close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Shuvalova Nachert Kasat plos

код для вставкиСкачать
С. С. ШУВАЛОВА
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
С. С. ШУВАЛОВА
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2015
1
УДК 744
Рецензенты: канд. техн. наук, профессор Д. Е. Тихонов-Бугров (БГТУ «Военмех»);
канд. экон. наук, доцент Е. А. Солодухин (СПбГАСУ)
Шувалова С. С.
Начертательная геометрия. Касательные плоскости: учеб. пособие /
С. С. Шувалова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 24 с.
ISBN 978-5-9227-0578-3
Излагаются теоретические предпосылки к изучению раздела начертательной геометрии «Касательные плоскости» и приводятся указания к решению задач.
Предназначено для студентов строительных специальностей.
Ил. 25. Библиогр.: 3 назв.
По настоятельной просьбе автора все рисунки сохранены в предоставленном формате.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного
пособия.
ISBN 978-5-9227-0578-3
© С. С. Шувалова, 2015
© Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2015
Учебное издание
Шувалова Светлана Семеновна
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Учебное пособие
Редактор М. А. Молчанова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 09.10.15. Формат 60×84 1/8. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 3,0. Тираж 100 экз. Заказ 112. «С» 59.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При решении инженерных и архитектурных задач часто встречаются случаи сочетания плоских элементов с криволинейными (сферическими, коническими, цилиндрическими и др.) в виде взаимного касания.
Плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной на ней точке A, называется плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми и касательными к этой поверхности в точке A (рис. 1). Таким образом, для построения плоскости, касательной
к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две любые линии и к каждой из них касательную в этой же точке. Эти две прямые задают касательную плоскость.
Через точку A проведем на поверхность две любые кривые f1 и f2. К этим кривым
в точке A построим касательные t1 и t2. Плоскость, образованная этими касательными,
называется касательной плоскостью Q к поверхности Ф в точке А.
Рис. 1
Отметим, что поскольку через одну точку на поверхности можно провести множество кривых линий, то в этой точке будут пересекаться и множество касательных прямых
к этим кривым, определяя одну-единственную касательную плоскость к данной поверхности в заданной точке [3].
В зависимости от вида поверхности плоскость может касаться поверхности в одной
точке, по линии (прямой или плоской кривой) или, касаясь, может пересекать поверхность
по некоторой линии. Каждая из этих точек имеет свое название.
Различают эллиптические точки касания, параболические и гиперболические.
Эллиптические точки располагаются на выпуклых поверхностях, таких, на которых
кривые линии располагаются с одной стороны плоскости касания, – поверхностях вращения (см. рис. 1). К ним относятся сфера, тор, эллипсоид, параболоид (рис. 2).
Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую прямую или плоскую
кривую линию, то точки, принадлежащие этой линии, называются параболическими. Такие
точки имеют цилиндр, конус, торс (касательная прямая), тор (касательная окружность m1)
(см. рис. 2).
3
Рис. 2
Развертываемые линейчатые поверхности – конические, цилиндрические и с ребром возврата состоят из параболических точек.
В случае не развертываемой линейчатой поверхности (цилиндроиды, коноиды, геликоиды и др.) любая точка прямолинейной образующей имеет свою касательную плоскость, пересекающую поверхность по этой образующей. Такие точки поверхности называются гиперболическими.
Особенностью плоскостей, касательных к косой плоскости (гиперболический параболоид) и к однополостному гиперболоиду, является то, что они пересекают эти поверхности по двум прямым – образующим поверхности, проходящим через точки касания:
у однополосного гиперболоида (рис. 3) касательная плоскость P в точке A пересекает поверхность по двум прямым m и n.
Рис. 3
4
Геликоиды пересекаются касательной плоскостью по прямой и кривой, а тор – по
двум кривым. И вообще, тор является уникальной поверхностью, так как на этой поверхности имеются все три вида точек касания – A, В и C (рис. 4).
Рис. 4
Введем понятие нормали к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная
к касательной плоскости и проходящая через точку касания, т. е. на чертеже (см. рис. 1)
прямая n, проходящая через точку касания A и перпендикулярная касательной плоскости Q,
является нормалью к поверхности. Задача на проведение нормали к поверхности в данной
точке сводится к построению плоскости, касательной к поверхности в той же точке, с последующим восстановлением перпендикуляра к ней.
Для построения нормали на эпюре используют условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Все задачи на проведение плоскостей, касательных к кривым поверхностям, можно
разделить на следующие пять типов:
1. Проведение плоскости, касательной к поверхности, через точку, лежащую на
ней, или через образующую поверхности (для линейчатой поверхности).
2. Проведение плоскости, касательной к поверхности и проходящей через данную
внешнюю точку.
3. Проведение плоскости, касательной к поверхности и параллельной данной прямой линии.
4. Проведение плоскости, касательной к поверхности и проходящей через данную
прямую линию.
5. Проведение плоскости, касательной к поверхности и параллельной данной плоскости.
Рассмотрим все варианты в приложении к различным поверхностям.
5
1. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К СФЕРЕ
Построение плоскостей, касательных к сфере, основано на известном положении
геометрии, согласно которому плоскость, касательная к сфере, должна быть перпендикулярна радиусу этой сферы, проведенному через точку касания. Иначе говоря, этот радиус
является нормалью к сфере в данной точке.
1.1. Плоскости, касательные к сфере в данной на ней точке
Поставленная задача (рис. 5) сводится к построению плоскости, проходящей через
данную точку A, лежащую на сфере, перпендикулярно радиусу сферы OA. Эта плоскость τ
может быть определена путем проведения через точку A горизонтали h и фронтали f, перпендикулярных радиусу сферы OA, таким образом, τ (h, f). Все построения проведены
на рис. 5. Задача имеет одно решение.
1.2. Плоскости, касательные к сфере и проходящие через внешнюю точку
Решим эту задачу для частного случая, когда данная внешняя точка C находится на
одной вертикали с центром сферы – точкой O (рис. 6).
C2
A2
O2
90
B2
A2
h2
90
f2
90 f
2
O2
2
x12
h2
a2
x12
a1
O1
90
A1
Рис. 5
h1
A1
O1C1
90 h1
f1
B1
f1
Рис. 6
Задача имеет множество решений. Примем данную точку C за вершину прямого
кругового конуса, касающегося сферы по окружности a. Всякая плоскость, касательная
к этому конусу, очевидно, будет касаться и сферы, а все точки расположатся на окружности.
На чертеже (рис. 6) проведено две плоскости: одна из них – плоскость α, касается
сферы в точке A, лежащей на главном меридиане сферы, а другая – плоскость β, в точке B,
взятой произвольно на окружности a. Первая из этих плоскостей будет фронтальнопроецирующей плоскостью, а вторая – плоскостью общего положения; она определяется
горизонталью h и фронталью f , т. е. β (h, f).
В случае, если линия, соединяющая точку C с центром сферы, будет прямой общего положения, следует перейти к приведенному выше частному случаю, применив метод
дополнительного ортогонального проецирования. На чертеже (рис. 7) приведен пример
построения плоскости, касательной к сфере и проходящей через внешнюю точку C. Для
решения задачи последовательно построены дополнительные проекции сначала на плос 6
кость П4  П1, при этом плоскость П4 задана также параллельно отрезку OC, соединяющему данную точку с центром сферы, а затем – на плоскость П5, которая перпендикулярна
отрезку OC и плоскости П4 , т. е. П5  OC и П5  П4. В этом случае отрезок OC проецируется в точку, и мы получаем, следовательно, разобранный выше случай.
90
f2
B2
C2
O2
h2
x12
f1
h1
B1
O1
C2
x14
B5
B4
C4
O5 C5
O4
x45
Рис. 7
Проведя из точки C4, как из вершины, проекцию касательного к сфере конуса, построим окружность касания и выберем на ней произвольную точку B (B4, B5). Перенесем
эту точку в исходную систему плоскостей проекций и проведем через нее фронталь и горизонталь, перпендикулярные радиусу сферы OB. Эти линии и определят искомую плоскость β (h, f), касательную к сфере и проходящую через данную внешнюю точку C.
1.3. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной прямой
Рассмотрим случай, когда данная прямая t перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 8), к этому случаю всегда можно перейти от общего положения прямой, используя, например, метод дополнительного ортогонального проецирования.
Поставленная задача имеет бесчисленное множество решений, так как любая плоскость, касательная к сфере и параллельная горизонтально-проецирующей прямой, будет
также горизонтально-проецирующей плоскостью, касательной к экватору сферы. На чертеже (см. рис. 8) проведено три таких плоскости: α, β и γ. Они касаются сферы соответственно в точках A, B и C, лежащих на экваторе.
7
t2
B2 A2
x12
C2
O2
1
B1
O1
1
t1
C1
A1
1
Рис. 8
f2
90
22
O2
t2
h2
12
A2
x12
h1
t 5 15 25
O5
90
A1
A5
O1
21
f1
t1
A4
l5
x45
l4
11
O4
24
t4
14
x14
Рис. 9
На чертеже (рис. 9) эта же задача решена для общего случая расположения прямой t.
Для приведения этого случая к вышеизложенному частному случаю применен метод дополнительного ортогонального проецирования. На первом этапе осуществляется проецирование на плоскость П4  П1 и П4  t, а на втором – на плоскость П5  П4 и П5  t. В этой
системе плоскостей проекций мы будем иметь частный случай (см. рис. 8), когда точки
касания плоскостей к сфере расположатся на ее экваторе e. Из бесчисленного множества
касательных плоскостей проведем одну, точкой касания которой будет произвольно взятая на экваторе точка A (A4, A5). Определим A (A1, A2) – проекции этой точки в исходной
системе плоскостей проекций, и проведем горизонталь h и фронталь f перпендикулярно
8
радиусу сферы OA. Таким образом, задана плоскость α (h, f), касающаяся сферы в точке A
и параллельная прямой t.
1.4. Плоскости, касательные к сфере и проходящие
через заданную прямую линию
Решение этой задачи возможно, если заданная прямая не пересекает сферу. Если
прямая расположена вне сферы, возможно два решения, а если прямая касается сферы, то
можно провести только одну касательную плоскость.
Решим эту задачу для частного случая расположения заданной прямой, когда она
перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций (рис. 10). В этом случае очевидно,
что касательные к сфере плоскости α и β будут горизонтально-проецирующими; их горизонтальные проекции α1 и β1 пройдут через горизонтальную проекцию прямой t (t1) и будут касаться экватора сферы в точках A1 и B1.
t2
B2 A2
x12
O2
1
B1
O1
t1
A1
1
Рис. 10
Если заданная прямая будет прямой общего положения, то задача наиболее просто
решается путем приведения ее к предыдущему простому случаю с помощью одного из
методов преобразования.
На чертеже (рис. 11) приведен случай, когда заданная прямая является прямой общего положения. Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного ортогонального проецирования, последовательно переходя от системы плоскостей П2  П1 к системе П4  П1, а затем к П5  П4, где задаем П4  t, а П5  t. На последнем этапе прямая
проецируется в точку, и мы имеем случай, приведенный на чертеже (см. рис. 10). Здесь
также проведены следы двух касательных плоскостей α и β, которые касаются сферы соответственно в точках A и B. Каждая плоскость вполне определяется прямой t и точкой
касания, так α (t, A) и β (t, B). Определяем проекции этих точек в исходной системе плоскостей проекций.
9
A2
22
O2
t2
B2
12
x12
11
14
t1
A1
t4
21
B1
O1
f1
A4
24
O4
B4
t 5 15 25
x45
B5
A5
5
x14
5
O5
Рис. 11
1.5. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной плоскости
Эта задача имеет два решения при любом расположении заданной плоскости.
На чертеже (рис. 12) данная плоскость α является фронтально-проецирующей,
вследствие чего искомые касательные плоскости β и γ коснутся сферы в точках B и C, лежащих на главном меридиане; радиусы сферы, проведенные в точку касания, должны
быть перпендикулярны как к данной плоскости α, так и к касательным плоскостям β и γ.
Если заданная плоскость α (h, f) будет плоскостью общего положения, то задача
легко решается, если, построив дополнительную ортогональную проекцию этой плоскости на плоскость П4, ей перпендикулярную, привести ее к рассмотренному выше частному
случаю, что и показано на чертеже (рис. 13), где данная плоскость α является проецирующей по отношению к плоскости П4 (α4). Точки касания B и C искомых плоскостей β и γ
определятся в пересечении очерка сферы на плоскости П4 с ее радиусами, проведенными
перпендикулярно α4. Имеем α4  β4  γ4. На исходных плоскостях проекций касательные
плоскости β и γ заданы линиями уровня: β (a, b), γ (c, d).
10
2
2
B2
2
O2
C2
x12
O1
C1
B1
Рис. 12
b2
B2
a2
O2
12
C2
c2
11
x12
d2
a1
O1
B1
b1
C1
c1
d1
C4
x14
O4
14
B4
4
Рис. 13
11
4
2. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА
Основой решения всех задач на проведение плоскостей, касательных к поверхности
конуса, являются следующие положения:
1) любая плоскость, касательная к поверхности конуса, содержит образующую, которая является линией касания;
2) любая плоскость, касательная к поверхности конуса, проходит через его вершину, что является следствием первого положения;
3) через любую точку образующей, по которой плоскость касается поверхности конуса, можно провести на этой поверхности кривую линию. Касательная к этой кривой
в данной точке образующей должна лежать в касательной к поверхности конуса плоскости. В качестве этих кривых удобно выбирать линии, лежащие в основании или параллельные плоскости основания конической поверхности.
2.1. Плоскости, касательные к поверхности конуса в данной на ней точке
На чертеже (рис. 14) даны проекции наклонного конуса, в основании которого лежит окружность, и точка A, лежащая на его поверхности.
Для решения поставленной задачи через точку A проведена образующая SM, точка
M лежит на линии основания конуса. Проведенная образующая является линией касания
искомой плоскости τ с поверхностью данного конуса.
На основании п. 3 проведем касательную к окружности основания конуса в точке
M; эта касательная является горизонталью h. Образующая конуса и горизонталь вполне
определяют искомую касательную плоскость τ (SM, h), что позволяет перейти к любому другому ее заданию. На чертеже (рис. 14) показано задание этой плоскости линиями уровня,
принадлежащими плоскостям проекций, т. е. следами касательной плоскости – τ (h, f).
S2
f2
12
x12
A2
h2 f 1
O2
11
M2
O1
M1
A1
S1
h1
Рис. 14
Задача № 1. Провести плоскость, касательную к поверхности конуса и проходящую через точку A на его поверхности, если основание конуса не принадлежит ни одной
из плоскостей проекций, но параллельно одной из них, например фронтальной (рис. 15).
Проводим через данную на поверхности конуса точку A образующую касания SA
и определяем точку M этой образующей, лежащей на линии основания конуса. Проводим
12
касательную m к основанию конуса в этой точке; эта касательная будет в данном случае
фронтальной проекцией фронтали искомой плоскости. Таким образом, искомая плоскость
будет определена двумя пересекающимися в точке M прямыми: образующей конуса
и фронталью τ (SM, m). Определим линии пересечения этой плоскости τ с плоскостями
проекций П1 и П2, т. е. следы плоскости.
f2
m2
l2
S2
M2
A2
O2
x12
31 32
12
h2 f 1
22
11
O1
M1
m1
A1
21
S1
l1
h1
Рис. 15
Для этого через вершину конуса S проведем дополнительную
фронталь l и найдем точки пересечения двух фронталей m и l с горизонтальной плоскостью проекций: соответственно точки 1 и 2, через которые пройдет горизонталь нулевого
уровня h или горизонтальный след
плоскости. Линию пересечения f
с фронтальной плоскостью проекций, т. е. фронтальный след, проводим параллельно m и l через точку 3,
лежащую на оси x12. Имеем τ (h, f).
Задача № 2. Провести плоскость, касательную к поверхности
конуса и проходящую через точку A
на ней, если вершина конуса расположена ниже основания, а плоскость
основания параллельна П1 (рис. 16).
M2
m2
O2
f2
A2
l2
x12
h2 f 1
11
M1
A1
m1
O1 S1
l1
13
22
S2
h1
Рис. 16
12
21
Как и в предыдущем случае, через точку A проводим образующую SA, определяем
точку ее основания M, через которую пройдет касательная m к окружности основания конуса. Можно ограничиться заданием искомой плоскости этими прямыми, т. е. τ (SM, m),
а при необходимости перейти к любому другому варианту задания этой плоскости, что и
показано на чертеже (см. рис. 16), τ (h, f).
Задача № 3. Провести плоскость, касательную к поверхности конуса, через точку A
на его поверхности, если окружность основания конуса лежит во фронтально-проецирующей плоскости α (рис. 17).
В этом случае окружность основания конуса проецируется на фронтальную плоскость в виде прямой α2, а на горизонтальную – в виде эллипса.
M2
2
m2
N2
A2
O2

x12
m2


N2 N1

O2
N1

O1
S2

M1

m1
O1
M1
A1
S1
m1
Рис. 17
Искомая плоскость, как и в предыдущих случаях, будет определяться образующей
и касательной, но если провести образующую через точку A и определить положение точки M легко, то касательную m к эллипсу затруднительно – решение будет неточным. Для
точного решения необходимо иметь проекцию основания конуса в виде окружности, т. е.
требуется свести задачу к рассмотренным выше случаям. Для этого можно воспользоваться как методом дополнительного ортогонального проецирования, так и другими методами
преобразования чертежа. Повернем плоскость основания конуса α до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций. В совмещенном с плоскостью П1 положении фронтальная проекция плоскости основания совпадет с осью, α2' ≡ x12, и точка O, находящаяся
в этой плоскости, займет положение O2'. На плоскость П1 линия основания конуса будет
проецироваться в окружность радиуса R с центром в точке O1'. Положение центра основания определится в пересечении линий (O2'O1') и (O1O1').
Проведем касательную m' (m1', m2') к этой окружности через точку M' (M1', M2').
Найдем пересечение этой прямой с плоскостью П2 – точку N' (N1', N2'), а затем определим
проекции точки N (N1, N2) и соответственно касательной m (m1, m2) на исходном положении плоскости основания α. Таким образом, имеем искомую касательную плоскость τ, заданную двумя пересекающимися прямыми. Как и в предыдущих случаях, это образующая
и касательная к основанию, т. е. τ (SM, m). Эта же плоскость могла быть определена образующей и точкой, т. е. τ (SM, N).
14
2.2. Плоскости, касательные к поверхности конуса
и проходящие через данную внешнюю точку
При этом условии задача имеет два решения, если данная точка не лежит внутри
пространства, ограниченного конической поверхностью. В противном случае задача не
имеет решения.
Плоскости, касательные к поверхности конуса, должны пройти через прямую, соединяющую данную внешнюю точку с вершиной конуса и через образующие конуса. Поиск решения состоит в проведении этих образующих.
На чертеже (рис. 18) задана коническая поверхность, в основании которой лежит
окружность, и внешняя точка B.
S2
B2
12
x12
m2 n2
22
O2
n1
M2
S1
21
O1
B1
m1
11
M1
Рис. 18
Решение задачи начинаем с проведения прямой линии SB, соединяющей данную
точку с вершиной конуса. Затем находится точка пересечения этой прямой с плоскостью
основания конуса – точка M (M 1, M 2). Через эту точку можно провести две прямые, касательные к окружности основания, которые будут являться линиями пересечения искомых
касательных плоскостей с плоскостью проекций П1. Отметим точки касания 1 и 2 и проведем образующие 1S и 2S, по которым плоскости будут касаться конической поверхности. Таким образом, имеем искомые плоскости α (SB, 1S) и β (SB, 2S). Видно, что прямая
SB является общей, т. е. линией пересечения обеих плоскостей. Можно построить линии
пересечения этих плоскостей с плоскостями проекций и перейти к заданию их линиями
уровня, что неоднократно выполнялось выше.
Задача № 4. Провести плоскости через заданную внешнюю точку B, касательные
к конической поверхности, основание которой параллельно фронтальной плоскости проекций (рис. 19).
15
N2
M2
B2
12
b2
S2
a2

f2
O2
f2
22
x12

32

f 1h2 f 1h2
h1
42
N1
a1b1
11 O1 41
31
21
M1
B1

h1
S1
Рис. 19
Ход решения аналогичен разобранному выше варианту. Соединяем вершину S конуса и данную точку B прямой и находим ее пересечение с плоскостью основания конуса.
Через полученную точку M проводим касательные к основанию конуса и отмечаем точки
касания 1 и 2, соединив которые с вершиной конуса, получим его образующие 1S и 2S.
Построим линии пересечения искомых плоскостей с плоскостями проекций. Проведенные
касательные являются фронталями a и b искомых плоскостей. Найдем точку пересечения
прямой SB с плоскостью П2 – точку N, через нее пройдут фронтальные следы f
и f´касательных плоскостей параллельно фронталям a и b до пересечения с осью x12. Построим точки пересечения фронтали a и b с плоскостью П1 – точки 3 и 4, и проведем через
них горизонтальные следы h и h´ плоскостей в точки на оси x12. Таким образом, заданы
касательные плоскости линиями нулевого уровня, или следами: α (h, f), β (h´, f´). Переход
к такому варианту задания плоскостей оправдан при решении некоторых практических
задач.
Задача № 5. Провести плоскости, касательные к конической поверхности и проходящие через заданную внешнюю точку B. Окружность основания лежит во фронтальнопроецирующей плоскости (рис. 20).
Проводим линию SB, соединяющую вершину конуса с данной внешней точкой,
и находим точку M (M1, M2) пересечения этой линии с плоскостью основания. Далее проводим из точки M касательные к основанию конуса, применив метод дополнительного ортогонального проецирования. Отмечаем проекции точек касания 1 и 2, через которые проводим образующие конуса S1и S2. Очевидно, что эти образующие являются линиями касания искомых плоскостей с поверхностью конуса и вместе с проведенной ранее прямой
SB определяют эти плоскости.
16
4
14
M4
O4
x24
4
24
22
M2
12
O2
B2
S2
x12
1
21
S1
O1
1
B1
11
M1
Рис. 20
2.3. Плоскости, касательные к поверхности конуса
и параллельные данной прямой
Для решения задачи необходимо через вершину конуса провести прямую линию,
параллельную заданной, и найти точку пересечения ее с плоскостью основания конуса.
Искомые плоскости определятся касательными, проведенными из найденной точки, и образующими, по которым происходит касание. Задача имеет два решения, если точка пересечения проведенной через вершину конуса линии не окажется в пределах контура его основания. В противном случае задача решения не имеет.
На чертеже (рис. 21) приведено решение этой задачи для случая, когда основание
конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций.
Решение начинаем с проведения линии l через вершину конуса параллельно данной
линии t с последующим определением точки M (M1, M2) пересечения ее с плоскостью основания конуса. Из точки M далее проводим касательные к основанию конуса через точки
касания 1 и 2, а через них к вершине конуса проводим образующие S1 и S2 – линии касания искомых плоскостей с конической поверхностью. Таким образом, сами касательные
плоскости будут определяться треугольниками: △(M S1) и △(M S2), что позволяет перейти к другим вариантам их задания.
17
S2
t2
O2 12
x12
1
22
M2
11
M1
O1
t1
21
S1
1
Рис. 21
2.4. Плоскости, касательные к поверхности конуса
и проходящие через данную прямую линию
Эта задача может быть решена в том случае, если заданная прямая проходит через
вершину конуса, а точка пересечения ее с плоскостью основания не располагается в пределах контура, ограниченного этим основанием, т. е. если заданная прямая не находится
внутри конуса.
Решается задача так же, как задача на проведение касательной плоскости параллельно заданному направлению.
2.5. Плоскости, касательные к поверхности конуса
и параллельные данной плоскости
Решение этой задачи возможно только в том случае, если заданная плоскость параллельна одной (и только одной) образующей. Кроме того, эта плоскость должна быть
параллельной прямым, проведенным через любую точку указанной образующей, и касательным к кривой линии на поверхности конуса, проходящей через эту точку.
Решение задачи сводится, таким образом, к проведению касательной плоскости
к конической поверхности через ту ее образующую, которая параллельна заданной плоскости. Руководствоваться следует известным условием параллельности двух плоскостей:
две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой.
18
3. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Любая плоскость, касательная к поверхности цилиндра, должна быть параллельна
его оси, а следовательно, и всем его образующим.
3.1. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра в данной на ней точке
При данных условиях можно провести только одну плоскость.
Пусть задан цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости
проекций, и точка A (A1, A2) на его поверхности (рис. 22).
a2
A2
x12
N2
h2 f 1
M2
f2
N1
O2
M1
h1
O1
A1
a1
Рис. 22
Решение представляется в следующем виде. Выделяем образующую a, на которой
находится данная точка A, и находим точку M пересечения ее с плоскостью П1. Через точку проводится касательная h к основанию конуса – линия пересечения искомой плоскости
с горизонтальной плоскостью проекций; искомая плоскость определена образующей и касательной, т. е. τ (a, h). Находим пересечение касательной плоскости с фронтальной плоскостью проекций – линию f, и переходим к заданию искомой плоскости линиями уровня –
τ (h, f).
Задача № 6. Провести плоскость, касательную к поверхности цилиндра, через данную на его поверхности точку. Плоскость основания параллельна фронтальной плоскости
проекций.
Решение задачи приведено на чертеже (рис. 23) и состоит в следующем. Через данную на поверхности цилиндра точку A проводится образующая a; точка 1 является пересечением ее с плоскостью основания. Искомая касательная плоскость определится образующей a и касательной m к основанию цилиндра, проведенной через точку 1, т. е. τ (a, h).
19
Для нахождения линий пересечения этой плоскости с плоскостями проекций воспользовались точками 2 и 3 и перешли к заданию ее линиями уровня – τ (h, f).
O2
a2
12
f2
m2
A2
x12
h2 f 1
32
11
22
O1
m1
21
h1
A1
a1
31
Рис. 23
3.2. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра
и проходящие через внешнюю точку
Через данную внешнюю точку можно провести две плоскости, касательные к цилиндру, которые пересекутся по прямой линии, параллельной образующим цилиндра
и проходящей через данную точку.
Таким образом, целесообразно предварительно провести через данную внешнюю
точку линию параллельно оси цилиндра и найти точку пересечения ее с плоскостью основания. На чертеже (рис. 24) через внешнюю точку B проведена линия b параллельно оси
цилиндра и определены точки M и N пересечения ее с плоскостями проекций. Поскольку
плоскость основания цилиндра лежит в горизонтальной плоскости проекций, из точки M1
проведены две касательные к основанию цилиндра, которые будут являться горизонталями искомых плоскостей h и h´; фронтали f и f´ и этих плоскостей пройдут через точку N
и через точки 3 и 4 соответственно. Таким образом, искомые касательные плоскости
определены своими линиями уровня.
3.3. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра
и параллельные данной прямой линии
Параллельно данной прямой линии можно провести две плоскости, касательные
к цилиндру. Каждая из этих плоскостей должна быть также параллельна и оси цилиндра.
Поэтому для их построения предварительно построим плоскость, параллельную искомой,
20
но не касающуюся цилиндра. Эта плоскость может быть определена осью цилиндра и линией, параллельной данной прямой.
N2
b2
B2
a2


b2

h2 f 1h2 f 1
x12
O2
12
N1
f2
4142
M2
22
B1
3132

b1
M1
h1
a1
f2


h1
11
O1
b1
21
Рис. 24
S2
N2
f2
t2
х12
f' 2
M2
m2
O2
3132
h' 1
S1
t1
21
h1
O1
11
m1
M1
Рис. 25
h2f 1 h'2 f' 1
N1
12
22
21
4142
На чертеже (рис. 25) приведены проекции цилиндра и прямой t, параллельно которой требуется провести плоскости, касательные к цилиндру. Решение задачи начинаем
с построения указанной выше направляющей плоскости α, определяемой осью SO цилиндра и прямой SM, проведенной параллельно заданной прямой t. Поскольку одно из оснований цилиндра лежит в горизонтальной плоскости проекций, направляющая m будет являться горизонталью и определяться точками M и O. Горизонтали искомых плоскостей
будут ей параллельны и касаться окружности основания в точках 1 и 2. Образующие касания пройдут через эти точки параллельно оси цилиндра. Искомые плоскости будут определяться образующими и касательными. Для задания их линиями уровня найдем положение фронталей, воспользовавшись точками N, 3 и 4, как было продемонстрировано выше.
3.4. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра
и проходящие через данную прямую линию
Решение этой задачи возможно, если данная прямая параллельна образующим или
если она касается цилиндра. В обоих случаях решения этой задачи являются частными
случаями уже рассмотренных.
3.5. Плоскости, касательные к цилиндрической поверхности
и параллельные данной плоскости
Решение задачи возможно только тогда, когда данная плоскость параллельна оси
цилиндра. Ход решения аналогичен исследованному выше.
22
Рекомендуемая литература
1. Бубенников И. Я. Начертательная геометрия / И. Я. Бубенников. – М. : Высшая школа, 1985.
2. Крылов Н. Н. Начертательная геометрия / Н. Н. Крылов. – М. : Высшая школа, 2001.
3. Русскевич Н. Л. Начертательная геометрия / Н. Л. Русскевич. – Киев : Будiвельник, 1970.
23
Оглавление
Основные положения………………………………………………………………………………………..
1. Плоскости, касательные к сфере………………………………………………………………………
1.1. Плоскости, касательные к сфере в данной на ней точке………………………………………
1.2. Плоскости, касательные к сфере и проходящие через внешнюю точку……………………..
1.3. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной прямой……………………………
1.4. Плоскости, касательные к сфере и проходящие через заданную прямую линию.…………..
1.5. Плоскости, касательные к сфере и параллельные данной плоскости………………………..
2. Плоскости, касательные к поверхности конуса……………………………………………………..
2.1. Плоскости, касательные к поверхности конуса в данной на ней точке………………………
2.2. Плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через данную
внешнюю точку……………………………………………………………………………………….
2.3. Плоскости, касательные к поверхности конуса и параллельные данной прямой…………...
2.4. Плоскости, касательные к поверхности конуса и проходящие через данную
прямую линию………………………………………………………………………………………...
2.5. Плоскости, касательные к поверхности конуса и параллельные данной плоскости………..
3. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра………………………………………………….
3.1. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра в данной на ней точке…………………...
3.2. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра и проходящие через внешнюю
точку…………………………………………………………………………………………………...
3.3. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра и параллельные данной прямой
линии…………………………………………………………………………………………………..
3.4. Плоскости, касательные к поверхности цилиндра и проходящие через данную
прямую линию………………………………………………………………………………………...
3.5. Плоскости, касательные к цилиндрической поверхности и параллельные данной
плоскости……………………………………………………………………………………………...
Рекомендуемая литература………………………………………………………………………………….
24
3
6
6
6
7
9
10
12
12
15
17
18
18
19
19
20
20
22
22
23
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
618 Кб
Теги
nachert, shuvalov, kasap, plosk
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа