close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

MonakovMishyra

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
А. А. Монаков, Т. П. Мишура
РАДИОЛОКАЦИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ЦЕЛЕЙ:
ИЗМЕРЕНИЕ ДАЛЬНОСТИ, РАЗРЕШЕНИЕ И
СИНТЕЗ СИГНАЛОВ
Монография
Санкт-Петербург
2012
УДК 621.396.67
ББК 32.95
М77
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор А. А. Филиппов,
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве монографии
Монаков, А. А.
М77 Радиолокация протяженных целей: измерение дальности, разрешение и синтез сигналов: монография / А. А. Монаков, Т. П.
Мишура. – СПб.: ГУАП, 2012. – 138 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0740-2
Монография посвящена вопросам синтеза и анализа измерителей
дальности протяженных целей и разрешения групп точечных источников сигналов. Рассматриваются методы синтеза сигналов и линейных фильтров сжатия с заданными параметрами качества обработки
(потери в отношении сигнал/шум, уровень боковых лепестков, ширина главного лепестка).
Монография предназначена для специалистов и инженерно-технических работников, занимающихся вопросами радиолокации, радионавигации, радиофизики, акустолокации, гидролокации и телекоммуникации. Может быть полезна для магистров и аспирантов соответствующих специальностей.
Подготовлена к публикации совместно кафедрой бортовой радиоэлектронной аппаратуры и кафедрой метрологического обеспечения
инновационных технологий ГУАП.
УДК 621.396.67
ББК 32.95
ISBN 978-5- 8088-0740-2 © Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения (ГУАП), 2012
© А. А. Монаков, Т. П. Мишура, 2012
Светлой памяти Учителя – профессора
Радия Владимировича Островитянова
посвящается эта книга
Радий Владимирович Островитянов (1924–1993)
3
4
Введение
Ровно 30 лет прошло с момента выхода монографии [1] нашего
учителя – профессора Радия Владимировича Островитянова, написанной им в соавторстве с Феликсом Александровичем Басаловым
и названной «Статистическая теория радиолокации протяженных
целей». Этот труд явился итогом совместной работы авторов по созданию основ теории радиолокации протяженных целей. В момент
выхода монографии эта область радиолокации действительно находилась в состоянии становления, поскольку единой теории радиолокационного наблюдения протяженных целей не существовало. Выход монографии ознаменовал фактическое ее оформление как самостоятельного направления радиолокации. Созданная теория объясняла не ряд отдельных явлений, возникающих при наблюдении
радиолокационных целей, размеры которых соизмеримы с размерами элемента разрешения, но то общее, что эти явления объединяет. Можно назвать не так много работ отечественной школы радиолокации, которые получили признание специалистов в мире. К их
числу относится и названный труд, который был переведен в издательстве «Artech House» и вышел в печать в США в 1985 г. с предисловием известного американского специалиста Д. Бартона.
За прошедшие годы в печати появилось большое количество публикаций, которые развили положения, изложенные в монографии. Часть из них явилась результатом совместной работы Р. В.
Островитянова, который продолжал исследования до трагического
дня ухода из жизни 16 июля 1993 г., и его учеников, часть – вышла за рубежом. В практику решения задач радиолокации протяженных целей прочно вошли современные методы математической
статистики, теории спектрального анализа, статистической теории
поляризации и других областей науки. Более того, многие радиолокационные задачи и способы их решения оказались актуальными
не только в родственных областях акусто- и гидролокации, но и в
теории телекоммуникации. По-видимому, пришло время для обобщения того нового, что сделано к настоящему времени в радиолокации протяженных целей.
Предлагаемый вниманию читателя труд посвящен одной из наименее исследованных областей – измерению дальности. Попытку
подвести измерение дальности протяженного объекта под единое
математическое описание шумов цели, которая была сделана в работе [1], вряд ли можно назвать удачной. Даже в момент написания
5
монографии авторы прекрасно понимали, что дальномерный шум
протяженной цели по своим статистическим характеристикам должен в значительной степени отличаться от углового и доплеровского (скоростного) шумов, поскольку физически нельзя обосновать
ненулевую вероятность выхода оценки дальности цели за пределы
элемента разрешения при импульсном методе измерения. Именно
поэтому в последней главе настоящей монографии авторы ввели
представление о неполной интерференции сигналов, отраженных
от светящихся точек цели, для объяснения несоответствия данной
в монографии модели дальномерного шума реально наблюдаемым
результатам. В дальнейшем этот подход был обобщен в работе [2],
где на примере двухточечной модели протяженной цели было показано, что описанная [1] статистическая модель дальномерного шума соответствует лишь фазовому методу измерения дальности. Для
импульсного и частотного методов модель требует уточнения.
В настоящей работе рассматриваются задачи оценки дальности
протяженной цели и разрешения групповой цели, состоящей из
двух точечных источников сигнала. При этом предполагается, что
светящиеся точки цели не разрешаются по дальности в релеевском
смысле. Очевидно, что указанные задачи находятся в тесной зависимости от свойств используемых радиосигналов и способов их обработки в линейном тракте приемника. Поэтому большое внимание
в работе уделено вопросам синтеза сигналов и линейных фильтров,
позволяющих получить эффект сжатия принятых сигналов во временной области с заданными параметрами качества (потери в отношении сигнал/шум, уровень боковых лепестков, ширина главного
пика выходного сигнала).
Работа содержит пять глав. В первой главе рассматриваются вопросы оценки дальности (времени задержки) сигнала, рассеянного
протяженной целью. Синтезируется оптимальный и подоптимальные алгоритмы оценивания, дается их сравнительный анализ. В
главе синтезирован критерий, позволяющий определить условия,
когда дальномерная система начинает испытывать влияние дальномерного шума и наблюдаемая цель должна считаться протяженной. Вторая глава посвящена анализу потенциальной точности
сверхразрешения точечных источников в составе групповой цели.
Рассматриваются вопросы синтеза частотно-модулированных и фазоманипулированных сигналов, оптимальных с точки зрения качества сверхразрешения. В третьей главе описан синтез и анализ
оптимального алгоритма разрешения точечных источников, пред6
ложен метод синтеза фильтров сжатия импульсных сигналов, в
которых ценой потери в отношении сигнал/шум удается получить
большую, чем дает согласованный фильтр, компрессию излученного импульса. Использование такого фильтра позволит значительно
упростить процедуру разрешения источников. В четвертой и пятой
главах рассмотрены методы синтеза фазоманипулированных и частотно-модулированных сигналов и линейных фильтров для их обработки, которые позволяют получить минимальный уровень боковых лепестков выходного сигнала при малых потерях в отношении
сигнал/шум по сравнению с согласованными фильтрами. Рассмотренные в этих главах вопросы имеют ключевое значение для решения задачи наблюдения протяженных и групповых целей.
7
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
Автокорреляционная функция
Амплитудно-частотная характеристика
Бесконечная импульсная характеристика
Боковой лепесток
Главный лепесток
Граница Крамера–Рао
Дискретное преобразование Фурье
Импульсная характеристика
Интегральный уровень боковых лепестков
Конечная импульсная характеристика
Линейная регрессия
Линейная частотная модуляция
Метод наименьших квадратов
Отношение сигнал/шум
Потери в фильтре
Разложение по сингулярным числам
Разрешающая способность
Релеевская разрешающая способность
Согласованный фильтр
Средний уровень боковых лепестков
Уровень боковых лепестков
Уровень максимального бокового лепестка
Фазовая манипуляция
Фазоманипулированный сигнал
Фазочастотная характеристика
Фильтр сжатия
Характеристическая функция
Частотная модуляция
Частотная характеристика
Энергетический спектр
First sidelobe level
Integral side lobe level
Loss
Mean side lobe level
Principal side lobe level
Principal sidelobe level
Root mean square level
Side lobe level
Singular value decomposition
8
АКФ
АЧХ
БИХ
БЛ
ГЛ
ГКР
ДПФ
ИХ
ИУБЛ
КИХ
ЛР
ЛЧМ
МНК
ОСШ
ПФ
РСЧ
РС
РРС
СФ
СУБЛ
УБЛ
УМБЛ
ФМ
ФМС
ФЧХ
ФС
ХФ
ЧМ
ЧХ
ЭС
FSLL
ISLL
L
MSLL
PSLL
PSLL
RMSL
SLL
SVD
1. ДАЛЬНОМЕРНЫЙ ШУМ И ОЦЕНКА ДАЛЬНОСТИ
ПРОТЯЖЕННОЙ ЦЕЛИ
1.1. Модель сигнала, рассеянного протяженной целью
Успех решения различных задач радиолокации во многом зависит от выбора математической модели принятых сигналов. В настоящее время проблема создания математической модели сигнала,
рассеянного протяженной целью, освещена в большом количестве
публикаций [1, 3, 4, 5, 6]. Практически все предложенные модели эквивалентны многоточечной модели Делано [3], в которой цель
представляется совокупностью большого количества независимых
светящихся точек, заполняющих занятую целью область пространства. Наиболее полный анализ возможных моделей сигналов от
протяженных объектов представлен в работах [5, 6]. В частности, в
статьях [6, 7] доказана физическая адекватность модели Делано для
широкого класса радиолокационных целей.
Однако сама по себе адекватность математической модели не является единственным критерием ее качества. Для успешного синтеза радиолокационных систем, работающих по протяженным целям, необходима [5] иная по сравнению с ситуацией наблюдения точечных целей формализация задачи. Важнейшим элементом формализации любой статистической задачи является выбор совокупности оцениваемых параметров, поэтому математическая модель
сигналов, отраженных от протяженной цели, должна органично
включать те параметры, которые будут оцениваться в ходе радиолокационного наблюдения.
Настоящий раздел посвящен синтезу модели сигнала протяженной цели, который наблюдается в приемном канале дальномерной
системы, и выбору оцениваемых параметров. В основу модели протяженной цели положена модель Делано.
Пусть в направлении цели, занимающей некоторый объем пространства V, излучается импульсный сигнал s(t), длительность которого равна tи. Тогда в соответствии с моделью Делано принятый
сигнал равен
e(t) = å ρα s(t - τ α ), (1.1)
α
9
где ra и ta – случайная комплексная амплитуда и время задержки
сигнала (соответственно), рассеянного a-й светящейся точкой цели.
Будем считать, что светящиеся точки цели находятся друг от друга
на расстояниях, значительно превышающих длину волны передатчика радиолокатора, и среди них нет стабильных и доминирующих
отражателей. Эти предположения, во-первых, позволяют рассматривать отдельные светящиеся точки в составе цели статистически независимыми источниками сигналов и, во-вторых, на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей считать сигнал
(1.1) выборкой комплексного гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией:
K (t1,t2 ) = å ρα
α
2
s(t1 - τ α ) s* (t2 - τ α ), (1.2)
где треугольные скобки 〈×〉 означают статистическое усреднение,
(*) – оператор комплексного сопряжения. Представление (1.2) допускает следующее обобщение
K (t1,t2 ) = ò P (τ α )s(t1 - τ α )s* (t2 - τ α )dτ α ,
где интегрирование распространяется на все времена задержки в
пределах объема V, а P(ta) ≥ 0 – неотрицательная функция, характеризующая распределение коэффициента отражения цели по дальности (времени задержки). В дальнейшем функцию P(ta) будем называть пространственным спектром цели.
Спектр цели позволяет корректно определить время задержки
сигнала (дальность) протяженной цели. Действительно, учитывая,
что спектр цели сосредоточен в диапазоне времен задержки, занимаемых целью, за координату цели по измеряемому параметру
можно принять положение энергетического центра цели1:
ò τ α P ( τ α ) dτ α . τt =
(1.3)
P ( τ α ) dτ α
ò
Данный выбор имеет два преимущества перед другими возможными вариантами: во-первых, параметр tt соответствует дальности
1 Условимся, что индекс «t» (от англ. target) в обозначениях различных величин,
использованных здесь и далее, означает, что данные величины соответствуют сигналам от наблюдаемой цели.
10
до точки, принадлежащей объему V, и, во-вторых, его использование позволяет легко формализовать задачу статистического синтеза
и анализа измерителей времени задержки.
Заметим, что определение (1.3) эквивалентно следующему уравнению:
ò (τα - τt ) P(τα )dτα = 0. (1.4)
Это уравнение будет в дальнейшем использовано при синтезе оптимального измерителя времени задержки сигнала протяженной
цели.
1.2. Дальномерный шум протяженной цели
Дальномерный шум цели представляет собой случайный процесс, наблюдаемый на выходе измерителя дальности, который реализует оптимальный для точечной цели алгоритм оценивания. Для
иллюстрации этого определения рассмотрим алгоритм оценки времени задержки сигнала от флюктуирующей точечной цели. Пусть
на входе приемника наблюдается смесь:
r (t) = ρs(t - τt ) + n(t), t Î [0,Tí ], где s(t) – излученный сигнал; tt – время задержки сигнала; r – случайная комплексная амплитуда сигнала, которая имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией Pt; n(t) – белый внутриприемный шум со спектральной плотностью мощности N0; [0, Tн] – интервал наблюдения. В дальнейшем
будем считать, что сигнал s(t) имеет единичную энергию:
2
E = ò s(t) dt = 1. (1.5)
После дискретизации по времени с периодом Т получим выборку
r [m ] = ρs(mT - τt ) + n[m ], m = 0,, M -1,
где r[m] = r(mT), m = 0,…,M – 1 – отсчеты наблюдаемого процесса,
n[m], m = 0,…,M – 1 – усредненные отсчеты дискретного белого шума со средней мощностью pn = N0/T. Поскольку преобразование Фу11
рье полностью сохраняет информацию, содержащуюся в сигнале,
удобно перейти от временной выборки к частотной:
R [m ] = ρS[m ]e-im∆ωτt + N [m ], m = 0,, M -1,
где R[m], m = 0,…,M – 1 – дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
отсчетов наблюдаемого процесса; S[m], m = 0,…,M – 1 – отсчеты
спектра излучаемого сигнала; N[m], m = 0,…,M – 1 – отсчеты дискретного белого шума со средней мощностью Pn = MN0/T; Dw = 2p/
MT – шаг ДПФ по частоте.
Плотность распределения вероятности выборочного вектора
R = {R[m], m = 0,…,M–1} (функция правдоподобия) имеет вид
f (R τ t ) =
1
π
M
exp éê-R H C-1Rùú , ë
û
det C
(1.6)
где det(·) – функция вычисления детерминанта, корреляционная
матрица вектора R равна
(
)
C = Pt aa H + Pn I = Pn q2aa H + I ,
где a = {S[m]exp[–imDwtt], m = 0,…,M–1} – вектор M×1, I – единичная матрица M×M, q2 = Pt/Pn – отношение сигнал/шум (ОСШ). На
основании леммы об обращении матрицы и свойств детерминанта
[8, с. 33]
é
q2aa H ùú
C-1 = Pn-1 êêI , det C = PnM 1 + q2 a H a .
2 H ú
ëê 1 + q a a ûú
(
)
Тогда логарифм функции правдоподобия можно записать в виде
2ö
æ
çç
q2 R H a ÷÷÷
2 H
-1 çç H
L(τt ) = ln f (R τt ) = const - ln 1 + q a a - Pn çR R ÷÷÷.
çç
1 + q2a H a ÷÷
çè
ø÷ (
)
Учитывая, что скалярное произведение aHa не зависит от оцениваемого параметра tt, его оценка в соответствии с методом максимума правдоподобия равна
2ö
æ

τt = arg maxçç R H a ÷÷÷.
ç
÷ø
τt è
12
При наблюдении N независимых выборок {Rn, n = 1,…,N} несложно показать, что соответствующая оценка имеет вид
æ N
2 ö÷

ç
τt = arg maxçç å RnH a ÷÷÷. (1.7а)
τt çèn=1
÷ø
Осуществляя обратный переход из частотной области во временную, оценку (1.7а) можно записать как
2ö
æ
÷÷
çç N Tí

÷
*
ç
τt = arg maxçç å ò rn (t)s (τt - t)dt ÷÷. ÷÷
τt çn=1
ççè
0
ø÷÷
(1.7б)
Следовательно, оптимальная процедура оценивания соответствует определению момента достижения максимума процесса, получаемого в результате некогерентного накопления выборок сигнала на выходе согласованного фильтра.
Определим нижнюю границу (границу Крамера – Рао) дисперсии оценки (1.7). Дважды дифференцируя функцию правдоподобия
и учитывая, что aHa не зависит от tt, получим
σ2τ
é 2
¶
= - êê
L( τt )
êë ¶τ2t
ù -1
1
ú =
,
ú
2 2
2Nq ω ñêâ
ûú
(1.8)
где wскв – среднеквадратическая ширина спектра сигнала
ω2ñêâ =
ò
2
2
2
é
ù2
S (ω ) dω ò ω2 S (ω ) dω - ê ò ω S (ω ) dω ú
ëê
ûú
2
é
ù2
ê ò S (ω ) dω ú
ëê
ûú
.
(1.9)
Проанализируем полученные результаты на примере оценки
дальности протяженной цели с
P(τα)
треугольным спектром (рис. 1.1):
P(τ α ) =
ö
τ
2τ
2 æç 2τm
- τ α ÷÷÷, - m £ τ α £ m ,
çç
ø
τm è 3
3
3
ö
τ
2τ
2 æç 2τm
=
- τ α ÷÷÷, - m £ τ α £ m ,
çç
ø
τm è 3
3
3
(1.10)
−τm/3
2τm/3
0
τα
Рис. 1.1
13
где tm – протяженность цели по времени задержки и при использовании зондирующего сигнала типа гауссовского импульса:
é t2 ù
1
ú;
s(t) =
exp êê2ú
4
2
2πσ
(1.11)
ëê 4σ ûú 2
é
ù
4
S (ω ) = 8πσ2 exp ê-(σω ) ú ,
ë
û
где s – эффективная длительность импульса.
На рис. 1.2 приведены нормированные к s зависимости смещения и среднеквадратичные отклонения СКО оценки времени задержки (1.7) от ОСШ q2 при различных протяженностях tm, полученные в результате моделирования при размере выборки M = 64
и количестве выборок N = 64. Там же представлена граница Крамера – Рао (ГКР), рассчитанная в соответствии с (1.8). Как следует из рисунка, оценка (1.7) является несмещенной лишь для точечной цели (tm = 0). В случае протяженной цели оценка имеет заметное смещение, которое слабо зависит от ОСШ. Характер изменения
(E{ τ }–τ 0 )/σ
0,01
0
–0,01
–0,02
–0,03
–0,04
–0,05
–0,06
0
Смещение
τm=0
τm=0,25 σ
τm=0,5σ
5
10
15
S{ τ}/σ
100
20
25
30
35
40 q2, дБ
СКО
τm=0
τm=0,25σ
τm=0,5σ
ГКР
10–1
10–2
10–3
10–4
0
5
10
15
20
Рис. 1.2
14
25
30
35
40 q2, дБ
СКО оценки иной. При малых ОСШ СКО оценки слабо зависит от
протяженности цели по дальности. Кривые СКО, соответствующие
различным значениям tm, идут примерно одинаково и совпадают с
ГКР, которая монотонно уменьшается с увеличением q2. При больших значениях q2 с ГКР совпадает только зависимость СКО для точечной цели, что свидетельствует об асимптотической эффективности оценки (1.7) для этого случая.
При других значениях tm СКО оценки перестает зависеть от
ОСШ, происходит стабилизация уровня СКО. Эта стабилизация и
является свидетельством существования дальномерного шума протяженной цели, а наблюдаемые при этом ошибки оценивания дальности – его проявлением.
1.3. Критерий протяженности по дальности наблюдаемой цели
В зависимости от ОСШ одна и та же наблюдаемая цель может
рассматриваться как точечная или протяженная [2]. Действительно, как следует из предыдущего раздела, при увеличении ОСШ СКО
ошибки оценки дальности сначала будет монотонно уменьшаться в
соответствии с изменением ГКР (1.8). Дальномерный шум при этом
меньше уровня флюктуационных ошибок, вызванных влиянием
внутриприемного шума. Затем при достижении ОСШ определенного порогового значения q2пор произойдет указанная выше стабилизация СКО с ошибками измерения дальности, вызванными дальномерным шумом. Такая зависимость СКО ошибок оценивания от
ОСШ позволяет считать наблюдаемую цель точечной до тех пор, пока СКО уменьшается с увеличением ОСШ, и протяженной, когда
СКО перестает зависеть от ОСШ.
Таким образом, критерий протяженности наблюдаемой цели,
т. е. пороговое ОСШ q2пор (рис. 1.3), можно определить путем нахожСКО
ГКР
(цель точечная)
СКО = const
(цель протяженная)
q2пор
q2, дБ
Рис. 1.3
15
дения точки пересечения кривой, соответствующей ГКР, и прямой,
соответствующей уровню стабилизации СКО.
Для того чтобы провести эти вычисления, определим СКО ошибки измерения времени задержки при реализации алгоритма (1.7) и
наблюдении протяженной цели в отсутствии внутриприемного шума. Сначала преобразуем алгоритм (1.7) к виду, удобному для статистического анализа.
Допустим, что излучаемый сигнал – дифференцируемая функция времени, тогда оценка параметра tt равна корню уравнения
Tí
2
d N
å rn (t)s* (t - τt )dt =
dτt n=1 ò
0
Tí
éTí
ù
N
d
ê
ú
*
r
t
s
t
dt
= 2 å Re ê ò rn (t)s* (t - τt )dt
τ
(
)
(
)
ú = 0.
n
t
ò
d
τ
ê
ú
t
n=1
0
ëê 0
ûú
(1.12)
При отсутствии внутриприемного шума, как следует из (1.1),
(n)
rn (t) = å ρα s(t - τ α ), (1.13)
α
где ra(n) – комплексная амплитуда сигнала a-й светящейся точки в
n-й выборке. Подставляя значение rn(t) в формулу (1.12), получим
Tí
Tí
é Tí
ù
Tí
é N
ù
ú
*
d τ )dt* d
ê
ú
n) êê(n)* ρ(n)ρ(n)* s(*t - τ ) s* (t (
s
t
s
t
dt
Re
τ
τ
(
)
åρα ρêβå òαs(tβ- τòα )s (t -ατt )dt tò s d(tτ-òτβ )s((t - τβt ))dtú = t úú =
å Re êêå
t 0
dτ t
ú
n=1
0
n=1
ëê α,β 0
ûú
0
ëê α,β
ûú
é
ù
é N
ù
N
n) ê(n)* ρ(*n)ρ(n)* B* ( τd - τ ) d B ú τ - τ ú = 0,
ê å(Re
(
)
ê
å
t
α
α
B
B
ρ
ρ
τ
τ
τ
τ
= å Re=
(
)
(1.14)
β
(
)
ê å α êβ
t
α
βdτ t ú =β 0, t úú
t ú
dτ t
ê αn,β=1 ë α,β
û
n=1
ë
û
где B(t) – выходной сигнал согласованного фильтра (автокорреляционная функция (АКФ) сигнала s(t)).
Будем считать, что протяженность сигнала от наблюдаемой цели меньше длительности излученного сигнала tи: | ta – tt|< tи. Тогда
N
2
16
B(τ α - τt ) = B(0) + B ¢(0)(τ α - τt ) + 0,5B ¢¢(0)(τ α - τt ) +, (1.15)
где B(0), B′(0), B″(0) – значения АКФ и ее производных в нуле, причем на основании, что B(0) = 1 и B′(0) = 0, так как АКФ имеет максимум в нуле. Подставляя выражение (1.15) в (1.14) и пренебрегая
членами ряда Тейлора (1.15) выше второго порядка малости, получим уравнение
é
ù
(n) (n)*
ê
ú
Re
ρ
ρ
µ
τ
τ
(
)
å êêå α β
α
t ú = 0, ú
n=1
ë α,β
û
N
где m = wскв = –B″(0) – среднеквадратическая ширина спектра сигнала (1.9), что следует из связи АКФ и энергетического спектра (ЭС)
сигнала
2
1
S (ω ) eiωτ dω. ò
2π
Тогда оценка времени задержки сигнала наблюдаемой цели рав-
B(τ ) =
на
N
å Re éêëe∆ (n)eΣ* (n)ùúû

τt = n=1
N
å eΣ (n)
n=1
где введены следующие обозначения:
2
,
(1.16)
(n)
(n)
eΣ (n) = å ρα , e∆ (n) = å τ α ρα .
α
α
Уравнение (1.16) позволяет произвести анализ ошибок оценивания. В приложении 1 показано, что математическое ожидание и
дисперсия оценки (1.16) соответственно равны


E {τt } = τt , D {τt } =
τt =
где
β2t
,
2( N -1)
(1.17)
å τα pα
α
å pα
- положение энергетического центра цели;
α
17
2
é
ù1/2
ê å (τ α - τt ) pα ú
ê
ú
ú -
(1.18)
βt = ê α
ê
ú
pα
å
ê
ú
α
êë
úû
эффективная ширина сигнала цели по времени задержки.
Таким образом цель анализа достигнута: определена дисперсия
ошибки оценивания времени задержки сигнала протяженной цели
при отсутствии внутриприемных шумов и использовании алгоритма, оптимального для точечной цели. Теперь можно вычислить пороговое ОСШ, приравнивая правые части равенств (1.17) и (1.8):
1
2
2Nqïîð
ω2ñêâ
=
β2t
.
2( N -1)
(1.19)
Окончательно получим
2
qïîð
=
N -1
Nβ2t ω2ñêâ
»
1
(βt ω ñêâ )2
æ τ ð ÷ö2
ç
= çç ÷÷ , çè βt ÷ø
(1.20)
где учтено, что wскв = 1/tр и tр – разрешающая способность (РС) сигнала по Релею (релеевская разрешающая способность (РРС)). Таким
образом, пороговое ОСШ равно квадрату отношения РРС и эффективной протяженности цели. При выбранном сигнале и известной
эффективной протяженности цели уравнение (1.20) позволяет рассчитать пороговое ОСШ, при превышении которого оцениватель
времени задержки, рассчитанный на обработку сигнала от точечной цели, начинает испытывать влияние дальномерного шума. Если ОСШ меньше порога (1.20), цель для оценивателя можно считать точечной. Например, для цели с треугольным спектром (1.12)
bt = tm/(3√2), а для гауссовского импульса (1.20) tр = 2s. Подставляя данные значения в (1.20) при tm = 0,25s и tm = 0,5s, получим
q2пор = 30,6 дБ и q2пор = 24,6 дБ соответственно. Сравнивая полученные величины с графиками на рис. 2, видим, что они полностью
соответствуют точкам, где происходит отклонение графиков СКО
оценки от ГКР. Следовательно, уравнение (1.20) может быть использовано в качестве критерия протяженности радиолокационной цели по дальности.
18
1.4. Оптимальная оценка дальности протяженной цели
Оптимальная оценка дальности (времени запаздывания сигнала)
протяженной цели представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Причиной тому является невозможность применить известные
статистические методы нахождения оптимальных оценок вследствие отсутствия априорных сведений о пространственном спектре
цели P(t), поэтому используем метод, который является обобщением метода, предложенного в статье [9] для оценки угловой координаты протяженного объекта в системе с антенной решеткой.
Данный метод основан на предположении, что наблюдаемая
смесь полезного сигнала и шума является комплексным гауссовским процессом с нулевым математическим ожиданием и неизвестной корреляционной матрицей.
Пусть принятый на интервале наблюдения [0, Tн] сигнал в соответствии с (1.1) равен
r (t) = ò ρ(τ α )s(t - τt - τ α )dτ α + n(t), t Î [0,Tí ], (1.21)
где s(t) – излученный сигнал; r(ta) – комплексная амплитуда сигнала, рассеянного элементом цели, время задержки относительно
энергетического центра цели которого равно ta; tt – время задержки, соответствующее положению энергетического центра цели;
n(t) – белый шум на входе приемника со спектральной плотностью
мощности N0. В дальнейшем будем считать подлежащим оцениванию время задержки tt.
После дискретизации сигнала (1.21) по времени с периодом Т получим выборку
r [m ] = ò ρ(τ α )s(mT - τt - τ α )dτ α + n[m ], m = 0,, M -1,
где r[m] = r(mT), m = 0,…,M – 1 – отсчеты наблюдаемого процесса;
n[m], m = 0,…,M – 1 – усредненные отсчеты дискретного белого шума со средней мощностью pn = N0/T. Как это было сделано в разд.
1.2, перейдем от временной выборки к частотной:
R [m ] = S[m ]e-im∆ωτt ò ρ(τ α )e-im∆ωτ α dτ α + N [m ],
m = 0,, M -1,
(1.22)
19
где R[m], m = 0,…,M – 1 – дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
отсчетов наблюдаемого процесса; S[m], m = 0,…,M – 1 – отсчеты
спектра излучаемого сигнала; N[m], m = 0,…,M – 1 – отсчеты дискретного белого шума со средней мощностью Pn = MN0/T; Dw = 2p/
MT – шаг ДПФ по частоте.
Будем считать, что отдельные светящиеся точки цели являются статистически взаимно независимыми источниками (разд. 1.1) и,
следовательно, комплексная амплитуда r(ta) является реализацией
белого нестационарного шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией
ρ(τ α )ρ* (τ α¢ ) = P (τ α )δ (τ α - τ α¢ ), где d(·) – дельта-функция. Тогда отсчеты частотной выборки (1.22)
будут иметь нулевое математическое ожидание и корреляционную
матрицу С, элементы которой равны
Cmn = S[m ]e-im∆ωτt P[m - n ]S* [n ]ein∆ωτt + Pn δ (m,n), (1.23)
-i m-n)∆ωτ α
P[m - n ] = ò P (τ α )e (
dτ α . (1.24)
где
С учетом равенств (1.23) и (1.24) матрицу С можно представить в
виде
C = P Ä éê a(τt )a H (τt )ùú + Pn I, ë
û
где P – теплицева матрица с элементами Pmn = P[m – n], n,m = 0, …,
M–1; a(tt) – вектор с элементами am(tt) = S[m]exp[–imDwtt], m = 0,…,
M–1; Ä – оператор поэлементного умножения матриц.
Отсчет времени запаздывания t (1.21) относительно положения
энергетического центра цели позволяет переписать уравнение (1.4)
в виде
(1.25)
ò τα P(τα )dτα = 0. Данное условие и знание спектра излученного сигнала S(w) позволяют оценить параметр tt без каких либо предположений относительно пространственного спектра цели P(ta).
Умножим поэлементно матрицу С на матрицу A = [a*(0)aT(0)]:
20
Z = C Ä A = P Ä éêGG H ùú + Pn I Ä éê a* (0)aT (0)ùú , ë
û
ë
û
2
где G – вектор с элементами Gm = |S[m]| exp[–imDwtt], m = 0,…,M –
1; Т – оператор транспонирования. Просуммируем элементы матрицы Z по субдиагоналям:
zm =
M-m-1
å
n=1
Zm+n,n =
M-m-1
å
n=1
Pm+n,n Gm+n Gn = w[m ] P[m ]e-im∆ωτt ,
m = 1,, M -1,
где
w[m ] =
M-m-1
å
2
2
S[m + n ] S[n ] ,m = 1,, M -1.
n=1
Поскольку w[m] ≥ 0 и Im{P[m]}≈0 в силу условия (1.25) для любого
m = 1,…,M – 1, в итоге получим
arg (zm ) = -m∆ωτt . Последнее равенство свидетельствует о возможности определить
положение энергетического центра цели вне зависимости от наличия априорной информации о пространственном спектре P(ta). Аналогично статье [9] для нахождения параметра tt рассмотрим следующую статистику:
Q (τ ) =
M-1

å | zm - zm |2 =
m=1
=
M-1 M-m-1
å| å
n=1

Zm+n,n - w[m ] P[m ]e-im∆ωτ |2 , m=1
ïìM-1
* ïüï
Q (τ ) = Re ïí å w[m ]P[m ]e-im∆ωτ zm
ý=
ï
ï
ïî m=1
ïþ
1
M
ïì
* -im∆ω(t+τ) ïüï
e
= ò P (t)Re ïí å w[m ]zm
ýdt, ï
ï
îï m=1
þï
(1.26)
 


Z = C Ä A; и C – выборочная коргде Zm,n – элемент матрицы,

реляционная матрица C = RR H ; R – вектор принятой выборки
с элементами R[m], m = 1,…,M–1. Минимизация статистики (1.26)
относительно t эквивалентна максимизации функционала:
(1.27)
21
M-m-1 

*
где zm = å Zm
+n,n и было учтено, что P(ta) ≥ 0.
n=1
Введем функцию
M-1

* -im∆ωτ
ϕ (τ ) = å w[m ]Re zm
e
.
m=1
{
}
Тогда выражение (1.27) перепишется в виде


Q (τ ) = ò P (t)ϕ (t + τ )dt = ò P (t - τ )ϕ (t)dt. (1.28)

Исследуем асимптотическое поведение функции ϕ (t). При больших ОСШ и/или количестве выборок
M-1

* -im∆ωt
ϕ (t) ® ϕ (t) = å w[m ]Re zm
e
=
{
m=1
=
M-1
å w2 [m]Re {P* [m]e
-im∆ω(t-τt )
m=1
}
}.
Учитывая (1.6), последнее равенство можно переписать в виде
ϕ (t) =
M-1
å w2 [m]Re {ò P(τ )e
-im∆ω(t-τ -τt )
m=1
}
dτ =
= ò P (τ )ψ (t - τ - τt )dτ,
(1.29)
ìïM-1
üï
где ψ (τ ) = Re ïí å w2 [m ]e-im∆ωτ ïý – четная функция, имеющая вид
ï
ï
îï m=1
þï
пика с максимумом в точке t = 0. Подставляя (1.29) в формулу
(1.28), получим
Q (τ ) ® ò éê ò P (t - τ ) P (t - τ - τt )dtùú ψ (τ )dτ =
ë
û
= ò F (τ + τt - τ )ψ (τ )dτ,
(1.30)
где F (τ ) = ò P (τ ) P (τ - τ )dτ – корреляционная функция пространственного спектра цели. Поскольку функция F(t) – четная и имеет
максимум в точке t = 0, максимум функционала Q(t), как следу22
ет из формулы (1.30), будет приходиться на точку t = tt. Функционал Q(t) зависит от неизвестного пространственного спектра цели
P(t). Однако, учитывая равенство (1.28) и тот факт, что спектр P(t)
сосредоточен
в окрестности нуля, можно утверждать, что функция

ϕ (t) асимптотически имеет максимум в точке t = tt. Следовательно,
оценка tt может быть найдена из выражения
ïìM-1


* -im∆ωτ ïüï
τt = arg max ϕ (τ ) = arg maxRe ïí å w[m ]zm
e
(1.31)
ý. ï
ï
τ
τ
1
m
=
ï
ï
î
þ
Данная оценка определяется элементами выборочной корреляционной матрицы, не зависит от пространственного спектра цели
P(t) и не требует априорного знания мощности внутриприемного
шума.
1.5. Граница Крамера – Рао и анализ эффективности
оптимального измерителя
Прежде чем перейти к анализу эффективности алгоритма (1.31),
определим потенциальную точность оценки времени запаздывания
сигнала протяженной цели путем вычисления ГКР. Плотность распределения вероятности принимаемой выборки (1.14) на основании
формулы (1.16) запишем в виде
f (R ) =

1
exp éê-R H C-1Rùú =
exp éê-tr C-1C
M
ë
û π det C
ë
det C
1
π
M
(
)ùúû , (1.32)
где det(·) и tr(·) – операторы вычисления детерминанта и следа матрицы.
Считая, что пространственный спектр цели известен, ГКР для
дисперсии оценки параметра tt [10] равен
σ2τ
é 2
¶
= - êê
ln f (R)
êë ¶τ2t
ù -1
ú .
ú
úû
(1.33)
Подставляя выражение (1.32) в (1.33) и осуществив необходимые
вычисления, получим
23
ì éæ
ü-1
2 ùï
ï
ï
êç -1 ¶C ö÷ ú ï
ï
÷÷ ú ï
(1.34)
= ítr êççC
ý .
÷ø ú ï
ï
ç
¶
τ
ê
è
t
ï
ï
ï ëê
ï
ûú þ
î
Точный расчет ГКР в соответствии с формулой (1.34) при больших размерах выборки M и ОСШ q2 чрезвычайно сложен, поскольку матрица C в этих условиях плохо обусловлена. Однако можно
предложить очень точную аппроксимацию, если учесть следующее:
– несложно показать, что в случае точечной цели ГКР (1.8) является частным случаем границы (1.34) при подстановке bt = 0;
– граница st2 должна слабо зависеть от формы пространственного спектра P(ta), но увеличиваться пропорционально эффективной
протяженности цели bt.
На основании этих соображений и в ходе расчетов по формуле
(1.34) была найдена следующая аппроксимация:
σ2τ
σ2τ =
1 + q2
2q 4 ω2ñêâ
(1 + β2t q2 ). (1.35)
На рис. 1.4, 1.5 приведены зависимости смещения и СКО оценки
(1.31) от ОСШ q2 при различных протяженностях цели tm, полученные путем математического моделирования. Здесь же точечными
(E{ τ }–τ t )/σ
0,1
Смещение
0,05
τm=0
τm=0,25 σ
τm=0,5σ
0
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
–10
–5
0
5
10
Рис. 1.4
24
15
20 q2, дБ
S{ τ}/σ
СКО
101
τm=0
ГКР
100
10–1
10–2
–10
–5
0
5
10
15
101
20 q2, дБ
τm=0,25 σ
ГКР
100
10–1
10–2
–10
–5
0
5
10
15
101
20 q2, дБ
τm=0,5 σ
ГКР
100
10–1
10–2
–10
–5
0
5
10
15
20 q2, дБ
Рис. 1.5
кривыми показаны соответствующие зависимости ГКР, построенные в соответствии с выражением (1.35). При моделировании полагалось, что цель имеет треугольный спектр (рис. 1.1, формула 1.10).
Размер выборки M и количество независимых выборок N были выбраны равными: M = N = 64. Все величины на графиках нормированы к эффективной длительности излучаемого гауссовского импульса (1.11).
Из рисунков видно, что при q2 ≥ 0 дБ оценка (1.31) становится
практически несмещенной и эффективной. Небольшое смещение
оценки при больших протяженностях цели объясняется влиянием
сигнальной функции s(t) на распределение амплитуд, рассеянных
от светящихся точек сигналов.
Таким образом, полученная оценка может считаться оптимальной, поскольку по своим статистическим свойствам она близка к
асимптотически несмещенной и эффективной.
25
1.6. Подоптимальная оценка времени задержки сигнала
протяженной цели
Оптимальная оценка (1.31) имеет существенный недостаток, который заключается в необходимости реализации поиска максимума функционала. Поэтому целесообразно найти подоптимальный
алгоритм оценивания, который, незначительно уступая оптимальному в эффективности, проще последнего при реализации. Такой
алгоритм оценивания может быть найден, если обратиться к анализу оценки времени задержки сигнала точечной цели в форме (1.7б).
Предположим, что в приемнике, помимо основного канала, содержащего согласованный фильтр (СФ) с импульсной характеристикой (ИХ) hS(t) = s(t0 – t), существует идентичный по своим характеристикам дополнительный канал, в котором СФ заменен на
фильтр с ИХ hD(t) = k∂s(t0–t):
rΣ (t) = å ρα ò s(τ - τ α )s* (τ + τ0 - t)dτ + nΣ (t);
α
r∆ (t) = kå ρα ò s(τ - τ α )¶s* (τ + τ0 - t)dτ + n∆ (t),
α
(1.36)
где ∂s(t) – производная сигнала s(t) по времени, t0 ≥ tи – время задержки в СФ, а коэффициент усиления k выбирается из условия равенства средней мощности шумов на выходах каналов. Модель образования сигналов rS(t) и rD(t) представлена на рис. 1.6. Данная
схема позволяет рассматривать оцениватель времени задержки сигнала цели как суммарно-разностный дискриминатор импульсного
дальномера. Поэтому обозначения S- и D-каналов обработки выбраны не случайно, и соответствующие сигналы по аналогии с суммарно-разностными пеленгаторами [11] будем называть соответственно
суммарным и разностным.
Сигнал
от цели
Шум
n (t)
Рис. 1.6
26
hΣ(t)
r Σ ( t)
h ∆(t)
r ∆ ( t)
Шумы nS(t) и nD(t) связаны с белым внутриприемным шумом
n(t), действующим на входе фильтров, следующим образом:
nΣ (t) = ò n(τ )s* (τ + τ0 - t)dτ,
n∆ (t) = k ò n(τ )¶s* (τ + τ0 - t)dτ.
Учитывая, что шум n(t) – белый с СПМ N0, а также взаимную ортогональность сигнала и его производной
*
ò s (τ)¶s(τ)dτ = 0, (1.37)
получим корреляционную матрицу вектора шумов n(t) = [nS(t)×
× nD(t)]T:
Kø = N0 diag
( ò s( τ )
2
2
)
dτ, k2 ò ¶s(τ ) dτ .
Таким образом, вследствие условия ортогональности (1.37) шумы в каналах статистически независимы. Выбором коэффициента
усиления k можно также приравнять их средние мощности. Для
этого необходимо, чтобы выполнялось следующее условие нормировки:
2
2
k2 ò ¶s(τ ) dτ = ò s(τ ) dτ = 1,
поскольку в соответствии с ранее сделанным предположением
энергия сигнала E = 1. После сделанных упрощений Kш = pшI, где
pш = N0E – мощность шумов в каналах, а I – единичная матрица
2×2.
Обратимся теперь к сигнальным составляющим в составе rS(t) и
rD(t). Подобно тому, как это было сделано в разд. 1.3, несложно показать, что сигналы от цели в формуле (1.36) равны
eΣ (t) = å ρα B(τ α + τ0 - t);
α
e∆ (t) = kå ρα ¶B(τ α + τ0 - t),
α
где B(t) и ∂B(t) – АКФ сигнала и ее первая производная. Данные сигналы составляют векторный нормальный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей, равной
27
2
æ
ö
çç
kå pα ¶B* (τ α ) B(τ α )÷÷
å pα B(τα )
çç
÷÷÷
α
α
÷ (1.38)
Kt = çç
÷
2 ÷
çç
2
*
÷
k
p
B
τ
B
τ
τ
k
p
B
τ
¶
¶
çç å α ( α ) ( α
å α ( α ) ÷÷÷
0)
çè α
ø
α
при t = t0. Раскладывая АКФ сигнала в ряд Тейлора в окрестности
точки t = 0 (1.6) и ограничиваясь членами не выше второго порядка
малости, перепишем (1.38) в виде
æ
p
ççç å α
α
Kt = çç
ççµ τ p
çç å α α
è α
µ å τ α pα ö÷
æ 1
÷÷
α
÷÷ = P çç
÷
t çç
µ2 å τ2α pα ÷÷÷
çèµτt
÷
ø
α
÷÷ö
÷,
µ2 β2t + τ2t ÷÷÷ø
(
µτt
)
где Pt = Sapa – средняя мощность сигнала eS(t), m = –kB″(0) – параметр, равный крутизне дискриминационной характеристики оценивателя, организованного с использованием сигналов rS(t) и rD(t).
Параметры tt и bt – положение энергетического центра цели и эффективная ширина его сигнала по времени задержки – были введены в подраздел 1.3, выражения (1.17, 1.18).
Таким образом, функция правдоподобия независимой выборки,
составленной из отсчетов сигналов в суммарном и разностном каналах дискриминатора, равна
é N
ù
1
exp êê- å xnH K-1xn úú , f (x Pt , τt ,βt ) =
(1.39)
N
êë n=1
úû
π2 det K
где N – размер выборки; xn = (rS(n) rD(n))T, n = 1,…, N – вектор, составленный из отсчетов сигналов rS(t) и rD(t); K = Kt+Kш – корреляционная матрица сигналов (1.36). Неизвестными параметрами, подлежащими оцениванию, являются Pt, tt и bt.
Считая мощность шумов pш известной или измеренной с высокой точностью, методом максимального правдоподобия получим из
выражения (1.39) следующие оценки для неизвестных параметров:
(
)

Pt = N-1 (a - Npø );
28
1
A

;
τt =
µ a - Npø
2

1 (a - Npø )(b - Npø ) - A
β2t = 2
,
µ
(a - Npø )2
Pt = N-1 (a - Npø );
1
A

τt =
;
µ a - Npø
2

1 (a - Npø )(b - Npø ) - A
β2t = 2
,
µ
(a - Npø )2
(1.40)
где введены следующие обозначения
N
2
N
2
N
{
}
a = å rΣ (n) ; b = å r∆ (n) ; A = å Re rΣ* (n)r∆ (n) . n=1
n=1
n=1
(1.41)
Заметим, что вычитание Npш из a и b в оценках (1.40) соответствует компенсации смещения оценок мощности сигнала цели в
суммарном и разностном каналах оценивателя.
Оценку времени задержки (1.40) будем называть ΣΔ-оценкой. В
приложении методом характеристических функций получены ее
математическое ожидание и второй начальный момент:
N

E {τt } = τΦ N (ξ );
µ
ìï0,5β2 éΦ
üï
ù
ïï ê N-1 (ξ ) - Φ N (ξ )ûú +
N ïï
2
ë
E τt =
,
(1.42)
í
ý
µ2 ïï+( N + 1)τ2 éêΦ N (ξ ) - Φ N +1 (ξ )ùú ïï
ï
ï
ë
û
î
þ
где
pø
Pt
ξ=N
; τ = µτt
;
Pt + pø
Pt + pø
Pt æç 2
pø ö÷
pø
÷÷ +
β2 = µ2
,
ççβt + τ2t
Pt + pø èç
Pt + pø ø÷ ( Pt + pø )
{ }
и
i¥
Φ N (ξ) = Re ò
0
eξzdz
(1 + z)N +1
.
Для сравнения рассматриваемой ΣΔ-оценки с оптимальной (1.31)
воспользуемся методом математического моделирования. Результаты моделирования приведены на рис. 1.7, 1.8.
При моделировании использовался тот же сценарий, что и при
получении результатов, представленных на рис. 1.4, 1.5 соответственно. Из сравнения рис. 1.4 и 1.7 следует, что для ΣΔ-оценки характерно существование области аномально больших ошибок при
q2 ≤ 0 дБ. Существование таких ошибок объясняется тем, что в обла29
(E{ τ }–τ 0 )/σ
τm=0
τm=0,25 σ
τm=0,5σ
0,05
0
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
–10
–5
0
5
10
15
20 q2, дБ
Рис. 1.7
S{τ}/σ
СКО
10 2
τm=0
ГКР
10 0
10 –2
10 –4
–10
10
–5
0
5
10
15
1
20 q2, дБ
τm=0,25 σ
ГКР
10 0
10 –1
10 –2
–10
–5
0
5
10
15
20 q2, дБ
10 2
τm=0,5σ
ГКР
10 0
10 –2
–10
–5
0
5
Рис. 1.8
30
10
15
20 q2, дБ
сти малых ОСШ, как это следует из формулы (1.40), велика вероятность появления близких к нулю или даже отрицательных оценок
мощности сигнала цели Pt вследствие компенсации смещения путем вычитания Npш из a. Однако при дальнейшем увеличении ОСШ
эти аномальные ошибки исчезают и, как следует из рис. 1.8, ΣΔоценка также становится асимптотически эффективной, поскольку
ее СКО приближается к ГКР.
Отказ от компенсации смещения оценки мощности сигнала цели
приводит к другой подоптимальной оценке времени задержки:
A

τt = , (1.43)
a
которую в дальнейшем будем называть линейно-регрессионной
оценкой (ЛР-оценкой), поскольку, как следует из (1.41), она представляет собой оценку коэффициента линейной регрессии сигнала
разностного канала rD(t) на сигнал суммарного канала rS(t) [10]. Математическое ожидание и дисперсию ЛР-оценки можно легко найти на основании расчетов, приведенных в приложении. Для этого в
формулах приложения для первых двух начальных моментов распределения следует положить d = 0:
Pt
τ

E {τt } = = τt
;
µ
Pt + pø

D {τt } =
β2
2µ
2
( N -1)
=
1
´
2( N -1)
é P
ù
æ
ö
pø
ú
t
ççβ2 + τ2 pø ÷÷ +
´êê
t
ú. ÷
ç t
Pt + pø ÷ø µ2 ( Pt + pø )ú
êë Pt + pø èç
û
(1.44)
Результаты сравнения ΣΔ-оценки и ЛР-оценки приведены на рис.
1.9–1.11, где представлены зависимости смещения и СКО от ОСШ
при разных протяженностях наблюдаемой цели tm, которая, как и
раньше, имеет треугольный пространственный спектр. Другие параметры, выбранные для расчетов, сохранены такими же, как и при
моделировании, результаты которого представлены на рис. 1.7, 1.8.
Сравнение кривых показывает, что основное отличие подоптимальных оценок заключается в величине их смещения: для ΣΔ-оценки
оно меньше. Кроме того, смещение ΣΔ-оценки быстро уменьшается с
увеличением объема выборки N.
31
(E{ τ }–τ t )/σ
0,02
S{τ}/σ
Смещение, τm=0
СКО, τm=0
100
0
10–1
–0,02
Σ∆-оценка
ЛР-оценка
–0,04
10–2
–0,06
–0,08
–0,1
0
10
20
30
40 q2 , дБ
10–3
0
10
20
30
40 q2, дБ
Рис. 1.9
(E{ τ }–τ t )/σ
0,02
S{τ}/σ
Смещение, τ m=0,25σ
100
СКО, τ m=0,25 σ
0
–0,02
10–1
–0,04
Σ∆-оценка
ЛР-оценка
–0,06
10–2
–0,08
–0,1
0
10
20
30
40 q2, дБ
10–3
0
Рис. 1.10
32
10
20
30
40 q2, дБ
СКО, τ m=0,5σ
S{τ}/σ
(E{ τ }–τ t )/σ Смещение, τm=0,5σ
0,02
100
0
–0,02
Σ∆-оценка
ЛР-оценка
10–1
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
0
10
20
30
40 q2, дБ
10–2
0
10
20
30
40 q2, дБ
Рис. 1.11
Действительно, в приложении показано, что для вычисления
FN(x) в случае больших значений величины N можно воспользоваться асимптотическими методами [12], учитывая, что основной
вклад в интеграл вносит окрестность точки z = 0:
i¥
λS z
Φ N (ξ) = Re ò e ( )dz »
0
где
λ = N + 1; S (z) =
¥
a
å λ k+k 1 , k=0
ξ
z - ln (1 + z);
N +1
k
æ
1 d ö÷÷
1
ak = -ççç, k = 0,1,.
÷
çè S ¢(z) dz ÷÷ø S ¢(z)
z=0
Главный член асимптотического ряда (1.17) равен
Φ N (ξ ) »
a0
Pt + pø
1
1
1
==
=
.
λ
N + 1 S ¢(0) N - ξ + 1 NPt + Pt + pø
33
Тогда согласно (1.42) для математического ожидания ΣΔ-оценки
при больших N справедливо следующее приближение:
Pt
Pt + pø
NPt
N

E {τt } » µτt
= τt
¾¾¾¾
® τt .
µ
Pt + pø NPt + Pt + pø
NPt + Pt + pø N®¥
В то же время основным недостатком ЛР-оценки, как следует из
равенства (1.44), является независимость ее смещения от N. По величине СКО обе подоптимальные оценки примерно одинаковы при
q2 ≥ 12 дБ. В частности, они обе в одинаковой степени подвержены
влиянию дальномерного шума, поскольку при больших ОСШ, как
видно из рис. 1.9–1.11, их СКО перестает зависеть от q2 и определяется только протяженностью цели по дальности.
34
2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ПО ДАЛЬНОСТИ И СИНТЕЗ ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ
2.1. Разрешающая способность и ее определение
Для получения высокой разрешающей способности (РС) по
дальности в радиолокации используют сложные сигналы, которые позволяют обеспечить высокий энергетический потенциал
локационной системы и получить эффект сжатия принимаемых
сигналов при их согласованной фильтрации [13–16]. При этом
под РС по дальности понимается ширина пика автокорреляционной функции (АКФ) зондирующего сигнала. Данное определение
соответствует классическому (релеевскому) определению РС [13].
Несмотря на свою простоту и очевидность, оно не раз подвергалось критике [13, 14]. Причиной этого явилось то, что со времен
Релея постановка задачи разрешения источников сигналов претерпела значительные изменения. В настоящее время эта задача понимается в статистическом смысле, и РС определяется как
“способность к выполнению той или иной функции при наличии
многих целей” [14]. Реальные измерения всегда происходят в условиях существования помеховых сигналов, которые имеют случайный характер. Поэтому и сама задача разрешения, и критерий РС должны рассматриваться с позиций статистической теории обработки сигналов.
Очевидным является тот факт, что при полном отсутствии помех
принципиально можно разрешить сколь угодно близкие по своим
параметрам цели. Это утверждение позволяет предположить, что
качество разрешения по дальности должно зависеть не только от того, насколько разрешаемые цели близко расположены в пространстве и какой вид имеют используемые радиосигналы, но и от отношения сигнал/шум (ОСШ) в приемном устройстве. Поэтому при
больших ОСШ принципиально возможным становится получение
разрешения выше, чем дает критерий Релея. Такое разрешение называется сверхрелеевским.
Целью настоящей главы является исследование возможностей
получения сверхрелеевского разрешения, а также методов синтеза радиолокационных сигналов, обладающих предельно достижимой РС при наличии ограничений на их спектральные характеристики.
35
2.2. Граница Крамера – Рао
для оценки времени запаздывания
Оценим потенциально достижимое качество решения задачи о
разрешении точечных источников сигналов. Это можно сделать путем вычисления границы Крамера – Рао (ГКР) для дисперсии оценок времени задержки отраженных от них сигналов.
Пусть сигнал на выходе линейной части приемника равен
r (t) = ρ1s(t - τ1 ) + ρ2s(t - τ2 ) + n(t) ,
(2.1)
где r1 и r2 – комплексные амплитуды сигналов от целей; t1 и t2 –
время задержки сигналов целей; s(t) – зондирующий сигнал; n(t) –
внутриприемный шум. Будем считать, что неизвестными величинами, подлежащими оцениванию, являются комплексные амплитуды r1, r2 и задержки t1, t2. Поскольку r1, r2 – комплексные величины, вектор оцениваемых параметров будет равен Θ = (r1, r2,
r*1, r*2, t1, t2).
Допустим, что помеха представляет собой реализацию белого
комплексного шума, спектральная плотность которого равна N0.
Тогда функционал правдоподобия для смеси (2.1) равен
ïìï 1
L(Θ ) = exp ïíïï N0
îï
T
ò
0
ïü
2 ï
r (t) - ρ1s(t - τ1 ) - ρ2s(t - τ2 ) dtïý. ïï
þï
(2.2)
На основании равенства Парсеваля уравнение (2.2) можно записать в виде
¥
ïìï
ïüï
1
-iωτ1
-iωτ2 2
ïý, (2.3)
L(Θ ) = exp ïíR
ω
ρ
S
ω
e
ρ
S
ω
e
d
ω
(
)
(
)
(
)
1
2
ïï 2πN0 ò
ïï
-¥
ïþ
îï
где R(w) и S(w) – мгновенный спектр реализации r(t) и спектральная
функция сигнала s(t).
С учетом выражения (2.3) информационная матрица Фишера,
составленная из усредненных по ансамблю вторых производных
логарифма функционала правдоподобия по оцениваемым параметрам, может быть записана в виде
36
æ0 0
çç
çç
çç 0 0
6
ì
ü
ççç 1 B*
ï ¶2 L (Θ ) ï
ï
ï
ï
ï
J = í= ççç
ý
ï
¶θm ¶θn ï
çB 1
ï
ï
ï
ïm,n=1 çç
î
þ
çç 0 b*
çç
ç
çè a 0
1
B
0
B*
1
b*
0
0
0
0
0
b
0
b
f
*
0
g
a
a ö÷
÷÷
0 ÷÷÷
÷÷
a* ÷÷÷
÷
0 ÷÷÷
÷÷
g ÷÷÷
÷÷
÷
j ÷ø
(2.4)
где
a = –e*2B1(t);
b = –e*1B1(t);
f = 2|e1|1B2(0);
j = –2|e2|1B2(0);
g = –2Re{e1e*2B2(t)}; B = B(t); B1 = B′(t), B2 = B″(t) – АКФ зондирующего сигнала и ее первая и вторая производные, t = t1 – t2 – разность времени задержек. При записи выражения (2.4) было использовано следующее упрощающее условие нормировки энергии сигнала s(t):
¥
2
E
1
S (ω ) dω = 1,
=
ò
N0 2πN0
-¥
где E – энергия.
Известно, что корреляционная матрица ошибок измерений оцениваемых параметров D удовлетворяет неравенству Крамера – Рао
[10]:
D ³ J-1. Тогда для дисперсии ошибок измерений времени задержки t1 и t2
выполняются следующие неравенства:
J
J
D {τˆ1 } ³ 55 è D {τˆ 2 } ³ 66 , J
J
где J55 и J66 – алгебраические дополнения матрицы J, а J = det(J) –
ее определитель.
Вычислив J55, J66 и J, получим
1
D {τ k } ³- 2 ´
2qk
(1- B )(-B (1- B )- B )
(1- B )- B ) - cos φ B (1- B ) + B B
2
´
(-B
20
2
1
2
20
2
2
2
2
1
2
2
*
2
1
2
,
(2.5)
k = 1,2
37
где B20 = B2(0), j = (arge1 – arge2) – разность фаз сигналов источников; q2k = |ek|2, k = 1,2 – ОСШ для k-го источника.
Таким образом, дисперсия ошибки оценивания времени задержки сигнала от k-го источника (k = 1,2) обратно пропорциональна
ОСШ и зависит от разности фаз источников j и вида АКФ зондирующего сигнала B(t).
Из выражения (2.5) следует, что при cos2j = 0 дисперсия имеет
минимальное значение, а при cos2j = 1 – максимальное. Назовем
дисперсию, получаемую в первом случае, минимальной Dmin{tk}, а
во втором – максимальной Dmax{tk}. Тогда:
2qk2 Dmin {τ k } ³
(
1- B
2
,
)- B1 2
2
2
2
1 - B )(-B20 (1 - B ) - B1 )
(
2
2qk Dmax {τ k } ³
.
2 2
2
2
2
* 2
(-B20 (1- B )- B1 ) - B2 (1- B ) + B B1
-B20 1 - B
2
(2.6)
Тот факт, что максимальное значение Dmax{tk} наблюдается при
разности фаз равной 0 или p, а минимальное Dmin{tk} – при p/2, не
должно вызывать удивления. Дело в том, что в случае j = p/2 сигналы источников ортогональны друг другу и, следовательно, могут
быть разделены в результате простой квадратурной обработки, чего, в случае разности фаз j равной 0 или p, достичь невозможно.
Аналитическое выражение для усредненной по j границы оценки в предположении равномерности распределения разности фаз j
в пределах интервала [–p,p] имеет вид:
2qk2 Dk ³
1- B
2
2
2
é
2
2ù
2
* 2
ê B20 1 - B + B1 ú - B2 1 - B + B B1
ëê
ûú
(
)
k = 1,2. (
)
,
(2.7)
Нетрудно заметить, что Dk является среднегеометрическим
Dmin{tk} и Dmax{tk}, поэтому Dmin{tk} ≤ Dk ≤ Dmax{tk}. На рис. 2.1
представлены зависимости границ нормированных дисперсий
2q1kw1сквDmin, 2q1kw1сквDk, 2q1kw1сквDmax от x = wсквt при гауссовском импульсе (1.11), для которого
38
{
2
r (τ ) = exp -0,5(ω ñêâ τ )
}
(2.8)
и wскв = 1/(2s).
Пусть x = wсквt – нормированная разность времени прихода сигналов или параметр разрешения; wскв – среднеквадратическая частота спектра зондирующего сигнала.
Как следует из рисунка, при x = wсквt ≥ 2 наблюдается слияние
границ дисперсий времени задержки и их стабилизация при увеличении параметра x. Однако при x = wсквt ≤ 2 границы дисперсий
начинают резко возрастать по мере сближения источников (уменьшении x). Это происходит в силу того, что сигналы источников начинают создавать значительные взаимные помехи при оценке времени задержки. Определим уровень стабилизации ГКР. Для этого в формулах (2.6) и (2.7) положим x = ∞. Очевидно, что при этом
Dmin = Dmax = Dk = 1/(2q2kw1скв), что соответствует дисперсии оценки времени запаздывания сигнала одиночной точечной цели [14, 17,
18]. Граничная точка x = 2 в точности соответствует релеевскому
критерию разрешения, т.е. такому расстоянию между источниками, при котором в огибающей выходного сигнала согласованного
фильтра при суммировании откликов от двух некогерентных импульсов с одинаковой энергией, действующих на входе, появляется
провал. Таким образом, точка x = 2 разделяет две области. Область,
где x = wсквt ≥ 2, является областью релеевского разрешения. Для
2q 2k ω2скв D{ τ } 109
k
108
107
D min
D
D max
106
105
104
103
102
101
100
10 –2
10 –1
10 0
10 1
x= τ ω скв
Рис. 2.1
39
дальнейшего анализа интерес представляет лишь вторая область,
где x = wсквt ≤ 2. В этой области, как следует из рис. 2.1, возможно
получение сверхрелеевского разрешения при условии, что мы располагаем запасом по энергетическому потенциалу.
Поскольку предположение об априорной известности разности фаз сигналов j не соответствует принятой в разд. 1.1 модели,
в дальнейшем будем использовать в качестве основного уравнения
для ГКР уравнение (2.7).
2.3. Предельная разрешающая способность по дальности
Учитывая, что граница Крамера – Рао определяет дисперсию гипотетической, эффективной и несмещенной оценки (данная оценка
может и не существовать), можно утверждать, что качество оценивания должно возрастать при увеличении ОСШ, ширины спектра
зондирующего сигнала и расстояния между источниками.
Будем считать, что источники разрешаются, если выполняется
следующее условие:
Dk £ 0,5τ, k = 1,2. (2.9)
Смысл данного условия очевиден: источники разрешаются, если
СКО оценки времени задержки меньше половины разницы времени
задержек сигналов от них. Условие (2.9) позволяет определить РС радиолокационной системы по дальности. Для этого нужно найти такое
значение t, при котором выражение (2.9) превращается в равенство.
Будем считать, что АКФ сигнала обладает достаточной гладкостью, чтобы гарантировать существование производных АКФ необходимого порядка. Тогда, раскладывая выражения, стоящие в числителе и под корнем в знаменателе равенства(2.7), в ряд по степеням
малого параметра t, после достаточно трудоемких вычислений получим
qk2 Dk τ3
³
6
³
Ω24
(
)(
k = 1,2,
40
) (
(
Ω22Ω44 - Ω63 - Ω26 Ω22Ω66 - Ω48 - Ω22Ω36 - Ω22Ω55 - Ω33 Ω44 - Ω24
2
))
, (2.10а)
где
2
m
Ωm =
ò ω S(ω) dω
2
ò S(ω) dω
1
m
.
Параметры (Wm)m, m = 2,…,6 являются алгебраическими моментами энергетического спектра зондирующего сигнала. Если энергетический спектр является четной функцией частоты (сигнал – действительная функция), то его нечетные моменты тождественно обращаются в нуль. При этом неравенство (2.10а) упрощается:
qk2 Dk τ3
³
6
Ω22
(Ω44 - Ω24 )(Ω66Ω22 - Ω48 )
, k = 1,2 .
(2.10б)
На рис. 2.2 сплошная линия соответствует ГКР, построенной в
соответствии с выражением (2.7). Пунктирной линией обозначена
граница, построенная для гауссовского импульса в соответствии с
(2.10б). Из рисунка видно, что при малых t аппроксимация действительно имеет место.
2q 2k ω2скв D
k
10 7
10 6
CRB
Approx
10 5
10 4
10 3
10 2
10 1
10 0
10 –1
10 –2
10 –3
10 –2
10 –1
10 0
10 1 x= τ ω скв
Рис. 2.2
41
Подставляя (t/2)2 вместо Dk в формулу (2.10а) и (2.10б) в соответствии с выражением (2.9), получим, что РСРЛС при фиксированном
ОСШ может быть вычислена как
1
é 24γ ù 5
ú ,
τ = êê
2 ú
êë q úû где g – величина, стоящая в правой части неравенств (2.10). Следовательно, предельная РС обратно пропорциональна корню пятой степени из ОСШ и зависит от значений алгебраических моментов энергетического спектра сигнала.
Учитывая, что релеевский предел РС в общем случае может быть
взят равным tр = 2/W2 (W2 – среднеквадратическая частота спектра
сигнала), относительная РС может быть вычислена следующим образом:
1
é c ù5
τ
ρ=
= êê úú , τ ð êë q2 úû
(2.11)
где
3
c = γ Ω52 =
4
3
4
(
)(
)
2
µ4 - µ23 -1 µ6 - µ24 - µ23 - (µ5 - µ3 (µ4 + 1))
, (2.12а)
mm = (Wm/W2)m, m = 3,…,6 – нормированные к среднеквадратической частоте моменты спектра. При симметричных относительно
нулевой частоты энергетических спектрах
3
c = γΩ52 =
4
4
3
(µ4 -1)(µ6 - µ24 )
.
(2.12б)
В табл. 2.1 приведены значения параметра c для различных типов энергетического спектра (ЭС) сигнала.
Таким образом, предельная разрешающая способность РЛС по
дальности определяется не только ОСШ и эффективной шириной
энергетического спектра зондирующего сигнала, но и его формой.
Как следует из табл. 2.1, значения параметра c могут значительно
изменяться для разных типов ЭС. Данное обстоятельство свидетельствует о том, что выбор сигнала для получения нужного разре42
Таблица 2.1
Значения параметра c для сигналов с различными ЭС
Название ЭС
Равномерный
Треугольный
Выражение для ЭС
2
S (ω ) =
2
S (ω ) =
Гауссовский
S (ω )
Экспоненциальный
2
2
1
∆ω
,ω£
∆ω
2
2 æç 2 ω ÷÷ö
∆ω
çç1 ÷÷, ω £
∆ω çè
∆ω ø
2
с
1,0675
0,4534
ì ω2 ï
ü
ï
ï
=
exp ï
í- 2 ý
ï
ï
2
ï
2πΩ2
î 2Ω2 ï
þ
0,2166
ì
ü
ï
ωï
ï
exp ï
í- 2
ý
ï
2
Ω
2ï
ï
ï
2Ω2
î
þ
0,0456
S (ω ) =
1
1
шения по дальности играет ключевую роль, если речь идет о получении сверхрелеевского разрешения, которое действительно может
быть достигнуто при достаточно больших q2. Так, например, для гауссовского импульса относительное разрешение r = 0,1 достигается при q2 = 58 дБ. В общем случае на основании выражения (2.11)
q2, дБ
160
140
1
2
3
4
120
100
80
60
40
20
0
–200
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 ρ
Рис. 2.3
43
можно оценить потребное ОСШ для достижения требуемого относительного разрешения r
c
q2 = 5 .
ρ На рис. 2.3 приведен график зависимости q2 (дБ) от r для спектров, перечисленных в табл. 2.1. Графики свидетельствует о быстром росте потребного ОСШ для получения сверхрелеевского разрешения. Однако даже для r = 0,1 требуемое ОСШ не выходит за
рамки реально достижимого, поскольку в зависимости от типа ЭС
потребное ОСШ лежит в пределах 38–50 дБ. При этом, как следует из рисунка, большое значение имеет выбор сигнала. Вследствие
того, что потребное ОСШ прямо пропорционально c, для получения
приемлемого результата необходимо выбирать сигнал с малым значением этого параметра. Анализ данных в табл. 2.1 свидетельствует
при этом в пользу сигналов, энергетические спектры которых имеют «тяжелые хвосты».
2.4. Выбор закона частотной модуляции сигналов
типа «гауссовский» импульс
Проиллюстрируем возможный способ применения полученных
результатов на примере выбора закона частотной модуляции (ЧМ)
импульсных сигналов вида
K
2ω2ñêâ
exp -ω2ñêâ t2 - iϕ (t) , ϕ (t) = å ak tk , -¥ < t < ¥, π
k=1
где wскв – среднеквадратическая частота спектра огибающей зондирующего сигнала; j(t) – полином K-й степени. Рассмотрим последовательно два случая: K = 2 (линейная ЧМ) и K = 3 (квадратическая
ЧМ).
Линейная ЧМ. Нетрудно показать, что в этом случае АКФ сигнала равна
s(t) = 4
44
{
}
ì æ
ü
ï
ï
a2 ö÷
ï 1ç
ï
B(τ ) = exp í- ççω2ñêâ + 22 ÷÷÷ τ2 + ia1τý. ï
ï
ç
2
ω ñêâ ø÷
ï
ï
ï è
ï
î
þ
(2.13)
Будем считать, что центр тяжести ЭС сигнала находится на нулевой частоте (W1 = 0). Поэтому a1 = 0, и формулу (2.13) можно переписать в виде
ì 1
ü
B(τ ) = exp ïí- Ω2ñêâ τ2 ïý, ïïî 2
ïïþ
(2.14)
1/2
æ
a2 ö÷
ç
где Ωñêâ = ççω2ñêâ + 22 ÷÷÷ – среднеквадратическая частота спектра
çè
ω ñêâ ÷ø
нашего сигнала. Поскольку выражение (2.14) по форме полностью
совпадает с равенством (2.8), можно утверждать, что относительная
разрешающая способность нашего сигнала совпадает с соответствующим показателем для гауссовского видеоимпульса, для которого,
что несложно показать, c = √3/8 = 0,2166. Таким образом, каким бы
не был закон линейной ЧМ, при фиксированном ОСШ относительная разрешающая способность будет иметь постоянное значение.
Следовательно, улучшение абсолютной разрешающей способности
в рассмотренном случае возможно лишь за счет увеличения среднеквадратичной частоты спектра сигнала.
Квадратическая ЧМ. В данном случае АКФ сигнала равна
B(τ ) =
ω ñêâ
´
2
ω ñêâ -1,5ia3 τ
ìï 1
a2ω2 τ2 üïï
´exp ïí- ω2ñêâ τ2 + i 0,25a3 τ3 + a1τ - 2 2 ñêâ
ý.
ï 2
ω ñêâ -1,5ia3 τ ïþï
îï
(
)
(2.15)
Введем новые переменные:
x=
3a3
2
2ω3ñêâ
, y=
a2
ω2ñêâ
, z=
a1
2ω ñêâ
и ξ = 2ω ñêâ τ. Тогда равенство (2.15) можно переписать в следующем виде:
B(τ ) =
ì 2
ü
æ xξ3
ö÷
ï
y2 ξ2 ï
ï ξ
ï
ç
+ zξ÷÷÷ exp í- + i çç
ý. ï
ï
ç
4
1 - ixξ
è 12
ø÷ 4(1 - ixξ)ï
ï
ï
ï
î
þ
1
(2.16)
Как и в предыдущем случае, положим, что центр тяжести ЭС
сигнала находится на нулевой частоте (W1 = 0). Это условие приво45
дит к следующей связи: x = –2z. Тогда путем достаточно трудоемких преобразований можно получить из формулы (2.16) следующие
выражения для моментов ЭС, считая, что новым аргументом АКФ
является x:
1
Ω22 = 1 + x2 + y2 ;
2
x
Ω33 = 1 + 2x2 + 3y2 ;
2
2
3
Ω44 = 1 + x2 + y2 + 3x2 x2 + 2y2 ;
4
5x
5
(2.17)
Ω5 =
1 + x2 + y2 1 + 2x2 + 3y2 + 6x3 2x2 + 5y2 ;
2
3 5x2
2
15
Ω66 =
1 + x2 + y2 +
1 + 2x2 + 3y2 +
8
2
45x2
+
1 + x2 + y2 x2 + 2y2 + 60x4 x2 + 3y2 .
2
(
)
(
(
(
)
)
(
)
)(
(
)
(
)(
)
(
(
)
)
)
(
)
Заметим, что в отсутствие ЧМ x = y = 0 и W22 = 1/2, W44 = 3/4,
Поэтому, как и в предыдущем случае, c = 3 / 8 = 0,2166.
Выражение для второго момента Ω22 , который характеризует
среднеквадратическую ширину ЭС-сигнала, свидетельствует о том,
что ЧМ расширяет спектр сигнала, и это расширение может быть
охарактеризовано параметром
W66 = 15/8.
δ = x2 + y2 , который соответствует относительному уширению ЭС. Это позволяет осуществить в формуле (2.17) полярное преобразование координат x = dcosy и y = dsiny, и при фиксированных значениях относительного уширения d искать такие значения полярного угла y, которые бы давали минимальное значение параметра c (2.12а). На рис.
2.4 приведена зависимость минимальных значений c, полученных
таким образом от относительного уширения d. Пунктирной линией показана зависимость максимальных значений c. Сравнение минимальных и максимальных значений c показывает, что для фиксированного значения d выбор коэффициентов ak, k = 1; 2; 3, имеет
существенное значение для РС. Анализ рисунка свидетельствует о
существовании трех областей значений относительного уширения
d. Для малых значений d (0 ≤ d ≤ 0,5) параметр c почти не меняется,
и его значение примерно равно величине c = √3/8 = 0,2166, которая
46
c 0,35
0,3
0,25
0,2
c min
c max
0,15
0,1
0,05
0
10 –1
10 0
10 1 δ
Рис. 2.4
соответствует отсутствию модуляции. Следовательно, в этой области наличие нелинейной модуляции не вызывает ощутимых изменений относительной разрешающей способности r. В области средних значений d (0,5 ≤ d ≤ 2) наблюдается быстрое уменьшение паω (t)/ω скв
70
ϕ(t)
60
60
40
20
50
δ =2
δ =3
δ =4 40
0
30
20
–20
10
–40
–60
–4
0
–2
0
2
4 ω скв t
–10
–4
–2
0
2
4 ω скв t
Рис. 2.5
47
Re{B(τ)}
Im{B( τ )}
0,5
|B(τ)|
0,9
0,4
0,9
0,8
0,3
0,8
0,7
0,7
0,2
0,6
0,6
0,1
0,5
0,5
0
0,4
0,4
–0,1
0,3
0,3
–0,2
0,2
0,2
0,1
–0,3
0,1
0
–0,4
0
–0,1
–4 –2
0
2
–0,5
4 ωскв t
–4 –2
δ =2
0
2
δ =3
–0,1
4 ωскв t
–4 –2
0
2
4 ωскв t
δ =4
Рис.2.6
раметра c с величины 0,2166 до 0,0422. В области больших d (d ≥ 2)
скорость уменьшения c падает. Таким образом, коэффициенты полинома ak, k = 1; 2; 3, должны соответствовать d ≥ 2, и их выбор должен быть сделан на основе изложенной методики.
На рис. 2.5 в качестве иллюстрации приведены вычисленные путем применения описанной выше методики законы изменения мгновенной фазы j(t) и частоты w(t) = j'(t) сигналов при d = 2; 3; 4. Значения параметра c при этом соответственно равны 0,0580, 0,0428 и
0,0379. Соответствующие АКФ представлены на рис. 2.6. Как следует из этого рисунка, действительная часть Re[B(t)] и модуль АКФ
|B(t)| становятся несколько уже с увеличением d. Мнимая часть
АКФ Im[B(t)], которая является нечетной функцией, сравнима по
величине с действительной частью, и ее уровень растет с увеличением d. Эта особенность отличает синтезированные НЧМ-сигналы
от ЛЧМ-сигнала с АКФ (2.14). Следовательно, вполне резонно предположить, что эта разница позволяет получить лучшую РС у синтезированных сигналов. Следует также заметить, что модуль АКФ не
имеет боковых лепестков.
48
2.5. Анализ законов фазовой манипуляции сигналов
Фазоманипулированные сигналы находят широкое применение
в радиолокации, радионавигации и связи. Произведем анализ законов фазовой манипуляции (ФМ) с целью определения кода, обеспечивающего максимальное потенциальное разрешение по дальности. Трудность данной задачи заключается в том, что традиционно
ФМ применяется к прямоугольным радиоимпульсам, т.е. к сигналам, для которых невозможно определить алгебраические моменты ЭС, поскольку их АКФ имеет разрыв первой производной в нуле.
Поэтому для решения поставленной задачи применим следующий
способ. Пусть ФМ-сигнал c(t), представляет собой последовательность прямоугольных видеоимпульсов:
c(t) =
N-1
å Cnu(t - nT ),
n=0
где Сn, n = 0,…,N – 1 – закон ФМ (код); u(t) – прямоугольный видеоимпульс (элемент кода), длительность которого равна T; N – количество элементов в ФМ-сигнале (длина кода).
Для решения поставленной задачи определим моменты ЭСсигнала s(t), равного свертке c(t), и гауссовского весового окна g(t):
s(t) = c(t) Ä g (t) = ò c(τ ) g (t - τ )dτ, (2.18)
ìï t2 üï
ïý, t < ¥; s – среднеквадратическая длиexp ïíï 2σ2 ï
2πσ
îï
þï
тельность окна.
Спектральная функция сигнала (2.18) равна
где g (t) =
1
æ ωT ö÷
æ 2 2
ö N-1
çç-σ ω - i ωT ÷÷ å Cn e-inωT , S (ω ) = T sincçç
exp
÷
èç 2 ø÷
èç
2 ø÷
n=0
где sinc(x) = sin(x)/x. ЭС при этом можно записать в виде
æ ωT ö÷ -σ2ω2 N-1
2
S (ω ) = T2 sinc2 çç
e
å RC [ p]e-ipωT , çè 2 ÷÷ø
p=-N +1
49
где RC [ p ] =
N- p +1
å
m=0
Cm Cm+ p , p = -( N -1),,( N -1) - АКФ кода. Тог-
да АКФ сигнала s(t) равна
R (τ) = T2
N-1
å
p=-N +1
где I p (τ ) =
1
2π
¥
ò
-¥
RC [ p ]I p (τ ), (2.19)
æ ωT ö÷ -σ2ω2 iω(τ- pT )
e
e
dω.
sinc2 çç
çè 2 ÷÷ø
После вычисления интеграла Ip(t) выражение (2.19) можно переписать в виде
R (τ) = σ
N-1
å
p=-N +1
RC [ p ]êé φ(x p-1 ) - 2φ(x p ) + φ(x p+1 )ùú , ë
û
(2.20)
1 -x2
e
+ x erf(x), xp = (t –pT)/2s, erf(×) – функция ошигде ϕ (x) =
π
бок.
Используя (2.20), моменты ЭС могут быть вычислены на основе
следующих соотношений:
1
m -1 (m)
M0 = R (0), Ω1 = i M0-1R( ) (0),, Ωm
(0),, m = i M0 R
где R(m)(0) – производная АКФ m-го порядка при t = 0. Путем несложных преобразований для четных моментов получим
N
æ pT ö÷
M0 = 2σ å (RC [ p -1]- 2RC [ p ] + RC [ p + 1])φçç
çè 2σ ÷÷ø
p=1
M0 Ω22m
m=
2σ
π
(RC [0]- RC [1]);
(-1)m ìïïï N
2m
å (RC [ p -1]- 2RC [ p] + RC [ p + 1])φ( ) ´
2m-1 í
ï
ï
(2σ)
ï
î p=1
ü
ï
}ïýïï,
æ pT ö÷
2m
´çç
- R 0 - RC [1])φ( ) (0)
çè 2σ ÷÷ø ( C [ ]
(2.21)
ï
þ
где f(m)(0) – производная функции f(x) m-го порядка по аргументу x.
50
Первые производные f(x) могут быть легко вычислены:
φ( x ) =
1
-x2
π
e
-x2
2e
2m
+ x erf(x), φ( ) (x) =
π
H2m-2 (x), (2.22)
где Hm(x) – полином Эрмита m-го порядка.
При s → 0 гауссовское весовое окно g(t) стремиться к d-функции
Дирака, и при этом s(t) → c(t), поэтому проанализируем поведение
моментов спектра (2.21) при s → 0.
Как следует из уравнения (2.22), вследствие наличия экспоненциального множителя, который с увеличением x быстро стремиться к нулю, при больших x: f(x) ≈ x и f(2m)(x) ≈ 0, а при x = 0:
f(0) = 1/√p и f(2m)(0) = 2H2m–2(0)/√p. Подставляя данные значения в
выражение (2.21), получим при s/T << 1 следующие приближенные
выражения для моментов ЭС:
N
M0 » T å p(RC [ p -1]- 2RC [ p ] + RC [ p + 1]) = TN;
p=1
M0 Ω22 »
M0 Ω44 »
M0 Ω66 »
1
πσ
1
(RC [0]- RC [1]);
2 πσ3
1
4 πσ5
(RC [0]- RC [1]);
(RC [0]- RC [1]).
Следовательно, при s/T << 1 нулевой момент спектра с высокой
точностью не зависит от значения параметра s, а значения второго
четвертого и шестого моментов соответственно равны
Ω22 =
1
π NTσ
(RC [0]- RC [1]);
Ω44 =
Ω22
2σ2
и Ω66 =
3Ω22
4σ4
.
Тогда при фиксированном значении параметра s
Ω22 =
µ4 =
a
πσT
;
πT
3πT2
; µ6 =
,
2aσ
(2aσ)2
(2.23)
51
где a = 1 – rC, rC = RС[1]/ RС[0] – коэффициент корреляции кода.
При выводе (2.23) было учтено, что RС[0] = N. Подставляя выражение (2.23) в (2.12б), получим
3/2
3 æ aσ ö÷
÷
c » çç
2 çè πT ÷÷ø
.
(2.24)
Полученное выражение для параметра c может быть использовано для определения наилучшего для разрешения кода фазовой
манипуляции зондирующего сигнала. Однако та методика, которая была применена в предыдущем разделе для нахождения закона
ЧМ, не может быть использована. Это объясняется тем, что фиксация среднеквадратической частоты ЭС и последующий поиск закона модуляции находится в противоречии со значительными вариациями ширины полосы частот, занимаемой сигналом при различных законах ФМ. Поэтому для рассматриваемого сигнала используем другую методику, основанную на анализе дисперсии ошибки.
Подставляя выражение (2.24) в (2.10б), можно получить следующее выражение для предельной дисперсии ошибки оценивания времени задержки k-го источника сигнала:
qk2 Dk =
3 πσ4T
8τ3 (1 - rC )
, k = 1,2. (2.25)
При фиксированных t, T и s, как следует из последнего выражения, дисперсия ошибки будет тем меньше, чем меньше величина коэффициента корреляции кода rС = RС[1]/ RС[0]. Несложно показать, что минимальное значение rС достигается при таких законах ФМ, когда фазы соседних элементов кода отличаются на p, т.е.
код представляет собой последовательность вида …+1,–1,+1,–1,… .
В табл. 2.2 для примера приведены возможные варианты для четырехэлементного кода (N = 4) и соответствующие значения коэффициента корреляции rС.
Из таблицы видно, что минимальное значение коэффициента
корреляции rС = –0,75 достигается при кодовых последовательностях, в которых соседние элементы имеют противоположные знаки
(коды 6 и 11 табл. 2.2). Для других кодов, в том числе и кодовых последовательностей Баркера (строки 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15), значения
этого параметра больше. Интересно отметить, что с позиций решения задачи разрешения коды Баркера, соответствующие N = 4, не
52
Таблица 2.2
Значения коэффициента корреляции r C
для возможных вариантов четырехэлементного кода (N = 4)
№ кода
С0
С1
С2
С3
rC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
0,75
0,25
–0,25
0,25
–0,25
–0,75
–0,25
0,25
0,25
–0,25
–0,75
–0,25
0,25
–0,25
0,25
0,75
эквивалентны: для одних rС = –0,25 (строки 3, 5, 12, 14), а для других – rС = 0,25 (строки 2, 8, 9, 15). Таким образом, вырожденность
кодов Баркера частично разрешается, и на практике следует отдавать предпочтение кодам, в которых число подряд идущих элементов с одним и тем же знаком минимально.
Возвращаясь к анализу формулы (2.25), можно также сделать
следующие выводы:
– качество разрешения при использовании ФМ-сигналов зависит
от длительности элемента кода T: чем меньше этот параметр, тем
лучше разрешение;
– уменьшение параметра s, который регулирует длительность
фронтов элементарных импульсов в составе ФМ-сигнала, должно
сильно влиять на качество разрешения: чем выше крутизна фронтов, тем лучше будут разрешаться сигналы.
53
3. СИНТЕЗ И АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ РАЗРЕШЕНИЯ
ТОЧЕЧНЫХ ЦЕЛЕЙ ПО ДАЛЬНОСТИ
3.1. Оптимальный алгоритм разрешения
двух точечных источников сигналов
Задача разрешения точечных источников по дальности не является новой для теории обработки сигналов. Решение данной задачи
при использовании метода, основанного на теории проверки статистических гипотез, было дано в работе [14]. Данный подход был назван автором «разрешение-обнаружение». В данной главе рассмотрим задачу оценки времени запаздывания (дальности) сигналов в
предположении, что задача обнаружения решена. Такая постановка соответствует подходу к проблеме разрешения, использованному
в книге [13].
Для нахождения оптимальных оценок времени запаздывания
сигналов будем использовать наиболее распространенный метод
синтеза неизвестных оценок параметров сигналов – критерий максимального правдоподобия. Наряду с синтезом оптимального алгоритма оценки также рассматривается синтез линейных подоптимальных алгоритмов. Эти алгоритмы названы так потому, что основным элементом в их структуре является линейный фильтр сжатия принимаемых сигналов, выходной отклик которого имеет ширину, меньшую, чем у выходного сигнала согласованного фильтра.
Такие фильтры, безусловно, проигрывают согласованным в ОСШ.
Поэтому при их синтезе необходимо определить допустимую величину потерь.
Рассмотрим задачу разрешения двух точечных источников, статистика сигналов которых соответствует предположениям, использованным в гл. 2 при выводе границы Крамера – Рао для дисперсии
оценок времени запаздывания сигналов. Пусть на интервале наблюдения принята выборка r1,…, rN, где rn = r (tn), n = 1,…,N – n-й отсчет, и эта выборка подвергается дискретному Фурье-преобразованию, в результате которого получается новый M-мерный вектор R,
компоненты которого равны
Rm =
54
N-1
-iω m tn
å rn e
n=0
, m = 0,, M -1, M ³ N. Преобразование выборки из временной области в частотную позволяет полностью сохранить информацию, содержащуюся в выборке, и перевести временные задержки в фазовые. Последнее обстоятельство во многом облегчает синтез алгоритма оценивания.
Тогда на основании выражения (2.3) можно записать выражение
для функции правдоподобия выборки:
ü
ïì 1 M-1
2ï
L(Θ ) = C exp ïíRm - ρ1Sm e-iωm τ1 - ρ2 Sm e-iωm τ2 ïý, (3.1)
å
ïï Pn
ïï
m=0
î
þ
где C – постоянная величина, независящая от вектора оцениваемых
параметров Q = (r1, r2, r1*, r2*, t1, t2); Pn – средняя мощность белого
дискретного гауссовского шума, на фоне которого осуществляется
прием сигналов.
Вводя матричные обозначения, на основании равенства (3.1) запишем выражение для логарифма функции правдоподобия в виде
ln L(Θ ) = ln C -
1
Pn
M-1
å
m=0
Rm - ρ1Sm e-iωm τ1 - ρ2 Sm e-iωm τ2
2
=
2
= ln C - q2 ξ - e1y1 - e2 y2 ,
где x = (x0,…, xM–1) – вектор, элементы которого равны
ξm =
Rm
M-1
å
m=0
(
-iωm τ j
y j = sm e
M-1
)
m=0
Sm
(3.2)
;
2
, j = 1,2 – единичные векторы, зависящие толь-
ко от неизвестных времен задержек t1 и t2, sm = Sm
M-1
å
m=0
2
Sm ,
Sm = S(wm) – значения спектральной функции излученного сигнала
на частотах wm, m = 0,…, M–1, q2 = E/N0 – отношение сигнал/шум.
Несложно показать, что оценки неизвестных комплексных амплитуд сигналов источников равны
æ e1 ö÷ çæy1H y1
ççç ÷÷ = çç
çèe2 ÷ø ççy H y
è 2 1
-1
y1H y 2 ÷÷ö çæy1H ξ ÷÷ö
ç
÷÷ ç
÷÷. y H y ø÷÷ çèçy H ξ ÷ø÷
2
2
(3.3)
2
55
Подставляя это выражение (3.3) в формулу (3.2), получим, что
оценки неизвестных времен задержки ищутся путем максимизации функционала:
Q (τ1, τ2 ) = ξ H Y (τ1, τ2 )ξ, (3.4)
где
(
)
Y (τ1, τ2 ) = ∆-1 y1y2H y2 y1H - y1y1H y2 y2H + y2 y1H y1y2H - y2 y2H y1y1H ,
и
(
)(
) (
)(
)
(
) (
)
∆ = y1H y1 y2H y2 - y1H y2 y 2H y1 , причем y1H y1 = y2H y2 = 1.
Видно, что векторы y1 и y2 являются собственными векторами
матрицы Y(t1,t2), соответствующими собственному значению l = 1, а
сама матрица имеет ранг 2.
ω ñêâ E(τ^j–τj ), j=1,2
Ñìåùåíèå
0,6
ω ñêâ [E(τ^j –Eτ^j )2 ] 0,5, j=1,2
ÑÊÎ
2
10
0,4
0,2
10
1
10
0
10
–1
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
0
0,2
0,4 0,6 0,8
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
1 ωñêâτ
Рис. 3.1
56
0
0,2
0,4 0,6 0,8
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
ÃÊÐ
1 ωñêâτ
Тогда, введя ортонормированные векторы
y2 - y1H y2 y1
,
x1 = y1 и x2 =
(
)
1 - y1H y2
2
на основании равенства (3.4) получим, что оценки t1 и t2 должны соответствовать максимуму функционала:
2
2
Q = x1H ξ + x2H ξ . (3.5)
В силу того, что зависимость введенных векторов x1 и x2 от оцениваемых параметров достаточно сложна, дальнейшее упрощение
алгоритма оценивания невозможно, и поиск оптимальных оценок
времени задержки t1 и t2 сводиться к двухмерному поиску максимума функционала (3.5).
Анализ полученного алгоритма проведен методом математического моделирования, результаты которого представлены на рис.
ω ñêâ E(τ^j–τj ), j=1,2
Ñìåùåíèå
0,1
ω ñêâ [E(τ^j –Eτ^j )2 ] 0,5, j=1,2
ÑÊÎ
1
10
0,05
0
10
0
10
–1
10
–2
–0,05
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1 ωñêâτ
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1 ωñêâτ
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
ÃÊÐ
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
Рис. 3.2
57
ω ñêâ E(τ^j–τj ), j=1,2
Ñìåùåíèå
0,015
ω ñêâ [E(τ^j –Eτ^j )2 ] 0,5, j=1,2
ÑÊÎ
0
10
0,01
0,005
0
10
–1
10
–2
10
–3
–0,005
–0,01
–0,015
–0,02
–0,025
–0,03
–0,035
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1 ωñêâτ
0
0,2 0,4 0,6 0,8
1 ωñêâτ
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
ÃÊÐ
1-é èñòî÷íèê
2-é èñòî÷íèê
Рис. 3.3
3.1–3.3, где приведены зависимости смещения и СКО оценок времени задержки сигналов двух точечных источников от разности времен задержек t = t1 – t2 при ОСШ q2 = 20; 40 и 60 дБ соответственно. Здесь же точечными линиями приведены зависимости нижней
границы Крамера – Рао для СКО оценок, которая была рассчитана
на основании равенства (2.7). Сигналы от источников имели гауссовскую огибающую:
s(t) = 4
2ω2ñêâ -ω2ñêât2
e
,
π
где wскв – среднеквадратическая ширина спектра, и случайную равномерно распределенную в интервале [–p, p] фазу.
При малых ОСШ (см. рис. 3.1–3.3) наблюдаются аномально большие ошибки оценивания, появление которых объясняется наличием нескольких локальных максимумов у функционала (3.5) в области поиска. Сверхрелеевское разрешение начинает проявляться
в зависимости от ОСШ при различном расстоянии между источни58
ками. Так при q2 = 20; 40; 60 дБ источники надежно разрешаются,
когда параметр разрешения x = wсквt примерно равен 0,60; 0,30 и
0,15 соответственно. Каждому увеличению ОСШ на 20 дБ соответствует уменьшение расстояния между источниками, при котором
они начинают разрешаться, в 2 раза. При этом, как видно из рисунков, получающиеся оценки являются несмещенными и эффективными, поскольку оценка СКО практически совпадает с вычисленной ГКР.
Таким образом, мы получили асимптотически эффективный алгоритм оценивания времен задержки сигналов, который сводится к
двухмерному поиску минимума функционала (3.5).
3.2. Сверхрелеевское разрешение
при использовании линейного сжимающего фильтра
Полученный в предыдущем параграфе алгоритм разрешения
двух точечных источников сводится к поиску минимума функционала (3.5). Несмотря на его высокую эффективность, такой способ разрешения сложен для практической реализации вследствие
больших вычислительных затрат на поиск решения в двухмерном
пространстве. Более предпочтительным является фильтровой способ, при реализации которого разрешение источников сигнала по
дальности осуществляется путем сжатия принимаемых сигналов
во временной области в линейном фильтре и одномерного поиска
максимумов сигнала на выходе. Классическим вариантом этого метода является использование согласованного фильтра (СФ) [14, 15,
19, 20]. Известно, что в СФ происходит компенсация взаимных фазовых задержек отдельных спектральных компонент излученного
сигнала и, как следствие, возникает эффект сжатия выходного сигнала СФ. Этот эффект нашел широкое применение во многих областях современной техники: радиолокации, радионавигации, связи,
акустике и т.д. Однако СФ не является фильтром, специально созданным для получения сверхвысокого разрешения по дальности,
поскольку его синтез основан на поиске такой частотной характеристики (ЧХ), которая позволила бы максимизировать ОСШ на его
выходе. Именно в силу этого тот предел разрешения по дальности,
который характерен для СФ, является релеевским пределом.
В то же время для практики чрезвычайно привлекательным является алгоритм разрешения, реализуемый на основе применения
59
СФ: оценка времен задержек разрешаемых сигналов происходит
путем измерения положения пиков сжатых импульсов на выходе
фильтра. Данный алгоритм реализуется на основе одномерного поиска, что значительно уменьшает вычислительные затраты по сравнению с алгоритмами многомерной оптимизации, которые, как следует из материалов предыдущего параграфа, необходимо использовать при реализации оптимальных измерителей.
Получение сверхрелеевского разрешения при сохранении основной идеи фильтрового способа возможно путем отказа от согласованной фильтрации принимаемого сигнала и переходу к обработке
в линейном фильтре сжатия (ФС). При этом в системе должен существовать достаточный запас в ОСШ. Действительно, как известно [14], синтез СФ для заданного зондирующего сигнала проводится
путем максимизации ОСШ на выходе фильтра в некоторый момент
времени T. При этом никаких требований к длительности выходного сигнала не предъявляется. Очевидно, что любое отступление от
согласованной фильтрации, в частности достижение большей степени сжатия зондирующего сигнала, чем дает СФ, приводит к потерям в ОСШ. Эти потери являются платой за возможность получения на выходе приемника сигнала с меньшей длительностью, чем
дает СФ. Таким образом, при анализе возможных фильтровых способов получения сверхрелеевского разрешения синтез линейного
сжимающего фильтра необходимо осуществлять при контроле потерь в ОСШ.
При приеме на фоне белых гауссовских шумов частотная характеристика (ЧХ) СФ имеет вид
H (iω ) = S* (ω )e-iωT , где S(w) – спектральная функция излученного импульсного сигнала; T – время задержки в фильтре.
Физический смысл такой АЧХ состоит в следующем:
множитель e–iwT (T ≥ tи, tи – длительность зондирующего импульса) соответствует задержке всех спектральных компонент
входного сигнала на одно и то же время T. Подобная задержка необходима для физической реализуемости СФ;
амплитудно-частотная характеристика СФ (АЧХ) равна модулю
спектральной функции зондирующего сигнала, что приводит к подчеркиванию наиболее интенсивных составляющих спектра сигнала
и подавляет вместе с шумом наименее интенсивные составляющие
спектра;
60
фазочастотная характеристика (ФЧХ) СФ обеспечивает компенсацию фазовых сдвигов спектральных составляющих сигнала, что
приводит к их синфазному сложению в момент времени T и достижению максимума напряжения сигнала на выходе фильтра.
Анализ данных положений приводит к выводу о необходимости
отказа от требования равенства АЧХ СФ и модуля спектральной
функции сигнала для получения большего сжатия сигнала на выходе фильтра, чем дает СФ. Действительно, если бы фильтр сжатия
(ФС) имел ЧХ следующего вида
S* (ω )
,
H (iω ) = e-iωT
2
S (ω )
то выходной сигнал такого фильтра был бы равен дельта-функции
g (t) =
1
2π
¥
ò
S (ω )H (iω )eiωt dω =
-¥
1
2π
¥
ò
iω t-T t
e ( ) dω = δ (t - T ).
-¥
Следовательно, для получения наибольшего эффекта сжатия необходимо, чтобы ФС был эквивалентен инверсному фильтру [20],
т.е. имел ЧХ:
Hèíâ (iω ) =
e-iωT
.
S (ω )
(3.6)
Однако реализация инверсного фильтра с АЧХ (3.6) невозможна:
ОСШ на его выходе будет равно нулю, поскольку на множестве частот, где S(w) = 0, Hинв(iw)→∞.
Возможным вариантом ФС является фильтр с регуляризированной ЧХ:
H (iω ) = e-iωT
S* (ω )
2
S (ω ) + ε2
,
(3.7)
где e2 – параметр регуляризации, от величины которого зависит
ОСШ на выходе фильтра.
Действительно, в области частот, где спектральные составляющие сигнала имеют значительную мощность |S(w)|2>> e2, ЧХ
H(iw) ≈ Hинв(iw) и, наоборот, в области частот, где |S(w)|2<< e2, ЧХ
61
H(iw) с точностью до постоянного параметра совпадает с ЧХ СФ,
вследствие чего происходит подавление наименее интенсивных составляющих спектра сигнала вместе с шумом.
При использовании ФС с ЧХ (3.7) синтез фильтра сводится к поиску параметра e2. Поэтому необходимо найти методику выбора e2.
Для этого предположим, что на входе ФС присутствует смесь
r (t) = ρs(t) + n(t), где r – комплексная амплитуда сигнала, n(t) – белый шум со спектральной плотностью мощности N0.
Сигнал на выходе ФС в соответствии с равенством (3.7) равен
2 iω t-T
¥
S (ω ) e ( )
ρ
g (t) =
dω,
2
2
2π ò
-¥ S (ω ) + ε
поэтому мгновенная мощность выходного сигнала в момент времени, соответствующий его максимуму, может быть записана в виде
2
ö2
2 æ¥
S (ω ) dω ÷÷
ρ çç
÷÷ .
Ps = 2 çç ò
÷
4π ççè-¥ S (ω ) 2 + ε2 ÷ø÷
Средняя мощность шума на выходе ФС равна
¥
Pn =
ò
N0 H (iω )
2
-¥
dω N0
=
2π 2π
¥
ò
-¥
S (ω )
( S (ω )
2
2
+ε
Следовательно, ОСШ на выходе
2
æ¥
ö2
çç
S (ω ) dω ÷÷
÷÷
çç ò
2
2 ÷÷
2 ç
ρ çè-¥ S(ω ) + ε ÷ø
2
=
qâûõ
.
2
2π N0 ¥
S (ω ) dω
ò
-¥
(
2
S ( ω ) + ε2
2
)
ОСШ на входе ФС определим как
2
=
qâõ
62
2
ρ E
N0
=
ρ
2
2π N0
¥
2
ò S(ω) dω,
-¥
2
2
)
dω.
где E – энергия излученного сигнала.
Тогда отношение q2вых к q2вх будет равно
Q=
2
qâûõ
2
qâõ
=
2
æ¥
ö2
çç
S (ω ) dω ÷÷
÷÷
çç ò
2
2 ÷÷
ç
çè-¥ S (ω ) + ε ÷ø
¥
ò
-¥
2
¥
S (ω ) dω
( S (ω )
2
+ ε2
2
)
ò
.
(3.8)
2
S (ω ) dω
-¥
На основании неравенства Коши – Буняковского можно утверждать, что 0 ≤ Q ≤ 1. Это лишний раз свидетельствует о том, что обработка сигнала в ФС (3.7) неизбежно приводит к потерям, причем,
как следует из равенства (3.8), при известном сигнале s(t) их величина зависит только от параметра e2. Данное обстоятельство позволяет осуществить выбор данного параметра. Рассмотрим несколько
частных случаев.
Прямоугольный видеоимпульс. Сигнал и ЭС соответственно равны
æ t ö
2
s(t) = rectççç ÷÷÷, S (ω ) = τè sinc2 (0,5ωτè ),
÷
èç τè ø
ì
ï1, x £ 0,5
sin x
где rect(x) = ï
и sinc =
.
í
ï
x
ï
î0, x > 0,5
При этом
æ¥
ö2
sinc2 (x)dx ÷÷
çç
÷
çç ò
2
2÷
çè-¥ sinc (x) + κ ø÷÷
Q=
,
¥
¥
sinc2 (x)dx
sinc2 (x)dx
ò
2 ò
2
2
-¥ sinc ( x ) + κ
-¥
(
)
где k2 = e2/tи.
Гауссовский импульс. Сигнал и ЭС соответственно равны
é t2 ù
1
ú,
2
2ù
s(t) =
exp êêé
2
2 ú S (ω ) = 8 πσ exp ê-2(σω ) ú ,
4
2
4
σ
ê
ú
2πσ
ë
û ë
û
63
где s – эффективная длительность импульса. Тогда
æ ¥ -x2
ö2
çç
e
dx ÷÷
÷÷
çç ò
2
çè-¥ e-x + κ 2 ÷÷ø
,
Q= ¥
2
¥
e-x dx
-x2
òæ 2
ò e dx
ö2
-¥ çe-x + κ 2 ÷÷ -¥
èç
ø
где k2 = e2/(8ps2)1/2.
Sinc-импульс. Сигнал и ЭС соответственно равны
ì
ï
ωτ
ï
1, è £ 1
ï
ï
æ
ö
2π
τ
2
2πt ÷
÷; S (ω ) = è ï
s(t) =
sincççç
.
í
çè τ è ÷÷ø
2ï
τè
ωτ è
ï
>1
0,
ï
ï
ï
ï
î 2π
При этом Q = 1. Таким образом, при равномерном ЭС для любого значения параметра e2 ОСШ на выходе ФС равно ОСШ на входе.
На рис. 3.4 приведены зависимости Q от параметра e2 для рассмотренных типов излучаемых импульсов. Из рисунка следует, что для
прямоугольного и гауссовского видеоимпульсов потери в ФС растут
по мере уменьшения параметра e2. Для sinc-импульса, обладающеQ, äÁ
0
sinc
rect
gauss
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
10–6
10–5
10–4
10–3
Рис. 3.4
64
10–2
10–1
100 ε2
го равномерным спектром, ОСШ на входе и выходе ФС равны. Этот
факт, однако, не свидетельствует в пользу выбора зондирующих
сигналов с равномерным спектром, поскольку для таких сигналов
ФС при любых значениях ε2 является согласованным.
В качестве доказательства рассмотрим рис. 3.5–3.7, на которых
приведены выходные сигналы ФС для прямоугольного, гауссовского и sinc-импульсов при различных значениях параметра e2. Из рисунков видно, что для прямоугольного и гауссовского импульсов
уменьшение параметра e2 ведет к сжатию сигнала на выходе ФС.
Для sinc-импульса такого эффекта не наблюдается: вне зависимости от e2 форма сигнала на выходе ФС остается постоянной и соответствует АКФ входного сигнала. Следовательно, рассматриваемый
способ построения ФС для сигналов с равномерным спектром не эффективен.
На рис. 3.8 приведены зависимости положения первого нуля y0
выходного сигнала ФС g(y) (g(y0) = 0) от параметра e2. Рисунок подтверждает вышесказанное: выходной сигнал ФС для сигнала с равномерным спектром не изменяет свою длительность при изменении
параметра e2. В то же время выходные сигналы ФС при прямоугольg (y)
g (y)
1
1
ε2=1e–6
0,5
0
–0,5
–1
0
–0,5
0
1
0,5
1 y
–0,5
–1
0,5
0
0
–0,5
0
1
0,5
1 y
–0,5
–1
0,5
0
0
–0,5
0
0,5
0
1 y
–0,5
–1
0,5
1 y
ε2=1e–3
–0,5
0
1
ε2=1e–2
0,5
–0,5
–1
–0,5
1
ε2=1e–4
0,5
–0,5
–1
ε2=1e–5
0,5
0,5
1 y
ε2=1e–1
–0,5
0
0,5
1 y
Рис. 3.5
65
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–6
0,5
0
–0,5
–1
0
–0,5
0
0,5
1 y
1
–0,5
–1
–0,5
0
0,5
1
y
1
y
1
y
1
y
1
y
1
y
1
ε2=1e–4
0,5
–0,5
–1
ε2=1e–3
0,5
0
0
–0,5
0
1
0,5
1 y
–0,5
–1
–0,5
0
ε2=1e–2
ε2=1e–1
0,5
0
–0,5
–1
0,5
1
0,5
0
–0,5
0
0,5
1 y
–0,5
–1
–0,5
0
0,5
Рис. 3.6
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–6
0,5
ε2=1e–5
0,5
0
0
–1
–0,5
0
1
0,5
1
y
–0,5
–1
–0,5
0
1
ε2=1e–4
0,5
0,5
ε2=1e–3
0,5
0
0
–1
–0,5
0
1
0,5
1
y
–0,5
–1
ε2=1e–2
0,5
0
0
–0,5
0
0,5
–0,5
0
1
0,5
–0,5
–1
1
y
–0,5
–1
Рис. 3.7
66
ε2=1e–5
0,5
0,5
ε2=1e–1
–0,5
0
0,5
y0
0,5
0,4
0,3
0,2
rect
gauss
sinc
0,1
0
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.8
ном и гауссовском импульсах при уменьшении e2 сжимаются, причем за счет потерь в ОСШ на выходе –6 дБ (см. рис. 2.1) можно дополнительно сжать прямоугольный импульс почти в 10 раз (рис. 3.8), а
гауссовский – в 5 раз при потерях в ОСШ на выходе –15 дБ. Таким
образом, рассматриваемый метод сверхрелеевского разрешения
имеет разную эффективность в зависимости от типа спектра зондирующего сигнала. Максимальная эффективность наблюдается для
прямоугольного видеоимпульса.
Как следует из рис. 3.5, замечательной особенностью ФС для
прямоугольного видеоимпульса является значительное уменьшение боковых лепестков у выходного сигнала при уменьшении параметра e2. Соответствующий график приведен на рис. 3.9, где представлена зависимость уровня максимального бокового лепестка от
параметра e2. Как следует из рисунка, при e2 = 10–3 уровень максимального бокового лепестка равен –20 дБ, а при e2 = 10–6 этот уровень равен уже –45 дБ.
Таким образом, для прямоугольных видеоимпульсов рассмотренная техника получения сверхвысокого разрешения по дальности может вполне реально рассматриваться на предмет использования на практике, поскольку за уменьшение в 10 раз (см. рис. 3.8)
длительности сигнала на выходе при одновременном уменьшении
уровня боковых лепестков до –20 дБ (см. рис. 3.9) придется запла67
Óðîâåíü áîêîâûõ ëåïåñòêîâ, äÁ
–10
–15
–20
–25
–30
–35
–40
–45
–50
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.9
тить сравнительно небольшую плату – уменьшением ОСШ на выходе ФС по сравнению с СФ на 6 дБ (см. рис. 3.4).
Рассмотренные сигналы являются простыми. Обратимся теперь
к сигналам сложным.
Прямоугольный ЛЧМ-импульс. Сигнал и ЭС в данном случае соответственно равны
s(t) =
2
S (ω ) =
{
é ν ù
τ
exp ê i t2 ú ; t £ è ; êë 2 úû
2
τè
1
}
2
2
π é
C (z1 ) + C (z2 )ùû + éë S (z1 ) + S (z2 )ùû . ë
ν
где v – скорость изменения частоты сигнала; z1,2 =
ω max æç 1
ω ö÷
÷÷;
çç ±
π èç 2 ω max ø÷
x
x
æπ 2ö
æπ ö
wmax = ntи – девиация частоты; C (x) = ò cosçç t2 ÷÷÷dt и S (x) = ò sin ççç t ÷÷÷d
çè 2 ø
è2 ø
x
æπ ö
S (x) = ò sin çç t2 ÷÷÷dt – интегралы Френеля.
çè 2 ø
0
68
0
0
Q(ε2), äÁ
0
B=10
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
–0,12
–0,14
–0,16
–0,18
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100
ε2
Рис. 3.10
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–5
ε2=1e–6
0,5
0
–0,1 –0,05
0,5
0
1
0,05
0,1 y
ε2=1e–4
–0,1 –0,05
0
0,05
0,1 y
0,1
y
ε2=1e–3
0
–0,1 –0,05
0
1
ε2=1e–2
0,5
–0,1 –0,05
0,05
0,5
1
0
0
1
0,5
0
0
–0,1 –0,05
0,05
0,1
y
ε2=1e–1
0,5
0
0,05
0,1 y
0
–0,1 –0,05
0
0,05
0,1
y
Рис. 3.11
69
На рис. 3.10 приведены зависимости Q от параметра e2 для рассматриваемого излучаемого сигнала при базе wmaxtи = 10. Из рисунка следует, что потери в ФС практически не изменяются при
уменьшении e2. Форма выходного сигнала тоже сохраняется без заметных изменений (рис. 3.11). Данные результаты являются следствием «прямоугольности» спектральной функции прямоугольного
ЛЧМ-импульса [14, 19], о которой говорилось выше применительно к sinc-импульсу, следовательно, этот метод построения ФС не эффективен для рассматриваемого сигнала.
Гауссовский НЧМ-импульс. В разделе 2.3 было предложено синтезировать закон ЧМ на основании поиска максимума потенциальной РС. Там же было показано, что при d ≥ 2 (d – коэффициент относительного уширения ЭС гауссовского импульса за счет нелинейной
частотной модуляции (НЧМ)) выбор закона НЧМ слабо влияет на
потенциальную разрешающую способность, которая, однако, при
этом значительно выше, чем у ЛЧМ-сигнала с такой же полосой.
На рис. 3.12 приведены зависимости Q от параметра e2 для рассматриваемого излучаемого сигнала при d = 2; 3; 4. Увеличение потерь при росте параметра e2 подсказывает, что для данного сигнала
возможно получение большего, чем в СФ, сжатия выходного сигнала. При этом уровень потерь слабо зависит от параметра d. Расчеты сигнала на выходе ФС подтверждают этот вывод. На рис. 3.13
Q(ε2), äÁ
0
δ=2,0
δ=3,0
δ=4,0
–5
–10
–15
–20
–25
10–6
10–5
10–4
10–3
Рис. 3.12
70
10–2
10–1
100 ε2
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–5
ε2=1e–6
0,5
0
–4
0,5
–2
0
2
4 y
1
0
–4
–2
0
y
4
y
4
y
ε2=1e–3
0,5
–4
0,5
–2
0
1
2
4 y
ε2=1e–2
–4
0
–4
–2
0
2
1
ε2=1e–1
0,5
0
4
1
ε2=1e–4
0
2
0,5
–2
0
2
4 y
0
–4
–2
0
2
Рис. 3.13
представлены огибающие сигналов на выходе ФС при d = 2. Форма
огибающей выходного сигнала при d = 3 и 4 абсолютно идентична,
поэтому соответствующие рисунки не приводятся. Этот факт полностью соответствует выводу подраздела 2.3 о том, что потенциальная
РС в области d ≥ 2 слабо зависит от закона НЧМ. Ширина главного
лепестка g (t) , как следует из рис. 3.14, монотонно увеличивается
при увеличении e2, и при e2 = 10–3 длительность выходного сигнала может быть уменьшена в 3 раза по сравнению с длительностью
гауссовского импульса без ЧМ. Потери по сравнению с СФ при этом
составят –8 дБ. При малых e2 уровень боковых лепестков остается
примерно постоянным и высоким. По мере увеличения e2 уровень
боковых лепестков уменьшается. Такой характер изменения нашел отражение в поведении кривой на рис. 3.15, где представлена
зависимость уровня максимального бокового лепестка от e2. Следовательно, для рассматриваемого сигнала сжатие с использованием
СФ имеет практическое значение.
71
y0
0,5
δ=2,0
δ=3,0
δ=4,0
0,4
0,3
0,2
0,1
0
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.14
Óðîâåíü áîêîâûõ ëåïåñòêîâ, äÁ
–12
δ=2,0
δ=3,0
δ=4,0
–14
–16
–18
–20
–22
–24
–26
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100
ε2
Рис. 3.15
Фазоманипулированный импульс. Сигнал и ЭС в данном случае
соответственно равны
N-1
æ t - nτ ý ö÷
ωτ
2
1
÷, S (ω ) = sinc2 ý
s(t) =
cn rectççç
å
÷
çè τ ý ø÷
N
2
Nτ ý n=0
1
72
N-1
-inωτ ý
å cn e
n=0
2
,
Q(ε2), äÁ
0
–2
N=13
–4
–6
–8
–10
–12
–14
10 –6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.16
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–6
0,5
0
–0,5
–0,5
1
0
0
0,5 y
ε2=1e–4
0,5
0
0,5 y
ε2=1e–3
0
0,5 y
0
ε2=1e–2
0,5
–0,5
–0,5
1
0
0,5 y
ε2=1e–1
0,5
0
–0,5
–0,5
–0,5
–0,5
1
0,5
0
–0,5
–0,5
1
ε2=1e–5
0,5
0
0
0,5 y
–0,5
–0,5
0
0,5 y
Рис. 3.17
73
y0
0,4
0,3
N=13
0,2
0,1
0
10 –6
10 –5
10 –4
10 –3
10 –2
10 –1
10 0 ε2
Рис. 3.18
Óðîâåíü áîêîâûõ ëåïåñòêîâ, äÁ
–10
–15
–20
N=13
–25
–30
–35
–40
–45
–50
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.19
где N – количество элементов кода, tэ – длительность элемента кода,
cn, n = 0,…,(N – 1) – код фазовой манипуляции.
Сначала рассмотрим ФМ-сигнал с модуляцией кодом Баркера.
На рис. 3.16 приведены зависимости Q от параметра e2 для рассматриваемого излучаемого сигнала при N = 13. Как следует из рисунка, потери в фильтре растут по мере уменьшения параметра e2. Это
74
позволяет надеяться на соответствующее уменьшение длительности выходного сигнала ФС. Рис. 3.17 и 3.18 подтверждают этот вывод. Одновременно уменьшаются боковые лепестки выходного сигнала (рис. 3.19). Сравнение рис. 3.17–3.19 с рис. 3.5, 3.8, 3.9 свидетельствует, что эти свойства ФМ-сигнал наследует от прямоугольного видеоимпульса.
Обратимся теперь к ФМ-сигналам со знакопеременным двоичным кодом, который был рассмотрен в предыдущей главе (см. подразд. 2.5). Результаты расчетов для данного сигнала при количестве
элементов кода N = 13 приведены на рис. 3.20–3.23. Качественно результаты на этих рисунках близки к результатам для ФМ-сигнала с
манипуляцией кодом Баркера, но имеются и различия: при почти
равной ширине выходной сигнал ФС в случае знакопеременной манипуляции имеет примерно на 3 дБ больший уровень потерь и примерно на 5 дБ больший уровень боковых лепестков, чем сигнал, соответствующий манипуляции двоичной последовательностью Баркера.
В заключение следует отметить, что рассмотренный метод разрешения с помощью фильтра сжатия при неизбежных потерях в
ОСШ по сравнению с оптимальным методом, рассмотренным в разделе 3.1, обладает одним существенным преимуществом: его вычисQ(ε2), äÁ
0
–2
N=13
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100
ε2
Рис. 3.20
75
g(y)
1
g(y)
1
ε2=1e–6
0,5
ε2=1e–5
0,5
0
0
–0,5
–0,5
1
0,5 y
0
ε2=1e–4
0,5
–0,5
–0,5
1
ε2=1e–3
0,5
0
0,5 y
0
0
–0,5
–0,5
1
0,5 y
0
ε2=1e–2
0,5
–0,5
–0,5
1
ε2=1e–1
0,5
0
0,5 y
0
0
–0,5
–0,5
0
0,5 y
–0,5
–0,5
0,5 y
0
Рис. 3.21
y0
0,4
N=13
0,3
0,2
0,1
ε2
0
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
Рис. 3.22
76
10–1
100 ε2
Óðîâåíü áîêîâûõ ëåïåñòêîâ, äÁ
–5
ε2
–10
N=13
–15
–20
–25
–30
–35
–40
10–6
10–5
10–4
10–3
10–2
10–1
100 ε2
Рис. 3.23
лительная сложность практически не зависит от количества разрешаемых источников. В то же время вычислительные затраты оптимального метода возрастают в соответствии с показательным законом при увеличении размерности пространства поиска решения,
которая равна количеству разрешаемых целей.
77
4. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ СЖАТИЯ
ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
С МИНИМАЛЬНЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
4.1. Фазоманипулированные сигналы,
согласованный фильтр и фильтр сжатия
В предыдущих главах были рассмотрены методы повышения
разрешающей способности по дальности и, в частности, способы построения подоптимальных линейных фильтров сжатия сигналов,
которые позволяют получить сверхрелеевское разрешение. Однако
на практике даже обычное релеевское разрешение близкорасположенных источников сигналов по времени запаздывания наталкивается на большие трудности, если сигнал одного из источников на
выходе СФ попадает в область боковых лепестков сигнала от другого, более мощного источника.
Естественным средством борьбы с данным явлением является постановка в линейной части приемника вместо СФ такого линейного
фильтра, который бы при малых потерях в отношении сигнал/шум
по сравнению с СФ, позволил бы получить значительно более низкий уровень боковых лепестков выходного сигнала. Целью данной
главы является исследование возможности получения цифровых
фильтров обработки фазоманипулированных сигналов, выходные
сигналы которых имеют минимальный уровень боковых лепестков
при малых по сравнению с согласованными фильтрами потерях в
отношении сигнал/шум.
Согласованные фильтры импульсных сигналов нашли широкое
применение в обработке сигналов, поскольку позволяют максимизировать отношение сигнал/шум для смеси выходного сигнала и
шума, который пошел в фильтр [19, 21, 22]. Следствием этого свойства является получение эффекта сжатия, при котором выходной
сигнал имеет вид узкого и высокого пика, окруженного сравнительно низкими боковыми лепестками (БЛ). Уровень боковых лепестков
(УБЛ, SLL – Side Lobe Level) выходного сигнала СФ зависит от вида входного сигнала. Для фазоманипулированных сигналов (ФМС)
УБЛ во многом определяется законом манипуляции. Известно, что
минимальный УБЛ для импульсных ФМС достигается при использовании в качестве закона фазовой манипуляции кодов Баркера [19,
21, 22]. При количестве элементов кода N коды Баркера позволяют
78
получить сигнал на выходе СФ, который имеет одинаковый уровень
для всех БЛ, равный
SLL = 1. (4.1)
Главный лепесток (ГЛ) сигнала на выходе СФ здесь и далее будем считать нормированным и равным N. К сожалению, коды Баркера для импульсных ФМС существуют только при N = 1, 2, 3, 4,
5, 7, 11, 13. Известно также [19, 21, 22], что свойство УБЛ (4.1) при
значениях N > 13 достижимо только для периодических сигналов,
например, для М-последовательностей. В случае конечных по длительности сигналов, полученных путем использования одного периода М-последовательности размера N, УБЛ примерно равен
SLL = N . Такая зависимость УБЛ от количества элементов кода ведет к необходимости использования очень длинных последовательностей,
применение которых на практике вряд ли возможно. Так, для получения УБЛ, меньшего 40 дБ, необходимо, чтобы последовательность состояла из N ≥ 104 элементов.
Данное обстоятельство вынуждает отказаться от использования
СФ при обработке ФМС и искать другой способ. Возможным вариантом решения задачи обработки ФМС является синтез фильтра сжатия (ФС), который сохранял бы по возможности положительные качества СФ:
– выходной сигнал фильтра имеет такой же вид, что и сигнал на
выходе СФ-центральный пик, окруженный боковыми лепестками,
– неизбежные потери в отношении сигнал/шум (ОСШ) в фильтре
по сравнению с СФ малы,
– минимально возможный УБЛ.
Настоящая глава посвящена синтезу фильтра с перечисленными
свойствами. При этом следует различать синтез ФС во временной и
частотной областях. Синтез ФС во временной области – это поиск
оптимальной, в соответствии с выбранным критерием качества импульсной характеристики (ИХ). Естественно, что при этом ФС будет
КИХ-фильтром, поскольку вектор неизвестных параметров – коэффициентов фильтра – должен принадлежать некоторому конечномерному пространству поиска решения. Синтез в частотной области – это поиск оптимальной частотной характеристики (ЧХ). Синтезируемый фильтр при этом в общем случае будет БИХ-фильтром,
причем в случае, если его коэффициент передачи не будет дробно79
рациональной функцией. Реализация такого фильтра должна осуществляться с использованием алгоритма быстрой свертки.
4.2. Критерии качества, используемые при синтезе
и анализе фильтра сжатия во временной области
Будем считать, что ФС, как и СФ, является цифровым КИХфильтром, ИХ которого h[m], m = 0,…,M–1 содержит M отсчетов,
причем M ≥ N. Сам ФМ-сигнал, на который настраивается ФС, обозначим s[n], n = 0,…,N–1. Тогда выходной сигнал ФС может быть записан в виде линейной свертки [23, 24]:
g[n ] =
M-1
N-1
m=0
m=0
å h[m]s[n - m] = å h[n - m]s[m], 0 £ n £ M + N - 2.
Таким образом, выходной сигнал ФС отличен от тождественного
нуля на (M–N–1) отсчетах. Потребуем, чтобы максимум выходного
сигнала приходился на середину этого интервала, т.е. соответствовал моменту дискретного времени:
nmax = 0,5( M + N - 2). Без потери общности будем считать, что (M+N) – четное число.
Это условие гарантирует существование единственного максимума выходного сигнала, который в соответствии со сделанным выше
предположением равен
g (nmax ) = N. (4.2)
Тогда функциями качества, использованными при синтезе и
анализе ФС, могут быть качества, перечисленные ниже.
1. Среднеквадратическая ошибка (СКО, RMSL – Root Mean
Square Level) аппроксимации эталонного выходного сигнала:
RMSL =
M + N-2
å
n=0
2
g[n ]- g0 [n ] , (4.3)
где g0[n] – эталонный сигнал, в качестве которого выберем последовательность с нулевым УБЛ:
80
ì
ïN, n = nmax
g0 [n ] = ï
.
í
ï
ï
î 0, n ¹ nmax
(4.4)
2. Интегральный уровень боковых лепестков (ИУБЛ, ISLL –
Integral Side Lobe Level) выходного сигнала:
ù
2
1 é M +N-2
2
ú. ISLL = 2 êê å g[n ] - gmax
(4.5)
ú
gmax ëê n=0
ú
û
3. Средний уровень боковых лепестков (СУБЛ, MSLL – Mean Side
Lobe Level) выходного сигнала:
é M +N-2
ù
2
1
2
ê
ú
MSLL = 2
(4.6)
ê å g[n ] - gmax ú . gmax ( M + N - 2) êë n=0
ú
û
4. Уровень максимального БЛ (УМБЛ, PSLL – Principal Side
Lobe Level):
PSSL =
1
2
g[n ] . max
2
n:n¹nmax
gmax
(4.7)
5. Потери в фильтре (ПФ, L – Loss):
L=
Q2
Q02
,
(4.8)
где
Q02 = q
æ N-1
ö÷2
çç
÷
çç å s[ N -1 - m ]h0 [m ]÷÷
÷
ø
2 èm=0
2
= Nq2 ;
å (h0 [m])
m=0
Q2 = q
N-1
æ M-1
ö÷2
çç
÷÷
s
n
m
h
m
[
]
[
]
max
çç å
÷÷ø
2 è m=0
M-1
å (h[m])
m=0
–
2
ОСШ на выходе СФ и ФС соответственно; h0 и h – ИХ-фильтров;
q2 = Ps/Pn – ОСШ на входе фильтров; Ps – средняя мощность элемента кода; Pn – средняя мощность входного белого шума.
81
Несложно заметить, что ИУБЛ- и СУБЛ-критерии совпадают
друг с другом с точностью до постоянного множителя. Использование ПФ-критерия (4.8) при синтезе приведет к заранее известному
результату – синтезу согласованного фильтра. Поэтому непосредственно при синтезе могут использоваться только СКО-критерий
(4.3), ИУБЛ-критерий (4.5) и УМБЛ-критерий (4.7). При анализе
ФС представляют несомненный интерес СУБЛ-критерий (4.6) и ПФкритерий (4.8)
4.3. Постановка задачи и методы синтеза фильтра сжатия
при различных функциях качества
Выберем какой-либо критерий качества из вышеперечисленных.
Данный критерий является функцией неизвестных отсчетов ИХ
ФС h[m], m = 0,…, M – 1. Поэтому в общем виде можно для функции качества ввести следующее обозначение Ф(h), где h = (h[0],…,
h[M – 1])T – M-мерный вектор-столбец отсчетов ИХ, T – оператор
транспонирования.
Тогда с учетом выражения (4.2) ИХ синтезируемого ФС hopt
ищется как результат решения следующей задачи безусловной оптимизации:
hopt = min {Φ (h)}. h
(4.9)
Найденная таким образом ИХ может считаться оптимальной
по выбранному критерию. Метод решения задачи (4.9) должен соответствовать специфике критерия. Поэтому следующий раздел
будет посвящен синтезу ФС с учетом свойств выбранного критерия
Ф(h).
4.3.1. Критерий минимума СКО аппроксимации
эталонного сигнала
Поскольку в данном случае задается эталонная форма сигнала
на выходе ФС, задача нахождения ИХ является задачей безусловной оптимизации. Введем следующую ленточную матрицу:
82
æ
çç s[0]
çç s[1]
çç
çç 
çç
çs[ N -1]
S = ççç
çç 0
çç
çç 0
çç
çç 
çç 0
è
0 0 
0 ö÷
÷÷
0 ÷÷
 0 
÷÷
÷÷
  

÷÷
0 ÷÷÷
  
÷,
  
s[0] ÷÷÷
÷
0  
s[1] ÷÷÷
÷÷
÷÷
 0 

÷÷
0 0  s[ N -1]÷÷ø
размер которой (M+N – 1)×M. Тогда вектор отсчетов выходного сигнала g = (g[0],…,g[M+N – 1])T может быть записан в матричном виде
g = Sh. СКО-критерий (4.3) может быть также записан в матричных обозначениях следующим образом:
T
T
Φ (h) = (g - g 0 ) (g - g 0 ) = hT ST Sh - 2gT
0 Sh + g 0 g 0 , (4.10)
T
где g 0 = (0 0  N 0) – вектор эталонного выходного сигнала, все
отсчеты которого равны нулю за исключением отсчета с номером
0,5(M+N – 2), который в соответствии с формулой (4.4) равен N.
Таким образом, нахождение вектора отсчетов оптимальной ИХ
ФС сводится к минимизации (4.10). Решение этой задачи хорошо
известно (см., например, работы [25, 26]) и может быть записано в
общем виде как
(
-1 T
)
h = ST S
S g0 . (4.11)
Сложность нахождения оптимальной ИХ на практике связана с
необходимостью обратить матрицу, стоящую в скобках в выражении (4.11). Обычно решение по нахождению оптимальной ИХ (4.11)
осуществляют одним из возможных способов итерационного поиска минимума функции качества (4.10) (см., например, [27]).
83
4.3.2. Критерий минимума интегрального уровня
боковых лепестков
Запишем ИУБЛ-критерий (4.5) в матричной форме с учетом приведенных в разделе 4.1 обозначений:
Φ (h ) =
gT g
(
T
-1 = N 2
2
)
(
)
hT ST S h
(
)
hT ST g 0 gT
0S h
-1, (4.12)
e g
где e – вектор, все элементы которого равны нулю за исключением
отсчета с номером 0,5(M+N – 2), который равен единице, и в силу
этого e = N–1g0. Решение задачи по нахождению минимума (4.12)
требует некоторых пояснений, так как матрица, стоящая в скобках
в знаменателе выражения (4.12), имеет ранг 2 и является вырожденной.
Поскольку в выражении для функции качества Ф(h) только первое слагаемое зависит от вектора отсчетов ИХ, задачу минимизации (4.12) можно свести к задаче нахождения максимума следующей функции:
Ψ(h ) =
(
)
hT ST g 0 gT
0S h
(
)
hT ST S h
hT Bh
,
= T
h Ah
(4.13)
где A = STS и B = STg0g0TS – симметрические матрицы размера
M×M.
Считая матрицу A = STS невырожденной, перепишем выражение (4.13) в виде
Ψ(h ) =
hT A1/2A-1/2BA-1/2A1/2h
hT A1/2A1/2h
=
zT Cz
zT z
,
(4.14)
где z = A1/2h – вектор и C = A–1/2BA–1/2 – матрица; A1/2 и A–1/2 –
корень квадратный из матрицы A и матрица, ему обратная, которые существуют, поскольку A – невырожденная. Последняя дробь
в (4.14) представляет собой отношение Релея [25], максимум которого равен максимальному собственному числу lmax матрицы
C = A–1/2BA–1/2. Вектор z, на котором этот максимум достигается,
84
равен собственному вектору матрицы C, соответствующему этому
максимальному числу:
Cz = λ max z. Учитывая, что C = A–1/2BA–1/2 и z = A1/2h, для оптимального
вектора h получим
или
Bh = λ max Ah æ gT Sh ö÷
ç 0 ÷ T -1 T
1
-1
h = λ÷ S S S g0 . max A Bh = çç
çè λ max ÷÷ø
(
)
(4.15)
Таким
образом, с точностью до скалярного множителя
решение (4.15) совпадает с (4.11). Следовательно, оба
критерия (4.3) и (4.5) дают одно и то же решение для вектора оптимальной ИХ ФС.
Рассмотрим теперь возможные численные методы нахождения
этого решения.
РСЧ-метод. Из матричного анализа известно, что любую комплексную матрицу A размера I×J можно представить в виде
l–1maxg0TSh
K
A = å σk uk v kH , (4.16)
k=1
где sk > 0, k = 1,…,K – так называемые сингулярные числа матрицы
A; [uk]k = 1,…,K, [vk]k = 1,…,K – семейства ортонормированных векторов, для которых справедливы следующие соотношения:
A H uk = σk v k , Av k = σk uk , (4.17)
причем dim uk = I×1 и dim vk = J×1, k = 1,…,K, K = rank A ≤
min(I,J) – ранг матрицы; H – оператор эрмитового сопряжения.
Представление (4.16) называется разложением по сингулярным
числам (РСЧ, SVD – Singular Value Decomposition) [25].
Представим матрицу S своим РСЧ:
K
S = å σk uk v kH .
k=1
85
Тогда выходной сигнал ФС может быть записан в виде
K
(
)
K
g = Sh = å σk v kH h uk = å α k uk , k=1
(4.18)
k=1
где ak = (skvkHh), k = 1,…,K. Очевидно, что (4.18) есть разложение
вектора h по ортонормированной системе [uk]k = 1,…,K. Подставляя
равенство (4.18) в выражение для функции качества (4.10), после несложных преобразований, учитывающих свойства (4.17), получим
K
2
K
2
Φ (h) = å α k - 2Re å α k gT
0 uk + N .
k=1
k=1
Дифференцируя последнее выражение по неизвестным коэффициентам РСЧ и приравнивая эти производные нулю, получим
α k = gT
0 uk = Nuk [nmax ], k = 1,, K. (4.19)
Раскладывая вектор отсчетов оптимальной ИХ по ортонормированной системе [vk]k = 1,…,K, с учетом (4.19) получим окончательное
выражение
K
(
)
K u [n
]
gT
0 uk
v k =N å k max v k . σk
σk
k=1
k=1
K
h = å v kH h v k = å
k=1
(4.20)
Таким образом, алгоритм нахождения оптимальной ИХ по СКОи ИУБЛ-критериям, основанный на РСЧ, сводится к следующим
шагам:
1) по известной матрице S, используя стандартные процедуры
РСЧ, находят сингулярные числа sk > 0, k = 1,…,K и семейства векторов [uk]k = 1,…,K, [vk]k = 1,…,K;
2) на основании равенства (4.20) вычисляется оптимальная ИХ.
НК-метод. Метод наименьших квадратов (МНК) является давно
известным и хорошо зарекомендовавшим себя методом решения оптимизационных задач (4.3) [26, 27]. Метод основан на итерационном
решении (например, методом исключения Гаусса) системы уравнений:
86
(STS)h = ST g0 . Названные методы имеют свои положительные и отрицательные
стороны. Они достаточно полно описаны в научной литературе, поэтому не имеет смысла на них останавливаться. Помня, что практика – критерий истины, в следующем разделе применим оба метода и
сравним полученные результаты.
4.3.3. Критерий минимума УМБЛ
Запишем УМБЛ-критерий (4.7) в виде
Φ (h ) =
N2
(
gT
0 Sh
max
2 n: n¹n
)
2
Sh , (4.21)
max
где |⋅|2 – оператор поэлементного вычисления квадрата модуля вектора.
Функция качества (4.21) нелинейно зависит от искомого вектора отсчетов ИХ – h. Следовательно, перед нами стоит задача нелинейного программирования, решение которой значительно сложнее
задач квадратического программирования, которые встретились в
пп. 4.3.1 и 4.3.2. Для решения задач данного класса может использоваться, например, симплекс-метод, который отличается значительными вычислительными и временными затратами [27].
4.3.4. Результаты синтеза
Для иллюстрации результатов, полученных в ходе решения задачи синтеза ФС при различных функциях качества и методах оптимизации, используем в качестве входного сигнала
М-последовательность с порождающим полиномом [22, 28, 29]:
p(x) = x7 + x6 + x5 + x4 + 1.
В этом случае N = 127.
Для того чтобы избежать влияния «концевых» эффектов – процессов, возникающих при входе и выходе сигнала в ФС, положим
M = 3N = 381. В дальнейшем вопрос о выборе длины ИХ (порядка
ФС) будет рассмотрен подробно.
87
На рис. 4.1 показан сигнал на выходе СФ. Для сравнения на рис.
4.2–4.4 представлены сигналы, полученные в результате синтеза.
Âûõîäíîé ñèãíàë ÑÔ
150
g0 [n]
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
50
100
150
200
250 n
0
50
100
150
200
250 n
0
–10
–20
–30
–40
–50
Рис. 4.1
Âûõîäíîé ñèãíàë ÔÑ
150
g0 [n]
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
100
200
300
400
500 n
0
100
200
300
400
500 n
0
–10
–20
–30
–40
–50
Рис. 4.2
88
Âûõîäíîé ñèãíàë ÔÑ
150
g0 [n]
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
100
200
300
400
500 n
0
100
200
300
400
500 n
0
–10
–20
–30
–40
–50
Рис. 4.3
Âûõîäíîé ñèãíàë ÔÑ
150
g0 [n]
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
100
200
300
400
500
n
0
100
200
300
400
500
n
0
–10
–20
–30
–40
–50
Рис. 4.4
89
Таблица 4.1
Параметры фильтров
Параметр
Согласованный фильтр
Длина ИХ
ИУБЛ, дБ
СУБЛ, дБ
УМБЛ, дБ
Потери, дБ
Вых. сигнал
127
–4,1648
–28,179
–22,076
0
Рис. 4.1
Фильтр сжатия
РСЧ-метод
НК-метод
УМБЛ-метод
381
–14,079
–41,120
–29,895
–1,2202
Рис. 4.2
381
–14,069
–41,111
–30,056
–1,1627
Рис. 4.3
381
–12,888
–39,930
–32,504
–0,3000
Рис. 4.4
Все рисунки представляют собой графики сигналов в линейном и логарифмическом масштабах. Табл. 4.1 содержит сведения о фильтрах.
Анализ таблицы показывает:
– РСЧ-метод и НК-метод дают примерно одинаковые результаты, однако синтезированные этими методами фильтры хуже, чем
фильтр, полученный УМБЛ-методом;
– УМБЛ у синтезированного ФС меньше, чем у СФ: соответственно –30 дБ и –22 дБ;
– ИУБЛ у синтезированного ФС значительно меньше, чем у СФ:
соответственно –4 дБ и –14 дБ;
– СУБЛ у синтезированного ФС также значительно меньше, чем
у СФ: соответственно –41 дБ и –28 дБ;
– ФС имеет малый уровень потерь –1,16 дБ (–0,3 для УМБЛметода);
– лучшие результаты дает синтез с использованием УМБЛ-метода.
Таким образом, рассмотренный синтез ФС в целом позволил решить главную задачу – уменьшить УБЛ при незначительных потерях в ОСШ по сравнению с СФ. Поэтому можно перейти к более подробному анализу ФС.
4.4. Анализ качества фильтра сжатия
В ходе анализа необходимо определить:
– как влияет класс сигнала на характеристики ФС;
– как зависит УБЛ и ПФ от длины сигнальной последовательности N;
– как зависит УБЛ и ПФ от длины ИХ M.
90
Поскольку ответы на эти вопросы требуют длительного моделирования, в качестве метода синтеза будем использовать СКО-метод,
так как он не требует итерационного поиска решения. После получения ответов на вышеперечисленные вопросы и окончательного
выбора типа сигнала, его длины и длины ИХ для синтеза ФС будет
использован УМБЛ-метод, как дающий лучшие результаты.
В ходе анализа будут рассмотрены четыре класса ФМС: случайные ФМ-последовательности, М-последовательности, последовательности Голда и коды Баркера [22, 28, 29].
4.4.1. Анализ характеристик ФС
для случайной ФМ-последовательности
Данный сигнал представляет собой последовательность независимых случайных чисел, выбираемых из двухэлементного
множества {–1,+1} с одинаковыми вероятностями выбора p(–1) =
= p(+1) = 0,5.
На рис. 4.5 представлены зависимости ИУБЛ (ISLL), СУБЛ
(MSLL), УМБЛ (PSLL) и ПФ (L) от длины N для СФ трех, наудачу
сгенерированных случайных ФМ-последовательностей. Как видно
из рисунка, ИУБЛ выходного сигнала СФ примерно равен 0 дБ для
N ≥ 255. ПФ во всех случаях, как и следовало ожидать, равны 0 дБ
для всех N. СУБЛ и УМБЛ монотонно убывают при увеличении N:
СУБЛ меняется от –23 дБ при N = 127 до –33 дБ при N = 1023, а
УМБЛ уменьшается от –13 дБ при N = 127 до –21 дБ при N = 1023.
Таким образом, УМБЛ остается недопустимо высоким для данного
вида сигнала даже при достаточно длинных последовательностях.
На рис. 4.6 представлены аналогичные зависимости для
ФС тех же трех, наудачу сгенерированных случайных ФМпоследовательностей. Как видно из рисунка, ИУБЛ выходного сигнала ФС уменьшился и стал равным примерно –12 дБ для N ≥ 255.
ПФ во всех случаях вне зависимости от длины последовательностей
N равны примерно –4 дБ. СУБЛ и УМБЛ, как и в случае с СФ, монотонно убывают при увеличении N. Однако пределы их изменения
существенно другие: СУБЛ меняется от –38 дБ при N = 127 до –48
дБ при N = 1023, а УМБЛ уменьшается от –29 дБ при N = 127 до
–35 дБ при N = 1023. Таким образом, при потерях в ОСШ –4 дБ применение ФС при обработке случайных ФМ последовательностей позволяет уменьшить УМБЛ в среднем на 15 дБ.
91
–22
1
–24
MSLL, äÁ
ISLL, äÁ
1,5
–26
0,5
–28
0
–30
–0,5
–32
–34
100 300 500 700 900 1100 N
200 400 600 800 1000 1200 N
2
1
3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
200 400 600 800 1000 1200 N
100 300 500 700 900 1100 N
–1 0
L, äÁ
PSLL, äÁ
–13
–14
–15
–16
–17
–18
–19
–20
–21
–22
0
Рис. 4.5
–38
MSLL, äÁ
–40
ISLL, äÁ
–11
–11,2
–11,4
–11,6
–11,8
–12
–12,2
–12,4
–12,6
–12,8
–13
–44
–46
–48
0
200 400 600 800 1000 1200 N
2
1
0
200 400 600 800 1000 1200 N
–50
300
500
700
900 1100 N
–5 100 300
500
700
900 1100 N
100
3
–3,2
–3,4
–3,6
–3,8
–4
–4,2
–4,4
–4,6
–4,8
L, äÁ
PSLL, äÁ
–29
–30
–31
–32
–33
–34
–35
–36
–37
–42
Рис. 4.6
92
–25
MSLL, äÁ
–30
ISLL, äÁ
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–35
–40
–45
–50
1
2
3
4
5
6
7
–55
8
1
2
M/N
2
1
3
–15
–25
–30
–35
–40
4
5
6
7
8
M/N
3
4
5
6
7
8
M/N
L, äÁ
PSLL, äÁ
–20
–2
–2,5
–3
–3,5
–4
–4,5
–5
–5,5
–6
3
1
2
3
4
5
6
7
8
M/N
1
2
Рис. 4.7
На рис. 4.7 представлены зависимости параметров ФС от относительной длины ИХ – параметра (M/N). Как следует из рисунка,
увеличение длины ИХ ФС приводит к уменьшению УБЛ. Однако
при этом потери в фильтре увеличиваются до –5 дБ. Учитывая, что
увеличение порядка ФС ведет к росту времени обработки сигнала
и увеличению затрат на его реализацию, целесообразно выбирать
M ≈ 3N. Действительно, увеличение длины ИХ в три раза со значения M = N до значения M = 3N приводит, как следует из рис. 4.7,
к уменьшению УМБЛ на 10 дБ. Дальнейшее увеличение M до значения M = 8N ведет к уменьшению УМБЛ лишь на 6 дБ.
4.4.2. Анализ характеристик ФС
для М-последовательности
На рис. 4.8 представлены зависимости ИУБЛ (ISLL), СУБЛ
(MSLL), УМБЛ (PSLL) и ПФ (L) от длины N для СФ трех
М-последовательностей. Как видно из рисунка, ИУБЛ выходного
93
–4,4
–30
MSLL, äÁ
–28
ISLL, äÁ
–4,2
–4,6
–32
–4,8
–34
–5
–36
–5,2
–38
–5,4
–5,6
0
–18
–40
200 400 600 800 1000 1200
N
PSLL, äÁ
–20
–24
–26
–28
–30
300
500
700
900
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
100
1100
N
300
500
700
900
1100
N
L, äÁ
–22
100
0
200 400 600 800 1000 1200
N
2
1
3
Рис. 4.8
сигнала СФ примерно равен –5 дБ для всех N. ПФ во всех случаях
равны 0 дБ. СУБЛ и УМБЛ монотонно убывают при увеличении N:
СУБЛ меняется от –28 дБ при N = 127 до –38 дБ при N = 1023, а
УМБЛ уменьшается от –20 дБ при N = 127 до –27 дБ при N = 1023.
Таким образом, УМБЛ, как и при случайных ФМС, остается недопустимо высоким для данного вида сигнала даже при достаточно
длинных последовательностях.
На рис. 4.9 представлены аналогичные зависимости для ФС тех
же трех М-последовательностей. Как видно из рисунка, ИУБЛ выходного сигнала ФС уменьшился и стал равным примерно –14 дБ
для N ≥ 255. ПФ во всех случаях вне зависимости от длины последовательностей N равны примерно –1,3 дБ, что значительно меньше значения этого параметра для случайных ФМС. СУБЛ и УМБЛ,
как и в случае с СФ, монотонно убывают при увеличении N. Однако
пределы их изменения существенно другие: СУБЛ меняется от –40
дБ при N = 127 до –50 дБ при N = 1023, а УМБЛ уменьшается от
–27 дБ при N = 127 до –30 дБ при N = 1023. Таким образом, при по94
–38
–12,5
–40
MSLL, äÁ
ISLL, äÁ
–13
–42
–13,5
–44
–46
–14
–48
–14,5
–15
–50
0
100
300
500
–1,1
700
1
–1,2
PSLL, äÁ
–26,5
–27
–27,5
–28
–28,5
–29
–29,5
–30
–30,5
–31
–31,5
–52
200 400 600 800 1000 1200
N
900
1100
N
2
3
L, äÁ
–1,3
–1,4
–1,5
–1,6
–1,7
0
–1,8
100
200 400 600 800 1000 1200
N
300
500
700
900
1100
N
Рис. 4.9
–30
MSLL, äÁ
–35
ISLL, äÁ
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
–24
–40
–45
–50
1
2
3
4
5
6
7
–15
1
2
3
0
PSLL, äÁ
L, äÁ
–25
4
5
6
2
1
–0,5
–20
7
8
M/N
3
–1
–1,5
–30
–35
–2
–2,5
–40
–45
–55
8
M/N
–3
1
2
3
4
5
6
7
8
M/N
–3,5
1
2
3
4
5
6
7
8
M/N
Рис. 4.10
95
терях в ОСШ –1,3 дБ применение ФС при обработке случайных ФМ
последовательностей позволяет уменьшить УМБЛ на 5…7 дБ.
На рис. 4.10 представлены зависимости параметров ФС от относительной длины ИХ – параметра (M/N). Как и для случайных
ФМС, увеличение длины ИХ ФС приводит к уменьшению УБЛ. Однако при этом потери в фильтре монотонно увеличиваются с –0,5 дБ
при M = N до –2,5 дБ при M = 8N. Анализ рисунка, как и в предыдущем случае, свидетельствует о целесообразности выбора M ≥ 3N.
Действительно, увеличение длины ИХ в три раза со значения M = N
до значения M = 3N приводит, как следует из рис. 4.10, к уменьшению УМБЛ на 6 дБ. Дальнейшее увеличение M до значения M = 8N
ведет к уменьшению УМБЛ на 10 дБ при одновременном росте потерь до –2,5 дБ.
В заключение отметим, что ФС для М-последовательностей имеют преимущества по сравнению с ФС для случайных ФМС поскольку потери в фильтре равны –1.3 дБ против –4 дБ.
4.4.3. Характеристики ФС для последовательности Голда
Данный тип ФМ-последовательности является наиболее интересным, поскольку при его использовании удается получить ансамбли сигналов, члены которых имеют достаточно низкий уровень
боковых лепестков и слабо коррелированны между собой [28, 29].
Поэтому для синтеза ФС таких сигналов используем УМБЛ-метод.
Для исследования была выбрана последовательность Голда длины N = 127, полученная в результате перемножения двух
М-последовательностей с порождающими полиномами:
p1 (x) = x7 + x6 + x5 + x4 + 1;
p2 (x) = x7 + x4 + 1.
Для данной последовательности УМБЛ-методом был синтезирован ФС с длинной ИХ M = 5N = 635. Выходные сигналы СФ и ФС
приведены соответственно на рис. 4.11 и 4.12. Выходной сигнал СФ
совпадает с АКФ-последовательности. Результаты сравнительного
анализа параметров СФ и ФС сведены в табл. 4.2
Рис. 4.12 и табл. 4.2 свидетельствуют о том, что ФС обладает существенно меньшим уровнем боковых лепестков: при потерях –2,6 дБ
ФС имеет средний УБЛ –41 дБ и максимальный БЛ почти –30 дБ.
96
Âûõîäíîé ñèãíàë ÑÔ
g0 [n]
150
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
50
100
150
200
250 n
0
50
100
150
200
250 n
0
–10
–20
–30
–40
–50
Рис. 4.11
Âûõîäíîé ñèãíàë ÔÑ
150
g0 [n]
100
50
0
20*log10(|g 0 [n]/N|), äÁ
–50
0
100
200
300
400
500
600
700
n
100
200
300
400
500
600
700
n
0
–10
–20
–30
–40
–50
0
Рис. 4.12
97
Таблица 4.2
Фильтр
М
ИУБЛ, дБ
СУБЛ, дБ
УМБЛ, дБ
ПФ, дБ
Согласованный (СФ)
127
–0,23314
–24,247
–15,228
0
Сжатия (ФС)
635
–12,292
–41,100
–29,716
–2,5687
0
5
10
15
20
25
J
5
10
15
20
25
J
–7
–35
–8
–36
MSLL, äÁ
ISLL, äÁ
Параметры фильтров для последовательности Голда
–9
–10
–11
–39
–41
0
5
10
15
20
–42
25
J
–20
–2,5
–22
–2,55
–24
–2,6
L, äÁ
PSLL, äÁ
–38
–40
–12
–13
–37
–26
–28
–30
–2,65
–2,7
0
5
10
15
20
25
J
–2,75
0
Рис. 4.13
Для разработчиков интерес представляет чувствительность характеристик фильтра сжатия к количеству разрядов в представлении их коэффициентов. На рис. 4.13 приведены зависимости ИУБЛ
(ISLL), СУБЛ (MSLL), УМБЛ (PSLL) и ПФ (L) от количества разрядов J в представлении ИХ ФС для случая использования арифметики с фиксированной точкой. Как следует из рисунка, ФС достаточно
устойчив к ошибкам округления коэффициентов: стабилизация параметров фильтра наблюдается начиная с J = 8.
98
4.4.4. Анализ характеристик ФС для кодов Баркера
Данные коды часто используются в радиолокационных и радионавигационных системах. Поэтому для синтеза ФС, как и в предыдущем случае, используем УМБЛ-метод. На рис. 4.14 представлены
выходные сигналы ФС для последовательностей Баркера различной длины N = 1; 2; 3; 4; 5; 7; 11; 13. Данные по соответствующим
фильтрам сведены в табл. 4.3
Рис. 4.14 и табл. 4.3 свидетельствуют, что ФС обладает существенно меньшим уровнем боковых лепестков по сравнению с СФ:
так, для N = 13 при потерях –0,2 дБ ФС имеет средний УБЛ –44 дБ и
максимальный БЛ почти –42 дБ. Напомним, что сигнал на выходе
СФ имеет УБЛ, равный –22,3 дБ.
На рис. 4.15 представлены зависимости ИУБЛ (ISLL), СУБЛ
(MSLL), УМБЛ (PSLL) и ПФ (L) от количества разрядов J в представлении ИХ ФС для случая использования арифметики с фикси20*log10(|g[n]/N|), äÁ
0
20*log10(|g[n]/N|), äÁ
0
N=1
–20
–20
–40
–40
0
0
1
2
3 n
N=3
0
0
2
N=2
4
6
n
N=4
–20
–40
0
0
2
4
6
8
10
n
0
N=5
0
5
10
15 n
N=7
–20
–40
0
–40
0
5
10
15
n
0
N=11
–20
0
5
10
15
20
25
n
N=13
–20
–40
–40
0
10
20
30
40
n
0
10
20
30
40
50 n
Рис. 4.14
99
Таблица 4.3
Параметры ФС для последовательностей Баркера
N
М
ИУБЛ, дБ
СУБЛ, дБ
УМБЛ, дБ
ПФ, дБ
1
2
3
4
5
7
11
13
3
6
9
12
15
21
33
39
–∞
–7,7567
–18,630
–17,301
–21,928
–16,129
–16,891
–27,422
–∞
–15,538
–28,630
–28,763
–34,480
–30,279
–33,124
–44,411
–∞
–15,267
–27,873
–26,152
–32,512
–27,373
–29,593
–41,564
0
–1,8452
–1,0191
–1,0458
–0,5216
–0,6863
–0,4677
–0,2020
–14
–30
–18
MSLL, äÁ
ISLL, äÁ
–16
–20
–22
–24
–35
–40
–26
–28
0
5
10
15
20
–45
25
J
–20
10
15
20
25
J
5
10
15
20
25
J
–0,2
–30
L, äÁ
PSLL, äÁ
5
–0,15
–25
–35
–0,25
–0,3
–40
–45
0
0
5
10
15
20
25
J
–0,35
0
Рис. 4.15
рованной точкой. Как следует из рисунка, ФС, как и для случая последовательностей Голда, достаточно устойчив к ошибкам округления коэффициентов: стабилизация параметров фильтра также наблюдается начиная с J = 8.
100
4.5. Синтез фильтров сжатия фазоманипулированных сигналов с
минимальным уровнем боковых лепестков в частотной области
Пусть огибающая излученного сигнала равна
st (t) =
N-1
å cnu(t - nτý ), (4.22)
n=0
где сn, n = 0,…,N – 1 – использованная кодовая последовательность;
u(t) = rect(t/tэ) – единичный видеоимпульс с длительностью равной
длительности элемента кода tэ. Тогда принятый полезный сигнал
может быть записан в виде
N-1
sr (t) = ρ å cn u(t - τ - nτ ý ),
n=0
где r – комплексная амплитуда; t – время задержки, а его спектр
равен
Sr (ω ) = ρe-iωτ
где
C (Ω ) =
N-1
å cn e-inωτ ò u(t)e-iωtdt = ρe-iωτ C(ωτý )U (ωτý ), ý
n=0
N-1
å cn e-inΩ – спектр кодовой последовательности;
n=0
U(W) = e–i W/2sinc(W/2) – спектр прямоугольного видеоимпульса;
W = w tэ – безразмерная частота; sinc(x) = sin x/x.
Известно, что частотная характеристика (ЧХ) СФ для излученного сигнала (4.22) равна
H0 (ω ) = e-iωT C* (Ω)U* (Ω), (4.23)
где T – задержка в фильтре (T ≥ N tэ); (*) – оператор комплексного сопряжения. Как было сказано выше, использование ЧХ (4.23) не позволяет получить у выходного сигнала СФ необходимого УБЛ.
Допустим, что используемый ФС имеет ЧХ, равную
H1 (ω ) = e-iωT D* (Ω)U* (Ω), (4.24)
где D(W) – неизвестная функция, которую необходимо найти. Поиск
этой функции будем производить исходя из следующих соображений:
– потери в ФС должны быть минимальны;
101
– получаемый при применении H1(w) УБЛ выходного сигнала
ФС должен быть также минимальным.
Определим потери в ФС. Для этого запишем выходной сигнал
фильтра
2
1
ρ
iω t-τ-T ) *
g (t) =
H1 (ω )Sr (ω )eiωt dω =
e (
D (Ω)C (Ω) U (Ω) dω.
ò
ò
2π
2π
При arg D(W) = arg C(W) последнее уравнение может быть переписано в виде
2
ρ
-iω t-τ-T )
e (
D (Ω) C (Ω) U (Ω) dω, ò
2π
поэтому максимальный сигнал наблюдается в момент времени
tmax = T+t, и его модуль равен
ρ
2
gmax =
D (Ω) C (Ω) U (Ω) dω.
ò
2π
g (t) =
Определим теперь среднюю мощность шума на выходе ФС Pn,
считая, что на входе фильтра присутствует белый шум, спектральная плотность мощности (СПМ) которого равна N0. В соответствии
с равенством (4.24)
N
N
2
2
2
Pn = 0 ò H1 (ω ) dω = 0 ò D (Ω) U (Ω) dω.
2
π
2
π
Тогда ОСШ на выходе ФС равно
2
é
ù2
2 ê
Ω
Ω
Ω
ω
D
C
U
d
(
)
(
)
(
)
ú
2
ρ ëê ò
g
ûú .
q2 = max =
2
2
Pn
2πN0
D (Ω) U (Ω) dω
ò
Таким же образом можно показать, что ОСШ на выходе СФ равно
q02
=
ρ
2
2πN0 ò
2
2
C (Ω) U (Ω) dω.
Следовательно, потери в ФС по отношению к СФ будут равны
é
ù
2
é
ù2
ê
ú
Ω
Ω
Ω
Ω
D
C
U
d
(
)
(
)
(
)
ê
ú
é q2 ù
ò
ê
ú
ê
ú
ë
û
ê
ú
ú .(4.25)
L[ äÁ ] = 10 lg ê ú = 10 lg ê
2
2
2
2
2
ê
ú
ê ò C (Ω) U (Ω) dω ò D (Ω) U (Ω) dΩ ú
ëê q0 ûú
ê
ú
ë
û
102
Используя неравенство Коши и уравнение (4.25), можно показать, что всегда L ≤ 0. Равенство L = 0 возможно тогда и только тогда, когда
D (Ω ) = λ C (Ω ) , (4.26)
где l – постоянный множитель. В простейшем случае это возможно,
если |D(W)| = |C(W)|, и мы приходим к согласованной фильтрации.
Еще одним случаем, когда равенство (4.26) выполняется, может
стать ситуация, когда |C(W)| = const, т.е. спектр кодовой последовательности постоянен во всей области частот. В этом случае |D(W)|
также сохраняет свое значение и L = 0. Следовательно, получение
малых потерь в ФС возможно, когда |C(W)| ≈ const, причем поскольку C (Ω) =
N-1
å cn e-inΩ
является 2p – периодической функцией, до-
n=0
статочно чтобы это приближенное равенство выполнялось при 0 ≤ W
≤ 2p, т.е. на периоде безразмерной частоты W.
Рассмотрим теперь вопрос о получении малого УБЛ. Известно,
что полного отсутствия боковых лепестков у выходного сигнала ФС
можно достичь, если ЧХ фильтра будет инверсной, т.е.
H1 (ω ) =
e-iωT
.
C (Ω)U (Ω)
(4.27)
В этом случае выходной сигнал стремиться к d-функции. К сожалению, применение фильтра с ЧХ (4.27) катастрофически уменьшает и ОСШ: в окрестности нулей спектра сигнала будет происходить неограниченное усиление шумов, в результате которого q2 становится равным нулю. Однако в случае |C(W)| ≠ 0 при 0 ≤ W ≤ 2p можно использовать фильтр с |D(W)| = |C(W)|–1:
H1 (ω ) = e-iωT
U * (Ω )
C (Ω )
.
(4.28)
В этом случае выходной сигнал в силу уравнения
g (t) =
2
ρ
-iω t-τ-T )
e (
U (Ω) dω = ρΛ (t - τ - T ) 2π ò
103
будет иметь вид треугольного импульса:
Λ (t) = (τ ý - t ), т. е. одиночного пика шириной 2tэ при полном отсутствии боковых
лепестков!
Таким образом, поставленной в начале статьи цели можно достичь, если удастся найти такую кодовую последовательность сn
(n = 0,…, N – 1), спектр которой удовлетворяет двум условиям, выполняющимся на периоде безразмерной частоты W: |C(W)| ≈ const и
|C(W)| ≠ 0 при 0 ≤ W ≤ 2p. Найти такую последовательность можно,
если решить следующую оптимизационную задачу:
(4.29)
c = min {Q (cn = ±1,n = 0,, N -1)}, c
где c = (c0,…,сN–1) – искомый вектор кодовой последовательности,
длина которого равна N, а элементы принимают значения ±1. Целевая функция в формуле (4.29) равна
Q (cn = ±1,n = 0,, N -1) =
π
2
2
1
C (Ω) - W (Ω) dΩ, ò
2π
-π
(
)
(4.30)
где W(W) – прямоугольное весовое окно. Используя теорему Парсеваля, эту формулу можно переписать в виде
Q (cn = ±1,n = 0,, N -1) =
N-1
2
å (R [m]- Nδm,0 ) , (4.31)
m=-N +1
где
R [m ] =
N- m -1
å
n=0
cn cn+ m , m = 0,±1,,±( N -1) - (4.32)
корреляционная функция кодовой последовательности; dm,0 – символ Кронекера, а w[m] = N dm,0; m = 0,±1,…, ±(N – 1) – дискретная
функция, соответствующая спектральной функции окна W(W). Решение задачи минимизации (4.31) не представляет сложности, и
при малых N может быть осуществлено простым перебором всех
возможных кодов длины N.
Замечательным свойством решений этой задачи является тот
факт, что при N = 3; 4; 5; 7; 11; 13 оптимальными по критерию
104
s(t)
(4.31), (4.32) являются последовательности Баркера! Это не должно
вызывать удивления, поскольку корреляционная функция R[m] кодов Баркера имеет вид, максимально близкий к функции w[m], которая с точностью до множителя N представляет собой цифровую
d-функцию.
Таким образом, обработка ФМС может быть осуществлена в
частотной области путем реализации алгоритма быстрой свертки при использовании ФС с ЧХ (4.28). Вопрос теперь заключается в определении потерь такого способа. С этой целью в работе
было проведено моделирование предложенного алгоритма и рассчитаны потери ФС. Поиск оптимальных по критерию (4.31) кодов осуществлялся при N = 3,…,20 простым перебором, о котором говорилось выше. Результаты моделирования приведены на
рис. 4.16 и 4.17. На рис. 4.16 приведены временные диаграммы
сигналов на входе СФ и ФС, которые в данном случае представляли собой кодовые последовательности Баркера с N = 13. Как и
следовало ожидать, сигнал на выходе СФ представляет собой развертку функции корреляции кодовой последовательности, а сигнал на выходе ФС – треугольный импульс. На рис. 4.17 приведен
1
0,5
0
–0,5
–1
L=–0,21371 äÁ
0
0,5
1
1,5
2
2,5
g0(t)
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t · 10 –5
1
g1(t)
3
t · 10 –5
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
t · 10 –5
Рис. 4.16
105
0
Êîäû Áàðêåðà
–0,5
L, äÁ
–1
–1,5
–2
–2,5
–3
–3,5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 N
Рис. 4.17
график потерь в ФС, построенный в результате расчетов в соответствии с уравнением
é
ù
2
é
ù2
ê
ú
U
d
Ω
Ω
(
)
ê
ú
ò
ê
ú
êë
úû
ê
ú,
L[ äÁ ] = 10lg
2
ê
ú
U (Ω )
ê
ú
2
2
ê ò C (Ω) U (Ω) dω ò
dΩ ú
2
ê
ú
C (Ω )
êë
úû
которое получается из равенства (4.25) при подстановке
|D(W)| = |C(W)|–1. Кружками на графике (рис. 4.17) отмечены точки,
соответствующие кодовым последовательностям Баркера. Отсутствие данных в точках N = 2 и N = 18, объясняется тем, что для
данных значений длины кодовой последовательности спектральная
функция C(W) на периоде безразмерной частоты W имеет нули, что
ведет к неограниченному росту L. Анализ графика показывает, что
в случае использования кодов с N = 5; 13; 15; 20 можно получить
уровень потерь меньше –1 дБ. Особо следует отметить потери при
N = 13: они равны –0,21371 дБ.
На рис. 4.18 и 4.19 приведены амплитудные спектры последовательностей, которые были получены в результате поиска (4.31) при
106
C(Ω)
C(Ω)
N=3
N=4
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0
–4
0,5
–2
0
2
4
Ω
0
–4
N=5
3
0
2
4
Ω
2
4
Ω
N=7
3
2,5
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
–4
–2
–2
0
2
4
Ω
0
–4
–2
0
Рис. 4.18
N = 3; 4; 5; 7; 11; 13; 15; 20. Первые шесть последовательностей –
это коды Баркера. Спектры всех последовательностей удовлетворяют условию отсутствия нулей на интервале –p ≤ W ≤ π и имеют вид
функций, осциллирующих около некоторого постоянного уровня.
При этом особо выделяется спектр кода Баркера при N = 13. Он
имеет минимальный уровень пульсаций. Это, по-видимому, и способствовало получению минимальных потерь в фильтре.
Полученные результаты относятся к случаю, когда принимаемый сигнал не имеет сдвига по частоте относительно сигнала излученного, который может появиться благодаря движению цели и
возникающему при этом эффекту Доплера. В случае появления доплеровского сдвига сдвиг спектра принятого сигнала относительно
ЧХ ФС должен приводить к деградации качества фильтрации сигнала, т.е. к появлению боковых лепестков в выходном сигнале ФС и
107
C(Ω)
C(Ω)
N=11
3,5
4
3
2,5
3
2
2
1,5
1
1
0,5
0
–4
–2
0
2
4 Ω
N=15
5
0
–4
–2
0
2
4 Ω
2
4 Ω
N=20
6
5
4
4
3
3
2
2
1
0
N=13
5
1
–4
–2
0
2
4 Ω
0
–4
–2
0
Рис. 4.19
уширении главного пика. Для исследования влияния эффекта Доплера на качество фильтрации было проведено математическое моделирование обработки импульсного сигнала в ФС, модулированного кодом Баркера с N = 13. Результаты моделирования приведены на рис. 4.20 и 4.21. На рис. 4.20 приведены зависимости УМБЛ
и длительности сигнала, которая определялась по первым нулям,
на выходе ФС от доплеровской частоты FD, нормированной к ширине спектра DF = 1/tэ элемента кода. Там же пунктирными линиями для сравнения показаны соответствующие графики для СФ.
Рисунки свидетельствуют о малой чувствительности ФС и СФ к
изменению доплеровской частоты FD в достаточно широком диапазоне (если считать, что длина волны РЛС l = 10 см, длительность
элемента tэ = 0,27 мкс и максимальная скорость движения цели
Vmax = 300 м/с, то отношение FD/ DF = 0,16%). Следует отметить,
что качество фильтрации в СФ в указанном диапазоне доплеров108
ÓÌÁË, äÁ
0
Äëèòåëüíîñòü âûõ, ñèãíàëà
8
–10
7
–20
6
–30
ÑÔ
ÔÑ
5
τ/τ ý
PSLL
–40
–50
4
–60
–70
3
–80
2
–90
–100
0
0,05
0,1
0,15
FD/∆ F, %
0,2
1
0
0,05
0,1
0,15
FD/∆ F, %
0,2
Рис. 4.20
L
Ïîòåðè, äÁ
0,05
0
–0,05
ÑÔ
ÔÑ
–0,1
–0,15
–0,2
–0,25
0
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
FD /∆F, %
Рис. 4.21
109
ских сдвигов частоты вообще не изменяется. Ухудшение качества
фильтрации в ФС проявляется, прежде всего, в том, что с увеличением FD УБЛ выходного сигнала начинает расти. Однако даже при
FD/ DF = 0,2% УБЛ не превышает –55 дБ. Скачок длительности
сигнала при появлении сдвига частоты объясняется «заплыванием» нулей выходного сигнала. Несмотря на это главный пик выходного сигнала ФС сохраняет свою треугольную форму и амплитуду.
Подтверждением этого является независимость потерь в фильтре от
доплеровского смещения (рис. 4.21).
Таким образом, предлагаемый метод обработки ФМС в частотной
области позволяет получить малый УБЛ и малые потери в ОСШ по
сравнению со случаем согласованной фильтрации. При этом качество фильтрации мало зависит от доплеровского смещения частоты
сигнала.
110
5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ СЖАТИЯ
ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
С МИНИМАЛЬНЫМ УРОВНЕМ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
5.1. Постановка задачи синтеза
Частотно-модулированные (ЧМ) сигналы, так же как и фазоманипулированные, часто используются в различных радиотехнических
системах, поскольку позволяют значительно увеличить энергетический потенциал при сохранении высокой разрешающей способности
по дальности. Наиболее распространенным типом ЧМ-сигнала является сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Как известно [14, 21, 22], выходной сигнал согласованного фильтра для ЛЧМимпульса без применения аподизации имеет высокий уровень боковых лепестков (–13 дБ). Следовательно, как и для ФМ-сигналов, для
ЧМ-сигналов также актуальна задача получения на выходе фильтра
сжатия (ФС) сигнала с низким уровнем боковых лепестков (УБЛ) и
малой шириной главного пика.
Обзор работ по методам обработки таких сигналов дан в работах
[30–32]. В соответствии с материалами [31] все предложенные методы можно классифицировать следующим образом:
1. Применение весовой обработки во временной или частотной
области.
2. Использование специального (нелинейного) закона частотной
модуляции.
3. Амплитудно-частотная коррекция принимаемого сигнала.
В работах [30–32] доказано, что ни применение весовой обработки (аподизации), ни подбор нелинейного закона частотной модуляции, ни сочетание данных методов не могут обеспечить приемлемый УБЛ для сигналов с малой базой при осуществлении синтеза во
временной области. Так, в работе [31] показано, что сочетание весовой обработки и нелинейного закона частотной модуляции не приводит к уменьшению УБЛ ниже –40 дБ даже при решении соответствующей задачи методами оптимизации. Причиной неудачи являются остаточные френелевские пульсации на вершине взвешенного
спектра сигнала. Этот результат имеет принципиальное значение,
поскольку позволяет предложить способ решения поставленной задачи, при котором УБЛ теоретически может быть сделан равным
УБЛ, используемой в частотной области весовой функции.
111
В последнее время в научно-технической литературе, посвященной данной проблеме, наметилась тенденция к одновременному поиску пары «фильтр сжатия – закон частотной модуляции». Такой
подход дает разработчику большую свободу выбора и способствует получению лучших результатов по сравнению со случаем ФМсигналов [31, 33].
Целью данной главы является исследование возможности синтеза в частотной области цифровых фильтров обработки частотно-модулированных сигналов с малым и средним значениями базы, выходные сигналы которых имеют минимальный уровень боковых лепестков при малых по сравнению с согласованными фильтрами потерях в отношении сигнал/шум.
5.2. Синтез сжимающего фильтра для импульсного ЛЧМ-сигнала
Пусть спектр излучаемого сигнала равен S(w). Известно [14, 21,
22, 34], что основная энергия импульсного частотно-модулированного сигнала сосредоточена в полосе частот [–0,5DW; 0,5DW], где
DW = 2pDF и DF – полная девиация частоты сигнала. В этой же области находятся френелевские пульсации, приводящие к невозможности уменьшить УБЛ сжатого сигнала до УБЛ, используемой
в частотной области весовой функции W(w). Ликвидировать эти
пульсации в спектре выходного сигнала ФС можно, если использовать следующую частотную характеристику:
ì
ï
W (ω )
∆Ω
ï
,ω£
ï
ï
ω
S
2
( )
(5.1)
H (iω ) = ï
.
í
ï
∆Ω
ï
ï
0, ω >
ï
ï
2
î
Действительно, при условии, что принимаемый сигнал имеет
спектр
Sr (ω ) = ρ S (ω )e-iωτ , (5.2)
где r – комплексная амплитуда сигнала; t – время задержки.
На основании формул (5.1) и (5.2) получим спектральную функцию сигнала на выходе ФС:
112
G (ω ) = H (iω )Sr (ω ) = ρ W (ω )e-iωτ . Сигнал на выходе фильтра при этом будет равен
g (t) = ρw(t - τ ), т. е. будет соответствовать с точностью до постоянного множителя
и временного сдвига преобразованию Фурье используемой в частотной области весовой функции W(w). При этом ширина главного лепестка и УБЛ выходного сигнала будут соответствовать указанным
параметрам для функции w(t), численные значения которых можно
найти в литературе по цифровой обработке сигналов (см., например,
[23, 24]).
На рис. 5.1 приведены зависимости длительности главного лепестка выходного сигнала фильтра t(h), уровня максимального БЛ
PSLL, уровня первого БЛ FSLL и потерь L от УБЛ h весовой функции W(w), в качестве которой было использовано окно Чебышева.
Длительность выходного сигнала t(h) на рисунках нормирована к
длительности главного пика выходного сигнала согласованного
фильтра (СФ). Потери в ФС, приведенные на рисунках, рассчитаны
в соответствии со следующим соотношением:
PSLL
–20
–30
–40
–50
–60
–70
–80
–90
–80
τ/τmin
3,5
ÓÌÁË, äÁ
–60
–40
FSLL(h)
–20
–30
–40
–50
–60
–70
–80
–90
–20 SLL
–80
L
0
Äëèòåëüíîñòü âûõ. ñèãíàëà
–60
–40
–20 SLL
Ïîòåðè, äÁ
–2
3
–4
2,5
–6
2
–8
1,5
1
–80
Óðîâåíü 1-ãî ÁË, äÁ
–10
–60
–40
–20 SLL
–12
–80
–60
–40
–20 SLL
Рис. 5.1
113
2
∆Ω/2
ò
-∆Ω/2
L[ äÁ ] = 10 lg
¥
ò
W (ω )dω
2
S (ω ) dω
2
∆Ω/2
ò
-∆Ω/2
-¥
W (ω )
dω
S (ω )
.
(5.3)
Из рисунка следует, что характеристики БЛ выходного сигнала
полностью соответствуют аналогичным характеристикам весового
окна. Поэтому поставленная цель по уменьшению УБЛ при таком
методе достигнута, однако потери фильтра достаточно велики и составляют примерно –2 дБ. Причина этого достаточна очевидна: использование весового окна, носитель которого принадлежит частотному интервалу [–0,5DW; 0,5DW], приводит к «отрезанию» некоторой, пусть и малой, части спектра входного сигнала.
5.3. Синтез пары «сжимающий фильтр – закон ЧМ»
для импульсного сигнала
Уменьшить уровень потерь ФС можно методом [31], который в
дальнейшем для удобства будем называть «метод 1». Суть метода состоит в одновременном с синтезом ФС поиске такого закона частотной модуляции, который минимизирует потери в фильтре. Для пояснения сути предлагаемого подхода перепишем уравнение для потерь в фильтре (5.3) в виде
ω max
ò
L[ äÁ ] = 10 lg
2
W (ω )dω
ω min
¥
ω max
-¥
ω min
2
ò S(ω) dω ò
2
W (ω )
dω
S (ω )
.
(5.4)
Здесь интервал [wmin, wmax] – носитель весовой функции W(w),
который определяется исходя из заданной несущей частоты сигнала и необходимого разрешения по дальности (времени задержки)
tp = 2p/(wmax – wmin). Отличие (5.4) от (5.3) состоит в том, что здесь
(wmax – wmin) ≠ DW. Поскольку энергия сигнала не зависит от закона
114
ЧМ, в материалах [31] предлагается выбрать закон частотной модуляции таким образом, чтобы минимизировать потери L.
Очевидно, что эта задача эквивалентна задаче нахождения неизвестных коэффициентов полинома K-го порядка ak, k = 0,…, K, заé K
ù
дающего закон угловой модуляции сигнала s(t) = exp êê i å ak tk úú , коêë k=0
úû
торые соответствуют максимуму функционала
Q1 (ak , k = 0,, K ) =
ω max
ò
ω min
W (ω )
2
S (ω )
dω. (5.5)
Следует отметить, что при реализации фильтра с коэффициентом передачи
ì
ï
W (ω )
ï
, ω min £ ω £ ω max ;
ï
ï
H (iω ) = í S (ω )
ï
ï
ï
ï
î 0, ω < ω min  ω > ω max ,
(5.6)
необходимо применять регуляризацию, так как знаменатель дроби
может принимать малые значения, что приведет к большим ошибкам фильтрации. Регуляризированная ЧХ ФС при этом будет иметь
вид
H(iω) =
W (ω)
,
S(ω) + ε × max S(ω)
(5.7)
где e > 0 – параметр регуляризации.
Возможен и другой метод решения поставленной задачи, который в дальнейшем будем называть «метод 2». Предположим, что ЧХ
ФС имеет вид
H (iω ) =
S* (ω )W (ω )
2
S (ω ) + εW (ω )
,
(5.8)
где 0 < e < 1 – малый параметр. Если выбором закона ЧМ добиться
примерного равенства энергетического спектра сигнала и весовой
функции – |S(w)|2 ≈ W(w), т.е. решить задачу минимизации функционала
115
Q2 (ak , k = 0,, K ) =
2
é
ù2
ê S (ω ) - W (ω )ú ,
ωÎ[ω min ,ω max ] ëê
ûú
max
то спектр выходного сигнала будет равен
2
G (ω ) = H (iω )U (ω ) = ρ
S (ω ) W (ω )e-iωτ
2
S ( ω ) + εW ( ω )
»
ρ
W (ω )e-iωτ ,
1+ ε
т.е. будет соответствовать весовой функции W (ω ). Выбирая в качестве последней какое-либо весовое окно из используемых в цифровой обработке [21, 24], мы будем иметь на выходе ФС отклик с заданным УБЛ и малым уровнем потерь, поскольку на основании выражений (5.4) и (5.6) нетрудно получить примерное равенство:
ò
L[äÁ] = 10 lg
ω min
¥
ò
-¥
2
2
2
ω max
S (ω ) W (ω )
2
S (ω ) + εW (ω )
S (ω ) dω
ω max
ò
ω min
2
dω
S (ω ) W (ω )
( S (ω )
2
» 0.
2
2
)
+ εW (ω )
dω
Сравним два рассмотренных метода синтеза. Для этого предположим, что:
– излучаемый сигнал является прямоугольным ЧМ-импульсом
é K
ù
s(t) = exp êê i å a2k t2k úú , t £ 0,5τ è ,
ëê k=1
ûú
причем K = 3 и tи = 1;
– весовая функция соответствует окну Чебышева с УБЛ h =
= 70 дБ, носитель которого [wmin,wmax] = [–0,5B/tи; 0,5B/ tи], B = 75;
– параметр регуляризации e = 10–5.
На рис. 5.2 представлены графики изменения мгновенной частоты ЧМ-сигнала, синтезированного путем решения оптимизационной задачи методом 1 (пунктирная линия) и методом 2 (сплошная
линия). Как видно из рисунка, закон ЧМ при разных подходах к
синтезу ФС практически одинаков. Этот факт, свидетельствующий
о малой чувствительности получаемого решения по отношению к
выбранному методу оптимизации, является подтверждением правильности выбранных подходов.
116
f(t)
30
Ìãíîâåííàÿ ÷àñòîòà ñèãíàëà
ìåòîä 1
ìåòîä 2
20
10
0
–10
–20
–30
–0,5 –0,4 –0,3 –0,2 –0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 t
Рис. 5.2
SE (f),WE (f)
0,045
Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñèãíàëà
0,04
SE (f)
WE (f)
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0 –50
–40
–30
–20
–10
0
10
20
30
40
50 f
Рис. 5.3
117
SE (f), W(f)
0,035
Ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñèãíàëà
SE (f)
W (f)
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0 –50
–40
–30
–20
–10
0
10
20
30
40
50 f
Рис. 5.4
На рис. 5.3 и 5.4 приведены графики энергетических спектров
сигналов SE(f), синтезированных по методам 1 и 2. Там же приведены графики квадрата весовой функции WE(f) = W2(f) (рис. 5.3) и
самой весовой функции WE(f) (рис. 5.4). Из сравнения рисунков ясно видна разница между методом 1 и 2: если для метода 1 процесс
оптимизация напрямую не связан с видом весовой функции и SE(f)
сильно отличается от WE(f), то для метода 2 оптимизация действительно привела к примерному совпадению энергетического спектра
SE(f) и весовой функции W(f).
На рис. 5.5 приведены АЧХ ФС, полученные в ходе решения двух
указанных выше оптимизационных задач. Здесь, как и на рис. 5.2,
представленные результаты очень близки друг к другу: АЧХ фильтров практически совпадают. Следствием данной близости является практически абсолютная тождественность графиков выходных
сигналов фильтров, которые приведены на рис. 5.6, а и б). Оба выходных сигнала имеют один и тот же вид: главный лепесток окружен боковыми лепестками одинакового уровня –70 дБ. Этот факт
не должен удивлять, поскольку в качестве весовой функции было
взято окно Чебышева при значении параметра h = 70 (параметр с
точностью до знака соответствует УБЛ спектра окна) [23, 24].
118
H(f)
0
À×Õ ÔÑ
ìåòîä 1
ìåòîä 2
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–50
–40
–30
–20
–10
0
10
20
30
40
50 f
Рис. 5.5
Особо следует отметить малый уровень потерь у синтезированных ФС, который вынесен в заголовок соответствующих графиков
выходного сигнала: для фильтра, синтезированного по методу 1, потери составили –0,1085 дБ, а для фильтра, синтезированного по методу 2, соответственно –0,1188 дБ. Таким образом, разница в этом
показателе между двумя синтезированными фильтрами составила
всего лишь 0,01 дБ.
В табл. 5.1 приведены значения потерь синтезируемых ФС по
двум рассмотренным методам для других весовых функций. СравТаблица 5.1
Потери в ФС, синтезированных по методам 1 и 2
Тип весового окна
PSLL, дБ
L1, дБ
L2, дБ
Ханна
Хемминга
Блэкмана
Кайзера
Чебышева
Наттола
–31,5
–42,7
–58,1
–66,3
–80,0
–98,1
–0,5464
–0,7448
–0,0999
–0,6789
–0,1875
–0,6908
–0,1503
–0,1802
–0,1014
–0,1021
–0,0997
–0,1032
119
à)
|g(t)|
20
Âûõîäíîé ñèãíàë, h=80, L=–0,18748 äÁ
0
–20
–40
–60
–80
–100
–120
–140
–160
–180
–4
á)
|g(t)|
–3
–2
–1
0
1
2
3
4 t
Âûõîäíîé ñèãíàë, h=80, L=–0,099731 äÁ
20
0
–20
–40
–60
–80
–100
–120
–140
–160
–4
–3
–2
–1
Рис. 5.6
120
0
1
2
3
4 t
нение результатов дает несколько неожиданный результат: в большинстве рассмотренных случаев ФС, синтезируемый по методу 1,
имеет уровень потерь выше по сравнению с фильтром, полученным
методом 2. Только в одной из шести рассмотренных ситуаций, а
именно в случае использования окна Блэкмана, синтезированный
по методу 1 фильтр имеет потери на 0,0015 дБ меньше, чем фильтр,
синтезированный по методу 2.
Данный факт, по-видимому, свидетельствует о многомодальности целевой функции (5.5), которая не позволяет стандартному, использованному при синтезе методу оптимизации1 выйти на
глобальный минимум функционала качества. Таким образом, при
практических расчетах предпочтительным является метод 2, который дает ФС с меньшим уровнем потерь.
5.4. Оценка влияния доплеровского сдвига частоты
принятого сигнала на качество фильтрации
В предыдущих разделах главы предполагалось, что принимаемый сигнал не имеет доплеровского сдвига по частоте. В случае его
наличия ситуация меняется. Обработка в ФС с ЧХ (5.1), (5.7) или
(5.8) не позволяет устранить френелевские пульсации на вершине
спектра входного сигнала u(t) в силу того, что спектр Sr(w) приобретает сдвиг по оси частот относительно функции S(w) в выражениях
(5.1), (5.7) и (5.8) для H(iw). Это неминуемо приводит к возрастанию
УБЛ. Причем, чем больше доплеровский сдвиг, тем выше будет УБЛ
сжатого сигнала. Подобное явление было проанализировано в работе [31], где для синтеза ФС использовался метод 1.
Проанализируем влияния доплеровского смещения частоты на
характеристики ФС. Мы проведем данный анализ на примере фильтров, синтезированных описанными выше методами. Прежде всего, нас будут интересовать те изменения в УБЛ, которые наблюдаются у выходного сигнала. Анализ проведем отдельно для случая
приема ЛЧМ-сигнала, ФС которого имеет вид (5.1) и для фильтров,
синтезированных при нелинейной ЧМ.
1 Вследствие нелинейности решаемых задач для поиска оптимального вектора коэффициентов полиномиального закона ЧМ использовался стандартный
симплекс-метод, реализованный в функции fminsearch математического пакета
MATLAB 6.5.
121
–10
ÓÌÁË, äÁ
Äëèòåëüíîñòü âûõ. ñèãíàëà
3,5
–20
3
–30
ÑÔ
ÔÑ
2,5
τ/τ min
PSLL
–40
–50
2
–60
–70
1,5
–80
–90
0
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
1
0
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
Рис. 5.7
На рис. 5.7 приведены графики зависимости УМБЛ и длительности сигнала на выходе ФС от доплеровской частоты FD, нормированной к DF, для трех типов весовых функций: окна Чебышева с
УБЛ h = –40, –60, –80 дБ. Как следует из рисунка, при увеличении
сдвига FD УБЛ выходного сигнала начинает увеличиваться, и при
FD = 0,1 DF для трех весовых функций принимает соответственно
значения –38, –49 и –49,5 дБ. Особенностью приведенных графиков
является более быстрый рост УМБЛ для окон с более низким УБЛ.
Длительность сигнала на выходе ФС, а также потери L в фильтре,
графики которых представлены на рис. 5.8, слабо зависят от доплеровского сдвига.
Если считать, что длина волны РЛС l = 10 см, база сигнала
B = 75, длительность импульса tи = 20 мкс и максимальная скорость движения цели Vmax = 300 м/с, то отношение FD/ DF = 0,16%.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что, несмотря на увеличение УБЛ, ФС для ЛЧМ-сигнала с ЧХ (5.1) сохраняет свои качественные характеристики.
Рассмотрим теперь случай ФС для сигнала с нелинейной ЧМ. На
рис. 5.9 и 5.10 представлены результаты расчетов характеристик
122
L
–1,2
Ïîòåðè â ôèëüòðå, äÁ
h=40 äÁ
60 äÁ
80 äÁ
–1,4
–1,6
–1,8
–2
–2,2
–2,4
–2,6
0
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
Рис. 5.8
ФС, синтезированных в соответствии с методом 1 и 2. В качестве
весовых функций, как и раньше, были выбраны окна Чебышева с
h = –40, –60, –80 дБ. Здесь же точечными линиями приведены соответствующие зависимости для согласованных фильтров. Как и в
предыдущем случае, для обоих типов ФС наблюдается рост УМБЛ,
причем скорость увеличения данного параметра больше для окон
с более низким УБЛ. Однако в выбранных пределах изменения доплеровской частоты УМБЛ не превышает –30 дБ для обоих типов
фильтров.
Длительность сигнала на выходе ФС также не остается постоянной и увеличивается по мере роста доплеровского смещения. Более
того, наблюдаются скачки длительности выходного сигнала, возникновение которых объясняется «заплыванием» первого бокового
лепестка при некоторых значениях FD. Следует отметить, что для
ФС, синтезированного по методу 2, этих скачков меньше, да и сама
длительность выходного сигнала изменяется в меньших пределах
по сравнению с ФС, синтезированного по методу 1. Интересной особенностью синтезированного по методу 2 ЧМ-сигнала является то,
что характеристики СФ для него практически не зависят от выбран123
PSLL
–10
τ/τ min
2
ÓÌÁË, äÁ
–20
1,8
–30
–40
–50
h=–40äÁ
1,6
h=–60äÁ
1,4
–70
0
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
–40
–50
h=–60äÁ
0
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
τ/τ min
1,4
h=–40äÁ
1,3
h=–60äÁ
1,2
h=–80äÁ
–60
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
0,9
ÑÔ2
ÔÑ2
h=–60äÁ
1
–80
0
h=–80äÁ
1,1
ÑÔ2
ÔÑ2
–70
–90
0,8
ÑÔ1
ÔÑ1
h=–40äÁ
1
PSLL
–20
–30
h=–80äÁ
1,2
ÑÔ1
ÔÑ1
h=–80äÁ
–60
–80
Äëèòåëüíîñòü âûõ, ñèãíàëà ÔÑ
0
h=–40äÁ
0,05
0,1
0,15
FD /∆ F, %
Рис. 5.9
L1 0
–0,1
–0,2
–0,3
–0,4
–0,5
–0,6
–0,7
L2
Filter Loss, äÁ
0
0,05
h=–40 äÁ
0
0,1
–60 äÁ
–80 äÁ
0,15
FD /∆ F, %
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1
0
0,05
0,1
Рис. 5.10
124
0,15
FD /∆ F, %
ной весовой функции: для всех трех окон Чебышева УБЛ и длительность сигнала на выходе СФ остается постоянной при изменении FD.
Потери в обоих типах фильтров, как следует из рис. 5.10, не изменяются при увеличении доплеровского смещения FD, причем для
фильтра, синтезированного по методу 2, для оконных функций с
малым УБЛ (–60 дБ и –80 дБ) они существенно меньше.
Таким образом, сравнение ФС, синтезированных рассмотренными методами, говорит в пользу использования метода 2. Он не только позволяет получить меньший уровень потерь в фильтре, но и сделать фильтр более устойчивым по отношению к доплеровскому смещению частоты принимаемого сигнала.
125
Заключение
В работе рассмотрен круг вопросов, связанных с измерением
дальности и разрешением по времени задержки протяженных радиолокационных целей при использовании импульсных сигналов.
Особенностью решаемых задач является образование принимаемого сигнала в результате интерференции импульсных отражений от
светящихся точек цели. Данная интерференция приводит не только к тому, что принимаемый сигнал имеет флюктуирующие амплитуду и фазу, но и к возникновению особого явления, названного в
теории радиолокации протяженных целей дальномерным шумом.
В работе показано, что воздействие дальномерного шума проявляется в зависимости от протяженности цели по дальности при различных отношениях сигнал/шум: чем меньше протяженность цели, тем большее отношение сигнал/шум необходимо для того, чтобы наблюдаемую цель можно было считать протяженной. В работе
получен критерий протяженности, который позволяет рассчитать
это пороговое отношение сигнал/шум. Впервые в работе рассмотрена задача оптимального оценивания дальности протяженной цели,
а также предложены и проанализированы подоптимальные алгоритмы оценивания.
Существенное внимание в работе уделено задаче разрешения
группой цели, состоящей из двух точечных источников сигнала.
Полученная в работе потенциальная точность оценки времени задержки сигналов позволила не только получить оценку возможного качества решения задачи, но и подойти к вопросу синтеза оптимального сигнала. Синтезированный в работе оптимальный алгоритм разрешения и его анализ показали, что реализация алгоритма
связана с реализацией многомерного поиска и требует значительных вычислительных затрат. Рассмотрены способы построения
сжимающих фильтров, которые ценой потери в отношении сигнал/
шум позволяют достичь большей компрессии излученного сигнала,
чем дает согласованный фильтр, и реализовать разрешение путем
одномерного поиска.
В работе рассмотрены вопросы синтеза линейных фильтров импульсных сигналов, которые, мало уступая согласованному фильтру в отношении сигнал/шум на выходе, позволяют значительно уменьшить уровень боковых лепестков. Использование таких
фильтров очень важно для практики, так как уменьшает вероятность маскировки мощными сигналами слабых сигналов.
126
Рассмотренный в работе перечень вопросов, конечно, не исчерпывает всего многообразия задач радиолокации протяженных целей. За рамками работы оказались, например, такие проблемы,
как синтез и анализ алгоритмов уменьшения негативного влияния
дальномерного шума на точность существующих дальномеров и информативность дальномерного шума. Совершенно не были рассмотрены угловой и доплеровский шумы протяженных целей. Поэтому можно утверждать, что радиолокация протяженных целей – область активных научных исследований, начало которым положил
наш Учитель – Радий Владимирович Островитянов, памяти которого мы и посвятили предлагаемый вниманию читателя труд.
127
ПРИЛОЖЕНИЕ
Статистический анализ оценки времени запаздывания
Определим математическое ожидание и дисперсию оценки
N
å Re éêër∆ (m)rΣ* (m)ùúû

1
τt = m=N
å rΣ (m)
2
- Nδ
m=1
,
где d = 0 для оценок (1.16), (1.43) и d = pш для оценки (1.40),
(m)
rΣ (m) = eΣ (m) + nΣ (m) = å ρα + nΣ (m),
α
(m)
r∆ (m) = e∆ (m) + n∆ (m) = µ å τ α ρα + n∆ (m).
α
где nS(m) и nD(m) – статистически независимые дискретные белые
шумы, средняя мощность которых равна pш. Для этого найдем характеристическую функцию (ХФ) совместного распределения вероятностей случайных величин A = SmRe[rD(m)e*S(m)] и a = Sm|eS(m)|2.
В соответствии с предположениями о статистике комплексной
амплитуды ra сигнала, рассеянного a-й светящейся точкой цели,
отсчеты сигналов eS = Sara и eD = Satara являются совместно нормальными комплексными величинами с нулевым математическим
ожиданием и корреляционной матрицей:
æ
p
µ å τ α pα ö÷
æ
÷÷
µτt
ççç å α
÷÷ö
ç 1
α
α
÷÷ = Pt çç
÷
Kt = çç
÷
÷
çµτ µ2 β2 + τ2 ÷÷,
2
2
ççµ τ p
÷
t
t ø
çè t
çç å α α µ å τ α pα ÷÷÷
è α
ø
α
(
)
где m = 1 для оценки (1.16); m = –kB″(0) для оценки (1.40);
Pt = å pα - мощность сигнала eS;
τt =
å τα pα
α
å pα
α
128
α
- положение энергетического центра цели;
2
é
ù1/2
ê å (τ α - τt ) pα ú
ê
ú
ú βt = ê α
ê
ú
å pα
ê
ú
α
êë
úû
эффективная ширина сигнала цели по времени задержки.
Корреляционная матрица шумов nS(m) и nD(m), m = 1,…, N равна
Kø = pøI, где I – единичная матрица 2×2. Таким образом, выборочный вектор
x = (eS eD)T имеет нормальное распределение с корреляционной матрицей K = Kt+Kш. Удобно представить матрицу K в виде
æ 1
æ1
τ ö÷
ç
÷÷ = Pt çç
K = P ççç
ç
çèτ β2 + τ2 ø÷÷
çèµτt
ö÷
æ1 0ö÷
÷
ç
÷÷. 2 2
2 ÷÷÷ + pø ççç
µ βt + τt ø÷
è0 1÷ø
(
µτt
)
(П.1)
Приравнивая соответствующие элементы в матрицах, стоящих
в левой и правой частях уравнения (П.1), получим следующие уравнения связи для новых параметров P, t, b:
P = Pt + pø ;
µPt
τ = τt
;
Pt + pø
β2 =
µ2 Pt çæ 2
pø ö÷
pø
÷÷ +
.
ççβt + τ2t
Pt + pø çè
Pt + pø ÷ø Pt + pø
Заметим, что при pш = 0 и m = 1, P = Pt, t = tt, b = bt.
Искомая ХФ равна
H -1
é
2 ù exp[-x K x]
χ( p,q ) = ò exp ê-i p Re e∆ eΣ* + q eΣ ú
dx.
êë
úû
π2 det K
(
(
)
)
Подынтегральную функцию можно переписать в матричных
обозначениях в виде
χ( p,q ) =
1
π2 det K
H
-1
ò exp[-x (K + iQ)x]dx, (П.2)
129
где
æ q
Q = ççç
çè p / 2
p / 2ö÷
÷0 ÷÷ø
симметрическая матрица. Диагонализируя матрицы K и Q и интегрируя (П.2), получим
χ( p,q ) =
(
det K-1
(
-1
det K
)
= éê1 + iPq + iPτp + 0,25P2β2 ùú
ë
û
+ iQ
)
-1
.
Учитывая, что наблюдения независимы, получим искомую ХФ
совместного распределения вероятностей случайных величин A и a:
-N
χ( p,q ) = éê1 + iPq + iPτp + 0,25P2β2 ùú . ë
û
Для нахождения математического ожидания и дисперсии оценки воспользуемся методом характеристических функций, смысл
которого поясняет следующая последовательность равенств:
æ A ö÷m

E τm = ò çç
f A, a)dAda =
çè a - Nδ ÷÷ø (
(П.3)
é
ù
æ A ö÷m i( pA +qa)
ê 1
ú
= ò dpdqχ( p,q ) ê
dAdaú , m = 1, 2,
÷ e
ò çç
ê (2π )2 èç a - Nδ ÷ø
ú
ë
û
{ }
где E{⋅} – оператор вычисления математического ожидания; f(A,a) –
плотность совместного распределения.
Обратное преобразование Фурье в (П.3) может быть легко вычислено:
æ A ö÷m i( pA +qa)
dAda =
÷÷ e
ò çç
(2π)2 çè a - Nδ ø
1
ïì0,5 sign (q )exp[iNδq ]δ ¢( p), m = 1,
= ïí
ïï0,5 q exp[iNδq ]δ ¢¢( p), m = 2,
î
(П.4)
где sign(⋅) – функция знака; d′(⋅) и d″(⋅) – производные дельта-функции Дирака. Подставляя (П.4) в (П.3) и интегрируя, получим
130
¥
exp[iNξq ]dq Nτ
Nτ

Φ N (ξ );
Im ò
E {τt } = =
N +1
µ
µ
0 (1 + iq )
¥é
N

E τ2t = - Re ò
µ2
0
{ }
=
N
2
2
( N + 1)τ2 ùú
ê 0,5β
+
ê
ú exp[iNξq ]qdq =
ê (1 + iq )N +1 (1 + iq )N +2 ú
ë
û
{0,5β2 êëéΦ N-1 (ξ)- Φ N (ξ)úûù + (N + 1)τ2 êëéΦ N (ξ)- Φ N+1 (ξ)úûù}, (П.5)
µ
где x = Nd/P и
i¥
Φ N (ξ) = Re ò
0
eξzdz
(1 + z)N +1
,
(П.6)
где контур интегрирования начинается в точке z = 0 и проходит
вдоль оси мнимых чисел комплексной плоскости. Видно, что функции Fn(x) удовлетворят следующему рекуррентному соотношению
Φn (ξ) = n-1 êëé1 + ξΦn-1 (ξ )úûù , n = 1,, N; Φ0 (ξ ) = -e-ξ Ei(ξ ), (П.7)
где Ei(x) – интегральная показательная функция. Формулу (П.7)
можно использовать для расчета начальных моментов распределения (П.5). Однако вычисления при больших N по приведенным
формулам сложны, поскольку аргумент x функций FN-1(x), FN(x),
FN+1(x) растет одновременно с их порядком. Для вычисления этих
функций в случае больших N можно воспользоваться асимптотическими методами [12], учитывая, что основной вклад в интеграл
(П.6) вносит окрестность точки z = 0:
i¥
λS z
Φ N (ξ) = Re ò e ( )dz »
0
где
λ = N + 1; S (z) =
¥
a
å λ k+k 1 , (П.8)
k=0
ξ
z - ln (1 + z);
N +1
k
æ
1 d ö÷÷
1
ç
ak = -çç, k = 0,1,.
÷÷
èç S ¢(z) dz ø÷ S ¢(z) z=0
131
При d = 0 вычисления упрощаются, FN(0) = 1/N, и для оценки
(1.3.7) получим:

E {τt } = τ,

E τ2t =
{ }
β2
+ τ2 .
2( N -1)
Следовательно, математическое ожидание и дисперсия оценки
(1.3.7) будут соответственно равны
β2


E {τt } = τ, D {τt } =
.
2( N -1)
Для оценки (1.40) при расчете математического ожидания и дисперсии необходимо воспользоваться формулами (П.5), (П.7) и (П.8).
132
Литература
1. Островитянов Р. В., Басалов Ф. А. Статистическая теория радиолокации протяженных целей. М.: Радио и связь, 1982. 232 с.
2. Монаков А. А. Дальномерный шум протяженных целей // Радиотехника. 2002. № 7. С. 37–41.
3. Делано Р. Теория мерцания цели и угловые ошибки при радиолокационном сопровождению // Вопросы радиолокационной техники, 1964, №1, С. 108–119.
4. Караваев В. В., Сазонов В. В. Статистическая теория пассивной
радиолокации. М.: Радио и связь, 1987. 240 с.
5. Фалькович С. Е., Пономарев В. И., Шкварко Ю. В. Оптимальный прием пространственно-временных сигналов в радиоканалах с
рассеянием / под ред. С. Е. Фальковича. М.: Радио и связь, 1989.
296 с.
6. Штагер Е. А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы.
М.: Сов. радио, 1986. 183 с.
7. Bertolini A., Long J. H. Radar target signal modeling and
validation // «Simulation», 1988. Vol. 50. № 4. P. 137–142.
8. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
320 с.
9. Monakov A., Besson O. Direction finding for an extended target
with possibly non-symmetric spatial spectrum // IEEE Trans. on AES.
2004. Vol. 52. № 1. p. 283–287.
10. Крамер Г. Математические методы статистики / пер. с англ.
под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1975. 704 с.
11. Леонов А. И., Фомичев К. И. Моноимпульсная радиолокация.
М.: Радио и связь, 1984. 312 с.
12. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука,
1987. 544 с.
13. Царьков Н. М. Многоканальные радиолокационные измерители. М.: Сов. Радио, 1980. 192 с.
14. Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. М.: Сов. Радио,
1974.
15. Вопросы статистической теории радиолокации / П. А. Бакут,
И. А. Большаков и др.; под ред. Г. П. Тартаковского. М.: Сов. Радио,
1963. 1964. Т. 1, 2.
16. Нахмансон Г. С. Обработка широкополосных сигналов в многопозиционных системах. Воронеж: ВАИУ, 2008. 268 с.
133
17. Бартон Д., Вард Г. Справочник по радиолокационным измерениям. М.: Сов. радио, 1976. 392 с.
18. Справочник по радиолокации /под ред. М. Сколника. Т. 1. М.:
Сов. радио, 1976. 456 с.
19. Тузов Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов.
М.: Сов. радио, 1977.
20. Применение цифровой обработки сигналов / под ред. Э. Оппенгейма / пер. с англ. под ред. А. М. Рязанцева. М.: Мир, 1980.
21. Лезин Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. М.: Советское радио, 1969. 448 с.
22. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. М.: Советское радио, 1970. 376 с.
23. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер,
2003. 608 с.
24. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций / А. И.
Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И.
Гук. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. 608 с.
25. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: «Наука», 1969. 368
с.
26. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов: пер. с
англ. М.: Радио и связь, 1989. 440 с.
27. Лесин В. В., Лисовец Ю. П. Основы методов оптимизации. М.:
Изд-во МАИ, 1995. 344 с.
28. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации /
В. Б. Пестряков, В. П. Афанасьев, В. Л. Гурвиц и др. / под ред. В. Б.
Пестрякова. М.: Советское радио, 1973. 424 с.
29. Варакин Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами.
М.: Радио и связь, 1985, 384 с.
30. Оконешников В. С., Кочемасов В. Н. Сжатие частотно-модулированных сигналов с небольшим произведением девиации на длительность импульса// Зарубежная радиоэлектроника. 1987. № 1. С.
82–94.
31. Родионов В. В., Рукавишников В. М., Филонов Ю. В. Методы
формирования и обработки радиолокационных сигналов с малой
базой и низким уровнем боковых лепестков функции неопределенности по дальности // VII международ. Начно-техн. конф. «Радиолокация, радионавигация, связь», Воронеж, 2001. Т. 3. С. 1460–1466.
32. Монаков А. А. Метод обработки импульсных ЛЧМ сигналов
с малой базой. ХI-я международная НТ конференция «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2005. Т. 3. С. 1333–1336.
134
33. Монаков А. А., Мишура Т. П. Обработка сложных импульсных сигналов в частотной области с целью получения низкого уровня боковых лепестков // Успехи современной радиоэлектроники.
2010. № 10. С. 3–12.
34. Свистов В. М. Радиолокационные сигналы и их обработка.
М.: Советское радио, 1997. 448 с.
135
Содержание
Введение..................................................................... 5
Список сокращений...................................................... 8
1. Дальномерный шум и оценка дальности
протяженной цели....................................................... 9
1.1. Модель сигнала, рассеянного протяженной целью.. 9
1.2. Дальномерный шум протяженной цели................. 11
1.3. Критерий протяженности по дальности наблюдаемой
цели................................................................. 15
1.4. Оптимальная оценка дальности протяженной цели. 19
1.5. Граница Крамера – Рао и анализ эффективности
оптимального измерителя................................... 23
1.6. Подоптимальная оценка времени задержки сигнала
протяженной цели............................................. 26
2. Потенциальная разрешающая способность
по дальности и синтез широкополосных сигналов............. 35
2.1. Разрешающая способность и ее определение.......... 35
2.2. Граница Крамера – Рао для оценки времени
запаздывания.................................................... 36
2.3. Предельная разрешающая способность
по дальности. .................................................... 40
2.4. Выбор закона частотной модуляции сигналов
типа «гауссовский» импульс................................ 44
2.5. Анализ законов фазовой манипуляции сигналов.... 49
3. Синтез и анализ алгоритмов разрешения
точечных целей по дальности........................................ 54
3.1. Оптимальный алгоритм разрешения
двух точечных источников сигналов..................... 54
3.2. Сверхрелеевское разрешение при использовании
линейного сжимающего фильтра.......................... 59
4. Синтез фильтров сжатия фазоманипулированных
сигналов с минимальным уровнем боковых лепестков....... 78
4.1. Фазоманипулированные сигналы,
согласованный фильтр и фильтр сжатия............... 78
4.2. Критерии качества, используемые при синтезе
и анализе фильтра сжатия во временной области.... 80
4.3. Постановка задачи и методы синтеза фильтра сжатия
при различных функциях качества...................... 82
136
4.3.1. Критерий минимума СКО аппроксимации
эталонного сигнала................................... 82
4.3.2. Критерий минимума интегрального уровня
боковых лепестков.................................... 84
4.3.3. Критерий минимума УМБЛ....................... 87
4.3.4. Результаты синтеза................................... 87
4.4. Анализ качества фильтра сжатия......................... 90
4.4.1. Анализ характеристик ФС для случайной
ФМ-последовательности............................ 91
4.4.2. Анализ характеристик ФС
для М-последовательности. ....................... 93
4.4.3. Характеристики ФС для последовательности
Голда...................................................... 96
4.4.4. Анализ характеристик ФС для кодов
Баркера................................................... 99
4.5. Синтез фильтров сжатия фазоманипулированных
сигналов с минимальным уровнем боковых
лепестков в частотной области............................. 101
5. Синтез фильтров сжатия
частотно-модулированных сигналов
с минимальным уровнем боковых лепестков.................... 111
5.1. Постановка задачи синтеза.................................. 111
5.2. Синтез сжимающего фильтра для импульсного
ЛЧМ-сигнала.................................................... 112
5.3. Синтез пары «сжимающий фильтр – закон ЧМ»
для импульсного сигнала.................................... 114
5.4. Оценка влияния доплеровского сдвига частоты
принятого сигнала на качество фильтрации........... 121
Заключение................................................................ 126
Приложение. Статистический анализ оценки времени
запаздывания.............................................................. 128
Литература................................................................. 133
137
Научное издание
Монаков Андрей Алексеевич
Мишура Тамара Прохоровна
РАДИОЛОКАЦИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ЦЕЛЕЙ:
ИЗМЕРЕНИЕ ДАЛЬНОСТИ, РАЗРЕШЕНИЕ
И СИНТЕЗ СИГНАЛОВ
Монография
Редактор Л. А. Яковлева
Компьютерная верстка А. Н. Колешко
Подписано к печати 13.08.12. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 8,3. Уч.-изд. л. 7,7.
Тираж 100 экз. Заказ № 357.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
11 835 Кб
Теги
monakovmishyra
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа