close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Lukashevich Kinem analiz shem

код для вставкиСкачать
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Строительный факультет
Кафедра механики
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ТВЕРДЫХ ТЕЛ,
СОЕДИНЕННЫХ НЕРАСТЯЖИМЫМИ
НИТЯМИ
Методические указания
Санкт-Петербург
2017
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Строительный факультет
Кафедра механики
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ТВЕРДЫХ ТЕЛ,
СОЕДИНЕННЫХ НЕРАСТЯЖИМЫМИ
НИТЯМИ
Методические указания
Санкт-Петербург
2017
0
1
УДК 531.31 (076)
Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ)
Кинематический анализ механических систем с одной
степенью свободы, состоящих из твердых тел, соединенных
нерастяжимыми нитями: метод. указания / сост.: Н. К. Лукашевич; СПбГАСУ. – СПб., 2017. – 24 c.
Содержат общие сведения по кинематике поступательного, вращательного и плоского движения твердого тела. Приведен пример расчета механической системы с одной степенью свободы, состоящей из твердых тел,
соединенных нерастяжимыми нитями. В примере для лучшего понимания
порядка построения многоугольника ускорений показаны промежуточные
рисунки на разных этапах решения задачи.
Предназначены для выполнения расчетно-графической работы по кинематике студентами строительных специальностей.
Ил. 19. Библиогр.: 6 назв.
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
В данной работе рассматривается расчет механизмов, состоящих из тел, соединенных между собой шарнирами или нерастяжимыми нитями. Звенья механизма могут двигаться поступательно, вращательно или плоскопараллельно. Расчет заключается
в определении скоростей и ускорений точек механизма и угловых
скоростей и ускорений звеньев по заданным кинематическим характеристикам.
1. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1. Поступательное движение
Поступательным называется такое движение твердого тела,
при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе во все время движения.
При поступательном движении скорости и ускорения всех
точек тела равны по модулю и по направлению. Для определения
скоростей и ускорений используют формулы кинематики точки.
При поступательном прямолинейном движении (рис. 1.1) поО
x
ложение тела в любой момент
X
времени описывается одним
Рис. 1.1
уравнением x = x(t ) .
Скорость тела определяется как первая производная от закона
движения по времени:
dx
v= .
dt
Ускорение – производная скорости или вторая производная
от закона движения по времени:
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2017
2
dv d 2 x
= 2 .
dt
dt
Движение является ускоренным, если знаки скорости и ускорения совпадают, замедленным – если не совпадают.
a=
3
Вектор скорости направлен по движению.
Вектор ускорения при ускоренном движении направлен так
же, как вектор скорости, при замедленном – в противоположную
сторону.
Вектор центростремительного ускорения направлен к оси
вращения.
Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно центростремительному ускорению по направлению углового
ускорения (рис. 1.3).
1.2. Вращательное движение
Вращательным называется такое движение, при котором две
точки, принадлежащие телу или неразрывно с ним связанные,
остаются неподвижными все время движения. Через эти точки
проходит ось, которая называется осью вращения.
Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, все
остальные точки описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.
Вращательное движение задается углом поворота ϕ = ϕ (t ) .
Основные кинематические характеристики – угловая скорость ω
и угловое ускорение ɛ:
dϕ
dω
ω=
; ε=
.
dt
dt
Если знаки угловой скорости и углового ускорения совпадают, движение является ускоренным, если не совпадают – замедленным.
Скорость точек тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, определяется по формуле
v = ω h,
где h – радиус вращения.
Радиус вращения – это кратчайшее расстояние от точки до
оси вращения.
Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу вращения по направлению угловой скорости (рис. 1.2).
Ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, раскладывается на две составляющие:
a = a ц + a вр ,
где a ц – центростремительное и a вр – вращательное ускорения.
4
v
ω
a
O h
ɛ
a вр
O μ
aц
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Модули центростремительного и вращательного ускорения
определяются по формулам
a ц = ω2 h ; a вр = ε h .
Модуль полного ускорения определяется по уравнению
a = (a ц ) 2 + (a вр ) 2 .
1.3. Плоское (плоскопараллельное) движение
Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение
твердого тела, при котором все точки тела движутся параллельно
некоторой неподвижной плоскости.
Плоская фигура – сечение тела плоскостью параллельной неподвижной плоскости (рис. 1.4).
Для изучения плоского движения твердого тела достаточно
рассмотреть движение плоской фигуры в плоскости XY (рис. 1.5).
Положение прямой АВ и, следовательно, плоской фигуры однозначно задается тремя уравнениями:
XA = XA (t);
YA = YA (t);
ϕ = ϕ (t),
5
где точка А называется полюсом. За полюс можно принимать любую точку, принадлежащую плоской фигуре. Обычно за полюс
выбирают точку, у которой известны скорость и ускорение.
M1
Y
В
M
А
X
П
vB = ω ⋅ BP; vC = ω ⋅ CP,
где АР, ВР и СР – мгновенные радиусы вращения точек.
Y
S
скорости точек В и С равны соответственно
φ
vA
А
А
YА
О
XА
Рис. 1.4
X
Рис. 1.5
Плоское движение является совокупностью поступательного
движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг
полюса.
Р
ω
Р
vA
С
В
ω
vB
Мгновенная ось вращения
Рис. 1.6
vC
Рис. 1.7
При плоском движении используются разные способы определения скоростей. В данной работе скорости точек и угловые
скорости определяются через МЦС (мгновенный центр скоростей).
МЦС (мгновенный центр скоростей) – это точка, принадлежащая телу или находящаяся вне его, скорость которой в данный
момент времени равна нулю.
Плоское движение можно рассматривать как мгновенное
вращение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно
плоской фигуре (рис. 1.6), то есть МЦС одновременно является
мгновенным центром вращения. При этом угловая скорость и скорости точек плоской фигуры определяются по формулам вращательного движения.
Например, задана скорость точки А (рис. 1.7).
Угловая скорость плоской фигуры определяется как
v
ω= A ,
AP
Направление вращения тела определяется по направлению
вектора известной скорости, а векторы скоростей всех остальных
точек – по направлению полученной угловой скорости.
МЦС и мгновенная ось
vA
вращения при движении мехаА
низма меняют свое положение,
поэтому при расчете для каждоР
го звена, движущегося плоскоВ
параллельно, необходимо определять МЦС.
В общем случае МЦС нахоЛиния скорости точки В
дится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек
Рис. 1.8
плоской фигуры (рис. 1.8).
Если у плоской фигуры, движущейся плоскопараллельно,
в какой-то момент времени скорости двух точек направлены параллельно и при этом не перпендикулярны прямой, проходящей
через эти точки, то в данном положении механизма движение
плоской фигуры является мгновенно поступательным. МЦС не
существует, ω = 0 . Скорости всех точек плоской фигуры будут
равны по модулю и по направлению v A = vB = vC (рис. 1.9).
6
7
1.3.1. Определение скоростей при плоском движении
Если тело катится по неподвижной поверхности без проскальзывания, МЦС находится в точке касания с неподвижной
поверхностью (рис. 1.10).
vA
А
В
vC
С
vC
С
vB
Р
Рис. 1.9
ω
Рис. 1.10
Для каждого звена, движущегося плоскопараллельно, строится свой мгновенный центр скоростей.
1.3.2. Определение ускорений при плоском движении
При плоском движении ускорения точек плоской фигуры
можно определять разными способами. В данной работе ускорения
точек определяются по теореме Эйлера.
Теорема Эйлера: ускорение любой точки плоской фигуры
равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения точки
в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса:
a B = a A + a BA ,
где a A – ускорение полюса А; a BA – ускорение вращения точки В
вокруг полюса. За полюс выбирается точка, ускорение которой известно.
Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому
ускорение a BA раскладывается на две составляющие:
ц
вр
a BA = a BA
+ a BA
.
ц
вр
a B = a Aц + a BA
+ a BA
.
Геометрически сложив три
вектора ускорений, получим
ускорение точки В (рис. 1.11).
Векторное уравнение можно решить, если в нем содержится не больше двух неизвестных. Неизвестными могут быть
модули или направления векторов. Уравнение Эйлера можно
решить двумя способами: графически и аналитически.
вр
a BA
aA
aB
В
ω
ц
a BA
ц
aBA
ɛ
А
вр
a BA
aA
Рис. 1.11
А. Графическое решение
Графическое решение заключается в построении многоугольника ускорений (плана ускорений) для заданного положения механизма, выполненного в масштабе. При этом векторы ускорений
складываются геометрически, начиная с известных по модулю
и по направлению векторов. Все ускорения строят в одном масштабе. Неизвестные ускорения получаются построением. Модули
искомых ускорений измеряются на многоугольнике ускорений
и записываются с учетом масштаба.
Например, если известны a A , ω и линия ускорения точки В
(рис. 1.12), то можно определить модуль и направление центроц
и показать линию вращательного
стремительного ускорения a BA
вр
ускорения a BA , перпендикулярную радиусу вращения АВ.
вр
Линия ускорения a BA
В
ц
a BA
ω
Линия ускорения точки В
А
aA
Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера
и получим развернутый вид формулы Эйлера:
Рис. 1.12
8
9
Из произвольно выбранной точки В последовательно складываются известные ускорения, потом строятся линии неизвестных
(рис. 1.13, а). Вектор ускорения будет направлен из точки В в точку пересечения линий неизвестных ускорений. Окончательный вид
многоугольника ускорений показан на рис. 1.13, б.
а)
б)
aA
В
В
ц
a BA
aA
3
В
4
С
M
aB
ц
a BA
2) ускорение точек А и В и угловое ускорение звена АВ по
теореме Эйлера.
А
вр
a BA
O
Рис. 1.13
Б. Аналитическое решение
При аналитическом решении векторное уравнение (уравнение Эйлера) проецируется на координатные оси, одна из которых
направлена вдоль прямой АВ, другая – перпендикулярно прямой.
Из решения полученной системы уравнений определяются искомые ускорения.
2. ПРИМЕР РАСЧЕТА МЕХАНИЗМА, СОСТОЯЩЕГО
ИЗ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, СОЕДИНЕННЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
ШАРНИРАМИ И НЕРАСТЯЖИМЫМИ НИТЯМИ
D
ϕ2
2
1
Рис. 2.1
Решение
1. Определение положения механизма в заданный момент
времени
Положение механизма задается углом поворота колеса 2.
Определим угол поворота ϕ 2 для момента времени t = t1 = 1 c:
Задан механизм (рис. 2.1). Ступенчатые колеса 2 и 3, каток 4
и груз 1 соединены нерастяжимыми нитями, участки нитей вертикальны или параллельны соответствующей плоскости. Стержень АВ соединяется с колесом 2 и поршнем шарнирами. Ступенчатое колесо 2 вращается по закону ϕ 2 = ϕ 2 (t ) .
π
Дано: R2 = 0,40 м; R3 = 0,30 м; R4 = 0,25 м; ϕ 2 = (3t 2 − 2t ) ;
3
r2 = 0,25 м; r3 = 0,20 м; АB = 0,90 м; АC = CB; t1 = 1 c.
Определить и указать на рисунке в момент времени t = t1 = 1 c:
1) скорости всех указанных точек и угловые скорости всех
звеньев механизма через МЦС;
π
π
π
(3t12 − 2t ) = (3 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1) = = 60° .
3
3
3
Построим механизм в соответствии с размерами в заданном
положении в масштабе (рис. 2.2), обозначив для удобства расчета
промежуточные точки, через которые движение передается от одного тела другому. Расчет начнем с колеса 2, у которого задан угол
поворота. Направления векторов скоростей всех точек и угловых
скоростей звеньев механизма показаны на рис. 2.2.
10
11
ϕ2 (t1 ) =
vB
3
N
vN
В
ω3
vK
vL
vM
L
4
С
vA
vH
P ω4
E
vD
vH = vE = 1,05 м/с.
2.2. Колесо 3 вращается. Угловая скорость колеса
А
O
ω3 =
ϕ2
vE
D
Вектор скорости vE направлен перпендикулярно радиусу
вращения ОЕ в сторону вращения колеса 2.
Скорости точек H и E будут равны, так как нить не растяжима:
ω AB
H
K
M
PAB
2
ω2
1
vH 1,05
=
= 3,50 c −1 .
R3 0,30
Направление вращения определяем по направлению вектора
скорости vH .
Скорости точек K и L будут равны по модулю, так как их радиусы вращения численно равны
Рис. 2.2
vK = vL = ω3 ⋅ r3 = 3,50 ∙ 0,20 = 0,70 м/с.
2. Определение скоростей точек и угловых скоростей звеньев
механизма в заданный момент времени
2.1. Колесо 2 вращается. Угловая скорость колеса
Векторы скоростей vK и vL направлены перпендикулярно соответствующим радиусам вращения в сторону вращения колеса 3.
2.3. Груз 1 движется поступательно. Скорость точки D будет
равна скорости точки L, так как нить не растяжима.
ω2 =
dϕ 2 π
π
= (3 ⋅ 2t − 2) = (6t − 2) .
3
3
dt
При t = t1 = 1 c получим
ω2 =
4π 4 ⋅ 3,14
π
(6 ⋅ 1 − 2) =
=
= 4,19 c −1 .
3
3
3
Скорость точки А определяется по формуле
vD = vL = 0,70 м/с.
Вектор скорости vD направлен вверх по направлению движения груза.
2.4. Колесо 4 движется плоскопараллельно. МЦС (точка P)
находится в точке касания колеса с неподвижной поверхностью.
Скорость точки N будет равна скорости точки K, так как нить не
растяжима. Угловая скорость колеса
v A = ω2 ⋅ OA = ω2 ⋅ R2 = 4,19 ∙ 0,40 = 1,68 м/с.
Вектор скорости v A направлен перпендикулярно радиусу
вращения ОА в сторону вращения колеса 2.
Скорость точки Е определяется по формуле
ω4 =
vN
v
0,70
= 1,40 c −1 .
= N =
NP 2 R4 2 ⋅ 0,25
vE = ω2 ⋅ OE = ω2 ⋅ r2 = 4,19 ∙ 0,25 = 1,05 м/с.
Направление угловой скорости ω4 определяем по вектору
скорости v N .
12
13
Для определения скорости точки М покажем радиус вращения МР, который определяется как гипотенуза равнобедренного
прямоугольного треугольника
MP = R42 + R42 = R4 2 .
sin β =
OA ⋅ sin 30° 0,40 ⋅ 0,5
= 0,22,
=
0,90
AB
тогда угол β = arcsin 0,22 = 12,7° .
Угол γ = 180° − 30° − β = 180° − 30° − 12,7° = 137,3° .
Угол α = 180° − γ = 180° − 137,3° = 42,7° .
Скорость точки M равна
Из того же треугольника по теореме косинусов
vM = ω4 ⋅ MP = ω4 ⋅ R4 2 = 1,40 ∙ 0,25 ∙ 1,41 = 0,49 м/с.
Вектор скорости vM направлен перпендикулярно радиусу
вращения МР по направлению угловой скорости ω4 .
2.5. Звено АВ движется плоскопараллельно. МЦС (точка PAB )
определяется как точка пересечения перпендикуляров к скоростям
в точках А и В, при этом линия скорости точки В направлена вертикально по движению поршня. Угловая скорость звена АВ определяется по формуле
v
ω AB = A .
APAB
Скорости точек В и С равны соответственно
vB = ω AB ⋅ BPAB ;
= 0,16 + 0,81 − 2 ⋅ 0,40 ⋅ 0,9 ⋅ (−0,73) = 1,4956 = 1,22 м.
Из треугольника OBPAB
cos 30° =
BPAB
PAB
В
OB
,
OPAB
OB
1,22
=
= 1,41 м.
cos 30° 0,87
= OPAB ⋅ sin 30° = 1,41⋅ 0,50 = 0,70 м.
APAB = OPAB − OA = 1,41 − 0,40 = 1,01 м.
Из треугольника ACPAB по теореме косинусов
С
β
γ
CPAB = AC 2 + APAB 2 − 2 AC ⋅ APAB ⋅ cos α =
α
А
30°
OA
AB
=
,
sin β sin 30°
= 0,40 2 + 0,90 2 − 2 ⋅ 0,40 ⋅ 0,9 ⋅ cos 137,3° =
следовательно, OPAB =
vC = ω AB ⋅ CPAB .
Для определения радиусов
вращения APAB , BPAB и CPAB
рассмотрим треугольник OBPAB ,
обозначив все необходимые для
расчета углы и отрезки (рис. 2.3).
Из треугольника ОВА по
теореме синусов
OB = OA 2 + AB 2 − 2OA ⋅ AB ⋅ cos γ =
ϕ2
= 0,45 2 + 1,012 − 2 ⋅ 0,45 ⋅1,01 ⋅ cos 42,7° =
60°
= 0,20 + 1,02 − 2 ⋅ 0,45 ⋅ 1,01 ⋅ 0,73 = 0,556 = 0,75 м.
Рис. 2.3
С учетом найденных значений радиусов вращения APAB ,
BPAB и CPAB получим
O
отсюда
14
15
ω AB =
Определим составляющие ускорения по формулам
vA
1,68
=
= 1,66 c −1 .
APAB 1,01
a цA = ω22 ⋅ OA = ω22 ⋅ R2 = 4,19 2 ∙ 0,4 = 7,02 м/с2;
2
a вр
A = ε 2 ⋅ OA = ε 2 ⋅ R2 = 6,28 ∙ 0,4 = 2,51 м/с .
vB = ω AB ⋅ BPAB = 1,66 ∙ 0,70 = 1,16 м/с;
vC = ω AB ⋅ CPAB = 1,66 ∙ 0,75 = 1,24 м/с.
Направление угловой скорости ω AB определяем по направлению вектора скорости v A . Векторы скоростей vB и vC направлены
перпендикулярно соответствующим радиусам вращения в сторону
вращения звена АВ.
3. Определение ускорения точки В и углового ускорения звена
АВ по теореме Эйлера
По условию задачи нужно определить ускорение только точек А и В, поэтому построим не весь механизм, а только звенья,
которым принадлежат эти точки. Звенья механизма строим в заданном положении в масштабе. У колеса 2 покажем только окружность радиуса R2 , на которой расположена точка А (рис. 2.4).
Расчет начнем с колеса 2, у которого определена угловая скорость. Направления векторов ускорений точек механизма показаны на рис. 2.4.
3.1. Колесо 2 вращается.
Угловое ускорение колеса
В
ε2 =
dω2 π
= ⋅ 6 = 2π = 6,28 c − 2 .
3
dt
А
3.2. Звено АВ движется плоскопараллельно.
Ускорение точки В определим по теореме Эйлера:
a B = a A + a BA .
За полюс возьмем точку А, потому что ее ускорение известно.
Точка В вокруг точки А движется по окружности, поэтому ускорение a BA также раскладывается на две составляющие:
ц
вр
.
a BA = a BA
+ a BA
ц
Вектор центростремительного ускорения a BA
направлен
к центру вращения, к точке А.
Вращательное ускорение определяется по формуле
O ϕ2
a Aц
= 55,59 = 7,46 м/с2.
ц
a BA
= ω2AB ⋅ AB = 1,66 2 ∙ 0,9 = 2,48 м/с2.
a Aвр
ε2
2
a A = (a цA ) 2 + (a вр
= 7,02 2 + 2,512 = 49,28 + 6,31 =
A )
Определим модули и направления составляющих.
Центростремительное ускорение равно
ц
a BA
Вращение колеса ускоренное, так как знаки угловой скорости и углового ускорения
совпадают, угловое ускорение
ε 2 направлено так же, как угловая скорость ω2 .
Ускорение точки А раскладывается на две составляющие:
a A = a Aц + a Aвр .
Вектор центростремительного ускорения a Aц направлен к оси
вращения, то есть к точке О. Вектор вращательного ускорения a Aвр
направлен перпендикулярно центростремительному в сторону углового ускорения. Ускорения строим в масштабе: 1 см – 2 м/с2.
Модуль ускорения точки А равен
2
вр
a BA
= ε AB ⋅ AB .
Рис. 2.4
16
17
а)
вр
Модуль вращательного ускорения a BA
определить нельзя, потому что угловое ускорение звена АВ неизвестно. Но можно покавр
, которая проходит перзать линию вращательного ускорения a BA
б)
(см. рис. 2.4).
пендикулярно центростремительному ускорению
Линия ускорения точки В направлена вертикально по движению
поршня.
Подставим все составляющие ускорений в теорему Эйлера
и получим развернутый вид формулы Эйлера:
Это векторное уравнение будем решать двумя способами:
а) графически, построением многоугольника ускорений;
б) аналитически, проецируя его на координатные оси.
Графическое решение
Построим многоугольник ускорений. Построение начинаем с
известных по модулю и по направлению ускорений, а два неизвр
вестных вектора a BA
и a B получим построением. Все ускорения в
многоугольнике ускорений строим в масштабе: 1 см – 2,0 м/с2.
Направления ускорений указаны на механизме (см. рис. 2.4).
Для построения многоугольника ускорений выносим точку В
за пределы механизма. Из точки В строим вектор ускорения a Aц , из
конца этого вектора строим вектор вращательного ускорения a Aвр ,
ц
ц
затем добавим ускорение a BA
, далее через конец вектора a BA
провр
водим линию вращательного ускорения a BA перпендикулярно центростремительному (рис. 2.5, а) до пересечения с линией ускорения точки В. Точка пересечения пунктирных линий (линий ускорений) даст нам искомые ускорения. Вектор вращательного
вр
ускорения a BA
направлен в точку пересечения этих линий
(рис. 2.5, а).
Окончательный вид многоугольника ускорений показан на
рис. 2.5, б. Ускорение a B направлено из начала первого вектора
вр
(точка В) в конец последнего – вектора a BA
.
aB
a Aвр
a Aвр
ц
a BA
ц
a BA
вр
a BA
Рис. 2.5
Для определения модулей ускорений на многоугольнике
ускорений измерим соответствующие векторы, умножим на масштаб и запишем численные значения:
a B = 3,02 ∙ 2,0 = 6,04 м/с2;
вр
= 2,64 ∙ 2,0 = 5,28 м/с2.
a BA
Угловое ускорение звена АВ равно
ε ABC =
вр
a BA
5,28
=
= 5,87 c − 2 .
AB 0,90
Аналитическое решение
В
y
вр
a BA
ц
a BA
aB
β
a Aвр
2
γ
O
А
α
a Aц
x
Рис. 2.6
18
a Aц
a Aц
ц
a BA
ц
вр
.
a B = a Aц + a Aвр + a BA
+ a BA
В
В
Для проецирования необходимо, чтобы на механизме были
указаны все ускорения, поэтому
перенесем векторы построенных
вр
геометрически ускорений a BA
и aB
с многоугольника ускорений на
механизм в масштабе 1 см – 2 м/с2,
потому что все остальные ускорения на механизме построены
в этом масштабе (рис. 2.6).
Выберем координатные оси.
Одну из осей направим по прямой
АВ, другую – перпендикулярно АВ.
Обозначим углы, которые составляют ускорения a Aц , a Aвр и a B
с осью x. Углы были найдены ранее при определении скоростей.
19
Спроецируем на оси x и y векторное уравнение
вр
ц
a B = a Aц + a Aвр + a BA
+ a BA
ц
на ось x: a B ⋅ cos β = a цA ⋅ cos α − a вр
A ⋅ cos( γ − 90°) + a BA ;
четах нужно показывать только окончательный вид многоугольника ускорений. Рисунки выполняются на миллиметровке.
2. В отчет должны входить следующие рисунки: схема механизма
с мгновенными центрами скоростей (рис. 2.2); схема механизма для определения ускорений со всеми ускорениями, с осями для проецирования (объединенные рис. 2.4 и 2.6); многоугольник ускорений (рис. 2.5, б).
вр
на ось y: a B ⋅ sin β = a цA ⋅ sin α + a вр
A ⋅ sin( γ − 90°) − a BA .
Отсюда
aB =
aB =
ц
a цA ⋅ cos 42,7° − a вр
A ⋅ cos 47,3° + a BA
=
cos12,7°
=
=
ц
a цA ⋅ cos α − a вр
A ⋅ cos( γ − 90°) + a BA
;
cos β
7,02 ⋅ 0,74 − 2,51 ⋅ 0,68 + 2,48
=
0,98
5,19 − 1,71 + 2,48 5,96
=
= 6,09 м/с2;
0,98
0,98
вр
aBA
= a цA ⋅ sin α + a вр
A ⋅ sin( γ − 90°) − a B ⋅ sin β ;
вр
aBA
= a цA ⋅ sin 42,7° + a вр
A ⋅ sin 47,3° − a B ⋅ sin 12,7° =
= 7,02 ∙ 0,68 + 2,51 ∙ 0,73 – 6,09 ∙ 0,22 = 5,26 м/с2.
Угловое ускорение звена АВ равно
ε AB =
вр
aBA
5,26
=
= 5,84 c − 2 .
AB 0,90
Значения искомых ускорений a B и ε AB , найденные двумя
способами, близки, следовательно, решение правильное.
Направление углового ускорения ε AB определяем по направвр
лению вращательного ускорения aBA
.
Примечания: 1. В данном примере для лучшего понимания порядка
построения многоугольника ускорений показаны промежуточные рисунки
на разных этапах решения задачи. Студентам при выполнении задания в от20
21
Рекомендуемая литература
1. Бать М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах : в 2 т. /
М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1984. – Т. 1. – 504 с.
2. Бутенин Н. В. Курс теоретической механики : в 2 т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – Т. 1. – 240 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике /
под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высш. шк., 1985. – 367 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. –
М. : Высш. шк., 1990. – 416 с.
5. Яблонский А. А. Курс теоретической механики : в 2 т. / А. А. Яблонский. – М. : Высш. шк., 1984. – Т. 2. – 423 с.
6. Курс теоретической механики / под ред. К. С. Колесникова. – М. :
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 736 с.
22
ОГЛАВЛЕНИЕ
Кинематический анализ механических систем с одной степенью
свободы……………………………………………………………………… 3
1. Основы кинематики твердого тела ............................................................. 3
1.1. Поступательное движение ................................................................... 3
1.2. Вращательное движение ...................................................................... 4
1.3. Плоское (плоскопараллельное) движение .......................................... 5
1.3.1. Определение скоростей при плоском движении ................... 6
1.3.2. Определение ускорений при плоском движении ................... 8
2. Пример расчета механизма, состоящего из твердых тел,
соединенных между собой шарнирами и нерастяжимыми нитями ............ 10
Рекомендуемая литература ............................................................................. 22
23
Учебное издание
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ТВЕРДЫХ
ТЕЛ, СОЕДИНЕННЫХ НЕРАСТЯЖИМЫМИ НИТЯМИ
Методические указания
Составитель Лукашевич Надежда Кимовна
Редактор О. Д. Камнева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 28.12.2017. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 158. «С» 117.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А.
24
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
354 Кб
Теги
shema, analiz, lukashevich, kinema
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа