close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Krasolenko i dr Obyknovennye dif uravn Rjady

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Факультет городского строительства
и жилищно-коммунального хозяйства
Кафедра математики
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ
Рабочая программа, методические указания
и контрольные задания
Санкт-Петербург
2012
1
УДК 519.95 (075.8)
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент Е. К. Ершов (СПбГАСУ)
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды: рабочая программа, методические указания и контрольные задания / сост.:
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина; СПбГАСУ. – СПб.,
2012. – 55 с.
Даются методические рекомендации по выполнению индивидуального
домашнего задания (пятой и шестой контрольных работ) по курсу высшей математики «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды». Приводятся
варианты контрольных работ.
Предназначены для студентов факультета безотрывной формы обучения.
Библиогр.: 7 назв.
ВВЕДЕНИЕ
Прежде чем приступать к выполнению контрольных работ, необходимо ознакомиться с «Рабочей программой» и изучить соответствующий теоретический материал по учебникам, указанным в разделе «Рекомендуемая литература».
Во время экзаменационной сессии для студентов безотрывной
формы обучения читаются установочные лекции и проводятся практические занятия, которые носят обзорный характер.
К сдаче экзамена или зачета допускаются студенты, контрольные
работы которых проверены и зачтены преподавателями кафедры математики.
Следует обратить внимание на оформление контрольной работы. На титульном листе должны быть указаны:
• фамилия, имя, отчество;
• номер студенческого билета (или зачетной книжки);
• специальность;
• название дисциплины и номер контрольной работы;
• номер варианта.
Номер варианта, который должен выполнять студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной
книжки). Цифре ноль соответствует вариант № 10.
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
2
3
Рабочая программа курса высшей математики
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения.
Порядок уравнения. Определение решения уравнения.
2. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Решение уравнения. Геометрическая трактовка перечисленных
понятий для уравнения первого порядка. Теорема существования
и единственности решения дифференциального уравнения первого
порядка. Решения уравнения (общее, частное и особое). Задача Коши
для уравнения первого порядка. Основные типы дифференциальных
уравнений первого порядка, допускающие решение в квадратурах
(уравнения с разделяющимися переменными, линейные и Бернулли).
3. Общий вид дифференциального уравнения порядка n . Общий интеграл и общее решение дифференциального уравнения порядка n. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения n-го порядка. Задача Коши для уравнения
n-го порядка.
4. Основные классы дифференциальных уравнений высшего
(n)
порядка, приводимых к уравнению первого порядка: y = f ( x) ,
8. Нахождение линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
9. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
10. Нахождение частных решений линейного неоднородного
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью f ( x) = e αx ( Pn ( x) cos β x + Qm ( x) sin β x ) методом
м
неопределенных коэффициентов.
11. Понятие о нормальной системе дифференциальных уравнений, ее общем решении и задаче Коши. Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к нормальной системе n дифференциальных уравнений. Линейные однородные и неоднородные системы n
дифференциальных уравнений и свойства их решений.
Ряды
′ ) =0.
F ( x, y ( n−1) , y ( n ) ) = 0 и F ( y, y ′x , y ′xx
5. Общий вид линейного однородного и неоднородного уравнений порядка n . Свойства частных решений линейного однородного уравнения второго порядка (суперпозиции решений, вронскиан
решений). Формула Лиувилля для вронскиана.
6. Линейная зависимость и линейная независимость частных
решений линейного однородного уравнения второго порядка. Необходимое и достаточное условия линейной независимости частных
решений. Структура общего решения линейного однородного и неоднородного уравнений.
7. Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма
комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Действия над комплексными
числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Формулы
Эйлера. Показательная форма комплексного числа.
1. Понятие о ряде, его общем члене, частичной сумме и сумме
(в случае его сходимости). Частичный остаток ряда. Эквивалентность
ряда и его частичного остатка в отношении сходимости. Геометрическая
прогрессия.
2. Необходимый признак сходимости и его недостаточность.
Арифметические операции со сходящимися рядами.
3. Знакопостоянные ряды. Общий признак сходимости рядов
с положительными членами. Два признака сходимости рядов
с положительными членами, основанные на сравнении рядов
(в предельной и непредельной формах).
4. Признак Д′Аламбера в предельной и непредельной формах.
Оценка частичного остатка ряда, удовлетворяющего условиям признака
сходимости Д′Аламбера.
5. Интегральный признак Коши. Оценка частичного остатка ряда,
удовлетворяющего условиям интегрального признака сходимости.
6. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
Оценка частичного остатка ряда, удовлетворяющего условиям признака
сходимости Лейбница.
7. Теорема о сходимости ряда при условии сходимости ряда из
абсолютных величин его членов. Абсолютно и неабсолютно (условно) сходящиеся ряды. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана.
4
5
8. Степенной ряд комплексной переменной. Теорема Абеля.
Область и радиус сходимости степенного ряда комплексной переменной.
9. Вещественный степенной ряд, его промежуток и радиус сходимости. Свойства степенного ряда вещественной переменной (непрерывность суммы ряда, дифференцирование и интегрирование степенного ряда).
10. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряд Тейлора функции.
11. Формула Тейлора функции. Представление остаточного члена формулы Тейлора в интегральной форме и форме Лагранжа. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
x
12. Разложение в степенные ряды по степеням x функций e ,
ch x , sh x , cos x и sin x .
13. Разложение в степенные ряды по степеням x функций
ln(1 + x) , arctg x и (1 + x) α .
14. Тригонометрический ряд и его физическая трактовка. Ортогональность системы тригонометрических функций. Выражение коэффициентов тригонометрического ряда через его сумму. Ряд Фурье
функции.
15. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье функций на половине промежутка периодичности.
Примерный вариант контрольной работы № 5
по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Определить тип дифференциального уравнения и найти его
решение:
1 y
y
y x =0 = 0 ;
1) (1 + e ) x = e y′ ,
2
3x 2
y = x2 ,
y x =0 = 1 ;
2) y′ + 3
x +1
3) y′′ =
sin 2 x
, y
= 1 , y′
x =0
cos 3 2 x
x =0
=0;
4) y′′ + 4 y′ − 5 y = ( x + 3) e x ;
5) y′′ − 6 y′ + 10 y = 2 sin x , y x = 0 = 0;
y′ x = 0 = 1.
Решение задачи № 1
Важным теоретическим вопросом в теории дифференциальных
уравнений является вопрос о том, насколько много решений имеет
дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходиться ставить вопрос не о числе решений, а о том, как
можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования
и единственности [2 и 4].
Во всех вариантах контрольной работы дифференциальное уравнение первого порядка можно представить в виде, разрешенном относительно первой производной,
y ′ = f ( x, y ) ,
(1)
где функция f ( x, y ) определена в некоторой области D на плоскости xOy .
Множество точек D на плоскости называется областью, если
оно открыто и связно. Открытость D означает, что вместе с каждой
6
7
своей точкой множество D содержит и некоторый круг с центром в
этой точке. Связность D означает, что любые две точки D можно
соединить ломаной, целиком содержащейся в D . В частности, плоскость xOy является областью.
Теорема Коши о существовании и единственности решения.
Пусть функция f ( x, y ) удовлетворяет двум условиям:
1) непрерывна в области D ;
∂f
2) имеет в D непрерывную частную производную ∂y ( x, y ) .
Тогда решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными ( x0 , y0 )∈ D существует и единственно в том смысле, что существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) .
Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего
начальному условию
y
x = x0 =
y0 или, что то же самое, y ( x0 ) = y0 ,
(2)
называется задачей Коши.
В нашем примере
y′ = 2 x
1+ ey
и функция
f ( x, y ) = 2 x
ey
определена и непрерывна на всей плоскости xOy .
1+ ey
ey
(3)
∂f
( x, y ) . Для этого положим
∂y
x = const и будем рассматривать функцию
Вычислим частную производную
1+ ey
= 2 x(e − y + 1)
ey
как функцию одной переменной y . Применяя правила дифференцирования функции одной переменной, получим
f ( x, y ) = 2 x
8
(
)
∂f
∂
d
( x, y ) =
2 x (e − y + 1) = 2 x (e − y + 1) =
∂y
∂y
dy
d (e − y ) d (− y )
1
⋅
= −2 x e − y = −2 x y .
d (− y )
dy
e
Здесь сначала постоянный множитель 2 x вынесли из-под знакаа
производной по переменной y, а затем применили правило дифференцирования сложной функции.
∂f
( x, y ) тоже определена
Таким образом, частная производная
∂y
и непрерывна на всей плоскости xOy , и, следовательно, теорема существования и единственности решения справедлива для уравнения (3)
на всей плоскости.
Анализ, проведенный выше, является основной частью решения задачи Коши, так как, используя программу типа Mathematiсa или
зайдя на сайт www.wolframalpha.com (в режиме online и даже в пошаговой форме), можно моментально получить решение.
Найдем общее решение дифференциального уравнения (3), не
используя указанные средства. Это уравнение с разделяющимися переменными [2, 4 или 5], так как оно имеет вид
y ′ = g ( x ) h( y ) ,
где правая часть есть произведение функции g (x), зависящей только
о
от x, на функцию h( y ), зависящую только отт y.
В уравнении (3)
1+ ey
(
)
h
y
=
.
g ( x) = 2 x и
ey
Эти функции определены и непрерывны при всех x и y , причем
h( y ) ≠ 0 .
dy
Заменим y′ на
в уравнении (3):
dx
dy
1+ ey
=2x y
dx
e
и разделим переменные, умножая обе части уравнения на выражение
= 2x
ey
dx .
ey +1
9
Для нахождения искомого частного решения подставим в общее
В результате получим уравнение
ey
dy = 2 xdx ,
(4)
ey +1
которое называется уравнением с разделенными переменными.
Считая y известной функцией от x , равенство (4) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные
интегралы от них будут отличаться на постоянное слагаемое.
Интегрируя левую часть равенства (4) по y , а правую часть по x ,
получим
ey
∫ e y + 1 dy = ∫ 2 xdx + C .
(5)
ey
Интеграл ∫ y dy вычислим с помощью подстановки t = e y + 1.
e +1
Учитывая, что dt = d (e y + 1) = (e y + 1)′ dy = e y dy или e y dy = dt ,
получаем
ey
dt
y
∫ e y + 1 dy = ∫ t = ln t = ln(e + 1) .
Подставляя полученные выражения в равенство (5), найдем общий интеграл уравнения (3)
(6)
В данном случае уравнение (6) можно разрешить относительно
переменной y и получить общее решение дифференциального уравнения (3):
+C
y
x
, e =e
2
+C
−1
и y = ln(e x
y = ln(e x
2
+C
2
2
− 1) = ln(e x eC − 1) = ln(2 e x − 1) .
2
x
Ответ. Решением задачи Коши является функция y = ln(2 e − 1) ,
определенная на интервале (−∞ ; + ∞) .
Решение задачи № 2
(1)
Это линейное уравнение, т. е. уравнение вида
y ′ + p( x) y = f ( x),
в котором предполагается, что функции
3x 2
и f ( x) = x 2
x3 + 1
Функция f ( x) = x 2 непрерывны при всех x : − ∞ < x < +∞ .
p ( x) =
3x 2
имеет точку бесконечного разрываа
x3 + 1
x = −1: x 3 + 1 = 0 , то она непрерывна на двух интервалах: (−∞ ; − 1)
и (−1; + ∞) .
Мы выбираем интервал (−1; + ∞) , потому что наше решение
должно удовлетворять начальному условию
Так как функция p ( x) =
ln(e y + 1) = x 2 + C .
2
C
eC − 1 = 1 , e = 2 и C = ln 2 .
При таком выборе C из общего решения (7) выделяется частное:
Найдем решение уравнения
3x 2
y = x2.
y′ + 3
x +1
Интеграл ∫ 2 xdx = x 2 .
e y + 1= e x
решение начальные значения x = 0 и y = 0 . Получим 0 = ln(eC − 1) ,
2
+C
− 1) .
(7)
y x =0 = 1 .
(2)
Общее решение (7) дифференциального уравнения (3) – это однопараметрическое семейство решений, существование и единственность которых гарантирует теорема существования и единственности. Оно включает в себя все решения любой задачи Коши.
Точка x = 0 ∈ (−1; + ∞) .
Следовательно, дифференциальное уравнение (1) будем рассматривать в полосе D = {( x, y ) : − 1 < x < +∞; − ∞ < y < +∞} , расположенной на плоскости xOy . Тогда уравнение (1) удовлетворяет условиям
10
11
теоремы существования и единственности решений (см. решение задачи № 1 и [2, 4, 5]. Поэтому через каждую точку ( x0 , y0 ) ∈ D проходит единственная интегральная кривая уравнения, определенная на
интервале (−1; + ∞) .
Существуют различные способы нахождения общего решения
линейного уравнения. Мы рассмотрим только один из них – метод
Бернулли. Согласно этому методу будем искать решение y (x) в виде
произведения двух функций: y ( x) = u ( x) ⋅ v( x) .
Подставим функцию y (x) в уравнение (1). Опуская аргумент x
в функциях u и v и учитывая, что y′ = u′ v + u v′ , получаем
du
1
= x 2 , или
⋅ 3
dx x + 1
Разделяя переменные, найдем
dv
3x 2
dv
3 x 2 dx
= − 3 v , или
=− 3
.
dx
v
x +1
x +1
Интегрируя его, получаем
dv
3 x 2 dx
=
−
∫ v ∫ x3 + 1 + C .
Положим постоянную C = 0 , так как в качестве функции v(x ) можно
взять какое-либо ненулевое частное решение уравнения (3). Вычисляя интегралы
3 x 2 dx
d ( x 3 + 1)
dv
3
−
=
−
∫ v = ln v и ∫ x3 + 1 ∫ ( x3 + 1) = − ln( x + 1) ,
1
.
имеем ln v = ln( x 3 + 1) −1 и v = ( x 3 + 1) −1 = 3
x +1
12
du
= x 2 ( x 3 + 1) .
dx
du = ( x 5 + x 3 ) dx .
Отсюда
x 6 x3
+ +C .
6
3
Общим решением уравнения (1) в полосе D будет функция
5
2
∫ du = ∫ ( x + x ) dx + C , или
2

3x
3x 2 
2

uv
=
x
′
′
u
v
+
u
v
+
v  = x 2 .
,
или
3
3

x +1
x +1 

Выбирая ненулевую функцию v(x ) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в нуль, приходим к решению следующей
системы:
 dv 3 x 2
(3)
 + 3 v = 0 ,
dx x + 1

 du v = x 2 .
(4)
 dx
Уравнения (3) и (4) являются уравнениями с разделяющимися переменными в полосе D.
Разделим переменные в уравнении (3):
u ′v + uv′ +
Найдем общее решение уравнения (4). Подставляя найденную функцию v(x ) в уравнение (4), получим уравнение с разделяющимися переменными:
y = uv =
u=

1  x6 x3
 + +C,
3


3
x +1 6

определенная на интервале (−1; + ∞) .
Используя начальное условие (2), найдем частное решение, интегральная кривая которого проходит через точку с координатами x = 0
и y = 1.
Для этого подставим x = 0 и y = 1 в выражение (5) и найдем значение постоянной C :
1 0 0

 + +C ,
C =1,
0 +1 6 3

при котором из общего решения выделяется искомое частное.
Ответ. Решением задачи Коши (1), (2) является функция
1=
y=
1  x6 x3 
 + + 1 , определенная на интервале (−1; + ∞) .

3
x 3 + 1  6

Решение задачи № 3
Найдем частное решение уравнения
y′′ =
sin 2 x
,
cos3 2 x
13
(1)
удовлетворяющее начальным условиям
y x =0 = 1 ,
y′
Таким образом,
x =0
= 0.
(2)
1
1
+ C1 .
(3)
4 cos 2 2 x
Найдем значение постоянной интегрирования C1 , используя наy′ =
Данное уравнение является «простейшим» уравнением второго
порядка, правая часть которого зависит только от независимой переменной x , т. е. уравнением вида
y′′ = f (x ) .
Предполагается, что функция f (x) непрерывна в некотором ин-
о cos 0 = 1, получаем
чальное условие y ′ = 0 при x = 0 . Учитывая, что
тервале (a, b) . Тогда для простейшего уравнения справедлива теорема существования и единственности решения [2 и 4].
Подставим значение C1 = −
Для уравнения (1) f ( x) =
1 1
1
+ C1 , 0 = + C1
2
4 cos 0
4
sin 2 x
и с учетом начальных услоcos 3 2 x
 π π
вий (2) мы выбираем интервал  − ,  .
 4 4
π
π
ет
Тогда на плоскости xOy в интервале − < x < существует
4
4
единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через
точку с координатами x = 0 и y = 1 , при этом тангенс угла наклона
касательной в этой точке равен нулю (геометрический смысл начальных условий (2)).
Найдем решение задачи Коши (1), (2).
Учитывая, что
y′′( x) = ( y′( x))′ и ∫ y′( x) dx = y ( x) + C ,
проинтегрируем обе части уравнения (1) по переменной x. В результате получим
sin 2 x
dx + C1 .
y′ = ∫
cos3 2 x
Для вычисления интеграла сделаем замену переменной t = 2 x .
1
Отсюда dt = 2dx , dx = dt и
2
sin 2 x
1 sin t dt 1 − d (cos t )
∫ cos3 2 x dx = 2 ∫ cos3 t = 2 ∫ cos3 t =
=−
0=
1
1 cos − 2 t 1 1
1
1
−3
(cos
t
)
d
(cos
t
)
=
−
=
=
.
∫
2
2
2 −2
4 cos t 4 cos 2 2 x
14
1
и C1 = − .
4
1
в уравнение (3):
4
y′ =
1
1
1
− .
2
4 cos 2 x 4
(4)
Интегрируя обе части уравнения (4) по переменной х, получим
1
1
1
dx
1
( 2
− 1) dx + C2 = ∫
− x + C2 .
∫
2
4 cos 2 x 4
4 cos 2 x
Для вычисления интеграла вновь сделаем замену переменной
y=
t = 2 x и dx =
Тогда
dx
∫ cos 2 2 x
и, следовательно,
=
1
dt .
2
1
dt
1
1
= tg t = tg 2 x
∫
2
2 cos t 2
2
1
1
y = tg 2 x − x + C2 .
8
4
Найдем значение постоянной интегрирования C2 , используя второее
о tg 0 = 0 , получаем
начальное условие y = 1 при x = 0 . Учитывая, что
1
1
1 = tg 0 − 0 + C2 и C2 = 1 .
8
4
Отсюда искомое частное решение уравнения (1), удовлетворяющее
начальным условиям (2), запишется в виде
1
1
y = tg 2 x − x + 1 .
8
4
15
Ответ. Решением задачи Коши (1), (2) является функция
1
1
π
π
y = tg 2 x − x + 1 , определенная на интервале − < x < .
8
4
4
4
Решение задач № 4 и 5
y ( x) = y0 ( x) + ~
y ( x)
В задачах № 4 и 5 даны линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной
правой частью.
Уравнение вида
(1)
y′′ + p y ′ + q y = f (x ) ,
где p и q – вещественные числа, а f (x ) – функция, непрерывная на
некотором промежутке, называется линейным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Функция
f ( x) = e αx ( Pn ( x) cos β x + Qm ( x) sin β x)
(2)
называется функцией специального вида.
Комплексные числа α ± β i будем называть контрольными числами.
Pn ( x) = a0 x n + a1 x n −1 +  + an −1 x + an ,
Qm ( x ) = b0 x m + b1 x m −1 +  + bm −1 x + bm
суть многочлены степени n и m.
Функция специального вида (2) определена при всех x ∈ (−∞; + ∞) .
Уравнение (1) называется неоднородным, если функция f (x) не
равна тождественно нулю. Если же f ( x) ≡ 0 , то уравнение (1) принимает вид
(3)
y′′ + p y ′ + q y = 0
и называется однородным.
Если левые части однородного и неоднородного уравнений совпадают, то в этом случае однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному.
Имеет место следующее далее утверждение [2, 4 и 5].
16
Утверждение 1 (о структуре общего решения неоднородного
уравнения)
Если y0 ( x) – общее решение однородного уравнения (3),
а~
y ( x) – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1), то
(4)
есть общее решение неоднородного уравнения (1).
Отсюда следует, что построение общего решения неоднородного уравнения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти общее
решение y0 ( x) соответствующего однородного уравнения, а затем
найти какое-либо частное решение ~
y ( x) неоднородного уравнения.
1. Нахождение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (метод Эйлера)
Определение. Будем говорить, что два решения: y1 ( x) и y2 ( x) –
линейного однородного уравнения (3) линейно независимы на проy1 ( x)
межутке x ∈ (−∞; + ∞) , если их отношение y ( x) не равно тожде2
ственно константе.
Утверждение 2 (о структуре общего решения однородного
уравнения)
Если y1 ( x) и y2 ( x) – два линейно независимых решения уравнения (3), то их линейная комбинация
y 0 ( x) = C1 y1 ( x) + C 2 y 2 ( x) ,
(5)
где C1 и C2 – произвольные постоянные, есть общее решение
линейного однородного уравнения (3).
Решение уравнения (3)
y′′ + p y ′ + q y = 0 ,
где p и q – вещественные числа, будем искать в виде
y = e kx .
Постоянная k подлежит определению.
17
(6)
2 kx
Так как y ′ = k e kx и y ′′ = k e , то подстановка полученных выражений производных в уравнение (3) приводит к равенству
kx
лe kx (k 2 + p k + q ) = 0 . Так как e ≠ 0 , то последнее равенство выполняется, если
(7)
k2 + pk + q = 0.
Таким образом, функция y = e kx является решением дифференциального уравнения (3), если постоянная k является корнем квадратного
о
уравнения (7).
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением
дифференциального уравнения (3)
Напомним формулу для определения двух корней k1 и k 2 квадратного уравнения (7). Пусть дискриминант D = p 2 − 4q , тогда
− p± D
k1, 2 =
.
(8)
2
При решении квадратного уравнения (7) возможны три случая
в зависимости от знака дискриминанта D = p 2 − 4q :
1) корни уравнения k1 и k 2 вещественные и различные: k1 ≠ k 2
( D > 0);
2) корни уравнения k1 и k 2 вещественные и равные: k1 = k 2 = k0
( D = 0);
3) корни уравнения k1 и k 2 – комплексно сопряженные числа
( D < 0) .
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Корни уравнения k1 и k 2 вещественные и различные: k1 ≠ k 2 .
Тогда уравнение (3) имеет два решения: y1 = e k1 x и y2 = e k 2 x . Они линейно независимы, так как
k2 x
y 2 ( x) e
= k x = e ( k2 − k1 ) x ≠ const
y1 ( x) e 1
и, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид
y0 ( x) = C1 e k1 x + C2 e k 2 x ,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
18
2. Пусть корни характеристического уравнения k1 и k 2 вещественные и равные: k1 = k 2 = k0 . Тогда линейное однородное уравнеk x
ние (3) имеет два линейно независимых решения: y1 = e k 0 x и y2 = x e 0
[2 и 4] и, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид
y 0 ( x) = C1 e k0 x + C 2 x e k0 x ,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
3. Пусть корни характеристического уравнения k1 и k 2 – комплексно сопряженные числа k1,2 = a ± b i , где a и b – вещественные
числа, причем b ≠ 0 , i = − 1 – мнимая единица [2 и 4]. Тогда линейное однородное уравнение (3) имеет два линейно независимых решеax
ax
ния: y1 = e cos bx и y2 = e sin bx – и, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид
y0 ( x) = C1 e ax cos bx + C2 e ax sin bx ,
(11)
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
2. Построение частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов
Этот метод применим тогда, когда в правой части уравнения (1)
стоит функция специального вида (2). В этом случае частное решение ~
y ( x) уравнения может быть найдено в соответствии с видом егоо
правой части.
Рассмотрим здесь два частных варианта специальных правых частей.
1. Пусть в формуле (2) число β = 0 , тогда уравнение (1) имеет вид
y′′ + py′ + qy = Pn ( x) e αx ,
(9)
(10)
(12)
где Pn ( x) = a 0 x n + a1 x n−1 +  + a n−1 x + a n – многочлен степени n,
а вещественное число α является контрольным числом.
Уравнению (12) соответствует однородное уравнение
с характеристическим уравнением
19
k 2 + pk + q = 0 .
(13)
Пусть k1 и k 2 – его корни.
Имеет место следующее далее утверждение [2].
Утверждение 3
Частное решение уравнения (12) следует искать в виде:
a) если контрольное число α не является корнем характеристического уравнения (13), т. е. α ≠ k1 и α ≠ k 2 , то
~
y = U ( x ) e αx ,
n
n
где U n ( x) = b0 x + b1 x
n −1
+  + bn −1 x + bn – многочлен той же степени
дn , что и многочлен Pn (x) , с коэффициентами b0 , b1 , , bn−1 , bn , подлежащими дальнейшему определению;
b) если контрольное число α является простым корнем характеристического уравнения (13), т. е. α = k1 ≠ k 2 или α = k 2 ≠ k1 , то
~
y = x U ( x ) e αx ;
n
c) если контрольное число α является кратным корнем характеристического уравнения (13), т. е. α = k1 = k 2 , то
~
y = x 2 U ( x ) e αx .
n
Приведем сводную таблицу.
 U n ( x) e αx , если α не является корнем (13);

~
y ( x) =  xU n ( x) e αx , если α является простым корнем (13);
 x 2U ( x) e αx , если α является кратным корнем (13),
n

где U n ( x) = b0 x n + b1 x n −1 +  + bn −1 x + bn – многочлен той же степени n,
ечто и многочлен Pn (x) , с коэффициентами b0 , b1 , , bn−1 , bn , подлежащими дальнейшему определению.
Коэффициенты bi (i = 0, 1, , n) многочлена U n (x) должны быть
такими, чтобы функция ~
y ( x) удовлетворяла уравнению (12). Поэто-
Затем определяются производные ~
y ′( x) и ~y ′′( x) .Решение ~
y ( x)
и его производные с неопределенными пока коэффициентами подставляются в уравнение (12), и обе его части сокращаются на e αx ≠ 0 .
Далее, мы определяем коэффициенты bi (i = 0, 1, , n) , исходя из
тождественного равенства двух многочленов, стоящих в левой и правой
частях уравнения (12) (два многочлена равны тогда и только тогда, когда
ðàâí û èõ êî ýô ô èöèåí òû ï ðè î äèí àêî âû õ ñòåï åí ÿõ ï åðåì åí í î é x).
Задача № 4
Найдем общее решение уравнения
y′′ + 4 y′ − 5 y = ( x + 3) e x .
(14)
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение ищем в виде y = y 0 + ~
y.
Неоднородному уравнению (14) соответствует однородное уравнение
y ′′ + 4 y ′ − 5 y = 0 .
(15)
Функция y = e kx является решением уравнения (15), если k есть корень характеристического уравнения
k 2 + 4k − 5 = 0 .
(16)
Оно имеет корни k1 = 1, k 2 = −5 (вещественные и различные). Следовательно, общее решение однородного уравнения (15) имеет вид
y 0 ( x ) = C1e x + C 2 e − 5 x .
Построим теперь частное решение ~
y ( x) уравнения (14). В нашем случае правая часть уравнения (14)
му для их отыскания используют следующий далее алгоритм.
С помощью утверждения 3 устанавливается вид частного решения ~
y ( x) .
f ( x) = ( x + 3) e x = Pn ( x) e αx .
Сравнивая два последних выражения, получаем α = 1
и Pn ( x) = x + 3 – многочлен первой степени, n = 1 .
20
21
Поскольку контрольное число α совпадает с корнем характеристического уравнения α = k1 = 1 ( α – простой корень характеристического уравнения (16)), частное решение уравнения (14) следует искать в виде
~
y ( x) = x U ( x ) e x = x( Ax + B ) e x = Ax 2 + Bx e x ,
(
1
)
где коэффициенты A и B подлежат определению.
Чтобы найти A и B, подставим ~
y ( x) и его производные в исходное уравнение (14). Здесь при вычислении ~
y ′′( x) удобно воспользоваться формулой (uv)′′ = u ′′v + 2u ′v ′ + uv ′′ .
Итак,
(
)
~
y ( x ) = Ax 2 + Bx e x ;
~
y ′( x ) = (2 Ax + B ) e x + Ax 2 + Bx e x ;
~y ′′( x ) = 2 Ae x + 2(2 Ax + B ) e x + Ax 2 + Bx e x ,
(
(
)
и левая часть уравнения (14) принимает вид
~y′′( x) + 4 ~
y′( x) − 5 ~y ( x) =
[(
)
)
]
 x 2 17 
y ( x) = C1e x + C2e −5 x +  + x  e x .
 12 36 
Ответ. Общим решением уравнения (14) является функция
 x 2 17  x
y ( x) = C1e + C2e +  + x  e ,
 12 36 
определенная на интервале − ∞ < x < +∞ .
2. Рассмотрим решение линейного неоднородного уравнения (1)
со специальной правой частью
x
−5 x
(18)
Уравнению (18) соответствует однородное уравнение
уравнение
= ( x + 3) e x ,
обе части которого можно сократить на множитель e x ≠ 0 .
Коэффициенты A и B должны быть такими, чтобы обе части
уравнения (14) были тождественно равны друг другу, т. е.
12 Ax + (6 B + 2 A) ≡ x + 3 .
Таким образом, общее решение уравнения (14) имеет вид
y′′ + py′ + qy = e αx (M cos βx + N sin β x ).
= e [6(2 Ax + B ) + 2 A] = e [12 A x + (2 A + 6 B)].
x
[12 A x + (2 A + 6 B)]e x
 x 2 17  x
1
17
~
 + xe .
B
=
y
(
x
)
=
,
,а
 12 36 
12
36


f ( x) = e αx (M cos β x + N sin β x ).
Предполагается, что контрольные числа α ± βi мнимые, т. е.
леβ ≠ 0 , а M и N – вещественные числа, заданные многочлены нулевой степени (см. формулу (2)).
Уравнение (1) в этом случае принимает вид
= e x Ax 2 + Bx (1 + 4 − 5) + (2 Ax + B )(2 + 4 ) + 2 A =
x
Следовательно, A =
(17)
Тождество (17) выполняется тогда и только тогда, когда слева
и справа стоят одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях x:
y ′′ + py ′ + qy = 0
с характеристическим уравнением
k 2 + pk + q = 0 .
(19)
Пусть k1 и k 2 – его корни.
Имеет место следующее далее утверждение [2].
Утверждение 4
Частное решение уравнения (18) следует искать в виде:
a) если контрольные числа α ± βi не являются корнями характеристического уравнения (19), т. е. α ± β i ≠ k1, 2 , то
12 A = 1;


6 B + 2 A = 3.
~
y = e αx ( A cos βx + B sin β x) ,
где A и B – неизвестные числа, подлежащие дальнейшему определению;
22
23
b) если контрольные числа α ± βi являются корнями характе-
Оно имеет два комплексно сопряженных корня
ристического уравнения (19), т. е. α ± βi = k1, 2 , то
~
y = x e αx ( A cos β x + B sin βx) .
Заметим, что искомое частное решение всегда содержит оба
слагаемых A cos β x + B sin βx вне зависимости от того, содержит ли
функция, стоящая в правой части уравнения (18), одновременно
cos βx и sin βx .
Числа A и B определяются непосредственной подстановкой решения ~
y ( x) и его производных в уравнение (18).
Для того чтобы уравнение превратилось в тождество, приравняем коэффициенты при sin βx и cos βx в его левой и правой частях.
В результате получим систему линейных уравнений для нахождения A и B.
Решить задачу Коши
y′′ − 6 y′ + 10 y = 2 sin x ;
(20)
y ′ x =0 = 1.
(21)
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его общее решение ищем в виде y ( x) = y0 ( x) + ~
y ( x) .
Неоднородному уравнению (20) соответствует однородное уравнение
(22)
y′′ − 6 y′ + 10 y = 0
Функция y = e kx является решением уравнения (22) в том случае, если
k есть корень характеристического уравнения
k 2 − 6k + 10 = 0.
24
6 ± 36 − 40 6 ± 2i
=
= 3±i ,
2
2
т. е. k1, 2 = a ± b i = 3 ± i , где a = 3 и b = 1.
Следовательно, общее решение однородного уравнения (22)
в соответствии с формулой (11) имеет вид
y0 ( x) = C1 e ax cos bx + C2 e ax sin bx = C1 e3 x cos x + C2 e3 x sin x .
Построим теперь частное решение ~
y ( x) уравнения (20).
Для уравнения (20)
f ( x) = e αx (M cos βx + N sin β x ) = 2 sin x .
Отсюда имеем α = 0 , β = 1, M = 0 и N = 2 .
Частное решение ~
y ( x) следует искать в виде
~
y ( x) = A cos x + B sin x ,
поскольку контрольные числа α ± iβ = ±i не совпадают с корнями
Задача № 5
y x=0 = 0;
k1, 2 =
(23)
k1, 2 = a ± b i = 3 ± i характеристического уравнения (23).
Коэффициенты A и B подлежат определению.
Вычислим первую и вторую производные функции ~
y ( x) :
~
y ′( x ) = − A sin x + B cos x ,
~
y ′′( x ) = − A cos x − B sin x .
После подстановки , и в левую часть (20) имеем
~
y ′′( x ) − 6 ~
y ′( x ) + 10 ~
y ( x ) = − A cos x − B sin x − 6 ( − A sin x + B cos x ) +
+ 10 ( A cos x + B sin x) = (9 A − 6 B) cos x + (6 A + 9 B) sin x .
ства
Следовательно, A и B должны обеспечивать выполнение тожде-
(9 A − 6 B ) cos x + (6 A + 9 B ) sin x ≡ 2 sin x .
Отсюда, приравнивая коэффициенты при cos x и sin x в его левой и правой частях, получим систему линейных уравнений с двумя
неизвестными A и B
 9 A − 6 B = 0,

6 A + 9 B = 2 .
25
Решая эту систему, находим
4
6
, B= .
13
13
Общее решение уравнения (20) имеет вид
A=
4
6
y ( x ) = y0 ( x ) + ~
y ( x) = e3 x (С1 cos x + С2 sin x ) + cos x + sin x . (24)
13
13
Найдем теперь значения постоянных С1 и С 2 , при которых выполняются начальные условия (21). Согласно первому из них
0 = y (0) = C1 +
4
,
13
4
откуда С1 = − .
13
Продифференцируем общее решение (24):
y′( x) = 3e3 x (С1 cos x + С2 sin x) + e3 x (−С1 sin x + С2 cos x) −
4
6
sin x + cos x .
13
13
Согласно второму из равенств (21) имеем
−
1 = y′(0) = 3C1 + C2 +
1. Найти общий член ряда
5 11 17 23
+ +
+
+ ... ,
6 12 24 48
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать его на
сходимость.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
6
,
13
19
.
13
Подставив найденные значения C1 и C2 в общее решение (24),
получаем искомое частное решение
19
6
 4
 4
y ( x) = e3 x  − cos x + sin x  + cos x + sin x .
13
13
 13
 13
Ответ. Решением задачи Коши (20), (21) является функция
19
6
 4
 4
y ( x) = e3 x  − cos x + sin x  + cos x + sin x ,
13
13
 13
 13
определенная на интервале − ∞ < x < +∞ .
1
∑ (−1) n n ln n .
n= 2
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞ ( x + 1) n
∑
n=0
откуда найдем С2 =
26
Примерный вариант контрольной работы № 6
по теме « Ряды»
3 n (n + 5)
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
1
в ряд Маклорена, исполь4. Разложить функцию f ( x) = 3
x +8
зуя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y ′′ = x sin y ′,
y (1) = 0 ,
y ′(1) =
π
2
в виде степенного ряда (до членов порядка ( x − 1) 4 включительно).
Решение задачи № 1
Перед нами ряд с положительными членами. Найдем формулу
его общего члена un , n ≥ 1 . Заметим, что числа 5, 11, 17, 23, , стооящие в числителях членов нашего ряда, образуют арифметическую
прогрессию с первым членом a1 = 5 и разностью d = 6 .
27
Напомним, что числовая последовательность {an }∞n =1 , каждый
член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному
с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией. Число d – разность прогрессии.
Общий член арифметической прогрессии определяется по фор0
муле an = a1 + d (n − 1) , где n ≥ 1 . Считаем, что
о q = 1.
В нашем случае an = 5 + 6 (n − 1) = 6n − 1 .
Числа 6, 12, 24, 48,, стоящие в знаменателях членов нашегоо
ряда, образуют геометрическую прогрессию с первым членом b1 = 6
и знаменателем q = 2 .
Числовая последовательность {bn }∞n =1 , каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то
же число q , называется геометрической прогрессией. Число q – знаменатель прогрессии.
Общий член геометрической прогрессии определяется по форо q0 = 1 .
муле bn = b1 q n −1 , где n ≥ 1 . Считаем, что
n −1
n
В нашей задаче bn = 6 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 .
Таким образом, общий член ряда можно записать в виде
6n − 1
, где n ≥ 1 .
un =
3 ⋅ 2n
Сигма-символика. Мы будем пользоваться сокращенным обозначением для сумм, содержащим букву Σ (греческая прописная буква «сигма»). Пусть задано правило, сопоставляющее каждому целому числу n , взятому из некоторого набора целых чисел l ≤ n ≤ m ,
число un . Условимся, что
о
m
∑ un
n =l
обозначает сумму ul + ul +1 + ul + 2 +  + ul + m .
Переменная n здесь «немая».
Сигма-символика используется и для бесконечных числовых рядов
∞
u1 + u 2 + u3 +  + un +  = ∑ u n .
n =1
28
В нашей задаче
∞
5 11 17 23
6n − 1
.
+ + + + ... = ∑
n
6 12 24 48
n =1 3 ⋅ 2
Приступим к исследованию данного ряда на сходимость. Воспользуемся сначала необходимым признаком сходимости ряда.
∞
Теорема. Если ряд
Найдем предел:
∑ un
n =1
сходится, то lim un = 0 .
n→∞
6n − 1  ∞ 
(6n − 1)′
6
=   = lim
= lim
= 0.
n
n
n →∞ 3 ⋅ 2
n
→
∞
n
→
∞
(3 ⋅ 2 )′
3 ⋅ 2 n ln 2
∞ 
lim u n = lim
n →∞
∞
Здесь при раскрытии неопределенности   применено правило
о
∞
Лопиталя.
Необходимый признак выполнен, но о сходимости ряда ничего
сказать нельзя.
Применим теперь к данному ряду достаточный признак – признак частных Д′Аламбера.
∞
Теорема. Пусть все члены ряда
∑ un
n =1
положительны.
un +1
< 1 , то ряд сходится.
n → ∞ un
u
Если же lim n +1 > 1 , то ряд расходится.
n → ∞ un
Если lim
6n − 1
, то для нахождения un +1 заме3 ⋅ 2n
ним n на n + 1 . В результате получим
6 (n + 1) − 1 6n + 5
u n+1 =
=
.
3 ⋅ 2 n+1
3 ⋅ 2 n+1
Составим отношение (n + 1)-го члена ряда к n-му:
5

6 + 
n
u n +1 (6n + 5) 3 ⋅ 2
1 (6n + 5) 1 
n
=
=
=
n +1
1
un
(6n − 1) 2 (6n − 1) 2 
3⋅ 2
6 − 
n

Так как общий член ряда u n =
29
и найдем предел
u n +1
n → ∞ un
lim
Теорема. Пусть y = f (x) – непрерывная неотрицательная убывающая функция, определенная при x ≥ 1 .
5

6 + 
1
n 1
= lim 
= < 1.
1 2
2 n →∞ 
−
6


n

Если несобственный интеграл
Ответ. Ряд
6n − 1
∑ 3 ⋅ 2n
n =1
сходится.
ся и ряд
∞
∑ f ( n) .
n =1
Если интеграл расходится, то ряд расходится.
1
. При x ≥ 2 эта функция удовлетвооx ln x
ряет всем условиям интегрального признака: она принимает положиВ нашем случае f ( x) =
тельные значения, непрерывная, убывающая и f (n) =
Решение задачи № 2
+∞
∫
1
∑ (−1) n ln n
n=2
n
(1)
∞
n =1
где все члены последовательности p1 , p2 , p3 ,  , pn ,  положительны.
Исследуем ряд (1) на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда
∫
A
A
dx
dx
d (ln x)
= lim ∫
= lim ∫
=
x ln x A→ +∞ 2 x ln x A→ +∞ 2 ln x
= lim ln(ln x)
A
2
= lim ln(ln A) − ln(ln 2) = +∞ .
A → +∞
Интеграл расходится, значит, и ряд (2) расходится. Следовательно,
исходный ряд (1) не имеет абсолютной сходимости.
Исследуем теперь ряд (1) на условную сходимость, используя
признак Лейбница.
Теорема. Пусть p1 > p2 > p3 >  > pn  > 0 и lim pn = 0 ,
n→∞
тогда ряд
∞
∞
(2)
1
, где n ≥ 2 .
n ln n
Для исследования сходимости ряда (2) применим интегральный
признак Коши.
Получили ряд с положительными членами pn =
+∞
2
A → +∞
p1 − p2 + p3 −  + (−1) n +1 pn +  = ∑ (−1) n +1 pn ,
∞
1
1
1
1
1
=
+
+
+

+

=
∑
∑ pn .
2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
n ln n
n = 2 n ln n
n=2
f ( x) dx =
2
является знакочередующимся рядом, т. е. рядом следующего вида:
30
1
при n ≥ 2 .
n ln n
Рассмотрим несобственный интеграл:
Данный ряд
∞
∫ f ( x) dx сходится, то сходит1
Следовательно, на основании признака Д′Аламбера рассматриваемый
ряд сходится.
Замечание. Иногда проверить выполнение необходимого признака сходимости трудно, поэтому следует сразу попытаться применить
один из достаточных признаков сходимости ряда.
∞
+∞
p1 − p2 + p3 −  + (−1) n +1 pn +  = ∑ (−1) n +1 pn
n =1
сходится.
Очевидно, что условия теоремы для ряда (1) выполняются:
1
1
1
1
>
>
>>
> и
2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4
n ln n
31
1
= 0,
n→∞ n ln n
lim p n = lim
n →∞
следовательно, ряд сходится. Так как ряд (2), составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится, то знакочередующийся ряд (1) сходится условно или неабсолютно.
Ответ. Ряд
∞
1
∑ (−1) n n ln n
n=2
сходится условно.
Решение задачи № 3
В этой задаче рассматривается степенной ряд, т. е. бесконечный
ряд вида
a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + a3 ( x − x0 )3 +  =
∞
∑ a n ( x − x0 ) n ,
n=0
(1)
где x0 , a0 , a1 , a 2 , – фиксированные числа, а x пробегает некотооторый интервал. Точнее, ряд (1) называется степенным рядом с центром x0 , или рядом по степеням ( x − x0 ) .
Центр сходимости степенного ряда задачи 3 находится в точке
x0 = −1, так как ( x − x0 ) = ( x − (−1)) .
Исследование сходимости степенного ряда основано на использовании следующей далее теоремы, которая является следствием теоремы Абеля.
Теорема. Пусть дан степенной ряд
∞
∑ an ( x − x0 ) n , тогда суще-
n=0
ствует такое число R ≥ 0 (которое может также принимать знаочение R = +∞ ), что ряд абсолютно сходится при | x − x0 |< R и расходится при | x − x0 |> R . При x = x0 − R и x = x0 + R ряд может либоо
сходиться, либо расходиться.
Число R называется радиусом сходимости рассматриваемого
ряда, а интервал | x − x0 |< R − его интервалом сходимости (в предпожложении, конечно, что R > 0 ). Интервал сходимости | x − x0 |< R можно представить в виде ( x0 − R, x0 + R) .
Если закрепить конкретное значение x, то степенной ряд (1) превращается в бесконечный числовой ряд, который может либо сходиться, либо расходиться.
32
Для определения интервала сходимости степенного ряда воспользуемся признаком Д′Аламбера, применив его к ряду из абсолютных
величин членов исходного ряда
∞
∞
| x + 1 |n
1 | x + 1 | | x + 1 |2
| x + 1 |n
+  = ∑ u n ( x ) . (2)
+

+
+
=
+
∑ 3n (n + 5) 1 ⋅ 5 31 ⋅ 6
2
n
3 ⋅8
3 ( n + 5)
n=0
n=0
Так как
u n ( x) =
| x + 1 |n
,
3n (n + 5)
то
u n +1 ( x ) =
| x + 1 |n +1
3n +1 (n + 6)
5
(1 + )
un +1 ( x) | x + 1 |n +1 3n (n + 5) | x + 1 | ( n + 5) | x + 1 |
n .
=
=
=
и
3 ( n + 6)
3 (1 + 6 )
un ( x) 3n +1 ( n + 6) | x + 1 |n
n
Напоминаем, что мы закрепили конкретное значение x.
Найдем предел:
5
(1 + )
un +1 ( x ) | x + 1 |
n = | x +1| < 1.
lim
=
lim
n → ∞ u n ( x)
3 n → ∞ (1 + 6 )
3
n
В соответствии с признаком Д′Аламбера (см. решение задачи 1) ряд
(2) сходится, а исходный ряд сходится абсолютно, если значения переменной x удовлетворяют неравенству
у
| x +1|
< 1,
или
| x + 1 |< 3 .
3
Отсюда видно, что радиус сходимости степенного ряда R = 3 , центр
р
x0 = −1 мы определили ранее.
Интервал сходимости степенного ряда представим в следующем виде:
− 3 < x + 1 < 3 , или − 4 < x < 2 .
Остается определить поведение степенного ряда на концах интервала сходимости x = −4 и x = 2 .
При x = −4 получаем знакочередующийся числовой ряд:
(−4 + 1) n
=
∑ n
n = 0 3 ( n + 5)
∞
∞
(−3) n
(−1) n 3n
=
=
∑ n
∑ n
n = 0 3 ( n + 5)
n = 0 3 ( n + 5)
∞
1 1 1
(−1) n
= − + −+
+
5 6 7
n+5
33
∞
∑
n=0
(−1) n
=
(n + 5)
(3)
При x = 2 получаем числовой ряд с положительными членами:
∞
∞
(2 + 1) n
(3) n
1
=
∑ 3n (n + 5) ∑ 3n (n + 5) = ∑ (n + 5) =
n=0
n=0
n=0
1 1 1
1
= + + ++
+
5 6 7
n+5
∞
(4)
Начинать исследование на сходимость нужно с ряда (4), так как
он составлен из абсолютных величин членов ряда (3). Если ряд (4)
сходится, то решение на этом практически заканчивается.
Заметим, что не следует повторно применять признак Д’Аламбера при исследовании на сходимость ряда (4), так как концевые точки
x = −4 и x = 2 интервала сходимости являются решением уравнения
u n +1 ( x ) | x + 1 |
=
= 1.
3
u n ( x)
В этом случае признак Д’Аламбера не работает.
Применим к исследованию ряда (4) интегральный признак Коши
(см. решение задачи 2).
lim
n→∞
1
− непрерывная положительная убывающая
x+5
функция, определенная при x ≥ 0 .
Поскольку интеграл
Тогда f ( x) =
+∞
∫
0
A
dx
d ( x + 5)
= lim ∫
= lim ln( x + 5)
A → +∞
x + 5 A→ +∞ 0 x + 5
A
0
=
= lim (ln( A + 5) − ln 5) = +∞
то условия признака Лейбница выполнены и, значит, знакочередующийся ряд (3) сходится условно (или неабсолютно).
Ответ. Степенной ряд сходится абсолютно на интервале
(−4, 2) , при x = −4 ряд сходится условно (или неабсолютно), на интервалах (−∞, − 4) и [2, + ∞) ряд расходится.
Решение задачи № 4
В этой задаче требуется разложить данную функцию в степенной
ряд и указать интервал, на котором это разложение справедливо.
Напомним, что если функция f (x ) в некоторой окрестности точки
x0 имеет производные любого порядка, то для нее можно построить
степенной ряд
f ′( x0 )
f ′′( x0 )
f ( n) ( x0 )
f ( x0 ) +
( x − x0 ) +
( x − x0 ) 2 +  +
( x − x0 ) n +  =
1!
2!
n!
∞ f (n) ( x )
0
=∑
( x − x0 ) n ,
(1)
n
!
n =0
который называется рядом Тейлора в точке x0 .
В формуле (1) использованы следующие обозначения:
• производная нулевого порядка f (0) ( x) = f ( x) совпадает с самой функцией;
• функция n-факториал определяется следующим образом:
0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 ⋅ 2 , 3! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3, , n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅  ⋅ (n − 1)n .
Частичные суммы ряда Тейлора называют многочленами Тейлора функции f (x) в точке x0 .
При x0 = 0 ряд Тейлора называютт рядом Маклорена.
A → +∞
расходится, то расходится и ряд (4).
Следовательно, ряд (3) не имеет абсолютной сходимости. Исследуем его на условную сходимость с помощью признака Лейбница.
Так как
1 1 1
1
1
> > >>
> и
lim
=0,
n → +∞ n + 5
5 6 7
n+5
34
Функция f (x) , определенная в некоторой окрестности точки x0 ,
называется аналитической в точке , если ее можно представить в виде
суммы сходящегося степенного ряда с центром x0
f ( x) =
f ( n ) ( x0 )
∑ n! ( x − x0 ) n .
n =0
∞
35
В этом случае говорят, что функция f (x) разлагается в ряд Тейлора по степеням ( x − x0 ) .
Функция f (x) , определенная вблизи x0 и имеющая производные
всех порядков, не обязана быть аналитической в этой точке. Может случиться, что ее ряд Тейлора имеет нулевой радиус сходимости или ненулевой радиус сходимости, но сумма его не равна f (x) .
Здесь α ≠ 0 − любое действительное число и биномиальные коэффициенты определяются следующими формулами:
α
  = 1,
0
Так как наша функция может быть представлена в виде
При разложении в ряд многих элементарных функций можно
использовать известные разложения функций в ряд Маклорена:
ex =
n
∞
2
n
3
x
x x
x
x
= 1+ +
+
++
+
1! 2! 3!
n!
n =0 n!
∑
sin x =
x 2 n +1
∞
x3
x 2 n +1
x5
n=0
(−∞ < x < +∞),
cos x =
∞
x
2n
∑ (−1) n (2n)! = 1 −
n=0
2
2n
4
x
x
x
+
−  + (−1) n
+
2! 4!
(2n)!
(−∞ < x < +∞),
ln(1 + x) =
x n+1
∞
∑ (−1) n n + 1 = x −
n =0
x 2 x3
x n+1
+
−  + (−1) n
+
2
3
n +1
(−1 < x ≤ 1) .
1
в ряд по стеx +8
пеням x, мы воспользуемся биномиальным разложением (результат
принадлежит Ньютону)
Для того чтобы разложить функцию f ( x) =
(1 + x) α =
∞
3
α
n= 0 
α
α(α − 1) 2
α(α − 1)  (α − n + 1) n
= 1+ x +
x ++
x +
1!
2!
n!
(−1 < x < 1) .
36
1
то мы воспользуемся биномиальным разложением с показателем α = −1.
Вычислим биномиальные коэффициенты при этом значении α
 − 1 = ( −1)(−1 − 1)(−1 − 2)  (−1 − n + 1) = (−1)(−2)(−3)  (− n) = (−1) n .
n
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ n
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ n
В результате получим разложение
∞
1
(1 + x) −1 =
= 1 − x + x 2 − x 3 +  + (−1) n x n +  = ∑ (−1) n x n
1+ x
n =0
(−1 < x < 1) .
Заменяя здесь x на
f ( x) =
x3
, получим требуемое разложение функции:
8
1
1  x3 
1 + 
=
8 
x 3 + 8 8 
=
∑  n  x n =
−1
1  x3 
1 +  ,
=
f ( x) = 3
=
8 
 x 3  8 
x +8
81 + 
8 

1
(−∞ < x < +∞),
∑ (−1)n (2n + 1)! = x − 3! + 5! −  + (−1)n (2n + 1)! + 
 α  α(α − 1)(α − n + 1)
, n = 1, 2, 3,
  =
n!
n
−1

x 3n
1  x 3 x6 x9
= 1 − + 2 − 3 +  + (−1) n n +  =
8
8 8
8
8

∞
1 ∞
x 3n
x 3n
(−1) n n = ∑ (−1) n n +1 .
∑
8 n =0
8
8
n=0
Это разложение справедливо, когда
−1 <
x3
< 1,
8
или
37
−2< x < 2.
Ответ.
3n
∞
1
n x
=
(
−
1
)
, −2< x < 2.
∑
x3 + 8 n = 0
8n +1
Решение задачи № 5
Эту задачу можно решать разными способами. Мы рассмотрим
только один из них. По условию задачи предполагается, что решение
y = y (x) дифференциального уравнения можно разложить в степенной ряд с центром в x0 = 1. В силу теоремы единственности разложения функции в степенной ряд этот ряд есть ряд Тейлора.
Так как требуется написать разложение y = y (x) в ряд до членов порядка ( x − 1) 4 включительно, то это означает, что в качествее
приближенного решения задачи Коши берем многочлен Тейлора четвертой степени функции y = y (x) в точке x0 = 1
y ' (1)
y ' ' (1)
( x − 1) 2 +
( x − 1) +
1!
2!
y ' ' ' (1)
y ( 4) (1)
+
( x − 1) 4 .
( x − 1)3 +
3!
4!
T4 ( x) = y (1) +
Напомним, что частичные суммы ряда Тейлора называют многочленами Тейлора функции y (x) в точке x0 .
Первые два коэффициента определяются из начальных условий
π
y (1) = 0 , y ′(1) = .
2
Коэффициент y′′(1) находим из уравнения y ′′( x ) = x sin y ′( x) . Подставляя в него начальные условия, получаем
y′′′( x ) = sin y′( x) + x cos y′( x) ⋅ y′′( x) ,
y ( 4) ( x) = cos y′( x ) ⋅ y ′′( x) + cos y′( x) ⋅ y′′( x) − x sin y′( x ) ⋅ ( y′′( x)) 2 +
+ x cos y′( x) ⋅ y′′′( x) = 2 cos y ′( x) ⋅ y′′( x ) − x sin y′( x) ⋅ ( y ′′( x)) 2 +
+ x cos y′( x) ⋅ y′′′( x) .
Вычислим их значения при x = 1. Учитывая, чтоо
y (1) = 0 ,
y′(1) =
получаем
y′′′(1) = 1 ,
y ′′(1) = 1 ,
y ( 4) (1) = −1.
Подставим найденные значения производных в многочлен Тейлора T4 ( x) . В результате получим
π
1
1
(−1)
( x − 1) 4 =
T4 ( x) = 2 ( x − 1) + ( x − 1) 2 + ( x − 1)3 +
1!
2!
3!
4!
=
π
1
1
1
( x − 1) + ( x − 1) 2 + ( x − 1)3 − ( x − 1) 4 .
2
2
6
24
1
1
π
2 1
3
4
Ответ. y( x) ≈ T4 ( x) = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) .
2
2
6
24
π
y′′(1) = 1 ⋅ sin y ′(1) = sin   = 1 .
 2
Для вычисления производных y′′′(x) и y ( 4) ( x) продифференцируем уравнение y′′( x) = x sin y′( x) по переменной x два раза, используя правило дифференцирования сложной функции:
38
π
,
2
39
Контрольная работа № 5
по теме « Обыкновенные дифференциальные уравнения»
Вариант № 1
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1)
y′ = e x+ y ,
2)
y′ −
3)
y′′ = sin 3 x ,
4)
5)
y x =0 = 0 ;
1
y = x2 + x + 1 ;
x
y x = 0 = 0 , y′
x =0
=0;
y ′′ + 3 y ′ = 2e −3x ;
y′′ − 2 y ′ + y = 25 sin 2 x ,
y x = 0 = 0 , y′
x =0
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
y x =0 = 2 ;
1)
(1 + x ) y′ + x y = 0 ,
2)
y′ + 2 y = x e3 x − 2 ;
3)
y′′ = ln x ,
4)
y′′ + 3 y′ − 4 y = 2 − 8 x 2 ,
5)
y′′ + 2 y′ − 3 y = e x sin x .
y x =e = 0 , y′
40
x =e
=1;
y x = 0 = 0 , y′
x =0
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1)
4 − y 2 dx −
y
1 − x 2 dy = 0 ;
x
2
= 1;
y x =0 = 0 ;
2)
y′ + 2 x y = e − x sin x ,
3)
y′′′ =
4)
y′′ − y′ = e − x ,
5)
y′′ − y = 2 cos x + 3sin x ,
cos x
;
sin 3 x
= 1.
Вариант № 2
2
Вариант № 3
y x = 0 = 0 , y′
x =0
= 1;
y x = 0 = 2 , y′
x =0
= 1.
Вариант № 4
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1)
tg x ⋅ sin 2 y dx + cos 2 x ⋅ ctg x dy = 0 ;
2)
y′ +
3)
y′′ = tg 2 x ;
4)
y′′ − 5 y′ + 6 y = x e 2x ,
5)
y′′ + 9 y′ − 10 y = 11cos x + 9 sin x ,
2
1
y= 4 ,
x
x
y x =1 = 2 ;
y x = 0 = 1 , y′
41
x =0
= 2;
y x = 0 = 0 , y′
x =0
= 8.
Вариант № 5
Вариант № 7
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1)
y′ sin x = y ln y ;
2)
y′ + y tg x =
3)
y′′ =
1
,
cos x
1
,
cos 2 2 x
1)
y′ +
2x
y =0,
1 − x2
2)
y′ −
1
y = x sin 3 x ;
x
3)
y′′′ = x + cos x ,
4)
y′′ + 25 y ′ = xe5x ;
5)
y′′ − 2 y′ + 5 y = 9 cos 2 x ,
y x =0 = 1 ;
y′
y x =0 = 0 ,
4)
y ′′ + y ′ = (2 x − 1) e x ,
5)
y′′ + 3 y′ − 4 y = 5e x cos x .
x=0
y x =0 = 1 ,
=0;
y′
x =0
= 1;
Вариант № 6
1)
2)
y′ +
3)
y′′ = x sin x ,
4)
y′′ + y = ( x + 2) e − x ;
5)
y′′ − 4 y′ + 4 y = cos x + 10 sin x ,
y x=0 = 3 ;
1
y = ln x ;
x
y x =0 = 1 ,
42
y′
x =0
y x = 0 = 0 , y′
x=0
= 0 ; y′′
y x = 0 = 0 , y′
x=0
x =0
=0;
= 1.
Вариант № 8
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1
arctg x dx + 3 1 + y 2 dy = 0 ,
y
y x=2 = 1 ;
= 1;
y x =0 = 0 ,
y′
x=0
= 2.
Определить тип дифференциального уравнения и найти его
решение:
dy
=0;
cos 2 y
1)
3e x tg y dx + (1 − e x )
2)
y′ −
3)
y′′ = x sin x ,
4)
y′′ + 8 y′ + 16 y = x 2 ,
5)
y′′ − y′ − 2 y = 3 cos x ,
1
y = x sin x ;
2x
y x = 0 = 0 , y′
x=0
=2;
y x = 0 = 1 , y′
x=0
y x = 0 = 0 , y′
43
=4;
x =0
= 1.
Контрольная работа № 6
по теме «Ряды»
Вариант № 9
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
1)
2)
y′ + 3 y tg 3 x = sin 6 x ;
3)
y′′′ sin 4 x = sin 2 x ;
4)
y′′ + y′ − 6 y = x e x ,
5)
1. Найти общий член ряда
y x =1 = 0 ;
ln x cos y dx + x tg y dy = 0 ,
1
2 7
y x = 0 = 0 , y′
x =0
y′ + y tg x = cos 4 x ;
3)
y′′ = x e − x ,
4)
y′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 x 2 ,
5)
y′′ + 2 y′ + 2 y = 5 sin x .
x=0
n =1
n
2
n +1
.
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
( x + 3) n
n=0
5 n ( n + 2)
∑
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
4. Разложить функцию f ( x) = ln(1 + 2 x 2 ) в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y x =0 = 0 ;
y x = 0 = 1 , y′
∑ (−1) n+1
= 1.
Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:
2)
1
1
1
+
+
+ ... ,
4 15 8 23 16 31
∞
Вариант № 10
y′ = e x + y + e x − y ,
+
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
y′′ + 2 y′ − 3 y = 2 sin x − cos x ,
1)
Вариант № 1
= 3;
y x = 0 = 2 , y′
y ′ = sin y − sin x,
x=0
=0;
y (0) = 0
в виде степенного ряда (до членов порядка x 3 включительно).
Вариант № 2
1. Найти общий член ряда
1
3
2 ln 2
44
+
1
3
3 ln 3
+
1
3
4 ln 4
45
+
1
5 ln 3 5
+ ... ,
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
2n
n =1
5n
∑ (−1) n+1
.
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
( x + 5) n
n=0
4 n (n + 5)
∑
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
3
−2x
в ряд Маклорена, исполь4. Разложить функцию f ( x) = e
зуя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′′ = x + cos y′
y (0) = 1 , y′(0) = 0
в виде степенного ряда (до членов порядка x 4 включительно).
Вариант № 3
1. Найти общий член ряда
ln 3 ln 5 ln 7 ln 9
+
+
+
+ ...,
3
5
7
9
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
n
n =1
(n + 2) 6 n
∑ (−1) n+1
46
.
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
n2
∞
∑
n =1
3
n +1
( x + 4) n
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
1
в ряд Маклорена, исполь4. Разложить функцию f ( x) =
x+6
зуя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′ = x 2 y 2 − 1,
y (1) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка ( x − 1)3 включительно).
Вариант № 4
1. Найти общий член ряда
5 12 19 26
+ + +
+ ...,
6 18 54 162
записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
1
∑ (−1)n 3 .
n ln n
n=2
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
( x − 5) 2n
∑
n = 0 ( 2n + 1)!
∞
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
47
x+2
4. Разложить функцию f ( x) = e
в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′ = x 2 + y 2 ,
y (1) = 1 ,
в виде степенного ряда (до членов порядка ( x − 1)3 включительно).
Вариант № 5
1. Найти общий член ряда
5
25
125
625
+
+
+
+ ... ,
4 ⋅ 1 16 ⋅ 3 64 ⋅ 5 256 ⋅ 7
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
знакочередующийся ряд
∞
1
∑ (−1) n +1 3 5n + 2 .
n =1
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
∑
n =0
10 2 n
2
n +1
( x + 1) 2 n
4. Разложить функцию f ( x) = cos 2 2 x в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y (0) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка x 3 включительно).
48
1. Найти общий член ряда
2 4 8 16
+ + +
+ ... ,
7 12 17 22
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
1
∑ (−1) n +1 (n + 1)
n =1
n +1
.
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
n
(2 x − 1) n
n
+
1
n=0
∑
2
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
4. Разложить функцию f ( x) = ln (9 + x 2 ) в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′′ + e x y = 0,
y (0) = 2 , y′(0) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка x 4 включительно).
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
y′ = x + x 2 + y 2 ,
Вариант № 6
Вариант № 7
1. Найти общий член ряда
2
4
8
16
+
+
+
+ ... ,
1
3
5
7
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
49
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
∑ (−1)
n +1
n =1
2n + 3
.
5n +1
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
∑
n =1
n
n2 + 1
( x + 4)
n
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
4. Разложить функцию f ( x) = 3 e 6 − x в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y ′′ + x y = 0,
y (0) = 1 , y ′(0) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка x 4 включительно).
Вариант № 8
1. Найти общий член ряда
1
5
9
13
+
+
+
+ ... ,
3
9
27
81
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
∑ (−1) n+1
n =1
6n + 1
.
n!
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
1
∑ 3n + 1 (2 x + 1) n
n =0
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
1 2 
4. Разложить функцию f ( x) = cos  x  в ряд Маклорена, ис2 
пользуя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y ′ = 2 y + x − 1,
y (1) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка ( x − 1) 4 включительно).
Вариант № 9
1. Найти общий член ряда
4 9 14 19
+ + + + ... ,
1 4 9 16
записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
2n + 1
∑ (−1) n+1 n .
4
n =1
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
∑
n
2n
n =0 5
( x + 1) 2 n
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
50
51
4. Разложить функцию f ( x) = ln(3 − x) в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′′ + x 3 y = 0,
y (1) = 0 , y′(1) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка ( x − 1) 4 включительно).
Вариант № 10
1. Найти общий член ряда
1+
2
3
4
+
+
+ ... ,
5
25 125
Рекомендуемая литература
1. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –
СПб.: Лань, 2005.
2. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление /
Н. С. Пискунов. – СПб.: Мифрил, Физматгиз, 1996.
3. Берс, Л. Математический анализ / Л. Берс. – М.: Высшая школа, 1975.
4. Ершов, Е. К. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие для студентов всех специальностей и всех форм обучения / Е. К. Ершов, М. В. Неупокоева; СПбГАСУ. – СПб., 2002.
5. Смирнова, В. Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб.
пособие для студентов всех специальностей и всех форм обучения / В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова; СПбГАСУ. – СПб., 2008.
6. Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – М.: Наука, 1985.
7. Демидович, Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу /
Б. П. Демидович. – М.: Физматгиз, 1962.
записать ряд с помощью сигма-символики и исследовать сходимость
ряда.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд
∞
2n + 1
∑ (−1) n+1 2 .
n +n
n =1
3. Определить интервал сходимости степенного ряда
∞
∑
n =0
1
2
n3
n
( x − 1) n
и исследовать его поведение на концах этого интервала.
4. Разложить функцию f ( x) = cos x в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал
сходимости.
5. Найти решение дифференциального уравнения
y′′ + x y′ − x 2 y = 0,
y (0) = 1 , y′(0) = 1
в виде степенного ряда (до членов порядка x 4 включительно).
52
53
Оглавление
Введение ................................................................................................................3
Рабочая программа курса высшей математики...........................................4
Примерный вариант контрольной работы № 5 по теме
«Обыкновенные дифференциальные уравнения» ......................................7
Примерный вариант контрольной работы № 6 по теме «Ряды» .............27
Контрольная работа № 5 по теме «Обыкновенные дифференциальные
уравнения» ...................................................................................................40
Контрольная работа № 6 по теме «Ряды» .................................................45
Рекомендуемая литература .................................................................................53
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ
Рабочая программа, методические указания
и контрольные задания
Составители: Красоленко Георгий Владимирович,
Сванидзе Николай Владимирович,
Якунина Галина Владимировна
Редактор А. В. Афанасьева
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 16.08.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 3,3. Тираж 1500 экз. Заказ 106. «С» 56.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
54
55
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
368 Кб
Теги
obyknovennye, uravn, rjady, krasolenko, dif
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа