close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

OvodenkoBestugin

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ
УПРАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСОВ
НА БАЗЕ НИЗКООРБИТАЛЬНЫХ
СЕТЕВЫХ СТРУКТУР
Монография
Под научной редакцией заслуженныго деятеля науки РФ,
профессора, доктора технических наук А. А. Оводенко
Санкт-Петербург
2015
УДК 621.396.94(075.8)
ББК 32.84я73
О-32
Авторы: Оводенко А. А., Бестугин А. Р., Крячко А. Ф.,
Киршина И. А.
О-32 Теория информационных управляющих комплексов на
базе низкоорбитальных сетевых структур: монография / под
науч. ред. А. А. Оводенко. – СПб.: ГУАП, 2015. – 264 с.
ISBN 978-5-8088-0993-2
Рассмотрены вопросы анализа и проектирования информационных управляющих комплексов на базе низкоорбитальных сетевых
структур различного назначения и принципа действия, а также особенности построения и выбор параметров отдельных подсистем в радиосистемах в условиях воздействия окрашенных шумов и пассивных помех.
Для студентов специалитета и магистратуры радиотехнических
специальностей, а также научных работников, занимающихся проектированием спутниковых радиосистем передачи информации и
управления.
«Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту № 15-07-07001, не
подлежит продаже»
УДК 621.396.94(075.8)
ББК 32.84я73
ISBN 978-5-8088-0993-2 ©
©
Оводенко А.А., Бестугин А. Р.,
Крячко А.Ф., Киршина И. А., 2015
Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2015
ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
АП – активные помехи;
АФАР – адаптивная фазовая решетка;
АЧС – амплитудно-частотный спектр;
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;
БИХ – бесконечная импульсная характеристика;
БПФ – быстрое преобразование Фурье;
ДН – диаграмма направленности;
ИСЗ – искусственный спутник Земли;
ИХ – импульсная характеристика;
КИХ – конечная импульсная характеристика;
МО – математическое ожидание;
НС – наземная станция;
ОП – отношение правдоподобия;
ПП – пассивные помехи;
ПРВ – плотность распределения вероятностей;
ПФ – передаточная функция;
СВ – случайная величина;
СКО – среднеквадратическая ошибка;
СП – случайное поле;
СПр – случайный процесс;
ССС – спутниковые сети связи;
СХ – статистические характеристики;
ТЧП – теоретико-числовые преобразования;
ФАР – фазированная антенная решетка;
ЦОС – цифровая обработка сигналов;
ЧХ – частотная характеристика;
ЭС – энергетический спектр.
3
ВВЕДЕНИЕ
Законодательно установлено, что безопасность России как состояние защищенности ее жизненно важных интересов от внешних
и внутренних угроз имеет исключительное значение для существования и прогрессивного развития нашего государства и общества
и обеспечивается системой мер самого разнообразного характера.
Во всем мире активно внедряются современные виды и средства наблюдения и связи, используемые для передачи и обработки информации. К ним в первую очередь относятся спутниковые
сети связи (ССС). Сети связи представляют собой комплексы технических средств, которые обеспечивают обмен информацией по
каналам связи между совокупностью территориально распределенных объектов и являются обобщением систем связи на случай
большого количества отправителей и получателей информации.
В настоящее время создаются сети связи со сложной структурой,
зависящей как от назначения и требуемых характеристик сети,
так и от технических возможностей средств, используемых при
их реализации [22].
В общем случае сети связи включают в себя узлы (абонентские и
концентрации, коммутации, маршрутизации и ретрансляции информационных потоков) и каналы связи различного типа. В основе
построения сетей связи лежит принцип пространственной коммутации каналов, сообщений или пакетов.
Концепция спутниковой связи проста и заключается в том, что
промежуточный ретранслятор радиосети связи устанавливается
на борту ИСЗ, который движется по орбите почти без затрат энергии на это движение. На практике незначительные энергозатраты
обычно необходимы лишь для коррекции параметров орбиты спутника-ретранслятора (СР), которые могут меняться под влиянием
различных дестабилизирующих факторов. Срок службы современных СР составляет 5–15 лет [22, 33, 64].
При построении ССС могут быть использованы следующие типы
орбит:
1. Геостационарная орбита {GEO-Geostationary Earth Orbit};
2. Низкие круговые орбиты {LEO-Low Earth Orbit};
3. Средневысотные круговые орбиты {MEO-Medium Earth Orbit};
4. Эллиптические околоземные {EEO-Elliptical Earth Orbit}.
Геостационарные СР выводятся в восточном направлении на
круговую орбиту с нулевым наклонением (в экваториальную плоскость) и высотой над поверхностью Земли h = 35875 км.
4
Подавляющая часть существующих ССС использует для размещения СР геостационарную орбиту, основными достоинствами которой являются возможность непрерывной круглосуточной связи
и практически полное отсутствие доплеровского сдвига частоты.
Вследствие этого при достижимых на сегодняшний день точностях удержания СР в рабочей точке на орбите и систем ориентации
бортовых антенн на наземную станцию (НС) нет необходимости
использовать достаточно сложные и дорогие следящие системы
наведения антенн. Это существенно снижает стоимость наземного
сегмента ССС и затраты на его эксплуатацию.
Число спутников ретрансляторов на геостационарной орбите
ограничивается международными нормами. В частности эти ограничения определяют величину минимального углового разноса
ретрансляторов. Для обеспечения приемлемой электромагнитной
совместимости разных ССС угловой разнос на орбите должен быть
не меньше одного градуса. Геостационарная орбита близка к насыщению. В 2000-м году общее число действующих коммерческих
геостационарных спутников превысило две сотни [33], а их результирующая полоса пропускания составила более 200 ГГц. В связи
с этим наращивания пропускной способности каждого ретранслятора с целью максимально эффективного использования выделенных позиций на геостационарной орбите.
Геостационарные ССС (ГССС) имеют следующие существенные
недостатки:
1. Большое время распространения радиосигналов между абонентами (около 250 мс), что приводит к появлению эффекта эха.
Эта же причина объясняет и высокую стоимость наземных станций
геостационарных ССС из-за необходимости обеспечения требуемых
энергетических характеристик космических радиолиний. Каждая
ЗС представляет в этом случае достаточно громоздкую сложную
конструкцию, для размещения которой не всегда легко отыскать
место и обеспечить ее сопряжение с наземными сетями связи. Это
привело к тому, что ГССС обладают высокой стоимостью эксплуатации, требуют использования мощных передатчиков, используют в основном стационарные ЗС с зеркальными параболическими
антеннами, имеют ограничения по мобильности абонентов. К тому
же стоимость терминалов составляет свыше нескольких тысяч долларов.
2. Пространственный дефицит для размещения новых СР на геостационарной орбите (в частности, из-за необходимости обеспечить
требования электромагнитной совместимости различных ССС).
5
3. Невозможность представления услуг связи в высоких широтах и др.
Дальнейшее расширение областей применения систем с космическим сегментом на базе ГССС ограничивается факторами, оказывающимися серьезным препятствием для их распространения.
Наиболее существенной причиной, ограничивающей дальнейшее
крупномасштабное использование высокоорбитальных ретрансляционных систем, является их ограниченная пропускная способность и габариты аппаратуры. Высокоорбитальные системы практически не пригодны для решения задач информационного обеспечения мобильных средств. Прежде всего, это связано с энергетикой
таких систем связи, а также неприемлемыми для этих целей параметрами оконечных устройств.
Этих недостатков нет у низкоорбитальных ССС (НССС), либо они
выражены в меньшей степени. Основными особенностями НССС по
сравнению с ГССС являются:
1. Меньшая высота орбит ИСЗ (от 700–1500 км у LEO, до 10000–
20000 км у MEO), и, как следствие, существенно меньшая задержка распространения сигналов.
2. Небольшие энерго- массогабаритные характеристики ИСЗ,
как правило, не превышает 250–750 кг.
3. Высокая скорость изменения топологии сети и малая продолжительность времени радиовидимости. Вследствие этого в конце
80-х годов точное предварительное позиционирование антенн абонентов было сложно реализовать. Но сейчас данная проблема решена с помощью фазированных антенных решеток.
4. Высокие доплеровские сдвиги частот (около ±40 кГц в L диапазоне).
5. Использование более высоких, чем для ГССС, углов возвышения антенн терминалов, например 200. 400 , что обеспечивает надежность связи около 99,9% и др.
Низкоорбитальные ретрансляторы размещаются на круговых орбитах высотой от 700 до 1500 км. Чем ниже орбита, тем меньше область
обслуживания каждого СР. Поэтому для обслуживания достаточно
больших территорий земной поверхности требуется много спутниковот нескольких десятков до нескольких сотен. Период обращения СР
на низких орбитах составляет 90–120 минут, а максимальное время
видимости спутника из фиксированной точки земной поверхности не
превышает 10–15 минут. Поэтому при построении региональных ССС
связные ресурсы используются неэффективно, а областью их применения являются глобальные спутниковые сети связи.
6
Возможные трассы средневысотных спутников выбираются на
высотах от 5 до 15 тыс. км. Область обслуживания каждого средневысотного СР существенно меньше, чем геостационарного, поэтому
для охвата наиболее населенных районов суши и судоходных акваторий океанов необходимо создавать группировки из 8–12 спутников.
Суммарная (в обе стороны) задержка сигнала при связи через средневысотные СР не превышает 200 мс. Это позволяет использовать
их для качественной радиотелефонной связи. Продолжительность
пребывания СР в зоне радиовидимости ЗС составляет 1,5–2 часа, а
их орбитальный ресурс лишь незначительно больше, чем у геостационарных. Период обращения спутника вокруг Земли выбирается
равным 6 часов (при высоте орбиты 10350 км).
Для спутников на эллиптической орбите характерно то, что в силу закона сохранения энергии их угловая скорость в апогее значительно меньше, чем в перигее. Поэтому СР будет находиться в зоне
видимости определенного региона в течение более длительного времени, чем негеостационарный спутник, орбита которого является
круговой. Орбитальная группировка всего из 3-х таких спутников
позволяет обеспечить глобальную круглосуточную связь.
В литературе имеется более детальное представление о свойствах связных ИЗС [64, 105, 106], а также подробно описаны их достоинства и недостатки на различных орбитах.
Распределением полос частот между различными службами радиосвязи занимается Международный союз электросвязи.
Регламент радиосвязи [33] является основным международным документом, регламентирующим использование частот.
Кроме приведенных характеристик, по которым разделяются
ССС, используются и другие признаки. Так, например, возможно разделение по охватываемой территории, административной
структуре управления и принадлежности космического и наземного сегментов сети связи.
Одним из эффективных путей решения всего комплекса проблем
информационного обеспечения действий элементов АСУ, является
введение в космическую информационную компоненту многоспутниковых низкоорбитальных сетевых спутниковых систем (НССС),
в том числе и на основе малых ИСЗ. Их применение позволяет обеспечить полную глобальность информационного обмена, высокую
интегральную пропускную способность, возможность использования малых приемопередающих терминалов.
Следует также отметить минимальную задержку распространения сигнала, высокую надежность при отказах ретрансляторов,
7
низкую стоимость вывода на орбиту, низкую стоимость ретранслятора и ракетоносителя, низкий уровень воздействия радиации.
Развитие средств вычислительной техники, создание высокопроизводительных ЭВМ и систем коллективного пользования, обеспечивающих обслуживание удаленных абонентов, привели к необходимости использования в системах передачи и обработки информации средств связи.
Органическая связь средств передачи и распределения информации проявилась в информационно – вычислительных сетях. При
этом все большее внимание уделяется созданию методов, алгоритмов и устройств цифровой обработки сигналов в системах связи. Это
объясняется в значительной степени возрастающей доступностью
цифровых интегральных схем (ИС) средней (СИС) и большой (БИС)
степени интеграции, обладающих такими желательными показателями, как малые размеры и потребляемая мощность, небольшая
стоимость, помехоустойчивость и надежность. В результате большинство средств приема и обработки информации строятся на базе
датчиков информации, работающих в требуемых диапазонах электромагнитных волн, и специализированных вычислителей.
Количество и качество извлекаемой информации зависит от требований, предъявляемым к ССС, и их тактико-техническим характеристикам. Известно [4, 10, 11], что количество и качество информации, которую пропускает любой информационный канал в единицу
времени, непосредственно зависит от ширины полосы частот самого
канала и ширины полосы частот передаваемых по нему сигналов и
помех. Увеличение ширины полосы частот сигналов и канала в настоящее время это единственный путь увеличения пропускной способности ССС, реализуемый без увеличения числа ИСЗ.
При проектировании НССС решение задач, достаточно традиционных и «стандартных» для ГССС, существенно усложняется,
более того, возникает ряд новых проблем и задач. Это связано, прежде всего, с ограничениями:
На техническом уровне: высокая динамика изменения топологии сети, низкий энергетический потенциал радиолиний при работе на персональный терминал с ненаправленной антенной, эффект
Доплера, многолучевость распространения, эффект «дальнийближний», неоднократный разрыв каналов связи в течение времени соединения при переходе абонентов из зон обслуживания одних
лучей в другие, от одного ретранслятора к другому и др. При проектировании перед разработчиками встают множество проблем, таких как, например:
8
– выбор антенных систем, числа лучей и их формы; какие применять протоколы многостанционного доступа в служебных (запросных) каналах связи и методы разделения (уплотнения) информационных каналов;
– какие использовать алгоритмы управления информационными потоками;
– использовать ли комбинированное построение системы:
с управляющими наземными региональными станциями, с межспутниковой ретрансляцией или без нее и др.
Поэтому решение проблемы эффективного использования мощности и полосы в НССС и построения системы информационного
обмена требуют нетрадиционных решений.
В теории связи основными проблемами являются вопросы синтеза сигналов для систем связи, выбор сигналов для каналов с замираниями, разработка адаптивных систем, а также идентификация
систем [4–6]. Указанные проблемы рассматриваются для узкополосных систем связи и касаются передачи и приема узкополосных
сигналов [5].
Более сложной и, безусловно, важной является проблема оптимального приема широкополосных и сверхширокополосных сигналов, которая, как часть, включает перечисленные проблемы,
связанные с приемом узкополосных сигналов, а также оценка качества функционирования полученных в результате оптимального
синтеза адаптивных приемных устройств.
Другой не менее важной является проблема адекватности полученных решений реальным системам связи. При реализации подобных систем на базе спецпроцессоров ЦОС возникают проблемы,
связанные с точностью вычислений, которые приводят к ухудшению качества обработки сигналов.
В первом разделе проведен сравнительный анализ методов построения систем обнаружения и оценивания параметров сигналов
на фоне помех и шумов различных спутниковых систем.
Во втором разделе исследовано влияние параметров среды распространения электромагнитных волн на характеристики передаваемых сигналов. Последовательно рассмотрены медленные детерминированные и случайные изменения параметров канала распространения.
Третий раздел посвящен оценке влияния параметров среды распространения электромагнитных волн на характеристики передаваемых сигналов. Проведен анализ быстрых изменений среды
распространения вне полосы взаимодействия, а также в полосе вза9
имодействия канала передачи информации. Здесь же приведены
результаты численного исследования влияния среды распространения на информационный канал. Рассмотрены случаи быстрого
гармонического изменения параметров канала и варианты исследования углов падения сигнальной и накачивающей волн.
Четвертый раздел посвящен анализу влияния плазменных образований на каналы радиосвязи. Приведены результаты экспериментальных исследований влияния закритической плазмы на
канал распространения. Рассмотрен вариант прохождения радиоволн через плазму с пространственно-временной периодичностью
концентрации электронов, а также канал радиосвязи через нестационарную плазму.
В пятом разделе на основании результатов исследования влияния характеристик канала радиосвязи на параметры сигнала, поступающего на входы антенны спутниковой системой связи, разработаны математические модели принимаемых узкополосных
и широкополосных сигналов, и окрашенного шума для случаев
ограниченного энергетического спектра, а также выполнения обработки в конечной полосе частот. Все указанные модели являются сингулярными случайными процессами второго порядка, вид
законов распределения которых в математической литературе не
описан. Это потребовало создания аналитического представления
указанных законов распределения и определения их числовых характеристик.
Шестой раздел целиком посвящен вопросам синтеза алгоритмов
совместного обнаружения и оценивания сигналов и их параметров
при наличии окрашенного (сингулярного) шума. Рассмотрение
ограничивалось случаем сингулярных случайных процессов второго
порядка. В результате были получены функциональные схемы приемных устройств, реализующих указанную обработку. В реальных
условиях работы спутниковых систем связи статистические характеристики принимаемых сигналов и шума неизвестны и должны
быть определены в процессе работы системы по выборкам, поступающим на входы устройства обработки. В разделе для случая параметрической априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и шума были созданы адаптивные алгоритмы, позволяющие получить асимптотически оптимальное решение задачи
совместного оптимального обнаружения и оценивания сигналов и
их параметров при наличии окрашенного (сингулярного) шума.
В седьмом разделе предложены аналитические методы оценивания качества работы адаптивных алгоритмов совместного опти10
мального обнаружения и оценивания параметров сигналов, принимаемых на фоне окрашенного шума, позволяющие определить
основные качественные и количественные характеристики обработки как в процессе адаптации, так и в асимптотике. Рассмотрены
варианты осуществления синтезированного алгоритма фильтрации на базе многопроцессорных систем с использованием метода
секционирования свертки.
11
1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ
ИНФОРМАЦИОННЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСОВ,
ВЫПОЛНЕННЫХ НА БАЗЕ НИЗКООРБИТАЛЬНЫХ
СЕТЕВЫХ СТРУКТУР
1.1. Обзор методов построения сетевых систем
космической связи
На достаточно высокой геостационарной орбите ИСЗ видит
очень большую территорию – около одной трети поверхности
Земли. Поэтому через его бортовой ретранслятор могут непосредственно связываться любые станции, находящиеся на этой территории. Трех ИСЗ может быть достаточно для создания почти глобальной спутниковой сети связи с использованием геостационарных ретрансляторов (98%) [33].
Уникальной способностью геостационарной орбиты является
неподвижность (на практике достаточно малая подвижность) геостационарных ретрансляторов относительно земной поверхности.
Это позволяет [33]:
1. Во многих практических приложениях использовать на земных станциях антенны с фиксированным наведением, что существенно удешевляет оборудование и позволяет отказаться от услуг высококвалифицированного обслуживающего персонала; 2.
Обеспечить непрерывность связи с использованием единственного
геостационарного ретранслятора; 3. Минимизировать негативное
влияние доплеровского сдвига частоты; 4. Обеспечить почти непрерывное питание бортовой аппаратуры от первичного источника
энергии.
Однако при увеличении высоты орбиты значительно возрастает
мощность и стартовый вес ракетоносителей, а также мощность и,
следовательно, вес радиопередатчиков. Нужно учитывать и основные недостатки геостационарных ретрансляторов, отмеченные во
введении.
По указанным причинам основным перспективным направлением развития ССС является создание НССС.
Первыми широкомасштабными системами НССС были российские МЕО – система с тремя спутниками на эллиптической
орбите «Молния» и LEO-система «Стрела» [33]. В тот же период
аналогичные системы появились и за рубежом. Первой коммерческой являлась LEO-система Iridium [33]. Каждый из 66 спутников
Iridium действует как коммутатор, маршрутизируя вызовы непо12
средственно с одного на другой. Поэтому два пользователя телефонов НССС Iridium могут связываться между собой независимо
от какой-либо наземной инфраструктуры через межспутниковые
линии связи.
Для уменьшения стоимости и сложности сети связи в НССС
Globalstar [33] (стала предоставлять услуги в конце 2000 г.) используется меньшее число ИСЗ в орбитальной группировке, а абонентский трафик направляется от спутников ретрансляторов к станциям-шлюзам и далее по наземной телекоммуникационной инфраструктуре. Орбитальные группировки НССС Iridium и Globalstar
были выбраны таким образом, чтобы в зоне видимости абонента
находился один или более спутник-ретранслятор.
Системы другого класса Orbcom и «Гонец», предоставляют более
дешевый, ориентированный на передачу данных, сервис по доставке сообщений в режиме нереального времени. Если спутник отсутствует в зоне видимости наземного терминала, то данные, предназначенные для передачи, хранятся в его запоминающем устройстве
до момента входа спутника в его зону видимости и только после
этого передаются.
Как отмечается в литературе [33], несмотря на сложности развертывания указанных выше систем и не совсем удачный первый
опыт их коммерческой эксплуатации (Iridium), несколько НССС
будут запущены в эксплуатацию в течение ближайших нескольких лет. Наиболее перспективным из класса LEO является НССС
Teledesic [33], в которой будут использоваться межспутниковые
линии связи для передачи данных со скоростью 64–155 Мбит/с.
Европейский проект фирмы Alkatel – НССС Skybridge не предусматривает использование межспутниковой ретрансляции и бортовой
обработки сигналов.
Для удешевления проекта в проекте Alkatel использует только
диапазон Ku (12–18 ГГц), что снижает потери энергии при сигнала
при его распространении через атмосферу.
Очевидно, что вновь создаваемые НССС должны быть интегрированы в сложившуюся структуру телекоммуникационных систем, не противоречить их принципам построения и стандартам
информационного взаимодействия. Эта интеграция должна быть
выполнена на нескольких уровнях: структурном, логическом, физическом и т. п. Исследования, проводимые в интересах создания
подобных систем должны включать использование необходимых
диапазонов частот из выделенных полос, выбор типа и числа антенных систем бортового радиотехнического комплекса, необходи13
мость обработки сигналов на борту и использование мощных вычислителей и целого ряда других, о которых речь пойдет ниже.
В настоящее время математический аппарат и методы комплексных исследований НССС развиты недостаточно. В связи с этим имеющихся в литературе результатов исследований, подтвержденных
практикой явно недостаточно. Кроме того, до настоящего времени
нет глубоких концептуальных проработок построения НССС, недостаточно полно разработана система получения качественных и
количественных оценок тех или иных альтернативных вариантов
построения сетей.
Традиционно в качестве обобщающих показателей эффективности ССС и передачи информации используются пропускная способность или прибыль, стоимость создания и эксплуатации, либо относительные величины. Пропускная способность сети связи наиболее
часто определяется [22]:
1. Либо как максимально возможный трафик, пропущенный системой с заданным качеством,
2. Либо как максимальное число каналов, одновременно функционирующих в сети связи, которые обеспечивают заданное качество обслуживания.
Традиционно в виде косвенной характеристики пропускной способности используют также и вероятностно-временные характеристики информационного обмена: задержку доставки или передачи
информации, задержку предоставления каналов связи, вероятность блокировки канала связи и др.
Основными направлениями развития бортовых радиотехнических комплексов НССС, направленными на повышение пропускной способности сети связи являются:
1. Использование многолучевых приемных и передающих бортовых антенн;
2. Бортовая обработка сигналов;
3. Бортовая коммутация пакетов;
4. Борьба с информационными перегрузками.
Указанные направления характерны как для геостационарных
ССС, так и для негеостационарных ССС.
Поскольку основное внимание в работе будет уделено вопросам
создания перспективных систем бортовой и наземной обработки
сигналов, рассмотрим непосредственно связанные с ними особенности приема сигналов по каналу связи и существующие методы и
алгоритмы обработки сигналов.
14
1.2. Влияния среды распространения сигнала
на информационный канал НССС
Траектория ИСЗ имеет три характерных участка. На начальном
(стартовом) участке траектории спутник с ракетой носителем при работающих двигателях движется в сравнительно плотных слоях атмосферы. Здесь происходит отделение отработавших ступеней ракеты.
На втором участке траектории скорость низкоорбитального ИСЗ
несколько превышает первую космическую скорость и движение
вокруг Земли происходит по круговой орбите в сильно разреженной атмосфере.
Третий участок траектории соответствует возвращению ИСЗ,
вхождению его в плотные слои атмосферы.
Особенности работы радиолинии на всех участках траектории
обусловлены тем, что вблизи ИСЗ образуется скопление ионизированного газа большой электронной плотности (на несколько порядков больше электронной плотности ионосферы). Причиной образования ионизации на первом участке траектории является отработанный газ двигателя, а на третьем участке – термодинамический
нагрев воздуха при движении ИСЗ в плотных слоях атмосферы со
сверхзвуковой скоростью.
На всех участках траектории расстояния от наземных станций
невелики и распространение радиоволн осуществляется в пределах
расстояния прямой видимости.
На условия работы радиолинии оказывает влияние тропосфера
и ионизированные слои атмосферы Земли.
Для радиолиний Земля – ИСЗ применимы короткие волны.
Отражение и поглощение коротких волн в этом случае подчиняется
тем же законам, что и на наземных коротковолновых радиолиниях.
Выбор рабочей частоты в системах космической радиосвязи зависит от большого числа различных факторов. Наиболее важными
из них являются:
1. Уровень внешних шумов;
2. Условия распространения и поглощения радиоволн;
3. Технические возможности аппаратуры;
4. Взаимные помехи между станциями космической связи и
станциями других служб, работающих в смежных или совмещенных диапазонах частот (электромагнитная совместимость).
К внешним шумам относятся: радиоизлучение атмосферы, тепловые шумы Земли и антенны, а также тепловые шумы, создаваемые различными цепями, подключенными ко входу приемника
15
Такв, К
109
107
Атмосферные
радиошумы
105
Космический
радиошум
103
101
101
50·102
500·103 5·103 104 5·104
f, МГц
Рис. 1.1. Эквивалентная температура внешних источников
радиошумов [25]
(фидерами, фильтрами и т. д.). Значительный уровень шумов на
входе приемника может создаваться неземными источниками – радиоизлучениями Солнца, Луны, планет, Галактики и других космических объектов. На рис. 1.1 представлен суммарный профиль
максимальных величин внешних радиошумов. Из рисунка следует, что минимум внешних радиошумов лежит в диапазоне частот
от 1000 до 10000 МГц (от 1 до 10 ГГц). На более высоких частотах
резко увеличиваются шумы вследствие поглощения в кислороде и
водяных парах атмосферы, а на низких частотах сильно сказывается влияние космических шумов.
Радиоволны, проходя через земную атмосферу, претерпевают заметное поглощение. При этом на разных частотах поглощение различное. Ослабление радиоволн в атмосфере Земли обусловлено относительно постоянным поглощением энергии молекулярным кислородом и неконденсированным паром, сильно изменяющимся поглощением атмосферными осадками (туман, дымка, дождь) и поглощением
энергии свободными электронами в атмосфере. Последнее явление
преобладает в ионосфере и в зонах полярных сияний. Два первых явления характерны для тропосферы. На рис. 1.2 показан суммарный
профиль максимальных величин молекулярного резонанса и ионосферного ослабления для наземных станций для среднеширотной зоны
как функция частоты. Потери, вызываемые осадками, исключены,
из рассмотрения, поскольку в зависимости от местоположения они
сильно меняются. Из рисунка следует, что в спектре поглощения наблюдаются два резко выраженных максимума. Первый на частотах
около 22 ГГц объясняется резонансным поглощением водяных паров,
а второй па частоте 60 ГГц – резонансным поглощением в атомарном
кислороде. Поглощение на низких частотах обусловлено влиянием
16
Ослабление, дБ
104
103
102
101
100
101
102
103
104
105 f, МГц
Рис. 1.2. Атмосферное поглощение для среднеширотных наземных
станций при отсутствии осадков [25]
возмущенного Солнца в средних широтах и возрастает при работе
в зонах полярных сияний. Минимум поглощения находится в диапазоне частот от 100 МГц до 6 ГГц, что практически совпадает с «радиоокном» по шумам (рис. 1.1). Полное совпадение имеет место для частот, соответствующих середине «окна», – 46 ГГц, На этих частотах
поглощением в атмосфере можно пренебречь и считать, что затухание
энергии сигнала между Землей и ИСЗ определяется условиями распространения радиоволн в свободном пространстве.
Поляризация волн, излученных со спутника и принимаемых наземной станцией, непрерывно меняется, что обусловлено влиянием
эффекта Фарадея. При прохождении волной, имеющей частоту 100
МГц всей толщи атмосферы угол поворота плоскости поляризации
достигает 6 рад, т. е. примерно 3600 .
При движении ИСЗ за счет флуктуаций электронной плотности
ионосферы угол поворота поляризации меняется. Это приводит
к появлению поляризационных замираний при приеме на антенну
с линейной поляризацией.
Быстрые колебания вызваны вращением плоскости поляризации, медленные ( ≈ 5 с) – вращением контейнера. Во избежание
этого явления применяют передающие и приемные антенны с круговой поляризацией. При этом нужно учесть, что в центральной
части диаграммы направленности получается поле с круговой поляризацией, а по ее краям – поле с эллиптической поляризацией.
Это вызывает потери из-за несоответствия поляризаций, которые
составляют примерно 0,5 дБ. Если бортовая антенна имеет линейную поляризацию, то возникают потери порядка 3 дБ [25].
Рассеяние радиоволн неоднородностями ионосферы, а также интерференция прямых и рассеянных волн приводят к флуктуациям
17
амплитуды радиосигналов, прошедших через ионосферу. Для обеспечения непрерывного приема таких сигналов их расчетную мощность
необходимо увеличить в метровом диапазоне волн на 2 ÷ 6 дБ. Расчеты
и наблюдения показывают, что влияние рассеяния ослабевает с частотой, и на волне 10 см необходим запас мощности только 0,1 дБ.
Установлено, что межпланетная среда вызывает замирания
радиоволн, связанные с движением неоднородностей плазмы.
Средний период флуктуаций составляет около секунды, а глубина в метровом диапазоне волн может достигать 100%. Так как
неоднородности различны в различных областях межпланетного
и околосолнечного пространства, то флуктуации фаз и амплитуд
радиоволн зависят от расположения трассы относительно Солнца.
Количественные оценки этих влияний в настоящее время не даются, поскольку природа неоднородностей межпланетного пространства еще мало изучена [25].
Прохождение радиоволн в тропосфере и ионосфере сопровождается искривлением их траектории – рефракцией.
При определении угловых координат ИСЗ радиотехническими
методами вследствие рефракции направление прихода волны, отраженной от объекта или излученной с него, не совпадает с истинным
направлением на объект. Угол прихода волны зависит от состояния
тропосферы и ионосферы, он подвержен регулярным и случайным изменениям. Для точного определения угловых координат ИСЗ радиотехническими методами необходимо вносить поправки на рефракционные ошибки, которые определяются теоретическим путем. При
этом с достаточной степенью точности можно считать, что ошибки,
вызванные рефракцией в тропосфере и ионосфере, суммируются.
Ошибки вызываются тем, что в атмосфере волна распространяется со скоростью, отличающейся от скорости света в свободном
пространстве. Кроме того, в неоднородной атмосфере траектория
волны искривляется, что приводит к некоторому изменению пути,
однако это изменение вносит значительно меньшие ошибки, чем
изменение скорости распространения. Ошибки в определение расстояния до ИСЗ вносят как тропосфера, так и ионосфера.
Поскольку тропосфера не является диспергирующей средой,
фазовая и групповая скорости распространения радиоволн совпадают. Следовательно, ошибки, возникающие при определении расстояний фазовыми и импульсными методами, совпадают.
Ошибка определения расстояния мало зависит от закона изменения индекса преломления тропосферы и совсем не зависит от
рабочей частоты. Ошибка имеет положительный знак, т. е. рас18
стояние, определенное радиотехническим методом, оказывается
больше действительного расстояния. Количественно ошибка составляет 2 ÷ 8 м при зенитных углах 0 ÷700 и достигает 30 ÷ 80 м
при зенитных углах 85 ÷890 , когда волна проходит большую толщу тропосферы.
Ошибки, вносимые в определение расстояния ионосферой, различны в случае применения фазового и импульсного методов, поскольку фазовая и групповая скорости не совпадают. Ошибки отличаются только знаком, а по величине они в первом приближении
одинаковы.
Искривление траектории волны в неоднородных тропосфере
и ионосфере и отличие фазовой скорости волны от скорости света
в свободном пространстве приводят к изменению доплеровской частоты по сравнению со случаем распространения волн в свободном
пространстве. В неоднородной атмосфере величина доплеровского
сдвига частот определяется составляющей скорости ИСЗ, направленной в точке его расположения вдоль касательной к искривленной траектории волны, а не радиальной составляющей скорости.
При приеме радиоволн, излученных ИСЗ, тропосфера ( e ≈ 1 ) вызывает отличие доплеровской частоты по сравнению со случаем распространения волн в свободном пространстве не более 1 Гц. В ионосфере на волнах метрового диапазона это отличие может достигнуть 20 Гц [25].
Рефракционные ошибки, вызванные влиянием тропосферы и
ионосферы, соизмеримы при рабочей частоте порядка 200 МГц.
На частотах 50 ÷ 100 Мгц тропосферную рефракцию можно не
учитывать. На частотах выше 400 МГЦ рефракционные ошибки,
вносимые ионосферой, ничтожно малы. Тропосфера и ионосфера
являются статистически неоднородными средами. Флуктуации коэффициентов преломления этих сред обусловливают флуктуации
угла прихода радиоволн, и поправка на зенитный угол, помимо
среднего значения, имеет нерегулярную составляющую.
1.3. Анализ влияния плазменных образований на каналы связи
Плазмой принято называть ионизированный газ, который в общем случае представляет собой смесь трех компонент и содержит
свободные электроны, положительные ионы и нейтральные атомы.
Многочисленные испытания показали, что при вхождении ИСЗ
в плотные слои атмосферы, когда высота над поверхностью Земли
не превышает 100 км, радиосвязь с ИСЗ становится невозможной.
19
На рис. 1.3 изображен фронт ударной волны 2, имеющий параболический характер. За фронтом ударной волны происходит скачкообразное повышение температуры и плотности газа.
Газодинамическая структура обтекания зависит от нескольких факторов: скорости движения, формы и размеров тела, плотности набегающего потока, определяемой высотой. В зависимости от этих факторов изменяются отход ударной волны и параметры за ее фронтом.
Исследования показывают, что высокие температуры и давления устанавливаются за фронтом ударной волны в течение некоторого времени. Однако на высотах не более 60 км за фронтом
ударной волны (заштрихованная область на рис. 1.3) время установления достаточно мало, и практически можно считать, что газ
в этой области находится в равновесном состоянии. Именно здесь
возникают максимальные давления и температуры: давления в несколько атмосфер и температура свыше 3000 К.
При таких высоких температурах молекулы газа приобретают
большие скорости. Поскольку скорости молекул распределены
по закону Максвелла, имеются молекулы, скорость которых существенно превышает среднюю скорость электронов, связанную
с температурой соотношением.
Молекулы, обладающие энергиями более 12,5 эВ, способны ионизировать молекулы кислорода.
При высоких температурах происходит диссоциация молекул кисло2
рода и азота и образование молекул
NO, энергия ионизации которых
составляет лишь 9,5 эВ. Таким об1
разом, происходит процесс терми4
ческой ионизации газа.
3
Причиной обрыва связи является образование вблизи спутника
слоя ионизированного газа большой
электронной плотности. Спутник
приближается к Земле со сверхзвуРис. 1.3. Схематическое
ковыми скоростями, достигающими
изображение потока,
6 ÷ 8 км/с. На высотах, где воздух доокружающего тело, движущееся
статочно плотный, перед спутником
со сверхзвуковой скоростью:
возникает отсоединенная ударная
1 – движущееся тело; 2 – фронт
волна. Газодинамические исследоударной волны; 3 – пограничный
слой; 4 – область прямого скачка
вания, проведенные для спутника,
уплотнения газа
имеющего форму притупленного ци20
линдра, показали, что картина обтекания такого тела сверхзвуковым потоком имеет вид, показанный на рис. 1.3 [25].
Вблизи притупленного конца тела, там, где набегающий поток
воздуха нормален к поверхности тела, температура максимальна,
происходит образование свободных электронов. Далее ионизированный газ стекает вдоль боковой
поверхности тела. Пространство
между телом и фронтом ударной
волны увеличивается с удалением
от притупленной части, а, следовательно, электроны распределяются
на больший объем и электронная
плотность снижается, как схематически показано на рис. 1.4. Густота
точек качественно характеризует
плотность электронов.
Так как процесс рекомбинации
электронов происходит не мгновен- Рис. 1.4. Схема распределения
но, образующиеся вблизи движу- плотности электронов вблизи
щегося тела электроны остаются
быстро движущегося тела
в атмосфере, создавая ионизированный след большой протяженности.
Nэ, эл/см3
Электронная плотность следа спа30
h=15 км
дает по его длине, уменьшаясь на
45
15
6
3
10
расстоянии 15 км до Nэ~10 эл/см
[42]. Расчеты показывают, что
60
1014
электронная плотность в области
прямого набегающего потока меняется при движении спутника.
1013
75
На рис. 1.5 показана зависимость электронной плотности рав1012
новесном состоянии газа от скорости движения тела на различных
1011
3000 4000
5000 6000
высотах в атмосфере.
v, м/с
При одной и той же скорости
тела электронная плотность возРис. 1.5. Зависимость
растает с уменьшением высоты. Но
электронной плотности
при вхождении спутника в плотв области прямого скачка
ные слои атмосферы скорость его уплотнения газа от скорости
движения тела на различных
уменьшается. Поэтому наибольшая
высотах в атмосфере [25]
электронная плотность имеет место
21
при движении спутника на высоте 30 ÷ 50 км над поверхностью
Земли, где она достигает значений Ne Ne ~ 1014 ÷ 1015 эл/см3.
Собственная частота плазмы при этом составляет f0 = 105 МГц,
что соответствует длине волны 0,3 см. Следовательно, волны вплоть
до миллиметровых не распространяются в этом ионизированном
газе. Условия распространения волн ухудшаются еще потому, что
за фронтом ударной волны плотность газа и число столкновений
электрона с нейтральными частицами велики, благодаря чему
в ионизированном газе имеются большие тепловые потери.
Благодаря тому, что число столкновений электронов в ионизированном газе велико, электропроводность его значительна, и он
представляет собой электрически более плотную среду, чем воздух.
Поэтому при выходе волны из слоя ионизированного газа на границе
ионизированный газ – воздух происходит отражение волны, причем
возможно и полное внутреннее отражение. Угол полного внутреннего отражения qêð оказывается близким к нулю, т. е. из слоя ионизированного газа выходят волны, падающие на этот слой только нормально. Полные потери мощности радиоволны обусловлены суммой
этих двух факторов, причем первый из них действует сильнее.
Частотная зависимость полных потерь мощности волны в слое
ионизированного газа для высоты полета тела 60 км и скорости полета 8000 м/с представлена на рис. 1.6. Во всем радиочастотном
диапазоне ослабление оказывается чрезвычайно большим, и выбором рабочей частоты невозможно улучшить условия прохождения
радиоволн.
На рис. 1.7 показана зависимость полных потерь волны от высоты полета для рабочей частоты 200 МГц [25]. На некоторых выГ, дБ
1000
100
h, км
60
50
10
1,0
40
0,1
30
0,01
100 101
102
103 104
105 f, МГц
Рис. 1.6. Частотная зависимость
полных потерь
мощности волны
в плазме [25]
22
20
0
20
40
Г, дБ
Рис. 1.7. Расчетные полные
потери мощности радиоволн
для типичного случая вхождения
спутника в атмосферу
(f=200 МГц) [25]
сотах поглощение в ионизированном газе делает радиосвязь невозможной.
Даже в том случае, когда полного нарушения радиосвязи не происходит, присутствие поглощающей и отражающей плазмы вблизи
антенны приводит к изменению входного сопротивления антенны
и рассогласованию ее с линией питания. Искажается форма диаграммы направленности антенны. Характер искажений диаграммы направленности рупорной антенны при помещении ее в плазму
изображен на рис. 1.8.
В случае приближения рабочей частоты к собственной частоте
плазмы коэффициент направленного действия антенны снижается.
Для борьбы с нарушением радиосвязи при вхождении спутника в плотные слои атмосферы рекомендуется располагать антенны
на боковой поверхности спутника в области меньшей электронной
плотности. Делаются попытки уменьшить плотность ионизации
введением деионизирующих веществ. Путем наложения постоянного магнитного поля стремятся улучшить условия прохождения
радиоволн. Однако в настоящее время проблема радиосвязи со
P/Pθ=0, дБ
0
1
4
8
3
12
16
2
20
24
0
10
20
30
40
θ°
Рис. 1.8. Искажение формы диаграммы направленности
рупорной антенны, помещенной в плазму [25]:
1— плазма отсутствует; 2 — w0 w = О,45; 3 – w0 w = 0,71
23
спутником при вхождении его в плотные слои атмосферы еще не
решена.
Радиосвязь со спутником на восходящем участке траектории
Основной проблемой при изучении распространения радиоволн
на восходящем участке траектории спутника или космического
корабля является влияние ионизации струи газа, истекающего из
сопла ракетного двигателя.
Во время включения ракетного двигателя струя газа не имеет
четких границ и может окружить всю ракету. При этом газ содержит вещества, которые при высокой температуре струи легко ионизируются. Антенны, расположенные на спутнике или космическом
корабле, оказываются окруженными оболочкой ионизированного
газа, что приводит к ухудшению условий радиосвязи между спутником и Землей. Спустя некоторое время, необходимое для выхода
ракетного двигателя на режим, струя двигателя приобретает определенную конфигурацию. На рис. 1.9 изображена конфигурация
струи ракетного двигателя, определяемая уровнями постоянной
электронной плотности [25].
Электроны в струе распределяются прямо пропорционально
давлению газа и обратно пропорционально температуре. В результате электронная плотность убывает примерно обратно пропорционально расстоянию от сопла двигателя. Максимальная электронная плотность, имеющая место вблизи сопла двигателя, достигает
значений =
NÝ 1010 ÷ 1011 эл/см3.
r/R
8
6
4
2
R
0
2
4
6
8
10
12
14
x/R
Рис. 1.9. Конфигурация струи ракетного двигателя (пунктирными
линиями показаны уровни постоянной электронной плотности) [25]
24
При прохождении радиоволн через струю двигателя их мощность ослабляется. Если на каком-то уровне электронной плотности струи собственная частота ионизированного газа в струе CO2
больше рабочей частоты, то волна не проникает глубже в струю и
полностью отражается от данного уровня электронной плотности.
В этом случае струя представляет собой непрозрачный экран, через который радиоволны не могут пройти. Радиосвязь оказывается
полностью нарушенной. Если же рабочая частота достаточно высока, так что она всегда превышает собственную частоту ионизированного газа в струе, то отражения радиоволн от струи не происходит и радиосвязь возможна. Однако при прохождении волны в ионизированном газе происходит поглощение энергии волны, которое
на один метр пути в ионизированном газе определяется величиной
потерь α . Полное поглощение на всем пути волны в струе определяется интегрированием погонного затухания а по длине пути, поскольку электронная плотность и число столкновений электрона
с молекулами газа не постоянны вдоль пути волны. Поглощение
волн в струе уменьшается с увеличением рабочей частоты.
По оценкам, имеющимся в [25], при прохождении радиолинии
через центральную, наиболее плотную часть струи, поглощение
на волне длиной 3 см составляет около 3 дБ, а на метровых волнах
связь оказывается невозможной. Поглощение зависит от пути, проходимого волной в струе, т. е. от угла связи (угла между осью спутника и направлением распространения волны). Угол связи определяется взаимным расположением спутника и наземного пункта наблюдения, а также положением антенны на спутнике. Для
уменьшения поглощения радиоволн желательно увеличивать угол
связи, что достигается удалением наземных пунктов наблюдения
от стартовых площадок и расположением антенн дальше от ракетного двигателя.
1.4. Обзор методов и оптимальных алгоритмов передачи
информации по различным каналам связи
Почти все виды реальных каналов связи относятся к каналам со
случайно изменяющимися параметрами. Флуктуации параметров
канала могут быть обусловлены различными причинами. К ним
относятся: многолучевое распространение радиоволн, наличие
флуктуирующих неоднородностей вдоль пути распространения
радиоволн и т. п. По виду флуктуирующего параметра различают
каналы со случайно изменяющимися амплитудой, фазой и часто25
той. В некоторых случаях принимаемый сигнал состоит из двух составляющих: регулярной µ0 S(t) и флуктуирующей µΦ S(t) .
В общем случае узкополосный сигнал на выходе канала при воздействии аддитивных и мультипликативных помех можно представить в виде [32]:
x(t) = Re µ(t)exp ( jf(t) A (t,u) )  + W (t) =
= [µ0 + µC (t) ] A ( t,u ) + µC (t) Aˆ (t,u) + W (t), (1.1)
где Aˆ (t,u) – сопряженный сигнал, связанный с передаваемым сигналом A ( t,u ) преобразованием Гильберта. Для узкополосных сигналов Aˆ (t,u) получается из A ( t,u ) путем сдвига фазы несущей частоты на угол p 2 :
A=
( t,u ) A(t,u) + jAˆ (t,u) , µ ( t )=
f(t) =
arctg
[µ0 + µC (t)]2 + µS (t) ,
µ S (t)
.
µ0 + µC (t)
Функции µ0 + µC (t) и µ S (t) , а также µ(t) и f(t) отражают воздействие мультипликативных помех, возникающих при прохождении
сигнала по каналам с переменными параметрами: µ S (t) =
µ(t)cos f(t)
и µC (t) =
µ(t)sin f(t) . В результате воздействия мультипликативных
помех полезный сигнал претерпевает паразитные амплитудную и
фазовую модуляцию.
При медленных флуктуациях параметров канала время корреляции функций µ(t) и f(t) значительно больше интервала наблюдения или длительности сигнала S(t,u) . При этом можно считать,
что функции µ(t) и f(t) на каждом интервале наблюдения имеют
хотя и случайные, но постоянные значения µ и f . В этом случае
(1.1) принимает вид:
x(t) = Re µ exp( jf) ( A (t,u) )  + W (t) (1.2)
При µ0 ≠ 0 коэффициент µ распределен по обобщенному зако0 ) распрену Рэлея (Райса). При отсутствии прямого луча ( µ0 =
деление будет рэлеевским. Сильные замирания достаточно часто
называют рэлеевскими замираниями [15,16,32,45]. При слабых
замираниях, когда средняя мощность флуктуирующей составляющей сигнала значительно меньше мощности регулярной составляющей, приближенно имеем нормальный закон. Поэтому слабые
замирания называют гауссовскими замираниями.
26
До сих пор рассматривались общие замирания, при которых
µ(t) не зависит от частоты. Такие свойства в реальных каналах наблюдаются, когда ширина спектра сигнала не очень велика и вероятностные характеристики рассеивающей среды одинаковы для
всех частот этой полосы. Во многих же случаях при многолучевом
распространении радиоволн наблюдаются селективные замирания. При этом характер замирания отдельных составляющих частот сигнала неодинаков. Вид закона распределения в этом случае
можно считать одинаковым для всех частот, но с различными параметрами распределения.
Таким образом, можно считать, что прием сигналов производится на фоне аддитивных помех, а воздействие мультипликативных
помех учитывается введением в сигнал несущественных (паразитных) параметров µ и f . Принимаемый сигнал при этом обычно является нормальным случайным процессом (СПр).
Случайные изменения параметров канала часто приводят к замираниям сигнала в точке приема, т. е. случайным изменениям
амплитуды µ и фазы f для различных частотных составляющих
сигнала. В общем случае изменения µ и f для различных частотных составляющих данного элемента сигнала различны и коррелированны между собой. Корреляция существует и между значениями
µ и f составляющих соседних элементов сигнала. Точный учет этой
корреляции в теоретическом отношении сопряжен с большими математическими трудностями. Поэтому обычно ограничиваются рассмотрением крайних случаев: гладких и селективных замираний,
которые в свою очередь могут быть быстрыми и медленными.
При гладких замираниях будем считать изменения µ и f для
всех составляющих данного элемента сигнала одинаковыми, а
при селективных замираниях – изменения µ и f для различных
составляющих независимыми. Быстрые замирания характеризуются тем, что изменения µ и f соответствующих составляющих
соседних элементов сигнала можно считать независимыми. При
медленных замираниях эти изменения для нескольких соседних
элементов одинаковы.
1.5. Современный подход к задаче фильтрации сигналов
на фоне помех и шумов
На приемной стороне о передаваемых сигналах обычно имеются
некоторые предварительные (априорные) сведения. Могут быть известными частота несущей, вид модуляции, ширина спектра сиг27
нала и т. д. Известные параметры сигнала могут быть использованы в приемнике для лучшего выделения сигналов на фоне помех.
Чем больше наши знания о сигнале, тем совершеннее могут быть
методы приема. При приеме сигналов возникают три основные задачи: 1. Обнаружение, 2. Различение, 3. Восстановление сигналов.
Решение первых двух задач требует применения различного
рода линейных фильтров, максимизирующих отношение сигнала
к помехе, которые называют оптимальными или согласованными.

В литературе,посвященной линейной фильтрации сигнала S(t)
на фоне шумов W(t) , обычно используется следующая запись наблюдаемого N -мерного СПр [16, 23, 26, 52, 55, 79]



x ( t )= S( t ) + W ( t )
, (1.3)


где S(t) – N -мерный векторный СПр второго порядка, W ( t ) –
N -мерный независимый СПр белого гауссовского шума (БГШ)
(1.3), имеющий
следующие
статистические характеристики
(СХ)




u )  R ( t ) ⋅ δ ( t − u ) , где 0 – нулевой векM W ( t )  = 0 ; M W ( t ) ⋅ W∗ (=


тор, R ( t ) – положительно определенная матрица размера N × N,
δ(t − u) – дельта функция Дирака. M [⋅] – знак математического ожидания, ∗ – символ эрмитова сопряжения (комплексного сопряжения и транспонирования соответствующей матрицы или вектора).
Обычное предположение, которое используется в процессе оптимизации линейного фильтра по критерию минимума
среднего квадра

u )  R ( t ) ⋅ δ ( t − u ),
та ошибки (СКО), состоит в том, что M W ( t ) ⋅ W∗ (=


∀t,u ∈ [T1,T2 ] , а ковариационная матрица наблюдаемого СПр



∗
 
K=
( u )  Ks ( t,u ) + R ( t ) ⋅δ ( t − u ),
x ( t, t ) M  S ( t ) + W ( t ) ⋅ S ( u ) + W=
∀t,u ∈ [T1,T2 ] .
Проблема состоит в том, чтобы минимизировать дисперсию
ошибки фильтрации
(
)(
(
)
)(
)
∗
ˆ


 
trM  S( t ) − S
min ( t ) ⋅ S( t ) − Sˆ ( t )  =


(1.4)
ˆ

где S
( t ) – означает оценку составляющей сигнала S( t ) в смеси
(1.3), формируемую по правилу
ˆ
S
/T)
( t=
28
T2

∫ H ( t, t ) ⋅ x ( t ) dt ,
T1
T1 ≤ t ≤ T2 , (1.5)
где H ( t,u ) – матричная импульсная характеристика (ИХ) фильтра
оптимального по критерию (1.4).
Оптимальная оценка (1.5), формируемая по критерию минимума СКО в соответствии с (1.4), характеризуется свойством ортогональности
(
)
ˆ

 

⋅ x∗ ( t )   0 ,
M  S( t ) − S
( t / T )=


T1 ≤ t ≤ T2 . (1.6)
Матричная ИХ H ( t,u ) определяется из решения следующего
уравнения Фредгольма второго рода
H ( t,u ) +
T2
,u ) dt
∫ H ( t, t ) ⋅ Ks ( t=
T1


M S( t ) ⋅ S∗ ( u )  , T1 ≤ t,u ≤ T2. (1.7)


В зависимости от того T2 < t, T2 = t или T2 > t, имеем соответственно так называемые оценки предсказания, фильтрации или
ˆ tt
сглаживания. Запишем выражение для реализуемой оценки S
( )
как
ˆ
=
S
(t t )
t

∫ h ( t,u ) ⋅ x ( u ) du. (1.8)
T1
В соответствии с критерием (1.4) получим интегральное уравнение Вольтера, решение которого определяет ИХ реализуемого
фильтра, формирующего оценку в соответствие с (1.8)
h ( t,u ) +
t
t, t ) ⋅ Ks ( t,u ) dt
∫ h (=
Ks ( t,u ) ,
T1 ≤ u ≤ t ≤ T2 . (1.9)
T1
Это основное уравнение в теории линейных систем. Важно отметить, что (1.9) реально более трудно решить, чем (1.7) . Существуют
различные методы решения (1.7) и (1.9), включающие дифференцирование и сведение к множеству линейных алгебраических
уравнений и использование различных градиентных методов [36–
38, 41, 52, 55].
Уравнение Винера-Хопфа, хорошо известное по работам
Н.Винера, получается из (1.7) в случае обработки стационарных
СПр для бесконечных пределов интегрирования, когда (T1 = −∞ ) ,
(T2 = ∞ ) . Оно решается с помощью преобразования Фурье.
29
Для более общих случаев (1.7) и (1.9) разработаны лишь частные
методы решения.
Ряд решений применительно к нестационарным СПр был получен в работах [135]. Наиболее полезными являются результаты, полученные Шинбротом [16], который показал, что необходимым условием решения проблемы является представление K ( ⋅,⋅) в форме
 n a (t ) b (u) ,
i
i
∑
K ( t,u ) =  i =1
n
∑ i =1 ai ( u ) bi ( t ) ,
t≥u
t≤u
.
(1.10)
Это означает, что в случае сепарабельного ядра K ( ⋅,⋅) (разделяющейся обработки) решение возможно в замкнутой форме.
Следующим шагом в развитии линейной фильтрации являлось
создание калмановской теории. Калмэн [16] вместо задания ковариаций сигнального СПр предложил воспользоваться линейной
динамической системой, выходной сигнал которой получается как
результат воздействия белого шума на ее входах. Это означает, что
сигнальный процесс S( ⋅) может быть описан следующей системой
уравнений


=
S( t ) H ( t ) x ( t ) ,
t ≥ T1 ,
(1.11)





x (t ) =
F ( t ) x ( t ) + G ( t ) ν ( t ), x ( t0 ) =
x0 ,
(1.12)


где x ( ⋅) – p × 1 – вектор состояния, u ( ⋅) – l× 1 – входной СПр такой, что
 
M ν ( t ) ν∗ ( ν=
) Q ( t ) δ ( t − ν ),

 
 ∗ 
Ï0 , M ν ( t ) x∗0  ≡ 0 ,
M x0 x=
t ≥ T1. 0




(1.13)
(1.14)
Матрицы F ( ⋅) , G ( ⋅) , H ( ⋅) , Q ( ⋅) и Ï0 считаются известными и
непрерывными.


Предположение о том, что x0 и ν ( ⋅) некоррелированы не только
физически обосновано, но имеет также важное следствие, что про
цесс x(⋅) является марковским процессом.
Калмэн также предпо

ложил, что шум ν ( t ) и наблюдения W ( ⋅) в процессе





x ( t )= S( t ) + W ( t )= H ( t ) x ( t ) + W ( t )
(1.15)
30
могут быть коррелированными, но иметь вид

 
M ν ( t ) W∗ ( s ) = C ( t ) δ ( t − s ) .
(1.16)


Калмэновский фильтр наиболее подходит для прямых вычислений на аналоговых и цифровых компьютерах.
ˆ

S
( t ) = H ( t ) xˆ ( t ) ,
где

d xˆ ( t )



= F ( t ) xˆ ( t ) + K ( t ) e ( t ) ,
xˆ ( t=
0 ) 0 ,
dt

ˆ



e (t ) =
x(t ) − S
x ( t ) − H ( t ) xˆ ( t ) ,
(t ) =
(1.17)
(1.18)
(1.19)
=
K ( t ) P ( t ) H∗ ( t ) + G ( t ) C ( t ) ,
где матрица P ( ⋅) – является матрицей ошибок оценивания вектора
состояния.





P=
x=
(1.20)
( t ) M x ( t ) x ∗ ( t )  ,
( t ) x ( t ) − xˆ ( t )
Она может быть вычислена как общее решение нелинейного
дифференциального уравнения
d P (t )
dt
=F ( t ) P ( t ) + P ( t ) F′ ( t ) − K ( t ) KT ( t ) + G ( t ) Q ( t ) GT ( t ),
P ( t0 ) = Ï0 .
(1.21)
Это уравнение является обобщением известного дифференциального уравнения, введенного Рикатти в 1724 году на матричный
случай.
Рекурсивный винеровский фильтр
Вычисление ИХ фильтров в соответствии с (1.7) и (1.9) можно
выполнять используя всю имеющуюся в распоряжении выборку
СПр на интервале [T1,T2 ] за один шаг. При большом числе выборок
требуется большая емкость памяти фильтра и, кроме того, имеется
задержка выдачи результата фильтрации, которая не всегда допустима.
31
От указанных недостатков свободны рекуррентные алгоритмы,
позволяющие использовать вновь поступающие выборки для уточнения результатов фильтрации. Обработка такого рода происходит
в реальном масштабе времени.
Предположим, что можно использовать в многомерном случае
представление Шинброта для ковариационной функции K ( t,u ) .
Тогда
=
K ( t,u ) A ( t ) B ( u )1( t − u ) + BT ( t ) AT ( u )1( u − t ) ,
(1.22)
где A ( ⋅) и BT ( ⋅) – p × N матрицы, 1( ⋅) – функция Хэвисайда (ступенчатая, единичная).
Перепишем K ( t,u ) в форме
=
K ( t,u ) M ( t ) Ô ( t,u ) N ( u )1( t − u ) + NT ( t ) ÔT ( u,t ) MT ( u )1( t − u ) , (1.23)
где Ô ( ⋅,⋅) является переходной матрицей состояния, определяемой
как решение линейного дифференциального уравнения
dÔ ( t,u )
(1.24)
= F=
Ô ( u,u ) I
( t ) Ô ( t,u ) ,
dt
и F ( ⋅) – произвольная матрица, которая может быть выбрана удобной для рассматриваемой проблемы. Без потери общности запишем
Ô ( t,u ) = Ô ( t,t0 ) ×Ô ( t0 ,u ) для произвольного t0 . Когда F ( ⋅) – постоянная
Ô ( t,u ) =exp F ( t − u ) =I + F ( t − u ) + F2
( t − u )2
2!
+ (1.25)
Для заданного F ( ⋅) для произвольного t0 установлено, что
=
A (t ) M
=
B ( t ) Ô ( t0 ,t ) N ( t ) ,
( t ) Ô ( t,t0 ) ,
=
M ( t ) A=
N ( t ) Ô ( t,t0 ) B ( t ) .
( t ) Ô ( t0 ,t ) ,
ˆ
Оценка S
(⋅) вычисляется с помощью следующего рекурсивного
алгоритма
ˆ

S
=
t ) M ( t ) f ( t ), (1.26)
(
32
где
f ( t )= F ( t ) f ( t ) + K ( t ) x ( t ) − M ( t ) f ( t )  ,
f ( t0 )= 0, K=
( t ) N ( t ) − Σ ( t ) MT ( t ) , (1.28)
Σ =
( t ) F ( t ) Σ ( t ) + Σ ( t ) F T ( t ) + K ( t ) KT ( t ) ,
Σ ( t=
0 ) 0. (1.29)
(1.27)
Уравнение для Σ ( ⋅) является N × N нелинейным матричным
дифференциальным уравнением типа Рикатти. Формулы (1.23) –
(1.29) сводятся к формулам винеровской фильтрации.
Обновляющие случайные процессы и представления
с их помощью гауссовских СПр
Обновляющий (инновационный) СПр определяют для заданного
СПр x(t) как процесс БГШ ν(t) , который связан с x(t) детерминированным и детерминировано обратимым преобразованием [68].
Инновационные СПр были получены в случае дискретного времени с помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта. Для
случайной последовательности {xi } эти значения формируются по
правилу
ei = xi − xˆ i|i−1 . (1.30)
Для аналоговой процедуры и СПр с непрерывным временем
e ( t ) = x ( t ) − xˆ ( t | t ) , (1.31)
где x̂ – реализуемая оценка.
Но такая процедура будет давать нулевое значение для некоторых СПр с непрерывной частью. Однако, если
x ( t=
) S (t ) + w (t ) ,
0≤t ≤T (1.32)
и
T

M  ∫ S2 ( t ) dt  < ∞ ,
 0

тогда будем иметь нетривиальный инновационный процесс

e (t ) =
x(t ) − x(t | t ) =
x ( t ) − Sˆ ( t ) . (1.33)
33
СПр e ( ⋅) является СПр белого шума с ковариационной матрицей
δ ( t − u ) .
M e ( t ) e∗ ( u )  =
(1.34)


Таким образом, имеется возможность использовать инновационный метод для обработки нестационарных СПр с непрерывным
временем.
Пусть
=
Sˆ ( t | T )
∫ H ( t,u ) x ( u ) du ,
(1.35)
0
=
Sˆ ( t t )
T
t
∫ h ( t,u )x ( u ) du (1.36)
0
и примем, что сигнал S ( ⋅) и шум W ( t ) полностью некоррелированы. Тогда, как показал Кайлат [135], выразим H ( t,u ) , используя
h ( t,u ) в виде
T
H ( t,u=
) h ( t,u ) + h∗ ( u,t ) − ∫ h ( t,t ) h∗ ( t,u ) dt . (1.37)
0
Для ошибки фильтрации запишем следующее выражение
t
e (t ) =
x ( t ) − Sˆ ( t ) =
x ( t ) − ∫ h ( t, t )x ( t ) dt.
0
Символически это можно представить как
e (t ) = ( I − h ) x(t ) .
−1
Если существует обратный оператор ( I − h ) , то можно найти
x из e , при достаточном условии для которого h – является оператором Вольтерра и квадратично – интегрируемым на [0,T ] × [0,T ].
Причинность является эквивалентной свойству Вольтерра для таких функций. Квадратичная интегрируемость будет следовать из
предположения о том, что S ( ⋅) имеет конечную энергию
T

M  ∫ S2 ( t ) dt  < ∞.
 0

34
Поэтому в линейном случае мы знаем, что при достаточно общих
условиях e ( ⋅) является обновляющим СПр.
Доказательство эквивалентности в линейном случае немедленно дает результат факторизации для ковариации процесса x(t) .
Определим функцию Вольтерра вида
I+K
( I − h )−1 =
(1.38)
или, что эквивалентно, в виде уравнения Вольтерра
h + hK =
K.
Тогда

I+K
= M xx∗=


=−
( I h)
−1
( I − h )−1 M ee∗  ( I − h∗ )
( I − h∗ )
−1
(
−1
=
)
=+
( I K ) I + K∗ .
(1.39)
Аналогично имеем каноническое представление для x , вида
x=
( I + K)e . (1.40)
В настоящее время теория обновляющих процессов широко используется применительно к проблеме фильтрации, для решения
задач обнаружения и оценивания параметров сигналов на фоне помех и шумов.
1.6. Современный подход к задаче обнаружения,
оценивания сигналов на фоне помех и шумов
Задача обнаружения гауссовских сигналов на фоне помех и
шумов хорошо изучена [16, 23, 37, 48, 55]. Наиболее широко исследованной задачей обнаружения гауссовском сигналов является задача обнаружения гауссовского сигнального процесса S ( t ) ,
с непрерывной корреляционной функцией Ks ( t,u ) в независимом
аддитивном белом гауссовском шуме. Отношение правдоподобия
для этой задачи получено в [16] путем использования совместного
разложения Карунена – Лоэва для сигнала и независимого шума.
Окончательное выражение имеет форму
=
Λ d
−12
1
2

( l ) exp−  ∑ i∞=1 xi li (1 + l ) ,
2
i


(1.41)
35
где
d=
(l)
T
∞
∏ (1 + lli ) , ∫ KS ( t,u ) ψi ( u ) du =li ψi ( t ) ,
i =1
0
xi =
T
∫ ψi ( t ) x ( t ) dt,
i = 1,2, .
0
Так как вычисление величин {l i } и {xi } , как правило, неосуществимо, эту формулу обычно преобразуют, вводя функцию


∑ li (1 + lli )ψi ( t ) ψ∗i ( u ) .
H ( t,u; l )
=
(1.42)
Исходя из этой функции, нетрудно показать, что отношение
правдоподобия можно представить как
=
Λ exp ( Λ − B ), =
2Λ
(1.43)
TT
∫ ∫ H ( t,u;1)x ( t ) x ( u ) dtdu , (1.44)
00
2B=
∑ ln (1 + li =)
1
T
∫ dl ∫ H ( t,t;l )dt .
0
(1.45)
0
Кроме того, H ( t,u; l ) соответствует решению интегрального
уравнения Фредгольма
T
H ( t,u; l ) + l ∫ H ( t, t; l ) K ( t,u ) dt = K ( t,u ) . (1.46)
0
Это интегральное уравнение решается в нескольких случаях,
особенно в тех, когда K ( t,u ) «разложимо» и можно, как уже указывалось выше, воспользоваться методами уравнения Рикатти.
В любом случае можно получить численное решение уравнения
(1.46).
Отношение правдоподобия можно представить в виде
=
2Λ
36
T
∫ Sˆ ( t ) x ( t ) dt , 0
(1.47)
=
Sˆ ( t )
где
T
∫ H ( t,u;1)x ( u ) du –
сглаженная оценка S ( t ) по методу
0
минимума среднеквадратической ошибки (СКО), если заданы все
результаты наблюдений {xi , 0 ≤ u ≤ T} , и предполагается, что сигнал присутствует (это предположение будем связывать с гипотезой
H1 ).
Преимущество представления Λ в виде (1.46) и (1.47) (1.47) заключается в том, что они позволяют получить аппроксимации при
конкретном расчете Λ для практической реализации:
1. При неизбежных на практике ограничениях, связанных с недостаточностью априорных сведений о статистических характеристиках сигналов и шума;
2. Сложностью оборудования, представляется целесообразным
заменить Ŝ ( ⋅) наилучшей возможной оценкой.
Однако, несмотря на всю полезность соотношений (1.46) и (1.47),
другая интерпретация отношения правдоподобия, хотя и близкая
к рассмотренной, может оказаться более универсальной.
Можно дать другую форму отношения правдоподобия, которая
пригодна, даже когда сигнальный процесс не гладок, не обладает
нулевым средним значением и не зависим от БГШ. Единственное
требование заключается в том, чтобы задача обнаружения была
несингулярной, т. е. чтобы разрешение с нулевой вероятностью
ошибки было невозможным. Но прежде чем перейти к этой самой
общей задаче, рассмотрим задачу, кажущуюся более простой, для
которой метод обновляющих процессов позволяет непосредственно
получить решение.
Рассмотрим задачу обнаружения с гипотезами вида
H1 : x ( t )= S ( t ) + W ( t )
H0 : x ( t ) =
W (t )
0≤t ≤T , (1.48)
где W ( t ) – БГШ с нулевым средним значением, а S ( t ) – гауссовский СПр, удовлетворяющий условиям
=
M  S ( t )  m ( t ) ,
M W ( t )  =
0,
M  W ( t ) S∗ ( u )  ≡ 0 ,


2
∫ M S ( t )dt < ∞ ,
M W ( t ) W ∗ ( u )  =
δ ( t − u ) , (1.49)


t>u
37
Эта задача обнаружения несингулярна, и отношение правдоподобия можно записать как
T
T
0
0
1
=
Λ exp ∫  Sˆ1 ( t ) x ( t )  dt − ∫ Sˆ12 ( t )dt , 2
(1.50)
где=
Sˆ1 ( t ) M  S ( t ) | {x ( u ), 0 ≤ u < t}, H1  – оценка S ( t ) по критерию
минимума СКО при заданных прошлых значениях x ( t ) и в предположении, что верна гипотеза H1 , ∫ – обозначает интеграл особого
вида, называемый стохастическим интегралом Ито.
Согласно теореме об обновляющих процессах гипотеза H1 может быть представлена, как
H1 : x=
( t ) S ( t ) + w=
( t ) Sˆ1 ( t ) + ν ( t ) ,
δ ( t − u ).
где ν ( t ) – БГШ с нулевым средним значением и M ν ( t ) ν ( u )  =
Кроме того, поскольку W ( t ) и ν ( t ) статистически неразличимы,
так как это гауссовские СПр с одинаковым средним значением и
одинаковой ковариационной функцией, выражения для гипотез
в нашей задаче обнаружения можно переписать в виде
H1 : =
x ( t ) Sˆ1 ( t ) + ν ( t )
H0 : x ( t ) =
ν (t )
0≤t ≤T . (1.51)
Сигнал случаен в обеих формах задачи обнаружения (1.48) и
(1.51), но в задаче, соответствующей (1.51), сигнал Ŝ1 ( t ) при заданном x ( t ) может быть вычислен. Поэтому хотя СПр Ŝ1 ( t ) случаен,
поскольку он изменяется по мере изменения x ( t ) , он оказывается
«условно известным». Кроме того, на основании предположения о
том, что ∫ M  S2 ( t )  dt < ∞ , можно показать, что ∫ M  Sˆ1 ( t )  dt < ∞ .


Откуда следует, что ∫ Ŝ2 ( t ) dt < ∞ . Таким образом, формула для отношения правдоподобия при известном сигнале будет справедлива
и при замене известного сигнала условно известным.
Следует указать, что оценка Ŝ1 ( t ) может корректироваться по
мере поступления новых данных. Это важное с точки зрения вычислений свойство не распространяется на формулы отношения
правдоподобия (1.44), (1.47) и (1.48), так как при увеличении интервала [0,T ] , когда он, скажем, составит [0,T1 ] , {ψ i ( t )} и {xi } для
(1.44) и H ( t,u;1) для (1.47) и (1.48) потребуется полностью пересчитать для всего большего интервала, а не только для дополнительного интервала [T,T1 ] .
38
Соотношение (1.51) поддается удобной и полезной интерпретации: если сигнал неизвестен, но случаен, то вместо неизвестного
сигнала необходимо использовать его оценку. Прежде всего в (1.51)
пользуемся оценкой точно так же, как если бы это был известный
сигнал, что не соблюдается в отношении (1.48). И далее, в отличие
от (1.48) указанная формула справедлива и тогда, когда сигнальный процесс обладает ненулевым средним значением, и, кроме того, когда сигнал и шум коррелированны.
Обнаружение и оценивание негауссовского сигнала в БГШ
Рассмотрим гипотезы
H1 : x ( t )= S ( t ) + W ( t )
H0 : x ( t ) =
W (t )
,
где S ( t ) и W ( t ) – негауссовский сигнал и БГШ.
Тогда отношение правдоподобия можно записать в виде [135]
T
T
0
0
1
=
l exp ∫ Sˆ1 ( t ) x ( t ) dt − ∫ Sˆ12 ( t ) dt , 2
(1.52)
где Ŝ1 ( t ) – нелинейная оценка S ( t ) по критерию минимума СКО
при заданных прошлых значениях x ( t ) и в предположении, что
верна гипотеза H1 .
Совместное обнаружение и оценивание гауссовских сигналов
в белом гауссовском шуме
В классической теории оценивания зашумленного наблюдения,
содержащего сигнал, по критерию минимума СКО, оценка определяется условным математическим ожиданием сигнала при заданных наблюдениях. Но во многих важных приложениях, наблюдения
могут и не содержать сигнал. К этому классу проблем и относится
задача совместного обнаружения и оценивания, когда оценивание
сигнала осуществляется по принятому наблюдению и заранее неизвестно присутствует или отсутствует сигнал в принятой реализации.
Фундаментальный результат в данном направлении по обнаружению и оцениванию по критерию минимума СКО получен
Миддлтоном и Эспозито [16]. Они установили, что оптимальное
оценивание сигнала эквивалентно взвешенному оцениванию вида
39
pΛn ˆ
Sˆ ( t | t ) =
S1 ( t | t ) 1 + pln
(1.53)
где=
Sˆ ( t | t ) M  S ( t ) | ln  , =
Sˆ1 ( t | t ) M  S ( t ) | ln , H1  , Λn – отношение правдоподобия, определяемое как
−1
(1.54)
Λn = p ( ln | H1 )  p ( ln | H0 )  , ln ={x1, x2 ,, xn } – наблюдаемая последовательность,
где
p ( ln | Hi ), i =
1,0 плотности распределения вероятностей ln соответственно по гипотезам H1 и H0 , p1 и p0 – априорные вероятности гипотез H1 и H0 соответственно.
При этом использовалась модель наблюдений
x ( t )= S ( t ) + W ( t )
x(t ) =
W (t )
äëÿ H1
.
äëÿ H0
(1.55)
Причем считалось, что S ( t ) – детерминированный сигнал.
Кайлат [135] для скалярного варианта модели (1.55) и стохастического сигнального СПр, а также шума с нулевым математическим ожиданием W ( t ) показал, что если отношение правдоподобия Λ ( t ) известно, то оптимальное оценивание Sˆ1 ( t | t ) может быть
получено формулой
Sˆ1 ( t | t ) =
dΛ ( t ) Λ ( t ) dS ( t ) ,
где Λ ( t ) – непрерывный функционал для отношения правдоподобия,
t
t
t0
t0
1
=
Λ ( t ) exp ∫ Sˆ1 ( t | t )dx ( t ) − ∫ Sˆ12 ( t | t )dt . 2
(1.56)
Для рандомизированных решающих правил Лайниотис показал, что обнаружение устанавливает значение квадрата нелинейной оценки индикаторного параметра β , даваемого дискретной
случайной величиной (СВ) ln .
Модель наблюдения, используемая Лайниотисом, записывается
βS ( t ) + W ( t ) , где β является переследующим уравнением x ( t ) =
менная, принимающая значения 1 и 0 в зависимости от того справедлива H1 или H0 . Было показано в случае дискретных наблю40
дений, что оценка наименьшего СКО индикаторной переменной
βˆ ( t ) ≡ M β | ln  дается формулой
βˆ ( t ) = pln (1 + pln ) . (1.57)
Отметим, что оптимальное байесовское решающее правило состоит в выборе H1 или H0 в зависимости от того βˆ ( t ) > C0 èëè βˆ ( t ) < C0 ,
где C0 – зависит от априорных стоимостей принимаемых решений.
Следовательно, βˆ ( t ) является достаточной статистикой для обнаружения сигнала по критерию минимума Байесовского риска.
Таким образом, проблема обнаружения, фильтрации и совместного обнаружения и оценивания в настоящее время достаточно
полно разработана применительно к случаю, когда сигналы принимаются одновременно с невырожденным белым шумом, когда для
обработки принимаемой информации в условиях параметрической
и непараметрической априорной неопределенности применяются
методы обучения и адаптации.
Здесь не рассматривался достаточно большой список работ, посвященных применению непараметрической теории решений применительно к задачам обнаружения. Как известно, непараметрическая теория решений развита в основном применительно к двухальтернативным задачам. Обычно к непараметрическим алгоритмам относят алгоритмы обработки наблюдений, инвариантные
(т. е. сохраняющие постоянное значение вероятности ошибки) по
отношению к одной из непараметрических гипотез.
Основным ограничением при этом является требование независимости элементов выборки. При коррелированных наблюдениях
непараметрические свойства помехи теряются.
Асимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения применимы в случае коррелированных помех, но обладают высокой
эффективностью лишь при большом времени наблюдения и порождают трудную аналитическую задачу исследования скорости их
сходимости к оптимальным алгоритмам. Последняя задача к настоящему времени не решена.
В данном разделе не рассматривались задачи обнаружения, совместного обнаружения и оценивания на фоне помех и невырожденных белых гауссовских шумов. Однако подобные задачи легко
сводятся к задачам обнаружения сигналов на фоне белого шума
с помощью хорошо известного в литературе метода выбеливания
[16, 119], который реализуется с помощью многомерных адаптивных выбеливающих фильтров [119].
41
Коротко остановимся в данном подразделе на решении задачи
обнаружения гауссовского сигнала с помощью методов гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами (ГПВЯ). При этом
исключительно полезными являются результаты, приведенные
в работах[136, 137].
Рассмотрим различные случаи постановки и решения данной
задачи.
Случай 1. Неравные ковариационные функции (случайный сигнал). Hi :
{ x ( t,w), t ∈ I } – гаусовский СПр с нулевым средним значением и
непрерывной ковариационной функцией Ri ( t, s ), i = 1,2 . При этом
принимается, что {Ri ( ⋅,⋅)} является такой, что проблема решения
является несингулярной, т. е. не способной принимать решение
с нулевой вероятностью ошибки.
Сильная несингулярность предполагает, что отношение правдоподобия имеет вид
1
Λ x=
(1.58)
(⋅) c exp − U ( w) ,  2

где c – нормирующая константа, удовлетворяющая условию
M2 [ Λ ] =1 , и U ( w) – некоторая случайная величина, вычисляемая
по выборкам x ( ⋅, w) с помощью квадратичных операций и удовлетворяющая следующему критерию.
Пусть U ( w1, w2 ) является СВ, полученной из U ( w) перезаписью
каждой квадратичной формы x ( t, w) x ( s, w) следующим образом
1
1
x ( t, w) x ( s, w) → x ( t, w1 ) x ( s, w2 ) + x ( t, w2 ) x ( s, w1 ) .
2
2
Отметим, что U ( w) является тем же самым U ( w, w) . Тогда получим следующий результат
(1.59)
M1 U ( w1, w2 )  = 0 = M2 U ( w1, w2 )  где M1 [⋅] и M2 [⋅] – означает математические ожидания вида
M2 x ( s, w2 ) U ( w1, w2 ) 
и
{
}
M1 x ( t, w1 ) M2 x ( s, w2 ) U ( w1, w=
R2 ( t, s ) − R1 ( t, s ),
2 ) 
42
( t,s ) ∈ I × I.
(1.60)
В работах Кайлата [136, 137] показано, что, если можно найти
симметрическую СВ U ( w1, w2 ) , которая является І квадратическим функционалом І x ( ⋅) и выполняются условия (1.59), (1.60) и
(1.61)
M1 U ( w, w)  < ∞ ,
M2 U ( w, w)  < ∞, проблема обнаружения строго несингулярна и отношение правдоподобия задается (1.58).
Как и в случае известного сигнала, общий метод нахождения
U ( w, w) основан на решении интегрального уравнения
U ( w )=
∫∫ x ( t,w) H ( t,s ) x ( s,w) dtds , (1.62)
II
где H ( ⋅,⋅) – является решением уравнения
) dudv
∫∫ R1 ( t,u ) H ( u,v ) R2 (v,s=
R2 ( t, s ) − R1 ( t, s ) ,
II
(t, s) ∈ I × I.
(1.63)
Решение H ( ⋅,⋅) обычно содержит импульсные функции и может
не быть однозначным. Различные варианты поиска решений уравнений (1.62) и (1.63) относительно U ( w) рассматриваются в [136],
[137] и др. Можно предположить, что существует другой вид решения, отличный от указанного, определяемый выражением
2
2
U ( w) = x R − x R . 1
2
(1.64)
Представление (1.64 более предпочтительно, так как позволяет
работать с каждой из ковариаций порознь. Причем эти раздельные
вычисления аналогичны тем, которые необходимы при решении
проблемы известного сигнала. Трудности при этом, конечно, суще2
ствуют и состоят в том, что x R является полностью непрерывным
i
с вероятностью единица. Однако если проблема является строго несингулярной, известно, что разность (1.63) должна хорошо себя вести. Поэтому бесконечности должны быть отброшены.
Общее несингулярное обнаружение
Известно [137], что обнаружение несингулярно и отношение
правдоподобия хорошо определено, даже если не выполняется ус43
ловие (1.61). В этом случае величина U ( w=
) U ( w,w) не будет хорошо определенной, но СВ U0 ( w=
) U ( w,w) − M1 U ( w,w) может подходящим образом интерпретироваться. Отношение правдоподобия
может быть записано в виде
 1

Λ =
x ( ⋅)  c0 exp − U0 ( w)  ,  2

(1.65)
где c0 , как и ранее нормирующая константа.
Рассмотрим гипотезы Hi : СПр x ( ⋅) – имеет математическое
ожидание mi ( ⋅) и ковариацию Ri , i = 1,2 .
Если проблема обнаружения – несингулярна (при простых
ГПВЯ условиях, которые будут приведены позднее) отношение
правдоподобия может быть записано
1

2
2 
=
Λ x ( ⋅)  exp Um1 ( w) − Um2 ( w) −  m1 R − m2 R   c0 ×
1
2 

2

 1

× exp − U0 ( w) ,
(1.66)
2


где Umi ( w) – линейные функционалы x ( ⋅) такие, что
{
}
{
}
Mi x ( t, w)=
Umi ( w)
mi ( t ),
=
t ∈ I , i 1,2 .
Поэтому Umi ( w) можно формально вычислить используя
U ( w) = ∫ x ( t, w) a ( t ) dt
I
или
U ( w) = x ( ⋅, w),m ( ⋅)
R
,
где ⋅,⋅ R – обозначает внутреннее произведение в ГПВЯ.
Условия сингулярности или несингулярности обнаружения
можно получить используя критерий Гаека, который утверждает,
что если
J=
(1.67)
N M1 [ln Λ N (x) ] − M2 [ln Λ N (x) ] , обнаружение будет несингулярным (сингулярным), если и только
если lim
 JN конечен (бесконечен). В соответствии с приведенныN →∞
44
ми рассуждениями в случае несингулярного обнаружения, отношение правдоподобия можно записать в виде предела
2 ln Λ=
x ( ⋅) 
lim 2 ln Λ
=
N (x)
N →∞
N
 N

lim  − ∑ x 2i (1 − l N,i ) l −N1,i − ∑ ln l N,i  . N →∞  i 1=i 1

=
=
(1.68)
Первая сумма в правой части (1.70)
N
−1
x 2i (1 − l N=
∑
,i ) l N,i
N →∞
lim
i =1
lim
=
UN U0 (1.69)
N →∞
зависит от наблюдений x ( ⋅) , а вторая
lim
N
∑ ln l=
N,i
N →∞ i =1
lim =
BN B0 (1.70)
N →∞
не зависит от наблюдений.
В [51] показано, что, если и только если
lim
N
∑ 1 − l N,i l −N1,i < ∞ (1.71)
N →∞ i =1
или, что эквивалентно, если и только если
N
∑ 1 − l N,i
N →∞
lim
i =1
< ∞,
lim l N,N > 0. (1.72)
N →∞
Первое условие в (1.72) является необходимым и достаточным
условием того, что B0 хорошо определена. Действительно, отметим, что можно записать
=
B
N
lim ln ∏ (1 + µ N,i ) , считая, что lim
N →∞
i =1
N
∑ µ N,i
N →∞ i =1
<∞,
который может быть идентифицирован как логарифм обобщенного Фредгольмовского детерминанта оператора R1 − I на ГПВЯ
H ( R2 ) .
45
Условия (1.71) или (1.72) более строгие, чем необходимые и достаточные условия, определенные в [135] для несингулярного обнаружения. Поэтому, учитывая (1.69) и (1.70), можно записать (1.68)
в виде
N


2 ln Λ x ( ⋅)  = −  lim ∑ x i2 (1 − l N,i ) l −N1,i − (1 − l N,i )  −
 N →∞ i =1

(1.73)
N


−  lim ∑ ( ln l N,i ) + (1 − l N,i )  = − [U0 ] − [ B0 ] .
 N →∞ i =1

{
}
{
}
Помимо решения задач линейной фильтрации сигналов для систем с сосредоточенными параметрами и обнаружения гауссовских
сигналов на фоне шумов существуют и решаются задачи линейной
фильтрации сигналов для систем с распределенными параметрами.
Необходимо отметить, что несмотря на достаточно большое число работ, посвященных изложению вопросов применения теории
ГПВЯ к задачам фильтрации не рассматривалось применение указанной теории к конкретным задачам локационного наблюдения
в условиях априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и Іокрашенных шумов І.
Краткий обзор методов решения некорректных задач
со случайными ошибками в данных
Как было показано в [84] задача линейной фильтрации фактически сводится к решению уравнения 1-го рода в гильбертовых пространствах, которое в абстрактной форме можно записать в виде
Au = f , (1.74)
где u – искомый, f – данный элементы некоторых гильбертовых
пространств H и F, а A – заданное линейное отображение из H в F.
Причем наряду с точными данными задачи { A, f} рассматривается случай, когда оператор задан приближенно. В абстрактных терминах это означает, что известна пара { Ah , fδ } , аппроксимирующая пару { A, f} . В теории регуляризации одна из основных задач
состоит в построении по приближенным данным { Ah , fδ } последовательности приближенных решений {uh,δ } такой, которая сходится в пространстве H к точному решению u уравнения (1.74) при
условии сходимости исходных данных { Ah , fδ } к { A, f} . Вместе
46
с тем мы можем не иметь никакой информации о существовании
точного решения u. В этом случае выдвигается требование, чтобы
последовательность {uh,δ } удовлетворяла условию
2
2
lim Ah uh,δ − fδ = inf Au − f F . F u∈H
( h,δ )→0
(1.75)
Указанные задачи являются некорректными (неустойчивыми).
Это означает, что малые возмущения исходных данных, вообще говоря, приводят к значительным ошибкам в окончательных результатах.
Задача (1.74) называется корректно поставленной по Тихонову,
если выполнены следующие условия [81]:
1) априори известно, что решение задачи (1.74) существует
и принадлежит некоторому заданному множеству M ⊆ H , т. е.
f ∈N =
AM ;
2) решение единственно на множестве M, т. е. оператор обратим
на множестве M;
3) существует непрерывная зависимость решения u от правой
части f, когда изменения f не выводят решение за пределы множества M, т. е. оператор A −1 непрерывен в относительной топологии
множества N.
Однако может случиться, что оператор A необратим (т. е. решение задачи (1.74) неединственно), или уравнение (1.74) вообще не
имеет точного решения. В этой ситуации можно обобщить понятие решения так, что «обобщенное» решение будет определяться
однозначно, устойчиво по возмущениям правой части f и совпадает
с обычным решением в случае обратимого оператора при достаточно общих предположениях об операторе A. Причем для отыскания
этого «обобщенного» решения можно применить достаточно эффективные (с точки зрения численной реализации) регуляризованные методы.
Псевдорешения и псевдообратные операторы
Наряду с методами регуляризации для решения систем (1.74)
применяются методы псевдообращения.
В работе авторов [81] приведены методы решения некорректных
задач с помощью псевдообратных операторов. Показаны условия
существования и единственности псевдорешения, определяемые
следующей леммой.
47
Лемма (И.И. Ляшко и др. [81]). Если оператор A замкнут и имеет плотную в H область определения D(A), то псевдорешение уравнения (1.74) существует и единственно тогда и только тогда, когда
⊥
f удовлетворяет условию f ∈ R ( A ) ⊕ R ( A ) .
Необходимые и достаточные условия существования псевдорешения могут быть записаны в виде
Au0 =
f,
f=
f1 + f2 ,
A∗f2 ==
0,
u0 lim A ∗ yn ,
n →∞
где A∗ – сопряженный к A оператор, сходимость
{ A∗yn }n=1 к u0
∞
сильная, f1, f2 и yn – некоторые элементы из F. Задается линейное
отображение A+, ставящее каждому f, удовлетворяющему условию
⊥
f ∈ R ( A ) ⊕ R ( A ) псевдорешение уравнения (1.74). Оператор A+ называется обобщенным обратным или псевдообратным оператором
к A.
Необходимые и достаточные условия псевдообратного оператора A+ задаются следующими равенствами.
1) A A + =
Ax Ax , ∀x ∈ D ( A ) .
A∗+ y A + y, ∀y ∈ D A + .
2) A + A =
A ∗ x A + Ax , ∀x ∈ D ( A ) .
3) A +=
+
y A A∗ y, ∀y ∈ D A + ,
4) A A=
⊥
R( A) ⊕ R( A) ,
R ( L) ⊂ D( A ) .
где D ( L ) =
В работе авторов [81] показано, что ГПВЯ оказываются весьма
полезными при исследовании операторных уравнений (1.74), приведен ряд теорем, доказывающих это утверждение.
Поскольку в теории линейной фильтрации на входе «окрашенного шума» приходится решать уравнения (1.74), например, интегральные уравнения Фредгольма или Вольтерра 1-го рода, в дальнейшем потребуются результаты теории псевдообратных операторов и теории регуляризации по А.Н. Тихонову, наиболее подробно
описанные в [81].
(
(
)
)
( )
( )
Выводы
На основании обзора современного состояния теории и алгоритмов обнаружения, оценивания и фильтрации, используемых в системах ССС, заключаем следующее:
1. В теории обнаружения, оценивания и фильтрации сигналов
на фоне помех и вырожденного белого гауссовского шума, или чи48
сто «окрашенного шума», не конкретизировались модели сигналов, помех, шумов, необходимые для получения структуры оптимальных приемных устройств;
2. Все результаты теории обнаружения, оценивания и фильтрации сигналов на фоне помех и вырожденного белого гауссовского
шума, или чисто «окрашенного шума», рассматривались лишь для
полностью известных статистических характеристиках сигналов,
помех и шумов. Это не позволяет их использовать в реальных условиях функционирования ССС;
3. Не исследовалась возможность применения положений теории ГПВЯ к решению различных задач спутниковых сетей связи;
4. Не рассматривались особенности реализации разрабатываемых алгоритмов на основе ЭЦВМ и связанные с этим потери за
счет влияния эффекта конечной разрядности чисел в процессе вычислений, которые в реальных условиях работы могут быть весьма
значительными и достигать весьма больших значений. Это может
привести не к улучшению, а к потерям в качественных характеристик ССС;
5. Не рассматривалось применение методов безошибочных вычислений для решения задач обработки сигналов на фоне «окрашенного шума» и вырожденного белого шума.
49
2. ВЫБОР ХАРАКТЕРИСТИК СЕТЕВОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
2.1. Пространственно-временные изменения электромагнитных
параметров трассы распространения сигнала
В реальных условиях эксплуатации радиотехнических комплексов НСС необходимо учитывать значительное влияние на их
внешние радиоканалы сред с переменными параметрами. Решение
этой проблемы определяет создание новых методов и методик расчета и проектирования радиолиний в сигнальном виде. Проблема
покрывает собой и решение частных задач проектирования радиоканалов различного назначения. К таким радиоканалам относятся
радиоканалы систем космического базирования, трассы распространения радиосигнала которых проходят через возмущённую
ионизированную среду. Их внешний радиоканал включает в себя
среду с пространственно-временным изменением электромагнитных параметров, соизмеримым с частотой сигнала.
Импульсный характер работы двигателей космических систем определяют наличие ионизированной нестационарной среды
в радиолиниях различного назначения. Полёт гиперзвукового летательного аппарата в атмосфере сопровождается механическими
колебаниями его корпуса, что в свою очередь приводит к колебательным движениям потока плазмы. В этом случае для бортовых
систем внешний канал радиолинии проходит через среду с переменными параметрами. Отмеченные особенности функционирования радиосистем позволяют рассматривать их радиолинии с внешним каналом, проходящим через возмущённую, нестационарную,
закритическую ионизированные среды.
При движении в атмосфере ракет и спуске космических аппаратов одноразового использования вокруг них возникают плазменные образования, параметры которых являются функциями
пространства и времени и зависят от формы обтекаемого тела,
высоты и скорости полёта, физико-химических свойств теплозащитного покрытия вследствие его высокотемпературного нагрева.
Многообразие применяемых теплозащитных материалов с различными механизмами их разрушения приводит к крайне сложному
взаимодействию высокоэнтальпийного газа с разрушающимися покрытиями. В каждый последующий момент времени полёта таких
аппаратов свойства плазмы, теплозащитного покрытия изменяются (медленно по сравнению с несущей частотой сигналов бортовых
радиосистем) и могут существенно повлиять на характеристики
50
внешнего канала радиолиний, вплоть до полного прекращения связи. Возвращение орбитального корабля многоразовой космической
системы производится за счёт увеличения продолжительности их
полета в атмосфере. Этот рост времени, без снижения суммарного количества подведённого к аппарату тепла, пропорционально
уменьшает тепловой поток, воздействующий на теплозащитное покрытие, и ведёт к использованию покрытия радиационного типа.
Отсутствие разрушающего теплозащитного покрытия и более лёгкий теплофизический режим полёта позволяют представить радиолинии систем посадки и ближней навигации с высоты полёта менее
40 км с внешним каналом, включающим в себя бортовую антенну
с плиточным теплозащитным покрытием при интенсивном тепловом воздействии. Эти покрытия влияют на характеристики излучения бортовых антенн, которые являются медленными функциями
времени полёта аппарата в атмосфере [43, 44].
Отмеченные особенности функционирования космических радиолиний позволяют выделить такие их участки, влияние которых на функционирование радиосистем недостаточно исследовано,
но имеет определяющее значение при разработке новой техники.
К ним относятся среды с временными и пространственно-временными изменениями параметров, закритические ионизированные
среды, пристеночная плазма, диэлектрическая теплозащита антенн (в отсутствии и при наличии тепловых воздействий), бортовые
антенны. К остальным участкам радиолиний могут предъявляться
известные требования по их построению и методам расчётов.
Разработка и построение перечисленных радиолиний обладает
высокой сложностью и, несомненно, актуальна на сегодняшний
день. С развитием перспективной техники и изменением их тактико-технических характеристик становятся все более жёсткими требования к радиолиниям с точки зрения учёта влияния сред с пространственно-временными изменениями параметров, как существенно влияющих на функционирование радиосистем различного
назначения в целом.
Для достижения поставленной цели необходимо решить задачу разработки модели внешнего канала связи в средах с пространственно-временными изменениями параметров при любых соотношениях частот этих изменений с частотой радиосигнала и обобщить её на случай среды конечных размеров, а также создать теорию взаимодействия радиосигнала и среды. Совершенно очевидно,
что среда с переменными пространственно-временными электромагнитными параметрами оказывает влияние и на измерительные
51
(метрические), и на информационные каналы. В этом отношении
тактико-технических характеристик (ТТХ) РТС различного целевого назначения (связные, радиолокационные, навигационные,
управления и т. д.) будут зависеть от функциональных изменений
параметров среды.
Основное внимание в работе уделено анализу и синтезу информационных радиолиний. Именно поэтому далее рассмотрим проблемы анализа влияния среды с переменными параметрами на
радиосигнал и, как следствие, влияние такой среды на информационные характеристики радиоканала.
Максимальная протяжённость внешнего канала при отсутствии
мешающих факторов, воздействующих на распространение радиоволн, определяется на основании «уравнений радиолокации» для
свободного пространства. В случае среды с пространственно-временными изменениями параметров значение дальности претерпевает существенные изменения: изменение параметров среды во
времени приводит к значительным деформациям спектра сигнала,
а пространственные вариации к дифракционным явлениям. При
этом среды, даже недиспергирующие, приобретают, при определенных условиях, дисперсионные свойства. Всё это вызывает возникновение частотных, фазовых и амплитудных искажений проходящих сигналов, изменение их формы и сдвиг во времени, расширение угла распространения радиоволн (расщепление пучка
радиоволн) после прохождения в такой среде или при отражении
от неё, рост потерь на поглощение и на отражение на таких трассах
распространения. При определенных условиях может возникнуть
даже усиление отдельных частотных составляющих, когда энергия
внешних источников, воздействующих на параметры среды, через
изменение этих параметров передаётся проходящей или отраженной волне, то есть происходит своеобразное параметрическое усиление.
Известно, что от формы сигнала зависят технические параметры радиолинии, поэтому среды с пространственно-временными
изменениями электромагнитных параметров накладывают ограничения на технические характеристики РТС. В то же время такие
среды обладают большими возможностями при использовании их
для целей активной радиомаскировки. Например, размещение на
каком-либо объекте отражателей, покрытых материалами с модулируемыми по сложному закону электромагнитными параметрами
(или покрытие всего объекта такими материалами) приведёт к разрушению функции неопределенности сигнала и, следовательно,
52
к невозможности измерения координат и скорости такого объекта.
Если в качестве модулирующей функции на борту маскируемого
объекта использовать записанный ранее доплеровский сигнал какого-либо местного предмета, то, введя в модулирующую функцию
поправку на собственную доплеровскую скорость (при известной
длине волны), можно достигнуть такого эффекта, при котором сигналы, отражённые от объекта, будут восприниматься как местные
предметы.
Отличительным свойством сред с пространственно-временным
изменением электромагнитных параметров является разделение
частотных составляющих отраженного и прошедшего сигналов по
направлениям. На рис. 2.1 схематично показан процесс прохождения сигнала до объекта через такую среду. В этом случае наблюдается значительное изменение эффективной площади ее рассеяния
sц из-за облучения разными частотными составляющими сигнала,
прошедшего область рассматриваемой среды, из разных направлений. Также будет изменяться эффективная поверхность рассеяния
(ЭПР) и самой области sоб. Приём же таких отраженных (оттранслированных) сигналов от цели и области зависит от полосы пропускания приёмника и параметров антенны РТС, характеристики
которых априорно не учитывают возможного разделения частот-
ω–1 Tn
ω0
σоб(ω0,...,ω–1,Rn)
ω0
ω0
Rn ω0
ω–1
ω0
ω–1
R′n
ω–1
T′n
σц(ω0,...,ω–1,Tn,T′n)
Рис. 2.1. Процесс прохождения сигнала от наземной станции связи
до объекта в прямом и обратном направлениях
53
ных составляющих сигнала по направлениям. Будет изменяться
уровень и фазочастотные характеристики сигнала, проходящего
по информационному каналу.
Существуют условия, при которых взаимодействие сигнала
с возмущением пространственно-временных сред приводит к неустойчивому усилению основной и боковой частотной составляющей
на 30–40 дБ. То есть такие среды обладают полосой усиления – резонансной полосой. Это, в свою очередь, также существенно изменяет ЭПР цели и возмущенной области, причём ЭПР последней может значительно превышать ЭПР цели. Для сведения к минимуму
искажений сигнала в этом случае необходимо, чтобы ни одна из
спектральных составляющих этого сигнала не лежала в данной полосе. Из вышесказанного ясно, что работа современных РТС невозможна без учёта ограничений, накладываемых окружающей средой с пространственно-временными изменениями электромагнитных параметров. Методологически удобно разделять эти среды на
среды с медленными и быстрыми (по отношению к несущей частоте
зондирующего сигнала) изменениями.
К первой группе сред с такими свойствами относятся области
тропосферы, параметры которых изменяются под влиянием естественных (турбулентные процессы, волнение моря, осадки, ветры
и др.) и искусственных (звуковые волны, нестационарные отражатели, барографические изменения параметров воздуха и др.) факторов. В реальных условиях эксплуатации РТС различного назначения приходится также встречаться с сильным влиянием на работу их радиолиний ионизированных сред в виде ионосферы, факела
реактивных двигателей, ударных волн и спутных следов ракет,
возвращаемых космических аппаратов, орбитальных самолётов.
Встречающиеся на практике ионизированные среды являются, как
правило, неоднородными и нестационарными.
Экспериментальные исследования в нижней части атмосферы
(тропосфере) по влиянию ветра на работу РТС, например, в миллиметровом диапазоне волн, проведённые для трассы длиной 19 км при
высоте установки над уровнем моря – 450 м показали, что во время порывов ветра от 9 до 12 м/с флуктуации амплитуды сигнала достигают
величин 20 дБ и более. Эти флуктуации зависят от турбулентности и
неоднородности тропосферы. Турбулентность возникает в результате
изменения силы и направления ветра и вариаций температуры вдоль
пути распространения сигнала. Всё это вместе с переменным содержанием влажности вызывает случайные изменения рефракции и поглощения в среде. Измерения фазового фронта волны показывают, что
54
возможны флуктуации на H(t, ϑ) . Качественная сторона турбулентных процессов в атмосфере подробно изложена в литературе, поэтому достаточно лишь ограничиться тем фактом, что для принятых там
моделей среднеквадратичное отклонение показателя преломления
тропосферы 10−6 , а для ионосферы величина относительных флуктуаций примерно равна 10−2 [42]. В случае дождя также наблюдается
существенное изменение характеристик радиолокационного сигнала.
Например, капли дождя со средним размером около 2 мм с интенсивностью 12,7 мм/ч, имеющие скорость падения у земной поверхности
порядка 6 м/с, создают уширение спектра сигнала 3 кГц, а время когерентности приблизительно равно 300 мкс.
Другим примером по влиянию сред с пространственно-временными изменениями параметров является радиолиния через факел двигателя. При наличии факела сигналы подвергаются отражению, поглощению и беспорядочной амплитудной модуляции.
Сигналы имеют искажения по амплитуде и фазе. Флуктуации еще
более усиливаются при импульсном характере работы двигателя,
при искусственном изменении радиофизических параметров факела для улучшения радиомаскировки и т. д. Экспериментальные исследования по влиянию таких сред описаны в [42]. Так для факела
двигателей ракеты «Сатурн» возможны флуктуации амплитуды
сигнала до 20 дБ, а при их отработке (отделении ступеней ракеты) –
до 60 дБ с шириной спектра 2 кГц. Фазовые флуктуации могут наблюдаться с амплитудами в несколько десятков градусов и шириной спектра до 1–2 кГц.
Приведённые частные примеры относятся к средам со случайными медленными пространственно-временными изменениями электромагнитных параметров. Необходимо отметить, что существуют и
детерминированные (непериодические, периодические, гармонические) медленные изменения параметров среды по сравнению с частотой зондирующего сигнала. Так при слежении за входящими в плотные слои атмосферы Земли ракетами, спускаемыми космическими
аппаратами и орбитальными самолётами отмечаются детерминированные изменения основных параметров сигналов. Это объясняется
тем, что полёт этих объектов часто сопровождается вращательными
и нутационными колебаниями, которые в свою очередь приводят
к колебательным движениям потока плазмы вокруг тела. Частота
этих колебаний может достигать значений до 10 кГц.
Ионизированные области могут обладать нестационарными
свойствами, что приводит к уменьшению дальности действия РТС
из-за искривления пути радиоволны, изменения групповой скоро55
сти сигнала, поглощения, рассеяния и отражения, амплитудно-фазовых искажениям, обусловленным зависимостью концентрации
электронов Ne от времени. Как известно, днём C(t, t) через t секунд после взрыва будет уменьшаться следующим образом: через 1
секунду – до 107 ñì −3 , через 11 секунд – до 106 ñì-3 и т. д. Поэтому
рассеянное ионизированной областью излучение может быть принято РЛС так же, как и отметка от действительной цели с нестационарными параметрами.
Исследование влияния пространственно-временных изменений
электромагнитных параметров среды на сигнал значительно усложняется при соизмеримости частоты изменения с частотой сигнала. Примером такой ситуации является взаимодействие сигнала
с ионизированными средами, концентрация электронов которых
модулирована в пространстве и времени. Реальное возмущение создаётся за счёт нелинейных эффектов, магнитно-ионных эффектов,
под воздействием распространяющейся в ионизированной среде
продольной волны и т. д., причём эти эффекты проявляются уже
в сравнительно небольших и лёгко достижимых электрических
полях. Например, вследствие нелинейности, обусловленной силой
Лоренца, в ионизированной среде возникает продольное колебание электронов и продольный ток. Так как скорость модулирована
в направлении распространения возмущаемой волны, то и концентрация электронов также будет модулирована в этом направлении.
Таким образом, возмущающие поперечные волны поля создают
продольные волны концентрации электронов. Нелинейность среды
также может определяться и инерционными свойствами вещества,
проявляющимися в конечной, а не в мгновенной скорости изменения параметров среды под действием распространяющегося электромагнитного поля, под влиянием специально вводимых химических элементов. При этом реакция среды запаздывает на конечное
время, которое в первом случае зависит от величины воздействующего поля, а во втором – от скорости химических реакций.
Как известно, в диапазоне СВ наблюдается явление перекрестной модуляции сигналов в ионосфере. Этот тип нелинейности – нагревный, который связан с ростом частоты столкновений ν ýôô в зависимости от частоты модуляции мощной станции. Существует и
другой тип нелинейности, связанный с изменением электронной
концентрации в изотропной неоднородной ионизированной среде
с малыми потерями. Напряжённость электромагнитного поля, необходимая при первом типе нелинейности, растёт с ростом частоты
сигнала и может достигать в сантиметровом диапазоне значения
56
порядка 104 Â/ñì . Во втором же случае возмущения не так критичны к величине поля и в основном обусловлены соотношением
частот w  ν ýôô , w ≥ ν êð и градиентом изменения Ne . Это различие вызвано тем, что изменение скорости и частоты столкновений
пропорционально квадрату амплитуды поля, а изменение Ne – ам плитуде падающего поля [42].
Поэтому оказывается, что волна большой мощности может вызвать появление пространственно-временной периодичности ионизированной среды и привести к сложному взаимодействию излучённых РТС импульсов со средой (например, возникновение параметрических эффектов). Эти эффекты возникают, когда временные
и пространственные вариации возмущений волны сравнимы по порядку величины с частотой сигнала. Благодаря изменениям плотности среды во времени возникает набор смешанных частотных составляющих, а из-за пространственной периодичности проявляются дифракционные явления. Всё это может полностью изменить характеристики сигнала и привести к нераспознаванию сообщения.
Для исследования влияния пространственно-временных изменений электромагнитных параметров среды на сигнал необходимо
определить связь между падающим S(t) и прошедшим (отраженным) Sïð ( t ) импульсом через среду. В этом случае ее можно записать в виде:
Sïð ( t ) =
t
∫ S ( t′) f ( t,t′) dt′, (2.1)
−∞
где f (t,t′) – импульсная характеристика (ИХ) среды.
В практических задачах импульс S(t) представляет собой модулированный сигнал с несущей частотой w0 :
S ( t ) = Re A ( t ) e− jw0t , (2.2)
где A ( t ) — комплексная огибающая зондирующего импульса, и,
представляя S(t) в виде интеграла Фурье
S (t =
)
1
2p
∞
∫ S ( w) e
j wt
dw ,
(2.3)
−∞
можно записать прошедший (отраженный) сигнал через среду
с пространственно-временными изменениями параметров как
57
Sïð=
(t )
1
2p
∞
∫ S ( w) F ( w,t ) e
j wt
dw ,
(2.4)
−∞
Величина F ( w,t ) e jwt представляет собой отклик среды на входной сигнал e jwt и в соответствии с терминологией называется нестационарной функцией передачи. Поэтому, определив влияние
пространственно-временной среды на параметры монохроматической волны, можно по последней формуле записать прошедший
импульс.
Волновые уравнения для векторов магнитной и электрической
индукций монохроматической волны распространяющейся в среде
с изменяющимися во времени параметрами, имеют вид:
∂  ∂B 
∂B
= 0,
 ea
 − µa γ ý
∂t  ∂t 
∂t
(2.5)
∂  ∂D 
∂  µa γ ý 
D  =0.  µa
 − ea 
∂t 
∂t 
∂t  ea

(2.6)
∇2 B − µ a
∇2 D − e a
Эти уравнения представляют собой уравнения сложной структуры, которые необходимо решать при заданных граничных и начальных условиях, а также при заданном расположении и составе
первичных источников поля. Они являются уравнениями в частных производных, а их коэффициенты могут различным образом
(случайно или детерминировано) зависеть от времени и пространственных координат. Для решения волнового уравнения (2.5) разделяем составляющие вектора B на пространственную R ( r ) и временную T(t) части, тогда в сферической системе координат общее
его решение будет [42]:
=
B(r,t)
∞ p 2p
∫ ∫ ∫ [ A(q,f)C1 (k)T1 (k,t) + A(q,f)C2 (k)T2 (k,t)] ⋅ e
jkr
dfdqdk, (2.7)
00 0
где HC (t, t) ≠ HCl (t, t),∀=
l 1...ϖ и C2 ( k )T2 ( k,t ) удовлетворяют уравнению
de
γý + a
2
d2T
dt dT + k T =
0 ,
+
(2.8)
ea
dt ea µa
dt2
а A ( Q, f ) e jkr – уравнению
58
∇2 R + k2 R =
0 .
(2.9)
Закон изменения электромагнитных параметров среды определяет вид уравнений (2.8) и (2.9). Так, если концентрация электронов в ионизированной среде изменяется по гармоническому закону,
то (2.8) сводится к уравнению Матье. Решение полученных уравнений и их исследование позволяют определить влияние пространственно-временной среды на прохождение, отражение монохроматической волны и на спектральный состав сигнала. Применение же
выражения (2.4) дает возможность оценить влияние такой среды
на форму сигнала.
2.2 Медленные детерминированные изменения параметров
внешнего канала
Для расчёта напряженности электрического поля Е монохроматической волны уравнение (2.5) преобразуется к следующему виду:
∇2 E − µa ea (t)
 ∂ 2 e


∂E
a + ∂γ ý E + 2 ∂ea ∂E = 0. (2.10)
−
µ
γ
(
t
)
−
µ




a
a
ý
∂t
∂t 
∂t ∂t 
∂t2
 ∂t2
∂2 E
При медленных во времени изменениях параметров среды
в этом уравнении можно пренебречь слагаемыми, содержащими первую и вторую производные. Тогда уравнение отличается от
обычного однородного уравнения электромагнитного поля только
тем, что множители перед вторым и третьим членами медленно (по
сравнению с частотой радиоволны) изменяются во времени. Такие
изменения можно считать независимыми в каждый последующий
момент времени. Поэтому достаточно решить это уравнение для
ряда постоянных во времени электромагнитных параметров среды
при заданных граничных условиях. Дальнейший анализ полученного ряда решений позволит оценить влияние медленных изменений параметров среды на сигнал. Иными словами, решение задачи
ищется при независимых от времени eα и γ α а затем исследуется
влияние изменений eα и γ α путём их девиации в найденном решении. Критерием применимости данной методики является условие, при котором можно пренебречь слагаемыми, содержащими
первую и вторую производные от параметров среды во времени. Так
при условии, что эти слагаемые составляют всего 1% от предыдущих, критерием медленности будет Ω ≤ 5 ⋅ 10−3 w , где Ω – частота
изменения параметра среды. Методика расчёта электромагнитного
59
поля в средах с медленными изменениями электромагнитных параметров во времени применима для любых законов их изменения,
как для детерминированных, так и для случайных. При этом должно выполняться выше записанное условие для любой спектральной
составляющей флуктуаций параметров. Оценка влияния медленных изменений параметров среды справедлива для объекта (среды,
тела) с любыми границами и волн с любой фазовой поверхностью,
если известно решение при неизменных параметрах. Тогда напряжённость электрического поля можно записать в виде
=
E Em ( x, y, z, ea ( t ) ) ⋅ e
(
− j wt +Ψ ( x,y,z,ea ( t ) )
).
(2.11)
Если eα ( t ) – детерминированная функция времени, то тогда
амплитуда Em ( x,y,z,ea ( t ) ) и фаза Ψ ( x,y,z,ea ( t ) ) также детерминированные функции, то есть результирующие колебания соответствующим образом будут модулированы по амплитуде и фазе. Если eα ( t ) – гармоническая функция времени, например,
ea ( t ) = ea + eam cosΩt , то амплитуда Em ( x,y,z, ea + eam cosΩt ) и фаза Ψ ( x,y,z, ea + eam cosΩt ) будут представлять собой периодические
функции и могут быть разложены в ряд Фурье
N
Em ( x,y,z, ea + eam
=
cosΩt ) E0 ( x,y,z ) + ∑ El cos ( lΩt + ql ) . (2.12)
l =1
Эффективная площадь рассеяния sý таких объектов также будет
определяться изменением диэлектрической проницаемости eα ( t )
и флуктуировать в зависимости от закона её изменения. Так, в случае работы РТС на длине волны l = 8 мм, на трассе распространения
сигнала которой находится ионизированный слой площадью S с изменяющейся концентрацией электронов Ne = 0,87 ⋅ 1013 (1 + cosΩt ) ,
эффективная площадь рассеяния будет флуктуировать в пределах
от 0 до 4p
S2
. Это объясняется тем, что e слоя меняется от 1 до
l2
0, и слой при этих значениях обладает свойствами или свободного
пространства, или металлического экрана.
Применим изложенную методику для исследования прохождения и отражения монохроматической волны сигнала при его падении на плоский слой ионизированной среды с медленным гармоническим изменением концентрации электронов во времени. В этом
60
случае модули и фазы коэффициентов прохождения и отражения
определяются через известные соотношения:
−1

2
2


[
ε
]
−
(
t
)
1
d



ε (t)   ,
T (t) = 1 +
sin 2  2π

4ε (t)
 λ




 ε (t) + 1 
d
d

ε (t)   − 2π ,
ΨT (t) = arctg
tg 2π

λ
λ
ε
t
2
(
)






(2.13)
−1
2
2



[
]
ε
t
d
t
d
(
)
1
(
)
1
−
−
ε




R(t) =
ε (t)   ,
sin  2π
sin 2 2π
ε(t)  1 +
2 ε (t)
4 ε (t)

 λ

 λ


−1
 ε(t) + 1 

d

tg 2π
ε (t)   ,
Ψ R (t) = arctg


 2 ε (t)  λ

где e(t) =1 −
Ne (t)e2
– относительная диэлектрическая проницаеe0me w2
мость бесстолкновительной докритичной ионизированной среды
( 0  e ≤ 1) , me , e – масса и заряд электрона соответственно.
При гармоническом изменении диэлектрической проницаемости e (концентрации электронов) слоя с частотой Ω , удовлетворяющим критерию медленности, происходит модуляция амплитуды
и фазы результирующего колебания. Тогда выражения 2.13 представляют собой периодические функции и могут быть разложены
в ряд Фурье.
Так, например, модуль коэффициента прохождения записывается в виде
T ( Ωt=
)
где
=
Tl
al2
+ bl2
Ω
, a l=
p
2p
Ω
∫
0
T0 ∞
+ ∑ T l cos ( lΩt + ql ) , 2 l=1
Ω
T (Ωt) cos lΩtdt, b l =
p
b
tgQl = l , l = 0, 1, 2, ... ,
al
2p
Ω
∫
(2.14)
T (Ωt) sin lΩtdt,
0
Использование этих разложений позволяет получить спектральный состав монохроматической волны, отраженной и проходящей
61
через слой с изменяющейся во времени диэлектрической проницаемостью. На рис. 2.2 приведены зависимости T ( Ωt ), ΨT ( Ωt ), R ( Ωt )
и сумм пяти и семи гармонических составляющих их разложения
в ряд Фурье для двух толщин слоя e1 ( t )= 0,5 (1 − cos Ωt ) ;
d
= 0,5.
l
Закон изменения e1 ( t )= 0,5 (1 − cos Ωt ) показан на рис. 2.2, а.
На рис. 2.3 представлены зависимость T ( Ωt ) и сумм пяти и семи гармонических составляющих его разложения в ряд Фурье
для аналогичных толщин при следующих законах изменения
e2 ( t ) = 0,5 (1 − 0,5 cos Ωt ) (рис. 2.3, а, б) и e3 ( t=
) 0,71(1 − 0,4 cos Ωt )
(рис. 2.3, в, г).
Подставляя полученные значения спектральных составляющих
в (2.12) и далее – в (2.4), можно определить искажение формы радиосигнала SÏÎ ( t ) .
Произведённый анализ даёт возможность исследовать появляющуюся модуляцию монохроматического колебания радиосигнала и количественно оценить его спектр, который состоит
из составляющих основной и боковых частот, отличающихся от
основной на частоту, кратную частоте изменения диэлектрической проницаемости. Спектральные характеристики отраженного поля несущей частоты сигнала от слоя плазмы с параметрами
d
Ne =
0,4 ⋅ 1011 (1 + 0,1cos Ωt ) ; = 1,0 ; l =3,2 см; F = 20 кГц показаl
ны на рис. 2.4.
Отметим, что амплитуды спектральных компонент существенно зависят от величины модуляции концентрации электронов. Так
с ее ростом наблюдается значительный рост их амплитуд и уменьшение амплитуды центральной составляющей.
Для оценки влияния таких сред на диаграмму направленности
антенны необходимо рассмотреть наклонное падение плоской радиоволны на плоский слой с медленным гармоническим изменением диэлектрической проницаемости во времени, используя известные формулы для комплексных коэффициентов прохождения и отражения. Так, например, набег фазы комплексного коэффициента
прохождения имеет вид:
 cos2f e ( t ) + 1 − 1 − e ( t ) 


 
 tg  2p d e t + cos2f − 1  ,
ΨT ( t ) arctg 
(
)
(2.15)


 2e t cosf e t + cos2f − 1  l

()
 ( )

где f – угол падения волны.
62
аT
d/λ=1,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
б
0
40
80
120
160
200
240
280
T
1,0
Ωt
320
d/λ=0,5
0,8
0,6
0,4
0,2
0
в
40
80
120
160
200
240
280
Ωt
320
d/λ=0,5
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1,0
R0
г
40
–20
–40
80
120
160
200
240
280
320
Ωt
d/λ=0,5
–60
–80
–100
–120
–140
Рис. 2.2. Зависимости T, R, ΨT и сумм семи и пяти гармонических
составляющих их разложения в ряд Фурье для закона изменения
диэлектрической проницаемости слоя e1 ( t ) :
a) T и e1 от Ωt при
d
d
d
= 1,0 ; б) T от Ωt при = 0,5 ; в) R от Ωt при = 0,5 ;
l
l
l
d
г) ΨT от Ωt при
= 0,5 .
l
63
аT
d/λ=1,0
1,0
0,8
0,6
0,4
ε1
0,2
б
0
40
80
120
160
200
240
280
T
1,0
Ωt
320
d/λ=0,5
0,8
0,6
0,4
0,2
0
в
40
80
120
160
200
240
280
Ωt
320
d/λ=0,5
–0,2
–0,4
–0,6
–0,8
–1,0
г
R0
40
–20
80
120
160
200
240
280
320
d/λ=0,5
–40
–60
–80
–100
–120
–140
Рис. 2.3. Зависимости T и сумм семи и пяти гармонических
составляющих их разложения в ряд Фурье для слоя с:
a) e2 ( t ) при
64
d
d
d
= 1,0 ; б) e2 ( t ) при = 0,5 ; в) e3 ( t ) при = 1,0 ;
l
l
l
d
г) e3 ( t ) при
= 0,5
l
Ωt
0 дБ
–3,2
–3,2
–10,6
–10,6
–21,2
–21,2
–34
ω–4Ω ω–3Ω ω–2Ω ω–Ω
–34
ω
ω+Ω ω+2Ω ω+3Ω ω+4Ω
Рис. 2.4. Спектральная характеристика отраженного поля
несущей частоты сигнала от слоя плазмы с медленно меняющейся
концентрацией электронов
Расчёты по аналогичным формулам для различных углов падения волны дают возможность, в частности, оценить влияние
нестационарного слоя плазмы на диаграмму направленности антенны. Так, при изменении концентрации электронов по закону
Ne =
0,87 ⋅ 1013 (1 + 0,1cos Ωt ) , l =8,2 мм, диаграмма направленности непрерывно изменяется с периодом изменения Ne . В момент
Ωt =0 , при котором Ne = Ne êð , радиоволны не проходят через
слой, затем, с увеличением Ωt , постепенно возрастают коэффициент направленности и ширина диаграммы направленности. Она достигает своей предельной величины при Ωt =p ( Ne =0 ) и является
диаграммой направленности антенны в свободном пространстве.
В следующем полупериоде ширина диаграммы направленности и
коэффициент направленности соответствующим образом уменьшаются, становясь равными нулю при Ωt = 2p . Далее флуктуации
диаграммы направленности повторяются с периодом, равным периоду изменения концентрации электронов плазмы.
При малых изменениях по величине электромагнитных параметров среды, исходя из принципа малых возмущений, целесообразно представление решения в виде ряда Тейлора. Эта методика оценки влияния малых изменений параметров среды на распространяющейся в ней радиосигнал или изменений параметров объекта на
отражение и преломление им радиоволн справедлива практически
при любой его форме и может быть применена, если известно решение электродинамической задачи для рассматриваемого объекта
или среды при постоянных электромагнитных параметрах.
65
Предположим, что в объекте, через которое проходит и от которого частично отражается радиоволна, в функции времени изменяется диэлектрическая проницаемость относительно своего среднего
значения e . Тогда e = e + e~ , где e~ – мгновенное значение переменной части диэлектрической проницаемости и представим, например, коэффициент прохождения в виде ряда Тейлора:
2
n
e
e
1
2
n
T = T ( e + e~ ) = T e + e~T ( ) ( e ) + ~ T ( ) ( e ) + ... + ~ T ( ) ( e ) + ... , (2.16)
n!
2
∂ nT
где T (n ) ( e ) =
при e = e .
∂en
Ясно, что при e~ → 0, функция T ( e + e~ ) → T0 ( e ) . Следует отn
метить также, что в общем случае вид функции T ( ) ( e ) будет разным. Однако в случае сравнительно малых e~ , когда можно предполагать несущественное отличие вида функций T и T0 , целесообразно положить
∂nT ∂nT0
(n )
n
T( ) ( =
e)
≈
= T0 ( e ) , ∂en
∂e n
(2.17)
T0 Ò0 ( e ) – коэффициент прохождения при постоянных элекгде =
тромагнитных параметрах объекта. Подставляя (2.17) в (2.16), получим приближенное выражение для функции Т:
2
n
e (2)
e (n )
(1)
T ≈ Ò0 ( e ) + e~T0 ( e ) + ~ T0 ( e ) + ... + ~ T0 ( e ) + ... . (2.18)
n!
2
При падении плоской электромагнитной волны с единичE cos ( wt − k0 z ) на слой с изменяющейся по
ной амплитудой =
гармоническому
закону
диэлектрической
проницаемостью
e~ =em cos ( Ωt − Kz ) , e~  e , Ω  w , напряжённость прошедшей
волны может быть выражена через модуль коэффициента прохождения в соответствии с (2.18):
=
Eïð
66
∞
∑ En cos ( w ± nΩ ) t − ( k0 ± nK ) z , n =0
(2.19)
где амплитуды гармонических составляющих Еn представляются
в виде сумм разложения в ряд Тейлора:
n +2
+4
en
en
àn3 (n +4 )
n + 2 ( n +2 )
m 1 T ( n ) + em
m
En =
T
+
T
+ ...
0
0
n
n
+
2
n! 2
(n + 2) ! 2
(n + 4 ) ! 2n+4 0
1
−
2

 2
e − 1)
(
d


2
T0 = 1 +
e 
sin  2p
.

l
4e

 

(2.20)
В соответствии с (2.19) и (2.20) напряжённость прошедшей волны представляет собой сумму составляющих центральной частоты,
равной частоте падающей радиоволны, и боковых частот, определяющихся центральной частотой и частотой, кратной частоте изменения диэлектрической проницаемости слоя. Причем спектр симметричен относительно центральной частоты как по девиации частоты ( ±Ω ) , так и по амплитудам составляющих E ( nΩ )= E ( −nΩ ) .
Следовательно, рассматриваемая методика не позволяет оценить
возможную амплитудную асимметричность спектра при частоте
Ω , сравнительно близкой к w . По формулам (2.20) и значениям
функции T0 и её производных были проведены расчёты амплитуд
гармонических составляющих прошедшей радиоволны. В качестве
примера приведём результаты расчётов амплитуд центральной E0
и первой боковой частотной составляющей E1 . Расчёты выполнеd
= 0,5 , e =0,5 и сравнительно большой величины
l
E 
=
0,25 . Получено, что E0 = 0,933 ; E1 = 0,041 ; 20 lg  1  = −27
 E0 
ны для случая
em
дБ. Расчёты для такого же нестационарного слоя по методике
разложения огибающей в ряд Фурье дают следующие значения:
E 
E0 = 0,930 ; E1 = 0,048 ; 20 lg  1  = −28 дБ. Отсюда следует, что
 E0 
результаты расчётов первых двух составляющих спектра радиоволны двумя различными методиками при сравнительно низкой частоте изменения диэлектрической проницаемости удовлетворительно
согласуются. Изменение спектрального состава отраженного и прошедшего сигналов существенно зависит от толщины слоя, среднего
значения изменяющегося электромагнитного параметра и относительного значения амплитуды его гармонических изменений.
67
2.3. Медленные случайные изменения параметров
внешнего канала
В соответствии с методиками, рассмотренными в предыдущих
параграфах, для сред со случайными медленными флуктуациями параметров во времени имеет смысл рассматривать два случая
оценки влияния флуктуаций на распространяющийся радиосигнал
в зависимости от величины и скорости изменения параметров во
времени: случай малых возмущений и случай медленных флуктуаций без ограничения их величин. Для таких сред необходимо определять статистические характеристики коэффициентов прохождения и отражения монохроматической волны. Так как эти характеристики адекватны нестационарной функции передачи, которая
является случайной, то, подставляя их в (2.4), можно определить
искажение формы информационного сигнала по флуктуационным
характеристикам Sïð ( t ) , описывающимся корреляционной функцией [42]:
*
K ( t1,t2 ) = M  Aïð ( t1 ) Aïð
( t2 ) .

Первый случай – это малые по величине флуктуации Deα электрической проницаемости ea относительно её среднего значения
ea , т. е. Dea << ea . Тогда для определения статистических характеристик коэффициентов прохождения T и отражения R необходимо решить уравнение (2.10) с учетом возмущений Dea , а потом
по заданной плотности распределения вероятности диэлектрической проницаемости W ( e ) определить математические ожидания
M T ( e )  , M  R ( e )  и дисперсии D T ( e )  , D  R ( e )  . Представим
Dea как ea = ea + Dea и подставим в исходное уравнение (2.10),
справедливое при распространении монохроматической волны по
0) :
оси z в среде без потерь ( γ ý =
∂2 E
∂z2
− µa ea
∂2 E
∂t2
− µa Dea
 ∂2Dea
∂Dea ∂E 
−
µ
E+2
 =0 . a 
2
2
∂t ∂t 
∂t
 ∂t
(2.21)
∂2 E
Полученное уравнение можно переписать так:
∂2 ( Dea E )
∂2 E
−
µ
e
=
µ
a
a
a
∂z2
∂t2
∂t2
.
∂2 E
68
(2.22)
Ищем решение этого уравнения как решение неоднородного
уравнения =
E E0 + EH . Причем E0 находится решением следующего однородного уравнения:
∂2 E0
∂z2
− µa ea
∂2 E0
∂t2
= 0. (2.23)
=
E0 E0m cos ( wt − k0 z − Ψ 0 )
Решение (2.2З) известно и имеет вид
. Причем E0m и Ψ 0 находятся для среды с постоянными электромагнитными параметрами ea =ea . EH определяется как частное
решение неоднородного уравнения (2.22), в котором правая часть
эквивалентна сторонним источникам, возбуждающимся за счёт
малых возмущений параметров среды. Решение этого уравнения
будет выражаться как
EH = −
2
µa 1  ∂ ( Dea E ) 


4p ∫ z 
∂t2

V
dV . (2.24)
t '= t − z ϑ
В связи со сложностью полученного решения, целесообразно
оценку влияния малых флуктуаций производить приближённо методом итераций или путём представления коэффициентов прохождения и отражения рядом Тейлора. В первом случае первое приближение EH1 находится при условии E = E0 , второе приближение
EH2 – при условии =
E E0 + EH1 и т. д. Во втором случае математическое ожидание коэффициента прохождения будет:
M T ( e )  = T ( e ) = T ( e ) , (2.25)
а его дисперсия:
2
 dT ( e ) 
D T ( e )  = D ( e ) 

 de  ïðè
,
(2.26)
e= e
где D ( e ) – дисперсия диэлектрической проницаемости среды, T ( e )
определяется по формуле (2.13).
Критерием использования случая малых возмущений является
неравенство e ≥ 0,75. Критерий применения методики расчёта при
сравнительно медленных флуктуациях параметров среды во времени определяется как Ω  w .
Будем считать, что случайные медленные флуктуации диэлектрической проницаемости e ( t ) представляют собой эргодический
69
случайный процесс, удовлетворяющий критерию медленности.
До настоящего времени отсутствуют убедительные экспериментальные данные по виду законов флуктуаций параметров сред.
Так, например, корреляционная функция флуктуаций e тропосферы выбирается произвольным образом, лишь бы она удовлетворяла необходимым условиям, вытекающим из самого смысла
корреляционной функции. Наиболее часто пользуются формулой
Букера-Гордона для экспоненциальной корреляционной функции,
гауссовой моделью, модифицированным спектром фон Кармана.
Наблюдение за амплитудой отраженных от ионосферы сигналов
позволили предположить, что распределение значений флуктуаций электронной плотности к ней близко к рэлеевскому. В работе
[25] произведена попытка вывести формулы, связывающие газодинамические флуктуации с флуктуациями плотности электронов
в полностью равновесной плазме спутного следа ракеты. Опять же
полученные формулы требуют экспериментальных данных газодинамических флуктуаций. В работе [42] показывается, что формулы
в [25] получены в предположении физически нереального закона
распределения вероятности температуры, достоверность приведённых данных ещё невелика, а экспериментальные исследования их
очень трудоёмки, а часто и невозможны. Поэтому априорный выбор закона флуктуаций параметров оправдан, так как до настоящего времени отсутствуют экспериментальные данные по величине
флуктуаций плотности электронов реальных ионизированных сред
и их спектральных распределений. В качестве закона распределения диэлектрической проницаемости в ионизированной среде можно рассматривать следующий:

( e−1)2
−
 e − 1 2s2

H , − ∞ < e <1
W ( e ) =− 2 e
s
H

0,
1 ≤ e < ∞,
(2.27)
где e = 1 – 1,25 s H – математическое ожидание, D ( e ) = 0,43 s2H –
дисперсия; s H – среднеквадратичное отклонение нормального
закона. В связи с таким видом кривой распределения и ее расположением на оси в интервале −∞  e  1 этот закон целесообразно
использовать для качественного описания флуктуаций e ( t ) ионизированных сред при распространении в них радиосигналов.
Расчёт математического ожидания и дисперсии коэффициентов прохождения и отражения монохроматической волны радио70
локационного сигнала от слоя ионизированной среды толщиной d
производится согласно методике медленных флуктуаций, формул
(2.13), (2.27) и известных выражений теории вероятностей:
T
=
∫
0
−
1
1+
e −1
s2H
2
( e − 1)
4e
−
e
( e−1)2
2s2H
 d 
sin2  2p
e
 l

de, (2.28)
2


( e−1)2
−


e − 1 2s2H
1
e

− 2 1
2
sH
2s H 
−e
D T ( e )  =
de  +
∫
2
( e − 1)
d  
0
2
 1 + 4e sin  2p l e  


2


( e−1)2
−


e − 1 2s2H
e

1
1
s2H
1
de  ×
+ ∫ 
+∫
0
( e − 1)2 2  d  0
( e − 1)2 2  d  
1
sin
2
1
sin  2p
+
p
e
+
e 



4e
4e
l
l



 


 e −1 
× − 2  e
 s 
H 

−
( e−1)2
2s2H
de. (2.29)
На рис. 2.5 изображены зависимости дисперсии D T ( e )  прошедшей волны от интенсивности флуктуаций s H для толщины
d
слоя = 1,0 при l =3,2 см, рассчитанные по методике медленных
l
флуктуаций (кривая 1) и малых
возмущений (кривая 2). Из этих кривых видно, что при малых
s H расчёты дают близкие результаты, так как в этой области выполняется критерий e ≥ 0,75 .
При прохождении монохроматической волны через такую
среду амплитуда и фаза её испытывают флуктуации во времени.
71
D[T(ε)]
0,5
0,4
1
0,3
2
0,2
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
σ
0,5
Рис. 2.5. Зависимость дисперсии прошедшей волны
от интенсивности флуктуаций e слоя плазмы
по методикам медленных флуктуаций (кривая 1)
и малых возмущений (кривая 2)
Удобными характеристиками, описывающими эффекты влияния
среды на сигнал, являются время когерентности и уширение спектра по некоторому заданному уровню. Для расчёта спектра флуктуаций огибающей и уширения спектра прошедшей монохроматической волны рассмотрим наиболее близкий узкополосный спектр
флуктуаций e :
G (Ω)
=
p
p
−
( Ω+Ω0 )
s2H  − DΩ ( Ω−Ω0 )
e
+ e DΩ
DΩ 

2
2

,


(2.30)
где Ω0 – средняя частота флуктуаций, DΩ – ширина спектра флуктуаций. Тогда функция корреляции случайных флуктуаций коэффициента прохождения будет равна:
β2s2H −2βe −
K ( t ) =s2Hβ2 e
DΩ 2
t
4 p cosΩ
0t , (2.31)
d
d
β =7,3 для = 0,5 ; β =10,2 для = 1,0 .
l
l
Вычисляя искомую величину спектра флуктуаций огибающей
монохроматической волны, получим:
G ( w) =
72
∞
2 2
2
K ( t )coswtdt = β2eβ s H −2βe G ( Ω ) . ∫
p
0
(2.32)
Выражение (2.32) представляет собой аналитическую запись
спектральной плотности флуктуаций огибающей монохроматической волны радиолокационного сигнала, прошедшего через флуктуирующий ионизированный слой толщиной d со средними значением диэлектрической проницаемости e , среднеквадратичным отклонением s H и спектральной плотностью G ( Ω ) . Результаты расчёта уширения спектра Df и время когерентности Dt для волны,
прошедшей через ионизированный слой с параметрами e =0,375 ;
d
sH =
0,5 ; = 0,5 ; l =8 мм при различной ширине DΩ узкополосl
ного частотного спектра флуктуаций диэлектрической проницаемости G ( Ω ) , Ω0 =
106 рад/с (по уровню 20 дБ), приведены в таб. 2.1.
Таблица 2.1
Уширение спектра и когерентности волны,
прошедшей ионизированный слой
DΩ , рад/с
10
100
1000
10000
Dt , мс
166
77
17
5
6
13
58
200
Df , Гц
На рис. 2.6 изображена зависимость дисперсии прошедшей слой
волны от полосы флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Наличие максимума объясняется тем, что высшие частоты слабее
взаимодействуют с полем волны. Это следует и из результатов предыдущего параграфа, в котором получено, что с ростом частоты изменения проницаемости спектры волны более бедны гармониками, чем при низких частотах.
D[T(ε)]
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
1
2
3
4
lg∆Ω
Рис. 2.6. Зависимость дисперсии прошедшей волны
от полосы флуктуаций e слоя плазмы
73
Произведенный анализ позволяет установить, что случайные
изменения параметров среды приводят к случайной амплитудной и
фазовой модуляции прошедшего (отраженного) электромагнитного колебания, причем спектр огибающей – сплошной, зависящий
от относительной толщины слоя, среднего значения флуктуаций
диэлектрической проницаемости, её среднеквадратичного отклонения и спектральной плотности G ( Ω ) .
Выводы
По результатам исследований, выполненных во втором разделе
можно утверждать, что:
1. Получены волновые уравнения для векторов поля и векторных потенциалов, справедливые при изменении параметров среды
во времени и в пространстве. В первом случае решение достигается
путем представления его в виде пространственной и временной частей, во втором случае – через векторный потенциал.
2. Предложены новые методики оценки медленных флуктуаций
и малых возмущений.
74
3. ВЛИЯНИЕ БЫСТРЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
ВНЕШНЕГО КАНАЛА
3.1. Решение задачи при быстром изменении среды
вне полосы взаимодействия
При прохождении сигнала по трассе с изменяющимися параметрами, соизмеримыми с параметрами самого сигнала, необходимо
учитывать эффект взаимодействия сигнальной монохроматической волны с волновым процессом пространственно-временного
изменения параметров среды. Среда с таким пространственно-временным изменением является линейной идеализацией среды, физические свойства которой существенно нелинейные. В этом случае необходимо подразделять воздействие среды на проходящий
сигнал при взаимодействии образующихся мод сигнала и без него.
При определенных соотношениях между параметрами сигнальной
волны и параметрами вариаций свойств среды имеет место сильное
взаимодействие между ними. При этом энергия возмущения среды
через колебания её электромагнитных параметров передается сигнальной волне. В следующем параграфе будут выработаны условия
основного взаимодействия. Вне полосы взаимодействия исследование удобно производить с помощью инженерного метода, базирующегося на методах вторичных объёмных источников, электромагнитных аналогий и итераций. Его решение справедливо для сред
конечных размеров любой произвольной формы. В соответствии
с методом вторичных объёмных источников интегральные уравнения электромагнитного поля записываются в виде [42, 146]:
 e− jk1r
De a E e− jk1r
Dµa H
1
jw
grad div+k12 ∫
E =
E ñò +
dV − wt ∫
dV
4pe a1
4p
r
r
(
)
Vîá
Vîá
 − jk1r
1
 =
 ñò + jw wt De a Ee
grad div+k12
H
H
dV +
∫
4p
4pµa1
r
Vîá
(

) ∫ Dµa Hre
− jk1r
dV ,
Vîá
где De a и Dµα – перепады комплексной диэлектрической и магнитной проницаемостей объекта по сравнению с проницаемостью
окружающей среды; Vоб – объём объекта; r – расстояние между
точками вторичного источника и наблюдения. Применение метода
электромагнитных аналогий к решению этих уравнений позволяет,
используя известные соотношения для составляющих интенсивностей поляризации и намагниченности аналога (например, эллип75
соида) более простой формы, чем объект, приближенно решить их
с учетом интегрирования по всему объему объекта. Пусть в свободном пространстве с параметрами µ0 и ε0 находится область Vоб, заполненная веществом с µа = µ0 и εа = ε0(ε~+ e ), причем ε~= εmcos(Ωt–
–Kx–Ψe), где x – направление, по которому изменяется εа. В свободном пространстве, при отсутствии объекта, источниками создается гармоническое поле частотой w:
=
Eñò Eñò cos ( wt − k0x − Ψ ).
Необходимо найти поле в окружающем пространстве при наличии
объекта и внутри последнего.
Интегральные уравнения метода вторичных объемных источников не могут быть непосредственно применены для определения
поля внутри объекта, так как при пространственно-временном изменении диэлектрической проницаемости вещества в Vоб указанное
поле будет негармоническим. Однако при гармоническом (в общем
случае периодическом) изменении параметра объекта поле внутри
него и дифрагированное поле будут периодическими и, следовательно, могут быть разложены в ряд Фурье. К отдельной же гармонической составляющей могут быть приложены интегральные
соотношения. Далее находится приближенное решение на основе
соотношений для электромагнитного аналога, а затем это решение
уточняется методом последовательных приближений. В качестве
электромагнитного аналога выбирается объект подобной, но более
простой формы, чем Vоб, с диэлектрической проницаемостью вещества, равной постоянной составляющей e . Дифференциальное
уравнение относительно вектора Е при gэ = 0 и εа = ε0(ε~+ e ) можно
записать в виде, аналогичном (2.22):
e ∂ 2 E 1 ∂ ( e~ E )
∇2 E − 2 2 =
. c ∂t
c2 ∂t2
2
(3.1)
За нулевое приближение искомого решения принимаем решение
для электромагнитного аналога, т. е. решение однородного уравнения, получаемого из (3.1). Тогда при падающем гармоническом поле, поле внутри объекта и дифрагированное поле будут гармоническими, и однородное уравнение перейдет в уравнение Гельмгольца:
 + k2 eE
 =
∇2 E
0
0
0 0,
решение которого записывается следующим образом:
( e − 1) E e− jk0r
= E
 ñò + 1 grad div+k2
E
dV ,
i,0
i
0 ∫
r
4p
Vîá
(
76
)
(3.2)
где i – номер области (объект или окружающая его среда).
Во многих случаях среднюю напряженность поля внутри объекта можно представить в виде:
Eоб,0 = E0mcos(ωt – kx – Ψ0), (3.3)
где k=w µ0 e0=
e k0 e , причём E0m может быть функцией координат.
Для нахождения первого приближения необходимо в правую
часть уравнения (3.1) подставить (3.3) и затем, чтобы воспользоваться интегральными соотношениями метода вторичных источников, следует стоящее в скобках произведение тригонометрических
функций заменить на алгебраическую сумму подобных функций
(полагаем W ≤ w):
e~ Eîá,0 = em cos ( Ωt − Kx − Ψ 0 ) E0m cos ( wt − kx − Ψ 0 ) =
=
1
em E0m cos ( w − Ω ) t − ( k − K ) x − ( Ψ 0 − Ψ e )  +
2
1
+ em E0m cos ( w + Ω ) t − ( k − K ) x − ( Ψ 0 + Ψ e )  .
2
(3.4)
Обозначим:
w −Ω = w1′ ; w + Ω = w1′′ ; k − K = k1′ ; k + K = k1′′;
Ψ 0 − Ψ e =Ψ1′ ; Ψ 0 + Ψ e =Ψ1′′ ;
1
em E0m =A.
2
Следовательно, в правой части уравнения (6.1) будет стоять
сумма двух тригонометрических функций. В связи с этим частное
решение этого уравнения, представляющее собой первую уточняющую решение добавку, будет выражаться в виде суммы двух тригонометрических функций. Для нахождения каждой из них применим метод комплексных амплитуд, и, следовательно, можно для
этой цели воспользоваться интегральными соотношениями. Тогда,
подразумевая, что Ест равно напряженности поля аналога (3.2),
определяем добавку как:

DE
i,1
(
) ∫
1
grad div+k1(′)2 A1
4pei
(
) ∫
1
grad div+k1(′′)2 A1
+
4pei
Vîá
Vîá
j w′ t −k′ x−Ψ1′ ) − jk1(′)r
e( 1 1
e
dV +
r
j w′′t −k′′x−Ψ1′′ ) − jk1(′′)r
e( 1 1
e
dV ,
r
(3.5)
77
где
(′)
k1=
w′
c
w1′′
e − âíóòðè îáúåêòà,
c
w1′ (′′) w1′′
=
=
− âíå îáúåêòà.
k1(′)
,k
c 1
c
′′)
e , k1(=
Для нахождения второй добавки необходимо после выполнения
в выражении (3.5) операций интегрирования и дифференцирования полученный результат представить суммой двух тригонометрических функций. Тогда для поля внутри объекта будем иметь:
(
)
DEîá,1 = DE1′ m cos ( w − Ω ) t − k − K + k1(′) x − Ψ ′îá,1  +


′′
(
)
+DE1′′m cos ( w + Ω ) t − k + K + k1 x − Ψ ′′îá,1  .


(
)
(3.6)
Затем произведения из ε~ и правой части выражения (5.6) заменяем на сумму тригонометрических функций и подобно случаю
первой добавки по формуле, аналогичной выражению (3.5), находим вторую добавку: сначала для поля внутри объекта, а затем –
вне объекта. Полученные решения будут состоять из суммы четырёх тригонометрических функций, так как каждому слагаемому
выражения (3.6) соответствуют в решении две тригонометрические
функции. При этом частоты указанных гармонических составляющих будут: ω – 2Ω, ω, ω + 2Ω. Если принять, что εm < e (практически в несколько раз), то добавки с частотой w можно не учитывать
по сравнению со средним значением напряженности поля, определяемым формулами (3.2), (3.3). Повторяя аналогичные операции,
производим дальнейшее уточнение решения. Для n – уточняющей добавки, гармонические составляющие будут иметь частоты:
w–nW, w–(n–1)W, w+(n–1)W, w+nW. Решение рассматриваемой задачи запишется следующим образом:
Ei,n = DEi,0m cos ( wt − ki,0 − Ψ i,0 ) + DE′i,1m cos ( w − Ω ) t − ki′,1x − Ψ ′i,1  +
+DE′′i,1m cos ( w + Ω ) t − ki′′,1x − Ψ ′′i,1  + 
+DE′i,nm cos ( w − nΩ ) t − ki′,n x − Ψ ′i,1  +
+DE′′i,nm cos ( w + nΩ ) t − ki′′,n x − Ψ ′′i,1  + 
(3.7)
Таким образом, при изложенном методе получаемое решение
представляется в виде суммы гармонической составляющей частоты источника поля и гармонических составляющих боковых ча78
стот. Причём девиация частоты этих гармонических составляющих
кратна частоте изменения диэлектрической проницаемости объекта. В случае изменения диэлектрической проницаемости объекта,
характеризующегося суммой гармонических составляющих, для
получения решения задачи необходимо для всех составляющих выполнить математические операции, аналогичные рассмотренным.
Для плоскопараллельного слоя с изменяющейся по гармоническому закону диэлектрической проницаемостью εа = ea +
+εamcos(Ωt – Kz – Ψe) использование изложенного метода позволяет
найти решение как для прошедшего, так и для отраженного монохроматического колебания радиосигнала.
Геометрия задачи представлена на рис. 3.1.
При этом на расположенный в свободном пространстве (ε1 = ε3
= 1) плоскопараллельный слой толщины d с изменяющейся по
гармоническому закону диэлектрической проницаемостью εа= ea
+εamcos(Ωt–Kz–Ψe) нормально падает плоская волна:
Eп = Ест = Еmcos(ωt – k0z), (3.8)
где k0 = w/c = 2p/l.
Не ограничивая общность задачи, положим, что вектор напряженности электрического поля параллелен оси y: Еп = y0Ey .
Требуется найти поле, прошедшее через слой 2 в область 3, и поле,
отражённое слоем (область 1, рис. 3.1).
Потр
Нотр
Eп=Y0EY
1
Пп=Z0ПZ
0
d
Еотр
X
Hп=X0HX
Y
2
+
+
+
–
П2(E2,H2)
–
–
П2(E2,H2)
3
П3(E3,H3)
Z
Рис. 3.1. Нормальное падение плоской электромагнитной волны
на слой с изменяющейся по гармоническому закону
диэлектрической проницаемостью
79
В соответствии с изложенным методом вначале находится решение задачи в предположении, что εа = e ˆ = ε0 e . Решение задачи при
таком условии известно. Запишем его в комплексном виде как нулевое приближение E 0 .
В среде 1 (над слоем z Ј 0 , рис. 3.1) отраженная волна:
j ( wt + k0z )
j wt + k0z −Ψ îò )
= RE

E=
= Eîò, m e (
,
(3.9)
îò,0 E
îò,y
me
− jΨ îò
=
где R Re
=
, Eîò m REm .
В среде 2 (в слое 0 ≤ z ≤ d):
а) падающая волна:
j ( wt −kz −Ψ 2 )
j ( wt −kz )
=
E 2+,0 T=
E2+m e
,
2 Em e
+
(3.10)
w
− jΨ 2+
= Ò2 Em , =
=
e k0 e ;
, E2+m
k
где T=
2 T2 e
c
б) отраженная волна:
j ( wt + kz −Ψ 2 )
j ( wt + kz )
=
E 2−,0 R=
E2−m e
,
2 Em e
−
(3.11)
−
− jΨ 2
=
, E2−m R2 Em .
где R 2 R=
2e
В среде 3 (под слоем z ≥ d) прошедшая волна:
j ( wt −k0z −Ψ ïð )
0z )
= TE
 e j( wt −k=
E=
Eïð m e
, 3,0 E
ïð
m
(3.12)
− jΨ ïð
=
где T Te
=
, Eïð m TEm .
Входящие в формулы (3.9)–(3.12) коэффициенты отражения и
преломления определяются известными выражениями:
80
e −1

 2p

j
sin 
ed 

l
2
e


R =
,
 2p
 e +1
 2p


cos 
sin 
ed  + j
ed 

 l
 2 e
 l






1
1
z
z

0
c 
T2 = 2  1 + z  + 2  1 − z  R,
c
0







1
1
z
z
R 2 =  1 − c  +  1 + c  R ,

2  z0  2 
z0 

1
T =
,

 2p
 e +1
 2p

cos 
sin 
ed  + j
ed 

 l
 2 e
 l
 
(3.13)
ãäå Zc = µ0 ea = Z0
e , Z0 = 120p.
Перейдём к получению первого приближения решения задачи
по определению поля прошедшей волны. Для этого вначале найдём
первую добавку, определяющуюся падающей волной в слое E2+,0 .
С этой целью заменим произведение тригонометрических функций
суммой:
e~ E2+,0 = em cos ( Ωt − Kz − Ψ e ) E2+m cos wt − kz − Ψ 2+ =
(3.14)
1 +
=
P2m cos ( w1′ t − k1′ z − Ψ1′ ) + cos ( w1′′t − k1′′z − Ψ1′′ )  ,
2
где
(
)
P2+m =em E2+m ; w1′ =w −Ω; w1′′ =w + Ω; k1′ =k − K; k1′′ =k + K;
Ψ1′ =Ψ2+ − Ψ e ; Ψ1′′ =Ψ2+ + Ψ e .
Формула (3.5), определяющая уточняющую добавку, при задан-
1
ных условиях задачи упрощается, так как A1 = y 0 P2+m , а интегра2
лы в случае бесконечного плоского слоя будут функциями только
от z и t: f(z,t). Тогда
( grad div+k12 ) 12 y0 P2+mf ( z,t ) = 12 k12y0 P2+mf ( z,t ) ,
вследствие того, что
∂P2+m f ( z,t )
+
div  y 0 P
=
f ( z,t )  =
0.
2
m


∂y
Отсюда также вытекает, что DEi=DEiy. Поэтому формула (3.5)
применительно к рассматриваемому случаю запишется так:
E i+,1
j w′ t −k′ z′−Ψ1′ ) − jk1(′)r
P2+m  (′)2
e( 1 1
e
k1 ∫
dV +
r
2 ⋅ 4pei 
Vñë


j w′′t −k′′z′−Ψ1′′ ) − jk1(′′)r
e( 1 1
e
′′
+ k1( )2 ∫
dV  ,

r
Vñë

(3.15)
81
где k1(′) = k1(′ñ) =
w1(′)
c
(′)
− âíóòðè ñëîÿ, k1(′) = k10
=
e
w1(′′)
w1′′
(′′)
аналогично: k1(′′) ==
k1(′′ñ)
e è k1(′′) =
k10
=
.
c
c
(′)
w1′
− âíå ñëîÿ ;
c
(′′)
Из приведенных выражении для k1 è k1 следует, что на различных участках пути (r, рис. 3.2) распространения элементарных
волн постоянные распространения разные: на участке пути, лежа-
w1′
e на участке этого же пути в среде 3 эта веc
w′
(′)
личина будет k1 = 1 . Формулы же вида (3.15) справедливы при
c
′
k1( )
щем в слое 2, =
одинаковом значении постоянной распространения на всём пути
распространения. Для решения задачи вначале будем предполагать, что постоянная распространения на всем протяжении r одинакова, например, точка наблюдения лежит на границе слоя (точка
М2,3 на рис. 3.2). Исходя из полученного таким образом выражения, в дальнейшем найдём решение задачи для точек области 3.
Для нахождения интегралов, содержащихся в выражении
(3.15), применим цилиндрическую систему координат ρ, f, z (рис.
3.2). Будем находить решение задачи для точек, лежащих на оси
z. В силу симметрии слоя относительно оси z, элементарный объём
можно представить в виде кольца радиуса ρ и поперечного сечения
dρ × dz′. Следовательно, dV = 2pρdρ·dz′, r =
2
ρ2 + ( z − z′ ) . Тогда,
x
M1
z′
1
ρ
0
y
dρ
2
d dz′
M2
M23
r
3
M3(z)
z
Рис. 3.2. К вычислению интегралов первой добавки
82
например, первый интеграл выражения (3.15) можно представить
следующим образом:
∫
=
I
e
(
)e− jk1(′)r
j w1′ t −k1′ z′−Ψ1′
=
dV
r
Vñë
z′=d
'
∫
z =0
(
ρ=∞ j w1′ t −k1′ z′−Ψ1′
2p
∫
e
r
ρ=0
(
d
∞
z′= 0
r = z−z′
j w′ t −k′ z′−Ψ ′ −k(′)r
)
1
1
1
1
=
drdz′
∫ 2p ∫ e
∫
e
(
j w1′ t −k1′ z′−Ψ1′ −k1(′)r
)
2p
′
jk1( )
ρdρdz
=′
=
r =∞
dz′.
r = z − z'
Vñë
)e− jk1(′)r
(3.16)
Значение внутреннего интеграла при верхнем пределе отбрасывается, так как запаздывание возмущения на бесконечное время означает, что это возмущение не приходит в точку наблюдении. Тогда
j ( w1′ t −k1′ z′−Ψ1′ −k1(′) ( z−z′ ) )
2p
=
e
dz′
∫
′
jk1( ) z′=0
d
I
(
)
 j w1′ t −k1′ z′−Ψ1′ +( k1(′) −k1′ )d
2p
j w′ t −k′ z′−Ψ1′ ) 
=
−
e
−e ( 1 1

.
′
′
jk1( ) k1( ) − k1′ 

(
)
В тригонометрической форме интеграл запишется так:
2p
I=
−
×
(′) (′)
k1 k1 − k1′
(
(
(
))
)
(
)
′
′
′
× cos w1′ t − k1( ) z − Ψ1′ + k1( ) − k1′ d − cos w1′ t − k1( ) z − Ψ1′  . (3.17)


На основании (3.15) и (3.17) находим выражение для первой добавки, определяющейся падающей волной в слое:
DEi+,=
1
′
×
−
−k1( )
{cos (w′ t − k
′′
{cos (w′′t − k
′
k1( ) − k1′
−k1( )
′′
k1( )
− k1′′
1
1
(′)
′
1 z − Ψ1 +
2pP2+m
×
2 ⋅ 4pe
( k1(′) − k1′ )d ) − cos ( w1′ t − k1(′)z − Ψ1′ )} −
(′′)
′′
1 z − Ψ1 +
( k1(′′) − k1′′ )d ) − cos ( w1′′t − k1(′′)z − Ψ1′′ )}
83
или
′
()
P2+m k1
′
cos ( w − Ω ) t − k1( ) z − Ψ 2+ − Ψ e  −
′
(
)


4 e k − k1′
1
=
DEi+,1
(
′
−
k1( )
′
k1( )
′′
k1( )
′′
k1( )
(
′′
)
)
′′
cos ( w + Ω ) t − k1( ) z − Ψ 2+ + Ψ e  −


− k1′′
k1( )
′′
k1( )
) (
(
′
cos ( w − Ω ) t − k1) z − Ψ 2+ − Ψ e + k1( ) − k1′ d  +


− k1′
+
−
)
) (
(
)
′′
′′
cos ( w + Ω ) t − k1( ) z − Ψ 2+ + Ψ e + k1( ) − k1′′ d  . (3.18)


− k1′′
Выражение (3.18) строго справедливо для точек, принадлежащих
слою. Для нахождения решения задачи по определению уточняющей добавки к полю вне слоя (точка М3) вначале, исходя из (3.18),
напишем выражение для поля на границе слоя (точка М2,3; z = d):
+
=
DE23
,1
′
()
P2+m k1c
′
cos w1′ t − k1(c)d − Ψ1′  − cos [ w1′ t − k1′ d − Ψ1′ ] +


4 e k1(′c) − k1′
′′
+
k1( )
′′
k1(c) − k1′′
{
}
{cos w′′t − k
(′′)
′′ 
1c d − Ψ1  − cos
1
}.
[w1′′t − k1′′d − Ψ1′′ ]
(3.19)
Необходимо отметить, что полученное выражение является
основополагающим для расчёта ЭПР слоя с пространственно-временным изменением параметров путём использования формулы
Кирхгофа, что определяет потери сигнала за счет отражений от
слоя.
Чтобы перейти от выражения для поля на поверхности слоя z = d
к выражению распространяющихся колебаний в среде 3 при отсутствии затухании в этой среде, достаточно заменить t на t′ = t – (z– d)/c,
т. е. учесть запаздывание прихода колебаний на время ∆t = (z – d)/c.
После указанной замены и выполнения необходимых преобразований окончательно получаем формулу для расчёта первой уточняющей добавки к полю в области 3, определяющейся падающей волной в слое 2:
′
()
P2+m k1c
′
(′)
(′)
cos w1′ t − k10
z − k1(c) − k10
d − Ψ1′  −


4 e k(′) − k1′
1c
=
DE3+,1
84
′
−
k1(c)
′
k1(c) − k1′
′′
+
k1(c)
(
(
)
)
(′)
(′)
cos w1′ t − k10
z − k1′ − k10
d − Ψ1′  +


(
)
′′
′′
′′
cos w1′′t − k( ) z − k( ) − k( ) d − Ψ1′′  −
′
()
P2+m k1c
′
(′)
(′)
cos w1′ t − k10
z − k1(c) − k10
d − Ψ1′  −
′
(
)


4 e k1c − k1′
=
DE3+,1
(
′
k1(c)
)
(
)
(′)
(′)
cos w1′ t − k10
z − k1′ − k10
d − Ψ1′  +
(′)


k1c − k1′
′′
k( )
′′
(′′)
(′′)
+ (′′)1c cos w1′′t − k10
z − k1(c) − k10
d − Ψ1′′  −


k1c − k1′′
′′
k( )
(′′)
(′′)
− (′′)1c cos w1′′t − k10
z − k1′′ − k10
d − Ψ1′′  .


k1c − k1′′
−
(
)
(
)
(3.20)
Аналогичным образом находится первая уточняющая добавка, определяющаяся отраженной волной в слое. Формулу для расчёта этой добавки можно получить из (3.20) путем замены в ней
k1′ íà − k1′′ è k1′′ íà − k1′ :
′
()
P2−m k1c
′
(′)
(′)
cos w1′ t − k10
z − k1(c) − k10
d − Ψ1′−  −


4 e k1(′c) + k1′′
=
DE3−,1
′
−
k1(c)
′
k1(c) + k1′′
(
k1(c)
′′
k1(c)
(
′′
′
)
′′
(
′′
′′
)
()
()
cos w1′′t − k10
z − k1(c) − k10
d − Ψ1′′−  −


+ k1′
′′
−
′
()
()
cos w1′ t − k10
z + k1( ) + k10
d − Ψ1′−  +


′′
+
)
k1(c)
′′
k1(c)
(
)
(′′)
(′′)
cos w1′′t − k10
z + k1′ + k10
d − Ψ1′′−  ,


+ k1′
(3.21)
где Ψ1′− =Ψ 2− − Ψ e , Ψ1′′− =Ψ 2− + Ψ e .
Выражения (3.20) и (3.21) можно представить в другом виде,
сложив составляющие одинаковых частот:
((
))
((
))
d

′
′
′


sin k( ) − k′
k1((c′)) − k1((′)) d
P2++m  (′) sin k1(c′) − k1′ 2d

′
(
)


−
k
k
d
1
′
′
c
1
w
−
−
−
Ψ
k
d
t
k
z
sin

c
1
1
P2m  1(c′)
1
1 +
(′)
′
−
−
Ψ
z
4 e k1c d k(′) − k′ d 2 sin w1′ t − k10
2
1 +
10
1 d
′
4 e 
2


k11(cc) − k1′ 2



2
d

(′′)
′′
′′


sin k1(c′′) − k1′′ d
k1((c′′)) − k1((′′)) d

′′
(′′)
k1c − k1 d − Ψ1′′ ,
+k1((c′′))d sin k1c − k1′′ 22 sin w1′′t − k10
−
z
(′′)
+k1c d k(′′) − k′′ d sin w1′′t − k10
− Ψ1′′  , (3.22)
z−
2

d
1
′′
2
(
)


k11cc − k1′′ 2


2
DE3++,1
DE3,1
((
((
((
))
))
))
((
))
85
DE−
DE3−3,1,1
((
((
((
))
))
((
))
d

′
′


sin k( ) + k′′
k(1(′)c) + k1′′ d

P2−−m  (′) sin k1(1′c)c + k′′ 1d2
(′)
−
′′
+
k
k
d
1

′
′
w t − k(10
−Ψ +
P2m k(1′)c d
′) z − 1c
1 2 sinw
d
− Ψ1′1− +
z−
sin  1′1t − k10
′
4 e k d
2


k(1(′)c) + k1′′ d
4 e  1c
2
k1c + k1′′ 2




2
d

(′′)
′′


sin k(′′) + k1′ d
k(1(′′c)) + k1′ d

(′′) sin k11cc + k1′ 2
(′′)
−
′
+
k
k
d
1
′′
′′
c
1
+k ′′ d
−Ψ
sin w t − k(10
.
′′) z −
d2 sin w1′′1t − k10
z−
+k1(1cc)d
− Ψ1′′1− . (3.23)
2

 
k(1(""c)) + k1′ d
2
k1c + k1′ 2

 
2
((
))
))
((
))
На основании (3.12), (3.22), (3.23) можно найти первое приближение искомого решения для прошедшей волны по следующей
формуле:
+
−
E=
3,1 E3,0 + DE3,1 + DE3,1.
(3.24)
Выражения для расчёта составляющих первой уточняющей добавки к полю отраженной волны (среда 1, z ≤ 0) можно
получить на основании формул (3.20) и (3.21), заменив в них
′
′′
′
′′
k1( ) è k1( ) ñîîòâåòñòâåííî íà − k1( ) è − k1( ) .
Для того чтобы найти вторые уточняющие добавки к прошедшему и отраженному полям, необходимо найти первую уточняющую добавку к полю внутри слоя. Эта добавка будет определяться
формулой, подобной (3.15), но каждый из интегралов, входящих
в формулу, при интегрировании по z′ необходимо разбить на два
интеграла в соответствии с двумя интервалами интегрирования.
Первый интервал берётся от z′ = 0 до z′ = z (точка M2). При этом
решение должно определять падающую волну в слое, т. е. волну,
созданную слоем источников, расположенных выше точки М2, и
распространяющуюся в положительном направлении оси z. Эта
(′)
волна определяется фазовым множителем e− jk1 r , как это приведено в формуле (6.16). Второй интервал – от z′ = z до z′ = d. При этом
решение должно определять в точке М2 отраженную волну в слое,
т. е. волну, которая создается слоем источников, расположенных
ниже точки М2, и распространяется от них в отрицательном направлении оси z. Этой волне соответствует фазовый множитель
(′)
e jk1 r . Тогда выражение для первой добавки к полю падающей волны в слое внутри слоя будет:
86
(′)
P2+m  k1
cos w′ t − k(′) z − Ψ ′ − cos ( w′ t − k′ z − Ψ ′ )  +
 (′)
1
1
1
1
1 
1
4 e  k1 − k1′ 
=
DE2+,1
(
c
)
′
+
k1( )
′
k1(c)
(
′′
+
k1( )
′′
k1(c)
(
)
cos w′′t − k(′′) z − Ψ ′′ − cos ( w′′t − k′′z − Ψ ′′ )  +
1
1
1
1
1 
1
− k1′ 
′′
+
)
cos ( w′ t − k′ z − Ψ ′ ) − cos w′ t − k(′) ( d − z ) − k′ d − Ψ ′  +
1
1
1
1
1
1 
1
+ k1′ 
k1( )
(
cos ( w′′t − k′′z − Ψ ′′ ) − cos w′′t − k(′′) ( d − z ) − k′′d − Ψ ′′
1
1
1
1
1
1
1
(′′)
k1c + k1′′ 

) . (3.25)

Выражение для первой добавки к полю отраженной волны
в слое внутри слоя может быть получено из (3.25) путем замены
k1′ íà − k1′′ è k1′′ íà − k1′ . Зная первые добавки к полю в слое, перемножаем их на гармоническую составляющую диэлектрической
проницаемости и заменяем произведения на сумму гармонических
функций. Затем находим вторые уточняющие добавки к полям прошедшей и отраженной волн аналогично тому, как это сделано при
определении первых добавок к указанным полям. Рассмотренным
способом могут быть найдены уточняющие добавки и более высокого порядка.
В качестве примера оценки рассмотренным методом влияния
гармонических изменений параметров слоя плазмы на спектр прошедшей радиоволны вне полосы взаимодействия были выполнены
расчёты при нижеследующих исходных данных:
а) параметры плоскопараллельного слоя: толщина d/λ = 0,5,
μ0c = μ0, диэлектрическая проницаемость изменяется по закону
ec = e + em cos(Ωt − Kz) , причём e равняется 0,5 и 0,71; εm составляет 0,071; 0,142; 0,213; 0,213; 0,284; Ω равняется 0,5w; 0,1w; 0,01w;
0,001w; K=bk=b
w
e , где b = W/w или b = 0;
c
б) параметры падающей плоской волны: E = 1 В/м; w = 23,6·1010
рад/с (l= 8 мм); k0 = 2p/l = 786 рад/м.
На основании данных расчётов на рис. 3.3 построены для прошедшей волны кривые зависимости амплитуд первых боковых гармо+
+
ник DE31,m
( w − Ω ) и DE31,m
( w + Ω ) ïðè e = 0,71 Ne = 5 ⋅1012 ñì-3
(
)
87
ω
0,5ω 0,1ω
0,01ω
0,001ω
Ω
∆E31,m(ω–Ω)
∆E31,m(ω+Ω)
–10
0,284
0,213
0,142
–20
0,071
–30
∆E [дБ]
Рис. 3.3. Зависимости амплитуд первых боковых гармоник,
обусловленных падающей волной в слое от частоты Ω
для постоянных значений εm
от W для четырёх постоянных значений εm, а на рис. 3.4. амплиту−
−
ды DE31,m
( w + Ω ) , DE31,m
(w − Ω) .
Вид спектра прошедшей радиоволны через слой толщиной
d/l=1,0 с изменяющейся диэлектрической проницаемостью по закону eс = 0,5. 0,125cosΩt; b = 0; W = 0,33w; l = 10 см показан на
рис. 3.5.
ω
≈
0,5ω 0,1ω
≈
≈
0,01ω
0,001ω
≈
Ω
≈
–
–10
∆E31,m(ω–Ω)
–
(ω+Ω)
∆E31,m
εm=const
0,284
0,213
0,142
–20
0,071
–30
∆E [дБ]
Рис. 3.4. Зависимости амплитуд первых боковых гармоник,
обусловленных отражённой волной в слое от частоты Ω
для постоянных значений εm
88
0 дБ
–14
–20
–56
–60
ω–2Ω ω–Ω
ω
ω+Ω ω+2Ω
Рис. 3.5. Спектральная характеристика прошедшего поля несущей
частоты сигнала через слой плазмы с быстро меняющейся
концентрацией электронов вне полосы взаимодействия мод
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.
Гармонические изменения диэлектрической проницаемости
слоя вызывают флуктуации проходящих через него радиоволн. Эти
флуктуации характеризуются дискретным спектром, центральная
частота которого равна частоте падающего электромагнитного колебания, а боковые частоты отстоят от несущей на величину, кратную частоте изменения диэлектрической проницаемости.
Амплитуды боковых составляющих, обусловленных отраженной волной в слое, меньше амплитуд составляющих, обусловленных проходящей волной в слое примерно на 40 дБ, поэтому влияние первых на прошедшее поле можно не учитывать.
При частоте изменения диэлектрической проницаемости, близкой к частоте излучаемых электромагнитных колебаний, спектр
прошедших радиоволн несимметричен относительно центральной
+
+
частоты: DE31,m
( w − Ω ) < DE31,m
( w + Ω ) и амплитуды составляющей суммарной частоты больше амплитуды составляющей разностной частоты за исключением случаев εm = 0,071; 0,142, для
−
+
которых DE31,m
( w − Ω ) > DE31,m
( w + Ω ) . При сравнительно малой
частоте изменения e (W ≈ w) амплитуды гармонических составляю−
−
щих симметричны относительно w: DE31,m
( w − Ω ) ≈ DE31,m
(w + Ω) ,
+
+
DE31,m ( w − Ω ) ≈ DE31,m ( w + Ω ) .
Для обобщения полученных результатов, справедливых в случае монохроматической волны, на сигнал необходимо воспользоваться формулой (2.4), где величины F ( w,t ) e− jwt определяются
выражениями (3.22)–(3.24). Форма огибающей зондирующего сиг89
a
A(t)
A0
τи
Aп(t)
t
≈
б
τ0
t
τ2
ωп(t)
≈
в
τ1
ω0
t
Рис. 3.6. Влияние среды с пространственно-временным изменением e
на форму сигнала вне полосы взаимодействия мод
нала показана на рис. 3.6, а, а огибающая радиоимпульса, прошедшего через нестационарный слой – на рис. 3.6, б.
Импульс размывается и модулируется определенным периодическим колебанием, его форма значительно искажается. Сначала
сигнал появляется в виде предвестника длительностью
Ω
e −K
d c
t1′ =t0 − t1 =
2 w0 + Ω
и исчезает позднее на время
Ω
e −K
d c
t2′ = t2 − t0 =
.
2 w0 − Ω
Размытие сигнала определяется толщиной слоя и направлением распространения возмущения диэлектрической проницаемости
среды и сигнала. При встречном распространении t′1 и t′2 – максимальные, при K = 0 t′1 и t′2 имеют средние значения, при согласном
распространении t′1=t′2=0. Полученная ступенчатость обусловлена тем, что учитывалась только ограниченная полоса частот. При
учете всего спектра сигнала огибающая будет иметь плавные размытые очертания. Кривая изменения мгновенной частоты сигнала
90
представлена на рис. 3.6, в. Необходимо отметить, что при Ω << w0
искажение частоты отсутствует.
3.2. Решение задачи при быстром изменении параметров среды
в полосе взаимодействия
Влияние среды с быстрыми пространственно-временными изменениями электромагнитных параметров на монохроматическую волну сигнала приводит к изменению амплитуды и фазы этой
волны и образованию составляющих радиоволны боковых частот
(мод), являющихся комбинациями частоты волны и частоты изменений параметров. Если частота волны ωS и частота изменений
параметров среды W лежат в полосе их сильного взаимодействия,
то за счет энергии волнового возмущения среды происходит усиление моды частоты монохроматической волны ω0 = ωS и других мод
ω±l = ωS ± lW, в особенности моды частоты w–1. Кроме того, в этом
случае при наклонном прохождении волны к поверхностям раздела среды с пространственно-временными изменениями параметров
существует разделение частотных составляющих по направлениям.
Решение задачи при быстром изменении параметров среды в полосе взаимодействия мод опирается на теорию Флоке, в основе которой лежит представление поля в виде бесконечного набора пространственно-временных мод. Отсюда получается дисперсионное
соотношение, имеющее вид матричного уравнения бесконечной
размерности. Если диэлектрическая проницаемость среды имеет
единственный пространственный и единственный временной периоды, то матрица системы содержит ненулевые члены только на трех
диагоналях. В этом случае, воспользовавшись разреженностью матрицы системы, можно выразить дисперсионное уравнение в виде
бесконечной непрерывной дроби. Такое дисперсионное уравнение
приходится решать численными методами, каждый из которых
при заданной точности результата требует соответствующего усечения непрерывной дроби. Отсюда следует, что при определении
волновых характеристик с помощью теории Флоке фактически
учитывается необходимое конечное число пространственно-временных мод. Это позволяет выработать условие основного их взаимодействия и получить новые эффекты взаимодействия сигнала
с такими средами. Необходимо отметить, что решение справедливо
только для плоских границ сред.
Распространение плоских волн в плазме с гармоническим изменением электронной концентрации в направлении распростране91
ния этих волн описывается следующим неоднородным волновым
уравнением:
∇ 2 Aý −
1 ∂2 Aý
ñ2 ∂t2
−
wêð
c2
1 + mcos ( Ωt − Kr )  Aý = −µ0 δ , (3.26)
где Аэ – модуль векторного потенциала, параллельного вектору
2
падающей волны; ∂ – плотность стороннего тока; wкр= Ne e
mý e0
–
средняя плазменная частота; m – коэффициент модуляции; W, K –
частота и волновой вектор модулирующего возмущения.
В соответствии с теорией Флоке, решение уравнения представляется в виде:
Aq ( r ,t ) = e
(
j wq t − kq r
∞
)
∑
n =−∞
jn Ωt − K r )
Aq,n e (
.
(3.27)
Для определения неизвестных величин kq и Аq,n формула (3.27)
подставляется в (3.26), и приравниваются амплитуды при одинаковых частотных компонентах. При этом для Аq,n приходят к следующим рекуррентным соотношениям:
(
)
Dq,n Aq,n − γ Aq,n +1 + Aq,n −1 = δq,n pn , (3.28)
2
2
2
 wêð 
2  wq + nΩ 
m  wêð 
 +

 , Dq,n = kq + nK − 
 , pn = 0;1
c
2 c 

  c 
при n ≠ 0, n = 0 соответственно.
При заданном значении Аq,0 величины Аq,n можно последовательно определять с помощью выражения, получаемого на основании соотношения (3.28):
где γ = −
Aq,n
Aq,n ±1
γ
=
γ2
Dq,n −
Dq,n 1 −
92
γ2
Dq,n 2 −
γ2
Dq,n  3 − 
.
(3.29)
Так например, Аq,1 = Аq,0· Аq,1/Аq,0. Отношение Аq,1/Аq,0 находится из (3.29) при n = 1:
Aq,1
Aq,1
γ
= =
Aq,0 Aq,1−1
γ2
Dq,1 −
γ2
Dq,2 −
.
(3.30)
Dq,3 −
Аналогично определяется Аq,–1/Аq,0= Аq,–1/Аq,–1+1. Затем, зная
Аq,1 и Аq,–1, можно найти Аq,2, Аq,–2 и т. д. Требование существования нетривиальных решений приводит к дополнительному уравнению (дисперсионному соотношению), определяющему зависимость
постоянной распространения kq (модуль волнового вектора kq) от
частоты ωq, а именно:
Dq,0 − Dq+ − Dq− =
0,
(3.31)
где
γ2
Dq± =
γ2
Dq,±1 −
Dq,±2 −
γ2
Dq,±3 −
.
(3.32)
Выражения (3.30) и (3.32) представляют собой бесконечные дроби. В пределе, когда амплитуда изменения концентрации электронов стремится к нулю (m = 0), из (3.32) имеем Dq,0 = 0, т. е.
2
2
 wq   wêð 
kq2,0 − 
0.
 +
 =
 c   c 
Откуда для безграничной среды –
2
=
kq,0
2
 wq   wêð 

 −
 .
 c   c 
(3.33)
Это является дисперсионным соотношением для волны с частотой ωq, распространяющейся в стационарной ионизированной среде. Приведённые соотношения полностью определяют распространение монохроматического колебания сигнала в ионизированной
среде, обладающей пространственно-временным гармоническим
93
П3
Z
(ωl)
Обл. 3
А3
П2
d
(ωq)
Обл. 2
А2
0,Y
n0
Аотр
X
(ωl)
Ппад
Обл. 1
(ωS)
Потр
Апад
Рис. 3.7. Наклонное падение плоской электромагнитной волны
на слой плазмы с пространственно-временным изменением
концентрации электронов
изменением диэлектрической проницаемости и возбуждаемой с помощью волны с амплитудой Аq и частотой ωq.
При взаимодействии радиоимпульса с нестационарным слоем
толщиной d необходимо рассматривать падение плоской волны по
оси z (рис. 3.7).
Тогда в области под слоем имеют место падающая плоская волна
частоты ωs и отраженные волны с частотами ωl = ωs + lW (l = 0, ±1,
±2, ...). Поле записывается в виде:
A=
1 ( r ,t ) e
j fs ( r , t )
+
∞
∑
l =−∞
Rl e
j fl ( r , t )
,
(3.34)
где: fi(r,t) = wI t – kir; i = s, l; Rl – коэффициенты отражения гармоник (мод), которые необходимо определить из граничных условий.
В области внутри слоя существует совокупность переотраженных
волн от границ слоя, которые характеризуются волновыми числами kq+ (прямая волна) и kq− (отражённая волна), волновые числа kq±
94
(ωq) находятся из дисперсионных уравнений (3.31) и (3.32). Так,
например, при m = 0
2
2
 wq   wêð 
kq+ =

 −
 ,
 c   c 
2
2
 wq   wêð 
kq− =
− 
 −
 .
 c   c 
Компоненты kq±,x определяются по закону Снеллиуса. Зная kq± и
находят kq±,z :
kq±,x
( ) ( ).
2
kq±,z =
± kq± − kq±,x
2
Поле A2(r,t) представляется в виде:
=
A2 ( r ,t )
∞
jfl+,q ( r ,t )
jf− ( r ,t ) 
 +
+ Aq−,l−q e l,q
 Aq,l−q e
, 
l,q =−∞ 
∑
(3.35)
где fl±,q =wl t − kq± r − ( l − q ) Kr .
Амплитуды Aq±,l−q находят из граничных условий и рекуррентных соотношений. В области над слоем существуют только прошедшие волны с частотами ωl (ωl = ωs + lW; l = 0, ±1, ±2, ...). Поле A3(r,t)
представляется в виде:
∞
A3 ( r ,t ) =∑ Tl e
l =−∞
j fl ( r , t )
, fl ( r ,t ) =wl t − kl r , (3.36)
где Tl – коэффициенты прохождения, определяемые из граничных
условий.
Условия непрерывности модуля векторного потенциала A(r,t) и
его нормальной производной по z на границе раздела z = 0 и z = d
приводят к следующим соотношениям для Rl и Tl.
Пусть pl = 1; 0 если соответственно l = 0; l ≠ 0. Тогда при l = 0, ±1,
±2, ... имеем:
=
Rl
=
Tl
∞
Aq+,l-q + Aq−,l-q ) − pl ,
(
q =−∞
∑
∞
jkl+,q d
jk− d 
 +
+ Aq−,l-q e l,q ,  Aq,l-q e

q =−∞ 
∑
(3.37)
где введено обозначение kl±,q = kl,z − kq±,z − ( l − q ) Kz .
95
Выражения для Aq±,l−q получаются следующим образом.
1. Записывается Aq±,l−q в виде
Aq±,l−q = Aq±,0
где q,l = 0, ±1, ±2, ... .
A±
2. Выражения для q,l−q
Aq±,0
Aq±,l−q
Aq±,0
,
(3.38)
находятся с помощью соотноше-
ний (3.29) указанным ранее путём.
3. Величины Aq±,0 определяются из граничных условий, приводящих к бесконечной системе уравнений относительно Aq±,0 вида:
 ∞
+
+
−
−
2ks,z pl ,
 ∑ bl,q Aq,0 + bl,q Aq,0 =
q =−∞

∞

+
+
−
−
0.
∑ cl,q Aq,0 + cl,q Aq,0 =

 q =−∞
(
)
(
(3.39)
)
Для матричных элементов введены обозначения:
bl±,q=
( kl,z + kq±,z + ( l − q ) Kz )
Aq±,l−q
Aq±,0
, cl±,q = kl±,q
Aq±,l−q
Aq±,0
e
jkl±,q d
.
Порядок вычисления коэффициентов прохождения Tl и отражения Rl (l=0; ±1; ±2, ...) следующий.
1. Находятся корни kq± wq дисперсионного уравнения (3.31).
В случае взаимодействия соседних мод корни становятся комплексными. Это является наиболее существенным моментом.
Комплексные корни приводят к росту амплитуд Tl и Rl, т. е. имеет
место параметрический эффект. Поэтому при решении дисперсионного уравнения основная трудность заключается в подробном анализе его корней, представляющих собой постоянные распространения. Для преодоления этого рассматривают в качестве начального
приближения укороченное дисперсионное уравнение. Так в случае
взаимодействия мод (гармоник) с частотами ω0 и w–1, укороченное
уравнение имеет вид:
Dq,0Dq,–1–γ2 ≈ 0
(3.40)
( )
или
96
2
2

 w   w  
kq2 −  q  +  êð    kq − K

 c   c   

(
)
2
2
2
 wq − Ω   wêð 
−
 +

 c   c 
 − γ2 =0.


Соотношение (3.40) является уравнением четвёртого порядка
относительно kq. Исследование корней kq(ωq) этого уравнения не
представляет труда. Для невзаимодействующих мод в качестве
укороченного уравнения принимается соотношение:
Dq,n(kq,ωq)≈ 0. (3.41)
Полученные значения kq можно использовать в качестве начальных приближений в итерационном процессе при расчёте комплексным методом Ньютона.
A±
2. Вычисляются выражения q,l−q ± (l, q = 0; ±1; ±2, ...) при
Aq,0
помощи рекуррентных соотношений (3.30).
3. Решается система уравнений (3.39) относительно Aq±,0 . В зависимости от точности расчёта ограничиваются различными конечными значениями q и l. В случае взаимодействия мод имеет ме Im k d

сто экспоненциальный рост e ( q ) , Im kq d > 0  слагаемых в ма

тричных элементах и переполнение ЭВМ. Чтобы избежать этого,
необходимо произвести перенормировку матричных элементов cq,l
и bq,l при Im(kqd) > 0, q = 0; ±1; ±2, ...:
(
)
− Im( kq d )
− Im( kq d )
=
cq,l e=
cq,l , bq,l e
bq,l .
Затем надо решать систему уравнений (3.39) с матричными
элементами cq,l , bq,l для перенормированных амплитуд Aq′ ,0 где
( )
− Im kq d
Aq′ ,0 = Aq,0e
. Такое матричное уравнение может быть решено любым известным методом, например, методом Гаусса.
4. По формуле (3.38) находятся величины Aq±,l-q .
5. Коэффициенты прохождения Tl и отражения Rl находятся по
формулам (3.37) при конечных значениях q и l, соответствующих
пункту 3.
Заметим, что все величины, описанные в пп. 1–5, являются комплексными, что наряду с необходимостью решения дисперсионного уравнения (3.31) дополнительно усложняет решение задачи.
Приведённые основные соотношения рассматриваемого метода
и выявленные особенности алгоритма расчёта по ним позволяют
97
выработать условия основного взаимодействия пространственновременных гармоник (мод) и произвести численные исследования
влияния быстрых гармонических изменений параметров среды
в полосе взаимодействия на сигнал. При расчётах необходимо иметь
в виду то обстоятельство, что уравнения, по которым определяются приближенные (начальные) значения волновых чисел в средах
с пространственно-временными изменениями электромагнитных
параметров, будут разными при наличии и отсутствии взаимодействия мод. В связи с этим для выполнения численных исследований
влияния быстрых изменений электромагнитных параметров среды
на сигнал целесообразно иметь соотношения (условия), предварительно определяющие наличие или отсутствие взаимодействия
мод. Для получения этих условий представим уравнение (3.40) так:
( kq2 − ks20 + kêð2 ) ( kq − K )2 − ( ks0 − K0 )2 + kêð2  − γ 2 =0 ,
где k=
s0
(3.42)
wq ws
wêð
Ω
=
, K
=
, kêð
=
.
0
c
c
c
c
Введем для рассматриваемых мод (l = 0 и l = –1), имеющих место
при отсутствии взаимодействия и получаемых из уравнения (3.41),
следующие обозначения волновых чисел:
2
2
2
k00 =ks20 − kêð
, k−01 =
kq0 − K =
± ( ks0 − K0 ) − kêð
.
(3.43)
Тогда (3.42) можно записать в виде
(k − k ) (k − K ) − k
2
q
02
0
2
q
02 
2
−1  − γ =0.

Выражения в скобках разложим на множители:
0.
( kq − k00 )( kq + k00 )( kq − K − k−01 )( kq − K + k−01 ) − γ2 =
(3.44)
Из (3.44) следует, что вследствие малости γ2 взаимодействие будет иметь место в окрестности корней, близких к величинам, определяемым соотношениями (3.43), т. е. kq (1) ≈ k00 и kq (2) ≈ K + k−01 .
Сделаем замену переменной kq, введя ее среднее значение:
k
=
q kñð + kq′ , kñð =
98
(
k00 + K + k−01
2
),
D=
(
k00 − K + k−01
2
).
Тогда из дисперсионного уравнения получаем следующее соотношение:
(
)
kq′ 2 − D2 −
γ2
( kq′ − 2k00 − D )( kq′ + 2k−01 + D )
=0.
В области взаимодействия надо ожидать kq′ ≈0. Тогда при не
очень малых абсолютных значениях k00 è k−01 можно пренебречь
величиной kq′ в знаменателе второго слагаемого. Это даёт основание написать
kq′ =± D2 −
γ2
(2k00 − D )(2k−01 − D )
.
Переходя к прежней переменной, получим
kq= kñð ± D2 −
γ2
(2k00 − D )(2k−01 − D )
.
(3.45)
В алгоритме вычисления коэффициентов прохождения Tl и отражения Rl (пункт 1) отмечалось, что в случае сильного взаимодействия мод постоянная распространения kq – комплексная величина. Для этого в выражении (3.45) подкоренное выражение должно быть отрицательным. Следовательно, условие взаимодействия
можно записать так:
D2 −
γ2
(2k00 − D )(2k−01 − D )
<0. (3.46)
Максимальное взаимодействие в соответствии с (3.45) следует
ожидать при D = 0, то есть при следующем условии:
k00 − K =
k−01 . (3.47)
Итак, получено условие (3.46), из которого следует, что сильное взаимодействие имеет место не при фиксированных значениях
волновых чисел, а в полосе волновых чисел сигнальной волны ks0 и
волны накачки K. Ясно, что при k00 <K постоянная распространения первой моды становится комплексной, а при k00 >K – действительной.
99
Максимальное взаимодействие во времени характеризуется равенством:
w00 − Ω = w0−1 . (3.48)
Если w00 < W, то частота получается комплексной, а если w00 > W,
то частота является действительной. В зависимости от соотношения величин k00 и K между собой, а также w00 и W, может осуществляться четыре различных вида взаимодействия. Так при падении
монохроматической волны на границу раздела среды с пространственно-временными изменениями параметров для значений ωs >
W, ksz < Kz или ωs < W, ksz > Kz осуществляется обратное рассеяние и
коэффициент отражения велик. В случаях ωs > W, ksz >Kz или ωs <
W, ksz < Kz имеет место рассеяние вперед и коэффициент отражения
для волны с частотой ωs – W мал.
Выводы
По результатам исследований, выполненных в третьем разделе
можно заключить, что:
1. Разработан метод решения задачи прохождения сигналов, несущих сообщения, в радиолинии через область среды с гармоническим изменением диэлектрической проницаемости, позволяющий
найти решение для плоско-параллельной области. Основой метода
послужила модель вторичных объемных источников, электромагнитных аналогий и последовательных приближений.
2. Предложена методика приближенного расчета добавок более
высокого порядка для случая области малой толщины.
3. На основе представления поля в ионизированной среде с гармоническим изменением концентрации электронов в виде бесконечного ряда пространственно-временных мод проведено исследование распространения сигналов в такой радиолинии.
4. Определена область сильного взаимодействия мод.
5. Решена задача прохождения сигналов через ионизированный
слой при наличии взаимодействия мод.
6. Получено условие сильного взаимодействия.
100
4. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ СРЕДЫ
НА ИНФОРМАЦИОННЫЙ КАНАЛ
4.1. Численные исследования влияния быстрых
гармонических изменений параметров канала
На основании условий (3.46) и (3.47) произведён выбор исходных
данных, необходимых для расчётов. При этом указанные данные
определялись в точке ожидаемого максимального взаимодействия
(3.47); в области, где ещё может быть взаимодействие при малом
D ≠ 0 (3.48); на границе области взаимодействия, где (3.46) равно
нулю; вне области взаимодействия. Для исследования перехода из
области взаимодействия в область отсутствия взаимодействия мод
варьировались частота изменения Ω (пропорциональный ей волновой коэффициент K0), модули волновых векторов K и ks0. При
каждом значении K, K0 и ks0 выполнены расчёты семи основных
амплитуд мод радиоволны, прошедшей Tl через слой гармонически флуктуирующей плазмы, и радиоволны, отраженной Rl от
указанного слоя при нормальном падении на него плоской волны.
При этом толщина слоя d бралась для метровых волн от 0 до 100 м
(d/l ≈ 33) c дискретом ∆d = 1 м (на отдельных интервалах с дискретом ∆d = 0,1 м). На миллиметровых волнах толщина слоя задавалась от 0 до 1 м (до d/l = 125) с дискретом ∆d = 0,01 м (на отдельных
интервалах с ∆d = 0,001 м).
На рис. 4.1 приведены при m = 0,2; l = 3 м; kкр = 1,5 рад/м; K0
= 3,9 рад/м и K = 2,5 рад/м (D » 0) графики зависимости амплитуд
T; R, дБ
T–1
20
T0
10
≈
1
–10
–20
R0
T0
0
R–1
3
5 T–1 41
43
45
d, м
R0
R–1
Рис. 4.1. Зависимость амплитуд двух основных мод
коэффициентов прохождения и отражения от толщины слоя
101
первых двух мод коэффициентов прохождения (Т0, Т–1) и отражения (R0, R–1) от толщины слоя в двух интервалах: когда ещё нет
заметного взаимодействия (0 < d/l <3) и в случае сильного взаимодействия (10 ≤ d/l ≤ 15). По оси ординат масштаб амплитуд отложен в децибелах по соотношениям T = 20lgT [дБ], R=20lgR [дБ].
Из результатов расчётов и рис. 4.1 следует, что:
– основной вклад в прошедший и отраженный сигналы вносят
2–3 моды, амплитуды более высоких мод значительно меньше амплитуд первых двух мод (на два и более порядков);
– при исходных данных, удовлетворяющих условию взаимодействия мод, заметное взаимодействие имеет место при толщине слоя
d > 5l, сильное взаимодействие наблюдается при d/l = 10÷15, при
дальнейшем увеличении толщины слоя как бы происходит «насыщение»: рост амплитуд мод прекращается и имеет место их осцилляция в некоторых пределах.
При расчётах зависимости взаимодействия мод от величин K0,
K и ks0 для каждого из их значений варьировалась толщина слоя до
получения наибольших амплитуд рассматриваемых мод. На рис.
4.2, а построены графики зависимости максимальных амплитуд
мод от волнового числа K0(W), а на рис. 4.2, б – аналогичные графики в зависимости от модуля К волнового вектора К для вышеприведенных параметров (l = 3 м).
Из графиков видно, что:
– максимальное взаимодействие мод ω0 и w–1 имеет место при
D = 0 или при малом D ≠ 0;
а
T–1
T; R, дБ
T–1
б
T; R, дБ
T0
R–1
T0
R–1
20
20
R0
10
R0
10
0
0
3,6
3,8
4,0
K0, 1/м
1,5
1,9
2,3
2,7
Рис. 4.2. Зависимости максимальных амплитуд
двух основных мод в метровом диапазоне волн от:
а) волнового числа K0 = W/с; б) волнового числа K
102
K, 1/м
– при взаимодействии максимальное усиление амплитуд мод
Т0, Т–1 во всем диапазоне УКВ-волн может достигать 33 дБ, амплитуд мод R0 и R–1 – 20 дБ;
– переход из области отсутствия взаимодействия мод в область
взаимодействия происходит при небольшом изменении величины
K0 или K, так, например, при K = 2,2 (рис. 4.2,б) взаимодействие
мод Т0, и Т–1 практически отсутствует, а при K = 2,3, т. е. изменении на DK = 0,1, амплитуда мод достигает 30 дБ;
– ширина области взаимодействия по половинной мощности по
отношению к значению волнового числа, соответствующего середине области, составляет примерно 1/10÷1/8.
Расчёт зависимости амплитуд мод ω0 и w–1 проходящей Т0, Т–1
и отраженной волн R0, R–1 миллиметрового диапазона произведён
при следующих исходных данных: m = 0,2; ks0 = 786 рад/м; K0 =
=1460 рад/м; kкр = 562 рад/м; K = 845÷990 рад/м (рис. 4.3).
Можно отметить, что вследствие интерференционных явлений
амплитуды мод в интервале взаимодействия несколько флуктуируют. Причём наибольшее значение амплитуд мод имеет место не
при K = 920, удовлетворяющим соотношению (3.47), а при другом,
T; R, дБ
40
30
T0
T–1
20
R0
10
R–1
0
800
850
900
950
K0, 1/м
Рис. 4.3. Зависимости максимальных амплитуд двух основных мод
в миллиметровом диапазоне длин волн от волнового числа K
103
несколько отличном, значении K = 985 в полосе взаимодействия.
Этим волновым числам соответствуют корни дисперсионного уравнения со следующими мнимыми частями: при волновом числе
K = 920 мнимая часть корня равна ±j34,93; при K = 895. ±j10,04.
Зависимость амплитуд мод в интервале взаимодействия от волнового числа сигнальной волны ks0 представлена для метрового диапазона на рис. 4.4,а (K = 2,5 рад/м), для миллиметрового – на рис.
4.4,б (K = 950 рад/м) при вышеприведенных исходных данных.
Из графиков видно, что эти зависимости обладают свойствами,
аналогичными их зависимости от волнового числа К. На основе выполненных расчётов можно сказать, что:
– при взаимодействии сигнальной волны с возмущением пространственно-временной среды усиление основной и боковой мод
в миллиметровом диапазоне длин волн может достигать 45 дБ;
– сильное взаимодействие имеет место в полосе значений волновых чисел ks0,
– K, K0, а не при фиксированных их величинах, следовательно,
слой с быстрым пространственно-временным изменением параметров обладает резонансной полосой;
– в пределах полосы взаимодействия амплитуды взаимодействующих мод не остаются постоянными, а несколько флуктуируют, причём указанные амплитуды достигают наибольших значений не всегда в середине полосы, где наибольшая мнимая часть
корня дисперсионного уравнения; вероятно, это связано с тем, что
а
б
T; R, дБ
T; R, дБ
T0
40
40
30
30
T–1
T0
T–1
R0
R0
20
20
R–1
10
10
0
1
R–1
1,4
1,8
2,2 2,6 k60, 1/м
0
500
600
700 800 900 k60, 1/м
Рис. 4.4. Амплитудная характеристика среды с пространственно-временными
изменениями параметров:
а – в метровом диапазоне длин волн; б – в миллиметровом диапазоне длин волн
104
ионизированная среда обладает дисперсионными свойствами и при
отсутствии её пространственно-временных изменений;
– амплитуды взаимодействующих мод в полосе взаимодействия
зависят также от толщины слоя d и при определенной её величине
достигают наибольших значений.
В случае наклонного падения монохроматической волны на
границу раздела среды с пространственно-временным изменением
электромагнитных параметров усиление мод будет несколько меньше и имеет место разделение частотных составляющих отраженного Потр и прошедшего П3 полей по направлениям (рис. 3.7). Причём
наибольшее разделение (заштрихованное на рис. 3.7) происходит
a
R, дБ
15
R–1
R0
10
R–3
5
R2
R4
R–4 R R R1
∞
3
R–2
0
б
R, дБ
15
–10
–8 –6 –4 –2
0
2
4
6
8
10
θ°
10
R0
5
R2 R
–3 R
R3 R4
–1
R
R
∞
–4
R1
R–2
0
–10
–8 –6 –4 –2
0
2
4
6
8
10
12
14 16 18
θ°
Рис. 4.5. Диаграмма рассеяния поля несущей частоты
с нестационарными параметрами в полосе взаимодействия мод:
а – при значительном усилении отражённых мод (обратное рассеяние);
б – при малом усилении отражённых мод (рассеяние вперед)
105
для усиленных мод с частотами ω0 и ω0 – W. Все же остальные моды
распределяются между этими крайними направлениями. На рис.
4.5,а приведена диаграмма рассеяния для единичной волны метрового диапазона, падающей на границу раздела под углом –10о от
нормали при ωs > W, ksz < Kz, а на рис. 4.5, б – при ωs > W, ksz > Kz.
Как и следовало ожидать, в первом случае имеет место сильное
обратное рассеяние: амплитуды мод R0 и R–1 достигают значений
14 и 11 дБ и отражаются под углами 10° и ~2°. Остальные моды со
значительно меньшими амплитудами лежат в диапазоне углов
5÷7,98°. Во втором случае обратное рассеяние незначительно:
R0 =7 дБ, R–1 = 4 дБ, а отражение мод происходит под большими
углами 10° и ~18°. Такое разделение мод объясняется с помощью закона Снеллиуса, то есть тем, что коэффициенты преломления среды для разных мод различны из-за зависимости их от частоты.
Обобщение результатов, полученных для монохроматической
волны в полосе взаимодействия на структуру сигнала, имеет свои
особенности в отличие от рассмотренных ранее. Это вызвано тем,
что такая среда описывается не одной частотной характеристикой,
а их совокупностью: амплитудными и фазовыми (частотными) характеристиками среды (слоя) с пространственно-временными изменениями параметров для сильно взаимодействующих мод.
Остановимся на определениях указанных характеристик. Под
амплитудной характеристикой среды для нулевой моды (ω0) понимается зависимость модуля коэффициента прохождения (или отражения) от частоты сигнальной (падающей) волны T0 (ωs) (или пропорционального ей волнового числа ks0) при данной толщине слоя и
заданных глубине модуляции параметра среды, частоте изменения
W (или пропорциональном ей волновом числе K0), волновом числе
изменения среды K и плазменной частоте kкр, при которых возможно взаимодействие мод. При этом частота моды прошедшего сигнала w = ω0 равна частоте падающей волны w = ωs. Амплитудная
характеристика среды для другой моды ω±l представляет собой зависимость соответственно T±l(ωs) (или R±l) от ωs, однако частоту ωs
для этой моды при определении влияния среды на спектральный
состав прошедшего сигнала следует трансформировать в частоту
ω±l моды прошедшей волны. Для конкретных параметров среды
этими характеристиками являются зависимости рис. 4.4.
Аналогичным образом можно дать определение фазовых характеристик слоя для рассматриваемых мод:
Ψ0(ωs) и Ψ±l(ωs).
106
Имея частотные характеристики среды, далее с помощью преобразования Фурье находим спектральную характеристику заданного падающего сигнала S(t):
∞
− jw t
S ( ws ) =
∫ S ( t ) e s dt , (4.1)
−∞
где S ( ws ) = S ( ws ) e ( s ) .
Для получения спектральной плотности прошедшего через
пространственно-временной слой радиосигнала необходимо спектральную плотность падающего сигнала умножить отдельно на
частотную характеристику слоя по нулевой моде и частотные характеристики по другим значащим модам (например, w–1) в соответствии с (2.4):
S ( w ) ⋅ F ( w ,t ), S ( w ) ⋅ F ( w ,t ),
jΨ w
s
0
s
s
−1
s
где F0 ( ws ,t ) = T0 ( ws ) , F−1 ( ws ,t ) = T−1 ( ws ).
Затем в произведениях для других мод следует трансформировать частоты с ωs на ω±l = ωs ± lW = w (например, w–1 = W – ωs при
ωs < W). Последние результаты необходимо сложить с результатом
для нулевой моды. В итоге получим спектральную характеристику
прошедшего сигнала:
n
Sïð ( w) = S ( w)∑ Fl ( w,t ).
l =0
Рассмотрим получение спектральной характеристики прошедшего сигнала на примере основного взаимодействия, при котором
имеет место усиление нулевой (ω0 = ωs) и первой боковой (w–1 = W – ωs)
мод (амплитуды остальных мод сравнительно малы). Тогда составляющая спектральной плотности прошедшего через слой сигнала,
определяющаяся нулевой модой, будет
j  Ψ ( ws ) +Ψ 0 ( ws ) 
0
,
Sïð
S ( s )T0 ( ws ) =
S (ws )T0 ( ws ) e 
(ws ) =w
(4.2)
−1
где S (ws )⋅ T0 ( ws=
) Sïð
(ws ) – модуль (амплитуда) составляющей
спектральной плотности прошедшего сигнала, обязанной нулевой
−1
моде. Для расчёта величины Sïð
(ws ) используется характеристика T0, представленная на рис. 4.4. Причём частота моды в прошедшем сигнале сохраняется w = ωs.
107
Выражение для составляющей спектральной плотности прошедшего сигнала, определяющейся боковой модой w–1, имеет вид:
j Ψ w +Ψ w
−1
Sïð
( ws ) = S ( ws )T−1 ( ws ) = S ( ws )T−1 ( ws ) e  ( s ) −1 ( s ) , (4.3)
−1
где S(ωs)T–1(ωs) = Sïð
( ws ) – модуль составляющей спектральной
плотности прошедшего сигнала, обязанной боковой моде. В окон−1
чательном выражении Sïð
( ws ) частота трансформируется с ωs на
−1
w=w–1=W–ωs. При этом выражение Sïð
( ws ) переходит в следую−1
−1


щее: Sïð ( w−1 )= Sïð ( w) . Это поясняет рис. 4.6, на котором справа
−1
построен амплитудный спектр Sïð
( ws ) , определяемый модой w−1
, в функции частоты сигнальной волны в предположении, что несущая частота сигнала соответствует середине полосы взаимодействия мод.
Чтобы указанный амплитудный спектр построить относительно
действующей частоты моды w–1 = w = W – ωs, необходимо провести
вертикальную ось через абсциссу W (рис. 4.6), построить зеркальное изображение спектра относительно этой оси и переместить
его с этой осью влево до совмещения точки W с началом координат
−1
«0». Тогда эта кривая займёт место сплошной кривой Sïð
( w = w−1 )
, и, например, точка «а» перейдет в точку «a′». Далее полученные
спектральные функции складываются
0
−1
Sïð (=
w) Sïð
( w) + Sïð
( w) . S–1
п
(4.4)
S–1
п (ω=ω–1)
(ωs)=S(ωs)T–1(ωs)
S–1
п
a′
a
ωs;ω
0
ω=ω–1=Ω–ωs
ωs
Ω–ωs
Ω
Рис. 4.6. Особенности построения амплитудного спектра сигнала
в полосе взаимодействия мод
108
Для определения формы сигнала, прошедшего слой с пространственно-временными изменениями электромагнитных параметров
необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье
(2.4):
=
Sïð ( t )
1
2p
∞
∫ ( Sïð ( w) + Sïð ( w) ) e
0
−1
j wt
dw . (4.5)
−∞
Интегрирование может быть выполнено численными методами,
так как ширина значащей части спектра падающего сигнала и ширина полосы взаимодействия мод в такой среде ограничены.
Из произведённых численных исследований, выполненных
в этой главе, можно сделать следующий важный вывод применительно к сигналам систем и локационных и информационных.
Для сведения к минимуму искажений сигнала, проходящего через
флуктуирующий слой плазмы или другую среду с пространственно-временным изменением диэлектрической проницаемости, необходимо, чтобы ни одна из спектральных составляющих этого сигнала не лежала в области взаимодействия мод. Если же это условие
не выполняется, то представленные здесь результаты дают возможность оценить его искажения.
4.2. Численные исследования влияния углов падения
сигнальной и накачивающей волн
Общие соотношения для определения углов отражения
(f1l = f0l) и прохождения f3l мод
При отражении и прохождении волны через слой плазмы с гармоническим пространственно-временным изменением концентрации электронов происходит угловое расщепление падающего на
слой луча монохроматической волны по модам. Геометрия задачи
представлена на рис. 4.7. На основании этого рисунка и граничных условий можно записать закон Снеллиуса для направляющих
углов f0l отражённой волны Rl в следующем виде:
k0sx + lK0x = k0lx ,
где k0l = k1l или k0ssinf0s + lK0sinf0p = k0lsinf0l.
Из последнего выражения находим
=
sinf0l
( k0l )−1 ( k0ssinf0s + lK0sinf0 p ) ,
(4.6)
109
где напомним, что
−1
k0s= c−1ws , K0= c−1Ω, k0=
l k0s + lK0= c ( ws + lΩ ).
Используя приведённые соотношения, выражение (4.6) можно
записать в следующем виде:
sinf0l = ( ws + lΩ )
−1
( wssinf0s + lΩsinf0 p ) . (4.7)
При этом положительные угол падения сигнальной волны и
предполагаемый угол падения волны накачки отсчитываются от
оси «–z» против часовой стрелки, а положительные углы отражённой волны от той же оси по часовой стрелке.
Для направляющих углов мод прошедшей волны можно получить выражения на основании закона Снеллиуса для преломленной волны на границах раздела сред. Указанный закон для границы 1–2 можно записать так:
k0ssinf0s + lK0sinf0=
p k2lsinf2l ,
где k2l – модуль волнового вектора k2 волны, распространяющейся
в среде 2 (рис. 4.7) в положительном направлении и представляющей собой результат наложения прямой и обратной волны в этой
среде.
k0s
1,0
K0
φ0p
φ00
k00(R0)
φ0l
φ0s
k0l(Rl)
φ′0s
0
x
ϕll
2
K
φ2l
k2l
k2l
3
φ32
φ3l
φ30
k3l(Tl)
z
k30(T0)
φ30
T0
Tl
Рис. 4.7. Угловое расщепление падающего на слой плазмы
с гармоническим пространственно-временным изменением
концентрации электронов луча монохроматической волны по модам
110
Следует отметить, что в отличие от соотношения волновых чисел для воздуха (точнее вакуума) k1l = k3l = k0l = k0s + lK0 подобное
соотношение для слоя плазмы с гармоническим пространственновременным изменением концентрации электронов несправедливо,
т. е. k1l ≠ ks + lK = k0s – kl + lK0, kl = ωl/c.
Значение волнового числа k2l определяется дисперсионным
уравнением и сложным образом зависит от параметров слоя, сигнальной волны и волны накачки.
Для границы раздела сред 2–3 соответственно имеем k2lsinf2l =
=k3lsinf3l. Причём волновые векторы k3l и k0l равны по модулю
(k3l = k0l). Из этих двух уравнений находим:
sinf3l =
( k0l )−1 ( k0ssinf0s + lK0sinf0 p ) =
sinf0l . (4.8)
При этом положительный угол прошедшей волны (моды) отсчитывается от положительного направления оси z против часовой
стрелки (рис. 4.7).
Можно для единообразия отсчитывать направляющие углы для
падающей волны и мод отражённой волны также от положительного направления оси z. Тогда, обозначив этот угол для мод через f′0l ,
в соответствии с рисунком 4.8 и выражением (4.8) имеем:
f′0l = p − f0l = p − f3l èëè f′0lî = 180î − f3lî . (4.9)
волны, представлены для направляющих углов при последнем случае их отсчёта.
Углы рассеяния мод отражённой волны и
прошедшей через слой волны при различных углах падения
накачивающей и сигнальной волн и соотношениях их частот
При нормальном падении волн к границе раздела сред (k0sx=0
и K0x=0), как следует из физических соображений и формул (4.6),
(4.8), все моды отражённой и прошедшей волн направлены нормально к границам раздела сред, т. е. распространяются в противоположных направлениях параллельно оси z.
При наклонном падении углы рассеяния мод зависят от соотношения частот ωs и W.
1). Условие ωs< W .
Рассмотрим при этом три случая взаимного направления накачивающей и сигнальной волн.
111
1а). Случай нормального падения сигнальной волны (k0sx = 0)
при наклонном падении волны накачки (K0x ≠ 0). Принимая в (4.6)
величину k0sx=0, получаем частную формулу (4.10):
lK0sinf0 p
K0x
=
.
(4.10)
1
k0s + lK0
k0s + K0
l
Приведём результаты расчётов направляющих углов мод для
метрового диапазона радиоволн (K0 = 3,7 м–1; k0s = 2,1 м–1; K =
2,5 м–1) при K0x=0,25 м–1 (что соответствует углу f0p = 3,68о).
Указанные углы рассеяния для различных мод имеют следующие значения:
∞
–∞
…
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
…
L
f0l, 3,68 … 4,25 4,48 5,03 7,98 0 2,39 2,9 3,12 3,24 … 3,68
=
sinf0l
град
Близкие данные получаем по (4.10) для рассмотренных в разделе данных миллиметрового диапазона радиоволн (K0 = 1460 м–1;
k0s=750 м–1; K=950 м–1) при том же угле падения f0p (K0x =
93,5 м–1). Следует отметить, что при l → ±∞ по значению угол
f0l → f0p, как это следует из формулы (4.10).
Наибольший угол относительно нулевых мод (R0, T0) составляют моды с l = –1, т. е. R–1 и T–1, наименьший – моды R1 и T1. Таким
образом, при рассматриваемых условиях отражённая и прошедшая
волны рассеиваются в пределах угла 7,98о. Направления мод лежат
между направлением нулевой и моды l = –1. На рис. 4.9,а схематично показаны направления сигнальной и накачивающей волн, а
также углы рассеивания мод отражённой и прошедшей волн (для
наглядности без соблюдения масштаба). При этом «n» предполагается равным целому положительному числу.
1б). Случай наклонного падения сигнальной волны (k0sx ≠ 0) при
нормальном падении волны накачки (K0x = 0).
Для этого случая расчётная формула будет следующей
k sinf0s
sinf0l =0s
.
k0s + lK0
(4.11)
Из (4.11) следует, что для нулевой моды (l = 0) направляющий
угол равен f00 = f0s ; при l → ±∞ f0l → ∞ ; l = +n угол f0l < f0s, а
в случае l=–n указанный угол будет отрицательным, причём наибольший угол по модулю – это угол для моды с l = –1. При K0 = 2k0s
112
(W = 2ωs) , sinf0–1 = –sinf0s, т. е. f0–1 = –f0s. Имеет место отраженная
волна R–1 с частотой ωs по направлению падающей волны.
Приведём результаты расчётов углов рассеяния для метрового
диапазона
радиоволн при указанных в п. 1а параметрах сигнальной волны
и волны накачки в случае f0s = 10о:
L
–∞
f0l,
град
0
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1,56 –2,18 –3,7 –11,69 10 3,5 2,12 1,6 1,23
... ∞
...
0
Картина рассеяния мод отражённой и прошедшей волн приведена на рис. 4.9,б. Из результатов анализа (4.11) и рис. 4.9,б следует, что, как и в предыдущем случае, направления распространения
мод лежат между направлением распространения нулевой минуспервой мод, охватывая угловой интервал f = f0s + f0−1 .
1в). Общий случай наклонного падения, когда k0sx ≠ 0 и K0х ≠ 0.
При указанных условиях надо пользоваться полным выражением (4.6):
sinf0l=
( k0s + lK0 )−1 ( k0ssinf0s + lK0sinf0 p ) .
(4.12)
Здесь интересны два частных случая. Первый частный случай:
f0s = f0p, тогда f0l=f0s, т. е. все моды отражённой и прошедшей волн
распространяются в одном направлении (рассеивание волны отсутствует), характерном для нулевой моды. Второй частный случай –
k0ssinf0s = K0sinf0p, тогда мода l= –1 распространяется нормально
к границе раздела сред (параллельно оси z).
В общем случае направление распространения мод отражённой
и прошедшей волн зависит от соотношения между k0sx и lK0x. При
l → −∞ угол f0l → f0 p .
Были произведены расчёты направляющих углов нулевой и
минус- первой гармоник отражённой волны при K0x = 0,25 м–1 и
K0x = –0,25 м–1. Расчёты проводились до углов падения, при которых прекращается взаимодействие мод ω0 = ωs и w–1 = W – ωs. Из
таблицы результатов расчетов следует, что область углов падения
сигнальной волны, в которой имеется взаимодействие мод, существенно зависит от взаимного направления касательных составляющих волновых векторов сигнальной и накачивающих волн. При
совпадающих направлениях (рис. 4.10,a) (k0sx > 0 и K0х > 0, углы
падения f0s и f0р имеют одинаковые знаки, например, положительные) область этих углов увеличивается приблизительно на f0р, а
113
в случае отрицательных направлений (k0sx > 0 и K0х< 0) – уменьшается (рис. 4.10,б) примерно на тоже значение.
Следует отметить, что углы падения, при которых прекращается взаимодействие мод, значительно меньше углов полного внутреннего отражения, рассчитанных по среднему значению
плазменной частоты. Так при нулевой гармонике этот угол будет
=
sinfïâ
( k0s )−1
k02s − kl2 ≈ 0,70 ; fпв = 44,3о. Для гармоники w–1 на-
ходим sinfïâ= ( K0 − k0s )
2). Условие W < ωs.
а
K0
−1
k0s
( K0 − k0s )
2
− kl2 ≈ 0,55 ; fпв = 34о.
φ0s
φ0p
0
k0sx
x
K0x
б
z
k0s
φ0s
K0
φ0p
k0sx
0
K0x
x
Рис. 4.10. К влиянию взаимного направления касательных
составляющих волновых векторов сигнальной и накачивающей волн
на область углов падения сигнальной волны, при которой имеется
взаимодействие мод:
а) совпадающие направления; б) отрицательные направления
114
2а). Случай k0sx = 0 и K0х ≠ 0.
Для нулевой моды f00 = 0. Для мод с положительным индексом l =
+n при n → ∞ угол рассеяния мод в соответствии с (4.10) изменяется
от 0° до f0l→f0p. В случае мод с отрицательным индексом l = –n вначале направляющий угол f0l отрицателен и c увеличением номера
k0s
.
K0 1 + sinf0 p
, при которых f0l может
моды может изменяться до –90о. При этом =
n n=
1
В интервале от n1 до n2 =
(
k0s
)
(
)
K0 1 − sinf0 p
быть равным
моды отсутствуют ( sinf0l > 1) . Далее с возрастанием абсолютного значения n → ∞, fl=–n → f0p.
Были произведены расчёты направляющих углов мод при следующих условиях: k0s =3,5 м–1, K0 = 1 м–1, f0p = 5о. В результате
указанных расчётов получены следующие данные:
90о,
L
f0l,
град
–∞
5
…
…
–4
40
–3
30
–2
8,7
–1
2
0 1
0 1,1
2
3
4 … ∞
1,82 2,32 2,64 … 5∞
Из представленных данных следует, что при взятых условиях
нет мод, которые удовлетворяли условиям n1 и n2 .
2б).Случай k0sх ≠ 0, K0x = 0.
Для нулевой моды в соответствии с (4.11) f00 = f0s. В случае мод с положительным индексом l = n, как и в 1б), f0s ≥ f0n ≥ 0. При l = –n направляющий угол в начале возрастания n будет положительным вплоть
f0l = 90o, а затем после интервала несуществующих мод, значение
этого угла становится отрицательным.
Приведём результаты расчётов при тех же волновых числах и
угле.
L
f0l,
град
–∞
0
…
–4
–3
… –37,6 37,6
–2
10
–1
7
0 1
5 3,9
2
3,18
3
4 …
2,7 2,33 …
∞
0
Из формулы (4.11) и приведённых данных следует, что f01 < f0s, а
f0–1 > f0s.
2в). Общий случай k0sx ≠ f0s, K0s ≠ 0.
Подобно 1в) здесь также характерны рассмотренные там частные случаи.
Для других конкретных значений волновых чисел и углов падения волн углы рассеяния мод могут быть рассчитаны и исследованы рассмотренным образом с помощью выражения (4.12).
115
Зависимость амплитуд взаимодействующих мод
отражённой и прошедшей волн от углов падения
сигнальной волны и волны накачки
Пользуясь рассмотренным алгоритмом и составленной на основании его программой, были произведены расчёты амплитуд мод
отражённой и прошедшей через слой радиоволн при различных
углах падения сигнальной и накачивающей волн и при условии
сильного взаимодействия нулевой и минус-первой моды для W > ωs
(остальными модами пренебрегаем).
При этом расчёты выполнялись для двух случаев:
1) находится толщина слоя, при которой взаимодействие максимально при нормальном падении волн на границу слоя (f0s = 0,
f0p = 0), и затем эта толщина при других углах падения не изменяется (d = const);
2) при каждом угле падения находится путём численного исследования максимальные значения амплитуд мод путём изменения
толщины слоя (d = var). На рис. 4.11 приведены для метрового диапазона радиоволн (k0s = 2,1 м–1, K0=3,9 м–1, kl = 1,5 м–1, K = 2,5 м–1)
результаты расчётов T0, T–1, R0, R–1 в зависимости от угла падения
сигнальной волны f0s: а) для случая нормального падения волны
накачки (K0x = 0, f0p = 0); б) для случая положительного угла падения волны накачки (K0x = 0,25 м–1); в) для случая отрицательного
угла падения волны накачки.
Из полученных зависимостей следует:
1. При d = const амплитуды мод с увеличением угла падения сигнальной волны сначала падают, а затем возрастают, приближаясь
(или даже превышая) к значениям при f0s=0;
2. При d = var максимальные значения амплитуд мод не уменьшаются – может иметь место увеличение этих значений в процессе
их осцилляций;
3. Интервал углов падения сигнальной волны, в пределах которого имеет место взаимодействия мод, зависит от значения и знака
угла падения волны накачки (f0p) – при положительном угле интервал углов взаимодействия возрастает, а при отрицательном –
уменьшается (на то же значение).
Для миллиметрового диапазона радиоволн (k0s = 750 м–1,
K0 = 1460 м–1, kl = 562 м–1, K = 950 м–1) результаты расчётов амплитуд взаимодействующих мод от угла падения сигнальной волны
при нормальном падении волны накачки (f0р = 0, K0х = 0) представлены на рис. 4.12, из которого следует, что при d=const амплитуды
116
117
а
2
6
10
14
18
22
26
30
0
2
6
8
10 12
R0,d=const
R–1,d=const
φ0s, град
R0,d=var
R–1,d=var
2
6
10
14
18
22
26
30
0
6
8
R0,d=const
6
10
14
18
R–1,d=const
22
2
10 12 14 16 φ0s, град 0
R0,d=var
T0,d=const
R–1,d=var
4
30
2
4
6
R0,d=const
8 φ0s, град
R–1,d=const
R0,d=var
T–1,d=var
R–1,d=var
T0,d=const
T0,d=var
K0x=–0,25 1/м
T–1,d=var
в Tl,Rl, дБ
T0,d=var T–1,d=const
26
K0x=0,25 1/м
T–1,d=var
2
б Tl,Rl, дБ
Рис. 4.11. Результаты расчётов T0, T–1, R0, R–1 в зависимости от угла падения
4
T–1,d=var
T–1,d=const
T0,d=var
K0x=0
T0,d=const
Tl,Rl, дБ
K0x=0
T–1,d=var
Tl,Rl, дБ
36
32
28
24
T0,d=const
T0,d=var
20
T–1,d=const
16
12
R0,d=const
R–1,d=var
8
R0,d=var
4
R–1,d=const
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 φ0s, град
Рис. 4.12. Результаты расчётов амплитуд взаимодействующих мод
от угла падения сигнальной волны при нормальном падении волны
накачки (миллиметровый диапазон волн)
мод с увеличением угла падения быстро уменьшаются. В случае же
d=var максимальные значения осциллируют и имеют тенденцию
уменьшения при предельных углах взаимодействия.
Необходимо отметить, что интервал углов падения сигнальной
волны, в пределах которого имеется взаимодействие мод для миллиметрового диапазона радиоволн такой же, как и в случае метровых волн (рис. 4.11, а и рис. 4.12).
В качестве примера оценим влияние возмущенной ионосферы
на выбор рабочих диапазонов РТС.
118
4.3. Экспериментальные исследования влияния
закритической плазмы на канал радиосвязи
При превышении концентрации электронов в плазме критического значения радиосигнал не проходит через неё, и канал
радиосвязи не функционирует. Известно использование мощной
электромагнитной волны для нелинейного проникновения её через слой плотной плазмы на расстояния, превышающий глубину
линейного скин-слоя. Существует ряд моделей такого проникновения. Считают, что такое воздействие приводит к мелкомасштабным
перераспределениям плотности электронов, то есть мощная волна
создает пространственно-временные изменения ε и изменяет распределение поля в плазме. В соответствии с этим быстрое нелинейное проникновение объясняется разбиением плазмы под действием
мощной СВЧ-волны на слои с размерами, меньшими λ и ориентир
ованными перпендикулярно вектору Е волны накачки. Это подтверждается и другими наблюдениями, например, поляризационной анизотропией плазмы в сильном поле. Экспериментальные
исследования показывают, что просветление слоя возникает при
превышении напряженности поля падающей волны некоторого
порогового значения. Увеличение амплитуды прошедшего сигнала происходит за время, значительно меньшее времени макроскопического перераспределения плотности плазмы на размере слоя,
которое в слабых полях должно происходить с ионнозвуковой
скоростью. Уровень проникающего через слой сигнала составляет
0,2 ÷ 0,3 от уровня сигнала в вакууме. Эта величина слабо меняется
в течение первых 2–3 мкс после начала процесса. Более плотные
слои просветляются несколько позднее [42].
Наряду с быстрой прозрачностью при повышении мощности
падающего излучения могут регистрироваться ещё три процесса:
генерация сателлитов в спектрах рассеянного и прошедшего через
слой излучения; возбуждение излучения вблизи второй гармоники
мощной волны накачки; генерация потоков быстрых электронов
с анизотропным распределением скоростей. При спектральном анализе обнаружено, что интенсивность излучения в плазме на основной частоте падает по сравнению с интенсивностью излучения генератора, кроме того, появляются дополнительные линии. Все три
процесса сосуществуют в течение нескольких первых микросекунд
до момента, когда концентрация заряженных частиц в плазменном
слое начинает понижаться. Механизмом нелинейной трансформации в этом случае может служить модуляционная неустойчивость.
119
Проведём обобщение экспериментальных результатов на канал радиосвязи через плотную Ne ≥ Nêð малостолкновительную
плазму ( w >> ν ), а именно, на прохождение маломощного сигнала через неё и его взаимодействие с пространственно-временной
структурой Ne, созданной в плазме мощной СВЧ волной накачки. Экспериментальные исследования проводились на установке,
в которой плотная малостолкновительная плазма ( ν w = 10−5 ),
0
давление в камере – не более 2·10–6 тор), создававшаяся четырьмя
импульсными эрозионными инжекторами, подвергалась воздействию мощной волны накачки 10-ти сантиметрового диапазона.
Слой плотной плазмы образованный инжекторами, имел толщину
20÷40см, максимальная концентрация Ne max в центре слоя могла быть в 2÷4,5 раза больше критической Nкр для указанной частоты сигнала накачки. Мощность импульсного сигнала накачки
регулировалась от нескольких ватт до 1 МВт (при длительности
импульса несколько мкс), что соответствует значениям параметра ν E
от 10–3 до 1,0. ν E
– параметр, характеризующий
νTe
νTe
E0
интенсивность волны накачки, где ν E ≈
– осцилляторная
me w0
скорость электронов, пропорциональная амплитуде приложенно1
го СВЧ-поля, и νTe ≈ (Te me ) 2 – тепловая скорость электронов,
пропорциональная усредненному тепловому плазменному полю.
Плазма просвечивалась маломощным сигналом, который подмешивался к мощному сигналу накачки. В качестве маломощного
генератора использовались измерительные генераторы с мощностью Pc = 100 мВт, приём излучения осуществлялся измерительным приёмником. Спектр излучения регистрировался с помощью
анализатора спектра одиночных импульсов. Поскольку излучение
мощного генератора с частотой f0 = 3 ГГц, создает сильные помехи
для регистрации маломощного сигнала с этой частотой , то для последнего выбран диапазон fc = (1,1÷1,6)f0 и использованы развязывающие запредельные волноводы. Установлено, что маломощный
сигнал проникает в центральную область плазменного слоя вместе
с мощным СВЧ-излучением при
Nemax
= 3 в центре слоя плазмы.
Nêð
Амплитуда проходящих сигналов достигает 60–70% от амплитуды сигнала в вакууме. На рис. 4.13 приведены осциллограммы
проникновения мощного (а) и маломощного (б) излучения в закри120
1
2
а
t2
б
t
t3
2
1
t1
t′2 t2
t3
5 мкс
t
Рис. 4.13. Осциллограммы проникновения мощного (а)
и маломощного (б) излучения в закритическую плазму
тическую плазму при Ec||E0, а) импульс мощной СВЧ-волны, принятый за слоем плазмы: 1 – в вакууме, 2 – в присутствии плазмы
с Nemax
= 2,0 в центре слоя; б) типичная осциллограмма прошедNêð
шего слой плазмы маломощного сигнала в непрерывном режиме
генерации Ec: 1 – сигнал без СВЧ-волны накачки, 2 – сигнал в присутствии СВЧ-волны накачки. Мощность падающей СВЧ-волны
Р0≈120 кВт, частота fc такова, что плазма в центре слоя непрозрачна для маломощного сигнала. Интервал времени t2–t3 представляет собой стадию быстрой прозрачности. В момент времени t2′ через
7 мкс после срабатывания плазменных искровых инжекторов t1 на
частоте fc=1,57·f0=4,9 ГГц наблюдается отсечка маломощного сигнала. На осциллограмме (б) это – участок между t1 и t2′ . При подаче
мощного СВЧ-излучения на стадии быстрой прозрачности (участок
t2 – t3) наблюдается появление маломощного сигнала. Независимо
от взаимной поляризации интенсивного Е0 и маломощного Ес СВЧизлучения антенна принимает сигнал на частоте fc на фронте импульса волны накачки. Закритическая плазма становится прозрачной для маломощного сигнала.
При спектральных измерениях регистрировался спектр маломощного сигнала fc, попадающего в приёмное устройство без
плазмы (рис. 4.14, а); затем при неизменном информативном сигнале включались плазменные инжекторы и подавался импульс
f0 мощного СВЧ-сигнала P0 = 10 кВт (рис. 4.14, б), P0 = 120 кВт
121
(рис. 4.14,в). Как видно, интенсивность прошедшего маломощного
сигнала на основной частоте в последних случаях несколько уменьшается; кроме того, в спектре появляются дополнительные боковые полосы. Уменьшение амплитуды сигнала основной частоты
(связанное, по-видимому, с частичным отражением) подтверждает
тот факт, что новые компоненты спектра вызваны нелинейностью
плазмы, а не связаны с возможными перегрузками кристаллического смесителя на входе измерительной схемы.
Зависимость величины боковых полос от мощности па дающей
интенсивной волны носит резко выраженный нелинейный характер, их амплитуда достигает уровня, достаточного для их уверенной регистрации, уже при значении ν E
. Это соответνTe = 0,12
ствует мощности волны накачки порядка 40 кВт (рис. 4.2,б). Повидимому, именно при этом уровне мощности в плазме возникает
распадная неустойчивость.
Ионнозвуковые пространственно-временные возмущения, возникнув в области плазменного резонанса Ne = Nêð0 (для волны надБ
0
а
60 40 20 fc 20 40 60
f0=0, P0=0
дБ
0
б
–20
–20
–40
–40
–60
МГц
60 40 20 fc 20 40 60
f0≠0, P0=10 к Вт
–60
МГц
дБ
в
–20
–40
–60
60 40 20 fc 20 40 60
f0≠0, P0=120 кВт
Рис. 4.14. Спектр:
МГц
а – маломощного сигнала без плазмы; б – мощного СВЧ-сигнала P0 = 10 кВт
в плазме; в – мощного СВЧ-сигнала P0 = 120 кВт в плазме
122
качки f0), распространяются вверх и вниз по градиенту плотности
и достигают границы Ne = Nêð c . С увеличением мощности сигнала
накачки (при ν E
0,3 ) спектр несколько деформируется (рис.
νTe ≥
4.14,в), основной пик уменьшается по величине и расширяется
на 2–3 МГц. Боковые полосы особых изменений формы не претерпевают. Порог этого явления совпадает с порогом возникновения
аномально быстрой нелинейной прозрачности. После выключения
импульса интенсивной СВЧ-волны накачки маломощный сигнал и
сателлиты существуют ещё 0,5÷1,5 мкс.
Приведённые результаты показывают возможность использования для передачи маломощного СВЧ-сигнала через закритическую
малостолкновительную плазму СВЧ-волны накачки более низкой
частоты, воздействующей на плазму. Механизм передачи обязан
мелкомасштабному (1 см < L < 4 см) пространственно-временному перераспределению плотности электронов. Наличие пространственно-временных ионно-звуковых возмущений, обусловленных
нелинейной трансформацией мощной СВЧ-волны в плазме, определяет рассеяние маломощного сигнала на них, что и характеризуется
боковыми полосами в спектре прошедшего сигнала. Спектральные
характеристики совпадают с результатами моделирования канала
радиосвязи на основе линейной трансформации волн в плазме.
4.4. Экспериментальные исследования канала радиосвязи
через плазму с пространственно-временной
периодичностью концентрации электронов
При функционировании канала радиосвязи через ионизированную среду последняя по различным причинам, как, например,
при работе нескольких антенных систем, может иметь Ne, изменяющуюся во времени и в пространстве. Для моделирования пространственно-временной периодичности концентрации электронов
в плазме применимы различные лабораторные способы: возбуждение плазменных волн; прохождение мощной поперечной электромагнитной волны в неоднородной изотропной плазме; прохождение
мощной электромагнитной волны в неизотропной, замагниченной
плазме. Первый способ имеет экспериментальные возможности и
прост в практической реализации. В этом случае реализация среды
с пространственно-временной периодичностью электромагнитных
параметров связана с возможностью возбуждения волн пространственного заряда в плазме. При этом Ne и ε изменяются по зако123
ну бегущей волны. Их возбуждение падающей электромагнитной
волной возможно по двум механизмам – линейной и нелинейной
трансформации волн.
Первая может иметь место при наклонном падении под углом
Q вертикально поляризованной волны на слой неоднородной плазмы, так как в точке отражения ε = sin2Q имеется значительная
компонента поля Е, параллельная grad Ne, и в точке плазменного
резонанса ε = 0 возрастающее электрическое поле имеет вид плазменных волн, распространяющихся в редкую плазму (в сторону
уменьшения плотности) в соответствии с дисперсионным уравне2
нием w2 =w2p + 3k2νTe
. Здесь ωp – плазменная частота; ω и k частота
и волновое число распространяющейся плазменной волны; νTe – тепловая скорость электронов. Плазменные волны могут затухать
бесстолкновительным образом по механизму Ландау при приближении их фазовых скоростей к тепловым скоростям электронов, и
это затухание описывается следующей формулой для декремента:
w2p
3
4
− 2 2 −
p wp
2k νTe 2
α0 =
e
.
3
8 k3νTe
(4.13)
Результаты экспериментальных исследований по плазменным
волнам, возбуждаемым в плазме, показали, что при увеличении
мощности падающей волны наблюдается подавление затухания
в соответствии с выражением =
α
3
α0
+ AEz 2 , которое связано с об1
разованием плато на функции распределения электронов вследствие ускорения частиц, движущихся синхронно с волной. Так,
при продольной составляющей напряженности поля 1 В/см затухание в разряженной плазме резко уменьшается. Коэффициент
трансформации плотности потока энергии, характеризующий
эффективность линейной трансформации поперечных волн в продольные, может достигать значения 0,4 при оптимальном угле падения и в случае малых амплитуд.
Исходя из этого, в качестве среды для модели канала радиосвязи через плазму с пространственно-временной периодичностью Nе,
рассмотрена возможность использования плазмы в газоразрядном
баллоне, в которой линейная трансформация создаётся магнетроном, а сигнальная волна имеет частоту f=38,0 ГГц. В качестве приёмника применён анализатор спектра. Максимальная концентрация плазмы может изменяться в широких пределах (1012÷1013 см–3)
124
с помощью вариации разрядного тока. Относительное распределение концентрации электронов по диаметру сечения плазменного
столба показано на рис. 4.15, а. Электромагнитная волна накачки F широким пучком падает на столб перпендикулярно его ocи
(pиc. 4.15, б). Плоскость её поляризации также перпендикулярна
оси столба (на рис. 4.15, в плоскость поляризации волны совпадает с плоскостью рисунка). Видно, что, благодаря цилиндрической
конфигурации плазмы в различных точках, волна накачки имеет
разные углы падения на плазму Q =0...90о. Тем самым обязательно найдётся одна точка (точнее, две, симметричные относительно
горизонтальной оси), в которой угол падения оптимален для осуществления линейной трансформации электромагнитной волны
в плазменную.
Область плазменного столба, на которую воздействует волна
накачки, просвечивается широким пучком сигнальной электромагнитной волны f при различных углах между направлениями
падения накачивающей и сигнальной волн для различных значений разрядного тока. Рассеиваемая плазмой сигнальная электромагнитная волна принимается непосредственно анализатором
спектра, с помощью которого осуществляется поиск колебания на
комбинационной частоте f–1 = f – F = 29 ГГц.
При всех вариациях разрядного тока баллона (и, следовательно,
концентрации электронов) и угла между направлениями распроN
Nemax
а
Nкр
б
21
θ
F
z
Граница
плазмы
Изолиния
критической
концентрации
Рис. 4.15. а – относительное распределение концентрации электронов
по диаметру сечения плазменного столба; б – электромагнитная волна
накачки F ; в – плоскость поляризации электромагнитной волны
125
странения сигнальной и накачивающей волн, при максимальной
чувствительности анализатора спектра рассеяния на плазменных
волнах не наблюдается. Поэтому необходимо более тщательно
проанализировать условия линейной трансформации поперечной
волны в продольную плазменную для стандартных газоразрядных баллонов. Для чего оценим размеры той области плазмы, в которой могут существовать плазменные волны. Обратимся снова
к рис. 4.15, а. Пусть слева (по рисунку) на плазму падает электромагнитная волна с частотой Ω = 2pF ≈ 6·1010 с–1. Трансформация
электромагнитной волны в плазменную может происходить в точке, где ωp1=Ω. Эта точка отмечена как точка 1, и ей соответствует
концентрация электронов
=
Ne1 me
w2p1
2
≈ 1012 см–3.
4pe
Возбуждённая в точке 1 плазменная волна может распространяться в сторону уменьшения плотности плазмы, то есть влево, так
как справа плазма является для неё закритической. Вдоль направления распространения плазменной волны уменьшается концентрация электронов и, соответственно этому, уменьшается локальная плазменная частота ωр и увеличивается волновое число k распространяющейся плазменной волны.
Происходящие явления удобно проиллюстрировать на дисперсионной диаграмме ω(k) (рис. 4.16). По мере уменьшения концентрации электронов от Ne1 до Ne2 дисперсионная кривая смещается вниз. При этом k постоянно растёт (величина k определяется по
пересечению кривой ω(k) с прямой Ω).
Как известно, с возрастанием волнового числа (уменьшением
длины волны) увеличивается затухание плазменной волны по бесстолкновительному механизму Ландау. Наконец, при k ≥ 1/rDe
(rDe – дебаевский радиус для электронов) происходит практически
полное затухание плазменной волны. Подставив в дисперсионное
2
ω
уравнение w2 =w2p 1 + 3k2rDe
величину k = 1/rDe, находим, что полное
Ω=ωp1
затухание плазменной волны происходит в точке, где Ω ≈ 2ωp (точωp2
ка 2 на рис. 4.15, a), тo есть в точ-
(
1/rDe
k
Рис. 4.16. Дисперсионная
диаграмма
126
ке,
где
Ne2 =
Ne1
2
)
≈ 0,7 ⋅ 1012 см–3.
Таким образом, величина области
существования плазменной вол-
ны есть расстояние между точками 1 и 2, точками возникнове−1
 dNe 
ния и затухания волны. Она определяется как l = DNe 
 ,
 dz 
dNe
где DNe = Ne1 − Ne2 ≈ 0,13 ⋅ 1012 см–3,
– средний градиент конdz
центрации электронов в интересующей области, который приблиñì −3
зительно равен 1013 ñì . Подставляя числовые значения, полу1012
чаем l ≈ 0,3 ⋅
3 10−2 cм. Видим, что область существования
=⋅
13
10
плазменной волны, а тем самым – область взаимодействия с ней
сигнальной электромагнитной волны, очень мала. Отметим и еще
одну особенность. Как уже было сказано, по мере распространения
плазменной волны от точки 1 к точке 2 непрерывно увеличивается
волновое число, и соответственно, уменьшается длина волны.
На основании вышесказанного можно сделать вывод: для наблюдения эффектов, происходящих при распространении электромагнитной волны в плазме с пространственно-временной периодичностью, необходимо создать плазменную конфигурацию с минимальным градиентом плотности в некоторой области, то есть
нужно использовать плазму с профилем концентрации электронов, примерно соответствующим рис. 4.17. В точке zтр происходит
трансформация падающей слева электромагнитной волны в плазменную, которая затем распространяется с постоянной скоростью
на участке от zтр до z0. Причём затухание её на этом участке обусловлено лишь столкновительной диссипацией. На этом участке и
следует проводить исследования. Волновое число, и, соответственно, фазовую скорость плазменной волны возможно варьировать путём изменения плотности плазмы на рабочем участке.
При моделировании изменяю- N
e
щейся Nе оценим величину переменной составляющей концентра- Nкр
ции электронов в плазменной волне. Поток энергии в плазменной
волне определяется формулой
z0
Pp = ν ãð
Ez2
4p
,
zтр
z
(4.14) Рис. 4.17. Профиль концентрации
электронов плазмы
127
тогда как для электромагнитной волны имеем
P=c
E2
.
4p
Таким образом, если предположить полную трансформацию
электромагнитной волны накачки в плазменную, то напряженность поля в последней будет в c
раз больше, чем в первой.
ν ãð
Групповая скорость плазменной волны определяется как
dw
2
ν ãð =
= 3kzrDe
wp , dk
(4.15)
где rDe – дебаевский радиус и ωp – плазменную частоту, примерно
равную частоте накачки, следует считать исходно заданными константами, тогда как kz (волновое число) – параметр, который можно варьировать в широких пределах путём изменения плотности
плазмы. νгр может быть на несколько порядков меньше с, соответственно, напряжённость поля в плазменной волне может быть на
несколько порядков больше, чем в породившей её электромагнитной волне накачки.
Зная амплитуду напряженности поля плазменной волны, можно определить значение плотности пространственного заряда
E e
qm = 2p m 0 , (4.16)
lp
где λр – длина плазменной волны. И, наконец, отсюда находим
амплитудную величину избыточной концентрации электронов
в плазменной волне
qm
DNe =
.
(4.17)
e
При средней электронной концентрации Ne ≈ 1012 см–3 относительная величина переменной составляющей электронной концентрации в плазменной волне будет
DNe 4 ⋅ 109
=
= 4 ⋅ 10−3 .
12
Ne
10
Примерно такого же порядка величины составит и изменение
диэлектрической проницаемости плазмы. Таким образом, мощ128
ность волны накачки порядка нескольких ватт должна быть достаточна для создания пространственно-временной периодичности
концентрации электронов, полученной путем линейной трансформации волн в плазме.
Для возможности существования слабозатухающих плазменных волн необходимо, чтобы частота столкновения электронов
с ионами и нейтральными атомами была много меньше частоты
этой волны, то есть
νe
<< 1 ,
(4.18)
wp
где ν e – указанная частота столкновений. Частота столкновений
электронов с ионами определяется как
50Ni
,
(4.19)
νe ≈
3
Te2
где Ni – концентрация ионов (в случае однозарядных ионов
Ni =Ne=1012 см–3); Те – температура электронов (в условиях газового разряда низкого давления, Те ≈104 К). Поэтому по (4.7) получаем
ν ei ≈
50 ⋅ 1012
3
4
10
≈ 5 ⋅ 107 с–1.
Частота столкновений электронов с нейтральными атомами будет
(4.20)
ν en ≈ 8,3 ⋅ 105 Qì Te Nì , где Qм – сечение столкновения электронов с молекулами газа,
Nм – концентрация нейтральных молекул в плазме. Величина Qм
может меняться в широких пределах для различных газов в зависимости от электронной температуры. Для аргона при Тe = 104 К
Qм ≈ 0,5·10–16 см2. В условиях газового разряда при давлениях порядка единиц миллиметров ртутного столба ионизируется лишь
малая часть молекул. Как было сказано, концентрация ионов
Ni≈1012 cм–3, тогда как концентрация всех молекул (ионизированных и неионизированных) при давлении Р = 1 мм рт. ст. будет
N≈2,5·1019 см–3. Таким образом, можно принять Nм = N ≈ 2,5·1019
см–3. Подставляя числовые значения в (4.20), получаем
ν en ≈ 8,3 ⋅ 105 ⋅ 0,5 ⋅ 10−16 ⋅ 104 ⋅ 2,5 ⋅ 1019 ≈ 2 ⋅ 108 с–1.
129
Полная частота столкновений электронов будет
ν e = ν ei + ν en ≈ 2,5 ⋅ 108 с–1.
Видно, что условие (4.18) при данном давлении газа достаточно
хорошо выполняется
ν e 2,5 ⋅ 108
≈
<< 1.
w p 6 ⋅ 1010
Как уже отмечалось, в области плазменного резонанса (ε(z) = 0)
возникает особенность электрического поля, которая может сниматься двумя механизмами – столкновительной диссипацией и
трансформацией в плазменные волны. Сопоставим оба конкурирующих механизма. Известно, что трансформация в плазменные
волны доминирует над столкновительным поглощением, если выполняется условие
2
r  3
ν e < w De  ,  L 
−1
(4.21)
 dNe 1 
где=
L 
⋅
 — характерный пространственный мас dz Ne 
штаб изменения плотности плазмы. Подставив в правую часть
(4.21) указанные ранее числовые значения параметров, получим
νe < 3·109 с–1, то есть для газоразрядной плазмы условие (4.21) выполняется. При уменьшении градиента плотности в области трансформации zтр удовлетворение этому условию ухудшается.
Анализ условий эксперимента с плазмой газоразрядной баллона показывает, что отрицательный результат при её использовании обуславливается в основном малостью области существования
плазменной волны. Для увеличения размеров этой области необходимо использовать плазму со специальным профилем плотности.
Так как баланс энергии взаимодействия поля с плазмой прост –
электромагнитная волна накачки – плазменная волна – диссипация в тепло, то для усиления эффекта взаимодействия сигнальной
волны с плазменной волной нужно стремиться увеличивать мощность волны накачки и уменьшать диссипацию путём уменьшения
частоты столкновений νe и gradNe.
В качестве источника такой плазмы применён газовый электрический разряд постоянного тока (из-за относительной простоты его
реализации), в котором электромагнитная волна накачки и сиг130
нальная волна направляются не перпендикулярно положительному столбу, а вдоль его. Если в поперечном сечении положительного
столба концентрация электронов, вследствие диффузии на стенки,
устанавливается по закону функции Бесселя, то в продольном направлении распределение Ne определяется величиной плотности
тока j, которая, в частности, зависит от сечения положительного
столба. Таким образом, меняя сечение положительного столба разряда вдоль его длины, можно произвольно варьировать профиль
плотности плазмы в значительных пределах. В случае тлеющего
разряда в области плазмы отрицательного свечения (второе катодное свечение) имеется «горбик» электронной концентрации, в точности совпадающий с требуемым профилем (рис. 4.17). Ширина (по
оси z) этого горбика не зависит от разрядного тока и определяется родом газа и его давлением. Так, для аргона при давлении 1 мм
рт. ст. его ширина (порядка 2 см) с ростом давления уменьшается.
Изменяя давление, можно менять эту ширину и, соответственно,
изменять в некоторых пределах градиент электронной концентрации в точке трансформации. Остается лишь обеспечить беспрепятственное прохождение электромагнитной волны через электроды.
Поперечное сечение разрядного промежутка должно быть достаточно большим, чтобы вблизи оси имелась область равномерной
плотности Ne = N0, так как распределение Ne в поперечном сечении
имеет вид функции Бесселя. Например, чтобы при круглом сечении обеспечить неравномерность Ne не более 5% в области диаметром около 3 см, необходимо иметь разрядную область диаметром
около 12 см. Концентрация электронов в положительном столбе газового разряда изменяется в зависимости от разрядного тока, давления и типа газа.
Использование аргона при данном моделировании обусловлено
двумя соображениями. Во-первых, газовый разряд следует производить в инертной атмосфере во избежание окисления электродов (аргон – наиболее доступный из инертных газов). Во-вторых,
сечение столкновений электронов с атомами имеет значительный
минимум как раз в диапазоне интересующих электронных температур, а это уменьшает частоту электронных столкновений, что
весьма существенно.
Рассмотрим возможность произвольной регулировки длины
плазменной волны на рабочем участке плазмы. Из дисперсионного уравнения плазменных волн имеем
Nêð
Ne
2
, при этом
= 1 + 3k2rDe
131
λр, см
k, см–1
6
1,05
4
1,57
2
3,14
6,28
12,56
25,1
0,84
0,88 0,92 0,96 1 Ne
Nкр
Рис. 4.18. Зависимость длины плазменной волны l Ð и волнового числа
от относительной концентрации электронов Ne/Nкр
длина плазменной волны l Ð =2pk–1. На рис. 4.18 показана зависимость длины плазменной волны l Ð и волнового числа k от относительной концентрации электронов Ne/Nкр, построенная по приведенному выражению при значении rDe ≈ 7·10–4 см. На рис. очевидна
трудность регулировки λр в области больших длин волн, соответствующей большим фазовым скоростям.
При моделировании необходимо опытным путем подбирать
точные значения давления газа и разрядного тока для установки
требуемых параметров плазмы. Для этого, естественно, требуется
измерять концентрацию электронов и распределение её по разрядному промежутку. С этой целью используется электрический зонд,
который помещается в нужную точку плазмы и затем снимается
его вольт-амперная характеристика.
На основе произведённого анализа расчётов используется нестандартная специальная газоразрядная камера для моделирования распространения радиоволн через плазму с пространственно-временной периодичностью Ne. В качестве основы камеры
применена толстостенная кварцевая трубка диаметром 120 мм и
длиной 300 мм. Оба конца трубы закрыты крышками с герметизирующими прокладками. При создании разрежения внутри камеры
атмосферное давление равномерно и плотно прижимает крышки.
На верхней крышке смонтированы несколько герметичных электрических вводов, жидкостный манометр на диапазон давлений
0,7÷7 мм рт. ст.; два газовых вентиля для откачки внутреннего
объёма и впуска аргона. Внутри камеры, параллельно её оси, установлены два плоских прямоугольных электрода. Их размеры –
100×190 мм, расстояние между ними 60 мм.
132
Так как электромагнитные волны должны падать на плазму
через электроды, то они выполнены радиопрозрачными. На пластинки указанных размеров печатным способом нанесена тонкая
сетка шагом 1,5 мм из проводников, параллельных длинной стороне. Электромагнитные волны с поляризацией, перпендикулярной
проводникам сетки, беспрепятственно проходят через неё. Один из
электродов выполнен секционированным, т. е. предусмотрена возможность отключать центральную его часть с тем, чтобы увеличить
плотность тока на периферии разрядной области и тем самым, по
возможности, добиться более равномерного распределения концентрации электронов в сечении, перпендикулярном току (параллельном плоскости электродов). По оси кварцевой трубы на верхней
крышке на гибком проводнике свободно подвешен электрический
зонд. Зонд представляет собой вольфрамовую проволоку, запаянную в стеклянную трубку. Свободная подвеска необходима для того, чтобы простейшим способом – наклоном камеры – можно было
перемещать зонд внутри герметичного объёма.
Структурная схема измерительной установки для исследования модели канала в плазме с пространственно-временной периодичностью концентрации электронов показана на рис. 4.19 и состоит из четырёх функциональных узлов: источник плазменного
Источник
питания
8 мм
Анализатор
спектра
Монохроматор
Источник
питания
ФЭУ
Миллиамперметр А
Источник
питания V
γ
Ан1
Оптическая
ось
α
φ
β
90°
Эталонная
лампа
Направ8 мм
ленный
Ан2 ответвитель
3 смВентиль
СВЧ
Ан3
Генератор
СВЧ
Вентиль
СВЧ
Магнетрон
Источник
питания
Манометр
Источник
питания
Источник
питания
Осциллограф
Рис. 4.19. Структурная схема измерительной установки для
исследования модели канала в плазме с пространственно-временной
периодичностью концентрации электронов
133
образования, СВЧ-схема измерений, схема зондовой диагностики,
схема спектральной оптической диагностики параметров плазмы. Соотношением потенциала пластин достигается плазма электрического разряда низкого давления с профилем концентрации
электронов, соответствующим рис. 4.17. Измерение концентрации
электронов осуществляется двумя независимыми методами: зондовым и оптическим по абсолютной интенсивности спектральной
линии аргона Ar. Сигнальная волна излучается антенной 8-миллиметрового диапазона, которая располагается под углом f к антенне
накачки 3-сантиметрового диапазона. Принятый приёмной антенной 8-миллиметрового диапазона сигнал регистрируется на анализаторе спектра и сравнивается с сигналом, принятым в отсутствии
плазмы. Перемещением антенны накачки под разными углами β
можно менять пространственное соотношение между волновыми
векторами волн накачки и сигнальной.
Сигнальный канал состоит из СВЧ-генератора; вентиля, служащего для уменьшения отраженной мощности в антенно-фидерном
тракте, влияющей на стабильность работы генератора; направленного ответвителя для регистрации отраженного сигнала фидерного тракта стандартного прямоугольного сечения и поддачи его на
анализатор спектра, а также передающей антенны, излучающей
электромагнитные волны с горизонтальной поляризацией. В качестве передающих 8-миллиметровых антенн используются зеркальная антенна и стержневая диэлектрическая антенна. Сигнальная
антенна закрепляется неподвижно и образует угол α с оптической
осью стенда в горизонтальной плоскости. Канал накачки состоит
из магнетрона (питаемого двумя параллельно включенными источниками), вентиля для улучшения стаи излучающей рупорной
антенны, формирующей электромагнитную волну горизонтальной
поляризации. Антенна накачки может перемещаться относительно оптической оси, то есть угол между волновыми векторами информационной и волны накачки f = p – α – β является переменным.
Приёмный канал 8-миллиметрового диапазона состоит из анализатора спектра, фидерного тракта, включающего вращающееся
сочленение и приёмную антенну типа зауженного конца круглого
волновода с диэлектрической вставкой. Вращающееся сочленение
позволяет изменять угол γ с оптической осью и отыскивать пространственное положение волнового вектора в горизонтальной плоскости.
При зондовой диагностике плазмы для снятия вольт-амперной
характеристики зонда используется схема, включающая вольтметр источника питания, миллиамперметр, потенциометр и ис134
точник питания. Измеряя среднее значение тока и напряжения,
определяют Те и Nе на момент измерения. Анализ спектра аргоновой
плазмы позволяет выделить изолированные линии, удобные для диагностики, не имеющая близко расположенных других и обладающая
наибольшей интенсивностью излучения. На ней регистрируется интенсивность излучения, а затем с помощью поворотного зеркала измеряется сигнал от лампового эталона температур. Оптическая схема диагностики плазмы состоит из монохроматора с ФЭУ и источника питания,
эталонной лампы с источником питания и делителем напряжения,
осциллографа, поворотного зеркала с известным коэффициентом
отражения, собирающей линзы с диафрагмой для ограничения посторонней засветки.
Экспериментальные исследования по влиянию плазмы с пространственно-временной периодичностью концентрации электронов, полученной линейной трансформацией электромагнитной
волны накачки в плазменную, на рассеяние радиоволны позволили
зарегистрировать сигнал разностной частоты.
Методика исследований следующая.
1. Регистрация сигнала f в отсутствии плазмы при включенных
передающих каналах; комбинационные частоты отсутствуют.
2. Регистрация сигнала f при наличии плазмы, включенном
только передающем информационном канале и различных значениях Nе, (величин разрядного тока и давления в камере); комбинационные частоты отсутствуют.
3. Поиск комбинационной частоты при включённом канале накачки F.
Моделирование каналов радиосвязи в пространственно-временной плазме можно производить также путём использования механизма нелинейной трансформации. Воздействие интенсивной
электромагнитной волны на бестолкновительную, плотную плазму
приводит к возникновению нелинейных процессов в ней и параметрическому возбуждению волн, определяемых пороговыми значениями Е0. Существует несколько типов параметрических неустойчивостей в зависимости от того, какие из собственных колебаний
плазмы участвуют во взаимодействии.
Результаты лабораторных исследований, подтверждающие возникновение боковых спектральных составляющих на механизме
нелинейной трансформации, получены при более малых мощностях
накачки. Когда было превышение порога, спектр характеризовался
тремя линиями f0, f0 + F, f0 – F . На рис. 8.8 приведён спектр отраженной волны вблизи частоты f – f0 при облучении плазмы маломощной
135
волной и при превышении порога волной накачки. Наличие спектральных составляющих f – f0, f – f0 ± F показывает, что сигнальная
волна взаимодействует с плазменными и ионно-акустическими волнами, возбужденными волной накачки f0, что соответствует модели
канала радиосвязи через плазму с пространственно-временной периодичностью концентрации электронов.
4.5. Экспериментальные исследования канала радиосвязи
через нестационарную плазму
Влияние плазмы с изменяющимися во времени параметрами на
проходящий радиосигнал приводит к обогащению его спектра, а
в некоторых случаях к эффекту – параметрического усиления в зависимости от соотношения частоты сигнала ω и частоты изменения
параметра Ω. Исследование каналов радиосвязи в плазме с переменной во времени концентрацией электронов проводят методом
моделирования электродинамических процессов конечно-разностными сетками.
На основании уравнений Максвелла или волновых уравнений
с учётом уравнения для временных функций, справедливого для
конкретной радиолинии, составляется эквивалентная схема среды. Затем осуществляется масштабный переход с высоких частот
электромагнитного поля на низкие частоты, на которых оказывается возможным реальное построение моделирующей установки.
Иными словами, данный метод моделирования заключается в том,
что записывается уравнение в дискретной форме, которое является
конечно-разностной аппроксимацией дифференциального уравнения в частных производных. Затем дискретное уравнение приводится к уравнению Кирхгофа для электрических цепей. Подбирая
соответствующие этим уравнениям цепочки электрических элементов с изменяющимися параметрами, получают модель уравнения.
Электрические процессы в таких цепочках будут соответствовать
электромагнитным процессам в среде с временными изменениями
параметров. Для случая нормального падения плоской волны на
слой нестационарной плазмы электрическая цепочка, описывающаяся системой уравнений Кирхгофа и Максвелла в дискретной
форме, показана на рис. 4.20. Она состоит из сосредоточенных элементов, величины которых рассчитываются по формулам
L0=
136
k2
k
k 1 e2
1
,
e0 Dz, C0= 1 µ0 Dz, Cn ±0,5 = 1
k2 Dz α Nen ± 0,5 (t)
k1
k2
Cn–0,5(t)
L0
n–1
C0
L0
n
Rn–0,5(t)
Cn+1,5(t)
Cn+0,5(t)
C0
L0
n+1
Rn+0,5(t)
C0
Rn+1,5(t)
C0
Рис. 4.20. Эквивалентная электрическая схема,
описываемая системой уравнений Кирхгофа и Максвелла
Rn ±0,5 (t=
)
(t)
k2
α Ne
Dz 2 n ± 0,5 ,
k1
e νn ±0,5 (t)
где k1, k2 – коэффициенты моделирования; Δz << λ – шаг дискретизации уравнения на равные участки по пространственной координате с узловыми точками ..., n – 2, n – 1, n, n + 1, n – 2, ...; временные изменения параметров плазмы Nе(t) и ν(t) остаются непрерывными, а индекс n ± 0,5 означает, что эти величины соответствуют
точкам пространства между узлом n и n + 1 или между n и n – 1,
соответственно.
Как видно из этих соотношений, учёт нестационарности плазмы
приводит к необходимости использования в моделирующей установке параметрических элементов, изменяющих свои параметры
в соответствии с законом изменения Nе(t) и Nе(t)/ν(t). Для практического использования этих соотношений, справедливых при
высоких частотах электромагнитного поля, необходимо воспользоваться принципом электродинамического подобия и перейти
с этих частот f к низким частотам моделирования fм. В этом случае
элементы цепочки при учёте коэффициента подобия β = f/fм получаются приемлемой величины для их практического выполнения.
Ёмкость Сn±0,5 и резистор Rn±0,5 должны изменяться во времени по
тому же закону, что и параметры среды. В качестве управляемых
элементов, как правило, применяются варикапы. Реализация граничных условий для сред конечной толщины осуществлялась с помощью блока граничных условий. По результатам моделирования
для произвольного закона изменения диэлектрической проницаемости слоя можно определить амплитуду и фазу электромагнитного поля внутри этого слоя, а также коэффициенты прохождения и
отражения от нестационарной плазмы. Амплитуда и фаза электромагнитного поля определяются амплитудой и фазой напряжений
137
Интенсивность, дБ
0
–10,5–12,5 –10,5
–12
–21 –23
–21 –22
–29
–30
–30 –30
–40–40
–40 –38
f–4F f–3F f–2F f–F f f+F f+2F f+3F f+4F f, Гц
Рис. 4.21. Спектр радиоволны при Ω << w
Интенсивность, дБ
или токов в зависимости от схемы модели. На моделирующей установке проведены решения ряда задач по моделированию каналов
радиосвязи через нестационарную плазму, концентрация электронов которой изменяется во времени по гармоническому, прямоугольному и случайному законам. На рис. 4.21 (сплошные линии)
приведён спектр радиоволны при Ω << w , прошедшей через плазму:
Незначительное отличие (1 – 2 дБ) в амплитуде этого спектра и
спектра, обозначенного пунктирными линиями, объясняется погрешностями моделирования и средств измерения спектра. С увеличением частоты изменения концентрации электронов спектры
прошедшей волны более бедны гармониками, чем при низких.
Случай соизмеримых во времени частот электромагнитного поля и
изменения концентрации электронов нестационарного слоя плазмы (d/λ=1,0) приведён на рис. 4.22.
0
–23,2 –25,0
–20,4 –19,0
–53,6
–55,0
ω–2Ω ω–Ω
–48,6
ω
ω+Ω
–51,0
ω+2Ω
ω, 1/c
Рис. 4.22. Спектр радиоволны в случае соизмеримых
во времени частот электромагнитного поля
138
Здесь сплошными линиями обозначен спектр, полученный методом моделирования, а пунктирными линиями – спектр, рассчитанный путём решения уравнения Матье для временной составляющей разделения электромагнитного поля. Можно констатировать
удовлетворительное совпадение результатов расчёта и моделирования.
Эффект усиления сигнала в нестационарной плазме имеет место
при совпадении частоты изменения концентраций электронов Ω
с частотой сигнала ω. Для рассмотренного случая изменения концентрации электронов во времени по гармоническому закону на
рис. 4.23 показана экспериментальная зависимость коэффициента
усиления Kу от α при Ω = ω. Падающая волна представляет собой
амплитудно-модулированный сигнал, и измерение коэффициента
усиления проводится после выхода волны из слоя. Амплитуда прошедшей волны возросла по сравнению с амплитудой прошедшей
волны при α = 0. Получено, что в некоторых пределах соотношения
между спектральными линиями в падающем и усиленном прошедшем сигналах остаются постоянными.
При изменении во времени концентрации электронов по прямоугольному закону Ne(t) и аналогичным рассматриваемым параметрам волны и слоя плазмы спектр прошедшего сигнала совпадает
с результатами, полученными другими авторами. В соответствии
с ними при моделировании на стенде коэффициент усиления составил величину 15 дБ относительно несущей частоты падающей волны, а спектр прошедшего сигнала значительно обогатился.
Для случайных изменений концентрации электронов во времени
=
Ne N e 1 − αNe′ ( t )  , где N e – средняя концентрация электронов,
Ne' ( t ) – нормированная случайная функция времени, α – процентное изменение концентрации электронов от среднего значения N e ,
рассмотрено два закона распреKу, дБ
деления. Спектр амплитудно-модулированного сигнала, прошед16
шего слой плазмы, концентрация
12
электронов которой изменялась
8
во времени по случайному закону
4
типа «белый шум» с математическим ожиданием N e =0,56·1011
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 α
см–3 и флуктуациями Ne(t) от N e
α =15% приведён на рис. 4.24. На Рис. 4.23. Вид экспериментальной
зависимости коэффициента
рис. 4.25 представлен спектр волусиления Kу от α при Ω = ω
ны G(f), прошедшей через слой
139
Интенсивность, дБ
0
2
4
10
2,986 3,0 3,015
f, ГГц
Рис. 4.24. Спектр амплитудно-модулированного
сигнала (λ=10 см), прошедшего слой плазмы
0
Интенсивность, дБ
–2
–4
–6
–10
–20
f
f, Гц
Рис. 4.25. Спектр волны G(f)
(частота f = 2,5·109 Гц), прошедшего слой плазмы
плазмы толщиной d/λ=1,0, концентрация электронов которой является случайной функцией времени с нopмaльным законом распределения. Параметры плазмы следующие: ширина спектра G(f)
флуктуаций Ne(t) относительно средней частоты.
Зависимость дисперсии, прошедшей слой волны от полосы спектра флуктуаций параметров плазмы для двух значений интенсивности флуктуаций (кривая 1 – α = 10%, кривая 2 – α = 3%), изображена на рис. 4.26. Наличие максимума у этих кривых объясняется
140
D
тем, что высшие частоты слабее
0,06
взаимодействуют с полем волны.
0,05
Это подтверждается и спектрами
1
0,04
прошедшей волны при гармони0,03
ческих изменениях концентра0,02
ций электронов (см. рис. 4.21 и
2
0,01
4.22), из которых видно, что при
более высоких частотах изме0,136 0,68
0,34
1,36 ∆F, ГГц
нения они беднее гармониками,
чем при низких.
Установка для моделирова- Рис. 4.26. Зависимость дисперсии,
прошедшей слой волны от полосы
ния канала радиосвязи через неспектра флуктуаций параметров
стационарную плазму с медленплазмы для двух значений
но изменяющимися во времени
интенсивности флуктуаций
параметрами включает в себя
(кривая 1 – α = 10%,
плазму с адекватной реализацикривая 2 – α = 3%)
ей закона модуляции концентрации электронов, систему диагностики и измерительную часть, которая представляет собой аппаратуру для изучения спектрального
состава сигнала СВЧ-диапазона, отраженного или прошедшего её.
Плазменный слой реализован также в газоразрядном баллоне. Для
модуляции диэлектрической проницаемости плазмы лампа включается в анодную цепь усилительного каскада. Переменное напряжение, подаваемое от низкочастотного генератора с частотой Ω,
определяет значение переменной составляющей тока через неё, что
позволяет получить α = 0,1÷0,3 и интервал изменения ε = 0,5÷0,75
при Ω<<ω.
В сантиметровом диапазоне длин волн использована установка
для исследования спектра сигнала, отражённого от модулированного во времени слоя плазмы с частотой Ω << ω, находящегося на
металлической подложке, а электрофизические параметры плазмы измеряют методом отсечки.
При исследовании миллиметрового канала радиосвязи требуется изменение СВЧ-части установки и метода диагностики плазмы.
Так в такой установке для определения Nе по методу отсечки необходимо, по крайней мере, три СВЧ-генератора; при этом в низкочастотной части диапазона была бы очень низкая точность измерений вследствие невыполнения условий геометрической оптики.
Кроме того, реализация этого метода определения концентрации
электронов связана со значительными техническими сложностями, и, прежде всего, они определяются необходимостью использо141
вания трех генераторов, работающих на одну антенную систему.
Значительные трудности вызывает и синхронизация основных
измерений спектра проходящего сигнала и вспомогательных измерений, обеспечивающих диагностику плазмы. Поэтому в этом
случае целесообразно применение радиоинтерференционного метода определения электрофизических параметров плазмы, так как он
позволяет получить информацию о плазме при концентрациях, не
приводящих к отсечке сигнала. Это является важным, поскольку
с помощью плазмы газоразрядной баллона получить концентрацию электронов, обеспечивающую отсечку невозможно. Другим
важным преимуществом применения интерферометра является
одновременное использование его прямого канала и для диагностики плазмы, и в качестве канала, обеспечивающего прохождение
сигнала при изучении его спектра. Получение информации о спектре прошедшего сигнала и параметров плазмы сопряжено в пространстве и времени, фиксация одновременных измерений проста
в любой момент непрерывного процесса моделирования. При выборе существующих схем СВЧ-интерферометров можно использовать наиболее простую – интерферометр Уортона, обеспечивающий
удовлетворительную точность измерений.
На рис. 4.27 представлена схема установки для измерений спектра, прошедшего через нестационарную плазму радиосигнала, и
диагностики плазмы. Здесь СУ – согласующий трансформатор,
Ат – аттенюатор, Т – двойной тройник, В – ферритовый вентиль,
Ф – фазовращатель, СН – согласованная нагрузка, Ан – антенна,
Д – СВЧ-детектор. Сигнал от генератора СВЧ, прошедший плазму,
в стандартных схемах интерферометров подают на спектроанализатор с помощью направленного ответвителя из основного (прямого) канала интерферометра до смесителя.
Для полного исключения влияния измерений спектра на работу интерферометра в данной схеме осуществлена пространственная
развязка приёмных каналов, обеспечивающая измерение спектра
и диагностику плазмы. Интерферограммы, несущие информацию
об амплитуде и фазе прошедшей через плазму электромагнитной
волны и определяющие переменные параметры плазмы, наблюдаются на экране осциллографа. В схеме применены стандартные
волноводные элементы и узлы СВЧ, обеспечивающие прохождение
электромагнитной волны в режиме основной волны Н10. Форма газоразрядного баллона определила конструкцию антенной системы.
Из-за его цилиндрической формы необходимо иметь радиально сходящуюся волну, поэтому конструкция антенн представляет собой
142
систему из двух цилиндрических зеркал эллиптического профиля
с общей линией фокуса, совпадающей с осью разрядной трубки.
В раздельных фокусах эллиптических зеркал помещены излучающий (облучатель) и приёмный волноводы. Для использования
большей области «положительного столба» газового разряда облучатель и приёмник выполнены в виде открытых концов волновода.
Антенный блок сделан в виде радиопрозрачного пенопластового
куба, в котором на всю глубину прорезаны тонкие щели эллиптического профиля. В эти щели вставлены упругие латунные пластины, которые внутри пенопластового блока занимают требуемое
пространственное положение. В кубе проточены каналы для помещения в них волноводных облучателей, при этом их настройка
производится простым перемещением волноводов в каналах с помощью клиньев. Преимущество использования такого антенного
блока состоит в том, что в антенной системе отсутствуют какие-либо опоры и несущие конструкции, зеркала и облучатели как бы виПл.
Ан1
Ан2 Ан3
СУ2
СУ1
Д2
Ат1
В1
Генератор
СВЧ
Т1
α
СН2
СН1
Спектроанализатор
Ат2
ϕ
Т2
Ф1
СУ3
Осциллограф
Д1
Рис. 4.27. Схема установки для измерений спектра, прошедшего через
нестационарную плазму радиосигнала, и диагностики плазмы
143
сят в воздухе, благодаря высокой радиопрозрачности пенопласта.
В антенной системе нет никаких неоднородностей, искажающих
требуемые электрические характеристики, кроме того, весь блок
чрезвычайно лёгок и при этом обладает достаточной жесткостью,
исключающей смещение зеркал. Антенная система обладает высокой степенью фокусировки, что необходимо при использовании
методов свободного пространства (α >λ). Так, локализация поля на
уровне 20 дБ составляет величину порядка длины волны.
На рис. 4.28 приведён спектр радиоволны, прошедшей через
переменный по гармоническому закону во времени слой нестационарной плазмы.
Этот результат совпадает с результатами моделирования, показанными на рис. 4.21. Амплитуды спектральных компонент существенно зависят от величины коэффициента модуляции концентрации электронов плазмы α. На рис. 4.29 показана эксперимен0, дБ
–12
–12,5
–22
–23
–29
–30
–38
–40
f–4F f–3F f–2F f–F
f
f+F f+2F f+3F f+4F
Рис. 4.28. Спектр радиоволны, прошедшей через пе ременный по
гармоническому закону во времени слой нестационарной плазмы
A1/A0
0,3
0,2
0,1
0,1
0,2
0,3
α
Рис. 4.29. Вид экспериментальной зависимости
амплитуды первой спектральной
составляющей прошедшего поля A1/A0 от α
144
тальная зависимость амплитуды первой спектральной составляющей прошедшего поля A1/A0 (при f + F и при f – F) от α. С ростом α
амплитуды гармоник растут по отношению к несущей.
Выводы
По результатам исследований, выполненных в третьем разделе
можно заключить, что:
1. Произведены численные расчеты коэффициентов прохождения и отражения мод для различных параметров ионизированных
слоев, сигнальной и накачивающей волн;
2. Выполнены расчеты для различных углов и частот изменения
концентрации электронов и падающей волны;
3. Проведены экспериментальные исследования, позволяющие
получить объективную оценку влияния плазменных образований на каналы передачи сообщений, в первую очередь, на каналы
ИСЗ – ИСЗ;
4. Результаты теоретических исследований дают возможность
определить частотные границы рабочих диапазонов, в которых
могут работать линии связи, трассы распространения сигнала которых проходят через среды с пространственно – временными изменениями параметров.
145
5. РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ СИГНАЛОВ, ПОМЕХ
И ШУМОВ ДЛЯ СЕТЕЙ КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
5.1. Особенности приема сигналов, помех и шумов
в узкополосных системах космической связи.
Эффект Доплера и запаздывание сигналов
На приемной стороне системы связи обычно имеются некоторые
априорные сведения относительно принимаемого сигнала. Это могут быть частота несущей, вид модуляции, ширина спектра сигнала и т. п. Параметры, в изменениях которых заложена переносимая
сигналом информация, называются информативными. Изменения
этих параметров на приемной стороне заранее неизвестны. Поэтому
в процессе оптимального приема они должны быть оценены с максимально возможной точностью.
В зависимости от вида и назначения передачи при приеме сигналов возникают следующие три основные задачи: 1. Обнаружение;
2. Различение; 3. Восстановление сигнала.
При обнаружении сигнала должен быть получен ответ на вопрос, имеется ли на входе сигнал плюс помеха или только помеха.
Если удается обнаружить сигнал, то появляется возможность передачи дискретной информации при помощи кода. Наличие сигнала
соответствует символу 1, отсутствие сигнала символу 0. Этот принцип используется в системах приема с пассивной паузой.
При передаче двух сигналов S1 (t) и S2 (t) возникает задача не обнаружения, а различения двух сигналов. При приеме необходимо
принять решение о том, какой из сигналов поступает на вход приемника. Для указанной цели используются различия в сигналах.
Чем больше указанные различия, тем больше вероятность принятия правильного решения.
Задача восстановления сообщения существенно отличается от
задач обнаружения и различения сигналов. Она состоит в том, чтобы получить выходной сигнал системы оптимального приема наименее отличающийся от переданного сообщения.
Одной из главных особенностей ССС является возникновение
эффекта Доплера из-за движения ИСЗ относительно наземной
станции (НС). Эффект Доплера возникает и в случае передачи информации между космическими аппаратами, движущимися по
разным орбитам при взаимном перемещении передатчика и приемника этих аппаратов. В результате этого в точке приема наблюдается деформация спектра сигнала и изменение несущей частоты.
146
Остановимся на этом важном моменте более подробно.
Если передатчик неподвижен
относительно приемника, то длина
волны l0 в системах отсчета, связанных с приемником либо передатчиком задается выражением
l0 =
c f0 , φ
V
(5.1)
где c – скорость света; f0 – частота
колебаний.
Если же передатчик движется Рис. 5.1. К расчету эффекта
Доплера
относительно приемника со скоростью v , направленной под углом ψ
к направлению линии связи (рис. 5.1), то в системе отсчета, связанной с приемником (НС на рис. 5.1), длина волны изменится на
величину Dl , равную изменению расстояния за время T = 1 f0 одного периода излучаемого колебания:
Dl = − ( v cos ψ ) f0 . (5.2)
Длина волны колебания, пренебрегая эффектом замедления
времени (эффект теории относительности), мало существенным
при v << c , частота и относительное изменение частоты у приемника соответственно равны:
=
l
( f0 )−1 c (1 − (v cos ψ ) c );
f=
l −1c =
(1 − (v cos ψ ) c )
−1
f0 ;
−1
−1
.
(5.3)
f=
0 Df c v cos ψ
Эффект Доплера наибольший, если движение передатчика относительно приемника происходит вдоль линии связи ( ψ =0 или
ψ = p ) cosψ = ±1 и
Df =c−1f0v , (5.4)
т. е. при сближении передатчика и приемника частота колебаний
возрастает пропорционально v c , при удалении – уменьшается по
тому же закону.
На линии связи через строго геостационарный спутник доплеровский сдвиг не возникает, на реальных геостационарных ИСЗ
147
мало существен, а на сильно вытянутых эллиптических или низких круговых орбитах доплеровский сдвиг может быть значительным. Расчет его сводится к расчету значения ( v cos ψ ) c для некоторой траектории движения ИСЗ.
При расчете эффекта Доплера в спутниковой связи необходимо
учитывать сложное движение как ИСЗ, так и расположенной на поверхности Земли НС [25]; при этом следует принимать во внимание
как участок НС – ИСЗ, так и участок ИСЗ – НС, причем на этих
участках доплеровский сдвиг может быть различным по величине
и даже по знаку.
Наибольший суммарный доплеровский сдвиг создается для линии связи между близко расположенными НС, когда сдвиг на обоих участках (Земля – спутник и спутник – Земля) примерно одинаков и потому на всей линии удваивается.
Для круговых орбит максимальный доплеровский сдвиг частоты (на одном участке) можно приближенно определить из соотношения
f0−1Df ≈ ±1,5 ⋅ 10−6 N, (5.5)
где N – число оборотов ИСЗ вокруг Земли за сутки ( N > 1) .
Для реальных геостационарных ИСЗ относительный доплеровский сдвиг обычно не превышает 10–8.
Влияние доплеровского сдвига на работу линии связи состоит
в следующем:
Во-первых, доплеровский сдвиг проявляется как частотная нестабильность несущей частоты ретранслируемых спутником колебаний, добавляющаяся к аппаратурной нестабильности частоты,
возникающей в аппаратуре бортового ретранслятора и ЗС. Эта нестабильность может существенно осложнять прием сигналов, особенно узкополосных, приводя к снижению помехоустойчивости
приема.
Во-вторых, несколько изменяется частота модулирующих
колебаний. Действительно, если частота несущей f0 сдвигается
на Df , то частота верхней боковой составляющей ( f0 + F ) обу,
словленной компонентом F модулирующего процесса, составит
( f0 + F ) (1 + v c ) = f0 + f0 v c + F + Fv c , нижней боковой – соответственно f0 + f0 v c − F − Fv c . Таким образом, разность частот боковых и несущей, равная частоте колебания, образующегося после
демодуляции, составляет F (1 + v c) .
Это сжатие (или расширение) спектра передаваемого процесса
практически невозможно компенсировать аппаратурными метода148
ми, так что если сдвиг частоты превысит допустимые пределы (например, 2 Гц для некоторых типов аппаратуры частотного разделения каналов), то канал оказывается неприемлемым. Возникающая
на практике нестабильность обычно меньше допустимых пределов.
Эффект Доплера может создать трудности при передаче дискретных сигналов в синхронных сетях. В таких сетях, стремясь
избежать потерь пропускной способности из-за асинхронного ввода
сигналов от различных источников, устанавливают весьма высокие требования к стабильности частоты передаваемых сигналов –
до 10–11. В такой сети линия спутниковой связи даже через геостационарный ИСЗ окажется источником недопустимо большой нестабильности. Исправить положение можно установкой буферных
запоминающих устройств, если осуществлять считывание информации с необходимой стабильностью.
Однако, как уже отмечалось, существенное влияние на свойства
каналов связи оказывает и само по себе запаздывание радиосигнала при его распространении по линии Земля – спутник – Земля.
Это запаздывание не приводит к каким-либо искажениям передаваемого сообщения. При передаче однонаправленных сообщений
(программ телевидения, звукового вещания, газетных полос, телеграфных и других дискретных сообщений) это запаздывание не
ощущается потребителем, но при дуплексной связи запаздывание
ответа на 600 мс уже заметно. Для дуплексной связи применяют
двухпроводные абонентские линии и четырехпроводные линии
между узлами коммутации: в точках перехода с четырехпроводной
цепи на двухпроводную всегда возникает некоторая несогласованность и, следовательно, образуются отражения (эхосигналы), распространяющиеся в обратном направлении и достигающие абонента через интервал времени, равный двойному времени распространения сигнала по линии связи. Когда это запаздывание невелико,
эхосигналы воспринимаются как некоторое послезвучание (гулкость), маскируются собственной речью абонента и мало мешают
разговору. Если же запаздывание велико, то они воспринимаются
раздельно, как четкое эхо, и создают серьезную помеху разговору.
Поэтому в каждом канале на линиях спутниковой связи (как и на
особо длинных наземных линиях) обязательно применяют специальные устройства – эхозаградители, запирающие «обратный»
говорящему абоненту канал. Однако даже при наличии эхозаградителей разговор по двухскачковой линии становится затруднительным. Вследствие этого налагается ограничение на применение
составных линий связи, содержащих два пролета Земля – ИСЗ –
149
Земля. Это обстоятельство ограничивает применение спутниковых
линий в сетях связи, особенно автоматизированных. В исключительных случаях двухскачковые линии допустимо применять ради
экономии числа антенн на ЗС, чтобы выходить в сеть другого ИСЗ
через другую станцию, уже имеющую две антенны, либо ради сохранения узловой структуры сети.
Запаздывание сигналов на линии спутниковой связи и его изменение имеют значение и при передаче некоторых видов информации в циркулярных сетях, например при передаче сигналов точного времени либо изображений газетных полос (ИГП). В последнем
случае, поскольку частота развертки приемного аппарата сохраняется неизменной в течение всего сеанса времени передачи полосы
(синхронизация разверток производится в начале сеанса), а время
распространения изменяется из-за движения ИСЗ, то сдвигается во
времени момент начала каждой строки и происходит перекос принятой полосы, имеющий существенное значение при передаче ИГП
через ИСЗ на эллиптической орбите.
Для высоких частот значение доплеровского сдвига частот и
его изменения во времени получаются существенно меньшими,
чем для низких частот. Очевидно, что стационарные орбиты дают
в этом отношении большие преимущества.
Доплеровский сдвиг частоты необходимо учитывать при определении полосы пропускания наземных и бортовых приемников.
Влияние этого сдвига частоты следует особенно учитывать в том
случае, когда один и тот же спутник используется для одновременной связи между несколькими наземными станциями. Расширение
полосы пропускания приводит к таким нежелательным явлениям
как уменьшение отношения сигнал – шум на входах наземных и
бортовых приемников и, как следствие, к необходимости существенного увеличения мощностей передающих устройств. Если
в наземных устройствах это приводит только к возрастанию стоимости аппаратуры, то на борту ИСЗ возникают дополнительные
проблемы с охлаждением, увеличением потребления энергии, габаритами, весом и рядом других характеристик. Поэтому уже на
стадии теоретических и инженерных разработок необходимо все
это учитывать в создаваемых моделях каналов и принимаемых сигналов.
Запаздывание сигнала несущественно при симплексной связи.
Однако непостоянство задержки во времени вызывает трудности
при применении модуляции, использующей изменение временного
положения импульсов.
150
5.2. Разработка моделей многомерных узкополосных сигналов,
принимаемых ССС
Приемные системы цифровых ССС прошли сложный путь развития от узкополосных к многочастотным и далее к широкополосным и сверхширокополосным.
Первый период ознаменован созданием и широким использованием моделей узкополосных сигналов передаваемых по медленно
флуктуирующим (райсовским) каналам с рэлеевскими замираниями или более общими моделями замираний – каналам Накагами
[15], каналам с доплеровским рассеянием, дисперсионным каналам, каналам с рассеянием по двум параметрам и обрабатываемых
методами оптимальной цифровой обработки сигналов.
Во время второго периода использовались те же модели сигналов, только они излучались и принимались на разных несущих
частотах. По сути, это была совокупность узкополосных, работающих на различных несущих частотах и зачастую использующих
различный период повторения на каждой из несущих частот (так
называемая вобуляция несущей частоты и периода повторения импульсов) для селекции сигналов от целей на фоне естественных и
искусственных помех.
Рассмотрим упомянутые модели излучаемых и принимаемых
сигналов в узкополосных ССС. Будем считать, что в качестве датчиков используются фазированные антенные решетки (ФАР) [110,
114, 52, 55].
В самом общем случае сигнал представляет собой векторную
функцию
трех координат – времени t , азимута α , и угла места β

цели S(t, α,β) . Если обработка
разделяется на пространственную и

временную, то можно S(t, α,β) записать в виде произведения векто
ра g (α,β) – пространственных координат α,β на скалярную функцию f (t) – временной составляющей сигнала, т. е.
S(t, α,β)= g (α,β) ⋅ f (t) .
(5.6)
Выражение (5.6) справедливо в случае, когда излучается узкополосный сигнал и размеры ФАР невелики, что обычно и имеет
место в спутниковых системах. Генерацию сигналов можно осуществить так, как это сделано в работе [131].
В результате прохождения канала передачи информации зондирующий сигнал претерпевает ряд изменений, связанных с параметрами канала. Вид и характеристики канала заранее наблюдателю
151
неизвестны и изменяются случайным образом. Поэтому в общем
случае многоканального пространственно – временного приема
получаемый узкополосный сигнал представляет собой векторный
СПр. Существуют различные модели узкополосных сигналов, используемые для описания каналов и оптимальной обработки в ССС.
В простейшем случае это модель сигнала принимаемого на выходе медленно флуктуирующего (райсовского) канала, в котором
проявляются рэлеевские замирания, [101] имеет вид



=
S(t)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] b fs (t − tç )exp{ j(wc ± wD )t} , (5.7)
где Et – энергия излучаемого сигнала; α и β – азимут и угол места


ИСЗ; g (α(t)) , g (β(t)) – векторы волнового фронта сигнала, принимаемого от КА в азимутальной и угломестных плоскостях, размера
соответственно Nα × 1 и Nβ × 1 , ⊗ – означает прямое произведение
∞
векторов, fs (t) – комплексная огибающая излучаемого
сигнала,
2
=
fs (t) ∫=
fs (t) dt 1 , tç –
которая нормируется согласно условию
время задержки сигнала, wc – несущая частота−∞сигнала, wD – доплеровский сдвиг частоты, b – комплексная гауссовская случайная величина (СВ), b – представляет собой рэлеевскую СВ, а ее
фаза распределена равномерно. Моменты СВ b равны M b  = mb и
M [| b |2 ]= 2s2b , s2b – величина, учитывающая коэффициенты усиления антенны, затухание на пути распространения сигнала.
В системе передачи дискретной информации сигнал может передаваться одновременно по k рэлеевским каналам на k частотах [4].
В этом случае его модель определяется выражением

=
SΣ (t)
Et
k


∑ [g i (α(t)) ⊗ g i (β(t))] bifs (t)exp{j(wci ± wDi )t}, (5.8)
i =1
где множители ослабления каналов bi – статистически независимые комплексные гауссовские СВ с нулевым (или ненулевым)
математическим ожиданием. Частоты разнесены настолько, что
компоненты сигналов не перекрываются. Полная энергия передаваемого сигнала равна Et .
Модель канала Накагами отличается от рассмотренного случая
тем, что СВ bi имеет распределение вида
p b=
( X)
152
2mm X2m −1
 mX2 
exp  −
, X ≥ 0
m
 2s2 
b 

Γ(m) 2s2b
( )
(5.9)
Модель канала с доплеровским рассеянием более сложна. В случае бинарной системы связи предполагается, что принимаются сигналы, имеющие следующий вид



=
S(t)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] b(t) fs (t − tç )exp{ j(wci ± wDi )t} ,
(5.10)
i = 1,2 

где b(t) – комплексный гауссовский СПр, M b(t)  = 0,
ρ(t, t).
M b(t)b∗ (t)  =


Задача приема таких сигналов возникает в случае, когда информация передается по каналу связи, в котором отражательные
характеристики среды изменяются на интервале передачи. Такие
каналы называются каналами с доплеровским (частотным) рассеянием.
Модель (5.10) легко распространяется на случай многоальтернативного обнаружения, когда может передаваться и приниматься
один из M сигналов на одной из M частот



=
S(t)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] b(t) fs (t)exp{ j(wci ± wDi )t} ,
i = 1,2,..., M . (5.11)
Естественным обобщением модели (5.10) является модель двоичной системы связи, работающей по дискретному многолучевому
каналу

=
S(t)
k
Et ∑ bi (t)
i =1


[g(αi (t)) ⊗ g(βi (t))]
fs (t − ti )exp{ j(wci ± wDi )t} (5.12)
где bi (t) – являются статистически независимыми комплексными
гауссовскими СП с нулевыми значениями математических ожиданий и рациональными спектрами. Спектры сигнальных компонент, соответствующих различным частотам занимают неперекрывающиеся полосы частот (ортогональны).
Принцип частотно – временной дуальности позволяет свести все
каналы с рассеянием по дальности к эквивалентным каналам с доплеровским рассеянием, рассмотренным выше. Каналы этого типа
вызывают частотно – селективные замирания.
Представляющая для практики большой интерес ситуация возникает при организации связи по дисперсным флуктуирующим каналам, например по каналам с ионосферным и тропосферным рассеянием, по каналу с использованием орбитальных дипольных от153
ражателей при организации тактической связи с использованием
искусственных отражающих (рассеивающих) облаков. В этом случае эхо – сигнал от отражателей соответствует полезному сигналу,
а помехами являются некоторые аддитивные шумовые процессы.
Бинарная система связи с ортогональными сигналами [6] на разных частотах характерна тем, что модель принимаемого сигнала,
распространяющегося по дисперсному каналу имеет вид



=
Si (t)
2Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] ×
∞
×
∫ f(t − l)bi (t,l)dl exp  j ( wci ± wDi ) t  ,
i = 0,1.
(5.13)
−∞
Процессы отражения bi (t, l) , i = 0,1 представляют собой выборочные функции комплексных гауссовских СПр с нулевыми математическими ожиданиями которые можно охарактеризовать
функцией рассеяния s(f, l) .
При передаче сигналов по рассматриваемым каналам имеют место следующие два эффекта. Первый заключается в дисперсии запаздывания. Если функция рассеяния имеет временную протяженность L , то сигнальная компонента будет содержаться в принимаемом колебании на интервале длительностью T + L . Второй эффект
заключается в расширении частотного спектра. Если спектр функции f(t) приближенно ограничен полосой частот шириной FÂ1 , а
спектр функции рассеяния – полосой частот FÂ2 , то сигнальная
компонента принимаемого колебания будет приближенно ограничена полосой частот шириной FÂ1 + FÂ2 . При этом, как и ранее
предполагается, что разность wc1 − wc0 достаточно велика, так что
сигнальные компоненты на входе приемника находились в неперекрывающихся полосах частот. Нетрудно установить, что разнесение этих частот должно учитывать как ширину спектра передаваемого сигнала FÂ1 , так и ширину функции рассеяния FÂ2 . Таким
образом,
( wC1 − wC0 )
> FÂ1 + FÂ2 . (5.14)
2p
Интервал наблюдения ограничен пределами [T1,T2 ] и включает
весь интервал, на котором имеется сигнал на выходе канала. Из чего следует, что
154
T2 − T1 ≥ T + L. (5.15)
Оптимальный приемник должен решить, какой из двух ортогональных гауссовских СПр принимается вместе с шумом.
Помимо модели сигнала (5.13) будем применять приближенную
модель в виде линии задержки с отводами, которая широко используется также при описании широкополосных и сверхширокополосных СПр [16, 46].
Относительно комплексной огибающей сигнала f(t) примем,
что ее спектр симметричен относительно несущей частоты и ограничен по ширине значением FÂ 2 . Тогда можно разложить f(t − l)
в ряд с использованием теоремы отсчетов
f=
(t − l )
∞
k  sin pFÂS (l − k FÂS 
f(t −
)
 ,
FÂS  pFÂS (l − k FÂS 
k =−∞
∑
(5.16)
где FÂS ≥ FÂ в соответствии с условиями теоремы отсчетов.
Зависимость от l учитывается координатными функциями, а
зависимость от t – коэффициентами ряда.
Подставляя (5.16) в (5.13), получим обобщение модели сигнала,
предложенной Т. Кайлатом, на векторный случай

=
Si (t)
∞


2Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))]
wDi ) t 
∫ f(t − l)bi (t,l)dl exp  j ( wci ± =
−∞
=


2Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t)) ]
∞
k
f(t −
)
FÂS
k =−∞
∑
∞
 sin pFÂS (l − k FÂS
pFÂS (l − k FÂS
∫ 
−∞

 bi (t, l)dl ×

× exp  j ( wci ± wDi ) t  .
Обозначая
bk (t)
=
∞
 sin pFÂS (l − k FÂS
pFÂS (l − k FÂS
∫ 
−∞

 bi (t, l)dl ,

можем записать последнее выражение в удобном для дальнейшего
использования виде

=
Si (t)


2Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))]
∞
k 
f(t −
)bk (t)exp  j ( wci ± wDi ) t  (5.17)
F
ÂS
k =−∞
∑
Модель (5.17) оказывается удобной во многих приложениях.
Поэтому ей и было уделено особое внимание в данном подразделе.
155
Модели активных и пассивных помех

Прием сигнала S(t) в ССС обычно сопровождается наличием по
мех n(t) .



x(t)= S(t) + n(t).
(5.18)
Помехи могут быть результатом влияния множества факторов,
таких, как тепловые и космические шумы, внутренние шумы аппаратуры, пересчитанные ко входу системы, сигналы мешающих
станций и т. д. и т. п. Имеется значительное количество работ [23,
26, 52, 55, 79], в которых исследуются физические и статистические свойства помех.
Аддитивные помехи по их действию на принимаемый сигнал
можно условно разделить на два больших класса:
1. Помехи, действующие на всей частотно-временной и пространственной области существования сигнала;
2. Помехи локального действия (в пространстве, во времени –
импульсные, по частоте – сосредоточенные).
Многочисленные статистические данные говорят о том, что аддитивные помехи, действующие во всей области существования
поля сигнала, чаще всего могут считаться гауссовскими либо близкими к гауссовским. Это объясняется тем, что шумовое поле, как
правило, создается большим числом слабо связанных между собой
пространственно-разнесенных источников [23, 24, 69, 75, 90].
Помехи же локального действия часто характеризуются высокими вероятностями больших амплитуд и плохо описываются гауссовским законом. Можно, задавшись некоторой вероятностной
моделью помехи локального действия, в принципе, решить задачу
синтеза оптимального устройства обработки сигналов на фоне разнородной аддитивной помехи. Устройство это, однако, оказывается
довольно сложным. Следует иметь в виду, что помехи локального
действия, как правило, описываются нестационарными процессами, статистика которых непрерывно меняется и часто неизвестна.
Методы борьбы с такими помехами часто сводятся к изъятию части
сигнала, расположенного в частотно-пространственно-временной
области помехи. При этом эффективность таких методов зависит
от свойств пространственно-временных сигналов и растет с ростом
частотно-пространственно-временной области, занятой сигналом
(использование сигналов с большой базой [16, 56].
Иной путь борьбы с помехами локального действия – специальное кодирование или использование идей адаптивной компенсации.
156
Для борьбы с помехами локального действия можно применять
технические меры, которые воплощаются в виде некоторых блоков-приставок к оптимальному приемному устройству или в виде
сменных алгоритмов и программ при обработке сигналов на цифровых машинах. При этом актуальна задача анализа таких алгоритмов и устройств при различных помехах.

Шумовое поле n(t) будем полагать стационарным во времени и однородным
по пространству с математическим ожиданием


M [ n(t) ] = 0 . Такая модель согласуется со многими работами как
теоретического, так экспериментального характера. Вид корреляционной функции помехи определяется физикой процессов, из которых она образовалась, и может быть весьма различной в разных
каналах.

Во всем дальнейшем изложении аддитивная
помеха n(t) счита
ется независимой от полезного сигнала S(t) . Это предположение
не всегда верно [15]. Однако для большинства систем передачи информации зависимость между сигналом и аддитивной помехой не
настолько велика, чтобы ее было целесообразно учитывать при построении оптимального алгоритма.
Поставив задачу оптимального выделения информации из вектора напряженности электрического поля по какому-либо статистическому критерию, придем к некоторому алгоритму обработки
сигнала. Отличительной особенностью подобных алгоритмов является то, что обработка сигналов в пространстве, обработка во времени, по амплитуде и фазе в общем случае являются неразделимыми
и требуют для своей реализации некоторого пространственно-временного фильтра.
Поскольку на входы ФАР ССС наряду с полезными сигналами
могут поступать сигналы от других космических и наземных станций, последние могут рассматриваться в качестве мешающих помеховых сигналов. В качестве сигналов активных помех будут использоваться модели (5.7) – (5.17), рассмотренные выше. Поэтому
в данном подразделе нецелесообразно останавливаться на них подробно. Кратко рассмотрим только пассивные помехи, которые также могут мешать приему полезных сигналов.
Как известно [15, 16, 102], в одноканальных системах связи пассивная помеха может быть представлена в виде:
=
n(t)
2Et Re n (t)exp{ j ( wc t ± wD t )} , (5.19)
где n (t) – комплексная огибающая, имеющая вид:
157
∞
n (t)
=
Et

tç

∫ f(t − tç )b  t − 2 , tç  dtç , (5.20)
−∞
 t

где b  t − ç , tç  – комплексный гауссовский нестационарный слу2


чайный процесс, независимые переменные которого – простран t 
ство и время. При этом  t − ç  и wD – СВ.
2

Поскольку современные системы связи являются пространственно многоканальными, необходимо распространить указанные
результаты именно на этот случай. Можно легко показать, что напряжения пассивных помех на элементах ФАР ССС будут практически одинаковыми. Поэтому можно представить векторный СПр
на входах многоканального приемного устройства в виде:
k


n(t) = 1 ⋅ Et ∑
∞

tç

∫ f(t − iTn − tç )b  t − 2 , tç  dtç ,
i =1 −∞
(5.21)

где 1 – единичный вектор размера Nα × Nβ × 1 , состоящий целиком из единиц.
Все сказанное выше относительно моделей сигналов и пассивных помех целиком относится к так называемым малым ФАР,
в которых используются узкополосные зондирующие сигналы.
Практически все СПр пассивных помех являются нестационарными. При построении устройств обработки такие процессы произвольно полагаются стационарными только приближенно для упрощения анализа.
До сих пор не существует единой методики, применимой для
анализа произвольных нестационарных процессов. Поэтому для
нестационарных процессов приходится разрабатывать специальные методы, применимые только к некоторым типам таких процессов.
(
)
Модели шумов в реальных системах
В качестве моделей шумов, воздействующих на входыприемного устройства ССС, обычно применяется векторный СПр W(t) БГШ
размера Nα × Nβ × 1 . Предполагается, что СПр БГШ имеет следующие числовые характеристики.
(
158
)

Математическое ожидание вектора W(t) равно


M W(t)  = 0 , (5.22)

где 0 – нулевой вектор, все компоненты
которого равны 0.

Ковариационная матрица СПр W(t) определяется выражением

∗
M W(t)W=
(t)  KW (t)δ ( t − t ), 

(5.23)
где KW (t) – диагональная матрица полного ранга, равного
Nα × Nβ .
Очевидно, модель предполагает независимость компонентов
пространственной и временной составляющих шума, а также то,
что временной и пространственный спектры шума постоянны
в пределах [ −∞; ∞ ] . Реальный сигнал и шум имеют конечную ширину спектра, так как полоса пропускания приемного устройства
РЛС ограничена.
Развитие современной техники приводит к необходимости работать с все более возрастающими точностями, что требует от математических моделей высокой степени адекватности реальным
физическим процессам. В связи с этим подмена реального шума измерений белым не всегда желательна, поскольку любой СПр, встречающийся в природе, имеет конечную мощность и занимает
конеч
ную полосу частот. Поэтому наряду с моделью шума W(t) , обладающего свойствами – (5.23), рассматриваются и другие случаи [81]:
1. Матрица KW (t) – вырожденная (в частности может быть
KW (t) ≡ 0 ). 
2. Шум W(t) является выходом линейного формирующего
фильтра H ( t, t ) , на входы которого поступает векторный СПр БГШ

õ(t) т. е.
(
)

W(t=
)
T2

∫ H ( t, t ) dõ(t) , (5.24)
T1
где H ( t, t ) – матричная ИХ фильтра.
3. О шуме известно лишь то, что он имеет ковариационную матрицу, все элементы которой являются функциями,
интегрируе
мыми с квадратом по Лебегу (в этом случае W(t) называют «окрашенным» шумом).
Наиболее изученными в литературе являются случаи 1 и 2 [81].
159
Задачи фильтрации с шумами типа 1–3 являются, вообще говоря, некорректными. Можно показать, что решение указанных задач эквивалентно решению уравнений Фредгольма 1 рода, относительно ИХ H ( t, t ) т. е. некорректной задачи.
Модель шума имеющая числовые характеристики – (5.23) является теоретически корректной, поскольку она эквивалентна решению уравнения Фредгольма 2 рода – корректной задачи за счет
невырожденного БГШ в наблюдениях.
Непосредственная попытка применения регуляризации в данном случае сопряжена с рядом трудностей. Так, например, даже в случае точных наблюдений ( KW (t) ≡ 0 ), если положить
KW (t) ≡ KW e (t) =
eKW 0 (t) , где KW 0 (t) – некоторая положительно
определенная матрица, т. е. «возмутить» наблюдения «малым»
белым шумом, то, при переходе к пределу при e → 0 норма коэффициента усиления линейного фильтра Калмана-Бьюси (записанного для матрицы интенсивности Re) неограниченно возрастает.
Поэтому неясно, в каком смысле понимать сходимость последова
тельности оценок {xe ( t )}
процесса x ( t ) и сходится ли она воe>0
обще. Кроме того, непонятно, в каком смысле понимать решение
задачи линейной фильтрации в ситуациях 1–3 и существуют ли
решения в общем случае. В самом деле, решения указанных задач
сводятся к решению интегральных уравнений Фредгольма 1 рода.
А последние могут не иметь «обычных» интегрируемых с квадратом решений. Поэтому попытки найти решение в общей ситуации,
если они проводятся в рамках гильбертова пространства интегрируемых с квадратом по Лебегу функций, заранее обречены на провал.
Тем не менее, в данной области достигнут существенный прогресс, связанный с объединением идей регуляризации А.Н.
Тихонова и техникой негативных гильбертовых пространств [81].
Полученный в результате фильтр будет зависеть от параметра регуляризации с ошибкой исходных данных и получать устойчивые
оценки с приемлемой точностью в реальном времени. При этом допускается неединственность решения соответствующего уравнения Фредгольма.
В дальнейшем будем предполагать, что прием сигналов, активных и пассивных помех сопровождается наличием окрашенного
шума. Nα × Nβ × 1 – мерный векторный СПр такого шума будем
считать сингулярным
комплексным гауссовским СПр и обозначать

вектором W(t) .
(
160
)
5.3. Статистические характеристики моделей многомерных
узкополосных сигналов принимаемых ССС.
Для полного описания СПр и СВ необходимо задавать их статистические характеристики (СХ). Такими СХ, являются законы
(функции) распределения и их производные – плотности распределения (в случае непрерывных СВ или СПр).
Введенные в подразделе 5.2 модели сигналов, помех и шумов
представляют собой, за редким исключением, векторные СПр второго порядка. Их исчерпывающей характеристикой является совместный закон распределения
 или совместная плотность распределения выборок вектора СВ x
 
1
p(x)  N
=
 p ⋅ Kx




 × exp[−x∗Kx−1x],


(5.25)
 ∗
где • – определитель ковариационной
x M [x ⋅ x ]
  матрицы K=
случайного комплексного вектора x , x – векторвыборок напряжений входного векторного комплексного СПр x(t) размера N ,
N = Nα ⋅ Nβ ⋅ NT , NT – число временных выборок принимаемых на
интервале T , Nα – число элементов ФАР в азимутальной плоскости, Nβ – число элементов ФАР в угломестной плоскости, N – общее число элементов ФАР, считая решетку прямоугольной.
  
Аналогичные распределения будут иметь векторы S, n, W тех же
самых размеров. Различия
состоять лишь в виде ковариаци  будут

онных матриц векторов S, n, W , так как математические ожидания
этих векторов равны нулевым векторам. Поэтому для случая постановки и решения задач обнаружения, оценивания параметров,
разрешения и распознавания образов при полностью известных СХ
сигналов, помех и шумов никаких проблем нет.
Проблемы возникают в случае
априорной не  параметрической

определенности СХ векторов S, n, W . Они, правда, легко преодолеваются в том случае, если имеются классифицированные обучающие выборки, по которым можно легко сформировать оценки
максимального
   правдоподобия ковариационных матриц выборок
векторов S, n, W .
Ковариационную матричную функцию импульсного сигнала,
которая полностью характеризует принятый сигнал, переданный
по райсовскому (медленно флуктуирующему) каналу, с учетом
формулы (5.7) можно представить следующим выражением:
161
Et s2b
=


S(t1 ),S∗ (t2 ) 
=
=
KSM (t1,t2 ) M






( g(α(t1 )) ⊗ g(β(t1 ) ) × ( g(α(t2 )) ⊗ g(β(t2 )) )* fs (t1 − tç ) ×
{
}
×fs∗ (t2 − tç )exp{ j(wñ ± wD )(t1 − tç )} exp{− j(wñ ± wD )(t2 − tç )} =




= Et s2b g (α(t1 )g∗ (α(t2 )) ⊗ (g (β(t1 )g∗ (β(t2 ) fs (t1 − tç ) ×
{(
)}
×fs∗ (t2 − tç )exp{ j(wñ ± wD )(t1 − tç )} exp{− j(wñ ± wD )(t2 − tç )}, (5.26)
где Ì [•] – математическое ожидание от выражения, стоящего в квадратных скобках, * – символ эрмитовой сопряженности
векторов и матриц, s2b – величина, учитывающая коэффициенты
усиления антенны, затухание на пути распространения сигнала,
Et – энергия излучаемого сигнала, α и β – азимут и угол места


приемной ФАР, g (α(t)) , g (β(t)) – векторы волнового фронта сигнала, принимаемого ФАР в азимутальной и угломестных плоскостях,
размера соответственно Nα × 1 и Nβ × 1 , fs (t − tç ) fs (t − tç ) – комплексная огибающая излучаемого сигнала, wc – несущая частота
сигнала, wD – допплеровский сдвиг частоты, tç – время задержки
сигнала.
При выводе (5.26) было использовано свойства прямого произведения




( g(α(t1 )) ⊗ g(β(t2 ) ) × ( g(α(t2 )) ⊗ g(β(t1 )) )∗ =




= g (α(t1 ))g∗ (α(t2 ) ⊗ g (β(t1 ))g∗ (β(t2 )) . (5.27)
Аналогичным образом выводятся выражения для матричных
ковариационных функций сигналов, передаваемых одновременно
по k рэлеевским каналам на k частотах.
(
) (


=
KSM((tt1,,t=
t=
) M
MSSΣ((tt1))SS∗∗Σ((tt2=
2
K
)
))
SM 1 2
 Σ 1 Σ 2 
}
)
kk


⊗gg i((ββ((tt1))))××
Et ∑ss22bi{{((gg i((αα((tt1))))⊗
E
t ∑ bi
i
i
1
1
ii==11

*

⊗gg i((ββ((tt2))))))* ffs((tt1 −−ttçi))ffs∗∗((tt2 −−ttçi)exp
)exp{{jj((wwñi ±±wwDi)()(tt1 −−ttçi))}}××
××((ggii((αα((tt22))))⊗
i
s 1
çi s 2
çi
ñi
Di 1
çi
2
=
tçi))}}
exp{{−−jj((wwñi ±±wwDi)()(tt2 −−=
××exp
ñi
Di 2 tçi
((
))}
{((
kk


⊗
Et ∑ss22bi gg i((αα((tt1))gg∗∗iαα((tt2)) ⊗
E
t ∑ bi
i
1 i
2
ii==11
))


⊗ gg i((ββ((tt1))))gg∗∗i((ββ((tt2)) ffs((tt1 −−ttçi))ffs∗∗((tt2 −−ttçi))××
⊗
i
1
2
s 1
çi s 2
çi
i
162
exp{{jj((wwñi ±±wwDi)()(tt1 −−tt2))}},,
××exp
ñi
Di 1
2
(5.28)
где множители ослабления каналов bi – статистически независимые комплексные гауссовские СВ с нулевым (или ненулевым) математическим ожиданием.
Частоты разнесены настолько, что компоненты сигналов не перекрываются.
Полная энергия передаваемого сигнала равна Et .
Матричная ковариационная функция сигнала, передаваемого
по каналу с доплеровским рассеянием в случае бинарной системы
связи определяется выражением
 (t )S
∗∗ (t ) 
S
=
=
KSB ((tt1,,tt2)) M
M
Σ
1
Σ (t2) 

=
=
K
S
(
t
)
S
SB 1 2
 Σ 1 Σ 2 




∗
= E
Et [g
g (α(t1 )) ⊗ g (β(t1 )) ][ g (α(t2 )) ⊗ g (β(t2 )) ]∗ ρ ( t1,t2 ) f(t1 − tç )f∗∗ (t2 − tç ) ×
=
t [ (α(t1 )) ⊗ g (β(t1 )) ][ g (α(t2 )) ⊗ g (β(t2 )) ] ρ ( t1,t2 ) f (t1 − tç )f (t2 − tç ) ×
exp{jj((w
=1
1,,2
2..
(5.29)
××exp
{ wññ ±± wwDD )()(tt11 −− tt22))}},, ii =
Выражение (5.29) достаточно просто обобщается на случай многоальтернативного обнаружения.
Для модели двоичной системы связи, работающей по дискретному многолучевому каналу матричная ковариационная функция
k k


K MB (t1=
,t2 ) Et ∑∑ ρil ( t1,t2 )[ g (α i (t1 )) ⊗ g (βi (t1 )) ] ×
=i 1=l 1


*
×[ g (α l (t2 )) ⊗ g (βl (t2 )) ] fs (t1 − ti )fs∗ (t2 − tl ) ×
× exp{ j(wci ± wDi )t1 − j(wcl ± wDl )t2 },
(5.30)
где ρij (t1,t2 ) – ковариационная функция стационарного полосового гауссовского СПр b ( t ) . Заметим, что в случае (5.30) сигналы по
каждому из лучей могут быть как ортогональными, так и коррелированными.
Матричная ковариационная функция сигнала, распространяющегося по дисперсному каналу бинарной системы связи с ортогональными сигналами на разных частотах имеет вид




∗
K DC (t1,t2=
) Et [ g (α(t1 )) ⊗ g (β(t1 )) ][ g (α(t2 )) ⊗ g (β(t2 )) ] ×
∞ ∞
∫ ∫ f(t1 − l)f
−∞ −∞
∗
(t2 − f)ρ ( t1,t2 , l, f ) dldf×
× exp  j ( wci ± wDi )( t1 − t2 )  , i =0,1.
(5.31)
163
Матричная ковариационная функция сигнала, модель которого
определяется формулой (5.17) может быть записана в виде




∗
K DSC (t1,t2=
) Et [ g (α(t1 )) ⊗ g (β(t1 )) ][ g (α(t2 )) ⊗ g (β(t2 )) ] ×
×
∞
∞
∞
k =−∞ l =−∞ −∞
 sin pFBS ( l − k FBS ) 
×
 pFBS ( l − k FBS ) 
∑ ∑ ∫ ρ ( t1,t2 ,l ) × 

 sin pFBS ( l1 − l FBS ) 
k ∗
l
×
)f (t2 −
). (5.32)
 dldl1f(t1 −
F
l
F
F
F
p
l
−
BS ( 1
BS ) 
ÂS
ÂS

Это выражение справедливо при любой функции ρ ( t1,t2 , l ) .
Если коэффициенты bk (t) статистически независимы, то выражение (5.32) несколько упрощается. Модель в виде линии задержки
с отводами обладает тем преимуществом, что требуемые для нее
функции можно генерировать достаточно простыми методами.
Наряду с описанными выше моделями могут применяться модели сигналов на основе разработанных Калманом и Бьюси фильтров
и представления линейных систем посредством дифференциальных уравнений. Этот подход часто используется в литературе [71,
72, 77, 91], однако он не столь нагляден по сравнению с описанным
выше. Поэтому в данной работе предпочтение отдается именно моделям на основе интегральных уравнений.
5.4. Разработка моделей сверхширокополосных сигналов
для систем космической связи
Известно [6, 30, 83], что количество и качество информации,
которую пропускает любой информационный канал в единицу времени, непосредственно зависит от ширины полосы частот самого
канала и ширины полосы частот передаваемых по нему сигналов и
помех. Поэтому чем более совершенна система связи и используемые при ее реализации алгоритмы, тем шире должна быть его полоса частот. В самом деле, количество информации I∗ , определяется
выражением [83]:
I* =
DfT ⋅ log 1 + qí2  ,

 (5.33)
где Df – полоса частот системы связи и канала, по которому передается информация; T – время получения и обработки информации; qн – отношение сигнал-шум по напряжению. Для повышения
164
информационных возможностей системы связи необходимо расширять ее полосу частот. Альтернативой может служить только
увеличение времени обработки информации.
Особенно актуальна эта проблема в ССС, где время приема и обработки информации всегда ограничено. Обычные радиосистемы
с полосой частот, не превышающей 10% несущей частоты, практически исчерпали свои информационные возможности. Поэтому
один из путей дальнейшего развития систем связи состоит в переходе к сигналам с широкой и сверхширокой полосами частот.
Большинство традиционных систем связи имеет узкую полосу
частот, а в качестве несущего колебания для передачи информации
в них использованы гармонические сигналы. Причина их применения обусловлена исключительной простотой генерирования, приема и обработки таких сигналов. Основой последней на фоне БГШ
является применение корреляционной обработки, выполняемой
с помощью корреляторов (для непрерывных сигналов) и согласованных фильтров (в случае импульсных сигналов). Узкополосные
синусоидальные сигналы обладают уникальным свойством. При
таких широко используемых преобразованиях, как сложение, вычитание, дифференцирование и интегрирование их форма остается
прежней. Здесь под формой понимается закон изменения сигнала
во времени. Преобразованные сигналы могут различаться только
амплитудой и сдвигом во времени.
В то же время узкая полоса частот в соответствии с (5.33) ограничивает информативность систем связи, поскольку количество
информации, передаваемое в единицу времени, прямо пропорционально этой полосе.
В цифровых сверхширокополосных системах связи информативность повышается за счет уменьшения длительности излучаемого и принимаемого сигнала. В свою очередь уменьшение длительности сигнала позволяет изменить характеристики излучения
(ширину и форму диаграммы направленности), изменяя параметры
излучаемого сигнала; в том числе получить сверхузкую диаграмму
направленности, повысить устойчивость ССС к воздействию внешних узкополосных электромагнитных излучений и помех.
В противоположность узкополосным сигналам у сверхширокополосных сигналов при указанных выше и других преобразованиях изменяются не только параметры, но и форма [116, 117, 122].
При этом:
Первое изменение формы сигнала – дифференцирование – происходит при излучении, поскольку напряженность поля, излуча165
емого антенной, изменяется пропорционально производной тока
в антенне.
Второе изменение формы СШП сигнала имеет место в том случае, когда протяженность импульса в пространстве ct ( c – скорость света, t – длительность импульса во времени) меньше линейного размера излучателя l . По мере движения импульса тока
по излучателю импульсы электромагнитной волны будут излучаться из его неоднородности (узла возбуждения, концов и т. п.).
В результате излучается серия из k импульсов, разделенных интервалами времени t1, t2 ,..., tk−1 . Поскольку видимая длина излучателя меняется в зависимости от угла q между нормалью к его
раскрыву и направлением на точку приема, то и интервалы между
этими импульсами будут меняться в зависимости от этого угла:
t1 cos q, t2 cos q,..., tk−1 cos q .
Третье изменение формы СШП сигнала происходит при его излучении многоэлементной антенной, состоящей из N излучателей
с расстоянием d между ними. Чтобы избежать взаимного влияния излучателей обычно выбирают d ≥ ct . От угла q теперь зависит запаздывание импульса, излучаемого одним излучателем, относительно импульса, излучаемого другим. Это запаздывание для
соседних излучателей равно ( d c ) sin q . В результате сложения запаздывающих импульсов суммарный импульс в дальней зоне при
различных углах q будет иметь разную, иногда весьма сложную,
форму и разную длительность.
Четвертое изменение формы СШП сигнала происходит при его
приеме. Причина изменения та же, что и при излучении: импульсы тока, наведенного полем, в ближнем и дальнем от цели концах
антенны, будут сдвинуты во времени друг относительно друга изза разности хода сигнала в антенне. Если угол q большой, то эти
импульсы могут наложиться друг на друга, и суммарный импульс
будет более длинным, чем отраженный от цели. При малом угле q
разность хода может превысить длину импульса в пространстве ct
и тогда одиночный импульс преобразуется в последовательность
импульсов.
Пятое изменение формы СШП сигнала возможно при распространении в атмосфере до цели и обратно за счет различного затухания разных участков его спектра.
Одни из этих изменений (при излучении, приеме и формировании диаграммы направленности поддаются расчету, другие (при
прохождении сигнала через атмосферу) остаются неизвестными.
В результате этих изменений классическая оптимальная обработка
166
этого сигнала с помощью коррелятора или согласованного фильтра
становится невозможной. Поэтому одной из основных задач СШП
ССС является поиск методов обработки сигнала, позволяющих, например, максимизировать отношение сигнал – шум.
Для разграничения радиотехнических систем по занимаемой
ими полосе частот было введено общее определение относительной
полосы частот
=
η
( fmax − fmin ) ( fmax + fmin ), (5.34)
где fmax – максимальная частота спектра сигнала, fmin – минимальная частота спектра сигнала.
В соответствии с этим определением системы или сигналы, имеющие η ≤ 0,01 , относятся к узкополосным; 0,01 < η ≤ 0,25 – широкополосным, а 0,25 < η ≤ 1 – сверхширокополосным. Такое определение используют разработчики во всем мире.
Для создания сверхширокополосных (СШП) систем связи, как
и любой другой техники, необходимы некоторые основы теории,
позволяющие грамотно рассчитывать их характеристики. Теория
также необходима для определения требований к элементам систем связи и разработки аппаратуры – устройств формирования,
излучения, приема и обработки СШП сигналов. Несмотря на то,
что в последние годы появляется все больше работ по СШП сигналам и сиcтемам, удовлетворительная и систематизированная теория до сих пор отсутствует [116, 117].
Понятие сверхширокополосных сигналов и систем в настоящее
время не является строго определенным. Под него попадает и расширение спектра путем внутриимпульсной модуляции, и сверхкороткие радиоимпульсы, и видеоимпульсы, формируемые без
несущей. При работе с несущей частотой средняя частота спектра
равна значению несущей (однако естественно, что из условия знакопеременности любого электромагнитного поля нижняя частота
спектра не может быть равной нулю). Только при излучении видеоимпульсов соотношение (5.33) приближается к единице. Для
сверхкоротких радиоимпульсов, а также для импульсов с внутриимпульсной модуляцией и большим коэффициентом сжатия соотношение ( fmax − fmin ) f0 , где f0 – несущая частота, обычно находится в пределах 0,1...0,05 .
Принципиальный недостаток, присущий методу «сжатия» – наличие боковых лепестков в функции автокорреляции таких сигналов.
Эти лепестки занимают по оси t удвоенную длину несжатого им167
пульса и могут существенно ограничить разрешающую способность
по дальности таких сигналов. Меры по уменьшению влияния этих
лепестков приводят к существенному расширению основного пика и
к потере энергии. Значительно выгоднее непосредственно генерировать сверхкороткие радиоимпульсы. Функция корреляции таких импульсов лишена боковых лепестков на интервале по оси t , превышающем удвоенную длительность импульса и, следовательно, в данном
случае не происходит ухудшения разрешающей способности.
Трудности использования таких импульсов до недавнего времени были связаны с необходимостью получения пиковых мощностей
зондирующих сигналов в единицы гигаватт. Такие мощности необходимы для обнаружения целей на требуемых рубежах. В последнее время на основе передатчиков на релятивистских электронных
пучках эта задача решена, а также решена канализация СВЧ энергии при таких импульсных мощностях [7, 18, 83, 116].
Разработке моделей сверхширокополосных сигналов посвящена обширная библиография в отечественной и зарубежной литературе. В ней подробнейшим образом рассмотрены методы и критерии оптимизации зондирующих сигналов. К великому сожалению,
использование указанных сигналов на практике по сути мало что
дает для нахождения вида оптимальной обработки при решении задач космической связи.
Реальный принимаемый СШП сигнал имеет сложную форму и
неизвестные параметры: длительность, а также число, расположение и интенсивность максимумов. Отсутствие информации о параметрах сигнала не позволяет выполнить его аналитическое описание, дающее возможность ввести некоторую априорную информацию о сигнале в систему обработки.
В подавляющем большинстве работ по вопросам распространения в природных средах импульсных СШП сигналов ультракороткой длительности использовалось хорошо разработанное приближение узкополосного сигнала [116].
В работах Иммореева и Стадника [116, 122] были рассмотрены
искажения формы огибающей и энергетические потери при атмосферном распространении узкополосных электромагнитных импульсов, спектр которых сосредоточен как в окнах прозрачности,
так и вблизи линий поглощения атмосферных газов (наиболее интенсивные среди которых принадлежат кислороду и водяному пару). В последнем случае была показана возможность уменьшения
длительности импульса за счет внутриимпульсной модуляции, согласованной с законом дисперсии.
168
К этой трудности добавляются и другие. Из-за уменьшения
длительности излучаемого импульса (примерно на три порядка
по сравнению с традиционным узкополосным радаром) во столько
же раз увеличивается число элементов разрешения по дальности.
Соответственно увеличиваются требования к быстродействию и
объему памяти системы обработки.
Особенностями формирования информационного поля РЛС, использующей ультракороткие видеоимпульсы, являются:
1. Поле ультракоротких видеоимпульсов не разделяется в точке
наблюдения на произведение двух множителей, один из которых
зависит от времени и описывает форму импульса, другой только от
углов и описывает диаграмму направленности антенны (т. е. ядро
преобразования не сепарабельно в отличие от узкополосного случая).
2. Главной особенностью рассеянного поля ультракоротких видеоимпульсов является существенная трансформация формы импульсов поля волны, падающей на приемную антенну.
3. Проблема генерации ультракоротких импульсов высокого
уровня мощности.
4. Проблема приема и обработки информации. Одна из задач, с которой связаны особенности построения приемного тракта для субнаносекундных импульсов – это задача выбора формы зондирующего
сигнала и учет ее трансформации при рассеянии сигнала радиолокационным объектом. Однополярный импульс невыгодно использовать в качестве зондирующего сигнала. Считается что целесообразно
выбирать форму сигнала в виде последовательности относительно
небольшого числа чередующихся положительных и отрицательных
элементарных импульсов, расположенных вплотную друг к другу.
Для оценки влияния дисперсионных и поглощающих свойств
земной атмосферы на распространение сверхширокополосных импульсных сигналов, были рассмотрены искажение формы огибающей и энергетические потери при атмосферном распространении
узкополосных электромагнитных импульсов, спектр которых сосредоточен как в окнах прозрачности, так и вблизи линий поглощения атмосферных газов [116] (наиболее интенсивное из которых
принадлежит кислороду и водяному пару). В последнем случае
была показана возможность уменьшения длительности импульса
за счет внутриимпульсной модуляции, согласованной с законом
дисперсии среды распространения, что в частности, позволяет при
исчерпанных аппаратурных ресурсах получить дополнительное
улучшение разрешающей способности радиолокационных систем
по дальности.
169
Проведенный в [116] анализ для сверхширокополосных сигналов показал, что основным эффектом искажений формы наносекундных импульсов в земной атмосфере является их уширение
(при качественном сохранении начальной формы) и затухание, величина которого на дальностях до 500 км не является препятствием для их радиолокационной обработки.
Искажения же пикосекундных (до 0,1 нс) импульсов уже на
гораздо меньших (до 5 км) дальностях являются настолько сильными, что извлечение радиолокационной информации о целях из
временной формы отраженных сигналов становится невозможным. Фундаментальным ограничением уменьшения длительности
электромагнитных СШП импульсов в атмосфере Земли до значений менее 0,1 нс является наличие резонансной линии поглощения
у паров воды на частоте 22,2 ГГц.
Одна из особенностей СШП системы связи – дополнительные
потери энергии излучаемого импульса, возникающие из-за использования сигнала такого вида. Дело в том, что любая антенна не излучает в области частот, лежащих ниже некоторой частоты fmin.
Амплитудно-частотная характеристика антенн в этой области проходит на уровне нуля. Можно сказать, что антенна по отношению
к сигналу является фильтром верхних частот.
С другой стороны, частотный спектр любого видеоимпульса
имеет максимум именно на нулевой частоте. Основная энергия
импульса сосредоточена между частотой f=0 и некоторой частотой
fmax, лежащей обычно в области первого нуля его спектра. В результате частотная характеристика антенны и спектр сигнала оказываются несогласованными. Поэтому энергия импульса используется
не полностью.
По указанным причинам наиболее интересной является модель
линейно – регулярного СП и понятие формирующего фильтра, с помощью которого можно сформировать любой линейно – регулярный СП второго порядка из порождающего СП БГШ.
В дальнейшем модель сверхширокополосного СП определим на
основе метода порождающего процесса
[68].

Задав стохастический СП x(t) , t ∈ [0,T ] , причем T < ∞ опре
делим соответствующий
 ему порождающий процесс {ν(t) ∈ [0,T ]}
как БГШ такой, что x(t) может быть вычислен на основании ν(t)
посредством детерминированного и детерминировано
обратимого


преобразования. Суть вопроса состоит в том, что x(t) и ν(t) содержат одну и ту же «статистическую информацию», поскольку возможен переход в реальном времени в обратном и прямом направле170

ниях от одного процесса к другому, но
 при этом ν(t) , как правило,
значительно более простым СП, чем x(t) . Ввиду того, что значения

ν(t) в различные моменты времени статистически независимы,

каждое наблюдение
ν(t) приносит новую информацию в отличие от

наблюдений x(t) , результаты которых в общем случае статистически связаны с прошлыми значениями x(t) .
Порождающий СП для класса гауссовских СП

Будем рассматривать N × 1 -мерный векторный СП x(t) вида



x(t)= S(t) + W(t), 0 ≤ t ≤ T < ∞ , (5.35)

где W(t) – N × 1 -мерный векторный СП БГШ с единичной спектральной интенсивностью, числовые характеристики которого
равны

M W(t)  = 0 , M W(t)W∗ (ϑ = Iδ(t − ϑ) , (5.36)



а S(t) – N × 1 -мерный векторный СП будем называть векторным
сигнальным линейно – регулярным СП (или просто векторным сигнальным СП), для которого выполняется следующее тождество
 
M S(t)W∗ (ϑ)  ≡ 0 при t < ϑ . (5.37)



Тождество (5.37)
указывает на то, что S(t)  может зависеть от

прошлого СП W(ϑ), 0 ≤ ϑ < t , но будущее СП W(⋅) не должно зависеть от прошлого СП S(t) .
Введем определение
{
}
 
 


=
K(t, ϑ) M S(t)S∗ (ϑ) + S(t)W∗ (ϑ) + W(t)S∗ (ϑ)  , 0 ≤ t ≤ T < ∞ (5.38)


и предположим, что
K(t, ϑ) – непрерывна на интервале ( t, ϑ ) . (5.39)
Кроме того, для K(t, ϑ) выполняется условие
T
∫ tr [K(t,t)]dt < ∞ ,
(5.40)
0
171
где tr [⋅] – означает след матрицы, заключенной в квадратные скобки.
Примем также, что

M S(t)  = 0 , 0 ≤ t ≤ T (5.41)

ˆ
Примем в качестве определения, что S(t) – оценка СП S(t) по
критерию минимума СКО, если задано, что

{x(ϑ), 0 ≤ ϑ < t} , 0 ≤ t ≤ T . (5.42)
ˆ
Это означает, что S(t) представляет собой функционал прошлого x(t) . Откуда получаем, что
(
)(
)
∗ 
ˆ

ˆ
  

(5.43)
tr  M  S(t) − S(t) S(t) − S(t)   минимален, 








ˆ
где DS(t) = S(t) − S(t) – ошибка оценки СП S(t) .
ˆ
Хорошоизвестно [68], что S(t) есть линейный функционал прошлого СП x(t) , который однозначно определяется условием ортогональности


DS(t) ⊥ x(ϑ) , 0 ≤ ϑ < t . (5.44)
В (5.44) символ ⊥ означает выполнение условия
 
M S(t)x∗ (ϑ)  =
0, 0 ≤ ϑ < t . 

,
(5.45)
Из (5.45) легко видеть, что если
ˆ
S
=
(t)
t

∫ H(t,ϑ)x(ϑ)dϑ, (5.46)
0
где H(t, ϑ) – импульсная характеристика (ИХ) матричного линейного фильтра, то ядро Вольтера должно удовлетворять уравнению
Вольтера вида
t
172
H(t, ϑ) + ∫ H(t, t)K(t, ϑ)=
dt K(t, ϑ), 0 ≤ ϑ < t < T . 0
(5.47)
Из-за наличия условия физической реализуемости, согласно которому ϑ < t , будем называть это уравнение уравнением Винера –
Хопфа для H(t, ϑ) .
Модель широкополосного сигнала, которую в дальнейшем будем использовать, в случае непрерывного времени будет иметь вид
t


S=
(t) ∫ C(t, t)dν(t), (5.48)
0

где C(t, t) – неслучайная матричная функция размера N × p , ν(t) –
векторный СП БГШ размера p × 1 .
Для дискретного времени аналог (5.48) имеет следующий вид

=
S(t)
t

∑ C(t − t)ν(t). (5.49)
t=0
Выражения (5.48) и (5.49) описывают случай неразделяющейся
обработки, характерной для сверхширокополосных сигналов.
Раскладывая матричную функцию C(t, t) в ряд по системе ортонормированных скалярных функций fi (t) , таких, что [6]
T
1,∀i ≠ j,

∫ fi (t)fl (t)dt =
0,∀i =j,
(5.50)
0
получим следующий результат
C=
(t, t)
∞
∑ Cl (t)fi (t) , (5.51)
l =1
где Ci (t) – матричная функция
Подставляя (5.51) в выражение (5.48), находим

S=
(t)

где fl (t) =
t

∞
t

∞

(t) ∑ Cl (t) ∫ fi (t)dν=
(t) ∑ Cl (t)fl (t), ∫ C(t, t)dν=
(5.52)
=
l 1=
l 1
0
0
t

∫ fi (t)dν(t) .
0

Заметим, что (5.52) соответствует разложению S(t) в ряд по системе векторных функций. Возможен и другой вариант разложения в ряд, когда C(t, t) может быть представлена в виде
173
C=
(t, t)
∞


∑ Cl (t)f∗i (t). (5.53)
l =1
Подстановка (5.53) в (5.48) позволяет определить
t


S=
(t) ∫ C(t, t)dν=
(t)
где fl (t) =
t


C
(
t
)
(t)
∑ l ∫ f∗l (t)dν=
∞
∞

∑ Cl (t)fl (t) , (5.54)
l 1=
l 1
=
0
0
t

f∗l (t)dν(t) .
0
∫
Представление (5.54) интересно тем, что оно характеризует случай разделяющейся обработки.
Модели (5.48) и (5.49) удобны тем, что позволяют проследить
процесс преобразования излученного сигнала в процессе его распространения до приемника. В самом деле, учет среды распространения сигнала можно рассматривать как процедуру пространственно – временной фильтрации зондирующего сигнала. Обозначая
через HC (t, ϑ) ИХ фильтра, соответствующего среде распространения, определяем сигнал, получаемый в результате прохождения
среды

S
=
C (t)
t

(t)dt
∫ HC (t, t)S=
0
tt

∫∫ HC (t, t)C(t,ϑ)dí (ϑ)dt . (5.55)
00
Используя модели (5.48)–(5.55), определим числовые характеристики сигналов на каждом из этапов передачи – приема сигналов.
Общим в данном случае является то, что закон распределения
сигнальных СП на всех этапах является гауссовским, так как гауссовский СПр является устойчивым, и выполняются только линейные операции. Разница между ними будет состоять в том, что
гауссовский СПр на каждом из этапов будет иметь различные ковариационные матричные функции.
Для модели (5.48) матричная ковариационная функция будет
иметь вид
KS (=
t,U)
tt
00
=
174
tt

∗
∫∫ C(t, t)M  í (t) í
tdϑ
(ϑC∗ (u, ϑ)d=

∗
dϑ
∫∫ C(t, t)Iδ(t − ϑ) ××C (u,ϑ)dt=
00
t
∗
∫ C(t, t)C
0
(u, t)dt. (5.56)
Матричная ковариационная функция для модели (5.55) определяется выражением
=
KSC
(t,U)
=
tt

∗
∗
)dtdϑ
∫∫ HC (t, t)M S(t)S (ϑ)  HC (U,ϑ=
00
tt
∗
∫∫ HC (t, t)KS (t,ϑ)HC (U,ϑ)dtdϑ.
(5.57)
00
После подстановки в (5.57) значения KS (t, ϑ) из (5.56)
KSC
=
(t,U)
tt
∗
)dtdϑ
∫∫ HC (t, t)KS (t,ϑ)HC (U,ϑ=
00
=
ttt
∗
∫∫∫ HC (t, t)C(t,q)C
(ϑ, q)H∗C (U, ϑ)dtdqdϑ. (5.58)
000
Поскольку в радиолокации оказывается справедливой аддитивная модель, прием сигнала будет сопровождаться наличием изотропного шума и помех.
Модели сверхширокополосных сигналов от антиподов
в условиях многолучевости распространения
электромагнитных волн
Введенные модели сверхширокополосных сигналов (5.48) –
(5.55) легко обобщаются на случай приема сверхширокополосных
сигналов в условиях многолучевости распространения электромагнитных волн. При этих условиях запишем суммарный сигнал, приходящий от цели и ϖ антиподов в виде
tt
ϖ 



S=
=
(t) ∫∫ HC (t, t)C(t, ϑ)dν(ϑ) +
Σ (t) SÖ (t) + ∑ SÖ
l =1
ϖ tt
00

∑ ∫∫ HCl (t, t)C(t,ϑ)dν(ϑ)dϑdt,
(5.59)
l =1 0 0
где HC (t, t) ≠ HCl (t, t),∀=
l 1...ϖ .
175
Представим выражение (5.59) в более компактном виде
t
t
ϖ t




SΣ=
(t) ∫ HC (t, t)SÖ (t)dt + ∑ ∫ HCl (t, t)SÖ (t=
)dt ∫ HC (t, t)SÖ (t)dt +
l =1 0
0
t
0
t
 


+ ∫ HCA (t, t) 1 ⊗ SÖ (t=
) dt ∫ HCΣ (t, t) 1Σ ⊗ SÖ (t) dt,
(
)
(
0
)
0
(5.60)
где HCA (t, t) – матричная функция вида
HCA=
(t, t) HC1 (t, t) HC2 (t, t) ... HCϖ (t, t)  (5.61)

и размера N × Nϖ , 1 – единичный вектор, все компоненты которого равны 1 – размера ϖ × 1 , HCΣ (t, t) – матричная функция вида
HCΣ (=
t, t) HC (t, t), HCA (t, t)  (5.62)

и размера N × N (ϖ + 1) , 1Σ – единичный вектор, все компоненты которого равны 1 – размера (ϖ + 1) × 1 .
На основании (5.60) – (5.62) можно
запишем выражение для ко
вариационной матрицы сигнала SΣ (t) .


∗
=
KSΣ (t, ϑ) M  SΣ (=
t) SΣ (ϑ) 


(
)(
)
∗
 t
 t
 





(q) dq  
= M  ∫ HCΣ (t, t) 1Σ ⊗ SÖ (t) dt  ∫ HCΣ (ϑ, q) 1Σ ⊗ SÖ
=


 
 0
 
 0
tt




∗
, q)dtdq
= ∫∫ HCΣ (t, t) M  1Σ ⊗ SÖ (t) 1Σ ⊗ SÖ (q) H∗CΣ (ϑ=


(
)
(
=
00
tt

(
)(
T

)
)
∗
∫∫ HCΣ (t, t) (1Σ ⋅ 1Σ ) ⊗ M(SÖ (t)SÖ (q) )(HCΣ (ϑ,q))
∗
dtdq =
00
=
tt

T
∫∫ HCΣ (t, t) (1Σ ⋅ 1Σ ) ⊗ KCÖ ( t,q ) )(HCΣ (ϑ,q))
∗
dtdq.
(5.63)
00
Можно представить KSΣ (t, ϑ) и через два слагаемых. Первое
является ковариационной функцией прямого сигнала, а вторая –
взаимно ковариационной функцией антиподов и прямого сигнала.
176
Оба указанных представления будут использоваться при решении
задач совместного обнаружения и оценивания сигналов, принимаемых в условиях многолучевости.
Примечание. Подход, использованный в данном подразделе,
можно с успехом применить для моделирования задач совместного
обнаружения и оценивания узкополосных сигналов, принимаемых
в условиях многолучевости.
Выводы
По результатам анализа и синтеза моделей сигналов, помех и
шумов, проведенных в пятом разделе, сформулируем основные
итоги работы:
1. Разработаны модели узкополосных сигналов, полученных на
входах ФАР ССС в результате передачи дискретных сообщений по
медленно флуктуирующим (райсовским) каналам с рэлеевскими
замираниями, каналам Накагами, каналам с доплеровским рассеянием, дисперсионным каналам, каналам с рассеянием по двум
параметрам в условиях многолучевого распространения электромагнитных волн. Предполагается, что обработка принимаемой
информации осуществляется методами оптимальной цифровой
обработки сигналов. Получены выражения для их числовых характеристик. Рассмотрение ограничено гауссовскими статистиками.
2. Предложено синтез моделей сверхширокополосных сигналов системы связи выполнять на основе теории обновляющих
СПр. В соответствии с этой теорией генерация излучаемого сигнала осуществляется путем пропускания векторного СП БГШ через
реализуемый формирующий многомерный фильтр, частотная характеристика которого определяет ширину и форму спектра зондирующего сигнала. Аналогичным образом вводятся формирующие
фильтры активных и пассивных помех и цветных шумов с конечной полосой пропускания.
3. Показано, что учет характеристик среды распространения
осуществляется введением дополнительного многомерного линейного фильтра, осуществляющего преобразование сигнала, полученного на выходах формирующего фильтра. В случае узкополосного
зондирующего сигнала используется узкополосная модель формирующего фильтра. Предполагается, что формирующий фильтр является обратимым, а само преобразование выполняется с помощью
реализуемого фильтра.
177
4. Отличия прямого сигнала от антиподов призваны учитывать
ИХ многомерных фильтров, учитывающие свойства среды распространения и отражения сигнала от поверхности.
5. Показано, что окрашенный шум, занимающий конечную полосу частот, является сингулярным векторным случайным процессом и его ранг меньше его размерности. Это позволило более
реалистично подойти к проблеме оптимальной обработки сигналов
в реальных приемных системах связи.
178
6. ОБНАРУЖЕНИЕ И ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛОВ, ПРИНИМАЕМЫХ СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМОЙ
СВЯЗИ В УСЛОВИЯХ МНОГОЛУЧЕВОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ
6.1. Синтез оптимального алгоритма обнаружения сигналов ССС,
принимаемых на фоне помех и окрашенного шума
в условиях многолучевости
Поиск, слежение и наведение (ПСН) радиоизлучения в пространстве играют важную роль в ССС. Необходимые для организации связи в условиях различных сред распространения очень
малая ширина луча и энергетический запас налагают жесткие требования по наведению луча, что представляет для разработчиков
в области управления сложную задачу [47, 99, 101, 103].
На рис. 6.1 приведена схема ССС с ретрансляцией. В данном
примере космический аппарат A передает информацию на космический аппарат B с помощью радиоизлучения, а космический аппарат В посылает сигналы на НС. В обоих космических аппаратах
можно создать одинаковые подсистемы космической связи и тем
самым снизить стоимость разработки.
Во всех имеющихся приложениях ССС требуется реализовать
одну общую функцию, состоящую в первоначальном поиске сигнала космического аппарата. После его обнаружения необходимо
в течение временных интервалов, которые могут достигать нескольких месяцев или лет, с высокой точностью поддерживать в контуре
с замкнутой обратной связью режим слежения и наведения. Если по
какой-либо причине происходит разрыв контура слежения и наведения, то во избежание дальнейшего обрыва связи необходимо как
можно быстрее повторно осуществить поиск и захват. Очевидно,
что вопросы поиска и захвата (в том числе повторных), слежения
и наведения, в общем называемые технологией ПСН, чрезвычайно
важны для всех приложений ССС. В этом случае из-за ограниченности скорости света появляется необходимость вводить опережающее угловое смещение антенны по направлению вектора скорости
ИСЗ, принимающего сигнал. В связи с повышением требований по
времени существования перспективных космических аппаратов
элементы подсистем должны обладать сроком службы семь – десять лет при надежности 2s . При этом ужесточаются также требования к существующим элементам и датчикам систем управления.
Алгоритмы обработки большинства ССС, как правило, не учитывают влияния многолучевого распространения сигнала и помех в ко179
Космический аппарат А
Геосинхронная
орбита
Земля
Наземная
станция
Космический
аппарат B
Рис. 6.1. Схема спутниковой системы связи с ретрансляцией
ротковолновом (КВ) диапазоне электромагнитных (ЭМ) волн, что
приводит к существенному снижению точности измерения угловых
координат КА и, как следствие, проблемам с ПСН одной станции
ССС на другую. Поэтому возникла необходимость создания оптимальных алгоритмов обнаружения и оценивания сигналов ССС при
наличии помех и многолучевого распространения ЭМ волн [104], где
под оптимальным алгоритмом обнаружения понимается алгоритм,
полученный в соответствии с критерием Байеса при полностью известных статистических характеристиках сигнала и помех.
При полностью известных СХ сигналов, помех и окрашенного
шума задача обнаружения ставится и решается как обычная задача
проверки статистических гипотез. Предполагается, что в соответ
ствии с гипотезой H0 входной векторный гауссовский
СПр x ( t ) со

держит СПр помех n ( t ) и окрашенный
шум W(t) . В соответствии


с гипотезой H1 гауссовский СПр
включает
помеху n ( t ) окра x(t )
шенный шум W(t) и сигнал S(t) . По своей сути совокупность по
мехи n ( t ) + W(t) представляет собой также окрашенный шум, бу
дем ее обозначать в дальнейшем nC ( t ) . С учетом вышесказанного
можно записать [111]:


=
H0 : x ( t ) nC ( t )
T1 ≤ t ≤ T2 ;



H1 : x=
( t ) nC ( t ) + s ( t ) T1 ≤ t ≤ T2 . (6.1)
Таким образом, по обеим гипотезам принятый СПр содержитад

дитивную компоненту окрашенного шума nC ( t ) с M nC ( t )  = 0 и
180
известной ковариационной матрицей
 Kïc ( t, t ) . В случае истинности гипотезы H1 , в принятом
СПр
x
( t ) присутствует кроме шума

еще и компонента S(t) , ковариационная матрица которой считается также известной и равной Ês ( t, t ) . Обозначим
 
 ∗ 


=
M x ( t ) x∗ ( t ) H
(t) Knc (=
t, t) Kx0 (t, t);
0  M  nC ( t ) nC =


 ∗
M S(t)S ( t=
(6.2)
) Ks (t, t);

 

M x ( t ) x∗ ( t ) H=
, t) Kx1 (t, t).
1  Ks (t, t) + Knc (t=


Это означает, что линейно – регулярные СПр x ( t ) по каждой из
гипотез H0 и H1 являются сингулярными, и для их матриц спектральной плотности выполняется условие [63]:
rank Ks ( w) = 1 < N. rank Kïc ( w) = υ < N − 1.
А, следовательно, и rank ( Ks ( w) + Kn ( w) ) < N , где rank ( ⋅) – означает ранг матрицы, находящейся в круглых скобках. Как известно, понятие ранга связано с числом линейно независимых строк
или столбцов указанной матрицы. Отличия от известного в литературе случая обнаружения сигналов на фоне БГШ состоят в следующем. Для невырожденного случая обработки обычно
заданы плот
ностираспределения (ПРВ) вектора выборок x или функционалы
СПр x ( t ) по гипотезам H0 и H1 , а Kx0 (t, t) и Kx1 (t, t) – соответствующие им невырожденные ковариационные матричные функции. Это обстоятельство указывает на то, что существуют обратные
матричные функции Qx0 (t, t) и Qx1 (t, t) , связанные с Kx0 (t, t) и
Kx1 (t, t) соотношениями [16,55]
T2
−1
∫ Kx0 (t, t)Qx0 (t,ϑ) = Iδ ( t, t ),
T1
T2
−1
∫ Kx1 (t, t)Qx1 (t,ϑ) = Iδ ( t, t ). T1
Указанные функционалы условных ПРВ имеют вид
 T2 T2 





p x(t)=
Hi ci exp − ∫ ∫ x∗ (t)Qx−i1 (t, t)x(t)dtdt =
, i 0, 1, (6.4)
 T1 T1

(
(6.3)
)
181
где ci – определяется из условия нормировки
+∞

∫ p(x

Hi=
dx 1,=
i 0, 1. )
−∞
(6.5)
Интеграл (6.5) можно рассматривать как интеграл по векторной
мере или как N -кратный интеграл.
Можно показать,
что в случае окрашенного шума, функциона
лы ПРВ p x ( t ) Hi имеют следующий вид
(
)
 T2 T2 





p x(t)=
Hi ci exp − ∫ ∫ x∗ (t)Qx+i (t, t)x(t)dtdt =
, i 0, 1 . (6.6)
 T1 T1

(
)
где Qx+i (t, t) – так называемый псевдообратный интегральный оператор Мура–Пенроуза обладающий следующими свойствами [26]:
=
Qx+i (t, t)
T2  T2

 K∗ (t, q)K ( q,u ) dq 
xi
∫  ∫ xi

T1  T1

−1
( Qx+i (t,t)=
) ( KTxi (t,t) )
T
=
Qx+i (t, t)
T2
∫(
K∗xi (t,u
T1
=
Qx+i (t, t)
T2 T2
)
( K∗xi (u,t) )du ,
+
−1
 T2

 K∗ (u, q)K ( q, t ) dq  du ,
xi
 ∫ xi

 T1

+
+
∫ ∫ Qxi (t,u)Kxi (u,q)Qxi ( q, t ) dqdu ,
T1 T1
=
Kxi (t, t)
T2 T2
∫ ∫ Kxi (t,u)Qxi (u,q)Kxi ( q, t ) dqdu , T1 T1
T
T2
 T2

+
 K (t, q)Q+ ( q,u ) dq =

xi
∫ Kxi (t,q)Qxi ( q,u ) dq ,
 ∫ xi

T1
 T1

T
T2
 T2

+
 Q+ (t, q)K ( q,u ) dq =
xi
∫ Qxi (t,q)Kxi ( q,u ) dq .
 ∫ xi

T1
 T1

182
(6.7)
В [26] показано, что такая матричная функция существует и она
единственна. Константа ci , входящая в (6.6), определяется аналогично (6.4). Поэтому сделаем следующее. Определим константу ci .
Для этого вычислим интеграл по векторной мере
 T2 T2 
 



∗
+
−
x
t
x
t
t
=
exp
(
t
)
Q
(
t
,
)
(
)
dtd
i 0, 1. 
 dx 1,=
x
i
∫
∫∫
−∞
 T1 T1

∞
ci
(6.8)
Интеграл (6.8) тоже как (6.5) будем рассматривать как Npкратный интеграл. Представим псевдообратную матричную функцию Qx+i (t, t) в виде произведения [26]
T2
Qx+i (=
t, t)
L(t, t)
где=
T2 T2
∗
∫ L(t,q)L (q, t)dq, T1
∫ ∫ Hr (t,q) ( Hr (q,u)Hr (u, t) )
∗
−1
(6.9)
dqdu – левая трапециевид-
T1 T1
ная матричная функция размера N × r ;
h11 (t, q)
0
0 ....... 0
h21 (t, q) h22 (t, q) 0... ....0
Hr (t, q) =......................................... , элементы которой удовhr1 (t, q) hr 2 (t, q) ... hrr (t, q)
hN1 (t, q) hN 2 (t, q)...hNr (t, q)
летворяют неравенствам
h11 (t,t) ≥ h22 (t,t) ≥ ... ≥ hrr (t,t), hji (t,t) ≤ hii (t,t) j > i.
Подставляя (6.9) в (6.8), получаем следующий результат.
 T2 T2 
 



∗
∗
−
x
q
⋅
q
t
x
t
t
exp
(
t
)
L
(
t
,
)
L
(
,
)
(
)
dtd

 dx =1. ∫
∫∫
 T1 T1

−∞
∞
(6.10)
Введем новые обозначения

=
η(t)
T2
∗

∫ L (t, t) ⋅ x(t)dt . (6.11)
T1
Заметим, что в результате преобразования (6.11) размерность

пространства уменьшается до r , так как векторы η(t) имеют размеры r × 1 и единичную
ковариационную матрицу. Это означает,

что векторный СПр x(t) с коррелированными компонентами в ре183

зультате (6.11) преобразован в векторный СПр η(t) с некоррелированными компонентами.
Таким образом, в результате преобразования (6.11) вместо интеграла (6.10) следует вычислить более простой интеграл
∞
 T2




 
h ∫ exp − ∫ η∗ (t) ⋅ η(t)dt  dη =1. (6.12)
 T1

−∞
где h – скалярная величина, смысл которой будет раскрыт далее.
Заметим, что скалярное произведение в (6.12) можно записать как
2r


η∗ (t) ⋅ η(t=
)
∑ ηi (t)
2
.
(6.13)
i =1
Подставляя (6.13) в (6.12) получим
 2r T2

 T2

2r ∞

 


2
2
−
η
η
=
−
η
exp
(
t
)
dt
d
h
exp
(
t
)
dt

 dηi=
∏∫  ∫ i
∫  ∑∫ i




i
=
1
i
=
1
T1
−∞
−∞


 T1
 T2

2r ∞


2
= h∏ 2 ∫ exp − ∫ ηi (t) dt  dηi .
 T1

i =1 0
Интеграл
∞
h
 T2

p


2
−
η
exp
(
t
)
dt

 dηi = ∫
∫ i
2
 T1

0
(6.14)
∞
(6.15)
является табличным [28].
Используя (6.15), запишем (6.14) в виде
2r
∞
{
h∏ 2 ∫ exp − ηi
i =1 0
Можно показать, что =
h
2r
∏ lll
l =1
i
2
} dη =
i
r
h ( p) . (6.16)
, где l lli – собственные числа ко-
вариационной матрицы Kxi (t, t) .
Учитывая сказанное можно записать окончательно
 T2 T2 



1


∗
+
exp
(
)
(
,
)
(
)
, i 0, 1. (6.17)
=
−
x
=
t
x
t
t
p x(t) Hi
t
Q
t
dtd


i
x
∫
∫
2r
V
r


T
T
 1 1

( p ) ∏ llli
(
)
l =1
184
Таким образом, было получено обобщенное гауссовское распределение, которое можно использовать для проверки гипотез в случае обнаружения сигналов на фоне окрашенного шума.
Теперь на основании (6.17) можно записать выражение для логарифма отношения правдоподобия, а затем для достаточной статистики l
l
=
T2 T2
∫
2r
2r
∗

>
Qx+0 (t, t) − Qx+1 (t, t)  x(t)dtdt γ − ∑ ln l ll0 + ∑ ln l ll1. (6.18)
(
t
)
x
∫


<
=l 1=l 1
T1 T1
Для того чтобы конкретизировать вид обработки (6.18) на фоне
окрашенного шума необходимо, прежде всего, рассмотреть и упростить выражение, стоящее в квадратных скобках. Прежде всего,


будем считать, что Ks (t,=
t) g (t, α,β) ⋅ g∗ ( t, α,β ) s2 . Это выражение
позволяет проанализировать варианты приема сигнала, переданного по каналу с рэлеевскими замираниями (с медленными флуктуациями) при наличии окрашенного шума. В соответствии с выражением для Ks ( t, t ) можно записать



t) Kx1 (t, t). (6.19)
M xx∗ H1 = g (t, α,β) ⋅ g∗ (t, α,β)s2 + Kn (t,=


Найдем применительно к модели (6.18) приемлемое выражение
для псевдообратной матричной функции Qx+1 (t, t) . Это означает, что
в нашем случае необходимо выразить Qx+1 (t, t) через Qx+0 (t, t) и некоторую добавку. Для этого можно использовать формулу, являющуюся обобщением формулы Шермана-Моррисона-Вудсбери на
случай вычисления псевдообратной матричной функции от суммы
двух вырожденных матричных функций Ks (t, t) + Kx0 (t, t) .
Теорема 6.1. Пусть имеется сумма двух вырожденных матрич, t) Ks (t, t) + Kx0 (t, t) , из которых Ks (t, t) являных функций Kx1 (t=
ется матричной функцией ранга 1, т. е. допускает представление
(6.19). Тогда псевдообратная матричная функция Qx+1 (t, t) определяется выражением
+


g (t, α,β) ⋅ g∗ (t, α,β)s2 + Kx0 (t, t) =
(
= Qx+0 (t, t) − s2
T2 T2
+

∗
∫ ∫ Qx0 (t,u)g(u,α,β)g
T1 T1
)
(ϑ, α,β)Qx+0 (t, t)dudϑ×
+
T2 T2




×  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ  .


T1 T1


(6.20)
185
Доказательство теоремы основано на свойствах (6.7) и выполняется методом прямых вычислений.
Используя формулу (6.20), преобразуем (6.18) к виду
=
l
T2 T2
∫
T2 T2

∗
∗
+
+
+


∫ x (t) Qx0 (t, t) − Qx1 (t, t)  î (t)dtd=t ∫ ∫ x (t) Qx0 (t, t) −
T1 T1
T1 T1
−Qx+0 (t, t) + s2
T2 T2
+

∗
∫ ∫ Qx0 (t,u)g(u,α,β)g
(ϑ, α,β)Qx+0 (t, t)dudϑ×
T1 T1
T2 T2




2

× 1 + s ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1



−1

x(t)dtdt  =



s 1 + s ∫ ∫ g ∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1


2
T2 T2 T2 T2
∗
∫ ∫ ∫ ∫x
T1 T1 T1 T1
2
T2 T2
−1
×

>


(t)Qx+0 (t,u)g (u, α,β)g ∗ (ϑ, α,β)Qx+0 (t, t)x(t)dudϑdtdt γ −
<
2r
2r
− ∑ l ii0 + ∑ l ii1.
=i 1=i 1
(6.21)
Учитывая, что
T2 T2
T2 T2
T1 T1
T1 T1
∫
∗

+
=
∫ x (t)Qx0 (t,u)g(u,α,β)dtdu
∗
∫ ∫g

(ϑ, α,β)Qx+0 (t, t)x(t)dtdϑ ,
используя свойства (6.7), получаем окончательный вид выражения
для достаточной статистики в случае обнаружения сигнала, принятого на выходе медленно флуктуирующего канала вместе с окрашенным шумом.
T2 T2
2
2r
2r


>

l ∫ ∫ x∗ (t)Qx+0 (t,u)g (u, α,β)dtdu  γ − ∑ l ll0 + ∑ l ll1  ×
=


<=
 l 1=l 1

T1 T1
×
186
T2 T2




1 
1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ .

s2 
T1 T1


(6.22)
Таким образом, в случае окрашенного шума получим реализацию оптимального приемного устройства по схеме фильтр – квадратор – интегратор. Отличия от результатов, полученных в работах [16, 55], состоят в том, что используются различные фильтры.
В данном случае используется фильтр с ИХ Qx+0 (u, ϑ) , а в работе
[16] – Qx0 (u, ϑ) . Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в подразделе 6.4 в связи с применением методов адаптации для подстройки весовых коэффициентов указанных фильтров.
Наряду с указанной классической схемой можно синтезировать
и ряд других, которые во многом будут более важны и интересны
для дальнейшего применения. Для этой цели сформулируем и докажем следующую теорему.
Теорема 6.2. Пусть имеется сумма двух вырожденных матрич, t) Ks (t, t) + Kx0 (t, t) , из которых Ks (t, t) являных функций Kx1 (t=
ется матричной функцией ранга 1, т. е. допускает представление
(6.19). Тогда псевдообратная матричная функция Qx+0 (u, ϑ) определяется выражением
+


Kx1 (t, t) − g (t, α,β) ⋅ g∗ (t, α,β)s2 =
(
)
T2 T2
= Qx+1 (t, t) + s2 ∫
+

∫ Qx1 (t,u)g(u,α,β) ×
T1 T1

×g∗ (ϑ, α,β)Qx+1 (ϑ, t)dudϑ×
T2 T2




2

× 1 − s ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+1 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1


−1
.
(6.23)
Доказательство теоремы основано на свойствах (6.7) и выполняется методом прямых вычислений. Используя формулу (6.20), преобразуем (6.18) к виду
=
l
T2 T2
T1 T1
=
∗
∫ ∫x

=
t
(t) Qx+0 (t, t) − Qx+1 (t, t)  x(t)dtd


T2 T2
∫
T2 T2
∗

∗
+
2
+
+

∫ x (t) Qx1 (t, t) + s ∫ ∫ Qx1 (t,u)g(u,α,β)g (ϑ,α,β)Qx1 (ϑ, t)dudϑ×
T1 T1
T1 T1
T2 T2




×  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+1 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1


−1
−Qx+1 (t, t)  ×

187
T2 T2





×x(t)dtdt =s2  1 − s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+1 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1


T2 T2 T2 T2
∗
∫ ∫ ∫ ∫x
−1
×



(t)Qx+1 (t,u)g (u, α,β)g∗ (ϑ, α,β)Qx+1 (ϑ, t)x(t)dudϑ×
T1 T1 T1 T1
2r
2r
>
×dtdt γ − ∑ l ll0 + ∑ l ll1 .
<
=l 1=l 1
(6.24)
Рассуждая аналогично тому, как это было сделано при выводе
(6.22), приходим к реализации достаточной статистики вида
2
T2 T2
2r
2r


>

=
l ∫ ∫ x∗ (t)Qx+1 (t,u)g (u, α,β)dtdu  γ − ∑ l llx0 + ∑ l llx1  ×

<  l 1=l 1
=

T1 T1
T2 T2




1
× 2  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+1 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ .

s 
T1 T1


(6.25)
Интересно отметить, что (6.25) и (6.22) построены по одинаковой схеме фильтр – квадратор – интегратор, но отличаются ИХ
фильтров и порогами обнаружения.
Из рассмотрения (6.21) и (6.24) непосредственно следует, что
T2 T2


∗

+
 1 + s2

α
β
ϑ
ϑ
α
β
ϑ
g
(
u
,
,
)
Q
(
u
,
)
g
(
,
,
)
dud
x
0
∫∫


T1 T1


−1
×
T2 T2
×∫
∗ T2 T2 +


∗
+
î
∫ (t) ∫ ∫ Qx0 (t,u)g(u,α,β)g (ϑ,α,β)Qx0 (t, t)î (t)dudϑdtdt =
T1 T1
T1 T1
T2 T2




=  1 − s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+1 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ 


T1 T1


T2 T2 
T2 T2
T1 T1
T1 T1
×∫
188
∗
∫ î (t) ∫
+

∗
∫ Qx1 (t,u)g(u,α,β)g
−1
×

(ϑ, α,β)Qx+1 (ϑ, t)î (t)dudϑdtdt. (6.26)
Из (6.26) следует, что
T2 T2 T2 T2 



∗
∗
+
+

×
x
(
)
(
,
)
(
,
α
,
β
)
(
ϑ
,
α
,
β
)
(
,
t
)
x
(
t
)
ϑ
t
t
Q
t
u
g
u
g
Q
t
dud
dtd
x0
x0
∫ ∫ ∫ ∫

T
T
T
T
1 1 1 1

T2 T2 T2 T2 




×  ∫ ∫ ∫ ∫ x∗ (t)Qx+1 (t,u)g (u, α,β)g∗ (ϑ,α,β)Qx+1 (ϑ, t)x(t)dudϑdtdt 


T1 T1 T1 T1

T2 T2




=  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ  ×


T1 T1


−1
=
−1
T2 T2




×  1 − s2 ∫ ∫ g∗ (u,α,β)Qx+1 (u,ϑ)g(ϑ,α,β)dudϑ  .


T1 T1


(6.27)
Можно также показать, что
T2 T2

ˆ


S
(t, α,β) =s2g (t, α,β) ∫ ∫ g∗ (ϑ, α,β)Qx+1 (ϑ, t)î (t)dtdϑ (6.28)
T2 T2
– представляет собой нереализуемую (сглаженную) оценку
сигнала по критерию минимума СКО, формируемую из ее смеси
с окрашенным шумом в предположении истинности гипотезы H1.
Учитывая (6.28), можем записать (6.18) следующим образом
=
l
T2 T2 
2r
2r
ˆ

>
∗
+
α
β
γ
−
l
+
l ll1  ×
î
t
Q
t
u
S
u
dtdu
(
)
(
,
)
(
,
,
)

∑
∑
1
ll
x
∫∫
0


<=
 l 1=l 1

T1 T1
T2 T2




×  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ .


T1 T1


(6.29)
Отметим, что вариант приемника в виде (6.29) ранее в литературе не рассматривался и стал возможным благодаря формулировке и
доказательству теоремы 6.2, а также условию (6.27).
По аналогии с тем как это сделано в [16], можно показать,
что оптимальные приемники реализуются и по другим схемам:
1. Оценивателя – коррелятора, 2. Фильтра – коррелятора, 3.
Оптимального реализуемого фильтра, 4. Реализация в переменных
состояния.
189
Для осуществления указанных фильтров можно воспользоваться вэйвлет фильтрами [87], адаптивными фильтрами [2], многомерными цифровыми фильтрами [27].
Условия теорем 6.1 и 6.2 можно распространить на модели
(5.10) – (5.12) сигнала, переданного по каналу с доплеровским рассеянием, ковариационная матрица которого определяется выражениями (5.29) и (5.30), для которых можно записать (6.19) в несколько ином виде



t) Kx1 (t, t) ,(6.30)
M xx∗ H1 = g (t, α,β) ⋅ g∗ (t, α,β)ρ(t, t) + Kn (t,=


а также и на модель (5.13) дисперсного сигнала, ковариационная матрица которого определяется выражением (5.31). Для указанного случая под ρ(t, t) будет пониматься скалярная функция
двух переменных
∞ ∞
=
ρ(t1,t2 )
∫ ∫ f(t1 − l)f
−∞ −∞
∗
(t2 − f)ρ ( t1,t2 , l, f ) dldf .
(6.31)
Чтобы конкретизировать полученный результат применительно к модели сигнала (5.7), принимаемого
по каналу с медленными

флуктуациями, заметим, что S( t ) удобно представить в виде




=
S(t)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] b fs (t)exp{ j(wc ± wD=
)t} bg (t, α,β) , (6.32)



где g (=
t, α,β)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t)) ] fs (t)exp{ j(wc ± wD )t} .
Тогда выражение для достаточной статистики с учетом (6.32)
принимает вид
T2 T2
2r
2r
∗

>

+
(
)
(
,
)
(
,
,
)
x
α
β
γ
−
l
+
l iix1  ×
t
Q
t
u
g
u
dtdu

∑
∑
1
ii
x
x
∫
0


<  i 1=i 1
=

T1 T1
=
l bˆ ∫
T2 T2




×  1 + s2 ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ ,


T1 T1


(6.33)
где bˆ – оценка СВ b по критерию минимума СКО.
Применительно к модели (5.10) – (5.12) сигнала переданного
по каналу с доплеровским рассеянием, заметим, что (5.10) удобно
представить в виде
190

=
S(t)


Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t))] b(t) fs (t) ×

× exp{ j(w ± w=
)t} b(t)g (t, α,β),
ci
Di
(6.34)



где g (=
t, α,β)
Et [ g (α(t)) ⊗ g (β(t)) ] fs (t)exp{ j(wc ± wD )t} как и для
модели (6.32).
Тогда выражение для достаточной статистики с учетом (6.32)
принимает вид
=
l
T2 T2
∗
∫ ∫x
T1 T1
2r
2r

>

(t)Qx+1 (t,u)g (u, α,β)bˆ ( u ) dtdu  γ − ∑ l iix0 + ∑ l iix1  ×

<  i 1=i 1
=

T2 T2




2

× 1 + s ∫ ∫ g∗ (u, α,β)Qx+0 (u, ϑ)g (ϑ, α,β)dudϑ ,


T1 T1


(6.35)
где bˆ ( u ) – оценка одномерного СПр b ( u ) по критерию минимума
СКО.
Для модели (5.13) сигнала, переданного по дисперсному каналу,
выражение для достаточной статистики имеет вид, аналогичный
(6.35), а оценка, входящая в (6.35) определяется формулой
=
bˆ(t)
∞
ˆ
, i
∫ f(t − l)bi (t,l)dl=
−∞
0,1.
(6.36)
Аналогичным образом можно рассмотреть оценочно-корреляционный приемник и для моделей сигналов, формируемых на выходах каналов с рассеянием по двум параметрам.
До сих пор речь шла лишь об обнаружении одиночных гауссовских сигналов на фоне помех и окрашенного шума при отсутствии
многолучевого распространения ЭМ волн. Существенно более сложной является задача обнаружения в условиях многолучевости.
6.2. Оптимальный алгоритм полного разрешения сигналов,
принимаемых на выходах приемных каналов ССС
при многолучевом распространении
Для передачи различного рода сообщений были предложены
новые перспективные системы связи: использующие рассеяние и
отражение радиоволн тропосферой, стратосферой, ионосферой, основанные на отражении радиоволн от поверхности Луны и следов
191
метеоров, работающие за счет отражения радиоволн от пояса металлизированных диполей, выведенных на околоземную орбиту.
Перечисленные системы связи объединяет то, что они содержат
многолучевые каналы связи со случайно изменяемыми параметрами. К таким системам относится канал радиосвязи Земля – ИСЗ [7,
25,34, 42, 61,69].
Сигнал, поступающий на входы ФАР ССС и прошедший многолучевой канал связи со случайно изменяющимися параметрами,
представляет собой эквивалент сигнала, приходящего от множественной цели в радиолокации. Однако, в отличие от нее в ССС многолучевой сигнал в ряде случаев предполагается полезным, который помогает улучшить качество оптимального приема сигналов,
например при решении задачи обнаружения импульсного сигнала.
Поскольку при передаче дискретных сообщений требуется достаточно высокая точность оценки параметров (амплитуды, частоты и фазы сигнала, а также времени задержки относительно синхроимпульсов), наличие многолучевых компонент может привести
к резкому ухудшению точности оценивания параметров. Поэтому
возникает необходимость оценивания параметров прямого сигнала, принимаемого на фоне помех и сигналов, возникающих за счет
многолучевости распространения. Последние играют роль дополнительных помех, ухудшающих качество приема.
Наиболее эффективное снижение влияния сигналов многолучевого распространения основано на использовании антенн, имеющих
узкую диаграмму направленности. Это объясняет предпочтительность использования в CCC сопровождения ИСЗ более высоких несущих частот. В системах автосопровождения наблюдается переход
в 2-х см и 8 мм диапазон длин волн. При этом, однако, уменьшается
дальность действия и пропускная способность РЛС за счет увеличения числа элементов разрешения. К тому же постановка и решение
задач обработки сигналов при обнаружении и оценивании предполагали наличие помех в виде белого гауссовского шума [32, 61, 88].
Все сказанное требует создания новых эффективных алгоритмов обнаружения и оценивания сигналов на фоне помех в условиях многолучевости, основанных на увеличении разрешающей
способности ССС по угловым координатам, дальности и скорости.
Добиться увеличения разрешающей способности ССС можно за
счет разработки алгоритмов полного разрешения принимаемых
сигналов по всем измеряемым параметрам.
Задача полного разрешения сигналов множественной цели
применительно к системам связи ставится и решается как задача
192
оценивания числа лучей, по которым распространяется сигнал от
передающей антенны одного КА ко второму (обычно оно конечно и
является целой величиной), а также оценивания параметров каждого из сигналов (угловых координат, дальностей и скоростей).
Она может ставиться и решаться так, как это было сделано в работах [16, 23, 26, 50, 70, 84, 89, 128, 133, 134, 140].
Частными категориями задачи полного разрешения являются:
квазиполное разрешение – обнаружение и квазиполное разрешение измерение. При этом согласно [140], под полным разрешением
группы из m объектов (или процессов) при наличии помех понимают выработку решения об осуществлении одного из 2m возможных
несовместимых событий в виде различных комбинаций наличия
или отсутствия каждого из объектов (процессов). Квазиполным
разрешением-обнаружением произвольно выбранного объекта или
процесса называют выработку решения об его наличии или отсутствии в данном испытании (о других объектах или процессах используются статистические данные). Под квазиполным разрешением-измерением понимают оценку координат и параметров движения объектов, число которых известно или оценивается тем или
иным способом на этапе разрешения-обнаружения.
Определение полного разрешения конкретизировано в работах
Я.Д.Ширмана и Нильсона [89, 140] для точечных и сложных целей
в виде совокупности точечных отражателей. Полное разрешение
точечных целей, находящихся в заданном объеме пространства,
предполагает обнаружение, измерение координат и параметров
движения каждой из них, а также оценку их числа. Под полным
разрешением сложных целей, находящихся в заданном объеме
пространства понимается обнаружение, измерение координат и параметров движения отражателей, принадлежащих каждой цели,
и, наконец, определение числа сложных целей.
Таким образом, задача полного разрешения сигналов включает
в себя две подзадачи: разрешение-обнаружение и разрешение-измерение. Решение указанной задачи для гауссовского случая в условиях параметрической априорной неопределенности СХ сигналов, помех и шумов в самом общем случае было получено в работе
[26] для разделяющейся и неразделяющейся обработки.
Трудности практической реализации оптимальных алгоритмов
разрешения-измерения привели к поиску подоптимальных алгоритмов, которые позволяют за счет отказа от оптимальности и некоторого ухудшения качества обработки упростить систему разрешения в целом. Так Гейбриел [113] рассматривает применение ста193
тистических методов спектрального анализа – метод максимальной энтропии Берга (ММЭ), метод максимального правдоподобия
Кейпона (ММП) и метод теплового шума (МТШ) – для повышения
разрешающей способности антенных решеток. Сущность данных
методов состоит в оценке пространственного спектра и формировании на основе ее коэффициентов пространственного фильтра, реализованного в виде антенной решетки. Методы различны по способу формирования коэффициентов, но похожи по выполняемым
операциям.
Рассмотренную группу методов разрешения-измерения можно отнести к эвристическим, так как они используют те или иные
свойства алгоритмов обработки, решающих совершенно иные задачи (оценивание параметров сигнала в методе максимального правдоподобия, оптимальный прием сигнала с заданного направления
при воздействии коррелированных шумов в методах теплового шума и максимальной энтропии).
В [50, 70] рассмотрены еще несколько основных применяемых
методов, схожих между собой: алгоритм Писаренко, проекционный метод и др.
Рассмотрим решение задачи полного разрешения сигналов на
фоне помех.
Оценивание ранга сигнального случайного процесса
на фоне помех и окрашенного шума, как задача разрешения –
обнаружения числа лучей
Различные подходы к решению задачи разрешения сигналов на
этапе обнаружения (разрешения-обнаружения) обсуждались в первом разделе диссертации. Было показано [26], что одним из наиболее просто реализуемых и в то же время достаточно эффективных
является алгоритм оценки
эффективного ранга ковариационной ма
трицы входного СПр x(t) . Там же указывалось, что числоточечных
целей и ранг ковариационной матрицы векторного СПр S(t) , образованного совокупностью сигналов, равны между собой. Поэтому
представляет значительный интерес использование этого свойства
для решения задачи разрешения-обнаружения целей на фоне помех.
Для того, чтобы определить число точечных объектов необходимо решить две основные
проблемы: найти оптимальный алгоритм

оценивания ранга S(t) , работоспособный
в условиях априорной


 не
определенности СХ СПр x(t) , S(t) , помехи n(t) и шумов W(t) и
определить его характеристики.
194
Для оценки
 ранга сигнальной составляющей входного многомерного СПр x(t) можно использовать унитарные преобразования,
а также модифицированную процедуру ортогонализации ГрамаШмидта варианты которой рассмотрены в [26, 29, 119, 123, 125,
130].
Унитарные преобразования, описанные в [55, 70, 92, 98], имеют
целый ряд серьезных недостатков, главным из которых является
невозможность их использования для построения предпроцессоров обработки в случае не разделяющейся на пространственную и
временную обработки. Вторым является то, что они очень чувствительны к ошибкам округления. Поэтому их применение ограничивается рамками пространственной обработки. Кроме того, с их помощью можно определять число только разрешимых по критерию
Рэлея сигналов.
Вследствие указанных причин основное внимание сосредоточим
на процедуре ортогонализации Грама-Шмидта хорошо известной
в линейной алгебре.
Пусть на входе ФАР ССС поступает многомерный гауссовский
векторный СПр с дискретным временем

N
xT
,
t = { xi, t }
i=1
где N – размерность многомерного вектора (число пространственных каналов). Необходимо сформировать векторный СПр
N

ηT
t ={η i, t } i=1 с взаимно – ортогональными компонентами в смыс-
ле M ηi, t η∗j, t  = 0; ∀i ≠ j . Первый вариант процедуры описывает

ся следующим выражением:
η1, t =
x1, t ;
η2, t =
x2, t − h21, t η1, t ;
η3, t =
x3, t − h31, t η1, t − h32, t η2, t ;
.........................................
ηN , t =
x N, t −
N −1
∑ hNj, t ηj, t .
,
(6.37)
j =1
195
где коэффициенты hij, t определяются из решения разностного
уравнения вида:
hij, t q j, t =
rij, t ,
(6.38)
где rij, t = M xi, t η∗j, t  , q j, t = M ηj, t η∗j, t  .




Процедуру ортогонализации (6.37) представим в матричном виде:



(6.39)
ηt =x t − Ht ηt , где Ht – матрица настраиваемых весовых коэффициентов имеющая вид:
0
..... ..... ... ...... 0
h21, t 0
..... ... ......
Ht = h31, t
h32, t 0
... ......
..... ..... .....
hN1, t hN 2, t hN 3, t
.
... ......
. . . hN,N −1, t 0
Наряду с (6.37) можно использовать модификацию процедуры
ортогонализации, которую можно представить как:
η1, t =
x1, t ;
η2, t =
x2, t − l21, t x1, t ;
η3, t =
x3, t − l31, t x1, t − l32, t x2, t ;
..............................
ηN , t =
x N, t −
N −1
∑ lNj, t x j, t .
(6.40)
j =1
Весовые коэффициенты lij определяются из условий ортогональности:
196
∗ 


M ηi, t ⋅ x∗j, =
t  M  ηi, t ⋅ ηj, =
t  0, i > j . 
(6.41)
В результате получаем систему уравнений Юла – Уокера:
T

(6.42)
li −1, t Ki −1,t = kT
i, t , где
T

li −1, t =  li1, t , li2, t , ... , lii −1, t  ; kT
i −1, t =  ki1, t , ki2, t , ... , kii −1, t  ;
kij, t = M xi, t x∗j, t  ,


Kt =
k11, t
k12, t
. . . . . . . k1,i −1, t
k21, t
k22, t
. . . . . . . k2,i −1, t
=
, j 1, 2, ... i − 1.
........ ........ ....... .........
ki −1,1, t ki −1,2, t . . . . . . . ki −1,i −1, t
Процедуру ортогонализации (6.40) удобно представить в матричном виде:



ηt =xt − Lt xt ,
(6.43)
где Lt – матрица настраиваемых весовых коэффициентов равна:
0
l21, t
Lt = l31, t
..... ... ....... 0
0
..... ... .......
l32, t 0
... .......
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
lN1, t lN 2, t lN 3, t . . . lN,N −1, t 0
Многомерные фильтры, осуществляющие обработку входного
СПр в соответствии с (6.37) и (6.40), получили название фильтровортогонализаторов [12], структурные схемы которых представлены на рис. 6.2 и 6.3.


Используя
(6.37) и
(6.43), представим
xt = ( I + Ht ) ηt , а




ηt = ( I − Lt ) xt . Тогда xt = ( I + Ht )( I − Lt ) xt . А это значит, что
I и матрицы Ht и Lt связаны следующим уравне( I + Ht )( I − Lt ) =
нием:
Lt + Lt Ht =
Ht или Lt (I + Ht ) =
Ht . (6.44)


Замечание 1. Отметим, что из x t = ( I + Ht ) ηt следует
 
Kxt = M x t x∗t =


 
( I + Ht ) M ηt η∗t  ( I + Ht )∗= ( I + Ht ) Kηt ( I + Ht )∗ . (6.45)
197
Рис. 6.2. Рекурсивный вариант фильтра-ортогонализатора
Рис. 6.3. Нерекурсивный вариант фильтра-ортогонализатора
В случае, когда Kxi – матричная функция полного ранга, имеем
∗
Qx t ==
Kx−1t ( I + Ht ) Kηt ( I + Ht ) 


−1
=
−1
( I + H )∗  K−1 ( I + H )  −1 .
=
(6.46)
t 
t 
ηt 

Если Kxt – матричная функция – вырожденная, т. е.
rank Kxt = υ < N , то
+
+
( I + H ) Q ( I + H )∗  =
( I + H )∗  Q+ ( I + H )  + , (6.47)
Qx+t =
Kx+t =
t
t 
t 
t 
ηt
ηt 


198
1

 h
 21,t
 h31,t
+ 
где ( I + Ht ) =  h41,t
 ...

hN −1,1,`t
 h
 N1,t
0
1
0
0
1
0
0
0
1
...
0
0
... 0 0 
... 0 0 
h32,t
... 0 0 

h42,t
h43,t
... 0 0  , Qη+ t –
...
...
... ... ...

hN −1,2,t hN −1,3,t
... 1 0 
hN 2,t
hN,3,t
... 0 1 
диагональная матричная функция, на главной диагонали которой
q + ïðè
=
i 1,2,..., υ
+
=  iit
расположены элементы qiit
.
i>υ
 0 ïðè
+
Обращаясь к матрице ( I + Ht ) , замечаем, что по сути своей она
является суммой единичной матрицы размера N × N и нижней
треугольной матричной функции размера N × N с нулевой главной
диагональю. Особенностью нижней треугольной матрицы является
то, что она является блочной матрицей, состоящей из двух блоков.
Первый из них размера N × υ является трапецевидной матрицей.
Второй блок – размера N × ( N − υ ) является нулевой матрицей. Это
+
означает, что ( I + Ht ) =
( I +Ht )−1 .

Из равенства ηt = ( I − Lt ) xt можно заключить, что
 
Kηt = M ηt η∗t =


 
( I + Lt ) M xt x∗t  ( I + Lt )∗= ( I + Lt ) Kxt ( I + Lt )∗ . (6.48)
Если Kηt – диагональная матричная функция полного ранга, то
∗
Qη t ==
Kη−1t ( I − Lt ) Kxt ( I − Lt ) 


−1
( I − L )∗ 
=
t 

−1
Qxt ( I − Lt ) 
−1
. (6.49)
Если Kηt – вырожденная диагональная матричная функция,
т. е. rank Kηt = υ < N , можно записать, что
+
+
( I L ) K ( I − L )∗  =−
( I L )∗  Q+ ( I − L )  + . (6.50)
Qη+ t =−
t
t 
t 
t 
xt
xt 


+
Здесь, как и в предыдущем случае, ( I − Lt )  =
(I − Lt )−1 .
199
Весовые коэффициенты матрицы ( I + Ht )
+
определяются фор-


мулой (6.38), а вместо (6.42) будем иметь liT−1, t Ki −1,t = kT
i, t

kT
T
ïðè i 2,3,..., p + 1
i, t Qi −1,t =
.
li −1, t =  
T
+
i > p +1
ki, t Qi −1,t ïðè
(6.51)
Таким образом, в выражениях (6.21)–(6.29) всюду вместо Qx+t
можно использовать форму (6.47).
Замечание 2. Важно отметить, что для определения весовых
коэффициентов при полностью известных СХ СПр необходимо использовать соответствующие ковариационные матрицы. Дело существенно осложняется в случае априорной параметрической и непараметрической неопределенности СХ СПр.
Адаптивные алгоритмы работы многомерных фильтров –
ортогонализаторов
При решении задачи разрешения сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности статистических характеристик, когда известен вид плотности распределения вероятностей
принимаемых сигналов на фоне помех и шумов, но не известны их
числовые характеристики для решения используются, как известно [74, 67], два метода: 1. Расширенного пространства оценок; 2.
Усреднения.
При первом
 вводитсяобобщенный вектор неизвестных
 T из них
T T

параметров
, где γ – вектор оцениваемых парамеδ
=
γ
b
,



тров, b – вектор мешающих параметров. Адаптивный принцип

оценивания
заключается в том, что вместо γ ищется
 оценка векT

b
тора δ , т. е. наряду
с γ
оцениваются
и
параметры
. При втором

методе вектор b – не оценивают, но усредняют по нему функцию
правдоподобия.
Для этого
вводят произвольную плотность вероят

ностей p(b) вектора b и определяют среднее значение функции
правдоподобия. В соответствии с теоремой Бернштейна-Мизеса
асимптотически при неограниченном увеличении объема
выборки


оценка γ̂ оказывается независящей от плотности p(b) . Поэтому если существуют
 непрерывная априорная плотность распределения
параметра p(b) , то при достаточно большом объеме выборки более
или менее безразлично, какую функцию p(b) подставить в формулу для среднего значения функции правдоподобия.
200
В дальнейшем изложении материала будем использовать первый из указанных методов, т.к. при использовании второго метода
его техническая реализация более сложна.
Для подстройки весовых коэффициентов многомерных фильтров – ортогонализаторов в условиях параметрической априорной
неопределенности можно использовать стохастические градиентные методы, а также методы прямых вычислений [26, 52, 119, 123].
Первые из них отличаются сравнительно низкой и не постоянной
скоростью сходимости, но обладают хорошей численной устойчивостью, а вторые – не имеют обратных связей, численно не устойчивы,
но обладают постоянной скоростью сходимости [26,52]. По указанным причинам наиболее целесообразно рассмотреть оба этих метода.
Покажем, как осуществляется оценивание весовых коэффициентов фильтров – ортогонализаторов с помощью прямых методов.
Коэффициенты hij, t матричной ИХ определяются исходя из решения (6.38). Элементы матрицы L находятся из решения (6.42).
В условиях параметрической априорной неопределенности
 при

M
x
x* 
неизвестной входной ковариационной матрице Kî=
,t
 t t
в процедурах (6.37) и (6.40)
вместо истинных значений весовых

коэффициентов hij, t и li, t можно использовать их оценки максимального правдоподобия получаемые, по p независимым выбор
кам СПр xt и ηt :
p
∑ xi,t η∗j,t
p
1 p
1
t =1
,
rˆ ij, t =
∑ xi,t η∗j,t; qˆ j, t =
∑ ηj,tη∗j,t; hˆij, t =
p
p
p
∗
=t 1=t 1
∑ ηj,tηj,t
(6.52)
t =1
где i и j – определяют номера пространственных каналов, для которых i ∈ [2, N ] , j ∈ [1, N − 1] .
ˆ
∗
∗
1 p
1 p 
ˆ
=
kT
=
K
xi,txi −1,t;
xi −1,txi −1,t
∑
∑
i −1, t
i −1, t
p t 1=
pt 1
=
−1
ˆ T
1 p
 1 p 

∗
∗
li −1, t =  ∑ xi, txi −1, t   ∑ xi −1, tx i −1, t  , (6.53)
p
 p

t 1=
t 1
=





где i ∈ [2, N ] , xi,t –
 значение входного СПр xt в i -м канале, в момент времени t , xi −1, t – пространственный
вектор, состоящий из

i
−
1
x
первых
элементов
входного
СПр
.
( )
t
201
При практическом использовании алгоритмов более целесообразно
вычислять оценки неизвестных параметров rij,t, qj,t,

−1
kT
,
K
i −1, t
i −1, t с помощью алгоритмов стохастической аппроксимации (СА). Формальным поводом для этого служит тот факт, что
(6.38) является уравнением регрессии, а (6.42) – уравнением Юла–
Уокера (множественной регрессии). Процедура СА типа Роббинса–
Монро специально предназначена для решения уравнений регрессии. Соответствующие уравнения для процедуры (6.37) имеют вид:
rˆij, n +1= (1 − µn )rˆij, n + µn xi, n ⋅ η∗j, n  , 

(6.54)
qˆ j, n +1= (1 − µ n )qˆ j, n + µ n x j, n ⋅ η∗j, n  , (6.55)


где i и j – определяют номера пространственных каналов, для которых i ∈ [2, N ] , j ∈ [1, N − 1] xi,n и ηj,n соответствующие значения

входных и выходных векторов xi,t и ηj,t на n-м шаге адаптации.
Аналогичные выражения можно записать для второй процедуры ортогонализации (6.40) [123].
ˆ
ˆ
∗
  * ˆ

li −1, n=
+1 li, n + µn  xi −1xi −1 li −1, n − xi, n xi −1, =
n


ˆ

ˆ T  ∗


= li, n + µn li −1, n xi −1, n − xi, n xi −1, n .


(
)
(6.56)
Применение алгоритмов процедур СА или оценок максимального правдоподобия для реализации адаптивных фильтров – ортогонализаторов обеспечивает сходимость точно такую же, как и при
использовании метода прямого обращения выборочной ковариациˆ x, t [52].
онной матрицы K
Необходимо отметить, что удобным во всех отношениях явля
ется упорядочение выходных компонент вектора ηt по величине
дисперсии q 1 ≥ q 2 ≥, ..., ≥ qN . Это позволяет получить высокую
точность и устойчивость решения при минимальных дополнительных затратах. Применительно к процедуре (6.37) это означает, что за исходный элемент η1,t принимается xk, t с наибольшей
x j, t − hi1, t η1, t −hi1, t η1, t ,
дисперсией. Затем формируются z1i, t =
=
∀i [2, N ]=
, ∀j [1, N ] , j ≠ k . Далее в качестве η2,t (ведущего элеl
i
мента) выбирают элемент z1,
t с наибольшей из z1,t дисперсией и
m
l
=
, N ] , j [2, N ] , j ≠ l и так давычисляют z2,t = z1,t − hm=
2 η2,t , m [3
202
лее, до последнего N − 1 -го шага. При этом весовые коэффициенты
hij,t определяются по выборочным данным в соответствии с методом прямых вычислений или методом стохастичеcкой аппроксимации.
Важным преимуществом указанной процедуры является естественное ограничение весовых коэффициентов hij,t < 1 для ∀i, j
и упорядоченность по убыванию дисперсий выходных значений
ортогонализатора [26]. Подстройку весовых коэффициентов фильтров можно выполнять как во временной , так и в частотной области, например, используя результаты работы [132].
Как указывалось в [26], процедура оценивания эффективного
ранга на фоне шумов состоит в ортогонализации входных напряжений фильтра и сравнении дисперсий выходных напряжений по
величине. По числу каналов с большой дисперсией можно судить
об эффективном ранге входного СПр.
Этот алгоритм можно без труда распространить на случай приема сигналов на фоне помех. На первом этапе осуществляется оценивание помех и вычитание полученной оценки из входной реализации. На втором этапе выполняется оценивание эффективного
ранга сигнального СПр по указанному выше алгоритму. Как уже
указывалось выше процедура оценивания эффективного ранга не
является оптимальной процедурой. Поэтому имеет смысл осуществить четкую постановку и решение задачи оценивания ранга сигнального СПр.
Оптимальный алгоритм оценивания ранга
случайного процесса и его реализация
Разработка оптимального алгоритма оценивания ранга СПр,
работоспособного в условиях параметрической
априорной неопре 

деленности СХ входного СПр xt = St + Wt , основывается
на пред
S
положении, что ранг входного сигнального
СПр
,
поступающего
t

вместе с окрашенным шумом Wt , может принимать произволь
ные значения из интервала χ ∈ [1,N − 1] (обозначается rank St = χ ).
Задача
 состоит в оценке ранга χ СПр St по принимаемой реализации xt .
 

xt = St + Wt распределен по нормальному закону
Пусть

P 0, Kx χ,t / Hχ+1 , где Kx χ,t , χ ∈ [1, N − 1] – ковариационная матрица пространственной
выборки на входах фильтра–ортогонали


затора. Если xt =Wt , ПРВ СПр î t имеет вид P(0, Kx 0 = D / H(0) ) ,
где D – матрица шумов. Ковариационная матрица Kx χ, t будет со-
(
)
203
стоять из суммы ковариационных матриц сигнальных составляющих, для которых выполняются условия rank KS i, t = 1, ∀i ∈ [1, χ ] ,
χ
rank ∑ KS i, t = χ и ковариационной матрицы шумов полного ранга
i =1
для которой rank D = N . Предполагается, что ∀KS i, t и Kî χ, t неизвестны и для наблюдения доступна лишь оценка выборочной
ˆ x χ, t .Требуется по указанной оценке
ковариационной матрицы K
χ
ˆ x χ, t сделать вывод о ранге K = ∑ K
K
S, t
S i, t или, что тоже, оценить
i =1

ранг St .
Для определения ранга необходимо сформулировать и решить
задачу многоальтернативного обнаружения – последовательно
(или параллельно) произвести проверку N гипотез, которые формулируются следующим образом:


H(0) : xt =Wt ;



H(1) : =
xt Wt + S1,t;
2



H(2) : =
xt Wt + ∑ Si,t;
(6.57)
i =1
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
N −1



H( N −1) :=
xt Wt + ∑ Si,t.
i =1
Проверка гипотез (6.57) эквивалентна следующей процедуре:
ˆ x, t = D
ˆ 0;
H(0) : K
ˆ =
ˆ
ˆ
H(1) : K
x, t D0 + KS1, t ;
2
ˆ =
ˆ
ˆ
H(2) : K
x, t D0 + ∑ KS i, t ;
(6.58)
i =1
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ˆ x=
ˆ
H( N −1) : K
, t D0 +
N −1
∑ Kˆ S i, t .
i =1
ˆ S i, t – оценка выборочной ковариационной матрицы сиггде: K
нальной составляющей ранга 1, D̂0 – диагональная выборочная
матрица ранга N .
204
Для проверки гипотез о ранге воспользуемся тем, что ПРВ оценок дисперсий выходных напряжений адаптивных фильтров-ортогонализаторов определяется выражением:
( )
ˆη =
p Q
N −1
N
(3 N /2) +(i/2)
zi (ti ) ∏
2N ∏ qˆ χ−
η,ii
i= 1
N
∏
k= 1 n= k +1
p
N ( N −1)/4
(qˆ η,kk − qˆ η,nn )2
Γ(χ) ... Γ(χ − N + 1) Qη
χ
{
}
exp −qˆ η,ii kîii . (6.59)
Для проверки гипотез о ранге в соответствии с (6.58) необходимо
сформировать N − 1 отношение правдоподобия, сравнить их с соответствующим порогом и между собой, а затем выбрать наибольшее.
Особенностью данного алгоритма является то, что ПРВ по каждой
из гипотез будут отличаться числом каналов χ ∈ [1,N ] , и, как следствие, числом дисперсий выходных напряжений qη,χχ и их оценок
qˆ η,χχ , степенями χ − (3N / 2) + (i / 2) , а также функциями zi (ti ) .
ˆ η ) , в случае истинности гипотезы H(0) , когда соКроме того, p(Q

вместная ПРВ элементов K̂î определяется выражением W 0, s2w I
и отличается от (6.59). В этом легко убедиться, если заменить опре-
(
( )
)
χN
делитель в знаменателе (6.59) на s2w
, а вместо матрицы Kî−1
−2
подставить Isw . В результате получается выражение для условˆ η H 0  , которая представляется в следующем виде:
ной ПРВ p Q
( )
ˆη H 0 =
p Q
( )
ˆη
2N Q
p
N −1 N
χ− N N
∏ zς ( tς ) ∏ ∏ ( qˆ i −qˆ j )
ς= 1
i = 1 j = i +1
N ( N −1)/2Γ ( χ )...Γ ( χ − N + 1)
(
)
( )
N −i −1
2
sw
2
χN
{ (
)}
−2Q
ˆ η , (6.60)
exp −tr sw
p
.
ˆq1/2s−1
w
i
Для проверки гипотезы H1 независимо от применяемого критерия качества необходимо сформировать отношение правдоподобия,
его логарифм или достаточную статистику и сравнить ее с соответствующим порогом. Выбранный критерий качества влияет только на величину порога. Вид обработки определяется отношением
правдоподобия, которое в случае проверки гипотезы Hχ+2 против
альтернативы Hχ+1 определяется выражением:
−1 
где: zi (ti ) =  υi erf qˆ1i /2sw


, υi =
205
(
(
χ+2 χ −3 N +2 /2+ς/2
(
)
∏ qˆ η,ςς
i =1
χ+1
χ−3 n +2 )/2+ς/2
∏ qˆ η,ςς(
ς=1
)
)
ˆ η H χ+2
p Q
=
LR =
ˆ η H χ+1
p Q
χ+1 χ+2
zχ+2,ς tχ+2,ς
(
) ∏ ∏ ( qˆ η,ii −qˆ η,kk )
(
) ∏ ∏ ( qˆ η,ii −qˆ η,kk )
×
zχ+1,ς tχ+1,ς
=
i = 1 k = i +1
χ χ+1
i = 1 k = i +1
χ+2
(
) χ+1
(
)
−3( N +2 )/2 ∏ zχ+2,ς tχ+2,ς
qˆ n +2,n +2 ς=1
ˆη
Q
χ+2
3/2
∏ zχ+1,ς tχ+1,ς
n +1
ς=1
×
2
{
}
2,χ+2
=
exp −qˆ η,χ+2,χ+2kχ+
x
2
∏ ( qˆ η,ii −qˆ η,χ+2,χ+2 )
i =1
2
> γ χ+1,
(6.61)
где γ χ+1 – соответствующий порог.
Далее необходимо воспользоваться формулами, определяющими
χ+2
∏ zχ+2,ς ( tχ+2,ς )
и
ς=1
χ+1
∏ zχ+1,ς ( tχ+1,ς ) :
ς=1
f+2
χ+1 χ+2
ς=1
ς=1 m =ς+1
=
∏ zχ+2,ς ( tχ+2,ς )
∏ ∏
1
υmς
t ςm
∫
2p
{
exp − vˆmς
2
}
2 dvˆmς 0 ,
−t ςm
(6.62)
t ςm
χ+1
χ χ+1
2
1
∏ zχ+1,ς ( tχ+1,ς ) =
∏ ∏ υmς 2p ∫ exp − vˆmς 0 2 dvˆmς 0 ,
ς=1
ς=1 m =ς+1
−t ςm
{
=
где υχi
n
dˆ
i + 1, N ], t ςχ
∑ k1χr dvvˆ ri0 , i ∈ [1, N − 1], χ ∈ [=
χi0
r =i
}
1/2
21/2qˆ ς
m
∑ k1mr .
r =ς
Вычисляя их отношение, получается:
−1
χ+1
 l+1



z
t
z
t
=
∏ χ+2,ς χ+2,ς  ∏ l+1,ς l+1,ς  ∏ υn+2,ς ×
=ς 1 =
=
ς 1
ς 1

χ+2
×
206
tχ+ 2,ς
∫
tχ+ 2,ς
(
{
)
(
2
)
}
exp − ν χ+2,m,0 / 2 dν χ+2,ς,0 .
(6.63)
Поскольку последнее дробное выражение в левой части неравенства (6.61) не зависит от входной реализации, его можно перенести
в порог. Тогда с учетом (6.62) и (6.63) можно записать (6.61) в окончательном варианте:
(
(
)
)
p −3 N +2 )/2 l +1
ˆ η H χ+2
p Q
2χ+1
ˆ n +2 (
q
ˆ
ˆ
=
LR
=
−
q
q
∏
∏ υχ+2,ς ×
η
,
η
,
χ+
2
,
χ+
2
ii
3/2
ˆ η H χ+
p Q
=
i 1 =ς 1
ˆ
1
Q
tχ+2,ς
×
∫
tχ+2,ς
(
)
η χ+1
{
exp − νˆ χ+2,ς,0
2
}
2 dvˆχ+2,ς,0 > γ χ+1.
(6.64)
Прологарифмировав (6.64), получается следующая процедура
принятия решения:
n +2
(
)
ln ( LR ) = χ − 3 ( N + 2 ) / 2 ln qˆ η,χ+2,χ+2 + 2 ∑ ln qˆ η,ii − qˆ η,χ+,χ+2 +
i =1
 tχ+2,ς

2
3 χ+2
+ ∑ υχ+2,ς + ln  ∫ exp − νˆ χ+2,ς,0 2 dvˆχ+2,ς,0  − ∑ qˆ η,ii ≥

 2
ς 1=
i 1
 tχ+2,ς

(6.65)
≥ ln γ χ+1 − ln 2 + 0,5 ( χ + 1) ln p.
χ+1
{
}
В случае не превышения порога принимается решение об истинности гипотезы H χ+1 . Если порог превышен, то истинной может
быть любая из гипотез H χ+2,..., HN . Поэтому необходимо продолжить проверку гипотез для χ + 2, χ =3,... до тех пор, пока порог не
будет превышен.
Необходимо заметить, что интеграл под знаком логарифма в левой части (6.65) является интегралом вероятности, если его умножить и разделить одновременно на 2p .
Таким образом, оптимальный алгоритм оценивания ранга сводится к проверке гипотез, осуществляемой последовательно, начиная с χ =1 , путем вычисления выражений вида (6.64) или (6.65),
сравнения их с соответствующими порогами и между собой с последующим выбором наибольшего. Номер наибольшего из полученных
результатов принимается за оценку величины ранга сигнального
СПр. Каким из двух вариантов процедуры проверки гипотез (6.64)
или (6.65) воспользоваться зависит от простоты аппаратурной реа207
лизации. Поскольку динамический диапазон сигналов ограничен,
(6.65) является более предпочтительной.
Если ввести промежуточную гипотезу в (6.61), тогда получается
еще один вариант обработки:
ˆ η H χ+2 p Q
ˆη H 0
p Q
( )
−1
, (6.66)
LR = NRχ+2,0 NRχ+1,0
ˆη H 0 p Q
ˆ η H χ+1
p Q
( )
где NRχ+2,0 и NRχ+1,0 – обозначены соответственно первая и вторая дроби в выражении (6.66).
Используя (6.58) и (6.60) получается формула для определения
NRχ+2,0 . При N = 1 формула (6.60) принимает следующий вид:
(
(
) (
) (
ˆ

p Q
=
 η H ( 0 )  c3
=
(
)
)
(
1
2qˆ χ+
η,11
Γ( p)
{
}
−2 ˆ
exp −=
sw
qη,11
( )
{−sw−2qˆ η,11},
2
sw
p
)
χ+1
c4,0qˆ η,11 exp
(6.67)
)
N −i −1
−1 
где zi (ti ) =  υi erf qˆ1η/,ii2 sw
= 1,



p
υi = 1/2 −1 .
ˆq s
η,ii w
Тогда, учитывая (6.58) и (6.62) применительно к обработке
(6.66) находится:
)
)
χ+2
χ+1 χ+2
2
3( χ+2 )/2+ς/2
zi ( ti ) ∏ ∏ ( qˆ η,ii − qˆ η,kk )
∏ qˆ χ−
η,ςς
ς= 2
i = 1 k = i +1
=
LRχ+2,0
(
(
ˆ η H n +2
p Q
=
ˆη H 0
p Q
( )
p +1
qˆ η,11
×
χ+2


−2  c4,χ+2 > γ .
ˆ η,11 k11
× exp − ∑ qˆ η,ςςkςς
1 − sw 
x −q
(0)  c4,0
 m =2
(
)
(6.68)
А после логарифмирования (6.68), окончательный вариант достаточной статистики принимает вид:
 ( 3N − ς + 6 ) 
ln LRχ+2,0 = χ −

2


(
208
)
χ+2
χ+1 χ+2
ς= 2
i = 1 k = i +1
∑ lnqˆ η,ςς + 2 ∑
∑
(
)
ln qˆ η,ii − qˆ η,kk +
χ+2


−2 
+ ln zς ( tς ) − [ χ + 1] qˆ η,11 + − ∑ qˆ η,ςςkxςς − qˆ η,11 k11
1 − sw  >
 m =2

> ln γ ( 0 ) + ln c4,0 − ln c4,χ+2.
(
)
 ( 3N − ς + 6 ) 
ln LRχ+2,0 = χ −

2


(
)
χ+2
χ+1 χ+2
ς= 2
i = 1 k = i +1
∑ lnqˆ η,ςς + 2 ∑
∑
(
 χ+2
−2
ˆ η,11 k11
+ ln zς ( tς ) − [ χ + 1] qˆ η,11 + − ∑ qˆ η,ςςkςς
x −q
1 − sw
 m =2
> ln γ ( 0 ) + ln c4,0 − ln c4,χ+2.
(
)
ln qˆ η,ii − qˆ η,kk +

) >

(6.69)
(
)
Надо заметить, что все выражения вида ln LRχ+2,0 ,
∀χ + 2 ∈ [1,N − 1] получаются простым добавлением соответствующих слагаемых в левую часть (6.65), начиная с f + 2 =1 .
Для реализации алгоритмов адаптивного разрешения-обнаружения числа лучей, по которым производится прием сигналов на
фоне помех и шумов, воспользуемся выражениями (6.59)–(6.65).
Структурная схема устройства, выполненного в соответствии
с выражением (6.65), представлена на рис. 6.4.
Цифрами на ней обозначены: 1 – адаптивный фильтр, осуществляющий подавление помех; 2 – адаптивный фильтр–ортогонализатор; 3 – схема возведения в квадрат; 4 – цифровой интегратор;
(накапливающий сумматор); 5 – схемы, осуществляющие логарифмирование информации, поступающей на их вход; 6 – усилители
с коэффициентом передачи, равным 3 2 ; 7 – усилители с коэффициентом передачи ( χ − 3 ⋅ ( N + 2 ) 2 ) , 8 – адаптивные пороги; 9 – решающее устройство (устройство принятия решения), 10 – усилители с коэффициентом передачи, равным 2; 11 – схема выработки
порогового напряжения.
Схема работает следующим образом. Адаптивный фильтр – 1
осуществляет подавление помех. При этом величина ранга ковариационной матрицы суммы сигналов не изменяется. Адаптивный
4
3
1
2
3
3
11
4
4
υ21
υ31
υ32
5
5
5
5
5
6
7
6
7
7
8
8
9
8
10
10
5
Рис. 6.4. Структурная схема устройства, реализующая алгоритм
разрешения-обнаружения на фоне помех
209
фильтр – ортогонализатор – 2, установленный на выходах адаптивного фильтра – 1, ортогонализирует поступающие на его входы напряжения сигналов, поступающих по различным лучам.
Для формирования оценок дисперсий выходных напряжений
ортогонализатора применяются последовательно включенные
схемы 3 и 4. Дальнейшая обработка выполняется в соответствии
с (6.65).
6.3. Оценка параметров по методу максимального правдоподобия
для случая многомерных нормальных выборок
Для оценки параметров
 предполагается, что есть n независимых векторов выборок xν . Распределение каждого из векторов
нормально и имеет вид:


p x /=
M ( x ), K x
 T

 
 1 
exp − x − M ( x )  Qx+ x − M ( x )  , (6.70)
 2

(2p )N Kx


где N × 1  – размер вектора xν , M [ x ] – математическое
ожидание

вектора xν , Kî – корреляционная матрица вектора xν . 
Совместное распределение n независимых векторов xν определяется выражением:
(
1
)
(
−1
n




Nn
p x1,..., xn / M ( x ), Kx =
Kx  ×
 ( 2p )


 1 n 
 T

 
× exp − ∑ xν − M ( x )  Qî+ xν − M ( x )  .  2 ν=1

)
(6.71)

Относительно M [ x ] и Kx известно лишь то, что они зависят

от некоторых параметров b1, b2 ,..., bk , т. е. M [ x ] = ℜ ( b1, b2 ,..., bk ) ,


Kx = ℑ( b1, b2,..., bk ) . Требуется по выборочным векторам x1,..., xn


оценить эти параметры. Если вместо x1,..., x в (6.71) подставить их
конкретные значения x1,..., xn , то выражение (6.71) будет функци
ей только M [ x ] и Kî , а, следовательно, функцией неизвестных
параметров. Эта функция называется функцией правдоподобия
для b1, b2 ,..., bk и обычно обозначается
210




L x1,..., xn ; b1, b2,..., b =
p x1,..., xn . (
) (
)
(6.72)
Оценкой максимального правдоподобия параметров b1, b2 ,..., bk
называются такие значения этих параметров bˆ1, bˆ2 ,..., bˆk , при которых L ( ⋅) достигает максимума. Очевидно, максимум L ( ⋅) и любой
монотонной функции от L ( ⋅) достигается при одних и тех же значениях параметров и поэтому вместо максимизации L ( ⋅) можно максимизировать, например, функцию:
 T


+ 1 n 
2
ln L =− N ln ( 2p ) − ln Kx − ∑ xν − M x  Qx+ xν − M x  . (6.73)



n
n ν=1 
()
Необходимым условием максимума
нулю всех частных производных
()
2
ln L является равенство
n
2
ln L по параметрам b1, b2 ,..., bk
n
. Прежде чем производить дифференцирование необходимо произ
вести некоторые

 преобразования (6.73). Выборочное среднее xñð
векторов x1,..., xn вычисляется по формуле:

1 n 
xñð=
∑ xv .
n ν=1
(6.74)
Выборочная корреляционная матрица A имеет вид:
=
A

1 n 
xν − M x
∑
n ν=1
(


( ) ) ( xν − M ( x ) )
T
.
(6.75)
Сумму в (6.73) можно представить следующим образом:
 T


1 n 
xν − M x  Qx+  xν − M x  =
∑




n ν=1
()
()
 T

 
 1 n 
= tr  ∑  î ν − M î  Qî+  xν −
=
M x 




 n ν=1

()


 T
 1 n 

= tr  ∑  xν − M x   xν − M x  Qî+ ,




  n ν=1
()
()
где tr Q=
N
∑ Qii
()
(6.76)
– след матрицы Q .
i =1
211
Можно показать, что:


 T


1 n 
xν − M x  xν − M x  =A + xñð − M x
∑




n ν=1
()
(
()


( )) ( xñð − M ( x ) )
T
. (6.77)
Учитывая (6.77) и свойство следа, выражение (6.76) можно записать следующим образом:
 T


1 n 
xν − M x  Qx+ xν − M x  =
∑



n ν=1 



 T +
= trAQx+ + tr xν − M x  xν − M x  =
Qx

 


 T


= trAQx+ + xñð − M x  Qx+ xñð − M x  



()
()
()
()
()
()
(6.78)
и подставляя (6.78) в (6.73), получается:
+
2
ln L =− N ln ( 2p ) − ln Kx − trAQx+ −
n

 T


− xñð − M x  Qx+ xñð − M x  ,




()
()
(6.79)
где N – число каналов обработки.
Так как ковариационная матрица Kx неотрицательно определена (т. е. имеет неотрицательные
числа) то квадратич T
 собственные

 неотрицательна и равна
x
ная форма xñð − M x  Qx+ xñð − M





нулю только тогда, когда xñð= M x . Значит
 оценкой максимального правдоподобия для M x является xñð . Подставляя оценку
M x в (6.79) и дифференцируя по bχ , получается:
()
()
()
()
()
2

∂  ln L 
∂
∂
n

=
−
ln Kî −
trAQî+ . ∂bχ
∂bχ
∂bχ
(6.80)
Далее вычисляется первое слагаемое в (6.80) при этом используется свойство Kx = exptr Kx и его логарифм ln Kx = tr ln Kx .
Дифференцируя по bχ последнюю формулу, находится
( )
∂ ln Kx
212
∂bχ
= trQx+
(
∂Kx
∂bχ
.
)
(6.81)
Для второго слагаемого в (6.80) вычисляем
+
∂Qx
∂
.
trAQx+ = trA
∂bχ
∂bχ
(6.82)
Согласно правилу дифференцирования обратной матрицы получаем:
∂Kî +
∂ +
Qx = −Qx+
Qx .
∂bχ
∂bχ
(6.83)
Подставляя (6.83) в (6.82), получаем:
trA
∂Qx+
∂bχ
= −trAQx+
∂Qx+
∂bχ
Qx+ .
(6.84)
Подставляя выражения (6.81) и (6.84) в (6.80), находим:
2

∂  ln L 
 ∂Kx +
∂Kx
∂Kx +
n

=
−trQx+
+ trAQx+
Qx =
Qx A − K x
tr Qx+
∂bχ
∂bχ
∂bχ
∂bχ

(

). (6.85)

Приравнивая производные нулю, получается система из k уравнений для параметров b1, b2 ,..., bk :
ˆx

∂K
ˆx
Qx−1 A − K
tr Qx+
∂bχ

(

0 , χ =1,2,...,k , ) =
(6.86)

ˆ x означает, что K
ˆ x получается при подстановке b1 = bˆ1 ,
где знак K
b2 = bˆ2 ,... .
..., bk = bˆk .
Выражение (6.86) справедливо и для случая комплексных выборок. Необходимо только вместо матрицы A ввести комплексную
выборочную ковариационную матрицу C .
=
C
1 n 
 

ζν − M ( z) ζν − M ( z)
∑
2n ν=1
(
)(
)
∗
,
(6.87)

где ζ ν – вектор комплексных выборок, * – знак эрмитовой сопряженности.
213
Полученные результаты распространяются на случай разрешения-измерения параметров сигнала, передаваемого по медленно
флуктуирующему каналу. Модель сигнала имеет вид, определяемый выражением (5.26). С учетом дискретизации ковариационная
матрица совокупности k таких сигналов имеет вид:
K=
x
k


∑ s2i f ( αi ) f ∗ ( αi ) + Kï + sw2 DØ , (6.88)
i =1
где s2i – дисперсия сигнала, отраженного i -го луча, s2w – дисперсия
окрашенного шума, Kï – ковариационная матрица помех,

f ( α i ) – вектор размера N × 1 , зависящий от параметра
α i . В случае

разрешения лучей по угловым координатам, f ( α i ) – вектор волнового фронта, приходящего i -го луча, а α i – имеет смысл
 угловой
координаты. В случае разрешения лучей по дальности, f ( α i ) – вектор выборок комплексной огибающей сигнала, а α i – задержка
сигнала, DØ – ковариационная матрица окрашенного шума.
Решение задачи разрешения-измерения предполагает оценивание параметров s2i и α i , i = 1,2,..., k .
Выражение (6.88) можно представить в матричном виде:




Kx = F ( α ) ⋅ D ⋅ F∗ ( α ) + Kï + s2wI= F ( α ) ⋅ D ⋅ F∗ ( α ) + Kïø , (6.89)



где F ( α )= f ( α1 ),..., f ( α k )  – матрица размера N × k=
, D diag s2ii

, i = 1,2,..., k , αT =( α1,..., α k ) .
Теперь необходимо воспользоваться выражением (6.86) и подставить в него соответствующие значения производных:
{ }
∂Kx
∂D


= F ( α ) ⋅ F∗ ( α ) . Далее находится частная производная:


∂Kx ∂F ( α )
∂F∗ ( α )

∗ 
=

 ⋅ D ⋅F (α) + F(α) ⋅ D ⋅
 .
∂α
∂α
∂α
(6.90)
(6.91)
Подставляя (6.90) и (6.91) в (6.86), получается следующая система уравнений:
214
(
)



tr Qx+ F ( α ) F∗ ( α ) Qx+ C − Kx  =
0,






   ∂F ( α
) ⋅ D ⋅ F∗ α + F α ⋅ D ⋅ ∂F∗ ( α )  Q+ C − K
tr Qx+ 
(
)
(
)


x
x
 ∂α
∂α 

  
(

) =0. (6.92)

Используя свойства следа матриц, систему уравнений (6.92)
можно представить в виде:





F∗ ( α ) Qx+ CQx+ F ( α=
) F∗ ( α ) Qî+F ( α ),



 ∗
∂F ( α )


 ∂F ( α ) Qx+ CQx+ F ( α
+ F∗ ( α ) Qx+ CQx+
=
)

 ∂α
∂α



∂F∗ ( α ) + 

∗ 
+ ∂F ( α )
=
(6.93)
 Qx F ( α ) + F ( α ) Qx
 .
∂α
∂α

ˆ x+ CQ
ˆ x+ эрмитовы матрицы, то второе уравнение систеТак как Q
мы (6.93) можно упростить и записать (6.93) следующим образом:





F∗ ( α ) Qx+ CQx+ F ( α=
) F∗ ( α ) Qx+F ( α ),



 ∂F∗ ( α
  ∂F∗ ( α ) + +  
) +  
(6.94)
=
Q
CQ
F
α
Re
Re



(
)

 Qî F ( α )  . 
x
x
∂α

 ∂α

 

В системе уравнений (6.94) неизвестные входят как в F ( α ) ,
так и в Kx , что неудобно для вычислений. Поэтому выразим Qx+

через Kïø и F ( α ) . Для этого обобщим теорему 6.1 и покажем,
что аналогом основной формулы Шермана–Морисона–Вудсбери
−1

 −1

 −1
−1
−1
−1
K=
Kïø
− Kïø
F ( α ) F∗ ( α ) Kïø
F ( α ) + D F∗ ( α ) Kïø
в случае псевx
дообращения будет формула
(
)
(


+
+
+
∗ 
+
Q=
x Qïø − QïøF ( α ) F ( α ) QïøF ( α ) + D
)
+
 +
F∗ ( α ) Qïø
. (6.95)
С учетом (6.95) получим выражение для системы уравнений, эквивалентной (6.94), но в более важном для практики виде
 +

 +

 +

+
F∗ ( α
F ( α ) =α
F∗ ( ) Qïø
F ( α ) F∗ ( α ) Qïø
F ( α ) + D −1  ,
) QïøCQïø



 ∂F∗ ( α
 
) +
+

Re 
 QïøCQïøF ( α )  =

 ∂α

(6.96)

∗ 


∂F ( α ) +

  ∗  +

−1 
Re 
=
 QïøF ( α )  F ( α ) QïøF ( α ) + D  .

 ∂α


215

В этой системе уравнений оценка α угловых координат сигна
ла входит лишь матрица F ( α ) . Следует отметить, что диаграмма
направленности передающей антенны влияет только на мощность
принятого сигнала и форма ее не имеет значения для оценки при
той же мощности принятого сигнала.
Очевидно, что систему уравнений можно получить, пользуясь
критерием максимума отношения правдоподобия. Однако, этот
критерий применим лишь к оценке параметров полезных сигналов
на фоне помех с известной корреляционной матрицей Kñø . Он не
применим для оценки параметров нескольких одновременно присутствующих сигналов и в частности, для случая совместной оценки параметров сигналов и помех.
Из уравнений (6.96) для оценок максимального правдоподобия
дисперсий сигналов и параметров лучей следует, что достаточной
статистикой для решения задачи измерения служат величины:

  ∂F∗ ( α ) + 

∗ 
+
x =F ( α=
) Qïøζ , y
 Qïøζ , ∂α
(6.97)

где ζ – вектор выборок комплексных амплитуд напряжений на
элементах ФАР или после предварительного лучеобразования.
Действительно, левые части уравнений (6.96) можно переписать
в следующем виде:


 +

+
F∗ ( α ) Qïø
CQïø
F(α) =


 1 n ∗  +  ∗ +
1 n  ∗
=
α
ζζ
=
α
F
Q
Q
F
(
)
(
)
∑ xν xν ,
ïø
ïø
 2n ∑
2n ν 1
=
ν 1 =

  ∗ 
∂F ( α ) +
 

+
 QïøCQïøF ( α )  =
Re 
(6.98)

  ∂α


 ∂F∗ ( α
 ∗ +
 
)=
 1 n
+
Re
=
Q
ζ
ζ
Q
F
α

(
)

∑
ïø
ïø
ν
ν
 2n
 ∂α

ν=1


n
 1 ∑ Re x ν ⋅ y ∗ν .
=
 2n ν=1
В случае пространственной обработки и оценки угловых коор
динат, x – вектор выходных напряжений пространственных корреляторов или пространственных согласованных фильтров, уста-
(
216
)
новленных на выходах многоканального фильтра с матричной ИХ
+
ˆ ïø
Q
. Такая обработка обеспечивает оптимальное пространствен
ное выделение сигналов F ( α ) на фоне гауссовских помех, а при негауссовской статистике помех – максимальное отношение сигнал/

помеха по мощности. Аналогично y – вектор выходных напряжений пространственных корреляторов или пространственных согласованных фильтров, установленных на выходах многоканального
+
ˆ ïø
фильтра с матричной ИХ Q
. Такая обработка обеспечивает
оп
∂F ( α )
тимальное пространственное выделение сигналов
на фоне

∂α
гауссовских помех, а при негауссовской статистике помех – максимальное отношение сигнал/помеха по мощности.
Для того чтобы выяснить физический смысл не зависящих от
входных сигналов членов уравнений (6.96), необходимо вычислить


некоторые СХ векторов x и y . Ковариационные матрицы вектора

x при наличии только помехи и помехи с совокупностью сигналов
равны соответственно.

 +

 +

 ∗ 
+
= M x ⋅ x=
=
Kxïø
F∗ ( α ) Qïø
M ζζ∗  Qïø
F(α
F ( α ) .(6.99)
) F∗ ( α ) Qïø




 
Kxñïø = M x ⋅ x∗  =




∗ 
+
∗ 
+  +
ˆ

Q F α=
= F ( α ) Qïø M F ( α ) DF ( α ) + Qïø

 ïø ( )
 +

 +

F∗ ( ) Qïø
F ( α ) DF∗ ( α ) Qïø
F ( α ) + I.
=α


(6.100)


Взаимные ковариационные матрицы векторов x и y при наличии только помехи и помехи с совокупностью сигналов равны:


 +
 ∗ 
+ ∂F ( α )
Kxyïø
= M xy=
F∗ ( α ) Qïø
M ζζ∗  Qïø
=





∂α

∂
F
α

(
)
+
(6.101)
= F∗ ( α ) Qïø
 ,
∂α
 ∗ 
xy
=
=
K
xyñïø M



 +


+ ∂F ( α )
M F ( α ) DF∗ ( α ) + Kñø  Qïø
= F∗ ( α ) Qïø
 =


∂α


 + ∂F ( α )  ∗  + ∂F ( α ) 
(6.102)
=
α
F∗ ( α ) Qïø
DF
Q
(
)
 
 + I.
ïø
∂α 
∂α

217
Сравнение (6.96) с (6.101) и (6.102) показывает, что величины
в правой части (6.96) являются соответственно ковариационной

матрицей вектора x и взаимно ковариационной матрицей векто

ров x и y при наличии сигналов с тех направлений, на которые

настроена система обработки, т. е. сигнала F ( α ) . В соответствии
с этой трактовкой система уравнений может быть записана в виде:

1 n  ∗

∑ xν xν = Kxñïø,
2n ν=1


n
 ∗
1
 2n ∑ Re xν y ν = Re Kxyñïø .
 ν=1
(
)
(6.103)
Из уравнений (6.103) в частности следует, что при стационарных
и эргодических помехах оценка угловой координаты луча по методу максимального правдоподобия обладает свойством асимптотической несмещенности. Систему уравнений для оценок вектора

параметров α̂ можно получить, если умножить второе матричное
уравнение на уравнение, «обратное» первому:
1 n
    1 n  ∗ 
Re xν y∗ν  

∑
∑ xν xν 
=
 2n ν 1 =
  2n ν 1

(
)
−1
−1
− Re Kxyñïø  [ Kxñïø ] =
0. (6.104)

Другую форму уравнений для вектора оценок α̂ можно полу

чить на основании выражений для СХ векторов x и y при наличии
только помех, а именно, из выражений (6.99) и (6.100) и (6.96) непосредственно следует, что:

1 n  ∗
 =
∑ xν xν Kxïø [DKxïø + I],
2n ν=1


n
 
1
Re xν y∗ν Re Kxyïø [ DKxïø + I ]. =
∑
 2n
 ν=1
(
)
(6.105)

Исходя из этого, уравнения для оценки вектора параметров α̂
имеют вид:
+
∗ 
0
(6.106)
∑ {Qx+ïø xν x∗ν  − Re Qxy
ïø ( x ν y ν ) } =
n
218
ν=1
 
 
или
n
0 .
∑ Re ( y − KxyïøKx−1ïøxν ) x∗ν =




ν=1
(6.107)
Система уравнений (6.107) имеет то преимущество, что в него
входят величины Kxyïø и Kxïø , которые нетрудно оценить по
принятым данным при непрерывных помехах.
Структурная схема оптимального устройства
разрешения–измерения
В соответствии с уравнениями правдоподобия оптимальное
устройство разрешения-измерения по параметру α можно представить как многоканальную систему параллельного обзора, каждый канал которой настроен на определенное значение параметра
α . Это объясняется следующим: равенства (6.103)–(6.107) выполняются, если реальные параметры цели совпадают с ожидаемыми,


т. е. F ( α ) = F ( α 0 ) . Поэтому оптимальное устройство разрешенияизмерения по параметру α должно содержать несколько каналов
по каждой цели. Те каналы, опорные значения которых совпадает
с реальными параметрами, будут иметь нулевой сигнал рассогласования. Выходные сигналы других каналов будут отличны от нуля.

x

ξ
Устройство
разрешения–
обнаружения

F(α)
+
Н
Qпш

y
Накопление
Решающее
устройство

∂F(α)

∂α
Рис. 6.5. Структурная схема устройства разрешения-измерения
сигналов, принимаемых на фоне пассивных помех
219
Структурная схема оптимального устройства оценивания представлена на рис. 6.5. Дискриминаторы выполняют операции в соответствии с формулами (6.104), или (6.107). Каждый из них настроен на свое опорное значение параметра. В решающем устройстве выбираются каналы, выходные сигналы которых равны нулю,
и соответствующие им опорные значения принимаются за оценки
параметров лучей.
Структурная схема работает следующим образом. На вход схемы поступает векторный СПр x . Он подается далее на вход адап+
тивного фильтра с ИХ Qïø
, где осуществляется подавление сигналов помех. Далее формируются две группы пространственных корреляторов или согласованных фильтров. Верхняя группа образует
каналы разрешения.
Такой измеритель осуществляет мгновенный обзор радиолокационного пространства. Однако практическая реализация такого
измерителя чрезвычайно сложна.
Если необходимо оценить параметры только одной цели, то
можно перейти к последовательному обзору пространства. Это означает переход к следящему радиолокационному измерителю.
Следящий измеритель содержит дискриминатор, который строится в соответствии с алгоритмами (6.104).
В каждом канале такого измерителя должны формироваться
величины x и y , обладающие определенными экстремальными


свойствами. Для формирования векторных величин x и y , необходимо минимизировать дисперсию помех в каждом канале. Для этого в соответствии с (6.97) осуществляется оценка напряжений помех в каждом канале по критерию минимума СКО и ее вычитание
из входной реализации. Эта операция осуществляется в результате
пропускания векторов xν через фильтр с импульсной характери
+
стикой Qïø
и последующим умножением на матрицу F ( α ) (для

∂F ( α )

получения векторов xv ) или на матрицу
(для формирова
∂α

ния yv ). Затем идет обработка сигналов в соответствии с (6.104),
(6.105) или (6.107). Нетрудно показать, что «каналы» формирова
ния x являются каналами оптимального обнаружения. Они могут
рассматриваться как обобщенные суммарные каналы, а «каналы»

y как обобщенные разностные каналы.
Следует заметить, что в случае измерения скалярного параметра
α схема измерителя будет описываться хорошо известным выражением:
220
n
∑ Re ( x∗υ y ν )
 
ν=1
n
 
∑ x∗υxν
−
Re kñïø
s2ñïø
=
0 ,
(6.108)
ν=1
где kñïø – корреляционный момент СВ x , y , а s2ñïø – дисперсия
СВ x .
Выводы
Результаты исследований, выполненных в шестом разделе,
можно сформулировать следующим образом:
1. Впервые предложен оптимальный алгоритм разрешения – обнаружения числа лучей, возникающих при многолучевом распространении электромагнитных волн по каналу спутниковой связи,
основанный на процедурах ортогонализации входного СПр с последующей оптимальной процедурой проверки гипотез о величине
ранга в приемных устройствах с конечной шириной амплитудночастотной характеристики. Показано, что в условиях параметрической априорной неопределенности СХ сигналов и шума адаптивная
ортогонализация может быть осуществлена с помощью стохастических градиентных методов, а также методов прямых вычислений.
Причем последние обладают постоянной скоростью сходимости, не
зависящей от свойств канала передачи информации.
2. Впервые получены математические выражения для плотности распределения вероятностей выборочных дисперсий выходных
напряжений, формируемых фильтром–ортогонализатором в зависимости от числа пространственных (или временных) каналов обработки и объема обучающих выборок. Это позволяет аналитически
проанализировать сходимость адаптивного алгоритма ортогонализации входного векторного СПр, а также получить ПРВ совокупности выборок выходных напряжений фильтра–ортогонализатора
для двух вариантов адаптации: по классифицированной обучающей выборке и по неклассифицированной обучающей выборке.
3. Оптимальное правило принятия решения об эффективном
ранге входного СПр, впервые предложенное в работе, состоит
в формировании отношений правдоподобия для проверки гипотез
о том, что эффективный ранг равен i, 0 ≤ i < N − 1 против альтернативы, что он равен i − 1 . Решение выносится по числу каналов, на
выходах которых превышен порог обнаружения.
221
4. Сформулированы и доказаны две теоремы, позволяющие выразить псевдообратные матричные функции в гильбертовом пространстве L2 через другие псевдообратные функции по аналогии
с методом пополнения, используемым в линейной алгебре для обращения матриц.
5. Предложен алгоритм разрешения – измерения осуществляющий измерение параметров сигналов с ограниченным спектром,
принимаемых по каналам связи при многолучевом распространении сигналов.
222
7. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ И ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ, ПРИНИМАЕМЫХ
СПУТНИКОВОЙ СИСТЕМОЙ СВЯЗИ В УСЛОВИЯХ
МНОГОЛУЧЕВОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ
7.1. Анализ характеристик алгоритмов
фильтрации сигналов на фоне помех
Анализ характеристик алгоритмов в ССС можно осуществить
статистическими методами двумя способами. Первый из них – аналитический [8, 9, 85] – позволяет получить математические выражения для оценки вероятностных характеристик качества обработки, а затем расчетным путем оценить качество алгоритмов.
Второй – осуществляется с помощью математического моделирования алгоритмов обработки [147,148].
Наиболее общим способом несомненно является первый.
Поэтому, если имеется возможность использовать данный метод,
целесообразно применить именно его. При полностью известных
СХ сигналов, помех и шумов указанный метод позволяет получить
вполне точный результат. Более сложным является получение СХ
сигналов и шума на выходах устройств, функционирующих в условиях параметрической априорной неопределенности. Применение
адаптивных алгоритмов достаточно часто рассматривается с точки зрения асимптотической оптимальности. Доказывается сходимость адаптивного алгоритма к оптимальному по вероятности (в
среднеквадратическом, или с вероятностью 1) и рассчитываются
СХ СПр на его выходах после процесса завершения подстройки
параметров. Такой подход, к сожалению, не дает ответ на вопрос о
том каковы характеристики алгоритма в процессе адаптации при
конечном числе шагов адаптации. Получение СХ на каждом шаге
адаптации является весьма привлекательным, но достаточно трудно реализуемо на практике.
Второй подход сложен при большой размерности решаемой задачи, весьма трудоемок и требует больших затрат на отладку программного обеспечения. Кроме того, он имеет массу ограничений
по числу ограничений, накладываемых на условия задачи.
Учитывая сказанное, рассмотрим применение первого метода
к анализу адаптивных алгоритмов обнаружения, оценивания параметров и фильтрации сигналов на фоне помех. Проанализируем
случай полностью известных СХ сигналов, помех и шумов.
223
Будем
что полезный сигнал определяется вектором вы считать,

борок S = bg , заданным на интервале [T1,T2 ] . Такой вектор может
быть получен на выходах аналого–цифровых преобразователей
(АЦП), например, в результате дискретизациии квантования в соответствии с теоремой Котельникова сигнала S(t) , переданного по
медленно флуктуирующему каналу.
Для того, чтобы оценить качество работы предложенных алгоритмов фильтрации на фоне цветных шумов и известных алгоритмов фильтрации на фоне белого шума по критерию минимума СКО
поступим
следующим образом. Запишем
выражение для вектора



x1 , содержащего вектор сигнала S и вектор белого шума w размера Np × 1

 
x
=
S
+ w. (7.1)
1


В случае приема сигнала S на фоне окрашенного шума n имеем

 
x
=
S
+ n. (7.2)
2
Как и ранее предполагаем, что





x  M =

M=
w] 0
[n] M [=
 
S M=

 ∗
 ∗

M S ⋅ w  = M S ⋅ n  = 0






 ∗
M S ⋅ S  Ks =
=
, i 1,2 


 

M n ⋅ n∗  =
Kn



 

M  w ⋅ w∗  =
Kw



(7.3)
K=
x1 K S + Kw , K=
x2 K S + Kn и выполняется условие tr Kw = tr Kn .
Ошибку оценивания определим выражением
  ˆ
ei = S − S
i,
i = 1,2... .
(7.4)
ˆ
Оценка Si является результатом линейной фильтрации, осуществляемой по правилу
ˆ

S
=
(7.5)
1 H1x1; 224
ˆ

S
=
2 H2x2 . (7.6)
Критерий минимума СКО предполагаем, что выбором H1 или
H2 можно минимизировать выражение

 

 ∗ 
e
trM  e1=
trM  S − H1x1 S − H1x1
 1





 ∗ 
e
trM  e2=
trM  S − H2x2 S − H2x2
 2

(
(
)(
)(
) ; ∗
) . ∗
(7.7)
. (7.8)
Из (7.7) с учетом свойства следа суммы матриц следует, что
trKS − trH1 ⋅ Kx1 − trKx1 ⋅ H1∗ + trH1 ⋅ Kx1 ⋅ H1∗ .
(7.9)
Аналогично из (7.8) находим
trKS − trH2 ⋅ Kx2 − trKx2 ⋅ H2∗ + trH2 ⋅ Kx2 ⋅ H2∗ .
(7.10)
При этом учитывалось свойство самосопряженности эрмитовой
матрицы Kx i = K∗x i .
Дифференцируем (7.9) по элементам матрицы H1 и воспользуемся свойством следа trKs H∗ = trHKs .
H1 = KS Kx−11 (7.11)
Точно также находим выражение для H2 в случае справедливости (7.2)
H2 = KS Kx+2 (7.12)
Как известно [16], качество работы любого обнаружителя характеризуется характеристиками обнаружения – зависимостями вероятности правильного обнаружения PD от величины отношения
сигнал – шум D при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги pF . Чем больше величина отношения сигнал – шум
D на выходе обнаружителя, тем больше соответствующая ей PD .
Сравним алгоритмы (7,5), (7,11) с алгоритмами (7.6), (7.12) по величине отношения сигнал – шум на выходах фильтров.
225
Используя (7.5) и (7.6) , находим
trKS2 Kx−11KS2 Kx−11KS2
D1 =
.
trKS2Kx−11Kw Kx−11KS2
(7.13)
trKs Kx+2Ks Kx+2Ks
D2 =
.
trKs Kx+2Kn Kx+2Ks
(7.14)
Обозначим матрицы собственных значений ковариационных
матриц Kx1, KS , KW через Λ x1 , Λ S , Dw . Тогда
=
Kx1 U[ Ë S + DW ]U∗ ,
(7.15)
где KW = kW I, U – унитарная матрица, такая, что UU∗ = I , kW –
скаляр.
Аналогично обозначим матрицы собственных значений ковариационных матриц Kx2 , KS , Kn символами Λ x2, Λ S , Dn .
По теореме минимакса [51] имеем
∗ 
l xς =
minmax(
  x Cx),
 
=
x∗ x
X
X
∗ 
pi x
1, =


,
0.=
( i 1,2,...,ς − 1)
(7.16)
где C – эрмитова матрица порядка N , Λ x2 – собственные харак
теистические числа, x – собственный вектор матрицы C , x  N ,

p – произвольный ненулевой вектор.

Следовательно, при некотором выборе Pi для всех соответству
ющих x имеем
 

 

l x ς ≤ max(
=
x∗Cx) max(x∗KS x + x∗Kn x) .
(7.17)
Если U – унитарная матрица такая, что
UKSU∗ = Λ S 

и если возьмем pi = Uei , то
 *  * 
=
0 p=
(i 1,2,..., ζ − 1).
i x ei y=
226
(7.18)


При таком выборе pi первые ( ς − 1) компонент y равны нулю, и
из (7.17) запишем
 Nι

 


2 ∗
l x m ≤ max(x∗KS x + x∗K=
n x) max  ∑ l Si yi + x Kn x  . (7.19)
 i =ς



Однако
Nι
∑ lci yi2 ≤ l Sς ,
(7.20)
i =ς
в то время как


x∗Kn x ≤ ln1 l xm ≤ l Sm + ln1 .
(7.21)

для всех x . Следовательно, выражение в скобках не больше чем

l cs + ln1 при всех x , соответствующих этому выбору pi . Поэтому,
его максимум не больше чем l Sm + ln1 , и получим
(7.22)
Так как =
Ks Kx2 − Kn и собственные значения −Kn , расположенные в невозрастающем порядке, равны −lnN , − lnN −1, ..., − ln1
, приложение только что доказанного результата дает
l Sm ≤ l xm + ( −lnNι ) èëè l xs ≥ l cs + lnNι . (7.23)
Формулы (7.22) и (7.23) показывают, что если Kn добавлена
к KS, все собственные значения меняются на величину, лежащую
между наименьшим и наибольшим собственными значениями KS.
Здесь не предполагается малость возмущений и зависимость результатов от кратности собственных значений.
Этот же результат объясняет справедливость формулы (7.15).
Осталось рассмотреть матрицу Kx−11 . С помощью унитарного
преобразования можем записать
−1
Kx−11= U∗ [ Λ s + Dw ]
U.
(7.24)
Аналогичным образом можно определить матрицу
+
+
∗
Kx=
2 U [ Λ s + Λn ] U , (7.25)
227
где матрица [ Λ s + Λn ] в последнем случае является вырожденной
матрицей специальной диагональной формы. Для определенности
будем считать, что rankKs = υ, rankKn = q , υ < q < N , где N × N –
как и ранее размеры матриц KS , Kx1, Kx2 . Это означает, что матрицы Λ S è Λn будут иметь размеры N × N , а их элементы будут
иметь вид
l s11

l s22


.

=
Λs 
l Sυυ

0


0

ln11

ln22


.

=
Λn 
lnqq

0



0
.
.
0




,



0 
0




.




0 
Таким образом, матрицу [ Λ S + Λn ] определим суммой
0
l s11 + ln11


l s22 + ln22




.


l
+
l
Sυυ
nυυ




lnυ+1, υ+1

Λ s + Λn = 
.




lnqq




0


.


0
0  .

228
+
Последнее выражение позволяет найти [ Λ S + Λn ]
( l + l
)-1
 s11 n11

( ls22 + ln22 )−1

.


( l Sυυ + lnυυ )−1


−1
( lnυ+1, υ+1 )
[ Λ S + Λn ]+ = 
.


−1
lnqq


0

.


0
0
0

















Необходимо отметить, что при выводе выражений для матриц
Λ s , Λn , ( Λ S + Λn ) не использовалась мажоризация элементов по
величине.
Полученная минимаксная характеристика позволяет определить качество фильтрации. Для этого необходимо представить
(7.13) и (7.14) в удобном виде.
Обратимся к (7.13) и воспользуемся свойствами унитарного преобразования U·U*=U*·U =I . Тогда
D
{
tr {Λ
−1
} {
} {
−1
tr Λ S [ Λ S + Λn ]
−2
}
Λ S [ Λ S + Λn ] Λ S
tr Λ3S [ Λ S + Λn ]
= =
−1
−1
−2
tr Λ2s [ Λ s + Λn ] Dn
S [ Λ S + Λn ] Dn [ Λ S + Λn ] Λ S
υ
υ
−2 −1
kn
( Di )3 ( Di
=i 1=i 1
=
=
υ
υ
−2
l2si l si + kn
( Di )2 ( Di
i 1=i 1
=
(
∑ l3si lsi + kn
∑
(
)
∑
)
∑
+ 1)
−2
+ 1)
−2
,
}
(7.26)
l
где D i = si отношение сигнал – шум.
kw
Проанализируем
выражение (7.26). Первой рассмотрим ситуацию, когда rankKS = 1 . Это соответствует случаю υ =1 . Из (7.26)
тогда непосредственно следует, что
229
( D1 )3
( D + 1)2
D1 = 1
( D1 )2
( D1 + 1)2
=D1 , (7.27)
где D1 – отношение сигнал – шум, равное отношению мощности
сигнала к мощности шума на одном элементе.
Второй случай состоит в том, что все D i равны между собой. При
этом приходим к предыдущей ситуации, описанной (7.27).
Теперь в качестве альтернативы рассмотрим отношение сигнал – шум, определяемое выражением (7.14). Поступим аналогично предыдущему случаю.
D
{
{
+
+
)
(
}
}
tr Λ S [ Λ S + Λn ] Λ S [ Λ S + Λn ] Λ S
=
+
+
tr Λ S [ Λ S + Λn ] Λn [ Λ S + Λn ] Λ S

+ 2
tr Λ3S [ Λ S + Λn ]



=
 2

+ 2
Λn 
tr Λ S [ Λ S + Λn ]


(
)
(7.28)
Проанализируем как и в рассмотренном выше варианте несколько частных случаев, которые определяют отношение сигнал – шум.
Обращаясь к (7.28), заметим, что величина D зависит от конкретных значений l Sii и lnii , что более важно, от соотношения
между величинами между υ и q . Кроме того могут возникнуть ситуации, при которых υ > q , υ < q υ =q . Поэтому имеет смысл рассмотреть и проанализировать ряд частных случаев.
Случай 1
Рассмотрим сумму матриц KS + Kn . Пусть V – пространство
столбцов матрицы KS , а W – пространство столбцов матрицы Kn , то V + W пространство столбцов расширенной матрицы
Q = [ KS , Kn ] . Размерность пространства V + W может быть меньше, чем сумма размерностей пространств V и W (потому что два
эти пространства могут перекрываться), но ее легко найти
230
dim ( V + W ) =
rankQ (7.29)
Вычисление пространства V ∩ W более сложно. Предположим,
что заданы два базиса v1,...,vk и w1,...,wi . Хотим получить базис
пересечения двух подпространств. Для этого недостаточно проверить, будут ли какие-нибудь из векторов ν i совпадать с каким-либо из wj . Пространства V и W могут совпадать, а базисы при этом
быть совершенно различными.
Наиболее эффективный метод таков: составим ту же самую матрицу Q , столбцами которой являются векторы v1,...,vk , w1,...,wi ,
и вычислим нуль пространство R ( Q ) . Покажем, что базис этого подпространства позволяет построить базис подпространства
V ∩ W и что эти два пространства имеют одинаковую размерность
dim ( V ∩ W ) =
dim R ( Q ) (7.30)
Это приводит к формуле, которая важна сама по себе. Складывая
равенства (7.28) и (7.29) получаем
dim ( V + W ) + dim ( V ∩ W=
) rank Q + def ( Q ) ,
где rankQ – ранг Q , а def ( Q ) – дефект матрицы ν i . Сумма ранга и дефекта любой матрицы равна числу столбцов этой матрицы.
В данном случае матрица Q имеет υ + q независимых столбцов, а
так как υ =dim V и q = dim W , то приходим к следующему заключению
dim ( V + W ) + dim ( V ∩ W=
) dim V + dim W (7.31)
Если справедливо соотношение (7.31), то выражение для матрицы Λ S + Λn имеет следующий вид
0
l s11



⋅




.


l
sPP




ln11
.
Λ s + Λn = 
.




lnqq




0


.


0

0


231
В свою очередь(7.28) превращается в следующее
( lS )
∑
2
i =1 ( l S )
D2 =
=∞ . 3
P
ii
ii
(7.32)
0
Случай 2
Соответствует промежуточному варианту, когда ранг суммы матриц равен rank ( Λ s + Λn ) = υ + q − ϖι , где ϖ – число совместных
координат сигнала и помех.
В этом случае лишь ϖ компонент матрицы Λ s + Λn содержат сумму собственных чисел вида l S, p −l + ln,n −l+1 , l = 1,2,n ,
а остальные представляют собой или ln,l , l = υ, υ + 1,..., υ + q − ϖ .
Последнее означает, что
υ−ϖ
υ
( ls,ii )
3
∑ ls,ii + ∑ ( l + l )
n,ii
i =υ−ϖ+1 s,ii
D2 =
2
υ
( ls,ii ) l
∑
2 n,ii
i =υ−ϖ+1 ( l s,ii + ln,ii )
i =1
.
(7.33)
Случай 3
Соответствует случаю 1, определяемому выражением (7.28).
Отличия состоят в том, что необходимо понимать под величиной
D1 . Если Kn вырожденная, то под D1 следует понимать отношение
мощности сигнала к мощности помехи. Используя свойство минимакса можно показать. Что D лежит в пределах
=
D max
ls
ln min
è=
D min
ls
ln max
(7.33)
где ln min и ln max – ненулевые минимальное и максимальное собственные числа ковариационной матрицы Kn .
Случай 4
Также близок к случаю 2, когда прием осуществляется на фоне
шумов с ковариационной матрицей Kn .
Таким образом, сравнительный анализ двух вариантов обработки показал, что в случае окрашенного шума (сингулярные матрицы
KS и Kn ) происходит резкое увеличение отношения сигнал/шум
на выходах фильтра, осуществляющего фильтрацию полезного
сигнала из его смеси с окрашенным шумом по критерию минимума
232
СКО. При этом возможны самые различные значения выигрыша –
от (7.27) до ∞ . Физически это означает, что в первом случае сигнал
и помеха полностью перекрываются и отличия у них лишь в форме
спектра при одинаковой полосе пропускания. Вариант 2, при котором D = ∞ соответствует случаю, когда сигнал и окрашенный шум
ортогональны. Остальные варианты принадлежат промежуточным
случаям, когда сигнал и шум имеют одинаковую полосу и их ковариационные матрицы имеют разный ранг.
Графики зависимости отношения сигнал – шум от соотношения
между собственными числами шумов, соответствующие рассмотренным выше случаям для фильтрации сигналов на фоне белого и
окрашенного шума приведены, на рис. 7.1, 7.6. Они иллюстрируют
описанные выше результаты проведения сравнительного анализа
двух вариантов фильтрации.
Для того, чтобы результаты соответствовали случаю приема
информации системой связи, в качестве приемного датчика выбиралась 12 элементная ФАР (N = 12) . Для сигнала полагали,
что p = 1,2,3 . А окрашенный шум характеризовался величиной
q= 1 ÷ 7 . Чтобы обеспечить качественное и количественное сравнение вариантов суммарная мощность шумов на элементах решетки
полагалась одинаковой. На рис. 7.1 представлен график зависимости D =f ( p ) для случаев, когда дисперсия БГШ одинакова и равна 1. Дисперсия сигнала выбиралась равной соответственно 0,2;
0,3;0,5; 1.
На рис. 7.2 представлен график зависимости D =f ( p ) для случаев, когда дисперсия БГШ одинакова и равна 1. Дисперсия сигнала
выбиралась равной соответственно 2, 3, 5, 10.
1
6
0,5
4
∆p
0
∆p
2
1
2
3
4 P
1
2
3
4 P
Рис. 7.1. График зависимости
Рис. 7.2. График зависимости
2
D =f ( p ) , s2W =
0,2 ;
1 ; sS1 =
D =f ( p ) , s2W1 =
s2W 2 =
s2W 3 =
s2W 4 =
1;
1
s2S2 =
0,3 ; s2S3 =
0,5 ; s2S4 =
10
s2S1 =
2 ; s2S2 =
5 ; s2S4 =
3; s2S3 =
233
Сравнивая графики, изображенные на рис. 7.1 и 7.2, замечаем,
что с ростом отношения сигнал – шум зависимость все более приближается к линейной.
Теперь рассмотрим второй вариант обработки, когда ϖ =2 ,
а дисперсия окрашенного шума выбрана равной 2 и 2, т. е равна
мощности на четырех элементах в случае белого шума. Очевидно,
в этом случае отношение сигнал/шум резко возросло и имеет практически линейный характер, как это изображено на рис. 7.3.
На рис. 7.4 приведен случай, когда
мощности
соответствуют случаю,
50
изображенному на рис. 7.1. Здесь
угол наклона имеет противополож40
∆p
ный знак, который обусловлен выбранным распределением собствен30
ных чисел на элементах решетки.
На рис. 7.5 приведен график за20
висимости D =f ( p) для случая, ког3
3,5
4 P
да дисперсия окрашенного шума
равна 4. Собственные числа, соотРис. 7.3. График зависимости
ветствующие сигналу, те же, что и
на рис. 7.3, а ϖ =1 .
2 ; s2n2 =
D =f ( p ) , s2n1 =
2;
На рис. 7.6 показан график заs2S1 =
2 ; s2S2 =
3 ; s2S3 =
5;
висимости D =f ( p) для случая
ϖ =3 . Остальные характеристики
s2S4 =
10
5
15
∆p
4
14
3
∆p
13
2
3
3,5
4 P
12
3
3,5
4 P
Рис. 7.4. График зависимости
Рис. 7.5. График зависимости
D =f ( p ) , s2n =
1 ; s2S1 =
0,2 ;
4 ; s2S1 =
D =f ( p ) , s2n =
3;
2 ; s2S2 =
s2S2 =
0,3 ; s2S3 =
0,5 ;
10 ;
s2S3 =
5 ; s2S4 =
s2S4 =
1
ϖ =1
234
те же, что и в предыдущем случае. 60
Суммарная мощность шума выбиралась аналогичной ранее рассмо40
тренной.
∆p
Сравнивая графики, изображенные на рис. 7.1 и 7.2 с соответствующими графиками, приведенными 20
3
3,5
4 P
на рис. 7.3, 7.6, можно отметить,
что отношение сигнал – шум для
оптимального приемника оказыва- Рис. 7.6. График зависимости
ется существенно выше, чем в слуD =f ( p ) , s2n =
4 ; s2S1 =
2;
чае наличия белого шума и коррелированных помех.
5 ; s2S4 =
s2S2 =
3 ; s2S3 =
10 ;
В заключении необходимо отмеϖ =3
тить, что критерий максимума отношения сигнал – шум в гауссовском случае эквивалентен критерию минимума СКО. Это означает, что в случае окрашенного шума
ошибка оценивания оказывается меньше, чем в случае приема сигналов на фоне БГШ. Предельным является случай, когда осуществляется оценивание без ошибки, соответствующее D = ∞ .
Таким образом, полученные алгоритмы обработки соответствуют теоретическим положениям, сформулированным в теории вероятностей и математической статистике для сингулярных СВ, СПр и
полей. Это в полной мере подтверждает правильность выдвинутых
теоретических положений.
7.2. Сравнительный анализ
качественных характеристик предложенных
и известных алгоритмов фильтрации сигналов на фоне шумов
Обратимся к алгоритму обнаружения (6.22) сигнала, переданного по каналу с медленными флуктуациями на фоне помех.
Если перейти к выборкам в выражении для достаточной статистики (6.22), то можно записать, что
2r
2r

 1
 2 >


l = x∗Qx+0g  γ − ∑ l iix0 + ∑ l iix1  2 1 + s2g∗Qx+0g , (7.34)

s
<
=
 i 1=i 1

(
)
 
где x, g – векторы размера Nι× Nι, N – число пространственных каналов обработки, ι – число выборок СПр полученных в результате
235
дискретизации в каждом из пространственных каналов обработки,
Qx+0 – псевдообратная матрица помех и шумов.
Определим отношение сигнал/шум на выходе обнаружителя
следующим выражением
 ∗ +  




2
g ∗Kn+ gg
Kn g
s2 g∗Kn+ gg∗Kn+ g s2 g ∗Kn+ g


=
D =  ∗ +
=  ∗ +  = s2 g∗Kn+ g. (7.35)
∗ + 
+
g Kn Kn Kn g
g Kn g
g Kn g
Выражение (7.35) позволяет вычислить отношение сигнал/шум
по каждому из принимаемых по различным лучам сигналов, получаемое в результате выполнения первого этапа обработки – подавления помех. Эту формулу достаточно просто можно обобщить
и

на случай
обнаружения
многолучевого
сигнала,
если
под
пониS


p
мать S = ∑ i =1bi g i .В самом деле, вводя в рассмотрение
матричные

 

обозначения S = Gb , где G = [ g1, g2 ,..., g υ ] , bT = [ b1, b2 ,..., bυ ] , находим
tr Kn+ KS Kn+  tr Kn+ GDb G∗Kn+  tr G∗Kn+ Kn+ GDb 


 =


.
=
D
=
tr Kn+ Kn Kn+ 
tr Kn+ Kn Kn+ 
tr Kn+ Kn Kn+ 







Здесь Db = M  bb∗  .


Учитываем последнее выражение и представляем Kn= UΛn U∗ ,
где U – матрица размера N × υ , состоящая из υ собственных векторов матрицы Kn ; Λn – диагональная матрица размера υ× υ . При
этом, очевидно, UU∗ = I1 , и UU∗ = I2 , I1 и I2 – единичные матрицы
размеров, соответственно N × N и υ× υ (нижний индекс указывает
на отличия указанных матриц). Аналогично можно ввести в рас+
∗+
+
смотрение матрицы K
=
n U ΛU . С учетом сказанного получим
D
( )
 * + 2

Gn Db 
tr G∗Kn+ Kn+ GDb  tr G*n Λ + Λ + Gn Db  tr Gn Λ





 . (7.36)
=
=
υ
+
+
Λ
tr

[
]
tr Kn Kn Kn
n


∑ lni
i =1
Теперь осталось рассмотреть характеристики разрешения – обнаружения каждого из сигналов на фоне остальных (мешающих)
сигналов, помех и шумов. При этом можно зафиксировать вероятность ложной тревоги и рассмотреть характеристики обнаружения
каждого сигнала, используя критерий Неймана – Пирсона.
236
Рассмотрим в качестве примера разрешение – обнаружение трех
сигналов от целей, принимаемых на фоне помех и шумов.
Сформулируем проверяемые гипотезы для случая, когда известны все параметры сигналов, помех и шумов.

H0=
i : xt

H1i=
: ît
3
3


∑ bj g j,t +nt ,
i = 1,2,3. (7.37)
j =1
j ≠i



∑ aj g j,t +nt + ai g i ,
i = 1,2,3.
j =1
j ≠i
Запишем выражение для ковариационных матриц мешающих
сигналов, помех и шумов
 
 ∗
T
Kx01
= Kn + s22g 2g ∗2 + s23g 3g=
3 Kn + B23 D23 B23 , (7.38)
 
 ∗
T
Kx02
= Kn + s12g1g1∗ + s23g 3g=
3 Kn + B13 D13 B13 ,
(7.39)
 
 ∗
T
Kx03
= Kn + s22g2g∗2 + s12 g1g=
1 Kn + B21D21B21, (7.40)
s2i 0 
 
 – диагогде Bij = g i g j  – матрица размера N × 2 , Dij = 
 0 s2j 


нальная матрица размера 2 × 2 .
Матрицы, обратные ковариационным матрицам Kx01, Kx02 и
K x03 находятся по формуле Шермана – Моррисона – Вудзбери:
+
=
(
−1 
Kx+01 =
K∗n − Kn+ B23 BT
K+ B + D23
B∗ K+ =
 23 n 23
 23 n
  + 
  +
s23 Kn + s22g2g∗2 g 3g∗3 Kn + s22g 2g∗2
(7.41)
+


.
Kn + s22g2g∗2 −

2 ∗
2  ∗ +  
 1 + s3g 3 Kn + s2g 2g 2 g 3 


)
(
)
(
(
)
)
(
)
  +
Можно продолжить подстановку, раскрывая Kn + s22g2g∗2 .
Это позволит более наглядно просмотреть поэтапное изменение отношения сигнал – шум, задаваемое соотношением (7.41) в процессе
обработки. Аналогично (7.41) находим
237
+
=
(
T
−1 
Kx+02 =
K∗n − Kn+ B13 B13
Kn+ B13 + D13
B∗ K+ =

 13 n
  + 
  +
s23 Kn + s12g1g1∗ g 3g∗3 Kn + s12g1g1∗
2  ∗ +
, (7.42)
Kn + s1 g1g1 −

2 ∗
2  ∗ +  
 1 + s3g 3 Kn + s1 g1g1 g 3 


(
)
)
(
)
(
)
+
=
(
−1 
Kî+03 =
K∗n − Kn+ B21 BT
K+ B + D21
B∗ K+ =
 21 n 21
 21 n
  + 
  +
s12 Kn + s22g 2g∗2 g1g1∗ Kn + s22g 2g∗2
2  ∗ +
. (7.43)
Kn + s2g 2g 2 −

2 ∗
2  ∗ +  
 1 + s1 g1 Kn + s2g2g2 g1 


(
)
)
(
(
)
)
Используя (7.41) – (7.43), можно записать отношения сигнал/
шум по каждому из сигналов следующим образом




D1 =s12 g1∗ Kî+01g1 =s12 g1∗ Kn+ g1 −


∗
+ +
Kn+ B23 + D23
B K+ g =
−s12 g1∗ Kn+ B23 B23

 23 n 1

  +
= s12 g1∗ Kn + s22 g2 g2∗ g1 −
(
−
)
(

 
s12s23g1∗ Kn + s22g2g2∗
)
+
(
 
 
g 3g ∗3 Kn + s22g 2g 2∗
(

2 ∗
2  ∗
 1 + s3g 3 Kn + s2g2g2

)
+
)
+

g1
 
g3 

, (7.44)
,
(7.45)




D2 =s22 g2∗ Kî+02 g2 =s22g∗2Kn+ g 2 −


∗
+ +
Kn+ B13 + D13
B K+ g =
−s22 g∗2 Kn+ B13 B13

 13 n 2

  +
= s22 g∗2 Kn + s12 g1g1∗ g2 −
(
−
238
(
)
)
( Kn + s12g1g1∗ )

2 ∗
2  ∗ +  
 1 + s3 g 3 ( Kn + s1 g1g1 ) g 3 



  + 
s23 s22 g2∗ Kn + s12 g1g1∗ g 3 g∗3
+

g2




D3 =s23 g∗3Kî+03g 3 =s23g ∗3Kn+ g 3 −


+ +
B K+ g =
−s23 g∗3Kn+ B21 B∗21Kn+ B21 + D21

 21 n 3

  +
= s23g∗3 Kn + s22g2g∗2 g 3 −
(
−
)
(

 
s12s23g∗3 Kn + s22g2g∗2
)
+
(
 
 
g1g1∗ Kn + s22g 2g ∗2
(

2 ∗
2  ∗
 1 + s1 g1 Kn + s2g2g2

)
+
)
+

g3
 
g1 

.
(7.46)
Рассмотрим физический смысл полученных выражений. Он
состоит в том, что полученное в результате подавления помех отношение сигнал – шум далее уменьшается вследствие устранения
мешающих сигналов от разрешаемых сигналов. Чем больше перекрываются эти сигналы, тем меньше будет итоговое отношение
сигнал – шум. В общем случае, задавшись вероятностью ложной
тревоги PF , можно вычислить вероятность правильного обнаружения цели с соответствующим номером PD на фоне помех и мешающих сигналов
1+D i
или
PF = PDi
, i = 1,2,3. (7.47)
1
1+D i
PDi = PF
, i = 1,2,3. (7.48)
На рис. 7.7 представлены характеристики разрешения-обнаружения трех сигналов переданных по медленно флуктуирующему
каналу.
1
PD1(∆)
PD2(∆)
PD3(∆)
0,5
0
зелен
0
50
100 ∆
Рис. 7.7. Характеристики разрешения-обнаружения трех сигналов,
переданных по медленно флуктуирующему каналу
239
Предполагалось, что все сигналы имеют различные мощности. Так, например, первый сигнал имеет мощность 40 дБ, второй
30 дБ, а третий 50 дБ. Мощность пассивной помехи выбиралась
равной 60 дБ. Под вероятностью ложной тревоги в данном случае
следует понимать возможность принять помехи или совокупность
помех и мешающих сигналов за полезный прямой сигнал. Можно,
используя выражения (7.44)–(7.46), найти вероятности принятия
каждого мешающего сигнала за полезный сигнал от цели. Для этого рассчитаем отношения сигнал – шум по каждому из сигналов
в случае, когда полезным является первый сигнал:
+ 
g 1∗ Kx+01KS2Kx+01g 1  s22 g 1∗Kx+01g 2g T
2 Kx01g1


=
D22
 =

 =

g1∗ Kx+01Kn2Kx+01g1
g1∗Kx+01Kn2Kx+01g1

 2
s22 g1∗ Kx+01g2 
 ,
= 

g1∗ Kx+01Kn2 Kx+01g1
(7.49)
+ 
g 1∗ Kx+01KS3Kx+01g 1  s22 g 1∗Kx+01g 3g T
3 Kx01g1


=
D33
 =

 =

g1∗Kx+01Kn3Kx+01g1
g1∗Kx+01Kn3Kx+01g1

 2
s22 g1∗Kx+01g 3 
 ,
= 

g1∗Kx+01Kn3 Kx+01g1
(
)
(
(7.50)
)
 
 
где K=
Kn + s23 g 3g∗3 и K=
Kn + s22 g2 g∗2 .
n2
n3
Аналогичным образом можно рассчитать отношение сигнал/
шум по сумме двух мешающих сигналов и, как следствие принять
решение о том, что присутствует полезный сигнал, в то время как
на самом деле присутствуют два мешающих сигнала в смеси с помехами.
Далее воспользуемся выражением (7.50) для определения вероятности принятия второго и третьего мешающих сигналов за первый (полезный) сигнал. Для данного примера соответствующие
графики представлены на рис. 7.8.
Из графиков видно, что в случае увеличения отношения мешающий сигнал -шум вероятность принятия мешающего сигнала
за полезный растет. При этом все зависит от степени перекрытия
полезного и мешающего сигналов. Несмотря на то, что третий
сигнал мощнее второго, степень перекрытия второго больше, чем
240
1
PD2(∆)
PD3(∆)
0,5
1·10–3 0
0
100 ∆
50
Рис. 7.8. Графики зависимостей вероятности перепутывания сигналов
от отношения сигнал – шум. Пунктиром показана зависимость
вероятности принятия третьего сигнала за первый,
сплошной линией – второго за первый
у третьего, а поэтому график зависимости вероятности принятия
PD21= f ( D ) второго сигнала за первый выше, чем PD31= f ( D ) .
Следует отметить, что аналогичные выражения можно записать и для случая разрешения сигналов, передаваемых по каналу
с доплеровским рассеянием, быстро флуктуирующему и медленно
флуктуирующему каналам, а также широкополосных и сверхширокополосных сигналов, принимаемых на фоне помех.
Частным случаем рассмотренной задачи является разрешение
сигналов на фоне БГШ, рассматривавшееся в работах [23, 138, 139,
141–143].
7.3. Характеристики разрешения –
измерения параметров сигналов на фоне помех
Оценка параметров сигналов, переданных по медленно флуктуирующему каналу на фоне цветных шумов является второй задачей, поставленной в диссертации, и решенной в разделе 6. Однако
наряду с синтезом адаптивного алгоритма оценивания необходимо
оценить точность оптимального устройства оценки.
Поэтому обсудим точность оценок параметров запаздывания t и
частоты w . Рассмотрим случай локальной точности, когда отношение энергии сигнала к шуму велико и ошибки малы [16].
Эффективность
измерителя параметров определяется качеством

оценок αˆ = αˆ ( x ) и сложностью его технической реализации. Полной

СХ оценки является закон распределения p αˆ , с помощью кото-
( )
241
рого можно вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и

вероятность отклонения от истинного значения параметра αè .
Наибольшее практическое применение нашел метод максимального правдоподобия. Максимально правдоподобные оценки
всегда состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормальны; среди всех асимптотически нормальных оценок
они имеют наименьшую возможную дисперсию. Кроме того, если
эффективная оценка существует, то она является правдоподобной
оценкой. Иногда, правда, оценки максимального правдоподобия
бывают смещенными и не все оценки являются эффективными.
Перейдем теперь к вопросам определения дисперсий эффективных оценок, т. е. потенциальной точности оценки параметров, а
также к расчету дисперсий квазиоптимальных оценок. При большом времени наблюдения и достаточном отношении сигнал – помеха логарифм функции правдоподобия как функция параметров

α близок по форме к параболоиду [16]. При этом сама функция
правдоподобия аппроксимируется многомерным нормальным распределением.
Ширина многомерного пика функции правдоподобия определяется информационной матрицей Фишера


 ∂2
J = −M 
ln x αu


 ∂α i ∂α j
(

)  ,

(7.51)
состоящей из средних значений вторых производных логарифма
функции правдоподобия. Обратная к J матрица Σ =J −1 состоит
из средних вторых моментов потенциальных ошибок измерения
параметров. Последние существуют, если существуют совместно
эффективные оценки.
  Когда отдельные параметры, закодированные в процессе x ( t, α ) , независимы, то Σ – диагональная матрица с элементами s2 [ α i ]min , i =
1,2,... , определяемыми по формуле
Крамера–Рао.
Точность оценок параметров обычно подразделяют на локальную, когда отношение энергии сигнала к помехам и шуму велико и
ошибки малы, и глобальную.
Первая предполагает оценивание границы Крамера–Рао, а вторая – анализ системы при условии, что ошибки могут быть и велики. Первая достаточно подробно излагается в литературе [16], а
вторая – связана с понятием неопределенности.
Испытание по обобщенному критерию отношения правдоподобия состоит в вычислении величин (6.22), (6.33) и (6.35) при нали242
чии помех, шумов и мешающих сигналов и сравнении результата
с порогом. При этом предполагается, что априорные вероятности
нахождения сигнала в любом из пространственно-частотных каналов равны, а сама задача оценивания сводится к многоальтернативной задаче на проверку NΣ гипотез, где NΣ =ΩΣ stTΣ sw , ΩΣ и
TΣ – размеры области измерения параметров w и t цели по частоте
и дальности, st и sw – размеры ячейки, пропорциональные размерам центрального пика функции неопределенности сигнала.
В случае, когда отсутствуют помехи и при больших отношениях
сигнал/шум нормированная граница Крамера–Рао определяется
выражением
M  t2e  1
1
 ≥
,
2
s [TΣ ] D (TΣ sw )2
(7.52)
2M [ Er ]
– отношение сигнал/шум, M  t2e  – полная диспер 
TΣ
2
сия ошибки, s [TΣ ] =
.
12
где D =
N0
На основании (7.52) можно сделать вывод о том, что в случае
медленно флуктуирующего канала вероятность ошибки решения
в результате является доминирующей и дисперсия, указываемая
границей Крамера – Рао никогда не достижима.
Используя метод выбеливания, полученные в [16] результаты
можно обобщить на случай приема сигналов на фоне помех и белого гауссовского шума.
Очевидно в этом случае в выражении (7.52) необходимо определить величину D . Если же помимо помех и шумов присутствуют
мешающие сигналы, вместо D необходимо использовать выражения типа (7.44) – (7.46) и соответственно D1, D2 , D3 . На рисунках
7.9, 7.11 приведены графики изменения СКО в зависимости от величины D для рассматриваемого случая разрешения – измерения
параметров полезного сигнала на фоне мешающих сигналов, помех
и шумов.
Предполагается, что длительности импульса соответственно
равны 2 мс., 1мс., 400 мкс. ССС работает на частоте 10 ⋅ 109 Гц.
На рис. 7.9 приведены зависимости СКО измерения дальности,
на рис. 7.10 СКО измерения скорости. В качестве зондирующего
импульса использовался ЛЧМ сигнал. Коэффициент сжатия равен
соответственно 40000, 20000 и 5000 раз.
243
1.5·105
5
.
1.196827 10
σ1( ∆1)
1·105
σ2( ∆1)
σ3( ∆1)
5·104
1.070474 .103
0
0
200
2
400
∆1
600
800
1000
1.103
Рис. 7.9. Графики зависимости СКО измерения дальности от величины D
для случая разрешения – измерения параметров полезного сигнала
на фоне мешающих сигналов, помех и шумов
6
1.253314.10
1.5·106
1·106
σV( ∆1)
5·105
5.604991.104
0
0
500
∆1
1000
1.103
Рис. 7.10. График зависимости СКО измерения скорости от величины D
для случая разрешения – измерения параметров полезного сигнала
на фоне мешающих сигналов, помех и шумов
1.5·105
1.196827.10 5
σ1( ∆1)
1·105
σ2( ∆1)
σ3( ∆1)
5·104
2.393654 .103
0
2
0
200
400
∆1
600
800
1000
1.10 3
Рис. 7.11. Графики зависимостей точности измерения дальности от
отношения сигнал – шум для случаев:
1. Когерентной обработки пачки, состоящей из пяти импульсов (график 1);
2. Некогерентной обработки пачки, состоящей из пяти импульсов (график 2);
3. Одиночного импульса (график 3)
244
На рис. 7.11 для указанной ситуации приведены графики точности измерения дальности для когерентной обработки пачки, состоящей из пяти импульсов (график 1). Для сравнения на нем же
приведены результаты некогерентного накопления импульсов той
же пачки (график 2), а также случай, когда число импульсов в пачке равно 1 (график 3).
Таким образом, основным фактором, влияющим на качество
разрешения – обнаружения и разрешения – измерения, является
отношение полезный сигнал – остатки помех, шумов и мешающих
сигналов.
7.4. Характеристики качества работы алгоритмов
полного разрешения сигналов в условиях
параметрической априорной неопределенности
статистических характеристик сигналов, помех и шумов
В подразд. 7.1, 7.2 рассматривались характеристики качества
работы системы полного разрешения сигналов, принимаемых на
фоне помех. Тем самым получены асимптотически оптимальные
(потенциальные) характеристики качества работы адаптивных
алгоритмов, предложенных в разд. 6. Эти характеристики достигаются в адаптивных устройствах обработки в случае, когда число
обучающих выборок стремится к ∞ .
В реальных условиях работы решение о числе разрешаемых целей и значениях оценок их параметров выносится на основании
конечного объема обучающей выборки, поэтому можно ожидать
ухудшения качества работы алгоритмов по сравнению с потенциально достижимыми в зависимости от числа шагов адаптации.
Поэтому представляет большой интерес оценка зависимости качества работы адаптивных алгоритмов от числа обучающих выборок,
так как это позволило бы сформулировать требования к спецпроцессору цифровой обработки информации (ЦОС) ССС.
Этот результат может быть получен на основании соотношений (6.52)–(6.53). Он состоит в том, что с помощью указанных
соотношений можно оценить потери в отношении сигнал/шум на
каждом шаге адаптации. А это значит, что можно получить зависимость вероятности правильного обнаружения от числа шагов
адаптации для каждого из значений отношения сигнал – шум.
Такой анализ проводился применительно к алгоритму прямого обращения оценки максимального правдоподобия ковариационной
ˆ x0 . Результаты приведены для различных отношений
матрицы K
245
сигнал/шум (1, 10, 100). Число выборок адаптации изменялось от
1 до 1000.
Полученные результаты справедливы и для других моделей
сигналов.
Не менее важным является вопрос о том каковы точности измерения параметров при реализации адаптивной обработки за конечное число обучающих выборок. Рассмотрены точность измерения
параметров сигналов (совместного измерения дальности и скорости) при использовании ЛЧМ сигналов. Известно [66], что точность
совместного измерения дальности и радиальной скорости определяется величинами дисперсий
(7.53)
ct
s2t = è , 2 pD
(7.54)
c pkñæ
s2V =
,
tè Dw0
где c – скорость света; tи – длительность зондирующего импульса;
D – отношение сигнал/шум; kcж – коэффициент сжатия импульса;
w0 – несущая частота зондирующего импульса.
Применение методов безошибочных вычислений
для реализации адаптивных алгоритмов полного разрешения
Поскольку в системах передачи дискретных сообщений приемное устройство состоит из активной ФАР и спецпроцессора ЦОС ,
все алгоритмы, предложенные в разделе 6 должны быть подготовлены к реализации на основе последних. С точки зрения математики спецпроцессор ССС, реализующий алгоритмы цифровой обработки сигналов в задаче разрешения сигналов на фоне помех и
шумов является конечной машиной. Он способен представлять, по
сути дела, только конечное множество чисел. Таким образом, обречена на неудачу любая попытка использовать его для выполнения
арифметических операций в поле вещественных чисел (R,+,·), поскольку R – бесконечное множество, большинство элементов которого непредставимо в вычислительной машине. Это не означает,
что нельзя пытаться аппроксимировать в спецпроцессоре арифметику в (R,+,·). Часто для такой аппроксимации используется множество F так называемых чисел с плавающей точкой. К сожале246
нию, и в этом случае нет возможности сколько-нибудь детально
отобразить континуум вещественных чисел.
Выход из этой проблемы во многих случаях состоит в представлении вещественного числа x ближайшим к нему машинным числом x̂ . Это позволит ввести в рассмотрение ошибку округления,
определяемую выражением e= x − xˆ .
Из-за отсутствия замкнутости ошибки округления возникают
также в результате арифметических операций над элементами F.
Например, если x̂ и ŷ – два «соседних» элемента F, то число z =
xˆ + yˆ
2
уже не принадлежит F. Его следует
заменить ẑ – элемент в F, «бли
жайший» к z. В этом примере ẑ совпадает либо с x̂ , либо с ŷ .
На первый взгляд может показаться, что эффект неточного выполнения арифметических операций (и ошибок округления) не
слишком серьезен. Однако хорошо известно [20, 35, 58,65,82, 86],
что вычисленное решение может быть интерпретировано, как точное решение слабо возмущенной задачи. Кроме того, существует
класс задач, называемых плохо обусловленными, для которых решение (точное) предельно чувствительно к «малым» возмущениям
данных. При решении таких задач эффект ошибок округления может быть катастрофическим.
Попытки аппроксимировать при помощи конечного множества
F арифметику поля вещественных чисел (R,+,·) приводят к трудностям. Ошибки округления при решении плохо обусловленных задач вызывают неприятные эффекты. По этим причинам имеются
серьезные поводы для использования числовых систем с арифметическими операциями, которые можно выполнить точно. Примером
такой системы является система вычетов. Иногда ее называют модулярной арифметикой. Встречается также название система остаточных классов [3, 12, 17, 49, 53, 54, 125, 127, 129].
Хорошо известно, что специализированные вычислители могут выполнять некоторые арифметические операции точно, если
операнды суть целые числа [3]. Это заставляет рассмотреть целочисленную арифметику как средство избежать ошибок округления в надежде, что некоторые плохо обусловленные задачи станут
решаться точно. Если осуществляются операции с целыми числами, а результаты вычислений приводятся по модулю M, то такая
арифметическая система называется одномодульной арифметикой
вычетов. Целое число M > 1 при этом называется модулем арифметической системы.
247
Отметим, что весьма важно выбрать M настолько большим, чтобы все данные и решение задачи содержались в множестве SM системы симметричных вычетов по модулю M. В противном случае
некоторые решения могут быть неверными, но они будут сравнимы
по модулю M с правильными ответами. Такая ситуация называется
псевдопереполнением.
Лучший способ устранить проблему псевдопереполнения заключается в использовании арифметики вычетов по нескольким
модулям одновременно.
Дело в том, что можно показать эквивалентность такой арифметики и арифметики вычетов по одному модулю, которым является
наименьшее общее кратное этих нескольких модулей.
Необходимо обратить внимание на то, что арифметические операции в модульной арифметике выполняются покомпонентно. Это
наводит на мысль, что вычислительные машины, ориентированные на использование многомодульной арифметики, могут иметь
преимущества перед обычными. Если имеется n процессоров,
каждый из которых предназначен для выполнения операций с вычетами целых чисел, то n компонент модульного представления
могут обрабатываться одновременно. Создатели новейшего поколения спецпроцессоров обработки с векторными операциями и параллельными процессорами сделали шаг в верном направлении.
Однако ни в одном из этих спецпроцессоров приведение результата
по модулю M не выполняется непосредственно аппаратурой. Это
приведение можно осуществить лишь программными средствами.
Основной задачей реализации оптимальных алгоритмов обработки сигналов, на фоне помех, является выполнение вычислений
в реальном масштабе времени с высокой точностью. Для этой цели
используются алгоритмы параллельной обработки информации,
каскадной обработки (конвейерной), а также смешанные алгоритмы. Основной проблемой при этом является то, что алгоритмы параллельной обработки информации обладают максимальной скоростью вычислений (в зависимости от степени распараллеливания
алгоритма она может меняться), но весьма чувствительны к эффекту влияния конечной разрядности чисел на качество обработки сигналов. В то же время каскадная форма реализации фильтров
позволяет получить хорошие результаты по точности вычислений,
но сравнительно медленны. Поэтому целесообразно комбинировать оба указанных метода, чтобы добиться максимально возможной точности вычислений при заданной скорости вычислений. Эта
задача может ставиться и решаться как задача математического
248
программирования при ограничениях типа равенств и неравенств.
Однако решение не всегда может быть реализовано из-за дополнительных ограничений на возможности распараллеливания алгоритмов обработки.
Поэтому необходимо искать решение, которое обеспечивало как
максимальное быстродействие, так и максимальную точность вычислений.
Максимальную точность вычислений может обеспечить применение методов модульной арифметики вычетов. Эти методы в литературе также называют методами вычислений в системе остаточных классов. Встречается еще наименование «методы безошибочных вычислений».
Максимальное быстродействие достигается в результате применения секционированной обработки в одномодульной и многомодульной арифметике вычетов [124, 127, 129]. Применение указанных методов при реализации алгоритмов оптимальной обработки
локационных сигналов обеспечивает безошибочные вычисления и
позволяет достигнуть максимального быстродействия.
Применение модулярной арифметики для решения задач адаптивной обработки информации впервые было предложено в работе
[125].
Важным преимуществом методов модулярной арифметики является возможность вычислений без операций умножения.
Выводы
По результатам исследований, проведенных в седьмом разделе,
заключаем следующее:
1. С помощью аналитических методов расчета, предложенных
в данном разделе, проанализировано качество адаптивных алгоритмов полного разрешения сигналов на фоне помех. Показано,
что основным параметром, влияющим на качество полного разрешения, является соотношение сигнал – помеха плюс шум плюс мешающие сигналы. Получены математические выражения, позволяющие определить потенциальные характеристики алгоритмов
полного разрешения сигналов на фоне помех.
2. Найдены аналитические выражения, позволяющие оценить
характеристики качества работы алгоритмов полного разрешения
сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности статистических характеристик сигналов, помех и шумов в процессе адаптации на каждом шаге обучения. Такой подход можно
249
применить для оценки качества других адаптивных алгоритмов
полного разрешения сигналов.
3. Предложено для реализации адаптивных алгоритмов полного
разрешения сигналов на фоне помех использовать методы обработки информации в системе остаточных классов, а также p – адической арифметике.
250
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В монографии рассмотрена важная научная проблема, заключающаяся в развитии теории, методов и алгоритмов оптимального
приема сигналов на фоне помех для спутниковых сетей связи и их
реализация на базе спецпроцессоров ЦОС. Для этого проведены исследования, направленные на:
1. Изучение влияния среды распространения сигнала на информационный канал.
2. Изучение влияния пространственно-временных изменений
параметров среды образований на функционирование каналов связи.
3. Разработку адекватных реальным математических моделей
принимаемых узкополосных и СШП сигналов и окрашенного шума, формируемых на выходах антенной системы информационных
управляющих комплексов выполненных на базе низкоорбитальных сетевых структур.
4. Развитие теории сингулярных случайных процессов применительно к решению задач обработки информации в спутниковых
системах связи.
5. Разработку основ теории и алгоритмов совместного обнаружения и оценивания параметров узкополосных и широкополосных
сигналов, принимаемых на фоне окрашенного шума.
6. Разработку методов адаптации и обучения в условиях параметрической априорной неопределенности статистических характеристик сигналов и окрашенного шума для реализации асимптотических оптимальных алгоритмов обработки.
7. Выполнение сравнительного анализа качества работы известных и разработанных адаптивных алгоритмов сигналов на фоне
шумов.
Таким образом, развита теория разработки методов и алгоритмов оптимального приема сигналов на фоне помех для спутниковых сетей связи и их реализации на базе спецпроцессоров цифровой обработки сигналов.
251
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Абаффи, Й. Математические методы для линейных и нелинейных уравнений. Проекционные ABS-алгоритмы / Й. Абаффи,
Э. Спедикато; пер. с англ. М.: Мир, 1996. 268 с.
Адаптивные фильтры: пер. с англ.; под ред. К. Ф. Коуэна и
П. М. Гранта. М.: Мир, 1988. 392 с.
Акушский, И. Я. Машинная арифметика в остаточных классах /
И. Я. Акушский, Д. И. Юдицкий. М.: Советское радио, 1968. 440 с.
Андронов, И. С. Передача дискретных сообщений по параллельным каналам / И. С. Андронов, Л. М. Финк. М.: Советское радио.
1971. 408 с.
Аоки, М. Введение в методы оптимизации / М. Аоки; пер. с англ.
М.: Наука, 1977. 344 с.
Ахмед, Н. Ортогональные преобразования при обработке
цифровых сигналов / Н. Ахмед, К. Р. Рао; пер.с англ.; под ред.
И. Б. Фоменко. М.: Связь, 1980. 248 с.
Белкин, В. С. Формирователи мощных наносекундных и пикосекундных импульсов на полупроводниковой элементной базе /
В. С. Белкин, Г. И. Шульженко // Препринт 91–51, Институт ядерной физики СО АН СССР, Новосибирск, 1991. С. 1–35.
Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов / Дж.
Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. М.: Мир, 1974. 463 с.
Бендат, Дж. Применения корреляционного и спектрального
анализа / Дж. Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. М.: Мир, 1983. 312 с.
Бестугин, А. Р. Контроль и диагностирование телекоммуникационных сетей / А.Р. Бестугин, А.Ф. Богданова, Г.В. Стогов// Издво Политехника. СПб., 2003. 166 с.
Бертсекас, Д. Сети передачи данных / Д. Бертсекас, Р. Галлагер;
пер с англ. М.: Мир, 1989. 544 с.
Блейхут, Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов
/ Р. Блейхут. М.: Мир, 1989. 448 с.
Валях, Е. Последовательно-параллельные вычисления / Е.
Валях. М.: Мир, 1985.
Ван дер Варден, Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. Ван
дер Варден; пер. с нем; под ред. Н. В. Смирнова. М.: Иностранная
литература, 1960. 434 с.
Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 2.
Теория нелинейной модуляции / Г. Ван Трис; пер. с англ.; под ред.
проф. В. Т. Горяинова. М.: Сов. Радио, 1975. 344 с.
Ван Трис, Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 3.
Обработка сигналов в радио и гидролокации и прием случайных га252
уссовых сигналов на фоне помех / Г. Ван Трис; пер с англ.; под ред.
В. Т. Горяинова. М.: Сов. радио, 1977. 664 с.
Вариченко, Л. В. Абстрактные алгебраические системы и
цифровая обработка сигналов / Л. В. Вариченко, В. Г. Лабунец,
М. А. Раков. Киев: Наукова думка, 1986. 248 с.
Васильев, П. П. Пикосекундная оптоэлектроника / П. П. Васильев. Квантовая электроника. 1990. Т. 17. № 3. С. 268–2879.
Власенко, В. А. Методы синтеза быстрых алгоритмов свертки
и спектрального анализа сигналов /В. А. Власенко, Ю. М. Лаппа,
Л. П. Ярославский. М.: Наука, 1990. 180с.
Воеводин, В. В. Вычислительные основы линейной алгебры /
В. В. Воеводин. М.: Наука, 1977. 303 с.
Воеводин, В. В. Параллельные вычисления / В. В. Воеводин,
Вл. В. Воеводин. СПб.: БХВ – Петербург, 2002. 608 с.
Военные системы космической связи /В. В. Деев, В. А. Емельянов, С. Е. Кондаков и др. СПб.: МО РФ, 1995. 182 с.
Вопросы статистической теории радиолокации / П. А. Бакут,
И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.; под ред. Г. П. Тартаковского.
М.: Сов радио, 1964. Т. 2. 1079 с.
Грот, М. Д. Оптимальные статистические решения / М. Д. Грот;
пер.с англ.; под ред. Ю. В. Линника, И. М. Когана. М.: Мир, 1974. 490 с.
Грудинская, Г. П. Распространение радиоволн. Учебное пособие
для радиотехн. спец. вузов / Г. П. Грудинская; 2-е изд., перераб. и
доп. М.: Высшая школа, 1975. 260 с.
Давыдов, В. С. Радиолокация сложных целей (разрешение и
распознавание) / В. С. Давыдов, А. П. Лукошкин, А. А. Шаталов,
А. Б. Ястребков. СПб.: Янис, 1993. 280 с.
Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов /
Д. Даджион, Р. Мерсеро; пер. с англ.; под ред. Л. П. Ярославского.
М.: Мир, 1988. 488 с.
Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г. Б. Двайт; пер с англ. Н. В. Леви; под ред. К. А. Семендяева.
М.: Наука, 1978. 224 с.
Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики /
Б. П. Демидович, И. А. Марон; 4-е изд., исправленное. М.: Наука,
ГРФМЛ, 1970. 664 с.
Диксон, Р. К. Широкополосные системы / Р. К. Диксон; пер.
с англ. М.: Связь, 1979. 304 с.
Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложение к представлению
знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад; пер. с франц. М.: Мир,
1990. 288 с.
Зюко, А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи /
А. Г. Зюко. М.: Связь, 1972. 360 с.
253
Камнев, В. Е. Спутниковые сети связи: учеб. пособие /
В. Е. Камнев, В. В. Черкасов, Г. В. Чечин. М.: Альпина Паблишер,
2004. 536 с.
Кантор, Л. Я. Спутниковая связь и проблема геостационарной орбиты / Л. Я. Кантор, В. В. Тимофеев. М.: Радио и связь, 1988. 168 с.
Каппелини, В. Цифровые фильтры и их применение /
В. Каппелини, А. Дж. Константинидис, П. Эмилиани; пер. с англ.
М.: Энергоатомиздат, 1983. 360 с.
Кендалл, М. Дж. Теория распределений / М. Дж. Кендалл,
А. Стьюарт; пер.с англ. М.: Наука, 1971. 587 с.
Кендалл, М. Дж. Статистические выводы и связи /
М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт; пер.с англ. М.: Наука, 1973. 900 с.
Кендалл, М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт; пер. с англ. М.: Наука,
1976. 736 с.
Кловский, Д. Д. Обработка пространственно-временных сигналов
(в каналах передачи информации) / Д. Д. Кловский, В. А. Сойфер.
М.: Связь, 1976. 208 с.
Коблиц, Н. p -адические числа, p -адический анализ и дзетафункции / Н. Коблиц; пер. с англ. В. В. Шокурова; под ред. и с предисловием Ю. И. Манина. М.: Мир, 1981. 192 с.
Крамер, Г. Математические методы статистики / Г. Крамер; пер.
с англ.; под ред. А. Н. Колмогорова. М.: ИЛ, 1948. 631 с.
Красюк, В. Н. Электромагнитные волны в средах с пространственно-временными изменениями параметров / В. Н. Красюк. Л.:
ЛГУ, 1984. 286 с.
Красюк, В. Н. Миллиметровые антенны спутников и космических аппаратов / В. Н. Красюк. СПб.: ГУАП, 2004. 198 с.
Красюк, В. Н. Особенности эксплуатации антенн возвращаемых
космических аппаратов / В. Н. Красюк. СПб.: ГУАП, 2002. 132 с.
Кремер, И. Я. Модулирующие помехи и прием радиосигналов / И. Я. Кремер, В. И. Владимиров, В. И. Карпухин; под ред.
И. Я. Кремера. М.: Советское радио, 1972. 480 с.
Кузичкин, А. В. Методы и алгоритмы оптимальной статистической обработки результатов радиолокационных наблюдений и их
эффективность. Ч. 1(1), Математические основы теории сигналов
и обработки информации / А. В. Кузичкин, А. А. Шаталов. СПб.:
ФВУ ПВО МО РФ, 1999. 192 с.
Лазерная космическая связь / под ред. М. Кацмана; пер. с англ.
Ю. К. Сальникова; под ред. А. В. Ермишина. М.: Радио и связь
1993. 236 с.
Лихарев, В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации /
В. А. Лихарев. М.: Сов. радио, 1973. 456 с.
254
Макклеллан, Дж. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов / Дж. Макклеллан, Ч. М. Рейдер; пер. с англ.; под
ред. Ю.И. Манина. М.: Радио и связь, 1983. 264 с.
Марпл.-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С. Л. Марпл.-мл.; пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.
Маршал, А. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения
/ А.Маршал, И.Олкин; пер с. англ. М.: Мир, 1983. 576 с.
Монзинго, Р. А. Адаптивные антенные решетки. Введение
в теорию / Р. А. Монзинго, Т. У. Миллер; пер. с англ.; под ред.
В. А. Лексаченко. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.
Муттер, В. М. Основы помехоустойчивой передачи информации / В. М. Муттер; Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1990. 288 с.
Нусбаумер, Г. Быстрые преобразования Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нусбаумер; пер. с англ. М.: Радио и связь,
1985. 248 с.
Обработка сигналов в многоканальных РЛС / А. П. Лукошкин,
С. С. Каринский, А. А. Шаталов и др.; под ред. А. П. Лукошкина.
М.: Радио и связь, 1983. 328 с.
Окунев, Ю. Б. Цифровая передача информации фазомодулированными сигналами / Ю. Б. Окунев. М.: Радио и связь, 1991.
296 с.
Ортега, Дж. Введение в параллельные и векторные методы
решения линейных систем / Дж. Ортега; пер. с англ.; под ред.
Х. Д. Икрамова. М.: Мир, 1991. 367 с.
Островитянов, Р. В. Статистическая теория радиолокации протяженных целей / Р. В. Островитянов, Ф. А. Басалов. М.: Радио и
связь, 1982. 232 с.
Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов / Р. Отнес,
Л. Эноксон; пер. с англ. В. И. Хохлова; под ред. И. Г. Журбенко.
М.: Мир, 1982. 428 с.
Параллельная обработка информации / в 5-ти томах. Распараллеливание алгоритмов обработки информации. Т. 1; под ред.
А. Н. Свенсона. Киев: Наук. Думка, 1985. 280 с.
Передача информации по радиоканалам, содержащим статистически неоднородные среды. М.: Наука. 1976. 240 с.
Применение цифровой обработки сигналов / пер. с англ. под ред.
А. М. Рязанцева; Под ред. Э. Оппенгейма. М.: Мир, 1980. 552 с.
Прохоров, Ю. В. Теория вероятностей. Основные понятия.
Предельные теоремы. Случайные процессы. / Ю. В. Прохоров,
Ю. А. Розанов. М.: Наука, 1967. 496 с.
Шахнович, И. В. Современные технологии беспроводной связи /
И.В. Шахнович М.: Техносфера, 2006. 287 с.
255
Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов
/ Л. Рабинер, Б. Гоулд; пер. с англ. М.: Мир, 1978. 848 с.
Радиолокационные устройства (теория и принципы построения)
/ под ред. В. В. Григорина-Рябова, М.: Сов. Радио, 1970. 680 с.
Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин,
Г. П. Тартаковский. М.: Сов. Радио, 1977. 432 c.
Розанов, Ю. А. Теория обновляющих процессов / Ю. А. Розанов
М.: Наука, 1974. 128 с.
Рытов, С. М. Введение в статистическую радиофизику. Ч. 2.
Случайные поля / С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский.
М.: Наука, ГРФМЛ, 1978. 464 с.
Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка
сигналов / пер. с англ.; под ред. С. Гуна, Х. Уайтхауса, Т. Кайлата.
М.: Радио и связь, 1989. 472 с.
Сейдж, Э. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении / Э. Сейдж, Дж. Мелс; пер. с англ. М.: Связь, 1976. 496 с.
Снайдер, Д. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи / Д. Снайдер; пер. с англ. М.:
Энергия; 1973. 104 с.
Солонина, А. И. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки
сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. СПб.:
БХВ – Петербург, 2001. 464 с.
Стратонович, Р. Л. Принципы адаптивного приема /
Р. Л. Стратонович. М.: Сов. Радио, 1973. 143 с.
Теория связи / пер. с англ.; под ред. Б. Р. Левина. М.: Связь,
1972. 392 с.
Тихонов, В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов / В. И. Тихонов М.: Радио и связь, 1986. 296 с.
Тихонов, В. И. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный
прием сигналов / В. И. Тихонов, Н. К. Кульман. М.: Сов. Радио,
1975. 704 с.
Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение / пер.
с англ.; под ред. Г. Харта. М.: Радио и связь, 1993. 304с.
Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов / Б. Уидроу,
С. Стирнз; пер. с англ. М.: 1989. 440 с.
Фейлмейер, М. Параллельные численные алгоритмы // Системы
параллельной обработки / М. Фейлмейер; пер.с англ.; под ред.
Ивенса. М.: Мир, 1985. С. 285–338.
Фильтрация шумов / И. И. Ляшко, В. П. Диденко, О. Е. Цитрицкий Киев: Наук. Думка, 1979. 232 с.
Форсайт, Дж. Машинные методы математических вычислений /
Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер; пер. с англ. М.: Мир, 1980.
256
Хармут, Х. Ф. Несинусоидальные волны в радиолокации и радиосвязи / Х. Ф. Хармут; пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. 376 с.
Хелстром, К. Статистическая теория обнаружения сигналов /
К. Хелстром; пер. с англ. Ю. Б. Кобзарева; под ред. Ю. Б. Кобзарева.
М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 431 с.
Химмельблау, Д. Анализ процессов статистическими методами
/ Д. Химмельблау; пер. с англ. М.: Мир, 1976. 957 с.
Хохлюк, В. И. Параллельные алгоритмы целочисленной оптимизации / В. И. Хохлюк. М.: Радио и связь, 1987. 224 с.
Чуи, К. Введение в вэйвлеты / К. Чуи; пер.с англ. Я.Д.Жилейкина.
М.: Мир, 2001. 412 с.
Шварцман, В. О. Теория передачи дискретной информации:
Учебник для вузов связи / В. О. Шварцман, Г. А. Емельянов. М.:
Связь, 1979. 424 с.
Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов / Я. Д. Ширман.
М.: Сов. радио, 1974. 360 с.
Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы / Е. А.
Штагер, Е. В. Чаевский. М.: Сов. радио, 1974. 240 с.
Ярлыков, М. С. Марковская теория оценивания случайных процессов / М. С. Ярлыков, М. А. Миронов. М.: Радио и связь, 1993.
461 с.
Бестугин, А. Р. Алгоритм адаптивной фильтрации, использующей метод Ланцоша / А. Р. Бестугин, Ю. П. Блатинский//Сб. докл.
Всесоюзного совещания-семинара «Гибкие производственные системы»/ЛИАП. Л., 1985. Ч. 5. 1 с.
Бестугин, А. Р. Статистическое оценивание главных компонент входного сигнала/ А. Р. Бестугин, В. А. Лексаченко// СБ.
докл. Всесоюзной конференции «Статистичекские методы теории
передачи и преобразования информационных сигналов»/ КИИГА,
Киев, 1985. С. 19.
Вознюк, В. В. Принципы радиоэлектронного противодействияв системах передачи информации / В. В. Вознюк, А. Ф. Крячко,
Е. А. Попов. СПб.: Изд-во Политех. Ун-та, 2008. 245 с.
Бестугин, А. Р. Оценки главных компонент и их применение при
адаптивной обработке сигналов/ А. Р. Бестугин, В. А. Лексаченко//
Статистические методы обработки информации в авиационных
радиоэлектронных системах: сб. науч. тр./КИИГА. Киев, 1987.
С. 54–57.
Бестугин, А. Р. Многоальтернативная проверка гипотез в задачах разрешения/ А. Р. Бестугин, В. А. Лексаченко//Сб. докл.
Всесоюзной конференции «Статистические методы теории передачи и преобразования информационных сигналов»/КИИГА. Киев,
1988. С. 22.
257
Бестугин, А. Р. Метод многоканальной адаптивной обработки
сигналов/ А. Р. Бестугин, В. А. Лексаченко//Сб. докл. Научнотехнического семинара «РЛС дистанционного зондирования»/
Секция статистическая радиофизика АНСССР. Свердловск, 1988. 2 с.
Бестугин, А. Р. Метод адаптации антенной решетки, основанной
на оценке главных компонент/ А. Р. Бестугин, В. А. Лексаченко//
Сб. докл. Х Симпозиума по проблемам избыточности в информационных системах/ Л.: ЛИАП, 1989. Ч. 5. С. 50–51.
Крячко, А. Ф. Технический анализ сигналов при мониторинге
электромагнитной обстановки / А. Ф. Крячко, А. Ю. Рюмшин, И.
Ю. Зайцев // 9-й Международный симпозиум по электромагнитной
совместимости и электромагнитной экологии. Труды симпозиума.
СПб.: ООО «АльфаГарант», 2011. С. 223–226.
Бестугин, А. Р. Оптимальные алгоритмы оценки параметров
многомерных
логарифмически-нормальных
распределений/А. Р. Бестугин//Сб. докл. Конференции аспирантов, молодых ученых и специалистов/ СПб.: ГУАП, 1999. С. 13.
Крячко, А. Ф. Анализ сигналов с корректирующим кодированием
при погружении дискретной задачи в непрерывную – поиска экстремума функции непрерывного аргумента при наличии шумов /
А. Ф. Крячко, А. Ю. Рюмшин, И. Ю. Зайцев // 9-й Международный
симпозиум по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии. Труды симпозиума. СПб.: ООО «АльфаГарант»,
2011. С.226–229.
Бестугин, А. Р. Статистическая модель эхо-сигналов облаков дипольных отражателей/ А. Р. Бестугин, А. П. Шепета// Повышение
эффективности РЭС:Межвуз. НТС сб. науч. тр./ СПб.: МВАА. 2002.
№21. С. 50–51.
Бестугин, А. Р. Выбор принципов информационного обмена в низкоорбитальной космической сетевой системе, обеспечивающих требуемые показатели качества функционирования /
А. Р. Бестугин // Повышение эффективности РЭС: Межвуз. НТС
сб. науч. тр./ СПб.: МВАА. 2003. № 22. С. 131–132.
Бестугин, А. Р. Синтез приемных устройств в условиях априорной неопределенности / А. Р. Бестугин // Оборонная техника.
2003. № 9. С. 51–53.
Бестугин, А. Р. Мультипликативные мультифрактальные
процессы в моделировании сетевого трафика / А. Р. Бестугин,
А. Ф. Богданова, Г. В. Стогов // Информационные управляющие
системы. 2004. № 2 (9). С. 12–15.
Бестугин, А. Р. Некоторые вопросы анализа и синтеза телекоммуникационных сетей/ А. Р. Бестугин, А. Ф. Богданова,
Г. В. Стогов// Оборонная техника. 2005. № 8. С. 43–45.
258
Крячко, А. Ф. Воздействие имитационных помех на информационно-измерительные системы / А. Ф. Крячко, М. А. Куксенко //
Труды конференции «Научно-технические проблемы в промышленности» научные, инженерные и производственные проблемы
создания технических средств мониторинга электромагнитного
поля с использованием инновационных технологий/ СПб.: ООО
«Политехника-сервис». 2008 С. 148–154.
Бестугин, А. Р. Математическое моделирование вторичного излучения в задачах мониторинга электромагнитного поля /
А. Р. Бестугин, А. Ф. Крячко // Труды конференции «Научнотехнические проблемы в промышленности» научные, инженерные
и производственные проблемы создания технических средств мониторинга электромагнитного поля с использованием инновационных
технологий/ СПб.: ООО «Политехника-сервис». 2012. С. 116–122.
Бестугин, А. Р. Анализ внешнего радиоканала космических
приборов в среде с пространственно-временной периодичностью
методом возмущений/ А. Р. Бестугин // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ОТ. 2007. В. 1. С. 169–178.
Бестугин, А. Р. Микрополосковая сферическая активная фазированная антенная решетка с электронным сканированием путем перекоммутации излучателей/ А. Р. Бестугин, В. Н. Красюк,
М. Б. Рыжиков // Информационные управляющие системы. 2008.
№ 4 (35). С. 34–38.
Бестугин, А. Р. Адаптивный алгоритм обработки сигналов на
фоне помех в РЛС с конечной шириной полосы пропускания. /
А. Р. Бестугин, В. Н. Красюк, В. А. Шаталова. Радиоэлектроника
РЛТ. № 2. 2008.
Бестугин, А. Р. Радиоволны в нестационарной среде с частотой изменения параметров, превышающей частоту сигнала./ II
Международный радиоэлектронный форум МРФ 2005. Сборник
трудов/ Харьков, Украина, С. 102–104.
Гейбриэл, У. Ф. Спектральный анализ и методы сверхразрешения с использованием адаптивных решеток //ТИИЭР. 1980. Т.68.
№6. С. 19–32.
Голик, А. М. Интеллектуальные антенные решетки / А. М.
Голик, Ю. А. Клейменов, Д. А. Громов. Зарубежная радиоэлектроника, № 4–5. 1992. С. 3–8.
Ефимов, А. И. Изменение частоты и рефракция при распространении радиоволн через околосолнечную плазму / А. И. Ефимов, О.
И. Яковлев, А. С. Воинов. Радиофизика, 1990. № 3. С. 1007–1011.
Иммореев, И. Я. Сверхширокополосные радары: новые возможности, не обычные проблемы, системные особенности / И. Я.
Иммореев. Вестник МГТУ. Сер. Приборостроение. 1998. № 4.
259
Иммореев, И. Я. Особенности обнаружения целей в СШП радарах. / Сверхширокополосные технологии в радиолокации/
И. Я. Иммореев; под ред. Тейлора Д. Д., Бока Ратон, Лондон, НьюЙорк, Вашингтон, 2000. С. 3–23.
Акимов, В. Ф. Диагностика протяженных трасс ДКМ-диапазона
с использованием радиосредств наземного и космического базирования / Акимов В.Ф., Калинин Ю.К., Собчук В.А. и др. //
Радиотехника. 2013. № 11. С. 9–13.
Лексаченко, В. А. Синтез многомерного выбеливающего фильтра по методу Грама-Шмидта / В. А. Лексаченко, А. А. Шаталов //
Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21. № 1. С. 112.
Кушнир, А. А. Многосигнальная система фазовой автоподстройки для системы синхронизации по сигналам спутниковых радионавигационных систем// Радиотехника. 2013. № 11. С. 75–82.
Солонина, А. И. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки
сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. СПб.:
БХВ-Петербург, 2001. 464 с.
Стадник, А. М. Искажения сверхширокополосных электромагнитных импульсов в атмосфере земли / А. М. Стадник, Г. В.
Ермаков. Радиотехника и электроника, том 40, июль 1995. Вып. 7.
Шаталов, А. А. Адаптивные алгоритмы многомерной винеровской фильтрации / А. А. Шаталов // Радиотехника и Электроника. –
1999. Т. 44. № 10. С. 1199–1205.
Шаталов, А. А. Алгоритмы и вычисления дискретной свертки
с помощью теоретико-числовых преобразователей в одномодульной и многомодульной арифметике вычетов/А. А. Шаталов//
Радиотехника. №4. 1993. С. 3–8.
Шаталов, А. А. Эвристические алгоритмы разрешения – обнаружения случайных сигналов в шумах/А. А. Шаталов,
А. Б. Ястребков// Радиотехника и электроника, Т. 36. №2. 1991.
С. 419–422.
Шаталов, А. А. Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов на
больших временных интервалах/А. А. Шаталов, А. Б. Ястребков//
Радиотехника. №9. 1992. С. 33–39.
Шаталов, А. А. Многомерные адаптивные предпроцессоры и их
статистические характеристики / А. А. Шаталов, А. Г. Авдеев //
Радиотехника, 2004. № 11. С. 12–19.
Шаталова, В. А. Генерация сигналов цифровыми методами. / В.
А. Шаталова, А. А. Шаталов, А. В. Тэтянко // Радиотехника, 1998,
№11. С. 33 – 34.
Шаталова, В. А. Адаптивные алгоритмы цифровой фильтрации в частотной области / В. А. Шаталова, А. Б. Ястребков //
Тематический научный сборник № 10, СПб: ФВУ ПВО, 2002.
260
Benvenu G., Kopp L. Optimality of high resolution array processing
using eigensystem approach // IEEE Trans. 1983. vol. ASSP-31, № 5.
Р. 1247–1255.
Bronez T.R., Gadzow J.A. An algebraic approach to superresolution
array processing // IEEE Trans. 1983. vol. AES-19, № 1. Р. 123–133.
Kailath T. A general likelihood-ratio formula for random signals
in Gaussian noise. IEEE Trans. Information Theory, IT-15, № 3. May
1969. Р. 350–361.
Kailath T. An RKHS approach to detection and estimation
problems. Part 1: Deterministic signals in Gaussian noise. IEEE Trans
Inform. Theory, 1971. 17. Р. 530–549.
Kailath T., Dutweiler D. An RKHS approach to detection and
estimation problems. Part 3: Generalized Innovations Representations
and a likelihood-ratio formula. IEEE Trans Inform. Theory. IT-18,
№6. Р. 730–745, November.
Lichtenstein M.G., Young T.Y. The resolution of closely spaced
signals // IEEE Trans. 1968. v. IT-14, № 2. Р. 288–293.
Nakagami M. In: Statistical Methods in Radio Wave Propagation
(W.C. Hoffman,Ed.). Pergamon Press, New York, 1960.
Nilsson N. J. On the optimum range resolution of radar signals in
noise // IRE Trans. 1961. v. IT-7, №4. Р. 245–253.
Paulray A., Kailath T. Eigenstructure methods for direction of
arrival estimation in the presence of unknown noise fields // IEEE
Trans. – 1986. – vol. ASSP-34, № 1. Р. 13–20.
Root W.L. Radar Resolution of Closely Spaced Targets // Trans.
IRE, 1962, v.PGMIL-6, № 2. April, Р. 197–204.
Scott W. B. UWB Radar Has Potential to detect Stealth Aircraft.Aviation
Week and Space Tecology. December, №4. 1989. v.131. №23. Р.
38–41.
Zucker O., Mc Intire I. A. Ultra Wideband Signal Syntesis Using
Photo-conducter Switches/ -Microwawe J.,1992, v. 35. №7. Р. 60–72.
Бестугин, А. Р. Комплексная имитационно-функциональная
модель управления информационными потоками в многоспутниковой низкоорбитальной сетевой системе на основе диффузионной
аппроксимации/А. Р. Бестугин: Св-во об отраслевой регистрации
разработки № 7141 в отраслевом фонде алгоритмов и программ.
2006. № гос. регистрации 50200602149.
261
СОДЕРЖАНИЕ
Принятые сокращения...............................................................
3
Введение...................................................................................
4
1. Современное состояние и перспективы развития информационных
управляющих комплексов, выполненных на базе низкоорбитальных
сетевых структур.......................................................................
1.1. Обзор методов построения сетевых систем
космической связи.........................................................
1.2. Влияния среды распространения сигнала
на информационный канал НССС.....................................
1.3. Анализ влияния плазменных образований на каналы связи..
1.4. Обзор методов и оптимальных алгоритмов передачи
информации по различным каналам связи.........................
1.5. Современный подход к задаче фильтрации сигналов
на фоне помех и шумов....................................................
1.6. Современный подход к задаче обнаружения,
оценивания сигналов на фоне помех и шумов.....................
Выводы................................................................................
2. Выбор характеристик сетевой системы связи..............................
2.1. Пространственно-временные изменения электромагнитных
параметров трассы распространения сигнала......................
2.2 Медленные детерминированные изменения параметров
внешнего канала............................................................
2.3. Медленные случайные изменения параметров
внешнего канала ............................................................
3. Влияние быстрых изменений параметров
внешнего канала........................................................................
3.1. Решение задачи при быстром изменении среды
вне полосы взаимодействия.............................................
3.2. Решение задачи при быстром изменении параметров среды
в полосе взаимодействия.................................................
4. Численные исследования влияния среды
на информационный канал..........................................................
4.1. Численные исследования влияния быстрых
гармонических изменений параметров канала ...................
4.2. Численные исследования влияния углов падения
сигнальной и накачивающей волн ....................................
4.3. Экспериментальные исследования влияния
закритической плазмы на канал радиосвязи......................
4.4. Экспериментальные исследования канала радиосвязи
через плазму с пространственно-временной
периодичностью концентрации электронов........................
262
12
12
15
19
25
27
35
48
50
50
59
68
75
75
91
101
101
109
119
123
4.5. Экспериментальные исследования канала радиосвязи
через нестационарную плазму.......................................... 136
5. Разработка моделей сигналов, помех
и шумов для сетей космической связи...........................................
5.1. Особенности приема сигналов, помех и шумов
в узкополосных системах космической связи.
Эффект Доплера и запаздывание сигналов.........................
5.2. Разработка моделей многомерных узкополосных сигналов,
принимаемых ССС..........................................................
5.3. Статистические характеристики моделей многомерных
узкополосных сигналов принимаемых ССС........................
5.4. Разработка моделей сверхширокополосных сигналов
для систем космической связи..........................................
6. Обнаружение и оценивание параметров
сигналов, принимаемых спутниковой системой связи в условиях
многолучевого распространения..................................................
6.1. Синтез оптимального алгоритма обнаружения сигналов ССС,
принимаемых на фоне помех и окрашенного шума
в условиях многолучевости..............................................
6.2. Оптимальный алгоритм полного разрешения сигналов,
принимаемых на выходах приемных каналов ССС
при многолучевом распространении..................................
6.3. Оценка параметров по методу максимального правдоподобия
для случая многомерных нормальных выборок. .................
7. Сравнительный анализ алгоритмов обнаружения и оценивания
параметров сигналов, принимаемых спутниковой системой связи
в условиях многолучевого распространения...................................
7.1. Анализ характеристик алгоритмов
фильтрации сигналов на фоне помех.................................
7.2. Сравнительный анализ качественных характеристик
предложенных и известных алгоритмов фильтрации
сигналов на фоне шумов..................................................
7.3. Характеристики разрешения –
измерения параметров сигналов на фоне помех...................
7.4. Характеристики качества работы алгоритмов
полного разрешения сигналов в условиях
параметрической априорной неопределенности
статистических характеристик сигналов, помех и шумов.....
146
146
151
161
164
179
179
191
210
223
223
235
241
245
Заключение.............................................................................. 251
Библиографический список......................................................... 252
263
Научное издание
Оводенко Анатолий Аркадьевич,
Бестугин Александр Роальдович,
Крячко Александр Федотович,
Киршина Ирина Анатольевна
ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ
УПРАВЛЯЮЩИХ КОМПЛЕКСОВ
НА БАЗЕ НИЗКООРБИТАЛЬНЫХ
СЕТЕВЫХ СТРУКТУР
Монография
Под научной редакцией заслуженныго деятеля науки РФ,
профессора, доктора технических наук А. А. Оводенко
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка А. Н. Колешко
Сдано в набор 07.03.2015. Подписано к печати 07.04.15. Формат 60 × 84 1/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 15,34. Уч.-изд. л. 16,00.
Тираж 300 экз. Заказ № 121.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
7 599 Кб
Теги
ovodenkobestugin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа