close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Aporii Zenona 2015

код для вставкиСкачать
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Факультет экономики и управления
Кафедра философии, политологии и социологии
АПОРИИ ЗЕНОНА. МЕТАФИЗИЧЕСКОЕ
ПОНИМАНИЕ ПРИРОДЫ В ИСТОРИИ
АНТИЧНОЙ ФИЛОСОФИИ
Санкт-Петербург
2015
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Факультет экономики и управления
Кафедра философии, политологии и социологии
АПОРИИ ЗЕНОНА. МЕТАФИЗИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ
ПРИРОДЫ В ИСТОРИИ АНТИЧНОЙ ФИЛОСОФИИ
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2015
1
УДК 1(091)
Рецензенты: д-р филос. наук, профессор В. И. Медведев (СПбГМТУ);
канд. филос. наук, доцент В. Е. Леонов (СПбГИКиТ)
Апории Зенона. Метафизическое понимание природы в истории античной философии: учеб.-метод. пособие / сост.: Л. В. Балтовский, А. П. Смирнова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 28 с.
Предназначено для самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов всех направлений и форм обучения. Изучаемая тема связана с проблемами научного познания пространства, времени, движения
и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в исходных понятиях о природе. Предлагаемый материал может использоваться не только как непосредственное пособие, но и как
вспомогательный, более полно раскрывающий изучаемую тему.
Библиогр.: 13 назв.
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2015
2
Введение
В философии существуют проблемы, которые всегда сохраняют
свое значение и актуальность. К ним снова и снова возвращаются
с целью найти решение, посмотреть на них с точки зрения современной науки. К таким проблемам относится решение апорий Зенона.
До сих пор апории Зенона будоражат умы философов, логиков, математиков, так как привлекают внимание к темам конечного и бесконечного, движения, пространства, множественности, которые поражают
количеством интерпретаций и подходов. В данном пособии раскрывается значение апорий Зенона для развития современной науки, анализируются различные подходы к решению знаменитых апорий, в том
числе математический и логический подход.
Учебно-методическое пособие предназначено для аудиторной (под
руководством преподавателя) и внеаудиторной (самостоятельной) работы студентов.
3
1. Философское учение Парменида. Первая попытка в истории
философии метафизического понимания природы
Первым по времени деятелем и корифеем Элейской школы был
Парменид. Он разработал оригинальное философское учение, связанное с пониманием природы. Логика развития его учения в целом вела
от материализма к идеализму. В теории познания он противопоставлял разумное знание знанию чувственному. Кроме того, Парменид
представлял бытие в виде огромного сплошного шара, неподвижно покоящегося в центре мира. Это и есть представление о мире как
о бытии вещественном.
Одно из основных положений Парменида – утверждение, что
мысль и предмет мысли тождественны и неразделимы. То есть мысль
не может быть отделена от своего предмета, от бытия. Мысль – всегда бытие. Даже если мы попытаемся думать о небытии, оно все же
в каком-то смысле существует, т. е. существует мысль о небытии.
Но из этого следует, что никакого небытия нет. Существует только бытие. Следовательно, Парменид утверждает, что в природе не может
существовать пустота; мир – сплошная масса вещества, или шаровидное тело. Из невозможности пустоты, из совершенной сплошной заполненности пространства веществом следует вывод: мир един, в нем
нет и не может быть никакого множества отдельных вещей. То есть
существует только единство, множества не существует.
Из отрицания пустоты и множества следует вывод о том, что если
мир един, то множество, как будто удостоверяемое нашими чувствами, есть лишь обман чувств.
Картина мира, внушаемая нам чувствами, не истинна, она иллюзорна. Таким образом, Парменид первый в античной философии
попытался сформулировать метафизическое понимание природы.
Основной характеристикой бытия он провозглашал неподвижность
и неизменность, отсутствие в нем рождения и уничтожения. Вторая
часть философии Парменида – физика. В основе всех явлений лежит
антагонизм света и тьмы. Некоторые из воззрений Парменида получили большое значение в дальнейшем развитии научных представле4
ний. Такова догадка о темной природе Луны, которая лишь отражает
свет Солнца, а сама не способна к излучению света. Ценной была также догадка о зависимости наших чувств и нашего ума от нашей физической природы и от состояния наших телесных органов. Эти догадки
плохо согласуются с утверждением о том, что Парменид был сплошным реакционером в науке и философии.
Весьма умна попытка Парменида установить строгое различие
и даже противоположность между истиной и мнением, между знанием совершенно достоверным и знанием, о котором можно сказать, что
оно всего лишь правдоподобное предположение. Однако Парменид
вводит это знание в контекст метафизики, а не диалектики. Он противопоставляет друг другу эти два вида знания. Он связывает достоверное знание с деятельностью ума, а знание вероятностное с чувственным восприятием, а по его же учению чувственное восприятие не может дать истинного знания. Таковы основные философские
концепции учения Парменида. Задачу отстоять учение Парменида от
многочисленных возражений взял на себя его ученик и друг Зенон
Элейский.
2. Развитие Зеноном учения Парменида. О мыслимости
пространства, множества и движения. Апории Зенона
Зенон – представитель Элейской школы, которая сложилась и развивалась в небольшом городе Элея у западных берегов Южной Италии.
Философ родился в 480 году до н. э., а умер в 430 году до н. э.
Из сочинений Зенона до нас дошли лишь немногочисленные и небольшие по объему извлечения, сделанные позднейшими античными
писателями.
Зенон развил ряд аргументов в защиту учения Парменида. Метод,
примененный им в этих аргументах, впоследствии дал основание
Аристотелю (родился в 384 году до н. э.) назвать Зенона родоначальником «диалектики». Под диалектикой Аристотель понимал искусство выяснения истины путем обнаружения внутренних противоречий, заключающихся в мыслях противника, и последующего их
устранения.
Метод Зенона сходен с математическим методом доказательства от
противного. Зенон условно принимает тезисы противника Парменида:
5
1) пространство может быть мыслимо как пустота, как отдельное
от наполняющего пространство вещества;
2) мыслимо существование множества вещей;
3) может быть мыслимо движение.
Зенон доказывает, что признание этих тезисов неизбежно ведет
к противоречиям. Тем самым доказывается, что предположения эти
ложны – а это значит, что истинны утверждения Парменида.
Ленин в «Философских тетрадях» разъясняет смысл аргументации
Зенона. Он писал, что ни Парменид, ни Зенон не отрицают реальности пустоты, множества и движения для наших чувств. Они отрицают
возможность мыслить пустоту, мыслить множество и мыслить движение, не впадая при этом в противоречие.
Рассмотрим аргументы Зенона в отдельности по этим трем вопросам. Начнем с вопроса о мыслимости пространства, отделенного от
вещества.
Если допустить существование такого пространства, то вступит
в силу следующее рассуждение. Все существующее находится гденибудь в пространстве, но чтобы существовать, пространство должно находиться во втором пространстве. Второе пространство должно
находиться в третьем и т. д., до бесконечности. Налицо явный абсурд
такого заключения. Следовательно, пространство как отдельное от вещества немыслимо.
Второй вопрос – о мыслимости множества. Пусть множество мыслимо. Тогда сами собой возникают следующие вопросы:
1) каким необходимо мыслить каждый элемент этого множества;
2) каким необходимо мыслить общее количество элементов множества и будет ли сумма числом конечным или бесконечным?
Исследования Зенона показывают, что по обоим вопросам получаются противоречивые ответы. Первый вопрос подразумевает, что
каждый элемент множества одновременно не имеет никакой величины и бесконечно велик по величине. Второй же вопрос («Какой должна мыслиться сумма элементов множества?») наталкивает на ответ,
что эта сумма необходимо должна мыслиться и как число конечное,
и как бесконечное.
Исследования по третьему вопросу – о мыслимости движения –
также приводят к противоречивым утверждениям.
6
Аргументы Зенона по второму и третьему вопросам стали особенно знамениты и получили название апорий (трудных вопросов). Все
апории делятся на две большие группы: одни из них относятся к проблемам отображения движения, другие – к соотношению непрерывного и дискретного. Сформулированные еще в V веке до н. э., апории
вплоть до наших дней вызывают интерес математиков, физиков и философов. На их счет существуют самые различные мнения: от совершенного пренебрежения к ним до признания того, что они относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.
По сведениям историков философии, существовало 45 апорий
Зенона, из которых до нас дошли только 9. Как было сказано ранее,
все апории делятся на две группы, которые тесно связаны друг с другом. Общая схема их – опровержение от «противного».
Рассмотрим отдельно каждую группу апорий.
3. Первая группа апорий Зенона. Апория «Меры»:
теоретико-множественная теория меры в современной науке
К апориям первой группы относятся прежде всего аргументы,
опровергающие существование «многого» на том основании, что если
существующих вещей много, то их должно быть столько, сколько их
есть – не больше и не меньше. Если же их ровно столько, сколько
есть, то число их ограничено. Но если существующих вещей много,
то их число неограниченно, ибо всегда существуют другие вещи между существующими вещами и снова другие между теми же.
Итак, число существующих вещей неограниченно. Любая часть
промежутка между вещами тоже считается вещью.
В основе полученного здесь противоречия (что если в мире есть
много вещей, то число их должно быть одновременно и конечным
и бесконечным) лежит утверждение, что количество вещей в актуально завершенном множестве их должно быть ограниченным.
Аристотель приводит еще одну апорию Зенона этого же рода:
«…Именно, если всё существующее помещается в известном месте,
то ясно, что будет и место места, и так идет в бесконечность». С этой
апорией Аристотель справляется, замечая, что место само есть уже
7
не вещь, которая нуждается в некотором месте, а нечто, аналогичное
тому или иному состоянию вещи, наподобие того, как одна и та же
вещь может быть теплой или холодной. Он, однако, не возражает против понятия о «месте места», но трактует последнее не как «место»,
т. е. не как состояние, а как нечто аналогичное свойству данного состояния – как, например, теплое (состояние) обладает свойством быть
полезным для здоровья – почему вопрос о «месте места» уже не возникает с необходимостью. Таким образом, уже нет необходимости
идти в бесконечность, как призывал Зенон.
Особый интерес представляет апория Зенона «Мера», которая относится к гносеологическим вопросам, связанным с представлением протяженного тела (соответственно промежутку времени) в виде
совокупности (множества) непротяженных неделимых точек (соответственно моментов времени). Эта апория указывает на невозможность составить протяженную величину из непротяженных. Если
элементы непротяженные, то тогда и сумма этих элементов равна
нулю. Если же элементы имеют ненулевую протяженность, то сумма
бесконечного множества таких элементов будет бесконечной. Таким
образом, Зенон рассматривает актуально бесконечное множество
элементов. Он утверждает, что подобное представление приводит
к противоречию, и приходит к выводу, что субстанция не может быть
множественной.
Поскольку лишенная всяких измерений точка (в данном случае
момент времени) является идеализированной математической абстракцией, на практике неуловимой (никто еще не имел дела в опыте
с лишенной всяких измерений точкой), «построение» (хотя бы теоретическое) реально существующего тела из абстрактных точек, разумеется, вызвало возражения у многих философов и математиков.
Так, Лобачевский считал необходимым положить в основу геометрии
не точку, а тело и определял точку как пару тел, определенным образом соприкасающихся друг с другом. Апория Зенона «Мера» может
быть истолкована как вопрос о том, как из ничего можно сложить (построить) что-нибудь, ведь исходя из формальной логики получается,
что если несколько раз сложить ничто ({0}), то ничего не получится.
В самом деле, если что-нибудь, поскольку оно прибавляется к какойнибудь вещи или отнимается от нее, не делает эту вещь больше или
меньше, тогда, по словам Зенона, оно не принадлежит к числу суще8
ствующего, причем существующее, очевидно, понимается как величина, причем величина телесная, ведь именно такая величина обладает бытием в полной мере: точка и единица не создадут бытие ни
при каких обстоятельствах. Хотя Аристотель называет эти рассуждения Зенона грубыми, он замечает тут же, что все-таки остается вопрос, как из одного подобного неделимого (или нескольких таких) получится величина. В современной науке встречаются попытки справиться с этими трудностями, ссылаясь на теоретико-множественную
теорию меры, согласно которой несчетное множество множеств меры
«ноль» может иметь уже ненулевую меру, благодаря чему существование протяженных тел, очевидно, следует даже рассматривать как
«доказательство» существования несчетных актуально-бесконечных
множеств. Ясно, однако, что таким образом отнюдь не решаются гносеологические трудности, связанные с неконструктивностью «построения» непротяженных объектов в виде актуально-бесконечных
множеств (к тому же еще бессчетных множеств непротяженных элементов). В лучшем случае эти трудности принимаются за решенные
для каких-нибудь исходных объектов (например, для отрезков вида
[0; ∞], где ∞ ≤ 1) при помощи допущения, что по всякой точке отрезка [0; 1] мы сумеем отнести действительное число, отличающее ее от
всех других точек этого отрезка, хотя их и несчетное множество.
4. Три аспекта в анализе апорий Зенона второй группы
Наибольшей известностью у исследователей пользуются апории
Зенона, относящиеся к механическому движению (апории Зенона второй группы). Все они подробно приведены в «Физике» Аристотеля.
Гегель рассматривает их в своих «Лекциях по истории философии».
Этих апорий четыре. В литературе они получили специальные
имена. Первые две апории – «Дихотомия» и «Ахиллес» – относятся к трудностям, связанным с движением в предположении неограниченной делимости отрезков пути и времени. Вторые две апории –
«Стрела» и «Стадий» – к трудностям, возникающим в предположении
существования неделимых отрезков пути и атомов времени.
Пожалуй, немного найдется проблем, привлекающих к себе столь
же пристальное внимание ученых, как апории Зенона. Несмотря на то,
что они были сформулированы более двух тысяч лет назад, интерес
9
к ним не ослабевает и по сей день. Для науки ХХ века апории Зенона
приобрели особую актуальность в силу интереса современной физики к тем же проблемам, которые неявно были поставлены Зеноном.
Суть этих проблем тесно связана со стремлением человеческой мысли
понять и отобразить процессы движения. Развитие физической науки,
исследующей сегодня микроструктуру пространства, времени и движения, столкнулось здесь с определенными трудностями.
Зарубежная философия предложила ряд оригинальных решений
апорий Зенона. В своем анализе апорий авторы этих решений касались в основном трех аспектов:
1) «драматического» (где исследовался вопрос о том, имеют ли
апории рациональный смысл);
2) логико-гносеологического;
3) физико-онтологического.
Анализируя апории «Дихотомия» и «Ахиллес», некоторые зарубежные авторы подчеркивали, что они имеют не логическую, а психологическую (драматическую) природу1. По их мнению, апории возникают вследствие такого выбора модели движения, когда с самого
начала исключается возможность достижения движущимся телом заранее намеченной цели. При этом они утверждают, что своим отрицательным результатом апории обязаны не непрерывности и не бесконечности, а полностью тому обстоятельству, что заранее намеченная
цель постоянно (в каждом акте движения) заменяется новой (предварительной целью).
В случае апории «Ахиллес» такой предварительной целью является всякий раз то пространственное положение черепахи, из которого она должна уйти в акте, когда Ахиллес займется достижением
этой цели.
В статье «Решение первого парадокса Зенона» Станислав Куан
предпринимает попытку распространить «драматическую» трактовку и на апорию «Дихотомия». Он рассматривает следующий вариант
апории Зенона:
1
D. S. Schwayder. The Journal of Philosophy, Lancaster, 1955, Vol. 52, p. 449;
A. R. White Mind, London, 1963, Vol. 72, № 283, p. 141; A. Harrison Mind, 1967, Vol. 76,
№ 304, p. 568 and many others, so on Stanislav Guan Review of Metaphysics, New Haven,
1963, Vol. 16, № 3; The Solution of Zeno’s First Paradox, Mind, 1968, Vol. 77. № 306,
p. 206, 214, 216.
10
А
С
D
Е
F
В
Направление движения
Здесь А – начало пути; В – его конец; С, D, E, F и т. д. – предварительные цели, получаемые методом деления оставшейся части
пополам (дихотомий). Эта модель не запрещает движение к цели В
и в тоже время эта цель не достигается.
С. Куан выделяет две проблемы, поставленные апорией:
а) возможно ли деление;
б) возможно ли достигнуть цели?
Куан выясняет, что невозможность достигнуть цели обусловлена
уже помимо деления, а именно повторяющимся делением пополам,
как таковым. Это деление не является свойством движущегося тела
и движения вообще, оно целиком привносится в модель извне. Деление
пополам необходимым образом предшествует процессу перемещения из достигнутой предварительной цели в конечную путем деления
на следующую предварительную цель; оно делает возможным процесс перемещения только после своего осуществления. Движение по
отрезку АВ теряет при этом свою цельность и разбивается на отдельные отличные друг от друга, хотя и целые, не разделенные внутри
себя, непрерывные «куски». Поскольку же течение времени не прекращается и в период пауз при фиксировании предварительных целей, то при наличии неограниченного числа таких остановок происхождение отрезка АВ оказывается невозможным. Куан заключает, что
причины неудачи в прохождении пути АВ заключаются в том, что нет
ни одного примера попытки пройти этот путь на самом деле. Вместо
этого, как следствие движения пополам, акт прохождения пути представляется серией разорванных продвижений, включающей последовательность остановок и новых стартов к цели иной, чем первоначальная. Как следствие, цель не достигается.
С. Куан этим решением очень близко подходит к решению Аристотеля, который писал следующее: «Кто делит непрерывную линию
на две половины, тот пользуется одной точкой как двумя, так как он делает ее началом и концом. При таком делении ни линия, ни движение
11
не будут непрерывными»2. Выделение «драматического» аспекта достижения цели в «Ахиллесе», рассмотренное выше, можно переложить и на «Дихотомию», рассмотренную Куаном.
Если последовательные продвижения Ахиллеса целиком зависят
от того, двинулась ли в путь черепаха, то в «Дихотомии» роль черепахи исполняет наше вмешательство или последовательность умственных актов счета продвижений тела. Оба рассмотренных случая дают
отрицательный ответ на вопрос о достижении цели.
«Драматический» аспект достижения цели выделен авторами посредством своеобразной интерпретации апорий Зенона. Цель этой интерпретации заключается в том, чтобы обойти стороной вопрос о бесконечности. Поэтому такой анализ не облегчает проблем, а уводит
нас от рассмотрения важнейших вопросов о реальной структуре пространства и времени.
5. О возможности построения непротиворечивой модели
движения. Линейный континуум А. Грюнбаума
Апории Зенона, впервые указавшие на трудности отображения
движения в мышлении, ставят перед философией, физикой и другими
науками следующие рациональные вопросы:
а) возможно ли в рамках какой-нибудь теории построить непротиворечивую модель движения и на этой основе преодолеть логические
затруднения, связанные с апориями;
б) если это возможно, то является ли такая модель достаточной для
описания свойств механического движения; если же такая модель носит условный характер, то каковы границы ее применимости и каково
ее отношение к реальной действительности?
Рассмотрим ответ, даваемый наукой на первый вопрос.
В современной физике доминирует теоретико-множественное
представление о механическом движении. Оно заключается в том, что
с помощью дифференциальных уравнений и начальных условий для
любой точки пространства (x, y, z) можно указать момент времени t,
когда движущееся тело находится в этой точке. Эта модель сложилась
в рамках представлений классической физики и теории относительности. Она, как и возможность написания дифференциальных урав2
Аристотель. Физика. М.: Соцэкгиз, 1937. С. 197.
12
нений, предполагает континуальную структуру пространства и времени (иными словами, ее пространственные и временные переменные x, y, z и t имеют областями своего определения область действительных чисел). Непрерывность пространственных и временных переменных принимается также в квантовой физике.
Наиболее глубокий анализ логического аспекта трудностей отображения движения в мышлении и преодоления парадоксов Зенона
с точки зрения представлений о линейном континууме дан в работе
А. Грюнбаума3. Он исследует кинематическую возможность за конечный промежуток времени выполнить бесконечное количество операций или совершить бесконечное число актов прохождения конечного
отрезка пути по методу дихотомии. По мнению А. Грюнбаума, трудности, возникающие на пути преодолений апорий Зенона, имеют следующий характер:
а) эмпирическое восприятие времени человеком обнаруживает
наименьшую нижнюю границу, поэтому временные интервалы, длительность которых лежит ниже этой границы, не могут доставить восприятию адекватную информацию об их фактической метрике;
б) логическим препятствием на пути преодоления отрицательного
результата апорий (и одним из источников их возникновения) служит
убеждение, что бесконечная счетная последовательность подынтервалов пространства и времени не может быть завершена вследствие отсутствия в ней последнего члена.
Грюнбаум показывает, что первое обстоятельство обуславливает
необходимость бесконечного времени для завершения последовательности умственных актов счета подынтервалов, проходимых движущимся телом. Отсюда следует, что процесс счета не является подходящей моделью для иллюстрации противоположного утверждения
(т. е. о конечности временного промежутка, необходимого для прохождения пути): последнее иллюстрирует, очевидно, сам процесс
движения в непрерывном пространстве.
Второе обстоятельство, показывает Грюнбаум, также не является
препятствием для действительного завершения бесконечной последовательности актов прохождения конечной дистанции. Последний
акт движения не принадлежит к этой последовательности, но это
3
A. Grunbaum. Can an Infinitude of Operations be Performed in a Finite Time? BJPS,
1969.Vol. 77, № 307. P. 420.
13
не мешает ему завершить ее. Грюнбаум пишет, что Зенон ошибочно эксплуатирует логическую невозможность того, чтобы конечное
мгновение принадлежало какому-нибудь подынтервалу бесконечной последовательности, так как оно наступает позже всех других.
Непринадлежность последнего момента к собранию x подынтервалов
означает лишь то, что это мгновение нельзя найти в полуоткрытом
временном промежутке. Отсутствие в прогрессии последнего подынтервала, в течение которого движение будет завершено, не мешает существовать мгновению, более позднему, чем все подынтервалы, которое и есть последнее мгновение движения.
Но для того, чтобы преодолеть парадоксы Зенона, надо рассмотреть и вопросы гносеологического порядка.
6. Электрическая и математическая модели движения.
Три аспекта решения математической модели движения
Внимание к проблеме противоречивости механического движения
неслучайно. В наши дни проблематика противоречий покоя и движения (прерывного и непрерывного, конечного и бесконечного и т. д.) из
темы абстрактных размышлений превратилась в актуальную и глубоко конкретную проблематику современной математики, физики и других наук. Естественно, что на основе нового этапа в познании объективной реальности оживился интерес логиков и философов к данной
проблеме, в которую органически включен вопрос о способах отражения объективных противоречий в научных теориях.
Объективный процесс движения отображается абстрактным мышлением с помощью понятий и суждений. Если сам этот процесс назвать оригиналом, а его отображение в мышлении – моделями, то
в зависимости от специфики понятий и суждений, используемых для
описания оригинала, модели можно подразделить на эмпирические
и математические.
Эмпирическая модель движения представляет собой такое его описание, в котором значениями используемых в нем понятий являются чувственно данные нам объекты, их свойства и отношения между ними, а в суждениях утверждается присущность (либо неприсущность) свойств или отношений, чувственно данных объектам.
Понятия и суждения, употребляемые в эмпирической модели, явля14
ются, соответственно, эмпирическими понятиями и эмпирическими
суждениями. Истинность эмпирических суждений устанавливается
на основе чувственного опыта.
Математической моделью называется такое описание движения,
в котором значениями понятий являются абстрактные, идеализированные математические объекты (числа, точки, линии), их свойства
и отношения между ними, а в суждениях утверждается присущность
(либо неприсущность) свойств или отношений математическим объектам. В математической модели употребляются понятия и суждения,
называемые соответственно математическими абстракциями и математическими суждениями.
Истинность математических суждений не может быть установлена
непосредственно эмпирически, так как в объективной действительности не существует математических объектов как таковых и их нельзя чувственно воспринимать. Однако это отнюдь не свидетельствует
о том, что математические абстракции и суждения не пригодны для
отображения реального процесса движения.
Проблема отражения движения с помощью математических абстракций порождает ряд трудностей математического, формальнологического и гносеологического характера, связанных с существованием весьма сложных отношений как между эмпирическими и математическими моделями, так и между теми и другими моделями и их
оригиналами.
Некоторые из этих трудностей были сформулированы Зеноном
Элейским в его апориях.
При описании движения используется определенный математический аппарат (алгебра, интегральное и дифференциальное исчисление, теория множеств, теория вероятностей и т. д.). Так как средства
математики применимы к соответствующим математическим объектам, то непосредственно этими средствами задачу, касающуюся реальных объектов, решить нельзя. Однако можно применить способ,
изложенный ниже.
1. Системе реальных объектов, состоящих из некоторого множества индивидуальных предметов и некоторого множества связей между ними, надо противопоставить соответствующую систему, состоящую из множества индивидуальных математических абстрактных
предметов и множества отношений между ними.
15
2. Задачу, сформулированную относительно системы реальных
объектов, надо перевести на язык ее математической модели, чтобы
получить задачу, касающуюся уже математических объектов.
3. Полученную задачу надо решить математическими средствами
при условии, что для ее решения такие средства есть.
При этом полученное решение математической задачи является
приблизительным и упрощенным решением реальной задачи. Такой
подход к решению проблем реального движения содержит три взаимосвязанных друг с другом аспекта.
Первый (математический) аспект
Математические модели имеют значение не в качестве пассивного отображения движения, а в качестве инструмента, с помощью
которого можно решить задачи, касающиеся оригинала. Поэтому математический аспект проблемы отображения заключается в нахождении математических моделей, позволяющих наиболее адекватно отразить реальные задачи и точно решить их средствами математики.
Трудности математического аспекта заключается в том, что не всегда
имеются достаточные математические средства для решения задачи,
отображающей какую-либо ситуацию реального движения.
Второй (формально-логический) аспект
Математическая модель представляет собой описание, приблизительно отображающее оригинал и позволяющее точно сформулировать и решать относящиеся к нему задачи. Для этого описание должно быть формально-логически непротиворечивым.
Третий (гносеологический) аспект
Этот аспект касается взаимоотношения отображений (моделей эмпирических и математических) и отображаемого (оригинала, т. е. реального пространства, времени и движения). Важнейшей проблемой
такого взаимодействия является выяснение того, насколько математическая модель соответствует оригиналу.
Нет сомнения, что апории Зенона сформулированы как задачи, относящиеся к реальному движению, но требующие решения не эмпирическим методом, а средствами решения. Иначе они бы давнымдавно получили окончательное решение. Существо апорий Зенона
имеет, таким образом, гносеологическую природу, которая тесно связана с математическими и логическими аспектами отображения дви16
жения. В апориях Зенона выражается противоречие между эмпирическим знанием о движении и математическим описанием движения.
Но это противоречие не формально-логическое, ибо оно относится
к моделям совершенно разного рода. Это противоречие носит диалектический характер.
Поэтому часть философов не замечает, что из двух предложений одно сформулировано эмпирически, а другое – математически. Считается, что апории Зенона представляют собой формальнологические противоречия, или парадоксы. На формально-логическом
пути решения апорий Зенона, как это уже указывалось выше, чувственно доступное нам движение, совершающееся в пространстве
и времени (эмпирическая модель), принимается за исходный оригинал. Объяснение движения идет через перевод эмпирической модели
в модель математическую. Совершенствование способов математического моделирования выступает здесь единственным путем решения
проблемы, причем чувственно-доступное нам знание о реальном движении (эмпирическая модель) принимается не только за исходное, но
и в некотором смысле за окончательное наше знание о движении.
Диалектический же способ преодоления апорий Зенона (тело находится в данной точке пространства и не находится в ней) как бы
возвращает нас к реальному движению и всей этой столь очевидной
странностью своего утверждения противоречит нашему обыденному
представлению о движении, как бы указывая на неполноту нашего эмпирического знания – на то, что эмпирическая модель в действительности богаче и сложнее, что она не только служит источником данного
логического затруднения, но и сама несет в себе средства его преодоления. Конечно, ум, воспитанный в сфере точных наук, поначалу скорее отдает предпочтение, скажем, представлению о сходящемся ряде,
чем не вполне понятной формулировке о движущемся теле Гегеля:
«Двигаться же означает быть в этом месте и в то же время не быть
в нем». Вместе с тем это высказывание Гегеля, развитое Энгельсом
и Лениным, можно считать строгим решением апорий Зенона в рамках диалектической логики.
Математические и формально-логические методы решения апорий Зенона, при всей их общепризнанной результативности, носят
вспомогательный характер, однако главным методом решения этой
проблемы является диалектико-материалистический.
17
Формальная логика при всех ее успехах никогда не сможет подняться до уровня исчерпывающего описания и объяснения всей действительности, т. е. до уровня всеобщности, который доступен лишь
диалектической логике.
Противоречивая гегелевская формула: тело находится в данной
точке и не находится в ней, раскрывается и объясняется действительной, реальной, собственной противоречивостью оригинала, т. е.
реального процесса движения. В микромире мы действительно обнаруживаем живую, реальную противоречивость двух состояний
и качеств материи: геометрической формы или протяженности, характерной для корпускулярной материи и полевой материи или материи физического вакуума, лишенной определенности какой-либо
геометрической формы вообще.
Для объяснения движения мы должны одновременно привлечь
эти противоречащие друг другу характеристики материи в микромире. Это непостижимо с точки зрения формально-логического подхода
к проблеме. Современная физика дает богатейший материал в пользу
диалектической логики. Рассмотрим, например, фотон. С точки зрения формальной логики вопрос ставится очень просто: фотон либо
обладает протяженностью, либо лишен ее.
Но то и другое с точки зрения формальной логики лишено смысла.
А между тем фотон, будучи частицей, двигается со скоростью 3 ∙ 1016 см/с
и имеет нулевую протяженность. Будучи волной, он характеризуется
бесконечной протяженностью, поскольку каждая волна может быть
разложена в ряд Фурье, необходимо включающий в себя определенность бесконечного протяжения. Итак, для фотона характерно и отсутствие протяжения, и его бесконечная протяженность. Для диалектической логики это не невозможные вещи, а скорее необходимые.
7. Упрощенное решение апорий Зенона без учета
тех или иных аспектов проблемы
Средствами современной математики можно полностью справиться с трудностями математического аспекта апорий Зенона при условии, что формально-логический и гносеологический аспекты будут
считаться разрешенными. Особенно в этом отношении удобны теории множеств и, в частности, теория точечных множеств. Чтобы
18
воспользоваться данными средствами, достаточно тело представить
в виде материальной точки, а пространство и время – в виде бесконечных линейных точечных множеств.
В процессе движения реальных объектов возникает ситуация, которую можно описать в виде такой задачи: догонит ли тело, движущееся с некоторой скоростью, другое тело, движущееся с вдвое
меньшей скоростью, если оба тела движутся в одном направлении,
между ними есть конечное расстояние и они начинают движение одновременно, причем более медленно движущееся тело находится
впереди более быстрого тела. Это эмпирическая модель реальной
задачи. Впервые математическую модель этой ситуации дал Зенон
в апории «Ахиллес».
На языке теории множеств эта задача будет звучать таким образом: скорость одной точки примем за 1, скорость другой – ½, расстояние между точками будет равно 1. Понятие «движение более быстрого тела» будут означать, что первая точка преодолена за бесконечное
множество отрезков {1, ½, ¼, …, (½)n…}. Понятие «движение более
медленного тела» будет означать, что вторая точка преодолена за бесконечное множество отрезков {½, ¼, …, (½)n+1…}. Понятие «догонит»
будет означать, что элементы обоих множеств приведены во взаимно
однозначное соответствие.
Таким образом, получилась математическая задача на языке теории множеств, решить которую можно с помощью этой же теории.
Устанавливая взаимно однозначное соответствие между элементами
обоих множеств, получим, что первая точка обязательно догонит вторую.
Тут нет противоречия с эмпирическим опытом, т. е. математическая и эмпирическая модели дают аналогичные ответы на поставленную задачу. Но с точки зрения теории множеств мы решили апорию
Зенона лишь относительно, так как логический аспект в данном случае получает лишь частичное решение.
Но у теоретико-множественной модели есть крупные недостатки.
Об абсолютном решении логического аспекта в данном случае говорить вообще нельзя; множественная модель лишь статически отражает движение и это приводит к тому, что гносеологический аспект
отображения движения тоже нельзя признать удовлетворительным.
Поэтому в данном случае необходимо строить новые, более совершенные математические модели.
19
Особенное внимание привлекает апория Зенона «Стрела», потому
что в ней в наибольшей степени затрагивается проблема сущности
движения и выявляются основные трудности, связанные с пониманием этой сущности.
Исходя из достоверных по видимости утверждений о том, что
в каждое мгновение летящая стрела находится в определенной точке
пространства и что время слагается из мгновений (временных точек,
лишенных длительности), Зенон приходит к заключению о том, что
стрела вообще покоится во все время своего полета.
В истории было множество попыток решить этот парадокс Зенона.
Своеобразное решение его с позиций диалектики принадлежит
Гегелю. Причина парадокса Зенона, как считает Гегель, состоит в односторонности представления о том, что движущееся тело в каждое
мгновение находится в определенном месте пространства. Истина же
состоит в том, что в одно и тоже мгновение тело находится и не находится в определенном месте. Таким образом, движение есть само существующее противоречие.
Это решение Гегеля было принято классиками марксизма. Но Ленин и Энгельс не оставили разъяснений по поводу того, понимается
ли фраза «движущееся тело в один и тот же момент находится в данном месте и не находится в нем» как соединение утверждения и отрицания того же самого, вопреки закону противоречия формальной
логики, т. е. в том смысле, какой ей придавал Гегель.
Но в этом случае возникает первый парадокс. С одной стороны,
марксистская формула движения, с другой – закон формальной логики, закон противоречия. Одно несовместимо с другим. Таким образом, закон марксистской диалектики противопоставляется закону
противоречия формальной логики. Первый принимается за счет отрицания второго.
Однако закон противоречия или, точнее, закон недопущения противоречий в рассуждении говорит именно о том, что недопустимо
утверждать и отрицать то же самое, если претендуешь на правильное
решение вопроса. Встречается и такое мнение: допустимо утверждать,
что предмет имеет некоторое свойство и не имеет его, но, утверждая
это, нельзя отрицать то же самое. Иначе говоря, возможна истинность
суждения А&~А, но не может быть истинным (А&~А)&~(А&~А).
20
Просто доказать, что эти высказывания эквивалентны, т. е. оба одновременно или истинны, или ложны:
(А&~А)&~(А&~А) = (А&~А)&(~А ∨ А) = (А&~А&~А) ∨ (А&~А&А) =
= (А&~А) ∨ (А&~А) = А&~А.
Итак, Гегель писал: «Двигаться – значит быть в этом месте и не
быть в нем». Энгельс развивал высказывание о том, что движущееся тело «в один и тот же момент времени находится в данном месте
и одновременно – в другом, что оно находится в одном и том же месте
и не находится в нем».
Попытаемся привести математическое истолкование формулы
«находится и не находится» (на наш взгляд, самое удачное).
Когда встречаются с функцией, имеющей неопределенные значения в какой-либо точке, например, ƒ(х) = sin x в точке Х = 0, то исследуют ее в х окрестности этой точки, неограниченно уменьшая ее.
Предел, к которому стремится значение функции при неограниченном приближении к точке, считается значением функции в этой точке.
Таким образом, сама точка рассматривается как предел неограниченного уменьшения включающего его отрезка. Подойдем аналогичным образом к пониманию интересующего нас высказывания. Естественно, потребуется другая формулировка утверждения
о нахождении и ненахождении тела в данном месте. Нам удобнее будет говорить о нахождении или ненахождении движущейся точки
в пространстве.
Возьмем точку движущегося тела и зафиксируем ее на траектории
собственного движения, расположенной на расстоянии s от некоторого начала отсчета, и соответствующую ей точку во времени t (конец
отрезка времени t от того же самого начала отсчета).
Возьмем любой отрезок времени (t, t1): t < t1, а также отрезок траектории движения (s, s1): s < s1. Допустим, что мы не можем неограниченно уменьшать отрезок, причем s и t считаем за фиксированные,
уменьшая отрезки (s, s1) и (t, t1) путем половинного деления.
Таким образом, мы получили неограниченную последовательность временных и пространственных отрезков, составляющих части
(ss1) и (tt1). Если обозначим последовательность отрезков за sn и tn, то
s = lim sn, t = lim tn.
Пусть st будет переменной для временных отрезков (tn), а Δs – для
пространственных отрезков (sn).
21
Рассмотрим высказывание: точка А, находящаяся в момент времени t в точке пространства s тогда получим, что для ∀∆s – 0 может
быть найден отрезок Δt, в течение которого точка А не выйдет из Δs.
Таким образом, любую точку можно локализовать в любом, сколько угодно малом отрезке пространства.
Высказывание «точка А не находится в тот же момент времени t
в точке пространства s» можно рассмотреть следующим образом.
Для ( ∀∆t – 0) может быть найден Δs, из которого точка А выйдет за
время Δt. Таким образом, неограниченно уменьшая Δt, мы будем приближаться к t, т. е. к выбранному моменту времени, и всегда найдется
отрезок пути, который будет пройден точкой за это время.
В формально-логическом смысле эти два высказывания не противоречат друг другу. Но не для всех это является очевидным. Поэтому
воспользуемся языком математической логики и попытаемся доказать
это. В обоих высказываниях используется один трехместный предикат «точка А находится в течение времени Δt в пределах отрезка Δs».
Обозначим это присутствие через В(А, Δt, Δs). Отрицание этого высказывания обозначим через ~В(А, Δt, Δs):
(1)
∀∆s∃∆t (B(A, Δt, Δs));
(2)
∀∆t∃∆s (~B(A, Δt, Δs)).
Противоположностью для высказывания (1) будет ∃∆s∀∆t (B(A, Δt,
Δs)), но это высказывание не эквивалентно высказыванию (2): оно имплицирует (2). Согласно закону логики предикатов, ∃x∀y (A(x, y)) →
→ ∀y∃x (A(x, y)), но обратное не имеет места.
Таким образом, мы получили, что высказывание «движущееся тело в данный момент находится в данном месте и не находится
в нем» не является логически противоречивым.
Существует еще один заслуживающий внимание подход к анализу апорий Зенона, предложенный японским ученым С. Шираиши. Он
построил теорию движения, не прибегая к понятиям предела, действительного числа, множества и т. д. Построенная Шираиши система
действительно не противоречива и доступна пониманию с позиции,
согласно которой, если есть «великие достоинства», то всегда имеются «небольшие недостатки». Эта система основана на допущениях
в применении к отображаемому в ней движению, равносильным тому,
что неопределенная «нежесткая точка» представляется в виде «жест22
кой», остановленной, «мертвой». Автор формулирует и принимает аргументы Зенона против непрерывности движения (где, с одной стороны, предстают «Дихотомия» и «Ахиллес», констатирующие простое противоречие дискретного движения, а с другой – «Стрела»
и «Стадий»), и предлагает аксиомы для некоторой «неопределенной
непрерывности» пространства, времени и движения, не оставляющие, с точки зрения С. Шираиши, места для возражений. Независимо
от того, являются ли эти претензии определенными или нет, аксиомы
японского ученого представляют интерес и не содержат явного противоречия.
Можно еще проще объяснить апории Зенона, при этом не прибегая к математической логике, но оставаясь в пределах аристотелевской логики. А именно рассматривать апории Зенона как рассуждения, содержащие логические ошибки. При этом речь идет не только
о нарушении закона противоречия, но и о нарушении других логических законов, в частности закона тождества. Логические ошибки, как
известно, бывают преднамеренными (софизмы) или непреднамеренными (паралогизмы). Мы не будем углубляться в рассуждения о том,
является Зенон софистом или нет, а приведем некоторые соображения
относительно сформулированных им затруднений.
Возьмем, например, апорию «Ахиллес». Быстроногий Ахиллес
никогда догонит медлительную черепаху, если в начале движения она
находится на некотором расстоянии впереди Ахиллеса: пока Ахиллес
достигнет черты, с которой стартовала черепаха, она сама проползет
на некоторое расстояние, пусть и меньшее; пока Ахиллес пробежит
это расстояние, черепаха продвинется еще дальше и т. д. В ней нам
предлагаются рассуждения, характеризующие движение Ахиллеса
до того места, на котором находилась черепаха в начале движения Ахиллеса. На основании этих рассуждений делается вывод, что
Ахиллес никогда не догонит черепаху. Здесь происходит подмена понятий, а лучше сказать, подмена целей. Вначале речь идет о том, что
цель Ахиллеса – догнать черепаху. Затем эта цель заменяется другой –
двигаться к тому месту, где находилась черепаха, когда Ахиллес начал
движение. В итоге, подменяя цели, Зенон получает парадоксальный
вывод. Ахиллес обязательно догнал бы черепаху, если бы они оказались в одной точке, но по условию Зенона, Ахиллес всегда направляется в ту точку, в которой черепахи уже нет.
23
То же рассуждение справедливо и относительно апории «Дихотомия». Согласно одному из вариантов формулировки данной апории,
человек должен дойти до половины своего пути прежде, чем достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т. д. до бесконечности.
То есть человек постоянно приближается к конечной точке пути, но
так никогда ее не достигнет. Здесь цель достижения конечной точки
пути подменяется целью достижения середины оставшейся половины пути.
Кроме того, нарушение закона тождества происходит и тогда, когда отождествляются объективная реальность и субъективное представление об этой реальности. Это хорошо видно на примере апории
«Летящая стрела», которая, согласно рассуждению Зенона, покоится
на протяжении всего полета. Зенон на самом деле не знает, что происходит внутри стрелы во время полета, он руководствуется собственной интерпретацией, основанной на собственных поверхностных
наблюдениях. Поэтому его интерпретация полета стрелы носит субъективный характер и не может претендовать на абсолютную достоверность.
Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что причина противоречий в апориях Зенона скрывается в субъективной форме
описания реальности.
Апории Зенона показывают, как важно точно определять понятия, с помощью которых мы описываем объективную реальность.
Неточность определений ведет к неправильному описанию объективной реальности и, как следствие, к неразрешимым противоречиям.
8. Значение апорий Зенона для развития науки
Зенон отрицал не движение, но возможность совместить представление о движении с бесконечным протяжением и бесконечной длительностью. Современная физика, выдвинув идею квантованности пространства в микромире, допускает существование некого неделимого
отрезка, которого нам так не хватало в доказательстве неправильности апорий. Проблема расходимостей в современной физике и апории
Зенона состоят в тесном логическом родстве и проистекают из одной
основы – из представлений о бесконечности проникновения вглубь.
24
Можно удивляться тому, что Зенон почти две с половиной тысячи
лет назад чисто умозрительным путем предвосхитил как выводы современной физики о существовании некоторого последнего и далее
неделимого отрезка, так и те трудности, которые неизбежно возникают при допущении этого отрезка.
Предполагается, что Зенон не отрицал движения, а подлинное содержание апорий в том, что в них обсуждается вопрос о границах
применимости представлений о протяженности.
Механическое движение есть диалектически противоречивый процесс. Авторы, отрицающие диалектический характер движения, неправы. Но всесторонний анализ диалектических противоречий механического движения невозможен при отказе от категорий отражения.
Это значит, что нельзя отождествлять противоречия, возникающие на
уровне позитивности отражения результатов движения, с объективными противоречиями движения. Следует различать кинематический, геометрический и диалектический уровни отражения движения
в познании. «Человеческие представления о пространстве и времени
относительны, но они, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаясь к ней»4.
«Движение есть единство непрерывности и прерывности времени и пространства. Движение есть противоречие, есть единство
противоречий»5. Поэтому с каждым новым витком в развитии жизни
приходится снова возвращаться к проблематике, связанной с апориями Зенона, каждый раз на более высоком уровне.
4
Ленин В. И. Полное собрание сочинений в 55 т. Т. 14. М.: Изд-во политической литературы, 1972. С. 162–163.
5
Там же. Т. 38. М.: Изд-во политической литературы, 1969. С. 253.
25
Библиографический список
1. Анисов А. М. Апории Зенона и проблема движения / А. М. Анисов //
Труды науч.-исслед. семинара Логического центра Ин-та философии РАН /
РАН. Ин-т философии, Обществ. ин-т логики, когнитологии и развития
личности. – М., 2000. – Вып. 14. – С. 139–153.
2. Аристотель. Физика / Аристотель. Пер. В. П. Карпова. – М.: Комкнига, 2014. – 230 с.
3. Асмус В. Ф. Античная философия / В. Ф. Асмус. – М.: Высшая школа, 2009. – 400 с.
4. Векшенов С. А. Математика и физика пространственно-временного
континуума / С. А. Векшенов // Основания физики и геометрии. – М.:
Изд-во Российского университета дружбы народов, 2008. – С. 89–118.
5. Вилесов Ю. В. Апории Зенона и соотношение неопределенностей
Гейзенберга / Ю. В. Вилесов // Вестник МГУ, сер. 7 (философия). – М.,
2002. – № 6. – С. 20–28.
6. Вольнов В. Приглашение в философию. Античность / В. Вольнов. –
СПб.: Дмитрий Буланин, 2001. – 152 с.
7. Ивин А. А. Логика / А. А. Ивин. – М.: Гардарики, 2002. – 347 с.
8. Ленин В. И. Полное собрание сочинений в 55 томах. Т. 14 / В. И. Ленин. – М.: Изд-во политической литературы, 1972. – 565 с.
9. Ленин В. И. Полное собрание сочинений в 55 томах. Т. 38 / В. И. Ленин. – М.: Изд-во политической литературы, 1969. – 580 с.
10. Маковельский А. О. Досократики. В 3 т. / А. О. Маковельский. –
Минск: Харвест, 1999. – 784 с.
11. Grunbaum A. Can an Infinitude of Operations be Performed in a Finite
Time? // BJPS. – 1969. – Vol. 77, № 307.
12. Guan Stanislav. Review of Metaphysics. New Haven, 1963. – Vol. 16,
№ 3.
13. Guan Stanislav. The Solution of Zeno’s First Paradox. – Mind, 1968. –
Vol. 77, № 306.
26
Оглавление
Введение............................................................................................................ 3
1. Философское учение Парменида. Первая попытка в истории
философии метафизического понимания природы....................................... 4
2. Развитие Зеноном учения Парменида. О мыслимости пространства,
множества и движения. Апории Зенона......................................................... 5
3. Первая группа апорий Зенона. Апория «Меры».
Теоретико-множественная теория меры в современной науке.....................7
4. Три аспекта в анализе апорий Зенона второй группы............................... 9
5. О возможности построения непротиворечивой модели движения.
Линейный континуум А. Грюнбаума............................................................ 12
6. Электрическая и математическая модели движения. Три аспекта
решения математической модели движения................................................14
7. Упрощенное решение апорий Зенона без учета тех или иных
аспектов проблемы......................................................................................... 18
8. Значение апорий Зенона для развития науки...........................................24
Библиографический список...........................................................................26
27
Учебное издание
АПОРИИ ЗЕНОНА. МЕТАФИЗИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ
ПРИРОДЫ В ИСТОРИИ АНТИЧНОЙ ФИЛОСОФИИ
Учебно-методическое пособие
Составители: Балтовский Леонид Васильевич,
Смирнова Анастасия Петровна
Редактор А. А. Стешко
Корректор А. А. Стешко
Компьютерная верстка В. Е. Королевой
Подписано к печати 17.09.15. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Усл.-печ. л. 3,4. Тираж 100 экз. Заказ 83. «С» 55.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
28
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
500 Кб
Теги
2015, aporii, zenona
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа