close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Bashmakova Rjady

код для вставкиСкачать
И. Б. БАШМАКОВА, И. И. КОРАБЛЁВА,
С. С. ПРАСНИКОВА
РЯДЫ
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
И. Б. БАШМАКОВА, И. И. КОРАБЛЁВА,
С. С. ПРАСНИКОВА
РЯДЫ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
УДК 517.52
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Л. Трескунов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Кельзон
(ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова)
Башмакова, И. Б.
Ряды: учеб. пособие / И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва,
С. С. Прасникова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 77 с.
ISBN 978-5-9227-0562-2
Даны основные определения и теоремы. Приводится методика решения
задач. Рассмотрены многочисленные примеры. Даны варианты с заданиями
для самостоятельной работы.
Предназначено для самостоятельного изучения раздела «Ряды» студентами ФБФО.
Табл. 1. Ил. 2. Библиогр.: 7 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
Глава 1. ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
1.1. Основные понятия и определения
Представим, что мы находимся на берегу океана, имея в руке
стакан, а рядом пустой сосуд. Зачерпнув из океана стакан воды, переливаем его содержимое в сосуд, затем добавляем полстакана воды,
затем еще четверть, затем восьмую часть и т. д. Вообразите, что эта
работа продолжается вечно. Настанет ли момент, когда лить станет
некуда? Какая емкость достаточна для того, чтобы вместить все порции воды, которые мы вычерпываем описанным способом?
В этом разделе мы покажем, что нам хватит сосуда на два стакана (пример 1.1.6).
А теперь поставим новый эксперимент. Зачерпнем и перельем
в сосуд стакан воды, добавим полстакана, еще треть, затем четверть,
пятую, шестую часть стакана и т. д. Мы докажем, что нет такого сосуда, который не переполнился бы рано или поздно (пример 1.7.1).
Эти два опыта подводят нас к понятию ряда.
До сих пор понятие суммы имело смысл для конечного числа
слагаемых.
Определение суммы ряда – это формализация представления
о том, что должно получиться, если сложить бесконечно много чисел
одно за другим.
Определение 1.1.1. Выражение вида
∞
∑ uk = u1 + u2 + u3 + ... + uk + ...
k =1
называется числовым рядом, величины u1 , u 2 , u3 , … – членами ряда
яда;
ISBN 978-5-9227-0562-2
uk – общий член ряда.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва,
С. С. Прасникова, 2015
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2015
2
Ряд считается заданным, если знаем выражение uk .
3
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Пример 1.1.1
Пример 1.1.3
∞
1 1 1 1
1
1
1 + + + + + ... + k −1 + ... = ∑ k −1 .
2 4 8 16
2
k =1 2
Ряд
k =1
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом a = 1
1
и знаменателем q = .
2
Ряд
S n = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ⋅1 = n и lim S n = lim n = ∞.
n→∞
Этот ряд называется гармоническим рядом.
Пусть задан ряд
∑ uk = u1 + u2 + u3 + ... + uk + ...
k =1
∞
(1)
∞
Числа S n = ∑ uk = u1 + u2 + ... + u n называют n-й частичной сумk =1
мой ряда.
Определение 1.1.2. Если последовательность частичных сумм
имеет конечный предел:
∞
n
∑ uk = S ,
Ряд
∑ (− 1)k
k =1
= −1 + 1 − 1 + 1 − 1...
− 1, n − нечетно;
Для него S n = 
 0, n − четно.
Последовательность S n не имеет ни конечного, ни бесконечного предела, поэтому ряд расходится и, более того, не имеет суммы.
Пример 1.1.6
Рассмотрим геометрическую прогрессию
∞
n → ∞ k =1
∑ uk
n →∞
Пример 1.1.5
∞
то ряд
∞
∑1 = 1 + 1 + 1 + ... расходится, так как
k =1
∞
1 1 1 1 1
1
1
1 + + + + + + ... + + ... = ∑ .
2 3 4 5 6
k
k =1 k
lim S n = lim
суммы равны 0.
Пример 1.1.4
Пример 1.1.2
n→∞
∞
∑ 0 = 0 + 0 + 0 + ... сходится к 0, так как все частичные
∑ aq k −1 = a + aq + aq 2 + ... + aq k −1 + ...
называют сходящимся, а значение S этого предела –
k =1
суммой ряда.
Если lim S n не существует или равен бесконечности, то ряд
n→∞
называют расходящимся, суммы он не имеет.
k =1
S n = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n −1 .
Умножим почленно равенство (2) на знаменатель прогрессии q:
S n q = aq + aq 2 + aq 3 + aq 4 + ... + aq n .
Вычтем почленно полученное равенство из (2):
S n − S n q = a − aq n ;
(
)
S n (1 − q ) = a 1 − q n .
4
(2)
5
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Пример 1.1.7
Таким образом,
Sn =
(
)
a 1− qn
.
1− q
∞
Исследуем ряд
(
)
(
n
k
=
a
1. Если q < 1, то lim q = 0 и lim S n =
, т. е. ряд
n→∞
n→∞
1− q
1
1−
2
∑ aq
n −1
n =1
∞
∑
n =1 2
1
n −1
1
сходится, так как q =
2
= 2.
остатком ряда
4. Если q = −1, то из примера 1.1.5 получаем расходящийся ряд.
Следовательно, геометрическая прогрессия
∞
∑ aq k −1
∞
∑ uk
∑ uk
называется m-м частичным
(отброшены первые m слагаемых).
Теорема 1.2.1. Ряд
= a (1 + 1 + 1 + ...), который тоже расходится.
∞
∑ uk
и любой его остаток сходятся или
k =1
расходятся одновременно.
Доказательство. При всех n > m
n
сходится при
m
n
∑ uk = ∑ uk + ∑ uk .
k =1
q < 1, и ее сумма S =
∞
k =1
n→∞
3. Если q = 1, то получим ряд из примера 1.1.4
k =1
1.2. Частичный остаток ряда. Необходимый признак
сходимости рядов
k = m +1
n→∞
∑ a ⋅ 1k
1
1 
1
+ −
→ 1,
 = 1−
n + 1 n →∞
 n n + 1
Определение 1.2.1. Ряд
2. Если q > 1, то lim q n = ∞ и lim S n = ∞, т. е. ряд расходится.
ся.
∞
n
1
1   1 1 1 1 1
1
= ∑ −
 = 1 −  +  −  +  −  + ... +
k (k + 1) k 1  k k + 1   2   2 3   3 4 
1=
то ряд сходится и его сумма равна единице.
Значит, ряд из примера 1.1.1
и его сумма равна S =
∞
a
.
1− q
1
k =1
Sn = ∑
n
сходится и его сумма S =
1
∑ k (k + 1) .
Так как
)
a
a
1− qn =
lim 1 − q n .
n →∞
n →∞ 1 − q
1 − q n →∞
Здесь возможны четыре случая:
lim S n = lim
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
k 1=
k 1
=
(3)
k = m +1
При n → ∞ предел обеих частей равенства (3) существует или не
a
.
1− q
существует одновременно, т. е. сходимость рядов
∞
∑ uk
k =1
равносильна.
6
7
и
∞
∑ uk
k = m +1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Например, если сходится ряд
∞
Ряды
n
∑ uk = S ,
n→∞
∑ uk , то существует lim
k =1
k =1
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Sn = 1 +
и, переходя к пределу в равенстве (3), получим
n
m
lim ∑ u k = lim ∑ u k + lim
n→∞ k =1
n→∞ k =1
lim S n > lim n = ∞, т. е. ряд расходится.
n→∞
n
n
∑
uk = S −
∑ uk ,
n →∞ k = m +1
m
∑ uk
n → ∞ k m=
k 1
=
+1
= S ′.
Пример 1.2.2. Рассмотрим ряд
Следовательно, остаток ряда сходится.
Аналогично доказывается обратное утверждение (из сходимости остатка следует сходимость ряда), а также одновременная расходимость ряда и его остатка.
Теорема 1.2.2 (необходимый признак сходимости рядов)
Если ряд
u n = 0.
∑ uk сходится, то nlim
→∞
k =1
Доказательство. Если ряд
∑ uk
k =1
3k + 1
∑ 5k + 4.
1

n 3 + 
3n + 1
n 3
= , то данный ряд расходится.
= lim 
Так как lim
n → ∞ 5n + 4
n→∞ 
4 5
n 5 + 
n

1.3. Арифметические операции со сходящимися рядами
сходится, то lim
n
∑ uk = S .
n → ∞ k =1
n −1
 n

lim un = lim  ∑ uk − ∑ uk  = lim (S n − S n −1 ) = S − S = 0.
n→∞
n → ∞ k =1
 n →∞
k =1
Пример 1.2.1. Рассмотрим ряд 1 +
∞
k =1
∞
n
n→∞
Замечание 1.2.1. Таким образом, стремление к нулю общего
члена ряда не является достаточным условием сходимости ряда.
Теорему 1.2.2 обычно используют для доказательства расходимости ряда, общий член которого не стремится к нулю.
или
lim
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
>
+
+
+ ... +
=n
= n.
2
3
n
n
n
n
n
n
1
1
1
+
+ ... +
+ ...
2
3
n
1
→ 0, т. е. необходимое условие выполнено,
n n→∞
но ряд, тем не менее, является расходящимся. Покажем это.
Его общий член
Теорема 1.3.1. Если ряды
∞
∑ uk
и
k =1
ственные числа, то ряд
∞
∞
k =1
k =1
∞
∑ (auk ± bvk )
k =1
∞
е∑ vk сходятся, a и b – веще-
k =1
сходится и
∞
∑ (auk ± bvk ) =
k =1
= a ∑ u k ± b ∑ vk .
Доказательство. Теорема будет доказана, если перейти к пределу
в равенстве для частичных сумм
∞
∞
∞
k =1
k =1
k =1
1
1
1
+
+ ... +
,
2
3
n
введем в рассмотрение вспомогательную сумму с меньшими
слагаемыми
Таким образом, мы доказали, что сходящиеся ряды можно почленно складывать (или вычитать), при этом получается сходящийся
8
9
Составим n-ю частичную сумму S n = 1 +
∑ (auk ± bvk ) = a ∑ uk ± b ∑ vk .
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
ряд, а также члены сходящегося ряда можно умножать на одно и то
же число, при этом получается сходящийся ряд, сумма которого равна произведению данного ряда на данное число.
2. Если ряд
k =1
сходится. Согласно общему признаку
у
о
S n = ∑ v k ≤ M ; так как uk ≤ vk , то
k =1
частичные суммы ряда
∞
∑ uk , где uk > 0, равносильна ограниченнос-
ти сверху последовательности его частичных сумм.
Доказательство. Очевидно, что последовательность частичных
сумм положительного ряда является монотонно возрастающей, т. е.
S1 < S 2 < S 3 < ... < S n , ...
Из теории пределов известно, что монотонно возрастающая последовательность имеет предел тогда и только тогда, если она ограничена сверху, т. е. существует такое число M > 0, что S n ≤ M для
всех n.
На основе этого общего условия будут получены практически
эффективные признаки сходимости положительных рядов.
Теорема 1.4.1 (первый признак сравнения сходимости
положительных рядов)
Пусть uk , vk > 0 для всех k = 1, 2, ..., пусть uk ≤ vk , тогда следует
ует
рассмотреть два варианта:
(с бóльшими членами) сходится, то и ряд
k =1
∞
∑ uk
k =1
(с меньшими членами) сходится.
10
∞
∑ uk
n
n
k =1
k =1
∑ u k ≤ ∑ vk ≤ M . Таким образом,
ограничены, ряд сходится.
k =1
2. Пусть ряд
k =1
∑ vk
∞
∑ vk
n
∑ uk , где uk > 0 для всехх k.
k =1
1. Если ряд
расходится.
сходимости существует такое число M > 0, что частичная суммаа
Лемма 1.4.1 (общее условие сходимости положительных
рядов)
∞
∑ vk
k =1
Доказательство
1. Пусть ряд
∞
Сходимость ряда
∑ uk расходится, то и ряд
k =1
1.4. Положительные ряды. Признаки сравнения
сходимости положительных рядов
Рассмотрим ряд
∞
∞
∞
∑ uk
расходится. В этом случае ряд
k =1
∞
∑ vk
такжее
k =1
расходится, ибо если он будет сходиться, то по доказанному выше будет
сходиться и ряд
∞
∑ uk , что противоречит условию признака.
k =1
Теорема 1.4.2 (второй признак сравнения сходимости
положительных рядов)
Если члены рядов
∞
∑ uk
∞
∑ vk
и
k =1
u k +1 vk +1 то из сходимости ряда
≤
,
uk
vk
∞
∞
∑ uk , а из расходимости ряда ∑ uk
k =1
Доказательство
связаны зависимостью
k =1
k =1
∞
∑ vk
k =1
следует сходимость ряда
следует расходимость ряда
∞
∑ vk .
k =1
1. Из условия u k +1 ≤ vk +1 при k = 1, 2, 3, ..., n − 1 получим
uk
vk
un
vn
u 2 v2 u3 v3
неравенства u ≤ v , u ≤ v , … , u ≤ v .
1
1
2
2
n −1
n −1
11
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Доказательство. По определению предела последовательности для любого сколь угодно малого положительного ε существует
такое натуральное число N = N (ε ), что для всех k > N выполняется
ся
неравенство
Перемножим эти неравенства почленно:
v
u 2 u3 u4 un −1 u n
v v v v
...
≤ 2 3 4 ... n −1 n
u1 u 2 u3 u n − 2 u n −1 v1 v2 v3 vn − 2 vn −1
или
u
u
uk
− l < ε , или − ε < k − l < ε , или l − ε < k < l + ε.
vk
vk
vk
u n vn
≤ .
u1 v1
Отсюда u n ≤
Умножим последнее неравенство на vk и заменим: (l − ε ) = a,
u1
u
v n = bv n , где b = 1 .
v1
v1
Предположим, что ряд
∞
∑ vk
(l + ε) = b, получим
avk < uk < bvk , k > N .
сходится, тогда по теореме 1.3.1
1. Пусть ряд
k =1
сходится и ряд
∞
∑ bvk , что в свою очередь по первому признаку срав-
k =1
нения и условию un ≤ bvn приводит к тому, что ряд
2. Пусть ряд
∞
∑ uk расходится. Тогда ряд
k =1
∞
∑ vk
∞
∑ uk
∞
∑ bvk , а по теореме 1.2.1 сходится и его остаток
тоже расходится,
а вместе с ним и сам ряд
∞
∑ bvk , а по
условию.
Теорема 1.4.3 (признак сравнения в предельной форме)
Пусть uk > 0, vk > 0 при всехх k = 1, 2, ... и существует
т
∞
∞
uk
= l ∈ (0, ∞ ), тогда ряды ∑ u k и ∑ vk сходятся или расходятся
k → ∞ vk
k =1
k =1
одновременно.
12
ряда
∞
∑ vk
∞
∑ uk ,
k=N
∞
∑ uk .
k =1
2. Если сходится ряд
что противоречит
k =1
lim
k=N
нения (теорему 1.4.1), получаем, что сходится остаток ряда
k =1
∞
∞
∑ bvk .
Учитывая правую часть неравенства (4) и первый признак срав-
сходится.
k =1
∑ uk ,
сходится, тогда по теореме 1.3.1 сходится ряд
k =1
k =1
k =1
ведь если он будет сходиться, то будет сходиться и ряд
доказанному в п. 1 будет сходиться и ряд
∞
∑ vk
(4)
∞
∑ uk , то для доказательства сходимости
k =1
следует повторить рассуждения п. 1 и воспользоваться
k =1
левой частью неравенства (4).
3. При доказательстве одновременной расходимости рядов
и
∞
∑ vk
∞
∑ uk
k =1
следует провести доказательство от противного, как это сдела-
k =1
но в п. 2 доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2.
13
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Пример 1.4.1
1
∞
k 2 = lim k + 1 = 1 и ряд
1
k →∞ k
(k + 1)k
∞
∞
1
1
сходится
(пример
1.1.7).
Тем
более
сходится
ряд
∑ k (k + 1)
∑ k a при
k =1
k =1
1
Ряд ∑ 2 сходится, так как lim
k →∞
k =1 k
a > 2, так как
1
1
≤ 2 (теорема 1.4.1).
a
k
k
1.5. Признак Даламбера сходимости положительных рядов
Теорема 1.5.1. Пусть uk > 0, k = 1, 2, ..., и существует предел
ел
lim
n→∞
u n +1
= D, D ∈ [0, ∞ ).
un
1. Если D > 1, то ряд
∞
∑ uk
2. Пусть D < 1.
По определению предела последовательности для любого сколь
о
угодно малого положительного ε можно указать такое N = N (ε ), что
о
для всех n > N выполняется неравенство
u n +1
−D <ε
un
или
u
D − ε < n +1 < D + ε.
(5)
un
Выберем ε =
1− D
, тогда из правой части неравенства (5)
2
u n +1
1− D 1+ D
< D+
=
= q < 1 для всех n > N .
un
2
2
Представим q как отношение двух соседних слагаемых
получим
сходящейся геометрической прогрессии
позволит говорить о сходимости остатка ряда
∑ uk сходится.
u n +1
aq n
< q = n −1 ,
un
aq
∞
∑ uk , а вместе с ним
k=N
k =1
3. Если D = 1, то ряд может сходиться, а может расходиться.
Доказательство
1. Пусть D > 1, тогда найдется такой номер N, начиная с которого
о
u n +1
> 1, т. е. u n +1 > u n .
un
Следовательно, un ≥ u N > 0 при всех n ≥ N , т. е. lim u n ≠ 0 , и по
n→∞
необходимому признаку сходимости (замечание 1.2.1) ряд
∞
∑ uk
k =1
14
∑ aq n
n > N , и применим теорему 1.4.2 (второй признак сравнения), чтоо
∞
расходится.
∞
k =1
расходится.
k =1
2. Если D < 1, то ряд
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
и самого ряда
∞
∑ uk .
k =1
Пример 1.5.1
Рассмотрим ряд
∞
1 2 3 4
n
n
+ 2 + 3 + 4 + ... + n + ... = ∑ n ;
3 3 3 3
3
n =1 3
un =
n
n +1
; u n +1 = n +1 .
n
3
3
15
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Применим признак Даламбера:
u n+1
n →∞ u n
lim
∞
Ряд
n
∑ 3n
n =1
 1
n 1 + 
n
(n + 1) 3 = 1 lim n + 1 = 1 lim  n  = 1 < 1.
= lim n +1
n →∞ 3
n 3 n→∞ n
n
3 n→∞
3
сходится.
∞
можно
∞
пользоваться правилом Лопиталя (нахождение производной в числителе и знаменателе) или сравнивать слагаемые числителя и знаменателя с самой высокой степенью.
Пример 1.5.2. Рассмотрим ряд
Заметим, что при раскрытии неопределенности вида
n
∞
5n +1
5n
.
u n = 2 ; u n +1 =
(n + 1)2 + 1
n +1
Признак Даламбера:
lim
n →∞
((n + 1) + 1)
2
(n
2
) = 5 lim
+1
5n
n →∞
0! = 1,
1! = 1,
2! = 1 ⋅ 2,
5! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5.
Основное свойство факториала: n!= n(n − 1)!.
Применим признак Даламбера к ряду в примере 1.5.3:
un =
2n + 1
2(n + 1) + 1 2n + 3
; u n +1 =
=
;
(n + 1)!
((n + 1) + 1)! (n + 2)!
u n+1
(2n + 3)(n + 1)!
(2n + 3)(n + 1)!
= lim
= lim
=
n →∞ u n
n→∞ (n + 2 )!(2n + 1)
n →∞ (n + 1)!(n + 2 )(2n + 1)
lim
2n + 3
2n + 3
∞
=   = lim 2
.
n→∞ (n + 2 )(2n + 1)
 ∞  n→∞ 2n + 5n + 2
= lim
n
5
5
5
25
125
625
+ 2
+ 2
+ 2
+ ... + 2
+ ... = ∑ 2 ,
1+1 2 +1 3 +1 4 +1
n +1
n =1 n + 1
5 n+1
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Применим правило Лопиталя:
(2n + 3)′ = lim 2 = 2 = 0 < 1.
lim
′ n→∞ 4n + 5 ∞
n →∞
2n 2 + 5n + 2
(
n2 +1
n 2 + 2n + 1 + 1
= 5 (так как в чис-
лителе и знаменателе одинаковые слагаемые с самой высокой степе2
нью n ).
Ряд
∞
)
(2n + 1) сходится.
∑ (n + 1)!
n =1
Замечание 1.5.1. В примере 1.2.1 мы показали, что ряд
∞
∑
n =1
5n
Так как D = 5 > 1, то ряд ∑ 2
расходится.
n =1 n + 1
Пример 1.5.3. Рассмотрим ряд
∞
∞
3 5 7
2n + 1
2n + 1
.
+ + + ... +
+ ... = ∑
2! 3! 4!
(n + 1)!
n =1 (n + 1)!
Определение 1.5.1. Факториалом целого положительного числа
n (обозначается n!) называется произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n !.
16
расходится, а в примере 1.4.1 – что ряд
∞
n =1
и другом случае
lim
u n+1
1
n
= lim
= 1,
n →∞ n + 1 1
un
lim
u n+1
1 n2
= lim
= 1.
n→∞ (n + 1)2 1
un
17
1
∑ n2
1
n
сходится. Но в том
м
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда,
что иллюстрирует п. 3 теоремы 1.5.1.
Выберем такое, что D + ε = q < 1, тогда для всех n > N
выполняются неравенства
u n +1
≤ q → u n +1 ≤ u n q ,
un
Примеры для самостоятельного решения
u n + 2 < un +1q ≤ u n q 2 ...
Найти общий член и исследовать сходимость ряда.
1.
1
1
1
1
+ 2 2 + 2 3 + 2 4 + ...
1 ⋅5 2 ⋅5 3 ⋅5 4 ⋅5
2.
1 5 9
+ + + ...
2! 4! 6!
Следовательно, n-й (n > N ) частичный остаток данного сходящегося ряда
rn = un +1 + u n + 2 + ... ≤ un q + u n q 2 + un q 3 + ... =
2
(
4.
)
= u n q 1 + q + q 2 + ... = u n
1 4 9 16
+ + ...
3. + +
3 9 27 81
q
.
1− q
1.7. Интегральный признак сходимости Коши
1
4
7
+ 4 + 6 + ...
2
5
5
5
1
1
1
+
+
+ ...
5.
2
3
1⋅ 7
2 ⋅7
3 ⋅ 74
Теорема 1.7.1. Если члены ряда
∞
∑ un
положительны и не воз-
n =1
1.6. Оценка частичного остатка сходящегося
положительного ряда, удовлетворяющего условиям
сходимости признака Даламбера
растают, т. е. u1 ≥ u2 ≥ ... ≥ un ≥ un +1 ≥ ... > 0, un = f (n ), то ряд
яд
∞
∑ un
n =1
сходится или расходится, смотря по тому, имеет ли интеграл
∞
Пусть ряд
∞
∑ uk удовлетворяет условиям сходимости признакаа
k =1
Даламбера, т. е. lim
n→∞
u n +1
= D < 1.
un
∫ f ( x ) dx конечное значение или равен бесконечности.
1
Доказательство
1. Так как un = f (n ) , то всегда можно найти непрерывную, по-
ложительную, невозрастающую функцию f ( x ), (рис. 1), которая при
По определению предела последовательности
u n +1
< D + ε, где
un
– любое сколь угодно малое число, ε > 0, и неравенство выполнено
для всех n > N = N (ε ).
18
целых значениях x = n принимает значения un .
Сумма площадей вписанных (заштрихованных) прямоугольников
равна
f (2 ) ⋅1 + f (3) ⋅ 1 + ... + f (n ) ⋅ 1 = u2 + u3 + ... + un = S n − u1 ,
т. е. n-й частичной сумме S n без первого слагаемого u1.
19
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
y
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
Если
и ряд
∞
∫
f ( x )dx = lim
n →∞
1
∞
∑ un
n +1
∫ f (x )dx = ∞
(расходится), то lim S n = ∞
n→∞
1
расходится.
n =1
y = f (x )
Замечание 1.7.1. В интеграле
∞
∫ f (x )dx при применении призна1
êà Êî ø è ì î æí î çàì åí ÿòü í èæí èé ï ðåäåë, ðàâí û é 1, ëþ áû ì ÷èñëî ì a,
большим единиц, так как интегралы
1
2
n–1
3
n
n+1
x
Рис. 1
Получившаяся суммарная площадь меньше площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x ), осью 0х и прямыми x = 1 и x = n, т. е.
n
∞
S n − u1 < ∫ f ( x )dx < ∫ f ( x )dx, так как f ( x ) > 0.
1
1
Если несобственный интеграл
значение, т. е. сходится), то
сходимости (лемма 1.4.1) ряд
∞
∫ f (x )dx = M
1
S n < u1 +
∞
∑ un
M и по общему условию
сходится.
∞
прямыми x = 1 и x = n + 1, значит,, S n > ∫ f ( x )dx.
20
1
∫ f (x )dx
A
dx
dx
A
=
lim
ln x ) 1 = lim (ln A − ln 1) = ∞.
(
∫ x A→∞ ∫ x = Alim
→∞
A→∞
1
1
∞
∞
1
∑n
n =1
расходится.
Пример 1.7.2. Ряд
∞
1
∑ np,
p > 0, p ≠ 1.
n =1
Здесь имеем f (n ) =
1
1
, f (x) = p .
p
n
x
A
A
dx
x − p +1
−p
lim
lim
=
=
=
x
dx
∫ x p A→ ∞ ∫
A← ∞ − p + 1
1
1
1
∞
(
1
A1− p
A→ ∞ 1 − p
= lim
 p < 1, A1− p → ∞,
A→ ∞

−1 = 
1
 p > 1, A1− p = p −1 → 0.

A A→ ∞
)
21
сходятся
ся
a
1
1
да
Здесь f (n ) = , поэтому f ( x ) = , тогда
n
x
n =1
2. Найдем теперь сумму площадей описанных прямоугольников.
f (1) ⋅1 + f (2) ⋅ 1 + ... + f (n − 1) ⋅1 + f (n ) ⋅1 = u1 + u2 + ... + un = S n .
В данном случае суммарная площадь больше площади
криволинейной трапеции, ограниченной y = f ( x ), осью 0х и прямыми
∞
Пример 1.7.1. Вновь рассмотрим гармонический ряд
Ряд
(имеет конечноее
∫
f ( x )dx и
1
и расходятся одновременно.
0
∞
∞
1
∑ n.
n =1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Замечание 1.7.2. Оценить остаток сходящегося ряда, удовлетворяющего признаку Коши, можно аналогично доказательству п. 1
теоремы 1.7.1, опираясь на рис. 1.
∞
Если p < 1, ряд
1
∑ n p расходится.
1
Если p > 1, ряд
∑ np
∞
1
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
∞
сходится.
rn = u n +1 + u n + 2 + ... < ∫ f ( x )dx.
1
n
ln n
Пример 1.7.3. Ряд ∑
.
n=2 n
f (n ) =
Так как p = 2 > 1, то этот ряд сходится (пример 1.7.2).
Оценим его n-й остаток:
ln n
ln x
,
→ f (x ) =
n
x
A
∞
A
A
ln x
ln 2 x
1
dx
=
lim
ln
xd
ln
x
=
lim
= lim ln 2 A − ln 2 2 = ∞.
∫ x
∫
A→ ∞
A→ ∞ 2
A→∞ 2
2
2
2
(
)
∞
ln n
расходится.
n =2 n
∑
dx
 1
 1 1 1
rn < ∫ 2 = lim  −  = lim  − +  = ,
A → ∞ x 
A → ∞ A
n n
n
n x
1
rn < .
n
Этой оценкой можно воспользоваться при решении вопроса,
сколько членов данного ряда нужно взять, чтобы приближенно найти
его сумму с абсолютной ошибкой, не превосходящей 0,001. Итак,
rn <
∞
1
Пример 1.7.4. Ряд ∑
.
3
2 n ln n
f (n ) =
1
∑ n2 .
n =1
∞
Ряд
∞
Пример 1.7.5. Оценить n-й частичный остаток ряда
∞
1
1
→ f (x ) =
,
3
n ln n
x ln 3 x
∞
1
1
, но так как rn < , тоо n = 1000.
1000
n
Таким образом, при нахождении приближенной суммы ряда
1
∑ n2
n =1
с точностью до 0,001 надо взять первую 1000 членов ряда.
Примеры для самостоятельного решения
A
A
dx
d ln x
ln − 2 x
1
1 

lim
lim
=
=
+
−
=
∫ x ln 3 x A→ ∞ ∫ ln 3 x A→ ∞ − 2 = Alim
2
→ ∞ 2 ln x
2 ln 2 2 
2
2
2
1
=
,
2 ln 2 2
∞
∞
1
значит, ряд ∑
сходится.
3
2 n ln n
22
1.
∞
n =1
4.
1
∑ (4n + 1)
ln 2 n
.
n =2 n
∞
∑
4n + 1
.
2.
∞
∑n
n =2
5.
∞
∑
n=2
23
1
.
ln n
ln n
.
n
3.
6.
∞
∑
n =1 n
∞
1
2
+4
n
.
∑ n2 + 1.
n =1
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
1.8. Некоторые рекомендации для эффективного
использования признаков сходимости
Приведенные выше признаки сходимости положительных рядов позволяют судить о том, сходится или расходится ряд (отметим,
что есть много других признаков, которые можно найти в учебниках
по высшей математике [1, 2, 3]), но не решают вопрос о сумме,
к которой сходится ряд. Саму сумму редко ищут по определению:
Окончание таблицы
Название
признака
Формулировка
признака
Интегральный
признак Коши
∞
∑ un → f (n) = un > 0
n =1
(невозрастающая).
∞
∫ f ( x )dx =
lim S n = S , а находят другие способы, например, используя разложе-
1
n→∞
ние элементарных функций в степенные ряды (глава 3) или тригонометрические ряды.
В справочниках по математике [7] можно найти таблицы сумм
некоторых числовых рядов.
Предложим некоторые рекомендации по использованию доказанных признаков (таблица).
∞

u n − сход.
const → n∑
=1
=
∞
 ∞ → ∑ u n − расход.

n =1
Предельный
признак
сравнения
Un
= const ≠ 0,
n→∞ Vn
Если lim
то ряды
∞
∑U n и
n =1
Название
признака
Признак
Даламбера
Формулировка
признака
 D < 1,
u n +1

lim
= D →  D > 1,
n →∞ u n
 D = 1.

D < 1, тогда
D > 1, тогда
∞
∑ un
– сход.
∑ un
– расход.
n =1
∞
n =1
D = 1 (признак Даламбера
ответа о сходимости ряда
не дает)
∞
∑Vn
Сравнивать можно ряды,
содержащие степенные
функции na, с рядом
∞
1
∑np
n =1
n =1
сходятся или расходятся
одновременно
К каким рядам
предпочтительнее
применять
Следует применять к рядам,
содержащим показательную
функцию an и факториал n!
an
∑ n! ;
n =1
∞
Пример 1.8.1. К рядам вида
∞
5n
∞
(2n )!
∞
n2 + 5
∞ 3
∑ n! ; ∑ n ; ∑ (n + 1)!; ∑
n =1
n =1
n =1
n =1 10
2n
∑ n 2 + 1;
n =1
∞
∞
∑
n =1
2n + 3
;
4n
n+3
следует применять признак
7n
Даламбера.
Пример 1.8.2. Интегральный признак Коши можно применять
∞
к рядам вида
∞
1
1
∑ n 2 + 1;
n =1
∞
∞
3
n
∑ n2 +1;
n =1
1
∑ n ln n ln ln n ; ∑ n ln p n.
24
К каким рядам
предпочтительнее
применять
Интегральный признак
применять сложно по
объективным причинам
(неберущийся интеграл)
и по субъективным. Но если
ряд содержит ln n, то
постарайтесь его вычислить
n=2
25
∞
∑
n =2
ln n
;
n
∞
1
∑ n3 ln n ;
n=2
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Пример 1.8.3. На предельном признаке сравнения остановимся
подробнее.
Ряд
∞
n =1
(n + 1) (n + 2) = 1
n→∞ ((n + 1)3 + 2)n
3
сравнить с рядом
(в числителе самая высокая степень n 4
с коэффициентом 1 и в знаменателе то же самое).
Интегральный признак можно применить, но эта задача не из
легких. Приходит на помощь признак сравнения.
Покажем, что этот ряд сходится, сравнив его со сходящимся рядом
∞
1
3
n
n
1
: 2 = lim 3
= 1.
n
→
∞
n +2 n
n +2
∞
1
∑ n2
выбран для сравнения не случайно.
В исходном ряду нашли отношение самых высоких степеней числителя
2
3
2
= lim
)
3n 2 + 2n
n→∞ 5n 2
+ 4n + 1
∞
Пример 1.8.6. Ряд
1
∑ sin n 2
n =1
3
3
= .
+ 4n + 1 5
2
сходится, так как его можно сравнить
1
∑ n2 .
n =1
sin α
= 1 или заменой эквивалентных малых:
α→0 α
sin α ~ α при α → 0.
1
 1  1
lim sin  2  : 2 = lim 2 ⋅ n 2 = 1.
n
→
∞
n
n  n
n→∞
n
1
= 2.
3
n
n
Пример 1.8.4. Ряд
)
n+2 n
. Покажем это:
пределом lim
n =1
и знаменателя
(5n
3
n =1 n 2
Применяем признак сравнения, воспользуемся замечательным
3
Отметим, что ряд
n →∞
1
со сходящимся рядом
n =1
lim
(3
lim
∞
∑
∞
∑ n 2 . Действительно,
n→∞
3 n+2
∑ 5n 2 + 4n + 1 сходится, так как его можно
Пример 1.8.5. Ряд
n
∑ n3 + 2 . Признак Даламбера не работает, так как
lim
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды
∞
Пример 1.8.7. Ряд
n
∑ n 2 + 5 расходится, так как он сравним (по
n =1
самым высоким степеням числителя и знаменателя) с рядом
∞
n =1
который расходится (пример 1.7.2):
n
n2
1
:
=
lim
= 1.
n→∞ n 2 + 5 n
n →∞ n 2 + 5
lim
26
1
∑n,
ряд для сравнения
∞
∑
n =1
∞

∑ tg
n =1
π 
 расходится, так как выбранный
n + 2
1
расходится, а tg α ~ α при α → 0.
n
Имеем
lim tg
n →∞
π
π n
1
= lim
:
= π.
n+2
n n →∞ n + 2
27
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Пример 1.8.8. Ряд
∞
Ряды
2

∑ ln1 + n  расходится, так как ln(1 + α ) ~ α
Глава 2. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ
n =1
при α → 0, и для сравнения можно выбрать расходящийся ряд
∞
1
∑ n.
Примеры для самостоятельного решения
∞
π
1. ∑ sin .
3n
n =1
4.
∞
∑ arcsin
n =1
2.
1
.
n
5.
∞
∑
3n
n =1 n ⋅ 2
∞
n3
.
n
∑ n 4 + 5.
n =1
∞
2.1. Признак Лейбница
n =1
1
3. ∑
.
n =1 (3n + 1)(2n + 4 )
вида
Определение 2.1.1. Знакочередующимся рядом называется ряд
∞
∑ (− 1)k −1uk = u1 − u2 + u3 − u4 + ... + (− 1)n −1un + ...,
k =1
где uk > 0 для всех k = 1, 2, ...
Теорема 2.1.1 (признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)
Пусть:
1) lim u n = 0 ;
n →∞
2) абсолютные значения членов ряда монотонно убывают, т. е.
u1 > u 2 > ... > u n > u n +1 , n = 1, 2, ...,
тогда знакочередующийся ряд
∞
∑ (− 1)k −1uk
сходится.
k =1
Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных
сумм ряда
∞
∑ (− 1)k −1uk
с четными номерами. С одной стороны, она
k =1
возрастает, поскольку
S 2 m − S 2(m −1) =
= (u1 − u 2 + u3 − u 4 + ... + u 2m − 3 − u 2 m − 2 + u 2m −1 − u 2 m ) −
− (u1 − u2 + u3 − u4 + ... + u2 m − 3 − u2 m − 2 ) = u 2 m −1 − u 2 m > 0,
и ограничена сверху, так как
S 2 m = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − ... − (u 2 m − 2 − u2 m −1 ) − u2m < u1.
Поэтому она имеет предел: lim S 2 m = S , но тогда
m→∞
28
29
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
lim S 2 m +1 = lim (S 2 m + u2 m +1 ) = S , так как lim u 2m +1 = 0.
m→∞
m →∞
rn = (− 1)n un +1 + (− 1)n +1 u n + 2 + (− 1)n +1 u n + 3 + ... =
m→∞
= (− 1)n (u n +1 − u n + 2 + u n + 3 − u n + 4 + ...) ;
Итак, последовательность частичных сумм S n имеет один и тотт
же предел S при четных и нечетных n, т. е. ряд
∞
∑ (− 1)k −1uk сходится к S.
k =1
Замечание 2.1.1. Первое условие признака Лейбница lim u n = 0
n→∞
является необходимым условием сходимости любого ряда, так что
при невыполнении этого условия ряд расходится. Если не выполнено
условие монотонности убывания членов ряда, то о сходимости ряда
сказать ничего нельзя.
Пример 2.1.1. Рассмотрим знакочередующийся ряд
1 1 1 1 1
1 1
+ − + − + ... + −
+ ...
2 2 4 3 6
n 2n
Первое условие признака Лейбница выполнено, а второе не
выполнено, так как
u1 > u2 , u2 = u3 , u3 > u4 , u4 < u5 , u 5 > u 6 , ...
Покажем, что этот ряд расходится.
Найдем
rn = (u n+1 − u n+ 2 ) + (u n +3 − u n + 4 ) + ... .
В силу убывания членов ряда под знаком модуля стоит положительная величина.
Перегруппируем слагаемые под знаком модуля:
rn = u n+1 − (u n+ 2 − u n+3 ) − (u n+ 4 − u n +5 ) − ... .
Каждая из скобок положительная величина, поэтому rn < un +1.
Пример 2.1.2. Исследовать сходимость и найти оценку n-го
частичного остатка ряда Лейбница:
∞
1 1 1
1
1 − + − + ... = ∑ (− 1)n −1 .
2 3 4
n
n =1
1−
1 1 
 1  1 1 1 1
S 2 n = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −  =
 2 2 4 3 6
 n 2n 
1 1 1
1 1 1 1
1 1
= + + + ... +
= 1 + + + ...  = S n′ ,
2 4 6
2n 2  2 3
n 2
где S n′ – n-я частичная сумма гармонического ряда, который расходится,
т. е. lim S n′ = ∞, значит, lim S 2 n =
n→∞
n→∞
Замечание 2.1.2. Пусть ряд
1
lim S n′ = ∞.
2 n→∞
∞
∑ (− 1)k −1uk
1
= 0.
n →∞ n
1. lim
1
1
>
, значит, выполнены оба условия признака Лейбница,
n n +1
и ряд сходится.
Для оценки n-го частичного остатка имеем неравенство
2.
1
.
n +1
Так, если в качестве приближенной суммы ряда взять сумму
первых 100 его слагаемых, то абсолютная ошибка этого приближеrn <
ния будет меньше чем
удовлетворяет условиям
1
.
101
2.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды
k =1
признака Лейбница. Оценим его n-й частичный остаток:
Рассмотрим ряд
∞
∑ uk ,
члены которого имеют произвольный
k =1
знак.
30
31
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Определение 2.2.1. Говорят, что ряд
Ряды
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
∑ uk сходится абсолютно,
1.3.1 (глава 1) сходящиеся положительные ряды можно почленно
вычитать, при этом получается сходящийся ряд. Если вычтем из ряда
∞
k =1
если сходится ряд
(6) ряд (7), то получим ряд
∞
∑ uk .
k =1
Теорема 2.2.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Пусть ряд
∞
∑ uk
сходится.
k =1
uk + uk
;
2
k =1
∞
(6)
∑
∞
lim
n→∞
(8)
Отсюда следует, что слагаемые вспомогательных рядов либо
положительны, либо равны нулю.
Так как из неравенств (8) следует, что
u k + u k uk + uk
≤
= uk ;
2
2
n
6
∞
∑
n =1
:
(− 1)n n
n 6 + 2n
∞
1
∑ n2
n =1
сходится, то сходится ряд
n =1
∞
∑
n =1
так как ряды
∞
∑
n
6
n + 2n
, а ряд
сходится абсолютно.
Замечание 2.2.1. Ряды
32
1
∑ n2 .
1
n3
=
lim
= 1.
2
n→∞ 3
2
n6 + 2 n
n 1+ 6
n
n
Так как ряд
n =1
u k − uk u k + u k
≤
= uk ,
2
2
то вспомогательные ряды (6) и (7) сходятся по первому признаку
сравнения положительных рядов (глава 1, теорема 1.4.1). По теореме
∑
(− 1)n n
n =1
∞
сравним с рядом
n + 2n
Действительно,
n =1
(7)
Как известно, модуль любой величины больше или равен самой
этой величине, поэтому
u k ≤ u k и − uk ≤ u k .
∞
.
n 6 + 2n
Возьмем члены этого ряда по модулю, получим положительный
ряд, к которому можно применить предельный признак сравнения
(глава 1, теорема 1.4.3):
∞
u −u
∑ k2 k.
k =1
k =1
Определение 2.2.2. Знакочередующийся ряд называется условно
(неабсолютно) сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный
из модулей его членов, расходится.
Пример 2.2.1. Исследовать ряд
Составим два вспомогательных ряда:
∑
∞
∑ uk , который сходится.
∞
1
∑ np
n =1
(− 1)n
np
сходятся при p > 1 абсолютно,
сходятся при p > 1.
33
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
2.3. Схема исследования на сходимость
знакочередующегося ряда
Пример 2.2.1 показал, что при исследовании знакочередующихся
рядов на абсолютную и условную сходимость следует придерживаться
следующего порядка:
1. Составить ряд из модулей слагаемых заданного знакочередующегося ряда и применить к нему один из признаков сходимости
положительных рядов (раздел 1.8, таблица).
2. Если ряд из модулей его членов сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно и исследование заканчивается.
3. Если ряд из модулей расходится, то к знакочередующемуся
ряду применяем признак Лейбница (глава 2, теорема 2.1.1)
4. Если оба условия признака Лейбница выполнены, то знакочередующийся ряд сходится условно (неабсолютно) и исследование
заканчивается.
5. Если первое условие признака Лейбница не выполнено, то
знакочередующийся ряд расходится и исследование заканчивается.
Нарушение второго условия признака Лейбница (отсутствие
монотонного убывания) в примерах, приведенных ниже, не встречается.
Пример 2.3.1. Исследовать на сходимость ряд
∞
∞
(− 1)n−1 ⋅ 5 n
5n
сходится, а ряд ∑
сходится абсолютно.
n =1 (2n + 1)!
n =1 (2n + 1)!
∞
Ряд ∑
Пример 2.3.2. Исследовать на сходимость ряд
Рассмотрим ряд из модулей его слагаемых и применим интегральный признак Коши.
∞
∑
n=2 n
∞
∫
2
5n
∑ (2n + 1)!.
n =1
4
(ln n )
3
→ f (n ) =
1
4
n(ln n )
3
→ f (x) =
A
dx
x(ln x )
4
3
= lim ∫ (ln x )−
A→ ∞
4
3d
ln x = lim
A→ ∞
2
3 
3
 −3
.
= lim  3
+3
=3
A → ∞ ln A
ln 2 
ln 2
Напомним, что ln ∞ = ∞, а
(− 1)n−1 ⋅ 5 n .
∞
1
1
x(ln x )
4
3
;
A
∑ (2n + 1)!
n =1
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда
(− 1)n −1 .
4
n = 2 n(ln n ) 3
∞
∑
∞
Интеграл и ряд
∑
n =2 n
(ln x )
−
1
3
3
=
2
1
= 0.
∞
(− 1)n −1
4
n = 2 n(ln n ) 3
∞
1
(ln n )
−1
4
3
– сходятся, значит, ряд
∑
сходится абсолютно.
(− 1)n −1
.
Пример 2.3.3. Исследовать ряд ∑
n =1 (3n + 1)(5n + 2 )
∞
Применим признак Даламбера:
u
5(2n + 1)!
5n
5 n +1
=
= lim
:
lim n+1 = lim
n →∞ u
n →∞ (2(n + 1) + 1)! (2n + 1)! n→∞ (2n + 3)!
n
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n + 1)
= 0 < 1.
n→∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n + 1)(2n + 2 )(2n + 3)
= 5 lim
34
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда
∞
1
.
∑
n =1 (3n + 1)(5n + 2 )
35
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Этот ряд можно сравнить с расходящимся рядом
lim
n→∞
значит, ряд
1
1
: = lim
(3n + 1)(5n + 2) n n → ∞
∞
∑
n =1
1
∑ n , так как
n =1
1
1
2
n ⋅ 3+ ⋅ n ⋅ 5+
n
n
1
,
3⋅ 5
=
(
− 1)n
Применим к ряду ∑
n =1 (3n + 1)(5n + 2 )
(− 1)n
∞
∑ (3n + 1)(5n + 2)
n =1
∞
∑
(− 1)n ln 2 n
n
следует
ln 2 n  ∞ 
=  .
1. lim
n→∞ n
∞ 
признак Лейбница:
Используем правило Лопиталя: lim
x →∞
f (x)  ∞ 
f ′( x )
,
=   = lim
g ( x )  ∞  x → ∞ g ′( x )
причем проделаем это дважды:
2. Покажем, что члены ряда убывают, т. е. u n > u n +1 , это верно,
так как
Ряд
Интеграл и ряд расходятся, тогда к ряду
применить признак Лейбница:
1
= 0.
(3n + 1)(5n + 2)
1
>
(3n + 1)(5n + 2)
A
A
 ln 3 A ln 3 2 
ln 2 x
ln 3 x
2
 = ∞.

dx
xd
x
lim
ln
ln
lim
lim
=
=
=
−
∫ x
∫

A→ ∞
A→∞ 3
A → ∞ 3
3


2
2
2
∞
n=2
1
расходится.
(3n + 1)(5n + 2)
∞
1. nlim
→∞
∞
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
1
=
(3(n + 1) + 1)(5(n + 1) + 2)
1
.
(3n + 4)(5n + 7 )
сходится условно.
1
2
∞
n
2
ln
 
n = lim
=   = lim n = 0.
n →∞ n
1
 ∞  n →∞ 1
Первое условие признака Лейбница выполнено.
ln 2 n
= lim
lim
n →∞ n
n →∞
2 ln n
ln 2 n
монотонно убывает. Этоо
n
не так очевидно, как было в примере 2.3.3.
2. Теперь нам надо показать, что
2
Пример 2.3.4. Исследовать на сходимость ряд
∞
∑
n=2
(− 1)n ln 2 n.
Возьмем члены этого ряда по модулю, получим ряд
Применяем интегральный признак Коши:
ln 2 n
ln 2 n
ln 2 x
→
=
→
=
,
(
)
(
)
f
n
f
x
∑
n
x
n=2 n
∞
36
n
∞
2
ln n
.
n=2 n
∑
Возьмем производную от функции f ( x ) = ln x , покажем, что она
x
отрицательная, тем самым докажем, что функция f ( x ) убывает..
1
x ⋅ 2 ln x − ln 2 x
ln x (2 − ln x )
x
f ′( x ) =
=
,
2
x
x2
ln x = 0 → x = 1,

f ′( x ) = 0 → 
2
2 − ln x = 0 → ln x = 2 → x = e .
Нашли два корня, при которых f ′( x ) = 0.
37
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Так как x = n, а n ≥ 2, то нас интересует только один корень
x = e2 .
2
2
f ′( x ) < 0 при x > e , функция f ( x ) убывает при x > e ≈ 7,4,
поэтому будем считать, что начиная с n = 8 члены ряда, заданные
2
выражением ln n , будут убывать. Значит, по признаку Лейбница ряд
n
∞
∑
n=2
(− 1)n ln 2 n
n
Отметим, что ряд из модулей
∞
∞
∑
n=2
(− 1)
n
.
4n + 5
n
∑ 4n + 5 расходится.
n=2
n
1
lim
= ≠ 0.
n → ∞ 4n + 5
4
2.
∞
2.
∞
∑
1
∑
n =1
(− 1)
n −1
n
расходится.
4n + 5
2.
(− 1)n −1 n(n + 1) .
3n
(2n + 1)3n .
7 n +1
∞
∑
(− 1)n ln n .
n
VI вариант
∞
n!
1. ∑ n .
n =1 3
(− 1)n −1 n .
2.
6n − 5
∞
(− 1)n −1
∑ (4n − 3)
n =1
VII вариант
∞
1
1. ∑
.
2
n =1 4n + 3
∞
(− 1)n
2. ∑ 2 n .
n =1 n ⋅ 5
VIII вариант
∞
2n
.
1. ∑
n =1 (n + 2 )!
2.
Варианты контрольной работы по положительным
и знакочередующимся рядам
Исследовать сходимость ряда.
38
∑
n =1
n=2
V вариант
∞
n2
1. ∑
.
n =1 (2n + 1)!
∞
∞
IV вариант
∞
n!
1. ∑
.
n =1 4n − 3
∑ (3n − 1) 3 3n − 1 .
n =1
2.
Использование необходимого признака предпочтительнее (но не
обязательно), так как далее следует проверка условий признака
Лейбница, а первым как раз и будет проверка необходимого условия
сходимости, которое, как мы показали, не выполняется.
n=2
(− 1)n +1 .
∑
n =1 (2n − 1)(2 n + 1)
∞
III вариант
n −1
При доказательстве этого факта можно воспользоваться
необходимым признаком сходимости рядов (глава 1, замечание 1.2.1)
∑
2.
II вариант
∞
(− 1)n .
1. ∑
n =1 2 n ln 2 n
n =1
Пример 2.3.5. Исследовать на сходимость ряд
Значит, ряд
I вариант
∞
3n − 2
.
1. ∑
2n
n =1 5
1.
сходится условно.
∞
Глава 2. Знакочередующиеся ряды
39
4n − 3
(− 1)n −1 (2n + 1).
∑ n(n + 2 )
n =1
∞
.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
тся коэффициентами этого
Числа a0 , a1 , a2 , …, a n , … называются
Глава 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.1. Основные понятия. Теорема Абеля
∞
u1 ( x ) + u 2 ( x ) + u3 ( x ) + ... + un ( x ) + ... = ∑ un ( x )
(9)
n =1
í àçû âàåòñÿ функциональным рядом относительно переменной x.
Например, функциональными являются ряды
1
2
3
∑ nx 2 + 1 = x 2 + 1 + 2 x 2 + 1 + 3x 2 + 1 + ...;
n =1
∞
∑ sin nx = sin x + sin 2 x + sin 3x + ...
n =1
Придавая значению переменной x определенные значения
x1 , x2 , …, мы получим числовые ряды:
u1 ( x1 ) + u2 ( x1 ) + u3 ( x1 ) + ... + un ( x1 ) + ...;
u1 ( x2 ) + u2 ( x2 ) + u3 ( x2 ) + ... + un ( x2 ) + ...,
которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.
Совокупность всех значений x, при которых ряд (9) сходится,
образует область сходимости функционального ряда (9).
Если ряд сходится, то он имеет сумму. Сумма функционального
ряда зависит от значения x, т. е. сумма ряда (9) является функцией
переменной x. Обозначим сумму ряда S ( x ).
Областью определения S ( x ) является область сходимости ряда (9).
Функциональный ряд вида
∑ an x n .
n=0
Область сходимости степенного ряда поможет определить
следующая теорема.
Теорема Абеля. Если ряд (10) сходится при x = x1 , где x1 ≠ x0 ,
то он абсолютно сходится и при всех x, удовлетворяющих неравенству
a0 + a1 ( x1 − x0 ) + a2 ( x1 − x0 )2 + ... + an ( x1 − x0 )n + ... –
сходящийся числовой ряд и его общий член
u n = an ( x1 − x0 )n → 0 при x → ∞.
n
Если переменная величина, а у нас это an ( x1 − x0 ) , стремится
к конечному пределу, то она ограничена, т. е. существует такое
о
положительное число M > 0, что
an ( x1 − x0 ) ≤ M
n
(11)
при всех n.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (10):
a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x 0 )2 + ... + a n ( x − x0 ) + ...
n
∞
∑ an ( x − x0 )n
n=0
(10)
n
Умножим и разделим этот ряд на числа ( x1 − x0 ) , получим
называется степенным рядом.
40
∞
x − x0 < x1 − x0 .
Доказательство
По условию ряд (10) сходится при x = x1 , т. е. ряд
n
a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ... + an ( x − x0 )n + ... =
При x0 = 0 ряд (10) примет вид
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ... =
Выражение
∞
ряда, x0 – постоянное число.
41
(12)
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
a0 + a1 ( x1 − x0 ) ⋅
Ряды
Доказательство. Пусть x2 удовлетворяет неравенствуу
2
x − x0
+ a 2 ( x1 − x0 )2
x1 − x0
 x − x0 
 + ... +
⋅ 
 x1 − x0 
x2 − x0 > x1 − x0 , т. е. точка x2 находится дальше от точки x0 , чем
точка x1.
n
 x − x0 
 + ...
+ a n ( x1 − x0 )n ⋅ 
 x1 − x0 
(13)
Составим еще один ряд вида
Предположим, что ряд (10) сходится в точке x2 . Тогда по теореме
Абеля он сходится и в точке x1 , что противоречит условию.
Следовательно, ряд (10) расходится во всех точках, удовлетворяющих
неравенству x − x0 > x1 − x0 .
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R > 0,
n
2
M +M
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
 x − x0 
 x − x0 
x − x0
 + ... + M 
 + ...
+ M 
x1 − x0
 x1 − x0 
 x1 − x0 
(14)
Этот ряд представляет собою бесконечную геометрическую
x − x0
.
прогрессию с первым членом a1 = M и знаменателем q =
x1 − x0
что при x − x0 < R ряд будет абсолютно сходиться, а при x − x0 > R –
расходиться, т. е. в точках, удаленных от точки x0 меньше чем на
x1 − x0 , ряд сходится, а в точках, расстояние которых больше чем
x1 − x0 , – расходится. Геометрически это можно представить в виде рис. 2.
Расходится
Абсолютно сходится
Расходится
Пусть x удовлетворяет неравенству x − x0 < x1 − x0 , тогда
x − x0
< 1, и ряд (14) сходится, так как q < 1.
x1 − x0
В силу неравенства (11) члены ряда (13) не превосходят
соответствующих членов ряда (14), т. е.
a n (x1 − x0 )
n
n
n
 x − x0 
 x − x0 
 ≤ M 
 .
⋅ 
 x1 − x0 
 x1 − x0 
На основании признака сравнения можно утверждать, что и ряд
(13) сходится, а тогда сходится и ряд (12). Причем сходится абсолютно
при всех x, удовлетворяющих неравенству x − x0 < x1 − x0 .
Следствие. Если ряд (10) расходится в точке x = x1 , то он
расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству
x − x0 > x1 − x0 .
42
x0
x0 − R
x0 + R
x
Рис. 2
Число R в дальнейшем будем называть радиусом сходимости.
Очевидно, что степенной ряд всегда сходится в точке x = x0 , его суммаа
S ( x ) = a0 .
Если это единственная точка сходимости, то R = 0.
В случае, когда ряд сходится на всей числовой оси, говорят, что
R = ∞.
Очевидно, что все сказанное относится и к ряду вида
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ... =
∞
∑ an x n .
n=0
В этом случае ряд сходится в точке x = 0, а интервал сходимости симметричен относительно этой точки.
43
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
3.2. Интервал сходимости степенного ряда
Найдем область сходимости степенного ряда (10).
Будем рассматривать абсолютную сходимость. Для этого
2
рассмотрим ряд a 0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x 0 ) + ... + a n ( x − x0 ) + ...
n
Применим к этому положительному ряду признак Даламбера.
Найдем
an +1 ( x − x0 )n +1
u n +1
a
lim
= lim
= x − x0 lim n +1 .
n
n → ∞ un
n→∞
n → ∞ an
an ( x − x0 )
u n +1
a
= x − x0 ⋅ D, где D = lim n +1 .
n → ∞ un
n → ∞ an
По признаку Даламбера ряд сходится, если x − x0 ⋅ D < 1, или
1
1
. Число
= R и есть радиус сходимости ряда (10), т. е.
D
D
x0 − R < x < x0 + R.
Поведение ряда на концах интервала при x = x0 ± R, где признак
Даламбера не дает ответа, рассматривается для каждого ряда
индивидуально.
x − x0 <
Пример 3.2.1. Найти интервал сходимости ряда
∞
∑
n =1
(x − 2)n
n ⋅ 3n
и исследовать ряд на концах интервала.
Решение. Здесь u n =
n ⋅ 3n
( x − 2)
.
(n + 1) ⋅ 3n +1
n +1
, а u n +1 =
Тогда
u
(x − 2)n+1 ⋅ n ⋅ 3n = x − 2 lim n ⋅ 3n = x − 2
lim n +1 = lim
.
n →∞ u
n→∞ ( x − 2 )n ⋅ (n + 1) 3 n +1
n →∞ (n + 1) 3 n ⋅ 3
3
n
44
x−2
< 1, т. е. при
3
x − 2 < 3, − 3 < x − 2 < 3, − 1 < x < 5 , ряд сходится абсолютно.
Таким образом, интервал сходимости ряда – (–1; 5).
Исследуем ряд в точках x = −1 и x = 5.
un +1
= 1 и признак Даламбера
n → ∞ un
Напомним, что в этих точках lim
Тогда u n
lim
( x − 2)
Для всех x, удовлетворяющих неравенству
ответа о сходимости не дает.
Пусть x = 5.
Если этот предел существует, то
n
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
5 − 2 )n
(
=
n ⋅ 3n
Получили ряд
∞
=
3n
1
= .
n
n
n ⋅3
1 Это гармонический ряд, он расходится
∑n.
n =1
(раздел 1.7).
Пусть x = −1.
Тогда u n
− 1 − 2 )n (− 3)n (− 1)n ⋅ 3n (− 1)n
(
=
=
=
=
. Это знакочере-
n
n ⋅ 3n
n ⋅ 3n
n ⋅ 3n
дующийся ряд. По предыдущему исследованию он не имеет абсо-
1 1
1
= 0 и 1 > > > ...,
n→∞ n
2 3
лютной сходимости. По признаку Лейбница lim
т. е. этот ряд сходится условно.
Следовательно, данный ряд сходится при − 1 ≤ x < 5; здесь R = 3.
Пример 3.2.2. Найти интервал сходимости ряда
Решение. Найдем u n+1 =
xn
(n + 1) ln 2 (n + 1)
45
.
∞
∑
( x )n −1
n = 2 n ⋅ ln
2
n
.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Тогда
u n+1
n ⋅ ln 2 n
x n ⋅ n ⋅ ln 2 n
= x.
=
x
lim
= lim
n →∞ u
n→∞ (n + 1) ln 2 (n + 1) x n −1
n →∞ (n + 1) ln 2 (n + 1)
n
Пример 3.2.4. Найти интервал сходимости ряда
lim
При x < 1 ряд сходится абсолютно. Рассмотрим поведение ряда
и
Решение. Найдем u n +1 = (n + 1)!( x − 2 )n +1
∞
1
∑ n ⋅ ln 2 n.
Ряд сходится только в точке x = 2, и R = 0.
n=2
Для исследования этого положительного числового ряда можно
применить интегральный признак. Рассмотрим несобственный
интеграл
+∞
∫
2
A
+∞
A
dx
d (ln x )
d (ln x )
1
 1 
=
=
lim
= lim  −
.
 =
∫
∫
2
2
2
A→ ∞
A → ∞ ln x 
ln 2
x ln x 2 ln x
2
2 ln x
Интеграл сходится, следовательно, сходится и ряд.
При x = −1 имеем знакочередующийся ряд
∞
∑ n ⋅ ln 2 n.
n=2
∞
Пример 3.2.3. Найти интервал сходимости ряда
∑
n =1
(x + 3)n .
(x + 3)n+1
.
(n + 1)!
u n +1
(
x + 3)n +1 ⋅ n!
n!
lim
= lim
= x + 3 lim
=
n
n →∞ u n
n→∞ (n + 1)!( x + 3)
n→∞ n!(n + 1)
1
= x + 3 lim
= x + 3 ⋅ 0 < 1.
n→∞ (n + 1)
Ряд сходится на всей числовой оси (− ∞, + ∞ ) , и R = ∞.
46
Примеры для самостоятельного решения
Определить интервал сходимости степенного ряда:
1.
2.
(− 1)n
По предыдущему исследованию этот ряд сходится абсолютно.
Следовательно, ряд сходится при x ∈ [− 1,1] и R = 1.
Решение. Здесь u n+1 =
n =1
(
u n +1
n + 1)!( x − 2 )n +1
= x − 2 lim (n + 1) = ∞.
lim
= lim
n → ∞ un
n→∞
n →∞
n!( x − 2 )n
в точках x = ±1.
Пусть x = 1, тогда получим ряд
∞
∑ n!(x − 2)n .
n!
3.
( x − 2 )n .
∑
n =1 n (n + 1)
∞
(2 x + 3)n ⋅ n .
∑
n =1 (3n + 2 )(n + 4 )
∞
(1 − x )n .
∑ n
n =1 4 (n + 3)
∞
∞
4.
∑
n=2
5.
∞
∑
n =1
6.
∞
∑
n =1
( x + 3)n .
n ln 4 n
(5x + 6)n .
n!
(x + 5)n .
5n + n
3.3. Свойства степенных рядов
Отметим некоторые важные свойства степенных рядов:
1. Область сходимости степенного ряда совпадает с областью
его абсолютной сходимости (по теореме Абеля).
2. Сумма степенного ряда S ( x ) =
∞
∑ a n ( x − x 0 )n
n =0
есть функция
непрерывная на интервале сходимости.
3. Степенной ряд (10) можно почленно дифференцировать
∞
в любой точке из интервала сходимости, т. е. S ′( x ) = ∑ an ⋅ n ⋅ ( x − x0 )
n =1
47
n −1
.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Полученный ряд является тоже степенным с тем же интервалом сходимости, сумма этого ряда равна S ′( x ) .
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать в любом промежутке [α,β], где α и β принадлежат интервалу сходимости ряда (10):
Ряд сходится абсолютно при всех x, радиус его сходимости R = ∞.
β
∞ β
α
n =0 α
∫ S (x )dx = ∑ ∫ a n (x − x0 )
n
Ряд имеет сумму S ( x ) =
Найдем функцию S ( x ).
В силу свойства 3 ряд можно почленно продифференцировать:
dx.
S (x) = 1 +
Полученный ряд имеет тот же промежуток сходимости, а сумма
x x2 x3
xn
+
+ + ... +
+ ...
1! 2! 3!
n!
β
Тогда
α
S ′( x ) = 1 +
равна ∫ S ( x )dx.
Используем эти свойства при нахождении сумм степенных рядов, широко применяемых в практике.
3.4. Разложение функций в степенной ряд
Пример 3.4.1. Найти сумму степенного ряда с вещественной
переменной x
1+
∞ n
x x 2 x3
xn
x
+
+ + ... +
+ ... = ∑
(напомним, что 0!= 1, 1!= 1).
1! 2! 3!
n!
n = 0 n!
Определим сначала область сходимости ряда.
Рассмотрим ряд из абсолютных величин и применим к нему
признак Даламбера в предельной форме.
n +1
n
x
x
Здесь u n =
, u n+1 =
(n + 1)!
n!
xn
∑ .
n = 0 n!
∞
и
x x2
x n −1
+
+ ... +
+ ...
(n − 1)!
1! 2!
S ′( x ) = S ( x ).
Получили для функции S ( x ) дифференциальное уравнение
с разделяющимися переменными.
Заметим, что при x = 0
x x 2 x3
+
+
+ ... = 1.
1! 2! 3!
Решая это уравнение, получим
S ( x ) x =0 = 1 +
dS ( x )
= S ( x ),
dx
dS ( x )
= dx,
S (x)
ln S ( x ) = x + ln C ( ln C – произвольная постоянная),
ln S ( x ) = ln e x + ln C → S ( x ) = Ce x .
Определим C из условия S ( x ) x =0 = 1 : S (0 ) = Ce 0 , 1 = C.
и
n +1
x n!
n!
u
= x lim
=
lim n +1 = lim
n
n → ∞ un
n → ∞ (n + 1)! x
n → ∞ n! (n + 1)
1
= x 0 = 0 < 1.
n→∞ n + 1
= x lim
48
Следовательно, S ( x ) = e x .
Таким образом,
ex =
∞
xn
∑ n! ,
n =0
x ∈ (− ∞, + ∞ ).
49
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Это выражение называется разложением показательной
функции в степенной ряд (справедливо для всех x).
x x3 x5 x 7
x 2 n+1
−
+
−
+ ... +
+ ...
(2n + 1)!
1! 3! 5! 7!
u n+1 =
(2n + 3)!
x 2 n+1
(2n + 1)!
;
примут вид S1 ( x ) = cos x и S 2 ( x ) = sin x.
Общим решением уравнения будет функция
S ( x ) = C1 cos x + C2 sin x,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
Определим эти постоянные из условий S ( x ) x =0 = 0, S ′( x ) x =0 = 1.
.
S ′( x ) = −C1 sin x + C2 cos x,
По признаку Даламбера
x 2n +3 (2n + 1)!
u n +1
(2n + 1)!
lim
= lim
= x 2 lim
=
n
+
2
1
n →∞ u n
n →∞ (2n + 3)! x
n →∞ (2n + 1)!(2n + 2 )(2n + 3)
= x 2 ⋅ 0 < 1.
Ряд сходится на всей числовой оси, и R = ∞.
Пусть S ( x ) – сумма ряда, т. е.
x x3 x5 x7
− + − + ...
1! 3! 5! 7!
Продифференцируем это выражение дважды (свойство 3),
получим
S (x) =
S ′( x ) = 1 −
S ′′( x ) + S ( x ) = 0 и S ( x ) x =0 = 0, S ′( x ) x =0 = 1.
Запишем для него характеристическое уравнение: k 2 + 1 = 0.
Корни уравнения чисто мнимые: k1 = −i, k 2 = i. Тогда частные решения
Установим сначала область сходимости ряда.
x 2 n +3
Тогда
Относительно S ( x ) получили однородное уравнение второго
о
порядка с постоянными коэффициентами.
Пример 3.4.2. Найти сумму степенного ряда
Рассмотрим ряд из абсолютных величин. Здесь u n =
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
x2 x4 x6
+
− + ...,
2! 4! 6!
 0 = C1 cos 0 + C 2 sin 0
 C1 = 0
→ 

1 = −C1 sin 0 + C 2 cos 0
C 2 = 1.
Следовательно, S ( x ) = sin x.
Это выражение называется разложением тригонометрической
ô óí êöèè sin x в степенной ряд:
sin x =
∞
x 2 n +1
∑ (− 1) (2n + 1)!,
n=0
n
справедливое при x ∈ (− ∞, + ∞ ).
Следствие. Продифференцируем ряд
sin x =
x x3 x5 x 7
−
+
−
+ ...
1! 3! 5! 7!
x2 x4 x6
+
−
+ ...
2! 4! 6!
На основании свойства 3 можно сказать, что полученное выражение есть разложение функции cos x в степенной ряд, справедливое при всех x, т. е.
Получим cos x = 1 −
x x3 x5 x 7
S ′′( x ) = − +
−
+
+ ...
1! 3! 5! 7!
Видим, что S ( x ) = − S ′′( x ).
50
51
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
cos x =
Ряды
Получили дифференциальное уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными. В результате решения имеем
x 2n
, x ∈ (− ∞, + ∞ ).
∑
n =0 (2n )!
∞
Пример 3.4.3. Найти сумму следующего степенного ряда:
x 2 x3 x5
(− 1)n−1 x n + ...
+
−
+ ... +
2
3
5
n
Сначала установим область сходимости данного ряда. Рассмотрим
x−
n
ряд из абсолютных величин. Здесь u n =
признаку Даламбера
x
n +1
n +1
x
x
, u n+1 =
. Тогда по
n
n +1
n
u n+1
n
n
= lim
= x lim
= x lim
=
n
n
→
∞
n
→
∞
n
→
∞
un
n +1
 1
(n + 1) x
n 1 + 
 n
1
= x lim
= x.
1
n →∞
1+
n
Отсюда следует, что наш ряд сходится абсолютно при x < 1,
lim
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
n →∞
т. е. − 1 < x < 1.
Пусть S ( x ) – сумма рассматриваемого ряда
dS ( x )
1
dx
=
, dS ( x ) =
, S ( x ) = ln 1 + x + C ,
dx
1+ x
1+ x
где C – произвольная постоянная.
Найдем C из условия S ( x ) x =0 = 0 :
0 = ln 1 + C , C = 0.
Следовательно, S ( x ) = ln 1 + x при x < 1.
При x = −1 имеем ряд
∞
1 1 1
 1
 1 1 1
− 1 − − − − ... = ∑  −  = −1 + + + .
2 3 5
 2 3 5
n =1 n 
В скобках имеем гармонический ряд
Выражение ln(1 + x ) = ∑
n =1
(− 1)n −1 x n
n
при − 1 < x ≤ 1 есть разложее-
ние ln(1 + x) в степенной ряд при − 1 < x ≤ 1.
Пример 3.4.4. Найти сумму степенного ряда
S ( x ) x =0 = 0.
52
Он расходится.
1 1
1
= 0 и 1 > > > ...
n
2 3
∞
a1
, т. е. S ′( x ) = 1 , причем
– q = − x, причем x < 1. Ее сумма равна
1− q
1+ x
n =1
1 1
При x = 1 имеем ряд: 1 − + ...
2 3
Абсолютной сходимости у него нет, но есть условная. По признаку
n→∞
S ′( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + ...
Этот ряд можно рассматривать как бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию с первым членом a1 = 1 и знаменателем
1
Учитывая, что при умножении на одно и то же число свойство ряда
сходиться или расходиться не меняется, получили расходящийся ряд.
Лейбница lim
x2 x3 x5
S (x) = x −
+
−
+ ...
2
3
5
Тогда по свойству 3
∞
∑ n.
53
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
m (m − 1) 2
m (m − 1)(m − 2) ... (m − n + 1) n
x + ... +
x + ... =
2!
n!
∞ m (m − 1)(m − 2 ) ... (m − n + 1)
= ∑
xn.
n
!
n=0
1 + mx +
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Умножим полученный результат на x:
x
(m − 1)(m − 2) x 3 + ...
S ′( x )
= x + (m − 1)x 2 +
m
2!
u n +1 =
S ′( x )
S ′( x )
+x
и приведем подобные члены:
m
m
S ′( x )
S ′( x )
S ′( x )
= 1 + x + (m − 1)x +
+ x
= (1 + x )
m
m
m
(m − 1)(m − 2 ) x 2 + (m − 1)x 2 + ... = 1 + mx + m (m − 1) x 2 + ...
+
2!
2!
Заметим, что S ( x ) удовлетворяет дифференциальному уравнению
с разделяющимися переменными
u n +1
m (m − 1)... (m − n + 1)(m − n ) n! x n+1
= lim
=
n →∞ u n
n →∞
(n + 1)!m (m − 1)... (m − n + 1) x n
и условию S ( x ) x =0 = 1.
Решим это уравнение:
Здесь
un =
тогда
m (m − 1)...(m − n + 1) n
x ,
n!
m(m − 1)...(m − n + 1)(m − n ) n +1
x .
(n + 1)!
Найдем область сходимости ряда.
lim
m 
n  − 1
(m − n ) n! = x lim (m − n ) = x lim  n  = x .
= x lim
n →∞ n!(n + 1)
n→∞ (n + 1)
n →∞ 
1
n 1 + 
 n
Ряд сходится абсолютно при x < 1.
m
m (m − 1) 2 m (m − 1)(m − 2 ) 3
x+
x +
x + ...
1!
2!
3!
Продифференцируем это равенство:
S (x ) = 1 +
m (m − 1)
m (m − 1)(m − 2 ) 2
S ′( x ) = m +
x+
x + ...
1!
2!
и разделим на m, получим
(m − 1)(m − 2 ) 2
S ′( x )
= 1 + (m − 1)x +
x + ...
m
2!
54
Найдем сумму
(1 + x ) S
′( x )
= S (x )
m
(1 + x ) dS = mS ,
dS
dx
=m
,
dx
S
1+ x
ln S = m ln(1 + x ) + ln C ,
где ln C – произвольная постоянная.
Отсюда
S ( x ) = C (1 + x )m .
m
Из условия S ( x ) x =0 = 1 получим S ( x ) = (1 + x ) .
Таким образом,
(1 + x )m
m(m − 1)... (m − n + 1) n
x при x < 1.
n!
n =1
∞
= 1+ ∑
Это выражение называется разложением функции (1 + x)m
в степенной ряд при x < 1 и R = 1.
Такой ряд называется биномиальным рядом.
55
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Замечание. При m целых положительных ряд обрывается и превращается в многочлен.
Например, при m = 3 имеем
(1 + x )3 = 1 + 3x + 3x 2 + x3 ,
(1 + x )4 = 1 + 4 x + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4 .
Пример 3.4.5. Найти разложение в ряд функции f ( x ) =
с помощью биномиального ряда.
=
1
1 − x2
1
x 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3
= 1− + 2
x − 3
x + ...
2 2 ⋅ 2!
1+ x
2 ⋅ 3!
(
)
Заменим x на − x 2 , получим
1
1− x
2
= 1+
2
x
1⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 6
+ 2
x + 3
x + ...
2 2 ⋅ 2!
2 ⋅ 3!
Можно показать, что этот ряд сходится при x < 1.
Проинтегрируем последнее равенство:
∫
x−
(− 1)n x 2n −1 + ... = ∞ (− 1)n −1 x 2n −1 .
x3 x 5
+ − ... +
∑ 2n − 1
2n − 1
3
5
n =1
составленный из абсолютных величин, тогда un =
1
Положим в формуле биномиального ряда m = − , получим
2
1
Пример 3.4.6. Найти сумму степенного ряда
Решим вопрос об области сходимости ряда. Рассмотрим ряд,
при m = 4
(1 + x )− 2
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
 x2

1⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 6
x + 3
x + ... dx,
= ∫ 1 +
+ 2
2 2 ⋅ 2!
2 ⋅ 3!
1− x2


dx
или
x3
1⋅ 3 x5 1⋅ 3 ⋅ 5 x7
+ 2 ⋅ + 3 ⋅ + ...
arcsin x = x +
2 ⋅ 3 2 ⋅ 2! 5 2 ⋅ 3! 7
Это выражение называется разложением функции arcsin x
в степенной ряд при x < 1 и R = 1.
56
и u n +1 =
x 2 n +1
2n + 1
x 2 n −1
2n − 1
. Применим признак Даламбера:
1

n2 − 
x 2 n+1 (2n − 1)
u n+1
2n − 1
n
lim
= x2.
= lim
= x 2 lim
= x 2 lim 
n →∞ u n
n →∞ (2n + 1) x 2 n −1
n→∞ 2n + 1
n→∞ 
1
n2 + 
n

(x + 1)( x − 1) <
Ряд сходится при x 2 < 1 или x 2 − 1 < 0,
< 0 → − 1 < x < 1.
Продифференцируем исходный ряд:
x3 x5
+
− ...,
3
5
S ′( x ) = 1 − x 2 + x 4 − ...
S (x ) = x −
Последний ряд – бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия с первым членом a1 = 1 и знаменателем q = − x 2 , где x 2 < 1.
Тогда S ′( x ) =
1
1
и S ( x ) можно найти, решая
=
2
1− − x
1 + x2
( )
дифференциальное уравнение при S ( x ) x =0 = 0 .
S ′( x ) =
1
1+ x
2
;
dS ( x )
1
=
;
dx
1+ x2
57
dS ( x ) =
dx
1+ x2
;
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
S ( x ) = arctg x + C ,
где С – произвольная постоянная.
(1 + x )m = 1 + ∑ m(m − 1)... (m − n + 1)x n , если
∞
Найдем С из условия S ( x ) x =0 = 0. C = 0.
Таким образом,
∞
(− 1)n x 2n +1
n =0
2n + 1
∑
arctg x =
при x ∈ (− 1,1).
(− 1)n + ...
1 1
При x = −1 получим ряд − 1 + − + ... +
3 5
2n − 1
Можно показать, что он сходится условно, так же, как и ряд при
(− 1)
n
2 n +1
x
ся
при x ∈ [− 1,1] называется
2n + 1
n =0
разложением функции arctg x в степенной ряд.
Выражение arctg x =
∑
3.5. Основные разложения функций в степенные ряды
Все результаты, полученные в разделе 3.4, имеют большое
практическое приложение. Сведем полученные результаты:
ex =
xn
∑ , если x ∈ (− ∞, + ∞ );
n =0 n!
∞
∞
sin x = ∑ (− 1)n
n =0
∞
x 2 n+1
,
(2n + 1)! если x ∈ (− ∞, + ∞ ) ;
cos x = ∑ (− 1)n
n =0
∞
x 2n
,
(2n )! если x ∈ (− ∞, + ∞ );
ln(1 + x ) = ∑ (− 1)n −1
n =1
n =1
arctg x =
∞
n
∑ (− 1)
n=0
n!
x ∈ (− 1,1);
x 2n +1
, если x ∈ [− 1,1];
2n + 1
1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n − 1)x 2 n +1
, если x ∈ (− 1,1).
2 n ⋅ n!(2n + 1)
n =1
∞
arcsin x = x + ∑
3.6. Представление функций в виде степенного ряда
Используя разложения основных элементарных функций,
полученные в разделе 3.4 главы 3, можно представить и некоторые
другие функции в виде степенных рядов.
(− 1)n+1 + ...
1 1
x = 1 : 1 − + − ... +
3 5
2n − 1
∞
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример 3.6.1. Представить функцию f ( x ) = cos 2 2 x в виде
степенного ряда.
Используя соотношения
x2 x 4 x6
+
− + ... ,
2! 4! 6!
получим, заменяя x на 4x :
cos x = 1 −
x < ∞ , и cos 2 2 x =
(4 x )2 (4 x )4 (4 x )6 ... =
1
cos 2 2 x = 1 + 1 −
+
−
+ 
2 
2!
4!
6!

= 1−
2 3 x 2 2 7 x 4 211 x 6
2 4 n−1 x 2n
+
−
+ ... + (− 1)n
+ ...
2!
4!
6!
(2n )!
Данное разложение справедливо при 4 x < ∞, т. е. на всей
числовой оси.
Пример 3.6.2. Используя биномиальное разложение, представить
функцию f ( x ) = 3 1 + 2 x в виде степенного ряда.
xn
, если x ∈ (− 1,1];
n
58
1 + cos 4 x
,
2
59
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Так как
(1 + x )m
= 1+
Ряды
mx m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2 ) 3
+
x +
x + ..., x < 1,
1!
2!
3!
то, заменяя x на 2x, при m =
1
имеем
3
1 1 
1  1  1 
1
 − 1
 − 1 − 2
⋅ 2x
1
33 
3  3  3 
2
3
3
1 + 2x = (1 + 2x)3 = 1 +
(2x) +
(2x)3 +
+
2!
3!
1!
2
2 ⋅ 22 2 2 ⋅ 5 ⋅ 23 3 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 24 4
+ ... = 1 +
x− 2
x + 3
x −
x + ...
3 ⋅ 1!
3 ⋅ 2!
3 ⋅ 3!
34 ⋅ 4!
1
Ряд сходится при 2 x < 1 или x < .
2
Пример 3.6.3. Представить функцию f ( x ) =
степенного ряда.
1
1 − x3
в виде
( )
Используем опять биномиальный ряд, заменяя x на − x 3 при
1
m = − , получим ряд
2
1
1 − x3
( ( ))
= 1 + − x3
−
1
2
1
1⋅ 3 6 1⋅ 3 ⋅ 5 9
= 1 + x3 +
x +
x + ... =
2
2⋅4
2⋅4⋅6
(2n − 1)!!x 3n ,
n =1 (2n )!!
∞
= 1+ ∑
сходящийся при x < 1.
π

Пример 3.6.4. Записать ряд для функции f ( x ) = sin  x −  .
6

Воспользуемся разложениями
60
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
x2 x4 x6
+
− + ..., x < ∞;
2! 4! 6!
x3 x5 x7
sin x = x − + − + ..., x < ∞
3! 5! 7!
и формулой
cos x = 1 −
π
π
π
3
1

sin  x −  = sin x ⋅ cos − cos x ⋅ sin =
sin x − cos x.
6
6
6
2
2


Имеем разность двух рядов:
 1  x2 x4 x6

3
π
x3 x5 x7

x−
 − 1 −
sin  x −  =
...
+
−
+
+
−
+ ... .



6 2 
3! 5! 7!
2! 4! 6!

 2

Напомним, что сходящиеся ряды можно почленно складывать и
вычитать, отсюда
1
3
3 x3
3 x5
π
x2
x4
x6

sin  x −  = − +
−
⋅ −
+
⋅ +
− ...
x+
6
2 2
2 ⋅ 2! 2 3! 2 ⋅ 4! 2 5! 2 ⋅ 6!

Ряд сходится при всех значениях x, так как вычитали ряды,
сходящиеся при всех x.
π

Пример 3.6.5. Разложить f ( x ) = cos x в ряд по степеням  x −  .
2

Запишем функцию в виде
π
π π


cos x = cos  x −  +  = − sin  x − 
2 2
2


и, используя разложение для sin x, получим
3
5


π
π




x
x
−
−




π
π 


2
2


cos x = − sin  x −  = −  x −  −
− ... =
+
2
2
3!
5!







2 n +1
π

x − 
∞
2
.
= ∑ (− 1)n+1 
(2n + 1)!
n =0
Полученный ряд сходится при всех x.
61
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Пример 3.6.6. Разложить в ряд по степеням ( x + 2 ) функцию
f ( x ) = ln(2 − 3 x ).
Представим ln(2 − 3x ) в виде
  3

ln(2 − 3 x ) = ln(8 − 3( x + 2 )) = ln 81 − ( x + 2 )  =
8

 
  3

= ln 8 + ln1 +  − ( x + 2 )  .

  8
Воспользуемся разложением
ln(1 + x ) = x −
x 2 x3
xn
+ − ... + (− 1)n −1 + ..., x < 1.
2
3
n
 3

Заменим x на  − ( x + 2 ). Получим ряд
 8

∞
 3
ln(2 − 3 x ) = ln 8 − ∑  
n =1 8 
n
( x + 2)n .
n
Это равенство справедливо при −
−
3
( x + 2) < 1, т. е. x + 2 < 8 ;
8
3
14
2
<x< .
3
3
Заметим, что в точке x = −
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
1
=
x
1
=
( x − 4) + 4
−
1
1 x −4 2
= 1 +
 .
4 
x−4 2
2 1+
4
1
Используя биномиальное разложение, заменяя x на x − 4
4
1
и m = − , получим:
2
  1
 1  1 
 − 
 −  − − 1
2
1
1   2   x − 4   2  2   x − 4 
= 1+

+

 +
2!
1!  4 
x 2
 4 



 1  1  1


 −  − − 1 − − 2 
3
2  2  2
  x − 4  + ... =
+



3!
 4 


1
1⋅ 3
1⋅ 3 ⋅ 5
1
= 1 − 3 ( x − 4 ) + 6 ( x − 4)2 −
( x − 4)3 + ....
9
2  1!2

2!2
3!2
Ряд сходится при
x−4
< 1, x − 4 < 4 или 0 < x < 8.
4
Примеры для самостоятельного решения
14
ряд сходится условно.
3
Пример 3.6.7. Разложить в ряд по степеням ( x − 4 ) функцию
1
.
x
Представим функцию в виде
f (x) =
62
1. Разложить функции в степенные ряды:
1
– по степеням ( x − 1);
x
1
f (x) = 5
– по степеням x;
1 − 3x
f ( x ) = sin 2 x – по степеням x;
f (x ) =
2
f ( x ) = e − x – по степеням x.
63
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
3.7. Применение рядов для вычисления приближенных
значений функций, интегралов и иррациональных чисел
С помощью рядов можно с заданной точностью вычислять значения элементарных функций, а также определенных интегралов от
этих функций.
Пример 3.7.1. Вычислить с точностью до ε = 0,0001 значение ln 1,1.
Воспользуемся разложением
x 2 x3
xn
+
− ... + (− 1)n−1
+ ... при − 1 < x ≤ 1.
2
3
n
Полагая x = 0,1, получим знакочередующийся ряд
ln(1 + x ) = x −
0,12 0,13 0,14
ln 1,1 = ln (1 + 0,1) = 0,1 −
+
−
+ ...
2
3
4
Погрешность вычисления здесь не превосходит первого отбро0,14
< 0,0001, поэтому
4
достаточно взять сумму первых трех членов ряда.
0,01 0,001
ln 1,1 ≈ 0,1 −
+
= 0,0953.
2
3
Пример 3.7.2. Вычислить 10 e с точностью ε = 10− 3.
Используем разложение
шенного члена. Абсолютное значение u 4 =
x x 2 x3 x 4
e x = 1 + + + + + ... ,
1! 2! 3! 4!
получим
0,1 (0,1)2 (0,1)3
+
+
+ ...
e = 1+
1!
2!
3!
В разложении берем столько членов, чтобы вычисления
произвести с точностью до трех знаков после запятой. В нашем случае
достаточно сохранить три первых члена ряда:
0,1
e 0,1 ≈ 1 +
0,1 (0,1)2
+
≈ 1,105.
1!
2!
64
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример 3.7.3. Вычислить e x при x = 1 с точностью ε = 10 − 5
(с пятью верными десятичными знаками).
Используя то же разложение, получим
1 1 1 1
e = 1 + + + + + ...
1! 2! 3! 4!
В данном случае, взяв 9 членов ряда, получим с заданной точностью значение иррационального числа e:
1 1 1 1
1
1
1
1
e ≈ 1+ + + + +
+
+
+
=
1 2 6 24 120 720 5040 40320
8
1
= 2 + ∑ ≈ 2,718278 = 2,71828.
k = 2 k!
Пример 3.7.4. Определить, сколько нужно взять членов ряда
−4
в разложении ln (1 + x ), чтобы вычислить ln 2 с точностью до 10 .
Рассмотрим несколько вариантов решения, используя разложение
x 2 x3
x n +1
+ − ... + (− 1)n
+ ..., x ∈ (− 1,1].
2
3
n +1
1. Пусть x = 1, тогда
1 1 1
n +1 1
+ ...
ln 2 = 1 − + − + ... + (− 1)
2 3 4
n
Ряд знакочередующийся, условно сходящийся, и оценку
определяем первым отброшенным членом. Очевидно, что в данном
случае надо оставить 10 000 членов ряда.
ln(1 + x ) = x −
1
2. Если принять x = − , тогда
2
1
1


ln1 −  = ln = ln 1 − ln 2 = − ln 2 =
2
2


2
3
4
 1
 1
 1
− 
− 
− 
1  2
2
2

=− −
+
−
+ ... =
2
2
3
4
1
1
1
1

= − +
+
+
+ ... ,
2
3
4
3⋅ 2
4⋅2
2 2⋅ 2

65
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
или
1
1
1
1
1
ln 2 = +
+
+
+ ... +
+ ...
2
3
4
2 2⋅2
3⋅ 2 4 ⋅ 2
n ⋅ 2n
Для получения заданной точности вычисления нужно взять уже
всего 10 членов ряда. Видим, что при x = 1 ряд сходится достаточно
медленно. Этот ряд можно приспособить для вычислительных целей
следующим образом:
3. Заменим в нем x на − x :
x 2 x3
xn
− − ... −
− ...
2
3
n
Рассмотрим разность рядов:
ln(1 − x ) = − x −
ln(1 + x ) − ln(1 − x ) = ln
1

1
9
1
1⋅ 3
1⋅ 3 ⋅ 5
+ ... ≈ 3 + +
+ ... ≈ 3,14.
+ 10
π = 6  + 4 + 7
8 640
 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2! ⋅ 5 2 ⋅ 3! ⋅ 7

Очевидно, взяв большее число членов ряда, мы будем получать
число с большей точностью.
Пример 3.7.6. Вычислить 5 36 , взяв первые три члена биномиального ряда.
5
3


1+ x
x
x
= 2  x +
+
+ ....
1− x
3
5


 1

n +1
1+ x
1
1
= ln
= 2 
+
+
+ ....
3
5
n
1− x
 2n + 1 3(2n + 1) 5(2n + 1)

При n = 1 имеем
ln
1
1
1

ln 2 = 2  +
+
+ ... ,
3
5
5⋅3
 3 3⋅3

и для достижения точности вычисления достаточно взять всего 4 члена
ряда:
1 1 1 1 1 1 1 
ln 2 ≈ 2  + ⋅ 3 + ⋅ 5 + ⋅ 7  = 0,69315 = 0,6932.
5 3
7 3 
3 3 3
Пример 3.7.5. Найти приближенное значение иррационального
числа с точностью 0,01.
Используем разложение
1⋅ 3 x5 1⋅ 3 ⋅ 5 x7
x3
+ 2 ⋅ + 3 ⋅ + ...
2 ⋅ 3 2 ⋅ 2! 5 2 ⋅ 3! 7
66
1
5
36 = (32 + 4 )
1

= 32 5 1 +
5
1
Полагаем теперь 1 + x = n + 1 , тогда x =
, получим
2n + 1
1− x
n
arcsin x = x +
1 π
1
Примем x = , тогда arcsin = и
2
2 6
5


1
1
4 5
 1 5
 = 21 +  ;
32 
 8
1 1


1 −  
1 1 5 5  
1
1 


36 = 21 +  ≈ 2 1 + ⋅ +
= 21 + +
 = 2,0477.
2
 5 8
2 ⋅ 8   40 800 
 8




1
1 5
Для вычисления определенных интегралов можно воспользоваться формулой Ньютона – Лейбница.
Ее применение связано с нахождением первообразной, которая
не всегда выражается в элементарных функциях. Если подынтегральную функцию можно представить в виде степенного ряда, а пределы
интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то
определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью приближенно.
Пример 3.7.7. Вычислить
1
sin x
sin x
dx – неdx (заметим, что ∫
x
x
0
∫
берущийся интеграл).
Ограничимся тремя членами разложения.
Воспользуемся разложением в степенной ряд функции sin x.
67
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
sin x =
Тогда
Ряды
(
x x3 x5 x 7
−
+
−
+ ...
1! 3! 5! 7!
1
1
 x2 x4 x6

sin x
=
dx
∫ x
∫ 1 − 3! + 5! − 7! + ... dx =

0
0
1


x3 x5
x7

= x−
+
−
+ ... = 1 − 0,05556 + 0,00167 ≈ 0,9461.
18 600 35280

0
Погрешность вычисления не превосходит первого отброшенного
1
x
sin x
Замечание. Функция ∫
dx называется интегральным
0 x
2
1

 2
x 4 x 7 x10 5 x13

 =
1
...
x
dx
x
+
=
+
−
+
−
+
∫


8
56
160
1664

0
0
1 1 1
1 1
1 1
5
1
= + ⋅ 4− ⋅ 7+
⋅
−
⋅
+ ...,
2 8 2 56 2 160 210 1664 213
1 1
1
u3 = ⋅ 7 =
< 0,001.
56 2
7168
Для получения указанной точности достаточно взять два первых
члена разложения:
1
2
2
∫
3
1 + x 3 dx ≈
0
1 1
+
≈ 0,508.
2 128
1
π
, sin , ln 3 с точностью ε = 0,001 .
e
5
2. Вычислить интегралы с точностью до 0,001.
sin x
синусом и обозначается символом Si(x) = ∫ x dx.
0
1
Пример 3.7.8. Вычислить
2
∫
1 + x dx с точностью до 0,001.
Представим подынтегральную функцию в виде ряда с помощью
m(m − 1)... (m − n + 1) n
x , x ∈ (− 1,1); заме= 1+ ∑
n!
n =1
∞
3
няя x на x , получим
1.
3
0
e,
1. Вычислить
x
разложения (1 + x )
1
Примеры для самостоятельного решения
1
< 0,0001.
35280
m
)
1
1
1
5 12
= 1 + x3 − x 6 + x9 −
x + ..., − 1 < x < 1.
2
8
16
128
 1
Проинтегрируем этот ряд почленно в промежутке 0,  .
 2
1 + x3 = 1 + x3
1
x2 x 4 x6
sin x = 1 − +
− + ...
x
3! 5! 7!
Можно показать, что ряд сходится при всех значениях x.
Проинтегрируем равенство в промежутке [0,1].
члена u4 =
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
1
sin
0
x
∫
1
2.
4
∫
0
1
x
4 dx.
1
0
1
sin 2 x
dx.
x
5.
2
∫
0
1
2
3. ∫ cos x dx.
6.
0
68
2
4. ∫ e− x dx.
2
∫
0
69
arctg x
dx.
x
dx
5
1 + x2
.
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
3.8. Интегрирование дифференциальных уравнений
при помощи степенных рядов
Продифференцируем уравнение (15) и соотношение (17):
y′′ = y + xy′ + 2 yy′;
С помощью степенных рядов можно найти решение некоторых
дифференциальных уравнений. Представим искомое решение в виде
степенного ряда.
Сумму конечного числа членов этого ряда принимаем приближенно равной искомому решению уравнения.
Вопрос о сходимости рядов и точности полученного решения
оставляем без рассмотрения.
Пример 3.8.1. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
y′ = xy + y 2 ,
(15)
удовлетворяющее начальному условию y x = 0 = 1 (ограничиться тремя
первыми членами ряда).
Ищем решение в виде ряда
y ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ...
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
(16)
y′′ = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + ...
Подставим найденные значения в уравнение:
y′′(0 ) = 1 + 0 ⋅1 + 2 ⋅1 ⋅1 = 3,
3
из второго соотношения найдем a2 , получим y′′(0) = 2a2 = 3, a2 = .
2
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (16),
получим приближенное частное решение уравнения в виде
3 2
x при y x = 0 = 1.
2
Пример 3.8.2. Найти решение уравнения
y (x ) = 1 + x +
y′′ = − yx 2 ,
удовлетворяющее начальным условиям y x = 0 = 1, y′ x = 0 = −1.
Запишем решение уравнения в виде ряда
y ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + ...
y (0) = 1 = a0 , a0 = 1.
Продифференцируем (16):
y′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 4 + ...
Из уравнения (15), подставляя x = 0, y = 1, имеем
y′(0 ) = 0 ⋅ 1 + 12 = 1.
С другой стороны, из (17) имеем
y′(0 ) = 1 = a1 , a1 = 1.
70
(19)
Продифференцируем соотношение (19)
Коэффициент a0 найдем из начального условия
y′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + ...
(18)
(17)
(20)
Подставляя в (19) и (20) начальные данные, найдем коэффициенты
a0 и a1 :
y (0) = 1 = a0 , a0 = 1;
y′(0 ) = −1 = a1 , a1 = −1.
Дифференцируем соотношение (20), получим
y′′( x ) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + ...
71
(21)
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Используя начальные условия, найдем значение y′′ из (18):
y′′(0) = −1 ⋅ 0 = 0.
Из (21) найдем значение коэффициента a2 :
Глава 3. Функциональные ряды. Степенные ряды
затем подставим его в уравнение и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях x.
Пример 3.8.3. Найти частное решение уравнения
y′′(0) = 2a2 = 0, a2 = 0.
Найдем теперь коэффициент a3 . Для этого продифференцируем
уравнение (18) и соотношение (21):
2
y′′′ = − y′x − y 2 x;
y′′′ = 6a3 + 24a4 x + 60a5 x 2 + ...
Подставим сюда найденные значения
y′′′(0) = −(− 1) ⋅ 0 − 2 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0.
Отсюда
y′′′(0) = 6a3 = 0, a3 = 0.
Проделаем ту же операцию для нахождения a4 :
или
y IV = − y′′x 2 − y′ ⋅ 2 x − 2 y − 2 xy′
y
IV
(22)
при y x = 0 = 0, y′ x = 0 = 1.
Запишем искомую функцию в виде
y ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + ...
(23)
Подставляя в (23) начальные условия x = 0, y = 0, найдем a0 :
y (0) = a0 = 0, a0 = 0.
Продифференцируем (23) и, используя начальные условия x = 0,
y′ = 1, найдем a1:
y′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 4 + ...,
2
= − y′′x − 4 xy′ − 2 y,
IV
и
y′′ = 2 xy′ + 4 y
y = 24a4 + 120a5 x + ...
Получим
y IV (0 ) = −0 ⋅ 0 − 4 ⋅ 0 (− 1) − 2 ⋅1 = −2
1
y (0 ) = 24 a4 = −2, a4 = − .
12
Ограничимся пятью членами ряда, тогда решение примет вид
IV
1
y (x ) = 1 − x − x 4 .
12
В тех случаях, когда дифференциальное уравнение линейное,
удобнее искать коэффициенты ряда методом неопределенных коэффициентов.
Для этого представляем решение уравнения в виде ряда
y′(0 ) = 1 = a1 , a1 = 1.
Подставим a0 = 0, a1 = 1 в (23) и дважды продифференцируем
ем
это соотношение:
y ( x ) = x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + ...,
y′( x ) = 1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 4 + ...,
y′′( x ) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + ...
Полученные выражения подставим в уравнение y′′ = 2 xy′ + 4 y :
2a 2 + 6a3 x + 12a 4 x 2 + 20a5 x 3 + ... =
(
(
2
3
4
5
)
+ 4 x + a 2 x + a 3 x + a 4 x + a5 x + ... .
y ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + ...,
72
)
= 2 x 1 + 2a 2 x + 3a3 x 2 + 4a 4 x 3 + 5a5 x 4 + ... +
73
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:
при х0
2a2 = 0,
­ a 2 = 0;
при х
6a3 = 2 + 4 = 6,
при х2
12a4 = 4a2 + 4a2 = 0, a4 = 0;
a3 = 1;
1
20a5 = 6a3 + 4a3 = 10, a5 = .
2
Сохраняя шесть членов ряда, получим решение в виде
при х3
1 5
x .
2
Здесь можно получить ряд в общем виде и показать, что он сходится при всех x (мы не будем этого делать).
y(x ) = x + x3 +
Примеры для самостоятельного решения
Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд:
y′′ = y ⋅ cos x + x, y (0 ) = 1, y′(0 ) = 0;
y′ = 2 cos x − xy 2 ,
y (0 ) = 1;
y′′ = −2xy,
y (0 ) = 1, y′(0 ) = 1.
74
Рекомендуемая литература
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике /
Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2013.
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление : учеб.
пособие : в 2 т. / Н. С. Пискунов. – Изд. стер. – М. : Интеграл-Пресс, 2001.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учеб. для вузов : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – 8-е изд. – М. : Физматлит,
2001.
4. Бугров Я. С. Высшая математика : учеб. для вузов : в 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – 5-е изд., стер. – М. : Дрофа, 2003.
5. Красоленко Г. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды :
рабочая программа, метод. указания и контр. задания / Г. В. Красоленко,
Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина; СПбГАСУ. – СПб., 2012.
6. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1985.
7. Бронштейн И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов : учеб. пособие / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – СПб.;
Краснодар : Лань, 2009.
75
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
Оглавление
Глава 1. Знакопостоянные числовые ряды ........................................................ 3
1.1. Основные понятия и определения .................................................... 3
1.2. Частичный остаток ряда. Необходимый признак сходимости
рядов .......................................................................................................... 7
1.3. Арифметические операции со сходящимися рядами ...................... 9
1.4. Положительные ряды. Признаки сравнения сходимости
положительных рядов ............................................................................. 10
1.5. Признак Даламбера сходимости положительных рядов ............... 14
1.6. Оценка частичного остатка сходящегося положительного ряда,
удовлетворяющего условиям сходимости признака Даламбера ........ 18
1.7. Интегральный признак сходимости Коши ..................................... 19
1.8. Некоторые рекомендации для эффективного использования
признаков сходимости ............................................................................ 24
Глава 2. Знакочередующиеся ряды .................................................................. 29
2.1. Признак Лейбница ...................................................................................... 29
2.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды ................................ 31
2.3. Схема исследования на сходимость знакочередующегося ряда ... 34
Глава 3. Функциональные ряды. степенные ряды .......................................... 40
3.1. Основные понятия. Теорема Абеля ................................................ 40
3.2. Интервал сходимости степенного ряда .......................................... 44
3.3. Свойства степенных рядов .............................................................. 47
3.4. Разложение функций в степенной ряд............................................ 48
3.5. Основные разложения функций в степенные ряды ....................... 58
3.6. Представление функций в виде степенного ряда .......................... 59
3.7. Применение рядов для вычисления приближенных
значений функций, интегралов и иррациональных чисел ................... 64
3.8. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи
степенных рядов ..................................................................................... 70
Рекомендуемая литература ................................................................................ 75
Учебное издание
Башмакова Инна Борисовна,
Кораблёва Ирина Ивановна,
Прасникова Светлана Станиславовна
РЯДЫ
Учебное пособие
Редактор А. В. Афанасьева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 23.06.15. Формат 60 84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 4,5. Тираж 100 экз. Заказ 58. «С» 33.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
76
77
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
Ряды
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
ДЛЯ ЗАПИСЕЙ
78
79
И. Б. Башмакова, И. И. Кораблёва, С. С. Прасникова
80
Ряды
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
557 Кб
Теги
bashmakova, rjady
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа