close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shishlak

код для вставкиСкачать
Федеральное агенТство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ
В. Ф. Шишлаков, С. А. Цветков, Д. В. Шишлаков
Синтез параметров
непрерывных и импульсных
многосвязных систем
автоматического управления
монография
Санкт-Петербург
2009
УДК 681.51
ББК 32.965
Ш65
Рецензенты:
Институт информатики и автоматизации Российской академии наук;
заслуженный деятель науки Российской Федерации,
доктор технических наук, профессор А. Е. Городецкий
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве научного издания
Шишлаков В. Ф., Цветков С. А., Шишлаков Д. В.
Ш65 Синтез параметров непрерывных и импульсных многосвязных систем автоматического управления: монография / Под ред. В. Ф. Шишлакова. – СПб.: СПбГУАП,
2009. – 180 с.: ил.
ISBN 978-5-8088-0416-6
В монографии рассматриваются методы синтеза параметров
непрерывных и импульсных многосвязных систем автоматического управления. Математическую основу предлагаемых методов составляет обобщенный метод Галеркина, что позволило
решить задачу синтеза с единых математических, алгоритмических и методологических позиций для линейных и нелинейных
непрерывных и импульсных систем управления. Предлагаются
математические модели амплитудно-импульсных модуляторов,
которые дают возможность учитывать при синтезе регуляторов
влияние формы и параметров импульсов на динамические свойства систем автоматического управления.
Книга предназначена для специалистов в области проектирования систем автоматического управления и студентов старших
курсов направления «Автоматика и управления».
УДК 681.51
ББК 32.965
ISBN 978-5-8088-0416-6
© ГУАП, 2009
© В. Ф. Шишлаков,
С. А. Цветков,
Д. В. Шишлаков, 2009
ПРЕДИСЛОВИЕ
В работах профессоров И. А. Орурка, Л. А. Осипова [1, 2],
В. Ф. Шишлакова [3 – 6], посвященных использованию обобщенного метода Галеркина, для решения задач параметрического
синтеза систем автоматического управления (САУ) рассматривались одномерные и односвязные линейные и нелинейные, непрерывные и импульсные (с различными видами модуляции сигналов) системы. В работах [3, 4] было математически доказано, что
обобщенный метод Галеркина позволяет решать задачу синтеза
параметров систем управления различных классов с единых математических, методологических и алгоритмических позиций.
Таким образом, данный математический аппарат представляется весьма универсальным, что дало возможность авторам монографии распространить обобщенный метод Галеркина на новый
класс САУ – многосвязные системы управления (МСАУ).
В первом разделе приводится обзор методов исследования
многосвязных систем автоматического управления различных
классов. Анализируются их достоинства и недостатки, определяющие возможность использовать различные подходы при решении задачи синтеза МСАУ. Кроме того, рассматриваются методы
построения моделей элементов электромеханических систем, поскольку в книге разбирается решение технической задачи синтеза и исследования динамических свойств автономной электроэнергетической установки, представляющей собой многосвязную систему автоматического управления.
Второй раздел посвящен распространению обобщенного метода Галеркина на непрерывные линейные и нелинейные МСАУ.
На основе анализа уравнений, описывающих динамические
свойства систем управления указанных классов, построены обобщенные математические модели, позволяющие решать задачу
параметрического синтеза непрерывных МСАУ обобщенным методом Галеркина. Подробно рассмотрены особенности применения общей схемы решения задачи синтеза для частных случаев
многосвязных систем.
Разработанные математические и вычислительные модели
импульсных элементов, формирующих модулированные по амплитуде последовательности треугольных и трапецеидальных
импульсов, применение которых дает возможность более полно
и точно решать задачи как анализа, так и синтеза амплитудноимпульсных систем управления, рассмотрены в третьем разделе.
3
В четвертом разделе обобщенный метод Галеркина распространен на линейные и нелинейные МСАУ, содержащие амплитудноимпульсные модуляторы. Анализ частных структур импульсных
МСАУ позволил построить обобщенные математические модели,
применение которых дает возможность синтезировать параметры регуляторов обобщенным методом Галеркина без использования принципа автономности.
Аналитические рекуррентные соотношения вида «входвыход», определяющие интегралы Галеркина целевой функции,
построенной на основе уравнений Галеркина, приведены в пятом
разделе. Соотношения получены для линейных и нелинейных
импульсных САУ, математические модели импульсных элементов которых формируют модулированные по амплитуде последовательности треугольных и трапецеидальных импульсов.
Применение данных соотношений дает возможность аналогично
одномерным и односвязным системам полностью алгебраизировать решение задачи параметрического синтеза и свести все вычисления к выполнению простых и единообразных алгебраических операций.
Дано много примеров практического использования разработанных авторами методов синтеза, в том числе в шестом разделе
решена задача параметрического синтеза автономной электроэнергетической установки, предназначенной для электроснабжения переменным током стабильной частоты, математическая
модель которой представляет собой МСАУ. Не только показано
решение задачи синтеза электроэнергетической установки, но и
приводятся результаты исследований ее динамических свойств
как в нормальном режиме работы, так и в случае внешних воздействий на входах приводного двигателя и генератора.
Авторам книги удалось в полном объеме решить поставленную задачу и распространить обобщенный метод Галеркина на
многосвязные системы управления как непрерывные, так и импульсные, существенно расширив границы его применимости.
4
1. ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ И
ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ электротехнических
устройств
В настоящем разделе дается обзор методов синтеза многосвязных систем автоматического управления, анализируются их достоинства и недостатки. Рассматриваются подходы к построению
математических моделей электромеханических систем, представляющих собой системы многосвязного регулирования.
1.1. Методы исследования многосвязных систем
автоматического управления
Системы многосвязного управления – МСАУ – нашли широкое
распространение в различных отраслях промышленности. К этому классу систем относятся технологические процессы, такие
как объекты нефтедобывающей промышленности, нефтепереработки и нефтехимии, химическое производство, электроэнергетические системы, системы автоматического регулирования
турбо- и гидродвигателей, САУ полетом летательных аппаратов,
электроприводами в станах непрерывной прокатки холодного и
горячего металла и многие другие. Это обстоятельство привело
к необходимости разработки методов исследования как анализа,
так и синтеза многосвязных систем, бурное развитие которых
началось в 60-е годы ХХ века.
Основные направления в теории многосвязных систем – это
моделирование, идентификация, анализ структур, синтез структур и параметров, исследование качественных характеристик
(таких как управляемость, устойчивость и др.), разработка методов оптимизации.
Для многосвязных систем характерно наличие нескольких каналов управления, которые связаны структурно, общими ограничениями на входные переменные и критерии качества. Математически МСАУ может описываться дифференциальными уравнениями, обыкновенными или в частных производных, она может
быть линейной и нелинейной, непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической. Способу описания системы соответствует математический аппарат, используемый для ее
исследования; это может быть функциональный анализ, для дискретных систем – комбинаторные методы и теория графов.
5
В работе [7] показано, что применение теории графов позволяет в значительной мере упростить все виды преобразований
структуры для получения передаточных функций относительно формулы количества связей, обеспечивающий селективную
инвариантность каналов управления. Структурные матрицы
(графы) могут быть использованы и для исследования чувствительности МСАУ в соответствии с методикой, рассмотренной в
статье [8]
Развитие теории МСАУ связано с реализацией принципа автономности, который был введен в рассмотрение Н. И. Вознесенским [9]. Принцип автономности заключается в таком способе
построения САУ, при котором устраняется взаимное влияние
между отдельными контурами системы. Таким образом, исходная МСАУ рассматривается как n систем, имеющих по одной
управляемой координате каждая. На основе принципа автономности была разработана теория автономности, которая достаточно эффективно использовалась при исследовании МСАУ в течение нескольких десятилетий [10].
Фундаментальные работы М. В. Меерова [11 – 13] по реализации принципа автономности многосвязных систем управления
внесли заметный вклад в развитие теории МСАУ и позволили решить значительное число прикладных задач. Очевидно, что существуют такие объекты, где использование принципа автономности оказывается полезным и целесообразным [13]. Так, на основе
условий автономности с использованием амплитудно-частотных
характеристик предлагается синтезировать многомерные комбинированные системы с общим выходом, как линейные, так и
нелинейные [14]. Причем в данной статье подход распространен
на МСАУ без ограничения числа контуров, в отличие от [15 – 18],
где рассматриваются системы с двумя контурами.
В работе [19] описан подход к синтезу нелинейной двумерной
САУ, в которой выполняются условия автономности и отсутствуют перекрестные связи между регуляторами. При этом нелинейные функции линеаризуются с использованием ряда Тейлора.
Подобный подход может быть применен и к синтезу дискретной
МСАУ, если между дискретным элементом и объектом управления имеется интегрирующее звено.
Очевидно, что представленная МСАУ как некоторая совокупность автономных не связанных и независимых систем управления требует дополнительного рассмотрения вопроса адекват6
ности исследуемых моделей реальной МСАУ. Кроме того, полученные в результате решения задачи синтеза регуляторы при
использовании любого условия автономности будут неизбежно
требовать проведения дополнительных исследований качества
функционирования МСАУ в целом.
Для большинства многосвязных объектов применение принципа автономности противоречит сущности технологического
процесса, т. е. условиям нормального функционирования системы, или вообще не имеет смысла [13]. Подобная ситуация возникает, когда результат работы МСАУ зависит одновременно
от всех управляемых величин и их взаимосвязи. В тех случаях,
когда автономность не противоречит физике функционирования
МСАУ, оптимизация по каждой автономной системе не означает оптимизацию системы в целом. Из этого следует, что главным
для многосвязных систем является то, что проблема обеспечения
заданных показателей качества функционирования, как правило, сводится к решению задачи оптимизации некоторого функционала, зависящего одновременно от всех управляемых величин при условии, что все они связаны между собой.
Оптимизация целевой функции может быть осуществлена
различными методами. Так, в теории автоматического управления для исследования одноконтурных САУ применяются метод
сопряженных градиентов, метод проектирования градиента, метод наискорейшего спуска [1, 20].
В методе наискорейшего спуска движение происходит по направлению вектора градиента до тех пор, пока производная целевой функции по этому направлению не обращается в ноль.
Затем вновь определяется направление градиента, и движение
осуществляется вдоль этого вектора, пока не обратиться в ноль
производная по данному направлению, и т. д., что обеспечивает
достаточно быстрый выход в окрестность экстремума.
Одним из эффективных методов минимизации функций является метод сопряженных градиентов, который можно рассматривать как оптимальную реализацию градиентного метода применительно к квадратичной функции.
Метод проектирования градиента обобщает градиентный метод на случай минимизации функции при наличии ограничений.
При этом каждый шаг алгоритма, реализующего данный подход,
состоит из градиентной фазы и фазы восстановления. На первой
происходит движение в предположении, что ограничения выпол7
няются, а на второй осуществляется корректировка приращения
целевой функции таким образом, чтобы ограничения выполнялись с требуемой точностью.
Описание использования градиентных методов применительно к МСАУ приводится в работах [20, 21].
В. Я. Катковником [20] было предложено решение задачи стабилизации в многомерных линейных и нелинейных системах
управления на основе градиентных методов с использованием
квадратичного функционала. В. И. Кулибанов рассматривает
применение интегрального квадратичного критерия от фазовых
координат [21].
Известно [1, 2], что при решении задачи синтеза односвязных
САУ, в том числе и параметрического, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка и содержащих несколько нелинейных элементов, градиентные методы практически не применимы, что связано со сложностью и громоздкостью
преобразований и расчетов, необходимых для получения функций, входящих в задачу. Тем более трудно, а иногда и невозможно найти явные выражения для соответствующих производных.
Что касается МСАУ, то в работе [20] указываются ограничения
применимости градиентных методов, связанные с обеспечением
их сходимости при перенастройке параметров регулятора в зависимости от условий работы объекта управления.
Предлагается корневой метод синтеза широкого класса линейных многосвязных детерминированных систем по отклонению с несимметричными каналами, с неавтономными органами
управления, число которых не превышает числа регулируемых
переменных [22 – 24]. Метод отличается тем, что трудоемкая задача исследования характеристического и дополнительного полинома высокого порядка с большим числом варьируемых параметров сводится к исследованию полиномов более низкого порядка с поэтапным поиском решений. Исходный полином на основе
элементов теории структурной устойчивости представляется в
виде вырожденного и вспомогательного уравнений существенно
меньшего порядка, чем исходное уравнение. Квазиавтономность
подсистемы уравнений движения применительно к нелинейным
МСАУ рассматривается в статье [24]. Подобный подход аналогичен методу разделения движений [25] и принципу локализации
[26], известных в теории непрерывных и дискретных односвязных САУ. Основная идея принципа локализации близка к мето8
ду разделения движений и заключается в следующем: система
строится так, чтобы всевозможные отклонения параметров возмущения отрабатывались в быстром контуре, который как бы
локализует все возмущения, а требуемый вид переходного процесса обеспечивается медленным контуром.
Значительный вклад в развитие методов структурного синтеза
линейных МСАУ внес В. Т. Морозовский [27, 28]. Он предложил
метод синтеза корректирующих перекрестных связей многосвязных систем управления при заданном качестве регулирования в
отдельных каналах, основу которого составляет использование
аппарата передаточных функций. Большое внимание уделено
специальному классу МСАУ, который характеризуется однотипностью отдельных сепаратных систем управления и для которого рассматриваются различные по характеру перекрестные
связи между сепаратными системами. Для двумерных МСАУ
приводятся таблицы, содержащие передаточные функции корректирующих перекрестных связей, полученные из условия автономности. Предлагаемый подход распространяется автором на
существенно нелинейные многомерные САУ путем использования метода гармонической линеаризации.
В работе [29] предлагается метод структурного синтеза МСАУ
комбинированного управления, названный авторами методом
обратных операторов. Он опирается на решение задачи идентификации МСАУ, дающее возможность получить обратные модели по всем регулируемым координатам. МСАУ рассматривается
как преобразователь управляющих величин и внешних воздействий в невязки, которые должны принимать нулевые или малые значения. Тогда задача построения обратных или квазиобратных моделей заключается в том, что по заданным значениям управляющих величин и невязок определяется величина
внешнего воздействия, а по заданным значениям внешнего воздействия и невязки определяется значение управляющих величин. В результате получаются две системы, называемые авторами обратными моделями сложного многосвязного объекта, объединение которых с объектом дает возможность осуществлять
регулирование в МСАУ с помощью идентификаторов в прямой
цепи и контуре обратной связи.
Различные принципы организации многосвязного управления с точки зрения многообразия структур многосвязных систем
с оценкой достоинств некоторых классов МСАУ рассмотрены
9
Б. Г. Ильясовым [30]. В работах [31, 32] делаются достаточно
успешные попытки синтезировать нелинейные законы управления и исследования периодических движений в непрерывных
многосвязных системах управления.
Значительное место в общей теории исследований линейных
и нелинейных многосвязных систем управления занимают численные методы, которые основываются на алгоритмах линейного программирования, численных методах решения задач быстродействия, методах фильтрации, различных итерационных
процедурах [33 – 39]. Как правило, такие подходы не обладают
необходимой общностью и разрабатываются применительно к
решению конкретных задач, что связано с определенными специфическими особенностями построения алгоритмов решения.
В работе [40] решается задача синтеза регулятора из условия
обеспечения экстремума квадратичного функционала для линейного объекта управления. Показано, что с помощью метода
динамического программирования получены рекуррентные соотношения, позволяющие определить параметры регулятора.
В ряде работ рассматриваются вопросы синтеза МСАУ с запаздывающим аргументом [11 – 13, 29, 41 – 44]. М. В. Мееров
распространяет на МСАУ с запаздыванием условия автономности [11]. А. И. Доценко метод обратных операторов распространяет на автономные МСАУ с запаздывающим аргументом [22].
Предлагается применять управляющие устройства, искусственно компенсирующие запаздывания в объектах и позволяющие
вести управление по упрежденным значениям регулируемых
переменных. Такое решение дает возможность достичь выполнения принципа автономности МСАУ, что существенно облегчает
решение задачи синтеза.
Метод синтеза многосвязных линейных систем, содержащих
звенья чистого запаздывания, предложен Р. Т. Янушевским
[42 – 44]. Специфические свойства объектов с запаздывающим
аргументом в случае, когда запаздывание проявляется лишь при
действии управляющих сигналов, позволили решать задачу синтеза данного класса МСАУ с использованием результатов теории
оптимальной фильтрации Винера. Поскольку решение рассматриваемой задачи оптимального синтеза передаточной матрицы
регулятора идентично для непрерывных и дискретных МСАУ, то
результаты [42] могут быть применены и для линейных многосвязных импульсных систем управления.
10
Так же как и в теории одномерных и односвязных САУ, при
решении задач как синтеза, так и идентификации МСАУ достаточно широко применяются методы модального управления и
пространства состояний, опирающиеся на использование аппарата линейной алгебры и векторно-матричного описания динамических свойств исследуемой системы [45 – 51].
Так, рассматривается синтез модального управления для
многосвязной системы путем декомпозиции модели МСАУ на не
связанные между собой по переменным состояния и выходным
координатам объекты с последующим синтезом наблюдателя и
управления для каждого объекта в отдельности [51]. Подобный
подход фактически базируется на применении принципа автономности.
Основным недостатком подходов [45 – 51] является то, что
они применимы только для линейных моделей МСАУ. Это существенно ограничивает их практическое использование при решении задачи синтеза реальных многосвязных систем, которые
содержат элементы и устройства с нелинейными характеристиками.
Основная сложность решения задачи синтеза МСАУ заключается в высокой размерности решаемых задач, что является
характерным для МСАУ, так что даже весьма конструктивные
в теоретическом плане методы оказываются неприменимыми
при сколько-нибудь высокой размерности решаемой задачи [52].
Кроме того, специфика многосвязных систем не допускает прямого распространения результатов теории систем с одной управляемой величиной на МСАУ.
Применение существующих методов исследования МСАУ,
как правило, ограничивается линейными системами. Распространение методов на нелинейные МСАУ связано с применением
гармонической линеаризации, что не дает возможности в полной
мере учитывать влияние характеристик нелинейных элементов
на динамические свойства синтезируемой системы управления.
Приведенный обзор работ показывает, что, несмотря на очевидные успехи в развитии теории многосвязных систем управления, методы синтеза МСАУ, как правило, имеют особенности и
недостатки, которые не позволяют применять их для широкого
класса систем управления высокого порядка, содержащих нелинейные элементы и модуляторы различных видов. То есть на
настоящее время отсутствуют подходы к решению задачи синте11
за многосвязных систем управления, в том числе и параметрического, позволяющие с единых методологических и математических позиций решать задачу синтеза МСАУ широкого класса,
как непрерывных, так и импульсных, в том числе содержащих
нелинейные элементы и звенья чистого запаздывания.
Следовательно, проблема разработки эффективных и универсальных методов синтеза линейных и нелинейных, непрерывных
и импульсных систем управления, динамика которых описывается в общем случае уравнениями произвольно высокого порядка, является актуальной.
1.2. Методы построения и исследования моделей
электротехнических устройств
В заключительном разделе данной книги рассматривается
решение прикладной задачи параметрического синтеза автономной электроэнергетической установки (ЭЭУ) со сверхпроводниковыми электротехническими устройствами, которая представляет собой сложную, многосвязную систему автоматического
управления, работающую в различных режимах. Для решения
поставленной задачи требовалось разработать как метод синтеза
МСАУ, так и математические модели отдельных электротехнических устройств и ЭЭУ в целом.
Поэтому здесь авторы приводят обзор подходов к построению моделей электротехнических и электроэнергетических
устройств, систем и комплексов, на основании которого выбрана
концепция построения модели ЭЭУ.
Значительный вклад в развитие теории подобия и моделирования, а также теорию погрешностей внесли известные российские ученые, такие как М. В. Кирпичев, Н. Г. Бруевич, М. П. Костенко, В. А. Трапезников, В. А. Веников и др.
При построении любой модели требуется выполнение лишь
одного основного правила – уравнения движения модели должны быть тождественны уравнениям реальных звеньев. То есть
совершенно не требуется, чтобы элементы модели копировали по
конструкции, например в уменьшенном виде, реальные элементы системы управления (физическое моделирование).
Физическое моделирование достаточно широко применяется
при исследованиях электрических машин, когда малые электрические машины рассматриваются в виде моделей больших
машин того же типа.
12
Подобный подход к решению задачи моделирования имеет неоспоримое достоинство, заключающееся в том, что исследуемая
модельная машина адекватно воспроизводит физику функционирования. Вместе с тем электродинамическое моделирование
имеет определенные недостатки:
• процессы в модельных электрических машинах не могут
быть масштабированы на электрические машины большой мощности из-за определенных нелинейных эффектов, возникающих
в процессе работы;
• требуются временные и финансовые затраты на изготовление электродинамической модели;
• электродинамическая модель соответствует вполне конкретному электротехническому устройству, т. е. возникают существенные проблемы с ее унификацией;
• невозможно применять подходы физического моделирования к сложной ЭЭУ, в состав которой входят не только различные по своему функциональному назначению электротехнические устройства, но и операторы управления (различные преобразователи), реализующие заданные законы управления.
Основным же недостатком данного подхода является то, что
он не может быть использован для построения модели системы,
предназначенной для решения задачи синтеза, известными в теории автоматического управления методами, в том числе и обобщенным методом Галеркина.
Математическое моделирование не имеет недостатков, присущих физическому, поскольку опирается на математический
аппарат высшей алгебры, операционное исчисление, системы
дифференциальных уравнений. При этом основное достоинство
математического моделирования заключается в том, что процессы в устройствах и системах различной физической природы могут быть описаны с единых математических позиций.
При необходимости теоретического исследования какоголибо устройства, процесса или явления необходимо построить
его математическую модель. В широком смысле под математической моделью понимается аналитическое, графическое, табличное и т. д. описание объекта, процесса или явления, связывающее исследуемые величины с влиянием внешних воздействий [53 – 55].
При построении математической модели могут быть выделены несколько основных этапов.
13
На первом этапе производится рассмотрение реального объекта или системы, при этом:
• выявляются связи исследуемых величин с внешними воздействиями;
• определяются границы требуемой точности исследований;
• выделяются наиболее существенные связи главных процессов, происходящих в системе, с внешним воздействием;
• формулируются физические допущения, определяющие
границы применимости модели, с точки зрения ее адекватности
моделируемой системе или устройству.
На втором этапе, с использованием результатов первого этапа,
осуществляется замена реального объекта на идеализированный,
абстрактный, теоретический объект с ограниченным числом связей, часть параметров которого принимаются постоянными.
Третий этап заключается в формировании математической
модели, которое сводится к представлению на языке математических понятий, определений и символов основных процессов
исследуемого устройства или системы.
Если рассматриваются электротехнические устройства широкого класса, то основными в них являются электромагнитные
процессы, и математические модели таких устройств в общем
случае представляют собой систему дифференциальных уравнений, характеризующих связи между энергетическими и технологическими параметрами электромагнитного процесса, проходящего в исследуемом объекте.
В результате построения математической модели реальный
объект замещается описанием основных процессов, происходящих в нем, после чего полученная модель может быть исследована формальными математическими методами.
Математические методы позволяют с единых математических
и методологических позиций описывать широкий круг процессов различной физической природы, осуществлять их качественный и количественный анализ, производить изучение взаимного
влияния параметров объекта исследования друг на друга. В более
сложных случаях, когда речь идет о сложных системах управления, – изучать степень влияния устройств САУ друг на друга
и динамические свойства системы в целом. Таким образом, на
основе исследования модели появляется возможность предсказания поведения системы в различных условиях ее функционирования. Результаты моделирования позволяют более эффективно
14
решать задачу синтеза оператора управления и существенно сократить время на разработку системы в целом [56].
Очевидно, что любая математическая модель не может быть
полностью тождественна реальной системе, не передает всех
свойств системы и особенностей, поскольку основана на некоторой идеализации, допущениях и упрощениях объекта.
Следовательно, результаты, полученные при моделировании,
соответствуют результатам экспериментальных данных в пределах некоторой допустимой погрешности, что делает модель
адекватной основам физики функционирования реальной системы [55].
Математические модели могут исследоваться либо аналитически, либо численными методами [54, 57], с помощью пакетов
прикладных программ.
При аналитических исследованиях решение получают в общем виде, при этом вся информация об объекте исследований,
содержащаяся в системе дифференциальных уравнений, без
каких-либо искажений преобразуется в совокупность результирующих функциональных зависимостей (в общем случае ограниченную), каждая из которых характеризует зависимость одного
из параметров системы от остальных. Очевидным достоинством
аналитических методов является то, что результирующие функции используются не только для решения задачи анализа САУ,
но и для решения задачи синтеза.
Недостаток аналитического решения заключается в том, что
оно может быть получено, как правило, для достаточно простых
моделей.
Применение численных методов, положенных в основу современных моделирующих пакетов программ, позволяет производить анализ сколь угодно сложных математических моделей для
любых частных значений параметров.
Однако применение прикладных программ при анализе реальных устройств и систем, характеризуемых сложными нелинейными математическими моделями, приводит к искажению
информации, поскольку числовое представление информации,
равно как и все вычисления, предполагает дискретизацию по времени [57]. Очевидно, что при замене дифференциальных уравнений конечно-разностными, а непрерывных граничных функций
и поверхностей – кусочно-непрерывными исходная информация
искажается.
15
Ошибки округления, как локальная, так и глобальная, так
же как и итерационные расчетные процедуры, вносят дополнительные искажения информации в процессе моделирования,
что, безусловно, должно быть учтено путем выбора метода интегрирования и его параметров. Следует учитывать, что попытка
увеличить точность решения путем уменьшения шага интегрирования всегда приводит к увеличению объема вычислений и,
как следствие, к накоплению ошибок.
В целях повышения эффективности численных методов анализа сложных электроэнергетических и электромеханических
систем, содержащих устройства с магнитопроводами сложной
формы и нелинейными характеристиками, используется метод
специализации математических моделей [54], позволяющий за
счет специализации повысить точность вычисления тех процессов, которые наиболее важны для задач исследования.
Предлагаются [58 – 61] различные принципы построения специализированных моделей, общими из которых являются:
• уменьшение количества преобразований, выполняемых
численными методами, т. е. максимально возможное число преобразований должно выполняться аналитически, что уменьшает
объем программно реализуемых вычислений и, следовательно,
повышает их точность;
• широкое применение аналитических преобразований, что
делает модель более универсальной; таким образом, при численном моделировании в программной среде вводится лишь частная
информация, отражающая специфику конкретной задачи;
• использование при построении математической модели
максимум известной информации о моделируемом устройстве
или системе, что уменьшит число итерационных процедур для
элементов с неизвестными параметрами (или параметрами из заданного диапазона), а также повысит точность аналитического
моделирования.
Таким образом, при решении задачи синтеза сложных, многосвязных систем управления, содержащих элементы и устройства
с нелинейными характеристиками, целесообразно осуществлять
построение общей модели САУ по блочно-модульному принципу,
используя в качестве отдельных элементов математической модели системы в целом отдельные специальные модели, каждая
из которых предназначена для исследования параметров какойлибо одной физической природы.
16
Так, в целях повышения эффективности и упрощения анализа
и синтеза предлагается [54, 60, 61] при исследованиях электротехнических устройств вместо универсальных моделей электромагнитных цепей, позволяющих рассчитывать параметры как
электрических, так и магнитных цепей, применять специализированные модели для расчета электрических и магнитных цепей
в отдельности.
Существенное значение при разработке специализированных
моделей имеет сложность системы в целом [56, 57], поскольку
каждой конкретной системе взаимосвязанных процессов различной физической природы, характеризующей какое-либо
устройство при его математическом моделировании, может быть
поставлена в соответствие, как правило, только одна оптимальная специализированная модель. Следовательно, анализ исследуемой системы аналитическими и численными методами будет
максимально точен и прост, если все специализированные модели (модели отдельных блоков) будут отвечать требованиям оптимальности.
Подобное построение моделей сложных электроэнергетических и электромеханических систем приводит к тому, что аналитические решения дают максимально простые и в то же время
наиболее информативные результирующие функции.
Очевидно, что реализация рассмотренного принципа построения модели должна основываться на методах структурнотопологического анализа систем [60].
Известно, что основными в электротехнических устройствах
являются электромагнитные процессы, точный и строгий анализ
которых можно провести только с помощью математических моделей, построенных на основе уравнений Максвелла, независимо
от того, требуется исследовать электрические или магнитные явления [56, 62]. В этом случае математическая модель представляет собой систему дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейную) в частных производных, и ее анализ является
крайне трудноразрешимой задачей даже в простейших случаях.
Упростить подобные исследования позволяет применение методов теории электромагнитных цепей (уравнения Максвелла,
преобразованные в цепные уравнения), в которых вместо векторных величин теории поля, зависящих от пространственных
координат и времени, вводятся в рассмотрение в качестве параметров интегральные скалярные величины: токи, напряжения,
17
магнитные потоки, магнитодвижущие силы и т. д., – являющиеся функциями времени [62].
При анализе электротехнических устройств методами теории цепей электромагнитные процессы рассматриваются как
протекающие в системе взаимосвязанных электрических и
магнитных цепей. Это дает возможность применять универсальные математические модели электромагнитных цепей, содержащие представленные в явном виде ток, магнитный поток,
напряжение и т. д. и позволяющие рассчитывать параметры
как электрической, так и магнитной цепи электромагнитного
устройства.
Вместе с тем в целях оптимизации электромагнитных расчетов могут быть разработаны специализированные модели, характеризуемые более узким классом решаемых задач [58, 59]. Так,
специализированная математическая модель электрической
цепи позволяет непосредственно рассчитывать параметры электрических цепей электротехнического устройства, поскольку содержит в явном виде основные параметры электрической цепи
(ток, напряжение и т. д.). Специализированная математическая
модель магнитной цепи позволяет непосредственно рассчитывать параметры магнитной цепи электротехнического устройства и содержит в явном виде магнитный поток, магнитодвижущую силу и т. д.
Следует иметь в виду, что указанные выше математические
модели как универсальные, так и специализированные позволяют с максимальной степенью точности всесторонне изучать
процессы, происходящие в электрических машинах различных
классов и, безусловно, необходимы при расчете и проектировании конкретных электротехнических устройств.
Одним из важнейших направлений в теории электрических
машин является учет при их создании переходных процессов
[63]. Несмотря на ограниченность по времени протекания, переходный процесс, оказывает существенное влияние на работу
электрических машин, поскольку при переходных процессах в
обмотках машин могут появляться токи, во много раз превосходящие номинальные. Электромагнитный момент и электромагнитные силы также могут быть во много раз больше, чем в
номинальном режиме, а в некоторых случаях могут появляться
недопустимо большие электрические напряжения на отдельных
элементах электрических машин. Таким образом, переходные
18
процессы оказывают влияние на конструктивные соотношения
электрической машины и определяют значения ее параметров.
Поскольку переходные процессы возникают только при переходе от одного установившегося режима работы к другому, математическая модель, позволяющая анализировать переходные
процессы, может быть применена и для исследования стационарных процессов.
Ряд работ [64 – 69] посвящен различным аспектам создания
математических моделей, пригодных для анализа переходных
электромагнитных процессов электрических машин различного
исполнения как в симметричных, так и несимметричных режимах работы, основывающихся на сочетании метода численного
интегрирования с другими методами (такими как комплексный
метод, метод симметричных составляющих, метод преобразования координат и т. д.).
Однако, как отмечает В. А. Мартынов в [63], все эти модели
базируются на довольно грубых допущениях.
Таким образом, при разработке математических моделей
устройств, входящих в состав системы управления, основное
внимание должно быть уделено вопросу адекватного воспроизведения основ физики функционирования элементов САУ, т. е.
максимальному упрощению представления частных процессов,
происходящих в отдельных элементах системы. В противном
случае модель любой САУ, в том числе и автономной ЭЭУ, будет
крайне сложна, ее полноценное аналитическое исследование будет практически невозможно, а численное моделирование с использованием пакетов моделирующих программ будет давать
результаты с большой ошибкой.
19
2. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ НЕПРЕРЫВНЫХ МСАУ
ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА
В данном разделе обобщенный метод Галеркина распространяется на непрерывные линейные и нелинейные многосвязные
системы автоматического управления.
При решении многих технических задач объектами управления являются не отдельные звенья, а более сложные комплексы со многими регулируемыми переменными и внутренними
взаимосвязями. Это обусловлено непрерывным усложнением
автоматизируемых технологических процессов, увеличением
мощности сложных электроэнергетических и электромеханических систем и комплексов, интенсивным развитием техники и
многими другими причинами. Такие системы автоматического
регулирования и управления с несколькими взаимосвязанными
величинами в технической литературе называются многосвязными, взаимосвязанными, многоканальными, многомерными
системами автоматического регулирования.
Многосвязными системами автоматического управления будем называть системы автоматического управления, в которых
имеется несколько регулируемых величин, связанных между собой в том смысле, что изменение какой-либо одной из них вызывает изменение других, если не предусмотрены средства, устраняющие в процессе регулирования указанную связь [27 – 29].
Примерами МСАУ могут служить электроэнергетические системы, в которых осуществляется автоматическое регулирование
частоты, напряжения, потоков активных и реактивных мощностей для большого числа работающих параллельно синхронных
генераторов; системы автоматического регулирования турбо- и
гидродвигателей, где требуется одновременная стабилизация
скоростей вращения, параметров рабочего тела (температуры,
давления и т. п.) на различных ступенях гидравлического тракта; системы автоматического управления полетом летательных
аппаратов, электроприводами в станах непрерывной прокатки
холодного и горячего металла и многие другие САУ технологическими процессами в химической, текстильной, угольной и других отраслях промышленности [11 – 13, 27 – 29 и др.].
2.1. Математические модели линейных МСАУ
Проектирование САУ любым достаточно сложным техническим объектом представляет собой длительный многоплановый
20
процесс, одним из этапов которого является построение адекватной математической модели объекта управления. Правильный
выбор математической модели объекта неизбежно связан с некоторой идеализацией его математического описания, которая
предполагает выделение главных закономерностей в поведении
объекта и пренебрежение второстепенными связями и эффектами, с учетом ожидаемых условий его функционирования в реальной системе. Так, если в рассматриваемом режиме работы управляемые координаты объекта мало изменяются относительно их
равновесных значений (что характерно для систем автоматической стабилизации), а параметры окружающей среды являются
практически постоянными, то наиболее целесообразно перейти к
исследованию линейной стационарной модели объекта.
 Следует иметь в виду, что принятый принцип построения математической модели не только сохраняет определенную сумму
сведений об исследуемых физических явлениях, но и при необходимости приводит к использованию на последующих этапах
синтеза математического аппарата, развитого применительно к
данному классу моделей (для стационарных моделей основу такого аппарата составляет хорошо разработанная теория линейных дифференциальных уравнений). Таким образом, характер
математической модели объекта будет во многом определять и
конечные результаты синтеза, указывая рациональные пути построения управляющей части системы в рамках заданных требований к ее динамическим и статическим свойствам.
Проведем анализ структурных схем линейных многосвязных
систем автоматического управления, на основе которого может
быть построена обобщенная модель линейной МСАУ.
Уравнение движения системы, структура которой показана
на рис. 2.1, записанное относительно координаты выхода, имеет
вид
x(t) 1 − W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p )W4 ( p ) =
= f1 (t)W3 ( p )1 + W2 ( p )W4 ( p ) + f2 (t)W4 ( p )1 + W3 ( p )W4 ( p ) .
(2.1)
Динамика САУ, представленной на рис. 2.2, относительно выходов системы описывается системой уравнений
x1 (t) − x2 (t)W2 ( p )W3 ( p ) = f (t)W3 ( p )
.

x2 (t) − x1 (t)W1 ( p )W4 ( p ) = f (t)W4 ( p )
(2.2)
21
GU
8
8
Y U
8
GU
8
Рис. 2.1. Структурная схема МСАУ с двумя входами и
обратными связями
8
Y U
8
GU
8
8
Y U
Рис. 2.2. Структурная схема МСАУ с одним входом и
обратными связями
Для структурной схемы, показанной на рис. 2.3, уравнение
движения будет следующим:
x(t) = f1 (t)W3 ( p ) + f2 (t) W1 ( p )W3 ( p )W4 ( p ) + W4 ( p ) + W2 ( p ) .(2.3)
22
GU
8
8
YU
8
G U
8
Рис. 2.3. Структурная схема МСАУ с двумя входами,
прямыми и обратными связями
8
Y U
8
GU
8
8
Y U
Рис. 2.4. Структурная схема МСАУ с одним входом,
прямыми и обратными связями
В том случае, если структура системы управления имеет вид,
показанный на рис. 2.4, динамика САУ относительно выхода
описывается следующим образом:
23
x1 (t) = f (t)W3 ( p )
. (2.4)

x2 (t) = f (t) W2 ( p ) + W4 ( p ) + W1 ( p )W3 ( p )W4 ( p )
Связанные системы управления, так же как и САУ с перекрестными антисимметричными связями, могут быть описаны
следующим образом:
– для структурной схемы, изображенной на рис. 2.5:
[f1 (t) − a11x1 (t) ]W ( p ) − x2 (t)W ( p )a21 = x1 (t)
,

[f2 (t) − a22 x2 (t) ]W ( p ) − x1 (t)W ( p )a12 = x2 (t)
либо, решая, данную систему уравнений совместно, получаем
B
s
G U
8
Y U
s
B
B
s
G U
8
Y U
s
B
Рис. 2.5. Структурная схема МСАУ с обратными связями
24



W ( p )(1 + a22 W ( p ))
 x (t) = 
 f (t) −
 1
 1 + a W (p) 1 + a W (p) − a a W (p) 2  1
(
)
(
)
(
)
11
22
12 21




2


a21 (W ( p ))

 f (t)
−

2 2

+
+
−
1
a
W
p
1
a
W
p
a
a
W
p

( ))( 22 ( )) 12 21 ( ( )) 
11
(
; (2.5)




W ( p )(1 + a11W ( p ))
 f (t) −
x2 (t) = 
 1 + a W (p) 1 + a W (p) − a a W (p) 2  2

(
)
(
)
(
)
11
22
12 21



2



a12 (W ( p ))


 f (t)
−

 1 + a W (p) 1 + a W (p) − a a W (p) 2  1
)( 22
) 12 21 (
)
11

(
– для структурной схемы, изображенной на рис. 2.6, имеем
GU
s
8
Y U
B
B
GU
8
Y U
s
Рис. 2.6. Структурная схема МСАУ с перекрестными
антисимметричными связями
25
[f1 (t) − x1 (t) ]W ( p ) + [f2 (t) − x2 (t) ]W ( p )a = x1 (t)

[f2 (t) − x2 (t) ]W ( p ) − [f1 (t) − x1 (t) ]W ( p )a = x2 (t)
либо после простых преобразований

 W p 1 + W ( p ))+ a2 (W ( p ))2 
 x (t) =  ( )(
 f (t) +
1
2
 1
2
2


+
+
W
p
a
W
p
1
(
)
(
)
(
)






aW ( p )

 f (t)
+

 1 + W ( p ) 2 + a2 W ( p ) 2  2

(
)
(
)


.

 W ( p )(1 + W ( p ))+ a2 (W ( p ))2 

 f (t) +
x2 (t) = 
 1 + W ( p ) 2 + a2 W ( p ) 2  2

)
(
) 
 (




aW ( p )


 f (t)
+

 1 + W ( p ) 2 + a2 W ( p ) 2  1
(
)
(
)



(2.6)
Обобщение результатов анализа частных случаев структур
линейных многосвязных систем управления (см. рис. 2.1 – 2.6)
показывает, что многолучевые САУ при наличии нескольких l
входов и одного выхода [соотношения (2.1), (2.3)] описываются
дифференциальным уравнением
m1
Q (ck , p )x(t) = ∑ Sl (ck , p )fl (t),
(2.7)
l =1
где x(t) – координата выхода многосвязной системы; fi (t) –
n
сигналы на входах системы управления; Q (ck , p ) = ∑ ai (ck )pi ;
vl
i =0
Sl (ck , p ) = ∑ eli (ck ) pi – полиномы оператора дифференцироваi =0
ния p с вещественными постоянными коэффициентами степеней
nl, vl соответственно; сk – варьируемые параметры.
Многолучевые САУ при наличии одного входа и нескольких
s выходов [(соотношения (2.2), (2.4)] описываются в матричной
форме уравнением вида
26
Qx = Sf (t), (2.8)
где x = x1(t), x2(t), ..., xs(t)Т – вектор-столбец процессов на s
выходах системы управления; f(t) – процесс на входе системы
управления; Q – квадратная матрица порядка s вида
Q11
Q21
Q = Q31

Qs1
Q12
Q22
Q32

Qs2
Q13
Q23
Q33

Qs3





Q1s
Q2s
Q3s ; 
Qss
(2.9)
S1s
S2s
S3s . 
Sss
(2.10)
S – квадратная матрица порядка s вида
S11
S21
S = S31

Ss1
S12
S22
S32

Ss2
S13
S23
S33

Ss3





Матрицы Q, S являются функциями оператора обобщенного
дифференцирования D и в общем случае функциями варьируемых параметров C = ckТ, k = 1, 2, ..., m.
Связанные системы управления, имеющие в общем случае
r входов и s выходов [соотношения (2.5), (2.6)], описываются
векторно-матричным уравнением вида
(2.11)
Qx = Sf ,
где x = x1(t), x2(t), ..., xs(t)Т – вектор-столбец процессов на s
выходах системы управления; f = f1(t), f2(t), ..., fl(t)Т – векторстолбец процессов на l входах системы управления; Q, S – квадратные матрицы вида (2.9), (2.10) соответственно. Порядок матриц определяется большей из двух величин s или l.
Таким образом, динамика линейных многосвязных систем
управления может описываться (в случае нескольких входов и
одного выхода) уравнением вида (2.7); в случае одного входа и
нескольких выходов – уравнением (2.8) либо (в случае нескольких выходов или нескольких входов и выходов) – векторноматричным уравнением вида (2.11) [70, 71].
27
2.2. Постановка задачи синтеза линейных МСАУ и
общая схема ее решения обобщенным методом Галеркина
Наличие нескольких взаимодействующих друг с другом
управляемых величин, более сложная зависимость между характеристиками управляющей части (регулятор) и показателями качества системы, неизбежный рост объема промежуточных
вычислений – эти и другие факторы существенно ограничивают
применение традиционных методов синтеза, развитых преимущественно для одномерных систем управления с обратной связью. Особое значение приобретает задача структурного синтеза,
заключающаяся в отыскании рационального способа построения регулятора с учетом реальных динамических свойств объекта управления и требований к характеристикам синтезируемой
системы. Для того чтобы успешно преодолеть многочисленные
трудности, возникающие при решении задачи синтеза МСАУ,
используют различные методы.
Метод структурного исследования многосвязных систем, называемый методом порядкового отображения [52], показывает
широкие возможности, которые открываются в связи с его применением к синтезу систем управления с заданными (условно
оптимальными) динамическими характеристиками.
Синтезировать МСАУ можно также методом обратных операторов [29], при этом идея управления объектами заключается в
построении системы устройств, реализующих преобразования,
обратные тем, которые совершаются над соответствующими переменными в самом объекте и в дополнительных сравнивающих
измерительно-вычислительных устройствах или же в их математических моделях.
В качестве математического аппарата для решения поставленной задачи целесообразно использовать обобщенный метод Галеркина [1 – 6, 70 – 77], который зарекомендовал себя как эффективный метод синтеза одномерных линейных и нелинейных систем
управления различных классов: непрерывных, импульсных (различными видами модуляции сигнала), дискретных (с несколькими импульсными элементами, работающими как синхронно, так
и не синхронно, с одной и несколькими частотами прерывания),
дискретно-непрерывных, в том числе и со звеньями чистого запаздывания. Данный подход позволяет с единых математических и
методологических позиций решать задачу параметрического синтеза САУ указанных классов при минимальных вычислительных
28
затратах, что достигается путем алгебраизации решения задачи
и сведения ее к задаче нелинейного программирования с целевой
функцией, построенной на основе уравнений Галеркина.
С помощью данного метода были решены задачи параметрического синтеза:
– одномерных линейных и нелинейных систем управления
приводами наведения перископического зеркала большого наземного радиотелескопа РТ-70 (дискретная нелинейная САУ,
динамика которой описывается дифференциальным уравнением
10-го порядка) [3];
– одномерной линейной САУ с амплитудно-импульсной модуляцией большой наземной антенной установкой, уравнение движения которой 17-го порядка [3, 4];
– регуляторов многорежимных систем управления торможением колес тяжелых самолетов Ил-86, Ил-96-300 как непрерывных, так и импульсных, уравнения, описывающие модель торможения (10 – 15-го порядков) [3, 4, 6].
Поэтому целесообразно распространить данный подход к решению задачи синтеза нового класса систем управления – МСАУ,
как линейных, так и нелинейных, в том числе с амплитудноимпульсными модуляторами.
Задача синтеза МСАУ рассматривается в традиционной для
обобщенного метода Галеркина постановке [1 – 5, 70 – 73]. Предполагается, что известна структура синтезируемой САУ и параметры объекта управления. Параметры регулятора (оператора
управления), структура которого задана в самом общем виде,
определяются из условия приближенного обеспечения заданных
показателей качества работы САУ в переходном режиме (времени переходного процесса – Tп.п, перерегулирования – σ, колебательности – µ). При этом, безусловно, должна обеспечиваться
устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам.
Ввиду того, что число искомых параметров может быть любым, оператор управления структурно может быть задан со значительной избыточностью. В этом случае после определения
значений искомых параметров в результате применения методов
теории чувствительности, определяющих координаты системы,
чувствительные к варьируемым параметрам, часть этих параметров может быть принята равной нулю (бесконечности), что
приводит к упрощению оператора управления и выявлению тем
самым наиболее целесообразной его структуры [1, 2].
29
Как правило, задача синтеза решается при технических ограничениях, которые накладываются на значения варьируемых
параметров:
ck− ≤ ck ≤ ck+ ,
k = 1, 2, …, m, (2.12)
где ck+, ck– – максимально и минимально допустимые значения
варьируемых параметров соответственно.
Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют следующий вид:
∆=
δck
≤ ∆0 , ck
(2.13)
где ∆0 – заданное значение грубости системы; δck – вариации параметров, в пределах которых обеспечивается устойчивость системы.
Для определенности задачу синтеза рассмотрим при внешнем
скачкообразном входном воздействии f(t) = H1(t) и нулевых начальных условиях для момента времени t = –0, т. е. до приложения к системе воздействия амплитудой H:
−0 = 0, ..., x−(n0−1) = 0. x−0 = 0, x −0 = 0, x
(2.14)
Поскольку при синтезированных параметрах система должна
быть устойчива, то
(∞) = 0, …, x(n −1) = 0. x(∞) = H, x (∞) = 0, x
(2.15)
Выбираем систему из m непрерывно дифференцируемых
линейно-независимых координатных функций в виде ряда вещественных экспонент [1 – 5]
ϕ1 (t ), ϕ2 (t ), …, ϕq (t ), …, ϕm (t ). (2.16)
В соответствии с требуемыми показателями качества работы
синтезируемой системы управления в переходном режиме зададимся желаемым программным движением в виде
l
x0 (t ) = Ω0 (t ) + ∑ ai Ωi (t ),
i = 1, 2, …, l, (2.17)
i =1
где Ω0(t) = ω0(t)1(t) – функция, удовлетворяющая заданным граничным [(начальным (2.14) и конечным (2.15)] условиям; Ωi(t) =
30
= ωi(t)1(t) – функции, удовлетворяющие однородным граничным
условиям; ai – известные коэффициенты.
Подробно вопрос задания желаемого программного движения
в системах управления произвольно высокого порядка при решении задачи синтеза обобщенным методом Галеркина рассмотрен
в работах [3, 4].
Структура конкретной МСАУ и соответствующее описание ее
динамики (математическая модель) определяют некоторые особенности решения задачи синтеза параметров систем управления данного класса обобщенным методом Галеркина.
2.3. Формирование целевой функции для линейных
многосвязных систем управления
В случае многосвязной системы управления с одним выходом
и несколькими входами желаемое программное движение (2.17)
подставляем в уравнение (2.7) и образуем невязку
m1
ψ (c,t ) = Q (ck , p )x0 (t) − ∑ Sl (ck , p ) fl (t).
l =1
Ортогональность невязки системе координатных функций
(2.16) приводит к следующей системе алгебраических уравнений:
∞
∫ ψ (c,t )ϕq (t ) dt = 0,
i = 1, 2, …, r.
0
В общем случае при нелинейной зависимости между варьируемыми параметрами и вследствие необходимости введения
ограничений на устойчивость и грубость импульсной САУ безусловная ортогональность невязки координатным функциям выполняться не будет. Поэтому задача синтеза МСАУ произвольно
высокого порядка в вычислительном плане сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией, построенной
на основе уравнений Галеркина:
2
∞


J = ∑  ∫ ψ (c,t )ϕq (t ) dt  ,
q =1 

0
m
i = 1, 2, …, r;
q = 1,2, …, m (2.18)
либо
31
2
v
 n

J = ∑ ∑ ai (ck ) Aqi − ∑ ei (ck )Cqi  ,
i = 0
q =1 
i =0

m
min ck J,
где

 

" RJ  % J Y U  F
 R U
EU  " R JR J   O

$RJ  % J G U  F

 R U
EU  $ R JR J   
здесь Aq , Cq – аналитические рекуррентные соотношения, определяющие интегралы Галеркина для процессов различного вида
[3, 4].
Варьируемые параметры оператора управления (регулятора)
определяются путем минимизации функционала (2.18) с помощью известных [1, 2] методов поиска экстремума целевой функции. На каждом шаге поиска параметров проверяется ограничение на устойчивость линейной многосвязной системы по критерию устойчивости Рауса.
Таким образом, решение задачи синтеза линейных МСАУ в
случае одного выхода и нескольких входов, с математической
точки зрения, не отличается от решения подобной задачи для
одномерной САУ.
В случае многосвязной системы управления с несколькими
выходами и в общем случае несколькими входами вектор желаемого программного движения подставляем в уравнение (2.11) и
образуем вектор невязки
 DU   2Y  4G
где Ψ(c, t) – вектор-столбец невязки, определяемый следующим
образом:
«
 DU    DU   DU   T DU  а x0 = x01(t), x02(t), ..., x0s(t)Т – вектор-столбец желаемых процессов на выходах системы управления, здесь s – число выходов
САУ.
В общем случае задача синтеза МСАУ произвольно высокого
порядка с несколькими входами и выходами в вычислительном
32
плане сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией:
2
∞


J = ∑∑  ∫ ψ i (c,t )ϕq (t )dt  ,
i =1 q =1 
0

s
m
i = 1, 2, …, s;
q = 1, 2, …, m. (2.19)
Особенностью задачи синтеза в данном случае является то,
что для ее решения требуется формирование вектора желаемых
программных движений на всех выходах системы, исходя из
требований, предъявляемых к динамическим свойствам синтезируемой САУ по каждой управляемой координате, в соответствии с рекомендациями [3, 4].
2.4. Примеры решения задач параметрического синтеза
линейных МСАУ
Пример 1. Рассмотрим систему управления турбореактивным двигателем с форсажной камерой (ТРДФ) [28]. В двигателе
регулирование скорости вращения вала турбины осуществляется посредством изменения подачи топлива в двигатель, а регулирование температуры газа – посредством изменения подачи
топлива в форсажную камеру сгорания так, как это изображено
на рис. 2.7.
Существенного улучшения качества переходных процессов
можно достигнуть введением между регуляторами скорости и
©¾¼ÌÄØËÇÉ
ÍÇÉʹ¿ÆǼÇ
ÃÇÆËÌɹ

©¾¼ÌÄØËÇÉ
ÊÃÇÉÇÊËÁ

Рис. 2.7. Структура ТРДФ
33
температуры искусственных перекрестных связей, обеспечивающих автономность сепаратных систем по задающим воздействиям [28]. Аналогичный результат может быть достигнут
применением простейших жестких компенсирующих связей,
рассчитанных из условия статической автономности сепаратных
систем [28].
Уравнения рассматриваемой двусвязной системы управления
имеют вид:
– уравнения объектов регулирования
(1 + Tд p)ϕ1 = k1µ1 − k2µ2
;

∗
ϕ2 = k3µ1 + k4 µ2 − k5 ϕ1
(2.20)
– уравнения регуляторов
 pT µ = (λ − ϕ )
1
1
 s 1
 pTc µ2 = (λ2 − ϕ2 ), 
∗
(1 + pT )µ2 = kµ2
(2.21)
где j1, j2 – относительное изменение скорости вращения и температуры газов; k1 – k5 – постоянные коэффициенты, имеющие
следующие значения: k1 = 1; k2 = 0,4; k3 = 0,5; k4 = 0,05; k5 = 0,18;
µ1, µ2 – относительное изменение расхода топлива в основной и
форсажной камере сгорания; Тд = 0,7 с – постоянная времени
двигателя; λ1, λ2 – заданные значения скорости и температуры
газов; Ts , Tc , T, k – варьируемые параметры регуляторов.
Математическая модель САУ построена без учета возмущения
по изменению площади реактивного сопла, так как решение задачи синтеза параметров осуществляется из условия обеспечения реакции системы по задающим воздействиям. Структурная
схема синтезируемой системы показана на рис. 2.8.
Уравнения (2.20), (2.21) приводим к следующему виду:


 5 5 5 Q  5 5 Q  L 5  U   L 5  U   L 5  U   L 5  U 
D T
D
T D T  D T ½




L5D5T5Q  L5T  L5 5D Q  L5D   U  


 5D5T5Q  5D5T Q  L5T L  U  


 L5D5Q  L5D  U   L5T L U 


34


s
5T Q
L
s

 5Œ Q
L
L
L

s
5É Q
L
 5Q
s

L
Рис. 2.8. Структурная схема математической модели ТРДФ
структура полученных уравнений движения САУ соответствует
общему виду (2.11) и может быть представлена следующим образом:
Q11 (ck , p )ϕ1 (t ) + Q12 (ck , p )ϕ2 (t ) = S11 (ck , p )λ1 (t ) − S12 (ck , p )λ2 (t )
,

Q21 (ck , p )ϕ1 (t ) + Q22 (ck , p )ϕ2 (t ) = S21 (ck , p )λ1 (t ) + S22 (ck , p )λ2 (t )
где
0
0
i =0
i =0
Q11 (ck , p ) = ∑ a11i (ck )pi ; Q12 (ck , p ) = ∑ a12i (ck )pi ;
2
0
i =0
i =0
S11 (ck , p ) = ∑ e11i (ck )pi ; S12 (ck , p ) = ∑ e12i (ck )pi ;
2
2
i =0
i =0
Q21 (ck , p ) = ∑ a21i (ck )pi ; Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ;
1
0
i =0
i =0
S21 (ck , p ) = ∑ e21i (ck )pi ; S22 (ck , p ) = ∑ e22i (ck )pi ;
здесь
a110 = e110 = k1Tc; a111 = TcTs; a112 = TcTsTд ; a120 = e120 = k2Ts;
a210 = e210 = k3Tc; a211 = (k5Ts + k3T )Tc; a212 = k5TcTsT;
a220 = e220 = k4Tsk; a221 = TcTs; a222 = TcTsT; e211 = k3TcT.
Таким образом, решение задачи параметрического синтеза
рассматриваемой САУ заключается в определении значений варьируемых параметров Ts , Tc , T, k , обеспечивающих в системе
35
управления требуемые показатели качества ее работы по двум
исследуемым координатам (скорости вращения и температуре)
при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий.
Переходный процесс по скорости вращения должен иметь перерегулирование не более 10%, а процесс изменения температуры должен быть экспоненциальным.
В соответствии с рекомендациями [3, 4] в качестве желаемых
программных движений целесообразно рассматривать процессы
в виде решения дифференциального уравнения второго порядка
x0 (t ) = xу + H ∗ cos (β t− ϕ0 )e −α t 1(t ),
(2.22)
где xу – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞, а H* и j0
определяются соотношениями
(
H ∗ = x0 − xу
) 1 + µ12 ; ϕ0 = arctg 1µ , (2.23)
здесь x0 – начальное значение исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой
САУ в момент времени t = +0.
В случае задания желаемого движения вида (2.22) показатель
затухания процесса α определяется, исходя из соотношения
α=
2÷4
,
Tп.п
(2.24)
а связь перерегулирования σm с показателем колебательности
µ = β/α устанавливается выражением вида
σm =
µ
µ2 + 1
e
−
π
µ
.
(2.25)
Тогда, в соответствии с техническим заданием, по заданным
значениям перерегулирования определяем показатель колебательности процесса для скорости вращения µs = 1,5 (σms = 10%).
По заданному значению времени затухания процессов Tп.п (по
скорости вращения 5 с, по температуре 2 с) определяем показатели затухания αs = 0,4…0,8; αс = 0,5…1,0. Окончательно принимаем αs = 0,4; αс = 0,5. Собственная частота колебаний переходного
процесса по скорости βs = 0,6 с–1.
36
Амплитуда и начальный фазовый сдвиг процесса изменения
скорости вращения таковы:
H∗ = 1 +
1
µ
2
= 1+
1
2
1,5
= 2,09; ϕ0 = arctg
1
1
= arctg
= 0,5888.
µ
1,5
В результате желаемое программное движение изменения
скорости вращения будет
xs0 (t ) = 1 − 2,04cos (0,6 t− 0,588 )e −0,4 t 1(t );
желаемое программное движение изменения температуры будет
xc0 (t ) = 1 − e −0,5 t 1(t ).
В результате решения задачи параметрического синтеза САУ
(см. рис. 2.8) были определены числовые значения варьируемых
параметров k = 25,45; Ts = 1,21 с; Тc = 1,45 с; T = 0,0025 с. В результате в САУ с синтезированными параметрами имеют место
переходные процессы (рис. 2.9), которые удовлетворяют заданным показателям качества.
Так, процесс изменения температуры носит в целом монотонный характер и заканчивается за 1,75 с, а процесс изменения
скорости вращения турбореактивного двигателя имеет перерегулирование (6 – 7) % и заканчивается за 5 с.
UD
Рис. 2.9. Переходные процессы в МСАУ ТРДФ с синтезированными
параметрами: 1 – по скорости вращения; 2 – по температуре
37
Пример 2. Рассмотрим применение обобщенного метода Галеркина к решению задачи параметрического синтеза турбоагрегата, представляющего собой газовую турбину, на валу которой
находится ротор синхронного генератора [27, 28]. Скорость вращения турбины изменяется с помощью поворотного соплового
аппарата. Управление сопловым аппаратом осуществляется от
центробежного гидравлического регулятора скорости, центробежный тахометр которого связан с валом генератора, а выходной шток сервопоршня – с сопловым аппаратом. Напряжение на
зажимах генератора стабилизируется регулятором напряжения,
сопротивление угольного столба которого, находящееся в цепи
обмотки возбуждения генератора, изменяется при изменении
напряжения на зажимах генератора. Связанная система стабилизации напряжения и частоты вращения турбогенератора описывается следующими уравнениями:
– уравнение турбины как объекта регулирования скорости
вращения
(Tм p + 1)υ = σ − 2uг ,
где Tм = 2 с – постоянная времени турбоагрегата; υ – скорость
вращения; σ – относительное изменение угла поворота соплового
аппарата; uг – напряжение на зажимах генератора.
– уравнение генератора как объекта регулирования напряжения
(Tв1 p + 1)uг = ρ − (1 − γ )(Tв2 p + 1)υ,
где Tв1 = 0,5 с – постоянная времени цепи обмотки возбуждения
генератора; Tв2 = 0,01 с – электромагнитная постоянная времени,
обусловленная взаимоиндукцией цепей якоря и возбуждения генератора; ρ – относительное изменение сопротивления угольного
столба регулятора напряжения; (1 − γ ) = 0,8 – коэффициент, зависящий от режима работы и параметров генератора;
– уравнение регулятора скорости вращения
σ (Tυ1 p + 1)(Tυ2 p + 1) = kυ (Tυ3 p + 1)∆υ,
где kυ и Tυ1, Tυ2 , Tυ3 – коэффициент передачи и постоянные времени регулятора скорости вращения соответственно;
∆υ = υ0 − υ – относительное изменение скорости вращения, здесь
υ0 – заданное значение скорости вращения;
– уравнение регулятора напряжения
38
ρ (Te p + 1) = ke ∆uг ,
где ke и Te – коэффициент передачи и постоянная времени регулятора напряжения соответственно; ∆uг = uг0 − uг – относительное изменение напряжения на зажимах генератора, здесь uг0 –
заданное значение напряжения на зажимах генератора.
Структурная схема рассматриваемой системы показана на
рис. 2.10.
Динамика рассматриваемой МСАУ описывается уравнениями вида
(1 − γ )T T p 2 + (T + T ) p + 1 υ (t ) +
в2
e
 в2 e


+ T T p 2 + T + T p + k + 1  u t = k u t
( в1 e ) ( e ) г ( ) e г0 ( )
  в1 e

3
2
;
 TмTυ1Tυ2 p + (Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2 )p +

+ (Tм + Tυ1 + Tυ2 + kυTυ3 ) p + kυ  + υ (t ) +

+2 Tυ1Tυ2 p 2 + (Tυ1 + Tυ2 ) p + 1 u г (t ) = kυ (Tυ3 p + 1)υ 0 (t )

 
структура полученных уравнений движения САУ соответствует
общему виду (2.11) и может быть представлена следующим образом:

s

L   5 Q 
  5 Q   5Q 

s
 5Á Q

 

  5¸ Q
V ¹
V ¹
s
LF
 5F Q

s
 5¸ Q
V¹
Рис. 2.10. Структурная схема математической модели
турбоагрегата
39
Q11 (c k, p )υ (t ) + Q12 (c k, p )u г (t ) = S11 (c k, p )u г0 (t )
,

Q21 (c k, p )υ (t ) + Q22 (c k, p )u г (t ) = S21 (c k, p )υ 0 (t )
где
2
2
i =0
i =0
0
3
i =0
i =0
2
1
i =0
i =0
Q11 (ck , p ) = ∑ a11i (ck )pi ; Q12 (ck , p ) = ∑ a12i (ck )pi ;
S11 (ck , p ) = ∑ e11i (ck )pi ; Q21 (ck , p ) = ∑ a21i (ck )pi ;
Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ; S21 (ck , p ) = ∑ e21i (ck )pi ;
здесь
a110 = (1 − γ ); a111 = (1 − γ )(Tв2 + Te ); a112 = (1 − γ )Tв2Te ;
a120 = (ke + 1); a121 = (Tв1 + Te ); a122 = Tв1Te ;
e110 = ke ;
a210 = kυ; a211 = Tм + Tυ1 + Tυ2 + kυTυ3;
a212 = Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2; a213 = TмTυ1Tυ2;
a220 = 2; a221 = 2 (Tυ1 + Tυ2 ); a 222 = 2Tυ1Tυ2;
e210 = kυ; e211 = kυTυ3.
Таким образом, решение задачи параметрического синтеза
рассматриваемой САУ заключается в определении положительных значений варьируемых параметров ke , Te , kυ , Tυ1, Tυ2 , Tυ3 ,
обеспечивающих в системе управления требуемые показатели
качества ее работы по двум исследуемым координатам (скорости
вращения и напряжению на зажимах генератора) при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий. Переходные процессы по обеим регулируемым величинам
должны иметь перерегулирование не более 10%, а время затухания не должно превышать 100 мс.
В результате решения задачи синтеза рассматриваемой МСАУ
турбоагрегатом обобщенным методом Галеркина были получены следующие значения варьируемых параметров: ke = 140;
Te = 0,0025 с; kυ = 70,56; Tυ1 = 0,51 с; Tυ2 = 0,0054 с; Tυ3 = 2,53 с,
40
UD
Рис. 2.11. Переходные процессы в МСАУ турбоагрегата:
1 – по частоте; 2 – по напряжению
которые обеспечивают в системе переходные процессы, показанные на рис. 2.11, из которого следует, что показатели качества
регулирования в линейной многосвязной САУ с синтезированными параметрами удовлетворяют заданным.
Полученные в примерах результаты полностью совпадают с
приведенными в работах [27, 28], где заданные показатели качества работы МСАУ обеспечиваются либо введением корректирующих связей определенного вида, либо применением принципа
автономности. Решение задачи параметрического синтеза многосвязных систем управления [27, 28] обобщенным методом Галеркина позволило обеспечить в синтезируемых САУ заданные
показатели качества работы по всем регулируемым переменным
без усложнения структуры системы.
2.5. Математическая модель нелинейных
непрерывных МСАУ
Для получения уравнения движения нелинейных МСАУ общего вида проведем анализ некоторых частных случаев структур
многосвязных систем, содержащих один или два нелинейных
элемента.
41
Следует отметить, что при решении задачи синтеза параметров нелинейных САУ обобщенным методом Галеркина уравнение движения обычно записывается относительно координаты
входа нелинейного элемента, что существенно облегчает получение соответствующих рекуррентных аналитических выражений,
определяющих интегралы Галеркина [1 – 5]. В частных случаях
исследуемая координата входа нелинейного звена совпадает с
сигналом ошибки (при единичной обратной связи) или сигналом
на выходе синтезируемой системы. Однако в общем случае местоположение нелинейного звена может быть любым, поскольку
определяется конкретной структурой исследуемой САУ. В тех
случаях, когда координата выхода нелинейного элемента и координата выхода системы управления не совпадают, требуется
осуществлять пересчет процессов. Процедура пересчета процесса с выхода САУ на входы нелинейных элементов подробно рассмотрена в работах [1 – 4].
Уравнение движения системы, структура которой показана
на рис. 2.12, записанное относительно координаты выхода нелинейного элемента, имеет вид
x1 (t) − x2 (t)W1 ( p )W2 ( p ) = f1 (t)W1 ( p )
.

x2 (t) − F1 [x1 (t) ] = f1 (t)W3 ( p )
8
Z U
(2.26)
Y U
'
G U
8
8
Y U
Рис. 2.12. Структурная схема МСАУ с одним нелинейным элементом
42
Динамика САУ, приведенной на рис. 2.13, относительно входов нелинейных элементов описывается системой уравнений
x1 (t) − F2 [x2 (t) ]W1 ( p ) = f1 (t)W1 ( p )
.

x2 (t) − F1 [x1 (t) ]W2 ( p ) = f1 (t)W2 ( p )
8
Z U
(2.27)
Y U
'
G U
'
Z U
8
Y U
Рис. 2.13. Структурная схема МСАУ с двумя нелинейными
элементами в цепях перекрестных связей
Y U
'
Z U
8
G U
8
Y U
'
Z U
Рис. 2.14. Структурная схема МСАУ с двумя
нелинейными элементами в прямых цепях
43
Если же нелинейные звенья будут располагаться с прямых цепях, как показано на рис. 2.14, то система уравнений движения
МСАУ имеет вид
x1 (t) − F2 [x2 (t) ]W2 ( p ) = f1 (t)

x2 (t) − F1 [x1 (t) ]W1 ( p ) = f1 (t)
,

y1 (t) = F1 [x1 (t) ]

y2 (t) = F2 [x2 (t) ]
(2.28)
 x(t) − F [x(t) ]W ( p )W ( p )W ( p )2 =
1
1
2
 3


2

,
= f1 (t) + f2 (t)W1 ( p ) W3 ( p )


z(t) − F1 [x(t) ]1 + W2 ( p )W3 ( p ) = f2 (t)W3 ( p )

(2.29)
т. е. содержит уравнения связи между процессом или процессами
на выходе МСАУ и сигналами на входах нелинейных звеньев.
Структура нелинейной МСАУ, показанная на рис. 2.15, описывается системой уравнений вида
где второе уравнение представляет собой уравнение связи между процессом на выходе МСАУ и сигналом на входе нелинейности.
GU
YU
'
Z U
8
[U
8
GU
8
Рис. 2.15. Структурная схема многосвязной нелинейной САУ
с двумя входами и обратными связями
44
Для структуры системы, приведенной на рис. 2.16, содержащей два нелинейных элемента, получаем
x1 (t) − F2 [x2 (t) ]W1 ( p ) = f1 (t)

x2 (t) − F1 [x1 (t) ]W2 ( p ) = f1 (t). 
z(t) = F1 [x1 (t) ]+ F2 [x2 (t) ]
(2.30)
Анализируя частные случаи уравнений движения нелинейных многосвязных систем управления (2.26) – (2.30), в том числе
связанных систем и САУ с перекрестными антисимметричными
связями, можно сделать следующие выводы:
– динамические свойства МСАУ, содержащих в общем случае r нелинейных элементов, описываются векторно-матричным
уравнением вида
(2.31)
Qx+Ry = Sf, где x = x1(t), x2(t), ..., xr(t)Т – вектор-столбец процессов на r
входах нелинейных элементов; y = y1(t), y 2(t), ..., y r(t)Т –
вектор-столбец процессов на r выходах нелинейных элементов;
f = f1(t), f 2(t), ..., f l(t)Т – вектор-столбец процессов на l входах
системы управления;
Q – квадратная матрица порядка s вида
GU
YU
'
ZU
8
[U
8
G U
YU
'
ZU
Рис. 2.16. Структурная схема МСАУ с двумя входами и нелинейными
элементами в прямых цепях
45
Q11
Q21
Q = Q31

Qs1
Q12
Q22
Q32

Qs2
Q13
Q23
Q33

Qs3





Q1s
Q2s
Q3s ; 
Qss
(2.32)
R1r
R2r
R3r ; 
Rrr
(2.33)
S1l
S2l
S3l . 
Sll
(2.34)
R – квадратная матрица порядка r вида
R11
R21
R = R31

Rr1
R12
R22
R32

Rr 2
R13
R23
R33

Rr 3





S – квадратная матрица порядка l вида
S11
S21
S = S31

Sl1
S12
S22
S32

Sl2
S13
S23
S33

Sl3





Матрицы Q, R, S являются функциями оператора обобщенного дифференцирования D и в общем случае функциями варьируемых параметров C = ckТ, k = 1, 2, ..., m.
Замечания.
1. Порядок матриц Q, R, S определяется числом входов и выходов МСАУ, а также числом нелинейных элементов в ней как
max{s, r, l}. Если нелинейности входят во все уравнения, описывающие динамические свойства МСАУ, то очевидно, что все
матрицы будут иметь порядок r, а все недостающие элементы заменяются нулями. Вместе с тем возможна ситуация, когда часть
уравнений динамики нелинейной МСАУ оказывается линейными, тогда очевидно, что порядок всех матриц будет соответствовать числу выходов s многосвязной системы.
2. Если входы нелинейных элементов не совпадают с координатами выходов системы, то необходимо использовать уравнение связи для пересчета процессов, которое в общем случае имеет
вид
46
r
l
z(t) − ∑ yi (t)Ri (ck , D ) = ∑ fi (t)Si (ck , D ), (2.35)
i =1
i =1
где z(t) – координата выхода МСАУ; yi(t) – координаты входов
нелинейных звеньев; fi(t) – сигналы на входах МСАУ.
2.6. Формирование целевой функции для нелинейных
непрерывных МСАУ
Аналогично линейным МСАУ целевая функция формируется
на основе уравнений Галеркина путем подстановки в уравнение
движения нелинейной многосвязной системы управления желаемых программных движений на входах нелинейных элементов.
В результате
J=
max{s,r ,l}
∑
j =1
Jj , min ck J, (2.36)
2
uj
vj
 nj

где Jj = ∑ ∑ aij (ck ) Aqij + ∑ bij (ck )Bqij − ∑ eij (ck )Cqij  ,
q =1 
i =0
i =0
i = 0

mj

здесь #RJK
  % J ' Y U  F 
R
U
EU  #R JRJ  VK где Bq – рекуррентные соотношения, определяющие интегралы
Галеркина для различных видов аппроксимации характеристик
нелинейных элементов (кусочно-линейная и алгебраическая)
при различных процессах на входах [3, 4].
Особенность решения задачи синтеза нелинейных МСАУ заключается в следующем: если желаемые программные движения
на входах нелинейных элементов не совпадают с координатами
выхода или сигналом ошибки МСАУ, то требуется осуществлять
пересчет процессов в соответствии с уравнениями связи. В частных случаях структурных схем МСАУ, когда нелинейные элементы стоят в цепях обратной связи или в цепи сигнала ошибки
(при единичной обратной связи), алгоритм синтеза параметров
не отличается от решения аналогичной задачи для линейных
многосвязных систем.
Варьируемые параметры оператора управления (регулятора) определяются путем минимизации функционала (2.36) с
помощью известных [1, 2] методов поиска экстремума целевой
функции. На каждом шаге поиска параметров проверяется огра47
ничение на абсолютную устойчивость нелинейной многосвязной системы. В случае одного или двух нелинейных элементов
абсолютная устойчивость проверяется по критерию устойчивости В. М. Попова, представленного в алгебраической форме [1,
2]. Если же в синтезируемой МСАУ имеется большее число нелинейных элементов, то для оценки устойчивости необходимо
осуществить линеаризацию нелинейных характеристик (гармоническую или обобщенную) и проводить проверку по критерию
устойчивости Рауса.
2.7. Примеры решения задач синтеза параметров
нелинейных МСАУ
Пример 1. Рассмотрим применение обобщенного метода Галеркина к решению задачи параметрического синтеза турбоагрегата (см. подразд. 2.6). Напряжение на зажимах генератора
стабилизируется с помощью регулятора напряжения, сопротивление угольного столба которого, находящегося в цепи обмотки
возбуждения генератора, изменяется при изменении напряжения на зажимах генератора, причем нелинейно. Таким образом,
связанная система стабилизации напряжения и частоты вращения турбогенератора представляет собой нелинейную МСАУ, динамические свойства которой описываются следующими уравнениями:
– уравнение турбины как объекта регулирования скорости
вращения
(Tм p + 1)υ = σ − 2uг ;
– уравнение генератора как объекта регулирования напряжения
(Tв1 p + 1)uг = ρ − (1 − γ )(Tв2 p + 1)υ;
– уравнение регулятора скорости вращения
σ (Tυ1 p + 1)(Tυ2 p + 1) = kυ (Tυ3 p + 1)∆υ,
– уравнение регулятора напряжения
ρ (Te p + 1) = ke F (∆uг ),
где ρ = F (∆uг ) – нелинейная зависимость сопротивления угольного столба от относительного изменения напряжения на зажимах генератора (рис. 2.17).
48



V¼
Рис. 2.17. Зависимость сопротивления угольного столба от относительного изменения напряжения на зажимах генератора: ρ0 = 100 –
минимальное и ρ1 = 500 – максимальное значения сопротивления
Структурная схема рассматриваемой нелинейной МСАУ показана на рис. 2.18.
В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза нелинейных МСАУ уравнение движения рассматриваемой системы
записывается относительно координаты входа нелинейного элемента, т. е. относительно ∆uг :
ìï(γ -1)(T p + 1)υ(t)+ éT T p2 + (T + T ) p + 1ù ∆u (t)+
ïï
в2
в1
e
êë в1 e
úû г
ïï
2
ïï+k F é ∆u (t)ù = éT T p + (T + T ) p + 1ù u (t)
в1
e
úû г0
ïï e ë г û êë в1 e
ïïé
3
2
ïïêTмTυ1Tυ2 p + (Tм (Tυ1 + Tυ2 )+ Tυ1Tυ2 )p +
;
íë
ïï+(T + T + T + k T ) p + k ù υ(t)м
υ1
υ2
υ υ3
υû
ïï
ïï é
2
ïï-2 ëêTυ1Tυ2 p + (Tυ1 + Tυ2 ) p + 1ùûú ∆uг (t)=
ïï
ïïï= kυ (Tυ3 p + 1)υ0 (t)- 2 éêTυ1Tυ2 p2 + (Tυ1 + Tυ2 ) p + 1ùú uг 0 (t)
ë
û
î
структура полученных уравнений движения САУ соответствует
общему виду (2.31) и может быть представлена следующим образом:
Q11 (c k, p )υ (t ) + Q12 (c k, p )∆u г (t ) + R12 (c k, p )F  ∆u г (t ) =

,
= S12 (c k, p )u г0 (t )

Q21 (c k, p )υ (t ) + Q22 (c k, p )∆u г (t ) = S21 (c k, p )υ 0 (t ) + S22 (c k, p )u г0 (t )
49

s

L   5 Q 
  5 Q   5Q 

 5Á Q
s

 

  5¸ Q
V ¹
V ¹
LF
 5F Q
'V ¹ s

s
 5¸ Q
V¹
Рис. 2.18. Структурная схема математической модели
турбоагрегата
где
1
2
i =0
i =0
0
2
i =0
i =0
Q11 (ck , p ) = ∑ a11i (ck )pi ; Q12 (ck , p ) = ∑ a12i (ck )pi ;
R12 (ck , p ) = ∑ b12i (ck )pi ; S12 (ck , p ) = ∑ e12i (ck )pi ;
3
2
i =0
i =0
Q21 (ck , p ) = ∑ a21i (ck )pi ; Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ;
1
2
i =0
i =0
S21 (ck , p ) = ∑ e21i (ck )pi ; S22 (ck , p ) = ∑ e22i (ck )pi ,
здесь
a110 = (γ − 1); a111 = (γ − 1)(Tв2 + 1);
a120 = e120 = 1; a121 = e121 = (Tв1 + Te ); a122 = e122 = Tв1Te ;
b120 = ke ; a210 = kυ; a211 = Tм + Tυ1 + Tυ2 + kυTυ3;
a212 = Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2; a213 = TмTυ1Tυ2;
a220 = e220 = 2; a221 = e221 = 2 (Tυ1 + Tυ2 ); a222 = e222 = 2Tυ1Tυ2;
e210 = kυ; e211 = kυTυ3.
Поскольку нелинейное звено введено в канал регулирования
напряжения, то в первом приближении целесообразно решать
50
задачу синтеза с регуляторами той же структуры, что и в линейном случае. При этом в качестве искомых параметров рассматриваются только параметры регулятора напряжения ke , Te . Таким
образом, решение задачи синтеза заключается в определении
положительных значений ke , Te , обеспечивающих в системе
управления требуемые показатели качества ее работы по двум
исследуемым координатам (скорости вращения и напряжению
на зажимах генератора) при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий. Переходные процессы по обеим регулируемым величинам должны иметь перерегулирование не более 10%, а время затухания не должно превышать 100 мс.
В результате решения задачи синтеза рассматриваемой многосвязной системы автоматического управления турбоагрегатом
обобщенным методом Галеркина были получены следующие значения варьируемых параметров: ke = 0,00178; Te = 0,005 с, которые обеспечивают в системе переходные процессы (рис. 2.19).
Из рисунка следует, что показатели качества регулирования в
нелинейной многосвязной САУ с синтезированными параметрами по каналу частоты удовлетворяют заданным, а стабилизация
напряжения происходит только за 1,6 с. Данное обстоятельство
связано с тем, что в отличие от линейной модели турбоагрегата,
s
Рис. 2.19. Переходные процессы в нелинейной МСАУ: 1 – по частоте;
2 – по напряжению
51
рассмотренной в подразд. 2.5, нелинейная зависимость сопротивления угольного столба имеет ограничения в значениях верхнего и нижнего порогов, что неизбежно приводит к увеличению
времени переходного процесса при регулировании напряжения.
Для уменьшения длительности переходного процесса по напряжению требуется усложнить структуру регулятора напряжения введением дополнительного интегро-дифференцирующего
звена. Структурная схема рассматриваемой модели нелинейной
МСАУ показана на рис. 2.20, а ее динамические свойства описываются следующей системой уравнений:
(γ − 1)T T T p 3 + (T T + T T + T T ) p 2 + (T + T + T ) p + 1 ×
в2 e1
в2 e3
e1 e3
в2
e1
e3
 в2 e1 e3


×υ t + T T T p 3 + T T + T T + T T p 2 + T + T + T p + 1 ×
( в1 e1 в1 e3 e1 e3 )
( в1 e1 e3 ) 
 ( )  в1 e1 e3

3
×∆u г (t ) + ke (Te2 p + 1)F  ∆u г (t ) = Tв1Te1Te3 p + (Tв1Te1 + Tв1Te3 + Te1Te3 )×
 2
× p + (Tв1 + Te1 + Te3 ) p + 1 u г0 (t )

3
2
 TмTυ1Tυ2 p + (Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2 )p + (Tм + Tυ1 + Tυ2 + kυTυ3 ) p + kυ  ×

×υ (t ) − 2 Tυ1Tυ2 p 2 + (Tυ1 + Tυ2 ) p + 1 ∆u г (t ) = kυ (Tυ3 p + 1)×



×υ t − 2 T T p 2 + T + T p + 1 u t
( )  υ1 υ2
( υ1 υ2 )  г0 ( )
 0



L   5 Q 
  5 Q   5Q 

 5Á Q


   
  5¸ Q 
V ¹
V ¹

' V ¹ 

LF   5F Q 
  5F Q   5FQ 

 5¸ Q
V¹
Рис. 2.20. Нелинейная МСАУ турбоагрегата
с усложненным регулятором в канале изменения напряжения
52
либо
Q11 (ck, p )υ (t ) + Q12 (ck, p )∆u г (t ) + R12 (ck, p )F  ∆u г (t ) = S12 (c k, p )u г0 (t )
,

Q21 (ck, p )υ (t ) + Q22 (ck, p )∆u г (t ) = S21 (c k, p )υ 0 (t ) + S22 (ck, p )u г0 (t )
где
3
3
i =0
i =0
1
3
i =0
i =0
Q11 (ck , p ) = ∑ a11i (ck )pi ; Q12 (ck , p ) = ∑ a12i (ck )pi ;
R12 (ck , p ) = ∑ b12i (ck )pi ; S12 (ck , p ) = ∑ e12i (ck )pi ;
3
2
i =0
i =0
Q21 (ck , p ) = ∑ a21i (ck )pi ; Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ;
1
2
i =0
i =0
S21 (ck , p ) = ∑ e21i (ck )pi ; S22 (ck , p ) = ∑ e22i (ck )pi ,
здесь
a110 = (γ − 1); a111 = (γ − 1)(Tв2 + Te1 + Te3 );
a112 = (γ − 1)(Tв2Te1 + Tв2Te3 + Te1Te3 ); a113 = (γ − 1)Tв2Te1Te3;
a120 = e120 = 1; a121 = e121 = Tв1 + Te1 + Te3;
a122 = e122 = Tв1Te1 + Tв1Te3 + Te1Te3; a123 = e123 = Tв1Te1Te3;
b120 = ke; b121 = keTe2;
a210 = kυ; a211 = Tм + Tυ1 + Tυ2 + kυTυ3; a212 = Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2;
a213 = TмTυ1Tυ2; a220 = e220 = 2; a221 = e221 = 2 (Tυ1 + Tυ2 );
a222 = e222 = 2Tυ1Tυ2; e210 = kυ; e211 = kυTυ3.
В данном случае в качестве искомых параметров рассматриваются ke , Te1, Te2 , Te3 . В результате решения поставленной задачи
были определены значения варьируемых параметров регулятора
напряжения ke = 0,0177; Te1 = 0,0025 c; Te2 = 0,3 c; Te3 = 0,00254 c,
которые обеспечивают в МСАУ переходные процессы, показанные на рис. 2.21. Изменение структуры регулятора напряжения
позволило ускорить переходной процесс по напряжению. Анализ
динамических свойств нелинейной МСАУ турбоагрегата демонстрирует, что показатели качества, полученные при усложнении
структуры оператора управления, удовлетворяют заданным, по53
s
UD
Рис. 2.21. Переходные процессы в нелинейной МСАУ турбоагрегата:
1 – по частоте; 2 – по напряжению
скольку отклонение переходного процесса изменения напряжения от установившегося значения при Tп.п = 100 мс не превышает 5%.
54
3. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
АМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНЫХ МОДУЛЯТОРОВ
В современных системах автоматического управления регулятор, как правило, реализуется на микропроцессорах или
микроЭВМ. Это дает несомненные преимущества: возможность
реализации закона управления любой степени сложности; возможность перенастройки параметров регулятора в процессе работы системы; обеспечение адаптации системы управления к изменениям параметров объекта управления, например момента
нагрузки на валу исполнительного двигателя.
Вместе с тем применение микропроцессоров и микроЭВМ
в контурах управления требует учета влияния амплитудноимпульсных модуляторов (АИМ) на динамические свойства
системы в целом как при анализе, так и, что особенно важно,
при решении задачи синтеза параметров оператора управления. Особое значение имеет то обстоятельство, что существенное
влияние на динамические свойства импульсных, дискретных и
дискретно-непрерывных САУ оказывает конечная длительность
замыкания импульсного элемента, а также форма импульса с
выхода модулятора.
3.1. Способы описания импульсных процессов
Импульсные регуляторы широко применяются в различных
технических областях (электротехнике, энергетике, радиотехнике и др.), в связи с этим важнейшим вопросом является построение математических моделей, адекватно отражающих все
свойства импульсных систем.
Первоначально объектами математического исследования
явились дискретные системы. К ним в ряде случаев сводится математическое описание устройств, в контуре которых имеется
ЭВМ либо импульсные элементы, осуществляющие амплитудную модуляцию или широтную модуляцию первого рода. Математическая теория дискретных систем была развита в трудах
П. В. Бромберга, Я. З. Цыпкина, Джури и других ученых.
Однако многие виды импульсных систем не описываются дискретными (разностными) уравнениями. К ним относятся системы с различными видами широтной модуляции второго рода,
частотной модуляции, системы с неавтономным формированием
импульсов и ряд других [78 – 81]. Для описания таких систем
55
могут быть использованы функционально-дифференциальные
уравнения, причем нелинейные операторы, моделирующие импульсные элементы, в ряде случаев являются разрывными.
В начале развития теории импульсных САУ использовалось
описание в виде d-функций, что существенно облегчало решение
задачи анализа и синтеза САУ этого класса. Однако никакой реальный импульсный элемент не может генерировать бесконечно
короткие импульсы бесконечной амплитуды. Современная вычислительная техника и пакеты моделирующих программ позволяют применять более сложные математические модели импульсных модуляторов, что, безусловно, дает возможность более
детально изучать динамику импульсных систем автоматического управления и более полно учитывать при решении задачи синтеза специфические особенности САУ данного класса, связанные
с импульсным характером сигналов.
Импульсная модуляция − это процесс преобразования непрерывного сигнала в импульсную последовательность. С ней связывается строго возрастающая последовательность моментов импульсации t0 < t1 < t2 < ... . При этом обычно tn → ∞ при n → ∞ и
последовательность не имеет точек сгущения.
Для описания импульсной последовательности используются
два класса моделей: импульсы конечной длительности, описываемые кусочно-непрерывными функциями, и мгновенные импульсы, описываемые d-функциями.
В случае импульсов конечной длительности функция f (t),
описывающая импульсную последовательность, может быть
представлена в виде
f (t) = fn (t), tn ≤ t < tn +1, n = 0, 1, ...,
где кусочно-непрерывная функция fn (t) описывает форму
n-го импульса. При этом односторонние пределы fn −1 (tn − 0) и
fn (tn + 0) конечны, но могут не совпадать друг с другом.
Простейшая и наиболее распространенная форма импульса −
прямоугольная. При этом
0, tn ≤ t < tn1

fn (t) =  An , tn1 ≤ t < tn2 ,
0, t ≤ t < t
n2
n +1

где tn1, tn2 − моменты времени, определяющие положение переднего и заднего фронтов импульса соответственно. Возможны слу56
чаи, когда tn1 = tn или tn2 = tn +1 . Параметр An характеризует амплитуду импульса. При разных n он может принимать значения
одного знака (однополярная последовательность) или разных
знаков (двухполярная последовательность).
Существуют импульсы и более сложной формы: треугольные,
трапециевидные, синусоидальные и пр. Например, для импульсов на выходе тиристорных преобразователей амплитуда An зависит от времени: An = An (t) (импульс «вырезается» из некоторого опорного гармонического сигнала) [79].
При анализе импульсных процессов удобно выражать аналитически импульсные сигналы в виде алгебраической суммы
непрерывных функций, действующих до t = ∞ , начиная с некоторого фиксированного для каждой функции момента времени
[82]. Для этой цели применяются единичные функции
0 при t < 0
1(t ) = 
.
1 при t > 0
Таким образом, прямоугольный импульс представляется в
виде суперпозиции двух сигналов включения одинаковой высоты, но разной полярности, причем сигнал включения на полярности, противоположной полярности импульса, запаздывает на
время tи относительно сигнала включения, имеющего одинаковую с импульсом полярность:
f (t) = A1(t) − A1(t − tи ).
Линейно-изменяющийся фронт импульса с плоской вершиной представляется в виде суперпозиции двух разнополярных
линейно-изменяющихся сигналов одинаковой (в абсолютном
смысле) крутизны, равной крутизне фронта импульса, причем
второй сигнал запаздывает относительно первого на время tф .
Таким образом, функция
t − tф
t
f (t) = A 1(t) − A
1(t − tф )
tф
tф
имеет смысл до момента начала среза импульса.
Следовательно, с помощью линейно-изменяющихся сигналов
и единичной функции можно представить различные формы импульсов от простого – прямоугольного до более сложных – треугольного или трапецеидального.
57
3.2. Математические модели амплитудно-импульсных
модуляторов
Наличие в САУ амплитудно-импульсных модуляторов оказывает существенное влияние на динамические свойства импульсных, дискретных и дискретно-непрерывных САУ, при этом особое внимание следует уделять таким показателям работы АИМ,
как конечная длительность замыкания импульсного элемента, а
также форма импульса с выхода модулятора.
В теории импульсных систем существуют различные подходы
к построению математической модели амплитудно-импульсного
модулятора, каждый из которых позволяет учитывать свойства
АИМ в зависимости от задач конкретного исследования.
В большинстве случаев при исследовании импульсных систем
управления импульсный модулятор считают идеальным, генерирующим с периодом T последовательность бесконечно коротких
импульсов типа δ-функции, площадь которых пропорциональна
непрерывному сигналу на входе импульсного элемента в моменты времени t = nT :
x* (t) =
где
∞
∑ x(nT)δ(t − nT),
n =0
(3.1)
∞
x(nT ) = ∫ x(t)δ(t − nT )dt
0
– величина n-го дискретного значения; δ – задержанная импульсная функция, существующая при t = nT ; T – период прерывания, интервал времени между соседними импульсами.
Таким образом, импульсный элемент эквивалентен модулятору, в котором в качестве модулирующего сигнала используется
входной сигнал x(t), а в качестве несущего – последовательность
единичных импульсов ∑ δ(t − nT ) .
В большинстве импульсных САУ высокочастотные составляющие, появляющиеся в полезном сигнале в результате процесса прерывания, должны быть отфильтрованы. Несмотря на
то, что большая часть нежелательных дополнительных сигналов
фильтруется элементами системы, часто на выходе модулятора
ставятся формирующие элементы, осуществляющие экстраполяцию сигнала. В результате данной операции на выходе моду58
лятора с запоминающим устройством воспроизводится огибающая функция входного сигнала. Значение экстраполирующей
временной функции в промежутке между последующими моментами прерывания nT и (n+1)T зависит от значений функции
в предыдущие моменты nT, (n–1)T, ... [83], и поэтому сигнал на
выходе экстраполятора k-го порядка можно представить следующим образом:
x∗ (t ) = x (nT ) + x(1) (nT )(t − nT ) +
+
k
x( ) (nT )
k!
2
x( ) (nT )
2!
(t − nT )2 +  +
(t − nT )k ,
где x(nT) – значение x(t) при t = nT; x(1)(nT), x(2)(nT), ..., x(k)(nT) –
значения производных x(1)(t), x(2)(t), ..., x(k)(t), найденных при
t = nT.
Запоминающие элементы высокого порядка дают лучшее воспроизведение временной функции по ее дискретным значениям.
Вместе с тем они вносят в систему значительный фазовый сдвиг,
поэтому на практике используются экстраполяторы нулевого
(реже первого и второго) порядка.
Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка
имеет вид
−T

T 
−Tp
 1 − e e 0  T0 p

Wэ ( p ) = 
,
p (T0 p + 1)
(3.2)
где T0 – постоянная времени разряда запоминающего элемента.
Во временной области сигнал на выходе запоминающего элемента нулевого порядка может быть записан в виде [83, 84]
x∗ (t ) =
∞
∑ x (nT )e
n =0
−(t −nT )
T0
1(t − nT ) − 1(t − (n + 1)T ) , (3.3)


−(t −nT )
T0
где e
– функция, описывающая кривую разряда запоминающего элемента за время хранения.
Постоянная времени T0 обычно настолько велика, что могут
быть приняты следующие допущения:
59
e
−T
T0
≈ 1,
T0 p
≈ 1,
T0 p + 1
тогда выражения (3.2) и (3.3) принимают вид
Wэ ( p ) =
x∗ (t ) =
1 − e −Tp
;
p
∞
∑ x (nT )1(t − nT )− 1(t − (n + 1)T ) .
n =0
Очевидно, что представление АИМ в виде последовательности
модулированных по амплитуде d-функций не соответствует действительности, поскольку никакой реальный импульсный элемент не может генерировать бесконечно короткие импульсы бесконечной амплитуды. Однако подобное допущение существенно
упрощает анализ и синтез импульсных САУ и поэтому нашло
широкое применение, особенно на этапе становления теории импульсных систем автоматического управления. Математическую
модель АИМ (3.1) допустимо применять, если длительность замыкания импульсного элемента составляет менее 5% от периода
прерывания [84].
Известно, что любой реальный АИМ замыкается и размыкается не мгновенно. Если требуется учитывать длительность замыкания импульсного элемента, то можно использовать математические модели АИМ типов I и II [84]. Сигнал на выходе АИМ
I представляет собой прямоугольные импульсы, высота которых
пропорциональна амплитуде входного непрерывного сигнала в
моменты квантования (рис. 3.1). Отличие АИМ II заключается в
Y
 5
Y U
YU
O5
5 5
Рис. 3.1. Сигнал на выходе АИМ I
60
U
Y
  5
YU
YU
5 5
O5
U
Рис. 3.2. Сигнал на выходе АИМ II
том, что он как бы вырезает отдельные участки из непрерывного
входного сигнала (рис. 3.2).
Сигнал на выходе импульсного элемента типа I описывается
следующим образом:
x∗ (t) =
∞
∑ x(nT)[1(t − nT) − 1(t − (nT + τ))] ,
n =0
где τ = γT – ширина импульса, здесь γ < 1 .
Сигнал на выходе импульсного элемента типа II описывается
уравнением вида
∞
x∗ (t) = x(t) ∑ [1(t − nT ) − 1(t − (nT + τ))],
n =0
где x(t) – сигнал на входе модулятора.
Современные пакеты моделирующих программ позволяют
применять более сложные математические модели импульсных
модуляторов, что, безусловно, дает возможность более детально
изучать динамику импульсных систем автоматического управления и более полно учитывать при решении задачи синтеза
специфические особенности САУ данного класса, связанные с
импульсным характером сигналов. Как известно, импульсы,
формируемые различными по схемотехническим решениям
амплитудно-импульсными модуляторами, имеют форму, в большей или меньшей степени отличную от АИМ типов I и II и тем
более от идеального модулятора. Основное отличие заключается
в том, что фронты импульсов на выходе модулятора не являются
вертикальными из-за наличия паразитных емкостей (индуктивностей) в устройствах формирования импульсов (рис. 3.3).
61
B U
 ˜
"
U Á¹
"
"
U ͹
U Í
U ʹ
U Í
"
U Ê
U Ê
Рис. 3.3. Форма импульса на выходе АИМ
Импульс, показанный на рис. 3.3, может быть с достаточной степенью точности кусочно-линейно аппроксимирован
(рис. 3.4).
Как следует из теории импульсной техники, импульс условно
может быть разделен на ряд участков: фронт импульса (участок
ab); вершина или плоская часть (участок bb); срез или задний
фронт (участок bc) – и характеризуется следующими параметрами: A – наибольшая величина импульса; ∆A – снижение вершины импульса; tф – длительность фронта импульса; tс – длительность среза импульса; tи – длительность импульса.
Таким образом, с достаточной степенью точности последовательность импульсов, формируемых модулятором, может быть
представлена:
C
C
"
UÁB
"
"
B
U U UÍ
D
UÊ
UÁ
Рис. 3.4. Аппроксимация импульса, формируемого АИМ
62
– либо как последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов (в том случае, если величина ∆A мала,
а длительность импульса tи достаточно велика по сравнению с
длительностями фронта tф и среза tс);
– либо как последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов (в том случае, если длительности
фронта tф и среза tс составляют длительность импульса tи).
Очевидно, что, пренебрегая длительностью фронта tф и среза
tс в первом случае осуществляем переход к последовательности
прямоугольных импульсов, а во втором – к последовательности
модулированных по амплитуде δ-функций.
Длительность фронта или среза импульса обычно определяет
момент срабатывания того или иного электронного устройства.
Часто фронт импульса фиксирует некоторый момент времени,
играющий важную роль в расшифровке информации, передаваемой импульсным сигналом.
Поскольку длительность импульса tи, а также длительности
фронта tф и среза tс реального импульса точно неопределимы, то
для характеристики его формы вводится понятие об активных
длительностях соответствующих величин. Активная длительность фронта (tф.а) и активная длительность среза (tс.а) импульса определяются разностью соответствующих моментов времени достижения импульсом значений a = 0,9 A и a = 0,1 A (см.
рис. 3.3):
tф.а = t0,9ф − t0,1ф ; tс.а = t0,9с − t0,1с .
Активная длительность фронта (или среза) импульса выражает существенную для большинства технических применений ха6U
6
6ÈÇÉ
U U U
Рис. 3.5. Пороговые значения сигнала с выхода АИМ
63
а)
C
B
UÍ
UÍ
UD
C
UD
D
U
б)
C
B
UÍ
UD
D
U
Рис. 3.6. Импульсы трапецеидальной (а) и треугольной (б) формы
рактеристику формы импульса. При этом для ряда технических
приложений требуется как можно более точная фиксация момента срабатывания t. Такой момент (рис. 3.5) определяется временем, в течение которого величина импульса достигает определенного порогового значения u(t) = Uпор . Вариация же крутизны
фронта приводит к изменению момента t в некоторых пределах
∆t1 = t1,2 − t1,1.
Изменяя параметры импульса, можно получить различные
формы (рис. 3.6). Так, уменьшая крутизну фронта и среза прямоугольного импульса, получим импульс трапецеидальной формы
(рис. 3.6, а), а уменьшая длительность треугольного импульса –
δ-импульс (рис. 3.6, б).
3.3. Математическая модель АИМ,
формирующего трапецеидальные импульсы
Импульс трапециевидной формы с одинаковой крутизной фронта и среза может быть представлен в виде линейнонарастающих функций (рис. 3.7).
В данном случае k1 = k2 = k, тогда математическое описание
одиночного трапециевидного импульса таково:
f (t) = kt1(t) − k(t − t1 )1(t − t1 ) − k(t − t2 )1(t − t2 ) + k(t − t3 )1(t − t3 ),
где k = A / t1 = A / (t3 − t1 ) = A / γ1T – крутизна фронта, здесь А –
амплитуда; t3 – длительность импульса; 1(t) – единичная функция; 1(t − t1 ) , 1(t − t2 ) и 1(t − t3 ) – единичные функции, запаздывающие на t1, t2 , t3 соответственно.
64
' U
а)
б)
G
G
L
L
"
BSDUHL
U
BSDUHL
U
U
BSDUHL BSDUHL
sG
U
U
U
U
U
sG
Рис. 3.7. Математическая модель (а) и результат получения (б)
одиночного трапецеидального импульса
Последовательность симметричных трапецеидальных импульсов постоянной длительности t3 , следующих через одинаковые интервалы Т, описывается выражением
x∗ (t) =
∞
∑ [kn (t − nT)1(t − nT) − kn (t − t1 − nT)1(t − t1 − nT) −
n =0
−kn (t − t2 − nT )1(t − t2 − nT ) + kn (t − t3 − nT )1(t − t3 − nT )].
С учетом того, что t3 = γT, 0 < γ < 1, t2 = γ2T, 0 ≤ γ 2 ≤ γ, t1 = γ1T,
0 ≤ γ1 ≤ γ2 , выражение приобретает вид
x∗ (t) =
∞
∑ kn [(t − nT)1(t − nT) − (t − (n + γ1 )T)1(t − (n + γ1 )T) −
n =0
−(t − (n + γ2 )T )1(t − (n + γ2 )T ) + (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T )],
x (nT ) x (nT ) x (nT )
=
=
.
t1
t3 − t2
γ1T
В частном случае, когда на входе модулятора действует сигнал постоянной амплитуды, например скачкообразное воздейA
A
A
ствие заданной амплитуды, то k = =
=
.
t1 t3 − t2 γ1T
где kn =
65
Модулированная по амплитуде последовательность симметричных трапецеидальных импульсов (рис. 3.8, а) имеет особенность, обусловленную тем, что замыкание импульсного элемента происходит в моменты времени, соответствующие nT, а
амплитуда импульса достигает этого значения с запаздыванием
а) Y
5
5
5
5
5
5
5
5
U
б) Y
U
5
в) Y
5
5
5
U
Рис. 3.8. Последовательность трапецеидальных импульсов с выхода
АИМ: а – симметричных; б – несимметричных; в – с вертикальным
срезом; г – с вертикальным фронтом (см. также с. 67)
66
г)
Y
5
5
5
5
U
Рис. 3.8. Окончание
t1 . Поэтому для синхронизации моментов получения и передачи
соответствующей информации необходимо перед модулятором
поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания
на t = t1 = g1Tt = 0,5 [3, 4, 85, 86].
Для несимметричного трапецеидального импульса крутизна
фронта и среза различны (рис. 3.8, б), что учитывается в математической модели АИМ:
x∗ (t) =
∞
∑ [k1n (t − nT)1(t − nT) − k1n (t − (n + γ1 )T)1(t − (n + γ1 )T) −
n =0
−k2n (t − (n + γ2 )T )1(t − (n + γ2 )T) + k2n (t − (n + γ)T)1(t − (n + γ)T)], (3.4)
x(nT ) x(nT )
x(nT )
x(nT )
=
; k2n =
=
– коэффициенt1
γ1T
t3 − t2 ( γ − γ2 )T
ты крутизны фронта и среза импульса соответственно, здесь
где k1n =
∞
x(nT ) = ∫ x(t)δ(t − nT )dt – величина n-го дискретного значения;
0
δ(t − nT ) – задержанная импульсная функция, существующая
при t = nT ; T – период прерывания; t1 , t2 , t3 – длительности
t
t
t
фронта, среза и импульса соответственно; γ1 = 1 , γ 2 = 2 , γ = 3 ;
T
T
T
0 ≤ γ1 ≤ γ2 , 0 ≤ γ2 ≤ γ, 0 ≤ γ ≤ 1 – относительные длительности фронта, среза и импульса в целом.
В частном случае, когда на входе модулятора действуA
A
ет сигнал постоянной амплитуды, то k1n = k1 = =
; k2n =
t1 γ1T
A
A
= k2 =
=
.
t3 − t2 ( γ − γ2 )T
67
Для синхронизации моментов получения и передачи соответствующей информации необходимо перед модулятором поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания на
τ = t1 = γ1T.
Частным случаем несимметричного трапецеидального импульса является импульс с вертикальным срезом (рис. 3.8, в),
для которого t1 = γ1T, t2 = γT, 0 ≤ γ1 ≤ γ, 0 ≤ γ ≤ 1. Для синхронизации моментов получения и передачи соответствующей информации необходимо перед модулятором поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания на τ = γ1T.
Математическая модель АИМ в данном случае будет
x* (t) =
∞
∑ k1n (t − nT )1(t − nT )− (t − (n + γ1 )T )1(t − (n + γ1 )T )−
n =0
− H1(t − (n + γ2 )) ,
x(nT )
.
γ1T
Другим вариантом несимметричного трапециевидного импульса является импульс с вертикальным фронтом (рис. 3.8, г),
для которого t3 = γT, t2 = γ 2T, t1 = 0; 0 ≤ γ ≤ 1, 0 ≤ γ 2 ≤ γ, а t1 = 0.
В данном случае запаздывание в передаче информационной составляющей сигнала отсутствует.
Математическая модель АИМ в рассматриваемом случае будет
где k1n =
x* (t) =
∞
∑ k2n [H1(t − nT) − (t − (n + γ2 )T)1(t − (n + γ2 )T) +
n =0
где k2n =
+(t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T ) ],
x(nT )
.
( γ − γ2 )T
Соотношение (3.4) является наиболее общим, поскольку из
него следуют математические модели для частных случаев АИМ,
формирующих симметричные трапецеидальные импульсы, трапецеидальные импульсы с вертикальным срезом и фронтом. Поэтому данное соотношение будет использоваться при реализации
вычислительной модели АИМ, формирующего последовательность модулированных по амплитуде трапеций, в прикладном
пакете Matlab Simulink.
68
3.4. Математическая модель АИМ,
формирующего треугольные импульсы
Если в системе управления модулятор генерирует малые по
длительности импульсы, то трапеция вырождается в треугольник.
Импульс треугольной формы с одинаковой крутизной фронта и среза может быть представлен в виде линейно-нарастающих
функций (рис. 3.9).
В данном случае k1 = k2 = k, тогда математическое описание
одиночного треугольного импульса будет
x(t) = kt1(t ) − 2k (t − 0,5t2 )1(t − 0,5t2 ) + k (t − t2 )1(t − t2 ),
где k = 2 A / t2 – крутизна фронта, здесь А – амплитуда; t2 – длительность импульса; 1(t ) – единичная функция; 1(t − 0,5t2 ) и
1(t − t2 ) – единичные функции, запаздывающие на 0,5t2 и t2 соответственно.
Последовательность симметричных треугольных импульсов
постоянной длительности t2, следующих через одинаковые интервалы T, описывается выражением
x* (t) =
∞
∑ [kn (t − nT)1(t − nT) − 2kn (t − 0,5t2 − nT)1(t − 0,5t2 − nT) +
n =0
+ kn (t − t2 − nT )1(t − t2 − nT ) ].
а)
б)
G
Y
G
L
BSDUHL U
sG
U
BSDUHL L
"
BSDUHL U
U
U
U
BSDUHL BSDUHL Рис. 3.9. Математическая модель (а) и результат получения (б)
одиночного треугольного импульса
69
С учетом того, что t2 = γT, где 0 < γ < 1, выражение приобретает вид
x* (t) =
∞
∑ kn [(t − nT)1(t − nT) − 2(t − (n + 0,5γ)T)1(t − (n + 0,5γ)T) +
n =0
+ (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T ) ],
x(nT ) 2x(nT ) 2x(nT )
=
=
.
t2 / 2
t2
γT
В частном случае, когда на входе модулятора действует сигнал постоянной амплитуды, например скачкообразное воздей2A 2A
=
.
ствие заданной амплитуды, то k =
t2
γT
Модулированная по амплитуде последовательность симметричных треугольных импульсов (рис. 3.10, а) имеет особенгде kn =
а) Y
5
5
5
5
5
5
5
U
б) Y
5
U
Рис. 3.10. Последовательность треугольных импульсов с выхода АИМ:
а – симметричных; б – несимметричных; в – с вертикальным срезом;
г – с вертикальным фронтом (см. также с. 71)
70
в) Y
г)
5
5
5
5
U
5
5
5
U
Y
5
Рис. 3.10. Окончание
ность, обусловленную следующим: замыкание импульсного элемента происходит в моменты времени, соответствующие nT, а
амплитуда импульса достигает этого значения с запаздыванием
0,5t2. Поэтому для синхронизации моментов получения и передачи соответствующей информации необходимо перед модулятором поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания на τ = 0,5t2 = 0,5γT [3, 4, 85, 86].
Для несимметричного треугольного импульса крутизна фронта и среза различны (рис. 3.10, б), что учитывается в математической модели АИМ
x* (t) =
∞
∑ k1n (t − nT )1(t − nT ) − (k1n + k2n )(t − (n + γ1 )T )1 ×
n =0
× (t − (n + γ1 )T )+ k2n (t − (n + γ )T )1(t − (n + γ )T ) ,
(3.5)
71
где k1n =
x(nT ) x(nT )
x(nT )
x(nT )
=
; k2n =
=
,
t1
γ1T
t2 − t1 ( γ − γ1 )T
t1
t
, γ = 2 ; 0 ≤ γ1 ≤ γ, 0 ≤ γ ≤ 1.
T
T
В частном случае, когда на входе модулятора действует сигнал постоянной амплитуды, то
здесь γ1 =
k1n = k1 =
A
A
A
A
=
=
; k2n = k2 =
.
t1 γ 1T
t2 − t1 ( γ − γ 1)T
Для синхронизации моментов получения и передачи соответствующей информации необходимо перед модулятором поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания на
τ = t1 = γ1T.
Частным случаем несимметричного треугольного импульса
является импульс с вертикальным срезом (рис. 3.10, в), для которого t1 = γT, 0 ≤ γ ≤ 1, а t2 = 0.
Для синхронизации моментов получения и передачи соответствующей информации необходимо перед модулятором поставить звено опережения, а после него – звено запаздывания на
τ = γT.
Математическая модель АИМ в данном случае будет
x* (t) =
∞
∑ k1n [(t − nT)1(t − nT) − (t − (n + γ)T)1(t − (n + γ)T),
n =0
x(nT )
.
γT
Другим вариантом несимметричного треугольного импульса
является импульс с вертикальным фронтом (рис. 3.10, г), для которого t2 = γT, 0 ≤ γ ≤ 1, а t1 = 0. В данном случае запаздывание в
передаче сигнала отсутствует.
Математическая модель АИМ в рассматриваемом случае будет
где k1n =
x* (t) =
∞
∑ k2n [1 − (t − nT)1(t − nT) + (t − (n + γ)T)1(t − (n + γ)T),
n =0
x(nT )
.
γT
Обобщая рассмотренные выше математические модели АИМ
для различных форм треугольных импульсов, получаем, что соотношение (3.5) является наиболее общим и из него следуют магде k2n =
72
тематические модели для частных случаев АИМ, формирующих
симметричные треугольные импульсы, треугольные импульсы с
вертикальным срезом и фронтом. Поэтому данное соотношение
будет использоваться при реализации вычислительной модели
АИМ, формирующего последовательность модулированных по
амплитуде треугольников, в прикладном пакете Matlab Simulink.
3.5. Реализация математических моделей АИМ
с помощью пакета прикладных программ Matlab Simulink
Математические модели АИМ, формирующих последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов,
были реализованы с помощью пакета прикладных программ
Matlab Simulink.
Необходимость разработки подобных моделей связана с
тем, что существующие современные пакеты программ моделирования не имеют в своем составе утилит, моделирующих
амплитудно-импульсные модуляторы (даже идеальные). Вместе
с тем очевидна потребность в данных утилитах для формирования более полной и точной математической и вычислительной
моделей импульсных систем управления, позволяющих с необходимой степенью достоверности исследовать динамические
свойства САУ указанного класса.
Амплитудно-импульсный модулятор (рис. 3.11) состоит из
двух функциональных блоков: «блока формирования амплитуды» и «генератора треугольных импульсов единичной амплитуды». При тестировании модели в качестве входного сигнала рассматривалась синусоида заданной амплитуды и частоты.
Входной сигнал поступает на первый блок, в котором квантуется по времени. Интервал времени квантования, равный периоду следования импульсов на выходе модулятора, определяется
настройками ГТИ.
Различие в реализации вычислительных моделей АИМ, формирующих последовательности треугольных и трапецеидальных
импульсов, связано с особенностями построения «генератора импульсов единичной амплитуды».
Структуры генераторов импульсов единичной амплитуды показаны на рис. 3.12.
Генератор треугольных импульсов (см. рис. 3.12, а) воспроизводит математическую модель АИМ, при этом переменная t обеспечивается блоком «время», длительность указана в блоке «ti»,
73
œ«¡
¡›ª
šÄÇÃ
V
ÍÇÉÅÁÉÇ»¹ÆÁØ ¹ÅÈÄÁË̽Ô
V
œ¾Æ¾É¹ËÇÉ
ÁÅÈÌÄÕÊÇ»
¾½ÁÆÁÐÆÇÂ
¹ÅÈÄÁË̽Ô
V
Рис. 3.11. Структурная схема математической модели АИМ,
формирующего последовательность импульсов: ГТИ – генератор
тактовых импульсов; ИВС – источник входного сигнала
а)
V
›É¾ÅØ
V s
UJ
V
UJ
£ÉÌËÁÀƹ
V
V
s
¡ÅÈÌÄÕÊ
­ÁÄÕËÉ
б)
H
5
H
s
s
V
V
s
¡ÅÈÌÄÕÊ
V
H
Рис. 3.12. Структура генератора треугольных (а) и
трапецеидальных (б) импульсов
74
по нему рассчитывается время достижения вершины импульса
(γti) и крутизна фронтов.
Работа модели иллюстрируется эпюрами сигналов, показанных на рис. 3.13, а.
Наличие нелинейности типа «ограничение» необходимо для
извлечения полезной составляющей сигнала (положительная
полуплоскость). На вход сумматора поступают два сигнала, результатом сложения которых является последовательность треугольных импульсов единичной амплитуды.
а)
V
ªÁ¼Æ¹Äƹ»Îǽ¾ÅǽÌÄØËÇɹ
U
V
U
V
V
U
U
V
U
V
U
Рис. 3.13. Эпюры сигналов математической модели АИМ,
формирующего последовательность треугольных (а) и
трапецеидальных (б) импульсов (см. также с. 76)
75
б)
ªÁ¼Æ¹Äƹ»Îǽ¾ÅǽÌÄØËÇɹ
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
V
U
Рис. 3.13. Окончание
Модулированный сигнал получается перемножением сигналов, полученных с выхода блока формирования амплитуды u1 и
генератора треугольных импульсов единичной амплитуды u2.
76
Генератор трапецеидальных импульсов (см. рис. 3.12, б) реализован на математической модели импульса трапецеидальной
формы. Переменная t обеспечивается блоком «время», длительность импульса, а также его фронта и среза определяем, исходя
из заданных периода T и коэффициентов g1, g2 , g. Эпюры сигналов модели показаны на рис. 3.13, б.
Таким образом, разработанные математические модели
амплитудно-импульсных модуляторов позволяют в полной мере
учитывать влияние как конечной длительности замыкания импульсного элемента, так и формы импульса на выходе АИМ, что
крайне важно для всестороннего и достоверного исследования
дискретных и дискретно-непрерывных систем управления, в
том числе многосвязных. Кроме того, при решении задачи синтеза параметров регулятора обобщенным методом Галеркина в
качестве варьируемых параметров можно вводить параметры,
характеризующие форму импульса, тем самым создается возможность при прочих равных условиях упрощать структуру и,
следовательно, реализацию оператора управления.
3.6. Исследование влияния АИМ на динамику САУ
Представление действующего в системе управления
амплитудно-импульсного модулятора той или иной математической моделью оказывает существенное влияние на результат
исследования динамических свойств САУ. Под исследованием в
данном случае понимается как анализ динамических свойств исходной системы, так и результаты решения задачи синтеза САУ
с АИМ. Покажем это на примере анализа динамики импульсной
системы, непрерывная часть которой имеет передаточную функцию вида
W ( p) =
k
,
p(Tp + 1)
а период следования импульсов – 0,01 с.
На рис. 3.14 показаны переходные процессы в системе
( k = 200, T = 0,2 ) при использовании математической модели
АИМ, формирующего треугольные симметричные импульсы, с
вариацией их длительности.
На рис. 3.15 показаны переходные процессы в системе
( k = 30, T = 0,2 ) при использовании математической модели
77
ÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÕÁÅÈÌÄÕÊÇ»™¡¥
UÊ
UD
UD
UD
UD
Рис. 3.14. Переходные процессы в САУ с АИМ,
формирующим последовательность треугольных импульсов
™¡¥ÍÇÉÅÁÉÌ×ÒÁÂ
UD
ÈÉØÅÇ̼ÇÄÕÆÔ¾ÁÅÈÌÄÕÊÔ
ËɹȾÏÁ¾»Á½ÆÔ¾ÁÅÈÌÄÕÊÔ
Ê»¾ÉËÁùÄÕÆÔÅÊɾÀÇÅ
ËɹȾÏÁ¾»Á½ÆÔ¾ÁÅÈÌÄÕÊÔ
Ê»¾ËÉÁùÄÕÆÔÅÍÉÇÆËÇÅ
ƾÊÁÅžËÉÁÐÆÔ¾ËɹȾÏÁ¾»Á½ÆÔ¾ÁÅÈÌÄÕÊÔ
Рис. 3.15. Переходные процессы в САУ с АИМ,
формирующим последовательность прямоугольных и
трапецеидальных импульсов
78
АИМ, формирующего прямоугольные импульсы и трапецеидальные импульсы, с вариацией формы последних.
Как видно из графиков, форма импульсов оказывает влияние
на показатели качества переходных процессов, которое в зависимости от требуемого результата может рассматриваться как
существенное. Таким образом, в зависимости от задач конкретного исследования необходимо выбирать математическую модель АИМ, адекватно отражающую физику функционирования
реального модулятора.
79
4. СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ ИМПУЛЬСНЫХ МСАУ
ОБОБЩЕННЫМ МЕТОДОМ ГАЛЕРКИНА
В данном разделе обобщенный метод Галеркина распространяется на импульсные линейные и нелинейные многосвязные
системы автоматического управления, которые составляют широкий класс систем, в том числе с регуляторами, реализованными на микропроцессорах и микроЭВМ.
4.1. Математическая модель импульсных
линейных МСАУ
Для получения уравнения движения импульсных линейных
МСАУ общего вида проведем анализ некоторых частных случаев
структур многосвязных систем, содержащих один или два импульсных элемента.
Динамика линейной дискретной системы [3, 4]:
– с импульсной коррекцией в общем виде не может быть описана одним дифференциальным уравнением, поскольку в этом
случае будет иметь место операция перемножения δ-функций,
результат которой является неопределенным;
– с несколькими импульсными корректирующими цепями
(в общем случае h) описывается системой из h уравнений относительно входов h импульсных элементов.
Очевидно, что данные обстоятельства требуется учитывать
и при анализе уравнений движения импульсных линейных
МСАУ, т. е. уравнения, описывающие динамические свойства
систем рассматриваемого класса, составляются относительно координат входов импульсных элементов. В частных случаях исследуемая координата входа модулятора совпадает с сигналом
ошибки или сигналом на выходе синтезируемой системы. Однако в общем случае местоположение АИМ может быть любым,
поскольку определяется конкретной структурой исследуемой
САУ. В тех случаях, когда координата входа импульсного модулятора и координата выхода системы управления не совпадают,
требуется осуществлять пересчет процессов для того, чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между показателями
качества работы МСАУ в переходном режиме, которые обычно
формулируются для координат выхода системы и процессов на
входах АИМ. Процедура пересчета процесса с выхода САУ на
входы элементов подробно рассмотрена ниже.
80
Уравнение движения системы, структура которой показана
на рис. 4.1, записанное относительно координаты выхода нелинейного элемента, имеет вид
x1 (t) − x2* (t)W3 ( p )W4 ( p ) = f1 (t)
.
 *
x1 (t)W1 ( p )W2 ( p ) − x2 (t) = f2 (t)
(4.1)
Система уравнений (4.1) должна быть дополнена уравнением
связи
x(t) = x1* (t)W1 ( p ) + x2* (t)W4 ( p ), (4.2)
с помощью которого могут быть определены показатели качества
процессов x1* (t), x2* (t) на входах АИМ, обеспечивающие требуемые показатели качества процесса x(t).
Программные движения x1* (t), x2* (t) могут быть определены
по выбранному желаемому процессу x0(t) символическим методом, как показано в работах [1 – 4]. При этом необходимо учитывать следующее допущение: как объект управления, так и
регулятор обладают достаточными фильтрующими свойствами,
т. е. сигналы на выходе объекта управления являются непрерывными.
Рассмотрим процедуру определения параметров процессов
x1* (t), x2* (t) по известному программному движению x0(t) на примере системы управления (см. рис. 4.1).
G U
Y U
Y U
8
8
YU
8
G U
Y U
Y U
8
Рис. 4.1. Структурная схема импульсной МСАУ
с прерыванием сигналов ошибок
81
Связь между процессами x(t) и x1* (t), x2* (t) в случае, показанном на рис. 4.1, определяется соотношением (4.2), в котором
x∗ (t ) =
∞
∞
n =0
0
∑ x (nT )δ (t − nT ), здесь x (nT ) = ∫ x (t )δ (t − nT )dt.
В соответствии со сделанным выше предположением о достаточных фильтрующих свойствах регулятора и объекта управления, перейдем в уравнении (4.1) от сигналов x1* (t), x2* (t) к огибающим их дискретных значений x1 (t), x2 (t), тогда
x(t) = x1 (t)W1 ( p ) + x2 (t)W4 ( p ). (4.3)
Подобный переход возможен, если в математической модели АИМ не учитывается квантование сигнала по амплитуде или
число разрядов квантователя достаточно велико, так, что он не
вносит существенных нелинейных искажений в форму процесса
на выходе модулятора. Обычно данное условие выполняется для
систем с регуляторами, реализованными на микропроцессорах
или ЭВМ.
Далее, в соответствии с методом, изложенным в работе [1],
предположим, что процессу вида
x (t ) = H 0e −αt cos (βt − ϕ 0 )
на входе звена с любой передаточной функцией соответствует
следующий процесс на выходе звена:
xi (t ) = Hi e −αit cos (βi t − ϕi ).
Тогда для системы, представленной на рис. 4.1, можно в соответствии с (4.3) записать выражения, связывающие амплитуду и
фазовый сдвиг процессов x(t) и x1 (t), x2 (t) :

H0
; ϕ1 = arg W1 (ck ,(α1 + jβ1 ))− ϕ0, ;
 H1 =
mod W1 (ck ,(α1 + jβ1 ))

(4.4)

H0

 H2 = mod W c ,(α + jβ ) ; ϕ2 = arg W2 (ck ,(α2 + jβ2 ))− ϕ0 ,
2( k
2
2 )

где W1(ck, (α1+jβ1)), W2(ck,(α2+jβ2)) – смещенные передаточные
функции, получаемые в результате подстановки в передаточные
функции W1(ck, p) и W2(ck, p) значения p = α+jβ.
82
Таким образом, формулы (4.4) позволяют определять параметры процессов x1 (t), x2 (t) по известным параметрам x(t). Однако
в общем случае уравнение связи (4.2) может содержать варьируемые параметры ck, значения которых определяются в ходе решения задачи синтеза. Поэтому задача определения параметров
процессов x1 (t), x2 (t) должна решаться методом последовательных приближений. Вначале следует задаться вероятными значениями параметров ck, чтобы уравнение связи (4.2) не содержало
неизвестных величин. Затем, после нахождения параметров процессов x1 (t), x2 (t) первого приближения, решается задача синтеза параметров регулятора. Данная итерационная процедура повторяется до тех пор, пока параметры i-го приближения не будут
отличаться от параметров (i–1)-го приближения с требуемой погрешностью.
Динамика САУ, приведенной на рис.4.2, относительно входов
нелинейных элементов описывается системой уравнений
x1 (t) − x2* (t)W1 ( p )W3 ( p ) = f1 (t)W1 ( p )
,

*
x2 (t) − x1 (t)W2 ( p )W4 ( p ) = f2 (t)W4 ( p )
( 4.5)
а уравнение связи имеет вид
x* (t) = x1* (t) + x2* (t).
Если же АИМ будут располагаться в цепях перекрестных
связей (рис. 4.3), то система уравнений движения МСАУ будет
иметь вид
G U
8
Y U
YU
8
YU
8
G U
8
Y U
YU
Рис. 4.2. Структурная схема импульсной МСАУ
83
x1 (t) − x2* (t)W1 ( p )W3 ( p ) = f1 (t)W1 ( p )
,

*
x2 (t) − x1 (t)W2 ( p )W4 ( p ) = f2 (t)W4 ( p )
(4.6)
а уравнение связи
x(t) = x1 (t) + x2 (t).
Анализ соотношений (4.5) и (4.6) показывает, что структурные схемы МСАУ, представленные на рис. 4.2 и 4.3, эквивалентны, различие определяется только уравнениями связи.
G U
8
8
Y U
YU
YU
8
G U
YU
YU
8
Рис. 4.3. Структурная схема МСАУ с АИМ
в цепях перекрестных связей
Y U
Y U
8
Z U
8
GU
8
Y U
Y U
8
Z U
Рис. 4.4. Структурная схема импульсной МСАУ с двумя выходами
84
Динамические свойства импульсной МСАУ, структурная схема которой показана на рис. 4.4, описываются следующей системой уравнений:
x1 (t) − y2 (t)W3 ( p ) = f (t)
.

x2 (t) − y1 (t)W2 ( p ) = f (t)
(4.7)
Уравнения связи по двум исследуемым координатам будут
y1 (t) = x1* (t)W1 ( p )
.

*
y2 (t) = x2 (t)W4 ( p )
Для рассматриваемой структурной схемы уравнения движения можно записать относительно координат выхода, т. е. преобразовать систему (4.7) к виду
*
*
y1 (t) − y2 (t)W1 ( p )W3 ( p ) = f (t)W1 ( p )
,

*
*
y2 (t) − y1 (t)W2 ( p )W4 ( p ) = f (t)W4 ( p )
(4.8)
который исключает необходимость использовать уравнения связи при решении задачи синтеза.
Таким образом, структурная схема импульсной МСАУ (см.
рис. 4.4) эквивалентно преобразуется к виду, показанному на
рис. 4.5. Следовательно, при решении практических задач целесообразно применять эквивалентные преобразования структур
ZU
8
Z U
8
GU
G U
8
8
Z U
Z U
Рис. 4.5. Структурная схема МСАУ с двумя выходами и АИМ
в цепях перекрестных связей
85
импульсных МСАУ, результатом которых является упрощение
математического описания динамических свойств путем исключения уравнений связи.
Наконец, рассмотрим импульсную МСАУ (рис. 4.6), особенностью которой является наличие сумматоров только в одном
канале системы. Применяя эквивалентные структурные преобразования, можно привести рассматриваемую систему к виду,
представленному на рис. 4.7. Тогда динамика МСАУ будет описываться уравнением
y(t) = f1* (t)W1 ( p ) + f2 (t)W2 ( p ) + f2* (t) 1 + W1 ( p )W3 ( p ) W4 ( p ). (4.9)
GU
YU
Y U
8
8
Z U
8
G U G U
8
Рис. 4.6. Структурная схема импульсной МСАУ с сумматорами
в одном канале управления
G U
G U
8
8
ZU
8
G U
G U
8
Рис. 4.7. Эквивалентная структурная схема импульсной МСАУ
86
Анализируя частные случаи уравнений движения импульсных линейных многосвязных систем управления (4.1), (4.5) –
(4.9), в том числе связанных систем и САУ с перекрестными антисимметричными связями, можно сделать следующие выводы.
– динамические свойства МСАУ, содержащих в общем случае r импульсных элементов, описываются векторно-матричным
уравнением вида
Qx+Q* x* = Sf + S* f * , (4.10)
где x =x1(t), x2(t), ..., xh(t)Т – вектор-столбец процессов на h
входах импульсных элементов; x* =x1*(t), x2*(t), ..., xh*(t)Т –
вектор-столбец процессов на h выходах импульсных элементов;
f =f1(t), f 2(t), ..., f l(t)Т – вектор-столбец процессов на l входах
системы управления;
Q – квадратная матрица порядка s вида
Q11
Q21
Q = Q31

Qs1
Q12
Q22
Q32

Qs2
Q13
Q23
Q33

Qs3





Q1s
Q2s
Q3s ; 
Qss
(4.11)
Q* – квадратная матрица порядка h вида
*
Q11
*
Q12
*
Q13
 Q1*h
*
Q21
*
Q22
*
Q23
 Q2*h
*
Q = Q31
*
Q32
*
Q33
 Q3*h ;   
*


Qh*1
Qh*2
(4.12)
*
Qh*3  Qhh
S – квадратная матрица порядка l вида
S11
S21
S = S31

Sl1
S12
S22
S32

Sl2
S13
S23
S33

Sl3





S1l
S2l
S3l ; 
Sll
(4.13)
S* – квадратная матрица порядка g вида
87
*
S11
*
S12
*
S13
 S1*g
*
S21
*
S22
*
S23
 S2*g
*
S = S31
*
S32


*
S33
 S3*g .   
Sg*1
Sg*2
*
(4.14)
*
Sg*3  Sgg
Матрицы Q, Q*, S, S* являются функциями оператора обобщенного дифференцирования D и в общем случае функциями варьируемых параметров C =ckТ, k = 1, 2, ..., m.
Замечания.
1. Порядок матриц Q, Q*, S, S* определяется числом входов и
выходов МСАУ, а также числом импульсных элементов в ней как
max{s, h, l, g}. Очевидно, что все матрицы будут иметь одинаковый порядок, а все недостающие элементы заменяются нулями.
2. Если входы импульсных элементов не совпадают с координатами выходов системы или сигналами ошибок (при единичных обратных или перекрестных связях), то необходимо использовать уравнения связи для пересчета процессов.
4.2. Формирование целевой функции для линейных
импульсных МСАУ и примеры решения практических задач
Аналогично непрерывным МСАУ, целевая функция формируется на основе уравнений Галеркина путем подстановки в уравнение движения импульсной МСАУ желаемых программных
движений на входах импульсных элементов. В результате
J=
max{s,h,l,g}
∑
j =1
где
Jj , min ck J, (4.15)
2
n*j
v*j
vj
 nj



*
*
*
Jj = ∑ ∑ aij (ck ) Aqij + ∑ aij (ck ) Aqij − ∑ eij* (ck )Cqij
− ∑ eij (ck )Cqij  ,
q =1 i =0
i =0
i =0
i =0


mj
здесь Aq* и Cq* – рекуррентные соотношения, определяющие интегралы Галеркина для импульсных процессов различного вида
[1 – 5].
88
Варьируемые параметры оператора управления (регулятора)
определяются путем минимизации функционала (4.15) с помощью известных методов поиска экстремума целевой функции.
На каждом шаге поиска параметров проверяется ограничение на
устойчивость импульсной многосвязной системы по дискретному аналогу критерия устойчивости Рауса.
Пример 1. Рассмотрим импульсную систему управления
ТРДФ. В отличие от синтезированной ранее (подразд. 2.5), в данном случае в САУ введены амплитудно-импульсные модуляторы
в цепях сигнала ошибки по каналу регулирования скорости вращения и каналу регулирования температуры. Структурная схема рассматриваемой МСАУ показана на рис. 4.8.
Динамика системы описывается уравнениями
5 5 Q  5 5 5 Q  U  L 5  U  L 5  U 
 
D  
T  
T D M
 T D
 L 5  U   L 5  U 
T  D 

 L5T5D5Q  L5T5D Q  U   L5D5Q  L5D  U  

 5T5D5Q  5T5D Q   LL5T Q  L5D5Q  L5D  U  

LL 5 Q U 
T





которые представляют собой частный случай описания динамических свойств многосвязных систем управления, содержащих
АИМ. Для решения задачи синтеза представим полученную систему уравнений в виде (4.10):


5 
5T Q
L


 5Œ Q
L
L
L


5 
5É Q
L
 5Q

L

Рис. 4.8. Структурная схема импульсной МСАУ ТРДФ
89
∗
Q11 (ck , D )ϕ1 (t ) + Q11
(ck , D )ϕ1∗ (t )+ Q12∗ (ck , D )ϕ∗2 (t ) =

∗
= S11
(ck , D )λ1∗ (t )− S12∗ (ck , D )λ∗2 (t )
,

∗
∗
∗
∗
Q21 (ck , D )ϕ1 (t ) + Q21 (ck , D )ϕ1 (t ) + Q22 (ck , D )ϕ2 (t ) + Q22 (ck , D )ϕ2 (t ) =
 ∗
∗
∗
∗
= S21 (ck , D )λ1 (t ) − S22 (ck , D )λ2 (t )
где
2
0
i =0
i =0
*
*
i
Q11 (ck , D)= å a11i (ck )Di ; Q11
(ck , D)= å a11
i (ck )D ;
0
*
*
i
Q12
(ck , D)= å a12
i (ck )D ;
i =0
0
0
i =0
i =0
*
*
i
*
*
i
S11
(ck , D)= å e11
i (ck )D ; S12 (ck , D) = å e12i (ck )D ;
2
1
i=1
i =0
2
1
i =0
i =0
1
1
i =0
i =0
*
*
i
Q21 (ck , D)= å a21i (ck )Di ; Q21
(ck , D)= å a21
i (ck )D ;
*
*
i
Q22 (ck , p)= å a22i (ck )pi ; Q22
(ck , D)= å a22
i (ck )D ;
*
*
i
*
*
i
S21
(ck , D)= å e21
i (ck )D ; S22 (ck , D) = å e22i (ck )D ;
здесь
a110 = 0; a111 = TcTs ; a112 = TcTsTд ;
*
*
*
*
a110
= e110
= k1Tc ; a120
= e120
= k2Ts ;
a210 = 0; a211 = k5TsTc ; a212 = k5TcTsT;
*
*
*
*
a210
= e210
= k3Tc ; a211
= e211
= k3TcT;
a220 = 0; a221 = TcTs ; a222 = TcTsT;
*
*
*
*
a220
= e220
= 0; a221
= e221
= kk4Ts .
Таким образом, решение задачи параметрического синтеза
рассматриваемой импульсной САУ заключается в определении
значений варьируемых параметров Ts , Tc , T, k, обеспечивающих в системе управления требуемые показатели качества ее
работы по двум исследуемым координатам (скорости вращения
90
и температуре) при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий.
В процессе решения задачи синтеза рассматривалась математическая модель модулятора, представляющая собой идеальный
АИМ с экстраполятором нулевого порядка.
Желаемые программные движения по скорости вращения и
температуре определяются соотношениями (2.22). Переходные
процессы в ТРДФ с периодом прерывания 0,2 с и экстраполятором нулевого порядка (параметры k = 20,5; Ts = 1 с; Тc = 1,5 с;
T = 0,0125 с) показаны на рис. 4.9.
UÊ
Рис. 4.9. Переходные процессы в импульсной МСАУ ТРДФ:
1 – по температуре; 2 – по скорости вращения
Пример 2. Рассмотрим решение задачи параметрического
синтеза обобщенным методом Галеркина импульсной системы
управления турбоагрегатом (см. подразд. 2.5). В качестве математической модели амплитудно-импульсного модулятора рассматривается идеальный АИМ с периодом прерывания 0,01 с и
экстраполятором нулевого порядка. Структурная схема синтезируемой МСАУ представлена на рис. 4.10.
91



 5 
L    5 Q  

 5 Q  5 Q
 5Å Q


   
   5» Q 
V ¼
uг*
V ¼

5 
LF
 5F Q


 5» Q
V¼
Рис. 4.10. Структурная схема математической модели линейной
импульсной МСАУ турбоагрегата
Динамические свойства данной МСАУ описываются уравнениями вида
(1 − γ )T T p2 + (T + T ) p + 1 υ (t ) + T T p2 + (T + T ) p + 1 ×
в2
в1
e
e
 e в2

 в1 e


×u (t ) + k u* (t ) = k u* (t )
e г
e г0
 г

3
2
 TмTυ1Tυ2 p + (Tм (Tυ1 + Tυ2 ) + Tυ1Tυ2 )p + (Tм + Tυ1 + Tυ2 ) p + 1 × ,

×υ (t ) + kυ (Tυ3 p + 1)υ* (t ) + 2 Tυ1Tυ2 p2 + (Tυ1 + Tυ2 ) p + 1 uг (t ) =



*
= k (T p + 1)υ (t )
0
 υ υ3
которые представляют собой частный случай описания динамических свойств импульсных МСАУ. Для решения задачи синтеза
представим полученную систему уравнений в виде (4.10)
∗
∗
∗
Q11 (c k, D )v (t ) + Q12 (c k, D )u г (t ) + Q12
(ck, D )u г∗ (t ) = S12
(ck, D )u г0
(t )
,

∗
∗
∗
∗
Q21 (c k, D )v (t ) + Q22 (c k, D )u г (t ) + Q21 (c k, D )v (t ) = S21 (c k, D )v 0 (t )
где
92
2
2
i =0
i =0
0
0
i =0
i =0
3
2
i=1
i =0
1
1
i =0
i =0
Q11 (ck , D)= å a11i (ck )Di ; Q12 (ck , D)= å a12i (ck )Di ;
i
i
*
*
*
*
Q12
(ck , D)= å a12
i (ck )D ; S12 (ck , D)= å e12i (ck )D ;
Q21 (ck , D)= å a21i (ck )Di ; Q22 (ck , p)= å a22i (ck )Di ;
i
i
*
*
*
*
Q21
(ck , D)= å a21
i (ck )D ; S21 (ck , D)= å e21i (ck )D ;
здесь
a110 = (1 - γ ); a111 = (1 - γ )(Tв2 + Te ); a112 = (1 - γ )TeTв2 ;
a120 = (ke + 1); a121 = (Tв1 + Te ); a122 = Tв1Te ;
*
*
a120
= e120
= ke ; a210 = 0; a211 = Tм + Tυ1 + Tυ2 ;
a212 = Tм (Tυ1 + Tυ2 )+ Tυ1Tυ2 ; a213 = TмTυ1Tυ2 ; a220 = 2;
*
*
= kυ ;
a221 = 2(Tυ1 + Tυ2 ); a222 = 2Tυ1Tυ2 ; a210
= e210
*
*
a211
= e211
= kυTυ3 .
В ходе решения задачи синтеза рассматриваемой импульсной многосвязной САУ турбоагрегатом обобщенным методом
Галеркина были получены следующие значения варьируемых параметров: ke = 44,4; Te = 0,0021 с; kυ = 9,34; Tυ1 = 0,421 с;
Tυ2 = 0,0034 с; Tυ3 = 7,53 с, которые обеспечивают в системе переходные процессы, показанные на рис. 4.11.
Наличие в переходных процессах запаздывания на величину
периода прерывания соответствует физике функционирования
импульсных систем. Как видно из рис. 4.11, статическая ошибка
не превышает 5%, поэтому можно считать, что показатели качества регулирования линейной импульсной многосвязной САУ
с синтезированными параметрами удовлетворяют заданным.
Также следует отметить, что наличие в МСАУ импульсных элементов приводит к существенному уменьшению коэффициентов
передачи по каналам напряжения и частоты, что значительно сокращает мощность сигналов управления.
Решение задачи синтеза данной САУ при различных периодах
прерывания (0,001 с – период прерывания в канале регулирова93
UÊ
Рис. 4.11. Переходные процессы в линейной импульсной МСАУ
турбоагрегата: 1 – по частоте; 2 – по напряжению
ния напряжения, 0,01 с – период прерывания в канале регулирования частоты) дает следующие значения искомых параметров:
ke = 95,6; Te = 0,00287 с; kυ = 9,34; Tυ1 = 0,421 с; Tυ2 = 0,0034 с;
Tυ3 = 7,53 с.
s
UÊ
Рис. 4.12. Переходные процессы в линейной импульсной МСАУ
турбоагрегата при уменьшении периода прерывания: 1 – по частоте;
2 – понапряжению
94
Значения варьируемых параметров, полученные в результате решения, показывают, что уменьшение периода прерывания
приводит к увеличению коэффициента передачи в канале регулирования напряжения, поскольку МСАУ по свойствам приближается к непрерывной. Переходный процесс по напряжению существенно ускоряется (рис. 4.12).
4.3. Формирование целевой функции для решения задачи
синтеза параметров нелинейных импульсных МСАУ
Для получения уравнения движения нелинейных импульсных МСАУ общего вида проведем анализ некоторых частных
случаев структур многосвязных систем, содержащих один или
два импульсных элемента и одно или два нелинейных звена.
Уравнение движения системы, структура которой представлена на рис. 4.13, записанное относительно координаты входа
нелинейного элемента, имеет вид
x(t) − z* (t)W1 ( p )W2 ( p ) = f (t)W1 ( p )

.

*
z(t) − F1 x (t)  W3 ( p ) = f (t)W3 ( p )
(4.16)
Полученная система уравнений (4.16) соответствует эквивалентной схеме, показанной на рис. 4.14, в которой импульсные
элементы в цепях сигналов ошибок заменяются путем известных
Y U
Y U
ZU
8
YU
'
GU
8
Y U
Y U
8
[ U
Рис. 4.13. Структурная схема нелинейной импульсной МСАУ
95
эквивалентных преобразований АИМ, стоящими в цепи входного сигнала и сигналов обратных связей.
В качестве второго примера рассмотрим импульсную МСАУ,
содержащую два нелинейных звена в цепях обратных связей
(рис. 4.15).
Динамические свойства данной системы, относительно входов нелинейных элементов, описываются системой уравнений
Y U
Y U
Z U
'
G U
GU
YU
8
[ U
8
Y U
[U
8
Рис. 4.14. Эквивалентное преобразование структуры нелинейной
импульсной МСАУ
YU
Y U
8
ZU
[U
'
GU
ZU
YU
Y U
'
8
[U
Рис. 4.15. Структурная схема импульсной МСАУ с двумя
нелинейными элементами в цепях обратных связей
96
z (t) − F z* (t)  W ( p ) = f ∗ (t)W ( p )
2 2
1
 1
 1
,

z2 (t) − F1 z1* (t)  W2 ( p ) = f ∗ (t)W2 ( p )

(4.17)
x (t) − F x* (t)  W ( p ) = f (t)
2 2
 1
 2

x2 (t) − F1 x1* (t)  W1 ( p ) = f (t)

(4.18)
y (t) = F x* (t) 
1 1
 1

,

*
y2 (t) = F2 x2 (t) 

(4.19)
которой соответствует эквивалентная структурная схема, представленная на рис. 4.16.
В рассмотренных случаях координаты выхода МСАУ совпадали с координатами входов нелинейных звеньев, что упрощает
решение задачи синтеза, поскольку не требуется осуществлять
пересчет программных движений на входы нелинейностей.
В структурной схеме, приведенной на рис. 4.17, элементы
с нелинейными характеристиками находятся в прямых цепях
многосвязной системы управления, поэтому уравнения динамики
дополняются уравнениями связи
YU
Z U
GU
8
'
[U
[ U
G U
Z U
Y U
'
8
[ U
[ U
Рис. 4.16. Эквивалентная структурная схема импульсной МСАУ
с двумя нелинейными элементами
97
YU
Y U
Z U
'
8
GU
8
Y U
Y U
'
Z U
Рис. 4.17. Структурная схема импульсной МСАУ
с нелинейными звеньями в прямых цепях
Y U
'
8
Z U
Z U
GU
8
Y U
'
Z U
Z U
Рис. 4.18. Структурная схема нелинейной импульсной МСАУ
с АИМ в цепях ошибок
используя которые осуществляют пересчет желаемых программных движений с выходов МСАУ на входы нелинейных элементов.
98
Динамика импульсной МСАУ, показанной на рис. 4.18, будет
также описываться системой (4.18), однако уравнения связи в
данном случае будут



y1 (t) = F1 x1 (t) 
.

y2 (t) = F2 x2 (t) 

(4.20)
Пересчет процессов на входы нелинейных элементов с использованием уравнений (4.20) оказывается более простым и, в
конечном счете, более точным, поскольку в (4.19) на входе нелинейных элементов имеют место импульсные процессы. Проблемы, возникающие при этом, и способы их решения подробно
рассмотрены в работе [4].
Наконец, динамические свойства нелинейной МСАУ с двумя
входами (рис. 4.19) описываются относительно входа нелинейной характеристики уравнением
x(t) − F1 x* (t)  W1 ( p )W2 ( p )W3 ( p ) = f1 (t) + f2∗ (t)W1 ( p )W3 ( p ), (4.21)
которому соответствует эквивалентная схема МСАУ, показанная
на рис. 4.20.
Уравнение связи МСАУ, описываемой уравнением (4.21), полученное с использованием эквивалентной структурной схемы,
имеет вид
GU
YU
Y U
'
ZU
8
[U
8
GU
YU
Y U
8
Рис. 4.19. Структурная схема нелинейной импульсной МСАУ
с двумя входами
99
GU
YU
'
ZU
Z U
8
[U
8
GU
G U
YU
8
Рис. 4.20. Эквивалентная структурная схема
нелинейной импульсной МСАУ с двумя входами
F1 x* (t)  1 + W2 ( p )W3 ( p ) = z(t) − f2∗ (t)W3 ( p ). (4.22)
Анализируя частные случаи уравнений движения импульсных нелинейных многосвязных систем управления (4.16) –
(4.22), в том числе связанных систем и САУ с перекрестными
антисимметричными связями, можно сделать следующие выводы.
Динамические свойства МСАУ, содержащих в общем случае
h импульсных элементов и r нелинейных звеньев, описываются
векторно-матричным уравнением вида
Qx+Q* x* + Ry +R* y * = Sf + S*f * , (4.23)
где x =x1(t), x2(t), ..., xh(t)Т – вектор-столбец процессов на h
входах импульсных элементов; x* =x1*(t), x2*(t), ..., xh*(t)Т –
вектор-столбец процессов на h выходах импульсных элементов;
y =y1(t), y2(t), ..., yr1(t)Т – вектор-столбец процессов на r выходах нелинейных элементов в случае непрерывных сигналов на
их входах; y* =y1*(t), y2*(t), ..., yr2*(t)Т – вектор-столбец процессов на r выходах нелинейных элементов в случае импульсных
сигналов на их входах; f =f1(t), f 2(t), ..., f l(t)Т – вектор-столбец
процессов на l входах системы управления; f* =f1*(t), f 2*(t), ...,
fl*(t)Т – вектор-столбец импульсных процессов на l входах системы управления;
100
Q – квадратная матрица порядка s вида
Q11
Q21
Q = Q31

Qs1
Q12
Q22
Q32

Qs2
Q13
Q23
Q33

Qs3





Q1s
Q2s
Q3s ; 
Qss
(4.24)
Q* – квадратная матрица порядка h вида
*
Q11
*
Q12
*
Q13
 Q1*h
*
Q21
*
Q22
*
Q23
 Q2*h
*
Q* = Q31
*
Q32
*
Q33
 Q3*h ;   


Qh*1
Qh*2
(4.25)
*
Qh*3  Qhh
R – квадратная матрица порядка r1 вида
R11
R12
R13
 R1r1
R21
R22
R23
 R2r1
R = R31
R32
R33
 R3r1 ; 
Rr11

Rr1 2
  
Rr1 3  Rr1r1
(4.26)
R* – квадратная матрица порядка r2 вида
*
R11
*
R12
*
R13
 R1*r2
*
R21
*
R22
*
R23
 R2*r2
R* = R *
31
*
R32
*
R33
 R3*r2 ; 


Rr*2 1
Rr*2 2
Rr*2 3

(4.27)

 Rr*2rr
S – квадратная матрица порядка l вида
101
S11
S21
S = S31

Sl1
S12
S22
S32

Sl2
S13
S23
S33

Sl3





S1l
S2l
S3l ; 
Sll
(4.28)
S* – квадратная матрица порядка g вида
*
S11
*
S12
*
S13
 S1*g
*
S21
*
S22
*
S23
 S2*g
*
S* = S31
*
S32


*
S33
 S3*g .   
Sg*1
Sg*2
(4.29)
*
Sg*3  Sgg
Замечания.
1. Порядок матриц Q, Q*, R, R*, S, S* определяется числом
входов и выходов МСАУ, а также числом нелинейных и импульсных элементов в ней как max{s, h, r1, r2, l, g}. Если нелинейности
входят во все уравнения, описывающие динамические свойства
МСАУ, и на входах нелинейных звеньев действует большее число непрерывных процессов, то очевидно, что все матрицы будут
иметь порядок r1, а все недостающие элементы заменяются нулями. Если же в аналогичной ситуации большая часть процессов на
входах нелинейностей будет иметь импульсный характер, то все
матрицы будут иметь порядок r2. Вместе с тем возможна ситуация, когда часть уравнений динамики нелинейной импульсной
МСАУ оказывается линейными, тогда очевидно, что порядок
всех матриц будет соответствовать числу выходов s многосвязной системы.
2. Если входы нелинейных элементов не совпадают с координатами выходов системы, то необходимо использовать уравнение
связи для пересчета процессов.
С учетом уравнения движения импульсной многосвязной САУ
целевая функция, построенная на основе уравнений Галеркина,
минимизация которой будет обеспечивать определение значений
варьируемых параметров регуляторов в каналах управления
МСАУ, обеспечивающих приближенное воспроизведение задан102
ных показателей качества МСАУ в переходном режиме по всем
регулируемым процессам, будет иметь вид
J=
max{s,h,r1 ,r2 ,l,g}
∑
Jj , min ck J, j =1
где
(4.30)
ì
nj
n*j
uj
ï
ï
*
*
ï
Jj = å íå aij (ck ) Aqij +å aij (ck ) Aqij + å bij (ck )Bqij +
ï
q =1ï i=0
i =0
i =0
ï
î
mj
u*j
+å
i =0
bij*
( )
*
ck Bqij
v*j
-å
i =0
eij*
( )
*
ck Cqij
üï2
ï
- å eij (ck )Cqij ïý ,
ïï
i =0
ïþ
vj
здесь



 U
#RJK
  %J '  Y U   F R EU  #R JR J   V K


где Bq* – рекуррентные соотношения, определяющие интегралы
Галеркина для различных видов аппроксимации характеристик
нелинейных элементов (кусочно-линейная и алгебраическая)
при импульсных процессах различного вида на входах [3, 4].
4.4. Примеры решения задачи синтеза параметров
нелинейных импульсных многосвязных систем управления
Пример 1. Рассмотрим нелинейную импульсную систему
управления ТРДФ. В отличие от синтезированной ранее (подразд. 4.2) в данном случае в САУ учитывается влияние квантования по уровню сигналов в каналах ошибок по обеим управляемым координатам. Структурная схема рассматриваемой
МСАУ показана на рис. 4.21, где учет влияния квантования по
уровню осуществляется многоступенчатыми характеристиками
квантователей-экстраполяторов, имеющих величину ступени
0,1. Математические модели АИМ представляют собой идеальные модуляторы с экстраполяторами нулевого порядка, имеющие период прерывания 0,2 с.
Динамика системы относительно сигналов ошибок по обоим
каналам регулирования, которые являются входами нелинейных характеристик, описывается уравнениями
103


Y
Y
5T Q
5 
L


 5½ Q
L
L
L



Y 
Y
5É Q
5 
L
 5Q
L

Рис. 4.21. Структурная схема импульсной МСАУ ТРДФ
ìï(T T p + T T T p2 )x (t)+ k T F éx* (t)ù - k T F éx* (t)ù =
ïï s c
1
1 c 1 ëê 1
s c д
ûú 2 s 2 ëê 2 ûú
ïï
ïï= (TsTc p + TsTcTд p2 )λ1 (t)
ïï
ïï k T T Tp2 + k T T p x t + k T Tp + k T F éx* t ù +
5 s c
1( ) ( 3 c
3 c ) 1 ëê 1 ( )ûú
ïï 5 s c
,
í
ïï+ T T Tp2 + T T p x (t)+ kk T pF éx* (t)ù =
2
4 s
2 êë 2
s c
s c
úû
ïï
ïï
ïï= (k5TsTcTp + k5TsTc )λ1 (t)+ TsTcTp2 + TsTc p λ2 (t);
ïï
ïïx t = λ t - ϕ t ; x t = λ t - ϕ t
2( )
2( )
ïî 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( )
(
)
(
)
(
)
которые представляют собой частный случай описания динамических свойств многосвязных систем управления, содержащих
АИМ. Для решения задачи синтеза представим систему уравнений в виде (4.23)
∗
Q11 (ck , D )x1 (t ) + R11
(ck , D )x1∗ (t ) +

∗
+ R12
(ck , D )x2∗ (t ) = S11 (ck , D )λ1 (t )

∗
∗
Q21 (ck , D )x1 (t ) + R21 (ck , D )x1 (t ) + ,

∗
∗
+ Q22 (ck , D )x2 (t ) + R22 (ck , D )x2 (t ) =

= S21 (ck , D )λ1 (t ) − S22 (ck , D )λ2 (t )
где
104
2
0
i =0
i =0
0
0
i =0
i =0
∗
∗
i
Q11 (ck , D ) = ∑ a11i (ck )Di ; R11
(ck , D ) = ∑ b11
i (ck )D ;
i
i
∗
∗
R12
(ck , D ) = ∑ b12
i (ck )D ; S11 (ck , D ) = ∑ e11i (ck )D ;
2
1
i =0
i =0
2
1
i =0
i =0
1
1
i =0
i =0
i
∗
∗
Q21 (ck , D ) = ∑ a21i (ck )Di ; R21
(ck , D ) = ∑ b21
i (ck )D ;
i
∗
∗
Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ; R22
(ck , D ) = ∑ b22
i (ck )D ;
S21 (ck , D ) = ∑ e21i (ck )Di ; S22 (ck , D ) = ∑ e22i (ck )Di ;
здесь
a110 = e110 = 0; a111 = e111 = TcTs; a112 = e112 = TcTsTд ;
∗
∗
b110
= k1Tc; b120
= k2Ts;
a210 = e210 = 0; a211 = e211 = k5TsTc; a212 = e212 = k5TcTsT;
∗
∗
b210
= k3Tc; b211
= k3TcT;
a220 = e220 = 0; a221 = e221 = TcTs; a222 = e222 = TcTsT;
∗
∗
b220
= 0; b221
= kk4Ts.
Таким образом, решение задачи параметрического синтеза
рассматриваемой нелинейной импульсной МСАУ заключается
в определении значений варьируемых параметров Ts , Tc , T, k,
обеспечивающих в системе управления требуемые показатели
качества ее работы по двум исследуемым координатам при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий. Желаемые программные движения по скорости вращения и температуре определяются соотношениями (2.22).
В результате решения задачи синтеза были получены следующие значения варьируемых параметров: k = 18,14; Ts = 1,14 с;
Тc = 1,35 с; T = 0,0152 с.
Переходные процессы в нелинейной импульсной МСАУ с синтезированными параметрами показаны на рис. 4.22, из которых
следует, что показатели качества работы системы удовлетворяют заданным, а статическая ошибка по обоим каналам регу105
UD
Рис. 4.22. Переходные процессы в нелинейной импульсной
многосвязной системе управления ТРДФ: 1 – по скорости вращения;
2 – по температуре




L   5 Q 

  5 Q   5 Q 
 5Å Q


   
   5» Q 
V ¼
V ¼

V ¼
' V ¼ 

LF   5F Q 

5
Q

5
Q
 F  F 

 5» Q
Рис. 4.23. Структурная схема нелинейной импульсной
МСАУ турбоагрегата
106
V¼
лирования не превышает половины величины одного разряда
квантователей-экстраполяторов, что полностью соответствует
физике функционирования САУ данного класса.
Пример 2. Рассмотрим решение задачи параметрического
синтеза нелинейной импульсной МСАУ турбоагрегата, структурная схема которой представлена на рис. 4.23. В отличие от
примера в подразд. 2.5, в данном случае в цепях ошибок МСАУ
находятся амплитудно-импульсные модуляторы, работающие
синхронно с периодами прерывания 0,01 с.
В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза нелинейных импульсных МСАУ уравнение движения рассматриваемой системы записывается относительно координаты входа нелинейного элемента, т. е. относительно ∆uг∗ .
(γ − 1)T T T p 3 + (T T + T T + T T ) p 2 +
e1 e3
в2 e1
в2 e3
 в2 e1 e3

+ T + T + T p + 1 υ t + T T T p 3 + T T + T T + T T ×
( в1 e1 в1 e3 e1 e3 )
e1
e3 )
 ( )  в1 e1 e3
 ( в2
 2
∗
× p + (Tв1 + Te1 + Te3 ) p + 1 ∆u г (t ) + (keTe2 p + ke )F  ∆u г (t ) =

= Tв1Te1Te3 p 3 + (Tв1Te1 + Tв1Te3 + Te1Te3 ) p 2 +

.

+ (Tв1 + Te1 + Te3 ) p + 1 u г0 (t )

 TмTυ1Tυ3 p 3 + (Tм (Tυ1 + Tυ3 ) + Tυ1Tυ3 )p 2 + (Tм + Tυ1 + Tυ3 ) p + 1 υ (t ) +


+k (T p + 1)υ ∗ (t ) + 2 T T p 2 + (T + T ) p + 1 ∆u (t ) =
υ1
υ3
 υ1 υ3
 г
 υ υ2

= k T p + 1)υ ∗0 (t ) + 2 Tυ1Tυ3 p 2 + (Tυ1 + Tυ3 ) p + 1 u г0 (t )
 υ ( υ2
Структура полученных уравнений движения САУ соответствует общему виду (4.23) и может быть представлена следующим образом:
∗
Q11 (c k, p )υ (t ) + Q12 (ck, p )∆u г (t ) + R12
(ck, p )∆u г∗ (t ) = S12 (ck, p )u г0 (t )

∗
∗
∗
∗
Q21 (c k, p )υ (t ) + Q21 (c k, p )υ (t ) + Q22 (c k, p )∆u г (t ) = S21 (c k, p )υ 0 (t ) + ,

+S22 (c k, p )u г0 (t )
где
107
3
3
i =0
i =0
1
3
i =0
i =0
3
1
i =0
i =0
Q11 (ck , p ) = ∑ a11i (ck )pi ; Q12 (ck , p ) = ∑ a12i (ck )pi ;
i
i
∗
∗
R12
(ck , p ) = ∑ b12
i (ck )p ; S12 (ck , p ) = ∑ e12i (ck )p ;
i
∗
∗
Q21 (ck , p ) = ∑ a21i (ck )pi ; Q21
(ck , p ) = ∑ a21
i (ck )p ;
2
Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ;
i =0
1
2
i =0
i =0
i
i
∗
∗
S21
(ck , p ) = ∑ e21
i (ck )p ; S22 (ck , p ) = ∑ e22i (ck )p ,
здесь
a110 = (γ -1); a111 = (γ -1)(Tв2 + Te1 + Te3 );
a112 = (γ -1)(Tв2Te1 + Tв2Te3 + Te1Te3 ); a113 = (γ -1)Tв2Te1Te3 ;
a120 = e120 = 1; a121 = e121 = Tв1 + Te1 + Te3 ;
a122 = e122 = Tв1Te1 + Tв1Te3 + Te1Te3 ; a123 = e123 = Tв1Te1Te3 ;
*
*
b120
= ke ; b121
= keTe2 ; a210 = 1; a211 = Tм + Tυ1 + Tυ3 ;
*
*
= e210
= kυ ;
a212 = Tм (Tυ1 + Tυ3 )+ Tυ1Tυ3 ; a213 = TмTυ1Tυ3 ; a210
*
*
= e211
= kυTυ2 ; a220 = e220 = 2; a221 = e221 = 2(Tυ1 + Tυ3 );
a211
a222 = e222 = 2Tυ1Tυ3 .
Таким образом, решение задачи синтеза заключается в определении положительных значений kυ , Tυ1, Tυ2 , Tυ3 , ke , Te1, Te2 , Te3 ,
обеспечивающих в системе управления требуемые показатели
качества ее работы по двум исследуемым координатам (скорости
вращения и напряжению на зажимах генератора) при одновременной подаче двух внешних скачкообразных входных воздействий. Переходные процессы по обеим регулируемым величинам
должны иметь перерегулирование не более 10%, а время затухания не должно превышать 100 мс.
В результате решения поставленной задачи обобщенным методом Галеркина были определены варьируемые параметры
регуляторов в каналах регулирования частоты и напряжения
турбоагрегата, которые имеют следующие значения: kυ = 40,13;
108
Tυ1 = 0,765 c; Tυ2 = 3,5 c; Tυ3 = 0,00174 c; ke = 0,0175; Te1 = 0,005 c;
Te2 = 0,3 c; Te3 = 0,0154 c и обеспечивают в МСАУ переходные процессы, показанные на рис. 4.24. Анализ динамических свойств
нелинейной импульсной многосвязной САУ турбоагрегата с синтезированными параметрами показывает, что показатели качества системы по обоим каналам регулирования удовлетворяют
заданным. Запаздывание, которое наблюдается в переходном
процессе изменения частоты вращения, составляет 0,01 с, т. е.
соответствует периоду прерывания АИМ с экстраполятором.
Пример 3. Рассмотрим решение задачи синтеза параметров
МСАУ, показанной на рис. 4.23, для случая синхронной работы
АИМ с разными периодами прерывания. Модулятор в канале
регулирования напряжения имеет период прерывания 0,03 с, а
АИМ в канале регулирования частоты – 0,01 с. Динамические
свойства МСАУ описываются той же системой уравнений, что и в
предыдущем примере. Показатели качества процессов по обоим
каналам регулирования должны быть следующие: перерегулирование не более 10%, а время затухания – не более 100 мс.
В результате решения задачи были получены следующие значения параметров: kυ = 55,5; Tυ1 = 1,9 c; Tυ2 = 4,75 c; Tυ3 = 0,0034 c;
s
UÊ
Рис. 4.24. Переходные процессы в нелинейной импульсной МСАУ
турбоагрегата: 1 – по напряжению: 2 – по частоте
109
s
UD
Рис. 4.25. Переходные процессы в нелинейной импульсной МСАУ при
синхронной работе АИМ: 1 –по частоте; 2 – по напряжению
ke = 0,0178; Te1 = 0,0019 c; Te2 = 0,29 c; Te3 = 0,012 c, обеспечивающие в импульсной МСАУ турбоагрегата при синхронной работе
АИМ с разными периодами прерывания переходные процессы,
показанные на рис. 4.25, из которого следует, что в МСАУ с синтезированными параметрами обеспечиваются показатели качества работы, удовлетворяющие заданным требованиям.
110
5. Решение задачи синтеза САУ с АИМ,
формирующими треугольные и
трапецеидальные импульсы
Изложенная выше общая схема решения задачи синтеза параметров систем автоматического управления обобщенным методом Галеркина является универсальной в том смысле, что
она справедлива для САУ различных классов: односвязных
и многосвязных, непрерывных и импульсных, дискретных и
дискретно-непрерывных, линейных и нелинейных. Поэтому для
распространения обобщенного метода Галеркина на САУ с АИМ,
формирующими треугольные или трапецеидальные импульсы,
необходимо лишь определить интегралы целевой функции A*qi,
B*qi, C*qi.
5.1. Вычисление аналитических рекуррентных соотношений,
определяющих интегралы A*qi, B*qi, C*qi для АИМ,
формирующих треугольные импульсы
Получение аналитических выражений, определяющих интегралы A*qi, B*qi, C*qi для АИМ, формирующих треугольные импульсы, осуществляется в соответствии с правилами действия
над обобщенными функциями [89] и функциональными рядами
[90 – 92]. Воспользуемся следующими соотношениями:
b
∞

∞ b
(5.1)
 ∞
 ∞
D  ∑ fk (x )dx  = ∑ D {fk (x )dx}, k = 0, 1, …; k =0
 k =0
(5.2)
a



∫ k∑=0 fk (x )dx = k∑=0 ∫ fk (x )dx, [a ≤ x ≤ b]; ∞
a
k (k )
(k )
∫ f (t )δ (t − τ )dt = (−1) f (τ ),
k = 0, 1, …, (5.3)
0
последнее из которых описывает фильтрующее свойство
δ-функции, существующей в момент времени t = τ.
Если на вход синтезируемой системы действует скачкообразное воздействие амплитудой H, то на выходе импульсного элемента, формирующего треугольные импульсы, имеем процесс,
вид которого показан на рис. 5.1.
111
G U
GU
)U
Рис. 5.1. Процесс на выходе АИМ, формирующего
последовательность треугольных импульсов
Покажем вычисление интеграла вида

 

$RJ
  %J G  U  F
EUJ  W
R U
При i = 0 , с учетом математической модели последовательности симметричных треугольных импульсов [85 – 88], получим
∞ ∞

 
γ   
γ 
Cq*0 = ∫ ∑ kn (t − nT )1(t − nT ) − 2  t −  n +  T 1 t −  n +  T  +
2
2



 

 

0 n =0
+ (t − (n + γ )T )1(t − (n + γ )T ) e
−ρq t
dt,
после преобразований
Cq*0 =
∞
∞
n =0
 0
∑ kn  ∫ t1(t − nT)e
∞
−ρq t
∞
dt − ∫ nT1(t − nT )e
−ρq t
dt −
0
∞
 
 
γ   −ρ t
γ   −ρ t
− ∫ 2t1 t −  n +  T  e q dt − ∫ γT1 t −  n +  T  e q dt −
2
2
 
 
 
 
0
0
∞
∞
 
γ   −ρ t
−ρ t
− ∫ 2nT1 t −  n +  T  e q dt + ∫ t1(t − (n + γ )T )e q dt −
2




0
0
∞
− ∫ γT1(t − (n + γ )T )e
0
112
−ρq t
∞
dt − ∫ nT1(t − (n + γ )T )e
0
−ρq t

dt  =


∞
∞
 ∞ −ρ t
−ρ t
−ρ t
= ∑ kn  ∫ te q dt − nT ∫ e q dt − 2 ∫ te q dt −
nT
n =0
γ
nT

 n + T

 2
∞
∞
∫
−γT
e
−ρq t
dt − 2nT
γ

 n + T
 2
∞
∫
e
−ρq t
∞
∫
e
−ρq t
∞
dt − nT
(n +γ )T
∫
te
−ρq t
dt −
(n +γ )T
γ

 n + T
 2
−γT
∞
dt +
∫
e
−ρq t
(n +γ )T

dt  .


После интегрирования будем иметь
Cq*0
 −ρ nT  nT 1
= ∑ kn e q 
+
 ρq ρ2q

n =0


∞
−
−
γTe
γTe
γ

−ρq  n + T
 2
ρq
−ρq (n +γ )T
ρq
−e
−
−ρq nT
nTe
−
2nTe

γ
n + T
 γ
 −ρ nT nT
−ρq  n + T  
1
2
−e q
− 2e  2   
+ 2

ρq

ρq
ρq



γ

−ρq  n + T
 2
ρq
−ρq (n +γ )T
ρq

+e
−ρq (n +γ )T
 (n + γ)T 1

+ 2
 ρq
ρq



−




−


 −ρ nT nT e −ρq nT
 ∞
−ρ nT nT
 = ∑ kn e q
+
−e q
−
ρq
ρq
ρ2q
 n =0 
γ
−ρq  n + T  (2n + γ )T
nT
2 γT 2nT 
+
− e  2 
+ 2−
−

ρq
ρq
ρq 
ρq ρq


+e
−ρq (n +γ )T
 (n + γ )T 1 γT nT  

.
+ 2−
−
 ρq

ρ
ρ
ρ
q
q
q


упрощая соотношение, получаем
113
Cq*0
γ

 −ρq nT
−ρq  n + T  (2n + γ )T
e
2 γT + 2nT 
2



+
e
= ∑ kn
−
+
−


 ρ2q
ρq
ρq
ρ2q
n =0




1 ( γ + n)T  
−ρ (n +γ )T (n + γ )T

 =
+e q
+ 2−
 ρq

ρq
ρq


∞
γ
 −ρ nT

−ρ nT −ρq T
−ρ nT −ρ γT
e q
2e q e 2
e q e q 
= ∑ kn  2 −
+
=
ρ2q
ρ2q
n =0
 ρq



∞
=
γ
−ρq T
2
1 − 2e
+e
−ρq γT ∞
∑ kn e
ρ2q
−ρq nT
.
n =0
Таким образом, окончательно
Cq*0 =
1 − 2e
γ
−ρq T
2
+e
−ρq γT
ρ2q
∞
∑ kn e
−ρq nT
.
n =0
Если на входе АИМ действует внешнее скачкообразное воз2H
= const, следовательно:
действие, то kn =
γT
Cq*0 =
γ
−ρq T
2
1 − 2e
+e
−ρq γT
ρ2q
2H ∞ −ρq nT
∑e .
γ n =0
Сомножитель, стоящий под знаком суммы, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со зна−ρ T
менателем q = e q , сумма членов которой может быть определена по формуле [90 – 92]
∞
a
∑ aqn = 1 − q
при
q < 1,
n =0
тогда
∞
∑e
n =0
114
−ρq nT
=
1
1− e
−ρqT
.
Окончательно получаем
Cq*0
γ


−ρq T
−ρ γT
2H  1 − 2e 2 + e q 



.
=
−ρ T
T γ(1 − e q )ρ2q
При i = 1, рассуждая аналогично, получаем
∞ ∞

 −ρ t
 
γ 
Cq*1 = ∫ ∑ kn 1(t − nT ) − 2 ⋅ 1 t −  n +  T  + 1(t − (n + γ )T ) e q dt =
2 
 


0 n =0


∞
∞
 ∞ −ρ t

−ρ
−ρ
t
t
= ∑ kn  ∫ e q dt − 2 ∫ e q dt + ∫ e q dt  =
nT

n =0
γ

(n +γ )T
 n + T


 2
γ
 −ρ nT

−ρ nT −ρq T
−ρ nT −ρ γT
∞
e q
2e q e 2
e q e q 
= ∑ kn 
−
+
=
ρq
ρq
n =0
 ρq



∞
=
где kn =
1 − 2e
γ
−ρq T
2
ρq
+e
−ρq γT
∞
∑ kn e
−ρq nT
,
n =0
2H
= const, тогда
γT
γ


−ρq T
−ρ γT
2H  1 − 2e 2 + e q 



,
Cq*1 =
−ρ T
T γ(1 − e q )ρq
т. е. Cq*1 = Cq*0 ρq .
Обобщая полученные результаты на случай i = v∗ , окончательно имеем
∗
*
Cqv
= Cq*0 ρvq .
Таким образом, если на входе АИМ, формирующего симметричные треугольные импульсы, действует внешнее скачкообразное воздействие, аналитическое рекуррентное соотноше-
115
ние, определяющее соответствующий интеграл Галеркина, будет
 


$RJ
  %J G  U  F
где Cq* =
H
(1 − e
−ρqT
)Tρ2q
EU  $R RJ J  W
R U
Cq* ,
2
γ
γ



−ρq T
−ρq T 
−ρ γT
2  1 − 2e 2 + e q  2  1 − e 2 




= 
 .
здесь Cq* = 
γ
γ
∗
Аналогично были определены интегралы Cqi
для других видов АИМ, формирующих треугольные импульсы при внешнем
скачкообразном воздействии на входе модулятора. В результате
для АИМ, формирующего:
– несимметричные треугольные импульсы:
$
R 

  F
R 5
     F
R 5
    

– треугольные импульсы с вертикальным фронтом:
Cq* =
ρq γT + e
−ρq γT
γ
−1
;
– треугольные импульсы с вертикальным срезом:
Cq* =
1− e
−ρq γ1T
(1 + ρq γ1T ).
γ1
Покажем вычисление интеграла A*qi для АИМ, формирующего симметричные треугольные импульсы, в случае процесса
x0 (t) = xy + H * e −αt cos(βt − ϕ0 )  1(t) на его входе.
Тогда



  %J Y U
F
"RJ
R U

 
EU   %J   LO U  O5 U  O5 
O 
U  O  
5 U  O  
5  U  O  
5 U  O  
5 F
116
R U
EU
здесь
kn =
xy + H * e −αnT cos(βnT − ϕ0 )
2x(nT )
=2
=
γT
γT
 xy H * e −αnT cos(βnT − ϕ0 ) 
= 2
+
.

γT
 γT

*
По аналогии с вычислением Cqi
получаем
Aq*0
1 − 2e
=
γ
−ρq T
2
+e
−ρq γT
ρ2q
∞
∑ kn e
−ρq nT
n =0
γ

−ρq T
−ρ γT
 1 − 2e 2 + e q
= 2
ρ2q




×


 xy ∞ −ρq nT H * ∞ −ρq nT −αnT

e
e
e
cos(βnT − ϕ0 ) .
×
+
∑
 γT ∑

γT n =0
n =0


*
Таким образом, для вычисления Aqi
следует определить лишь
сумму
∞
∑e
−ρq nT −αnT
e
n =0
но, что
∞
cos(βnT − ϕ0 ), поскольку ранее было получе2
∑e
−ρq nT
n =0
=
1
1− e
;
−ρ T
1 − 2e
γ
−ρq T
2
−ρq γT
ρ2q
q
Преобразуем выражение
зуя соотношения
+e
∞
∑e
−ρq nT −αnT
e
n =0
γ

−ρq T 
1 − e 2 


 .
=
2
ρq
cos(βnT − ϕ0 ), исполь-
cos(β nT − ϕ0 ) = cos(βnT )cos(ϕ0 ) + sin(β nT )sin(ϕ0 );
∞
cos(ϕ0 ) ∑ e
n =0
− ( α+ρq )nT
∞
cos(βnT ) + sin(ϕ0 ) ∑ e
− ( α+ρq )nT
sin(βnT )
n =0
и формулы Эйлера для тригонометрических функций
e jβnT + e − jβnT
;
2
e jβnT − e − jβnT
sin(βnT ) =
.
2j
cos(βnT ) =
117
Тогда, учитывая, что
ем
∞
∑e
− ( α+ρq ± jβ)nT
=
n =0
∞
cos(ϕ0 ) ∑ e
− ( α+ρq )nT
n =0
∞
+∑e
− ( α+ρq + jβ)nT 
=
1− e
, получа-
e jβnT + e − jβnT cos(ϕ0 )  ∞ −(α+ρq − jβ)nT
=
+
∑e
2
2
 n =0

cos(ϕ0 ) 
1
1
+

=
−
α+ρ
−
β
−
α+ρ
+
β
(
)
(
)
j
T
j
T
q
q
2
1− e
1 − e

=

n =0
1
− ( α+ρq ± jβ)T
− ( α+ρ )T
− ( α+ρ )T
q
q
cos(ϕ0 )
e − jβT + 1 − e
e jβT
1− e
=
− ( α+ρq )T − jβT
− ( α+ρq )T jβT
−2( α+ρq )T
2
−e
+e
e
e
1− e
-( α +ρ )T
(
)
q
2-e
e jβT + e- jβT
cos(ϕ0 )
=
=
2 1 - e-(α+ρq )T e jβT + e- jβT + e-2(α+ρq )T
(
=
(
-( α +ρq )T
cos(ϕ0 ) 1 - e
-( α +ρq )T
- 2 ( α + ρ q )T
∞
sin(ϕ0 ) ∑ e
− ( α+ρq )nT
n =0
−∑ e
− ( α+ρq + jβ)nT 
=

n =0
=
)
cos(βT ) + e
1 - 2e
∞
cos(βT)
)
=
( α +ρ q )T
cos(βT ) + 1
);
− ( α+ρ )T
(
)
q
e
e jβT - e- jβT
sin(ϕ0 )
=
2 j 1 - 2e-(α+ρq )T cos(βT ) + e-2(α+ρq )T
− ( α+ρq )T
sin(ϕ0 )sin(βT )
cos(βT ) + e
В результате
118
- 2e
( α + ρ q )T

sin(ϕ0 ) 
1
1
−

=
−
α+ρ
−
β
−
α+ρ
+
β
(
)
(
)
j
T
j
T
q
q
2 j 1 − e
1− e

− ( α+ρ )T
− ( α+ρq )T
1 − 2e
2( α + ρ q ) T
- cos(βT)e
e jβnT − e − jβnT sin(ϕ0 )  ∞ −(α+ρq − jβ)nT
=
−
∑e
2j
2 j  n =0
-( α +ρ )T
e
e
2( α + ρ q )T
q
q
sin(ϕ0 )
e − jβT − 1 + e
e jβT
1− e
=
2 j 1 − e −( α+ρq )T e − jβT − e −( α+ρq )T e jβT + e −2( α+ρq )T
=
=
(
cos(ϕ0 ) e
−2( α+ρq )T
=
e
e
( α+ρq )T
2( α+ρq )T
sin(ϕ0 )sin(βT )
1 − 2e
− ( α+ρq )T
cos(βT ) + 1
.
¥
-ρq nT -αnT
åe
e
n =0
cos(βnT - ϕ0 ) =
+
=
cos(ϕ0 )e
2( α+ρq )T
e
e
2( α +ρq )T
−e
e
=
cos(ϕ0 )e
e
e
2( α+ρq )T
e
− 2e
( α+ρq )T
cos(βT ) + 1
=
( α+ρq )T
sin(ϕ0 )sin(βT)
cos(βT ) + 1
( α+ρq )T
cos(ϕ0 ) − e
− 2e
)+
( α +ρq )T
(cos(ϕ0 )cos(βT) − sin(ϕ0 )sin(βT) )
− 2e
2( α+ρq )T
( α +ρq )T
cos(βT) + 1
cos(ϕ0 )cos(βT ) + e
( α+ρq )T
2( α+ρq )T
- 2e
- cos(βT )e
sin(ϕ0 )sin(βT)
-( α +ρq )T
2( α+ρq )T
−e
e
2( α +ρq )T
2( α +ρq )T
1 - 2e
( α+ρq )T
2( α+ρq )T
=
( α +ρq )T
(
cos(ϕ0 ) e
=
cos(βT ) + 1
( α+ρq )T
( α+ρq )T
cos(βT + ϕ0 )
cos(βT) + 1
=
.
Окончательно получаем
Aq*0 =
2
γ
æ
-ρq T ö
÷÷
çç
2
2ç1 - e
÷÷
çç
è
ø÷
γTρ2q
(
´
( α +ρq )T
2( α +ρq )T
æ
H* e
cos(ϕ0 ) - e
cos(βT + ϕ0 )
çç
xy
ç
´ç
+
( α + ρ q )T
2( α +ρq )T
-ρqT
çç
cos(βT) + 1
- 2e
e
çè 1 - e
(
)
)÷÷÷ö÷.
÷÷÷
÷ø
Обобщая полученные результаты, аналогично вычислению
*
интеграла Cqi
, имеем
*
Aqi
= Aq* ρiq ,
где
Aq*
(
2( α +ρq )T
( α +ρq )T
æ
H* e
cos(ϕ0 ) - e
cos(βT + ϕ0 )
xy
1 ççç
= 2ç
+
2( α +ρq )T
( α +ρq )T
Tρq ççç 1 - e-ρqT
cos(βT) + 1
e
- 2e
è
(
)
)÷÷÷÷öC ,
÷÷
÷÷
ø
*
q
здесь Cq* для различных видов треугольных импульсов, формируемых АИМ, были определены ранее.
119
Наконец, рассмотрим вычисление интегралов B*qi. Поскольку аналитические выражения, определяющие данные интегралы, зависят от вида нелинейной характеристики и процесса на ее
входе, то покажем вычисление данного интеграла для нелинейности довольно общего вида – «переменный коэффициент усиления», описываемой следующей системой уравнений:
ìïbk1 + k2 (x - b) при x > b
ïï
.
(5.4)
F (x) = ïík1x при x £ b
ïï
ïï-bk + k (x + b) при x <-b
1
2
îï
Получение соотношения рассмотрим для процесса
x0 (t ) = xy + H* e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t ),
который на выходе АИМ, формирующего несимметричные треугольные импульсы, принимает вид
x* (t) =
∞
∑ k1n (t − nT)1(t − nT) − (k1n + k2n ) (t − (n + γ1 )T )×
n =0
где
×1(t − (n + γ1 )T ) + k2n (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T ),
k1n =
k2n =
(5.5)
* −αnT
cos (βnT − ϕ0 )
x(nT ) xy + H e
=
;
γ1T
γ1T
xy + H * e −αnT cos (βnT − ϕ0 )
x(nT )
=
;
( γ − γ1 )T
( γ − γ1 )T
(
)
γ (xy + H * e-αnT cos(βnT - ϕ0 )
x(nT ) γ
(k1n + k2n ) =
.
=
γ1 ( γ - γ1 )T
γ1 ( γ - γ1 )T
Прохождение процесса вида (5.5) через рассматриваемый нелинейный элемент показано на рис. 5.2.
Предположим, что колебательность программного движения
такова, что переключение нелинейности F (x) происходит в четырех точках: t1, t2 , t3 , t4 , т. е. число моментов переключения
r = 4, тогда
120
' <Y U
>
' Y 'U
 ' U
' U
 ' U
BSDUHLZ
BSDUH L Z
sC
C
Y
U U
U U U U
U
' U
 ' U
Y
Y U
U
5 U
Y U
U
U
U
U
U
Рис. 5.2. Прохождение импульсного процесса
через нелинейный элемент
121
F+0 (nT ) = F−1 (nT ) = ky1x* (t) − ky1x* (t)1(t − t1 );
F+1 (nT ) = F−2 (nT ) = ky2 (x* (t) − b)1(t − t1 ) + ky1b1(t − t1 ) − ky2 ×
×(x* (t) − b)1(t − t2 ) − ky1b1(t − t2 );
F+2 (nT ) = F−3 (nT ) = ky1x* (t)1(t − t2 ) − ky1x* (t)1(t − t3 );
F+3 (nT ) = F−4 (nT ) = ky2 (x* (t) − b)1(t − t3 ) + ky1b1(t − t3 ) − ky2 ×
×(x* (t) − b)1(t − t4 ) − ky1b1(t − t4 );
F+4 (nT ) = F−5 (nT ) = ky1x* (t)1(t − t4 ) − ky1x* (t)1(t − t5 ).
Каждое выражение F+ i (nT ) описывает формируемые импульсы в соответствующем интервале времени между переключениями [ti ; ti +1 ] (рис. 5.3).
Тогда функция F [x0* (t)] имеет вид
F x0* (t)  = ky1x* (t) − ky1x* (t)1(t − t1 ) + ky2 (x* (t) − b)1(t − t1 ) +
+bky11(t − t1 ) − ky2 (x* (t) − b)1(t − t2 ) − bky11(t − t2 ) + ky1x* (t)1(t − t2 ) −
−ky1x* (t)1(t − t3 ) + ky2 (x* (t) − b)1(t − t3 ) + bky11(t − t3 ) −
−ky2 (x* (t) − b)1(t − t4 ) − bky11(t − t4 ) + ky1x* (t)1(t − t4 ) − ky1x* (t)1(t − t5 );
'<Y U
>
'U
 ' U
' U
 ' U
U U
U U U U
U
' U
 'U
Рис. 5.3. Математическая модель процесса на выходе
нелинейного элемента
122
(
)
F (x0* (t)) = ky1x* (t) + ky2 x* (t) - b [1(t - t1 ) -1(t - t2 ) + 1(t - t3 ) -1(t - t4 ) ]-
(
)
-ky1 x* (t) - b [1(t - t1 ) -1(t - t2 ) + 1(t - t3 ) -1(t - t4 ) ]- ky1x* (t)1(t - t5 ).
После преобразований
5−1
5−1
F x0* (t)  = ky1x* (t) + ky2 x* (t) ∑ (−1) j −11(t − tj ) − ky2b ∑ (−1) j −11(t − tj ) −
j =1
j =1
5
5−1
j =1
j =1
−ky1x* (t)∑ (−1) j −11(t − tj ) + ky1b ∑ (−1) j −11(t − tj ).
Переходя к дискретным моментам времени переключения нелинейной характеристики, получаем
¥
r
n =0
j =1
F éê x0* (t)ùú = ky1 å x* (t) - ky1 å (-1) j-1
ë
û
r -1
+ky2 å (-1) j-1
j =1
¥
å x* (t) +
n=σ j
¥
r -1
¥
n=σ j
j =1
n=σ j
å x* (t) - (ky2 - ky1 )bå (-1) j-1 å b,
где σ j = E(tj / T ), здесь символ E – целая часть числа; tj – моменты переключения нелинейной функции F x0 (t)  .
*
Далее вычисляем интеграл Bqi
согласно методике, приведенной в работах [1 – 4]:
∞
  ∞
*
= ∫ Di  F  ∑ k1n (t − nT )1(t − nT ) − (k1n + k2n )(t − (n + γ1 )T )1 ×
Bqi
 n =0
0
  −ρ t
×(t − (n + γ1 )T ) + k2n (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T )  e q dt = Bq* ρiq ,
 
i = 0, 1, ..., u;
q = 1, 2, ..., m,
где
S

#R  /  LZ "
 LZ  
K  7K  ) .K 
R

K 

  5
S 
S 

F R K
LZ  
K  7K  ) .K   CLZ  LZ  
K 

R
K 
K 





(5.6)
здесь
123
N=
A q =
xy
1− e
−ρqT
+ H*
γ − γ1 − e
-( α +ρq )Tσ j
Mj =
γ+e
−ρq γT
γ1
ρ2q γ1T ( γ − γ1 )
e
−2( α+ρq )T
e
cos ϕ0 − e
−2( α+ρq )T
Vj =
e
−ρq γ1T
xy e
− 2e
;
− ( α+ρq )T
− ( α+ρq )T
cos(βT + ϕ0 )
cos βT + 1
;
−ρqTσ j
1− e
−ρqT
;
cos(βTσ j - ϕ0 )- e
cos(βT (σ j -1) + ϕ0 )
.
cos β T + 1
-( α +ρq )T ( σ j +1)
-2( α +ρq )T
e
-( α +ρq )T
- 2e
Если в выражении (5.6) ky1 положить равным нулю, то получим рекуррентное аналитическое соотношение, определяющее
*
интеграл Bqi
для нелинейности вида «зона нечувствительности»:
r -1
(
r -1
)
Bq* = Nky2 å (-1) j-1 Vj + H * Mj - bky2 å (-1) j-1
j =1
j =1
-ρq σ jT
e
ρq
.
Если в выражении (5.6) ky2 положить равным нулю, то получим рекуррентное аналитическое соотношение, определяющее
*
интеграл Bqi
для нелинейности вида «ограничение»:
r
æ
ç
Bq* = N ççky1 A q - ky1 å (-1) j-1 Vj + H * Mj
çè
j =1
(
ö
r -1
-ρq σ jT
ø
j =1
q
)÷÷÷÷÷ + bky1 å (-1) j-1 e ρ
.
*
Аналогично изложенному выше определены интегралы Bqi
для частных случаев треугольного импульса, формируемого
АИМ. Проведенные вычисления показывают, что различие в полученных соотношениях связано с переменной N, значение которой для различных видов треугольных импульсов приведено
в табл. 5.1.
Полученные аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина для САУ, содержащих АИМ, формирующие
треугольные импульсы различных видов, позволили распространить обобщенный метод Галеркина на системы управления рассматриваемого класса.
124
Таблица 5.1
Аналитические рекуррентные выражения, определяющие интегралы
*
Bqi
для частных случаев треугольного импульса,
формируемого АИМ
Вид импульса, формируемого АИМ
Выражение, определяющее N
Симметричный треугольный
импульс
γ


−ρq T
−ρ γT
2  1 − 2e 2 + e q 




γTρ2q
Несимметричный треугольный
импульс
Треугольный импульс
с вертикальным фронтом
Треугольный импульс
с вертикальным срезом
γ − γ1 − γe
−ρq γ1T
− γ1e
−ρq γT
γ1 ( γ − γ1 )Tρ2q
Tρq γ + e
−ρq γT
−1
γTρ2q
1− e
−ρq γ1T
− ρq γ1Te
−ρq γ1T
γ1Tρ2q
5.2. Вычисление аналитических рекуррентных соотношений,
определяющих интегралы A*qi, B*qi, C*qi для АИМ,
формирующих трапецеидальные импульсы
Получение аналитических выражений, определяющих интегралы A*qi, B*qi, C*qi для АИМ, формирующих трапецеидальные
импульсы, осуществляется в соответствии с правилами действия
над обобщенными функциями [89] и функциональными рядами
[90 – 92] [соотношения (5.1) – (5.3)].
Если на вход синтезируемой системы действует скачкообразное воздействие амплитудой H, то на выходе импульсного элемента, формирующего трапецеидальные импульсы [85 – 87],
имеем процесс, вид которого показан на рис. 5.4.
G U
 )U
G U
Рис. 5.4. Процесс на выходе АИМ, формирующего
трапецеидальные импульсы
125
∗
Тогда интеграл Cqi
принимает вид
∞
 ∞
Cq*0 = ∫ Di  ∑ kn (t − nT )1(t − nT ) − (t − (n + γ1 )T )1(t − (n + γ1 )T )−
n =0
0
  −ρ t
− (t − (n + γ 2 )T )1(t − (n + γ 2 )T )+ (t − (n + γ )T )1(t − (n + γ )T )  e q dt,
 
H
= const.
γ1T
В результате вычислений, аналогичных рассмотренным выше
для последовательности модулированных по амплитуде треугольных импульсов, получаем
где i= 0, 1, 2, …, v*; kn =




$RJ
  %J G  U  F
EU  $R JR J  W
R U
где
$R 
здесь
1− e
Cq* =
)
$
R
  F 
R5
−ρq γ1T
5R
−ρ γ2T
−e q
γ1
+e
−ρq γT
.
*
Аналогично были определены интегралы Cqi
для других видов АИМ, формирующих трапецеидальные импульсы при внешнем скачкообразном воздействии на входе модулятора. В результате для АИМ, формирующего:
– несимметричные трапецеидальные импульсы:




  5
  5
 5
$
F R F R  F R 
R 

   
– трапецеидальные импульсы с вертикальным фронтом:
(γ − γ2 )Tρq − e q
Cq* =
γ − γ2
−ρ γ2T
+e
−ρq γT
;
– трапецеидальные импульсы с вертикальным срезом:
126
1− e
Cq* =
−ρq γ1T
− γ1Te
γ1
−ρq γ2T
.
Интегралы A*qi для АИМ, формирующего симметричные трапецеидальные импульсы, в случае процесса x0(t) =
= xy + H * e −αt cos(βt − ϕ0 ) 1(t) на его входе были вычислены
аналогично подразд. 5.1. В результате



"RJ
  %J Y U
F
R U
EU  "R JR где
Aq*
(
2( α +ρq )T
( α + ρ q )T
æ
H* e
cos(ϕ0 ) - e
cos(βT + ϕ0 )
xy
1 ççç
= 2ç
+
2( α +ρq )T
( α + ρ q )T
Tρq ççç 1 - e-ρqT
cos(βT) + 1
e
- 2e
è
(
)
)÷÷÷÷öC ,
÷÷÷
÷ø
*
q
здесь Cq* для различных видов трапецеидальных импульсов,
формируемых АИМ, были определены ранее.
Наконец, рассмотрим вычисление интегралов B*qi. Как и в
случае модулированных по амплитуде треугольных импульсов,
действующих на входе нелинейного элемента, покажем вычисление данного интеграла для нелинейности вида «переменный коэффициент усиления», описываемой системой уравнений (5.4).
Получение соотношения рассмотрим для процесса вида
x0 (t ) = xy + H* e −αt cos (βt − ϕ0 ) 1(t ),


который на выходе АИМ, формирующего несимметричные трапецеидальные импульсы, принимает вид
x * (t) =
∞
∑ k1n (t − nT)1(t − nT) − k1n (t − (n + γ 1) )T1(t − (n + γ 1)T )− n =0
−k2n (t − (n + γ 2 )T )1(t − (n + γ 2 )T ) + k2n (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T ) , (5.7)
где k1n
* −αnT
cos (βnT − ϕ0 )
x(nT ) xy + H e
=
=
;
γ1T
γ1T
k2n =
xy + H * e −αnT cos (βnT − ϕ0 )
x(nT )
=
.
( γ − γ2 )T
( γ − γ2 )T
127
Прохождение процесса вида (5.7) через рассматриваемый нелинейный элемент показано на рис. 5.5.
'<Y U
>
'U
 ' U
'Y
' U
 ' U
BSDUHLZ
BSDUHLZ
sC
C
Y
0
U U
U
U
' U
 'U
Y
U
5 U
Y U
Y U
U
U
U
U
U
Рис. 5.5. Прохождение импульсного процесса
через нелинейный элемент
128
U
Предположим, что колебательность программного движения
такова, что переключение нелинейности F (x) происходит в четырех точках: t1, t2, t3, t4, т. е. число моментов переключения
r = 4, тогда
F+0 (nT ) = F−1 (nT ) = ky1x* (t) − ky1x* (t)1(t − t1 );
F+1 (nT ) = F−2 (nT ) = ky2 (x* (t) − b)1(t − t1 ) + ky1b1(t − t1 ) −
−ky2 (x* (t) − b)1(t − t2 ) − ky1b1(t − t2 );
F+2 (nT ) = F−3 (nT ) = ky1x* (t)1(t − t2 ) − ky1x* (t)1(t − t3 );
F+3 (nT ) = F−4 (nT ) = ky2 (x* (t) − b)1(t − t3 ) + ky1b1(t − t3 ) −
−ky2 (x* (t) − b)1(t − t4 ) − ky1b1(t − t4 );
F+4 (nT ) = F−5 (nT ) = ky1x* (t)1(t − t4 ) − ky1x* (t)1(t − t5 ).
Каждое выражение F+ i (nT ) описывает формируемые импульсы в соответствующем интервале времени между переключениями [ti ; ti +1 ] (рис. 5.6).
Тогда функция F [x0* (t)] имеет вид
'<Y U
>
'U
 ' U
' U
 ' U
U U
U
U
U
' U
 'U
Рис. 5.6. Математическая модель процесса на выходе
нелинейного элемента
129
F x0* (t)  = ky1x* (t) − ky1x* (t)1(t − t1 ) +
+ky2 (x* (t) − b)1(t − t1 ) + bky11(t − t1 ) − ky2 (x* (t) − b)1(t − t2 ) −
−bky11(t − t2 ) + ky1x* (t)1(t − t2 ) − ky1x* (t)1(t − t3 ) +
+ky2 (x* (t) − b)1(t − t3 ) + bky11(t − t3 ) − ky2 (x* (t) − b)1(t − t4 ) −
−bky11(t − t4 ) + ky1x* (t)1(t − t4 ) − ky1x* (t)1(t − t5 );
F (x0* (t)) = ky1x* (t) + ky2 (x* (t) − b)[1(t − t1 ) − 1(t − t2 ) +
+1(t − t3 ) − 1(t − t4 )] − ky1 (x* (t) − b)[1(t − t1 ) − 1(t − t2 ) +
+1(t − t3 ) − 1(t − t4 )] − ky1x* (t)1(t − t5 )
или
5−1
5−1
F (x0* (t)) = ky1x* (t) + ky2 x* (t) ∑ (−1) j −11(t − tj ) − ky2b ∑ (−1) j −11(t − tj ) −
j =1
j =1
5
5−1
j =1
j =1
−ky1x* (t)∑ (−1) j −11(t − tj ) + ky1b ∑ (−1) j −11(t − tj ).
Обобщая на случай r переключений, имеем
r −1
F (x0* (t)) = ky1x* (t) + ky2 x* (t) ∑ (−1) j −11(t − tj ) −
j =1
r −1
r
j =1
j =1
−ky2b ∑ (−1) j −11(t − tj ) − ky1 x* (t)∑ (−1) j − 11(t − tj ) +
r −1
r
+ky1b ∑ (−1) j − 11(t − tj ) = ky1x* (t) − ky1x* (t)∑ (−1) j−1 1(t − tj ) +
j =1
j =1
r −1
r −1
j =1
j =1
+ky2 x* (t) ∑ (−1) j −11(t − tj ) − b(ky2 − ky1 ) ∑ (−1) j −11(t − tj )
либо с учетом дискретизации по времени
∞
r
n =0
j =1
F (x0* (t)) = ky1 ∑ x* (t) − ky1 ∑ (−1) j −1
r −1
+ky2 ∑ (−1) j −1
j =1
130
∞
∑ x* (t) +
n =σ j
∞
r −1
∞
n =σ j
j =1
n =σ j
∑ x* (t) −(ky2 − ky1 )b ∑ (−1) j −1 ∑ b,
где σ j = E(tj / T ), здесь символ E – целая часть числа; tj – моменты переключения нелинейной функции F (x0 (t)).
*
Далее вычисляем интеграл Bqi
согласно методике, приведенной в работах [1, 92]:
∞
  ∞
*
= ∫ Di  F  ∑ k1n (t − nT )1(t − nT ) −
Bqi
 n =0
0
−k1n (t − (n + γ1 )T )1(t − (n + γ1 )T ) − k2n (t − (n + γ 2 )T )×
  −ρ t
×1(t − (n + γ2 )T ) + k2n (t − (n + γ)T )1(t − (n + γ)T ) e q dt = Bq* ρiq ,
 
i = 0, 1, ..., u; q = 1, 2, ..., m,
(5.8)
где
r

Bq* = N ky1 A q − ky1 ∑ (−1) j −1 (Vj + H * Mj ) +

j =1
r −1
r −1
j =1
j =1
+ky2 ∑ (−1) j −1 (Vj + H * Mj ) − b(ky2 − ky1 ) ∑ (−1) j −1
e
−ρq σ jT
ρq

,

здесь
N=
A q =
xy
1− e
−ρqT
1− e
+ H*
−ρq γ1T
ρ2q γ1T
e
−2( α+ρq )T
e
-( α +ρq )Tσ j
Mj =
e
−ρq γ2T
+e
−ρq γT
ρ2qT ( γ − γ2 )
cos ϕ0 − e
−2( α+ρq )T
Vj =
e
−
− 2e
;
− ( α+ρq )T
− ( α+ρq )T
cos(βT + ϕ0 )
cos βT + 1
;
−ρqTσ j
xy e
1− e
−ρqT
;
cos(βT (σ j -1) + ϕ0 )
.
cos β T + 1
-( α +ρq )T ( σ j +1)
cos(βTσ j - ϕ0 ) - e
-2( α +ρq )T
e
-( α +ρq )T
- 2e
Если в выражении (5.8) ky1 положить равным нулю, то получим рекуррентное аналитическое соотношение, определяющее
интеграл Bq* для нелинейности вида «зона нечувствительности»
131
r −1
r −1
j =1
j =1
Bq* = Nky2 ∑ (−1) j −1 (Vj + H * Mj ) − bky2 ∑ (−1) j −1
e
−ρq σ jT
.
ρq
Если в выражении (5.8) ky2 положить равным нулю, то получим рекуррентное аналитическое соотношение, определяющее
интеграл Bq* для нелинейности вида «ограничение»:
−ρ σ T
r
r −1


e q j
Bq* = N  ky1 A q − ky1 ∑ (−1) j −1 (Vj + H * Mj )  − b(−ky1 ) ∑ (−1) j −1
.


ρq
j =1
j =1


*
Аналогично изложенному выше определены интегралы Bqi
для частных случаев трапецеидального импульса, формируемого АИМ. Проведенные вычисления показывают, что различие
в полученных соотношениях связано с переменной N, значение
которой для различных видов треугольных импульсов приведено в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Аналитические рекуррентные выражения,
*
определяющие интегралы Bqi
для частных случаев
трапецеидальных импульсов, формируемых АИМ
Выражение,
определяющее N
Вид импульса, формируемого АИМ
Симметричный
трапецеидальный импульс
Несимметричный
трапецеидальный импульс
Трапецеидальный импульс
с вертикальным фронтом
Трапецеидальный импульс
с вертикальным срезом
132
1− e
−ρq γ1T
−ρ γ T
−e q 2 +e
γ1Tρ2q
−ρq γT
−ρq γ2T
−ρ γT 
1 − e −ρq γ1T
−e q 

−e
2
( γ − γ2 )Tρ2q 
 γ1Tρq
ρq ( γ − γ2 )T − e
−ρq γ2T
+e
−ρq γT
( γ − γ2 )Tρ2q
1− e
−ρq γ1T
− γ1Tρq e
γ1Tρ2q
−ρq γ2T
Полученные аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина для САУ, содержащих АИМ, формирующих
трапецеидальные импульсы различных видов, позволили распространить обобщенный метод Галеркина на системы управления рассматриваемого класса.
5.3. Доказательство предельных переходов
рекуррентных аналитических соотношений
Покажем предельный переход при γ1 → 0 и γ → γ 2 от соотношений Aq* и Cq* , полученных для АИМ, формирующего
последовательность модулированных по амплитуде несимметричных трапеций (как наиболее общего случая) к аналогичным соотношениям для АИМ, формирующих последовательность импульсов в виде симметричных трапеций, трапеций с
вертикальным фронтом и вертикальным срезом частного вида
трапеции.
Так, если γ1 → 0, то модулятор формирует на выходе трапеции с вертикальным фронтом, следовательно:
$R

 MJN

  F 

)
)
  5
  5
 5
 F R 
F R  F R 5
   5
R5
 
R

Введем следующие обозначения: .  )  F
  F
R5

R тогда
Cq*
 N = γ T ×
1
примет вид
MJN .
$R 
R 5
 
MJN /

)
  5
 5
F R  F R    5
 
  F 
R5
R
Однако предел функций M и N при γ1 → 0 равен нулю, т. е.
возникает неопределенность, которую можно раскрыть с помощью правила Лопиталя [90, 91], рассматривая предельное отношение первых производных от M и N :
lim M ′ = lim HTρq e
γ1 →0
γ1 →0
−ρq γ1T


= HTρq ; MJN /   5  F R5 R  
Таким образом:
133
)
  5
 5
F R  F R    5
MJN . 
$R 
 

MJN / 

 F
 


)R
R  F
R5



R5
R

)
  5
 5
F R  F R    5

 F
R5

R
Окончательно получаем
Cq* =
H(ρq ( γ − γ2 )T − e
−ρq γ2T
+e
−ρqT
)ρ2q
( γ − γ2 )T (1 − e
−ρq γT
)
,
что и требовалось доказать.
Если γ → γ2 , то модулятор формирует последовательность
трапеций с вертикальным срезом, следовательно:
)
)
  5
  5
 5
 F R 
F R  F R 



5
5
 
$R  MJN  5

 F R R



Введем
следующие
(
-ρqT
N = (γ - γ2 )´T 1 - e

)ρ ,
2
q
R 5
F
R 5

тогда Cq* примет вид



 5   F

)  F
$R

.) F
обозначения:
R 5
R5
R
MJN .


MJN /

Однако предел функций M и N при γ1 → 0 равен нулю, следовательно, необходимо рассмотреть предел отношения первых
производных данных функций
lim M ′ = lim HTρq e
γ→γ2
−ρq γT
γ→γ2
= HTρq e
−ρq γ2T
(
-ρqT
; lim N ¢ = T 1 - e
γ ® γ2
)ρ .
2
q
Таким образом:
(
) - lim M ¢ = H(1- e - γ Tρ e
=
)ρ
γ T (1 - e
γ T (1 - e
)ρ lim N ¢
-ρq γ1T
Cq*
H 1- e
1
-ρqT
γ ® γ2
2
q
γ ® γ2
что и требовалось доказать.
134
-ρq γ1T
1
q
1
-ρqT 2
q
-ρq γ2T
)
,
Наконец, при γ1 → 0 и γ → γ 2 АИМ формирует последовательность модулированных по амплитуде прямоугольных импульсов. Используя результаты, полученные выше:
$R
 MJN

  F 

)
)
  5
  5
 5
 F R 
F R  F R 5
   5
R5
 

R



   F

)  F
R
R 5
R5
что соответствует рекуррентному аналитическому выражению,
определяющему данный интеграл [3, 4].
Аналогично изложенному выше покажем предельный переход от соотношений Aq* , полученных для модулятора, формирующего последовательность импульсов в виде несимметричной
трапеции, к соотношению, определяющему интеграл Галеркина
для АИМ, который при γ1 → 0 формирует на выходе трапеции с
вертикальным фронтом:
−ρq γ2T
−ρ γT 
1 − e −ρq γ1T
− e q  A * .
−e
Aq* = lim 
q
2
γ1 →0  γ Tρ
( γ − γ2 )Tρ2q 
 1 q

Введем обозначения .   F
R 5
 и N = γ Tρ , тогда
1
2
q
 lim M
−ρ γ T
−ρ γT 
(e q 2 − e q )   *
γ →0
Aq* =  1
Aq .
−
 lim N
(γ − γ2 )Tρ2q 
 γ →0
 1

Поскольку предел функций M и N при γ1 → 0 равен нулю, то
для определения предела необходимо рассмотреть предел первых
производных от M и N:
lim M ′ = lim ρq e
γ1 →0
γ1 →0
−ρq γ1T
= Tρq ; lim N ′ = Tρ2q .
γ1 →0
В результате
 Tρ (γ − γ ) − e −ρq γ2T + e −ρq γT
q
2
Aq* = 

(γ − γ2 )Tρ2q


 A q* ,


что и требовалось доказать.
При γ → γ 2 модулятор формирует последовательность трапеций с вертикальным срезом, следовательно:
135
−ρq γ2T
−ρ γT 
1 − e −ρq γ1T
− e q  A * .
−e
Aq* = lim 
q
2
γ→γ2  γ Tρ
( γ − γ2 )Tρ2q 
 1 q
Введем обозначения M = e
−ρq γ2T
−e
−ρq γT
, N = (γ − γ2 )Tρ2q , тогда

lim M 
−ρ γ T
(1 − e q 1 ) γ→γ2   *
Aq* = 
Aq .
−
 γ Tρ2
lim N 

1
q
γ→γ2


Предел функций M и N при γ → γ 2 равен нулю, тогда, используя правило Лопиталя, получаем
lim M ′ = lim (−ρqTe
γ→γ2
−ρq γT
γ→γ2
) = −ρqTe
−ρq γ2T
; lim N ′ = −Tρ2q ,
γ→γ2
окончательно
Aq*
 (1 − e −ρq γ1T ) ρ Te −ρq γ2T
q

=
−
 γ1Tρ2q
Tρ2q


 1 − e −ρq γ1T − ρ e −ρq γ2T
q
 A q* = 
2


γ1Tρq



 A q* ,


что и требовалось доказать.
Наконец, при γ1 → 0 и γ → γ 2 АИМ формирует последовательность модулированных по амплитуде прямоугольных импульсов. Используя результаты, полученные выше, имеем
Aq* = lim Aq*несимметр =
γ1 →0
γ→γ2
1 − e
= lim 
γ1 →0  γ Tρ2
 1 q
γ→γ
−ρq γ1T
2
−e
−ρq γ2T
−ρ γT
−e q
( γ − γ2 )Tρ2q
−ρq γ2T 


 A q* = 1 − e
 A ,
ρq



что соответствует интегралу Галеркина, приведенному в работах
[3, 4].
Рассмотрим предельный переход при γ1 → 0 и γ → γ1 от соотношений Aq* и Cq* , полученных для АИМ, формирующего последовательность модулированных по амплитуде несимметричных
треугольных импульсов (общий случай) к аналогичным соотношениям для АИМ, формирующих последовательность импульсов в виде симметричных треугольников, треугольников с вертикальным фронтом и вертикальным срезом.
136
При γ1 → 0 АИМ формирует последовательность треугольных
импульсов с вертикальным фронтом, следовательно:
)
)
)
  5
 5

F R 
F R
5 5    
   5
$R  MJN
  F 
R5
 
R
Введем следующие обозначения:

.      F
тогда
R 5
  F
R 5
 N = γ T(γ − γ ),
1
1
lim M
Cq* =
H
.
lim N 1 - e-ρqT ρ2
q
γ ®0
γ1 ®0
1
(
)
Поскольку предел функции M и N при γ1 → 0 равен нулю,
используем правило Лопиталя и рассматриваем предел первых
производных данных функций
(
-ρq γ1T
lim M ¢ = lim -1 + ρq γTe
γ1 ®0
γ1 ®0
-ρq γT
+e
) = ρ γT + e
-ρq γT
q
-1;
lim N ′ = γT − 2γ1 = γT.
γ1 →0
Таким образом:
$R

R 5  F
R 5
5

)
  F 
R5
R
что и требовалось доказать.
Если γ → γ1, то на выходе АИМ формируется последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов с
вертикальным срезом
$R  MJN

)
)
)
  5
 5

F R 
F R
5 5    



5
 
  F 
R5
R
либо с использованием принятых выше обозначений
137
MJN .
$R 
 
)

MJN /  F
 
R5

R
Предел функции M и N при γ → γ1 равен нулю, тогда рассматриваем
(
-ρq γ1T
lim M ¢ = lim 1 - e
γ ® γ1
γ ® γ1
-ρq γT
- ρq γ1Te
) = 1- e
-ρq γ1T
-ρq γ1T
- ρq γ1Te
;
lim N ′ = γ1T.
γ→γ1
Таким образом:
$R

 F
R 5
 R 5F
R 5
5
)
  F 
R5
R
что и требовалось доказать.
Аналогичный подход применим для соотношений Aq* .
При γ1 → 0 АИМ формирует последовательность треугольных
импульсов с вертикальным фронтом, следовательно:

−ρq γT 
−ρ γ T
 γ − γ1 − γe q 1 − γ1e
 *
Aq* = lim Aq*несимметр = lim 
 Aq .
2
γ1 →0
γ1 →0
T
(
)
γ
γ
−
γ
ρ


1
1
q
Введем следующие обозначения:
тогда

.      F
R 5
  F
R 5
lim M
Aq* =
γ1 →0
lim N
 N = γ Tρ (γ − γ ),
1
2
q
1
A q* .
γ1 →0
Поскольку предел функции M и N при γ1 → 0 равен нулю,
используем правило Лопиталя и рассматриваем предел первых
производных функций

MJN .   MJN   R 5F
 
 
R 5
F
R 5
   5  F
R
lim N ′ = ρ2q γT − 2γ1ρ2qT = ρ2q γT.
γ1 →0
138
R 5
 Таким образом:
Aq*
 Tρ γ + e −ρq γT − 1 
q
 A q* ,
=
2


γTρq


что и требовалось доказать
Если γ → γ1, то на выходе АИМ формируется последовательность модулированных по амплитуде треугольных импульсов с
вертикальным срезом
 γ − γ − γe −ρq γ1T − γ e −ρq γT 
1
1
 A q*
Aq* = lim Aq*несимметр = lim 
2
γ→γ1
γ→γ1 
(
)
T
γ
γ
−
γ
ρ

q
1
1

либо с использованием принятых выше обозначений
lim M
Aq* =
γ→γ1
lim N
A q* .
γ→γ1
Предел функции M и N при γ → γ1 равен нулю, следовательно, рассматриваем
(
-ρq γ1T
lim M ¢ = lim 1 - e
γ ® γ1
γ ® γ1
-ρq γT
- ρq γ1Te
) = 1- e
-ρq γ1T
-ρq γ1T
- ρq γ1Te
;
lim N ′ = γ1Tρ2q .
γ→γ1
Таким образом:
Aq*
=
1− e
−ρq γ1T
− ρq γ1Te
γ1Tρ2q
−ρq γ1T
A q* ,
что и требовалось доказать.
5.4. Примеры решения задачи параметрического синтеза САУ,
содержащих АИМ, формирующие последовательности
модулированных по амплитуде треугольных и
трапецеидальных импульсов
Пример 1. В качестве примера решения задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, формирующим несимметричные
треугольные импульсы, обобщенным методом Галеркина рас139
смотрим систему управления, структурная схема которой приведена на рис. 5.7.
В соответствии с общей схемой решения поставленной задачи
обобщенным методом Галеркина, изложенной выше, формируем
невязку


  Y U  5 Q  Q   L  G U 5 Q  Q  а из условия ортогональности невязки координатным функциям
получаем следующую систему уравнений:
T1 A1ρ + A1 + A1* k − T1C1ρ − C1 = 0
,

*
T1 A2ρ + A2 + A2 k − T1C2ρ − C2 = 0
(5.9)
где A1, A2 , A1∗ , A2∗ , C1 , C2 – интегралы Галеркина, определяемые
соотношениями, приведенными выше. Решая полученную систему уравнений относительно варьируемых параметров T1, k,
определяем их значения.
В числовых примерах, приведенных ниже, полученное решение анализировалось с помощью пакета Matlab Simulink. Анализ
динамических свойств САУ с синтезированными параметрами
проводился с использованием разработанных авторами моделей
АИМ [85 – 88].
Импульсы, формируемые АИМ, имеют следующие характеристики: период прерывания T = 0,01; коэффициенты
γ1 = 0,3, γ = 0,8. Заданные показатели качества переходного процесса: время переходного процесса Tп.п = 1,0 c и перерегулирование σm = 0,36.
В результате решения системы уравнений (5.9) для рассматриваемого АИМ были определены значения варьируемых параметров T1 = 0,119 с; k = 49,419, которые обеспечивают в системе
процесс, показанный на рис. 5.8.
Из графика видно, что рассчитанные параметры обеспечивают в САУ переходный процесс ( σm = 0,366, Tп.п = 0,78 c ), удовлетворяющий заданным показателям качества.
G U
Y U
L
[U
Q 5Q Рис. 5.7. Структурная схема синтезируемой САУ
140
UD
ÈÉǼɹÅÅÆǾ½»Á¿¾ÆÁ¾
½»Á¿¾ÆÁ¾ÊɹÊÊÐÁ˹ÆÆÔÅÁȹɹžËɹÅÁ
Рис. 5.8. Переходные процессы в синтезируемой САУ
Пример 2. В качестве примера решения задачи параметрического синтеза САУ, содержащей нелинейный элемент с характеристикой вида «ограничение» и АИМ, формирующим несимметричные трапециевидные импульсы, обобщенным методом
Галеркина рассмотрим систему управления, структурная схема
которой приведена на рис. 5.9.
В соответствии с общей схемой решения поставленной задачи
обобщенным методом Галеркина, изложенной выше, формируем
невязку






  Y U  5Q  Q  L' Y U   G U
5Q  Q а из условия ортогональности невязки координатным функциям
получаем следующую систему уравнений:
*
TA1ρ1 + A1 + B1 k − TC1ρ1 − C1 = 0
,

*
TA2ρ2 + A2 + B2 k − TC2ρ2 − C2 = 0
G U
Y U
L
(5.10)
[ U
Q 5Q Рис. 5.9. Структурная схема нелинейной САУ с АИМ,
формирующим трапецеидальные импульсы
141
где A1, A2 , A1∗ , A2∗ , B1∗ , B2∗ , C1, C2 – интегралы Галеркина, определяемые соотношениями, приведенными выше. Решая полученную систему уравнений относительно варьируемых параметров
T1, k, определяем их значения.
Импульсы, формируемые АИМ, имеют следующие характеристики: период прерывания T = 0,01; коэффициенты
γ1 = 0,1, γ2 = 0,5, γ = 0,8. Заданные показатели качества переходного процесса: время переходного процесса Tп.п = 0,6 c и перерегулирование σm = 0,3.
В результате решения системы уравнений (5.10) для рассматриваемого АИМ были определены значения варьируемых параметров T1 = 0,067 с; k = 45,208 , которые обеспечивают в системе
процесс, показанный на рис. 5.10.
Из графика видно, что рассчитанные параметры обеспечивают в САУ переходный процесс ( σm = 0,273, Tп.п = 0,41 c ) удовлетворяющий заданным показателям качества.
Пример 3. В качестве примера, позволяющего оценить влияние формы трапецеидального импульса на динамические свойства САУ, рассмотрим систему, структура которой приведена на
рис. 5.7.
Полагаем, что модулятор формирует последовательность симметричных импульсов трапецеидальной формы с периодом квантования 0,01 с и длительностью ti = 0,0095 c.
UD
ÈÉǼɹÅÅÆǾ½»Á¿¾ÆÁ¾
½»Á¿¾ÆÁ¾ÊɹÊÊÐÁ˹ÆÆÔÅÁȹɹžËɹÅÁ
Рис. 5.10. Переходные процессы в синтезируемой САУ при ti = 0,0095 с
142
Результаты математического моделирования показаны на
рис. 5.11. Из приведенных графиков видно, что отклонение фора)
б)
UD
UD
º¾ÀÅǽÌÄØÏÁÁ
ÈÉØÅÇ̼ÇÄÕÆÔ™¡¥
ËɹȾϾÁ½¹ÄÕÆÔ™¡¥½ÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÕÍÉÇÆËÇ»
ËɹȾϾÁ½¹ÄÕÆÔ™¡¥½ÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÕÍÉÇÆËÇ»
ËɹȾϾÁ½¹ÄÕÆÔ™¡¥½ÄÁ˾ÄÕÆÇÊËÕÍÉÇÆËÇ»
Рис. 5.11. Переходные процессы в САУ с АИМ,
формирующим последовательность симметричных
трапецеидальных импульсов: а – при Т = 0,01 с; б – при Т = 0,1 с
143
мы импульса от прямоугольной, моделируемой идеальным АИМ
с экстраполятором нулевого порядка, существенно сказывается
на качестве переходного процесса.
В табл. 5.3 представлены количественные оценки качественных параметров, характеризующие динамические свойства САУ.
Как показывает проведенный анализ, с увеличением ti% (характеризует степень отклонения формы импульса от прямоугольника) уменьшается перерегулирование и быстродействие САУ, что
полностью согласуется с основами физики функционирования
рассматриваемой системы, так же как и с основными положениями теории импульсных и дискретных систем управления.
Таблица 5.3
Сводная таблица характеристик переходных процессов в исследуемой
системе автоматического управления при k = 100
Форма
импульса
Прямоугольный
Т, с
ti%,
%
0
5
0,01
Трапециевидный
10
15
Прямоугольный
0
5
0,1
Трапециевидный
10
15
tп.п ,
с
tп.п%,
σ,
%
σ%,
%
tд ,
с
tд%,
%
0,115
0,111
0,093
0,091
1,04
0,99
0,975
0,92
0
–3,47
–19,13
20,86
0
–4,8
–6,25
–11,53
40
37
34,2
31,5
75,2
73,9
72,5
70,9
0
–2,14
–4,14
–6,07
0
–0,74
–1,54
–2,45
0,0205
0,0215
0,0225
0,0235
0,054
0,056
0,058
0,06
0
+4,87
+9,75
+14,63
0
+3,7
+7,4
+11,1
с
Полученные результаты показывают, что при синтезе САУ задачу получения требуемой динамики можно решать, не только
разрабатывая соответствующий регулятор, но и изменяя характеристики модулятора. Данное обстоятельство представляется
крайне важным, поскольку дает возможность проектировщику
решать задачу придания системе управления требуемых динамических свойств, выбирая более рациональный способ.
144
6. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В данном разделе рассматривается применение обобщенного
метода Галеркина, разработанных на его основе алгоритмов и
программ для решения прикладных задач синтеза закона управления автономной ЭЭУ, предназначенной для электроснабжения
переменным током стабильной частоты и представляющей собой
многосвязную систему автоматического управления.
6.1. Решение задачи синтеза автономной ЭЭУ
Структурная схема математической модели ЭЭУ показана на
рис. 6.1, из которого видно, что данная САУ представляет собой
двусвязную систему автоматического регулирования частоты и
напряжения синхронного генератора, приводимого регулируемым двигателем соизмеримой мощности без корректора частоты.
Динамические звенья МСАУ описываются следующим образом.
Уравнение, описывающее динамические свойства приводного
двигателя, имеет вид
(R + Tм p )ν (t ) = σ (t ) + gν (t ) − 2uг (t )
либо в виде передаточной функции
Wм ( p ) =
1
,
(1 + Tм p )
где Tм =1 с – постоянная времени приводного двигателя; R = 1 – коэффициент самовыравнивания агрегата; σν(t) – сигнал на выходе
регулятора скорости; gν(t) – внешнее возмущающее воздействие
в канале изменения частоты, действующее на приводной двигатель; uг(t) – напряжение на выходе ЭЭУ; ν(t) – скорость вращения
приводного двигателя (частота напряжения на выходе ЭЭУ).
Уравнение регулятора скорости вращения приводного двигателя
(1 + Tν3 p )(1 + Tν4 p )(1 + Tν5 p )σ (t ) = kν (1 + Tν1 p )(1 + Tν2 p )∆ν (t ),
где Tν1, Tν2, Tν3, Tν4, Tν5, kν – постоянные времени и коэффициент
передачи регулятора скорости вращения приводного двигателя;
Δν(t)= ν0(t) – ν(t) – относительное изменение скорости вращения
приводного двигателя, здесь ν0(t) – заданное значение скорости
(частоты напряжения на выходе установки).
145
146
V¼


V¼


5ÇÊ Q
 5ÇÊ Q
  5V Q   5V Q 
LV   5V Q 
V»»
 5» Q
  5 Q   5 Q   5 Q 
L   5 Q   5 Q 
V»


 5» Q
  
  5» Q 
HV U 

5Å Q  Рис. 6.1. Структурная схема математической модели ЭЭУ

H U 
V¼

Таким образом, передаточная функция регулятора скорости
kν (1 + Tν1 p)(1 + Tν2 p)
.
вращения имеет вид Wр.с ( p ) =
(1 + Tν3 p)(1 + Tν 4 p)(1 + Tν5 p)
Уравнение, описывающее динамические свойства синхронного генератора:
(1 + Tв1 p )uг (t ) = uв (t ) + (1 − γ )(1 + Tв2 p )ν (t ) + gu (t ),
где Tв1=0,5 с; Tв2=0,01 с – постоянные времени синхронного генератора, обусловленные индуктивностью цепи возбуждения и
реакцией якоря; (1–γ) = 0,8 – коэффициент, характеризующий
режим работы синхронного генератора; uв(t) – напряжение на зажимах возбудителя; gu(t) – внешнее возмущающее воздействие
в канале регулирования напряжения, действующее на синхронный генератор.
Уравнение, описывающее динамические процессы в возбудителе:
(1 + Tв p )uв (t )=uв.в (t )
1
,
1
+
( Tв p )
где Tв=0,01 с – постоянная времени возбудителя; uв.в(t) – напряжение на обмотке возбуждения возбудителя.
Передаточная функция регулятора напряжения
либо в виде передаточной функции W ( p ) =
Wр.н ( p ) =
ku (1 + Tu1 p )
,
+
1
( Tu2 p )(1 + Tu3 p )
где Tu1, Tu2, Tu3, ku – постоянные времени и коэффициент передачи регулятора напряжения ЭЭУ.
Канал регулирования напряжения ЭЭУ дополнен гибкой отрицательной обратной связью (ГОС) по напряжению, имеющей
передаточную функцию вида
WГОС ( p ) =
Tо.с1 p
,
(1 + Tо.с2 p )
где Tо.с1, Tо.с2 – постоянные времени звена коррекции в цепи гибкой обратной связи.
На основе уравнений, описывающих динамику отдельных
звеньев, входящих в состав исследуемой ЭЭУ, получена следующая система дифференциальных уравнений, определяющая ди147
намические процессы в системе регулирования, как многосвязной линейной САУ:
 (kν + 1) + kν (Tν1 + Tν2 ) + Tν3 + Tν4 + Tν5 + Tм  p +



+ k T T + T T + T T + (T + T )(T + T ) p 2 +
ν3
ν4
ν5
м 
  ν ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 м
3
+ T T (T + T ) + T T (T + T ) p + T T T T p 4  ν (t ) +
ν5 м
ν3
ν4 
ν 3 ν 4 ν5 м

  ν 3 ν 4 ν5 м
 
+2 1 + (Tν3 + Tν4 + Tν5 + Tм ) p + Tν3Tν4 + Tν5Tм + (Tν3 + Tν4 )(Tν5 + Tм ) ×
 2
3
4
× p + Tν3Tν4 (Tν5 + Tм ) + Tν5Tм (Tν3 + Tν4 ) p + Tν3Tν4Tν5Tм p  u г (t ) =

2
= kν 1 + (Tν1 + Tν2 ) p + Tν1Tν2 p  ν 0 (t );

 (1 − γ ) + (1 − γ )(Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 + Tв2 ) p + (1 − γ )×

× (Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + kuTо.с1Tu1 + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ))+ Tв2 ×
 
× (Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 ) p 2 + (1 − γ )(Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв ×



× (T + T ) + T T T T )+ T (T T + T T + (T + T )×
о.с2 u2 u3 в
в2
о.с2 u2
u3 в
о.с2
u2
 о.с2 u2

3
× (Tu3 + Tв ) + kuTо.с1Tв  p + (1 − γ )[Tо.с2Tu2Tu3T + Tв2 Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) +

4
5
+Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 )) p + (1 − γ )Tо.с2Tu2Tu3TвTв2 p  ν (t ) +

+ (ku + 1) + (Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + ku (Tо.с1 + Tо.с2 + Tu1 + Tв ) + Tв1 )p +

+ (Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + kuTо.с1Tu1 + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ))+ Tв1 ×
 
× (Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 ) + ku (Tо.с2Tu1 + Tо.с2Tв + Tu1Tв ) p 2 +


+ (T T (T + T ) + T T (T + T ) + T T T T )+
u3 в
о.с2
u2
о.с2 u2 u3 в
  о.с2 u2 u3 в
+T T T + T T + (T + T )(T + T ) + k T (T + T T )  p 3 +
о.с2
u2
u3
в
u в
о.с1
о.с2 u1 )
 в1 ( о.с2 u2 u3 в
 
 4
+ Tо.с2Tu2Tu3Tв + Tв1 (Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 )) p +

5
+ Tо.с2Tu2Tu3TвTв1 p  u г (t ) = ku 1 + (Tо.с2 + Tu1 + Tв ) p +

+ T T + T T + T T p 2 + Tо.с2Tu1Tв p 3  u г0 (t ).
 ( о.с2 u1 о.с2 в u1 в )
Для решения задачи синтеза параметров звеньев коррекции
обобщенным методом Галеркина представим полученную систему уравнений в общем виде
148
Q11 (c k, D )ν (t ) + Q12 (c k, D )u г (t ) = S11 (c k, D )ν 0 (t )
,

Q21 (c k, D )ν (t ) + Q22 (c k, D )u г (t ) = S22 (c k, D )u г0 (t )
где
4
4
i =0
i =0
2
5
i =0
i =0
5
3
i =0
i =0
Q11 (ck , D ) = ∑ a11i (ck )Di ; Q12 (ck , D ) = ∑ a12i (ck )Di ;
S11 (ck , D ) = ∑ e11i (ck )Di ; Q21 (ck , D ) = ∑ a21i (ck )Di ;
Q22 (ck , p ) = ∑ a22i (ck )pi ; S22 (ck , D ) = ∑ e22i (ck )Di ;
здесь
a110 = kν + 1;
a111 = kν (Tν1 + Tν2 ) + Tν3 + Tν4 + Tν5 + Tм ;
a112 = kνTν1Tν2 + Tν3Tν4 + Tν5Tм + (Tν3 + Tν4 )(Tν5 + Tм );
a113 = Tν3Tν4 (Tν5 + Tм ) + Tν5Tм (Tν3 + Tν4 );
a114 = Tν3Tν4Tν5Tм ;
a120 = 2;
a121 = 2 (Tν3 + Tν4 + Tν5 + Tм );
a122 = 2 Tν3Tν4 + Tν5Tм + (Tν3 + Tν4 )(Tν5 + Tм ) ;
a123 = 2 Tν3Tν4 (Tν5 + Tм ) + Tν5Tм (Tν3 + Tν4 ) ;
a124 = 2Tν3Tν4Tν5Tм ;
e110 = kν ;
e111 = kν (Tν1 + Tν2 );
e112 = kνTν1Tν2;
a210 = (1 − γ );
a211 = (1 − γ )(Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 + Tв2 );
a212 = (1 − γ )(Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + kuTо.с1Tu1 + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ))+
+Tв2 (Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 ) ;
149
a213 = (1 - γ )éê(Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 ) + Tо.с2Tu2Tu3Tв )+
ë
+Tв2 (Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ) + kuTо.с1Tв )ùú ;
û
a214 = (1 - γ )êéTо.с2Tu2Tu3T + Tв2 (Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 ))ùú ;
ë
û
a215 = (1 - γ )Tо.с2Tu2Tu3TвTв2 ;
a220 = ku + 1;
a221 = Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + Tв1 + ku (Tо.с1 + Tо.с2 + Tu1 + Tв );
a222 = éê(Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + kuTо.с1Tu1 + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ))+
ë
+Tв1 (Tо.с2 + Tu2 + Tu3 + Tв + kuTо.с1 ) + ku (Tо.с2Tu1 + Tо.с2Tв + Tu1Tв )ùû ;
a223 = éê(Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 ) + Tо.с2Tu2Tu3Tв )+
ë
+Tв1 (Tо.с2Tu2 + Tu3Tв + (Tо.с2 + Tu2 )(Tu3 + Tв ) + kuTв (Tо.с1 + Tо.с2Tu1 ))ùú ;
û
é
ù
a224 = êTо.с2Tu2Tu3Tв + Tв1 (Tо.с2Tu2 (Tu3 + Tв ) + Tu3Tв (Tо.с2 + Tu2 ))ú ;
ë
û
a225 = Tо.с2Tu2Tu3TвTв1 ;
e220 = ku ;
e221 = ku (Tо.с2 + Tu1 + Tв );
e222 = ku (Tо.с2Tu1 + Tо.с2Tв + Tu1Tв );
e223 = kuTо.с2Tu1Tв .
Таким образом, для решения поставленной задачи требуется
определить значения 12 варьируемых параметров, а именно: Tν1,
Tν2, Tν3, Tν4, Tν5, kν, Tu1, Tu2, Tu3, ku, Tос1, Tос2, обеспечивающих
в синтезируемой МСАУ следующие показатели качества переходных процессов по напряжению и частоте: время переходного
процесса как по напряжению, так и по частоте не должно превышать 0,5 с; переходной процесс по напряжению должен иметь
экспоненциальный характер, а величина перерегулирования
в процессе изменения частоты (скорости вращения приводного
двигателя) не должна превышать 10%.
Исходя из требуемых показателей качества переходных процессов, на основании подхода, изложенного выше, определим
параметры желаемых программных движений:
– коэффициент затухания процессов α =
3÷4
= 6 ÷ 8;
Tп.п
– собственная частота колебаний скорости приводного двигателя и начальный фазовый сдвиг
150
β = αµ = (6 ÷ 8 )⋅ 1,6 = 9,6 ÷ 12,8 рад / с,
где µ=1,6 – колебательность процесса, которой соответствует перерегулирование 10%;
1
 1 
ϕ 0 = arctg   = arctg 
 = 0,558 рад,
 1,6 
µ
H* = 1 +
1
µ2
= 1+
1
1,62
=1,179 рад / с.
В результате желаемые программные движения в МСАУ ЭЭУ
будут
ν0 (t ) = ν у − H ∗ cos (βt − ϕ0 )e −α t 1(t ) =
= 1 − 1,179cos (9,8 t− 0,558 )e −7t  1(t );




V¼ U   V¼Ì  F  U U    F  U U 
При решении задачи параметрического синтеза ЭЭУ были
получены значения искомых параметров, представленные
в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Значения варьируемых параметров ЭЭУ
Регулятор частоты
Регулятор напряжения
kν Tν1, с Tν2, с Tν3, с Tν4, с Tν5, с ku
Tu1
Tu2
Tu3
ГОС
Tо.с1 Tо.с2
340 2,53 0,15 1,751 0,0054 3,0 170 0,01 0,001 0,005 0,037 0,31
Моделирование процессов в математической модели ЭЭУ
проводилось как в нормальных режимах, так и в анормальных.
Структурная схема вычислительной модели, выполненная в программном комплексе Matlab Simulink, показана на рис. 6.2.
В качестве внешних входных управляющих и возмущающих
воздействий рассматриваются ступенчатые функции. Структура
вычислительной модели получена путем эквивалентных преобразований структурной схемы математической модели ЭЭУ (см.
рис. 6.1) с учетом особенностей применяемого для моделирования прикладного программного обеспечения.
151
152
4UFQ
4UFQ
4UFQ
4UFQ
HV U
V ¼
H ν U
υ
T T T
T
T T T T T T T
T Рис. 6.2. Структурная схема вычислительной модели ЭЭУ
в прикладной среде Matlab Simulink
T V¼
υ
4DPQF
Результаты моделирования динамических процессов изменения напряжения и частоты в МСАУ ЭЭУ при двух одновременно
действующих на входах единичных скачкообразных ступенчатых воздействиях показаны на рис. 6.3.
а)
s
б)
UD
UD
Рис. 6.3. Процессы изменения частоты (1) и напряжения (2)
ЭЭУ в нормальном режиме работы при времени интегрирования
10 с (а) и 1 с (б)
153
Как видно из рисунков, процессы в ЭЭУ с синтезированными
параметрами имеют показатели качества, соответствующие заданным.
6.2. Определение амплитуд возмущающих воздействий
для моделирования анормальных режимов работы ЭЭУ
Для моделирования анормальных режимов работы требуется
подавать внешние возмущающие воздействия определенной амплитуды на входы приводного двигателя (канал регулирования
частоты), что соответствует изменению напряжения управления
исполнительного двигателя, и синхронного генератора (канал
регулирования напряжения), что соответствует изменению напряжения возбудителя. Для оценки требуемых величин внешних возмущающих воздействий был проведен анализ процессов
изменения сигналов на входах приводного двигателя, поступающего с регулятора скорости вращения, и генератора, поступающего от возбудителя (рис. 6.4 и 6.5).
Как видно из рисунков, максимальное отклонение сигнала на
входе приводного двигателя составляет 21 единицу, а на входе
генератора – 11 единиц. Поэтому при моделировании анормальных режимов работы ЭЭУ амплитуда внешних возмущающих
s
UD
Рис. 6.4. Изменение сигналов на входах приводного двигателя (1) и
генератора (2) при времени интегрирования 0,6 с
154
s
UD
Рис. 6.5. Изменение сигнала на входе генератора
при времени интегрирования 0,35 с
воздействий по частоте и напряжению должна изменяться в диапазоне 0,1…10 (значение амплитуды возмущающего воздействия
0,1 соответствует 5% отклонению частоты и 10% отклонению напряжения от заданных значений). Такой, достаточно широкий,
диапазон изменения амплитуды возмущающих воздействий целесообразно применять для исследования анормальных режимов работы, поскольку параметры регуляторов электроэнергетической установки в ходе решения задачи синтеза определялись
из условия приближенного обеспечения заданных показателей
качества работы МСАУ в переходном режиме при нормальной
работе, т. е. при отсутствии возмущений в каналах регулирования.
6.3. Моделирование анормальных режимов работы ЭЭУ
с синтезированными параметрами
Поскольку возмущающие воздействия могут действовать как
по отдельности, так и одновременно, то это обстоятельство учитывалось при исследованиях динамических свойств ЭЭУ в анормальных режимах.
Внешние возмущающие воздействия подавались на входы
генератора и приводного двигателя через 0,5 с после окончания
155
переходных процессов по управляемым координатам системы
регулирования частоты и напряжения (через 1 с после подачи на
входы МСАУ управляющих воздействий).
При подаче на вход синхронного генератора возмущающего
воздействия амплитудой Hu=0,1 (соответствует увеличению напряжения с выхода возбудителя) через 1 с после внешних ступенчатых воздействий (рис. 6.6, а) переходные процессы по частоте
а)
UD
UD
б) Рис. 6.6. Процессы на входах приводного двигателя (1) и
генератора (2) при Hu=0,1 (а) и Hv = 0,1 (б) в увеличенном масштабе
156
и напряжению электроэнергетической установки, представленные на рис. 6.7, а, показывают, что регуляторы полностью компенсируют возмущение в течение 0,5 с. Причем максимальное
отклонение частоты от установившегося значения не превышает
0,02.
При подаче на вход приводного двигателя возмущающего воздействия амплитудой Hν =0,1 (соответствует увеличению напряа)
б)
UD
UD
Рис. 6.7. Процессы на выходах МСАУ при Hu=0,1 (а) и
Hv = 0,1 (б) в увеличенном масштабе: 1 –двигателя; 2 – генератора
157
жения с выхода регулятора скорости вращения) через 1 с после
внешних ступенчатых воздействий (рис. 6.6, б) переходные процессы по частоте и напряжению электроэнергетической установки, представленные на рис. 6.7, б, показывают, что регуляторы
полностью компенсируют возмущение в течение 0,5 с. Причем
максимальное отклонение частоты от установившегося значения
не превышает 0,012.
6.3.1. Анализ динамических свойств ЭЭУ
при внешнем возмущающем воздействии
на входе синхронного генератора
Динамические свойства МСАУ исследовались при подаче
на вход синхронного генератора возмущающего воздействия
gu(t)=Hu1(t) амплитудой Hu=1, 2, 5, 10. Результаты исследований представлены на рис. 6.8 и 6.9.
Показатели качества работы ЭЭУ при возмущающем воздействии на входе синхронного генератора представлены в табл. 6.2.
Анализ динамических свойств МСАУ в данном анормальном режиме работы показывает, что увеличение амплитуды Hu приводит к росту статической ошибки сигнала uг(t), которая, однако, не превышает 0,05 от установившегося значения даже при
Hu = 10.
Таблица 6.2
Показатели качества работы ЭЭУ
при возмущающем воздействии на входе синхронного генератора
Показатель качества
Максимальное
Амплитуда Hu возмуотклонение от
щающего воздействия
установившегося
gu
значения
158
Время
переходного
процесса, с
Статическая
ошибка
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
1
0,02
0,08
–
0,32
–
–
2
0,02
0,165
–
0,55
–
0,02
5
0,035
0,43
0,2
1,2
–
0,02
10
0,055
0,90
0,25
2,5
–
0,05
а)
s
б)
UD
s
UD
Рис. 6.8. Процессы на входах приводного двигателя (1) и
генератора (2) при Hu=0,1 (а) и Hv = 10 (б)
159
Время переходного процесса по напряжению определялось,
как интервал времени, в течение которого сигнал uг(t) на выходе
ЭЭУ отклонялся от установившегося значения более чем на 5%.
Время переходного процесса по частоте определялось, как интервал времени, в течение которого частота отклонялась от установившегося значения более чем на 2%.
Из табл. 6.2 следует, что при внешнем возмущающем воздействии на входе синхронного генератора ЭЭУ с синтезированными
параметрами обеспечивает требуемое качество регулирования в
рассматриваемом анормальном режиме.
6.3.2. Анализ динамических свойств ЭЭУ
при внешнем возмущающем воздействии
на входе приводного двигателя
Динамические свойства МСАУ исследовались при подаче возмущающего воздействия gν(t)=Hν1(t) амплитудой Hν = 1, 2, 5, 10
на приводной двигатель. Результаты исследований представлены на рис. 6.10 и 6.11.
Показатели качества работы ЭЭУ при возмущающем воздействии на приводной двигатель представлены в табл. 6.3. Анализ
динамических свойств МСАУ в данном анормальном режиме
работы показывает, что увеличение амплитуды Hν приводит к
возникновению незначительной статической ошибки по частоте
(0,021 от заданного значения) при Hν = 10. Вместе с тем статичеТаблица 6.3
Показатели качества работы ЭЭУ при возмущающем воздействии
на входе приводного двигателя
Амплитуда Hν
Показатель качества
возмущающего Максимальное
Время
Статическая
воздействия
отклонение от
переходного
ошибка
gν
установившегося
процесса, с
значения
160
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
1
0,021
0,015
0,05
–
–
–
2
0,052
0,015
0,2
–
–
–
5
0,15
0,022
0,38
–
–
–
10
0,3
0,031
0,7
–
0,021
–
а)
s
б)
UD
UD
Рис. 6.9. Процессы на выходах МСАУ при Hu=1 (а) и Hv = 10 (б):
1 – двигателя; 2 – генератора
161
а)
r
б)
r
Рис. 6.10. Процессы на входах приводного двигателя (1) и
генератора (2) при Hν =1 (а) Hν=10 (б)
162
а)
s
б)
UD
s
UD
Рис. 6.11. Процессы на выходах МСАУ при Hu =1 (а) и Hν =10 (б):
1 – двигателя; 2 – генератора
163
ская ошибка в сигнале uг(t) отсутствует, т. е. регуляторы обеспечивают стабильность частоты и напряжения при возмущающем
воздействии на входе приводного двигателя. Поскольку отклонение процесса uг(t) от установившегося значения в процессе регулирования не превышает 5%, то полагаем, что время переходного процесса равно нулю.
Длительность переходного процесса по сигналу ν(t) определялась, как интервал времени, в течение которого частота отклонялась от заданного значения более чем на 2%.
Таким образом, как следует из табл. 6.3, при внешнем возмущающем воздействии на входе приводного двигателя МСАУ
с синтезированными параметрами обеспечивает требуемое качество регулирования в данном анормальном режиме.
6.3.3. Анализ динамических свойств ЭЭУ
при одновременном действии возмущений на входах
синхронного генератора и приводного двигателя
Наиболее сложным случаем для работы регуляторов ЭЭУ
является одновременное действие возмущений по входам приводного двигателя и генератора, т. е. gν(t)=Hν1(t), gu(t)=Hu1(t).
Исследования проводились при нескольких значениях амплитуд внешних возмущающих воздействий Hu=Hν= 1, 2, 5, 10. Результаты моделирования анормальных режимов показаны на
рис. 6.12 и 6.13.
Таблица 6.4
Показатели качества работы ЭЭУ
при возмущающих воздействиях на входах приводного двигателя и
синхронного генератора
Показатель качества
Амплитуды возмущающих воздействий
gν(t), gu(t)
Максимальное
отклонение от
установившегося
значения
Время
переходного
процесса, с
Статическая
ошибка
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
ν(t)
uг(t)
Hν = Hu=1
0,018
0,07
–
0,25
–
–
Hν = Hu=2
0,045
0,17
–
0,55
–
–
Hν = Hu=5
0,13
0,43
0,25
1,0
0,0006
0,019
Hν = Hu=10
0,27
0,88
0,4
1,4
0,0201
0,047
164
а)
s
б)
UD
s
UD
Рис. 6.12. – Процессы на входах приводного двигателя (1) и
генератора (2) при Hν =Hu=1 (а) и Hν =Hu=10 (б)
165
а)
s
б)
UD
UD
Рис. 6.13. Процессы на выходах МСАУ при Hν =Hu=1 (а) и
Hν =Hu=10 (б): 1 – двигателя; 2 – генератора
166
Показатели качества работы ЭЭУ при одновременных возмущающих воздействиях на приводной двигатель и синхронный генератор представлены в табл. 6.4. Анализ динамических свойств
МСАУ в данном анормальном режиме работы показывает, что
увеличение амплитуды возмущений приводит к возникновению
статической ошибки по частоте и напряжению (0,02 и 0,047 от
заданного значения соответственно) при Hν = Hu = 10. При меньших величинах возмущений статические ошибки в каналах регулирования отсутствуют, т. е. регуляторы обеспечивают стабильность частоты и напряжения при одновременных возмущающих
воздействиях на входах приводного двигателя и генератора.
Длительность переходных процессов определялась как интервал
времени, в течение которого отклонение процесса uг(t) от установившегося значения в процессе регулирования превышало 5%, а
процесса ν(t) – 2% от установившегося значения.
Таким образом, при одновременных внешних возмущающих
воздействиях на входах приводного двигателя и синхронного генератора МСАУ с синтезированными параметрами обеспечивает
требуемое качество регулирования в анормальном режиме.
Проведенные исследования математической модели ЭЭУ с
синтезированными параметрами показали, что МСАУ обладает
высокой степенью устойчивости как в нормальном режиме работы, так и при действии возмущений. При этом показатели качества регулирования по напряжению и частоте соответствуют
ГОСТ 28173.
167
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработанные и изложенные в монографии методы синтеза параметров многосвязных непрерывных и импульсных систем
автоматического управления как линейных, так и нелинейных,
существенно расширяют возможности применения обобщенного
метода Галеркина, который ранее использовался авторами для
решения задач параметрического синтеза одномерных и односвязных САУ различных классов [3, 4].
2. Предложены математические и вычислительные модели
импульсных элементов, формирующих модулированные по амплитуде последовательности треугольных и трапецеидальных
импульсов, применение которых дает возможность более полно
и точно решать задачи как анализа, так и синтеза амплитудноимпульсных систем управления.
3. Решена задача параметрического синтеза регуляторов в каналах регулирования напряжения и частоты ЭЭУ обобщенным
методом Галеркина. Математическая модель рассматриваемой
многосвязной системы управления ЭЭУ описывается системой
дифференциальных уравнений 5-го порядка. В ходе решения задачи синтеза были определены значения 12 варьируемых параметров, обеспечивающих в ЭЭУ заданные показатели качества ее
работы в нормальном режиме эксплуатации (отклонение по напряжению не превышает 5%, а по частоте – 2%, что соответствует ГОСТ 28173 (МЭК 60034-1)).
4. Проведены исследования математической модели ЭЭУ в
анормальных режимах работы при наличии внешних возмущающих воздействий различной амплитуды в каналах регулирования частоты и напряжения. Полученные в ходе исследований
результаты показали высокую степень устойчивости МСАУ с
синтезированными параметрами к внешним возмущающим воздействиям.
5. Результаты, изложенные в книге, получены в процессе работы над проектом «Исследование установившихся и переходных режимов автономной электроэнергетической установки со
сверхпроводниковым оборудованием и системой криогенного
обеспечения», выполняемого по заданию Рособразования по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2006 – 2008 годы)» (код ГРНТИ
РНП.2.1.2.9319).
168
Библиографический список
1. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления /
Под ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка. М.: Наука, 1984. 340 с.
2. Алгоритмы динамического синтеза нелинейных автоматических систем / Под ред. А. А. Воронова и И. А. Орурка. СПб.:
Энергоатомиздат, 1992. 334 с.
3. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции: Монография/СПбГУАП. СПб., 1999. 268 с.
4. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез
нелинейных систем автоматического управления: Монография /
Под ред. В. Ф. Шишлакова; СПбГУАП. СПб., 2003. 358 с.
5. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных импульсных систем
управления во временной области // Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2003. № 12. С. 25 – 30.
6. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез
системы автоматического управления торможением колес транспортного средства // Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2004.
№ 5. С. 24 – 29.
7. Колпакова Н. П., Петров Б. Н. Структурные методы синтеза многоканальных систем с помощью теории графов // Теория и
методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст.
М.: Наука, 1973. С. 18 – 39.
8. Мерабишвили П. Ф. О чувствительности МСАР графов //
Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 184 – 194.
9. Вознесенский Н. И. О регулировании машин с большим
числом регулируемых параметров // АиТ. 1938. № 4. С. 12 – 15;
№ 5. С. 16 – 34.
10. Кулебакин В. С. Теория инвариантности автоматически
регулируемых систем // Тр. I конгр. ИФАК. М.: Наука, 1960.
Т. 1. С. 246 – 258.
11. Мееров М. В. Системы многосвязного регулирования. М.:
Наука, 1965. 384 с.
12. Мееров М. В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967. 423 с.
13. Мееров М. В. Исследование и оптимизация многосвязных
систем управления. М.: Наука, 1986.
14. Клубникин П. Ф. Вопросы теории многомерных комбинированных систем с общим выходом графов // Теория и методы
169
построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 154 – 170.
15. Клубникин П. Ф. Объединенные следящие системы с двумя приводами // АиТ. 1959. № 2.
16. Блейз Е. С., Семенов Ю. И., Чемоданов Б. К., Якименко Н. М. Динамика электромашинных следящих систем. М.:
Энергия, 1967.
17. Горбунов В. П., Коротков С. В., Шишков Б. А. Некоторые
вопросы синтеза и работоспособности комбинированных систем
управления // Автоматизированный электропривод: Сб. М.:
Изд-во АН СССР, 1965.
18. Клубникин П. Ф. Быстродействующие индукционные
муфты в САР. М.: Машгиз, 1962.
19. Гришанин Ю. С., Громашева Э. С. Особенности синтеза одного класса нелинейных двумерных систем автоматического регулирования графов // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 203 – 213.
20. Катковник В. Я. Градиентные законы управления в задачах стабилизации многомерных систем управления графов //
Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 84 – 94.
21. Кулибанов В. Н. Синтез одного класса оптимальных систем автоматического регулирования графов // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.:
Наука, 1973. С. 132 – 144.
22. Доценко А. И. Корневой метод синтеза одного класса многосвязных систем графов // Теория и методы построения систем
многосвязного регулирования: сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 194 –
203.
23. Доценко А. И. Корневой метод синтеза многосвязных систем // Приборостроение и техника. Киев. 1966. № 2.
24. Бабушкин С. А. Взаимосвязь и локальность субсистем в нелинейных многосвязных системах автоматического управления
графов // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 213 – 226.
25. Геращенко Е. И. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: Наука, 1975. 296 с.
26. Востриков А. С. Дискретные системы автоматического
управления на основе метода локализации: Учеб. пособие / Новосиб. электротехн. ин-т. Новосибирск, 1990. 74 с.
170
27. Морозовский В. Т. Анализ и синтез корректирующих перекрестных связей многомерных автоматизированных систем //
Тр. Военно-воздушной академии им. Н. Е. Жуковского, 1963.
197 с.
28. Морозовский В. Т. Многосвязные системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 288 с.
29. Пухов Г. Е., Жук К. Д. Синтез многосвязных систем управления по методу обратных операторов. Киев: Наук. думка, 1966.
219 с.
30. Ильясов Б. Г. и др. Концепции организации многосвязного
управления и структуры многосвязных систем // Мехатроника,
автоматизация, управление. 2005. № 8. С. 3 – 8.
31. Ильясов Б. Г. и др. Исследование периодических движений в нелинейных однотипных многосвязных системах // Нелинейный анализ и его приложения: Междунар. конгресс. Москва,
1 – 5 сентября 1998. С. 320 – 323.
32. Ильясов Б. Г. и др. Синтез нелинейных законов управления многосвязными динамическими объектами // Нелинейный
анализ и его приложения: Междунар. конгресс. Москва, 1 – 5
сентября 1998. С. 314 – 318.
33. Литвак Б. Л. Использование особенностей многосвязных
систем при решении некоторых динамических задач оптимизации // Управление многосвязными системами: Сб. ст. М.: Наука,
1975. С. 11 – 17.
34. Берщанский Я. М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия // Системы многосвязного управления:
Сб. ст. М.: Наука, 1975. С. 38 – 44.
35. Берщанский Я. М. Оптимальное управление многосвязными объектами с ограниченными фазовыми координатами // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования:
Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 106 – 111.
36. Берщанский Я. М. Численный метод решения задач динамического линейного программирования // Системы многосвязного управления: Сб. ст. М.: Наука, 1977. С. 38 – 45.
37. Берщанский Я. М. Метод оптимального распределения
ресурса, ограниченного в каждый момент времени // Системы
многосвязного управления: Сб. ст. М.: Наука, 1977. С. 45 – 58.
38. Вселюбский Б. С., Кулибанов В. Н. Метод решения двухточечной граничной задачи для нелинейных дифференциальных
171
уравнений // Управление многосвязными системами: Сб. ст. М.:
Наука, 1975. С. 71 – 79.
39. Мееров М. В., Литвак Б. Л. К вопросу оптимизации нелинейных многосвязных объектов без памяти // Теория и методы
построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 111 – 119.
40. Коваленко Л. С. Синтез оптимальных дискретных управлений непрерывным объектом на фиксированном интервале времени // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования: Сб. ст. М.: Наука, 1973. С. 310 – 319.
41. Мееров М. В. К синтезу систем многосвязного регулирования при наличии элементов запаздывания // АиТ. 1957. № 12.
С. 38 – 36.
42. Янушевский Р. Т. Математическое описание и оптимизация замкнутых многосвязных систем с запаздыванием // Управление многосвязными системами: Сб. ст. М.: Наука, 1975. С. 30 –
42.
43. Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973.
44. Янушевский Р. Т. Применение теории фильтрации в задачах управления запасами // Управление многосвязными системами: Сб. ст. М.: Наука, 1975. С. 82 – 88.
45. Перепелкин Е. А. Алгоритм параметрической идентификации многосвязных непрерывных систем // Изв. РАН. Сер.
Техническая кибернетика. 1994. № 6. С. 79 – 82.
46. Параев Ю. И., Перепелкин Е. А. Понятие обобщенной передаточной матрицы и условие инвариантности линейной многосвязной системы // Изв. РАН. Сер. Теория и системы управления. 1995. № 11 – 12. С. 66 – 69.
47. Перепелкин Е. А. Оценивание параметров линейной многосвязной непрерывной системы с неизмеряемой производной
состояния // Автоматика и вычислительная техника. 1997. № 6.
С. 23 – 29.
48. Параев Ю. И., Перепелкин Е. А. Матричное уравнение
Сильвестра в задаче алгебраического синтеза многосвязной линейной системы // Изв. вузов. Сер. Авиационная техника. 1998.
№ 4. С. 29 – 33.
49. Перепелкин Е. А. Алгебраические критерии сходимости
рекуррентного алгоритма параметрической идентификации дис172
кретных многосвязных систем // Автоматика и вычислительная
техника. 2003. № 5. С. 48 –54.
50. Перепелкин Е. А. Основы теории управления: Учеб. пособие / Алтайский гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Барнаул,
2001. 115 с.
51. Кабальнов Ю. С., Кузнецов И. С., Маргамов А. В. Декомпозиционные алгоритмы решения задач управления и наблюдения
объектами с векторным входом // Системы управления и информационные технологии. 2006. № 4(26). С. 22 – 26.
52. Васильев В. И., Шаймарданов Ф. А. Синтез многосвязных
автоматических систем методом порядкового отображения. М.:
Наука, 1983. 126 с.
53. Голембо З. Б. Алгоритмизация и программирование электротехнических задач на электронных вычислительных машинах. М.: Высш. шк., 1974. 175 с.
54. Зуев Н. А., Рахматуллин С. Ф. Оптимальные математические модели электромагнитных систем: Учеб. пособие / УАИ.
Уфа, 1986. 85 с.
55. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 190 с.
56. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: В 2 т. Л.: Энергия, 1967. Т. 1. 516 с.
57. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.
58. Тозони О. В. Метод вторичных токов в электротехнике. М.:
Энергия, 1975. 296 с.
59. Тозони О. В. Автоматизация электромагнитных расчетов // Изв. вузов. Сер. Электротехника. 1968. № 12. С. 10 – 18.
60. Рахматуллин С. Ф., Зуев Н. А. Анализ сложных систем.
Электромагнитные системы / УАИ. Уфа, 1984. 90 с.
61. Зуев Н. А., Рахматуллин С. Ф. Векторные диаграммы в
электротехнике: Учеб. пособие / УАИ. Уфа, 1984. 90 с.
62. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей.
Линейные цепи. М.: Высш. шк., 1981.
63. Мартынов В. А. Современные модели и методы расчета
нелинейных электротехнических устройств / Ивановский гос.
энерг. ун-т. Иваново, 2000. 140 с.
64. Артемьев Б. А. Обобщенная теория электрической машины со сплошным ротором. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. 188 с.
65. Васьковский Ю. Н. Алгоритмы моделирования динамических процессов синхронных машин на основе анализа электро173
магнитного поля // Техническая электродинамика. 1994. № 5 –
6. С. 46 – 50.
66. Ефименко Е. И. Новые методы исследования машин переменного тока и их приложения. М.: Энергоатомиздат, 1993.
288 с.
67. Загорский А. Е. Регулируемые электрические машины переменного тока. М.: Энергоатомиздат, 1992. 288 с.
68. Фильц Р. В., Лябук Н. Н. Математическое моделирование
явнополюсных синхронных машин. Львов: Свит, 1991. 176 с.
69. Флиц Р. В. Математические основы теории электромеханических преобразователей. Киев: Наук. думка, 1979. 205 с.
70. Шишлаков В. Ф., Шишлаков Д. В. Параметрический синтез многосвязных систем автоматического управления обобщенным методом Галеркина // Информационно-управляющие системы. 2006. № 3. С. 51– 62.
71. Шишлаков В. Ф., Шишлаков Д. В. Параметрический синтез многосвязных систем автоматического управления во временной области // Изв. вузов. Сер. Проблемы энергетики. 2006.
№ 12. С. 49 – 54.
72. Шишлаков В. Ф., Грибков В. Н. Синтез дискретных САУ с
запаздыванием методом ортогональных проекций // Методы исследований и проектирования автоматических систем и приборов / ЛИАП. Л., 1990. С. 35 – 41.
73. Шишлаков В. Ф. Синтез нелинейных САУ с запаздыванием
прямым вариационным методом // Методы и средства обработки
и получения данных в информационно-управляющих системах /
ЛИАП. Л., 1990. С. 30 – 37.
74. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический синтез
нелинейных САУ // Алгоритм программы: Информационнобиблиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000015. 10 с.
75. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Расчет точек переключения
нелинейных звеньев // Алгоритм программы: Информационнобиблиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000014. 10 с.
76. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический
синтез нелинейных САУ с ШИМ // Алгоритм программы:
Информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000057.
10 с.
77. Никитин А. В., Шишлаков В. Ф. Параметрический
синтез нелинейных САУ с ЧИМ // Алгоритм программы:
174
Информационно-библиотечный фонд РФ. Рег. № 50200000058.
10 с.
78. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы
yпpaвления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией.
Киев: Техника, 1970. 340 с.
79. Морговский Ю. Я. Импульсные системы управляемой
структуры с тиристорными преобразованиями. М.: Энергия,
1976.
80. Ерихов М. М., Островский М. Я. Достаточные условия существования Т-периодических режимов в системах «линейной»
интегральной широтно-импульсной модуляции // АиТ. 1987.
№ 9. С. 26 − 30.
81. Время-импульсные системы автоматического управления / Под ред. И. М. Макарова. М.: Наука, 1997.
82. Ицхоки Я. С., Овчинников Н. И. Импульсные и цифровые
устройства. М.: Сов. радио, 1973.
83. Куо Б. С. Теория и проектирование цифровых систем управ­
ления. М.: Машиностроение, 1986. 447 с.
84. Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964. 704 с.
85. Цветков С. А., Шишлаков В. Ф. Синтез параметров линейных систем автоматического управления с амплитудноимпульсной модуляцией // Информационно-управляющие системы. 2006. № 4.
86. Цветков С. А., Шишлаков В. Ф., Шишлаков Д. В. Параметрический синтез САУ с амплитудно-импульсными модуляторами // Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2007. № 8. С. 13 – 17.
87. Цветков С. А., Шишлаков В. Ф., Шишлаков Д. В. Синтез
многосвязных систем автоматического управления во временной
области // Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2007. № 12. С. 13 –
17.
88. Шишлаков В. Ф., Цветков С. А., Шишлаков Д. В. Моделирование элементов и устройств электромеханических систем:
Учеб. пособие / СПбГУАП. СПб., 2007. 150 с.
89. Розенфельд А. С., Яхинсон Б. И. Переходные процессы и
обобщенные функции. М.: Наука, 1966. 440 с.
90. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1978. 575 с.
175
91. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.
544 с.
92. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963.
1100 с.
176
Содержание
Предисловие................................................................
1. Обзор методов исследования многосвязных систем
автоматического управления и построения моделей
электротехнических устройств.......................................
1.1. Методы исследования многосвязных систем
автоматического управления.......................................
1.2. Методы построения и исследования моделей
электротехнических устройств....................................
2. Синтез параметров непрерывных мсау обобщенным
методом галеркина.......................................................
2.1. Математические модели линейных мсау...............
2.2. Постановка задачи синтеза линейных мсау
и общая схема ее решения обобщенным методом
галеркина................................................................
2.3. Формирование целевой функции для линейных
многосвязных систем управления................................
2.4. Примеры решения задач параметрического синтеза
линейных мсау.......................................................
2.5. Математическая модель нелинейных непрерывных
мсау......................................................................
2.6. Формирование целевой функции для нелинейных
непрерывных мсау..................................................
2.7. Примеры решения задач синтеза параметров
нелинейных мсау....................................................
3. Построение математических моделей амплитудноимпульсных модуляторов..............................................
3.1. Способы описания импульсных процессов...............
3.2. Математические модели амплитудно-импульсных
модуляторов.............................................................
3.3. Математическая модель аим, формирующего
трапецеидальные импульсы........................................
3.4. Математическая модель аим, формирующего
треугольные импульсы...............................................
3.5. Реализация математических моделей аим
с помощью пакета прикладных программ
matlab simulink.........................................................
3
5
5
12
20
20
28
31
33
41
47
48
55
55
58
64
69
73
177
3.6. Исследование влияния аим на динамику сау........
4. Синтез параметров импульсных мсау обобщенным
методом галеркина.......................................................
4.1. Математическая модель импульсных линейных
мсау......................................................................
4.2. Формирование целевой функции для линейных
импульсных мсау и примеры решения практических
задач .......................................................................
4.3. Формирование целевой функции для решения
задачи синтеза параметров нелинейных импульсных
мсау ......................................................................
4.4. Примеры решения задачи синтеза параметров
нелинейных импульсных многосвязных систем
управления...............................................................
5. Решение задачи синтеза сау с аим, формирующими
треугольные и трапецеидальные импульсы.......................
5.1. Вычисление аналитических рекуррентных
соотношений, определяющих интегралы a*qi, b*qi, c*qi
для аим, формирующих треугольные импульсы...........
5.2. Вычисление аналитических рекуррентных
соотношений, определяющих интегралы a*qi, b*qi, c*qi
для аим, формирующих трапецеидальные импульсы....
5.3. Доказательство предельных переходов
рекуррентных аналитических соотношений..................
5.4. Примеры решения задачи параметрического
синтеза сау, содержащих аим, формирующие
последовательности модулированных по амплитуде
треугольных и трапецеидальных импульсов..................
6. Динамический расчет параметров технических систем...
6.1. Решение задачи синтеза автономной ээу................
6.2. Определение амплитуд возмущающих воздействий
для моделирования анормальных режимов работы ээу..
6.3. Моделирование анормальных режимов работы ээу
с синтезированными параметрами...............................
6.3.1. Анализ динамических свойств ээу при
внешнем возмущающем воздействии на входе
синхронного генератора..........................................
6.3.2. Анализ динамических свойств ээу при
внешнем возмущающем воздействии на входе
приводного двигателя.............................................
178
77
80
80
88
95
103
111
111
125
133
139
145
145
154
155
158
161
6.3.3. Анализ динамических свойств ээу при
одновременном действии возмущений на входах
синхронного генератора и приводного двигателя......... 164
Заключение................................................................. 168
Библиографический список............................................ 169
179
Научное издание
Шишлаков Владислав Федорович
Цветков Сергей Александрович
Шишлаков Дмитрий Владиславович
Синтез параметров
непрерывных и импульсных
многосвязных систем
автоматического управления
монография
Редактор А. Г. Ларионова
Верстальщик С. Б. Мацапура
Сдано в набор 26.11.08. Подписано к печати 29.01.08.
Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
печ л. 11,25. Уч.-изд. л. 10,5. Тираж 150 экз. Заказ № 64.
Редакционно-издательский центр ГУАП
190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
7 713 Кб
Теги
shishlak
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа