close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

История тригонометрии

код для вставкиСкачать
История тригонометрии
Презентацию выполнила
ученица 9А класса
Павлова Алина
История тригонометрии
как науки о соотношениях между
углами и сторонами треугольника и
других геометрических фигур,
охватывает более двух тысячелетий.
Большинство таких соотношений
нельзя выразить с помощью обычных
алгебраических операций, и поэтому
понадобилось ввести особые
тригонометрические функции,
первоначально оформлявшиеся в
виде числовых таблиц.
Историки полагают, что
тригонометрию создали древние
астрономы, немного позднее её стали
использовать в геодезии и
архитектуре. Со временем область
применения тригонометрии
постоянно расширялась, в наши дни
она включает практически все
естественные науки, технику и ряд
других областей деятельности.
Особенно полезными
тригонометрические функции
оказались при изучении
колебательных процессов; на них
основан также гармонический анализ
функций и другие инструменты
анализа. Томас Пейн в своей книге
«Век Разума» (1794) назвал
тригонометрию «душой науки».
Ранний период
Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях
древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса
Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды,
высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360
локтей.
От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение
углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в
древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н.
э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая:
вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным
достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя
теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его
между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли
его независимо; неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние
египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4
и 5 был там хорошо известен и широко использовался.
Древняя Греция
Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных
математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.
Математика как наука родилась в Греции. В странах-современниках Эллады
математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения),
либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов
(астрология, нумерология и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они
выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль
Галилей два тысячелетия спустя: «книга природы написана на языке математики».
Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели:
астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены
впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой
предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и
завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную
систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод,
показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода
гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет
выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями
математики.
Источники
Бо́льшая часть античных
сочинений по математике не
дошла до наших дней и
известна только по
упоминаниям позднейших
авторов и комментаторов, в
первую очередь Паппа
Александрийского (III век),
Прокла (V век), Симпликия
(VI век) и др. Среди
сохранившихся трудов в
первую очередь следует
назвать «Начала» Евклида и
отдельные книги Аристотеля,
Архимеда, Аполлония и
Диофанта.
Начальный период
Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены
счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то
есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова)
содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная
доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus —
камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.
Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная —
первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки,
остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа,
большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом
(внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.
В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы — ионийцы
(Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих
математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно
комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля.
Фалес, богатый купец, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию — вероятно, во
время торговых поездок. Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, дали первые доказательства
нескольких простых геометрических теорем — например, о том, что вертикальные углы равны.
Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.
Пифагорейская
школа
Пифагор, основатель школы —
личность легендарная, и достоверность
дошедших до нас сведений о нём
проверить невозможно. Видимо, он, как
и Фалес, много путешествовал и тоже
учился у египетских и вавилонских
мудрецов. Вернувшись около 530 г. до н.
э. в Великую Грецию (район южной
Италии), он в городе Кротон основал
нечто вроде тайного духовного ордена.
Именно он выдвинул тезис «Числа
правят миром», и с исключительной
энергией занимался его обоснованием.
В начале V в. до н. э., после неудачного
политического выступления,
пифагорейцы были изгнаны из Южной
Италии, и союз прекратил свое
существование, однако популярность
учения от рассеяния только возросла.
Пифагорейские школы появились в
Афинах, на островах и в греческих
колониях, а их математические знания,
строго оберегаемые от посторонних,
сделались общим достоянием.
Положение попытался спасти
талантливый пифагореец Теэтет. Он (и
позже Евдокс) предложили новое
Первой трещиной в
пифагорейской модели мира понимание числа, которое теперь
формулировались на геометрическом
стало ими же полученное
языке, и проблем соизмеримости не
доказательство
возникало. Теэтет разработал также
иррациональности ,
полную теорию делимости и
сформулированное
классификацию иррациональностей.
геометрически как
несоизмеримость диагонали Повидимому, ему также были известны
квадрата с его стороной (V век понятие простого числа и основная
теорема арифметики.
до н. э.). Невозможность
выразить длину отрезка
числом ставила под сомнение
главный принцип
пифагорейства. Даже
Аристотель, не разделявший
их взгляды, выражал своё
изумление по поводу того, что
есть вещи, которые «нельзя
измерить самою малою
мерою».
Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось,
что построение числовой алгебры на основе
геометрии было стратегической ошибкой
пифагорейцев. Например, с точки зрения
геометрии выражения
и даже не
имели геометрического истолкования, и
поэтому не имели смысла; то же относится к
отрицательным числам. Позднее Декарт
поступил наоборот, построив геометрию на
основе алгебры, и добился громадного
прогресса.
V век до н. э. —
Зенон, Демокрит
В V веке до н. э. появились новые
вызовы оптимизму
пифагорейцев.
Первый из них — три
классические задачи древности:
удвоение куба, трисекция угла и
квадратура круга. Греки строго
придерживались требования: все
геометрические построения
должны выполняться с помощью
циркуля и линейки, то есть с
помощью совершенных линий
— прямых и окружностей.
Однако для перечисленных
задач найти решение
каноническими методами не
удавалось. Алгебраически это
означало, что не всякое число
можно получить с помощью 4
арифметических операций и
извлечения квадратного корня.
Квадратурой круга безуспешно занимался выдающийся
геометр-пифагореец, автор доевклидовых «Начал»,
первого свода геометрических знаний, Гиппократ
Хиосский.
Первые две задачи сводятся к кубическим уравнениям.
Архимед позже дал общее решение кубических
уравнений с помощью конических сечений. Однако
многие комментаторы продолжали считать подобные
методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V век до н.
э.) показал, что для трисекции угла полезна квадратриса
(первая трансцендентная кривая в истории математики);
она же, кстати, решает и задачу квадратуры круга
(Динострат, IV век до н. э.).
Помимо перечисленных, греки активно исследовали
задачу деления круга: какие правильные
многоугольники можно построить циркулем и
линейкой. Без труда удавалось разделить окружность на
3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить перечисленные
значения. Но семиугольник никому не поддавался. Как
оказалось, здесь также получается кубическое
уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в
XIX веке.
Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон
Элейский, предложив ещё одну тему для
многовековых размышлений математиков. Он
высказал более 40 парадоксов (апорий), из
которых наиболее знамениты четыре. Вопреки
многократным попыткам их опровергнуть и
даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор
служат предметом серьёзного анализа. Здесь
затронуты самые деликатные вопросы
оснований математики — конечность и
бесконечность, непрерывность и дискретность.
Математика тогда считалась средством познания
реальности, и суть споров можно было выразить
как неадекватность непрерывной, бесконечно
делимой математической модели физически
дискретной материи[8].
В конце V века до н. э. жил ещё один
выдающийся мыслитель — Демокрит. Он
знаменит не только созданием концепции
атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл
объём пирамиды и конуса, но доказательств
своих формул не дал. Вероятно, Архимед имел в
виду доказательство методом исчерпывания,
которого тогда ещё не существовало.
IV век до н. э. — Платон, Евдокс
Уже к началу IV века до н. э. греческая математика
далеко опередила всех своих учителей, и её бурное
развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон
основывает в Афинах свою школу — знаменитую
Академию. Математиков, присоединившихся к
Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто
получил своё математическое образование вне
Академии, и на учеников Академии. К числу первых
принадлежали Теэтет Афинский, Архит Тарентский и
позднее Евдокс Книдский; к числу вторых — братья
Менехм и Динострат.
Сам Платон конкретных математических исследований
не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения по
философии и методологии математики. А ученик
Платона, Аристотель, оставил бесценные для нас
записки по истории математики.
Евдокс Книдский первый создал геоцентрическую
модель движения светил с 27 сферами. Позже эта
конструкция была развита Аполлонием, Гиппархом и
Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34 и
ввели эпициклы. Ему же принадлежат два выдающихся
открытия: общая теория отношений (геометрическая
модель вещественных чисел) и античный анализ —
метод исчерпывания.
III век до н. э. — Евклид, Архимед, Аполлоний
После завоеваний Александра Македонского научным
центром древнего мира становится Александрия Египетская.
Птолемей I основал в ней Мусейон (Дом Муз) и пригласил
туда виднейших учёных. Это была первая в грекоязычном
мире государственная академия, с богатейшей библиотекой
(ядром которой послужила библиотека Аристотеля), которая
к I веку до н. э. насчитывала 70000 томов.
Учёные Александрии объединили вычислительную мощь и
древние знания вавилонских и египетских математиков с
научными моделями эллинов. Значительно продвинулись
плоская и сферическая тригонометрия, статика и
гидростатика, оптика, музыка и др. Эратосфен уточнил длину
меридиана и изобрёл своё знаменитое «решето». В истории
математики известны три великих геометра древности, и
прежде всего — Евклид с его «Началами». Тринадцать книг
Начал — основа античной математики, итог её 300-летнего
развития и база для дальнейших исследований. Влияние и
авторитет этой книги были огромны в течение двух тысяч лет.
Фундамент математики, описанный Евклидом, расширил
другой великий учёный — Архимед, один из немногих
математиков античности, которые одинаково охотно
занимались и теоретической, и прикладной наукой. Он, в
частности, развив метод исчерпывания, сумел вычислить
площади и объёмы многочисленных фигур и тел, ранее не
поддававшихся усилиям математиков.
Последним из тройки великих был Аполлоний Пергский,
автор глубокого исследования конических сечений.
Упадок античной науки
После Аполлония (со II века до н. э.) в античной науке начался спад. Новых глубоких
идей не появляется. В 146 году до н. э. Рим захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. —
Александрию.
Среди немногочисленных достижений:
открытие конхоиды (Никомед);
известная формула Герона для площади треугольника (I век н. э.);
содержательное исследование сферической геометрии Менелаем Александрийским;
завершение геоцентрической модели мира Птолемея (II век н. э.), для чего
потребовалась глубокая разработка плоской и сферической тригонометрии.
Необходимо отметить деятельность Паппа Александрийского (III век). Только
благодаря ему до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах.
На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта —
последнего из великих античных математиков, «отца алгебры».
После III века н. э. александрийская школа просуществовала около 100 лет — приход
христианства и частые смуты в империи резко снизили интерес к науке. Отдельные
учёные труды ещё появляются в Афинах, но в 529 году Юстиниан закрыл Афинскую
академию как рассадник язычества.
Часть учёных переехала в Персию или Сирию и продолжала труды там. От них
уцелевшие сокровища античного знания получили учёные стран ислама (см.
Математика исламского средневековья).
Заключение
Греческая математика поражает прежде всего красотой и
богатством содержания. Многие учёные Нового времени
отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних.
Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у
Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но
главное даже не в этом. Два достижения греческой математики
далеко пережили своих творцов.
Первое — греки построили математику как целостную науку с
собственной методологией, основанной на чётко
сформулированных законах логики.
Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы
для человеческого разума, и математические модели — ключ к их
познанию.
В этих двух отношениях античная математика вполне современна.
Плоская тригонометрия
Несколько теорем тригонометрического характера
содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой
книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что
большей стороне треугольника соответствует больший
противолежащий угол — и обратно, большему углу
соответствует бо́льшая сторона. Теоремы 20 и 22
формулируют «неравенство треугольника»: из трёх
отрезков можно составить треугольник тогда и только
тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух
других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов
треугольника равна 180°.
Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой
словесный аналог теоремы косинусов:
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне,
стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на
сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый
прямоугольник, заключённый между одной из сторон
при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и
отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком
при тупом угле.
Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы
косинусов для остроугольных треугольников. Аналога
теоремы синусов у греков не было, это важнейшее
открытие было сделано гораздо позднее.
Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем
астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате
«О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача
об определении расстояний до небесных тел; эта задача
требовала вычисления отношения сторон прямоугольного
треугольника при известном значении одного из углов.
Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник,
образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры.
Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние
от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны)
при известном значении прилежащего угла (87°), что
эквивалентно вычислению значения
.По оценке
Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то
есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на
самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка
возникла из-за неточности в измерении угла. Попутно
Аристарх доказал неравенство, которое в современных
терминах передаётся формулой:
Это же неравенство содержится в
«Исчислении песчинок» Архимеда[11]. В
трудах Архимеда (III век до н. э.) имеется
важная теорема деления хорд, по существу
эквивалентная формуле синуса половинного
угла:
В течение всего периода развития античной науки
главным полем для приложения результатов плоской
тригонометрии у греков оставалась астрономия.
Помимо задачи о вычислении расстояний,
привлечения тригонометрии требовало определение
параметров системы эпициклов и/или эксцентров,
представляющих движение светила в пространстве.
Согласно широко распространённому мнению, эта
проблема впервые была сформулирована и решена
Гиппархом (середина II века до н. э.) при
определении элементов орбит Солнца и Луны;
возможно, аналогичными задачами занимались и
астрономы более раннего времени. Ему же часто
приписывают авторство первых тригонометрических
таблиц, не дошедших до нас[14]. Впрочем, согласно
некоторым реконструкциям, первые
тригонометрические таблицы были составлены ещё в
III веке до н. э., возможно, Аполлонием Пергским.
где
Синус угла θ/2 равен полухорде единичной
окружности
Вместо современной функции синуса Гиппарх и
другие древнегреческие математики обычно
рассматривали зависимость длины хорды
окружности от заданного центрального угла (или,
что эквивалентно, от заданной дуги окружности,
выраженной в угловой мере). В современной
терминологии, длина хорды, стягивающей дугу θ
единичной окружности, равна удвоенному синусу
центрального угла θ/2. Это соответствие
справедливо для любых углов: 0° < θ < 360°. На
языке хорд были сформулированы первые
открытые греками тригонометрические
соотношения. Например, современной формуле:
соответствовала у греков теорема:
— хорда для центрального угла
— диаметр круга.
При этом радиус круга не считался равным
единице, как сейчас. Например, у Гиппарха
радиус круга предположительно считался равным
R=3438 единиц — при таком определении длина
дуги окружности была равна угловой мере этой
дуги, выраженной в минутах:
, и это облегчало вычисления. У
Птолемея R=60 единиц. Согласно
современным реконструкциям,
величины хорд у Гиппарха были
протабулированы с интервалом 7°30'.
Возможно, в основе вычисления
таблицы Гиппарха лежал метод,
разработанный Архимедом и
восходящий ещё к Аристарху.
(теорема Птолемея)
Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил
результаты Гиппарха. Тринадцать книг «Альмагеста» — самая значимая
тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест»
содержит обширные пятизначные таблицы хорд для острых и тупых
углов, с шагом 30 угловых минут. Для вычислении хорд Птолемей
использовал (в главе X) теорему Птолемея (известную, впрочем, ещё
Архимеду), которая утверждает: сумма произведений длин
противоположных сторон выпуклого вписанного в круг
четырёхугольника равна произведению длин его диагоналей. Из этой
теоремы нетрудно вывести две формулы для синуса и косинуса суммы
углов и ещё две для синуса и косинуса разности углов, однако общая
формулировка этих теорем у греков отсутствует.
Основным достижением античной тригонометрической теории стало
решение в общем виде задачи «решения треугольников», то есть
нахождения неизвестных элементов треугольника, исходя из трёх
заданных его элементов (из которых хотя бы один является стороной).
Впоследствии эта задача и её обобщения стали основной задачей
тригонометрии: заданы несколько (обычно три) известных элементов
треугольника, требуется найти остальные связанные с ним величины.
Первоначально в число элементов треугольника (известных или
неизвестных) включали стороны и углы при вершинах, позже к ним
добавились медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанной или
описанной окружности, положение центра тяжести и т. д. Прикладные
тригонометрические задачи отличаются большим разнообразием —
например, могут быть заданы измеримые на практике результаты
действий над перечисленными величинами (к примеру, сумма углов
или отношение длин сторон).
Сферическая тригонометрия
Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием
астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. В «Началах»
Евклида на эту тему имеется только теорема об отношении объёмов шаров
разного диаметра, но потребности астрономии и картографии вызвали
быстрое развитие сферической тригонометрии и смежных с ней областей —
системы небесных координат, теории картографических проекций,
технологии астрономических приборов (в частности, была изобретена
астролябия).
Историки не пришли к консенсусу насчёт степени развития у античных
греков геометрии небесной сферы. Некоторые исследователи приводят
доводы, что эклиптическая или экваториальная система координат
использовалась для записи результатов астрономических наблюдений по
меньшей мере уже во времена Гиппарха. Возможно, тогда были известны и
некоторые теоремы сферической тригонометрии, которые могли
использоваться для составления звёздных каталогов и в геодезии.
Первые известные нам труды по «Сферике» (то есть сферической геометрии,
с ясным астрономическим уклоном) написали:
(IV век до н. э.) Автолик из Питаны и Евклид («Феномены»).
(II век до н. э.) Феодосий и Гипсикл.
Некоторые разобранные в этих сочинениях задачи носят
тригонометрический характер, однако из-за слабой разработанности теории
авторы ещё применяют обходные пути. Например, задачу «найти время
полного восхода (захода) зодиакального созвездия» Гипсикл решает
приближённо с помощью многоугольных чисел.
Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика»
в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около
100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических
треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских
треугольниках (см. I книгу «Начал»). Историки считают, что подход
Менелая во многом опирается на труды Феодосия, которые у
Менелая существенно расширены и приведены в систему. По
сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического
треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов.
Менелай доказал теорему, для которой у Евклида нет плоского
аналога: два сферических треугольника конгруэнтны (совместимы),
если соответствующие углы равны. Другая его теорема утверждает,
что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°.
Вторая книга «Сферики» излагает применение сферической
геометрии к астрономии. Третья книга содержит важную для
практической астрономии теорему Менелая, известную как
«правило шести величин». Две другие открытые Менелаем
фундаментальные теоремы впоследствии получили названия
«правило четырёх величин» и «правило тангенсов».
Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах
«География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное
изложение тригонометрических приложений к картографии,
астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая
проекция, исследованы несколько практических задач, например:
определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и
часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо
найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам
и противолежащему углу.
Сферической геометрии Птолемей
посвятил также XIII главу в первой
книге «Альмагеста»; в отличие от
Менелая, Птолемей не привёл
доказательств многих утверждений, но
зато уделил много внимания
алгоритмам, пригодным для
практических вычислений в
астрономии. Опорной конструкцией,
вместо плоских хорд, в «Альмагесте»
служит «четырёхсторонник Менелая».
Для «решения» прямоугольного
сферического треугольника, то есть
для вычисления его характеристик,
Птолемей привёл в словесной записи 4
теоремы; в современных обозначениях
они имеют вид (угол прямой):
(частный случай сферической
теоремы синусов)
(частный случай сферической
теоремы косинусов)
Поясним, что в сферической геометрии принято
измерять стороны треугольника не линейными
единицами, а величиной опирающихся на них
центральных углов. В современной сферической
тригонометрии приводятся ещё два соотношения:
(тоже вытекает из сферической теоремы косинусов)
У Птолемея они отсутствуют, поскольку их нельзя вывести из теоремы Менелая.
Средневековье
Индия
В IV веке, после гибели античной науки, центр развития математики переместился в Индию.
Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо
знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы
интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты
тригонометрии очень значителен.
В первую очередь индийцы изменили некоторые
концепции тригонометрии, приблизив их к
современным. Они провели замену античных хорд на
синусы (название «синус» восходит к слову «тетива» на
санскрите) в прямоугольном треугольнике. Тем самым в
Индии было положено начало тригонометрии как
общему учению о соотношениях в треугольнике, хотя, в
отличие от греческих хорд, индийский подход
ограничивался только функциями острого угла.
Синус индийцы определяли несколько
иначе, чем в современной математике
(см. рис. справа): под синусом
понималась длина отрезка AD,
опирающегося на дугу AC окружности
радиуса R=3438 единиц (как у Гиппарха).
Таким образом, «индийский синус» угла
в 3438 раз больше современного синуса и
имел размерность длины. Из этого
правила были исключения; например,
Брахмагупта по неясным причинам
принял радиус равным 3270 единиц.
Индийцы первыми ввели в
использование косинус. Использовался
ещё так называемый обращённый синус,
или синус-верзус, равный длине отрезка
DC на рисунке справа.
Как и у греков, тригонометрия индийцев
развивалась главным образом в связи с её
астрономическими приложениями, в основном для
использовании в теории движения планет и для
изучения небесной сферы. Это свидетельствует о
хорошем знании сферической тригонометрии
«Альмагеста» и «Аналеммы», однако ни одной их
собственной работы, развивающей теорию этого
раздела тригонометрии, не обнаружено. Тем не
менее в разработке прикладных алгоритмов решения
астрономических задач индийцы достигли больших
успехов. Например, в «Панча-сиддхантике»
Варахамихиры (VII в.) даётся оригинальное решение
астрономической задачи, описанной у Птолемея:
найти высоту Солнца над горизонтом, если известны
широта местности, склонение Солнца и его часовой
угол. Автор для решения применяет аналог теоремы
косинусов, он же впервые привёл формулу для синуса
половинного угла
Для астрономических расчётов
был составлен ряд
тригонометрических таблиц.
Первые (четырёхзначные)
таблицы синусов приведены в
древней «Сурья-сиддханте» и у
Ариабхаты («Ариабхатия», V
век). Таблицы Ариабхаты
содержат 24 значения синусов и
синус-верзусов с интервалом
3°45' (половина шага таблиц у
Гиппарха).
Важный вклад в развитие
тригонометрии внес
Брахмагупта (VII в.), открывший
несколько тригонометрических
соотношений, в том числе и те,
которые в современной записи
приняли вид:
Кроме того, индийцы знали формулы для
кратных углов
,
для
. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты
при решении задач фактически используется
сферический вариант теоремы синусов, однако
общая формулировка этой теоремы в Индии
так и не появилась. Историки нашли в
индийских трудах неявное использование
тангенсов, но важность этого понятия была
осознана только позже, математиками
исламских стран.
В трудах другого выдающегося ученого,
Бхаскары II (XII век), приводятся формулы для
синуса и косинуса суммы и разности углов:
а также формула для малого приращения
синуса:
(при
), соответствующая современному выражению для дифференциала синуса. Опираясь на формулу
синуса суммы, Бхаскара опубликовал более точные и подробные, чем у Ариабхаты, тригонометрические
таблицы с шагом 1°.
Исламские страны
— Точное определение времени суток.
В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего
Востока познакомились с трудами
древнегреческих и индийских математиков и
астрономов. Переводом их на арабский язык
занимались такие крупные учёные VIII века,
как Ибрахим Ал-Фазари и Якуб ибн Тарик.
Далее они и их последователи стали активно
комментировать и развивать эти теории.
Опорной конструкцией у исламских учёных,
как и у индийцев, был синус в треугольнике,
или, что то же самое, полухорда в круге.
— Вычисление будущего расположения
небесных светил, моментов их восхода и
заката, затмений Солнца и Луны.
— Нахождение географических координат
текущего места.
— Вычисление расстояния между городами
с известными географическими
координатами.
Их астрономические трактаты, аналогичные
индийским сиддхантам, назывались «зиджи»;
типичный зидж представлял собой сборник
астрономических и тригонометрических
таблиц, снабжённый руководством по их
использованию и (не всегда) изложением
общей теории. Сравнение зиджей периода
VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию
тригонометрических знаний. Предметом
особого внимания ученых стран ислама была
сферическая тригонометрия, методы которой
использовались для решения задач астрономии
и геодезии. Среди основных решаемых
проблем были следующие.
— Определение направления на Мекку
(кибла) из заданного места.
Ибн Юнис (X век) открыл
преобразование произведения
тригонометрических функций в
сумму, например:
Формулы преобразования
позволяли заменить
трудоёмкое умножение на
более простое сложение
или вычитание.
Впоследствии в Европе эти
же формулы использовали
для противоположной
цели — замены сложения и
вычитания на умножение,
чтобы затем для
вычисления результата
применить
логарифмические
таблицы.
Одной из важнейших задач науки того времени
являлось составление тригонометрических
таблиц с как можно меньшим шагом. В IX веке
ал-Хорезми составил таблицы синусов с шагом
1°, его современник ал-Марвази добавил к ним
первые таблицы тангенсов, котангенсов и
косекансов (с тем же шагом). В начале X века алБаттани опубликовал таблицы с шагом 30', в
конце того же столетия Ибн Юнис составил
таблицы с шагом 1'. При составлении таблиц
ключевым было вычисление значения
.
Искусные методы для вычисления этой
величины изобрели Ибн Юнис, Абу-л-Вафа, алБируни. Наибольшего успеха добился в XV веке
ал-Каши; в одной из своих работ он подсчитал,
что
(все знаки
верны). В составленных при его участии
«Астрономических таблицах» Самаркандской
обсерватории Улугбека таблицы синусов
вычислены с шестью шестидесятеричными
знаками, с шагом 1'.
Самаркандской обсерватории
Улугбека таблицы синусов
вычислены с шестью
шестидесятеричными знаками, с
шагом 1'. Султан Улугбек лично
участвовал в этой работе: он
написал специальный трактат о
вычислении синуса угла в 1°.
Первым специализированным трактатом по тригонометрии
было сочинение среднеазиатского учёного ал-Бируни (X—XI век)
«Книга ключей науки астрономии» (995—996 годы). Целый курс
тригонометрии содержал главный труд ал-Бируни — «Канон
Мас‘уда» (книга III). В дополнение к таблицам синусов (с шагом
15') Ал-Бируни дал таблицы тангенсов (с шагом 1°).
Идеологически труды Бируни близки к птолемеевским — на
языке хорд он формулирует теоремы о синусе удвоенного и
половинного угла, синусе суммы и разности углов. Среди
приложений книга Ал-Бируни показывает построение
правильного вписанного девятиугольника и приближённое
вычисление длины его стороны; этот алгоритм он использует для
нахождения . В другом труде, «Геодезия», Бируни сообщил
результаты собственных измерений длины земного меридиана,
из которых следует оценка радиуса Земли, близкая к истинной (в
пересчёте к метрической системе, Бируни получил 6340 км).
Фундаментальное изложение
тригонометрии как
самостоятельной науки (как
плоской, так и сферической) дал
персидский математик и астроном
Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году.
Его «Трактат о полном
четырёхстороннике» содержит
практические способы решения
типичных задач, в том числе
труднейших, решенных самим атТуси — например, построение
сторон сферического треугольника
по заданным трём углам.
Приведена теорема тангенсов для
сферических треугольников,
описано важное понятие
полярного треугольника (впервые
использованное в XI веке Ибн
Ираком и ал-Джайяни). Сочинение
ат-Туси стало широко известно в
Европе и существенно повлияло на
развитие тригонометрии.
Таким образом, к концу XIII века были
открыты базовые теоремы, составляющие
содержание тригонометрии:
— Выражение любой тригонометрической
функции через любую другую.
— Формулы для синусов и косинусов
кратных и половинных углов, а также для
суммы и разности углов.
— Теоремы синусов и косинусов.
— Решение плоских и сферических
треугольников
Из-за отсутствия алгебраической символики все перечисленные
теоремы выражались в громоздкой словесной форме, но по существу
были полностью эквивалентны современному их пониманию.
Европа
Региомонтан
После того как арабские трактаты были в XII-XIII веках
переведены на латынь, многие идеи индийских и персидских
математиков стали достоянием европейской науки. По всей
видимости, первое знакомство европейцев с тригонометрией
состоялось благодаря зиджу ал-Хорезми, два перевода
которого были выполнены в XII веке. Первоначально
сведения о тригонометрии (правила её использования,
таблицы некоторых тригонометрических функций)
приводились в сочинениях по астрономии, однако в
сочинении Фибоначчи «Практика геометрии», написанном
около 1220 года, тригонометрия излагается как часть
геометрии. Первым европейским сочинением, целиком
посвященным тригонометрии, часто называют «Четыре
трактата о прямых и обращенных хордах» английского
астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.). Книга
содержит доказательство ряда тригонометрических тождеств
и оригинальный метод вычисления синусов.
Новое время
XVI—XVII века
Фердинанд Боль, Портрет
математика (1658).
Диаграмма на стене
показывает
тригонометрические
функции, определённые
через окружность
единичного радиуса
Развитие тригонометрии в Новое время стало
чрезвычайно важным не только для астрономии и
астрологии, но и для других приложений, в первую
очередь артиллерии, оптики и навигации при дальних
морских путешествиях. Поэтому после XVI века этой
темой занимались многие выдающиеся учёные, в том
числе Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Франсуа
Виет. Коперник посвятил тригонометрии две главы в
своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543).
Вскоре (1551) появились 15-значные
тригонометрические таблицы Ретика, ученика
Коперника, с шагом 10". Кеплер опубликовал труд
«Оптическая часть астрономии» (1604).
Региомонтан в своей книге назвал косинус «синусом
дополнения» (лат. sinus complementi), поскольку
; его последователи в XVII веке сократили это
обозначение до co-sinus (Эдмунд Гунтер), а позднее —
до cos (Уильям Отред). Названия тангенса и секанса
предложил в 1583 году датский математик Томас Финке
(Thomas Fincke), а упомянутый выше Эдмунд Гунтер
ввёл названия котангенса и косеканса. Термин
«тригонометрические функции» впервые употребил в
своей «Аналитической тригонометрии» (1770) Георг
Симон Клюгель.
Томас Финке предложил
оригинальное решение
геодезической задачи: найти
углы треугольника, если
известна их сумма
и
отношение противолежащих
сторон
. Для решения
Финке использовал формулу
Региомонтана (см. рисунок):
Появление символики
позволило записать в
компактном и общем виде
тригонометрические тождества
— например, формулы для
кратных углов:
Надо оговориться, что сам Виет ещё дал эти
формулы частично в словесном описании, но
при этом ясно указал на связь коэффициентов
формул с биномиальными коэффициентами и
привёл таблицу их значений для небольших
значений
.
Из других достижений Виета: в работе «Дополнение к геометрии» Виет указал тригонометрический
способ решения кубического уравнения для самого трудного в тот период — неприводимого — случая
(стандартная формула требует умения работать с корнями из комплексных чисел). Виет дал первое в
истории бесконечное произведение:
Кроме артиллерии и навигации, тригонометрия
быстро развивалась и в таких классических областях
её применения, как геодезия. Широкое применение
тангенсов объяснялось, в частности, простотой
измерения с их помощью высоты горы или здания
(см. рисунок):
Измерение высоты
XVIII век
После открытия математического
анализа сначала Джеймс Грегори, а
затем Исаак Ньютон получили
разложение тригонометрических
функций (а также обратных к ним) в
бесконечные ряды. Ньютон
посвятил проблемам геометрии и
тригонометрии 10 задач в своей
книге «Универсальная
арифметика». Например, в задаче X
требуется «решить треугольник»,
если известны одна его сторона,
противолежащий угол и сумма двух
других сторон. Предложенный
Ньютоном метод решения
представляет собой одну из формул
Мольвейде.
Лейбниц строго доказал, что
не может быть,
вообще говоря, алгебраически выражен через , то
есть, в современной терминологии,
тригонометрические функции трансцендентны.
Важными открытиями в начале XVIII века
стали:
— Открытие и широкое распространение
радианной меры углов (Роджер Котс, 1714). Сам
термин «радиан» появился позднее, его в 1873
году предложил английский инженер Джеймс
Томсон.
— Тригонометрическое представление
комплексного числа и формула Муавра.
— Начало использования (Ньютон и
Грегори) полярной системы координат,
связанной с декартовой
тригонометрическими соотношениями; в
общее употребление эти координаты ввёл
Эйлер (1748).
Манера обозначать обратные
тригонометрические функции с
помощью приставки arc (от лат. arcus,
дуга) появилась у австрийского
математика Карла Шерфера (Karl
Scherffer, 1716—1783) и закрепилась
благодаря Лагранжу. Имелось в виду,
что, например, обычный синус
позволяет по дуге окружности найти
стягивающую её хорду, а обратная
функция решает противоположную
задачу. Английская и немецкая
математические школы до конца XIX
века предлагали иные обозначения:
, но они не прижились.
Реформы Леонарда Эйлера
Современный вид тригонометрии придал Леонард Эйлер. В
трактате «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал
определение тригонометрических функций, эквивалентное
современному, и соответственно определил обратные
функции. Если его предшественники понимали синус и
прочие понятия геометрически, то есть как линии в круге или
треугольнике, то после работ Эйлера
,
,
и т. д.
стали рассматриваться как безразмерные аналитические
функции действительного и комплексного переменного. Для
комплексного случая он установил связь тригонометрических
функций с показательной функцией (формула Эйлера). Подход
Эйлера с этих пор стал общепризнанным и вошёл в учебники.
Эйлер рассматривал как допустимые отрицательные углы и
углы, большие 360°, что позволило определить
тригонометрические функции на всей вещественной числовой
прямой, а затем продолжить их на комплексную плоскость.
Когда встал вопрос о распространении тригонометрических
функций на тупые углы, знаки этих функций до Эйлера
нередко выбирались ошибочно; многие математики считали,
например, косинус и тангенс тупого угла положительными.
Эйлер определил эти знаки для углов в разных координатных
квадрантах, исходя из формул приведения.
В середине XVIII века разгорелся
важнейший по своим последствиям
«спор о струне». Эйлер в полемике с
Даламбером предложил более общее
определение функции, чем принималось
ранее; в частности, функция может быть
задана тригонометрическим рядом. В
своих трудах Эйлер использовал
несколько представлений
алгебраических функций в виде ряда из
кратных аргументов
тригонометрических функций,
например:
Общей теорией тригонометрических рядов
Эйлер не занимался и сходимость полученных
рядов не исследовал, но получил несколько
важных результатов. В частности, он вывел
разложения целых степеней синуса и косинуса.
Тригонометрия в России
В России первые сведения о
тригонометрии были опубликованы в
сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и
тангенсов к изучению мудролюбивых
тщателей», опубликованном при участии
Л. Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году
появилось содержательное руководство
«Геометрия практика», первый русский
учебник по тригонометрии,
ориентированный на прикладные задачи
артиллерии, навигации и геодезии.
Завершением периода освоения
тригонометрических знаний в России
можно считать фундаментальный учебник
академика М. Е. Головина (ученика
Эйлера) «Плоская и сферическая
тригонометрия с алгебраическими
доказательствами» (1789).
В конце XVIII века в Петербурге возникла
авторитетная тригонометрическая школа
(А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт),
которая внесла большой вклад в плоскую и
сферическую тригонометрию.
XIX—XXI века
В начале XIX века Н. И. Лобачевский добавил к плоской и
сферической тригонометрии третий раздел —
гиперболическую (для геометрии Лобачевского, первую
работу в этой области опубликовал Ф. А. Тауринус в 1826 году).
Лобачевский показал, что формулы сферической
тригонометрии переходят в формулы гиперболической
тригонометрии при замене длин сторон треугольника a, b, c на
мнимые величины: ai, bi, ci — или, что эквивалентно, при
замене тригонометрических функций на соответствующие
гиперболические.
В XIX—XX веках бурное развитие получили теория
тригонометрических рядов и связанные с ней области
математики: гармонический анализ, теория случайных
процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.
Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую
(непрерывную) функцию на заданном промежутке можно
представить тригонометрическим рядом. Дискуссии
продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию
представления произвольных кусочно-аналитических
функций тригонометрическими рядами (окончательный
вариант содержится в его «Аналитической теории тепла»,
1822). Для разложения функции
в ряд:
Фурье привёл интегральные
формулы расчёта коэффициентов:
Спасибо за внимание!
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
402
Размер файла
2 464 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа