для исследования устойчивости стационарных движений используем критерий Рауса–Гурвица.
Уравнение в вариациях, соответствующее системе (2.1.6), представим в виде
dX
= PX, P = pij , (i, j = 1,4), dτ1
(2.1.8)
µτ
T
; X = ∆a, ∆ψ, ∆b, ∆ϑ , ∆a = a − a*, ∆ψ = ψ − ψ*, ∆b = b − b*, ∆ϑ = ϑ − ϑ
2
∆b = b − b*, ∆ϑ = ϑ − ϑ*; Т – символ транспонирования; a*, ϑ *, b*, ψ* – значения a, ψ, b и ϑ в исследуемом стационарном движении. Элементы
pij , (i, j = 1,4) матрицы P определяются выражениями:
где τ1 =
p31 = −κ 2 cos(ϑ − ψ ),
p32 = −κ 2a sin(ϑ − ψ ),
hy
p13 = κ1 cos(ϑ − ψ ),
p33 = − ,
hx
p14 = −κ1b sin(ϑ − ψ ),
p34 = κ 2a sin(ϑ − ψ ),

1
1
9
p41 = − κ 2 sin(ϑ − ψ ),
p21 = −ζ1 + κ x a2 ,


b
a
4
1
1
p22 = (−κ1b cos(ϑ − ψ ) + f0 sin ψ ), p42 = κ 2a cos(ϑ − ψ ),
b
a

1
1 
9
p23 = κ1 sin(ϑ − ψ ),
p43 = −ζ2 + κ y b2 ,

a
b 
4
p11 = −1,
p12 = κ1b sin(ϑ − ψ ) − f0 cos ψ,
1
p24 = κ1b cos(ϑ − ψ ),
a
1
p44 = − κ 2a cos(ϑ − ψ ).
b
45
Элементы pij , (i, j = 1,4) матрицы P вычисляются при a = a* ,
ψ = ψ * , b = b* , ϑ = ϑ* . Характеристическое уравнение системы
(2.1.8) представим в виде
4
det(λE − P) = λ 4 + ∑ dj λ 4−j . (2.1.9)
j=1
В соответствии с теоремой Гурвица условия асимптотической
устойчивости стационарного движения a=a*, ψ=ψ*, b=b*, ϑ = ϑ*
будут
(2.1.10)
dj > 0, d1 (d2d3 − d1d4 ) − d0d32 > 0. Исследование влияния нелинейной зависимости сил упругости
подвеса на динамику чувствительного элемента ММГ с возбуждением колебаний чувствительного элемента автогенераторной схе•
•
мой с управлением по обобщенной скорости (F (x) = F0 sign x) при
вращении основания прибора относительно оси чувствительности с
угловой скоростью ω z = Ω, Ω = const приводит к следующим дифференциальным уравнениям:
••
•
•
•
x + 2hx x+ nx2 x − κ1′ y = f0 sign x− κ x′′ x3 ,
••
•
•
(2.1.11)
y + 2hy y+ ny2 y + κ 2′ x = −κ y′′ y3 .
Коэффициенты уравнений (2.1.11) определяются выражениями,
аналогичными формулам для коэффициентов уравнений (2.1.2).
2h
Введем безразмерное время τ = nx t, малый параметр µ = x ,
nx
(µ << 1). Как отмечалось ранее, параметры конструкции ММГ выбираются так, чтобы парциальные частоты nx и ny отличались незначительно. Учитывая близость частот nx и ny, введем расстройку
частот в соответствии с выражением
ny2
= 1 − µζ (2.1.12)
nx2
и перепишем уравнения (2.1.11) в виде
d2 x
46
 dx

dx
dy
+ x = µ −
+ f0 sign
+ κ1
− κ x x3 ,

 dτ

dτ
dτ
dτ
2


h
d y
dx
y

3
+ y = µ − + ζy − κ 2
− κ y y ,

 hx
dτ
dτ 2
2
(2.1.13)
где
κy =
f0 =
F0
,
2hxmnx
κ y′′
κ1 =
2Ω
,
2hx
κ2 =
2Ωm
,
2hx (m + m1 )
κx =
κ x′′
,
2hxmnx
.
2hx (m + m1 )nx
Как и в предыдущем случае, решение уравнений (2.1.13) будем
находить, используя метод медленно меняющихся коэффициентов
в виде (2.1.5), где a(τ), ϕ(τ), b(τ), ϑ(τ) удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за период 2π:

4f  db µ  hy
da µ 
= −a + κ1b cos(ϑ − ψ ) + 0 ,
= − b −κ 2 a cos(ϑ − ψ ),
π  dτ 2  hx
dτ 2 
 (2.1.14)


h
 db µ
3
dψ µ 
y
= κ1b sin(ϑ − ψ ) + κ x a3 ,
= − b −κ 2a cos(ϑ − ψ ).
a
 dτ 2  hx
4
dτ 2 

Аналогично предыдущему, приравнивая правые части уравнений (2.1.14) нулю и исключая из полученных уравнений тригонометрические функции, получим уравнения резонансных кривых
2
2

4f0   3
3
2 2
 +  κ x a  = κ1 b ,
a −


π  4
 2


2 
3
2  hy 
2
2
2
b   + −ζ + κ y b   = κ 2a .
 
4
 h  
 x

(2.1.15)
Уравнения (2.1.15) определяют параметры стационарных движений чувствительного элемента ММГ. Исследование устойчивости стационарных движений, как и ранее, производится с использованием критерия Рауса–Гурвица. Уравнение в вариациях
записывается в виде (2.1.8). Элементы p12, p21, p22 и p43 матрицы P
определяются выражениями
b
p12 = κ1b sin(ϑ − ψ ), p22 = −κ1 cos(ϑ − ψ ),
a
b
9
p21 = κ x a, p43 = −κ1 cos(ϑ − ψ ).
a
4
(2.1.16)
Формулы для остальных элементов матрицы P совпадают с выражениями для элементов pij, входящих в уравнение (2.1.8). Отметим, что элементы матрицы P вычисляются при a = a* , ψ = ψ * ,
47
b = b* , ϑ = ϑ* . Условия асимптотической устойчивости стационар-
ных движений чувствительного элемента ММГ в соответствии с
теоремой Гурвица записываются в виде (2.1.10).
Приведем числовой пример. Примем следующие, близкие к реальным, значения параметров ММГ с возбуждением колебаний чувствительного элемента автогенераторной схемой: nx = 5π ⋅103 c−1,
2hx = 1.92 c−1, κ x = 0.385 ⋅1012 ì−2 , κ y = 0.539 ⋅1012 ì−2 , κ1 = 6.55,
κ 2 = 4.68, f0 = 1⋅10−5 ì. На рис. 2.1 приведены резонансные криhy
вые a(ζ) и b(ζ) при значении отношения
= 2,5. Расчеты выполhx
нены в системе MathCad 2000 Professional в соответствии с выражениями (2.1.15). Устойчивые ветви резонансных кривых изображены сплошными линиями, неустойчивые ветви – пунктирными.
При линейной зависимости сил упругости подвеса от перемещений
чувствительного элемента (κ x ,κ y = 0) резонансные кривые симметричны относительно оси ординат. Если характеристика сил упругости нелинейна (κ x ,κ y ≠ 0), симметрия нарушается. При нелинейной зависимости сил упругости от перемещений чувствительного
элемента при одном и том же значении расстройки частот ζ могут
существовать два устойчивых режима стационарного движения с
различными амплитудами. В этом случае следует учитывать возможность возникновения любого из этих режимов движений.
Исследование влияния нелинейной зависимости сил упругости
подвеса чувствительного элемента на динамику системы вибровоз¸
¸sÅ
¹
CsÅ


Рис. 2.1. Резонансные кривые a(z) и b(z)
48
буждения первичных колебаний ММГ на неподвижном основании
приводит к следующему дифференциальному уравнению
••
•
x + 2hx x+ k2 x = −κx3 + f0′ sin ωt, k2 =
(2.1.17)
cx
µ
κ′
F
, 2hx = x , κ ′ = x , f0′ = 0 ,
m
m
m
m
где, как и ранее, m – масса чувствительного элемента, cx и κ x′ – коэффициенты линейной и нелинейной составляющих сил упругости
подвеса (G (x) = cx + κ x′ x3 ), µ x – коэффициент демпфирования, F0 и
ω – амплитуда и частота вынуждающей силы, создаваемой виброприводом ММГ.
Уравнение с кубической нелинейностью позиционных сил исследованы [6, 15, 16, 88]. Поэтому ограничимся кратким изложением результатов исследования влияния нелинейностей упругого
подвеса на динамику чувствительных элементов и выходные характеристики ММГ и числовыми расчетами, иллюстрирующими
нелинейные явления в динамике ММГ.
При проектировании параметры ММГ выбираются так, чтобы
частота вибровозбуждения была близка к частоте собственных ко
c 
лебаний ω ≈ x  чувствительного элемента на упругом подвесе.

m 
2h
Вводя безразмерное время τ = ωt, малый параметр µ = x , (µ << 1)
nx
k2
и расстройку частот в соответствии с выражением
= 1 − µζ, переω2
пишем уравнение (2.1.17) в виде
d2 x
 dx

+ x = µ −
+ ζx − κx3 + f0 sin τ,

 dτ

dτ
′
′
f
κ
κ=
, f0 = 0 .
2hx ω
2hx ω
2
(2.1.18)
Решение уравнения (2.1.18) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов, в виде
•
x = a sin(τ + ψ ), x = a cos(τ + ψ ), (2.1.19)
где a(τ) и ψ (τ) – медленно меняющиеся функции τ, удовлетворяющие системе уравнений:
49
µ
µ
da
= − (a + f0 cos ψ ) = P(a, ψ ),
dτ
2
2
dψ µ
3 3 µ
= (ζa + f0 sin ψ − κρ = Q(a, ψ ).
a
dτ 2
4
2
(2.1.20)
Особые точки системы уравнений (2.1.20) соответствуют периодическому движению чувствительного элемента ММГ с частотой
вибровозбуждения ω. Приравняв правые части уравнений (2.1.20)
нулю и исключив из полученных уравнений ψ, придем к уравнению резонансной кривой
 
2 
3
a2 1 + ζ − κa2   = f02 .  
4
 

(2.1.21)
Определяемые уравнением (2.1.21) значения a соответствуют
состояниям равновесия системы (2.1.20) и периодическим движениям чувствительного элемента ММГ. Характер состояний равновесия системы (2.1.20) определяется выражениями
p ≡ −(Pa′ + Qψ′ ) = 2 > 0,
q ≡1+
27 2 4
κ a − 3κa2ζ + ζ2 . 16
(2.1.22)
Так как p>0, состояния равновесия системы (2.1.20) и периодические движения чувствительного элемента ММГ устойчивы при q>0
и неустойчивы при q<0. Отметим, что резонансные кривые a(ζ) пе4
ресекают кривую a2 = ζ, имея касательную, параллельную оси
3k
ζ; кривую q=0 резонансные кривые пересекают, имея касательную,
параллельную оси a. На рис. 2.2 приведены результаты числового
расчета в системе MathCad 2000 Professional и представлен вид резонансной кривой a(ζ) колебаний чувствительного элемента ММГ по оси возбуждения первичных колебаний. Приняты следующие
значения параметров прибора: κ = 0,385 ⋅1012 ì−2 , f0 = 1⋅10−5 ì.
Область неустойчивости (q<0) на рис. 2.2 выделена штриховкой. Части резонансной кривой, расположенные в области q>0 соответствуют устойчивому состоянию равновесия системы (2.1.20) и, следовательно, устойчивым периодическим движениям чувствительного
элемента с частотой вибровозбуждения ω. Части резонансной кривой, расположенные в области q<0, соответствуют неустойчивому
состоянию равновесия системы (2.1.20). При изменении ζ от отри50
¸sÅ
R
2
 
3
 
a2  1     a2    f02  
4
 

R
R
1
27 2 4
 a  3a2   2  0
16

ss
 
Рис. 2.2. Резонансная кривая a(z) и область устойчивости колебаний
чувствительного элемента ММГ
цательных значений до значения ζ1 чувствительный элемент ММГ совершает периодическое движение с частотой вибровозбуждения
и амплитудой, соответствующей верхней части резонансной кривой. При ζ = ζ1 происходит скачкообразное изменение амплитуды и
чувствительный элемент при дальнейщем увеличении ζ совершает
движение с амплитудой, соответствующей нижней части резонансной кривой. При обратном изменении ζ скачкообразное движение
чувствительного элемента происходит при ζ = ζ2 и при дальнейшем уменьшении ζ движение чувствительного элемента происходит с амплитудой, соответствующей верхней части резонансной кривой.
В конструкциях ММГ с целью повышения точности осуществляется вибровозбуждение и стабилизация параметров первичных
колебаний чувствительных элементов. Если в конструкции ММГ применена система стабилизации параметров первичных колебаний и координата x чувствительного элемента ММГ, конструктивная схема которого приведена на рис. 1.1, изменяется по гармоническому закону (x = ax cos ωt), исследование влияния нелинейной зависимости сил упругости подвеса и электростатических
сил контура подстройки частот на вторичные колебания чувствительного элемента и выходную характеристику прибора приводит к уравнению
51
••
•
(m +m1 ) y + µ y y+ cy y = 2max ωΩ sin ωt −κ y′ y3 + E(∆ + y) − E(∆ − y),(2.1.23)
где m – масса чувствительного элемента, cy и κ y′ – коэффициенты линейной и нелинейной составляющих сил упругости подвеса
(G (y) = cy y + κ y′ y3 ), µ y – коэффициент демпфирования, E(∆ ± y) –
электростатические силы датчика силы контура подстройки частот
колебательной системы ММГ, определяемые выражением (1.1.2).
Учитывая, что параметры конструкции ММГ удовлетворяют услоy
вию
< 1, как и в параграфе 1.1, разложим функции E(∆ ± y) в
∆
степенные ряды и ограничимся слагаемыми не выше третьего поy
4e 
1
рядка по отношению к . Введем обозначения k2 = cy − 0 ,

∆
m
∆3 
µy
8e0 
1 
2h =
, f0′ = 2ax ωΩ, κ ′′ = κ y′ −
 и представим уравнение
m
m 
∆5 
(2.1.23) в виде
••
•
y + k2 y = −2h y+ f0′ sin ωt − κ ′′y3 . (2.1.24)
Параметры ММГ выбираются так, что частота вибровозбуждения ω близка к резонансной частоте k. Вводя безразмерное время
2h
, (µ << 1), расстройку частот в соотτ = ωt, малый параметр µ =
ω
k2
ветствии с выражением
= 1 − µζ, перепишем уравнение (2.1.24)
ω2
в виде
d2 y
 dy

f′
κ ′′
. (2.1.25)
+ y = µ −
+ ζy + f0 sin τ − κy3 , f0 = 0 , κ =

 dτ

2hω
2hω
dτ
Уравнение (2.1.25) отличается лишь обозначением переменной
от уравнения (2.1.18). Применяя, как и при решении уравнения
(2.1.18), метод медленно меняющихся коэффициентов и находя решение уравнения (2.1.25) в виде
dy
y = b sin(τ + ϑ),
= b cos(τ + ϑ), (2.1.26)
dτ
2
придем к уравнению резонансных кривых, аналогичному уравнению (2.1.21)


2 
3
(2.1.27)
b2 1 + ζ − κb2   = f02 . 
 
4


Уравнение (2.1.27) может быть записано в виде
52
2


3 κb2 
2h2z2 
ω
b k z −1 −
 = (f0′ )2 , z = .  +
2
2

4 k 
k
k 


2 4  2
(2.1.28)
Определяемые уравнением (2.1.28) значения b соответствуют
периодическим движениям чувствительного элемента ММГ с частотой ω. Периодические движения чувствительного элемента
устойчивы при

h2
3 κ 2 
9 κ 2 
q ≡ 1 − z2 +
b 1 − z2 +
b  + 4 z2 > 0 (2.1.29)

4 k2 
4 k2 
k2
и неустойчивы при q<0.
Резонансные кривые на плоскости (bz) пересекают кривую

3 κ 2 2h2 
− 2ax2 Ω2 = 0, b2 k2 1 − z2 −
b +
2 
4 k2

k 
(2.1.30)
имея касательную, параллельную оси z; кривую q=0 резонансные
кривые пересекают, имея касательную, параллельную оси b.
В соответствии с уравнением (2.1.28) и уравнением q=0 на
рис. 2.3 изображены резонансные кривые и область неустойчивости
периодических движений. Приняты следующие значения параметров ММГ: m = 1.6 ⋅10−7 êã, µ y = 4.3 ⋅10−7 Íì−1c, k = 2583 Ãö,
CsÅ


3 b2  2h2z2 
b k  z 1   2  
 (f0 )2
 
4 k 
k2 



2
2 4  2
R
R
R
[
Рис. 2.3. Резонансная кривая b(z) и область устойчивости колебаний
чувствительного элемента ММГ
53
ax = 43 ìêì, e0 = 1.76 ⋅10−16 Íì2 , κ ′ = −1.46 ⋅1017 ì−2ñ−2 , Ω = 0.5 c−1.
Ω = 0.5 c−1. Область неустойчивости (q<0) на рис. 2.3 выделена штриховкой. Части резонансной кривой, расположенные в области q>0,
соответствуют устойчивому периодическому движению чувствительного элемента ММГ с частотой ω. При изменении напряжения
смещения (U) изменяется частота собственных колебаний осциллятора ММГ (подстройка частот) и параметр e0, характеризующий
нелинейную составляющую электростатической жесткости. Нелинейная зависимость электростатической силы от перемещения
чувствительного элемента приводит к зависимости масштабного
коэффициента прибора от измеряемой угловой скорости.
Для подтверждения результатов аналитического решения было
проведено моделирование динамики ММГ с помощью вычислительной системы MATLAB/Simulink [35]. По результатам моделирования построены графики резонансной кривой и графики зависимости выходного сигнала ММГ от измеряемой угловой скорости
при различных значениях величины электрического напряжения
на электродах датчика силы. На рис. 2.3 результаты моделирования нанесены пунктирной линией. Результаты аналитического
решения находятся в близком соответствии с результатами моделирования в системе MATLAB/Simulink. Графики зависимости выходного сигнала ММГ от измеряемой угловой скорости при κ y′ = 0
и значениях напряжения смещения U на электродах датчика силы
0, 5, 10 и 20 вольт показаны на рис. 2.4. При U=0 выходная характеристика ММГ является линейной. При U ≠ 0 характеристика
выходного сигнала принимает нелинейный характер. Уменьшение
крутизны выходной характеристики с ростом напряжения U объясняется изменением частоты собственных колебаний осциллятоCsÅ
6
6›
6› 6›
¼É¹½Ê
Рис. 2.4. Кривые зависимости выходного сигнала ММГ
от измеряемой угловой скорости
54
ра ММГ, вызванным изменением электростатической компоненты
жесткости при изменении электрического напряжения на электродах датчика силы. Влияние нелинейной составляющей электростатической жесткости может быть уменьшено введением системы
обратной связи в выходной канал ММГ [35].
Исследование влияния электростатических сил на динамику чувствительных элементов в конструкциях ММГ, в которых не осуществляется стабилизация параметров колебаний в канале возбуждения
колебаний чувствительных элементов, приводит к системам дифференциальных уравнений вида (2.1.2) при возбуждении колебаний от
внешнего генератора или уравнениям вида (2.1.11) при возбуждении
колебаний автогенераторной системой. В этом случае формулы для
коэффициентов κ y′′ и ny2 , входящие в уравнения (2.1.2) и (2.1.11),
должны быть заменены следующими выражениями:
8e0  2
4e0 
1 
1 
κ y′′ =
κ y′ − 5 , ny =
cy − 3 .


m + m1 
m + m1 
∆ 
∆ 
При проектировании параметры конструкции ММГ выбираются
4e
так, что всегда выполняется неравенство cy > 0 . При этом коэф∆3
′′
фициент κ y может быть положительным и отрицательным. Не повторяя приведенных ранее вычислений, отметим, что резонансные
кривые чувствительного элемента ММГ определяются выражениями (2.1.7) и (2.1.15), а условия устойчивости стационарных движений чувствительного элемента – неравенствами (2.1.10).
Таким образом, нелинейная зависимость сил упругости подвеса и электростатических сил датчиков силы, применяемых в конструкциях ММГ, от перемещений чувствительного элемента ММГ приводит к появлению неустойчивых ветвей резонансных кривых,
срывам колебаний чувствительных элементов, возможности развития устойчивых стационарных движений чувствительных элементов ММГ с различными амплитудами, зависимости коэффициента
преобразования прибора от измеряемой угловой скорости.
2.2. Динамика и погрешности роторных
микромеханических гироскопов,
обусловленные нелинейными факторами
Конструктивная схема [83] роторного ММГ (RR-ММГ) приведена
на рис. 2.5. Электромеханическая часть роторного ММГ – осцилля55
Z
¬ÈÉ̼Á¾ÖľžÆËÔ
Y
©ÇËÇÉ
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁÂ
»ÁºÉÇÈÉÁ»Ç½
Рис. 2.5. Конструктивная схема роторного ММГ (RR-ММГ)
тор – представляет собой диск, подвешенный на упругих торсионах
в корпусе прибора. Осциллятор ММГ вместе с элементами возбуждения колебаний и датчиками съема полезного сигнала изготавливается из монокристаллического кремния групповыми методами
современной технологии микромеханики (по технологии «кремний на изоляторе»). Ротор ММГ приводится в высокочастотные колебания относительно оси симметрии, перпендикулярной плоскости ротора. Возбуждение колебаний ротора производится гребенчатым электростатическим виброприводом. Ось чувствительности (x)
ММГ расположена в плоскости ротора. При вращении корпуса прибора относительно оси чувствительности (x) возбуждаются колебания ротора относительно оси y, амплитуда которых при идеальном
изготовлении конструкции прибора пропорциональна измеряемой
угловой скорости. Съем сигналов производится по дифференциальной схеме с помощью емкостного датчика перемещений. Одним из
электродов емкостного датчика является проводящий ротор, а вторым – металлический слой, напыленный на изолирующее основание прибора. Чувствительный элемент ММГ вместе с элементами
56
электроники съема и преобразования информации заключен в вакууммированный корпус.
Приведем дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ, установленного на основании, совершающем вращение с угловой скоростью ω x = Ω, Ω = const относительно оси чувствительности прибора. С основанием (корпусом) прибора свяжем систему координат Oxyz с началом в центре упругого подвеса прибора. Ось x направим вдоль оси чувствительности
ММГ, ось z – вдоль оси симметрии, перпендикулярной плоскости
ротора. С ротором свяжем систему координат Ox1y1z1, направив ось x1 вдоль оси чувствительности ММГ, а ось z1 – вдоль оси,
перпендикулярной плоскости ротора. Положение системы координат Ox1y1z1, а, тем самым, и ротора ММГ относительно корпуса прибора будем определять углами α – поворота ротора вокруг
оси z и β – поворота ротора вокруг оси y1. Моменты инерции ротора относительно осей x1, y1 и z1 обозначим через A, B и C. Момент Mα (α) сил упругости подвеса ротора относительно оси z1 и
момент Mβ (β) сил упругости подвеса относительно оси y определим выражениями: Mα (α) = cα α + κ α′ α 3 , Mβ (β) = cββ + κ β′ β3 ,
(cα ,κ α′ , cβ ,κ β′ – постоянные коэффициенты). Составив далее выражения для кинетической энергии колебательной системы ММГ и используя уравнения Лагранжа второго рода, получим следующие дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ:
••
•
•
C α + µ α α+  cα − (B − A)Ω2  α + (C + B − A)Ωβ = L(t) + Qα ,


••
•
•
B β + µβ β+  cβ − (C − A)Ω2  β − (C + B − A)Ωα = Qβ ,


••
••
(2.2.1)
Qα = (C − A)( α β2 + 2 αββ) − κ α′ α 3 ,
•
Qβ = −(C − A) α 2 β − κ β′ β3 ,
где L(t) = L0 sin ωt – момент относительно оси z, создаваемый системой электростатического вибропривода прибора.
Рассмотрим влияние на динамику и погрешности прибора нелинейных слагаемых Qα и Qβ , входящих в уравнения движения
(2.2.1) чувствительного элемента ММГ. Отметим, что аналогичная
задача для ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента
решалась в научной литературе [69, 70].
57
Введем обозначения:
nα2 =
2
cβ − (C − A)Ω
cα − (B − A)Ω2
, nβ2 =
,
C
B
µβ
µ
2hα = α , 2hβ = .
C
B
2h
Примем за малый параметр µ = α (для реальных конструкций
ω
ММГ µ << 1) и перейдем к безразмерному времени τ = ωt. Учитывая, что при проектировании ММГ частоты nα и nβ выбираются
близкими, положим
nα2
где ζ1 и ζ2
в виде
= 1 − µζ1,
nβ2
= 1 − µζ2 , (2.2.2)
ω2
ω2
– расстройки частот. Перепишем уравнения (2.2.1)
 dα
dβ
+ α = µ− −κ1Ω + l0 sin τ +

τ
d
dτ

dτ
d2 α
2
+ζ1α + ρ1
d2 α
dτ 2
β2 +2ρ1

dα dβ
β −κ α α 3 ,

dτ dτ
 h dβ

 dα 2
dα
 β
+β = µ−
+ζ2β + κ 2 Ω −ρ2   β −κ ββ3 , (2.2.3)
 hα dτ
 dτ 
dτ
dτ 2

d2β
где κ1 =
ρ2 =
L0
C + B− A 1
C + B− A 1
C− A ω
, ρ1 =
,
, κ2 =
, l0 =
2hα
2hα
2hα ωC
C 2hα
C
B
κ β′
κ α′
C− A ω
, κβ =
, κα =
.
2hα ωC
B 2hα
2hβ ωB
Решение уравнений (2.2.3) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов, в виде
dα
= a cos(τ + ψ ),
dτ
(2.2.4)
dβ
β = b sin(τ + ϑ),
= b cos(τ + ϑ),
dτ
где a(τ), ψ (τ), b(τ) и ϑ(τ) удовлетворяют системе уравнений, правые
части которых получены усреднением по τ за период 2π:
α = a sin(τ + ψ ),
58

da µ 
3
= −a − l0 sin ψ − κ1Ωb cos(ϑ − ψ ) + ρ1ab2 sin 2(ϑ − ψ ) ,

dτ 2 
4
dψ µ 
1
a
= −ζ1a − l0 cos ψ − κ1Ωb sin(ϑ − ψ ) + ab2ρ1 ×
dτ 2 
2

 1
 3
×1 − cos 2(ϑ − ψ ) + κ α a3  ,
 2

 4
(2.2.5)


h
db µ  β
1
= − b + κ 2 Ωa cos(ϑ − ψ ) − ρ2 a2 b sin 2(ϑ − ψ ) ,
dτ 2  hα
4

dϑ µ 
1 2
b
= −ζ2 b − κ 2Ωa sin(ϑ − ψ ) + a bρ2 ×
dτ 2 
2

 1
 3
×1 − cos 2(ϑ − ψ ) + κ β b3  .
 2

 4
Если в дифференциальных уравнениях (2.2.1) движения ротора ММГ пренебречь нелинейными слагаемыми, уравнения (2.2.5)
принимают вид
da µ
= [−a − l0 sin ψ − κ1Ωb cos(ϑ − ψ ) ],
dτ 2
dψ µ
= [−ζ1a − l0 cos ψ − κ1Ωb sin(ϑ − ψ ) ],
a
dτ 2

db µ  hβ

= − b + κ 2Ωa cos(ϑ − ψ ) ,
dτ 2  hα

dϑ µ
b
= [−ζ2 b − κ 2Ωa sin(ϑ − ψ ) ].
dτ 2
(2.2.6)
Приравнивая правые части уравнений (2.2.6) нулю, найдем значения a и b, соответствующие стационарному движению ротора ММГ:
1
−

2 
2  2

 
 

 
 

h
ζ2
1
β
 
 +ζ1 + κ1κ2Ω2
a = l0 1+ κ1κ2Ω2
,(2.2.7)
2 
2  


hα






h
h


β
β

ζ22 +   
ζ22 +   

hα   
hα   


κ2a
b=
Ω.
2


h
β
ζ22 + 
hα 
59
Из выражений (2.2.7) следует, что при фиксированных значениях параметров ММГ и расстройки частот ζ1,ζ2 амплитуда (b) колебаний ротора вокруг оси y с достаточной степенью точности пропорциональна измеряемой угловой скорости Ω.
Перейдем теперь к анализу динамики чувствительного элемента ММГ на неподвижном основании (Ω = 0), основываясь на
уравнениях (2.2.5), и оценим погрешности прибора, обусловленные нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительного элемента. Приравнивая правые
части уравнений (2.2.5) нулю и решая полученные уравнения, найдем:
hβ

a
3
−1 + ρ1b2 sin 2(ϑ − ψ ) ,
l0 
4
ρ2a hα


4 
1
3
cos 2(ϑ − ψ ) =
(2.2.8)
−ζ + ρ a2 + κ β b2 ,
2  2 2 2

4
ρ2a

a
3
sin ψ = −1 + ρ1b2 sin 2(ϑ − ψ ) .

l0 
4
sin 2(ϑ − ψ ) = −
4
2
, sin ψ =
Из выражений (2.2.8) получаем уравнения резонансных кривых
hβ2

2
1
3
1
+ −ζ2 + ρ2a2 + κ β b2  = ρ22a4 ,
2 

2
4
16
hα
 2
2
a + 3 hβ ρ1 b2  − ζ a2 + 1 ρ a2b2 − ρ1 b2 × 1
1


hα ρ2 
2
ρ2
(2.2.9)

 3
1
3
×−ζ2 + ρ2a2 + κ β b2  + κ α a4 = a2l02 .

 4
2
4
Исследование устойчивости стационарных движений ротора
ММГ, определяемых выражениями (2.2.9), проведем, составив
уравнения в вариациях и используя критерий Рауса–Гурвица.
Обозначим значения a, ψ, b и ϑ в исследуемом стационарном движении через a*, ψ*, b * и ϑ*, введем вектор X = ∆a, ∆ψ, ∆b, ∆ϑ T ,
∆a = a − a*, ∆ψ = ψ − ψ*, ∆b = b − b*, ∆ϑ = ϑ − ϑ * и представим
µτ
уравнение в вариациях в виде (2.1.7), где τ1 = , а элементы ма2
трицы P = pij , (i, j = 1,4) определяются выражениями
60
3
p11 = −1 + ρ1b2 sin 2(ϑ − ψ ),
4
3
p12 = −l0 cos ψ − ρ1ab2 cos 2(ϑ − ψ ),
2
3
2
p13 = ρ1ab sin 2(ϑ − ψ ),
2
3
p14 = ρ1ab2 cos 2(ϑ − ψ ),
2


−ζ + 1 ρ b2 − 1 ρ1b2 cos 2(ϑ − ψ ) +

1  1 2 1
4
,
p21 = 

a  9
2

+

 4 κ α a

1
1
p22 = l0 sin ψ − ρ1ab2 sin 2(ϑ − ψ),

a 
2
1
p23 = ρ1b − ρ1b2 cos 2(ϑ − ψ ),
2
1
p24 = ρ1b2 sin 2(ϑ − ψ ),
2
1
p31 = − ρ2ab sin 2(ϑ − ψ ),
2
1
p32 = ρ2a2b cos 2(ϑ − ψ ),
2
hβ 1
p33 = − − ρ2a2 sin 2(ϑ − ψ ),
hα 4
1
p34 = − ρ2a2b cos 2(ϑ − ψ ),
2
1
p41 = ρ2a − ρ2a cos 2(ϑ − ψ ),
2
1
p42 = − ρ2a2 sin 2(ϑ − ψ),
2


−ζ2 + 1 ρ2a2 − 1 ρ2a2 cos(ϑ − ψ ) +

1
2
4
,
p43 = 

b  9
2
+

 4 κ β b
1
p44 = ρ2a2 sin 2(ϑ − ψ ).
2
61
Элементы pij (i, j = 1,4) матрицы P вычисляются при a = a*,
ψ = ψ*, b = b * и ϑ = ϑ *. Характеристическое уравнение систе-
мы (2.2.5) записывается в виде (2.1.9), а условия асимптотической
устойчивости стационарного движения ротора ММГ в соответствии
с теоремой Гурвица – в виде (2.1.10).
Исследование динамики чувствительных элементов роторных
ММГ обнаруживает возможность возбуждения устойчивых стационарных колебаний ротора ММГ на неподвижном основании,
обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных
уравнениях движения. Колебания ротора ММГ относительно оси
измерений – вторичные колебания, преобразуются системой съема
информации в выходной сигнал, представляющий собой ошибку
прибора.
Приведем числовой пример. Примем параметры ММГ, близhβ
−2
кими к реальным: ρ 1= 6.62 ⋅103 , ρ2 = 2.02 ⋅104 ,
= 4.9, l0 = 4.5 ⋅10 ,
hα
l0 = 4.5 ⋅10−2 , κ α = κ β = 1.8 ⋅104. При этих параметрах для значений ζ1 = 0, ζ2 = −10 (ω − nβ = 7.5 Ãö) обнаруживается устойчивый стационарный режим колебаний ротора ММГ с параметрами
a* = 0.2 ⋅10−2 ðàä(0.11 ãðàä),
b* = 0.45 ⋅10−5 ðàä(0.015 óãë.ìèí),
что соответствует ошибке в измерении угловой скорости, вычисленной по формуле (2.2.7), равной 0.15 °/с. Отметим, что при положительных значениях расстройки частот (ζ2 > 0 или, что то же,
ω < n β ) при указанных значениях параметров ММГ подобный режим движения ротора не возбуждается.
Рассмотрим далее вопрос о погрешностях роторного ММГ, конструкция которого содержит систему стабилизации параметров колебаний канала возбуждения колебаний чувствительного элемента.
Примем закон изменения координаты α чувствительного элемента
ММГ в виде α = αm sin ωt (αm , ω − const). В этом случае движение
чувствительного элемента ММГ при вращении основания с угловой
скоростью ω x = Ω, (Ω = const) относительно измерительной оси
выражается уравнением
••
•
B β + µβ β+  cβ − (C − A)Ω2  β = (C + B − A)Ωαm ω cos ωt −


2 2
−(C − A)βαm ω cos2 ωt − κ β′ β3 .
(2.2.10)
Введем безразмерное время τ = ωt , примем за малый параметр
2hβ
µβ
µ=
, 2hβ =
, (µ << 1), введем расстройку частот в соответω
B
62
ствии с выражением
nβ2
= 1 − µζ, nβ2 =
cβ − (C − A)Ω2
ω2
уравнение (2.2.10) в виде
B
и перепишем
d2β
 dβ

2
β cos2 τ − κ ββ3 , (2.2.11)
+ β = µ − + ζβ + κΩαm cos τ − ραm



dτ
dτ
2
где κ =
κ β′
(C + B − A)
C− A ω
.
, ρ=
, κβ =
2hβ ωB
2hβ B
B 2hβ B
Решение уравнения (2.2.11) будем находить, используя метод
медленно меняющихся коэффициентов, в виде
β = b sin(τ + ϑ),
dβ
= b cos(τ + ϑ), dτ
(2.2.12)
где b(τ) и ϑ(τ) удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за период 2π:
 µ
db µ 
1 2
= −b + κΩαm cos ϑ − ραm
b sin 2ϑ  = P(b, ϑ);



dτ 2
4
2
dϑ µ 
1 2
= −ζb − κΩαm sin ϑ + ραm b ×
b
dτ 2 
4

µ
3
(2.2.13)
×(2 + cos 2ϑ) + κ β b3  = Q(b, ϑ).

4
 2
Положив в уравнениях (2.2.13) ρ = 0, κ β = 0, что соответствует
исключению нелинейных слагаемых в дифференциальном уравнении (2.2.10) движения чувствительного элемента ММГ, получим
выражение для амплитуды вынужденных колебаний ротора относительно оси измерения
b=
καm
1 + ζ2
Ω. (2.2.14)
Из выражения (2.2.14) следует, что амплитуда вынужденных
колебаний чувствительного элемента относительно оси измерения
при ρ = 0, κ β = 0 пропорциональна измеряемой угловой скорости.
Перейдем теперь к оценке погрешностей ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальном уравнении
(2.2.10). Положив в уравнениях (2.2.13) Ω = 0 и приравняв правые
части уравнений нулю, получим уравнение резонансной кривой
63

2 1
1 2 3
4
1 + −ζ + ραm
+ κ β b2  − ρ2αm
= 0. 
 16
2
4
(2.2.15)
Из уравнения (2.2.15) получаем
1

2 
4 
1 2  1 2 4
b =
ζ − ραm ±  ρ αm −1 . 16
 
3κ β 
2


2
(2.2.16)
Определяемые выражением (2.2.16) значения b = b*, существу1 2 4
ющие при
ρ αm > 1, соответствуют периодическим движениям
16
чувствительного элемента ММГ относительно оси измерений. Величины, определяющие устойчивость периодического движения,
выражаются формулами
p = −(Pb′ + Qϑ′ ) = 2 > 0,
3 2
κ β (b*)2 cos 2ϑ * .
q = Pb′Qϑ′ − Pϑ′ Qb′ = ραm
4
(2.2.17)
Так как p>0, то периодическое движение чувствительного элемента ММГ устойчиво при q>0 и неустойчиво при q<0.
Условие устойчивости периодического движения чувствительного элемента (q>0) может быть представлено в виде
3
1 2
;
κ β (b*)2 < ζ − ραm
4
2
(2.2.18)
3
1 2
.
ïðè κ β < 0 κ β (b*)2 > ζ − ραm
4
2
При выполнении неравенств (2.2.18) возбуждаются устойчивые
колебания чувствительного элемента относительно оси измерений,
обусловленные нелинейными слагаемыми в дифференциальном
уравнении движения (2.2.10). Система съема информации ММГ преобразует колебания чувствительного элемента в выходной сигнал, представляющий собой ошибку прибора.
Приведем числовой пример. Примем параметры ММГ, близкими к указанным в литературе [24]: αm = 0.045 ðàä(~ 2.5 ),
3
ω = 6π ⋅103 c−1, ρ = 4.1⋅10 , κ β = 1⋅105. При ζ = 6.5, что соответствует разности частот ω − nβ = 30 c−1 амплитуда a * устойчивых
угловых колебаний ротора ММГ относительно оси измерений, обусловленных нелинейными слагаемыми в уравнении (2.2.10), соïðè κ β > 0
64
ставляет 8.8 угл.мин., что в соответствии с выражением (2.2.14) соответствует систематической ошибке ММГ, равной 1.12 c−1. Если
параметры прибора удовлетворяют условию
1 2 4
ρ αm < 1, 16
(2.2.19)
колебания ротора ММГ, обусловленные нелинейными слагаемыми
в дифференциальном уравнении (2.2.9) движения ротора, не возбуждаются и связанные с ними ошибки прибора не наблюдаются.
Таким образом, исследование динамики ММГ с вращательными
движениями чувствительных элементов (RR-ММГ) обнаруживает
возможность возбуждения режимов устойчивых стационарных колебаний чувствительных элементов ММГ на неподвижном основании, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов. Возбуждающиеся колебания чувствительного элемента относительно выходной оси преобразуются системой съема информации в выходной
сигнал ММГ, представляющий собой ошибку прибора. Полученные
результаты могут использоваться при проектировании ММГ с целью выбора параметров прибора так, чтобы избежать возбуждения
аномальных режимов движения чувствительных элементов.
2.3. Ошибки камертонного
микромеханического гироскопа
Конструктивная схема камертонного ММГ приведена на
рис. 2.6. Чувствительный элемент камертонного ММГ содержит
две инерционные массы, закрепленные на упругих подвесах в рамке. Инерционные массы с помощью электростатических датчиков
силы приведены в высокочастотные колебания относительно рамки в противофазах. Рамка связана с корпусом прибора упругими
элементами, обеспечивающими вращение рамки относительно
корпуса прибора. Ось чувствительности (z) ММГ совпадает с осью
вращения рамки. При вращении корпуса прибора относительно
оси чувствительности возникают противоположно направленные
кориолисовы силы инерции чувствительных масс, модули которых пропорциональны измеряемой угловой скорости. Кориолисовы силы инерции вызывают угловые колебания рамки, амплитуда
которых при идеальном выполнении конструкции ММГ пропор65
[
¬ÈÉ̼Á¾ÖľžÆËÔ
©¹Åù
Y
Z
¡Æ¾ÉÏÁÇÆÆԾŹÊÊÔ
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁÂ
»ÁºÉÇÈÉÁ»Ç½
Рис. 2.6. Конструктивная схема камертонного ММГ
циональна измеряемой угловой скорости. Колебания рамки ММГ преобразуются электронной схемой обработки информации в выходной сигнал прибора. Съем информации производится с помощью емкостного датчика перемещений. При проектировании ММГ частота вибровозбуждения инерционных масс выбирается близкой
к собственной частоте колебательной системы, соответствующей
форме колебаний чувствительных масс в противофазах. Изменение спектра частот колебательной системы ММГ осуществляется
электростатическим контуром подстройки частот. В конструкции
прибора применяется система стабилизации параметров колебаний чувствительных масс и реализуется компенсационный метод
измерений. Функционирование чувствительного элемента ММГ осуществляется в вакуумированном корпусе.
Приведем дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ. Примем, что корпус камертонного ММГ установлен на основании, совершающем вращение с постоянной угловой
скоростью ω z = Ω относительно оси чувствительности (z) прибора.
С рамкой свяжем систему координат Oxyz (рис. 2.6), с началом в
точке пересечения осей симметрии рамки. Ось z направим вдоль оси
чувствительности ММГ, ось y – перпендикулярно плоскости рамки.
Угол поворота рамки относительно основания обозначим через α.
Положение инерционных масс относительно рамки будем опреде66
лять перемещениями x1 и x2, отсчитываемыми в направлении оси
x от положения статического равновесия инерционного элемента.
Обозначим через Jz – момент инерции рамки с инерционными элементами относительно оси z вращения рамки, через m1 и m2 – массы
инерционных элементов и через l0 – расстояние от оси z симметрии
рамки до центра масс инерционных элементов в положениях статического равновесия. Момент сил упругости подвеса рамки относительно оси z представим в виде: Lz (α) = cα α + κ α′ α 3 . Составив далее
выражение для кинетической энергии колебательной системы ММГ и используя уравнения Лагранжа второго рода, получим следующее
дифференциальное уравнение движения рамки ММГ:
••
•
•
2
•
••
Jz α + µ α α+ cα α = −2(α+ Ω) ∑ mj x j (l0 + xj ) − α×
2
j=1

×∑  2mj l0 xj + mj x2j

j=1
 − κ α′ α 3 ,

(2.3.1)
где µ α – коэффициент демпфирования.
Примем, что система стабилизации параметров колебаний инерционных масс реализует следующий закон изменения координат
x1 и x2: x1 = xm cos ωt, x2 = −xm cos ωt, xm , ω = const. Уравнение
(2.3.1) движения рамки ММГ принимает вид
••
•
 •

2
Jz α + µ α α+ cα α = 4m (α+ Ω)l0 xm ω sin ωt + xm
ω sin ωt cos ωt −



 (2.3.2)
••
2
−2m α (2l0 xm cos ωt + xm
cos ωt) − κ α′ α 3 .
Введем безразмерное время τ = ωt, примем за малый параметр
µ
n2
2h
µ = α , 2hα = α , (µ << 1), введем расстройку частот α2 = 1 − µζ,
Jz
ω
ω
cα
2
nα =
и перепишем уравнение (2.3.2) в виде
Jz
 dα
 Ω dα 
d2α
+ α = µ − +ζα −κ α α3 +2ρ + ×
2
 dτ
 ω dτ 
dτ
(2.3.3)

 d2 α 

x
x
2
m
m
×sin τ +
sin τ cos τ−ρ 2 2cos τ +
cos τ,
 dτ 


l0
l0
 κ α′
mωxm l0
.
где ρ =
, κα =
2hα ωJz
hα Jz
67
Решение уравнения (2.3.3), как и в предыдущих случаях, будем
находить, используя метод медленно меняющихся коэффициентов, в виде
α = a sin(τ + ψ ),
dα
= a cos(τ + ψ ), dτ
(2.3.4)
где a(τ) и ψ (τ) удовлетворяют системе уравнений, правые части
которых получены усреднением по τ за период 2π:
 µ
µ
1 x
Ω
da
= − a + aρ m sin 2ψ + 2ρ sin ψ  = P(a, ψ ),
2
4
ω
dτ
l0
 2
a
1 x
dψ µ 
= −ζa − aρ m (2 + cos 2ψ ) −
4
dτ 2 
l0
−2ρ
(2.3.5)
 µ
Ω
3
cos ψ + κ α a3  = Q(a, ψ ).
 2
ω
4
Если в уравнении (2.3.2) пренебречь нелинейными слагаемыми
относительно α, xj и их производными по времени, из уравнений
(2.3.5) получим выражение для амплитуды вынужденных колебаний рамки ММГ
a=
2ρ
ω 1 + ζ2
Ω. (2.3.6)
В этом случае амплитуда вынужденных колебаний рамки пропорциональна измеряемой угловой скорости.
Перейдем к оценке ошибок ММГ, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальном уравнении (2.3.1). Положив
в уравнениях (2.3.5) Ω = 0 и приравняв правые части уравнений
нулю, получим уравнение резонансной кривой
2

2 1 2 xm
1 xm 3
2 

+
−
−
+
1  ζ
ρ
κ α a  − ρ 2 = 0.  16

2 l0
4
l0
(2.3.7)
Из уравнения (2.3.7) следует
68
1


2
1
2 
x
x
4
1


ζ − ρ m ±  ρ2 m −1 . a2 =
 
3κ α 
2 l0 16
l02
 


(2.3.8)
Определяемые выражением (2.3.8) значения a = a*, существу2
1 2 xm
ющие при
ρ 2 > 1, соответствуют периодическим колебаниям
16
l0
рамки ММГ.
Величины, определяющие устойчивость периодического движения, определяются выражениями
p = −(Pb′ + Qϑ′ ) = 2 > 0;
x
3
q = Pb′Qϑ′ − Pϑ′ Qb′ = a2ρκ α m cos 2ψ.
4
l0
(2.3.9)
Так как p>0, периодическое движение рамки устойчиво при q>0
и неустойчиво при q<0. Условие устойчивости q>0 может быть выражено следующими неравенствами:
3
1 x
κ α (a*)2 < ζ + ρ m ;
4
2 l0
3
1 x
ïðè κ α < 0 κ α (a*)2 > ζ + ρ m .
4
2 l0
ïðè κ α > 0
(2.3.10)
При выполнении неравенств (2.3.10) возбуждаются устойчивые
колебания рамки ММГ, обусловленные нелинейными слагаемыми
в дифференциальных уравнениях движения (2.3.1). Система съема
информации ММГ преобразует колебания рамки в выходной сигнал, представляющий собой ошибку прибора.
Приведем числовой пример. Примем параметры ММГ близкими к реальным [43]: m1 = m2 = 3.97 ⋅108 êã, Jz = 0.86 ⋅10−13 êã ⋅ ì2 ,
xm
Cα = 3.05 ⋅10−5 Í ⋅ ì, µ α = 1.62 ⋅10−13 Í ⋅ ì ⋅ ñ,
= 5 ⋅10−2 , κ α′ = 0.37 ⋅10−3
l0
κ α′ = 0.37 ⋅10−3 Í ⋅ ì. При этих данных при ζ = −10.5, (разность частот
nα − ω = 18 c−1 ) амплитуда a * устойчивых периодических колебаний рамки, обусловленных нелинейными слагаемыми в дифференциальном уравнении (3.4.1), составляет 6,7 угл.мин, что соответствует систематической ошибке ММГ, равной 0.42c−1 (24 ãðàä / ñ).
Отметим, что при выполнении неравенства
1 2 xm
ρ 2 <1 16
l0
(2.3.11)
колебания рамки ММГ, обусловленные нелинейными слагаемыми
в дифференциальном уравнении (2.3.1), не возбуждаются и связанные с ними ошибки прибора не наблюдаются.
69
2.4. Вибрационное смещение состояний
равновесия чувствительных элементов
микромеханических гироскопов
Влияние вибрационных воздействий на гироскопические приборы и маятниковые системы исследовалось в многочисленных работах, обзоры которых приведены в литературе [11–14]. Основополагающей работой, в которой дано решение задачи о движении маятника с вибрирующей осью подвеса, является статья П. Л. Капицы
[34]. Действие вибраций на гироскопические приборы и маятниковые системы вызывает смещения положений равновесия (уводы)
маятниковых систем, систематические уходы и сдвиги нуля гироскопических приборов [5, 13, 16, 61]. Аналогичные явления наблюдаются в динамике чувствительных элементов ММГ в условиях
вибрационных воздействий. В данном параграфе рассматривается
динамика чувствительных элементов ММГ при действии вибраций
и определяются вибрационные смещения положений равновесия
чувствительных элементов.
Рассмотрим динамику чувствительного элемента роторного
ММГ, конструктивная схема которого приведена на рис. 2.5.
С основанием прибора свяжем систему координат Oξηζ с началом в центре упругого подвеса ротора ММГ. Ось ξ направим
вдоль оси чувствительности прибора, ось ζ – вдоль оси, перпендикулярной плоскости ротора. Движение основания зададим
проекциями скорости VOξ , VOη, VOζ начала системы координат
Oxhz и проекциями ω ξ , ω η, ωζ угловой скорости основания на
оси ξ, η и ζ . С ротором свяжем систему координат Oxyz с началом координат в центре упругого подвеса, направив ось x вдоль
оси чувствительности прибора, а ось z – вдоль оси, перпендикулярной плоскости ротора. Положение системы координат Oxyz,
а, тем самым, и ротора, относительно корпуса прибора будем
определять углами α поворота ротора вокруг оси z и β – поворота ротора вокруг оси y. Примем, что центр масс ротора по технологическим причинам смещен вдоль оси z. Координаты центра масс ротора в системе координат Oxyz обозначим o, o, Zc.
Обозначим через A, C, Jxy, Jyz, Jzx – моменты инерции ротора
относительно осей Oxyz и центробежные моменты инерции ротора, через m – массу ротора. Примем, что корпус ММГ установлен на основании, совершающем полигармонические вибрации,
определяемые выражениями
70
ω ξ (t) = ∑ ωξ.j sin(ν j t + δ ξ.j ),
( j)
V0ξ (t) = ∑ VO ξj sin(ν j t + γ ξ.j ), (ξ, η,ζ). (2.4.1)
( j)
Составив выражение для кинетической энергии колебательной
системы ММГ и используя уравнения Лагранжа второго рода, получим следующие дифференциальные уравнения движения ротора
ММГ:
•
 1
d 
d
(C cos2 β + A sin2 β)(α+ ωζ ) + (C − A) (ω ξ cos α + ω η sin α) ×


dt 
dt
 2
×sin 2β +
•
d 
(Jxy sin β − Jyz cos β)(β− ω ξ sin α + ω η cos α) − Jxz ×
dt 

 
1 •
×(ω ξ cos α + ω η sin α)cos 2β − (α+ ωζ )sin 2β  −


2

 
−( A cos2 β + C sin2 β − B)(ω ξ cos α + ω η sin α) ×
•
×(−ω ξ sin α + ω η cos α) − (C − A)(α+ ωζ ) ×
•
×(−ω ξ sin α + ω η cos α)sin β cos β + B β(ω ξ cos α +
+ω η sin α) + mZc

d
(VOη sin β) − mZc (ω ξ cos α + ω η sin α) ×

dt
•
•
×VOζ sin β + β(−VOξ sin α + VOη cos α)cos β − (α+ ωζ ) ×

×(VOξ cos α + VOη sin α)sin β + Jzx ×

•
1
×(−ω ξ sin α + ω η cos α)  (ω ξ cos α + ω η sin α)sin 2β + (α+ ωζ ) ×
2

 •

×cos 2β  + (Jxy cos β + Jyz sin β) (β− ω ξ sin α + ω η cos α) ×




×(−ω ξ sin α + ω η cos α) − (ω ξ cos α + ω η sin α)2  + (Jxy sin β +

•
•
+Jyz cos β)(α+ ωζ )(ω ξ cos α + ω η sin α) = −µ α α− Mα (α,β) + Lα (t),
71
B
d •
(β−ωξ sin α + ω η cos α) −(C − A)×
dt
•


×(ωξ cos α + ω η sin α)×cosβ −(α+ ωζ )sinβ ⋅




•

 
(ω cos α + ω η sin α)sinβ + (α+ ωζ )cosβ − (Jxy sinβ −
 ξ
 

 
−Jyz cosβ)(ωξ cos α + ω η sin α) + (Jxy cosβ +
•
 •
+Jyz sinβ)(α+ ωζ ) (β−ωξ sin α + ω η cos α) + Jzx ×


•


×(ωξ cos α + ω η sin α)2 + (α+ ωζ )2  −mZc (−VOξ sin α + VOη cos α)×




•


d
×(ωξ cos α + ω η sin α)sinβ + (α+ ωζ )cosβ + mZc ×


dt


d
×(VOξ cos α + VOη sin α)cosβ − VOζ sinβ − (Jxy cosβ + Jyz sinβ)×

 dt 
•

(ωξ cos α + ω η sin α) −(Jxy sinβ − Jyz cosβ)×(α+ ωζ ) =


•
(2.4.2)
=−µβ β− Mβ (α,β).
В уравнениях (2.4.2) приняты обозначения: Mα (α,β) = cα α + cαββ,
Mβ (α,β) = cββ + cαβ α – моменты сил упругости подвеса относитель-
но осей z и y соответственно, Lα (t) = L0 sin ωt – момент вибропривода относительно оси z ротора, создаваемый системой генерации
колебаний ротора, µ α и µβ – коэффициенты демпфирования. Углы
α и β и их производные по времени – малые величины.
Решение уравнений (2.4.2) будем находить методом последовательных приближений [61] в виде
α = α1 + α2 + ..., β = β1 + β2 + ..., (2.4.3)
ограничившись первыми и вторыми приближениями. Уравнения
первого и второго приближений получим из уравнений (2.4.2) в
виде
••
•
••
C α1 + µα α1 + cα α1 − Jyz β1 + cαββ1 =
•
•
•
= L0 sin ωt + Jxz ωξ + Jyz ω η −C ωζ ,
72
••
•
••
Bβ1 + µβ β1 + cββ1 − Jyz α1 + cαβ α1 =
•
•
•
•
= Jxy ωξ − B ω η + Jyz ωζ −mZc V0ξ .
C α1 + µα α1 + cα α1 − Jyz β1 + cαββ1 =
•
•
•
= L0 sin ωt + Jxz ωξ + Jyz ω η −C ωζ ,
••
•
••
Bβ1 + µβ β1 + cββ1 − Jyz α1 + cαβ α1 =
•
•
•
•
= Jxy ωξ − B ω η + Jyz ωζ −mZc V0ξ .
••
•
••
•
(2.4.4)
••
C α2 + µ α α2 + cα α2 − Jyz β2 + cαββ2 = Θ α ,
••
B β2 + µβ β2 + cββ2 − Jyz α2 + cαβ α2 = Θβ ,
(2.4.5)
где
•
•
•
Θ α = −(B + C − A)ω ξ β1 − (C − A)ω ξ β1 − Jzx ω η (α1 + ωζ ) +
•
•
•
+Jxy ((ω2ξ − (ω η − β1 )ω η ) + Jyz (α1 + ωζ )ω ξ + mzC V0 η β1 + ... ,
•
•
Θβ = (B + C − A)ω ξ α1 + (C − A)(α1 + ωζ )ω ξ +
•
•
•

+Jxy (α1 + ωζ )(β1 + ω η ) − Jyz ω ξ (β1 + ω η ) − Jzx ω2ξ +

•
•

+(α1 + ωζ )2  + mzC (α1 + ωζ )V0 η + ... .

Получим решение системы уравнений (2.4.5) первого приближения. Введем матрицы
X = ω ξ , ω η, ωζ , V0ξ
ния),
f ( p) =
T
, Y = α1,β1
T
, (Т – символ транспонирова-
p2 + 2hα p + nα2

2
 −Jyz p + cαβ
 1
⋅
B

 −Jyz p2 + cαβ

2
p
 1
⋅
C
+ 2hβ p + nβ2
,
Jxz Jyz
p,
p,− p,0
µβ
µ
c
2
C
, nα = α ,
r ( p) = C
, 2hα = α , 2hβ =
C
C
B
Jxz
J
mz
p,− p, xz , C p
B
B
B
cβ
L
d
– оператор дифференцирования) и пере, l0 = 0 ( p ≡
dt
C
B
пишем уравнения (2.4.4) в матричном виде
nβ2 =
73
 l0

(2.4.6)
f ( p)Y = r ( p) X + Im  eiωt .  0



При полигармонических вибрациях основания, определяемых
выражениями (2.4.1), получим
∑ ρ1j sin(νj t + δ1j )
r ( p) X =
( j)
∑ ρ2j sin(νj t + δ2j )
,
(2.4.7)
( j)
1
(Jxz ω ξoj ν j cos δ ξj + Jyz ω oηj ν j cos δ ηj ) − ωζoj ν j cos δζj ,
C
1
ρ1j cos δ1j = − (Jxz ω ξoj ν j sin δ ξj + Jyz ω oηj ν j sin δ ηj ) + ωζoj ν j sin δζj ,
C
1
ρ2 j sin δ2 j = (Jxz ω oξj ν j cos δ ξj + Jyz ωζoj ν j cos δζj ) −
B
mZC o
Vηj ν j cos γ ξj ,
−ω oηj ν j cos δ ηj −
B
1
ρ2 j cos δ2 j = − (Jxz ω ξoj ν j sin δ ξj + Jyz ωζoj ν j sin δζj )
B
mZC o
Vηj ν j sin γ ξj .
−ω oηj ν j sin δ ηj +
B
ρ1j sin δ1j =
Из уравнения (2.4.5) получаем
 F (iν j ) ρ1j sin ε1j



Y = ∑ Re 
eivjt 

+
 ∆(iν j ) ρ2 j sin ε2 j

( j)






 F (iω) l0 ivjt 

 F (iν) ρ1j cos ε1j ivjt 


+∑ Im 
e 
e 
 + Im 

,




∆(iν) ρ2 j sin ε2 j


 ∆(iω) 0


 ( j)


(2.4.8)
где F(p) – присоединенная матрица для матрицы f(p),
F ( p) =
1
 Jyz p2 − ñαβ
B 
p2 + 2hβ p + nβ2
1
−  Jyz p2 − ñαβ
C


p2 + 2hα p + nα2


,
∆( p) = det f ( p), ∆( p) = d0 p4 + d1 p3 + d2 p2 + d3 p + d4 , d0 = 1 −
74
2
Jyz
BC
,
d1 = 2(hα + hβ ), d2 = nα2 + nβ2 + 4hα hβ + 2
Jyz
BC
cαβ ,
2
d3 = 2(hα nβ2 + hβnα2 ), d4 = nα2 nβ2 − cαβ
.
Частное решение системы уравнений первого приближения
(2.4.5) представим в виде
α1 = ∑ a1j sin(ν jt + ε1j ) + a1 sin(ωt + ε1 ),
( j)
(2.4.9)
β1 = ∑ a2 j sin(ν jt + ε2 j ) + a2 sin(ωt + ε2 ),
( j)
где akj , ε kj , ak , ε k , (k = 1, 2) в соответствии с выражением (2.4.8)
определяются формулами

−1 2 

akj cos εkj = R2 (νj )+Q2 (νj )  ∑  Rkl (νj )R (νj )+Qkl (νj )Q(νj ) ×




l=1



ρlj cos δlj − Qkl (νj )R (νj )+ Rkl (νj )Q(νj ) ρlj sin δlj ,




−1 2 

akj sin εkj = R2 (νj )+Q2 (νj )  ∑  Qkl (νj )R (νj )−Rkl (νj )Q(νj ) ×




l=1



×ρlj sin δlj − Rkl (νj )R (νj )+Qkl (νj )Q(νj ) ρlj sin δlj ,




−1 

ak cos εk = R2 (ω)+Q2 (ω)   Rk1 (ω)R (ω) +Qk1 (ω)Q(ω) ,

 


−1 

ak sin εk = R2 (ω)+Q2 (ω)   Qk1 (ω)R (ω)+ Rk1 (ω)Q (ω),

 

(2.4.10)
R (λ) = d0 λ 4 − d2 λ2 + d4 , Q(λ) = −d1λ 3 − d3 λ, R11 (λ) = −λ2 + nβ2 ,
Q11 (λ) = 2hβ λ, R12 (λ) = −

1
 Jyz λ2 + cαβ , Q12 (λ) = 0,

B 

1
R21 (λ) = −  Jyz λ2 + cαβ , R22 (λ) = −λ2 + nα2 , Q22 (λ) = 2hα λ.

C
Перейдем к вычислению вибрационного смещения положения
равновесия чувствительного элемента ММГ. Усреднив по времени
правые части уравнений (2.4.4) второго приближения, получим
выражения, определяющие величину вибрационного смещения
ротора ММГ:
75
−1

2 
< α2 >=  cα cβ −cαβ
 (cβ < Θα >−cαβ < Θβ >),

−1

2 
< β2 >=  cα cβ − cαβ
(cα < Θβ >−cαβ < Θα >), 



(2.4.11)
где символ < x > – усредненное по времени значение x .
Приведем выражения для < Θ α > и < Θβ >, предполагая, что
одна из частот вибраций основания совпадает с частотой вибровозбуждения (vk = ω):
< Θ α >=

1 
( A − B)ω o ω o cos(δ − δ ) − Bω o ν a ×

∑
ηj
ξj
ξj ηj
ξj j 2 j

2 ( j) 


×sin(ε2 j −δ ξj ) + Jxy (ω oξj )2 −(ω oηj )2 + ω oηj ν j a2 j sin(δ ηj −a2 j ) + Jyz ×


×(ω oξj ωζoj cos(δ ξj − δζj ) + ω oξj ν j a1j sin(δ ξj − ε1j )− Jzx (ω oηj ωζoj ×



×cos(δ ηj −δζj ) + ω oηj ν j a1j sin(δ ηj − ε1j ) +mzC V0oηj ν j a2 j sin(γ ηj − ε2 j )
+



1 
o
o
o
+ ω −Ba1ω ξk sin(δ ξk − ε1j ) − Jxy a2ω ξk sin(δ ηk − ε2 j ) + Jyz a1ω ξk ×
2 

×sin(δ ξk − ε1j ) − Jzx a1ω oηk sin(δ ηk − ε1j ) +mzC V0oηk a2 sin(γ ηk − ε2 j ) ,



1 
< Θβ >= ∑
(C − A)ωoξj a1j vj sin(δξj − εij ) + (C − A)ωoξj ωζoj cos(δξj −δζj ) −
2 ( j) 


 o o

−Jyz  ωξj ω ηj cos(δξj −δ ηj ) + ωoξj νj a2 j sin(δξj − ε2 j ) + Jxy ×



×a1j a2 j ν2j cos(ε1j − ε2 j ) + ωoηj νj a1j sin(δ ηj − ε1j ) + ωζoj νj a2 j sin(δζj − ε2 j ) +



+ωoηj ωζoj cos(δ ηj −δζj )− Jxz (ωoξj )2 + (ωζoj )2 + a12j ν2j +



 o o
o
+2a1j νj ωζj sin(δζj − ε1j )+mzC ωζj V0 ηj cos(δζj − γ ηj ) + a1j νj V0oηj ×


 1 

×sin(γ ηj − ε1j )+ ω  Ba1ωξok sin(δξk − ε1j ) − Jyz a2ωξok sin(δξj − ε2 j )+


 2 


+Jxy  a1ωoηk sin(δ ηk − ε1j ) + a2ωζok sin(δζk − ε2 j ) −2Jxz a1ωζok ×



o
×sin(δζk − ε1j ) +mzC V0 ηk a1 sin(γ ηk − ε1j ) .

76
Колебательная система ММГ характеризуется высокой добротностью (~104). Вследствие высокой добротности колебательной
системы на динамику чувствительного элемента ММГ оказывают
влияние вибрационные воздействия с частотами, близкими к собственным частотам системы. Амплитуды вынужденных колебаний, вызываемых вибрационными воздействиями с частотами,
далекими от значения собственных частот колебательной системы
ММГ, пренебрежимо малы. Вибрационные воздействия с частотами, близкими к значениям собственных частот колебательной
системы прибора, могут быть вызваны акустическими воздействиями и воздействиями, имеющими характер упругих волн,
распространяющихся по плате, на которой установлен корпус прибора.
Приведем числовой пример, характеризующий величину вибрационного смещения положения равновесия чувствительного
элемента ММГ. Примем параметры ММГ, близкими к указанным
в литературе [25]: A = B = 1.1⋅10−13 êã ⋅ ì2 , C = 3.33 ⋅10−13 êã ⋅ ì2 ,
−4
Í ⋅ ì, cβ = 0.38 ⋅10−4 Í ⋅ ì, µ α = 6.4 ⋅10−13
Jxy , Jyz , Jzx ≈ 0, cα = 1.16 ⋅10
µ α = 6.4 ⋅10−13 Í ⋅ ì ⋅ c, µβ = 5µ α , L0 = 5.1⋅10−10 Í ⋅ ì, ω = 1.85 ⋅104 c−1.
Примем, что корпус ММГ установлен на основании, совершающем
угловые колебания относительно оси ξ, в спектре которых присутствует гармоника с частотой ω и амплитудой 2.5 угл.мин. При этих
данных a1 = 4.3 ⋅102 (2.47 ), < α2 >≈ 0, < β2 >= 12.8 óãë.ñåê. Учитывая высокий порог чувствительности емкостных датчиков, смещение < β2 > может быть преобразовано в электрический сигнал.
Аналогичные явления наблюдаются в других типах ММГ с
вращательными движениями чувствительных элементов – ММГ с кардановым подвесом чувствительного элемента, камертонным ММГ.
Таким образом, вибрационные воздействия, обусловленные
колебаниями основания прибора, вызывают вибрации чувствительных элементов ММГ и смещения положений равновесия чувствительных элементов. При рациональном выборе параметров
прибора осуществляется отстройка собственных частот колебательной системы ММГ от спектра частот вибрационного воздействия, резонансные явления не развиваются, вибрационные смещения положений равновесия чувствительных элементов ММГ малы и не нарушают нормальный режим функционирования прибора.
77
2.5. Динамика микромеханических гироскопов
при случайных воздействиях
Функционирование ММГ, применяемых в системах стабилизации, навигации и управления подвижными объектами, осуществляется в условиях вибрационных воздействий, являющихся случайными функциями времени. В данном параграфе рассматривается динамика чувствительных элементов ММГ при случайных
воздействиях, вызванных вибрациями основания. Предполагается, что ММГ функционирует в режиме стабилизации параметров
первичных колебаний гироскопа. В дифференциальных уравнениях движения чувствительного элемента ММГ учитываются слагаемые, обусловленные нелинейной зависимостью сил упругости
подвеса и электростатической компонентой жесткости контура
подстройки частот от перемещений чувствительного элемента. Рассматривается случай узкополосных случайных воздействий. Объясняются явления срыва колебаний и скачки амплитуд колебаний.
Найдены области существования и отсутствия скачков амплитуды
колебаний.
Приведем дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента ММГ (см. рис. 1.1), предполагая, что вращение
основания относительно измерительной оси с угловой скоростью
ω z = Ω сопровождается линейными колебаниями вдоль выходной
•
оси y с ускорением V oy (t). Будем использовать обозначения, принятые в параграфе 1.1. Принимая, что x = ax cos ωt,(ax , ω = const)
дифференциальное уравнение движения чувствительного элемента ММГ в направлении оси измерений запишем в виде
••
•
m y + µ y y+ Cx y =
•
= −m V oη (t) + 2max ωΩ sin ωt − κ y y3 + E(∆ + y) − E(∆ − y),
E(∆ + y) = −
ε0 εSU 2
ε εSU 2
E(∆ − y) = − 0
,
.
2(∆ + y)2
2(∆ − y)2
(2.5.1)
y
< 1,
∆
как и ранее, разложим функции E(∆ ± y) в степенные ряды и ограничимся слагаемыми не выше третьего порядка по отношению y
к .
∆
Учитывая, что параметры ММГ удовлетворяют условию
78
Введем обозначения ny2 =
2
µy
4e0 
1 
,
Cy − 3 , 2hy =

m
m
∆ 
f0 = 2ax ωΩ,
ε εSU
8e
1
, и представим уравнение (2.5.1) в
(κ y − 50 ), e0 = 0
2
m
∆
виде
κ=
••
•
•
y + ny2 y = −2hy y− κy3 + f0 sin ωt − V oy (t). (2.5.2)
Рассмотрим сначала движение чувствительного элемента ММГ при поступательном движении основания (Ω = 0), предполагая,
что ускорение основания является узкополосным случайным процессом
•
V oy (t) = Ay (t)sin(νt + ϕ(t)), (2.5.3)
где Ay(t) и ϕ(t) – медленно меняющиеся случайные процессы –
•
амплитуда и фаза процесса V oy (t), ν – средняя частота процесса
•
V oy (t).
Решение уравнения (2.5.2) будем находить, используя квазистатический метод [22], в виде
•
y = a(t)sin(νt + ϑ(t)), y = νa(t)cos(νt + ϑ(t)). (2.5.4)
Подставляя выражение (2.5.4) в уравнение (2.5.2) и осредняя
•
•
2π
, поправые части уравнений для a и a ϑ по времени за период
ν
лучим
•
Ay
sin(ϕ − ϑ),
a = −hy a −
2ν
(2.5.5)
•


1   2
3
 a ny − ν2  + Ay cos(ϕ − ϑ) + κa3  .
aϑ =


2ν  
4
Из уравнений (2.5.5) следует соотношение между амплитудами
процессов Voy (t) и y(t)


2 4h2 
y
a  + 2 z2  = Ay2 ,

4 ny2 
ny



3
a2ny4 1 − z2 +



κ
2 

ν 

z
=
. 
ny 

(2.5.6)
Уравнение (2.5.6) при различных значениях параметра Ay определяет семейство резонансных кривых a(z) Вычислив производную
79
da
в соответствии с выражением (2.5.6) найдем, что в точках переdz
сечения с кривыми
4ny2  2
2h2 
z −1 + y  (2.5.7)
a2 =

3κ 
ny2 
касательная к резонансной кривой параллельна оси z. Кривую


 4h2


3κ
9κ
y
(2.5.8)
Q ≡ 1 − z2 + 2 a2 1 − z2 + 2 a2  + 2 z2 = 0 

 n
4
4
n
n


y
y
y



резонансные кривые пересекают, имея касательную, параллельную оси a. Определяемые уравнением (2.5.6) значения a соответствуют состояниям равновесия системы (2.5.5). Состояния равновесия устойчивы при Q>0 и неустойчивы при Q<0. На рис. 2.7 и
2.8 приведены резонансные кривые a(z) чувствительного элемента ММГ при Ω = 0 и кривая зависимости a(Ay). Приняты следующие значения параметров ММГ: ny = 5π ⋅103 c−1, 2hy = 4.8 c−1,
κ = 1⋅1020 ì−2ñ−2 . Значения Ay указаны на рис. 2.7. Область неустойчивости (Q<0) на рис. 2.7 выделена штриховкой. Если при
z = z * Ay<Ay1, амплитуда a вынужденных колебаний чувствитель-
BsÅ
2


2
3 K 2  4hy 2 
 
a2ny4  1  z2 
a
z
 Ay2
2


4 ny2 
n
y



Ay  1,5
Ay  1
Ay  0,5
ì
c2
2
2
ì
c2
ì
2
2
c
Рис. 2.7. Резонансные кривые a(z)
80
[
ного элемента ММГ может иметь значения, соответствующие нижним устойчивым ветвям резонансных кривых. При Ay1<Ay<Ay2
амплитуда a вынужденных колебаний может принимать два значения, соответствующие нижним или верхним устойчивым ветвям
резонансных кривых. Если Ay>Ay2, амплитуда a может иметь значения, соответствующие верхним устойчивым ветвям резонансных кривых. При выполнении условия Ay<Ay1 процесс a(t) будет
определяться наименьшим значением корня уравнения (2.5.6) для
всех моментов времени, пока будет выполняться условие Ay(t)<Ay2.
Как только процесс Ay(t) превысит уровень Ay2, произойдет перескок амплитуды a вынужденных колебаний чувствительного элемента на верхнюю устойчивую ветвь резонансной кривой. После
этого процесс a(t) будет определяться наибольшим значением корня уравнения (2.6.6) и обратный перескок на нижнюю устойчивую
ветвь произойдет после того, как амплитуда Ay(t) станет меньше
Ay1. Скачки амплитуд колебаний чувствительного элемента ММГ иллюстрируются рис. 2.8.
Приведем приближенные выражения для амплитуд вибрационного воздействия Ay1 и Ay2, при которых резонансная кривая имеет
касательные параллельные оси a при частоте ν0 (z = z0 ), предполаhy2
гая, что
<< z2 −1:
ny2
1
1
4ny2
4ny3  2
 2
2
2
 z0 −1  . Ay1 =
hy z0  z0 −1  , Ay2 =
(2.5.9)



3κ
9 κ 
Перейдем теперь к исследованию влияния случайных воздействий на динамику чувствительного элемента ММГ при Ω ≠ 0.
¸sÅ

3
a2ny4  1  z2 




a
2
4 ny
2

2




2
z
 Ay2

ny2

4hy2
"Z
"Z
"ZÅÊ
Рис. 2.8. Кривая зависимости a(Ay)
81
Решение уравнения (2.5.2) представим в виде y = y * +yS , где
y* = a* sin(ωt + ψ ), а yS – случайная составляющая. Используя
метод гармонической линеаризации [82], представим нелиней

3
ную функцию κy3 в виде κy3 = q0 + qy*, где q0 = κ yS3 + yS a*2 ,


2
3
q = κa*2 . Уравнение (2.5.2) разбивается на два уравнения:
4
••
•
y * +ny2 y* = −2hy y* −qy * +f0 sin ωt, (2.5.10)
••
•
3
y S + ny2 yS = −2hy y S −q0′ (0)yS − Ay sin(νt + ϕ), (q0′ (0) = κa*2 ).(2.5.11)
2
Решение уравнения (2.5.10) приводит к уравнению резонансных
кривых, аналогичному уравнению (2.5.6):




ω
+ 2 ζ = f02 , ζ = . 
n
ny
y




В точках пересечения с кривыми
4ny2  2
2h2 
ζ −1 + y  a*2 =

3κ 
ny2 
2
2 

a
*
4 ny2 

3
a*2ny4 1 − ζ2 +

κ
4hy2
2
(2.5.12)
(2.5.13)
касательная к резонансной кривой параллельна оси ζ. Кривую


 4h2


3κ
9κ
y
(3.6.14)
R ≡ 1 − ζ2 + 2 a*2 1 − ζ2 + 2 a*2  + 2 ζ2 

 n
4
4
n
n


y
y
y



резонансные кривые (2.5.12) пересекают, имея касательную, параллельную оси a* . Стационарное решение уравнения (2.5.10)
устойчиво при R>0 и неустойчиво при R<0.
Решение уравнения (2.5.11) в предположении, что процессы
Ay(t) и ϕ(t) являются медленно меняющимися (изменения Ay(t) и
ϕ(t) незначительны за период колебаний y * (t)) имеет вид
yS = aS sin(νt + ε S ),
1

 −2
2
3
2
2
2
2
2


aS = Ay ny + κa* − ν  + 4hy ν  , 

2



−1
3
tg(ϕ − ε S ) = 2hy νny2 + κa*2 − ν2  .


2
82
(2.5.15)
BsÅ

2
 4hy2 
2
a*  2   f02
4 ny2 
ny 


3
a*2ny4  1  2 





3
3
3

Рис. 2.9. Резонансная кривая a*(z) и область устойчивости
стационарного движения
На рис. 2.9 приведены результаты расчета резонансной кривой
a* (ζ) и границ области устойчивости в соответствии с уравнениями
(2.5.12) и (2.5.14) при указанных ранее значениях параметров ММГ и ax = 1⋅10−5 ì. Как и ранее, на рис. 2.9 область неустойчивости
выделена штриховкой. На рис. 2.10 приведены резонансные криBTsÅ
Ay  1,5
ì
c2
ì
Ay  1 2
c
Ay  0,5
ì
c2
[
Рис. 2.10. Кривые зависимости aS(z1)
83

−1
3
вые, aS (z1 ), z1 = νny + κa * , построенные в соответствии с вы

2
ражениями (2.5.14) при ax = 1.5 ⋅10−5 ì. Сравнение изображенных
на рис. 2.7 и 2.10 кривых показывает, что при вращении основания ММГ относительно оси чувствительности, сопровождающемся
узкополосной случайной вибрацией в направлении оси измерения
параметров колебаний, при условии медленной изменяемости параметров случайной вибрации осуществляется вибрационное сглаживание нелинейности, обусловленной нелинейной зависимостью
сил упругости подвеса и электростатических сил от перемещений
чувствительного элемента, – вибрационная линеаризация для случайного воздействия. В условиях рассмотренного случайного воздействия нелинейная зависимость сил упругости и электростатических сил от перемещений чувствительного элемента ММГ не приводит к скачкам амплитуд колебаний чувствительного элемента.
2.6. Динамика микромеханического
двухмассового гироскопа
Одно из направлений повышения точности и стабильности технических характеристик ММГ состоит в разработке многомассовых конструкций приборов этого типа. Конструктивные схемы
многомассовых конструкций ММГ приведены в литературе [86].
Ниже исследуется влияние нелинейных факторов – нелинейной
зависимости сил упругости подвеса и электростатических сил датчика силы контура подстройки частот на динамику чувствительного элемента двухмассовой конструкции ММГ LL-типа [75]. В линейной постановке задача рассматривалась [90] и обоснована более
высокая стабильность технических характеристик конструкции
ММГ с двумя инерционными массами по сравнению с одномассовой
конструкцией прибора.
Конструктивная схема ММГ приведена на рис. 2.11. Конструкция прибора содержит две инерционные массы, подвешенные на
упругих элементах в рамке, которая в свою очередь упругими элементами связана с корпусом прибора. Конструкция упругого подвеса обеспечивает перемещение рамки вместе с инерционными
массами вдоль оси x (первичные колебания), а инерционных масс
относительно рамки – вдоль оси y (вторичные колебания). Ось чув84
¶Ä¾ÃËÉÇÊ˹ËÁоÊÃÁ»ÁºÉÇÈÉÁ»Ç½
Y
Z
©¹Åù
¡Æ¾ÉÏÁÇÆÆԾŹÊÊÔ
Рис. 2.11. Конструктивная схема ММГ
с двумя инерционными массами
ствительности (z) ММГ ортогональна плоскости рамки. Конструкция прибора содержит систему вибровозбуждения и стабилизации
параметров первичных колебаний чувствительного элемента ММГ и контур подстройки частот, позволяющий электростатическим
способом осуществлять изменение спектра частот колебательной
системы ММГ.
Рассмотрим динамику чувствительного элемента ММГ в режиме стабилизации параметров первичных колебаний. Приведем
дифференциальные уравнения движения инерционных масс ММГ при вращении основания прибора вокруг оси чувствительности с
угловой скоростью Ω. С рамкой свяжем систему координат Oxyz,
направив ось x в направлении перемещения рамки, ось y – в направлении перемещений инерционных масс, ось z – вдоль оси чувствительности прибора. Примем, что рамка ММГ вместе с инерционными массами приведена электростатическим виброприводом в
колебания вдоль оси x по закону x = −ax sin ωt и реализуется режим
стабилизации параметров колебаний рамки. Обозначим через y1 и
y2 перемещения инерционных масс вдоль оси y относительно рам85
ки, отсчитываемые от положения статического равновесия. Силы
упругости Gy1(y1) и Gy2(y2) подвеса инерционных масс определим
выражениями Gyi (yi ) = cyi yi + κ yi yi3 , (i = 1,2) , где cyi и κ yi – коэффициенты линейной и нелинейной составляющих сил упругости подвеса инерционных масс.
Учитывая введенные обозначения, дифференциальные уравнения движения инерционных масс запишем в виде
••
•

m1 y 1 + µ y1 y1 +  cy1 + cy2 − m1Ω2


 y1 − cy2 y2 =
•
= −2m1Ω x− (κ y1 + κ y2 )y13 + κ y2 y23 ,
••
•

m2 y 2 + µ y2 y2 +  cy2 − m2Ω2

(2.6.1)

y − cy2 y1 =
 2
•
= −2m2Ω x− κ y2 y23 + κ y2 y13 − E(∆ − y2 ) + E(∆ + y2 ),
где m1, m2 – массы инерционных элементов, µ y1, µ y2 – коэффициенты демпфирования, а электростатические силы датчика силы
контура подстройки частот ММГ определяются выражениями
(1.1.2).
Функции E(∆ ± y2 ), входящие во второе из уравнений системы (2.6.1), представим в виде ряда (1.1.10). Решение полученной при этом системы уравнений будем находить в виде
yj = Aj sin(ωt + ψ j ), ( j = 1,2), используя метод гармонической ли3
неаризации [82] и полагая yj3 = qj yj , qj = Aj2 .
4
d
Введем оператор дифференцирования по времени p =
и предdt
ставим систему дифференциальных уравнений движения инерционных масс в виде векторного уравнения
 1 iωt 
f ( p)Y = 2ax ωΩ ⋅ Re 
e ,  1



(2.6.2)
где
p2 + 2h1 p + n12
y1
f
(
p
)
=
Y=
,
−S2
y2
n12 =
86
−S1
p2 + 2h2 p + n22
1 
3
2
cy1 + cy2 + κ y1 A1 ,


m1 
4
,
n22 =
4e
8e  2 
1 
3

1 
3
cy2 − 30 + κ y2 − 50  A2 , S1 =
cy2 + κ y2 A22 ,




m2 
4

m1 
4
∆
∆  
S2 =
µ1
µ
1 
3
2
, 2h2 = 2 .
cy2 + κ y2 A1 , 2h1 =

m2 
m1
m2
4
Из уравнения (2.6.2) следует
 F ( p) 1 iωt 
Y = 2ax ωΩ ⋅ Re 
e ,  ∆( p) 1



(2.6.3)
где F(p) – присоединенная матрица для матрицы f(p),
F ( p) =
p2 + 2h2 p + n22
S1
S2
2
p + 2h1 p + n12
,
4
∆( p) ≡ det f ( p) = ∑ dj p4−j , d0 = 1, d1 = 2(h1 + h2 ),
j=0


d3 = 2 h1n22 + h2n12 , d3 = n12n22 − S1S2 .


Выполнив вычисления в соответствии с выражениями (2.6.3),
получим уравнения, определяющие резонансные кривые колебаний инерционных масс ММГ:
d2 = n12 + n22 + 4h1h2 ,
A1 (ω4 −d2ω2 + d4 )2 + ω2 (d3 −d1ω2 )2 =


2
 2
2
4
2
2
2 


2ax ωΩ (n2 + S2 −ω ) (ω −d2ω + d4 ) +2h2 ω (d3 −d1ω ) +
 


1
2
 2
+ 2h2 ω(ω4 −d2 ω2 + d4 ) −ω×(d3 −d1ω2 )(n22 + S2 −ω2 )  ,

 

A2 (ω4 −d2ω2 + d4 )2 + (d3 −d1ω3 )2 = 2ax ωΩ (n22 + S1 −ω2 )×





2
×(ω4 −d2ω2 + d4 ) +2h1ω2 (d3 −d1ω2 ) + 2h1ω(ω4 −d2ω2 + d4 ) −


2
−ω(d3 −d1ω
1
 2
2
2 2
)(n2 + S1 −ω )  .


(2.6.4)
87
На рис. 2.12 и 2.13 изображены резонансные кривые A2 (ω), полученные численным решением уравнений (2.6.4) в системе MathCad
2000 Professional. Приняты следующие значения параметров чувствительного элемента ММГ: ((cy1 + cy2 ) / m1 )
1
2
= 2π ⋅ 6.6 ⋅103 c−1,
1
(cy2 / m2 ) 2 = 2π ⋅ 6.7 ⋅103 c−1, m1 / m2 = 0.34, 2h1 = 2h2 = 1 c−1. Пунктирными линиями на рис. 2.12 и 2.13 показаны резонансные кривые линейной системы (κ y1, κ y2 , e0 = 0), сплошными линиями –
резонансные кривые нелинейной системы. Рис. 2.12 соответствует
8e
значениям параметров ММГ, при которых κ y1 ≠ 0, κ y2 − 0 > 0,
∆5
8e0
рис. 2.13 соответствует случаю κ y1 = 0, κ y2 −
< 0. Резонансные
∆5
кривые A2 (ω) приведены в окрестностях значений частот вибрационного воздействия, близких к главным частотам колебательной
системы ММГ. Резонансные кривые A1 (ω) аналогичны кривым
A2 (ω). Нелинейная зависимость сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил датчика силы контура подстройки частот приводит к деформациям резонансных кривых и
смещению максимумов амплитуд колебаний инерционных масс в
направлении возрастания частот ω вибрационного возбуждения
˜sÅ
¤ÁƾÂƹØÊÁÊ˾Ź
¦¾ÄÁƾÂƹØÊÁÊ˾Ź
œÏ

Рис. 2.12. Резонансные кривые A2(w)
линейной и нелинейной систем
88
˜sÅ
¤ÁƾÂƹØÊÁÊ˾Ź
¦¾ÄÁƾÂƹØÊÁÊ˾Ź
œÏ

Рис. 2.13. Резонансные кривые A2(w)
линейной и нелинейной систем
первичных колебаний при κ y1 ≠ 0, κ y2 −
8e0
> 0 и в направлении
∆5
8e
уменьшения частот ω при κ y1 = 0, κ y2 − 0 < 0.
∆5
При проектировании ММГ частота ω вибрационного возбуждения колебаний чувствительного элемента выбирается в диапазоне
между значениями парциальных частот n1 и n2 (n1 < ω* < n2 ). Вид
резонансной кривой A2 (ω) в окрестности частоты ω* при принятых
в данном параграфе параметрах чувствительного элемента приведен на рис. 2.14. Изменение параметров окружающей среды, пара˜sÅ

œÏ
Рис. 2.14. Резонансная кривая A2(w)
в окрестности значения w*
89
метров упругого подвеса инерционных масс и электростатических
сил, технологические погрешности изготовления конструкции
прибора приводят к незначительному изменению вида резонансной
кривой в окрестности значения частоты ω* . Таким образом, рассматриваемая конструкция ММГ, содержащая две инерционные
массы, обладает большей стабильностью технических характеристик по сравнению с одномассовой конструкцией LL-ММГ.
90
3. Резонансные явления в динамике
чувствительных элементов
микромеханических гироскопов
3.1. Микромеханические гироскопы
с возбуждением колебаний от внешнего генератора
При возбуждении колебаний от внешнего генератора на электроды электростатических виброприводов чувствительных элементов ММГ подается переменное напряжение, изменяющееся по
гармоническому закону. При проектировании конструкции прибора параметры выбираются так, чтобы частота вибровозбуждения
совпадала или была близка к одной из собственных частот колебательной системы ММГ и осуществлялся резонансный режим функционирования прибора. Ниже рассматривается динамика чувствительных элементов ММГ в условиях основного резонанса с учетом
нелинейной зависимости сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот от перемещений чувствительного элемента. Предполагается, что корпус прибора установлен на
основании, совершающем вращение с угловой скоростью Ω = const
относительно оси чувствительности.
Рассмотрим сначала динамику чувствительного элемента ММГ,
конструктивная схема которого приведена на рис. 1.1. Используя
обозначения, принятые в параграфе 1.1, дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ММГ запишем в виде
••
•
•
m x + µ x x+ cx x − 2mΩ y = F (t) − κ x′ x3 ,
••
•
•
(3.1.1)
(m + m1 ) y + µ y y+ cy y + 2mΩ x = −κ y′ y3 + E(∆ + y) − E(∆ − y),
где F (t) = F0 sin ωt – сила, создаваемая системой генерации колебаний чувствительного элемента ММГ, E(∆ ± y) – электростатические силы контура подстройки частот колебательной системы
ММГ, определяемые выражениями (1.1.2).
Функции E(∆ ± y), как и в параграфе 1.1, разложим в степенные
ряды (1.1.10) и ограничимся слагаемыми не выше третьего порядy
ка по отношению к . Введем безразмерное время τ = ωt, примем
∆
2h
µ
за малый параметр µ = 1 , 2h1 = x , (µ << 1) и перепишем уравω
m
нения (3.1.1) в виде
91
d2 x
 dx

dy
+ n12 x = −µ  − f0 sin τ + κ x x3 ,

 dτ

dτ
dτ
2
 h2 dy

d y
dx
2
3 

+ κ2
+ n2 y = −µ 
+ κ y y ,
 h dτ
dτ

dτ 2
2
− κ1
(3.1.2)
1


µy
2Ω
c
c − 4e0 , 2h =
где n12 = x , n22 =
,
, κ1 =
2
2  y
3 
2
ω
m + m1
(m + m1 )ω
∆
mω
1
κ2 =
κ y′


2mΩ
1
κ ′ − 8e0 , f0 = F0 ,
,κ x =
,κ y =
y

5

(m + m1 )ω
2h1ωm
2h1ωm

2h1ω(m + m1 )
∆ 

ε0 εSU 2 

e
=
.
0

2


Рассмотрим движение чувствительного элемента ММГ, предполагая, что частота вибровозбуждения совпадает с одной из главных частот линейной системы, получаемой из системы (3.1.2) при
κ x , κ y = 0. Примем сначала, что k1=1<k2, где k1 и k2 корни уравнения

k4 −  n12 + n22 + κ1 κ2

 2
2 2
k + n1 n2 = 0. (3.1.3)
Решение уравнений (3.1.2), используя метод медленно меняющихся коэффициентов, будем искать в виде [15]
x = a1 sin τ + a2 cos τ + b sin(k2 τ + ϑ),
y = λ1a1 cos τ − λ1a2 sin τ + λ2b cos(k2 τ + ϑ),
(3.1.4)
где λ1, λ2 – коэффициенты распределения
λj =
−n12 + kj2
κ1kj
=
κ2 kj
−n22 + kj2
, j = 1, 2, (λ1 < 0, λ2 > 0). (3.1.5)
В соответствии с методом медленно меняющихся коэффициентов функции a1 (τ), a2 (τ), b(τ) и ϑ(τ) считаются медленно меняющимися функциями τ, удовлетворяющими дополнительным условиям, заключающимся в том, что первые производные от x и y по τ
имеют такой же вид, как при a1, a2, b и ϑ постоянных. Подставляя
выражения (3.1.4) в уравнения (3.1.2), решая полученные уравнеda1 da2 db
dϑ
ния относительно
,
,
и
совместно с уравнениями,
dτ
dτ
dτ dτ
92
налагающими дополнительные условия на функции a1 (τ), a2 (τ),
2π
,
b(τ) и ϑ(τ), усредняя правые части уравнений за периоды 2π и
k2
придем к следующей системе дифференциальных уравнений:
da1


µ
= −  A1a1 + B1a2  a12 + a22 + 2b2  + C1a2 ×



dτ
2
 
 µ

× λ12  a12 + a22  + 2λ22 b2  = P(a1, a2 , b),
 

 2
da2


µ
= − − A1a2 + B1a1  a12 + a22 + 2b2  + C1a2 ×



dτ
2
 µ


× λ12 (a12 + a22 ) + 2λ22b2  − R1  = Q(a1, a2 , b),


 2

h
κ 
µ k
db
= − 2 2 2 κ1λ2 2 + 2 b,
dτ
h1 λ2 
2 k2 − k1 
 κ  
3
1
dϑ
κ x 2 2 a12 + a22
=− µ 2
8 k2 − k12  λ2  
dτ


×2λ12  a12 + a22



 + b2  + κ y κ1λ2 ×




+ λ22b2  ,


(3.1.6)
где
A1 = −

h
1 
κ λ 2
2
2  1 2 h
k2 − k1
1
B1 = −
3
4
κ xκ2
 2
λ1  k2 − k12

+


κ 2 
3 κ y λ1κ1
, ( A1 > 0); C1 = −
, (C1 > 0);


4 k22 − k12
λ1 
, (B1 > 0); R1 =
κ 2 f0
 2
λ1  k1 − k22



, (R1 > 0).
При записи уравнений (3.1.6) использованы соотношения
λ2k2 − λ1k1 =
k22 − k12
,
κ1

2
λ2 λ1  k22 − k1 


λ1k2 − λ2k1 =
.
κ2
Особые точки системы (3.1.6), соответствующие стационарным
движениям чувствительного элемента ММГ, найдем, приравняв
нулю правые части уравнений (3.1.6). Уравнения (3.1.6) имеют
особые точки на плоскости a1a2 (a1, a2 ≠ 0, b=0), соответствующие
93
гармоническому движению чувствительного элемента с частотой
ω вибровозбуждения (k1=1). На оси b (a1,a2=0) особых точек нет,
следовательно, гармонические движения чувствительного элемента с частотой k2 в рассматриваемом случае (k1=1<k2) невозможны.
Координаты особых точек системы (3.1.6) определяются уравнениями

2 
2
A1a1 +  B1 + C1λ1  a12 + a2 a2 = 0,






2
2
2

− A1a2 +  B1 + C1λ1  a1 + a2 a1 = R1.



(3.1.7)
Обозначив ax2 = a12 + a22 (ax – амплитуда колебаний координаты
x с частотой k1=1), из уравнений (3.1.7) получим уравнение амплитудной кривой периодических движений частоты k1:

2
 B1 + C1λ12  ax6 + A12ax2 = R12 ,


(3.1.8)
(ay = λ1 ax ).
Характер особых точек на плоскости a1a2 (b=0) определяется
выражениями
p = −(Pa′1 + Qa′ 2 )= 2 A1 > 0,


q = Pa′1Qa′ 2 − Pa′2 + Qa′ 1 = A12 + 3 B1 + C1λ12  a12 + a22





∆ = p2 − 4q = −12 B1 + C1λ12  a12 + a22  < 0.



2
 > 0, (3.1.9)

Так как p>0, q>0 и ∆ < 0 особая точка системы уравнений (3.1.6)
на плоскости a1a2 является особой точкой типа устойчивый фокус
и соответствует устойчивому гармоническому движению чувствительного элемента с частотой ω вибровозбуждения.
При k1<k2=1 решение уравнений (3.1.2) находим методом медленно меняющихся коэффициентов в виде
x = a sin(k1τ + ϑ) + b1 sin τ + b2 cos τ;
y = λ1a cos(k1τ + ϑ) + λ2b1 cos τ − λ2b2 sin τ,
(3.1.10)
где k1, k2 – корни уравнения (3.1.3), а λ1, λ2 – коэффициенты распределения, определяемые выражениями (3.1.5).
94
Переменные a(τ), ψ(τ), b1 (τ) и b2 (τ) удовлетворяют системе
уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за
2π
периоды
и 2π :
k1
h κ 
da µ k1 
=
κ1λ1 2 + 2 a,

λ 
dτ 2 k2 −k2 
h
2
1
1
1
 2
dψ 3
1 κ x κ 2  2
2 
= µ
a +2 b1 + b2 +

dτ 8 k22 −k12  λ1 



+κ y κ1λ1 λ12a2 + 2λ22  b12 + b22  ,



db1


µ
=−  A2b1 + B2 b2  2a2 + b12 + b22 +



dτ
2



+C2b2 2λ12 a2 + λ22  b12 + b22  ,



db2 µ 


= − A2 b2 + B2 b1  2a2 + b12 + b22 +


dτ 2 




+C2 b1 2λ12 a2 + λ22  b12 + b22 − R2  , 




A2 =
(3.1.11)


κ λ h2 + κ 2 , ( A > 0); C = 3 κ y λ2κ1 , (C > 0);

1
2
2
2
2


4 k22 − k12
h1 λ2 
k22 − k12 
B2 =
1
3
4
κ xκ2

λ2  k22 − k12



, (B2 > 0); R2 =
κ 2f0

λ2  k12 − k22



, (R2 > 0).
Уравнения (3.1.11) имеют особые точки на плоскости b1b2 (a=0,
b1, b2 ≠ 0), соответствующие гармоническому движению чувствительного элемента ММГ с частотой ω вибровозбуждения (k2=1). На
оси a (b1, b2=0) особых точек нет, следовательно, гармонические
движения чувствительного элемента с частотой k1 в рассматриваемом случае k1<k2=1 невозможны. Координаты особых точек системы (3.1.11) определяются уравнениями



A2 b1 +  B2 + C2 λ22  b12 + b22 b2 = 0,






− A2 b2 +  B2 + C2 λ22  b12 + b22 b1 = R2 .



(3.1.12)
95
Из уравнений (3.1.12) получим уравнение амплитудной кривой
периодических движений частоты k2

 B2 + C2 λ22

2 6

b + A22 bx2 = R22 ,  bx2 = b12 + b22
 x


, (by = λ2 bx ). (3.1.13)
Аналогично случаю k1=1<k2 устанавливается, что особая точка
в плоскости b1b2 является особой точкой типа устойчивый фокус
и соответствует устойчивому гармоническому движению чувствительного элемента ММГ с частотой ω вибровозбуждения, совпадающей со второй из главных частот линейной системы, получаемой
из системы (3.1.2) при κ x и κ y = 0.
Приведем числовой пример. Примем следующие значе1
c 
ния параметров ММГ, близкие реальным:  x 2 = 5π ⋅103 c−1,
 m 
1



2
cy − 4e0 ⋅ 1  = 5.02 ⋅ π ⋅103 c−1,
h2 = 5h1,
2h1 = 1.92 c−1,
3  m + m 

∆
1

κ x′
2mΩ
= 8.46 ⋅1015 ì−2 c−1,
2Ω = 12.57 c−1,
= 8.98 c−1,
2h1m
m + m1


1
 κ ′ − 8e0 ⋅
= 6.04 ⋅1015 ì−2 c−1, f0 = 1.5 ⋅10−5 ì.
 y ∆5  2h1 (m + m1 )
При этих данных получаем: при k1 = 1, k2 = 1.004057 (частота вибровозбуждения совпадает с первой из главных частот
линейной системы) ax = 3.3 ìêì, ay = λ1 ⋅ ax = 0.23 ìêì; при
k2 = 1, k1 = 0.995959 (частота вибровозбуждения совпадает со
второй из главных частот линейной системы) bx = 0.021 ìêì,
by = λ2 ⋅ bx = 0.21 ìêì. В каждом из резонансных режимов k1=1<k2
или k1<k2=1 движение чувствительного элемента ММГ асимптотически устойчиво. Отметим, что в случае линейной зависимости
сил упругости подвеса от перемещений чувствительного элемента и при e0=0 (электростатическая компонента жесткости равна
нулю) получаются иные значения параметров периодических движений чувствительного элемента при k1=1<k2: ax = 14.488 ìêì,
ay = λ1 ⋅ ax = 1.026 ìêì.
Перейдем к исследованию динамики чувствительных элементов
ММГ с вращательными движениями инерционной массы в условиях основного резонанса. Будем предполагать, что корпус прибора
установлен на объекте, совершающем вращение с угловой скоростью ωz = −Ω = const относительно оси чувствительности. Рассмо96
трим для определенности схему роторного ММГ (рис. 2.5), принимая, что оси Оx1y1z1, жестко связанные с ротором, являются главными осями инерции. Дифференциальные уравнения движения
(2.2.1) чувствительного элемента ММГ принимают вид
••
•
•
C α + µ α α+ cα′ α − C0 Ωβ =
•• 
••
= L0 sin ωt + (C − A ) α β2 + 2 αββ − κ α′ α 3 ,


••
•
•
•
B β + µβ β+ cβ′ β + C0 Ωα = −(C − A )α 2 β − κ β′ β3 ,
C0 = C + B − A, cα′ = cα − (B − A)Ω2 , cβ′ = cβ − (C − A)Ω2 ; (3.1.14)
где cα , cβ и κα′ κβ′ – коэффициенты линейной и нелинейной составляющих жесткости упругого подвеса ротора, L0 sin ωt – момент, создаваемый системой вибровозбуждения колебаний ротора.
Введем безразмерное время τ = ωt, примем за малый параметр
µ
2h
µ = α << 1, 2hα = α и перепишем уравнения (3.1.14) в виде
C
ω
d2 α
dβ
− κ1
+ n12α =
2
τ
d
dτ
 dα

d2 α 2
dα dβ
= −µ 
− l0 sin τ − ρ1
β − 2ρ1
β + κ α α 3 ,
2
dτ dτ
 dτ
dτ

 h dβ

 dα 2
d2β
dα
 β
+ κ2
+ n22β = −µ 
+ ρ2   β + κ ββ3 , (3.1.15)
 dτ 

dτ
 hα dτ
dτ 2
cβ′
µβ
c′
C− A ω
C− A ω
где n12 = α , n22 = , 2hβ =
, ρ2 =
,
, ρ1 =
B
C
C 2hα
B 2hα
B
κ β′
C Ω
C Ω
κ α′
, κ1 = 0 , κ2 = 0 .
κα =
, κβ =
Bω
Cω
2hα ωB
2hα ωC
В случае основного резонанса k1=1<k2,, где k1, k2 определяются
уравнением, совпадающим с уравнением (3.1.3), решение уравнений (3.1.15) находим, используя метод медленно меняющихся коэффициентов в виде
α = a1 sin τ + a2 cos τ + b sin(k2 τ + ϑ),
β = λ1 cos τ − λ1a2 sin τ + λ2b cos(k2 τ + ϑ), (3.1.16)
где λ1, λ2 – коэффициенты распределения, определяемые выражениями (3.1.5). Отметим, что λ1 < 0, λ2 > 0.
97
Переменные a1 (τ), a2 (τ), b(τ) и ϑ(τ) в рассматриваемом случае
(k1=1<k2) удовлетворяют системе уравнений, правые части кото2π
:
рых получены усреднением по τ за периоды 2π и
k2
 

da1



µ 
=− A1′a1 + B1′a2  a12 + a22 +2b22 + C1′a2 λ12  a12 + a22 +2λ22b2−








dτ
2 


 

1
1  κ2 
− ⋅
ρ1 a2  κ1λ1 +n12 λ12  a12 + a22 +2λ22b2+2ρ1κ2 a2×

 


4 k22 −k12  λ1 

 






×λ1  a12 + a22 +2λ2k2b2+ ρ2κ1a2 3λ1  a12 + a22 +2λ1k22b2 + 4λ2k2b2,
 






 

da2 µ 



= − A1′a2 + B1′a1  a12 + a22 + 2b2 + C1′a1 λ12  a12 + a22 +2λ22b2− R1 −








dτ 2 


 

1 1  κ2 
−
ρ1 a1  κ1λ1 +n12 λ12  a12 + a22 +2λ22b2+2ρ1κ2 a1×

 


8 k22 −k12  λ1 

 






×λ1  a12 + a22 +2λ2 k2 b2+ ρ2κ1a1 3λ1  a12 + a22 +2λ1k22 b2 + 4λ2 k2 b2
,



 



h
κ 
db
µ k2 
κ1λ2 α + 2 b,
=−

dτ
hβ λ2 
2 k22 −k12 


3   2
 1 
κ2


dϑ µ 
 κ α 2 a1 + a22 + b2+ ρ1b κ1k2 λ2 +n12 ×
= 














dτ 2   2 2  4
4
λ2  k2 −k1 


 1

 1




×2λ12  a12 + a22 +2λ22 b2− ρ1bk2 λ2 2λ12  a12 + a22 + k2 λ2 b2 + ×





 2

 4




κ



× 1 3κβ κ1λ2 2λ12  a12 + a22 + λ22 b2+ ρ2κ1b λ2 +2λ1k2 ×
2
2








k2 −k1 

 
 2
 3
2
2
2
× a1 + a2 + λ2 k2 b  ,
(3.1.17)

 2
 


где
98
A1′ = −


κ α κ2
κ λ hβ + κ 2 , ( A ′ > 0); B ′ = − 3

1
1
1
1

2
2 


hα λ1 
4  2
k2 − k1 
λ1  k2 − k12

1
C1′ = −
3 κ β λ1κ1
, (C1′ > 0); R1′ =
4 k22 − k12
κ 2l0

λ1  k12 − k22





, (B1′ > 0);
, (R1′ > 0).
Уравнения (3.1.17) имеют особые точки на плоскости a1a2 (a1,
a2 ≠ 0, b=0), соответствующие гармоническому движению чувствительного элемента ММГ с частотой ω вибровозбуждения. Как
и в предыдущем случае, при k1=1<k2 на оси b (a1, a2=0) особых точек нет, следовательно, гармонические движения чувствительного элемента с частотой k2 в рассматриваемом случае невозможны.
Обозначив aα2 = a12 + a22 , уравнение амплитудной кривой периодических движений частоты k1 запишем в виде
D2 aα6 + ( A1′ )2 aα2 = (R1′ )2 ,
(aβ = λ1 aα ),
где
D =−
 κ κ

3 α 2 + κ κ λ2  + ρ κ  2 + κ λ + n2
β 1 1 
1 2 
1 1
1

  2

4 k22 − kα2    λ1


λ1
(3.1.18)



 + 3ρ2 κ1  .

Как и ранее устанавливается, что особая точка (a1, a2 ≠ 0,
b=0) системы (3.1.17) является особой точкой типа устойчивый
фокус и соответствует устойчивому периодическому движению
чувствительного элемента ММГ с частотой ω вибровозбуждения (k1=1).
При k1<k2=1 решение уравнений (3.1.15) находим методом медленно меняющихся коэффициентов в виде
α = a sin(k1τ + ψ ) + b1 sin τ + b2 cos τ,
β = λ1a cos(k1τ + ψ ) + λ2b1 cos τ − λ2b2 sin τ, (3.1.19)
где k1 и k2 – корни уравнений частот вида (3.1.3), а λ1 и λ2 – коэффициенты распределения, определяемые выражениями (3.1.5).
Переменные a(τ), ψ(τ), b1 (τ) и b2 (τ) удовлетворяют системе
уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за
2π
:
периоды 2π и
k1
99
hβ κ 2 
da µ k1 
=
+ a,
κ
λ

1
1
dτ 2 k22 − k12 
hα λ1 


3 
κ2

 1


dψ µ 
 κ α a2 + 2 b12 + b22  − ρ1a κ1k2 λ2 + n12 ×
= 













dτ 2   2
4
2 4
 λ1  k2 − k1  

 2 2

 1
 1


×2λ2  b1 + b22 ) + λ12a2  − ρ1ak1λ1  2λ2 b12 + b22  + k1λ1a2  + ×

 2




 4
×
κ1
2
k2 − k12



3κ β κ1λ1  λ12a2 + 2λ22  b12 + b22





 − ρ κ a  λ + 2λ2k1 ×
 2 1  1


,




db1
 2

µ 
= − × A2′ b1 + B2′ b2  b1 + b22 + 2a2  + C1′ b2 ×


dτ
2 

 
 1

1
× λ22  b12 + b22  + 2λ12 a2 + ⋅ 2
×
 

 4 k2 − k12

× b12 + b22

 3
2 2 
 + 2 λ1k1 a 

 κ

2  2  2
2
×ρ1 2 b2  κ 2 λ2 + n1 
 λ2  b1 + b2
 λ2 
 
×λ2  b12 + b22
 


×3λ2  b12 + b22




2 2 
 + 2λ1 a  + 2ρ1κ 2 b2 ×


+ 2λ1k1a2  + ρ2κ1b2 ×




2 2
2  

 + 2λ2k1 a + 4λ2k1a  ,

db2 µ 


= ×− A2′ b2 + B2′ b1  b12 + b22 + 2a2  + C2′ b1 ×


dτ
2 

 κ2 
 


1
1
2
ρ1
× λ22  b12 + b22  + 2λ12a2  − R2′ + ⋅
b1  κ1λ2 + n1 ×
2
2
 





4 k2 − k1  λ2


 

2
2
× λ22  b12 + b2  + 2λ12 a2  + 2ρ1κ 2 b1 ×λ2  b12 + b2




 


+ρ2κ1b1 3λ2  b12 + b22


где
100

2 
 + 2λ1k1a  +


2 2
2  

 + 2λ2 k1 a + 4λ1k1a  ,

(3.1.20)
A2′ =
1


κ1λ2
k22 − k12 
B2′ =
3
4
hβ
hα
+
κ 2 
3 κ β κ1 λ 2
, (C2′ > 0);
, ( A2′ > 0); C2′ =
4 k22 − k12
λ2 
κ α κ2
κ 2l0
, (B2′ > 0); R2′ =
, (R2′ > 0).
 2

 2
2
2 


λ2  k2 − k 
λ2  k1 − k 
1
2


Уравнения (3.1.20) имеют особые точки на плоскости b1b2 (a=0,
b1, b2 ≠ 0 ), соответствующие гармоническому движению ротора
ММГ с частотой ω вибровозбуждения (k2=1). На оси a (b1, b2=0)
особых точек нет, следовательно, гармонические движения чувствительного элемента с частотой k1 в рассматриваемом случае
(k1<k2=1) невозможны. Уравнение амплитудной кривой периодических движений частоты k2 имеет вид
(D ′)2 bα6 + ( A ′)22 bα2 = (R2′ )2 ,
 2

 bα = b12 + b22 , bβ = λ2 bα ,


 κ κ
λ2
3 α 2 + κ κ λ2  +
D′ =
β 1 2
2
2  

4(k2 − k1 )   λ22



+ρ1κ 2  2 + κ1λ2 + n12  + 3ρ2κ1  . 


(3.1.21)
Аналогично предыдущему (выражения (3.1.19)), устанавливается, что особая точка (a=0, b1, b2 ≠ 0 ) системы (3.1.20) является
особой точкой типа устойчивый фокус и соответствует периодическому движению чувствительного элемента – ротора ММГ с частотой ω вибровозбуждения (k2=1).
Приведем числовой пример. Примем следующие значения
1
1
 cβ′ 2
 c ′ 2
параметров роторного ММГ:  α  = 2.92 ⋅ 2π ⋅103 c−1,   = 2.96 ⋅ 2π ⋅10
B
C
1
 cβ′ 2
′
κ
  = 2.96 ⋅ 2π ⋅103 c−1, 2h = 1.94 c−1, h = 2.5h ,
α
= 0.54 ⋅109 c−2 ,
β
α
α
 B 
C
κβ′
L
C− A
C− A
= 0.612 ⋅109 c−2 , 0 = 1.53 ⋅103 c−2 ,
= 0.67,
= 2.027,
B
C
C
B
Ω = 2π c−1 . При этих данных получаем: при k1 = 1, k2 = 1.013711
(частота вибровозбуждения совпадает с первой из главных частот линейной системы) aα = 2.46 , aβ = λ1 ⋅ aα = 0.092 ; при
101
k2 = 1, k1 = 0.986473 (частота вибровозбуждения совпадает со
второй из главных частот линейной системы) bα = 0.028 óãë.ìèí,
bβ = λ2bα = 2.25 óãë.ìèí. В каждом из резонансных режимов
k1=1<k2, k1<k2=1 движение чувствительного элемента ММГ асимптотически устойчиво. На неподвижном основании (Ω = 0)
при ω = nα амплитуда вынужденных колебаний чувствительного элемента ММГ aα составляет 2,46°. При вращении основания
с угловой скоростью Ω = 2π c−1, если реализуется режим движения, при котором частота вибровозбуждения совпадает со второй из главных частот (k1<k2=1) амплитуда вынужденных колебаний по каналу возбуждения существенно отличается от этого
значения (0.028 угл.мин). Отмеченные особенности резонансных режимов движения следует учитывать при проектировании ММГ.
3.2. Динамика чувствительных элементов
микромеханических гироскопов
при прохождении через резонанс
При функционировании на подвижных объектах и при вибрационных испытаниях чувствительные элементы ММГ подвергаются вибрационным воздействиям с переменной частотой и осуществляется прохождение через резонанс. В данном параграфе
рассматривается динамика чувствительных элементов ММГ при
изменении частоты вибрационного воздействия со временем,
причем в процессе своего изменения частота вибрационного воздействия проходит через частоту основного резонанса. Решение
задачи производится в нелинейной постановке. В дифференциальных уравнениях движения чувствительных элементов ММГ учитываются слагаемые, обусловленные нелинейными звеньями систем генерации колебаний чувствительных элементов и
нелинейной зависимостью сил упругости подвеса и электростатических сил контура подстройки частот от перемещений чувствительных элементов. Применяется асимптотический метод
теории нелинейных колебаний [6, 71]. Определены резонансные
кривые при прямом и обратном прохождении через резонанс,
отмечены особенности влияния нелинейностей характеристик
сил упругости подвеса и электростатических сил на резонансные
кривые.
102
Рассмотрим динамику чувствительного элемента ММГ, конструктивная схема которого приведена на рис. 1.1. Примем, что
основание (корпус) ММГ совершает поступательные гармонические колебания в направлении осей x и y, мгновенная частота которых изменяется в зависимости от времени. Дифференциальные уравнения движения (1.1.1) чувствительного элемента
ММГ с учетом введенных в параграфе 1.1 обозначений запишем в виде:
••
•
•
•
m x + µ x x+ cx x = F (x) − κ x′ x3 − m V 0x (t);
••
•
(m + m1 ) y + µ y y+ cy y =
•
•
= −κ y′ y3 + E(∆ + y) − E(∆ − y) − (m + m1 ) V 0y (t), (3.2.1)
•
где F (x) = F0 sign x – сила, создаваемая электростатическим виброприводом системы автогенерации колебаний чувствительного
элемента ММГ; E(∆ ± y) – силы, создаваемые датчиками силы контура подстройки частот и определяемые выражениями (1.1.2); cx,
cy, κ x′ и κ y′ – как и ранее, коэффициенты линейной и нелинейной
составляющих сил упругости подвеса чувствительного элемента
ММГ (G (x) = cx x + κ x′ x3 , G (y) = cy y + κ y′ y3 ).
Как и в параграфе 1.1, разложим функции E(∆ ± y) в степенные
ряды (1.1.10) и ограничимся слагаемыми не выше третьего порядy
ка по отношению к . Проекции ускорения основания на оси ξ и
∆
η представим выражениями
•
•
V 0x = Wxo sin Θ(t); V 0y = Wyo sin Θ(t), (3.2.2)
•
где Θ(t) = ω(t) – мгновенная частота, являющаяся медленно меняющейся функцией времени.
Рассмотрим сначала первое уравнение системы (3.2.1). Обознаc
чим nx2 = x , введем безразмерное время τ = nx t, малый параметр
m
2hx
µ
µ=
, (2hx = x , µ << 1) и перепишем первое уравнение систеnx
m
мы (3.2.1) в виде
d2 x
 dx

dx
+ x = µ −
+ f0 sign
− κ x x3 − wxo sin Θ x (τ),



dτ
dτ
dτ
2
103
где f0 =
dΘx ω(τ)
=
= ν(τ), dτ
nx
(3.2.3)
Wxo
F0
κ x′
o
.
, κx =
, wx =
2hxnx
2hxnxm
2hxnxm
Решение уравнения (3.2.3) будем находить, используя асимптотический метод, в виде
x = a cos(Θx + ϑ), (3.2.4)
где a(τ) и ϑ(τ) определяются из системы уравнений
 a 2f

wxo
da

= µ − − 0 +
cos ϑ ,
 2
π
1 + ν(τ)
dτ

3

wxo
dϑ

2
= 1 − ν(τ) + µ  κ x a −
sin ϑ .
 8

dτ
a[1 + ν(τ) ]
(3.2.5)
Примем, что мгновенная частота ω(t) зависит от времени линейно ω(t) = ω0 + γ ′t; при γ ′ > 0 частота возрастает со временем, при
γ ′ < 0 – убывает. В этом случае уравнения (3.2.5) принимают вид

o
2f
w
da 1  
x cos ϑ ,
= −h x − 0 +

π
dν γ 
1 + ν(t)


o
w
dϑ 1 
3
x
= 1 − ν(t) + κ x a2 −
sin ϑ ,
dν γ 
8
a[1 + ν(t) ]


ω0
γ ′ 

 ν(t) = ν0x + γτ, ν0x = n , γ = 2 ,
nx 

x
(3.2.6)
o
F
 x = µx , w
 o = Wx , κ = κ x′ .
f 0 = 02 , 2h
x
x
mnx
mnx
nx2
mnx2
Если частота вибрационного воздействия постоянна, приравняв
правые части уравнений (3.2.6) нулю и исключив из полученных
уравнений ϑ, найдем уравнение стационарной резонансной кривой
104
2
 2

o 2
h
 x a − 2f 0  + a2 1 − ν + 3 κ a2  = (w x ) . 

x



π 
8
(1 + ν)2

(3.2.7)
При
переменной
частоте
вибрационного
воздействия
(ν(τ) = ν0x + γτ) резонансные кривые прохождения через резонанс
получены численным интегрированием системы (3.2.6) с использованием программы Maple9. На рис. 3.1 и 3.2 изображены стационарные резонансные кривые и кривые прохождения через резонанс в прямом ( γ > 0, частота возрастает со временем) и обратном
( γ < 0, частота убывает со временем) направлениях. При расчетах
приняты следующие
значения
параметров ММГ,
близкие к ре^
^
^
альным: f 0 = 0.38 ⋅10−8 ì, h x = 0.857 ⋅10−4 , κ x = 0.825 ⋅107 ì−2 ,
BsÅ
 s
 s
 s
ªË¹ÏÁÇƹÉƹØ
ɾÀÇƹÆÊƹØÃÉÁ»¹Ø
W
Рис. 3.1. Стационарная резонансная кривая
и кривые прохождения через резонанс (g>0)
BsÅ
ªË¹ÏÁÇƹÉƹØ
ɾÀÇƹÆÊƹØÃÉÁ»¹Ø
 ss
 ss
 ss
W
Рис. 3.2. Стационарная резонансная кривая
и кривые прохождения через резонанс (g<0)
105
o
 x = 0.2 ⋅10−6 ì. Значения коэффициента γ, характеризующеw
го скорость прохождения мгновенной частоты через резонансную
зону, приведены на рис. 3.1 и 3.2. В качестве начальных значений
при расчетах принимались значения a и ϑ, соответствующие значениям a и ϑ стационарной резонансной кривой при ν = 0.8 при
прохождении резонанса в прямом направлении и при ν = 1.2 при
прохождении резонанса в обратном направлении.
Анализ резонансных кривых позволяет выявить характерные
особенности колебаний чувствительного элемента ММГ при прохождении через резонанс, а также влияние нелинейности упругого
подвеса чувствительного элемента на динамику прохождения через
резонанс. При этом существенное влияние на резонансную кривую
оказывает скорость изменения частоты вибрационного воздействия.
При медленном прохождении через резонансную зону амплитудная
кривая близка к стационарной кривой. При увеличении скорости
прохождения через резонанс максимумы амплитуды снижаются,
острота максимума резонансной кривой становится меньше остроты
стационарной резонансной кривой. Кривые прохождения через резонанс в прямом и обратном направлениях отличаются, причем, чем
медленнее прохождение через резонанс, тем существеннее отличие.
Нелинейность характеристики сил упругости подвеса чувствительного элемента оказывает влияние на стационарную резонансную
кривую и амплитудные кривые прохождения через резонанс. Особенности нелинейности проявляются в большей степени при медленном прохождении через резонанс. Увеличение коэффициента демпфирования или, что то же, уменьшение добротности колебательной
системы ММГ снижает максимумы стационарной резонансной кривой и кривых прохождения через резонанс.
Аналогично исследуется второе уравнение системы (3.2.1). Это
cy
уравнение введением безразмерного времени τ = ny t, ny2 =
,
m + m1
µy
2hy
, µ << 1) приводится к
, (2hy =
малого параметра µ =
m + m1
ny
виду
d2 y
где κ y =
106
 dy

+ y = −µ + κ y y3 + wyo sin Θy (τ), 


dτ
dτ
2
o
2

1
 ′ 4ε0 εSU  wo = Wy .
κ
−
,

y
y
2hy′ ny
2hyny (m + m1 ) 

∆5
(3.2.8)
Как и в предыдущем случае, решение уравнения (3.2.8) находим, используя асимптотический метод теории нелинейных колебаний, в виде
y = b cos(Θy + ψ), (3.2.9)
где b(τ) и ψ(τ), учитывая, что изменение частоты вибровозбужω
дения происходит по линейному закону ν(τ) = ν0y + γτ, ν0y = 0 ,
ny
γ′
γ=
, определяются уравнениями
2
ny


oy
w
db 1  

= −h Y b +
cos ψ ,

dν γ 
1 + ν(τ)


(3.2.10)


oy
w
dψ 1 
3

2
= 1 − ν(τ) + κ Y b −
sin ψ ,

dν γ 
b[1 + ν(τ) ]
8


2

 ′ 4ε0 εSU 
κ
−
.
 y
(m + m1 )ny
(m + m1 )ny2 
∆5
ny2

Приравнивая правые части уравнений (3.2.10) нулю при постоянной частоте вибрационного воздействия, получим уравнение стационарной резонансной кривой
y =
где 2h
µy
oy =
, w
W0y
, κ y =
1
 o 2
w y 
2

 
 +1 − ν + 3 κ b2   =   . (3.2.11)
b2  h
y 
y  

  1 + ν2
8



При переменной частоте вибрации (ν (τ) = ν0y + γτ) резонансные кривые прохождения через резонанс, как и ранее, получены
численным интегрированием системы (3.2.10) с использованием
программы Maple9. Если параметры ММГ удовлетворяют усло4ε εSU 2
вию κ y′ > 0
, кривые прохождения через резонанс анало∆5
гичны изображенным на рис. 3.1 и 3.2. Если параметры ММГ 4ε εSU 2
удовлетворяют условию κ y′ < 0
, стационарная резонанс∆5
ная кривая имеет вид, подобный системам с мягкой характеристикой позиционных сил. Стационарные резонансные кривые
прохождения через резонанс в этом случае показаны на рис 3.3 и
3.4. Анализ резонансных кривых приводит к выводам о влиянии
107
CsÅ
ªË¹ÏÁÇƹÉƹØ
ɾÀÇƹÆÊƹØÃÉÁ»¹Ø
 s
 s
 s
W
Рис. 3.3. Стационарная резонансная кривая

4ε εSU 2 

и кривые прохождения через резонанс  γ >0, κ y′ < 0 5


∆

CsÅ
ªË¹ÏÁÇƹÉƹØ
ɾÀÇƹÆÊƹØ
ÃÉÁ»¹Ø
 ss
 ss
 ss
W
Рис. 3.4. Стационарная резонансная кривая

4ε εSU 2 

и кривые прохождения через резонанс  γ < 0, κ y′ < 0 5


∆

нелинейности характеристик сил упругости подвеса, электростатических сил и скорости прохождения через резонанс, аналогичным выводам, сделанным при исследовании первого уравнения
системы (3.2.1). Как и в предыдущем случае, при медленном про108
хождении через резонансную зону амплитудная кривая близка к
стационарной резонансной кривой. При увеличении скорости прохождения через резонанс максимумы амплитудной кривой снижаются, острота максимума резонансной кривой становится меньше
остроты стационарной резонансной кривой. Чем медленнее прохождение через резонанс, тем существеннее отличие кривых прохождения через резонанс в прямом и обратном направлениях. Нелинейности характеристик сил упругости подвеса чувствительного элемента и электростатических сил контура подстройки частот
в большей степени оказывают влияние на амплитудные кривые
при медленном прохождении через резонанс. Уменьшение добротности колебательной системы снижает максимумы стационарной
резонансной кривой и амплитудных кривых прохождения через резонанс.
Полученные результаты могут использоваться при проектировании конструкций ММГ и анализе результатов вибрационных испытаний приборов этого типа.
3.3. Нелинейные резонансные явления
в динамике микромеханических гироскопов
При функционировании ММГ в условиях вибраций основания
могут развиваться нелинейные резонансные явления, нарушающие нормальный режим функционирования прибора. Результаты исследований нелинейных резонансных колебаний твердых
тел и гироскопических систем обобщены в монографиях [17, 18]
и нашли отображение в справочнике [16]. Исследованы условия
возникновения нелинейных резонансных колебаний твердых тел
и гироскопических систем, получены условия устойчивости резонансных колебаний. В данном параграфе исследуются нелинейные
резонансные колебания чувствительного элемента, возникающие
при вибрациях основания ММГ. Рассматривается конструкция
ММГ (RR-ММГ) с вращательными движениями чувствительного
элемента (см. рис. 2.5).
Будем использовать обозначения, принятые в параграфе 2.4, и
дифференциальные уравнения движения чувствительных элементов ММГ, приведенные в этом же параграфе. Примем, что корпус
ММГ установлен на основании, совершающем малые высокочастотные вибрации в соответствии с выражениями
109
ω x (t) = ω ox sin(ω1t + δ x ), ω y (t) = ω oy sin(ω2t + δ y ),
ω z (t) = ω oz sin(ω3t + δ z );
V0x (t) = Vxo sin(ω4t + γ x ), V0y (t) = Vyo sin(ω5t + γ y ),
V0z (t) = Vzo sin(ω6t + γ z ).
(3.3.1)
Дифференциальные уравнения (2.4.2) чувствительного элемента ММГ запишем в виде
••
•
••
•
•
C α + µ α α+ cα α − Jyz β + cαββ = L0 sin ωt − C ω z + Jzx ω x − (B + C − A) ×

•
•
•

•

×ω x β− (C − A) ω x β + Jxy ω2x − ω y β+ ω y  + Jyz ω ξ α+ ω z  − Jzx ω y ×





•
•• 
•

••
×α+ ω z  + mzc V0y β+ (C − A ) α β2 + 2 αββ + ...,





••
•
••
B β + µβ β+ cββ − Jyz α + cαβ α =
•
•
•
•
= −B ω y + Jxy ω x + Jyz ω z − mzc Vox + (B + C −
•
•
− A)ω x α+ (C − A)ω x ω z +B ω x α + Jxy ×
•
 •

•

×β+ ω y α+ ω z  − Jyz ω x β+ ω y  −






•
•
2 
•


−Jzx ω y ω2x + α+ ω z   + mzc V0y α+ ω z  − (C − A )α 2 +... .


(3.3.2)
 


При идеальном выполнении конструкции прибора центробежные моменты инерции Jxy, Jyz, Jzx чувствительного элемента ММГ, коэффициенты cαβ , величина zC смещения центра масс
чувствительного элемента равны нулю. Указанные центробежные
моменты инерции, коэффициент cαβ и величина zC отличаются от
нуля вследствие технологических погрешностей изготовления конструкции прибора. Параметры конструкции ММГ удовлетворяют
неравенствам C>B и
110
Jxy
B
,
Jyz
B
,
Jzx cαβ
<< 1. ,
B Bω2
(3.3.3)
Учитывая неравенства (3.3.3), вводя безразмерное время τ = ωt,
µ
2h
малый параметр µ = α , (2hα = α , µ << 1), расстройки частот
C
ω
nβ2
cβ
nα2
cα
2
= 1 − µζ1,
n
=
,
nβ2 = , представим уравнения
=
1
−
µζ
,
α
2
2
2
C
B
ω
ω
(3.3.2) в виде
d2 α
1 dω x
+ µQα ,
ω dτ
dτ
d2β
1 dω y
+β =−
+ µQβ ,
2
ω dτ
dτ
2
где
+α =−
(3.3.4)

 2


1 
 dα
ω d β + dω y  +
+ ζ1α + l0 sin τ +
µQα = µ 
J
ω
−

yz

2

dτ
dτ 
2hα ωC 
 dτ




dω
dω
dβ
+Jyz ω x − cαββ − (B + C − A)ω x ω − (C − A)ω x β + Jxy ×
dτ
dτ
dτ
 2





d
β
d
α
×ω x − ω y ω + ω y  + Jyz ω x ω
+ ω z  + Jzx ω y ×
 dτ


 dτ


 dα


dβ 
×ω
+ ω x  + mzC V0y ω  + ...
,
 dτ



dτ 


 h
 d2α dω 
dω
1 
 β dβ
z − c α −
µQβ = µ 
+ ζ2β +
Jxy ω x + Jyz ω ω 2 +
−
 αβ



h
d
h
B
d
d
τ
ω
τ
τ
2


 dτ
α


 α
dV
dω
dα
−mzC ω 0x (B + C − A)ω x ω
+ (C − A)ω x ω z + Bαω x +
dτ
dτ
dτ
 dα
2
 dβ
 dα

 dβ

+ ω z  +
+Jxy ω + ω y ω
+ ω z  − Jyz ω x ω + ω y  − Jzx (ω2x + 
 dτ

 dτ
 dτ

 dτ


 dα

+mzC V0y ω
+ ω z  + ...,
 dτ




l = L0 , 2h = µβ .
β

 0 2h ωC
B 
α
ω
Обозначим, далее, i = ν i , i = 1,6. В динамике чувствительных
ω
элементов ММГ возможно развитие демультипликационных резо111
нансов ωi ≈ 2nα , ωi ≈ 2nβ , i = 1, 2, 3, 5. Рассмотрим колебания чувствительного элемента ММГ в условиях резонанса ω1 = 2nα , (ν1 = 2).
Решение уравнений (3.3.4) будем находить, используя метод медленно меняющихся коэффициентов, в виде

−1
α = a sin(τ + ψ ) − ω3 ω ox  ω2 − ω2  cos(ν3 τ + δ x );
3

−1
o  2
2 
β = b sin(τ + ϑ) − ω2 ω y  ω − ω  cos(ν2 τ + δ y ),
2

(3.3.5)
где a(τ), ψ(τ), b(τ) и ϑ(τ) удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за период 2π :

cαβ
da µ 
1 
J
b
bsin(ϑ − ψ ) −
= −a −l0 sin ψ +
−
ω
sin(
ϑ
−
ψ
)
−
yz
dτ 2 
ω
2hα C 



b
a
−( A + B −C)ω ox sin(δ x −(ϑ + ψ )) + Jyz ω ox sin(δ x −2ψ ),

2
2

cαβ
dψ µ 
1 
a
Jyz ωb cos(ϑ − ψ ) +
b cos(ϑ − ψ ) +
= −ζ1a − l0 cos ψ +

dτ 2 
ω
2hα C 



b
a
+( A + B − C)ω ox cos(δ x −(ϑ + ψ )) − Jyz ω ox sin(δ x −2ψ ),
(3.3.6)
2
2

 hβ
cαβ
db µ 
1 
Jyz ωa sin(ϑ − ψ ) +
a sin(ϑ − ψ ) −
= − b +

dτ 2 
2hα C 
ω
 hα


a
b
−( A + B −−C)ω ox sin(δ x −(ϑ + ψ )) − Jyz ω ox sin(δ x −2ϑ),

2
2
cαβ

dϑ µ 
1 
b
Jyz ωa cos(ϑ − ψ ) +
a cos(ϑ − ψ ) −
= −ζ2 b +


dτ 2 
2hα B 
ω


a
b
−( A + B −−C)ω ox cos(δ x −(ϑ + ψ )) − Jyz ω ox cos(δ x −2ϑ).

2
2
Приравнивая правые части уравнений (3.3.6) нулю и решая полученные уравнения относительно a, ψ, b и ϑ, определим параметры стационарного движения a*, ψ*, b * и ϑ * чувствительного
элемента ММГ. Исследование устойчивости стационарного движения чувствительного элемента ММГ проведем, составив уравнение в вариациях и используя критерий Рауса–Гурвица. Введем
T
вектор X = ∆a, ∆ψ, ∆b, ∆ϑ , ∆a = a − a*, ∆ψ = ψ − ψ*, ∆b = b − b*,
112
∆ϑ = ϑ − ϑ * и представим уравнение в вариациях в виде (2.1.7), где
µ
τ1 = τ, а элементы матрицы P = pij , (i, j = 1,4) определяются вы2
ражениями
p11 = −1 +
Jyz
ω ox sin(δ x − 2ψ),
4hα C

cαβ
1 
−
−
cos(
)
p12 = −l0 cos ψ +
J
b
b cos(ϑ − ψ ) +
ω
ϑ
ψ
yz
2hα C 
ω

b
+( A + B − C)ω ox cos(δ x − (ϑ + ψ )) − Jyz ω ox a cos(δ x − 2ψ) ,

2
cαβ
1 
−Jyz ω sin(ϑ − ψ) −
p13 =
sin(ϑ − ψ) +

2hα C 
ω

1
+( A + B − C)ω ox sin ×(δ x − (ϑ + ψ))  ,

2
cαβ
1 
p14 =
−Jyz ωb cos(ϑ − ψ ) −
b cos(ϑ − ψ ) +

ω
2hα C 

b
+( A + B − C)ω ox cos ×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,
2



J
1
yz
p21 = −ζ1 −
ω ox cos(δ x − 2ψ ),

a
2h C

α
p22 =
cαβ
1 
1 
l0 sin ψ +
b sin(ϑ − ψ ) +
 Jyz ωb sin(ϑ − ψ ) +

a 
ω
2hα C 

b
+( A + B − C)ω ox sin(δ ξ − (ϑ + ψ )) − Jyz ω ox a sin(δ x − 2ψ ) ,

2
cαβ
1 
p23 =
Jyz ω cos(ϑ − ψ ) +
cos(ϑ − ψ ) +

ω
2hα Ca 

1
+( A + B − C)ω ox cos× (δ x − (ϑ + ψ))  ,
2


cαβ
1 
−Jyz ωb sin(ϑ − ψ ) −
p24 =
b sin(ϑ − ψ ) +

ω
2hα Ca 

b
+( A + B − C)ω ox sin×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2
cαβ
1 
p31 =
Jyz ω sin(ϑ − ψ ) +
sin(ϑ − ψ ) −

ω
2hα B 

1
−( A + B − C)ω ox sin×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2
cαβ
1 
113
α


b
+( A + B − C)ω ox sin×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2

cαβ
1 
p31 =
Jyz ω sin(ϑ − ψ ) +
sin(ϑ − ψ ) −

ω
2hα B 

1
−( A + B − C)ω ox sin×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2
cαβ
1 
−Jyz ωa cos(ϑ − ψ ) +
p32 =
a cos(ϑ − ψ ) −

ω
2hα B 

a
−( A + B − C)ω ox cos×(δ x − (ϑ + ψ ))  ,
2

hβ
1
1
p33 = − −
Jyz ω ox sin(δ x − 2ϑ),
2
hβ 2hα B
p34 =
cαβ
1 
−
+
cos(
)
ω
ϑ
ψ
J
a
a cos(ϑ − ψ ) −
yz
ω
2hα B 
a
cos(δ x − (ϑ + ψ )) + Jyz ω ox b cos(δ x − 2ϑ)
2
cαβ
1 
p41 =
Jyz ω cos(ϑ − ψ ) +
cos(ϑ − ψ ) +

ω
2hα Bb 

1
+( A + B − C)ω ox cos (δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2
cαβ
1 
p42 =
Jyz ωa sin(ϑ − ψ ) +
a sin(ϑ − ψ ) +

ω
2hα Bb 

a
+( A + B − C)ω ox sin (δ x − (ϑ + ψ ))  ,

2



1
1
1
p43 = −ζ2 +
Jyz ω ox cos(δ x − 2ϑ),
b 
2hα B
2

cαβ
1 
−
−
−
sin(
)
p44 =
J
a
a sin(ϑ − ψ ) +
ω
ϑ
ψ
yz
ω
2hα Bb 
a
+( A + B − C)ω ox sin (δ x − (ϑ + ψ )) + Jyz ω ox b sin(δ x − 2ϑ)
2
−( A + B − C)ω ox

,


.

Элементы pij (i, j = 1,4) матрицы P вычисляются при a = a*,
ψ = ψ*, b = b * и ϑ = ϑ *. Характеристическое уравнение системы уравнений в вариациях записывается в виде (2.1.8), а условие
114
асимптотической устойчивости стационарного движения чувствительного элемента ММГ – в виде (2.1.9).
При идеальном выполнении конструкции ММГ (центробежные
моменты инерции Jxy, Jyz, Jzx Cαβ и zC равны нулю) уравнения для
определения параметров стационарных колебаний чувствительного элемента ММГ в условиях рассматриваемого резонанса (ν1 = 2)
записываются в виде
 o 2 2
ω  a
 h 2

 x 
 A + B − C 
 β 
2 2

b
ζ
+
=

 
2
,
2 
B
 hα 

h
16
α


(3.3.7)
 2 B hβ 2 2 
2
B
−a +
 + −ζ1a2 + ζ2 b2  = a2 l02 .
b


C hα  
C
Решение уравнений (3.3.7) производится численными методами.
Рассмотрим резонансные колебания чувствительного элемента
ММГ, конструкция которого содержит систему стабилизации параметров колебаний канала возбуждения колебаний (первичных
колебаний) чувствительного элемента. Примем закон изменения
координаты α чувствительного элемента ММГ в виде α = αm sin ωt,
(αm , ω− const). В этом случае второе уравнение системы (3.3.2), выражающее движение чувствительного элемента ММГ, приводится
hβ
µβ nβ2
к виду (τ = ωt, µ =
<< 1, 2hβ = ,
= 1 − µζ) :
ω
B ω2
d2β
2
dτ
+β =−
1 dωy
+ µQβ , ω dτ
(3.3.8)
где


− dβ + ζβ + 1  J ω dω x + J ω −ωα sin τ + dω z  − c α −
µQβ = µ 
 αβ
xy
yz 
m


dτ
dτ
dτ 
2hβ ωB 


dV
dω x
−mzC ω 0x + (B + C − A)ω x αm cos τ + (C − A)ω x ω z + Bω
αm sin τ +
dτ
dτ
 dβ
 dα

 dβ

+Jxy ω
+ ω y ω
+ ω z  − Jyz ω x ω
+ ω y  − Jzx ×
 dτ


 dτ

 dτ



.
×(ω2x + (ωαm cos τ + ω z )2 ) + mzC V0y (ωαm cos τ + ω z )  

 

115
Рассмотрим колебания чувствительного элемента ММГ в условиях резонанса ω1 = 2nβ (ν1 = 2). Решение уравнения (3.3.8) будем
находить, используя метод медленно меняющихся коэффициентов, в виде

−1
β = b sin(τ + ϑ) − ω2ω oy  ω2 − ω2  cos(ν2 τ + δ y ), 2

(3.3.9)
где b(τ) и ϑ(τ) удовлетворяют системе уравнений, правые части которых получены усреднением по τ за период 2π :


db µ 
−b + 1  J ωα sin ϑ + cαβ α sin ϑ −
= 
yz
m
m
dτ 2 
ω
2hα C 




α
b
−( A + B − C)ω ox m sin(δ x − ϑ) − Jyz ω ox sin(δ x − 2ϑ) 
,

 
2
2




c
dϑ µ 
1 
αβ
b
J
= −ζb +
 yz ωαm cos ϑ + ω αm cos ϑ −
dτ 2 
h
B
2
β 




α
b

−( A + B − C)ω ox m cos(δ x − ϑ) − Jyz ω ox cos(δ x − 2ϑ)  .
 
2
2



Приравнивая правые части уравнений (3.3.9) нулю и решая полученные уравнения относительно b и ϑ, определим параметры b *
и ϑ * стационарного движения чувствительного элемента ММГ.
Условие устойчивости стационарного движения записывается в
виде
2
1  Jyz   o
1 + ζ2 − 
  ω
8  hββ   x
2
sin2 (δx − 2ϑ*) > 0. 
(3.3.10)
Приведем числовой пример. Примем указанные ранее в параграфе 3.1 значения параметров роторного ММГ. Положим
3 −1
αm = 4.35 ⋅10−2 ðàä (2.5 ), ω = 5π ⋅10 ñ , ζ = 0. При этих данных
в условиях резонанса ( ν1 = 2 ) возбуждаются устойчивые стационарные колебания чувствительного элемента ММГ относительно
выходной оси с амплитудой 0.024 (1.45 угл.мин).
116
Заключение
Приведенные в монографии результаты исследований динамики и погрешностей вибрационных ММГ с учетом нелинейных
факторов, оказывающих влияние на движение чувствительных
элементов приборов, дают объяснение нелинейным явлениям и эффектам в динамике чувствительных элементов ММГ. Полученные
результаты основаны на исследовании дифференциальных уравнений движения чувствительных элементов ММГ, содержащих
разрывные и аналитические нелинейности. Разрывные нелинейности в исследуемых дифференциальных уравнениях объясняются содержащимися в системах автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ нелинейными звеньями. Аналитические
нелинейности объясняются нелинейной зависимостью сил упругости подвеса инерционных масс и электростатических сил датчиков
силы от перемещений чувствительных элементов и особенностями
динамики инерционных масс на упругих подвесах. Рассмотрены
основные конструктивные схемы гироскопов: с поступательными перемещениями инерционных масс (���������������������
LL�������������������
-ММГ), с вращательными движениями (RR-ММГ) и с комбинацией поступательных
и вращательных движений (LR-ММГ). Возбуждение первичных
колебаний инерционных масс ММГ осуществляется от внешнего
генератора или с применением систем автогенерации колебаний.
Системы автогенерации колебаний – автоколебательные системы.
Характерные задачи для систем автогенерации колебаний инерционных масс ММГ заключаются в определении частот и амплитуд установившихся автоколебаний, исследовании устойчивости
установившихся режимов, изучении процессов установления автоколебаний. При исследовании систем автогенерации колебаний
чувствительных элементов ММГ обнаруживается существование
нескольких стационарных процессов автоколебаний, установление
конкретного из которых зависит от того, в какой области притяжения находятся начальные условия. В системах автогенерации ММГ выявляются скачки амплитуд и частот колебаний чувствительных
элементов, явления затягивания по частоте, происходящие при
динамической настройке прибора, выполняемой изменением электростатической компоненты жесткости подвеса инерционной массы. При функционировании ММГ с системами автогенерации на
вибрирующем основании обнаруживаются явления принудительной синхронизации (захватывания) и существование бигармониче117
ских движений чувствительных элементов приборов. Нелинейная
зависимость сил упругости подвесов и электростатических сил датчиков силы от перемещений чувствительных элементов приводит
к появлению неустойчивых ветвей резонансных кривых, срывам
и скачкам амплитуд колебаний чувствительных элементов ММГ,
нарушению линейности выходной характеристики прибора. Учет
аналитических нелинейностей в дифференциальных уравнениях
движения позволяет выяснить причину возбуждения колебаний
чувствительных элементов ММГ относительно оси измерения параметров колебаний на неподвижном основании и оценить погрешности прибора, а при вибрациях основания – объяснить явление
вибрационного смещения положения равновесия чувствительного
элемента ММГ и оценить величину указанного смещения. Функционирование ММГ осуществляется в резонансных режимах или
условиях, близким к резонансным. Вследствие этого представляет
интерес задача о влиянии нелинейных факторов на устойчивость
стационарных движений чувствительных элементов ММГ в условиях основного резонанса, получившая решение в монографии, и
исследование нелинейных резонансных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ. Особого внимания заслуживают задачи нестационарных колебаний чувствительных элементов ММГ,
возникающих при прохождении частоты вибрационного воздействия через резонанс и выявление особенностей, наблюдаемых в
нелинейных системах при прохождении через резонанс. Нелинейности сил упругости и электростатических сил изменяют не только
вид стационарных кривых, но и амплитудные кривые прохождения через резонанс и чем медленнее прохождение через резонанс,
тем в большей степени проявляется влияние нелинейностей.
Рассмотренные конструктивные схемы ММГ не исчерпывают
многообразие конструкций приборов этого типа. Изучение влияния нелинейных факторов на динамику и погрешности ММГ, выполненных по иным конструктивным схемам, может служить
предметом дальнейших исследований. Практическая значимость
результатов исследований нелинейных явлений в динамике чувствительных элементов ММГ состоит в том, что они позволяют на
этапе проектирования ММГ предвидеть развитие нежелательных
явлений и производить выбор параметров приборов так, чтобы
устранить их появление.
118
Библиографический список
1. Наноматериалы и нанотехнологии / Ж. И. Алферов, А. Л. Асеев, С. В. Галопов, П. С. Коньев и др. // Микросистемная техника.
2003. № 8. С. 3–13.
2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.
М.: Наука, 1981. 568 с.
3. Бабур Н., Шмидт Дж. Направления развития инерциальных
датчиков // Гироскопия и навигация. 2000. № 1 (28). С. 3–15.
4. Барулина М. А., Джашитов В. Э., Панкратов В. М. Математические модели систем терморегулирования микромеханических
гироскопов // Гироскопия и навигация. 2002. № 3 (38). С. 48–59.
5. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматгиз,
1994. 400 с.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
7. Брозгуль Л. И., Смирнов Е. Л. Вибрационные гироскопы. М.:
Машиностроение, 1970. 216 с.
8. Брозгуль Л. И., Смирнов Е. Л. Вибрационные гироскопы // История механики гироскопических систем. М.: Наука, 1975. С. 43–60.
9. Разработка кремневых датчиков первичной информации для
систем навигации и управления / В. Л. Будкин, В. А. Паршин,
С. А. Прозоров, А. К. Саломатин, В. М. Соловьев // Гироскопия и
навигация. 1998. № 3 (22). С. 149–153.
10. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л.:
Судпромгиз, 1962. 196 с.
11. Нелинейные задачи динамики гироскопических систем /
Н. В. Бутенин, Д. М. Климов, Я. Л. Лунц, Н. П. Степаненко //
Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.:
Наука, 1973. С. 379–401.
12. Бутенин Н. В., Климов Д. М. Успехи механики гироскопических и инерциальных систем в СССР // Изв. вузов. Приборостроение. 1977. Т. 20. № 10. С. 69–96.
13. Бутенин Н. В., Лестев А. М. Динамика нелинейных гироскопических систем при полигармонических и случайных колебаниях основания // Изв. вузов. Прибостроение. 1982. Т. 24. № 8.
С. 59–64.
14. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л. Некоторые итоги исследований
нелинейных задач прикладной теории гироскопов за 50 лет // Изв.
вузов. Приборостроение. 1967. Т. 10. № 10. С. 79–91.
119
15. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в
теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. 384 c.
16. Вибрации в технике: справочник. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / под ред. И. И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979. 351 с.
17. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М.:
Наука, 1976. 432 с.
18. Ганиев Р. Ф., Воробьев В. М., Лютый А. Н. Резонансные
колебания гироскопических систем. Киев: Наукова думка, 1979.
185 с.
19. Дейст Дж., Уомбл Дж. Революция в разработке усовершенствованных систем наведения // Аэрокосмическая техника. 1991.
№ 4. С. 93–97.
20. Влияние температурных и технологических факторов на точность микромеханических гироскопов / В. Э. Джашитов, А. М. Лестев, В. М. Панкратов, И. В. Попова // Гироскопия и навигация.
1999. № 3 (26). С. 3–16.
21. Расчет температурных и технологических погрешностей
микромеханических гироскопов / В. Э. Джашитов, А. М. Лестев,
В. М. Панкратов, И. В. Попова// Микросистемная техника. 2001.
№ 3. С. 2–10.
22. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. 386 с.
23. Евстифеев М. И. Состояние разработок и перспективы развития микромеханических гироскопов (доклад руководителя секции) // II конф. молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2000. С. 54–71.
24. Евстифеев М. И. Погрешности микромеханического гироскопа на вибрирующем основании // Гироскопия и навигация.
2002. № 2 (37). С. 19–25.
25. Евстифеев М. И. Проблемы расчета и проектирования микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. 2004.
№ 1 (44). С. 27–39.
26. Евстифеев М. И., Унтилов А. А. Конечно-элементарный
анализ конструкции микромеханического гироскопа // III конф.
молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.:
ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001. С. 101–108.
27. Евстифеев М. И., Унтилов А. А. Требования к точности изготовления упругого подвеса микромеханического гироскопа //
Гироскопия и навигация. 2003. № 3 (43). С. 24–31.
120
28. Егармин Н. Е., Юрин В. Е Введение в теорию вибрационных
гироскопов. М.: БИНОМ, 1993. 111 с.
29. Журавлев В. Ф. Управляемый маятник Фуко как модель
одного класса свободного гироскопа // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997. № 6. С. 27–35.
30. Журавлев В. Ф. О глобальных эволюциях состояния обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. Механика твердого тела.
1998. № 6. С. 5–11.
31. Журавлев В. Ф. Задача идентификации погрешностей обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. Механика твердого тела.
2000. № 5. С. 186–192.
32. Журавлев В. Ф. Принципиальные вопросы теории новых
гироскопических датчиков семейства «обобщенный маятник
Фуко» // Проблемы механики: сб. ст. к 90-летию со дня рождения
А. Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 369–386.
33. Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции.
М.: Наука, 1987. 320 с.
34. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колебаниях точки подвеса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1051. Т. 21. Вып. 5. С. 588–597.
35. Карелин А. П., Лестев М. А. Влияние электростатической
составляющей жесткости на динамику и погрешности микромеханического гироскопа // Третий междунар. симпозиум «Аэрокосмические приборные технологии»: сб. матер. СПб., 2004. С. 285– 287.
36. Перспективы развития микросистемной техники в ХХI веке /
Д. М. Климов, А. А. Васильев, В. В. Лучинин, П. П. Мальцев //
Микросистемная техника. 1999. № 1. С. 3–6.
37. Ковалев А. С., Шадрин Ю. В. Исследование схем возбуждения первичных колебаний ротора микромеханического гироскопа
в режиме автогенерации // V конф. молодых ученых «Навигация и
управление движением». СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор»,
2004. С. 87–92.
38. Опыт разработки навигационных приборов на базе монокристалла кремния / С. Ф. Коновалов, Т. Н. Лаптев, И. И. Медведева, Г. Н. Новоселов и др. // Микросистемная техника. 2001. № 4.
С. 19–25.
39. Вибрационные датчики угловой скорости / С. Ф. Коновалов,
А. В. Кулешов, Н. А. Носов, В. П. Подчезерцев и др. // Гироскопия
и навигация. 2004. № 1 (44). С. 107–118.
121
40. Разработка вибрационного гироскопа, предназначенного для
эксплуатации в условиях экстремальных ударных воздействий /
С. Ф. Коновалов, А. В. Кулешов, В. П. Подчезерцев, В. В. Фатеев,
Кеун ок ан.// XI междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004.
С. 200–207.
41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.
42. Кучерков С. Г., Шадрин Ю. В. К вопросу о выборе конструктивных параметров микромеханического кольцевого вибрационного гироскопа // III конф. молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001.
С. 94–101.
43. Лестев А. М., Попова И. В. Современное состояние теории и
практических разработок микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. 1998. № 3 (22). С. 81–94.
44. Разработка и исследование микромеханического гироскопа / А. М. Лестев, И. В. Попова, Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье,
А. А. Семенов, М. И. Евстифеев // Гироскопия и навигация. 1999.
№ 2 (10). С. 3–10.
45. Особенности микромеханических гироскопов / А. М. Лестев, И. В. Попова, М. И. Евстифеев, Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье, А. А. Семенов // Микросистемная техника. 2000. № 4. С. 16– 18.
46. Лестев А. М., Лестев М. А. Нелинейные проблемы динамики микромеханических гироскопов // Научная сессия ГУАП: сб.
докл. Ч. I. Технические науки. СПб.: ГУАП, 2006. С. 46–49.
47. Лестев А. М., Тихонов А. А., Лестев М. А. Нелинейные
явления в динамике вибрационных микромеханических гироскопов // Междунар. конгресс «Нелинейный динамический анализ»:
тез. докл. СПб., СПбГУ, 2007. С. 45.
48. Лестев М. А. Влияние нелинейностей упругих элементов
подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов //
Гироскопия и навигация. 2003. № 4 (43). С. 109–110.
49. Лестев М. А. К динамике микромеханического гироскопа //
VI науч. сессия аспирантов и соискателей ГУАП: сб. докл. Т. 1. Технические науки. СПб., ГУАП, 2003. С. 50–54.
50. Лестев М. А. Динамика системы автогенерации колебаний
микромеханического гироскопа // Междунар. конф. «Четвертые
Окуневские чтения»: тез. докл. СПб., 2004. С. 37.
122
51. Лестев М. А. К динамике микромеханических гироскопов
при случайных воздействиях // VII науч. сессия аспирантов ГУАП:
сб. докл. Т. 1. Технические науки. СПб., ГУАП, 2004. С. 40–43.
52. Лестев М. А. Динамика системы автогенерации колебаний
микромеханического гироскопа // Междунар. конф. «Четвертые
Окуневские чтения»: матер. докл. Т. 1. Теоретическая и прикладная
механика. Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2005. С. 77–84.
53. Лестев М. А. Влияние нелинейностей подвеса и вибраций
основания на динамику системы автогенерации колебаний микромеханических гироскопов // VII конф. молодых ученых «Навигация и управление движением». СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2006. С. 150–157.
54. Лестев М. А. Погрешности роторных микромеханических
гироскопов, обусловленные нелинейными факторами // Гироскопия и навигация. 2006. № 2 (53). С. 91.
55. Лестев М. А. К теории резонанса в динамике микромеханических гироскопов // Научная сессия ГУАП: сб. докл. Ч. I. Технические науки. СПб.: ГУАП, 2006. С. 44–46.
56. Лестев М. А. Вибрационное смещение положения равновесия чувствительного элемента микромеханического гироскопа //
Гироскопия и навигация. 2007. № 2 (57). С. 98.
57. Лестев М. А. Динамика чувствительных элементов микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс // Междунар. конф., посвященная 100-летию со дня рождения Н. Н. Поляхова: сб. докл. СПб.: СПбГУ, 2006. С. 139–145.
58. Лестев М. А. Влияние нелинейных факторов на динамику и
точность микромеханических гироскопов // XIV междунар. конф.
по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ
ЦНИИ «Электроприбор», 2007. С. 22–23.
59. Лестев М. А. Динамика микромеханических гироскопов
при прохождении через резонанс // Вестник. СПбГУ. 2007. Сер. 1.
Вып. 4. С. 138–143.
60. Лестев М. А., Тихонов А. А. Нелинейные явления в динамике микромеханических гироскопов // Вестник. СПбГУ. 2009. Сер.
А. Вып. 1. С. 83–88.
61. Лунц Я. Л. Ошибки гироскопических приборов. Л.: Судостроение, 1968. 232 с.
62. Лучинин В. В. Микросистемная техника, направления и
тенденции развития // Научное приборостроение. 1999. Т. 9. № 1.
С. 3–18.
123
63. Лучинин В. В. Особенности материаловедческого и технологического базиса микросистем // Микросистемная техника. 1999.
№ 1. С. 7–11.
64. Лукьянов Д. П., Распопов В. Я., Филатов Ю. В. Микромеханические навигационные приборы. СПб., ГЭТУ «ЛЭТИ». 2008. 204 с.
65. Мартыненко Ю. Г., Меркурьев И. В., Подалков В. В. Управление нелинейными колебаниями вибрационного кольцевого микрогироскопа // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2008. № 3.
С. 77–89.
66. Мартыненко Ю. Г., Меркурьев И. В., Подалков В. В. Динамика кольцевого микромеханического гироскопа в режиме вынужденных колебаний // XVI междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2009. С. 73–82.
67. Основные проблемы создания измерительных блоков на базе
микромеханических гироскопов и акселерометров / А. П. Мезенцев, В. П. Доронин, Л. З. Новиков, С. А. Харламов и др. // Гироскопия и навигация. 1997. № 1 (16). С. 7–15.
68. Мезенцев А. П., Ачильдиев В. М., Дрофа В. Н. Состояние и
перспективы создания микромеханических вибрационных гироскопов и акселераторов для бесплатформенных навигационных систем // Х междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2003. С. 176–178.
69. Меркурьев И. В., Подалков В. В. Нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа // Вестник. МЭИ. 2004.
№ 2. С. 5–10.
70. Меркурьев И. В., Подалков В. В., Губаренко С. И. Влияние
нелинейности карданового подвеса на динамику и точность микромеханического гироскопа // XI междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2004. С. 150–152.
71. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории
нестационарных колебаний. М.: Наука, 1964. 432 с.
72. Мокров Е. А. Проблемы и перспективы датчиковой аппаратуры // Микросистемная техника. 2003. № 9. С. 11–17.
73. Неаполитанский А. С., Хромов Б. В. Микромеханические
вибрационные гироскопы. М.: Когито – центр, 2002. 122 с.
74. Патент 30972 РФ, G01 С 19/56, 04.02.2003. Микромеханический гироскоп / В. А. Бурцев, П. Б. Дергачев, А. П. Карелин,
М. А. Лестев и др. Опубл. 10.07.2003. Бюл. № 19.
124
75. Патент 84541 РФ, G01 С 19/56, 16.02.2009. Микромеханический гироскоп / А. М. Лестев, И. В. Попова, А. В. Ефимовская,
М. В. Федоров // Опубл. 10.07.2009. Бюл. № 19.
76. Пешехонов В. Г. Проблемы и перспективы современной гироскопии // Изв. вузов. Прибостроение. 2000. Т. 43. № 1–2. С. 48–
55.
77. Пешехонов В. Г. Гироскопы начала XXI века // Гироскопия
и навигация. 2003. № 4 (43). С. 5–18.
78. Результаты разработки микромеханического гироскопа /
В. Г. Пешехонов, Л. П. Несенюк, С. Г. Кучерков, М. И. Евстифеев
и др. // XII междунар. конф. по интегрированным навигационным
системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2005. С. 268–
274.
79. Инерциальные модули на микромеханических датчиках.
Разработка и результаты испытаний / В. Г. Пешехонов, Л. П. Несенюк, Д. Г. Грязин, Я. А. Некрасов и др. // Гироскопия и навигация.
2008. № 3 (62). С. 3–12.
80. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла / А. И. Погалов, В. П. Тимошенков, С. П. Тимошенков, Ю. А. Чаплыгин // Микросистемная техника. 1999.
№ 1. С. 36–41.
81. Пономарев В. К. Автогенерация и стабилизация первичных
колебаний в микромеханическом гироскопе вибрационного типа //
Третий междунар. симпозиум: «Аэрокосмические приборные технологии»: сб. матер. СПб., 2004. С. 289–292.
82. Попов Е. П. Прикладная теория управления в нелинейных
системах. М.: Наука, 1973. 584 с.
83. Микромеханические датчики и системы, практические результаты и перспективы развития / И. В. Попова, А. М. Лестев,
А. А. Семенов, Е. Н. Пятышев и др. // XII междунар. конф. по интегрированным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2005. С. 262–267; Гироскопия и навигация.
2006. № 1 (52). С. 29–34.
84. Капсулированные микромеханические гироскопы и акселерометры для цифровых систем навигации и управления / И. В. Попова, А. М. Лестев, А. А. Семенов, В. А. Иванов и др.// Гироскопия
и навигация. 2008. № 3 (62). С. 27–36.
85. Специфика технологии микромеханических устройств /
Е. Н. Пятышев, М. С. Лурье, И. В. Попова, А. Н. Казакин // Микросистемная техника. 2001. № 6. С. 32–34.
125
86. Распопов В. Я. Микромеханические приборы: учеб. пособие.
М.: Машиностроение, 2007. 400 с.
87. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития / Л. А. Северов, В. К. Пономарев, А. И. Панферов, С. Г. Кучерков и др. // Изв. вузов. Приборостроение. 1998. Т. 41. № 1–2. С. 57–73.
88. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 261 с.
89. Шелепин Н. А. Кремневые преобразователи физических
величин и компоненты датчиков. Датчики и микросистемы на их
основе // Микросистемная техника. 2002. № 9. С. 2–10.
90. Acar C., Chkel A. M. Inherently Robust Micromachined
Gyroscopes With 2-DOF Sense – Mode Oscillator // J. of micromech.
systems. 2006. Vol. 15. Nr. 2. P. 380–387.
91. Micro-electromechanical instrument and systems development
at Draper Laboratory / N. Barbour, I. Connelly, I. Gilmore, P. Greiff,
A. Kourepenis, M. Weinberg // 3nd St. Petersburg International conf.
on gyroscopic technology and navigation, May 1996. Р. 3–10.
92. Barbour, N. Madden P., Scha M. Development of a
micromechanical gyro package with GPS for small paining satellites //
Гироскопия и навигация. № 2(13). 1996. С. 7–15.
93. Gay, E. Guiding Munitions with a Micromechanical INS/
GPS System // 5-th St. Petersburg International conf. in integrated
navigation systems, May 1998. Р. 7–13.
94. Connelly I., Barbour N., Brand G. Manufacturing micromachined inertial sensor systems // 4nd St. Petersburg International conf.
on gyroscopic technology and navigation, May 1997. Р. 362–370.
95. Weinberg M., Bernstein I., Cho S., King A., Kourepenis A.,
Ward P., Sohn I. Micromachined comb drive tuning fork gyroscope
for commercial applications // 2nd St. Petersburg International conf.
on gyroscopic technology and navigation, May 1995. Р. 79–87.
126
Содержание
Предисловие.............................................................................. Введение.................................................................................... 1. Динамика систем автогенерации колебаний чувствительных элементов микромеханических гироскопов.................................... 1.1. Система автогенерации с управлением по обобщенной скорости................................................................................ 1.2. Система автогенерации с управлением по обобщенной координате............................................................................ 1.3. Динамика системы автогенерации колебаний чувствительных элементов ММГ при вибрациях основания.......... 2. Влияние нелинейных факторов на динамику и точность микромеханических гироскопов................................................... 2.1. Влияние нелинейностей упругих подвесов и электростатических сил на динамику и выходные характеристики гироскопов..................................................... 2.2. Динамика и погрешности роторных микромеханических гироскопов, обусловленные нелинейными факторами................. 2.3. Ошибки камертонного микромеханического гироскопа......... 2.4. Вибрационное смещение состояний равновесия чувствительных элементов микромеханических гироскопов........ 2.5. Динамика микромеханических гироскопов при случайных воздействиях......................................................................... 2.6. Динамика микромеханического двухмассового гироскопа..... 3. Резонансные явления в динамике чувствительных элементов микромеханических гироскопов................................................... 3.1. Микромеханические гироскопы с возбуждением колебаний от внешнего генератора........................................................... 3.2. Динамика чувствительных элементов микромеханических гироскопов при прохождении через резонанс............................. 3.3. Нелинейные резонансные явления в динамике микромеханических гироскопов............................................... Заключение............................................................................... Библиографический список.......................................................... 3
5
10
10
26
33
43
43
55
65
70
78
84
91
91
102
109
117
119
127
Научное издание
Лестев Александр Михайлович
Лестев Михаил Александрович
Нелинейные задачи динамики вибрационных микромеханических гироскопов
Монография
Редактор А. В. Подчепаева
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 02.09.10. Подписано к печати 13.12.10.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,4.
Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 100 экз. Заказ № 577.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
6 992 Кб
Теги
leste
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа