close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shaporev1

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
С. Д. Шапорев
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
УДК 510.6(075)
ББК 22.12я73
Ш24
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор О. С. Ипатов;
кандидат физико-математических наук, профессор Б. П. Родин
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
Шапорев, С. Д.
Ш24Дискретная математика в примерах и задачах: учеб. пособие / С. Д. Шапорев. – СПб.: ГУАП, 2018. – 296 с.
ISBN 978-5-8088-1299-4
Рассмотрены три раздела курса дискретной математики: теория
множеств, комбинаторика и теория графов. Автор уделил особое внимание доступности материала. Основной текст снабжен большим количеством примеров. Даны также задания для типового расчета по
алгоритмам теории графов.
Во второй части приведены решения практически всех задач,
предложенных на практических занятиях, причем развернутые решения некоторых из них дополняют основной курс, изложенный в
первой части данной книги.
Книга полезна для знакомства с основными направлениями и методами дискретной математики и предназначена для студентов дневного, вечернего и заочного отделений, интересующихся данными
проблемам.
УДК 510.6(075)
ББК 22.12я73
Учебное издание
Шапорев Сергей Дмитриевич
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
Публикуется в авторской редакции
Компьютерная верстка А. Н. Колешко
Сдано в набор 20.08.18. Подписано к печати 10.09.18. Формат 60 × 84 1/16.
Усл. печ. л. 17,2. Тираж 50 экз. Заказ № 362.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
ISBN 978-5-8088-1299-4
© Санкт-Петербургский государственный
университет аэрокосмического
приборостроения, 2018
ЧАСТЬ 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
§ 1.1. Множества и действия над ними
Первичным понятием теории множеств является понятие самого
множества [1].
Множество – это совокупность некоторых (произвольных) объектов, объединенных по какому-либо признаку. Элементы множества при этом должны быть различными. Множество обозначается
парой скобок {…}, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Например, A = {x∈N/x + 2 = 1} –
множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию x + 2 = 1,
очевидно, пусто. B = {сложение, умножение} – множество основных
арифметических операций. Если необходимо указать, что объект a
является элементом множества A, то пишут a∈A (a принадлежит A),
наоборот запись a∉A говорит о том, что a не принадлежит A.
Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то пишут A⊆B или A⊇B и говорят, что множество A является подмножеством множества B. Множества, состоящие из одних и
тех же элементов, называются равными, то есть A = B, в противном
случае A≠B. Очевидно, что
A= B ⇔ ∀x ( ( x ∈ A ) ⇔ ( x ∈ B ) )=
=
∀x ( x ∈ A → x ∈ B ) ∧ ( x ∈ B → x ∈ A )  =
= ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A );
итак, A =B ⇔ ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A ). Если M⊆A и M≠∅, M≠A, то множество M называется собственным подмножеством множества A. Подмножества ∅ – пустое и A множества A называются несобственными. Если A есть подмножество множества B, причем A≠B, то пишут
A⊂B или B⊃A. Совокупность всех подмножеств множества A называется его булеаном или множеством – степенью и обозначается через P(A) или 2 A. С помощью скобок и операций над множествами
можно построить новые множества, более сложные чем исходные.
1) Объединение (или сумма). Эта операция над множествами обозначается A∪B, определяется как C = A ∪ B = {x ∈ C ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B )}.
Все операции над множествами можно иллюстрировать с помо3
щью диаграмм Эйлера1 – Венна2.
Если за некоторое универсальное
множество, содержащее как подмножества все другие множества,
обозначить U (или Ω) и изобразить
его в виде всей плоскости, то любое
множество A⊂U можно изобразить
в виде части плоскости, то есть в
виде некоторой фигуры, лежащей
на плоскости. Множество C объединение множеств A и B, C на
рис. 1.1 заштриховано C = A∪B.
2) Пересечением (или произведением) двух множеств называется
такое множество C, которое состоит из элементов, принадлежащим
одновременно обоим множествам,
то есть
U
B
A
Рис. 1.1
U
B
A
Рис. 1.2
C = A ∩ B = {x ∈ C ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B )}.
U
Пересечение множеств A и B
заштриховано и изображено на
рис. 1.2.
3) Разностью двух множеств A
и B называется множество A\B, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в A и одновременно не входят в B, то есть
B
A
Рис. 1.3
A
Рис. 1.4
=
C A=
\B
_
A
= {x ∈ C ( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B )} = A ∩ B
(см. рис 1.3).
Если, в частности, A подмножество U, то разность U\A обозначается A и называется дополнением
множества A (см. рис 1.4).
1
2
4
Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик.
Джон Венн (1834–1923) – английский математик и логик.
4) Симметрической разностью
или кольцевой суммой множеств A
и B называется множество
U
(см. рис 1.5).
Очевидно, что
C= A⊕B=
{
B
A
C = A ⊕ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A )
Рис. 1.5
}
= x ∈ C / (( x ∈ A ) ∧ ( x ∉ B )) ∨ (( x ∉ A ) ∧ ( x ∈ B )) .
Если a∈A и b∈B, то пару элементов (a, b) называют упорядоченной парой, причем пары (a1, b1) и (a2, b2) равны тогда и только тогда,
когда a1 = a2 и b1 = b2.
5) Множество, элементами которого являются все упорядоченные пары (a, b), a∈A, b∈B называется прямым или декартовым произведением множеств A и B и обозначается A×B. Например, A = {1,
2}, B = {2, 3}→A×B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}, а B×A = {(2, 1), (2, 2), (3,
1), (3, 2)}. Таким образом, декартово произведение не подчиняется
коммутативному закону и A×B = B×A справедливо, если A = B. Произведение A×A называется декартовым квадратом.
Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называются законами алгебры множеств. Эти законы таковы:
1) коммутативный: A∪B = B∪A, A∩B = B∩A;
2) ассоциативный: (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C);
 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ),
3) дистрибутивный: 
 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C );
4) законы идемпотентности: A∪A = A, A∩A = A, в частности
A∪∅ = A, A∩∅ = ∅, A∪U = U, A∩U = A;
5) законы поглощения: A∪(A∩B) = A, A∩(A∪B) = A;
6) законы де Моргана1 (двойственности):
A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B.
7) закон двойного дополнения: A = A;
8) закон включения: A ⊂ B ⇔ B ⊂ A; ;
9) закон равенства:
1
Огастес де Морган (1806–1871) – шотландский математик и логик.
5
A =B ⇔
( ( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A ) ⇔ ( A ∩ B ) ∨ ( A ∩ B ) ).
Конечно, этим кратким перечнем количество законов алгебры
множеств не исчерпывается. Другие соотношения между множествами могут быть выведены на основе вышеприведенных законов
по правилам алгебры логики.
Пример 1. Доказать включения (A∪B)\C⊂A∪(B\C).
Легче всего сделать это по диаграмме Эйлера – Венна (см. рис.
1.6–1.7).
U
U
C
A
C
B
B
A
Рис. 1.6. Заштриховано (A∪B)\C
Рис. 1.7. Заштриховано A∪(B\C)
Пример 2. Пусть
A = {x∈N/2<x≤6}, B = {x∈N/1<x<4}, C = {x∈N/x2–4 = 0}.
Из каких элементов состоит множество (A∩B)∪(B∪C), C×B?
Перепишем множества A, B и C, перечислив их элементы.
A = {3, 4, 5, 6}, B = {2, 3}, C = {2}.
Тогда
A∩B = {3}, B∪C = {2, 3}, (A∩B)∪(B∪C) = {2, 3}.
C×B = {(2, 2), (2, 3)}, а B×C = {(2, 2), (3, 2)}.
§ 1.2. Практическое занятие № 1.
Операции над множествами [2]
1.2.1. Доказать равенства:
а) A\(A\B) = A∩B; б) (A\B)\C = A\(B∪C); в) (A\B)∩C = (A∩C)\(B∩C).
1.2.2. Пусть
{
}
{
}
{
A = x∈N 2 < x ≤ 6 , B = x∈N1 < x < 4 , C = x∈N
Из каких элементов состоят множества:
а) B∪C; б) A∩B∩C; в) A∪B∪C; г) B×C; д) C×B?
6
}
x2 − 4 =
0
.
1.2.3. Доказать включения:
а) A∪(B\C)⊃(A∪B)\C;
б) (A∪C)\B⊂(A\B)∪C.
1.2.4. Пусть A⊂U, B⊂U. Найти множество X⊂U, удовлетворяющее
(
)
B.
уравнению ( X ∪ A ) ∪ X ∪ A =
1.2.5. Доказать, что
а) если A⊆B∩C, то A⊆B и A⊆C;
б) если A∩B⊆C, то A ⊆ B ∪ C;
в) если A∪B⊆C, то A⊆C и B⊆C; г) если A⊆B∪C, то A ∩ B ⊆ C.
B,
A ∩ X =
1.2.6. Решить систему уравнений 
где B⊆A⊆C.
C,
A∪X =
1.2.7. Доказать, что:
а) если A⊆B, то B ⊆ A;
б) если A⊆B, то A∪C⊆B∪C;
в) если A⊆B, то A∩C⊆B∩C.
 A \ X = B,
1.2.8. Решить систему уравнений 
B⊆A, A∩C = ∅.
 X \ A = C,
1.2.9. Доказать, что система уравнений
∅,
 A ∩ X =

∅
 B ∩ X =
имеет решение тогда и только тогда, когда B ⊆ A, при этом условии решением системы является любое множество X такое, что
B ⊆ X ⊆ A.
§ 1.3. Эквивалентные, конечные и бесконечные множества [3, 4]
Множества A и B называются эквивалентными, если существует
взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и
B. Эквивалентные или равномощные множества обозначаются A∼B.
По определению эквивалентность обладает свойствами:
1) рефлексивности A∼A;
2) симметричности: если A∼B, то B∼A;
3) транзитивности: если A∼B и B∼C, то A∼C.
При сравнении множеств по числу содержащихся в них элементов возникает понятие мощности множества. Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A. Обозначение мощности A.
7
Множество A называется конечным, если существует n∈N такое,
что A∼{1, 2,…, n}. Тогда A = n. Таким образом, мощностью конечного множества является число его элементов. Если A∼B, то множества A и B имеют одинаковую мощность.
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если A∼N, то множество A называется счетным. Счетное множество – это такое множество A, все элементы которого могут быть
занумерованы в бесконечную последовательность a1, a2,…, an,…
так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и
каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества A. Таким образом, счетное множество это множество
значений какой-нибудь последовательности. Пустое множество по
определению относится к счетным. Мощность счетных множеств
принято обозначать через ℵ01. Мощности произвольных множеств
называются кардинальными числами. Кардинальные числа конечных множеств называются конечными, для бесконечных множеств – бесконечными.
Рассмотрим некоторые результаты, относящиеся к счетным множествам.
Теорема 1.1. Всякое подмножество счетного множества конечно
или счетно.
Доказательство. Пусть A – счетное множество, B⊆A. Если B = ∅,
то оно счетно по определению. Пусть B≠∅. На основании определения счетного множества все элементы множества A занумерованы,
а само множество может быть представлено в виде бесконечной последовательности a1, a2,…, an,…. Если B⊆A, то an1 – первый элемент
множества B, являющийся одновременно членом последовательности a1, a2,…, an,…, an2 – второй элемент и так далее.
Возможны два случая, либо после конечного числа шагов все элементы множества B будут исчерпаны, либо получится бесконечная
последовательность an1 , an2 ,..., ank ,... В первом случае множество B
будет конечным, во втором – счетным.
Теорема 1.2. Объединение счетного числа счетных множеств
счетно.
Пример 1. Пусть дан некоторый алфавит A, т. е. набор знаков,
называемых буквами. Любая конечная последовательность букв
1 ℵ – первая буква древнееврейского алфавита, называется «алеф», выражение
ℵ0 читается: «алеф-нуль».
8
называется словом. Пустое слово обозначается символом Λ. Если
алфавит конечен, то множество B всех слов алфавита A счетно.
Пусть A = {A1, A2,…,Ak}, k≥1. Определим последовательность
f : N → B таким образом: f(0) = Λ, если m>0, то
f ( m ) = Anm Anm −1 ... An2 An1 ,
где Ani – i-й разряд записи слова в k-ичной системе счисления. Очевидно, что произвольное слово Anm Anm −1 ... An2 An1
является значением функции f(m) при значении аргумента
n1 + n2 ⋅ k1 + ... + nm −1 ⋅ km −1 + nm ⋅ km , т. е. Rf = B. Итак, f:N→B, Rf = B,
следовательно, множество B счетно, так как B эквивалентно счетному множеству N.
Пример 2. Множество всех рациональных чисел Q счетно.
Всякое рациональное число записывается в виде несократимой
дроби m , где m – целое число, n – положительное целое число.
n
Следовательно, множество Q эквивалентно множеству таких дробей. Множество дробей вида m n является, в свою очередь, подмножеством всех слов в алфавите {0, 1, 2,…,9, –, /}. Таким образом, Q,
являясь подмножеством счетного множества, счетно.
Теорема 1.3. Всякое бесконечное множество A содержит счетное
множество B, притом такое, что A\B есть бесконечное множество.
Теорема 1.4. Всякое бесконечное множество A содержит подмножество B∼A, причем A\B есть бесконечное множество.
Так как никакое конечное множество не содержит части, эквивалентной всему множеству, то последняя теорема выражает
свойство, присущее лишь бесконечным множествам и только им и
может служить условием, поясняющим определение бесконечных
множеств. В случае бесконечных множеств понятие мощности является обобщение понятия количества элементов конечного множества. Однако любые количества либо равны, либо одно из них больше другого, поэтому возникает вопрос о сравнимости мощностей.
Пусть даны два множества A и B. При их сравнении возможны
следующие случаи:
а) существует взаимно однозначное соответствие между A и B;
б) существует взаимно однозначное соответствие между A и C⊆B
и нет взаимно однозначного соответствия между B и D⊆A;
в) существует взаимно однозначное соответствие между A и C⊆B,
а также взаимно однозначного соответствия между B и D⊆A.
Третий случай невозможен, если A и B – конечные множества,
для счетных множеств этот случай может осуществляться.
9
Теорема 1.5. (Кантора1 – Бернштейна2) Если из двух множеств
A и B каждое эквивалентно части другого, то эти два множества эквивалентны между собой, т. е. если A≤B и B≤A, то A = B.
Доказательство. Пусть A∼B1⊂B и B∼A1⊂A. Тогда, если A∼B1,
то B1∼A2 и A⊃A1⊃A2 в силу взаимно однозначного соответствия
при эквивалентности. Одновременно B∼A1. Таким образом, показав, что A∼A1, докажем, что A∼B, так как A1∼B. Итак, рассмотрим
какое-нибудь взаимно однозначное отображение f. Так как A∼B1,
f
f
B1∼A2, A ↔ A2 и A∼A2. Аналогично A1 ⊂ A ↔ A3 ⊂ A2 и A1∼A3,
f
A2 ⊂ A1 ↔ A4 ⊂ A3 и A2∼A4 и так далее. В силу того же взаимно
f
f
f
A \ A1 ↔ A2 \ A3 ,
однозначного соответствия
A1 \ A2 ↔ A3 \ A4 ,
A2 \ A3 ↔ A4 \ A5 (см. рис 1.8).
A3
B
A
A1
B1
A2
Рис. 1.8
Но тогда
(A\A1)∪(A2\A3)∪(A4\A5)∪…∼(A2\A3)∪(A4\A5)∪(A6\A7)∪…
Введем вспомогательное множество D = A∩A1∩A2∩A3∩…, тогда
A = D∪(A\A1)∪(A1\A2)∪…, A1 = D∪(A1\A2)∪(A2\A3)∪…,
так как
(
) (
)
A =( A ∩ A1 ∩ A2 ∩ ...) ∪ A ∩ A1 ∪ A1 ∩ A2 ∪ ... =
 ( A ∪ A1 ) ∩ ( A ∪ A2 ) ∩ ( A ∪ A3 ) ∩ ... 

 ∪ A1 ∩ A2 ∪ ...
=
 ∩ A1 ∪ A1 ∩ A2 ∪ A1 ∩ A3 ∪ A1 ∩ ... 


(
1
2
10
) (
) (
)
(
)
Георг Кантор (1845–1918) – немецкий математик.
Сергей Натанович Бернштейн (1880–1966) – советский математик.
) (
) ) (
)
( (
= ( ( A ∪ A1 ) ∩ ( A2 ∪ A1 ∪ A1 ) ∩ ( A3 ∪ A1 ∪ A1 ) ∩ ...
= A ∩ A2 ∪ A1 ∩ A3 ∪ A1 ∩ ... ∪ A1 ∩ A2 ∪ ... =
(
) (
) (
)
= ( A ∩ ( A3 ∪ A1 ∪ A2 ) ∩ ...) ∪ ... = A,
... ∩ A ∪ A2 ∩ A2 ∪ A1 ∪ A2 ∩ A3 ∪ A1 ∪ A2 ∩...) ∪ ... =
аналогично выражается A1. Но равенства для A и A1 можно переписать следующим образом
A = (D∪(A1\A2)∪(A3\A4)∪…)∪((A\A1)∪(A2\A3)∪…), A1 = = (D∪(A1\A2)∪(A3\A4)∪…)∪((A2\A3)∪(A4\A5)∪…).
В этих выражениях первые скобки в правых частях одинаковы, а
во вторых скобках стоят эквивалентные множества. Устанавливая
между элементами множеств
(A\A1)∪(A2\A3)∪… и (A2\A3)∪(A4\A5)∪…
взаимно однозначное соответствие и заставляя соответствовать самому себе каждый элемент множества D∪(A1\A2)∪(A3\A4)∪…, получим взаимно однозначное соответствие между элементами множеств A и A1, т. е. A∼B и A = B.
Мы уже упоминали о том, что мощности бесконечных множеств
должны быть сравнимы между собой, т. е. должны существовать
различные бесконечные мощности. Это действительно так, для
каждого множества A существует множество, мощность которого
больше мощности множества A.
Теорема 1.6. Множество всех подмножеств произвольного непустого множества A имеет мощность большую, чем мощность множества A.
Эта теорема верна и для пустого множества A. Для A = ∅ множество всех подмножеств имеет вид {∅}, т. е. имеет мощность 1, в то
время как ∅ = 0.
Рассмотрим множество всех отображений множества N в множество M = {0, 1}. Всякое такое отображение, ставя каждому натуральному числу в соответствие 0 или 1, приводит к построению бесконечной последовательности i1, i2,…,in,…, где in = 0 или 1, т. е. бесконечной десятичной дроби 0, i1, i2,…,in,… Таким образом, множество всех бесконечных двоичных дробей имеет мощность, равную
мощности всех подмножеств множества N. Так как N = ℵ0, тогда
мощность множества всех бесконечных двоичных дробей равна 2ℵ0
11
Множество A называется несчетным, если его мощность больше
мощности множества N. Нам известно, что множество всех рациональных чисел счетно (пример 2), далее мы покажем, что множество всех действительных чисел несчетно. Если A ~ 2ℵ0 , то множество A называется континуальным или континуумом1 и обозначается через c. Эта мощность несчетна ( 2ℵ0 > ℵ0 ).
Теорема 1.7. Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума c = 2ℵ0 и, следовательно, несчетно.
Доказательство. Сначала докажем, что множество действительных чисел R находится во взаимно однозначном соответствии с действительными числами интервала (0, 1). Рассмотрим две функции
f1(x) = tgx и f2(x) = a + (b-a)x. Очевидно, что
(
− π 2, π 2
)
f1 ( x ) =tgx
↔
R,
аналогично,
( 0,1)
при a = − π 2, b = π 2.
(
f2 ( x )=a +( b −a ) x
↔
( − π 2, π 2 )
) (
)
Таким образом, R ~ − π 2, π 2 , − π 2, π 2 ~ ( 0,1), т. е. R∼(0, 1).
Обратим еще раз внимание на процесс разложения действительных чисел в двоичные дроби. Нами уже показано, что мощность
множества всех бесконечных двоичных дробей равна мощности
всех подмножеств множества N, т. е. мощности континуума (см.
комментарий к теореме 1.6).
Рассмотрим процесс последовательного разбиения интервала (0,
1) на две равные части
 1  1   1  1 1  1 3   3 
 0,  ,  ,1 ;  0,  ,  ,  ,  ,  ,  ,1 ;...
 2 2   4  4 2 2 4  4 
1
Длины этих отрезков, равные
, обозначим через ∆ i1,i2 ,...,in ,
2n
где i1, i2,…,in независимо друг от друга принимают значение 0 или
1, при этом ∆ i1,i2 ,...,in −1,0 и ∆ i1,i2 ,...,in −1,1 – левая и правая половина ∆ i1,i2 ,...,in −1 . Возьмем любое x∈(0, 1). Пусть сначала x не равен
1
сел
12
Continuum – непрерывное (лат.), поэтому мощность всех действительных чи-
c = 2ℵ0 называется мощностью континуума.
m
,m ∈ N, т. е. не совпадает с концом или началом какого-нибудь
2n
отрезка. Тогда x представимо в виде i1, i2,…,in…, где ik = 0 или 1, а
последовательность i1, i2,…,in… есть последовательность двоичных
знаков числа x.
m
m
Пусть теперь x∈(0, 1) и x =
несократима. Тогда
, где дробь
n
2
2n
x является общим концом двух отрезков, следовательно, x можно
представить в виде двух последовательностей двоичных знаков i1,
i2,…,in–1, 0, 1, 1, 1,… и i1, i2,…,in–1, 1, 0, 0, 0,…
Таким образом, каждое действительное число x∈(0, 1) имеет либо
одно двоичное разложение 0.i1i2,…,in,…, либо два двоичных разложения 0.i1i2…in–10111,… и 0.i1i2…in–11000,…, причем второй случай
наступает тогда и только тогда, когда число x двоично-рационально.
Так как R∼(0, 1), а множество двоично- рациональных чисел
счетно (см. пример 2), то достаточно доказать, что множество всех
не двоично-рациональных чисел интервала (0, 1) имеет мощность
c (см. задачу 1.5.6). Но это множество находится во взаимно однозначном соответствии с множеством непериодических бесконечных
двоичных дробей вида 0.i1i2…in…, которое имеет мощность континуума. Таким образом, R = c.
§ 1.4. Практическое занятие № 2.
Кардинальные числа
1.4.1. Доказать, что
а) всякое подмножество конечного множества конечно;
б) объединение конечного числа конечных множеств конечно.
1.4.2. Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно,
когда оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству.
1.4.3. Доказать, что
а) если A бесконечно и B – конечное или счетное множество, то
A∪B∼A;
б) если A бесконечно и несчетно, B конечно или счетно, то A\B∼A.
1.4.4. Доказать, что множество целых чисел счетно.
1.4.5. Доказать, что множество многочленов от одной переменной
с целыми коэффициентами счетно.
1.4.6. Доказать, что
а) (0, 1)∼[0, 1]∼(0, 1]∼[0,1);
б) [a, b]∼[c, d], где a<b, c<d.
13
1.4.7. Доказать, что множества точек двух окружностей эквивалентны.
1.4.8. Доказать, что множество всех подмножеств P(A) множества A имеет мощность, большую чем A.
1.4.9. Доказать, что не существует множества, содержащего все
множества.
1.4.10. Пусть A – счетное множество точек на действительной
∅?
прямой. Можно ли выбрать a так, чтобы x + a x ∈ A ∩ A =
{
}
§ 1.5. Аксиомы теории множеств
Теория множеств является универсальным фундаментом для
всего здания математики. Область исследования каждой математической дисциплины можно представить в виде набора множеств заданной структуры. Однако свободное использование понятий интуитивного теоретико-множественного универсума иногда приводит
к противоречиям.
Приведем в качестве примера два из них. Парадокс Рассела1 заключается в следующем. Пусть R есть множество всех множеств,
которые не являются элементами самих себя, т. е. R = x x ∉ x . Тогда для любого множества x будет x ∈ R ↔ x ∉ x. Если подставить R
вместо x, получится противоречие: оказывается R∈R выполняется
тогда и только тогда, когда R∉R.
Парадокс Кантора также связан с множеством всех множеств.
Обозначим его A, тогда P(A) – семейство всех подмножеств данного
множества A и P(A)⊆A, т. е. P(A)≤A. Но с другой стороны для любого множества A P(A)≥A. Тогда по теореме Кантора – Бернштейна должно быть P(A) = A, что противоречит теореме 1.6.
Во многом эти парадоксы следствие аксиоматической теории множеств. Как известно, в любой аксиоматической теории сначала выбирают основные понятия, которые лишь поясняются, ибо должны
быть интуитивно понятны, а затем составляются аксиомы для этих
понятий. Основным понятием теории множеств является понятие
самого множества. Множество образуется путем отбора определенных объектов и полностью ими определяется, при этом элементами
множеств могут быть объекты любой природы. Можно конкретизировать первичное понятие элемента множества и наложить на него
некоторые ограничения, которые позволят избежать парадоксов.
{
1
14
Бертран Артур Уильям Рассел (1872–1970) – английский математик.
}
Например, парадоксов можно избежать, если ввести совокупности объектов двух сортов, одну из них называть классами, другую –
множествами, причем множествами будут только те из классов,
которые сами могут быть элементами других классов. Кроме того,
следует считать, что множества строятся по шагам. Для каждого
текущего шага предшествующие шаги, если они имеются, осуществляются раньше (в логическом, а не во временном смысле) текущего
шага. Таким образом, отношение «раньше» упорядочивает шаги.
Каждое множество будет построено после некоторого количества
шагов и лишь после этого может быть использовано. Когда же множество еще строится путем выбора его элементов, то оно еще не готово как объект и его нельзя использовать в качестве элемента, например, самого себя.
Ограничения подобного рода позволяют избежать парадоксов,
однако целесообразнее ограничиться рассмотрением только тех
множеств, существование которых может быть доказано на основе
некоторой системы аксиом.
Такая система предложена Э. Цермело1 в 1908 году, затем она
была несколько расширена А. Френкелем2 и носит название системы аксиом Цермело-Френкеля (ZF).
В систему ZF входят следующие аксиомы.
1) Аксиома объемности (экстенсиональности). Всякое множество полностью определяется своими элементами. Два множества
равны тогда и только тогда, когда они состоят из одинаковых элементов:
∀x ( x ∈ A ↔ x ∈ B ) ↔ A =
B.
2) Аксиома объединения (суммы). Объединение всех элементов
любого множества A есть множество, т. е. для любого множества A
существует множество ∪A, состоящее в точности из всех элементов,
принадлежащим элементам множества A. Если ∃A, то
∃∪
=
A
{a / a ∈ b
äëÿ íåêîòîðîãî b ∈ A}.
3) Аксиома степени (аксиома множества всех подмножеств).
Совокупность всех подмножеств произвольного множества A является множеством. Если ∃A, то
1
2
Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871–1953) – немецкий математик.
Абрахам Адольф Френкель (1891–1965) – израильский математик.
15
{
}
B
∃P ( A ) =
.
B⊆ A
4) Аксиома подстановки (замены). Для каждого множества A и
функции f, определенной на A, существует множество, содержащее
в точности объекты f(x) для x∈A
y

∃B =
.
 x∈ A ∧ y =
f
x
( )

5) Аксиома регулярности (фундирования). Множество A называется фундированным, если каждое множество, содержащее A,
имеет минимальный элемент. Всякое непустое множество A имеет
элемент a∈A, для которого a∩A = ∅, т. е. этот элемент минимален.
Действительно, пусть a∈A; если a и A не пересекаются, то a и есть
искомый минимальный элемент множества A. Эту аксиому можно
сформулировать и таким образом: не существует бесконечно убывающей последовательности множеств a1⊇a2⊇…
6) Аксиома бесконечности. Она гарантирует существование бесконечного множества – множества натуральных чисел ∃N = {0, 1,
2,…, n,…}, где 0 = ∅, n + 1 = n∪{n}.
7) Аксиома выделения. Для любого множества A и свойства F такого, что для любого a∈A утверждение F(x) либо истинно, либо ложно, существует множество


B= a
,
a
∈
A
∧
F
a
=
1
(
)


состоящее в точности из тех элементов множества A, для которых
F истинно. Название аксиомы объясняется тем, что мы выделяем
такие a∈A, которые удовлетворяют F(x), из всех элементов множества A.
Иногда вместо аксиомы выделения в систему аксиом включают
две аксиомы:
а) аксиому существования пустого множества ∃∅ и
б) аксиому существования пары: если ∃A и ∃B, то ∃{A, B}.
Эти две аксиомы можно легко вывести из приведенных семи
основных аксиом. Например, ∅ = x x ≠ x . Пусть A – произвольное множество. Оно существует по аксиоме бесконечности. Тогда
{
}
{
}
∀x ( x ≠ x → x ∈ A ) и по аксиоме выделения ∃∅ = x
x ≠ x, x ∈ A .
16
Для того, чтобы система аксиом теории множеств была полной,
т. е. адекватно формализовала все известные приемы математических рассуждений, необходимо к аксиомам системы ZF добавить
еще одну из двух конкурирующих друг с другом аксиом:
а) аксиому выбора (AC)1 или
б) аксиому детерминированности (AD)2.
Система аксиом ZF с добавленной аксиомой выбора называется
системой аксиом ZFC.
Аксиома выбора предложена Э. Цермело в 1904 году. Пусть для
каждого x∈X задано множество Ax≠∅. Выбрав в каждом из множеств Ax некоторый элемент y∈Ax, получим функцию f, определенную на X и такую, что f(x)∈Ax для всех x∈X, т. е. f(x) = y. Эта функция называется функцией выбора.
Аксиома выбора. Для всякого семейства непустых множеств Ax
существует функция выбора, т. е. ∀Ax≠∅ ∃f:P(Ax)→Ax, что f(X)∈X
для ∀X⊆Ax, X≠∅.
Наиболее «прозрачная» формулировка аксиомы выбора такова:
для любого непустого множества Ax попарно непересекающихся
множеств существует некоторое множество, содержащее в качестве
своих аргументов ровно по одному элементу из каждого элемента
множества Ax.
Эта аксиома вызвала много споров и серьезные возражения крупных математиков. Основные возражения касались неконструктивного характера самой аксиомы: о функции выбора, существование
которой постулируется аксиомой, в общем случае ничего не известно, и нельзя сказать, чему равно значение f(x) для конкретных x∈X.
Тем не менее, аксиома выбора играет ключевую роль в системе аксиом. Кроме того, она неявно присутствует в доказательстве многих
важных утверждений из математического анализа и теории меры,
например, в таком: если x – предельная точка множества действительных чисел X, то существует последовательность x0, x1,…, xn,…
точек множества X, сходящихся к x. Этот пример показывает, что
два стандартных определения предельной точки (одно через окрестности, а другое через последовательности) не будут эквивалентными, если нет аксиомы выбора.
1
2
AC – сокращение от axiom of choice (англ.).
AD – сокращение от axiom of determinateness (англ.).
17
Альтернативной аксиоме выбора является предложенная в 1962
году Мычельским1 и Штейнгаузом2 аксиома детерминированности
(AD).
Рассмотрим множество A бесконечных последовательностей натуральных чисел, определяющих следующую бесконечную игру GA
для двух игроков. Игрок I пишет натуральное число n0, затем игрок
II пишет натуральное число n1 и так далее по очереди. Если получающаяся в результате игры последовательность n0, n1,…, nk,… принадлежит множеству A, то выигрывает игрок I, в противном случае
игрок II. Игра GA называется детерминированной, если либо игрок
I, либо игрок II имеют выигрывающую стратегию.
Аксиома детерминированности. Всякое множество A⊆I детерминировано. Здесь I-бэровское3 пространство (множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел).
Аксиома детерминированности создана с целью получить более привлекательные следствия, чем те, что дает аксиома выбора.
В целом эти две конкурирующие аксиомы дают противоположные
следствия в тех областях, где они применимы.
Аксиома выбора имеет ряд следствий, являющихся в определенной степени нежелательными, или приводят к «парадоксальным»
примерам множеств, противоречащим нашей интуиции, вроде
парадокса Банаха4 – Тарского5: используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые затем можно
переставить так, что получится два шара такого же размера, как
и исходный шар. Однако эта аксиома оказывает четкое организующее влияние на бесконечные мощности, делает более «регулярной» структуру бесконечных множеств, сравнивая их по величине
и располагая такие мощности в иерархию алефов. Ее роль особенно
важна при изучении наиболее общих топологических пространств,
произвольных множеств и порядковых чисел, где она становится
органически включенной в структуру большинства рассуждений и
построений.
Аксиома детерминированности (AD) противоречит аксиоме выбора (AC). В свою очередь AD в отличие от AC не дает ясной картины
бесконечных мощностей и почти не используется в топологии. Зато
1
2
3
4
5
18
Ян Мычельский (р. 1932) –польско-американский математик.
Гуго Дионисий Штейнгауз (1887–1972) – австрийско-польский математик.
Рене Луи Бэр (1874–1932) – французский математик.
Стефан Банах (1892–1945) – польский математик.
Альфред Тарский (1902–1983) – польский математик.
многие следствия AD укладываются в естественный эвристический
принцип: если нет «индивидуальных» примеров множеств с какимлибо свойством, то AD влечет отсутствие множеств, обладающих
этим свойством. Кроме того, эта аксиома широко применяется в задачах из теории проективных множеств, неразрешимых с помощью
AC.
Выбор между аксиомой детерминированности и аксиомой выбора возможен, очевидно, лишь со временем, путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах [5].
19
ЧАСТЬ 2
КОМБИНАТОРИКА
§ 2.1. Основные определения комбинаторного анализа [6–9]
Бытует мнение, что комбинаторные задачи элементарны. Конечно, это не так. Число комбинаторных задач и их разнообразие быстро
растет. К их решению прямо или косвенно приводят многие практические задачи. При этом оказывается, что, несмотря на заманчивую
простоту постановки, комбинаторные задачи в большинстве очень
трудны; многие из них не поддаются решению до сих пор. К числу современных задач, решаемых комбинаторными методами, относятся:
1) задачи на размещения. Это задачи о расположении, например,
на плоскости предметов, обладающих свойствами дальнодействия;
2) задачи о покрытиях и заполнениях. Это задачи, например, о
заполнении заданных пространственных фигур меньшими телами
заданных форм и размеров;
3) задачи о маршрутах. К ним относятся задачи на отыскание
кратчайшего пути и тому подобное. Это задачи оптимального плана;
4) комбинаторные задачи теории графов. Это задачи сетевого
планирования, например, задачи транспортных и электрических
сетей, задачи об окрашивании графов, задачи о перечислении вершин и тому подобные задачи;
5) перечислительные задачи. В таких задачах речь идет о числе
предметов, составляемых из данного набора элементов при соблюдении определенных правил.
В задачах комбинаторного анализа исследуются дискретные
множества, то есть множества, составленные из отдельных обособленных элементов. В большинстве случаев эти множества конечные, но не исключается и рассмотрение множеств, состоящих из
бесконечного числа элементов. Особенностью комбинаторных задач
является то, что в них преимущественное внимание уделяется двум
видам операций: отбору подмножеств и упорядочению элементов.
Эти две операции и являются основными комбинаторными.
С операцией отбора множеств связано понятие выборки. С этим
понятием можно связать как осуществление операции отбора, так и
ее результат – само выбранное подмножество.
20
Подмножество из r элементов, выбранное из множества Sn, состоящего из n элементов, называется (n, r) – выборкой, а r – объемом
этой выборки. Если (n, r) – выборки рассматриваются с учетом порядка элементов в них, то они называются (n, r) – перестановками.
Если же порядок элементов в выбранных подмножествах не важен,
то соответствующие выборки называются (n, r) – сочетаниями.
В выборках могут допускаться и не допускаться повторения элементов. Упорядоченная (n, r) – выборка, в которой элементы могут повторяться, называется перестановкой с повторениями из n
элементов по r или (n, r) – перестановкой с повторениями. Если
элементы упорядоченной (n, r) – выборки попарно различны, то
она называется (n, r) – перестановкой без повторений. Число (n, r) –
перестановок обозначается символом Pn,r или P(n, r), а число перестановок с повторениями Pˆn,r или Pˆ ( n,r ). P – первая буква французского слова Permutation – перестановка. До сих пор во многих
учебниках (n, r) – перестановки называются размещениями и обозначаются символом Anr , собственно же перестановками называются упорядоченные (n, n) – выборки. A – первая буква французского
слова Arrangement – размещение, приведение в порядок. Неупорядоченная (n, r) – выборка, в которой элементы могут повторяться,
называется сочетанием с повторениями из n элементов по r.
Число сочетаний без повторений обозначается символами C(n, r),
r n
Cn ,  , с повторениями Cˆ ( n,r ) или Cˆnr . C – первая буква франr 
цузского слова Combination – сочетание. Наиболее употребительn
ным является обозначение Cnr . Символ   называется символом
r 
1
Аппеля .
Пример 1. Пусть A = {a, b, c}, r = 2. Указать все упорядоченные и
неупорядоченные выборки с повторениями и без повторений из трех
элементов по два.
1) aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc – девять перестановок с повторениями, Pˆ3,2 = 9.
2) ab, ac, ba, bc, ca, cb – шесть перестановок без повторений,
P3,2 = 6.
3) ab, ac, bc – три сочетания без повторений, C32 = 3.
4) aa, ab, ac, bb, bc, cc – шесть сочетаний с повторениями, Cˆ32 = 6.
1
Поль Эмиль Аппель (1855–1930) – французский математик.
21
§ 2.2. Правило суммы и правило произведения
Основной комбинаторной задачей является подсчет числа (n, r) –
выборок при различных условиях. Опыт выполнения комбинаторных операций отбора подмножеств привел к следующим двум логическим правилам.
1) Правило суммы. Если из множества S подмножество A (которое может состоять и из одного элемента) можно выбрать n способами, а подмножество B, отличное от A m способами, и при этом
выборы A и B таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть получены одновременно, то выбор из множества S множества A∪B можно получить n + m способами.
Прокомментируем это правило подробнее. Если A∩B = ∅, то A и B
называются непересекающимися множествами, в частности, если
Ai∩Aj = ∅ при всех i, j = 1, 2,…, r, i≠j, то S = A1∪A2∪…∪Ar называется разбиением множества S на непересекающиеся подмножества или просто
разбиением. Правило суммы можно сформулировать и в терминах теории множеств: если даны n – множество A и m – множество B, то при
A∩B = ∅ объединение A∪B будет n + m – множеством. Если дано разбиение S = A1∪A2∪…∪Ar, где Ai∩Aj = ∅, i, j = 1, 2,…r, i≠j и если Ai есть ni –
множество (i = 1, 2,…, r), то множество S есть
r
∑ ni – множество.
i =1
2) Правило произведения. Если из множества S подмножество A
может быть выбрано n способами, а после каждого такого выбора
подмножество B можно выбрать m способами, то выбор A и B в указанном порядке можно осуществить n×m способами.
В терминах теории множеств это правило соответствует понятию декартова произведения множеств: если A является n – множеством, а B m- множеством, то A×B окажется n⋅m – множеством.
Пусть Ai суть ni – множества, i = 1, 2,…, r. Построим множества:
M1 = A1, M2 = A1×A2 = M1×A2, M3 = M2×A3,…, Mr = Mr–1×Ar. Тогда Mr будет n1⋅n2⋅…⋅nr множеством.
При решении практических задач правило произведения часто
употребляется при подсчете числа вариантов при проведении (n,
r) – выборок. В этом случае его формулировка может выглядеть, например, так.
2а) Правило произведения. Пусть требуется выполнить одно
за другим r действий. Если первое действие можно выполнить n1
способами, второе действие – n2 способами и так до r-го действия,
которое можно выполнить nr способами, то все r действий вместе
могут быть выполнены n1⋅n2⋅…⋅nr способами.
22
Пример 1. В классе изучают 10 предметов. В понедельник шесть
уроков, причем все уроки различные. Сколькими способами можно
составить расписание на понедельник?
Речь в задаче идет о 6 – перестановках без повторения из 10 элементов. Первый урок можно поставить в расписание десятью способами, второй девятью, третий – восемью и так далее. По правилу
произведения число способов составления расписания будет равно
6
A10
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 151200.
Пример 2. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на пять?
Вспомним признаки делимости. Число делится на пять, если оно
оканчивается на нуль или на пять. В задаче речь идет о (n, r) – перестановках с повторениями. Первая цифра может быть выбрана из
множества 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Нуль не может участвовать в выборке,
ибо при его выборе число будет четырехзначным, а не пятизначным.
Итого, девять вариантов выбора для первой цифры. Вторая, третья
и четвертая цифры могут быть любыми из набора 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Последняя пятая цифра выбирается только из 0 и 5. Таким образом,
N = 9⋅10⋅10⋅10⋅2 = 18000.
§ 2.3. Формулы для расчета перестановок
и сочетаний без повторений и с повторениями
Найдем сначала число всех возможных (n, r) – перестановок, то
есть размещений. Задача сводится к последовательному применению правила произведения. В самом деле, в n – множестве Sn имеется n возможностей для выбора первого элемента (n, r) – перестановки; для выбора второго элемента останется n–1 возможностей,
так как речь сейчас идет о перестановках без повторения, то есть
один раз выбранный элемент уже не участвует в дальнейшей выборке. Аналогично рассуждая, получим, что для выбора r-го элемента
останется n-r + 1 возможностей. Тогда
Anr= n ( n − 1)( n − 2 )...( n − r + 1=
)
n!
.
(n − r ) !
(2.3.1)
Действительно,
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( n − r ) ⋅ ( n − r + 1) ⋅ ... ⋅ ( n − 1) ⋅ n
n!
=
=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( n − r )
(n − r ) !
(n − r + 1) ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n.
Здесь принято 0! = 1! = 1. Итак, доказана следующая теорема
23
Теорема 2.1. Число упорядоченных r – элементных подмножеств
множества Sn, состоящего из n элементов равно
n!
Anr =
.
(n − r ) !
n!
n
= n!
В частном случае, когда n = r, получаем A=
n Pn,=
n P=
n
0!
Это число способов упорядочения n – элементного подмножества.
Подсчитаем теперь число всех возможных (n, r) – перестановок с
повторениями. В этом случае после выбора любого элемента (n, r) –
перестановки остаются все те же n возможностей для выбора следующего элемента. Следовательно, по правилу произведения число (n,
r) – перестановок с повторениями равно:
Aˆ nr = n
n
⋅ ...
⋅ n = nr .
⋅
(2.3.2)
r ðàç
Подсчитаем теперь число (n, r) – сочетаний. Пусть имеется ряд
неупорядоченных (n, r) – выборок без повторения элементов. Обозначим количество элементов множества, состоящего из всех возможных (n, r) – сочетаний через Cnr . Сравним числа Cnr и Anr . Anr –
число упорядоченных выборок из n элементов по r; Cnr – число неупорядоченных выборок из n элементов по r. Очевидно, что каждую
неупорядоченную выборку объема r можно упорядочить r! различными способами, то есть r ! Cnr = Anr . Тогда
r
C
=
n
Anr
n!
.
=
r ! r !(n − r ) !
(2.3.3)
Полученный результат формулируется в виде теоремы.
Теорема 2.2. Число всех неупорядоченных r – элементных подмножеств множества Sn, состоящего из n элементов равно
Cnr =
n!
.
r !(n − r ) !
Рассмотрим более сложную задачу о числе (r1, r2,…, rk) – разбиений n – множества Sn, то есть разбиений вида Sn = A1∪A2∪…∪Ak = ∅,
i≠j, i, j = 1, 2,…, k, причем Ai есть ri – подмножество множества Sn.
Очевидно,
k
∑ ri = n. Рассуждаем аналогично тому, как это делалось
i =1
24
при нахождении числа Anr . Для выбора r1 – подмножества A1 из Sn
имеется Cnr1 возможностей, после этого r2 – подмножество A2 можно
выбирать только из оставшихся n-r1 элементов, так как A1∩A2 = ∅.
r
Этот выбор можно осуществить Cn2−r способами и так далее. При1
меняя правило произведения, получим, что искомое число (r1, r2,…,
rk) – разбиений n – множества Sn равно
r
r
Cnr1 Cn2−r Cn3−r
1
1 −r2
...C
rk
k −1
n − ∑ ri
i =1
=
n!
.
r1 ! r2 !...rk !
(2.3.4)
Действительно,
(n − r1 ) !
(n − r1 − r2 − ... − rk−1 ) !
n!
n!
⋅
⋅ ... ⋅
=
.
r1 ! ( n − r1 ) ! r2 ( n − r1 − r2 ) !
rk ! ( n − r1 − r2 − ... − rk ) ! r1 ! r2 !...rk !
Итак, число способов, которыми можно представить множество
Sn из n элементов в виде суммы k неупорядоченных множеств A1,
A2,…, Ak, число элементов которых составляет соответственно r1,
r2,…, rr, равно
n!
.
r1 ! r2 !...rk !
Пример 1. Найти число различных слов (бессмысленных), которое можно получить, переставляя буквы слова «математика».
Разные буквы слова математика представляют собой множества
A1, A2,…, Ak, на которые можно разбить исходное слово и различные
объединения которых будут давать новые бессмысленные слова.
Здесь k = 6, A1 = {a, a, a}, A2 = {m, n}, A3 = {м, м}, A4 = {e}, A5 = {u}, A6 = {к}
Отсюда r1 = 3, r2 = 2, r3 = 2, r4 = r5 = r6 = 1. Исходное множество Sn = {м,
а, т, е, м, а, т, и, к, а}, n = 10. Тогда по формуле (2.3.4)
10 !
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
=
N =
= 151200.
3 !⋅ 2 !⋅ 2 !⋅ 1!⋅ 1!⋅ 1!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅1 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 2
Подсчитаем, наконец, число (n, r) – сочетаний с повторениями из
множества Sn. Пусть элементы множества Sn занумерованы числами 1, 2,…, n. Так как множество Sn конечно или счетно, то эта операция всегда возможна. Тогда вместо (n, r) – сочетаний множества Sn
можно рассматривать (n, r) – сочетания из эквивалентного ему множества S′ = {1,2,...,n} в силу взаимно однозначного соответствия.
Всякая (n, r) – выборка из S′ может быть записана в виде {n1,
n2,…, nr}, где n1≤n2≤…≤nr, причем равенство возможно в силу того,
что рассматриваются выборки с повторениями. r – выборке (n1,
25
n2,…, nk) поставим в соответствие r – множество {n1, n2 + 1, n3 + 2,…,
nr, + r–1}, в котором все элементы, очевидно, различны. Соответствие между (n1, n2,…, nk) и {n1, n2 + 1, n3 + 2,…, nr, + r–1} опять взаимно однозначное, причем r- множества {n1, n2 + 1, n3 + 2,…, nr, + r–1}
являются r – сочетаниями без повторений из n + r–1- множества
S′ ∪ {1,2,...,r − 1}. По формуле (2.3.3) число (n + r–1, r) – сочетаний
без повторения равно Cnr +r −1. Тогда
r
=
Cˆnr C=
n +r −1
( n + r − 1) !
=
r ! ( n − 1) !
n ( n + 1)...( n + r − 1)
r!
.
(2.3.5)
§ 2.4. Бином Ньютона1 и полиномиальная теорема
а) Бином Ньютона. Исторически название «бином Ньютона» несправедливо, ибо формулу (a + b)n знали еще среднеазиатские математики, начиная с Омара Хайяма2 (около 1100 г.); в Европе до Ньютона ее знал Паскаль3. Заслуга Ньютона в том, что он обобщил эту
формулу для нецелого показателя n. Итак,
( a + b )n =
n
=
n −k
∑ Cnk ak b=
k =0
Cn0 a0 bk + Cn1 a1bn −1 + ... + Cnl al bn −l + ... + Cnn an b0 . (2.4.1)
Формула (2.4.1) легко доказывается методом математической ин1
1: (a + b) =
C10 a0 b1 + C11a1b0 =
a + b.
дукции. Действительно, при n =
Далее, предположив, что формула верна для n–1, получаем
( a + b )n =( a + b )n−1 ( a + b ) =a ⋅ ( a + b )n−1 + b ⋅ ( a + b )n−1 =
=
n −1
∑ Cnk−1ak+1b(
n −1) −k
+
n −1
∑ Cnk−1ak b(
n −1) −k +1
.
=
k 0=
k 0
Заменим индекс суммирования k = j–1, j = k + 1, тогда
n −1
∑ Cnk−1ak+1b(
n −1) −k
n
= ∑ Cnj −−11a j bn − j .
=
k 0=j 1
1 Исаак Ньютон (1643–1727) – английский физик, астроном и математик.
2 Гийас ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим Хайям (около 1048 – после 1122) –
иранский математик, астроном и поэт.
3 Блез Паскаль (1623–1662) – французский математик.
26
Отсюда
n −1
n
∑ Cnk−−11ak bn−k + ∑ Cnk−1ak bn−k .
n
=
(a + b)
=
k 1=
k 0
Выровняем пределы изменения индексов суммирования в обеих
суммах. Для этого введем дополнительно
=
Cn−−11 0=
, Cnn−1 0, тогда
n
n −1
n
n
Cnk−−11ak bn −k è ∑ Cnk−1ak bn −k ∑ Cnk−1ak bn −k .
∑ Cnk−−11ak bn−k ∑=
k 1=
k 0
=
k 0=
k 0
Отсюда
n
n
n −k
b)
( a +=
∑ ( Cnk−−11 + Cnk−1 ) ak b=
k =0
Cnk−−11 + Cnk−1 =
( n − 1) !
( n − 1) !
=
+
=
=
( k − 1) ! ( n − 1 − k + 1) ! k ! ( n − 1 − k ) !
n!
= Cnk
k !(n − k ) !
=
=
n
∑ Cnk ak bn−k .
k =0
Для n нецелого формула имеет вид
(1 + x )α =
1+ α x +
α ( α − 1)
x2 +
α ( α − 1)( α − 2 )
2!
3!
α ( α − 1)( α − 2 )...( α − k + 1) k
x + ...
+
k!
x3 + ...
при x < 1. Биномиальное разложение служит основой для многих
комбинаторных формул. Например,
1) a = b = 1. Получим
n
∑ Cnk = 2n.
Это число равно числу всех воз-
k =0
можных неупорядоченных подмножеств множества Sn, состоящего
из n элементов. Действительно, так как Cnk число k – элементных
подмножеств ((n, k) – сочетаний) множества Sn, то сумма в левой части есть число всех подмножеств.
27
2) a = 1, b = –1. Отсюда
n
∑ Cnk ( −1)
k
=
0. Из этого равенства вытека-
k =0
ет, что суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и
на нечетных местах, равны между собой, и каждая равна 2n−1.
б) Полиномиальная теорема. Эта теорема является обобщением
формулы бинома на случай k слагаемых.
( a1 + a2 + ... + ak )n =
∑
n!
r r
r
a11 a22 ...akk , (2.4.2)
r
!
r
!
...
r
!
⋅
⋅
⋅
k
≥0, 1 2
r1 ≥0, r2 ≥0,...,rk

n.
 r1 +r2 +...+rk =
где суммирование проводится по всем решениям уравнения
r1 + r2 + … + rk = n в целых неотрицательных числах, т. е. выражение
( a1 + a2 + ... + ak )n равно сумме всех возможных слагаемых вида
n!
r r
r
a 1 a 2 ...akk ,
r1 !⋅ r2 !⋅ ... ⋅ rk ! 1 2
где r1 + r2 + … + rk = n.
Пример 1. Вычислим (x + y + z)3. Раскрывая скобки последовательно, производя умножение многочлена на многочлен и приводя
подобные члены, получим
( x + y + z )3 =
=
x3 + y3 + z3 + 3x2 y + 3x2 z + 3y2 x + 3y2z + 3z2 x + 3z2 y + 6xyz.
Всего в выражении десять членов. Этот же результат легко получается по полиномиальной формуле (2.4.2) при n = 3, k = 3. Система
условий суммирования здесь имеет вид
r1 ≥ 0, r2 ≥ 0, r3 ≥ 0,

3.
 r1 + r2 + r3 =
Различных числовых коэффициентов тоже три:
3!
3!
3!
= 1,
= 3,
= 6.
3 !⋅ 0 !⋅ 0 !
2 !⋅ 1!⋅ 0 !
1!⋅ 1!⋅ 1!
Для более удобного написания конечного результата лучше составить таблицу всех возможных комбинаций индексов r1, r2 и r3.
28
r1
3
0
0
2
2
1
0
1
0
1
r2
0
3
0
1
0
2
2
0
1
1
r3
0
0
3
0
1
0
1
2
2
1
Тогда
( x + y + z )3 = 1 ⋅ ( x3 + y3 + z3 ) + 3 ⋅ ( x2 y + x2z + xy2 + y2z + xz2 + yz2 ) + 6 ⋅ xyz,
что то же самое, что было получено раньше.
§ 2.5. Практическое занятие № 3.
Правила суммы и произведения.
Перестановки и сочетания.
Свойства биномиальных коэффициентов [10, 11]
2.5.1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, 4, 5, если каждую из этих цифр можно использовать не более
одного раза?
2.5.2. Сколько имеется пятизначных чисел, которые делятся на 5?
2.5.3. На одной из боковых сторон треугольника взято n точек, на
другой m – точек. Каждая из вершин при основании треугольника
соединена прямыми с точками, взятыми на противоположной стороне. а) Сколько точек пересечения этих прямых образуется внутри
треугольника? б) На сколько частей делят треугольник эти прямые?
2.5.4. Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?
2.5.5. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое
наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть
камеру?
29
0
999
1
998
2
997 ,…, 999
0
Рис. 2.1
2.5.6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт окажется: а) хотя бы один туз; б) ровно
один туз; в) не менее двух тузов г) ровно два туза?
2.5.7. Дано n точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?
2.5.8. В соревнованиях по гимнастике две команды имели одинаковое число участников. В итоге общая сумма баллов, полученных всеми участниками, равна 156. Сколько было участников, если
каждый из них получил оценки только 8 или 9 баллов?
2.5.9. Расстояние от A до B – 999 км. Вдоль дороги стоят километровые столбы, на которых расстояние от A до B записаны как
показано на рис 2.1.
Сколько среди этих столбов таких, на которых есть только две
различные цифры?
2.5.10. В некотором царстве каждые два человека отличаются набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения царства (максимальное количество зубов у человека – 32).
2.5.11. В роте имеется три офицера и сорок солдат. Сколькими
способами может быть выделен наряд, состоящий из одного офицера и трех солдат?
2.5.12. На рояле 88 клавиш. Сколько существует последовательностей из шести попарно различных звуков? (В последовательности
звуки идут один за другим). Сколько существует аккордов из шести
звуков? (Аккорд получается, если любые 6 клавиш нажаты одновременно).
2.5.13. Сколько членов получится после раскрытия всех скобок в
выражении (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)(e + 1)(f + 1)(g + 1)?
2.5.14. Сколько существует чисел от 0 до 10n, в которые не входят
две подряд идущие друг за другом одинаковые цифры?
2.5.15. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды,
содержащей 52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой
масти?
2.5.16. Какова вероятность, купив один билет, угадать в спортлото (из 49): а) k номеров (k = 1, 2,…, 6); б) хотя бы k номеров?
30
2.5.17. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n
мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не
сидели рядом?
2.5.18. Сколькими способами можно разложить в два кармана
девять монет различного достоинства?
2.5.19. Сколько различных делителей имеет число а) 2310; б) 10!?
2.5.20. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если ему дадут не более
трех имен, а общее число имен равно 300?
2.5.21. На перекрестке A автомоC
B
билист разбил стекло левой фары
(рис. 2.2), и теперь ему надо кратчайM
шим путем попасть в ремонтную мастерскую, не попав при этом в пункт
E
D
M. Сколькими способами он может
выбрать маршрут?
F
2.5.22. Международная комиссия
состоит из 9 человек. Материалы коA
миссии хранятся в сейфе. Сколько
замков должен иметь сейф, сколько
Рис. 2.2
ключей для них нужно изготовить и
как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда,
когда соберутся не менее 6 членов комиссии.
2.5.23. Определить сколько рациональных членов содержится в
разложении:
а)
(
2+33
)
20
(
)
100
; б) 3 6 + 4 2
.
2.5.24. Найти коэффициент при tk в разложении:
17;
(
) , k=
20
10.
б) ( 2 + t − 2t3 ) , k =
а) 2 + t4 + t7
15
2.5.25. Какое число больше 9950 + 10050 или 10150?
2.5.26. Пусть n и k – целые положительные числа. Доказать:
а)
n
∑ kCnk=
k =1
в)
n ⋅ 2n −1; б)
n
∑ k ( k − 1) Cnk =n ⋅ (n − 1) ⋅ 2n−2 ;
k =2
n
∑ (2k + 1) Cnk = (n + 1) ⋅ 2n .
k =0
31
2.5.27. Доказать, что для любого m = 0, 1, 2,…, n справедливо тождество
=
Cnr
n
∑ Cnk−m ⋅ Cmr −k .
k =0
2.5.28. Доказать, что
n 
2
 
3n + 1
.
∑ Cn2i ⋅ 2n−2i =
2
i =0
2.5.29. Доказать тождества:
n
n
i =1
i =1
а) C2nn−−11 = ∑ C2nn−−1i −1; б) C2nn−1 = ∑ C2nn −i .
2.5.30. Доказать, что
n
Ci −1
n −1
∑=
Ci
i =1 2n −1
2
, n ≥ 1.
n +1
§ 2.6. Метод рекуррентных соотношений
В комбинаторном анализе существует целый ряд подходов для
изучения комбинаторных объектов и чисел.
1) Теоретико – множественный подход. Он связан с вычислениями мощностей конечных множеств. Для решения таких вопросов
необходима дополнительная информация, т. е. надо заранее знать
мощности некоторых подмножеств. К этому пункту относится, например, теорема и формула включения и исключения.
2) Алгебраический подход. Он основан на использовании вспомогательных просто получаемых комбинаторных тождеств для
нахождения интересующих исследователя комбинаторных чисел.
Пример – метод рекуррентных соотношений.
3) Применение формул обращения. Формулы обращения связывают между собой различные комбинаторные числа. Эти формулы
могут быть получены самыми различными способами.
4) Метод производящих функций. Этот метод используется для
перечисления комбинаторных чисел и установления комбинаторных тождеств.
32
Рассмотрим один пример алгебраического подхода – метод рекуррентных соотношений. Он состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной
задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным (recurrence – возвращение). Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить, исходя из того, что для небольшого количества предметов
(одного, двух) решение задачи обычно очевидно или легко находится.
В качестве примера получим число сочетаний из n по r с повторениями. Соответствующая формула уже получена ранее, она имеет
вид Cˆnr = Cnr +r −1. Получим ее теперь методом рекуррентных соотношений.
Докажем вначале вспомогательную формулу, выражающую
одно из многочисленных свойств биномиальных коэффициентов:
Cnr= Cnr −−11 + Cnr −−12 + Cnr −−13 + ... + Crr−−11. =
Cnr
Cnr −1
(2.6.1)
+ Cnr −−11.
Покажем, что справедливо равенство
Здесь
Cnr – общее число (n, r) – выборок из множества Sn с n элементами,
Cnr −1 – число (n–1, r) – выборок, т. е. число выборок, не содержащих
один (например, первый) элемент из множества Sn с n элементами
(см. рис. 2.3).
первый элемент
n – множество
Sn
r – множество
первый элемент
n – множество
Sn
r – множество
Рис. 2.3
33
В этом случае n – множество Sn становится n–1 – множеством,
так как первый элемент не выбирается, он фиксирован. Cnr −−11 – число r- выборок из n- множества, содержащих первый элемент. Этот
элемент в r множестве содержится всякий раз, т. е. фактически все
остальные элементы выбираются из r–1 элемента, кроме того, первый элемент опять фиксирован и в множестве Sn, как в предыдущем случае, и он не выбирается из n – множеcтва, которое становится n–1 – множеством.
По правилу суммы =
Cnr Cnr −1 + Cnr −−11. Применим эту формулу последовательно n-r раз. Получим
r
r
r −1
=
Cnr Cnr −1 + Cnr −−11, C=
n −1 Cn −2 + Cn −2 ,
r
r
r −1
r
r
r −1
C=
n −2 Cn −3 + Cn −3 ,..., Cr +=
1 Cr + Cr .
r −1
Но=
Crr C=
r −1 1, тогда окончательно
Cnr= Cnr −−11 + Cnr −−12 + Cnr −−13 + ... + Crr −1 + Crr−−11.
Вернемся к доказательству исходного соотношения Cˆnr = Cnr +r −1.
Зададим начальные условия. Для этого рассмотрим число сочетаний с повторениями для малых значений индексов. Очевидно,
что Cˆn1 = n и Cˆ1r = 1. Действительно, Cˆn1 - число сочетаний из n элементов по одному. Ясно, что из n элементов можно выбрать ровно
n различных выборок, состоящих из одного элемента. Cˆ1r – число
r-сочетаний из одного элемента. Для любого r>0 из одного элемента можно получить только одно r – сочетание, именно выборку, составленную из r одинаковых элементов. Элементы здесь могут быть
одинаковыми, так как рассматриваются выборки с повторениями.
Для вывода общей формулы нам потребуется еще одно вспомогательное соотношение =
Cˆnr Cˆnr −1 + Cˆnr −1. Иллюстрацией дальнейших
рассуждений служит тот же рисунок 2.3, изображенный выше. Зафиксируем в Sn некоторый элемент. Тогда при выборе каждое r- сочетание либо содержит этот элемент, либо не содержит его. Если rсочетание не содержит этот элемент, то он не должен вообще попасть
в r – сочетание, следовательно, его надо исключить из множества
Sn, т. е. в Sn остаются для выбора n–1 элементов. Отсюда число r –
сочетаний с повторениями из n–1 элементов равно Cˆnr −1. Если r – сочетание уже содержит этот элемент, тогда остальные r–1 элементов
этого сочетания можно выбрать из тех же n элементов множества
34
Sn, так как допускаются любые повторения. Число способов такого
выбора равно Cˆnr −1.
По правилу суммы =
Cˆnr Cˆnr −1 + Cˆnr −1. Применим теперь эту
формулу для получения доказываемого исходного соотношения
Cˆnr = Cnr +r −1. А именно
Cˆn2 =
Cˆn2−1 + Cˆn1 , Cˆn2−1 =
Cˆn2−2 + Cˆn1−1, Cˆn2−2 =
Cˆn2−3 + Cˆn1−2 ,..., Cˆ22 =
Cˆ12 + Cˆ21.
Отсюда получим
Cˆn2 = Cˆn1 + Cˆn1−1 + Cˆn1−2 + ... + Cˆ21 + Cˆ12 =
= n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 2 + 1 =

àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, d =1
n ( n + 1)
2
=Cn2+1.
Аналогично
Cˆn3 =
Cˆn3−1 + Cˆn2 , Cˆn3−1 =
Cˆn3−2 + Cˆn2−1,
Cˆn3−2 =
Cˆn3−3 + Cˆn2−2 ,..., Cˆ33 =
Cˆ23 + Cˆ32 , Cˆ23 =
Cˆ13 + Cˆ22 .
Отсюда можно получить формулу для Cˆn3 . Выполним аналогичные подстановки как в предыдущем случае:
Cˆn3 = Cˆn2 + Cˆn2−1 + Cˆn2−2 + ... + Cˆ22 + Cˆ13 .
В данном случае лучше не суммировать отрезок числового ряда,
а воспользоваться только что полученной формулой для предыдущего индекса Cˆn2 = Cn2+1. Тогда Cˆn3= Cn2+1 + Cn2 + Cn2−1 + ... + C32 + C22 ,
так как ш13= 1= Ñ22 . Но Ñn2+1 + Ñn2 + ... + C32 + C22 =
Cn3+2 по выведенной формуле (2.6.1). Таким образом, получена очередная формула
Cˆn3 = Cn3+2 . Формулы для последующих индексов получаются совершенно аналогично. Видно, что доказательства с помощью рекуррентных соотношений весьма громоздкое и утомительное занятие.
§ 2.7. Метод производящих функций
Этот метод не является элементарным, так как при его использовании приходится иметь дело с некоторыми понятиями теории
функциональных рядов. Метод производящих функций является
одним из самых развитых теоретических методов комбинаторного
анализа и одним из самых сильных в приложениях. Главные идеи
этого метода были высказаны в конце восемнадцатого века в рабо35
тах Лапласа1 по теории вероятностей. Для случаев с конечным числом исходов аппарат теории вероятностей чисто комбинаторный.
Рассмотрим произведение конечного числа линейных биномов
n
n
k =1
k =0
∑ aktk .
∏ (1 + xkt ) =
Коэффициенты ak в правой части равенства имеют вид
=
ak
n
∑
i1,i2 ,...,ik ≤k,
i1 <i2 <...<ik
xi1 ⋅ xi2 ⋅ ... ⋅ xik .
Это легко проверить, например, для случая малых n. Пусть n = 2.
Тогда
1+
(1 + x1t )(1 + x2t ) =
+
x
1t

x
2t

+ x1x2t2 .



=
i1 1,=
i2 íåò i2 1, i1 íåò,
=
i1 1,=
i2 2,
òàê êàê íåò i1 <1
i1 <i2
Для n>2 проверяется аналогично. В частном случае, когда
=
xk 1=
, k 1,n в качестве коэффициентов ak получим числа k – сочетаний, т. е.
n
(1 + t )n =
∑ Cnktk .
k =0
(2.7.1)
Cnk
f(t) = (1 + t)n
Здесь функция
и числа
связаны взаимно однозначно. Функция f(t) = (1 + t)n есть производящая функция последовательности Cnk . Производящей функцией последовательности {ak}
называется сумма степенного ряда
fa ( t ) =
n
∑ aktk .
k =0
Оперировать с такой функцией гораздо удобнее и проще, особенно когда ее можно представить в простой аналитической форме. В
то же время эти операции доставляют (производят) необходимую
информацию о последовательности r-сочетаний. Идея применения
метода производящих функций такова: необходимо вычислить все
члены некоторой последовательности {ak}. С помощью рекуррентно1
36
Пьер Симон Лаплас (1749–1827) – французский математик, механик и астроном.
го соотношения для ak или непосредственно из некоторых комбинаторных соображений вычисляют производящую функцию
fa ( t ) =
n
∑ aktk .
k =0
Раскладывая затем fa(t) в ряд и находя коэффициенты при tk, тем
самым находят ak.
Пример 1. Из формулы бинома Ньютона
n
fa ( t ) =(1 + t ) =∑ Cnk tk .
n
k =0
Таким образом, последовательность биномиальных коэффициентов имеет производящую функцию (1 + t)n, т. е.
{Cn0,Cn1 ,Cn2,...,Cnn } → (1 + t )n . (2.7.2)
Пример 2. Пусть ak = ak, k = 0, 1,… Тогда
∞
∞
∑ aktk =∑ aktk =1 + at + a2t2 + ... + aktk +
k 0=
k 0
=
2
k
+... =1 + ( at ) + ( at ) + ... + ( at ) + ....
Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = at. Если q = at<1, то ряд сходится и его сумма
1
=
S fa=
. Итак,
(t )
1 − at
{1,a,a2,a3,...,ak ,...} → 1 −1at
ïðè at < 1.
(2.7.3)
Пример 3. Рассмотрим формулу бинома Ньютона при действительном показателе α∈R.
(1 + t )α =
1+ α t +
α ( α − 1)
2!
t2 + ... +
α ( α − 1)( α − 2 )...( α − k + 1)
k!
tk + ....
Пусть t = -t и α = –1, тогда
1
1
. (2.7.4)
= 1 + t + t2 + ... + tk + ..., т. е. {1, 1, 1,...,1,...} →
1−t
1−t
37
Если t = –t и α = –n, то
1
=1 + nt +
n
(1 − t )
n ( n + 1)
2!
t + ... +
n ( n + 1)...( n + k − 1) k
t + ....
k!
Но
n ( n + 1)...( n + k − 1)
1 n ( n + 1)
=
n C=
Cn2+1,
= Cnk+ k−1
n,
2
k!
и так далее. Тогда
1
1 + Cn1t + Cn2+1t2 + Cn3+2t3 ... + Cnk+ k−1tk + ...,
=
n
(1 − t )
т. е.
{1, Cn1 ,Cn2+1,Cn3+2,...,Cnk+k−1,...} → (1 −1t )n . (2.7.5)
Пример 4. Пусть
0, 0 ≤ k < r ,
ak =  r
 Ck , k ≥ r .
Тогда
fa ( t ) =
tr
(1 − t )r +1
.
Действительно,
=
fa ( t )
∞
=
ak tk
∑
∞
=
ak tk
∑
∞
Ckr tk
∑=
k 0=
k r=
k r
=
=
∞
∞
r
=
Crr+ i tr + i t=
∑
∑ Crr+i ti
=i 0=i 0
∞
=
38
r
∞
∑
t=
Cri + i ti
i =0
∑ Cnk+k−1tk =
k =0
k= r + i,
=
, i 0.
=
k r=
Ckr = Ckk−r ,
=
Crr+ i = Cri + i .
1
(1 − t )n
,
=
∞
1
i
i
.
∑ Cr +i t =
(1 − t )r +1
i =0
tr
(1 − t )r +1
.
Итак, для такой числовой последовательности получена производящая функция.
В комбинаторном анализе чаще всего используют три вида производящих функций:
1) обычные степенные;
2) экспоненциальные;
3) функции Дирихле1.
Обычные производящие функции, несколько примеров которых
только что разобрано, представляемые в виде
fa ( t ) =
n
∑ aktk ,
k =0
соответствуют семействам последовательностей, элементы которых
являются числами неупорядоченных (n, k) – выборок или функциями от них.
Введем несколько операций в классе производящих функций:
{fa(t)} – класс обычных производящих функций
fa ( t ) =
n
∑ aktk .
k =0
Суммой последовательностей {a} = {a0, a1,…} и {b} = {b0, b1,…} называется последовательность {c} = {a + b} = {a0 + b0, a1 + b1,…} = {c0, c1,…}, а
суммой производящих функций
fa ( t ) =
n
∑ aktk
k =0
и fb ( t ) =
n
∑ bktk
k =0
производящую функцию
fc ( t ) = fa ( t ) + fb ( t ) =
∞
∑ cktk .
k =0
(2.7.6)
Произведением (или сверткой) последовательностей {a} и {b} называется последовательность {d} = {a×b} = {d0, d1,…}, у которой
dr= a0 br + a1br −1 + a2br −2 + ... + ar b0 , r= 0,1,2,..., (2.7.7)
а произведением (сверткой) производящих функций fa(t) и fb(t) –
производящую функцию
1
Петер Густав Дирихле (1805–1859) – немецкий математик.
39
fd ( t ) = fa ( t ) × fb ( t ) =
∞
∑ dktk . k =0
(2.7.8)
Формулы (2.7.7) нуждаются в пояснении. Эти коэффициенты получаются при перемножении рядов следующим образом
=
r 0=
, d0 a0 b0 ,


=
r
1
=
d
,
1 a0 b1 + a1b0 ,


r = 2, d2 = a0 b2 + a1b1 + a2 b0 ,
(2.7.9)

......................................................


r=
k, dk =
a0 bk + a1bk−1 + ... + ak−1b1 + ak b0 ,

...................
....................................................

Нуль в классе производящих функций fa(t) это f0(t) = 0; ей соответствует нулевая последовательность {0, 0,…, 0,…}.
Единица в классе производящих функций fa(t) это fe(t) = 1; ей соответствует единичная последовательность {1, 0, 0,…, 0,…} = e.
Обратный относительно сложения (противоположный) элемент в
классе производящих функций есть следующая функция
∞
−fa ( t ) =f−a ( t ) = ∑ ( −ak ) tk .
k =0
Этой функции соответствует последовательность {–a0, –a1,…, –
ak,…}.
Обратный элемент относительно умножения в классе производящих функций есть функция
fa−1 ( t ) =
∞
∑ aktk ,
k =0
ей соответствует последовательность {a } = {a0 , a1,...}, причем
a ⋅=
a e, a ≠ 0. Так как a ⋅ =
a e, a ≠ 0, то, учитывая формулы (2.7.9),
получим систему
a0 a0 = 1,


a1a0 + a0 a1 =
0,

a2a0 + a1a1 + a0 a2 =
0,


.........................................


ak a0 + ak−1a1 + ak−2 a2 + ... + a0 ak =
0,

..........................................................
40
Неизвестные здесь a0 , a1,..., ak ,..., количество неизвестных равно количеству уравнений.
Умножение производящей функции на действительное число α
определяется по формуле
α fa (=
t)
∞
∑ ( α ⋅ ak ) tk .
k =0
(2.7.10)
§ 2.8. Производящие функции для некоторых схем выбора [12]
2.8.1. Производящая функция для (n, r) – сочетаний с ограниченным числом повторений.
В этом случае для получения производящей функции нельзя воспользоваться произведением биномов вида 1 + xkt, то есть формулой
n
n
k =1
k =0
∑ aktk ,
∏ (1 + xkt ) =
поскольку всякий такой бином отражает лишь две возможности:
элемент xk множества либо не появляется в r – сочетании, либо появляется ровно один раз.
Пусть элемент xk появляется в r – сочетаниях с повторениями 0,
1, 2,…, j раз, тогда точно i появлениям элемента xk будет соответствовать одночлен xki ti , а по правилу суммы появления элемента
xk либо 0, либо 1,..., либо j раз должен соответствовать многочлен
1 + xk t + xk2t2 + xk3t3 + ... + xkj t j . Тогда производящая функция будет
иметь вид
f ( t=
)
n
∏ (1 + xkt + xk2t2 + ... + xkj t j ).
k =1
(2.8.1)
Если нужно найти лишь число ar соответствующих (n, r) – сочетаний, то необходимо положить x1 = x2 = … = xj = 1 и
(
f ( t ) = 1 + t + t2 + ... + t j
)
n
=
l
∑ aktk .
k =1
(2.8.2)
Коэффициенты ak будут здесь равны числу сочетаний из n элементов по k с j повторениями.
41
Пример 1. Рассмотрим сочетания из трех предметов 1, 2, 3; причем
1 и 2 могут встречаться не более двух раз, а 3 – не более одного раза.
Составим производящую функцию по формуле (2.8.1). Она будет
равна
(
(
)(
)
f (t ) =
1 + x1t + x12t2 1 + x2t + x22t2 (1 + x3t ) =
1 + ( x1 + x2 + x3 ) t +
) (
)
+ x12 + x1x2 + x1x3 + x2 x3 + x22 t2 + x12 x2 + x12 x3 + x1 x22 + x1x2 x3 + x22 x3 t3 +
(
)
+ x12 x22 + x12 x2 x3 + x1x22 x3 t4 + x12 x22 x3t5 .
Если положить x1 = x2 = x3 = 1, то получим f(t) = 1 + 3t + 5t2 + 5t3 + 3t4 5
+ t . Здесь коэффициент a1 равен числу сочетаний из трех по одному
элементу не более чем с двумя повторениями, a2 – из трех элементов
по два не более чем с двумя повторениями, a3 – из трех по три элемента с ограничениями, что первый и второй элемент могут встречаться не более двух раз, а третий не более одного раза. Если же не
приравнивать x1 = x2 = x3 = 1, то, например, коэффициент при t3 равный x12 x2 + x12 x3 + x1 x22 + x1x2 x3 + x22 x3 показывает «качественный»
состав r- сочетаний с указанными повторениями: 112, 113, 122, 123,
223. Аналогично коэффициент при t5 – число r – сочетаний из трех
элементов по пять, но с повторениями, тогда такое возможно. Именно, a5 = x12 x22 x3 : 11223.
2.8.2. Производящая функция для (n, r) – сочетаний с неограниченным числом повторений.
Найдем производящую функцию для (n, r) – сочетаний с условием, что хотя бы один элемент каждого вида появится в выборке.
Очевидно, что fa(t) в этом случае будет иметь вид
(
fa ( t ) = t + t2 + ... + tk + ...
= tn (1 − t )
−n
)
n
(
)
n
= t 1 + t + ... + tk−1 + ...  =


∞
= tn
∑ Cnk+k−1tk .
k =0
(2.8.3)
Упростим полученную формулу, сделав в ней замену индекса
суммирования n + k = r, получим
=
fa ( t )
∞
∞
k
n+k
=
Crr−−1n tr
∑ Cn=
∑
+ k −1t
òàê êàê
=
Cnr = Cnn −r
=
k 0=
r n
∞
∞
∞
( r −1)−( r −n ) r
=
Cr −1=
t
=
Crn−−11tr
Ckn−−11tk .
=
=
r n
r n=
k n
∑
42
∑
∑
Здесь
n −1
∑ Ckn−−11tk = 0. Следовательно, число искомых r- сочетаний
k =0
равно нулю при r<n и Crn−−11 ïðè r ≥ n. Подобным же образом в производящей функции можно учесть и другие требования, налагаемые на (n, r) – выборки.
§ 2.9. Применение производящих функций
для получения комбинаторных чисел [13, 14]
Применим теорию производящих функций и получим явные выражения чисел Фибоначчи1. Числа Фибоначчи Bn есть число способов расположить n знаков, из которых каждый нуль или единица, в
последовательность, не содержащую двух нулей подряд. Эта последовательность задается рекуррентной формулой
B0 1=
, B1 2,
 =

B
B
=
+
n −1 Bn −2 , n ≥ 2.
 n
(2.9.1)
Задачи подобного типа всегда решаются по одному плану в два
этапа: сначала, исходя из рекуррентной формулы, находится алгебраическое уравнение для производящей функции данной числовой
последовательности. При этом используется только определение
производящей функции и доступные алгебраические методы вывода. Затем методами математического анализа полученную производящую функцию разлагают в ряд Тейлора2 при значении аргумента
разложения равного нулю.
Проделаем эти два этапа на нашем примере.
Рассмотрим производящую функцию последовательности чисел
Фибоначчи
=
fB ( t )
∞
∑ Bktk → {B0 , B1,..., Bk ,...}.
k =0
Умножим рекуррентное уравнение в формуле (2.9.1) на tk и просуммируем полученное выражение от двух до бесконечности. Два
числа B0 и B1 известны из начальных данных, поэтому необходимо
отбросить индексы k = 0 и k = 1. В результате получим уравнение
1
2
Леонардо Фибоначчи Пизанский (1180–1240) – итальянский математик.
Брук Тейлор (1685–1731) – английский математик.
43
∞
∞
=
∑ Bktk
∑ Bk−1tk +
∑
∑
∞
∑ Bk−2tk
èëè
k 2=
k 2 =
k 2
=
∞
∞
∞
=
Bk tk t
Bk−1tk−1 + t2
Bk−2tk−2 .
=
k 2=
k 2
=
k 2
∑
Так как
fB ( t ) =
∞
то
∑ Bkt=
k
k =2
∞
∑ Bktk = B0 + B1t + B2t2 + ... + Bktk + ...
k =0
,
fB ( t ) − B0 − B1=
t fB ( t ) − 1 − 2t.
∞
∞
k −1 =
n,
= ∑ Bn tn= fB ( t ) − B0= fB ( t ) − 1.
2=
, n 1. n 1
2=
∑ Bk−1tk−1= =
k
k
Аналогично
∞
k−2 =
n,
k −2
=
=
∑ B=
k −2t
=
k 2=
, n 0.
k =2
∞
=
Bn tn fB ( t ).
∑
n =0
Тогда
(
fB ( t ) − 1=
− 2t t ( fB ( t ) − 1) + t2fB ( t )
)
или fB ( t ) 1 − t − t2 = 1 + 2t − t = 1 + t.
Окончательно производящая функция последовательности чисел Фибоначчи равна
fB ( t ) =
1+ t
(2.9.2)
.
1 − t − t2 Это содержание первого этапа решения. Как видно все довольно
просто.
Так как обычный степенной ряд, представляющий производящую функцию, есть ряд Тейлора в окрестности точки t = 0, то полученное выражение можно разложить по общему правилу в ряд
Тейлора и получить формулу общего члена Bk. При этом выгоднее
использовать замены переменных и уже существующие разложения функций в степенные ряды. Поступим именно таким образом.
1
Разложим дробь
на простые слагаемые, для чего найдем
1 − t − t2
сначала корни знаменателя.
44
1
1
−1 ± 5
−1 − 5
−1 + 5
1 − t − t2 =0, t1,2 =− ±
+1 =
, t1 =
, t2 =
.
2
4
2
2
2
Тогда

1
1
1 
1
=
−
=
+
=
−
⋅
t
t
t
t
t
t
t
t
t
−
−
−
−
−
( 1 )( 2 ) 
1−t −t
1
2  1 t2
1
2

1 1
1
1
1
 ⋅
=
−
− ⋅
t
t2 1 − t
5  t1 1 −

t1
t2



.



∞
1
Теперь воспользуемся известным разложением
= ∑ tk .
1 − t k =0
Итак,
k
k
∞  
∞ 
1
t
t
1
t 
t
= ∑  , =
< 1;
< 1.
  ,
∑
t
t
t1
t2
k =0  t1 
k =0  t2 
1−
1−
t1
t2
Тогда
k
∞ 
1
1
1 ∞ t 
1 
⋅
=⋅ ∑   =
 k+1  tk .
∑


t t1
t1 1 −=
 t1 
k 0=
k 0  t1

t1
Точно таким же образом
k
∞ 
1
1
1 ∞  t 
1 
⋅
=⋅ ∑   =
 k+1  tk .
∑


t t2
t2 1 − =
 t2 
k 0=
k 0  t2

t2
Теперь можно записать разложение исходной дроби
1  ∞  1  k ∞  1  k 1 ∞  1
1  k
∑
= ∑
−
−
t
t



t .
∑
 tk+1 
 k+1  
5  k 0=
5 k 0  t2k+1 t1k+1 
1 − t=
− t2
k 0  t1 =
 2 
 
1
=
Умножим полученное выражение на 1 + t, тогда

1+ t
1  ∞  1
1  k ∞  1
1 
∑
=
−
 t + ∑  k+1 − k+1  tk+1  .
+
+
2
k
1
k
1
t

5  k 0=

1−t −t
t1 
t1 
=
k 0  t2
 2
45
Поэтому коэффициент при tk в разложении будет иметь вид
1  1
1   1 1 

−
 +  − .
5  t2k+1 t1k+1   t2k t1k  
=
Bk
Упростим эту формулу, подставив числовые значения t1 и t2.
1
t2k+1
( −1 − 5 )
k +1
t1k+1 − t2k+1
1
−=
=
t1k+1
( t1t2 )k+1
( −1 + 5 )
−
k +1
(1 + 5 )
2k+1
2k+1
=
k +1
( −1)
аналогично
1
t2k
−
1
t1k
(
k +1
− 1− 5
)
k +1
,
2k+1
(1 + 5 ) − (1 − 5 )
=
k
k
.
2k
Отсюда
(
)
(
k +1

− 1− 5
1  1+ 5
Bk =
⋅
5 
2k+1

(
)
k +1
+
)(
) (
(1 − 5 ) =1 − 2 5 + 5 =
=
6−2 5 =
2 ( 3 − 5 ).
=

1  1+ 5
5 

(
2 1+ 5
)
k
(
−2 1− 5
2k+1
)(
k
k

1  1+ 5 1+ 5 +2 − 1− 5 1− 5 +2
=
⋅
5 
2k+1

2
=
(
)
k


=


)  =




5 ) − (1 − 5 ) (1 − 5 ) 
) (1 + =
k
2
k
2k+1+1
2



k +2
k +2 

1− 5 
1  1 + 5 
.
−


 2 

5  2 




Итак, окончательно
, B1 2,=
=
B0 1=
Bk
46
k +2
k +2 

1− 5 
1  1 + 5 
.
− 




2
5  2 



 (2.9.3)
Таким образом, второй этап значительно сложнее первого, причем если нет подходящего существующего разложения, то аналитические трудности возрастают многократно. К счастью, в учебных
примерах все оканчивается благополучно, там используются только самые простые ряды, изучаемые в курсе матанализа.
§ 2.10. Экспоненциальные производящие функции
Экспоненциальные производящие функции соответствуют упорядоченным (n, r) – выборкам или (n, r) – перестановкам. Из определения упорядоченных и неупорядоченных (n, r) – выборок ясно, что
первых в r! раз больше чем вторых. Поэтому производящая функция в этом случае записывается в виде
n
(1 + t )n =
∑ P (n,k )
k =0
tk
,
k!
(2.10.1)
где P(n, r) – число (n, k) – перестановок из n элементов, то есть
P ( n, k ) = Ank в принятых обозначениях.
В случаях, когда допускаются повторения элементов необходимо
в левой части формулы (2.10.1) биномы (1 + t) заменить на соответt t2 t 3
ствующие многочлены вида 1 + + + + ..., если никакие огра1! 2 ! 3 !
ничения на повторные появления не наложены, или многочлены
вида
k

k
k
k
 t
tj j 
t11  t2
t22   tl
tl l  l  tj
1
 1 + + ... +
 1 + + ... +
... 1 + + ... + =
=
∏ 1 + + ... + k ! ,
 1!
k1 !  1!
k2 !   1!
kl !  j =1  1!
j 



 


если соответствующий элемент допускает k1, k2,…, kl повторений в
выборках. Представление этого произведения в виде ряда по степеtk
ням t дает в качестве коэффициентов при
числа k- перестановок,
k!
допускающих указанные выше повторения.
Название экспоненциальная применяется в силу того, что производящая функция для k – перестановок с неограниченным числом
повторений из n элементов имеет вид
n


t t2
 1 + + + ...  =
 1! 2 !



∞
(nt )k
∞
( ) =k∑0=
k!
k 0
et
n
= ent =
=
∑ nk
tk
. (2.10.2)
k!
47
Так как производящие функции (и простая и экспоненциальная)
представляют собой степенной ряд, то в области его сходимости (-R,
R) этот ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать и,
следовательно, получать новые степенные ряды и новые производящие функции. Например, возьмем
1 + t + t2 + ...
=
∞
k
∑ t=
k =0
1
.
1−t
Почленным интегрированием этого ряда в области t<1 получаем выражение для производящей функции
∞
tk
,
k =1 k
− ln (1 − t ) =
∑
(2.10.3)
1 
 1 1
то есть 1, , ,..., ,... → − ln (1 − t ).
2
3
k 

§ 2.11. Практическое занятие № 4.
Производящие функции и рекуррентные соотношения [15, 16]
2.11.1. Найти производящие функции следующих последовательностей:
а) an =
nαn , n =
0,1,2,...;
0,n = 0,

 n
б) an =  α
 ,n = 1,2,...;
 n!
2
в)=
an n=
, n 0,1,2,...;
1,n = 0,1,...N,
г) an = 
 0,n > N;
д) an =sin αn, n =0,1,2,....
2.11.2. Найти производящую функцию последовательности {an}
через производящую функцию последовательности {bn}, если
0,n = 0,

а) an = 
b
 n −1,n = 1,2,...;
=
б) an
48
n
=
bi , n
∑
i =0
0,1,2,...;
=
0,n 0,1,..., k − 1,
в) an = 
 bn −k ,n ≥ k;
г) an =bn +1 − bn , n =0,1,2,....
2.11.3.Найти производящую функцию последовательности
2 ( n − 5 ) + 7n +2 .
2.11.4. Найти экспоненциальную производящую функцию последовательности {an}, выраженную через производящую функцию
последовательности {bn}, если
{
}
=
а) an b=
n +1, n 0,1,2,...;
б) an =
n
∑ Cnr ⋅ bn−r ⋅ gr .
r =0
2.11.5. С помощью тождеств, связывающих производящие функции, вывести следующие тождества для биномиальных коэффициентов:
k
n
m
n +m
k −r
, ∑ Cnr ⋅ Cm
а) (1 + t ) ⋅ (1 + t ) = (1 + t )
=
Cnk+m ;
r =0
б) (1 − t )
−1−n
⋅ (1 − t )
−1−m
= (1 − t )
−2−n −m
k
,
Cnk+m + k+1.
∑ Cnn+r ⋅ Cmm+k−r =
r =0
2.11.6. Найти общий член an последовательности, для которой
функция fa(t) является производящей:
а) fa ( t=
)
m
( q + pt )

t2 
; б) fa ( t=
)  1 + 
2

t
−m
;
2
в) fa ( t ) = arctgt; г) fa ( t ) = ∫ e− x dx.
0
2.11.7. Применить технику производящих функций для нахождения суммы чисел:
n
n
i =0
i =0
а) 12 + 22 + ... + n2 =
∑ i2 ; б) 13 + 23 + ... + n3 =
∑ i3 .
2.11.8. Сколькими способами можно разменять 10-копеечную
монету монетами 1, 2, 3 и 5 копеек при условии, что каждая из разменных монет присутствует в двух экземплярах?
2.11.9. Сколькими способами выпуклый (n + 2) – угольник можно разбить на треугольники диагоналями, не пересекающимися
внутри (n + 2) – угольника? Вывести рекуррентное соотношение для
49
{an}, где an – число способов разбиения (n + 2) – угольника и разрешить это соотношение.
2.11.10. Решить рекуррентные соотношения:
а) an +3 = 3an +2 − an +1 + 3an , a0 = 1, a1 = 3, a2 = 8;
б) an +3 + an +2 − an +1 − an= 0, a0= 1, a1= 2, a2= 3;
в) an +2 ± 9an = 0, a0 = 1, a1 = 0.
2.11.11. Решить неоднородные рекуррентные соотношения:
1
3
an + n, a0 =
1; ; б) an +2 = an +1 − an + 2−n , a0 = 1, a1 = .
а) an +1 =
4
2
2.11.12. Найти общее решение рекуррентных соотношений:
1
0; б) a=
а) an +2 − an +1 − an =
n +2 an +1 − an .
4
2.11.13. Пусть fa(t) и fb(t) – производящие функции последовательностей {an} и {bn} соответственно, и пусть fa(t)⋅fb(t) = 1. Найти {bn}
n
и fb(t), если an = Cm
.
2.11.14. Найти производящую функцию fa(t) для последовательности {an}, если an – число решений в целых неотрицательных числах уравнения 2x + 3y + 5z = n.
2.11.15. Пусть an =
n
∑ Cn2+j j ,
j =0
bn =
n −1
∑ Cn2+j +j1,
j =0
n = 0, 1, 2,…, , а fa(t) и
fb(t) – соответствующие производящие функции. Показать, что:
а) an и bn связаны соотношениями вида
an +=

1 an + bn +1,

1, b0 =
0;
b
=
b
+
 n +1 n an , a0 =
б) fa(t) и fb(t) удовлетворяют системе уравнений
fa ( t )=
− 1 tfa ( t ) + fb ( t ),

fb ( t ) tfa ( t ) + tfb ( t )
 =
и найти fa(t) и fb(t).
§ 2.12. Метод включений и исключений
Содержание комбинаторного анализа не исчерпывается подсчетом числа решений соответствующих задач. Не менее важное место в нем занимают проблемы возможности или невозможности
осуществления требуемых выборок или расположений элементов.
Логическая сущность метода включения и исключения определяется тем, что он применяется к важной задаче разделения множеств
50
на подмножества в зависимости от того, обладают ли их элементы
определенной совокупностью свойств или нет.
Рассмотрим сначала простую задачу о нахождении числа элементов объединения множеств. Будем обозначать через n(A) количество элементов множества A. Основная формула, которой пользуются при нахождении числа элементов объединения двух множеств
такова (см. рис 2.4):
n ( A ∪ B=
) n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B ).
(2.12.1)
Эта формула совершенно очевидна из диаграммы Эйлера – Венна. С ее помощью можно получить формулу для числа элементов
объединения любого числа множеств. Например, для трех элементов имеем
N ( A ∪ B ∪ C=
) N { A ∪ ( B ∪ C )}= N ( A ) + N ( B ∪ C ) − N { A ∩ ( B ∪ C )}=
= N ( A ) + N ( B ∪ C ) − N {( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C=
)} N ( A ) + N ( B ) + N ( C ) −
}
− N ( B ∩ C ) − {N ( A ∩ B ) + N ( A ∩ C ) − N ( ( A ∩ B ) ∩ ( A ∩ C ) ) =
= N ( A ) + N ( B) + N (C) − N ( B ∩ C) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C) +
+N ( A ∩ B ∩ A ∩ C) = N ( A ) + N ( B) + N (C) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C) −
− N ( B ∩ C ) + N ( A ∩ B ∩ C ).
Эту формулу тоже еще можно изобразить с помощью диаграммы
(рис. 2.4). Для случая n слагаемых аналогичная формула доказывается методом математической индукции.
U
U
B
B
A
A
C
A∩B
A∩B∩C
Рис. 2.4
Теорема 2.3. Если A1, A2,…, An – некоторые множества и
=
N ( A1 )
A
=
1 , N ( A2 )
A2 =
,..., N ( An )
An ,
51
то
N ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A=
n ) N ( A1 ) + N ( A2 ) + ... + N ( An ) −
−{N ( A1 ∩ A2 ) + N ( A1 ∩ A3 ) + ... + N ( An −1 ∩ An )} + {N ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) +
+ N ( A1 ∩ A2 ∩ A4 ) + ... + N ( An −2 ∩ An −1 ∩ An )} + ... +
n −1
+ ( −1)
N ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ).
(2.12.2)
Формулу (2.14.2) можно обобщить и подсчитывать не только количество элементов данных множеств. Пусть дано n – множество Sn
некоторых элементов и k – множество свойств: p1, p2,…, pk, которыми элементы множества Sn могут как обладать, так и не обладать.
Выделим какую-либо r – выборку свойств pi1 , pi2 ,..., pir .
Число элементов s∈Sn, обладающих всеми r выбранными свойствами обозначим через n pi1 , pi2 ,..., pir . Отсутствие у элемента ка-
(
(
)
)
кого-либо свойства pi будем обозначать pi . Тогда, например, запись
n p1, p2 , p3 означает число элементов, обладающих свойствами p1
и p3 и не обладающих свойством p2.
а) Пусть имеется одно свойство p, тогда n p = n − n ( p ).
б) Имеется конечное число свойств p1, p2,…, pk, несовместимых
друг с другом. Тогда опять
(
)
( )
(
)
k
n p1, p2 ,..., pk = n − ∑ n ( pi ).
i =1
в) Элементы обладают комбинациями различных свойств. Тогда
справедлива теорема, аналогичная теореме 2.3.
Теорема 2.4. Если даны n – множество элементов и k – множество свойств pi , i = 1, k совместимых между собой, тогда
(
k
)
n p1, p2 ,..., pk =
n − ∑ n ( pi ) +
−
∑
1≤i < j <l≤k
(
=i 1
)
∑
1≤i < j ≤k
k
(
)
n pi , pj −
n pi , pj , pl + ... + ( −1) n ( p1, p2 ,..., pk ). (2.12.3)
Доказательство. Теорема может быть доказана с помощью простейших рассуждений, состоящих в попеременном отбрасывании и
возвращении подмножеств. Применим, однако, метод математической индукции.
52
( )
k= 1, n p = n − n ( p ).
Эта формула очевидна. Пусть теорема верна для k–1 свойства,
т. е.
(
k −1
)
n p1, p2 ,..., pk−1 =
n − ∑ n ( pi ) +
−
∑
1≤i < j <l≤k −1
(
=i 1
)
n pi , pj , pl + ... + ( −1)
∑
1≤i < j ≤k −1
k −1
(
)
n pi , pj −
n ( p1, p2 ,..., pk−1 ). (2.12.4)
Перейдем к случаю, когда имеется k свойств. Так как
n p = n − n ( p ), то по аналогии можно написать
( )
(
) (
) (
)
n p1=
, p2 ,..., pk−1, pk n p1, p2 ,..., pk−1 − n p1, p2 ,..., pk−1, pk .
(
)
Применим соотношение (2.12.4) для числа n p1, p2 ,..., pk−1, pk .
Получим следующую формулу, которую обозначим (2.12.5)
(
k −1
)
n p1, p2 ,..., pk−1, pk =
n ( pk ) − ∑ n ( pi , pk ) +
+
∑
1≤i < j ≤k −1
(
)
n pi , pj , pk + ... + ( −1)
k −1
i =1
n ( p1, p2 ,..., pk−1, pk ).
(
)
Прокомментируем эту формулу. В ней n p1, p2 ,..., pk−1, pk – число элементов, обладающих свойством pk и одновременно не обладающих свойствами p1, p2,…, pk–1; n(pk) – число элементов, обладающих только свойством pk.
k −1
∑ n ( pi , pk ) – число элементов, обладаю-
i =1
щих свойствами pi и pk одновременно и так далее. Ясно, что для того
чтобы получить n p1, p2 ,..., pk−1, pk из общего числа элементов со
свойством pk надо вычесть сначала число элементов, обладающих
свойствами pi и pk. Однако при этом элементы, имеющие три свойства: именно pk и, скажем, pi и pj будут исключены дважды (сначала
как элементы со свойствами pi и pk, затем как элементы со свойствами pj и pk). Значит надо возвратить все элементы, обладающие тремя
свойствами, то есть прибавить
∑ n pi , pj , pk и так далее. Вы-
(
)
1≤i < j ≤k −1
(
)
чтем теперь из (2.12.4) формулу (2.12.5), получим
53
(
) (
) (
)
n p1, p2 ,..., pk−1 − n p1, p2 ,..., pk−1, pk =
n p1, p2 ,..., pk =
k −1

 k−1
 
=
n −  ∑ n ( pi ) + n ( pk )  +  ∑ n pi , pj + ∑ n ( pi , pk )  + ...

 i 1
 1≤i=
i 1
=
< j ≤k −1
(
− ( −1)
k
= n − ∑ n ( pi ) +
=i 1
∑
1≤i < j ≤k
k −1
)
n ( p1, p2 ,..., pk−1, pk ) =
(
)
k
n pi , pj + ... + ( −1) n ( p1, p2 ,..., pk−1, pk ).
Характер доказательства этой теоремы таков, что его можно
применить для любой комбинации свойств, как выполняющихся,
так и не имеющих места. Таким образом, в левой части доказанной
формулы может стоять не только n p1, p2 ,..., pk , но и, например,
n p1, p2 , p3 , p4 . Теорема формулируется при этом относительно совокупности свойств p2 и p4 с обязательным выполнением свойств p1
и p3 следующим образом:
(
(
)
(
)
)
n p1, p2 , p3 , p4 =
n ( p1, p3 ) − n ( p1, p3 , p2 ) −
−n ( p1, p3 , p4 ) + n ( p1, p3 , p2 , p4 ).
(2.12.6)
Пример 1. В комнате несколько человек, знающих хотя бы один
из трех языков. Шестеро знают английский, шестеро – немецкий,
семеро – французский. Четверо знают английский и немецкий,
трое – немецкий и французский, двое – французский и английский. Один человек знает все три языка. Сколько человек в комнате? Сколько из них знают только английский язык?
Задачу можно решить традиционным способом «вычерпывания» множеств без применения формулу включений и исключений.
Перепишем условие задачи более компактно в виде таблицы
А
6
Н
6
Ф
7
АН
4
НФ
3
ФА
2
АНФ
1
Пусть из комнаты ушел человек, знающий все три языка, тогда
получим
А
5
Н
5
Ф
6
АН
3
НФ
2
ФА
1
АНФ
0
Пусть теперь ушли три человека (из оставшихся), знающие одновременно английский и немецкий языки; число людей, знающих
другие пары языков, не изменится.
54
А
2
Н
2
Ф
6
АН
0
НФ
2
ФА
1
АНФ
0
Пусть уйдут двое, знающие немецкий и французский.
А
2
Н
0
Ф
4
АН
0
НФ
0
ФА
1
АНФ
0
Наконец, уходит человек, знающий французский и английский
языки. Окончательно получим
А
1
Н
0
Ф
3
АН
0
НФ
0
ФА
0
АНФ
0
Итак, в комнате остался один человек, знающий только английский язык, и трое, знающих только французский язык. Кроме того,
вышло семь человек, значит, сначала в комнате было одиннадцать
человек.
Решим теперь эту же задачу методом включений и исключений.
Пусть свойство pA – знать английский язык, аналогично pH и pФ –
свойства, характеризующие знание немецкого и французского языков. По условию задачи общее число людей составляют все, знающие хотя бы один язык; не знающих хотя бы один язык в задаче нет.
По формуле (2.12.2) имеем
n = n ( p A ) + n ( pH ) + n ( pÔ ) − n ( p A , pH ) −
−n ( p A , pÔ ) − n ( pH , pÔ ) + n ( p A , pH , pÔ ) =
= 6 + 6 + 7 − ( 4 + 3 + 2 ) + 1 = 19 − 9 + 1 = 11.
Число людей, знающих только
n p A , p H , pÔ . По формуле (2.12.6)
(
(
)
английский
язык,
это
)
n p A , p H , pÔ =
n ( p A ) − n ( p A , pH ) − n ( p A , pÔ ) + n ( p A , pH , pÔ ) =
= 6 − 4 − 2 + 1 = 1.
Так же легко может быть найдет ответ и на другие подобные вопросы.
§ 2.13. Учет весов элементов в формуле включения и исключения
Дальнейшие усложнения метода связаны с введением весов элементов. Как и прежде, будем считать, что веса это числовые характеристики элементов рассматриваемых множеств.
Итак, пусть задано n – множество Sn и каждому элементу si∈Sn,
i = 1, 2,…, n приписан вес ω(si) из k – множества свойств p1, p2,…, pk.
55
Тогда
 1, åñëè ýëåìåíò si îáëàäàåò ñâîéñòâîì pj ,
pj ( si ) = 
0, åñëè ýëåìåíò si íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì pj ,
( ) ∑ pj ( si ) ⋅ ω( si ) – сумма весов элементов со свойством pj.
=
а ω pj
si ∈S
Произведем r- выборку свойств pi1 , pi2 ,..., pir и обозначим сумму весов элементов, обладающих всеми r выбранными свойствами, через
ω pi1 , pi2 ,..., pir , т. е. ω pi1 , pi2 ,..., pir это сумма весов элементов
множества Sn, которые обладают каждым из свойств p1, p2,…, pk.
Сумму, распространенную на все возможные r – выборки свойств,
обозначим
(
)
(
∑
1≤i1 <i2 <...<ir ≤k
)
(
)
ω pi1 , pi2 ,..., pir =
ω ( r ).
Здесь суммирование распространяется на все сочетания (i1, i2,…, ir)
длины r из k свойств, количество сочетаний равно Ckr . Таким образом, в ω(r) суммируются веса только тех элементов, которые имеют
как минимум r свойств. Пусть элемент si∈Sn обладает t свойствами
и t≥r, тогда его вес ω(si) в ω(r) войдет Ctr раз. Например,
( )
ω(1) = ∑ ω pi1 = ω( p1 ) + ω( p2 ) + ... + ω( pk )
i1
содержит Ck1 = k членов, а
ω( 2 ) =
∑ ω( pi , pi ) = ω( p1, p2 ) + ω( p1, p3 ) + ... + ω( pk−1, pk )
( i1,i2 )
содержит Ck2 =
1
k ( k + 1)
2
членов и так далее. Через ω(0) обозначим
2
сумму весов всех элементов множества Sn. Данное определение ω(0)
корректно, так как сумма ω(0) должна включать элементы, обладающие нуль свойствами и более. Действительно, любой из элементов
множества Sn удовлетворяет этим условиям. Положим ωk(r) – сумма
весов элементов, обладающих равно r свойствами из k имеющихся,
тогда ωk(0) – сумма весов элементов, которые не имеют ни одного из
указанных свойств. При таких обозначениях теорема включений и
исключений с учетом весов будет формулироваться следующим образом.
56
Теорема 2.5. Сумма весов элементов, обладающих точно r свойствами из k свойств p1, p2,…, pk равна
ω k ( r ) = Cr0 ω ( r ) − Cr1+1ω ( r + 1) + Cr2+2 ω ( r + 2 ) + ...
+ ( −1)
k −r
Crr− k−r ω ( r + ( k − r ) ) =
( )
= Cr0 ω ( r ) − Cr1+1ω ( r + 1) + Cr2+2 ω ( r + 2 ) + ... + ( −1)
=
k −r
k −r
Ckr ω ( k ) =
k
i
i −r
∑ ( −1) Crr+i ω( r + i ) = ∑ ( −1) Cir ω ( i ).
(2.13.1)
=i 0=i r
Доказательство. Покажем, что вклад веса ω(si) произвольного
элемента si∈Sn в правую и левую часть формулы (2.13.1) одинаковый. Пусть si∈Sn обладает точно t свойствами. Тогда а) если t<r, то
ω(s) не входит в ωk(r) и не входит в ω(r + i), т. е. равенство (2.13.1) примет вид 0 = 0;
б) если t = r, то ω(s) входит один раз в ωk(r) и один раз в ω(r + i);
в) если t>r, то в ωk(r) ω(s) не входит и левая часть формулы (2.13.1)
в этом случае равна нулю. В ω(r + i) вес ω(s) входит Ctr + i раз, r + i≤t.
Правая часть формулы (2.13.1) для веса ω(s) одного элемента si∈Sn
примет вид
t −r
Crr ω( r ) − Crr+1ω( r + 1) + ... + ( −1)
Ctt −r ω( t ) =
t −r
= Crr ω( s ) Ctr − Crr+1ω( s ) Ctr +1 + ... + ( −1)
t −r
Ctt −r ω( s ) Ctt =
=
ω( s ) ∑ ( −1) Crr+ i Ctr + i .
i
i =0
Но
(r + i )!
(t − r )!r
t!
t!
=
⋅
=
Crr+ i Ctr + i = ⋅
Ctr Cti−r ,
r ! i ! (r + i ) !(t − r − i ) ! r !(t − r ) ! i !(t − r − i ) !
тогда
t −r
t −r
t −r
ω( s ) ∑ ( −1) Crr+ i Ctr + i =
ω( s ) ∑ ( −1) Ctr Cti−r =
ω( s ) Ctr ∑ ( −1) Cti−r =
i
i
i
i 0=i 0 =i 0
t −r
=
ω s Ctr 1 − 1
=
0.
( )
(
)
Таким образом, и в этом случае формула (2.13.1) верна.
57
Если все элементы si∈Sn, i = 1,2,…, n имеют единичный вес, т. е.
ω(pi) = 1, то ω(r) = n(k) и сумма весов равна числу слагаемых в сумме
ω(r) = n(r), тогда формула (2.13.1) превращается в
r
r
n=
k ( r ) Cr n ( r ) − Cr +1n ( r + 1) + ... + ( −1)
k
∑ ( −1)
=
i −r
k −r
Ckr=
n(k)
Cir n ( i ).
(2.13.2)
Следующая теорема является, по сути, следствием теоремы 2.5.
Теорема 2.6. Если даны n – множество Sn, каждый элемент которого имеет вес, и k-множества свойств, то сумма ωk(0) весов элементов, не удовлетворяющих ни одному из заданных свойств, определяется по формуле
i =r
k
ω k ( 0 ) = ω ( 0 ) − ω (1) + ω ( 2 ) + ... + ( −1) ω ( k ) =
k
=
∑ ( −1)
m
m 0
=
∑
1≤i1 <i2 <...<ik ≤k
(
)
ω pi1 , pi2 ,..., pik .
(2.13.3)
Итак, сумма весов множества из n элементов, не удовлетворяющих ни одному из k свойств, равна сумме весов всех элементов
множества ω(0) минус сумма весов элементов, обладающих хотя бы
одним свойством, плюс сумма весов элементов, имеющих не менее
двух свойств и так далее.
Если все элементы si∈Sn, i = 1,.2,…, n имеют единичный вес, то
ω(k) = n(k) и сумма весов равна числу слагаемых в сумме. В этом
случае ω(0) = n, ωk(0) равно числу элементов множества Sn, не удовлетворяющих ни одному из указанных k свойств. Тогда формула
(2.13.3) переходит в формулу
(
k
)
n p1, p2 ,..., pk =
n − ∑ n ( pi ) +
∑
−
1≤i < j <l≤k
=
k
=i 1
(
)
(
)
n pi , pj −
k
n pi , pj , pl + ... + ( −1) n ( p1, p2 ,..., pk ) =
∑ ( −1)
m 0
=
∑
1≤i < j ≤k
m
∑
1≤i1 <i2 <...<ik ≤k
(
)
n pi1 , pi2 ,..., pik .
(2.13.4)
Метод включения и исключения применяется везде, где речь идет
о разделении дискретных множеств, производимых в зависимости
58
от наличия (или отсутствия) у элементов определенных свойств. К
числу задач, решаемых с помощью этого метода, относятся, например, задачи о встречах или беспорядках, разновидности задач теории чисел и ее приложений, где применяются специальные функции Эйлера и Мебиуса1.
Пример 1. Задача о беспорядках или задача о встречах. Пусть
имеется конечное упорядоченное множество чисел 1, 2,…, n. Для
них могут быть образованы перестановки {a1, a2,…, an}. Число всех
перестановок, очевидно, n!. Среди этих перестановок имеются такие, где ни один из элементов не сохранил своего первоначального
места: ai≠i, i = 1, 2,…, n. Такие перестановки называются беспорядками. Найдем число беспорядков.
Множество n элементов рассматривается по отношению к множеству свойств элементов оставаться на своих местах pi:{ai = i, i = 1,
2,…, n}. Очевидно, что если k элементов закрепляются на своих местах, то число N(k) соответствующих перестановок равно (n-k)! Число способов, которыми можно выбрать k закрепленных элементов
из общего количества n элементов равно Cnk . Число беспорядков,
где ни один элемент не сохранил своего первоначального места, тогда находится по формуле, аналогичной формуле (2.13.3)
k
N ( 0=
) n ! − Cn1 (n − 1) ! + Cn2 (n − 2) ! + ... + ( −1) Cnk (n − k ) ! + ...
n
+ ( −1) Cnn ( n − n ) != n ! − n ( n − 1) ! +
+ ( −1 )
k
n ( n − 1)
n ( n − 1)( n − 2 )...( n − k + 1)
k!
2!
(n − 2) !
(n − k ) !
+ ...
+ ... =
1 1

k 1
n 1  n! 
.
= n ! 1 − 1 + − + ... + ( −1)
+ ... + ( −1)
≈
!
!
!
2
3
k
n !   e 

(2.13.5)
Здесь выражение […]обозначает целую часть заданного числа, а
e- основание натуральных логарифмов.
Пример 2. Задача о числе перестановок, в которых остаются на
своих местах k элементов. В этой задаче из n элементов k должно
быть неподвижных. Число способов, которыми можно выбрать эти
k неподвижных элементов равно Cnk . Оставшиеся n-k элементов
могут образовывать беспорядки, их число подсчитаем по формуле
(2.13.5). Тогда по правилу произведения
1
Август Фердинанд Мебиус (1790–1868) – немецкий математик.
59

1 1
1 
N ( k=
=
) Cnk (n − k ) ! 1 − 1 + − + ... + ( −1)n−k

2! 3!
(n − k ) ! 

=
1 
n!  1 1
n −k
 − + ... + ( −1)
.
k !  2 ! 3 !
(n − k !) 
(2.13.6)
§ 2.14. Функция Эйлера
Функцией Эйлера называется функция ϕ(n), определенная на
множестве N, значения которой равны числу k натуральных может
быть и составных целых чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n, то есть 0<k<n, (k, n) = 1. Для n = 1 полагают ϕ(1) = 1.
Знаком (a, b) обозначается наибольший общий делитель натуральных чисел a и b. Взаимно простыми называются числа, наибольший общий делитель которых равен единице. Например, натуральные числа 5 и 7 взаимно просты, так как (5, 7) = 1. Таким образом, взаимно простые числа друг на друга нацело не делятся.
Функция Эйлера аналитически выражается следующим образом
ϕ(n ) = n −
n
n
n
k
+ ∑
+ ... + ( −1)
, (2.14.1)
q
q
q
q
q
1 2 ...qk
1≤i ≤k i 1≤i < j ≤k i j
∑
где k – есть число простых делителей qi числа n, i = 1, 2,…, k. Чаще
функция Эйлера приводится в несколько другом виде
k 
1
ϕ ( n ) = n∏  1 −
q
i
i =1 


1 
1  
1
 = n  1 −  1 − ... 1 −
q
q
q
k
1 
2 


α α
α
n = q1 1 q2 2 ...qk k .

,

(2.14.2)
Формулы (2.14.1) и (2.14.2) получим позже, а сейчас посчитаем
значения ϕ(n) для n = 1, 2,…, 10. Разложим числа с 1 до 10 на простые
делители.
1 = 11
2 = 21
3 = 31
4 = 22
5 = 51
60
6 = 21⋅31
7 = 71
8 = 23
9 = 32
10 = 21⋅51
1) ϕ(1) = 1 по определению.
 1
2) ϕ ( 2 ) =2 ⋅  1 −  =1, (1,2 ) =1. Это число 1.
 2
 1
ϕ ( 3) 3 ⋅ 1=
−  2, (=
1,3 ) 1, (=
2,3 ) 1. Два числа не превосхо3) =
 3
дят 3 и взаимно просты с числом 3; это числа 1 и 2.
 1
4) ϕ ( 4 ) =4 ⋅  1 −  =2, (1,4 ) =1, ( 3,4 ) =1. Это числа 1 и 3.
 2
 1
ϕ ( 5 ) 5 ⋅  1=
−  4, (=
1,5 ) 1, (=
2,5 ) 1, (=
3,5 ) 1, (=
4,5 ) 1. Че5) =
 5
тыре числа удовлетворяют условию существования функции Эйлера. Это числа 1, 2, 3 и 4.
 1  1
ϕ ( 6 ) 6 ⋅  1 −  ⋅  1=
−  2, (=
1,6 ) 1, (=
5,6 ) 1. Это числа 1 и 5.
6) =
 2  3
 1
ϕ ( 7 ) 7 ⋅  1=
−  6, (=
1,7 ) 1, (=
2,7 ) 1, (=
3,7 ) 1, (=
4,7 ) 1, (=
5,7 ) 1,
7) =
 7
(6, 7) = 1. Значение функции Эйлера в этом случае равно шести, так
как шесть чисел удовлетворяют условию существования функции
Эйлера. Это числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
 1
8) ϕ ( 8 ) =8 ⋅  1 −  =4, (1,8 ) =1, ( 3,8 ) =1, ( 5,8 ) =1, (7,8 ) =1. Зна 2
чение функции Эйлера равно четырем. Это числа 1, 3, 5 и 7.
1
,9 ) 1, ( 2,9
=
,9 ) 1, ( 5
=
,9 ) 1, (7
=
,9 ) 1,
9) ϕ=
( 9 ) 9 ⋅  1 −= 6, (1=
) 1, ( 4=
 3
(8, 9) = 1. Это числа 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
1
1
−  4, (1
=
,10 ) 1, ( 3=
,10 ) 1, (7=
,10 ) 1, ( 9=
,10 ) 1.
10) ϕ=
(10 ) 10 ⋅ 1 − 
 1=
 2  5 
Это числа 1, 3, 7 и 9.
Таким образом, функция Эйлера для первых десяти значений аргумента может быть задана следующей таблицей.
n
ϕ(n)
1
1
2
1
3
2
4
2
5
4
6
2
7
6
8
4
9
6
10
4
Выведем теперь формулы, представляющие функцию Эйлера. Для этого решим сначала такую вспомогательную задачу.
Пусть a1, a2,…, ak – взаимно простые натуральные числа, то есть
ai , a=
1, i ≠ j, à n – некоторое натуральное число. Найдем чисj
(
)
61
ло натуральных чисел, не превышающих n и не делящихся ни на
одно из чисел a1, a2,…, ak. Пусть Ai – множество натуральных чисел, не превышающих n и делящихся на ai. Тогда количество чисел, делящихся по крайней мере на одно из чисел a1, a2,…, ak равно
n(A1∪A2∪…∪Ak).
Очевидно
n
n ( Ai ) =   ,
 ai 
где опять [x] – наибольшая целая часть x, не превосходящая x. Множество Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik - это множество тех чисел, которые делятся на a1, a2,…, ak, то есть

n
n Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik =

 ai1 ⋅ ai2 ⋅ ... ⋅ aik
(
)
поскольку числа ai1 ⋅ ai2 ⋅ ... ⋅ aik
(2.12.2) получим
взаимно простые. По формуле
n ( A1 ∪ A2 ∪ ...
=
∪ Ak )
−
∑
1≤i1 <i2 ≤k
(

,

)
n Ai1 ∩ Ai2 + ... + ( −1)
∑ n ( Ai1 ) −
1≤i1 ≤k
k −1
n ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Ak ).
Тогда количество чисел, не превышающих n и делящихся, по
крайней мере, на одно из чисел a1, a2,…, ak равно
n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) =
=
n 
 n
 − ∑ 
1≤i1 ≤k  ai1  1≤i1 <i2 ≤k  ai1 ai2
∑


n
k −1 
 + ... + ( −1)

.

 a1a2 ...ak 
Количество чисел, не превышающих n и не делящихся ни на
одно из чисел a1, a2,…, ak равно
n − n ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) =
= n−
n 
 n
 + ∑ 
1≤i1 ≤k  ai1  1≤i1 <i2 ≤k  ai1 ai2
∑


n
k
 + ... + ( −1) 
.

 a1a2 ...ak 
Эта формула аналогична формуле (2.12.3) и представляет собой
по сути формулу включений и исключений. Ее можно было сразу
62
написать, если ввести
n
= pi1 – свойство числа n делиться на ai1 .
ai1
n 
Тогда   – количество чисел не превосходящих n и обладающих
 ai1 
свойством pi1 . Пусть теперь n – натуральное число, разложение
α
α
α
которого на простые множители имеет вид n = q1 1 ⋅ q2 2 ⋅ ... ⋅ qk k , где
q1, q2,…, qk – простые числа. Если ϕ(n) – число натуральных целых
чисел, взаимно простых с n, то по только что полученной формуле
имеем
n
n
n
k
ϕ (n ) = n − ∑
+ ∑
+ ... + ( −1)
=
q
q
q
q
q
1 2 ...qk
1≤i ≤k i1 1≤i <i ≤k i1 i2
1
1
2

1 
1  
1
= n  1 −  1 − ... 1 −
q
q
q
k
1 
2 

k 

1
n
=

∏ 1 − q
i

i =1 

.

Преобразования сумм в произведения очень громоздки и связаны с разложением многочлена на множители. Например, для k = 2
соответствующие преобразования будут иметь вид
n n 
 q +q
 q1q2 − q1 − q2 + 1 
n
1 
n− + +
= n 1 − 2 1 +
 = n
=
q
q
q
q
q
q
q
q
q1q2
2
1 2
1 2
1 2
 1



( q1 − 1)( q2 − 1) q1 − 1 q2 − 1  1  1 
=
n
=
n
⋅
=
n  1 −  1 − .
q1q2
q1
q2
q1 
q2 

Перечислим в заключение без доказательства свойства функции
Эйлера.
1. Если (a, b) = 1, то ϕ(a⋅b) = ϕ(a)⋅ϕ(b). Например, (3, 7) = 1,
2 
1
2 6
 1  1 
ϕ ( 3 ⋅ 7 ) = ϕ ( 21) = = 21 ⋅ ∏  1 −  = 21 1 −  1 −  = 21 ⋅ ⋅ = 12.
3  7 
3 7
qi 

i =1 
ϕ(21) = ϕ(3)⋅ϕ(7) = 2⋅6 = 12.
( )
 1
2. ϕ q α =q α − q α−1 =q α  1 − . Возьмем n = 8, n = 23,
q

 1
3
ϕ ( 8 ) =4 =2 − 22 =23  1 −  =4.
 2
k
( ) =∏ q
k 
1
1
α1 
 =n  1 −
i 1 −
qi 
qi
 =
=i 1=i 1
i 1
αi
3. ϕ ( n ) = ∏ ϕ qi
k
∏

.

63
4.
k
k
∑ ϕ ( d=) ∏ ∑α ϕ ( d=) ∏ qiα=i
n, где d – различные делители
d\n
=
i 1=
i 1
d\qi i
числа n. Например, если n = 10 = 21⋅51, то
2
∑
d\10
Выражение
∑ ϕ(d )
á
ϕ ( d ) = ∏ qi i = 2 ⋅ 5 = 10.
i =1
означает, что суммирование ведется по сем
d\10
делителям числа 10, т. е.
∑ ϕ ( d ) = ϕ (1) + ϕ (2) + ϕ (5) + ϕ (10 ) = 1 + 1 + 4 + 4 = 10.
d\10
ϕn
5. x ( ) ≡ 1( mod n ), где n>0 и (x, n) = 1. Например,
ϕ7
x = 3, n = 7, 3 ( ) = 36 = 729= 104 ⋅ 7 + 1= 1( mod7 )
ϕ 10
или x = 3, n = 10, 3 ( ) = 34 = 81 = 8 ⋅ 10 + 1 = 1( mod10 ).
Пример 1. Найти число способов разложения n шаров по m ящикам так, чтобы r (0≤r<m) ящиков остались пустыми.
Рассмотрим простейший пример. Пусть m = 3, n = 5, r = 1. Из рис.
2.5 сразу ясно, что порядок, т. е. номер шаров важен, следовательно,
речь идет о n – перестановках. В данном опыте выбирается ящик.
Это выборка с повторениями, так как ящики могут повторяться,
например, первый шар положен в первый ящик, второй шар положен в первый ящик и так далее. На основе такого простого примера
ясно, что речь идет о выборке m ящиков n раз (n шаров) с повторениями (рис. 2.5). Таким образом, число способов, которыми можно
разместить n шаров по m ящикам равно mn .
1-й ящик
1243
1235
1245
2-й ящик
пуст
Рис. 2.5
64
3-й ящик
5
4
3
Пусть pi (i = 1, 2,…, m) свойство, состоящее в том, что при данной
раскладке ящик с номером i остался пустым. Тогда количество раскладок, обладающих свойствами
pi1 , pi2 ,..., pir
(1 ≤ i1 < i2 < ... < ir ≤ m )
при одном способе выбора r пустых ящиков равно
n
n pi1 , pi2 ,..., pir= ( m − r ) , а общее количество раскладок, распространенное на все возможные способы выбора пустых ящиков, будет равно
(
)
∑
1≤i1 <i2 <...<ir ≤m
(
)
n
r
n pi1 , pi2 ,...,
=
pir
Cm
(m − r ) .
Применим теперь формулу включений и исключений типа
(2.13.2), получим
nm ( r ) =
m
∑ ( −1)
k −r
m
Ckr ω ( k ) = ∑ ( −1)
k −r
k r=
k r
=
=
k= r + l,
m −r
l
r +l
k= r , l= 0, = ∑ ( −1) Crr+ l Cm
(m − r − l )n=
l =0
k= m, =
l m − r.
r +l
Crr+ l Cm
=
=
n
k
Ckr Cm
(m − k ) =
m!
,
r ! l !(m − r − l ) !
m!
r l
Cm
Cm −r =
.
r ! l !(m − r − l ) !
r
= Cm
m −r
∑ ( −1)
l =0
=
l
m −r
∑ ( −1)
l =0
l
n
r l
Cm
Cm −r ( m − r − l )=
n
l
Cm
−r ( m − r − l ) .
§ 2.15. Практическое занятие № 5.
Формула включений и исключений
2.15.1. Из урны, содержащей m различных шаров, одновременно
извлекают s (1≤s≤m) шаров, записывают их номера, а затем шары
( )
d
s
возвращаются обратно в урну. Можно составить Cm
различных
наборов, получающихся в результате d извлечений. Найти число
наборов, в которых а) встречаются все шары; б) ровно r (0≤r≤m) шаров не встречается.
65


2.15.2. Вычислить S = ∑  1 / , где суммирование проводится
k
k/  2 
по всем натуральным k/ , не кратным 2, 3 и 5.
2.15.3. Четыре человека сдают свои шляпы в гардероб. В предположении, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность
того, что в точности k человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все значения k (0≤k≤4).
2.15.4. При обследовании читательских вкусов оказалось, что
60% студентов читают журнал A, 50% – журнал B, 50% – журнал
C, 30% – журналы A и B, 20% – журналы B и C, 40% – журналы A и
C, 10% – журналы A, B и C. Сколько процентов студентов:
а) не читает ни одного журнала;
б) читает в точности два журнала;
в) читает не менее двух журналов.
2.15.5. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 100 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7.
2.15.6. Показать, что если n = 30m, то количество целых положительных чисел, не превосходящих n и не делящихся ни на одно из
чисел 6, 10, 15, равно 22m.
2.15.7. В классе 35 учащихся. Из них 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 учащихся не посещают ни одного
из этих кружков. Сколько учеников посещают и математический и
физический кружок? Сколько учащихся посещают только математический кружок?
2.15.8. Сколькими способами можно расположить за круглым
столом n супружеских пар так, чтобы мужчины и женщины чередовались и никакие двое супругов не сидели рядом?
2.15.9. В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа И.С. Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть
5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7
томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети».
Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую не менее чем по одному экземпляру каждого из этих романов?
2.15.10. Вычислить: а) ϕ(100); б) ϕ(1000); в) ϕ(p), где p – простое
число.
66
ЧАСТЬ 3
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
§ 3.1. Основные понятия и определения [17–19]
Теория графов применяется при анализе функционирования
сложных систем, таких как сети железных дорог, телефонных или
компьютерных сетей, ирригационных систем. Эта теория традиционно является эффективным аппаратом формализации задач экономической и планово – производственной практики, применяется
в автоматизации управления производством, в календарном и сетевом планировании.
Основным понятием теории является граф. Пусть S- непустое
множество, V(2) – множество всех его двухэлементных подмножеств,
U⊂V(2). Тогда пара (S, U) называется неориентированным графом.
Элементы множества S называются вершинами графа, а элементы
множества U-ребрами. Итак, G = (S, U) граф – это конечное множество вершин S и множество ребер U.
Вершины графа обозначают по-разному: или большими буквами, или малыми с индексами; для ребер наиболее употребительное
обозначение – u с индексом, например, u1, u2,…, un. Взаимное расположение, форма и длина ребер значения не имеют. Важно лишь то,
что они соединяют две данные вершины множества S.
Если в паре вершин xi и xj указано направление связи, т. е. какая
из вершин является первой, то соединяющий их отрезок uk называется дугой, а вершины, определяющие дугу uk, называют концевыми
вершинами. Если концевые вершины совпадают, то дугу называют
петлей. В графе G могут существовать дуги (ребра) с одинаковыми
концевыми вершинами. Такие дуги называются параллельными.
Если в графе G = (S, U) все элементы множества U изображаются
дугами, то граф называется ориентированным или орграфом, если
ребрами, то неориентированным. Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.
Вершина x1 и ребро u1 называются инцидентными, если x1 является концом ребра u1 и не инцидентными в противном случае.
Таким образом, смежность есть отношение между однородными
элементами графа, тогда как инцидентность является отношением
между разнородными элементами.
67
Число вершин графа называется его порядком. Степенью P(xi)
вершины xi называется число дуг (ребер) графа G, инцидентных
данной вершине. Вершина степени нуль называется изолированной, а если степень равна единице, то такая вершина называется
висячей.
Граф G называется простым, если он не содержит петель и параллельных дуг. Простой граф, в котором каждая пара вершин смежна,
называется полным. Граф, содержащий хотя бы две параллельные
дуги (ребра), называется мультиграфом. Граф, содержащий петли,
называется псевдографом.
Граф называется двудольным, если существует такое разбиение
множества его вершин на две части (доли), что концы каждого ребра
принадлежат разным частям. Если при этом любые две вершины,
входящие в разные доли, смежны, то граф называется полным двудольным. Полный двудольный граф, доли которого состоят из p и q
вершин, обозначается символом Kp,q (рис. 3.2).
Графы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек
и линий, соединяющих некоторые из этих точек. На рис. 3.1 изображены полные графы порядка 1, 2, 3 и 4. Они обозначаются Kn.
Число ребер в полном графе Cn2 . На рис. 3.2 изображены двудольные графы K1,4 и K3,3. Два графа G и G1 называются изоморфными,
если между множеством их вершин существует такое взаимно одно-
Рис. 3.1
K 1,4
K 3,3
Рис. 3.2
68
значное соответствие, при котором в одном из графов ребрами соединены вершины в том и только в том случае, если в другом графе
ребрами соединены те же вершины. Для орграфов ориентация дуг
должна быть также одинаковой.
Очевидно, что отношение изоморфизма графов является эквивалентностью, т. е. оно симметрично, транзитивно и рефлексивно.
Следовательно, множество всех графов разбивается на классы так,
что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных
классов не изоморфны.
Способов задания графов – великое множество. Самый простой
способ – задание множеств S и U. Граф также может быть задан просто рисунком. В силу изоморфизма один и тот же граф может быть
изображен разными рисунками. Например, слева на рис. 3.3 изображение одного и того же графа, так как в обоих случаях содержится
одна и та же информация о вершинах и дугах графа и их взаимном
расположении. В некоторых случаях всё же приходится различать
изоморфные графы; тогда полезно понятие помеченный граф.
x1
x3
x4
x2
x1
x2
x4
x3
Рис. 3.3
Граф Gn порядка n называется помеченным, если его вершинам
присвоены некоторые метки, например, 1, 2, 3… Пусть n = 3, тогда,
например, на рис. 3.4 изображены три разных графа. Строго говоря, абстрактный или непомеченный граф – это класс изоморфных
графов.
2
1
2
3
1
3
3
1
2
Рис. 3.4
69
Число gn непомеченных графов порядка n определяется очень
сложно. Известна формула Пойа1
2
2Cn
gn ≅
,
n!
дающая лишь асимптотику числа gn, то есть
lim
g (n )
n →∞ f
(n )
(3.1.1)
= 1,
2
2Cn
=
g ( n ) g=
,
f
n
.
где
(
)
n
n!
Граф называется плоским (планарным), если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются его
вершинами. Для произвольного графа G = (S, U) следующим образом определяется дополнительный граф (дополнение) G = S,U . В
этом графе G вершин столько же, сколько в графе G, причем любые две несовпадающие вершины смежны в G тогда и только тогда,
когда они не смежны в G (рис. 3.5). Граф, изоморфный своему дополнению, называется самодополнительным. Пусть G = (S, U). Граф
/
/
G / = S/ ,U / называется подграфом графа G, если S ⊂ S и U ⊂ U.
(
(
)
)
G =( S, U )

U)
G=(S,
Рис. 3.5
§ 3.2. Операции над графами
Определим операции, позволяющие из имеющихся графов получать другие графы с большим или меньшим числом элементов.
1) Операция объединения графов. Граф G = (S, U) называется
объединением (или наложением) графов G1 = (S1, U1) и G2 = (S2, U2),
если S = S1∪S2 и U = U1∪U2. Объединение G = G1∪G2 называется дизъюнктным, если S1∩S2 = ∅.
1
70
Дьердь Пойа (1887–1985) – американский математик.
2) Произведение графов (рис. 3.6). Пусть даны графы G1 = (S1, U1)
и G2 = (S2, U2). Граф G = (S, U) называется произведением G1×G2 графов G1 и G2, причем S = S1×S2 – декартово произведение множеств
вершин исходных графов, а множество ребер получается следующим образом: вершины (x1, x2) и (y1, y2) смежны в графе G тогда и
только тогда, когда или x1 = y1, а x2 и y2 смежны в G2, или x2 = y2, а x1
и y1 смежны в G1 (см. рис. 3.6). С помощью операции произведения
вводятся n-мерные кубы – один из классов графов. n -мерный куб Qn
вводится рекуррентно:
Q1 =
K2 , Qn =
K2 × Qn −1, n > 1. G1
G2
(3.2.1)
G
( x1 , y1 )
x1
( x1 , y2 )
( x1 , y3 )
( x2 , y2 )
( x2 , y3 )
( x2 , y1 )
x2
×
⇒
y1
x3
y2
y3
( x3 , y1 )
( x3 , y2 )
( x3 , y3 )
Рис. 3.6
Таким образом, Qn – граф порядка 2n, вершины которого можно представить векторами длины n, причем такими, что векторы,
смежные одной вершине, будут различаться ровно в одной координате. На рис. 3.7 представлены кубы Q2 и Q3. Видно, что каждая
вершина n -мерного куба инцидентна n ребрам, следовательно, число ребер n -мерного куба равно n⋅2n–1.
(1,1,1)
(1,0,1)
(0,1)
(1,1)
(0,0,1)
(0 ,0,0)
(0,0)
(0,1,1)
(0,1,0)
(1,0)
(1,0,0)
(1,1,0)
Рис. 3.7
71
3) Слияние (отождествление) вершин. Пусть x1 и x2 – две произвольные вершины графа G, а G1 = G\{x1}\{x2}. К графу G1 присоединим новую вершину y1, соединив ее ребром с каждой из вершин,
входящих в объединение окружений вершин x1 и x2 в графе G. Построенный граф G1 получен из G отождествлением вершин x1 и x2
(рис. 3.8). Операция стягивания ребра означает отождествление
двух смежных вершин. Граф G называется стягиваемым к графу
G1, если G1 получается из G в результате некоторой последовательности стягиваний ребер.
x2
G1
G
x1
y1
Рис. 3.8
4) Расщепление вершин. Пусть x1 – одна из вершин графа G. Разобьем ее окружение на две части N1 и N2; удалим вершину x1 вместе с инцидентными ей ребрами; добавим новые вершины x2 и x3,
соединяющее их ребро; вершину x2 соединим с каждой вершиной
из множества N1, а вершину x3 с каждой вершиной из множества
N2. В результате получим граф G . Этот граф построен из исходного
графа G расщеплением вершины x1 (рис. 3.9).
x1
N1
x2
N2
Рис. 3.9
72
x3
§ 3.3. Маршруты, цепи, циклы
Чередующая последовательность x1, u1, x2, u2,…, xk, uk, xk+1 вершин и ребер графа, такая=
что ui x=
i xi +1, i 1, k, называется маршрутом, соединяющим вершины x1 и xk+1. Очевидно, что маршрут
можно задать последовательностью его вершин x1, x2,…, xk+1 или
последовательностью ребер u1, u2,…, uk. Маршрут называется цепью, если все его ребра различны, и простой цепью, если все его
вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Гамильтоновой
цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа.
Маршрут называется циклическим, если x1 = xk+1. Циклическая
цепь называется циклом, а циклическая простая цепь – простым
циклом. Число ребер в маршруте называется длиной маршрута. Гамильтоновым циклом называется простой цикл, содержащий все
вершины графа. Длина всякого цикла не менее трех в графе без петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.
Важным понятием теории графов является связность. Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Для орграфа существует еще понятие сильной
связности. Для этого определим понятие пути. Путь – это ориентированный маршрут. Поэтому, если для установления простой (или
слабой) связности графа ориентацию его дуг принимать в расчет
не следует, то для установления сильной связности это необходимо
(рис. 3.10). Орграф называется сильно связным, если для любых
двух вер шин xi, xj∈S найдется путь с началом в xi и концом в xj. Для
неориентированного графа понятие пути и маршрута совпадают.
x2
x4
x1
x2
x1
x3
сильно связный
граф
x5
x3
связный граф
(нет пути из x2 в x3)
x4
Рис. 3.10
Теорема 3.1. Для любого графа G либо он сам, либо его дополнение является связным.
73
Доказательство. Пусть G – несвязный граф (рис. 3.11), A – одна
из его областей связности и B = G\A. Тогда для ∀x∈A и ∀y∈B в дополнительном графе G есть ребро (x, y), т. е. произвольная вершина из B соединена с x маршрутом единичной длины, а произвольная вершина из A, отличная от x, соединена с x маршрутом не более
чем два, т. е. граф G связен.
G
G
A
B
x
y
y
x
Рис. 3.11
Рассмотрим S = ∪ Si разложение множества вершин графа
i
G = (S, U) на попарно непересекающиеся подмножества, причем такое, что все вершины в каждом Si связаны, а вершины из различных
Si не связаны. Тогда можно написать разложение G = ∪ Gi ( Si ,Ui )
i
графа G на непересекающиеся связные подграфы Gi ( Si ,Ui ). Такое разложение называется прямым, а сами подграфы называются
компонентами связности графа G.
Теорема 3.2. Любой граф представляется в виде объединения
непересекающихся связных (сильно связных) компонент. Разложение графа на связные (сильно связные) компоненты определяется однозначно.
На рис. 3.12 изображен орграф, разлагающийся на три сильно
связных компоненты: подграфы G1, G2 и G3.
x2
x2
x3
x6
x6
x1
x1
x4
x5
x4
Рис. 3.12
74
x3
x5
Теорема 3.3. Пусть G = (S, U) является n-вершинным неориентированным графом с k компонентами связности. Тогда число ребер
в таком графе m(G) удовлетворяет условию
(3.3.1)
n − k ≤ m ( G ) ≤ Cn2−k+1,
причем обе эти оценки достижимы.
Например, на рис. 3.13 изобраx1
x6
жен неориентированный граф, у
которого n = 7, m = 6, k = 2. Тогда
x3
x4
7 − 2 = 5 < 6 < C62 = 15, т. е. оценка теоремы 3.3 справедлива.
x2
x5
x7
В различных приложениях теории графов дугам (ребрам) графов,
Рис. 3.13
моделирующих реальные процессы,
обычно сопоставляются какие-либо
числовые характеристики. Например, если дугами изображаются
транспортные магистрали, то числовой характеристикой дуги может быть пропускная способность соответствующей магистрали и
тому подобное. В таких случаях говорят, что дугам графа приписаны определенные веса.
Пусть G = (S, U) – орграф. Если каждой дуге (xi, xj)∈U поставлено
в соответствие некоторое число ω(xi, xj), то граф Gназывается графом
со взвешенными дугами или сетью. При этом вершины графа называются узлами сети. Число ω(xi, xj) называется весом дуги (xi, xj).
Весом пути µ (длиной, стоимостью и так далее в зависимости от
контекста) сети Gω называется число
=
ω( µ )
∑
(
)
ω xi , xj .
(3.3.2)
( )
Понятие сети и веса маршрута для неориентированного графа
определяется аналогично.
xi ,xj ∈µ
§ 3.4. Способы задания графов
В подавляющем большинстве случаев граф задается матрицей.
Для расчетов на ЭВМ это единственный способ. Существует редко
применяемый сейчас метод задания графа в виде латинской матрицы. В этом способе направление дуг задается порядком букв в их названии. Наиболее часто граф задают с помощью матриц смежности
и инциденций. Рассмотрим изображенный на рис. 3.14 граф. Как
75
u3
B
D
u4
u1
u2
u8
A
u5
u9
u6
E
u7
C
Рис. 3.14
для орграфов, так и для неориентированных графов можно определить матрицу смежности вершин. Это квадратная матрица n×n порядка, где n – число вершин
A
B
P=
C
D
E
A
B C
D
E
0

1
1

0
0

1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0

0
.
1

0
1 
1
0
0
0
0
Ее строки и столбцы соответствуют вершинам графа. Элементы
pij матрицы смежности вершин равны числу дуг, идущих из i – той
вершины в j -ю вершину. Если орграф не содержит параллельных
дуг, то матрица является бинарной и состоит только из нулей и единиц. В случае неориентированного графа ему вместе с ребром xixj
принадлежит и ребро xjxi, поэтому матрица смежности вершин будет симметрической. Матрица смежности вершин однозначно определяет структуру графа.
Теорема 3.4. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их
матрицы смежности вершин получаются друг из друга одновременными перестановками строк и столбцов (т. е. одновременно с
перестановкой i-й и j-й строк переставляются i-й и j-й столбцы).
Доказательство. Рассмотрим два графа G и G1, отличающихся
лишь нумерацией вершин. Это значит, что в этих графах существу76
ет подстановка s на множестве вершин, сохраняющая их смежность:
вершины x1 и x2 тогда и только тогда смежны в G, когда их образы
y1 = s(x1) и y2 = s(x2) смежны в G1. Тогда, если P(G) = P и P(G1) = P(1), то
(1)
p=
p=
ij , i, j 1,n.
s( i )s( j )
Из доказанной теоремы следует, что ранги матриц смежности
изоморфных графов равны. Это позволяет ввести для графа следующее определение ранга: рангом графа называется ранг его матрицы
смежности вершин. Обозначается ранг графа – rankG.
Аналогично можно определить и матрицу смежности дуг. Это
также квадратная матрица m×m порядка, где m – число дуг. Рассмотрим тот же граф без петли u9. Элементы qij этой матрицы равны
единице, если дуга ui непосредственно предшествует дуге uj и равны
нулю в остальных случаях. Для неориентированного графа элемент
qij равен единице, если ui и uj смежны и нулю в остальных случаях.
u1
u2
u3
Q = u4
u5
u6
u7
u8













u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0

0
0

0
0

0
1

0 
Определим для рассматриваемого графа матрицу инциденций.
Это прямоугольная матрица размерности n×m, где n – число вершин, а m – число дуг. Элементы rij этой матрицы равны плюс единице, если дуга uj исходит из i-й вершины (начальная вершина), минус единице, если дуга uj входит в i-ю вершину (конечная вершина),
нулю, если дуга не инцидентна i-й вершине. В случае неориентированного графа элементами матрицы будут числа единица и нуль,
т. е.
 1, âåðøèíà xi èíöèäåíòíà ðåáðó uj ,
rij = 
0, âåðøèíà xi íå èíöèäåíòíà ðåáðó uj .
Строки матрицы инциденций называют векторами инциденций
графа G. Матрица инциденций также однозначно определяет струк77
туру графа. Для матрицы инциденций справедлива теорема, аналогичная теореме 3.4.
u1
u2
u3 u4
u5 u6 u7
u8
A
B
R=
C
D
E








−1
1
0
0
0
1
−1
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
−1
0
1
0
−1
0
1
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
1
0
−1
0 

0 
0 

− 1
1 
Теорема 3.5. Графы (орграфы) изоморфны тогда и только тогда,
когда их матрицы инциденций получаются друг из друга произвольными перестановками строк и столбцов.
Простой взвешенный граф (сеть) может быть представлен также
своей матрицей весов Ω = (ωij), где ωij – вес ребра, соединяющего вершины xi и xj. Веса несуществующих ребер полагают равными нулю или
бесконечности в зависимости от приложений. Очевидно, что матрица
весов является простым обобщением матрицы смежности вершин.
Определим, теперь, матрицу Кирхгофа1. Матрицей Кирхгофа
графа G называется матрица Bn×n, n = |S|, если

−1, xi è xj ñìåæíû,

=
bij 0, xi è xj íå ñìåæíû è i ≠ j,

P ( xi ), i = j.

Сумма элементов в каждой строке и каждом столбце этой матрицы равна нулю, т. е.
n
bij
∑=
i =1
0=
, j 1,n,
n
bij
∑=
0=
, i 1,n.
j =1
Кроме того, из этого следует, что алгебраические дополнения
всех элементов матрицы B равны между собой.
Определим матрицы связности и достижимости. Пусть P(G) –
матрица смежности вершин графа G = (Sn, U), а B = E + P + P2 + … + Pn.
Введем матрицу
=
C
1
78
cij ), i, j
(=
1, åñëè bij ≠ 0,
1,n по правилу cij = 
0, åñëè bij = 0.
Густав Роберт Кирхгоф (1824–1887) – немецкий физик.
Матрица C называется матрицей связности, если G – неорграф, и
матрицей достижимости, если G – орграф. Это значит, что в графе G
тогда и только тогда существует маршрут из вершины xi в вершину
xj, когда cij = 1. Таким образом, в матрице C содержится информация о существовании связей между различными элементами графа
G посредством маршрутов.
Матрица контрдостижимости
=
L
lij ), i, j
(=
1,n
определяется следующим образом:
 1, åñëè âåðøèíà xi äîñòèæèìà èç âåðøèíû xj ,
lij = 
0, åñëè âåðøèíà xi íå äîñòèæèìà èç âåðøèíû xj .
Можно показать, что L = CT. Матрицы C и L используются для
нахождения сильных компонент графа. Пусть F = C*L, где операция * означает поэлементное произведение матриц C и L: fij = cij⋅lij
(см. § 1.2). Элемент fij матрицы F равен единице тогда и только тогда,
когда вершины xi и xj взаимно достижимы, т. е. xi достижима из xj,
а xj достижима из xi. Таким образом, сильная компонента орграфа,
содержащая вершину xi, состоит из элементов xj, для которых fij = 1.
Пример 1. Матрицы достижимости C и контрдостижимости L
для графа, изображенного на рис. 3.12, равны
0

0
0
P=
0
0

0

0

0
0
P3 = 
0
0

0

1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
2
1
2
0
1
0
0 1 0


0
0 0 0
0 1 0
1
2
, P = 
0
0 0 1

0 0 0
1


0 0 0
0 

0
1
0
0
0
0
1
1
2
0
1
0
0

1
1
,
1
0

1 
1
0 0 0


1
0 0 1
0 0 0
2
4
, P = 
1
0 1 0

0 0 0
1


0 0 0
0 

1
0
1
0
0
0
2
1
3
2
1
0
1

2
2
,
2
0

1 
79
0

0
0
P5 = 
0
0

0

1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2
3
3
2
0
1
2
0 0 1


2
0 1 0
0 0 1
3
6
, P = 
2
0 0 0

0 0 0
1


0 0 0
0 

1

0
0
B =E + P + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 =
0
0

0

1

0
0
C=
0
0

0

1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
x1
x2
F C=
* L x3
=
x4
x5
x6
1

1
1
Τ
L C=
, =
1
1

1 










0
0
0
1
0
0
2
3
3
3
1
0
2

3
3
,
3
0

1 
3
3
2
2
0
0
2
2
3
2
0
0
2 7 6

2 10 9 
2 13 12 
,
3 10 9 
0 4 3

0 3 4 
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1

1
1

1
1

1

x1
x2
x3
x4
x5
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0

0
0
,
0
1

1 
x6
0

0
0 .

0
1

1 
По матрице F легко определить состав вершин трех подграфов,
образующих сильно связные компоненты исходного графа.
§ 3.5. Метрические характеристики графа
Рассмотрим связный граф G = (S, U), пусть x1 и x2 – две его вершины. Длина кратчайшего (x1, x2) – маршрута называется расстоянием между вершинами x1 и x2 обозначается через d(x1, x2). Оче80
видно, что расстояние между вершинами является простой цепью и
d(xi, xi) = 0. Для любой вершины x величина
(3.5.1)
e ( x ) = max d ( x, y )
y∈S
называется эксцентриситетом вершины x. Максимальный из всех
эксцентриситетов вершин называется диаметром графа и обозначается d(G), т. е.
=
d ( G ) max
=
e ( x ) maxmax d ( x, y ). x∈S
x∈S y∈S
(3.5.2)
Минимальный из эксцентриситетов вершин графа называется
его радиусом и обозначается через r(G):
=
r ( G ) min
=
e ( x ) minmax d ( x, y ).
x∈S
x∈S y∈S
(3.5.3)
Вершина x называется периферийной, если ее эксцентриситет
равен диаметру графа, т. е. e(x) = d(G). Простая цепь, расстояние
между концами которой равно d(G), называется диаметральной цепью.
Теорема 3.6. Для любого связного графа G справедливо неравенство d(G)≤rankG.
Доказательство. Пусть d(G) = d и x1, x2,…, xd+1 – одна из диаметральных цепей графа G. Рассмотрим матрицу смежности вершин
P(G) и выберем нумерацию вершин так, чтобы вершины x1, x2,…,
xd+1 имели номера 1, 2,…,d + 1 соответственно. Так как цепь x1, x2,…,
 A B
xd+1 является подграфом G / ⊂ G, то P ( G ) = 
 представляет
 C D
собой клеточную матрицу, в левом верхнем углу которой из-за выбранной нумерации вершин расположена матрица смежности подграфа G / . Этот подграф является простой цепью, т. е.
 0 1 0 ... 0 0 


 1 0 1 ... 0 0 
 0 1 0 ... 0 0 
A =

 ... ... ... ... ... ... 
 0 0 0 ... 0 1 


 0 0 0 ... 1 0 


81
симметрическая матрица порядка d + 1,
все элементы которой, за исключением
x5
двух ближайших к главной диагонали
x7
полос, равны нулю. Минор порядка d
матрицы A, остающийся после вычеркивания первого столбца и последней
строки, равен единице. Следовательно,
x2
x3
x4
=
rankG rankP ( G ) ≥ rank
=
A ≥ d d ( G ),
Рис. 3.15
т. е. rankG ≥ d ( G ).
Вершина x называется центральной, если e(x) = r(G). Множество всех центральных вершин графа называется его центром. Центром может быть единственная вершина
графа или несколько вершин (рис. 3.15). Здесь e(x1) = e(x2) = e(x4) = e(x
6) = 3, e(x3) = e(x7) = 4, e(x5) = 2. Таким образом, d(G) = 4, r(G) = 2. Периферийные вершины x3 и x7, диаметральные цепи : x3–x2–x5–x6–x7
и x3–x4–x5–x6–x7, центральная вершина x5.
x1
x6
§ 3.6. Упорядочивание дуг и вершин орграфа
Расчеты в задачах, связанных с графами, заметно упрощаются, если их элементы упорядочены. Под упорядочиванием вершин
связного орграфа без контуров, то есть циклических цепей понимают такое разбиение его вершин на группы, при котором:
1) вершины первой группы не имеют предшествующих вершин,
а вершины последней группы последующих;
2) вершины любой другой группы не имеют предшествующих в
следующей группе;
3) вершины одной и той же группы дугами не соединяются.
Такое разбиение всегда возможно. В результате подобного упорядочивания получается граф, изоморфный исходному графу. Упорядочивание элементов выполняется графическим или матричным
способом. Графический способ носит название алгоритма Фалкерсона1 и состоит из следующих шагов.
1. Находят вершины графа, в которые не входит ни одна дуга.
Они образуют первую группу. Нумеруют вершины группы в произвольном порядке.
2. Вычеркивают все пронумерованные вершины и дуги, из них
исходящие. В получившемся графе найдется, по крайней мере, одна
1
82
Делберт Рей Фалкерсон (1924–1976) – американский математик.
a)
б)
B
B
B
D
C
C
D
A
A
D
C
A
E
E
E
Рис. 3.16
вершина, в которую не входит ни одна дуга. Этой вершине, входящей во вторую группу, присваивают очередной номер и так далее.
Второй шаг повторяется до тех пор, пока не будут упорядочены все
вершины.
Аналогичным образом упорядочиваются дуги орграфа. Рассмотрим несколько примеров. Упорядочим вершины графа изображенного на рис. 3.16, a. Вершина B не содержит входящих дуг, отнесем
ее к первой группе. Вычеркиваем все дуги, исходящие из В. Получим граф, приведённый на рис. 3.16, б. В нем опять находим одну
вершину, в которую не заходит ни одна дуга. Это вершина D. Вычеркиваем дуги, исходящие из D. Появится еще одна вершина – вершина E, в которую не заходит ни одна дуга. После вычеркивания
дуг EC и EA получим вершину A, которая входит, таким образом, в
четвертую группу, а вершина C – в пятую. Изоморфный граф с упорядоченными вершинами изображен на рис. 3.17. В данном примере
в каждую группу входит только по одной вершине. Однако в общем
случае в каждую такую группу могут входить несколько вершин,
если граф большой и содержит много вершин. Упорядочим теперь
E
D
B
C
A
1-я
2-я
3-я
4-я
5 - я группа
Рис. 3.17
83
вершины этого графа матричным способом. Для этого составим матрицу смежности вершин P.
A B C D E
0

1
0

0
1

A
B
P=
C
D
E
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0

1
.
0

1
0 
5
Вычислим компоненты вектора v1 = ∑ P + ( xi ), представляющие
i =1
собой полустепени захода вершин графа. Для орграфов различают
полустепень захода P+(xi) вершины xi (количество дуг, заходящих
в xi) и полустепень выхода P–(xi) (количество дуг, исходящих из xi).
Полустепень захода вершины B оказалась равной нулю. Это значит,
что в эту вершину не заходит ни одна дуга, и вершина B образует
первую группу. Исключим из рассмотрения вершину B и дуги, из
нее исходящие, вычеркнув соответствующую строку матрицы P.
Затем вычислим компоненты вектора v2 = v1–vB. Нулевая компонента теперь будет соответствовать вершине D, т. е. вершина D образует
вторую группу.
v1
v2
v3
v4
v5
Группа
A
2
1
1
0
–
4
B
0
–
–
–
–
1
C
4
3
2
1
0
5
D
1
0
–
–
–
2
E
2
1
0
–
–
3
Так продолжается до получения вектора v, у которого будет часть
только нулевых компонент, а остальные вычеркнуты. В нашем случае это вектор v5 и вершина C, которая образует последнюю пятую
группу.
При упорядочивании дуг получается та же картина, а сами дуги
нумеруются подобным же образом. Используем опять граф, изображенный на рис. 3.16, а.
1. Найдем дуги, не имеющие непосредственно предшествующих
дуг (они образуют первую группу).
84
B
C
B
D
B
E
B
A
C
D
D
C
E
E
A
A
C
E
Рис. 3.18
2. Вычеркнем найденные дуги. После этого найдется, по крайней
мере, одна новая дуга, не имеющая непосредственно предшествующей (в графе без дуг первой группы). Эти дуги составят вторую
группу. Второй шаг повторяется до тех пор, пока все дуги не будут
разбиты на группы. На рис. 3.18 изображен граф с упорядоченными
по описанному алгоритму дугами. Штрихованными линиями показаны связи между дугами, существующие в исходном орграфе.
§ 3.7. Выявление маршрутов с заданным количеством ребер
С помощью матрицы смежности вершин можно найти все маршруты, содержащие заданное количество ребер (дуг). Справедлива
следующая теорема.
Теорема 3.7. Для определения количества маршрутов, состоящих из k ребер (дуг), необходимо возB
вести в k-ю степень матрицу смежно(k)
u1
сти вершин. Тогда элемент pij даст
u5
A
количество маршрутов длины k (состоящих из k ребер) из вершины xi в
u2
вершину xj.
C
u
3
Пример 1. Рассмотрим неориентированный граф, изображенный на
D
u4
рис. 3.19. Составим матрицу смежности вершин и возведем ее в квадрат.
Рис. 3.19
Результат возведения:
0

1
1

1
1
0
1
1
1
1
0
1
1 0
 
1 1
⋅
1 1
 
0   1
1
0
1
1
1
1
0
1
1 3 2 2 2
 

1 2 3 2 2
=.
1 2 2 3 2
 

0   2 2 2 3 
85
(2)
Рассмотрим первую строку. Элемент p11 = 3. Это значит, что существуют три маршрута из A в A длиной два ребра. Действительно,
это маршруты Au1 Bu1 A, Au2Cu2 A, Au3 Du3 A. Из A в B существуют
два маршрута: Au2Cu5 B, Au3 Du4 B. Если использовать числовую
матрицу смежности вершин, то для нахождения самих маршрутов
необходимо работать с графом. Если же воспользоваться модифицированной матрицей смежности, в ячейки которой записаны названия ребер, то можно получить не только количество маршрутов, но
и сами маршруты. Действительно, для данного примера имеем
0

 u1
 u2

 u3
u1
0
u5
u4
u2
u5
0
u6
u3   0
 
u4   u1
⋅
u6   u2
 
0   u3
u1
0
u5
u4
u2
u5
0
u6
u3 

u4 
=
u6 

0 
u2u5 + u3u4
u1u5 + u3u6
u1u4 + u2u6
 u1u1 + u2u2 + u3u3



u
u
+
u
u
u
u
+
u
u
+
u
u
u
u
+
u
u
u
u
+
u
u
5 2
4 3
1 1
5 5
4 4
1 2
4 6
1 3
5 6
.
=
 u5u1 + u6u3

u1u2 + u6u4
u2u2 + u5u5 + u6u6
u2u3 + u5u4


u3u1 + u5u6
u3u2 + u4u5
u3u3 + u4u4 + u6u6 
 u4u1 + u2u6
Аналогично обстоит дело и с орграфом. У него матрица смежности вершин несимметрическая. Рассмотрим следующий орграф
(рис. 3.20) и определим все маршруты с тремя ребрами. Матрица
смежности и результаты ее возведения в квадрат и куб приведены
(2)
ниже. Рассмотрим элемент p22 после возведения матрицы смеж-
(2)
ности вершин в квадрат. p22 = 2 , т. е. из вершины B в вершину
B есть два маршрута длиной две дуги. Это маршруты Bu3Cu4 B и
Bu2 Au1 B.
u1
u3
B
A
C
u2
u4
u5
Рис. 3.20
86
D
После возведения матрицы в куб сохраняется та же картина. На( 3)
пример, p12 = 2; это значит, что есть два маршрута длиной три дуги
из вершины A в вершину A. Это маршруты
Au1 Bu2 Au1 B è Au1 Bu3Cu4 B.
Для получения цепей (маршрутов, в которых каждое ребро
встречается один раз) нужно в модифицированной матрице P3 вычеркнуть те слагаемые, в которых какой-либо сомножитель встречается более одного раза.
0

1
P2 = 
0

0
1
0
1
0
1

0
P3 = 
1

0
1
1
0
0
1
2
0
0
0 0
 
0 1
⋅
1 0
 
0   0
1
1
1
0
1 0
 
1 1
⋅
0 0
 
0   0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0 1
 
0 0
=
1 1
 
0   0
0 1
 
0 2
=
1 0
 
0   0
1
2
0
0
2
1
2
0
1
1
1
0
2
2
1
0
1

1
,
0

0 
1

1
.
1

0 
Из теоремы 3.7 следуют да важных следствия, позволяющие
определять наличие маршрутов и циклов в графе.
Следствие 1. В графе G мощности n тогда и только тогда существует (xi, xj)-маршрут (xi≠xj), когда (i, j)-й элемент матрицы
P + P2 + … + Pn– 1 не равен нулю.
Следствие 2. В графе G мощности n тогда и только тогда существует цикл, содержащий вершину xi, когда (i, j)-й элемент матрицы P + P2 + … + Pn не равен нулю.
В рассмотренном примере 1 имеем n = 4,
2

1
P4 = 
2

0
3
4
1
0
3
3
2
0
2
2 4


3 3
2
=
, A =P + P2 + P3 =


1 3
1


0 
0 0
4

4
B =P + P2 + P3 + P4 =
3

0
7
7
4
0
7
7
4
0
4
4
2
0
2

2
,
2

0 
4

4
.
3

0 
87
Рассмотрим элементы матрицы A. Например, a24 = 2≠0. Это значит, что в исходном графе (см. рис. 3.20) существуют маршруты
из вершины B в вершину D. Это маршруты: BCD, BACD, BCBACD.
Аналогично, b22 = 7≠0. Таким образом, существуют циклы, проходящие через вершину B. Это, например, циклы BACB, BAB и BCB.
Так как b44 = 0, то через вершину D не приходит ни один цикл. Это
хорошо видно на рис. 3.20.
§ 3.8. Определение экстремальных путей на графах.
Метод Шимбелла1
Введем, следуя Шимбеллу, специальные операции над элементами матрицы смежности вершин, позволяющие находить кратчайшие или максимальные пути между вершинами, состоящие из заданного количества ребер. Эти операции таковы.
1) Операция умножения двух величин a и b при возведении матрицы в степень соответствует их алгебраической сумме, то есть
 a ⋅ b = b ⋅ a ⇒ a + b = b + a,

a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0 ⇒ a + 0 = 0.
(3.8.1)
2) Операция сложения двух величин a и b заменяется выбором
из этих величин минимального (максимального) элемента, то есть
a + b = b + a = min(max){a, b},
(3.8.2)
нули при этом игнорируются. Минимальный или максимальный
элемент выбирается из ненулевых элементов. Нуль в результате операции (3.8.2) может быть получен лишь тогда, когда все элементы
из выбираемых – нулевые.
С помощью этих операций длины кратчайших или максимальных путей между всеми вершинами определяется возведением в
степень весовой матрицы Ω, содержащей веса ребер. Например, элементы матрицы Ω2 вычисляются следующим образом:
 (1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1) 
=
ωij
min(max)  ωi1 + ω1j , ωi2 + ω2 j ,..., ωin + ωnj  .





1
88
Альфонсо Шимбелл (1923–1987) – американский математик.
B
1
A
2
2
2
C
3
1
2
D
Рис. 3.21
Аналогично определяются элементы k-й степени матрицы Ω Рассмотрим пример. Составим для указанного на рис. 3.21 графа матрицу весов. Она определяет все маршруты, состоящие из одного
ребра. Найдем кратчайшие пути из двух ребер, для этого возведем
эту матрицу в квадрат с учетом операций Шимбелла (min – кратчайшие пути):
0

2
P2 = 
0

0
1
0
0
2
3
2
0
1
2 0
 
0 2
⋅
0 0
 
0   0
1
0
0
2
3
2
0
1
2 3
 
0 0
=
0 0
 
0   4
4
2
0
0
3
5
0
4
0

4
.
0

0 
Например,
 (1)
(2)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)  
=
ω11 min  ω11 + ω11 , ω12 + ω21 , ω13 + ω31 , ω14 + ω=
41  





0} 3.
= min {( 0 + 0 ),(1 + 2 ),( 3 + 0 ),( 2 + 0=
)} min{0, 3, 0, =
Аналогично, кратчайшие пути из трех ребер будут
3

0
P3 = 
0

4
4
2
0
0
2
5
0
4
0 0
 
4 2
⋅
0 0
 
0   0
1
0
0
2
3
2
0
1
2 6
 
0 4
=
0 0
 
0   0
4
6
0
5
6
4
0
7
5

0
0

6 
и так далее. Например, длина кратчайшего пути из трех ребер из
вершины D в вершину C равна семи. Это путь DBAC.
89
§ 3.9. Практическое занятие № 6.
Способы задания графов. Операции над графами.
Метрические характеристики графов.
Упорядочение элементов орграфов
3.9.1 Показать, что для произвольного графа G = (S, U) справедливо равенство
∑ P(x) = 2 U .
x∈S
3.9.2. Для данных графов (рис. 3.22) составить матрицы смежности вершин, смежности дуг и инциденций.
x4
а)
u6
u8
u3
u2
x3
x5
u6
u4
x4
x5
u7
u7
u5
u4
x4
в)
u3
x2
u9
u5
x3
u1
u1
x6
x1
б)
x2
x1
u2
u7
u4
u9
x5
u2
u5
u6
x3
x2
u1
x1
u8
u3
Рис. 3.22
3.9.3. По матрице смежности вершин построить наглядные изображения графов:
90
1

1
а)  2

0
0

1
0
1
3
0
2
1
1
0
2
0
3
0
1
1
0

0
2 ; 
1
0 
0

2
1
б) 
0
0

2

2
0
1
1
0
0
1
1
1
0
2
1
0
1
0
0
1
1
0
0
2
1
1
2
2

0
1
;
1
2

0 
1

0
в)  0

0
1

0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1

0
1 ;

0
1 
0

1
0
г) 
0
0

1

1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1

0
0
.
1
1

0 
3.9.4. На рис. 3.23 даны графы G1 и G2. Найти G1∪ G2 и G1×G2
если:
а)
б)
x2
x1
x1
G1 :
G2 :
x4
x2
x1
G2 :
G1 :
x3
x4
x3
x3
x2
x2
x3
в)
x1
x1
x2
x1
G1:
G2:
x4
x3
x3
x2
Рис. 3.23
3.9.5. Найти матрицы сильных компонент и маршрутов длины
три дуги (ребра), исходящих из вершины x1 для графов, изображенных на рис. 3.24:
x2
a)
x4
б)
x4
x5
x3
x1
в)
x2
x1
x3
x1
x2
x4
x3
Рис. 3.24
3.9.6. Найти эксцентриситеты вершин, радиусы и диаметры графов, периферийные, центральные вершины и диаметральные цепи
следующих графов (рис. 3.25):
a)
x1
x8
x2
x7
x3
x6
x4
x5
б) x
1
x8
x2
x7
x3
x6
x4
x5
в)
x3
x2
x4
x5 x6
x1
x7
x8
x12
x11
x9
x10
Рис. 3.25
91
3.9.7. Упорядочить вершины и дуги орграфов, изображенных на
рис. 3.26, графическим и матричным способом (дуги – только графическим способом).
x2
а)
u1
u9
u4
x1
u3
u6
x4
u10
u11
x3
u5
u2
x6
u7
u8
u2
x1
x5
u8
u7
б) x2
u1
u4
u6
x3
u5
u3
x6
в)
x2
u7
x1
u1
u9
u8
x4
x5
x4
x3
u3 u5 u4 u2
x5
u6
x6
u10
Рис. 3.26
3.9.8. Доказать, что три графа, изображенных на рис. 3.27, изоморфны, а графы на рис. 3.28 не изоморфны.
x1
x2
x3
x2
x3
x1
x6
x5
x4
x4
x6
x5
Рис. 3.27
x1
x4
x2
x3
x6
x5 x2
x3
x1
x4
x6
x5
x2
x3
x6
x5
x1
x4
Рис. 3.28
3.9.9. Построить граф, центр которого:
а) состоит ровно из одной вершины;
б) состоит ровно из трех вершин и не совпадает с множеством
всех вершин;
в) совпадает с множеством всех вершин.
3.9.10. Показать, что в любом графе без петель и кратных ребер,
содержащем не менее двух вершин, найдутся две вершины с одинаковыми степенями.
§ 3.10. Нахождение кратчайших путей. Алгоритм Дейкстры1 [20]
Рассмотрим еще несколько алгоритмов нахождения кратчайшего пути между двумя заданными вершинами в ориентированной
сети. Пусть G = {S, U, Ω} – ориентированный граф со взвешенными
дугами. Обозначим s – вершину – начало пути и t – вершину – конец пути.
Общий подход к решению задачи о кратчайшем пути был развит
американским математиком Ричардом Беллманом2, который пред1
2
92
Едсгер Дейкстра (1930–2002) – нидерландский математик.
Ричард Эрнест Беллман (1920–1984) – американский математик.
ложил название динамическое программирование. Задача о кратчайшем пути частный случай следующей задачи: найти в заданном
графе пути, соединяющие две заданные вершины и доставляющие
минимум или максимум некоторой аддитивной функции, определенной на путях. Чаще всего эта функция трактуется как длина
пути и задача называется задачей о кратчайших путях. Алгоритм
Дейкстры одна из реализаций этой задачи. Его часто называют алгоритмом расстановки меток. В процессе работы этого алгоритма
узлам сети xi∈S приписываются числа (метки) d(xi), которые служат оценкой длины (веса) кратчайшего пути от вершины s к вершине xi. Если вершина xi получила на некотором шаге метку d(xi),
это означает, что в графе G существует путь из s в xi, имеющий вес
d(xi). Метки могут находиться в двух состояниях – быть временными или постоянными. Превращение метки в постоянную означает,
что кратчайшее расстояние от вершины s до соответствующей вершины найдено.
Алгоритм Дейкстры содержит одно ограничение – веса дуг должны быть положительными. Сам алгоритм состоит из двух этапов.
На первом этапе находится длина кратчайшего пути, на втором –
строится сам путь от вершины s к вершине t.
Этап 1. Нахождения длины кратчайшего пути.
Шаг 1. Присвоение вершинам начальных меток.
Полагаем d(s) = 0 и считаем эту метку постоянной (постоянные
метки помечаются сверху звездочкой). Для остальных вершин
xi∈S, xi≠s полагаем d(xi) = ∝ и считаем эти метки временными. Пусть
x = s, x – обозначение текущей вершины.
Шаг 2. Изменение меток.
Для каждой вершины xi с временной меткой, непосредственно
следующей за вершиной x , меняем ее метку в соответствии со следующим правилом:
{
}
=
díîâ. ( xi ) min dñòàð. ( xi ),d ( x ) + ω( x , xi ) .
(3.10.1)
Шаг 3. Превращение метки из временной в постоянную.
Из всех вершин с временными метками выбираем вершину x∗j с
наименьшим значением метки
( )
( )
d xj

d x∗j = min 
(3.10.2)

xj ∈ S, d xj − âðåìåííàÿ 


Превращаем эту метку в постоянную и полагаем x = x∗j .
( )
93
Шаг 4. Проверка на завершение первого этапа.
Если x = t, то d ( x ) – длина кратчайшего пути от s до t. В противном случае происходит возвращение ко второму шагу.
Этап 2. Построение самого кратчайшего пути.
Шаг 5. Последовательный поиск дуг кратчайшего пути.
Среди вершин, непосредственно предшествующих вершине x с
постоянными метками, находим вершину xi, удовлетворяющую соотношению
d=
( x ) d ( xi ) + ω( xi , x ).
(3.10.3)
Включаем дугу ( xi , x ) в искомый путь и полагаем x = xi .
Шаг 6. Проверка на завершение второго этапа.
Если x = s, то кратчайший путь найден – его образует последовательность дуг, полученных на пятом шаге и выстроенных в обратном порядке. В противном случае возвращаемся к пятому шагу.
Пример 1. Задана весовая матрица Ω сети G. Найти минимальный путь из вершины x1 в вершину x6 по алгоритму Дейкстры.
x1
x1
x2
Ω =x3
x4
x5
x6
94
x3
x4
x5
x6
− 9

∞ −
∞ ∞

∞ 5
∞ 6

∞ ∞

∞
8
−
7
∞
∞
6
∞
∞
−
∞
∞
11
∞
6
6
−
∞
∞

∞
9 .

∞
4

− 
На рис. 3.29 изображен сам
граф
по данной матрице весов.
x3
(∝, 6∗)
Поскольку в данном графе
9
7 8
x4
(∝, 15∗) есть цикл между вершинами
5 (∝, 9∗)
6
x2, x3 и x5, то вершины графа
x6
9
x2
нельзя упорядочить по алго6
6
ритму Фалкерсона. На рисун6
11
4
ке графа временные и постоянные метки указаны над соотx5
ветствующей вершиной. Итак,
∗
(∝, 11 )
распишем подробно работу алгоритма Дейкстры по шагам.
Рис. 3.29
(∝, 13∗)
(0∗)
x1
x2
Этап 1. Шаг 1. Полагаем d(x1) = 0, x = x1, d(x2) = d(x3) = d(x4) = = d(x5) = d(x6) = ∝.
1-я итерация. Шаг 2. Множество вершин, непосредственно следующих за x = x1 с временными метками S = {x2 , x4 , x5 }. Пересчитываем временные метки этих вершин
{
}
{
}
d ( x2 =
) min ∞, 0∗ + 9= 9, d ( x4 =) min ∞, 0∗ + 6= 6,
{
}
d ( x5 ) = min ∞, 0∗ + 11 = 11.
Шаг 3. Одна из временных меток превращается в постоянную
min {9, ∞, 6, 11, ∞}= 6∗= d ( x4 ), x= x4 .
Шаг 4. x = x4 ≠ t = x6 , происходит возвращение на второй шаг.
∗
d ( x ) min 9, 6
=
+ 5 9,
2-я итерация. Шаг=
2. S {x , x , x }, =
{
}
2
3
5
2
{
}
{
}
d ( x3=
d ( x5 ) min 11,=
6 + 6 11.
) min ∞, 6 + 7= 13,=
∗
∗
Шаг 3.
min {d ( x2 ),d ( x3 ),d ( x5 ),d ( x6 )}= min {9, 13, 11, ∞}= 9∗= d ( x2 ),
x = x2 .
Шаг 4. x2 ≠ x6 , возвращение на второй шаг.
=
d ( x3 ) min 13,=
9∗ + 8 13.
3-я итерация. Шаг
2. S {x3 },=
Шаг 3.
{
}
min {d ( x3 ),d ( x5 ),d ( x6 )=
} min{ 13, 11, ∞=} 11=∗ d ( x5 ), x= x5.
Шаг 4. x5 ≠ x6 , возвращение на второй шаг.
4-я итерация. Шаг 2. S=
{x6 }, d ( x6 =)
{
}
min ∞, 11∗ + 4= 15.
∗
=
=
d ( x3 ),=
x x3 .
Шаг 3. min {d ( x3 ),d ( x6=
)} min{ 13, 15
} 13
Шаг 4. x3 ≠ x6 , возвращение на второй шаг.
=
, d ( x6 ) min 15,=
13∗ + 9 15.
5-я итерация. Шаг
2. S {x6 }=
∗ 
=
=
, x x6 .
Шаг 3. min {d=
( x6 )} min
{15} 15
{
}
Шаг 4. x6 = t= x6 , конец первого этапа.
95
Этап 2. Шаг 5. Составим множество вершин, непосредственно
предшествующих x = x6 с постоянными метками S = {x3 , x5 }. Проверим для этих двух вершин выполнение равенства (3.10.3).
d ( x=
) 15= 11∗ + 4= d ( x5 ) + ω( x5 , x6 ),
d ( x=
) 15 ≠ 13∗ + 9= d ( x3 ) + ω( x3 , x6 ).
Включаем дугу (x5, x6) в кратчайший путь. x = x5 .
Шаг 6. x ≠ s =
x1, возвращение на пятый шаг.
2-я итерация. Шаг 5. S = {x1, x4 }.
d ( x=
) 11= 0∗ + 11= d ( x1 ) + ω( x1, x5 ),
d ( x=
) 11 ≠ 6∗ + 6= d ( x4 ) + ω( x4 , x5 ).
Включаем дугу (x1, x5) в кратчайший путь. x = x1.
Шаг 6. x= s= x1, завершение второго этапа.
Итак, кратчайший путь от вершины x1 до вершины x6 построен.
Его длина (вес) равна 15, сам путь образует следующая последовательность =
дуг µ ( x1, x5 ) − ( x5 , x6 ).
§ 3.11. Нахождение кратчайших путей.
Алгоритм Беллмана – Мура1 [19, 20]
Если веса – произвольные числа и граф G не содержит ориентированных циклов отрицательного веса, то минимальный путь может быть найден алгоритмом Беллмана – Мура, похожим на алгоритм Дейкстры. Этот алгоритм часто называют алгоритмом корректировки меток. Как и в алгоритме Дейкстры всем вершинам приписываются метки, однако здесь нет деления меток на временные
и постоянные. Корректировка меток осуществляется по старому
правилу (3.10.1), однако выполнение условия (3.10.2) теперь не гарантирует, что длина кратчайшего пути от s до xj найдена, так как
наличие в графе G дуг с отрицательными весами может уменьшить
эту метку на последующих шагах. Поэтому в алгоритме Беллмана –
Мура вместо процедуры превращения временной метки в постоянную формируется очередь вершин, которые нужно просмотреть для
анализа возможности уменьшения по правилу (3.10.1) меток вершин, не находящихся в данный момент в очереди, но достижимых
1
96
Элиаким Гастингс Мур (1862–1932) – американский математик.
из нее за один шаг. В процессе работы алгоритма одна и та же вершина может несколько раз вставать в очередь, а затем покидать ее.
Алгоритм Беллмана – Мура состоит из двух этапов. На первом
этапе находятся длины кратчайших путей от вершины s до всех
остальных вершин графа. Этот этап заканчивается при отсутствии
вершин в очереди.
Второй этап – построение кратчайшего пути от s до t совпадает с
соответствующим этапом в алгоритме Дейкстры и выполняется по
формуле (3.10.3). Опишем подробно все шаги алгоритма.
Этап 1. Нахождение длин кратчайших путей от вершины s до
всех остальных вершин графа.
Шаг 1. Присвоение начальных значений.
d (s) =
0, d xj =
∞, xj ∈ S, x =
s, Q = {x } – множество вершин в
очереди.
Шаг 2. Корректировка меток и очереди.
Удаляем из очереди Q вершину, находящуюся в самом начале
очереди. Для каждой вершины xi , непосредственно достижимой
из x , корректируем ее метку по формуле (3.9.1). Если при этом
díîâ. ( xi ) < dñòàð. ( xi ), то корректируем очередь вершин, иначе продолжаем перебор вершин и корректировку временных меток.
Корректировка очереди. Если xi не была ранее в очереди и не находится в ней в данный момент, то вершину xi ставим в конец очереди. Если же xi уже была когда-нибудь ранее в очереди или находится там в данный момент, то переставляем ее в начало очереди.
Шаг 3. Проверка на завершение первого этапа. Если Q≠∅, то возвращаемся к началу второго шага, если же Q = ∅, то первый этап закончен, то есть минимальные расстояния от s до всех вершин графа
найдены.
Рассмотрим подробный пример 1. Пусть граф G задан весовой
матрицей Ω.
( )
x1
x1
x2
Ω =x3
x4
x5
x6
−

∞
∞

∞
∞

∞

x2
4
−
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
x6
∞ 6 ∞ ∞

7 −8 6 ∞ 
− ∞ −7 5 .

8 −
9 ∞
∞ ∞
− 3

∞ ∞ ∞ − 
97
(∝, 4)
x2
(0)
x1
(∝, 11, 4)
4
x3
6
–8
7
6
(∝, 10, 5,–3)
x5
3
–7
9
5
x6
(∝, 8, 0)
x4 (∝, 6,–4)
8
Рис. 3.30
На рис. 3.30 изображен исходный граф по матрице весов. Рассчитаем кратчайший путь от узла x1 до узла x6.
=
Этап 1. Шаг
1. x x=
∞, j =
2,6, Q =
{x1 }.
1, d ( x1 ) 0, d xj =
Шаг 2. x = x1, Q = Q\{x1} = ∅. Пусть S – множество вершин непосредственно достижимых из вершины x .
S= {x2 , x4 }, d ( x2 =
) min{∞, 0 + 4}= 4.
( )
4<∞? Да. Q = {x2}, x2 надо было поставить в конец очереди, но Q
было пусто, поэтому конец очереди совпал с началом.
d(x4) = min{∝, 0 + 6} = 6.
6<∝? Да. Q = {x2, x4}.
Шаг 3. Q = ∅? Нет. Переход на начало второго шага.
Вторая итерация. Шаг 2.
=
x x=
\ {x } {x4=
}, S {x3 , x4 , x5 }.
2 , Q Q=
d(x3) = min{∝, 4 + 7} = 11.
11< ∞? Да. Q = {x4, x3}.
d(x4) = min{6, 4–8} = –4.
–4<6? Да.
2б). Q = {x4, x3}. Вершину x4 надо поставить в начало очереди, но
она уже стоит там.
d(x5) = min{∞, 4 + 6} = 10.
10<∞? Да. Q = {x4, x3, x5}.
Шаг 3. Q = ∅? Нет, переход на третью итерацию второго шага.
Третья итерация. Шаг 2.
=
x x=
\ {x } {x3 , x5=
}, S {x3 , x5 }.
4 , Q Q=
d(x3) = min{11, –4 + 8} = 4.
4<11? Да. Q = {x3, x5} Вершину x3 надо поставить в начало очереди, но она уже там.
d(x5) = min{10, –4 + 9} = 5.
5<10? Да. Q = {x5, x3}. Вершину x5 передвигаем из конца очереди
в начало.
98
Шаг 3. Q = ∅? Нет, переход на четвертую итерацию второго шага.
Четвертая итерация. Шаг 2.
=
x x=
\ {x } {x3=
}, S {x6 }.
5 , Q Q=
d(x6) = min{∞, 5 + 3} = 8.
8< ∞? Да. Q = {x3, x6}.
Шаг 3. Q = ∅? Нет.
Пятая итерация. Шаг 2.
=
x x=
\ {x } {x6=
}, S
3 , Q Q=
d(x5) = min{5, 4–7} = –3.
–3<5? Да. Q = {x5, x6}.
d(x6) = min{8, 4 + 5} = 8.
9<8? Нет.
Шаг 3. Q = ∅? Нет.
Шестая итерация. Шаг 2.
=
x x=
, Q Q=
\ {x } {x =
}, S
5
6
{x5 , x6 }.
{x6 }.
d(x6) = min{8, –3 + 3} = 0.
0<8? Да. Q = {x6}. Q содержало только вершину x6 и она встала в
начало очереди.
Шаг 3. Q = ∅? Нет.
Седьмая итерация. Шаг 2.
x = x , Q = Q \ {x } = ∅. S = ∅.
6
Шаг 3. Q = ∅. Конец первого этапа. Найдены минимальные расстояния до всех вершин от первой вершины. Эти расстояния таковы: d(x2) = 4, d(x3) = 4, d(x4) = –4, d(x5) = –3, d(x6) = 0.
Второй этап. Шаг 4. Полагаем x = x6 . Пусть S – множество вершин, непосредственно предшествующих x . S = {x3 , x5 }.
Первая итерация.
d ( x )= d ( x6 )= 0 ≠ 4 + 5= d ( x3 ) + ω( x3 , x6 ),
d ( x ) = d ( x6 ) = 0 = −3 + 3 = d ( x5 ) + ω( x5 , x6 ).
Включаем дугу (x5, x6) в кратчайший путь. x = x5 . Возвращаемся
на четвертый шаг.
Вторая итерация. x = s ? Нет.
S = {x2 , x3 , x4 }. d ( x ) = d ( x5 ) = −3 = 4 − 7 = d ( x3 ) + ω( x3 , x5 ),
d ( x ) =
d ( x5 ) =
−3 ≠ 4 + 6 =
d ( x2 ) + ω( x2 , x5 ),
d ( x ) = d ( x5 ) = −3 ≠ −4 + 9 = d ( x4 ) + ω( x4 , x5 ).
99
Включаем дугу (x3, x5) в кратчайший путь. x = x3 . Возвращаемся
на четвертый шаг.
Третья итерация. x = s ? Нет. S = {x2 , x4 }.
d ( x )= d ( x3 )= 4 ≠ 4 + 7= d ( x2 ) + ω( x2 , x3 ),
d ( x ) = d ( x3 ) = 4 = −4 + 8 = d ( x4 ) + ω( x3 , x4 ).
Включаем дугу (x3, x4) в кратчайший путь. x = x4 . Возвращаемся на четвертый шаг.
Четвертая итерация. x = s ? Нет. S = {x1, x2 }.
d ( x ) =
d ( x4 ) =
−4 ≠ 0 + 6 =
d ( x1 ) + ω( x1, x4 ),
d ( x ) = d ( x4 ) = −4 = 4 − 8 = d ( x2 ) + ω( x2 , x4 ).
Включаем дугу (x2, x4) в кратчайший путь. x = x2 . Возвращаемся
на четвертый шаг.
Пятая итерация. x = s ? Нет. S = {x1 }.
d ( x )= d ( x2 )= 4= 0 + 4= d ( x1 ) + ω( x1, x2 ).
Включаем дугу (x1, x2) в кратчайший путь. x = x1. Возвращаемся
на четвертый шаг.
Шестая итерация. x = s ? Да. Задача закончена. Искомый кратчайший путь от вершины x1 до вершины x6 имеет нулевой вес и состоит из следующих дуг (x1, x2)–(x2, x4)–(x4, x3)–(x3, x5)–(x5, x6).
§ 3.12. Алгоритм нахождения максимального пути [20]
Для нахождения максимального пути граф G (сеть) должен быть
ациклическим, ибо в противном случае может оказаться, что длины некоторых путей не ограничены сверху. Если Gn – ациклический граф, то для любых двух его вершин xi≠xj выполняется одно
из трех условий:
1) xi предшествует xj, xi ∈ Sïðåäø. xj ;
2) xi следует за xj, xi ∈ Sñëåä. xj ;
3) нет пути между xi и xj.
Первое и второе условия одновременно не выполнимы из-за требуемой ацикличности графа.
Перед вычислением максимального пути в орграфе необходимо
упорядочить вершины графа по алгоритму Фалкерсона. Сам алго-
( )
100
( )
ритм вычисления максимального пути чисто перечислительный.
Он перебирает все возможные пути от текущей вершины до всех последующих вершин, достижимых из текущей вершины.
Пусть dj – длина максимального пути от вершины x1 до вершины
xj, тогда величина dj удовлетворяет следующим рекуррентным соотношениям:

d1 = 0,

d + ω


i
ij
, (3.12.1)
dj = max 

xi ∈ Sïðåäø. xj , j =
2,3,..., k + 1 




=
∞
=+
+
d
,
j
k
2
,
k
3
,...,
n
j

( )
Соотношения (3.12.1) позволяют легко вычислить длины максимальных путей от s = x1 до вершин, достижимых из вершины s.
Сами пути могут быть построены методом последовательного возвращения (второй этап в алгоритме Дейкстры).
Пример 1. Граф (сеть, рис. 3.31) задан матрицей весов Ω. Найти
длину максимального пути из вершины x1 в x6 и сам этот путь.
x1
x1
x2
Ω =x3
x4
x5
x6
−

∞
∞

∞
∞

∞

x2
x3
x4
x5
x6
4
−
∞
∞
∞
∞
∞
7
−
8
∞
∞
6
8
∞
−
∞
∞
∞ ∞

6 ∞
7 5 .

9 ∞
− 3

∞ − 
8
x2
x4
6
4
9
x1
7
x6
6
8
5
3
7
x3
x5
Рис 3.31
Этот граф ациклический, поэтому возможно упорядочение его
вершин по алгоритму Фалкерсона. Сделаем это графическим способом (рис. 3.32).
6
x1
9
8
4
x2
7
8
7
x4
x3
x5
5
3
x6
6
Рис. 3.32
101
Переобозначим две вершины: x4 назовем x3/ , а x3 – x4/ и применим рекуррентные формулы (3.12.1). Тогда
Этап 1. d1 = 0,
=
d2 max ( d1 =
+ 4 ) 4,
=
d3/ max ( d1 + 6,d2 +=
8 ) max ( 0 + 6,4 +=
8 ) 12,
(
)
=
d4/ max d3/ + 8,d2 =
+ 7 max (12 + 8,4=
+ 7 ) 20,
(
)
=
d5 max d4/ + 7,d3/ + 9,d2 =
+ 6 max ( 20 + 7,12 + 9,4=
+ 6 ) 27,
(
)
=
d6 max d5 + 3,d4/ =
+ 5 max ( 27 + 3,20=
+ 5 ) 30.
Итак, длина максимального пути из x1 в x6 равна 30.
Этап 2. x6: d6 = 30 = d5 + 3 = 27 + 3 – включаем дугу (x5, x6) в максимальный путь,
d6 = 30 ≠ d4/ + 5 = 20 + 5.
(
)
x5: d5 = 27 = d4/ + 7 = 20 + 7 – включаем дугу x4/ , x5 в максимальный путь,
d5 = 27 ≠ d3/ + 9 = 12 + 9, d5 = 27 ≠ d2 + 6 = 4 + 6.
x4/ : d4/ = 20 = d3/ + 8 = 12 + 8 – включаем дугу
мальный путь,
d4/ = 20 ≠ d2 + 7 = 4 + 7.
(
( x ,x )
/
3
/
4
в макси-
)
x3/ : d3/ = 12 = d2 + 8 = 4 + 8 – включаем дугу x2 , x3/ в максимальный путь,
d3/ = 12 ≠ d1 + 6 = 0 + 6.
x2: d2 = 4 = d1 + 4 = 0 + 4 – включаем дугу (x1, x2) в максимальный
путь.
Итак, искомый путь таков:
µmax
=
102
( x1, x2 ) − ( x2 , x3/ ) − ( x3/ , x4/ ) − ( x4/ , x5 ) − ( x5 , x6 )
или в старых обозначениях
µmax
=
( x1, x2 ) − ( x2 , x4 ) − ( x4 , x3 ) − ( x3 , x5 ) − ( x5 , x6 ).
§ 3.13. Особенности алгоритмов теории графов [21]
Рассмотрение предыдущих задач позволяет сформулировать
следующие свойства алгоритмов теории графов.
1) Каждый алгоритм состоит из совокупности конечного числа
правил и предписаний. Действия над графом (матрицей), производимые в соответствии с правилами, должны быть достаточно просты.
2) Применение алгоритма совершается в дискретном времени;
правила алгоритма применяются по шагам, число шагов – конечно.
3) Какое из правил будет применено на данном шаге или какое
действие будет совершено в соответствии с некоторым правилом зависит только от результатов предыдущих шагов.
4) Алгоритмы обладают свойством локальности: действие в соответствии с правилом или установление непротиворечивости некоторого действия правилам алгоритма происходит на основе анализа
дуг, инцидентных данной вершине, или вершин, смежных с данной.
5) Алгоритмы обладают свойством массовости: применяются
либо для всех, либо для некоторого бесконечного множества графов.
§ 3.14. Практическое занятие № 7.
Нахождение минимальных и максимальных путей на орграфах
3.14.1. а) По заданной матрице весов Ω графа G найти величину
минимального пути и сам путь от вершины s = x1 до вершины t = x6
или t = x7 по алгоритму Дейкстры.
б) По той же матрице весов Ω найти величину максимального
пути и сам путь между теми же вершинами, предварительно упорядочив вершины по алгоритму Фалкерсона:
x1
x1
x2
1) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

x2
5
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
10
8
∞
∞
∞
13
9
5
∞
∞
∞
13
3
8
∞
x6
∞
x1

∞
x2
2) x
6
3

10 
x4
9
x5


- 
x6
x1
 
∞
∞

∞
∞

∞

x2
x3
x4
x5
11
∞
7
11
∞
∞
13
11
10
∞
14 15
∞ ∞
∞ ∞
9
∞
∞ ∞
x6
∞

∞
13 

∞
14 

- 
103
x1
x2
3) x
3
x4
x5
x6
x1
x2
5) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
7) x
3
x4
x5
x6
x1
x2
x3
 
∞
∞

∞
∞

∞

5
∞
10
7
∞
8
11
12
8
∞
x1
x2
9) x
3
x4
x5
x6
104
x5
x6
x1
∞

x2
∞
4) x
17 
3

x4
∞
11 
x5

- 
x6
7 18
∞ ∞
∞ ∞
- 6
∞ ∞ ∞
x1
x2
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

∞ 11 15 7 ∞ ∞ 
x1

− ∞ ∞ 14 18 ∞ 
x2
9 − 13 7 11 22  6)
x

3
∞ ∞ − ∞ 11 16 
x4
∞ ∞ ∞ − 8 23 
x5

∞ ∞ ∞ ∞ − 19 
x
6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
x3
x4
 
∞
∞

∞
∞

∞

7
6
∞
4
∞
9
∞
∞
∞
∞
∞ 11
6 ∞
5 6
- ∞
6 ∞ ∞
x1
 
∞
∞

∞
∞

∞

x3
x4
x4
x5
x6
x5
x1
∞

13 
x2
8) x
∞
3

7
x4
8
x5

- 
x6
x3
x4
x5
10
∞
∞
∞
∞
12
11
13
∞
∞
∞
9
∞
∞
∞
∞
∞
10
11
∞
x2
x3
x4
 
∞
∞

∞
∞

∞

6
8
∞
∞
∞
8
∞
∞
∞
∞
11 10
9
7
7
4
6
∞
∞ ∞
x7
x6
x2
x1
x6
x1
∞
x

2
19 
x3
10)
∞

x4
10 
x5
6

x6
- 
x7
x6
∞

15 
11 

7
9

- 
x1
x2
x3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

5
3
∞
∞
∞
6
∞
∞
∞
∞
9
3
3
3
∞
∞
∞
4
∞
∞
∞

14 
16 

4
8

- 
x1
 
∞
∞

∞
∞

∞

x5
x2
x3
x4
7
∞
∞
13
∞
15
7
∞
14
∞
∞ 14
16 ∞
19 ∞
∞
15 ∞ ∞
x1
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x2
x3
x4
x5
x5
x6
∞

∞
21 

17 
18 

- 
x6
x7
7 19 20 ∞ 15 ∞ 

− ∞ 11 6 ∞ ∞ 
∞ − 6 9 ∞ 16 

∞ ∞ − 8 8 13 
∞ ∞ ∞ − 5 15 

∞ ∞ ∞ ∞ − 14 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
x3
x4
x1
x2
11) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

7
2
∞
∞
∞
2
∞
∞
∞
∞
∞ 13
∞ 6
1 3
- ∞
3 ∞ ∞
x1
∞

x2
∞
12) x
11 
3

5
x4
5
x5

- 
x6
x1
x2
x3
x4
x6
x1
x1
x2
13) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

6
∞
4
7
∞
∞
6
8
5
∞
9 12
∞ ∞
∞ ∞
- 6
∞ ∞ ∞
x1
∞

x2
∞
14) x
6
3

14 
x4
10 
x5

- 
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

x1
x1
x2
15) x3
x4
x5
x6
x7
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
x1
x2
17) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

x2
5
−
∞
∞
∞
∞
∞
x2
8
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
x6
x5
x5
x1
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

x7
∞ 10 8 12 ∞ 
x1

7 ∞ 4 9 ∞
x2
− 5 ∞ 6 11  16)
x3

∞ − ∞ ∞ 14 
x4
6 ∞ − 13 21 
x5

∞ 8 ∞ − 9
x
6
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x3
x4
x5
10
10
∞
∞
∞
∞
9
10
∞
∞
∞
12
12
9
∞
x6
x1
∞

x2
∞
18) x
7
3

13 
x4
11 
x5

- 
x6
x2
x3
x4
x5
10
∞
∞
∞
∞
11
13
∞
∞
∞
6
8
5
∞
∞
∞
11
6
7
∞
x6
∞

17 
15 

∞
9

- 
x2
x3
x4
x5
x6
4
∞
2
2
∞
9
2
4
∞
∞
8
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
6
∞
∞

∞
3

∞
3

- 
x1
x2
x3
x4
x5
 
∞
∞

∞
∞

∞

6
∞
∞
∞
∞
9
5
∞
∞
∞
13 12
9
6
6 ∞
8
∞
∞ ∞
x2
x3
x4
x5
11
∞
∞
∞
∞
14
8
∞
∞
∞
∞
10
11
11
∞
∞
15
16
∞
∞
x1
 
∞
∞

∞
∞

∞

x6
∞

∞
15 

9
8

- 
x6
∞

∞
20 

12 
14 

- 
105
x1
x1
x2
x3
x4
x5
x1
x2
19) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

9
5
6
∞
∞
7
∞
7
∞
∞
13
∞
∞
∞
∞
∞
15
∞
8
∞
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x1
x2
21) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

4
3
∞
2
∞
8
∞
∞
∞
∞
∞
3
4
5
∞
∞
∞
3
∞
∞
x1
∞

10 
x2
22) x
∞
3

4
x4
7
x5

- 
x6
x1
x1
x2
23) x
3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

x1
x1
x2
25) x3
x4
x5
x6
x7
106
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x6
x3
x4
x5
12
8
∞
∞
∞
10
∞
∞
∞
∞
∞
10
7
6
∞
11
7
10
∞
∞
x2
∞
−
5
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
∞
x2

∞
20) x3
∞

x4
10 
x5
12 

x6
- 
x7
x2
x6
x3
∞
−
4
∞
∞
∞
∞
x4
x5
x6
x7
9 ∞ ∞ ∞ ∞

∞ 11 5 10 ∞ 
− 3 6 7 ∞

∞ − ∞ ∞ 5
∞ 7 − 5 18 

∞ ∞ ∞ − 4
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
x3
x4
 
∞
∞

∞
∞

∞

5
6
∞
∞
∞
4
∞
∞
∞
∞
∞ 10
8 ∞
5 8
- ∞
4 ∞ ∞
x1
x2
x3
x4
x5
 
∞
∞

∞
∞

∞

15
10
∞
∞
∞
10
∞
∞
∞
∞
∞
∞
9
11
∞
∞
12
12
∞
∞
x1
x2
x3
x4
x5
x6
 
∞
∞

∞
∞

∞

7
∞
∞
∞
∞
8
9
∞
∞
∞
13
7
6
∞
∞
∞
12
7
9
∞
∞

∞
8

17 
10 

- 
x6
x1
∞

15 
x2
24) x
∞
3

11 
x4
12 
x5


- 
x6
x7
7 12 ∞ 10 ∞ 

∞ ∞ 6 13 ∞ 
− 4 5 6 ∞

∞ − ∞ ∞ 4
∞ 8 − 5 9

∞ ∞ ∞ − 6
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x2
x1
x2
26) x
3
x4
x5
x6
x5
x6
∞

13 
∞

8
10 

- 
x6
∞

18 
19 

13 
14 

- 
x1
x1
x2
27) x
3
x4
x5
x6
x1
x2
29) x
3
x4
x5
x6
x2
x3
x4
x5
 
∞
∞

∞
∞

∞

4
∞
∞
∞
∞
5
11
∞
∞
∞
10 11
3
5
6
7
6
∞
∞ ∞
x1
x2
x3
x4
x5
 
∞
∞

∞
∞

∞

∞
8
∞
∞
∞
3
∞
∞
∞
∞
∞
4
5
∞
∞
∞
6
6
5
∞
x6
x1
∞

x2
∞
28) x
18 
3

x4
∞
8 
x5


- 
x6
x1
x2
x3
x4
 
∞
∞

∞
∞

∞

8
∞
4
5
∞
∞
7
6
5
∞
5 10
∞ ∞
∞ ∞
- 5
∞ ∞ ∞
x1
x6
x1
∞
x2

8
30) x3
12 

x4
7
x5
3

x
6
- 
x7
x2
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

3
−
∞
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
x5
x6
∞

∞
8

11 
3

- 
x6
x7
5 ∞ 4 ∞ ∞

∞ 8 ∞ 9 15 
− 4 6 ∞ ∞

∞ − ∞ 7 ∞
∞ 8 − 3 11 

∞ ∞ ∞ − 8
∞ ∞ ∞ ∞ − 
3.14.2. По заданной матрице весов Ω графа G найти минимальный путь по алгоритму Беллмана – Мура между начальной вершиной s = x1 и конечной вершиной t = x6 или t = x7:
x1
x1
x2
1) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
3) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 15 ∞ 12 10 ∞ ∞ 


x2
 ∞ − 4 −6 2 ∞ ∞ 
 ∞ ∞ − ∞ −4 2 −3  2) x3


x4
 ∞ ∞ 10 − 7 ∞ 9 
 ∞ ∞ ∞ ∞ − −5 5 
x5


x
6
∞
∞
∞
∞
∞
−


6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x7


x2
− 2

∞ −
∞ 2

 ∞ −7
 ∞ −4

∞ ∞
∞ ∞

x3
x4
x5
x6
x7
x1
∞ ∞ 4 ∞ ∞

x2
∞ ∞ ∞ 10 ∞ 
− 3 6 ∞ ∞  4) x3

x4
∞ − ∞ ∞ 4
x5
∞ 8 − ∞ 11 

x6
∞ −3 −5 − 3 
x7
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
x3
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

3
−
∞
∞
∞
∞
∞
∞ 7 ∞ ∞ ∞

5 ∞ 5 11 ∞ 
− −4 −6 5 ∞ 

∞ − 8 6 4
∞ ∞ − 6 10 

∞ ∞ ∞ − −3 
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
x3
x4
x4
x5
x5
x6
x6
x7
x7
− 3 8 ∞ ∞ ∞ ∞ 


 ∞ − ∞ 7 ∞ 10 ∞ 
 ∞ 4 − ∞ 7 6 10 


 ∞ ∞ −5 − ∞ ∞ 4 
 ∞ −9 ∞ 12 − 6 ∞ 


 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − −5 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 


107
x1
x2
x3
x4
7
− 10
5
∞
∞
x5
x1
x6
x5
x6
x7
x1
x3
x4
∞ 6
− ∞
3 −
∞ ∞
∞ −6
∞ ∞
∞ ∞
9
∞
∞
−
8
∞
∞
x1
x2
x1
x2
x3
x1
x2
9) x3
x4
x5
x6
x7
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

∞
−
4
∞
∞
∞
∞
8 ∞ ∞ ∞ ∞
x1

∞ ∞ −6 10 12 
x2
− −4 ∞ −7 ∞  10)
x3

∞ − ∞ ∞ 3
x4
7 10 − 6 ∞ 
x5

∞ 8 ∞ − 5
x
6
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x2
11) x3
x4
x5
x6
x7
4
−

∞
−

∞ ∞

∞ ∞
∞ ∞

 ∞ −18
∞ ∞

108
x3
x4
x7
7 ∞ 8 ∞ ∞

5 11 ∞ 13 ∞ 
− −5 ∞ ∞ ∞ 

∞ − ∞ 6 4
7 9 − −6 12 

8 ∞ ∞ − 5
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
 − 4 7 14 −6 11 ∞ 


x2
 ∞ − −3 10 ∞ ∞ ∞ 
 ∞ ∞ − ∞ −8 7 10  8) x3


x4
∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ 3 
∞ ∞ ∞ ∞ − 5 ∞ 
x5


x6
 ∞ 12 ∞ 5 ∞ − 6 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x7


x2
x6
 − −3

∞ −
∞ ∞

∞ ∞
∞ ∞

∞ ∞
∞ ∞

x1
x2
7) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x5
x1
∞
x

2
∞
x3
6)
∞

x4
8
x5
7

x6
- 
x7
8
∞
∞
∞
∞
x4
x4
∞
∞
6
∞
∞
 
∞
∞

∞
∞

∞

x4
x3
11
7
∞
−6
∞
x1
x2
5) x
3
x4
x5
x6
x3
x2
x5
x5
x6
x6
x7
x7
x1
∞ 15 8 ∞ ∞ 

x2
5 ∞ ∞ ∞ ∞
− ∞ 9 ∞ 7  12) x3

x4
4 − 10 −6 ∞ 

x5
∞ ∞ − 7 16

x6
7 ∞ ∞ − 6
x7
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x2
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
−

∞
∞

∞
∞

∞

x1
x5
x2
x3
x4
6
−
−5
∞
∞
∞
11
∞
−
∞
∞
∞
5
6
∞
−
∞
∞
x2
x3
x6
x7
5 ∞ ∞

7 10 ∞ 
∞ ∞ 12 

∞ −7 ∞ 
− 4 8

∞ − 5
∞ ∞ − 
x4
 − 6 12 16

∞ − 5 ∞
 ∞ ∞ − −5

∞ ∞ ∞ −
 ∞ −7 ∞ ∞

∞ ∞ 8 ∞
∞ ∞ ∞ ∞

x5
x6
∞
7
6
−4
−
∞
x5
∞

6
∞

5
7

− 
x6
x7
3 ∞ ∞

∞ 13 ∞ 
∞ ∞ 9

∞ ∞ 6
− 5 15 

∞ − 6
∞ ∞ − 
x1
x2
13) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
3 11 ∞ 10 ∞ ∞ 

x2
− −5 15 ∞ 18 ∞ 
∞ − 7 −7 8 9  14) x3

x4
∞ ∞ − 10 8 5 
x5
∞ ∞ ∞ − 7 21 

x6
∞ ∞ ∞ ∞ − −6 
x7
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
x1
x2
15) x
3
x4
x5
x6
x1
x2
17) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
19) x3
x4
x5
x6
x7
x3
x2
x4
x3
 
∞
∞

∞
∞

∞

7
∞
∞
∞
∞
∞
13
∞
∞
∞
x1
x2
x3
x5
x6
x4
x5
−8
−9
3
∞
∞
∞
10
−4
9
∞
x4
x5
x6
x7
x6
x6
x1
x2
x1
x2
x5
∞ 9 10 11
− 6 ∞ 8
∞ − ∞ −7
∞ −4 − ∞
∞ ∞ 14 −
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
x7
x1
x4
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
6 15 ∞
∞
∞ ∞

x2
− 5 ∞ 11 18 20 
∞ − −4 −10 7 ∞  18) x3

x4
8 5
∞ ∞ −
∞
x5
7 16 
∞ ∞ ∞
−

x6
∞ ∞ ∞
∞
− −6 
x7
∞ ∞ ∞
∞
∞ − 
x3
x2
x1
∞ 
x2

∞ 
x3
16)
− 2

x4
∞ 
x5
8 

x
6
- 
x7
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

− ∞

∞ −
∞ ∞

 ∞ −8
∞ ∞

∞ ∞
∞ ∞

x1
x7
∞ 15 ∞ ∞ ∞ 
x1

6 ∞ 7 11 ∞ 
x2
− ∞ ∞ −7 ∞  20)
x3

∞ − ∞ 5 6
x4
5 9 − 4 18 
x5

∞ ∞ ∞ − 6
x6
∞ ∞ ∞ ∞ − 
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
−

∞
∞

∞
∞

∞

x3
3
−
4
∞
∞
∞
∞
x4
x3
x5
x4
x6
x7
∞ ∞

9 ∞
∞ 12 

∞ 5
5 11 

− 6
∞ − 
x5
x6
x7
∞ ∞ ∞ 7
∞

∞ 8 5 −10 ∞ 
− 3 6 ∞
∞

∞ − ∞ ∞ −5 
∞ ∞ −
6 13 

−
7 6 ∞
4
∞ ∞ ∞ ∞
− 
x2
∞
−
4
∞
∞
∞
∞
x3
x4
x5
5 ∞ 6
∞ ∞ 5
− 6 −6
∞ − 9
∞ ∞ −
∞ −5 ∞
∞ ∞ ∞
x6
∞
∞
8
∞
7
−
∞
x2
x3
x4
x5
6
−
−4
∞
2
∞
9
∞
−
∞
∞
∞
∞
6
5
−
∞
∞
∞
∞
8
−5
−
∞
x7
∞

∞
∞

7
∞

8
− 
x6
∞

∞
10 

7
4

− 
109
x1
x1
x2
21) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
23) x3
x4
x5
x6
x7
x2
110
x5
x6
x7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
∞ −11 ∞ 5 ∞ ∞ 

x2
− ∞ 12 8 15 ∞ 
5
− 17 −9 12 ∞  22) x3

x4
∞ ∞
− ∞ ∞ 5
x5
∞ ∞
∞ − 16 27 

x6
∞ ∞ −8 ∞ − 8 
x7
∞ ∞
∞ ∞ ∞ − 
 − ∞ 15 ∞ 9 22 ∞ 


∞ − ∞ ∞ 7 ∞ ∞
 ∞ −6 − 4 −7 −8 9 


∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ 5 
∞ ∞ ∞ 9 − 8 ∞


 ∞ ∞ ∞ 11 ∞ − ∞ 
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 


x1
x2
x3
x1
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

4
−
∞
∞
∞
∞
∞
x1
∞ 10 ∞ ∞ ∞ 

x2
6 12 8 ∞ ∞ 
− 5 −8 9 11  24) x3

x4
∞ − ∞ −7 ∞ 
x5
∞ ∞ − 7 13 

x6
∞ ∞ ∞ − 4
x7
∞ ∞ ∞ ∞ − 
−

∞
∞

∞
∞

∞

x1
x1
x2
27) x3
x4
x5
x6
x7
x4
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x1
x1
x2
25) x
3
x4
x5
x6
x3
x2
x3
7
−
∞
−6
8
∞
x2
x4
x3
x5
x4
∞
9
−
4
−5
∞
x4
x6
x5
6
∞
∞
−
∞
∞
x5
x7
x1
x6
∞
∞
∞
10
−
∞
x6
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

x2
∞
−
∞
∞
7
∞
∞
x2
x3
x4
∞ ∞
3 ∞
− −4
∞ −
∞ 9
∞ ∞
∞ ∞
x3
x4
x5
x6
x7
6 ∞ ∞

∞ 9 ∞
6 −8 8 

∞ ∞ 3
− 4 15 

∞ − 7
∞ ∞ − 
x5
x6
x7
x1
∞
x

2
∞
x3
26)
8

x4
∞
x5
6

x
6
− 
x7
− 5

∞ −
 ∞ −6

∞ ∞
∞ ∞

∞ ∞
∞ ∞

9 ∞ 7 10 ∞ 

∞ 13 ∞ ∞ ∞ 
− 4 −8 ∞ ∞ 

∞ − ∞ ∞ 4
∞ 10 − 5 15 

∞ 8 ∞ − 5
∞ ∞ ∞ ∞ − 
x7
x1
x2
x3
−

∞
∞

∞
∞

∞
∞

∞ 12 ∞ ∞ 15 ∞ 

− 6 10 7 ∞ ∞ 
∞ − ∞ 10 −8 13 

∞ ∞ − ∞ ∞ 5
∞ ∞ 11 − 7 16 

∞ ∞ ∞ ∞ − 6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x1
 − 5 ∞ 15 ∞ ∞ ∞ 


x2
 ∞ − 6 ∞ −8 13 ∞ 
 ∞ ∞ − 4 ∞ ∞ ∞  28) x3


x4
 ∞ 10 ∞ − −9 ∞ ∞ 
 ∞ ∞ 7 ∞ − ∞ 12 
x5


x
7
6
5
∞
∞
∞
−


6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 
x7


x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
29) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 6 ∞ ∞ 12 ∞ ∞ 
x1


4 10 ∞ 15 ∞ 
∞ −
x
 ∞ ∞ − 4 ∞ ∞ ∞  30) 2
x


3
∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ 6 
x4
 ∞ −8 7 11 − −6 ∞ 
x5


 ∞ ∞ −8 7 ∞ − 5 
x
6
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − 


x1
−

∞
∞

∞
∞

∞

x2
x3
7
−
∞
∞
∞
∞
5
−8
−
∞
∞
∞
x4
∞
4
3
−
−4
∞
x5
9
∞
6
∞
−
∞
x6
∞

∞
∞

8
6

− 
§ 3.15. Деревья (основные определения)
Существует один простой и важный тип графов, которому разные авторы дали одинаковое название – деревья. Деревья отличаются предельной простотой строения. Существует несколько определений дерева.
Деревом называется связный граф, не содержащий циклов.
Любой граф без циклов называется лесом. Таким образом, деревья
являются компонентами леса.
Пусть G = (S, U) и |S| = n, |U| = m. Тогда справедлива эквивалентность следующих утверждений (рис. 3.33):
1) G – дерево;
2) G – связный граф и m = n–1;
3) G – ациклический граф и m = n–1;
4) любые две несовпадающие вершины графа соединяет единственная простая цепь;
5) G – ациклический граф, обладающий тем свойством, что если
какую-либо пару его несмежных вершин соединить ребром, то по-
x1
x2
x5
x6
x4
x3
x7
x9
x8
x10
x11
x12
x13
x14
x15
Рис. 3.33
111
лученный граф будет содержать ровно
один цикл.
x2
Ориентированный граф называетx8
ся
ориентированным
деревом (ордереx4
x9
вом),
если:
x7
x5
1) существует ровно одна вершина
x6
x1∈S, называемая корнем, которая не
имеет предшествующих вершин, т. е.
Рис. 3.34
P(x1) = 0;
2) любой вершине xj≠x1 в графе G
непосредственно предшествует ровно одна вершина, т. е. P(xj) = 1.
Неориенторованное дерево можно превратить в ориентированное,
выбрав в качестве корня произвольную вершину. На рис. 3.34 корень графа – вершина x6. Подграф G / = S/ ,U графа G = (S, U) называется остовным одграфом, если S/ = S. Подграф G / графа G называется остовным поддеревом (остовным каркасом), если S/ = S и
G – дерево.
Теорема 3.8 (Теорема Кэли1). Число различных деревьев, которые можно построить на n различных вершинах, равно tn = nn–2.
В этой формуле подсчитывается число всех деревьев с данными
n вершинами. Многие из этих деревьев изоморфны, и возникает вопрос о числе не изоморфных деревьев среди них. Это более трудная
задача, она решается для каждого конкретного случая по алгоритму теории Пойа. Для подсчета числа остовов в графе используется
матрица Кирхгофа.
Теорема 3.9 (Теорема Кирхгофа). Число остовных деревьев в
связном графе G порядка n≥2 равно алгебраическому дополнению
любого элемента матрицы Кирхгофа B(G).
Подсчитаем, например, по этой теореме число всех остовов графа, изображенного на рис. 3.15 (стр. 82). Напомним, что матрица
Кирхгофа B определяется следующим образом:
x1
x3
(

−1,

=
bij 0, xi è


1
112
)
xi è xj ñìåæíû,
xj íå ñìåæíû è i ≠ j,
P ( xi ), i = j.
Артур Кэли (Кейли) (1821–1895) – английский математик.
Тогда
x1
x1
x2
x3
B=
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
 2 −1 0 0

 −1 3 −1 0
 0 −1 2 −1

 0 0 −1 2
 −1 −1 0 −1

0 0 0 0
0 0 0 0

x5
x6
x7
−1 0 0 

−1 0 0 
0 0 0
.
−1 0 0 
4 −1 0 

−1 2 −1 
0 −1 1 
Определим алгебраическое дополнение элемента b11.
3 −1 0 −1 0 0
−1 2 −1 0 0 0
0 −1 2 −1 0 0
=
A11 =
−1 0 −1 4 −1 0
0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 −1 1
3 −1 0 −1
−1 2 −1 0
= 0 −1 2 −1
−1 0 −1 4
0 0 0 −1
0 3 −1 0 −1
0 −1 2 −1 0
0 + 0 −1 2 −1
0 −1 0 −1 4
1 0 0 0 −1
3 −1 0 −1 3 −1 0 0
−1 2 −1 0
−1 2 −1 0
=−
+
+ 2⋅
0 −1 2 −1 0 −1 2 0
−1 0 −1 4
−1 0 −1 −1
0
0
0=
0
2
3 −1 0 −1
−1 2 −1 0
=
0 −1 2 −1
−1 0 −1 4
3 −1 0
−1 2 −1 3 −1 0
3 ⋅ −1 2 −1 + 0 −1 2 + −1 2 −1 =
=
0 −1 2
−1 0 −1 −1 0 −1
= 3 (12 + 0 + 0 − 0 − 2 − 3 ) + ( −1 − 4 + 0 + 1 − 0 − 0 ) + ( −6 − 1 + 0 − 0 + 1 − 1=
) 11.
113
Рис. 3.35
Таким образом, у этого графа существует 11 различных остовов.
Все они изображены на рис. 3.35.
Из определения дерева вытекает следующая теорема:
Теорема 3.10. Число ребер произвольного неориентированного
графа G, которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно m–n–k, где m –
число ребер, n – число вершин и k – число компонент связности
графа G.
Доказательство. Рассмотрим i-ю компоненту связности Gi графа
G. Пусть Gi содержит ni вершин. Тогда остов Gi∗ графа Gi, являясь
деревом, содержит ni–1 ребро. Следовательно, для получения Gi∗ из
компоненты Gi нужно удалить mi–(ni–1) ребер, где mi – число ребер
в Gi.
Просуммируем удаляемые ребра по всем компонентам связности, получим
k
k
k
i =1
i =1
i =1
∑ mi = m, ∑ ni = n, ∑ (mi − ni + 1) =
m − n + k.
Число v(G) = m-n + k называется цикломатическим числом или
циклическим рангом графа G, число v(G) = n–k называется коциклическим рангом или корангом. v(G) равно числу ребер, входящих
в любой остов графа G. Очевидно, что v(G) + v(G) = m.
Из теоремы 3.10 вытекают два следующих следствия.
Следствие 1. Неориентированный граф G является лесом тогда
и только тогда, когда v(G) = 0.
Следствие 2. Неориентированный граф G имеет единственный
цикл тогда и только тогда, когда v(G) = 1.
114
§ 3.16. Задача об остове экстремального веса
Пусть G = (S, U) – связная сеть. В приложениях часто возникает задача о построении остова графа G, имеющего наименьший вес.
Пусть, например, G = (S, U, Ω) служит моделью железнодорожной
сети, соединяющей пункты x1, x2,…, xn∈S, а ω(xi, xj) – расстояние
между пунктами xi и xj. Требуется проложить сеть телеграфных
линий вдоль линий железнодорожной сети так, чтобы все пункты
x1, x2,…, xn были связаны между собой телеграфной сетью и общая
протяженность линий телеграфной сети была наименьшей.
Известно несколько алгоритмов построения экстремального
остовного дерева. Рассмотрим алгоритм Прима1 (алгоритм ближайшего соседа), представляющий собой итерационную процедуру,
состоящую из двух шагов и выполняющуюся n–1 раз на графе G с
n вершинами. Алгоритм может получать минимальное или максимальное по весу дерево, разница заключается лишь в том, что в
формуле (3.16.1) находится либо максимум, либо минимум.
S/ ∪ S// , S/ ∩ S// =
∅, т. е. S/ и
Пусть S/ ⊂ S, S// ⊂ S и S =
//
S – разбиение множества узлов сети G на два непересекающихся подмножества. Определим пошаговое расстояние между множествами S/ и S// следующим образом:
(
)
ω xi , xj

d S/ , S// = min 
/
// ,
xi ∈ S , xj ∈ S 

 (
)
(3.16.1)
где (xi, xj) – дуга, соединяющая вершины xi и xj.
В алгоритме Прима остовное дерево строится в результате последовательного расширения исходного поддерева. На каждой итерации число вершин и ребер поддерева увеличивается на единицу.
Основные шаги алгоритма таковы.
Шаг 1. (Присвоение начальных значений).
Полагают S/ = {x1 }, где x1 – произвольная вершина,
//
S = S \ S/ , U / = ∅.
Шаг 2. (Обновление данных).
Находится ребро (xi, xj) такое, что
(
)
ω xi , xj

xi ∈ S/ , xj ∈ S// и ω xi , xj =
min 
/
// .
xi ∈ S , xj ∈ S 


(
1
)
Роберт Клэй Прим (р. 1921) – американский математик.
115
Полагают
{(
{ }
)}
/
U / ∪ xi , xj .
S/ =
S/ ∪ xj , S// =
S \ S/ , U=
Шаг 3. (Проверка на завершение).
Если S/ = S, то G / = S/ , U / – искомый остов. В противном случае переходят ко второму шагу.
Пример 1. Построить остов с наименьшим весом для сети, заданной матрицей весов Ω. Построим по этой матрице сеть. Поскольку
матрица симметрическая, то граф дан неориентированный. Исходный граф изображен на рис. 3.36 слева.
x1 x2 x3 x4 x5 x6
(
x1
x2
Ω =x3
x4
x5
x6
)
−

5
 10

 14
∞

∞

5
−
5
6
∞
∞
10
5
−
7
8
9
14 ∞ ∞ 

6
∞ ∞
7
8 9 .

4 ∞
−
4
− 12 

∞ 12 − 
Шаг 1. S/ = {x1 }, S// = {x2 , x3 , x4 , x5 , x6 }, U / = ∅.
Первая итерация. Шаг 2.
(
)
d S/ ,=
S// ù ( x1=
, x2 ) 5=
, S/
S// {x3 , x4 , x5 , x6 },
{x1, x2 },=
U / = {( x1, x2 )}.
Шаг 3. S/ ≠ S, переход на начало второго шага.
Вторая итерация. Шаг 2.
(
)
d S/ , S// =
ω( x2 , x3 ) =
5, S/ =
{x1, x2 , x3 }, S// =
{x4 , x5 , x6 },
U / = {( x1, x2 ),( x2 , x3 )}.
Шаг 3. S/ ≠ S, переход на начало второго шага.
Третья итерация. Шаг 2.
(
)
d S/ , S// =
ω( x2 , x4 ) =
6, S/ =
{x1, x2 , x3 , x4 }, S// =
{x5 , x6 },
U / = {( x1, x2 ),( x2 , x3 ),( x2 , x4 )}.
116
x2
6
5
x1
14
10
x5
8
5
4
5
7
x2
x6
x4
x1
9
x5
6
5
4
x6
x4
9
x3
x3
Рис. 3.36
Шаг 3. S/ ≠ S, переход на начало второго шага.
Четвертая итерация. Шаг 2.
(
)
d S/ , S// =
ω( x4 , x5 ) =
4, S/ =
{x1, x2 , x3 , x4 , x5 }, S// =
{x6 },
U / = {( x1, x2 ),( x2 , x3 ),( x2 , x4 ),( x4 , x5 )}.
Шаг 3. S/ ≠ S, переход на начало второго шага.
Пятая итерация. Шаг 2.
(
)
d S/ , S// =
ω( x3 , x6 ) =
9, S/ =
∅,
{x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 }, S// =
U / = {( x1, x2 ),( x2 , x3 ),( x2 , x4 ),( x4 , x5 ),( x3 , x6 )}.
(
)
Шаг 3. S/ = S. Итак, получен остовный граф. G / = S/ , U / изображен на рис. 3.36 справа, его вес ω( G / ) = 5 + 5 + 6 + 4 + 9 = 29.
§ 3.17. Обходы графов. Фундаментальные циклы
Рассмотрим опросы, связанные с существованием в графе эйлеровых или гамильтоновых цепей и циклов. При решении прикладных задач часто возникает необходимость отбора вершин или ребер
графа, связанная с поисками элемента с определенным свойством.
Напомним, что связный граф называется эйлеровым, если он содержит цикл, содержащий все ребра графа. Такой граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий.
Граф называется гамильтоновым, если в нем имеется простой цикл,
содержащий каждую вершину этого графа.
Задачи о нахождении эйлеровых и гамильтоновых циклов в графе внешне похожи, однако вторая задача значительно сложнее пер117
вой. Принадлежность графа к классу эйлеровых графов легко устанавливается следующей теоремой:
Теорема 3.11. Связный граф является эйлеровым тогда и только
тогда, когда степени всех его вершин четны.
Доказательство.
1. Необходимость Пусть G – эйлеров граф. Тогда цикл этого графа проходит через каждую вершину, причем входит в нее по одному
ребру, а выходит по другому. Это значит, что каждая вершина инцидентна четному числу ребер. Таким образом, степени всех вершин
четны, так как эйлеров цикл должен содержать все ребра графа G.
2. Достаточность. Пусть степени всех вершин графа четны. Начнем построение цепи из произвольной вершины x1 (рис. 3.37). Попав в очередную вершину xi, мы всегда
можем из нее выйти по другому ребру, так
P2
как степени всех вершин четны. Продолxi
P′1
жая таким образом, мы закончим цепь P1 в
x2
вершине x1, т. е. P1 будет циклом. Если при
P′′1
этом окажется, что P1 содержит все вершиx1
ны, то граф будет эйлеровым. Если P1 содержит не все вершины графа G, то удалим из
Рис. 3.37
G все ребра цикла P1. Граф G1 = G\P1 также
будет эйлеровым. Кроме того, так как G –
связный граф, то графы G1 и P1 будут иметь хотя бы одну общую
вершину x2 (см. рис. 3.37). Повторим процедуру построения цикла,
начав с вершины x2. Получим новый цикл P3 = P1/ ∪ P2 ∪ P1// , кото-
рый, начиная с x1 проходит по ребрам цепи P1/ до x2, затем обходит
все ребра цепи P2 и возвращается в x1 по ребрам цепи P1// .
Если P3 не эйлеров цикл, то повторяя описанную процедуру, получим еще больший цикл и так далее до тех пор, пока не получится
эйлеров цикл.
Для эйлеровых графов существует процедура, называемая алгоритмом Флери, которая позволяет очень быстро построить один из
существующих эйлеровых циклов. Этот алгоритм задается следующими правилами.
1) Произвольно выбирается некоторая вершина x1 и ребро u1 инцидентное x1. Этому ребру присваивается номер 1. Вычеркиваем это
ребро u1 и переходим в вершину x2 по ребру u1 = (x1, x2).
2) Находясь в вершине xi, следует не выбирать ребро, соединяющее xi с xi–1, если имеется возможность иного выбора.
118
3) Находясь в вершине xi, следует не выбирать ребро, которое является перешейком (т. е. ребром, при удалении которого граф, образованный не вычеркнутыми ребрами, распадается на две компоненты связности, каждая из которых имеет хотя бы по одному ребру).
4) После того, как в графе будут занумерованы все ребра, образуется эйлеров цикл, причем порядок нумерации соответствует последовательности обхода ребер.
Пример 1. Построить эйлеров цикл в графе G, изображенным на
рис. 3.38. Граф G – эйлеров, ибо P(x1) = P(x4) = P(x5) = P(x8) = 2, P(x2) = = P(x3) = P(x6) = P(x7) = 4.
1) Выберем x1 и ребро u1 = (x1, x7)
x2
x1
x4
8 x3
и присвоим ему номер 1, затем пере11
9
5
йдем в вершину xi = x7.
8
4
G:
10
6
2) находясь в x7, не выбираем вы7
12
3
1
черкнутое ребро 1. Из оставшихся
x8
x7 2 x6
x5
трех ребер ни одно не является перешейком, поэтому выбираем любое,
Рис. 3.38
например, u2 = (x7, x6), присваиваем
ему номер 2 и переходим в вершину
xi = x6.
3) После двенадуати шагов опять приходим в вершину x1. Построенный цикл: (x1, x7)–(x7, x6)–(x6, x4)–(x4, x5)–(x5, x3)–(x3, x6)–
(x6, x2)–(x2, x3)–(x3, x7)–(x7, x2)–(x2, x8)–(x8, x1).
Если каждое ребро графа G входит в одну из существующих реберно-непересекающихся цепей этого графа, то говорят, что набор
таких цепей покрывает граф G. Пусть связный граф G содержит k
вершин нечетной степени. Заметим, что по лемме о рукопожатиях
(см. задачу 3.9.1) число k четно. В этом случае справедлива теорема
о минимальном числе реберно-непересекающихся цепей.
Теорема 3.12. Если связный граф содержит ровно k вершин нечетной степени, то минимальное число покрывающих его ребернонепересекающихся цепей равно k .
2
Вопрос о принадлежности графов к классу гамильтоновых решается, как правило, очень трудно. Рассмотрим несколько теорем
такого рода (достаточных условий гамильтоновости).
Теорема 3.13. Граф со степенной последовательностью (списком
степеней его вершин) P1 ≤ P2 ≤ ... ≤ Pn является гамильтоновым,
если для всякого k, удовлетворяющего неравенствам 1 ≤ k < n , ис2
тинна импликация ( Pk ≤ k ) ⇒ ( Pn −k ≥ n − k ).
119
На основе теоремы 3.13 были получены другие достаточные условия гамильтоновости. Эти условия проще в практическом применении, но слабее теоремы 3.13.
Теорема 3.14 (теорема Оре1). Если для любой пары x и y несмежных вершин графа G порядка n≥3 выполняется условие
P(x) + P(y)≥n, то G – гамильтонов граф [22].
Из этой теоремы вытекает следующее следствие:
Если |G| = n≥3 и для любой вершины x графа G выполняется неравенство P ( x ) ≥ n , то G – гамильтонов граф.
2
Все эти теоремы дают достаточные условия гамильтоновости.
На практике для построения примеров не гамильтоновых графов с
заданными свойствами были бы полезны необходимые условия гамильтоновости. Однако для графов общего вида необходимые условия неизвестны за исключением некоторых особых типов графов.
Для ориентированных эйлеровых и гамильтоновых графов получены результаты, похожие на вышеприведенные. Следующие две
теоремы характеризуют эйлеровы орграфы.
Теорема 3.15. Для связного ориентированного графа G следующие утверждения равносильны:
1) граф G = (S, U) эйлеров;
1) для любой вершины x∈S верно равенство P+(x) = P– (x);
2) граф G является объединением контуров, попарно не имеющих общих ребер.
Теорема 3.16. Связный орграф G содержит открытую эйлерову
цепь тогда и только тогда, когда в нем есть две такие вершины x и
y, что P– (x) = P+(x) + 1, P– (y) = P+(y)–1 и P+(z) = P– (z) для любой вершины z, отличной от x и y.
Вопросы, связанные с распознаванием гамильтоновости орграфа
и построением гамильтоновых контуров или путей, являются столь
же сложными, как и аналогичные вопросы для неориентированных
графов. Следующая теорема дает достаточные условия гамильтоновости неориентированного графа.
Теорема 3.17. Пусть G – сильно связный орграф порядка n>1
без петель и параллельных дуг. Если для любой пары x и y его
несовпадающих несмежных вершин справедливо неравенство
P(x) + P(y)≥2n–1, то в G есть гамильтонов контур.
Пусть G = (S, U) – неориентированный граф, содержащий n вершин, m ребер и k компонент связности, G / – остов графа G. G / име1
120
Ойстин Оре (1899–1968) – норвежский математик.
ет v(G) = n-k ребер u1, u2,…, un–k. Эти ребра называются ветвями остова G / . Оставшиеся m-n + k ребер v1, v2,…, vm–n+k, не входящие в G / ,
называются хордами остова G / .
По определению дерева, если к остову G / добавить произвольную хорду vi, то в полученном графе G / ∪ {vi } найдется ровно один
цикл Ci, состоящий из хорды vi и некоторых ветвей остова G / .
Цикл Ci называется фундаментальным циклом графа G относительно хорды vi остова G / . Множество C = {C1, C2,…, Cm–n+k} всех фундаментальных циклов относительно хорд остова G / называется фундаментальным множеством циклов графа G относительно остова
G / . Ясно, что |C| = v(G) = m–n + k.
Пусть w1, w2,…, wm последовательность v1, v2,…, vm–n+k, u1, u2,…,
un–k всех ребер графа G. Фундаментальному циклу Ci соответствует
вектор c = ( ci1, ci2 ,..., cim ), определенный следующим образом:
1, åñëè wj ∈ Ci ,
cij = 
0, åñëè wj ∉ Ci .
Тогда фундаментальное множество циклов C задается матрицей
фундаментальных циклов
 c11

c21
∗ 
C =
...

 cv( G ),1

...
c1m 

...
c2m 
,
...
... 

... cv( G ),m 

c12
c22
...
cv( G ),2
которая имеет вид
C∗
c1,v( G )+1
c1,v( G )+2
...
c1,m 
 1 0 ... 0


c2,v( G )+1
c2,v( G )+2
... c2,m 
 0 1 ... 0
=

...
...
...
... 
 ... ... ... ...
 0 0 ... 1 c

v( G ),v( G ) +1 cv( G ),v( G ) +2 ... cv( G ),m 

(
)
= C1∗ C2∗ ,
где C1∗ – единичная матрица порядка v(G) содержит лишь хорды
фундаментальных циклов Ci.
121
Пример 2. Найти матрицу фундаментальных
циклов графа G, изображенного на рис.
6
4
3.39. Здесь m = 10, n = 7, k = 1. Так как цикло2
3
1
матическое число равно v(G) = 10–7 + 1 = 4, то
7
для получения остова G / необходимо уда10
лить четыре ребра. Пусть это будут ребра 1,
8
2, 3 и 4 (остов на рис. 3.39 выделен жирными
9
линиями). Остальные ребра графа G занумеруем цифрами от 5 до 10. Из рисунка видно,
Рис. 3.39
что фундаментальный цикл C1, соответствующий хорде 1, состоит из ребер 1, 6, 7, 8, цикл C2 – из ребер 2, 7, 9,
цикл C3 – из ребер 3, 5, 7, цикл C4 – из ребер 4, 5, 7, 10. Тогда C имеет
вид:
5
C1 

C
2
C∗ = 
C3 

C4 
1
2
3
4 5 6 7
8
9 10
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0

0
.
0

1 
§ 3.18. Клики, независимые множества
Множество вершин графа называется независимым (внутренне устойчивым), если никакие две вершины из этого множества не
смежны. Очевидно, что граф, порожденный вершинами независимого множества, будет пустым.
Независимое множество называется максимальным, если оно не
является собственным подмножеством некоторого другого независимого множества. Наибольшее по мощности независимое множество называется наибольшим.
Как установил Шеннон1, теория независимых множеств в графе имеет большое значение для фундаментальных проблем теории
информации. Сам процесс передачи информации может быть представлен в виде графа, причем максимальное число безошибочных
сигналов соответствует максимальному независимому множеству
графа.
1
122
Клод Элвуд Шеннон (1916–2001) – американский математик.
Число вершин в наибольшем незаx1
x2 x3 x4
x5
висимом множестве графа G называется
числом (вершинной) независимости или
неплотностью этого графа и обозначается α0(G). Для графа, изображенного на
рис. 3.40, наибольшими независимыми
x10 x9 x8 x7 x6
множествами будут: {x1, x2, x3, x4, x5} и
{x6, x7, x8, x9, x10}, максимальными незаРис. 3.40
висимыми {x1, x8, x7, x6}, {x2, x10, x7, x6}
и так далее. Задачи отыскания наибольшего независимого множества и определения числа независимости,
как правило, очень трудны, поэтому полезны оценки их величин.
Теорема 3.18. Для любого графа G = (S, U) верно неравенство
α0 ( G ) ≥
∑ (1 + P ( x ) )
−1
.
x∈S
Доказательство теоремы 3.18, которое здесь опущено, дает алгоритм построения независимого множества M, такого что
M ≥
∑ (1 + P ( x ) )
−1
.
x∈S
Множество M строится следующим образом: всякий раз в графе
G выбирается вершина минимальной степени и заносится в множество M, после чего эта вершина и все смежные с ней удаляются
из графа. Далее процесс повторяется. Построенное таким способом
множество M иногда принимают в качестве первого приближения
при отыскании наибольшего независимого множества вершин графа.
С понятием независимости в графе связано понятие доминирования. Подмножество S/ ⊂ S вершин графа G = (S, U) называется
доминирующим (внешне устойчивым), если каждая вершина из
S \ S/ смежна с некоторой вершиной из S/ , т. е. каждая вершина
графа находится на расстоянии в одно ребро от доминирующего
множества. Доминирующее множество называется минимальным,
если никакое его собственное подмножество не является доминирующим. Доминирующее множество, имеющее наименьшую мощность, называется наименьшим.
Число доминирования δ(G) графа G есть наименьшее число вершин, составляющих минимальное доминирующее множество.
123
Отыскание наименьшего доминирующего множества является содержанием многих прикладных задач. Например, задача размещения предприятий в ряде населенных пунктов при условии, чтобы
расстояние от каждого из населенных пунктов до какого-либо предприятия не превосходило заданной величины, сводится к построению наименьшего доминирующего множества, если предположить,
что вершины графа – предприятия смежны тогда и только тогда,
когда расстояние между соответствующими пунктами не превышает заданной величины.
Теорема 3.19. Независимое множество максимально тогда и
только тогда, когда оно доминирующее.
Доказательство. Пусть S/ ⊆ S – максимальное независимое
множество. Тогда не может быть вершины k ∈ S \ S/ , не соединенной с ребром, так как в противном случае множество k ∪ S/ также
было бы независимым, но S/ – максимальное по условию. Отсюда
но S/ – доминирующее множество.
Пусть теперь S/ – независимое доминирующее множество. Тогда никакую вершину k нельзя перевести из S \ S/ в S/ так, чтобы
множество k ∪ S/ осталось независимым. Следовательно, S/ – максимальное множество.
Антиподом понятия независимого множества является понятие
клики. Подмножество S/ вершин графа G = (S, U) называется кликой, если любые две входящие в него вершины смежны. Это значит,
что подграф G / = S/ ,U / является полным. Определение клик графа полезно в кластерном анализе, при информационном поиске и
так далее.
Клика называется максимальной, если она не содержится в клике с большим числом вершин, и наибольшей, если число вершин
в ней наибольшее среди всех клик. Число вершин в наибольшей
клике графа называется кликовым числом или плотностью графа и
обозначается через ϕ(G).
Практически очевидна следующая теорема.
Теорема 3.20. Подмножество вершин графа G является кликой
тогда и только тогда, когда оно независимо в дополнительном граα0 G .
фе G, т. е. ϕ ( G ) =
Клика графа представляет «естественные» группировки вершин
в максимально полные подграфы. На рис. 3.41 представлен граф и
все его клики.
Опишем алгоритм выделения клик в графе. Этот алгоритм представляет собой метод поиска с возвращением по специальному де-
(
)
( )
124
x1
x8
x2
x3
x4
x7
x6
x5
x1
x2
x2
x3
x8
x7
x3
x3
x6
x6
x4
x5
x5
x6
Рис. 3.41
реву поиска. Каждый узел этого дерева соответствует полному подграфу исходного графа, а само дерево поиска строится следующим
образом. Корень дерева поиска – пустое начальное множество S = ∅.
Пусть теперь S – произвольная вершина дерева поиска какого-либо
уровня. Тогда вершиной следующего уровня дерева будет вершина
S∪{x}, если x∉S и x смежна с каждой вершиной из S. В дереве поиска вершины S и S∪{x} соединяются ребром, которое соответствует
вершине x. На рис. 3.42 показано дерево поиска для графа G, изображенного на рис. 3.41 (вершины обозначены только цифрами,
буква x – опущена).
Каждая клика мощностью n порождается в дереве поиска n! раз.
При построении дерева все тонкие ребра можно оборвать, они не
приводят к новым кликам. При этом необходимо руководствоваться
двумя правилами:
1) если все поддеревья узла S∪{x} в дереве поиска клик уже исследованы, то необходимо лишь исследовать только те вершины из
S∪{y}, для которых вершина y не смежна с x;
2) если S – узел в дереве поиска, а S – узел предыдущего уровня,
и все поддеревья узла S ∪ {x} уже исследованы, то все неисследованные поддеревья узла S∪{x} можно опустить.
S=∅
{1}
{2}
{2,3}
{1,2} {2,1}
{2,3,8}
{3}
{3,8}
{4}
{5}
{3,6} {4,6}
{2,8} {3,2} {3,7}
{3,5}
{3,2,8} {3,7,6} {3,6,5}
{6}
{5,6}
{4,5} {5,4} {5,3}
{6,7}
{6,5}
{4,5,6} {5,3,6} {5,6,3}
{2,8,3} {3,8,2} {3,6,7} {4,6,5}
{7}
{8}
{6,4} {7,3}
{6,3}
{7,6}
{8,2}
{8,3}
{6,3,5} {6,4,5} {7,3,6} {8,2,3}
{5,4,6} {5,6,4} {6,5,4} {6,3,7} {7,6,3}
{3,5,6}
{6,5,3} {6,7,3}
{8,3,2}
Рис. 3.42
125
Иногда полезно понятие матрицы клик. Пусть G = (S, U) – произвольный граф, Q = {Q1, Q2,…, Qp} – множество всех его максимальных клик и S = {x1, x2,…, xn}. Определим бинарную p×n – матрицу
C = C(G), строки которой соответствуют кликам из множества Q, а
столбцы – вершинам графа G, причем
1, åñëè xj ∈ Qi ,
cij = 
0, åñëè xj ∉ Qi .
Матрица C(G) называется матрицей клик графа G. Для графа,
изображенного на рис. 3.41, матрица клик имеет следующий вид:
x1
Q1
Q2
C(G ) =
Q3
Q4
Q5
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0

1
.
0

0
0 
1

0
0

0
0

§ 3.19. Практическое занятие № 8.
Остовы графов, фундаментальные циклы.
Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Доминирующие множества и клики
3.19.1. Для графа G, заданного матрицей весов, построить минимальный по весу остов G / и найти его вес ω G / .
( )
x1
x1
x2
1) x3
x4
x5
x6
x7
126
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 10 ∞ 5 ∞ ∞ 14 


x2
 10 − 6 2 4 8 ∞ 
 ∞ 6 − 3 1 1 ∞  2) x3


x4
5 2 3 − 6 ∞ 3
∞ 4 1 6 − 5 ∞
x5


x6
∞ 8 1 ∞ 5 − 2
 14 ∞ ∞ 3 ∞ 2 − 
x7


x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 7 15 12 ∞ 10 ∞ 


 7 − 13 9 ∞ ∞ 8 
 15 13 − 7 15 7 ∞ 


 12 9 7 − 9 ∞ 11 
 ∞ ∞ 15 9 − 10 ∞ 


 10 ∞ 7 ∞ 10 − 12 
 ∞ 8 ∞ 11 ∞ 12 − 


x1
x1
x2
3) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x2
x3
− 3 8

3 − 7
8 7 −

∞ 6 4
3 ∞ 6

6 ∞ ∞
 ∞ 4 10

x1
x1
x2
9) x3
x4
x5
x6
x7
x4
x5
x6
x7
x1
x4
x5
x6
x7
x1
 − 8 ∞ 10 13 ∞ 11 


x
8
7
8
15
−
∞
∞
2


 ∞ 7 − ∞ 19 10 15  6) x3


x4
 10 8 ∞ − 9 ∞ 6 
 13 ∞ 19 9 − 8 ∞ 
x5


x6
 ∞ 15 10 ∞ 8 − 12 
 11 ∞ 15 6 ∞ 12 − 
x7


x1
x1
x2
7) x3
x4
x5
x6
x7
x3
x1
 − 10 11 ∞ 14 ∞ 12 


x
10
10
9
7
−
∞
∞
2


 11 10 − 12 10 ∞ 6  4) x3


x4
 ∞ 9 12 − 9 12 ∞ 
 14 ∞ 10 9 − 11 12 
x5


x6
 ∞ ∞ ∞ 12 11 − ∞ 
 12 7 6 ∞ 12 ∞ − 
x7


x1
x1
x2
5) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x2
x3
x4
x5
x6
x7
∞ 3 6 ∞

6 ∞ ∞ 4
4 6 ∞ 10 

− 5 7 ∞
5 − 8 9

7 8 − ∞
∞ 9 ∞ − 
x4
x5
x6
x7
− 8 9 ∞ ∞ ∞ 6


 8 − 7 6 9 ∞ ∞
 9 7 − 6 10 5 ∞ 


∞ 6 6 − 8 7 ∞
 ∞ 9 10 8 − 4 5 


∞ ∞ 5 7 4 − 6 
6 ∞ ∞ ∞ 5 6 −


x4
x5
x6
x7
∞ ∞

∞ 4
∞ 9

7 ∞
9 11 

− ∞
∞ − 
x1
x4
x5
x6
− 6 8 ∞

 6 − 11 12
 8 11 − 7

 ∞ 12 7 −
∞ 9 8 6

7 ∞ ∞ 5
 ∞ 5 9 10

∞
9
8
6
−
8
∞
7 ∞

∞ 5
∞ 9

5 10 
8 ∞

− 7
7 − 
x2
x2
x3
x3
x4
x5
x6
x7
x7
 − 9 10 15 ∞ ∞ 11 


 9 − 14 12 ∞ 8 15 
 10 14 − 10 9 ∞ 6 


 15 12 10 − 11 12 ∞ 
 ∞ ∞ 9 11 − 12 11 


 ∞ 8 ∞ 12 12 − ∞ 
 11 15 6 ∞ 11 ∞ − 


x1
x1
x2
10) x3
x4
x5
x6
x7
x3
− 3 5 ∞ 6

 3 − 10 6 8
 5 10 − 5 7

∞ 6 5 − 8
6 8 7 8 −

∞ ∞ ∞ 7 9
 ∞ 4 9 ∞ 11

x1
x1
x2
8) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 8 4 9 ∞ 6 ∞


 8 − 11 6 10 ∞ 8 
 4 11 − 7 ∞ 9 ∞ 


 9 6 7 − 5 6 ∞
 ∞ 10 ∞ 5 − 7 6 


6 ∞ 9 6 7 − 8
∞ 8 ∞ ∞ 6 8 − 


127
x1
x1
x2
11) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
13) x3
x4
x5
x6
x7
128
x3
6 5
− 9
9 −
7 8
6 9
∞ ∞
∞ 11
x2
−

6
5

∞
 10

9
∞

x1
x1
x2
17) x3
x4
x5
x6
x7
x3
x2
−

6
5

∞
8

∞
 10

x1
x1
x2
15) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x4
x5
x6
x7
 − 10 ∞ 5 ∞ 6 ∞ 


 10 − 6 1 4 ∞ 5 
 ∞ 6 − 3 1 2 ∞


 5 1 3 − 3 ∞ 5
 ∞ 4 1 3 − 4 2


 6 ∞ 2 ∞ 4 − ∞
 ∞ 5 ∞ 5 2 ∞ −


x3
x4
x5
∞
7
8
−
5
6
∞
8
6
9
5
−
7
9
x4
x5
x6
x7
x6
x7
x3
x4
x5
x6
x7
 − 12 10 ∞ 11 ∞ 18 


 12 − 13 14 ∞ ∞ 7 
 10 13 − 9 13 ∞ 16  18)


 ∞ 14 9 − 15 14 ∞ 
 11 ∞ 13 15 − 15 14 


 ∞ ∞ ∞ 14 15 − ∞ 
 18 7 16 ∞ 14 ∞ − 


x4
x2
x3
x4
x5
x2
x3
x4
x6
x7
∞ ∞ 8

∞ ∞ 8
8 6 ∞

7 ∞ 11 
− 3 5

3 − 6
5 6 − 
x5
x5
x6
8
8
7
9
3
−
6
x6
x7
∞

∞
∞

4
5

6
− 
x7
− 7 8 ∞ 6 ∞ 4


 7 − 8 ∞ 5 10 ∞ 
 8 8 − 6 ∞ 3 ∞


∞ ∞ 6 − 3 9 4 
6 5 ∞ 3 − 8 7


 ∞ 10 3 9 8 − ∞ 
4 ∞ ∞ 4 7 ∞ −


x1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x3
5 11 14
− 5 7
5 − 4
7 4 −
∞ 8 7
∞ 6 ∞
8 ∞ 11
− 5 8 ∞ ∞

 5 − 7 10 ∞
8 7 − 4 7

 ∞ 10 4 − 6
∞ ∞ 7 6 −

8 8 7 9 3
∞ ∞ ∞ 4 5

x1
x1
x2
16) x3
x4
x5
x6
x7
x2
−

5
 11

 14
∞

∞
8

x1
x1
∞ 10 

x2
∞ ∞
∞ 11  14) x3

x4
6 ∞
x5
7 9

x6
− ∞
x7
∞ − 
6 5 ∞ 10 9 ∞ 

− 4 5 3 ∞ 6
4 − 6 7 ∞ 8

5 6 − 3 6 ∞
3 7 3 − 8 7

∞ ∞ 6 8 − 5
6 8 ∞ 7 5 − 
x2
x1
x1
x2
12) x3
x4
x5
x6
x7
x2
−

5
4

 11
∞

6
∞

x3
x4
x5
x6
x7
5 4 11 ∞ 6 ∞ 

− 8 9 ∞ 9 ∞
8 − ∞ 5 ∞ 7

9 ∞ − ∞ 5 3
∞ 5 ∞ − 7 8

9 ∞ 5 7 − 6
∞ 7 3 8 6 − 
x1
x1
x2
19) x3
x4
x5
x6
x7
−

8
9

∞
 10

∞
∞

x1
x1
x2
21) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
23) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
25) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
8 9 ∞ 10 ∞ ∞ 

x2
− 6 5 9 ∞ 7
6 − 11 7 12 ∞  20) x3

x4
5 11 − 3 5 4 

x5
9 7 3 − 4 ∞

x6
∞ 12 5 4 − 9 
x7
7 ∞ 4 ∞ 9 − 
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 11 5 8 ∞ 8 ∞ 


 11 − 6 13 ∞ 10 ∞ 
 5 6 − ∞ 7 ∞ 9


 8 13 ∞ − 3 5 8 
∞ ∞ 7 3 − 9 7


 8 10 ∞ 5 9 − ∞ 
 ∞ ∞ 9 8 7 ∞ −


x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − ∞ 11 ∞ 8 ∞ 10 


x
12
5
8
∞
−
∞
∞
2


 11 ∞ − ∞ 6 4 3  22) x3


x4
 ∞ 12 ∞ − 5 ∞ 7 
8 5 6 5 − 7 4
x5


x6
∞ 8 4 ∞ 7 − ∞
 10 ∞ 3 7 4 ∞ − 
x7


 − ∞ ∞ 10 11 ∞ 6 


 ∞ − ∞ 12 10 5 ∞ 
∞ ∞ − 3 3 ∞ 8


 10 12 3 − 6 ∞ 7 
 11 10 3 6 − 9 ∞ 


 ∞ 5 ∞ ∞ 9 − 11 
 6 ∞ 8 7 ∞ 11 − 


x1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − ∞ 12 10 14 ∞ ∞ 


x
12
5
7
∞
−
∞
∞
2


 5 12 − 7 6 8 ∞  24) x3


x4
 10 ∞ 7 − 4 9 9 
 14 5 6 4 − 8 ∞ 
x5


x6
 ∞ ∞ 8 9 8 − 7
 ∞ 7 ∞ 9 ∞ 7 −
x7


−

3
8

 12
7

∞
 16

3 8 12 7 ∞ 16 

− 4 ∞ 9 ∞ ∞
4 − 5 7 11 ∞ 

∞ 5 − 10 6 4 
9 7 10 − 5 ∞ 

∞ 11 6 5 − 5 
∞ ∞ 4 8 5 − 
x1
x1
x2
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − ∞ 7 ∞ ∞ 11 ∞ 


x
17
8
15
∞
−
∞
∞
2


 7 ∞ − 5 6 ∞ 10  26) x3


x4
 ∞ 17 5 − 12 5 3 
 ∞ 8 6 12 − 4 9 
x5


x
11
15
5
4
∞
−
∞


6
 ∞ ∞ 10 3 9 ∞ − 
x
7


− ∞

∞ −
∞ 6

∞ 9
7 5

∞ 8
 ∞ 11

x3
x4
x5
∞ ∞ 7
6 9 5
− 2 5
2 − ∞
5 ∞ −
6 4 4
6 ∞ 12
x6
x7
∞ ∞

8 11 
6 6

4 ∞
4 12 

− 3
3 − 
129
x1
x1
x2
27) x3
x4
x5
x6
x7
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
− 3 8 ∞ 9 ∞ ∞ 


x
3
11
6
15
−
∞
∞
2


 8 ∞ − 4 5 7 10  28) x3


x4
 ∞ 11 4 − 13 8 7 
 9 6 5 13 − 6 12 
x5


x6
∞ ∞ 7 8 6 − 3 
 ∞ 15 10 7 12 3 − 
x7


x1
x1
x2
29) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x2
− 2

2 −
∞ 1

7 8
∞ 4

∞ ∞
 ∞ 10

x3
x4
∞
1
−
∞
5
6
9
x5
7 ∞
8 4
∞ 5
− ∞
∞ −
3 4
∞ 10
x6
x2
x4
x5
x6
x7
 − 4 ∞ ∞ 7 ∞ 20 


 4 − 3 ∞ 5 14 15 
 ∞ 3 − 6 7 11 ∞ 


 ∞ ∞ 6 − 12 10 4 
 7 5 7 12 − 8 ∞ 


 ∞ 14 11 10 8 − 5 
 20 15 ∞ 4 ∞ 5 − 


x7
x1
x1
∞ ∞

x2
∞ 10 
6 9  30) x3

x4
3 ∞
x5
4 10 

x6
− 4
x7
4 − 
x3
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 10 5 2 16 ∞ ∞ 


 10 − 4 ∞ ∞ ∞ ∞ 
 5 4 − 8 15 13 ∞ 


2 ∞ 8 − 8 5 7
 16 ∞ 15 8 − 11 18 


 ∞ ∞ 13 5 11 − 4 
 ∞ ∞ ∞ 7 18 4 − 


3.19.2. Используя матричную теорему Кирхгофа, найти число
остовных деревьев в полном двудольном графе Km,n.
3.19.3. Найти матрицы фундаментальных циклов, радиусы и
диаметры графов, изображенных на рис. 3.43. Являются ли изображенные графы эйлеровыми или гамильтоновыми?
3.19.4. Доказать, что если для любых двух несмежных вершин x
и y связного n-вершинного графа выполняется условие P(x) + P(y)≥n,
то граф имеет гамильтонов цикл.
3.19.5. По алгоритму Флери найти эйлеров цикл в графах, изображенных на рис. 3.44.
a)
б)
в)
г)
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x4
x1
x2
x3
x4
x1
x
x7
x6
x5
x8
x7
x6
x5
x8
x7
x6
x5
x8
Рис. 3.43
130
x2
x7
x3
x4
x6
x5
а)
x5
x3
x1
б)
x9
x12
x3
x2
x6
x4
x2
x1
x4
x7
x8
x11
x6
x10
x5
Рис. 3.44
x2
3.19.6. Найти наибольшее независимое множество вершин в графе Петерсена1 (рис. 3.45).
3.19.7. Показать, что граф Петерсена
негамильтонов.
3.19.8. Найти число доминирования δ(G) и наименьшее доминирующее
множество графов, представленных на
рис. 3.46.
а)
x8
x9
x7
x6
x3
x10
x5
x4
Рис. 3.45
в)
б)
x2
x1
x8
x1
x2
x3
x4
x7
x6
x5
x3
x1
x2
x7
x9
x4
x7
x8
x5
x6
x3
x1
x4
x5
x6
Рис. 3.46
3.19.9. Построить дерево поиска клик, матрицу клик и найти
наибольшие клики графов, изображенных на рисунках 3.44 а), 3.45
и 3.46 б), в).
3.19.10. Приведите пример графа, в котором наименьшее доминирующее множество не является независимым.
1
Джулиус Петер Христиан Петерсен (1839–1910) – датский математик
131
§ 3.20. Планарность графов
Ранее уже отмечалось, что возможно несколько изображений одного графа, поскольку все изоморфные графы несут одну и ту же информацию. На практике при изготовлении микросхем необходимо
выяснить можно ли схему радиоэлектронного устройства, которая
представляет собой граф, изобразить на плоскости без пересечений
проводников. Аналогичная задача возникает при проектировании
железнодорожных и других путей, где нежелательны переезды.
Таким образом, возникает задача построения и исследования
плоского графа. Плоским графом называется граф, вершины которого являются точками плоскости, а ребра – непрерывными плоскими линиями без самопересечений, причем никакие два ребра не
имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины. Любой
граф, изоморфный плоскому графу, называется планарным.
Все планарные графы укладываются на плоскости (имеют плоскую укладку). На рис. 3.47 изображен планарный граф G и его плоская укладка G .
Очевидно, что 1) всякий подграф планарного графа планарен и 2)
граф планарен тогда и только тогда, когда каждая связная компонента этого графа – планарный граф.
Гранью планарного графа называется множество точек плоскости, каждая пара которых может быть соединена плоской кривой,
не пересекающей ребер этого графа. Границей грани называется
множество вершин и ребер, принадлежащих этой грани. Например, граф G на рис. 3.47 имеет восемь граней: Γ1, Γ2,…, Γ8. Неограниченная грань Γ1 называется внешней, а остальные грани Γ1, Γ2,…,
Γ8 – внутренними. Пусть n, m, f – соответственно число вершин, ребер и граней планарного графа.
Теорема 3.21 (теорема Эйлера). Для всякого связного планарного графа верно равенство
n–m + f = 2. (3.20.1)
x1
x2
x3
x1
Г1
Г3
x7
x6
x5
x4
x7
Рис. 3.47
x3
Г4
Г5
Г2
G:
132
x2
x6
x5
Г6
Г8
Г7
x4
Доказательство. Пусть G – связный планарный n-вершинный
граф. Рассмотрим некоторый остов G / этого графа. Остов имеет
всего одну внешнюю грань, n вершин и n–1 ребер, поэтому формула (3.20.1) для остова G / выполняется. Будем поочередно добавлять
к остову G / недостающие ребра графа G. При каждом добавлении
число вершин не изменится, число ребер увеличится на единицу,
так же как и число граней, поскольку при добавлении к остову ребра, связывающего две несмежные вершины, получается цикл, разделяющий текущую грань на две грани.
Таким образом, формула (3.20.1) будет верна для всякого графа,
получающегося в результате таких операций, а поскольку графом
G заканчивается вся эта процедура, то формула (3.20.1) будет верна
и для него.
Имеется несколько критериев планарности и найдены эффективные алгоритмы, осуществляющие плоскую укладку планарного
графа. Для формулировки критерия планарности ведем понятие гомеоморфизма графов. Рассмотрим операцию подразбиения ребра в
графе G = (S, U). После подразбиения ребра (x, y)∈U получается граф
(
)
G / = S / ,U / ,
где
(
)
S/ =
S ∪ {xy}, U / =
U \ {( x, y )} ∪ {( x, xy ),( xy, y )},
т. е. ребро (x, y) заменяется на (x,
G1:
G2 :
G:
y) – цепь длины два. Два графа называются гомеоморфными, если они
x
y
оба могут быть получены из одного
и того же графа подразбиением его
ребер. На рис. 3.48 изображены исходный граф G и два гомеоморфных
Рис. 3.48
графа G1 и G2.
Теорема 3.22 (теорема Понтрягина1–Куратовского2) Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных K5 или K3,3.
Эквивалентная форма критерия планарности описана в следующей теореме.
1
2
Лев Семёнович Понтрягин (1908–1988) – советский математик.
Казимеж Куратовский (1896–1980) – польский математик.
133
Теорема 3.23. Граф планарен тогда и только тогда, когда в нем
нет подграфов, стягиваемых (т. е. получаемых последовательностью отождествлений вершин, связанных ребрами) к графам K5
или K3,3.
Для непланарных графов вводятся характеристики, представляющие ту или иную меру непланарности. Если граф непланарен,
то для его геометрической реализации удаляют отдельные ребра
(переносят их на другую плоскость). Наименьшее число ребер, удаление которых приводит к планарному графу, называется числом
планарности или искаженностью sk(G) графа G. Для числа планарности полного графа справедлива следующая формула
sk ( G ) = Cn2 − 3n + 6, n ≥ 3.
 m 
 m + 3n − 7 
t(G ) ≥ 
, t(G ) ≥ 

,
 3n − 6 
 3n − 6  (3.20.2)
Важнейшей характеристикой непланарного графа является его
толщина t(G). Это наименьшее число планарных подграфов графа
G, объединение которых дает сам граф. Толщина графа равна минимальному числу плоскостей l, при котором граф G разбивается
на плоские части G1, G2,…, Gl. Очевидно, что толщина планарного
графа равна единице. Для толщины связанного (n, m) – графа справедливы такие оценки
(3.20.3)
где […]- целая часть числа, а ]…[ = […] + 1.
§ 3.21. Алгоритм укладки графа на плоскости [23]
Критерии планарности в практическом применении не всегда
просты и не дают информации о том, как строить укладку графа на
плоскости, если он планарен. Все это вызвало появление алгоритмов, которые проверяют граф на планарность и строят его плоскую
укладку. Рассмотрим один из таких алгоритмов.
Этот алгоритм представляет собой процесс последовательного
присоединения к некоторому уложенному подграфу G графа G новой цепи L, оба конца которой принадлежат G. После этого в качестве подграфа G выбирается любой простой цикл графа G и процесс
присоединения новых цепей продолжается до тех пор, пока не будет
построен плоский граф, изоморфный G или присоединение новой
простой цепи на некотором этапе окажется невозможным, что свидетельствует о непланарности исходного графа G.
134
Введем несколько определений. Пусть имеется некоторая плоская укладка подграфа G графа G. Сегментом Gi относительно
G = S ,U называется подграф графа G = (S, U) следующих двух ви-
(
)
дов:
1) ребро u = (x, y)∈U такое, что u ∉ U , x, y ∈ S ;
2) связная компонента графа G \ G , дополненная всеми ребрами
графа G, инцидентными вершинам взятой компоненты, и концами
этих ребер.
Вершина u сегмента Gi называется контактной, если u ∈ S . Граф

G – плоский, следовательно, он разбивает плоскость на грани. Допустимой гранью для сегмента Gi относительно G называется грань
Γ графа G , содержащая все контактные вершины сегмента Gi. Обозначим через Γ(Gi) – множество допустимых граней для Gi. Для непланарных графов может быть Γ(Gi) = ∅. Рассмотрим простую цепь
L, сегмента Gi, соединяющую две различные контактные вершины
и не содержащую других контактных вершин. Такие цепи называются α-цепями. Всякая α-цепь может быть уложена в любую грань,
допустимую для данного сегмента.
Два сегмента G1 и G2 относительно G называются конфликтующими, если
1) θ = Γ(G1)∩Γ(G2)≠∅,
2) существуют две α-цепи L1∈G1 и L2∈G2, которые без пересечений нельзя уложить одновременно ни в какую грань Γ∈θ.
Пусть G – плоская укладка некоторого подграфа графа G. Для
каждого сегмента Gi относительно G находим множество допустимых граней. Тогда могут осуществляться только следующие три
случая.
1) Существует сегмент Gi, для которого Γ(Gi) = ∅. В этом случае
исходный граф G непланарен.
2) Для некоторого сегмента Gi существует единственная допустимая грань Γ. Тогда можно расположить любую α-цепь сегмента Gi в
грани Γ. При этом грань Γ разобьется на две грани.
3) Γ(Gi)≥2 для Γi. В этом случае можно расположить α-цепь в любой допустимой грани.
Сам алгоритм укладки планарного графа G на плоскость состоит
из следующих шагов.
Шаг 1. Выбирается любой простой цикл C графа G. Этот цикл
укладывается на плоскости и полагается G = C.
Шаг 2. Находятся все грани графа G и все сегменты Gi относительно G . Если множество сегментов пусто, происходит переход на шаг 7.
135
Шаг 3. Для каждого сегмента Gi определяется множество допустимых граней Γ(Gi). Если найдется сегмент Gi, для которого
Γ(Gi) = ∅, то исходный граф G непланарен; конец алгоритма, иначе
переход на шаг 4.
Шаг 4. Если существует сегмент Gi, для которого имеется единственная допустимая грань Γ, то происходит переход на шаг 6, иначе на шаг 5.
Шаг 5. Для некоторого сегмента Gi, для которого Γ(Gi)>1, выбирается произвольная допустимая грань.
Шаг 6. Произвольная α-цепь L сегмента Gi помещается в грань Γ,
G заменяется на G ∪ L и происходит переход к шагу 2.
Шаг 7. Построена укладка G графа G на плоскости. Конец алгоритма.
Пример 1. Пусть граф G изображен на рис. 3.49.
Шаг 1. Выберем простой цикл C = {x1, x2, x3, x4, x5}, который разбивает плоскость на две грани Γ1 и Γ2. Положим G = C.
Шаг 2. На рис. 3.50 изображен граф G = C и сегменты G1, G2 исходного графа G относительно G . Контактные вершины обведены
кружками. Γ(Gi) = {Γ1, Γ2}, i = 1, 2.
Шаг 3. Γ(Gi)≠∅, i = 1, 2.
Шаг 4. Нет сегмента, для которого бы существовала единственная допустимая грань.
Шаг 5. Любую α-цепь можно уложить в Γ1 или в Γ2. Выберем для
укладки грань Γ1.
x1
x2
x3
x4
x8
x7
x6
x5
G:
Рис. 3.49
x1
x2
x8
x3
x7
x6
G 1:
Γ1
G 2:
Γ2
x5
x4
x1
Рис. 3.50
136
x3
x4
x5
x5
Шаг 6. Пусть L = {x1, x8, x7, x6, x5}. Поместим эту α-цепь в Γ1. Возникает новый граф G и его сегменты (рис. 3.51) G1, G2, G3. Появляется и новая грань Γ3. Переходим к первому шагу.
x8
x2
x1
x3
x8
G :
G 1:
Γ1
22
Γ2
x7
G 2:
G 3:
Γ3
x4
x5
x6
x3
x6
x4
x4
x5
Рис. 3.51
Шаг 1. Новых сегментов три: G1, G2, G3.
Шаг 2. Γ(G1) = {Γ1}, Γ(G2) = {Γ1}, Γ(G3) = {Γ1, Γ3}.
Шаг 3. Γ(Gi)≠∅, i = 1, 2, 3.
Шаг 4. Γ(G1) = Γ(G2) = {Γ1}, переход на шаг 6.
Шаг 6. α-цепь L1 = {x4, x8} поместим в грань Γ1, α-цепь L2 = {x4, x6}
также помещаем в эту же грань. В результате возникает новый граф
G , изображенный на рис. 3.52.
x8
x1
Γ4
x2
x3
x3
G :
G 1:
Γ1
Γ2
x7
x6
Γ3
x5
Γ5
x4
x5
Рис. 3.52
Этот граф имеет пять граней и один сегмент.
Шаг 1. G1 – ребро (x3, x5).
Шаг 2. Γ(G1) = {Γ3}.
Шаг 3. Γ(G1)≠∅.
Шаг 4. Γ(G1) = {Γ3}, переход на
x1 Γ6 x2
x8
x3
шестой шаг.
Шаг 6. α-цепь L1 = {x3, x5} поG :
местим в грань Γ3. Новый граф
Γ1
Γ2
Γ3
Γ4
G на рис. 3.53 является плоской
x4
x6
x5 Γ5
укладкой исходного планарного
x7
графа.
Пример 2. Попытаемся поРис. 3.53
лучить плоскую укладку графа
137
K5, изображенного на рис. 3.54. Поскольку известно, что граф непланарен, алгоритм должен закончить
работу на третьем шаге.
Шаг 1. Выберем простой цикл
C = {x1, x2, x3, x4, x5}, G = C.
Шаг 2. Граней у графа G две: Γ1
и Γ2, сегментов пять, все они показаны на рис. 3.55.
x3
K5:
x2
x4
x1
x5
Рис. 3.54
x3
x1
x2
x1
x2
x2
x3
x4
G :
Γ1
G 1:
Γ2
G 2:
x3
x4
G 5:
G 4:
G 3:
x4
x5
x5
x5
x1
Рис. 3.55
Шаг 3. Γ ( Gi ) =2, i =1,5.
Шаг 4. Γ ( Gi ) ≠ 1, i =
1,5.
Шаг 5. Выберем для G1 и G5 грань Γ2 в качестве допустимой грани.
Шаг 6. α-цепи L1 = {x1, x3} и L2 = {x3, x5} присоединим к графу G .
Получим новый граф G и три сегмента G1, G2, G3. (рис. 3.56).
Шаг 1–2. Новых граней у графа G четыре: Γ1, Γ2, Γ3, Γ4.
Шаг 3. Γ(G1) = {Γ1}, Γ(G2) = {Γ1}, Γ(G3) = {Γ1}.
Шаг 4. Для G1 и G2 выберем грань Γ1.
Шаг 6. α-цепи L1 = {x1, x4} и L2 = {x2, x4} поместим в грань Γ1 и присоединим к G .
x3
x1
x2
G :
x2
x4
Γ2
Γ3
Γ4
G 1:
Γ1
x5
Рис. 3.56
G 3:
G 2:
x4
x1
138
x2
x4
x5
x3
x2
G :
x3
Γ6
x2
x2
x4
Γ1
Γ2
Γ3
Γ4
x1
Γ5 G 1:
x5
Рис. 3.57
x4
x5
x1
x5
Рис. 3.58
Шаг 1. G и сегмент G1 показаны на рис. 3.57.
Шаг 2. Граней у графа G теперь шесть: Γ1, Γ2, Γ3, Γ4, Γ5, Γ6.
Шаг 3. Γ(G1) = ∅. Исходный граф G непланарен, конец алгоритма.
В заключение найдем число планарности и толщину полного
графа K5. По формуле (3.20.2) sk ( K5 ) = C52 − 3 ⋅ 5 + 6 = 10 − 15 + 6 = 1.
Это соответствует действительности, у графа G остался один не
присоединенный сегмент G1 (рис. 3.57).
Для толщины полного графа модификация формул (3.20.3) дает
n + 7  5 + 7 
точную оценку =
t ( K5 ) =
 =
 2. Таким образом, этот граф
 6   6 
можно представить в виде объединения планарных графов на двух
плоскостях (см. рис. 3.58).
§ 3.22. Хроматические графы. Раскраски графов
Пусть G = (S, U) – неориентированный граф. Раскраской графа
называется такое приписывание цветов его вершинам, что никакие
две смежные вершины не получают одинакового цвета. Таким образом, множество вершин одного цвета является независимым множеством. Хроматическим числом χ(G) графа G называется минимальное число цветов, требующееся для раскраски G. Если χ(G) = k,
то граф называется k-хроматическим.
Задачи раскраски вершин и ребер графа занимают важное место
в истории развития теории и в самой теории графов. К построению
раскрасок сводится целый ряд практических задач, например, задачи составления расписаний, распределения оборудования, проектирования некоторых технических изделий.
В теории хроматических графов существует так называемая гипотеза четырех красок, которую некоторые авторы с полным основанием называют «болезнью четырех красок». Попытки обосновать
139
эту гипотезу привели к ряду интересных результатов не только по
раскраске графов, но и в ряде других разделов теории графов.
Легко найти хроматические числа некоторых известных графов,
1, χ(Kn,m) = 2, χ(T) = 2, где K – дополнинапример, χ(Kn) = n, χ Kn =
тельный граф, а T – дерево. Однако эффективные методы определения хроматического числа произвольных графов до сих пор не найдены. В такой ситуации актуальны оценки хроматического числа,
выражаемые в терминах более или менее просто вычислимых параметров графа.
Обозначим через P(G) наибольшую из степеней вершин графа G.
Теорема 3.24. Для любого неориентированного графа G выполняется неравенство
( )
χ(G)≤P(G) + 1. (3.22.1)
Следующая теорема связывает хроматическое число графа с количеством его вершин и ребер.
Теорема 3.25. Для любого связного (n, m) – графа G верны неравенства
 3 + 9 + 8 (m − n ) 
−n


,
−
≤ χ(G ) ≤ 

2
2






−
n
2
m





1− 


 2

n


n
m
−
2



 



2

n

−
n
m
2  
 1+


 


 n
  

(3.22.2)
где […] – целая часть, а {…} – дробная часть числа.
Наконец, теорема 3.26 оценивает хроматическое число в терминах числа независимости α0(G) графа G.
Теорема 3.26. Для любого n-вершинного графа G верно неравенство
n
≤ χ ( G ) ≤ n − α0 ( G ) + 1.
α0 ( G )
(3.22.3)
Проблема раскраски планарных графов является одной из самых знаменитых проблем теории графов. Она возникла из задачи
раскраски географической карты, при которой любые две соседние
страны должны быть окрашены в различные цвета. Эта задача легко сводится к задаче раскраски планарного графа.
140
В 1879 году английский математик Кэли четко сформулировал
гипотезу четырех красок.
Гипотеза четырех красок. Всякий планарный граф 4-раскрашиваем.
Попытки доказать эту гипотезу привели в 1890 году к появлению теоремы Хивуда1.
Теорема 3.27. Всякий планарный граф 5-раскрашиваем.
Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу вершин графа. Совершенно очевидно, что если у
графа не более пяти вершин, то теорема справедлива. Предположим, что она верна для графов порядка n, n≥5.
Рассмотрим планарный граф G с n + 1 вершиной и докажем сначала несколько вспомогательных соотношений. Во-первых, из теоремы 3.21 вытекает, что если в связном плоском (n, m) – графе граница каждой грани является r-циклом, r≥3, то m(r–2) = r(n–2).
Действительно, так как каждая грань графа ограничена
r-циклом, то каждое ребро принадлежит дум граням, т. е. f·r = 2m,
где f – число граней, но f = 2–n + m из теx2
оремы 3.21, тогда (2–n + m)·r = 2m и m(r–
2) = r(n–2). При r = 3 получим m = 3n–6.
x1
x3
Далее убедимся в том, что если число
вершин у максимального плоского графа
не менее четырех, то степень каждой верx4
шины не менее трех (рис. 3.59). РассмоРис. 3.59
трим вершину x1. Пусть x3 – смежная с
ней вершина. Ребро (x1, x3) принадлежит
двум граням – треугольникам (x1, x3, x2) и (x1, x3, x4), причем x2≠x4,
так как число вершин не менее четырех. Таким образом, x1 смежна
по крайней мере с тремя вершинами x2, x3 и x4 (рис. 3.59).
Итак, для максимального плоского графа с учетом двух предыдущих замечаний и лемме о рукопожатиях (см. задачу 3.9.1) будем
иметь
m = 3n–6,
2m= 2 ( 3n − 6 )= 3n3 + 4n4 + 5n5 + ... ≥ 3 ( n3 + n4 + n5 ) + 6 ∑ ni ,
i ≥6
где ni – число вершин степени i у максимального плоского графа. Но
1
Перси Джон Хивуд (1861–1955) – английский математик.
141
n=
∑ ni = n3 + n4 + n5 + ∑ ni ,
i ≥3
i ≥6
тогда
6n − 12= 6 ( n3 + n4 + n5 ) + 6 ∑ ni − 12 ≥ 3 ( n3 + n4 + n5 ) + 6 ∑ ni .
i ≥6
i ≥6
Отсюда n3 + n4 + n5≥4, т. е. всякий планарный граф с n≥4 вершинами имеет, по крайней мере, четыре вершины со степенями, не
превосходящими пяти.
Максимальный плоский граф G / отличается от исходного графа
G лишь наличием дополнительных ребер, соединяющих не смежные вершины без пересечения с прочими ребрами. Если в графе G /
имеется по крайней мере четыре вершины со степенями не больше
пяти, то в исходном графе G такие вершины и подавно имеются.
Вернемся теперь к основному доказательству. В графе порядка
n + 1 содержится вершина x0, степень которой не превосходит пяти.
Пусть S = S(x0) – окружение вершины x0 в графе G (рис. 3.60). Возможны два случая.
1) |S| = 4. В этом случае граф G\{x0} 5-раскрашиваем по индуктивному предположению. Раскрасим вершины графа G\{x0} пятью цветами, а вершину x0 окрасим в тот цвет, который не был использован
при раскраске вершин из S.
2) |S| = 5. В множестве S существуют две не смежные вершины x1
и x2, иначе G(S) = K5 и граф G не будет планарным (рис. 3.60). Граф
G , полученный из G\{x0} слиянием вершин x1 и x2 в вершину x,
плоский и 5-раскрашиваемый по индуктивному предположению.
Рассмотрим какую-либо из его 5-раскрасок. В графе G окрасим
вершины x1 и x2 в цвет вершины x, а остальные отличные от x вершины – в те же цвета, что и соответствующие вершины графа G .
x3
x3
x1
x2
G:
x0
x4
x5
Рис. 3.60
142
G :
x4
x0
x5
Затем припишем вершине x0 цвет, не используемый при раскраске вершин из S. Таким образом, получится правильная 5-раскраска
графа G.
Трудность проблемы четырех красок привела к появлению большого числа равносильных ей формулировок. В конце 60-х годов
прошлого века эта проблема была сведена к исследованию большого, но конечного множества так называемых неустранимых конфигураций, число которых оказалось равно 1482.
В 1976 году научному коллективу под руководством К. Аппеля1
и В. Хейкена2 удалось с использованием ЭВМ правильно раскрасить
все графы из множества неустранимых конфигураций, затратив
на это около 2000 часов машинного времени. Таким образом, хотя
такое доказательство очень сложно повторить, можно считать, что
формально гипотеза четырех красок доказана.
В заключение рассмотрим очень простой алгоритм последовательной раскраски графа. Этот алгоритм в общем случае не приводит к минимальной раскраске. Только для некоторых классов
графов, например, полных k-дольных последовательная раскраска
является минимальной.
Алгоритм последовательной раскраски содержит два правила.
1) Произвольной вершине x графа G присваивается цвет 1.
2) Если вершины x1, x2,…, xi раскрашены k цветами 1, 3,…, k,
k≤i, то новой произвольно взятой вершине xi+1 приписывается минимальный цвет, не использованный при раскраске вершин из ее
окружения.
Пример 1. Оценить и найти хроматическое число графа, изображенного на рис. 3.61, а и раскрасить его вершины по алгоритму последовательной раскраски. Является ли полученная раскраска минимальной?
Плоская укладка этого графа, полученная по описанному в
§ 3.21 алгоритму, изображена на рис. 3.61, б. Исходный граф G –
планарный.
Оценим его хроматическое число. Формула (3.22.1) дает n = 7,
m = 9,P(G) = 3, χ(G)≤3 + 1 = 4. Аналогично, по (3.22.2) получим
1
2
Кеннет Аппель (1932–2013) – американский математик.
Вольфганг Хейкен (р. 1928)– германо-американский математик.
143
а)
x3
б)
x4
x2
G:
x5
x7 1
G :
x2
x1
2
x6
x7
x3
1
2
x4
1
x5
1
x1
2
x6
Рис. 3.61

 49 − 18  
1− 


7
 7   ≤ χ G ≤  3 + 9 + 8 ⋅ 2 ,

⋅
( ) 

2
 49 − 18  
  49 − 18 


1
+
 7  
  7 


т. е. 0≤χ(G)≤4. Наконец, так как α0(G) = 4, по формуле (3.22.3) будем
7
иметь ≤ χ ( G ) ≤ 7 − 4 + 1, т. е. 1.75≤ χ(G) ≤ 4.
4
На самом деле χ(G) = 2. Раскрасим вершины этого графа по алгоритму последовательной раскраски. Выберем в качестве начальной вершину x7 и присвоим ей цвет 1. S(x7) = {x2, x4}, поэтому обеим
вершинам присваиваем цвет 2. Далее выберем, например, вершину
x3. Ее окружение S(x3) = {x2, x4, x6}. Вершины x2 и x уже окрашены, вершина x6 еще нет. Минимальным цветом, не использованным
при раскраске вершин из окружения вершины x3 является цвет 1,
поэтому вершине x3 присвоим этот цвет.
После нескольких этапов работы
x7
x3
x1
x5
алгоритма получится раскраска,
показанная на рис. 3.61, б. Эта раскраска минимальна, так как граф G
двуцветен и представляет собой неx2
x6
x4
полный двудольный граф рис. 3.62.
Рис. 3.62
Двуцветные графы удовлетворяют
следующей теореме.
Теорема 3.28 (теорема Кенига1) Граф двуцветен тогда и только
тогда, когда он не содержит нечетных простых циклов.
Это условие выполняется для графа G (см. рис. 3.61, б).
1
144
Денез Кëниг (1884–1944) – венгерский математик.
§ 3.23. Практическое занятие № 9.
Планарные и хроматические графы
3.23.1. Определим графы Gn следующим образом. Пусть Gn – граф,
множество вершин которого совпадает с отрезком натурального ряда
{1, 2,…, 10}, а множество ребер определяется следующим условием: не
совпадающие вершины x и y смежны тогда, когда числа x и y взаимно просты. При каких значения n графы Gn планарны?
3.23.2. Доказать, что любой граф можно уложить в трехмерном
пространстве R3.
3.23.3. Какие из графов, изображенных на рис. 3.63 являются
планарными?
а)
б)
в)
Рис. 3.63
3.23.4. При каких n графы порядка 2n, изображенные на
рис. 3.64, являются планарными?
а)
б)
Рис. 3.64
3.23.5. С помощью алгоритма укладки графа на плоскость построить плоские укладки или установить не планарность графов,
изображенных на рис. 3.65.
x3
x3
x2
x4
x1
x4
x2
x5
x6
x5
x6
x1
x7
Рис. 3.65
145
3.23.6. Найти число планарности и толщину графов а) K5; б) K3,3
и в) графа Петерсена.
3.23.7. Уложить графы:
а) K5 и б) K3,3 на торе.
3.23.8. Определить хроматические числа графов, изображенных
на рис. 3.66.
а)
б)
в)
Рис. 3.66
3.23.9. Граф называется критическим, если удаление любой из
его вершин приводит к графу с меньшим хроматическим числом.
Показать, что Kn является критическим графом при n>1, а Cn – тогда и только тогда, когда n – нечетно. Cn – простой цикл, содержащий n вершин.
3.23.10. Приведите пример графа, последовательная раскраска
вершин которого не является минимальной.
§ 3.24. Потоки в сетях [24, 25]
Функциональное назначение большинства физически реализованных сетей состоит в том, что они служат носителями систем потоков, то есть систем, в которых некоторые объекты текут, движутся
или транспортируются по системе каналов (дуг сети) ограниченной
пропускной способности. Примерами могут служить поток автомобильного транспорта по сети автодорог, поток грузов по участку железнодорожной сети, поток воды в городской сети водоснабжения,
поток электрического тока в электросети, поток телефонных или
телеграфных сообщений по каналам связи, поток программ в вычислительной сети. Ограниченная пропускная способность означает, что интенсивность перемещения соответствующих предметов по
каналу ограничена сверху определенной величиной.
Наиболее часто в сети решается задача о максимальном потоке
и минимальном разрезе. При этом граф G = (S, U) должен удовлетворять следующим условиям:
1) G – связный граф без петель;
146
2) существует ровно одна вершина, не имеющая предшествующих; эта вершина называется источником и обозначается s;
3) существует ровно одна вершина, не имеющая последующих;
эта вершина называется стоком и обозначается t;
4) каждой дуге (xi, xj)∈U поставлено в соответствие неотрицательное число c(xi, xj), c(xi, xj)∈Ω, называемое пропускной способностью дуги.
Функция ϕ(xi, xj), определенная на множестве дуг сети G = (S, U,
Ω), называется потоком, если
(
) (
0 ≤ ϕ xi , xj ≤ c xi , xj
∑
( )
xi ∈Sïð xj
(
)
ϕ xi , xj =
) ∀( xi ,xj ) ∈ U и
∑
xj ∈Sñë ( xi )
(
ϕ xi , xj
)
для любой вершины xi∈S и xi∉{s, t}. Последнее условие называется
условием сохранения потока, в промежуточных вершинах потоки
не создаются и не исчезают.
Величина ∆(xi, xj) = c(xi, xj)–ϕ(xi, xj) называется остаточной пропускной способностью дуги (xi, xj). Если ϕ(xi, xj) = c(xi, xj), то дуга
называется насыщенной.
Максимальный поток определяется с помощью одного из основных понятий теории сетей – разреза. Разрез может быть определен
как множество дуг, исключение которых из сети отделило бы некоторое множество узлов от остальной сети. Предположим, что множество вершин сети S разбито на два непустых непересекающихся
S/ ∪ S// è S/ ∩ S// =
∅. Множество дуг, начала
подмножества S =
которых лежат в S/ , а концы в S// , называется ориентированным
разрезом и обозначается S/ → S// . Следовательно,
(
)
( xi , xj )


( S/ → S// ) =
/
// . x
∈
S
,
x
∈
S
i
j






(3.24.1)
(
)
Пропускной способностью или величиной разреза S/ → S// называется сумма пропускных способностей входящих в него дуг, то есть
(
)
c S/ → S// =∑
xi ∈S/ , xj ∈S//
(
)
c xi , xj . (3.24.2)
На рис. 3.67 изображена сеть, на которой около каждого ребра
указана его пропускная способность. Произведены два разреза I и
147
x2
3
x1
2
7
2
I разрез
1
x4
7
4
x3
Рис. 3.67
5
II разрез
x5
II. При разрезе I вершины оказались разбиты на подмножества
S/ = {x1, x2 } и S// = {x3 , x4 , x5 },
а ребрами, образующими разрез стали ребра (x1, x3), (x1,
x4), (x2, x4). При разрезе II
S/ = {x1, x2 , x3 , x4 }, а S// = {x5 },
разрез образуют ребра (x3, x5),
(x4, x5).
§ 3.25. Теорема Форда1 – Фалкерсона
Теорема 3.29. Для любой сети с одним источником и одним стоком величина максимального потока в сети от источника к стоку
равна пропускной способности минимального разреза.
Доказательство. Алгоритм Форда – Фалкерсона построения
максимального потока и минимального разреза основан на следующих обстоятельствах.
1. Предположим, что в сети имеется некоторый поток и путь из
s в t, состоящий из ненасыщенных дуг. Тогда очевидно, что поток
в сети можно увеличить на величину ∆, равную минимальной из
остаточных пропускных способностей дуг, входящих в этот путь.
Перебирая все возможные пути из s в t и проводя такую процедуру
увеличения потока, пока это возможно, получим в результате полный поток, т. е. такой поток, для которого каждый путь из s в t содержит по крайней мере одну насыщенную дугу.
2. Рассмотрим произвольный маршрут (неориентированный путь)
из s в t. Дуги, образующие этот маршрут, естественным образом делятся на два типа: прямые (ориентированные от s к t) и обратные (ориентированные от t к s). Пусть существует путь, в котором прямые дуги
не насыщены, а потоки на обратных дугах положительны. Пусть ∆1 –
минимальная из остаточных пропускных способностей прямых дуг,
а ∆2 – минимальная из величин потоков обратных дуг. Тогда поток в
сети можно увеличить на величину ∆ = min{∆1, ∆2}, прибавляя ∆ к потокам на прямых дугах и вычитая ∆ из
+∆
x1
–∆
потоков на обратных дугах (рис. 3.68).
Очевидно, что при этом условие баланса (условие сохранения потока)
Рис. 3.68
1
148
Лестер Рэндольф Форд (р. 1927)– американский математик.
∑
( )
xi ∈Sïð xj
(
)
ϕ xi , xj =
∑
xj ∈Sñë ( xi )
(
ϕ xi , xj
)
для узлов, входящих в рассматриваемый маршрут, не нарушится.
Ясно, что если множество обратных дуг не пусто, то при такой процедуре увеличения потока в сети фактического перемещения объектов вдоль рассматриваемого маршрута не происходит, так как
оно в принципе невозможно. Однако эта процедура уменьшает потоки на некоторых дугах, которые, возможно, были перед этим насыщенными, образуя таким образом новые пути из ненасыщенных
дуг, вдоль которых и происходит фактическое перемещение потока
величины ∆.
Ясно также, что первая процедура является частным случаем
второй.
Пример 1. Пропускные способности дуг заданы следующей матрицей. Построить максимальный поток от s к t и указать минимальный разрез, отделяющий s от t.
s x1 x2 x3 x4 t
s
x1
Ω =x2
x3
x4
t
12
 − 12 − 13

 − − 11 14
− − −
−

−
− − −
− − 8
−

− − −
−

14
− −

15 − 
8 .
−

7 15 
−
−

−
− 
15
Этап 1. Путь s → x1 → x3 → t.
δ = min(12, 14, 15) = 12. Увеличим по этому пути поток до 12 единиц, ребро (s, x1) становится насыщенным. Поставим величину потока на дугах (x1, x3) и (x3, t).
12(15 )
13
s → x3 
→ t.
Путь
δ = min(13, 15–12) = 3. Поток можно
увеличить на три единицы. Дуга
(x3, t) станет насыщенной. Путь
3(13 )
7
8
x1
s
x4
11(14)
12(12)
Разрез
7(8) 7(7)
t
15(15)
8
s → x3 
→ x4 
→ x2 
→ t.
Можно увеличить поток на семь
единиц; дуга (x3, x4) станет насыщенной, потоки на дугах примут
вид (рис. 3.69):
15
x2
11(13)
x3
8(8)
Рис. 3.69
149
10(13 )
7(7 )
7( 8 )
7( 8 )
s 
→ x3 
→ x4 
→ x2 
→ t.
Больше путей нет. Конец первого этапа.
Этап 2. Рассмотрим теперь маршруты, содержащие противоположные дуги. Маршрут
10(13 )
12(14 )
11
7( 8 )
s 
→ x3 ←
 x1 → x2 
→ t.
Поток можно увеличить на единицу на дуге (x2, t). Тогда потоки
по дугам этого маршрута станут такими
11(13 )
11(14 )
1(11)
8( 8 )
s 
→ x3 ←
 x1 → x2 
→ t.
Дуга (x2, t) стала насыщенной.
Больше маршрутов нет. Поток максимален. Делаем разрез вокруг t по насыщенным дугам и получаем его величину 15 + 8 = 23
единицы.
§ 3.26. Элементы сетевого планирования.
Критические пути, работы, резервы [26]
При планировании и управлении сложными комплексами работ
используются их графические модели – сетевые графики. С математической точки зрения сетевой график – это связный орграф без
петель и контуров. Основными понятиями сетевого планирования
являются понятия работы и события.
Таблица последовательности работ
Последовательность работ
Исходная работа
Опирается на работу Продолжительность работ
a1
–
3
a2
–
6
a3
–
4
a4
a1
5
a5
a2
1
a6
a2
9
a7
a3, a5
6
a8
a4, a6, a7
8
Работа – это любые действия, сопровождающиеся затратами ресурсов и времени и приводящие к определенным результатам. Со150
бытие – это результат завершения одной или нескольких работ. Событие является предпосылкой для выполнения работ, следующих
за ним. Любая работа на сети может быть определена двумя событиями, между которыми она находится. Событием может начинаться
или заканчиваться несколько работ. Работы на сети изображают
дугами, а события – вершинами сети.
Сетевой график обладает рядом особенностей, в частности он
имеет только одно исходное событие (исток сети) и только одно завершающее событие – окончание всех работ. Рассмотрим пример
построения сети по приведенной ранее таблице последовательности
работ (см. стр. 150). Работы a1, a2 и a3 не имеют предшествующих,
поэтому реализация проекта начинается с этих работ, и изобразятся они дугами, выходящими из одной вершины – события x1. Работе a4 предшествует работа a1, поэтому дуга a4 на сети изображена
вслед за дугой a1. То же самое с дугами a5 и a6. Далее надо изобразить дуги a7 и a8. Работа a7 опирается на работы a3 и a5. Итоговая
работа a8 опирается на a4, a6 и a7. На рисунках сети не рекомендуется во избежание путаницы изображать одновременно выполняемые работы параллельными дугами. Однако можно вводить дополнительные события и фиктивные работы (нулевой продолжительности), которые изображаются штриховыми линиями. Если бы, к
примеру, работа a5 опиралась бы еще на a1, то между событиями x2
и x3 пришлось бы ввести штриховую дугу (см. рис. 3.70).
Имея сеть работ некоторого проекта можно посчитать время выполнения всего проекта и различных его частей, состоящих из разного набора работ. Для этого введем еще несколько определений.
Определим сначала минимальное время, за которое можно выполнить все работы комплекса. Для этого найдем продолжительность
t(µi) всех полных путей µi. В нашем случае таких путей четыре:
x2
a4
a1
s=x1
x3
a2
a3
a5
x5
a6
a8
t=x6
a7
x4
Рис. 3.70
151
µ1:1–2–5–6; µ2:1–3–5–6; µ3:1–4–5–6; µ4;1–3–4–5–6. Их продолжительности t(µ1) = 16, t(µ2) = 23, t(µ3) = 18, t(µ4) = 21. Наиболее продолжителен второй путь. Такой путь называют критическим. Этот путь
определяет минимальное время выполнения всех работ комплекса.
Минимальное время называют критическим сроком и обозначают
tкр.. Итак, в рассматриваемом примере tкр = 23.
Все работы и события, лежащие на критическом пути, называют
критическими, все остальные работы и события – некритическими.
Задержка любой критической работы вызывает задержку выполнения всего комплекса. Следовательно, чтобы уменьшить время выполнения комплекса работ, надо сократить сроки критических работ. Некритические работы допускают некоторое запаздывание их
выполнения без нарушения критического срока. Это запаздывание
измеряется резервом времени событий и работ.
Свершением события называется момент, к которому заканчиваются все входящие в него работы, и может быть начата любая
выходящая работа. Некоторые события можно совершать в разные моменты, то есть варьировать свершение этих событий. Например, событие x2 может свершиться через три дня (по окончании работы a1), но может наступить и позже на срок до семи дней,
поскольку на пути µ1, где лежит это событие, есть резерв времени
têð. − t ( µ1 ) = 23 − 16 = 7 дней. Поэтому для событий различают ранний и поздний сроки свершения.
Ранним сроком tp(xj) свершения события xj называется самый
ранний момент времени, к которому завершатся все работы, предшествующие этому событию. Ранние сроки для всех событий могут
быть рассчитаны по формуле
( )
=
t p xj
Uj+
max
( xi ,xj )∈Uj+
(tp ( xi ) + t ( xi ,xj )),
(3.26.1)
где
– множество работ, входящих в xj событие, tp(xi) – ранний
срок свершения начального события работы (xi, xj), t(xi, xj) – продолжительность работы (xi, xj).
Поздним сроком tn(xi) свершения события xi называется самый
поздний момент времени, после которого остается ровно столько
времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием.
В нашем случае tn(x6) = 23. Чтобы не нарушался критический
срок, событие x5 должно произойти, в крайнем случае, на восемь дней
152
раньше, поэтому tn(x5) = 23–8 = 15. Аналогично, tn(x2) = 15–5 = 10. Таким образом, поздние сроки событий рассчитываются по формуле
=
tï ( xi )
min
( xi ,xj )∈Ui−
(tï ( xj ) − t ( xi ,xj )),
(3.26.2)
где Ui− – множество работ, выходящих из xi события, tn(xj) – поздний срок свершения конечного события работы (xi, xj).
Разности между поздним и ранним сроками свершения события
xi составляет резерв времени R(xi) этого события
R
=
( xi ) tï ( xi ) − t p ( xi ).
(3.26.3)
Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок может
задержаться свершение события xi без изменения срока наступления итогового события t. У критических событий ранние и поздние
сроки совершения совпадают, ибо резерв времени у них равен нулю.
Зная сроки свершения событий, можно найти ранние и поздние
сроки начала и окончания работы (xi, xj). Очевидно, что
(
(
)
)
( )
(
)
(
(
)
)
(
( ) (
)
)
tp.í. x
=
t p. ( xi ), tp.o. x
=
t p. ( xi ) + t xi , xj ,
i , xj
i , xj

(3.26.4)

=
tï. xj , tï.í. x
=
tï. xj − t xi , xj .
tï.î. x
i , xj
i , xj
Для работ определяются два резерва времени. Полный резерв
времени работы – это максимальное количество времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее продолжительность, не нарушая критический срок
( )
(
)
Rï. xi , xj = tï. xj − t p. ( xi ) − t xi , xj . (3.26.5)
Формулу (3.26.5) можно проиллюстрировать следующим рисунком (рис. 3.71).
Отдельные работы, помимо полного резерва, имеют свободный
резерв времени, составляющий часть полного резерва, остающуюся
Rn(xi, xj)
t(xi, xj)
tp(xi)
tp(xj)
tn(xi)
tn(xj)
Рис. 3.71
153
после исключения резерва времени R(xj) конечного события xj данной работы
(
)
( )
(
)
Rc. xi , xj = t p. xj − t p. ( xi ) − t xi , xj .
(3.26.6)
Свободный резерв времени – это запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить ее продолжительность
при условии, что она начнется в свой ранний срок и при этом ранние
сроки начала последующих работ не изменятся. Понятно, что все
резервы критических работ равны нулю.
Рассчитаем все резервы времени для событий и работ исходного
примера.
Все расчеты проводятся в четыре этапа: 1) вычисляют tp(xi);
2) tn(xi); 3) R(xi); 4) критический путь.
Этап 1. При вычислении tp(xi) перемещаются по сети от события
s = x1 к событию t в порядке возрастания номеров. Именно, tp(x1) = 0.
Для события x2 по формуле (3.26.1) tp(x2) = tp(x1) + t(x1, x2) = 0 + 3 = 3.
Аналогично, tp(x3) = tp(x1) + t(x1, x3) = 0 + 6 = 6. Для вершин x4 и x5
формулу (3.26.1) необходимо применять в полном объеме, то есть
t p. ( x=
4)
(
)
max t p. ( x1 ) + t ( x1, x4 ), t p. ( x3 ) + t ( x3 , x4=
)
( x1,x4 ),
( x3 ,x4 )
= max ( 0 + 4, 6 +=
1) 7,
t p. ( x
=
5)
(
)
max t p. ( x2 ) + t ( x2 , x5 ), t p. ( x3 ) + t ( x3 , x5 ), t p. ( x4 ) + t ( x4 , x=
5)
( x2 ,x5 ),
( x3 ,x5 ),
( x4 ,x5 )
= max ( 3 + 5, 6 + 9, 7 +=
6 ) 15.
Наконец, tp(x6) = tp(x5) + t(x5, x6) = 15 + 8 = 23. Получили критический срок. Итак, tkp = tp(x6) = 23.
Этап 2. При вычислении поздних сроков свершения событий
перемещаются по сети от t к s в порядке убывания номеров. Так как
tn(x6) = tp(x6), то исходное значение tn известно. Далее используем
формулу (3.26.2).
Например,
tn(x5) = tn(x6)–t(x5, x6) = 23–8 = 15.
Аналогично,
tn(x4) = tn(x5)–t(x4, x5) = 15–6 = 9, tn(x2) = tn(x5)–t(x2, x5) = 15–5 = 10. Из
события x3 выходят две работы a5 и a6, поэтому
tï. (=
x3 )
154
min ( tï. ( x5 ) − t ( x3 , x5 ), tï. ( x4 ) − t ( x3 , x=
− 1) 6.
4 ) ) min (15 − 9, 9=
( x3 ,x5 ),
( x3 ,x4 )
3
a1
1
0
0
2
a4
3
a2
0
10
7
6
a5
a3
4
7
0
6
a6
5
15
15
6
a8
0
0
a7
xi
tp(xi)
9
2
23
23
tn(xi)
R(xi)
Рис. 3.72
Наконец, из события x1 выходят сразу три работы a1, a2 и a3. Поэтому здесь
tï. ( =
x1 )
min ( tï. ( x2 ) − t ( x1, x2 ), tï. ( x3 ) − t ( x1, x3 ), tï. ( x4 ) − t ( x1, x=
4 ))
( x1,x2 ),
( x1,x3 ),
( x1,x4 )
= min (10 − 3, 6 − 6, 9 =
− 4 ) 0.
Этап 3. Для вычисления резервов времени событий достаточно
вычесть числа, записанные в правых и левых секторах кружков,
друг из друга (рис. 3.72).
Этап 4. У критических событий резерв времени равен нулю. В нашем примере критическими являются события x1, x3, x5 и x6. Они и
определяют критические работы и критический путь 1–3–5–6.
Резервы времен работ сети вычисляются по формулам (3.27.4),
(3.27.5) и (3.27.6). Например, tp.o(x1, x2) = tp(x1) + t(x1, x2) = 0 + 3 = 3,
tр,н(x1, x2) = tp(x1) = 0, tn.o(x1, x2) = tn(x2) = 10, tn.н(x1, x2) = tn(x2)-t(x1,
x2) = 10–3 = 7, Rn(x1, x2) = tn(x2)–tp(x1)-t(x1, x2) = 10–0–3 = 7, Rc(x1,
x2) = tp(x2)–tp(x1)-t(x1, x2) = 3–0–3 = 0.
В заключение заметим, что критических путей на сети может
быть несколько. Они могут включать в себя и фиктивные работы.
§ 3.27. Линейные графики
Наряду с сетевым графиком при анализе и оптимизации комплекса работ применяется и линейный график. Построим его для
нашего примера. На дугах исходного линейного графика проставлены в скобках интенсивности потребления ресурса. Найдем по
этому линейному графику критический путь, критический срок,
155
критические работы и резервы временни некритических работ. На
рис. 3.73 вначале изображен исходный сетевой график для того, чтобы яснее были видны последовательности работ. Ниже – линейный
график. Он имеет две шкалы: шкалу времени и шкалу потребления
ресурса. Проанализируем линейный график. Наибольшей отметки
времени на нём t = 23 соответствует работа (5, 6), значение t = 23 и
является критическим сроком. Ясно, что будучи заключительной
работой комплекса, работа (5, 6) является критической. Непосредственно ей предшествует работа (3, 5), а этой работе – (1, 3); обе эти
работы также являются критическими. Все остальные работы – некритические. Критические работы на линейном графике выделены
жирной чертой.
По линейному графику можно легко найти резервы времени
Rn(i, j) некритических работ. Например, работу (4, 5) в случае необходимости можно отсрочить или увеличить время ее выполнения
на два дня. То же самое касается и работы (1, 4). Ее можно сдвинуть на три дня. Таким образом, Rn(4, 5) = 2, Rn(1, 4) = 5. Определяя
Rn(1, 4), мы учли возможность сдвига работы (4, 5). Если же оперировать только с работой (1, 4) и не затрагивать последующие рабоx2
a4
a1
a2
s=x1
x3
a6 x5
a5
a3
t=x6
a8
a7
x4
1
1
20 4
3
4
3
2 50
5
30 4
40
3
1 50
0
20
5
30
5
50
6
5
2
t
5
120 90 120
10
70
20
15
50
30
Шкала потребления ресурса
Рис. 3.73
156
ты, то найдется свободный резерв времени данной работы. У работы
(1, 4) свободный резерв три дня, то есть Rc(1, 4) = 3.
Аналогично из линейного графика получим Rn(2, 5) = 7,
Rn(1, 2) = 7, Rc(2, 5) = 7, Rc(1, 2) = 0. Для построения шкалы потребления ресурса в ходе работ, спроектируем на ось Ot начальные и
конечные точки работ. В полученных промежутках нужно просуммировать интенсивности всех работ, расположенных над этими промежутками. Например, для t∈[6, 7] интенсивность равна
50 + 50 + 20 = 120 единиц.
Одной из самых распространенных оптимизационных задач сетевого планирования является задача о сохранении срока выполнения комплекса работ при ограниченных ресурсах. Она возникает
в случаях, когда для реализации комплекса работ в плановой срок
имеющихся ресурсов недостаточно.
Когда работ мало (одна, две) ответить на вопрос об отсрочке работ,
об их очередности и тому подобное можно с точки зрения здравого
смысла. Если же работ много, придется упорядочить эти работы и
следить какая из них вызывает превышение ресурса. Пусть в условиях разобранного ранее примера требуется установить время начала и окончания работ так, чтобы завершить комплекс в возможно
меньшее время, при условии, что расход ресурса в любой момент не
должен превышать 100 единиц.
Первый шаг.
Рассмотрим промежуток t∈[0, 6]. Здесь расположено четыре работы: (1,2), (1, 3), (1, 4) и (2,5). Для выявления работ, подлежащих
отсрочке, прежде всего упорядочим их. Выпишем полные резервы
времени: Rn(1, 2) = 7, Rn(1, 4) = 5, Rn(1, 3) = 0, Rn(2, 5) = 7. В порядке
возрастания полного резерва времени присвоим номера работам
(1, 3) – № 1, (1, 4) – № 2, (1, 2) – № 3, (2, 5) – № 4. В отведенный ресурс укладываются только две работы № 1 и № 2. Поэтому работу
№ 3, т. е. работу (1, 2), а след за ней и работу (2, 5) сдвигаем до момента t = 6; ресурс времени это позволяет, критический срок от этого не увеличится. Положение работ после первого шага показано на
рис. 3.74.
Второй шаг.
Рассмотрим отрезок t∈[6, 7]. Здесь Rn(1, 2) = 1, Rn(3, 4) = 2,
Rn(4, 5) = 2, Rn(3, 5) = 0. Номера работ по возрастанию полного резерва времени: (3, 5) – № 1, (1, 2) – № 2, (3, 4) – № 3, (4, 5) – № 4. Предел
ресурса полностью выбирают первая и вторая работы. Таким образом, следует сдвинуть работу (3,4), а вместе с ней и работу (4, 5) на
157
20
4
20
3
50
5
4
40
1
6
5
50
2
30
30
5
4
3
1
5
3
50
1
0
2
5
70
t
10
20
15
120 100 50
120
30
Шкала потребления ресурса
Рис. 3.74
20
4
20
3
4
5
50
1
1
30
6
5
3
50
2
30
5
5
4
40
3
1
50
2
t
0
5
70
40
10
120
120
15
50
20
30
100
Шкала потребления ресурса
Рис. 3.75
один день вправо. Положение работ комплекса после второго шага
показано на рис. 3.75.
158
20
4
5
5
20
3
3
4 50
50
2
1
1
30
30
5
5
4
40
1
3
50
2
t
0
5
70
6
40 100
10
120
15
20
70 20
30
Шкала потребления ресурса
Рис. 3.76
Третий шаг.
t∈[7, 8]. Полные резервы времени работ на этом отрезке равны
Rn(1, 2) = 1, Rn(3, 5) = 0, Rn(3, 4) = 1. Работа (1, 2) уже длится, следовательно, сдвигать надо работу (3, 4) и следующую за ней работу (4, 5).
Четвертый шаг.
t∈[8, 9]. Работы (1, 2) и (3, 5) уже длятся, у работы (3, 4) полный
резерв времени равен нулю. Тем не менее именно эту работу необходимо сдвигать на один день вправо. Вместе с ней сдвинутся работы
(4, 5) и (5, 6), тем самым критический срок будет увеличен на один
день. Положение работ комплекса после четвертого шага изображено на рис. 3.76.
Пятый шаг.
t∈[9, 10]. Полные резервы работ на этом отрезке времени таковы:
Rn(2, 5) = 2, Rn(3, 5) = 0, Rn(3, 4) = 0, Сдвигаем на два дня вправо работу (2, 5).
Шестой шаг.
t∈[11, 15]. Работы (3, 5) и (4, 5) уже длятся, необходимо сдвигать
на четыре дня вправо работу (2, 5). При этом на четыре дня увеличится критический срок. Теперь ресурс нигде не превышен, планирование работ комплекса закончено. Итоговое положение работ изо159
20
4
20
3
4
5
5
50
2
1
1
6
50
3
30
30
5
5
4
40
1
0
3
50
2
5
40 100
70
10
50
70
t
20
15
25
30
Шкала потребления ресурса
Рис. 3.77
бражено на рис. 3.77. tкр = 28 дней. По последнему линейному графику составлена следующая таблица со сроками начала tн и окончания to работ комплекса. Рассмотренный метод эвристический, он
не обеспечивает всегда точную минимизацию времени выполнения
работ, но дает хорошее приближение к этому. Его основные этапы
таковы.
1) Анализируется шкала потребления ресурса, и выделяются отрезки, где это потребление превышает установленный предел.
2) Определяются на первом временном интервале, где есть превышение ресурса, работы, подлежащие отсрочке. Для этого все работы упорядочиваются по возрастанию полных резервов времени.
Первые номера отдают работам, начатым ранее анализируемого
промежутка.
3) Производят последовательное (по возрастанию номеров) суммирование интенсивностей потребления ресурса. Как только суммарная интенсивность превысит установленный предел, слагаемое,
вызвавшее превышение, отбрасывают, а соответствующую ему работу назначают к отсрочке и так далее до полного перебора всех работ на данном промежутке.
Сроки
Работы
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(2, 5)
(3, 4)
(3, 5)
(4, 5)
(5, 6)
tн
7
0
0
15
6
6
10
20
to
10
6
4
20
7
15
15
28
160
4) Производят преобразование линейного графика: сдвигают назначенные к отсрочке работы и работы, следующие за ними. Строят
новую шкалу потребления ресурса.
5) Если на преобразованной шкале вновь имеются промежутки,
где суммарная потребность в ресурсе превышает предел, то алгоритм повторяется, начиная с пункта два до тех пор, пока не останется промежутков, в которых наблюдается превышение предела
ресурса.
После завершения процесса оптимизации получают линейный
график, по которому можно выделить критический путь. Он, как
правило, отличается от критического пути исходного графика составляющими его работами. Изменится (увеличится) и продолжительность нового критического пути, то есть критический срок.
Это неизбежное следствие ограничения ресурса, используемого при
производстве работ комплекса.
В нашем примере работы, входящие в новый критический путь,
есть: (1, 3)–(3, 5)–(2, 5)–(5, 6), а его продолжительность увеличилась
на пять дней. На практике обычно возникают еще более сложные
задачи с дополнительными ограничениями на состав и сроки проведения работ. Для их решения разработаны более сложные алгоритмы сетевого планирования и составления расписаний.
§ 3.28. Практическое занятие № 10.
Потоки в сетях.
Сетевые и линейные графики
3.28.1. По данной матрице пропускных способностей дуг Ω графа
G найти максимальный поток от вершины s = x1 до вершины t = x7 и
указать минимальный разрез, отделяющий s от t.
x1
x1
x2
1) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 18 16 − − 9 − 


x2
 − − 8 11 7 − 13 
 − − − − 13 − 19  2) x3


x4
 − − 10 − − 15 − 
 − − − 17 − 28 − 
x5


x
14
−
−
−
−
−
−


6
− − − − − − − 
x7


x1
−

−
−

−
−

−
−

x2
9
−
−
5
−
−
−
x3
x4
x5
x6
x7
− 11 − 17 − 

6 − 8 − 12 
− − − − 7

− − − 5 4
− − − 7 −

− − − − 9
− − − − − 
161
x1
x1
x2
3) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
5) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
7) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
9) x3
x4
x5
x6
x7
162
x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 10 5 − − 8 − 


 − − − 3 3 − 4
 − − − 4 5 10 − 


 − − − − 4 − 9
 − − − − − 5 6


− − − − − − 7
− − − − − − −


x2
x3
x4
x5
x6
x1
x1
x2
4) x3
x4
x5
x6
x7
x7
x2
−

−
−

−
−

−
−

x1
−
−
3
−
−
−
−
x2
x3
5
−
−
−
−
−
−
x3
x4
x5
x6
x7
− 15 9 − 

− 6 − 7
4 − 7 −

− − 8 3
− − 9 18 

− − − 5
− − − − 
x4
x5
x6
x7
x1
 − 10 − − 9 − 26 


x
8
−
−
−
−
−
−
2


 − 7 − − 11 − −  6) x3


x4
 − − 8 − − 12 11 
 − − − 13 − 10 − 
x5


x6
 − − 14 − − − 8 
− − − − − − − 
x7


 − 10 − 8 − − − 


 − − 8 12 10 − 6 
 − − − − − 5 11 


 − − − − 4 12 − 
− − 5 − − − 9 


− − − − 6 − 7 
− − − − − − − 


x1
x1
x2
x1
 − 12 14 − 11 − 7 


x
17
17
20
−
−
−
−
2


 − − − 10 12 − 16  8) x3


x4
 − − − − 9 − 11 
 − − − − − 12 − 
x5


x
15
9
−
−
−
−
−


6
− − − − − − − 
x7


−

−
−

−
−

−
−

− 10 18 8 − − 

− 6 − 11 15 19 
− − − 12 − 13 

− − − − − 5
− − 16 − 7 − 

− − − − − 9
− − − − − − 
x1
x2
x1
x2
−

−
−

−
−

−
−

x1
7 9 − − 8 −

x2
− 11 14 10 − 6 
− − − 9 11 19  10) x3

x4
− − − − 12 − 
x5
− − 8 − 14 − 

x6
− − − − − 10 
x7
− − − − − − 
x2
x3
x3
x4
x4
x5
x5
x6
x6
x7
x7
−

−
−

−
−

−
−

5
−
6
−
−
−
−
x3
x3
x4
x4
x5
x5
x6
x6
x7
x7
8 18 − − − 

− − 9 17 − 
− − 10 − 24 

− − 15 − 6 
− − − 8 12 

− − − − 7 
− − − − − 
x1
x1
x2
11) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
13) x3
x4
x5
x6
x7
x4
x5
x6
x7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 10 8 − − 11 − 


x
10
14
19
−
−
−
−
2


 − − − 10 8 − 7  14) x3


x4
 − − − − 4 − 12 
− 8 − − − 7 − 
x5


x6
 − − − − − − 13 
− − − − − − − 
x7


x2
x3
x4
x5
x6
x7
−

−
−

−
−

−
−

x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
9 11 − − 18 − 

x2
− 8 10 − − 13 
− − 11 − 20 −  18) x3

x4
− − − 8 − 11 
x5
− − − − 14 6 

x6
− − − − − 4
x7
− − − − − − 
x2
−

−
−

−
−

−
−

x1
x1
 − 15 17 − − 11 − 


x
20
20
33
−
−
−
−
2


 − − − 13 15 − 16  16) x3


x4
 − − − − − 12 19 
 − 17 − 12 − − 8 
x5


x
2
7
−
−
−
−
−


6
− − − − − − − 
x7


x1
x1
x2
17) x3
x4
x5
x6
x7
x3
 − − 11 20 9 − − 


 − − 7 − 10 − − 
 − − − − − 9 10 


 − 15 − − 13 − − 
 − − − − − 6 14 


− − − − − − 7 
− − − − − − − 


x1
x1
x2
15) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x1
 − 12 9 − − 11 − 


x2
 − − 12 7 − − − 
 − − − 12 10 − 18  12) x3


x4
 − − − − 12 15 6 
 − 8 − − − 12 15 
x5


x
4
−
−
−
−
−
−


6
− − − − − − − 
x7


−
−
6
−
−
−
−
x2
−

−
−

−
−

−
−

x1
x3
x2
5
−
6
−
−
−
−
x4
x5
x6
x7
8 15 − 14 − 

− − 7 13 19 
− − 9 − 15 

− − − 8 11 
− − − 5 −

− − − − 7
− − − − − 
x3
x4
x5
x6
x7
− 11 7 − − 

− − 6 − −
− − − 9 11 

4 − − − 4
8 − − 5 −

− 7 − − 6
− − − − − 
x3
x4
x5
x6
x7
 − 17 − − 11 − − 


 − − − − 13 − − 
− − − − − 9 − 


 − − − − − − 11 
 − − 8 12 − − 18 


 − − − 10 − − − 
− − − − − − − 


163
x1
x1
x2
19) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
21) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
23) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
25) x3
x4
x5
x6
x7
164
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 15 − − 8 − − 


x2
 − − − − − 15 − 
 − 6 − − − − 18  20) x3


x4
− − − − − − 4 
 − 7 − 13 − − − 
x5


x6
 − − 10 − − − 8 
− − − − − − − 
x7


 − 10 12 − − 16 − 


 − − 9 11 13 − − 
 − − − − 12 − 17 


 − − − − − 14 − 
 − − − − − 16 18 


 − − 11 − − − 7 
− − − − − − − 


x1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 18 − 15 − − − 


x
11
14
16
−
−
−
−
2


 − − − − − 14 −  22) x3


x4
 − − 14 − 19 − 7 
 − − − − − 26 − 
x5


x6
 − − − − − − 19 
− − − − − − − 
x7


x1
x2
−

−
−

−
−

−
−

12
−
−
−
−
−
−
x3
−
9
−
−
8
−
−
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
10 − 11 − 

x2
− 13 − 11 
7 − 8 −  24) x3

x4
− − 6 13 
x5
− − − 9

x6
− 15 − 6 
x7
− − − − 
x4
x5
x6
x7
x1
 − − 9 11 − 15 − 


x
14
17
13
8
−
−
−
2


 − − − 14 16 − 18  26) x3


x4
 − − − − 8 − 15 
 − − − − − 17 − 
x5


x
20
7
−
−
−
−
−


6
− − − − − − − 
x
7


x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − 13 − − 21 − − 


 − − − 10 7 − − 
 − − − 11 12 − 14 


 − − − − 10 − 15 
− − − − − 4 8 


 − 12 11 − − − 7 
− − − − − − − 


x1
x2
−

−
−

−
−

−
−

20 22 − − − − 

− 17 15 − 21 20 
− − 9 11 − − 

− − − 9 − 16 
− − − − 8 13 

− 17 − − − 10 
− − − − − − 
x1
x2
−

−
−

−
−

−
−

x3
5
−
−
−
−
−
−
x3
x4
x4
x5
x5
x6
x6
x7
x7
8 − 11 − − 

− − 7 − −
− − − 9 −

7 − − − 4
6 10 − − 6 

− 4 − − 5
− − − − − 
x1
x1
x2
27) x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
x2
29) x3
x4
x5
x6
x7
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
x1
 − − 15 12 − 11 − 


x2
 − − − 17 12 − 14 
 − − − − 17 15 21  28) x3


x4
 − − − − 16 25 − 
 − − − − − 13 − 
x5


x6
 − 13 − − − − 10 
− − − − − − − 
x7


x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
 − 10 − 13 15 − − 


x
11
13
18
−
−
−
−
2


 − − − − 15 − 18  30) x3


x4
 − − − − − 9 13 
 − 11 − − − 15 − 
x5


x6
 − − − − − − 10 
− − − − − − − 
x7


x2
x3
x4
x5
x6
x7
 − − 16 − 9 − − 


− − − − 6 − − 
− 3 − − − 6 − 


− − − − − 5 3 
 − − − 17 − − 18 


 − 11 − − − − 4 
− − − − − − − 


x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−

−
−

−
−

−
−

5 11 − − 25 − 

− − − 14 − 29 
− − 3 − 16 − 

− − − − − 6
− − 17 − − − 

− − − 8 − 4
− − − − − − 
3.28.2. По данному перечню работ и их взаимной последовательности построить сетевой график, определить критический срок,
ранние и поздние сроки свершения событий, резервы времени событий, ранние и поздние сроки начала и окончания всех работ, а
также полные и свободные резервы времени всех работ.
1)
2)
I
Работы,
предшествующие основной
II
Длительность
основных
работ
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a1
a1, a2
a1, a2, a3
a4, a5, a6
5
8
11
6
12
18
7
Основные
работы
Работы,
ДлительОсновные предшествуность
работы
ющие основ- основных
ной
работ
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a1
a1, a2
a1, a2
a3, a4
a1, a5
9
5
11
7
4
13
15
165
3)
4)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
–
–
–
a1
a1, a2, a3
a3
a3, a4, a5
a4
7
11
5
10
4
13
12
8
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
–
–
–
a1
a1
a2, a3
a3
a2, a3, a4
a3, a5, a6
a7
3
2
4
3
5
9
6
8
4
6
5)
6)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1
a3
a3
a3, a4
a1, a2, a5, a6
a6
6
9
8
5
3
7
9
11
10
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a2
a1
a3, a4
a2, a3, a4, a5
a6
a1, a7, a8
11
9
7
5
6
8
10
13
15
7)
8)
I
II
III
I
II
III
a1
–
3
a1
–
10
a2
–
6
a2
–
12
a3
–
4
a3
–
9
a4
a1
6
a4
a1
6
a5
a1, a2, a3
4
a5
a1, a3
7
a6
a3
7
a6
a2, a4
9
a7
a3, a4, a5
5
a7
a1, a2, a4, a5
5
166
9)
10)
I
II
III
I
II
III
a1
–
5
a1
–
10
a2
–
6
a2
–
9
a3
a1
9
a3
–
12
a4
a1, a2
11
a4
a1
7
a5
a1, a2
4
a5
a1, a2
8
a6
a3
6
a6
a1, a2, a3
13
a7
a3
10
a7
a6
15
a8
a1, a4, a6
8
a8
a4, a5, a7
11
a9
a1, a4, a5, a6
12
a9
a6
9
11)
12)
I
II
III
I
II
III
a1
–
8
a1
–
4
a2
a1
4
a2
–
6
a3
–
10
a3
a1, a2
12
a4
–
13
a4
a1, a2
4
a5
a1, a3
3
a5
a2
5
a6
a2, a4
6
a6
a3, a4, a5
10
a7
a1, a4, a5
5
a7
a3
7
14)
13)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a5
a7
a8
a9
–
–
a1
a1
a1, a2
a1, a2
a3
a 4, a 5
a3, a4, a5, a6
8
11
10
6
12
14
9
6
5
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1, a2
a2, a3
a2
a4, a5
a6
a2, a3
5
6
8
11
7
6
5
9
7
167
15)
16)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a5
a7
–
–
–
a1, a2
a2, a3
a3
a3, a4, a5
5
7
10
5
7
10
5
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a1
a1, a2
a2, a3
a1, a3, a4
a4
5
6
8
10
7
5
7
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a2, a5
5
7
8
5
10
12
4
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a1
a1, a2
a2
a3, a4, a5
a3, a4
8
10
8
12
6
9
7
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a2
a1, a2
a1, a3
a2, a4, a5
a2
4
4
6
7
10
5
8
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a1, a2
a2
a2, a3
a3, a4, a5
8
5
6
10
10
8
5
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a2
a1, a2
a3
a2, a4,a5
a2
6
10
10
8
6
4
3
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a2, a5
5
7
8
8
10
5
7
17)
18)
19)
20)
21)
168
22)
23)
24)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1, a2
a2, a3
a2, a3
a1, a2
a2, a4, a5
a6
11
13
10
8
6
15
7
9
12
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
a1
a1
a1, a2
a3
a4, a5
a6, a7
a4, a5
3
2
5
6
4
4
6
7
5
25)
26)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
a1
a1, a2
a1, a2
a1, a4
a3
a1, a4
a5, a6
10
12
14
11
7
9
15
13
8
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
–
–
a1, a2
a2
a3, a4
a2
a3, a4, a6
a2, a5
7
9
11
6
8
10
12
13
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
–
–
a1
a1, a2
a2, a3
a2, a3, a4
a4
a5, a6
5
4
6
5
7
9
4
7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
–
–
–
a1
a1, a2
a1, a2, a3
a4
a4, a5, a6
a1, a7, a8
10
11
13
9
7
15
6
12
5
27)
28)
169
29)
30)
I
II
III
I
II
III
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a2
a1, a2
a1, a3
a2,a4, a5
a2
6
8
12
5
7
7
10
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
–
a3
a2, a4
a1, a2, a3
a3, a5
7
5
10
14
8
10
6
3.28.3. По сетевым графикам, приведенным в задаче 3.28.2, и
объемам потребления ресурса для каждой работы, взятым из текущей задачи, построить линейный график с учетом ресурсных ограничений. Максимальный расход ресурса в любой момент времени
для данного проекта указан в строке Re smax .
1)
2)
3)
Работы
Интенсивность
потребления
ресурса
Работы
Интенсивность
потребления
ресурса
Работы
Интенсивность
потребления
ресурса
I
II
I
II
I
II
a1
20
a1
70
a1
30
a2
40
a2
30
a2
40
a3
50
a3
50
a3
60
a4
30
a4
30
a4
20
a5
30
a5
30
a5
40
a6
70
a6
40
a6
30
a7
80
a7
50
a7
70
Resmax
100
Resmax
100
a8
20
Resmax
100
170
4)
5)
I
II
6)
I
II
I
II
a1
10
a1
10
a1
20
a2
20
a2
20
a2
30
a3
30
a3
30
a3
60
a4
20
a4
20
a4
50
a5
10
a5
40
a6
30
a5
30
a6
40
a6
30
a7
10
a7
30
a7
60
a8
20
a8
30
a8
60
a9
10
a9
90
50
Resmax
100
a9
50
a10
10
Resmax
50
7)
Resmax
8)
I
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
II
10
30
40
20
20
30
40
50
10)
I
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
9)
II
30
20
30
10
20
30
10
50
11)
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
60
40
50
20
60
20
30
40
80
100
I
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
20
30
70
40
50
50
70
90
20
100
12)
II
20
30
20
60
10
40
50
100
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
30
30
20
30
20
50
10
50
171
13)
14)
15)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
30
60
20
40
50
30
30
40
60
100
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
20
20
20
20
30
30
30
10
40
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
30
20
30
10
50
20
30
50
16)
17)
18)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
10
40
20
50
30
20
30
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
30
20
70
50
30
40
80
100
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
10
40
10
30
40
30
10
50
19)
20)
21)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
20
40
20
20
30
50
30
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
40
50
100
20
40
80
60
100
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
60
40
30
50
30
50
70
100
172
22)
23)
24)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
20
30
20
40
40
20
30
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
20
60
40
10
40
50
30
20
60
100
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
70
10
20
60
30
20
50
80
40
100
25)
26)
27)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
30
80
70
50
50
60
20
40
110
120
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
Resmax
20
40
30
20
20
10
20
30
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
Resmax
40
20
50
10
30
20
20
30
50
28)
29)
30)
I
II
I
II
I
II
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Resmax
30
40
60
30
20
50
40
70
90
100
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
40
50
10
10
40
50
40
50
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
Resmax
30
20
50
40
10
40
40
50
173
3.28.4. Построить фрагмент сетевого графика по следующим
данным:
а) имеется пять работ a1, a2,…, a5. Работы a2 и a3 начаты одновременно; работа a4 может быть начата после выполнения работ a1, a2,
a3; работа a5 может быть начата после выполнения работы a3;
б) имеется семь работ a1, a2,…, a7. Работа a3 выполняется после
работ a1 и a4; работа a4 начинается после выполнения работы a2; работа a6 может быть выполнена после работ a4 и a5; работа a7 выполняется после работ a3 и a6.
3.28.5. По сетевому графику, изображенному на рис. 3.78, установить, как повлияет на срок выполнения комплекса увеличение
a7
x3
x7
a14
продолжительности работы a10,
a
a11 a13
6
a2
x10
работы a16. Можно ли использоx1 a3 x4
x6 a12 x9 a16
вать полный резерв времени рабоa1
a9
a15
a4 a8
ты a10 для увеличения продолжиx
8
x
x
2
5
тельности работы a15? Можно ли
a5
a10
увеличивать продолжительность
Рис. 3.78
работы a10 за счет свободного резерва времени работы a15? Изменится ли полный резерв времени работы a5, если срок выполнения
комплекса возрастет за счет увеличения продолжительности работы a16? Продолжительности всех работ следующие: a1–18, a2–17,
a3–5, a4–23, a5–19, a6–10, a7–17, a8–10, a9–18, a10–16, a11–16, a12–5,
a13–7, a14–10, a15–9, a16–5.
3.28.6. По сетевому графику, изображенному на рис. 3.79, установить, можно ли полный резерв
времени работы a4 распределить
a8
x2
x8
на работы a13, a16, не нарушив
a15
a7
a11
a1
срок завершения комплекса.
a9 x5
a14
a6 x4
x1
x10
Можно ли полный резерв времени
a10 x7
a2
a3
работы a8 распределить на работы
a4
x6 a12
a16
x3
x9
a4, a5, не влияя на продолжительa13
a5
ность критического пути? Можно
ли свободный резерв времени раРис. 3.79
боты a4 передать на последующие
работы, не изменив их раннего начала? Продолжительности всех работ таковы: a1–1, a2–1, a3–2, a4–2,
a5–5, a6–4, a7–5, a8–2, a9–3, a10–10, a11–1, a12–5, a13–1, a14–1, a15–10,
a16–2.
174
3.28.7. Для комплекса работ,
представленного сетевым графиком
на рис. 3.80, определить сроки свершения событий, критический путь,
сроки начала и окончания работ,
резервы времени работ. Продолжительности работ следующие: a1–11,
a2–12, a3–10, a4–12, a5–10, a6–7, a7–
10, a8–7, a9–10, a10–4, a11–8, a12–11.
a4
x2
a1
x1
a2
a3
x3
x6
a7
x4
a5
a6
a11
a8
x8
a9
x5
a10 x7 a12
Рис. 3.80
175
ЧАСТЬ IV.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
§ 1.2. Ответы и решения задач практического занятия № 1
1.2.1.
а) A\(A\B) = A∩B.
Равенство можно доказать чисто формально, используя основные законы алгебры множеств (см. § 1.1), либо с помощью диаграмм
Эйлера-Венна. Надо заметить, что если в исходном соотношении
участвует не более трех множеств, второй способ предпочтительнее.
В нашем случае A \ B= A ∩ B. Преобразуем левую часть
(
)
(
)
A \ ( A \ B ) =A \ A ∩ B =A ∩ A ∩ B =
(
) (
)
=A ∩ A ∪ B = A ∩ A ∪ ( B ∩ A ) =∅ ∪ ( A ∩ B ) =A ∩ B.
На рис. 4.1 изображены правая и левая часть исходного равенства;
A
U
U
B
B
A
A\B
A∩B
A\(A\B)
Рис. 4.1
б) (A\B)\C = A\(B∪C).
( A \ B ) \ C = ( A ∩ B ) ∩ C,
(
A \ (B ∪ C) =A ∩ (B ∪ C) =
)
= A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C.
На рис. 4.2 приведены диаграммы Эйлера – Венна этого равенства;
в) (A\B)∩C = (A∩C)\(B∩C).
176
A
U
U
B
B
A
C
(A\B)\C
C
A\(B∪C)
B∪ C
Рис. 4.2
( A \ B) ∩ C = ( A ∩ B) ∩ C =
A ∩ B ∩ C,
( A ∩ C) \ (B ∩ C) = ( A ∩ C) ∩ (B ∩ C) =
(
)
( A ∩ C ∩ B) ∪ ( A ∩ C ∩ C) =
= ( A ∩ C) ∩ B ∪ C =
=
U
B
A
= A ∩ B ∩ C.
C
На рис. 4.3 выделено множество, соответствующее левой и правой части
исходного равенства.
1.2.2.
=
A
Рис. 4.3
x∈N
x∈N
{3,4,5,6}, B {=
{=
2 < x ≤ 6} =
1 < x ≤ 4}
=
C
{
}
x∈N
=
x2 − 4 =
0
а) B∪C = {2, 3} = B;
б) A∩B∩C = ∅;
в) A∪B∪C = {2, 3, 4, 5, 6};
г) B×C = {(2, 2), (3, 2)};
д) C×B = {(2, 2), (2, 3)}≠B×C.
1.2.3.
а) A∪(B\C)⊃(A∪B)\C.
(
)
{2,3},
{2}.
(
)
A ∪ ( B \ C ) = A ∪ B ∩ C =( A ∪ B ) ∩ A ∪ C ,
(
( A ∪ B) \ C = ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) =
) (
) ( ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ) ∩ ( C ∪ ( B ∩ C ) ).
= A ∪(B ∩ C) ∩ C ∪(B ∩ C) =
177
U
B
A
B
U
A
C
C
(A∪B)\C
A∪(B\C)
Рис. 4.4
Поскольку пересечение любых двух непустых множеств «меньше» исходных, т. е. является подмножеством каждого из них, то
(A∪B)\C⊂A∪(B\C). Это хорошо видно и на диаграмме Эйлера –Венна (рис. 4.4). Границы множеств в левой и правой части выделены
жирной линией;
б) (A∪C)\B⊂(A\B)∪C.
( A ∪ C ) \ B = ( A ∪ C ) ∩ B = ( A ∩ B ) ∪ ( C ∩ B ), ( A \ B ) ∪ C =
( A ∩ B ) ∪ C.
Так как C ∩ B ⊂ C, то (A∪C)\B⊂(A\B)∪C.
1.2.4.
( X ∪ A ) ∪ ( X ∪ A ) = ( X ∪ A ) ∪ ( X ∪ A ) = ( X ∪ A ) ∩ ( X ∪ A ) = B.
Тогда
B.
(X ∪ A) ∩ X ∪ A =
Отсюда
( X ∩ X ) ∪ ( A ∩ X ) ∪ ( X ∩ A ) ∪ ( A ∩ A ) =X ∪ ( X ∩ A ) ∪
(
)
(
(
∪ X∩ A =X∪ X∩ A∪ A
)) = X ∪ X = X = B.
Итак, X = B.
1.2.5.
B
C
U
A
Рис. 4.5
178
а) если A⊆B∩C, то A⊆B и A⊆C. Если
B∩C≠∅, то B∩C⊆B и B∩C⊆C. A⊆B∩C⊆B,
т. е. A⊆B, аналогично A⊆B∩C⊆C, т. е.
A⊆C. Это очевидно на рис. 4.5;
б) если A∩B⊆C, то A ⊆ B ∪ C. Рассмотрим два случая. Пусть вначале
A∩B = C, тогда
A \ B ⊆ B,
( A \ B ) ∪ C =( A \ B ) ∪ ( A ∩ B ) =( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) =A ∩ ( B ∪ B ) =A.
( A \ B ) ∪ C ⊆ B ∪ C,
т. е. A ⊆ B ∪ C (рис. 4.6). Пусть теперь
U
A∩B⊂C, в этом случае все равно A \ B ⊆ B
B
и A⊆(A\B)∪C. Но ( A \ B ) ∪ C ⊆ B ∪ C, тогA
да A ⊆ ( A \ B ) ∪ C ⊆ B ∪ C, т. е A ⊆ B ∪ C
C
(рис. 4.6);
в) если A∪B⊆C, то A⊆C и B⊆C. Эти
Рис. 4.6
включения очевидны по определению
объединения двух множеств (рис. 4.7),
U
A
C
т. е., если, например, A⊆A∪B, A∪B⊆C,
то A⊆C и так далее;
г) если A⊆B∪C, то A ∩ B ⊆ C. РассмоB
трим три случая. Пусть A⊆C и A⊄B, тогда A ⊆ B и A ∩ B = A ⊆ C (рис. 4.8, а).
Рис. 4.7
Пусть теперь A⊆B, A⊄C. В этом случае
∅, но ∅⊆C, т. е. A ∩ B ⊆ C
A⊄B и A ∩ B =
(рис. 4.8, б). Наконец, пусть A⊆B∩C (рис. 4.8, в), т. е. A⊆B и A⊆C. Но
∅ и A ∩ B = ∅ ⊆ C.
A ⊄ B, A ∩ B =
B,
A ∩ X =
1.2.6. 
B⊆A⊆C. B = A∩X, т. е. B⊆A∩X, следовательно,
C,
A∪X =
X ⊆ A ∪ B из 1.2.5, б.
Кроме того, так как B⊆A∩X, B⊆A и B⊆X по 1.2.5, а. Таким образом, из первого уравнения получаем B ⊆ X ⊆ A ∪ B. Из второго
уравнения A∪X = C, т. е. X⊆C и A ∩ C ⊆ X ⊆ C из 1.2.5, в, г. Так как
в результате объединения множеств увеличивается площадь мно-
a)
б)
B
C
A
в)
B
C
B
C
A
Рис. 4.8
179
жеств на диаграммах Эйлера – Венна, а результате пересечения –
уменьшается, то
(
)
(
)
B∪ A ∩C ⊆ X ⊆ A ∪B ∩C =
A
C
)
(
)
= A ∩ C ∪ B,
B
U
(
= A ∩ C ∪ (B ∩ C) =
потому что B⊆X и левая часть по
«площади» не превысит X, одноРис. 4.9
временно X⊆C и B⊆C, т. е. правая
часть не изменится. Таким образом,
A ∩ C ∪ B ⊆ X ⊆ A ∩ C ∪ B. Отсюда X = A ∩ C ∪ B = ( C \ A ) ∪ B. ГраB
ницы множества X выделены жирA
ной линией на рис. 4.9.
A
U
1.2.7. Проще всего доказать спраB
ведливость требуемых включений
на диаграммах Эйлера – Венна: а)
Рис. 4.10
если A⊆B, то B ⊆ A (рис. 4.10);
б) если A⊆B, то A∪C⊆B∪C (рис. 4.11);
в) если A⊆B, то A∩C⊆B∩C (рис. 4.12).
 A \ X = B,
1.2.8. 
B⊆A, A∩C = ∅. Из первого уравнения имеем
 X \ A = C,
X
(
)
(
)
(
)
A∩X =
B, т. е.
B ⊆ A ∩ X, B ⊆ X, X ⊆ A ∪ B
(см. задачу 1.2.5).
Аналогично из второго уравнения:
X∩ A =
C, C ⊆ X ∩ A, C⊆X, C ⊆ A, X⊆A∪C.
U
U
C
B
B
C
A∪C
A
B∪C
Рис. 4.11
180
A∩C
A
Рис. 4.12
B∩C
Если X ⊆ A ∪ B, то A ∪ B ⊆ X (задача
1.2.7, а), т. е. A ∩ B ⊆ X, A ∩ B ∪ C ⊆ X ∪ C ⊆ X (задача 1.2.7,
б). Далее B ⊆ X, т. е. X ⊆ B, тогда X ⊆ X ∩ B ⊆ ( A ∪ C ) ∩ B (задача 1.2.7, в). Но ( A ∪ C ) ∩ B = A ∩ B ∪ C ∩ B = A ∩ B ∪ C, так как
B⊆A и A∩C = ∅, т. е. B⊄C и C ⊆ B.
C
Таким
образом,
A
A ∩ B ∪ C ⊆ X ⊆ A ∩ B ∪ C,
т. е.
X = A ∩ B ∪ C = ( A \ B ) ∪ C. Границы
B
множества X выделены жирной линией
U
на рис. 4.13.
∅,
 A ∩ X =
Рис. 4.13
∅,
1.2.9. 
Так как B ∩ X =
∅.
 B ∩ X =
то B ⊄ X, следовательно, B⊆X. АналоU
(
(
(
(
)
)
(
)
) (
) (
)
)
гично
A∩X = ∅, т. е. A∩B = ∅ и B⊄A, тогда
B ⊆ A. Отсюда же X⊄A, следовательно, X ⊆ A. Итак, B ⊆ X ⊆ A, X – любое
множество, B ⊆ A – необходимое условие существования решения (рис. 4.14).
A
B
X
Рис. 4.14
§ 1.4. Ответы и решения задач практического занятия № 2
1.4.1.
а) Пусть An– конечное множество, |An| = n, Bk⊆ An, т. е. k≤n. Так
как An – конечно, то все элементы An могут быть занумерованы.
Способов нумерации столько же, сколько существует способов упорядочить множество An. Это число равно n!
Пусть a1, a2,…, an – представление множества An. Так как Bk⊆
An, то an1 – первый элемент конечной последовательности a1, a2,…,
an и в то же время первый элемент множества Bk, an2 – второй элемент и так далее. Так как k≤n, то мы получим конечную последовательность an1 , an2 ,..., ank . Следовательно, множество Bk конечно.
Число способов получить последовательность an1 , an2 ,..., ank равно
n!
Ank =
;
(n − k ) !
б) пусть даны B1, B2,…, Bk и A = B1∪B2∪…∪Bk. Рассмотрим сначала случай когда Bi ∩ Bj =
∅, i ≠ j, i, j =
1, k. Занумеруем элементы
181
(1) (1)
(1)
множества B1 в виде b1 , b2 ,..., bn , элементы множества B2 в виде
1
(2) (2)
(2) и так далее. Тогда всем
элементам множества A можb1 , b2 ,..., bn
2
1) (1)
(
(1) (2) (2)
(2)
но поставить в соответствие номера b1 , b2 ,..., bn , b1 , b2 ,..., bn ,
1
2
k) (k)
k)
(
(
…, b1 , b2 ,..., bn . Так как эта последовательность номеров конечk
на, то A – конечное множество.
Пусть теперь множества Bi пересекаются. Положим
B1′ = B1, B2/ = B2 \ B1/ ,...,
(
)
=
Bn/ Bn \ B1/ ∪ B2/ ∪ ... ∪ Bn/ −1 .
Так как
B1′ = B1,
B2/ = B2 \ B1/ = B2 ∩ B1 = B1 ∩ B2 ,
(
(
)
/
/
/
B
=
B3 \ ( B1 ∪ ( B2 \ B1=
))
3 B3 \ B1 ∪ B=
2
(
))
= B3 \ B1 ∪ B2 ∩ B=
B3 \ ( B1 ∪ =
B2 ) B1 ∩ B2 ∩ B3 ,...,
1
Bn/ = B1 ∩ B2 ∩ ... ∩ Bn −1 ∩ Bn ,
то
(
) (
)
B1/ ∪ B2/ ∪ ... ∪ Bn/ =B1 ∪ B1 ∩ B2 ∪ B1 ∩ B2 ∩ B3 ∪ ...
(
)
∪ B1 ∩ B2 ∩ ... ∩ Bn −1 ∩ Bn = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = A.
(
)
∅, например, B1/ ∩ B2/ =∩
B1
B1 ∩ B2 =
∅
Кроме того, Bi/ ∩ Bj/ =
и так далее. Следовательно, по первой части задачи множество A конечно.
1.4.2. Пусть A – бесконечное множество, B = {b0, b1,…} – счетное
подмножество A. Тогда
(
)
B ∪ ( A \ B ) =( A ∪ B ) ∩ B ∪ B = A ∪ B
и
A ~ A ∪ B = B ∪ ( A \ B ),
182
так как объединение бесконечного и счетного множества есть множество бесконечное (см. теорему 1.4, § 1.3 ). Аналогично
B ∪ ( A \ B ) ~ ( B \ {b0 }) ∪ ( A \ B ) =
=
(( B ∩ {b }) ∪ A ) ∩ (( B ∩ {b }) ∪ B ) = (( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ {b })) ∩
0
0
((
0
))
) (
(
)
∩ B ∪ B ∩ B ∪ {b0 } ~ A ∩ B ∪ {b0 } =
= A ∩ ( B ∩ {b0 }) = A ∩ {b0 } = A \ {b0 }.
Итак, A~A\{b0}, причем, очевидно, что {A\{b0}}⊆A.
1.4.3.
а) Пусть A1 – счетное подмножество и A1⊂ A. A1∪B~A1 (теорема
1.3, § 1.3),
( A \ A1 ) ∪ ( A1 ∪ B ) =( A ∩ A1 ) ∪ A1 ∪ B =
=
(( A ∪ A1 ) ∩ ( A1 ∪ A1 )) ∪ B = A ∪ A1 ∪ B = A ∪ B,
так как A1⊂A,
( A \ A1 ) ∪ ( A1 ∪ B ) ~ ( A \ A1 ) ∪ A1 = ( A ∩ A1 ) ∪ A1 =
(
)
=
( A ∪ A1 ) ∩ A1 ∪ A1 =A ∪ A1 =A.
Итак, A∪B~A;
б) следует из теоремы 1.4, § 1.3.
1.4.4. Рассмотрим функцию f: Z↔N, f(0) = 0, f(k) = 2k, f(–k) = 2k–1,
k = 1, 2,… Таким образом, f обеспечивает взаимно однозначное соответствие между точками множеств Z и N, следовательно, множество
Z счетно, так как Z~N.
1.4.5. Пусть Pn(x) = a0xn + a1xn– 1 + … + an–1x + an, ai∈Z. Каждый
многочлен Pn(x) взаимно однозначно соответствует конечной последовательности целых чисел {a0, a1,…, an}. Множество же всех конечных последовательностей, составленных из элементов множества Z,
есть счетное множество. Действительно, рассмотрим сначала пару
целых чисел (n1, n2) и натуральное число |n1| + |n2| = n. Имеется ровно
n + 1 пара целых чисел, у которых сумма модулей компонент равна
n: (0, n), (1, n–1),…, (n–1, 1), (n, 0). Обозначим через An+1 множество
всех пар целых чисел, удовлетворяющих условию |n1| + |n2| = n. Тогда
183
множество Z(2) всех пар целых чисел есть сумма счетного множества конечных множеств An+1 и является счетным множеством.
Докажем теперь счетность множества Z(n+1) всех последовательностей, состоящих из n + 1 элемента множества Z методом математической индукции. Поскольку множество Z(2) счетно, предположим,
что счетно и множество Z(n). Покажем, что при этом будет счетно
множество Z(n+1). В самом деле, пусть {a0, a1,…, an,…}. Каждой последовательности
{ai ,ai ,...,ai ,ak } ∈ Z(n+1)
n
n
соответствует пара (z(n),=
ak), где z( ) {ai , ai ,..., ai } ∈ Z ( ) , причем
(n+1)
=
z( )
n +1
1
2
n
1
2
n
различным z
соответствуют различные пары такого вида.
Так как по предположению множество Z(n) всех последовательностей z(n) счетно, то счетно и множество всех пар (z(n),
ak), а, следовательно, и множество всех последовательностей
{
}
z( ) = ai1 , ai2 ,..., ain , ak . Последовательности z(n+1) – это последовательности целых коэффициентов многочленов Pn(x) от одной
переменной. Следовательно, множество Pn(x) всех многочленов от
одной переменной с целыми коэффициентами счетно.
1.4.6.
а) Пусть A = (0, 1) и, например, B = (0, 1]. Тогда A∪{1} = B. {1} – конечное множество, а B – множество действительных чисел полуотрезка (0, 1] бесконечно. Из задачи 1.4.3, а следует, что A~B, т. е.
(0,1)~(0, 1]. Прочие случаи аналогичны;
б) положим f1(x) = a + (b-a)x. Эта функция осуществляет взаимно
однозначное соответствие между [0, 1] и [a, b], т. е. [0,1]~[a, b]. Пусть
f2(x) = c + (d-c)x. Тогда [0,1]~[c, d]. Отсюда [a, b]~[c, d].
1.4.7. Рассмотрим две окружности с центром в начале координат
и радиусами r и R (рис. 4.15). Точке (rcosϕ, rsinϕ) сопоставим точку
(Rcosϕ, Rsinϕ). Таким образом, между точками этих двух окружностей установлено взаимно однозначное соответствие, т. е. множество точек этих окружностей эквивалентR
ны.
r
ϕ
1.4.8. Пусть g – такая функция из
A в P(A), что g(x) = {x}. Эта функция
устанавливает взаимно однозначное
соответствие между A и подмножеством множества P(A), состоящим
Рис. 4.15
n +1
184
A
P(A)
B
B
Рис. 4.16
из одноэлементных подмножеств A, так что |A|≤| P(A)|. Покажем теперь, что A~P(A).


Рассмотрим f: A↔P(A) и положим B =  x

x
∈
A
,
x
∉
f
x
(
)


(рис. 4.16). Так как P(A) множество всех подмножеств A, то B⊂P(A).
Пусть x0∈A и f(x0) = B. Это возможно, так как f: A↔P(A) и B⊂P(A).
Предположим x0∈B, тогда x0∈f(x0) = B, наоборот x0∉B, то x0∉f(x0) и
x0∈B по определению множества B. Следовательно, не существует
такой функции f: A↔P(A), для которой множество ее значений совпадает с P(A), т. е. |A|<| P(A)|.
1.4.9. Пусть U – множество, содержащее все множества. Тогда
P(U)⊆U по определению U. Но с другой стороны |P(U)|>U (см. задачу
1.4.8). Получено противоречие, следовательно, исходное предположение о существовании U неверно.
1.4.10. Можно. Рассмотрим множество B = x − y x, y ∈ A . Оно
{
}
счетно, так как множество A по условию счетно. Пусть a∈R\B, тогда
{
для всякого a∈R\B x + a
}
∅.
x∈ A ∩ A =
185
2. КОМБИНАТОРИКА
§ 2.5. Ответы и решения задач практического занятия № 3
2.5.1. Трехзначное число содержит три десятичных разряда,
каждый из которых заполняется по порядку цифрами 1, 2, 3, 4 и 5.
Первый разряд может быть заполнен любой из этих цифр, для второго остаются четыре цифры, так как по условию задачи каждую
из этих цифр можно использовать не более одного раза, наконец,
третий разряд заполняется лишь тремя оставшимися неиспользованными цифрами. По правилу произведения общее число способов
составления чисел равно 5⋅4⋅3 = 60.
2.5.2. Действует то же правило произведения, что и в предыдущей задаче. Старший разряд числа может быть заполнен любой из
девяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Нуль не может использоваться, так как иначе число будет четырехзначным, а не пятизначным.
Второй, третий и четвертый разряды заполняются любой цифрой
из десяти. Младший разряд можно заполнить только нулем или пятеркой, так как число делится на пять, если оно оканчивается на 0
или 5. Таким образом, число способов равно 9⋅10⋅10⋅10⋅2 = 18000.
2.5.3. Требования задачи становятся очевидными из рисунка
(рис. 4.17). Из вершины A треугольника ABC проведено m прямых,
каждая из которых пересекается с
n прямыми, проведенными из верC
m
шины B. Таким образом, число точек пересечения равно n⋅m. m пряn
мых, проведенных из вершины A
B
делят треугольник ABC на m + 1
A
область, аналогично n прямых,
исходящих из B, делят треугольРис. 4.17
ник на n + 1 область. Тогда общее
число частей в треугольнике ABC будет равно (n + 1)(m + 1).
2.5.4. Существует пять четных и пять нечетных цифр. Четные
цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Старший разряд двузначного четного числа
можно заполнить четырьмя способами (цифры 2, 4, 6, 8), младший – пятью (можно использовать все пять цифр). Общее число требуемых чисел 4⋅5 = 20.
2.5.5. Из пяти номеров пассажир совершенно не помнит лишь
один, следовательно, этот номер может быть замещен любой цифрой из существующих десяти. Две группы цифр пассажир помнит.
186
Эти группы могут следующими способами располагаться в забытом
пятизначном числе: ?2337, ?3723, 23?37, 37?23, 2337?, 3723?. Следовательно, существует не более 6⋅10 = 60 номеров, которые нужно
перебрать, чтобы открыть камеру.
2.5.6. Карты из колоды вынимаются по схеме без возвращения
10
(т. е. без повторения) и без упорядочивания. Всего существует C52
способов вынуть 10 карт из 52-х. Тузов в колоде четыре, поэтому
10
есть C48
способов вынуть 10 карт, чтобы среди них не было ни одного туза. Тогда
10
10
а) хотя бы один туз окажется в C52
случаях (по правилу
− C48
суммы);
9
9
б) C41 ⋅ C48
– ровно один туз ( C41 – один туз из четырех и C48
– девять не тузов из 48 карт, не содержащих тузов);
в) не менее двух тузов – это значит два, три или четыре туза.
Это же количество получится, если из общего числа способов вынуть 10 карт из 52-х вычесть число способов не вытащить ни одного
туза и не вытащить ровно один туз (любой из четырех мастей). Тогда
10
10
9
C52
− C48
− 4 ⋅ C48
;
8
г) C42 ⋅ C48
– ровно два туза.
2.5.7. Точки по условию задачи могут образовывать выпуклый
n-угольник (рис. 4.18). Тогда первая точ(5)
2
3
ка может быть соединена с n–1-й точкой,
(6)
вторая с n–2-я точками и так далее, на(1)
(2)
(8)
конец, n–1-я точка может быть соедине(3) (7) (9)
на только с одной точкой. Прямые, полу1
4
чающиеся путем очередного соединения
(4)
(10)
точек, обозначены на рис. 4.18 цифрами
5
в скобках. Таким образом, всего получится
(n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + ... + 2 + 1 =
Рис. 4.18
1 + ( n − 1)
n ( n − 1)
2
=
− 1)
= Cn прямых.
(n=
2
2
2.5.8. Пусть x – число участников, получивших 8 баллов, а y – 9
баллов. Тогда x + y = 2k, т. е. число всех участников четное, так как
обе команды имели одинаковое число участников. Очевидно, что
2k,
 x+y=
необходимо лишь оценить пределы изменения 2k.

156,
8x + 9y =
Так как 16⋅9 = 144<156 и 20⋅8 = 160>156, то 2k не может быть меньше
18,
 x+y=
17-ти и больше 19-ти, т. е. 2k = 18. Итак, 
⇒=
x 12, =
y 6.
8
x
+
9
y
=
156,

187
0
999
,…
9
990
,… 222
777
,…
333
666
Рис. 4.19
2.5.9. Два числа на одном километровом столбе в сумме всегда
дают 999. Если взять столб, на котором только две в любом разряде
различные цифры, то, если одна из них A, то другая обязательно
9-A, например, рис 4.19 и т. д.
Всего таких столбов 23 = 8 (число зеркально обратных в цифровом
выражении столбов, в каждом из трех разрядов может стоять либо
A, либо 9-A). Можно использовать лишь пять различных пар цифр:
(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6) и (4, 5); остальные пары повторяют перечисленные. По правилу произведения число всех столбов, на которых
только две различные цифры, равно 8⋅5 = 40.
2.5.10. Рассмотрим всех людей с одним зубом. Очевидно, единственный зуб может находиться на любом из 32 мест, т. е. лю1
дей с разным расположением (набором) одного зуба C32
. Тогда общее число людей с различными наборами всех зубов равно
0
1
32
C32
+ C32
+ ... + C32
= 232 = 4294967292 человека.
2.5.11. Одного офицера из трех можно выбрать C31 способами
(выборка без повторения и без упорядочивания). Аналогично, для
3
солдат – C40
. По правилу произведения наряд может быть выделен
1
3
C3 ⋅ C40 =
29640 способами.
2.5.12. В последовательности важен порядок звуков, в аккорде
6
6
порядок не важен. Следовательно, существует C88
аккордов и A88
последовательностей.
2.5.13. Каждый из членов, которые получаются после раскрытия скобок, содержит семь сомножителей. Любой из этих сомножителей – либо буква, либо цифра, т. е. может находиться в
двух состояниях. Тогда, например, членов, которых содержится только одно цифра C71, две C72 и так далее. Всего членов будет
C70 + C71 + ... + C77 = 27 = 128.
2.5.14. Пусть дано n – значное число. После выбора k его цифр
k + 1-я цифра может быть выбрана, очевидно, девятью способами.
Таким образом, количество n – значных чисел, не содержащих двух
идущих подряд одинаковых чисел, равно 9n при n>1 и 10 при n = 1.
Общее количество чисел равно 10 + 92 + 93 + ... + 9n.
2.5.15. В описанном способе набора шести карт может оказаться:
188
а) две пары карт одинаковой масти и по одной карте двух других
( ) ⋅ ( C131 ) ,
2
мастей. Таких выборок по правилу произведения C42 ⋅ C13
2
2
2
где C42 – число способов выбора двух мастей из четырех, C13
– число
1
способов выбора двух карт одной и той же масти, C13 – число способов выбора одной карты любой масти;
б) три карты одной масти и по одной карте других мастей. Таких
( )
3
1
3
⋅ C13
. Объяснение аналогично.
выборок C41 ⋅ C13
2.5.16.
а) Купивший билет, выбирает 6 номеров из 49. Все возможные
выборки считаются равновероятными. Зафиксируем 6 номеров.
Тогда требуемая вероятность равна отношению числа выборок, содержащих k из шести фиксированных номеров, к числу всех вы6
6−k
борок. Всего выборок C49
. k номеров из шести содержат C6k ⋅ C43
выборок – сначала из шести верных номеров выбирают k, а затем
6-k номеров дополняют из числа 43 «несчастливых» номеров. Таким
образом, вероятность угадать составляет
( C6k ⋅ C436−k )
6
C49
;
б) аналогичные рассуждения дают
 6 i 6−i 
 ∑ C6 ⋅ C43 


 i =k

6
C49
.
1.4.17. Для пары мужчина – женщина места можно выбрать двумя способами (рис. 4.20). После этого мужчин можно посадить на
выбранные места n! способами, на остальных местах n! способоми
2
можно посадить женщин. Всего 2 ( n ! ) способов.
1.4.18. Первую монету можно положить в любой из двух карманов, т. е. имеется два способа выбора. Вторую
можно выбрать аналогичным способом и так
М-Ж
М-Ж
М-Ж
далее. Всего 29 способов.
2.5.19. а) 2310 = 2⋅3⋅5⋅7⋅11. Единица является
М-Ж
делителем любого числа. Остальные делители (все разные!) будут получаться путем перемножения одного, двух, трех, четырех и пяти
чисел из набора 2, 3, 5, 7, 11, т. е. число всех
Рис. 4.20
делителей равно C50 + C51 + ... + C55 = 25 = 32;
189
0
1
15
б) 10! = 28⋅34⋅52⋅71. Всего делителей C15
+ C15
+ ... + C15
=
215. Из-за
кратности простых делителей среди них будут одинаковые, которые надо исключить. Рассмотрим, например, делитель 34. Кратных
трем будут четыре различных делителя: 3, 9, 27, 81. Таким образом,
число различных делителей для простого кратного делителя равно
его кратности. К этому надо добавить единицу, так как она делитель любого числа. Тогда всего различных делителей будет (8 + 1)
(4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 9⋅5⋅3⋅2 = 270.
2.5.20. Первое имя можно выбрать 300 способами, пару имен
можно выбрать 3002 способами, тройку – 3003 способами (см. задачу 2.5.18). Всего 300 + 3002 + 3003 способов.
2.5.21. Разделим всевозможные маршруты на две группы: проходящие через точку C и проходящие через точку D. Других способов
попасть из A в B нет. Из A в C можно попасть пятью способами, а из C
в B – единственным, т. е. первая группа состоит из пяти маршрутов.
Вторая группа состоит из 10 маршрутов. Действительно, из A в D можно поC
B
пасть либо через E, либо через F. Из A
в E можно попасть тремя (кратчайшиM
ми!) способами, из A в F – двумя способами. Следовательно, из A в D можно
E
D
попасть 3 + 2 = 5 способами. Наконец,
из D в B можно попасть двумя спосоF
бами, т. е. общее число маршрутов
из A в B через D равно 5⋅2 = 10. Таким
A
образом, общее число всевозможных
маршрутов из A в B (через C и через D)
Рис. 4.21
равно 5 + 10 = 15 (рис. 4.21).
2.5.22. Какие бы m–1 членов комиссии ни собрались, должен найтись замок, который они не могут открыть, но ключ от этого замка
имеется у каждого из остальных n–m + 1 членов комиссии (появление
какого-нибудь из которых дает возможность открыть сейф). Поэтому
число замков равно Cnm −1, а число ключей равно ( n − m + 1) Cnm −1.
2.5.23.
20
k 20−k
1
 1
20
k
=  22 + 3 3  = ∑ C20
⋅ 2 2 ⋅3 3 .
а)


k =0


Очевидно, что член разложения будет рационален, если k – четно, а 20-k кратно трем, т. е. k = 2, 8, 14, 20;
(
190
2+33
)
20
(
б) 3 6 + 4 2
100
1
 1
3

= 6 + 24 




)
100
100
∑
=
k =0
k 100−k
k
3
C100 ⋅ 6 ⋅2 4 .
Для рациональности текущего члена необходимо, чтобы k было
кратно трем и 100-k делилось на четыре. Так как k меняется от 0 до
100, то двум приведенным требованиям удовлетворяют следующие
значения k: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 и 96. Итак, рациональных
членов будет девять.
2.5.24. а) Представим исходное выражение в виде
(2 + t4 + t7 )
15
15
= ( A + 2)
(
)
15
=  t4 + t7 + 2 =


15
(
)
k
= ∑ C15
⋅ A k ⋅ 215−k ,=
A t4 1 + t3 .
k =0
k
k-й член равен C15
⋅ A k ⋅ 215−k , причем в A входят степени t от 4k до
7k. Степень 17 может входить в A3 и в A4, следовательно, надо проверить только эти члены.
(
A 3 =t12 1 + t3
3
)
3
=t12 ⋅ ∑ C3k t3k . 17 на 3 не делится, следовательk =0
но, члена t17 здесь нет. Аналогично,
(
A 4 =t16 1 + t3
)
4
4
=t16 ⋅ ∑ C4k t3k ,
k =0
(
3k≠1, члена
тоже нет. Итак, в разложении 2 + t4 + t7
17
t , т. е. коэффициент при t17равен нулю;
t17
б)
(
2 + t − 2t3
)
20
20
= ( A + 2)
=
20
k
⋅ A k ⋅ 220−k ,
∑ C20
A = t − 2t3 .
)
15
нет
Если
k =0
k = 4, то Ak содержит t в степенях от 4 до 12, k = 5 – от 5 до 15, k = 6 –
от 6 до 18, k = 4 = 7 – от 7 до 21, k = 8 – от 8 до 24, k = 9 – от 9 до 27 и
k = 10 – от 10 до 30. Тогда
4
4
4
C20
⋅ 216 ⋅ A 4 = C20
⋅ 216 ⋅ t4 ∑ C4i ( −2 ) t2i ,
i
i =0
если i = 3, то появится член с t10, его коэффициент будет
3
4
C20
⋅ 216 ⋅ C43 ⋅ ( −2 ) . При k = 5, 7, 9 члена с t10 в разложении не будет.
2
6
⋅ 214 ⋅ C62 ⋅ ( −2 ) t10 , при k = 8 аналоЕсли k = 6, то появится член C20
1
8
⋅ 212 ⋅ C81 ⋅ ( −2 ) t10 и при k = 10 подобный член равен
гично будет C20
191
0
10 10
C20
⋅ 2 ⋅ C80 ⋅ ( −2 ) t10 . Таким образом, общий коэффициент при t10
в исходном выражении равен
( −C204 ⋅ 219 ⋅ C43 + C206 ⋅ 216 ⋅ C62 − C208 ⋅ 213 ⋅ C81 + C2010 ⋅ 210 ⋅ C80 ) =
= 210 ⋅ 19409716.
2.5.25. Представим 99 = 100–1 и 101 = 100 + 1. Тогда
50
9950 =(100 − 1)
k
k
0
1
=C50
⋅ 1000 − C50
⋅ 1001 + ... + ( −1) C50
⋅ 100k + ...
49
50
−C50
⋅ 10049 + C50
⋅ 10050 ,
50
10150 = (100 + 1)
0
1
= C50
⋅ 1000 + C50
⋅ 1001 + ...
49
50
k
+C50
⋅ 100k + ... + C50
⋅ 10049 + C50
⋅ 10050.
Найдем разность 10150–9950. Если эта разность больше 10050, то
число 10150 больше числа 9950 + 10050.
(
)
1
3
47
49
10150 − 9950= 2 C50
⋅ 1001 + C50
⋅ 1003 + ... + C50
⋅ 10047 + C50
⋅ 10049 .
Только последнее слагаемое
50 !
49
2 ⋅ C50
⋅ 10049 =
2⋅
⋅ 10049 =
10050.
49 !⋅ 1!
Следовательно, 10150–9950>10050 и число 10150 больше числа
9950 + 10050.
n
n
2.5.26. а) Так как (1 + t ) =
∑ Cnktk , тогда
k =0
n
d n k k
d
Cn t = ∑ Cnk ktk−1 =
(1 + t )n = n (1 + t )n−1 .
∑
dt
dt
=
k 0=
k 0
Положим t = 1, тогда
n
∑ kCnk=
n ⋅ 2n −1;
k =1
d2
n
n
Cnk tk=
Cnk ⋅ k ⋅
2
dt k 0=k n0
=
б)
∑
∑
( k − 1) tk−2=
d2
2
(1 + t )n=
dt
При t = 1 имеем ∑ k ( k − 1) Cnk= n ( n − 1) ⋅ 2n −2 ;
в)
n
n
∑ (2k + 1) Cnk = 2 ∑ kCnk + ∑ Cnk = 2 ⋅ n ⋅ 2n−1 + 2n = (n + 1) ⋅ 2n .
k 0
=
192
k =0
n
k 0=
k 0
=
n −2
n ( n − 1)(1 + t )
.
2.5.27. Зафиксируем m – подмножество n – множества (рис. 4.22). Пусть r–k
элементов принадлежат m – подмножеству, а k элементов – его дополнению. Число (n, r) – выборок при этих условиях по
r −k
правилу произведения равно Cnk−m ⋅ Cm
.
Просуммировав по k, получим число всех
(n, r) – выборок из n-множества, т. е.
m
n
r-k
k
Рис. 4.22
n
Cnr .
∑ Cnk−m ⋅ Cmr −k =
k =0
2.5.28. Так как по формуле бинома Ньютона
n
1

1 +  =
2

n
n
 1
∑ Cni ⋅ 2−i и 1 − 2=


i =0
n
то =
n
i
⋅ 2− i ,
i =0
n
1  1
3n + 1

3 1
=
 1 +  +  1 − =   +  =
2  2

2 2
2n
n 
 2 
i
1 + ( −1) = 2, i= 2k,
= 2 ∑ Cn2i ⋅ 2−2i .
i
1 + ( −1) = 0, i= 2k + 1
0=
i 0
n
2− i
∑ Cni ⋅ 1 + ( −1)  ⋅=
i
n
n
∑ Cni ⋅ ( −1)
i
Тогда
n 
 2 
n
n 
 2 
3 +1 n
= 2 ∑ Cn2i ⋅ 2−2i= ∑ Cn2i ⋅ 2n −2i .
2
=i 0=i 0
1
2.5.29. а) C2nn−−=
1
n
∑ C2nn−−1i−=1
i =1
n −k
= Cn
C2nn−−12 + C2nn−−13 + ... + Cnn −1 + Cnn−−11.
Равенство
проверяется непосредственно.=
Cnk Cnk−1 + Cnk−−11
2n −1−( n −1)
n −1
n
(см. § 2.6). Кроме того
=
C2n −1 C=
C2n −1. Тогда
2n −1
Cnk
n
n
n −1
n
n
n −1
n
n
n −1
C=
2n −1 C2n −2 + C2n −2 , C=
2n −2 C2n −3 + C2n −3 , …, Cn +=
1 Cn + Cn ,
но Cnn = Cnn−−11. Подставляя эти равенства друг в друга в обратном порядке, получим
n −1
n −1
n −1
n −1
1
C2nn −=
+ Cnn−−=
1 C2n −=
1 C2n −2 + C2n −3 + ... + Cn
1
n
∑ C2nn−−1i−1;
i =1
193
б) доказательство аналогично пункту а).
1
C2nn−=
n
∑ C2nn=
−i
C2nn −1 + C2nn −2 + ... + Cnn+1 + Cnn .
i =1
2n −( n −1)
n +1
=
C2nn−1 C=
C2nn+1, C
=
C2nn+−11 + C2nn −1,
2n
2n
n +1
n +1
n
n +1
n +1
n
n +1
n
C=
2n −1 C2n −2 + C2n −2 , …, C=
n +2 Cn +1 + Cn +1, Cn +1 = Cn .
Тогда
n
C2nn−1 = ∑ C2nn −i .
i =1
( n − 1) !
( )( )
(n − 1) !⋅ i ⋅ (2n − i − 1) !
=
∑
∑ (
∑
)
(2n − 1) ! (n − i ) !
i ! ( 2n − i − 1) !
n ( 2n − i − 1) ! ( n − 1) ! 2n − ( 2n − i ) 


=
∑
−
−
2
n
1
n
i
!
!
(
)( )
i =1
n 2n ( n − 1) ! ( 2n − i − 1) !− ( n − 1) ! ( 2n − i ) !
=
∑
(2n − 1) ! (n − i ) !
i =1
n 2n ( n − 1) ! ( n − 1) ! ( 2n − i − 1) !
n ( n − 1) ! n ! ( 2n − i ) !
= ∑
−∑
=
(2n − 1)(2n − 2) ! (n − 1) ! (n − i ) ! i 1 (2n − 1) !n ! (n − i ) !
i 1=
n
(2n − i − 1) !
2n
= ∑
⋅
−
(2n − 2) ! (n − 1) ! (n − i ) !
i =1 ( 2n − 1)
( n − 1) ! ( n − 1) !
n i −1 ! n − i !
n
Cni −−11
=
=
2.5.30.
2n −=
1!
C2i n −1 i 1
=i 1=
i 1
n
n
(2n − i ) ! n
1
2n
1
n −1
=
⋅
⋅
C
−
=
⋅ C2nn −i
∑
∑
2
n
−
i
−
1
n
−
1
n
−1
2
n
−
1
!
n
−
i
!
(
)
(
)
2
n
−
1
C
C
(
)
=
1=i 1
i 1 2n −1
2n −2
( n − 1) ! n !
n
−∑
i
=
n
ñì. çàäà÷ó
2n
1 n n
n −1
=
C
−
∑ 2n−i−1 Cn−1 ∑ C2n−i =
2.5.29
(2n − 1) C2nn−−12 i 1=
=
2n −1 i 1
2n
1
2n
2
2−
=
⋅ C2nn−−11 − n −1 ⋅ C2nn−1 =
= .
n −1
n +1 n +1
C2n −1
(2n − 1) C2n−2
194
§ 2.11. Ответы и решения задач практического занятия № 4
2.11.1.
а) an = nαn, n = 0, 1, 2,…, α∈R.
∞
∞
∞
∑ antn = ∑ nαntn = ∑ n ( αt )
fa ( t ) =
n
=
=
n 0=
n 0 =
n 0
∞
∞
d  ∞ n
 ∑z =
dz  n 0 
=
z ∑ nzn −1 =
z
=z =
αt =∑ nzn =
=
n 0=
n 0
d 1 
=

dz  1 − z 
= z
z
=
(1 − z )2
αt
(1 − αt )2
;
 0,n = 0,

б) an =  αn
 ,n = 1,2,...
 n!
fa (=
t)
∞
tn
∑ an=
=
n
n
αn n ∞ ( α t )
t
∑ n! =
∑ n != eαt − 1;
n 1 =
n 1
0=
∞
в) an = n2, n = 0, 1, 2,…
fa=
(t )
∞
tn
∑ an=
∞
tn
∑ n2=
∞
tn
∑ n (n − 1) + 1=
n 0=
n 0=
n 0
=
∞
∞
∑ n ( n − 1 ) tn +
n 0
=
∞
∞
1
+ ∑ ntn= t2 ∑ n ( n − 1) tn −2 + t ∑ ntn −=
=
n 0=
n 0
=
n 0
2
2 ∞
∞
∞
d n
d n 2 d
d ∞ n
n
= t2
+t
= t
+t
t
t
t
t=
2
dt n 0
dt2 n 0=
n 0 dt
n 0 dt
=
=
=
∑
= t2
∑
∑
∑
t (1 + t )
d2  1 
d  1  2 2 (1 − t )
t
+t 
+
=
;
= t
2 1−t 
4
2
 dt  1 − t 
dt 
(1 − t ) (1 − t ) (1 − t )3
1,n = 0,1,..., N,
г) an = 
 0,n > N.
195
fa ( t ) =
∞
N
∑ antn = ∑ tn = 1 + t + t2 + ... + t N =
=
n 0=
n 0
1 − t N +1
;
1−t
д) an = sinαn, n = 0, 1, 2,…, α∈R. По формуле Эйлера
eiαx − e−iαx
eiαx = cosαx + isinαx, sin αx =
,
2i
Введем новую вспомогательную функцию ϕ(α) = cosα + isinα. По
аналогии с формулой Эйлера будем иметь
ϕn(α) = cosnα + isinnα, sin nα =
ϕn ( α ) − ϕn ( −α )
2i
, cos nα =
ϕn ( α ) + ϕn ( −α )
2
.
Пусть
∞
n
∑ ϕn ( α ) t=
F ( t, α=
)
∞
n
∑ t ( cos α + i sin α )=
n 0=
n 0
=
∞
∞
n
=
∑t
cos nα + i ∑ tn sin nα,
n 0=
n 0
=
тогда
α)
F ( t,=
∞
n

∑ tϕ ( α )=
∞
rn
∑=
=
n 0=
n 0
1
1
=
.
1 − r 1 − t ( cos α + i sin α )
Отсюда по аналогии с функцией ϕ(α)
∞
=
∑ tn sin αn
n =0
=
=
F ( t, α ) − F ( t, −α )
=
2i

1
1
1
−

=
2i 1 − t ( cos α + i sin α ) 1 − t ( cos α − i sin α ) 

1
1
1
−

=
2i  (1 − t cos α ) − it sin α (1 − t cos α ) + it sin α 
1 1 − t cos α + it sin α − 1 + t cos α + it sin α
=
⋅
=
2i
(1 − t cos α )2 + t2 sin2 α
t sin α
t sin α
=
.
2
2
2
2
2
1 − 2t cos α + t cos α + t sin α 1 − 2t cos2 α + t2
Но
196
∞
∞
n
n ∑ an t=
∑ tn sin α=
=
n 0=
n 0
2.11.2.
∞
∞
∞
=
n 0=
n 1
∞
=
n 1
n
∑ ∑ bitn=
n= 0=i 0
=
k 0
.
tfb ( t );
∞
=
an tn
∑
=
fa ( t )
б)
=
1 − 2t cos2 α + t2
n −1
=
an tn ∑=
bn −1tn t ∑ bn=
t=
∑
∑ bktk
−1t
а)
=
fa ( t )
∞
t sin α
fa (=
t)
n =0
b0t0 + ( b0 + b1 ) t1 + ... + ( b0 + b1 + ... + bk ) tk + ...=
(
) (
)
= b0 1 + t + t2 + ... + tk + ... + b1 t + t2 + ... + tk + ... + ... + bk tk + ...=
= b0 ⋅
=
1
 1

 1

+ b1 
− 1  + ... + bk 
− 1 − t − ... − tk−1  + ... =
1−t
1
1
−
t
−
t




b0
bt
b tk
1
+ 1 + ... + k + ...=
b0 + b1t + ... + bk tk + ... =
1−t 1−t
1−t
1−t
(
=
в)
=
fa ( t )
∞
1 ∞
1
=
∑ bntn 1 − t fb ( t );
1 − t n =0
∞
=
an tn ∑=
bn −k tn
∑
n 0=
n k
=
=
г) fa ( t=
)
)
tk
∞
n −k
∑ bn=
−k t
n k
=
i= n − k,
∞
, i 0,= tk ∑ bi=
=
n k=
ti tk fb ( t );
i =0
k= n − i
∞
∞
∞
∞
∑ antn= ∑ ( bn+1 − bn ) tn= ∑ bn+1tn − ∑ bntn=
n 0=
n 0
=
n 0 =
n 0
=
n +1 =
i,
∞
∞
1∞
=n =
0, i =
1, =
∑ bi ti−1 − ∑ bn+1tn =t ∑ bi ti − fb ( t ) =
=
i 1=
n 0 =i 1
n= i −
1
=
f ( t ) − fb ( 0 ) tfb ( t ) (1 − t)fb ( t ) − fb ( 0 )
1
fb ( t ) − fb ( 0 )  − fb ( t=
.
−
=
) b
t
t
t
t
197
∞
∞
∞
tn 2 ∑ ( n − 5 ) tn + 49 ∑ 7n=
tn
∑ 2(n − 5) + 7n+2 =
2.11.3. fa=
(t )
=
n 0
=
n 0=
n 0
∞
∞
 ∞

= 2 t ∑ ntn −1 − 5 ∑ tn  + 49 ∑ (7t=
)n
=
n 0=
n 0
 n 0 =

∞
∞
∞
d n
d  1  10
49
n
t − 10 ∑ tn + 49 ∑ (=
7t )
2t 
+ =
−
dt  1 − t  1 − t 1 − 7t
n 0=
n 0
0 dt=
= 2t ∑
n
=
2t
=
2.11.4.
∞
2
(1 − t )
∞
a
=
n 0=
n
∞
bn +1 n
b

t= ∑ n +1 ( n + 1) tn=


n
!
n
0 =
n 0 ( + 1) !
∞
b
dtn +1
=
d ∞ bi i db0 d
fb ( t );
∑ t −=
dt i =0 i !
dt dt

d  ∞ bn +1 n +1
t=
+ b0 − b0 
∑
dt n 0 ( n + 1) !

0=
n +1
∑ (=
n + 1) ! dt
=
=
n
=
fa ( t )
б)
∞
10
49
+
.
1 − t 1 − 7t
n
∑ nn! t=
∑
а) fa ( t=
)
=
−
n
∞
∞
=
an tn ∑  ∑ Cnr
∑
bn −r ⋅ gr  n
=
t
n ! 
g
b
n
r 0
n 0=
=
n 0
=
b

b
g
g
b
g

∑ ∑ (nn−−rr ) ! tn−r ⋅ rr! tr = 00! t0 + 00! t0 +  11! t1 ⋅ 00! t0 + 00! t0 ⋅ 11! t1  +
n 0=
r 0
=
g
b
g
b
g
g
b

b
+  2 t2 ⋅ 0 t0 + 1 t1 ⋅ 1 t1 + 0 t0 ⋅ 2 t2  + ... +  k tk ⋅ 0 t0 +
0!
1!
1!
0!
2! 
0!
 2!
 k!
+
=
+

bk−1 k−1 g1 1
b
g
t
⋅ t + ... + 0 t0 ⋅ k tk  + ... =
1!
0!
k ! 
( k − 1) !
b0 0  g0 0 g1 1
g
 b
g
t  t + t + ... + k tk + ...  + 1 t1  0 t0 +
k!
0!  0!
1!
 1!  0 !
g1 1
g
b
g
g

g

t + ... + k tk + ...  + ... + n tn  0 t0 + 1 t1 + ... + k tk + ...  + ... =
1!
k!
n !  0!
1!
k!


∞
bn n ∞ gk k
t ⋅∑
t =
fb ( t ) ⋅ fg ( t ).
n!
0=
k 0 k!
=
∑
n
=
1982.11.5.
а) Пусть fa(t) = (1 + t)n, fb(t) = (1 + t)m. Тогда fc(t) = (1 + t)n+m = fa(t)⋅fb(t)
по свойству свертки производящих функций, и
cr = a0br + a1br–1 + … + arb0, r = 0, 1, 2,…
Выясним вид этих коэффициентов
( Cn0 + Cn1t + ... + Cnntn )( Cm0 + Cm1 t + ... + Cmmtm )= Cn0Cm0 +
1
0
+ ( Cn0 Cm
+ Cn1 Cm
)t + ... + ( Cn0Cmk + Cn1Cmk−1 + ... + CnkCm0 )tk + ...
fa ( t ) ⋅ fb ( t )=
В то же время
(1 + t )n+m=
m n +m
Cn0+m + Cn1+m t + ... + Cnk+m tk + ... + Cnn++m
t
.
Коэффициенты при одинаковых степенях t должны совпадать,
например, при tk:
k
m −k
0
Cn0 Cm
+ Cn1 Cm
+ ... +=
Cnk Cm
k
r k −r
∑ C=
n Cm
r =0
Cnk+m ;
б) решение аналогично пункту а. Рассмотрим свертку производящих функций и коэффициенты при tk в левой и правой части равенства.
(1 − t )−1−n ⋅ (1 − t )−1−m = (1 − t )−2−n−m ,
n
(1 − t )−1−=
(1 − t )−1−m=
1
(1 − t )
1
=
m +1
(1 − t )
1
(1 − t )−2−n−m=
=
n +1
=
n +m +2
(1 − t )
∞
∑ Cnk+ktk ,
k =0
∞
∑ Cmk +ktk ,
k =0
∞
∑ Cnk+m+k+1tk .
k =0
Тогда
m
n
m
n
m
n
m
Cnk+m + k+1 =
Cnn Cm
+ k + Cn +1Cm + k −1 + ... + Cn + k −1Cm +1 + Cn + k Cm =
=
k
∑ Cnn+r Cnm+k−r .
r =0
199
2.11.6.
m
а) fa ( t ) =+
( q pt )
m
m
=
∑ Cmn qm−n ( pt ) =
∑ Cmn qm−n pntn ,
n
=
n 0=
n 0
n m −n n
an = Cm
q
p ;

t2 
fa ( t ) =
1 + 

2 

б)
−m
1
=
=
m

t2 
1 + 

2 

n
n
∞
 t2 
 1 n
2n
n
=
−1 Cm +n −1   =
−

 Cm +n −1t ,
2
2


n 0=
n 0
 
∞
∑( )
∑
n
n
 1 n
an =  −  Cm
+n −1;
 2
в) fa(t) = arctgt. Так как
t
∞
1
dx
∑ ( −1)
∫ 1 + x2 = arctgt и 1 + =
x2
n
x2n ,
n =0
0
то
t
t ∞
t
2n +1
∞
∞
n 2n 
n
n t
2n
x
dx
x
dx
=−
1
=
−
1
=
−
1
,
(
)
(
)
(
)


∑
∑
∫ 2 ∫ ∑
∫
2n + 1
n 0=
n 0
=

01 + x
0 n 0 =
0
dx
an =
г) fa ( t=
)
t
2
−x
∫ e dx=
0
= t−
x2
2n + 1
;
x4
n
∫ 1 − 1! + 2! + ... + ( −1)
0

x2n
+ ...  dx
=

n!

t
t5
t2n +1
n
+
+ ... + ( −1)
+ ... =
1!⋅ 3 2 !⋅ 5
(2n + 1) n !
3
=
200
t
( −1)n
( −1)n 2n+1
,
t
∑
n =0 ( 2n + 1) n !
∞
an =
( −1)n
.
(2n + 1) n !
2.11.7.
а) Определим четыре числовые последовательности ak = 1, bk = kak,
k
ck = kbk, dk = ∑ i2 и их производящие функции fa(t), fb(t), fc(t) и fd(t).
i −0
Эти последовательности порождают суммируемые числа, например, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1,…; b1 = 1, b2 = 2, b3 = 3,…; c1 = 1, c2 = 4, c3 = 9,…;
d1 = 1, d2 = 5, d3 = 14,….
Искомой суммой будет число dk – общий член последовательности {dk}. Для его определения необходимо найти fd(t).
f a ( t )=
∞
∞
∞
∞
/
1
, fa/ ( t ) ∑
=
=
ak tk
=
kak tk−1 ∑ bk tk−1,
∑
1 − t=k 0=k 0=k 0
(
∑ 1 ⋅ tk=
k =0
)
∞
∞
=
tfa/ ( t ) t ∑=
bk tk−1
=
bk tk fb ( t ).
∑
=
k 0=
k 0
Аналогично
(
)
/
/
/
=
fc ( t ) tf=
( t ) tfa/ ( t ) + t2fa// ( t ).
b ( t ) t tfa =
k
Кроме того dk = ∑ i2 .(см. пример 2.11.2, б). Тогда
i =0
fd ( t ) =
t (1 + t )
(1 − t )4
.
Разложим полученное выражение в ряд. Так как
1
(1 − t )n
∞
=
∑ Cnk+k−1tk
k =0
(формула 2.7.5), то
1
(1 − t )4
=
∞
∑ Ckk+4tk ,
k =0
следовательно,
∞
∞
∞
fd ( t ) =t ∑ Ckk+3tk + t2 ∑ Ckk+3tk =∑ Ckk+3tk+1 +
=
k 0
∞
∑ Ckk+3tk+2
=
k 0=
k 0 =
k 0
201
и
( k + 2 ) ! ( k + 1) !
+
=
( k − 1) ! 3 ! ( k − 2 ) ! 3 !
dk =Ckk+−21 + Ckk+−12 = Cnk =Cnn −k =Ck3+2 + Ck3+1 =
=
k ( k + 1)( k + 2 )
6
+
( k − 1) k ( k + 1)
6
=
k ( k + 1)( 2k + 1)
6
;
б) аналогично предыдущему пункту имеем: ak = 1, bk = kak, ck = kbk,
k
dk = kck, wk = ∑ i3 (см. след табл.)
i −0
Номер
ak
bk
ck
dk
wk
1
1
1
1
1
1
2
4 = 22
8 = 23
9
27 = 33
36
2
1
3
1
3
9 = 32
…
…
…
…
…
…
k
1
k
k2
k3
∑ i3
k
i =0
f a ( t )=
∞
∑ 1 ⋅ tk=
k =0
1
, fb ( t ) = tfa/ ( t ), =
fc ( t ) tfa/ ( t ) + t2fa// ( t ),
1−t
(
fd ( t ) =
tfc/ ( t ) =
t tfa/ ( t ) + t2fa// ( t )
(
)
/
=
)
= t fa/ ( t ) + tfa// ( t ) + 2tfa// ( t ) + t2fa/// ( t ) =
=
tfa/ ( t ) + 3t2fa// ( t ) + t3fa/// ( t ),
fd ( t )
1
6t
6t2  1 + 4t + t2
t 
=
= 
+
+
,
fw ( t ) =
1 − t 1 − t  (1 − t )2 + (1 − t )3 (1 − t )4 
(1 − t )5


∞
∞
1
k
k
=
=
C
t
Ck4+4tk .
∑
∑
+
k
4
5
−
t
1
( ) k 0=k 0
=
202
Тогда
∞
∞
∞
fw ( t ) =t ∑ Ck4+4tk + 4t2 ∑ Ck4+4tk + t3 ∑ Ck4+4tk =
=
k 0 =
k 0=
k 0
∞
=∑ Ck4+4tk+1 +
∞
∞
∑ 4Ck4+4tk+2 + ∑ Ck4+4tk+3
k 0=
k 0 =
k 0
=
и
wk = Ck4+3 + 4Ck4+2 + Ck4+1 =
=
( k + 3) ! 4 ( k + 2) ! ( k + 1) ! k ( k + 1)( k + 2)( k + 3)
+
+
=
+
4!
( k − 1) ! 4 ! ( k − 2 ) ! 4 ! ( k − 3 ) ! 4 !
4 ( k − 1) k ( k + 1)( k + 2 ) ( k − 2 )( k − 1) k ( k + 1)
+
=
+
4!
k ( k + 1)
=
4!
( k + 2 )( k + 3 ) + 4 ( k − 1)( k + 2 ) + ( k − 2 )(=
k − 1) 
4!
=
k ( k + 1)
4!
(
2
 k ( k + 1) 
6k=
+ 6k 
 .
2


2
)
2.11.8. Для решения этой задачи используется производящая
функция с ограниченным числом повторений (см. § 2.8). Обозначим
a1 – монету в 1 коп, a2 – монету в 2 коп, a3–3 коп, a4–5 коп. Тогда
(
)(
)(
)(
)
fa ( t ) =
1 + a1t + a12t2 1 + a2t + a22t2 1 + a3t + a32t2 ⋅ 1 + a4t + a42t2 .
Если положить a1 = a2 = a3 = a4 = 1, то
(
fa ( t ) = 1 + t + t2
)
4
= 1 + 4t + 10t2 + +16t3 + 19t4 + 16t5 + 10t6 + 4t7 + t8 ,
причем коэффициенты этого разложения равны числу способов вытащить четыре монеты разных составов с указанными ограничениями.
Можно довольно легко установить и качественный состав выборок, а тогда и проверить условие суммы быть равной 10 копейкам.
Именно
t0 : существует лишь один способ – a10 a20 a30 a40 – не вытащить ни
одной монеты.
203
t1 : a11a20 a30 a40 , a10 a21a30 a40 , a10 a20 a31a40 , a10 a20 a30 a41 – четыре способа
1+0+0+0
0 +2+ 0 + 0
0 + 0 + 3+ 0
0 + 0 + 0 +5
вытащить по одной монете разного достоинства. Здесь не выполняется условие a1 = a2 = a3 = a4 = 10.
t2 : a1a2 , a1a3 , a1a4 , a2a3 , a2a4 , a12 , a22 , a32 , a42 , a3a4 .
1+2
a42
1+3
1+5
2+ 3
2+5
1+1
2+2
3+ 3
5+5
3+5
= 5 + 5 = 10. Имеется один способ размена.
t3 : a1a2a3 , a1a2a4 , a2a3a4 , a1a3a4 , a12 a2 , a12 a3 , a12 a4 , a22 a1 ,
1+2+3
1+2+5
2+ 3+5
1+3+5
1+1+2
1+1+3
a22a3 , a22a4 , a32 a1 , a32a2 , a32 a4 , a42 a1 , a42 a2 , a42 a3 .
2+2+3 2+2+5 3+3+1 3+3+2 3+3+5 5+5+1 5+5+2 5+5+3
1+1+5
2+2+1
Итого 16 спо-
собов выборки из четырех монет по три монеты с указанными повторениями. Из них один способ удовлетворяет условию равенства
суммы 10 коп: a2a3a4 = 2 + 3 + 5 = 10.
t4 :
a12a2a3 ,
a1a2a3 a4 ,
a12a42 ,
1+1+5+5
a12a3a4 ,
a12a2a4 ,
a12 a22 ,
a12 a32 ,
1+2+3+5
1+1+2+3
1+1+3+5
1+1+2+5
1+1+2+2
1+1+3+3
a22a32 ,
a22 a42 ,
a32a42 ,
a22a1a3 ,
a22a3a4 ,
a22a1a4 ,
2+2+ 3+ 3
2+2+5+5
3+ 3+5+5
2+2+1+3
2+2+ 3+5
2+2+1+5
a32a1a2 , a32a1a4 , a32a2a4 , a42a1a2 , a42a2a3 , a42a1a3 . Есть три спо-
3+3+1+2
соба
3+3+1+5
размены:
3+ 3+2+5
5+5+1+2
5+5+2+ 3
a12a3a4 = 1 + 1 + 3 + 5 = 10,
5+5+1+3
a22a32 = 2 + 2 + 3 + 3 = 10,
a22a1a4 = 2 + 2 + 1 + 5 = 10.
t5 : a12a2a3a4 , a1a22a3a4 , a1a2a32a4 , a1a2 a3 a42 , a12 a22 a3 , a12 a22 a4 ,
1+1+2+3+5
a12a32a2 ,
1+1+3+3+2
a22 a42 a1 ,
2+2+5+5+1
1+2+2+3+5
a12 a32 a4 ,
1+1+3+3+5
a22a42 a3 ,
a12a42 a2 ,
1+1+5+5+2
a32a42a1 ,
1+2+3+5+5 1+1+2+2+3 1+1+2+2+5
a12a42 a3 ,
1+1+5+5+3
a22a32a1 ,
2+2+3+3+1
a22a32a4 ,
2+2+ 3+ 3+5
a32 a42 a2 . Из 16 способов размена
3+3+5+5+1 3+3+5+5+2
подходит лишь один: a12a32a2 = 1 + 1 + 3 + 3 + 2 = 10.
204
1+1+5+5+3
1+2+3+3+5
t6 : a12a22 a3 a4 , a12 a2a32a4 , a12a2a3a42 ,
1+1+2+2+3+5
a1a2a32a42 ,
1+2+3+3+5+5
1+1+2+3+3+5
a13a2a3a4 ,
1+1+1+2+3+5
1+1+2+3+5+5
a1a23a3a4 ,
1+2+2+2+3+5
a1a22 a32 a4 , a1a22a3a42 ,
1+2+2+3+3+5 1+2+2+3+5+5
a1a2a33a4 ,
a1a2a3 a43 . Нет
1+2+3+3+3+5
1+2+3+5+5+5
требуемых способов размена.
t7 :
a12a22a32 a4 ,
1+1+2+2+3+3+5
a1a22 a32 a42 ,
1+2+2+3+3+5+5
a12 a2a32 a42 ,
1+1+2+3+3+5+5
a12 a22 a3 a42 . Нет
1+1+2+2+3+5+5
способов.
t8 :
a12a22 a32 a42 .
1+1+2+2+3+3+5+5
Нет требуемых способов.
Итого, существует всего лишь шесть способов размена 10 копеек четырьмя указанными монетами с описанными ограничениями:
2 + 3 + 5, 1 + 1 + 3 + 5, 1 + 2 + 2 + 5, 2 + 2 + 3 + 3, 1 + 1 + 2 + 3 + 3, 5 + 5.
2.11.9. Пусть an+2 – требуемое число способов разбить выпуклый
(n + 2) – угольник на треугольники, не пересекающиеся внутри многоугольника. Перенумеруем вершины исходного многоугольника
числами от 1 до n + 2. При любом разбиении найдется треугольник,
содержащий ребро многоугольника с вершинами n + 1 и n + 2 (см.
рис. 4.23, а). Третья вершина этого треугольника может быть любой
из остальных 1, 2,…, n + 1. Пусть это будет вершина k. Удалим треугольник с вершинами k, n + 1, n + 2; получим два многоугольника с
числом вершин k + 1 (вершины 1, 2,…, k, n + 2) и n–k + 2 (вершины k + 1,
k + 2,…, n + 1). Выбирая k-й вершину с первой по n + 2-ю, будем иметь
аналогичную картину разбиения (см. рис. 4.23), при этом по правилам произведения и суммы получим an+2 = a2⋅an+1 + a3⋅an + a4⋅an–1 + … + an⋅a3 + an+1⋅a2, где, очевидно, a2 = 1 (одна сторона многоугольниn
ка – «двуугольник»). Пусть bn = an+2, тогда bn =∑ bk−1 ⋅ bn −k , b0 =1
k =1
(см. рис. 4.23 а, б, в, г). Правая часть последней формулы является
сверткой двух одинаковых последовательностей {bn} и {bn}.
Получим теперь производящую функцию из рекуррентного соотношения
=
bn
n
∑ bk−1 ⋅ bn−k
k =1
и найдем явное выражение для bn. Для
этого умножим рекуррентное соотношение на tn и просуммируем
его по n от единицы до бесконечности. Тогда
205
a)
б)
b0b3
2-угольник 2
2
3
1
4
6(n+2)
в)
b1b2
3
1
5(n+1)
3
2
4
6
г)
b2b1
1
4
6
5
b3b0
3
2
1
5
4
6
5
2-угольник
Рис. 4.23
∞
∞
∞
∞
n
= 1
n
= 1
n
∑ bntn = ∑ ∑ bk−1 ⋅ bn−k = ∑ b0 ⋅ bn−1tn + ∑ b1 ⋅ bn−2tn + ....
n
= 1
n
= 1=
k 1
Но
∞
n
∑ b=
nt
fb ( t ) − b0 ,
∞
n
∑ b0 ⋅ b=
n −1t
∞
n −1
b0t ∑ bn −=
b0tfb ( t ),
1t
n 1=
n 1
=
n =1
∞
bn −2tn
∑ b1 ⋅=
∞
n −2
b1t2 ∑ bn=
b1t2fb ( t ),...
−2t
=
n 1=
n 1
Отсюда
(
)
fb ( t )=
− b0 tfb ( t ) b0 + b1t + b2t2 =
+ ... tfb2 ( t ),
т. е. tfb2 ( t ) − fb ( t ) + 1 =
0.
Тогда
fb ( t ) =
1 ± 1 − 4t
.
2t
Поскольку результат fb(t) должен быть рядом по неотрицатель1 + 1 − 4t
ным степеням t, то решение fb ( t ) =
является посторон2t
ним. Это видно из рассмотрения выражения
= 1 + αx +
206
α ( α − 1)
2!
x2 + ... +
(1 + x )α =
α ( α − 1)( α − 2 )...( α − k + 1)
k!
xk + ... =
∞
∑ Cαk xk
k =0
и
1
(1 − 4t ) 2 =
11 
11  1

 − 1
 − 1 ... − k + 1 
1
2 2 
2 2  2
 −4t k + ... =
=1 + ( −4t ) + 
( −4t )2 + ... + 
( )
k!
2
2!
=
∞
∑ ( −1)
k =0
k
k
C1k ( 4t ) ,
2
1  1  1
 1

 − 1  − 2 ... − k + 1 
2 2  2
 2
.
C1k = 
k!
2
При подсчете C1k можно убедиться, что полученное выражение
2
имеет знак минус во всех членах, начиная со второго, первый член
ряда равен единице. Чтобы fb(t) была положительна, необходимо
выбрать знак минус в выражении
fb ( t ) =
1 − 1 − 4t
,
2t
т. е.
fb ( t=
)
1
1
1 − (1 − 4t ) 2  .
2t 

Тогда
1 − (1 − 4t )
1
2=
11 
 − 1
1
2 2 
( 4t ) −
( 4t )2 + ...=
2
2!
∞
∑ ( −1)
k −1
k =1
k
C1k ( 4t ) .
2
Отсюда
fb ( t ) =
(2t )
−1
∞
∑ ( −1)
k −1
∞
C1k 4 ⋅ 4k−1 tk =
2 ∑ ( −1)
k −1
=
k 1=
k 1
2
=
(2t )
−1
∞
∑ ( −1)
k −1
∞
C1k 4 ⋅ 4k−1 tk =
2 ∑ ( −1)
=
k 1=
k 1
2
C1k ( 4t )
k −1
=
2
k −1
C1k ( 4t )
k −1
=
2
207
k −1 =
n,
∞
1 2t 1 3 ⋅ 4 2
n
= k =1,n = 0, = ∑ ( −1) C1n +1 22n +1 tn =1 + ⋅ + ⋅
t + ...
2 1! 3 2 !
n =0
k= n + 1
2
∞
1 k ( k + 1)...( 2k − 1) 2k k
1
⋅
t + ... =
C2kk tk .
∑
k +1
k!
k =0 k + 1
... +
1
C2nn , где an+2 – число спосоn +1
бов разбиения (n + 2)-угольника на треугольники непересекающимися внутри него диагоналями.
2.11.10.
a) an+3 = 3an+2–an+1 + 3an, a0 = 1, a1 = 3, a2 = 8.
Итак, окончательно=
bn a=
n +2
∞
∞
∞
∞
∑ an+3tn = 3 ∑ an+2tn − ∑ an+1tn + 3 ∑ antn ,
=
n 0 =
n 0=
n 0 =
n 0
1
t3
∞
3
t2
∑ an+3tn+3 =
∞
1
∞
∞
∑ an+2tn+2 − t ∑ an+1tn+1 + 3 ∑ antn .
n =0
=
n 0 =
n 0=
n 0
=
=
=
n +3 k
n +2 k
n +1 k
=
=
=
n 0,=
k 3
n 0,=
k 2
n 0,=
k 1
∞
∞
3 ∞
1 ∞
ak tk = 2
ak tk −
ak tk + 3 ak tk ,
3
t k 1=k 0
t k 3 =
t k 2=
=
1
1
t
3
∑
∑
2
( fa (t ) − a0 − a1t − a=
2t )
3
t
2
∑
∑
( fa ( t ) − a0 − a1t ) − 1t ( fa ( t ) − a0 ) + 3fa ( t ),
1 3 1
 1 + 3t + 8t2 3 + 9t 1
fa ( t )  − =
+ − 3
−
+ ,
t
t3
t2
 t 3 t2 t

fa ( t )
1 − 3t + t2 − 3t3
t3
=
1 + 3t + 8t2 − 3t − 9t2 + t2
t3
.
Отсюда
f=
a (t )
208
1
=
1 − 3t + t − 3t3
2
A
Bt + C
=
+
.
2
t
−
1
3
1 + t2
(1 − 3t ) 1 + t
1
(
)
Найдем A, B и C методом неопределенных коэффициентов.
1,
 A+C=
9
3
1

1 ≡ A + At + Bt + C − 3Bt − 3Ct ⇒  A − 3B = 0, ⇒ A =
,B =
,C =
.
10
10
10
 B − 3C =
0

2
2
=
fa ( t )
Тогда
1 9
3t + 1 
+

.
10  1 − 3t 1 + t2 
Так как
∞
1
1
= ∑ 3k tk и
=
1 − 3t k=0
1 + t2
∞
∑ ( −1)
k 2k
t ,
k =0
то
∞
∞

1  ∞
k 2k +1
k
k k
+ ∑ ( −1) t2k  .
 ∑ 9 ⋅ 3 t + ∑ 3 ⋅ ( −1) t
10  k 0=k 0

=
=
k 0
=
fa ( t )
Тогда
1 

k
9 ⋅ 32k + ( −1)  ,
2k
 a=

10 

1 
k
a2k+=
9 ⋅ 32k+1 + 3 ( −1)  ;
1

10 

б) an+3 + an+2–an+1–an = 0, a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3.
1
∞
∑ an+3tn+3 +
t3 n 0
=
1
∞
∞
1 ∞
n +1
0,
a
t
−
∑ n+1
∑ antn =
t
n 0=
n 0
=
∑ an+2tn+2 −
t2 n 0
=
∞
∞
1 ∞
1 ∞
ak tk + 2
ak tk −
ak tk −
an tn
3
t
t k 3 =
t k 2 =k 1=
n 0
=
1
1
t
3
∑
∑
∑
∑
0,
=
0,
( fa (t ) − a0 − a1t − a2t2 ) + t12 ( fa (t ) − a0 − a1t ) − 1t ( fa (t ) − a0 ) − fa (t ) =
fa ( t ) − 1 − 2t − 3t2 + t ( fa ( t ) − 1 − 2t ) − t2 ( fa ( t ) − 1) − t3fa ( t ) =
0,
(
)
fa ( t ) 1 + t − t2 − t3 − 1 − 2t − 3t2 − t − 2t2 + t2 =
0,
fa ( t ) =
1 + 3t + 4t2
2
1+ t −t −t
3
=
1 + 3t + 4t2
2
(1 − t )(1 + t )
=
A
B
C
+
+
.
1 − t 1 + t (1 + t )2
209
1 + 3t + 4t2 ≡
(
2
≡ A 1 + 2t + t
) + B (1 − t )
2
1 = A + B + C,

+ C (1 − t ) ⇒  3 =
2 A − C, ⇒ A =
2, B =
−2, C =
1.
 4= A − B

fa ( t ) =
∞
∞
=2 ∑ tk − 2 ∑ ( −1) tk +
k
k 0=
k 0
=
2
2
1
−
+
=
1 − t 1 + t (1 + t )2
∞
∞
k
k
∑ ( −1) ( k + 1) tk = ∑ ( −1) ( k − 1) + 2 tk ,
k 0
=
k 0
=
n
an =−
( 1)
(n − 1) + 2;
в) Поступаем как в предыдущих случаях. an+2±9an = 0, a0 = 0,
a1 = 1.
∞
∞
1
∞
∞
0,
a tn +2 ± 9 ∑ an tn =
0.
∑ an+2tn ± 9 ∑ antn =
2 ∑ n +2
t
n 0=
n 0 =
=
n 0=
n 0
n +2=
k,
=
n 0=
,k 2
1
∞
∞
0,
0, 12 ( fa ( t ) − a0 − a1t ) ± 9fa ( t ) =
∑ aktk ± ∑ aktk =
t
t2
k 0=
k 0
=
1
1
 1
fa ( t )  2 ± 9=
t) 2 .
 2 ( a0 + a1=
t
t
 t
Отсюда
=
fa ( t )
1
=
1 ± 9t2
∞
∑ ( 9 )
k =0
k k
n
t , an = ( 9 ) .
2.11.11.
а) an+1 = an + n, a0 = 1.
∞
∞
∞
1 ∞
d ∞ n
an +1tn +1 = ∑ an tn + ∑ ntn = ∑ an tn + t
∑
∑t ,
tn 0
dt n 0
=
=
=
n 0 =
n 0=
n 0
1
d 1 
2t
,
( fa ( t ) − a0 ) = fa ( t ) + t dt

 = fa ( t ) +
t
−
t
1


(1 − t )2
210
2t
fa ( t ) − 1 − tfa ( t ) =
,
(1 − t )2
3t2 − 2t + 1
A
B
C
= +
+
fa ( t ) =
,
3
2
1 − t (1 − t )
(1 − t )3
(1 − t )
=
3 A=
,
A 3,


+ B (1 − t ) + C ⇒ −2 =−2 A − B, ⇒ B =−4,
1= A + B+C
C = 2.

2
3t − 2t + 1 ≡ A (1 − t )
2
Итак,
3
4
2
fa ( t ) = −
+
=
1 − t (1 − t )2 (1 − t )3
∞
= ∑ 3tk −
∞
∑ 4Ckk+1tk +
=
k 0=
k 0
∞
∞
(
)
∑ 2Ckk+2tk = ∑ 3 − 4Ckk+1 + 2Ckk+2 tk ,
=
k 0
=
k 0
an =
3 − 4Cn1+1 + 2Cn2+2 ;
1
3
б) an +2 = an +1 − an + 2−n , a0 = 1, a1 = .
4
2
∞
∞
∞
1 ∞
2 1
2 −n tn ,
an +2tn +=
an +1tn +1 −
an tn +
2
4
t
t n 0
=
=
n 0
=
n 0=
n 0
1
∑
1
t
2
∑
∑
∑
1
( fa ( t ) − a0 − a=
( fa ( t ) − a0 ) − 14 fa ( t ) +
1t )
t
1
1−
t
2
,
3 
2t2

− t  4t ( fa ( t ) − 1) − t2fa ( t ) +
4  fa ( t ) − 1 =
,
2 
2−t

(
)
fa ( t ) 4 − 4t + t2 =
=
fa ( t )
8
2t2
+ 2t + 4,
2−t
−8
1
=
=
3
( t − 2 )  1 − t 3


 2
=
(2 − t ) t − 4t + 4
(
∞
)
2
k
∞
t
Ckk+2  
=
2−k Ck2+2tk ,
∑
∑
2
 
k 0=
k 0
=
=
211
an =
(n + 1)(n + 2)
2n +1
.
2.11.12. а) an+2–an+1–an = 0. an+2 = an+1 + an,
∞
∞
∞
0,
∑ an+2tn − ∑ an+1tn − ∑ antn =
=
n 0=
n 0=
n 0
1
∞
1
∞
∞
0,
∑ an+2tn+2 − t ∑ an+1tn+1 − ∑ antn =
t2
=
n 0 =
n 0=
n 0
=
n +2 k, =
n +1 k,
=
=
n 0=
,k 2
n 0=
,k 1
1
∞
1
∞
∞
0.
∑ aktk − t ∑ aktk − ∑ aktk =
t2
k 2 =
k 1=
k 0
=
Тогда
1
t
2
0,
( fa ( t ) − a0 − a1t ) − 1t ( fa ( t ) − a0 ) − fa ( t ) =
a0 + ( a1 − a0 ) t
 1 1  a + a t − a0t
, fa ( t ) =
fa ( t )  2 − − 1  =0 12
.
t
t
1 − t − t2
t

Пусть a0 = 1, a1 = 1, тогда a2 = 2, a3 = 3, a4 = 5 и т.д. Отсюда
1+ 0⋅t
1
=
fa ( t ) =
.
2
1−t −t
1 − t − t2
Корни знаменателя
2
1 − t − t=
0,t2 + t −=
1 0,t1,=
2
−1 ± 5
.
2
Если сменить начало отсчёта коэффициентов, то, например,
a0 = 3, a1 = 3, a2 = 6. A3 = 9, a4 = 14 и т.д. Корни знаменателя не изменятся. Тогда
3 + 0⋅t
1
=
fa ( t ) =
a0
.
2
1−t −t
1 − t − t2
Следовательно, общая формула для an, полученная из разложения fa(t) не изменится и будет отличаться лишь множителем a0.
Разложим производящую функцию на простейшие слагаемые.
212

a
a
1
1  a0
fa ( t ) = 0 2 = 0
=
+
=
−

( t − t1 )( t − t2 )  t − t1 t − t2  t1 − t2
1−t −t


k
k

a 1
1
1
1  a0  1 ∞  t 
1 ∞  t  
=
=
− 0 ⋅
− ⋅
−
∑t  t ∑t  =

5  t1 1 − t t2 1 − t =
5  t1 k 0=
2 k 0 2 
 1



t1
t2 

a  ∞  1  k ∞  1  k  a0 ∞  1
1  k
= ∑
= 0 ∑
− ∑
−
t
t


t .
 tk+1 
 k+1  
5  k 0=
5 k 0  t2k+1 t1k+1 
k 0  t1 =
=
 2 
 
Общий коэффициент при tk в разложении будет равен
=
an
a0  1
1 
 k+1 − k+1 .
5  t2
t1 
После упрощения будем иметь
(

a0  1 + 5
an = 
5

)
(
k +1 n
t1
− 1− 5
)
k +1 n
t2
2k+1

 a0 / n
/ n
n
n
 = 5 C1 t1 + C2 t2 =C1t1 + C2t2 .


(
)
Итак,
n
an = C1t1n
+ C2t2n
n
 −1 + 5 
 −1 − 5 
= C1 
 + C2 
 .

2
2




Здесь C1 и C2 – константы.
1
б) a=
n +2 an +1 − an .
4
∞
=
an +2tn
∑
∞
1 ∞
∑ antn ,
4
n 0
=
∑ an+1tn −
n 0=
n 0
=
∞
1 ∞
1 ∞
=
an +2tn +2
an +1tn +1 −
an tn ,
2
t
4
t n 0=
=
n 0=
n 0
=
n +2 k, =
n +1 k,
=
=
n 0=
,k 2
n 0=
,k 1
1
∑
1
∑
∑
∞
∞
1 ∞
k 1
a
t
−
∑ k 4 ∑ aktk ,
t
k 1=
k 0
2=
=
a tk
2 ∑ k
t k
=
213
1
t
Отсюда
=
fa ( t )
2
1
( fa ( t ) − a0 − a=
( fa ( t ) − a0 ) − 14 fa ( t ).
1t )
t
4 a0 + ( a1 − a0 ) t  4 a0 + ( a1 − a0 ) t 
A
B
= =
+
.
2
2
2 − t ( 2 − t )2
t − 4t + 4
(2 − t )
Найдём сначала частное решение задачи, положив a0 = 1, a1 = 1.
Тогда 4≡A(2-t) + B = 2A–At + B. A = 0, B = 4.
4
1
=
fa ( t ) =
.
2
(2 − t )  1 − t 2


 2
Тогда так как
1
n
(1 − t )
∞
=
∑ Cnk+k−1tk ,
k =0
то
n
∞
∞
Cnn+1 n
1
n t
C
=
=
∑ n+1  2  ∑ 2n t ,
2
t

=
n 0=
n 0
1 − 
 2
fa ( t )
=
Cnn+1 C1
=
, где С1 – константа.
2n
2n
Общее решение получить немногим сложнее. Именно
4[a0 + (a1–a0)]≡A(2–t) + B = 2A–At + B.
а=
an
=
A 4 ( a0 − a1 ),
 4a=
0 2 A + B,
⇒

4
a
−
a
=
−
A
,
=
B 4 ( 2a1 − a0 ).
 ( 1 0 )
Тогда
4 ( a0 − a1 ) 4 ( 2a1 − a0 )
C1
C2
fa ( t ) =
+
=
+
,
2
2
t
2−t
t


(2 − t )
1−
2 1 − 2 


где С1 и С2 – константы. Так как
1
t
1−
2
214
=
∞
1
∑ 2n tn ,
n =0
а
∞
∞
Cnn+1 n
1
n +1 n
= ∑
=
t
t ,
∑
2
n
n
2
t
=
n 0=
n 0 2
1 − 
 2
поскольку Cnn+1= n + 1, то окончательно
=
fa ( t )
∞

n 
2
∑  C1 2n + C2 2n  tn
n =0
и a=
n
C1/
2n
+
C2/n
2n
,
где C1/ и C2/ – константы.
n
2.11.13. Так как an = Cm
, то
m
fa ( t ) =
(1 + t )
Тогда fb ( t=
)
(1 + t )−m , ибо
m
n n
=∑ Cm
t .
n =0
m
fa ( t ) ⋅ fb ( t ) = (1 + t ) ⋅ (1 + t )
−m
= 1.
Отсюда
bn = C−nm ,
где
m ( m + 1)( m + 2 )...( m + n − 1)
C−nm =
,
( −1)n Cmn +n−1 =
( −1)n
n!
так как
1
(1 + t )−m =
(1 + t )m
∞
n
n
= ∑ ( −1) Cm
+n −1t .
n
n =0
2.11.14. Для решения этой задачи введем дополнительные определения. Пусть A1, A2,…, An – произвольные множества, а Ω = {ω1,
ω2,…} – множество весов элементов этих множеств. Вес – это либо
число, либо переменная, которая может принимать любое числовое
значение.
Рассмотрим декартово произведение множеств
a = ( a1, a2 ,..., an )

A = A1 × A2 × ... × An = 
.
a
∈
A
i
=
n
,
1
,
i
i


215
Пусть ni – число элементов множества Ai с весом ω, тогда
Ω ( Ai ) = ∑ ni ω – сумма весов элементов множества Ai. Вес элеменω∈Ω
тов множества A будет равен
n
∏ ω( ai ), ω∈Ω.
ω( a ) = ω( a1, a2 ,..., an ) = ω( a1 ) ⋅ ω( a2 ) ⋅ ...ω( an ) =
i =1
Справедливо равенство, называемое обобщенным правилом произведения Ω(A) = Ω(A1)⋅Ω(A2)⋅…⋅Ω(An).
Обратимся теперь к нашей задаче. Введем веса элементам данных множеств следующим образом: ω(2x) = t2x, ω(3y) = t3y, ω(5z) = t5z
и ω(a) = ω(2x, 3y, 5z) = t2x+3y+5z=n = t2x⋅t3y⋅t5z = ω(2x)⋅ω(3y)⋅ω(5z). Видно,
что степень веса t2x+3y+5z=n любого элемента a = (2x, 3y, 5z)∈A дает
одно из решений исходного уравнения 2x + 3y + 5z = n, причем по
обобщенному правилу произведения Ω(A) = Ω(A1)⋅Ω(A2)⋅Ω(A3).
Найдем производящую функцию для Ω(A):
(
)
fΩ( A ) ( t ) = a0 + a1t + a2t2 + ... + an tn + ... = t2⋅0 + t2⋅1 + t2⋅2 + ... + t2⋅x + ... ×
(
)(
) (
× t3⋅0 + t3⋅1 + t3⋅2 + ... + t3⋅y + ... t5⋅0 + t5⋅1 + t5⋅2 + ... + t5⋅z + ... = 1 + t2 +
)(
)(
)
+t4 + ... 1 + t3 + t6 + ... 1 + t5 + t10 + ... =
1
1−t
2
⋅
1
1−t
3
⋅
1
1 − t5
.
2.11.15. а) Найдем связь между an и bn. Для этого выпишем выражения для an+1, an и bn+1:
n +1
∑ Cn2+j j +1=
an +1=
j =0
n
∑ Cn2+j j =
an =
bn +1=
j =0
n
∑ Cn2+j +j1+1=
j =0
Cn0+1 + Cn2+2 + Cn4+3 + ... + C22nn −2 + C22nn ,
Cn0 + Cn2+1 + Cn4+2 + ... + C22nn−−12 + C22nn ,
Cn1+1 + Cn3+2 + Cn5+3 + ... + C22nn −1 + C22nn++11.
Очевидно, что
0
2n +1
=
Cn0 C=
C22nn C=
n +1 1 и=
2n +1 1,
216
кроме того
(n + k ) !
(n + k ) !
+
=
2k ! ( n − k ) ! ( 2k − 1) ! ( n − k + 1) !
(n + k ) ! (n − k + 1) + (n + k ) !2k (n + k ) ! (n + k + 1) 2k
= = Cn + k+1.
2k ! ( n − k + 1) !
2k ! ( n − k + 1) !
−1
Cn2+kk + Cn2+k=
k
=
Таким образом, an+1 = an + bn+1.
Аналогично расписав выражения для bn+1, bn и an, получим
bn +1=
bn =
n
∑ Cn2+j +j1+1=
j =0
n −1
∑ Cn2+j +j1 =
j =0
an =
n
∑ Cn2+j j =
j =0
Cn1+1 + Cn3+2 + Cn5+3 + ... + C22nn −1 + C22nn++11,
Cn1 + Cn3+1 + Cn5+2 + ... + C22nn −1 + C22nn−−11,
Cn0 + Cn2+1 + Cn4+2 + ... + C22nn−−12 + C22nn ,
2n +1
=
C22nn C=
2n +1 1,
(n + k ) !
(n + k ) !
+ =
(2k + 1) ! (n − k − 1) ! (2k ) ! (n − k ) !
(n + k ) ! (n − k ) + (n + k ) ! (2k + 1) (n + k ) ! (n − k + 2k + 1) 2k+1
= = Cn + k+1,
(2k + 1) ! (n − k ) !
(2k + 1) ! (n − k ) !
2k +1
2k
C=
n + k + Cn + k
т. е. bn+1 = bn + an. Определим начальные члены последовательностей
{an} и {bn}. a=
0
0
∑ Cj2=j
j =0
0
C=
0 1. положим b0 = 0, так как указанная
сумма не существует при n = 0.
Итак,
an +=

1 an + bn +1,

=
+
1, b0 =
0.
b
b
 n +1 n an , a0 =
б) Умножим теперь каждое из полученных соотношений на tn+1 и
просуммируем по n от нуля до бесконечности.
217
∞
∞
∞
n +1
t ∑ an tn + ∑ bn +1tn +1,
∑ a=
n +1t
n 0
=
n 0=
n 0
=
∞
∞
∞
n +1
t ∑ bn tn + t ∑ an tn ;
∑ b=
n +1t
n 0
=
n 0=
n 0
=
fa ( t ) − a=
0 tfa ( t ) + fb ( t ), fb ( t ) − b=
0 tfb ( t ) + tfa ( t )
или
− 1 tfa ( t ) + fb ( t ),
fa ( t )=

fb ( t ) tfb ( t ) + tfa ( t ).
 =
Наконец, найдем fa(t) и fb(t) из полученной системы
1−t
1−t
fb ( t ) − 1 = (1 − t ) fb ( t ) + fb ( t ),
fa ( t ) =
fb ( t ),
t
t
fb ( t ) =
t
2
t − 3t + 1
и fa ( t ) =
1−t
2
t − 3t + 1
.
§ 2.15. Ответы и решения задач практического занятия № 5
2.15.1. a) Обозначим pi (1≤i≤m) свойство набора, состоящее в том,
что шар с номером i в этом наборе не содержится. Тогда число наборов, полученных в результате d извлечений и обладающих свойствами pi1 , pi2 ,..., pik (1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ ik ≤ m ) по правилу произведения, равно
(
s
Ni1,i2 ,...,ik = Cm
−k
)
d
∑
, а N (=
r)
1≤i1 ≤i2 ≤...≤ik ≤m
(
k
s
Ni1,i2 ,...,=
ik Cm ⋅ Cm − k
По формуле включений и исключений (2.13.2)
m
Nm ( r ) =∑ ( −1)
k −r
m
Ckr ⋅ N ( r ) =
∑ ( −1)
=
k r=
k r
=
218
t=
k − r, k =
t + r,
, t 0, =
=
k r=
k= m, =
t m−r
m −r
∑ ( −1)
t =0
t
k −r
(
k
s
Ckr Cm
Cm
−k
(
t +r r
s
Cm
Ct +r Cm
−r −t
)
d
).
d
=
).
d
t +r
r
t
Но Cm
⋅ Ctr+r =Cm
⋅ Cm
−r , так как
(t + r )!
(m − r ) !
m!
m!
m!
.
⋅
=
⋅
=
+
−
−
−
−
−
t
r
!
m
t
r
!
r
!
t
!
r
!
m
r
!
t
!
m
r
t
!
r
!
t
!
m
)
(Тогда
)(
)
(
) (
( − r − t)!
m −r
∑ ( −1)
t
t =0
m −r
(
t +r r
s
Cm
Ct +r Cm
−r −t
)
d
=
m −r
t
r
=
Cm
(
)
∑ ( −1) Cmt −r ( Cms −r −t )
t 0=t 0
d
=
∑ ( −1) Cmr Cmt −r Cms −r −t
t
d
,
0 ≤ r ≤ m.
Кроме того, в последней сумме верхнее значение индекса суммирования t можно уменьшить до m–r-s, так как если tmax = m-r, то
s
s
Cm
−r −=
t C=
0 0. Итак,
r
б)=
Nm ( r ) Cm
рых
m −r − s
t
∑ ( −1) Cmt −r ( Cms −r −t )
t =0
встречается
r
N
=
m ( 0 ) Cm
m −s
∑ ( −1)
t
t =0
d
r
ровно
(
t
s
Cm
Cm
−t
)
d
– число наборов, в кото-
шаров.
r = 0,
Если
то
а)
– число наборов, в которых встреча-
ются все шары.
2.15.2. Пусть pi, i = 1, 2, 3 – свойство индекса суммирования быть
кратным 2, 3 и 5. Тогда по формуле (2.12.3) будем иметь
k/
∞
1 ∞  1
1
1
1
S= ∑   = ∑ k − ∑  2k + 3k + 5k
/  2 =
2 k 0 2
2
2
k 0=
k

+

∞
1
1  ∞
1
 1
+∑
+
+
−
=
2⋅3k
2⋅5k
3⋅5k  ∑ 2⋅3⋅5k
2
2
2
 k 02
k 0=
=
=
∞
1
 1
1
1   1
1
1 
1 
∑  2k −  22k + 23k + 25k  −  26k + 210k + 215k  − 230k=
k =0 
1
1
1
1
1
1
1
2−
.
=
−
−
+
+
+
−
−2
−3
−5
−6
−10
−15
1−2
1−2
1−2
1−2
1−2
1−2
1 − 2−30
2.15.3. Пусть свойство pi , i = 1,4 – i-я шляпа вернулась к своему
владельцу. Поскольку порядок (т. е. принадлежность шляп) здесь
219
существенен, то речь идет о перестановках из четырех предметов.
Очевидно, общее число перестановок равно 4! = 24.
Для подсчета точного числа людей, получивших назад свои шляпы, воспользуемся формулами (2.13.2) и (2.13.3).
k
∑ ( −1)
Nk=
(0)
m
=
m 0
∑
1≤i1 ≤...≤ik ≤k
(
)
N pi1 , pi2 ,..., pik .
В нашем случае
4
(
)
N4 ( 0 ) =
N pi1 , pi2 , pi3 , pi4 =
∑ ( −1)
∑
m
m 0
=
1≤i1 ≤.i2 ≤i3 ≤i4 ≤4
= N ( 0 ) − N (1) + N ( 2 ) − N ( 3 ) + N ( 4 ),
где N(0) = 24 – общее количество вариантов возвращения шляп,
N(1) – число случаев, когда одна шляпа возвратится своему владельцу. Очевидно, N (1=
) C41 ⋅ 3! (одна из четырех шляп фиксируется, остальные возвращаются наугад). Аналогично, N ( 2=
) C42 ⋅ 2!,
N ( 3=
) C43 ⋅1!, N ( 4=) C44 ⋅ 0!.
9 3
Тогда N4(0) = 24–4⋅3! + 6⋅2!–4⋅1! + 1⋅0!, т. е. p=
= . По формуле
0
24 8
(2.13.2)
k
i −r
4
i −r
Nk ( r ) =
∑ ( −1) Cir N ( i ) =
∑ ( −1) Cir N ( i ),
=i r =i r
4
N4 (1) =∑ ( −1)
i =1
i −1 1
Ci N
1 N (1) − C21 ⋅ N ( 2 ) + C31 ⋅ N ( 3 ) − C41 ⋅ N ( 4 ) =
( i ) =⋅
= 1 ⋅ 4 ⋅ 3 !− 2 ⋅ 6 ⋅ 2 !+ 3 ⋅ 4 ⋅ 1!− 4 ⋅ 1 ⋅ 0 ! = 8, p=
1
Аналогично,
8 1
= .
24 3
N4 ( 2 ) = C22 N ( 2 ) − C32 N ( 3 ) + C42 N ( 4 ) = 1 ⋅ 6 ⋅ 2 !− 3 ⋅ 4 ⋅ 1!+ 6 ⋅ 1 ⋅ 0 ! = 6,
6 1
= . N4 ( 3 ) = C33 N ( 3 ) − C43 N ( 4 ) = 1 ⋅ 4 ⋅ 1!− 4 ⋅ 1 ⋅ 0 ! = 0, p3 = 0.
24 4
Это очевидный результат, так как если трое из четырех получат
точно свои шляпы назад, то четвертый волей-неволей также получит свою, а не чужую шляпу. Наконец,
p=
2
N4 ( 4 ) = C44 N ( 4 ) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 ! = 1, p4 =
220
1
.
24
2.15.4. Воспользуемся здесь, как и в предыдущей задаче, формулами (2.13.2) и (2.13.3), причем свойство pi, i = 1, 2, 3 – это свойство
читать i-й журнал.
а) Тогда
3
(
)
N3 ( 0 ) =
∑ ( −1)
∑ N pi1 , pi2 , pi3 =
m
m 0
=
1≤i1 ≤.i2 ≤i3 ≤3
= N ( 0 ) − N (1) + N ( 2 ) − N ( 3 ),
где N(0) – общее количество студентов равно 1 или 100%, N(1) – число
студентов, читающих хотя бы один журнал, N(1) = 0.6 + 0.5 + 0.5 = 1.6,
аналогично,
N(2) = 0.3 + 0.2 + 0.4 = 0.9
и
N(3) = 0.1.
Отсюда
N3(0) = 1–1.6 + 0.9–0.1 = 0.2, т. е. 20% студентов не читают ни один
журнал;
б) применим теперь формулу
Nk (=
r)
k
∑ ( −1)
i =r
i −r
Cir N ( i )
и найдем N3(2) – количество студентов, читающих ровно два журнала.
3
N3 ( 2 ) =∑ ( −1)
i =2
i −2
Ci2 N ( i ) =C22 N ( 2 ) − C32 N ( 3 ) =1 ⋅ 0.9 − 3 ⋅ 0.1 =0.6,
т. е. 60%.
Итак, ровно два журнала читает 60% студентов. Чтобы узнать
сколько студентов читают не менее двух журналов (не менее двух –
это два или три), достаточно к найденному числу прибавить количество студентов, читающих все три журнала. Получим 70%.
Для подсчета числа студентов, читающих не менее двух журналов, можно также воспользоваться формулой
k
i −r
N k ( r ) =
∑ ( −1) Cir−−11N ( i ) =
i =r
3
= ∑ ( −1)
i =2
i −2
Ci1−1 N ( i ) = C11 N ( 2 ) − C21 N ( 3 ) = 1 ⋅ 0,9 − 2 ⋅ 0,1 = 0,7,
т. е. 70%.
В этой задаче так мало исходных данных (т. е. мало свойств pi),
что ее можно решить графически на диаграмме Эйлера – Венна (см.
рис. 4.24).
221
Ровно два журнала
A 60%
20%
B 50%
10%
10%
30%
Более двух журналов
C 50%
Рис. 4.24
2.15.5. Задача решается по формуле (2.14.1). Введем три свойства
1000
pi =
, i 1,2,3 – свойства числа 1000 делиться на числа 3, 5 и
=
qi
7. Тогда
(
3
)
N p1, p2 , p3 =
n − ∑ n ( pi ) +
k 1
=
∑
1≤i < j ≤3
(
)
n pi , pj − n ( p1, p2 , p3 ) =
3
n
n
n
,
+ ∑
−
1 qi 1≤i < j ≤3 qi q j q1q2q3
n−∑
=
=i
где n = 1000, q1 = 3, q5 = 5 и q7 = 7.
Окончательно,
 1000  1000  1000  
1000 −  
N p1, p2 , p3 =
+
+
 +
 3   5   7  
(
)
 1000  1000  1000   1000 
+ 
+
 +
 + 
=
  15   21   35    105 
= 1000 − ( 333 + 200 + 142 ) + ( 66 + 47 + 28 ) − 9= 457.
2.15.6. Задача решается аналогично предыдущей задаче 2.15.5.
(
)
, p3 N
N p1, p2=
=
(0)
3
  30m   30m   30m  
n
n
n
30m −  
+ ∑
−
=
 +
+
 +
q
q
q
q
q
q
  6   10   15  
1 2 3
1 i 1≤i < j ≤3 i j
n− ∑
=
k
=
  30m   30m   30m    30m 
+ 
 +
+
 − 
=
  60   90   150    900 
= 30m − ( 5m + 3m + 2m ) + ( m + m + m ) − m= 30m − 10m + 3m − m= 22m.
222
2.15.7. Введем два свойства pм – ученик посещает математический кружок и pф -посещает физический кружок. По условию задачи дано m = 35, n(pм) = 20, n(pф) = 11, n pì , pô = 10. Тогда так как
(
)
(
)
( ) (
)
то n ( pì , pô ) = n ( pì , pô ) − n + n ( pì ) + n ( pô ) = 10 − 35 + 20 + 11 = 6
и n ( pì , pô ) = n ( pì ) − n ( pì , pô ) = 20 − 6 = 14 (по формуле 2.12.6).
n pì , pô
=
n − n ( pì ) + n pô  + n pì , pô ,


2.15.8. Пусть pi – свойство i-го мужчины и i-й женщины чередоваться за круглым столом и не быть супругами. Тогда по формуле
(2.12.3)
(
n
) ∑ ( −1)k
n p1, p2 ,..., p=
k
=
k 0
∑
1≤i1 ≤...≤ik ≤k
(
)
n pi1 , pi2 ,..., pik .
Подсчитаем теперь числа
∑
1≤i1 ≤...≤ik ≤k
(
)
n pi1 , pi2 ,..., pik .
Число всевозможных расположений n
1
2
пар за круглым столом равно n (см. рис. 4.25,
3
движение на полкруга). Так как супруги
могут меняться местами, то число располо…
жений n пар за круглым столом равно 2n.
Число способов занять за столом k фиксироn
ванных мест супружескими парами равно
k
Cn , из-за возможности меняться местами
Рис. 4.25
это число надо удвоить. Таким образом,
k
k
2n ⋅ 2 ⋅ Cn =
2nCn – число способов выбрать k
фиксированных мест k супружескими парами. Не занятые места
2
образуют беспорядки, тогда ( n − k ) ! – число способов рассадить
2
остальных и по правилу произведения 4nCnk ( n − k ) ! – число всех
способов рассадить k супружеских пар среди n мест. Остальные 2n–
k–1 (одно место отнимается из-за того, что стол круглый) мест можk −1
но занять по схеме примера 1 § 2.14 т. е. ( 2n − k − 1)
способами.
Тогда
∑
1≤ i1 ≤...≤ik ≤ k
(
)
=
n pi1 , pi2 ,...,
pik
4nCnk ( n − k ) !
2
(2n − k − 1)k−1
223
и
(
n
)
n p1, p2 ,..., pk= n ( 0=
) 4n ∑ ( −1) Cnk (n − k ) !
k
2
(2n − k − 1)k−1.
k =0
2.15.9. Введем три признака pР – том содержит роман «Рудин»,
pД – том содержит роман «Дворянское гнездо» и pО – том содержит
роман «Отцы и дети». По условию задачи n(pР) = 6, n(pД) = 3, n(pО) = 4,
n(pР, pД) = 5 и n(pД, pО) = 7. Необходимо найти n(pР, pД, pО). По формуле (2.12.3) имеем
n(pР, pД, pО) = n–[n(pР) + n(pД) + n(pО)] + [n(pД, pД) + n(pР, pО) + (
)
+ n(pД, pО)] −n pÐ , p Ä , pÎ = 25 − ( 6 + 3 + 4 ) + ( 5 + 0 + 7 ) − 0 = 24 способа.
2.15.10. По формуле (2.14.2) получаем
а) 100 = 22⋅52,
2 
1
1
1
ϕ (100=
) 100∏  1 − = 100  1 − 
 1 − =
 40;
qi 
 2  5 
i =1 
б) 1000 = 23⋅53,
2 
1
1
1
ϕ (100=
) 100∏  1 − = 100  1 − 
 1 − =
 40;
2
5
q


i
i =1 
в) p = p1, если p – простое число. Тогда
1

 p −1 
1
ϕ ( p ) =p∏  1 −  =p 
 =p − 1.
p
 p 
i =1 
224
3. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
§ 3.9. Ответы и решения задач практического занятия № 6
3.9.1. Это первая теорема теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру и опубликована им в 1736 году. В современной теории
графов этот результат называется леммой о рукопожатиях: сумма
степеней всех вершин графа – четное число, равное удвоенному
числу ребер.
Действительно, каждое ребро инцидентно двум вершинам, поэтому вносит двойку в сумму в правой части. Одновременно, одно
и то же ребро участвует в образовании степеней обеих инцидентных вершин, таким образом, в сумму в левой части тоже носит
двойку.
Из этой леммы вытекает интересное следствие: в любом графе
число вершин нечетной степени четно.
3.9.2.
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9
u1
u
2
1 0 0

u3
0 1 0
0 1 0  , Q = u4

u5
0 0 0
u
6
0 0 0

u

7
1 1 0
u8
u9
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1
x2
а) P = x3
x4
x5
x6










0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
u1
x1
x2
R = x3
x4
x5
x6
u2
u3
u4
u5














0
0
0
1
0
0
1
0
1
u6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
u7
1
0
0
0
0
1
0
0
0
u8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
,
0

0
0

0

0
u9
 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 


 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 
 0 1 0 0 −1 0 1 0 0  ;


 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 
 1 0 0 −1 0 0 −1 0 −1 


0 0 1 0 1 0 0 0 1


225
x1
б) P = x2
x3
x4
x5
x2
x2
x3
x4
x5
0

1
1

1
0

1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0

1
,
1

0
0 
u1 u2
x1
x2
R=
x3
x4
x5
0

1
1

0
0

1
0
0
1
0
u3
u4
u5
u6
u7
u1
u2
u3
Q=
u4
u5
u6
u7
u1 u2
0

0
1

1
1

1
1

0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1

0
1
,
1
0

1
0 
u3
u4
u5
u6
u7
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0

1
;
0

0
1 
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9
u1
u2
u3
0

u4
0
, R=
u5
1

u
0
6
u7
0 
u8
u9
x1 x2 x3 x4 x5
x1
x2
в) P =
x3
x4
x5
0

0
1

0
1

0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
u1
x1
x2
R=
x3
x4
x5
226
0
1
0
0
1
u2
u3
u4
0

1
0

0
0

0
0

0

0
u5
0
0
1
0
1
1
0
0
0
u6
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
u7
u8
u9
 −1 0 1 0 0 0 0 −1 0 


 0 0 0 0 0 1 1 0 −1  .
 0 1 −1 0 −1 −1 0 1 0 


 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 
 1 −1 0 1 1 0 0 0 1 


0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0

1
0

0
,
0

0
0

0

0
3.9.3.
a)
б)
x3
x2
x1
x1
x4
x2
в)
x3
x2
x6
x4
x5
x2
г)
x3
x5
x3
x1
x6
x1
x5
x4
x5
x4
Рис. 4.26
3.9.4.
а) Объединением графов G1 и G2 называется граф G = (S1∪S2,
U1∪U2). Поэтому множество вершин будет насчитывать четыре вершины. К множеству дуг S1 добавляются две дуги (x2, x1) и (x2, x3).
Тогда итоговый граф G будет иметь вид, показанный в левом столбце рисунка 4.27, а.
а)
G 1×G 2
G 1×G 2
б)
(x1, x1)
G 1∪G 2
x1
x2 (x , x )
2 1
x4
x3
(x1, x2)
(x3, x2)
(x4, x2)
(x1, x1)
(x1, x2)
(x1, x3)
x2
(x2, x1)
(x2, x2)
(x2, x3)
x3
(x3, x1)
(x3, x2)
(x3, x3)
(x4, x1)
(x4, x2)
(x4, x3)
G 1∪G 2
(x2, x3)
(x2, x2)
(x3, x1)
(x4, x1)
(x1, x3)
(x3, x3)
x1
x4
(x4, x3)
в)
G 1×G 2
G 1∪G 2
x1
x2
x4
x3
(x1, x1)
(x2, x1)
(x3, x1)
(x4, x1)
(x1, x2)
(x2, x2)
(x3, x2)
(x4, x2)
(x1, x3)
(x2, x3)
(x3, x3)
(x4, x3)
Рис. 4.27
227
Множеством вершин произведения графов G1×G2 будет декартово
произведение множеств S1×S2. Таким образом, всего вершин будет
двенадцать. Количество ребер определяется по правилу: ((x1, y1),
(x2, y2))∈G = G1×G2, если x1 = x2 и (y1, y2)∈G2 или y1 = y2 и (x1, x2)∈G1
(см. правый столбец рис. 4.27, а).
Пункты б) и в) решаются аналогично.
3.9.5.
0

0
а) P =  0

0
0

1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0

0
P3 =  0

0
0

0

0
5 
P = 0

0
0

0
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0 0


1
0 0
1  , P2 =  0 0


0
0 0

0 0
0

1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1

0
C = 0

0
0

0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1

1
0 ,

1
0 
0
1
1
0
0
2
0 0


0
0 0
0 , P4 =  0 0


0
0 0

0 0
1

1
1
0
1
0
2
0
0
0
1
0

1
1 ,

0
0 
1
1 1


1
0 1
2
5
0 , B = E + P + P + ... + P =  0 0


1
0 0
0 0
0 

1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 0


1
1 1

1 , L = 1 1


1
1 1

1 1
1

1

0
F = C ∗L = 0

0
0

228
2
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0

0
1 .

1
1 
0
0
1
1
1
0

0
1 ,

1
1 
5
3
2
2
2
4
3
2
2
2
4

4
2 ,

2
2 
Видно, что граф содержит три сильные компоненты связности.
Первая сильная компонента состоит из вершины x1 вторая – x2 и
третья из трех вершин {x3, x4, x5}. По матрице P3 находим, что из
вершины x1 выходят три пути длиной три дуги. Первый из x1 в x4 –
это путь x1 – x2 – x5 – x4, два других – пути из x1 в x5: x1 – x2 – x3 – x5
и x1 – x4 – x3 – x5;
1

0
б) P = 
0

0
1
0
1
1
1

4 0
P =
0
 0

1

0
C=
0

0
0
1
0
1
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1


0
0
, P2 = 
0
0


0 
0
2
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1


0
0
, P3 = 
0
0


0 
0
2
0
1
1
0
5


0
2
3
4 0
, B= E+P+P +P +P =
0
0


 0
0

0
1


1
0
, L=
1
0


1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1


1
0
, F = C∗L = 
0
1


1
0
1
1
0
1
0

0
,
0

0 
6
3
2
4
4
2
3
4
0

0
,
0

1 
0
1
1
0
0
1
1
0
0

0
.
0

1 
Сильных компонент связности три: вершины {x1}, {x2, x3} и {x4}.
Маршрутов длиной три ребра, исходящих из вершины x1, четыре:
x1 – x1 – x1 – x1, x1 – x1 – x1 – x2, x1 – x2 – x3 – x2 и x1 – x1 – x2 – x3;
1

0
в) P = 
1

0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
2


1
1
, P2 = 
1
1


1 
1
1
2
1
2
1
1
3
2
1
3


2
2
, P3 = 
4
2


3 
3
7 7 8 9 
 14



7 10 10 13 
10
P4 = 
, B = E + P + P2 + P 3 + P 4 = 
 8 10 15 15 
 14



 9 13 15 18 
 13
2
3
5
5
10
16
17
21
4
5
4
6
3

5
,
6

7 
14
17
23
24
13 

21 
,
24 

30 
229
1

1
C= L= F= 
1
 1

1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
.
1

1 
Граф представляет собой одну связную компоненту {x1, x2, x3,
x4}. Маршрутов длины три ребра, исходящих из вершины x1, двенадцать. Это маршруты:
x1 – x1 – x1 – x1, x1 – x1 – x3 – x1, x1 – x3 – x1 – x1, x1 – x1 – x3 – x2,
x1 – x3 – x4 – x2, x1 – x1 – x1 – x3, x1 – x3 – x2 – x3, x1 – x3 – x4 – x3,
x1 – x3 – x1 – x3, x1 – x3 – x2 – x4, x1 – x1 – x3 – x4, x1 – x3 – x4 – x4.
3.9.6.
а) e(x1) = e(x2) = e(x3) = e(x4) = e(x5) = e(x6) = e(x7) = e(x8) = 7,
d(G) = r(G) = 7. Все вершины периферийные и центральные. Диаметральных цепей много, например,
x1 – x2 – x3 – x4 – x8 – x7 – x6 – x5,
x1 – x3 – x4 – x8 – x7 – x6 – x5 – x1,
x3 – x4 – x8 – x7 – x6 – x5 – x1 – x2,
x4 – x8 – x7 – x6 – x5 – x1 – x2 – x3,
x8 – x7 – x6 – x5 – x1 – x2 – x3 – x4,
x7 – x6 – x5 – x1 – x2 – x3 – x4 – x8,
x6 – x5 – x1 – x2 – x3 – x4 – x8 – x7,
x5 – x1 – x2 – x3 – x4 – x8 – x7 – x6,
x1 – x2 – x7 – x8 – x4 – x3 – x6 – x5 и так далее;
б) e(x1) = e(x8) = 7, e(x2) = e(x5) = e(x6) = e(x7) = 6, e(x3) = e(x4) = 5,
d(G) = 7, r(G) = 5. Периферийные вершины x1 и x2, центральные вершины x3 и x4 составляют центр графа. Диаметральные цепи:
x1 – x2 – x3 – x4 – x5 – x6 – x7 – x8,
x1 – x2 – x3 – x6 – x4 – x5 – x7 – x8,
x1 – x2 – x3 – x5 – x4 – x6 – x7 – x8;
в) e(x1) = e(x3) = e(x4) = e(x8) = e(x10) = e(x12) = 8, e(x6) = e(x7) = e(x9) = 7,
e(x2) = 6, e(x11) = 5, e(x2) = 4. d(G) = 8, r(G) = 4. Периферийные вершины
x1, x3, x4, x8, x10, x12, центральная вершина x5, центр графа состоит
из одной вершины. Диаметральных цепей много, например,
x1 – x12 – x2 – x11 – x5 – x6 – x7 – x9 – x8 и так далее.
230
3.9.7. а) Упорядочим сначала вершины графа графическим и матричным способом так, как это изложено в § 3.6. Получим изоморфный граф, изображенный на рис. 4.28.
u9
x3
u2
u11
u7 x5
x6
u3
u5
u6
x1
x2
u1
u8
u10
1-я
2-я
3-я
x4
u4
4-я
5-я
6-я группа
Рис. 4.28
Таблица 1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
v1
1
3
0
4
2
1
v2
1
2
–
4
1
0
v3
1
1
–
3
0
–
v4
0
1
–
2
–
–
v5
–
0
–
1
–
–
v6
–
–
–
0
–
–
Группы
4
5
1
6
3
2
x1
x1
x2
P = x3
x4
x5
x6










x2
0
0
0
0
1
0
x3
x4
x5
x6
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0

0
1 .

0
0

0 
1
0
1
0
0
1
Дуги упорядочиваются аналогично вершинам табл. 1. В результате получим следующий граф (рис. 4.29).
x3 u2
x6
x6
x3 u5
x5
x6 u11 x4
x3
u9
x2
u7
x5
x6 u10 x2
x5 u3
x1
x1 u1
x5 u8
x4
x1
u6
x2
x2 u4
x4
x4
Рис. 4.29
231
Пункты б) и в) выполняются аналогично (см. рис. 4.30 и 4.31,
рис. 4.32 и 4.33 и соответствующие эти пунктам таблицы).
б)
x2
u6
x5
x3
u7
u1
x1
u3
x4
u4
u8
u5
u2
x6
1-я
2-я
3-я
4-я
5-я группа
Рис. 4.30
Таблица2
v1
v2
v3
v4
v5
Группы
x1
x2
x3
x4
x5
x6
2
2
1
0
–
4
2
1
0
–
–
3
1
0
–
–
–
2
2
2
2
1
0
5
0
–
–
–
–
1
1
1
0
–
–
3
x1
x1
x2
P = x3
x4
x5
x6
x5
u6
x5
x2
x3
u3










x2
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
x3
u7
x2
x3
u8
x1
x3
u5
x6
x3
x4
x5
x6
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
1 .

0
0

0 
x2
x4
x1
x6
Рис. 4.31
232
u1
u2
x1
u4
x4
в)
Таблица3
x1
x2
x3
x4
x5
x6
v1
2
0
2
2
1
3
v2
1
–
2
1
0
3
v3
0
–
1
1
–
2
v4
–
–
1
0
–
1
v5
–
–
1
–
–
0
v6
–
–
0
–
–
–
Группы
3
1
6
4
2
5
u2
u7
x2
u5
u4
u9
u8
x5
x1
u1
u6
x4
u3
x6
x3
u10
Рис. 4.32
x1
x1
x2
P = x3
x4
x5
x6










x1
x2
u7
x1
x5
u8
x2
u3
x4
x5
u2
x2
u5
x5
x5 u10
x3
x6
x2
0
1
0
0
1
0
x3
x4
x5
x6
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1

0
0 .

1
1

0 
x4
u1
0
0
0
0
0
0
u9
x1
x4
u4
x1
x6
x6
u6
x3
x6
Рис. 4.33
233
3.9.8. Воспользуемся теоремой 3.4 и проанализируем матрицы
смежности вершин изображенных на рис. 3.27 и 3.28 графов (см.
с. 92). Матрицы трех первых графов равны
0

0
0
P1 = 
1
1

1

0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0

1
0
P3 = 
1
0

1

1
0 1 0


1
1 0 1

0 1 0
1
, P2 = 
0
1 0 1
0 1 0
0



1 0 1
0

1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1

0
1
,
0
1

0 
1

0
1
.
0
1

0 
Видно, что P2 = P3. Если одновременно переставить в P2 вторую и
пятую строки и второй и пятый столбец, то получится матрица P1.
Следовательно, по теореме 3.4 все три графа на рис. 3.27 изоморфны.
Для графов, изображенных на рис. 3.28 матрицы смежности вершин имеют вид:
0

1
1
P4 = 
0
0

1

1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0 1


0
1 0
0 1
0
, P5 = 
0
0 0

0 0
1



1 0
0

0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1

0
1
.
0
1

0 
Рассмотрим сначала строки матриц P4 и P5. В них различны первая, третья и шестая строки, все остальные элементы совпадают. Поэтому переставлять необходимо эти строки и эти же столбцы. Однако никакая их перестановка не дает желаемого эффекта, появление
единицы в нужной позиции в какой-нибудь строке влечет за собой
исчезновение нужной единицы в соседней строке из-за различной инцидентности вершин x2, x5 и x6 с соответствующими ребрами. Следовательно, графы, изображенные на рис. 3.28 не изоморфны.
234
3.9.9.
а)
x3
x2
б)
x4
x1
x1
в) x2
x4
x2
x3
x6
x3
x1
x7
x4
x6
x5
d(G )=2, r(G )=1,
x1 -центр
x5
x5
d(G )=4, r(G )=2,
x3 , x4 , x5 -центр
d(G )=r(G )=4,
центр все вершины
Рис. 4.34
3.9.10. Рассмотрим n-вершинный полный граф. Число его ребер
равно Cn2 , а степень любой вершины n–1. Удалим одно ребро этого графа. Так как ребро инцидентно двум вершинам, то появится
две вершины с одинаковыми степенями, равными n–2. Удалим еще
одно ребро. Если это ребро не инцидентно ни одной из двух вершин,
появившихся после удаления первого ребра, то образуются четыре
вершины с одинаковыми степенями; если же второе ребро инцидентно какой-либо из двух вершин, у которых удалено первое ребро,
то останутся, по крайней мере, две вершины с одинаковыми степенями n–2.
После удаления всех ребер, получим граф с n изолированными
вершинами, т. е. степень каждой вершины будет равна нулю. Этот
процесс для графа K4 изображен на рис. 4.35.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Рис. 4.35
§ 3.14. Ответы задач практического занятия № 7
3.14.1.
1) dmin = 16, µmin = (x1, x3) – (x3, x6),
dmax = 35, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
2) dmin = 29, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 60, µmax = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
235
3) dmin = 24, µmin = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x6),
dmax = 53, µmax = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
4) dmin = 18, µmin = (x1, x4) – (x4, x6),
dmax = 40, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
5) dmin = 30, µmin = (x1, x5) – (x5, x7),
dmax = 61, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
6) dmin = 12, µmin = (x1, x2) – (x2, x4) – (x4, x6),
dmax = 23, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x6);
7) dmin = 19, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 32, µ1max = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x2) – (x2, x4) – (x4, x6)
µ2max = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x2) – (x2, x6);
8) dmin = 32, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 70, µmax = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x6);
9) dmin = 28, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x6),
dmax = 48, µmax = (x1, x2) – (x2, x4) – (x4, x3) – (x3, x5) – (x5, x6);
10) dmin = 28, µmin = (x1, x2) – (x2, x5) – (x5, x7),
dmax = 52, µmax = (x1, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
11) dmin = 8, µmin = (x1, x3) – (x3, x4) – (x4, x6),
dmax = 21, µ1max = (x1, x2) – (x2, x5) – (x5, x4) – (x4, x6),
µ2max = (x1, x5) – (x5, x4) – (x4, x6);
12) dmin = 22, µmin = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x6),
dmax = 44, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
13) dmin = 18, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x6),
dmax = 34, µmax = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
14) dmin = 9, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x6),
dmax = 21, µmax = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
15) dmin = 21, µmin = (x1, x6) – (x6, x7),
dmax = 44, µmax = (x1, x2) – (x2, x5) – (x5, x6) – (x6, x4) – (x4, x7);
16) dmin = 20, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 33, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
17) dmin = 17, µmin = (x1, x3) – (x3, x6),
dmax = 48, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
18) dmin = 33, µmin = (x1, x2) – (x2, x4) – (x4, x6),
dmax = 58, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x4) – (x4, x6);
19) dmin = 23, µmin = (x1, x4) – (x4, x6),
dmax = 52, µmax = (x1, x4) – (x4, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x6);
20) dmin = 17, µmin = (x1, x3) – (x3, x4) – (x4, x7),
dmax = 36, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x7);
21) dmin = 11, µmin = (x1, x2) – (x2, x4) – (x4, x6),
dmax = 23, µmax = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x2) – (x2, x6);
236
22) dmin = 17, µmin = (x1, x3) – (x3, x4) – (x4, x6),
dmax = 26, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x4) – (x4, x6);
23) dmin = 23, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 42, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x4) – (x4, x6);
24) dmin = 29, µmin = (x1, x3) – (x3, x6),
dmax = 56, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x4) – (x4, x6);
25) dmin = 15, µmin = (x1, x3) – (x3, x4) – (x4, x7),
dmax = 30, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x5) – (x5, x4) – (x4, x7);
26) dmin = 16, µmin = (x1, x3) – (x3, x6),
dmax = 41, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
27) dmin = 17, µmin = (x1, x2) – (x2, x5) – (x5, x6),
dmax = 35, µmax = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
28) dmin = 13, µmin = (x1, x5) – (x5, x6),
dmax = 30, µ1max = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6),
µ2max = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
29) dmin = 12, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x6),
dmax = 23, µmax = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
30) dmin = 15, µmin = (x1, x5) – (x5, x7),
dmax = 34, µmax = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x4) – (x4, x6) – (x6, x7).
3.14.2.
1) dmin = 11, µmin = (x1, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
2) dmin = 5, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
3) dmin = 11, µmin = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x6) – (x6, x4) – (x4, x7);
4) dmin = 6, µmin = (x1, x2) – (x2, x4) – (x4, x3) – (x3, x6) – (x6, x7);
5) dmin = 6, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x4) – (x4, x6);
6) dmin = 1, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x7);
7) dmin = 4, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
8) dmin = 7, µmin = (x1, x4) – (x4, x6) – (x6, x7);
9) dmin = 6, µmin = (x1, x3) – (x3, x6) – (x6, x7);
10) dmin = 8, µmin = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
11) dmin = 3, µmin = (x1, x4) – (x4, x6) – (x6, x2) – (x2, x3) – (x3, x7);
12) dmin = 2, µmin = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x7);
13) dmin = –8, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
14) dmin = 10, µmin = (x1, x4) – (x4, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
15) dmin = 9, µmin = (x1, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
16) dmin = –6, µmin = (x1, x2) – (x2, x6) – (x6, x4) – (x4, x7);
17) dmin = –2, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
18) dmin = 8, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x4) – (x4, x7);
19) dmin = 12, µmin = (x1, x4) – (x4, x2) – (x2, x3) – (x3, x6) – (x6, x7);
237
20) dmin = 10, µmin = (x1, x3) – (x3, x2) – (x2, x4) – (x4, x5) – (x5, x6);
21) dmin = –7, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x4) – (x4, x7);
22) dmin = 22, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x4) – (x4, x7);
23) dmin = 7, µmin = (x1, x4) – (x4, x6) – (x6, x7);
24) dmin = 15, µ1min = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x6) – (x6, x7),
µ2min = (x1, x5) – (x5, x2) – (x2, x3) – (x3, x4) – (x4, x7);
25) dmin = 17, µmin = (x1, x4) – (x4, x2) – (x2, x3) – (x3, x6);
26) dmin = 11, µmin = (x1, x3) – (x3, x5) – (x5, x6) – (x6, x7);
27) dmin = 9, µmin = (x1, x2) – (x2, x5)– (x5, x7);
28) dmin = 10, µ1min = (x1, x6) – (x6, x2) – (x2, x3) – (x3, x6) – (x6, x7),
µ2min = (x1, x3) – (x3, x6) – (x6, x7);
29) dmin = 8, µmin = (x1, x5) – (x5, x6) – (x6, x3) – (x3, x4) – (x4, x7);
30) dmin = 9, µmin = (x1, x2) – (x2, x3) – (x3, x5) – (x5, x4) – (x4, x6).
§ 3.19. Ответы и решения задач
практического занятия № 8
3.19.1.
1) G/1 = {(x1, x4), (x2, x4), (x3, x5), (x3, x6), (x4, x7), (x6, x7)}, ω(G/1) = 14;
G/2 = {(x1, x4), (x2, x4), (x3, x4), (x3, x5), (x3, x6), (x6, x7)}, ω(G/2) = 14;
2) G/ = {(x1, x2), (x2, x4), (x2, x7), (x3, x4), (x3, x5), (x4, x5)}, ω(G/) = 47;
3) G/ = {(x1, x2), (x2, x4), (x2, x7), (x3, x7), (x4, x5), (x5, x6)}, ω(G/) = 52;
4) G/ = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x5), (x2, x7), (x3, x4), (x4, x6)}, ω(G/) = 30;
5) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x2, x4), (x4, x5), (x4, x7), (x5, x6)}, ω(G/) = 46;
6) G/ = {(x1, x2), (x1, x6), (x2, x7), (x3, x4), (x4, x5), (x4, x6)}, ω(G/) = 36;
7) G/ = {(x1, x2), (x1, x5), (x1, x6), (x2, x7), (x3, x4), (x4, x5)}, ω(G/) = 25;
8) G/ = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x6), (x3, x4), (x3, x5), (x3, x7)}, ω(G/) = 52;
9) G/ = {(x1, x7), (x2, x4), (x3, x4), (x3, x6), (x5, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 33;
10) G/ = {(x1, x3), (x1, x6), (x2, x4), (x4, x5), (x4, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 33;
11) G/ = {(x1, x4), (x2, x4), (x3, x4), (x3, x5), (x3, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 14;
12) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), (x3, x6), (x5, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 28;
13) G/ = {(x1, x2), (x1, x3), (x2, x5), (x4, x5), (x4, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 37;
14) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), (x4, x7), (x5, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 28;
15) G/ = {(x1, x3), (x2, x3), (x2, x5), (x4, x5), (x4, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 26;
16) G/ = {(x1, x7), (x2, x5), (x3, x4), (x3, x6), (x4, x5), (x4, x7)}, ω(G/) = 25;
17) G/ = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x5), (x2, x7), (x3, x4), (x4, x6)}, ω(G/) = 63;
18) G/ = {(x1, x2), (x1, x3), (x1, x6), (x3, x5), (x4, x6), (x4, x7)}, ω(G/) = 28;
19) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x2, x4), (x4, x5), (x4, x7), (x5, x6)}, ω(G/) = 30;
20) G/ = {(x1, x3), (x2, x3), (x3, x5), (x4, x5), (x4, x6), (x5, x7)}, ω(G/) = 33;
238
21) G/ = {(x1, x5), (x2, x5), (x3, x6), (x3, x7), (x4, x5), (x5, x7)}, ω(G/) = 29;
22) G/ = {(x1, x7), (x2, x6), (x3, x4), (x3, x5), (x4, x7), (x5, x6)}, ω(G/) = 33;
23) G/ = {(x1, x4), (x3, x5), (x2, x7), (x3, x5), (x4, x5), (x6, x7)}, ω(G/) = 39;
24) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), (x4, x7), (x5, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 26;
25) G/ = {(x1, x3), (x2, x5), (x3, x4), (x4, x6), (x4, x7), (x5, x6)}, ω(G/) = 32;
26) G/ = {(x1, x5), (x2, x5), (x3, x4), (x4, x6), (x5, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 25;
27) G/ = {(x1, x2), (x2, x5), (x3, x4), (x3, x5), (x5, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 27;
28) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x2, x5), (x3, x4), (x4, x7), (x6, x7)}, ω(G/) = 27;
29) G/ = {(x1, x2), (x2, x3), (x2, x5), (x4, x6), (x5, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 18;
30) G/ = {(x1, x3), (x1, x4), (x2, x3), (x4, x5), (x4, x6), (x6, x7)}, ω(G/) = 28.
3.19.2. Составим матрицу Кирхгофа для полного двудольного
графа Km,n. Для того, чтобы понять ее структуру, составим матрицы
для графов K1,4 и K3,3, изображенных на рис. 3.2 (см. § 3.1).
x1
x1 x2 x3 x4 x5
BK1,4
x1
x2
=
x3
x4
x5
1

0
0

0
 −1

0
1
0
0
−1
0
0
1
0
−1
0
0
0
1
−1
−1 

−1  BK
3,3
,
−1 

−1 
4 
x1
x2
= x3
x4
x5
x6
3

0
0

 −1
 −1

 −1

x2
0
3
0
−1
−1
−1
x3 x4
0
0
3
−1
−1
−1
−1
−1
−1
3
0
0
x5 x6
−1
−1
−1
0
3
0
−1 

−1 
−1  .

0
0

3 
Таким образом, для полного двудольного графа Km,n матрица
Кирхгофа будет иметь вид:
BKm,n
m
n
 


 
 n 0 ... 0 −1 −1 ... −1 


 0 n ... 0 −1 −1 ... −1 
 ... ... ... ... ... ... ... ... 


=  0 0 ... n −1 −1 ... −1 


0 ... 0 
 −1 −1 ... −1 m
 −1 −1 ... −1 0
m ... 0 


 ... ... ... ... ... ... ... ... 
 −1 −1 ... −1 0
0 ... m 




m






n


239
Вычислим алгебраическое дополнение A1,1 элемента b1,1. В этом
случае необходимо подсчитать определитель вида
m −1
n




n 0 ... 0 −1 −1 ... −1
0 n ... 0 −1 −1 ... −1
... ... ... ... ... ... ... ...
∆ = 0 0 ... n −1 −1 ... −1
−1 −1 ... −1 m
0 ... 0
−1 −1 ... −1 0
m ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
−1 −1 ... −1 0
0 ... m



m − 1






n − 1


Для этого воспользуемся техникой оперирования с блочными
матрицами. Рассмотрим определитель ∆, разбитый на четыре блоA B
ка: ∆ =
, где A и D – квадратные матрицы. Пусть |A|≠0. Тогда
C D
вычтем из второй строки первую, умноженную слева на –CA– 1. Получим
∆=
A
0
B
=
D − CA −1 B
A ⋅ D − CA −1 B .
Аналогично, если |D|≠0, то, вычитая в ∆ из первой строки вторую, умноженную слева на –BD– 1, получим
∆
=
A − BD −1C 0
= D ⋅ A − BD −1C .
C
D
Применим первую из выведенных формул. Пусть
m
−1
 


 n 0 ... 0 


 0 n ... 0 
=
A 
... ... ... ... 


 0 0 ... n 




Тогда, очевидно, |A| = nm– 1, а
240



 m − 1.


1
0 ... 0 
 n

 0 1

...
0
n
.
A −1 = 
 ... ... ... ... 


 0
0 ... 1 n 


Вычислим все необходимые члены выражения D–CA– 1B.
m
−1
 


m
−1
 

 1


 −1 −1 ... −1   n 0 ... 0



 


1

... 0 
−1  −1 −1 ... −1   0

n
=
=
CA
m − 1 
 ... ... ... ...  n  ⋅ 
...
...
...
...



 

 −1 −1 ... −1  


  0

0 ... 1 
n


m
−
1
  
 1
1
1  
 − n − n ... − n  
 1

−
−1
... − 1  
n
n n ,
= n
 ...
... ... ...  



 −1
− 1 n ... − 1 n  
 
 n
m −1
 

n


 1
1
1    
−
−
...
−

 n

−1 −1 ... −1
n
n


 1


− n − 1 n ... − 1 n    −1 −1 ... −1

−1

=
CA B
n  ⋅  =
m − 1 
 ...
...
...
...
...
... ... ... 



 

   −1 −1 ... −1
 −1
1
1


−
... − 
n
n 
 n
n
 

 m −1 m −1
m −1 


...
n
n  
 n

 m −1 m −1
m −1 
...
 
=  n
n  n .
n
...
...
...  
 ...

 m −1 m −1
m −1 


...
n
n  
 n
241
m −1 m −1
m −1 
n
 
 
...
 m 0 ... 0    n
n
n 


m −1 
  m −1 m −1
...
 0 m ... 0   
−1
D
=
− CA B 
=
n
n 
n  ⋅  n
...
...
...
...

 

...
...
...
... 
 0 0 ... m   

  m − 1 m − 1 ... m − 1 

  n
n
n 
m −1
 nm − m + 1
−

n
n

−
−
m
1
nm
m +1
 −

=
n
n

...
...


m −1
m −1
−
 −
n
n

m −1 

n

m −1 
...
−
.
n

...
...

mn − m + 1 
...

n

−
...
Отсюда
nm − m + 1
m −1
n
 m −1 
D − CA −1 B = 
 ⋅
 n 
−1
...
−1
−1
−1
...
nm − m + 1
...
m −1
...
...
−1
.
...
nm − m + 1
...
m −1
−1
Прибавим в этом определителе к первому столбцу все остальные,
получим
n
−1
m −1
n
nm − m + 1
n
 m −1 
D − CA −1 B = 
⋅
1
m
−
m −1

 n 
...
...
n
−1
m −1
242
...
−1
...
−1
...
...
nm − m + 1
...
m −1
=
−1
...
nm − m + 1
...
n −1 1
 m −1 
m −1
=
⋅


...
...
...
 n 
−1
1
1
0
...
nm
...
n −1 1
 m −1 
m
−1
=
⋅

...
...
...
 n 
1
0
...
nm − m + 1
...
m −1
−1
1
−1
=
0
0
n −1
...
nm
...
m −1
 m −1 
=

 n 
n −1
 nm 
⋅

 m −1 
= mn −1.
Окончательно, ∆ = |A|⋅|D–CA– 1B| = nm– 1⋅mn– 1. Например, для графов K1,4 и K3,3, изображенных на рис. 3.2 (см. с. 68), количество
остовов равно: для K1,4 всего 1, а для K3,3–81.
3.19.3.
а) Здесь n = 8, m = 12, k = 1. Цикломатическое число графа
v(G) = 12–8 + 1 = 5 равно числу хорд графа и мощности множества
фундаментальных циклов |C*| = v(G) = 5, коциклическое число
v*(G) = 8–1 = 7 равно числу ребер остова этого графа.
Выделим в исходном графе остов, тогда хордами будут ребра 3, 6,
7, 8 и 11 (рис. 4.36). По определению фундаментальными циклами
будут следующие совокупности ребер C1: 3, 1, 2; C2: 6, 4, 5; C3: 7, 4,
5, 9; C4: 8, 5, 9, 10; C5: 11, 9, 10. Матрица фундаментальных циклов
имеет вид:
=
C∗
(
C1
C
2
=
C1∗ C2∗
C2
C4
C5
)
3
6 7
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
8
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
11 1
2
4
5
9
10 12
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0

0
.
0

0
0 
Вычислим теперь радиус и диаметр графа. e(x1) = 7, e(x2) = 6,
e(x3) = 6, e(x4) = 7, e(x5) = 6, e(x6) = 5, e(x7) = 5, e(x8) = 6, d(G) = 7, r(G) = 5.
243
x2 5 x3
x1
1
4
3
2
x8
6
x7
x4 x1
x2 5 x3 x3
6 9
3 4
8 11 1
10
2
x7 x7
x5 x8
7 x6
9
x6
x2 5 x3
11
10
9
x6
x5
x2 5 x3
8
10
4
9
x5 x7 7 x6
Рис. 4.36
P(x4) = 1, P(x1) = P(x8) = 2, P(x2) = P(x5) = P(x6) = 3, P(x3) = P(x7) = 5.
Поскольку у графа имеются вершины с нечетной степенью, то по теореме 3.11 граф не является эйлеровым. Выпишем теперь все пары
несмежных вершин: (x1, x2), (x1, x3), (x1, x4), (x1, x6), (x1, x5), (x2,
x8), (x2, x6), (x2, x4), (x3, x8), (x4, x8), (x4, x7), (x4, x6), (x4, x5), (x5, x7),
(x5, x8), (x6, x8). Например, P(x1) + P(x2) = 2 + 3 = 5<n, следовательно,
по теореме 3.14 граф не гамильтонов. Это видно и из рис. 4.36; вершина x4 имеет степень 1, т. е. простой цикл через нее провести невозможно.
б) Решение аналогично пункту а).
n = 8, m = 12, k = 1, v(G) = 5, |C*| = 5, v*(G) = 7. C1: 4, 2, 6, 9, 10, 12; C2:
5, 1, 2; C3: 7, 1, 2, 6, 9, 10, 12; C4: 8, 3, 6, 9; C5: 11, 10, 12 (см. рис. 4.37).
9
x1
x2 x3 x4 x1
1
2
5
x8
3
6
4
x7
7
x2 x1
1
8
10
2
x6 x5
5
x2
1
x4 x1
7
10
x6
x8
x3
9
6
2
x8
x3
6
2
11 12
6
10
4
x5 x8
x3
x4
9
x6
x4
x4
11 10
3
x5
x5 x8 x7 x6
12
12
9
0
8
12
Рис. 4.37
Матрица фундаментальных циклов
C1
C2
C∗ =
C2
C4
C5
4
5 7
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
8
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
11 1
2
3
6
9
10 12
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1

0
.
1

0
1 
d(G) = 7,
r(G) = 6.
P(x1) = P(x2) = 3,
P(x3) = P(x5) = P(x7) = 2,
P(x4) = P(x6) = P(x8) = 4. Граф не эйлеров и не гамильтонов.
в) n = 8, m = 12, k = 1, v(G) = 5, v*(G) = 7. C1: 2, 1, 5; C2: 3, 5, 6; C3: 4, 5,
6, 7; C4: 8, 6, 7; C5: 10, 11, 12 (рис. 4.38).
244
x1
x2 7
2
1
x3
4
3
8
6
x8 5 x7
9
x4
x2 7 x3 x2
x2
2
10
11
x6
x1
6
3
1
6
4
8
5
x5
x8 5 x7 x8
x3
7
6
x7
x8 5 x7
x4
10
11
x6
x7
12
x5
12
Рис. 4.38
C1
C2
C∗ =
C2
C4
C5
2
3 4
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
8
0
0
1
0
0
10 1
5
6
7
9
11 12
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0

0
.
0

0
1 
d(G) = 7,
r(G) = 4.
P(x1) = P(x4) = P(x5) = 2,
P(x2) = P(x6) = 3,
P(x3) = P(x7) = 4. Граф не эйлеров и не гамильтонов.
г) n = 8, m = 12, k = 1, v(G) = 5, v*(G) = 7.
C1: 4, 6, 7; C2: 5, 6, 11, 12; C3: 8, 7, 11, 12; C4: 9, 11, 12; C5: 10, 7, 11
(рис. 4.39).
x1
x2
1
3
x4
7
9 12
10
4
5
2
x8
x3 8
x7
x4 x3 8
4
12
5
7
6
x5 x7
x6
6
x3
11
6
x6 x7
7
x4
9
12
11
x5 x6
x6
x4
12
11
x5 x6
x3
7
10
x5 x6
11
x5
11
Рис. 4.39
C1
C2
C∗ =
C2
C4
C5
4
5 8
1

0
0

0
0

0
1
0
0
0
9
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
10 1
2
3
6
7
11 12
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0

1
.
1

1
0 
d(G) = 6, r(G) = 4. P(x1) = P(x2) = 1, P(x3) = P(x4) = P(x6) = 4, P(x5) = 3,
P(x7) = 5, P(x8) = 2. Граф не эйлеров и не гамильтонов.
3.19.4. Условия этой задачи эквивалентны условиям теоремы
3.14 (теоремы Оре).
245
Поскольку теорема 3.14 – следствие
теоремы 3.13, при решении будем использовать эту теорему. На рис. 4.40
изображен кубический гамильтонов
граф, имеющий четыре основных проx8
x7
x6
x5
стых цикла. В теореме 3.13 утверждается, что если в гамильтоновом графе
Рис. 4.40
степени половины вершин не превосходят их номеров, то степени другой половины вершин не менее номеров этих вершин.
Пусть дан граф G = (S, U), S = {x1, x2,…, xn}, P ( x=
i ) d=
i , i 1,n и
d1≤d2≤…≤dn – степенная последовательность графа G. Если покаx2
x1
x3
x4
зать, что dk > k, k= 1, n 2 − 1, то задача сведется к теореме 3.13.


Решим задачу методом от противного. Выберем индекс
t ∈ 1,2,..., n 2 − 1 . Пусть для него выполняется неравен

ство dt≤t. Если существуют i и j такие, что i, j ≤ t и (xi, xj)∉U, то
P(xi) + P(xj) ≤ 2dt ≤ 2t < n, что противоречит условиям задачи: для любых вершин x, y∈S, (x, y)∉U (x и y не смежны), P(x) + P(y) ≥ n.
Следовательно, вершины x1, x2,…, xt попарно смежны. Но
dl ≤ t, l =
1,t, по нашему предположению. Это значит, что каждая
вершина xl , l = 1,t из перечня вершин x1, x2,…, xt смежна не более
чем с одной вершиной xm, t + 1 ≤ m ≤ n (раз они попарно смежны, то
их степени могут достигать значения t–1, поэтому каждую из них
можно соединить еще лишь с одной вершиной).
Так как t < n 2, то n–t>t (т. е. вершин xm больше, чем вершин
xl), следовательно, обязательно найдется хотя бы одна вершина xj , j= t + 1,n, не смежная ни с одной из вершин xi , i = 1,t, т. е.
P(xj) ≤ n–t–1. Но тогда для пары несмежных вершин xi и xj будет
P(xi) + P(xj) ≤ n–t–1 + t = n–1<n, что противоречит условию задачи.
Полученное противоречие доказывает теорему 3.14.
3.19.5. а) Исходный граф эйлеров, ибо
{
}
P(x1) = P(x4) = P(x6) = P(x8) = P(x11) = P(x12) = 2,
P(x2) = P(x9) = 6, P(x3) = P(x5) = P(x7) = P(x10) = 4.
Выберем за начальную вершину x1 и ребро (x1, x2), присвоим ребру номер 1 и перейдем в вершину x2. Из вершины x2 выходят пять
еще не помеченных ребер, все они не являются перешейками, поэтому можно выбрать любое, например, (x2, x3). Присвоим этому ребру
246
а)
20
x12
а
3
x3
x1
1
19
x5
8
4
x2 2 5 6 x4 7
10
x9
15
11
18
16
14
x8
б) x1
x6
3
x2
9
12
1
x7
13
6
7
4
5
б
x11 17 x10
x3
2
x6
x4
8
x5
Рис. 4.41
номер 2 и перейдем в вершину x3. Далее процесс продолжается аналогично до перебора всех ребер. Возможный эйлеров цикл показан
на рис. 4.41, а.
б) Решение аналогично пункту а). Один из возможных эйлеровых циклов показан нумерацией ребер графа на рис. 4.41, б.
3.19.6. Сначала оценим число вершинной независимости по теореме 3.18. Здесь P(x1) = … = P(x10) = 3, поэтому
10
á 0 ( G ) ≥ ∑ (1 + P ( xi ) )
i =1
−1
1 1
1
= + + ... + = 2.5.
4
4
4


10 ÷ëåíîâ
Построим множество M, для которого M >
∑ (1 + P ( x ) )
−1
. Вы-
x∈S
берем первой вершину x1, затем удалим ее и все смежные с ней вершины x2, x7 и x5. Вновь выберем вершину x3. После этого все внешние вершины оказываются удаленными. Аналогичные действия
для внутренних вершин графа дадут еще две вершины независимого множества: x6 и x10.
Итак, одно из возможных множеств вершин – {x1, x3, x6, x10}.
Поскольку граф симметричный, то это же множество будет наибольшим. Аналогично находятся другие независимые множества
вершин, например, {x1, x8, x9, x4}.
Таким образом, α0(G) = 4.
3.19.7. У графа Петерсена =
n 10, P ( x=
, i 1,10. Поэтому
i ) 3=
n
P ( xi ) < 2 =
5, т. е. не выполняется следствие 1 теоремы 3.14. Сама
теорема 3.14 также не выполняется, ибо P(xi) + P(xj) = 6 < n = 10, при
условии, что xi и xj не смежны=
и i, j 1,10, i ≠ j.
Проверим теперь выполнение условий основной теоремы 3.13. Для
1 ≤ k < 5 проверим истинность импликации ( Pk ≤ k ) ⇒ ( Pn −k ≥ n − k ).
k = 1, P(x1) = 3≥1, P(x9) = 3≤9, 0→0 = 1;
k = 2, P(x2) = 3≥2, P(x8) = 3≤8, 0→0 = 1;
247
x2
а)
б)
x3
x2
x1
G 1:
в) x1
x8
x7
x3
x9
G 3:
x4 G 2:
x7
x4
x1
x5
x6
x3 x4
x2
x5
x8 x7
x5
x6
x6
Рис. 4.42
k = 3, P(x3) = 3 = 3, P(x7) = 3≤7, 1→0 = 0;
k = 4, P(x4) = 3≤4, P(x6) = 3≤6, 1→0 = 0.
Таким образом, для k = 3 и k = 4 условия теоремы нарушены, граф
Петерсена не гамильтонов.
3.19.8. Специального алгоритма поиска доминирующего множества нет, однако, когда вершин графа немного, это не составляет
особого труда.
а) Доминирующим множеством для данного графа будет, например, множество {x1, x3, x5} или {x2, x4, x5}. Минимальным и наименьшим является множество {x2, x5} (см. рис. 4.42, а), т. е. δ(G1) = 2.
б) δ(G2) = 3. Решение видно из рис. 4.42, б.
в) δ(G3) = 2. В этом случае доминирующее множество будет и независимым множеством. Подмножество вершин графа, являющееся
как независимым, так и доминирующим, называется ядром (рис.
4.42, в).
3.19.9. По методике, изложенной в § 3.18, построим дерево поиска клик графа, изображенного на рис. 3.44, а (см. с. 131). Это дерево
показано на рис. 4.43.
S=∅
1
3
2
4
5
6
7
8
9
10
2,12 2,3 2,10
12,1
2,3,9 2,10,9
1,12,2 2,1,12 2,9,3 2,10,11
12,1,2
12,2,1
2,11,10
Пронумерованы только множества клик 1, 2 и 12 вершин.
Нумерация остальных множеств очевидна (см. рис. 3.44, а)
Рис. 4.43
248
12
12,2
1,12 1,2 2,1 2,9 2,11
1,2,12 2,12,1 2,9,10
11
x1
x3
x2
x9
x2
x2
x12
x5
x3
x2
x9
x4
x9
x9
x7
x5
x10
x11
x7
x8
x10
x3
x10
x9
Рис. 4.44
Таким образом, у данного графа восемь клик. Все клики графа
показаны на рис. 4.44.
Матрица клик данного графа имеет следующий вид:
x1 x2
Q1  1

Q2  0

Q3  0

Q4  0
C(G ) =

Q5  0
Q6  0
Q7  0

Q8  0
x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
1
0 0
0
0
0 0 0 0
0
1
1
0
0
0
0 0
1 0
0
1
0 0
0
0
0 0
1 1
0
1
0 0
0
0
0 0 0
1
1
0
1 1
1
0
0 0 0 0
0
0
0 0
0
0
1 1 1 0
0
0
0 0
0
0
1 0
1 1
0
0
1
1
0
0 0
1 0
0
0
1

0

0

0
.
0
0

0

0 
б) Решение аналогично пункту а).
Дерево поиска клик графа Петерсена изображено на рис. 4.45.
У графа 15 клик, все они содержат по две вершины. Матрица клик
графа содержит пятнадцать строк и десять столбцов.
S=∅
2
1
1,7
1,2
3
2,1
1,5
2,8
4
5
6
7
8
9
10
8,10
9,7 10,7 10,4
7,9
8,2
2,3
3,9
4,3
4,5
5,6 6,5
6,9
5,1
8,6
9,3
9,6 10,8
3,2
3,4 4,10 5,4
6,8 7,1
7,10
Рис. 4.45
249
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q
C(G ) = 7
Q8
Q9
Q10
Q11
Q12
Q13
Q14
Q15
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 1

0 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0

0 0 1 1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

0 0 0 0 0
x6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
x7
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
x8
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
x9
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
x10
0
0
0 
0
0
0

0
.
1
0
0

0
0
0
1

1
в) Дерево поиска клик графа, изображенного на рис. 3.46, б, показано на рис. 4.46.
Всего у графа семь клик, состоящих из двух и трех вершин. Матрица клик графа приведена рис. 4.46.
x1
Q1
Q2
Q3
C(G ) =
Q4
Q5
Q6
Q7
x2
1

1
0

0
0

0
0

x3
1
0
1
0
0
0
0
x4
x5
x6
x7
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
x8
0
0
0
0
0
0
1
x9
0

0
0
 .
0
0

0
1 
S=∅
1
4
3
2
4,1
1,2
1,4
2,1
2,3
3,2
3,4
5
6
7
4,5 5,7 6,5
7,5
7,8
5,4 5,6
6,7 7,6 7,9 8,7
4,3
5,6,7
7,5,6 7,8,9 7,9,8
5,7,6 6,5,7 6,7,5 7,6,5
Рис. 4.46
250
8
8,7,9
8,9
9
9,7 9,8
9,8,7
8,9,7
9,7,8
S=∅
1
3,2
1,7
2,3
4
3
2
2,7
3,6
3,8
5
7
6,5
4,7
3,4
4,3
3,5
6
5,3
5,6
3,5,6
6,3
7,8
7,4
6,7
7,2
8
7,6
8,3
8,7
6,3,5
5,3,6
3,6,5
5,6,3
6,5,3
Рис. 4.47
г) Граф имеет девять клик (рис. 4.47). Матрица клик выглядит
следующим образом:
x1
x3
x4
x5
x6
x7
x8
0

0
0

1
.
0

0
0

0

1
3.19.10. Множество вершин графа независимо, если никакие две
вершины этого множества не смежны. Наименьшее доминирующее
множество состоит из вершин графа, которые в целом смежны со
всеми остальными вершинами, не входящими в это наименьшее доминирующее множество.
Таким образом, условиям задачи удовлетворяет граф, вершины наименьшего доминирующего множества которого, не смежны
между собой. Таким условиям удовлетворяет, например, граф, изображенный на рис. 3.46, в.
Q1
Q2
Q3
Q4
C(G ) =
Q5
Q6
Q7
Q8
Q9
1

0
0

0
0

0
0

0

0
x2
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
§ 3.23. Ответы и решения задач практического занятия № 9
3.23.1. Для ответа на вопрос задачи удобнее всего применить какой-нибудь формальный признак планарности, использующий число вершин и ребер графа Gn. Однако необходимого и достаточного
251
признака, оперирующего только с числами n и m нет. Из теоремы
3.21 вытекает следующее следствие: для связного планарного (n,
m) – графа выполняется неравенство m≤3n–6 при n≥3. Действительно, если граф планарен, то всякая его грань ограничена по крайней
мере тремя ребрами. Исключение составляет лишь дерево с тремя
вершинами, но для него формула m≤3n–6 справедлива. Поэтому,
если f – число граней графа Gn и он планарен, то число 3f является
оценкой снизу удвоенного числа ребер графа, т. е. 3f≤2m. По формуле (3.20.1) f = m–n + 2, т. е. 3n–6≥m. Применим это неравенство к
графам Gn при n = 6 и n = 7. Если n = 6, m = 11, 18–6 = 12≥11, если же
n = 7, m = 17, 21–6 = 15<17.
Можно предложить и иное решение. Пусть i – номер вершины x,
j – номер вершины y, i<j; i1, i2,…, ik; – вершины, номера которых взаимно просты с i, т. е. (ik, i) = 1, j1, j2,…, jl – вершины, номера которых
взаимно просты с j.
Рассмотрим последовательность чисел i1, i2,…, ik и j1, j2,…, jl,
удовлетворяющих условиям i p > i + 1, p =
1, k и jq > j + 1,q =
1, l. Видно, что если при этих условиях величина ip>jq, граф перестает быть
планарным. Этот факт хорошо виден на рис. 4.48. При n = 6 имеем
i = 2, i1 = 3, i2 = 5; j = 3, j1 = 2, j2 = 4, j3 = 5. По предложенному критерию
следует сравнивать только i2 и i3, при этом i2 = j3. Далее при n = 7,
i = 2, i1 = 3, i2 = 5, i3 = 7; j = 3, j1 = 2, j2 = 4, j3 = 5, j4 = 7. Сравниваем i2, i3,
j3, j4, i3 = 7>j3 = 5, граф не планарен.
Для предложенного множества вершин {1, 2,…, 10} планарность
или не планарность графов может быть легко установлена по рисункам, подобным рис. 4.48.
n=6
n=7
3
2
3
2
4
4
1
1
5
6
7
5
6
Рис. 4.48
Итак, начиная с n≥7, графы Gn не будут планарными.
3.23.2. Все вершины x1, x2,…, xn графа G = (Sn, Um) поместим в
различные точки оси Ox. Рассмотрим пучок плоскостей, проходящий через Ox (рис. 4.49). Из этого пучка выберем m различных плоскостей. Каждое ребро (xi, xj) = uk изображаем в соответствующей
плоскости полуокружностью, проходящей через вершины xi и xj. В
252
результате получается укладка графа G в трехмерном пространстве
R3, так как ребра не пересекаются, потому что лежат в разных плоскостях.
x
xn
0
x1
x2
Рис. 4.49
3.23.3. а) Воспользуемся теоремой 3.22. Поскольку степень каждой вершины графа равна трем, то в нем можно попытаться выделить подграф, гомеоморфный K3,3. На рисунке 4.50, а изображен
подграф исходного графа, гомеоморфный K3,3 (рис. 4.50, б). По критерию Понтрягина – Куратовского исходный граф не планарен.
a3
a2
б) a1
b1
a)
a1
b2
a3
a2
b3
b1
b2
b3
Рис. 4.50
б) Решение аналогично пункту а). В исходном графе можно выделить подграф, гомеоморфный графу K3,3 (рис. 4.51). Исходный граф
не планарен.
b2
a1
a1
a2
b1
a2
a3
a3
b3
b1
b2
b3
Рис. 4.51
в) Для проверки планарности в этом случае применим теорему
3.23. Рассмотрим подграф исходного графа, изображенный на рис.
253
4.52, а, и отождествим в нем вершины x1 и x6. В результате получим граф, имеющий шесть вершин (рис. 4.52, б), который изоморфен графу K3,3 (рис. 4.52, в). Таким образом, исходный граф имеет
подграф, стягиваемый к графу K3,3, следовательно, он не планарен.
x2
a)
x3
б)
x2
x3
в)
x2
x5
x6
x3
x4
x7
x1
x4
x7
x4
x7
x6
x5
x5
x6(x1)
Рис. 4.52
3.23.4. а) Исходный граф G2n составлен из графов K4. Граф K4
планарен, а поскольку все графы K4 «приставлены» друг к другу
справа, то шестое ребро каждого графа K4 можно расположить во
внешней грани, как это показано на рис. 4.53. Таким образом, исходный граф будет планарен при любом n.
…
…
…
…
Рис. 4.53
б) Будем последовательно увеличивать размерность n и исследовать графы G2n. Пусть n = 3. Граф G2n = G6 еще планарен, так как шестое ребро каждого графа K4 можно расположить во внешней грани
(рис. 4.54, а). Если же n = 4, то для графа G8 подобная операция возможна лишь для двух крайних справа и слева графов K4; для всех
внутренних графов K4 это невозможно (рис. 4.54, б), т. е. начиная с
n≥4 графы G2n будут не планарными.
a)
G 6:
б)
G 8:
Рис. 4.54
254
3.23.5. а) Шаг 1. Выберем простой цикл C = {x1, x2, x3, x4}, пусть
G = C.
Шаг 2. Граф G имеет четыре сегмента G1, G2, G3 и G4 (рис 4.55).
x3
G :
Γ1
x5
x2
x6
x1
G 1:
x6
G 3:
G 2:
x5
G 4:
Γ2
x4
x1
x2
x3
x3
x1
x2
x2
Рис. 4.55
Шаг 3. Γ(G1) = … = Γ(G4) = {Γ1, Γ2}, Γ ( Gi ) ≠ ∅, i =1,4.
Шаг 4. Нет сегмента, для которого существовала бы единственная допустимая грань.
Шаг 5. Любую α-цепь можно уложить в Γ1 или в Γ2.
Шаг 6. Уложим G1 и G3 в Γ1, а G2 в Γ2. Возникнет новый граф G и
один его сегмент G1 (рис. 4.56).
x5
G :
x5
Γ1
x6
G 1:
Γ3
x3
x2
Γ2
Γ4
Γ5
x6
x4
x1
Рис. 4.56
Шаг 1–2. Γ(G1) = {Γ1}.
Шаг 3. Γ(G1)≠∅.
Шаг 4. Переход на шестой шаг.
Шаг 6. α-цепь L1 = {x5, x6} поместим в грань Γ1. Новый граф G является плоской укладкой исходного графа (рис. 4.57).
x5
G :
x6
x2
x3
x4
x1
Рис. 4.57
Шаг 7. Конец алгоритма.
255
б) Шаг 1. Пусть C = {x1, x2, x3, x4, x6}, G = C.
Шаг 2. Сегментов четыре: G1, G2, G3, G4 (рис. 4.58).
Γ1
x2
G :
x5
x3
Γ2
G 1:
x4
x5
x1
x3
x4
x6
x1
x1
x5
G 2:
G 3:
G 4:
x4
x3
x7
x2
x6
Рис. 4.58
Шаг 3. Γ(G1) = … = Γ(G4) = {Γ1, Γ2}, Γ ( Gi ) ≠ ∅, i =1,4.
Шаг 4. Нет сегмента с одной допустимой гранью.
Шаг 5. Любую α-цепь можно уложить в Γ1 или в Γ2.
Шаг 6. Уложим G2 и G3 в Γ2, а G1 и G4 в Γ1. Получим плоскую
укладку исходного графа G на плоскости (рис. 4.59).
x5
G :
x7
x3
x2
x4
x6
x1
Рис. 4.59
Шаг 7. Конец алгоритма.
3.23.6. а) Вычислим характеристики графа K5. Этот граф – полный, поэтому для нахождения числа планарности (искаженности)
можно воспользоваться формулой (3.20.3).
sk ( K5 )= C52 − 3 ⋅ 5 + 6= 1.
 5 + 7  12 
Толщина графа равна t ( =
K5 )  =
 =
 2 (см. § 3.21).
 6  6
б) G = K3,3. K3,3 – не полный граф,
пользоваться формулой (3.20.3) нельзя. Однако в данном случае число планарности легко определить по рисунку
(см. рис. 4.60). sk(K3,3) = 1. Для толщины графа Kn,m известна следующая
формула
Рис. 4.60
256


nm
t Kn,m = 
,
 2 ( n + m − 2 ) 
(
)
где ]…[ = […] + 1.
Отсюда

 9
3⋅3
t K3=
=

 =
,3
 2,
 2 ( 3 + 3 − 2 )   8 
(
)
что является очевидным результатом.
в) G – граф Петерсена (см. рис. 3.45 на стр.
131). Это не полный граф, n = 10, m = 15. Число планарности можно определить из рисунка 4.61. sk(G) = 2. Формулы (3.20.3) дают
очень приблизительную оценку толщины
графа. Например, в нашем случае
 15 
1
t(G ) ≥ 
=
 30 − 6 
Рис. 4.61
и
15 + 30 − 7 
t(G ) ≥ 
1.
=
 30 − 6 
На самом деле t(G) = 3 для графа Петерсена (рис. 4.61).
3.23.7. а) Топологически тор эквивалентен сфере с одной ручкой
(рис. 4.62). В силу стереографической проекции все планарные графы укладываются на сфере. Графы, которые нельзя уложить на
плоскости, но можно уложить на торе, называются тороидальными.
На рис 4.63, а изображена такая укладка тороидального графа K5.
Рис. 4.62
257
a)
б)
Рис. 4.63
б) Решение аналогично пункту а. Укладка графа K3,3 на торе изображена на рис. 4.63, б.
3.23.8.
а) Исходный граф K4. Хроматические числа полных графов находятся по формуле χ(Kn) = n. В нашем случае χ(K4) = 4. Приведенная
на рис. 4.64, а раскраска вершин подтверждает это.
a)
в)
б)
2
1
Q3:
K4:
2
4
1
3
2
1
2
1
2
3
1
G:
1
2
2
1
3
Рис. 4.64
б) Данный граф – это Q3. Сначала оценим хроматическое число
этого графа по формулам § 3.22. P ( x=
, i 1,8. χ(Q3)≤3 + 1 = 4. Даi ) 3=
лее так как n = 8, m = 12, то

 40  
1−  

3 + 9 + 8 ⋅4 
8
8 


⋅
≤ χ ( Q3 ) ≤ 
 , 0≤χ(Q3)≤4.
64
24
40
−
2

 



1
+
 8  
  8 


Наибольшее независимое множество вершин графа Q3 обведено кружками на рис. 4.64, б. Видно, что α0(Q3) = 2. Тогда
8
≤ χ ( Q3 ) ≤ 8 − 4 + 1, 2≤χ(Q3)≤5. В действительности χ(Q3) = 2. Рас4
краска вершин указана на рис. 4.64, б.
в) P ( x=
, i 1,6, =
m 12. Первая оценка хроматического числа
i ) 4=
дает χ(Q)≤4 + 1 = 5. Далее
3 + 9 + 8 ⋅6 
6 1
,
 2 ⋅ 3  ≤ χ(G ) ≤ 
2




258
6
≤ χ ( G ) ≤ 6 − 2 + 1, 3≤χ(G)≤5.
2
На самом деле χ(G) = 3 (см. раскраску графа на рис. 4.64, в.
3.23.9. Так как все вершины полного графа Kn смежны и
P ( x=
, i 1,n, а χ(Kn) = n, то удаление любой из них автоматичеi ) n=
ски уменьшает степень всех оставшихся вершин на единицу. Оставшийся граф будет также полным графом Kn–1 и χ(Kn–1) = n–1. Таким
образом, Kn – критический граф.
Любой простой цикл C2n изоморфен неполному двудольному графу (рис. 4.65).
1≤χ(G)≤5, α0(G) = 2,
x1
x2
1
2
1
2
1
x5
2
x4
C 6:
x6
x3
x1
x3
x5
x2
x4
x6
C 6:
Рис. 4.65
Поэтому χ(C2n) = 2. При удалении
x1
x2
x3
любой вершины простой цикл превра1
2
1
x4
C 7:
щается в дерево T, а χ(T) = 2. Таким об3
2
1
2
разом, если n – четно, то C2n – не криx7
x6
x5
тический граф. Если же n нечетно, то,
очевидно, χ(C2n+1) = 3 (рис. 4.66).
Рис. 4.66
При удалении любой вершины
опять получается дерево и χ(T) = 2, т. е.
C2n+1 – критический граф.
3.23.10. На рис. 4.67, а приведена минимальная 3-раскраска графа G. Правильная 2-раскраска невозможна, ибо это не двудольный
граф. Алгоритм последовательной раскраски использует четыре
цвета (рис. 4.67, б). Последовательная раскраска этого графа не является минимальной.
a)
1
3
3
2
1
2
б)
1
2 2
1
3
2
1
2
1
4
1
2
2
1
Рис. 4.67
259
§ 3.28. Ответы и решения задач практического занятия № 10
3.28.1.
1) ϕmax = 43; 2) ϕmax = 27;
5) ϕmax = 43;
6) ϕmax = 18;
9) ϕmax = 24;
10) ϕmax = 31;
13) ϕmax = 29;
14) ϕmax = 26;
17) ϕmax = 24;
18) ϕmax = 24;
21) ϕmax = 33; 22) ϕmax = 22; 25) ϕmax = 35; 26) ϕmax = 15; 29) ϕmax = 34; 30) ϕmax = 15.
3.28.2.
1) Путей шесть (рис. 4.68).
x3
4) ϕmax = 25;
8) ϕmax = 22;
12) ϕmax = 31;
16) ϕmax = 20;
20) ϕmax = 38;
24) ϕmax = 40;
28) ϕmax = 18;
a4
x2
a1
x1 a2
3) ϕmax = 22; 7) ϕmax = 43;
11) ϕmax = 25;
15) ϕmax = 41;
19) ϕmax = 19;
23) ϕmax = 33; 27) ϕmax = 38; x5
a5
a3
x4
a7
x6
a6
Рис. 4.68
tкр. = 36. tр(x1) = 0, tр(x2) = 5, tр(x3) = 8, tр(x4) = 11, tр(x5) = 29, tр(x6) = 36,
tп(x6) = 36, tп(x5) = 29, tп(x4) = 11, tп(x3) = 17, tп(x2) = 11, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = 0,
R(x2) = 6,
R(x3) = 3;
tр.н.(a1) = 0,
tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 6, tп.о.(a1) = 11, Rп.(a1) = 6, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 8, tп.н.(a2) = 3, tп.о.(a2) = 11, Rп.(a2) = 3, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 11, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 11, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 5, tр.о.(a4) = 11, tп.н.(a4) = 23, tп.о.(a4) = 29, Rп.(a4) = 18, Rc.(a4) = 18,
tр.н.(a5) = 8, tр.о.(a5) = 20, tп.н.(a5) = 17, tп.о.(a5) = 29, Rп.(a5) = 9, Rc.(a5) = 9,
tр.н.(a6) = 11, tр.о.(a6) = 29, tп.н.(a6) = 11, tп.о.(a6) = 29, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 29, tр.о.(a7) = 36, tп.н.(a7) = 29, tп.о.(a7) = 36, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
2) Путей шесть (рис. 4.69).
x2
a3
x4
a1
x1
a6
x6
a4
a2
x3
a5
a7
x5
Рис. 4.69
tкр. = 33. tр(x1) = 0, tр(x2) = 9, tр(x3) = 9, tр(x4) = 20, tр(x5) = 13, tр(x6) = 33,
tп(x6) = 33, tп(x5) = 18, tп(x4) = 20, tп(x4) = 13, tп(x2) = 9, tп(x1) = 0;
260
R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x6) = 0, R(x3) = 4, R(x5) = 5;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 9, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 9, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 5, tп.н.(a2) = 8, tп.о.(a2) = 13, Rп.(a2) = 8, Rc.(a2) = 4,
tр.н.(a3) = 9, tр.о.(a3) = 20, tп.н.(a3) = 9, tп.о.(a3) = 20, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 9, tр.о.(a4) = 16, tп.н.(a4) = 13, tп.о.(a4) = 20, Rп.(a4) = 4, Rc.(a4) = 4,
tр.н.(a5) = 9, tр.о.(a5) = 13, tп.н.(a5) = 14, tп.о.(a5) = 18, Rп.(a5) = 5, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 20, tр.о.(a6) = 33, tп.н.(a6) = 20, tп.о.(a6) = 33, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 13, tр.о.(a7) = 28, tп.н.(a7) = 18, tп.о.(a7) = 33, Rп.(a7) = 5, Rc.(a7) = 5;
3) Путей семь (рис. 4.70).
a4
x2
a1
x1
x5
a2
a3
a5
x3
a8
x7
a7
x6
x4
a6
Рис. 4.70
tкр. = 29. tр(x1) = 0, tр(x2) = 7, tр(x3) = 11, tр(x4) = 5, tр(x5) = 17, tр(x6) = 17,
tр(x7) = 29, tп(x7) = 29, tп(x6) = 17, tп(x5) = 17, tп(x4) = 13, tп(x3) = 13,
tп(x2) = 7, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x3) = 2, R(x4) = 8;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 7, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 7, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 11, tп.н.(a2) = 2, tп.о.(a2) = 13, Rп.(a2) = 2, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 5, tп.н.(a3) = 8, tп.о.(a3) = 13, Rп.(a3) = 8, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 7, tр.о.(a4) = 17, tп.н.(a4) = 7, tп.о.(a4) = 17, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 11, tр.о.(a5) = 15, tп.н.(a5) = 13, tп.о.(a5) = 17, Rп.(a5) = 2, Rc.(a5) = 2,
tр.н.(a6) = 5, tр.о.(a6) = 18, tп.н.(a6) = 16, tп.о.(a6) = 29, Rп.(a6) = 11, Rc.(a6) = 11,
tр.н.(a7) = 17, tр.о.(a7) = 29, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 29, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0,
tр.н.(a8) = 17, tр.о.(a8) = 25, tп.н.(a8) = 21, tп.о.(a8) = 29, Rп.(a8) = 4, Rc.(a8) = 4;
4) Путей восемь (рис. 4.71).
x2
a1
x1 a2
x3
a3
x4
a4
a5
a6
a7
x5
x6
x7
a8
a9
x8
a10
Рис. 4.71
261
tкр. = 17. tр(x1) = 0, tр(x2) = 3, tр(x3) = 4, tр(x4) = 4, tр(x5) = 6, tп(x6) = 13,
tр(x7) = 10, tр(x8) = 17, tп(x8) = 17, tп(x7) = 11, tп(x6) = 13, tп(x5) = 9,
tп(x4) = 4, tп(x3) = 4, tп(x2) = 6, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x3) = R(x4) = R(x6) = R(x8) = 0, R(x7) = 1, R(x5) = 3, R(x6) = 1;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 3, tп.н.(a1) = 3, tп.о.(a1) = 6, Rп.(a1) = 3, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 2, tп.н.(a2) = 2, tп.о.(a2) = 4, Rп.(a2) = 2, Rc.(a2) = 2,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 4, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 4, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 3, tр.о.(a4) = 6, tп.н.(a4) = 6, tп.о.(a4) = 9, Rп.(a4) = 3, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 3, tр.о.(a5) = 8, tп.н.(a5) = 8, tп.о.(a5) = 13, Rп.(a5) = 5, Rc.(a5) = 5,
tр.н.(a6) = 4, tр.о.(a6) = 13, tп.н.(a6) = 4, tп.о.(a6) = 13, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 4, tр.о.(a7) = 10, tп.н.(a7) = 5, tп.о.(a7) = 11, Rп.(a7) = 1, Rc.(a7) = 0,
tр.н.(a8) = 6, tр.о.(a8) = 14, tп.н.(a8) = 9, tп.о.(a8) = 17, Rп.(a8) = 3, Rc.(a8) = 3,
tр.н.(a9) = 13, tр.о.(a9) = 17, tп.н.(a9) = 13, tп.о.(a9) = 17, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0,
tр.н.(a10) = 10, tр.о.(a10) = 16, tп.н.(a10) = 11, tп.о.(a10) = 17, Rп.(a10) = 1,
Rc.(a10) = 1;
5) Путей семь (рис. 4.72).
x2
a4
x4
a1
x1
a2
x5
a5
a3
x3
a6
x6
a7
a8
x7
a9
Рис. 4.72
tкр. = 26. tр(x1) = 0, tр(x2) = 6, tр(x3) = 8, tр(x4) = 11, tр(x5) = 15, tр(x6) = 15,
tр(x7) = 26, tр(x7) = 26, tп(x6) = 15, tп(x5) = 15, tп(x4) = 17, tп(x3) = 8,
tп(x2) = 12,
tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0,
R(x2) = 6, R(x4) = 6;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 6, tп.н.(a1) = 6, tп.о.(a1) = 12, Rп.(a1) = 6, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 9, tп.н.(a2) = 6, tп.о.(a2) = 15, Rп.(a2) = 6, Rc.(a2) = 6,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 8, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 8, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 6, tр.о.(a4) = 11, tп.н.(a4) = 12, tп.о.(a4) = 17, Rп.(a4) = 6, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 8, tр.о.(a5) = 11, tп.н.(a5) = 12, tп.о.(a5) = 15, Rп.(a5) = 4, Rc.(a5) = 3,
tр.н.(a6) = 8, tр.о.(a6) = 15, tп.н.(a6) = 8, tп.о.(a6) = 15, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 11, tр.о.(a7) = 20, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 26, Rп.(a7) = 6, Rc.(a7) = 6,
tр.н.(a8) = 15, tр.о.(a8) = 26, tп.н.(a8) = 15, tп.о.(a8) = 26, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0,
tр.н.(a9) = 15, tр.о.(a9) = 25, tп.н.(a9) = 16, tп.о.(a9) = 26, Rп.(a9) = 1, Rc.(a9) = 1;
262
6) Путей шесть (рис. 4.73).
a5
x2
x5
a7
a1
a2
x1
x3
a9
x7
x8
a4
a3
a6
x4
a8
x6
Рис. 4.73
tкр. = 50. tр(x1) = 0, tр(x2) = 11, tр(x3) = 9, tр(x4) = 14, tр(x5) = 17, tр(x6) = 22,
tр(x7) = 35, tр(x8) = 50, tп(x8) = 50, tп(x7) = 35, tп(x6) = 22, tп(x5) = 25,
tп(x4) = 14, tп(x3) = 9, tп(x2) = 19, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x6) = R
(x7) = R(x8) = 0, R(x2) = 8, R(x5) = 8;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 11, tп.н.(a1) = 8, tп.о.(a1) = 19, Rп.(a1) = 8, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 9, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 9, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 7, tп.н.(a3) = 7, tп.о.(a3) = 14, Rп.(a3) = 7, Rc.(a3) = 7,
tр.н.(a4) = 9, tр.о.(a4) = 14, tп.н.(a4) = 9, tп.о.(a4) = 14, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 11, tр.о.(a5) = 17, tп.н.(a5) = 19, tп.о.(a5) = 25, Rп.(a5) = 8, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 14, tр.о.(a6) = 22, tп.н.(a6) = 14, tп.о.(a6) = 22, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 17, tр.о.(a7) = 27, tп.н.(a7) = 25, tп.о.(a7) = 35, Rп.(a7) = 8, Rc.(a7) = 8,
tр.н.(a8) = 22, tр.о.(a8) = 35, tп.н.(a8) = 22, tп.о.(a8) = 35, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0,
tр.н.(a9) = 35, tр.о.(a9) = 50, tп.н.(a9) = 35, tп.о.(a9) = 50, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0;
7) Путей шесть (рис. 4.74).
x2
a4
a1
x1
a3
a2
x3
a5
x5
a7
x6
a6
x4
Рис. 4.74
tкр. = 15. tр(x1) = 0, tр(x2) = 3, tр(x3) = 6, tр(x4) = 4, tр(x5) = 10,
tр(x6) = 15, tп(x6) = 15, tп(x5) = 10, tп(x4) = 8, tп(x3) = 6, tп(x2) = 4, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x6) = 0, R(x2) = 1, R(x4) = 4;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 3, tп.н.(a1) = 1, tп.о.(a1) = 4, Rп.(a1) = 1, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 6, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 6, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 4, tп.н.(a3) = 4, tп.о.(a3) = 8, Rп.(a3) = 4, Rc.(a3) = 0,
263
tр.н.(a4) = 3, tр.о.(a4) = 9, tп.н.(a4) = 4, tп.о.(a4) = 10, Rп.(a4) = 1, Rc.(a4) = 1,
tр.н.(a5) = 6, tр.о.(a5) = 10, tп.н.(a5) = 6, tп.о.(a5) = 10, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 4, tр.о.(a6) = 11, tп.н.(a6) = 8, tп.о.(a6) = 15, Rп.(a6) = 4, Rc.(a6) = 4,
tр.н.(a7) = 10, tр.о.(a7) = 15, tп.н.(a7) = 10, tп.о.(a7) = 15, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
8) Путей семь (рис. 4.75).
a4
a1
x2
x4
a6
a2
x1
x6
a3
a7
x5
a5
x3
Рис. 4.75
tкр. = 25. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 10, tр(x4) = 16, tр(x5) = 16,
tр(x6) = 25, tп(x6) = 25, tп(x5) = 20, tп(x4) = 16, tп(x4) = 13, tп(x2) = 10,
tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x6) = 0, R(x3) = 3, R(x5) = 3;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 10, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 10, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 12, tп.н.(a2) = 4, tп.о.(a2) = 16, Rп.(a2) = 4, Rc.(a2) = 4,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 9, tп.н.(a3) = 4, tп.о.(a3) = 13, Rп.(a3) = 4, Rc.(a3) = 1,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 16, tп.н.(a4) = 10, tп.о.(a4) = 16, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 17, tп.н.(a5) = 14, tп.о.(a5) = 20, Rп.(a5) = 3, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 16, tр.о.(a6) = 25, tп.н.(a6) = 16, tп.о.(a6) = 25, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 25, tр.о.(a7) = 22, tп.н.(a7) = 20, tп.о.(a7) = 25, Rп.(a7) = 3, Rc.(a7) = 3;
9) Путей одиннадцать (рис. 4.76).
a3
a1
x2
a7
a6
x1
a2
x4
a4
x5
x3
a5
x6
a8
x7
a9
Рис. 4.76
tкр. = 32. tр(x1) = 0, tр(x2) = 5, tр(x3) = 6, tр(x4) = 14, tр(x5) = 20, tр(x6) = 20,
tр(x7) = 32, tп(x7) = 32, tп(x6) = 20, tп(x5) = 20, tп(x4) = 14, tп(x3) = 9,
tп(x2) = 5, tп(x1) = 0;
264
R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x3) = 3;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 5, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 6, tп.н.(a2) = 3, tп.о.(a2) = 9, Rп.(a2) = 3, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 5, tр.о.(a3) = 14, tп.н.(a3) = 5, tп.о.(a3) = 14, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 6, tр.о.(a4) = 17, tп.н.(a4) = 9, tп.о.(a4) = 20, Rп.(a4) = 3, Rc.(a4) = 3,
tр.н.(a5) = 6, tр.о.(a5) = 10, tп.н.(a5) = 16, tп.о.(a5) = 20, Rп.(a5) = 10, Rc.(a5) = 10,
tр.н.(a6) = 14, tр.о.(a6) = 20, tп.н.(a6) = 14, tп.о.(a6) = 20, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 14, tр.о.(a7) = 24, tп.н.(a7) = 22, tп.о.(a7) = 32, Rп.(a7) = 8, Rc.(a7) = 8,
tр.н.(a8) = 20, tр.о.(a8) = 28, tп.н.(a8) = 24, tп.о.(a8) = 32, Rп.(a8) = 4, Rc.(a8) = 4,
tр.н.(a9) = 20, tр.о.(a9) = 32, tп.н.(a9) = 20, tп.о.(a9) = 32, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0;
10) Путей девять (рис. 4.77).
x2
a4
a1
x1
a3
a2
a5
x3
x5
a8
x7
a7
a6
x6
a9
x4
Рис. 4.77
tкр. = 51. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 10, tр(x4) = 12, tр(x5) = 40 tр(x6) = 25,
tр(x7) = 51, tп(x7) = 51, tп(x6) = 25, tп(x5) = 40, tп(x4) = 12, tп(x3) = 12,
tп(x2) = 12, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 2, R(x3) = 2;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 10, tп.н.(a1) = 2, tп.о.(a1) = 12, Rп.(a1) = 2, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 9, tп.н.(a2) = 3, tп.о.(a2) = 12, Rп.(a2) = 3, Rc.(a2) = 1,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 12, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 12, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 17, tп.н.(a4) = 33, tп.о.(a4) = 40, Rп.(a4) = 23, Rc.(a4) = 23,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 18, tп.н.(a5) = 32, tп.о.(a5) = 40, Rп.(a5) = 22, Rc.(a5) = 22,
tр.н.(a6) = 12, tр.о.(a6) = 25, tп.н.(a6) = 12, tп.о.(a6) = 25, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 25, tр.о.(a7) = 40, tп.н.(a7) = 25, tп.о.(a7) = 40, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0,
tр.н.(a8) = 40, tр.о.(a8) = 51, tп.н.(a8) = 40, tп.о.(a8) = 51, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0,
tр.н.(a9) = 25, tр.о.(a9) = 34, tп.н.(a9) = 42, tп.о.(a9) = 51, Rп.(a9) = 17,
Rc.(a9) = 17;
11) Путей шесть (cм. рис. 4.78).
tкр. = 19. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 10, tр(x4) = 13, tр(x5) = 13, tр(x6) = 13,
tр(x7) = 19, tп(x7) = 19, tп(x6) = 14, tп(x5) = 13, tп(x4) = 13, tп(x3) = 11,
tп(x2) = 9, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x7) = 0, R(x2) = 1, R(x3) = 1, R(x6) = 1;
265
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 8, tп.н.(a1) = 1, tп.о.(a1) = 9, Rп.(a1) = 1, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 8, tр.о.(a2) = 12, tп.н.(a2) = 9, tп.о.(a2) = 13, Rп.(a2) = 1, Rc.(a2) = 1,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 1, tп.о.(a3) = 11, Rп.(a3) = 1, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 0, tр.о.(a4) = 13, tп.н.(a4) = 0, tп.о.(a4) = 13, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 13, tп.н.(a5) = 11, tп.о.(a5) = 14, Rп.(a5) = 1, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 13, tр.о.(a6) = 19, tп.н.(a6) = 13, tп.о.(a6) = 19, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 13, tр.о.(a7) = 18, tп.н.(a7) = 14, tп.о.(a7) = 19, Rп.(a7) = 1, Rc.(a7) = 1;
x2
a2
a1
a3
x1
a4
x5
a6
x3
x7
a5
x6
a7
x4
Рис. 4.78
12) Путей семь (рис. 4.79).
x2
a3
a1
a4
x1
x4
x6
x5
a2
x3
a7
a6
a5
Рис. 4.79
tкр. = 28. tр(x1) = 0, tр(x2) = 6, tр(x3) = 6, tр(x4) = 18, tр(x5) = 18, tр(x6) = 28,
tп(x6) = 28, tп.(x5) = 18, tп(x4) = 18, tп(x3) = 6, tп(x2) = 6, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x3) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = 0;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 4, tп.н.(a1) = 2, tп.о.(a1) = 6, Rп.(a1) = 2, Rc.(a1) = 2,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 6, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 6, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 6, tр.о.(a3) = 18, tп.н.(a3) = 6, tп.о.(a3) = 18, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 6, tр.о.(a4) = 10, tп.н.(a4) = 14, tп.о.(a4) = 18, Rп.(a4) = 8, Rc.(a4) = 8,
tр.н.(a5) = 6, tр.о.(a5) = 11, tп.н.(a5) = 13, tп.о.(a5) = 18, Rп.(a5) = 7, Rc.(a5) = 7,
tр.н.(a6) = 18, tр.о.(a6) = 28, tп.н.(a6) = 18, tп.о.(a6) = 28, Rп.(a6) = 0,
Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 18, tр.о.(a7) = 25, tп.н.(a7) = 21, tп.о.(a7) = 28, Rп.(a7) = 3,
Rc.(a7) = 3;
266
13) Путей десять (cм. рис. 4.80).
a3
x2
x4
a1
a4
a7
a8
x1
x5
x7
a5
a2
x3
a9
x6
a6
Рис. 4.80
tкр. = 30, tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 11, tр(x4) = 18, tр(x5) = 23,
tр(x6) = 25, tр(x7) = 30, tп(x7) = 30, tп(x6) = 25, tп(x5) = 24, tп(x4) = 21,
tп(x3) = 11, tп(x2) = 11, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x3) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 3,
R(x4) = 3, R(x5) = 1;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 8, tп.н.(a1) = 3, tп.о.(a1) = 11, Rп.(a1) = 3, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 11, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 11, Rп.(a2) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a3) = 8, tр.о.(a3) = 18, tп.н.(a3) = 11, tп.о.(a3) = 21, Rп.(a3) = 3, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 8, tр.о.(a4) = 14, tп.н.(a4) = 18, tп.о.(a4) = 24, Rп.(a4) = 10, Rc.(a4) = 9,
tр.н.(a5) = 11, tр.о.(a5) = 23, tп.н.(a5) = 12, tп.о.(a5) = 24, Rп.(a5) = 1, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 11, tр.о.(a6) = 25, tп.н.(a6) = 11, tп.о.(a6) = 25, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 18, tр.о.(a7) = 27, tп.н.(a7) = 21, tп.о.(a7) = 30, Rп.(a7) = 3, Rc.(a7) = 3,
tр.н.(a8) = 23, tр.о.(a8) = 29, tп.н.(a8) = 24, tп.о.(a8) = 30, Rп.(a8) = 1, Rc.(a8) = 1,
tр.н.(a9) = 25, tр.о.(a9) = 30, tп.н.(a9) = 25, tп.о.(a9) = 30, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0,
14) Путей семь (рис. 4.81).
a4
x2
a1
x5
a2 x3
x1
a3
a6
a5
x4
x5
a7
a8
x6
a9
Рис. 4.81
tкр. = 22. tр(x1) = 0, tр(x2) = 6, tр(x3) = 6, tр(x4) = 8, tр(x5) = 17, tр(x6) = 12,
tр(x7) = 22, tп(x7) = 22, tп(x6) = 13, tп(x5) = 17, tп(x4) = 10, tп(x3) = 6,
tп(x2) = 6, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x3) = R(x5) = R(x7) = 0, R(x4) = 2,
R(x6) = 1;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 1, tп.о.(a1) = 6, Rп.(a1) = 1, Rc.(a1) = 1,
267
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 6, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 6, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 8, tп.н.(a3) = 2, tп.о.(a3) = 10, Rп.(a3) = 2, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 6, tр.о.(a4) = 17, tп.н.(a4) = 6, tп.о.(a4) = 17, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 8, tр.о.(a5) = 15, tп.н.(a5) = 10, tп.о.(a5) = 17, Rп.(a5) = 2, Rc.(a5) = 2,
tр.н.(a6) = 6, tр.о.(a6) = 12, tп.н.(a6) = 7, tп.о.(a6) = 13, Rп.(a6) = 1, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 17, tр.о.(a7) = 22, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 22, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0,
tр.н.(a8) = 12, tр.о.(a8) = 21, tп.н.(a8) = 13, tп.о.(a8) = 22, Rп.(a8) = 1, Rc.(a8) = 1,
tр.н.(a9) = 8, tр.о.(a9) = 15, tп.н.(a9) = 15, tп.о.(a9) = 22, Rп.(a9) = 7, Rc.(a9) = 7;
15) Путей шесть (рис. 4.82).
a4
x2
a1
x6
x1 a2
x3
x5
a3
a7
a5
x7
a6
x4
Рис. 4.82
tкр. = 22. tр(x1) = 0, tр(x2) = 7, tр(x3) = 7, tр(x4) = 10, tр(x5) = 10, tр(x6) = 17,
tр(x7) = 22, tп(x7) = 22, tп(x5) = 17, tп(x5) = 10, tп(x4) = 10, tп(x3) = 10,
tп(x2) = 12, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 5, R(x3) = 3;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 7, tп.о.(a1) = 12, Rп.(a1) = 7, Rc.(a1) = 2,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 7, tп.н.(a2) = 3, tп.о.(a2) = 10, Rп.(a2) = 3, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 10, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 7, tр.о.(a4) = 12, tп.н.(a4) = 12, tп.о.(a4) = 17, Rп.(a4) = 5, Rc.(a4) = 5,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 17, tп.н.(a5) = 10, tп.о.(a5) = 17, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 10, tр.о.(a6) = 20, tп.н.(a6) = 12, tп.о.(a6) = 22, Rп.(a6) = 2,
Rc.(a6) = 2,
tр.н.(a7) = 17, tр.о.(a7) = 22, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 22, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
16) Путей восемь (рис. 4.83).
a1
x2
a3
x6
x4
x1
a5
x8
a2
x3
x5
a4
x7
a6
x9
a7
Рис. 4.83
tкр. = 23. tр(x1) = 0, tр(x2) = 5, tр(x3) = 6, tр(x4) = 13, tр(x5) = 6,
268
tр(x6) = 13, tр(x7) = 16, tр(x8) = 16, tр(x9) = 23, tп(x9) = 23, tп(x8) = 18,
tп(x7) = 16, tп(x6) = 16, tп(x5) = 6, tп(x4) = 16, tп(x3) = 6, tп(x2) = 6, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x7) = R(x9) = 0, R(x2) = 1, R(x4) = 3, R(x6) = 10,
R(x8) = 2;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 1, tп.о.(a1) = 6, Rп.(a1) = 1, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 6, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 6, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 5, tр.о.(a3) = 13, tп.н.(a3) = 8, tп.о.(a3) = 16, Rп.(a3) = 3, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 6, tр.о.(a4) = 16, tп.н.(a4) = 6, tп.о.(a4) = 16, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 13, tр.о.(a5) = 20, tп.н.(a5) = 16, tп.о.(a5) = 23, Rп.(a5) = 3, Rc.(a5) = 3,
tр.н.(a6) = 16, tр.о.(a6) = 21, tп.н.(a6) = 18, tп.о.(a6) = 23, Rп.(a6) = 2, Rc.(a6) = 2,
tр.н.(a7) = 16, tр.о.(a7) = 23, tп.н.(a7) = 16, tп.о.(a7) = 23, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
17) Путей шесть (рис. 4.84).
tкр. = 27. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 7, tр(x4) = 8, tр(x5) = 13,
tр(x6) = 23, tр(x7) = 27, tп(x7) = 27, tп(x6) = 23, tп(x5) = 13, tп(x4) = 8,
tп(x3) = 13, tп(x2) = 15, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0,
R(x2) = 3, R(x3) = 4;
a6
x2
x7
a1
x1 a2
x6
x3
a5
x5
a3
x4
a7
a4
Рис. 4.84
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 6, tп.о.(a1) = 11, Rп.(a1) = 6, Rc.(a1) = 3,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 7, tп.н.(a2) = 4, tп.о.(a2) = 11, Rп.(a2) = 4, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 8, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 8, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 8, tр.о.(a4) = 13, tп.н.(a4) = 8, tп.о.(a4) = 13, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 13, tр.о.(a5) = 23, tп.н.(a5) = 13, tп.о.(a5) = 23, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 8, tр.о.(a6) = 20, tп.н.(a6) = 15, tп.о.(a6) = 27, Rп.(a6) = 7, Rc.(a6) = 7,
tр.н.(a7) = 23, tр.о.(a7) = 27, tп.н.(a7) = 23, tп.о.(a7) = 27, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
18) Путей семь (рис. 4.85).
a1
x2
x1
a3
x4
a2
x3
x6
a7
x7
a4
a5
x5
a6
Рис. 4.85
269
tкр. = 31. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 10, tр(x4) = 10, tр(x5) = 22,
tр(x6) = 22, tр(x7) = 31, tп(x7) = 31, tп(x6) = 22, tп(x5) = 22, tп(x4) = 10,
tп(x3) = 10, tп(x2) = 10, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x3) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x
7) = 0, R(x2) = 2;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 8, tп.н.(a1) = 2, tп.о.(a1) = 10, Rп.(a1) = 2, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 10, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 10, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 8, tр.о.(a3) = 16, tп.н.(a3) = 14, tп.о.(a3) = 22, Rп.(a3) = 6, Rc.(a3) = 6,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 22, tп.н.(a4) = 10, tп.о.(a4) = 22, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 16, tп.н.(a5) = 16, tп.о.(a5) = 22, Rп.(a5) = 6, Rc.(a5) = 6,
tр.н.(a6) = 22, tр.о.(a6) = 31, tп.н.(a6) = 22, tп.о.(a6) = 31, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 22, tр.о.(a7) = 29, tп.н.(a7) = 24, tп.о.(a7) = 31, Rп.(a7) = 2, Rc.(a7) = 2;
19) Путей шесть (рис. 4.86).
x2
a1
x4
a4
x1
x6 a6
a2
a3
x3
x5
x7
a5
a7
Рис. 4.86
tкр. = 25. tр(x1) = 0, tр(x2) = 4, tр(x3) = 4, tр(x4) = 4, tр(x5) = 10, tр(x6) = 20,
tр(x7) = 25, tп(x7) = 25, tп(x6) = 20, tп(x5) = 10, tп(x4) = 13, tп(x3) = 4,
tп(x2) = 13, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 9, R(x4) = 9;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 4, tп.н.(a1) = 9, tп.о.(a1) = 13, Rп.(a1) = 9, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 4, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 4, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 4, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 4, tп.о.(a3) = 10, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 4, tр.о.(a4) = 11, tп.н.(a4) = 13, tп.о.(a4) = 20, Rп.(a4) = 9, Rc.(a4) = 9,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 20, tп.н.(a5) = 10, tп.о.(a5) = 20, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 20, tр.о.(a6) = 25, tп.н.(a6) = 20, tп.о.(a6) = 25, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 4, tр.о.(a7) = 12, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 25, Rп.(a1) = 13, Rc.(a1) = 13;
20) Путей шесть (рис. 4.87).
a4
x2
a1
x1 a2
a5
x6
x3
x7
x5
a3
x4
Рис. 4.87
270
a7
a6
tкр. = 23. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 5, tр(x4) = 6, tр(x5) = 6, tр(x6) = 18,
tр(x7) = 23, tп(x7) = 23, tп(x6) = 18, tп(x5) = 15, tп(x4) = 15, tп(x3) = 8,
tп(x2) = 8, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x3) = 3, R(x4) = 9, R(x5) = 9;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 8, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 8, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 5, tп.н.(a3) = 3, tп.о.(a2) = 8, Rп.(a3) = 3, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 4, tр.о.(a3) = 6, tп.н.(a3) = 9, tп.о.(a3) = 15, Rп.(a3) = 9, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 8, tр.о.(a4) = 18, tп.н.(a4) = 8, tп.о.(a4) = 18, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 5, tр.о.(a5) = 15, tп.н.(a5) = 8, tп.о.(a5) = 18, Rп.(a5) = 3, Rc.(a5) = 3,
tр.н.(a6) = 6, tр.о.(a6) = 14, tп.н.(a6) = 15, tп.о.(a6) = 23, Rп.(a6) = 9, Rc.(a6) = 9,
tр.н.(a7) = 18, tр.о.(a7) = 23, tп.н.(a7) = 18, tп.о.(a7) = 23, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
21) Путей пять (рис. 4.88).
a1
x2
x4
a4
x6 a6
x1
a2
x3
a3
x7
a5
x5
a7
Рис. 4.88
tкр. = 30. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 6, tр(x4) = 10, tр(x5) = 20,
tр(x6) = 26, tр(x7) = 30, tп(x7) = 30, tп(x6) = 26, tп(x5) = 20, tп(x4) = 18,
tп(x3) = 18, tп(x2) = 10, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0,
R(x3) = 12, R(x4) = 8;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 6, tп.н.(a1) = 12, tп.о.(a1) = 18, Rп.(a1) = 12, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 10, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 10, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 10, tр.о.(a3) = 20, tп.н.(a3) = 10, tп.о.(a3) = 20, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 18, tп.н.(a4) = 18, tп.о.(a4) = 26, Rп.(a4) = 8, Rc.(a4) = 8,
tр.н.(a5) = 20, tр.о.(a5) = 26, tп.н.(a5) = 20, tп.о.(a5) = 26, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 26, tр.о.(a6) = 30, tп.н.(a6) = 26, tп.о.(a6) = 30, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 10, tр.о.(a7) = 13, tп.н.(a7) = 27, tп.о.(a7) = 30, Rп.(a7) = 17,
Rc.(a7) = 17;
22) Путей шесть (рис. 4.89).
x1
a6
x4
a1
x6 a5
a2 x3
2
x7 a7
x8
x5
a3
x2
a4
Рис. 4.89
271
tкр. = 33. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 7, tр(x4) = 8, tр(x5) = 16, tр(x6) = 16,
tр(x7) = 26, tр(x8) = 33, tп(x8) = 33, tп(x7) = 26, tп(x6) = 16, tп(x5) = 16,
tп(x4) = 28, tп(x3) = 16, tп(x2) = 8, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x6) = R
(x7) = R(x8) = 0, R(x3) = 9, R(x4) = 20;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 23, tп.о.(a1) = 28, Rп.(a1) = 23, Rc.(a1) = 3,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 7, tп.н.(a2) = 9, tп.о.(a2) = 16, Rп.(a2) = 9, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 8, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 8, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 8, tр.о.(a4) = 16, tп.н.(a4) = 8, tп.о.(a4) = 16, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 16, tр.о.(a5) = 26, tп.н.(a5) = 16, tп.о.(a5) = 26, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 8, tр.о.(a6) = 13, tп.н.(a6) = 28, tп.о.(a6) = 33, Rп.(a6) = 20,
Rc.(a6) = 20,
tр.н.(a7) = 26, tр.о.(a7) = 33, tп.н.(a7) = 26, tп.о.(a7) = 33, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0;
23) Путей девять (рис. 4.90).
a1
x1 a2
x2
a4
a7
x5
x3
a8
a5
a3
x6
x4
x7
a9
a6
Рис. 4.90
tкр. = 40. tр(x1) = 0, tр(x2) = 13, tр(x3) = 13, tр(x4) = 13, tр(x5) = 21, tр(x6) = 28,
tр(x7) = 40, tп(x7) = 40, tп(x6) = 28, tп(x5) = 31, tп(x4) = 13, tп(x3) = 13,
tп(x2) = 23, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x3) = R(x4) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 10,
R(x5) = 10;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 11, tп.н.(a1) = 12, tп.о.(a1) = 23, Rп.(a1) = 12, Rc.(a1) = 2,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 13, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 13, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 3, tп.о.(a3) = 13, Rп.(a3) = 3, Rc.(a3) = 3,
tр.н.(a4) = 13, tр.о.(a4) = 21, tп.н.(a4) = 23, tп.о.(a4) = 31, Rп.(a4) = 10, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 13, tр.о.(a5) = 19, tп.н.(a5) = 25, tп.о.(a5) = 31, Rп.(a5) = 12, Rc.(a5) = 2,
tр.н.(a6) = 13, tр.о.(a6) = 28, tп.н.(a6) = 13, tп.о.(a6) = 28, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 13, tр.о.(a7) = 20, tп.н.(a7) = 33, tп.о.(a7) = 40, Rп.(a7) = 20,
Rc.(a7) = 20,
tр.н.(a8) = 21, tр.о.(a8) = 30, tп.н.(a8) = 31, tп.о.(a7) = 40, Rп.(a7) = 10,
Rc.(a7) = 10,
tр.н.(a9) = 28, tр.о.(a9) = 40, tп.н.(a9) = 28, tп.о.(a9) = 40, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0;
24) Путей семь (рис. 4.91).
272
a1
a3
x2
x1
x4
a6
x6 a8
a4
a2
x3
x7
a7
a5
x5
a9
Рис. 4.91
tкр. = 22. tр(x1) = 0, tр(x2) = 3, tр(x3) = 3, tр(x4) = 8, tр(x5) = 9, tр(x6) = 15,
tр(x7) = 22, tп(x7) = 22, tп(x6) = 15, tп(x5) = 9, tп(x4) = 11, tп(x3) = 5,
tп(x2) = 3, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 2,
R(x4) = 3;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 3, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 3, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 2, tп.н.(a2) = 3, tп.о.(a2) = 5, Rп.(a2) = 3, Rc.(a2) = 1,
tр.н.(a3) = 3, tр.о.(a3) = 8, tп.н.(a3) = 6, tп.о.(a3) = 11, Rп.(a3) = 3, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 3, tр.о.(a4) = 9, tп.н.(a4) = 3, tп.о.(a4) = 9, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 3, tр.о.(a5) = 7, tп.н.(a5) = 5, tп.о.(a5) = 9, Rп.(a5) = 2, Rc.(a5) = 2,
tр.н.(a6) = 8, tр.о.(a6) = 12, tп.н.(a6) = 11, tп.о.(a6) = 15, Rп.(a6) = 3, Rc.(a6) = 3,
tр.н.(a7) = 9, tр.о.(a7) = 15, tп.н.(a7) = 9, tп.о.(a7) = 15, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0,
tр.н.(a8) = 15, tр.о.(a8) = 22, tп.н.(a8) = 15, tп.о.(a8) = 22, Rп.(a8) = 0,
Rc.(a8) = 0,
tр.н.(a9) = 9, tр.о.(a9) = 14, tп.н.(a9) = 17, tп.о.(a9) = 22, Rп.(a9) = 8, Rc.(a9) = 8;
25) Путей девять (рис. 4.92).
a3
a1
x2
x4
x1
a7
a8
x5
a2
a6
a4
x3
a5
x7
x6
a9
Рис. 4.92
tкр. = 40. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 12, tр(x4) = 24, tр(x5) = 23, tр(x6) = 32,
tр(x7) = 40, tп(x7) = 40, tп(x6) = 32, tп(x5) = 23, tп(x4) = 25, tп(x3) = 12,
tп(x2) = 11, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x2) = 1,
R(x4) = 1;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 10, tп.н.(a1) = 1, tп.о.(a1) = 11, Rп.(a1) = 1, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 12, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 12, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 10, tр.о.(a3) = 24, tп.н.(a3) = 11, tп.о.(a3) = 25, Rп.(a3) = 1, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 12, tр.о.(a4) = 23, tп.н.(a4) = 12, tп.о.(a4) = 23, Rп.(a4) = 0, Rc.(a4) = 0,
273
tр.н.(a5) = 12, tр.о.(a5) = 19, tп.н.(a5) = 25, tп.о.(a5) = 32, Rп.(a5) = 13,
Rc.(a5) = 13,
tр.н.(a6) = 23, tр.о.(a6) = 32, tп.н.(a6) = 23, tп.о.(a6) = 32, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 24, tр.о.(a7) = 39, tп.н.(a7) = 25, tп.о.(a7) = 40, Rп.(a7) = 1, Rc.(a7) = 1,
tр.н.(a8) = 23, tр.о.(a8) = 36, tп.н.(a8) = 27, tп.о.(a8) = 40, Rп.(a8) = 4, Rc.(a8) = 4,
tр.н.(a9) = 32, tр.о.(a9) = 40, tп.н.(a9) = 32, tп.о.(a9) = 40, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0;
26) Путей восемь (рис. 4.93).
x2
a1
x1
a3
a5
x4
x6
a4
a2
x3
x5
a6
a8 x7
a7
Рис. 4.93
tкр. = 41. tр(x1) = 0, tр(x2) = 9, tр(x3) = 9, tр(x4) = 20,
tр(x5) = 20, tр(x6) = 28, tр(x7) = 41, tп(x7) = 41, tп(x6) = 28, tп(x5) = 29,
tп(x4) = 20, tп(x3) = 9, tп(x2) = 9, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x3) = R(x4) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x5) = 9;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 7, tп.н.(a1) = 2, tп.о.(a1) = 9, Rп.(a1) = 2, Rc.(a1) = 2,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 9, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 9, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 9 tр.о.(a3) = 20, tп.н.(a3) = 9, tп.о.(a3) = 20, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 9, tр.о.(a4) = 15, tп.н.(a4) = 14, tп.о.(a4) = 20, Rп.(a4) = 5, Rc.(a4) = 5,
tр.н.(a5) = 20, tр.о.(a5) = 28, tп.н.(a5) = 20, tп.о.(a5) = 28, Rп.(a5) = 0, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 9, tр.о.(a6) = 19, tп.н.(a6) = 19, tп.о.(a6) = 29, Rп.(a6) = 10, Rc.(a6) = 1,
tр.н.(a7) = 20, tр.о.(a7) = 27, tп.н.(a7) = 29, tп.о.(a7) = 41, Rп.(a7) = 9, Rc.(a7) = 9,
tр.н.(a8) = 28, tр.о.(a8) = 41, tп.н.(a8) = 28, tп.о.(a8) = 41, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0,
27) Путей восемь (рис. 4.94).
a1
x2
a3
x5
a5
x8
a6
x1
a2
x3
x4 a4
x6
a8
x9
x7
a7
Рис. 4.94
tкр. = 27. tр(x1) = 0, tр(x2) = 5, tр(x3) = 4, tр(x4) = 5, tр(x5) = 11, tр(x6) = 10,
tр(x7) = 11, tр(x8) = 20, tр(x9) = 27, tп(x9) = 27, tп(x8) = 20, tп(x7) = 11,
tп(x6) = 11, tп(x5) = 11, tп(x4) = 6, tп(x3) = 6, tп(x2) = 5, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x7) = R(x8) = R(x9) = 0,
R(x3) = 2,
R(x4) = 1,
R(x6) = 1;
274
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 5, tп.н.(a1) = 0, tп.о.(a1) = 5, Rп.(a1) = 0, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 4, tп.н.(a2) = 2, tп.о.(a2) = 6, Rп.(a2) = 2, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 5, tр.о.(a3) = 11, tп.н.(a3) = 5, tп.о.(a3) = 11, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 5, tр.о.(a4) = 10, tп.н.(a4) = 6, tп.о.(a4) = 11, Rп.(a4) = 1, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 11, tр.о.(a5) = 18, tп.н.(a5) = 13, tп.о.(a5) = 20, Rп.(a5) = 2, Rc.(a5) = 2,
tр.н.(a6) = 11, tр.о.(a6) = 20, tп.н.(a6) = 11, tп.о.(a6) = 20, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 10, tр.о.(a7) = 14, tп.н.(a7) = 23, tп.о.(a7) = 27, Rп.(a7) = 13, Rc.(a7) = 13,
tр.н.(a8) = 20, tр.о.(a8) = 27, tп.н.(a8) = 20, tп.о.(a8) = 27, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0;
28) Путей восемь (рис. 4.95).
x2
a1
x1 a2
a3
a4
x5
x3
a7
x7
a5
x8
a8
x6
x4
a9
a6
Рис. 4.95
tкр. = 45. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 11, tр(x4) = 13,
tр(x5) = 19, tр(x6) = 28, tр(x7) = 40, tр(x8) = 45, tп(x8) = 45, tп(x7) = 40,
tп(x6) = 28, tп(x5) = 28, tп(x4) = 13, tп(x3) = 13, tп(x2) = 13, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x6) = R(x7) = R(x8) = 0, R(x2) = 3, R(x3) = 2, R(x5) = 9;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 10, tп.н.(a1) = 3, tп.о.(a1) = 13, Rп.(a1) = 3, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 11, tп.н.(a2) = 2, tп.о.(a2) = 13, Rп.(a2) = 2, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 13, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 13, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 19, tп.н.(a4) = 19, tп.о.(a4) = 28, Rп.(a4) = 9, Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 11, tр.о.(a5) = 18, tп.н.(a5) = 21, tп.о.(a5) = 28, Rп.(a5) = 10, Rc.(a5) = 10,
tр.н.(a6) = 13, tр.о.(a6) = 28, tп.н.(a6) = 13, tп.о.(a6) = 28, Rп.(a6) = 0, Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 19, tр.о.(a7) = 25, tп.н.(a7) = 34, tп.о.(a7) = 40, Rп.(a7) = 15, Rc.(a7) = 15,
tр.н.(a8) = 28, tр.о.(a8) = 40, tп.н.(a8) = 28, tп.о.(a8) = 40, Rп.(a8) = 0, Rc.(a8) = 0,
tр.н.(a9) = 40, tр.о.(a9) = 45, tп.н.(a9) = 40, tп.о.(a9) = 45, Rп.(a9) = 0, Rc.(a9) = 0;
29) Путей шесть (рис. 4.96).
a1
x3
x4
x2
x5
a4
x6
x1
a2
a3
a5
a6
x7
a7
Рис. 4.96
275
tкр. = 34. tр(x1) = 0, tр(x2) = 8, tр(x3) = 6, tр(x4) = 8, tр(x5) = 20,
tр(x6) = 27, tр(x7) = 34, tп(x7) = 34, tп(x6) = 27, tп(x5) = 20, tп(x4) = 22,
tп(x3) = 20, tп(x2) = 8, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = 0,
R(x3) = 14, R(x4) = 14;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 6, tп.н.(a1) = 14, tп.о.(a1) = 20, Rп.(a1) = 14, Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 8, tп.н.(a2) = 0, tп.о.(a2) = 8, Rп.(a2) = 0, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 8, tр.о.(a3) = 20, tп.н.(a3) = 8, tп.о.(a3) = 20, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 8, tр.о.(a4) = 13, tп.н.(a4) = 22, tп.о.(a4) = 27, Rп.(a4) = 14,
Rc.(a4) = 14,
tр.н.(a5) = 20, tр.о.(a5) = 27, tп.н.(a5) = 20, tп.о.(a5) = 27, Rп.(a5) = 0,
Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 27, tр.о.(a6) = 34, tп.н.(a6) = 27, tп.о.(a6) = 34, Rп.(a6) = 0,
Rc.(a6) = 0,
tр.н.(a7) = 8, tр.о.(a7) = 18, tп.н.(a7) = 24, tп.о.(a7) = 34, Rп.(a7) = 16,
Rc.(a7) = 16;
30) Путей шесть (рис. 4.97).
x5
a6
a1
x1 a2
x6
x3
x4
a3
x2
a5
a7
x7
a4
Рис. 4.97
tкр. = 38. tр(x1) = 0, tр(x2) = 10, tр(x3) = 5, tр(x4) = 24,
tр(x5) = 10, tр(x6) = 32, tр(x7) = 38, tп(x7) = 38, tп(x6) = 32, tп(x5) = 28,
tп(x4) = 24, tп(x3) = 24, tп(x2) = 10, tп(x1) = 0; R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x6) = R(x7) = 0, R(x3) = 19, R(x5) = 18;
tр.н.(a1) = 0, tр.о.(a1) = 7, tп.н.(a1) = 21, tп.о.(a1) = 28, Rп.(a1) = 21, Rc.(a1) = 3,
tр.н.(a2) = 0, tр.о.(a2) = 5, tп.н.(a2) = 19, tп.о.(a2) = 24, Rп.(a2) = 19, Rc.(a2) = 0,
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 10, Rп.(a3) = 0, Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 10, tр.о.(a4) = 24, tп.н.(a4) = 10, tп.о.(a4) = 24, Rп.(a4) = 0,
Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 24, tр.о.(a5) = 32, tп.н.(a5) = 24, tп.о.(a5) = 32, Rп.(a5) = 0,
Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 10, tр.о.(a6) = 20, tп.н.(a6) = 28, tп.о.(a6) = 38, Rп.(a6) = 18,
Rc.(a6) = 18,
tр.н.(a7) = 32, tр.о.(a7) = 38, tп.н.(a7) = 32, tп.о.(a7) = 38, Rп.(a7) = 0, Rc.(a7) = 0.
276
3.28.3. 1-й вариант (рис. 4.98)
a5(30)
a4(30)
a1(20)
a7(80)
a6(70)
a3(50)
a2(40)
t
0
5
10
90
70
15
20
20
25
30
35
70
80
100
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a1→ a6→ a7. tкр.нов .=38.
Рис. 4.98
2-й вариант (рис. 4.99)
a5(30)
a4(30)
a2(30)
a1(70)
a6(40)
a3(50)
a7(50)
t
0
10
5
70
100
15
80
20
25
35
30
90
Критический путь изменился.
50
Res
µ кр.нов .: a 1→ a 3→ a7. tкр.нов .=35.
Рис. 4.99
3-й вариант (рис. 4.100)
a6(30)
a4(20)
a3(60)
a2(40)
a1(30)
a7(70)
a5(40)
a8(20)
t
0
5
70
10
100 60
15
90
20
50
25
100
30
90
35
70
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a1→ a3→ a4→ a7. tкр.нов .=34.
Рис. 4.100
277
4-й вариант (рис. 4.101)
a5(30)
a9(50)
a6(40)
a3(30)
a7(10)
a2(20)
a10(10)
a4(20)
a8(20)
a1(10)
0
t
5
10
50 40
15
30
50
20
50
25
20
30
35
Res
50
Критический путь изменился. µ кр.нов.: a3→ a6→ a4→ a8→ a9. tкр.нов.=28.
Рис. 4.101
5-й вариант (рис. 4.102)
a6(30)
a4(20)
a5(10)
a7(30)
a8(30)
a1(10)
a2(20)
a3(30)
a9(10)
t
0
10
5
50
15
40
20
25
50
30
40
35
30
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов.: a3→ a6→ a8→ a7. tкр.нов.=35.
Рис. 4.102
6-й вариант (рис. 4.103)
a8(60)
a6(30)
a4(50)
a3(60)
a5(40)
a7(60)
a1(20)
a9(90)
a2(30)
t
0
5
90
10
50
70
15
50
20
25
70 100
30
35
60
40
45
50
55
90
60
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов.: a2→ a4→ a6→ a8→ a7→ a9. tкр.нов.=60.
Рис. 4.103
278
7-й вариант (рис. 4.104)
a3(40)
a5(20)
a6(30)
a2(30)
a4(20)
a7(40)
a1(10)
t
0
15
10
5
20
25
30
35
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a5→ a3→ a7→ a6. tкр.нов .=26.
Рис. 4.104
8-й вариант (рис. 4.105)
a5(20)
a3(30)
a7(10)
a6(30)
a2(20)
a1(30)
a4(10)
t
0
10
5
50
15
40
20
30
25
50
40
30
10
35
Res
µ кр.нов .: a 1→ a 3→ a 5 → a 7 . tкр.нов .=31.
Критический путь изменился.
Рис. 4.105
9-й вариант (рис. 4.106)
a5(60)
a8(40)
a7(30)
a3(50)
a4(20)
a9(80)
a6(20)
a2(40)
a1(60)
t
0
100
5
90
10
70
15
20
100 80 50
Критический путь изменился.
25
70
30
35
80
40
Res
µ кр.нов .: a 1→ a 3→ a6→ a8→ a9 tкр.нов .=40.
Рис. 4.106
279
10-й вариант (рис. 4.107)
a6(50)
a7(70)
a4(40)
a3(70)
a2(30)
a8(90)
a9(20)
a5(50)
a1(20)
t
0
5
10
90
100
15
20
70
25
30
100
35
50
70
90
50
Критический путь изменился.
45
40
55
60
Res
90
µ кр.нов .: a 3→ a 4→ a6→ a7→ a8. tкр.нов .=58.
Рис. 4.107
11-й вариант (рис. 4.108)
a5(10)
a6(40)
a4(60)
a7(50)
a3(20)
a1(20)
a2(30)
t
0
10
15
80 100 80 90
5
100
20
40
Критический путь изменился.
25
30
35
Res
µ кр.нов .: a 3→ a 2→ a 6 . tкр.нов .=20.
Рис. 4.108
12-й вариант (рис. 4.109)
a4(30)
a5(20)
a6(50)
a7(10)
a3(20)
a2(30)
a1(30)
t
0
10
5
30
50
40
15
50
20
25
20
30
50
Критический путь изменился.
µ кр.нов .: a 2 → a 1 → a 3 → a 6 → a 7 . tкр.нов .=39.
Рис. 4.109
280
35
10
40
Res
13-й вариант (рис. 4.110)
a6(30)
a5(50)
a2(60)
a8(40)
a9(60)
a4(40)
a7(30)
a3(20)
a1(30)
t
0
5
90
10
15
80
100
20
25
80
100
30
70
35
100
Res
60
Критический путь изменился.
µ кр.нов .: a 2 → a 5 → a 7 → a 9 . tкр.нов .=37.
Рис. 4.110
14-й вариант (рис. 4.111)
a4(20)
a8(10)
a6(30)
a2(20)
a1(20)
0
a5(30)
a9(40)
a7(30)
a3(20)
10
50
5
40
15
20
40
25
40
50
t
30
50
35
Res
Критический путь изменился.
µ кр.нов .: a 2→ a 6→ a 4 → a 8 . tкр.нов .=32.
Рис. 4.111
15-й вариант (рис. 4.112)
a6(20)
a4(10)
a3(30)
a7(30)
a1(30)
a2(20)
a5(50)
t
0
10
5
50
30
15
50
20
30
Критический путь изменился.
25
50
30
30
35
Res
µ кр.нов .: a 3→ a 6→ a 5 → a 7 . tкр.нов .=32.
Рис. 4.112
281
16-й вариант (рис. 4.113)
a5(30)
a4(50)
a3(20)
a2(40)
a6(20)
a7(30)
a1(10)
t
0
10
5
50
15
40
20
25
20
50
Критический путь изменился.
30
50
35
Res
30
µ кр.нов .: a2→ a4→ a3→ a5. tкр.нов .=31.
Рис. 4.113
17-й вариант (рис. 4.114)
a4(50)
a6(40)
a3(70)
a7(80)
a1(30)
a5(30)
a2(20)
t
0
10
5
90
15
100 80
20
70
Критический путь изменился.
25
40
30
35
80
Res
µ кр.нов .: a 3→ a 4→ a6→ a7. tкр.нов .=28.
Рис. 4.114
18-й вариант (рис. 4.115)
a3(10)
a7(10)
a5(40)
a2(40)
a1(10)
a4(30)
a6(30)
t
0
5
50
10
15
20
40
30
Критический путь изменился.
50
30
40
35
30
Res
µ кр.нов .: a 2→ a 4→ a5→ a6. tкр.нов .=37.
Рис. 4.115
282
25
19-й вариант (рис. 4.116)
a2(50)
a6(80)
a7(60)
a1(40) a3(100)
a4(20)
a5(40)
t
0
10
5
90
15
20
100
25
60
30
20
35
Res
80
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a3→ a7→ a4→ a6. tкр.нов .=30.
Рис. 4.116
20-й вариант (рис. 4.117)
a5(30)
a2(40)
a3(30)
a7(70)
a4(50)
a6(50)
a1(60)
t
0
10
5
100
15
20
80
90
25
30
50
30
35
70
Res
µ кр.нов .: a 2→ a 5→ a3→ a6→ a7. tкр.нов .=34.
Критический путь изменился.
Рис. 4.117
21-й вариант (рис. 4.118)
a7(30)
a4(20)
a3(20)
a2(40)
a6(50)
a1(20)
a5(30)
t
0
5
40
10
15
50
20
40
25
50
20
30
50
35
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a7→ a1→ a4→ a6. tкр.нов .=31.
Рис. 4.118
283
22-й вариант (рис. 4.119)
a5(40)
a4(40)
a7(30)
a3(20)
a6(20)
a2(30)
0
a1(20)
t
10
5
50
15
20
20
25
30
40
35
20
50
Res
µ кр.нов .: a 3→ a 4→ a5→ a1→ a6. tкр.нов .=36.
Критический путь изменился.
Рис. 4.119
23-й вариант (рис. 4.120)
a6(50)
a3(40)
a7(30)
a8(20)
a5(40)
a4(10)
a2(60)
a9(60)
a1(20)
t
0
5
10
100
15
20
25
70
80
90
Критический путь изменился.
30
40
35
50 100
80
45
20
Res
µ кр.нов .: a 2→ a 6→ a5→ a8. tкр.нов .=43.
Рис. 4.120
24-й вариант (рис. 4.121)
a9(40)
a4(60)
a2(10) a5(30)
a1(70)
0
a7(50)
a6(20)
a8(80)
a3(20)
5
10
15
Критический путь изменился.
20
30
35
µ кр.нов .: a 1→ a 4→ a 7 → a 9 → a 8 . tкр.нов .=27.
Рис. 4.121
284
25
25-й вариант (рис. 4.122)
a8(40)
a7(20)
a6(60)
a4(50)
a2(80)
a1(30)
a3(70)
a9(110)
a5(50)
t
0
5
110
10
80
20
15
25
110
120
35
40
45
50
60 70 50
110
30
120
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a4→ a8→ a5→ a9. tкр.нов .=51.
Рис. 4.122
26-й вариант (рис. 4.123)
a6(10)
a7(20)
a4(20)
a3(30)
a2(40)
a8(30)
a5(20)
a1(20)
t
0
5
10
40
20
15
50 30 40
25
30
35
30
40
50
40
45
50
30
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a2→ a1→ a3→ a5→ a8. tкр.нов .=48.
Рис. 4.123
27-й вариант (рис. 4.124)
a5(30)
a3(50)
a8(30)
a7(20)
a6(20)
a4(10)
a2(20)
a1(40)
t
0
10
5
40
50
15
20
40
20
50
25
40
30
20
35
30
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a1→ a3→ a2→ a4→ a6→ a8. tкр.нов .=36.
Рис. 4.124
285
28-й вариант (рис. 4.125)
a5(20)
a6(50)
a3(60)
a4(30)
a2(40)
a9(90)
a7(40)
a1(30)
0
a8(70)
t
5
100
10
15
20
90
25
100
30
30
80
35
90 40
40
45
70
50
90
55
Res
Критический путь изменился.
µ кр .нов .: a 2 → a 1 → a 4 → a 7 → a 8 → a 9 . tкр .нов .=54.
Рис. 4.125
29-й вариант (рис. 4.126)
a5(40)
a7(40)
a4(10)
a3(10)
a2(50)
a1(40)
a6(50)
t
0
10
50
5
15
20
25
40
Критический путь изменился.
50
30
40
35
50
Res
µ кр.нов .: a 2→ a 7→ a1→ a5→ a6. tкр.нов .=38.
Рис. 4.126
30-й вариант (рис. 4.127)
a2(20)
a6(40)
a4(40)
a7(40)
a5(10)
a1(30)
a3(50)
t
0
5
50
10
20
15
40
25
50
30
35
30
50
40
45
40
50
Res
Критический путь изменился. µ кр.нов .: a3→ a4→ a1→ a6→ a7. tкр.нов .=47.
Рис. 4.127
286
3.28.4.
а) Отношения предшествования работ даны в табл. 4.1, фрагмент
сетевого графика изображен на рис. 4.128.
Таблица 4.1
x2
a1
a2
x1
a4
x3
a3
x5
a5
x4
Рис. 4.128
Основные
работы
Работы, предшествующие
основной
a1
a2
a3
a4
a5
–
–
–
a1, a2, a3
a3
б) Решение аналогично пункту а (см. таблицу 4.2 и рисунок
4.129).
x1
a1
Таблица 4.2
x5
Основные раРаботы, предшеботы
ствующие основной
a3
x2
x3
a2
a5
x4
a4
x6
a6
x7
Рис. 4.129
x8
a7
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
–
–
a1, a4
a2
–
a4, a5
a3, a6
3.28.5. Некоторые характеристики проекта приведены ниже.
tкр. = 97. µкр. = a1→a4→a8→a9→a11→a13→a16. tр(x1) = 0, tр(x2) = 18,
tр(x3) = 23, tр(x4) = 41, tр(x5) = 51, tр(x6) = 69, tр(x7) = 85, tр(x8) = 67,
tр(x9) = 92, tр(x10) = 97, tп(x10) = 97, tп(x9) = 92, tп(x8) = 83, tп(x7) = 85,
tп(x6) = 69, tп(x5) = 51, tп(x4) = 41, tп(x3) = 31, tп(x2) = 18, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x2) = R(x4) = R(x5) = R(x6) = R(x7) = R(x9) = R(x10) = 0, R(x3) = 8,
R(x8) = 16;
tр.н.(a10) = 51, tр.о.(a10) = 67, tп.н.(a10) = 67, tп.о.(a10) = 83, Rп.(a10) = 16,
Rc.(a10) = 0,
tр.н.(a15) = 67, tр.о.(a15) = 76, tп.н.(a15) = 83, tп.о.(a15) = 92, Rп.(a15) = 16,
Rc.(a15) = 16,
tр.н.(a16) = 92, tр.о.(a16) = 97, tп.н.(a16) = 92, tп.о.(a16) = 97, Rп.(a16) = 0,
Rc.(a16) = 0.
287
Продолжительность работы a10 можно увеличить на 16 единиц
времени, так как Rп.(a10) = 16. Вместе с увеличением продолжительности работы a10 произойдет пропорциональное уменьшение полного
и свободного резервов работы a15, которые равны Rп.(a15) = Rc.(a15) = 16.
Увеличение продолжительности работы a10 на срок свыше 16 единиц
времени приведет к увеличению критического срока проекта.
Поскольку работы a10 и a15 не лежат на критическом пути, и a15
опирается только на a10, то для увеличения продолжительности работы a15 можно использовать полный резерв времени работы a10.
Увеличить продолжительность работы a10 можно именно за счет
свободного резерва времени работы a15. Полный резерв времени работы a15 не изменится при увеличении продолжительности работы a16
при условии неизменности ее раннего (или позднего) начала. При увеличении продолжительности работы a16 будет увеличиваться лишь
критический срок. В табл. 4.3 приведена взаимная последовательность работ, а на рис. 4.130 изображен линейный график проекта.
Таблица 4.3
Основные работы
Работы, предшествующие
основным
288
Продолжительность
работ
a1
–
18
a2
–
17
a3
a1
5
a4
a1
23
a5
a1
19
a6
a2, a3
10
a7
a2, a3
17
a8
a4, a6
10
a9
a5, a8
18
a10
a5, a8
16
a11
a4, a6, a9
16
a12
a4, a6, a9
5
a13
a7, a11
7
a14
a7, a11
10
a15
a10
9
a16
a12, a13, a15
5
a5
a11
a8
a4
a7
a2
a1
0
5
a14
a9
a15
a3
a10
a6
a12
a16
a13
t
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95
Рис. 4.130
3.28.6. Характеристики данного сетевого графика следующие.
tр(x1) = 0, tр(x2) = 1, tр(x3) = 1, tр(x4) = 4, tр(x5) = 7, tр(x6) = 4, tр(x7) = 14,
tр(x8) = 8, tр(x9) = 6, tр(x10) = 18, tп(x10) = 18, tп(x9) = 16, tп(x8) = 8,
tп(x7) = 17, tп(x6) = 12, tп(x5) = 7, tп(x4) = 4, tп(x3) = 2, tп(x2) = 2, tп(x1) = 0;
R(x1) = R(x4) = R(x5) = R(x8) = R(x10) = 0, R(x2) = 1, R(x3) = 1, R(x6) = 8,
R(x7) = 3, R(x9) = 10;
tр.н.(a4) = 5, tр.о.(a4) = 3, tп.н.(a4) = 10, tп.о.(a4) = 12, Rп.(a4) = 9, Rc.(a4) = 1,
tр.н.(a5) = 1, tр.о.(a5) = 6, tп.н.(a5) = 11, tп.о.(a5) = 16, Rп.(a5) = 10, Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a8) = 1, tр.о.(a8) = 3, tп.н.(a8) = 6, tп.о.(a8) = 8, Rп.(a8) = 5, Rc.(a8) = 5,
tр.н.(a13) = 4, tр.о.(a13) = 5, tп.н.(a13) = 15, tп.о.(a13) = 16, Rп.(a13) = 11,
Rc.(a13) = 1,
tр.н.(a16) = 6, tр.о.(a16) = 8, tп.н.(a16) = 16, tп.о.(a16) = 18, Rп.(a16) = 10,
Rc.(a16) = 10.
На работу a4 опираются следующие последовательности работ:
a13→a16 и a12→a14, причем Rп.(a4) = 9 определяется последовательностью работ a4→a12→a14, если же брать последовательность a4→a13→a16,
то здесь резерв времени для a4 составляет уже 12 единиц времени. Таким образом, полный резерв времени работы a4 можно распределить
на работы a13 и a16, критический срок при этом не нарушится.
Rп.(a8) = 5, Rп.(a4) = 9, Rп.(a5) = 10, работы a4→a5 и a8 между собою
не связаны. За счет полного резерва работы a8 можно увеличить
длительность работ a4 и a5 на пять единиц времени, при этом критический срок не нарушится, так как полный резерв каждой из этих
работ больше пяти.
Свободный резерв времени работы a4 Rс.(a4) = 1 нельзя передать
ни работе a13, ни работе a12, не изменив их раннего начала, ибо этот
резерв представляет собой зазор между работой a4 и, например, работой a13 (см. табл. 4.4 и рис. 4.131). Передача свободного резерва a4
представляет собой присоединение этого промежутка к работе a13
слева, следовательно, раннее начало работы a13 изменится.
289
Таблица 4.4
Основные работы
Работы, предшествующие
основным
Продолжительность работ
a1
–
1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
a14
a15
a16
–
a2
a2
a2
–
a1
a1
a3, a6
a3, a6
a7, a9
a3, a4, a6
a3, a4, a6
a7, a9, a10, a12
a8, a11
a5, a13
1
2
2
5
4
5
2
3
10
1
5
1
1
10
2
a8
a16
a7
a5
a15
a12
a4
a3
a11
a13
a14
a10
a2
a1
a9
a6
t
0
5
10
15
20
tкр=18.µкр: a6→a9→a11→a15.
Рис. 4.131
3.28.7. tкр. = 35. µкр.: a3→a5→a10→a12. tр(x1) = 0, tр(x2) = 11,
tр(x3) = 10, tр(x4) = 12, tр(x5) = 20, tр(x6) = 23, tр(x7) = 24, tр(x8) = 35,
tп(x8) = 35, tп(x7) = 24, tп(x6) = 27, tп(x5) = 20, tп(x4) = 17, tп(x3) = 10,
tп(x2) = 15, tп(x1) = 0;
290
R(x1) = R(x3) = R(x5) = R(x7) = R(x8) = 0, R(x2) = 4, R(x4) = 5, R(x6) = 4
(см. табл. 4.5 и рис. 4.132);
Таблица 4. 5
Основные работы
Работы, предшествующие
основным
Продолжительность работ
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
–
–
–
a1
a3
a3
a1, a2
a1, a2
a5
a5
a4, a7
a6, a10
11
12
10
12
10
7
10
7
10
4
8
11
a6
a10
a5
a12
a9
a4
a3
a11
a8
a2
a1
a7
t
0
5
10
15
20
25
30
35
t кр.=35. µ кр : a3→ a5→ a10→ a12.
Рис. 4.132
tр.н.(a1) = 0,
Rc.(a1) = 0,
tр.н.(a2) = 0,
Rc.(a2) = 0,
tр.о.(a1) = 11,
tп.н.(a1) = 4,
tп.о.(a1) = 15,
Rп.(a1) = 4,
tр.о.(a2) = 12,
tп.н.(a2) = 5,
tп.о.(a2) = 17,
Rп.(a2) = 5,
291
tр.н.(a3) = 0, tр.о.(a3) = 10, tп.н.(a3) = 0, tп.о.(a3) = 10, Rп.(a3) = 0,
Rc.(a3) = 0,
tр.н.(a4) = 11, tр.о.(a4) = 23, tп.н.(a4) = 15, tп.о.(a4) = 27, Rп.(a4) = 4,
Rc.(a4) = 0,
tр.н.(a5) = 10, tр.о.(a5) = 20, tп.н.(a5) = 10, tп.о.(a5) = 20, Rп.(a5) = 0,
Rc.(a5) = 0,
tр.н.(a6) = 10, tр.о.(a6) = 17, tп.н.(a6) = 17, tп.о.(a6) = 24, Rп.(a6) = 7,
Rc.(a6) = 7,
tр.н.(a7) = 12, tр.о.(a7) = 22, tп.н.(a7) = 17, tп.о.(a7) = 27, Rп.(a7) = 5,
Rc.(a7) = 1,
tр.н.(a8) = 12, tр.о.(a8) = 19, tп.н.(a8) = 28, tп.о.(a8) = 35, Rп.(a8) = 16,
Rc.(a8) = 16,
tр.н.(a9) = 20, tр.о.(a9) = 30, tп.н.(a9) = 25, tп.о.(a9) = 35, Rп.(a9) = 5,
Rc.(a9) = 5,
tр.н.(a10) = 20, tр.о.(a10) = 24, tп.н.(a10) = 20, tп.о.(a10) = 24, Rп.(a10) = 0,
Rc.(a10) = 0,
tр.н.(a11) = 23, tр.о.(a11) = 31, tп.н.(a11) = 27, tп.о.(a11) = 35, Rп.(a11) = 4,
Rc.(a11) = 4,
tр.н.(a12) = 24, tр.о.(a12) = 35, tп.н.(a12) = 24, tп.о.(a12) = 35, Rп.(a12) = 0,
Rc.(a12) = 0.
292
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Наука, 1984.
3. Акимов О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы.
М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу
дискретной математики. М.: Наука, 1992.
5. Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. М.: Наука, 1984.
6. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. М.: Наука, 1977.
7. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / под ред. К.А.
Рыбникова. М.: Наука, 1982.
8. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука,
1975.
9. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. М.: Мир, 1980.
10. Егорычев Г.П. Интегральное представление и вычисление
комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977.
11. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Из-во
МГУ, 1972.
12. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
13. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики / под ред. Яблонского С.В. и Лупанова О.Б. М.: Наука, 1974.
14. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика.
Математическое программирование. Минск: Вышая школа, 1994.
15. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высшая
школа, 1986.
16. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов.
СПб.: Питер, 2000.
17. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И.
Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.
18. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.:
Из-во МАИ, 1992.
19. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.-Новосибирск: ИНФА-М – НГТУ, 2002.
293
20. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. СПб.: БХВ-Петергург, 2006.
21. Камерон П., ван Линт Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. М.: Наука, 1980.
22. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
23. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. М., Наука, 1985.
24. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.
25. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.
26. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир,
1984.
294
Содержание
Часть 1...................................................................................... 3
Элементы теории множеств.......................................................... 3
§ 1.1. Множества и действия над ними.......................................
3
§ 1.2. Практическое занятие № 1. Операции над множествами.......
6
§ 1.3. Эквивалентные, конечные и бесконечные множества...........
7
§ 1.4. Практическое занятие № 2. Кардинальные числа................ 13
§ 1.5. Аксиомы теории множеств............................................... 14
Часть 2 ..................................................................................... 20
Комбинаторика. ......................................................................... § 2.1. Основные определения комбинаторного анализа.................
§ 2.2. Правило суммы и правило произведения............................
§ 2.3. Формулы для расчета перестановок
и сочетаний без повторений и с повторениями.....................
§ 2.4. Бином Ньютона и полиномиальная теорема........................
§ 2.5. Практическое занятие № 3. Правила суммы и произведения.
Перестановки и сочетания.
Свойства биномиальных коэффициентов............................
§ 2.6. Метод рекуррентных соотношений....................................
§ 2.7. Метод производящих функций.........................................
§ 2.8. Производящие функции для некоторых схем выбора...........
§ 2.9. Применение производящих функций
для получения комбинаторных чисел.................................
§ 2.10. Экспоненциальные производящие функции......................
§ 2.11. Практическое занятие № 4. Производящие функции
и рекуррентные соотношения..........................................
§ 2.12. Метод включений и исключений......................................
§ 2.13. Учет весов элементов в формуле включения и исключения..
§ 2.14. Функция Эйлера............................................................
§ 2.15. Практическое занятие № 5. Формула включений
и исключений...............................................................
20
20
22
23
26
29
32
35
41
43
47
48
50
55
60
65
Часть 3...................................................................................... 67
Теория графов............................................................................ § 3.1. Основные понятия и определения......................................
§ 3.2. Операции над графами.....................................................
§ 3.3. Маршруты, цепи, циклы..................................................
§ 3.4. Способы задания графов..................................................
§ 3.5. Метрические характеристики графа..................................
§ 3.6. Упорядочивание дуг и вершин орграфа..............................
§ 3.7. Выявление маршрутов с заданным количеством ребер.........
§ 3.8. Определение экстремальных путей на графах.
Метод Шимбелла............................................................
§ 3.9. Практическое занятие № 6. Способы задания графов.
Операции над графами. Метрические характеристики
графов. Упорядочение элементов орграфов.........................
67
67
70
73
75
80
82
85
88
90
295
§ 3.10. Нахождение кратчайших путей. Алгоритм Дейкстры......... 92
§ 3.11. Нахождение кратчайших путей. Алгоритм Беллмана –
Мура........................................................................... 96
§ 3.12. Алгоритм нахождения максимального пути...................... 100
§ 3.13. Особенности алгоритмов теории графов]........................... 103
§ 3.14. Практическое занятие № 7. Нахождение минимальных
и максимальных путей на орграфах................................. 103
§ 3.15. Деревья (основные определения)...................................... 111
§ 3.16. Задача об остове экстремального веса............................... 115
§ 3.17. Обходы графов. Фундаментальные циклы......................... 117
§ 3.18. Клики, независимые множества...................................... 122
§ 3.19. Практическое занятие № 8. Остовы графов,
фундаментальные циклы. Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Доминирующие множества и клики................................ 126
§ 3.20. Планарность графов....................................................... 132
§ 3.21. Алгоритм укладки графа на плоскости............................. 134
§ 3.22. Хроматические графы. Раскраски графов......................... 139
§ 3.23. Практическое занятие № 9. Планарные и хроматические
графы.......................................................................... 145
§ 3.24. Потоки в сетях.............................................................. 146
§ 3.25. Теорема Форда – Фалкерсона.......................................... 148
§ 3.26. Элементы сетевого планирования.
Критические пути, работы, резервы................................. 150
§ 3.27. Линейные графики........................................................ 155
§ 3.28. Практическое занятие № 10. Потоки в сетях.
Сетевые и линейные графики.......................................... 161
ЧАСТЬ IV. ................................................................................. 176
Ответы, решения, указания.......................................................... 176
1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ.............................................................. 176
§ 1.2. Ответы и решения задач практического занятия № 1........... 176
§ 1.4. Ответы и решения задач практического занятия № 2........... 181
2. КОМБИНАТОРИКА................................................................. § 2.5. Ответы и решения задач практического занятия № 3...........
§ 2.11. Ответы и решения задач практического занятия № 4..........
§ 2.15. Ответы и решения задач практического занятия № 5..........
186
186
195
218
3. Теория графов......................................................................... § 3.9. Ответы и решения задач практического занятия № 6...........
§ 3.14. Ответы задач практического занятия № 7.........................
§ 3.19. Ответы и решения задач практического занятия № 8..........
§ 3.23. Ответы и решения задач практического занятия № 9..........
§ 3.28. Ответы и решения задач практического занятия № 10........
225
225
235
238
251
260
Библиографический список.......................................................... 293
296
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
11 006 Кб
Теги
shaporev1
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа