close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Lukashevich Kinemat analis plosk

код для вставкиСкачать
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Строительный факультет
Кафедра механики
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО
МНОГОЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА
Санкт-Петербург
2017
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Строительный факультет
Кафедра механики
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО
МНОГОЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА
Методические указания
Санкт-Петербург
2017
1
УДК 531.31 (076)
Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ)
Кинематический анализ плоского многозвенного механизма: метод. указания / сост. Н. К. Лукашевич; СПбГАCУ. – СПб.,
2017. – 32 c.
Содержатся общие сведения по кинематике поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Рассмотрены разные способы
определения скоростей и ускорений при плоском движении твердого тела.
Приведен пример расчета плоского многозвенного механизма. Для лучшего
понимания порядка построения плана скоростей и многоугольника ускорений показаны промежуточные рисунки на разных этапах решения задачи.
Предназначены для выполнения расчетно-графической работы по кинематике студентами специальности 15.03.03 «Прикладная механика».
Табл. 1. Ил. 28. Библиогр.: 6 назв.
1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЛОСКИХ
МНОГОЗВЕННЫХ МЕХАНИЗМОВ
Плоский многозвенный механизм – это механизм, состоящий
из соединенных между собой шарнирами стержней и плоских фигур, движущихся параллельно некоторой плоскости. Звенья плоского механизма могут двигаться поступательно, вращательно или
плоскопараллельно. Расчет плоских многозвенных механизмов заключается в определении скоростей и ускорений точек механизма,
а также угловых скоростей и ускорений звеньев по заданным кинематическим характеристикам.
1.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение твердого тела,
при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе все время движения.
При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела равны по модулю и по направлению. Для определения
скоростей и ускорений используют формулы кинематики точки.
При поступательном прямолинейном движении положение
тела описывается одним уравнением x  x(t ) .
Скорость тела определяется как первая производная, ускорение – как вторая производная от закона движения по времени:
V
dV
dx
d 2x
; a
= 2 .
dt
dt
dt
Движение является ускоренным, если знаки скорости и ускорения совпадают, замедленным – если не совпадают.
Вектор скорости направлен по движению.
Вектор ускорения при ускоренном движении направлен так же,
как вектор скорости, при замедленном – в противоположную
сторону.
1.2. Вращательное движение твердого тела
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2017
2
Вращательным называется такое движение, при котором две
точки, принадлежащие телу или неразрывно с ним связанные,
3
остаются неподвижными все время движения. Через эти точки проходит ось, которая называется осью вращения.
Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, все
остальные точки описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.
Вращательное движение задается углом поворота    (t ) .
Основные кинематические характеристики – угловая скорость ω
и угловое ускорение :
d
d
; 
.

dt
dt
Скорость точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
определяется по формуле
V  h,
где h – радиус вращения.
Радиус вращения – это кратчайшее расстояние от точки до оси
вращения.
Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу вращения по направлению угловой скорости (рис. 1.1).
Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, раскладывается на две составляющие:
ц
Если знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают,
движение является ускоренным, если не совпадают – замедленным.
Модуль полного ускорения
a  (a ц ) 2  (a вр ) 2 или a  h 4   2 .
Тангенс угла между полным ускорением и радиусом вращения
не зависит от радиуса вращения и определяется по формуле
tg  
1.3. Плоское движение твердого тела
Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение
твердого тела, при котором все точки тела движутся параллельно
некоторой неподвижной плоскости.
Плоская фигура – сечение тела плоскостью, параллельной неподвижной плоскости (рис. 1.3).
Для изучения плоского движения твердого тела достаточно
рассмотреть движение плоской фигуры в плоскости XY (рис. 1.4).
a a a ,
S
где a ц – центростремительное ускорение и a вр – вращательное; их
модули определяются по формулам
a ц  2 h ; a вр   h .
a
V
ω
O h
ɛ
O μ
aц
Рис. 1.1
Рис. 1.2
4
a вр
M1
Y
вр
Вектор центростремительного ускорения направлен к оси
вращения. Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно центростремительному ускорению по направлению углового ускорения (рис. 1.2).
a вр

 2.
ц
a

Y
M
В
А
X
П
φ
YА
О
XА
Рис. 1.3
X
Рис. 1.4
Положение прямой АВ и, следовательно, плоской фигуры однозначно задается тремя уравнениями:
XA = XA (t);
YA = YA (t);
 =  (t),
где точка А называется полюсом. За полюс принимают точку плоской фигуры, у которой известны скорость и ускорение.
5
Плоское движение можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса.
1.4. Определение скоростей при плоском движении
При плоском движении применяют различные способы определения скоростей. В данной работе рассматриваются два способа
определения скоростей плоского механизма.
1. По плану скоростей.
2. Через мгновенный центр скоростей (МЦС).
Следствие 1 (правило проекций): проекции скоростей двух
точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки,
равны:
ПрABVA = ПрABVB,
где ПрABVA – проекция скорости точки A; ПрABVB – проекция скорости точки B на прямую AB (рис. 1.6).
VB
VA
A
β
B
α
ПрАВ VА
VBA
VA
ПрАВ VВ
1.4.1. Определение скоростей по плану скоростей
План скоростей – это выполненное в масштабе изображение
скоростей, с помощью которого можно определить скорость любой
точки плоского многозвенного механизма. Основной элемент плана
скоростей – векторный треугольник, представляющий собой графическое сложение векторов скоростей по теореме Эйлера.
План скоростей может быть построен, если у звена известна
скорость одной точки по модулю и по направлению (скорость полюса) и линия скорости другой точки. Последовательно переходя от
одного звена к другому, выбирая за полюс точки, скорость которых
уже построена, можно построить план скоростей всего механизма.
В основе построения плана скоростей лежит теорема Эйлера.
Рис. 1.6
Следствие 2: концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят ее на части, пропорциональные соответствующим расстояниям между точками.
AB – неизменяемый отрезок. Концы векторов скоростей точек
A, C и B, согласно следствию, лежат на прямой ab (рис. 1.7) и делят
ее на отрезки, размеры которых можно определить из отношения
ac AC

.
ab AB
b
Теорема Эйлера: скорость любой точки плоской фигуры
равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки
в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:
VB
VBA
B
ω
VA
А
Рис. 1.5
VA
VBA
VB  V A  VBA ,
где V A – скорость полюса А; VBA –
скорость вращения точки В вокруг
полюса (рис. 1.5).
У теоремы есть два следствия,
которые также используются для
определения скоростей точек тела.
6
c
VA
A
a
VC
VA
VBA
VCA VB
b′
c′
VA
В
C
Рис. 1.7
1.4.2. Определение скоростей через МЦС
МЦС – это точка, принадлежащая телу или находящаяся вне
его, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
7
Плоское движение можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно плоской фигуре (рис. 1.8), то есть МЦС одновременно является мгновенным центром вращения. При этом угловая скорость и скорости
точек плоской фигуры определяются по формулам вращательного
движения.
Например, если известна скорость точки А (рис. 1.9), угловая
скорость плоской фигуры определяется как
V
 A ,
AP
скорости точек В и С равны соответственно
где АР, ВР и СР – мгновенные радиусы вращения точек.
VA
Р
А
ω
Р
Р
VA
А
VC
С
В
В
VB
С
В
VC
ω
Мгновенная ось вращения
Рис. 1.10
Рис. 1.11
Для каждого звена, движущегося плоскопараллельно, строится свой мгновенный центр скоростей.
VA
VB
Рис. 1.8
VA
А
Линия скорости точки В
VB    BP; VC    CP,
А
фигуры является мгновенно-поступательным. МЦС не существует,
  0 . Скорости всех точек плоской фигуры будут равны по модулю и по направлению: V A  VB  VC (рис. 1.11).
Рис. 1.9
1.5. Определение ускорений при плоском движении
При плоском движении ускорения точек плоской фигуры
определяют различными способами. В данной работе рассмотрены
два способа определения ускорений точек.
1. По теореме Эйлера.
2. Через мгновенный центр ускорений (МЦУ).
Направление вращения тела определяется по направлению
вектора известной скорости, а векторы скоростей всех остальных
точек – по направлению полученной угловой скорости.
МЦС и, соответственно, мгновенная ось вращения при движении механизма меняют свое положение, поэтому при расчете для
каждого звена, движущегося плоскопараллельно, необходимо
определять МЦС.
В общем случае МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек плоской фигуры (рис. 1.10).
Если у плоской фигуры, движущейся плоскопараллельно,
в какой-то момент времени скорости двух точек направлены параллельно и при этом не перпендикулярны прямой, проходящей через
эти точки, то в данном положении механизма движение плоской
где a A – ускорение полюса А; a BA – ускорение вращения точки В
вокруг полюса. За полюс выбирается точка, ускорение которой известно.
Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому
ускорение a BA раскладывается на две составляющие:
8
9
1.5.1. Определение ускорений по теореме Эйлера
Теорема Эйлера: ускорение любой точки плоской фигуры
равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки
в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:
aB  a A  aBA ,
ц
вр
aBA  aBA
 aBA
.
Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера
и получим развернутый вид формулы Эйлера:
пересечения линий неизвестных ускорений. Окончательный вид
многоугольника ускорений показан на рис. 1.14, б.
вр
Линия ускорения a BA
ц
вр
aB  a Aц  aBA
 a BA
.
В
Геометрически сложив три вектора ускорений, получим ускорение точки В (рис. 1.12).
ɛ
aA
aA
aB
В
ω
А
ω
вр
a BA
Линия ускорения точки В
ц
aBA
ц
a BA
ц
aBA
А
Рис. 1.13
вр
a BA
а)
б)
aA
aA
Рис. 1.12
Векторное уравнение можно решить, если в нем содержится
не больше двух неизвестных. Неизвестными могут быть модули
или направления векторов. Уравнение Эйлера можно решить двумя
способами: графически и аналитически.
А. Графическое решение
Графическое решение заключается в построении многоугольника ускорений (плана ускорений). При этом векторы ускорений
складываются геометрически, начиная с известных по модулю и по
направлению векторов. Все ускорения строят в одном масштабе.
Неизвестные ускорения получаются построением. Модули искомых
ускорений измеряются на многоугольнике ускорений и записываются с учетом масштаба.
Например, если заданы a A , ω и известна линия ускорения
точки В (рис 1.13), то можно определить модуль и направление
ц
и показать линию вращацентростремительного ускорения aBA
вр
тельного ускорения aBA , перпендикулярную радиусу вращения АВ.
Из произвольно выбранной точки В последовательно складываются известные ускорения, потом строятся линии неизвестных
(рис. 1.14, а). Вектор ускорения будет направлен из точки В в точку
10
В
В
ц
a BA
aA
aB
ц
a BA
вр
a BA
Рис. 1.14
Б. Аналитическое решение
При аналитическом решении векторное уравнение проецируется на координатные оси, одна из которых направлена вдоль прямой АВ, другая перпендикулярно прямой. Из решения полученной
системы уравнений определяются искомые ускорения.
1.5.2. Определение ускорений через МЦУ
МЦУ – это точка, принадлежащая телу или находящаяся вне
его, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для
тела, движущегося плоскопараллельно, всегда можно построить
МЦУ.
Вращательная составляющая плоского движения не зависит от
выбора полюса, поэтому, зная угол μ, который составляет полное
ускорение с радиусом вращения, и ускорения двух точек плоской
фигуры, можно построить для нее МЦУ.
11
Для определения угла μ построим полное ускорение вращения
точки В вокруг полюса А, сложив геометрически его составляющие
ц
вр
, и измерим угол между ускорением a BA и радиусом
aBA  aBA
 a BA
вращения АВ, так как центр вращения – это полюс А.
Этот же угол для сравнения определим аналитически. Тангенс
угла между полным ускорением и радиусом вращения определяется
по формуле
a вр


tg   ц  2 ,   arctg 2 .
a


Значения угла μ, полученные разными способами, не должны
сильно отличаться.
Ускорения a A и a B должны составлять со своими радиусами
вращений угол μ, поэтому для построения МЦУ откладываем от
векторов ускорений a A и a B угол μ по направлению углового ускорения ε и под этим углом через точки А и В проводим прямые (рис.
1.15). МЦУ (точка Q) получается как точка пересечения прямых АQ
и ВQ.
aB
В
М
А
μ
aM
μ А
aA
μ
ɛ
aA
μ
ɛ
Q
Рис. 1.15
Для построения вектора a M отложим от радиуса вращения АQ
угол μ против углового ускорения ɛ и проведем вектор a M .
2. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПЛОСКОГО МНОГОЗВЕННОГО
МЕХАНИЗМА
Задан плоский механизм (рис. 2.1). Звенья механизма соединяются с неподвижными опорами и друг с другом шарнирами. Положение механизма задается углом φ. Звено О1А вращается с постоянной угловой скоростью O1 A .
Дано: а = 0,50 м; О1А = 0,30 м; АВ = 0,60 м; DC = 0,50 м;
b = 0,45 м; О2В = 0,40 м; АС = 0,35 м; СЕ = 0,30 м;
c = 0,40 м; О3K = 0,30 м; ВС = 0,30 м; ЕK = 0,60 м;
φ  60 ; O1 A = 2 c 1 .
Определить:
1) скорости всех указанных точек и угловые скорости всех
звеньев механизма по плану скоростей;
2) скорости всех указанных точек и угловые скорости всех
звеньев механизма через МЦС;
3) ускорение точек А и В и угловое ускорение звена АВ по
теореме Эйлера;
4) построить МЦУ звена АВ;
5) ускорение середины звена АВ (точка М) через МЦУ.
a
b
Q
O2
Рис. 1.16
Если известно положение МЦУ и угловые скорость и ускорение, можно определить ускорение любой точки плоской фигуры.
Например, определим ускорение точки М (рис. 1.16). Соединим
точку М с МЦУ и измерим радиус вращения.
4
с
О1 А
O1

В
C
2
Модуль ускорения определим по формуле a M  MQ   
a
MQ  a A
MQ
и из отношения M 
, откуда a M 
. Значения ускореaA
AQ
AQ
ния a M , полученные разными способами, не должны намного отличаться.
12
А
O3
E
D
K
Рис. 2.1
13
Решение
1. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев
по плану скоростей
Построим механизм в соответствии с размерами в заданном
положении в масштабе 1 см – 0,1 м (рис. 2.2). Расчет начнем с того
звена, у которого задана угловая скорость.
O2
VA
А
О1 А
O1

В
C
O3
Для построения скорости VB необходимо геометрически сложить скорости V A и VBA . Для этого через конец вектора скорости
V A проведем линию скорости VBA . Эта линия проходит перпендикулярно звену АВ, так как VBA – это скорость вращения точки В вокруг полюса А и звено АВ является радиусом вращения (см. рис. 2.2).
Точка В, кроме звена АВ, принадлежит звену О2В, которое вращается, поэтому линия скорости VB проходит через центр плана скоростей перпендикулярно звену О2В (рис. 2.3, а). Конец вектора скорости VB (точка b) получим как точку пересечения двух линий скоростей (пунктирные линии). Вектор скорости VB направлен из центра
плана скоростей в точку b (рис. 2.3, б).
а)
б)
a
E
D
K
Рис. 2.2
1.1. Звено О1А вращается.
Скорость точки А определяется по формуле
V A  O1 A  O1 A = 2 ∙ 0,3 = 0,6 м/с.
Вектор скорости V A направлен перпендикулярно радиусу
вращения О1А в сторону вращения. Из произвольно выбранного
центра плана скоростей (точка о) строим в масштабе скорость V A
(масштаб: 1 см – 0,25 м/с). Конец вектора скорости обозначаем соответствующей строчной буквой (точка а).
1.2. Звено АВС движется плоскопараллельно.
За полюс возьмем точку А, потому что ее скорость известна.
Скорость точки В определяем по теореме Эйлера:
a
о
о
b
b
Рис. 2.3
Скорость точки А была построена в масштабе, поэтому все
остальные скорости при построении получаются в том же масштабе, то есть для определения модулей скоростей на плане скоростей
измеряют соответствующие отрезки, умножают на масштаб и записывают ответ:
VB  оb = 3,86 ∙ 0,25 = 0,96 м/с;
VBA = ab = 3,48 ∙ 0,25 = 0,87 м/с.
VB  V A  VBA .
Направления векторов скоростей берутся с плана скоростей,
так как план скоростей представляет собой пучок скоростей, выходящих из центра плана скоростей.
Для определения угловой скорости треугольника АВС воспользуемся формулой
14
15
VBA   ABC  AB,
откуда
 ABC 
VB
0,96

 2,40 c 1 .
O2 B 0,40
1.4. Звено СD движется плоскопараллельно.
За полюс возьмем точку C. Для определения скорости точки D
запишем теорему Эйлера:
VD  VC  VDC .
O2 B 
VBA 0,87

 1,45 c 1 .
AB 0,60
Точка С принадлежит треугольнику АВС, ее скорость определяется по теореме Эйлера. Линия скорости точки С неизвестна, поэтому скорость VC будем строить дважды, принимая за полюс разные точки. Взяв за полюс точку А, получим
VC  VA  VCA .
Для векторного построения через конец скорости V A проведем
линию скорости VCA перпендикулярно стороне АС. Затем возьмем
за полюс точку В и будем строить VC по формуле
Через конец вектора скорости VC перпендикулярно звену СD
проведем линию скорости VDC до пересечения с линией скорости
точки D. Линия скорости точки D проходит через центр плана скоростей вертикально по направлению движения поршня, потому что
точка D, кроме звена СD, принадлежит поршню, который движется
поступательно по направляющим. Конец вектора скорости VD получим как точку пересечения двух пунктирных линий (рис. 2.5, а):
VD  оd = 5,39 ∙ 0,25 = 1,35 м/с;
VDC  сd = 6,17 ∙ 0,25 = 1,54 м/с.
VC  VB  VCB .
Через конец вектора скорости VB проведем линию скорости
VCB перпендикулярно стороне ВС. Точку с получим как точку пересечения линий скоростей VCA и VCB (рис. 2.4, а). Вектор скорости
VC направлен из центра плана скоростей в точку с (рис. 2.4, б).
VC  ос = 3,47 ∙ 0,25 = 0,87 м/с.
а)
а)
б)
б)
a
a
a
о
с
о
с
Для определения угловой скорости звена СD воспользуемся
формулой
VDC  CD  CD,
откуда
V
1,54
CD  DC 
 3,08 c 1 .
CD 0,50
b
b
a
о
с
b
b
е
Рис. 2.4
1.3. Звено О2B вращается.
Скорость точки B уже найдена, поэтому угловую скорость
определим по формуле
16
о
с
d
d
Рис. 2.5
17
Точка Е принадлежит звену СD. Для определения ее скорости
воспользуемся вторым следствием из теоремы Эйлера. Определим
положение точки е на плане скоростей из пропорции
ce CE
cd  CE 6,17  0,30

; ce 

 3,70 см.
cd CD
CD
0,50
Вектор скорости VE направлен из центра плана скоростей
в точку e (рис. 2.5, б):
VE  оe = 3,68 ∙ 0,25 = 0,92 м/с.
1.5. Звено EK движется плоскопараллельно.
За полюс возьмем точку E. Для определения скорости точки K
запишем теорему Эйлера:
VK  VE  VKE .
Через конец скорости VE перпендикулярно звену EK проведем
линию скорости VKE до пересечения с линией скорости точки K,
проходящей через центр плана скоростей перпендикулярно звену
KО3 (рис. 2.6, а). Вектор скорости VK направлен из центра плана
скоростей в точку k – точку пересечения линий скоростей VKE и VK
(рис. 2.6, б):
VK  оk = 1,10 ∙ 0,25= 0,27 м/с;
VKE  ek = 4,06 ∙ 0,25 = 1,02 м/с.
а)
б)
a
a
k
k
о
с
о
с
b
b
е
е
d
d
Угловую скорость звена KE определим по формуле
 EK 
VKE 1,02

 1,69 c 1 .
EK 0,60
1.6. Звено KО3 вращается.
Скорость точки K известна, угловую скорость звена определим по формуле
0,27
V
O3 K  K 
 1,10 c 1 .
O3 K 0,25
2. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев
через МЦС
Построим механизм в соответствии с размерами в заданном
положении в масштабе 1 см – 0,1 м (рис. 2.7). Расчет начнем с того
звена, у которого задана угловая скорость.
2.1. Звено О1А вращается.
Скорость точки А определим по формуле
V A  O1A  O1 A = 2 ∙ 0,3 = 0,6 м/с.
Вектор скорости V A направлен перпендикулярно радиусу
вращения О1А в сторону вращения (рис. 2.7). Скорости строим
в масштабе 1 см – 0,25 м/с.
2.2. Звено АВС движется плоскопараллельно.
Известна скорость точки А по модулю и по направлению
и линия скорости точки В. МЦС звена АВ (точка Р1) находится
в точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках А и В
(см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг
точки Р1 с угловой скоростью:
V
0,60
 ABC  A 
 1,42 c 1 ,
AP1 0,42
где АР1 – мгновенный радиус вращения для точки А.
Механизм построен в масштабе, поэтому при графическом
решении все необходимые радиусы вращения измеряем на рисунке
(см. рис. 2.7) и записываем с учетом масштаба для расстояний:
АР1 = 4,2 ∙ 0,1 = 0,42 м.
Рис. 2.6
18
19
2.3. Звено О2B вращается.
Скорость точки B уже найдена, угловую скорость определим
по формуле
V
0,95
O2 B  B 
 2,38 c 1 .
O2 B 0,40
Р1
 АВС
O2
VA
A
О2 В
О1 А
O1

VC
В
C
O3
E
D
VB
CD
Р2
VE
VK
EK
О3 K
K
Р3
2.4. Звено СD движется плоскопараллельно.
Известна скорость точки С по модулю и по направлению
и линия скорости точки D. МЦС звена CD (точка Р2) находится
в точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках C и D
(см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг
точки Р2 с угловой скоростью
V
0,87
CD  C 
 3,09 c 1 ,
CP2 0,28
где CР2 – мгновенный радиус вращения точки C,
CР2 = 2,83 ∙ 0,1 = 0,28 м.
Направление вращения определим по направлению скорости
точки C. Точки D и E принадлежат звену СD, их радиусы вращения
DР2 = 4,35 ∙ 0,1 = 0,44 м;
EР2 = 2,86 ∙ 0,1 = 0,29 м.
VD
Скорости точек D и E соответственно:
Рис. 2.7
Направление вращения определим по направлению скорости
точки А. Точки В и С принадлежат звену АВС, их радиусы вращения
ВР1 = 6,7 ∙ 0,1 = 0,67 м;
СР1 = 6,1 ∙ 0,1 = 0,61 м.
Скорости этих точек:
VB   ABC  BP1 = 1,42 ∙ 0,67 = 0,95 м/с;
VC   ABC  CP1 = 1,42 ∙ 0,61 = 0,87 м/с.
Вектор скорости VB направлен перпендикулярно радиусу
вращения ВР1, вектор скорости VC направлен перпендикулярно
радиусу вращения СР1 по направлению угловой скорости  ABC
(см. рис. 2.7).
20
VD  CD  DP2 = 3,09 ∙ 0,44 = 1,36 м/с;
VE  CD  EP2 = 3,09 ∙ 0,29 = 0,90 м/с.
Вектор скорости VD направлен перпендикулярно радиусу
вращения DР2, вектор скорости VE направлен перпендикулярно радиусу вращения EР2 по направлению угловой скорости CD
(см. рис. 2.7).
2.5. Звено EK движется плоскопараллельно.
Известна скорость точки Е по модулю и по направлению
и линия скорости точки K. МЦС звена EK (точка Р3) находится в
точке пересечения перпендикуляров к скоростям в точках E и K
(см. рис. 2.7). В данный момент времени звено вращается вокруг
точки Р3 с угловой скоростью
21
VE
0,90

 1,69 c 1 ,
EP3 0,53
где EР3 – мгновенный радиус вращения точки E,
O2
 EK 
A
O 1 A
EР3 = 5,30 ∙ 0,1 = 0,53 м.
Направление вращения определим по направлению скорости
точки E. Мгновенный радиус вращения точки K
O1

a Bц
a Aц
Рис. 2.8
VK   EK  KP3 = 1,65 ∙ 0,16 = 0,27 м/с.
Вектор скорости VK направлен перпендикулярно радиусу
вращения KР3 по направлению угловой скорости  EK (см. рис. 2.7).
2.6. Звено KО3 вращается.
Скорость точки K известна, угловая скорость звена определяется по формуле
0,27
V
O3K  K 
 1,08 c 1 .
O3 K 0,25
Для сравнения значений скоростей и угловых скоростей,
определенных разными способами, результаты занесем в таблицу.
Метод
решения
VA ,
м/с
VB ,
м/с
VC ,
м/с
B
вр
a BA
KР3 = 1,65 ∙ 0,1 = 0,16 м.
Скорость точки K
a Bвр
ц
a BA
VD ,
м/с
VE ,
м/с
VK , ωABC, O2 B , ωCD, ωEK, O3K ,
м/с 1/с
1/с 1/с
1/с
1/с
План
0,60 0,96 0,87 1,35 0,92 0,28 1,43
скоростей
2,40
3,08 1,69
1,10
МЦС
2,38
3,09 1,69
1,08
0,60 0,95 0,87 1,36 0,90 0,27 1,42
Расчет начинаем со звена, у которого задано движение.
1. Звено О1А вращается.
Ускорение точки А раскладывается на две составляющие:
a A  a Aц  a Aвр .
Определим составляющие ускорения по формулам
a цA  O2 1 A  O1 A = 22 ∙ 0,3 = 1,2 м/с2;
a вр
A   O1 A  O1 A  0,
так как звено вращается с постоянной угловой скоростью  O1 A = 0.
Вектор центростремительного ускорения a Aц направлен к оси
вращения, то есть к точке О1. Ускорения строим в масштабе 1 см –
1 м/с2.
2. Звено АВ движется плоскопараллельно.
Ускорение точки В определим по теореме Эйлера:
a B  a A  a BA .
3. Определение ускорения точки В и углового ускорения звена
АВ по теореме Эйлера
Необходимо определить ускорение только точек А и В, поэтому построим не весь механизм, а только звенья, которым принадлежат эти точки. Звенья механизма строим в заданном положении
в масштабе 1 см – 0,1 м. У треугольника АВС покажем только сторону АВ (рис. 2.8).
За полюс возьмем точку А, потому что ее ускорение известно.
Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому ускорение a BA также раскладывается на две составляющие:
22
23
ц
вр
a BA  a BA
 a BA
.
Определим модули и направления составляющих.
Центростремительное ускорение
ц
a BA
 2ABC  AB = 1,432 ∙ 0,6 = 1,22 м/с2.
ц
Вектор центростремительного ускорения a BA
направлен
к центру вращения, к точке А.
Вращательное ускорение определяется по формуле
вр
a BA
  AB  AB.
вр
Модуль вращательного ускорения a BA
определить нельзя, потому что угловое ускорение звена АВ неизвестно. Но можно покавр
, она проходит перпендизать линию вращательного ускорения a BA
ц
(см. рис. 2.8). Точка В,
кулярно центростремительному ускорению a BA
кроме звена АВ, принадлежит звену О2В, которое вращается, поэтому ускорение a B также раскладывается на две составляющие:
a B  a Bц  a Bвр .
Определим модули и направления составляющих.
Центростремительное ускорение равно
a Bц  O2 2 B  O2 B = 2,42 ∙ 0,4 = 2,30 м/с2.
aBц
Вектор центростремительного ускорения
направлен к центру вращения, к точке О2.
Вращательное ускорение определяется по формуле
a Bвр   O2 B  O2 B.
Модуль вращательного ускорения a вр
A определить нельзя, потому что угловое ускорение звена О2В неизвестно. Покажем линию
вращательного ускорения a Bвр , которая направлена перпендикулярно центростремительному ускорению aBц (см. рис. 2.8).
Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера
и получим развернутый вид формулы Эйлера:
ц
вр
a Bц  a Bвр  a Aц  a BA
 a BA
.
Это векторное уравнение будем решать двумя способами:
а) графически, построением многоугольника ускорений;
б) аналитически, проецируя его на координатные оси.
24
Графическое решение
Построим многоугольник ускорений, при этом ускорение точки В будем строить дважды. Один раз, сложив геометрически ускорения aBц и a Bвр (левая часть равенства), второй раз, сложив ускорец
вр
и a BA
(правая часть). Построение начинаем с известния a Aц , a BA
ных по модулю и по направлению ускорений, а два неизвестных
вр
вектора a BA
и a Bвр получим построением. Все ускорения в многоугольнике ускорений строим в масштабе 1 см – 0,5 м/с2. Направления ускорений указаны на механизме (см. рис. 2.8).
Для построения многоугольника ускорений выносим точку В
за пределы механизма. Построим левую часть уравнения Эйлера.
Для этого из точки В строим вектор aBц , через конец которого проводим линию вращательного ускорения a Bвр перпендикулярно
ускорению aBц (рис. 2.9, а).
а)
б)
a Bвр
a Bвр
a Bц
a Bц
вр
a BA
В
a Aц
В
ц
aBA
Рис. 2.9
Построим правую часть уравнения. Из той же точки В строим
ц
вектор ускорения a Aц , к его концу добавим ускорение a BA
, затем
через конец вектора проводим линию вращательного ускорения aBвр
перпендикулярно центростремительному (рис. 2.9, б). Точка пере25
сечения пунктирных линий (линий ускорений) даст нам искомые
вр
ускорения. Векторы вращательных составляющих ускорений a BA
и a Bвр направлены в точку пересечения этих линий (рис. 2.10, а).
Окончательный вид многоугольника ускорений показан на
рис. 2.10, б. Ускорение a B направлено из начала первого вектора
(точка В) в конец последнего, в точку пересечения вращательных
вр
составляющих ускорений a BA
и a Bвр .
б)
а)
a Bвр
a Bвр
Аналитическое решение
Для проецирования необходимо, чтобы на механизме были
указаны все ускорения, поэтому перенесем векторы построенных
вр
и a Bвр с многоугольника ускорений на
вращательных ускорений a BA
механизм в масштабе 1 см – 1 м/с2, потому что все остальные ускорения на механизме построены в этом масштабе (рис. 2.11).
Выберем координатные оси. Одну из осей направим по прямой АВ, другую – перпендикулярно АВ. Обозначим углы, которые
составляют ускорения a Aц и a Bвр с осью x. Углы измерим на рисунке: α = 77°, β = 39°.
aB
a Bц
вр
a BA
a Bц
вр
a BA
В
α
В
a Aц
O1
a Aц
ц
a BA
y
O2
x
A
a Aц
β
β

ц
a BA
вр
a BA
a Bц
ц
a BA
B
a Bвр
Рис. 2.11
Рис. 2.10
Для определения модулей ускорений на многоугольнике ускорений измерим соответствующие векторы, умножим на масштаб и
запишем численные значения:
2
a B = 4,78 ∙ 0,5 = 2,39 м/с ;
вр
= 6,09 ∙ 0,5 = 3,04 м/с2.
a BA
ц
вр
Спроецируем векторное уравнение a Bц  a Bвр  a Aц  a BA
на
 a BA
оси x и y:
ц
на ось x: a Bц  cos   a Bвр  sin   a цA  cos   a BA
;
вр
.
на ось y: a Bц  sin   a Bвр  cos   a цA  sin   a BA
Отсюда
aBвр 
Угловое ускорение звена АВ равно
 ABC 
вр
a BA
3,04

 5,07 c  2 .
AB 0,60
26
aBвр 
ц
aBц  cos   a цA  cos   aBA
;
sin 
ц
aBц  cos 39  a цA  cos 77  aBA
2,30  0,78  1,20  0,22  1,23
=
=
sin 39
0,63
0,31
=
= 0,48 м/с2;
0,63
27
вр
a BA
a Bц
  sin   a Bвр  cos   a цA  sin ;
aBц  sin 39  aBвр  cos 39  a цA  sin 77 =
вр

aBA
= 2,30 ∙ 0,63 + 0,48 ∙ 0,78 + 1,20 ∙ 0,97 = 2,99 м/с2.
4.5. От ускорения a B отложим угол μ по направлению углового ускорения  AB и проведем прямую через точку В (см. рис. 2.12).
4.6. МЦУ (точка Q) получается как точка пересечения прямых
АQ и ВQ.
Модуль ускорения аВ определим по теореме Пифагора:
ɛAB
a B  (a Bц ) 2  (a Bвр ) 2  2,32  0,482  5,5204  2,35 м/с2.
 AB
a вр 2,99
 4,98 c  2 .
 BA 
AB 0,60
Значения искомых ускорений a B и  AB , найденные двумя способами, близки, следовательно, решение правильное.
Направление углового ускорения  AB определяем по направвр
лению вращательного ускорения a BA
.
4. Построение мгновенного центра ускорений для звена АВ
Для построения МЦУ используем рис. 2.11, на нем построены
в масштабе все ускорения.
4.1. Построим вектор полного ускорения a BA , сложив геометц
вр
(рис. 2.12).
рически его составляющие: a BA  a BA
 a BA
4.2. Измерим угол μ, который составляет полное ускорение
a BA с радиусом вращения АВ. Угол μ = 68º.
Для проверки определим угол μ аналитически:
tg  
a Aц
O1
28
aM
μ
μ

Q
a Bц
μ
вр
a BA
μ
ц
a BA
B
a Bвр
Рис. 2.12
5. Определение ускорения точки М (АМ = МВ) через МЦУ
5.1. Соединим точку М с МЦУ. Измерим расстояние MQ
и, умножив на масштаб для размеров механизма (1 см – 0,1 м),
определим радиус вращения точки М:
MQ = 1,8 ∙ 0,1 = 0,18 м.
5.2. Определим модуль ускорения точки М двумя способами:
а) по формуле
a M  MQ 4AB   2AB = 0,18 1,434  5,07 2 = 0,98 м/с2;
б) из отношения
4
2
a M MQ  AB   AB

;
aA
AQ 4AB   2AB
 AB 5,07 5,07


 2,48 ,   arctg 2,48  68 .
2AB 1,432 2,04
Значения углов совпадают, значит, угол μ определен правильно.
4.3. От ускорения a A  a Aц отложим угол μ по направлению углового ускорения  AB и проведем прямую через точку А (см. рис. 2.12).
4.4. Построим вектор полного ускорения a B , сложив геометрически его составляющие: a B  a Bц  a Bвр .
aB
A
Угловое ускорение звена АВ равно
a BA
O2
aM 
MQ
0,18
aA =
1,2 = 1,03 м/с2,
AQ
0,21
где радиус вращения AQ измеряется на рисунке и с учетом масштаба равен
AQ = 2,1 ∙ 0,1 = 0,21 м.
5.3. Построим вектор ускорения a M , который также должен
составлять угол μ с радиусом вращения MQ. Для этого отложим
29
угол μ от радиуса вращения MQ против направления углового
ускорения  AB и проведем из точки М вектор ускорения a M в масштабе (см. рис. 2.12).
Примечания.
1. В данном примере для лучшего понимания порядка построения плана скоростей и многоугольника ускорений показаны промежуточные рисунки на разных этапах решения задачи. Студентам при выполнении задания
в отчетах нужно показывать только окончательный вид плана скоростей
и ускорений. Рисунки выполняются на миллиметровке.
2. В отчет должны входить следующие рисунки: схема механизма для
построения плана скоростей (рис. 2.2); план скоростей (рис. 2.6, б); схема механизма с мгновенными центрами скоростей (рис. 2.7); схема механизма для
определения ускорений со всеми ускорениями, с осями для проецирования,
с МЦУ (объединенные рис. 2.11 и 2.12); многоугольник ускорений (рис. 2.10, б).
30
Рекомендуемая литература
1. Бать М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах : в 2 т. /
М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1984. – Т. 1. – 504 с.
2. Бутенин Н. В. Курс теоретической механики : в 2 т. / Н. В. Бутенин,
Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – Т. 1. – 240 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /
под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высш. шк., 1985. – 367 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. – М. :
Высш. шк., 1990. – 416 с.
5. Яблонский А. А. Курс теоретической механики : в 2 т. / А. А. Яблонский. – М. : Высш. шк., 1984. – Т. 2. – 423 с.
6. Курс теоретической механики / под ред. К. С. Колесникова. – М. :
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 736 с.
31
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Кинематический расчет плоских многозвенных механизмов ..................... 3
1.1. Поступательное движение твердого тела ............................................... 3
1.2. Вращательное движение твердого тела ................................................... 3
1.3. Плоское движение твердого тела ............................................................ 5
1.4. Определение скоростей при плоском движении ................................... 6
1.4.1. Определение скоростей по плану скоростей ................................... 6
1.4.2. Определение скоростей через МЦС ................................................. 7
1.5. Определение ускорений при плоском движении ................................... 9
1.5.1. Определение ускорений по теореме Эйлера ................................... 9
1.5.2. Определение ускорений через МЦУ ................................................. 11
2. Пример расчета плоского многозвенного механизма ................................... 13
Рекомендуемая литература .................................................................................. 31
Учебное издание
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО
МНОГОЗВЕННОГО МЕХАНИЗМА
Методические указания
Составитель Лукашевич Надежда Кимовна
Редактор О. Д. Камнева
Корректоры К. И. Бойкова, М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 12.09.2017. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 1,9. Тираж 100 экз. Заказ 81. «С» 60.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А.
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
349 Кб
Теги
analiz, lukashevich, plosk, kinema
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа