close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Prokofjeva Solovyeva Varianty dom zad

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Факультет городского строительства и ЖКХ
Кафедра математики
С. И. ПРОКОФЬЕВА, О. В. СОЛОВЬЕВА
ВАРИАНТЫ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ
Методические указания
Санкт-Петербург
2012
1
ВАРИАНТ 1
УДК 514.122.1/.2
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (БГТУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент Л. В. Коновалова (СПбГАСУ)
Варианты домашнего задания по аналитической геометрии
и векторной алгебре: метод. указания / С. И. Прокофьева,
О. В. Соловьева; СПбГАСУ. – СПб., 2012. – 56 с.
Приведены варианты домашнего индивидуального задания на темы:
прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, векторная алгебра,
аналитическая геометрия в пространстве. Даются решения двух типичных
вариантов с подробным объяснением и рисунками.
Предназначены для студентов всех специальностей и всех форм
обучения
1. Составить уравнения сторон треугольника ABC , зная две его
о
вершины A(3; 4), B(1; 1) и точку пересечения медиан M (1; 2).
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 − 3 x + 10 y + 16 = 0;
б) 2 x 2 + 5 y 2 − 4 x + 15 y − 17,75 = 0;
в) x 2 − 4 y 2 − 2 x + 8 y − 7 = 0.
3. Дана парабола x 2 − 10 x − 4 y = 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через ее вершину параллельно прямой y = x − 1 .
4. Найти угол между асимптотой гиперболы x 2 − y 2 = 32 , проходящей через I и III квадранты, и прямой, соединяющий фокус пара2
2
болы x 2 + 16 y = 0 и центр окружности x + y + 4 x − 2 y = 0 .
(
Ил. 12. Библиогр: 6 назв.
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0; 2;1), B(3;1; 2), C (−1; − 1; 2) заданы в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x +1 y − 2 z
= и перпендикулярной плоскости 3 x + y − z + 2 = 0 .
=
3
−1
4
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
A(3; 0; − 1), B(1; 2; − 4), C (0; 7; − 2) .
 Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2012
2
3
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 3
1. Найти вершины равнобедренного треугольника, если даны
вершина прямого угла A(3; 1) и уравнение гипотенузы 3 x − y + 2 = 0 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: x + y − 1 = 0
и 3 x − y + 4 = 0 и точка пересечения его диагоналей (3; 3) . Найти уравнения двух других сторон.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2 + 8 x − 2 y + 14 = 0;
а) y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0;
б) x 2 − 9 y 2 + 4 x + 36 y − 41 = 0;
в) x 2 + 6 x + y 2 + 4 y − 3 = 0.
3. Эллипс касается оси абсцисс в точке A(3; 0) и оси ординатт
в точке B (0; − 4) . Составить уравнение этого эллипса, зная, что егоо
оси симметрии параллельны координатным осям.
4. Написать уравнение окружности с центром в фокусе параболы y 2 + 4 x = 0 и радиусом, равным фокусному расстоянию гипербо2
2
лы 7 x − 9 y − 63 = 0 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(2; 5; − 1), B(2; 4; 2), C (5; 3; 0) заданы в декартовой системе координат.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
A(1; 1; 0), B(2; 0; 3), C (0; −1; 2) .
x −2 y +2 z +5
=
=
7. Найти угол между прямой
и плоскостью
3
−1
3
2 x + 3 y − 1,5z = 7 .
4
б) 4 x 2 + 8 x + 4 y 2 − 20 = 0;
в) x 2 − 3 y 2 + 6 x − 12 y − 39 = 0.
3. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его большой оси соответственно равны 7 и 1. Составить уравнение этого эллипса.
4. Найти точку, симметричную центру окружности
x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 19 = 0 относительно прямой, соединяющей правый
фокус гиперболы x 2 − 3 y 2 − 3 = 0 с фокусом параболы x 2 + 16 y = 0 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(1; 3; 4), B(2; 2; − 1), C (−1; 0; 2) заданы в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
3 x − y + 2 z − 9 = 0
.
M (2; 3; − 5) параллельно прямой 
x + 3y − 2z + 3 = 0
7. Составить уравнение плоскости, в которой лежат прямые
x =t−2
x + 2 y − 3 z +1 
=
=
и  y =t+3.
1
2
0
 z = 2t − 1

5
ВАРИАНТ 4
ВАРИАНТ 5
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(5; 2)
на расстоянии 4 единиц от точки B (−3;1) .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2 − 2 y 2 − 4 x − 4 y − 2 = 0;
1. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y = x − 2
и 5 y = x + 6 . Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2 − y 2 − 4 x + 2 y + 2 = 0;
б) x 2 − 2 x + y 2 + y − 4 = 0;
б) 9 x 2 + 16 y 2 + 90 x + 32 y − 376 = 0;
в) x 2 + 2 x + 2 y − 5 = 0.
x2 y 2
+
= 1 до
3. Найти расстояние от левого фокуса эллипса
25 16
центра окружности x 2 + y 2 − 2 x + 4 y = 0 .
4. Написать уравнения прямых, проходящих через вершину па-
в) x 2 + 3 y − 6 x = −3.
3. Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями y = ±
5
x , а один из фокусов находится в точкее
12
раболы y 2 − 4 y − 8 x − 4 = 0 и параллельных асимптотам гиперболы
(−13; 0) .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
x 2 − 9 y 2 = 16 .
y 2 − 8 x = 0 , параллельно прямой, соединяющей левый фокус и ниж-
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0;1;1), B(2;1; 0), C ( −1; 5; 6) заданы
в декартовой системе координат.
6. Доказать параллельность прямых:
 x = 2t + 5
x + 3y + z + 2 = 0

.
 y = −t + 2 и 
−
−
−
=
x
y
3
z
2
0

 z =t −7

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1; − 1; 1) и параллельной прямым:
нюю вершину эллипса x 2 + 10 y 2 = 10 .
(
)
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(1;1; − 1), B(2;1; 0), C (1; 2;1) заданы
в декартовой системе координат.
 3x − 2 y + z + 3 = 0
и плоскостью
6. Найти угол между прямой 
4 x − 3 y + 4 z + 1 = 0
2x − y + 5z − 2 = 0 .
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
A(2; − 1; 3), B (−1; 0; 2), C (−2;1; 3) .
 x = 2t − 2
x − 2 y +1 z + 3 
=
=
и  y = t +1 .
0
2
1
 z=4

6
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
7
ВАРИАНТ 7
ВАРИАНТ 6
1. Найти точку B , симметричную точке A(8; 12) относительно
прямой x − 2 y + 6 = 0 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Середины сторон треугольника находятся в точках (1; 2) , (7; 4)
и (3; − 4) . Найти уравнение сторон.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3 y 2 + 5 x + 6 y = −13;
а) 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 12 y = −8;
б) x 2 + 2 y 2 − 8 x − 4 y = 0;
б) 7 y 2 + 3 x − 28 y + 10 = 0;
в) x 2 − y 2 + 2 x + 4 y = 4.
3. Написать уравнение равнобочной гиперболы, один из фоку2
2
сов которой совпадает с центром окружности x + y − 12 x = 0 .
4. Вывести уравнение прямой, проходящей через фокус пара-
болы y 2 − 8 x = 0 , перпендикулярно прямой, проходящей через левый
фокус эллипса x 2 + 10 y 2 = 10 и центр окружности x 2 + y 2 + 2 y = 0 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(3; 2;1), B (1; 2; 3), C (0;1; 2) заданы
в декартовой системе координат.
6. Найти проекцию точки P (2; − 1; 3) на плоскость
4 x − 3 y + 2z − 5 = 0 .
7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
 x = 2t + 3

 y =t−4
 z = −t + 2

и проходящей через точку пересечения прямых
в) x 2 − y 2 + 4 x − 6 y − 9 = 0.
3. Найти каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой являются прямые линии y = ± x , а фокусы совпадают с фокуса-
x2 y 2
+
= 1.
64 28
4. Написать уравнение прямой, проходящей через фокус пара-
ми эллипса
болы x 2 + 20 y = 0 и центр окружности x 2 + y 2 − 2 x = 0 .
(
)
 x+ y+ z−4=0
 x− y+ z−4=0
и 
.

2 x + 3 y − z − 6 = 0
2 x + y − 2 z + 5 = 0
7. Найти проекцию точки P (5; 2; − 1)
2 x − y + 3z + 23 = 0 .
x −1 y z +1
= =
2
3 −1
 x =1

и  y=t .
 z = −2 t − 1

8
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0;1; − 1), B (2; 0;1), C (1;1;1) заданы
в декартовой системе координат.
6. Найти угол между прямыми:
9
на
плоскость
ВАРИАНТ 8
ВАРИАНТ 9
1. Даны координаты двух вершин ромба A(0; 2) и B (4; 0) и уравнение диагонали x + y − 4 = 0 . Найти координаты остальных вершин.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. На прямой x + 3 y = 9 найти точку, равноудаленную от начала
координат и от прямой x + 3 y − 2 = 0 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3 x 2 − 4 y 2 + 12 x + 8 y − 4 = 0;
а) x 2 + 2 y 2 − 2 x + 8 y + 5 = 0;
б) 5 x 2 + 4 y 2 + 16 y − 36 = 0;
б) y 2 + 18 x − 14 y − 29 = 0;
в) y 2 + 4 y + 2 x = 0.
3. Составить уравнение окружности, проходящей через начало
координат, если ее центр совпадает с левым фокусом эллипса
x2 y 2
+
= 1.
36 27
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
x2 y2
−
= 1 , котооy 2 = −12 x параллельно той асимптоте гиперболы
25 144
рая проходит через II и IV квадранты.
(
[
)
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0;1; − 1), B (1; 0; 2), C (3; 2;1) заданы
в декартовой системе координат.
6. Определить косинус угла между прямыми
 x − 6 y − 6z + 2 = 0
 x − y − 4z − 5 = 0
и 

2 x + 2 y + 9 z − 1 = 0
2 x + y − 2 z − 4 = 0
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
P (4; − 3;1) и параллельной прямым
в) 2 x 2 − y 2 + 12 x + 2 y + 15 = 0.
3. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
2
2
y 2 + 16 x = 0 и центр окружности x + y = 8 y . Сделать чертеж.
4. Найти уравнение прямой, проходящей через правый фокус
2
2
эллипса 16 x + 25 y = 400 параллельно той асимптоте гиперболы
x2 y 2
−
= 1, которая проходит через II и IV квадранты.
36 64
(
)
2 x + 3 y + z − 6 = 0
и параллельной прямой 
.
4 x − 5 y − z + 2 = 0
x +1 y − 3 z − 4
x y
z
=
=
= =
.
и
6 2 −3
5
4
2
10
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(3; 2; − 1), B(0;1; 0), C (−1;1;1) заданы в декартовой системе координат.
6. Найти угол между плоскостями 4 x − 5 y + 3 z − 1 = 0
и x − 4y − z + 9 = 0.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (0;1; − 3)
11
ВАРИАНТ 10
ВАРИАНТ 11
1. Найти уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин (3; 4 ) и уравнения двух высот 7 x − 2 y = 1 и 2 x − 7 y = 6 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Даны координаты вершин ромба C (2; 4) и D(−2; 6 ) и уравнение одной диагонали x − y + 2 = 0 . Найти уравнения сторон.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 + x − 4 y + 2 = 0;
а) x 2 − 8 x − 3 y + 19 = 0;
б) x 2 + 6 x + y 2 + 4 y − 3 = 0;
б) x 2 + 4 y 2 − 8 y − 8 = 0;
в) y 2 − 8 y + 3 x 2 + 6 x − 17 = 0.
в) 4 x 2 − y 2 + 6 y − 13 = 0.
3. Найти острый угол между прямой, соединяющей правый фо-
3. Найти острый угол между директрисой параболы y 2 + 16 x = 0
x2 y 2
+
= 1 с точкой A(0; 4 ) и асимптотой гиперболы
кус эллипса
лы
64 28
x 2 − y 2 = 72 , проходящей в I и III координатных углах.
4. Составить каноническое уравнение параболы с вершиной
в точке A(1;1) и директрисой x + 4 = 0 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(1;1; − 1), B(2;1; − 1), C (−1; 0;1) заданы в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 3 = 0 .
7. Показать, что прямая
x +1 y +1 z − 3
=
=
параллельна плоско2
−1
3
сти 2 x + y − z = 0 .
и прямой, соединяющей левый фокус гиперболы x 2 − y 2 = 8 с центром окружности x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0 .
4. Найти каноническое уравнение эллипса, если его малая полуось равна радиусу окружности x 2 + y 2 = 2 y , а правый фокус совпадает с центром другой окружности x 2 + y 2 − 6 x − 16 = 0 .
(
[
]
ния векторов. Координаты точек A(1;1;1), B(2; 3; 4), C (3; 2; 3) заданы
в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 1 (3; − 1; 2 ) , M 2 (4; − 1; − 1) и M 3 (2; 0; 2) .
7. Найти угол между прямыми
x + 2 y −1 z + 3
=
=
−1
5
2
12
)
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведе-
и
 x = 2t − 1

 y = −t + 2 .
 z =t+4

13
ВАРИАНТ 12
ВАРИАНТ 13
1. В треугольнике ABC даны: уравнение стороны AB :
ты
3 x + 2 y = 12 , уравнение высоты BK : x + 2 y = 4 , уравнение высоты
ты.
AL : 4 x + y = 6 . Написать уравнения сторон AC , BC и третьей высоты.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Найти уравнение прямой, лежащей посередине между прямыми 3x + 2 y = 5 и 6 x + 4 y + 3 = 0 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) 4 x 2 − 9 y 2 + 16 x + 54 y = 101;
а) 2 x 2 + 3 y 2 + 4 x − 12 y = −8;
б) 3 x 2 + 5 y + 6 x + 13 = 0;
б) y 2 − 6 x + 14 y + 49 = 0;
в) 2 x 2 − 4 x + 2 y 2 − 8 y = 15.
3. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцентри-
в) 4 x 2 − 9 y 2 + 16 x + 18 y − 29 = 0.
3. Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через
точку M (8; 0) , если один из его фокусов находится в точке A(− 6; 0) .
2
2
4. Через центр окружности x + y − 6 x + 4 y − 3 = 0 провести
прямую, параллельную прямой, соединяющей фокус параболы
x 2 − 4 y = 0 и левый фокус гиперболы
(
)
x2 y 2
−
= 1.
64 36
[
]
 3x + y − 5z + 1 = 0
.

2 x + 3 y − 8 z + 3 = 0
7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
M (2; −1;1) перпендикулярно двум плоскостям 2 x − z + 1 = 0 и y = 0 .
и
14
3
и эллипс проходит через точку M 4 2 ; 14 .
4
(
)
4. Найти проекцию левого фокуса гиперболы x 2 − y 2 = 72 на
прямую, соединяющую фокус параболы x 2 + 16 y = 0 с центром окружности x 2 + y 2 = 4 x .
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0; 0; 2), B (2; 1; − 1), C (−1; 1; − 1) заданы в декартовой системе координат.
6. Доказать перпендикулярность прямых
x y −1 z
=
=
1 −2 3
ситет равен
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(1; − 1;1), B(3; 2;1), C ( −2; 3; − 1) заданы в декартовой системе координат.
 x = 3t − 2
 x = 2t − 1


6. Найти тупой угол между прямыми:  y = 0 и  y = 0 .
 z = −t + 3
 z =t −3


7. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку M (3;1; − 2) и через прямую
x −1 y − 3 z
=
= .
5
2
1
15
ВАРИАНТ 14
ВАРИАНТ 15
1. Даны точки A(− 2; 0) и B(2; − 2) . На отрезкее OA , где O (0; 0 ) ,
построен параллелограмм OACD , диагонали которого пересекаются
в точке B . Написать уравнение сторон и диагоналей параллелограмма и найти угол CAD .
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Найти точку, симметричную точке (5; 7) относительно прямой x + 2 y = 4 .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3 x 2 + 4 y 2 − 18 x + 8 y = 5;
б) y 2 − 2 x + 4 y + 2 = 0;
в) 3 x 2 − 2 y 2 − 6 x − 3 = 0.
3. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах, а вершины в фокусах эллипса
x2 y2
+
= 1.
100 64
2
4. Найти расстояние от фокуса параболы x + 20 y = 0 до пря-
мой, соединяющей центр окружности x 2 + y 2 = 2 x с точкой A(0; 5) .
5. Найти скалярное
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
произвее-
дения векторов. Координаты точек A(3;1; − 1), B (0; 2; 3), C (−1; 0; − 1)
заданы в декартовой системе координат.
6. Найти проекцию точки P(1; − 2;1) на плоскость
x − 2 y + 3z − 5 = 0 .
7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
x − 2 y − 3 z +1
=
=
и пересекающей плоскость x − 3 y + z = 7 в той
ой
−1
3
2
же точке, что ось OX .
16
а) x 2 − 4 x − 8 y = 12;
б) 4 x 2 − y 2 + 8 x + 2 y − 1 = 0;
в) 2 x 2 + 6 x + 3 y 2 − 12 y + 2,25 = 0.
3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е =
5
и один из фокусов F (5; 0 ) .
4
4. Через фокус параболы x 2 − 16 y = 0 провести прямую, перпендикулярно прямой, проходящей через центр окружности
2
2
x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 20 = 0 и левый фокус эллипса 4 x + 13 y = 52 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(2; 5; − 1), B (3; 4; 2), C (1; 2; − 1) заданы в декартовой системе координат.
6. Найти угол между плоскостями: 4 x − 3 y + 2 z − 1 = 0
и x + 2 y − 2z − 3 = 0 .
7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
 x = −2t − 1

 y = t + 4 и проходящей через точку пересечения прямой
 z = −t + 1

x −1 y z +1
= =
с плоскостью x − y − 2 z + 4 = 0 .
−1
2
3
17
ВАРИАНТ 16
ВАРИАНТ 17
1. Даны две противоположные вершины квадрата A(−5; 2)
и C (3; − 4) . Составить уравнения его сторон.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. В равнобедренном треугольнике известны: уравнение основания x − 2 y + 3 = 0 ; уравнение одной из боковых сторон
а) x 2 − 4 x + 8 y = 12 ;
б) 5 x 2 + 9 y 2 + 30 x + 18 y + 9 = 0 ;
в) 3x 2 + 15 x − 3 y 2 − 6 y = 6,75.
3. Найти каноническое уравнение эллипса, если его эксцентри4
ситет равен и малая полуось равна 6 .
5
проходящей через центр окружности x 2 + y 2 − 4 y = 0 параллельно
прямой, соединяющей точки A(1; 3) и B (−3; 5) .
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
произвее-
дения векторов. Координаты точек A(3; 1; 2) , B (2; 3; 3) , C (1; 2; 1) заданы в декартовой системе координат.
6. Найти угол между плоскостями
x − 2 y + 4z = 5
и 2 x + 4 y − 3z = 2 .
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M (1; 2; − 3)
параллельно
прямым
x+5 y −2 z +3
=
=
.
3
−2
−1
а) y 2 + x − 4 y + 2 = 0 ;
б) x 2 + 16 y 2 − 6 x + 96 y + 137 = 0 ;
в) x 2 − y 2 − 4 x − 6 y − 21 = 0.
4. Найти расстояние от фокуса параболы y 2 + 4 x = 0 до прямой,
5. Найти скалярное
 6 28 
4 x + y + 5 = 0 ; точка  ;  на другой боковой стороне. Найти рас5 5 
стояние боковой стороны от противолежащей вершины.
2. Привести к каноническому виду и построить:
x −1 y +1 z − 7
=
=
;
2
−3
3
3. Через центр окружности x 2 − 6 x + y 2 − 10 = 0 провести прямую, параллельную той асимптоте гиперболы
x2 y 2
−
= 1, которая
4
9
проходит через второй и четвертый квадранты.
4. Найти точку, симметричную с центром окружности
x 2 + y 2 + 4 x + 8 y + 19 = 0 относительно прямой, соединяющей левый
фокус эллипса x 2 + 5 y 2 − 5 = 0 с фокусом параболы x 2 + 8 y = 0 .
5. Найти скалярное
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
произвее-
дения векторов. Координаты точек A(2; 5; − 1), B (3; 4; 2), C (1; 2; − 1)
заданы в декартовой системе координат
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости x − y + z = 1 с прямыми x = y = 2( z + 1) ,
3( x − 1) = 2 y = z .
7. Написать уравнение прямой, перпендикулярной плоскости
2 x − 3 y + 4 z = 10 и пересекающей ее в точке с абсциссой 2 и ординатой 4.
18
19
ВАРИАНТ 18
ВАРИАНТ 19
1. Даны две вершины треугольника A(2; − 3) и B (5; 1), уравнения стороны ВС x + 2 y = 7 и медианы AM 5 x − y = 13 . Составить
уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону AB, и вычислить ее длину.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. В прямоугольном треугольнике даны уравнения катета
2 x − y − 5 = 0 , уравнение высоты, опущенной из прямого угла
x − y − 3 = 0 , и вершина (−4; 2) . Найти другие вершины.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2 − 2 y 2 − 4 x − 4 y = 2 ;
а) 3 x 2 + 4 y 2 − 18 x − 8 y − 5 = 0 ;
б) x 2 + 4 x − 8 y − 5 = 0 ;
б) 3 x 2 − 18 x − 3 y = 0 ;
в) 4 x 2 − 16 x − 4 y 2 + 8 y + 11 = 0. .
3. Составить каноническое уравнение параболы, если известно
уравнение ее директрисы x − 7 = 0 и фокус F (−7; 0) .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через центр окружности x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 параллельно прямой, соединяющей фокус параболы x 2 − 4 y = 0 с левым фокусом гиперболы
(
)
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
2
2
x
y
−
= 1.
64 36
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(3; 2;1), B (1; 2; 3), C (0;1; 2) заданы
в декартовой системе координат.
6. Точка P (1; 2; −3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой
плоскости.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
2 x + 3 y + z − 6 = 0
.
N (5; − 1; − 3) и параллельной прямой 
4 x − 5 y − z + 2 = 0
20
в) 3 x 2 + 9 x + y 2 − 4 y − 1,25 = 0 .
3. Найти уравнения прямой, параллельной прямой, проходящей
через фокус параболы
2
y2 + 4x = 0
и центр окружности
2
x + y + 4x − 8 y + 3 = 0 .
4. Найти каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
совпадают с вершинами гиперболы
ся в фокусах этой гиперболы.
5. Найти скалярное
x2 y2
−
= 1, а вершины находят144 25
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
произвее-
дения векторов. Координаты точек A(1; − 1; 0) , B (2; 3; 4) , C (3; 0; − 1)
заданы в декартовой системе координат.
6. Точка P (2; − 1; − 1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой
плоскости.
 x = 4t + 2

x − 2 y + 3 z −1
=
=
и  y = −2t
7. Проверить, что прямые
2
0
−1
 z = 8t + 7

перпендикулярны.
21
ВАРИАНТ 20
ВАРИАНТ 21
1. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 2 x − y + 8 = 0 и x − 2 y = 12 и точкаа (4; 0) на основании. Найти
уравнение основания.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. В треугольнике ABC известны: сторона AB 4 x + y = 12 ; высота BM 5 x − 4 y = 15 ; высотаа AN 2 x + 2 y = 9 . Найти уравнения двух
ух
других сторон и третьей высоты.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 + 4 x + 2 y − 7 = 0 ;
а) y 2 + 6 x − 8 y + 22 = 0 ;
б) 16 x 2 + 4 y 2 + 32 x + 16 y − 32 = 0 ;
б) x 2 − y 2 + 4 x − 4 y + 7 = 0 ;
в) x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 4 = 0 .
в) 4 x 2 + 16 y 2 − 8 x + 32 y − 44 = 0 .
3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если уравне-
3. Через левый фокус эллипса x 2 + 10 y 2 = 10 провести прямую,
x2 y 2
−
= 1 , проходящей
перпендикулярную асимптоте гиперболы
9 16
через I и III квадранты.
4. Парабола симметрична относительно оси X , вершина ее
помещается в точке (−5;0) , и на оси ординат она отсекает хорду, длина которой l = 12 . Написать уравнение этой параболы.
(
)
[
]
е5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(3; 2;1) , B(4; 3; 0) , C (2; − 1; 5) заданы в декартовой системе координат.
6. Определить
угол
между
прямыми
x − 2 y + z = 3

x + z = 0
3 x + y − 4 z = 1
и
.
− x + 5 y + z = 2
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
5
ние одной из ее асимптот y = − x , а ее мнимая полуось равна 15.
3
4. Через фокус параболы x =
кулярную той асимптоте гиперболы
имеют разные знаки.
(
)
x2 y 2
−
= 1, вдоль которой x и y
25 16
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(2; − 5; 3) , B (4; 4; 7) , C (3; 3;1) заданы в декартовой системе координат.
6. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
P (3; 2;1) на плоскость 2 x + 3 y − z = 0 .
7. Найти координаты точки, симметричной точке A(1; − 1; 2) относительно плоскости x + 2 y − z = 3 .
x − 2 y +1 z −1
=
=
и точку (1; 1; − 2) .
−2
2
−1
22
1 2
y провести прямую, перпенди6
23
ВАРИАНТ 23
ВАРИАНТ 22
1. Даны две вершины треугольника A(2; − 3) и B (5; 1) : уравнения стороны BC x + 2 y = 7 и медианы AM 5 x − y = 13 . Составить
уравнение высоты, опущенной из вершины C на сторону AB и вычислить ее длину.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 + 8 x + 8 y = 0 ;
а) x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 3 = 0 ;
б) x 2 − y 2 + 8 x − 2 y + 16 = 0;
б) 2 y 2 − 6 y − 9 x − 4,5 = 0 ;
в) 9 x 2 + 4 y 2 + 72 x + 32 y = 172 .
3. Пусть A – точка пересечения прямых x = y и 2 x + y − 15 = 0 ,
в) 5 x 2 − 4 y 2 + 16 y − 36 = 0 .
3. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
2
1. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 3 x + y = 0 и x − 3 y = 0 и точкаа (5; 0) на его основании. Найти
периметр и площадь треугольника.
2. Привести к каноническому виду и построить:
2
x
y
+
= 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриси25 9
тет ε = 2.
4. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус со-
впадает с левым фокусом гиперболы 25 x 2 − 144 y 2 = 3600.
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(2; − 5; 3) , B(4, 4, 7) , C (3; 3;1) заданы в декартовой системе координат.
6. Даны точки M (0; − 1; 3), N (1; 3; 5) . Написать уравнение плосскости, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой MN .
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x =
y + 2 z −3
y +1 z − 2
=
.
=
и x=
3
−2
−2
3
24
x2 y 2
+
= 1. Найти окружность, для коо16 7
торой отрезок AB служит диаметром.
4. Найти уравнение прямой, проходящей через вершину пара-
а B – правый фокус эллипса
2
болы y = x − 4 x перпендикулярно прямой, соединяющей точкуу
A(1; 2) с левым фокусом гиперболы x 2 − y 2 = 8 .
5. Найти скалярное
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
произвее-
дения векторов. Координаты точек A(2; 0; 3) , B (1; − 2; 7) , C (2; 5; 0) заданы в декартовой системе координат.
6. Найти проекцию точки M (1; 2; 3) на плоскость
4 x − 5 y − 8 z + 21 = 0 .
7. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям 2 x + 5 y − 3z = 5,− x + 7 y − 4 z = 6 и проходящей через начало координат.
25
ВАРИАНТ 24
ВАРИАНТ 25
1. Даны две вершины треугольника (2; 2) и (3; 0) и точка пересечения его медиан (3; 1) . Найти третью вершину..
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения
его сторон AB : x − 3 y + 3 = 0 , AC : x + 3 y + 3 = 0 и основание D (−1; 3)
высоты AD .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 + 4 x + 2 y + 5 = 0 ;
а) x 2 + 5 y + 6 x − 6 = 0 ;
б) x 2 + 16 y 2 − 6 x − 64 y + 57 = 0 ;
2
б) 2 x 2 − y 2 + 8 x + 2 y − 1 = 0;
2
в) x − 2 x − y + 8 y = 16.
3. Эллипс проходит через точки M ( 3; − 2) и N (−2 3; 1) . Составить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.
4. Найти
расстояние
от
центра
окружности
x 2 + y 2 + 4 x + 6 y + 9 = 0 до прямой, проходящей через фокус параболы y 2 = 12 x , и параллельной прямой, соединяющей точки A(−1; 6)
и B (5; 2) .
(
)
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(5; 2; 3) , B (4; − 1; 0) , C (2; 4; 5) заданы в декартовой системе координат.
6. Доказать параллельность прямых:
 x + y − 3z + 1 = 0
x + 2 y − 5z − 1 = 0
и
.


x − y + z + 3 = 0
 x − 2 y + 3z − 9 = 0
7. Найти уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и перпендикулярной плоскостям x − y + z − 7 = 0
и 3 x + 2 y − 12 z + 5 = 0 .
в) 4 x 2 + 16 y 2 − 8 x + 128 y + 196 = 0 .
3. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м.
Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая
по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого
троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что
трос имеет форму дуги параболы.
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
y 2 − 8 x = 0 , и параллельной прямой, проходящей через фокус и нижнюю вершину эллипса x 2 + 10 y 2 = 10 .
5. Найти скалярное
(AB, AC ) и векторное [AB, AC ]
дения векторов. Координаты точек A(5; 3; 1) , B(4; 2; 0) , C (−1; 2; 7) заданы в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение проекции прямой
x −1
z −3
= y +1 =
3
2
на плоскость XOY .
7. Составить уравнение плоскости, содержащей прямую
x + 2 y −1 z + 3
=
=
и проходящей через начало координат..
−2
2
0
26
произвее-
27
ВАРИАНТ 26
ВАРИАНТ 27
1. Даны две вершины треугольника A(−2; 1), B(2; 10) и точкаа
пересечения его высот M (3; 6) . Составить уравнения сторон треугольника.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Заданы вершины треугольника A(−4; 8) , B (2; − 5) , C (5; 0) .
Найти точку пересечения медианы BN с высотой AL .
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 − 3 x + 10 y + 16 = 0 ;
б) x 2 + 4 x + y 2 − 8 y − 5 = 0 ;
б) x 2 − y 2 − 6 x − 8 y − 16 = 0;
в) x 2 + 16 y 2 + 8 x + 96 y − 144 = 0 .
3. Зеркальная поверхность прожектора образована вращением
параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, глубина
10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить
источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он
должен быть в фокусе параболы?
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус эллипса
x 2 + 10 y 2 = 10 и перпендикулярной той асимптоте гиперболы
2
2
16 x − 9 y = 144 , которая проходит через I и III квадранты.
(
а) y 2 − 6 x + 2 y − 11 = 0 ;
)
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(2; 0; 1) , B (5; 3; 4) , C (−1; 2; 6) заданы в декартовой системе координат.
6. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
x +1 y − 3 z + 5
=
=
.
2
3
−1
7. Написать уравнение плоскости, содержащей начало координат и прямую 3( x − 1) = y = 2( z + 2) .
A(1; 3; − 2) на прямую
28
в) 3 x 2 − 4 y + 9 x + y 2 = 1,25
3. Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал
дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения.
Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.
4. Найти каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы
совпадают с вершинами эллипса
x2 y3
+
= 1 , а асимптоты проходят
40 3
через точку A(1; 3) .
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Коорой
динаты точек A(3; 4; − 2) , B (1; 2; 5) , C (0; 3; − 1) заданы в декартовой
системе координат.
6. Найти проекцию точки A(−1; 1; 2) на плоскость 2 x − y − z = 3 .
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения плоскости x + y − z = 1 с прямыми x = 2( y + 1) = z
и 3( x − 1) = 2 y = z .
29
ВАРИАНТ 28
ВАРИАНТ 29
1. В параллелограмме известны уравнения двух сторон: CD
2 x − y − 1 = 0 , x − 2 y + 10 = 0 и уравнение диагонали AC x + y − 5 = 0 .
Найти длину и уравнение высоты BN .
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x − 3 y + 8 = 0 ,
7 x − 5 y + 40 = 0 и его диагонали 5 x − 7 y + 8 = 0 . Составить уравнения
остальных сторон и второй диагонали.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) 3 x 2 + 10 x − 4 y + 33 = 0 ;
а) y 2 − 5 x + 6 y + 4 = 0 ;
б) 3x 2 + 7 y 2 − 14 y + 6 x − 11 = 0 ;
б) x 2 + y 2 − 6 x − 4 y + 12 = 0 ;
в) 5 x 2 + 15 x − 5 y 2 − 10 y − 13,75 = 0.
3. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму
параболы, параметр которой равен p = 0,1 м. Определить высоту
у
струи, если известно, что она попадает в бассейн на расстоянии 2 м от
места выхода.
4. Через левый фокус гиперболы x 2 − y 2 = 8 провести прямую,
параллельную прямой, проходящей через правую вершину эллипса
x2 y 2
+
= 1 и центр окружности x 2 + y 2 − 4 x + 10 y − 7 = 0 .
64 28
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек A(2; 0; 2) , B (3; − 1; 4) , C (2; 5; 1) заданы в декартовой системе координат.
6. Определить угол между прямыми:
x − 2 y + z = 3
3 x + y − 4 z = 1
и 
.

x + z = 0
− x + 5 y + z = 0
7. Написать уравнение плоскости, параллельной прямой
x +1 y − 3 z + 2
x +1 y − 3 z + 2
=
=
=
=
и прямой
и проходящей черезз
2
0
1
1
2
−1
начало координат.
30
в) x 2 − 16 y 2 + 2 x − 32 y − 31 = 0.
3. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр
этой параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота 6 м.
4. Найти острый угол между асимптотой гиперболы
x 2 − y 2 = 50 , проходящей через первый и третий квадранты, и пря-
x2
+ y 2 = 1 и центр окружмой, соединяющей левый фокус эллипса
10
2
2
ности x + y + 2 x − 6 y = 0 .
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек A(2; 3; − 3) , B (1; 2; 5) , C (2; − 1; 0) заданы в декартовой
ой
системе координат.
6. Из точки A(−1; 1; 3) опустить перпендикуляр на плоскость
2x − y − z = 3.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x − 2 y + z − 3 = 0
.
M (1; −2; 1) перпендикулярно к прямой 
x + y − z + 2 = 0
31
ВАРИАНТ 30
1. Даны вершины треугольника A(−2; 1) , B (1; − 1) и C (3; 5) . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины B на
медиану AD .
2. Привести к каноническому виду и построить:
ВАРИАНТ 31
1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника x − 3 y + 6 = 0 ,
3 x + y − 12 = 0 и точка пересечения его диагоналей E (7; 2) . Составить
уравнение двух других сторон прямоугольника.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить:
а) x 2 − 4 x + 5 y + 14 = 0 ;
а) x 2 + y 2 − 6 x − 8 y − 23 = 0;
б) 2 x 2 + 3 y 2 + 8 x − 12 y = 4 ;
б) x 2 + 4 x − 6 y = 0;
в) 3 x 2 + 15 x − 3 y 2 − 6 y + 12,75 = 0.
3. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние Земли от Солнца равно приблизительно 147,5 миллионов километров, а наибольшее 152,5 миллиона километров. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.
4. Найти каноническое уравнение параболы, если ее фокус со-
в) x 2 − y 2 + 8 y = 0.
3. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму
параболы, параметр которой равен p = 0,2 м. Определить высотуу
струи, если известно, что она попадает в бассейн на расстоянии 2 м от
места выхода.
x2 y2
−
= 1, а уравнение дивпадает с правым фокусом гиперболы
144 25
ректрисы x = −1.
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек A(2; 7; 0) , B (3; 4; −1) , C (5; 5; 5) заданы в декартовой системе координат.
6. Найти координаты точки, симметричной точке A(−1; 2; 1) относительно плоскости x + 2 y − 3 z = 6 .
прямую, перпендикулярную асимптоте гиперболы x 2 − 16 y 2 − 64 = 0 .
5. Найти скалярное и векторное произведение векторов, если
А(1; 0; 2) , В (−2; 1; 1) и С (3; 4; 0) .
7. Найти угол между прямой
2x − z = 7 .
4. Через центр окружности x 2 − 2 x + y 2 − 8 y + 1 = 0 провести
x + 2 y − 3 = 0
6. Найти угол между прямой 
и плоскостью XOZ .
2 x − y + 4 z = 1
7. Найти проекцию точки A(1; 1; 1) на плоскость 2 x − 3 y + 4 z = 1 .
x + 3 y − 3 z +1
=
=
и плоскостью
2
0
−1
32
33
ВАРИАНТ 32
ВАРИАНТ 33
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
A(1; − 2 3 ) под углом в 60° к прямой x + 5 3 y − 15 = 0 .
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить
кривую:
а) x 2 + 16 y 2 + 2 x − 32 y + 1 = 0 ;
в) x 2 − y 2 − 10 y − 31 = 0 .
3. Мост имеет форму параболы, при этом пролет арки в 90 м
имеет высоту 12 м. Найдите фокальный параметр арки.
4. Найдите уравнение прямой, проходящей через левый
гиперболы
x 2 − 16 y 2 − 32 = 0
и
центр
окружности
x2 + 4x + y 2 + 6 y = 0 .
5. Найдите скалярное произведение и векторное произведение
векторов если A(−1, −2, 4) , B (1; 4; 3) , C (−3; −2; 0) .
6. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А(2; 1; 4)
и прямую x = y − 1 = z − 6 .
x + 2 y − 2z = 1 x y + 1 z
= .
и =
7. Найти угол между прямыми 
2 −2 0
2 x − 3 z = 4
34
а) 4 х 2 − 16 х + 4 у 2 + 8 у − 5 = 0 ;
б) у 2 + 10 у − 8 х = 5 ;
б) x 2 + 6 x + 8 y + 1 = 0 ;
фокус
1. Найти точку, симметричную точке A(8; 12) относительно прямой х − 2 у + 6 = 0 .
2. Привести к каноническому виду уравнение и построить:
в) у 2 − 2 у − х 2 − 4 х = 0 .
3. Через центр окружности х 2 − 4 х + у 2 = 0 провести прямую,
параллельную одной из асимптот гиперболы у 2 − 2 у − х 2 − 8 х = 0 .
4. Написать уравнение параболы, если известны её фокус
F (−1; 4) и уравнение директрисы х = 6 .
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов
А(−4; 1; 5) , В (1; 0; 4) , С (−2; 1; 1) .
6. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой
2 х − у − z = 0
и проходящей через начало координат..

 x + 3 y + 3z = 2
7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(1; 1; 1)
перпендикулярно плоскости х − 3 z = 2 .
35
ВАРИАНТ 34
ВАРИАНТ 35
1. Провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми 2 x + y − 1 = 0 и x + 3 y + 2 = 0 , делился
1. Дана прямая 4 x + 3 y + 1 = 0 . Найти прямую, параллельную
данной и удаленную от на нее на расстояние, равное 3.
2. Привести к каноническому виду и построить:
в точке M (−1; 0) пополам.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) x 2 + 6 x − 4 y + 5 = 0;
а) y 2 + 2 x − 4 y + 2 = 0;
б) x 2 + 6 x + y 2 − 4 = 0;
б) x 2 + 8 x + y 2 + 2 y + 1 = 0;
в) x 2 − 4 x − 3 y 2 + 6 y − 3 = 0.
3. Написать каноническое уравнение параболы, фокус которой
в) y 2 − 8 y − 3 x 2 + 6 x + 4 = 0.
3. Написать уравнение равнобочной гиперболы, один из фокусов которой совпадает с центром окружности x 2 + y 2 − 4 x = 0 .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
2
2
x 2 − 16 y = 0 и центр окружности x + y = 8 x . Сделать чертеж.
5. Найти скалярное и векторное произведения векторов. Координаты точек A(1; 2; −1), B(3; 1; 0), C (1; −1; 2) заданы в декартовой системе координат.
6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
A(1; − 1; 0 ), B(2; 3; − 1), C (1; − 1; 0 ).
7. Написать уравнение линии пересечения двух плоскостей
− ( x − 2) + 2 y − 4( z + 3) = 0
в параметрическом виде.

2( x − 2) − 3 y + 2( z + 3) = 0
совпадает с центром окружности x 2 + y 2 − 4 x = 0 .
4. Найти уравнение прямой, проходящей через левый фокус гиперболы
x2 y 2
−
= 1 перпендикулярно прямой x − 2 y + 6 = 0 .
16 9
(
)
[
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC
]
произведе-
ния векторов. Координаты точек A(0; 2; − 1), B (4; 1; − 1), C (0; 2; 2) заданы в декартовой системе координат.
6. Дана плоскость x + y − 2 z − 6 = 0 и точка M (1; 1; 1) вне этой
ой
плоскости. Найти точку P , симметричную точке M относительно
данной плоскости.
 x = 2t − 1

7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой  y = t + 2
 z = −t

и пересекающей плоскость 2 x + 3 y − z = 5 в той же точке, что и ось OX .
36
37
РЕШЕНИЕ ТИПИЧНОГО ВАРИАНТА «A»
ВАРИАНТ 36
1. Через точку (1; 2 ) провести прямую, расстояния которой до
точек (2; 3) и (4; −5) были бы одинаковы.
2. Привести к каноническому виду и построить:
1. Даны вершины ромба C (2; 4) и D (−2; 6) и уравнение одной
диагонали x − y + 2 = 0 . Найти уравнения сторон ромба.
Решение: Сначала сделаем рисунок (рис. 1).
а) 3 y 2 + 5 x + 12 y = 13;
б) x 2 − 4 y 2 − 2 x − 16 y − 31 = 0;
в) x 2 + y 2 + 2 x + 4 y = 4.
3. Написать уравнение параболы с директрисой y = −8 , фокус
которой находится в точке (0; 2) .
4. Написать уравнение прямой, проходящей через верхнюю вер-
x2 y 2
+
= 1 , перпендикулярно прямой, проходящей чешину эллипса
25 16
рез
фокус
y 2 − 12 x = 0
параболы
x2 + y2 + 2 x − 2 y = 0 .
(
)
и
центр
[
окружности
]
Рис. 1
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(0; 2; 1), B(3; 2; 3), C (0; 1; −1) заданы в декартовой системе координат.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x − 2 y + z − 3 = 0
.
M (1; −2; 1) перпендикулярно прямой 
 x+ y−z+2=0
7. Написать уравнение линии пересечения двух плоскостей
2( x − 1) − 3 y + 7( z + 1) = 0
в параметрическом виде.

 ( x − 1) + 2 y − 2(z + 1) = 0
Проверим, какая из точек С или D лежит на данной диагонали.
Для этого подставим их координаты в уравнение этой диагонали: для
точки С уравнение выполняется, а для точки D уравнение не выполняется. Следовательно, в условии дано уравнение диагонали AC :
x − y + 2 = 0 ⇒ y = x + 2 . Угловой коэффициент прямой k AC = 1 (число в этом уравнении перед x ). Известно, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. По условию перпендикулярности прямых
1
= −1 .
k BD = −
k AC
Мы можем написать уравнение диагонали BD, проходящей через данную точку D и с данным угловым коэффициентом:
y − y D = k BD ( x − xD );
y − 6 = −( x + 2);
y = − x + 4.
38
39
Найдем точку пересечения О диагоналей AC и BD из системы
уравнений этих диагоналей:
Для самопроверки можно построить полученные прямые и убедиться, что действительно получится ромб ABCD (рис. 2).
x − y + 2 = 0 x = 1
⇒
⇒ O (1; 3) .

 y = −x + 4
y = 3
y + yC
x A + xC
; yO = A
2
2
получим A(0; 2) . Напишем уравнение стороны AD , используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
Из формул для середины отрезка xO =
x − xA
y − yA
=
;
xD − x A y D − y A
x
y−2
=
;
−2
4
y = −2 x + 2.
k AD
Получили уравнение стороны AD с угловым коэффициентом
м
= −2 . Стороны BC и AC параллельны. По условию параллель-
ности прямых k BC = k AD = −2 . Поэтому можно написать уравнение
стороны BC :
y − yC = k BC ( x − xC );
y − 4 = −2( x − 2);
y = −2 x + 8.
Напишем уравнение стороны CD :
x − xC
y − yC
;
=
xD − xC y D − yC
x−2 y−4
=
;
−4
2
y = −0,5 x + 5.
Так как стороны AB и CD параллельны, имеем k AB = kCD = −0,5 .
В заключение пишем уравнение стороны AB :
y − y A = k AB ( x − x A );
Рис. 2
вую:
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить криа) x 2 − 4 x + 6 y − 2 = 0;
б) x 2 − y 2 − 2 x − 3 = 0;
в) 9 x 2 + 72 x + y 2 + 4 y + 139 = 0.
Решение
а)
x 2 − 4 x + 6 y − 2 = 0;
( x 2 − 4 x + 4) − 4 + 6 y − 2 = 0;
( x − 2) 2 + 6 y − 6 = 0;
( x − 2) 2 = −6( y − 1).
y = −0,5 x + 2.
40
41
Это каноническое уравнение параболы с вершиной (2; 1) и ветвями вниз, так как в этом уравнении y − 1 ≤ 0 ⇒ y ≤ 1 (рис. 3).
в)
9 x 2 + 72 x + y 2 + 4 y + 139 = 0;
9( x 2 + 8 x) + ( y 2 + 4 y ) + 139 = 0;
9( x 2 + 8 x + 16 − 16) + ( y 2 + 4 y + 4 − 4) + 139 = 0;
9( x + 4) 2 + ( y + 2) 2 = 9;
( y + 2) 2
= 1.
9
Это каноническое уравнение эллипса с центром O(−4; −1) и полуосями a = 1, b = 3 . На рис. 5 построен полученный эллипс.
( x + 4) 2 +
Рис. 3
б)
x 2 − y 2 − 2 x − 3 = 0;
( x 2 − 2 x + 1) − 1 − y 2 − 3 = 0;
( x − 1) 2 − y 2 = 4;
( x − 1) 2 y 2
−
= 1.
4
4
Это каноническое уравнение гиперболы с вершиной (1; 0)
и полуосями a = b = 2 . Это равнобочная гипербола с классическим
расположением ветвей вправо и влево (рис. 4).
Рис. 5
3. Составить уравнение параболы, если известны уравнение ее
директрисы y = −4 и фокус F (0; 6).
Решение
Расстояние между фокусом F и директрисой равно 10, поэтому
о
p = 10. Используем определение параболы, из которого следует, что
вершина параболы лежит посередине между фокусом и директрисой
(рис. 6).
Через фокус F перпендикулярно директрисе проходит ось OY –
это и есть ось симметрии параболы. На ней же лежит вершина O1 на
Рис. 4
42
расстоянии, равном 5 от фокуса и директрисы. Поэтому O1 (0; 1). Ветви параболы направлены туда же, где фокус, то есть вверх. Итак, уравнение параболы со смещенной вершиной ветвями вверх:
43
( x − x0 ) 2 = 2 p ( y − y0 );
x 2 = 20( y − 1).
Рис. 7
p
= 0,25 от вер2
шины O1 вверх, поэтому F (3; −8,75). Разберемся с гиперболой:
Чтобы найти фокус, надо отложить расстояние
Рис. 6
4. Найти уравнение прямой, проходящей через фокус параболы
2
2
x 2 − 6 x − y = 0 параллельно асимптоте гиперболы 16 y − x − 16 = 0,
которая проходит через вторую и четвертую четверти.
Решение
Приведем уравнение параболы к каноническому виду, чтобы
найти фокус:
x 2 − 6 x − y = 0;
( x 2 − 6 x + 32 ) − 32 − y = 0;
( x − 3) 2 = y + 9.
У этой параболы вершина находится в точке O1 (3; −9) и ветви
направлены вверх, так как y + 9 ≥ 0 ⇒ y ≥ −9. Исходя из канонического уравнения параболы ( x − x0 ) 2 = 2 p ( y − y0 ), получаем
2 p = 1 ⇒ p = 0,5 ⇒
p
= 0,25 (рис. 7).
2
x2
= 1. Это каноническое уравнение гипер16
болы с центром (0; 0) и ветвями вверх и вниз. Имеем
a 2 = 16, b 2 = 1 ⇒ a = 4, b = 1. Поэтому асимптоты гиперболы имеютт
16 y 2 − x 2 − 16 = 0 ⇒ y 2 −
b
1
уравнения y = ± x или y = ± x. Мы выбираем асимптоту с отрицаa
4
тельным угловым коэффициентом, так как асимптота проходит через
1
вторую и четвертую четверти: k = − . Искомая прямая параллельна
4
1
асимптоте, поэтому у нее такой же угловой коэффициент k = − .
4
Пишем уравнение искомой прямой, проходящей через F (3; −8,75)
1
и с угловым коэффициентом k = − :
4
y − y F = k ( x − xF );
y + 8,75 = −0,25( x − 3);
y = −0,25 x − 8.
44
45
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(3; 0; 1), B (−4; 1; 1), C (−2; − 1; 0) заданы в декартовой системе координат.
Решение
Найдем координаты векторов AB и AC :
AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) = (−7; 1; 0);
AC = (−5; − 1; − 1).
Скалярное произведение найдем, используя координаты векторов по формуле
 
(a , b ) = xa xb + ya yb + za zb ⇒
( AB, AC ) = (−7) ⋅ (−5) + 1 ⋅ (−1) + 0 ⋅ (−1) = 34.
Векторное произведение через координаты вычисляем по формуле

 
i
j k



AB, AC = −7 1 0 = (− 1 + 0) i − ((−7) ⋅ (−1) + 0 ) j + (7 + 5) k =
[
]
−5 −1 −1



= −i − 7 j + 12k = (−1; − 7; 12).
6. Являются ли прямые
сти
циенты перед переменными x, y, z ). Для второй плоскости


ак
x − y − 5 z − 8 = 0 нормаль к ней N 2 = (1; − 1; − 5). Найдем вектор sb как




векторное произведение этих нормалей, так как sb ⊥ N1 , sa ⊥ N 2 :

 
i
j
k







sb = 1 1 − 1 = (− 5 − 1) i − (− 5 + 1) j + (− 1 − 1) k = −6i + 4 j − 2k .
1 −1 − 5
Параллельность прямых a и b означает параллельность этих


направляющих векторов sa и sb . Условие параллельности векторов
приводит к пропорциональности их координат:
xa y a z a
3 −2 1
=
= ⇒
=
=
.
− 6 4 − 2 Это равенство заканчивает треxb yb zb
буемое доказательство.
7. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной прямой
x −1 y + 2 z
=
= и имеющей с ней общую точку с абсциссой 2.
2
−1
3
Решение
Сделаем рис. 8 к задаче.
x + 2 y −1 z
x + y − z = 0
= и 
=
3
−2 1
 x − y − 5z − 8 = 0
параллельными?
Решение
По условию задачи прямая a задана своим каноническим уравx + 2 y −1 z
= . Из него находим координаты направляющегоо
=
3
−2 1

вектора: sa = (3; − 2; 1). Прямая b по условию задана как линия перенением:
x + y − z = 0
.
сечения двух плоскостей: 
 x − y − 5z − 8 = 0
Найдем ее направляющий вектор. Из уравнения первой плоско
сти x + y − z = 0 известна нормаль N1 = (1; 1; − 1) (числовые коэффи46
Рис. 8
47
Искомая плоскость α должна проходить через точку M 0 с абсциссой 2: x0 = 2. Эта же точка лежит на прямой а, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
2 − 1 y0 + 2 z0
= ⇒
=
2
−1
3
y0 + 2 1
= ⇒ y0 = −2,5;
−1
2
z0 1
= ⇒ z0 = 1,5;
3 2
M 0 (2; −2,5; 1,5).
Рис. 9
x −1 y + 2 z
=
= мы знаем
Из канонического уравнения прямой
2
−1
3

ее направляющий вектор s a = (2; −1; 3) (числа в знаменателе). Этот жее
вектор перпендикулярен к искомой плоскости и поэтому является
нормалью к ней:
 
N = sa = (2; − 1; 3). Напишем уравнение плоскости с данной нор
малью N = ( A, B, C ) и проходящей через данную точку M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) :
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0;
2( x − 2) − 1( y + 2,5) + 3( z − 1,5) = 0;
2 x − y + 3 z − 4 − 2,5 − 4,5 = 0;
2 x − y + 3 z − 11 = 0.
РЕШЕНИЕ ТИПИЧНОГО ВАРИАНТА «Б»
1. В треугольнике задано уравнение стороны AB : 7 x + 6 y + 16 = 0
и уравнения двух высот AL : 3 x + 5 y + 2 = 0 и BE : 9 x − 2 y − 28 = 0 .
Найти уравнения двух других сторон.
Решение
См. рис. 9.
48
Найдем координаты точки A : A = AB ∩ AL . Решим систему
7 x + 6 y + 16 = 0 ⋅ 5
 3x + 5 y + 2 = 0 ⋅ 6

35 x + 30 y + 80 = 0
−

18 x + 30 y + 12 = 0
 17 x = −68
 y = − 3x − 2

5
 x = −4

 y=2
A(−4; 2)
Аналогично найдем координаты точки B : B = AB ∩ BE .
 7 x + 6 y + 16 = 0

9 x − 2 y − 28 = 0 ⋅ 3
 7 x + 6 y + 16 = 0
+

27 x − 6 y − 84 = 0
 34 x = 68
 y = 9 x − 28

2
49
 x=2

 y = −5
B (2; −5)
Так как AL является высотой, то AL ⊥ BC , следовательно, угловой коэффициент прямой BC : k BC = −
1
k AL
.
3
2
Найдем k AL . Из уравнения прямой AL имеем: y = − x − , сле5
5
5
3
довательно, k AL = − , значит, k BC = .
3
5
Уравнение прямой, проходящей через точку М ( x0 ; y0 ) с угло-
б) x 2 + 4 y 2 + 4 x − 32 y + 64 = 0;
в) x 2 − 4 y 2 + 8 y − 8 = 0.
Решение
а)
y 2 − 2 x − 2 y − 3 = 0;
y 2 − 2 y + 1 − 1 − 2 x − 3 = 0;
y 2 − 2 y + 1 = 2 x + 4;
( y − 1)2 = 2( x + 2 )
Это уравнение параболы с центром в точке (−2; 1) и ветвями,
направленными вправо (рис 10).
вым коэффициентом k , имеет вид y − y0 = k ( x − x0 ) .
Нам известна точка B и угловой коэффициент стороны BC . На5
пишем ее уравнение: y + 5 = ( x − 2) . Получим BC : 5 x − 3 y − 25 = 0.
3
Угловой коэффициент стороны AC :
k AC = −
1
k BE
, так как AC ⊥ BE .
9
Из уравнения прямой BE получаем k BE = . Следовательно,
2
2
k AC = − .
9
Зная координаты точки A(−4; 2) и угловой коэффициент k AC , на-
2
пишем уравнение стороны AC : y − 2 = − ( x + 4) .
9
AC : 2 x + 9 y − 10 = 0.
Ответ: BC : 5 x − 3 y − 25 = 0 , AC : 2 x + 9 y − 10 = 0.
2. Привести к каноническому виду и построить:
а) y 2 − 2 x − 2 y − 3 = 0;
50
Рис. 10
б)
x 2 + 4 y 2 + 4 x − 32 y + 64 = 0;
(
)
x 2 + 4 x + 4 − 4 + 4 y 2 − 8 y + 16 − 16 + 64 = 0;
( x + 2 )2 + 4( y − 4 )2 − 4 − 64 − 64 = 0;
( x + 2 )2 + 4( y − 4 )2 = 4;
( x + 2 )2 ( y − 4 )2
4
+
1
= 1;
51
Это уравнение эллипса (рис. 11) с центром в точке (−2; 4) .
3. Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через
точку M (8; 0) , если один из его фокусов находится в точке (−6; 0) .
Решение
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
x2 y 2
+
= 1.
a 2 b2
Точка M (8; 0) удовлетворяет этому уравнению, значит
64
= 1;
a2
a 2 = 64 . Точка (−6; 0) является фокусом эллипса (левым), значит c = 6 .
Для эллипса имеем b 2 = a 2 − c 2 : b 2 = 64 − 36 = 28 . Искомое уравнение:
Рис. 11
в)
x 2 − 4 y 2 + 8 y − 8 = 0;
x 2 − 4 y 2 − 2 y + 1 − 1 − 8 = 0;
(
)
x 2 − 4( y − 1)2 + 4 − 8 = 0;
x − 4( y − 1) = 4;
x 2 ( y − 1)2
−
= 1;
4
1
Это уравнение гиперболы (рис. 12) с центром в точке (0; 1) .
2
2
x2 y 2
+
= 1.
64 28
x2 y 2
+
= 1.
64 28
4. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус
Ответ:
гиперболы
x2 y 2
−
= 1 и параллельной прямой, соединяющей верх16 9
нюю вершину эллипса
x2 y2
+
= 1 и центр окружности
100 36
x2 + y2 − 2 x − 4 y − 5 = 0 .
Решение
Правый фокус гиперболы находится в точке F (c ; 0 ).
Для гиперболы c 2 = a 2 + b2 . Из уравнения гиперболы имеем:
2
a 2 = 16 , b2 = 9 . Значит,, c = 16 + 9 = 25 , следовательно, c = 5 и правый фокус гиперболы находится в точке F ( 5 ; 0 ) .
Верхняя вершина эллипса в точке B (0; b) . В нашем случае для
эллипса b 2 = 36 , значит B (0; 6) .
Найдем центр окружности x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 5 = 0 .
x2 − 2 x + 1 − 1 + y2 − 4 y + 4 − 4 − 5 = 0 ;
Рис. 12
52
( x − 1)2 + ( y − 2 )2 = 10 .
53
Значит, центр окружности находится в точке O (1; 2) . Искомая
прямая параллельна прямой OB , следовательно, их угловые коэффициенты равны: k =
y B − yO 6 − 2
=
= −4 .
xB − xO 0 − 1
Уравнение искомой прямой имеет вид: y − y F = k ( x − xF ) . Подставим координаты точки F и k :
y − 0 = −4( x − 5) ; y = −4 x + 20 .
Ответ: y = −4 x + 20 .
(
)
[
]
5. Найти скалярное AB, AC и векторное AB, AC произведения векторов. Координаты точек A(1; 2; 1), B (2; 0; −2), C (3; 4; 1) заданы в декартовой системе координат.
Решение
AB = (2 − 1; 0 − 2; − 2 − 1) = (1; − 2; − 3);
AC = (3 − 1; 4 − 2; 1 − 1) = (2; 2; 0 );
(AB, AC ) = 1 ⋅ 2 + (− 2) ⋅ 2 + (− 3) ⋅ 0 = 2 − 4 = −2.

i
[AB, AC] = 1
2
[

 
N = N1 , N 2
]



i
j
k



= 2 − 3 5 = (12 − 10) i − (− 8 + 5) j + (4 − 3) k =
−1 2 − 4

 
= 2i + 3 j + k .

N = (2; 3; 1) . Уравнение плоскости, проходящей через начало

координат имеет вид: Ax + By + Cz = 0 , где N = ( A; B; C ).
Уравнение искомой плоскости: 2 x + 3 y + z = 0 .
Ответ: 2 x + 3 y + z = 0 .
 x = 2t − 1

7. Написать уравнение прямой, параллельной прямой  y = t + 2
 z = −t

и пересекающей плоскость 2 x + 3 y − z = 5 в той же точке, что и ось OX .
Решение
Из параметрических уравнений данной прямой очевидно, что ее

j

k
направляющий вектор равен s = (2; 1; − 1) .
Искомая прямая параллельна данной прямой, следовательно,
2
0
в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор s . Найдем
точку пересечения оси OX и плоскости 2 x + 3 y − z = 5 , для этого ре-
   


− 2 − 3 = (0 + 6) i − (0 + 6) j + (2 + 4) k = 6i − 6 j + 6k ;
[AB, AC ] = (6; −6; 6).
6. Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям
2 x − 3 y + 5 z = 10 и − x + 2 y − 4 z = 5 и проходящей через начало координат.
Решение
Координаты векторов нормали к данным плоскостям следующие:


оN1 = (2; −3; 5), N 2 = (−1; 2; −4) . Вектор нормали к искомой плоско

сти перпендикулярен векторам N1 и N 2 . Значит, в качестве вектора
нормали к искомой плоскости можно взять векторное произведение


векторов N1 и N 2 :
54
2 x + 3 y − z = 5

y=0
, получим точку M (2,5; 0; 0 ) .
шим систему 

z=0

Запишем
уравнение
прямой:
x − 2,5 y
z
= =
.
2
1 −1
Ответ:
x − 2,5 y
z
= =
.
2
1 −1
55
x − 2,5 y − 0 z − 0
=
=
;
2
1
−1
Рекомендуемая литература
1. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. –
М.: Наука, 1975.
2. Привалов И. И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. – М.:
Физматгиз, 1960.
3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии /
Д. В. Клетеник. – М.: Наука, 1969.
4. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М.: Наука, 1987.
5. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1968.
6. Литлвуд Дж. Математическая смесь / Дж. Литлвуд. – М.: Наука, 1990.
ВАРИАНТЫ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ
Составители: Прокофьева Светлана Ивановна,
Соловьева Ольга Валентиновна
Методические указания
Редактор О. Д. Камнева
Корректор К. И. Бойкова
Компьютерная верстка И. А. Яблоковой
Подписано к печати 20.08.12. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.
Усл. печ. л. 3,3. Тираж 500 экз. Заказ 111. «С» 59.
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.
190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.
Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.
56
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
635 Кб
Теги
prokofjev, variant, zad, solovyeva, dom
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа